万唯中考三角函数应用题
同学们好，今天给大家分享一道中考题里边的三角函数的计算问题，这也是中考必考的内容啊。首先观察题目，一架无人机从点 e 处起飞，飞到顶 p 处， 然后看建筑物 a、 b 的 楼顶， a 的 俯角是五十九度，看这个建筑物楼顶 d 的 俯角是四十五度， 知道这两个建筑物的高度，一个三十米，一个五十米，还知道 e 是 b c 的 中点， b， e 等于 c e， 让我们来求一求 b、 c 的 长度，求一求 b、 c 的 长度， 还提供了三个三角函数的值，求 b、 c 的 长度。观察一下，看看这个四十五度，我们要想什么呀？ 那肯定就是延长，做垂直，过点，得做垂直，过点 d 做垂直，那这就会出等腰直角三角形， 那如果我是他是 x， 那 他也是 x， 那 这就形成的是一个矩形，三个角是直角的四边形是矩形，所以这个也是 x， 那 这个还是 x， 那接下来这个是 x， 这个五十九度，他也没有在直角三角形中啊，对吧？那么我们还是继续过点 a 也向上做垂直， 实际上就延长 b a 就是 就可以了啊，因为这个建筑物总是和地面啊，是啊，平和垂直的啊，那么再做垂直，那这个是 x， 显然上边的这个 mp 咱就到这个垂度是 m 吧，他也是 x， 那么这个五十和三十怎么来解决问题呢？一系列的 x 都表示出来了，还差哪一段未知啊？看一看，哪一段上没有标未知数，也没有数字啊，很显然就是这个 am 上它啥也没有， am 上啥也没有，那我们就得想办法用啊，五十九度的三角函数来表示一下 m a 就 可以了。 那你看一看， a m 是 五十九度角的对边， x 是 五十九度，五十九九度角的邻边， 那我们要把 m a 也用含 x 的 代数式表示出来，那 a m 加三十就等于这里的 x 加五十了，方程就出来了。 所以说这个问题的关键就是用含 x 的 代数式去表示 am， 那 五十九的对边和五十九度角的邻边。现我们要用到的就是啊， tan 值五十九度了，那么 tan 值 五十九度，它就等于 am 比上一个 x 了，所以 am 就 等于攀着它五十九度再乘上一个 x 了， 那么它加上那个三十就是 mb 的 长度， x 加五十就是 n c 的 长度，而这是一个围成一个大大的矩形，他俩就啊相等了。对此我们就能求出 x 来了， x 求出来再乘上一个二，就是 bc 的 长度了，因为 b e 和 c e 是 相等的。 这里可能有同学会在这里产生疑惑，疑惑什么呢？五十九度角所在的这个直角三角形里边一个边也不知道，没办法解决这个问题。实际上咱们以前解决三角函数的问题的时候，同学们 总而言之，总会拐弯抹角，知道某一条边的长度是个已知的数字，咱们才会用三角函数解决问题，对不对啊？而这个题为什么老师拿出来讲它，就是因为这个三角形里边一条边也不知道。我们借助三角函数去用含 x 的 代数式表示 am， 从而让 am 里边也有 x 了，那它加它就等于它加它这里来列这个方程等式， 那么解这个方程怎么解它？你的五十九度已经告诉我们是一点六六，那你这就写成一点六六， x 加三十就等于 x 加五十了。 一下一点六六 x 减 x， 那 就是零点六六， x 等于五十减三十就等于二十， 所以 x 就 等于二十，除以零点六六， x 等于约分。同学们啊，切记要给他约分，那就是六十六分之啊。 二，后边再添上两个零，再约分就是三十三分之一千。这个题是有条件的，你们啊，最最末尾有一个条件，就是精确的小数点后啊，一位就可以了，这个就是约等于了最后一，约等于二，约等于完了之后再乘上一个二，就是 bc 的 长度了。 这个问题他和以往的三角函数不一样，就不一样，在这个三角形里边一条边也不知道， 那么在解这个，在解这解决这个问题的过程中，你们还要注意一个问题，就是一定要去证明 这个四边形， m， p， e， b， 还有 n， p， e， c， 还有 m， b， c， n 这四个矩形都要提前给它说明这是矩形，否则的话你对边相等，你是不能用的，如果你直接使用，那是会减分的。中考题里面一定要记住这一点。 还有啊，在解方程的过程中，你看比如说未知数，在分母上你一定要记着给他检验，不检验也是要减分的，希望这个题目能够帮到大家。
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06:59查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的填空题的压轴题， 观察题目。朋友们，已知一个矩形， a、 b、 c、 d， 矩形的长是十二，宽是八，还知道 e 是 b、 c 的 中点，它俩是相等的， 然后他把这个矩形这一部分， a、 b、 e 这个三角形沿着 a、 e 给他折到了 a、 f、 e 的 位置上来， 这是折叠过来的。把这俩三角形折叠过来的，然后连接 c、 f， 就 让我们来找一找这个角的正弦值是多少， 一个八，一个十二，那么 b、 c 等于的是十二， e 又是中点，显然这个就是六了，这个也是啊，六了， 那么有六有八。同学们，显然 a、 e， 我 们就应该想到是十了， a、 e 是 十，那折叠之后，这个六折到哪去了，去哪去了呢？同学们，显然 b、 e 折到了 f、 e 上，所以这一段也是啊六， 求这个角的正弦值。那么要解决三角函数的问题，咱们得首先把这个角放到直角三角形中去。 那么同学们观察观察，我们怎么办才能把这个角放到直角三角形中去？之前咱们分享过第一种方法，就是简单粗暴法做垂直，把它放到直角三角形中去。第二种方法最常用的就是转化， 把它找一个和它相等的角，找那个角的三角函数值，从而找到这个角的三角函数值。那咱们观察一下这个题还是不是这种方法呢？仔细观察一下， 有没有发现这个图上我标了三个六啊？同学们，看到这三个六，你有什么想法吗？看到这三个六有什么想法？ 这是六，这也是六，这还是啊六。那么 b 沿着 a、 e 折叠之后，落到了 f 上去了， 那么看到这三个六，再看到这个折叠问题，如果我把 b、 f 连起来的话给你们，那么这个时候六六六，这三个六恰恰就是 b、 f、 c 里边的三条线段，那么看到这三个六，你有什么想法？三角形 c f b， 猜一下它是个什么三角形， 光看形状也能看出来，很显然是个直角三角形，那么这就是斜中定律的逆定律，我之前的视频上有分享过，同学们啊，这就是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，这个定律的逆定律， 那么我们知道了 e f 是 bc 这个边上的中线的一半，那么这个角肯定也是直角，怎么推的进呢？就是咱们正切线那个垂直产生的第五种方法，显然六和六相等，那这个角一和这个角二是相等的， 这个六和六也相等，显然这个角三和这个角四它也是啊相等的，而角一、角二、角三角四加起来是一百八十度， 一百八十度它俩相等，它俩相等，所以它俩加起来就是九十度了。所以说我们没必要做垂直，也没必要转化，只需要连接 b、 f 这个角四所在的这个三角形恰恰就是一个直角三角形，那么三它就等于 b f 比十二了呗， b f 比十二。所以接下来的问题，我们就是要如何去求 b、 f 的 长度， 显然 b f 同学们，这是 b 沿着 a、 e 折过去之后落到 f 上了，所以说这个折痕 a、 e 在 遇到折叠问题的时候一定要注意啊，折叠问题里边，折痕就是一个对称轴， 对称轴就是对应点之间连起来的这个线段的垂直平分线，所以 a e 把 b f 给它垂直平分了。这是折叠的性质，轴对称的性质。那么这里是垂直的， 我编了一个字母 m 吧。那显然这个 b m 和 fm 它是相等的，它是折过去的呀。 a c 把 m f 给垂直平分了。所以说我们要想求 b f， 只需要求 b m 求出一半来就可以了。那么 b m 又是谁呢？你看， b m 显然是这个六八十为成的直角三角形斜边上的高线。 那么怎么求直角三角形斜边上的高线？这就叫用到了等面积法，同学们，等面积法， 等面积法，也就是说 s 三角形 a b e， 它的面积既等于六乘以八除以二，还等于十乘以 b m 除以二。 显然这个 b m 咱们就可以求出来了，左右两边都乘以二六八，四十八除以十，那就是四点八了。 bm 是 四点八，那 mf 就是 根据这个等式求出来的。 bm 等于四点八，对吗？所以两边都乘以二十倍的 bm 就 等于四十八了，所以 bm 等于四点八。那 bf 就是 啊，九点六了呗，九点六比十二就等于一百二十分之九百六十，再约分就 ok 了。这个题的答案就出来了， 也就是说，这里用到了斜中定律的逆定律去判定他是直角，这个在切线的判定里边也会用到的，你们啊，斜中定律的逆定律会经常用到，哎，知道他们三个相等怎么推？这个地方是直角，就是两组等角， 四个角的和是一百八，那么这俩项呢？这俩项呢？所以这俩加起来就是九十了。而且这里还用到了折叠问题，里边的折痕就是对称轴，对称轴就是对称点之间连下来的那个线段的垂直平分线。 三角函数要么做垂直，要么转化角度，把它放到直角三角形里去，这里不用转化，连了一条线就出来了。 另外还要注意等面积法。求直角三角形斜边上的高线，这些都是经常用到的知识点，同学们啊，经常用到的知识点一个是斜中定律的逆定律， 再个就是等面积法，这个就是折痕，就是对称轴，对称轴就是对称点直接连起来那个线段的垂直平分线。希望这个题能够帮到大家。
83初中数学柳老师
05:46查看AI文稿AI文稿王老师讲数学，今天讲关于三角函数的一道模拟真题啊，讲我们开封万岁山的一道题型来看看。开封是一个历史文化名城啊，有独特的民族文化 以及精彩纷呈的节目活动，吸引来了来自全国各地的大量游客。二零二五年开封清明文化节期间，仅万岁山武侠城景区三天接待的游客量啊，约五十二万人次啊。这是一个题目的背景，我们主要来看这种这个题目信息啊，如图， a、 b、 c、 d 分 别是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点， b 在 a 的 正东方向， c 在 a 的 北偏东三十度方向，且在 b 的 北偏西十五度方向。地点呢，在 a 的 正北方向，并且在 c 的 北偏西五十三度方向，而且知道 ab 至两千米，求 ad 的 长， 然后小括号里给出了一些啊，参考数据啊，这道题该怎么做呢？怎么去用这些三角函数呢啊，一般都是在这个直角三角形里头去解，所以你看有三十度角，五十三度角和十五度角，五十三度 和十五度都不是特殊的角，所以你看他提供的这些信息里边，五十三度三， cosine 五十三。那么我们先来分析啊，也就是说把这个五十三度角啊， 如果能够放在直角三角形当中，就可以用它的 sin、 cosine 和 tan 的 值了。所以第一个思路我们会想到把过 c 点做 a、 d 的 垂线， 把五十三度放在这个直角三角形当中，这样一来角 d 就是 五十三度。 好，那么我们来看他给的参考信息啊，散五十三是五分之四，也就是四比五好，散音就是对边必斜边好是四比五， 那么 cosine 呢？是三比五，也就是领边必斜边，那就领边这地方是三啊，三比五。那么这样来看，如果我设 d g 为三 x， 那 么 c d c g 就是 四 x， 然后 d c 就是 五 x 啊，如果我把 a g 这部分也用几 x 来表示，我求出 x， 就 能得到 a、 d 整体的一个长度。好，那我们接着分析 啊。再来看三十度角，这样一来，也在这个 a、 g、 c 这个直角三角形当中了，所以我们会用到三十度角，所对的直角边等于斜边的一半，得到 a c 啊，是八 x 啊，然后再用 a g 呢，就是四倍的根号三 x。 好， 这样一来， a d 啊， 就等于啊，三 x 加上四倍根号三 x， 那 么我求出来 x 这道题就能解出来了，怎么来求 x 呢？我们这个十五度该怎么去用呢？啊？咱们继续看啊，在这个啊 d a、 b 当中，这个角是九十度，所以剩余这个角应该是六十度啊，六十度，这个又是一个特殊角啊，达到特殊角，它应该放在直角三角当中，所以过 b 点向 a、 c 再做一个垂线，如果垂足是 h， 那么这样一来，这个 a、 b、 h 就是 三十度角啊。来看， a、 b、 e 是 个九十度啊，减去一个十五度，减去一个三十度，所以这个地方就来到一个四十五度角，那这个 三角形 r t 三角形啊， c h b 就是 一个等腰直角三角形， 也就是 c h 就 等于 b h， 然后再借助 ab 是 两千米，所以 b h 呢，就等于根号三千米， a h 就 等于一千米 啊， a c 就 等于 c h 加上 a h， 然后把数值带入进去， c h 在 这里是根号三，然后加上 a h 就是 一 啊， a c 求出来， a c 求出来以后，我们在直角三角形 a c g 当中，例如这个直角三角形当中，用三十度角所对直角边等于斜边的一半，所以我们就可以得到啊， c g 就 等于二分之一了， a c， 然后我们把数值带入进去 c g 就是 四 x， 二分之一的三加根号三加一，这样我们就可以解出来 x， 我 们就可以求出来 x 等于八分之一加根号三，然后我们带到 a d 里面， a d 等于三 x 加四倍根号三 x， 所以 我们直接代入， 然后根据他的这个精确结果，就可以约等于三点四千米。在解决三角函数这种题型的时候，我们要注意啊，三角函数就是在直角三角形里头可以用到，所以我们的思路，第一个要构造直角三角形啊，就是做垂直啊，或者是经过角的转换啊，把它 啊构造到直角三角形当中啊。第二个思路就是构造特殊角，或者是利用这些特殊角啊，三十度角，四十五度角，或者是六十度角，把它们放在直角三角形当中进行解决，这种题型啊，这种题型你学会了吗？
21王老师讲数学
05:16查看AI文稿AI文稿同学们好，今天这期视频给大家继续分享中考题里边三角函数的应用。首先看你的条件， 站在点 e 处看建筑物 a 的 阳角五十三度，站在点 e 处看建筑物 c 的 阳角四十五度。还知道这个点，观测点到这个建筑物的底部是六十米， 到这个建筑物的底部是二十米，就在这个阳角是四十五度。很显然，我们就能轻松找得这个建筑物的高度是二十。 让我们求什么呢？让我们来求这两个建筑物之间的楼顶着顶部的这个距离。悬在半空中的 a、 c 让我们求的是 a， c 等于多少。提供了这三个三角函数， 显然 a、 c 悬在半空中和下边这两个直角三角形根本就没有联系， 那么我们要想办法把 a、 c 放到直角三角形中去，这是在三角函数里边经常用的一种方式。朋友们啊，什么方式呢？就是通过做垂直，把它切割成矩形和直角三角形的样子。 显然这个四边形 a、 b， d， c， 这是一个直角梯形啊，哎，在直角梯形里边经常怎样来切直角三角形啊？很显然，过点 c 做 ab 的 垂线， 过点 c 做 c， m 垂直于 ab， 那 这个时候就切出了一个矩形和一个直角三角形，而我们要求的 ac 恰恰就在这个直角三角形中。那如果你要求 ac， 肯定就要去求啊， am 等于多少， cm 等于多少？ 显然 cm 如果下面是一个矩形的话， cm 已经有答案了，二十加六十，哎，这个就是一个八十，但是前提你是必须得证明这个四边形。是啊，矩形不证明它是矩形的话，这样考试会失分的。同学们啊，一定会给你减分。 那么这里一个直角，这里也是一个直角，这里也是一个直角，建筑物都和地面垂直，直接使用就行。三个角是直角的，四边形就是矩形了。 b d 等于八十，所以 c m 等于八十， c d 等于二十，那 m d m b 也就等于二十了。 所以说我们要来求 am 的 长度，你还得需要求 ab 的 长度， ab 的 长度减掉这个二十就是我们需要的 am 的 长度了。 那么怎么去求 am， 怎么去求 ab 呢？那显然就要用到这个三角函数了，他提供的每一个角度都是有用的，如果已知条件你用不上，那就说明你这个题做错了啊，已知条件没用上，你都做出来，那肯定不对，肯定啊。那么再来看，我们已知的是这个五十三度角的这是什么边？ 六十是五十三度角的邻边，我们需要求的是五十三度角的对边，那么你结合已知的边和要求的边来判定我们需要这三个三角函数里边的哪一个？有的同学专门在这个地方迷惑 我，到底选择哪个三角函数来解决问题啊？不用迷惑同学们，你已知的是哪条边，要求的是哪条边，那两条边组成的是哪个三角函数，我们就要用哪个三角函数。但是前提你得知道，正弦是对边比啊，斜边余弦是邻边比啊邻边。正切是对边比啊邻边。 那咱们用贪认他五十三度来看一下他等于谁，他就等于 a b 比上一个 b e 了，也就是 a b 比上一个六十了。而我们的这个贪心的五十三约等于的是四比三，该约等于的一定要约，等于不能画直等。同学们啊，画直等又要减分了， 那么三倍的 ab 就 等于四乘以六十，这里不要盲目的乘以六十，这里比较简单比较繁琐的数据一，一定不要盲目的给它乘出来，先约分啊，约完了分，最后再乘也不管，这就是六十和三左右除以三，四乘以二十了。八十， ab 等于八十了，这是六十，这是八十， 显然这个就应该是一百了，这就是把六八十同时扩大了十倍，六八十这组购物数同时扩大了十倍，这就是一百了。那么这个题目里面你要注意的是什么问题呢？第一要注意，一定要去证明这个四边形，是啊，矩形。 第二一定要注意，我们要把我们求的线段放到直角三角形中去。第三要注意的是，运用三角函数的时候，选择困难症的同学听好了，怎样选择，你就看我们要求的边是什么边，已知的边是什么边， 那么是我们要求的这个已知的这个角的对边离边，那就用正切对边斜边，那就用余弦正弦那个离边斜边，那就要用啊余弦了，根据你的已知的边和未知的边，还有根据这个角度确定用哪个三角函数。
04:48查看AI文稿AI文稿我们来看这样的一个问题，图一是一辆吊车的实物图，图二是工作示意图。 a、 c 是 可以伸缩的起重 臂，你转动点哦， a 点，它可以转动 b d， a 点以 b d 这个高度，也就是 a h 是 三点四米，三点四米， 当体重 b 的 长度 a、 c 为九米的时候，占角为一百一十八度啊，什么叫占角？比如说是角 c a h， 这是一百一十八度，求操作台 c 离 d 的 高度啊，结果保留一位小数，好，那么我的目标知道了 c 离 d 面的高度，那么我过 c 点做一个垂直下来，叫做 c e 垂直于。一定啊，垂直于一点。 好，这就构成了一个直角梯形，那么现在我要求出 c e 的 高度，那我们要构造直角三角形，才能根据三角函数去把它求出来。 那这里面我们很容易想到从 a 点做一个垂直于 c e 的 和 af， 那 么把整个直等直角梯形分成了一个直角三角形和一个矩形，那么这此时 c e 的 长度应该等于 cf 加上一个 ef， 因为我们根据 矩形的性质， a h 和 e f 相等的，这也是三点四， e f 是 三点四，然后 c f 加上三点四，那么我只要求出 c f 的 长度就可以了。 c f 在 直角三角形 a c f 中，那么 a c 是 九，那么只要知道这个角的度数就行了。那根据三角函数值求出来，因为这是九十度，所以这个角 c a、 f 是 二十八度，那么我们可以根据三角函数值求出 c、 f 的 长度，那么整个 c e 的 长度我也知道了。好，下面我们来书写过程，写 如图所示，做 c e 垂直于 b d， a f 垂直于 c e， 是 吧？又因为 a、 h 垂直于 b d， 所以 我们可以知道四边形 a h d e f， e、 f 是 一个矩形，为矩形， 那么就可以得到 g， 可以 得到 e， f 等于 h， 等于三点四米。 那么此时的角 c， a、 f 应该等于一百一十八度，减去九十度，等于二十八度啊。好，最后在 l t 三角形 a， c、 f 中啊，三硬的角 a， c、 f 等于 c， f 比上 ac， 那么所以 c、 f 取出来应该是 a c 乘以一个三英的角 a， c、 f 等于九，乘以三英的二十八度 啊，等于九乘零点四七，等于四点二三。好，这还没有结束啊，所以 c， e 等于 c， f 加上一个 e， f 就 等于四点二三，加上一个 三点四，等于七点六三。好，因为题目让我保留小数点最后一位，所以约等于七点六米。好，最后答一下即可。
33汪洋中的一叶扁舟
06:20查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享中考题里边有关三角函数的计算问题， 那么这个题可以用两种方式来解答，咱们先来看第一种方式，已知题。已知条件就是一架这个无人机，从点 e 处起飞，飞到点 b 处看建筑物 d 是 四十五度，看建筑物 a 俯角是五十九度，那么还知道 b e 等于 c e 这个建筑物的高度是五十米，这个建筑物的高度是三十米。 就让我们来求一求 b、 c 的 长度是多少， b， c 的 长度是多少？那么我们知道涉及到三角函数问题，首先得把它提供的角度放到直角三角形中去， 那么在这里构造直角三角形就有两种方式，同学们啊，第一种方式就是延长 c、 d。 建筑物永远都是和地面垂直的，这个垂直是可以直接使用的。同学们啊， m n 就是 一条水平线，它和地面是平行的。延长 c d 交 m a 于点 q 吧，那么这个时候 p q 和 d q 它就相等了。出等腰直角三角形，我们就可以设这个是 x 米，这个也是 x 米，那显然 q c 的 长度就是 x 加五十米了， 那么显然这里五十九度也没有。在直角三角形中，我们同样也可以延长 b a 交 m n 于点这个 a， b f 吧， 点 f， 那 么这是 x， 这是五十，这里是三十，那么显然 fa 的 长度我们就可以用五十加 x 减三十来表示了。 五十加 x 是 这条边，这是一个大大的矩形，把 ab 的 高度三十给它减出去，就是 m， 就是 fa 的 长度了， 也就是二十加 x。 那 么接下来这个矩形 p q， c e 也是一个矩形，他是 x， 那 么他也是 x， 他 俩又相等，所以这个还是 x， 那 么这也是一个矩形，所以 p f 也是一个 x， 那么这里图上所有的线段都可以用含 x 的 数字字母或者是已知的数字来表示了。那么怎么来求这个 x 呢？ 显然这个四十五度角我们已经用过了 x， x 这个五十九度角我们还没有用到，那请你们看一看，在这个五十度五十九度角所在的这个直角三角形中，我们标注数据的是五十五十九度角的什么边呢？ 显然这个是啊，五十九度角的对边，这个 x 是 五十九度角的邻边，所以要解决这个问题就要用到三角函数了。那么用五十九度角的对边邻边的关系式，那肯定就是啊，摊着他五十九度了， 哎，攀着他五十九度，他就等于二十加 x， 再比上一个 x， 约等于一点六六，解这个方程去分母就可以了。二十加 x 就 约等于一点六六， x 一下就是零点六六， x 等于二十了， x 就 等于二十，除以零点六六，这个要约分同学们啊，约分之后化解这个题目有要求，最后小数点后边保留一位约等于就可以了， 这是通过这种方式，那么算到这里，算出这个数来，约等于他之后答上他，对不对呢？同学们，再乘上二，当然就是 bc 了， bc 等于两个 x， 切记，同学们，如果你这样列方程的话，看有没有发现分子上出未知数了，所以这个时候一定要检验， 经检验， x 等于谁是方程的解，且符合题，两句话，一句话他都会给你减分。 所以说如果用三角函数解决问题的时候，分母上出未知数，一定要记着检验，而且要出两句话，是方程的解，且符合题意，这是通过三角函数来解决问题， 这是一种方法的一个，就是咱们这样来构造这个直角三角形。你看一下这里还有一种方法的一个还可以这样来构造，咱们不是这个，咱们不用这个二十减 x， 咱们知道这是 x， 这是 x 了，对不对啊？那么接下来你看一看啊，这是 x 了，这是五十九度了。我怎么用含 x 的 代数式去表示 am 呢？ 那你就借用啊，摊着它五十九度，我们要表示它对边啊，以未知的是设为数，来的是它的邻边啊。那咱们这样做也可以摊着它五十九度就等于 am 比上一个 x， 显然 a m 就 等于贪婪的五十九度啊。乘上一个 x， 也就是约等于贪婪的五十九度，是一点六六，一点六六啊 x， 哎，这就是啊，一点六六啊 x 了。 那么根据这个矩形对边相等，我们仍然可以列方程一点六六， x 加三十，就等于这边的 x 加五十了，这样来解这个方程也可以， 这里也要进行检验，因为 x 也出现在分母上了，同学们，这是要注意的一点，一定要检验。再一种是方式不同，那么 答案是一样的，还要注意一点呢，就是四边形哎， f， p， e， b， 还有 p q， c， e， 还有最外边这个最大的这个四边形都要去进行举行的证明， 要不然的话，你不能用对边相等，必须要证明他们是矩形，这是中考题必须要注意的，你不正的话，他肯定要给你减分的，一个是要检验，一个是要正矩形，再一个是你要学会转化线段。同学们啊，千万别忘了检验，希望这个题目能够帮到大家。
20初中数学柳老师
03:39查看AI文稿AI文稿三角函数绕韵一招直接吃透！同学们好！今天我们带来的是一道三角函数的压轴问题，我们一起来读题。在三角形 a、 b、 c 当中， a、 b 是 锐角， a 和 b 都是小于九十度的，满足一个解一式问贪婪 a 的 一个最大值。我们首先得需要把这个式子进行化简。 左边是有 a 有 b， 右边呢是 cosa 加 b。 嗯，我们知道，在三角形过程中， a 加 b 加 c 应该是等于一百八十度，所以 cosa 加 b 应该是等于 cosa 派减 c 的 诱导公式，等于负的 cosa， 所以 原式等价于 sin a 等于 sin b 乘上负的 cos c， 左边变成了 cos c 乘以 c n b。 那 么右边呢？我们需要把 a 角给它换成 cos b 加 c 啊。 cos a 呢，等于 cos 派减 b 加 c 诱导一下就是 cos b 加 c 等于负的 c n b cos c 把左边给它展开，就是 cos c 加上 cos c， 靠 b 负的 c b 乘 cos， 此时我们就可以看到，我们可以可以给它化解一下就二倍的 c b cos 加上一个 cos c cos 它等于零。 我们可以两边同时除以 cos b 和 cos c， 就 得到了二倍的 tan t b 加上一个 tan t c， 就等宁好他们贪忿 a 的 一个最大值。我们知道贪忿 a 它应等于贪忿派减 b 加 c 诱导一下它就应该是等于负的贪忿 b 加 c 展开等于贪忿 b 加上一个 tanne c 比上一减 tanne b 乘以 tanne c， 也就是原式等价于我们可以把 tanne c 写成 负的二倍的 tanne b， 把这整个式子全部转成 tanne b 相关的量分子来说，就是负的 贪内 b， 分 母就是一减去贪内 b， 再乘贪内 b， 就 加上二倍的贪内方 b， 我 们整理一下化解。它等于贪内 b 比上一加二倍的贪内方 b， 我 们上下同时除以贪内 b， 我们此时可以看到分母呢，这是一个基本不等式，分母是大于等于二倍的根号，两它两相乘就二倍根号二， 也说整体是小等于，这是四分之根号二的，但是我们要去进行检验，这等号能不能取到。等号取到的前提呢？是 tanne b 分 之一等于二倍的 tanne b， 也就是 tanne b 方 b 等于二分之一， tan b 等于二分之根号。因为 b 角是锐角，显然可以取到，所以最终应该选四 d 选项。好，今天的分享到此结束。
34罗老师讲数学
16:51查看AI文稿AI文稿我们现在来看一下下面这道题，你像广州市的这道题很简单，都不用动笔去算，因为你看一眼题干就知道了。在三角形 a、 b、 c 中，现在描述角 a 等于九十度，又给了我 a、 b 等于 a， c 等于六，是不是相当于是一个等腰直角三角形？ 然后接下来他说 d 是 bc 的 中点，你读到这的时候出现了等腰直角三角形斜边中点的时候，你要格外的注意了。他接下来描述说 e 和 f 分 别在 ab 还有 ac 这个边上， 并且给了我 a、 e 和 c、 f 相等。我们前面讲的是过等腰直角三角形的直角顶点啊，这个斜边的中点去做一个直角，然后我就可以直接得到这个三角形是一个等腰直角三角形，它是。现在题干是反过来了， 让我们得到它是一个等腰直角三角形，进一步得到 a、 e 和 c、 f 相等， b、 e 和 a、 f 相等。但是现在题干没有给我这个角是直角，他直接给了我边长相等，那你说这两个边长相等，我能否推导出来这个三角形是一个等腰直角三角形啊？一样的吗？你连接 a、 d， 你 a、 e 和 c、 f 是 相等的，你这个角是四十五度，这个角也是四十五度，你 a、 d 和 c、 d 又相等，那你就可以直接由 s、 a、 s 证明出来这个三角形和这个三角形全等。哦，那这两个三角形全等，是不是可以直接读到这个角和这个角是不是对应相等？ 那你这个角加上面这个角是不是等于 a、 d， c、 e 等于九十度？那你不就直接证出来 e、 d、 f 这个角是垂直的吗？ 而刚刚你证明这个三角形，这个三角形全等的时候，是不是又有 d、 e 和 d、 f 相等？那你就直接得到了这个三角形其实确实是一个等腰直角三角形。然后你接下来让我去求什么四边形 a、 e、 d、 f 的 面积，我们都不用去算就知道了，就是整个三角形 a、 b、 c 面积的一半。因为我们在前面讲等值那一节，等值这个模型的时候，它的二级结论我们已经讲过了， 对吧？所以我们继续往下，我们再来看一下，便是三杠一这道题，这道题其实也是一样的，涉及到什么？我们把上面这个模型现在进行延伸了，就是等值那一节，等值，他为什么喜欢考？因为他喜欢跟旋转融到一块来， 它怎么样跟旋转融到一块来？就类似像江苏南京的这种题，它难度并不是特别的大，它说边长为一的什么正方形 a、 b、 c、 d， 它的对角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o， 那 正方形的对角线垂直且平分， 对吧？所以我就知道了。然后接下来他又给了我什么角？ m、 p、 n 角 m p n， n n 这个地方标丢了，这里应该有一个 n 角， m p n 这个角始终是一个直角，他现在说旋转角 九 m p、 n 为直角，使得点 p 和点 o 始终是重合的。然后直角边 p、 m、 p、 n 分 别于 o、 a 还有 o、 b 垂直，那 o a 是 在哪？ o a 是 在那儿，在这儿， o、 b 是 在这儿那，所以相当于这个什么 p m 对 应的是这条线， p、 n 对 应的是这条线，然后这个角是直角嘛？然后接下来说，我们去旋转 m、 p、 n 这个直角把这个直角是不是逆时针方向上去进行旋转，那他在旋转的过程当中是不就直接得到了，跑到了这个位置来？但是不管他怎么转，大家有没有发现这个角始终是一个直角呀？ 然后我们前面讲的是等腰直角三角形，等腰直角三角形本质就是正方形，正方形就是等腰直角三角形，在大量的题目里边都是这样去做转化的， 对啊，所以你相当于这个直角绕着这个斜边的中点去旋转，这个斜边 abc 不 就是一个等腰直角三角形吗？所以其实就相当于不管它怎么样转，我们发现始终有 f o 这个什么 e o f 这个角始终是直角，那不就满足我们前面所讲的等值内接等值模型吗？所以我就知道了，我首先可以直接得到这个三角形，是一个等腰直角三角形， 我是可以直接正出来的，因为 ob 都已经给我连好了，我很容易正出来。这个三角形和这个三角形是全等的，他们俩全等是直角，很容易得到，它是个直角三角形，等腰直角三角形。而只要这个三角形是等腰直角三角形，你正出来了，那接下来那天我们上面讲的那些结论全部可以直接用上。 所以他接下来说什么什么 pm 和它教育点 e、 p n 和它教育点 f， 我 们从图上都能直接看出来的。他现在问我下列结论 正确的序号是哪一个？那我们在这个地方其实最主要的是第五个，还有第四个。前面的一二三很容易啊，我们在第五个这个地方依然是在教大家，当你遇到一道选填的小题，是这种多结论问题， 多结论问题是大家特别怕的，为什么？因为你判断错了一个选项，就会导致你这道题全错。然后多结论问题里边最难判断的是什么呢？就是相似， 所以大家也是特别怕去找相似。我们在第五个地方会再次跟大家去说一下，你拿到一个式子 怎么样去找相似？你拿到一个式子怎么样？通过它的结构特征就能判断出来。这道题我接下来需要怎么样去转化。我们先来看这道题的第一个很容易判断，说 e f 等于根号二倍的 o e， 我 们都已经证出来这是一个等腰直角三角形，那里当然有 e f 等于 o e 的 根号二倍，所以 e 很 容易证出来的，对吧？然后二说四边形 o e b f 这个四边形 比上整个正方形的面积是一比四，我们在前面讲等值内接等值这个模型的时候，我都已经知道了，这个四边形的面积是这个等腰直角三角面积的一半，而这个等腰直角三角面积是不是又是正方形面积的一半，所以二分之一乘以二分之一却是四分之一的关系，所以二也是正确的。 三、现在让我去证明 b e 加上 b f 等于根号二倍的 o a， 我 们说只要遇到两个线段和等于一个线段的多少倍，我们就要想办法把这两个线段挪到同一条线上去， 那怎么样挪 b e 和 c f 相等，因为这个三角形和这个三角形全等，所以我就知道了，你 b e 加上 b f 其实就是 b f 加上 c f 其实就是 b c， 所以 其实就是证明 b c 等于 o a 的 根号二倍， o a 是 不是又等于 o b 又等于 o c？ 那 确实呀，你 b、 c 的 长度确实是等于 o b 的 根号二倍的，所以四三我们也能证出来的。我们再来看一下这道题的四呢？ 他说在旋转的过程中说当三角形 b、 e、 f 这个三角形的面积，再加上 c、 o、 f 这个三角的面积，当这两个三角的面积和 达到最大的时候，现在问我 a、 e 的 长度是等于多少，是不是等于四分之三？那你说这道题的考点是什么？他题干都提到了旋转过程中他也不是研究最值，如我们怎么样判断这道题到底是在考函数 还是在考察模型？这不是很多同学的一大困难点吗？就是经常会提到什么旋转的过程当中啊，什么平移的过程当中啊，折叠的过程当中啊，对吧？一般都旋转过程中考的比较多，对吧？因为跟旋转有关的最值模型特别的多， 所以什么情况下我去判断这道题到底是用函数去研究，这，还是说这道题是用我们前面所讲的那些模型去进行研究呢？如果这道题融合着旋转考最值的话， 让我去求一个线段的最值，让我去求一个图形面积的最值，那这道题跟模型的关联很大。 如果这道题是让我去研究达到某一个值时，对吧？然后让我去研究一个数值的话，这道题考察函数的可能性比较大。 然后你再去想，你本来随着这个三角形就是初时位置是在这个位置，然后让它逆时针在进行旋转的过程当中，你旋转到这个位置来的时候，是不是发现 e 点跑到这来了？你本身这个 e 点就是从 a 点一点一点一点向下移动， 也就是说随着 a、 e 在 变化的过程当中，我现在需要去研究这两个三角形面积和什么时候达到最大吗？ 那你说这个什么 b、 e、 f 对 应的是这个三角形， c、 o、 f 对 应的是这个三角形，你现在研究 a、 e 达到什么时候的时候达到最大，我就知道了。这道题我把 a、 e 夹成这 x， 那 正方形的边长题干给了是一，我就知道了，这节长度其实是一减 x， 那 这节是一减 x， b、 e 和 c、 f 的 长度是相等的，说明 c、 f 也是一减 x。 我是 不知道这个 b、 f 长度其实跟 a、 e 的 长度也是相等，是不是也是 x， 那这样的话我就知道了，你这个三角形 b、 e、 f 的 面积其实就是二分之一 x 再乘一减 x， 是 不是直接读到这个三角形的面积？那同样的，你这个三角形的面积是多少啊？ 这个很好求啊，你以 c、 f 作为底高，是不就这个三角形的面积？是，不过点 o 向 bc 引垂线段，这个高是一个定值，因为正方形的边长是一，这个高就是二分之一，也就是说这个三角形的面积其实就是二分之一，乘以一减 x， 再乘以高二分之一， 那我就知道了，这个三以内的面积加这个三以内的面积合到一起去，正好是一个关于 x 的 二次函数。你去研究二次函数什么时候达到最大值时，这个 x 的 值是多少还不好求吗？应该不用我讲了，对吧？所以我们通过第四个时代给大家去说，什么情况下 我们用函数去研究的可能性比较大，就研究用函数去研究这个最值的可能性比较大。什么情况下我们是利用模型去研究它的最值可能性比较大，不是百分之一百，但是它占比可以达到百分之八十，甚至百分之九十以上，是这个样子的。 好，我们继续。如果他只是让我去求最值的话，他比如说让我什么，他的最大值是多少，最小值是多少，那这道题考模型就就比较大。如果这道题是研究什么达到最大值十，然后一个东西的数值是多少，那研究可函数的可能性比较大， 不是百分之一百。我再次强调一下啊，我们再来看下这道题的第五个，第五个就涉及到我们在做相似题或者几何的综合压轴题的时候，我们的一个分析思维。我问一下大家，现在第五个现在是不是让我去判断 什么 o g 乘以 b d， o g 对 应的是哪一个线段，对应的是这个线段，然后再乘以 b d， b、 d 对 应的是哪个线段， b、 d 对 应的是这个线段，说这两个线段的乘积等于 a、 e 的 平方，再加上 c、 f 的 平方。 我先问一下大家，你看到这个等式的时候，你的数学直觉告诉你， 你会联想到什么样的东西？尤其是等式的左边都出现了 o g 乘以 b、 d 两个线段乘积，我们就立马会想到，感觉好像跟相似会有关联，对吧？所以我们会在想，我看到这个式子我就知道了，这种结构形式出现，我就会想，往往相似上我会去想， 然后他等式的右边那又出现了平方，线段的平方加线段的平方呢？勾股定律， 但是也就是说明什么？说明出题，让我去正的这个东西，其实把两个东西揉到一块来了，那我们就一个一个去转化 我们的等式的右边平方加平方，你 a、 e 在 这，你 b、 c、 f 在 这，离得太远了，你出现平方，在线段平方加线段平方的话，我肯定要想尽一切办法把它转到一个直角三角形里面去。那怎么样转？ c、 f 就是 等于 b、 e， a、 e 就是 等于 b f， 所以 你 a、 e 方加上 c、 f 方，其实就是等于 b、 e 方，再加上 b、 f 方，而 b e 方再加上 b、 f 方，其实就是 e、 f 方。 那我就知道了，你让我去证明这两个线段的乘积等于这一坨，其实就是转化成证明这两个线段的乘积等于 e、 f 的 平平方。好，接下来的问题又来了， 你怎么样去证明 o、 g 和 b、 d 的 乘积等于 e、 f 方呢？我们看到等式左边这地方的，我就已经想到了，它跟相似有关， 那这个地方有这么多三角形，我到底去找谁和谁相似啊？这里面这么多三角形啊，谁和谁相似啊？问一下大家我们怎么样去找？我们在前面教大家技巧的，我说只要出现这种线段，这种你一定要先描边， 你描边之后 o、 g 是 不是在这里？ b、 d 描完之后是不是在这？然后接下来你要去看哪一个线段，他根本就没办法进行位置的转移，哪一个线段是可以进行转移的？ 我们就确定一下不能动的那个线段，他所在的那个三角形就一定是我要去找的那个相似三角形当中的一个三角形。 但你说 b、 d 很 明显， b、 d 是 正方形的对角线，又可以转化到 a、 c， 又可以转化成 o， a， 转化成 o b， 转化成 o c， 转化成 o d。 很 明显 b、 d 是 可以转移的， 不能动的是谁？只有 o g， o g 这个边没办法进行转移啊，对吧？因为我可以把 o、 e、 b 这个三角形转移到 of c， 我 可以把整个 o b 转到 o c， o e 转到 of， 但是唯独 o g 没办法进行位置转移，他的位置已经定死了，只能在这地方。那你说 o g 你 放到哪一个三角形里面去？你把 o g 放到哪个三角形里面去，而且又要跟 b、 d 有 关， b、 d 不 就是跟 o、 b 有 关吗？你 o、 g 很 明显放到 o g、 b 这个三角形里面去。 对，那你说这个三角形和哪一个三角形相似，你能否正出来？而且还要和这个什么 b、 d 还要有关的。那很明显嘛，这个三角形和这个三角形都有一个公共角，这个角是我们把它再用另外一个颜色我们给大家描出来啊，大家看的会比较直观一点， 红三角形和这个绿三角形是不是有一个公共角？然后我们发现红三角形的这个角正好是这个等腰直角三角形的一个内角，四十五度，绿三角形的这个角是不是也是四十五度？所以我就知道了，这个三角形和这个三角形已经有连直角相等，这两个三已经相似， 这两个三已经相似，是不是可以直接得到一个等式关系？我们刚刚前面才在教大家，我说只要出现了一个三角形，过其中的一个点，引出来一个一条线和对边 和它所对的边相交，然后这地方切分出来了两个三一相似了，这个地方是不是可以直接利用摄影定律的变形形式直接建立等式？我们刚刚前面教大家的口诀是什么？ 公共边的平方等于贡献边的乘积，你不需要自己在这地方还在那对边对边，在那找，找半天我都已经知道了他就是摄影店里的变形。那这个红三角形和这个绿三角形的哪一个边是公共边呀？是不是这个 o e 和这个 o e 正好是公共边？所有知道了公共边的平方 等于贡献边的乘积，那这两个三角形是不是小三角形的 o g 和大三角形的 o b 正好是共贡献边？所以我知道了就直接就有 o e 一 方等于 o g， 再乘以 o b。 我 们现在要建立的其实是 o g 和 b d 之间的关系，我想要的是 b d， 我 不想要 o b， 那 你说 b d 和 o b 之间具有什么样的关系？ o b 是 不是等于二分之一 b d， 那 这样的话是不是就出现了 o g 乘以 b d 了？我再把这个二分之一乘到左边去，是不是就直接得到了二倍的 o e 方等于 o g， 再乘以 b d， 我 由这个地方三点一相似，是不是建立起来这样的一个式子？而我现在要去证的，其实 o g 乘以 b d 要等于 ef 方，那其实是不是就直接转化成了我们刚刚转化成了去证明二倍的 o e 方等于 ef 方，是不就可以了？ 那你说二倍的 o e 方是不是等于 e f 方呀？这是一个等腰直角三角形呀，所以你 o e 跟 o f 又相等，那当然有 o e 方， 再加上 o f 方等于 e f 方，然后 o f 方又等于 o e 方，那当然有 e f 方等于二倍的 o e 方，那这个地方不就直接正出来了吗？对吧？所以我们是通过一定要记住啊，就你在做题的时候不能只关注一道题，你会不会 我们关注的时候，我们通过一道题，我们在做的过程当中，我们能总结出来什么样的东西，我们能提炼出来什么样的东西？我们在下一次遇到类似问题的时候，我们能够按照什么样的思维方式往下去延伸，我们能够按照什么样的思维方式往下去分析？ 这个是大家在做题的过程当中，你需要去训练起来的，你光把一道题做会没有用的，那因为中考里面题千变万化，变多了去了，尤其是相似这一块，但它图形稍微变一下，它变形方法非常非常的多，所以你一定要去把握住它的一些本质，好吧？然。
05:33查看AI文稿AI文稿让我们一起来看一下中考必考题，三角函数应用题啊，这种题是在中考属于中等题，所以说同学们只要认真做，把方法基本掌握， 这道题基本上是可以得满分的。好，让我们来看一下这道题怎么去呃，快速做出来。这种题不能花时间太久啊，不然的话后面题很容易答不完。 好，我们要快速的去看已知条件啊。好，第一步，我们先看一下参考数据。参考数据，嗯，里边有几个度数，这里边有五十二度，六十五度。所以说这道题的基本上你就知道他的辅助线啊，或者说你要寻找的两个 r t 三角形，那就是五十二度的 r t 和六十五度的 r t 这种。这个题体现不出你要先看参考资料的重要性啊，他比较是中规中矩的三角形 好，但是有些稍微难一点的题，你并不知道辅助线怎么加的时候，一定先看参考资料，他会提醒你该如何去加出辅助线来。好，大部分百分之九十的辅助线都是呃横着和和垂直的，但是有一些的确是斜着加的，比如说七十五度，可能分成四十五度，三十度 啊，这种的可能就要需要斜着去加。好，我们先看这道题，这道题前面这些汉语其实都不是很重要，只要是知道了四十五度角，一、四十五度角，二、五十二度角三、六十五度啊，前面这些其实都是告诉你一些度数好， 那我们怎么去求呢？这道题我第第一步说看，先看参考资料。好，看完了。第二步找 r t。 那 我们也找到了啊，这里边有三个 r t， 其实四十五度的我们基本上都是会的啊，就是一比一的好，所以说第三步我是写的一个用来射， 并表达出所有的边长，也就是说所有边长都用 x 啊，设的那个边啊的代数式来表达好一个方程，一个三角形用来列方程。好，我们看一下怎么具体操作，我们可以先看一下这里边设谁为 x 比较好计算。 好，我们可以简单看一下我们设 c g 为 x 啊，然后我们可以根据 tangent 的 五十二度，我们就知道这个 a g 比上 c g 就 等于 tangent 五十五十二度一点一点三，所以说这里边 a g 我 们就很快的能得到一点三 x， 但是如果你设了一个 a g 为 x 的 话，那是不是就变成 c g 等于一点三啊， x 除以一点三了 啊，所以说这样的射法就不如射 c g 为 x 啊，同学们，好，当然你也可以射这个 a h 为 x， 这些都可以好好，我们先射 c g 为 x。 好， 那 a g 为一点三 x 了， 然后根据这个四十五度，我们是不是又知道了， b g 为 c g 等于 x 啊，这里边四十五度用完了啊，然后 tangent 五十二度也用完了，所以说就剩下 就剩下另外一个三角形了。好，我们再看一下另外一个三角形，它的它的两个直角边有没有表达出来，这里边 b h 的 直角边还没有表达出来，所以说我们先把另外一个三角形的所有直角边表达出来。好， b h， 我 们看一下 是不是这里边应该是等于 b j 加上，因为这里边有一个 c d 等于十嘛 啊，所以说相当于是 b g 加上 g h， 而 g h 就是 c 的， 所以说相当于是 x 加十，很简单啊。好，那我们这么里边就是变成了 b b h 就是 x 加十，那我们再根据 tangent 六十五度，我们就可以得到 bh 比上的 h 啊， bh 比上的 h， 那 就是二点一， bh 是 x 加十而的 h， 这里边的 h 是 x 啊，所以说特别简单，求出 x 等于多少，求出 x 等于多少之后，我们是不是 求 ab， 然后 ab 也特别简单， ab 整个是不等于一点三， x 加 x 啊，我然后直接就求出来了，就很简单，具体得数我们就不说了，应该最后等于二十一啊，二十点九，然后最后约等于二十一，因为这里边精确到一 一米。好，这道题其实太过于简单啊，没有体现出我们其实记这三条思路啊，因为有些同学在做这个题的时候 啊，老师看记着时间，很多同学由于这个地方太短了，太小了，他画的图不不好，所以说他导致他这个地方混在一块了啊，这就容易错了。还有他就是在那一直想想求这一这一块 啊，就是感觉思路很混乱啊，一直在那钻牛角尖，在这求这一块，导致时间过的，导致用的时间特别长，浪费了。其实这道题特别的简单啊，同学们，如果这道题花的时间有点长，我觉得超过五分钟 啊，六七分钟，八分钟，九分钟，就有点挤压后面的压轴题了啊，同学们好。
05:38查看AI文稿AI文稿同学们好，今天老师继续给大家分享一道中考题里边圆的综合性的题目，那么圆的综合性的题目，第一类一般都是让我们来正切线，第二类都是用相似三角形或者是三角函数来解决这个呃线段的计算问题。 那么这个题就是一个非常传统的题目，但是他也有自己的特点，他很有特点，他的特点特殊的什么地方？同学们观察这个题目啊，咱们看一看特殊的什么地方。已知 ab 为圆 o 的 直径， 角 a c d 等于角 abc， 这俩角是相等的，这俩角是相等的，那么这个点 c 是 这个圆上的一个点。同学们啊，题目里面有描述，我们又写出那那一句话，点 c 是 这个圆上的一个点， 那么点 c 既然是原声的点，让我们来正切线，那显然就是啊连半径啊正垂直的问题了。也就是要证明这个角加角一等于九十度， a b 为圆 o 的 直径，一出直径。同学们，我们就要想啊，直径所对的圆周角是直角，显然角一加角二是九十度了，你要想正它加角一是九十度，那你就得去正它和角二相等啊。 那么角二又和谁相等呢？ o c 等于 o b， 所以 角 b 等于角二。也就是说你要想证它和它相等，咱就找一找角二和谁相等。角二显然和角 b 相等，而角 b 和它恰恰也是相等的，这是已知条件， 所以这就是通过转化角度来解决这个问题。因为 a b 为直径，所以这就是通过转化角度来解决这个问题。因为角一加角二等于九十度， 又因为 o c 等于 o b， 所以 角二等于角 b， 角 b 又等于它，所以它就等于角二了， 所以它加角一也是九十度，这就是转化角度。通常这个正垂直的时候，同学们 好多种方式，五种方式，第一种最常用的就是转化角。第二种就是通过正平行转化角。第三种通过政权等或相似转化角。第四种，勾股定律的逆定律来证明角直角。 第五种，斜中定律的逆定律来证明直角，这个斜中定律正直角。这个上一期视频老师分享过，同学们可以往前翻视频看一看啊。那么咱们重点来讲第二个， o、 b 等于五，半径都是五了，半径都是五，它们的角 abc 等于一比二，那么它们的角 abc 显然在 r、 t 三角形 abc 中，它就是对边 a、 c 比邻边 bc 等于一比二了。 就让我们来求一，求 cd 的 长度，求这个未知的线段 cd 的 长度。显然这个一比二在这里面跟这个 cd 有 什么联系？你得首先会观察，你得会观察这个一比二，这个一比二跟 cd 有 什么联系啊？ 他又看没看出来。咱们一开始看到这个图案的时候，这里边有一个大大的三角形 b、 c、 d， 还有一个三角形 d、 a、 c， 剩下那个就是直角三角形了。很显然，这是咱们经常见的那个母子形啊，母子形的相似，那么同学们看一下这两三角形相似不相似呢？嗯，三角形 d、 c、 a 和三角形 d、 b、 c， 他 俩相似吗？嗯，角 d 等于角 d， 公共角角 d、 a、 c 等于角 b， 这是已知条件，显然这对母子形它是相似的。 那么相似之后，咱们找一找对应边同学，最短边 a、 d 小 三角形里边最短边 a、 d 就等于小三角形里边的最长边 c、 d 比上大三角形里边的最长边 b、 d 还等于公共角的对边 a、 c 比上公共角的对边 bc， 那 同学们观察这 a、 c 和 bc 正好是我们这对相似三角形的相似比， 这就是解决问题的关键。实际上它这个贪婪的这个三角函数值，咱们以前都是用这个三角函数值去求线段的长度，实际上这个题它特殊就特殊在它的三角函数值，不是去计算哪个线段，而是提供的是相似三角形的相似啊比。 所以说如果我设 a、 d 是 x 的 话，那 cd 肯定就是二 x 了， 那再看往这里边带这些未知或者是已知的线段， a、 d 我 们是 x 了， c、 d 是 二 x， 那 就等于 c、 d 还是二 x， b、 d 下来就是 x 加十了，也就等于一比二，实际上就是二 x 加上一个 x 加十，二 x 比上一个 x 加十，对应边之比等于一比二就 ok 了。 那么交叉相乘，这 x 就 出来了。这个题它特殊就特殊在三角函数值，是给我们提供相似三角形的相似啊比的，希望这个题目对大家有所帮助。
41初中数学柳老师
04:29查看AI文稿AI文稿她心爱过去吻 my lady mother。 向往去美丽，忽远又忽近， 不见你会想你，再 让你逃半甜美。
01:08:30查看AI文稿AI文稿呃，我是数学刘老师啊，我们今天不讲核心考点，来讲一个比较有意思的问题啊，当然这个问题的话是一个高中的题目， 然后的话，我在这里也是讲解一下子这个题目给我带来的一些相关的思考。好故事是这样子的，昨天有一个学生问了我一道三角函数的计算题， 就是现在大家看到了这个扩散十一分之派加乘以扩散十一分之二派，乘以扩散十一分之三派，乘以扩散十一分之四派，乘以扩散十一十一分之五派。好，要我们把最后的结果算出来。 好，那么当我第一时间看到这个题目的时候啊，我的反应，因为这个，毕竟他们现在高一的学生也是学到了三角函数的相关知识来进行解答， 于是我就做了这样一个处理，首先我们肯定是希望能够使用背角公式的，那么如果使用背角公式，那我是不是希望他这里的角度能够形成一个等比数列， 这样子来帮助我们翻倍？而我们可以观察到，这里的十一分之派，十一分之二派，十一分之四派这三项是满足等比数列的， 没问题吧？但是十一分之三派和十一分之五派这个时候就会出现一定的问题了。好，我们这个时候就可以尝试采取使用诱导公式来进行变形。好，那在我眼中，这个十一分之三派 和十一分之五派，我们用诱导公式来变一下子，那十一分之三派是不是正好等于负的？ cot 十一分之八派没有问题吧？好，那么同样的道理，我们这个地方的 cot 十一分之五派呢？是不等于负的？ cot 十一分之十六派 没问题吧？好，这个变形的过程我相信啊，我相信同学们应该还是能够看得出来的。这里我相当于用到的是这样一个 cosine， 这个阿尔法是等于负的， cosine 派减阿尔法做的变形没有问题吧？十一分之三派和十一分之八派正好相加，等于派同样的好，这是第一个啊，第二个变形我用的是扩散引，阿尔法是等于负的，扩散引派加阿尔法 没有问题吧？十一分之十六派是不是正好等于派加十一分之五派？所以我把他们俩做了一个变形，剩下来的不变好，所以说我这里采取的第一步措施就是把他们变了个型吧。 剩下来的三项我们照抄好，就得到这样一个式子。好。得到这个式子之后，然后我们这个时候的话，就按照这个角度的从小到大的顺序重新来做一个排序， 是不是就可以然后定个号啊？因为现在是两个负号，所以最后的结果显然还是为正的，所以这个时候式子就变成了扩散，以十一分之派 乘以扩散十一分之二派，然后我把这个扩散十一分之四派写到前面了，然后继续是扩散十一分之八派， 然后是扩散十一分之十六派。好了，现在这个式子是不是给我们就一种很美好的感觉了？那我们这个时候可以把它看做一个分式，然后分子分母同时 乘以二倍的 sign 十一分子派。 好，那这个时候见证奇迹的时刻到了。 好，那这个时候大家可以看到，这个时候对于分子而言，因为我分子分母同时乘以了一个 sign 十一分子派，那么此时的二倍的 sign 十一分子派与我们 原本的 cosine 十一分之派是不是就可以构成一个合角公式？那么它算出来结果也就变成了什么了？ 是不也就变成了十 cosine 十一分之二派了？好，然后和后面的 cosine 是 一分之二派，是不是又可以变成合角了？没有问题吧？好，因为毕竟可能很多同学对于这样一个公式不是那么熟悉啊。 那么这个地方的话，我也可以把这个完整的过程写一下子。好，也就说我在这里做了一个变形之后，是不是变成这样子了？ 好，当然这个地方我用到的公式是我们的合角公式，也就是萨尔二倍的阿尔法，是等于二倍的萨尔法乘以库萨尔阿尔法 就用的是这个公式。好，然后我们这个时候就会发现，那我可以继续来进行这样一个迭代，其实这种迭代我们在初中的那个平方差公式里面也是有类似的处理技巧，于是我在这个设置分子分母继续乘二，好，那是不是 他再一次使用背角公式也就可以变成啥 十一分之四派乘以阔萨影，十一分之四派乘以阔萨影，十一分之八派乘以阔萨影十一分之十六派。而分母这个时候是不是就变成了二的平方倍的萨影 十一分子派？好，那继续重重复刚才的操作，分子分母同时乘二，然后分子再次使用被角公式，那这个时候 是不是就变成了撒赢，十一分之八派乘以 cosine 十一分之八派乘以 cosine 十一分之十六派。好，那这个时候这个分母部分是不是就变成了二的三次方倍的撒？赢 十一分子派了吧？好，还是重复操作，继续分子分母乘同时乘二好，乘。到这一步来了之后，大家可以看到啊，那么这个时候它就变成了什么？ 是不也就变成了分母，就变成了二的四次方倍的刹十一分子派，而分子这个部分再放到一起，是不是就变成了这样一个刹 十一分之十六派乘以 cosine 十一分之十六派。然后我们的分子分母再继续乘二， 所以最终变成了什么了呢？是不是就变成了这样一个？好，大家可以看到，最终就变成了一个二的五次方倍的 sine 十一分之派分之。那最后分子算出来是什么？是不是变成了 sine 十一分之三十二派？好了，有些同学说，那这怎么办？我们继续采取诱导公式，那这个时候我们是不是又可以采取诱导公式了， 对吧？好，那这个地方的话我就直接写到后面。那这里的萨隐十一分之三十二派，我是不是可以把它看作是萨隐三派？是不是就是十一分之三派？再减去十一分之派吧，没问题吧？ 好，然后此时右导公式化简之后，分子正好就是 sine 十一分之二，而分母呢，是二的五次方乘以 sine 十一分之二，于是 萨隐式一分子派抵消。最后的答案算出来，也就是二的五次方分之一，即三十二分之一就做出来。好，这是昨天的一位学生提出来的第一个问题。 好，然后我们当时就分非常开心的把这个问题解决了啊，也算是比较轻松的，因为我觉得这样一个过程，我相信看视频的同学们应该也都能够直接利用我们所学的三角函数的知识来进行解决 好。但是接下来这个问题开始变得抽象了，等到昨天晚上我回家之后，还是这位同学，他仍旧啊这个不死心，于是他昨天晚上在 qq 上面又问了我这样一个题， 一加上一个 cosine 七分之派乘以一个一加上 cosine 七分之三派，再乘一个一加上 cosine 七分之五派 等于多少？好，反正他跟我说的是，这道题目应该是一个什么强积班还是竞赛的一道题目啊，难度比较大。好，我昨天晚上首先先尝试了一下子，就是我相信很多同学们拿到这道题目之后的第一反应是不是把括号拆了。但是我个人啊，我也承认 我是一个比较懒的人，我不是蛮喜欢拆了之后硬算，因为我觉得拆了之后硬算呢，就显得比较的没有技巧。所以说我昨天看到这一题之后，我的想法是什么？跟我们刚才那一题做一个对比， 我就来想能不能跟刚才一样的，我把这里的角度变成一个等比数列的形式，然后来使用这样一个萨尼的被角公式来做处理，于是 我们在这个地方就用到了，还是用到了诱导公式啊？好，那这里的诱导公式我也写到旁边来，那这里用到的诱导公式呢？也就是这样一个 cosine 这个阿尔法是等于这样一个负的 cosine pi 加阿尔法 没有问题吧？好，当然的话，同样的这个地方 cosine 阿尔法也是等于负的。 cosine 派件阿尔法的。好，我用了这样两个式子之后，我分别把可萨隐七分之派、可萨隐七分之三派和可萨隐七分之五派做了如下的变形， 一好，这里就变成减去一个扩散七分之八倍，就相当于我让他转了一百八十度，对吧？变负。好，好，那么同样的道理，这个地方的第二个式子啊，第二个式子 我也做了这样一个变形，那么这里的 cosine 七分之三派，我就把它变成了什么减去 cosine 七分之四派啊，最后一个，这个 cosine 七分之五派呢？ 我也是变成了减去 cosine 七分之二派。好了，这个时候大家可以看到七分之二，七分之四和七分之八，是不是就非常完美的符合一个等比的形式？好，于是我 在这个地方用的是，当然它这个地方是 cosine 的， 对吧？好，那我们这个时候的话，因为它这里是减了之后再乘，我们肯定没有办法直接去用那个公式，所以我在这里想到了什么，我想到了背角公式，对吧？好，背角公式我也写到旁边来啊。好，当然我这里用到的这个背角公式 就是 cosine 二倍的阿尔法是等于的是 cosine 方阿尔法减去萨因方阿尔法也是等于二倍的 cosine 方阿尔法。减一也是等于一减去二倍的萨因方阿尔法。而我在这里使用的是哪一个呢？是第三个， 因为我想把这里的括号里面的一给抵消掉，于是我把他们这三个括号分别给变形成为了一减一加上二倍的上方七分之四，怕 一减一加二倍的射影方七分之二派，以及一减一加二倍的射影方七分之派， 好，所以呢，我再把它一整理，是不是就变成了八倍的射影方七分之二派，射影方七分之四派， 好。到了这里来了之后，啊，感觉好像没有办法像刚刚那道题目那样子 去用倍角公式，因为我这个时候把它看作一个分式，我现在不谈平方，我如果分子分母同时去乘以 cosine 七分之派的话，那这个时候的话，因为它这里都是撒引之间在进行连成，而上一题是口撒引之间在进行连成，所以我可以不停地来迭代使用这样一个背角公式，而这一题貌似不行。 所以说我在这个地方又发现，那在这个地方我又用了一个正弦的诱导公式，也就是撒引阿尔法是不等于撒引 派减阿尔法。于是我们就会发现，萨隐七分之派是不等于萨隐七分之六派，萨隐七分之二派是不等于萨隐七分之五派，而萨隐七分之四派呢，是不等于萨隐七分之三派。所以说这个式子最终我们可以把它写成什么形式？ 八倍的上影七分之派乘上影七分之二派乘上影七分之三派乘上影七分之四派乘上影七分之五派乘上影 七分之六派。好，写到这里来之后，大家有没有发现这个柿子长得非常的漂亮，从上影的七分之六派一直连成到上影的七分之六派， 好，如果说我们要是能够使用某种技巧把这个问题给解决了，那是不是就做的非常漂亮，但是我昨天在这个地方卡住了 是吧？我们如果直接使用三角函数这个章节的相关知识，确确实实在这里没有办法继续进行下去， 所以说我昨天晚上写到这里来的时候放弃了，然后就回到这个问题的最开始采用的就还是我刚才说的那个我曾经不屑一顾的做法， 就是我把括号拆了，硬算 好三个括号相乘，我们第一步把这个括号拆了啊，那么拆了之后，我们来看一下子，最后就可以得到这样一个多项式，就是一，加上一个 cosine 七分之派加上 cosine 七分之三派再加上 cosine 七分之派乘以 cosine 七分之三派 再加上 cosine 七分之派乘以 cosine 七分之五派加上 cosine 七分之三派乘以 cosine 七分之五派。好，最后还要再加一个它们三个的乘积啊，嗯，我把这个稍微调整一下子，写得有点靠右了，不然位置不太够好，往左边挪一点好， 最后再加上 cosine 七分之派乘以 cosine 七分之三派乘以 cosine 七分之五派好，就得到这样一个式子好。然后得到这个式子之后，我们先来观察一下子啊，这个一，不要动， cosine 七分之派 加 cosine 七分之三派，再加上 cosine 七分之五派也不要动。而这三项两两相乘的部分，我们在这里就可以采用，什么 极化和差公式好，极化和差公式当然啊，总共有四组， 那么在这里我们采用的就是这样一组计划和查公式， cosine alpha 乘以 cosine beta 是 等于二分之一倍的，这个 cosine alpha 加 beta 加上一个 cosine alpha 减倍它。好，这个相关的证明我就不证了啊，这个大家可以自己去查一些资料，这个就是我们这个 cosine 的 集合和差。好，那我们带入进来，那现在这三项我们就可以分别写作， 二分之一倍的 cosine 七分之三派减七分之派加上 cosine 七分之三派加七分之派。 好，这是第一个，对吧？好，继续。第二个呢？是不是也是可以写作二分之一倍的 cosine 七分之五派减七分之派加上 cosine 七分之五派加七分之派吧。好，最后第三个我写下面一排，是不是再加上二分之一倍的这样一个 cosine 七分之五派减七分之三派加上 cosine 七分之五派加上七分之三派。 好，后面的造潮啊，后面的那个三相相成的造潮，也就是 cosine 七分之派， cosine 七分之三派和 cosine 七分之五派。好，那么到了这里来了之后，我们三个三个这个 相乘的数字使用极化和查之后，我们其实可以算一下子这个括号七分之二派吧。好，而这个括号也是七分之二派，两个二分之一相加是不是正好是一，所以我这里是不是可以出现一个 cosine 七分之二派？那么同样的这个是什么？ 七分之四派，这个是不是也是七分之四派？而他算出来是七分之六派，而这个是七分之八派。 七分之六派和七分之三八派的 cosine 值是不是相等的？因为我们这个时候同样的可以利用到一个诱导公式， 也就是 cosine 阿尔法。是不是等于 cosine pi 减阿尔法吧。哦，应该是 cosine 阿尔法等于。 哦，那这个地方应该这样说啊，就是一个是口哨音七分之六派，一个是口哨音也是口哨音派加阿尔法是不是等于口哨音派减阿尔法 没有问题吧？好，那所以说我们这个时候，或者或者说我们这里的七分之六和七分之八，我们也可以把它看成这样子啊，也就是口哨音阿尔法是不是等于口哨音二派减阿尔法？ 好，这样子写就没有问题，是的吧。好，所以说我们这个时候是不是可以把这里的七分之八派给转换成为七分之六派？于是我们这个式子就变成了，一加上一个 cocoine 七分之派，加上 cocoine 七分之二派，加上 cocoine 七分之三派，加上 cocoine 七分之四派，再加上 cocoine 七分之五派，再加上 cocoine 七分之六派， 最后再加上 cosine 七分之派乘以 cosine 七分之三派乘以 cosine 七分之五派吧， 没有问题吧？好，那我们现在来看到这六个 cosine 值相加的结果是多少？那这里很明显，我们再次使用诱导公式， cosine alpha 是不是等于负的 cosine pi 减 alpha？ 于是我们这个地方的 cosine 七分之六 pi 是 不是正好等于负的 cosine 七分之派？ cosine 七分之五派是不等于负的 cosine 七分之二派，而 cosine 七分之四 pi 呢？是不是也是等于负的 cosine 七分之三 pi？ 所以 说大家可以看到，那么这个时候他们全部抵消是不全部抵消， 也就是说这个部分就是零。好，那也就是说我现在这个式子是不是也就剩下来的 变成了一加上 cosine 七分之派乘以 cosine 七分之三派，再乘以 cosine 七分之五派， 而这个部分我们就完完全全可以模仿刚才我们做的第一道题好来看着。这个时候在我们眼中 cosine 七分之派不动， 而这里的 cosine 七分之五派是不是可以变成负的 cosine 七分之二派吧？而 cosine 七分之三派呢？是不是也是等于负的 cosine 七分之四派的用的还是刚刚这个诱导公式好，那这个时候相当于就变成了什么了？ 是不是就变成了一，这两个符号是不是负负得胜了？加上一个 cosine 七分之派乘以 cosine 七分之二派，再乘以 cosine 七分之四派，三个 cosine 相乘，并且满足等比的关系， 是不是跟我们刚刚讲的第一道题目做法一模一样？于是我们就可以仿照刚才第一题的做法，把它看作分式，分子分母同时乘以二倍的上影七分之拍 好，所以说这个时候继续使用正弦的这样一个就相当于叠代了，对吧？这样一个背角公式吧，所以它也就变成了什么？ 是不是这个部分一乘就变成了 si 七分之二派，乘以 cosine 七分之二派乘以 cosine 七分之四派，而分母是不是二倍的 si 七分之派好？于是重复刚才的操作，分子分母同时乘二， 那这个时候是不也就变成了二的平方倍的 sign 七分之派？然后这里就变成了什么了？是不是 sign 七分之四派再乘以 cosine 七分之四派？好，最后一步继续乘二， 所以说这个时候最终就变成了什么了是不？一加上一个二的三次方倍的 sign 七分之派，然后上面是 sign 七分之八派，好，到这里来了之后，我们再利用一个这个诱导公式，把这里的 sign 七分之八派写成什么， 是不是它是等于这样一个负的上影七分之派的，所以最终也就变成了一减去一个二的三次方？倍的上影七分之派，分之上影七分之派，上影七分之派。抵消，最终的结果也就是 一减二的三次方分之一，也就是八分之七。好，那我们到此为止，这个题目也就做完了。好，做完之后，我昨天晚上为什么后来没有把这个题目的这样一个解答过程，就是 发给那个学生啊？第一个也很晚了，第二个的话就是我做完之后，总感觉这个方法显得不够优美， 因为是暴力硬算，而刚才那么美妙的一个式子，我们竟然最后没有做出来。于是我在今天白天就在想，那我们是不是可以把这个问题不仅仅局限在三角函数当中， 把我们的目光在我们的整个高中数学当中放长远一点？好，那么这个时候我就想到了 这样一个问题，好，什么问题呢？就是我们现在来思考这样一个问题啊，对于如下的方程， 因为这个我也是最近跟我高中班的同学讲了复述的概念，对吧？所以说我们现在来进行求解。 好，第一个方程我相信小学生都会做，就是 x 等于一这个方程，它的解是多少？它的解，我觉得我这说了句废话，解显然 为 x 等于一吧，是吧？好，这个方程没什么太多好说的。好，那如果说我们再来呢？ x 方等于一这个方程，那它的解为多少呢？ 好，我当然相信上过初中的同学也都知道，有两个实根吧，一个负一，一个是一， 没有问题吧？好，进一步的来，那 x 三次方等于一，它的解为多少呢？那这个时候可能七年级或者八年级同学会说，那这个方程的解，那不也是 x 等于一吗？ 好，来，听着。我们现在对于这样一些 x 的 n 次方等于一，其实大家可以看到我这里就是要来解决 x 的 n 次方等于一这样一个问题，那我这个方程我现在就不不仅仅在实数范围来进行计算，我们在负数范围来进行计算。 好，那我们现在就把这个方程来做一个求解。好，来，我们先用代数方法求解啊，我写一下 x 的 三次方等于一，我能不能把它写作 x 的 三次方减一等于零啊？好，我为什么这里用红笔？因为接下来我相信大家应该可以看到，我们这里要使用立方差公式， 于是它就可以被分解成为 x 减一乘以 x 方加 x 加一 等于零。好，很显然， x 减一就是现在两个括号相乘等于零，是不是说明必有一个括号等于零，所以 x 减一等于零，是不是可以得到它的第一个解？ x 一 肯定是等于一的。好了，对于这一个方程 x 方 加 x 加一等于零而言，好，初中的同学会说，那它的 delta 小 于零，无实根， 确实它没有实数范围内的解，但是我们现在讨论的是负数域内，也就是把虚数算入进去， 那我们来进行求解。好，那我们这个地方，我相信高中的同学们现在也学到了负数这一块啊， 那么我们是知道，对于任意的一个一元二次方程而言，它的两个根，我无论是实根还是虚根，两个根都是共讷的，没有问题吧。 所以说我就假设这个方程的两个根， x 二为 a 加 bi， 那 么 x 三呢？是不是等于 x 二的共讷，也就是 a 减 bi， 它们两个是互为共讷？负数的 共恶这个概念我早在初中的时候就跟同学们解释过了，这里就不再赘述了。好，那我们这个时候其实无非就是把这里的 a 和 b 给求出来就可以了。好，那我们在这个地方就可以直接由维达定理， 这个我相信对于九年级的同学来说非常熟悉，是不可以知道 x 二加 x 三， 那我们这里一加是不是可以得到？它等于二， a 也就等于负一，所以 a 等于负二分之一。好，同样的， x 二乘以 x 三呢？是不等于的是 a 加 b i 乘以 a 减 b i， 这就是 共恶的含义啊，就是他在这里可以构成一个什么平方差吧。那写出来也就等于 a 方减去 b 方 a 方，当然 a 方等于负一，这是我们对于 a 的 一个定义，所以说他也就等于 a 方加 b 方， 而他的结果等于几是不等于一。而我们又知道了， a 是 等于负二分之一的，所以说 b 方等于四分之三， b 就 等于正负二分之根号三吧。 那所以说我这个地方其实无论无所谓带正还是带负，我们也就可以求出来， x 二也就等于的是负的二分之一加上二分之根号三来啊。 x 三呢，是不也就等于负的二分之一减去二分之根号三来 好，于是乎我们这样一个一元三次方程， x 三次方等于一的所有复数以内的根就全部求出来一好，则 x 一 等于一吧， x 二是不等于负的二分之一，再加上二分之根号三 i 吧， x 三呢，是不等于负的二分之一减去二分之根号三 i。 好，这是我们对于 x 的 三次方等于一这个方程来进行求解的好，那么我们同样的，我们再来求一下这样一个 x 的 四次方 等于一这个方程求解。这个方程的求解其实从难度上面来说，比我们刚才的这个 x 三十方等于一要简单的多，因为他的四个解，我相信高一的学生应该可以很快的回答出来，他的四个解， x 一 等于一， x 二等于 i， x 三等于负一，而 x 四呢，就等于负二，没有问题吧。好，我觉得这个故事进行到这里来，我们就可以停住了，因为我们这个时候来总结一下子， 现在我们会发现，刚才我们写的这些方程， x 等于一时， 它的解就是 x 等于一啊， x 的 平方等于一十 两个解， x 一 等于一， x 二呢，等于负一， x 的 三次方等于一十呢， x 一 等于一， x 二是等于负的二分之一，加上二分之根号三 i， 然后 x 三呢，是等于负的二分之一减去二分之根号三 i， x 四次方等于一时呢？ x 一 是等于一， x 二等于 i， x 三等于负 i， 那 么我们现在就来想 它们之间有没有什么规律，我们能否使用这样一个规律得到 x n x n 次方等于一十进行求解。 好，那么现在的问题就到这里来，那么到这里来，那么我们在做下一步操作之前，我们先要搞清楚一个东西，就是刚才我们在这里所写的复数， 那么众所周知，复数的本质是什么？它其实是一个向量， 他是，他是存在于负平面当中的向量，所以说我们这个地方先来学习认识一下关于负数的乘法。好，首先我们这个地方可以来看到， 对于任意的两个负数 g 一 等于 a 加 b i g 二等于 c 加 d i 而言，那么我们这个时候如果把它们俩相乘 g 一 乘 g 二，是不是就等于 a 加 b i 乘以 c 加 d i， 好，我们这里把它打开之后就变成了 a c 加上 a d i 再加上 b c i， 最后再加上 b d i 方， 好，整理一下子之后就会变成什么 a c， 因为 a 方等于负一吧，减 b d， 再加上一个 a d 加 b c 倍的 i。 好，那么这个时候我们是不是得到了这样一个负数范围内的两个负数的乘积？好，那么这两个负数的乘积的这样一个结果，当然他也是一个什么， 也是一个向量，那么也是一个负数吧，对吧？也是个负数啊。好，那么这个乘积所对应的负数与我们原本的两个负数之间会存在什么关系呢？ 好，那我们这个时候来算一下他们的这样一个模。 好， a c 减 b d 加上 a d 加 b c 背的 i， 这个 这个负数的模等于多少？好，我们这里可以看一下子啊，来做一个证明，我们可以看到，那算模长是不是也就是直接平方吧，对吧？当然平方之后开根号是吧？那么 a c 减 b d 的 平方 加上一个 a、 d 加 b c 的 平方。好，我相信这个时候可能有些八年级的同学有点印象，因为这个我们在求积班里面其实让大家把这个式子做过英式分解的啊。好，它是不是等于 a 方 c 方 减二倍的 a、 b、 c、 d 再加上 a 方地方，加上二倍的 a、 b、 c、 d， 再加上 b 方 c 方。好，此时此刻 交叉向底销，于是乎得到了 a 方 c 方加上 b 方地方，再加上 a 方地方，最后再加上 b 方 c 方。好，我们把这个式子再来做一个分组分解之后，最终就可以得到 a 方 b 方 a 方加 b 方乘以 c 方加地方，而这不就正好 a 方加 b 方是什么？是不是就是 z 一 的模的平方啊？ c 方加 d 方呢？是不是就是 z 二的模的平方？好，那我们这个时候就可。其实刚才我们这里写的这样一个式子， a、 c 减 b d 的 平方加上 a、 d 加 b c 的 平方，等于 a 方加 b 方乘以 c 方加地方，也就是我们通常意义下所说的拉格朗日 恒等式。好，相信这个时候有些高中的同学应该可以看到这样一个 东西了。好，那如果我这个时候不看这个十步，把这个十步的部分如果给去掉， 那么这样一个等式就可以变成一个不等式，对吧？去掉十步，因为大家可以看到刚才这里的 a、 c 减 b d 是 不是它的十步，那我如果把十步的平方给去掉呢？那么我们就可得 这样一个不等式，也就是 a、 b a 方加 b 方乘以 c 方加地方大于等于 a、 d 加 bc 的 平方，而这个东西就是大名鼎鼎的 科西不等式。 好，当然啊，我们今天的这些问题里面不会用到，他们只是在这里推导的过程当中顺带着推出来了，所以说给同学们也是做了一个简单的科普。 好，而我们在做这样一个两个负数的乘法的过程当中，我们就会发现，两个负数相乘的时候，其实最后乘积的魔是不就等于原本的两个魔的乘积？ 所以说负数相乘有这样一个口诀啊，这个口诀是什么呢？负数相乘，魔长相乘， 也就说我们其实是把它们的魔做了一个相乘，还有一句话叫做俯角相加。 好，摩堂相乘，刚才跟同学们已经解释过了，那么负角相加又是一个什么意思呢？好，那我们这个时候来，对于任意的一个负数，我们现在来解释负角相加的意思。好，对于负数 g 而言，我们之前是不是把它写成 a 加 b i 的 形式，我们这个时候来做一个负平面出来， 做一个负平面出来。好，在这个负平面上，当然啊，那这个时候它的这个纵轴就是 i 吧，对吧？好，我假设它对应的位置在这里，那是不是也就相当于告诉我们的是，它对应的实轴是 a， 虚轴是 b 吧？ 好，而我们现在来做这样一件事情，我首先假设它的膜长为 r， 然后它这个负数现在所对应的这个向量与我们 x 轴正半轴的夹角，如果为 c， 它的话，我们能否用三角函数来进行表示？那么现在大家可以看到的是， 这条线段相信同学们非常熟悉，是不等于 r 乘以 sin theta 啊，水平的十轴呢？ 是不？ r 乘以 cos theta？ 所以 说我们这个时候就会发现，我们的这样一个实数 g 除了能够用 a 加 b i 来表示，它，是不是还可以使用什么 这样一个 r cosine c 塔，再加上 i 倍的 r 萨因 c 塔来进行表述，我们这个时候可以把 r 给提取出来，也就变成了 r 乘以 cosine c 塔，再加上 i 倍的萨 c 塔。好，这个时候有些同学可能看到感觉有点欧拉公式的影子了吧，当然这里没有涉及到欧拉公式啊，我们今天的内容也不会跟欧拉公式扯上关系，还没高级到那个地步， 对吧？好，我们这个时候现在既然发现了我们的负数，除了能够用 a 加 b i 来表示，是不是也可以有三角表示的形式？好了，这个时候我们还是来做两个负数相乘，于是乎 对于复数 z 一， 我就可以把它写成什么？我是不是可以把它认为是 r 一 乘以一个 cosine alpha， 再加上 i 倍的 sine alpha？ 好，这是我们的 z 一， 而 z 二呢？我把它看作是 r 乘以 cosine 贝塔，再加上 i 倍的萨因贝塔， 没有问题吧？好，那我们这个时候把 z 一 和 z 二来做一个乘法来做一个乘法。 z 一 乘以 z 二等于什么？是不等于 r 一 乘以 cosine 阿尔法，再加上 i 倍的萨因阿尔法，然后再乘以 r 二乘以 cosine beta， 加上 i 倍的萨因 beta。 好， r 一 和 r 二乘到一起了，然后这两个括号直接打开，也就变成了什么了。是不是 cosine alpha 乘以 cosine beta， 然后再加上一个 i 倍的 cosine alpha 乘以 alpha 倍， 再加上 i 倍的 sine alpha 乘以 cosine beta， 最后再加上一个 i 方倍的 sine alpha 乘以 sine beta， 好。 见证奇迹的时刻到了， 众所周知， i 方等于负一，于是我们这个括号就可以写作什么了， cosine alpha， cosine beta 减去萨因阿尔法萨因贝塔，好，这是实部吧，虚部呢？加上一个 cosine 阿尔法乘以萨因贝塔，再加萨因阿尔法乘以 cosine 贝塔。 而这个时候我相信聪聪明的同学已经看出来，这两个小括号里面不就正好对应的是我们正弦和余弦的合角公式吗？于是 它们就可以写成什么 cosine 阿尔法加贝特，加上 i 倍的萨尔法加贝特， 好。也就是说，我们用这个式子是不是就正好给完美的解释了， r 一 乘以 r 二， r 一 和 r 二是不是我们刚才表示的摩擦 是摩擦相乘，而这一个式子既然两个都变成了 和角，那不就是负角相加吗？好，所以说我们这个时候就会发现，我们的负数的本质实际上也就是魔长相乘，负角相加，而这个对于我们刚才的这样一个 x 的 n 次方等于一有什么作用呢？ 好，我们回到刚才的这些式子里面来，我们会发现，如果 x 的 n 次方等于一，我们现在算出来它的所有的这样一些根 是不是都满足魔长？大家可以算一下，这里的一切的根的魔长 全部等于一，全部等于一。所以说他们在这个地方做相乘的过程，也就在做预算，做乘法的过程当中，其实魔长并没有发生改变，只是俯角在变。所以说我们这个时候就会发现， 现在我们如果把刚才的这些所有的复数形式全部写成三角形来表示，我们可以发现这个时候它们会变成什么。好，来，我们这个时候来看一下子 x， 这应该是我们的重点， x 等于一的根，好，当然就是一，它是不是可以写成 x？ 因为是一，我是不是可以把它看成是 cosine 零加上 i 倍的 cosine 零 没有问题吧？好，继续。 x 方等于一的根呢，就是一和负一吧，那 x 一 是不等于 cosine 零再加上 i 倍的 cosine 零？ 一永远写成这个，而负一是不是可以看作是 cosine pi 再加上 i 倍的 cosine pi 没有问题吧？好， x 的 三次方刚等于一的根也是刚刚才我们看到最为复杂的一个，那它这个时候是不是 x 一 也是 cosine 再加上 i 倍的 cosine？ 而这里的 x 二呢，等于都是 cosine 三分之二派加上 cosine 加上 i 倍的 sin 三分之二 pi， 而 x 三呢，等于 cosine 三分之四 pi 再加上 i 倍的 sine 三分之四 pi。 以此类推，点点点，四次方呢？也是一样的吧， 那也是 cosine 加上 i 倍的 si， 这个就是 cosine 四分之二拍，再加上 i 倍的 si 四分之二拍。然后 cosine 四分之四派加上 i 倍的 sine 四分之四派。最后一个 x 四是不等于 cosine 四分之六派加上 i 倍的 sine 四分之六派。好，所以说我们这个时候就会发现，好像 此时有意思的事情来，也就是说，我们如果把这个问题放在负平面上，这样一个 x 的 n 次方等于一的几何含义是什么呢？就是我们现在 在负平面中构造一个单位圆，我构造一个单位圆出来没有问题吧？ 好，然后我们现在以这个 x 的 正半轴作为起点， 这个是一，这个是 i， 这个是负一，这个是负 i， 然后 n 次方其实就是把它怎么样把这个圆进行一个 n 等分，一次方做一等分，所以这个时候 终点是不是就落在一这个位置？所以它的结果就是，而二次方是不是做二等分？ 是不是正好就是半圆？没有问题吧？那三次方呢？是不是也就三等分？所以说这个时候我们知道的是圆心角是三百六十度，那切割出来是不是正好应该是三个一百二十度，也就是三分之二拍吧，三分之二拍吧， 三分之二拍没有问题吧？好，那四次方是不是四等分？五次方是不是五等分？ n 次方是不是 n 等分？而我们这个时候为什么刚才要讲向量的乘法？因为我们这个地方可以发现的是什么？ 这些对于同一个，比如说我以 x 三次方为例，对吧？它的 x 二与 x 三之间， 首先这些单，这些根我们把它叫做单位根，这些单位根的模式相等的都等于一，而他们在这个过程当中是不是旋转的度数，其实就是我们把三百六十度，也就是二派做了一个 n 等分的角， 是做了一个 n 等分的角，于是我们可以得到更一般的情况，也就是说我们这样一个 x 的 n 次方等于一的根呢？ 那如果按照这样一个方式，实际上是不是也就等于是 x 一？ 首先我们按照这样一个形式啊，代数形式，先把它写出来是不是也是一样的？ cosine 加上 i 的 cosine 零， 然后从 x 二开始就变成了什么了？ cosine n 分 之二派 加 i 倍的 sine n 分 之二派，然后 cosine 三，就是 cosine n 分 之四派加上 i 倍的 sine n 分 之四派，一直到 x n 是 不等于的，是 cosine n 分 之二倍的 n 减一派，再加上 a 倍的上 n 分 之二倍的 n 减一派。也就是说，我们现在对于一个 n 次方程 x 的 n 次方等于一而言，其实就是将这个单位圆进行了一个 n 等分， 然后每一个等分点就是他的根，也称之为单位根，那么也就是说他几次方程就有几个根，而这些根之间现在会存在什么样子的关系呢？好，我们这个地方来看一下子， 现在很明显 x 一 呢？是不就等于一了？好，如果说啊，我现在还是在这个单位圆当中，我们来画一下子，那现在大家可以看到的是，在这个单位圆中，我如果把它进行了一个 n 等分，那我每次等分出来的这样一个角度， 是不是也就是这样一个 n 分 之二派吧？是，每次都是 n 分 之二派。好，我现在画出第一个角出来， 如果这个角是 n 分 之二派，我打个比方， n 分 之二派，我设它等于，我令它等于 c 塔， 那也就是说现在这条线与我们的这样一个单位元的交点，也就是我们刚才写的这样一个 x 二。好，那我再次把它旋转 c 叉角 所得的这个是不是 x 三？而我们这个时候用到刚才向量的乘法的这样一个方式，我们会发现这里是不是转的是两倍的 c 叉，也就是说我们现在的话， 也就可以知道是那我 x 二的平方，因为 x 二乘以 x 二 等于 x 二的平方吧。而在这个过程当中，因为它们这里的魔长都为一，所以说在单位圆中我们做乘法就不会再有魔长相乘了，只有旋转。而这个旋转的度数呢？是不是就是在 x 二与正半轴夹角的 c， 它的基础之上，我每次旋转 c 它度，所以它也就等于 x 三没有问题吧？好，那么同样的道理，我们现在来讲，那 x 四呢， 是不是在它的基础之上 旋转了三个 c 叉角，那也就相当于等于什么？是不是等于的是 x 二的三次方？那么依次类推，一直到这里的 x n 是 不是也就等于 x 二的 n 减一次方 没有问题吧？好，所以说我们这个时候就会发现，刚才我们写的 x 二开始啊，因为 x 一 是等于一的，我们从 x 二开始，它们之间就会存在这样一个规律了， x 二等于 cosine n 分 之二派吧，再加上 i 倍的 sine n 分 之二派。好，我们假设这个结果是等于 cosine 好， 那这个时候 x 三呢，是不是也就等于的是 cosine n 分 之二派，乘以再加上 i 倍的 sine n 分 之二派的平方了？刚才已经讲了，为什么平方因为每次都是旋转的，是相同的假角，所以说我可以把它看成看作什么，看作是 cosine 的 平方， 所以说依次类推，那么我们的 x 的 n 次方是不是也就等于 cosine n 分 之二派的平方，也就等于 cosine 的 n 减一次方？ 好，那所以说我们这个时候就会发现，对于这样一个 n 次方程， 对于这样一个 n 次方程， x 的 n 次方等于一而言它的根，所以对于 x n 次方等于一的所有负数根， 是不是也就也就为什么？是不也就为一？ cosine， cosine 的 平方一直到 cosine n 减一次方，当然其中 这里的 cosine 也就等于的是 cosine n 分 之二派，再加上 i 倍的 cosine n 分 之二派吧， 没问题吧？好，那么我们这个时候就来看一下，现在就可以来做一个运算了。当然我们在刚才的运算过程当中啊，注意到我们在算那个三次方的时候用到了什么？ 用到了立方差公式，是的吧，用到了立方差公式，那所以说我们这个时候把立方差公式来做进一步的推广。 x 的 n 次方减一等于什么呢？ 是不等于 x 减一乘以 x n 减一次方，再加上 n 减二次方，一直加到 x 加一， 这个我们在初中的因式分解里面就已经用到过了。好，那么我们这个时候把这个公式拿到这里来，我们可以看到 x 的 n 次方等于一，是不是也可以看成 x 的 n 次方减一等于零，没有问题吧？它是等价于 x 的 n 次方减一等于零的。而 x 的 n 次方减一是不是可以写成 x 减一乘以 x 的 n 次方减一加 x n 减一哦， x n 减一次方，加上 x n 减二次方，一直加到 x 加到一， 没有问题吧？而我们注意了这个方程它所有的根是不是已经摆在我们面前了？那这里我们能不能模仿我们初中阶段学习一元二次方程，那是写的两根式，我把这个方程的根也可以写作什么呢？ 同时 x n 次方减一，是不是可以写成的是 x 减 x 一 乘以 x 减 x 二，也就相当于把它做了一个因式分解，一直到 x 减 x n 吧。好，那我把这里的 x 一 到 x n 给带入进去，是不是它也是等于 x 减一 乘以 x 减 cosine 乘以 x 减 cosine 的 平方？意识到 x 减去一个 cosine， n 减一次方。好，那我们这个时候来对标这两个式子， 它们两个是不是应该相等？而此时左右两边我能不能同时除以 x 减一？可以吧，抵消了。于是就有什么 x 的 n 减一次方，加上 x n 减二次方，一直加到 x 再加一，就等于 x 减 cosine 乘以 x 减 cosine 的 平方，一直到 x 减 cosine 的 n 减一次方。这个等式一定成立。好，既然成立，我们在这里就可以去另 x 等于一的时候，那么我们来看那等式左边是多少，是不 n 个一， 也就是应该，应该来说他是从 x 到 x 的 n 减一次方，是不是有 n 减一个这样一个式子，所以有 n 减一个一，再加上最后还一个一，所以等式左边算出来就等于 n 啊，右边就变成一减去一个 cosine 乘以一减 cosine 的 平方，一直乘到一个一减 cosine 的 n 减一次方。好，那我们对于这样一个一减 cosine 的 一次方，一直到一减 cosine 的 n 减一次方这个部分啊，我们这里就不写一心求和那么高级的东西，因为毕竟我们还有很多初中生也会看这个视频的啊，写太高级了，怕大家看不懂。 好，好，那我们这个时候就来想想，对于他的一般形式，我们能不能来算一下他的膜，因为大家注意了这里的 cosine， 毕竟他是一个负数，是的吧，所以说我既然是负数做预算，我们就来算一下他的膜，因为这个地方 我们每一个 cosine 也是 cosine， cosine 的 二次方，一直到 cosine n 次方，它们的模都是等于一的，那我在做了这个预算之后，它们的模是否会发生改变呢？好，那我这里就算这样一个事实，一减 cosine k 次方，它的模等于多少？注意，这是模的符号，跟我们初中的绝对值符号长的是一样的。好，那我这个时候先把 cosine 给还原成为三角形式，那它也就等于什么？是不也就等于的是这样一个 cosine n 分 之二的 k 次方派，再加上 i 倍的 sine n 次方派， 没问题吧？好，那我们这个时候把，这里的大家可以看到都是二 k 次方。二 k 次方，那我在这里是不是可以利用合角公式来做一个变形 cosine n 分 之二 k 次方拍？哦，二 k 拍，我可以把它写作什么？是不是可以写作一减去一个 sine n 分 之 k 派吧的平方啊，对吧？好，而后面这个部分，我是不是可以直接用这个 sin 的 倍角公式，也就等于的是二倍的 sin n 分 之 k 派，乘以 cosine n 分 之 k 派吧。 好，当我把这里面的括号给去掉之后，大家可以看到一减一是不是抵消了，于是就变成了什么了？是变成了 side 方 n 分 之 k 派，再加上 i 倍的 这样一个二哦，这里还有个二，刚才写掉了一个二倍的 side 方 n 分 之 k 派，再加上 i 乘以二倍的 side n 分 之 k 派，再乘以 cosine n 分 之 k 派，等摩吧。好，那我们这个时候其实很明显的，如果我把这里的 这个二倍的，因为我们求这个摩，其实就是勾股定律吧，相当于它也就等于的是根号下四倍的 sine 四次方 n 分 之 k 派，再加上一个四倍的 si 方 n 分 之 k 派，乘以 cosine 方 n 分 之 k 派。 好，那到了这里来了之后，我是不是可以直接把四倍的 si 方 n 分 之 k 派给提出去，也就变成了二倍的 si n 分 之 k 派？而根号里面剩什么？是不是剩的就是上引方 n 分 之 k 派再加 cosine 方 n 分 之 k 派。而我们早在初中都知道，上引方 r 加 cosine 方 r 等于几？是不等于一，也就是根号里面的部分算出来的结果就是一，于是它的模也就等于二倍的 sign n 分 之可以拍好。那所以说我们这个时候来看，一下子回到我们刚才这个设置本身，我们也就可以知道什么 n 也就等于什么了， 是不是也就等于的是一减 cosine 的 平方的模一直乘到一个一减， 可 sin 的 n 减一次方的模，而这些模是不是对应的也就是二倍的 sin n 分 之派，二倍的 sin n 分 之二派，一直到二倍的萨隐 n 分 之 n 减一派，而这个结果也就等于多少，是不也就等于二的 n 减一次方乘以萨隐 n 分 之派， 萨隐 n 分 之二派一直乘到萨隐 n 分 之 n 减一派， 那于是我们就有什么 sine n 分 之派乘以 sine n 分 之二派，一直乘到 sine n 分 之 n 减一派，就等于二的 n 减一分之 n， 而这个式子不就正好是我们最开始那一个方法里面被卡住的式子吗？回到 最开始的第一种做法，那这个时候它是不是就可以直接套用刚才我们所得到的 sine n 分 之派，萨隐 n 分 之二派，一直乘到萨隐 n 分 之 n 减一派，也就等于什么？ 按照刚才的写法是吧，二的 n 减一次方分之 n， 所以 说这个时候我们是不是就可以一步到位，它也就等于什么了？是不是八乘以一个二的三次方乘以一个 二的七减一六十方分之七吧，于是最终的答案算出来也是八分之七，而这个做法显然 比我们的硬算要显得更优雅，并且在这个过程当中，将我们的三角函数 平面向量与负数的内在联系进行了一个挖掘。好，我们今天的内容就讲到这里了，谢谢大家。
44武汉数学牛老师
06:53查看AI文稿AI文稿同学们，这种题啊，死记也得记下来，什么题啊，就是用三角函数来证明几何问题来看这道题。 角 b 等于角 c， 三十六度角 b， 角 c， 这是三十六度 a、 h 垂直于 b、 h， 这是九十度，对吧？ a、 d 是 b， a、 c 的 三等分线， 这个是三等分线，然后呢， a、 e 是 是这个角 a 外角的四等分线 a、 e 是 四等分线，然后呢， a、 d 等于 p， a、 d， 这是 p 是 吧？ a、 e 是 q， a、 e， 这是 q， a、 h 是 小 h， 然后求什么呢？求这个式子， p 方分之一加上 q 方分之一等于 h 方分之一。 你看到这种题啊，只给了角度，只给角度，没有给任何的长度，对吧？那这种题就什么呢？就是用三角函数关系来证明几何问题来，咱们看这个题啊， 根据这个已知条件啊，咱们能得出什么？ 那这是什么？看着角 b、 a、 d 等于多少度啊？这个角等于多少度？ 是不是三分之一倍的角 b、 a、 c 是 吧？然后角 b、 a、 c 等于多少角 b、 a、 c， 它是不是等于 一百八十度减小角 b， 减小角 c 是 吧？角 b， 角 c 是 多少度？三十六度，这是七十二度，对不对？然后呢，一百八十减减去七十二，这是一百零八度， 那三分之一的它是多少？三分之一三三十六， 对吧？角 b、 a、 d 啊？ b， a、 d 三十六度，那角 d， a、 c 等于多少角 d， a、 c 等于， 是不是三分之二倍的这个对吧？那就是七十二度，那角 c、 a、 e 是 多少？ 是不是四分之一？四分之一角 c 就是 四分之一角 a、 d 外角，对吧？角又外角，这是多少度啊？一百八减去 角 b、 a、 c 是 吧？就是这个呗，对吧？ 也就是这个角加这个角，是吧？那就是七十二度， 然后它的四分之一 十八度，对吧？那求那看这个角是多少啊？这个角角 d， a， e 是 不是等于它加它呀？是吧？ d a c d a c 加上 c a e， 对 吧？那就是七十二加上十八等于九十度，对吧？那这个角是所以三角形啊，我这边来了啊，我这边来了 三角形 d， a， e 为直角三角形， 然后呢，它是不是和三角形 a， d， h 相似啊，对吗？它相似能推出什么？能推出啊，看着吗？ h h 比上 p h 减 p， 是 不是？ a， h 比上 a d， 是 吧？等于口三十八度，对吧？这个角等于这个角， 对吧？是不是？然后呢？看这个三角形里边啊， h 比上 q 是 不是等于 a， h 比上 a， e 等于多少？三十八度啊，对不对？看这个式子中推什么两边平方， 看是不是 a 比上 p， 它的平方加上 h， b 乘 q， 它的平方等于这个加这个的平方就是 三一十八度的平方加上 o 三一十八度的平方，是不是等于一啊， 对吗？所以啊，拆开来的 h 方比上 p 方加上 h 方比上 q 方等于一，对吧？所以能证明出什么？ p 方分之一加上 q 方分之一等于 h 方分之一啊。 所以啊，这道题啊，死记也要也要记住啊，它都什么三角函数啊，用三角函数来证明几何问题。
15阿大数学思维
16:04查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是大子老师，上一期啊，很多同学跟我吐槽说，大子老师这个视频我都看懂了，你说的那个四步方法呢？我感觉我也会了，但是我自己做题的时候呢，哎，就不会往里套，一做就废，这是为啥呀？ 其实原因很简单啊，就咱们光看不练假把式，锐角三角函数这一块，咱们呃逻辑你得有，但是你呢，必须得自己亲自动手去找去算。 今天这期视频呢，咱们就专门治一下这个眼高手低的，咱们直接拿两道真题来开刀，把上一期讲的方法给落地。咱们先来回顾一下上一期的方法，简单说一下，就是第一步 构建直角三角形，第二步呢，咱们去找这两个直角三角形中的什么长度，如果有就直接去算，如果没有呢就去 射。然后第三步呢，咱们两个直角三角形逐步挨个去解，最后呢去列等式。 如果咱们在第二步的时候发现，哎，这个直角三角形中有完整的边长，可以直接去算，那这个时候我们这也就不需要第四步这个列等式这一步了，我们就通过第三步哎，每个直角三角形分别去计算，就能得到我们最后的一个结果。我们先来看第一道题，就是我们刚刚考完的太原一模的第二十题， 它是哎，通过读题咱们来发现它是让咱们去求哎，图上 c、 d 两点之间的一个距离，是吧？它想要去测量 c、 d 两点之间的距离，然后呢，提力给了个角 e、 a、 c 给了一个辅角三十八度，又给了一个 f、 b， d 十六点二度，这两个角咱们图上都标出来了是吧？然后呢给了一个测亲器，他的高是一点六米，这个图上他没有标注出来，这个时候同学们也不要着急去找，因为咱们继续往下读嘛。然后他说了每两层楼之间距离是三点五米， 读到这的时候，有可能还是有一些同学去开始去数去了，哎，有几层呀？咱不要着急，咱们依次往后去读，呃，该有的数据读完以后，咱们如果他问了咱们再去算，没问就不要着急。然后给了我们一个 a a 到水平地面的距离， a j， 哎，他让咱们填 a j 是 多少米，但是这个前面是不是数字已经给了咱们了？给了咱们咱们直接就算就可以了，是不是咱们通过计算可以得到是十五点 六米，很简单的，然后呢 a a j 给了，然后呢后面还给了一个 b j 是 吧？ b， 咱们通过计算是八点六米，这个地方，咱们发现，哎，这两个空都非常简单，而且，哎，正好第一问也让咱们在这个空处填这两分是不是白白可以送给咱们的？相当于题里又说了， abj 在 同一条 切垂线上， d， c g 在 同一水平线 m n 上，这个时候呢，咱们来看第二问，让我们求什么？第二问是说让咱们去求 c、 d 之间的距离啊，很明确。这个时候咱们说第一步咱们要构建直角三角形，咱们来看一下你这些角在不在直角三角形里，咱们这有一个角，是不是 还有一个角，一个是三十八度，这个位置是多少了？十六点二度，是不是刚好我们接数据里也就是这两个角呢？那这个时候我们来看这两个角，不在直角三角形里，不在直角三角形里的话，咱们要不就是构造，但是这个 图里面你一眼看过去，是不是有直角三角形？有直角三角形的话，咱们来看一下这个直角三角形中有没有你这些角呢？咱们这个地方是不是 a、 e 是 咱们的视线，包括 b、 f 是 咱们的视线吧？视线是不是与你的水平线都有什么关系？平行，所以说你直接就可以通过平行得到 这个位置是三十八，就是 a、 c、 j 是 三十八， b、 d、 j 呢？就是十六点二度。那这个时候咱们发现，哎，咱们两个角就已经放到直角三角形了，还需要构造吗？不需要构造了，不需要构造。那这个时候咱们来看一下这两个三角形，你草稿纸上就可以直接把它们给画出来， 我这画的不是很标准啊， a、 j、 c 这是三十八度是不是？然后呢？还有一个是 b、 j、 d 这个地方是十六点二度。那这个时候咱们说说啦，第二步就要找这两个直角三角形里面看有没有长度，如果有长度你就算去就行了，如果没有长度该射射是吧？那这个时候咱们来看第一问， a、 j 这个地方是不是十五点六呀？ 这个 b、 j 八点六。那这个时候咱们来说啦，你直角三角形中有一个角，有一条边， 有一个角，十六点二，哎，有一条变八点六，你是不是想算谁都可以了？在这直角三角形中就直接算就可以了。那这个时候咱们在三角形 a、 j、 c 中就是第一个直角三角形 r、 t 三角形 aj、 c 中，你已知的是，我写在旁边啊，这是咱们的思路，已知的是 aj 等于十五点六，那这个时候你有两条线段 a c， 还有一条是 aj 等于十五点六，那这个时候你有两条线段 a、 c 呢？还是去求 aj 啊？ 这个时候咱们不是说是，哎，我只要我不不明确，我把两个都求出来可不可以？这个时候咱不浪费时间吗？这个时候咱们该求哪个？你结合你的问题和条件去判断，这个时候咱来判断咱们要 求的线段是 c、 d c d 跟咱们这两个直角三角形里面谁有关，他跟 c j 在 一条边上， 它组成了 d j， 所以 说咱们要在这两个直角三角形里面要求的目标也很明确了，你要跟 c、 d 有 关系，就是求 c j 和 d j。 在 a c 这中咱们就不求 a c 了，求的是 j c， 那 j c 和 a j 一个是三十八度的邻边，一个是 三十八度的一个对边，所以说咱们用的是攀登塔是吧？攀登塔三十八度直接去求就可以是吧？然后这个三角形的同理，咱们也是要判断是求递减去了吧，也用的是攀登塔十六点二度去求咱们的 d j， 那 d j 出来， d j c d 不 就有了吗？ c d 等于 d j 减 c j， 那 这个时候咱们思路很明确，看这个直角三角形，我写出来啊，二七三角形 b、 d、 j 两个直角三角形，这个直角三角形你算你的啊，这个直角三角形你算 b、 d、 j 的， 你就是每一个直角三角形都有自己的一个该有的分数，然后你依次算出来，最后把它给解出来就可以了， 思路是不是很明确，是吧？不需要你说是哎去怎么去理，理清楚他，咱们就是哎找见直角三角形了，然后判断直角三角形里面有没有边可以让咱们去计算呀，有就直接算，没有呢我就去什么呀？射，然后呢，两个直角三角形我单画出来，各算各的去， 咱们之间是各算各的，是吧？然后咱们来看一下答案上的给分的一个点啊，你看前面，咱们因为咱们给的这个 e、 a、 c 和 f、 b、 d 并不是并没有在直角三角形中，你也需要通过平行 把它们放到直角三角形里去，就是放到这个位置，两个位置。然后呢，你看啊，第一个直角三角形 r、 t， 三角形 a、 c 这种， 最后算出来 c、 j 是 不是只有两分啊？然后另一个第二个三角形，你分各算各的嘛？然后呢，算出来 d、 j 是 不是又有两分，然后最后 c、 d 一 减就行了。这里注意一个问题啊。 答，占一分，你们注意了吗？答，占一分，你可不能最后写出来，所以 c、 d 等于九米完事了。最后，哎，你估分的时候给自己估了一个满分八分，结果最后这个地方丢了一分。答，给人答上啊，记住，咱们对这个实际应用问题， 遇到三张函数的实际应用题，给他答上占一分的。咱们再来看咱们去年山西中考的这道题，这道题他以表格的形式给咱们，是不是感觉 很复杂，但是他的关键条件呢？实际上就注意就在这个方案说明里面，你就仔细去找什么，找咱们的角度，找咱们的一个长度，还有他们的边之间的一个关系，这里面呢， 咱们来看一下他这个地方是说了这个地，这个地有一个咱们的一个俯视图， 是吧？俯视图它要说是直径 b、 c 所在的直线分别与咱们的外拦墙交于 e、 f、 b、 c 的 所在直线交于 e、 f， 然后这两个点是吧？然后呢外拦墙 a、 e 与 d、 f 均匀水平，地面垂直垂直，这个地方就会有九十度吧，然后 a、 e 等于 d、 f， 然后呢 说了 b、 e 四 f 均是布道的宽， b、 e 四 f 这个地方咱们这个图上也标上不到两个字了，而且 b、 e 等于四、 f， 是 不是给了咱们的一些线段的一些关系，说图中各点都在同一数值平面内，相当于是咱们这个数值的一个切面了，下面有一些数据， d、 a、 b， 咱们再找一下 d、 a、 b 在 这个位置是吧？是三十七度，然后 d、 a、 c、 d、 a、 c 八点五度给了一个 a、 d、 a、 d 是 最长的，这个是二十六米，二十六米，这个时候呢，咱们发现图里哎有两个角，有一个长度， 这个时候咱们来看一下，这两个角在直角三角形中吗？明显你的 d、 a、 b 不 在，那咱们刚才说了，不在的话，这个里面不是有 a、 d 和咱们的 ef 这这两个线平行吗？平行的话，这个角是不是就等于你的 d、 a、 b 啊？角 a、 b、 e 就 等于 d、 a、 b 是 吧？然后同理这个角是不是和咱们的 a、 c、 e 相等呀？都是八点五度，咱们是不是通过平行，也是通过平行，可以把角放到直角三角形里了吧？那这个时候咱们来看一下它要求什么啊？咱们前面写一下，把数据写一下， a、 d 等于二十六米这题的条件，然后呢？一个八点五度的角 在这个位置，我标在这里啊，八点五度，一个是这个地方有一个三十七度的角，那这个时候咱们放到直角三角形中的话，咱们就有两个直角三角形，一个是直角三角形，我写在这里， a、 b、 e 三十七度的，是不是咱们第二个直角三角形 a、 c、 e 是 不是长一些？咱们换一下 a、 c、 e， 这个时候咱们发现这个是八点五度，咱们两个直角三角形都有了，咱们不需要自己去构造了，是不是？然后咱们的角通过平行也都放到直角三角形里，这个时候咱们去看 题里的条件有没有，哎？有没有一些数据在咱们这个直角三角形中，这个时候咱们发现，哎，题里就 a、 d 等于二十六米这一个数据，咱们两个直角三角形中没有任何的长度。咱们说了，当你直角三角形中没有长度时候，咱们的步骤是什么？你就该怎么了？该去设 是吧？射的时候咱们一说，一般情况下是求谁射谁，这个题里面呢，咱们该射谁 bc， 但是这个图也是我讲的一个目的，这个题如果射 bc 的 话可也能做，但是你在计算量和思路上可能会有一点点绕， 这个时候呢，如果你发现，哎，我射这个 bc， 我 不是很好做，怎么办？你就去射跟 bc 有 关的直角边有谁？有 b e， 还有谁？还有 c e， 那 咱们这个地方如果设一个 b e 的 话，是不是就简单了？我设 b、 e 是 x， c f， 这就是 x 是 吧？那这个地方咱们的 c e 是 不是也很好表示 c e？ 是 不是二十六减 x 啊？因为 ef 和 ad 相等吗？那这个时候咱们会发现，哎，在直角三角形 a b e 中， b 是 x， 哎，咱们刚才说了一个直角三角形，一个直角三角形，你去处理是吧？你这个直角三角形有个三十七度，有一个 b e， 你 能出，你能解出 a e 吗？ 可以吧？然后呢？在这个 a c e 里面， c e 咱们刚才也表示出来了，二十六减 x， 哎，有个八点五度，你是不是也能去表示出 a e？ 咱们是不是，哎？每一个三角形都处理，咱们第第第三步，每一个三角形都处理一下。那这个时候有的同学又去问一下你为什么这个地方都去表示 a e 呢？的确像咱们在 a b e 里，你可以表示 a e 是 吧？也可以表示 ab， 在 这个 a c e 里面你也是，你可以表示 a e， 你 也能表示 a c。 你， 你做的时候你肯定需要需要去进行一个怎么样 筛选，我该去表示 a e 啊？还是该去表示 a b？ 这个地方我该去表示 a e 还是 a c 呢？你来看你要表示的这两条边里面，它们 哪两个会构成联系？是不是你这个三角形里也有 a e， 这个三角形里有 a e， 它们是不是就可以列等式了？因为咱们的第四步是什么？我表示出来以后，要用表示的这些线段去列等式，你的 abac 能列等式吗？ ab 在 这里， ac 在 这里，他俩没有这题列，没有给他们任何数据关系，但是你两个三角形里面都能表示 a e， 你 是不是就可以通过 a e 等于 a e 去列出等式去解你的这个 x 了，咱们的思路不就完成了吗？是吧？咱们说咱们构建是吧？这个题不需要构建，咱们就是咋把角放到直角三角形中，然后呢 设第二步，设第三步呢？每一个三角形都去处理，处理的时候注意哎，该去表示这条边，最后一步列等式，是吧？咱们来看一下咱们的一个具体的一个解题步骤， 咱们来看这个地方是不是也它也施设的是 b e， 然后表示出咱们的 c e， 是 吧？然后呢你看啊，这个三角形处理的处理了一下吧，处理了一下，然后呢这个三角形也处理了一下， 两个三角形各自处理各自的，不要提前构建联系。最后一步 a e 等于 a e， 你 去 是不是一个咱们的一元一次方程，最后去解就行了，当这个地方你解除 a e 以后，咱们的题是要求谁的？是要求 bc， bc 等于你的二十六减两个 a e， 一个 a e， 一个 c f。 这个题又出来了，你有没有发现咱们这两道题不管是需要设的还是说是不需要设的，咱们按照咱们的步骤，哎，先去找见咱们的直角三角形，然后呢把角度归位放到直角三角形里，是不是？然后呢，这个时候再去看这两个直角三角形中，你可以单独画出来 他们里面有没有一个完整的边长，需要咱们可以让咱们直接算，如果没有呢就该怎么办了？就该设， 设完以后，咱们两个直角三角形挨个去解，不要太多，一个一个算，是不是每一个都有各自的一个分数，然后最后一步呢？如果你设了的呢，你就该去列等式了，去解出最后的结果，如果你没有没有设的话，那可能就你在算的过程中，哎，你的结果也就出来了， 是吧？这个就是咱们的一个大概的一个步骤，今天给大家同学说了一下，同学们可以把这个思路在自己在在脑子里再理一遍，咱们呢，就是说同学们就是说不要去硬背，他在做题的过程中，按照我说的这个思路去找， 去理清楚思路啊，把一他的一步步的都过程都写在卷子上，哪怕你最后结果算错了，你的步骤分也能打满，是吧？咱们的数学大题不可怕，可怕是你没有套路，你把这两期视频多看两遍，把这套模板呢刻在脑子里，上到考考场上啊，我就告诉你这个 锐角三角函数的实际应用就是送分题，然后其他方法，如果你好用呢，就希望你帮忙转发给身边需要的同学。下期视频呢，咱们去攻克咱们山西中考里面真题里面，是吧？几何这一块，几何这一块有选择题的， 还有咱们最后压轴题的，还有咱们材料题的，呃，关注我，带你从容应对山西中考。
87是大嘴老师吖
15:34查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们来看一下这个河北中考数学压轴大猜想，今天我们要讲的是三角函数篇，那么三角函数一般来说在大体里面，它可能是和实际应用相结合，这是绝大多数情况下， 那么另外主要是和压轴题，他这种几何题，比如说相似啊，或者是圆，哎，这个结合的非常多，并且他呢在运用的时候，第一对我们计算非常的简变，第二就说对你的解析思路会非常的有帮助。 那么今天我们就对它的核心知识点进行一个推导，以及来讲一下它的使用技巧。好，首先我们来看它的最基本的概念，三角函数我们说 sin 阿尔法，它对应的应该是正弦， cosine 阿尔法是余弦，那么接下来 tangent 阿尔法是正切， 那么对于这个名词的概念，我们要注意，你得首先明白什么叫弦，什么叫正切，你第一个明白了，什么叫做弦，你看，我们知道勾股定律，这个是弦，这个是勾，这个是鼓， 所以所谓的弦是什么？就是我们所说的斜边，而勾和股呢？勾三股四弦五，那勾一定是比较短的那条直角边，股是比较长的那条直角边， 那这两个我们可以不用管他，我们只要记住弦就可以了。所以所谓的正弦与弦，他一定都和什么有关啊？都和斜边有关， 那既然和斜边有关，这就好记了。对于三亚阿尔法而言，我们知道它是对边比上斜边， 我们可以简记为对比斜，那么 cosine 阿尔法与弦它是邻边，比上斜边， 这是第一个概念，一定要搞清楚，那我教你的技巧就是记住什么叫弦，弦就是邪，因此对于弦而言，只要出现了弦，那么他一定是分母，是邪。那么正为什么叫对边啊？你记住这个词，正对 正对，所以我们取的是正正弦，那就是正和对相结合。那对于后面这个正切呢？我们知道他是对边， 比上零点，你看跟前面的正对是不又联系起来了？所以我们所有的正，你记住所有的正，他对应的都是对联， 这个技巧记住，那么他 sign、 cosign 就 都好背了。那么接下来对于这三个特殊的角度，他们对应的三角函数值，你看技巧在哪？所有的弦，他的分母都是几分母都是二，分母都是二， 那么接下来对于他的分子，你看上面是一、二、三，其实是不就是根号一啊？而且你知道你既然记住了正都是对，那比如说这个角就是阿尔法， 你看分母不变，让这个分子他在不断的增大，那么角度也在不断的增大，所以他的正弦值就一定是不断增大的，也就是说他随着角度的增大，而余 弦恰好相反。余弦，那你就把它反过来记呗。三二一带上一个根号就可以了吗？ 那么最后一个正切也是一样的道理，正切对于这个阿尔法角，他的正切值，你会发现同样邻边分母是不变的，那分子不断增大，他是不断增大，你只需要记住什么就可以，你只要记住第一个值就可以了。 三十度对应的是三分之根号三，那么接下来就一四怎么样？乘以根号三就行了，你看把它乘以根号三，就等于一把一，再乘以根号三，那就等于根号三，这就是记忆他的一个小技巧，希望大家能够掌握。 那么接下来这两个重要的公式，首先同角三角函数的公式，你看这种平方关系， 以及贪婪的阿尔法等于萨尔法，比上 cosine 阿尔法，这种商数的关系怎么推导啊？非常简单呀，你看 正弦，这不就是对的平方比上斜的平方加上邻的平方，比上斜的平方， 是不是同分母啊？那既然同分母，所以就是斜的平方分之，你把他们两个加在一起，是不正好就等于下面这个斜边呀，他的平方，所以加在一起就是斜方，那结果就等于一了呗。 所以这个公式一定要记住啊，告诉你三亚阿尔法，那么你马上就能够通过一减去它的平方，再开根号求出扣三亚阿尔法的值了。那么下面这个是一样的道理啊，你那个是对边比斜边，然后对比斜， 然后你再比上一个零比斜，这就可以出来对比零了， 所以这两个公式一定要记住。那么接下来这种互余的关系啊，这个我们知道就可以了，三亚阿尔法等于扣三亚阿尔法， 然后这里面他对应的是一种互余的关系，那么接下来对于摊着他而言，互余的两个角一定要注意啊，这是互余两个角，两个角相加等于九十度的时候，也就是说里面的 a 加 b 要等于九十度，在这种情况下，这个公式它是成立的。 我们回到前面的表格来看，你看贪占他阿尔法，贪占他阿尔法，他这个是一个角，那么接下来这边这个和他相乘 是不是互余的两个角，三十度和六十度互余，他们两个相乘正好等于一，那么三和 cosine 呢？你看 cosine 如果要是三十度的话，那么 cosine 六十度是二分之一，所以他们两个是相等的关系。 这一组公式注意啊，这个是我们到了高中才学的，这一组公式是我们到高中才学的，这是两角之合的正切值。 这个公式呢，在大体里面我们是不可以直接用的，但是我们在选填里面，选择和填空里面，你就直接利用这个公式，会非常的快。 有人看上去可能很复杂，你看我教你个小技巧，这是加，这是减，两角之和两角之差，那么他对应的，你看这个阿尔法和他念的贝塔是不都是他们呀？无非就是，这是加，这是加，这是减，这也是减，所以你记住上同， 那么下面呢，那个是加，这变成了减，这个是减，这变成了加，那就是上同下异。 那接下来呢？这不就好记了吗？无非就是贪婪的阿尔法加减，贪婪的北，那到了下边呢，那就是加和减之积，哎，把它俩再相乘就可以了。 这个公式一定要记住，在选择或填空里面非常好用，比如说七十五度角，你是不是就等于四十五度加上三十度， 那么十五度呢？是不就等于四十五度减去三十度，你想选择填空，人家又不看你的过程，你直接出结果不就完了吗？非常的快啊，所以这个公式一定要记住。 接下来我们来看两个重要的概念。第一个概念，对于视角而言，这个一般来说在题中会直接给你标出来，但是我们最好是自己能够知道什么叫仰角，什么叫俯角，最简单的技巧，记住都是以水平线， 也就是说水平面以它为界面。接下来我们向上，什么叫仰啊？什么叫仰啊？那不就是抬头吗？那就是向上，什么叫俯呀？那不就是向下吗？所以这就是仰角和俯角。一般情况下我们题中会直接给你标出来， 那么接下来对于下一个概念，坡度也叫坡比，我们和这个坡角结合起来，你在记很多数学概念的时候，尽量根据他的字面含义来记， 什么叫坡呀？这叫一个坡。什么叫坡角啊？还是以水平面 为分界线，这是坡坡和水平的夹角，这就是坡角。那么知道了坡角，这是牵直高度和水平宽度的比，所以所谓的坡度，它就是等于什么 这个坡角的正切直，你把这个记住就可以了。那么最后这个所谓的方向角啊，我们说方向角，这个要搞清楚，北偏什么，南偏什么，正常情况下我们都是说北偏南偏啊，很少去说这个东偏北了，或者东偏南， 所以说对于谁偏谁，你要注意，北偏南，你就找到北，那么接下来偏东，这就是往哪边，就是往这边，那你就是从北向这边向东边来旋转就可以了，其实就相当于顺时针转， 那么向西呢？那就是逆时针的来转，这就可以了。所以说北偏东三十度，你看他这里面给出一个北偏东三十度是哪个角啊？这不就这个角吗？我以北作为极准线，向这边来进行一个旋转，顺时针的旋转向东，那就是北偏东三十度。 好，这是几个比较重要的概念下来重要的模型，那么第一个模型， 这个模型他就是让你去给出一些角度，比如说一些特殊角，这个都好办。如果要不是特殊角的时候，我们要记住我们三角函数对于三角函数的这个应用，可不是只有特殊角才能用， 非特殊角我们只要知道它的比值就可以了。常用的线段计算，比如我告诉你一个 tangent 二十三度等于一个什么四啊，四分之根号三吧，假设就是四分之根号三， 那么你知道他是对边比邻边，所以你就可以设这个对边。为什么根号三 a 比上四 b， 四 a 比四 a 比四 b 去了比四 a， 那 这个时候你再利用勾股定力往里边一带入，这不就可以把 a 求出来了吗？这是一种计算的方法啊。那么在这种模型里面，你看他给出了阿尔法角和贝特角， 只要是给出了一个角，你现在不知道他是不是直角三角形，那怎么办呢？你就向下做垂线，你就围绕着这个阿尔法角去做垂线就可以了。 所以说对于三角函数而言，我们最重要的一个解析思路就是做垂线构造 r t 三角形 怎么做，其实主要是根据里面的角度来进行判断。对于这个结论，你看他给出这些贪婪的阿尔法和贪婪的比特之类的，这个其实意义不是太大啊， 个人认为意义不是太大，因为这里面这个 a、 d 的 长度，你会发现你看它设 a d 等于 x b d， 那 就等于 x 比上 tangent， 阿尔法 c、 d 就 等于 x 比上 tangent 比特，也就是说它利用了一个直角三角形， abd 和 acd， 利用这两个直角三角形， 然后他再利用一个公共边和正切值，你看他所以这个 a 就 等于 a， d 加 b， d 错了，他应该是 c， d 加 b d 啊，这个地方应该是 c d 加上 b d， 所以 把他直接一代入，再进行一个整理，最终得出的就是 a、 d 的 长度。 但这种思路注意啊，这种思路是需要我们掌握的，也就说你在学习的过程中，一定要学会通过人家讲讲的内容，或者是通过看答案，你去整理出这种思路是什么来。 所以说这里面他都是利用了一个正切值在和公共边，如果要是知道一个角，知道一个边，那所有的其他这些边角就都可以求出来了。那么具体的我们做垂线，我们来主要看这些特殊角度， 你看对于这些角度里面所给出的第一组三十、四十五、六十，这是最基本的，基本上我们学过三角函数的都知道，围绕着三十度或者是四十五度、六十度去做垂线就可以了， 特别是这个等腰直角三角形，无限构造啊，无限构造我们前面提过， 那么第二组一百二、一百三十五和一百五十度，他说的是反向延长来做垂直，也就说对于已经给出的锐角特殊角，你直接在三角形内部做垂直就可以了。 那么到了这些钝角呢？你会进行一个反向的来做，比如说把这条直角边给他延长，延长完之后再过上面的点 c 顶点向下做一个垂线，这就可以了，目的就是利用，因为这些角你看他对应的是谁啊？他是不是正好对应六十度， 这个对应的就是四十五度，他对应的就是三十度，那因此这特殊角不就构造出来了吗？ 最后一个是最重要的啊，七十五度和一百零五度，思考将其分解为两个特殊角做垂直。什么意思啊？在这个三角形里面出现了四十五度角，你要围绕着上面的这个七十五度， 围绕着上面的七十五度或者是一百零五度，你把它进行一个拆分。怎么拆呀？这不七十五正好是四十五加上三十吗？ 或者你利用九十减去十五度也可以啊，这边就是四十五加六十， 那这个给的是比较特殊，恰好有了四十五度了，你可能说那要没有四十五度呢？没有四十五度也要把它进行拆分，拆完之后，那可能就围绕这个九十度加减十五度了。加或者是减十五度，那就围绕着他来了。 多数情况下，只要有七十五度和一百零五度，都会出现四十五度， 这是对于等腰直角三角形啊，等腰直角三角形，我们一定要特别记住。那么剩下这些三角函数一些解析的思路，我们在后面再详细的来讲。好，今天我们就先讲到这。
795舌尖上的数学
