聊城二模数学立体几何
好，各位同学们，今天分析一下二零二六聊城二模的第十七题，看着这个题目， 这个题型，这题型，哪个题型？ 现在这个题型，在这个题型中， ab 平行， c、 d， a、 d， 这是直角题型， ab 边为二， a、 d 和 c、 d 都等于四，说明这两段都是二。这个翻折问题，把它翻折成一个多面体， 当咱们能看到这个多面体，就是一个五面体。 第一问让你证明 a 撇 b 撇垂直于平面， a 撇 a 撇 d， e， 那 只需要在这平面内找两条相交直线。这一问挺简单，因为翻折前后，每个半平面内的各要素它不发生改变， 也就是说 ab 和 e、 f 平行， ab 和 cd 平行。在翻折后， a 撇 b 撇和 e、 f 和 cd 也都是平行的， 那么翻折前 e、 f 和 a、 e 垂直， e、 f 和 d， e 垂直，翻折后它还是垂直，所以咱们能够得到信息，那就是 a 撇 b 撇，翻折前 翻折后它们都是垂直。 这就在平面内找的两条相交直线都与这条直线垂直。所以第一问挺简单，无需去多说。那第二问呢？ 第二个二面角，二面角 e， a 撇 d， f， 这个二面角咋表示？这里有第一问，我们最关键的一点， 看到了 f， e 垂直于平面， a 撇 d， e， 这是个关键，说明 f 点这面内的射影就是点 e， 所以 这个二面角我们可以这么的去考虑。怎么去考虑。我过点 e 做 a 撇 d 的 垂线，实际上不需要做的，因为 a 撇 e 和 e、 d 都等于二，这是个等腰三角形。换句话说，我们取 a 撇 d 的 中点，这个中点你可以给他一个命名，命名为点 o 连接 e， o 连接 f o， 那 我们很容易的知道 e、 o 是 与 a 撇 d 垂直， 这时候我们借助三垂线定力，或者借助线面垂直能够发现，能够发现 f e 和 a 撇 d 垂直，这是借助线面垂直，能够发现垂面的 a 撇 d 垂直于平面 e o f， 所以 我们的角 e o f， 它就是这所给所给二面角的平面角， 那也就是说这个角就该上六十度， 哎，它的六十度，那么 f、 e、 o 又是直角三角形， 借助它的六十度等于 e f 比上 e o， 咱们知道 e、 f 是 三， e o， 那 就能够得到等于根三， 这是一个关键，这是一个关键。好，那么找到这些信息之后， e、 o 是 根三， 咱们的 e、 d 和 a、 p、 e 都是二，这又是垂直， 哎，二，这是根三，这是多少根？是一，所以能够得到的信息，那就是 a 撇 d 也是二三角形， a 撇 d e， 那 就是等边三角形，这是从二面角为六十度上能够发现的信息。 那么求这一个多面体的体积怎么计算呢？大家这时候看看右侧的二零二四年的这个高考题天津卷， 看完天津卷这个题目，就会发现聊城二模的这个立体几何啊，它就可以说是从二十四年天津卷这一个把小题转化到大题上来，让你计算它的体积。 这个体积的计算我在下面已经啊把图一做了一个完全相同的一个对称的图，它在翻折过程中，那就说把咱们的这个多面体啊，我补形成一个楞柱， 而该楞柱还是一个直楞柱，就是因为 e f 垂直底面，或者说 c d 垂直底面，所以，所以这个第一呢， 这个体积我直接写二分之一乘以 s 三角形 a 撇 d、 e 乘以补形，怎么补的，你看到了吗？乘以四加二，所以最终我们得到三倍的根三。 那 s 三角形 a 撇 d、 e 正三角形面积我不讲好，这是第二问。最后一问 问线面角，那我们简单的复习线面角的相关知识， 很多同学一做线面角的题目，往往，哎，就是找到方向量， 比如这儿这点 c， 这点 a 撇，这就那个平面。问正弦三 c， 它好多孩子上来直接就发向量 c， a 撇向量和发向量， 但是他忽略了一个，那就是可以分析 d 比上个 a 撇 c 的 大小， d 是 谁啊？就是 a 撇到平面， b 撇 c、 f 的 距离。 所以借助基础知识，我们要分析一下这个 d 的 计算。 a 撇 c 的 计算是很容易的， a 撇 c， 它可以放在直角三角形 a 撇 d 中， a 撇 d 是 二， c， d 是 四， 所以放在这个三角形内，它就是根号下二的平方加四的平方，那我们很容易得到是二倍的根五， 这时候这个这个这个 d， 咱们刚说这个 d 是 啥嘞？哎，啥点 a 撇到平面， b 撇 c、 f 的 距离 为 d。 等体积法， 等体积法的关键是看看所给的底面。 b 撇 c、 f 这个三角形面积好不好计算，那我们很容易的知道这个三角形，它是一个等腰三角形，两腰均为根母。 b 撇 c， 能不能计算呢？ 我首先取 c、 d 的 中点， 假如这一点是点 m， 当我，当我连接 b 撇 m 的 时候， 那你们很容易发现这也是个直角三角形，也就是说我们可以计算得到 b 撇 c 这支棱，什么支棱啊，你别忘了这段是二啊， e 撇啊， b 撇 m 也是二啊，所以它是二倍的根五啊，二倍的根二，刚说错了啊，不好意思。 那么在三角形，在三角形， 这三角形 f b 折 c 中，这跟五，这跟五，这跟二，那这跟三。所以 s 三角形 b 撇 c f 的 面积，那就是根六，也就是现在这个底的面积好计算，这意味着等体积法在本题中它是很适用，很适用的。怎么适用？来， 我要去找 a 撇点到平面 b 撇 c f 的 距离， 我现在看感觉有点为难，但是我们说我要连接的 a 撇 m， 你 有没有发现，咱们的 a 撇 m， 它是平行于 b 撇 c 的， 其实 a 撇 m， 它是平行于平面的， b 撇 c f 的， 所以 m 点到平面 b 撇 c f 的 距离啊，它也是 d。 这数，我连接，我连接 f m， 我连接 fm， 我 现在看看什么 f 为顶， b 撇 c m， 它就等于 m 为底， b 撇 c f， 这一步有必要吗？哎，如果你想到等体接法，你就去琢磨叫什么通顶，等高 同底等高同高等底等底等高这些。当然这个题目，这个题目，这种方式方法分析完了，因为 fcm 的 面积你肯定也会计算， 那就是 fcm 的 面积好计算， b 撇到底面的距离也有，也就是说，现在啊，我想咋玩咋玩。 b 撇 cfm。 好， 这是一种思路，另一个更简单的思路。 另一个更简单的思路， 我直接 a 撇点， b 撇 c f 等于 f 顶点， f 做顶点，让 b 撇 c m 做底面。 哎， b 撇 c m， 别 b 撇 c m 了，来， b 撇 c a 撇，你看看和刚才思路这个等体积法，用方法二的等体积法比方法一的更简单。那你说我现在我可以不去 连接这些东西，我只需要保留原来的这一状态， 为什么？因为我们的 a、 d 也是 a 撇 b 撇 a 撇 d， 就是 a 撇 b 撇和 c、 d 之间的距离，这个二，这个二我们是要的。 所以 s 三角形 a 撇 b 撇 c 的 面积，那就直接二分之一乘以 a 撇 b 撇，乘以 a 撇 d 大 小 f 点到平面到平面， a 撇 b 撇 c、 d 的 距离，那就是 e 点到这面的距离啊，那就是刚才的 e、 o， 也就是这个根三， 以此的根三，所以这个等体积法，这等体积法我们就得到了三分之一。 s 三角形 b 撇 c、 f 乘 d 等于三分之一乘以我直接写二乘以根三， 通向我这里。把咱们的这个根六带进来， 那你就会得到这个 d 等于 二， d 等于根二了。所以咱们要的正弦 c 音 c， 它 二比三个和根二比三个二倍的根五。答案，十分之根四， 这是等体积法，刚才所谓的等体积法，等底，等高，同底等高， 还有还有铜高等底这些最系统的东西，希望咱们他们能明白。
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15:39查看AI文稿AI文稿好，咱们听一下，看一下，呃，二零二六年聊城二模的第十一题，这个选择题的压轴题， 这个题目楞长为二的正四面体。当我们看到正四面体的时候，我们就去想正四面体的相关东西 点，撇是三角形 b、 c、 d 的 中心 m 点在平面 a， b、 c 内运动，平面内运动点 n 是 棱上的移动点。下来说法正确的是，那么我们在这儿 先来简单的回复一下，回顾一下，嗯，正四面体的相关重要的几个结论。 有这样几个 正四面体的重要结论，将棱长为 a 的 正四面体转化为边长为二分之根二 a 的 正方体的问题， 那我们再分析正四面体的高就变成了正方体，哎，这个体对角线的三分之二， 所以咱们知道这个正方体现在是二分之根二 a， 它指的是正方体的棱长，而这一个是 a。 现在，现在我们再看正四面体的体积啊，表面积，外接球半径、内切球半径， 相对论之间的距离以及正四面体的中心角高分成了三比一，相对论，互相垂直这八个重要的结论，希望咱们团队能把它解熟， 用上这八个重要的结论。头脑中你如果存在这些的话，咱们的选项，本题是除了选项 d， 其他很简单，咱们看这几个选项，选项 a， 选项 b 说 m n 平行于平面 m， n 平行于平面 b， c、 d。 就 看咱们下面画的这个图，画这个图 m n 平行于平面 b c、 d。 并且 a n 比 n d， a n 等于二 n 点是三等分点， 那这数的 m n 如果要和平面 b、 c、 d 平行的话，那 m 点的运动轨迹只能是这的 b e 啊 c e 为什么？唯一性定律，过点 n 与平面 b、 c、 d 垂平行的平面，尤其只要一个，这个平行平面就是现在画出的 b、 e、 c、 e、 n， 所以它与平面 a、 b、 c 的 交线 b、 e、 c、 e 就是 m 点的运动轨迹。 而这时候 am 大 小，我们知道 a、 b、 e、 c、 e 这是一个小小的正三角形， 而它在正三角形 a、 b、 c 内，显然这个距离最小值就是三分之二正三角形 a、 b、 c 的 高线。所以选项 a， 正确选项 a 正确。 选项 b， 选项 ab a n 比 n d 等于一，说明 n 点是 ad 的 中点 m n 垂直 ad。 那我们知道微型定律，过点 n 与 a、 d 垂直的平面，尤其只有一个，那根据我们的正四面体的呃，这些相关，我们知道我连接 b、 n 连接 c、 n， 那 我就知道 过点 n 与 a、 d 垂直的平面，这唯一平面就是 b、 c、 n。 换句话说， m 点现在是在 b、 c 啊这条线上运动， 以 m 的 运动轨迹找 m n 的 最小值， m n 的 最小值不就是 b、 c 的 中点 m、 o 与 a、 d 的 中点 n 之间连线了吗？这就叫啥？相对楞， 相对棱之间的距离二分之根二 a 本题中的棱长 a 是 二，所以 这个距离根正确，最要根二也正确。那选样 c 呢？选样 c 更简单， m 点是在平面 a、 b、 c 内， m 点在平面 a、 b、 c 内， d 点到平面 a、 b、 c 的 距离就是正四面体的高，而正四面体的高。三分之根六 a a 等于二三分之二倍的根六， 那我们知道三分之二倍的根六和根二的大小关系，三分之二倍的根六，他是比根二要大的， 它比根儿要大的。换句话说，换句话说，以点地为球心，以根儿为半径的球，它和平面 a、 b、 c 连公共点都不存在， 就是因为根儿小于正四面体的高。那你就别管 m 点 a、 m 和 p、 c 垂直，这这一条你都不需要，因为 m 点，它本身就在 a、 b、 c 内。 以 d 点为球心，以根儿为半径的球，连平行 a、 b、 c 的 哎， 都碰不到。平 a、 b、 c， 它怎么可能会有平 a、 b、 c 的 内的点，使得 dm 取最小值，这样呢？这不可能的，所以选项 c 是 错误。本题重点难点是选项 d， 选项 d， 我 们怎么去做分析？哎，我们学过和最小 啊，小何最小学过什么？学过将军隐马学过对称一样道理。这就找对对称这个题目 选项 d 的 处理方案。我们可以有这样一些一种像这似的，我画的这个图， 画的图， p 点放在底面 a、 b、 c、 d 内 p 点的中心嘛。我关于平面 a、 b、 c 的 对称点 p 二， 关于 a、 d 的 对称点 p 一， 连接 p 一 p 二，这是个最根本的，我把平面 a、 d、 e 画出来，向右边图中 这我建立了一个平面直角坐标系，我把这个 e 点坐标、 d 点坐标、 a 点坐标搞出来，然后利用对称 找出 p 点坐标和 p 点坐标，然后 p 一 片的距离。这也能做的出来，不过太麻烦，运量太大。一个选项 一个选项就这二分，我们算多长时间不打恰当。当然，呃，也有说啊，老师，我能不能算出呃这来，来个 愚蠢定谬啊。可以，他的运转量仍然很大。好，我们，我们今天我给你们分析一个另外一个方法。 怎么另外的方法？我仍然是画图看这儿，那个下面蓝色的，我给他勾造了一个相同的相同的正四面体， 那么 f 点就是 d 点的对称点。关于屏幕 a、 b、 c 的 对称点，我连接 fe， 我 连接 fe， 连接 f， e， e 点是 b、 c 的 中点 p 点。关于平面 a、 b、 c 的 对称点， p 一， 在这出来了，那么关于 a、 d 的 对称点 p 二，怎么去找？我先先仍然是构造这么一个， 然后往这来撇出来了。哎，换句话说，我们这些东西啊，都是在平面 a、 d、 e 内来画的。所以我把平面 a、 d， e 从平面移出来，画着右边这个图， 当右边这个图。呃，左边对应的 f 点，我这改成 d 撇点啊， 那这是怎么画的？蓝色的 e， a、 d， 现在我的 e， a、 e、 d 回来，这是个菱形，这是个菱形。 这时候我们发现 e 点的关于 a、 d 的 对称点一， p 点关于它的对称点 p 二都有了。 找 a、 d 的 中 a、 d 的 中点是不是点 a 啊？现在还不知道，我再去找 字儿的对称 p 的 对称点， p 点对称点 p 一。 嗯，那说计算呢？我先把图画完，再搞计算，现在的目标是 p 一。 p 二的大小， 我们知道 a、 o 是 o， e 的 二倍，所以我把 e 点向右延长到 e 二， 这时候的 a、 d， e 二， d 撇，这也是个菱形，变成为二。 这时我发现一个问题，发现什么问题？ p、 e 点作为 d 撇， e 的 三等分点， 这个 a， e 的 三等分点 o， p， e， p， e， o 和 a、 d 撇平行，当然也会和 d、 e 二平行， o 点是三等分点，这也三等分点在这个菱形内，这平行且相等，所以我会发现 p 二以及 a、 d 的 中点以及 m 点三点共线， 这三点贡献，那么 p e 点和 m 点这两个是不是这四个点贡献呢？这需要证明， 因为刚才说这三个点共线，这是没问题的了，要 p 一 点和这三个点要再共线的话，这个题目就很好做了，我们看它是不是共线啊。哎，什么呢？这是三等分点， e 点是 m 一 二的中点， 这三等分点，我这儿延长后交叉是它的终点。哟吼，这也是 m f 二的 m f 一 的三等分点。呃，三等分点， 这时候你会发现它是与它平行的， 它是与它平行的。而在 a d， e 二 d 撇这个菱形中， m 点是 a e 二的中点，这个点也是它的中点，这儿 和字平行好了，那么他也就该和字平行，他和他平行，这时候就说明这四个点贡献了呗。哎，好，这题目好，算了这四个点贡献了。现在我们发现 p 一 p 二 是平行于 a， d 一 当然也是平行于 d 一 二 很容易的发现它们的长度到终点，这是一，这也是一。 m f 一， 这是一，而 mp 一， 这是占三分之二，所以答案 答案那是二加三分之二，三分之八，这是我们的第十一题的它的分析 好，希望他们能明白。
82巨灵石
03:11查看AI文稿AI文稿后台好多同学私信我说，丽丽老师，聊城二模，我坐崩了，求安慰。今天咱就来扒一扒这套让山东考生集体破防的聊城是二零二六届高三二模数学卷。先上结论，这套卷子变态是真的变态，但好题也是真的好题！全网怎么看这张卷子， 不少考生直接喊，聊城二模数学写完感觉还不错，但是然后就没有然后了。还有人直接说，这套卷子做完，我决定重新翻课本，叫严老师那边的评价更理性一些。这套卷子命题质量很高，区分度强，不是靠怪题难住你， 而是靠思维深度和计算精度拉开差距。像第十五题，把解三角形和概率揉在一起。第十六题，双曲线定值问题，考的是算功和代数变形能力，这些都是新高考真正在考的东西。哪几道题最值得刷？我给你挑了三道，做完不亏。第八题，数列技术 递推是二 a k 加一平方减五 a k， a k 加一加二， a k 平方等于零。很多人第一步不会变形，其实这是典型的等比型递推。因式分解后得到两项乘积为零，说明要么是等比，要么是等差。然后结合 a e 等于二而十等于十六去数路径，你会发现 它本质上是组合数学的隔路问题。这道题考的不是你会不会算，而是你能不能把代数式翻译成数列的走势。第十一题，例题几何多选正四面体背景下四个最值命题判断啊！选项考线面平行下的距离最直。 b 选项考垂直约束下的线段最直。一百选项考线线垂直下的点到线距离。五百选项考三条线段和的最小值， 其实就是把空间路径拉直一道题，把例题、几何最值的四种考法全覆盖了，做完它，空间想象力和转化能力直接上一个台阶。第十九题，导数压轴 三问层层递进。第一问，求有极值点且无零点的参数范围，考的是图像分析。第二问，存在两条互相垂直的切线，本质是导数值乘积为负一有减转化成分式不等式。第三问，证明 x e 乘二啊 b 一 平方，要用到对数均值不等式和放缩技巧， 这是标准的新高考导数风格不算偏怪，但思维链条很长，一步卡住，全盘皆输，怎么用这套卷子最值？第一，别盯着分数看，这套卷子平均分大概率不好看不重要，重要的是你错在哪？是算错？是思路断还是根本没读懂题？第二、 第八题和第十九题值得二刷。第一遍做可能磕磕绊绊，第二遍试着整理出完整的翻译转化求解链条，你会发现自己对数列和导数的理解深了一层。第三，刷完聊城二模，建议回头刷两道同类高考真题，对比一下命题的分寸感。 高考不会这么狠，但核心考点和思维路径是相通的。写在最后，模考考帮了不是世界末日。说实话，聊城二模就是故意的， 他把难度拉满，把坑挖深，就是为了让你在高考前把所有能犯的错都犯一遍。你现在没卡住的一道题， 没想不通的一个步骤，都是高考场上能减回来的分。需要这套聊城二模完整试卷加详细答案解析 pdf 的 同学评论区打聊城二模或者直接私信我，看到就会发。
2042力力老师爱学习
01:53查看AI文稿AI文稿送给这次二模数学考了三四十分的孩子，如果你用心记，我保你高考七十分以上，那家长也可以关注转发给孩子哈一分啊！学最忌讳的就是瞎刷题，啃难题，还想通刷压轴之类的， 这个咱都知道，那具体怎么去拿这些基础分？今天给中低分的孩子整理一个极简的题模板，只学这几块，你不用费脑子哈，背会公式你就能拿分。 第一块呢，是集合与简易逻辑，纯纯的数分题，试卷第一道是必考，全是基础运算，你次次拿下一般也不会错的。第二块有一个复数运算，题型是万年不变，套路也特别固定，只要背会了核心公式，直接套， 闭眼就能拿满分。第三呢，平面向量，不用复杂的推导，你就练简单的加减坐标计数计算，这种公式少，计算简单，妥妥的保底分。第四块呢，三角函数的一个基础，你别啃那个复杂大题哈，就记牢这个诱导公式啊，小数角数值，简单求值计算。 第五块呢，就说数列基础，专攻等差等比通向通公式，哎，前 n 项或者说基础公式，不用钻研这个难题，辨识哈， 背熟套用就能得分哎。第六呢，是立体几何基础，这个你要放弃复杂的那个谜难题，只需要记什么表面积体积，核心公式啊，单工基础计算题。第七块呢，就统计基础，就练着点概型啊，点单频率分布这种 行，直白易懂。第八块呢，实现语言方程，只要掌握基础计算为主，拿题套路他非常固定，不用你去深挖难点。所以说，这三四十分的孩子，你不用贪多求全，也不要盲目内卷，就死磕这八大块基础，做题的时候横向通下 专项去练，多做一下题，把该拿的分啊，每一个都攥紧，不用去啃难的了，这样你稳稳的冲到六七十分以上绝对没问题。所以说稳住心态，聚焦知识点，这都是机会，拿到你的必拿分就行。
12非凡杨校
16:57查看AI文稿AI文稿好，各位同学。嗯，二六年聊城二模最后一个题，第十九题的最后一问，第三问。我们来看一下 有所给的方程，有两个实根，我找到这个方程的等价形式， u f x 等于 b 倍的 cos x， 我 们会得到 x 加 a 倍的 x 减 b 倍的 cos x 等于零。 现在呢，就说左边左边像是一个函数，这函数有两个零点，那是由体积会得到，它有两个实数根。 既然左边是一个函数，那我就去舍 g x 等于 x 加 a 倍的浪， x 减 b 倍的 cos x 定域 x 大 于零。 那么这时候我去求它的导函数，为什么要求它导函数？它有两个实数根，也就是相当于 g x 有 两个零点，那它得是有张有减，才有可能有两个零点。 而本题让你挣的是两个步骤，一个是 a 小 于零，另一个是这两个根乘积。 所以我们这先来完成第一步 a 小 于零的证明。那么求往导数，这个导数很好找的。 有三角函数的时候，无论是这的正弦还是这的余弦，我们在考虑问题的时候，一定要注意三角函数的有界性。啥叫有界性？那就是三角函数正弦和余弦，它都在负一到一直接， 所以在这我们要看到题干信息中告诉你 b 大 于零小于一， 所以我结合有界性，我会发现这样的东西，一减 b 是大于零的。来，那你看最小谁最小？当 c x 等于负一的时候，这个倒函数最小，有介性吗？ 所以它大于等于一减 b 加 x 分 之一，这时候我们就好像看到了 a 一 减 b 是 大于零的。我这时候在分析 a， 看到这我们会发现，当 a 大 于等于零的时候， 咱们的 g 撇你们好像应该能看到，它是大于等于一减 b， a 减 b 是 大于零的， 而导函数 g 撇是大于零，那所以在 a 大 于等于零的前提下， g x 它是单调， 它单调递增，它单调的话，那好像它就不可能有两个零点了吧？ 这时候的 g x， 它最多有一个零点， 所以 a 大 于等于零，它不满足 t， 他不满足提议，那么我们的 a 就 该小于零。第一步的证明完毕， 哎，第二步他还要让咱们去证明两根成积，那这该怎么去证明？那么我们从两根成积中看能发现什么？ 由 g x 一 等于 g x 等于零， 会得到 a 倍的浪 x 一 等于 b 倍的 cosine x 一 减 x 一， a 倍的 x 二等于 b 倍的 cos 二 x 二减 x 二，那这时候我们就会得到 a 倍的 cos 一 减 cos 二减， cos 二减去 x 一 减 x 二， 往这移动一点。得了这种关系之后，那这时候该怎么考虑？哎， 有三角有他，你喜欢哪个？我喜欢后面这个，那就把三角的这块去掉。 怎么去？我们不能无缘无故的把它去掉，所以，所以我们下一步构造一个新函数，构造哪个函数？熟悉的 y 等于 x 加三 x， y 等于 x 减三 x， y 等于 x 减 cos x。 这一函数通通都是真函数，这你知道吗？哎，每个孩子都该熟悉的这东西，因为它们的导函数大于等于零恒成立， 所以下一步就就构造 x 减 cos x s h x 等于 x 减 q 乘 x， 现用现证嘛这些东西。 这 h 撇，那很容易发现，它是一加 c x， 它是大于等于两横成立的，所以 h x 啊，单调递增， 它单调递增了，那么我们的 x 一 是大于 x 二的， 所以我们的 it x 一 就该大于 it x 二，也即是 x 一 减 cosine x 一 大于 x 二减 cosine x 二， 所以我们会得到 x 一 减 x 二大于构成 x 一 减构成 x 二。 这是咱们的这个题目到这里了，那这时候呢？这时候，这时候这里出现了 b 乘以它，我得把 b 拿进来， 因为 b 是 大于零的，所以必备的 cos x 一 减 cos x 二，它是小于必备的 x 一 减 x 二的。现在，现在我们看着刚才找到的这一块的东西， 哪一块东西啊？这里和它的关系以及这里两者结合在一起，我们得到一个， 把它写在上面来啊。 所以我们会得到 a 倍的 x 一 减 x 二， 它是小于 b 减一倍的 s 一 减 s 的。 这时候我们看到 b 减一是小于零的， 让 s 一 减让 s 二，它是大于零的，所以我们会得到 这两边同时乘以一个量。 那老师你怎么想到要把它整理成这种东西呢？哎，整理成这东西最根本的原因在于我们的结论中， 结论中要出现 a 比 a 比上 b 减 e， 所以 有这样的处理方式。然后现在我们再看， 耶，不对啊，它是有个平方，这没有平方，可是你左边它也不是咱们的 l 一 乘 l 二啊。 所以这时候当我们正得了正得了这个关系式以后，我就会发现这就缺少一个平方，而这边在结合它。所以现在我会发现， 若乘 x 一 乘 x 小 于 b 减一分之 a 的 平方，因为 a 小 于零嘛， b 减一也小于零，那 b 减一分之 a 是 大于零的，我只需要去证 根号下 x 一 x 二和 x 一 减 x 比上 浪 s 一 减浪 s 二。哎，看到这里，很多孩子都已经呀恍然大悟，为什么这是我们的对数，君子不能失， 又叫对手平均不等式，限用限挣，所以我们就想办法证明这个对手平均不等式， 需要证明，需要证明。我处理到这样， 所以这时候啊， what's the t 等于根号下 x 一 比 x 二， 则我们会发现 t 是 大于一的，并且我们虚证的东西， 虚证的是二倍的，让 t 小 于 t 减 t 分 之一，也即 t 减 t 分 之一，减二倍的 让 t 大 于零，那也就是说，我现在我只要证明了它，这个题目就做完了。 s 反 t 等于 t 减 t 分 之一，减二倍的幂 t t 大 于一，这是典型的边界最值。因为很容易发现，反一等于零， 则反撇 x 反一等于零，它要，它要大于零，那就是。但是第增百也是反撇大于零， 我写成 x 了，这是外撇 t 啊，不好意思，它等于一加 t 方分之一，减去 t 分 之二，那有时候通分你就不需要通分了，你很容易看到这就是个完全平方， 所以，所以我们看到外撇大于零等于零， 所以 f 撇大于零，横成的 f 就 该单调递增， 那么 f 撇等于 t 减 t 分 之一，减二倍的零， t 就 该大于 f 一， f 一 是等于零的，也就是说我们虚正的这个东西完成了， 既然完成了，那么我们的原命题也就得正， 所以原命题得正， 也就是 x 一 乘 l 小 于。 好，这是我们的啊。这个第十九题第三万， 如果你要看完整的步骤的话，我就把它缩小一下， 太小了，咱们只看一下这些答案部分。 嗯，好，这是我们的啊，二六年聊城二模的第十九题。
27巨灵石
07:21查看AI文稿AI文稿好，咱们继续看一下啊，聊城二六年二模第十九题最后一个亚洲题，这是一个导数题，第一问不讲， 第二问，先看读题。函数图像 在区间二四分之一到二上存在两条互相垂直的切线，这就在告诉你， 它的切线斜率之积等于负一， 换句话说，就是在这个区间内部啊，它有两个导数值，乘积是负一的。嗯，好，我们看看这个题目， 从题中，从题中， 由奇异可知，存在两个量 满足， f 撇 m 乘 f 撇 n 等于负一。这会咱们再看。 从 f 撇 x 等于一加 x 分 之 a 中，我们可以看到 f 撇是关于 x 的 一个函数，那么在这里面我们会发现， a 大 于等于零的时候，那 f 撇它是永远大于零的， 它既然永远大于零，那这就说明 a 大 于等于零，它不合提，因为两者乘积得等于负一，一正一负才行，它既然都大于零，那就不合提， 所以可以知道 a 一 一定是小于零的。那么我们再看， 当 a 小 于零的时候，我们能否看到函数 f 撇的这个单调性， 你说那还不好看吗？确实，这个函数啊，它在零到正无穷也在它的定义上都是单调递增的， 既然这样的话，它单调递增，若使得 f 撇 m 乘 f 撇 n 等于负一的话，那就必须有这样的关系， 我们使 m 小 于 n， 那 肯定 f 撇 m 就 得大于零，小于 f 撇二， 所以我们看他的等价形式，我们会理解到，会理解到一种思路是这两者乘积的绝对值 与这两者乘积的绝对值之间的关系。显然， f 撇四分之一和 f 撇二的乘积绝对值要大于一，也就是它们乘积得小于负一。当然你还可以从这个角度来分析 同向可成性， 还可以从这来分析，这时候我们会看到 负的 f 撇四分之一乘 f 撇二得大于负的 f 撇 m 乘 f 撇 n， 它是等于一的，所以我们必然会有 f 撇四分之一 和 f p r 的 成绩效与负一和我们刚才说说这两者和这两者他们的成绩的绝对值大小关系。哎，思路是一样的， 所以现在我们就可以得到这个一加四 a 乘以一加二分之一小于负一，那这是关于 a 的 一个二次不等式 解之，得 八分之负九减根下十七 到八分之负九加根下十七。所以最终答案就是他 最后一定要有圆口回扣圆题那句话，所以 实数 a 的 取之范围 是开取经。 好，这是我们啊，二六年二六年疗程二模的第十九题第二问。
17巨灵石
03:07查看AI文稿AI文稿接着分析聊城二零二六年耳膜第六题 a、 b 之间的距离是二 c、 d 之间的距离为四 c a、 c、 b 数量积等于零，说明 c 点是在以 a、 b 为直径的圆上， 而且地点到 c 点的距离大小是固定的，换句话说，地点是在以点 c 为圆心，以四为半径的圆上运动。 那对我们来说， d、 a、 d、 b 数量级学过极化恒等式的孩子都应该清楚，都应该清楚。 找到 ab 的 中点， 假如中点是点 o， 它应该是 d o 的 平方， 减去 o a 或者 o b， 也就是 ab 的 一半的平方，所以这个最大就得去找 d 点到 ab 中点距离的那个最大值。 我们把图放在这，当看到这图的时候，我们就会发现，点 c 是 在里面这个黑色的小圆上， 以一为半径的圆上找到 o 点， d 点是在外面红色的圆上运动，而 d 点到 o 点的距离的最大值， 那显然这就属于，这就属于外面红色圆怎么成为圆 c 圆内的一点 o 红色圆圆 c 上的一个动点到点 o 的 距离最大和最小。那这就是我们原来曾经做过的一类题，最大和最小都出现在，都出现在过点 o 的 这条直径上， 都出现在这直径上。这边虚线这一段是最啊短蓝色的 d 零 o， 这是最大，所以这个最大的值啊，答案也就直接选向 d 了， 那怎么知道选下 d 啊？因为 o、 c 等于一， dc 等于四， d o 一 就等于五，所以它最大值四。 选下 d。
112巨灵石
01:36查看AI文稿AI文稿二零二六聊城中考数学二模样题新鲜出炉了！同学们好，刚刚出炉还热乎的二模样题来了，那么今天的这套二模样卷啊，是以聊城一模难度与相当啊。 选择题的部分呢，从轴对称图形啊，整式匀算啊，包括三式弧，包括一道跨学科的题哈，然后，呃，到这个等边三角形，相似啊，这个方叉，黄金三角形，正方形的几何综合抛物线的性质啊，这十道题，还是这个选择题的一个高频考点啊，属于这个很有代表性的题。 呃，那个填空题呢？考到的这个包括这个概率啊，包括这个扇形面积啊，抛物线的实际应用，几何最值也都是我们聊城中考常考的这个填空题型哈，计算量还算是适中的啊，比较侧重于方法和思路。 那么解答题呢，仍然是有这个实数的运算和分式的化简求值，这个呢，都是基础的，必拿分了哈。呃，只为做图呢。加上这个直角三角形的斜边中线，证明属于这个课本的一个重点的研究辨识吧，包括这个无人机解直角三角形，也是实际应用，必考。 呃，这个栅栏为矩形的一元二次方程，经典的这个应用题，包括统计图表，综合，这，这都是属于送分题啊，咱是坚决不能丢分的。 原综合切线角度嫌长，这也是中考的必考题型。接下来就是抛物线呀，正方形啊，平移啊，焦点范围啊，这是函数压轴啊，这个题呢，还算叫压轴题，当中的难度适中啊。最后的二十三题，几何综合大题啊，这考了咱这个中点啊，中位线，等腰等边三角形的，证明这道题的整体难度呢？ 刚刚说了哈，就是与一模的难度是相当的啊，或是略简单一点，接近于这个。呃，中考的一个题型哈。那么来找王老师领取这套聊城二模样题吧，看看你一模厚有没有长本事。
440教高中的王老师（休息中）
02:55查看AI文稿AI文稿各位聊城高三的同学家长大家好哈，今天张老师针对于本次聊城高三二模的数学试卷做一下完整清晰的解读。那具体的试卷分析呢，会放在视频的最后，强调一下考察心态的时候到了， 那本次聊城二模数学难度大幅提升，受 t 八联考的命题风格影响，试卷呢，在计算量综合性上全面加码，整体分数预计会比一模降低十五到二十分，绝大多数的同学都会面临题目做不完的情况，整体难度啊，明显高于一模。 那从试卷整体来看呢，分值结构为基础是四十，中等是六十，难题呢为五十分，比例呢是四比六比五，覆盖必修与选修的全部核心内容，考察全面，综合性极强。 分数线预估呢，比较明确，七十五分我们可以理解为本科线，八十五呢是二本线，一本线为一百分以上。 那试卷既考察了公式的记忆、基本预算等基础能力，也检查了逻辑推理、数学建模等核心的素养，命题的方向明显向 t 八联考靠拢。 那结合答题的一个情况，同学们的核心问题啊，集中啊在以下三点，第一个呢是计算精度不够复杂，计算容易出错。第二呢是公式不能灵活运用，低频考点应对能力比较弱。那第三呢，就是几何与代数转化， 跨模块综合题，解析思路欠缺抽象函数啊，横成力的问题无从下手。那具体的各题型呢，我们简单的分析一下哈，比如说单选择题，他仅有四道为基础题，第五题起的难度途增， 第八题结合了竖列与排列组合，很多的同学是读不懂题意的，那多选题的第九题需要主选项来计算，耗时呢，会比较长。第十题，十一题呢，考察的是低频考点，像我们的复合函数，立体几何很难选全。 那填空题呢，只有第一个题为基础题型，后两个解三角形最值啊，很容易出现遗忘。最后一个题是难题， 那解答题啊，同样压力非常大。第一题呢，就是拼接解三角形与概率，那双曲线计算比较繁琐，立体结合三问量大，非常的耗时间。竖列呀，倒数压轴题，拆分设问，难度呢，拉满。 总体来说呢，本次二模是一次高强度的综合检验，暴露出我们基础不牢，计算偏弱，综合题应对不足等相关的问题。 后续备考呀，大家要狠抓基础题型，强化现实计算训练，重点突破跨模块综合题，逐个来进行攻克我们的预测点，才能够稳固提升成绩。如果说对于孩子接下来的学习规划，提升规划有相关的问题，大家直接评论区一起探讨。
00:45查看AI文稿AI文稿聊城高三二模难吗？数学物理题干四百多字确实难，但这早已经是常态了。你看看去年也是咱聊城高三的二模考试，考华为麒麟芯片那道题，题干达到了六百六十字。你贴近生活又紧跟时势， 这说明啊，国家选人的标准他早变了，要的是那种有独立思考能力的创新型人才。 对小学一二三年级的家长来说，更应该引起警惕，因为一二三年级是阅读习惯养成的黄金期，一定要重点抓。小学阅读就像往银行里存钱，开始他不起眼，到了高中他会连本带利的还给你。
00:46查看AI文稿AI文稿聊城高三二模考完，孩子被考哭，这很正常，语文光阅读就五千多字，数学第九题题干加上选项四百六十个字，还得加分析表格。物理的第十八题也是四百六十多个字， 全是带情景带生活的。这种阅读理解不能快速抓住重点，会的题你也做不出来。其实这一切的根源，它全在孩子的阅读能力差。 现在的命题早就从以前的考知识转向了现在的考能力。小学不阅读，初中高中哪有时间过？趁着小学还有时间，把阅读抓起来，千万别让咱孩子在考场上吃读不懂的亏！
29让孩子读书的老张
09:09查看AI文稿AI文稿好，各位同学，暂停一下，咱们今天看一下咱们二零二六年聊城二模第十题，这是一个符合函数的题目， 这个题目这题目第一问，不是说第一问，是选项 a， 它最小正周期，最小正周期， 它取决于三，也取决于 y 乘函数 cos 这符合函数，它是由谁构成的？它是由 y 等于 t 加 t 分 之一， t 等于 cos， 又又等于三 x， 这么三乘符合而成的， 那么它的周期我们显然由于 cosine cosine 那 t 等于 cosine u， 它是左右对称的，所以当三 x 换成负的三 x 的 时候，这函数值并没有发生改变，所以我们这可以发现 f x 加 pi， 它是等于 f x 的， 因为三 e f 三 e x 加派等于负的三 x 嘛。而 cosine f 的 三 x 和 cosine 三 x 它是相等的，所以选项 a 是 错误的。 选项 b， 选项 b， 那 么它是否关于这条直线对称？这就涉及到我们前面曾经学习过的对称对称，我们对称分析往往是 f a 加 x 等于 f a 减 x， 或者说 f x 等于 f 二 a 减 x， 这时候是说直线这个曲线 f x 关于直线 a 的 a 对 称。 所以这儿验证选项 b 是 否正确，就要去分析 f 二 pi 减 x 是否等于 f x， 这一个也是很容易判断它们是相等的，所以选 b 是 正确的。 c d 两个选项我们在做分析的时候，刚才选一开始我就说了，这函数它是符合函数，我们先把它的符合形式搞出来， 看着这个符号，我们会发现函数 f x 在 零到二分之派上零到二分之派，零到二分之派对对于 这个三 x 也是又等于三 x， 它在零到二分之派上是单调 d 啊增 c 三又 c 三又在零的一上单着 d 减。哎。 y 等于 t 加 t 分 之一，在零的一上单着 d 减，你看， 这就很清楚了吧。所以说选项 c 那 叫显然正确。 如果你没有看清，我这儿多写一点选项 c， 我 们发现 y 等于 t 加 t 分 之九， 在零到一上，在那递减， t 等于扣三 u， 它在零到一上也是单调递减 又等于三 x 在 零到二分之派上 单调递增。 根据我们的同增异减，前两者已经发现了这是个减减增，所以最终单调性只取决于最后最内层的复合函数。 所以这时候我们会发现选项 c 正确。重点分析选项 d， 选项 d m 在 零二到二分之三，二分之三倍的根二。 假如我找到这个二的这个地方，这儿二分之三倍的根二，但这是个空心点啊，取不到一的嘛 来，不是取不到一啊，是这取不到二，这肯定也是空心的。我就会发现这样的东西，啥样东西啊？要满足其实条件， 我们就需要满足的是，需要满足的是 t， 你 得在二分之根二到一之间去吃。 t 在 二分之根二到一之间，那么我们再仔细看， t 在 二分之根二到一之间，那个 t 要取在这之间， 这是二分之根二，这是一。这时候他就要使的右 在哪里又在哪里。显然，显然我们从 t 在 这之间我们会得到要求，又就应该只在 哎。有同学看到了负的四分之派 到四分之派之间，但是不能等于零， 这是右的曲子范围。然后最后从从最后这个函数图像中， 从这里来看 x 的 曲子怎么看？ 由于口唇釉和口唇腹釉相等，不是口，这个是 t， 等于口唇釉和口唇釉相等， 所以我在又等于三 x 中我画两条红色线，上方对应一个，又下方对应的负，又，这时候就出现了 x 一 x 二， x 三， x 五 x 六，六个 x 的 值，六个 x 的 值，会发现 x 一 与 x 四关于圆点对称， x 二与 x 三关于圆点对称，它们的和不用理了吧。光剩 x 五 x 六 x 五加 x 六显然是二分之三的二倍，所以选项 d 也正确。 所以最终答案 b c d。 这是咱们的第十题。
38巨灵石
00:19查看AI文稿AI文稿试卷分享，高三全科二模聊城二模山东省聊城市二零二六年普通高中学业水平等级考试模拟试卷及答案视频时常有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。
06:38查看AI文稿AI文稿二零二六年聊城二模的基因工程大题。嗯，这个题考察的角度，哎，非常好，它就考察了这个。呃， t ti 智力中的 t d a， 考察了 t d a， 考察了它左右边界，哎， 总共是，嗯，十二分。十二分，题干可以先先先不读，它直接做题。 在农杆菌侵染细菌的过程中，农杆菌会产生酶甲这种酶，这种酶可催化了一种什么事呢？将 t d a 的 一条核苷酸链切割下来。要切割 t d a， 要切割 t d a 的 一条链，那从哪切割呀？所以它识别并切割的序列该什么？转移进 t t i g d。 转移进植物细胞内的就是 t t n 这一段，你把这一段的其中一条链要进行切割，那你这地方要必须切一下，这地方要必须切一下，所以它识别并切割的位置就是左右边界。 所以第一空一分啊，第二空这个被转化到植物体内这个片段进入植物体内之后又形成双链，形成双链之后，并且还整合到宿主的染色体上，这个植物细胞染色体上，所以它肯定能实现纹理遗传。 这一空也是一分理由。就是呢，就是 t i g d 的 这个 t d a 被转移并整合到受体细胞的染色体 d a 上了，哎，从这一空开始都是二分。那第二小题 就是考试时候你可以不完整的做完题干直接做哈，你需要的时候再回去找。利用智力 b 构建紧表达在体时候，那智力 b 是 啥啊？智力 b 就是 这个图中去除这两个基因的 t a g d b， 那 就没有这两个基因了，剩下连起来， 连起来之后，那这段没有它了，那还有，这就是空白的连起来了，哎，有四，有三种酶的识别，虚的三四五， 三四五。哎，咱们需要在目的基因的首首首尾两端添加两种限制酶，添加两种限制酶的识别距离，这样好用。将目的基因用双酶切，这个智力也用双酶切，这样就能保证它正向连接，哎，防止了智力和目的基因的自身环化和 是什么反向连或反向连接。所以这个用双酶的原因，那你是双酶添加的序列是什么？那三四五中三是这样的识别序列，四和五啊，这大眼一看，它俩识别序列相同， 识别序列相同，那你就只能是右右边加四或五的序列，那左边呢？ 左边就加什么，就加三的，他就从这切，你这边切完之后，他就掉下来继续从这切。是左侧加目的金，左侧加三的识别穴位，右侧加四或五的识别穴位，四或五识别穴位。你直接抄上也行，或者写写这个眉或这个眉的识别穴位也行。 第三小题，哎，这才说智力 a、 b、 c， 那 我把智力 a、 b、 c 的 题干给放在这里了，智力 a 就是 完整的，这就智力 a。 刚才说了去掉，去掉这两个的 就是智力 b， 去掉这一整块的就是智力 c。 导入不含脂质溶杆菌中导入脂质的溶杆菌与植物外脂体分别共培养后，若实验结果是什么，它叫说明什么？说明它 是证明，就叫你证明它是 t， d， a 进入植物细胞不可缺少的结构，而这俩基因不是，那就看看这里 a、 b、 c 来， a 和 b， a 和 b 都有，它都有这个， 而而 c 呢？ c 没有这个，它是进入不可缺少的结构。那有，有这个就就能进入，有这个就就能进入。那些 a 和 b 是 不就能转？都能转化成功了？ c、 c 它是把整个这块都去掉了，所以 c 就 转化不成功。 那，那这个不是这个不是那个 b、 b 不 就只去掉它嘛，只去掉它照样能转化成功。因为它有左边界，右边界啊。所以这个答案就是含脂 d、 a、 脂 d、 b 的 农杆菌侵染植物时均出现转化，因为它 a 和 b 都含有这个左边界，右边界嘛。含脂 d、 c 的 农杆菌侵染是 含脂 d、 c 的 农杆菌侵染时候，因为它没有左右边界了，整个都去掉了，所以不出现转化。 嗯，为获得。哎，这个这个目的很重要。获得胚状体或试管苗。咱从转化的这个植物细胞变成胚状体或试管苗，是不是要要要脱分化、再分化？ 这就是要形成愈伤组织和愈伤组织的再分化嘛。那用携带了支离 b 的 农杆菌来侵染植物，支离 b 是 没有没有这两个基因的。 那这接下来这一问，是不是就考你，考你这两个基因的作用了？用携带了智力 b 的 农杆菌侵染植物，而不用携带智力 a 的 农杆菌。 哎，目的是为了获得什么？获得胚状体或试管苗？要说有 有有，有智力 a 就 不容易形成配状体或视管苗，有智力 b 就 容易形成配状体或视视管苗。那你找 a 和 b 的 区别呗。 a 就 携带这两个基因， b 呢就去掉智力 b 就 去掉了，这两个基因去掉了之后它容易脱分化、再分化。那说明这两个基因 t、 d 中的这两个在植物细胞中表达，表达之后它产生的某种物质甚至就是激素会影响乳腺上组织的形成及分化。哎，这个影响当然就是抑制， 所以用不含这两个基因的去侵染动感菌去。嗯，这个题不难，考察的角度挺好的。
22生物大能
07:35查看AI文稿AI文稿一题几何多选好题，这是由线面角和二面角综合考察了，当然这个题因为下面是直角梯形，很明显的第一思路还是想用间隙来做。传统方法咱暂时就不写了嘛。好在四零锥 p、 a、 b、 c、 d 中，你的下面是个直角梯形， a、 d 平行于 bc， a、 d 等于四， bc 就 等于二，咱们写在旁边 a、 d， 然后 a、 b 垂直 a、 d。 角 a 是 直角， a、 d、 c 等于六十度三角形 p， a、 b 是 等边三角形。二面角出来了，在线面角也有了线面角，知道求二面角的可棱值，我们也画图， 对吧？角 a 是 直角，所以 a 画到最里面好间隙，然后 d 要长点，然后这个因为 d 要长点，所以这是 a、 d 拉一半，大概就是这样， a、 b、 c、 d， 然后 p 点，现在随便画好图形就是这样了嘛。 错了，再去直线，那我们就把 p 点拉高一点，这就画图的时候没 p 点，在这个位置 稍微画一下好，是不是得到四零锥了？四零锥标数据算数据， a、 d 等于四， bc 等于二，这个一般是取上面的中点，即为 m， 所以 就把这个四先改成二和二，这就我们用铅笔标的嘛。 好，这是二，这是二，继续往下 bc 等于二。好，没问题，这肯定垂直的。他告诉角 a、 d、 c 等于六十度， 个为六十度，这个就为三十度，三十度所对的边是斜边的一半，这个就是勾股定律。这二倍杠三，这个二倍杠三，二倍根号三，你看数据是不是出来了，那数据出来，我们就开始来进行设点了。 x 轴， y 轴，这个垂直拉上去是 z 轴，所以我们找，因为有个线面角，所以 p d， 哎，我们讲一下这个关键的一个东西， p 的 坐标我们一般可能是 m， n， s， 三是这三个字母，但我们没用。利用好这个等边三角形，找哪个的坐标，就是向哪轴做垂线嘛，所以肯定向 x 轴做垂线， 这不是 m 了， m 标过了做 h， 所以 一定是中点，所以 p 的 横坐标一定是根号三，这就非常关键的，只要降圆的思维，我们要明确，做多了就不要设三未知数，所以 p 点就是根号三， m， n 两个未知数，这个根号三是一个比较关键的东西。 好，根号三出来了，所以 d 的 坐标就是零四，零 p， d 向量写出来下面这个面 a， b， c， d， 它的法向量 m 可以 等于我们加一个法字， 法向量 m 肯定可以取零零一了嘛，零零一还有它是等边三角形，这边长是得到关系的，所以就有个 p a 的 平方是等于二倍根号三十二代减就是三，加 m 方加 n 方等于十二， m 方，加上 n 方是等于九的，是不是就得到第一个关系式了？ 哎，明早就得到它，如果你不设为根号三，你还要加一个，如果不设为根号三， 那么你还要写 p a 方等于 p b 方，这个算出来还是 x 等于根号三而已。在我们就以后熟悉了，就中等腰等面上沿去终点拉下垂直了嘛，好得到这个条件，继续线面角的公式，所以线是 p d， 我 们写 dp， 向量好写一点， dp 就是 p 减 d 的 根号三， m 减四 n， 所以 根据线面角的公式，塞赢阿尔法就等于扩损 m 向量和 dp 的 余弦值的绝对值。所以套减就是魔长了，魔长一个的魔长就是三，加上 m 减四的平方，再加 n 方，然它乘以它，法向量乘以它，就变成了 n 的 绝对值，对吧？这个是等于题目的六分之根号十五平方来算就行了嘛。就计算 n 方除以三，加 m 方减八 m， 加上十六十六，再写十九，我们就把三抹掉，这是快速算一下，再加上 n 方就等于三十六分之十五，约去个三就等于十二分之五，所以交叉相乘就行了，就推出。 写到下面就推出十二平方减二五平方，就是七平方，就等于五 m 方，减五八四十 m， 再加上五九四十五，一五得五九十五，是否得到第二个关系。所以消元， 对吧？我们刚刚写的这是一式，这是二式，这两个一消元就可以推出 七 n 方，七九六十三，减七 m 方，就等于五 m 方，减四十 m， 加上九十五，再画件在一块就十二 m 方，减四十 m， 再加九十五，减六十三，三十二等于零，差个值就不要了，这是 可以简单口算的好，得到它，同时出一个四，就得到三 m 方减十 m 加上八，等于零。十次相乘三和一，二四 不行，交换位置，这个是四二负的，负的二三得六满足。所以一个根编号垂他，一个根是三分之四， 一个根编号垂他， m 就 等于三分之四，或 m 等于二，是不是得到 m 的 值啊？下面套求二面角就直接套就行了。我们就写到这面来， 要求二面角，就要求两个反向的，一个是 p a b 的， 一个是 a b c d 的 m， 写一下我们刚刚算过，是零零一，对吧。下面我们要求 p a b 的 a， p 向量就是 p 的 坐标 根号三 m n， 然后还有 ab 项呢，就是 b 的 坐标二倍根号三零零，是吧？二倍根号三零零了，所以发现呢，这个 x 肯定为零的，所以 x 等于零，写出来就是交叉相乘，是啊，交叉复制了这个。另， y 等于 n， y 等于 i， z 就 等于负 m， 所以 这很明显一只它的发现呢， n 就 等于零， n 负 m 是 不是零 n 负 m 啦，所以套夹角公式 它是哪个夹角？ cosine cot， 所以 cotine 九开根号就是三二嘛，我们刚刚算过的，然后这个这套零零一代点就是 m 的 绝对值， m 刚刚算过了，所以在最终就等于三分之四除以三，九分之四或二除以三，三分之二，九分之四或三分之二。所以答案选 c d。 这个题就给大家讲到这，这就是好间隙，我们就顺着间，间隙有个特点， p 的 横坐标是可以快速知道的，这是我们不要慢慢去设，浪费计算量，这就平时要总结了嘛。
35猴哥带你学数学
00:20查看AI文稿AI文稿辽宁珠三想冲一三中的孩子，最近济南二模这几道压轴大题质量非常好，五月八号咱们东昌府区二模前一定要做完。另外像济南各个区一模卷子里面的题，也有一些非常有价值，非常值得一做的压轴大题，都给大家整理出来了，有需要的家长记得点赞收藏加关注，进我主页粉丝群领题。
