解直角三角形中考题型及解决方法湖北
四月调好过后，中考冲刺才算真正的开始，最后两月不到的时间，只要肯下功夫，肯花时间，一切皆有可能。下面来看一道二零二六年武汉中考的高频考点有关二倍角问题。 这是一道去年红山区补调的真题填空押注题，十六题在直角上运行， b、 a、 c 当中 知道 cbd 等于两倍的 abd， 并且 cd 等于三， bd 等于二，最后要求的是 ad 线段的长度。 那么拿到这个题目，首先出发点就是有关二倍角如何处理二倍角有两条思路，第一个就是大化小，大角化为小角，第二个就是小角变大，小变大， 大化小，我们可以通过角分线来完成，或者是我们的外角模型 小变大呢？我们可以通过勾等腰， 或者是通过我们说的直角对称。 好来看一下这个题目。大角我们标记一下，等于两边的小角，小角我们就涂一下那定位，我们可以得到小角是在这个直角上移当中的 第一个 b、 d 之道，那我们可以做一个垂线，先将目标角小角进行一个弯加， 这样的话就构到了一个相似模型，二比三的模型， 那么 a、 d 的 长度相关量就是 dm。 第二个二倍角进行加直角，这里面我们直接对称进行放大就可以了， 那这样的话，此时二倍角就是等于 d、 c、 n 这个角了。 这样看图说话，我们就知道这两个角标就构造的子母型。最后我们只需令 方程就可以了，令 a、 d 为二 x， 那 么 dm 就 为三 x， m， n 也为三 x， 这样的话通过子母型我们就可以得到，因为 c、 n 它是等于三的， 也就是九，它是等于六 x 乘以六 x 加三二的。最后把它进行化简一下， 可以得到十二 x 平方，加上四 x 减去三是等于零的。 我们首先因子分解，不能因子分解的时候，我们首推的就是公式法二 a 分 之负 b 加减根号得二塔，那么这里面就是加第二塔， 加上一百四十四，这样的话进行化简一下，根号一百六四倍，根号十，所以说最后 六分之根号十减一，最后要求的是 a、 d 的 长度及二 x， 所以 说在此基础上面，我们乘以二即可。及 三分之根号十减一，这是我们从小变大的角度出发的，有关二倍角问题，我们今年要引起重视。
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03:14查看AI文稿AI文稿各位家长同学大家好，欢迎来到医学智库中考倒计时，要是问陕西考生，哪道题看着就会一算就废，十有八九会说解直角三角形公式背的滚瓜烂熟，三印考三印，摊诊的张口就来，可以上考场 图太乱算太烦，分就是拿不到。今天咱们就用三分钟彻底把它讲透。我先说三种情况，你听听是不是在讲自己。 第一，图形复杂，图不是标准直角三角形，得自己做高做垂线。很多同学一看就懵，高从哪做？做了怎么用？第二，计算崩溃，好不容易列出式子，又是根号又是分数， 算三分钟发现带不进去，下一步直接心态崩。第三，场景看不懂，什么仰角俯角信号杆，连图都画不出来，还列什么式？三条中一条？别急，这不是你笨，是这个题太狡猾。命题人到底考什么？ 很多同学把这题当计算题，大错特错，它其实是几何构造加计算加建模的综合题。 第一个坎，图形不规则，你得自己盖房子。命题人很少给你现成的直角三角形， 你唯一能做的就是自己做高，把一个图拆成几个直角三角形。记住一句话，解，直角三角形核心不在三角形，在直角，没有直角就自己造。第二个坎，计算量大，但考的是巧算， 比如山坡信号杆那道题，柿子列出来谁都会，但根号平方比例一搅和就乱套了。 考场上比算的快，更重要的是会不会换一条计算路径。第三个看不懂场景，是翻译能力不够。 仰角、俯角、坡度、光背定义没用，你得能把文字迅速变成几何图标，对条件找出隐藏的直角，三招破局，听完就能用。 接下来一个月按这三步走。第一招，练拆图，不练刷题，拿五道真题不计算，只画辅助线，哪条做高，哪条做垂。画完复数，这个可解哪个可解，练到一看图就直觉，就有直觉。 第二招，一步一回头，算到根号分手，写一步，检查一步，同时学会设未知数列方程比硬算快的多。第三招，关键词，固定图形，羊角三十度，立刻向上划射线， 坡角一比二，立刻想到数值比水平等于一比二，练到条件反射，考场上不用想。最后送你一句话，解直角三角形不是考天才，是考有没有养成拆图的习惯，从现在开始，见到这道题不要怕，先画高，再找直角。 最后列方程，三步走下来，你会发现他真的不难。你是卡在不会画辅助线，还是计算总出错？评论区告诉我，下期直播专门解答，再见！
37易学智库
07:30查看AI文稿AI文稿来看下这个题，这个题给的有一个图，然后我们直接看这里的图二就可以了，然后看一下它测量松明，你说有一座勾为 d、 e 的 观景台，已知观景台的斜坡 c、 d 在 这 坡度为 i， 然后人又告诉你的这个测量数据，这个 i 等于三比四，那你要知道这个叫做什么，它叫做坡度，那它这里的笔直就叫做坡比， 坡比就是这里的 i， 它是等于三比四的，但这个坡比是怎么来的？实际上就是你斜坡，你看斜坡和水平面的夹角是不是这个角，对吧？所以这个地方人家告诉你坡比是三比四，实际上是为了告诉你这里的贪镜角 dce 等于对边比，邻边是贪镜的，对吧？是等于贼三比四的， 所以你要能读懂，人家告诉你这个坡度实际上就是这个坡比 i， 然后也就是说这里贪镜就是你的斜坡与水平面的这个夹角就是这个边比，这个边是三比四的。你要能知道人家告诉你这个知识点是为了给你什么的， 然后再往下他还告诉你了啊，如果是在这个地方看的话，再点 d 看的话，他的这个阳角是啊，点 c， 阳角是 r 发度，这个是四十五度，那如果是在这个 d 处看的话，他的阳角是尖吗？这个是三十三度。然后下面还告诉你这里 c、 d 的 长是 c， d 的 长是六点二五，然后下面没有了，然后第一位让你分别求这里的 c、 d 和 d、 e， 那 你看一下我们刚才由坡比推出来，这里摊进角 d、 c、 e 是 三比四的，对吧？那我们有比例的话，我是不是可以把这个边给他设出来，对不对？所以第一个在写的时候，你就可以这样写，由题 可知。然后这里的 d e 比上这里的 c e 是 三比四，那通常情况下，我们看到边与边的比是一个比值的话，我们就可以去设，那就设这里的 d e 是 三 x， 对， 把它的一份设成 x， 那 这里的 c e 就是 四 x， 那 你看一下这里的三角形，这个三角形 c、 d、 e 是 不是直角三角形，对吧？这里的 c、 d 也等于多少？等于 六点五，对不对？因为这里的 c d 等于六点二五，那所以这里三 x 的 平方加上四 x 的 平方，我给它开根号， 那你看一下，用勾股定律，它等于谁数等于 c d 等于六点二五，那下面我们就可以去计算出来，这个是五 x 等于六点二五，所以这里的 x 就 等于多少一点二五，那我们把这里的 x 求出来之后，我就可以求这里的 c e 了，我给它带进去，所以算出来这里的 c e 是 五米，这里的 d e 是 三点其五米，这就是第一位。然后我们去看一下第二位，我把这个擦掉了啊，这个地方你需要注意的是谁？就这个地方如果告诉你坡与水平面夹角，它的一个就是它的对边，比上这里的零边的值，一定要认清楚这个啊。 然后来我们再往下面看啊，看一下第二题，第二题它告诉你，让你求这里 ab 的 长，那你看一下 ab 是 在哪？是不是在这里的二 t 三角形 abc 中 ab 等于 ac， 对 吧？然后这个地方你看我们现在知道的有哪些边，我们可以去给他标出来看一下，由刚才我们第一问的计算，我们可以知道这里的 c e 是 五，这里的 d e 是 三点七五。那你看一下我这个地方 这个角他是不是没有完整，那我就给他往这边进行延长。假如说交的点 f 的 话，那你看一下这里的 a f 和 d e 都等于多少？三点七五。但是你看啊，就目前我想求 ab 的 话，这里的 ab 如果是 f 加 b f， 我 现在是不知道对不对？ 那像这种我们说过，如果遇到像这种条件不够的怎么办呢？我就给他设一个未知数，我把这里的 a c 给它设为 x， 那 这里的 a e 是 不是就是 x 加五，那这里的 d f 是 不是也是 x 加五，对吧？然后我把 a c 设为 x 的 话， a c 和 ab 相等，它也等于 x， 那 这里的 b f 是 不是就是 x 减这里的三点七五？ 看一下啊，这里的 b f x 减三点七五。那你看一下现在相当于我知道谁呢？我知道哎，这个边是 x 加五，然后这个 b f 这个边呢？是 x 减三点七五，那我知道这个边和这个边还知道这个角，那你看一下，对于这里的角 b d f 而言，这个是它的什么边，是不是你这个角的对边，然后这个边是它的什么边，是不是你这个角的零边？那对比用谁用弹性， 所以这个是它的三十三度，就等于这里的 b f 比上这里的 d f， 对 吧？然后 b f 我 们表示出来是 x 减三点七五，这里的 d x 是 d f 是 x 加五，那它是约等于多少呢？可以向下面给的，是不是约等于零点六五？那下面我是不是就可以解出来 x， 解出来 x 不 就求出来这里 ab 的 长了吗？所以来第二问的过程，在写的时候，首先你要交代一下这里的辅助线，对吧？然后你也可以直接写就是，嗯， 作 d f 平行 a e 交 a b 于点 f， 然后再往下，所以这里的角 b d f 是 等于多少？三十三度的，对吧？那我们下面再写的时候，我室友就会去给他去设未知数，对吧？设了这里的 a b 等于 ac 等于 x， 则那这里的 a e 是 不是等于这里的 d f 等于 x 加五，对不对？然后以及这里的 b f 是 等于 x 减三点 七五的。然后下面就有在二 t 三角形 b d f 中，就对这里的角 b d f 是 等于三十三度的，所以这里它定的三十三度是等于对边 b f 比上这里的零边，然后 b f 我 们求的是 x 减三点七五，这个求的是 d f 是 x 加五，然后它是约等于零点六五的。那下面我就可以解出来这里的 x 是约等于二十的，因为这个地方人让你精确到一米，所以我们 ab 就是 最终要求的答案。但是如果说啊，如果说你最终求了这个 x 不是 最终答案的话，你中间的计算过程中，你不要给他保留整数，一定要最后再保留啊。像这种题，然后你给他写个答就可以了。然后这个第三问，这个就比较简单了，就不说了啊， d 第四个，这个题，首先第一个啊，他说让你说明这里的 c d 等于 c a 这个地方人家说了这里的影子 d f d f 在 这儿啊，你看下 d f 和这里的标杆 e f 相等，那我们都知道光线它是不是平行的，对吧？那如果这个相等的话，那你看一下啊，这个人就说了啊，这里顶端 a 的 影子落在地面恰好落在哪里？ d c 的， 对吧？那也就是说你因为它我们就能知道这里的 a、 c 是 等于小于等于这里的 d、 c 的， 对不对？所以这个在写的时候啊，就是也不用就是完全又相似的知识吧，虽然说是相似啊。然后我们在写的时候啊，你看数值的 d、 f 的 影子落在哪？ d、 f 处，对不对？ 所以就有这里的 a c 比上这里的 c、 d 等于谁呢？等于这里的 d f 比上这里的啊，不对， d e 比上这里的 d、 f， 那 因为这里的 d e 等于 d f， 所以 这里的 c、 d 等于 c 就 可以了。就这样一个完整的过程，你去给他写就可以了。然后我们重点看第几问呢？看第二问，他说求这里 a、 b 的 高，那我想要求 a、 b 的 高。首先啊，要看一下这个我可以用什么呢？你们之前在求它的高的时候，用的是指数的三角形，来，你看一下这个地方有没有给你角的度数， 没有，对吧？那你像这种不给讲的度数，我们怎么去求？我们就可以利用我们之前讲过的什么呢？讲过的相似，对不对？看一下我在这标个点，比如说标一个 h 的 话，你看一下这个里面你的这个三角形，他不是说是，刚才不是说没有光线是垂直的吗？那你看一下这里的这个三角形 啊，不对标出点啊，这个点是 f， 这个点是 h， 然后你的这个三角形和你这边大的这个三角形，它俩应该是什么关系？是不应该是 应该是相似的，对吧？因为它垂直的话，这里的 d 是 平行 ab 的， 所以它就有这里的三角形，看一下这里的三角形 n、 e、 h 是 相似这里的三角形 a、 b 的， 它俩相似之后，是不是就会有对应边横比例，对吧？那你这里的 e h 比上这里的 ab， 那 就等于这里的 n h 比上这里的 n b， 然后下面，然后我们就去看一下怎么能把这个边给它想办法表示出来。那这个地方你看一下，我们现在知道谁知道这里的 d e 是 二点一，然后在这这个 d e 是 二点一，那你这里的 d f 也是二点一。 这里的 dm 等于一的话，那 dm 和这里的 nh 是 不是相等？也是等于一的？所以你看一下现在这里的 nh， 我是 知道了啊。然后再往下开告诉你，这里的 m n 等于一点二，那你看下 d e 是 等于个二点一的， e m 是 等于一点二的，那你这里的 d h 是 不是也是一点二？这里的 bc 是 不是也是一点二，对吧？那你这里的 d h， 然后我就可以给他去表示出来，是不是这里的二点一减一点二等于多少？减一点二等于多少零点九，所以这里的 e h 我 也找到了。然后 下面就是我们要求的 ab 和 ab， 我 就说 ab 是 等于 x， 那 这里的 ac 是 不是 x 加一点二？那我们看一下在 d 问的时候，我们能知道谁呢？ 在第一问的时候是不是已经找出来这里的 c a 是 等于 cd 的， 所以这里的 cd 也是 x 加一点，那有题，我们可以知道这里的 h b 是 不是也是 x 加 一点，对吧？那你看一下这里的 n、 h 等于几啊？等于一，所以你这里边这个边就是你的这个 h， b， n 是 不是就等于这里的一加上 x 加一点，那也就是等于多少？是不是等于这里的二点二加 x。 那 你看一下，现在我就给它都表示出来了，但是实际写的时候你要注意一下过程，要把它设出来啊。那我这直接写了啊。 g， 然后这里的 h 我 们求的是多少？是零点九，这里的 a， b 是 x， 然后这里的 n、 h 是 一，这里的 n， b 是 二点二加 x。 当然就我刚才说的，就像这里面的这个 e、 h、 n、 b 还有 a、 b 它是怎么得出来的？然后你需要给他去交代一下，那下面我们解到这个方程，你看一下它的分母带有未知数。分母带有未知数的是什么方程？分式方程你要记住啊，分式方程要有什么呢？要有检验，对吧？所以我解出来这里的 x 是 等于十九点八的，然后下面给他去写。经检验 一定要有检验啊，就是 x 等于十九点八，是圆方程的解，或者是圆分是方程的解，都可以，然后下面你去给他写答案，然后第三问，然后我们就不想了。第三问是比较简单的啊，这个地方谁的误差表达？因为小红的，然后理由是纪念碑 a、 b 位于台阶平台。 bc 啊，因为你的 c 点无法确定，所以 c 的 长度会存在误差。
38沐林追暖阳☀️
07:41查看AI文稿AI文稿看一下这个十六题啊，十六题，这个是三角函数的直角。呃，那个实际应用啊，解直角三角形啊，这种题啊也是我们中考的就常考题啊，老朋友了算。是啊，这里主要是对这个羊角啊，福角啊这些 东西的一些理解，还有就是一定要在直角三角形里面解，你看这些东西其实题是都给你提了，怎么塞引啊，扩散啊，摊角的，这就只能在直角三角形里面才有。好吧， 这个我提醒一点点啊，做这种题的时候就是一定在直角三角形里面，嗯，做，然后去套这个三角函数，然后最后最重要的就是把它算准确，不要算错。很多同学他不是不会算，他是算错，不会算的同学就是不会找桥梁啊，桥梁很重要啊，找桥梁 就是他这个相当于一个咱们在证明题里面找的那个就是等量代换，那那种感觉啊，找等量代换，找桥梁。我们来看一下这个题怎么做， 他说前面说什么活动啊，怎么？你管他什么活动？你不管什么车，你看有一个围巾车下来就 ab 的， 东门的就就这个车， ab， 那 最后不是求 ab 吗？对吧？西门有一笔 测这个东西就是要求的，就是要求 ab， 他 说如图，主要是把图读懂。无人机从西门 a 处垂直垂直上升，对吧？他倒到这里，那垂直就垂直了，他不垂直吗？对吧？在哎，这个 c 处测的，东门 b 的 俯角为三十度，你看这个题，他这个角为三十度，其实他已经很人性了，他告诉了你也。 呃，在途中已经告诉你哪个角，如果是我出题，我是不会告诉你这个的，让你从图里面自己找啊，这个题，但是每年成都中考他都告诉了，所以说无形当中减轻了压力。 ab 方向沿 ab 方向飞行六十米，到达地主量，它是平行的哈，它是沿这个 ab 方向飞飞行啊，再垂直上去，然后这个是六十六十米啊，到达地，也就说你要从已知得到一些 c、 d 是 不等于六十米啊，对吧？ c、 d 这个等于六十米，他说在 d 处测的西门的俯角六十三点，你看这个就是他要这个俯角就角 d 嘛，角 d 等于六十三点四啊，对吧， 对吧？这个度好，这，这个角，这个 b、 c、 d 等于三十度，对吧？我，我其实不喜欢写这种数，我喜欢标标字母角一，角二，这个角，对吧？你应该等于多少？你应该明白的哈， 我们来看一下这个 ab 方向，继续读，他说这个等于六十三，六十三点四度哈，没有了，就求这个了哈，你看， 如果在不添加辅助线的情况下，你要在直角三角形，对吧？应该是直角，就 r、 t 三角形哈，注意所有的点，那只有这两个角是直角， c、 d 肯定是。 ab 是 平行的，对吧？它是 水平飞行的，对吧？这个 ab 方向啊，飞的沿 ab 方向它是平行的，这个你就告诉我 c、 d 和 ab 它是平行的，这个东西要搞明白，好，对吧？我们来看一下，已知的是 c、 d， 对 吧？ c、 d 等于六十米，我们要求的是 ab 来，在这个三角形，在 r、 d 三角形 a、 c、 d 中 是不是角 c d a a 这个角 d， 角 d 嘛，就是角 d， 是 不是等于六十三点四， 对吧？ cd 我是 知道的，是在这个直角弦上求 ac， 可是不是可以用正切啊，对吧？这些什么正切啊，正弦啊，余弦对吧？你的脑子里面要有啊，我在这边都写了哈，如果你是，呃，同学，对吧？你是学生啊，我讲这些东西的时候，你能想到山影是不是对边比斜边就是 正弦，鱼弦就是 cosine 是 斜边啊，临边比上斜边那个正切是对边比上临边。如果你是家长的话，对吧？你就你可以 拿着这个字典问一下同学，你问他三引扩散引碳量体，他所对应的是什么，你可以考察一下他，如果你自己学生，你自己这我说这个问题的时候，脑子里面想一想，这些东西还有些特殊角，对吧？这些特殊角是多少？我讲我讲过塑形结合，直接可以把这些角全部给他， 那个就是算出来，不用去死记硬背，在这里我就就不讲了，因为时间关系啊，同学们可以自己去看一看哈，对吧？ 好，我们来看一下这个在三角形 r t 三角，如果后面有同学留言说这个不太会了，就记不住这个的时候我会出，我可以出一期视频给他专门讲一下。这个怎么记啊，很简单啊，不需要死记硬背，再用竖形结合啊。 好，我们回到这个题字，回到这个题啊，这个是竖直角，我写这里啊，在二 d 三角形中，你看有这个。如果说 a、 c 比上 c、 d 是 不是就正确？就不贪江题，那是不是应该等于贪江题角？这个贪江题写都一样，把这个擦掉吧，这写的不太好， 是不是应该等 a c 比上 c、 d 是 不是等于贪江题角 d？ 贪江题角 d 就是 贪江题。六十三点四度 弹性力有十三度，是不是等于二，对吧？这个都有了，那也就是说 ac 和 cd， 那 所以说你要把这个 ac 求的等于 cd 乘以二 啊， cd 乘以这个，它这个弹性力角 d 吧，还是写原式 cd 是 不是六十再乘以二，是不是一百二十米？哎，有些同学问呢，哎，为什么？哎，老师为什么要先求这个 cd 啊，对吧？我说过，在直角三角形里面，我们来把这个东西为什么不求其他的要求 ac 啊，对吧？我说过在直角三角形里面，我们不求其他的要求 ac。 哈， 我说过，解直角三角形，首先第一必须在直角三角形边，直角三角形，在这个如果再不做辅助线的情况下，就只有这两点，这两个三角形 a、 c、 d， r、 d 三角形 a、 c、 d， 一个是 r、 d 三角形 c、 a、 b， 对 吧？就 a、 c、 b 嘛，或者是 c、 a、 b 都无所谓，就这个，这这这这这这两个三角形，直角三角形，而椅子给的是 c、 d， 很 明显 c、 d 只能在这个三角形里出现， 而这两 r、 d 三角形 a、 c、 d 和 r d 三角形 a、 c、 b， 它是不就是通过桥梁 a、 c 来实现了？没，两个都有 a、 c， 对 吧？所以说只要从在 c、 d 里面自然的把 通过 r、 d 三角形 a、 c、 d， 通过 c、 d 把这个 a、 c 算出来，那再通过三角形，再这样三角形 c， 那 个 a、 c、 b 当中就 c、 a、 b 算出来，对吧？这个角多少度？是不是三十度？ 为什么？ c、 d？ 我 刚才说了 c、 d 是 平行于 ab 的， 对吧？内错角，这两个角是内错角关系，对，也就是说角 b， 其实它也等于三三十度，对吧？我们再来，有了刚才的分析，我们再分析，再再，三角形 r c 三角形 c a b 中， 对吧？在 r c 三角形 ab 中， c a 就 a c 嘛，比上 ab 它是不是也是弹性角 b 啊？ 刚才我说说了，它将你角 b， 是 不是它将你三十度，对吧？那所以说我写在这里，那这个我们要求的 ab 不 就等于 c a 除以它将你角 b 吗？ c a a c， 刚才算了一百二十米， 它将你角度就是它将你三十度，它将你三十度，是多少？是不是三分之二三啊？同学们，对吧？其实在我在这里写了，对，三分之二三，一百二除以三分之二三，同学们搞不清楚，是慢慢算，除以除以一个数等于乘以这个数的倒数，对吧？乘以这个对吧？一百二 加三分之三，不就是一百二倍加三吗？是吧？加三带进去，一百二乘以一点七三，答案，答案 一算，这里就是二百零七点六，最后的答案是单位带上啊。考试的时候算这个是很简单的，一定记住啊，算，算的时候就是 他就是一定在直角三角形里面，大家要从这个题的这个挖掘他背后出题的内容啊。死想啊，为什么是我刚才讲了这些东西啊？考试的时候一定首先抓住再怎么找到直角三角形，然后去找桥梁， 就两点，一找直角二，直角三角形二找桥梁，桥梁一算啊，代入精确，他说零点一米就多少，把它算清楚啊，不要算错啊。好，这个题就在这里，其实挺简单的。
16小王150
01:31查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的是解直角三角形及其应用。同学们，今天咱们来聊聊解直角三角形这个知识点。 啥是解直角三角形呢？简单来说就是在一个直角三角形里已知一些边和角的信息，然后去求出其他边和角的大小。这就好比你知道了一幅拼图里几块的样子，然后把剩下的部分拼完整。 解直角三角形主要用到三个函数，分别是正弦、余弦和正切。正弦呢，就是一个锐角的对边和斜边的比值，余弦是这个锐角的零边和斜边的比值， 正切是这个锐角的对边和零边的比值。这些函数就像是咱们解直角三角形的工具， 有了它们，我们就能通过已知的边和角算出其他的边和角了。现在咱们说说解直角三角形的应用举例，比如说盖房子的时候，工人师傅要计算屋顶的倾斜角度，这就需要用到解直角三角形。 假设我们知道房子的宽度和屋顶的高度，通过这些数据，利用正弦、余弦或者正切函数就能算出屋顶的倾斜角度。 再比如说测量大树的高度，我们站在离大树一定距离的地方，测量出我们看树顶的角度，再结合我们和大树的距离，同样可以用解直角三角形的方法算出大树的高度。总之，解直角三角形在生活里用处可大了，大家一定要学好它。
16我不爱学习
01:15查看AI文稿AI文稿今天我们来学习中考数学必考点解直角三角形回顾知识。闪应 a 等于对边比斜边库，闪应 a 等于邻边比斜边贪心塔 a 等于对边比邻边。我们以角 b 求角 b 的 三角 a 小 于贪心，贪心塔也是同样的。闪应 b 等于对边比斜边库，闪应 b 等于邻边比斜边贪心等于对边比邻边。 中考题仔细看重点在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 等于九十度黑板上投影的高度 ab 等于一百二十厘米， ab 距离是一百二十 c、 b 与 ab 夹角角 b 等于三十三点七度。求 a、 c 的 长解。 在直角三角形 a、 b、 c 中，对边和邻边我们需要用到的是 tangent， tangent b 就 等于对边比邻边好，对边等于 一百 s， 我 们要求 a、 c 的 长潘金达 b 题目又告诉我们了，等于零点六七，那么 a、 c 就 等于一百 s 乘以潘金达 b 也就等于一百 s 乘以零点六七。最后呀，约等于八十。
05:07查看AI文稿AI文稿抛物线中直角三角形存在性问题，我们来看这道题，他说 y 等于负 x 的 平方，加上二 m， x 减二， m 加一， 当 m 等于一时，那我们第一步应该把这个 m 带进来，对不对？所以它应该是 y 等于负 x 的 平方，加上二 x 减一，他说与 y 轴交点，我们知道它应该是零到 c， 说零到负一， 也就是说 c 点坐标就是零度负一了。第二问，求抛物线的顶点，那我们知道哈，抛物线的顶点应该是横，横坐标是对称轴，纵坐标是对称轴带入，那它的对称轴是什么呢？是 x 等于负二， a 分 之 b， 那 带入进来，它应该是一，那这时候将 x 等于一带入 y 等于负 x 的 平方，加上二 x 减一，那得出的结果是零，所以说点 p 坐标应该是 一到零。好。第三问，他说 q 是 抛物线上的一个点，如果三角形 c p q 是 直角，三角形求出点 q 的 坐标，那这就是直角三角的存在性。直角三角存在性，我们只要讨论谁是直角点就行了。那第一种就是 c 为直角， c 为直角。第二种情况就是 p 为直角，那第三种情况就是 q 为直角。好，当 c 为直角的时候，我们可以把图做一下，一说 pcq 是 一个 直角，那这一点我们可以称为 q 一 吧。好，也就说是角 p c q 等于九十度，等于九十度。我们要知道哈，这个 q 一 啊，它不仅在这个抛物线上，而且在这个 c q 一 上，我们只要算出来 c q 一 的解析值就可以了。我们在学习平面直角坐标系的时候，我们知道这个 k p c 乘以 k c q e， 它应该等于负一，为啥呢？因为它俩垂直，垂直的话可以相当于就是负一。那这个 p c 呢？它的解析式是不是可以知道呀？应该是 y 等于 x 减去一， 那所以说这个 k c q 一， 它就应该等于负一，为啥呢？因为 p c， 它的 k 值一，那所以说我们读出来 c q 一， 它的解析式是 y 等于负 x 加上一个 h， 怎么算出 h 嘞？是不是将 c 点代入就可以了？将 c 代入， 我们得出来这个 h 点啊，这个 h 它应该等于负一，那所以说 c q 一 解析式是 y 等于负 x 减去一。好，当我们得出解析式了，我们就可以把这个解析式和 抛物线连立，负 x 的 平方减去，加上二， x 减一，我们连立，我们连立得出来应该是 x 一 等于零， x 二 等于三吧，对不对？我们应该把 x 等于零给它舍去，为啥呢？因为零的话，它是这个点， d 它的坐标，那 x 等于三才是这个 q 一 的横坐标。那怎么求纵坐标呢？是不是将 x 二等于三代入谁啊？可以代入 y 等于负 x 减一就可以了，是负四，所以说 q 一 的坐标应该是三斗 负四。 ok， 当我们算出来这个之后，我们就可以去算这个 p 为直角的时候，和它是一样的。好，我们把图稍微来做一下，这是 q 二，我们去连接好， 这边是直角，那这个 p q 二呀，它是不是也，它的 k 是 多少？是不是也和 c p 是 垂直呀？说明这个 k c q 二呀，它应该也是负一，我们可以让它写成 y 等于负 x 加上一个 n， 怎么求 n 类？我们是不是将这个点 p 的 坐标带入就行了，因为它这个直线经过点 p， 那 所以说我们得出来这个 n 等于一，那所以说它的解析式就是 y 等于负 x 加上一， 同样来说，我们还是和它连立， y 等于负 x 加上一， y 等于负 x 的 平方加上二， x 减一， 我们可以解出 x 一 等于一，或者说 x 二等于二一的时候，我们还是一样要舍弃它。当 x 等于一的话，它是点 p 的 坐标，它不是 q 二，我们就把它舍去，那当 x 二等于二时，这个 y 等于负 x 加一 就是负一，那所以说点 q 二的坐标应该就是二到负一。 好。当然嘞，它也有第二种算法去参考这个 c p 啊，它是四十五度，我们可以得出来这个 c p q 二呀，这个三角形 c p q 二，它为这个等腰 直角三角形，那我们就知道这个 c p q 二，它是关于点 p 对 称的，这个 c q 二，它关于 p， 它是对称的，那所以说一下就可以看出来，这个 q 二坐标，它也是二等负一， 好。第三问，当 q 为直角的时候，大家可以看一看哈，也就说当这个 c q p 等于九十度时，在途中也做不出来， 对吧？大家观察一下，这个 q 也不可能是直角哈，所以说就没有了。所以说这个 q 咱坐标一共就两个 q， 一 是三斗负四， q， 二是二斗负一。
39刘老师的数学日记
02:47查看AI文稿AI文稿今天我们来说一道很多同学不知如何下手的题型，已知 a 点坐标负三斗四， b 点坐标负一斗负二， o 的 坐标是零斗零，求三角形 a、 o、 b 的 面积。 首先观察三角形 a、 o、 b 这样的一个三角形呢，它不属于一个规则的三角形，因为它没有哪条边是平行于 f 轴和外轴，或者是在 f 轴和外轴上的。所以对于求这样不规则的三角形的面积呢，我们通常用割补的方法， 那对于这个三角形， 我们没有办法割，我们割不出来与 x 轴和 y 轴平行的边，所以只能用补。那我们如何去补呢？就是过三角形的顶点，向 x 轴、 y 轴分别做垂线，补成一个规则图形，比如长方形呀，正方形呀，梯形，那对于这个图形，我们直接补成一个梯形就可以了。过点 a， 向 y 轴做垂线，再过点 b 向 y 轴做垂线， 此时我们就补出来了这样一个梯形 a、 c、 d、 b 了。我们直接拿梯形 a、 c、 d、 b 减去一号面积 a、 c、 o， 再减去二号面积 b、 o、 d 就 可以了。接着我们看一下 a、 c 的 距离， a、 c 距离是 a 点的红坐标是三， b、 d 距离是 b 点的纵 坐标是四， d、 o 的 距离是 b 点的纵坐标是二，所以 c、 d 就 等于六。接着我们去写下解体步骤， 分别过点 a、 b 向 y 轴做垂线， 将 y 轴于 c、 d 两点， 所以由体意可以得到 s 梯形就等于上底加向下底长底高， 再除以二，即乘以二分之一，结果为十二。那么 s 一 号三角形面积就等于三，乘以四，再乘以二分之一，就等于六。当 s 二号三角形面积就等于一，乘以二，再乘以二分之一就等于一， 所以就可以求出来 s 三角形 a、 o、 b 就 等于十二，减去六，再减一等于五。 同学们，道阻且长行则将至。加油关注我，我会持续每天更新初中重难点体型。
41小数点老师👩🏫
01:44查看AI文稿AI文稿今天我们一起来学习九年级下册三角函数章节，比较喜欢考察的解这样三角形的问题。如图，在三角形 a、 b、 c 中抛三， b 等于五分之四，它的 a、 c 等于根号三，然后 a、 b 的 长等于五，按求 a、 c 的 长。同学们在做题的过程中一定要来注意，咱们学的叫锐角三角函数， 必须在直角三角形中才能去应用，所以说这里面它给了个三角形 a、 b、 c， 并没有说它是一个直角三角形，所以第一步根据这个特点 a、 d 点的又是五，然后给了角 b 和角 c 的 三角函数，那我一定要构造直角三角形才能用， 那考虑观察我们过 d 点如何做垂线构造出来的两个，这样三角形中既能包含这两个角的三角函数，还能包含 a、 d 这条边，也便于我们在复序解三角形中去应用。我们过 a 点做 b、 c 的 垂线，推入 o、 d， 这时候我们看他说 cosine， cosine b 是 在三角形 a、 t、 d 中应该等于 邻边比斜边，邻边就是 b， d 比上斜边是 a、 d， 也就等于 b， d 比上五，等于五分之四，所以说我就能解成 b、 d 等于四，然后这条边是四，当然它是四的话，我又不一定谁能解出来 a、 d， 那三、四、五咱们常见的勾出。其次你再看探探 d， c， 在 a、 d、 c 当中可以用探探 d， c 是 应该等于对边比邻边求 a， d 比 c、 d， 那 就等于三，比上 c 零，它就等于根号三， c、 d 是 不是等于根号三？其次他要让我求 a、 c 求 ac 的 话，我就可以用勾股定律了吧，三方加上根号三方，这里就是二倍 cos， 当然了，很多同学可以观察出来它在底 c 的 根号三，说明这个角等于六十度，那我可以再用六十度的正弦或者六六余弦都可以求 ac， 最终切开 ac 和二倍 cos 三，这就是咱们解这个方程里面的一些常见用法，有什么问题在评论区给我留言。
16数学思维杨老师
01:42查看AI文稿AI文稿大家好，我是小邓老师，今天讲解直角三角形的应用，中考必考的实际题，记住三个字，找见解。 解直角三角形就是解决生活中量不到的问题，比如楼有多高，河有多宽，山有多远，不用爬上去量，用三角函数就能算出来。只要知道一个角度加上一条边，其他的边角全部可以求出。中考几乎每年必考三种，最常考的角度必须背熟。 仰角从下往上看，视现在水平线上方。俯角从上往下看，视现在水平线下方。坡度等于数值高度比水平距离等于探坡角。仰角和俯角都是对水平线，这点别搞错。三角函数怎么选？看已知边的位置。 sin 等于对边比斜边，已知斜边和对边用它 cosine 等于邻边比邻边，已知邻边用它 tan 等于对边比邻边，这是最常用的一个两条直角边的题，优先想 tan 口诀，对斜 sin 邻斜 cosine 对 邻 tan 作例题，距楼六十米，仰角三十度，求楼高 找已知角是三十度，已知边是水平距离，六十见楼高对应的是对边，六十对应的是邻边。所以用 tan 解碳。三十度等于高比六十高等于六十乘根号三比三等于二十根号三米口诀，找见解，找已知角和边见直角三角形选函数解方程三个易错点， 第一，阳角、辅角都是对水平线，不是对地面或楼面的。第二，题目里有观测者身高时，别忘了加上去。第三，答案按题目要求保留根号还是精确到几位。好了，今天的干货就到这里，点个赞，加个关注，咱们下期再见，拜拜！
01:13查看AI文稿AI文稿孩子遇到直角三角形，一看到跟终点有关的题，盯了半天动不了笔。其实这类题考的都是同一个知识点，斜边中线。斜边中线就是一场认清，一共三层，一层比一层难认。 第一层，明牌用法，见直角加中点，直接连顶点，一划就出结论，斜边中线等于斜边一半，边角关系直接锁死。前提只有一个，必须是直角三角形，连错点直接翻车，大部分孩子也就只会这一层。第二层，反向构造法，题目里面没给终点，需要你知道斜边一半，记住了， 结论要一半，就是在提醒你，用斜边中线，没中点自己造斜边取中点连直角，瞬间打通。第三层还原过造法，图形一乱，直角藏在外侧，斜边被夹在两个三角形中间，孩子连图都看不懂。别慌，教他一个视角转换， 不要上来就剪辑。先做图形还原，外侧那个直角就是信号，他对折的公共边就是隐藏的斜边。先还原出直角三角形，有终点就连没终点就自己造。最后一层练的不是画线，是学会从复杂图形里猜出基本模型， 最后记住明着给，直接认，没终点自己造图太乱，先还原。听懂不懂就会画辅助线，你家孩子是不是也听得懂？看不出方法？评论区聊聊，吃了没效果随时来找我！
74喜欢数学的老王
12:18查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册专题，专题十二、直角三角形斜边上的中线。 在今天的这一节课中，我们主要涉及到的知识点就是直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以第一道题相对来说就比较简单。题目中告诉你，我们的角 a、 c、 b 是 等于九十度，所以三角形 a、 c、 b 是 直角三角线 d 点、 e 点、 f 点分别都是中点，我们可以想发现 f 点，它是斜边 ab 的 中点，所以由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，我们是不可以得到 c、 f 此时是不就等于二分之一的 ab， 那 又因为 c、 f 等于五，所以我们是不可以得到 ab 就 等于十。而题目中要想去求的 d、 e、 d 点是 a、 c 的 中线，所以这个涉及到的是不三角形的中位线， 那 d、 e 是 不是就等于二分之一的 a、 b， 那 也就是五岁。第一道题我们就蹭蹭的解决掉了第二题，在二、 d 三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 啊，这是一个直角， c、 d 又垂直，这也有一个直角，这里面涉及到有三个直角三角形，我们还告诉你角 a、 c、 d 等于三倍的角 b、 c、 d， 那 我们不妨 令角 bc、 d 等于 r 发，那我们的角 a、 c、 d 是 不就是三倍的 r 发？初次发现我们还能看到这两个角，它俩之合是不就是我们的角， 是不就是我们的角 b、 c、 i、 b、 c、 i 等于九十，所以三 r 发加上 r 发等于九十，那我们就可以得到 r 发是不等于二十二点五度， r 发等于二十二点五，那所以我们得到角 a、 c、 d 是 不就是三 r 发，那就是 六十七点五度，可以吧？那除此之外，我们还能发现，对吧？那在直角三角形 a、 c、 b 中， a、 c、 b 我 们的角 b 在 直角三角形啊，在二 t 三角形 b、 c、 d。 我 们的角 b 是 不就等于九十度？减去角 b、 c、 d， 那 是不也等于六十七点五度？那此时你会发现， 所以角 b 是 不等于角 a、 c、 d。 哎，角 b 等于 a、 c、 d 来看角 b 和角 a、 c、 d 啊，这个条件暂时暂时暂时不用它啊，暂时不用它，反正我们现在先求出它俩都等于六七点五就可以了。那接着我们又看到题目中 e 点是不是 ab 的 中点？ 因为 e 为 ab 中点，那所以 c、 e 是 不是就直角三角形 a、 c、 b 斜边中线？那我们就可以得到我们的 c、 e 是 不等于 e、 b 是 不也等于我们的 a、 e， 那 c、 e 等于我们的 b e 题目中现在告诉你 c、 d 等于几啊？ c、 d 等于一，那大家会发现，如果我们的 c、 e 这条边等于这条边，那角 a， 角 a， 对 吧？且角 a 是 不等于九十度，减去角 b， 也就是二十二点五度，所以我们就能得到角 e、 c、 a 也等于二十二点五度。那角 d、 c、 e 是不是就等于角 a、 c、 d。 减去角 e、 c、 a。 刚刚求出来角 a、 c、 d 三 r 法是不是六十七点五度？那再减去二十二点五度，我们发现正好等于四十五度，所以聪明的你一定知道 它是四十五，那我们的 c、 d 是 不等于 d e 所以 c、 d 等于 d， e 等于一，那我们的 c、 e 是 不是根号二， c、 e 是 根号二，那所以我们的 b、 e、 b e 是 不是也等于根号二？因为刚刚咱俩求出来了， c e 等于 b e 是 吧？它是根号二，那所以我们的 b d 是 不等于 b e 减去 d e b e 是 根号二， d e 是 一。那我们这道题结果就是根号二减一，稍微有一点点复杂哈，主要涉及到的是角之间的换色。 那我们接着再看下题。题目中讲到，在三角形 a b c 中，角 b a c 是 一个钝角 a e 和 c f 哦， c e 都是它的三角形的高，那这里有垂直，对吧？然后 p 点是 a c 的 终点， p 点既然是 a c 的 终点，大家会发现来，在 二 t 三角形 c e p 中哦，抱歉，不是 c e p， 是 c e i 中 p 点是 a c 的 中点，那所以我们的 e p 是 不等于二分之一的 a c， 对 吧？那同理，在二 t 三角形 a f c 中， 我们发现我们的 f p 是 不是也是直角三角形斜边中线啊？那它是不是也等于我们二分之一的 a c？ 因此我们就得到 e p 是 不等于 p f 可以 吧？那么接着题目中又讲到的是，他说我们的角 b 等于四十度，那角 b 等于四十，那我们是不可以得到 r t 三角形 b e c 中，角 b 等于四十度，那所以角 b c e 是 不是就等于五十度？那我们是不是可以得到角 e c p 加上角 f c p 是 不是就等于五十度？那大家不难发现，因为因为 p 点还是 a c 的 中点， 那所以我们是不能得到 e p 是 不是就等于我们的 p c？ 那 所以角 a p e 它是不是就二倍的角 e c p？ 同理， 我们的角 a p f 是 不是就等于二倍的角 f c p， 那 大家就知道了，我们的角 e p a 加上角 f p a， 那是不就二倍的角 e， c p 加上二倍的角 f， c p， 也就是二倍的角 e， c， f 而 e， c， f， 我 们钢球是不是五十，所以它就等于一百度？那这道题，哎，解决掉啊！ 来，剩下这里还有，题目中告诉你的是在平行四边形 a， b， c， d 中，角 a， d， c 等于七十二度 if 又垂直于我们的 直角啊，那这个角也是直角，且 d， e 等于二倍的 c， d， 那 你看 d， e， 它是不是在直角三角形 a， d， e 中，而且是不是我们的直角三角形的斜边？所以这道题大家就知道，哎，取 d， e 的 中点 g 连接 我们的 a， g， 那 根据 直角三角形 g 点是中点，直角三角形斜边，中线等于斜边的一半，我们是不是又可以得到 a， g 是 不等于 g， d 还等于我们的 g e 题目中想让你去求角 a， e， d， 那 我们令 角 a， e， d 等于 x， a， e， d 等于 x， 那 所以我们是不是可以得到？那这个角是不等于我们的角 g i e 可以 吧？那除此之外，我们的角 a， d， e 是 不等于九十度减 x， 那 因此这个角是不又等于我们的角 g i d g i d 可以 吧？那大家就可以发现，此时我们的角 b i f b i f， 那 是不是就讲 b， a， d 减去讲 g， a， d， 再减去讲 e a， g 啊？ b， i， d 等于角 c， 也就是我们七十二的一百零八度减去角 g， i， d， 那 我刚刚就说九十度减二十法，而 e i g 那 时候减二十法，所以求出来它是十八度，那求出来它是十八度这块我们还能发现我们的角 a、 b、 g， 你看，我们的 ab 是 不等于 cd， 那 所以 ab 是 不也等于我们的 ag， 那 ab 等于 ag， 所以 我们的角 abg 是 不就等于我们的角 agb， 那 agb 三角形的外角是不等于 二倍的九十减 x 一 百八十度，减去二 x， 可以 吧？那接着在三角形 abg 中，三角形内角和那是不意义。刚刚我们求出 abg， abg 是 不一百八十度减去二 x 加上 a、 g、 b， 那 是不是一百八十度？减去二 x， 加上我们的 b a g b， a、 g 是 不是十八度加上 x 等于一百八十度？因此我们可以求出来三 x 等于一百九十 八，那 x 是 不是就等于六十六？这道题答案就是六十六，还行吧啊，好， 接着下题。在四边形 a、 b、 c、 d 中，他俩都等于九十啊，这个角是九十，这个角也是九十。 m 点和 n 点分别是他的终点，你看，虽然是终点，但是这两个条线段并不能构成三角形，没有办法接住三角形的中位线。但是又因为 m 点是 a、 c 的 终点，那大家就可以发现来一连接 bm 和 bm， 那 就可以去发现连接 bm 和 dm 之后，那在二 t 三角形 a、 b、 c 中， m 为 i c 的 中点，那所以我们是否得到 bm 等于二分之一的 i c？ 同理， 我们的 m、 d 是 不是也等于二分之一的 a、 c？ 因此 b m 是 不等于我们的 m、 d？ 那 三角形 b、 m、 d 是 不为等腰三角形， 它是等腰三角形，那因为 n 点为 a、 d 的 中点哦， b、 d 那 等腰三角形三线合一，所以 m、 n 是 不垂直于我们的 b d， 且 我们的 b n 是 不等于二分之一的 b d 等于四。那所以在二 t 三角形 b m n 中， 我们的 m n 是 不等于根号下 b m 的 平方减去 b n 的 平方 b m 二分之一的 a c， 那 是不就等于二分之 a c 题目中也就是六 的等于六的平方减去四的平方，根号二是二倍的根号五。那这道题的答案就是二倍的根号， 既涉及到有直角三角形、斜边中线，还有涉及到的是等腰三角形的性质啊。所以今天呢，这几道题目相对来说不太好做，是吧？希望大这节课对大家来说能有所收获，再见！
51数学魔法屋
00:43查看AI文稿AI文稿哈喽哈喽，这道中考必考几何题，好多同学都会算错，其实一个方法就能秒做三角形。 a、 c、 d 为直角三角形，两条直角边为六和八。让我们求弦变上的高 cd， 核心考点就是等面积法。 已知 a、 c 等于六， c、 d 等于八。根据勾股定律可得 a、 b 的 平方等于 a、 c 的 平方。加 c、 d 的 平方可求得 a、 b 等于十。 s。 三角形 a、 c、 b 等于二分之一， a、 c 乘以 b、 c 等于二分之一，乘六乘以八等于二十四。 s。 三角形 a、 c、 b 等于二分之一， c、 d 乘以 a、 b 等于二分之一， c、 d 乘以 等于五倍的 c、 d， 所以 五倍的 c、 d 等于二十四，我们求得 c、 d 等于五分之二十四。由此我们求出来该直角三角形斜边上的高为五分之二十四。点赞关注不迷路，我们下期再见！
03:40查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天呢，我们来复习三角形的全等与相似。首先我们看一下全等，全等呢，就是三角形完全一样， 大小一样，形状也一样，而且是能够完全重合的。它的判定定理呢，由 s s s a s a s a 还有一个 a a s， 另外还有一个直角，三角形专属的一个。 那么相似呢？相似是指形状一样，大小不同， 它的角是一样的，边长不一样，边长乘比例 怎么区分呢？全等就是边边相等，一模一样，相似就是角，角相等。放大缩小来我们看一道例题， 如图说， c 是 ab 的 中点，中点出现了圈起来，角 a 等于角 e， c， b。 先来看看角 a 在 哪里？角 a 在 这角 e， c， b 在 这里 c d 平行 b e。 看到平行，我们就应该脑子里面有什么，有同位角相等， 还有什么内错角互补，还有同旁内角这些啊， 同内角，同旁内角。来，让我们求证 d a， c 和 e c， b。 全等 d a， c 在 这里， e， c， b 在 这里。这俩三角形全等我们已经知道了一个角 a 等于角 e， c， b。 我 们还知道了 a， c 等于 c， b。 终点呀，再凑一个条件，凑哪呢？这里 凑这个角呀，为啥要凑这个角呢？因为 c d 平行 b e， 所以 角 d， c， a 等于角 e， b， c 这是什么？这是 a s a， 所以 它俩就全等了。 这里用的就是同位角啊，同位角相等。 第二问，让我们连接 d e， 若 ab 等于十六，求 d e 的 长 d， e 在 这里换个颜色 d， e 在 这里， ab 等于十六，这里是八，这里也是八， 让求 d e， 我 们是不是肉眼能看到？这是一 d e bc 是 一个平行四边形，平行四边形，那我们怎么去证它它是平行四边形呢？我们由 e 是 不是知道了 d c 等于 e b， 那题目里面又给了 c d 平行 b e， 那 d e 和 c b 的 关系是不是平行且相等 d e， b， c 是 不是平行四边形了？平行四边形了， d e， 它就等于 c b 等于个八。 这题很简单啊，这是一个开胃菜，碰到这种三角形全等的这个他连个中档题都算不上吧，只能说是一个非常基础的基础题， 给大家留了一道练习题，大家做完之后把答案打出来。然后就是后面我们会讲万维的那个卷子啊，万维，我不知道有多少人能够听到这里啊。万维的黑白卷 和订心券，这俩我买了之后会无偿分享给大家。
32小初爱学习
