圆排问题公式推导
新高考最新概率考点原型排列来了，今年考到它九成考生直接懵，别慌，主播今天就教你直接秒杀，稳稳拿分。今天给大家讲一下原牌问题的秒杀公式。什么是原牌问题呢？是比如说有 n 个人围着圆桌做成一圈，共有几种做法，大概就是这个样子， 那它的秒杀公式呢？就是 a、 n、 n， 或者是 a 的 n 减一， n 减一。那为什么我们现在会有一个或字呢？大家往下看，大橘老师给大家举几个例子，让大家知道什么时候用 a、 n、 n， 什么时候用 a 的 n 减一， n 减一。 咱们再看圆排问题之前，咱们可以先看一下直排问题，那比如说三个人站成一排，一共几种站法，这个大家都知道，它就是 a 三三，那就是把人设成 a、 b、 c 三个一排就可以了。 那么圆排问题的时候，其实一般有两种问法，比如说第一个椅子有记号，第二个只考虑相对位置， 那我们先看只考虑相对位置，我们把人设成 abc， 比如说 a 在 这，那就 b 在 这， c 在 这，那我们转一圈之后， a 在 这， b 在 这， c 在 这，我继续转呢？ a 在 这， b 在 这， c 在 这。 但是不管怎么排，三个人的相对位置是没有变的， a 在 这三个不同的位置上，但它却是同一种做法，那这个时候我们这个圆牌是什么？它就是 a 的 a 三三除以三，它等于 a 二二，或者说我们可以考虑什么呢？把 a 固定在一个位置，然后看 ab 有 几种排法，它也是 a 二二。那这个时候我们用到的公式，它就是 a 的 n 减一， n 减一，这个是只考虑相对位置的时候，那我们接下来再看椅子有记号的时候， 比如这是一个圆桌，椅子分一二三，那么我们让 abc 分 别放到这个椅子中，比如这是 a， 或者这是 a， 或者这是 a， 那 放到这三个不同的位置上，它就是三种不同的做法。那这个时候我们发现了我们这个圆牌问题，它其实就是直牌问题，它就是 a 三三。 这个时候我们再回来看这句话，它是不是有歧义的，它没有说你到底是椅子有记号，还是说看相对位置对不对？我们椅子有记号的时候， 我们用 a 三 a n、 n 这个公式，我们只考虑相对位置的时候，我们就用 a 的 n 减一， n 减一这个公式。那这个时候我们再来看一道题， 有十个人围着圆桌做，只考虑相对位置，问，有几种排法，那直接 a 九九秒掉。 第二个问，若 a b 相邻一共有几种排法，那我们怎么做？我们先把 a、 b 捆到一起，捆完之后还剩多少？还剩八个，对吧？ 那就是 a 八八，但 a、 b 捆到一起之后，我们手不知道 a 在 b 的 左面还是 a 在 b 的 右面，这个时候我们乘以一个 a 二二就可以了，那这道题我们就也秒掉了。那么关注大橘老师击飞知识点。
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04:00查看AI文稿AI文稿陈老师，不好了，怎么了？小明被排座位问题难住了。嗨，简单来读题，三个三口之家在一起举行家庭宴会，为一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开。请问一共有多少种排法？如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么两种排法算一种。好，我们来看这样子，一道 排座位的题目，其实考察的是乘法原理， 三个家庭缺一不可，三个人缺一不可，缺一不可用乘法，所以考察是乘法原理。那他说了，要求一家人不可以被拆开。那么我刚开始先不管这家庭内部怎么排，我只知道出现了这么一张圆桌，是不是就是 abc？ 三个家庭这么排 对吧？那当然也可以， a， c， b， 对 吧？有同学说，老师，那还可以， b 开头。我说是的，那我们也来画一下， b 开头 b， a， c 或者 b 开头 b c， a， 或者 c 开头 c， a， b， c 开头 c， b， a。 同学指出来了，老师，那你都不用画，我就知道哪一个家庭开头一共有 a 家庭， b 家庭， c 家庭，三种选择。三，然后接下来跟着的两个家庭，第一个家庭有两种选择，最后一个，一种选择三乘二，乘一等于六种。 首先我必须要夸奖你，乘法原理用的非常棒。可是啊，有没有考虑到一个问题，他们为一桌吃饭，是圆桌 旋转得到的，算同一种？那你来看看都顺时针来读 abc， 顺时针来读 abc， 顺时针来读。 还有没有 abc 啊？没有了，那再读顺时针 abc， 对 吧？逆时针来读 abc， 逆时针来读 abc， 逆时针来读 abc， 顺时针的逆时针 abc， 是吧？所以它里面有没有旋转的？有，这样子，你是会出现圆桌的重复的。之前直接说三乘二乘一，这是非常正确的，但它前提条件是在直线里面去使用。如果是圆桌，你这样子转是会出现重复的。所以啊，如果是我，我会怎么做呢？我会选择先固定一个家庭的位置， 这一个家庭他肯定是要坐在桌子上的，对不对？那不管坐在这三个位置中的哪一个，我都把它当做我这一个排法的开头，可以吧？因为本来就圆桌，我可以从这里开始，也可以从这里开始，也可以从这里开始。那我现在在固定 a 家庭坐在哪里，我就从哪里，当做起点开始读， 可以吧，这样是就不会重复了。旋转得到的，我每次都从 a 家庭开始，那就不需要旋转了呀，是不是？所以啊，先固定一家， 那么这一家是 a 家庭，也就是 a 家庭固定坐在这里不动，后面两个家庭有二乘一，等于两种选择， 对吧？那固定完了之后就结束了吗？不是的，家庭内部是不是可以换位置？爸爸妈妈、小孩爸爸，小孩妈妈，这里是可以调整，对吧？所以这是第二步，再细分，每一家， 每一家都可以再排一下，每一家都有三个人排位置。三乘二，乘一等于六种。 因为他有三个三口之家，所以我这里乘一个六够不够？不够，要乘三个六，注意是乘三个六，不是乘上六乘三，我们要把它写出来，总共的就是 两种家庭排法，然后每个家庭都有六种， a 家庭六种， b 家庭六种， c 家庭，还有六种，是不是这样子？六乘六，乘六等于二百一十六，二百一十六，再乘二，结果等于四百三十二，单位五。 所以整道题一共有多少种排法呢？一共有四百三十二种排法，屏幕前的你听明白了吗？
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03:17查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，大家好，我是小李老师，咱们来看今天的题，第一题，五个人围成圆桌做成一圈，共有多少种不同的做法？ 第二题，从七个人中选出五个人围成圆桌做成一圈，有多少种不同的做法？这是一个圆排列问题，它是与排列组合的进阶。这时候我们就要注意了， 假如这就是这个圆桌，然后我们设他有三个人，有三个座位，这是 a， 这是 b， 这是 c。 然后一号小人，他可以坐在 a 的 位置，也可以坐在 b 的 位置，也可以坐在 c 的 位置。 那如果我们把这个桌子旋转一下，是不是三种就三种方法就变成了一种方法呢？但是我们如果不考虑原排列，就把这一种方法算成了三种方法，所以我们最后要除以三，那这个三就是加在这个桌子上的总人数。 好，我们现在来看第一题，五个人围成圆桌做成一圈，共有多少种不同的做法？那我们先不管圆排列，五个人要做成一圈，他是不是，他是有顺序的，还是没有顺序呢？对呢，他是有顺序的，那所以就是 a 五五， 那 a 五。我们算一下，第一个人有五种方法，第二个人有四种，第三个人有三种，第二个人有两种，最后一个人只有一种，他等于一百二十种， 但这是一个圆排列问题，我们还要除以他桌子上坐的人的总人数，所以要用一百二十除以五等于二十四种。 好了，第一问我们就解出来了。现在来看第二问，从七个人中选出五个人围成圆桌做成一圈，有多少种不同的做法？ 这时候我们就变得复杂了一点，首先我们要从七个人中选出五个人，那这时候选的时候是有顺序还是没有顺序呢？对呢，是没有顺序的，所以是 c 七五。 好了，现在我们已经选出来这五个人了，然后现在我们要把这五个人进行排列，那这时候我们排列的时候是有顺序还是没顺序呢？对了，这时候就变成有顺序了，所以要乘 a 五五， 它等于我是两千五百二十种。 然后最后我们还要除以他桌子上做的总人数，两千五百二十除以五答案的五百零四种。 ok， 现在第二个我们也解出来了。最后写答， 小朋友们要注意了，当计算圆排列的时候，我们要最后除以他桌子上坐的总人数，因为有可能有许多种方法旋转之后得到了一种。好了，同学们，这节课就上到这里了，咱们下期见。
08:23查看AI文稿AI文稿来详细的讲解一下排列数以及排列数的公式，来，我们来看一看这里到底是什么样的一个计算方法， 以及在求解的时候我们需要注意些什么？好，先看一个问题，怎样推导从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数？ a n m。 好，那既然是排列问题，说明就是将我们这 m 个元素，它要按照一定的顺序排成一列，对吗？不同的顺序对应的不同的一个排列，是不是这样的一个情况，所以呢，它其实就可以转化为什么分布去选择的一个问题。 好，所以呢，我们首先第一步，你从 n 个元素中你任选一个，放入第一个位置，那你会发现有 n 种不同的方法， 然后呢，第二步呢，它就有 n 减一种方法，对吗？那以此类推。第三步的话，就有 n 减二种方法，照 d 最后的一步，你需要取出 d m 的 时候， 它其实也就是说从剩余的 n 减去括号 m 减一个元素中任选一个，放入我们 d m 个位置，是不就可以了？所以此时就应该是 n 减 m 再加一，这么多种 选择的方法，所以呢，我们应用分布乘法的技术原理，也就是说此时我们的 a n m， 它就应该是什么 n 乘上 n 减一，再乘上 n 减二，然后一直乘乘到我们的 n 减 m， 再加一，对吧，是这样的一个思路， 所以我们来理一下这个知识点。首，首先第一个是排列数，从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的所有不同排列的一个个数，那你从 n 个不同的元素中取出 m 个这个元素的排列数，我们用符号 a n m 去表示，对吗？ 好，那排列数它的公式又是什么呢？就等于 n 乘上 n 减一，再乘上一个 n 减二，一直乘乘乘到我们的 n 减去 m 再加一，这个结果。 这里还有个名词，就是说全排列，把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，那就是叫做我们 n 个元素的一个全排列，从正整数一一直到 n 的 一个连乘积，也叫做我们 n 的 一个阶乘， 也就是用 n 然后加个叹号去表示。那它的排列数的公式呢？其实就是从什么从 n 乘上， n 减一， n 减二，一直乘到一结束。 在这里的话我们要注意几个点，首先你的乘积是 m 个连续的正整数的乘积。第一个数肯定是最大的，是我们 a 的 一个下标是下面的那个数 n， 然后 d、 m 个数是最小的，也就是拿下标减去上标，再加一。 好，那接下来我们可以运用一下公式来看我们的例题，在这里的话有几种运算 好，我们可以来详细的解一下。首先这个结果他就应该是多少，第一个数应该是十十，再乘以九，再乘以几。我们在这里的话要看一下 十减去七，十减去三十，七七再加一十八，对不对？所以最后一个数是八，那我们在这里的话乘到八就可以了，答案是等于七百二十。 那第二个呢？我们先把这个排列数给它列出来，对吧？首先先乘以九，九乘以八，来，我们看一下要乘到哪一个数，九减去五，再加上一个一，对吗？ 相当于我们要乘到五才可以。那乘以八，乘以七，乘以六，再乘以五，然后加上 a， 九四呢？从九开始九减四，那就是五五，再加一到六，所以一直乘到六， 九乘八，乘七，乘六。好，那这是上面的分子的位置，接下来我们再看分母，分母十乘以九来再乘，我们看乘到多少。十减六是等于四四，再加一是五，所以要乘到五 乘八，乘七，乘六，乘五，好来，再减去。从十，依旧从十乘九开始乘来看，十减去五，再加一，刚好是六，所以也就是说要乘到六 乘八，乘七乘六啊，到这里结束。那好，我们接下来整理一下啊，我们在这里的话，你看它前面有九乘八乘七乘六，后面的话也是一样，所以我把这个提取出来， 九乘八乘七乘六，然后那括号里面呢？就变成了五加一，对吧？好，下面的话，那我们就从十一直乘以六，也就十乘以九， 乘以八，乘以七乘以六，然后呢我们再乘上一个括号，五减一。那我们现在来看看现在结果是什么？我们上面的这个和下面这个是不是约掉了，对吗？所以下面分母还剩下十乘以四，分子呢？剩下六，所以最后结果是二十分之三， 直接用公式去计算就可以了。好，哎，我们换一个题型，用排列数去表示这样的一个结果， 因为我们现在要确定这个乘积它的项数，对吗？你看从五十五减 n， 五十六减 n， 一 直到六十九 减去 n， 那 么我们要知道你其中 n 它全部都是正整数，并且呢我们的 n 要小于五十五，各项都为正整数。那现在我们来看一下最大数是多少？最大数是六十九减去 n， 这里的话五十五减去 n， 它是最小的。好，这里是最大的。那接下来我们第一步先要确定它的项数，对吗？ 那项数的话就等于六十九， n 减去一个，五十五减 n 啊，还要再加上一个，一来我们看看结果是等于多少，这边的话十四再加一是不就十五个了？是十五项，所以那现在我们对应这个排列数的定义去理解就可以了， 确定一个乘积的最大数以及项数乘积最大数为为多少？为我们的六十九点 n， 然后项数呢？为十五。 好，所以那最后的一个排列数就应该是 a 六十九减 n 十五，这样的话结果就出来了啊。 好，那这个还是比较简单的吧。那接下来我们变一下条件，把这个问题变成八十九乘九十乘九十一，一直乘到一百， 可以表示的数是多少？那么我们还是老规矩，对吗？先来看一下最大数是多少，最大数是一百，然后最小数是八十九，然后再来看一下它的项数，对吗？项数就是拿一百减去八十九，再加一， 得到的结果呢？就是十二，所以最后我们的结果应该是 a 一 百十二啊，选的就是 c 了，是不是？ 所以不管是实际的数，还是说它中间含有一些参数，比如说 n 啊，或者是 a 啊等等，都不影响我们最后去判断这个排列数到底是什么，对吗？ 好，总结一下排列数的一个计算方法呢？它主要是什么呢？主要是利用排列数的乘积公式去进行， 那么我们在应用的时候需要注意，首先它一定是连续正整数的积，你可以写成某一个排列数， 那么最大的是这个排列元素的一个总个数，对吗？然后正整数的个数是选举我们元素的一个个数，这里是排列数公式的一个利用。 那么我们在运用它的一些阶乘公式的时候，一定是要先写出它的式子，之后再提取公因式，然后再去计算，这样的话会减少我们的计算量，我们的目的肯定是要把题目给做对，对吗？好，那 如果这些都理解的话呢？我们后面就自己再练习一下，看看是不是真的会了。
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07:09查看AI文稿AI文稿七分钟解决排列组合三大问题，定序问题、圆桌问题、隔板法定序问题。 已知七个人排队，甲排在乙前面，乙排在丙前面，一共有多少种可能？那我们先考虑七个人排队。本身七个人排队如果没有任何要求的话，是有 a 七七种可能，那现在对甲乙丙的顺序进行了一个要求啊，要求甲必须在，乙必须在丙前面，但是他没有要求三个人必须相邻。那咱们先考虑，如果就单对甲乙丙的顺序进行分析的话，甲乙丙三个人总共有多少种排序可能呢？ 那么根据咱们学习的排列的内容，咱们知道总共是有 a 三三种可能的，但是我现在只要甲在乙前面，乙在丙前面，这种也就是甲乙丙这样的顺序，我只要这一种顺序， 那么总共是有 a 三三种顺序，而甲乙丙这个排列是在 a 三三排列中的一种。 那现在无论是甲乙丙三个人，他们三挨着排，还是说把他们三放到其他的队伍里去排，那么他们三的顺序一定是只有 a 三三种可能的，而甲排在乙前面，乙排在丙前面，就占这 a 三三种可能中的一种，所以意味着甲乙丙这个顺序占甲乙丙三人排序的比例 所占比是 a 三三分之一。那么现在七个人排队了，这七个人排队，甲乙丙的相对顺序是有 a 三三种，而甲排在乙前面，乙排在丙前面的，这种情况是占他们总排序的 a 三三分之一的比例。所 所以用 a 七七乘以甲排在乙前面，乙排在丙前面的比例，就是这 a 七七种有多少种事实，甲排在乙前面，乙排在丙前面，所以说七个人排队按照甲乙丙的顺序去排的话，总共就是有 a 七七比上 a 三三种可能的， 这就是一个某种顺序占本身顺序所有可能的比例问题。那现在我看第二问， 第二问依旧是七个人排队，现在要求甲排在乙丙前面。好，首先我们确定问题是定序问题，甲排在乙丙前面，定了 甲的顺序，那么定序问题首先还是这七个人排队有 a 七十种可能。接着我们要找的是甲排在乙丙前面，占甲乙丙三个人排序的所占比例是多少， 那么甲乙丙三个人排序依然是 a 三三，而甲排在乙丙前面三个位置去排三个人的话，甲排在乙丙前面，甲必须排在第一位， 乙和丙他们两个是可以互换顺序的。所以说甲排在乙丙前面的话，总共是有 a 二种可能。那么甲乙丙三人排序有 a 三三种可能，而有 a 二二种排列是使得甲排在乙丙前面， 所以说在甲乙丙三个人排队的所有可能中，甲排在乙丙前面，占 a 三三分之 a 二二这样的比例。那我现在要从这 a 七七中去找出甲排在乙丙前面的可能数，所以就用 a 七七缠上，乘上 甲排在一并前面所占的比例，乘上 a 三三分之 a 二二，这就是定序问题。定序问题实质上就是照某种顺序的占比。 接着也是一个比较经典的问题啊，是原排列问题，现在有七个人圆桌开会，共有多少种排列可能？正常的话，如果不是圆桌，他就有 a 七七种可能， 不是圆桌的话，有 a 七七种可能，那我们考虑他是圆桌。七个人如果按照一种顺序排成圆桌，我现在用一种顺序排，一二三四 五六七。好，这一种顺序，我把这七个人排成了一个圆，那当这个圆旋转的时候，他们每个人的相对顺序是没有变的，所以说即使发生旋转，他也是这一种排列形式。那 如果说我把这一种排列形式，我给他拆开，给他拆成排列，就排成一对的形式，那会拆出几种情况呢？那实际上我可以用一个剪刀把一七这个位置剪开，那么对应的就是从一开始，一二三四五六七。 我可以用剪刀从二这给他剪开，那对应的就是从二开始，二三四五六七一。我也可以用剪刀从三这剪开，那对应的就是三四五六七一二 同理，等等等。我可以从四这剪开，从任何两个数之间剪开，看一共有多少种剪开方法，就对应了多少个排列。 一二三四五六七，也就意味着一共是有七种排列的， 那么这七种排列对应的都是同一个圆排列，说明什么？说明在这 a 七七种排列中，七个人排队是 a 七七嘛？那么在这 a 七七种排队方案中， 每七个排列对应一个圆排列，那总共有多少种排列的可能呢？就是用 a 七七除以七， 除以七。同理。如果现在是 n 个人圆桌开会， n 个人圆桌开会的话， n 个人排队总共有 a、 n、 n 中可能，而这 a、 n、 n 中可能中，每 n 个排列对应一个圆排列，那总共有多少个圆排列呢？就是 a、 n、 n 除以 n， 所以说 n 个人圆桌开会的话，对应的就是 a， n， n 除以 n 下一个相同元素隔板法。有十二个相同的小球放入到 a、 b、 c 三个箱子，每个箱子至少放一个小球，问有多少种排列的可能， 那我们关注到的啊，这十二个小球是相同的小球，然后放入到了三个不同的箱子里。那十二个相同的小球，一二三、四、五六七八九，十十一，十二， 十二个小球。如果我想把它分成三份放到三个箱子里，我就可以在这些小球的缝隙里进行插板，也就是放进去板子，把它分成几份。大家想，我要想把这一堆十二个小球放入到三个箱子，也就分成三堆，那么总共只需要插两块板， 我任意在两个位置去插板的话，那么就会把这些小球分成了三堆。那我们需要考虑左右两端能不能插板啊？他说至少有一个小球， 至少有一个小球的话，如果我在左边去隔板了，那么左边实际上第一个箱子是没有球了，所以说不能在左右两边去隔板。那大家想十二个小球除掉左右两边的空之外，那总共就还有十一个空， 那我从剩下的十一个空里选择两个位置去插板，就将这十二个小球分成了三份。所以每个箱子至少一个小球的话，不在两边插板，在中间插板。十二空里选两个空去插板，那就分到了三个不同的箱子里。
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