真正的函数还原

本视频耗时四十九年半，制作共计一千九百分钟，带你一口气学完高中数学，由于时长太长，高一高二高三分九十级，发布本视频，先带你学完高中必修一，函数的对称性 开始接下来长期白班之前，我希望你在此时此刻种下那个梦中的大学，考完之后带着你的录取通知书和成绩回来告诉我，学长也考上了。好了，接下来我们来学习第八角函数的对称性。首先我们来看一下本节的一个章节目录，本节呢分为以下三个板块， 第一，落实主干知识。第二，探索核心题型。第三，课时精练提升。 那我们来看一下本节的一个目标要求，函数对称性的理解与应用。第一个理解与推导，那么这个点当中呢，需要我们掌握两个，一个呢是理解， 第二个呢是推导。首先我们来看一下通过平移变换的视角，深入分析并推导得出一般函数轴对称和中心对称的公式及其相关推论。 这个公式我们不光要知道，还要知道他是如何推导出来的。那么接下来还有一个点是什么？是我们的相关推论，那么我们知道这个公式能推导出来，那么基于我们公式的推导，看来又有哪些相关的推论了， 这个的就是我们这一节课所学习的一个重点，也是一个难点。第二个，掌握变换背后数字本质的逻辑。 那么要知道我们的这个函数的图像他俩是可以变换的，因为他俩是对称的，那么要知道这个背后的数学本质逻辑是什么。第二个，应用与解决，熟练运用对称性公式，高效解决函数单调性判断、特定函数求值 抽象不等式解析等复杂数学问题，提升综合解题能力。那我们要知道第二个板块当中，他俩是蕴涵到一些压轴题，这个板块当中的题大家一定得重视。接下来我们来看一下第一个板块落实主干知识。一、 g 函数偶函数的对称性。来看一下第一个 g 函数关于什么？关于我们的原点对称， 大家一定要知道圆点是什么，就说在我们的坐标系当中，他的坐标呢是零，逗号零，那么这个呢称为圆点。接下来来看一下偶函数呢是关于什么？关于我们的弯轴对称，那我们知道一个 坐标轴当中呢，一个呢是 x 轴，一个呢是 y 轴，那么关于 y 轴对称，就是左边的图像翻转到右边，它俩是完全可以重合的。第二个，若 f x 加 a 是 偶函数，则函数 f x 的 图像对称轴为，那我们来看一下， 既然说 f x 加 a 呢是偶函数，那么 f x， 我 们知道 f x 向左平移 a 个单位长度呢，它能得到 f x 加 a。 f x 加 a 是 偶函数，说明 f x 加 a， 它呢是关于 y 轴对称的。 那么我们将 f x 加 a 向右平移 a 个单位长度，得到 f x， 所以 说它的对称轴呢是 x 等于 a。 若 f x 加 a 是 奇函数，则函数 f x 的 图像的对称中心为，将 f x 向左平移 a 个单位长度， 得到 f x 加 a， 而 f x 加 a 呢是奇函数。奇函数呢，它俩是关于圆点对称的。将我们的 f x 加 a 向右平移 a 个单位长度，它俩可以得到 f x， 这个时候它的对称中心呢，是 a 逗号零。 二、若函数 y 等于 f x 满足 f， a 减 x 等于 f， a 加 x， 则函数图像关于直线 x 等于 a 对 称，那么这个呢，非常容易理解。比如说 a 等于零的时候，那我们知道 f 负 x 是 等于 f x 的， 它呢是一个偶函数，偶函数呢，是关于 y 轴对称的。关于 y 轴对称， 就是说明距离我们 y 轴距离相等的两个值，它所对应的函数值呢，也是相等的。同样的，比如说它的对称轴呢，是 x 等于 a， 那 么我们画一个 x 等于 a 的 一条直线， 那么这个时候 a 减 x 和 a 加 x， 说明了距离我们 x 等于 a 左右两边相等的值，所对应的函数值呢，它是相等的， 这个呢，是完全正确的。第二，若函数 y 等于 f x 满足 f， a 减 x 等于负的 f a 加 x， 则函数的图像关于点，这个我们要参照我们的奇函数，那我们的奇函数是 f 的 负 x 等于负的 f x 奇函数，它呢，是关于原点对称的。那么这个时候，一个呢是 a 减 x， 一个呢是 a 加 x， 说明距离 a 点的一个距离呢，是相等的。既然距离 a 点的距离相等，那么说明这个函数是关于 a 逗号零呢对称的。接下来我们来看一下第三个知识点。一、函数 y 等于 f， x 与 y 等于 f x 的 图像。关于这个呢，是典型的一个偶函数，偶函数呢，它呢是关于弯轴对称的第二个函数 y 等于 f， x 与 y 等于负的 f x 图像。关于这个，我们来看一下 x 定域呢，是相同的，而我们的函数值呢，是相反的。画一个图来看一下。既然我们的定域是相同的，函数值是相反的，这个函数呢，是关于 x 轴对称的。 接下来我们来看一下。第三点， y 等于 f x 与 y 等于负的 f 负 x， 那 么知道 f x 与负的 f 负 x 啊，是一对奇函数，既然是奇函数，那么它一定关于原点对称。 学完了我们刚刚的一些基础的知识点，那我们来做一下自主诊断题。第一个，若函数 y 等于 f x 减一的图像。 关于点一，逗号零对称， f x 减一呢，是将 f x 的 图像向右平移了一个单位， f x 呢，是一个奇函数， 它的对称点呢是零零。那么将这个函数图像向右平移一个单位长度之后，得到的对称点呢，是一 逗号零。所以说第一个呢是正确的。第二，若函数 y 等于 f x 加一是偶函数，则函数 y 等于 f x 的 图像。关于直线 x 等于一对称，那我们来看一下，既然它说 y 等于 f x 加一呢是偶函数， 说明它的对称轴呢是 y 轴，而 f x 加一的图像呢，是 f x 的 图像向左平移一个单位长度得到的。 所以说 f x 它的图像呢，是关于 x 等于一对称。第二个呢，也是正确的。第三，函数 y 等于五的 x 次方与 y 等于五的负 x 次方的图像。关于 x 轴对称，那我们来看一下。针对于指数函数来说，它的图像，当我们的底数它呢是大于一的时候，它呢是单调递增的过的定点呢是零一。当我们的 x 等于零的时候， y 呢是等于一的。所以说 y 等于五的 x 次方的图像大致呢是这样的，接下来我们再来看一下 y 等于五的负 x 次方， y 等于五的负 x 次方，也可以写成 y 等于五分之一括号的 x 次方。这个时候底数呢，是大于零小于一的，可前面的五 它俩是互为倒数，所以说它的图像呢，是关于 y 轴对称的，而不是关于 x 轴对称的，所以说第三个呢，是错的。接下来我们来看一下第四个。若函数 f x 满足 f 二加 x 等于 f 二减 x， 则 f x 的 图像关于直线 x 等于二对称，那么这个它俩是正确的。 接下来我们来看一下自主侦断的第二题，函数 f x 等于 x 分 之 x 加一的图像对称中心为，那么这个函数呢，我们首先要对它进行一个化解，那么 f x 呢？ 等于多少等于一加上 x 分 之一， f x 等于 x 分 之一，它呢，是一个反比例函数。而针对于我们的 f x 等于一加 x 分 之一， 它呢是将我们的 f x 等于 x 分 之一向上平移了一个单位长度。 f x 等于 x 分 之一是关于圆点对称的，所以说它的对称中心呢，是零一。这道题呢，选 b。 接下来我们来看一下第三题。已知定义在 r 上的函数 f x 在 负无穷到二上单调递增减， f x 加二等于 f 二减 x 对 任意的 x 属于 r 横乘以则那我们来看一下， 它已经说明了 f x 加二等于 f 二减 x， 说明函数 f x， 它俩是关于 x 等于二对称的。再来看函数 f x 在 负无穷到二上单调递增，那么它俩在二到正无穷上一定是单调递减的。 接着我们再来看 a， f 负一小于 f 三，那么这个时候一定要把这两个不相关的一个值转到同一个单调区间上去，因为它俩是关于我们 x 等于二对称， 所以说我们的 f 三呢，是等于多少等于我们的 f 一 的。而在负无穷到二上，它呢是单调递增的，所以说我们的 f 一 呢，是大于 f 负一的， 所以说 f 负一呢，是小于 f 三的。这一道题 a 呢是正确的。接下来我们来看一下第四题，这一道题呢是二零二六年兰超的一模 已知函数 y 等于 f x 的 图像，过 q 二负三，则函数 y 等于负 f 负 x 加一的图像必过 f x 与 负 f 负 x， 它呢是关于圆点对称的，而这个函数呢，是将 y 等于负 f 负 x 向上提一个单位长度得到 f x 呢，是过点 q 二负三点，所以说 y 等于负的 f 负 x 下来一定过点负二三，将我们的这个函数图像向上平移一个单位长度，所以说他必过点负二四。接下来我们来看一下第二个板块， 探讨核心题型。我们的核心题型主要呢有三个题型，这三个题型呢，对应着我们以下三个难度，第一个呢是基础巩固型，第二个呢是能力提升型。 第三个栏是综合创新型。接下来我们来看一下题型。一，函数的性质，综合轴对称与周期性。第一，这一道题栏是二零二五年新高考一卷的一道真题， 已知 f x 是 二数的奇函数， f x 加一为偶函数，则 f 四。我们来看一下 f x 呢，是二数的奇函数，那么一定有 f x 等于负的 f 负 x， f 零了等于零，又说 f x 加一为偶函数，那么它呢，是关于 y 轴对称的，所以说 f x 是 关于 x 等于一对称的。既然 f x 是 关于 x 等于一对称，那么一定有 f 的 一加 x 等于 f 的 一减 x。 接下来我们针对于这个式子，我们将 x 同时加上一个一， 那么有 f 的 二加 x 等于 f 的 负 x。 我 们接着再来看， 那么这个式子当中， f x 呢，是等于负的 f 负 x， 那 么 f 负 x 是 等于负的 f x 的， 所以说 f 的 二加 x 是 等于负的 f 的 x。 那么这个式子对于 x 呢，同时加上一个二，则有 f 的 四加 x 是 等于负的 f 的 二加 x。 那 么两个式子连立可以得到 f 的 x 呢，是等于 f 的 x 加上四，那么 函数它的一个周期呢，是等于四，那么 f 四呢，是等于零的，所以说 f 四呢，是等于零的。 这道题呢，选 b。 接下来我们来看一下例二这一道题呢，它是二零二六年山东青岛一模的一道题。已知函数 f x 的 定义域为 r， 且 f x 加二为偶函数 f x 在 二到正无穷上单调递减 则不等式 f 负 x 平方大于 f 负一的解集为，那我们来看一下函数 f x 的 定义为二，且 f x 加二为偶函数。既然 f x 加二为偶函数，它呢是由 f x 向左平移两个单位长度得到的，所以说 f x 它俩是关于 x 等于二对称的。那我们再来看一下 f x， 它俩是在二到正无穷上单调递减， 所以它在负无穷到二上，它俩一定是单调递增的。那我们解一的画一个图， 首先换一个坐标轴，接下来换一个 x 等于二的一条虚线，而我们的这个函数呢，它是在二到正无穷上单调递减，而在负无穷到二上是单调递增的， 所以说大致的单调性的图像可以画成这样的。而我们这道题要求的呢，是 f 负 x 平方大于 f 负一的解集，我们只要求得负 x 平方到二的这个距离的点 大于负一到二这个距离的点即可。所以说这道题可以简化成负 x 的 平方减二的绝对值大于负一减二的绝对值。同时提个符号出来，可以得到 x 的 平方加二的绝对值，大于 三的绝对值。而我们知道 x 的 平方加二，它俩是大于零的，所以说有 x 的 平方加上二大于三，得到 x 的 平方大于一，那么 x 平方大于一 x 呢，是大于一或者 x 小 于负一的，所以说它的解集来是 x 大 于一或者 x 小 于负一。接下来我们来看一下四位升华，这个来是我们轴对称函数的核心规律， 大家一定要记下来，如果记不下来，大家来一个小本子，把它抄下来，这个是我们考试当中必考的一个知识点。第一个核心的等价关系，如果对称出来是 x 等于 a， 那 么它一定有 f 的 a 减 x 等于 f 的 a 加 x。 什么意思呢？就是说我们在 x 等于 a， 右侧和左侧他们两个距离相等的点对应的函数值呢，是相等的，这个呢，也等价于 f， x 呢，是等于 f 的 二 a 减 x， 那 么这个怎么来的呢？把这个 x 换成 x 减 a， 如果换成 x 减 a， 那 么一定有 f 的 a 减去 x 减 a 等于 f 的 a， 加上 x 减 a， 得到 f， x 等于 f 的 二减 x， 这个来是重点要记忆的。那我们来看一下第二个和弦的等价关系。 对称轴 x 等于二分之 a 加 b， 这个来是 x 等于 a， 那 么这个来是 x 等于二分之 a 加 b。 我 们例 a 等于 b， 当 a 等于 b 的 时候，那么这个来就是二分之 a 加上 a， 它俩是等于 a， 所以 说 x 等于 a 就是 它的对称轴。 那我们把这个 a 换成一个 b， 它的一个对称轴来就等于 x 等于二分之 a 加 b。 接下来我们来看一下跟踪训练一，这个来是考察了一个二次函数值的一个比较。 第一道题呢，是二零二六年滨州的一道一模已知函数 f x 等于负 x， 平方加 b， x 加 c， 且 f x 加一是偶函数，则 f 负一 f 一 f 二的大小关系式。因为 f x 加一呢是偶函数，说明它的对称轴呢是 y 轴，所以说 f x， 它呢是关于 x 等于一对称的。又因为我们 f x 呢是等于负 x 平方加 b， x 加 c 的， 他俩是一个开口向下的一个二次函数，所以说他俩在负无穷到一上，他俩是单调递增的，而在我们的一到正无穷上，他俩是单调递减的。 接下来我们来看一下答案，答案当中呢，是有一个 f 负一，一个 f 一， 一个 f 二，那我们要把这三个转换到单调性相同的一个区间上去，它的一个对称轴呢是 x 等于一， 那么我们知道 f 的 负一呢，是等于 f 三的，而 f 一 呢，是最大的，所以说这一道题呢，选 d。 接下来我们来看一下跟踪训练二，这道题呢，考察的是对称函数的焦点问题。我给大家选举的这道题呢，是二零二六年银川的一道模拟题。 已知函数 f x 满足 f 四加 x 等于 f 负 x， 若函数 y 等于 x， 平方减四， x 减五的绝对值与 y 等于 f x 的 图像交点为 x 一， 逗号 y 一 x 二 y 二到我们的 x m 到 y m， 则所交点的横坐标之和为。首先我们来看一下第一个 f 四加 x 等于 f 的 负 x， 针对于 x， 把它记换成 x 减二，则有 f 的 四加上 x 减二，它俩是等于 f 的 负的 x 减二，可以得到 f 的 二加 x 等于 f 的 二减 x。 那 么化成这个我们就知道了，它的对称轴呢，是 x 等于二， 而我们的这个我们来看一下这个它呢是一个二次函数， x 平方减四， x 减五， 他的对称轴呢，是 x 等于二。这两个函数他的一个对称轴呢，都是 x 等于二，所以说他们交点横坐标一定也是关于 x 等于二对称的。如果说这两个函数呢，他呢有两个交点， 一个交点的横坐标呢，是 x 一， 另一个呢是 x 二，那么一定有 x 一 加上 x 二， 除上二呢，是等于二的，则有 x 一 加上 x 二呢，是等于四的。那我们来看一下它这个呢， x 呢，一共有 m 个，而 两个呢，它是对应四，所以说这个 m 呢，除上二，再乘上我们的四，就得到了它的横坐标之和。那么横坐标之和呢，是等于二 m 这一道题呢，选 c。 接下来我们来看一下题型二，中心对称问题。 先来看例一，这道题呢，是二零二五年的天津高考真题。已知函数 f x 关于直线 x 等于一对称， 且关于点二逗号零中心对称，则 f 二零二四的值为。那我们来看一下，他来说 f x 关于直线 x 等于一对称， 那么一定有 f 的 一加 x 等于 f 的 一减 x， 而他又说函数呢，是关于点 二零对称，那么一定有 f 的 二加 x 等于负的 f 的 二减 x。 针对于这个式子，我们将 x 呢，同时加上一个一， 则有 f 的 二加 x 等于 f 的 负 x。 针对于这个式子呢，我们将我们的这个直角同时加上一个二，则有 f 的 四加 x 等于负的 f 负 x。 接下来我们来看一下这两个式子。 f 负 x 呢，是等于 f 的 二加 x 呢，是等于负的 f 负 x， 所以 说 f 的 四加 x 是 等于负的 f 的 二加 x， 我 们将 x 代换成 x 减二，那么有 f 的 二加 x 等于负的 f x。 针对于这个式子呢，我们将 x 同时加上二，则有 f 的 x 加上四 等于负的 f 的 x 加上二， f 的 x 加上四等于 f 的 x， 所以 说 f x 呢，是以四为周期的一个周期函数 f 的 二零二四，二零二四呢， 能被四整除，所以说 f 的 二零二四呢，是等于 f 的 零，它呢，说是 关于点二逗号零对称，而又关于我们 x 等于一对称，所以说 f 二呢，是等于 f 零的，等于零的，所以说 f 的 二零二四的值为零。接下来我们来看一下题型，二 中心对称问题。第二这道题呢，是二零二六年的蓝鲸模拟已知函数 y 等于 f x 的 图像，既关于直线 x 等于一对称，又关于点二零对称，且当 x 属于零到一时， f x 等于二零二四分之 x， 则 f 二零二四等于。首先我们来看一下 f x 是 关于 x 等于一对称的， 那么有 f 的 一加上 x 是 等于 f 的 一减 x 的。 他又说关于点二零对称， 那么一定有 f 的 二加 x 是 等于负的 f 的 二减 x 的。 由上一道题我们知道，这个函数 f x 看来是以周期 t 等于四的，周期函数二零二四除以四呢，是等于五百零六， 所以说 f 的 二零二四呢，是等于 f 零。我们来看一下 x 属于零到一时， f x 呢，是等于二零二四分之 x， 所以 说 f 零呢，是等于二零二四分之零等于零，所以说 f 二零二四呢，是等于零。 这一道题呢，选 d。 接下来我们来看一下思维升华函数的中心对称性质。第一个核心等价关系， 对称中心 ab。 如果函数 y 等于 f x， 关于点 ab 对 称，那么它一定有 f 的 a 加 x， 加上 f 的 a 减 x 等于二 b， 还可以写成 f x 加上 f， 二 a 减 x 等于二 b。 那 么这两个是我们考试的一个重点，大家一定要把它们记住。接下来我们来看一下第二个核心等价关系， 它的对称中心呢是 a 逗号零。函数 y 等于 f x 关于减 a 零对称，那么它一定有 f 的 a 加 x 等于负的 f 的 a 减 x， 可以 写成 f x 等于负的 f。 二 a 减 x。 来看一下我们这个式子所表达的一个含义，对称点函数值互为相反数。接下来我们来看一下跟踪训练。一、这个考察的呢，是函数中心对称问题当中的单调性加我们的不等式，而这道题呢，是二零二六年的扬州模拟 已知定域为 r 的 函数 f x 在 一到正无穷上单调递减， 且 f x 加一为奇函数，则使得不等式 f x 平方减 x 小 于 f 二减二 x 成立的时数 x 的 取值范围是。我们来看一下这道题， 他说呢，是 f x 加一为奇函数，那么说明 f x 加一， 它的对称中心呢，是一零。他又说， 但一到正无穷上是单调递减的，所以说我们 f x 它呢，是在定义为 r 上，它呢是单调递减的一个函数。所以要是 f x 平方减 x 小 于 f， 二减二 x 乘以， 则只需要 x 的 平方减 x 大 于二减二 x 即可。即有 x 的 平方加上 x 减二大于零减不等式，可以得到 x 小 于负二或者 x 大 于一。 所以这道题呢，选 d。 接下来我们来看一下跟踪训练。二、这道题呢，是考察函数中心对称问题当中的求参数，那么求参数也是我们高考经常考到的一个知识点。二、 这一道题呢，是二零二五年河北石家庄的一道三模已知函数 f x 等于 x 的 立方加上 a， x 平方加 x 加 b 的 图像。关于点一零对称，则 b 等于， 因为 f x， 它的一个对称点呢是一零，所以说有 f 的 一加 x 加上 f 的 一减 x 等于零。那么这个当中呢，我们将 x 换成 x 减一，则有 f 的 x 加上 f 的 二减 x 等于零。接下来我们来算一下 f 的 二减 x， 那 么 f 的 二减 x 的 三次方 加上 a 倍的二减 x 的 平方加上二减 x 加上 b 等于负 x 的 三次方加上 a 加六倍的 x 的 平方减去四， a 加上十，三倍的 x 加上十加上四， a 加上 b， 所以 说 f x 加上 f 的 二减 x 等于 x 的 三次方加上 a， x 的 平方加上 x 加上 b 减去 x 的 三次方，加上括号 a 加六倍的 x 的 平方 减去四 a 加十三倍的 x 加上十加上四 a 加上 b 等于括号二 a 加上六倍的 x 的 平方，减去括号 四， a 加上十二倍的 x 加上十加上四， a 加上二 b 等于零，所以说有二 a 加上六等于零， 四 a 加上十二等于零。十加上四 a 加上二 b 等于零，可以得到 a 等于负，三 b 等于一，所以说这道题来选 c。 接下来我们来看一下题型。三，两个函数图像的一个对称。例一，这道题呢是二零二五年的一道上海真题， 若函数 y 等于 f， x 加二与 y 等于 f， 四减 x 图像关于某直线对称，则该直线为。如果两个函数都能写成这种形式，大家一定要记清楚它的一个对称轴来是 x 等于多少 等于 f。 四减 x 就是 减的这面的这个常数，四减去前面加的这个常数，然后除以二，这个来就是它的一个对称轴，那么这个公式大家要记住，接下来我们会把这个公式给大家讲一讲，所以说这一道题来选 a。 接下来我们来看一下四位升华两个函数图像的一个对称问题，我们来看一下它的一个核心等价关系。 对称轴来是 x 等于二分之 b 减 a， 那 么这个时候大家一定要认清楚哪个是 b， 哪个是 a。 来看一下 x 等于 f 的 a 加 x 与 y 等于 f 的 b 减 x， 它的一个对称轴来是二分之 b 减 a， 那 么这个时候 b 就是 负 x 前面加的这个常数，它来是 b， 而 x 前面的这个常数它来是 a。 一定要记清楚， b 是 什么， a 是 什么？如果这两个记错了，大家这一道题一定就做错了， 所以说他俩是关于直线 x 等于二分之 b 减 a 对 称的。接下来我们来看一下减题关键策略。若 y 等于 f 一 x 和 y 等于 f 二 x 关于直线 x 等于 m 对 称，则对任意的 x 满足 f 一 x 等于 f 二 m 减 x， 因为它的对称轴来是 x 等于 m， 这个时候将它们代入 f 一 x 等于 f， x 加 a， f 二 x 等于 f 的 b 减 x， 可以 得到 f 的 x 加 a 等于 f， 包括 b 减去二 m 减 x 等于 f 的 b 减二， m 加 x， 可以 得到 x 来等于二分之 b 减 a。 那 么这个题呢，它有个秒杀技巧，我们一定要记清楚，可以令 a 加 x 等于 b 减 x， 可以 直接得到 x 来等于二分之 b 减 a。 接下来我们来看一下跟踪训练。一、 函数对称性求解这道题呢，是二零二六年全国的一道模拟题。下列函数与 y 等于 e x 次方的图像。关于直线 x 等于一对称的，是我们把 y 等于 e 的 x 次方，可以写成 f x 等于 e 的 x 次方，那么它呢，是关于 x 等于一对称 f x 等于 f 的 二减 x， 它呢，是关于 x 等于一对称的。 把二减 x 代入我们这个 y 等于 e 的 x 次方，可以得到 y 呢，是等于 e 的 二减 x， 这个时候 y 等于 e 的 二减 x 和 y 等于 e 的 x 次方呢，是关于直线 x 等于一对称的。所以说这道题来选 c。 接下来我们来看一下第三个板块课时精练。 接下来我们来看一下第一个题型，单项选择题。第一题，这道题呢，是二零二五年全国已卷的一道高考真题。下列函数中图像，既关于圆点中心对称， 又关于直线弯等于 x 轴对称的是 a， 弯等于 x 分 之一， 弯等于 x 分 之一，它呢，是一个反比例函数，它的图像呢，是在第一第三象限。这个函数呢，它既关于圆点对称，又关于弯等于 x 轴对称，所以说 a 呢，是符合要求的。这道题呢，就选 a b y 等于 log x 的 绝对值。这个呢，我们来看一下 y 等于 log x， 它呢是以十为底的一个对数函数，它横过的一个点呢，是一零点，这个时候我们把它的一个函数图像画出来， 它这个时候给 x 加了一个绝对值，给 x 加了绝对值之后，那么 x 小 于零的这部分也有它的一个图像呢，是关于 y 轴对称的，所以说必然不符合。 接下来我们来看一下 c 弯等于 turn x， 这个函数呢，他呢，是关于圆点对称的，但是他呢，不关于弯等于 x 轴对称。接下来我们来看一下 d 弯等于 x 的 三次方，他呢，也是关于圆点对称，但是呢，不关于弯等于 x 轴对称，所以说这一道题选 a。 接下来我们来看一下第二题，这一道题呢，是二零二六年高三的一道统考题。 函数 y 等于二的负 x 次方与 y 等于负的二 x 次方的图像。关于下列哪条对称，我们来看一下这个 y 等于二的负 x 次方，那我们把它写成 f x 等于二的负 x 次方， 那么 f x 它俩是等于二的 x 次方，等于负的负的二的 x 次方，所以说它俩是 关于原点对称的这一道题来选 c。 接下来我们来看一下第三题。这道题呢，是二零二五年新高考一卷的一道真题。 f x 等于二的 x 次方加上 二的 x 次方分之一，则函数 f x 的 图像关于。首先我们来看一下 f 的 负 x， 它呢是等于二的负 x 次方 加上二的负 x 次方分之一等于二 x 次方分之一加上二的 x 次方，它是等于 f x 的。 所以说这个函数呢，它呢是关于 y 轴对称的。关于 y 轴对称，那么就是关于 x 等于零对称 这一道题来选 c。 接下来我们来看一下第四题。这一道题呢是二零二六年高三的一道统考题。已知函数 f x 在 二分之三到正无穷上单调递增，满足对任意的 x 属于二，都有 f 的 二分之三减 x 等于 f x 加上二分之三。若 f x 在 区间 a 到二 a 减一上单调递减，则实数 a 的 取值范围为。我们来看，由 f 二分之三减 x 等于 f x 加上二分之三，那我们可以得到 f x， 它呢是关于 x 等于二分之三对称的，它又说 f x 在 二分之三到正无穷上单调递增， 那么一定有 f x 在 负无穷到二分之三上单调递减。求的呢，是 a 到二 a 减一上单调递减， a 呢，要小于二 a 减一，而二 a 减一呢，要小于等于二分之三 减不等式组可以得到 a 呢，是大于一小于等于四分之五，所以说这道题呢，选 c。 接下来我们来看一下第五题，已知函数 f 一 减 x 的 图像与函数 f 二加 x 的 图像，关于直线 x 等于 m 对 称，则 m 的 值等于。那么这个时候我们要用一个秒杀技巧， 可以令一减 x 等于二加 x 得到 x 呢，等于负的二分之一，所以说这两个函数它是关于 x 等于负的二分之一对称，而 x 呢，等于 m， 所以 说 m 呢，等于负的二分之一。这道题呢，选 d。 接下来我们来看一下第六题，这道题呢，是二零二六年的重庆模拟已知函数 y 等于 f， x 的 定义，为 r 减。函数 y 等于 f， x 加一为偶函数，函数 y 等于 f， x 加二减一为奇函数。则那么针对于这个函数，函数 y 等于 f， x 加一呢，为偶函数。 说明函数 f x， 它的一个对称轴呢，是 x 等于一，而又因为 y 等于 f， x 加二减一了，为 g 函数，所以说 f x， 它的一个对称点呢，是 二一，这个时候它一定有 f 的 二呢，是等于一的，又因为它呢，是关于 x 等于一对称，所以说 f 零等于 f， 二等于一。 所以说这道题来选 b。 接下来我们来看一下第二个题型，多项选择题。这道题呢，是二零二六年兰州的一道模拟题。设函数 f x 等于二的 x 减一次方，加上二的一减 x 次方，则下列说法错误的是，因为 f x 是 等于二的 x 减一次方，加上二的 一减 x 次方，所以说 f 的 二减 x 等于二的二减 x 减一次方，加上二的一减去 二减 x 次方，等于二的一减 x 次方，加上二的 x 减一次方，等于 f 的 x， 所以 说函数 f x， 它俩是关于 x 等于一对称的， 所以说 c 呢，是正确的，而 f x 是 关于 x 等于一对称的，那么它呢，在零到正无穷上不可能是单调递增的，所以 a d 呢，它是错的。 b f x 为奇函数，一个函数是奇函数，那么一定有 f 零等于零。 f 零呢，是等于二的负一次方加上二的一次方，它呢不等于零，所以说它呢不是奇函数， 必然是错的。接下来我们来看一下第八题，这道题呢，是二零二五年的重庆高考题，定义在 r 上的函数 f x f x 加一的图像，关于点负一零对称和有 f x 减一等于 f 三减 x 减 f x 在 一到二上单调递减，则下列结论正确的是，因为 f x 减一等于 f 的 三减 x， 所以 说它的一个对称轴来是三减一，除上二等于一，所以说 直线 x 等于一是 f x 图像的一个对称轴。 a 呢，是正确的，他说 f x 加一的图像关于点负一零对称，那么 f x 加一呢，是 f x 向左平移一个单位长度得到的， 所以说 f x， 它俩是关于点零零对称的。又因为函数 f x， 它俩是关于 x 等于一对称的，那么它的一个周期 t 呢，是等于四， b 呢，它是错的。 接下来我们再来看我们刚刚得到的是 f x， 它俩是关于 x 等于一对称的，而在一到二上，它俩是单调递减的，所以说在零到一上， 它一定是单调递增的，它的一个周期来为四。所以说它呢，在零到一上和它的一个单调性呢，是相同的，所以说在四到五上，它呢也是单调递增的。 c 呢，是正确的。接下来我们来看一下 d f 五等于零，那我们知道函数 f 零呢，是等于零，它的一个周期来为四， 所以说 f 四呢，是等于零，而 f 五它呢是大于 f 四的，所以说它呢不可能等于零， d 来是错的。这一道题来选 a c， 接下来我们来看一下第九题，这一道题呢是二零二六年苏州的一道模拟题，选出一个同时满足条件，一， f x 加二等于 f x。 二、 f 一 减 x 等于 f 一 加 x 的 非常数函数 f x 等于。首先我们来看一下第一个， f x 加二等于 f x， 说明它的周期 t 来是等于二的，而 f 一 减 x 等于 f 一 加 x， 说明它的对称轴来是 x 等于一。那么 既有周期性又有对称轴，我们首先应该想到的呢是余弦函数，比如说 f x 呢，等于 cosine 的 omega x， 那 么这个时候 t 呢是等于二。那我们知道相对于三角函数，它的一个周期 t 呢是等于 omega 分 之二 pi， 所以 说 omega 呢是等于 pi， 那 我们将这个 pi 带入我们的这个解析式当中来看一下 f x 等于 cosine pi x， 那 么来看一下 这个时候它的周期 t 呢，是等于二，满足的。接下来我们来看一下它的对称轴呢是否为一。当 x 等于零的时候，那么 cosine 呢是等于几？ cosine 呢是等于一，当 x 等于二的时候， f x 呢就是 f 二呢，是等于 cosine 的 二派， cosine 的 二派呢，也是等于一，那么这个呢，它是满足的，所以说 f x 可以 写成 cosine 的 派 x。 当然这道题它的一个答案呢是不为一，只要写出同时满足这两个条件的一个函数解析式即可。接下来我们来看一下第十题， 这道题呢，是二零二六年广州的一道模拟题。已知函数 f x 等于二的 x 减 a 的 绝对值次方的图像关于直线 x 等于二对称， 则 a 等于 f x 等于二的 x 绝对值次方，它的图像呢，是关于 y 轴对称的。 那么要是我们的函数关于直线 x 等于二对称，只需要将我们的函数图像向右平移两个单位长度即可，则 f x 等于二的 x 绝对值次方。向右平移两个单位长度， 得到的是二的 x 减二的绝对值次方，所以说 a 呢，是等于二。接下来我们来看一下第十一题。 这道题呢，是二零二六年的预习同考。已知函数 f x 的 定义为 r， y 等于 f x 加三是偶函数。 当 x 大 于等于三时， f x 等于 log。 以二为底的 x 则不等于 f 二 x 加二大于 f x 减一的解集为，首先 y 等于 f x 加三，它呢是偶函数，所以说 f x 它的一个对称轴呢，是 x 等于三。接着我们再来看当 x 大 于等于三时，函数 f x 呢，是等于 log。 以二为底的 x。 所以 说在三到正无穷上，它呢是单调递增的，而在 负无穷到三上，它俩是单调递减的。要是 f 二 x 加二大于 f x 减一，只需要二 x 加二到三的距离大于 x 减一到三的距离即可，则有二 x 加二 减三的绝对值大于 x 减一减三的绝对值，则有二 x 减一的绝对值大于 x 减四的绝对值。针对于绝对值，我们呢两边可以同时进行。平方则有二 x 减一的平方 大于 x 减四的平方。化简则有三 x 的 平方加上四 x 减十五大于零减不等。式则有 x 小 于负三或者 x 大 于三分之五， 所以说它的减极呢，是 x 小 于负三或 x 大 于三分之五。接下来我们来看一下第十二题，这道题呢，是二零二五年的一道荆州统考题。已知定义在 r 上的奇函数 f x 满足 f 二减 x 等于 f 负 x。 设函数 f x 与函数 y 等于 x 减一分之一的图像交于点 x 一 y 一 x 二 y 二 x n y n， 则 sigma i 等于一到 n x i 加 y i 的 值尾。那我们知道这个呢，其实就是 sigma i 等于一到 n x i 加上 sigma i 等于一到 n y 的 i。 接着我们再来看 f 二减 x 等于 f 负 x f x， 它呢是定义为 r 少的一个奇函数。既然是奇函数，那么一定有 f 负 x 等于负的 f x， 它含有 f 的 二减 x 等于 f 的 负 x， 所以 说 f 的 二减 x 加上 f x 呢，等于零。所以说函数 f x， 它俩是关于一零点对称的。 接下来我们再来看一下 y 等于 x 减一分之一，它俩是一个反比例函数， 反比例函数它呢是关于点零零对称的。那 y 等于 x 减一分之一，其实呢，是将 y 等于 x 分 之一向右平移了一个单位长度得到的。它的一个对称中心呢，就会变成了 一零点。那么两个函数他的一个对称中心呢，都是一零点，那么他们的一个焦点也是关于一零点对称，这个时候一定有 x 一 加上 x 二 除上二呢，是等于一的，而 y 一 加上 y 二呢，是等于零的。而这个式子当中他俩一共有 n 项，所以说 sigma i 等于一到 n x i 加上 sigma i 等于一到 n y 的 i， 它俩是等于二，乘上二分之 n 加上零乘上二分之 n 等于 n， 所以 说他的值栏为 n。 接下来我们来看一下第四个题型。解答题是三，这道题呢，是二零二三年邢台的一道检测题。已知函数 f x 等于 n 个以二为底的 x 减二的绝对值加上 x， 平方减四 x 一， 判断并证明函数 f x 的 对称性，那么这个题呢，首先要判断，接下来才需要证明。那我们来看一下这个，他俩是一个对数函数， 那么对数函数真数一定要大于零，那么带了绝对值，只需要他的真数不等于零即可。那么 x 减二不等于零，得到 x 呢，是不等于二的。而后面的这个他俩是一个二次函数，开口方向向上， 它的对称轴呢，是 x 等于二，所以说我们可以假设它呢是关于 x 等于二对称。接着我们再来看 f 的 二减 x， 它呢是等于 log 以二为底， x 的 绝对值加上二减 x 的 平方减去四倍的二减 x 等于 log 以二为底， x 的 绝对值加上 x 的 平方减四。而 f 的 二加 x 等于 log 以二为 底， x 的 绝对值加上二加 x 的 平方减去四倍的二加 x 等于 log 以二为底的 x 的 绝对值加上 x 的 平方减四。那么这两个式子呢，我们可以得到 f 的 二减 x 等于 f 的 二加 x。 这个式子我们可以得到 f x 呢，是关于 x 等于二呢对称的。接下来我们来看一下第二问，求 f x 的 单调区间。由第一问，我们知道 f x 呢，是关于 x 等于二对称的。当 x 大 于二时， f 一 x 等于 log， 以二为底， x 减二的绝对值，它俩等于 log 以二为底的 x 减二。这个它是对数函数。对数函数底数呢，是大于一的，所以说它在定义上呢，是单调递增的。 而 f 的 二 x 等于 x 的 平方减去四 x， 它俩在 x 大 于二上，它俩也是单调递增的。 所以说函数 f x 在 二到正无穷上，它俩是单调递增的。又因为它俩是关于 x 等于二对称的，所以说 f x 在 负无穷到二上，它俩是单调递减的。所以说 f x 的 单调递增区间的是二到正无穷， 单调递减区间的是负无穷到二。接下来我们来看一下第十四题函数 y 等于 f x 的 图像。关于点 p a b 乘中心对称的充要条件是，函数 y 等于 f， x 加 a 减 b 为奇。函数一， 若 f x 等于 x 的 三次方减三 x 平方，求此函数图像的对称中心。这时我们不妨设 f x 的 对称中心呢，为 ab， 那 么设 g， x 等于 f， x 加上 a 减 b， g x 呢？它呢是奇函数，则有 g 的 负 x 等于负的 g， x 得到 f， 负 x 加上 a 减 b 等于负的 f， x 加上 a 加上 b， 则有 f。 负 x 加上 a 加上 f 的 x 加上 a 等于二 b。 又因为 f x 呢，是等于 x 的 三次方减去三 x 的 平方。 所以说 f 的 负 x 加上 a 等于负 x 加上 a 的 三次方，减去三倍的负 x 加上 a 的 平方。 f x 加上 a 等于 x 加上 a 的 三次方，减去三倍的 x 加上 a 的 平方。 又因为 f 负 x 加 a 加上 f， x 加 a 等于二， b 则有 负 x 加上 a 的 三次方，减去三倍的负， x 加上 a 的 平方。加上 x 加上 a 的 三次方，减去三倍的 x 加上 a 的 平方等于二， b 整理则得到三 a 减三倍的 x 的 平方 加上 a 的 三次方减去三， a 的 平方减去 b 等于零，则有三 a 减三等于零， a 的 三次方减去三， a 的 平方减 b 等于零。减方程组则有 a 来式等于一， b 来式等于负二。所以说它的对称中心呢，是一负二二类比。上述 y 等于 f x 的 图像，关于 y 轴乘 轴对称的重要条件是，函数 y 等于 f x 为偶函数的一个推广结论。那么这个根据我们上一题所得到的一个结论，那么它的一个推广结论可以写成， y 等于 f x 加上 a 呢？它呢为偶函数。 接下来我们来看一下第五个板块能力拓展。第十五题，设函数 f x 的 定义域为 r， 若 f x 加二， f x 减二都为奇函数，则下面结论成立的是，因为 f x 加二和 f x 减二都为奇函数，所以说函数 f x 是 关于负二零 二零对称的，所以有 f 负 x 加上 f x 加四等于零， f 负 x 加上 f 的 负四加上 x 等于零。由这两个式子连累，则有 f x 加四 等于 f， 负四加上 x， 所以 f x 呢，是等于 f x 加上八，因为 f x 减二呢，是奇函数，所以说 f x 减二等于负的 f 负 x 减二， 因为他的一个周期呢，为八，所以说给他来加一个八，则有 f x 减二加上八等于负的 f， 负 x 减二加上八。 得到 f 的 x 加上六等于负的 f 负 x 加上六，所以 f x 加上六呢，他来为奇函数。所以说这道题来选 d。 接下来我们来看一下第十六题，这道题呢，是二零二四年的大连质检题。若定义在二上的减函数 y 等于 f x 减二的图像，关于点二零对称，且 g x 等于 f x 加一，则下列结论一定成立的是，我们来看 他说 y 等于 f x 减二的图像，关于点二零对称，那么知道 f x 减二的图像是 f x 向右平移两个单位长度得到的， 他的一个对称点呢，是二零。所以说 f x 的 对称点呢，是零零。那么一定有 f 零呢，是等于零， 而 g x 呢，是等于 f x 加上一。所以说 g x 的 图像是将 f x 的 图像向上平移了一个单位长度，所以说 g 零呢，是等于 f 零加上一等于一。 b 呢，它是正确的。因为 f x 是 定义在 r 上的减函数，所以说 g x， 它呢也是减函数。这个时候有 g 二呢，是小于 g 零的。 g 零呢，是等于一，所以说 g 二，它不可能等于一， a 呢，是错的。接下来再来看 c 不 等式。 f x 加一大于 f 一 减二 x 的 解集为，因为 f x， 它呢是一个单调递减的， 所以说 f x 加一要大于 f 的 一减二 x， 只需要 x 加一小于一减二 x 即可得到， x 呢，是小于零的，所以 c 呢，是正确的。接下来看一下 d， 因为 f x 它俩是一个单调递减的，它的一个对称点呢，是零零，而且它俩是一个奇函数。那么奇函数呢，有 f x 加上 f 负 x 是 等于零的。那我们来看一下， f 一 呢，是大于 f 二的，而 f 一 呢，是等于负的， f 负一，所以说 f 负一呢，是大于 f 二，那么把它挪过来，有 f 二 加上 f 负一呢，是小于零的。这个时候我们来看一下， g 负一加上 g 二呢，是等于 f 负一加上 f 二再加上二，因为 f 负一加上 f 二呢，是小于零的， 所以说 g 负一加上 g 二呢，是小于二的，必然是正确的。这道题呢，选 b、 c、 d。 好， 今天的课呢，我们就讲解到这里，谢谢大家。