微积分怎么读
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01:07查看AI文稿AI文稿你知道什么是危机分吗？其实每一个人呐，都学过危机分，小学的时候呢，我们都学过圆的面积公式 s 等于派 r 方，其中 s 是圆的面积，派是圆周率， r 是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？ 首先呢，我们画一个圆，然后呢，我们把圆分割成很多个小扇形，就好像一个比赛分成很多小块。再然后呢，我们把这些比赛啊，一正一反的拼在一起， 这样呢，就形成了一个接近于长方形的图形。可以想象啊，如果圆分的足够细，拼好的图形就越接近长方形，如果圆分成无限多份，那么拼起来的就是一个严格的长方形了。 而且呢，这个长方形的面积与圆的面积是相等的，我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。显然呢，这个长方形的宽就是圆的半径 r， 而长方形的长就是圆周长的一半，也就是派 r。 根据长 长方形的面积公式，长方形面积等于长乘以宽，我们就得到了圆的面积公式 s 等于派 r 方了。总结起来啊，这个过程就是先把圆无限分割，再把它们拼起来，无限分割就是微分，而拼起来就叫做积分，这就是微积分的基本思想。
32.3万李永乐老师
54:37
03:12查看AI文稿AI文稿微积分这门学科的相关知识，在咱们国际课程的三大体系，无论是 i b， a p 还是 a level 都有相关应用，但是呢，很多同学反应概念太晦涩难懂了，而且呢，跟实际生活也没有什么联系，不过没关系，从今天开始，我会带大家一步一步的通关有趣的微积分。 那么在学微积分的开始，我们都会讲的一个概念叫做 limit， limit 是 我们打开微积分世界的钥匙，很多的人后面很多公式啊概念他听不懂了，实际上就是因为 limit 没有学好，但是相信我，他也不难。首先呢，我们先写一个 limit 的 符号，这个就是 limit 了，不过很多同学看完之后也蒙，对不对，相信我，数学呢，它本身就是门语言，语言一定会表达的清晰和准确，我们把它各个符号弄明白了，你们就会发现它其实一点都不难。首先我们来看这个 l i m， 它就代表 limit 的 意思， 那么接下来我们看到了 x 一个小箭头零，实际上它代表的是 x 在 approaches to 无穷接近于零的意思。 那么这个呢，其实我们都应该明白它是一个什么啊，函数表达式，它代表了一个方式，因为我们要研究的是当 x 无限接近于零的时候，这个方式到底是怎么变化的。我们这个时候发现， x 既然在无限接近于零，我给它后面加上个一，那么它不就会无限接近于 一了吗？是不很简单，我们这样就求到了什么这个极限的值，那我们完成了认知，学会了计算。那接下来我们来看一下 a p v 级分类间一个重要的考点就是 approaches to， 它并不是 很多同学觉得微积分的概念可能在生活里面用不到，我觉得那可不一定。我们来看这这个时候呢，学校里面有一个男生，他想追一个女生，女生其实很爱学习的，他担心早恋影响他的学习成绩，他就跟这位男生说，你很好，先发个好人卡，但是呢，我觉得你在 无限接近我。如果这个男同学学过了微积分，他就会发现 无限接近并不是到达，他就会知道自己被很委婉的拒绝了，所以我明白了吧， approaches to 他 一定不是依靠 to， 无限接近，你永远到达不了。 接下来我们来看微积分里面一个常用考题， f of x 是 一个 piecewise function， 当 s 等于零的时候，它的数值为二，当 x 不 等于零的时候，它是一个 x 加一的表达式。那为什么呢？当 limit x approaches 零的时候， f of x 等于多少呢？我刚刚不是说了吗，无限接近并不是到达，所以说我们不应该认为 x approaches 零就是 x 等于零。很多同学会选二，其实二这个答案是错的，因为它无限接近没有到达，所以说它 x approaches 零的时候， 我们要选择 x 不 等于零的这个表达式，也就是 s 加一，我们完成表达式的 plug in。 那 么跟刚才一样，当 x 在 无限接近于零的时候，加上一，它就会无限接近于一，所以我们正确答案等于一。怎么样，没积分也没那么无聊吧。
02:14查看AI文稿AI文稿面积呢，理解起来会稍微又难一点，比如说我现在再随便画一个图，这里的 y 和 x 我 现在也不知道是什么。那我现在想问的第一个问题是，这个图像下方的这块面积，我们把它称为 s 一， 请问这个 s 一 表达了什么意思？在数学里面，如果我要算这个图像的面积的话，我是怎么算的来着？如果是个矩形就好算了，长是宽就完了，对吧？但现在不是矩形怎么办呢？ 我就把它分分成很多小的，叫曲边梯形啊，这东西叫曲边梯形，这么一小段称为德尔塔 x， 而在这一段里面，你会发现它的 y 值近似不变了， 这个东西取得越小，它就越近似不变。那我们就可以用其中一个 y 值代替这一段的 y 值，去近似的算一下这块面积，那每一块都可以这样近似算。也就是说我可以用 y 一 乘以德尔塔 x， 加上 y， 二乘以德尔塔 x， 一 直加到 y， n 乘以德尔塔 x， 把这些矩形全加在一起，它就近似等于我想算的这个面积了。但是还需要做一个操作， 我得把这德尔塔 x 趋向于无限小，趋向于零，那么这个小三角形就趋向于零了。所以它应该是这个式子再附加一个什么条件，德尔塔 x 趋向于零。这就是在数学里面计算面积的方法，也就是以后你们学那个导数的时候，要给大家讲的叫积分的那个思想，就把它微乘很多段，每一段分别算，然后再累积起来叫 sigma， y 乘以德尔塔 x， 另，德尔塔 x 趋向于零， sigma 代表的是求和的意思，我把每一段的 y 和德尔塔 x 乘起来，把这个积再累加起来求个和，这就是我算出来的面积。 所以这个面积在数学中它的意义是这么讲的，叫 y 对 x 的 累积。那能不能举些例子，这个图像叫 v 分 之一，关于 x 的 图像， 请问这块面积表示了什么？我不管它是什么物理量，从数学角度，这个面积就表示这个吗？微分之一乘以点它 x 很 小的一段位仪里面，它的速度是径是怎么样的？不变的，对吧？那我用很小的位仪除以那个不变的速度得到的是什么？是走完这一小段位仪所需要的很小的时间，就是所谓的微元时间。 而把每一段的微元时间全部累加起来变成什么了？所以这个面积表示的是时间的含义，所有的物理图像都能这么来理解的。
110物理侯景然老师
11:04查看AI文稿AI文稿大学里面非常难的微积分其实在我们小学阶段就已经学过了，只是说很多学生是不知道的，大学里面微积分会解决什么问题呢？你比如说我手上现在拿了一个红色的按摩仪，你看这个按摩仪的形状长得很奇怪，对吧？很不规则的东西，我们怎么求它的体积啊？那么在大学里面我们微积分第一个先微分给他拆小球细节，你比如说可以把它 切成一层一层的很薄的薄片啊，那每一个薄片呢？你切完之后，它可能就比较近似是一个小的圆柱体，每一个的体给它求完之后，最终叠加在一块，就能和小球整体，把它的整个的体给它求出来了。那这个思想在我们小学阶段是怎么应用的呢？其实也很简单啊，你像第一个 微分，我们说要拆小球细节，那拆到多小是小呢？其实这个小它里面蕴涵的就是一个数学中的极限思维。 这个极限思维呢，其实在我们小学四五年级左右啊，就学到小数分数的时候，大家其实已经接触了，我给大家举个例子，你就知道了啊，你比如说咱们学到小数的时候，对吧？那零点一是个小数， 那比它再小一点呢？有什么呢？有零点零一，还有零点零零一，还有零点零零零一，以此类推。好，那同样的，我们学分数的时候，这个小数对应的分数是什么？十分之一、 一百分之一、一千分之一、一万分之一。那么问题来了，如果我们把这个数一直不停的写下去的话，你说它最终会趋近于哪个数啊？趋近于一个非常非常小的数，小到多少呢？ 无限趋近于零，趋近这个东西，它其实就是一种极限的思维。那么像这种微积分的思维呢？在我们小学阶段，其实五六年级开始已经有微积分的应用了。学圆的面积的时候， 你像很多孩子经常会把这个面积公式和周长公式给弄混，我们知道面积公式是 s 对 吧？等于拍 r 的 平方，而周长公式呢，是等于二拍 r。 今天我给大家讲一下咱们用微积分的思想，这个圆的面积怎么来的？你听完之后，我保证你一辈子都不会把这两个公式给记混的。我们先给大家画个圆啊， 你不管是大圆还是小圆，所有圆的周长都是它直径的拍，就是圆周率啊，所以你看 直径呢，包含了两个半径，两个半径就是二 r， 所有的圆的周长都是直径的拍背，所以周长就是二 r 乘个派，也就是二拍 r 啊。顺便给大家把周长的概念也解释了一下啊，那圆的面积怎么求呢？咱们这个地方就得用到微积分的极限思想了。 第一步我们先对它干嘛进行微分，那这个怎么微呢？我们可以把这个里给它切出一个小的 小块出来。那么你想假如这个圆足够大的时候，这个地方是有弧度的还是说是平的呢？ 大家想象一下，你把这个圆想到非常非常大，你像咱们在地球上走路的时候，你能感受到你是先上去再下来吗？没有这种感觉是吧？如履平地切出来的小块，你只要切到足够小，这一小块它其实就是一个三角形，那现在我们就把这个圆当成一个西瓜一样，我给他多切几块， 无限的进行一个微分，切出很多小块。切完之后干嘛呢？对他进行一个摆盘，来给他这样摆啊？ 就摆完之后你会发现这个图形他竟然有点像一个什么图形呢？像一个长方形，你可以忽略这个弧度，因为我刚说了，咱们只要微分到足够小，他其实就是接近于一个 三角形，没有弧度了，所以上面和下面其实都可以近似成是一条直线了。最后其实也拼成了一个规则的长方形，你看它的宽是什么呀？ 它的宽你看不就是圆的半径吗？这不就是宽吗？那它的长是什么呢？你可以把它想象成是个西瓜，上面是瓜皮，下面你看是不是也是瓜皮，相当于是整个一圈的瓜皮，上下分成了 各一半。那整个圆的周长是多少啊？是二拍 r 吗？那圆的周长的一半呢？那是不是上下都是拍 r， 你 看圆的面积不就出来了吗？一个长方形求面积，长乘宽，拍 r 再乘 r， 那 就是拍 r 的 平方了。我们总结一下啊，首先第一步对它进行一个拆小球，细节拆的越小，你的细节越丰富，越接近一个三角形。第二步呢，我们再和小 和小的意思就是说把这每一个小块我给他啪叽啪叽啪叽啪叽拼在一块，把它拼成了一个新的整体，这个整体呢，它是一个长方形，所以我们就通过 把圆化取为直的方式，把它变成了一个长方形，就把它的面积给他求出来了。啊，那其实类似的呢，在我们小学六年级学这个圆柱的体积的时候，也是用到过这种微积分的思想的。我们在书本上面是不给大家规定棱长为一厘米的小正方体，它的体积 是一立方厘米，这是我们人为规定的啊。比如说我给你一个长方体，你怎么求它的体积啊？咱们就可以把长方体给它进行分割， 分割成这种标准的小正方体，我们去求它的体积。我现在告诉你，长是三，宽是二，高也是二，那你都把它分成一个一个的小块，对吧？你看看这里面有多少小块，一层有 六个，有两层，长乘宽再乘高呗，简称 a 乘 b 再乘 c。 当然我们还可以把这个公式给它进一步优化，你比如说长乘宽相当于这个长方体的 底面积，对不对？那所以我把长乘宽写成一个底面积，而这个高呢，我就给它写成一个新的字母，叫高 h， 所以 长方体的体积公式又可以写成 s h。 那 问题来了， 那圆柱体的体积公式为什么也是底面积乘高呢？这个是有说法的啊，圆柱体其实也是可以把它经过微积分的方式把它给拼成一个长方形的， 这个大家信不信咱们来试一下啊？第一步也对他进行一个微分，你可以把人飞到天上啊，用一个俯视图去看，第一刀，先给他竖着咔嚓切下来劈木材一样，对吧？咔嚓，把这个木材给他切成两半，我要拆到足够小才能求出细节啊，所以我就再给他咔嚓又来一刀，再切， 再切。你就把这个木头想的特别大，切的每块特别小，切完之后整个木头被切的七零八碎了啊，那么接下来我要干嘛呢？要开始用积分的思想了，对吧？要核小，求整体了，拼成一个新的形状，咱们可以参考圆给大家拼一个， 大家仔细看啊，就是我相当于是把其中的这一个小块，它本身的形状大致是长这个样子的， 我就给他先拿出来往这一放，然后再放一个倒过来放的俯视图是这样看的，咱们主视图就这样看，给他一正一反，一正一反去拼，你只要切的足够小，切的足够多，他最终肯定能够啪叽拼成一个非常近似的一个 长方体。刚刚我们切的时候，它是有弧度的，你只要切到足够小，就像地球一样的，它无限的微分，细节就会更加的丰富，像一个平地一样了，所以这个弧度就可以忽略不计了，那他就近似的看成一个长方体了，那就用长方体的体积公式呗。底面积 乘高底面其实还是刚刚这个面，只是说我把这个面给它打乱了，重新组合了，但是底面积你看 是不是还是这个面？所以圆柱体的体积，它也是拿这个底面积再乘高啊，那底面是个圆对吧？你把圆的公式给它换进去，也就是拍 r 的 平方再去乘高。所以大家发现没，其实数学里面很多公式看似复杂，但是它们的原理都是相通的， 都是化取为值，化取为值。讲完这个微积分呢，很多同学肯定会觉得说，这个思维真好用，对吧？那以后我再看到什么不规则的东西，我都可以去求了。但其实我跟大家说，数学这个学科，他思维的培养一定要综合的培养，有时候你单独的只学一个数学思维，在某些具体场景下不一定是最优解， 什么意思呢？你比如说我现在就手上拿了一瓶水啊，我想让你帮我求一求这瓶水它的体积，或者说它的容积是多少。那如果你要是只学过微积分这种极限思想，先微分，把这些不规则的给它切成一个一个近似的小圆柱体，那你只要把这个小圆柱体的体积给它求完之后，把所有的圆柱体给它 加在一块，是不是就求出整个的体积了？那得算到猴年马月呢，对不对？我跟大家说，在小学阶段他不是最优解，我们还有一种更神奇的思维啊，更适合咱们小学阶段，叫什么呢？叫做等量代换思维， 也就是相等的东西可以互相的替换。比如说我们现在告诉你啊，这个瓶子他正着放，你看这个水面它是高度是多少？我给你量一下啊，这个水的高度它是十厘米那么高 啊？然后底面呢？是个圆，就四十平方厘米啊，这是正着放，如果我倒着放呢，因为下面比较细，水面的高度肯定会比正着放的高度要怎么着？你看啊，肯定会变高嘛。我们假设现在水面变高了，他现在水面和这个上面之间的距离是五厘米， 假如就已知这三个条件的情况下，你能不能把这瓶水它的体积给求出来呢？如果我们有这个等量代换的思维的话，其实做这个题是非常简单的，怎么个等量代换呢？大家想啊，我不管是正着放还是倒着放？水变了没有，这个水的体积是没有变的， 那同样意味着什么呢？你正着放上面有一段空气，我倒着放上面也有一段是空气，那空气和空气的这个体积大小会不会变呢？也不会变吗？对吧？那既然什么都没变，那我们就找到等量关系了，水和水是相等的 啊，空气和空气也是相等的，那么接下来我们就要做一个非常神奇的操作了啊，就是我打算把这个不规则的空气给它替换掉呗，你就把它替换成这个规则的，不就完事了吗？所以相当于是我对这个瓶子做了一个新的组合，下面是一部分规则的 形状，装的是水啊，然后上面呢也是一个规则的形状，装的是什么呢？装的是 空气，对不对啊？那么你看他们组合在一块，是不是就组合出了一个非常标准的圆柱体了？底面积是四十，然后高呢？水的高度是？呃，是十，然后这个气的高度呢？是五，这不就是个圆柱体求体积了吗？底面积乘高，那底面是 四十，高呢？是十，再加五等于六百六百立方厘米啊，如果写成这个毫升的话，那不就是六百毫升吗？你看这就通过这个等量代换的方式把它给求出来了， 那你说在这种场景下你非要去用微积分吗？那你记个半天，那你也记不完呢，对不对？所以这就是我们跟大家说的数学思维的培养，综合的培养， 你不能说我只练一个思维，我就天下无敌了，不是这样子的，数学的思维一定要灵活的运用，其实在我们小学、初中、高中阶段核心的数学思维不多了，极限思维是一个等量代换思维，思维是一个，像我之前给大家讲的树形结合思维是一个啊，正向思维、逆向思维、整体思维一共是十六种， 如果大家感兴趣的话，你们可以点个关注我下一次给大家通过咱们的数学的以及生活中的一些案例，给大家把每一个思维做一个详细的拆解。
2312史要文数学开窍
08:58查看AI文稿AI文稿注意看，如果我们知道一个圆的半径，马上就可以计算出它的面积，因为圆面积就等于 pi 二平方。 在这里面，圆周率 pi 起到了一个非常关键的作用。那么问题来了，圆周率要到古希腊时期才有，阿基米德计算到三点一四，那在这之前呢，古人怎么计算圆面积呢？有朋友可能在想，要么我就把圆切成这种方块，然后再加在一起。 虽然会有些误差，但古人嘛，顶多就是计算个烧饼的面积了，要那么精确干嘛呢？呃，咱还是不要太小看古人啊，古人其实并没有那么傻。实际上，早在五千多年前的古巴比伦，人们就已经开始这样子计算圆面积。就是先用一根绳子绕圆一圈，测出周长 c， 然后再用一根绳子拉直，测出圆直径，然后计算出周长乘以直径，再除以四，这样就可以得到一个很精确的圆面积的数值。 不过，这是一个经验算法，古人用归用，但说不出个所以然来。直到古希腊时期，人类的逻辑思维突然间开始了莫名其妙的爆炸。一位名叫阿基米德的数学上古大神给出了一个证明。阿基米德说了，兄弟们，咱先把一个圆切成四块，然后再拼起来。哎，你看，我们就得到了一坨， 虽然形状不太好看，但我们很明确的知道，它的上下边长加起来就是圆周长，而左右边长加起来就是圆直径。那我们再把圆切成六块，再拼起来呢？那就是这样， 那要再切成八块，再拼起来呢？那就是这样，那要是再切成十块，再拼起来呢？那就是这样，再接着切，然后再接着拼， 其实不用切太多，当我们切到一百块的时候，它拼出来的形状就已经非常接近一个长方形了。而这个长方形的上下边加起来当然仍然是圆周长，而左右边长加起来也仍然是圆直径。那么我们直接计算这个长方形的面积，那就是周长乘以直径除以四了，而这也正是圆的面积。 现在我们回过头来看，阿基米德的这个证明已经具备了现代微积分的雏形。他形成了一颗种子，但这颗种子在落到地上之后，就进入了一个长达两千年的休眠期，没有人能够察觉到他内部所蕴藏的巨大能量。直到一六六五年，另一位巨人拿起了这粒种子。嗯，他心想，是时候该做点什么了。 本视频归属于合集微积分之美。这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。 这本书专注于硬核数学科普，它将由机械工业出版师出版，会在今年上半年正式发布。自己先做一个预告，好让我们继续。其实在我们的日常生活中，很少会有机会用上微积分， 我相信古人的生活应该比我们还简单。那到底是什么样的动机需要数学家整除微积分那么个玩意呢？在数学里有这么一句老话说的是，初等数学是静态的数学，微积分是动态的数学。 比如你要精细研究一个物体的运动，那你就必须要用到微积分。你这么说还是太模糊了，你就直接说历史上微积分诞生的那一刻，到底面临着一个什么样古典数学没法解决的问题？哎，你算是问到点子上了，还真有， 那就是如何裁剪开普勒定律。一六六五年的时候，一场瘟疫席卷了整个欧洲，人们为了躲避瘟疫，纷纷逃往人烟稀少的农村。这时候剑桥大学也选择了关门休学，学生们被要求各自回家， 这里面就包括当时二十二岁的牛顿同学。牛顿的家本来就在农村，所以他回到家后心情相当不错。于是到了夜晚，他就坐在院子里面仰望星空，这时候他想起一首歌，唱的就是我在仰望月亮之上。 不是啊，牛顿其实没有听过凤凰传奇，他当时想到的是行星的运行轨道是个椭圆。第二定律说的是行星在椭圆轨道上在相同的时间里扫过的面积是相等的。 开普勒在一六零九年的时候提出这两大定律，然而他的推导完全是依赖天文观测数据，也就是说，这两大定律最初只是经验判定，而并没有被严格的验证。牛顿于是心想， 那有没有办法来验证一下呢？然而这里面涉及到两个在当时完全没有办法进行的计算。首先，行星在椭圆轨道上运行，那我们怎么才能计算出他在任意时刻的运行速度？那就是把初始位置和最终位置相减， 在除以消耗的时间就得到了平均速度。即使是圆形轨道，我们也可以假定行星的速度是一个常数，从而也可以计算出一个平均速度将就一下。可是到了椭圆上，这个公式就完全不适用了，因为很明显，在椭圆的任意一个点上，行星的速度都在变， 那这就很尴尬了呀。于是牛顿心想，如果我们还是按照计算平均速度的方式来计算行星运行的速度呢？那就是把初时位置和最终位置相连，计算出它们的直线距离，然后再除以时间。但很显然，这个计算误差会非常大，因为行星划过的是一道曲线，而我们计算的却是直线段。 但是没关系啊，让我们逐渐把起始点向终点的位置移动，当他们重合在一起的时候，我们就计算出了瞬间速度。我们用大 s 来表示距离，用 t 来表示时间，牛顿的计算实际上就相当于是这样，这就是我们现在所说的导数了，但牛顿给他取的名字是流速。 好，那我们再来看看开普的第二定律，行星在相同的时间里划过的面积相等。那么问题又来了，给你一段时间，你要怎么计算行星划过的面积呢？ 牛顿再一次仰望星空，心里又想起一首歌，哎，好了，不开玩笑，牛顿在经过研究后发现，我们之前所计算出来的流数居然可以用来计算面积，这个就是微积分理极其重要的基本定律了，用现代数学语言表达出来就是这样。也就是说，计算面积和计算导数 正好相反的两个过程，这也就是现代数学里的积分了。利用积分，我们可以计算出相同时间里行星划过的面积到底是多少了。那牛顿计算下来，开普勒的经验定律到底成不成立呢？那当然是成立的了，接下来，牛顿还要从这两个定律来推导万有引力定律如果不成立，那还得了。 有趣的是，在有了微积分思维之后呢，要推导万有引力定律简直易如反掌。来，让我们一起来回顾这科学史上最激动人心的时刻之一。 在宇宙中，天体和天体之间几乎是真空状态，所以对于牛顿时代的人来说，天体运行逻辑上应该是直线运行。 牛顿一开始也是这么假设的，假设行星确实是在走直线运动，并且在一段时间里，它从 a 点移动到了 b 点，那么根据惯性原理，在没有外力的情况下，接下来的时间里它会匀速移动到 c 点。如果我们以 o 点为参照点，这两个三角形底边相等，高也相等，所以它们的面积是相等的。 也就是说，如果行星走的是直线，那么开普勒第二定律自然就是成立的。然而诡异的是，行星的运行轨迹是这样的。所以怎么解释这个奇怪的现象呢？ 貌似只有一种可能，那就是行星受到了来自 o 点的某种神秘力量所牵引。但是对于还没有形成微积分思维的牛顿同时代人来说，这个解释仍然是行不通的。因为如果行星受到来自 o 点的牵引力，那么这个牵引力必然是沿着直线 o c 把行星拉到了 d 点。 我们已经知道 o b c 和 o b a 同面积，那么 o b d 与 o b a 就 肯定不是同面积了。于是开辟第二定律就不能成立，那所有的观测数据就无法解释了。不过牛顿说了，兄弟们别着急，因为我们已经知道行星的运行轨迹是椭圆， 所以我们不能把这个 darth t 看的太大，而是要把它看成无穷小。当 darth t 区域无穷小的时候， o b 这条直线相当于没有移动，所以牵引力并不是沿着 o c 在 拉伸，而是沿着与 o b 平行的直线在拉伸， 所以接下来的地点不是在这里，而应该是在这里。好了，因为 c d 与 o b 平行，于是我们又一次得到了两个相同底边和相同高度的三角形，它们的面积又是相等了，于是 o b、 d 的 面积就等于 o b a， 完美的符合开普了第二定律。所以这个来自 o 点的牵引力确实是存在的，让我们把它叫做万有引力吧。 所以我们看到了万有引力从一开始就是一个假设，我们也完全可以不这样假设。比如后来的爱因斯坦就换了个假设，他说我们不需要引力，而是用空间趋律，也完全可以解释。 说不定再过个几十年，我们又可以再换一个假设，比如我们既不需要引力，也不需要趋律。我们完全可以说，宇宙中的一切其实只不过是大爆炸之后的热胀冷缩而已。嘿嘿，貌似也完全解释的通。 好了，让我们准备一下去领下一届落本奖吧。今天就到这里祝大家元宵节快乐！本视频归属于合集微积分之美，这是合集第七个视频，这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。这本书专注于硬核数学科普， 他将由机械工业出版书出版会在今年上半年正式发布。这里先做一个预告，好了，我们下集再见，拜拜。
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02:59查看AI文稿AI文稿我上一个分享微积分学习心得的视频已经有十几万人看过了，非常谢谢大家的共鸣和喜欢，我想就私信和评论区的一些问题做一些回答。有人问我这个书是怎么打印的，我是在网上找的打印店， 这样一和二两本，第二本也差不多这么厚，打印下来花了有三四百块钱。我是全彩印的， 当时觉得彩印看图会比较明确一点，但是我其实没有想到那么贵，商家帮我算钱也算了很久，我有点不好意思，再说不彩印了，我其实不太推荐我这个方式，我这么好的书呢，你为什么不去支持正版？因为我这本书在正版的时候，我搜了大概要 八九百块钱。那有人问，那你干嘛不直接用电子版？因为我在 pad 上看，我发现我看这个教材我会很频繁的翻到前面去，或者翻到后面去，看公式啊，看答案啊，做题的时候看前面的知识点，我用电子版就不是非常的方便，那所以我决定还是打印出来。 我在评论区看到说这本书有中文版，我就买了一本这本书的正版的中文版来 是我们中国邮电出版社出版的，这个出版社它翻译了非常多国外非常优秀的教材。我当时当程序员的时候，图灵系列也是这个出版社引进的。它的印刷用纸是邮版纸，质量非常好，不管用什么笔， 用钢笔、中性笔、油笔都可以，铅笔都可以，用荧光笔画重点的时候也非常的突出。它不光纸质好，它印刷用的配色和原版书都是一模一样的。这两本书看起来中文版的要稍薄一点点，但是它是因为我们中文 比英文相对凝练，是这个导致的。它的内容上是完全没有删减的，原来的版本一模一样的复刻下来的， 很不傲慢，很不默认。之前有一些知识你是应该知道的，他前面有一个基础的测试，如果你能够完成基本完成这个基础测试，那么就说明你可以顺利的看下去这个内容我看了一下，你们可以截图看一看。他的基础测试的题 是非常非常之简单的，所以我觉得通过这本书，像钱老说的，十四岁也能学会微积分， 可能真的不是一个梦想。看这本书的时候，每一个知识点它都会对应一个例题，这个例题不偏不怪，非常准确的击中了这个知识点。如果你不确定是否掌握，后面还有大量的练习题，由浅入深，非常有层次感的可以供你练习。如果你不保证自己的解析过程有什么问题， 这本书的好处是因为它太出名了，基本上主流的 ai 模型都有它的数据，你就可以问 ai 模型是否可以给出我一个标准的解答流程，还可以根据这道题出很多类似的题，从而扩展去学习。 因为评论区还说他们大学的时候就有用这个教材，所以你甚至还可以去网上找各个大学它的历年的期末考试的 past paper 来检测你的学习是否 有效。因为网上的资料这么多，所以我认为和这本书相处好了，打下一个非常牢固的微积分基础是非常好的，非常真心的分享给大家。
1776马丁success- 02:14查看AI文稿AI文稿
面积呢，理解起来会稍微又难一点，比如说我现在再随便画一个图，这里的 y 和 x 我 现在也不知道是什么。那我现在想问的第一个问题是，这个图像下方的这块面积，我们把它称为 s 一， 请问这个 s 一 表达了什么意思？在数学里面，如果我要算这个图像的面积的话，我是怎么算的来着？如果是个矩形就好算了，长是宽就完了，对吧？但现在不是矩形怎么办呢？ 我就把它分分成很多小的，叫曲边梯形啊，这东西叫曲边梯形，这么一小段称为德尔塔 x， 而在这一段里面，你会发现它的 y 值近似不变了， 这个东西取得越小，它就越近似不变。那我们就可以用其中一个 y 值代替这一段的 y 值，去近似的算一下这块面积，那每一块都可以这样近似算。也就是说我可以用 y 一 乘以德尔塔 x， 加上 y， 二乘以德尔塔 x， 一 直加到 y， n 乘以德尔塔 x， 把这些矩形全加在一起，它就近似等于我想算的这个面积了。但是还需要做一个操作， 我得把这德尔塔 x 趋向于无限小，趋向于零，那么这个小三角形就趋向于零了。所以它应该是这个式子再附加一个什么条件，德尔塔 x 趋向于零。这就是在数学里面计算面积的方法，也就是以后你们学那个导数的时候，要给大家讲的叫积分的那个思想，就把它微乘很多段，每一段分别算，然后再累积起来叫 sigma， y 乘以德尔塔 x， 另，德尔塔 x 趋向于零， sigma 代表的是求和的意思，我把每一段的 y 和德尔塔 x 乘起来，把这个积再累加起来求个和，这就是我算出来的面积。 所以这个面积在数学中它的意义是这么讲的，叫 y 对 x 的 累积。那能不能举些例子，这个图像叫 v 分 之一，关于 x 的 图像， 请问这块面积表示了什么？我不管它是什么物理量，从数学角度，这个面积就表示这个吗？微分之一乘以点它 x 很 小的一段位仪里面，它的速度是径是怎么样的？不变的，对吧？那我用很小的位仪除以那个不变的速度得到的是什么？是走完这一小段位仪所需要的很小的时间，就是所谓的微元时间。 而把每一段的微元时间全部累加起来变成什么了？所以这个面积表示的是时间的含义，所有的物理图像都能这么来理解的。
203物理侯景然老师 
01:19查看AI文稿AI文稿比较一下国内外的微积分教材，比方说这本普林斯顿微积分读本，我感觉最大的区别就在于它里面会用大量的大白话来给你一步步解释每一个数学概念，每一个定理公式都是怎么来的。甚至里面的一些定理的证明都不是采用严格的数学语言，而是借助图像和大白话来让你直观的理解， 而严格的证明都放在书的复录里，所以你别看这本书很厚，其实大部分文字都是为了帮学生理解的大白话，而且时不时会照顾到你的情绪，给你一些难易度的提醒。 总之，这本教科书读起来就是感觉一个数学教授在非常耐心的教你，初高中的同学看这本书都完全可以自学。而且国外的教材还有一个特点，就是会在前几章放上一些前置的知识。复习一本讲微积分的书，尽量从函数开始讲起， 照理来说，要学微积分的人，这些都是基础，但是他就是会照顾到一些学生，可能会忘记起到复习的作用，让你不用回头再翻书，就这一本书 把所有的事情都给你解决。而国内的高数教科书风格主要还是偏工具性，主要是知识点的罗列，定理的证明过程用的也是最严格抽象的数学语言，自觉起来会很累，要配合老师的讲课，这就很考验学生的运气，不同的老师教学水平参差不齐。 之前有粉丝让我推荐一本自学微积分的教材，我还是推荐这本普林斯顿微积分读本。无论是初高中的同学想要提高数学思维，降维打击，还是上大学的同学考试复习或者考研复习都可以参考一下这本书。
5856神奇的质子
06:38
00:56查看AI文稿AI文稿为什么有人在八岁就能学会微积分？关键在于是否有人引导。这本超图解微积分就是非常棒的老师，他并不侧重微积分的解析技巧，而是用图解的形式把微积分讲透了上来。先告诉你微积分是怎么来的。通过当时各国研究炮弹轨迹的故事，引出如何求切线的问题， 皮卡尔和费马创立的坐标系和解析几何，为此做好了基础工作。之后是牛顿先使用微分法解决了求切线斜率的问题。这里用图解的方式介绍了微分法，然后介绍积分法，最后是微分和积分的统一带来的强大威力，至此微积分才真正被创立完成。 同时书中还深入讲解了微积分的应用，像如何预测火箭的飞行高度、计算彗星的运动轨迹等等。很多同学在学习微积分时只会死记硬背，并不理解它为什么是这样的，而这本书可以帮助读者真正理解微积分的原理和用法。特别精彩的一本书，强烈推荐！
774学习之光
