九下南开数学开学考试几何大题答案
同学们大家好，我们今天讲解二零二六年南开一模的十七题。首先我们先来审题， 这里面的第一个条件是一个边长为六的正方形，这是一个经典的背景。我们接着往后读第二个条件， o a 对 角线， a， c 的 中点，我们能联想到正方形对角线，它有平分对角。 我们继续往后看，这里边的 a， e 的 垂线为 c h， 我 们可以把它标在图上。我们接着往后读，第二大问中出现的新条件是， c f 等于 a e， 我 们可以看到 c， f 的 位置在这个地方 a， e 的 位置在这个地方，我们对于边等的常用联想就是全等， 我们稍后可以观察一下是否有全等。我们继续往后读，题目中给了一个 d， e 的 长度，结合着题目中所给的边长为六，我们可以得到的是 e， c 应该等于的是四 进。而呢，我们要求的问题是求 g o h 的 周长。我们下边来进行梳理。 这个小题呢，比较好翻译的应该是我们第五个条件，得到的是 e， c 等于四进，而我们还可以求得 a， e 的 长度应该等于二倍，根号十。 下边我们来看一下这里边的下一个条件，可以用圈三这个垂直关系和正方形形成了一个八字倒角，我们可以得到一对角等关系，角 hce 等于角 h a d， 我 们可以用点来进行表示， 那么这两个角等呢？让我们想到的是角等，则正切直角，也就是说这里边的摊着的角 h c， e 可以 等于摊着的角 e， a d， 也就是我们的二比六，也就是一比三。那么我们来看一下，在正方形以及刚刚的直角三角形中，这个中点我们很容易能想到斜边中线， 那我们可以立马得出来的是 o h 的 长度，它恰好等于的是二分之一的 a c， 而 a c 呢，我们可以靠正方形的边长求出来为六倍根号二，所以它的 o h 等于三倍根号二。下一个呢，就是我们刚刚说到的圈四，这个全等了，这个全等的话，我们可以看一下这里边可能的全等 c f 和 a e， 我们可以明显发现 a e 的 旁边有一个三角形，而 c f 的 旁边呢，这个三角形明显太大，我们可以考虑过 f 做 c b 的 一条垂线垂足，我们可以定位 m 点， 我们猜测这里边的 c f m 全等于三角形 e a d， 我 们下边对它进行证明。 首先呢，一对题目中给的边角，一对角等，那么另外一个相等呢？我们需要找到题目中的一个隐藏的关系，就是这个垂直和正方形的这条边是互相平行的， 所以我们得到了一对角角，就是这个角跟我们的 h c e 大 小相等，所以它们俩相等就能推出来这是一个 a a s。 挣完钱了以后，我们就可以得到 c m 的 长度应该等于二 进。而呢，我们还能得到一个平行关系 f m 呢，应该是平行于我们的 cd， 也平行于我们 ab 的。 再往后走呢，我们看到还剩一个圈六，这个圈六呢，就是我们要求的问题，我们可以把它的周长展开成线段相加的形式，以便我们找到思路，也就是 o j 加上 j h 加上 o h， 其中 o h 已经被我们解决了，我们下边关注一下 o j 和 j h 就 行， 我们注意到这个 o 点呢是中点，这点呢，在这个 a f 上一次也是一个中点，所以我们准备对这点的旁边的三角形做一个证明，就是它们两个一次全等我们来开始。 三角形 f m g 全等于三角形 a b g， 那 怎么证呢？ 首先 f m 的 长度跟我们 a d 的 长度，也就是边长是相等的，对顶角相等，垂直相等，很容易证明是一个 a a s， 也就说明这里边 g m 应该等于 g b 应该都等于二，进而我们也可以得到这个 g 点应该为 a f 的 中点。有了这些以后呢，我们就可以知道 o j 它就是一个中位线， 所以我们只要 c f 的 长度能求出来就行。而 c f 呢，与我们的 a e 相等， a e 等于二倍根号十，所以 o j 应该等于根号十。最后剩一个 j h j h 呢，在这个直角三角形中也比较好想到是一个斜边中线，应该等于 a f 的 长，长度呢，应该等于 f g 长度的两倍。 我们又注意到这里边呢，这两个三角形其实也是全等的，因为这两个边都等于二， 中间公共边又是垂直，所以根据 s a s 我 们能挣出来全等，也就是说这是二倍根号十，这个也是二倍根号十，所以 h j 也是二倍根号十，再加上 o h 呢，已经求出来等于三倍根号二， 所以最终我们就可以知道它的总周长应该等于的是三倍根号二加三倍根号十。这个题呢，虽然条件众多，但每一个条件的翻译啊都比较常规，所以这是一道不错的题目，比较能考察学生的综合能力。
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01:14查看AI文稿AI文稿天津中考的第二十四题真的要大变天了！各位天津的家长同学们，我是专门教理科的吴老师，最近啊，我研究了天津各个区的中考一模数学卷，我发现啊，咱们天津中考的数学二十四题啊，可能真的会有变化。 呃，今年中考数学命题组的成员呢，有一个不小的调整，这直接反映在了咱们的一模试卷上。咱们就拿南开区一模的二十四题来说，他就不再是过去的那种静态的几何题了， 它是把平移、折叠这些知识点动态结合起来，通过线段的双角度旋转，以动点为核心，让等边三角形在运动中去生成。 这类命题呢，考的是什么呢？它的核心就在于在动中去找不变，比如说，你的边是不是始终相等，你的角是不是一直能保持六十度，有没有固定的比例关系。同时，设问的方法也玩出了新花样。之前我们都是已知 t 的 范围，求 t 的 范围， 很多同学一看就傻眼了，但其实答题思路是有迹可循的啊。那么面对这样的变化，我们应该如何应对呢？我呀，专门整理了今年啊新一模考试的第二十四题的一个详细的解析，还有二十四题创新题型的一个考法分析，全都是针对咱们天津中考学生的干货，想要的同学评论区扣二十四！
927天津理科吴老师
11:05查看AI文稿AI文稿呃，再来看一下二十题，在四棱锥，四棱锥 p， a， b， c、 d。 中，然后平面 a， b， c、 d 垂直于平面 p， c， d， a， b， c， d 纯垂直平面 p， c， d。 啊，面面垂直啊，这个时候我们一定要第一反应说要找交线， 它一定会有一个啊，一个线，然后垂直交线啊，这是我们的性质，必须要找交线，把这个条件一定要用上。 呃，四边形 a， b， c、 d 为矩形 a， b， c， d 为矩形 a， b， c， d。 那 意味着这个是垂直，那它就是垂直于交线，那就意味着 a、 d 垂直于底面。 这个翻译过来，这两个条件加起来我们能得到啥结果？能得到 c、 d 是 交线，对吧？ c、 d 是 交线， a， d 又是垂直于 c、 d， 所以 说 a、 d 垂直底面垂直面 p， c， d 啊， p c 垂直于 p， d， 这两个也是垂直的， 然后 p c， p d， a， d 等于二，这这三个都等于二。嗯，然后 m 是 中点， 嗯，刚没把这个这这这要求转过来题，转过来， d 是 求一面之线 ab 与 p d 所成的角， ab 与 p d 所成的角 啊，这个线线，角啊，线，线角，就是我们所说的两种做法，一种是空间约束定力，第二种是平移，像这种题，平移就行。 ab 因为是，它是个矩形，所以 ab 就 等于 c、 d， 所以 它俩的角就是这个角，这个角是，它是垂直，它两个相等，它是四十五度。 第二，求证平面， a， p， c， 这个平面垂直于 m， c， d。 啊，这个平面和 m， c， d 垂平行垂直啊，这个时候我们面面垂直，大家再复再复习一下，面面垂直， 面面垂直，只有一种正法，就是在一个面中找 啊，找线垂直，然后另外一个面 找线垂直一个面，然后这个时候这个线所在的平面就垂直于这个面，面面垂直，只有这一种做法，我们就来找线， a c p 它垂直它，然后因为是这个 m 是 中点，首先我们知道 a d p d， 那 这个肯定是个垂直，对吧？我们有一个垂直，那就意味着我们找一个比较方便的一个面，就是我们第二问，然后找 d m 垂直呃， 面 a p c， 我 们找这个这个条件就行。首先第一个 dm 已经垂直 ap 了，然后就看 dm 垂直其他的再垂这个交线，呃， c a 这块不好找啊，你们不确定。然后我们看了 cp， 因为 cp 是 垂直这个 pd 的， 然后我们刚才得出来，根据条件得出来结论， a d 又是垂直于整个下面底面的啊。因为 a d 垂直面 p c d， 对 吧？所以说推出一个一个结论， a d 一定垂直 c p， 然后又因为 c p 垂直 p d， 这是我们条件题里面，题目里面条件，所以说综合这两个条件，我们能推出来啊。又因为 p d 交 c p 等于 p， 它们两个交的 p 点，所以说垂直于两条交线，那意味着一定会有我们的这个 c p 垂直面 a p d， 对 吧？它垂直面它 a p d， 那 意味着一定会有 c p 垂直 m d， 因为 m d 属于这个面。 好，这个 m d 垂直 a p m d 又垂直于 c p， 那 所以说得到一个结论， m d 垂直面 a p c， 对 吧？然后得到我们的这个，因为 m d 属于 a m c d 这个面上，对吧？ m d 属于 m c d 这个面，所以说面 m c p a c p a c p a p c 一个意思啊， 好，再看第三问，求二面角 c、 m、 d 和 p 组成一个二面角啊。咱们再再来复习二面角的一个，先说一下二面角定义， 二面角的定义，比如说有两个面， 我一定是随找一个点啊，我对它做垂直这个点，比如说这个点在贝塔上对 alpha 做垂直，垂直这个面，然后垂足这个垂垂足，再对交线做垂线， 再连起来，这个角就是我们所说的二面角啊，这是二面角的一个定义啊，这二面角的一个定义。好，那二面角的这个求法一般有几种啊？ 求法，第一个我们是按照定义来求 定义，就是我们所说的三垂线，三垂线，对吧？这个垂直他一定垂直他啊，这个我们在课上证明了，在这不证明了，这是三垂线加定义的方式。第二个，我们所说的二面角 就是，呃，第二个，我们所说的有个三垂线定律啊，三鱼旋定律， 这个用的很少，这个用的很少，大家可以忽略不计啊。第三个就是我们投影的面积啊，投影面是啥意思啊？就比如说一个，呃，这么一个面， 然后他的这个面是这样完全投影过去是这个，那这个二面角就是这个小面积的，比上这个大的一个面积啊，就相当于说我们一维的话是这样的， 这个 c t 啊， cosine c t， 就是 它比斜边这个也是一样的，就是这个，这个，这个底面比上这个斜这个面啊，这是我们所说的这个啊，二面角投影定点，鱼旋投影定点，这个用的不多 啊。第四种方法，我们说向量坐标法，向量坐标这项量坐标，大家在这个向量法，向量法在高二上半学期学，所以说我们这现在在高一阶段 主要用这种方式，就我们定义三直线方式来做 啊，这个时候我们要找二面角是 c， m、 d 还有 p， 那 我们就找一个点，要么从 c 点做 p m、 d 的 一个投影，要么从 p 点做 c、 m、 d 的 一个投影啊，这个时候大家看哪个简单怎么做啊？因为我们已知的是 c p 垂直于 c p 是 垂直于面啊，因为 c p 垂直于面 a p d， 对 吧？ c p 垂直于面 abc 为啥？因为是 ad 垂直于这个 c p， 对 吧？然后 c p 又垂直于 p d， 那 意味着它垂直于两个交线， c p 就 垂直于这个面，那意味着这个我 c 点在面的投影就是 p 啊，那意味着我从 c 点做对它做垂线，或者从 p 点做垂线，正好 p 点的垂线是 m 至垂直，然后把 c m 连起来。所以说呢，这个时候我们的二面角是啥？所以说二面角 c， 它就等于角 c m p。 根据三垂线的方式，我首先对它做 c 点，在 pmd 面做投影，刚好是 p 点，然后 p 点跟两个面的交线。 md， 垂直做垂线， 那么 c 点跟垂足 m 连起来之后，这个角一定就是我们所说的这个二面角，这是我们定义好，大家看一下，咱们再再来看这个角怎么来求啊？ 呃，因为已知的是 cp 一定垂 cp 垂直于 a p d， 所以 cp 是 垂直于 pm 的 啊，它求的二面角的余弦值 啊，那这个 c p 垂直于 pm， 这个是垂直的，那意味着它的余弦值就是 cosine theta 就 等于 pm 除以 cm， 那我们就求这个值。呃， pm 咱们来找 pm， 因为 a d 等于二，呃， pd 也等于二，所以说 pm 就 等于根号二，因为它整个是二倍根号二，对吧？ pm 就是 根号二，所以 pm 就 等于根号二。再来看 c m 呃 c m 的 话，我看放到啊，咱们把 c m 放到下面这个三角形里面，因为 c p c p 是 啊， pc 是 二，对吧？ pc 是 二， cp 是 二，所以说这个是根号二，它又垂直，那 c m 就 等于根号六，对吧？ c m 就 等于根号六， 所以说 cosine theta 就 等于根号六。除以啊，根号六分之根号二就等于三分之根号三余弦值就是它。
09:22查看AI文稿AI文稿呃，咱们把这个高一的立体几何的相关的题给大家过一下，这是去年的呃，重点学校联考的一个题啊，我们把这个挑一下稍微有点难度的给大家讲一下。 先看第七题，若某圆锥的侧面展开图，是一个半径为二的半圆面，然后其内接正四棱柱的高为三分之，根号三，然后问此正四棱柱体积是多少？像这种题的话，首先先画图，我们先把图画出来， 先画一个圆锥 啊，他说半展开图是一个半径为二的一个半圆。 大家做立体几何题一定要学会画图啊，因为画图能解决很多的问题。那是半径为二的半圆呢，意味着母线长就是二啊，那这个 是展开这个半圆的，这就是 pi， 那 意味着我们这个底边半径就能出来啊，根据我们这个圆锥曲线的展开图啊，这个弧长的一个公式啊，二拍 r 除以 啊，我们所说的这个 l 等于啊，就是圆形角是 pi， 那 带过去，二拍 r 除以二等于 pi， 二就等于一，所以底面圆的这个半径就等于一 啊，那意味着这个圆锥的圆锥的高 h 就 等于根号三 啊。咱们再看第二条线，然后其内接正四楞柱，是高 v 三分之根号三啊，这个内内接正四楞柱啊，内接正四楞柱，大家就是可以画一下啊，就是我们再画一下，看怎么能接到哪。比如说，如果说它 可能跟这个下底面完全接上吗？他是不可能的，因为这样的话，上面就超过去了。所以说他最可能的是啥？跟上底面接上啊，跟上面接上，下面不接。嗯，大概是这样， 大概是一个这么个一个图， 大概是这么个图啊，所以咱们把它这个画完全一点，换种颜色啊， 这上底面的所在的这个圆，它一定会跟上底面接上， 一定是这个上底面圆的一个内接啊，正方形。如果说内接正方形的话，我们呃把它画成这样，画到这个顶点处，相对来说好看一点啊，我们这么画 啊，是这样， 这个高一定会经过上底面的圆的一个圆心，我们叫它 o 一 吧，这个 o 一 也是我们这个 o 一， 也是我们上边这个正方形的一个中心，其他的主权 大概就会长成这个样子 啊，这就是我们所说的这个内接的呃，正四面体，正四棱柱，正四棱柱就是一个长方体的一个形状啊，根据这个比例关系啊，我们就能找到一些相关的一些关系 啊，把这个图可以单独拿出来， 这些都垂直的下底面半径这块 r 等于一啊，这个高。然后咱们所说题目里面给的高是三分之根号三，那意味着这个是三分之根号三。整个 圆锥的高是根号三，那意味着这个比，是啊，这是一比二， 一比二的话，那这个整个这个长，它比它就是啊，三分之二比一，或者是这个二比三，对吧？那这段距离我们所说的这个上底面圆心上底面的半径， 它就等于三分之二，那我们再把这个中间上面底面这个图给它拿出来，拿出来它是个正方形， 是圆心，这块是三分之二，那意味着我的这个长方体的上下底面的边长，它是个正方形，就是三分之二倍的根号二，那这个时候我们根据体积公式就可以算出来了， v 等于 啊，是 s h， s 是 三分之二倍的根号二，乘以三分之二倍的根号二，再乘以三分之根号三，就等于三，三得九三九二十七，这是二二二八八倍根号三。 大家选 c 啊，咱们再来看第十一题 啊，咱们再来看一下第十一题，已知四棱锥，四棱锥 p， a， b， c， d， 底边为边长一的正方形，顶点在底边，投影为底边的中心啊，这个东西大家一看啊，看出来就能看出来它是一个，呃，正的四棱锥啊，还是还是一样先画图， 四轮锥画图可以画慢一点啊，尽量把图画标准，图画标准的话，这个题就会很容易看出来， 底边的投影为这个底边中心。 呃，若该四棱柱体积为六倍，六分之根号三，那我们就是边长为一，那根据体积公式， v 等于，呃，三分之一倍的 s， 底乘 h， h 就 高哈， 呃，等于三分之一乘以一，乘以 h 等于六分之根号三， 约二约掉，所以得到结论， h 等于二分之根号三，那就意味着我的 p o 这个长度是二分之根号三，那算它表面记，那表面记的话，其实就是要知道四个呃呃，三，四个面的侧面的侧面记啊，我们把这个 o 做一个平行，因为底边是个正方形啊，正方形 我们做这个垂直，垂直到这儿，那意味着这个 o， 比如说这叫 q o， q 就 等于二分之一 o， p 是 h 是 二分之根号三，那我们的 p q， p q 就 等于一啊， p q 一定是垂直这个下面的底面的啊，底面这个边的，把这个标下吧， a， b， c， d 让 p q 垂直 bc， 那这个测面积，一个测面积我们就能算出来 s 测等于四倍的啊。 bc 是 一二分之一乘以一，乘以 p， q 是 一， 就等于二，对吧？然后 s 底底面积是个正方形，一乘一等于一，所以 s 啊，总等于二加一等于三啊，就是这个结果。
13:09查看AI文稿AI文稿呃，咱们再来看一下二零二五年天津一中的这个考试题，圆锥，这这个立体几何的圆台上下底面半径分别有二个四啊，一个球与圆台的两个底面相均相切，然后先是画图还是一样，就立体几何一定要画图，圆台的画法一般我们先画圆锥， 我们先画圆锥，画圆锥之后然后再来画圆台。这个图啊，尽量大家画的精准一点，画的精准一点，到时候后续的话就做题，各各方面会比较比较比较轻松一点。 好，这个时候所说的这个，呃，上下半径分别会二和四啊。 呃，一个球与圆台的两个底面均相切，大家这个看到这个条件的时候，一个球与圆台的两个底面和侧面均相切，那跟底面相切呢？证明这个球的球心一定在这个中间， 对吧？只有在这个中间的时候它才能相切，对吧？只能是大概是这个样子， 这个没切上啊，应该是这个样子啊，大概是这个样子才行啊，所以说这个一定是上下的中间。好，那咱们直接把它这个球心找到，球心找到之后 跟上下底面都相切，那跟这个边就会有一个切点 啊，跟这个边切点，这个一定是垂直的啊，就是我们是一个结面啊，就把它中间从中间这个切开来，直接看这个面。 呃，这个也是我们的这个球的半径，比如说这个球的半径是 r， 下面这个也是 r， 这个也是 r 啊。像这个东西我们就是做内切球和外接球啊，都有个核心的一个啊，一个思想就放到放在三角形里做 来解，我就把它延长连起来，比如说它叫屁，呃，这是上底面 o 一下，底面 o 二球心 o， a、 b、 d。 啊，对标一下，那我意味着这个它是一个相似的关系，那意味着 o、 e， p 就是 二倍的啊， 对啊，它是一个相似关系，那我们这个 p b 就 能表示出来 p b。 如果说用勾股定律来表示的话，用 r 来表示，就是啊，这是 四 r 四 r 的 平方，就是十六 r 平方加上四四十六啊，就是这么样 p b 啊，这个时候我们因为三角形 p o、 d 相似，三角形 p b、 o 二，对吧？这两个是相似，它是垂直的，它相似的，那所以说就会有一个相似比 p o。 斜边比这个斜边 p b 就 等于底边比底边，底边是二啊，别看错了啊，是这个二比上这个底边是四，那么 p o 的是啥？ p o， 是 啊， p o 是 它， p o 是， 这是三倍的 r， 对 吧？就是三倍的 r 比上 p b。 呃， p b， p b 是， 这个是我们所说十六 r 平方加十六这根号下的，就等于二比四 二约掉，然后直接把它展开三四十二幺四四，就等于十六二平方加十六十六倍的二平方，等于，这个是一百二十八，所以二平方等于，这是十六六六八八。 然后圆球的表面记是四派二平方，所以就等于四派乘以八等于三十二派。答案， d， 呃，再来看一下第十题，四面体 a、 b、 c、 d 中 a、 d 垂直平面 a、 b c， a b 垂直 b c 呃，这一堆啊，然后先画图还是一样，就是我们这个四面体，先画个四面体， 四面体就是三棱锥啊，他说的 a、 b 是 垂直 bc 的， 那这两个是垂直的，然后 a、 d 垂直 a、 b、 c、 d 这三个相等，那就是 d 画的这个位置 d， a、 b、 c， 这是垂直的 d， a 垂直底，呃，是 d， a 垂直 a， d 垂直平面 abc， 嗯， 四面体 abcd。 四个顶点都在球面上啊，这就是一个外接球，典型的一个外接球问题啊。四个顶点都在球面上，我们这个外接球， 无论是外接球也罢，还是内切球也罢，我们有两个核心，第一是找球星， 第二是球星在底面的投影。 我们最核心的找这两个东西啊，我们先看看球星能不能找到啊啊？因为有些题球星不一定找得到啊，不一定找到也没关系啊，咱们先看看， 像这个，它是垂直，然后根据这个比例关系啊，根据长度， a、 d 等于根号三，它是根号三，它也是根号三，它也跟根号三，那这个就是等腰直角三角形，那这个 a、 c 就是 根号六， 那意味着这个 d、 c 就 等于三，那它球心一定是在这个在 d、 c 这条线上，它不一定在 d、 c 上，它可能在 d、 c 高出来。哎，这块高出来，它连接 d、 c 往中间走， 就往这个方向走啊，往这个方向走，只有往这个方向走的时候，它才能有可能跟三个 都是相等，对吧？那这个也是一样的，他的因为他是根号三，所以他是中心，也是终点，那意味着如果说他的球要包裹住他的话，球心也得往这边走啊，他们俩大概在这个位置有个焦点啊，现在不确定球心交在哪 啊？如果说找不到球心，不能确定球心在哪，那我们看球心投影，球心在底面投影，球心在底面的投影。呃，假如说一个球 就是一个球啊，我无论如何，我随便找一个面，我随便找一个切面，他一定是圆，对吧？球心 连接这个圆的圆心，它一定是垂直的，垂直这个，这个圆面好，那意味着这个我们 abc， 它的外接圆的圆心， 从球心到外接圆的圆心一定是垂直的，球心投影下来，一定在 abc 外接圆圆心上，对吧？我可以比如说它是 abc， 不管他长成啥样，他一定在他外界源源心上，对吧？那他的外界源源心在哪啊？这个是我们可以找到的，因为他是一个等腰直角三角形，他一定在终点上，终点处 这个有点荡啊，先画到这吧，这个就是我们的 o 一 位置，那球心一定在他投影的，一定啊，球心是他投影，那他球心一定在他正上方， 对吧？在这个圆所在的圆面的正上方啊。假如说它在这，我们不知道具体位置，那我们就说它在这吧。 o， 啊，那这个时候我们根据比例关系来看看，看看它们的比例关系，把相应的连起来， 这个 d o 是 r， 这个是球的半径，这个还是球的半径 啊？那如果说我们从球心做垂直于 a d 的 一条线， 它一定能垂直过来，对吧？因为它球心投影过来，又是它，那它垂直过来，然后它俩又是它，又是垂直它，所以它是一个，呃，算是一个长方形， 那它是一个长方形，在一个同同样一个平面的一个长方形。呃，这个时候我们来看看它的关系，就我们求外接球的本质是放到三角形里面， 放在三角形里面来写，不是，它是 r， 它是 r， 那 它可以用 r 来表示出来，它，我们知道它， 那它就可以用 r 表示出来，那这个也能用 r 表示出来，它是根号三啊，二分之根号六， 是吧？然后它也用 r 表示出来，所以说整个这这个三角形里面，包括这个三角形里面只有一个未知数是 r， 那 我们找一个相对应的一个关系，先从这里面来找。假如说它是啊，这个是 r， 这个写错了， 这个不是啊，这个 o a， 这个是 r 啊，那我们去求 o o 一 就等于根号 r 的 平方减它的平方二分之六的平方是呃，平方是二分之四分之六啊，二分之三 o o e 是 它，比如说它叫 e， 所以 说 a e 就 等于根号 r 平方减二分之三，我们把它放到这三个这个三角形里面来做，所以说 d e 就 等于 根号三，减掉，根号 r， 平方减二分之三， 那我们有这个三角形的勾股定律。 d e 的 平方加上 e o e o 就是 a o e 啊，它是二分之。根号六，加上二分之三啊，直接平方了，就等于二的平方， 就等于这个二的平方啊。把 d e 换过来， d e 直接平方过来，是三，加上二平方减二分之三，再减掉二倍的根号三， 乘以根号二平方减二分之三，再加上加上这个，加上二分之三，等于二平方 二平方二平方约掉。呃，正负二分之三，正二分之三约掉，那意味着就是我的 呃二倍的根号三，根号二平方减二分之三，就等于三，把它挪过来，根号二平方减二分之三，就等于这是二分之根号三，这二除下去，三除三是根号三，三除根号三是根号三，对吧？ 所以说把它展开，二平方减二分之三就等于它平方四分之三，所以说二平方就等于它乘四是四分之六加三四分之九，二平方等于四分之九。 求的啥？求的体积啊，那意味着二就等于二分之三啊，二等于二分之三啊。有了这个 求的这个这个这个这个，呃，半径，嗯，我们就来算体积啊。这个 o 点不用知道他在哪，然后我们都不知道，不用知道他在哪，就直接把这个 r 求出来了。关键是我们要知道这个投影下来的 o 一 在哪就行了 啊。体积 v 等于三分之四 pi r 三次方就是三分之四， pi 乘以它三次方是八分之三。三二十七，这九， 这是一，这是二，等于二分之九派，答案是 a。
19:30查看AI文稿AI文稿再来看一下天津一中十九题，已知 a、 b、 c 啊，已知四棱柱，四棱锥 p， a、 b， c， d， p、 d 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 然后四边形 a、 b、 c、 d 为直角梯形， a、 b、 c、 d 为直角梯形啊，这个时候是先把它这个拿出来，先画起来，画出来直角梯形，然后 a、 d 垂直于 c、 d 啊，这个是直角，那就意味着这个是直角 ab 等于 ab 等于 b， d， ab 等于 ab 啊，等于 p d 啊， ab 等于 ab 等于二， cd 等于四啊，那就意味着它是底面。是这样的， 这是 a、 b， c， d， c， d 等于四， e 是 棱 pc 上的靠近 p 点三的分点呢？意味着 pe 比 ec 等于一比二的关系， 然后 f 是 棱， p a 上一点， f 是 个动点，对， f 是 个动点。呃，证明 p a 平行于 b， d， e， p a 平行于平面 b、 d， e 啊，还是一样就是我们证明平面啊，线面平行，两种办法，一种是线在面中找一条跟它平行的线，第二种是在它做一个平行面，像这种情况是直接找它那个线在面中就行。然后我们先把这个 p a 和先把 ac 连起来 啊，我们再把这个有个焦点啊，我们假如说这个焦点叫 j 叫 o 吧， 里面叫 o， 那 我们其实只要证明啊，第一问是记正 o， e 平行 p a 即可， 对吧？然后咱们在平面图上把它画一下， a、 c 连起来， b、 d 连起来是个 o， 这点是 o。 呃，如果说要证明他俩平行啊，因为他和他是一比三的关系啊，一比二的关系，他们又在一个三角形 a、 c， p 中，那所以说只要证明啥，就是 a、 o 等于二分之一，然后 g 正 a， o 等于二分之一 o、 c 就 可以了，对吧？呃，这个图，然后我们说它是个直角梯形，对吧？题里面的条件是直角梯形，然后上下平行，那意味着这两个三角形全等 s， d， o， c， d， o， c 相似 s， 呃，这应该是 b o， a， b o， a 啊，把它相关对应上啊， 这八字，八字相似，八字相似的话，因为它比它是一比二，对吧？所以说 a o 比 o， c 是 一比二，所以 a， o 等于二分之一 o， c 啊。这第二问， 求三轮锥 f， b， d， e 换个颜色， f， b， d， e 与四轮锥 p， a， b， c， d 体积的比值 啊，整个大的四轮锥，我们先看看这个，这个体积是多少大的四轮锥，因为说的是 p d 垂直于底面，所以说这个 p、 d 就是 我们的高，四轮锥的高，对吧？那我们只需要求底边的面积就行了。 所以 v 先把那个简单的先写出来， p a， b， c， d 就 等于 啊，这个是梯形，梯形是三分之一倍的二分之一，上底加下底，二加四 乘以高，高是二，再乘以三棱锥的高， p d 又乘个二，那就是二加四是六，六除以二，三三约掉至四。 好，我们看这个 v， f， b， d， e， f， b， d， e 先把它连一下， 像这种动点问题啊，动点问题，它一定会隐藏着一个东西叫平行， 动点一定隐藏着一个叫平行，因为啥只有这个平行之后，它动点才会？我们所说的拉窗帘嘛，一个，比如说一个一，一条线平行于这个 这个底面，所以说这个点不管在哪，我这个体积都是一样的啊，他要想体积是一个定值，必须是平行啊。这个是第一问，已经我们求到了，然后 p a 平行于面 b d e， 所以 说这个是就像拉窗帘一样，不管拉到哪都行。那这样的话我们就找一个最特殊的点去解决这个问题。 求这个体积，那我们就找这个 a 点，所以 v f a 啊 b d e 就 等于 v e 杠 a b d， 对 吧？把这个点相当于把这个 f 点挪到这，它们的面积是体积是一样的。然后我换个，咱们换个高，换个方向去看， 所以 v e a d a b d 这个就是等于三分之一倍的啊，因为 e 是 三等分点，对吧？三等分点，所以它的这个它的高就是三分之二倍的 p d， 所以 我们直接写它是三分之一乘二分之一乘 底高，再乘以三楞锥的高是，呃，三分之二乘以二，就等于这个约掉三三得九九分之八， 九分之八好算，这个比值就是我们它俩的一个比值，就是九分之八比上四等于九，二等于二比九 啊。咱们再来看一下第三问，第三问，求异面直线 b d 与 p c 加角的余弦值。异面直线把这个先擦了， 有点乱。一面直线 b d， b d 啊，这是 d、 b、 d 与 pc 夹角的一个选值。呃，我们所说的求这个线线 线线角两种办法。第一种我们是平移，它的本质是放在三角形中。第二个我们所说的就是空间余弦定点， 像这种题的话，就是用空间余弦定点，会稍微相对的简单点。然后我就用两种方法都给大家看一下这两方是怎么去解这个题。 首先咱们先看一下这个线线角的平移， b d 和 b d 和 pc， 那 一定要把 b d 和 pc 放到一块，呃，怎么去平移啊？ b、 d， 我 们找这个 b、 d 的 平行线，然后再找这个 pc 的 平行线 b、 d， 假如说我们都找中点， 这找一个中点， 它跟 d、 c 的 终点，这是它的中位线，把它再挪过来，也找中点，那这个就是中位线，我们把它标个字母， 假如说它叫 f 啊，它就 f 有 了，那它叫 g， 它叫啊 m， 这个叫 n 啊，那意味着就是我们所说反移、平移反， 我们是找 d， c 中点 g， p， d 中点 m， b， c 中点 n， 把这三个中点找到，然后连起来之后， m g 是 pc 的 中位线， j， n 又是 db 的 中中位线，所以它和它平行，它跟它平行，这两个正好交到一块，那意味着我们现在所说的这个所找的线面角线，线角，就是 啊，就是这个 m、 j， n 这个角，它求的夹角余弦值，那这个时候如果说我们能看出来它是垂直，那就行，能看出来，如果说看不出它的出来它是垂直，那我们就用这个余弦定的来解这个题就行了。 比如说像 j、 n， 我 们可以找 j， n， 这个不画了，看着看着，要不然看太乱。 g， n 等于二分之一 b， d， b、 d， 这是二，这是根号二。 b， d 是 根号二啊，二倍根号二，这是二二，二倍根号二，所以 g、 n 就 等于根号二。 m， g， m， g 啊，是等于二分之一倍的 pc， pc 是 多少 pc， 这，这个是四。 p c 等于，这是二二二四，那就二倍的根号五，所以说 m、 g 就 等于根号五。这个时刻看 m n， m， n 的 话啊，这个是我们把它连一下， 我们已知的是这个 p、 d 是 垂直于底面的，所以 p、 d 垂直于 d， n， 这是个直角，所以说我们根据勾股定律，然后 m n 的 平方等于 m d 的 平方加上 d n 的 平方啊， d n 是 多少？ d， n 加这个是 n， 我 们画的平面图上这个是 n， 我 们来看一下 d n 是 多少？ 呃，这是一个直角梯形，这是二倍根号二，这个也是二倍根号二，这个是四，这个就是根号二 啊，这是四十五度啊，四十五度。嗯，我看这个是垂直，垂直的话，那用这个三角形来找，这是根号二，这是二倍的根号二，所以说 d n 等于 d n 等于二。二加八是根号十啊，根号十对， d n 等于根号十，所以 d n 的 平方等于十， m n 就 等于 m d m d 是 一，一加上 d n 的 平方就是十， m n 的 平方等于。然后这个时候我们得到 m n 等于，就直接带着平方吧，因为当时余弦定点也得也也得，换它 m n 平方对十一，所以说假角的余弦值 cosine c， 它就等于 m g 啊，是这个角啊， m g 的 平方加上 g n 平方，减掉 m n 平方除以二倍的 m g 乘以 g n 啊。基础的预先定义公式， m g 的 平方五加上 g n 的 平方二，减掉 m n 的 平方十一，除以二乘以 根号二，乘根号五就等于，这是减，就是负四，负四是负二，负的根号十，十分之二等于负的。嗯，五分之根号十 啊，因为线线角啊，线线角，线线角一定是零到九十度之间，零到九十度之间啊，所以说我们直接等于五分之根号十就可以了。 呃，这是第一种做法，咱们再看一下第二种做法， 法二。 这些磨下去， 反而就是我们所说的空间鱼旋定力， 它的本质是啥？一个任何一条这个 任何一条意面直线总能形成一个。呃，总能形，会形成一个四棱锥啊。三棱锥， 一个三轮锥，是典型的二面直线啊，两个两条二面直线，一面直线形成的，对吧？他对边是他，他是他，他是他，这相对的。然后这个时候就会有一个空间域定点，比如说我们要找他， 假如说把这个标出来， a， b， c， d， 我 们要找 cosine a， b 和 cd 的 角度，它就等于啥？等于二倍的 a， b 乘以 cd 分 之 对边相加，然后减 b， c 平方，加上 a， d 平方， 它和它的对边，然后在这再减，这两个对边相加等于 b， d 平方加上 a， c 平方啊，是这样，到时候取个绝对值， 因为线面角，我们的线面角是在九十到呃，九十，呃，零到九十度之间的，就是所说的空间预先定点啊。这个在课上我跟大家证明过啊，在这就先再不做证明了。那所以说这个我们的 cosine p， c 和 b， d 之间的角就等于二倍的 b， d 乘以 p， c 的 长度，然后分之这两随便减，它跟 它是对棱， p， d 的 平方加上 b， c 的 平方减掉。 呃，一，一个对棱，两个对棱，然后这个跟它对棱， p， b 的 平方加上 c， d 的 平方啊，就这样，然后我们把相关的这个值代一下啊。呃， b， d 就 等于二倍的根号二。 p c， pc 等于二倍的根号五啊，还有 p d， p， d 就 等于二啊。 bc， bc 是 是它的长度是二倍，根号二，也是二倍根号二， pb 等于 pb 啊。说了 pb， pb 不知道啊， pb 不知道的话，呃， pb。 求一下，这个是二，这个是二倍根号二，所以 pb 就是 二，二加上， 呃，四加上八，二倍根号三，是根号十二，对吧？ pb， 然后 c， d， cd 就是 我们所示四，然后把这个数全部带进去，所以 cosine 我 们直接叫 c 它吧，它就 c， 它等于 二倍的 b， d 二倍根号二，乘以 p， c 二倍的根号五分之 p， d 的 平方四加 bc 的 平方八，减掉 b， p 的 平方十二加 c， d 平方十六，四，四十六啊，因为这个与选角三角值是正的，我们就加个绝对值， 这是八八倍的根号十，这个是二十八，二十八减二十八，减八再减四，就是十六，等于根号十分之二，就等于五分之根号十 啊，这个是跟结果是一样的，这，这个就是我们所说的空间余弦定律啊，空间余弦定律大家在考试时候可以直接用啊，因为这块不需要证明的，然后这个过程分会给老师会给的，就包括高考一样，高考也可以直接用的这个定律。
