二项式系数之和公式
粉丝100.4万获赞1381.8万
相关视频
01:00
04:56查看AI文稿AI文稿二项式系数和是不是二的二零二一四方啊，就像结论一样，这不用讲啊。呃，我们好同学们注意听啊。来，先说 各项系数和这个会不会是不是其实它就另 x 等于一，有问题吗？各项系数和能理解吧，然后什么怎么怎么地的啊，都会啊。那行那好嘞， 哎，大航你有什么问题没？ x 等于一完，这不就 x 没了吗？就 a 零 a 一 a 二加 a 二点一嘛，完你就各项系数和了，有问题没 啊？有问题没？好，那行开始扯了，下面啊，固定套路，大家注意听啊。当 x 等于一的时候，左边啊，左边一减二，负一，负一等于 a 零加 a 一， 为了讲课啊，我多写几项啊， 后面什么意思？这这这是什么意思呢？他怎么这个声音这么小。哈哈哈， 早上来的时候啊，拿那个怎么嘟嘟嘟嘟。我过去问了，我说你这个多长时间能完事啊，我说我们上课呢， 十多分钟。那还行啊，狗到想他要敢说一天或一小时马上举报他，我就举报他。那个把我自己带上给他举报了，他也太猖狂了。光光干， 我的意思你可以晚上。哎，能理解吗？就是晚上他也不干活，干活可可牛了。晚上不干活，白天干活，你晚上就八点干到十二点就要一点就干呗，他不干， 哼。昨天我走之前他就走了，哪有这么干活的。完白天光光干，你写字楼我不让这么弄。写字楼，写字楼一般都都夜间居民楼，大家懂吧。居民楼和写字楼装修是反的， 居民楼只能白天装修，大家明白吗？写字楼只能晚上装修，他是反过来的啊。负一的时候三的吗？三的二零负一负一啊，负一 减 a， 一 加 a 二啊，负一负一，哎呀，在你心里啊，这是负一啊， 下面啊，大家来看啊， b 选项，大家注意听啊，你拿笔描出来画一下啊，你先不画，这个展开式中所有奇次象是一个答案， 有的时候考所有基数项是一个答案，老师你给我扯什么意思啊，先按这个题来，我们先说基数基次项， 基次项系数的和基次是谁啊？ 是不是一次啊，三次这个，那是不是就是 a 一？ 呃，加这是一啊，是不是就 a 一， a 三 a 五 a 七什么的，鸡翅相对不对，鸡翅能看出来吧？那是不是同学们一减二能理解不？ 把 a 零啊， a 二啊， a 四都减掉了对不对？除个二是不是鸡次项大家能反应过来吗？我就等式就不写了，你这不就负一减三，二零二一吗，明白这意思吧，鸡次项啊，来偶次项呢， 大姨，你说的好，系数和这题不难讲一下啊，是不是一加二，我说错没？没没说错吧，一加二正好一除，是不是能理解吧，注意了，还有 啊，你说这什么意思，这怎么还基数项系数和呢？就第一项，第三项，第五项，能懂吗？ 是不和这是一样的，第一项懂吗？第一项基数项懂吗？第一项第三项懂。老师，这意思没？ 是这个啊，看看，明白啊，这这这，注意数和次啊，你可要答案可不是一个同学们啊，正好反过来了啊，我再写一下啊，蛇油 偶数项，我为什么不让你们记呢？让你们理解呢？他有时候记次，有时候记数的，这整的很混乱，大家明白这意思没？ 你你你别，你别记啊，你就是用，你别记公式啊。你理解这就是这个，能不能明白？这明白吗？记次记数，偶次偶数。
95刘晓数学150
12:15查看AI文稿AI文稿一口气速通二项式所有必考题型，一共四大题型，从二项展开到三项展开，从多项式乘积再到项的最大系数，听完我这节课，你就是二项式定的超强王者， 欢迎大家来到二项式定的全题型哈，在这我会给大家讲四种题型，都非常的简单，全是送分题。 那么我们先来看到第一个最常考的题型，这是求二项展开式中某一项具体是多少，已知这坨东西，它的展开式中各项的二项是系数之和。同学们马上开始默写二的 n 字方，这是等于六十四的这个 n 嘞，就是这里的这一项哈， 所以说此时解得咱们的 n 嘞是等于六的，那么马上找不回去，那么这句话就莫用了，解释完了哈，后面一句话他说，则展开是中 x 三次方的系数，那么我们就把每一项给它展开是什么嘞？就是应该展开是 c 六 r， 然后呢， 第一个是 x 方的六减 r 次方，然后后一个嘞是咱们这一整坨，不要忘了这个符号了，是乘上负 x 分 之二，然后呢，这里的 r 次方的，而这里的 r 是 跟它走一起走的，然后前面这里就是六减 r 的 哈， 所以说我们把它给它合并一下，变成 c 六 r， 乘上 x 的 十二减二 r， 再乘上这里来，这个负二可以一起拿出来哈，是负二的 r 次方，然后再乘上一个，这里是 x 分 之一的 r 次方，也就是 x 的 负 r 次方哈， 所以是 x 的 负 r 次方。好，我们再合并一下，我们把咱们的数字给它放一块，咱们的 x 放一个就是减三 r 的， 那么此时我们要去求 x 三次方，也就是宁咱们的十二减三 r 等于三就可以了，那么解出来 r 等于三，我现在求的是什么？是不是系数？所以说我们再去看这一坨在 r 等于三的情况下为多少 c 六三，再乘上负二的三次方哈，很快就可以解得是咱们的负一百六的选 c 选项， 但是他还会怎么出来？同学们哈，我再给大家讲一个升维的方式，这他会问唐老师，请问现在我们的第二项系数是摩子，你们就一定要记住哈， 他的考点就在于第二项，我到底是 c 六二还是 c 六一的哈，这个是很多同学搞不清楚的一点，你们要想一想，我展开了之后，我展开了之后哈，甲方说他是 n 次方， 那么它展开了就有 n 加一项的，你们知道为什么吗？因为你看我的二项是不是是从 c n 零开始走的，所以 c n 零 c n 一， 这是第一项，这是第二项，所以你看我走到最后一项是 c n n 的， 我是不是从零走到 n， 是 不是走了 n 加一项啊？ 所以我们在问第二项的系数的时候，其实是在问 c n e， 然后再乘上这里是 n 减一次方，然后这里是多少的一次方的哈，就是这样一个形式去求前面这一坨的系数的。同学们不要着急记笔记， 这就跟他讲义和课后预习，我全都整理好了，一定要下课后多复盘几次，点击我的主页置顶群聊就可以领取。 求两个多项式的积的展开。有同学一看到这两个乘在一块当中是不会做的，其实非常的简单，我们只需要把前面这一坨东西干嘛呢？给它拆成两坨，写成是一乘上一加三 x 的 五次方， 再干嘛？减去二 x， 乘上一加三 x 的 五次方，就是把这个一和负二 x 啊，当成是后面这一坨的系数，那这样就会做了呀，我们看哈，我们不妨研究的其实都是这个东西， 我们来写一下它每一项应该是什么样的，是不是 c 五 r 最后一项呢？应该是三 x 的 r 次方，前面一项呢是一，然后的五减二次方，所以说一的五减二次方，它永远为一的，就不用去看它，所以我们真正要看的是这坨东西，然后呢，其实我们可以再给它化解一下，写成是这么多哈这个样子的， 那么此时我们先来看一下第一坨式子，我要去解写成是这么多哈这个样子的，那么此时我们先来看一下第一坨式子，我只需要出现 x 的 三次方就可以了， 所以说第一种情况，当 r 为三十，此时来就是 c 五三，再乘上一个三的三次方，再乘上 x 的 三次方的。好，那么这时候再搭配一个一，再乘上一个一，那么此时这一坨就是咱们 x 三次方的一部分系数。 那我们再来看当咱们的 r 等于多少时来，你看这里是不是 x， 所以 我后面应该要出现一个 x 的 二次方，那么这两个相乘，它才是为 x 的 三次方，所以这时候就是 x r 等于多少的时候来，等于二的时候，那么此时来就是 c 五二乘上三的二次方，再乘上 x 的 二次方的。哎，我前面这一坨不能变哦，就是减二 x， 再乘上一个负二 x 的， 所以这一坨还要乘上前面这一坨的系数，才是为 x 三次方的部分系数。 那么把这两坨系数加在一块，答案为咱们的九十的求三项展开式中某一项很多老师讲的不清楚，我跟你彻底讲一下哈。首先你看这道题，他说的是五次方，其实就是这一坨式子，我分成五份来连成，对不对？ 那么其实现在变成了一个什么形式嘞？就是我其实要得到最后一个数，是从每个括号里边抽一项相乘的。你看我比方从从第一个括号里边，我抽的是 x， 从这个括号里面抽的是 x， 第三个括号也是 x， 第四个括号 x， 第五个括号 x， 所以 说我乘出来它就是变成了 x 的 五次方，对不对？那如果说我都抽的是二嘞，那么我乘出来就是常数项，对不对？ 所以说这种次方的，你要把它当成是多少个括号再相乘，你也可以当成是多少个。盒子里边装了三个小球，我每次抽的球是不一样的，理解吗？好，我们来看到这道题，他问的是长竖向，是模子，那同学一上来就会分类讨论哈。 你想，我如果说我从五个括号里边都抽的是这个二的话，那么我抽了五个二，那我得到的最后一定是长竖向，对不对？ c 五五五个括号全都抽的是呃，这个常数，所以是二的五次方的，这是第一种情况，那么第二种情况嘞？哎，我可能抽了一个 x， 那 我抽了一个 x， 肯定要给他消掉，所以我要抽一个负 x 分 之一，对不对？所以这里哈，大家一定要记住，是负 x 分 之一的，而不是 x 分 之一，这里的符号不要搞丢了哈。 然后呢，我抽了两个之后，我还剩下三个括号，那就必须全抽，什么？抽一个二了，对不对？那你看，我这里 x 乘负 x 分 之一，它马上 double kill 了，变成一个什么长竖向了。 所以我们来写一下这个组合数哈，我从五个盒子里边五个括号里边抽一个为这个 x， 再从剩下的四个括号里边抽一个为这个负 x 分 之一的， 再从剩下的三个里边我再抽一个二的哈，所以是二的三次方。那我们再来看最后一种情况，也就是说，我现在是抽两个 x， 那 我必须组合着来两个负 x 分 之一，它才可以量量抵消，变成常数，对不对？ 然后呢，我还剩一个括号，我再抽一个二就可以了，所以是 c 五二五个括号里边抽两个为这个负 x 分 之一的平方，再从剩下的一个括号里边抽一个为二哈。 所以说，最后呢，答案就是把这三种情况加在一起，长竖向呢，是为负六十八的。那么我们来看到第四个题型哈，求向的系数最值性问题。这里就是二项式里最难的板块哈。但其实也很简单，已知一个展开式中各项系数之和为六十四。同学们，这里 就是一减三 x 的 n 次方。我的展开不仅可以写成是 c n 零，然后什么 e 又 然后呢？再乘上负三 x 到呃，零次方哦，这样写下去，我不仅可以以二项式为一个主体给它展开， 我还可以以项的系数为主体展开，写成是模子东西嘞。这是 a 零加上 a 一 x 加上 a 二 x 方加加加到俺们的 a n x 的 n 次方，那么这里的 a 零到 a n 指的是什么嘞？指的是 x 的 几次项前面对应的这个项的系数， 所以说它是有两种写法的，那么现在我要求的是相的系数之和，我只需要令左边的 x 等于一，那么此时一减三的 n 次方，也就是负二的 n 次方，它就等于右边的 a 零加 a， 一 加加加到咱们的 a n 呐， 你看右边这一坨可不就是项的系数之和吗？对吧？所以它就是为六十四的，那么这等于它，也就是说 n 是 等于六的。 ok， 第一句话已经破译结束了，不要他了。第二句话则该展开式中系数最大项为多少？同学们，我要给你们讲一个通用的方法， 就是你要知道，如果说这一项它的系数最大，它一定是要大于等于前一项的系数的，而且它还要大于等于后一项的系数的，对不对？你先要把这样的项给他 pk 出来，选出来，然后你再来对比看这些项它对应的谁更大，谁更小。 那么为什么要这样做嘞？就是因为我现在要去找象的系数最大的象，对不对？那么此时我只需要找到说，哎，在一片山山里边， 他相对比较高的那一个山峰就可以了。我先把相对比较高的比他前面的高，比他后面的高这样的山峰给他选出来，然后呢，我统一放在一块，再来 pk， 看谁最大谁最小。哈，一般这样的山峰选出来就一两个的，你就可以得到最后答案了。那我们来看这道题，我们不妨来先把它的 展开式写出来，也就是 c 六 r， 然后再乘上一的六减二次方，再乘上负三 x 到二次方的， 那么前面来它其实就是为一的哈。后面来我们给它再写一下，就是负三的 r 次方，再乘上 x 的 r 次方，你就发现不对劲， 因为在这出现了一个负数，就说明我的项啊有正有负的，那你想我是正负正负交替的，那么我的正数项它一定是比它前面和后面都要大的，对不对？那么我就选出来好多个正数项，那这时候我又去 pk 正数项，它就慢了很多， 所以说更快的方式就说，哎，我知道了，如果说我项的系数最大，那么此时 r 一定是偶数的，对吧？咱们偶数的就是正的，所以我 把正的放在一块来 pk， 那 么我想要找到系数最大的一项，我就是去找到最大的那一项偶数项，假设此时咱们找到的就是偶数项，那么呢，咱们这一项系数，也就是 c 六 r 乘上负三的 r 次方，它一定是要大于等于前一项的偶数项的，对不对？ 前一项偶数项呢，就是 c 六 r 减二减二，这是前一项偶数项，再乘上负三的 r 减二次方。而下面呢， c 六 r 乘上负三的 r 次方，它是要大于等于后一项的偶数项，也是 c 六 r 加二，再乘上负三的 r 加二次方的。 那么这时候哈，你就会涉及到一个化解的动作，同学们，哈， c n m 打开是什么来？上面是 n 的 阶乘，下面是 m 的 阶乘的哈， 这个阶乘呢，就是从几乘到一的，比方说 n 的 阶乘就是从 n 乘乘乘到咱们的一的，而咱们 m 的 阶乘是从 m 乘 m 减一，再乘乘乘到咱们一的一的哈， 所以这时候我们就去进行一个化减，化减出来来咱们的 r 它是为一个偶数，只能是等于四的， 所以最后来我们系数最大的项带进去就是 c 六四，再乘上负三的四次方，再乘上 x 的 四次方，它就等于一二一五 x 的 四次方的。那你看我问的是最大的项，那我就直接把这一项写上去就对了。所以如果你听完了这节课，你就一定会做这些题目。 视频的最后我给大家准备了三 非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这里去撩，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
2.3万北大糖的数学课
06:36查看AI文稿AI文稿关于二项式定律，它涉及到的几个知识点，那么二项式它指的是这里边呢？只有两项，那我们看其中我们用 a 和 b 去代替这两项，其中一项是 a， 另一项就是 b， 那 a 和 b 中间呢？是加号， 那你比如说我们看到了一个题目啊，你比如说我们看到题目是 x 减一括起来的五次方，对不对？在这个里边，那么这两项是多少呢？有很多同学可能会把它当成 x 和负一，但其实不是的，这样是错误的， 你要改成它这种形式，中间是加的，那是不是写成 x 加上负一啊？它整体扩起来的五次方呀？所以它这两项一个是 x， 一个是负一。所以我们在用二项式的时候，一定要注意， 它中间是加号连接的，那尤其是两个数相中间是减号的时候，你要给它加上，写成这种减去一个数，就相当于加上另一个数的相反数，所以这点是需要注意的。那么关于二项式定律这一块， a 加 b 扩起来的 n 次方， n 零 a 的 n 次方， b 的 零次方，加上 c n 一 a 的 n 减一次方， b 的 一次方，加上 c n 二 a 的 n 减二次方， b 的 二次方。好以此的一直加加到最后一项，就是 c n a 的 零次方， b 的 n 次方。我们去观察它的这个展开时，那么你会发现 一个是 c n 几，再有一个是 a 的 几次方， b 的 几次方，那我们去观察它展开式当中一共有多少项呢？那我们看前面这个 c n 几，它是从零开始的，零一 二一直到 n， 那 么从零到 n 的 时候一共有 n 个数，那从零到 n 呢？那是不是有 n 加一个数，所以它的展开式呢？ 一共有 n 加一项，哎，在这个里边，我们再观察它的第二点， a 和 b 的 指数密。这个 a 呢， n 次方， a 的 n 减一次方， a 的 n 加二次方，它的指数密呢？它是一个较密的过程， a 的 指数过程， 它是一个较密的过程，那 b 呢？ b 这是不是一个生密的？ b 是 一个生密的过程，而且 a 和 b 的 指数，我们看一下它的和， n 加零是不是等于 n， n 减一加一是不是等于 n 减二是不是等于 n？ 所以 第三点呢，就是 a 与 b 的 指数和呢？是几啊？就是这个 n。 那么好，这里边第四点就是二项式系数，也是我们后边常考的一个二项式系数。 二项式系数它指的其实就是这个东西， c n 零， c n 一， c n 二，哎，一直到 c n， 所有的这些呢，都称作二项式系数。所以呢，二项式系数就是 c n。 第一项的二项式系数就是 c n 零。第二项的二项式系数是 c n 一， 第三项的二项式系数 c n 二。最后一项的呢，是 c n n， 这个叫做二项式系数。那还有一个二项式系数的和， 那是不是都把这些加起来， c n 零加 c n 一 加 c n 二，一直加加到 c n n， 那 我们看一下二项式系数的和等于多少？ 在这个里边，哎，我们只要把 c n 零， c n 一， c n 二一直到 c n 加起来就行，它跟 a 和 b 是 不是没有任何关系？那既然跟它们没关系，要想式子当中只出现 c n 零， c n 一 和 c n 一 直到 c n 的 和，是不是我们可以令 a 和 b 等于几啊？哎，等于一，那令 a 等于 b 等于 b 也等于的时候，那你会发现这个展开式里边只剩下了二项式系数的，和那 a 等于 b 等于 b 等于的时候，就是一加上一 括起来的 n 次方，所以二项式系数还有一个项的系数， 象的系数和二项式系数它是不一样的，那么象的系数指的是这两项里边，如果这两项它前面有系数的话，也需要把它的系数全部乘出来， 然后再乘以二项式系数，它们这个乘积叫做象的系数。在这块我们看一个具体的题目，你比如说我们看这个题的第三题，那你看二项式对不对？展开式当中 x 三次方项的系数，那我们看一下，如果他让你求这里边二项式系数呢？怎么求啊？ 怎么就出现 x 的 三次方了？他这两项一个是二 x， 一个是负一，对吧？那要想出现 x 的 三次方，那肯定是二 x 扩起来的三次方，那如果是他的三次方，另一项是负一负一的，该几次方了？五三加几等于五三加二，那前面应该是 c 五几， c 五二，对不对？哎，那我们看一下啊，他就等于好 c 五二，这是二 x 扩起来的三次方，那就是二的三次方乘 x 的 三次方，二的三次方是八， x 的 三次方乘以负一的平方，负一的平方是一，所以这一项最后的结果就是八乘以 c 五二 x 的 三次方，他问你系数了，系数就是多少，系数就是这个。所以这个答案呢？是不是应该选择 c 选项， 所以项的？那在这里边，你比如说他让你求某一项的二项式系数，那我们应该怎么求呢？或者让你求某一项项的系数应该怎么求呢？往下，比如说求 d r 加一半， r 加一项的二项式系数，让我们看一下它第一项的时候啊，第一项的时候 它是不是 c n 零开头的二项式系数？那第二项的时候 c n e， 第三项的时候 c n 二，第四项的时候 c n 三。好，那我问你，那么 d r 加一项的时候呢？ 应该是 c n r 对 不对？好，这是二项式系数，那如果他让你求 d r 加一项，它的项是多少呢？比如说现在 a 加 b 过起来 n 次方，让你求 d r 加一项，好，是多少？那我是不是先要列出来 d r 加一项，它的展开式应该是多少？ c n 几 r 对 不对？哎，我们可以写 dr 加一项，比如说我们用 t 去表示第几项， dr 加一项等于 c n r， 然后是 a 的 n 减 r 次方， b 的 r 次方。因为 a 的 指数密和 b 的 指数它们相加，是等于这个总数 n 的， 而且 a 它的指数密，这是 n 减去 r 啊， b 的 指数密，它跟这个二项是系数上面这个 r 是 相同的。哎，这是几，这个 b， 这就是几。 我们看，再看一道题目，看我们这个的第四题， x 加根号二括起来的十次方，他说让你求第五项的二项式系数，是不是其中某一项的二项式系数应该怎么求？ 那第五项就是 t 几加一等于五呢？是不是四加一？那应该是 c 十，哎，这是 n c 十几十四， 然后是 x 的 十减四次方，后边的话，你直接十减四六，直接写成六，然后是根号二的四次方，后边这一项跟二项式系数它上面这个头是一样的，所以用的仍然是我们这一块的这个公式，我们把它称作通项式，通项。
237超级杨老师
00:50查看AI文稿AI文稿老师，二项式技术最大项学不会，快去请诸葛强项退一下。用我的口诀直接秒。看题看到次密为偶，口诀 五除二加一，八十八除以二等于四十四，再加上一直接二 b 秒。第二题看到次密为 g， 口诀 g 加一除以二十一加上一除以二等于六。注意他有两个和后一项，直接 c 项秒 第三题，他告诉你只有第四项最大，那他一定是一个偶。看口诀，偶除以二加上一就等于四。解一下二分之 n 就 等于三， n 等于六。二 b 免了，单招小注子上岸就看我。
1.2万宋分-数学小诸葛
01:26查看AI文稿AI文稿高考倒计时三十天，一天掌握一道易错题，就是多拿一道送分题。今天我们来讲二项式定律中关于基数项系数和的问题。我们以二二年北京高考命题为例， 首先来引出什么是基数项的系数和这道题，把二 x 减一的四次方展开成这样的一个式子，那么他让你去求 a 零加 a 二加 a 四的值。当然我们可以通过二项式展开的通项公式，分别把 a 零、 a 二、 a 四都求出来， 但是这个计算量比较大，而且容易出错。那么下面我们来看一下什么是基数项的系数和。我们发现 a 四是第一项的系数， a 二是第三项的系数， a 零是第五项的系数， 所以我们把 a 零、 a 二、 a 四叫做基数项的系数。那么同理， a 三和 a 一 称之为偶数项的系数，那么我们怎么去求它整体的和呢？ 哎，我们操作如下，我们首先第一步令 x 等于一，那么左边就变成一的四次方，右边我们把它带入，然后我们再令 x 等于负一，那么式子就变成。这时候要注意了，哎， a 四减 a 三，然后我们用一式加二式， 这样我们就可以把 a 零加 a 二加 a 四解出来。同理，我们可以通过一式减二式求得偶数项的系数和， 哎，最后等于负四十，这就是关于奇数项系数和的求法以及偶数项系数和的求法。那么后面呢，是一道相应的练习题，大家可以去做一做，看看有没有掌握，可以把答案写在评论区。
172肖老师教高中数学
06:07查看AI文稿AI文稿二项式定律，通项公式系数问题，三项展开式问题，求余数数值计算，通通讲明白。好，今天我们开始讲是这项式定律， 然后我们来看一下这项式定律的通项公式，就是这个公式它是怎么来的？我们来归纳一下。这项式定律说的是 a 加 b， 它的 n 次方，它展开完之后，应该是 c n 零，然后 a 的 n 次方， b 的 零次方加上 c n 一， a 的 n 减一次方， b 的 一次方，加上 c n 二，然后 a 的 n 减二次方， b 的 平方 b 加加到 c n n， 然后 a 的 零次方， b 的 n 次方，这它打开式完成，我们来数一下它的像素， 这个是第一项，这是第二项，这是第三项。对，我们来看一下，这应该是第 n 加一项，我们看第一个。数零的时候，他对的是一，一的时候对的是二，所以 n 的 时候对的是 n 加一， 那每次把它都写出来很麻烦，我们把它用一个通项来表示，这通项我们一般写的是 t k 加一， t k 加一，我们来数一下，如果说是写 t k 加一，那它要表示第一项， 那该 k 等于零的时候，这是第一下，那我们来观察这个特征。首先这边应该是 c n 零的时候蹲的，看它是第一个，一的时候蹲的是第二个，那同理中间蹲的是 d， a 方面的话是 b 的 k 次方，这边 a 是 n 减 k， 我 们来检验一下。 当 k 取零的时候，对应是 t 一， 它是 c n 零， a 的 n 次方， b 的 零次方 刚好对应是我们上面的第一项，那当 k 比如取二的时候，对应的是第三项，那它应该是 c n 二， a 的 n 减二，然后 b 的 平方。 好，再看一看这个我们就称之为是通项公式。那接下来我们开来用这通项公式来解决问题，它的作用主要是在于说我们要研究成某一项，那我们不需要把所有的项都写出来，我们只要写某一项就可以。 那我们举个例子，公式我们写在旁边， t k 加一，它等于 c n k a 的 n 减 k d 的 k 次方。 好，我们以第一题为例，他问的是这个二项是展开式中第五项的系数，对吧？那么第五项完整写出来，第五项应该是 t 五， t 五时候应该 k 就是 等于四的，所以他应该就等于 c 十四 x 的 三次方分之一，它的十减四。这边在一个负的负的 s 平方，它的四次方，我们把它化解一下，应该是 c 十四是一个负一的四次方， 再乘 x， 应该是负三乘一个六，再来一个 x 的 二等于四， 所以完整写完，应该是 c 十四负一的四十八 x， 我 们可以算一下，应该是负十八，再加八就是负十四方。 好。算完之后，他这道题只问的是系数，那就是 x， 不 用管一个很常规的对不对？这一个话是 x， 那 么它系数指的是它，所以我们这道题主要是 一十四负一的四次方，那么计算一下，应该是十乘九乘八等于七，除掉一个四乘三乘二乘一，那么这里约分 就说二和四加根八约，然后三和三乘一个三，所以是两百一。 负一的四次方是等正的，所以它是两百一。这道题结果就是一同理。我们再来一道题目，他说除了是二减 x 五次方中展开式的第四项，那么要计算一下第四项，那就是说明他是要提示 第四 k 就 应该是等于三，所以它也等于 c 五三之二的五减三次方。负 x， 它的平方三次方， 所以我们计算一下，应该是 c 五三等于二的平方，再来一个负一的三次方，再来个 x 三次方，那我们只要把它完整的算完。 c 五二一，五三等于 c 五二，再等于五乘以四，这个是二乘以一，所以 c 五等于十， 所以应该是等于十乘以四十，再乘入负一，就负四十 x 三十八，所以经过就应该选 a。 好， 往下我们来看，他说求的是常数项，那就意味着说他没有告诉我们是第几项，那么不妨假设他就是 d k 加一项，所以 t 是 k 加一， 所以它会等于 c 四 k 二 x 这边是四减 k， s 分 之一，它的 k 次方，所以它算出来应该是 c 四 k 二的四减 k， x 的 话是四减 k， 还有个是 x， x 分 之一，我们把它写成是 x 的 负一次方，所以应该是 x 负 k， 那整理完之后，应该是 c 四 k 二的四减 k， 再乘以 x， 应该是四减二 k， 好， 它算是常数项，那常数项应该是什么？是常数项是 x 的 零次方就是常数项，所以的话应该是四减二 k， 它要等于零，所以解的 k 的 值应该是等于二， 所以它实际上问长项，就是问的是第三项，那我就把它带进去，就 t 三，它会等于 t 四二，然后二的四减二就是平方，所以结果应该等于二十四，所以它就是二十四。
352WJY高中数学吴老师
16:25查看AI文稿AI文稿什么？你居然还没有学会这类经典的二项式展开问题？今天旺仔就教你三种方法彻底解决这类小题。 大家好，欢迎来到抖音高考百日百客。我是旺仔，我已经正式加入抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追跟我的高考百日百客，跟着我一起高考冲刺。今天呢，我们来分享一道二项式定律的经典小题。 这个题目的形式是三减二 x 六次幂等于右边这一坨式子，让我们求这个式子它等于多少？接下来我们会讲解三种方法，分别是求导法、直接求系数法、应用二项式定律和组合数的一些公式。第三种方法就是硬算。 hello， 大家好，今天呢，我们来分享一道二项式展开的经典题目。题目说，若三减二 x 六次幂等于 a 零加 a x 加 a 二 x 的 平方，一直累加到 a 六 x 六次方。 问我们 a 一 加二倍的 a， 二加三倍的 a， 三加四倍的 a， 四加五倍的 a 五，一直加到六倍的 a 六，这个式的值是多少？好，首先我们来分析一下 题目中条件是什么呢？条件是这样一个等式， 等式左边是一个确定的式子，三减二 x 六次米等式，右边是 a 零加一 x 加 a 二 x 平方，一直得加到 a 六 x 的 六次方，这是条件。那么结果是什么呢？ 也就是我们要求的目标式是什么呢？ 目标是让我们求 a， 一 加二倍 a， 二加三倍的 a， 三加四倍的 a， 四加五倍的 a 五，一直加到六倍的 a 六，这个式子的值是多少？那么我们就要找一下条件给的式子 和结果，也就是目标式之间的联系是什么？ 如果你对倒数比较熟悉的话，就应该看出来这个式子它的倒数是什么呢？我们来写一写这个式子，它的倒数是 a 一 加 二， a 二乘以 x 加三倍的 a， 三乘以 x 的 平方。加四倍的 a， 四 乘以 x 的 三次方。加五倍的 a 五乘以 x 的 四次方。加六倍的 a 六乘以 x 的 五次方。也就是密函数的求导法则。那么如果求导之后把 x 令为一，那么这个式子就变成了 a 一 加二倍的 a， 二加三倍的 a， 三加四倍的 a， 四加五倍的 a， 五加六倍的 a 六，恰好就是我们的目标式。 那么就找到了条件给的式子和结果要求的式子之间的联系是什么？ 因为这两个式子是横等的，那么我们不妨用 f x， 它等于三减二 x 的 六次幂。 f x 的 导数利用复合函数求导法则，就变成了六倍的三减二 x 的 五次幂乘以负二，就等于负十二。乘以三减二 x 的 五次幂，那么 f 一 的导数， 它就是负十二，乘以一的五次幂就是负十二，所以我们要求的目标式子的值就是负十二。 好，如果在考场上，你能够想到条件的式子和结果式子之间联系，也就是用导数把它串起来的话，这道小题做起来是比较快的。 好，下面我们来分享一下第二种解法。在讲第二种解法之前，大家可以先回顾一下二项式展开它的公式是什么呢？ 好，我们一块来回顾一下。也就是 a 加 b 的 n 次幂，它的 d k 加一项展开式 t k 加一，它就等于 c n k a 的 n 减 case 密乘以 b 的 case 密。其中 k 是 等于零一二一直到 n 的。 那么把知道问题的这个数值代入， a 等于三， b 是 等于负二 x n 是 等于六， 所以 d k 加一项就是 c 六 k 三的六减 case 密，负二 x 的 case 密， k 是 从零一一直到六，对吧？然后整理一下，就是 c 六 k 三的六减 case 密，负二的 case 密乘以 x 的 case 密。 那么题目里面说展开式是 a 零加一， x 加 a 二 x 平方，一直加到 a 六 x 六次方，所以说 ak 就是 等于这样一个式子。 这样呢，我们就把每个系数的表达式都写清楚了。好，下面我们看一下。目标是，目标是求的是什么呢？求的是 a 一 加二倍的 a， 三加四倍的 a 四，一直加到六倍的 a 六， 这个式子其实是什么呢？其实是 k 乘以 a k， 然后一直累加求和 c 个码， k 从一到六这样一个式子。 那么我们乘一下 k 乘以 a k， 它等于 k 乘以 c o k 三的六减 case 米，负二的 case 米， x 的 case 米。 到这里呢，我们就要介绍一个常用的组合横等式，课堂上大家也应该了解过，也就是 k 乘以 c n k， 它是等于什么呢？ n 乘以 c 的 n 减一， k 减一。好，我们来证明一下这个式子等式的左边， k 乘以 c n k， k 乘以 c n k， 它是等于什么呢？利用组合数的公式，它是等于 k 乘以 n 的 结成比上 k 的 结成，乘以 n 减 k 的 结成，那么这个式子它就等于 n 的 结成比上 k 减一的结成， 乘以 n 减 k 的 结成，这是等式左边。那么等式右边， n 乘以 c 的 n 减一， k 减一，它就等于 n 乘以 n 减一的结成比上 k 减一的结成，再乘以 n 减一， 减去 k 减一，它的结成合起来就是 n 的 结成比上 k 减一的结成乘以 n 减 k 的 结成。那么这两个式子就相等， 所以 k 乘以 a， k 等于 k 乘以 c 六 k 三的六减。 cosme， 负二的 cosme， x 的 cosme。 把这个式子代入就有 k 乘以 c 六， k 就 等于什么呢？六倍的 c 五 k 减一，对吧？所以说六乘以 a， k 是 什么呢？ k 乘以 a， k 是 什么呢？ k 乘以 a， k 就 等于六倍的 c 五 k 减一，三的六减 k 米，负二的 k 米。哎，这个式子里边 这是五，这是六减 k， 那 么我能否把这个式子给统一呢？想一想，怎么怎么样去统一呢？怎么样去统一呢？ 是不是把五和六减 k 统一一下？六减 k 等于什么呢？六减 k， 它就等于五减去 k 减一， 对吧？那么负二的 case 我 们也要统一一下，负二的 case， 它就等于负二乘以负二的 k 减一次幺，对吧？好， 那么到这里我们就把这个形式给拆开，这个式子，它就变成了六倍的 c， 五 k 减一，三的五减 k 减一次幂，负二乘以负二的 k 减一次幂。把这个负二提出来，就是负十二乘以 c 五 k 减一， 三的五减 k 减一次幂，负二的 k 减一次幂。这里呢，你就变形完成了， 下面就可以求出来这个结果了。好，现在我们要求的结果是什么呢？我们来写一写。 现在我们要求的结果就是， sigma 可以 从一到六 k 乘以 a， k 等于什么呢？ sigma 可以 从一到六把这个式子换下来。负十二 乘以 c， 五 k 减一乘以三的五减 k 减一次幂，乘以负二的 k 减一次幂 这样一个式子。然后我们可以进行一个换元，比如说我们令 g 等于 k 减一，令 g 等于 k 减一，有什么好处呢？我们来写一写， 用 j 等于 k 减一，那么这个式子它就变成了 c 个嘛？ j 从零到五 负十二提出来，那么 c 五 k c 五 j 三的五减 j 次幂，负二的 j 次幂就变成了这个式子。那么这个式子 联想到二项式定理， a 加 b 的 n 次幂，它就等于 sigma， 即从零到 n， c n g a 的 n 减 j 次幂， b 的 j 次幂，这就是二项式定理的展开形式。所以说这个式子，这里这个式子 n 等于谁啊？ n 就 等于五， a 等于三， b 等于负二，所以这个式子就是 sig 嘛。这从零到五 c 五 g 三的五减 g 次幂，负二的 g 次幂就等于三减二的五次幂，等于一的五次幂就等于一， 对吧。那么这个式子我们就求出来了，这个式子它就等于负十二，所以 c 个嘛，可以从一到六 k a k， 它就等于负十二，这样我们逆用二项式定律，就求得了这个式子最终的值就是负十二。 这个方法虽然步骤多了一点，但是每一步都是利用我们学过的二相乘定力去展开，从通向恒等变形到换元，然后求和，把这种求和式的本质就拆解出来了。好，这是我们讲的第二种方法，主要是利用了二相乘定力。 下面我们看一下最后一种方法，也就是硬算的方法， 也就是直接计算呗。刚刚我们得到了这种这个二三式定律的这个通向公式，那么根据这个展开式， a 一 它就等于 c 六一三的五次幂， 负二的一次幂就等于六，乘以二百四十三，再乘以负二等于负二就一六，大家自己可以算一下。当然考场上是不推荐这种方法的，最推荐的是第一种和第二种方法，我们来写一写吧。 a 二， 利用展开式就是 c 六二三的四次密，负二的平方等于十五，乘以八十一，再乘以四等于四八六零。当然这种方法虽然慢呃笨，但是不容易错。 a 三 等于 c 六三三的三次幂，负二的三次幂等于二十，乘以二十七乘以负八，就等于负四三二零。 a 四等于什么呢？ a 四等于 c 六四三的平方，负二的 四次密等于啊十五乘以九，乘以十六就等于二一六零。 a 五就等于啊 c 六五三的一次密，负二的五次密等于六，乘以三乘以负三十二 就等于负五百七十六。 a 六呢，就等于 c 六六三的零次幂，乘以负二的六次幂等于一乘一，乘以六十四，就等于六十四，然后累加求和，最终的结果乘一下，这个系数就是一，乘以这个乘一， 这里呢要乘以二，这里要乘以三，这里要乘以四，这里要乘以五，最后要乘以六，然后累加一下，最终结果也是负十二。好，这是我们讲的三种方法，最后呢，我们来总结 一下，我们讲了三种方法，第一种方法是求导的方法，第二种方法是什么呢？直接求系数， 第三种方法是硬算， 一种方法是考场上你要能够想到的， 算的也是最快的，也是比较准的，但是你要了解这个式子它和求导之间的联系， 不妨再多做几道练习题来熟悉一下。第二种方法用到了，嗯，二项式定律 以及逆用。这公式主要是凑形式 和利用一些组合数计算的公式，比较适合想彻底理解二三定律，夯实基础的同学。 第三种方法是硬算，就是你如果实在不会的话，可以当做一个保底的方法，比较稳妥。 好，这道题目的三种叠法各有优势，大家可以根据自己的备考阶段去选择考前冲刺呃，优先选这个求导法，然后呃，正在学二声诗定语同学可以仔细看一下第二种方法。第三种方法基本上是不考虑的。 好，这是我们讲的这道二声诗展开的经典问题的三种叠法，大家自己可以再练习一下。
2136旺仔不知数
04:27查看AI文稿AI文稿哈喽，各位小伙伴大家好，我是数学小哥，那今天我们开始给大家去讲解二项式系数和系数的一些性质和题型。 首先我们来先看一下本节课的一个框架，主要是从三个方面去讲解，我们分别会讲解二项式系数还有它的性质，以及我们会讲到系数的值和的性质，以及最终我们会讲到一个较难的题型，也就是我们的系数的最值。首先我们来先看一下本节课的一个知识框架。 第一个我们先看一下二项式系数的一个性质，主要有一个增减性，那就相当于是当 k 小 于我们的二分之 n 加 k 分 啊，他应该是先增的，在二分之 n 加 k 之前啊，是增的，当你的 k 是 大于二分之 n 加 k 是 小，是单减的，就先增后减。 第二个就是它最值，当我们的 n 也就是我们的这个上标 n 是 个偶数的时候，那我们最值就是正中间的，因为偶数的话，它总共有基数项嘛，那中间的就是它最大值。 c n 二分之 n 就是 它的最大的一个二项系数， 当 n 为基数的时候，就是中间的两项二分。 c n 二分之 n 减一跟 c n 二分之 n 加一，这两个二项系数最大的， 还有就是它的对称性，就相当于是距离手末端的距离相等的两个二项系数是大小一样的，就是我们。接下来第四个就是我们的二项是系数之和，这主要用的是我们的负值法。 我们把二项式展开式中呢 ab 直接都赋成一的情况下，我们的二项式系数之和就得到了二的 n 次方，它是个固定的，只跟我们的 n 的 大小有关系。第五个就是我们的偶数项和奇数项的二项式系数之和。这个我们需要赋一个 ab 等于一， 第二个负，一个 a 等于 b 等于负，一两是一加，我们就会发现它的偶数项的，这就是偶数项的这第二项、第四项、第五、六项，偶数项的二项系数之和跟我们的基数项的二项系数之和是一个相等的，都是我们的二的 n 次方的一半，也就是二的 n 减一次方， 这个大家要注意一下，因为他有点反认知，因为你这虽然说他是偶数项，但是他那个上标应该都是基数的，对吧？这就这才是偶数项啊，这是偶数，这个是偶数项系数之和，这边是基数项系数之和。 好，接下来就是我们的系数的一个内容，系数主要的考点就是系数最大，我们待会单独去讲他题型， 那我们的其次，其次就是有系数之合的一个内容。系数之合的话，就首先我们也是用负值法，这个我直接令这个 相当于是我如果我们的展开式中 ab 里面有 x， 那 我们就展开式肯定是一个关于 x 的 一个多项式， 那我们直接让这个 x 等于一的话，是不是就相当于得到了前面的这些 a 零 a 一 a 二 a n 这些系数的之合，对吧？除过我们的自变量 x 以外，或者自变量 x y 以外的系数都叫做我们系数，所以它直接让 x 等于负一就可以了， 就负值法令这个 x 等于一就可以了。然后我们的第二个就是偶数项的系数之和，那我们就可能需要把我们的 f 负一也写出来，就相当于令 x 等于负一， 负一的话，那不是得到一个 a 零，这是负减 a 一 加 a 二，然后再减 a 三，一直往后写，是吧？你比如这是二式，这是一式， 这两个式子用一式减二式，是不是就得到了我们的二倍的 a 一 加二倍的 a 三加 a 二倍的 a 五，然后呢？ a 一 加 a 二加 a 一 加 a 三加 a 五，一直加到我们的所有的偶数项， 偶数项的系数之和就是二分之。这两个式子一加一减就 f 一 减 f， f 负一，对吧？这是偶数项的系数之和。 当然偶数项我们也可以称它为奇次项，因为这是第二项，但它的人 x 的 次数是奇次的，对吧？所以这个你要看清，它有两个名字其实是一样的，偶数项其实跟奇次项的系数之和是一个东西，对吧？ 再就是我们的基数项的系数之和，其实它跟偶次项的系数之和是一样的，它就是 a 零， a 四、 a 六，对吧？这些都是它应该是这两个，刚才这两个数字一加就是二倍的 a 零，二倍的 a 四，二倍的 a 二，对吧？啊？这应该是 a 二意思啊， 相当于一加，那就 a a 零加二， a 二加 a 四，就二分之一 f 一 加 f 一。 好，这就是我们的二项系数跟系数的所有的一个知识。接下来我们就看一下它所对应的一些题型吧。
48数学石头哥
01:05查看AI文稿AI文稿二项式求解总卡壳？清华学长教你用多重复之法定向秒杀，快来一起学！哈喽，各位小伙伴们大家好，我是清华大学的安安学长，今天带大家看一道二项式定力的体，核心就两个字，代值。我们先看已知条件， 在 x 减三的 n 次方的展开式中，各项二项式系数和是三十二。我们有一个关键结论是二项式系数和是二的 n 次方，所以直接得到 n 等于五。接下来我们把展开式展开。 第一问，让求所有系数之和，我们令 x 等于一，得到答案就是负三十二。第二问，问的是奇数项系数之和，我们用 x 等于一和 x 等于负一，连立代 x 等于负一，得到结果是负的一千零二十四， 展开后得到一个正负交替的式子，再结合刚才的总和是负三十二，两式相减，就可以得到奇数项系数和是四百九十六。 关注我，数学无限趋近满分！
257安安学长Alvin
![必会的二项式定理系数和的问题 系数绝对值的和怎么求解呢？赋值法搞定！#二项式定理 [话题]##高二数学 [话题]##一轮复习 [话题]##解题技巧 [话题]##高中数学 [话题]#](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/de1c266ce69b8ba67155eeab40aa2bc3~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2107706400&x-signature=ykA8RvqURIAdJt0Jq9XKLT82i8s%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261019025315521F1B602D9F98BBAB39)
