如皋一模数学第10题讲解几何法

我们一起来看这道选择压轴题，我将向大家展示一个数学老师是如何做出这道题的。我们一起来读题说，在二梯三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度， a、 c 等于三， b、 c 等于二点， d、 e 分 别在这两条边上，其中 c、 d 等于一，说明地点是一个定点， a、 d 这样就等于 二。以 b、 d、 b、 e 作为边，做一个平行四边形，这样我们就有边平行的关系和边相等的关系，这样我们就知道这个角也是直角，并且有 b、 d 和 e、 f 相等继续连接 a、 e、 f 这道题的问题比较刁钻，他说当三角形 a、 e、 f 的 周长最小的时候， 问我们 b、 e 的 长度，所以我们就要来分析一下这个三角形 a、 e、 f 周长的构成。 e、 f 是 跟 a、 d 相等的，那么我们通过耳机三角形 b、 c、 d 的 边的关系可以把 b、 d 求出来，也就是 e、 f 等于根号五， a、 e 和 a、 f 都会随着一点的变化而变化。这道题让我们求的是 b、 e 的 长度，那么我们就可以设 b， e 是 x， c， e 就是 二减 x， 那 么通过勾股定律，我们是可以把 a、 e 表示出来的。接着我们再来看 a、 f， 我 们会发现 d、 f 是 等于 b、 e 的， 所以这个边是 x， 所以 a、 f 也是可以通过勾股定律得到。那么要求周长最小，也就是要求这个式子取到最小值的时候 x 的 值。作为老师，我想到绝大多数的同学肯定都不会去继续往下算，所以此时我回过头来思考 这道题有没有一个几何方法。好，我们继续来看几何做法。根据我们刚才的分析，我们知道 e、 f 的 长度是一个定值，那么本道题我就需要找 a e 加上 a f， 它能够取到最小值的时候， f 点是随着 e 点的变化而变化的，所以 n e 和 a f 是 同时向上走或者同时向下走的，通过现有的形状，我很难找到它的最小值在什么地方。那么这时候我们要想办法把这两个动点 联系起来。结合刚才我们题目当中的提议， b e f d 是 一个平行四边形， d， f 的 长度 始终和 b e 相等，这就给了我一个很好的思路，构造一个全等三角形，可以在 b 点的左侧构造一个三角形，跟 a d、 f 全等，这样的话我们就可以把 if 的 这个长度挪到这边去。 好，我们从 b 点向右边做一个 b h， 使它的长度等于 a d 为二，然后连接 e 点和 h 点，这个三角形 b h， e 是 跟三角形 a、 d、 f 全等的。通过这样的方法，我们就把 a f 这个线段的长度挪成了 h e 这个线段的长度。当我们的 e 点在运动的时候， a e h 就构成了这样的一个有折角的图形，那么此时有一种情况能够使 a e 加上 e h 最小，就是连接 a h， 我 们给他的交点一个字母 m， 那 我们现在要做的就是算出 b m 的 长度。这里我们可以通过相似三角形，也就是三角形 b h m 相似于三角形 c a e， 这样 b m 的 长度除以 m c 就 等于 b h 除以 a c， 那 么我们可以设 b m 是 x， 那 么 m c 就是 二减 x， 然后等于二比三。通过这个方程我们可以解出来 x 等于五分之四。

二零二六年南京市啊前五区一模数学的这道压轴题啊，咱们来看看怎么破解。 动点就是点 a 啊，因为角 b a， c 一 百二十度啊， 所以它是在一条圆弧上，所含圆周角为一百二十度，在这个弧上动 b c， 呃，是四，然后呢，这个 b m 是 一，那 c m 就是 三，在后续可以用到 这里，它以 a m 为一边，又来构造一个三角形黄色的 a m， 使得三角形 a m 和三角形 b， a， c 相似。 那咱们根据相似啊，三角形的性质，就可以得到 角 a n， m 等于角 a， c， b 啊，然后呢，这个角 m a， n 啊， 黄色的钝角 m a， n 等于绿色的钝角 b a， c 一 百二十度。那现在运动的过程中，求线段 m n 长的最小值， 所以我们可以考虑这个点 n 的 轨迹，它是啥？ 我们这里发现角 n 等于角 c 啊，那就有四点共圆。哪四点？ a， m， c， n 可以 把 c， n 连起来， 显然四点共圆啊，在一个圆上 a， m， c， n， 那 四点共圆，就有那个对角互补啊。对角互补， 首先有角 a， n， m 等于角 a， c， b， 也可以说是 a， c， m 啊，就可以得点 a， n， c， m 啊，四点共圆， 四点共圆，那同无啊，那个对角互补，所以角 m， c， n 啊，它是等于一百八十度，减去黄色三角形的角 m， a， n， 也就是一百八减一百二的六十度这个角。 这样咱们就可以得到点 n 的 轨迹呢，它是在一条射线上，这条射线 c n 和 b c 成六十度的角，咱们可以利用角换法 来验证一下追踪这个点，哎，看看他的轨迹，就是一条红色的这条色系，明白了吧？ 取消追踪，把轨迹删除掉。 那最后因为你点 m 是 定点射线， z n 是 那个啊，定的射线利用垂线段最短， 所以咱们呢，先要把辅助线啊做出来再利用啊，三角函数的知识可以求出啊，垂线段最短， 只需要过 m 做这个垂线段 m h 垂直 c m m 啊，它是大于等于 这个 m h 的。 那在直角三角形中，利用三角函数，它又可以转化为 c m 乘以三角 m， c h 就是 三乘以三六十度 三六度的二分之根号三。所以这道题啊， m n 的 最小值是二分之根号三。 学会了没有啊？想学数学的可以到初中数学院来观看相关的视频啊，进行学习， 感谢大家的支持，再见！

提问讲解一下，同学们可以暂停先看一下题目啊， 我们来看一下这个题目对应的这个，把这个线段呢改成了射线，其他条件是不变的，跟上面一样。 然后呢，另外多加了两个条件，一个是 b d 等于二，另外一个呢是 b e 等于四，我们最终呢求 c n 的 长好了，我们在这边呢，做题的时候呢，一定是要学会呢，把刚刚的所有的条件呢，能够复述一遍记在脑子里， 这样子的话，我们就不会漏条件。在解决的过程中呢，把能标注在题上的，先把它标注好，这段长是二，这段长是四，对不对？然后呢，在刚刚的这个 解析的过程中呢，他这个地方是不是有一个垂直的，因为他是中垂线吗？然后我们前面的那个过程中呢，他是证明出了这个 f n 等于 f e， 证明这两个相等呢，我们前面的提示，我们是用什么样的方式来证明他这个线段相等的，用构造全等三角形来证明他 相等，那么呢，也就为我们最后呢一问呢埋下了伏笔，因为呢不会有无缘无故的这个第二问和无缘无故的前面的内容，所以说呢，他这个后面的大体上呢，我们铺垫呢，应该是构造全等三角形 来解决问题啊，那么首先呢，我们这两个线段相等，暂时呢没有思路，我们要求的是这段的长度啊，这段的长度， 那么我们仍然是把刚刚的辅助线来做一下啊，构造一下那个前面的这个辅助线，虽然说没啥用啊， 那我们先写一下啊，先写一下，这个肯定是给我们有有用的东东西啊，现在暂时不知道有啥用，那你就利用沿着刚刚的那个思路吗？因为这个辅助线呢，我们在第二位，后面呢用的是前面，用的时候呢也不擦掉， 那么这段长呢，我们是想办法，我要求 c n 的 长，那么这里面给了你一个一个二，一个是四啊，很明显的啊，不太好处理，那么我们这个绿色的，蓝色的这个线段啊，能不能求出这个具体的长度，那么通过观察呢，可以发现你这个地方是个二， 唯一呢，这个地方四十五度唯一，能够利用的呢，是不是往这个地方做一个垂线呀？往这个地方做个垂线以后有什么作用呢？那就是说我这个长是根号二了吧？ 啊，这个长也是根号二，因为呢等腰直角三角形的三面关系是一比一比根号二，那么这个时候呢，立马你就要想到，因为 f 呢是中垂线，也就是 f 是 中点，然后呢你这两个线段是不是平行的呀？你这两个线段所在直线就平行，平行的话呢，我们就能得到这段长 中位线的性质啊，这段长呢也是这个二分之根号二，也是这个二分之根号二，所以说呢，我们现在呢 就得出了这个线段长是二分之根二，同时呢，我们在上一文证明的过程中呢，这段长和这段长是不是相等的，你会发现一个垂直，两个垂直，三个垂直呢，那么它本身呢，就是一个什么图形啊 啊？三个垂直的话得到它是矩形，那因为呢，你这个上面英文正过了这两个三角形呢， f c n 和这个三角形 f a、 e 呢，是全等的，所以说我得到了这段长呢，也是这个二分之根号， 也是这个二分之二，下面呢，它会出现两种不同的思路，第一个思路呢，就是我们所说的，嗯，利用上面的结论呢， 用整体代换的方式求出这个 c n 的 长，怎么个整体代换法呢？我们设这这个垂足为 p 和 q， 那 么对应的这个线段长呢？它不是相等的两个线段吗？因为第一上面的那一问呢，证明出来这两个线段长也是相等的， 我们分别说这段长是 a 好 不好？那么由于呢，我们在这边，我们的这个 c n 的 长 啊， c n 加 a 的 长啊，用 c n 加 a 吧， c n 加 a 的 长，我不是证明过全等吗？ c n 加 a 的 长是不是可以等于这边的这个 ap 的 长呀？是不是等于这个 ap 的 长啊？等于 ap 的 这个长度， 那么 ap 的 长度，你会发现 ap 这个又是 a 啊，这段长的又是二分之根号二，整个这段长呢，又是个四。 所以说我能不能尝试把这个 ap 的 长表示一下呀？因为我的 ap 的 长加二分之根号二，是不是整个这个长度的整个这个 ab 的 一半呀？啊，你可以看我的 ap 呢， 加上二分之根号二，就是说我的 a p 这段长加上个这段长啊，这段长和二分之根号二一样的啊，这是正方形，是不是等于这个 am 的 啊？等于这个 am 啊，等于这个 am am 的 话呢，你又可以怎么表示啊？ am 的 长 啊，你会发现跟这个四是不是有关系啊？把这个已知条件四是不是可以用一下呀？那么把这个已知条件四用一下的话呢，那就是我们用四呢减去这段长啊，减去这个 m e 啊，我们写一下，就等于这个四减去这个 m e， 那 m e 这段长呢？ m e 这段长，我是不是又可以用二分之根号二减 a 来表示啊？所以说四减去这个二分之根号二 减去这个 a 这段长来表示这个 m e， 所以 说把它化简一下呢，就会得到它是四减去二分之根号二加 a 啊，加 a， 那 么所以说呢，那么 am 不是 g 等于它 又等于他吗？那么所以说我的 a p 就 可以表示成我的四减去二分之根号二，再加 a， 再减去二分之根号二，所以说呢，是等于四减去根号二加 a， 这是 a p 的 长，那你会发现 a p 的 长有一个加 a， c n 加 a 的 长呢，也有个加 a， 所以 说是不是能把两个整体合起来一写是不是就可以了？这个和这个合起来，也就是 c n 加 a 是等于四减根号二，再加 a 呀，所以说我就能得到 c n 呢，是等于四减根号二的啊，这个呢，想的这个思路呢，就是整体代换的原则，设而不求啊，这个方法呢，是不是叫设而不求啊？ 设这个 a， 但是我不求这个 a， 但是呢，这个只是沿用了上面一问的这个辅助线，利用整体的代数思想来解决这个问题，那有没有其他的方案来解决这个 c n 的 长度呢？那我们要迎合我们上 上面的第二问，第一问所讲的那个内容，构造全等三角形来进行证明，这个才是出题人的这个本意啊。我们来看一下这个 构造全等三角形来求这个 c n 的 长的话，也就是说我求这个 c n 的 长并不是特别的好求，那我们可以转移到通过导边的方式，转移到和它相等的线段中，我们会发现呢，这个地方 c n 不是 很好导，那这个角 啊，这个边啊，这个边啊怎么处理？是不是他跟这些边都是相等的呀？那么所以说呢，我们尝试把这个三角形呢，找一个三角形和它全等是不是就可以了？所以说呢，还是沿用了刚刚这个思想，你这个地方有个二啊，我这个地方做垂线呢， 你这个地方肯定是根号二，然后呢，利用斜中半的原则，你发现这个是 f， 是 a d 的 中点啊，直角三角形斜边的一半的原则，我的这段长 做完一个垂线了以后，这个是 p 吧，那么我们连接这个 f p， 你 会发现这个 f p 的 长 等于 a d 的 一半， fc 的 长呢，是不是也等于这个 a d 的 一半呀？那么这两个是不是这个相等的这个线段呀？好，这两个线段相等，又更加坚定了我们可以往这个全等方面走的这个这个 思路啊，那么我把这个相等，现在把它画出来，这个地方 fc 等于这个 f p 啊，这是一个相等的线段。另外呢，我们前面还提示我们了，第二问中还证明了这个 fe 用一个其他我们喜欢的颜色啊，重新标一下，画一个 fe 呢，又等于 fn 啊，那么这个时候是不是，呃，基本上就能定义出，我们再乘一下啊，这两个三角形是不是就可以说明它是全等的啦？ 好，我们来试一下，现在是不是有了两个相等的线段呀，相等的线段的话，我们在这边这个角呢，是不是等于这个角等于这个 r 法的呀？ 斜边斜中半吗？啊，然后呢，你这个 r 法是不是跟前面一样啊？是不是等于上面这个 r 法呀？所以说呢，我们就能得出三角形的 ncf， 嗯，全等于三角形 e p f 啊， e p f， 这是全等，全等了以后呢，我们主要的我的 c n 呢，就变成了我们求 p e 等于多少？这不这样的一个问题啊， p e 的 话就非常简单了，因为整个这段长是四呗， 啊，整个这段长是四，这段长是不是根号二啊？所以说我的 p e 的 长呢，就变成了四减根号二，这才是出题人的这个本意。通过构造全等三角形来得出这个我们所需要的这个线段的长呢，就变成了四减根号二，这才是出题人的这个本意。通过构造全等三角形来得出这个我们所需要的这个本意。通过导边的方式 啊，通过导边的方式来得出我们能求出的线段的长度，进而呢求推导出我们要求的线段的长度，这是 第一种作图方式啊，那当然了，它如果说我们把这个题目呢，把这个线呢弄到这个外面去，因为它可能在 c b 的 这个射线上， 而且呢，这个题目中呢，很明显给我们出现了这个备用图，所以说呢，这个题的最后一问呢，一定是起码有两种或两种以上的这个可能性，对吧？那么我们继续沿沿用呢上序的这个上述的这个方法完成的。 第二种情况的一个求解。第一种情况呢，我们是通过整体代换的方式设而不求来处理刚刚的那个二 啊，还有一个，谁的长是四啊？ b 的 长是四，我们仍然呢，把这个地方呢一个直角画出来，那肯定是方法肯定是一样的，你甚至说你的辅助线想都不用想啊，肯定跟上面的辅助线是一样的啊， 那么仍然是有个 p 的， 那这段长是个根号二，这段长还是一个根号二，那么我们下面呢，求这个 c n 的 这个长度， c n 的 这个长呢？我们怎么来求那刚刚的那个辅助线前面的辅助线呢？第一问的这个方法呢？还是用延续，你往这做垂直，哎呀，这个不太要垂了，垂不下去了 啊，就跟题目一样啊，猛锤屁啊，不是屁，我们重新标个字母， a， b， c， d， f， g， h 啊， g， h， 那 我们仍然是呢，利用刚刚的那个方式，嗯，你这个是根号二，根据中位线这段长，是不是仍然是二分之根号二啊？啊，二分之根号二， 放大一点啊，那么还是跟刚刚一样哦，三个垂直得出是矩形，因为两个绿色的线段相等，所以说他是正方形啊，也是二分之根号二。 那么这个时候呢，我们仍然用刚刚的这个手段，我想求这个 c n 怎么表示，对吧？那么 c n 的 话呢，我们把是把两个相等的线段都设为 a 了吗？那这段长 n， g 和这段长 he 呢？都设为这个 a， 然后利用这个代数的思想来解决这个问题就可以了啊， 好，我们的这个啊，我们的这段长 c， n 呢，是不是等于这个 c m， 嗯，加上这个 二根号减 a 啊？嗯， c 就是 看竖着这段长啊， c n 是 不是等于这个 c m 加上这个二分，加上这个 m n 的？ 我写一下啊，我们的这个 c n 等于 c m 加上啊，二分之根号二减，这个 a 的 减，这个小 a 就是 这段长 c n。 那 么我们要知道啊，我们这里面的 c m 呢，为什么要先写成分成这个 c m？ 因为 c m 呢，跟这个啊，是不是这个 直角三角形，这个斜边的一半跟这个长度是有关的啊，所以通过这个 c m 呢，把它转移走 c m 的 长呢，也很简单，是不是这个 c m 的 长是不是等于 mb 的 长呀？是不等于 mb 的 长，加上个二分之根号减 a 的， 你的 mb 的 长呢，是不是用这个四来表示这段长是四四加 a 再加二分之根号啊？这三段，那不就行了吗？四加 四加 a， 加二分之根号二，那么再把刚刚的二分之根号二减 a 一 起写上去，最后的结果呢，就是四加根号二，那么刚好跟我们前面的那个第一种方法呢，整体代换呢？四减根号二 啊，将契合也是适而不求，整体呢，消去了这个 a r e 啊，最终呢也是适而不求，这是刚刚的第一种方法啊。第二种方法呢，就是我们利用斜中半的这个东西呢，构造全等三角形啊，那辅助线呢，仍然是这个，先把这个东西拉一下啊， 嗯，好，嗯， p 好。 刚刚的那个辅助线是什么来着？就是斜中半，连一下你会发现这个斜中半 p f 呢，是等于这个斜中半 a e 的 吧？啊， c e 啊，这个是直角，我错了，这个 c f 啊，哎呦，这个线扯掉了， 在这 cf 啊，因为这个地方是直角选手版，这两个绿色的线段相等，对不对？且同时呢，我们刚刚说了，他还有这个最原始的这个 f n 等于 f e， 第二问也 也有，对吧？在前面也有哦，这这两个红色的线段呢，也是相等的，那么我们再找一个相等的 其他的，不就可以证明我们要求的这段长了吗？证明我们这个它俩相等，怎么证明的？我们仍然是采用刚刚的，你这个角不是而发吗？那么斜中半的这个原则，这个角是不是也是这个而发呀？那么在前面这个证明这个角也是而发，所以说这三个角呢，都是这个 相等的啊，这角都是相等的啊，那当然了，我们在这边呢，可能无法直接证明他是这个全等的吧，你这个是个边边角啊， 那么我们还可以通过这个倒角的方式啊，把这个再证明一下它全等，因为呢，你这个地方是 r 法，这个地方呢是 r 法，那么我们在这边是不是有个八字形啊？偏偏角肯定不行哦，那么在这边的话呢，你这个角呢是垂直的， 这个角呢也是垂直的吧，你是个八字型，所以说最终呢，能证明出这两个角呢，角一等于这个角二的，那，那这样子的话，我就可以边角边证明他全等喽， 那边角边证明他全等，我们在这边呢，最终就能得出我们的这个 c n， 先写全等三角形吧，三角形 c f n 全等于三角形 p f e， 那么你的这个 c n 呢，就等于这个 p e 了， p e 的 这个长呢，你可以看一下，它等于这个四，再加上这个根号二，就等于 四加根号二啊，前面的那个也是哦，不能直接通过这个边边角来证明它全等啊，还要通过这个倒角的方式啊？这边有个八字形，你看一下，来，通过边角边来证明它全等的哦。嗯。

各位大家好，今天我们一起来看到新战区一模的这个难题的解析哈，我们一起来看。先看到我们第十题，题目说呢，这是一个等腰直角三角形，然后呢角 abc 呢是九十，然后 d 点呢？从 a 出发，速度呢是一个单位每秒，然后呢 e 点从 b 速发出发，然后速度也是一样， 也是一个单位的。喵喵，那这样的话，我们就知道我们可以设它为 t 是 吧？那 b e 的 长度肯定也就是 t 了，然后 f 点是个中点，那中点的话，这边是个直角三角形，然后我们讲的东西叫什么呢？叫斜中线，斜中线的话他说什么呢？ x 呢？是谁呢？ x 就是 我们的 呃，也就是 t 了，设时间为 t， t 就是 我们的横坐标，纵坐标呢是我们 y 等于 d， e 的 平方，那 d e 的 平方的话， 这边给了个数据，当 t 等于一的时候，我们这个 y 等于十，也就 d 的 平方等于十，所以这个边长我们不知道，假设边长是我们的小 a， 那 这个长度呢，就是 a 减 t 啊，那这样的话，我们就知道我们的 d 的 平方呢， 就可以写成叫做 t 方，加上一个 a 减 t 括号的平方，所以把一十给它带进去， 那就是十等于 t 方， t 等于几呢？ t 等于一，那就一的平方，加上一个叫做 a 减一括号的平方， 所以这这边移向移过来，那就是九等于 a 减一的平方，那说明 a 减一等于正负三负的不可能，所以 a 减一等于正三，所以我们算出来 a 等于几呢？ a 等于我们的四，所以 a 选项是对的，然后 b 选项，他说 b f 的 最小值， 这地方呢，我们可以怎么办呢？呃，有个比较简单的做法，我们可以一次性把我们的 b 选项和 c 选项都给它求出来，因为我们要求什么呢？我们要求 b f 的 最小值，从几何的角度而言，我得求出 f 点的轨迹， 那么这题 f 点的轨迹呢？其实是不太好找，我们得根据 f 点的坐标来，所以我们不需要想太多，我们用纯代数的思想，那么 f 点是什么呢？ f 点是 d 点和 e 点的中点，所以我们找到 d 点的坐标， d 点坐标呢？这个 a 是 几呢？ a 是 四，所以我们就知道它应该是四减 t 多少零，然后呢， e 点坐标， e 点坐标就是零多少 t， 那 我们 f 点是个中点，那根据中点坐标公式，那就相加除以二，那就是二分之四减 t， 化解一下，也就是二减二分之一 t， 纵坐标呢，就是二分之零，加 t， 那 就是二分之一 t， 所以 这是 f 点坐标了， b 点坐标是零零，所以对于 b 选项而言，我们就可以求出 b， f 的 长度就应该等于根号下， 那就是二减二分之一 t， 再减零括号的平方，再加上二分之一 t， 减零括号的平方。我们求最小值呢？除了用我们的几何的方式，用什么两点之间线段最短，垂线段最短以外，还可以用表示的形式把它表示成一函数，利用函数来求最值，这就相当于是这样子的， 那我们把它展开一下，这里面就是根号下，就是首平方，就是四减两倍，首尾的减去个二 t， 再加上一个，这边有个四分之 t 方，他也是个四分之 t 方，那就是二分之 t 方， 二分之 t 方，我们再把里面配个方，提个二分之一出来，这里面就是 t 方，本来是减二， t 呢，就减四 t， 那 就要加一个四，那后面的一个加四到超，这边相当于是加了个二，所以我们减这个二，所以配方之后的结果就等于根号下，这里面就是二分之一 t 减二括号的平方，再加二， 那我们就知道最小值是几呢？最小值应该是里面，最小值是我们的二，那外面的最小值是几呢？是根号呀，所以这样我们就知道 b f 的 最小值就应该等于我们的根号二，所以 b 呢，也是对的。那么由此呢，我们也可以算出来我们的 c 选项 m f， 因为 m 点呢是 a c 的 中点，那这样它还是一样，我们就可以找到 m 点坐标，因为这方间隙是以 b 点为圆点去间隙的嘛，所以 a 点坐标是四零，那这个这个点坐标是零四， m 点坐标不就是二二了， 所以 m 点坐标就是二二，那么 f 点坐标我们光也求过了， f 点坐标是二分二减二分之 t 和二分之 t， 所以 我们可以得到 m f 的 长度就应该等于根号下，那就是二减二分之 t， 再减这个二括号的平方，再加上二分之 t 减二括号的平方， 那他就等于什么呢？这边我们把它展开一下，那这边就是二分之 t 方，那就变成四分之 t 方，再加上一个，这边就是四分之 t 方，减去一个叫做二 t， 再加上个四，这不跟刚刚那个过程一模一样吗？ 所以它化简之后的结果也是根号加二分之一，这里面就是 t 减二括号的平方，再加上个二，所以我们就知道 m f 呢，它的最小值也是多少呢？最小值也是我们的根号二，所以这题呢， c 就 不对了，那 c 不 对， d 肯定就是对的了啊。所以这题呢，我们再看一下 d 选项，它为什么对， 他要求什么呢？他要求我们的 a f 加 c f 的 最小值。那这题根据我们刚刚讲的，等会我们会把那个动图给大家看一眼啊，因为他的横动坐标有个特点，他的横动坐标特点是什么呢？假设这是我们的横坐标叫 x， 这是我们的纵坐标，叫 y， 你 会发现 x 加 y 呢，永远等于二，所以我们 f 点会在这条直线叫 y 等于负 x 加二，上 y 等于负 x 加二，其实就这条直线上，等我看这个动图你还能感受出来， 那这样的话，我们可以得到，那这是个相当于是个对称的，所以当 f 点在这个它的轨迹的正中间的时候，我们的 a f 呢，加上一个 c f 才能达到最小值。根据我们的对称性思想， 那在中间正中间的时候，这个点坐标是几呢？这个点是最开始的起点，那这不就是，呃，不，这这中点的时候，这不二零吗？这也是二零，那这中间是多少呢？正中间是 f 点，应该是一一，因为是二加，这是零二， 这是零二，所以正中间这个点就是零加二除以二，那就是一。这边二加零除以二也是一，所以 f 点坐标应该是一一的时候，它达到最小 f 点坐标特殊点是一一的时候，那这个时候我们的 a f 是 几呢？ a f， a 点坐标是四零，那就根号加四减一的平方，再加上个一的平方，那不就等于根号十吗？那同样道理也会等于我们 c f 也等于更好使，所以它的角值就两倍更好使啊。所以这题应该选择我们的 c 选项。好，再来看到我们的第十四题， 十四题呢，如果这题我没有记错的话，他应该是跟一七年的中考真题是一样的 啊，极其类似，所以可以去翻一翻啊，应该是一七年的正考正题最后一题啊，那个那个年代应该还是第二十三题的时候是吧，后面才改到二十二题是几何题。我们看一下第十四题题目讲的是边长为一的一个正方形， e f 两点呢，分别是这样一个点， b， e 等于 c f 啊，那这个是非常老套的套路， b e 等于 c f， 那 就造了个全等，所以呢，就是三角形叫做 a b e 百分之百全等于三角形，叫 b c f， 那 这里的话也就引出了我们所谓的叫十字架 啊。因为这两个三角形，所以我们知道这两个边相等，这两个边相等的话，这两边也就垂直，所以这个角是个直角 啊。好，第一个问，他说，如果 e 点是个中点，求什么呢？求 g c 的 长度，这个地方呢，你就我们往下做垂直构造两式形的 a 字型相似。然后呢，再利用我们的固定力，求 g c 的 长度，我觉得还不如是什么呢？去硬算， 去间隙，去硬算，我觉得反而更好算啊。我们以 b 为圆点， 然后呢，以 bc 为 x 轴正方向， b a y 轴正方向去建立一个平面坐标系，坐标系，我觉得这样可能更好算一点，我们来感受一下。为什么说它好算啊？因为如果 e 点是因为我们的点 g， 无非就是 b、 f 和 ac 的 交点吗？ a、 e 的 交点，那我们先算直线 b、 f， 那么直线 b、 f 有 什么特点呢？它经过我们的点 b b 点坐标零零， f 点坐标呢？应该是零啊，不是零，应该是一二分之一，因为他说了边长是一，所以我们可以直接求出来 y b、 f 这条直线，它就应该是什么呢？那就是我们的二分之一个 x， 那 我们再求谁呢？再求 a 一 a 点坐标呢，是我们的零一，然后呢， e 点坐标呢？应该是二分之一，多号零，所以这样的话， 我们可以得到我们的直线 a e a e 应该什么呢？应该是我们的负二 x 加一啊，这个就大家自己算一下，但这些说法没什么难点，所以我们把它去连立，那就是连立不的话，不就是二分之一 x 等于我们的负二 x 加一喽， 那连立之后就我们的焦点，焦点就是点 g 的 横坐标了，那这样的话就打个草稿，那就是二分之五个 x 等于我们的一 x， 应该等于多少呢？五分之二，那横坐标是五分之二，往这里一带，那纵坐标不就是五分之一吗？那这样的话，我们可以到 g 点坐标是我们的五分之二，五分之一，那 c 点坐标呢？又是一零， 那 g c 的 长度不就等于根号下，那就是一减五分之二括号的平方，再加上个五分之一减零括号的平方，那它就等于就是五分之三的平方，那就二十五分之九，再加上个二十五分之一，那不就二十五分之十开出来，那就五分之根号十， 我觉得这样做反而可能会更舒服，在我们真实的考场过程中啊，否则你找找什么相似，找比例要找很多，那很麻烦。第二个问，给到了这样的个比值关系，他说如果 g c 等于了 c f， 要求我们的 b e 比 c e， 那 这种给了比值关系极有可能。都是什么呢？二分之根号五减一啊，或者什么二分之三减根号五，二分之三减根号五等等之类的形式。因为他什么数据都没给，他就给了个边长等于一，知道吧？ 好，那我们来看看，他想要告诉我们什么信息呢？他说如果 g c 等于了我们的 c f， 那 不对，等于 c f 这两个相等，那你想告诉我边相等，那我可以找到一些角的关系，因为这是等腰三角形，那我们假设这个角是我们的 r 法，那这个角自然就是 r 法。 用等腰三角形，然后还可以得到什么呢？我们刚讲这地方这个三角形 a、 b e 和我们的三角形叫做 b、 c f 全等，所以这个角也是个阿尔法，这个角是阿尔法就很有意思了，因为我们可以假设什么东西呢？这个角假设是我们的贝塔 啊，这个角假设是我们的贝塔，你会发现阿尔法和贝塔的关系是阿尔法和贝塔互余，那你这个角也是阿尔法呀，所以这个地方肯定会有在这有一个贝塔，所以这个角也是我们的贝塔。哦，那这不就搞定了吗？我要的是什么东西呢？我要的其实就是一个相似， 而这个相似已经出现了，它是个母子音相似，所以我们刚才讲的什么二分之根号减一，它就很接近了。 好，因为什么呢？因为我们的角 c 是 个公共角，然后这边的贝塔等于贝塔，所以我们很轻松的可以得到三角形，叫做 c g e 就 相似于三角形 c g e， 那 就是 c b g。 好， 那我们来一些数据， 要求的是 b e 比 c e， 我 们假设 b e 是 我们的小 m， c e 呢？是我们的小 n， 那 b e 是 小 m， 这边是我们的小 n， 那 b e 又等于谁呢？ b e 等于 c f。 题目说的这是小 m， 那 这边呢？他就是小 m， 所以 根据我们刚刚讲的相似，我们可以得到，那就 c g 比上了 c b 就 应该等于我们的叫做 c e 比上一个 c g， 那 c g 是 谁呢？ c g 就是 我们的小 m， 比上一个我们的 c b c b 应该是 m， 加 n 就应该等于我们的 c e， c e 就是 小 n， 比上有我们 c g 就是 小 m。 但是我要求的什么呢？我要求的是 n 分 之 m， 所以 我们把它都倒过来， 那就是 m 分 之 m 加 n 等于我们的 n 分 之 m， 然后把左边拆开，那就是一加上个 m 分 之 n 等于我们的 n 分 之 m 啊，那不就搞定了吗？换元就可以了。我要求的是 n 分 之 m， 所以 把它看成个 t， 那这个方现在就是 t 分 之一，我要求的是谁啊？我要求的就是这个 t， 别忘了，所以就可以 get 到方程，那就是一加上个 t 分 之一等于我们的 t， 左右两边同乘一个 t， 那 就 t 方一项减 t， 再减一等于我们的零，所以求公式， t 算出来等于多少呢？负 b 也就一加减，根号加一减肯定不行了，一减是个负的， 那就是二分之根号五加一啊，所以它最终结果二分之根号五加一。好，这是我们的第十四题。 再来看到我们的第二十二题啊，好，二十二题。 第一小问比较简单啊，第一小问就是个什么东西呢？先读题，说这是个等腰三角形，然后呢，我们把这个三角形呢，沿着它去折叠，折到这来。然后第一问，他，如果说如果 p d 平行于 bc， 然后猜他的形状，那他就是个菱形，为什么呢？首先呢，这两个边会相等， 是的吧。然后呢，这地方其实用的指点是什么呢？因为你是折叠又来的平行，所以就是有平分，有平行必有等腰三角形， 设一些角度就可以了。我们假设这个角是阿尔法，那这个角折叠过来，它就是阿尔法。内错角相等，所以它就是个阿尔法。那这样的话，我们就知道 bc 呢，也会等于我们的 b d， 所以 第一问，他肯定是个菱形啊，非常的简单。 第二文他说如果 a p 等于我们的三分之一个 ac 啊， a p 等于三分之一个 ac， 然后告诉我们说什么呢？这个角是个六十， 你想这个角是个六十，这个是个等边。等腰三角形，所以它就是个等边了，它是个等边的话，又告诉我们 bc 等于六，那我 ac 不 也是六，那这就是二，这就是四， 那你折过去，折过去的话，这个边就是六，而且这个角是多少度呢？这个角是六十，这个角也会是六十，是吧？这个角度也会是我们的六十度。 求什么呢？求 b e 的 长啊，那这就简单了，为什么呢？因为刚讲这是个六十，这也是个六十，这两个三角形其实是一个反八的相似， 而且相似比还知道，因为这两个边是对应边，所以相似比是个一比三，一比三呢，我求的是什么呢？求的是 b e 的 长度，是吧？我们不妨假设这个小编 我们是 a e 是 个小 t 啊，这个边是个小 t， 那 相似比是个一比三呢？那这边呢，就是我们的三 t， 这边是个三 t 的 话，我们就可以得到，因为这整个长度是六，所以呢，它就是六减 t， 我 们的 b e， 通过它我们可以得到我们的 d e 呢，等于我们的三 t， d e 等于三 t 呢？我们可以求出 b e 呢，也是一样可以求出来，应该是等于六减去个 t 啊，那它就是个六减 t， 那 这条边我们的叫做 p e， 应该是它的三分之一， 所以 p e 呢？应该等于三分之一个六减 t。 那 我最终是找等量关系，怎么找呢？在于这又是折叠，整个的 p d 会等于我们的四 p d 怎么来呢？ p d 应该是 d e， 好 在这有了 d e 刚写过了，是三 t， 这边还有个六减 t 除以三，这是我们的 p e 啊，所以我们可以得到个等量关系，那就是三分之，那就 d e 加上一个 p e 等于我们的 d p， 那就是三 t 加上一个三分之六减 t 等于我们的四。所以这样的话，我们可以求出来 t 的 值， t 就 应该等于几呢？那就同出一个同乘一个三九 t 加上一个六减 t 等于我们的十二，那就是八 t 等于我们的六 t 应该等于四分之三。 好，算出来 t 的 结果等于四分之三，但没结束。题目求的是谁呢？题目求的是 b 一， 这我们 b 一 就等于什么呢？ b 应该等于我们的六减， t 就 应该等于六减四分之三，等于二十四减三，四分之二十一。好，这是我们的第二题的第一小问， 给他拿走这个 t， 是 他的六减 t 的 t。 好， 再看最后一个，他说如果 p d 垂直于 ab， 这是个直角，然后呢，这个 b e 呢？让我们证明它等于 d e 加上个两倍的 a e， 那 这个地方其实是什么呢？这个地方其实有点像我们初二学的，叫什么呢？叫截长补短啊，辅助线做法，去政权等截长补短法。 那首先呢，我们把这个 b e 呢要进行转化， b e 呢？要给它拆掉，拆拆，拆一个 d e 出来，再拆一个我们的两倍的 a e 出来。那你要拆一个 d e 出来的话，有人说我在这边能不能造一个等腰三角形 这个点，假设 m， 我 让 m e 等于我们的 d e， 那 这时候呢，我们再证明 b m 等于两倍的 a e， 这样行不行？ 行，但是呢，不太好做，后面可能不一定能做的了。那这就是关键哈，他为什么会有个二的存在？你得想，我们这种截长补短，就是一条边的有另外两个边相加，他为什么有二呢？二在于这，因为我们的 ap 如果是一份，他是一个小 a， 那我的这个 ap 比 ac 不是 三分之一吗？那我的 pc 就是 几分呢？ pc 就是 两分，这有个二。所以这题的二就是平行线，计算成比例啊，他比他是个一比二， 那我的 a e， 我 只要给他做一个平行线，那这边呢，自然也就是两分就出现了，所以这个平行线的特点是什么呢？他告诉我们说这地方垂直，不然你这个辅助线还不好做，是吧？特地给了个垂直，所以呢，辅助线就好做了。我只需要过点 c 往它做个垂直， 因为这也是个直角，这个点假设 m 点，所以我们做 c m 垂直于我们的叫做 a b， 那 自然呢， c m 就 会平行于我们的 pe。 那 根据我们的平行线极限的成比例，那我的 ap 比 pc 就 等于 a e 比上一个 a e 就 等于我们的 pc 比上一个 a p 就 等于二，所以呢， me 就 会等于两倍的 a e。 那么接下来我只需要让 m e 去加上一个 d e 就 可以了。那你想 m e 此时和 b e 不 就差了个谁啊？就差了个 b m 了，所以我只要让 b m 等于 d e 就 行。那 b m 等于 d e， 那 你想 b m 想要证明等于 d e， 这边呢？又是个折叠 bc， 又等于我们的叫做 b d， 然后这边我做了垂直，这个直角又和这个直角相等，那么这 占个全等就可以了。要证明这两个绿色的边相等，我只要占全等，我手上现在有什么信息呢？我手上有了信息全了，为什么呢？ 这还有两个角相等，这个大角等于我们的角叫做 a c， b 等于我们的角 d， 知道吧？好，我们简单说一下，因为我们的角叫做 a， 那 就是 m b c 等于我们的角 d。 第一个角相等，第二个呢，是我们的角 d e b 等于我们的角 b m， c 都等于九十度。第三个是折叠出来的 b d 等于我们的 b c 啊，当然我可能显得不是非常的严谨的格式哈，所以我们就知道三角形叫做 b e d 就 全等于三角形 b e d， 那 就是 c m b， 理由就自己写 a s， 应该是好，得到他俩全等之后，那我们就知道什么呢？那我这 b e 这个线段，你就可以写成叫 b m 加上个 me， 那 b m 就是 谁呢？ b e， 所以 就可以写成 d e 加上 m e 就是 谁呢？ m e 就是 两倍 a e 啊。所以最后问，其实考察这个全等啊，难度并不是很大。第二个问呢，相当于就是个反八了，相似，找到这个反八相似就可以了。好，再看到我们的最后一个， 最后一个呢，这道题呢，我非常像谁呢？就非常像，我们最近也是才考的啊，这个二六年的包河区一模的第十四题的最后一个问，那这是我们队友五点，做法几乎是一致的啊。第一问的话，我们就不讲了，直接就是看答案了。答案的话，第一问我记得给的数据是个负一吧，好像是 找一下哈，心占一模，心占一模 啊，是个负一，没错啊， c 的 值呢，等于我们的负一，然后第二个呢，他说存在个点， x 一 y 一， 这边的存在个点呢，叫 x 二 y 二，使得满足这样的信息的情况。 这个信息大家能看懂什么意思？这个信息不知我们初中学的初一学的叫什么呢？叫零零模型。 那什么叫零零模型呢？就是一个东西的平方，它具有非复性，那这个东西平方也具有非复性，两个非复性加加等于零，那只有一种可能性，那就是零加零等于零，所以我们首先先处理，我们就可以得到，得到什么东西呢？那就是 x 一 加上一个 y 二就要等于我们的零，以及呢，我们的 x 二加上个 y 一 也要等于我们的零，那么也就说明我们的 y 二可以写成负的 x 一， 然后呢，我们的 x 二可以写成叫做负的 y 一， 我所做的一切都是为了什么呢？还是我们讲做这种函数问题啊？还是一样你的核心思路就这种代数问题，第一步就是表示， 我们表示的目的呢，是为了消炎，因为字母越少越好，然后接下来最终是为了化解这个逻辑链不会变，所以你看，我现在呢，就可以把 y 二表示成负的 x 一， x 二表示成负的 y 一， 那我原本有一二三四四个字母， 现在相当于只有两个字母，而这两个字母，其实这两个点你上到高中以后，你稍微敏感一点就知道这两个点其实关于我们的 y 零负， x 加 m 上，这样做是 ok 的， 你想不到没有关系 带入吗？是吧？他现在说这两个点是个对 o 点，那我就带进去了。那第一个我们先把 a， 他 告诉我们等于一哈， a 等于一的话，那我们这个抛物线呢，就可以写一下了。 对于第一个而言，那就是 y 等于 x 平方加二， x 再减一，是的吧，我们先把 x 一 y 一 带入， 那就是 y 一 等于我们的 x 一 的平方加两倍的 x 一， 再减一，再把我们的 y 二 x 二代入，那就 y 二等于 x 二的平方减两倍的 x 二再减一，加两倍的 x 二。别忘了刚讲的我刚讲什么东西呢？ y 二可以写成谁呢？ y 二可以写成负 x 一， 所以这个式子 y 二写成负， x 一 等于 x 二可以写成负的 y 一， 那不就是 y 一 的平方了？ 再加上一个两倍的 x 二，那就是减两倍的 y 一 了，再减去个一。好，这是一式，这才是我们二式。我们拿一式和二式相减，就可以到左边，那就是 y 一， 减负的 x 一， 那就是 x 一， 加上个 y 一 等于右边，那就是 x 一 的平方。减去个 y 一 的平方，再加上一个，这边就是两倍的 x 一， 加上个 y 一。 然后这样可以说先做个简单的一项，一项的话呢，就是 x 一 的平方。差公式展开，那就 x 一 减 y 一， 乘以个叫做 x 一， 加上个 y 一， 这边呢？再加上一个，这边一项移过去，那就是 x 一 加上个 y 一， 就要等于几呢？零。 所以这时候你就知道为什么题目要说 x 一 加 y 不 能等于零了，因为左边两边同除以 x 一 加 y 一， 同除以 x 加 y 一， 那就不是零，那说明我们 x 一 减 y 一 加一就要等于几呢？就要等于我们的零啊。这时我们就讲了，还是一样，你的目的就为了什么呢？表示， 那我的 y 一 呢，就可以写成 x 一 加上个一，就可以把它往这里一带，往哪个里面带呢？往我们的一式里面去一带，求出谁呢？求出我们的叫做 x 一 的结果，所以我们把它代入，那就变成了打个草稿，那就是 x 一 的平方加两倍的 x 一 减一，就要等于我们 x 一 加上一个移，移向移过来， 那就是 x 一 的平方，这边就是加 x 一 减二等于零，那就 x 一 加二乘一个叫做 x 一， 减一等于我们的零，所以我们算出来呢， x 一 就等于几呢？ x 一 等于我们的一，或者是 x 一 呢？等于我们的负二。那如果 x 一 等于我们的一的话， 就说它对应的 y 一 就是谁呢？ y 一 就是我们的二。如果 x 一 等于负二的话，那我们对应的 y 一 是谁呢？ y 一 就等于我们的叫做负一。所以你看他们俩正好就是我们的队友点，因为其上又是个对称的状态。如果你是一二， 那我们的 x 二， y 呢？就是我们的一。如果你是负二负一，那我的 x 二 y 二呢？就是我们的一二啊。所以这样的话题目求的反正是那一对队友点，所以我们队友点 就是谁呢？就是我们的一二和我们的叫做负二。负一。好，这是我们的第一问。再来看到我们的第二问，套路也是一样的，只要把你刚刚所有的 a 带回去就可以了，不要那个 a， 就 相当于把这个地方的所有刚刚的 a 都变没有了，所以我们刚刚那个 a 一 改成 a 就 得了。所以还是一样，我们正常带入，我们先把 x 一 y 给它带进去，那就是 y 一。 对于第二个问而言， y 一 现在就是谁呢？ y 一 现在就是变成 a 倍的 x 一 的平方加两倍的 x 一， c 还是有的， c 还是负一， y 二就等于什么呢？就变成 a 倍的 x 二的平方加两倍的 x 二，再减这个一，那 y 二又进一步可以写成 y 二，就是负的 x 一 这边就等于 a 倍的 x 二，就可以写成负的 y 一 的平方，那就是 y 一 的平方，再减去两倍的 y 一， 再减这个一， 跟刚那个式子其实是一模一样，只是把这个 a 现在不知道了，去选了 a 而已。好，那还是一样，它叫三式，这叫四式，我们拿三式去减去个四式，就可以得到左边相减，那就是 x 一 加上个 y 一， 右边我们就直接写了，我们现在写顺手了，那就变成 a 倍的叫做 x 一 减 x 二。啊，不对， x 一 减 y 乘以 x 一 加上个 y 一， 这边呢，再加上个两倍的叫做 x 一 加 y 一， 是吧，这个套路都知道了，它俩可以消掉，这边呢是个零，这边二跟它消掉了， 然后呢，把所有人都有 x 一 加 y 一， 还是继续可以消掉，所以我们剩下的叫做 x 一 减这个 y 一， 再加上个一，等于我们的零。那这样的话，我们 y 一 就可以写成什么呢？一个项，那就是 x 一 减 y 一 呢，就要等于 a 除以负一除一个 a， 所以 y 一 呢，就可以写成 x 一 加上 a 分 之一， x 一 加上 a 分 之一。好，套路，也还是一模一样，把这个式子带到谁呢？带到我们的三式里面去啊，所以就变成了叫做 y 一 呢，就是 x 一 加上 a 等于我们的 a 倍的 x 一 的平方，再加上两倍的 x 一， 再减去个一。这个方程一定要干嘛呢？你可以这样去理解啊，这个方程一定要有解，而且呢，这个对偶点呢， 我们将刚讲了对偶点，它是关于我们的 y 等于 x 对 称的，但是呢，这个函数它有个特点，它 b 过一个点叫零负一，所以这个对偶点是不可能重合的 啊，因为你唯一的重合的机会就是零零啊，你是零零，我也是零零，这样的话我们俩能重合掉，那我们下一次的机会重合就不可能了。为什么呢？因为他避过一个点叫零负一，所以有这样的话，我们可以得到他就可以直接让单调大于零。 答案呢是进行分类讨论，先让单调等于等于零，因为他刚讲有解，然后再把单调等于零说，结果往里一带，发现他 不成立。为什么不成立？不成立的原因就是因为我们这函数必过一个点，叫零负一，你过零负一就不可能过零零，所以这两个点都有点，就不可能重合，也就说你的单调只能大于零， 这样的话我们就算出来他最终的结果啊，这个结果我就不算了，单调也比较好算，所以我们算出来结果 a 干嘛呢？ a 大 于我们的负的四分之五，但别忘了我这是什么呢？我这是个二次函数， 所以呢，题目也写了 a 呢，不能等于零啊。好了，这就咱们本期视频，感谢大家收看，我们下期再见。

这道题目是苏西场镇一模的第十一题。呃，有的同学是会比较害怕这种问题的，但是像这道题我们完全可以大刀直剪，我们就用间歇的方法全程去解决这个问题。 他告诉我们 l 一 和 l 二是垂直的，然后呢， a 在 l 一 上， b 在 l 二上面， ab 是 垂直于 l 一 的。在这里我们不妨先画一个长方体出来，然后呢，因为长方体他自己就会有互相垂直的这个线段，所以在这里我们就以他这条边为 l 一， 以他这条边为 l 二， 那么我们就可以把图画出来了。他说 a 在 l 一 上， b 在 l 二上，并且 ab 还垂直于 l 一 和 l 二，那么我们就可以找这个顶点为 a 点，找这个顶点为 b 点。 好，继续。他说 p 点和 q 点分别在 l 一 和 l 二上，我不清楚他的位置，我们把它点一下就可以了。那么他说四点并不共面， o 点是 p q 的 一个中点，告诉我们 ab 的 长度等于二， p q 的 长度等于四，那么这里我们就可以直接去进行一个间隙。 好，我们以它为 z 轴，以它为 x 轴，以它为 y 轴。接下来我们就只需要去写点坐标就可以了。好，我来写一下点坐标 b 点坐标零零零， a 点坐标零二零 q 点坐标。不知道。我们可以假设为 a 逗号，零逗号，零 p 点坐标，我们可以假设为零逗号二逗号 m。 由于 p q 的 长度是等于四的，所以我们可以得到 a 的 平方加上一个四，加上一个 m 的 平方是等于十六的，也就是 a 方加上 m 方 是等于十二的。我们来看题，第一问，他说当 ap 等于二的时候，当 ap 等于二的时候，也就意味着我的这个 m 应该是等于二的，所以此时我们就可以判断出 p 点的坐标就是零，逗号二，逗号二， 好。然后呢？他问我们 b q 的 长度，由于我们知道了 m 是 等于二的，所以我们就可以推到 n 是 等于二，得四，二根号二，好， 那么在这里我们就可以得到 q 点的坐标是二根号二，逗号零，逗号零，那么我们就可以得到 b q 的 一个距离就等于二根号二，所以 a 选项就结束了，再来 b 选项 b 选项。他说当 a p 等于二的时候，那么条件是一样的。他要我问我们 ab 和 p q 所成的夹角，那么我们可以先写 ab 向量， ab 向量 b 点减 a 点就是零，逗号负二逗号零，好，再写 p q 向量， p q 向量就是 q 点减 p 点二根号二，逗号负二，逗号负二，所以我们就可以算它的一个 cosine theta 就 等于上面是两个向量相乘，就等于四，下面是魔乘以魔二乘以一个根号下 八加四加四，所以我们算下来它就等于好，下面是二分之一好，那么 cosine 六十度等于二分之一，所以没有问题， b 选项是正确的。好，再来我们来看 c 选项， c 选项的话，我们就需要去写到这个 o 点的坐标了， o 点是 p q 的 一个中点， 所以 o 点坐标它可以写为二分之 a 逗号 e 逗号二分之 m， 那 么它到直线 ab 的 一个距离， 我们可以这么去计算，我们可以连接一下 p q， 找到它的一个中点 o 点，我们可以过 o 点往下做垂线，然后连接它，连接它啊，那么这里的话，我们就可以算出这一段就是 o 点到 a b 的 一个距离，所以这个距离 d， 它就可以写成，这里是二分之 m， 这里是二分之 n， 它就可以写成二分之 m 的 平方，加上二分之零的平方再开根，所以就等于根号三，它是正确的 d 选项。我们算体积的时候，可以以 p 点为顶点，然后以 abq 为底面，那么我们计算的时候，它是三分之一个底面积啊，底面积的话就是二分之一个二，再乘以一个 啊 q 点的这个长度 n， 然后再乘一个高，高是 m， 所以 它写下来之后就等于三分之一个 m 啊，我们怎么去求 m 的 最大值？可以利用基本不等式 m 方加赢方大于等于两倍的根号下 m 方赢方， 所以我们就可以得到 m 赢是小于等于六的，所以它是小于等于二的，所以 d 选项就错了。这道题目选 abc， 大家学会了没有？

我们说中考数学当中菱形当中的动点最值问题，一直是同学们丢分最多的一个题型，如果你想在中考数学当中达到一百一十分以上，那么菱形当中的动点最值问题 这一类题你一定要拿下。上个视频我们针对这道题，我们用了费麻点的解决方式来梳理这道题，今天我们用另一种方法来 破解这个，今天我们用另一种方法来破解这道题来。我们说看到线段相加的最小值，我们要想到一共有三种方法，一个是两点之间线段最短，一个是点到直线的距离垂线段最短。第三个就是配方，那么 无论是两点之间线段最短，还是点到直线的距离垂线段最短，他们的本质都是共线，也就是说让几个我们要求的线段共线。 所以说当我们遇到这类题的时候，我们想我们的第一个想法一定是让他们共线，再去用我们刚才说的那三种方法去解决掉它。 那上一节我们讲的费马点，因为三条线段相加的最小值，我们第一个肯定是想的费马点，第二种方法是什么？也就是说我们能不能把这三条线段相加变成两条线段相加，再用那三种方式去解决掉它。来我们看 首先我们如果想要把这三条线段相加进行变形，我们一定离不开的是什么？一定离不开的是菱形的性质，那菱形有什么性质？其实菱形的性质很多，今天我们主要用到的是什么？对角线，菱形当中对角线所在的直线 一定是这个菱形的对称轴，既然是对称轴来我们看 m d 加 mb， m 点在 a、 c 上运动，那么 m、 d 加 mb， 我 们怎么把它变形？ 怎么变形来？聪明的同学一眼就能看出来 m、 d 是 等于 mb 的， 因为 a、 c 所在的直线就是这个菱形的对角线来，我们看 a、 d 等于 ab， am 等于 am。 既然 ac 所在直线是菱形的对称轴，那么 ac 一定平分角， b、 a、 d 对 角线平分一组对角也是菱形性质当中的一个，那么三角形 a、 m、 d 一定全等于三角形 a m b， m b 等于 m d 了，那 m a 加 m b 加 m d， 是 不是就等于 m a 加上二倍的 m d 了？那我把 m b 加 m d 变成二倍的 m d， 那 三条线段相加的和，我们就变成两条线段相加的和两条线段相加，让他们勾线就可以了。但是我们这有系数，有系数怎么办？那我看看我能不能把它也变成谁的二倍呗。 为什么这么考虑？因为我们这有个角没用上，我们一定要把所有的条件用尽。角 a、 b、 c 等于一百二十度，那么角 b、 a、 d 一定等于六十度， b， a、 d 等于六十度，那么 c a、 b 角 c、 a、 b 一定等于三十角， d， a、 m 一定都一定等于三十。那三十度角出现了，我们会想到什么呢？本能反应一定是在直角三角形当中，斜边的中线 等于斜边的一半。在直角三角形中，三十度所对的直角边等于斜边的一半。那么此时 am 是不是就等于二倍的 m h？ 也就是说， 此时 m a 加 m b 加 m d， 我 们就转化成二倍的 m h 加上二倍的 m d， 我 把二提出来，二倍的 m h 加上 m d。 聪明的你到这一定会做了吧？来， 两点之间是不是线段最短呢？无论 m 点在 a c 上哪个位置运动，那么 m m d 加 m h 的 最小值一定是 m h， m 和 h 之间的连线，并且 m h 垂直于 ab。 那么为什么说 d h 一定要垂直 ab 的 时候， d h 才是 m d 加 m h 的 最小值呢？首先我们说两点之间线段最短，那么 m h 一定是 m d 加 m h 的 最小值， 对吧？但是 h 点随着 m 的 运动而运动， h 点的运动轨迹是什么？一定是 ab 所在的直线呢， 对吧？那么现在两点之间线段最短了， b 是 定点，然后 b h 的 长度随着 h 点的运动而运动， b h b h， 那 b h 什么时候最短呢？这个就涉及到我们说的点到直线的距离。 垂线段最短，那此时 m h 垂直 ab 的 时候，它就是最小值， 大家听懂了没？那么这个时候 m h 怎么求啊？这个时候就好求了，边长为六，这个角是六十度，这是垂直，那这个角是三十度。三十度所对的直角边等于斜边的一半，那 a h 等于三，那么 d h d h 就 等于三倍根号二，那么我们要求的二倍的 m h 加上 m d 就 等于六倍根号二。 这道题周老师讲明白没？如果你有动点坠职问题或者与中考压轴有关的问题，可以评论区留言或者后台私信周老师。今天的这节课就上到这，更多精彩内容我们下个视频见。

初三的几何当中，周老师发现同学们都存在一个普遍性的一个问题，那就是遇到了等腰直角三角形，他不会用。同学们遇到等腰直角三角形，往往想到的都是 三线合一，两者角边相等，然后斜边的中线等于斜边的一半。要知道在初三的几何当中，你只会这些基本的操作方法，那是远远不够用的。那周老师今天用一道一模的考试题带大家看看等腰直角三角形究竟怎么用 来。我们说初中几何当中，周老师说过，一共分四大层次，第一个层次就是你要学会全等边角、边角、边角、边角这些全等方法，第二个是如何用辅助线绕住我们来解析，第三个就是那些模型， 一线三垂直、破锣、磨机多废麻、点手、拉手等等这些模型。第四个就是构造三角形。大家做题做多了之后，大家就会有一个普遍的认知，也就是说不管是全等三角形辅助线的应用，还是三角形的那些模型，其实都是为了 构造三角形做铺垫的，也就是说都是构造三角形的基础，也就是说我们三角形的终点就是构造三角形。那构造三角形的本质是什么呢？其实就是几何变换， 那我们初中几何变换一共有几种呢？有三种，第一个平移，第二对称，第三旋转。既然说到这了，那我就要提醒一下现在八下的同学，当你学到几何变换这三个 内容的时候，一定不要掉以轻心，一定不要小看这几个知识点，认为这个内容才是全等三角形的根本。要直角三角形的应用，那主要怎么应用呢？首先我们举例子说一条线段和另一条线段相等且垂直。 周老师在前几期视频讲了，平移有什么好处？平移的第一个好处就是它会给我们创造一个平行四边形，我把线段 a、 b 平移下来，那么 c 对 和 ab 平行且相等。既然平行且相等，那我们连接 a 对， 那这个四边形是平行四边形。如果啊，其中一个内角是九十度，并且有两条邻边相，那么这个平行四边形是正方形， 这是平移的第一个好处。第二个好处就是说，我们把线段平移出来之后，线段不止相等，而且 这两个线段的夹角还不变。也就是说，如果遇到两条线段相等俩角还一定要想到平移。平移之后，不仅两条线段相等，而且还保护了两条线段之间的夹角，这是平移的好处。对称呢，如果说 给你两条线段相等，夹角还是九十度，如果说让你把 a、 b 和 b、 c 重合， 我们怎么办呢？用对称可不可以？可以，只要我们连接 a、 c 过 b 点做 a、 c 的 垂线，因为 a、 b 等于 b、 c， 那 么 b、 d 一定垂直平分 a、 c， 那 么 b、 d 一定是线段 a、 c 的 垂直平分线。此时我只要让线段 a、 b 关于 b、 d 的 对称，我们就可以得到 a、 c 和 b、 c 的 重合了。那第三点，旋转能不能让 a、 b 和 b、 c 重合？可以啊，我只要绕着点 b 将线段 a、 b 逆时针旋转九十度，那么 a、 b 和 b、 c 就 重合了。有的同学就问了，为什么非得让他们重合呀？ 这就是等腰直角三角形的一个高端的应用，很多题型当中，只有让等腰直角三角形的两边重合，我们才能有下一步的解法来。当你做旋转的时候，一定一定不能单纯的只旋转 这个直角边，你一定把这个直角边所带的三角形一起给它旋转过来，这就是很多题型当中的一个高端的应用。好，我们现在看这道题， 正方形 abc 这种， be 等于 ab 等于 ab， 垂直于 ef， 垂直于 ef， be 等于五， c、 n 等于八，让我们求 c、 e 的 长度，首先看 b， e 等于 d、 f 这两条相等的线段没在同一条直线上，那我们把这种题型称为逆等线的题型，逆等线的题型一定是出三非常非常重要而且非常难的一个题型。 之后周老师会专门出视频来讲解这种题型来。我们说遇到逆等线的题型，我们有几种做法，第一种，我们通过平移把两条线段 挪到一起，让他们产生联系，然后根据已知条件我们去解这道题。第二种就是通过旋转使两条 相等的线段从何或者说通，根据这两条线段我们构造全等三角形来解决这道题。今天我们用的方法就是第二种， 让以他俩为基础，我们构造全等三角形，怎么根据这两条线段相等，我们构造全等三角形呢？来，我们看 b、 e 等于 df， 正方形 a、 b、 c 类，它有什么性质呢？首先内角都等于九十度，其次 边长都相等，当然正方形的性质不止这些，这道题我们能用上的就这两个条件，你看 b、 e 和 df 分 别和哪条线段产生联系了？ b、 e 和 ab 产生联系，夹角九十度， a、 f 和 a day 产生连角， a day， f 等于九十度，那么此时我只要连连接 a、 e、 a、 f， 那 么三角形 a、 b、 e 和三角形 a day、 f 是 不是全等？边角边，边角边，那他们两个就全等，全等之后， a、 e 等于 a f， b 等于五呢？ f 也等于。我们再看全等之后，角一是不是等于角？二来角一加这个大角是不是等于九十度，对不？那角二加这个大角一定也等于 九十度。那么此时我们是不是得到了一个等腰直角三角形 a， e、 f 看到等腰直角三角形了，我们再看下一个条件， a、 n 垂直于 e、 f 等腰直角三角形。斜边上的高 等于斜边的中线，还等于上面的顶角的角平分线，那么此时 a、 n 是 不是就是线段 e、 f 的 垂直平分线了？那既然看到垂直平分线，那想到垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两短距离相等，那么 顺势连接 e、 n， 那 此时 e、 n 是 不是就等于 n f， 那 么让我们求的是 c e， 我 直接设 c e 等于 x， 那 c e 等于 x， dc 是 不是就等于 x 加五，那么 c d 是 不是就等于 x 加上五，然后 c n 等于八，我们能不能求出 d n， d， n 是 不是就等于 c d g n c n c a 等于 x 加五， c n 等于八，那么 d， n 是 不是就等于 x 减三， d n 等于 x 减三，那么 fn 是 不是就是等于 x 减三加五等于 x 加上二了，那么 fn 又等于什么呢？ fn 是 不是等于 e n， 那 么 e， n 是 不是就等于 x 加上二？那么现在我们要求的 x 都在这个直角三角形里了，那我们是不是非常好求了？ x 加上二括号， y 的 平方等于八的平方，加上 x 的 平方， 这个会解了吧？ x 方加上四， x 加上四等于六十四加上 x 的 平方， x 的 平方 x 的 平方约掉四， x 等于六十， x 等于十五。 这道题周老师讲明白没？如果你有中考几何压轴题的问题，可以后台联系周老师，也可以评论区留言，这节课就讲到这，更多精彩内容，我们下个视频见。

老师，关于我才如果临终尚出现，听说咱儿子一模，一模很年啊！嗯，屏幕前的如果，家长请注意啊，我们初三一模已经结束有几天，目前根据孩子的反馈， 如皋地区的一模试卷整体难度还是可以的，这种情况很正常，按照往年的经验来讲，一模的试卷都不简单。陈老师这边整理了各区县的一模试卷，我们也去分析了，的确有难度。陈老师这里再给大家提个醒， 我们的家长和孩子心态一定要放平，不要因为这次考试的分数搞得特别慌张，特别焦虑。 陈老师给大家一个建议，英模的成绩我们不不要看分数，记住要看排名，分数可能不怎么样， 但是我们还是要参照全市的排名来看，因为在最后的录取，我们是按照名次来录取的。第二，我们当下要的是好好复盘，通过这次考试 去发现问题，及时解决问题，在接下来还有不到五十天的时间里面，好好复习，去解决知识漏洞，积极面对接下来的二模、三模的考试。比如说这个五一假期，我们就可以安排孩子去练一练其他缺陷的 一模实践，去了解一下他们的题型。那么我们要让孩子通过一模、二模、三模，让问题被发现并去解决问题。 那陈老师在这里希望我们孩子在一模、二模、三模考试中成绩能稳固提升。第三，陈老师给初一、初二的家长和孩子一个建议， 通过初三的一模考试，我们可以看出，孩子如果他没有自学能力，没有时间去攻克压轴题，一旦考试试卷变难， 他的分数可能就会不理想，那所以陈老师建议大家，特别是初一、初二的孩子，现在一定要去培养自己的一个自主学习能力。最后陈老师祝愿今年的考生都能考取一个好成绩，加油！

按年不见，甚是想念，今天就拿一道解析几何大题开开胃，各位请暂停看题。 第一小问就不详细说了，我们来看第二小问。对于求轨迹问题，我们看条件，没有终点中心等可以联络轨迹也没有定义可用，那么我们直接设 mx y， 用两点距离公式就能求出 m 的 轨迹，然后再用圆面积公式即可写出面积。我们重点讲一下第三问，首先先画图，图像就是这样，这个时候应该找解析切入点，我们可以看到 i o e l 二都是切线，看到切线我们就要条件反射， dota 等于零，那我们怎么设直线呢？到底是点斜式还是斜截式呢？其实二者皆可，因为斜截式还需要带入 p 点，不够简洁直白，所以我们设点斜式，然后就是连力得到新式方程， 然后就是计算 delta， 这个就是 k 和 x y 的 关系式了。有的人会想到用求根公式求出 k， 但是我们看题目要求正 k 一 加 k 二，立刻就能想到维达定律，然后把 k 零等于 y 比 x 代入得出来这个式子。 那么我们怎么化简呢？注意我们的 p 是 在圆上的，那么就可以用 x 方来表示 y 方，最后得出 k 零乘 k 一 加 k 二的和式负二。 我们来总结一下这道题，首先是设方程，这个用点斜式或者斜截式都行，有兴趣的同学可以用斜截式算一下。其次是相切，推出 delta 等于零。 然后就是注意到化简之后是关于 k 的 二次方程，根据题目想到为答，最后最关键的一步就是计算， 虽然解析几何很难算，但是只要静下心来，没有什么是算不出的，就像生活中的苦恼一样，只要静心思考，没有什么愁是解不开的。 感谢各位观看家常版满碎教学，谢谢各位的关注和支持，如果各位有什么想法，也欢迎加入我的粉丝群讨论。

同学们好，我们圆的辅助线系列课程前面已经讲完了连、半径 造等腰垂径定里直径造、直角的三大模型。今天我们就来收尾最后重中之重的考点，圆切线判定辅助线的做法。 整个圆的四大辅助线方法到今天就全部完结，而切线相关辅助线也是中考几何大题最高频必考的内容。我们今天专门吃透模型四与圆的切线有关的辅助线。 很多同学不会画切线证明的辅助线，其实就两句万能口诀，直接背下来， 有焦点连半径正垂直，无焦点做垂直正半径。也就是题里面直线和圆已经有公共点，我们就连接圆心和这个焦点去证明线段和直线垂直。 没有公共点，我们就过圆心向垂直线做垂线，证明垂线段的长度等于半径。我们直接来看这道中考经典大题，第一问求证 这条直线是圆 o 的 切线，刚好就对应我们今天的口诀，直线和圆有公共点 d， 我 们直接连接 o d 去证明 o d 垂直， d h 就 可以完美正出切线。 掌握了这个辅助线思路，后面第二问的线段长度计算也就顺势能解开。至此，初中语文全部四大辅助线模型就全部讲完了。

好几何快，但是稳，心里还能提直畅。大家好，我是双擎数学邵老师啊，那今天呢啊，我给大家再次深入的研究一下西城的这个阴谋的几何综合，很多同学反应 很难啊，但是呢，今天呢，我在这个视频啊，这个靠后的位置，大家呢可以往如果着急看他的方法的话，就往后翻啊，我会给你提供他的第二问的啊，多种快速秒杀的方法啊。 当然呢，哎，这道题呢，我这个视频呢，主要是想给大家呢，再次通过新城区的这道几宗题呢，进行一个深入的探究， 看看通过这道题对我们接下来啊各位同学在几何综合的复习这块啊，还有哪些启示啊，所以呢，这个视频呢，可能会比较长，前面呢会对几何综合考察的一些热点的方向呢，去进行一个深入的挖掘 啊。最后呢，我会给大家提供啊，六种啊，目前的啊一些答题方法啊，当然我相信其实像几何综合一道题有十几种做法非常正常，也欢迎呢咱们各位同学家长，包括同行啊，在留言区啊，这个批评指正， ok， 好， 那这道题呢，题目条件各方面我就不读了啊，因为大家现在应该比较清楚了，而且我今天呢，重点就讲他的这个括号二，这个第二问， ok 啊，那么在这道题目当中呢，我想跟大家一起研究啊，首先先研究几个点啊， 第一个想要研究的点就是关于角度的这个理解啊，很多同学呢，在这个做几宗题的时候，往往对于角度这种条件呢，不是那么的敏感 啊，因为边呢，往往一标哎，比如说这道题 a b 等于 a c 是 吧，你一标这个边长相等，哎，他就比较醒目的提醒着我们啊，不管是哎用颜色去标啊，还是你标这种啊，斜杠啊等等 啊，但是角度这个呢，一个是有很多同学都没有标角的习惯啊，很多同学标角都这么标，一个圆弧代表一切是吧？啊，所以呢，往往很多同学不够重视它 啊，那么在这里面通过这道题呢，哎，我对角度这块呢，有这样的一些这个建议或者提示给到大家啊，第一个呢，就是关于主角角的这个概念啊，这也是咱们双题呢原创的一种说法啊，咱们呢，提出了主角，三角前有主角角，主角角什么意思？一般来讲， 题目中给某个角取一个名字，那你想想，它其实不是为了重点介绍介绍这个角 b a c 根本能理解吗？它其实为了重点介绍的是这个 alpha， 各位同学你体会体会啊啊，它就告诉你， alpha 在 这个题目中的角度当中，它占的地位是极高的啊，为什么要给它叫叫做 alpha？ 那 就意味着这道题的很多其他角都可以用这个字母给它表示出来， 这样的话，他可以串联起整个这个题目中的很多的其他角， ok， 所以呢，通常呢，这种的主角角，我们呢，第一个要标图传染啊，第二个要关注这个角度的关联性 啊，咱们叫同角 b 关联，对不对？比如说你有标阿尔法的，哎，有标二阿尔法的，有标二分之阿尔法的，这有背角关系，对吧？你可能还会标九十度减阿尔法的互余关系，是吧？哎，然后看到阿尔法，如果题目中还有一百八十度减二阿尔法，往往就会有 这种 r 为底角的等腰三角形，这叫哎，主角角的关联性哎，各位同学，你不信你可以翻一翻其他的带有这种 r 角的题目，你去验证一下是不是这样的 啊，所以在这里面的话，我们一定要标图传染，把能跟他相关的这个角度，尽量的都去确认一遍啊，都去过一遍， ok 啊，这就是关于这个主角角的理解啊，像这道题当中，哎，有一个非常重要的跟他关联的这个角，就是这个角是个阿法， 对吧？因为他后面有个平行线啊，平行线，那这个角的阿法在这道题的证明过程中啊，对全等这块啊，这个起着非常关键的作用。 好好，第二个，这道题呢，还有一个角度呢，就是这个 c i q 等于角 a p c 啊，这种呢，给两个啊，两个隔着老远的十万八千里的，这这样的两个角是吧， 那通常来讲，他就是我们造全等的重要素材啊，要么这两个角就是某两个全等三角形的对应角了，要么呢，哎，通过他们再找到第三者啊，比如说这道题，大家如果细细的挖掘，还能发现这样一个贝塔， 对吧？哎，那这样一来，这道题这个贝塔和这个贝塔之间的这种关联性就极强啊，除了这两个贝塔的补角也是相等的 啊，这两个补角的相等，对这道题的这个证明呢，也是有哎，很大的价值的啊，所以要充分的标图传染，把它开发透。 当然，这道题关于角度这块，还提供了像垂直呀，像平行啊等等这些非常常见的传染角的工具啊，咱们对这些可以倒角的工具特别敏感 啊。最后呢也提醒大家一下，虽然这道题呢没有重点考察，那还有可能是用了一次全等以后，再利用全等的对应角相等进一步转化啊，特别是我们最常见的这个几个全等工具，比如说 旋转的啊，这个全等，还有对应边的加角等于旋转角这样的关系是吧，哎，八字全等有平行线是吧？等等，这些大家要关注。 总之在这个角度这块，各位同学，如果你通过这道题哎进行了这种做题，并且进行了一些研究以后， 能不能对这个角度形成自己的一个总结，或形成自己的一个框架笔记，对吧？啊，我们建议大家有啊，那从这里面，哎，我再次啊理解了一下，那我发现就是首先乞丐中给的角度通常都是为了这个权的 来进行服务的。大部分情况是这样的，因为咱们这二十七题基本上就是要考全等的啊，所以给的这些关系不一定是直接就能用的，当然有可能直接能用 啊，我们一定要通过做集中的最基本的习惯叫做标图传染啊，再结合在我们熟悉的工具去灵活使用，那为什么要标图传染，因为角度最容易被我们忽略，只有你才能把它用的准，用的明白 啊。比如说这道题目中的关于贝塔，大家有没有发现我标出来的这个靠下的这个贝塔这个角啊，这个在后面的我的几种方法当中啊，起着非常重要的作用，有些方法就是得看一看，看到这里有个贝塔角才能想的清楚，想的明白， 好，这就是这道题的第一个啊，这个探求点，其实我的探求点就是价值点啊，就是大家看看通过这道题能不能让你对于角的理解，哎，又上了一个台阶，上了一个层次啊。 好，第二个，这道题的这个探求点是什么呢？是垂直哎，有同事说，垂直有什么好探求的对吧？标个直角，然后去倒角吗？护于角吗？ 确实有一些垂直就是给我们用来倒角用的，但是对于垂直这个条件来讲，他背后的东西可太多了 啊，很多同学往往看到垂直以后，没有深入的去想啊，比如说看到垂直，对吧？他是不是有直角三角形 啊？像咱们这个图当中有 dcp， 有 bcd 是 吧？有 acd 啊，一系列的这个直角三角形，那么这些直角三角形出现了，我们就可以用 勾股定律，斜变中线，哎，等等这样的工具是吧？这是直角三角形天生自带的啊，天生自带的，所以而这些工具的话，往往它不是那么显眼，它不是两个对应边相等那种，那么明显的摆在眼前， 都是背后要去再挖一层的，所以有些同学呢，往往看不透他啊，那再一个，哎，直角这个条件各位一定要重视，他有一个非常非常重要的热点的考点， ok 啊，叫做直角补等腰。那么很多同学对于直角补等腰的理解，他停留在补完等腰，会有旋转的手拉手，其实不只是这样 啊，这个咱们呢，在二三年中考有直角不等腰，补完以后旋转手拉手，对吧？哎，咱们二五年中考也是直角不等腰，补完了以后旋转手拉手，各位同学可以自己去翻一下啊，我就不给大家看图了啊 啊！然后呢，像这个今年的海淀一模也有直角补断腰， ok， 但那个补完以后就不一定是找一个旋转圈的，同样，咱们这个题目也可以直角补断腰，而且你看到因为他有三个直角三角形，理论上来讲可能有三种补法，是吧？啊，所以就带来了这种复杂性， 那么这个时候我们要想明白，我为什么要补等腰啊？直角补等腰是为了得到全等工具，而且我们会发现，咱们双体总结的四大全等工具，他都能找到 第一个，哎，补出等腰以后，等腰自带共端等长，是吧？哎，共端等长就意味着有旋转全等啊，各位体会一下啊，体会一下，比如说我把这个，这个，这个 c d p， 哎，我补成一个等腰，哎，变成了一个这样的一个等腰三角形，这就共端对称，是吧？并且补的时候呢，可以往上补，也可能往下补， 各位一定要看清楚，对吧？我也可以，甚至还可以这么补啊！同样，我在这里面也可以把这个 a、 c 这个边往往右边补，往往是一种非常常见的处理方法， 对吧？啊，当然也可能是往下面补，对吧？哎，这些都是他非常有可能的一些直角补等腰的补法，所以一个直角出来，咱们有多种补等腰的方向，而且补完以后，这些等腰往往首先都有自带边等，有旋转圈等 好。其次呢，直角补了一个等腰啊，为了方便看，我还是选择中间的这个小的啊。补完等腰以后，大家看，这里就有轴对称 啊，它自带这三线合一是吧？啊，如果是三线合一，就自带一个终点关系，所以你看，我要往左边，比如说补一个这个 d f 和 d p 相等，是吧？哎，那就显然 d 就是 一个新的终点 啊，终点就背后可以用八中斜三是吧？哎，同样，哎，这里面有一个轴对称的结构对吧？哎，这个白塔角就可以跑到这个白塔这个地方啊，好，再一个呢，就是他有可能直角补完等腰干嘛呢？就只是给你提供一对边等 啊，你只要利用这个边等去作为其他全等的转化一种普通全等，所以后面可能用照猫画猫 啊，咱们这道题也会存在一种这样的做法，所以关于这个点，我相信各位同学通过刚才我给大家的一个描述，应该开始重视了啊，所以垂直或者说九十度可能是最容易被咱们忽略的一个热点条件， ok 啊，这里面千万不要只是标一个直角符号，甚至有时候题目都已经标好了，你都不管他啊，这我认为，哎，我给他这个加一个属性，他可能是一个典型的叫做扮猪吃老虎的条件， ok， 看起来这种人畜无害的，但其实背后你看隐藏的四大工具全部都能从他背后挖出来， 是吧？所以面对垂直这个条件，我建议各位同学做做一个轻探索，哎，就是我一看到这个垂直了，首先看背后有几个支教三角形啊， 对吧？哎，所以潜在的边的勾股定律的关系啊，如果计算就勾股定律对不对啊？潜在的斜边中线你都可以看一眼啊，然后呢，这里可能往哪个方向去补等腰啊，哎，补完了以后，大概有个什么效果呀？先稍微建立一个直观的感受 啊，所以快速确认一下，这个叫浅探索，这样你有个印象，一会呢，信息多了啊，再去想，从这个条件去开发，是比较容易开发的。 ok， 好，这是这道题的啊，第二个，哎，值得我们深入思考的啊。当然呢，哎，大家可能有更多的更好的一些想法，也欢迎大家啊，在这个视频后面留言去啊，我们进行交流。第三个，就这道题，是个很好的探讨终点的一个啊，一个题目 终点呢？首先呢，咱们呢，跟同学们讲过很多遍，看到终点就是八中斜三八字全等啊，就所谓的背长中线是吧啊，然后中位线，斜边中线，三线合一， ok， 那 这道题呢，它的终点信号其实就很多，对吧？哎，除了题目中给的一个明显的意识，终点意识 ap 终点啊，包括刚刚说的这个直角不等腰以后，这个 d 很 有可能就是个终点 啊，很有可能是终点，所以这里面终点的线画很多的啊。另外就是这个里面，如果看到两条线段有两倍关系，这道题呢，我们可以猜 b q 等于二倍的定义对不对？ 哪怕题目中没有终点，结论中出现这种两倍的线段数量，这两条线段可能隔着十万八千里没管点，他往往背后也会藏在终点， 因为你说这两倍线段怎么出来呢？对不对？最快的，最容易得到两倍线段的，往往就是终点是不是？当然，如果题目中有三六九啊，或者什么呢，又是可能另外的可能了，但大部分情况下，这个背后都有终点， ok， 好， 那再一个就是这个刚才说的终点有八中斜三，各位要注意啊，终点背后的这个八中斜三这四个工具，他经常是组合拳 啊，经常会组合使用八字全等加中卫线啊，八字全等加三线合一等等。 ok， 这里面简单给大家画一个截个图来试一下啊，比如说啊，我们在这里面有一个终点的信信息， 对吧？哎，那么我们经常会看到有些题目，大家也不知道有没有见过啊，一个八字全等穿过这个终点， 同时呢，哎，这个八字圈的目的是什么呢？他为了让你得到的实际上是跟这个哎栏边相关的某一个某一个三线合一啊，因为这个三线合一呢，你又会发现他又有一个旋转圈的在这藏藏着，经常会啊， 当然这这这个不一定啊，有些题目经常会藏着一个旋转圈，等会什么样的啊，所以就这种叫组合拳， 对吧？哎，所以你看终点，你不要孤立的去看它，好啊，那么再一个就是关于这道题，关于终点的一个重要的启示啊，就是这道题的终点，很多同学看的会非常难受，因为这个终点在线段 ap 中的一部分， 是吧，这也是这道题很多时候做起来不舒服的地方。那其实如果你以后看到线段的一部分有终点，往往是再找一个终点，在这条线再找个终点，就出现了双中点结构。双中点结构，各位同学不用去记它的结乱 啊，初一的时候有的同学可能老师让记过啊，这个线段 a b 的 中点是啥？然后 a、 c 的 中点是啥？然后这两条线段啊，这两个中点连起来是哪条线的中点？不用去想，这里面就告诉大家，只要出现双中点就设参标点 啊，设参表示，各位能理解，就是对于一个双中点结构以后出来以后，他就是很容易用参数去表示他，比如说，这是 a 啊，这是 b， 对 不对？哎，假如 a、 b 有 个中点 c 啊，然后呢，我们在这里面再来一个一个一个中点，是吧？啊，比如说这个，这个里面这个 a d 再来个中点 e， 是 不是就很乱，对吧？哎，这个时候你去设参数去表示它，你发现就很简单啊。在这里面，比如说，哎，这个 d c 是 小 a 啊，这个是小 b， 对 吧？哎，那么 d e 就是 a 加 b， 那 a e 呢？也是 a 加 b 啊，那么这个时候 a c 呢？就是二 a 加 b 啊，所以 bc 就是 二 a 加 b， 哎，然后 b、 d 就是 二 a， 哎，你会发现这个 ec 就是 b、 d 的 一半， 对吧？这不用刻意记，就是这种射餐标边是非常好的处理双中点的，这个方法 ok 啊，所以这道题有没有通过这道题回头对咱们重点这块的这个认识又加强了呢？ 啊，又加成了， ok， 好， 那再一个啊，这道题呢，还有一个重要的探讨点啊，就价值点，就主角三角形这道题呢，同学们在实际考场上做的时候是感觉比较棘手的啊，那么这个我们有双题，有个独创的主角三角形技术 啊，什么叫主角三角形啊？任何一个三角形一定是有三个要素，这六个要素通常来讲只要有三个以上 啊，是跟条其他条件有关联的，或者跟结论有关联的，那这个三角形一般就是主角三角形了，就很有用了啊，甚至在某些时候有两个有用就已经很有用了。 ok， 那 这种三角形呢？通常叫主角三角形， 特别是如果这个三角形啊，他的这种有用的信息当中，既有跟条件中的核心工具关联的边或角，又有跟结论相关的边或角，那这个三角形基本就主角三角形。 ok， 他 是我们几种提速的关键，就是几何综合，有的同学不知道咋做，就在那里绕圈，绕圈绕圈 啊，绕圈就是没有目的，没有目标啊，你拿着一把利枪猎枪在在原始深里面走来走去，对吧？啊，你不知道打啥打什么啊，但是如果你知道主角三角形是你的目标，那你做题就快多了 啊，就像你打的时候，你知道你专门为了打兔子，你怎么去找兔子是吧？啊，你要去打鹿，你怎么去找鹿啊？所以主角三角形就是我们做这个几中的一个非常好的提速的技术。那么这道题呢，有一个非常非常好的三角形，主角三角形 啊，这个直角三角形，就是我们在下面的这个三角形， abm 啊， abq 啊，注意这个 m 和 q 很 容易混啊，为什么呢？首先看 ab 是 跟条件有关的，对吧？有 ab 等于 ac 这样的条件是吧？啊？然后呢， b q， 它是我们的结论边， 我们要证 b 口等于二分之一的，你看，这已经值两毛钱了啊，我们细称这个三角形三个边，三个角一共是六毛钱，这就有两毛钱了。好，然后呢，由平行线可以知道它里面有一个内角 r 三毛钱了吧。啊，由这个题目中这个角 和这个角相等，那么你会发现，这个角虽然没有直接标，但是跟条件给的两个一个主角角，一个给的等的角都有关联，所以呢，哎，是不是这个角也至少值半毛钱吧 啊，同时如果你关注到平行线，发现这是个贝塔的话啊，那这个角就是一百八减贝塔啊，那这个至少也值半毛钱吧，哼，所以这个这个三角形值三毛钱没没毛病吧？啊，那他确实是个主角三角形， ok， 这是个主角三线，围绕这个主角三线开发，是我们这道题非常快速的做法啊，那么接下来呢，哎，我给大家介绍介绍啊，这个我研究的几种这种做法啊，当然可能做法不止这些，但是呢，这些方法呢，主要是提供大家呢这个 探索使用啊，每个方法呢，我也做了一些简单的这个点评，大家来体会一下啊。啊，好，这道题呢，首先呢，就是主通过这个主角三角形来扩句 啊，这个主角三角形呢，给我们破局，主要是要通过一种照猫画猫的权的，但是呢，这个照猫画猫是不太好找的啊，那怎么办呢？你就需要找边和角的信息，而这道题主要是为了角的信号， 以及我们对于这个题目中直角不等腰的这个热点的敏感，就可以抓住这个方向啊，这个方法放在第一个说是因为主要是这个直角不等腰啊，是现在非常热点的一个方向啊，应该也是很多同学 尝试做辅助线的方向啊。 ok， 所以 我跟大家说一下，刚刚我已经说了，这个粉色阴影的三角形是个主角三角形很合理，对不对 啊？但是我怎么找这个全等呢？那你就观察他这里面有阿法角，有白塔减阿法角，对吧？哎，有白塔的补角， 所以还有红边，对吧？你要去构造，那要么就是在红边旁边构造，这道题可以啊，但是呢，一般同学不太容易想到那个方向，所以我放在后面说，要么就围绕这个角，哎，你会发现，白塔角旁边一百八十度减贝塔 这个一百八十减去的。而一旦同学们如果做了个直角，不等腰，就会发现，哎，这个红边就变成这个 c f 了， 对吧，并且阿法角也出来了啊，所以一下子就可以看出来，这个粉粉色的和这个青色阴影的两个三角形是一对全等三角形， 因为他们的三个内角都对应的啊，这个角也是北塔角啊，只要有一条边，那显然红边相等，所以不管是角边角还是角角边，都很轻松就可以挣出来这个全等了， ok， 所以 这就这道题目呢，非常快的一个方向啊。当然这个方向呢，有一个小难点，就是，哎，我们如果得到这个全等啊，我们会发现，这个 b q 呢，它是等于这个 f p 的，是吧？ 啊，这个 f p 怎么能等于这个 d e 的 两倍呢？啊？那这个时候你就要体会到，如果是共线的出现，这种隔着这个两倍的关系，一定是双中点， 所以呢，对于这个双中点的设参标编法，大家要特别熟悉，那在这里面我给大家再来一遍，是吧？啊，强化一下，一般来讲，设小的编，短的编啊，为那个小 a 小 b 啊，任意两个比较短的不等边，你设出来就行了，比如说，哎，这个 d e 是 a 啊，那 d p 是 b， 可以吧？啊，那因为 e 是 a p 的 中点，所以呢，这个 a e 呢，就是 a 加 b， 跟刚才一样，对不对？那这样一来，这个 a d 呢，就是二 a 加 b， 哎，然后呢，这个直角不等腰，有三线合一，这个 d f 就是 二 a 加 b， 对 吧？ 减去 d p 一个 b， 所以 这个 p f 就是 二 a， 也就是 d e 的 两倍，轻松出来了吧。 ok 啊，这就是双中点，咱们这个设餐标边的啊，常用处理方法，这也是咱们啊，今天给大家提供第一个思路啊，那第二个思路呢，也是围绕这个主角三角形 啊，只不过呢，在这里面我们直角不等腰呢，我不是像刚才那样啊，这个方法呢，也可以说是这道题所有证明方法当中，可以说是最简单的一个方法了啊，但是呢，这个方法呢，说实话啊，很多同学不太习惯往里面去，直角不等腰， 对不对啊？而我们会发现，因为这里面有贝塔是吧？啊，贝塔角跟这个粉色的三角形是有强关联啊，那如果我把这个 点 p 关于点 d 做一个中性对称啊，在就是在这里面截取一个 f 连接 c f， 那 这里面就出现了一个轴对称，那么贝塔就跑过来，所以这个角就是一百八减贝塔对吧， 而这个角是阿尔法，所以显然跟我们这个粉色的主角三角形角就对上号了啊，这个角是贝塔减阿尔法，对不对啊？而边呢，现成的 ab 等于 ac， 所以这个全等就出来啊，那这个全等出来了以后，咱们的这个 b q 是 吧？哎， b q 就 跟 a f 相等了， 那同样，这里面要证 af 是 这个 d e 的 两倍，也要去设参标啊，那么这里面同样我们设最小的那些部分啊，比如说 ef 是 a 啊， d f 是 b， 那 么 pd 就是 b， 那 么这个时候呢， p e 就是 a 加二 b， 对 吧？那 a e 呢？哎，也就是 a 加二 b， 对吧？ a e 就是 a 加二 b， 然后呢，我们这个要的 a f 是 不是就等于二 a 加二 b， 对 吧？然后呢，这个 d e 在 这个图里面是不是就小 a 加小 b， 所以 它俩是个两倍关系，轻松搞定， ok， 所以 这种设参啊，去处理双中点的方法非常之好用， ok 啊，那所以呢，这种方法呢，说实话啊，虽然是这个，这个 挺简单的一个做法啊，但是呢，这种内部去指导不准，要不是所有同学都很熟悉的一个方向啊，朋友们可以多去尝试，也就说在这个地垂直这个地方啊，我们可以任意去补，只要合理就补啊，当然， 好像把 c、 d、 b 补过来是不太行的，为什么呢？因为 c、 d、 b 当中没有啊，其他的有价值的边的，或者或者角的信号啊，所以补出来没有太大意义啊。 好，那接下来我跟大家说一下第三个思路啊，仍然围绕这个主角三角形，仍然是围绕主角三角形，怎么去构造？我们会发现，这个粉色的主角三角形有一百八减倍它角， 哎，在这个图形当中，现成的呢，就有一个红边，他这里面有个阿法角，但这个呢，有的同学不太好想，待会我提供另外一个思路也可以做啊，那么我们会发现，哎，如果往上做一个平行，这个就是阿法 啊，然后呢，这个地方就是被它减法，其实这种想法也可以用类似于一种轴对称的想法，因为 abc 是 个等腰三角形， 等腰就有轴对称是吧？啊，大家看吧，其实是相当于把粉色的三角形啊，沿着 bc 边上高所在的直线翻过去 啊，翻过去了，所以你如果啊对轴对称比较敏感，你也可以说这是一个轴对称的这个想法啊，其实这个想法我我我第一眼想的，当时是想试一试轴对称的工具能不能用啊，然后呢，哎，看出来 啊，那么这么翻出去以后的话，哎，咱们呢，这个 cf 就 跑到上面了啊，但是这个 cf 等于定义的两倍呢，哎，还需要你对这里面另外一个轴对称结构，就是有个等腰梯形，要稍微敏感一点 啊，因为这个角是贝塔，上下是平行的，对吧？啊，上下是平行的，所以这样一来，这就是一个等腰梯形，我们呢还需要呢，这个 这个再做一个啊， f 往下的垂线啊，正得这个左右的这两个小直角三角形全等之后， 得到中间这个 f c 啊，就是这个这个 d e 啊，这个这个就等于这个 b q 啊，然后呢，再根据意识终点等量减等量，就可以得到中间这两条线段，说明这个 c f 是 d e 的 两倍啊，也就是 b q c 的 两倍， ok 啊，这个呢，也是主角三角形，很容易切入啊，但这种对称的结构呢，我们不太熟啊，提供大家作为参考啊，各位一定要注意啊，我虽然讲几种方法，但最后我会跟大家说，我不推推荐大家啊，特别是同学们在平时 啊，去研究太多的一题多解。 ok 啊，那咱们各位家长同行老师啊，可以呢，这个多研究是吧？啊，咱们有时间啊，有精力啊。好， 那接下来呢，我们再来看看，如果我们对这个里面的条件比较敏感的话，我们还可以怎么做呢？那就是观察发现，只要你看到这边有一个贝塔角，这边有一个贝塔角， 哎，那你发现这里面就存在着两个直角三角形的全等直角三角形，那就是一个是这个粉色的和青色的直角三角形。 ok， 一个是我画紫色斜钢卷的这个直角三角形，那其实如果你看明白这个以后的话啊，这个当然需要对线段的这个关系呢，有一定的敏感度，你发现其实就是这两个边，一个是在 a d 这么长的基础上往外补一块，一个是在 a d 这么长的基础上往内收一块啊，所以最后一定可以得到两倍关系啊，对吧？那这个呢，同样咱们呢也要写一下啊，写一下就是这里的 a d 作为对应边，它应该等于这个 b f， 对吧？啊，那 a d 这个边它怎么回事呢啊？它在这里面我们要找到它这个 d e 啊，它是 a e 加上 d e， 对不对？而 b f 呢？ b f 呢？这条边啊，咱们看看它，它是 b q 加上加上 q f， 我 们先把目标的啊结论边先给它找出来，接下来再往这个方向转化啊，其中呢，意识中点是 a e 再写成 p e 加上 d e， 这个 b q 不 动，而 q f 作为全等的对应边，把它写成 d p， 对 吧？然后这个 p e 减去 d p， p e 减去 d p， 是 不是又是个 d e， 所以 是两个 d e 等于 b q， 哎，这就出来了。 这个说实话啊，这个方法整体来看也挺简单的，但这个线段关系，我认为很多同学在考场上是不太感觉到的啊，他对这个线段啊，是这么一回事啊，一个是过去， 这方面的经验不会太多啊，在考场上有压力的情况下，也挺难想到这个方向， ok 啊，所以呢，这个呢，大家可以参考一下啊。 好嘞，那我们会发现啊，在这里面，也就是说任何一个方法，你首先要有个关注点啊，知道基于什么去切入，因为直角三角形简单，所以呢，我们以直角三角切入，对吧？同样，如果我关注终点呢，因为这道有终点 啊，那终点也可以啊，那么围绕终点，我们可以开发相似啊，这个里面主要是对终点怎么用大家看，比如说这个 e 是 ap 的 终点 哎，在一的附近呢，还有直角三角形，所以在这里面的话，我们就可以综合利用。刚才说中点工具哎，它经常会组合使用，对吧？咱们只要取一个 c p 的 中点啊，那这样 e f 就是 a c 的 中位线， 它平行且等于 a c 的 一半，所以呢，这个 d f 啊，就是 pc 的 一半， 并且呢，这个角是 beta， 那 这个旁边这个角就一百八减 beta， 然后这个角就是 beta 减 alpha， 哎，所以这个小三角形的三个内角和这个大三角形的三个内角是不是完全一样的， 那也就意味着这个三角形 d e f， 它一定相似于三角形 q b a 对 不对？ 并且它其中的对应边 e f， 哎，和 a b 之比刚刚好是一比二， 所以这个 d e 就是 b q 的 一半，而且这个是不是也很简单啊， 当然，虽然简单，说实话啊，这个方法呢，相信同学们在考场上呢啊，不太敢用啊，因为我们都知道二十七题考察，我们主要考察的是全等是吧，所以像相似这种工具呢，是一些啊，呃，一个是对相似呢掌握的比较好， 同时呢，这对于这个图形的关系呢，结构呢，比较自信，就想到他必然的吗？这两个三角形他角都一样了吗？哎，并且有边是一比二的关系吗？ 啊，可以这么说，这方法应该是所有的证明方法当中可能是导边这个地方最简单的一个一个方向啊，但是呢，呃，确实说实话，虽然这个方法简单啊，也不是我第一优先推荐给同学们的啊，推荐的还是前两种这种做法好吧。 啊，那同样这道题呢，我们还可以有些其他的做法啊，比如说啊，咱们在这个里面啊，从结论出发，我就想找二 d e， 我 想有的同学考场上就这么想的 啊，我就找两倍 d e 行不行啊，我们把 d e 呢往左边去延长一下，其实这个没有辅助线，就取一个点是吧？啊，得到这个 f， 哎，这个 d f 就 要两倍， 那我怎么证 d f 和 b q 相等，同样利用 b q 所在三角形的角度关系，我们就可以强行的去做一个这样的构造啊，那就是在 f 这做一个 cp 的 平行线，那就有贝塔角啊，以及一百八减贝塔角是吧？啊， 在 d 这个地方呢，做一个阿帕角啊，然后呢交于点记啊，然后呢就连接 g a 啊，那这样一来的话，这个 青色的阴影的三角形就出来啊，剩下的话，我们需要呢，在这里面正一下，他得有一个边啊，得有一个边啊，这个里面的话啊，如果直接这么做辅助线去正 他，稍微有点麻烦，也不是不能正啊，所以呢，结结合刚才的这个分析，我们最后呢啊，可能做的辅助线是什么呢？是过 a 做一个 a g 垂直 ab， 并且跟 cd 相等 啊，然后呢，这个这个连接啊，在在这个里面再截取一个 a f 等于 d p 啊，然后连接先正这个紫色的全等，对吧啊，然后呢，这样一来，这个这个紫色小三角形全等了以后啊，我们呢通过这个关系呢， 可以得到这个大的啊，这个 a d g 和 c d a 也是全等的，所以这个阿发角也就出来了啊，然后呢红边也就出来了，最后再占这两个阴影的三个全等啊，这方法非常的复杂啊，那我之所以说一下是因为什么呢啊，这个方法就要讲一个道理， 就如果有同学想往这个方向去想，是不是因为考场上我们无法控制同学们的想法，是吧，很多同学都是基于某一个角度去想的，但是呢，其实在考场上我们是没有时间去想很多种方法的， 我的意思是，同学们只要在做题过程中你有想法，并且这个想法有一定的理性，特别是他跟其他的条件和结论的信息能整合在一块，这个想法通常就有用 啊，所以从我们考场上做几宗题，最怕的就是我不知道这个走法行不行，我们有个判断的标准，就是你是不是始终在用条件贴结论啊，就只要是不断的用条件贴结论的这种方向，他就可以， ok， 好， 那当然这道题肯定还有很多种做法啊，一道几宗题十几种非常正常啊，那我在这里面呢，也不给大家这个讲太多了 啊，啊，因为我认为我对这道题的研究目前还比较肤浅啊，那我把阶段的这个研究的成果啊总结跟大家再过一下。我认为通过这道题啊，我们得到的启示是，首先呢是几中，特别是啊，咱们这个备战中考同学 啊，不要因为这道题有一定的难度，然后呢就偏离他的方向啊，集中还是围绕最热点的这个考点和工具去进行开发啊，像咱们刚才讲的四大全等工具对不对啊？像咱们讲的主角三角形这些都是啊， 非常重要基础的啊，这种处理方法，这个还是最后一个阶段咱们复习的重点啊。第二个呢，这道题呢，我给大家讲了六种方法是吧？啊，但是 我不推荐咱们同学们啊，这个研究一题多解， ok， 研究一题多解的事留给老师干就行了是吧？啊，这个，为什么一旦你形成研究一题多解的这种 意识以后，你在考场上冷不丁的就会这个想想那个想想啊，结果选择多了，可能反而是弊大于利的，你反而不能坚定的从某条路走到终点， ok 啊，好，那再一个就是在这道题目中啊，提醒我们，对于这个直角不等腰这个热点的这个考点，还需要大家进一步深入的这个探讨啊，我相信呢，咱们呢各位老师啊，包括我们各位同学在平时做题中会刻意关注一下 啊，这个直角补等腰他是啊，二三二五年中考啊，像今年海淀西城都考到的这样的一个考考察的方向啊，并且补完等交以后，也不一定就是用旋转全等啊，也可能用它的角度关系，也可能用轴对称等等， 所以这个里面的话啊，是很有灵魂的一个应用的啊方向啊啊，所以值得我们各位同学多体会啊。嗯啊，在这里面我其实应该打的很灵活，哈哈。啊 啊，好吧，来，那这就是关于这道题的啊，我再一次研究的一个思考啊，这个各位呢，欢迎呢在留言区啊，这个这个做一些这种点评分享， ok 啊，那当然，如果各位同学啊，想在这个几东这块啊， 最后的冲刺阶段，还想进一步这个深入的这个去学习一下，你之前没有什么太系统的方法，也欢迎呢跟咱们科普老师了解一下啊，咨询一下咱们相关的课程，好吧。

每日一题，高考无忧熊大讲题，双击关注！同学们好，今天分享的题目是二零二六年一月江苏南通如高高上一亩。第十一题 分析如下，设点 p 的 坐标为 x y， 一 提一根号下 x 加一方，加上 y 方等于二分之三。 整理可得 x 方加 y 方加一括号的平方减四， x 方等于四分之九，此为曲线 c 的 方程。 第一点 x y， 在 曲线 c 上，则点 x、 负 y、 负 x y 以及负 x y， 也都符合曲线 c 的 方程， 即曲线 c 既关于 x 轴 y 轴对称，也关于圆点对称。 a 选项正确。 第二，因为 p f 一 加 p f 二，由基本不等式可知，大于等于两倍的根号下， p f 一 乘以 p f 二等于二，乘以根号二分之三，等于根号六。 所以三角形 p f 一、 f 二的周长 l 等于 p f 一 加 p f 二加 f 一， f 二大于等于二加根号六， b 选项正确。 第三，又令 p 坐标为 r 可上 c 上，带入曲线 c 方程，可得 二方加一，括号的平方减四，二方，可算 c 的 平方等于四分之九， 所以二的四次方加上二二方减四分之五等于四二方，可算 c 的 平方大于等于零，小于等于四二方 减的二的平方大于等于二分之一，小于等于二分之五，所以 o p 的 长度大于等于二分之根号二小于等于二分之根号十， 所以存在点 p， 使得 o p 的 长度等于一。此时角 f 一， p f 二等于九十度。 所以三角形 p f 一、 f 二的面积等于二分之一，乘以 p f 一， 乘以 p f 二乘以三角 f 一。 p f 二小于等于二分之一，乘以二分之三， 所以三角形 p f 一、 f 二的面积的最大值为四分。之三 c 选项错误 四， o p 大 于等于二分之根号，二小于等于二分之根号时，所以 d 选项正确。答案， a b d。

大家好，今天呢，给大家拆解一下中考几何综合题当中的手拉手、构造权等这类题的一个解法。大家看一下屏幕，我们常见的旋转啊，包括两种，比如说啊，我们常见的就是 ab 等于 ac 角， bac 等于 r 法。 然后呢，我又有另外一条线段， a、 d 把 a、 d 呢也旋转一个 r 法，那三角形 a、 c、 d 和三角形 a、 b、 e 啊，就形成了一种全等的关系，是一种小手拉大手的关系，所以呢，我们把它称为手拉手，构造全等。 那但是我们在实际的题目当中，可能会发现有一些啊，经常还会考一种啊，旋转的是二 r 法，或者是旋转的是一百八十度减二 r 法啊，这样的一个关系。大家想一想，这个是旋转到一个什么样的位置？ 其实是我以这个 bc 为底边，以 a、 b 呢为这个腰做的一个等腰三角形 a、 b、 c， a、 d 呢，也是啊，旋转的这个角度呢，较 是一百八十度减二 r 法，就是角 d、 a、 e， 那 是一个一百八十度减二 r 法这样的一个关系，那剩下的关系呢，也都是全等的， 和第一题的那节结论都一样，但是呢，考试的时候可能不完全是这种形式，它会有些变式，我们一起来看一下，我们看一下这个图啊， 这个图呢，和咱们第一小问的旋转 r 那 个图呢，几乎都一模一样，差别在哪呢？差别，他把这个等腰三角形的这个底呢给他连接了，连接了 d、 e， 连接了 bc， 他 问的第一问是什么呢？角 b a、 e 和角 c、 a、 d 是 个什么关系？我们找到这个角，它是一个相等的关系。第二小问呢，这题加了一个 一个条件啊，就是 m 呢，是 b c 的 一个中点，让我们求一下 b e b m m d 的 一个关系，我们知道啊， b e 等于 cd 啊，就是我们的一个手拉式构造全等， 那 b m 应该等于 m c， m c 等于 md 加 cd， 所以 我们这三条线段的关系就应该等于 abm， 就 等于 md 加 b e。 现在呢，再给大家一个辨识啊，就是我现在呢地点啊，不在 bc 上，它在 bc 的 延长线上，那我们的角的关系变不变？ 然后呢，我们的线段关系变不变，如果变的话，又会变成什么样子？大家自己需要画一下啊， 然后在这个图当中，我们还会看一下啊，就是我在图中标了角一和角二，大家观察一下角一和角二是什么关系？ 角一和角二应该是一个相等的关系，对不对？因为我们这个角一就等于啊，我们的角 c 一 和角二，它们呢，是等于这个三角形 a b c 的 一个底角。所以呢，如果，如果我们旋转的这种条件啊， d 在 bc 上，这个时候会形成一个相等的角啊，角一就等于角二这种关系。现在呢，我们看一下第二小问呢，是过 m 做 m， n 垂直于 ab， 交 d， e 与 n。 让我们问的是 n e 和 d e 的 一个关系， 怎么做？孩子们同学们握角一等于角二，对不对？他又做了一条垂线， 我呢只需要和他啊，模仿他做一条垂线。我过 e 呢，做 e h 垂直于 a b 啊，交 b c 于 h， 就是 我们现在图中呢， e h 这条线，大家看一下 be 和 b h 是 一个什么样的关系？ 它应该是一个相等的关系，因为 ab 这条线啊，其实是三角形 b， e、 h 的 一个三线合一的这条线，我们刚才做的这条线，这样的话呢，我 h m 和 m d 啊，应该是相等的一个关系啊，这样的话呢， m n 就是 三角形 d， e、 h 的 一条中位线， 所以呢，我们这个关系呢就出来了，大家看一下这个题呢，他核心在哪？核心还在于我们啊，手拉手构造的这个全等，我们自然而然的转换了边关系，角关系啊， 这道题目呢，就是我们二一年北京中考的二十七题，难度就是这个样子啊，它的核心点大家知道了吗？它就是一个手拉手延伸出来，再附加一些条件，同样的题目，我们来看一下啊，这一张图 题干呢，非常简单，它就是一个三角形 a， b， c 啊，顶角呢是 r， b 角呢？ a， c， d 是 九十度啊，连接呢一个 a， d， 然后呢，让我们旋转一下 a， d 呢，旋转 r 发度到 a， e， 连接 d， e 交 b， c 与 f， 就是 我现在图中画的红线的位置。 第一位呢，就是证我们的角 b， a， e 等于角 c， a， d 啊，我就是我们很常见的很熟悉的。第二位呢就是又加了一些条件， 就是在第一问 a d 垂直 c， d 的 基础上呢，又加了一个过 d 呢，做 d g 啊，垂直于 bc 这样的一个垂线， 就这样这这一个条件。然后呢，就让我们正的是 bc 和 f g 的 关系，怎么正？同学们，在这题当中，我们需要再给它加一个小小的辅助线，就是延长 c g 到 h， 使呢 gh 等于 cg。 大家知道我做这条线是一个什么样的线吗？其实我做了一个三线合一的线，对不对？ 我 ccd 啊， cd 是 等于 be， 其实我这个时候呢， dh 和 be 是 什么关系呢？ dh 和 be 也是一个相等的关系， 那还有什么关系吗？我角 a b e 是 一个什么样的角？它也是一个直角，对不对？它等于两个角的和，我把其中一个角就是三角形 abc 的 一个底角，再加角三， 我看这个 a c d 这块啊，我角 h 应该等于角 d c g， d c g 对 不对？ 它呢？加上三角形 abc 的 一个底角也是九十度，所以呢，我角三就和我们图中的角四是相等的，所以 b e 不 光等于 d h， 它还平行于 d h 内错角相等。 这样的话呢，我 b f 和 f h 就是 一个相等的关系。大家再观察一下我刚才做的三线合一，那 c h 是 等于 g h， 下面我就需要转换角关系就可以了，我们通过这个角这个线段呢，一步一步给它转换， 后来就可以给他替换到等于二倍的 f g。 大家看一下这些题目，他的核心呢就在于我们给他画了一个手拉手，但是作为一个中考的亚洲题，他不会仅仅的只靠手拉手，他还会再给我们加一些附加条件。 那还有一些题目呢，就是我们的旋转一百八十度减二 alpha， 或者是旋转 alpha 这样的一些条件，我们下节再讲，欢迎大家的关注。

会做这道题，你已经可以击败大部分初中生了！评论区留下你的答案吧！

我觉得今年的中考手拉手是几何出题的一个大项目，今天呢，我们来说一说有关于中考几何的几个重点项目，掌握住以上的六点知识，拿到一个几何题，我们先看两点，第一个 部分，我们要对几何进行合理的导角。第二个部分，我们要给什么？要给角度，那我们在这呢角合理的导角了，把每个角的度数设一个二把，给它导出来，我们会一般得到等幺三角形。 在第二个部分，需要看我们的边长以及边长关系，比如说给你的这一条线段上，这条线段被分比了啊， a b 比上 b c 啊，给了你这两个边长的关系，我们应该怎么做呀？线段分比，立刻想到什么？弧线， 平行线类的弧线，同一条线段的这一分比例，我们一般讲到平行线类弧线，包括被长弓线，它所构建的也是一种特殊的平行线类平面，对吧？啊，那平行线类弧线参照哪复习呢？这给大家一个小小的提示，你们上网上去找叫林业劳斯定律的习， 一般这种题型对平行线的构建囊括的是比较全的。第二个呢，我会给特殊的编程，都会涉及到一件事，叫解三角形，而什么叫解三角形呢？指的是在另一个三角形里知道三个条件，两边一角或两角一边。那这个三角形怎么样呢？可以解，但是三边对于所有 三角形呢，我们也都是可解的，我们要研究角的构成啊，研究相似的构造。当角的构成 线的时候，我们就要想到，比如说出现角平分线，角平分线有几个啊？第一个我们会想到做双垂的垂线。第二个我们想到的什么？角平分线遇到了我们会想到有一个定律，角平分线分别定格 a、 b 比 a、 c 等于 b、 d 比 c、 d， 它预示了一种边长关系，对吧？这个边长关系是让你代表了我们平行线的一种，对吧？两个连起来了。那这是第一步，角的构造可以用于倒角而归于推边长关系可以确定直线的构造。第二个点我们叫相似的构造，相似的 又引出了我们下一话题，由全等到相似。我觉得今年的中跑手拉手是几何级的一个大项目，大环节，也就是说由全等的手拉手的旋转转移到什么？转移到一个任意三角形的手拉手的旋转， 甚至在这个位置，我们有可能会考出来。怎么样考出来托勒密定义的规律。那托勒密定义这个东西到底预示着什么？手拉手预示着什么呢？那就忏悔。到了最后一个点为定义定义的秒杀。为大家举一个叫四点动物园，详情去参考二五年沙区的模拟， 二五年刚驱的模拟两套驱魔券实际上在四点公园中都有出现。那这些我们不了解的定比定义的秒杀是提供给你们让你们直接写答案吗？不是，是告诉你们题目的第一思路， 你们要学的不是这个秒杀定比，而是这个秒杀定比怎么挣的住。你们通过他秒出来答案后往回归，把这个秒杀定比证明出来，应用在机，那他就是你的了。来总结一下，拿到 题目先来怎么样呢？倒角看有没有等加，有没有等加。第二步，看边长关系是能求出特殊角度多，还是能求出 一个平行线的弧度线，还是我们需要剪三角形有特殊角度我们去研究角的构造，有特殊边长关系我们就去找边长的构造。我们希望一般情况下，如果题目第一问给的是全等，第二问给的是相似，那我们需要通过 一些类似于手拉手的一个发散性节奏模拟第一问去做弧线。 在整个过程当中，我们需要利用一些额外的定语定义，产生秒杀性结构，提供给我们第一思路跟解析的路线。 ok， 这就是我们整个解析的一个全部的流程了，希望中考几何大家能努力拿到满分。