重庆中考三角函数专项训练必刷题答案
家长们注意了！二零二六中考数学的致命丢分点源于三角函数综合压轴题，每年都让孩子栽跟头，平时练的题要么太简单，要么不贴合考点，一到考场就懵。别慌，今天给大家带来十五页必考压轴题型加详细答案， 每道题都是命题趋势预测，覆盖所有高频考法。想要随时刷的拍电子版，不懂下单问客服！想让孩子动笔练的拍打印版，打印好直接邮寄左下方小黄车赶紧下单，部分地区不包邮！早背早练，中考数学多拿二十分不是梦！
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18:54查看AI文稿AI文稿同学们好，我是蔡老师，今天蔡老师要给大家分享我们在考试的时候一个提速技巧，叫做解析的时候直过所应按照题目的信息去推演他的已知内容，然后节约我们的考试时间。在直角三角形 a、 b、 c 中，我们有一个九十度啊，是这个角 c 给它标注上来， d 是 线段 bc 上一个点，随机的一个点，我们给它标注一下，现在将这个线段 d a 绕着这个 d 顺时针旋转九十度到 d e 也就得到这里是个等腰直角三角形。 好，那我们把这个信息标注完之后啊，我们来看一下小的题干告诉了 a， d 是 三角形 abc 的 角平分线，标注一下这个是角平分线是两个 x， 再来这边也是一个 x， 我 们题目要求这个单调角 d， a、 c 的 值，也就是要找具体的线段之间的比例。好，那我们发现题目已知的线段是不是这个 e f 和 d e f 相等，所以我们不妨啊，就是设这个 e f 是 a， 那 d f 就 也是 a， 这个 d a， 它是不是就是二 a 好 适合这个旋转这个星期去触达起来，所以我们发现已知的线段在一个三角形中，是不是结合的是这个三角形 a， f、 d 又因为角等啊，所以我们不是直接求这个贪点值，而是去间接求， 所以转换成单调角 f， a， d 啊，对边比邻边，答案是二分之一。我们再来看第二小问，现在要求证 a， e 和 b， e 是 垂直的，我们知道啊，你在求证一个直角的时候，是不是就是想要去把它放到一个什么里面去呢？第一个啊，就是把它放到一个等腰直角三角形中， 我们发现题目已经有了一个小的等腰直角三角形 e、 a、 d， 所以 我们是不是就有一个思路，之前老师讲过，就是 用大震小啊，是我们之前讲过的一个震四十五度的思路，那现在在这个题目里面，我们要震一个大的三角形，哎，那能不能去 迁移一下，转换成小震大呢？哎，这时候有同学就要想了啊，那既然我想要直接震这个九十度，能不能就基于现在题目的条件去给他操作一番？同学就想了，哎，那这个地方我们能不能就是啊，把这个图形去给他补全， 把这个小的等腰直角 a、 d、 e 给它延长，补全成一个大的等腰直角三角形，转换出一个小增大的思维。那这里我们可以取一个 g 点啊，也就是 看一下这个题目里面能不能把这个 f、 d， g 也是等腰直角正出来，或者正这个大的三角形 a、 e、 g 是 等腰直角，那现在要正它是直角， 是不是我们就可以去利用他的一半是等腰直角，利用一个对称型，那我们如果正一个等腰三角形出来，是不是就可以把这个目标实现好？所以我们连接的这个辅助线啊，大概率是没有什么问题的。现在就是在这里要去想了， 他跟我们其他的条件有什么触发的点，预计如果去延长过来，我们能否就是在考试的时候想到啊， 这个地方 a d 和这个 d g， 如果说啊，按照这样的一个结论来说的话，这个地点是 a g 的 中点，那是不是就是 a d 是 等于 d g， 也就是这里出发的是一个中线 对长的一个思维，我们这个 a、 d 能不能把它去延长，加上这里又是直角，加上还有这个一些角度关系，所以在这个地方啊，我们的辅助线就是 你需要去舍弃一些东西，既要实现这个中线被长，又要实现 a、 d 和这个 b 交于记点，又要实现这个 a、 d 被长，照这个记点。所以我们来想一下，从知识点的角度出发，我们是不是就是以这个中线被长更加有迹可循，我们选择的是这个中线被长？思路，好， 那这个中线被长我们就要找了，他还有别的中线吗？我们就要想了，刚刚有角平分线啊，这里角平分线加垂直，能不能想到？就是啊， 角平分线加垂直是我们讲的角平分线里面的基础模型，也就是如果把这个 f、 d 啊向下去延长，交于这个 h 点，那是不是就可以得到 f、 d 和这个 d、 h 相等，以及倍长 a、 d 之后 a、 d 和这个 d、 g 相等，那我们就可以下一步是连接这个 f、 g 啊， 从而去占一个八字形的全等，也就是三角形 d， a、 h 是 全等于三角形 d、 g， f， 好， 它们俩全等，那我们就可以得到 f g 啊，它是平行于这个 a、 h 介于平行，我们是不是可以得到内错角相等，也就是角 f、 g、 d 啊，是等于角 d、 a、 c 好， 那这里是不是又延伸出了一个什么？是不是又和角平分线加上平行转换出等腰这个知识点结合好，也就得到三角形 f、 a、 g， 它是一个等腰，三角形 三角形 f、 a、 g 是 等腰，所以 fa 等于 f g， 那 是不是就可以转换出这个是一个垂直平分线啊？ ef 垂直平分 a g， 所以 我们可以得到 e a 就 等于 e g， 那 就可以得到，这是一个确定的等腰直角三角形。 所以我们啊，在这个地方很容易，就是有同学在走到一半的时候不敢再向下推了啊，那我们需要干嘛呢？就是从别的信息去联动啊， 去通过目标推导我的目标，既然是这个就坚定这个目标，那再和其他的心去联动起来，所以在这个地方角平分线是一个很突出的点。好，这是一种方法。 还有同学说，老师我考试又想不到这个方法，那怎么办呢？我们还能基于啊，这里 f 点是不是也是一个终点？ 刚刚这个 d 点，这里的中点需要我们利用角平分线加垂直延长啊，是个隐藏的中点，但是这个 f 点，这个中点，它是一个非常清晰的中点，所以我们不妨也可以基于这个是垂直，我们去做一个中线被长啊，把这个 af 去给它被长过来。因为我们的解析策略啊，就是延长这个 af， 然后我们再连接一下这个 e 点，到这个被长之后的点，那我们在这个地方取一个 g 点啊，好，那这个中间被长可以带来一个什么好处？如果设这两个还是 x 的 话，由于中线被长啊，我们得到这里它是一个中点加被长得到垂直啊， 所以这个地方也是一个 x。 好， x 和这个 x， 还有这个 x， 还有这里刚刚的 x 是 不是联动起来？所以我们联动之后啊， 一个角等加上一个公共边，我们就去找边啊，这个 a、 d 中间被长是等于 eg， 然后 eg 呢？他又是和这个地方的 f、 d 是 不是就相等了？因为 a、 d 等于 e d 好， 所以有一组边等，那又因为这一组边是已知的公共边，但是我们要正的是这个角啊，这两个角相等 e d 和 e g 是 不是个小等腰？一个飞标的一个形态，多了两个 x， 可以 用到一组等量减另一组等量，等于新的一组等量，通过等角对等边啊，转换出一组新的边，因为现在已经 b 的 没办法了，我们必须要去证这个 b， d 等于这个 b g 才行啊， 为什么呢？因为给的是这组假角，是知道的啊，已知角，所以我们就可以连接这个 d g 啊，因为 e d 等于 e g， 所以 角 e， d， g 等于角 e g， d， 再因为这两个都是 x， 所以 我们得到这个角 b， d， g 等于这个角 b， g、 d， 从而翻译出 b， d 等于 b g。 好 在这里啊，我们证明就比较快了，去证两个三角形 e、 b、 d 和三角形 e， b、 g 是 全等的，他们俩全等，那我们就可以翻译出什么呢？就可以翻译出这个角 d， e， b 等于角 g e b 啊，好老师，在这个地方啊，讲解的第二种方法肯定是更简单， 但是我想要通过第一种方法教会大家，就是我们在考试的时候，如果说啊，你走到了一个进退两难的地步，那你可以通过我们比较常规的思路啊，角平分线加垂直，我们去给他延长之后， 得到这个地方依旧是一个终点，所以我们再去构造倍长之后啊，然后倍长之后再去连接，同时依旧能正出平行，正出平行之后啊，利用内错角相等，这边是 x 和 x， 那 和这个 x 联动起来， 同样翻译出啊等腰。所以我们发现这道题无论是用方法一还是方法二，他的一个要点是不是都是中线被长，以及等腰里面的等角对等边等边对等角。在我们刷题的过程中，是通过一些卡顿的点去记忆一些几何小组合，比方说这个地方 我们有了一组等腰，在里面又有一个凹进去的飞镖形，两个角又是相等的，那我们不妨就连接一下这个 d、 g 啊，把它通过倒角的方法正出，底下的这个 b、 d 和这个 b、 g 是 相等的。这样的一些小模型可以帮助我们在考试的时候去增长自己的一个解析策略。 好，我们再来看最后一问， a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中线时设摊平角 d， a、 c 是 t 摊平角 b、 d、 e 是 y， 要求 y 和 t 的 函数关系。那这个第二问就是更加清晰的要用到我们这个直角所应啊。我们通过目标去倒推已知信息，因为目标已经很明确了， 因为这个地方的目标已经很明确了， t 和 y 要求它的函数关系值，所以我们要把这些信息表示出来。 好，那就看题目里面给的要点啊。他说当 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中线的时候， a、 d 是 中线，所以我们得到 b、 d 是 等于 c、 d 的。 现在这个摊停角 d， a、 c 等于 t。 好， 那我们就可以直接啊去转换一下信息， 在这个地方给的是一个角 b、 e、 d 的 摊停值，以及还有这个角在这个地方我们要表示的是角 d、 a、 c 和角 b、 e、 d 的 摊平值，那角 d、 a、 c 显然它在一个直角三角形中，我们稍后可以直接表示，可是这个 b、 e、 d 它还没在直角三角形中，那我们就就近原则啊，去给它做一个 垂线啊。好，那我们就可以直接这么去做垂啊，为什么这么去做垂比较好呢？因为我们题目里面这里是不是有一个直角，所以这里做垂起码能转换出一些倒角的思路啊，所以这里取一个 h 点。好，我们这个地方啊，角 b、 e、 d， 它的弹挺值就是等于它的对边这个 b h 比上这里的 e、 h， 而我们这个角 d、 a、 c， 它的弹停值就等于这个 d、 c 比上 a、 c。 好， 那在这里啊，我们就从题目里面去看一下，好像没有什么信息能够被我们使用了，但是在题干的大前提里面是不是有这个旋转呢？ 对不对？好，所以你这个地方给了旋转，以及告诉了这个 a、 d 啊，它是三角形 a、 b、 c 的 中线，所以我们可以得到 b、 d 和 d、 c 是 不是相等的，那在这个地方我们就可以， 那在这个地方，因为题目它给的是一个什么呢？给的是一个 好前面的几何内容，我们把记忆清空一下啊，现在来处理的是一个函数和几何的一个综合问题， 给的是 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中线时，那我们可以翻译出 b、 d 和这个 c、 d 是 相等的，这是题目给的一个等量关系。再来，在这个地方给的是 tan t， 角 d、 a、 c 是 等于 t， 所以 我们相当于这是一个已知的信息啊， 然后摊定角 b， e、 d 也是等于 y， 也是一个已知的信息。那我们从题目里面啊，因为他这个地方给的具体的量，所以我们就可以把它作为一个已知信息去使用。那我们先来把摊定角 d a c 快 速表示一下，它是等于 c d 比 a c。 这里啊，就是给大家讲一个巧妙的设未知数的方法， a c 它是分母，所以我们就直接设 a c 等于一，然后这个 c d 是 不是就直接等于 t 了？ 这样的话啊，我们解题会比较快一点？好，那 a d 的 值是不是就可以写成根号下一加上 t 的 平方 好，也就是 a d 等于根号下一加上这个 t 方好。因为我们是把这个 a d 转到了 e d， 所以 e d 是 不是也可以表示为根号下一加上这个 t 的 平方好，那在这里啊，还有一个信息是这个 b d 它也等于 t， 接下来是不是就到了下一个步骤要处理这个 y 了？ y 它对应的是这个角 b e、 d 啊，它的摊点值，所以在这里基本上还没有直角给它放进去。那我们可以直接啊过这个 b 点，往这个 e f 上做垂取一个 h 点，也就是表示成 b h 比上这里的 e h。 那 我们刚刚前面的这个角平分线里面三个角等啊，哪些信息能继续引用的呢？这个第一个角平分线是不是寄于第一个小问里面给的？但是这个地方啊，九十度的旋转，这个 x 和这个 x 是 不是依旧成立， 对不对？所以我们发现啊，这两个 x 依旧成立的时候，它的三角函数值是不是依旧受用 后面的这个 b h 啊？它是对应的什么？对应的是这个角 x 的 对边，而我们知道的是这个角 x 的 斜边，所以是不是要用到它的什么？是不是对边比斜边就是用到 sine 值啊，也就是这个 sine 值的一个使用， 是我们帮助我们求 b h 们可以预判到一个点，就是在中考中肯定三角函数这个概念是越来越增加它的一个含金量的， 所以那这道题就是很好的一个三角函数的题，我们就来强化一下，怎么样在考试的时候有目的的去寻找用什么三角函数值，知道的是斜边，所以我们用的是这个 b h 比上这里的 b d， 也就是 b h 是 为带球的线段，在这个地方目标要求 b d 是 知道的设了一个 t 啊，所以也就是这个三角形中啊，三角形 a d c 中它是可解的 大于 x， 是 对边比斜边，也是 t 比上根号下一加上 t 方。好，所以这个 b h 啊，我们转换出来，把这个 t 乘过来，那就是 t 方除以根号下一加上 t 方，好，那再来看这个 e h 怎么去表示 一 h， 它是不是和 d e 的 和是等于这个根号下一加梯方，所以啊，这个 d h 也需要表示出来。刚刚的散是 t 比上根号下一加梯方，那这个扩散也就应该是一比上根号下一加梯方，所以啊，这个地方要求 d h， 它就等于根号下一加上梯方，分之 t 啊，好，那现在 d h 也知道了，是不是就只需要把 e h 表示出来， e h 怎么表示呢？它是一 d 减去 d h 啊，也就是根号下一加上梯方减去根号下一加上梯方分之 t， 好，在这个式子里面是不是要实现一个通分？好，那我们分母就是根号下 e 加上 t 方，这里啊，它成了个根号下 e 加 t 方，那就是 e 加上 t 方减 t， 好， e h 变成这个样子，那我们再来把 y 表示出来啊， y 对 应呢，就是 b h 比 e h b h， 它的分子和分母它们分子是不是一样的？把这个啊，取倒数， 这个就可以约分掉啊，所以我们可以得到， y 是 等于梯方除以一加上梯方减去 t， 好， 也就是求 y 与 t 的 函数关系式，是不是就出来了，这个 y 是 等于梯方除以一加上梯方减 t 啊， 这样的话， y 和 t 的 关系我们就写出来了。最后啊，他要求的什么呢？还要去求这个 y， 还要求这个 y 的 最值啊，最大值。那我们来看一下这个式子，它是一个啊， 分子和分母都含有未知数，所以我们不妨啊，就去弄用一个小的操作，把分子分母同时去除一 t 方，好，下面除以 t 方，就变成了这个 t 方分之一加上一，再减去 t 分 之一，好，分子变成了一个常数。一，现在就是分母啊，它是一个关于 t 分 之一的一个二次函数的一个表达式啊。好，所以我们可以直接啊，令这个 a 等于 t 分 之一，那底下这一串啊，令它就是 b 等于这个底下这一串，那就是 a 方减 a 加一，对不对？用一个换元的思路啊， 那当这个 a 取到负的二 a 分 之 b 的 时候，也就是负的二分之负一，也就是二分之一时啊，我们这个 b 它有一个最什么值？因为是开口向上的函数，所以 b 有 一个最小值啊，这个 b 取最小值，那这个 y 是 不是又取最大值？ 我们发现这个 delta 它是不是等于什么？这个 delta 它是等于一减去四是不是小于零？所以函数啊，这个 b 它的取值肯定是恒大于零的，一除一个大于零的数啊，我们这个数越 小，这个 y 的 值就越大啊，所以现在只需要把这个 b 的 最小值求出来。 h 二分之一的时候，这个 b 它有一个最小值啊，这个 b 它是等于 四分之三的。好，我们求出来这个 b 他的最小值是四分之三，所以我们这个 y 的 最大值啊，就是三分之四。好，这就是我们一些稍微复杂的题，他会用到什么思维呢？我们会发现这个函数的处理以及这个最值的处理都非常巧妙，而且他考的难度都比较大啊， 所以如果我们在前面的问里面没有办法速度快一点的话，你到后面的这几问是没有时间去写的。我们通过这个题给大家去预测一下，就是我们在中考中很有可能就是去考三角函数和一些函数值的关系，这样的话就是 更好去筛选能够进入高中的一个学生啊，然后帮助我们去拉开一个解析的一个差距度。好，这就今天给大家分享的题目，你听懂了吗？
139爱思考的数学蔡老师
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12:06查看AI文稿AI文稿合川中考必考题他来了！今天我们复习解直角三角形的应用。同学们好，今天给大家分享一下合川中考数学必考题型解直角三形的应用。首先了解一下解直角三形的方法， 第一，利用勾股定理解直角三角形。第二，利用特殊角解直角三角形。第三，利用三角函数解直角三角形，这就是解直角三角形常用的三种方法。 解直角三角形的应用，其本质就是解直角三角形，所以它们的方法基本一致。只是在应用里面，我们可能没有直接的直角三形，这就需要我们通过做辅助线快速构建直角三形。 快速构建直角三角形最快的方法就是做垂线，所以解直角三角形的应用的方法就是通过做垂线构建直角三角形，然后再解直角三角形就可以了。 下面我们看一下二五年的重庆中考真题。为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种监测森林情况，如图， a、 b、 c、 d 在 同一平面内， a 是 瞭望塔，某一时刻观测到假无人机位于 a 的 正东方向十千米的 b 处， 也就是 a、 b 等于十。以无人机位于 a 的 南偏西三十度方向二十千米的 d 处，也就是 a、 d 等于二十 两无人机同时飞往 c 处寻四， d 位于 c 的 正西方向上， b 位于 c 的 北偏西三十度方向上， d 问求 b、 d 的 长度。 根据我们刚刚说的方法，这类题目首先要构建直角三角形，再来解直角三角形，要求 b、 d 长度。我们可以考虑把 b、 d 放在直角三角形里面去，那 b、 d 放在直角三角形里面去，我们就有两种方法，可以通过地点做 b、 a 的 延长线的垂线。 第二种就是过 b 点做 d、 c 的 垂线。这个题两种方法都可以，那我们就过 b 点做 d、 c 的 垂线。 做了垂线以后，三角形 b、 f、 d 就是 一个直角三角形。如果把 b、 f 求出来了， d、 f 求出了，再用勾股定律，我们就可以快速求出 b、 d 的 长度。 通过观察 a、 d 等于二十，然后 d 位于 a 的 蓝偏西三十度方向，这个角是三十。二十和三十两个条件是放在一起的，那我们可以通过过 a 做 d、 c 的 垂线，从而构建 直角三角形。 a、 e、 d、 a、 d 得二十，这个 d、 a、 e 得三十，那 a、 e 和 d、 e 我 们都可以求出来。 求出来以后，观察 a、 e、 f、 b 是 一个矩形， a、 e 的 长度也就是 b、 f 的 长度， a、 b 的 长度也就是 e、 f 的 长度，那我们就可以求出 d、 f 和 b、 f 的 长度，从而求出 b、 d 的 长度了。 接下来看一下具体的解析步骤。过 a 点做 a 一 垂直， d、 c 于一。过 b 点做 b、 f 垂直， d、 c 于 f。 做了垂线以后， 角 a、 e、 d 和 b、 f、 d 就 等于九数，也就是这两个三角形都是直角三角形，那我们就可以解直角三角形了。 在直角三角形 a、 e、 e、 d 中， a、 d 等于二十千米角 d、 a、 e 等于三十度，我们就可以求出 a、 e 等于 a、 d 乘以 cosine 角 d， a、 a、 e 就 得到十倍根号三千米， d、 e、 e 就 等于二分之一的 a、 d 就 等于十千米。因为无人机位于 a 的 正东方向十千米的 b 处， d 位于 c 的 正西方向上，所以 ab 就 平行于 dc， 所以 角 b、 f、 d 等于角， a、 e、 f 等于角， e、 a、 b 都等于九十度。三个角是九十的，四边形就是矩形， 所以四边形 a、 e、 e、 f、 b 为矩形，矩形对边相等。 e、 f 就 等于 a、 b 等于十， b、 f 就 等于 a、 e 等于十倍根号三。所以 d、 f 就 可以求出来了，就等于 d、 e 加 e、 f 就 等于十加十等于二十千米。 在直角三角形 b、 f、 d 周， d、 f 等于十， b、 f 等于十倍根号三，所以 b、 d 就 等于根号 b、 f 的 平方加 d、 f 的 平方代入数据，最后就得十倍根号七。 这里注意结果，保留一位小数，那我们就要写成二十六点五千米。答， b、 d 的 长度约为二十六点五千米， 这是第一问，接下来看一下第二小问。甲、乙两无人机同时分别从 b、 d 出发，沿 b、 c、 d、 c 往 c 处进行巡视，以无人机速度为甲无人机速度的两倍。 两无人机相距二十千米时，他们可以开始相互接收到信号。请问甲无人机飞离 b 处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号？ 分析题目图中并没有标出甲、乙两无人机的具体位置，做这类题目，先要把它们的位置设出来， 比如 m 就是 假无人机的位置， n 就是 以无人机的位置，此时 m、 n 的 长度就为二十千米。这个题求解就是求 b、 m 的 长度。 m、 n 等于二十，那要把这个线段长度放在直角三角形里面去，可以通过 m 做 d、 c 的 垂线，从而构建直角摁型 m、 t、 n。 如果 nt 和 nt 能表示出来，我们就可以用勾固定理来建立方程，从而解直角三形。通过第一问， b、 f 等于十倍根号三角 f， bc 就 等于三十度， bc 和 cf 就 可以快速求出来。 求出来以后，设 b m 等于 x， 那 d、 n 就 等于二 x。 以无人机是假无人机，速度两倍，那路程也是两倍。 b m 等于 x， 那 m、 c 就 等于二十减 x 啊。 讲 m c、 t 又等于六十度，那 mt 和 c t 都可以用 x 来表示。 同理， nt 就 等于 cd 减 d， n 再减 ct， 那 nt 也可以用 x 表示。 mt nt 都用 x 表示出来了， m n 等于二十，那我们可以用勾股定律来建立方程，从而解 x。 接下来我们看一下具体求解过程。第一个做辅助线，由提议的 b、 c、 d 就 等于九十减三十，就等于六十度，所以这个角就是六十度。在直角数形 b、 n、 c 中， b、 f 等于十倍根号幺角 b、 c、 d 等于六十度， 所以 b、 c 就 等于 b、 f 除以三一角， b、 c、 d 就 等于十倍根号三除以二分之根鼾就得二十千米。 c、 f 也可以快速求出来，就等于十千米， 所以 dc 就 可以求得出来，就等于 d f 加 c， f 就 等于三十千米。我们可以测 b、 m 的 长度为 x， d、 n 长度为 i。 二个四， 因为它们数度乙是甲的两倍，所以路程乙也是甲的两倍，所以 c m 就 等于 b c 减 b m 也就等于二十减 x 米。在直角三角形 c t、 m 中， c m 等于二十减 x 米。角 m， c、 t 等于六十度，所以 c、 t 就 可以快速求出来，就等于 c m 乘以 cos 角 b、 c、 d 就 等于十减二分之 x 千米。 同理， m、 t 也可以快速求出来，就等于 c m 乘以三硬角 b、 c、 d 也就得十倍，根号三减二分之根号三千米。 c、 d 知道， c， t 知道， d， n 知道，我们就可以快速求出 n、 t 的 长度了。 n、 t 就 等于整个 c、 d 减去 d 减去 c、 t， 最后就得二十减二分之三等于三千米。 在直角三角形 m、 t、 n 中， n， t 等于十倍，根号三乘以十， n， t 等于二十减二分之根号三 m 十， m， n 等于二十。我们可以用勾股定理， m、 n 的 平方等于 n， t 的 平方加 m、 t 的 平方，从而建立方程，代入数据就得这么多。最后解出 x 等于 十五减五倍，根号五或 x 等于十五加五倍，根号五大于 b 式的长度了，故舍去。所以最后 b、 m 的 长度就得十五减五倍，根号五 保留小点后移位，约等于三点八千米。最后答假，无人机飞离 b 处三点八千米时，两无人机可以开始相互接收到信号，这个题就求解完了。 接下来我们总结下解直角三角形的应用的方法。做这类题目，首先通过辅助线，也就是做垂线，构建直角三角形，从而解直角三角形就可以。 在做辅助线的过程中，有几种常见的做法，第一，已知特殊角三十度，四十五度、六十度。做垂线的时候，尽量把这些特殊角坐在直角三角形里面去。第二，已知一个角和 线段长度做垂线，尽量把这个角度和线段长度放在直角三角形里面去。第三，遇到七十五度角， 一般是过七十五度角顶点做垂线，把七十五度拆分成三十度和四十五度。第四，遇到一百零五度角，可以过这个角的顶点，向其他边做垂线，把一百零五度角拆成六十度加四十五度。 第五已知线段长度。一般要构建直角三角形，把这个线段长度放在直角三角形面去，从而通过勾固定来解直角三角形。我们下期再见。
06:52查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享有关三角函数解决实际问题的这个知识点。首先观察一个条件，角一等于十三度，一个坡角啊，其实是一个阳角 角 c、 a、 d 等于三十八度，一个十三度，一个三十八度，两个阳角。还知道斜坡 a、 b 的 长度是五十米，斜坡 a、 b 的 长度是五十米。 接着我们来求一求 b、 d 的 长度，在这个斜坡的山顶上立了一个宝塔，求这个宝塔的高度，知道这个宝塔的阳角是三十八度， 提供了一些三角函数的值。当然十三度和三十八度的正弦与弦正切都是一致的。同学们啊，需要哪个咱们都可以拿过来，我这里只写了几个， 求 b、 d 的 长度。那首先观察，你要想求 b、 d 的 长度，直接求肯定不行，因为 b、 d 他 根本就不在直角三角形中。 那要想求 b、 d 的 长度，我们得需要求啊 c、 d 的 长度，然后再减掉 bc 的 长度就可以了，这就是转化，直接求是不可以的。那么同学们，观察一下 c、 d 在 哪个直角三角形中啊？ 在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中，而 bc 呢，在 r、 t 三角形 a、 c、 b 中。所以说这种转化是非常有必要的，因为他根本就不在直角三角形中。 那么要想求 c、 d 和 bc， 那 肯定就要用到咱们刚才说的这两个破角了。咱先来看这个角一十三度。同学们， 因为为什么要先研究它呢？因为这个角一的斜边是五十米，角一所在的直角三角形的斜边是五十米，那么根据这个五十米，我们要想求 bc 的 话，那么用哪个三角函数？ 那么提到三角函数，咱们首先来复习一下正弦，它等于谁比谁。正弦等于的是啊，对边比呀，斜边 与弦等于的是啊，临边笔呀，斜边还有一个正切摊着的阿字，它等于的是对边笔呀，临边。 有的同学在选择这三个三角函数的时候，他就就会有选择困难症，不知道选择哪一个来解决问题。那下面咱们来看这个十三度角的， 咱们要求的这个 bc 等于没，你要密切结合你要求的线段和已知的线段是这个，已知的这个角的什么 b， 你 就去选择什么。函数 我们需要求的是角一的对边，已知的是斜边。那你就看一看这三个三角函数里边哪一个有啊？对边有斜边啊，很显然是正弦，所以这里我们必定要用到塞啊，十三度啊， 也就是三一减一，他就等于 bc 比上一个五十了，那么 bc 就 可以求出来了，约等于五十乘以三十三度，也就是零点二二，不要盲目的给它乘出来。同学们啊，不要盲目的乘出来，先等一会再算。 那么 bc 求出来了，我们还得来求啊， cd， bc 有 了，还得求 cd， cd 呢，在 r、 t 三角形 a、 c、 d 中，而这个 a、 c、 d 中一条边也不知道，只知道谁呢，只知道这个角是三十八度。 所以说咱们要想求它的对边，还得找一条边，而那条边呢，恰恰在这个 r、 t 三角形 a、 c、 b 中，我们是可以求出来的，也就是 a、 c 这条边， 那么实际上 a、 c 这条边是这个小三角形 a、 b、 c 里边角一的什么边的同学们，显然是角一的邻边， 那么我们要想求邻边，已知的是斜边，那邻里斜显然就是余弦了，所以还得继续用 cos。 十三度 扣三十三度就等于啊， a c 比上一个五十了，所以 a c 就 等于五十乘以啊，扣三十三度，扣三十三度，约等于是零点九七，约等于什么啊？约等于，那 a c 也表示出来了， bc 也表示出来了， bc 知道了， ac 知道了，那我们用 ac 就 可以来求啊 cd 了，那么已知 ca 求 cd。 我 们再来看这两个边围成的又是角三十八度角的哪个三角函数呢？ 显然已知的是三十八度角的邻边，我们要求的是三十度八，三十度三十八度角的对边， 那对边比邻边显然就是啊贪婪他了，所以我们还是需要用贪婪他。三十八度，他就等于对边 c d 比上一个邻边 ac 了， 所以 c d 就 等于 ac， 也就是这一串啊，五十乘以零点九七，再乘上一个贪婪他三十八度零点七八， c d 出来了， bc 也出来了，然后让他俩相减就可以了。 b d 就 等于他俩相减啊，五十乘以零点九七乘以零点七八，再减去一个五十乘以零点二二， 五十乘以零点二二。为什么不让你盲目的乘出来穴位？因为这里可以简化运算，咱们把五十给他提取啊。公音式里边就是零点九七乘以零点七八，再减掉一个零点二二， 那么这里的零点九七乘以零点七八，这个就得生算了，算出来之后减掉零点二二，再乘上一个五十，这样计算就简单一点了。 那么这个题关键是你如何选择三角函数？同学们如何选择三角函数？也就是说你已知的边和我们需要求的边是什么样的边，那你就要到到这三个三角函数里边去找用哪个三角函数。 你比如说用到的是邻边，需要求的是已知的是邻边，需要求的是对边，那么已知的邻边需要求的是对边，那肯定就正确了。 所以说在选择三角函数的时候不要出现选择困难症，这就是借助三角函数来解决实际问题。
23初中数学柳老师
01:26查看AI文稿AI文稿中考三角函数特殊角的值，年年考，很多同学记混三英三十度和科三英三十度看间梯四十五度等于几？总是犹豫，教你一个方法，两个直角三角形就够了！第一个是三十度负六十度负九十度的直角三角形， 三边之比为，一比根号三比二。三英三十度等于对边比斜边等于二分之根号三。 攀建 t 三十度等于对边比邻边等于根号三分之一等于三分之根号三。三一六十度等于二分之根号三 扣三一六十度等于二分之一攀建 t 六十度等于根号三。第二个是四十五度负四十五度负九十度的等腰直角三角形， 三边之比为，一比一比根号二，三一四十五度等于 q， 三一四十五度等于二分之根号二探间梯四十五度等于一。 再记一个规律，三一三十度等于 q， 三一六十度，三一四十五度，三一六十度等于 q， 三一三十度。互余的两个角，正弦等于余弦。 口诀，三十度对边斜半边四十五度，根二除以二六十度，根三比上交叉线四十五度等于一。不用背，画个三角形就行。关注小何老师，轻松掌握考点！
17小何老师讲重点
03:28查看AI文稿AI文稿来，同学们看一道三角函数的基础题啊，若角阿尔法中间经过 p 啊， a 跟二三 a， 求三角阿尔法减去二倍的 tan 值的阿尔法的值在这里边的话呢，有一个东西， a 大 于零或者 a 小 于零，我们知道吗？ 是不是肯定不知道，对吧？那所以对于我们而言的话，当然 a 等于零也没有必要去考虑啊。嗯，所以这里边那个 a 等于零的时候，两个都是零啊。 先写一下吧，如果 a 等于零的话，那 sine 阿尔法减去二倍，它 tan 它也等于零啊。然后这里边的话呢，回顾一下我们的基本概念， sine 阿尔法等于谁？ 嗯， sine alpha 的 话呢，是不是等于 y 比二？来，多回顾一下吧， cosine alpha 等于什么？是不是 x 比二？那贪着呢？ alpha 等于什么？是不是 y 比 x 啊？这里边的话呢，当 a 大 于零的时候，它，它是不是在第一项线？ 那 a 小 于零的时候呢？它是不是在第二第三象限，对吧？因为负的负的都在第三象限这里边的话呢，有一个问题是什么？呃，是不是我们 x 等于谁？ x 是 不是等于 a 对 吧？那 x 等于 a 了， y 是 不是等于根号三 a 来二等于什么？是不是根号加 x 方加外方啊？ 那它的话呢，等于什么？化简一下，化简出来的话呢，二等于谁？二倍的 a 的 绝对值啊。所以这里边我们分两个情况去讨论。第一种， a 大 于零的时候，那 a 大 于零来 sin alpha 减去二倍 tangent 阿尔法，它等于什么？塞阿尔法拿过来是不是 y 比二对吧？那 y 是 根号三 a 对 吧？那根号三 a 的 话呢？直接拿过来 根号三 a 比上谁是不是比上二 a？ 因为此是 a 是 大于零的啊？ a 大 于零就不用写了，所以它的话是这个，然后减去二倍的来摊着它二法等于几？是不是 y 比 x 就 等于几？是不是就等于根号三呢？ 对吧？那所以对于我们而言的话呢，这个第一步算出来是什么？来算一下 他是不是等于，呃，这是二分之根号三吧，减去二倍根号三啊？然后所以对他而言的话呢，等于什么？是不是等于负的二分之三倍根号三呢？ 对吧？那第二种 a 小 于零的时候， a 小 于零的时候等于什么？ 是不是依然还是他的话呢？塞耳阿尔法减去二倍的 tangent 阿尔法来等于谁？塞耳阿尔法变成什么？是不是 y 比二，是不是根号三？ a 比上谁是不是负二 a 啊？然后再减去个二倍根号三， 对吧？那所以对于我们而言的话呢，这是什么？这是不是负二分之根号三，减去二倍根号三呢？来最终答案是什么？是不是负的二分之五倍的根号三呢？
266教数学的孙老师
03:14查看AI文稿AI文稿今天要讲的是三角函数，那么三角函数是中考里面的一个必考内容，那么我们今天要讲的是如何去巧记我们的三角函数值，那其实呢，就是利用我们的图形，那么在初中阶段呢，直角，在直角三角形中的一个三角函数， 然后呢记呢，只需要记三十度，四十五度和六十度这三个特殊角的三角函数值。好，我们来看一下，三引是指的是对比斜，是吧？这个对边比斜边，当然这个是必须要记得住了，如果你连他是哪边比哪边都不知道，就这个就很麻烦了。然后口三也是零比斜， ctrl 呢是对比零啊， 就是 sine， cosine 和 tangent 的 分别是哪边比哪边好，我们来看一下三十度和六十度我们如何去记，那我们就画出一个直角三角形，那么就画出特殊角是六十度和三十度的 一个直角三角形出来，但其实呢，我们要画的图形呢，就是我们三角板里面的两个三角板的角度啊，那么来看一下，先看三十度， 三十度三引，三十度是指，三引是指对比斜，那有可能会问老师这个，嗯，这些边的数值我都不知道，那怎么去做呢？那我们知道特殊角是不是三十度角所对的边，在直角三角形中， 三十度角所对的边是斜边的一半，那我就假设定三十度所对边是一，这边是二，那么我们再用勾股定力，那我的这条 b c 是 不是就等于根号三，那我们在 像三也三十度是指他的对边比上斜边就是一比上他的斜边二，对吧，那所以他就是二分之一，然后呢我们的 口三也是零比斜，所以他的零边是根号三，然后他的斜边是二，所以是根三比二，就是二分之根号三。然后呢再看参减的三十度，是指他的对边比斜边，也就是一比根三，根三分之一，那我们把它分母由里化，就是三分之 根号三，那么我们看六十度是不是也在这个直角三角形中，所以我们在这个直角三角形中呢？也可以把六十度的顺面我们就写了，你看六十度，我们就看一下它三以六十度是对边比斜边，是不是对边是根三二，所以说二分之 根号三，三以六十度，那口三也就是零比斜，一比二，所以它就是二分之一。然后呢贪间扯，贪间扯六十度呢，应该是 对比零，然后呢就是根三比上一，所以就等于根号三，你看我们就把它记下来了，那么我们四十五度该怎么去记呢？是不是就是画一个等腰直角三角形，那自然另外两个底角就是四十五度了，对不对？ 那么我们看一下，那么这个一样没有数值，那我们就假设他定他的腰根为一，那这边就自然就等于根号二，然后我的三引四十五度就是对比斜，所以根二分之一。同样的分母有理化，那就是二分之 根号二，你看那么口三也是零比斜呢，一比二和他一样，所以就是二分之根号二啊，然后呢 他的摊减的四十五度，摊减的四十五度是对比零，一比一，那最后就是一啊，你看这样子呢，我们就可以把三角函数的三个特殊角的函数值，我们把它记下来了哈，你学会了吗？
62苏老师讲数学
06:59查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的填空题的压轴题， 观察题目。朋友们，已知一个矩形， a、 b、 c、 d， 矩形的长是十二，宽是八，还知道 e 是 b、 c 的 中点，它俩是相等的， 然后他把这个矩形这一部分， a、 b、 e 这个三角形沿着 a、 e 给他折到了 a、 f、 e 的 位置上来， 这是折叠过来的。把这俩三角形折叠过来的，然后连接 c、 f， 就 让我们来找一找这个角的正弦值是多少， 一个八，一个十二，那么 b、 c 等于的是十二， e 又是中点，显然这个就是六了，这个也是啊，六了， 那么有六有八。同学们，显然 a、 e， 我 们就应该想到是十了， a、 e 是 十，那折叠之后，这个六折到哪去了，去哪去了呢？同学们，显然 b、 e 折到了 f、 e 上，所以这一段也是啊六， 求这个角的正弦值。那么要解决三角函数的问题，咱们得首先把这个角放到直角三角形中去。 那么同学们观察观察，我们怎么办才能把这个角放到直角三角形中去？之前咱们分享过第一种方法，就是简单粗暴法做垂直，把它放到直角三角形中去。第二种方法最常用的就是转化， 把它找一个和它相等的角，找那个角的三角函数值，从而找到这个角的三角函数值。那咱们观察一下这个题还是不是这种方法呢？仔细观察一下， 有没有发现这个图上我标了三个六啊？同学们，看到这三个六，你有什么想法吗？看到这三个六有什么想法？ 这是六，这也是六，这还是啊六。那么 b 沿着 a、 e 折叠之后，落到了 f 上去了， 那么看到这三个六，再看到这个折叠问题，如果我把 b、 f 连起来的话给你们，那么这个时候六六六，这三个六恰恰就是 b、 f、 c 里边的三条线段，那么看到这三个六，你有什么想法？三角形 c f b， 猜一下它是个什么三角形， 光看形状也能看出来，很显然是个直角三角形，那么这就是斜中定律的逆定律，我之前的视频上有分享过，同学们啊，这就是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，这个定律的逆定律， 那么我们知道了 e f 是 bc 这个边上的中线的一半，那么这个角肯定也是直角，怎么推的进呢？就是咱们正切线那个垂直产生的第五种方法，显然六和六相等，那这个角一和这个角二是相等的， 这个六和六也相等，显然这个角三和这个角四它也是啊相等的，而角一、角二、角三角四加起来是一百八十度， 一百八十度它俩相等，它俩相等，所以它俩加起来就是九十度了。所以说我们没必要做垂直，也没必要转化，只需要连接 b、 f 这个角四所在的这个三角形恰恰就是一个直角三角形，那么三它就等于 b f 比十二了呗， b f 比十二。所以接下来的问题，我们就是要如何去求 b、 f 的 长度， 显然 b f 同学们，这是 b 沿着 a、 e 折过去之后落到 f 上了，所以说这个折痕 a、 e 在 遇到折叠问题的时候一定要注意啊，折叠问题里边，折痕就是一个对称轴， 对称轴就是对应点之间连起来的这个线段的垂直平分线，所以 a e 把 b f 给它垂直平分了。这是折叠的性质，轴对称的性质。那么这里是垂直的， 我编了一个字母 m 吧。那显然这个 b m 和 fm 它是相等的，它是折过去的呀。 a c 把 m f 给垂直平分了。所以说我们要想求 b f， 只需要求 b m 求出一半来就可以了。那么 b m 又是谁呢？你看， b m 显然是这个六八十为成的直角三角形斜边上的高线。 那么怎么求直角三角形斜边上的高线？这就叫用到了等面积法，同学们，等面积法， 等面积法，也就是说 s 三角形 a b e， 它的面积既等于六乘以八除以二，还等于十乘以 b m 除以二。 显然这个 b m 咱们就可以求出来了，左右两边都乘以二六八，四十八除以十，那就是四点八了。 bm 是 四点八，那 mf 就是 根据这个等式求出来的。 bm 等于四点八，对吗？所以两边都乘以二十倍的 bm 就 等于四十八了，所以 bm 等于四点八。那 bf 就是 啊，九点六了呗，九点六比十二就等于一百二十分之九百六十，再约分就 ok 了。这个题的答案就出来了， 也就是说，这里用到了斜中定律的逆定律去判定他是直角，这个在切线的判定里边也会用到的，你们啊，斜中定律的逆定律会经常用到，哎，知道他们三个相等怎么推？这个地方是直角，就是两组等角， 四个角的和是一百八，那么这俩项呢？这俩项呢？所以这俩加起来就是九十了。而且这里还用到了折叠问题，里边的折痕就是对称轴，对称轴就是对称点之间连下来的那个线段的垂直平分线。 三角函数要么做垂直，要么转化角度，把它放到直角三角形里去，这里不用转化，连了一条线就出来了。 另外还要注意等面积法。求直角三角形斜边上的高线，这些都是经常用到的知识点，同学们啊，经常用到的知识点一个是斜中定律的逆定律， 再个就是等面积法，这个就是折痕，就是对称轴，对称轴就是对称点直接连起来那个线段的垂直平分线。希望这个题能够帮到大家。
82初中数学柳老师
12:36查看AI文稿AI文稿好的，包子们，今天我们来看两道题目，第一个是一个减三角形的问题，第二个是一个三角函数那种三倍角。好的，那我们先来看一个第一小题啊，巴拉巴拉说这么多，感觉这个很有年代感，什么陀罗密啊，那其实就是说两条对角线的乘积， a， c 乘一个 b， d， 那么小于等于 ab 乘以 c， d， 再加上一个 a， 得乘以 bc， 就 这么一个东西。然后他说若 ab 啊，他是个垂直的垂直 bc， 然后呢， b 得等于二，求两倍的 a 加 c 的 一个最小值。那么用公式啊， ac 乘以 b、 d， 你看，哎，这是一，这是二，那么 a， c 是 根号五，那么就是根号五倍的 b， d， b、 d 是 几啊？二呗。那么小于等于 ab 乘 cd， 那 就 cd， 再加上 a 的 乘 bc， 那 就两倍的 a， 得吗？好嘞，它这样就是两倍根号五，当前仅当 abc 的 四点共圆的时候，这个是等号乘 b 的。 然后再来看第二个，若三角形 a、 c、 d 为一个正三角形，当线段彼此的长不一起最大值，这有点像初中题目啊，因为我初中时候也做过这种最大值，他说正正三角形，那我这变长是 a 吗？再用个陀罗密啊， a、 c 乘比得那么 a 倍的 b， d 小于等于 ab 乘 c 的 a， 再加上 a 的 乘 b c 二 a， 那 好了呀， ab 的 b 的 小于等于三 a， 那 么 b、 d 小 于等于三，当前仅当 abcd 它四点共圆的时候 啊。任南画，那就这样子画吧。好了，他四点公园的时候就角 a、 b、 d 啊，角 a、 b、 d， 所谓的弧是，所谓的弧，是弧 a 得弧 a 得的话，那所谓的圆周角是角 a、 c、 d， 那 么角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 d 等于六十度啊，那不就没了吗？啊？所以你看这 d、 e、 d 啊，其实还挺简单的。然后来看个第三问，呃，当角 a， 当三角形 a、 c、 d 为一个正三角形的时候，让你求个 ab 的 面积的最大值啊。可能有点，就是，你 刚看到这东西，怎么也没思路啊。你看啊，这是一个三分之派，我是他边上都是 a、 a、 a， 那 我是不是可以他面积的是二分之一的 ab 乘以 ad， ad 乘一个三角 b， a、 d， 角 b、 a、 d 是 不是三角 b， a、 c 再加一个三分之派？那么我其实就要先求个角 b、 a、 c， 对 吧？ 那我怎么写角 b、 a、 c， 我 再用匀减，这里扩散角 b、 a、 c 三角形 abc 里面等于 ab 方是一 ac 方，我说是 a 吗？减去 bc 方四除以二， a 等于二， a 分 之 a 方减三。哦，扩散角 b、 a、 c， 我 算出来了，那么我这个 a 四三角形，嗯， a、 b、 d， 它的面积会表示二分之 a， b 乘以 a 得乘以三角 b、 a、 d， 那 就是二分之 a 乘以三角 b， a、 d 是 角 b、 a、 c 再加一个三分之 pi， 那 不好了吗？那等于四分之一倍的 a 乘以三角 b， a、 c 加上四分之根号三乘以二分之 a 方去三啊，我看着又有角 bc， 又有 a 方，看着好难受啊，我找找他们有没有什么关系。 abc 里面有个等面积方，二分之一等于 ab 乘以 ac， 那 不就是二分之 a 吗？二分之 a 乘以 abc 乘以三角 abc， 那 其实就是三角 abc。 好，我发现什么二分之一 a， 三角 bc 等于三角 abc， 那 我把它带进去了，那我等于二分之一的三角 abc。 好， 再加上这个东西，那我找找角 abc 和 a 方的关系。 扩散角 abc， 那 我这样写吧。嗯，这条边 a 方 a， b 方一，再加 b、 c 方四减去二乘一乘以二减去四倍的扩散角 abc， 那 么也就是说 a 方等于五减四倍的扩散角 abc， 那不就是你带进去啊。加上四分之根号三乘以二分之 a 方，是等于五减四倍扩散一角 a、 b、 c 再减二减四倍，二减四倍扩散角 a、 b、 c， 那 二二约掉一减两倍的，那我乘， 那不就等于二分之一倍的三角 a、 b、 c 减去二分之根号三， 扩散一角 abc 再加一个四分之根号三吗？那这里面辅助角公式等于三角 abc 减去三分之派， 再加四分之根号三，那么就是小于等于一加四分之根号三。当前紧当什么时候去的里面三角 abc 减去三分之派等于一个二分之派的时候去的，对吧？那就说 角 abc 减三分之派等于二分之派，即角 abc 等于六分之五派的时候，他这个能够取到等号。好，那我们第一题又讲完，那我们来看看第二题啊，把它移上去， 第二天讲讲一个正东西，给你一个信息，然后告诉你个，呃，叫什么？切，比雪夫多少事啊？你其实不用看他让你求 t 三 x， 其实就是问你，让你求一个 cosine 三 c 塔三倍角公式嘛。那等于 cosine 二十一趟再加十一趟呀。嗯，扩散二十一趟乘以扩散一十一趟减去三以二十一趟三以十一趟 扩散二十一趟二，扩散三方减一乘以一个扩散一十一趟减去两倍三十一趟三，四方减去扩散一十一趟。啊，这句话，两倍扩散一十一趟，三四方减去，扩散一十一趟， 减去二块一，减扩散 x 它方乘以扩散 x 它。哎呀我的妈呀，就是硬着头皮往上算就可以了。减去两倍的扩散 x 它，再加两倍扩散 x 它。三次方， ok， 我 的妈终于算出来了， 三次方减去三倍扩散 c， 好， 就说扩散以三 c， 它等于四，扩散 c 它的三次方减三扩散 c 它。其实我建议你记一下，那么 t 我 直接擦掉了， 那么 t 三 x 等于四 x 的 三次方减去三 x， 然后扩散以三 c 塔等于四倍扩散以 c 塔三次方减去三倍扩散以 c 塔， ok？ 好 的，然后来看第二问，让你求了三以十八度值，但你第一问只知道扩散以三 c 塔呀。那其实我想一下啊， 扩散以三乘以十八度就。扩散以五十四度等于四倍扩散以十八的三次方减去三倍扩散以十八度， 可算以五十四度，是不是等于三以三十六度啊？三以三十六度是什么？十八的两倍啊，那就是等于两倍的三以十八乘以可算以十八。然后呢，等于右边这东西，你看有没有约掉的。可算十八。哎，可算十八约掉的呀， 那不就相当于两倍的三十八度等于四倍扩散十八的平方等于四倍一，减三十八的平方减去三。那咱们把它化简整理一下，四倍三十八度的平方加两倍三十八度 再减去一吧。嗯，应该是减去一。那求根公式二，一分之负 b 加减根号下 b 方四加十六，二十二倍根号五。那我们要取正的值啊，四分之根号五减一。那么三一十八度就是等于四分之根号五减一， ok， 结束是一个点啊， 三十八度的四分之根号减一，然后来看第三，问，他告诉我，这东西让你正一个它方成的根。嗯，怎么说呢，我急个奥出来， 是不是很熟悉啊？四 x 三次方减三 x， 所以 说这肯定要用一个三倍角度数了。那怎么用呢？嗯，怎么用呢？我想一下，这样的 扩散以正负三分之派加二 k 派是不？这个角的三倍呀，那三倍我就可以写了呀，等于四倍扩散 这个角的三次方，减去三倍扩散这个角，对吧？那它等于什么呀？等于一个二分之一，我的妈呀，说明这个东西等于二分之一，我把它带进去啊， 那不一样的吗？那他这一项就等于二分之一啊。二乘以二分之一减一，那不等于零了吗？所以说他就是他的根啊，对吧？他就是他的根啊，这个就这样子做的呀。然后 这个东西扩散以九分之派三次方。嗯，那 k 等于零的时候，那 x 等于扩散九分之派， 说明扩散九分之派是这个方的一根。九分之五派是什么？扩散负九分之派，再加上一个三分之二派。好，说明扩散九分之五派也是他的一个根，然后扩散九分之七派，等于扩散 九分之 pi 加上三分之二 pi。 哦，括号九分之七 pi 也是这个方乘的根，说明了什么？这三样东西都是它方乘的根，并且它是三次方，那我来写下八 x 三次方等于六 x 再 加一，说明了什么呢？ x 三次方等于八分之六， x 加一八，那么带进去啊， 八分之六 s 加一六倍的扩展九分之派再加一，我们加一起，到后面这三样都要加一，直接加三好了，再加上扩展九分之五派，再加上扩展九分之七派。好，那其实我就要求的是一个 这三个东西想加怎么求？和和差化积。扩散以九分之派，再加上扩散以九分之五派， 等于两倍的扩散以三分之派，再乘以扩散以九分之二派，三分之二派，扩散以九分之二派，我们扩散派减九分之七派， 那么等于负的扩散九分之七百。好的呀，那说明说扩散九分之八，加上扩散九分之八，等于负的扩散九分之七百。刚好红队约掉了，所以剩下是零啊， 那还剩下什么八分之三啊？所以说这个值就是八分之三。好了，那我们做过来看一下这个， 所以这三个，这两道题目，我觉得这一道题目考你一个错了你，我感觉这个东西你初中肯定就了解过的。然后一个结论，你是第一个了解，就一个，第三个你 可能比较难想到，其实就是斯凯文的这个就一个文本阅读的一个难题，对吧？就是那种 给你个材料，让你理解一下题目的意思，你不要被他这么这个东西给吓到了，你看他这么多，看也看不懂，其实你只要看了一个三倍角公式就可以，他不给你，这个事情照样也能做出来，就这样。
109草莓涵涵酱
06:02查看AI文稿AI文稿这个是天星卷的第十题。嘎嘎，好，咱们首先看二 b 三 s 减三二 s。 第一问奇数，这个就好判断了，这个就根据奇偶性去判断。嗯啊，咱们可以说三 x 奇函数，二 x 还是奇函数，奇减奇还是减数。一步秒出答案。 这是 g m 的 定义啊，也可以用 f 负 s 等于负的 f s 去判断。得不得，他得就是 g m 不 得就不是。这 g m 是 定义去判断，咱们根据加减法这个去判断，那更好了， 这是关键啊。第二个说周期是派，这个关键点在哪块呢？这个周期记住是得二拍，这个周期 t 等于二拍比上二，二拍比二的话， 他不等于派了吗？所以说他出去派，他出去二派两个周期，一个派一个二派，那么问你周期多少？他的周期应该是二派大的那个，你要是派是周期的话，那你二派你怕没到那周期呢？但你要是二派的周期的话，你派不达到两个周期了吗？所以他周期如果要是说是派的话，那就不对了啊， 就得取它大的那个啊，也可以用啥方法去做它呢？咱们周期不是派吗？把 f x 加派往里带，看得不得 f x， 如果得，那周期它就是这个派了，如果不得，那周期就不是派。 嗯，就是设置周期的公式， s 加七等于 f s， 如果得就是不得，就不是就这个公式。那这二倍三 x 减三二 s， 它怎么去 带呢？咱俩带一下了， f i 加派往这里边一带之后呢，发现二倍的三引括号 i 加派呗，他直接变负二倍三 s 了呗，直接变相反数了，那肯定就不能得了，他就 你整完之后和原来一样，他才能是周期不一样就不是。但你像这个，你要带的时候，三引二倍的括号 s 加派，展开之后变三引，括号二 s 加二派，他不等于三二 s 吗？对，这个他就可以， 但你看你他不可以，他可以。那不也不是周期啊，他必须俩同时满足才是周期，要满足一个的话，那是绝对是不行的。这是这个啊， 第三个 a 选项。 c 选项是啥意思呢？ a 到 b 上单调递增，求 b 减一的最大值。看这题 单项递增是啥意思？就是导数咋的大圆啊。这个是有讲究的，看好了，求导 f s 求导二倍的口算 x， 他 要值二倍的口算 x。 能不能懂？这个求导变成了二倍的 口算引二 s， 你 算引二 s 求导的话，它就得口算二 s， 再乘以一个四倍下导是乘以二， 就是二倍 cos。 哎，这是求导。那他求导，咱们现在求他递增呢，就大于等于零呗，减 x 呗，二倍的 cos 减去二不动 cos， 咱们用到一个二倍角公式。二倍角公式是啥呢？二倍的 cos 平方减一，因为这个二倍角公式必须得设为到 口塞的，你不能用塞，必须得用口塞，他俩之后才能化减呢。展开之后呢，就变成负四倍的口塞 s 平方加上二倍的口塞 s 再加二吗？嗯，让他不大等于零吗？两边同时除以个二啊。除二的目的是啥？咱们减口塞 s 减 s 的 值吗？那除以二 加了口三 s 加一不是大的吗？再同时乘个负一，乘以负一也行，不乘负一也行，不乘负一咱就直接有十相乘了。负二倍的口三 s 和口三 s， 这不十相乘吗？嗯，他这符号也这是正的。那所以这也得拆成负一，这才是正一啊。他俩相乘是二倍的，再加一一倍的，那这也得拆成那个， 这个拆成正一，看到这拆的效果有点问题，重新拆一下子负二倍 q 三 s 和 q 三 s。 这个如果拆成负一的话，这不也得拆成负一吗？因为相乘的得一啊，他俩的负二倍 q 三 s 加一乘负一正的了呗。二倍减一倍，正好是 q 三 s 了吗？ 何必就负二倍的 q 三 s 减一乘以 q 三 s 减一呗。这不大等于零吗？开口像啥？ 负二它往下了吗？这个根是 cos 等于一，比如说这 cos 等于一，这个根是 cos 等于啥了？负二分之一吗？它现在大于等于零，取的不这部分吗？ 对大的量吗？那对应的自然取值范围不是这部分吗？所以说口算 i 取值范围那就是大于等于负二分之一。小等于一呗。小于等于一就不用管了。那肯定他永远都小等一，现在主要就看大等负二分之一这个。哎，那怎么去解呢？画口算 i 图像，口算 i 图像是怎么画的？ 大于负二分之一，把它画出来，这个值和这个值得会找。负二分之一在哪啊？口在三分之二。一百二十度是负二分之一，左边对称负三分之二不也是负二分之一吗？大于负二分之一，那取的就是这部分。 嗯，对应 x 取值就是大于等于负三分之二派，小于等于三分之二派，这是一段得加上他的周期二黑派加周期二黑派。所以说呢，这个咱们求 x 范围了，他的 a 到 b 递增，那就是在这范围内递增呗。 这派就他说让你求他 b 减端点值相减最大，那也就是说在这个之间都是增的，取哪都可以，对不对？取哪都可以。所以说咱们取右边取最大，左边取最小。相减不就最大值了吗？三分之二派减负三分之二派不就等于这个三分之四派了吗？ 所以他最大值就是三分之四派。嗯。哎，他在这个区间，咱们知道他单调不是递增的吗？因为这个图像他单调递增一直增吗？对，一直增的话，那最大值肯定得三分之二派取最大值了。负三分之二派不取最小值吗？那最大值把三分之二派往里带呗。三分之二派往这里一带， 就二倍的除以三分之二分减去，再以二乘以三分之二分解出来，等于二分之三倍加上三，这个就是它的最大值啊。这个的嘎嘎好。哎呦我去，嘎嘎，权威。
07:41查看AI文稿AI文稿看一下这个十六题啊，十六题，这个是三角函数的直角。呃，那个实际应用啊，解直角三角形啊，这种题啊也是我们中考的就常考题啊，老朋友了算。是啊，这里主要是对这个羊角啊，福角啊这些 东西的一些理解，还有就是一定要在直角三角形里面解，你看这些东西其实题是都给你提了，怎么塞引啊，扩散啊，摊角的，这就只能在直角三角形里面才有。好吧， 这个我提醒一点点啊，做这种题的时候就是一定在直角三角形里面，嗯，做，然后去套这个三角函数，然后最后最重要的就是把它算准确，不要算错。很多同学他不是不会算，他是算错，不会算的同学就是不会找桥梁啊，桥梁很重要啊，找桥梁 就是他这个相当于一个咱们在证明题里面找的那个就是等量代换，那那种感觉啊，找等量代换，找桥梁。我们来看一下这个题怎么做， 他说前面说什么活动啊，怎么？你管他什么活动？你不管什么车，你看有一个围巾车下来就 ab 的， 东门的就就这个车， ab， 那 最后不是求 ab 吗？对吧？西门有一笔 测这个东西就是要求的，就是要求 ab， 他 说如图，主要是把图读懂。无人机从西门 a 处垂直垂直上升，对吧？他倒到这里，那垂直就垂直了，他不垂直吗？对吧？在哎，这个 c 处测的，东门 b 的 俯角为三十度，你看这个题，他这个角为三十度，其实他已经很人性了，他告诉了你也。 呃，在途中已经告诉你哪个角，如果是我出题，我是不会告诉你这个的，让你从图里面自己找啊，这个题，但是每年成都中考他都告诉了，所以说无形当中减轻了压力。 ab 方向沿 ab 方向飞行六十米，到达地主量，它是平行的哈，它是沿这个 ab 方向飞飞行啊，再垂直上去，然后这个是六十六十米啊，到达地，也就说你要从已知得到一些 c、 d 是 不等于六十米啊，对吧？ c、 d 这个等于六十米，他说在 d 处测的西门的俯角六十三点，你看这个就是他要这个俯角就角 d 嘛，角 d 等于六十三点四啊，对吧， 对吧？这个度好，这，这个角，这个 b、 c、 d 等于三十度，对吧？我，我其实不喜欢写这种数，我喜欢标标字母角一，角二，这个角，对吧？你应该等于多少？你应该明白的哈， 我们来看一下这个 ab 方向，继续读，他说这个等于六十三，六十三点四度哈，没有了，就求这个了哈，你看， 如果在不添加辅助线的情况下，你要在直角三角形，对吧？应该是直角，就 r、 t 三角形哈，注意所有的点，那只有这两个角是直角， c、 d 肯定是。 ab 是 平行的，对吧？它是 水平飞行的，对吧？这个 ab 方向啊，飞的沿 ab 方向它是平行的，这个你就告诉我 c、 d 和 ab 它是平行的，这个东西要搞明白，好，对吧？我们来看一下，已知的是 c、 d， 对 吧？ c、 d 等于六十米，我们要求的是 ab 来，在这个三角形，在 r、 d 三角形 a、 c、 d 中 是不是角 c d a a 这个角 d， 角 d 嘛，就是角 d， 是 不是等于六十三点四， 对吧？ cd 我是 知道的，是在这个直角弦上求 ac， 可是不是可以用正切啊，对吧？这些什么正切啊，正弦啊，余弦对吧？你的脑子里面要有啊，我在这边都写了哈，如果你是，呃，同学，对吧？你是学生啊，我讲这些东西的时候，你能想到山影是不是对边比斜边就是 正弦，鱼弦就是 cosine 是 斜边啊，临边比上斜边那个正切是对边比上临边。如果你是家长的话，对吧？你就你可以 拿着这个字典问一下同学，你问他三引扩散引碳量体，他所对应的是什么，你可以考察一下他，如果你自己学生，你自己这我说这个问题的时候，脑子里面想一想，这些东西还有些特殊角，对吧？这些特殊角是多少？我讲我讲过塑形结合，直接可以把这些角全部给他， 那个就是算出来，不用去死记硬背，在这里我就就不讲了，因为时间关系啊，同学们可以自己去看一看哈，对吧？ 好，我们来看一下这个在三角形 r t 三角，如果后面有同学留言说这个不太会了，就记不住这个的时候我会出，我可以出一期视频给他专门讲一下。这个怎么记啊，很简单啊，不需要死记硬背，再用竖形结合啊。 好，我们回到这个题字，回到这个题啊，这个是竖直角，我写这里啊，在二 d 三角形中，你看有这个。如果说 a、 c 比上 c、 d 是 不是就正确？就不贪江题，那是不是应该等于贪江题角？这个贪江题写都一样，把这个擦掉吧，这写的不太好， 是不是应该等 a c 比上 c、 d 是 不是等于贪江题角 d？ 贪江题角 d 就是 贪江题。六十三点四度 弹性力有十三度，是不是等于二，对吧？这个都有了，那也就是说 ac 和 cd， 那 所以说你要把这个 ac 求的等于 cd 乘以二 啊， cd 乘以这个，它这个弹性力角 d 吧，还是写原式 cd 是 不是六十再乘以二，是不是一百二十米？哎，有些同学问呢，哎，为什么？哎，老师为什么要先求这个 cd 啊，对吧？我说过，在直角三角形里面，我们来把这个东西为什么不求其他的要求 ac 啊，对吧？我说过在直角三角形里面，我们不求其他的要求 ac。 哈， 我说过，解直角三角形，首先第一必须在直角三角形边，直角三角形，在这个如果再不做辅助线的情况下，就只有这两点，这两个三角形 a、 c、 d， r、 d 三角形 a、 c、 d， 一个是 r、 d 三角形 c、 a、 b， 对 吧？就 a、 c、 b 嘛，或者是 c、 a、 b 都无所谓，就这个，这这这这这这两个三角形，直角三角形，而椅子给的是 c、 d， 很 明显 c、 d 只能在这个三角形里出现， 而这两 r、 d 三角形 a、 c、 d 和 r d 三角形 a、 c、 b， 它是不就是通过桥梁 a、 c 来实现了？没，两个都有 a、 c， 对 吧？所以说只要从在 c、 d 里面自然的把 通过 r、 d 三角形 a、 c、 d， 通过 c、 d 把这个 a、 c 算出来，那再通过三角形，再这样三角形 c， 那 个 a、 c、 b 当中就 c、 a、 b 算出来，对吧？这个角多少度？是不是三十度？ 为什么？ c、 d？ 我 刚才说了 c、 d 是 平行于 ab 的， 对吧？内错角，这两个角是内错角关系，对，也就是说角 b， 其实它也等于三三十度，对吧？我们再来，有了刚才的分析，我们再分析，再再，三角形 r c 三角形 c a b 中， 对吧？在 r c 三角形 ab 中， c a 就 a c 嘛，比上 ab 它是不是也是弹性角 b 啊？ 刚才我说说了，它将你角 b， 是 不是它将你三十度，对吧？那所以说我写在这里，那这个我们要求的 ab 不 就等于 c a 除以它将你角 b 吗？ c a a c， 刚才算了一百二十米， 它将你角度就是它将你三十度，它将你三十度，是多少？是不是三分之二三啊？同学们，对吧？其实在我在这里写了，对，三分之二三，一百二除以三分之二三，同学们搞不清楚，是慢慢算，除以除以一个数等于乘以这个数的倒数，对吧？乘以这个对吧？一百二 加三分之三，不就是一百二倍加三吗？是吧？加三带进去，一百二乘以一点七三，答案，答案 一算，这里就是二百零七点六，最后的答案是单位带上啊。考试的时候算这个是很简单的，一定记住啊，算，算的时候就是 他就是一定在直角三角形里面，大家要从这个题的这个挖掘他背后出题的内容啊。死想啊，为什么是我刚才讲了这些东西啊？考试的时候一定首先抓住再怎么找到直角三角形，然后去找桥梁， 就两点，一找直角二，直角三角形二找桥梁，桥梁一算啊，代入精确，他说零点一米就多少，把它算清楚啊，不要算错啊。好，这个题就在这里，其实挺简单的。
16小王150
07:24查看AI文稿AI文稿最近很多同学私信我说，林老师，我第九题和第十五题这种压轴题还是不会做，但是我很想把这个分点拿下来，有没有很好的办法能够快速的学会这几种题？林老师在这告诉你，有，当然有！ 今天呢，我们就针对第九题，第十五题以及后面的二次函数，再给你们一个奥利解法，那就是正切值探解题，它的效果真的是杠杠的，绝对能够解决你当下的刚需问题。首先你要记住两个核心结论， 就是当两个角互余的时候，也就是 x 加 y 等于九十度时，那么它们的正切值也就是探解题 x 乘探解题 y 等于一， 当这两个角互补时，就是 x 加 y 等于一百八十度的时候，那么 tangent x 加 tangent y 就 等于零，它们互为相反数。只要用好上面这两组正确结论，直接套用，能快速的抓住关键条件，一步带你解决关键卡点。 好，接下来林老师先带你吃透这个解法的原理和用法，搭配一道经典题，一步一步的手把手的告诉你怎么把这个结论用到题目里面去。首先林老师讲一下这个基础知识点， 就是两个角如果互余，也就是 x 加 y 等于九十度的时候，那么他的贪婪 t x 乘以贪婪 t y 一定是等于一的，就是互为导数。记住了，两个角互余，那么他们的贪婪值互为导数。推导的结论很简单啊，其中一个， 它的底 x 是 b， c 比上 a c， 它的底 y 呢，是 a， c 比上 b c， 两个相乘就等于一了。好，举个简单例子，一个是三分之根号三，一个是根号三，乘起来等于一。好，记住了，两个角互为互为导数。 好，我们再来继续看。两个角互补的时候，你就这样，当他互补的时候，他们两个角加减等于一百八十度，这个时候探间梯 x 和探间梯 y 互为相反数，记住了这个结论，因为这个推导是高中的知识推导了，但是在初中他绝对好用，这个东西有点超纲，但是你直接用就行了。好， 还讲一个东西，就是一二三四五模型的一个原理解法，就是探见题二 x， 它可以理解为探见题 x 加 x 就 这两个角，那么它的一个公式是什么呢？是二倍探见题 x 除以一减探见题 x 的 平方。具体怎么用呢？ 比如这里探见题 x 等于二分之一，那么我们用这个公式就可以直接进行代值，探见题二 x 就等于二倍贪婪体 x 除以一减，贪婪体平方 x， 那 么这个时候呢？你把这个值带进去，哎，二乘二分之一除以一减二分之一的平方就得到了三分之四， 明白吗？好，这个就是一个二倍角的应用。那么这三个公式具体有什么用处呢？我们把它放到题目中来看一下。 ok， 我 们来看一个题。好，今天我们来学习一个南开切莫题。第十七题啊，你先自己看一下这个题目，让我们开始讲 好，题目中这提到一句，将 a、 e、 d 翻折到这个地方来。 ok， 翻折之后这边做一个延长。好，其他的没有什么说的，他唯一得到的信息就是这个边是十二，这个边是九， 其他没有任何信息了，只是一个翻折。那么我们怎么来做这个题？我们结合之前所学的间隙法，再配合今天的新知识，可以秒杀这个题。首先我们观察一下这个三角形翻折的，也就是 a， d， e 翻折到 a， e、 f， 那 么我们可以理解为这个角是 x， 这个角也是 x。 好， 这个 y， y 这个角是跟他成互余状态的，也就是说二 x 加上 y 是 等于九十度的， 这是我们的一个互易信息，我们先把它放到这里，我们一会要用到它，好观察这个地方。探间题 x， 因为一点是中点，所以探间题 x 是 六比九，六比九，那也就是三分之二，三分之二。好，刚才我们所学的第一个二倍角的探间题， 这个角的面积值是多少？我们可以用二倍角公式来进行替换，进去，把三分之二带进去之后，这里变三分之四，这里变九分之四，然后一解得到五分之十二， 意思就说探点梯二， x 是 五分之十二，那么这个就非常有用了。因为今天我们学了一个新的知识，叫做如果两个角互余，那么他们的探点梯值乘导数，刚才这个探点梯二 x 是 等于五分之十二， 那么这个贪间题 y 一定就是十二分之五。还记得刚才我们说 ab 边长是多少吗？ ab 的 边长是十二，对吧？ ab 的 边长是十二，那么 d g 的 长度就一定是五，所以我们给他坐标五到零，这里九到零，九到十二。 ok， 那 么得到了 g 点是五到零之后， a 点坐标是多少还记得不？它是零到十二。好，你观察 a g 直线方程，有了斜率也有了 he 有 一个点，然后有斜率，斜率跟它乘起来是负一，我们在之前的课程已经讲到过，那么你会得到一个什么？得到 e h 直线方程， ok， 那 么 e h 的 直线方程很明显一看它的一个斜率是十二分之五，跟这个东西是乘起来等于负一的，然后过点九到六，直接可以出这个直线方程。直线方程出来之后，我们就可以得到哪些值呢？首先 k 点， k 点是零到四分之九 是可以出来的，然后 f 点呢？是两条直线相交得到它的方程是十三分之四十五到十三分之 四十八。具体解这个方程我不教了，你自己去解。好，你观察一下，我们是不是要求 k f， 要求 k f 两点间具体公式长度就出来了，当然这是一个纯想的方法，纯算的方法有没有直接简单一点方法？刚才我们不是知道了 y 的 探点值是十二分之五吗？那么你知道了这个坐标，你也可以用三角函数直接把 k f 给比出来，不用计算这个点， ok， 用直接用正切值去把它比出来。好，那么第一个问就搞定了，第一个问的话就是 k f 是 等于四分之十五，明白了吧？再说一次啊，给你巩固一下这两个点坐标，算出来了直线方程就可以出来。简单一点呢，就是探点体，他这段比，这段是五比十三，这段是五比十三， 我已知道这段的长度，去求 k f 的 长度，通过这个比值也能直接算出来。两种方法都可以 好搞定了。接下来我们说后面这个 f h 比上 c f， 还记得吗？刚才这个直线方程是不是已经出来了的？既然这个直线方程已经出来了，那么我 h 点的坐标可以马上给它秒出来，是负的五分之二十七抖零。那么我现在要求这个 f h 是不是直接两点间距离公式 f h 就 出来了，然后 c f 呢？两点间距离公式是马上就出来了，就直接你可以把 f h 和 c f 给算出来，算出来了直接比就行了。当然我还是说那句话啊，间隙法加这这种黑科技办法，它好处就是想的不用那么复杂。 是不是思路非常简单吧？你一琢磨，哦，这算出来，这算出来，这算出来，那直接硬算就行了，快处是什么也就劣势是什么，就是难算。你看这些两点间距离公式去算的还是挺麻烦的。当然这个仅仅针对于你在考场上确实想不出来方法。哎，你能想到林老师教给你的两角互余， 他们的正确值互为导数，下次课我们就讲两角互补，他们的正确值互为相反数的一个例题来讲。好，今天我们就说到这个题，你下去再看一看。好，再见。
759你好林老师｜重庆初中数学
25:00查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，今天呢，我们来呃讲解一道三角函数的题目， 那么这个题目呢，是取自重庆一中的月考题目，三月份的月考。呃，首先我们还是解析一下关于这个重庆中考的三角函数 这个题目，我们应该要具备哪些知识点，当然这里主要讲的可能就是我们重点要储备哪些知识啊，一些细枝末节的，咱们就先不考虑啊。首先呢，啊，这个题啊，第一个 这个题同学们做了很多次应该就会发现啊，往往呢就是呃，角度的信息会给的比边的信息要多一些，往往给边的信息只给一条边或者两条边， 但是给的角度呢，可能有三个，四个，五个。那很多同学他就觉得啊，怎么边给我这么少角度，给我这么多角度给我这么多到底有什么用呢？还是非常有用的。所以这个题我们第一个步骤就是一定要关注角度， 第一件事情不要去关注边等于多少，先把所有题目中相应的角度全部表达在题目的图形中啊，要多关注角度。 接下来我们来说一下为什么要多关注角度，因为这个三角函数啊，这个题的本质啊，他其实就是解三角形，这里的三角函数呢啊，而且主要是解直角三角形。 那我们知道三角函数它的有一个很重要的作用，它就是将角和边 进行了一个联系。那以前我们在没学三角函数的时候，我们看到三十度，四十五度，六十度，我们可能就仅仅觉得它只是一个角度，但学了三角函数过后，我们知道这些角度是在 暗示我们边之间的一些比例关系，你比如说上引某一个角，他对应的就是对边比斜边，那如果一个角度已知， 这个东西就已知，那在一个直角三角形这两条边，他给我一条边，我就能求出 另外两条边啊，因为它是直角三角形，比如说这个已知， 那这个对边如果是一千，那斜边就出来，配合勾股定律，另一条直角边也出来。 所以说我们做这个题就应该多关注角度，而不应该是边长，这是我们的啊，第一个要具备的一个逻辑啊，解这个题的逻辑 相当于啊，你现在这个题给我的角就相当于是给我了边，他给了我多少角度的信息，其实就是在间接的给了我多少边长的信息，所以不要害怕角，角度越多越好，我越喜欢 好啊，然后呢，这个角度关注了过后啊，这个题他其实有两个东西考的比较多， 一个是直角三角形，一个是三十度六十度的一个 直角三角形。对于这两个特殊的直角三角形，我们应该要快速的知道三边的比例关系。这个等腰直角呢，是一比一，比根号二啊，这个三十度六十度的话呢，是 一比根号三比二。其实对于等腰直角啊，我不担心同学们会出错，那斜边肯定比直角边大，所以一一根号二是不会写错的，斜边是直角边的根号二倍，直角边是斜边的二分之根号二倍。 但是这个三十度六十度的直角三角形，有很多同学容易搞混， 哪条直角边是哪条直角边的根号三倍，这个一旦错了，那后面就全部都会错啊。二，肯定大家都知道最长的斜边是两份，这个一和根号三。那同学们记住三十度的零边， 你就去找三十度三十度的这个临边，这个直角边是对边这个直角边的根号三倍， 一定要记住谁是谁的根号三倍。那已知对边求三十度临边这个直角边就乘以根号三，已知三十度临边这条直角边，要求他对的那条直角边，你就得除以根号三 啊。所以这个是一个知识储备啊，这个是两个特殊的直角三角形的一个三边的比例关系。就咱们做了这么多题，这两个是考的特别多的 啊，如果没有这两个三角形，你想办法做辅助线构造，也要构造出来这两个直角三角形，然后利用三边的比例呢去解决问题。好，这是我们的第一个知识储备啊。那第二个啊，其实不不算知识储备吧，就是要点满哪些技能。 第二的一个呢，是我们做这个题啊， 一定要学会构造直角三角形，如果题目没有直角三角形，你就想办法去构造直角三角形， 也也就是添辅助线，这个辅助线他添法就比较灵活了 啊，因为我们这个解三角形啊，初中阶段他主要就是解直角三角形，如果这个题目连直角三角形都没有，你肯定需要去做辅助线的，就去构造。但是这个构造呢，大体来讲啊，黄老师把它分成了两种， 第一种呢，就是叫我把它取名叫向内突破 一种。是呢 啊，名字不重要，重要的是这个思想的核心。一种是围魏救赵， 也就是外围从外围突破，一个是由内向外突破，一个是从外面去构建这个辅助线向内突破的意思呢？我举几个常见的例子啊，那比如说咱要是这个地方有一个一百零五度， 哎，或许我们那条线呢，就可以啊， 就旁边如果还有一个什么四十五度，那咱们就可以这么去分，那这样子的话，这个地方就是四十五度，这个地方呢就是六十度，旁边就是三十度这样子。一个特殊的啊，本来是一个普通的钝角， 那现在就变成了一个特殊的两个特殊的直角三角形，对不对？这个就是向内突破了，那除了有一百零五度这种的话呢， 那还有比如说这个七十五度，七十五度，哎，有可能你这条线是这么做出来，做一条垂线，那做条垂线下来呢啊，这个旁边当然也是四十五啊，那这个地方就是四十五，那旁边就变成了三十，你又把它变成了两个 特殊的直角三角形，对吧？这只是简单的举一下例子啊，同学们都懂，那甚至说有的比如说这个地方是个钝角 一百二十度，哎，你说没出来六十啊，也没出来四十五啊，那你把这条线延长，这样做条垂线下来，旁边不就有这种三十六十的直角三角形了吗？所以这个是特别灵活的。 你再比如说这个角一百三十五度，你咋办呢？哎，你这么做旁边是不是就四十五度了，就有等腰直角了？所以只要涉及到做辅助线的，他肯定都是特别灵活的啊，那就是向内突破了，就是从内部向内突破，就是指的意思就是把一个角 分成呢两份，这个就是我觉得是向内突破的意思。而围魏救赵呢，其实就是从外面去突破，就是可能你把它围成一个，把延长相应的 牵垂线啊，围成一个直角三角形，这他这个辅助线全部是贴在外面的，就不是从那个图形的内部去做的。你比如说本题的话， 待会咱们就可以看到什么叫围魏救赵。所以大体来说，我认为这个题的辅助线大致就这两种思路。大致就这两种思路，一种是去把一个角分成两份，一个呢是去把它补成一个直角三角形，从外部啊，你说补成直角三角形或者补成矩形，它都是 ok 的， 这是第二的一个知识储备啊。那么第三的一个呢？最近那个中考的那个研讨会也说了，这个题他是一定要有方程思想的。 什么叫方程思想呢？你就是要去列一个勾股方程，在第二的一个基础上 去构建一个直角三角形，然后呢去列勾股方程，在直角三角形里面你能列什么方程？只能列勾股方程， 所以这个就是这个题第二小问他一定会考的东西，他不会像以前去年、前年就是问谁走的更快，谁先到达，那个本质也就是在求线段的长度。 但是现在呢，他这个线段的长度就不是那么硬求直接求出来的，他必须得带方程啊，带未知数的方程，你才能够把这个题给做出来，必须建立方程，而不是直接就一个，就有一个三角形，你去解出来啊，长度是多少多少，那是求不出来的。 好，这个就是本题，我觉得大概需要掌握的一些知识储备吧。接下来我们就来看到这个题，就以一个具体的题目来分析。 这个题的题目前面咱们就不读了啊，他是一个比例尺上的东西啊，但这个题不需要去把它放大，这个是个干扰条件，没用。然后我们就可以看到，你看什么正南方，南偏东， 呃，数据有两个十厘米和五厘米啊，很好标啊。 c d 是 五， bc 呢？是，是十啊？是十。 嗯，然后呢？又是东南方向，对吧？打卡点 e 在 地的正北方又是什么？北偏东，七十五。你看这个角度的信息给了相当多，其实我就很喜欢这种 角，给的信息多，就是边给的信息多。在我眼里学了三角函数过后，角在我眼里它就是边。 好，然后我们就看一下第一个问吧，这个角呢？还好都给我们标出来了，如果没有标注的话，自己第一件事就去标角，懂了吗？第一件事就是标角，做这个题的话，第一件事就是标角， 第二件事就考虑辅助线的做法啊。那这个题要求 ad， 你 看一下咱们这个 ad 在 哪里啊？ ad 隔的这么远，给的边是十和五， ad 呢？ ad 在 这个地方，那你就想这个 ad 它在三角形里面吗？是的，有一个 ad， 有一个一 a d， 那 你说那他在一 a d 这个三角形里面，那难道我应该去这么做辅助线吗？ 你想一下应该是不会的，为什么？因为没有这两条边任何的信息，你确实是有一些角度的信息啊，咱们还可以求一些角出来，比如说这个角是六十度，对不对？这还挺重要的，这个角是六十度 啊，包括咱们这么做过来的话，其实这个角是多少度呢？ 是七十五度吧，对不对？内错角那七十五、六十，然后一百八去减，这个角呢，也是可以求出来的， 四十五是四十五，对的是四十五，哎，所以你说咱这么去做辅助线，确实好像是把它分成了两个特殊的直角， 一个等腰直角，一个三十六十。但是呢，你编的信息现在是属于一条都没有，咱们仅有的编的信息是在 a、 d 的 左下部分的区域，所以 咱们要去做辅助线，咱们就不能盯着三角形一 a、 d， 咱们现在的得把目光放在这个，呃，所谓的什么 a、 b、 c、 d 这个四边形里面，那放在 a、 b、 c、 d 这个四边形里面，我看到有的同学啊，他喜欢他这么去做，哎，他说这有个等腰直角 啊，然后不知道他咋做的啊，反正就是去去去，这么弄，那这么弄没用，你这两条不平行，他这种就是一个典型的在向内突破。那这个题的话，很明显他就是应该 具备向外面去做辅助线的一个思路。比如说咱们把 ab 延长， 把 dc 延长，这个地方如果是 m 点，哎，咱们看一下啊，这个地方特殊角三十度， 哎，这个地方呢，四十五度，那不就出来了吗？对不对？那三十度所对的直角边等于斜边的一半啊，零边呢？根号三倍，哎，所以 md 呢， 就是五加五倍根号三，然后在这个大的等腰直角三角形里面， a、 d 的 长度就是 md 的 根号二倍，就等于五倍根号二加五倍根号六。那么第一个题就做完了，他让我们保留根号 啊，单位的话应该是厘米啊，是厘米，因为是沙盘啊。这个题我们就我就不去细写步骤了，我主要是教同学们分析这个题啊，这个题的步骤挺难写的，需要写详细一点。你看第一个题就是一个围魏救赵，围魏救赵， 那我们再看第二个问，第二个问他就是必须要建立方程了，现在有的时候第一个问他都需要建立方程可能才能做啊。第二个问的话是必须会建立方程的。 第一个问我把答案写在旁边啊，步骤同学们自己去思考。第二个问就是说小艾从沙盘上的地点出发啊，我擦一下上面的数据，有点 小爱从打卡点 d 出发，写个爱匀速移动。小 e 呢，从 e 点出发， 沿某方向，你看某方向，咱们也不知道是哪个方向 啊，咱们也不知道是哪个方向，这个地方是吧？只是说某方向，那么两人同时出发，呃，他们的速度之比呢？是四比三。这个时候呢，我通常看到这个比例问题啊，咱们就要去设未知数了， 因为他们是同时出发的，然后一般呢也是同时去相遇，所以他们身上具有等时性，就他们所用的时间一定是相等的， 那么时间就相等的情况下，速度之比，他其实就是路程之比。那在本题这个图形里面，路程之比就是对应的线段长度之比，所以往往四比三，他对应的就是他们所走走的那个线段的长度 是四比三，所以我们就可以开始设呢未知数。那比如说小艾他走到假设啊，咱们假设他走到这个地方来了，哎，咱们小艾的那个速度是四分，我们就可以设这一段是四 x， 也就是 d q， 那么这个小一啊，他肯定就走的是三 x， 但是他们又相遇了啊，他们又相遇了，那我们要知道是哪部分是三 x 啊，就是 e q， 因为他们是相遇嘛，相遇啊，相遇的时候才是时间结束的时候。呃，那问小爱的棋子移动了多少厘米？那就是在问 d q 啊， 是不是就是在求 d q？ 那 这个时候我们就想一下，我们应该怎么来列这道题的一个 勾股方程啊？我们第一问是求出来 ad 的 ad 是 五倍根号二加五倍根号六，所以现在这个 a q 就是 五倍根号二加五倍根号六呢，减去四 x 啊。但是现在我们发现一个很严重的问题，没有直角三角形，这是最恐怖的啊。我们第二个问，很明显就是应该把目光集中在 a d 的 右上方这个三角形里面，但现在呢，他没有直角三角形， 所以我们应该自己去构造啊，去构造直角三角形，那我们应该怎么构造呢？那你看咱们刚刚第一小问的时候，其实就分析出来，这个三角形 a d、 e 啊，它其实也是一个，嗯， 其实还算特殊了啊，是一个六十度、四十五度和七十五度的一个组合，咱们看到这种七十五度有七十五度的组合，我们就应该想到是不是过一点做一 p 垂直 a d 这样子的话，这两个三角形呢？三角形 a p e 和三角形，一个是等腰直角，一个是 三十六十度的一个直角三角形。那又因为我们知道第一个问 a d 是 五倍根号二加五倍根号六，就很容易求出一 p 的 长度，咱们来求一下，好吧，咱们来求一下。呃，比如说啊，比如说 我们设设 ap 等于 m， 那么在这个直角三角形 a p e 里面， p e 呢？就应该是根号三 m 啊，记住，这个根号三倍，不要搞混了啊，谁是谁的根号三倍， 那 p d 的 话呢，就是五倍根号二减五倍根号六 减去 m， 那 p d 是 这么长的话呢，那一 p 呢？也等于 p d 等于五倍根号二。说错了，是加啊，加五倍根号六减 m， 那 这个时候我们就发现这里有一个 p e， 这里也有一个 p e， 嘿，所以啊， 根号三 m， 他 就等于五倍根号二加五倍根号六减 m， 那 这个 m 就 会等于根号三加一分之五倍根号二加五倍根号六，那我们就可以求出来 啊，上面提个五倍根号二出来，那下面就是根号三加一就约掉， 所以 m 等于五倍根号二。什么意思呢？就是我过一点做这个垂线下来啊， ap 它是等于五倍根号二的，那 ap 是 五倍根号二，那 pd 呢？就肯定是五倍根号六啊。 哎，求出来 a p 呢，其实是五倍根号二，这个 p 点很重要。下面是五倍根号六，那下面是五倍根号六，这个 p q 就是 五倍根号六减四 x， 对 吧？五倍根号六减四 x 啊，当然也有可能这个 q 点它可能长在了，呃，它也有可能啊，这个 q 点 也有可能到时候会长在这种地方啊，长在这种地方，他是一样的啊，一样的。那那个时候的话，这个 p q 的 长度表达出来就是 四 x 减五倍根号六，他都是不影响结果的啊，不会影响结果的，那现在我们看一下，而而且这个一 p 呢，也求出来了，一 p 呢，他就是五倍根号六，那现在这个直角三角形有了， 咱们就在这个直角三角形里面去建立勾股方程，那就是 在 r t 三角形 e、 p、 q 中， 五倍根号六的平方加上四 x 减五倍根号六的平方， 会等于呢三 x 的 平方，你看这个方程思想就是最重要的一步，就是这一步列出来过后呢，计算量是有点大的啊，我直接给同学们写一下，七分之二十倍根号六加减十倍根号三， 要舍掉加号的那个部分，所以呢，他是最后的答案呢，他是四 x， 四 x 的 话，就会约等于十八点一厘米， 十八点一厘米为什么要舍掉加呢？这个加的部分太大了啊，二十倍根号六加十倍根号三，除以七的话，你如果最后再去乘以四的话，他应该比 a、 d 的 都还要大， 所以我们要舍掉加号的部分，保留呢减号的部分。那么这个题呢，就就其实主要就是分析到这里，那么不管后面遇到的咱们是哪种题，他的核心都差不多。第一问一般同学们都能做，第二问呢， 把比例式先设成相应的线段的长度，然后再在这个图形里面去寻求一些突破。没直角我们就必须要构造直角， 构造完直角过后，因为你这里设了未知数，你看他用相应的未知数去把其他的一些边表示出来，最后一定要能够在一个直角三角形里面用同一个未知数去表达 相应的线短长度，最后就列一个勾股方程式，建立了勾股方程式过后呢，这个题就完成出来了 啊，那这个题就考的比较好，第一问考察了向外做辅助线，第二个问呢，还考察了向内做辅助线，该考的呢，就都考到了，同时计算量呢，也还是比较大啊，所以这个题就以这个题为一个典型的例题啊，给同学们讲 解决这个题的一个思路啊。解决这个题的思路好，同学们就讲到这里了啊，同学们再。
