这一集老梁教大家如何用这个画板软件来制作最值问题啊,这个动画, 那像这个案例啊,咱们可以这样来做,第一步,点自定义工具啊, 找到我的基本作图工具里面的正方形工具,就可以点出一个正方形, 然后咱们可以选中点 d, 这里 b、 d, c, b、 c 啊,我们把标签改一改, 批量修改为 a、 b、 c、 d, 这个点的大小咱们可以调小,也可以调大啊,都是可以的,在显示菜单这里可以调。 那这个正方形工具啊,这个点 b 是 主动点,拖动可以平移左右拖动点 c 啊,它可以放大而且缩小。 然后咱们选中线段 a、 d, 构成线段上的点就得动点了,那这个点咱们可以调大一点, 因为动点,那我老梁习惯啊,调整为绿色。 在选中这个点 d 的 时候呢,我们顺便做一个动画按钮,点编辑操作类按钮,这里有动画按钮, 刚才他在编辑区外部,咱们可以鼠标 放到动画按钮旁边,单机选中以后,可以平移到任何地方啊,那这里咱们可以改为动画或者动画点映啊,都可以 把标签动画标签改一改,这样他都有一个动画。 然后咱们选中点 b 和点 d, 构成线段,线形要细点, 那咱们再点这个动画按钮,它就停下,再点它又走是切换点的, 选中点 e 和线段 a、 d, 咱们再点构造菜单啊,那可以构造平行四或者垂线,那现在咱们应该构造的是垂线, 鼠标点出啊,垂线与对角线 b、 d 的 交点 f, 这个点 f 是 被动点,所以咱们设为红色啊,绿色的是主动点,选中这个 e 和 f, 构造线端,选中这条垂线点显示这样的隐藏掉啊。隐藏垂线, 咱们再选点 e 和点 b 构造线端, 选中线段的前提下再点构造 中点啊,就得中点距。选中点距和点 f 来构造 线段啊,这个线段可以做粗一点啊,因为我们是研究这条线段的最最小值颜色啊,咱们在也显示在他这里设定了红色。 学会了吗?想学几何画板的啊,可以订购老梁初中数学院上的 数学案例集结画板课间制作技术的专栏来学习。感谢大家的支持,再见! 下一集咱们再说一下如何去破解这道难题。
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只要会打字,就能做出这样的动点轨迹动画。在大角几何画板中,打开 ai 作图对话框,输入文字或图片作图要求 ai 就 能帮你做出符合要求的动画。 如果有做的不满意的,可以输入文字,要求 ai 调整到满意为止。最后点击需要显示轨迹的动点,打开属性面板,勾选显示运动轨迹,或要求 ai 帮你显示这个点的运动轨迹就得到了。可以显示运动轨迹的动画,你学会了吗?

只要会打字,就能做出这样的动画。打开大角几何,直接进入画板,选择 ai 模型,上传静态图片输入,把题目中的几何图画出来, 稍等片刻, ai 就 能帮你画好动图,有哪里画的不满意的,可以让 ai 继续帮你调整。这里为了方便大家观看,做了加速,但没有剪辑,全程没有自己动手画,只是用大白话输入文字要求,最后可以看到动画效果非常好,你学会了吗?

动点轨迹题这样讲,学生秒懂!只要会打字,就能做出这样的动点轨迹动画。打开大角几何画板的 ai 作图功能,上传静态图片,打字,输入作图要求, ai 就 能快速帮你把试卷上的图做成动图。 如果有做得不满意的,可以手动微调或输入文字,继续让 ai 调整调到满意为止。然后鼠标右键点击需要展示轨迹的点,选择属性,打开样式面板,勾选显示运动轨迹,根据提议拖动主动点,就可以展示从动点的轨迹了。

这个叫费马的人为什么提出这样一个点啊,学霸勾股定律就可以拿来考,我们也是成为了很多同学的几何痛点。 一般题目会给出三角形 a、 b、 c 内有移动点。屁,让我们求 a p 加 b p 加 c p 的 最小值,能让三条线段之和最小的这个点 p 就是 我们所说的费马点。为了方便计算,我们把角 a、 b、 c 设置为九十度, a、 b 等于二倍,根号三 b、 c 等于四,三条线段直接相加,不做变形,根本求不出最小值。我们的核心思路就是把这三条线段转化成首尾相连的结构,再利用两点之间线段最短来解析。那要怎么完成转化? 关键思路就是旋转,我们可以把三个小三角形当中任意一个向外旋转,这里我们就将三角形 a、 b、 p 绕点 b 向左旋转,先不用纠结旋转多少度,旋转之后对应边相等,所以线段 a、 e、 p e 等于 a p, 接着我们连接 p e p。 到这里虽然出现了三条线段,但是只有两条线段是我们需要的, 中间那条还不是我们想要的,所以如果 p、 e、 p 这条线段能够替换成 b p 就 好了。这时候我们再来看中间这个小三角形,由旋转的性质可知,这两条线段相等,所以这个三角形本身就是一个等腰三角形。如果我们把旋转的角度定为六十度,等腰三角形就会直接变成等边三角形, 此时 p、 e、 p 就 等于 b p, 这正是我们想要的转化效果。讲到这里大家就明白了为什么一定要旋转六十度, 原理就在这里,你看点屁,不管在三角形内怎么动, a 一、 p 一 因为旋转的关系,始终都等于 a 屁,而 p 一 屁也始终等于 b 屁。因为无论点屁怎么运动,中间这个三角形始终都是等边三角形。 所以求 a、 p 加 b, p 加 c, p 的 最小值就转化成了求这三条线段的最小值。也就是说,从 a 一 出发走到点 p 一, 经过点 p, 最后走到点 c, 怎么走最近?那就是两点之间线段最短,直接连接 a 一 和点 c, 这条线段的长度就是我们要求的最小值。 所以当点 p 运动到这四点,在一条直线上的时候,就能取到最小值。接下来就可以开始计算这条线段的长度。因为我们旋转了六十度, 所以这个角等于六十度。已知角 a、 b、 c 等于九十度,那么角 a、 e、 b、 c 等于六十度,加九十度等于一百五十度。我们延长 bc 过点 a、 e 向下做垂线交 bc 的 延长线移点 h, 这样就构造出一个含三十度的特殊直角三角形, a、 e、 b 等于 a、 b 等于二倍,根号三。在直角三角形 a、 e、 b、 h 中,三十度所对的直角边等于斜边的一半, a、 e、 h 就 等于二分之一倍的 a、 e、 b 等于根号三。通过勾股定律很易算出 b、 h 等于三, c、 h 就 等于 b、 h 加 b、 c 等于三,加四,结果就是七。 最后在直角三角形 a、 e、 h、 c 中,再次用勾股定律 a、 e、 c 就 等于根号下 a、 e、 h 的 平方,加上 c、 h 的 平方等于根号下三,加上四十九,结果等于二倍,根号十三。所以 a、 p 加 b, p 加 c, p 的 最小值就是二倍,根号十三。

第一步,政权等把 g f 转化成 g h。 第二步,在直角三角形 m g h 中利用勾股定律列式求最小值。

广州一模的填空题压轴题来了,据说百分之九十学生不会做,今天教你一个技巧,秒变送分题! 老师,是什么题这么难听?好了,平行四边形 a、 b、 c、 d, 角 a、 b、 c 等于六十度, ab 等于六, bc 等于八,两个动点 e、 f 满足, b、 f 等于二, a、 e、 p 是 ef 的 中点,问 ap 加 pd 的 最小值是多少?双动点中点最值问题,两个动点在动, p 还在动,还要求两条线段和的最小值,感觉挺难的,我有点无从下手。 别急,这道题确实有点绕,常见方法不太好使,但其实只要用一个模型背成中线就能解决 倍长中线,老师您讲呢?第一步,倍长中线造全,等我们延长 ap 到 g, 让 pg 等于 ap 连接 g、 f, 马上得到三角形 gpf, 全等于三角形 ape, 于是 g、 f 等于 ae, 而且角 pgf 等于角 pae, 这个思路我有点明白了。然后呢?第二步,证明直角三角形,因为角 p、 g、 f 等于角 pe, 所以 g、 f 平行于 ab, 又因为角 a、 b、 c 等于六十度,所以角 b、 f、 g 等于六十度。平行关系找到了。然后呢, 已知 b、 f 等于二 a、 e, 而 a、 e 等于 g、 f, 所以 b、 f 等于二 g、 f。 在 三角形 b、 g、 f 中,一边是另一边的一半,加角六十度,可以推出角 g、 b、 f 等于三十度, 这是特殊三角形的特征。对于是角 a、 b、 g 等于六十度,加三十度等于九十度,也就是说三角形 a、 b、 g 是 直角三角形。哦,原来这里是直角三角形,太巧妙了! 第三步,转化最值问题,直角三角形斜边中点 p 到直角顶点的距离等于斜边一半,所以 a p 等于 b p, 那 么 a p 加 pd 就 等于 b p 加 pd, 当 b p d 三点共线时, b p 加 p d 最小,最小值就是 b d 的 长度。原来是这样,这道题看着复杂,其实就是背长中线,然后转到三点共线的最值问题,思路一下就通了。 没错,背长中线加直角,三角形加三点共线最值问题理清楚就不难了,学会了吗?学会了,老师,这个方法很实用,以后遇到类似题目我就知道怎么入手了。好像这样的压轴题技巧我还有不少,想看的同学评论区扣一下期继续讲。好的,我等着看下一期。

诡计问题往往是初中几何问题中较难的题型。在直角三角形 a b, c 中, a c, b 是 九十度, c, a 等于 c, b 等于二, c, d 垂直, ab 于点 d 点。 p 是 射线 c、 d 上的一个动点,射线就是只有一个端点,那面可以无限延伸,说明 p 它不能跑到 c 上面,但是可以跑到 d, e 的 下面去。以 p 为直角,顶点向下做等腰。直角三角形 p, b, e 连接 d, e, 求 d, e 的 最小值。 这道题中,我们发现它好像不止一个动点,是不是它有两个动点,一个 p, 一个 e。 动点有 p 和 e, p 和 e 这两个动点,它们不是并列的,它们是有主次关系的。 p 是 主动点, e 呢? e 是 从动点,就是跟从着 p, p 怎么动, e 就 会相应的进行运动, 这说明什么呢? p 它是决定了 e 的 运动,我们其实可以根据 p 的 运动来推出 e 的 运动。那这里呢,要求第一的最小值,正好知道轨迹的 p, 他 不问,他偏偏得问这个不知道轨迹的 e。 这就是我们这题的关键要求出 e 的 轨迹。 首先我们来探索一下,这个轨迹大概是直线呢?还是个圆呢?还是个什么奇奇怪怪的图形呢?一般初中啊,就是直线圆弧,初中学过的几何图形可以出在这一类题目中的直线,圆弧是比较多,那这里是直线还是圆弧呢?已知的一个, 无论是直线还是圆弧,我们其实只要找到了三个点,是不都可以确定它到底是哪一种?那怎么找三个点呢?不能随便瞎找三个点,那样子容易画的不准,我们可以找端点,还有已知的这一个点, 已知这个点已经化了,所以端点处 p 跑到 c, 那 e 肯定跑到 a 啊。因为这个小 a、 c、 b 和这里的 e、 p、 b 是 一个三角形,所以这里是 p 跑到 c 时 e 的 地方, 当 p 跑到 d 时呢,那 e 下面吧,应该在这里。此时我们就能发现这啥,这很明显不是圆弧是不是?这要是圆弧的话,那 e 得在这,所以这是直线。 现在猜测的部分弄完了,该看一看这里是不是有旋转关系。 a、 c、 b 经过旋转之后变成了 e、 p、 b, 这应该是显然的,但是呢,它好像不是我们平时的旋转图形,边旋转就边缩小, 所以这是相似的旋转。我们普通学那种旋转了以后大小不变,那是选等旋转。相似旋转是全等旋转的。一般情况,比如我们这里 a、 c、 b 就 经过相似旋转变为 e、 p、 b。 既然都到相似旋转,那两个三角形肯定是相似的,这样很明显。接下来呢,我们再来看一看还有没有三角形相似。 这两个是已知的,找有用的。三角形相似有一个规律,就是被消失的,还有新产生的三角形应该是相似的,比如说这样子平移 它消失了这一部分面积,但是增多了这一部分面积,所以这两部分的面积就相等。那这里也是很明显能看出 c、 p、 b 和 a、 e、 b 是 相似的。 前面这个好整,那后面这个呢?这就是我们需要证明的关键,要证明这两个三角形相似。嗯, 根据前面这个其实就可以证前面这个能得出啥?就等于直角三角形嘛,所以就能得出底边比上斜边比上直角边,这个 b、 c 应该等于 b, e 比上这里的 b、 p 等于根号二。 他换一种解释是什么?应该就是这里的 a、 e、 b 和 c、 p、 b 中对应边乘比例的两个比例相等,两个比例相等,所以只需要另外一个加角边乘比例, 光有边比相等不够,需要还有角相等角,这里很显然因为这两个都是旋转角,但又不完全是旋转,所以咱们不能说旋转角相等,我们可以这么说,这里是四十五度,这里也是四十五度,同时减去中间这个角剩下的部分相等, 所以 b、 a、 e 就 等于角 p、 c、 b, 这就是离异最近的一个角,我们肯定得找离异近的,离异十万八千里外有什么用?那既然有离异近的是四十五度对不对?这个是四十五度,所以这个也是, 那这就是我们这条直线,应该是和 c、 b 平行的,都是四十五度的关系。最后垂线段最短,这谁都知道了吧? 垂线的最短, e 往这个 a、 e 一 上做垂线长度,这里是根号二的时候,这里就是一, d, e 最小值等于一。 总体来看,这道题的解析思路还是蛮有意思的,先通过轨迹问题找到主动点和从动点,就是要分清他们两个谁是知道的,谁是要研究的。最后探索,然后探索轨迹,看看是直线还是曲线,这里是直线, 最后相似旋转,然后证明相似,就垂线的这段得出来了。如果有什么想听的,可以在评论区留言。

左快右慢,这是 f x 等于 x 乘以的负 x 次方的呼吸节奏。今天我们用一只动画,让你亲眼看见,当两个根的函数值相等,它们的和一定大于二。 先建立直觉,看 f x 这条曲线,在极值点 x 等于一处达到最大。从极值点出发,让两个小球沿曲线等高漂移。注意水平投影,红球往左走的不远就贴近原点,绿球往右却滑了好长一段, 右走得远,这就是右偏移的根源。左陡右缓,左快右慢, 为什么左快右慢看倒数, f 撇等于一减 x 乘以 e 的 负 x 次方, x 小 于一十,倒数为正, f 沿曾过了一倒数变负。 f 沿剪 每一点的切线斜率,画成小箭头,左侧昂头向上,即指点水平静止,右侧低头向下。 做最关键的一步,把 f 在 零到一这段关于直线 x 等于一翻折过去看,翻折后的紫色曲线始终低于原本的绿色曲线, 也就是说, f x 小 于 f, 二减 x, 这就是后面 f 函数小于零的几何源头。 把这个叉做成函数, f x 等于 f, x 减 f, 二减 x, x 在 零到一上。 看左边的扫描点, x 从近零处走到一右边,新坐标系里的 f 从一个负值一路上升,恰好在 x 等于一处归零, f 在 不断上升,且 f 一 等于零,这就是锚点。下一幕给出 f 沿增的严格证明。 为什么 f 沿增看 f 撇的乘积分解三块积木,第一块一减 x, 第二块 e 的 负 x 次方。第三块括号内 e 减 e 的 指数二, x 减二,必括号 在零到一上三块多为正,三正相乘必然为正。 f 撇在零到一上大于零。盖章 聚焦, f 撇大于零, f 一 等于零, x 一 小于一。三个事实合在一起,给出 f x 一 小于零,也就是 f x 一 小于 f, 二减 x 一, 这是整个证明的钻石时刻。 最后一步翻译由 f x 二等于 f x 一, 刚才得到 f x 一 小于 f 二减 x 一, 于是 f x 二也小于 f 二减 x 一。 x 二和二减 x 一 都在一倒正无穷的严格递减区,函数小,自变量反而大,所以 x 二大于二减 x 一。 两边加 x 一 得正, x 一 加 x 二大于二。 回顾六步求导定单调构造对称差求导判正负铆定基准点推根处符号翻译回原函数, 这就是核形,即指点偏移的标准武器。下次见到 f x 一 等于 f x 二,记得问自己左快右慢偏向哪边,我们下道题见。

动点问题是初中几何的重难点,而将军印马模型又是动点里面的常考模型。今天我们就用一个视频来讲清楚将军印马模型的前因后果。 我们来看一下,说这里有一条河,那么有一个将军呢?在 a 点处喂马吃草,吃完草以后,他想带着马 回到河边去喝水,喝完水以后再回到 b 点,问将军如何走这个路线才能最短? 那么像这一类的问题呢,我们就称之为将军印马模型。在数学上我们做一个总结,就是 a 点和 b 点,我们发现它都是定点,而 p 点呢,它是一个动点, 像这种有定点有动点,我们求线段之和最小的,这种问题我们就称为将军印马模型。那解决这类问题呢,主要用到了两个思想,第一个是折线问题转化为直线问题,第二个思想是 两点之间线段最短,那么他的解决办法只需要用到一个口诀,就是定点做动点所在直线的对称点,定点做动点所在直线的 对称点,在这里面我们做 a 点的对称点到 a 撇,我们这一点记为大点, a 大 永远等于 a 撇大,那么同样的,那么 ap 永远等于 a 撇 p, 那 么 ap 加 p, b 就 会转化为 a 撇 p, 加上 p b, 那 么我们来看,不管 p 在 哪里运动,我们会发现 ap 永远等于 a 撇 p, 那 么这个线段之和,我们如何去求最小值呢?很明显, 两点之间线段最短, a 撇 p 加上 p b 的 最小值,我们只需要连接 a 撇 b 就 可以了,它的最小值就会等于 a 撇 b, 这就是我们将军印码模型的做题思路,在这里面我们做了 a 点的对称点,我想做 b 点的对称点,可不可以 都可以,我们的口诀是定点做动点所在直线的对称点,那么做哪个定点的对称点,它的结果都是一样的。如果你听明白了,我们接下来进行实操。我们来看一下这样一道题, 说在正方形里边,边长是八 m, 在 大 c 上,大 m 是 等于二,而 是 a c 上的一个动点,求大 n 加 m n 的 最小值。在这里面,大 m 都是定点,而 n 是 一个动点,很明显这是两个定点,一个动点,非常符合将军一马模型的特点。那么想想我们刚才讲的口诀, 定点做动点所在直线的对称点,在这里呢?我们既可以做 m 的 对称点,也可以做大的对称点,那做哪个点更方便呢?我们来看一下,如果是 m 点做对称点,他会到哪里? 是不是会到这里来?如果做大点的对称点呢?会到哪里来?会到 b 点,因为它是正方形做 a c 的 对称点,大点会对称到 b 点,更方便于我们去计算,因此我们做 大点的对称点会到达 b 点处。那么我们来看大 n 加 m n 就 会转化为 b n 加上 m n, 那 什么时候这个线段取最小值呢?很明显,两点之间线段最短,我们只需要再连接 b m, 那 么这个就是我们要求的最小值。那我们来看 b m 如何去计算? 边长是八, bc 是 八,那么 m c 呢?等于八,减去二等于六,因此 b m 就 等于 根据勾股定律得到它的长度是十,也就是大 n 加 m n 的 最小值。按照口诀,将军马模型的解析思路是不是非常的简单,但考试会这样考吗?考试当然不会,我们接下来看一下将军一马的升级版。 来看,如图,点 p 是 一个定点,分别在 o m、 o n 上做 ab, 两点是三角形的周长最小。在这里面我们来看一下 p 点是一个定点, a b 是 动点。那有的同学说了,这里面只有一个定点,两个动点怎么办?不用管那么多,我们依然按照那个口诀来定点做动点所在直线的对称点。定点,做动点所在直线的对称点。那我们来看一下 三角形 a b p, 它的周长本来应该是 a p 加上 a b, 再加上 b p。 当我们做完对称点以后,那么 a p 等于谁?就等于 a p。 一 ab 呢?正常写, 那么 b p 就 会转化为 b p。 二、那我们来看一下这三条线段什么时候最短。很明显,当这四个点在一条直线的时候,这个线段就是我们要求的最小值。接下来我们再来看一下它的进阶法, 我们来看它的变形。二、如图, p q 是 两个定点,然后 a b 又是两个动点,两个定点,两个动点,求这个四边形的周长最小值。 我们依然用那个口诀定点,做动点所在直线的对称点。定点,做动点所在直线的对称点。我们所求四边形的周长应该是 ap 加上 ab, 再加上 b q, 再加上 p q, 那 么 p q 因为是两个定点,所以它们的线段长度是不变,主要看这三条线段的最小值, a p 会转化为 a p 撇, a b 不 变, b q 会转化为 b q 撇。那么这三条线段什么时候最短呢?很明显,四个点在一条直线上的时候,这个值取最小,你学会了吗?跟着张老师数学更轻松。

欢迎来到题小灶给大家介绍一个非常厉害的生成几何动图的工具, ai 智能生成题目的 动点运动轨迹图。只需要打开题小灶小程序,点击这里上传题目图片,选择年级和学科,再点击下方 ai 智能生成几何动图,就可以帮你生成几何动图了。咱随便找一道题啊,这上边是一些模考题的几何动图, 随便找一个吧,点开这里,这是南开区的啊啊,第二十五题的啊,残数的一道压轴题。 好,咱们点击左上角,让他这道题目播放起来,还可以滑动滑杆,也让动点和线段动起来。也可以在这里点击左下角的定位按钮,让这道定这道题目的这个动点给它定位到答案的位置。还可以查看解析,这里的解析只有一个关键的步骤, 如果你想看详细的解析,可以点击这里详解,然后让 ai 帮你重新生成这道题目的解析。好,还有其他题目啊,这里边还有很多其他题目,然后你也可以在这里过滤筛选,比如说初三数学 啊,此时出呃搜出来的全部都是初三数学的,你也可以点击这个隐形元模型一点搜出来都是隐形元模型的知识点的题目, 比如点开看一个吧这道题啊,这道题他同学上传的时候很好,把左边的一些干扰信息都给他抹掉了,然后看一下 ai 生成的,这是 ai 生成的 自动播放显示轨迹啊,这个道题目轨迹没有显示出来,有的题目他会显示出来,然后还可以停下来。定位最大值啊,定位答案 b q 最大,此时 b q 最大啊,好,这就是这道题目啊! 好,这就是七小灶的 ai 生成几何动作的功能,只需要点击上传题目图片,然后把题目图片上传上来之后,点击 ai 智能生成几何动图,就可以生成这道题目的几何动图了,非常之厉害。

来 b o 的 啥是最小值问题?看可以吧?求 b o 的 最小值问题,我们现在去思考一一下说,呃,题里面说, 射线的屁上有一动点 g 作矩形对不对?那在这里面咱们动点是啥? 动点是不是这点?是不是这点?那么随着这点的运动,对角线焦点 o 是 不是也在运动?所以在这里面动点是这点和啥?是 o 点, 大家说我说的对不对?好一个动点,这一个动点 o, 那 我们现在要求 b o 的 最小值,它的本质就是让求点 o 的 啥,点 o 的 啥,求点 o 的 运动轨迹, 求点 o 的 运动轨迹,我们把点 o 的 运动轨迹找出来就行了,看可以吧。那么题里面呢,给出了一个啥是不等边三角形?等边三角形简单, a c 等于啥?是等于 a 的 a, c 是 等于 a 的 第二个呢?矩形对角线怎么样?互相怎么样?平分且相等,大家说对不对? 你说,我说是不是?那么大家看一下这幅图来就说,呃, a c 等于 a 得 o, c 等于 o 得,我们是不是能推出一个知识点,就是 a o 是 是啥是 c 得的垂直平分线, 这没问题吧?嗯,那垂直平分线,那运动轨迹,这不就顺手拈来了吗?点 o 是 不是在这条线上运动? 大家说我说的是不是?嗯,随着这个 g 点的增加,大家看你比如说很多同学这个发散思维能力不行,你有啥好不行的?你这样子画一个矩形, 是画一个矩形对角线交点,看到了吗?是不是也在变化? 是,也在变化,这点他在涉线上运动,所以这点他不停的往右,那么这个点 o 是 不停的想往右运动,能明白吧?那么你通过画几几幅图呢,你就能明白,这个点 o 确实在运动,而且我们通过数学原理也能得到点 o 的 运动轨迹是一条射线,这就是射线。啥 是不涉线 a o 是 不涉线 a o 那 点 o 的 运动轨迹是涉线 a o, 那 我问大家,那人家不是问这个 b 点到 o 点的距离对不对?那这个时候大家用心听, 点 o 的 涉运动轨迹是涉线 o a, 那 就相当于问的是点 b 到啥 o a 的 啥是距离,大家说对不对?是不是它的距离?这道题的本质不就是这样子,那一个点到直线的距离什么最短?是垂线段最短?那这还用做吗?来, ok 吧, 是不是这样子来? 这 b o 最小是吧?那这个,这个角多少度?几分钟告诉我们说 a b 等于多少? 四十倍,是不是四十倍的根二?那这个就是二十倍的根二,是二十倍的根二。所以我们就写,当 o b 垂直 o a 时, bo 怎么样?有最小值? 最小值等于啥?二分之一 a b 等于二十倍的根二。 好了,这样愉快的结束了啊,现在我讲清楚了,讲明白了,没?听懂了吧?难度大吗?难度大不大? 学数学题的时候问答案,就在,你看这是问题对不对?但这也是答案,因为题目中说的很清楚, o b o b o, 你说啥意思啊? ob 他 是问题,他也是答案,为啥?因为 b 点是不是一个定点?那 o 点的运动轨迹找出来是不是就行了? 所以答案藏于问题中核心很简单,让你把所有的精力拿拿出来干啥?研究典故的运动轨迹,而不是让你在那瞎算,知道吧?能明白吗?给自己。

给大家看一下现在 ai 能够精准到什么程度,就是它能够一丁点都没有错误的把一道中考压轴题用图像的形式展现出来,看一下它还能动它能动它。这个是二次函数结合的一个重点问题,第一问,第二问,第三问,临界值,来看一下来, 然后这是一道题,还有第二题,旋转轨迹,这种稍微复杂一点的,看到了吗?这样这可以动一下旋转轨迹,中考压轴题,所以比较难。然后求 a e 的 最直来看一下来,什么时候 a e 最大,看到了吗? 还有一个这个题抛物线直线直角 a 的 范围,来看一下来, ok, 这对我们的教学非常的方便。

这是我的电脑,这是 u 盘,现在打开这个 u 盘,这个盘就是 u 盘, 这里有客户端,打开登录,这里就是我上课用的课件,都是几何画板,课件不是 ppt 啊,这边可以选连接, 打开一个看一下 这手拉手模型,这是三种场景,等边三角形、等腰三角形,正方形可以演示。 下面是一道经典例题, 这个文件是这是立体 用,这个上课非常方便啊,非常好一个资料, 我现在上课都很少用 ppt 了,就用这个。初中的所有模型都在这里呢,基础的、培优的、扩展的都有。你收到货是这样,一本书,一本答案,一个 u 盘刻印,就在 u 盘里面, 还有一个安装说明,操作很简单的,如果你也定了,装了几盒画板, u 盘插上去就可以用呢。如果没有装的话, u 盘里面有安装文件,你装就可以了。 课间里的内容和这本书里的内容是一模一样的,例题、习题都是一样的。