圆柱，圆锥，圆台外接圆怎么画带图
素描基础第五课圆锥圆柱穿插体骑行的时候注意透视，从边缘向后铺背景。 铺背景的时候要注意几何的暗面，不要跟背景混在一起，暗面的边缘要亮一些，受光面就要用背景压出来， 带着投影一起铺暗面。 还记得上节课讲的明暗交界线吗？如果线拉不长，就分段铺 沿，边缘揉擦， 带些过渡， 恰一些点位， 加中明暗交界线， 肤色过渡一下， 处理细节，加强质感 展示。明天见！
粉丝456获赞2937
相关视频
02:37查看AI文稿AI文稿沉浸式学习穿插体素描过程大家好，今天我们来画一个圆柱圆锥穿插体。第一步，先轻轻画出整体的轮廓和辅助线，用十字线找准圆柱和圆锥的穿插关系，确定好物体的透视和位置， 把看不见的结构线也画出来，确保两个形体是穿插在一起的，而不是分开的。 接下来我们来铺大明暗，先确定光源方向，找到明暗交界线， 找到明暗交界线，把投影和暗部一起铺上，注意整体色调，不要一开始就抠细节，背景也同步铺上，让物体能从画面里跳出来，同时区分出投影和物体暗部的深浅变化。 现在我们开始深入塑造，先把明暗交界线加重，让他有虚实变化。再把物体的灰面加上，拉开亮部灰面暗部的层次，圆柱的顶面和圆锥的肩部 都要跟着形体的转折来排线。同时把背景和珠面的空间关系推出来， 用比较硬的笔把亮灰面的层次区分出来，这里用到的笔是 h 和四 h。 最后我们来做整体调整，把画面的黑白灰关系再梳理一遍。 两步擦亮暗部，压重边缘线，根据前后关系做出虚实变化。 比如离我们近的圆柱口要实一点，远处的圆锥和背景可以虚一点， 这样物体的体积感和空间感就都出来了。 是不是很简单，你也来试试吧！
04:41查看AI文稿AI文稿孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！
2904大王教数学
39:27查看AI文稿AI文稿高中数学的外接球问题，其实无非就这四类模型，今天一个视频带你快速学完，认真跟上，以后碰到外接球就是送分题。话不多说，我们直接开始先来看我们的第一个模型，关于方体的一个外接球模型， 也就是如果说现在有一个长方体或者说正方体，比如说我们直接拿长方体来看哈，因为正方体就是长方体的特例嘛。 那假如说长方体的三边长分别是小 a、 小 b、 小 c， 那 么它的外接球半径我们可以直接求出来。怎么去求呢？我们来给大家讲一下咱们要找外接球的话，那说白了，我们是不是得先去找球心呢？对不对？第一步一定是要去找球心呀，那么球心在哪里呢？ 你？你就要去想球心有什么概念，有什么性质，它指的是到这个几何体各个顶点距离相等的一个点，对不对？那我们既然想找的球心满足这个性质，那我们先来想， 我们先来看上面哈，先来看这个长方体的上面这一部分，它是一个长方形，对不对？对于这个长方形，我们先来找一下它的中心呀，它的中心在哪里呢？ 中心就是对角线的焦点呀，对不对？这个中心他到四个顶点的距离肯定是相等的嘛，然后同理下底面的中心也是在这里啊，对，角线的焦点，对不对？所以我们可以找到两个中心，然后你把这两个中心连接起来，他们的终点其实就是我们想要找的球心呀， 这个很好去想哈，因为你想我们现在这里有一个 o 一， 这里有一个 o 二，对不对？ o 一 是上底面的中心，那我们过 o 一 做一条垂线，对不对？那么这条垂线上的每一个点到上底面四个顶点的距离都是相等的， 然后同理我们过 o 二也可以做一条垂线，然后这条垂线上到下底面四个顶点的距离也是相等的，对吧？然后 o 一 o 二肯定正好是垂直于上下底面的嘛？ 所以说 o 一 o 二就是那条垂线呀，所以说他们他们的垂线重合了，那就是我们要找的球心就在 o 一 o 二这条线的连线上了嘛，对不对？并且它应该是在终点处取得的， 因为根据对称性嘛，对吧？我们我们需要让它到每一个顶点的距离都相等，所以肯定是在终点处取得的。然后这个时候呢，你看你再把这个球心跟底面的一个顶点连接起来，是不是就构成了一个直角三角形了呢？对吧？ 然后在这个直角三角形里面，我们可以得到这里是垂直的，因为 o 一 o 二他一定是垂直于上下底面的吗？对吧？那他垂直于下底面的话，就垂直下底面的任意一条边，所以他肯定是垂直这条线的， 所以说我就可以得到这是一个直角三角形啊，对不对？这这部分呢，他是二分之 h， 对 吧？就是这个长方体高的一半，然后因为我们现在其实已经给他设边长了吗？三边分别是 abc， 比如说这个是 a， 这个是 b， 这个是 c 的 话，那对应的这一段就是二分之 c 了吗？对吧？然后下面的这一部分呢，我们来看一下， 那我们就要把下底面给抽出来了，这个是 a， 这个是 b， 然后对应的对角线就是根号下 a 方加 b 方了吗？然后对角线的一半的话，应该是二分之根号下 a 方加 b 方呀，对不对？所以说我们在这个三角形里面来列勾股定律的话，那就是 二分之 c 扩起来的平方，再加上二分之根号下 a 方加 b 方，扩起来的平方就等于斜边的平方，斜边的话，这个时候你看他正好就是外接球的半径吗？因为这里你看这里是球心，然后呢这个是顶点，这个顶点也是在这个球面上的，所以对应的这段连线 就是我们要求的外接球的半径 r 了，然后这里是 r 方，对不对？那我们来化解一下，就是四 c 方加上四倍的 a 方就等于 r 方， 所以说 r 方是等于四分之 a 方加 b 方再加 c 方的，对不对？那所以 r 就 等于二分之根号以下 a 方加 b 方再加 c 方了吗？ 我们是不是就求解出来了，对吧？所以说这个结论大家可以去记一下哈，你考试的时候记住结论的话，直接套用是速度要更快一点的。这个是关于我们长方体的外接球模型， 然后关于长方体这里呢我们可以给他进行隐身，因为我们考试的时候经常要考的是下面这种类型哈，就是我可以通过 补形的一个思想，我把它给它放入到长方体内，然后你利用长方体的这个基本模型，然后来进行求解。怎么进行补形呢？一般有两种，第一种是墙角模型， 比如说我们来给大家看一个最基本的墙角模型哈，这个是最基本的，然后剩下的二和三都是基于它扩展出来的哈。我们先来看一这个墙角模型，一呢，你看 它其实说白了就是在 b 点这里是不是有一个 a b 垂直， p b 垂直、 p c 呢？这三条棱是不是两两垂直呢？对吧？ 看 ab 垂直 p b， p b 垂直 bc， 然后 ab 也垂直 bc， 它们是两两垂直的。所以说对于这种，你看碰到三条，三条三条这个线交于一点，并且这三条线互相垂直的话，它其实可以放到墙角里面， 墙角的话不就是咱们长方体的一个角吗？对不对？然后你把 p a、 p、 c、 a、 c 再连接起来，这个就是一个三棱锥了。对于这种模型呢，咱们就可以直接放到长方体里面，你看你现在求出来的这个长方体的一个外接球的半径，正好就是这个三棱锥外接球的半径呀。 因为大家来想哈，我们假设这个长方体各个各个端点呢，这个是 d 点，然后这个是 a 一， 这个是 c 一， 这个是 d 的 话，现在我们是不是可以求出长方体的一个球心 o 呢？对不对？ 现在这个 o 它到 a、 b、 c、 d、 a、 e、 p、 c、 e、 d、 e 这八个顶点的距离都是相等的，那对应的它是不是到这个 p 点、 a 点、 b 点、 c 点的距离也是相等的呢？对吧？包含与被包含的一个关系， 所以说根据咱们的概念，那 o 点也就是这个三棱锥 p 杠 abc 的 一个球心了嘛，对不对？所以说它是可以把它放入到长方体里面的，然后我们对应的去求长方体的一个外接球的半径，长方体外接球的半径就是这个三棱锥外接球的一个半径哈， 然后我们这里一定要注意一个点，如果说，如果说你屁点在这里，然后你是这样的屁 a、 b、 c 的 话，那这个时候就不能放到长方体里面了哈，因为这个时候你的屁点它并不在这个长方体的顶点处呀，对不对？所以说咱们，呃，咱们到时候去画图以后，那你这个屁点 并没有在这个球面上，那这个时候不就不能放到长方体里面了哈？咱们放到长方体的前提必须是你这个几何体的顶点跟长方体的几个顶点，你看是完全重合的嘛，对不对？然后我们再来看隐身的这两种情况， 你现在呢是 p b 垂直于这个底面 a、 b、 c 嘛？然后同时满足 p b 垂直， a b 垂直、垂直 bc， 然后 a b 又是垂直 bc 的， 它满足一个三条棱两两垂直，对吧？但是如果不是这种情况的话，也可以，比如说我这里有一个 p c 垂直面 a、 b、 c 嘛，对吧？但是它这里就不满足，呃，同一个顶点的三条棱两两垂直了，这个指的是我们的墙角模型一哈， 那如果说它不满足同一个顶点的三条棱两两垂直的话，也可以，比如说现在 p c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 然后在 a、 b、 c 这里是不是有一个 a b 垂直 b、 c 呢？对吧？这个时候情这种情况也可以啊，因为你会发现它正好就是长方体的一部分嘛，对吧？ a、 b、 c p 正好就是长方体的顶点， 又或者说呢，你这个 p 点放到这里，你看这个时候 p a 垂直底面 a、 b、 c 也没有问题啊，对不对？所以说其实，呃，大家可以去记的话，就是我们第一种情况呢，就是有一条侧棱垂直底面，并且在底面呢，它有一个三角形， a、 b、 c 是 直角三角形，大家能理解吗？这大家可以去记的哈， 所谓的墙角模型，其实就是底面呢，有一个直角三角形，然后呢有一条侧棱是垂直底面的，大家可以这样去记哈。然后还有一种情况就是 p 点在这里， 那这个时候你会发现没有一条侧棱垂直底面了呀，但他也是成立的，因为你因为你会发现 p 点、 a 点、 b 点、 c 点，他不都是在这个长方体这个顶点处吗？对吧？所以说他同样可以放到长方体里面，那这这种情况至于什么时候补成长方体的话，大家可以根据题目你灵活去判断哈， 这是我们的第一种情况，墙角模型。然后我们再来看第二种情况，三棱锥中如果出现对棱两两相等的话，我们同样可以给他放到长方体中， 因为你想对棱两两相等，那不就是长方体相对的两个面，你看相对的两个面吗？它们的对角线肯定是相等的，相等的呀，对不对？比如说你看这里的 p、 c 是 不是等于这个 ab 的， 它们的面是全等的，上下底面是全等的，它们对角线的长度也是相等的，所以你对棱两两相等的话，可以正好放到长方体里面， p、 c 和 ab 是 不是正好对对棱相等呢？对吧？然后再来看这个 c、 b 和这个 p、 a， 它们分别是在左右两面儿嘛，对不对？那么它们同样满足对角线相等呀，然后再看这个 a、 c、 a、 c 在 前面， p、 b 在 后面，是不是同样满足对角线长度相等呢？对吧？所以对棱相等的话，非常适合放到长方体里面哈，大家这个可以去记一下。 ok， 那 我们现在也知道是呃长方体它对应的一个球外接球的一个公式了，然后我们也知道什么情况可以补成长方体了，那我们直接带大家做题来练一下。首先来看我们第一题，他说在四面体中， a、 b、 a、 c、 a、 d 两两垂直，那这个是一个很关键的条件吗？ 因为你会发现它们有一个共同的顶点 a， 对 不对？并且这三条棱还是两两垂直的，所以说我立马想到了，这不就是咱们之前讲过的墙角模型吗？所以说我们一定是要把它放到我们的长方体中的。比如说他说现在 a、 b， 你看哈，这个是 a、 b， 它垂直， a、 c 垂直， a、 d， 这个是两两垂直的呀，对吧？那我们给它连接起来，我们得到这个三棱锥， b、 d 连接起来， b、 c 连接起来， 然后剩下的里面还有 c、 d 都连接起来。我们继续读题，他告诉我们 a、 b 是 等于三的， a、 c 是 等于四的， a、 d 是 等于五的。他说如果 a、 b、 c、 d 都在这个球的球面上，问我们这个球的表面积是多少， 那要求一下这个球的表面积的话，那说白了就是求一下它的半径嘛，对不对？那我们要去求这个外接球的半径嘛，因为第一句话它其实说明了 就是我们现在这个球，它是四面体 a、 b、 c、 d 的 一个外接球嘛，对不对？外接球才会让它的顶点在球面上哈， 然后再要求表面积，说白了就是求 r 嘛，对不对？怎么去求呢？直接套公式呀，因为你现在可以把这个四面体放到长方体中，所以我们现在直接去求长方体外接球的半径就可以了。直接套公式，它就等于二分之根号下 a 方加 b 方，再加 c 方嘛， 这个时候 abc 都有了呀，你看不就是长宽高嘛，三四五都有了，所以就是三三得九四四十六，五五二十五。我们来计算一下， 九加十六呢是二十五，二十五加二十五呢是五十，那不就是二分之五倍的根号二吗？对吧？现在这个 r 有 了，求表面积，那就是四派， r 方就是我们的四分之二十五，再乘个二吗？然后这里消一下 二和四，再消一下二，再乘二十五，等于五十嘛，所以是五十派，也就是我们的 a 选项是不是算出来了，对不对？这就是我们第一题整体的一个解析思路哈，说白了就是先补成长方体，然后再利用长方体的思路进行求解。 ok， 我 们再来看一下第二题， 他说在这个三棱锥 p、 杠、 a、 b、 c 中，已知 p a 等于 b c， p c 等于 a b， p b 等于 a c， 它们分别，你看分别相等，那这个是什么意思呢？它其实指的就是对棱，两两相等呀，大家看一下能不能理解， p a 和 b c 不 就是对棱吗？对吧？对棱它的字母是完全不一样的，比如说你这个是 p a， 你 这个是 b、 c， 它们字母是不是完全不一样，对吧？字母完全不一样的，其实对应的就是，呃，对应的就是咱们的对棱哈，然后这个指的是在三棱锥中的，指的是在棱锥中哈，三棱锥， ok， 然后你看 p、 c 和 ab 是 不是字母完全不一样？ p b 和 ac 是 不是字母完全不一样，对吧？所以它一定可以放到长方体中，对棱两两相等，我们就直接往长方体里面来放。首先我们可以先把上面这个画出来，这里来一条线， 然后呢我们下面来一条线，这个是不是就满足对棱相等了呢？比如说我们这个是 p a， 这个是 b、 c 的 话，你看直接四个点出来了，你剩下的就是把这四个点连接起来呀，对不对？那我们这个时候来画一下哈，那它又告诉我们 p c 是 等于 a、 b 的 pc 和 ab， 我 们也画出来了，然后我们的 pb 是 等于我们的 ac 的， 这个再连接一下，那我们就把这个三棱锥给他画出来了。那我们画出来以后，你再表示一下各边的长度，他说 pa 呢是根号三， 然后我们的 ab 呢是根号五，然后我们的 pb 呢是根号六。那么大家来看一下 这道题有一个易错点呢，就是大家会想到把它放到长方体里面，对不对？然后接下来肯定想的是要求长方体的外接球的半径吗？有些同学会直接这么去求， r 就 等于二分之，根号下，根号下什么呢？ 嗯，根号下根号三的平方，加根号六的平方，再加根号五的平方。有些同学会这么去求，这样去求对不对呢？大家可以在弹幕里打一下，这样肯定是不对的。为啥不对呢？因为我们讲的那个公式里面 里面对应的是 a 方加 b 方再加 c 方，这里的 abc 是 长方体的长宽高呀，对吧？所以说在这个图里面，你得到的是对角线的长度呀，不是长宽高呀，长宽高我们现在不知道呀， 所以说你要分别设它们是 abc， 然后我们来进行求解。比如说在这个图里面，我们发现 a 方加 b 方是等于六的， 我们在前面的这个长方形里面列勾股定律不就行了吗？对吧？然后同理我们可以得到 b 方加 c 方是等于五的， 然后 a 方加 c 方是等于三的，对吧？那我们现在想知道 a 方加 b 方加 c 方的一个呃，一个值是多少？那我们对应的就把这个式子相加呗。左边相加得到二， a 方加二， b 方再加二， c 方就等于 六，加五再加三就等于十四，所以 a 方加 b 方加 c 方是不是就等于七呢？对吧？所以它就等于二分之根号七，这个是它的半径，现在要求体积，那就是三分之四 pi 再乘 r 的 三次方就是八分之七倍的根号七了嘛。 我们来化解一下，那对应的应该是六分之七倍的根号七派了吗？所以答案就是我们的二 b 选项是不也就做出来了呢？对吧？这道题呢，它对应的解题思路也就是先把它放到长方题里面，然后再套公式进行求解就可以了。这是我们关于方体的一个外接球模型哈。 ok， 然后我们继续往下看，再来看第二个模型，关于圆柱的外接球模型。这个其实也很简单，我们想找圆柱的外接球，那就是找一下圆柱他外接球的球心在哪里吗？要找一个点 对不对？找一个点到他各个顶点的距离是相等的，对于圆柱来讲的话，就是对上下底面的每一个点，上下底面你看圆周上的每一个点的距离都是相等的，那我们还是一样的。我们先来求一下上底面 他对应的中心应该是在这里啊，因为他上底面本来就是一个圆吗？那肯定找的是上底面的圆心啊，对不对？上底面可以找到一个圆心，下底面可以找到一个圆心。他俩连线， 他俩连线以后对应的这条线肯定是垂直于上下底面的吗？对吧？这个是圆柱的结构特征，几何特征哈，这个就是没有什么要多说的了，就应该直接就能理解清楚。所以说我们现在做出一条线，对吧？这条线他是垂直于上下底面的， 然后我们现在想找一个点到上下底面，圆周上每一个点的距离都是相等的，那说白了就是这个点要到上下底面的距离相等吗？因为 因为对应的，你看我们可以列勾股定律吗？对吧？上下底面的半径是一样的，那你如果说想让他到圆周上的点的距离也相等的话，那你对应的另外一条直角边的长度得相等吗？ 那另外一条直角边的长度想让它相等的话，那不就是直接把它的高一分为二吗？对不对？所以说我们现在大概就想清楚了，它对应的这个球心呢，就是把上下底面的圆心连线，然后取一个中点，然后把这个中点作为的就是我们的球心， 然后这个球心呢，你在和我们圆周上的一个点进行连线，然后这里我们就可以构成一个直角三角形了， o o e 是 垂直底面的，对不对？ 所以 o e 肯定是垂直这条线的哈，肯定是垂直我们 o e m 这条线的，所以这里是直角，那对应的这个斜边肯定是我们要求的外接求的半径 r 了嘛，对不对？然后这个 o o e 的 话，就是二分之 h， 这个 m o e 的 话，就是咱们底面半径小 r 嘛，对吧？那这个时候你直接列勾股定律 r 方是不是就等于根号下四分之 h 的 平方呢？是不是直接就求出来了，对吧？这个就是我们对应的一个公式哈， 这个公式的话，大家也不用非要去死记硬背，因为考试的时候你直接列个勾股定律就是，很快我们就可以列出来了哈，这是 关于圆柱的外接球模型，然后我们还是一样的，那我们碰到什么几何体可以补成圆柱呢？这里大家可以直接去记哈， 我们经常补充圆柱的图形呢。第一种情况是一条侧棱垂直于底面，因为大家来想一条侧棱垂直于底面，那这个侧棱对应的你看不就是我们圆柱这里的侧棱吗？对吧？你看侧棱垂直于底面，现在呢，我们从圆柱里面抽一部分的话，那不就是一条侧棱垂直底面，底面是一个圆周，对不对？ 那你想，那你如果说想补成圆柱的话，那你这个底面这个图形只要能放到这个圆周里面不就行了吗？那一般都是可以放到圆周里面的呀，对不对？所以说，比如说大家来看右面这个图， a b c p 很 明显 pa 垂直底面嘛，对吧？然后这个底面 abc 是 不是就直接放到这个圆里面了，对吧？很明显是没有问题的， 因为我们随便给一个三角形，我们肯定是可以画出它的外接圆的交点嘛，所以说你肯定是可以放到底面这个圆周里面的， 这是我们对应的第一种情况，大家就记住，如果碰到侧棱垂直底面，然后我们就放到圆柱里面就行了。然后第二个呢，是直棱柱，直棱柱的话也很好理解呀， 你想想圆柱长这样子，那直棱柱的话，不就是把上下底面的圆周变成一个三角形了吗？或者说，呃，或者说四边形，你看还是一样的呀，就是在上下底面的圆周里面各自取了一个几何图形吗？对吧？ 这是我们的直楞柱，大家可以去记住哈，这两种情况，那我们现在给大家做题来练一下，比如说这道题，他说在三楞柱 a b c 杠 a b c 一 中已知 a a 一 垂直底面 a b c， 那 大家来想，三楞柱加上侧楞垂直底面， 那可以得到什么呢？说明他是一个直棱柱呀，对不对？因为侧棱是互相平行的，你有一条侧棱垂直底面，那其他侧棱也就垂直底面了，所以他就是一个直棱柱了。那他既然是直棱柱，如果说要研究外界球问题的话，我们的解析思路就是直接把它放到圆柱里面，非常清楚哈，这就是我们的解析思路， 那他现在告诉我们测棱 a a 一 等于二， ab 等于一角， a c b 等于三十度，那我们大致画一下哈。首先我们先把那个圆柱画出来，因为咱们最终肯定是要放到圆柱里面进行求解的嘛，然后我们又讲过了，圆柱的话，球心直接取在这里，你看正中间嘛，对吧？然后和底面的一个点连接起来， 然后呢对应的往下做一个垂直，对不对？然后这个是我们的小 r， 这个就是我们外接球的半径 r 了， 现在我们肯定想知道 h 和小 r 的 长度对不对？说白了就是求这两个嘛，那 h 的 话现在知不知道呢？其实是知道的，因为这个三楞柱的话，它告诉我们 a a 一， 你看侧楞 a a 一 是等于二了， 那大家来，大家来想哈，我们直接画一个，我们画一个棱柱吧，大概有一个棱柱长这样子对不对？现在它的侧棱不就是我们圆柱的侧棱吗？对不对？所以它的高是二，那就对应的我们圆柱的高是二，所以说二分之 h 是 等于一的，那关键就是求小 r 了，小 r 怎么去求呢？ 那不就是求一下底面这个三角形，它外接圆的一个半径了吗？对吧？那我们假设这个是 abc， 我 们把它拎出来哈， 你看我们给他拎出来以后，他告诉我们角 a c b 呢？这里是三十度， ab 是 等于一的，那这个时候如何去求外接圆的半径 r 呢？这里给大家总结一个方法，大家可以去直接去记住哈， 他利用的就是我们的正弦定律，大家直接记住这个方法在外接球里面非常非常非常常考哈正弦定律。怎么去利用正弦定律呢？正弦定律的话，你看对边比对角，一比上乘三十度， 一比上三十度，他是不是就等于二 r 呢？对不对？咱们之前公式里的这个大 r 其实指的就是外接圆的一个半径，然后在我们现在这个体盖里面，他是用小 r 来进行表示的， 剩三十度不就是二分之一吗？一比二分之一不就是二吗？二等于二 r， 所以 小 r 是 等于一的呀，对不对？那小 r 是 等于一的话，我们是不是可以直接勾股定律了？那对应的大 r 是 不是就等于根号二的？它现在要求体积的话，那不就是三分之四 pi 再乘个 r 的 三次方吗？也就是二倍的根号二， 那不就是三分之八倍的根号二 pi 了吗？是不是直接求出来了？答案就是我们关于圆柱外接球模型哈， 我们来总结一下我们的解析思路，就是我们看到值楞柱，于是想到他应该去补成圆柱，然后呢我们就画一个圆柱出来，我们利用这里来进行勾股定律，然后这里我们又涉及到如何去求小 r， 那 小 r 如何去求呢？他涉及到的解析思路又是通过正弦定律来进行求解，这个都是非常固定的，大家直接记住就可以了。几乎百分之九十以上的外接球模型，我们都是用这一套解析思路哈， 所以说我们讲到这里也可以给大家总结一下哈，就是你会发现所有的数学题，除了外接球模型，其他的那些你觉得稍微有一点难度，你觉得做不出来的题目，本质都是因为你没有去学系统的他对应的一个解题通法解析思路。比如说你可以想一想， 你现在是不是经常会发现上课听得懂，但是一道做题就没思路了，或者说呢，这个题目稍微变一下形式，你就不知道去往哪个方向思考了。大家可以想一想，你现在有没有这种情况，有这种情况的同学可以在弹幕里打一个真实， 咱们所有的这些同学，你仅仅只是因为你没有学对东西，没有人去教你。数学，他不同板块可以分别总结出来什么题型，然后不同题型他对应的解析思路，解析方法是什么？ 你没有按照这个逻辑去学，那成绩提不起来当然不奇怪了呀，对不对？所以大家如果也存在这些问题的话，你可以通过这里加我，加到老师以后呢，你可以把你的成绩以及你现在的学习困惑发给我，老师来告诉你，你现在到底为什么提不了分， 以及老师可以教你如何去学不同题型以及不同题型对应的答题思路哈，老师都可以把这些方法分享给你。 ok， 那 么这就是我们第二个模型了，我们继续往下看。再来看我们第三个模型，关于圆锥的一个外接球模型， 他说如果圆锥高是 h， 底面半径是小 r， 母线长是 l 的 话，那么他的外接球半径 r 是 等于这个的。我们来给大家拖一下，为什么 圆锥的话还是一样的思路，我们要找一个点到各个顶点的距离是相等的吗？对吧？圆锥的话，他的顶点和底面圆周上的每一个点，他是正好在这个球面上的哈，所以说我们要找一个点，你看到这个球，呃，到这个圆面上的每一个点以及到这个顶点的距离是相等的， 那么大家来想底面这个圆面的话，那肯定找圆心 o 一 啊，对不对？然后过 o 一 做一条垂线，那这个垂线其实正好就是这个圆锥的高吗？因为圆锥的高是垂直底面的，这个我们都知道，对吧？所以其实就是在这条线上，在这个高上找一个点， 找一个点，到底面圆周上每一个点的距离是相等的，并且到这个顶点的距离也是相等的，那我们就任意取一个点，这个为 o 呗，对吧？那对应的这一段我们设成 r， 那 这一段也是 r 了呗，对不对？所以说我们就可以得到那剩下的这一段 o o 一 呢？大家来看， 那剩下的这一段 o o 一， 它不就是 h 减 r 了吗？对不对？因为它总的长度，你看总的从这个 o 二到 o 一 的话，它的长度是 h 嘛？所以 o o 一 就是 h 减 r 了，然后下面这个是小 r 呀，对吧？所以我们所以说我们是不是就可以得到 r 方，是等于 h 减 h 减 r， 阔下的平方再加上小 r 方呢？对不对？我们是不是可以这样列方程，对吧？然后这里其实还有另外一种思路，我们从圆锥这里开始，就可能涉及到两种情况了哈，比如说在这里你看这个圆锥可能比 点一点呀，对不对？那这个时候呢，这段对应的是他的大 r， 然后里面这段呢，对应的是他的 h， 他的大 r 是 要大于 h 了，所以说我们再在这里来列勾股定律的时候，大家来看一下哈，还是一样的思路，斜边是大 r 对 不对？然后这一条直角边呢是小 r， 然后对应的 o o e 就 变成 r 减 h 了，所以说我们列的勾股定律呢，是 r 方就等于呃 r 减 h 括下的平方再加小 r 方，大家来对比一下这两个方程，其实你会发现它求出的结果是一样的， 因为它的区别就在于这里嘛，一个是 h 减 r 的 平方，一个是 r 减 h 的 平方， h 减 r 和 r 减 h 它俩肯定是互为相反数的呀，对不对？然后后面加了一个平方，所以他们最终得到的值也是一样的哈， 所以这也就说明了大家考试的时候，你不用刻意的去分情况讨论，你就直接去按一种情况来列方程就可以了，然后最终求出来的结果其实是一样的哈，这是我们关于圆锥的一个外接球模型，然后对应的我们什么时候补成圆锥呢？ 那就是侧棱长相等的一个棱锥，比如说正棱锥，它的侧棱长肯定是相等的嘛，对吧？然后如果指示侧棱长相等的话也可以哈，那比如说大家来看你底面的话，你可以任意取一个三角形或者四边形或者五边形都可以嘛，对吧？反正你都可以放到这个圆周上， 然后呢，你这个顶点 p 到各个顶点的距离相等，那对应的不就是圆锥的母线相等吗？对吧？所以说如果碰到侧棱长相等的棱锥的话，你就直接放到圆锥里面进行求解就可以了。 比如说我们这里来给大家做个题，举个例子，他说在三棱锥 p 杠 abc 中，三角形 abc 呢，是一个等边三角形 p a 等于 pp 等于 p c， 你 看这个是一个非常关键的条件，他告诉我们侧棱长是相等的，对吧？ 那碰到侧棱长相等的话，我们对应的解题思路就是要给他补，我们要补形对不对？我们要给他补形成圆锥，然后利用圆锥的思路来进行求解。 那我们这个时候先把圆锥画出来，我们大致画一个这样的圆锥，对不对？然后呢你把高再做出来，这个是它的高，然后呢我们的球心在这里对应的，把这个三角形我们画出来， 对应的这个是大 r， 这个是小 r， 这个是这个是 h 减 r， 对 吧？那我们就是要表示这个小 h 以及这个 r 了。那我们现在把这个三棱锥， 我们把这个三棱锥再画出来哈，它这个三棱锥里面呢告诉我们的条件，比如说这个是 a、 b、 c， 这个是 p 点的话， p a 等于 p b 等于三，然后 p a 呢是垂直于 p b 的， 也就是这里是垂直的，那大家来想 p a 等于 p b 是 等于三的， p a 垂直 p b， 那 么斜边 a、 b 的 长就是三倍根号二了吗？所以我们现在就知道这个底面呢，是一个边长为三倍根号二的一个等边三角形，因为他已经说了嘛， a、 b、 c 是 等边三角形呀。 那这个时候我们想求这个小 r 的 话，如何去求呢？这个小 r 就是 他外接球的一个半径吗？对吧？那这个时候呢，如果说你记过一些公式的话，那你就可以直接套公式，等边三角形外接圆的半径呢，他对应的是三分之根号三 a a 呢指的是边长，所以就是三分之根号三，再乘个三倍的根号二，它其实是等于根号六的，这个是我们记结论的话可以快速得到的，那如果说不记结论的话，你直接做个垂直，然后呢？我们对应的三等分点，你看三等分点下面， 呃，靠近边的这一个点对应的就是我们外接圆的一个圆形 o 了，然后我们想找到外接圆的半径的话，那不就是 o a 的 长度吗？对吧？就是这个高的三分之二， 你如果非要去求的话，也可以去求哈，这里我们就不多说了，反正我们现在知道小 r 呢是根号六，对不对？所以说这块就有了这个小 r 是 等于根号六的，现在我们要求 h， 那 h 如何求解呢？大家来想一下，那我是不是要过点 p 向底面做一个垂线，然后正好交于底面的中心 o 点啊？ o 一 吧，正好交于底面的中心 o 一 点，这个 o 一 其实就是我们刚才求的这个 o 一 啊，大家来看就是外接圆的圆心啊，对吧？那我们是不是可以把 b o 连接起来？ p o e 肯定是垂直底面 a b c 的， 因为我们现在做的是一个高嘛，所以 p o e 肯定是垂直底面的，所以这里是一个直角三角形， b o e 的 长度就是咱们这个小 r 呀，就是根号六呀， 然后斜边是三呀，对不对？所以说 p o e 的 长度呢，它就是根号下九减六，就等于根号三，也就是我们的 h 是 等于根号三的，所以这里就是根号三减 r 扩起来的平方再加上， 呃，小 r 呢是根号六，那就是加上六了呗，对不对？根号六的平方是六嘛？化简一下 r 方就等于三减二倍，根号三 r 再加 r 方再加六，这个时候左右两边 r 方消掉了， 然后对应的呢，就是九等于二倍的根号三 r， 所以 r 呢，是等于九除个二倍根号三的， 也就是我们来化简一下，也就是二分之三倍的根号三嘛。然后我们要求体积，那对应的就是三分之四 pi， 再乘 r 的 三次方，那就是八分之二十七，再乘个三，再乘个根号三嘛，对吧？我们来化简一下 四和八，消一下，这里变成了二，然后三和三消掉了，那就是二分之二十七倍的根号三派吗？所以答案就是我们的二 b 选项是不是也做出来了，对吧？这个是关于圆锥的外接球模型哈。 最后呢，我们再来看圆台的外接球模型，跟之前是一样的思路，先来找球心，那么圆台包含上下两个圆面吗？对吧？那我们可以先取上底面的圆心 o 一， 再取下底面的圆心 o 二。 那你想哈，我现在是不是 o 一 到上底面圆，上面的每一个点距离都是相等的，对吧？那我做一条垂直，这条垂直其实就是 o 一 o 二这条线了吗？对吧？在这条线上的每一个点 到上上面这个圆，他的每一个点的距离是相等的，因为你来想，你看你到上底面，你任意做一个直角三角形， 它对应的这段长度是不是一样的，然后这个都是小 r 吗？对吧？你看，你在上面任意取一个点构成的这个直角三角形，它的直角边两个直角边都是一样的，所以斜边长度肯定是一样的吗？对吧？然后同理在这条 o 啊 o 一 o 二这条线上的点到 o 二的每一个点的距离也是相等的，对吧？他们各自到上下底面每一个圆周上的点的距离是相等的，但是我们现在想找一个点让他到 上底面，你看上底面圆上一个点的距离和它到下底面圆上某一个点的距离是相等的，那这个 o 的 话就不能在正中间了。为啥呢？因为你想， 你看，你看我现在画出来的这个图，上下是不是分别可以构造呃，构造一个直角三角形，可以列勾股定律呢，对吧？然后这里是 r 一， 这里是 r 二，它的直角边已经不一样了，它的一条直角边不一样了，那另外一条直角边必须也得不一样，才能满足让它斜边相等，大家能理解吗？它已经不是全等的三角形了哈， 所以说对于圆台来讲，他的球心一定不是呃，在这个正中间的哈，一定不是。在这个，你看上下底面连线取中点一是一定不是在这个中点处取得的。然后第一种情况就是咱们这种情况， 这个球心 o 正好是在圆台内的，然后还有一种情况呢，就是这个圆台扁一点嘛，对吧？然后这个时候这个球心 o 他 就是在外侧了， 那这个时候怎么去列方程呢？我们先来看第一种情况哈，这个时候我们可以从高这里入手来列方程，这个时候你看 o o 一 再加上 o o 二，是不是等于 h 呢？对吧？所以说我们就把这个标成 h 一， 把这个标成 h 二，我们利用 h 一 加 h 二等于 h 来列方程，这个时候 h 一 它是不是根号下 r 的 平方再减 r 一 的平方呢？对吧？然后再加上根号下 r 的 平方，再减 r 二的平方，它是等于 h 的。 你就考试的时候，你就这样去列方程就可以了啊，因为你要求的 h 一 般是可以求出来的，然后 r 一 r 二也是可以求出来的，这三个量求出来，然后再去列方程，求这个大 r 就 可以了。然后左边这种情况是什么意思呢？那这个时候呢，你看我们再来列方程的话，这个 o o 一 它对应的 既不是我们的高，也不是我们外接球的半径，那这个时候怎么列方程呢？还是去找高之间的关系， 会发现 o o 一 减去 o o 二，是不是就等于 o 一 o 二了呢？那这一段不就是 h 了吗？对吧？所以说我们可以设这个是 h 一， 这个是 h 二，现在我们可以得到 h 一 减 h 二是等于 h 的， 也就是你看我们设它斜边分别是大 r 嘛，对吧？然后这个是 r 一， 这个是 r 二， 也就是我们根号下 r 方，再减 r 一 的平方，然后这里是减法了，就变成减法了哈，再减去 h 二，就是再减去根号下 r 方，再减 r 二的平方，就等于 h， 我 们这里可以列这样的方程。所以说你会发现这两种情况其实是不太一样的哈，因为一个是减法，一个是加法，大家反正记住 h 一 加减 h 二是等于 h 的 嘛，对吧？这里，对呢，是有一种情况成立，有一种情况不成立的，因为他不可能。你看这个球心记在 既在圆台外，又在这个圆台内吗？不可能吧，肯定是二取一吗？对吧？那具体取的是哪一个呢？你就可以把这两个方程都列一下嘛，反正就是一个加减号的一个问题，计算量也不会变得特别大，你可以都列出来，然后最后看一下哪种情况成立就可以了，这是我们对应的圆台的解体思路哈。 然后什么图形图形经常补成圆台呢？对应的就是棱台了哈，因为你想想棱台的话，不就是上下，你看上下底面分别取多边形放到圆台内嘛，然后构成一个棱台，棱台也是可以放到圆台内的哈，这个很好理解，大家记住就行了。 那我们这里直接做题来练一下，他说已知正四棱台 a、 b， c， d 杠 a， b， c， e， d， e 的 上下底面边长分别有了，对不对？然后如果该棱台的体积有了，问我们棱台外接球的体积， 那么大家来想，他既然是一个棱台，那我直接放到这个圆台里面就行了呀，对不对？所以说老师把图放到这里了哈，方便我们一会来进行理解哈。那这个图里面呢？大家来想，既然已经放到这个圆台里面了，那我们就直接来列方程呗。圆台的方程是什么呢？ 那你就一般，一般你可以记这个图吗？这个图一般看起来简单一点，或者说你喜欢记前面这个，你也可以记前面这个哈，然后老师习惯呢，是用右面这个图 看，这个是 h 一， 这个是 h 二，这个是大 r， 然后这个是 r 二，这个是 r 一， 对不对？你把这个图放放到这里，你就立马就能想到这个方程怎么列了，它对应的不就是 h 一 加 h 二是等于 h 吗？ 对吧？那对应的不就是根号下 r 方再减。 r 小 r 一 的平方再加上根号下 r 方，再减 r 二的平方就等于 h 吗？对吧？那我们分别来求一下啊。 r 一 和 r 二，这个时候 r 一 的话，是我们上底面外接圆的一个半径， 那上底面外接圆的半径是多少呢？你看上底面呢？他是一个，呃，他，他是正四棱台，所以上底面是一个正方形，这个正方形的边长是根号二， 那他外接圆的半径的话，那对应的不直接就是对角线的交点，也就是对角线的一半吗？对吧？根号二，根号二，所以对角线呢，就是二了，那他的一半呢？就是一了呗，对吧？所以说 r 一 r 一 是等于一的，然后再来看 r 二，同理它的边长是二倍的根号二，那么斜边呢？斜边就是四了呗，对不对？ 那四的一半呢，就是二，四的一半是二，所以说 r 二是等于二的，现在这两个都有了，再来求一下 h， h 等于多少呢？他说这个棱台的体积是三分之十四的，十四倍的根号三，我们来直接上体积公式。 棱台的几何式呢？是三分之一乘 s 上加 s 下，这个时候 s 上呢，是根号二，乘根号二，那就是二了嘛，对吧？ s 下呢，就是二倍的根号二，再乘二倍的根号二，也就是它的平方，也就是四，乘二就等于八嘛，对不对？然后再加上 根号下， s 上再乘 s 下，二乘八等于十六，根号十六不就是四嘛，对不对？然后再乘 h 是 等于三分之十四倍的根号三的。我们来化简一下，左右两边三分之一和三分之一消掉了。 二加八等于十，十加四等于十四十四， h 等于十四倍的根号三，那不就是 h 等于根号三吗？现在 h 也有了，我们来解这个方程，对应的呢，就是根号下 r 方减一，再加上根号下 r 方减四，是等于什么呢？是等于根号三的， 那这个时候如何去求 r 呢？对不对？他是双根号的，解起来肯定是需要稍微计算一下的，那这里呢有两种思路，第一种是你直接猜，第二种呢是计算。我们先来讲第一种直接猜的话，怎么猜呢？ 就是你先给 r 限定一个范围，因为它是带根号的嘛，根号需要满足一个性质，就是根号下的数必须大于等于零，所以说这里我们需要限制 r 方大于等于一， r 方大于等于四，所以说这个 r 方他肯定是要满足右边这个嘛， r 方大于等于四嘛，那咱们就来给 r 方来赋值，你看看，我们把 r 方看成一个整体，我们对它赋值， 它要大于等于四，那我们就从四来试一下呗，如果当它正好等于四的话，这里就变成根号下四减一，就变成根号三了，这里呢就变成零了呗。根号三加零正好等于根号三呀。哎，你看这不就猜出来了吗？很明显是没有问题的，所以说你可以去猜哈，但是有些时候猜不出来，那这个时候就要硬算了，怎么硬算呢？ 大家来想哈，这个时候呢，它是有两个根号，那我们就一个根号，一个根号的去去，我们先来去第一个根号，比如说我们把其他的全部移到右边 根号下 r 方减一，是不是就等于根号三，再减去根号下 r 方减四呢？对不对？我们先把一个根号拎出来，然后这个时候左右两边我们同时平方，就可以得到 r 方减一就等于三，加上 r 方减四，再减去二倍的根号下根号下三乘个 r 方减四，也就是三 r 方再减十二，我们左右两边把 r 方消掉了，然后三减四呢？等于负一，负一和负一消掉了。哎，那就直接变成零了呀，零等于负二倍的根号下 三， r 方减十二嘛，也就是二倍的根号下三， r 方减十二等于零，所以肯定是里面这一坨等于零呀， 所以三 r 方减十二是等于零的，那 r 方就等于四了呗，所以 r 一定是等于二的呀，是不是？求解出来了对不对？ 那对应的这道题要求什么呢？要求外界球的体积，所以三分之四 pi 再乘 r 的 三次方就是乘个八嘛，四八三十二，所以三分之三十二 pi， 答案就是我们的二 b 选项， 是不也就求出来了呢？对吧？这是关于圆台的一个外接球模型哈， ok， 那 以上就是咱们关于外接球问题的一些必考题型了，但是老师说实话呢，你光学会这一个模型，他顶多呢只能让你在这个板块多拿几份，对不对？我们高中数学真正想提分的话，拼的根本不是你刷了多少道题，而是你底层的一个学习逻辑。 咱们很多同学可能不知道，老师我以前数学也是一个不及格的底子呀，但是为什么我在高考前能一路逆袭到多次满分呢？为什么我能从二本的水平最终逆袭到 九八五的一个水平呢？就是因为老师发现了一套极度理性的一个数学提分系统，因为题海战术救不了提分，但是对的方法可以， 老师我把我自己从不及格到多次满分的所有底层学习方法以及避坑指南全部整理成了一节内部逆袭方法课。大家想数学快速提分的，你可以通过这里加我，这节课老师免费发给你，你花半个小时看完就能立刻停止你的低效无效努力。 最后呢，千万别忘了三点加关注，小马老师接下来会继续更新我们高中数学的一些必考题型以及对应的解析思路。那我们就下期视频再见了，大家拜拜！
1484小曼老师的数学课
01:54查看AI文稿AI文稿来了，学画画的臭宝们，今天邪修学圆锥，圆柱话不多说，太干。锥体是非常简单的形体，尤其是圆锥，你想我们圆锥怎么画啊？最高点，最低点，最左边线，最右边线一比一点五，然后接下中线，最低点不是最左边线的连线，这个这个点的连线找出来， 找两个点，把这个点连起来，把这个线这弧度打出来，是不是有了这锥体，我们现在让锥体倾倒还是一样的，这锥体倾斜是中线发生的变化，中线变化最直接，他变成斜的，他左右两边还是一样的，还是在这去找还是这去找来，这样画了一个倾倒的锥体，对不对？ 我们再画一个这样躺下的边缘中，中线也是他的动势，他的动态线，中线大，这样打，这样上下左右，然后连这个最宽的位置连线，连起来，把这个弧连起来。好， 讲一下柱体，圆柱，一会我们讲交叉体，你把这个先讲一下，那圆柱呢？是一比一点二的，先画个一比一点二的位置宽度定一下，然后呢？我们在也是同样的，要找到什么 中线，在这中线上去飞，顶面有侧面的位置，最宽的位置在这，然后根据切的方式切出来，他可能有的可能，可能是这样讲的，切一下，切一下，切一下。好，我们完成了柱体，但柱体要是躺下来的话，也是这么放，听到吗？这样躺下的，这是垂直的， 可以吧？这线是平行的，这个比例还是一比二，不绝对啊，这有透视的，不一定比一比二小一点，短一点啊，对吧？然后接了这个面可变大一点， 是吧？中线啊，然后在这里面切切切切切切，切完之后有处有有，有什么？有透视？可能这个线呢？就会斜度稍微明显的是宽点，是窄一点，我们根据这个在这个基础上去把这个轮廓修圆。 那你看哦，这个主体它的棉絮，如果光线从这边来，它的棉絮在哪？这叫棉絮线。顶面和侧面是吧？上面亮，下面灰啊。棉絮线左和右是吧？侧面里边棉絮线投影后边，这是投影，对吧？这个主体没问题吧？这个棉絮呢？这棉絮是啥样的？这是棉絮线。
03:12查看AI文稿AI文稿如果你画的穿插体是这样，这样这样，看完这个视频才知道原来穿插体如此简单，这样穿插体是吧？ 同样的，那就是穿插体，就是把猪体和猪体穿插到一块，那猪体是躺下的，这样我们我们可以画一个锥体啊，穿插锥体高点比一点五，对吧？这大差不差，就是一般情况下你这么画他不会出太多的问题，就这句话，瘦点， 瘦了一点，苗条一点，椎体有了，是吧？那好，椎体画出来之后，你记得我们画一下穿插体，这个时候我们要去看观察，是哪个低，哪个低，哪个高，是吧？哎，他这样一侧，哎，这样一侧过来之后可能就会出现个高低差，对吧？ 比如说，哎，我们左边低，右边高，是这样穿，对吧？他这样穿好，在这个时候我们要去找一个关系，什么关系呢？就是你这个线的位置画在哪，这两个点你要确定一下这个点在哪，一般情况下这个点几乎在二分之一，就这段的二分之一上，就这个这个线， 我说的是大部分情况啊，如果是特定的这个几何超平，那有可能这个线会更靠下一些，能理解吧？你要去看这个比例， 要去判断这个位置在哪，上边这根线，这根线也几乎在上面这段的二分之一处，接下来我们要去判断它长度，对吧？画多长，这个时候呢，你要去给这个点去比较，和这个点去比较，是吧？你把拉下来，你去看一下这个这几个边的，给这个距离，还可以这样去核对一下，调整一下它是不是几乎接近一米的。 那紧接着我们要去看这个线的斜度，这个面是斜的啊，不是一个直的面，这个线也是也是斜的，是这么一个线，这边也是斜的。好，那紧接着在这个基础上，我们去把它切一下，这我们就完成了穿插起，感觉这边这么长，长的，往后再退一点，你这有点长了，这有点短了，把它长一点，把这个再远一点，好吧？调一整啊，调一下， 我这不是写生的啊，我大概给你讲一下这个道理。我们这还有个没结束啊，这会看到一个结构，这结构在这里啊，这么一个结构出来，这边呢，可能看的比较少，或甚至有的看不见，我们把多余的线擦掉，这就完成了一个完整的。那如果说考试出现一个站起来的，他可能好画一些，但是我躺下呢，这就不好画了。 俺家的，你先去定这个角度，是吧？然后呢定这个宽度就会相等比例呢，你要去看一下，他可能会比一点五稍微短一点，因为他有透视了，是吧？有一定的透视，你稍微画的短一点，对吧？然后呢，最宽的位置大概在这里看不见最宽的，如果这样躺的话，看不见了。这壶是这样，是这样的，画的这个这样的，对吧？看不到这个面啊，就不是这样画这样 的，你看还是要你看刚才我们研究的这个点的位置在在这里，是吧？ 这还是从这穿吧，几乎还是在这穿，要看角度，这个角度它的斜度是斜到什么程度？你看这样我们还是要画这个平行线，他挡一部分，挡住这个形体一部分，大概的啊， 这个要短一些，这可能要短很多，大概这样我们就画这个圈圈画出来，然后呢在这去画这个这个行头，这可能就看不见了，挡住了，看不见了，可能你看到的就是一个这样的一个结构，把多余的线擦掉，这边再长一点，这个过程中你遇到任何的形体，你都得知道它的方法是怎么快速的起这个形才行。 看到吧，你看我半个小时花了多少，看见吧，还在带奖的啊？好，这我们就把这个穿插器画差不多了啊。
![5分钟学绘画｜新手也可以画素描 今天画圆了，好画圆了～
之前的练习建议大家找时间都画一画
然后就只能感受到画圆的不容易了[害羞R]
我们不给自己太多的压力
今天只是画一个圆的轮廓
加油，你可以的！
#素描 #打工人 #生活 #爱好 #上热门 @DOU+小助手](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/tos-cn-p-0015/oMvgEC5mdBAO4ws8NXi5Ae0BXA5gEBGeI1vIli~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2098400400&x-signature=jSgI6YtAVRJpLWXlGNX1afDGw9Y%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=202607030946442F874AD5C519311C5335)
05:24查看AI文稿AI文稿画画了，画画了，之前我们画过正方题， 画过长方题，不知道大家还都记不记得长方题还有什么？三角题，对吧？还有什么，呃，圆柱，对，圆柱，哎，还有圆锥，哎， 现在大家还记得这些都是怎么画吗？嗯，那今天呢？我们要画圆，画圆，当你手动画圆的时候， 我觉得画的不够圆，因为我的拍摄角度啊，你们看到的时候可能他会有一点点细，我放在桌子上， 我们在骑行的时候，自己眼睛看着自己笔的时候，要尽量把它画到非常的对称。画圆。骑行的时候可以先画一个正方形， 画一个正方形，这个是我们第一节课第一次的时候就有说过正方形，正方形比较简单，当你把正方形大概画出来的时候，这里是正方形，把四个角掐一下， 你就会发现这个圆大概就出来了，试试看是不是这样子，试试看是不是这样子 大概就出来了。还有一种方法，怎么画呢？画十字，画一个十字，这个十字呢？要每一条这个就这个线段，这个线段，这个线段，这个线段，他们都是等长的，这个理解啊，然后再编上 加一下，其实他仍然是一个正方，正方，呃，正方形对不对？只不过是我们给他加的段数多了， 非常复杂啊，但是这个意思大家明白吗？懂吗？ 它仍然是个圆，那在这种简单初步的记性的基础上，我们把一些多余的线给它插去就可以。现在我再演示一遍，假如我现在是一个正方， 正方形，在这个正方形的基础上，把它变成一个圆，能看到我现在用笔的轻重，是不是比这个要轻？这个画的很随意，那我们这一天画的时候，气性笔一定要用很轻的这个力量去画，画错了以后呢， 它是很容易修改的，你看为什么画出去啊？是因为我刚才画的这个正方形，它有一点点瘦长，现在把它一点一点的修改到比较圆的一个状态。 我们平时画的圆形都能做什么用呢？画圆做什么用啊？比如说画珍珠， 一个女孩子她想画一个自己的这个珠宝首饰，那这个珍珠是经常会画到的素材，在这个基础上很多余的线，我们来擦一下看看， 如果要再细致一些呢，就再多次的修改，把这个轮廓线也画的非常的漂亮， 一点点来，圆的记性不容易哦。大家第一次画可能会觉得呀，怎么画不好呀？画不好是正常的，你告诉自己画不好是正常的，但是你要相信自己总能够把它画好。 现在这个轮毂线就已经被调整的比较的细了，对不对？ 不要着急，一点点来，今天的五分钟我们就去练习画圆， 画的细致一些，画圆有空了可以在纸上，有空了可以在纸上多画几遍，多练习几遍， 拿起来看一下 试一试。今天我们就画圆的其形破线，圆的破线，画出来你就已经很厉害了。
4甘勾胖
00:32
04:5042麦克ppt
08:02查看AI文稿AI文稿谢谢老师在前面呢，我们已经学习了多面体的表面积和体积公式，请同学们回忆上一节课的内容，回答问题一和问题二。 好，这个问题我们通常把多面体展开，底面积加侧面积就为多面积的表面积。 好，请坐。那其实我们在这个展开的过程中，就是把我们的立体图形转化为平面图形，这也是我们解决立体几何问题的一种啊重要方法。第二个问题， 孙永泰同学，棱柱的体积等于底面积乘以高棱锥的体积等于三分之一底面积乘以高棱台的体积等于三分之一乘以高乘以括号内上底面加下底面加根号下上底面乘以下底面。好，请坐。 那么我们能不能根据推导多面积表面积呢的方法得出圆柱、圆锥、圆台的表面积呢？ 那么下面呢，我们根据各自的小组讨论我们结构特征，并推导出表面的公式。然后呢，我让小组选代表来展示咱们的成果，下面呢，开始讨论， 啊 啊啊 啊啊啊啊啊， 好，接下来吧， 咱们第一小组推举的代表是，请上台。 这是一个圆柱，点开那一条母线剪开， 它的上下底面是两个全等的圆，它的侧面是一个矩形的长是底面圆的周长，矩形的宽是它的母线长。这个圆柱的表面积就等于上下底面的面积加上侧面矩形的面积。 好，非常好，那么你能把你推倒的姐妹展现出来吗？ 好，掌声鼓励， 非常棒！那么第二组同学，哪个同学来展示你们的成果？ 嗯，这是一个圆锥，我们连它的母线把它剪开， 可以看到它的侧面是一个扇形，它的底面是一个圆，而这个扇形的弧长是圆的周长， 扇形的半径是圆锥的母线，所以我们可以得出圆锥的表面积是扇形的面积加上圆的面积。那请把你的成果展现出来， 好，非常棒，掌声鼓励， 有请第三组代表来展示你们的成果。 这是一个圆台，沿着他的一条母线剪开，可以看到他的上下底面是两个圆，他的侧面展开图是一个扇环， 它的表面积是由上下两个底面的面积加上这个侧面展开图的面积，而这个上环的面积可以由这个大扇形的面积减去这个小扇形的面积。好，请把咱们的结果写出来。 好，来，掌声鼓励， 好，这三个小组啊，都把咱们研究的模型以及咱们表面积公式推导出来了。大家看， 那么圆柱的表面积上下两个底面的面积加侧面的面积，我们可以进一步和他提出，二，嗨，二，里面是二，这个我们可以进一步写成，啊，嗨， 我找出来喽。好，这个我们同样可以写出来啊，这个同学已经整理好了， 那么咱们观察一下在表面积公式当中，主要的量是啊，半径，还有啊母线。哎，对，所以啊，我们要找到母线和半径， 那么这三者之间有什么关系呢？咱们不难看出， 当圆台它的上顶面半径和下顶面半径相等的时候，圆台就变成了咱们的圆柱， 那当咱们的圆台的上底面半径缩小为零的时候，我们的圆台就变成了圆锥。哎，所以他们之间有一定的关系。好，下面咱们看例一， 给出上下底面周长的关系，五线长侧面面积求较小的底面的半径，看哪个同学到黑板上来展示一下 张晨同学。
17小夏优质公开课
00:48查看AI文稿AI文稿圆锥管大小口制作，像这样的大小管怎么把它快速连接在一起？先测量大管直径为五十二，小管直径为二十五，以大管直径五十二为长度画弧， 再以小管直径二十五画弧， 这是小管直径， 这是大管直径。成品制作连接起来是不是严丝合缝？
278邱哥（钣金展开）
07:19查看AI文稿AI文稿本期讲一下圆柱圆追求命令，我们先到菜单栏找下命令点，插入设计特征， 可以看到这里就有圆柱圆追求命令。现在先讲圆柱单机圆柱命令，弹出命令对话框，先按命令提示框高亮提示，依次选择一个轴方向和点位置，随便输入一个尺寸，点击底部确定或者应用，就可以看到生成了一个圆柱， 我们继续尝试选择另一个方向，鼠标点自己走，然后点圆柱顶部，圆心点会自动捕捉，改一下数值， 点击应用，这就创建了另一条圆柱。然后我们继续选择向下方向，再创建一个圆柱，点到圆柱中心尺寸，先按前面的点应用，圆柱就创建好了。 然后我们看一下命令对话框里面创建的第二种方式，圆弧和高度，这里意思也很好理解，就是圆弧就是代表了尺寸大小，再给一个高度就可以，这里会自动识别到垂直于圆弧线的方向， 方向这里有个箭头，方向不对可以点对话框里面的反向，没问题，直接点应用就好了。 接下来我们讲下一个命令，先把不要的删除一下， 去菜单栏点击插入设计特征，圆锥 圆锥，这个跟之前的圆柱很像，就是多了一个角度，这里有几个不同的创建样式，就不一一细讲，先按默认的第一个讲， 话不多说，直接选择方向，然后选一个点作为要创建的位置，尺寸输入一下 好了，点应用就生成了一个圆锥，尺寸不合适就先按键盘 esc 退出命令框，再鼠标左键双击圆锥修改，改完后点确认，退出命令对话框，不合适可以继续双击修改， 直到合适为止。 我们再看一下圆锥的第二种创建方式，直径加半角，上面的轴方向以及点是一样的，这个是固定的，就是下面的输入尺寸变了， 就是创建一个圆锥，你要给他一个方向创建，还要指定一个点方式， 确认好这个再来输入圆锥的尺寸， 这里可以给出上下端面的直径大小以及半角值，也就是圆锥的单边斜度。我们可以双击修改一下这个斜度，看一下 现在这个面的单边斜度，就是十度，不信我们可以测量一下角度 点选项卡分析测量命令， 选择这个面就可以看到角度值。 我们再试下圆锥的第三种创建方式， 底部直径，高度，瓣角。主要就数值给哪个的问题，用法以及概念都是一样的， 我们快速演示一下 输入数值， 洁面大小以及高度都可以测量验证一下 角度是对的， 再测量一下高度 距离五十也是对的。 再验证底部直径， 半径二十五，那么直径就是五十也是对的。 圆锥就讲到这，再讲一下球命令， 在设计特征里面点击球命令，这个球命令对话框里面看到球有两种创建方式，先讲第一种中心点直径，就是你要给个放置位置，然后再给个数值大小， 之前没有讲这个布尔计算，这里等会讲一下这几种关系。 我们再看下球的第二种创建方式，以圆弧来创建，圆弧本身就有大小跟位置属性的，所以可以直接选一个圆弧就能创建 这个球创建起来还是很方便的。把上面创建的删掉， 再按中心点加直径创建一个球， 输入一个数值， 这里不和运算是五，所以创建的球是单独的不和运算。选择合并选择题就是要去跟谁合并， 按键盘错加 z， 我 们打透明看一下是不是合并到一起了。再看一下不和运算的减去就是球要切掉谁，点确认后看到球已经把这个圆锥顶面切了个弧面凹坑。 再看一下布尔运算的香蕉，可以理解为就是创建的球跟选择题的重叠部分，本节就介绍到这里。
33Alan
00:15
09:02查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是数学老红，我们这节课继续来看空间球，上节课我们介绍了呢前三种，那这节课我们把第四种、第五种给讲掉。外接球当中呢，在直轮柱、直轮锥当中，肯定是直轮锥，考的会比较多。什么叫直轮锥呢？就是侧轮垂直于底面，我们来看一下它这个原理啊，比如说，哎，这边把它连起来 是 p 杠 abc， 现在我们是这样的啊，你这个 abc 这个形状我们不确定，然后呢，现在就以唯一的条件确定，就是 ab 垂直于底面 abc， 那 我可以这样，我先去找底面外接圆的圆心，过外接圆的圆心呢？我去做这个垂线，很明显这个直线 l 上面的任意一个点到 abc 三点的距离是一样的，那也就是说我只需要找这么一个点，让它到 p 点的距离 和到 a 点的距离一样不就行了吗？这里面我们可以连接 a b 过 p 点呢，向这个直线 l 做垂直。 你做完垂直之后，你会发现你这个假设这个点是 h， 这个点是 m a h m p， 这个这个四边形呢，它是一个矩形，所以你哪一个点到 p 点和 a 点距离是一样的，这就是 h m 的 终点，哎，就 h m 终点， 这是 o 点，所以 o h 的 长度其实就是 p a 的 一半，也就是二分之 h， 而 a h 呢是底面外接圆的半径，我们可以用大耳来表示，然后 a o 呢是小耳，是，这是真正我们要求的这个东西，所以我们要求的外接球的半径等于什么呢？等于 下方加二分之 h， 他的平方。现在像一般考的时候，这个题目当中 r r 方的这个 r 可能是需要我们去求一下的，这里面有这么几种情况，如果是一个正三角形，那你记住他就是三分之根号三倍的边长。如果是一个直角三角形， 那我们知道它是斜边的一半，斜边的一半，那么如果它是一个普通的三角形，就比如说人家告诉你，哎，这个 a b 等于一， a c 等于二，然后角 b， a c 等于什么？六十度，那咋办？哎，我们可以利用解三角形当中的一个正弦定理啊 去求，用到正弦定理当中有一个 a 比三， a 等于 b 比三， a， b 等于 c 比三， a c 等于二，那里面二个就是外接圆的半径， 就这么去求的直楞柱跟直楞锥是一样的啊，他两个你直楞锥，你直楞锥，你包括像这个 p 杠 abc， 我 给他补一下，就能够补成这个直楞柱，所以他两个做法都是利用这个公式啊，你可以把这个给他记住，把这记住，你解决这种题目就不会有什么问题。好，我们简单的来看一个题目， p a b c， p a 等于 a b a b c 呢？等于 a， b c 等于九十度，这个角是九十度， a b 加 b c 呢等于六。则问它这个外接球体积的最小值，它体积最小值不就半径的是最小值吗？什么情况下这个半径是最小的呢？ 我们可以看一下假设，因为你 a、 b 和 bc 的 长度我们不知道，但是它俩相加的长度我们知道，设它为 x， 那 也就说 p a 是 x， 那 这个呢？就是六减 x。 首先你底面外接圆呢，是一个啊，底面是一个 abc， 是 一个直角三角形，所以说它的底面外接圆的半径就是二分之 a c 的 长度，也就是 二分之根号下 x 方加六减 x 的 平方，然后呢你这个二分之 h 呢，他就等于二分之 x， 所以 说他半径呢，就等于等于根号下它方加它方四分之 x， 加上四分之 x 方加六减 x 括号的平方，所以是二分之根号下三 x 方减去十二， x 加三十六，所以你看对称轴数求对啊，是吧？好，这个我们也具体的就后面的一个计算，我们就不往上算了啊，主要还是这个半径的一个问题啊，这一块题目的难度不大，就是依靠这个公式，二分之 h 括号的平方加底面外接圆的半径等于外接球半径的平方。 那么正的四轮锥包括轮胎，我们解决的一个思路是什么样呢？它这样的，我们以这个正四轮锥为例吧。好，我们假设 p 杠 a， b， c， d， 它是一个什么呢？正的四轮锥，现在呢告诉我们，一般来说会，一般来说告诉我们条件呢是 a b 啊，或者是 pa 啊，这些条件我们都都是能够是能够知道的啊。好，那么我们来看，可以很肯定的一点，你底面外接圆的圆心呢？肯定是 o 点，肯定是 h 点嘛叫 h 点，你连接 p h， p h 肯定是垂直于底面的，所以说我们此时你这个球心一定是在 p h 上，哎，在这里面随便找一个点， 然后呢把它跟 b 点去连接，或者你跟 a 点连接也可以，然后再连接 b h， 此时你把这个 p h b 给它拿出来，就在正四面体当中，这个三角形在正的多轮锥当中啊，这个三角形很重要， b h b， 然后里面有个 o 连接，利用这个三角形，我们就能够去求外接球。这个是 o h 呢，是高减去高减，把它 o p 和 o b 设成小 r， 也是外接球的半径，所以你 o h 呢，它就等于 高减去小，你 h b 呢，就是底下外间缘的半径，所以他跟上面那个公式很像，但是会有点不一样，那个是二分之 h， 这边是什么呢？ h 加这个大方，就是底面外间缘的半径，比如说他，你说那一定是正四轮锥才能用这个公式吗？不一定 啊，不一定，只要是侧轮相等的轮锥都可以，就这些侧轮都相等， 侧轮相等的轮锥都可以。那么轮胎怎么做呢？啊？比如说我们假假设有这样的一个三轮胎，轮胎一般考的时候以正轮胎居多，以正的轮胎居多。连接连接，连接 还是一样的，我先去找底面上底面外接圆的圆心，再去找下底面外接圆的圆心，把它连起来。很肯定的是，你肯你那个外接球的球心一定是在这个 o 一 o 二上面的，我们连在上面找一个顶点，然后这边对应的找那个顶点，把这个形状给它扣出来。假设这是 a， 这是 a 一， 把它拿出来 a 一 o 一 o 二， a o 点呢，肯定就在上面 把它连接起来。连接起来之后，这个时候你把 o o 二呢设成 x， 那 o o 一 呢？就是高减去 x， 这是上底面外接圆的半径 r 一， 这下底面外接圆的半径 r 二，然后他们就能够得出这个式子。 一般来说，这里面你也就只会有一个变量啊，也就是 r 一 方加上 h 减 x 的 平方等于 r 二方加上 x 方，通过这个我们一般可以把 x 求出来，求出来之后再去求这个啊，求出来之后再去求这个。 整个来讲中规中矩，难度不大。你，你按照我讲的这样去做，应该来说按部就班就能够把它给求出来啊。我们来看一题， 他说正的四轮锥 p 杠 abc， 它的侧能长是几呢？是二，二面角的正切值是根号六，让我们求它外接求的本面积侧能长是二，这个也是二，然后 p a b a b c， 正切值是根号六。好，把底下这个哎中心 h 找到连接 p， 连接 ph， 然后 ab 的 中心呢？比如说是 m， 再连接一个 pm， 你 m 点向底面去做这个，你这个 pm 垂直于 abhm 呢，也垂直于 ab， 所以 此时二面角呢，就是这个 pmh， 它这个角正切值是根号六。我们假设 底下这个棱长是几呢？底下这个棱长，比如说 mh， 给它设成是 t， 那 也就是说这个长度是 t， 那 pm 的 长度呢？就是 根号下四减 t 方，然后 p h 呢，它就是高，你的正切值是根号六， b p 呢等于根号二 t， 所以 你 b b h p h 的 长度是多少呢？是根号下四减去二 t 方， 所以你看，我只需要拿 p h 除以 m h， 就是 根号下四减二， t 方除以一个 t 等于根号六，两边跟它同时平方 t 方分之四减二 等于六，移过去， t 方等于几呢？等于二分之一，那 t 就 等于二分之根号二，把它带进去，那 b h 的 长度就就是一，这是二，那这个高就是根号三。在上面随便找一个点往这边去连接，那这就这个点就是 o 点， 我只要让 o p 等于 o b 等于 r 就 可以了，所以 o h 呢，等于根号三减去 r。 勾股定律， 根号三减， r 的 平方加上一的平方等于 r 的 平方，所以是四减去两倍。根号三 r 呢，等于零， r 等于根号三分之二，这个时候我们再去求它表面积四派乘以它的平方三分之四， 所以最终结果就是三分之十六派啊。整个题目的难度不算特别大，但是你记住正四棱锥出现的时候，反正我觉得两个三角形都比较重要，一个是这个 p h m， 一个是这个 p h b， 你把这两个三角形给他画出来，那应该大部分的正四人追的这个题目题型你都能够解决的掉。好，我们直接可以到这啊，感谢大家的观看。
77蚌埠住的洪
14:27查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是数学老红，这节课我们继续来看立体几何空间球的这个部分啊，前面的五种我们都已经讲过了，我们这节课把最后的这两种给看掉，最后两种呢，有一个共同点，他们我做这种题目的时候都喜欢用什么呢？用那个洁面的方式来做， 比如说我们来看，无论是圆锥也好，圆柱也好，圆台也好，他内内外接球也好，内切球也好，我们都可以利用什么？比如说你都可以利用洁面的方式，比如说一个圆锥，他的外接球问题，我就沿着他旋转轴这么一刀切下来，你这个 圆锥的横截面是一个三角形，而且是一个等腰三角形，你外接球的呢，他就是一个外接圆，内切球呢，就是内切圆，所以他就变成了一个三角形的外接圆，内切圆问题，外切圆问题，哎，正弦内里内切圆问题，二 s 除以 c， 对 吧？内切圆，二 s 除以 c， 非常简单，包括圆柱，那就是里面里面的三角形改成什么呢？改成矩形就会变得比较简单。我们来看一下这个， 看一个这个题目，他说已知，已知一个球内接了一个圆台，圆台上下半径分别是多少呢？三和四，体积是这个东西，那也就说是三分之四帕亚的三次方等于 三分之五百帕，所以 r 等于几呢？ r 等于五，那么直接给他这个旋转轴这边来一刀，所以他就是首先一个圆，里面一个梯形 等于二梯形啊，这是五，这是五，这边终点连接这这这就是他那个旋转轴上面是三，那这是四，底下是四，那这是三，求侧面积，求哦，圆台的侧面积，那圆台的高我们也知道了啊，这个，这个是几，这个是七 啊，这边做一个垂直，求下他的母线，求圆台的母线长啊，这个是三，这个是三，那就是一，这是七，那就根号五十，也就是 五倍根花。好，他是五倍根花，那么你把这个圆台给他，给他叫什么来着？展开侧面积，展开之后呢，他是一个 上环，上环的这个面积怎么求呢？就是其实跟那个梯形有点像，就是上面的这个长度加下面这个长度乘以这个长度乘以这个，原本他这个母线的长度在出压 二分之一乘以括号，这个短的那个是半径是三，所以这边是六派，这边是八派，所以加在一起是十四派，再乘以一个这个长度，这个长度我们刚才算的是五倍根号二，所以你看 七五七三十五三十五倍根号二派，这里选 d 啊，这个，这个呢比较简单的啊，圆锥、圆柱，圆台，哎，最喜欢他出现了，他只要出现，那就意味着送分垂面二面角的这种，这种题目怎么做呢？记住，你可以依旧是利用洁面的方式。另外一种有个叫有个公式， 叫做万能公式，我们来看一看这个公式它到底是什么？好，我们来看，我们先去找 p、 a、 c 的 外接点的圆心 o、 e 过 o 一 呢，我们去做一个什么？做一个关于这个平面的一个垂线，我们之前就讲过，所以你的垂线上面的任意一个点呢，到 p、 a、 c 这三点的距离是一样的，同样呢，我在 a、 b 上面找一个点呢， o 二过 o 二呢，也去做这个垂线， 你这个垂线上面，你这个垂线上面所有的点到 a、 b、 c 的 距离是一样的，那只要你这个几何体他有外接球，那就说明他们俩一定会教育一点 o 点，哎，一定会教育一点 o 点，然后呢这个时候我们过 o 一 向这个 a、 c 呢去做一个垂线， o 二呢也也去做这样的一个垂线，此时 你这个角就它的二面角，二面角把这个 c 长度是 h， 此时我们可以设 o、 e， h 呢等于 a， o， r， h 呢等于 b， 然后这二面角呢是 c， 它把 ac 的 长度设成什么呢？设成 t。 好， 此时我们会得到这个万能公式是 r 方等于 上引平方， c， 它分之 a 方加 b 方，减去两倍的 ab 考上引 c， 它 再加上四分之题放，这就这个万能公式啊，反正你看，你只要你觉得这个题目能用的时候，你可以尝试这种，这种公式都是刻意去用的，人家题目不可能说告诉你，哎，我要用这个公式了，对吧？而我们这个二面角的这个模型呢，就是我讲这种题型呢，我，我平时喜欢用的一个方法， 他并不是说你去记这个公式，而是要理解这个公式当中本质的一个东西。我们来想，我们做这种题目的时候，一般来说他一般都会有这样的一个特殊平面，我们过他两个特殊面的这个外心去做垂线，其实是一样的，前面步骤是一样的， 做完垂线之后，我们把它转化到平面里面去，也就讲你把那个 o、 e、 h、 o、 r、 o， 然后还有就是有可能 p 点，有可能 b 点，他们都在这个平面内，那我们就把这些点全部给他截出来，去做这样的一个截面，然后把它转化到平面，平面几何里面去做 啊。比如说我们来看一个题目，三轮锥 p 杠 a b c， 然后 a pa 等于 pb 等于根号五 c a 呢？垂直于 c b， 二面角是一百二十度， 那么你用刚才那公式是不是直接可以用？有兴趣的可以用那公式做一下，我们来看一看这个方法啊，主要介绍的是这个方法。 呃，这个时候我们来看你，你上面这个 p a b 呢？它是一个等腰三角形，把这个 a b 的 中点呢找一下，比如说是 h 点连接 p h， 我 们可以很肯定的是你这个外径的圆心 o e 应该在这个位置。 好，我们过它做垂线，然后呢再去找底面，底面 c a 垂直于 ab， 那 所以它这个直角三角形，它外径的圆心就是这个，就斜边的中点做垂线， 这边是 o 点。好，我们把这个，这是 o r， 把 o r h 也连起来，这时候你会发现 p 点 o 一 点， h 点， o r 点 o 点，这些都在同一个平面内，所以我一刀给它切下来， h o r p o 一， 然后这个是垂垂直，这边是垂直，然后这个是焦点，是 o 点，我们这个时候要求的是它外径半径，也就说我们要求的是 o p 的 这个长度。好，这个角是一八， 这个长度是几呢？这个长度是 a c 的 一半，也就是说是一啊，就 h o r， 那 我如何去求这个 o p 的 长度呢？因为这里面有特殊角，又又有一些长度，对吧？你这个 p h 长度呢？是几？是 r， 所以 我可以，我可以去建个 c， 我 可以去建个 c， 建完 c 之后， p 点的坐标是多少呢？是负一根号三，这个是一零， 它是一，把它设成 t。 好， 我们要解决的是 t 的 这个值。在这个三角形 p a、 b 当中，上引角 p b、 h， 它是等于二，比上根号五，也就是五分之两倍根号五。所以我们只需要拿 pa 除以这个上引角 p b、 h， 它就会等于 根号五，除以五分之两倍根号五，也就是 r， 所以 r 等于多少呢？ r 等于四分之五， 也就是说这个长度是四分之五。 o e p 的 长度四分之五，那这个长度就四分之三，所以 o e 点的坐标呢？它就是负的八分之三和八分之三倍根号三。然后它的它这个 o、 e、 o 这个斜率 肯定是跟什么呢？跟 hp， 这个是垂直的， hp 斜率很很简单，它负根号三，所以它斜率是三分之根号三点斜式， 也就是说直线 o e、 o， 它的方程就出来了，就是 y 减去八分之三倍根号三，等于三分之根号三。乘一个 x 减去 这个东西，把它带过来之后， y 等于多少呢？把这个 x 等于一，往里一带一和 t 嘛，所以它这个 t 就 等于这边是一的话，八分之二十四分之三，二十四分之 九倍根号三，所以是二十四分之二十，也是六分之五啊。那你再去求 o p 的 长度不就行了吗？ o p 的 长度等于根号下，就这边是六分之根号三的平方，负一减去一，那也就变成了负二的平方， 根号下十二分之四十九。哎，也就是说他这个不就求出来了吗？对吧？你半径求出来了，你再去求表面积四派，他的平方四派乘一个十二分之四十九， 所以他一约三分之四十九派。那么这个这这题肯定有很多学生会提出疑惑，你说啊，那我刚才求到这一步的时候，我就，我，我带到我们刚才的那个公式里面去，是不是就已经出来了呀？哎，我直接用那个万能公式， 哎，我们怎么怎么做，他就相当于是 r 方等于，哎，三 e c， 他 三一百二十度多少呢？四分之三，然后上面是 a 方，也就是四分之三的平方， 哎，加上一个一的平方，然后减去二乘四分之三乘一，再乘一个，可上一百二十，就拆个乘个负的二分之一，那就变成加了 乘个二分之一，然后整个结果再加上一个四分之 ab 的 长度， ab 等于几呢？等于二， ab 的 平方啊，也就变成了就是一。 所以这边我们来看啊，上面是十六分之九加一，加上四分之三，也就是十六分之二十五加十二，十六分之三十七，乘以一个三分之四， 约一下加上一加十二，所以是十二分之四十九，你看 r 方等于十二分之四十九，你说好像这个更快，你这个还要求个直线，那你想一想，你这个题目，其实你计算计，如果你计算起来的话，两个麻烦程度其实差不多的，只不过因为他有公式，那你背这个公式我感觉都比较复杂。 还有就是你有些题目你可能就不好用这个东西来做，比如说我们来看一个题目，好，他说这是一个 m 和 n 的， 都是三等分点，这是正方体，呃，它的棱长是六，棱长是六。先让我们求第一杠， m b n， 它这个外接球的表面积， 你说你发现这个二面角，你不知道，你说那我还可以，我，我不，不行，我建个 c， 我 把这二面角求出来，或者是哎，我找一下 m、 n 的 终点，然后我去连，可不可以呢？也可以，你就是只要是二面角这种模型的这种题目，你都用那个公式都没啥问题， 就是分为好用和中间，要进行一些复杂的计算吗？那我们来看，如果按照我们刚才讲这个思路，它这个 d m， n， 它是一个，它是一个形状等腰三角形，所以我可以把这个中点，把它还叫做 h 点连接 d， e， h， 那 么这个 o e 点呢？肯定是在上面的做，做这个垂线， 做这个平面的垂线，然后 m b， n 呢？它的这个外渐圆的圆心呢？就是 h 点，然后就做垂线，然后它们的焦点 就是 o 点，现在可以很肯定的是，如果你按照那公式来说，你现在，你现在就去算这些长度就行了，那如果你按照我讲的截面的方式来弄，那我们可以截哪个平面呢？ 因为你看你 h 点、 b 点， o 一 点， o 点、 d 一 点，包括这个 d 点，包括这个 b 一 点，都在一个平面内，所以我可以直接把 b d， d 一 b 一 这个平面给它解出来， b， d， d 一 b 一， 然后 h 点是 b、 d 的 几等分点呢？你可以把 ac 连起来，把 ac 连起来之后，因为 m n 是 三等分点，所以说你这个 h 点呢？是是这个对角线一半的三等分点，所以说你这个 h 点这边也找个六等分点连接， 然后呢这个 d e h 连起来，现在他这个位置不不确定，你先随便画一个，对吧？随便画一个， 然后这样好，也就是说这个就是外界元的原型，他可能在外面，可能在里面，这个对我们来讲都无所谓。怎么做呢？我觉得还是可以间隙来做，因为他很特殊呀，我从我洁面的方式我就可以通过间隙。 电气的话，也就是说我们要求的是谁呢？我们要求的是 o、 b 或者是 o、 d、 e， 那 么你说，哎，那这个点我不知道，你说难道我还想跟刚才一样，我在这个 d、 e、 m、 n 当中把它长度求出来，然后我来求一下这个叫什么，这个叫什么来着？这个 o、 e 啊？ d e、 o、 e 的 长度，然后我再去求一下这个这个这个什么，它这个直线吗？ 可有这个必要呢？其实我觉得是没有这个必要，因为我们可以这么去做，你 o 点此时到什么呢？到这个，到这个 b 点和 b 一， b 点和 d 点距离是一样的，所以我可以把 b、 d 一 给它连起来，把它连起来之后，你这个，你这个 o 点是不是一定在这个 b、 d 的 这个垂直平分线上？ 哎？它在它 b、 d 的 垂直平分线上，它又在这个 h 点做垂线的这个这个垂线上，我用这两条线肯定比用什么 o、 e、 o 这条直线要好太太多太多了。所以你看这个是零零，这是零六， b 点呢？是五倍根号二零啊六，这个 b 点是六倍根号二零， h 是 五倍根号二零，所以这个直线 是 x， 等于五倍根花。然后看它跟这个垂直平分线的这个焦点，也就是 o 点，你第一和 b 的 中点呢？也就是说这个点我们假设是 m 点，它的坐标是三倍根花和三 b 第一的斜率是多少呢？是 负的二分之根号二，所以说你这个中垂线的这个斜率呢，它就等于根号二，那么这个直线不就出来了吗？ y 减去三等于根号两倍的， x 减三倍根号二， 此时它又在什么呢？在 x 等于五倍根号二里面，你直接把它往里一带，所以 o 点的重坐标就出来了，也就是说 y 等于几呢？ y 等于七，所以 o 点的坐标就是五倍根号二， o 点坐标就是五倍根号二七。再去求一下这个 o b 的 距离，哎，你五倍根号二减六倍根号二，也就是 根号下根号二的平方加上七的平方，所以等于多少呢？等于根号五十一，那它表面就不就出来了吗？四派乘一个五十一，也就是两百零四派，哎，两百零四派。所以我觉得你按照这样的一个思路来做，应该来讲，比那个用那个公式，就具体而言要稍微方便一方便一点点。 当然了，因为我我可能更擅长这种方法了，你要选择你们所擅长的方法，知道吧？感谢大家这个观看啊！
45蚌埠住的洪
03:13查看AI文稿AI文稿有一个由大圆柱和小圆柱组成的容器，我们往里注水直到注满。而在整个注水的过程中，容器中水面高度和时间的关系是如下图的 低温注水的总量和注水的什么成正比例？刚刚读条件的时候，有一个关键信息叫做注水的速度不变， 是说在速度一定的时候，注水的时间越长，注水的总量就会越多。第二，速度一定的时候，注水的总量和时间成正比例要小。问，把容器的大圆柱的部分注满水需要多少分钟呢？这个我们直接可以在图上看到。 上此处有一个转折点，这个转折点对应的是多少分钟呢？我们看到一和一之间有三个小格，每个小格就代表三分之一分钟，超出去三分之一的位置就是一加三分之一， 等于三分之四分钟。就是说在这个转折点的前面，一直在往大圆珠里注水，大圆珠的水注满以后速度变快了，转折点以后是往小圆珠里去注水。 三、小问，如果大圆柱的底面积是九十六平方厘米，那么大圆柱的体积是多少？小圆柱的体积又是多少呢？我们要想求大小圆柱的体积，需要回顾 圆柱的体积公式，圆柱的体积公式是底面积乘高，现在告诉了大圆柱的底面积，我们只需要在图上找到大圆柱的高就可以了。 刚刚通过第二小问，我们知道了，在三分至四分钟的位置，大圆柱被注满了水，而此时对应的水面高度是二十厘米， 可见大圆柱的高就是二十厘米。大圆柱的体积我们用底面积九十六乘高，二十出来是一千九百二十立方厘米， 小圆柱的体积虽然我们无法直接求得是，我们可以知道注水的总量，用注水的总量减去大圆柱的体积，剩下不就是小圆柱的体积了吗？ 以我们可以解释注水的总量为 x 立方厘米。根据第一问，注水的总量和注水的时间成正比例关系，这 x 立方厘米是注水了两个小时才注满的，所以我们可以用注水总量 x 除以注水的时间。二 x 比二就是注水的速度，而注水的速度又可以借助圆柱的注水总量与圆柱的时间来表示。注水到三分之四分钟的时候，圆柱被注满了，所以圆柱的体积也是三分之四分钟的时候注水的体积。我们用圆柱的体积一千九百二十 比圆柱的注水时间用一千九百二十比三分之四同样可以表示出注水的速度，而注水的速度是一定的。 我们就列出了这样的比例方程，根据内向机等于外向机来解一下这个方程吧。出来 x 为二千八百八十立方厘米。 这后我们用总的注水量二千八百八十减去大圆柱的注水量一千九百二十的体积啦，算出来是九百六十立方厘米，大圆柱的体积为一千九百二十立方厘米，小圆柱的体积为九百六十立方厘米。
170π的旋律
