初一下册青岛版数学几何题
初一下学期一开学，数学第一章就是几何知识，一定要给孩子准备这本初中几何模型专项书，等开学你就知道他有多轻松。初中三年所有的重点模型都在这里了，像八字模型，三年十四考猪蹄模型，三年九考手拉手模型 三年三十就考数学开窍飞快的方法就是几何模型。如果你用几何模型教会孩子解析，你会发现孩子做几何题就像在抄答案这么简单。妈，我以前的几何题根本就做不出来，现在用了它几乎秒出答案了，真的，嗯。
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00:48查看AI文稿AI文稿七年级下册数学难点就是平行线模型、几何证明，家长务必要重视起来。下册开始，孩子要接触的几何模型会越来越多，比如燕尾模型、手拉手模型、铅笔头模型、猪蹄模型等等。 这些模型老师在课堂上可能不会去系统的教，但是考试一定会考到，怎么办呢？建议给孩子准备这本模型图，了解初中几何。他把初中三年常考的几何模型都整理好了，每个模型都整理了公式结论，做了图形拆解，怎么证明的都讲的明明白白， 孩子看了一目了然，看不懂的还可以扫码听专业老师讲解每个模型，后边还精选了各地的经典考试真题，让孩子巩固所学知识，吃透了这本书。初中三年所有的几何题孩子都不怕了，赶紧给孩子准备一本吧！
28洛洛上学去
04:41查看AI文稿AI文稿旗下数学期中必考题型，几何最值问题，今天我们来看一道几何求最值问题啊，也是我们初一下学期必考的一个类型， 嗯，在直角三角形 a， b， c 中啊，角 c 九十度，然后呢， a， c 是 三， b， c 是 四， ab 是 五点 d 点 e 在 这两边上运动，也就是这两个点位置是不固定的啊，那我们求 a， d 加 d， e 什么时候最小，这问题的特征呢？其实就是后面求两条线段加起来什么时候最小啊？ 那我们怎么做呢？我们看一下啊，肯定不是说用什么逆方程啊，什么代数去把它算出来的，一定是从图形上我们能观察到的是不是？ 那看 a， d 加 d， 在 这个图当中能不能知道什么是点 d， 点 e 运动到哪里的时候最小，显然不行，是不是？所以呢，我们需要把其中一条线段啊，在保持它长度不变的情况下呀，把它变一个位置， 哎，什么意思呢？就类似于将军一马那种题啊，大家会做将军一马的时候，知道是通过什么方法变位置的，通过轴对称，是不是把这两条线段当中的其中一条通过轴对称换一个位置，然后呢，可能就可以用几何去做了， 对吧？那我们编哪条线段，然后呢？做哪条线的对称？很多同学呢，在不同的题目当中呢，他是分不清的，我们今天呢，要着重讲一下怎么去看啊， 那这种题，我们说是两条线段加起来什么时候最小，所以一定会出现两条线段，然后我们去看什么，看这两条线段的两个端点， 哎，看什么看，他们固定不固定，你看 d， e 这条线呢，连端都不固定，所以呢，我们肯定不是把 d、 e 这个位置变了，这个位置变不了的，那变谁？变 a？ d a， d 相对于 d、 e 来讲，点 a 这个端点是不动的，点 d 在 运动， 那我们就把 a、 d 这条线呢，可以通过轴对称换个位置好，那下一个问题做谁，关于谁的对称， 也就是对称轴是谁？然后我们再看哪个点固定 a 固定好，那就是做 a 的 对称点，那对称轴是谁，那看谁在动， d 在 动，在哪条线上动，对称轴就是谁。哎，懂吗？这道题就是这样去看的啊，也就是我们要把点 a 关于直线 bc 做个对称点， 做完之后看有没有达到我们的效果啊。你看 a 和 a 片关于 bc 对 称，那是不是 d， a 一定等于 d， a 片 这两条线段一定相等，不管点 d 运动到 b、 c 上哪里去，永远有 d， a 等于 d， a 撇，这就是达到我们的目的了，我们把 a、 d 这条线段呢挪到这个位置上，然后大家看我们是不是就是要求 a 撇 d 加 d， e 什么时候最短， 对吧？ a 撇也是固定的啊，哎，直接相当于是三吗？位置固定好，在 bc 上找一点，在 ab 上找一点，然后直接连起来，它最短，什么时候最短，我们画个普通的来，再找个 d 一， 然后再随便找个 e 啊，就这样找 a 撇到 d 连起来，然后再找个点 e， 这样这两节线段加起来什么时候最短，就可以用我们几何上什么性质了。垂线段最短， 这就是我们最短的 e， 这就是我们最短的 d， 是 不是？你看除了这个位置之外，其他的线段加起来肯定都比这条垂线段要长， 然后呢，我们就从几何上可以知道什么时候它最短了，并且我们知道最短的线段是我们要求的这个 a e 啊， a 撇 e 是不是？那接下来我们看怎么求这个 a p r e 呢？因为我们是通过对称之后用的垂线段最短这个知识点啊，所以一定会出到垂直，那遇到垂直怎么求长度？一定会涉及到面积法等面积法， 那现在呢，我们就要区分一下是要用哪个三角形的面积。我们看 a 撇 e 垂直的是 ab 啊，所以这个 a 撇 e 乘以我们这个，呃， ab 是 再乘二分之一，是哪个三角形的面积？你看这是高，这是底，是不是这个大三角形的面积？ a 撇 b a， 这个三角形的面积对不对？那它是不是应该等于二分之一的 a， a 撇乘以 bc， 明白吧？底乘高，就用这个知识点再去算出最短的这个 a 撇一了啊，那这个 a 撇一乘以五，这俩二分之一可以消掉，对吧？等于六乘四， 所以我们就能算出最短的 a 撇一等于四点八了，也就是最终答案是四点八啊。
113杜老师数学思维课堂
06:45查看AI文稿AI文稿同学们，这节课咱们共同研究一道期中考试的压轴题，请看题问题情境。 在综合于实线课上，同学们以一个含有三十度角的直角三角形和两条平行线为背景开展数学活动。如图一，已知两直线 a 和 b， 且 a 平行于 b 于直角三角形 a、 b、 c 角 b、 c， a 等于九十度角， b、 a、 c 等于三十度 角 a、 b、 c 等于六十度。操作发现，第一，在图一中，角一等于四十六度，求角二的度数。 同学们看角一角一，这是九十度， 这个度角的度数咱们可以利用平角来计算，大家不要忘了这个平角啊，平角去掉这个九十度，再去掉角一，就是这个角， 那么 a 平行于 b， 这是平行线，这个角和这个角相等，它就等于角二。那么角二的度数呢？就是等于九十度，减去四十六度就等于四十四度。 第二，小题如图二，创新小组的同学把直线 a 向上平移，并且把角二的位置发生了改变，发现角二减角一等于一百二十度。说明理由。 大家看到这样图形，就要想到平行线中的拐点问题，咱们把 b 叫做它的拐点，那么过 b 点做 a 和 b 的 平行线，马上就要想到。好，现在咱们把这个图放大 做 b， d 平行于 a， 那 么 a 又平行于 b， 所以 这三条直线是平行的。平行线的传递性， 那马上就要想到这个角二和这个角，他是他俩平行同旁，内角互补，他俩相加等于一百八十度。 这个角和角一如果有关系的话，那就好说了，那这个角和这个角是有关系的，因为这个角等于六十度，六十度减去这个角等于这个角， 哎，再看 b、 d 平行于 b， 这个和角一是相等的，所以这个角就等于六十度。减去角一，这个角等于六十度。减角一，那么角二加上这个角六十度减角一的和就等于一百八十度， 这样就能找见角二和角一的关系。同学们请看一下解题过程。 第三小题缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图二中的图形继续变化，得到图三 a、 c、 a、 c 是 平分角 b、 a、 m， 此时发现角一和角二又存在新的数量关系，请写出你的发现并说明理由。 咱们把图放大，同样的道理，在这个咱们要想到平行线中的拐点问题，这个 c 就是 一个拐点，咱们过 c 点做 c n 平行于 a， 那 么这个 a 又平行于 b， 所以 这三条直线是平行的。 那根据这两个平行，咱们可以得到角二等于角四， 那么根据这两个平行，咱们可以得到角三等于角 c、 a、 m， 又知道这是这个角的平分线，所以这个角和这个角相等。 大家不要忘了，咱们已知条件是这个角等于三十度，那么这个角啊，也等于三十度，这三十度，三十度，这个角角三也等于三十度，这个是两只线平行内错角相等。 大家可别忘了，这个三角形是个直角三角形，这个角等于九十度，所以角三等于三十度的话，那么角四就等于六十度。这两条直线平行，角二和角四相等，所以角二也是六十度。 那因为 a 平行于 b， 所以 角一呢，和这个角相等啊，这是三十度，三十度合起来是六十度，所以角一也等于六十度，所以角一等于角二。大家看一下做题过程， 当然这道题不止一种方法，也不是一条结论。那咱们大家还可以怎么做呢啊？也可以把 b c 延长，交 b 这条直线于 d， 那这是直角，这就是直角，大家看这个三角形，这就是一个直角三角形，对吧？直角三角形，这是角二，这和这个角相等。内错角，两只线平行，内错角相等，那这个这个角 就是角二，这个角呢，就是和角一有什么关系啊？角一等于这个，这是一个角平分线，所以这个角就等于二分之一的角一。 那大致角二和角一的关系就是角二加上二分之一的角一等于九十度。当然还有其他的结论啊，做出来就可以了，大家看一下过程。 嗯，其他的结论有，角一加角二等于一百二十度啊，角一加上二倍的角二等于一百八啊，角一等于九十度，减二分之一角二，或者是角一加上二分之一，角二等于九十度等等 都是正确的。好，同学们，这节课咱们就讲到这里，再见。
13师老师数学小课堂
08:58查看AI文稿AI文稿全等三角形一定是我们出一下最难压轴板块，没有之一，这题的难点之处呢，就是他需要通过构造辅助线去构造全等，从而去倒边倒角。来。同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透背长中线的构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样做的， 首先， a、 d 呢，为三角形 a、 b、 c 的 中线，所以 d 点就是我们的中点啊，这个中点就是我们的突破口啊。然后呢，告诉 b、 e 边等于 a、 c 边。最后，题目求的是 b、 e、 d 这个角等于角 c、 a、 d 啊，这个角， 徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行归类总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成了全等经典一百题，刷完直接提升几何思维。需要的家长我发你一份。 好来，同学们，哎呦，一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察我们全等三角形当中最基本的一类辅助线，叫做被藏中线。来，我们先来简单回顾一下被藏中线的构造方法和技巧。好吧，来看第二道图， 它是这样做的，三角形 a、 b、 c 当中 d 点呢，是 b、 c 边上的中点，那很明显，那 a、 d 就是 三角形的中线，对吧，来背长中线，我们背长的就应该是 a、 d 这条线段，对吧？所以呢，什么斜腹直线，我应该是延长 a、 d， 哎，延长 a、 d 是 t 啊，我们因为我们要倍长，所以呢，使我们的 d、 t 和 a、 d 这两个边是相等的啊，就是倍长中线。好，倍长。最后的目的呢，是为了构造全等， 所以呢，接下来我还要去连接，那连谁呢？我可以连 b、 t， 也可以连 ct， 对 吧？都有全等啊，如何？有全等你就连接谁，好吧。来连接 b、 t 之后，你看，这个时候我们全等就出来了， 三角形 a、 d、 c 和三角形，我们 t、 d、 b， 它们俩就是全等的，很简单来，对，顶角相等好， b， d 等于 c， d， t， d 等于 a、 d， 对 吧？两个边，一个加角边角边，所以呢，它是全等的好。所以第一个结论， 倍长中线，我们可以构造一组边角边的全等就是 a、 d、 c， 哎，全等于三角形 t、 d、 b 一定是边角边的全等好吧，那么构造全等不是我们最终目的，最终目的呢，是为了去导边和导角，来，它们俩全等以后，所以这两个边 a、 c 和 b、 t 就 应该是相等的，对吧？所以第二个结论，我们的 a、 c 就等于 bt， 哎，我们叫倒边倒角，哎，什么叫倒边倒角呢？叫转移边或者是转移角，对吧？好。第三个结论来，除了边相等，我们还有一组买一送一的平行线，谁是平行的？同样 a、 c 和 bt 也是平行的来， a、 c 平行于 b、 t， 为什么呢？来，因为这个角和这个角，它们俩是对应角，对应角相等，而且这两个对应角呢，正好是我们的内错角，内错角相等，两直线 形形，对吧？好。这三个呢，就是被藏中线当中最常见的三个。结论。好，有了这个铺垫之后呢，来，我们看这道题，那就非常简单了，他说，如果 a、 d 为我们的三角形 abc 的 中线，所以 d 点就是我们的中点好， b 一 边呢， 告诉我们等 ac， 对 吧？好。题目最后求证的是，这两个角应该是相等的， 如何去证明呢？对吧？来，抓住哈。题目当中有一组边相等，那这两个边相等，但是呢，这两个边不在同一个三角形当中，如果我能够把这两边放到同一个三角形当中，你看，没有，哎，我们就可以什么形成一个 等腰三角形就有两个相等的角，哎，不就有角相等了吗？大家看到没有？所以呢，怎么办呢？我应该通过转移把这两个 边转移到同一个三角形当中，如何去转移边呢？哎，我们说构造全等，可以转移边，对吧？来这里面如何构造全等？抓住这个关键点，地点是 终点，但是这里的终点过了两条线段，一个是 e， d， 一个是 a， d。 来，我到底应该背长谁呢？大家思考一下。来，第一个方法，如果背长 e d， 倍长 e d 啊，就延长 e d， 哎，致我们的系列，好吧，使 d t 和 e d 是 相等的，好连接，哎，延长之后呢，还需要去连接构造全等吗？ 大家思考一下，到底连 b t 还是连 tc 啊？如何连接？会有全等，你就连接谁，好吧，那很明显，这里面连哪个连接 tc 有 全等吗？对吧？连接 tc 之后，哎，这两个三角形 不就是全等了吗？ ok， 你 看，所以 b d 等于 c， d， e 组边好对，顶角相等， e， d 等于 dt， 是 你自己做的，所以边角边，哎，是被长中线的全等，对吧？好，写下，所以这个时候三角形 e， d， b 全等于三角形 c， d， c， 哎，边角边的全等好，全等以后，所以 b， e 就等于 t， c， 哎，这个边我们就拽到这个地方来了，哎，刚才我说目的什么呢？需要把这两个边转移到同一个三角形当中，看 b， e 等于 t， c， 哎， b e 又等于 a， c， 哎，又因为 b、 e 等于 a c， 所以 t c 就 等于 a c， 哎，看 t c， a、 c， 这个时候呢，正好在同一个三角形当中，看到没有？等腰三角形不就出来了吗？所以这两个角就应该是 相等的，对吧？来，所以角 c， a， t 等于角 t， 它们俩相等好，又因为角 b， e、 d 等于角器，对吧？他等于他这个角也是而法，所以又出来了啊，角 b， e、 d 就 等于角 d， a、 c， 所以呢，这个结论我们就正确了啊，用的是倍长中线。好，第一个方法，我们是倍长的 e、 d。 好， 第二个方法来，我还可以倍长 a、 d， 因为过这个中点的线段有两个，一个是 e、 d， 一个是 a， d， 我们这道题都可以背长好来，第二个方法，我们来说一下，如果背长 a、 d 的 话，那就延长 a、 d 啊，使 到 t， 使我们的 d t 等于 a， d， 最好刚才是这个边等于这个边，你背长的 e、 d， 现在是使 d t 等于 a、 d， 好 吧，好，接下来一样的连接，连接谁会有全等呢？ 大家思考一下。好，这里面我连 bt 也有全等，对吧？他们俩全等啊，连接 tc 也有全等，那是不是都可以呢？ 大家思考一下。连接 tc， 你 看他们俩确实全等的，这个边等这个边，这个边等于这个边对顶角相等，对吧？没有问题，有全等，但是你看有没有用，他们俩全等以后，我的 ab 边就等于 tc， 哎，我把这个边转移过来了， 大家看一下有没有用？没有用，为什么呢？我们最终目的是要转移 b、 e 和 a、 c 这两个相等的边到同一个三角形当中，所以你转移 ab 没有用，你虽然能构造全等， 但是呢，你转的边对我们题目的解答是没有用的，对吧？所以呢，你不能连 tc 啊，不能连 tc， 因为我们最终不是为了构造全等，最终目的是为了转移边和转移角，对吧？那你就连那个连 bt 来连 b t 时候，你看，那么它们俩是全等的啊。来，三角形 a d c 全等于三角形 t d b， 哎，也是边角边的全等，全等以后，你看，就把 ac 转移到 b t， 所以 来 ac 等于我们的，那就是 b t， 对 吧？等于 b t。 好， 那所以这个角角一和这个角二也是相等的，哎，角一也是等于角二的，那么最后你看， 把这两个相等的边转移到同一个三角形当中，对吧？那所以我的 b e 就是 等于 b t 是 不出来了，好，它是一个等腰三角形，那这个角呢？ 角三嘛，那所以角二就等于角三来，角一等于角二，角二等于角三，所以角 b e d， 哎，就等于角 c a d， 大家听懂了吗？哎，这道我们非常典型的背长中线，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！
616攀攀讲思维
13:50查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到知识点小卖铺，这节课我们将继续深入探索几何与方程的世界，学习相交线、三角形、二元一次方程组等重要知识。让我们一起开始吧！我们直接进入正题， 聚焦七年级下册的核心内容。这一阶段的数学几何开始引入严谨的证明，代数 则扩展到处理多个变量和不等关系，同时初步接触数据统计，这些知识点环环相扣，是后续学习的重要基石。好，我们先来看第五张，相交线与平行线。这部分 可以说是整个平面几何大厦的地基。为什么这么说？因为很多复杂的几何证明最终都要落脚到判断或利用平行线的性质上。这里有个非常关键的概念区分，也是大家容易混淆的地方。判定和性质简单说，判定就是我们知道了某些角的关系， 从而推断出两条直线平行，而性质则是反过来，知道了两条直线平行，就能得出它们之间特定的角的关系。比如看到同位角相等，就能判定两直线平行。反过来，如果已知两直线平行，那么它们的同位角必然相等。搞清楚这个方向性 是学好这一章的前提。别忘了基础概念，相对顶角相等、邻补角互补，还有垂线段最短的原理，这些都是后续分析问题的基础工具。我们具体看看平行线的判定方法。平行线的定义很简单， 同一平面内不相交的两条直线，但怎么判断两条直线是不是平行呢？主要靠观察它们被第三条直线所截时形成的角。这里有四种常用判定方法， 第一种，同位角相等，两直线平行。想象一下交通路口的斑马线，如果两条斑马线被一条横向的路切割形成的对应角相等，那这两条斑马线就是平行的。第二种，内错角相等，两直线平行。 这就像 z 字形的两条边，如果中间的两个角相等，那么这两条边就是平行的。第 三种，同旁内角互补，两直线平行，还记得零补角吗？同旁内角就是位于结线同侧两条被结线之间的两个角，如果他们加起来等于一百八十度，那么两直线平行。最后一种， 平行于同一直线的两条直线互相平行，这个比较直观，如果两条路都跟第三条路平行，那他们自己肯定也平行。理解这些角的位置，关系是关键。 说完了判定，我们再来看平行线的性质，这部分内容和判定正好是反向操作。判定是通过角的关系来证明线平行，而性质则是从已知线平行出发 去推导角之间的关系。记住，这个逻辑顺序非常重要，否则很容易张冠李戴。具体来说，有三条核心性质， 第一，两直线平行，同位角相等。既然它们平行了，那之前判定用过的同位角自然就相等了。第二，两直线平行，内错角相等。同样平行状态下，内错角也必须相等。第三，两直线平行，同旁内角互补。 平行状态下，同旁内角之合必然是一百八十度。很多同学在这里会犯迷糊，把判定条件当性质用，或者反过来，一定要反复强调这个方向性，确保理解透彻。 接下来是平移，平移是一种非常直观的图形变换，你可以把它想象成把一个物体在桌面上滑动了一下，没有旋转，没有翻转，只是位置变了。它的核心特征是什么？ 首先，平移不改变图形的形状和大小，只是位置发生了变化。其次，平移前后的图形是全等的。更具体的， 平移后，原图形上的每个点和它对应的新位置的点连接起来的线段都是平行的，并且长度相等。同样，对应线段、对应角也都完全相等。比如，你把一个三角形向右移动五厘米， 得到的新三角形和原来的那个一模一样，只是整体向右挪了五厘米。理解平移的这些不变性和对应关系，对于解决一些几何问题很有帮助。 第六张，平面直角坐标系。这可是个里程碑式的章节，他把代数和几何紧密的联系在了一起，为我们打开了数形结合的大门。想象一下， 在一张纸上画两条互相垂直的竖轴，水平的叫 x 轴，竖直的叫 y 轴，它们的焦点就是圆点。这样，平面上任何一个点 都可以用一对有序实数 x y 来精确表示了。这里的 x 叫做横坐标，代表点到 y 轴的水平距离。 y 叫做纵坐标，代表点到 x 轴的垂直距离。比如点三二，它就在 x 轴正方向三个单位， y 轴正方向两个单位的位置。整个平面被这两条轴分成了四个区域，称为象限。第一象限是右上方 x 和 y 都为正。第二象限是左上方 x 负 y 正。第三象限是左下方 x 负 y 负。 第四项线是右下方 x 正 y 负。特别注意坐标轴上的点，要么 x 坐标为零，要么 y 坐标为零，或者两者都是零既原点。掌握了坐标系下面我们研究点的运动。首先是平移点的平移。 在坐标系里有非常明确的规律，左右平移只影响横坐标 x， x 向右移动 a 个单位 x， 轴加 a 向左移动 a 个单位， x 就 减 a。 上下平移只影响纵坐标 y 向上移动 b 个单位 y 就 加 b， 向下移动 b 个单位 y 就 减 b。 所以 一个点 x， y 向右平移 a 向上平移 b， 新坐标就是 x 加 a， y 加 b。 这个规律非常实用，可以快速计算平移后的坐标。 然后是关于对称点，关于坐标轴或圆点的对称，也有固定的坐标变化规律。关于 x 都对称，横坐标不变，纵坐标取相反数变成 x， 负 y。 关于 y， 轴对称，纵坐标不变， 横坐标取相反数变成负 x y。 关于原点对称，横纵坐标都取相反数变成负 x y。 这些规律不仅在几何中有用，后面学习函数图像变换时，也会频繁用到。第七张三角形， 这是初中几何中绝对的核心图形之一，可以说是几何世界的主角。首先要知道三角形的基本构成和稳定性，任意三条线段能否组成三角形，有一个黄金法则，任意两边之合大于第三边， 任意两边之差小于第三边。判断时最高效的方法是看较短的两条边之合是否大于最长的那条边。三角形还有一个非常重要的特性就是稳定性，这也是为什么桥梁、塔吊、自行车架等结构大量使用三角形。 相比之下，四边形就不稳定，容易变形。除了边，我们还要关注三角形的高中线和角平分线。高是从顶点到底边的垂线段，中线是连接顶点和对边中点的线段，三条中线交于一点 叫做重心，角平分线则是内角平分线与对边的交点连线。特别要注意，在钝角三角形中，两条高会在三角形外部，而在直角三角形中，两条直角边本身就是高。 三角形的角度特性同样重要，最核心的就是内角和定力。无论是什么样的三角形，锐角、直角还是钝角，它的三个内角加起来总是一百八十度。这个结论非常有用。我们还可以讨论 外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于任何一个与它不相邻的内角。这个性质在很多角度计算和证明中非常关键，比如已知一个三角形的两个内角，就能快速求出第三个内角， 或者利用外角性质简化复杂图形的角度计算。这个知识点还会延伸到多边形。 n 边形的内角和公式是 n 减二乘以一百八十度。而所有凸薄边形的外角和无论边数多少，永远都是三百六十度。这个横定的外角和也是一个非常有趣的结论。 第八张，二元一次商城组这是我们从一元世界迈向多元世界的一步。顾名思义，它包含两个微之数，而且每个微之数的次数都是一，比如二 x 加 y 等于五 和 x 减三 v 等于一组成的方程组。解这种方程组的核心思想是什么？就是消元，想办法把两个未知数变成一个，然后再解。主要有两种方法，代入消元法和加减消元法。代入法适合其中一个未知数的系数是一或者负一的情况， 比如 y 等于二， x 加一，可以直接把 y 带入另一个方程。加减法则是和某个未知数的系数相同或者互为相反数的情况，比如二 x 加 y 等于五和三 x 减 y 等于十，这里的 y 系数是一和负一，可以直接把两个方程相加， 消掉 y。 如果系数不一样，我们可以通过给方程两边乘以同一个数，创造出可以消去的象。解完方程组后，一定要带回原方程检验， 确保答案正确。特别是实际问题中，还要考虑解是否符合实际意义，比如人数不能是负数。具体来看，两种方法代入消元法适合某个未知数系数是一或负一的情况， 加减消元法是和同一个未知数系数相同或相反的情况，大家要根据方程组的特点灵活选择方法。 第九章不等式与不等式组如果说方程是寻找精确的解，那么不等式就是在划定一个范围，核心是理解不等式的性质，尤其是那个特别容易出错的。第三条，两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。 比如三大于二，两边乘以负一，就变成了负三小于负二， 方向反过来了解一元一次不等式的过程和解方程类似，但每一步都要小心这个符号变化，尤其是在最后一步把未知数系数化为一的时候。对于不等式组，就是先分别解出每个不等式的解集，然后找到他们的公共部分， 也就是所有不等式同时满足的范围。这通常用数轴来表示，只会更清晰。实际应用中， 题目里的至少最多不超过等词语，就是建立不等关系的信号。解出来之后，如果题目问的是人数、物品数量这类，必须是整数的情况，还要特别留意取整数解。最后一章 解不等式组的关键是找到各个不等式解集的公共部分，我们可以借助数轴来直观的判断。这里有一个非常实用的口诀，同大取大，同小取小，大小小大，中间找大，大小小找不到，帮助大家快速确定解集。 第十张，数据的收集、整理与描述，这是统计学的入门。我们怎么获取数据，有两种主要方式，普查和抽样调查。普查就是把所有对象都查一遍，结果准确但成本高，耗时长。比如人口普查。抽样调查 是从总体中抽取一部分样本进行调查，效率高，但结果会有一定的误差。比如质检部门 不可能把所有灯泡都用坏来测寿命，只能抽样。这里涉及到几个基本概念，总体是研究对象的全体，个体是总体中的每一个成员。样本是从总体中抽取的部分，样本容量是样本中个体的数量。拿到数据后怎么展示呢？ 常用的统计图有三种，条形图，一眼看出哪个项目数量最多。折现图特别擅长显示数据随时间的变化趋势。 扇形图也叫饼图，能清楚地表示各部分占总体的比例。还有一种直方图，专门用来展示连续型数据的分布情况，比如身高、体重等。它用小矩形的面积了来表示频数或频率。 今天我们系统梳理了七年级下册的主要内容，从几何角度看，重点是相交线、平行线的判定与性质，以及三角形的基本概念和性质，这些都是后续学习全等三角形、四边形 乃至更复杂几何图形的基础。代数方面，我们学习了如何解二元一次方程组，核心是消元思想以及如何处理不等式和不等式组理解范围的概念。最后我们初步接触了数据的收集与统计图表的解读， 这些知识点相互关联，共同构成了初中数学的重要框架。希望大家课后能针对平行线的判定与性质、方程组的解法以及各种统计图表的特点进行重点复习和巩固。 好了七年级下次的内容就梳理到这里，我们回顾了几何、代数和统计三大部分的核心知识，请大家课后重点复习平行线的判定与性质、不等式的编号规则以及统计图的选择，我们下节课再见！
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59:10查看AI文稿AI文稿注意，七年级下册数学相交线与平行线，本视频耗时八百分钟，一口气带你学完整个章节。本视频以知识点讲解加题型讲解为核心，耗费大量精力，时长太长，请先关注、点赞、收藏再观看。 各位同学你们好，我是你们熟悉的钱老师，今天这一堂课呀，由我来带领同学们对我们相交线和平形线这个章节的知识点呢进行一个讲解。 那么我们在前面的学习过程中，我们学过一个章节，叫做几何图形初步认识， 我们几何图形初步认识里面，哎，我们同学们知道，我们初中阶段我们重点研究平面几何图形，那么点动成线，线动成面，面动成体， 我们在几何图形初步认识这个章节，还认识了线段以及我们角度。那么我们知道我们数学学习的最终目的是拿来应用的， 而我们应用的过程中，我们的计算是我们必不可少的一个环节， 所以有关线段的计算，有关角度的计算，这在我们几何部分几乎是非常重要的，非常核心的考核方式。 那么小伙伴们，我们相交线与平行线这一个章节啊，他和我们几何图形从不认识是一样的，他是我们基础几何非常重要的构成部分。 那我们再说通俗一点，我们再说直接一点，我们相交线与平行线所学习的内容，在我们后期学习三角形系列的时候， 在我们后期学习四边形系列以及圆的时候，都占有非常重要的部分，它是我们学习后面一切几何部分的根基。 那在这里钱老师就要给同学们多唠叨一句了，我们在学习这个章节的时候，啊 啊，我们一定要去多画图对不对？数学想学好就是四个字叫写写，画画 是不是写写就是针对代数部分的计计算对不对？我们要动笔画画，主要就是针对我们几何部分， 那么我们在讲这一堂课之前，我们同学们先来回忆一下我们整个几何图形它的构造，它的底层逻辑是什么？哎，所有的几何图形它都是由点线面 体来构成的对不对？那么无数个点构成一条线，我们把它称为点动成线， 那么线在滑动的过程中就可以构成一个面，我们把它叫做线动成面，而面在旋转的过程中，是不是就可以构成一个体了呀？ 那么我们通过静态关系来研究我们几何图形的初步构造的时候，我们知道一个体，一个立方体，它是由很多个面来维成的， 而每一个面跟每一个面它们相交的部分，我们就说它是一条什么呀？直线对不对？或者是一条什么呀？曲线，那么线与线相交的，那么就形成一个 点呢？那么我们在任何时候学习几何的时候，点线面体他的最基本的底层逻辑关系，那么我们小伙伴们一定要把它牢记。 那同学们回想一下我们在几何图形初步认识的时候，重点研究的点的问题对不对？那么点研究完了，我们紧接着是不是要来研究线的问题了呀？ 这里有一个小问题，如果在一个平面内，他有两条直线的话，那么这两条直线他存在着一种什么样的 位置关系，那么位置关系，小伙伴们，我们在整个数学里面我们讲关系，我们一般讲两种关系， 一种叫什么呀？一种叫做等量关系，对不对？那你比如说直角三角形，它的两个锐角，它就存在一个等量关系，叫两个锐角相加等于九十度，我们说它是 互余的。那你比如说两个角加起来等于一百八十度，它存在这种等量关系的时候，我们就说这两个角是什么呀？是互补的对不对？ 那么我们直线有着什么样的位置上面的关系呢？那么我相信小伙伴们在我们实际生活中的接触对不对？在我们实际生活中碰到的各种各样的物体事物案例，我们可以非常轻松的想象出来。 哎，第一种情况就是两条直线他是没有交点的， 比如说我们防盗网上面的竖着的，垂直的，每一根，每一根条子是不是都是平行的呀？比如说我们的铁轨是不是也是平行的呀？ 比如说我们的教室左边的墙上面的，右边的墙和地面夹角的这两条线是不是也是平行的呀？ 所以两条直线在同一个平面的位置关系。那么第一种就是互相平行，他们最为典型的特征就是什么呀？小伙伴们 没有交点对不对？那么除了平行还有没有其他的呢？小伙伴们，那你看这两条直线也好，这两条直线也好， 他们都是什么呀？相交的，他们都是相交的，他们有一个共同的特点是什么呀？他们都有一个焦点， 其中我们在相交的时候有一种比较特殊的相交，就是互相垂直的对不对？也就是说这个角等于多少度啊？九十度对不对？ 所以说我们在同一个平面内，两条直线的位置关系，他只有两种，小伙伴们要么是相交，要么是平行，我们把它称为非相交即平行。 那这里又有一个隐藏的小细节，假如我两条直线互相重合了，那么小伙伴们两条直线互相重合了，我们从感官上看，他是不是仍然只算是一条直线呢？ 所以两条直线的位置关系，他只有相交或者是平行。如果两条直线重合了，那么我们在处理问题的时候，我们只能算他为 一条直线。那么小伙伴们想一下，我们在七年级学数轴的时候，我们在学数轴的时候，我们说重合的点他也只能算几个点呢？ 一个点对不对？重合的点只能算一个点，重合的直线他也只能算一条直线。 那么小伙伴们，当我们知道了两条直线的位置关系，非相交即平行的话， 我们先来研究一下相交线。为什么我们要先研究相交线啊？因为一旦两条直线相交了以后，我们小伙伴们肉眼可见的它会产生几个角啊？它会产生四个角对不对？ 而我们几何图形的应用，它就是要一托于角度和线段的长度计算来进行应用的，对不对？ 那么小伙伴们，在这四个角里面，他现在问我的是角一和角二有着什么样的位置关系？ 那还是老规矩啊，当我们在讲两个角的关系的时候，第一个叫做等量关系，第二个叫什么呀？叫位置关系， 我 cd 它是一条直线， o 是 这一条直线上的一个点，那么这个时候我肉眼可见的角一和角二，从 等量关系上面来说，它们相加是不是等于一百八十度啊？哎，它们相加为一百八十度，我们把它称为什么呀？互为 补角对不对？那么这个时候让我们来找位置关系，我们来观察一下小伙伴们， a o d 这个角， a o c 这个角，那么一个角是用两条射线，是用有一个端点引发的两条射线来组成的几何图形，那么角一这个几何图形和角二这个几何图形， 我们观察的第一个特征就是什么呀？ o d o c 是 不是在同一条直线上面呀？哎，同一条直线上面，我们再说通俗一点就是 o c o d， 它是互为 反向延长线的，对不对？那小伙伴们，这是我们观察出来的第一个特征，第二个特征是什么呀？来 a o d 这个角， a o c 的 一个角，它是有着一种公共线的对不对？公共边的对不对？那么小伙伴们，我们是不是可以想象出来，这个角一和角二实际上就是住在隔壁的邻居对不对？ 他们两个相加等于一百八十度，是互为补角的，他们仅仅只是一墙之隔，哎，仅仅只是一墙之隔，互为邻居， 所以这个时候我们就可以对他命名叫什么呀？零补角对不对？ 互为邻居的补角，哎，小伙伴们要注意好这个零字呀，他就非常清晰的点出来了，我们角一和角二的什么呀？位置关系， 当然我们角一和角二它本身存在的等量关系，是不是角一加角二等于一百八十度啊？ 所以说小伙伴们，当我看到零补角这三个字了以后，当我看到零补角这三个字了以后，我脑子里面就有一个非常清晰的概念，它不单包含了一个 等量关系，还因为它多了一个零字，还包含了一个位置关系。那么这里我们零补角是不是补角呢？ 补角他只包含等量关系，只要两个角相加等于一百八十度，不管他们在哪里，哪怕一个角在南京，一个角在北京，对不对？只要他们相加一百八，他们一定是互为 补角的，但是零补角是不是加了一个限制性条件呢？他们不单相加等于一百八，而且他们还是什么呀？相邻的。 所以说小伙伴们，零补角我们可以简单的通俗的理解成零补角，他是补角的一种特殊情况，对不对？ 当然小伙伴们跟角一他互为零补角的角，除了这个角二，还有没有其他的呢？ 我们知道一个角它是由一个顶点引发的两条射线组成的几何图形，那么角一 a o d， 这个角它有两条射线，一个是 o a， 一个是谁啊？一个是 o d， 那这个时候如果我以 o d 作为相邻的墙，相邻的公共边，那么这个时候角 e 的 邻补角还有谁啊？小伙伴们，是不是还有角四啊？ 那么这个 o a o b 是 不是会反向延长线的？ 所以说两条直线相交，他会形成四个角，每一个角我是不是都可以找出来两个零补角啊？ 那么小伙伴们，我们零补角，我们在两条直线相交的时候，我们来找，那如果你想一下， 如果你是出题老师，你会如何把这个考试的难度加大呢？那我是不是两条直线形成四个角太容易找了？那我就三条直线嘛，三条直线我就四条直线嘛。 当我们几何图形越复杂，我们眼睛看的是不是就越花呀？所以当我看到比较复杂的几何图形的时候，小伙伴们仍然要牢牢记住，抓住它的核心点， 对不对？打个比方，比如说要我找这个角的零步角，那么首先以它为相邻的边，那么这个边的反向延长线，这一个角是不是它的零步角啊？ 那么如果我以它为相邻的边的话，那么这一条边的反向延长线出来了，这一个角是不是为它的零补角了呀？ 我们小伙伴们要记住啊，零补角它除了是等量关系，它还包含着有位置关系，它们两个是邻居，能够出现邻居才能出现零补角，对不对？所以第一个是不是它们没有相邻， 第二个是不是他们也没有公共边，第三个来有公共边相邻的，而且另外一条边会反向延长线。 我们很多小伙伴在理解零部件的时候，他只是单纯的说，老师这个零部件的概念我很简单，那么如果我两条直线我来找零部件熟悉了，我就应该把三条直线，把四条直线都加进去， 对不对？多找几种情况，那么我们才能把这个零补缴。在找的过程中，我们这种多种情况，我们的眼睛毒不毒辣， 我们才能把它念出来，对不对？数学从来不是你听懂了就完事的科目对不对？他是熟能生巧的科目，他是见多识广的一个科目，我们初中学的东西 都是站在巨人的肩膀上学的啊，我们不是去做研发的这一块我们同学们一定自己也有一个认知， 那么小伙伴们还是一样的道理，当两条直线相交的时候，角一和角二是零角，角一和角四是零角，那么现在让我找角一和角三，他有怎样的位置关系？ 那么在找位置关系之前，我们还是要回到哪里啊？小伙伴们回到我们几个图形初步认识的时候，我们先来找一下他的什么关系， 胆量关系，我们刚才确定了角一和角二他不单是补角，而且他还是零补角，那么角一加上这个角二是不是等于一百八十度啊？ 角二和角三的小伙伴们，他不单是来，你看 a b 是 不是一条直线呢？ 角二和角三他不单是补角，而且从位置关系上面来看，他还是零补角，那么补角的定义，角二加角三是不是等于一百八十度啊？ 那么小伙伴们我们通过几何图形可以看得非常清楚，因为角一加角二等于一百八十度，角二加角三等于一百八十度，所以我是不是就可以确定出来角一 等于角三了呀？那么这在我们几何图形初步认识我们角度的加减运算里面，这称为非常经典的 等量代换，对不对？于此同时我们在讲几何图形初步认识，在讲角度的运算的时候，也跟小伙伴们强调的，我们角度的等量代换是我们做任何几何图形的最基本的运算法程。 那么小伙伴们我还没有开始找位置关系，我是不是已经把角一和角三的等量关系给确定下来了呀？角一和角三的等量关系就是什么关系啊？是不是相等的呀？ 那么这个时候我们来找位置关系的时候，我们还是要回到我们角度的核心定义啊，一个顶点引发的两条射线，一个顶点引发的两条射线所组成的几何图形就叫做角，对不对？ 那么小伙伴们会发现这个 o c 的 反向延长线是不是 o a 啊？ 那么从位置关系上面来说，第一个角一和角三他们有公共的顶点对不对？ 他们不单有公共的顶点，而且小伙伴们他们的两条边分别互为反向延长线， 那我们再来观察一下角二和角四，角二和角四来，小伙伴们是不是也有公共的短点呐？这个 o a o c， o b o d 是 不是也是回反向延长线的呀？ 所以当我把它的特征位置特征我们了解清楚了，我们再来看一下它的定义叫什么呀？叫对顶角 对不对？他的顶点都是相同的，这两个角是绕着顶点对着的对不对？对顶点的位置特征是什么呀？有公共的短点，两条边分别互为反向延长线， 他们的等量关系是不是相等的呀？ 那么小伙伴们我们一样的老规矩啊，我们刚才说了，哎，两条直线相交，让我来找零补角，那么小伙伴们两条直线相交，找对顶角是不是很好找啊？那么 三条直线相交呢？这里四条直线相交呢？他是不是会产生 非常非常多的对顶角啊？那么这个时候我来找对顶角，哪些角是互为对顶角的？我们怎么找啊？ o a 反向过来， oc 反向过来，一定要把它的边反向过去来找他的 对顶角对不对？那么小伙伴们来看一下有哪些角是对顶角？对顶角的两大核心特征，第一个特征是有公共的端点，公共的顶点。第二个特征是角的两边互为反向 延长线，所以小伙伴们，第一个很明显他不是互为反向延长线的。第二个他是互为 反向延长线的。第三个他是没有公共的短点，公共的顶点。第四个脚的两边不是互为反向延长线的。第五个来小伙伴们，复杂的图是不是也是互为反向延长线的呀？ 那么钱老师上课的时候在给小伙伴们一直强调一个点对不对？我们初中数学，我们是属于九年义务教育类的东西， 我们重点在于理解，但是理解只是我们数学学好的。万里长征的第一步，把东西落实到笔尖上面，把东西落实到图纸上面才是最关键的。 那么在这里给小伙伴们提供两个信息，单纯从这一个题而言，单纯从这一个题而言， a o e 的 对顶角来， a o e 的 对顶角，我是不是 o a 反过来， o b o e 反过来 off， 那 么对顶角是不是可以非常轻松的确定出来呀？ 那么 e o d 的 零步角， e o d 是 这一个角，对不对？小伙伴们， e o d 是 这一个角，如果它是相邻的边，那么 o d 的 反向延长线是 o c 是 不是这个角啊？ 如果他是相邻的边，那么 o 一 的反向延长线是不是这条线，那是不是就是这个角了呀？所以我们在找零步角的时候，我们小伙伴们一定要把它写全，一定要把它写完整， 那么这个题他还告诉我们一个信息，是什么信息呢？小伙伴们，两条直线可以找几组对顶角啊？小伙伴们，两条直线可以找几组对顶角啊？来一组对顶角，对不对？ 我们说了，我们初中阶段研究的角度，他都是小于一百八十度的角，所以我们不会去找平角的，对顶角 对不对？那么小伙伴们，这一个角，这个角是不是一组对顶角啊？那么这一个角和这一个角是不是一组对顶角啊？我们怎么来研究的呀？ o a， o b 是 不是在一条直线上啊？ 先以 o a 为边，往这边来找角度对不对？那么能找小于一百八十度的角，是不是只能找一个呀？ 再以 o c 为边来找小于一百八十度的角，是不是也只能找一个呀？所以两条直线相交，小伙伴们，两条直线相交，他能找出几组对顶角啊？两组对顶角。 那么小伙伴们，我们再把这个题思路延长一下的话，如果是三条直线相交的话， 他能找出几组对顶角嘞？来，小伙伴们，我们说了，我们再找对顶角， 这个角他必须是要小于多少度啊？是不是？必须是要小于一百八十度的对不对？那么小伙伴们，还是以 o a 为基准， 我刚才找到 oc 来了，我还找 ob 吗？如果我找 ob， 那 么你看跟我之前找的角是不是就重复了呀？哎，是不是就出现重复性了呀？那么小伙伴们，我们来看三角之间能找几个角 来？小伙伴们，还是以 o a 为计算，找一个角吧，找两个角吧，小于一百八十度的角是不是只能找两个？那么 如果我 o e 找完了，再来找哪个？再来找 oc， 以 oc 为边，找一个角吧，找两个角吧！小于一百八十度的角是不是只能找两个呀？ 那么小伙伴们，再以 o e 为边的话，再来找对顶角，找一个角的对顶角，找两个角的对顶角。小于一百八十度的角，他才会存在什么呀？对顶角对不对？ 那么小伙伴们，我们来观察一下，两条直线找了几条边？找了两条边，一条边找几个呀？一个角，那二怎么出来的呀？二乘以一，是不是两条直线相交所有的对顶角的个数啊？ 那么三条直线相交来，小伙伴们，我找了几条线作为起始边，找了几条线作为出始边， o a， o c， o e 是 不是找了三条射线呢？对不对？那么三条直线相交，找三条射线，你可能去找四条吗？不可能， 因为你第四条射线 o b 和 o a 是 不是就会重复了呀？ 那么一条线可以找几个角啊？两个角，一条线可以找两个角，一条线可以找两个角，三条线，那么是不是就三乘以二？那么三条直线相交一共可以找几个呀？六组对顶角。 我们说了呀，小伙伴们，初中数学也好，高中数学也好，我们所有的数学学习他都是通过什么呀？找规律、规律总结得出来的，我们所有的性质、概念、 定义、公式都是通过找规律规律总结得出来的。那么小伙伴们，如果在我找，再让我找一共有多少对零角？ 我们如果有四条直线呢？还是以它为一条边？小伙伴们，一个、两个、三个， 只有小于一百八十度的角，我们才能找对顶角啊，对不对？那么过这一条边我可以找几个呀？三个角过这一条边，一个两个三个过这一条边，一个两个三个 几条边？四条边一条边可以找几个呀？找三个。那么他一共可以找多少组对顶角呢？是不是可以找十二组对顶角啊？我找对顶角的时候，我找一个角出来，那么另外一个角是不是自然而然的就对出来了呀？ 那么我们在找规律的时候，我们说过，三个可以找大致规律，五个可以找非常详细的规律来。小伙伴们，假如 n 条直线相交于一点，所产生的对顶角有多少组呢？两条直线是二乘以一，三条直线是三，四条直线是四，所以 n 条直线一定是 n， 对 不对？ 那么一条边可以找一个，一条边可以找两个，一条边可以找三个，那么 n 条是不是 n 乘以 n 减一啊？ 这就是我们对顶角里面非常重要的找规律类型，那么 我们从知识点难度上面来说，他是拓展内容啊，小伙伴们，但是从本质上来说，还是看我们对顶角的概念，我们小伙伴们有没有把它彻底的吃透，对不对？ 所以我们任何时候学习数学，不要胡能腾早啊，不要自认为自己明白了，一定要把它吃透，一定要把它所有可能出现的情况都考虑到位，考虑全面，对不对？ 那么小伙伴们，我们数学学习角度也好，学习线段也好，我们最终目的都是为了帮助辅助我们来解决我们实际生活中碰到的几何问题，对不对？那么怎么样辅助帮助解决呢？就是通过运算， 对不对？就是通过运算，所以我们角度的运算，线段的运算，在我们几何图形处理过程中占有非常非常重要的角色， 那么我们一定要熟悉各种各样的运用情况。来吧小伙伴们，当他给了我角一等于四十度的时候，那么根据对顶角相等，角三是不是就等于四十度了？ 那么角一的零步角，角二一百八减去四十，角二是不是就等于一百四十度了？那么角四作为对顶角是不是也是等于一百四十度了？ 这是比较简单的应用。那么小伙伴们，我们在做几何图形初步认识的时候，我们说了几何的解答题，它的格式要求非常高，来 解析思路，带入数据，最终结果对不对？对顶角相等怎么书写的？我们一定要把它书写好，而不能随随便便的书写，你的书写代表着你要给老师展现出来的 逻辑思维，最简单的题你数学都不愿意去执行的话，那么我们在做综合题，我们在做拓展题的时候，你会发现你的思路，你的过程写不开了，写不了了，写不动了。 那么小伙伴们我们再来看下面这一种情况，角一加角三等于八十度，他给了我角一和角三的一个等量关系，同时根据图形我们也可以看得出来，角一和角三它还存在着一种 位置关系，叫做对顶角，对顶角里面也隐含了一种等量关系，那是不是角一等于角三的呀？ 那么角一加角三又等于八十度，角一又等于角三呢？那么这个时候我角一角三是不是可以非常轻松的确定出来呀？那么我角二角四是不是也可以通过零补角的定义把它确定出来呀？ 那么我们再来看一下他的预算有如何的变换，他这个时候给我角二是角一的三点五倍，那么小伙伴们角二是不是等于三点五倍的 角一啊？是不是给了我等量关系式？所以我们同样的一个几何图形，那么小伙伴们你会发现他给你的条件会各种各样的变换对不对？那么 条件各种各样的变化，在我们做综合几何运用的时候，他会随机来抽取的，所以小伙伴们一定要把题目里面的数据信息转换成什么？转换成 文字等量关系式对不对？我们把等量关系式确定出来了以后，那么这些题是不是就简单了，零步角二可以得到角一加角二一百八十度，角一等于三点五倍的角二等于三点五倍的角一，来个等量再换角一，一旦确定出来了角二 角三是不是就可以确定出来了呀？那么小伙伴们，我们在做求值问题的时候，他还会怎么变形呢？来 二比七，我们在做线段的匀算，我们在做角度的匀算的时候，一直反复给同学们强调，任何时候看到比例问题，我们脑子里面第一件事就是要设参数对不对？要设辅助字母，利用方程的思维来解决我们的 几何图形问题对不对？小伙伴们，设它为二 x， 设它为七 x， 它们两个相加一百八 x 出来了，那么这些度数是不是都可以出来了呀？ 那么小伙伴们，我相信到现在为止我们的对顶角的概念，我们的零步角的概念，包括我们对顶角怎么去运用，我们零步角怎么去运用， 我们小伙伴们应该看的比较熟悉了，对不对？我们通过一些题来彻底的把它掌握下来。 当我在找对顶角的时候，小伙伴们对顶角有公共的端点，公共的顶点角的两条边互为反向延长线，很明显一和二 都不能满足条件。而零补角，第一个他们有公共的端点，第二个他们有一条公共的零边，第三个他的另外一条边互为反向延长线，肉眼可见的应该选的是哪个，选的是 d 选项， 所以不要看我们的题简单还是难，关键问题是我们在平时训练的时候，我们在做这种题的时候， 我们有没有把对顶角的概念在脑子里面滚一遍？把零不角的概念在脑子里面滚一遍，把对顶角的特征，零不角的特征在脑子里面滚一遍。那么在滚动的过程中延伸出来的知识点有没有滚一遍？比如说 n 条直线相交于一点，所产生的对顶角的指数应该是 n 乘以 n 减一，对不对？ 那么小伙伴们来看一下这个题，做几何题，在几何图形初步认识的时候，钱老师挂在嘴边上讲的最多的一句话叫什么呀？得图 得一切对不对？我们几何题最核心的思想就是数形结合，就是我们要把题目里面的数据信息转换到几何图形里面去，对不对？那么小伙伴们， aoc 给了我七十多 对顶角相等，他的对顶角 o c 延长过来， o a 反向延长过来，那么这个表底 是不是七十度了？那么这个角二等于四十度，七十减四十，简单的角度的加减，我这个时候角一的度数是不是就很轻松的确定出来了呀？ 男的不怕，这里小伙伴们，男的怕什么呢？男的怕他给了我三条线，然后还给了我一个角平分线，对，你看我这个几何图形是不是就变得比较复杂了呀？这个时候再随机给我一些角度，让我来求值对不对？ 核心本质还是我们要对零角，对菱角这些基本的特征角平分线得到的哦，小角等于小角等于大角的一半对不对？这些基本的特征我们要熟悉对不对？那么小伙伴们来看一下这个题， 他们两个的和等于两百三十六度，我们是不是要把题目里面的数据信息转换到几何图形里面去啊？哦，他们两个相加等于两百三十六， 它们两个肉眼可见是对顶角对不对？对顶角相等的，所以它们两个相等加起来两百三十六，两百三十六除以二一百一十八度，那是不是就可以非常轻松的把这两个角度确定出来了？ 再来一个零角相加一百八十度，这个时候小伙伴们，那么 a o c 也好， b o d 也好， 他的度数是不是都可以非常轻松的确定出来了呀？所以我们说学袋鼠，他怎么加深难度的呢？先玩数字对不对？数字的预算玩完了以后再玩什么？再玩字母的预算对不对？字母的预算玩完了以后再玩什么？再玩袋鼠四的预算， 他是层层递进加难度的。所以我们在代数里面，我们经常讲碰到代数式，当整体，因为代数式所表达的最终结果仍然是一个数字，对不对？ 那么小伙伴们，你告诉我如果是几何怎么玩难度啊？先来最简单的两条线，你会不会？你会不要紧？我再加一条线，你会不会？你还会不要紧？我还加一条线， 单纯的从相交线这个角度，小伙伴们你会发现我这个角度的运算求值是不是就可以变得非常复杂呀？如果我加多了，你还玩着转不要紧，他们两个的和等于一百八或者角一等于两倍的角二 对不对？等等等等，给了我其他的等量关系，再把它套到几何图形里面去。所以说任何时候我们学习几何问题也好，初中问题也好，我们在 袋鼠和几何部分，我们初中阶段最重要的是要培养我们的思维习惯，我们的学习习惯，培养我们的学习能力，这个才是最关键的，知识点的角度而言，他的难度是不大的。小伙伴们， 学习能力，思维能力，习惯培养，这才是最为重要的。那么小伙伴们，我们来看一下这个题，你看是不是加难度了呀？ a o d 的 对顶角 a， o d 在 这里，反向延长线， o a 反向到这里来了， o d 反向到这里来了。那么 这个就是数命题嘛，很简单嘛，一个解答题，一般第一问都是非常简单的，对不对？ boc 的 零补角，我可以找 o b 作为零边，我也可以找 o c 作为零边， o c 作为反向延长线是不可以找一个？ 找 o c 作为零边 o b 的 反向延长线是不是也可以找一个呀？那么零补角是不是可以非常轻松的确定出来呀？关键问题是什么呢？当我的零补角， 当我的对顶角和比值问题，和比值问题和什么和角平分线结合在一起，那么我这个角度的运算和求值，他的计算量 是不是变大了呀？他的繁琐程度是不是也增加了呀？我们来看一下这个小伙伴们， ld 等于二十度，得图得一切，我们一定要把数据信息转换到几何图形里面去，对不对？ 那么 d o f 比上 b o f， 这个比这个一比七，那我设它为 x， 设它为七 x， 那 么这三个角加起来是不是就构成了一个平角了呀？ 那么小伙伴们，这个时候我第一件事是不是可以把 x 求出来了？以后我所有的角度是不是都可以求出来了呀？ 那么小伙伴们角平分线的定义哎？首先小伙伴们要注意好角平分线的书写格式，因为平分，所以小的等于小的等于二分之一，大的我也可以写成大的等于两倍的，小的等于两倍的， 小的，对不对？这个时候再来利用对顶角和零补角，我们是不是可以非常轻松的把，不要说求 e o c， 是 不是所有的角度都可以求出来呀？ 那么我们说呀，数学的学习，它的知识点是什么？是链条式的对不对？它的前后 都是相通的。小伙伴们，回想一下，我们当时在做角度的计算的时候，我们曾经找出来一组规律的哎， ab， 它是一条直线，在 ab 上面取一个点，取一个 o 点，然后做一条射线， 以前我们只知道他们两个是平角相加等于一百八十度，现在我是不是知道他们这两个角叫什么角啊？叫零补角对不对？ 那么小伙伴们，我们当时做的规律总结是什么呀？把 a、 o、 c 的 角平分线做出来是 o、 d， 把 b、 o、 c 的 角平分线做出来是 o 一， 我想请问一下，你这个 d、 o、 e 它是多少度啊？ 那么这个大的加这个大的一百八，大的一半，大的一半加起来是不是就等于九十度了呀？这个 d、 o、 e 是 不是就是直角了呀？ 我们当时在做几何图形，初步认识角度一算的时候，我们说了，哎，假如这个 b、 o、 c 为 r 法， 那么角平分线做出来这个角等于九十度，那么这个阿尔法为任何度数，跟我这个九十度有影响吗？没有影响，只要是零补角，只要是角平分线，他一定是可以构成多少度啊？九十度的。 那么小伙伴们，你们会发现，我们这个时候学的知识是不是就可以形成一个小闭环了呀？ 所以说学数学，我们任何时候，不管是在初中阶段还是在高中阶段，小伙伴们不要单一的去看这个知识点， 一定要通过整体的思想啊，一定要站在最高的位置，是不是？我们为什么叫一览众山小呢？对不对？你站山底看山上， 你永远看不清，看不全，你站山顶看山下，那你看的东西就很全了，你每座山之间的关联是不是就可以看的非常清晰了呀？ 所以在这里钱老师有两个要求，第一个要求是什么呀？第一个要求是我们除了要把我上课讲的内容吃透，第二个点就是课后的训练是必不可少的， 数学的学习理解只是我们万里长征的第一步，落实到笔尖上面才是后面的九千九百九十九步。那么我们今天这一堂课就给同学们讲到这里了，同学们再见！ 各位同学你们好，我是你们熟悉的钱老师，今天这堂课呀，接着由我来带领同学们对我们相交线与平行线的知识点进行一个讲解。 我们在上一堂课，带领同学们学习和掌握了我们在同一个平面内两条直线的位置关系，哎，只有两种非相交， 即平行对不对？那么在最简单的相交线里面，带领同学们认识了我们零补角和对顶角， 找出了我们零补角它的位置特征，哎，有公共的顶点，有一条边是相邻的，另外一条边会反向延长线， 我们还得到了零补角，他的等量关系是相加为一百八十度， 那么我们知道对顶角他也有位置关系和等量关系，那么小伙伴们，位置关系是有公共的顶点有公共的端点，并且角的两条边互为反向延长线， 那么我们通过等量代换得到了对顶角是相等的，对不对？ 与此同时，我们还找出了一个非常重要的找规律，就是有 n 条直线，如果相交于一点的话，那么 他所产生的对顶角的数应该是 n 乘于 n 减一。 那么我们还一直反复不断的在给同学们强调，我们学习数学，不要去忽略我们最基础的概念， 我们所有的拓展，我们所有的拔高，都是围绕着我们基础的概念来进行延伸的，包括于我们的应用也是围绕着我们的概念来进行拓展的。 那么小伙伴们，我们研究了直线的最简单的位置关系，我们再来想一下，小伙伴们， 如果我两条直线相交的话，哎，我取两根木条，一根木条是 a， 一 根木条是 b， 我 现在用一个钉子把它们钉在一起，当我把这个 a 固定了，我在旋转这个 b 的 时候，小伙伴们，那么这个时候是不是就会产生了对顶角啊？这个时候是不是也产生了零补角了呀？ 那么当 a 和 b 所剩的锐角 r 反为三十五度的时候，那么其他的角度三十五度，一百四十五度，一百四十五度，我们是不是可以非常轻松地通过零补角的性质和对顶角的性质来把它计算 求出来呀？那么我们有学数学，我们经常学数学思维叫什么呀？我们由一般到什么到特殊，我们也可以由特殊到什么到一般。 当我在旋转的过程中，如果我旋转出来九十度了，那么小伙伴们对零角九十度，零补角是不是都为九十度啊？ 这个时候是不是就形成了我两条直线非常特殊的一种位置关系啊？在相交的情况下比较特殊的一种 位置关系对不对？那么我们就把它称为互相垂直。 那么很多小伙伴一听说，老师，哎，两个角他们所形成的夹角有一个九十度，那么其他的都会九十度，这很简单呢。那么我们在接触垂直的时候，我们要注意好两个信息， 第一个信息就是我们数学，我们学习，我们在最后考试的时候，我们在最后考核你的时候，我们是要用数学语言 来把它描述出来的，而不是跟语文一样去写文字的，对不对？所以我垂直的数学语言我们一定要熟悉，因为 ab 垂直 cd， 所以 可以把我所用到的角等于九十度写出来，对不对？小伙伴们，当我写九十度的时候，我用到谁，我是不是就写谁呀？ 反过来，当我知道四个角里面任意一个角为九十度，那我是不是就可以确定出来两条直线是互相垂直的呀？ 那么这是我们垂直的概念所隐藏的，所要告诉我们的第一个细节信息就是我们的表达方式，我们的数学语言的表达方式。 那么第二个细节是什么呀？小伙伴们，既然我垂直是九十度对不对？那么他肯定会引申出来一个东西，我如何去判断两条直线互相垂直？ 那么小伙伴们，我们有很多种方式来描述我们最简单粗暴的，最简单粗暴的就是直接通过概念，我只要有一个角等于九十度，那么这两条直线是不是互相垂直的呀？ 那么这个概念他还有没有其他的表达方式呢？数学嘛，数学学习就是 直路一条然后绕弯吗？对不对？把你绕晕了为止对不对？你没有被绕晕，那就说明你数学学好了。那你比如说小伙伴们，他说，哎，我对顶角相加等于多少度啊？八十度啊，等于多少度啊？一百八十度。 那么小伙伴们，对顶角是不是相等的呀？对顶角相加等于一百八十度，我通过计算，是不是可以确定出来这些角都等于九十度啊？哎，定出来了九十度， 我们学的对顶角的概念，我们还学的什么零补角，他还可以怎么来问你啊？哎，如果两个零补角是什么呀？是相等的，能不能确定出来这两条直线 是互相垂直的呢？哎，两个零补角是相等的，而我们零补角的性质可以得到这两个零补角相加等于一百八十度，对不对？又是相等的，又是相加一百八十度，是不是也可以 确定出来等于九十度啊？是不是也可以确定出来两条直线是互相垂直的呀？ 所以说我们小伙伴们要牢记一点啊，我们学数学，不要只看字面上的意思，我们除了字面上的意思，我们还要把它的图形拿出来研究和分析去思考，如果你是出题老师， 角色互换，他应该会以哪些方式来考核你的知识点概念性问题？那我们学同学们如果把这种思维方式，把这种学习能力掌握了，我告诉你小伙伴们， 初中、高中、大学了，包括我们以后参加工作了，我们接触新生事物的时候，我们学习起来，他就比别人事半功倍一些。 那么小伙伴们垂直的概念出来了，我们现在就有一个小思考了，哎，我这里有一条直线， 我这里有一条直线，我现在要画这一条直线的垂线，那么这样的垂线能够画出来多少条呢？ 我们知道点动呈现点是构成我们几何图形的基本元素，那么这一条直线是不是也有无数个点构成的呀，小伙伴们， 当我把这条直线上面的任何一个点都把它当做当做什么呀？当做垂足的话， 那么这个时候我是不是可以画无数条直线出来呀？因为我在一条直线上面每一个点来当做垂足，我是不是都可以画一条直线出来呀？ 那么又回归到我们最基本概念里面，小伙伴们，两条直线互相垂直，那么这个焦点我是不是把它称为垂足啊？ 那么同学们要牢记一点啊，如果我想做一条直线的垂线，我是可以做无数条的， 那么这是一般情况下，那我现在给你特定了，我如果让你通过一个点 来做这一条直线的垂线，我能做多少条呢？小伙伴们来比如说我过这个点是不是绕着这个点是不是可以做无数条直线呢？ 那么只有一条直线可以和已知直线是垂直的，那小伙伴们可以观察出来规律了哦，原我这个点是不是在直线的外面呢？ 那我们再来找一下，如果我这个点在直线的上面的话，小伙伴们过这个点是不是仍然可以做无数条直线呢？ 因为两点才确定一条直线呢，一个点他是确定不了直线的，但是我过这个点想做这条直线的垂线，我是不是就只能做一条出来了呀？ 所以我们这里就衍生出来了我们垂线的第一个非常非常重要的性质，在这一个平面内，我想过一个点做一条直线的垂线应该是什么？有且 只有，我是不是只能做一条直线和已知直线是互相垂直的呀？而且小伙伴们也会发现，哎，不管这个点是在直线上面，还是在直线的外面，那这些细节小伙伴们都要注意好。 那么经过一点，怎么去做一条直线的垂线？同学们知道了，那如何去做一条射线或者是做一条线段的垂线呢？ 那你比如说我过点 p 做这一条射线的垂线，实际上本质上是不是做这条射线所在的直线的垂线呢？ 那么小伙伴们，如果我过这一个点做这条线段的垂线，那我第一件事是不是要先延长，然后再来做垂线，对不对？ 所以像我们要牢记啊，做射线或者是线段的垂线，本质上是做射线 或者是线段所在的这条这条直线上的垂线。哎，这个细节我们同学们一定要把它理清，当我们理清了任何时候，我们来做垂线是不是就显得非常轻松了呀？ 因为我们的小学就学过，三角形的面积是不是底乘以高除以二啊？锐角三角形的三条高是不是都在三角形里面？而钝角三角形的三条高有一条有一条高在里面，有两条高是不是在外面呢？ 那么如何做射线或线段的垂线？本质上它就可以和我们三角形的高形成一个简单的闭环，对不对？ 那么又回归到本质了，我们学习我们几何图形的基本概念，最终的目的还是要去应用啊，那我如何去应用呢？就是通过求值计算来应用，对不对？我们在 实际学习的过程中，通过求值计算来应用，我们在实际生活中通过角度可以把图形做的更加完美，是不是的？ 那么小伙伴们看到垂直没有啊？我们任何时候看到垂直了，我们第一件事是先把直角标号打上去，就跟什么呀？就跟我们在讲角平分线的时候，任何时候看到角平分线，先打上角一角二再说， 用不用得上是一回事，你打不打是你的习惯问题对不对？任何时候看到垂直，先把直角标号标上去，直角标号就意味着九十度出来了吗？ 那么小伙伴们，角一等于五十六度，那这两个角相加等于九十度，九十减五十六，这个角是不是就等于三十四度了呀？ 那么和我们前面的对顶角的知识点是不是就形成了一个闭环了呀？哦，原来他们是对顶角，所以我这个角二的度数是不是就可以非常轻松的确定下来呀？ 那么小伙伴们，我们这里又有一个小思考啊，这里有一条河流，假如他是一条直线的话，现在我要把河里面。由于视频制作精良，超出视频上传内存要求，所以请私信钱老师领取学习资料。
137初中数学20年提分教练
02:44查看AI文稿AI文稿命运算的降次法一定是我们初中带书必会的一类核心技能，今天啊，依依老师就给大家把命运算这里的降次降密的技巧用三个步骤来梳理清楚。这里啊，同时也是我们这学期期中期末的一个必考考点。 老师啊，有关于密云算这里的计算，也给大家把历年考过的一科压轴题都做了一个梳理。如果咱们孩子对于这种复杂的计算题还经常没有思路，简单题目还经常马虎算错，一定要打印出来啊，咱们每天十道题，一定要彻底把计算能力给提升上来。 好吧，下次下面呢，咱们来一起看一下这道题。这道题啊告诉你， n 方加五， n 加二十五等于零，求 n 的 三次方。那由于我们现在还没有学二次方程的解法，所以解 n 再求 n 的 三次方肯定不现实， 那这道题咱们该怎么办呢？就是这个思想叫做降次。那降次法对应第一个核心的步骤就是梳理我们已知条件给你的这个式子， 我们来一起看一下啊。在这个式子当中，我们可以得到几个条件，首先我们有 n 方加上五， n 等于负的二十五，这是我们得到的第一个变形式的梳理。同样我们还可以得到什么呢？ n 方等于负五， n 减去二十五。 我们把通过已知式子能够得到的形式啊全给它写了出来，接下来我们再去哎对它进行变形， 这里是 n 的 三次方对不对？ n 的 三次方，它其实就等于 n 再乘以 n 的 平方，对不对？哎，我通过这个形式，我就把密由三次密降成一次密和二次密了， 那二次密等于什么呢？来，我们回头看，那 n 方等于负五 n 减二十五，我们可以在这里替换这里的 n 方，也就是 n 乘以这里面的负五 n 减二十五。 哎，这个时候整个式子梳理一下，它就没有三次方了，变成平方了，这就是我们所谓的降次降密法。 好了，这个时候它就变成负五 n 方，再加上，哎，再减去二十五 n 了。 好了，这个时候再对比一下，它和前面式子之间有什么关系？哎，这里面是什么呢？是 n 方加五 n 减二十五 n， 你 会发现这个式子和这个式子有什么关系 哦，我给他提出一个负五，那他就变成负五倍的 n 方，再加上五 n 了， 而 n 方加五 n 的 值前面都有，是多少是负的二十五，所以这里他的结果就是负五再乘以负的二十五，最终我们就可以求出最终的答案，哎，是一百二十五了。
391依依老师讲初中数学
03:52查看AI文稿AI文稿打好基础，你也可以变得优秀。今天我们来讲解一道七下的经典综合题，基本上年年都考，很多同学说每年遇到都找不到思路，今天我们通过两步轻松解决它，直接看到最后一问， 先读一下题目这个，首先 a 和 a， b 和 c、 d 平行，角一等于角二，角三和角四相等，要求证什么样呢？ a、 d 和 b 平行，就上下两条边两条线平行。 那通常来讲呢，一般的综合题他给到了两组相等关系，最起码有一组是可以直接得到平行啊，或者得到其他的结论。在这个地方，角一和角二相等，角三角相等，并不能直接得到什么关系啊，所以他难就难在这个地方， 那接下来怎么办呢？对这种题呢，不用慌，我们首先第一步先把相等的角啊设为 x， 角三和角四相等，我们可以设为 y， 然后我们看，哎，这里有个 a、 b 和 c、 d 平行，哎，这两条两条线平行的话，我们找找啊，有没有 z 字形啊啊的关系，有没有 f 型的关系啊？ 那首先你看角一和这一个角呢？它是内错角啊，你看 z 字形的，那所以这个是 x， 但就算得到了这个 x， 也并不能得到什么结论啊，所以还要继续看， 那这个歪的话，呃，平行我们可以得到这里有一个大的歪啊，这样子来看的话，也不能得到什么实际的关联啊。 那所以你看很多同学来到这里的话，就不知道怎么做了啊。那接下来第二步该干什么样呢？我们可以通过啊，平角，三角形的内角和去的关系啊，通过这些椅子的角， 再去把一些位置要能表示的，可以先表示出来，然后再来找关系啊。你比如说我们这里的 x， y 啊，在一个平角里面，所以这个立马可以表示出来，就是一百八十度减去 x， 再减去 y， 我 们能找到这个，那么这里呢，还有什么呀？这里是 x， 对 吧？这里是 y， 这里呢，我们可以找到啊，这里是一个什么样的？是一个对顶角，它也是 y， 哎，他是 y， 之后呢，他是 x， 你 会发现这是一个三角形，那三角形的话，内角和一百八，所以这个角呢，也很容易得到啊，一百八十度减去 x， 减去 y， 哎，你看，我们甚至还能得到这一个角啊，一百八十度减去 y， 等等等等啊，甚至也能得到这个角啊，这个角呢，你看啊， 你看一百八十度减去它，再减去它。嗯，但是呢，你会发现，我们当表示出这个角和这个角的时候，你会发现这两角已经是一样了，已经相等了，这里已经形成了一个 z 字形 啊， z 字形就是我们的内错角嘛，相等之后，两直线就已经平行了，直接可以得到结论。那有的时候，你可能啊，你的表示到这里还是得不到结论，我想不到这里啊，没关系，你看我可以多表示一下吗？你看这个角等于一百八十度 减去 y 啊，再减去这一串啊，一百八十度，再减 x， 再减 y， 那 你减完之后，你会发现啊，这里一百八和一百八消掉了啊，负 y 加 y 没有了，只剩下一个正的 x， 你 会发现这里是 x， 这里 x 也是 x， 也是一个内错角啊， 所以你会发现啊，当我们遇到这种问题的时候，你不用怕啊，先把相等的角设成未知数，再来通过倒角不断去找关系，总能找到关系啊。所以实际上这种题的解法有很多啊，但最简单的话，我觉得是这样啊，相对比较简单。 那么在写的时候怎么办呢？就很简单啦，我们就不写 x 啦，就可以说因为平行，所以角一等于角 a、 c、 d。 然后呢，所以这个角呢？一百八减去这两个角啊，这个是角四啊，这个角呢，和它相等，这个角就等于一百八减角二，再减去这个角，因为啊，这两个角相等，所以就平行了。写的时候直接这么写就可以了啊。
214粤数
07:37查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们继续来讲这一套七年级下册的期中考试卷的题目。今天讲的是解答题的第十六题到十九题。先来看一下第十六题，这是一道实数的混合运算，负一 的二零二四次方减根号九加一，减根号二的绝对值。减元是等于负数的偶数次幂，它得数是正数，所以它等于一，根号九等于三，所以 减三。最后看一下一减根号二的绝对值，因为根号二是大于一的，所以一减根号二是一个负数， 它的绝对值就等于它的相反数，所以就加根号二减一等于负二，加根号二减一。最后结果是根号二减三。再来看十七题。解方程组二， x 加三， y 等于四， x 减 y 等于负三。解，我们把这个叫方成一，把这个叫方成二。这道题由于 x 和 y 的 系数分别是一和负一，所以这道题我们可以用带入消元法来解。由二的 x 等于 y 减三啊， x 等于 y 减三，带入 一得二，乘以 y 减三，括号加三， y 等于四二， y 减六加三， y 等于四五， y 就 等于十， 减的 y 等于二。这两步可以在草稿纸上面写，在答题区上面可以省略。然后把 y 等于二带入方乘二， 得 x 减二等于负三， x 就 等于负一。我们先检验一下，把负一和 y 等于二代入方程一就是负二加六等于四，符合， 负一减二等于负三也符合，所以圆方程组的解为， x 等于负一， y 等于二。再来看第十八题，是一个几何题。如图，直线 a， b， c、 d 相交于点， o、 o， e 平分角 b， o， d 垂直于 o， e 角 a、 o， c 等于六十六度。 求 d、 o、 f 等于多少度？题目上面告诉我们， ab 和 cd 是 相交的， a、 o、 c 等于六十六度，所以 b、 o、 d 也等于六十六度。而 o、 e 是 角 b、 o、 d 的 平分线，所以这两个角是相等的，都等于六十六度的一半，等于三十三度。 o、 f 垂直于 o e， 那 么 角 f、 o、 e 就 等于九十度，所以角 f、 o、 d 就 等于九十度。减三十三度，等于六十七度。我们写一下整个解析过程。这八题 解，因为 a、 b、 c、 d 相交于点 o， 所以角 b、 o、 d 等于角 a、 o、 c 等于六十六度。因为 o、 e 平分角 b、 o、 d， 所以 角 d、 o、 e 等于角 b、 o、 e 等于二分之一，角 b、 o、 d 等于二分之一，乘以六十六度，等于三十三度。因为 o、 f 垂直于 o e， 所以 角 e、 o、 f 等于九十度。减角 d、 o、 e 等于九十度，减三十三度 就等于五十七度。再看十九题，已知二 a 加一的平方根是正负三、三 a 加二、 b 减四的立方根是负二，由四 a 减五、 b 加八的立方根。这道题需要我们利用 平方根和立方根的定义来求参数。首先，根据平方根的定义，我们可以知道，二 a 加一等于正负三的 平方，所以二 a 加一就等于九，就可以解得 a 等于四。同样的道理，三 a 加二、 b 减四的立方根是负二。三 a 减二， b 减四就等于负二的立方，就等于负八。把 a 等于四带进去就可以得到三乘以四 加二， b 减四等于负八，二 b 就 等于负八。减十，二加四，二 b 就 等于负十六。 解的 b 就 等于负八。接下来我们就需要计算四 a 减五， b 加八的值，我们把 a 等于四， b 等于负八带进去，就等于 四乘以四减减五乘以负八加八， 算出来他等于六十四。这道题是让我们算这个代数式的立方根，所以我们还得把立方根算出来，因为六十四的立方根是等于四的， 所以四 a 减五， b 加八的立方根为四。 我们写一下解析过程。解由提一得二， a 加一等于正，负三的平方解得 a 等于四三 a 加二， b 减四等于负二的立方 解得 b 等于负八。把 a 等于四， b 等于负八，代入四， a 减五， b 加八得四乘以四 减五乘以负八加八等于十六加四，十加八 等于六十四。因为六十四的立方根为四，所以四 a 减五， b 加八的立方根为四。以上就是这四道题的完整讲解，一道题都有对应的基础知识点，大家只要掌握好定义和运算规律，就能轻松解决。如果觉得今天的内容对您有用， 别忘了点赞收藏这一条视频，也欢迎大家关注，小朱老师后续会更新更多的初中数学的题目，讲解题技巧和易错点的总结，让你踏实基础，稳不提分，我们下期的视频再见！
31小猪讲数学
05:15查看AI文稿AI文稿家人们七年级下册几何是不是彻底学费呢？来看这道七下必考押注题，三问连环诈，是不是看着头就大？咱们今天不搞题海战术，就拿这道题教你如何用一招搞定所有平行线加角平行题型。 好，我们来看一下第一个。第一问，上下平行，首先是上下平行，然后给个角度一百一，一百五十度，那么他们的补角直接可以写出来。好，第一个我们就可以直接得出是一百度， 由角积等于角 a， e g 加上角 g， f c 就 可以得出一百度。好，第二问， 我们看第二问，第二问，我们方法是这样子， e p 和 f p 分 别平分，每一次碰到这个都要这么写啊， e p 平分是 x， 两个相等是 x， f p 平分，这两个相等，继续设为 y， 然后继续 e q 和 f q 也仍然继续平分。那旁边相等我们就不要再设了哈，因为它这个是有关系，旁边这个补角是一百八减二， x 平分相等除以二就是九十减 x， 同理，这一边九十减 y。 那 接下来题目让我们求角 p 和角 q 的 关系，那我们由 m 型直接得出来就可以了，大家看着啊，表示设完未知数表示角之后，下面能够写的就尽量写出来哈，这就是角 p 所属的 m 型，那我们就可以写 角 p 就 等于角 a， e p 加上角 p， f c 等于 x 加 y， 再来看角 q 的 图形，角 q 是 不是在这里啊？在这啊，所以角 q 也有一个 m 形， 那就写角 q 等于角 b， e q 加上角 b， f q， 那 么就是九十减 x， 加上九十减 y， 合起来一百八减去 x 加 y， 那 这样子我们由这两个替换一下，所以很快得出结论，角 q 一 百八减，角 p 交换一下位置。我们写的好看一点，就是第二问出来了。 好，第三问。有人说第三问更复杂了，我们还是这个方法，你看我们是不是同一个方法写到底。首先第一个平分 x， 第二个平分相等 y 旁边仍然平分，我们可以表示九十减 x， 这一边平分，我们可以表示九十减 y， 那 接下来就是表示 p 和 q， 那 么角 p 要怎么表示？角 p 在 外面他又不是 m 型啊，那不管是什么型，只要是拐点模型，只要是拐点，我们的方法都是做个平行线来写就行了啊。做个平行线，那么首先我们表示一下， 因为做了平行，所以这里看着有一个内错角，有一个内错角啊，上面这个是 x， 是 y， 所以 这里也是 y， 这里是 y， 然后继续， 这里又有一个内错角啊，又一个内错角，上面是 x， 所以 下面这一个也是 x， 那 么得到的这个角 p， 也就是指示是用三个字母 p、 e、 p， f 表示，就是 x 减 y 就 可以了， 那角 q 的 表示角 q 在 这边我们可以写一下啊，九十减 y， 那 么它的补角就是九十加 y， 那 角 q 在 这里，它也就是也是一个 m 型。 角 q 表示的就是一个 m 型啊，就是个 m 型，所以角 q 在 这里我们就用 m 型。九十减 x， 加上九十加 y， 于是等于一百八十度 减去 x 减 y， 那 么我们就可以得到角 q， 就 等于一百八十度减去所谓的角 p 交换一下位置，那角 q 加角 p 就 等于一百八。这个结论仍然成立。第二个结论，然后再结合给的条件，角 p 加五倍的角 q 等于七百八十度，于是我们解这个二次方程组就行了， 用加减法很好减，所以角 q 就 等于一百四十度，角 p 等于四十度。这样是不是写的很快呢？就一个办法，第一个，平分角相等，设 x 和 y。 第二步，表示 其他的角度，就是其他的角度，你都用这个 x， y 表示。第三步，用模型表示角 p 和角 q 有 什么好？那么这个问题现在正在是注意这个问题， 注意这个问题，就是这个模型不能直接用啊，所以我们要补过程。哪里补？每一次用到的模型都要补这个 m 型，这里要补，补个过程。怎么补过程就做个平行，用内错角啊，内错角补过程 以及第二个问，你要写角 p， 角 p 这里用到了 m 型，要补过程啊，补过程的话也是做个平行，这里需要补过程。写角 q 的 时候， 你看角可以用到了 m 型，也要补过程啊，那么这个怎么补？也是做个平行补过程，这里补个过程。同样第三问。第三问。第三问，我们写这个角 p 的 时候，本身也是用到了这个内错角，已经做了要个平行，用到做了这个平行，所以的话，但是过程也是要写好， 补一下过程。写这个角 p 啊，做 p m 平行 c d， 然后补过程。同样角 q， 这里我们表示角 q 的 时候用了 m 型，也要补过程，做个平行补过程就可以了。 好，这个你学会了吗？可以解决其他很多所有这样的题型。
130(数学博士)阿丽讲数学
00:42查看AI文稿AI文稿初中几何不管怎么考，都逃不出这六十个解析模型，让孩子把它吃透，数学拿满分都有可能！像三年一百一十五考的铅笔头模型、三年一百三十一考的八字模型、三年一百二十八考的将军一马模型、三年一百五十六考的手拉手模型等， 这本模型图描解全都给你整理好了。每个模型先用图式拆解模型的原理和概念，再推演模型的证明过程，最后再结合典型真题，一步步带孩子吃透几何模型。遇到不会的题，扫码看视频讲解， 孩子在家就能自学。学完一个模型，就用配套的练习题及时巩固所学知识。从选择题到填空题，再到综合大题，孩子套用模型就能秒出答案。用好这套书，帮孩子轻松拿下数学。
00:35查看AI文稿AI文稿七、下几何天花板三角形十七大体型，吃透这些三角形再也不丢分！七、下数学三角形权章十七大体型题型一，三角形的三边关系的应用题型二，与等腰三角形的边长有关的问题。题型三，三角形的高有关的问题。 题型四，利用中线解决三角形的面积问题。题型五，利用三角形的三边关系解决线段和差比较问题。题型六，利用三角形的内角和底解决折叠中的角度计算。 题型七，直角三角形的性质的应用。题型八，三角形的稳定性。题型九，利用全等三角形的性质求角樊登版可分享！
22沐光之行
10:45查看AI文稿AI文稿掌握基础，理解并理解优秀七下的压轴题，通过旋转达到平行的状态，求角度。这个题呢，有五个答案， 如果对于条件没有限制，它的答案还会翻一倍。这样的题目难度在于它的探讨的情况非常多啊，同时呢， e、 b 和 a、 d 的 平行不好探讨，今天我们通过两步轻松解决，直接看到我们的最后一问。 首先我们来读一下题目啊，就说我们的 a、 c、 d 这个三角形啊，它是固定不变的， e、 c、 b 呢，绕着点 c 在 这个平面内转动 啊，转动的过程当中啊，我们 a、 c、 d 里面有三条边， e、 c、 b 里面也有三条边，那能否找到一组啊，一组边是平行的，如果有平行的话，求出此时 a、 c、 e 的 角度，而且它有个前提条件就是这个点 e 啊，必须在 a、 c 这条直线的上方。 那么拿到这种题目呢，我们首先第一步该干什么样呢？就是画预设的平行线哎，就是我们可以用铅笔来做图啊，因为这样的图会画很多啊，用铅笔呢比较方便。 那我们也要按顺序来进行探讨啊，比如说，我们通常是呃，从最下边的 a、 c， 然后顺时针去探讨，比如说我假设他先探讨 a、 c 和我们的这个三角形 e、 c、 b 里面哪一些是平行的呢？其实我们可以初步判断啊，因为 e、 c 和 bc 都是和 a、 c 相交的，所以他们永远不会平行，只有 e、 b 呢，会和 a、 c 有 平行的情况啊，所以第一种呢，我们就 a、 c 和它平行啊， a、 c 只能和 b 平行啊， 那么这时候平行的情况，我们通过转动大概就可以知道啊，你看在转动的过程当中，我的 e、 b 要和 a c 平行的话，有可能在上方，有可能在下方，但是我们有要求啊， e 点在上方，所以只有一种情况，在上方的情况， 我们就大概画一条平行线啊，大概画就可以了，不用那么标准，然后连接一下，这是我们的一啊，这是我们的 b 点。 好，那这是 a， 这是我们的 c， 那 这时候呢，因为平行啊，我们要找到内错角的关系或者同位角，那这个角度呢？是四十五度，我们是已知的啊，因为是三角板嘛。好，那这里呢，平行的话，我们这里就有一个，多少度呢？四十五度啊， ac 一 啊，这是第一种情况，是四十五度的情况。 好， a、 c 已经探讨完成了，之后呢，按照顺时针的方向，我们来探讨 a、 d， 那 么 a、 d 呢？和这个 e、 c、 b c、 e b 啊，都没有直接的相交，所以它们都是有可能平行的。那我们先从什么地方开始呢？就从 e c 和 b c 啊，这个有固定点的 啊，开始探讨是最简单的，因为 e c 和 b c 呢，都经过 c 点，要想和 a、 d 平行，必须是在 a 经过 c 点的一条平线上啊，所以我们自己可以画一条经过 c 点的平线，大概是这样， 那这是我们的 a， 这是我们的 c， 那 先我们来探讨啊，就是第一种，就是我们的 a、 d 和我们的 e、 c 平行的情况啊， 那 e、 c 在 转动过程当中呢，我必须要来到这条线上，它才能和 a、 d 平行，那所以我们的这个 c e 啊，也有两种情况， c e 有 可能转到这里，哎，有可能转到下方啊，但是又有个要求啊， e 点在上方，所以下方的排除只有在上方。哎， e 点在这里， 那一点这里的话，我们直接可以得到啊。哎，那你说 b 点在哪里呢？按照我们旋转的顺序啊。呃，这个一点是在后面的啊，顺时针旋转过程当中， b 点在前面，那所以这个时候呢，我们的 b 点应该在哪个位置呢？应该在这个位置啊，这是垂直的嘛。 那所以这个时候我们的 a、 c、 e 啊，就是这个大角前面呢是九十度，这里是三十度，他就是一百二十度，这种情况是一百二十度。 好，然后还有一种情况是怎么样呢？我们的 a、 d 和 e、 c 平行呢，还有一个 a、 d 和 b、 c 平行， a、 d 和 b、 c 平行的话，依然是怎么样呢？要来到这条线上 啊，来到这条线上，那也就是说我的 c、 b 要旋转到这条线上，已有两种情况，一种呢是在这里，一种是在下方，到底哪一种符合要求呢？我们先假设啊， b 点跑到了这里来，那我们要找一找， e 在 哪个位置啊？ e 呢，我们要记住刚刚的方向啊， b 是 在前方的， e 是 在后面的，而且垂直啊，经过 c 点啊，所以他 e 点的话，肯定是在这个方向上啊，这个方向上， 所以很明显啊，这个方向的话是在 a、 c 的 上方，符合要求啊，所以此时我们就可以算角度了啊，这里呢是六十度，这里内错角是六十度啊，六十度，因为这里垂直嘛，啊，九十度，所以隔壁他也是九十度啊，所以我们小小的这个 a、 c、 e 的 话，此时就是三十度啊，三十度。 好，那我如果说是我的 b 点跑到下方来了之后， e 点还在不在上方呢，那肯定就不在了啊，那就说我们此时啊，我的 b 点跑到这里来了，我的 e 点要跟在后面，而且是通过 c 啊，是垂直的，所以我此时 e 点应该大概在这个位置，所以它在下方这种情况下呢，就不符合要求。 好，那所以第二种呢，我们的 a d 啊，在这个地方啊，平行于我们的 b、 c 就 一种情况，就是多少度呢？就是三十度。 好，那这时候 a d 也怎么样呢？把这两条直角边探讨完了，还有条 e b 啊，斜边斜边呢，就相对有点抽象啊，有点抽象，那么怎么来探讨呢？其实，呃，依然是 先画一条预设的平行线啊，我们想象一下啊，这个 e b 在 移动的时候啊，转动的时候，他会有几种状态呢？应该是有两种，一种呢是在左边平行的啊，我们先大概画一条啊，如果在左边平行的话，是这样子的。 好，这是 c， 这是我们的 a。 哎，那你就会有疑问了啊，我一 b 必须要在这条线上啊，你不用管他说啊，这个距离多远，没关系啊， 最主要说我们要找到一点在哪个位置，那此时呢，我们可以怎么来判断呢？你看啊，这里是六十度，因为这是两条平线吗？我们可以延长他，哎，找到平线这样的关系，这个角度呢，就是六十度。那你想啊，我的 e 点和 b 点正常来讲的话，你看啊， 哎，这样子的一种情况呢，就怎么样呢？你看啊，这个角度哎，肯定要比六十度小一点，他等于四十五度呢，是可能的，所以我一点应该在下方是正常的，那一点有没有可能跑到上方 b 点在上面一点呢？这个时候是不可能的，为什么呢？你看啊，这个角度 啊，很明显要比这个六十度要大了啊，所以它只能在下方，所以左边这种情况呢，也是要排除掉的啊。排除掉的，那它在右边的话，我们来看一下，如果它在右边啊，右边就是这样， 大概和它平行，我们画一条，画一条之后，你不用管它距离啊，依然是这是 a d a d， 这 c 平行了之后呢，依然我们要怎么样呢？画一条，哎，延长过去啊，建立关系， 这里是呢六十度，这里呢也是六十度，那我的 e、 b 必须跑在这上面，而且按照我们旋转的顺序的话， b 点要在下方， e 点在后面啊，所以大概我们先这样子啊， b 点， 然后我们连接一下这个 c b e 啊，来判断一下这种这种状态是不是对的。因为这是六十度啊，我上面这个角度应该小一点，它必须是四十五度嘛，啊，很明显啊，是符合要求的，你看我这个角度夹角嘛，往上的话，这个夹角会越来越小，这种情况是肯定是存在的啊， 所以这种情况下呢，我们就可以算出 a c 一 啊，这里是六十度，这里呢就是一百二十度，这里呢是十五度，那么的 a c 一 呢，就是这个大角啊，就是一百八，减去十五度就是一百六十五度。哎，所以这种情况下呢，就是我们的 a d 啊，平行于我们的 b、 e， 哎，它等于一百六十五度，这个是可以的。好，那么的 a、 d 和这个 abc 都已经探讨完了，接下来还剩一个什么东西呢？还剩我们的 c d c d 的 话，因为它和 e c 和 bc 都是相交的，不可能平行，只能和 e b 平行啊，那和 e b 平行的话，也有两种情况，你想象一下啊。 哎，我在转动的过程当中呢， e b 可能是在左边啊，和它平行，也有可能是在右边平行，那如果是它它在左边的话，我们画一条线和它平行的啊，大概在这里，那我们的 e 点必须在后面啊， b 点在前面，我们连接一下啊，判断一下， 判断一下，那这个时候呢，这个必须要下一点啊，要下一点。 好，这个是九十度啊，那下面我的这个点一，我们往上面滑一点啊，点一，我们连接一下啊，连接一下，这里是九十度啊，这是九十度，因为他这里是九十度啊，两条线平行。 好，那这个时候呢，我再点一角，一在这个地方啊，啊，他是比这个九十度要小的，是有可能存在四十五度的啊，这种情况，那有没有可能，哎，在上方呢，比如说我的一点跑到这里来， 哎，我这个 c e c e b 等于四十五度，那这是不可能的啊，因为这个很明显是一个钝角的啊，所以如果是在左边平行的话，是不符合条件的，一点必须要在上方啊，所以第一个排除掉。还有一个呢，是在哪里呢？是在右边啊，这样平行的。 好，这是我们的 a， 这是我们的 c 啊，这是我们的 d， 我 们依然是延长它和它勾的关系啊，那我们的这个此时 e 要在上方， b 呢，要在下方啊，下方依然连接起来啊，这样子的。九十度，那这里是九十度啊， 我们来看一下此时的我的这个角一啊，就是我们的 c、 e、 b 啊，四十五度，符不符合要求啊？很明显啊，这个角度要小一点啊，这是九十度，小一点是可能得到四十五度的啊，上面是符合要求的， 那符合要求的话，那这种情况就存在，存在的话我们来找找角度啊，因为这四十五度，这是垂直的，这里呢也是四十五度，那么剩余的这个 a、 c、 e 呢，就是一百八减四十五度，就等于一百三十五度， 那至此呢，我们通过这个顺序啊，就是啊，全部探讨完了，所有的结果呢，就是点一在上方的啊，就有，哎，四十五度，一百二十度，三十度，一百六十五度，一百三十五度啊，这五个答案， 但如果说对点一没有限制啊，我们这个答案会变成十个哎，但而且另外五个的也非常好算啊， 他一定是互补的，就他如果四十五度，他转到另外一面形成的假角就是一百三十五度，其他的就是同底可得，因为他是直接写出答案嘛，所以这个就很快就可以解答出来。
206粤数
00:53查看AI文稿AI文稿初中数学想要次次都能考到一百一十分以上，一定要学会几何模型解析，如果每道题都要临场想思路破解，那么孩子可能连题目都做不完，推荐给孩子准备这套妙招巧解。中考数学包含初一到初三常考的四十八个解析大招模型 和一百六十个必备结论，大体有思路，小题套模型。你看将军印马模型、飞镖模型、摄影定理模型、四点共圆模型、奔驰模型、 费麻点模型，每个模型都有详细的讲解，有推导过程口诀、速记结论，还有结论妙用核心母题讲解，弄懂后，后面还有针对性真题试练，让孩子学会一道题，会解一类题， 而且每道真题都配有视频讲解。把这些初中必备的结论和这四十八个解析大招掌握好了，初中数学想要拿高分就简单多了，快给孩子练起来吧！
00:33查看AI文稿AI文稿七下几何天花板三角形十七大体型，吃透这些三角形再也不丢分。七下数学三角形十七大体型。急行一，三角形的三边关系的应用急行二，与等腰三角形的边长有关的问题。 急行三，三角形的高有关的问题。急行四，利用中线解决三角形的面积问题。急行五，用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题。急行六，利用三角形的内角和定底解决折叠中的角度计算 题型七，直角三角形的性质的应用。题型八，三角形的稳定性。题型九，利用全等三角形的性质求角完整版可分享！
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03:00查看AI文稿AI文稿青岛初一数学，现在大部分学生都学到了乘法公式与几何结合，那么很多同学呢，会觉得这个地方太难了，这个地方确实有点难，但是也不是说学不好， 这个地方呢，一定要突破，因为以后的周测题、月考题、期中题都以这个地方作为最后的压轴题。那我们要想学好 乘法公式与图形，我们要掌握几点呢？第一个就是一定要把这个公式的变形特别特别熟练的掌握，比如说给我们 a 加 b 括号的平方，然后求比如说求 a 减 b 括号的平方，求四 ab， 求二 ab， 求 a 方加 b 方 这些东西呢？这个公式的变形在脑袋里，你要迅速的给他过出来，全都能背下来，那你说这个东西是死记硬背吗？不是的，老师说，其实乘法公式你想一想，不就三个吗？完全平方有两个，平方差有一个其实就相当于是三个公式， 三个公式还背不下来吗？能背下来，但是三个公式怎么变形，就有一些同学背不下来了，所以你最关键的就是自己在演算纸上多写几遍，然后他能够怎么变形，他俩相加能得到什么，相减能得到什么，或者说他俩差几倍的关系。 你把这个公式一定要自己推倒，别死记硬背啊，我就跟人背四 a b 等于 a 加 b 的 平方，减去 a 减 b 的 平方， 你背的太死，你是用不好的，自己推导，第一点啊，公式自己推导，那么第二点呢？当你公式推导的非常熟，一考你你就知道怎么做的时候， 就要想到那在哪一点可可能怎么考呢？就是换元，很多同学碰见过，比如说括号 a 减二零一五乘括号，比如说二零一六 加 a 啊，你经常会碰见这样，然后你要知道换元考考的是什么，比如说给我像我刚才举的这样的例子，那你可以一个设为 x， 一个设为 y， 你 就知道 x 乘 y 得几，同时你要想到怎么把 a 消掉呢？如果他俩一号你就相加，那你就知道 x 加 y 得几。这是第二步，你要学会巧妙的利用换元， 那么第三步就是结合图形了。结合图形呢？很多同学啊，这前两步我都会了，但一结合图形就比较乱，乱呢，真是因为你做的少。你先把一道题整会， 整的特别熟练的时候，你会发现你再做一道题，其实他俩是同一类题，你一道题整明白了，整清楚了，然后再做一道题，看看他和上一个题有什么联系。 所以你就把这种几何和这个平方完全平方公式或者平方差公式结合的题 都搜集起来，比如说整个十道，二十道你做你就做，一天好好的研究，自己去悟，就没有不会的。那你也可以不悟啊，除非你不想要这个分，你要想要这个分就自己学透。
23青岛数学王老师
00:33查看AI文稿AI文稿七下数学必考的全等三角形十大体型，吃透几何不丢分！七下数学全等三角形十大体型题型一，全等图形的概念题型二，辨别全等图形题型三，分成全等图形题型四，全等三角形的概念题型五，由全等三角形的线子求线段长度题型六，由全等三角形的线子求角度 机芯七，由全等三角形的信子求周长机芯八、由全等三角形的信子求面积机芯九，由全等三角形的信子探讨线段和角度之间的数量关系机芯十，由全等三角形的信子探讨线段之间的位置关系。完整版可分享！
58沐光之行
