马尔科夫链高考考吗

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  【抖音独家】高考百日百课｜【逐题精讲】2026八省八校T8高三四月联考数学18题—马尔科夫链标准题型，必须要会！#2026高考 #抖音精选高考应援联盟 #抖音高考百日百课 @抖音校园 @抖音精选官方账号 #T8联考 #马尔科夫链

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  【抖音独家】高考百日百课｜马尔科夫链赌徒模型 #马尔可夫链 #2026高考 #抖音精选高考应援联盟 #抖音高考百日百课 @抖音校园 @抖音精选官方账号

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  欢迎来到高考百日百科一个系列带你通关马尔克夫恋全题型重要题型全书里第三期，欢迎大家上抖音精选追踪我的高考百日百科本期视频我们接着来看到马尔克夫恋的赌徒模型。看到题目， 假如有一名赌徒进入赌场玩一个赌博游戏，每一局赌赢的概率百分之五十，赢了呢，得一元，赌输的概率也为百分之五十，输了就要输掉一元。他说他会一直这样玩下去，直到两种情况，第一种呢，就是没有钱了，本金为零元，赌徒手中的赌金为零元。第二种， 呃，就是怎么样达到了预期的币源吧，就是说他想赢，到了他要赢的钱就停止。当赌徒手中有 n 元时，最终输光的概率为 p n。 注意， p n 表示的是什么呀？输光的概率啊。看到第一问， 他仅直接写出 p 零以及 p b。 p 零是什么呀？此时的 n 等于零， p 呢，表示输光的概率，你 n 等于零，意味着手上已经没有钱了，所以你输光的概率怎么样？就是一吧，相当于你已经输光了嘛，你手上都没有钱了，所以 p 零呢，是等于一。 我们看到 p b， p b 是 什么意思呢？他手中有多少钱？有币源，那么已经达到了他要的目标，对吧？他达到了币源就停止啊，所以你这里呢，不可能会输光，他已经不玩了， p b 就 等于零。能不能理解这个可能有那么一点点绕啊， 他手中已经有币源了，他问我输光的概率，我达到了币源，我就不玩了，所以我不可能输光，所以我直接走了， p b 呢，就等于零。 到第二问，他让我们证明 p n 是 一个等差数列，并写出公差 d， p n 是 什么意思啊？他现在手中已经有 n 元了，对不对？所以他还要接下去玩吧。那么接下去玩，他是不是有二分之一的概率？我们写一下，现在他是 n， 那 么他是不是有二分之一的概率变成 n 加一呢？就是赢，赢了一次，对吧？当然还有二分之一的概率变成我们的 n 减一，他这里也是二分之一的概率，说明他这里输了。 所以我们的 p n， 它可以用什么来表示？是不是等于二分之一的 p n 加一，然后再加上二分之一的 p n 减一。我们整理一下，两倍的 p n 呢，就等于 p n 加一，然后再加上 p n 减一，这不就是等差中项吗？整理一下就能得到 p n 减去 p n 减一，就等于 p n 加一，减去 p n。 如果同学们把这里当成一个整体除过来看，这个等比数列你是求不出来的，因为我们只知道 p 零对不对？你令 n 等于一的话，那这边呢，就是二，令 n 等于零的话呢？这边就是一，我们并不知道 p 一 是多少， 所以我们这里用累加法，我们能得到什么呢？ p n 减去 p n 减一，我们假设它为 d。 好， 我们往下去写，那么 p n 减一，减去 p n 减二，也等于 d 吧。我们写到最后， p 二减去 p 一 等于 d。 注意了，我们写到这里并不行啊，因为我们不知道 p 一， 所以我们还得写一下 p 一 减去 p 零，它也等于 d 的 说明。最后两边同时相加，左边呢，就变成了 p n 减去 p 零等于多少个 d？ 我 们看下角标这里从一到 n 吧，所以是 n 的 d 位有求出来，所以最后 p n 就 等于 n， d 加一。题目里说的是求公差 d， 那 我这个公差 d 怎么去求呢？我是不是还有一个条件， p b 等于零呐？所以我们带进去令 n 等于 b 的 时候，它就等于零，所以是 b d 啊，小 d 加一等于零，所以 d 呢，就等于负的 b 分 之一。那么第二问我们就写出来了，看到最后一问， 当 a 等于一百的时候，分别计算 b 等于两百等于一千 pa 的 数值，并结合实际解释，当 b 趋近于无穷的时候， pa 的 统计含义，好，我们来看到，我们现在求出了 pm， 对 吧？我们把这个 d 直接带进去就好了，所以 pm 就 等于负 b 分 之 n 加一， a 等于一百，分别计算 b 等于两百，一千以及无穷的时候， pa 的 统计含义，好，我们来看一下。 嗯，我们把 pa 直接带进来， a 表示的是它的本金，也就是 n 了，负 b 分 之 a 加一，现在呢，本金是一百，想赢到两百，已经想赢到一千，一直已经想赢到，怎么样？很多很多钱的时候，我们带进来算一下。那么第一种，我的 b 为一啊，为两百的时候，那此时 pa 就等于负的两百分之一百加一等于百分之五十，意味着他有本金一百块的时候，输掉的概率呢？为百分之五十，或者说赢到两百的概率呢，也为百分之五十。然后再看到 b 为一千的时候，此时 pa 就 等于负 千分之一百加一就等于百分之九十吧，那么说有百分之九十的概率输完，有百分之十的概率呢？赢到一千，然后再看到 b， 它趋近于无穷的时候，是说明来看下 p a 它应该趋近于多少， 你现在怎么样？分母已经趋近无穷了，所以这里趋近于零，对吧？那么负号呢？负零加上一，所以它趋近的概率就是一，也就是百分之百， 那么将近有百分之一百的概率怎么样？输完，所以 b 趋近于无穷的时候， p a 的 统计含义是什么呀？你想想看。这里的 b 呢，已经趋近无穷了，就是你想要赢很多的钱的时候，你必须要一直玩下去吧。那么就反映了四个字，久赌必输，你赌得越久，当然输的几率就越大了，对不对？并且我们现实中 你去赌博赢的概率不一定有百分之五十这么大吧。好，那么以上呢，就是我们的赌徒模型，我想一想。我们下期视频再见。

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  今年是马年，所以带你5min速通【马尔科夫链】 #马尔科夫链 #高考 #高三 #数学

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  今年是马年，所以高考一定会考马尔科夫列这节课嘞，我会从三道课本原题和高考真题入手，带你彻底吃干抹净马尔科夫列。 因为今年是马年，所以一定会考马尔科夫列，谐音梗哈。那么我们来看到这个高考的大热门哈，他究竟是什么意思嘞？很多老师讲的很复杂，我一定会给你老实巴交的，讲的非常的简单。 首先我们来讲一个故事哈，就是很多同学他会问一个问题，唐老师，我会发现我们班有很多学霸，他是很厉害，很专注的，我觉得一定是因为他们初中就如此的厉害，他们初中就是学霸了。 然后呢，他就会觉得说，哎，因为我初中学的不太好，所以我现在不是学霸。那么现在就牵扯到了一个问题，假设说一个人哈，他在第二个阶段他是学霸的概率是什么？是咱们的 pi 的。 那么他在上一个阶段的时候，比方说他在初中上一个阶段的时候，他是学霸的概率是不是就是 p i 减一的？哎，他可能是学霸，也可能不是学霸呀，所以说他不是学霸的概率就是一减 p i 减一的。大家思考一下哈， 就是如果说我现在是个学霸，是由上个阶段的我所决定的，那么此时如果初中的我是学霸，我现在一定是学霸吗？不一定哦，只是说我有更大的概率现在还是学霸，那么假设这概率就是零点八的， 如果我上个阶段成功了，那么我这个阶段仍然成功的概率是零点八，我也可能失败呀，我也可能去谈恋爱玩手机了，对不对？ 那么我们继续来说，如果我上个阶段是失败的，我是很贪玩的，那么我有可能在高中逆袭吗？也可能对不对？那么这个逆袭概率呢？可能是比较小的，假设是零点二的， 那么此时构成今天的我是不是学霸的？这个概率就是由前一个阶段的我所组成的。那你还可以说，我们初中的时候，我是不是一个学霸，可能是由小学的我组成的。我小学厉不厉害？可能是由幼儿园的我组成的，幼儿园厉不厉害可能是由胎教的时候构成的，对不对？ 所以说你可以不断的推到前一个阶段去。我们假设嘞，这个呃概率都是为零点八和零点二的，那么我们继续来看， 此时我的 p i 应该是等于多少？它是不是等于零点八倍的 p i 减一，再加上零点二倍的一减 p i 减一的，对不对？然后呢，你整合一下 咱们的 pi， 它就应该等于多少？等于零点六倍的 pi 减一，再加上零点二的。哎嘿，你得到了一个关于数列的递推式，那么此时你再去由数列求通项公式。我出过上一个视频哈，你就知道我最后怎么可以把 pi 给它算出来， 我就可以非常准确的告诉你说，你在每一个阶段你成功的概率是多少？这就是概率学掌声。 那么我们来看到二三年新高考依旧二十一题，看起来很复杂，但实则非常的简单哈，我们连第一问的不去看了，直接干第二问秒杀一下，第二问他问的是求第二次投篮的人是假的概率。我们先看一下题目哈，不能太宽了， 甲乙两个人投篮，每次由其中一个人投篮，规则如下，如果命中了嘞，这个人继续投篮，哎，感情好啊，如果说没有命中，就换成对方来投篮，哦吼，然后呢，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率都为零点六， 乙每次投篮命中率都为零点八，然后呢，由抽签来决定第一次投篮的人选，然后呢，他第二问问第二次投篮的人是甲的概率， 那此时哈，我们把时间轴给它画出来，我们现在来立足于第挨个阶段，我们上一次是不是第挨减一次？你想我这一次如果是甲，我定这个概率就是为 p i 的， 这证明是甲在头哈， 那么这一次还是甲留在这个牌桌上，一定是因为上一个阶段他做对了什么事，做错了什么事，对不对？所以说这一个阶段是由上一个阶段影响得到的。 那你想我上一个阶段的时候，哎，我可能还是甲在投，哎，我可能是谁，可能是乙在投的，如果是甲在投篮，你们思考一下哈，那么此时嘞，我的概率是多少？是不是 p i 减一啊？ p i 指的是甲在第二次还是它在投 i 减一呢？就是说我在 d i 减一次是假在头，那你想我要么是假在头，要么是乙在头，那么 d 在 d i 减一次是乙在头的概率，就是说 e 减 p i 减一的，那你思考，哎，我上一次是假，这一次还是假，说明这个好家伙，他命中了，他继续做对了事情， 那么他命中了，他的命中率是多少？是不是零点六的，对吧？这里就是零点六的。那然后来你看一哈，他没有命中，才会换成下一个人上场，所以说他的命中率是零点八，这里是一减，零点八就是零点二的。那你此时就会得到一个公式，也就是咱们的 pi 呀， 它是等于零点六倍 pi 减一，再加上零点四倍， pi 减一再加上零点二的 啊。有同学说，陶老师，我这里就是构造一个什么 p i 加上 lambada， 然后等于零点四倍的 p i 减一，再加上 lambada， 然后呢，我们就去把这个 lambada 呀给它展开，然后解出来是多少就可以了。我告诉你，慢了， 慢了，这是我们在普通的课里面讲的东西，但是既然你在北大堂的课堂，我会给你讲一个作弊的神器叫做什么？叫做不动点法，大家一定要认真仔细的记，就是它解决的是什么问题嘞？就是这种一次的一接的限性递推的数列公式。 然后这时候怎么搞嘞？就是你把这个 pi 和 pi 减一啊，你全都换成 x， 就是 x 等于零点四倍， x 再加上零点二的，就会得到零点六倍， x 等于零点二，那么 x 是 不是等于零点六分之零点二，也就是三分之一的，那这个 x 是 啥嘞？就是不动点，那么此时你就会得到 pi 减去三分之一等于零点四倍的 pi 减一，再减去三分之一的。 所以你就构造了一个以 p r 减三分之一的什么来等比数列等。欸，唐老师，我感觉不太对哦，为什么一下子就可以写成它嘞？宝宝哈，很快的，我带着你来正一下哈，你看哈，我如果说左一角八，我在这同时减一个三分之一， 那么 pi 减去三分之一就等于零点四倍的 pi 减一，再加零点二，再减去一个三分之一的，对不对？然后来这两个一合并哈，这一个来是五分之一的，再减去三分之一，它就会变成一个减十五分之二的。 ok 了，我们继续来看一下它怎么搞定哈， 那你看我前面这个零点四嘞，我可以写成是五分之二的，那么此时我同时提一个五分之二出来， 那里边是不是 p i 减一，再减去一个三分之一啊？我去，唐老师你太神了，这可不就是刚才写出来一模一样的形式吗？所以下次你就直接用哈，不用再去证明了。那么此时我们构造了一个 p i 减一， p i 减去一个三分之一的。一个什么等比数是为谁啊？是不是 p e 减去三分之一的？而 p e 是 什么来？就是第一次是假投篮的概率，那 那么我第一次是谁头是抽签决定的，所以说甲和乙的概率都是二分之一的，所以二分之一减三分之一就是六分之一。所以呢，这个东西它是以六分之一为首项，零点四为一个公比的等比数列。 那么我们就可以写出来， pi 减三分之一等于零点六分之一，乘上零点四的多少次方，是不是 i 减一次方啊？对吧？所以说最后你就会得到 pi 等于六分之一乘上，这里是五分之二的 i 减一次方，再加上三分之一的， 这是我们刚才出现了一个 i 减一的下角标哈，所以说你在这一步来，你要去验证一下，当咱们的 i 它等于一时满不满足这一个通向公式，你会发现 a 完全满足了，所以这道题就结束了。 那么我们接着来回到这道课本原题哈，它是人教 a 版的选 b 三的一道原题。 甲乙丙现在三个人相互做一个传球活动，第一次由甲传出去，然后呢？每次都是等可能的传给其他两个人， 然后呢？球 n 次后，传球后球仍然在甲手中的概率。那你想我现在哈，如果是第 n 次还有 n 减一次这样一个时间轴来看的话，那么此时假设球还在甲的手中，我假设这个概率为 p n 的， 那么你想我能走到今天，一定是因为过去不同的选择造就了我。所以说我过去可能是什么选择嘞？我可能剩一个球在谁那啊？ 可能是在甲这的，对不对？也可能是在谁那啊，可能是在乙这的，也可能是在谁那，也可能是在丙这的那如果说咱们的球剩一次在甲这，它的概率应该是多少？是不是 p n 减一啊？因为这个下角标指的是第几次的时候，咱们球在甲这，那你想我 何时何地在乙和丙这来，是不是就直接用一减 p n 减一，再除上一个二，就是咱们求在乙丙手上的概率啊？ 因为你把这个概率除减掉了之后，那么此时乙丙他手中的概率是相同的，所以除上一个二就可以了。那我们继续来看，我们从这三条路通往最后的甲，它的概率是多少？哎，我如果上一次求在甲吧，不可能，所以说这个概率为零的。 那么如果上一次我的球在乙手中，这一次可能还在甲手中吗？可以的，这是我乙呀，它可能投给甲，也可能投给丙，所以说投给丙，甲的概率呢，是二分之一的。同理呀，丙它是不是可能投给甲，也可能投给乙的？所以说这一次它的概率也是二分之一乘上二分之一减 p n 减 一的。所以呢，我们就会得到 p n 呢，是等于零加上二分之一乘上二分之一减 p n 减一的。 整理一下，就会得到 p n， 它是等于负二分之一呗， p n 减一加一的。然后咱们再用一次不动点法哈， x 等于负二分之一， x 加一的。这一步只能写在咱们的草稿纸上哈， 写得了咱们的 x 等于三分之二的，那么立刻马上写成 p n 减三分之二等于负二分之一倍的 p n 减一减三分之二的。那么此时你就可以构造一个等比数列， p n 减三分之二，它是以谁为首项啊？是不是 p 一 减三分之二为首项， 以谁为公比嘞？是不是这里的负二分之一为公比的等比数列了？所以说，这时候你在最后就可以把咱们的 p n 给它算出来，然后你再去验证一下，当 n 等于一时成不成立，基本上是成立的。所以这道题满分就出现了。我们再来看到第三题哈，哎呦我去，武汉高三的开学考，谁敢做呀？ 但是我不仅敢做，我还敢撬桌子，因为这道题他问的是求 p i 啊，就这么大胆，就是因为我会做哈。他说有一个编号为一到二十的二十个箱子，第二第一个来，他有两个黄球，一个绿球， 其他的箱子来均为两个黄，两个绿的。现在从第一个箱子中取一个球放入第二个箱子，从第二个箱子中再取一个球，放入第三个箱子，就以此类推嘛。最后来从第十九个箱子中取出一个球，放出第二个第二十个箱子。不用看这句话， 我们就只用知道从第 i 减一个箱子中取一个，放入第 i 个箱子中，然后呢？他问，最后一次，咱们在这个呃箱子中取出黄球的概率是多少的？那大家来思考，仍然是一个时间轴的概念， 我们在第 i 次的结果其实取决于我们上一次的结果如何，对不对？那么假设我在第 i 次取出黄球了，我这个概率呢？是 p i 的。 在想哈，我可能在上一个阶段我取出来的是什么球？哎，可能是黄球，可能是绿球的，对不对？那么我上一次取的是黄球还是绿球很关键，对于我下一个阶段取黄球出来，概率是会有很大影响的。 所以假设上一个阶段我如果取的是黄球，那么它是 p i 减一，那么咱们取出绿球的概率就是一减 p i 减一的。 那么我如果上一个阶段取出来是黄球，哎，我放入到这个盒子里面，这个盒子里面他本来是两黄两绿的，现在变成三黄 三黄两绿了，那么咱们再从这个盒子里面我要取一个黄球出来，他的概率是多少？是不是五分之三呢？总共五个球，取三个黄球中的一个出来就五分之三。 那么你此时思考，我如果上一个阶段是取的绿球出来，那么我再放入这个盒子里边，它是不是有两黄三绿？那么两黄三绿的情况下来，我是不是？呃取出黄球的概率应该是五分之二的， 所以呢，你们就会得到 pi 是 等于五分之三倍的 pi 减一，再加上五分之二倍的一减， pi 减一的整理下来， 五分之一倍的 p i 减一，再加上五分之二的。现在呢，再用大招哈，咱们的不动点法， x 等于五分之一倍， x 再加上五分之二也是五分之四倍， x 再加上五分之二的，就会得到咱们的五分之四倍 x 等于五分之二的， 所以 x 是 等于二分之一的。好，现在咱们立刻马上的给它写回去， p i 减二分之一等于五分之一的。 那么此时咱们现在就构造了一个等比数列，它是 p i 再减去一个二分之一的，它是以谁为首项嘞？是不是 p e 减二分之一为一个首项，而以谁为公比嘞？是不是五分之一为公比的一个等比数列？ 所以说，你就可以把 pi 减二分之一它的表达式写出来，进而得到 pi 的 表达式。然后呢，你再去验证，当咱们 ai 等于一时满不满足这个通向公式，哎，基本上是满足的，所以最后答案你就出来了。所以讲到这里，同学们，只要你能够明白， 今天的你是由上个阶段的你的努力所决定的，那么乾坤未定，你一定是二零二六年最闪耀的黑马。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个选项就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。

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慢了，这是我们在普通的课里面讲的东西，但是既然你在北大堂的课堂，我会给你讲一个作弊的神器叫做什么？叫做不动点法，大家一定要认真仔细的记，就是它解决的是什么问题嘞？就是这种一次的一接的限性递推的数列公式。 然后这时候怎么搞嘞？就是你把这个 pi 和 pi 减一啊，你全都换成 x， 就是 x 等于零点四倍， x 再加上零点二的，就会得到零点六倍， x 等于零点二，那么 x 是 不是等于零点六分之零点二，也就是三分之一的。那这个 x 是 啥嘞？就是不动点，那么此时你就会得到 pi 减去三分之一等于零点四倍的 pi 减一，再减去三分之一的。 所以你就构造了一个以 pr 减三分之一的什么嘞？等比数列等。欸，唐老师，我感觉不太对哦，为什么一下子就可以写成它嘞？宝宝哈，很快的，我带着你来正一下哈，你看哈，我如果说左一角八，我在这同时减一个三分之一， 那么 pi 减去三分之一就等于零点四倍的 pi 减一，再加零点二，再减去一个三分之一的，对不对？然后来这两个一合并哈，这一个来是五分之一的，再减去三分之一，它就会变成一个减十五分之二的。 ok 了，我们继续来看一下它怎么搞定哈， 那你看我前面这个零点四嘞，我可以写成是五分之二的，那么此时我同时提一个五分之二出来， 那里边是不是 pi 减一，再减去一个三分之一啊？我去，唐老师你太神了，这可不就是刚才写出来一模一样的形式吗？所以下次你就直接用哈，不用再去证明了。那么此时我们构造了一个 pi 减一， pi 减去一个三分之一的，一个什么等比数列，它的公比是为谁啊？是不是 p 一 减去三分之一的，而 p 一 是什么来？就是第一次是假投篮的概率，那 那么我第一次是谁头是抽签决定的，所以说甲和乙的概率都是二分之一的，所以二分之一减三分之一就是六分之一。所以呢，这个东西它是以六分之一为首项，零点四为一个公比的等比数列。 那么我们就可以写出来， pi 减三分之一等于零点六分之一，乘上零点四的多少次方，是不是 i 减一次方啊？对吧？所以说最后你就会得到 pi 等于六分之一乘上这里是五分之二的 i 减一次方，再加上三分之一的， 是我们刚才出现了一个 i 减一的下角标哈，所以说你在这一步呢，你要去验证一下，当咱们的 i 它等于一时满不满足这一个通向公式，你会发现 a 完全满足了，所以这道题就结束了。 那么我们接着来回到这道课本原题哈，它是人教 a 版的选 b 三的一道原题。 甲乙丙现在三个人相互做一个传球活动，第一次由甲传出去，然后呢？每次都是等可能的传给其他两个人， 然后呢？球 n 次后，传球后球仍然在甲手中的概率。那你想我现在哈，如果是第 n 次还有 n 减一次这样一个时间轴来看的话，那么此时假设球还在甲的手中，我假设这个概率为 p n 的， 那么你想我能走到今天，一定是因为过去不同的选择造就了我。所以说我过去可能是什么选择嘞？我可能剩一个球在谁那啊？ 可能是在甲这的，对不对？也可能是在谁那啊，可能是在乙这的，也可能是在谁那，也可能是在丙这的那如果说咱们的球剩一次在甲这，它的概率应该是多少？是不是 p n 减一啊？因为这个下角标指的是第几次的时候，咱们球在甲这，那你想我 何时何地在乙和丙这来，是不是就直接用一减 p n 减一，再除上一个二，就是咱们求在乙丙手上的概率啊？ 因为你把这个概率除减掉了之后，那么此时乙丙他手中的概率是相同的，所以除上一个二就可以了。那我们继续来看，我们从这三条路通往最后的甲，它的概率是多少？哎，我如果上一次求在甲吧，不可能，所以说这个概率为零的。 那么如果上一次我的球在乙手中，这一次可能还在甲手中吗？可以的，这是我乙呀，它可能投给甲，也可能投给丙，所以说投给丙，甲的概率呢，是二分之一的。同理呀，丙它是不是可能投给甲，也可能投给乙的？所以说这一次它的概率也是二分之一乘上二分之一减 p n 减 一的。所以呢，我们就会得到 p n 呢，是等于零加上二分之一乘上二分之一减 p n 减一的。 整理一下，就会得到 p n， 它是等于负二分之一呗， p n 减一加一的。然后咱们再用一次不动点法哈， x 等于负二分之一， x 加一的。这一步只能写在咱们的草稿纸上哈， 写得了咱们的 x 等于三分之二的，那么立刻马上写成 p n 减三分之二等于负二分之一倍的 p n 减一减三分之二的。那么此时你就可以构造一个等比数列， p n 减三分之二，它是以谁为首项啊？是不是 p 一 减三分之二为首项， 以谁为公比嘞？是不是这里的负二分之一为公比的等比数列了？所以说，这时候你在最后就可以把咱们的 p n 给它算出来，然后你再去验证一下，当 n 等于一时成不成立，基本上是成立的。所以这道题满分就出现了。我们再来看到第三题哈，哎呦我去，武汉高三的开学考，谁敢做呀？ 但是我不仅敢做，我还敢翘桌子，因为这道题他问的是求 p i 啊，就这么大胆，就是因为我会做哈。他说有一个编号为一到二十的二十个箱子，第二第一个来，他有两个黄球，一个绿球， 其他的箱子来均为两个黄，两个绿的。现在从第一个箱子中取一个球放入第二个箱子，从第二个箱子中再取一个球，放入第三个箱子，就以此类推嘛。最后来从第十九个箱子中取出一个球，放出第二个第二十个箱子。不用看这句话， 我们就只用知道从第 i 减一个箱子中取一个，放入第 i 个箱子中，然后呢？他问，最后一次，咱们在这个呃箱子中取出黄球的概率是多少的？那大家来思考，仍然是一个时间轴的概念， 我们在第 i 次的结果其实取决于我们上一次的结果如何，对不对？那么假设我在第 i 次取出黄球了，我这个概率呢？是 p i 的。 在想哈，我可能在上一个阶段我取出来的是什么球？哎，可能是黄球，可能是绿球的，对不对？那么我上一次取的是黄球还是绿球很关键，对于我下一个阶段取黄球出来，概率是会有很大影响的。 所以假设上一个阶段我如果取的是黄球，那么它是 p i 减一，那么咱们取出绿球的概率就是一减 p i 减一的。 那么我如果上一个阶段取出来是黄球，哎，我放入到这个盒子里面，这个盒子里面他本来是两黄两绿的，现在变成三黄 三黄两绿了，那么咱们再从这个盒子里面我要取一个黄球出来，他的概率是多少？是不是五分之三呢？总共五个球，取三个黄球中的一个出来就五分之三。 那么你此时思考，我如果上一个阶段是取的绿球出来，那么我再放入这个盒子里边，它是不是有两黄三绿？那么两黄三绿的情况下来，我是不是？呃取出黄球的概率应该是五分之二的， 所以呢，你们就会得到 pi 是 等于五分之三倍的 pi 减一，再加上五分之二倍的一减， pi 减一的整理下来， 五分之一倍的 p i 减一，再加上五分之二的。现在呢，再用大招哈，咱们的不动点法， x 等于五分之一倍， x 再加上五分之二也是五分之四倍， x 再加上五分之二的，就会得到咱们的五分之四倍 x 等于五分之二的， 所以 x 是 等于二分之一的。好，现在咱们立刻马上的给它写回去， p i 减二分之一等于五分之一的。 那么此时咱们现在就构造了一个等比数列，它是 p i 再减去一个二分之一的，它是以谁为首项嘞？是不是 p e 减二分之一为一个首项，而以谁为公比嘞？是不是五分之一为公比的一个等比数列？ 所以说，你就可以把 pi 减二分之一它的表达式写出来，进而得到 pi 的 表达式。然后呢，你再去验证，当咱们 ai 等于一时满不满足这个通向公式，哎，基本上是满足的，所以最后答案你就出来了。所以讲到这里，同学们，只要你能够明白， 今天的你是由上个阶段的你的努力所决定的，那么乾坤未定，你一定是二零二六年最闪耀的黑马。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字，说明我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。

  7.6万北大糖的魔法数学
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  马尔可夫链（从课本走向高考）

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  哥，今天我们开启马尔科夫店，从课本走向高考，对于这个板块，我也是一个新手啊，为了要给学生讲，那我先去， 我要先去学习啊，那看了一些案例， 把学到的给自己的理解做一个分享，希望对大家有所帮助。就完全是从新手的角度，从要去授教，给学生讲课这个角度， 先前去学习啊的一种理解啊，通过这种输出来倒逼自己的一种输入。好，首先看一个简单例子， 就是说准备登上这个十级的楼梯，如果规定每一步只能走一阶，卧着两阶，则问你一共要有多少种走法 啊？走法好，那么对于这种问题呢，我们怎么样去理解呢？就是要去研究，比如第 n 次啊，记第 n 次啊，第登上 n 台阶的走法， 这样说啊，记 a n 为登上 d n 阶的这个走法。 那么这种题呢，要怎么去理解呢？要从倒闭这角度，比如说我们这个终极目标是第十阶， 那么走上时间，他可能有几种方式啊？能倒回去想，如果是走一步的话，迈一步那就是第九节啊，我就研究 a 九，他走一步就到达这个地方，一个是迈两步 走到什么 a 八， a 八，同理 a 八也是倒回去，它可以分为 一步走进 a 八，一个是两步走进 a 八，所以这个地方就是，如果是走一步，那就是 a 七迈一步，那这个地方呢？就像 a 六迈两步 这样一个想法，也就是走上第十节的走法，实际上是等于走上第八节的走法， 以此类推啊，以此类推。那我们看一下 a 一 表示的一是什么意思呢？ a 一 就是登上第一步，第一台阶，它只有一种走法，就迈一步，那 a 二呢？就迈上第二阶呢？它可以是一步一步的走啊，是一种走法，也可以是一次跨两步走法，所以它是二。 那相应的 a 三走上第三阶呢？它可以怎么走？它可以一步一步地走 一种走法，也可以先一步后再跨两步，又是一种走法，也可以。什么先两步后一步？实际上这个等于三，就是一加二的情况， 一加二的情况，它等于三啊。那接下来呢，我们理解到了， a 一 等于 a 二实际上是等于二的， a 三就等于 a 一 加 a 二，这个类比等于三，那 a 四就是 a 三， a 二加 a 三， 那就是五了啊，就非布拉切速列 a 五，哎，就 a 三加 a 四就是八， a 六就是五，加八十三，那 a 七就是 八，加十三，二十一， a 八就是，嗯，这个二十一加十三，三十四， a 九呢，就该是二十一加三十四，是不是看一下？ 对，等于五十五是不是？好，那 a 十就是三十四，加五十五，应该是八十九，所以这道题应该是选 c 八十九种。那么这里最关键的就是我们刚才的分析方法，就倒着去 逆向去找前一步，那它的走法是怎么样一个情况，情况。 那我们看到这个课本题说甲乙丙相互传球，第一次呢，是由甲传出， 每次传出时，每次传球时，传球轴等可能传给另外两个人，也是甲第一次给乙或者给丙， 是各占二分之一的，或者说乙再给甲，再给丙，也是二分之一啊，这就是等可能传出啊。那么求第 n 次传递后，求在什么 甲手里的概率，概率，那么在这里呢，我们就记检验为 d n 次传球后， 球再甲手中的概率。 好例比刚才的方法好，第 n 次要在假中， n 次以后， n 次以后刚好在假中， 那么相应的 p n 减一，就为 d n 减一次传球后， 求在甲中的概率，是这意思吧？好，第 n 次要在甲中 啊，这是第 n 次，第 n 次它可能是有乙给他的，也可能是丙给他的， 那么说明第 n 减一次，这个这个事情求在谁的手里？应该在乙和丙手里面，那在乙和丙手里面的概率是什么呢？应该是一减 p n 减一， 那么要传到甲，这一个是对应的是第 n 次，它的概率啊，这个地方各占多少？它有二分之一的机会给甲，所以这里这个地方应该是 p n 就 等于二分之一一减 p n 减一， 也就是撇等于负的二分之一，撇减一加二分之一，这里的 n 大 于零，二 n 属于 n 心。 好，那么在这当中我们就看出这个递推关系了啊，这一个递推方式，那么就是在两段去加长数， pi 加那么大等于负的二分之一， pi 减一加那么大， 那么整理一下，这是叫构造， 那么会得到什么呢？负的二分之三，那么大等于多少？ 等于二分之一，那这样一来，那么大等于多少？负的三分之一，所以也就是这个数列撇减三分之一是以负的二分之一为公比， 以 p 一 减三分之一为首项。那么这个 p 一 是多少呢？是第一次传球后，球在手里，在这里 p 一 代表的意思是第一次传球后，球在假的手里面，那么一传出去过后，这个 p 一 就应该是多少， 一次传球过后就不在假的手链了，应该为零。所以在这个地方它就是 p， n 减三分之一等于 负的三分之一，这是首项。乘以负的二分之一的 n 减一次方，那这样也来，第 n 次传球后，球在假的手链的概率应该是三分之一。哎，减这个地方 加上嘛，负的三分之一乘以负的二分之一的 n 减一次方， n 属于我们的 n 心， n 属于我们的 n 心。 好，那接着那个课本题我们看。哎，我们的地方就怎样把课本题改编成了我们的一些模拟题。以这个题为例， 甲乙丙三人相互做传球训练，就刚才说的甲先传球，第一次，甲先传球，每次传球是等可能传给另外两个人，乙是甲，乙二分之一，甲给丙 二分之一，乙给甲和丙也是二分之一，就这个意思 啊。问第 n 次传球后，在甲手里的概率记为 p n， 问错误的是这个跟刚才的是一样的，也就是我们该怎么分析呢？就是 第 n 次要在 n 次球传球，就是这是第 n 次到了谁甲的手里 啊？假手里，那么要算它的概率，这个呢，我们记为 pi 啊，这是第 n 次传球，传球后 在这个假的手里，那么假的手里的前面一次是谁，我们就要往前走一次 d， n 减一次， 肯定就不能是在甲手里了，应该是在乙和丙啊。那么第 n 减一次在乙和丙手里的概率是什么？记为一减 p 的 n 减一次方。 哦， n 减一，说 n 减一，哈，读错了，一减 p， n 减一啊，就是说对立的， 那这时候乙给甲或者丙给甲，是不是都是二分之一？所以我们就建立了一个递推关系，撇就等于 在乙丙手里面的时候，这是点，减一次的时候，在乙丙手里面的概率再乘以，无论是谁，在他的里面都是二分之一。 好这样一个形式的关系。那么按照我们刚才讲的这个地方就可以构成化简为， p n 等于负的二分之一， p n 减一 加二分之一，两端怎么样？减一个三分之一 就会等于负的二分之一， p n 减一减三分之一，这样一个形式，从而竖列呢？ p n 减三分之一为 n 比竖列 这个等比数列的公比为负的二分之一，公比是负的二分之一啊，这样一个形式啊，公比是负的二分之一，那相应的呢？首项呢？ 就是 p 一 减三分之一， p 一 是多少一次传球没有在手里面， p 一 实际上是等于零的，刚才已经讲了，所以这个是负的三分之一啊，负的三分之一为这个 首项， 那么这样一来，我们就有 p n 减三分之一， 就应该是负的三分之一为首项，负的二分之一的很减一次方，所以撇就该等于三分之一减 三分之一，负的二分之一的 n 减一次方啊，应该是这个形式。那么我们看看选项哪个是错误的？ a 选项 p 三带进去， p 三就该等于三分之一减三分之一。负二分之一的平方，也就是三分之一。 一减四分之一，是不是四分之三分之一乘以四分之三等于四分之一，这是我们一想下， a 是 对的，所以这个是对的，但不选它哈，因为选错误的第二个，它是一个等比数列， 这个我们刚才已经正了，对的， c 的 通项公式很显然就不对了，所以答案应该是选 c 啊，选 c 啊。至于我们的读选项呢？我们来看看说四次传球后，四次传球后，球在甲的手里，问有多少种传法，那我们就倒推看看，这是甲，最终是甲，这是第四次传球， 第四次传球后造甲的手里，那么前面一个可能是乙，可能是丙给他，那么这个谁给的？是乙呢？可能是甲，看看这条路行不行哦？ 可能是甲给他他，也可能是乙给他他，我们看这条路可不可以，那这是第三次传球， 倒回去，谁又给他的？丙或者是谁？乙，第二条， 第二条，那谁给的？乙，甲给的乙，这是第一条，这谁给的？丙第一次传球后 假给的，说明这两条是可以的。再看三，这个地方，我们倒回去看第二条，第二次传球后再移了，那可能是假， 也可能是丙，那么倒回推，这个行不行呢？这是第二次，是假。第一站是假呀，这个就行不通， 这个就错的。那这条线行不行得通呢？肯定行得通，就该是假。这是第一次传球，第二次传球，第三次，第四次啊，这条路可以，那么这个地方一样的，他可以是假，可能是乙，这是什么？ 我把这条不行的路擦掉，我是假的话啊，标注一下这条路，此路不通。那如果是这个地方呢？ 是丙的时候，这是第三次，第三次好，倒退去，这是乙，还有来丙， 这是第二次，第二次，我们看这个条路，夹给他，夹给他可不 可以？可以，这条路是可以的，那么以这条路啊，往前走就不能是假了，因为这是假。这个指的是什么？丙 给他，这是第二条路，第一条路啊，就有哪条线，分别有这条线可以，这条线可以，这条线可以， 三条、四条、五条、六条，所以一共是六条啊，这个是正确的，其实这就是一个倒退思维啊，由结果去找前面的情况。 好，这是一道怎样看他从课本演绎过来，是不是就是这样一个情况？ 个吧。好，我们再来一个看这个。这个题啊，江苏常州的，还是在传球，也是假宣传，每一次均等啊。问，我们落在啊，这情况，下列的一个是正确的。好，首先我们看一下 读题， a 选项，两次传球后球在柄的手里。好，现在对 a 选项，我们入记分析柄拿着球了，现在是两次过后，这是第二次。 那谁给的饼？只有可能是甲和乙，甲和乙，那么第一次谁尝一个？这个里的甲，最开始是甲发的，这是第一次，这个是甲发的第一次。 那很显然，这一条路上面这条路不行，甲不能传给甲子啊，就只能是这一个。好，我们看甲传给乙的概率，这里是第一步是多少？二分之一，因为甲有可能传给丙呢， 对不对？好，乙呀，传给丙，乙，这里还可以传给谁？甲，所以在这条路占的概率二分之一，所以这合起来概率应该是二分之一乘以二分之一，应该是四分之一，所以这个题 a 错了， a 错了。 第二问，问三次传球后在乙的手里面。好，这是乙，这是第三次给的他， 谁给他？甲可能给他，也可能是丙给他啊，那么再往前走， 这里可能是甲，这里可能是乙。第二次，第二次，再往前走，第一次是谁发球？甲，第一次，这个甲发给他，很显然这条路 又不对，这条路不行。好，我们再看这条路啊，可能是乙，可能是丙给甲的，是不是？这是第二条路？第二条路第二次传了过后，好，谁给的？甲给的 要不要的？要的，这条路呢？甲给，第一条路也要的，说明这三条路是可以的。好，我们看一一的走过来，第一条线，甲给乙再给，甲 再给。好，我们看每一个关口，这里是二分之一选择，因为他可以给柄吗？但是没给，这里他可以给柄吗？没给二分之一，这个地方他也可以给柄， 没给二分之一，所以这第一条线，这里，这里，这里每一个关卡二十分之一，二分之一乘二分之一乘二分之一， 以此类推。这条线也是这样，这条线也是这样，再乘一个三，所以应该是八分之三，这个地方应该是八分之三才推，是不是？ 那么发现这个地方？是啊，我们接下来就看 c 喽，三次传递后，在甲的手里面，三次传递后，那我们看看 这是第三次后，第三次谁给的？乙给的，或者丙给的，那谁给的？丙，第二次，甲给的丙， 甲给的还是乙给的？乙给的丙，嗯，也可能是谁给的？丙，甲给的。 但是你会发现这条路是不行的，因为这个开头是假。假能够传，给假吗？不行，这个能够传吗？可以。 好，同样的，在这里 b 假， 这是第二次，第二次，这条路不通，假给假不行，假给 b 行不行？行， 好，两条路可以，那么每一条路是多少？每条路二，这里二分之一，这里二分之一，这里也是二分之一，八分之一，但是两条路，这条路可以，这条路一，这条路也是可以的，再加上八分之一， 应该是四分之一，所以 c 正确。这一多其实我前面都讲了很多遍了，这个地方公式主要是这个地方错了，减一应该是 n 减一，它错了，所以答案选 c。 好， 我们看一下下一个题，终于不是传球了啊。嗯，在正方 a、 b、 c、 d 中， a 点作为一个置点，随机的沿着正方体的各条棱面对角线体对角线这个进行移动， 它每个顶点到另外一个顶点的概率都是均等的。那以 a 点为例，除了这个点以外，还有七个点，它到另外七个点的概率都均等，那就是七分之一。是不是这意思 说第 n 次后 g 第 n 次移动后还在这个面 a、 b、 c 多， g 为偏 n。 问下面面说法的正确的是什么？嗯，还有第一个 a 选项， 说的是这个 a 选项，说的是这个 p， 代表的是 第一次运动后再 面 a、 b、 c 多的概率，那么它要在这个面面上。那么第一次从 a 出发，它就连接的是 b， 或者连接的是 c， 或者连接的是多。 它这里有三种选择，总共有多少种选择？总共有七种选择，其中三种是满足的。按照古典概率，七分之三 a， 这个应该是七分之三，不是七分之四，所以这个是错误的 啊。我们看一下 b 选项呢， b 选项 p 二代表的是两次在里面，可能要在运动后在里面， 两次运动后在底面，他可能是第一次， 第一次运动后在底面， 同时第二次运动后还在， 或者说第一次运动就不在里面，不在底。但是呢，第二次 运动后在底，就这两类。好，我们看第一类，第一次运动后，在里面就从 a 点选 abc 多，这还有 bc 多三种选择 啊，就七分之三。刚才说的好，比如假如转到 c 这个点位来， c 又去选 ab 多，又是三种。七分之三 不在的时候，第一次不在，每一次不在同一个里面，就是七分之四。第一次运动在上面， a 一 比一， c 一 等于七分之四啊，又从 a 一 比一， c 一 等于跳到 abc 多，又是四种选择七分之四。 所以这个 p 二就应该是四十九分之九，再加四十九分之十六，等于二十五，除以多少四十九。那这样一来呢，答案就选择 b。 答案， 这个肯定是正确的啊，肯定正确的。那么 c、 p、 n 是 不是等比数列呢？ 好，我们要看问题，要看问题多，答案是 p n 给的公式。很显然，如果 c 是 对的，多就是错的啊，多就是错的，如果多是对对的， c 就是 错的。好，我们看一下 b、 c 怎么来推导这个问题。 好，接下来我们看多怎么 c 多，怎么去分析。那我们看这个 p n 代表的是 n 次移动后 在底面， a、 b、 c 度，就是这个置点在 a、 b、 c 度， p n 是 n 次运动后，那么相应的 p n 减一，就是 n 减一次，移动后 在底面 a、 b、 c 多，那么第 n 次移动后要在底面，它有可能是什么情况？ 它有可能是上一次就在底面啊，就在底面，那么第 n 减一次在底面，同时 d、 n 的 时候，移动就在里面，移动是七分之三，是不是？那么还有可能是 d， n 减一次，不在里面， 不在里面，那就是 e 减， p n 减一不在里面哈，不在里面，那就是在 a 一 比一 c 一 等于这个面到达这个地方，这个是七分之四 啊，它从 a 一 比一 c 一 这个面往下走，就是七分之四，这样以来就有 pi n 等于。呃，我看一下， 看一下，负的七分之一 pi n 减一加七分之四。很显然，这里构造一个函数向量， pi n 加那么大，等于负的七分之一， pi n 减一加那么大， 好，通过运算，实际上这个地方很容易得到，那么它应该等于负的二分之一，所以这个数列 p n 减二分之一，是以负的七分之一为公比。 好，那么的 p 是 什么？第一次运动后在里面 p 刚才我们已经算了是七分之几，七分之三 啊，是以七分之三减二分之一为首项，这个地方应该是十四分之看六减七负一，并且以 啊负的十四分之一为首项。那这样一来，是不是就有 p n 减二分之一等于负的十四分之一 乘以负的七分之一的 n 减一次方，那 p n 就 等于二分之一减，看一下， 减十四分之一，我们这里看一下，这里是 n 号，我们就负的十四分之一，负的十四分之一 乘以负的七分之一的 n 减一次方，是不可以变成二分之一加上 二分之一乘以负的七分之一，再乘以负的七分之一的 n 减一次方，也就是二分之一一加七分之一的负的七分之一的 负的七分之一的什么 n 次方啊？看看这样一个式子，那么回头去看的话，哎哎，不要拉了，是不是这个多答案就正确了，是不是？所以这道题应该是选 b 多 b 多 c 就是 错的哈， 好，我们再看一个题，第四题，这个高考题，嗯，不是高考题哦，重庆考试题说杨家坪中学足球社团啊，受欢迎。这些话啊，由甲乙丙呢 三个人构成了一个传球训练，又是甲开始传球好，传给乙，任意都是均等的，然后不循循环好 开始传球的人记为第一个传球者，第 n 次接触到球的是记假，记为 p n， p 是 一，第一次他就发球嘛。啊，我们在这里 p n 是 第 n 次接触到球， 这是假的。这个什么呢？概率 啊，概率啊， a 选项呢，讲的是要求 p 三哦，第三次的时候是假，那么就是假嘛。第三次倒回推，这是第三次， 那么这这个就是乙和谁丙嘛？谁给的？乙和丙，甲给的是吧？这是第二次接触嘛。哦，这是第二次接触噻。 啊，那这是第一次接触嘛，那谁给的？甲给的啊。这里占的概率是多少？ 二分之一，这里概率二分之一，这里二分之一，这里二分之一。所以对应的 第三次的话， p 三是不是就可以理解为二分之一乘二分之一，再加上二分之一乘二分之一，这两个复式的好等于多少？二分之一 a 正确， a 就 搞定了。 好，那我们看一下 pi 和 pi 减一之间地址关系是不是这个 b 选项好，第 n 次接住 是哪个呢？是假，这是 pi， 那 么前一次 n 减一次， n 减一次 就应该不是甲，就应该是乙和丙，这个对应的概率，乙和丙接触的概率应该是一减， 按照这个记法，这个是一减， p 的 n 减一次方，他们是不是各有二分之一？都是二分之一传给甲，所以这个 pi 呢？就在这个基础上，二分之一乘以一减 p 的 减一次方，就是这个关系。 p n 减一代表是第 n 减一次是假，但是不是假，肯定是乙和丙就是一减，丙的减一，那么乙和丙传给甲的概率各都是多少？二分之一都是二分之一，所以这里一个比是对的 啊，比是对的啊。这一 c 答案和多答案是个背驰的，那我们就从这个地推里面找个东西啊，由 p n 是 等于负的二分之一， p n 减一，再加二分之一，这个递推两边配常数，我们配出来应该是 p n 减三分之一等于负的二分之一 减三分之一。这个洞洞。哦，这个洞洞。那这样一来的话，我们会得到这个 p n 减三分之一啊。刚才我们反复的讲是以 负的二分之一为公比阿端三分之二为首项呢。因为 p 一 等于一嘛， 所以这样一来，我们的 p 验就该是三分之二乘以负的二分之一的横减一次方，所以 p 十九，三分之二， 负二分之一的十八次，撇二十三分之二，负的二分之一的十九次。所以撇十九减撇二十 就是三分之二乘以负的二分之一的十八次一减负的二分之一，这个肯定是大于零的，所以我们的 c 正确，所以我们的 c 正确了。是不是？ 再看一个题，六题常设的题说假，以两个同学进行普法，实施对抗比赛， 每人每次从提故中随机抽取题，若回答正确得一分，并且还要继续回答， 若回答错误，就得零分，并且换给其他人。据统计，甲每次回答正确是二分之一，乙回答正确是三分之二， 且第一次呢，是有抛硬币，就甲回答占二分之一，乙回答二分之一。 记第 i 次答题者是甲的概率为 p i。 第 i 次回答结束后，甲的得分为 k i 两个符号。注意，这里 p i 代表的是 d i 次答题是甲的概率， k i 是 d i 次答题结束后加的的分， 甲的得分。好，我们看选项，一个个去里 a 选项， p 二代表的是 p 二问等于多少？ p 二代表是第二次 答题是假，那么第二次答题是假，可能是什么情况？有两种情况，第一次是假且答对， 那么第二次带他带他，还有可能是第一次是以，但且答错了， 就这两种情况好。第一种情况呢，应该是第一次是假的概率，因为要抽签二分之一，答对的概率二分之一。好，这个呢？第一次是乙的概率，抽签二分之一，答错的概率三分之一，所以这个式子 p 二就是 二分之一乘二分之一，加上二分之一乘以三分之一。这个复式其实用到了前概率， 四分之一加六分之一等于十二分之几，二三五。好，所以这个的 a 选项应该是错的，错的 好，我们看 b 选项啊， p k 二等于一，这个代表的是什么意思？就是两次第二次答完，第二次答题结束后， 甲得了一分的概率。那这里面包含什么情况啊？ 两次答题结束过后，甲得了一分，那说明一种情况是第一次甲答且对， 第二次错了，错了，还有可能是第一次以答且错， 第二次就换成假了答对。 好，我们看各自的情况，第一种情况，这个第一次假答且对，假答且对。哦，假对应的概率二分之一，对了二分之一， 第二次它错了二分之一，第二个已答概率二分之一，答错三分之一，假去第二次一个假的，这是 它答对了二分之一。好，这样呢？我，那么 p k 二等于一，就应该是八分之一，加上 十二分之一，等于二十四分之五，所以 b 是 正确的，正确的。好，我们看一下 c 选项 pi 加一，我们刚才说到了，这个 pi 代表的是第 i 次答题是假的， 这个什么呢？概率是假的概率，那么 p i 加一表示是 d i 加一次答题是假的，概率 要第矮加一次是假，第矮加一次，这个是假。那么倒退回去可能是什么？第矮次 是以且答错，第矮次是假且对， 所以这个 p i 加一就等于第二次是假，即为 p i 答对二分之一，加上 p i， 第二次是乙，那就是 e 减 p i， 它打错 三分之一，合并起来我们看一下，二分之一减乘以六分之一， pi 再加三分之一，所以 c 正确。 好，最难的就是谁是多多，什么意思？我们看看，我把这里稍微擦一下。 好，我们看。多多讲的是什么？左端，左端，这是一个期望，期望 什么？期望？就是 d i s 回答 q 得分 k i 的 平均数，期望就是平均数。 那么这里面有什么关系呢？就是第 i 次答完过后无杯。 可能有两种情况，第一种情况，第二次回答后假得分， 加一分就假回答，那么也就是第二次有假回答且正确， 是这意思吧？啊，是这意思，他回答并且正确，他回答 p i 对 应的概念啊，正确二分之一， 那么也有可能是第二次回答后没有加分。 原因两类，因为第一类第一种情况是第二次假答，但错了 错了，那也这个时候对应的概率就是二分之一 pi， 这是假回答的概率，并且错了二分之一，也可能是 d i 次已回答 且怎么样，错了根本也不加分，已回答就加不了分了吧。那么已回答的概率是 e 减 pi， 它回答错了三分之一。三分之一， 那这样以来，其实也就是说 k 这个大 x， 它就服从的是一个 它对应的这样一个情况， k i 也就是在 i 减一的基数上加一分，或者在 i 减一数上根本就没加分，对应的 p 加一分的概率是多少？二分之一 pi 不 加分的概率就是二分之一 pi 再加上三分之一一减 pi 这样一个情况。所以对应的期望以 ai， 嗯，这个值就应该是二项分布，这个对这个对应的相乘，这二分之一 pi 去乘以 k i 减一，加一，再加上 a 这个二分之一 pi， 再加上三分之一一减 pi， 这个整体去乘以谁 k i 减一，那这样一来，这个得到的结果就应该是化简一下，二分之一 p i 加上 k i 减一，这个 i 呀，大于等于二 i 属于 n 型 这样一个奇函数，所以我们的多也是正确的，所以这道题选的是 b c 多 好。以上是我第一次学习过后啊，这种倒逼自己去输出啊，我也不知道我讲的是否正确 啊。对了下，答案是对的，讲的不好，请多多理解。也为了帮助，因为只教了一个班，帮助自己先熟悉，然后以最好的状态呢，给予学生好，这是我对马尔科夫店第一次的一种理解。

  481海哥讲数学
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  09:42

  【抖音独家】高考百日百课｜马尔科夫链保姆级讲解，刷到就是赚到 #2026高考 #抖音精选高考应援联盟 #抖音高考百日百课 #概率 #马尔科夫链 @抖音校园 @抖音精选官方账号

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  06:53

  《马尔科夫链》概率“当前版本”的试金石？数列递推是解题关键！ #马尔科夫链 #概率 #数列 #高考数学 #助力高考

  2153欧拉没有若
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  15:39

  #备考数学 #分享我的数学学习方法 #数学 #马尔科夫链 #概率与统计
  今年马年，听说高考会考马尔可夫链问题

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  04:19

  今年是马年，所以高考要考马尔科夫链.#高考 #高三#马尔科夫链 #2026高考

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  这条课讲马尔科夫列，但核心只有一句话，递增次的状态只看递增。减一次，把递增次目标事件的概率记成 p 下标 n， 上一次对应的概率记成 p 下标 n 减一。后面所有题都按这思路来，如果上一阶段就在目标状态，这一阶段可能继续留在目标状态。 如果上一阶段不在目标状态，这一阶段也可能转进来。把所有能走到当前状态的路径概率加起来，就得到了地推式。所以马尔科夫练题别被名字吓住，本质就三步，先写地推，再找定点，最后把通向收出来。 先看第一题。二零二三新高考一卷第二十一题，甲乙两人投篮，命中就继续投，不中就换人。甲命中率零点六，乙命中率零点八。第一次由出签决定 射劈下标 n 为第 n 次投篮的人是假的概率，那第 n 次还是假，只可能从上一轮的两种情况转过来。第一条路上一次就是假在投，而且假命中，所以贡献零点六乘以劈下标 n 减一。第二条路上一次是以在投，而且以眉中才会轮到假，所以贡献零点二乘以一，减去劈下标 n 减一。 两条路相加得到 p 下标 n 等于零点六，乘以 p 下标 n 减一，再加零点二乘以一，减去 p 下标 n 减一。整理以后就是 p 下标 n 等于零点四，乘以 p 下标 n 减一，再加零点二。这种 e 阶限性递推最快的方法是先找定点， 令 x 等于零点四乘以 x， 再加零点二。解的 x 等于三分之一，于是两边同时减三分之一，就有 p 下标 n 减三分之一等于零点四，乘以括号 p 下标 n 减一，减三分之一。括号这时已经凑成等比竖列 再用出直。 p 下标一等于二分之一，得到首项是六分之一，公比是五分之二，所以 p 下标 n 等于三，加六分之一乘以五分之二的蓝，减一次方。第一题记住一句话，抓上一轮是谁在头。第二题是课本原题。 甲乙丙三人互相传球，第一次有甲把球传出以后，每次都等可能传给另外两个人，要求轮次传球后球在甲手中的概率。射皮下标 n 为轮次传球后球在甲手中的概率。那 d n 次球在甲手里，也只看 d 篮简易次球在谁手里？ 如果上一次就在甲手里，这一次不可能还在甲手里，因为甲必须把球传出去，所以这一条贡献是零。如果上一次在乙手里，已有二分之一的概率把球传给甲。如果上一次在丙手里，丙也有二分之一的概率把球传给甲， 以合并关与甲是完全对称的，所以上一次不在甲手里的总概率是一减去 p 下标 n 减一，再乘上转回甲的概率二分之一得到 p 下标 n 等于一，减去 p 下标 n 减一的二分之一，也就是 p 下标 n 等于负二分之一，乘以 p 下标 n 减一，再加二分之一， 令艾克斯等于负二分之一，乘以负二分之一，减的定点是三分之一，于是 p 下标 n 减一，减三分之一。括号 再用处，直配下标零等于一，就得到配下标 n 等于三分之一，加三分之二，乘以负二分之一的次方。第三题换成取球模型。二十个箱子从一号到二十号编号，第一个箱子有两黄一绿，其余箱子都是两黄两绿。每次从前一个箱子取一个球，放进后一个箱子，再从当前箱子取球 射配下标 n 个箱子中取出黄球的概率。那 d n 次取黄球，还是只看上一次取出来的是什么颜色。 如果上一次取出的是黄球，那当前箱子会变成三黄两绿，所以这一次取黄球的概率是五分之三。如果上一次取出的是绿球，那当前箱子会变成两黄三绿，所以这一次取黄球的概率是五分之二。因此，劈下标 n 等于五分之三，乘以劈下标 n 减一，再加五分之二。令 x 等于五分之一，乘以劈下标 n 减一，再加五分之二。令 x 等于五分之一，乘以 x 再加五分之二。解的定点是二分之一， 于是批下标 n 减二分之一等于五分之一，乘以括号。批下标 n 减一，减二分之一括号再用出直批下标 n 等于三分之二，就得到批下标 n 等于二分之一，加六分之一乘以五分之一的栏减一次。方题目如果要批下标二十，最后把栏等于二十带进去就行。 这三题虽然背景完全不同，但套路是一模一样的。先把第 n 次目标概率记成 p， 下标 n， 再按上一状态写递推，然后找定点把它改造成等比。以后。你看到轮流投篮、传球、传递、取样这类问题，第一反应都不是硬算，而是先问一句，我现在这状态是由上一轮哪几条路转过来的？

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  04:09

  三分钟带你秒杀马尔可夫链#高考#高考数学

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  全网都在搜索二零二六年高考数学的新宠马尔科复列，今天呢，我就一次性的给大家讲透。 这个模型早在二三年高考真题当中就已经出现了，之后三年当中，各大模拟考试更是频繁亮相，反复考察，所以呢，二六年的高考，他极有可能再次登场。 首先呢，我们来说一下马尔科夫列这个恐怖名字的定义，其实啊，它表示的就是满足无后效性的随机过程。说人话呢，就是未来状态仅由当前状态决定，不依赖历史状态。 那么它的万能公式实际上就是今天呢，我们就以二三年这道高考真题为例，教大家解决马尔科夫列的万能方法，实际上就是全概率公式，再加上地推公式， 三步就能解决马尔科夫略的问题。甲乙两个人投篮，每次由其中一个人投篮，规定是这样的，若命中呢， 那这个人就继续投篮，如果没有命中的话，那就由对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为零点六，以每次投篮命中率均为零点八，由抽签来确定第一次投篮的人选。 第一次投篮的人是甲或者乙的概率都是零点五。第一题求第二次投篮的人是乙的概率。第一题很简单，考察的是全概率公式，我们分为两类情况，第一类情况，如果第一次投篮是甲，并且甲没有投中， 那么第二次投篮就一定是乙了，或者第一次投篮是乙，并且乙投中了，所以第二次投篮才还能是乙。 那么第一题我们就解决了重点，我们来看一下第二问，第挨次投篮的人是假的，概率是多少？为了表达方便，我们设第 n 次有假投篮的概率为 p n。 根据马尔克夫列的无后效应，我们知道未来的状态只由当前的状态来决定，与历史状态无关。所以呢，第 n 次有假投篮，只看第 n 减一次，是谁在投篮，用全概率公式可以得到第 n 减一次假投篮并且命中， 加上第二种情况，第 n 减一次有以投篮，并且没有命中。 接下来我们把这个式子化解一下，等于零点四，偏点一，再加上零点二，那么接下来这个问题就完全由概率问题转化成了竖列问。接下来我们利用现性递推公式的求解方法， 也就是我们常说的设 k 法来构造一个等比数列， p n 加大 k 等于零点四倍的 p n。 讲一，加大 k 将开与原来的式子进行对比，很显然， 负的零点六， k 就 等于零点二，所以 k 等于负三分之一。因此，原式我们就可以构造成 p n 减三分之一，等于零点四倍的 p n 假一减三分之一。 因第一次投篮甲乙命中的概率都是零点五，所以 p e 等于零点五， p e 减去三分之一就等于六分之一了。因此 p n 减去三分之一，它是首项 为六分之一，公比为五分之二的等比。竖列列出通项， 即 p n 等于三分之一，加上六分之一，乘上五分之二的 n 键一次方。 现在总结一下马尔科夫列问题，三步就搞定。第一步，全概率公式且递推。第二步，构造等比数列第三。

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  高考概率中的马尔可夫链 #高中数学 #高考数学 #马尔可夫链 #数列#吕数

  19吕数
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  02:40

  数列老题新秀？！融合出题再绽光彩！一期视频带你学会数列融合题的解题技巧，马尔可夫链+导数放缩，从本质入手，抓高考高分。#高考数学 #2026高考 #马尔可夫链 #高考 #抖音精选高考应援联盟

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  狩猎，老牌高考王者题型，如今却已经变得如此简单，看来骗你的孩子们喜不喜欢我的融合形态？新高考中，狩猎单独出场的机会并不多，但每一次融合都会是一道开天辟地的创新题。今天我们就来讲讲高考新起之秀 狩猎融合。首先登场的是狩猎融合题的鼻祖马尔可夫列。这类题在二三年一经问世便引起轰动，以概率的外表考察狩猎的内核，初次亮相便拿下了政达率仅百分之八的佳绩， 平均分甚至低于倒数压轴。首先，要想解决这类题，就要先弄清楚题目的本质。马尔科夫列能分为两种，一是平稳列，二是吸收列。前者的大致意思为，在一个事件列中，前一个事件点的选择会影响后一个事件，且这种影响没有边界，不会停止， 直到收敛为固定值。比如这道高考原题，在第 n 次投篮时，有可能是甲，也有可能是已进行投篮。假如是甲投篮，那么下一次会有零点六的概率让甲继续投篮，零点四的概率交换给乙。如果是乙投篮，则会出现与上面不同的概率分布，而这第 n 次的投篮也会受到前面 n 一 次投篮的影响。因此这类题目的口诀就是问谁找谁，先写概率，后找数列。这道题问的是 d i。 甲的概率就是 p i i 减一以则为一，减拍减一， 前一次为假，则有零点六的概率继续投篮。前一次为乙，则有零点二的概率交换投篮，因此 p i 就 等于这个式子。这时再使用等比数列的凑配法进行化解。可能你会觉得这不挺简单吗？那是因为这道题考察的是游走模型， 是马尔可夫列里简单的一类情况，只有单一事件链条是一种长期稳态概率。真正令人恐惧的是赌徒模型，也就是马尔可夫西修炼。相比于前者的无限修炼， 赌徒模型拥有边界，一旦事件超过边界域值便会立即终止。你可以想象自己在跳格子，每次都会随机向前或向后移动一格，直到你跳出去为止。听不懂也没关系，你只需记住， 赌徒模型本质其实就是二阶等差递推。这里我们要用到的是全概率公式，不理解的可以看这张图片，然后将核心式子整理出来后进行一项，不难看出，这是一道等差数列，所以接下来按照等差数列的公式和方法计算，就可以得出答案。 紧接着就是导数中的数列问题，你可能会疑惑，导数和数列有什么关系？那我告诉你，函数不等式中的放松和列项，其核心就是数列计算。如二十二年二卷最后一题， 其核心就是数列求和，列项相消，那你没时间推算，自己算不出来怎么办？直接记这些常考的放松，不管是选题还是大题都可以直接使用，本质都是通过数列累核或累积 推算出来的。二级结论总结一下，在目前的高考中，数列长不再单独进行考察，而是与其他题目融合考察，在考试中，重点就是要去识破这些伪装。然后就是普通的数列计算， 就像马尔可夫平稳列，本质是等比数列，而赌徒模型则是等差数列，如果与倒数结合，则是对数列不等式的考察。一句话总结，凡是无限次重复操作，依次叠带第 n 次情况长期极限，不管题目背景是什么，一律优先考虑数列。

  1.4万春风不挽萤
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  什么是马尔科夫链，学会了分析思路，好像也没那么难！#高中数学 #每天学习一点点 #数学思维 #必考考点

  1410丰丰老师
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  04:42

  新高考风向标—疯狂的马尔可夫链 #新高考 #高考数学 #2024高考

  1298老胡模型数学思维提升
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  25:01

  高考数学必会考点 马尔可夫链高考怎么考 概率与数列结合 马尔可夫链必考模型拆解 概率递推模型#马尔可夫链 #马尔科夫链 #概率递推 #高考数学 #高考加油

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  同学们大家好，我是葛老师啊，我经常会把概率问题比作是用数学预测未来，如果说有一类事情，他未来会变成什么样，只和现在有关，和过去无关，那么我们就把这类问题称之为是马尔克夫列问题啊，这是一个藏在我们生活中很神奇的概率模型， 它这个性质我们就称之为是叫无后效性啊，它被广泛应用在这种人工智能自研、语言处理啊，数据分析以及金融预测等众多的领域啊，它的这个状态转移啊，是平稳的。马尔科夫链是我们理解随机现象，解决实际问题的一个很重要的工具啊， 今天我就从这个定义核心性质到典型例题啊，我们一步步去做一个拆解啊，帮你把这个问题去彻底的去听懂，学会啊，让我们去轻松应对我们未来会遇到的这种问题。 呃，这个问题的话，我们也称之为叫概率递推问题啊，实际上它是一个条件概率再加上树立递推这两个问题的一个结合。所以说要学马尔科夫恋问题的话，同学们可以一定要先把这个树立递推关系的一种常用的方法先去学会。那么我们来看一下啊，这个 马尔克夫列问题的话，我们分置为二阶随机游走模型和三阶随机游走模型，一般我们在中考中常见的就是这两类，我们这个二阶随机游走模型的话，实际上就是说他的这个变化只有两种情况啊，就比方说我们在数轴上去找一个点，这个点的话，我们如果是记作 x 的 话， 那么它这个点的话，它在每一个时间状态下，它有两种变化方向，一种是往左移动，一种是往右移动，分别移动一个单位，那么它左右移动的概率的话，分别是阿尔法或者是贝塔的话，那么这里很显然阿尔法贝塔相加是等于 一的。那么比方说它当前的状态是 x， 那 么它这个 x 是 由前一个状态决定的，那它前一个状态可能是什么？ 可能是在 x 减一这个位置，它往右平移一个单位得到的，也可能是在 x 加一这个位置往左平移一个单位啊得到的，那么往右平移的概率是阿拉法，往左平移的概率是贝塔的话，所以说它当前状态下的这个概率 p x， 我 们是不是可以理解为是由这个前一个状态， 如果是在 x 减一的话，那么它是乘上了。那么另外一种情况的话，如果前一个状态是在 x 加一的话，它只乘浪了一个 beta， 是 这样两个相加得到的 啊，那么这是叫二阶游走模型啊，那么还有三阶游走模型，那么我们先讲二阶的，先讲讲这叫不回头的随机过程。所谓不回头的话，就是这个状态是逐渐往后发展的状态，它是一个不回头的过程。什么时候回头的？ 比方说几个人之间传球，四个人之间传球吧，从假这传出去，是不是？那他经过一定的过程，可能再重新回到假，这叫回头的这个随机过程。我们先来看不回头的， 不回头的这种过程的话，其实，呃，他不能往过去转移啊，这个是最简单的一类啊，也是我们在常年的这种模考或者高考中比较常出现的一类啊，随机过程这种过程的这种啊，命题的门槛比较低啊，但他考察的能力又比较多，所以说也比较青睐于去出这方面的题啊。 那我们来看一下利益这个实验规则的话，盒子中光装有一百两红，每个人有放回的任取一次，摸到白球得一分，摸到红球得两分。那第一问是有 n 个人参加这个摸球实验，这 n 个人的合计得分恰为 n 加一分， 它概率是 p n， 求 p 加到 p n， 我 们会发现它这个很特殊啊，这个人数是 n 个人，得分是 n 加一分，分数比人数多一分，那么说明什么？ 很显然的话，这里面应该是以只有一个人摸到了红球，其他人摸到的都是白球，是不是？那么这里的话，我们就可以直接写出来这个 p n， 它的这个公式的话，其上是一个二项分布对不对？ p n 就 等于 c n e 啊。 呃，这个红球也就是三分之二的概率发生了一次啊，一次方，然后这个三分之一的是发生了 n 减一次，对不对？这样我们去给他啊化简一下，那分母应该刚好是三乘三的 n 减一次方是三的 n 次方，分母是二去乘上 c n， 一 是 n 是 吧，也就是二 n 了。 哎，这实际上是一个叉笔竖列对不对？那么他这个这个求前项和从第一项加到第 n 项，我们的方法是不是讲过叫错位相减，是不是啊？我们 啊直接两边同城上这个等比竖列的公比三分之一，然后错位之后再做减法。那么不会的同学可以看看老师之前所发的这个啊，叉笔竖列求前项和的这个视频啊，我们来看一下第二位， 若干人，若干个人参加这个摸球实验，这些人的合计得分恰为 n 分 的概率是 a n， 证明 a n 减五分之三为等比数列，并求出来这个 a n 的 通项。 这个题其实啊，他还是给我们一定提示了，这里把这个减五分之三给我们了。实际上如果没有前面的提示，直接让我们求 a n 的 通项，这个题我们应该也要学会去怎么做。我们来看一下，既然 得 n 分 的概率是 a n， 那 我们来看一下，那么发生 a n 他的概率应该是怎么去求啊？是不？我们可以分成两种情况，第一种情况，他的前一次得分是 n 减一分的时候，那么这个时候我们要再得一分就可以得到 n 分 了，那么再得一分也就摸到白球，那概率应该是三分之一，我们去乘三分之一。 另外一种情况是，他前一次得分是 n 减二分，那么再得两分是不就可以得 n 分 了？那么得到两分的概率就摸红球概率是三分之二。所以说 得到 n 分 的前面是不是有这两种情况，所以他俩相加就可以得到 a n， 那 么我们看到这是一个关于 a n 的 这样一个三项递推，是不是 啊？我们啊有个方法，前面也讲过叫特征根法求通向，对不对啊？当然是大题的话，同学们还是要知道怎么去变形啊，不会的同学也可以看看老师之前的视频，那么我们这里的话直接去 啊，把它特征根方程可以在这个本子上自己写出来啊，老师写在上方它该是什么呀？ a n 可以 看到是平方向 x 方， a n 减一是一次项，那么我们移到同侧是减三分之一， x 这个三分之二，这个 a n 减二是常数项，是吧？那么也就是减三分之二等于零解这个方程可以得出来， x 一 是等于一， x 二是等于负的 三分之二，所以说我们去凑的话，就可以凑成什么呀？直接在这可以得到这个 a n 这个负三分之二应该减去负的，是吧？就加上三分之二倍的 a n 减一，然后等于一倍的， 一倍的话，这个另外一个根是一吗？一倍的一可以不用写了，那么这边就是 a n 减一，也是加上三分之二倍的 a n 减二，哎，他就直接变形成这个式子了，那么我会发现他俩相等，也就可以看到是一个公比为一的等比竖列，是不是？ 那他首项是什么？我们要求出来前两项是吧？用 a 一 和 a 二求出来，那么 a 一 的话，我们直接去得一分的概率，是不就是 啊，抽到白球是三分之一，我们再算一下第二项 a 二 a 二得一分，得两分的概率，是不是可以分成两种情况，直接抽到一个红球，也就是三分之二，或者是抽到两次白球，那么也就是三分之一，再乘上三分之一， 可以得到他是九分之七，是吧？那么这里的首项应该是啊，前面这个是 a 二 加上三分之二倍的 a 一， 是不是？我们代入的话可以得到这个首项，实际上，哎，刚好等于一，是不是？哎，那这个数列特殊了， 这个数列实际上是一个公比为一，然后首项为一的这样一个等比数列，就是说它的每一项其实都是等于 一的，那么我们可以得到这个 an 加上三分之二倍的 an 减一，它是等于一的，那么我们可以得到，其实就把三项递推化简成两项递推了，是吧？ 它就变成了负的三分之二倍的 a n 减一，然后再加上一。其实这一步怎么去做？是不是一个构造了 啊？那构造成一个呃，这个等比数列就行了，那么它需要加个常数，那么这个常数的话，我们可以用代定系数法，然后在本子上自己把它代定出来。怎么去代定呢？我们可以假设啊， a n 加上 lambdas， 等于负的三分之二倍的 a n 减一，也加上这个 number， 然后我们化简一下，与它做个类比，看看 number 到底是多少？ 负的三分之二倍的 a n 减一，然后减三分之二 number 再减， number 是 减三分之五 number， 那 么这个负的三分之五是不是就对应了这个一啊？那么很显然这个数 number 是 等于负的五分之三，是吧？哎，你看这负的五分之三跟题目里给我们这个实际上是一样的，所以它能构造成什么？ a n 减去五分之三，就等于负的三分之二倍的 a n 减一，也减去五分之 三啊。其实我们就勾到了一个以什么以负的三分之二为公比的这样一个等比竖列的，那么它的首项是谁啊？它的首项是不是就是 a 一 减五分之三？那么首项 a 一 我们前面求过，是三分之一，三分之一减五分之三等于是负的，是吧？十五分之五减九， 负的十五分之四，对不对？那么这样的话，那么很显然这个时候啊，同向公式 a n 就 等于多少，这个 a n 减去五分之三，等于首项负的十五分之四去乘上公比负的三分之二的 n 减一次方，这样我们去呃， 我们可以去整理一下这个这个五分之十五分之四里面是不是可以匀出一个负的三分之二来，那么匀出一个负的三分之二来，那么它是不是就剩一个五分之二了？五分之二去乘上这个负的 三分之二的这个 n 次方了，然后我们再把这个这个这个负的五分之三移一下，我们是不也就可以得到 a n 等于啊五分之二去乘上负的三分之二的 n 次方，再去加上一个 五分之三了？哎，这就是第二问的结果了。那么其实我们是用了啊两次啊，用了这种，这个一个是特征根法求通项，另外一个是通过这个 含常数项的构造，然后去求通项公式，这样一个结合就把第二问给做出来了啊。马尔克夫列嘛，其实就是一个条件概率再加啊竖列递推的这样一个结合的问题。好，这是第一问。 再讲一下这个二阶的可回头的马尔科夫模型，那么可回头意味着就是说，比方说我们在做一个传球的过程中，有甲先传出，他最后可以再回到甲手中，那么这个就叫可回头的马尔科夫问题。 那么我们来看一下，四个人之间进行一个传球，先由假传出，那每个人得到球后，都等概率的传给其余三个人，那么设 p n 是 经过 n 次传递后球回到假手中的概率啊，我们直接看第二问，求 p n 啊， 那我们去想想，当前状态是 p n， 也就是说是在假手中，那么当前状态只受前一次影响，那么前一次的状态那么是不可能是在假或另外三个人手中。 当然了，甲是不可能的，因为甲不能传给甲，对不对？那另外三个人就是乙丙丁，那么上一个如果是在甲中的概率是不可能是 p n 减一，那么上一个是在乙丙丁的概率，是不是跟甲这个情况是对立的？它就是一减去 p n 减一，那么从甲传回甲，这个传递过程中发生的概率是零，那从乙丙丁传回甲的概率是不是是三分之一啊？因为等概率的传给三个人嘛，那么这样的话，我们通过这样的概率公式就可以得到，那么 p n 它是等于 啊，上面一只 p n 减一乘零没有了，下面一只的话是一减去 p n 减一，然后再去乘上三分之一啊，我们展开的话，实际上就是负的三分之一倍的 p n 减一，然后再加上 三分之一啊，这是一个两项递推的这样一个类等比数列，我们直接去啊找到这个实数，这个一个常数 number， 然后就勾到一个是公比，是负三分之一的这样一个等比数列即可。好，我们再来看一下这个第二位， 这是一个投胡游戏啊，两个人为一组玩这个游戏，那么每次由其中一个人来投，规则如下，投中则此人继续投，未投中则换对方投。 那么无论前次投和投胡情况如何，甲投胡的命中率均为零点三，以命中的概率均为零点四， 由抽尖确定第一个投壶的人选。第一次投壶是甲乙的概率分别是零点五，那么我们直接来看第二问，求第二次投壶的人是乙的概率， 那么我们说如果把第二次投壶是乙的概率器作是 pi 的 话，那么我们也就说求 pi 的 这个公式对不对？那么 pi 是 第二次，他受他前一次的影响，那前一次的话是不有两种情况，一个情况是依然是在 啊乙手中，那么也就是说他是 p i 减一，另外一个是在甲手中，是不是啊？那么甲投的概率是不与乙是对立的，就是一减去 p i 减一，那么乙投完了，继续回到乙手中啊，继续是乙投的话，那么就是乙相当于乙投中了，那么这个概率是零点 零点四，那么如果是在甲手中的话，上一次，那么这次回到乙是甲没有投中，甲投中的概率是零点三，那没有投中的概率就是一减去零点三，那么这个位置的话就是 零点七的概率了。这样我们就可以得到 pi， 它就等于啊，零点四倍的 pi 减一，然后再加上零点七倍的一减去 pi 减一。 ok， 展开之后，实际上就可以得到是负的零点三倍的 pi 减一，再加上零点七了。 好，还是一样的解答过程，那么后面就是一个构造了，我们再来看一下，呃，这是一个几何类的几何类的一个概率问题，一个三棱柱， a b c d a e b e c e 啊，我们来画出来这个这个三棱柱，呃， 上底面是 a b c， 那 下底面对应的是 a 一 b 一 c 一。 一只蚂蚁从它的某个顶点是上底面的某个顶点，比方说我们就选 a 吧， 然后沿着棱爬行到另一个顶点，那么三棱柱它每一个顶点处都有三条棱，那么它选择三个方向爬行的概率是相等的 啊，每一次爬行都相互独立，那么蚂蚁爬行 n 次后，仍然在上底面的概率为 p n， 我 们来看一下啊，他从这个上底面开始爬三个方向， 其中两个方向都依然是在上底面上，然后另外一个方向是要跑到另一个面上，所以说那我们去想一下这个 p n， p n 是 当前状态，那么他受前一次的影响，那前一次就是他依然是在上底面，那么也就是 p n 减一， 然后另外一种情况，它就是在下底面，那么就是一减去 p n 减一，我们看一下，那么从上底面还是在上底面，那么就是选择的是三分之二啊， 那么从下底面转到上底面，是不是走的是三分之一的概率，那么这样的话，我们就根据前面一样也是可以得到 p n， 那 么就等于三分之二倍的 p n 减一，再加上三分之一乘上一减去 p n 减一，那么这个就是 p n 的 表达式了。 那么给同学们啊，留一个题目啊，这是一个变式，那么可以自己做一下，然后把结果的话，然后可以打在评论区，我们一起来教 我们。最后来看一下这个三阶的马尔科夫列问题，三阶的话，也就意味着他这个每一次就可能产生三种不同的结果，所以说就是三阶的。我们来看一下这个题目，这是二零二零年江苏高考的一道高考真题啊！ 假口袋中装有两黑和一白，一口袋中装有三个白球，现在从假一两口袋中各取一个球，交换放进另一个口袋，重复 n 次这样的操作，即假口袋中黑球的个数为 x n， 那 么恰有两个黑球的概率为 p n， 恰有一个黑球的概率为 q n。 我 们直接来看第二问啊，第二问是求这两个式子的一个递推关系，其 x n 的 数学期望 ex n， 我们去写出来它的这个概率分布列啊，这个 x n 的 概率分布列的话，那么第 n 次之后，假口袋中它的这个 啊，这是 x n x n 的 情况是不是也是有三种？有零个黑球，有一个黑球，或者是有两个黑球，那么这里有两个黑球的概率已经设为了 p n， 有一个黑球的概率设为了 q n， 那 我们知道分布列里的概率之和等于一，所以有零个黑球的概率就是一减去 p n， 再减去 q n， 是 不是？ 那么我们来看一下这个地推关系里面涉及到二倍的 p n 和 q n， 那 么我们是不是得先把这个 p n 和 q n 先表示出来？比方说我们表示一下有两个黑球，这个 p n 的 这个状态， p n 是 两 两黑就是第 i。 第 n 次操作之后，甲甲带中有两个黑球，那么它的前一种状态，那么甲带中的这个状态在每一个不同的情况是不是都有三种？三种可能是有两个 黑球，可能是有一个黑球，可能是有零个黑球，我们是两个黑球，那它前一次是 n 减一次，对不对？ n 减一次有两个黑球的概率，那么自然的是不是就是 p n 减一，那么 n 减一次，有一个黑球的概率是 q n， 那 么有 n 减一个，是不是就是 q n 减一了？好，那么最后一个的话，是不是就一减去 p n 减一， 再减去 q n 减一，那么我们来看一下，从两个变成两个，这概率是多少？ 两个变成两个，说明从甲中拿出的是一个白球，三分之一，对不对？那么乙中的话，本来都是白球，是不是啊？都可以乘一就行。我们再来看一下，从一个黑球变成两个黑球，从一个黑球变成两个黑球的话，我们在这演算一下，甲中是一黑 啊，两白，那么代表着这个乙中是不也是一黑两白？那么一个变成两个，说明从甲中拿出的是一个白球，是不是？那么甲中是发生了三分之二，那么乙中拿出的是一个黑球，对不对？乙中发生了三分之一， 那么再来看，由零个黑球变成两个黑球，是不，显然不可能啊，所以这个概率是零，那么我们去计算一下这个 p n 的 话， p n 是 等于，呃，应该是等于 p n 减一，去乘上相对应的三分之一，再加上 这个 q n 减一，去乘上对应的九分之二，然后最后一个是零，我们就不写了，这就是 p n 的 一个 啊，地推关系。那我们再来看一下这个 q n 的， 那么 q n 的 话，它前面是不是也是有三种状态？那么 q n 代表着第 n 次甲有一个黑球，那么它前一次可能是有两个，可能是有一个，也可能是有零个，那么对应的也是什么？ p n 减一， q n 减一，一减去 p n 减一，再减去 q n 减一，我们来算算概率啊，由两黑变成啊一黑，那我们写一下潜意识状态，甲有两黑一白，乙有 这个是零零零零黑三百，那么变成一黑了，说明从甲中拿出的是一个黑球，是吧？那么甲中三个拿出来，两个拿出来一个黑球是三分之二，那么乙的话都可以。 那么再来试看一下，是从一黑变成一黑，从一黑变成一黑，那么前面是一二，后面也是一二，那么也交换之后，黑球个数没有变，那么可能交换的都是黑球， 是不是？那么这个数甲三分之一，乙是三分之一，也可以能是什么，也可能是不两个拿出来都是白球，所以说甲拿出来的是三分之二的概率，乙拿出来白球的概率也是三分之二，哎，两两种情况我们求出来之后再相加就行了。 那么最后是从零个黑球变成一个黑球，前面是零三，后面是二一，对不对？那么变成一个有，甲拿出来的是白球，那么都可以，那么乙的话是拿出来一个黑球，那么也就是三分之二， 那么这个时候我们写出来这个 q n 的 这个关系，那么 q n 他 是不是就等于三分之二去乘上 p n 减一，再加上三分九分之一，加上九分之四是九分之五， 九分之五去乘上 q n 减一，然后再加上这个三分之二去乘上一减去 p n 减一，再减去 q n 减一。啊，我们整理一下，三分，这有个 p n 减一，这有个减三分之二的 p n 减一，所以 p n 减一，消去了 九分之五，减三分之二，那么是九分之九分之五减三分之二，等于负九分之一，是吧？ 那么这里我们整理一下，它是负的九分之一倍的 q n 减一，然后再加上三分之二，这是 q n 的 一个概率递推关系，是吧？那么我们把这个两个概率递推关系，一个设为一式，一个设为 设为二式。那么我们这里去看一下，这个里面要凑的是一个什么二倍的 p n 加 q n， 所以 我们可以用这个一式呢去乘上个二，直接加二式，我们是不是就可以凑出来左边就是什么 二倍的 p n 加上 q n 了，那么右边的话，我们直接来看一下，这是三分之一，乘上二之后是三分之二，三分之二，那下面没有加，那么它就是三分之二的 p n 减一， 然后再加上这是九分之二，乘二之后是九分之四，九分之四加上负九分之一是九分之三，也就是三分之一倍的这个是 q q n 减一，然后呢最后再加上一个三分之二，是吧？ 然后，哎，我们观察一下这个后面的话，我们如果是这里有 p 和 q， 那 么我们把这个系数里面都提出一个三分之一来的话，是不里面刚好凑成了一个二倍的 p n 减一，加上 q n 减一，它又与这个结构一致了， 只不过后面还有个小尾巴是三分之二。我们现在来看啊，那么我们用红色标记一下，来看左边和右边有没有发现什么规律，这其实是不就是一个呃类等比数列啊？ 那么比方说我们把前面这个什么，我们把二倍的 p n 加上 q n， 我 如果我们把它设成是 a n 的 话，那么其实这个式子是什么？这个式子是不是就是啊， a n 等于 这个三分之一倍的 a n 减一，再加上三分之二，那么这个竖列求通项会求吧啊，我们只要去凑一个常数 lambda， 把它凑成一个以三分之一为公比的等比竖列即可 啊，那么这是这个题目的一个思路啊，我们来看一下，当我们知道了这个关系之后啊，那最后其实就是我写到这一步，对不对？那么后面只需要去凑配一下就行了，凑配一下两边同时减一，那么就可以得到这样一个结构相同的，他们是一个三分之一倍的关系， 那么也就知道了，这个二倍的 p n 加 q n 减一，是一个以三分之一为公比，以谁啊？我们把手相计算出来，以三分之一为手相的这样一个等比竖列，所以说我们通过等比竖列的这个通项公式算出来等于三分之一的 n 次方， 那么我们把这个一移负一移走的话，是不就可以求出来这个通项了？三分之一的 n 次方加上一了 啊，那么最后的话就是一个分布列了，那么求期望的话，我们分布列刚才已经写了，是不是零乘，下面一乘 p， 二乘 q n， 那 么哎，刚好就是我们刚才求的通项，那么我们直接去啊代入就可以了，那么这个就是一个三阶的啊，马尔克夫列的一个问题，好，同学们有什么问题的话可以给老师留言，那么今天内容我们就讲到这。

  97爱跑步的数学葛老师