八下数学思维导图19章二次函数
在十七世纪以前，人类已经学会了利用对应关系来理解世界，以及已经捕捉到了函数的灵魂。数量之间的对应关系 十七世纪由运动的研究引出一个基本的数学概念，函数。用函数表示几何量就是函数概念的几何起源。那么函数是什么？ 世界是一本以数学语言写成的书，用数学可以探秘自由落体运动、抛物体描回出的路径。动点。做曲线运动时，它的横坐标和纵坐标相互依赖，并同时发生变化，即用方程来表示变量之间的关系。 可以用函数表示随着曲线上的点变动的量，比如点的横纵坐标、切线的长度等。一个变量的函数应该是由该变量和常数组合而成的。算式加利律的运动数学化开启了函数的探索之路。 迪卡尔用方程来表示变量之间的关系是函数的映射。莱布尼兹认为函数是描述一格量随另一格量变化的规律。伯努利强调的是，函数必须是一个解析表达式。十八世纪对于一个概念发展中产生的局限性和模糊用语， 数学家是不能忍受的。认同这种解析式解释的数学家很多。于是，函数是由一个解析表达式所给出的，成为了十八世纪占据主位的函数概念。 如果某些量依赖于另一些量，当前者改变时，后者也随之改变，则称之为后者的函数。 即使一个简单函数，也可能有不同的解析式。如果某些变量间存在一定关系，当给定其中某一变量的值，其他变量也随之确定，那么其他变量就可称为函数。函数究竟是什么？ 是一条曲线，还是一个解析式？十九世纪，数学飞速发展，出现了各种各样的函数。狄利克雷是这样说的，有的函数很难用图像或解析式表示，比如下面的函数，当 x 为有理数时， y 等于一。 当 x 为无理数时， y 等于零。怎么办？于是，在原由解释已经捉襟见肘的时候，尼曼说，假定 z 是 一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每一个值都有不定量， w 的 唯一值与之相对应， 则称 w 为 z 的 函数。同学们，数学其实是人类写下的抽象世界的语言。正如爱因斯坦所说，宇宙最不可理解之处是它居然可以被理解，而数学正是这种理解的钥匙。
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11:28查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天呢，我们就来复习二次函数图像与性质。首先呢，我们看一下基本的内容，花个一到两分钟。 对称轴对于 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 它的对称轴就是 x 等于二， a 分 之 b 负的，那对于 y 等于 a 倍的 x 减 h 方加上个 k， 它的对称轴就是 x 就 等于 h。 零点的话， 第一个 y 等于 a， s 方加 b， x 加 c， 它的顶点就是个负的二 a 分 之 b 四 a c 减 b 方，比上个四 a， 那 对于顶点式，它就是一个 h。 ok， 开口方向，当 a 大 于零时，开口向上，当 a 小 于零时，开口向下平移，就是上加下减，左加右减。 另外还有一个 delta， delta 是 二次函数 y 等于 a， a x 方加上 b， x 加 c 与 x 轴交点的情况。 当 there 大 于零时，它与 x 轴就有两个公共点。当 there 等于零时，就有一个公共点。当 there 小 于零时，就没有公共点。 there 是 什么？ there 是 四， a c 减 b 平方。反过来啊， b 平方减四 a c。 来，我们看一道例题，给出来一个抛物线， a 小 于零，开口向下， b 大 于零。当 a， b、 c 都给出来的时候，让我们求顶点 p 的 坐标。第一问很简单啦，那就是把 a 等于负一， b 等于二， c 等于三，代入进来， y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 就 得到了一个 y 就 等于负， x 方加二， x 加三。那整理一下， 得负 x 方。我们下面就在研淘纸上面写啊，负 x 方加二， x 减二 x， 把这个符号提出来，怎么给它配平呢？你看到二 x， 你 就给它配平了，加上个一 减一，再加一加三，那就是加四，所以它就等于 y 等于负的 x 减一的方加上四，所以顶点 p 的 坐标，它就是个一，四就结束了。第一问，这几分一定要拿住了送分题 来。第二问，点 a 和点 b 是 抛物线与 x 轴的两个交点， c 是 与 y 轴的交点。从这一句话中，我们就能够把这个负一带进来，得到一个关系式，就是个零等于个 a 减 b 加 c， 点 c 的 坐标就是个零。 c 来第二问，不是第二问。第一题，当 a 等于负二时，若点 d 在 抛物线上角， c、 a、 d 等于九十度， ac 等于 a， d 让我们求点 a 的 坐标， 这就是竖形结合体。那怎么去画抛物线呢？不会画画出来呢？ c、 a、 d 它也不等于九十度呀，但是我们可以倒着画呀，我们可以倒着画的啊，来，我先把这个 给它去掉。怎么来倒着画呢？我们知道这个 c、 a、 d 等于多少呀？首先， a 点坐标我们是知道的吧，假如说 a 点在这， c 点在哪？ c 点在 y 轴上， y 轴可能在这啊，假如说它在这 d 点，那它就在第四象限了。 那 y 轴交点， c 点为什么是在上方呢？因为这呀， a 是 等于负二的话，你把它带进来之后， 来先先算这吧。把 a 等于负二带进来，负二，负 b 加 c 等于个零， c 减 b 等于个二， b 是 大于零的， c 也是大于零， c、 b 必须得大于二，它减去一个整数才能等于二。所以说 c 点是在上方的， c 点在上方，那么 d 点它就肯定是在第四象限。 那我们怎么来画一个直角三角形？让 c、 a、 d 等于九十度， ac 等于 ad， 你 就随便画吧。 如果说在这，那你就再画一个直角在这， c 点在这， d 点在这，你不用管我的 x 轴在哪， y 轴在哪，你就先这样给它画上来。抛物线咱是不用画的啊，不用画抛物线，你就用到哪个点就画哪个点就行了。好，现在 这是我们画出来的坐标。抛物线先不要画啊， a 点在这儿， c 点在这儿， d 点在这儿，我把多余的给它去掉，免得大家看混了。 好，他说 c， a， d 等于九十度， a， c 还等于 a、 d， 你 这打眼一看直角，那就直接垂直呀， 作轴呀。 a， b， c， d， b 在 哪？ b， 它用了我们这画 e 的 话，这里是个 o 来三角形， c， o， a 全等于三角形， a， d， a， e， d 这个自己去正啊正，它用的是 a， s， a， ac 等 ac， 知道吧？ a， c 等于 a， c， a， c 等于 a、 d， 然后呢，这个角加这个角等于九十度，这俩角等于九十度，所以这个角就等于这个角，这俩角相等了，这个角这俩角相等，这俩角也相等。自己去正啊正完了之后，我们从这是不是还得出来一个 c 减 b 等于二， c 是 不是等于个 b 加二？ 所以 c 点的坐标就是零， b 加二， e 点的坐标是多少呢？ e 点的坐标是这啊，这就是 b 加二呀， b 加二，这里还有一个一呢，所以这就是 b 加二，再减去个一，这里就是一个 b 加一，那这是多少呀？这是负一呀，这等于这，这是负一。 d 点的坐标，这不就有了吗？那没求出来，没求出来你就往这带嘛，往这里带。把 a 等于负二带，带到这里面就是个 y 等于负二， x 方加上 b， x 再加上个 c， c 等于啥？ c 等于 b 加二，然后把 b 加一和负一带进来。 y 负一就等于个负二，乘以个 b 加一的平方，加上个 b， 乘以 b 加一，再加上个 b 加二，等于负一。 解方程解出来之后，这个 b 一 是等于个负一加上个根号二， b 二是等于负一负的根号二，这个舍去， 为啥舍去？这里 b 大 于零，所以我们点 d 的 坐标就是一个根号二负一，这还有个加一的啊，不要忘了啊，不要算出来，咔，就写着了，那就没分了啊。第二问也是大家能够拿到分数的一道题啊。第二问也不难，第三问就难了， 也是第二问的第二小问，他是给出来一个角，这里 也是，我们不用画抛物线，我们就直接画三角形就行了。我们知道 a 在 这， b 在 这，大致方向， c 在 这，以 a， c 为边， a， b， c， c 在 上方啊， a， c 为边的平行四边形， a， c， e， f， f 在 对称轴 l 上， c， e 加上 c， f 取得最小值。当看到这种的时候，那肯定是它俩能够在一条直线上的时候能够取得最小值。当看到这种的时候，那我们就讲一下思路，我们就不讲具体方法了啊， 这题比较难来， c， a， b 等于二倍的 a， b， c， 所以 这个 c 要足够的高，而且离 a 足够的近，比如说它在这，那你要画一个角，是它的二分之一啊，大概就是这么多，你就往这画，可劲往这边跑， 其实这个角也不一定就等于十二倍啊，大概就是这样子。 b 在 这， c 在 这， c 还是啥呢？ c 还是与 y 轴的交点呢？题目里面给了点 c 为抛物线与 y 轴的交点，所以我们这个轴就画好了， 这里是 x， 这里是 y， 你 画好这个 x 轴之后，你 a 在 这， c 在 这， e 在 哪呀？ e 你 就随便点 e 如果在这的话，那你 f 就是 在这了， f 大 概就在这了。 哎，换一个颜色的笔，让我们求 c e 加上 c f， 这个有点细。 c b 加上 c f 这一对，加上这一对，这不是三角形吗？三角形啥时候最短？ c e 加上 c f， 哦，加上这一对， 就是当这个 c 在 这个 e f 上的时候呀，在这个 b c 上，就在这的时候最短。为啥？这个后面我们再讲 来，取到这的时候，那还没办法求呀，那你就只能去构造三角形。为什么我说这道题呢？这道题它 a c 在 这，我们要给它构造一个往这，因为你要求 b 呀， b 在 这里 构造出来这样一个三角形， ga 等于 c a， 这样的话来，我们 m 就 能够用 c 来表示出来了， m 就 等于一加 c 的 方，再加一，这个要自己下去慢慢琢磨啊。所以呢， c 方它就等于 m 方，减去二 m a 和 b 啊，它还是关于这个 f 对 称的，你看这个图画的就不是很标准。 af 就 等于个 c e c e 来写上吧，大家如果能看到这的话，大家就下去琢磨一下啊。 af 等于 c e， 然后呢，所以 c e 它就等于 b f c e e 加上 c f， 它就等于个 b f 加上 c f， 它是大于等于 bc 的 啊， 它是大于等于 bc 的。 当点 f 在 线段 bc 上的时候，就在这在这上面的时候， c f 加 ce 就 取得了最小值，也就是说，当 bc 等于二倍根号六的时候， 这个就是它的最小值。 r t 三角形 o b c o b 方 加上 o c 方等于 bc 方，哎，也就是说 m 方加上 c 方等于二十四。然后再回代该解的解，该舍的舍，求出来一个啥，求出来一个 bc 的 解析式。 l bc， 它就等于 y 等于负的二分之根号二， x 加上个二倍根号二， 然后你再就是再设 f 的 点，然后代，然后解，解出来这个 f 的 坐标是个多少来着？ f 的 坐标是个二分之三，四分之五倍的根号二。那你有 f 的 a 跟 f 怎么平移的？那你就 c 跟 e 就 平移一遍， 最终点 e 的 坐标就是个二分之五，四分之十三倍的根号二。这一问是比较难的，大家理解就做，不理解在考场上该放弃的时候就放弃。嗯，接下来这道练习题呢，大家做一做吧。啊，今天就到此结束了，时间还有点久。
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00:16查看AI文稿AI文稿二次函数这样画，若有符号倒过来，整体加二往上移，整体减二往下移， x 加二往左移， x 减二往右移，整体乘二要变瘦，整体除二要变胖，你学会了吗？
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37:56查看AI文稿AI文稿哈喽各位，今天继续带来我们专题七的一个讲解，看一下二次函数的解答题，在河南中考当中是如何考察的，看一下他的综合题啊，看一下最后一行表格，最后一行 基本上都是在二十二题的一个位置去考。二次函数的一个综合，有他的一个函数本身的一个综合性质的一个综合，也有跟实际问题相结合的一个应用。他的综合呢，大致就分成了这两类，一个是函数的综合，一个是实际问题的应用。那么我们来看一下二五年的这道题啊，最新一年的这道题， 这道题呢，它是一个纯粹的二次函数的综合题，它只有二次函数的知识点。那么我们来看一下题干条件给出来了我们二次函数的解析式，然后呢，表格当中给出来了几组对应值，那这个对应值其实就是我们的点坐标，所以我们就可以根据表格得出来了三个点坐标，负二，逗号负二，零逗号负二， 以及我们的一逗号一这三个点坐标。然后呢，第一问是让我们求函数的表达式，他的第一问是不是跟我们上一个专栏讲反比例函数的时候，第一问是一样的，都是上来先求表达式，对吧？ 那么二次函数的表达是要比反比例要复杂一些，因为它有三个参数， a、 b、 c。 那 二五年这道题当中呢， c 是 给出来了，它是个负二，那么我们的 a 和 b 是 不知道的，所以也就是说有两个参数未知，那么有几个参数未知，就代入几个点坐标，所以我们从上表当中的三个点坐标选择两个进行代入就可以了， 那这个三个对应值呢？其中零负二其实就是它跟外角的交点，其实它得到的就是我们的 c， 所以 其实也只有另外的两个点坐标，我们是可以用来利用的。那把负二负二带进去，一，逗号一带进去，所以我们得到的呢是四， a 减二， b 减二等于负二， 一逗号一带进去，得到的是 a 加 b 减二等于一，然后解这个二元一次方程组解出来， a 等于的是一， b 等于的是二，所以我们的二次函数解析式就出来了， y 等于 x 的 平方加二， x 减二，这就是它的一个表达式， 待定系数法去求解，然后第二问呢，他说的是求他的什么顶点坐标，并且在坐标系当中画出他的函数图像。求顶点坐标两种方法，要么用顶点坐标的坐标公式， 要么呢？你可以把我们括号一求出来的是它的一个一般式，对吧？把一般式进行配方，配成顶点式，然后得到它的顶点坐标，两种方法都可以啊， 我们来看一下第二问，因为那个顶点坐标公式呢？有点复杂，所以不喜欢记公式的大家可以自己用配方法。我们来讲一下配方法啊， y 等于 x 平方，加上二， x 减一配方啊，减二配方法得到的是 x 加一括起来的平方呢？再减三， 这是配方法得到了它的一个顶点式，这是一般式，通过配方得到了顶点式，那根据顶点式呢，我们就可以得到它的顶点坐标了， 点点坐标应该是一负一，逗号负三，对吧？负一逗号负三，所以点点坐标知道了，那么下一个问题呢，是让我们画出它的一个函数图像，就是描点法吗？你可以把上表当中的三个点描一下，然后再把我们刚刚得出来的点点坐标描一下，我们的顶点坐标呢，是负一逗号负三， 在这，然后上表当中有负二逗号，负二，零逗号负二一逗号一，那跟一逗号一对应的应该是负三逗号一，所以这些点我们就描出来，描出来之后呢，把它连接起来，这就是我们的二次函数的一个图像啊。 然后我们再来看第二问，第二问呢，他说将这个二次函数的图像呢向右平移 n 个单位长度之后，当 x 属于零到三的范围的时候，那么函数对应的最大值与最小值的差为五，请直接写出它的 n 的 值，也就是说它平移的距离， 那这里头要求出平移的距离。我们知道的信息有啥呢？就是它平移之后的图像，在 x 属于零到三的时候，它的最大值和最小值的差是五。那么我们就看一下怎么去计算零到三的时候它的最大值和最小值。 因为它是向右进行一个平移，所以我们根据第二问的一个顶点式，能不能写出来它向右平移之后的解析式呢？ 二次函数图像的一个平移，左加右减，是吧？左加右减，所以向右平移之后， 它的一个新的解析式，我们称之为 y 撇吧， y 撇就等于 x 加一，这是原来的向右移动了几个单位呢？ n 个单位，所以左加右减，减 n 括号的平方再减三，这就是它平移之后的一个解析式了。 然后人家说了他属于零到三的时候，他的最大值和最小值的差是五，那既然要求最大值和最小值，那么我们就要知道他在这个范围当中，零到三的范围当中，他的一个增减性， 要去判断他的增减性，那我们还要知道啥？对称轴，所以我们需要知道他平移后的对称轴，根据我们的顶点时，我们可以写出来，他平移之后的对称轴呢？是直线， x 等于多少呀？ x 等于 n 减一， 这是它新的对正轴，那我们来图当中进行标注一下，当 x 属于零到三的时候， y 轴呢？是 x 等于零的时候， 我们来图中标注一下它 x 的 范围啊？零到三， y 轴呢是 x 等于零的时候， 然后这边呢是 x 等于三的时候，也就是说在这两条线中间，它函数图像的最大值的差是五，那它向右平移，它到底平移了多少呢？它平移之后呢？它的对称轴 在没在这个区间里头，还是说在这个区间的左边，还是说在这个区间的右边？也就是说他在这个区间里头，到底是这种情况还是 这种情况，还是说这种情况，是吧？如果是属于我们左边的这种的话，也就是说他的对称轴在这个区间的左边，那么因为他开口向上，那么在这个区间当中，他就是一个递增的关系了，那我们就知道了，什么时候取到最小，什么时候取到最大，就可以算出来了。那如果呢是 最右边的这种情况，他的对称轴呢？在他区间的右侧，也就是说在这个区间内，他是一个递减的，他的图像是一个递减的，那同样的谁取到最大，谁取到最小，我们也能够清楚的知道。那第三种情况呢，就是他的对称轴在这个区间当中， 在这区间里头，那么什么时候取到最小？因为开口向上嘛，所以在顶点的时候取到最小，那什么时候取到最大呢？那就把两个端点值带进去，看谁大谁就是最大值了。所以这三种情况分成这三种情况，大家能理解吗？能理解，那下面就只剩计算了啊。来我们写一下。 第一种情况，就是我们最左边的这条线，此时呢，它的对称轴在我们区间的左侧区间左侧这条线呢是 x 等于零，右边这条线是 x 等于三，所以它的对称轴是 x 等于 n 减一，也就是此时 n 减一是在零的左侧， n 减一是小于等于零的，小于等于零的， 那么我们就可以得到了 n 的 范围是小于等于一的，就是这种情况啊。那我们看一下这种情况下，它在零到一的取值当中是一个什么样的最大值和最小值，这种情况下呢，它的最小值是在哪取啊？ 应该是在 x 等于零的时候，对吧？因为它是一个递增的，那 x 等于零的时候，可以得到 y 的 最小值等于的是一减 n 扩起来的平方减三。 那当 x 等于几的时候取到最大值呢？应该是三的时候， y 的 最大值等于的是四，减 n 扩起来平方减三。那人家说了最大值与最小值的差为五，那么我们就让最大值减去最小值就可以了，也就是 y 的 最大值减去一个， y 的 最小值等于的是五。减完之后呢，我们可以得到 n 的 一个取值，等于的是一个三分之五， 那在对照我们最开始的，在这种情况下， n 应该是小于等于一的，但是呢，他得到了一个三分之五，三分之五比一大还是比一小，那他是大于一的，所以这种情况符合吗？不符合，所以要舍去掉啊。 然后呢，我们再看第二种情况，也就是我们的对称轴在右侧，在他这个区间的右侧，也就是说在直线 x 等于三的右侧，也就是说我们的 n 减一啊，要大于等于三， 从而呢，得到我们的 n 应该是大于等于四的。大于等于四，那在这个区间内的话，它的对称轴在区间的右侧，那么它在区间上的这段图像是一个递减的。递减的话，在 x 等于零的时候，取到最什么值呀？递减应该是最大值， 所以在 s 等于零的时候，它取到一个最大值，最大值是一减 n 括起来的平方 减三，那在 x 等于三的时候，取到一个最小值，最小值是四减 n 阔起的平方减去三，那同样的最大值减去，最小值等于五呀。 根据这个等式呢，我们可以得到此种情况，它的 n 这一类情况下，它的 n 等于呢是三分之十，三分之十。那我们这种情况下， n 的 范围是多少？大于等于四，三分之十比四大，不大不大，它比四小，所以这种情况能要吗？不能， 所以第二种情况也被舍掉了，那就，那就只有我们的第三种情况呢，也就是说我们的对称轴是位于这个区间里头的，所以我们的对称轴 n 减一，应该是小于等于三，大于等于零，所以呢，在这个范围里头，我们的 n， 它的取值范围呢？是小于等于四，大于等于一。 那在这个范围下，这个函数的图像它的最小值在哪取到呀？应该是在它的顶点，因为它的对称轴在这个里头了，所以对称轴包含的是顶点，那么它的顶点坐标也在里头开口向上顶点处取到最小值，所以在顶点的时候取到一个最小值， 它的顶点呢，就是我们刚刚不是把顶点是给写出来了吗？所以它的顶点应该是 x 等于的，是 n 减一，那此时的 y 的 最小值等于的就是 负三，其实就是它的顶点坐标。然后呢，在什么位置取到最大值呢？无非就是左右两个端点，到底是 x 等于零还是 x 等于三？那我们计算一下比较就可以了。当 x 等于零的时候，计算出来的 y， y 等于的是一，减 n 扩起来的平方减三。 x 等于三的时候， y 等于的是四，减 n 扩起起来的平方减去三。 所以到底是 s 等于零取得最小呢？还是 x 等于三取得最小呢？我们把这个两个 y 给它区分一下啊，一个是 y 零，一个是 y 三吧，用它的 x 的 值进行区分，到底是 y 零大还是 y 三大。 所以 y 零和 y 三到底谁大谁小呢？我们用 y 零减去 y 三来看一下它的结果，它俩相减之后，经过化简，最后的结果是六 n 减十五， 也就是三倍的二 n 减五。那它根据我们上面的 n 是 一到四的这个范围，能不能确定二 n 减五，它到底是正的还是负的？是不是不能对，是不能的， 所以这里头也就是说我们是存在两种情况的，二、 n 减五可以大于零，也可以小于零，也就是说外外零可以是最大值，外三也可以是最大值。下面我们分成了两种情况来看啊，当 y 三等于最大值的时候， 那么我们的 y 三减去我们的最小值等于的是五，这种情况下我们求得 n 的 值呢，等于的是四减根号五， 然后当 y 一 是最大值的时候，我们的哦 y 零， y 零是最大值的时候，我们的 y 零减去最小值等于的是五。这种情况下求出来的 n 等于的是 一加根号五，一加根号五。所以这两种情况都符合我们上面的一个范围，所以最后的结果就是两个 n 的 值为 一加根号五或者四减根号五。 这是我们的第一题啊，其实这道题来说是整个里头最难的一道题，因为它的第三文要分类讨论，所以它的书写上面会很多。那我们看一下后面简单一点的啊，非常好做。 看一下二四年这道题，它是一个二次函数的实际应用问题，它是从地面数值向上发射物体去看它离地的高度， h 等于负五 t 方加上一个 v 零 t， 其中呢 h 就是 它离地面的高度，那么 t 呢，就是它的 运动的时间，微零呢是他发射时的一个速度，就是他的出速度。那社团活动的时候呢？科学小组在实验楼前从地面竖直上抛一个小球，问我们小球被发射后几秒，离地面的高度最大， 用含 v 零的式子表示高度最大，什么意思？高度是 h， h 最大不就是我们这个函数图像的顶点坐标吗？是吧？所以 h 最大的时候呢，就是它的顶点坐标，那也就是说前面要填的是它的时间，时间是我们的 t， 也就是说它此时的顶点坐标的什么坐标？应该是横坐标， 所以根据顶点坐标的公式，它的横坐标等于负的二 a 分 之 b， 所以 看一下我们的题干当中的解析式，负的二 a 分 之 b 是 几啊？负五 b 呢？ 好好看一下 b 是 一还是多少，还是 v 零？ v 零，因为这个 v 零啊，在这其实是一个参数的一个位置， 所以人家说嘛，用含 v 零的式子表示，所以它的 b 是 v 零， a 是 负五，代入之后得到的是十分之 v 零，所以它是十分之 v 零秒之后离地面的高度最大，这是它此时的一个顶点坐标的横坐标。那第二问呢？说它离地面的最大高度是二十， 第一问求出来了它十分之 v 零秒的时候，高度最大。第二问给了最大高度是二十，让你求它的速度 最大高度是二十，那么我们就带进去就可以了。 h 等于负五 t 方，加上 v 零 t， 它等于的是二十，我们要求的呢是我们的， 我们要求的是我们的 v 零，所以这里头 t 是 要被替换掉的，怎么替换呢？第一问已经给了高度最大的时候，它的时间是十分之 v 零，所以我们的此时它的 t 应该等于的是十分之 v 零，所以把十分之 v 零带进去之后，我们就可以得到了 负五乘以一百分之 v 零的平方，再加上 v 零乘以十分之 v 零等于二十。解一下这个关于 v 零的一元二次方程就可以了。最后解出来我们的 v 零呢，等于的是二十，等于的是二十， 所以它的结果就出来了，它发被发射时的一个速度为零，等于的是二十。所以你看一下我们的第一问和第二问是不是都围绕着它的顶点坐标，第一问就是它顶点的横坐标， 第二问呢，根据它顶点的纵坐标的信息去求它的参数为零。然后我们再来看第三问，它说按照括号二当中的速度，也就是说按照 v 零等于二十的这个速度去发射小球，然后呢，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同， 小明说这两次时间的间隔是三秒，已知呢，实验楼的高度是十二啊，十五米。问你小明的说法正不正确？也就是说，当这个小球离开地面的高度跟实验楼相同的时候， 这两次时间间隔是不是三秒跟实验楼高度相同，实验楼的高度呢，是十五米，也就是说当 y 等于十五的时候，去看一下它的 t 等于多少，此时你会求出来两个 t， 这两个 t 之间是不是间隔三秒， 那我们就来算一下啊，当 y 等于十五的时候，那么负五 t 方加上 v 零， t 呢？ v 零是二十，所以是加上二十 t 等于十五。去解关于 t 的 一元二次方程就可以了 解出来之后呢， t 是 两个指，一个是 t 等于三，另外一个 t 等于的是一，所以是当它在出发发射一秒的时候和发射三秒的时候，它的高度是十五米，那这两个时间间隔是多少？三减一等于几等于二，所以是不是小明所说的三秒呢？ 不是二不等于三，所以小明的说法是不正确的，是不是非常简单？第三问，就是知道了你的 y 去求 x， 知道 y 去求 x， 前两问用的都是顶点的一些内容。这个题，这道题是不是比二五年刚刚那道题要简单多了，起码没有分类讨论了，对吧？这是二四年这道题啊，很简单。那同样的，后边二三年和二二年这两个也都是它的一个实际应用，也是比较简单的。我们看一下二三年这道题， 小林同学呢，是一名羽毛球爱好者，还喜欢用数学知识对羽毛球比赛进行一个技术分析，下面呢，是他对于击球路线的分析。在这个图当中呢，我们来看一下，把它往上移一点。 我们来看一下，在坐标系当中，点 a 和点 c 是 在 x 轴上的，然后呢，网球 ab， 球网是 ab， ab 是 个球网啊，与外轴的水平距离呢？ o a 等于的是三，这是三。 c a 等于的是二，这是二。 然后击球点是 p， 从点 p 发球在外轴上，如果呢，选择扣球，它的飞行高度 y 与水水平距离 x 接近于一次函数关系，是这样的，扣球就是这条线了。 如果选择吊球，那羽毛球的飞行高度 y 与水平距离 x 满足的是二次函数关系，吊球就是这条线，二次函数关系。 所以这里头呢，我们把它一个是命名为 y 一， 一个是命名为 y 二啊，一次函数命名为 y 一， 二次函数命名为 y 二吧，一会好书写，区分一下。第一问，让我们求的是点 p 的 坐标和 a 的 值，点 p 是 谁啊？ 点 p 是 这两个函数的图像跟 y 轴的交点。那么这两个函数呢，也有特点，二次函数里头有个啥？有个参数 a 不知道， 一次函数呢，是完全已知的，所以我们要求点坐标的话，需要用哪个函数？是不是用一次函数代入 x 等于零，求它跟 y 轴的坐标就可以了。所以呢，将 x 等于零代入到我们的一次函数 y 一 当中， y 等于的是零，负的零点四， x 加上二点八， 所以这里头呢，求出来的我们的 y 一 等于的是二点八，所以我们点 p 的 坐标呢，也就知道了它是一个零二点八。 然后后面呢，还让我们求 a 的 值，点屁是啥呀？点屁呢，是它两个的跟外轴的交点，所以点屁不仅在一次函数上，也在二次函数上，所以我们点屁知道了，那直接再把点屁带入到二次函数的解析式当中，求出来 a 的 值就可以了。带进去之后呢，我们求出来的 a 等于的呢，是负的零点四，所以 a 和 a 和点 p 的 坐标都知道了，对吧？所以它这个呢，先是通过解析式去求出来了点坐标，再用点坐标反过头来去求解析式，反正就是解析式跟点坐标之间的一个互相的一个转化。 然后再看第二问啊，第二问说，小林发现以上两种击球方式均能使球过网，球网呢是 ab 啊，如果呢，要使球的落地点离点 c 更近，那应该选择哪种击球方式？这两种都能过网，但是它的落地的位置不一样，我要选择一个离点 c 更近的位置， 它的落地点。落地点是啥意思？它怎么落地啊？ 也就是说它跟谁的交点？哎？跟 x 轴的交点，所以球的落地点，我们给它翻译一下，就是函数图像与 x 轴的交点， 看一下这两个函数，它与 x 轴的交点哪一个离点 c 更近就可以了。跟 x 轴的交点，谁是零啊？ y 是 零，也就是说当 y 等于零的时候，我们看一下 x 啊， y 一 等于零的时候呢，我们的负零点四， x 加二点八等于零，此时解出来的 x 呢，是一个七，所以他的点坐标呢，就是七，逗号零。当 y 二等于零的时候呢，是我们的负零点四， x 减一括起来的平方加上三点二等于零， 写出来 x x 此时呢是一个二倍根号二加一，它比较麻烦一些，我们需要给它近视一下，因为二点根号二呢，是一点四一四，所以二倍根号二加一约等于的是三点八， 所以它的一个跟外轴的交点就是三点八，逗号零，那就看三点八和七，谁离点 c 更近。点 c 在 哪呀？点 c 的 坐标怎么表示呢？ o a 是 三， ac 是 二，所以点 c 的 坐标应该是五。逗号零，也就是说七和三点八，谁跟五的差距小，谁小？三点八小，所以三点八是谁啊？是 y， 二，也就是说我们的第二种击球方式，当他选择吊球的时候，他的落点会离点 c 更近一些， 所以选择的是我们的吊球的计时方式。这道题是不是也很简单？第一问，点坐标带入解析式就可以了。第二问， 把它的落地点翻译一下，也就是跟 x 轴跟 x 轴的交点，所以把 y 等于零带入两个解析式求出来，求出来之后，看它哪一个离 c 更近就 ok 了，对吧？所以也很简单啊，这都比二五年那道题要简单很多，它的应用，哎，确实很简单。然后我们再看它的最后一个应用题，二二年的这道题， 二二年这道题呢，也是一个应用，它是一个喷水景观抛物线形的一个应用啊，喷出的水柱呈抛物线的形状，对此展开研究，测得喷水头屁屁呢是它的喷水头，就相当于我们上一道题的那个发球点，或者说击球点， 它离地面的高度是零点七，所以这一段是一个零点七，这一段是一个零点七啊。继续往下，水柱再距喷水头屁水平距离五米的地方达到最高， 也就是题目当中所标注的五三点二这个位置。在 x 等于五的时候，水平距离是五的时候，他达到了一个最高点，最高点距离地面三点二米，这是一个三点二。 然后继续往后呢说建立了一个坐标系，然后设它的解析式，使它 y 等于 a 倍的 x 减 h 加上 k， 其中 x 是 喷水头，是水柱距喷水头的一个水平距离， y 是 水柱距地面的一个高度，一个是水平距离，一个是高度。第一问，同样的还是求解析式， 那么他给我们的解析式呢，是一个顶点式，顶点式，而且图像当中也给出来了他的最高点的坐标就是五逗号三点二，对吧？所以根据他的最高点，我们就得到了他的顶点坐标呢，是五逗号三点二。 进而我们把这个点坐标带进去，就得到了 y 等于 a 倍的 x 减五，括起来的平方加三点二。那目前 h 和 k 都知道了，只有一个 a 这个参数，不知道 我们还有其他的信息吗？对，还有一个，还有一个就是零点七。零点七是谁呢？是点 p 距离 x 轴的一个高度，也就是说点 p 的 坐标它是在外轴上，所以它的坐标是零逗号零点七。 那点 p 在 没在抛物线上呢？哎，在的，它就是水柱的一个喷头点，所以再把我们点 p 的 坐标零逗号零点七带入进去，带进去的之后呢，求出来 a 的 值就可以了。那这个情况呢？求出来我们 a 的 值呢？是一个负的零点一， 所以到现在为止，我们的解析式表达式就可以写出来了， y 等于负的零点一倍的 x 减五，括起来的平方加上三点二，是不是得到了？所以他给了我们一个顶点，是有三个参数，通过顶点我们可以知道其中两个参数的值，再通过另外一个点坐标，我们可以知道 a 的 值， 所以就可以直接把它给列出来了。这是括号一，求解析式啊，用的是一个顶点式。括号二呢，说他的爸爸站在水柱的正下方，然后距喷头 p 的 水平距离呢？是三米，所以他爸爸站在哪呀？水平距离是三，所以他爸爸站在的是 x 等于三的位置。那我们在图当中标注一下 大概的一个位置啊，比如说这是一个 s 等于三，他的爸爸就站在这， 然后说身高一米六的小红在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱的时候，什么叫头顶恰好接触到水柱？ 那此时水柱的高度跟他的身高什么关系？相等，所以此时他的身高就等于水柱的高度， 然后求他和爸爸的水平距离，水平距离也就是说求 x 的 叉，对吧？ 那我们就看一下他爸爸站在 x 等于三的位置，那小红呢？小红站在哪呢？他一米六的身高，跟水柱恰好接触的时候，也就是说水柱的高度也是一米六的时候，此时的 x 是 多少，对吧？所以也就是一个当 y 等于一点六的时候，去求他的 x， 去求他的 x 就 可以了啊。那我们把 y 等于一点六带进去，把它呢带入到我们的解析式当中， y 等于负的零点一 乘以 x 减五括起来的平方，加上三点二，代入之后呢，我们可以解出来 x 的 值，这里头解出来的 x 呢，一个是 s， 一 等于的是一， x 二等于的是九， 所以也就是说，当小红，对，是小红。当小红站在 x 等于一的时候，他在这头顶恰好能够接触到水柱。当他站在 x 等于九的时候，他在这头顶也是恰好能够接触到水柱。那此时他与爸爸的距离是不是有两种情况了？ 所以当小红的位置是 x 等于一的时候，它两个的水平距离就是三减一了， 等于的是两米。然后呢，当 x 等于九的时候，他和爸爸之间的一个水平距离就变成了九减三等于的是六米。所以他与爸爸之间的水平距离有两种情况，两个答案， 两米或六米啊，两米或六米两种情况。这是我们二二年的这道题，是不是也挺简单的，也是点坐标带进去求解析式，那下面呢，也是知道 y 的 值去求 x 的 值，那我们上一道题是也是知道了 y 等于零，去求 x 的 值，然后再比较。这道题呢，也是知道了 y 的 值，带进去求 x 的 值，然后再进行一个作差比较。 所以它的应用题其实确实很简单啊，应用题不要怕，认真的读题，读懂题就可以了，它的计算量也不大，这是二二年这道题，然后我们看最后一个二一年，二一年这道题呢，就不是应用了，又回到了一个函数的综合， 它是一次函数跟二次函数的一个综合。抛物线呢，给我们是 y 等于 x 加上 m x， 所以 这里头有一个参数 m x 直线的解析式呢，是 y 等于负 x 加 b， 它也有一个参数 b， 这两条线交相交于点 a， 二逗号零，他俩的交点 a， 我 们知道是二逗号零， 另外一个交点是点 b， 所以 第一问让我们求的是 m 和 b， 其实就是求解析式，这两个解析式都是只有一个参数未知，而且呢，也知道了他俩都经过同一个点，坐标二逗号零，所以怎么办呢？来直接代入， 把 a 二逗号零带入我们的抛物线， y 等于 x 的 平方加上 m， x 同时也带入我们的一次函数 y 等于负 x 加 b， 所以 得到了 m 和 b 的 值， 这里头呢，最后计算出来，我们 m 的 值等于的是负二， b 的 值呢，等于的是正二。 所以我们两个解析式是不是就知道了，二次函数抛物线的解析式是 x 平方减二， x 直线的解析式是 y 等于负 x 的 负 x 加二。 所以第一问还是根据点坐标去求参数，也就是求我们的表达式。然后第二问呢，说求点 b 的 坐标，并结合图像写出来不等式的解集， 来吧，一个一个来，先看点 b 的 坐标，点 b 是 谁呢？是他两个的另一个焦点，对吧？另一个焦点，焦点怎么求？两个函数图像的焦点，哎，就把两个函数的解析式连立起来就可以了，所以根据第一问我们求出来的解析式，那么第二问的时候呢， 我们直接把这俩连立解方程二， x， y 等于负 x 加二，从而解出来了两组， 一个呢是 x 等于二， y 等于零，所以这个减呢，指的就是我们的交点 a， 点 a 的 坐标二是多少零。 然后另外一个减呢，就是我们的点 b 的 坐标了， x 等于负一， y 等于的是三，这个减是我们点 b 的 坐标，所以点 b 的 坐标就知道了，它的坐标呢，就是我们负一逗号三。 然后结合图像说一下这个不等式的解集，这个不等式是谁呀？ s 平方加上 m， x 大 于负 x 加 b， 前面是我们抛物线的解析式，后面是我们直线的解析式，中间是大于号，也就是说抛物线高于直线 的那一个部分，它的 x 的 值，或者说 x 的 范围。那看一下啊，这个是值呀，好弯呀。这个是我们的直线，这个呢是我们的抛物线，它俩抛物线大于直线，也就是说抛物线比直线高。应该是哪一部分？ 其实从他的交点开始区分就可以，交点是他俩相等，然后呢，从交点的地方画两条竖线，两条竖线分成了三个区域，左边，中间和右边，所以你看一下， 左边是谁在上面，谁在下边，谁高谁低是我们的二次函数，抛物线在上面，所以左边是符合的，也就是说左边是啥呀？点 b 的 横坐标是负一，所以左边是一个 x 小 于负一的范围， 那中间呢，是一次函数在上面，二次函数抛物线在下面，所以应该是小于的关系，不符合我们大于，然后右侧呢？右侧呢？还是抛物线在上方，然后直线在下方，所以也是符合我们抛物线大于直线的一个关系。那这里头点 a 的 横坐标呢？是一个二，所以它是一个 x 要大于二 大于二的一个范围，所以右边是 x 大 于二啊， s 大 于二的范围，所以在这两个范围，它的解集是存在的啊， x 小 于负一或 x 大 于二。所以像这种方程与不等式啊，不是函数与不等式之间的关系。 你像我们刚刚的焦点，焦点我们也可以看作是方程组跟函数之间的关系。我们列出来方程组，方程组的解就是函数的焦点坐标，然后这里头不等式组不等式的解，其实就是我们函数图像谁高谁低， 谁高谁低。我们先找到相等的部分，从相等的部分画两条竖线，把它分成三份，看一下每一份当中谁的图像在上面，谁的图像在下面，就可以了。这是我们的不等式跟函数图像的关系啊。然后再看第三问，说， m 呢，是 ab 上的一个动点，将 m 向左， 将 m 向左平移，三个单位长度得到了点 n。 如果线段 m n 与抛物线呢，只有一个公共交点，然后直接写出点 m 的 横坐标的取值范围。我们先把这个图擦掉啊， 来看一下， m 是 直线 a b 上的一个动点，我也不知道 m 是 直线 ab 上的一个动点，我也不知道 m 在 这把 m 向左平移三个单位，比如说平移三个单位之后，他跑到了这里， 得到了点 n， 然后呢，他说了线段 m n 与抛物线只有一个焦点，只有一个公共点，求出来 m 的 横坐标的取值范围。 他说了只有一个焦点啊，我们来看一下，借助一个线段， 我把这个，哎呀把这个擦掉。嗯， 然后呢，我们来借助这样一个线段啊，比如说这个线段就是 m n， 这个线段的长度是三。然后呢，这个线段的右边这个端点啊，一定是右边这个端点，它是在直线上的，所以呢，我们看一下它从这儿，比如说我们从这边开始， 这个线段跟抛物线有交点吗？没有。一直到点 b， 这有交点吗？有了一个就是点 b， 然后再往下走，它跟抛物线有交点，没有在这里，对吧？在这，那我们继续往下走，往下走，走走，始终都有一个交点， 这个线应该再长一点，点， a 的 坐标是二，它是三，所以它比 o a 的 长度要大。那同样的啊，我继续往下走，走走走走， 哎，走到他的右侧这个点右端点跟点 a 重合的一个位置，重合之后，他此时的跟抛物线的交点有几个了？有两个了，一个是点 a， 一个是左边的，这个其实是圆点的。一个位置有两个了，是不是就不太符合？我们只有一个公共点了， 这个位置不符合，所以哪个位置符合呢？一个是我们刚刚的，从点 b 到这这一段是符合的，到点 a 之后就不符合了。那我们继续往下走啊， 继续往下走，往下走，他是不是一直都有两个交点？往下走的话，左边一个，右边一个，是不是一直都有两个？那我们继续往下走，看看有没有一个的时候，哎哎哎出现了有一个的时候，是在哪呀？顶点的位置，当线段 m n 经过抛物线的顶点的时候，此时又有一个了， 所以我们通过平移这条线段，我们知道了什么时候有一个公共点，什么时候有两个公共点，对吧？所以有一个公共点的时候，我们就知道了，一个呢是上面这个区域上面这一部分，另外一个呢，就是它的顶点坐标经过它顶点坐标的时候， 所以呢，也就是上面这一段，它是一个焦点，然后下面还有一个顶点坐标，它是一个焦点，所以就是这两部分了。那上面这段是从哪到哪呢？是它这条线段右侧右端点，也就是 m 这个端点， 从接触点 b 的 时候，从它跟点 b 重合，一直到跟点 a 重合，所以 m 与点 b 重合的时候，它开始有一个交点， 然后一直往下走，走走走到 m 在 b a 上的时候，也是一个交点，到什么时候变了呢？ m 与点 a 重合， 变成了两个交点，因为点 a 它的坐标是二，然后 m n 的 长度呢？因为它是左移的三个单位，应该是三，所以 m n 要大于 o a， 所以 它此时应该交于点 o 和点 a 两个交点，然后继续往下走，什么时候又变成了一个交点呢？ m 与顶点重合 是一个交点，所以这里头呢，一个是一个范围， m 在 b a 上的时候，另外呢是一个特殊位置， m 在 顶点的时候，那么我们就看一下这两个情况，它 m 的 横坐标应该是怎么算？ m 呢，是在这个直线上运动，也就是说在线段 b a 上的时候，那线段 b a 的 横坐标，点 b 的 横坐标是谁呢？ 负一，点 a 的 横坐标呢？是二，也就是说我们 m， 它的横坐标大于等于负一，小于二的时候，表示的是 m 在 线段 a b 上， 此时是有一个焦点的啊，这里头为啥负一能取到等号，正二不能取到等号呢？负一表示的是在点 b 的 时候，它此时只有一个焦点，就是点 b 是 可以取到等号的，那它在二的时候呢？也就是说它在点 a 的 时候，在点 a 跟点 a 重合了，它此时是两个焦点，所以这个等号不能取到。 这是第一种情况，它的一个范围，另外一个特殊位置呢，是它在与顶点重合的时候。顶点我们看一下它的函数。解析式啊，是 y 等于 x 的 平方减二 x， 既然它这条线段经过我们的顶点了，那么它这条线段或者说点 m 的 哪一个坐标跟我们顶点坐标是一样的呢？应该是它们的动作表一样，所以我们去写出来点 m 的 一个动作表。 m 与顶点纵坐标相同， 因为在一条横线上，所以它的顶点的纵标纵坐标是多少呢？解析式是 y 等于 x 的 平方减二， x 进行配方之后呢，是 x 减一括起来的平方，然后呢再减一， 所以他的顶点坐标是一个一逗号负一，他的纵坐标是负一，所以我们得到了 y， m 等于的是负一，然后 m 在 谁上边呀？怎么得到 x m 呢？因为 m 在 我们的直线上，所以把 y 等于负一 带入到直线的解析式当中，也就是 y 等于负 x 加二当中解得我们的 x 就 可以了。 s 此时等于的是三，所以 y x x y， 所以 x m 等于的是三。 那么综上，我们 m 呢，它的横坐标的取值范围就可以知道了。 x m 小 于二，大于等于负一 或 x m 等于三，一个范围加一个特殊值。这是我们二一年的这道题啊，所以这五道题来看，其实就是二一年和二五年一头一尾。这两道题稍微有点难度， 因为一个涉及到动点，一个涉及到分类讨论，其实它也是一个分类讨论啊。然后中间的是三个应用题，是非常简单的，这是我们二次函数的一个考察啊。
258橙子老师-初中数学
06:14查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是二次函数图像，本期视频延续，继续给大家讲二次函数图像。二次函数图像一般是 c 为坐标的焦点，平移规律是选择题重点，结合公式理解。一起来看到真题， ok？ 哈喽，同学们，欢迎来到郭老师的中考真题分享时间。今天我们依然延续之前讲的函数图像问题，别和图像分析留下结论。 ok， 看到这里，题目交代给我们的条件已经全部结束， 包括图像也给了我们。这种题一般都是给你几个选项，判断正确与否。 首先，看完题之后，我们要分析 a、 b、 c 还有它们的大小关系，以及它们的正负，看图像开口向上，所以我们能得到哪些信息？第一个， a 等于零，对称轴与外轴交于点， c， c 在 外轴下， x 轴下方下方， c 等于零。 我们有一个 a 五零，根据 x 轴对称轴， x 等于二，能判断出另外一个点与 x 轴交于负，一对不对？那根据对称轴， x 等于二，又可以得到负的二， a 分 之， b 等于二等于 b 等于， 或者说负， b 等于 b 等于零， ok， 那 a 乘以零，除以一个小于零，是不是大于零？ ok， a 加 c 大 于 b， a 加 c 大 于 b， 你 看 哪一个什么等式啊？把 a 点五零带进去，零等于二十五， a 加上五， b 加 c 吧，或者我们负一零带进去，这样好算一点对不对？另外我们都是系数，都是一或者负一，对 不对？好，我们试一下，你负一零带进去，零等于负，一减一对不对？ a 加 c 是 不是等于 b 啊？ a 加 c 大 于 b 就 等于大好。第三个， x 大 于零的时候， y x 增大而增大， x 大 于零，图像在这里，这一段从 c 点开始，先减小再增大。为什么？因为我们的对称轴和右边对不对？好， 所以第三个也是错的。这若一次函数 y 等于 k， x 减 d 等于 图像经过点 a， 依次按数，经过点 a， 经过点 a， 那 么我们要判断什么？它的不是开口，依次按数，不是开口。是与 y 轴交于上半轴还是下半轴，对不对？因为什么？我们的 k 现在暂时不确定大小， b， b 知道吧？ b 小 于零对不对？ b 小 于零，减去个 b 就是 加上 b 对 不对？再加上一个正数，所以一定适合 y 轴交于上半身的。第三个图像大概就这样的， 点 a 过 x 过 y， 轴是满轴，所以 k 是 不是小于零？ k 小 于零， b 小 于零，那是不是在第三项线正确好看？第五个，若 m 是 抛物线的顶点，你们能知道 m 是 多少？二是不是？首先是二， 表示公式， a 分 之 a 乘以 b 方， b 能不能用 a 来代替？用 a 来代替什么？我们上面都有 a， 不是 写一下 a， c 减 b 方变成四 a， 我 们四 a 等于一样， b 方呢？ b 方就是 b 方这边平方，找到这个 平方等于十六平方吧，对不对？少于四 a 是 不是还是四 a 是 等于 c 减四 a 吧，他们是二 c 减四 a， c 减四 a， 那么根据这里的已知条件， a 和 c 的 关系是不是看 a 和 a 和负 b， a 等于好，这里有和 b 等于啊， b 加上等加 c 等于零，对不对？负零吧， 得到什么？六角 a 吧，是不是六角 a？ 为什么要去求顶点坐标？因为 m 垂直于 a， m 二直角三角形吧，是不是在这里面就有呢？涉及到从合引力跟距离求出， 求出 a 之后，我们 b 是 不是也能求出来？好，我们一起试一下 c m 的 长度是多少？或者说 c m 的 平方是吗？ f f 在 平方加上 y 则在三点，那 c 我 们知道是负 a 吧。第二，这里是负 a 负七对不对？二九 a， 零是二减零的平方，二平方加一九 a 减去五 a 了，然后看 am am am 平方五减二三个平方加上一九 a 的 平方吧，或者是九 a 的 平方， 这里面是一张平方。正负二等于什么？是不是等于 ac 的 平方？他们两个相加，这个加这个 ac。 好， 一起来分解一下，分解加 二十五加上二十方，那么二十五 a 方八十一加十六是九十七，九十七减去二十五， d 减等于什么？二十五减十三吧，二十减三 直接除以十二六。 a 方 六分之根号六吧啊 a， a 等于六分之一，因为 a 大 于零，等于 a 方，等于六分之一，等于六分之根号六，等于根号六，乘以一个 负四吧，那负的三分之所以五正确啊 c 吧。
48玩转数理的老顾
01:10查看AI文稿AI文稿初中数学二次函数总丢分，大题不会做，最值总算错！今天老师教你纯投分套路，不用死刷题，考场直接能用！首先牢记区间最值必考套路，不用复杂配方就三句， 取直范围包住对称轴，最直就在顶点。取整个范围都在对称轴左侧，直接看两端端点，整个范围都在对称轴右侧，照样端点定最直，秒杀应用题，再记住大体减分诀窍， 就算做不完也能白拿一半分！先写对称轴和顶点坐标，再写开口方向判别式，最后设解析式，列方程放那就行。中考是踩点给分， 写一分就得一部分，千万别空题。最后选择填空扣分技巧，不会就做。带 x 等于零，一负一带入直接排选项。图像题先判断 abc 符号，快速排错答案， 动点面积就三不舍，坐标表边长列函数照着模板套，稳稳拿分，觉得有用赶紧收藏，考试直接用！
02:55查看AI文稿AI文稿二次函数实际应用轨迹问题同学们，接下来我们来看一道二次函数的实际应用，一道轨迹问题啊，也是我们常见的喷泉的问题。要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管 o a， 并在水管顶端安装一个喷水头，喷出的水的形状是一个抛物线型的，若给出水柱的高度和水平距离之间的一个表达式，那么我们来看啊，他这个表达式给的非常的有用啊，为什么呢？因为他给的是顶点式， 那么我们先把这一个图像大概再给他画出来啊，既然他考二次函数，我们必须得利用他的图像来解决一些问题啊，能够简化一些我们的计算量。那么既然有一个初试的一个喷水高度，那么我们肯定这一个喷泉的问题得这样去画他的图像。 那么这个 a 点就指的是耗物线与 y 轴的一个交点，也指的是这个喷水头的一个位置啊。那么和 x 轴的交点，比如说是点 b 吧，那么此时 o b 的 长度，它就代表的是 喷水的一个最小的距离。第一个它说水柱落地处距离池中心 o 的 距离为三米，也就是让我们求什么呀，点 b 的 横坐标呗。 这一个应该很简单，另 y 等于零就可以了，另 y 等于零我就可以得到了一个方程，大家注意一下啊，这个方程当中 x 减一括起来的平方千万别展开，我们先把三给它移项，得到一个负三等于负的 四分之三倍的 x 减一括来平方，然后呢，在两边同时乘以一个负的三分之四，那我就可以得到 x 减一括起来的平方就可以了，在这我们直接开方啊，就能得到 x 减一等于正负二，所以第一个应该是 三，第二个应该是负一，但这一个我根据图可以直接舍掉，所以点 b 的 坐标三都是零，那么喷出去的最远的距离就是三米。第二个水管 o a 的 长度，这个也比较简单，令 x 等于零就可以了，那我就可以得到， 把 x 等于零带进去就可以得到 y 就 应该等于负的四分之三加三，把它解出来就是四分之九， 二点二五米，这个也是正确的啊。那么第三个水柱到达最高点的高度是三米，那么我们来看一下啊，它给的水柱的 顶点解析式，我们很容易能读出来，它的顶点坐标应该是一到三，所以最大的高度就是三米，这个也没问题啊，所以答案应该选择的是 speed 选项。
37小Lin讲数学
03:29查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是子木，一起来看这道选择题。 呃，题目中给了一个一次函数，还有一个反比例函数，它的在第二项线有两个角点，那通过这句话能判断出来 c 是 大于零还是小于点啊？ c 小 于零吧，为什么？因为我们说反比例函数的通常表达式是 y 等于 x， 分 之 k 哦，当我们的 k 大 于零的时候，它在一三项线， 当我们的 k 小 于零的时候，在二四象限有两个焦点，而且这两个焦点都在第二象限，所以我们这个 c 的 话一定是小于零的啊。这是我们判断出来第一步。那第二步，接下来判断一下 a 和 b 的 一个 大于零还是小于零，它在第二象限有两个焦点啊，第二象限有两个焦点。 那我说明什么呢？我这个函数图像应该是这样的哦，那也就是说，我们看这个一次函数， y 等于 a， x 加 b， 它是什么？ a 大 于零的哦，斜向上的啊，从左往右，斜向上，是个单调递增函数，所以 a 大 于零哦。 a 大 于零，然后交在 y 轴的正慢轴，所以 b 也是大于零啊。是这样的，如果是斜向下的话，那是不可能有两个交点都在第二根弦啊。然后接下来再来看一下，看一下哪个来着？这个 好，还有一个横交点，横坐标是负一啊。交点横坐标是负一是啥呀？我们把 x 等于负一啊，把 x 等于负一代入， 代入到一次函数和反面的函数里面，是都成立的吧。也就说 y 等于负的， a 加 b， 然后另外一个 y 等于多少？ y 等于负 c 啊，然后我们是不是可以推出来是什么？ 呃， b 等于呃，不对，应该是 a 等于什么？ b 加 c 吧， 是吧？那也就是呃 b 加负，负 a 加 b， 负 a 加 b 等于负 c 嘛？然后移项一下子，然后 a 等于 b 加 c 啊， a 等于 b 加 c。 好， 然后接下来再来看一下他说二次函数的图像可能是什么？首先看一下，咱们说 a 大 于零， b 大 于零，那么开口向上，开口向上的话，从 a、 b、 d 里面去选，然后再看一下对称轴，对称轴的话是多少？ x 等于负的二十分之 b 啊， a 和 b 都是大于零哦，负的二分之 b 呢，是小于零哦，所以的话 a 和 b 里面去选对应轴是小于零的，对应轴小于零的话，接下来我们看一下这个判断，跟 y 轴的一个焦点的话，其实根本就不需要判定了。为什么 跟 y 轴的焦点的话是负 c 啊？ c 小 于零，负 c 大 于零，所以它交 y 轴的正半轴，而且 ab 两项选项都是交 y 轴的正半轴，所以这一项的话可判可不判。然后接下来我们来看一下，到底是 a 还是 b 呢？这边有一个负 e 啊， 然后我们把负一带进去啊，到底这个底呢？这个地方的话，就 x 等于负一的时候， y 等于零，那这个地方的话 x 等于负一的时候， y 小 于零，那我们把 x 等于负一带进去，带进去看一下是个什么情况。等于负一的话，就是说 y 等于 x 等于负一时， y 等于多少呢？ y 等于 a 乘以括号负一的平方加上 b 乘以括号负一，对吧？减 c 等于多少呢？等于 a 减 b 减 c， a 减 b 减 c 来看，这儿 a 等于 b 加 c 啊，所以呢，等零哦。好，然后可以可以判断出来吧？等于 a 啊，选 a。
17子木
02:58查看AI文稿AI文稿清晨的马路上，汽车保持匀速向前行驶，时间在悄悄流逝，车子开过的路程也在不断增加，这两个变化的量之间藏着一种固定的对应关系。 上节课我们已经发现，路程和时间的关系可以用式子 s 等于六十 t 来表达，只要给出一个行驶时间 t 就 能唯一确定对应的行驶路程。 yes！ 我们还可以把这些一一对应的数值整理成一张表格，用罗列数据的方式呈现，直观又清楚。不用计算，一眼就能看出不同时间分别行驶了多远。如果把这些对应的数值放到平面直角坐标系里，描出一个个点，再把点连起来，就会形成一条完整的线条。 这条线条又能告诉我们哪些隐藏规律？接下来我们一起探求其中的奥秘。 同学们，路程和时间的关系能用式子表格和图像表示，很多函数难以用式子清晰表达，但图像能一眼看懂，即便有式子，配上图像，变化规律也更直观。今天我们就来学习如何画出函数，通过图像读懂函数的变化规律。
42阿峰
05:43查看AI文稿AI文稿各位，只要你学了二次函数这一类题，一定是你绕不开的一道题，它一般出现在选择或填空的后两道题。今天韩老师给大家总结出二次函数图像，全部的考点一共只有这八个，我们来一一讲解。 各位，只要你学了二次函数这一类题型，一定是你绕不开的一道题，它一般出现在考试的选择题后两道或填空题后两道。它的种类有很多，今天韩老师给大家一次性总结出来，一次性讲解明白。 首先我们看这个图像，通过这个图像我们能知道哪些东西？这是一个关键点，因为这种题它一般来说只会给一个图像和 x y 的 一些焦点。 好比如说看这道图像，他告诉我们，开口是向下的， a 大 于零，开口向上， a 小 于零，开口向下，所以第一个 a 一定是小于零的， a 小 于零，我们知道了。然后呢，我们要再观察谁对称轴，对称轴。对称轴的公式有两个，一个是什么，一个是负二分之 b， 还有一个是什么？二分之 x 一 加上 x 二， x 一 加 x 二是什么东西？ x 一 加 x 二是与 x 轴两个交点的横坐标之和，对不对？好， 负二加四等于二，二除以二等于一，说明这个点是一。对正轴是 x 等于一的，对正轴 x 等于一。好，我们来看，我们可以知道哪些东西负二， a 分 之 b 等于一，那它是大于零的。我们知道 a 小 于零，二 a 就 小于零，负二 a 就是 大于零，因此 b 也要大于零。 好，再接着看，我们还知道哪些东西呢？负二分之 b 大 于零。哦，这里也可以填上。好，接着再看。负二是它的一个解，四是它的一个解，说明它有两个解，两个解说明它的的平方减去 c， c 一定是大于零的。好，再看， 我们知道了 a， 知道了 b， a 小 于零， b 大 于零，那 c 是 什么？ c 很 简单， c 是 与外轴的交点， c 是 与外轴的交点，这个长度也叫做什么拮据， c 是 与外轴的交点， 因此 c 肯定是大于零的。好，接着我们知道， a 小 于零， b 大 于零， c 大 于零， 大于零乘以大于零，依旧大于零。大于零，再乘一个小于零，那就是小于零。所以说 a、 b、 c 小 于零，那 b 等于多少 a 呢？ b 等于多少 a 呢？哎，这道题简单，我们刚才已经算过了，负二， a 分 之 b， 它是等于一的，因此 b 就 等于负二， a， b 就 等于负二， a。 好，紧接着看第四个， a 加 b 加 c， 哎，我们的函数是什么？我们的函数是 y 等于 a， x 的 平方加 b， x 加 c， 其中 a 是 不等于零的，这是我们二次函数的一般式，对不对？哦， 这变成一个函数了啊， a 是 不等于零的，然后它出现了 a， b， c， x 都没了， x 没了吗？不， x 是 等于正负一了。如果 x 等于一，那这个式子就变成了 a 加 b 加 c。 我 们来观察， x 等于一， x 等于一。在这里，这是 x 轴，它的 y 值是大于零的，因此 a 加 b 加 c 大 于零， a 减 b。 哦， a 减 b， 为什么这是减呢？说明他的 x 是 等于负一啊，负一的平方依旧是正，所以说 a 的 符号不会改变，那负一往里带入负一，一定在这里，负一上方也是大于零的。横里四， a 加二， b 加 c， 哎， x 变成了四二，哦， 那说明他 x 带的是谁？正负二。但我们观察 b 前面是正的，说明他带的是正二，正二在哪里？二在这里，因此他也是大于零的，所以减二 b， 说明他带的是负二，负二是等于零的。 四 a 加 c， 哎，这就是一种很重要的题型，我们遇到的都是 a b c， 他 这里怎么变成了四 a 加 c 呢？他没有 b 了，他 b 消掉了，那我们也要把 b 消掉，我们怎么消呢？我们知道 b 是 等于负二 a 的， 利用对称轴，我们可以找到 b 和 a 的 关系，那四 b 是 等于负二 a， 那 本身我们来看 ac 都在，如果他出现了是四 a， 我 x 要等于二，那我二代入是不是二 a 啊？四 a 加二 b 加 c， 二是大于零的，这个是不是大于零的？他的二 b 换成什么了呢？他的二 b， 我 只要给他换成什么？ 负四 a， 四 a 加上负四 a， 是 不是四 a 减四 a 没了，因此四 a 加 c 是 大于零。 对，只是把 b 给削掉，削掉换成什么？换成 a 来表示？好，这是我们一般来讲最后一个一定考的是这个东西。 am 方加 b， m 怎么怎么样？小 a 加 b， 有 时候题目会告诉我们大于等于，有时候是大于，有时候小于等于，有时候是小于，那到底是怎么样呢？我们要观察整个函数， a 加 b， a， m 方加 b， m 都少了一个谁都少了一个 c， 我 们可以把 c 都给他们加上，常数项的 c 也漏掉，都给它加上。哦，这样的话，它是不是就是 x 等于一，它是不是就是 x 等于 m？ 我 们观察 x 等于一的时候，是我们的对称轴开口向下，它作为一个最大值的存在，那不管以 m 为任何数， 你是不是都要小于等于我，当你 m 等于一的时候，哎，咱俩刚好相等，因此这里应该是一个小于等于。好，这就是阿次函数图像所有考答的知识点。
40韩老师的数学课
