今天我们来看七年级下册考题，我们先来读题，如图， ab 平行于 e f， 这个角， c 呢等于九十度， 然后让我们求阿尔法贝塔还有伽瓦之间的数量关系。很多同学一拿到这个题呢，就不会做，其实呢，我们这种平行的题呢，只要做好辅助线，这种题就可以很快的出答，那这条辅助线该坐在哪里呢？ 我们看我们现在已经学过了两个模型，一个是猪蹄模型，还有一个是铅笔模型， 这次我们要用到的是猪蹄模型，我来给大家讲一下，像这样子的这两条线要平行，像这样子的模型，这样子的样子，他们就是猪蹄模型了，那猪蹄模型的结论是什么呢？这两个角相加等于这个角， 那我们来给大家看一下这个证明过程。我们在这个中间这条线上做一条辅助线，平行于这两条线， 那么我们来看他，既然我们先看，先看上面，他既然平行于这条线，那么内侧角相等，这个角应该等于上面这个角，我们再把上面遮住，看下面这两条线既然也平行，那么这个角也等于这个角， 那这两个角一加是不是就是这个角，也就是说这两个角加起来就等于这个角，那既然都知道这个模型了，我们要在这里构建模型就很简单了，我们在这里做一条辅助线， 平行于这条线，它既然 ab 平行于 e f， 那 同样也平行于这条线 啊。既然知道猪蹄模型了，我们现在就可以一眼知道角阿尔法加这个贝塔，但是大家要注意哈，这个贝塔，这个角是被我们的辅助线所分割了的， 那么我们看分割的这一部分，先不看上面他俩平行，也就是说那头角相等，这个角等于伽马， 这个角贝塔减去伽玛就等于角 b c d， 也就是角 c， 这个角 c， 题目中告诉我们等于九十度，所以说这里应该是九十度， 呃，那既然都求出来是九十度了，我们可以把括号拆开，角阿尔法加角贝塔加角，然后减角伽玛 等于九十度，这个就是数量关系了，但是在做题的途中，大家要注意点细节，比如说这个角阿尔法，角贝塔和角伽马，我们看平日里我们可以写成角阿尔法加角贝塔，但是呢，题目中给我们给的是角阿尔法，那么我们就要 逼着题目的来，题目中给你的是角尔法，那么你就要用角尔法，所以说我们把得到这条结论写上去，角尔法加角贝塔减角伽马等于九十度，所以说这道题我们就做完了，兄弟们点赞关注，一起进步！
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05:15查看AI文稿AI文稿家长们注意了啊，在我们初一平线这个章节，很多孩子丢分严重，核心原因是因为孩子们刚接触几何问题，不知道该如何去做辅助线。在我们平线这一模块，我们一共有五大模型，一大辅助线的做题技巧， 今天刘老师一个视频让你通透如何来通过拐点做平行线了解这样的题型。我们来看如图， m a 平行于 m a 五这条线和 na 五这条线是平行的，则角 a e， 角 a 二，角 a 三 a 四 a 五，这五个角之间啊，有怎样的数量关系？那么这道题啊，在考试中往往会出现在材料探求题里，那么他会给你一段材料，给我们一个什么猪蹄模型， 对吧？题中会告诉我们，哎，过这个点来做条辅助线， 让我们来探究角一、角二以及这个角三的关系，是吧？我们叫做过拐点做平行线啊，像我们平行线模型中都是过拐点来做平行线，推到角和角之间的关系，我们做完之后，我们就知道这个是角一，所以这个角 也等于什么角一。这个角二啊，因为两直线平行，内侧角相等，两直线平行，内侧角相等， 一和一相等，二和二相等，所以一加二就等于角三，所以角三等于角一加角二。也就是刘老师上个视频说的，猪 蹄模型中的蹄尖尖之合等于蹄丫丫是不是？好了，那有了这个理论基础，我们再来看这一题，这是猪蹄锯齿形啊，它像一把锯子的尺子一样，是吧？所以我们把它叫猪蹄锯齿形。那这种问题我们该如何处理呢？那同学们来看一下啊， 我们就做过拐点去做什么平行线来推到我们最终的什么结论，好来看过 a 二啊，大家有了主体模型，我们可以直接过 a 三， 我们做这个点来做平行线，我们就会发现啊，这个圈加上这个叉 是等于什么角 a 二的，对吧？提尖尖对吧？现在上面是一个猪蹄，下面是不是也一个猪蹄？提尖尖之合等于提丫丫？对，那么这三角形加这个角是等于角什么 a 四的啊？也就是圈加叉是等于角 a 二， 对吧？那么三角形加这个圆提尖尖之盒等于提呀呀，应该等于角 a 四，所以啊，我们把左边先加，是不是应该等于右边先加好？等式的基本性质啊，来，也就是圈 加叉啊，再加上啊，这不是圈，我们用正方形啊，正方形圈加叉再加上三角形，再加上正方形，应该等于角二加 角 a 四啊，是角 a 四，好了，圈叉三角正方形，我们来看圈就是什么角 a 加上叉再加上三角形就是角，什么 a 三再加上正方形就是角，什么 a 五正好等于角 a 二加上角 a 四，是不是这样？我们就推导出了一二三四五这五个角之间的一个吗？数量关系，我们来观察一下，那么 a a 三 a 五正好是什么？这些角都是什么？ 向右边是不是凸出来的啊？所以这叫什么角？叫右凸角，右凸角之河 是吧？向右凸出来的 a 一 a 三 a 五，他这个角角尖的指向是不是要向右好，等于什么？ a 二加 a 四，这些脚尖是不是都向左指？那么等于什么？左凸角 之合是不是？同学们，好，这就是我们猪蹄句式型的什么最终的结论啊？叫做右凸角之合等于左凸角之合。好，但是一定要注意，上下这两条线一定要互相什么平行。好，那下次考试再遇到这样的变形。好，我们来看 这两条线平行。首先平行，那咱们来看一二三四五六七 八九这几个角之间有什么关系，我们就会发现一三五七九是不是右头角之合等于左头角二四六八这几个角什么之合？但是他有可能会问你，角一加角三加角五加角七加角九， 减去角二加角四加角六加角八等于多少度， 是不是一个道理？我们知道这些角是和等于这些角是和，所以他们的差为什么零啊？像这样的题我们一定也要注意是吧？往往出现在大题的材料探牛题中啊，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路！
04:27查看AI文稿AI文稿七下数学关于平行线一共四大模型，我们今天这个视频重点来给大家讲一讲猪蹄模型它背后五大辅助线构造的逻辑。那么条件呢，就是已知 ab 是 平行 c d 求角 a， c 是 等于角 a 加上角 c 的， 那么这五大辅助线工作的技巧呢，最终都来自于咱们课本上讲的叫同位角同旁内角和内侧角它的等量关系。所以呢，这类题目证明的核心就是找到题目中关于频线包括三角形它们之间的等量关系来进行证明。当然听完这个视频，我们把五大 他的辅助线工作的技巧搞定之后，关于他的经典题型的汇总，杨老师呢，也给大家做了系统的梳理啊，家长朋友们，咱们可以 打印出来带着孩子呢去举一反三，系统电可以呢，直接带着孩子去冲刺咱们的高分哈。好，我们来回到这个题哈，已知 ab 是 平行 cd， 那 么这个题呢，出现了一个拐点的问题，我们之前讲过，遇到拐点的问题呢，往往是构造辅助线来去构造平行，那我们这个点 e 哈 构造辅助线可以往左边进行构造，这是大家想到了最常规的过 e 点 e 构造 e f 平行 ab， 当然我们也可以过点 e 呢，往右边做 e f 平行 ab。 当然这个题里面呢，我们也可以把 a e 呢给它进行延长， 把 a e 进行延长，延长交 c d 点与一个 f， 当然我们也可以把 c e 进行延长，交 ab 与 f。 所以 这个里面呢，应该有两个辅助线构造技巧。 最后一个呢，应该是我们可以直接把 ac 给它进行连接，我们最终要勾作的就是两条平行线被第三条线 ac 所截的这个逻辑。那我们先来看第一个里面啊，这个证明比较简单，因为 ef 是 平行 ab 的， 我们上面这个角即为角一，下面即为角二，那角一呢，是应该等于角 a 的， 那角二呢，应该是等于角 c 的， 那左边加左边角一，加角二就应该是角 ac 的 大小，那右边呢，就应该是啊， 角 a 加角 c， 也就是我们这个题目中呢，找到了两个等量关系，把这两个等量关系进行相加来去 最终求证。那第二个同样的思路哈，我们可以借助角 a 和这个角 a、 e、 f， 也就是角二，是一个叫同方内角互补的关系，那同样的，下面这个叫角 e 和角 c 呢，也是一个同方内角互补的关系，这是两个等量关系。那除了这两个等量关系之外呢，还有一个叫 角 a、 c 加上角一，再加上角二，它是一个周角，等于三百六十度，借助这三个等量关系就可以实现证明。当然有的同学说，老师这些证明方法里面它是最简单的，我只想学它。这个方法我觉得太复杂了，其实本质上来说不在于复杂，因为我们真正在考试过程中呢，像这种题目真正直接出到这个结论的，很少 情况下会出现一些比较复杂的形式，如何来去分析他的等量关系？我们实际上通过这个视频教会大家的。是啊，所有的辅助线构造技巧背后，回到平行线，回到三角形，都是要找三角形内角和是一百八，找这个平行线里面的 同位角、内错角和同方内角的等量关系，也就是你要学会去列等量关系，把式子列出来，它的结论呢，就显而易见。那同样的第三个哈，我延长 a、 e 交 c、 d 与 f， 那 这个时候构造的等量关系呢，是 a、 b 和 c、 d 平行，那我们可以借助哎，这个题里面叫内错角 啊，角 a 呢，和这个角 e 呢相加啊，角 a 和角 e 应该是内错角，它应该是相等的，角 a 等于角 e， 那 同样的这个角 e 再加上角 c， 再加上这个角 c、 e、 f 呢，它应该是一百八十度。当然这个 a、 e、 c 加上角 c、 e、 f 还等于一百八十度， 通过这三个等量关系就可以实现证明。当然我们如果把 c、 e 往上延长也是一样的道理。那最后一个呢，我们直接把 a、 c 连接起来，那这个时候咱们会发现哈，这个题里面有一个三角形，这是角一，这是角二，这是角一。 角一加角二加上角一呢，是等于一百八十度。然后呢，这个题里面角一加角三加角二加角四，这两个角相加呢， 又是等于啊一百八十度逻辑哎，所以通过这两个等量关系，我们也可以找到这个 a、 e、 c 呢，应该是等于啊角三和角四的。 所以这种题哈，我们后面没有在单独的去书写哈，但是同学们，你拿出来纸和笔，把它去演算一下，你会发现哈，真正你把这个五五个辅助线的构造技巧搞明白了，比你做二十个题要更管用，因为背后它所体现的是 在平行线构造里面，除了构造平行线，最大的问题就在于找到题目中的等量关系。那么关于这期上的四大类型的经典汇总，杨老师呢，也给大家做了系统的梳理，家长朋友们呢，咱们可以直接领回去带着孩子呢，举一反三，来去系统练关注杨老师思维，开窍拿高分！
44杨老师数学思维
01:08查看AI文稿AI文稿大家好，我是朱老师，上个视频呢，我们讲到了初一数学中的铅笔模型这个视频呢，我们继续讲一下猪蹄模型，大家看看像不像猪蹄。首先呢，题目已知 a、 b 是 平行于 c、 d 的， 让我们探求角 b、 角 o、 角 c 之间的关系，也就是老师标我们这三个角。 首先呢，我们需要做一条和 ab 平行的辅助线。好，上面是角一，下面是角二，因为呢， ab 和这条线平行，所以角 b 是 等于角一的。 题目说了 a、 b 平行于 c、 d， 所以 这条线也会和 c、 d 平行，所以角二呢，是等于我们的角 c 的 角 c 等于角二。所以呢，我们左边加左边，右边加右边，左边加左边是角 b， 加角 c， 右边加右边是角一，加角二就是我们题目中的什么角 o。 好， 那么这三个角的关系呢，就被我们探求出来了。关注朱老师带你解锁更多解析思路，记得点赞和关注哦！
11佛山数学朱老师
02:33查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的呢是平行线的五大模型，那我们平行线的五大模型，它其实核心方法呢？其实就是过拐点做平行线。那我们来看今天的第一个模型叫猪蹄模型， 那我们来看一下，很明显它的拐点啊，原本的样子是 a、 b、 e、 d、 c 这四五个点构成的这个图形，那虚线部分呢，就是我们要画的辅助线，那就是拐点就是 e， 那 在这做已知直线的平行，要么做它和 ab 平行，要么做它和 cd 平行， 自然它就和另外一条边平行，因为我们平行可以传递。那所以呢，我们现在要得到一个什么结论？我们讲模型肯定要得到一个结论，那比如说我们 b、 e、 d 这个角，其实可以把它拆成角一和什么 和我们的角二，是吧？那我们会发现，当 ab 和这条直线平行的时候，角 b 和角一它是内错角，那两直线平行，内错角相等，所以我们的角一和角 b 应该就是相等的。 那同样的，我们会发现这两条平行的时候，角二和角 d， 它也是内错角，那它也是相等的，所以角二就等于角 d。 好， 我们会发现角 b、 e、 d 呢，它就等于角一加角二，那么结论其实就是角 b、 e、 d 等于角一加角二，那就应该等于角 b 加角 d 啊，所以我们的结论其实就是得到了 像这种珠体模型，那么呢角 b、 e、 d 就 等于角 b 加角 d， 也就是这个角等于角 b 加上角 d 啊。那我们来看一下第二个模型叫铅笔模型， 那铅笔模型呢，有点和珠体模型类似，但是它的结论是完全不一样的，一样的，我们要在拐点处做出我们的平行线来，然后呢我会发现一样的把 b、 e、 d 拆成角一和角二，但是我们看一下这两条直线平行的时候，角一和角 b 是 怎么讲？是同旁内角，所以同两直线平行，同旁内角互补，所以我们应该是角 b 加上角一等于什么？等于一百八十度。一样的，那我们这两条直线平行的时候，角二加角 d 也等于一百 八十度，所以角 d 加角二，它也是同方的一角互补，等于一百八十度。那么我们会发现这四个角加起来，所以说角 b 加角 d 加上角一加角二，是不是就应该等于左边加起来，等于右边加起来等于三百六十度？也就是我把角一加角二换成什么角 b、 e、 d， 那 所以就说角 b 加角 b、 e、 d 再加上这个角 d 等于三百六十度，它就和我们第一个模型它就不一样，它的结论，那这就是我们今天要讲的其中两个模型。
55苏老师讲数学
04:32查看AI文稿AI文稿你如果不会，这道题目八十分肯定没有了，这是平行线中典型的猪蹄模型，来，一分钟带你搞清楚猪蹄模型，并且马上应用到这个题目上，记得点个免费的赞，收藏关注一下，方便随时复习。 有小伙伴啊，一看到这个图形就想马上放弃，别慌，掌握猪蹄模型这个套路，这简直就是送分题了。你看啊，一般来说有这样的平行线，中间有这么一个点，你连接完之后，你看这个形状，它是不是很像一个猪蹄啊？那么这就是典型的几何模型之猪蹄模型。 对于猪蹄模型来说的话呢，你首先你需要搞清楚猪蹄模型的一些结论，那么首先呢给大家演示一下，比如说我现在有这么一条平行线，这里也有一条平行线，假如说这里有一个点，然后把这个点呢连一下， 好，这个点呢，我们给他取一下叫点 p， 那 这个角就是角 p， 这个角呢叫角一，这个角呢叫角二。那于是我们就会得到一个结论，角 p 它是等于角一加上角二， 这个结论怎么去证明呢？就是这个角和这个角的和，为什么等于角 p 呢？其实它的证明方式很多，我们可以用一种最简单的方式来给大家证明一下， 你可以在这里呢画一条辅助线，这个辅助线和这个线和这个线是平行的，那么按照平行线它的内错角相等，这个角一是不是就等于它到这来了，这个角二就等于它到这来了？那你看角一加角二是不是就等于角 p？ 由于这整个形状很像一个猪蹄，所以有人把这个称之为猪蹄模型，最终你就要记住角 p 是 等于角一加上角二。好，明白了猪蹄模型的结论。接下来我们来看这道题，他说的是 ab 平行， c d 这条线平行，他好点， p 二、 p 一、 p 都在里面。 角 p 等于四十度，也就是说注意看这个角是四十度。记录一下，角 p 二等于一百三十度，这个角是等于一百三十度。 然后角 p a p， 也就是看一下这个 p a p， 也就是这个角，这个角它是等于三分之一倍的 p a p 二，那就是说这个角是等于这整个角的三分之一。再看这里， p c p 等于三分之一倍的 p c p 二， p c p 是 哪一个呢？ p c p 是 不就是这个角，也就是这个角它是等于 p c p 二这整个角的三分之一。然后要问的是 p 一 的这个度数，也就是他最重要问的是这个角的度数是多少？好，那这个怎么解决呢？你看一下 你这个明显是猪蹄模型吧，那这个 p 角是不是就等于这个角加上这个角，然后这个地方的 p 二角是不就等于这整个角加上这整个角？ 咦，那你看这个 p 二角，它是等于这整个角加上这个角，这个 p 角是等于这个角加上这个角，那我们是不是又能找出这个角和这个角它的和，为啥呢？你这整个角减去这边，那不就等于这个角加上这个角的和吗？这个我们是可以算一下的，对不对？ 那这个角和这个角的和找出来了之后，由于这个角和这个角有关系，这个角和这个角有关系，我们到时候大概就能够想办法把 p 这个角它的这个角度找出来了。好，是这么一下，首先呢，我们可以用这个角 p 二来减去角 p 好， 那这个呢，它其实就是等于这个地方的一百三十度，减去这个地方的四十度，那明显就等于九十度。 好，这个九十度呢？我们刚刚已经分析过，它其实是这个角和这个角的和了，对吧？然后呢，我们把这个角呢给它设出来，比如说这个是阿尔法， 那这个 r 法呢？它是等于这整个角的三分之一，那明显的我们就知道这个地方的角是二 r 法。如果这个角呢，我们设置为 beta， 那 这个就是二 beta， 那 我们就知道，你看这个 r 法加二 r， beta 加二 beta 合起来是不是九度？我们就能把这个 r 和 beta 它的这个关系找出来。那怎么做呢？ 你看三 alpha 加上三 beta， 它就等于九十，那我们就能够知道这个 alpha 加上 beta， 它明显就等于三十度，因为你前后都除以三，那这个地方是不是就是 alpha 加 beta 等于三十度？ 好，注意这个阿尔法加这个贝塔是等于三十度。那么接下来他又要求的是谁？他要求的是不是这个角 p e 啊？那 p e 等于多少？你看一下这个 p e 是 不是应该等于这个角，然后再加上什么？这个角按照主体模型对不对？那这个里面的阿尔法和这个贝塔已经等于三十度。我们现在是不是只需要知道这个角和这个角的和， 而这个角和这个角的和，它是不是正好是等于角 p e 啊？四十度啊？那换句话说，角 p e 等于多少？那这个角 p e 它是不是就等于了 这个角 p 加上什么阿尔法，加上什么贝塔？那角 p 是 不是就正好是等于四十度？阿尔法加贝塔是不是等于三十度？ 合起来是不是就等于七十度？那这个题的答案是不就是 b 七十。搞明白了吗？知道了，猪蹄模型你再来解决它是不是容易很多？搞明白了记得点个关注，下个视频我们会继续见，拜拜。
69磊哥大牛数学
02:13查看AI文稿AI文稿已知直线 a、 b 平行于直线 c、 d。 点 e 为两平行线之间的一点连接 b e 和 d e。 求正角 b 加上角 d 等于角 e。 思考三秒开始解答。 首先，我们在平面上画出两条相互平行的直线段 a、 b 和 c、 d。 接着在两条平行线之间取一个点 e， 并分别把点 b 和点 d 连接到点 e， 形成一个折线。我们要探究的是这里的角 b、 角 d 与中间的这个角 e 这三个角之间的数量关系。 解决这个问题的关键是做辅助线。我们过拐点 e 向左做一条射线 ef， 让它平行于线段 ab。 因为 ab 平行于 ef。 根据两直线平行内错角相等的性质，我们可以得到上面这个角 abe 等于角 b ef。 又因为已知条件告诉我们 ab 和 cd 是 平行的。根据平行线的传递性，辅助线 e、 f 自然也就平行于 cd。 同样的，因为 ef 平行于 cd， 有 两直线平行内错角相等，可得出下面这个角 c、 d， e 等于角 d、 e、 f。 现在我们整体观察一下角 b、 e、 d。 很 明显，它是由角 b e、 f 和角 d e、 f 这两个小角拼接而成的。 我们将刚才得到的相等关系代换进去，就可以得到角 b e、 d 等于角 a b、 e。 加上角 c、 d、 e。 这就是我们要证明的结论。角 e 等于角 b。 加角 d。
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01:18查看AI文稿AI文稿快来看啊，七年级最难的猪蹄模型了，终于讲透了啊，你看啊，原来猪蹄凹进去的这个角呢，就等于两个尖角之盒。有了这个结论以后呢，填空选择简直是秒出答案， 不用复杂推导啊！还有这个铅笔头模型呢，也是旗下的重难点，当时呢，我儿子在课堂上没听懂啊，回家看完他呢就直接秒懂了啊！说句大实话呢，初中的几何根本就不用补课，你只要盯紧孩子去吃透这六十八个模型， 初一呢，直到初三，根本就不需要担心他的数学成绩了啊！比如说七下重点模型，八字模型，你就记住这个结论啊，上面两个内角盒呢，等于下面两个内角盒。再比如说八年级必考的手拉手模型，你只要碰到这种双等腰三角形， 且顶角呢共用一个顶点的，那他们的顶角呢，就是相等的，同时呢，拉手线也是相等，这样以后考试碰到相似的模型呢，直接就可以套用这个模型结论做题呢，又快又准。 每一个模型呢，它不仅有公式速记，还教你怎么去画辅助线，就连模型的证明过程呢，他也讲的清清楚楚，让孩子呢看得懂，学的会再搭配变式的模型，学会举一反三，无论考试题目怎么变呢，孩子都不怕啊， 每天呢，跟着视频去学透一个模型，不用两个月啊，整个初中的几何呢，都逃不出孩子的手掌心，初一到初三呢，都能用啊，抓紧让孩子学起来吧！
06:03查看AI文稿AI文稿好，各位同学，我们来看一下专题八，三线八角的一个模型构造猪蹄图。 呃，感谢各位同学的一线三年点赞转发收藏啊。好，我们来看下这道题，这道题的话呢，其实就是猪蹄模型嘛，这就是我们上课一直说的猪蹄模型，也就是 m 型啊， 就是图像是这样子啊，这是像猪蹄吗？对吧？也像 m， 对 吧？然后呢，这个东西的话，他会有一个固定结论，就是角一加角二等于角三的。好，来看一下这个证明逻辑啊， 这个因为 a、 b 跟 c、 d 平行，然后他让你去证明这个结论嘛，这个过拐点，这个突出的这个点过这个拐点做平行线，就是过 e 点做 h、 e 平行 a、 b， 那 这样的话呢，角一就挪到了什么 a、 e、 h 身上，这， 然后呢，角二的话呢，就挪到了什么？就挪到了 h、 e、 c 身上，对吧？那这样的 a、 e、 c 就 等于角一加角二了啊，也就是所谓的角三等于角一加角二。那第二题 他让你去证明角一加角 f， 就 角一加角 f 等于角 a， 加角 g 加角 c， 那 这个证明逻辑跟第一道题证明逻辑是一样的，同样的，过拐点做平行，过 e 做 h， e 平行，过 f 做 f， k 平行，对吧？ 那这样的话就是 ab 平行， h， e 平行于 gp 平行于 k， f 平行于 c、 d 了，对不对？好，然后的话呢， 我们来看一下，角一就等于角二，角五就等于角六，角七就等于角八，角三就等于角四，对吧？好，然后呢，他是问的是，呃，角一加角 f 吗？这个地方的一点和 f 点都已经被破坏掉了，所以说你应该写成 a， e， g 和 g、 f、 c 的 形式， 他们就等于什么呢？角二加角五等于角八加角三的，对不对？然后的话呢，角 a 加角 egf 加角 c， 就 等于角一加角六加角七加角四的，对不对？好，那你就看一下等量关系嘛， 角一跟角二是相等的，角五跟角六是相等的，角八跟角七是相等的，角三跟角四相等的，所以说这个等量关系就成立了。啊，啊，就证明完了。好，第三题的话呢， 两种方法，第一种方法的话呢，就是它是这个角是等于三十嘛？那对顶过来就是 b、 f、 g 等于三十， 呃，然后 f、 g、 h 这个等于九十，然后这个 h、 m、 n 这个角等于三十，然后这个角等于五十呢？对，你过来是 m、 n、 d， 也就等于五十了，对吧？然后他要去求这个什么？他要去求这个角 g、 h、 m 这个角的度数，那这个度数的话呢？ 法一过拐点做平行线，过 g 点做平行线，呃，过 m 点做平行线，对吧？好，那因为它是三十，那它是不是也是三十？那这个地方是不是六十了，对吧？然后呢？我是过 m 点做的一个什么？我过 m 点做的这个 q、 j， 呃，是跟这个 c、 d 平行的，对吧？那这个是三十，那这是不？这装是六十，那他是不是也是六十？好，然后的话呢？然后呢？因为这这装是五十吧，对吧？这装是五十，那 q、 m、 n 是 不也等于五十？这个角等于五十，好，因为这个角等于三十，那这个角等于多少呢？这个角是不是等于二十， 对吧？它是二十，它是二十，外面是六十，那你说这个角 h 好 不好？求了，好，求了吗？对不对？等于多少度呢？六十减二十等于四十，所以说答案就等于四十度。当然的话，那我们这边说了吗？向右凹的角之和等于向左角凹之和，对吧？因为我们通过图一和图二也简单的论证了一下， 那你就看一下，向右凹的是角积和角 m， 向左凹的是呢？是角 f， 是 角 h， 是 角 n， 对 吧？那 角积和角 m 是 九十加三十，呃，角 f 的 话是三十，角 h 是 要求的。角 n 是 五十，三十加五十 加 h 等于一百二，那 h 等于多少度呢？ h 等于四十度，对吧？所以说法一和法二也是吻合的。好，那我们再看第二题， 第二题的话呢，他就是我们，因为他这个填空题，我们就简单套一下解结论嘛，对吧？呃，三十减 r 法，四十加 r 法，五十减 r 法，四十五加 r 法，七十减 r 法。呃，左边之和等于右边之和嘛，对吧？所以说 r 法算出来等于多少度呢？等于十四度啊。 好，这道题第三题三十，他也是三十，然后呢？这方是九十，然后这方是一百四，他问你这个 g h c 等于多少度？因为这个地方的话呢，他就不像上面的这种左突右突，非常的明显。所以说我还是过拐点做平线啊，过拐点做平线， 过拐点做平线了之后的话呢，因为他是三十嘛，他是九十，那很明显， g h 这个大角就这个角 就等于多少度呢？等于六十吗？对不对？还等于六十啊。这个角等于六十，那六十的话呢？因为这个角是一百四吗？那下面这个角就是四十，那上面这个角又是二十啊。 好，我们再看这道题，呃，上面跟下面平行，这个角等于九十，这个角等于二十八。呃，这段等于九十，这个角等于四十二度。他问你 r 法等于多少度？那这个就非常简单。为什么呢？因为它这张也是一个标准的。一个什么标准的 m 型嘛？ 这， 对吧？上面是阿尔法加四十五，四十二度，这张是个九十，这张等于二十八度。那很明显啊，这不就是九十减二十八减四十二吗？就等于阿尔法度吗？等于多少度？等于二十度啊？好，这个就是周期八啊。好，讲解完毕。
03:32查看AI文稿AI文稿好，孩子们，今天带着大家一起来研究一下四十二个模型中的第三个猪蹄模型，大家来看一下这个图特别像一个大猪蹄子对不对？那我们条件是什么呢？ a boy 平行于 c dog， 他 问我们的是角 b 加角 o 加角 b， 或者是角 b 和角 o 和角 d， 他 们之间的一个关系是什么？那么我们以后看到这种模型，我首先要告诉大家，这道题至少有六个方法，那么今天我来给大家讲一个解决这一类问题最快的方法。那么记住了啊，我们的方法都是过拐点 做已知两条平行线的平行线。好，那我们就过 o 点做这两条线的平行线，大家会发现，我们做完平行线之后，角一就等于角二，内错角，角三就等于角四，那么这样子的话，大家会发现，原来角 b 加上角 d， 它是等于角 b o d 的。 哎，这个看上去特别简单，那大家有没有想过一个问题，如果说我们这个大猪蹄子中间不是两条线，而变成了三条线， 假设这是 o 一， 这是 o 二，那么这个角，这个角，这个角，这个角，它们之间又有什么关系呢？记住，我们的方法是不变的，我们都是过拐点做已知平行线的平行线，大家会发现角一 等于角二，角三等于角四，而中间的这两个角是不是同旁内角加起来一百八十度？所以说孩子们大家会发现，原来角一 加角三，再加上一个一百八十度，就等于中间这两个角的好。那么我们如果说是有 n 个 o 了， 相当于 n 个拐点。大家来看啊，有一个 o 的 时候是两个线段，有两个 o 的 时候是三个线段，那就相当于 n 个 o 的 时候啊，他就有 n 个线段，那么这个时候他们具备什么特点呢？同样的孩子们，我们都是过 拐点做已知线段的平行线，那么为了能够让大家很好的理解这个模型，大家仔细看这个图，也就说当有两个拐点的时候，我们加了一个一百八十度， 当有一个拐点的时候，我们没有加一百八十度，那当有三个拐点的时候，我们是不是就要加两个一百八十度？好，这个地方有 n 个拐点，那我们就要涉及到 n 减一个一百八十度， 那就相当于 n 减一个一百八十度，我们再加上角 b， 再加上角 d， 那 就等于中间这些角的和，我们把这平行线擦掉啊， 你不擦掉的话，你不能用 o 一 o 二来表示哦，它就等于角 o 一 加上角 o 二加上边边边加上角 o n， 由此我们可以断定，原来当我们发现这种猪蹄模型或者类似于猪蹄模型的时候，我们都是过拐点做平行线， 你听懂了吗？需要罗伯克的请私信找我。
109数学陈老师
00:52查看AI文稿AI文稿一个口诀，秒记初衷。几何辅助线一遇到十五度角，做中垂线连接构造而为角，这里三十度。二遇到一百三十五度或一百五十度角，不只角得到。三遇到四十五度和十五度， 延长辅助线不成。等腰直角三角形得到垂线，得到线段长度关系。 这样有趣的几何模型，这本书里还有很多，把它看完就几乎搞定初中几何了。每个模型先帮你总结的条件和结论，然后是详细的证明过程，最后再用后面的练习题巩固， 由易到难都标记好了，看不懂也有视频讲解，一本可以用三年，有需要的可以准备一本。
00:52查看AI文稿AI文稿一个口诀，秒记初衷。几何辅助线一遇到十五度角，做中垂线连接构造而为角，这里三十度。二遇到一百三十五度或一百五十度角，不只角得到。三遇到四十五度和十五度， 延长辅助线不成。等腰直角三角形得到垂线，得到线段长度关系。 这样有趣的几何模型，这本书里还有很多，把它看完就几乎搞定初中几何了。每个模型先帮你总结的条件和结论，然后是详细的证明过程，最后再用后面的练习题巩固， 由易到难都标记好了，看不懂也有视频讲解，一本可以用三年，有需要的可以准备一本。
00:56查看AI文稿AI文稿小朋友们，我们今天来解决一道关于猪蹄模型的问题，我们来看这道题，如图，直线一，平行于直线二，一块含有三十度角的直角三角瓣，如图所示，放置角一等于二十六度，则角二等于多少度呢？ 那我们现在来看一眼，那这是一个非常典型的猪蹄问题，那两边的这两个角相加，就等于中间这个角，那么呢，先看一眼角一的位置，那角一刚好跟下面这个角是对顶角，下面这个角等于二十六度。 然后我们也能知道，因为这是一块三角板，他最底下是三十度，另外一个角是直角，是六十度，那我们知道中间这个角是六十度，那 二十六度加上角二就等于六十度，那角二就等于三十四度，所以角二等于三十四度。
00:51查看AI文稿AI文稿初一期中考试居然真考到猪蹄模型，哎，我之前几个压轴题根本就做不出来，还好看了他还有铅笔头模型和锯齿模型， 老实说非常重要。接下来的期末考试还会考，我得抓紧学完，这样做题又快又准。你发现了吗？你们初中很多孩子想破脑袋的几何大题，其实只需要一个模型就能解决， 记住他的条件和结论，每次做题的时候直接套用咱就能得分了。你像这种解题大招呢，整个初中他一共有六十八个呢！学而思都给我们总结好了，把这些给练透，几乎可以覆盖整个初中的几何了。七八九年级每一个模型，他都给你总结了条件和结论。然后呢，就是非常详细的证明过程， 虽然考试会考的便是题，他也带你进行拓展，学完了大招，他会再带你去举个例子，手把手教你如何在三分钟之内学会套用模型的结论。最后呢，再用习题去巩固看不懂的题目，他全部都有视频讲解，这一本可以用整整初中三年，家里有初中生的真的很需要他。
03:35查看AI文稿AI文稿好，同学们好，我是泰州二附天明学长，今天我们来学习一下七年级数学里面我们常见的 平行线模型，猪蹄模型。通过了解和掌握此类模型，我们可以快速地进行倒角， 寻求我们的数量关系。好，猪蹄模型又有一个外号叫做 m 型，如图所示，这个样子是不是像猪蹄，同时也像我们的 m？ 好， 它有两个结论， 第一个，如果 a、 b 平行于 c、 d， 我 们可以得到角 b、 o、 c 等于 角 b 加角 c。 好， 它是怎么样证明的呢？过点 o 做一条平行线，那么我们就可以快速的通过两直线平行内错，角相等，角 b 和角 b o、 e 相等，角 c 和角 e、 o、 c 相等。那婴儿我们的这个大角 b、 o、 c 是 不是就等于我们的角 b 加角 c？ 好， 由这个猪蹄模型，我们其实还有一个衍生的一个结论，多画几个角，我们可以得到这两个角之和，我们可以得到 角一加角三加角五，等于我们的角二加角四，甚至我们可以进一步的拓展，中间是省略号，我们可以得到一个文字型的结论，叫做什么呢？所有的朝左的 角度之合，等于所有的朝右的角度之合。如何证明？全部都是模仿第一种基本猪蹄模型，做辅助线，做辅助线，将这个 拐点进行切割，我们就可以非常快速的得到这个结论。好，浓缩一下就是三个字，左等于 右，所有的朝左的角度之和，等于所有的朝右的角度之和。好，这个是第一个。第二个结论，如果角 b、 o、 c 等于角 b 加角 c， 我 们可以得到 ab 和 cd 是 两条平行线。好，怎么证明呢？也很简单，过点 o 做一条平行线， o、 e 平行于我们的 a、 b， 我 们就可以快速的得到角 b 和角 b、 o、 e 数相等呢？而我们刚才是不是有这个角 b 加角 c 等于角 b， o、 c 对 不对？那 角 b 和角 b、 o、 e 是 相等的，我们就可以通过数量关系之间加减，我们可以快速的得到 e、 o、 c 这个角度等于我们的 角 c， 所以 o e 和 c、 d 也是平行的。那因为 ab 是 不是和 o、 e 平行， 而 o e 是 不是和 d、 c 平行？根据平行的地推性同时平行于同一条直线呢？两条直线是不是相互平行？所以我们可以得到 a、 b 和 c、 d 平行。
18泰州二附天明学长
02:12查看AI文稿AI文稿每天一个初中几何模型，今天学习的是平行线猪蹄模型，好，很多同学在平行线的学习当中呢，随时会对我们的拐点模型束手无策啊！现在我们来看看我们第一个拐点模型叫做猪蹄模型。 我们以这个题为例，他说， a、 b 平行 c d 角 b a、 e， 也就是我们下边这个顶角是等于二十度的，而角 d、 c、 e 上面这个顶角等于五十度哈。 然后他问，角 a、 e、 c 的 度数，也就是我们凹陷处的角的度数。其实在我们做猪蹄模型的时候，我们只需要记住我们哪里凹陷了就往哪里做我们对应的平行线，好把它叫做 e、 g。 做完平行线之后，我们根据平行线的基本性质就不难发现我们的角一和我们的角二。因为我们两只线平行，所以就有角一等于角二，内错角相等。而同理，我们下面的角三 和我们的角四同样的，根据两直线平行，我们的角三也会等于我们的角四。好，现在他叫你求 a、 e、 c。 我 们不难发现，我们的角 a、 e、 c 其实是等于我们的角二加角三的，而我们的角二又等于角一，角三又等于角四，所以我们的角 a、 e、 c 其实就相当于是我们角一加角四的大小。 所以在我们主体模型当中，我们只需要注意，我们两个 尖角度数之和是等于我们凹陷处度数之和的，所以这个题角 a、 e、 c 的 度数就应该等于五十度，加上我们的二十度，也就是七十度，就可以很好地解决这个题啦！ nice！
47小梁讲数学（上）
05:43查看AI文稿AI文稿七年级下册期中考试一道压轴题目，如图一、已知直线 p q 平行于 m n， c 和 d， 在 m n 上， a 在 p q 上连接了 a， c， a d p a c 这个角为五十度啊，这里是五十度。 a， d， c 角 a， d， c 啊，这里是三十五度。 那好，到这里的话，其实就可以看到，首先下面这是多少度？五十度吧，因为两只线平行，内侧要相等，对吧？上面这呢也是三十五度， 好，这是已知条件， a， e 呢是平分这个 pa d 的， ok， 那 么 pa， e 以及 e a， d 就 能计算出来吧，因为这边是三十五度嘛，对吧？ ok， c e 平分 a， c d， 好， 那就是下面两个角都是二十五度， ok， 看到这种题目呢，其实之前如果接触到过一些平行线的模型的话，这一个非常标准的主题模型，对吧？如果没有呢？对于此类题目，我们的解析方式只有一种， 就是过拐点做平行线。在这道题里面，我们注意过拐点，拐点究竟是哪？就是这个 e， 对 吧？在这拐点上面去做一条平行线之后，如果这一条直线叫 s t 的 话，那么 a e s 这一个角 是不是就等于上面这个 p q a e 这个角，对吧？那同理，下面这个 s， e， c 也就等于下面这个角， 对吧？因为我们很轻松能证明三条直线互相平行，平行之后呢，就可以利用平行线的基本性质，然后去去选择这个这个每个内错角的度数，对吧？好，那这道第一题的话，就很容易了，对吧？首先呢，角 a， e c， 它就等于一个上面这个角 q a e 加上一个角 e， c， d， 对 吧？首先 e， c， d 我 们已经知道了吧，它是多少度？ 二十五度，对吧？因为 c e 是 a c d 的 角平分线，又因为这个 a c d 和这个 p a c 是 相等的，等于五十度，对吧？这个很简单，那重点就看 q a e 这个角度是怎么搞，来看 q a e 这个角度数其实也还好，对吧？它相当于说，首先我是这边这个三十五度，加上一个多少，是不是这个大角的一半？ p a d 这个角的一半，那这个角等于多少呢？是不是一百八十？那我写一下啊，一百八十度减去三十五度，再除以二， 是不是就是这边的角，然后我们再加上三十五度，再加上下面的这个角平分线，得到的这二十五度，是不是就能写出最后的结果了，对吧？这个证明过程我不再全面的去写了啊，对吧？好，这是第一问啊，比较简单，一个非常标准的主题模型。那么来看第二问。 第二问，说将图一当中的线段 a d 啊，沿着这个 m n 向左平移，得到了个 b f， 如图二所示， 此时 b e 平分这个 a b f 啊， b e 平分 a b f， 那 就说明这边这个角和这边这个角相等， c e 平分下面这个 a c f， 那 好，那下面这个角就等于下面这个角， 对吧？这是给了两条角的平行线。其实按照第一题的一个结论，是不是我们很轻松能得到过一点，做一个这个平行于 m n 跟 p q 的 线之后， ok， 很 轻松能够得到这个 b e、 c 这个角，是不是就等于上面的这个角的一半，加下面这个角的一半，对吧？ 啊，这个因为平行吧，所以这边这个角和这边这个角相等，这边这个角和这边这个角相等，对吧？啊？这个很轻松能得到，证明得到，那么看它要求什么呢？确定 p a、 c 啊，和 b、 c、 f 以及 b、 e、 c， 那 就中间这个角的关系， 实际上有同学已经看到这里面已经看到了，对吧？首先我们能证明 b、 e、 c 是 这个角，是等于上面这个角加下面这个角的，对吧？ 而且呢，在这里面，因为 p q 平行于 m n， 我 们的这个 p a、 c 也就是这个角啊，这个角和下面的这个这两个角是什么关系？是不是二倍的关系？同理，下面这个 b、 f、 c 这个角是不是跟上面的这个这两个角也是二倍的关系？ 那么其实很轻松，我们直接就能写出结论，角 b、 e、 c 等于二分之一的角 p a、 c 加二分之一的这个 b、 f、 c， 对 吧？那证明过程怎么写呢？来看啊？首先呢，我们通过前面第一问当中去推导过 b、 a、 c 的 角的相等的量，对吧？首先这个角 b、 a、 c 就 等于角 a、 b、 e 加上一个角 e、 c、 f， 对 吧？这个结论是很轻松能得到，那将这个 a、 b、 e 转换一下，那它就相当于二分之一的角 a、 b、 f 加二分之一的角 ecf 是 谁呢？二分之一的 acf， 对 吧？我们又因为两条直线平行，这个 a、 b、 f 实际上也就是 b、 f、 c 吧，对吧？因为是内错角吗？对吧？两直线平行，内错角相等，所以我们就能替换一下二分之一的角 a b a b f 就是 b f、 c， 对 吧？ b f、 c 再加上二分之一的 a、 c、 f 呢？ a、 c、 f 实际上就是这个 p a、 c 对 不对？因为也是内错角角 p a c ok， 考试当中呢，也可以写二倍的角 b e c 等于 p a c 加 b f c， 这个也没有问题啊。二十六中的这一套加注题仅仅是考了一个平行线的基础模型，难度不高。
294张老师的初中数学课
03:51查看AI文稿AI文稿上一期我们讲了双中点模型，今天我们再讲一个有关于平行线的模型啊，这主体模型大家看一看 啊，比如说这里 a、 b 一 条直线，而 c、 d 呢，也是一条直线 c、 d， 他 们两个之间呢，是平行的关系啊。我这里面有 a、 b 和 c、 c、 d 当中啊，有一个点或这个点呢，连接 b 跟 c 的 两个点，我们可以看到这里呢，如果是 p 点， 那么 b 和 d 就 什么两个突出的尖啊，很像猪蹄，因此呢，我们就成这种几何图形，称为猪蹄模型。 那么由这个模型我可以直接得到一个什么结果呢？角 p 就 等于角 b 加角 d 啊，我们之所以学模型，就是什么可以通过模型来直接知道结果，那么怎么证明呢 啊？怎么证明有两种方法。首先第一点啊，但凡同学们遇到这种条件的时候，可以过这个什么焦点，做一个什么平行线，那么有了这个平行线以后，我们可以看到，因为这两条直线是平行的，对吧？因此我们说角 b 是 不是等于这里的角 e， 对吧？同样的，这里角 d 是 不是等于角二，对吧？哎，角一等于角 b， 那 么角二呢，等于呢？等于角 d 啊，这个是用了什么呀？这个是用了平行线啊，性质当中的什么呀？两直线平行， 两直线平行，这个叫什么角？叫内错角， 叫内错角相等啊，这个是通过两直线的平行等出来，那我们看角一加角二是不是就是角屁啊？ 因此我们在角 p 就 能角 b 加上角，就是这么来的。还有一种方法可以怎么做呢？可以延长 b p 或者是延长 d p 都可以，比如说我们这里延长 d p， 那 么交 a b 于什么点？交 a b 于我们，比如说我们交于 o 点， 好吧？哎，同样，由于 a b 和 c d 是 平行的关系，我们知道这个角三是不是等于角 d， 对 吧？哎，第二种方法 啊，我们什么延长啊， d p 啊，所以我们可以得到角三就等于角 d， 大家看这是什么关系？这是不是还是，对吧？哎，这是什么？内错角的一个关系，哎，有角三等于角，那么同样的角三加角 b， 各位看一下 啊，角三加角 b 是 不是什么这个的一个什么啊？这个三角形 o b p 的 一个什么啊？两个角，对吧？所以角啊，角 b p d 啊，是不是这个三角形，这两个角的是什么呀？外角对吧？我们知道三角形的一个什么，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之合，所以角 b p d 啊，就是吗？就是角 p 吗？我们说就等于什么角三加上这里的角 b， 对 吧？又因为角三等于角 d 了，所以我们把角三的就是什么角 d 加什么角 d 啊，所以这两种方法都可以得出猪蹄模型这样一种证明方法，同学们但凡遇到这种的时候，可以什么统一的去做这个焦点的一个平行线，然后我们有内错角相等，就可以证明出来 啊。有关于猪蹄模型的这个体型训练啊，我已经给大家总结，好，有需要的家长可以评论区留言，我免费发给大家。
00:49查看AI文稿AI文稿初中几何考来考去，无非就这六十个模型把他们都吃透了。初中三年的数学就不用愁了，初一八个模型，初二三十三个模型，初三十九个模型，就用这本初中几何模型图描解，包含了初中三年数学常考的所有几何模型，像手拉手模型、将军赢马模型、 不规模型、四点共圆模型等等。孩子遇到不会的题，只要能判断出是什么模型，然后就像查字典一样，找到所属模型，直接套用模型。每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线，都梳理的清清楚楚， 不会的还可以看视频讲解，孩子跟着轻松学。再搭配一本几何专项练习，精选各地考试专题，每学完一个模型，及时做一页练习，每天三十分钟吃透一个几何模型。家里有初中生，快给孩子准备一套！
221锦熙成长记
01:48查看AI文稿AI文稿期中期末考试的最后一道选择题，很多同学看到这种锯齿形的图状上来直接就崩溃了，其实他就是经典的猪蹄模型，今天教你一招，未来我们不用画辅线，也可以三秒快速出答案。我们先来看一个简单的只有一个拐点的 两条平行线，中间只有一个拐点，探求角一、角二、角三的关系，我们过拐点做平行线，好，我们可以看到角二被分成两部分，角二的上半部分因为内错角相等，角一相等，角三相等，所以很快我们就可以得出来了，角二它就等于角一等于角二、角三。好，我们再来看，如果说拐点变多呢？ 好，我们现在变成有两个拐点，对吧？好，那这是我的角一、角二、角三、角四、角五，依然是我们去过拐点做平行线。好，他把角二分成了两部分，把角三分成两部分，好，把角四分成了两部分， 好，角三呢？我给他这样子看角三的上半部分，比如说我叫三片，好，下半部分呢？我叫三片片。好了，那我们来看，依然是内错角相等，我可以把角二来去，用其他角来表示角二，他就等于角一的角一，角一就等他上半部分，角一相等。好，角一加上他的下半部分，下半部分和三片相等。角三片 红包表示出来。我再看角四，角四的上半部分，其实就是三片片啊，好，他俩内错角相等吧，角三片片好，加上角四的下半部分，角四的下半部分，内错角和角五相等，所以加上一个角五。 好了，那在这里呢，我们来观察一下啊，角二加角四，其实就等于角一加上角三片加上角三片片加上角五好，这个等于什么？ 这不就角三吗？对不对？所以在这里可以看到角一加上角三加上角五好，我们得出来的结论就是啊，角二加上角四，它就等于角一加上角三加上角五，也就得到了我们猪蹄模型的经典结论，左角和等于 右脚角，角二角四全是左角，角一角三和角五全是右角。所以以后我们再遇到这种锯齿型的猪蹄模型，不需要再去画辅助线了，我们直接找左角，右角，左角角等于右角角，在考场上直接省出五分钟的时间了。好了，关注北大牙姐数学起飞，下一期我们讲一讲平行线里面经典的铅笔头模型。
26北大小雅讲数学