重庆八中三角函数应用题
这是二零零五年重庆高考题。若函数 f x 等于两倍的三影二分之一加 cosine 二 x 加三 x 加 a 平方。三影 x 加四分之 pi 的 最大值为根号二加三是确定常数 a 的 值， 这个函数的最大值为根号二加三。怎样求 a 的 值？ 这样看起来好像有点复杂，其实你对三角函数熟悉的话，我们可以化简一下这个 f x， 首先 q 乘以二， q 乘以 x 平方减一，这样写的就是把 e 小 掉， 这里是两倍的三以二分之 pi 减 x 呢，可以写成 cosine x， 然后再来加 cosine x 加 a 平方，这里是两角合的三角函数，就是 cosine x， cosine 四分之 pi 加 cosine x， cosine x pi， 这里是负一跟一约掉，二跟二约掉 cosine x 约掉一个，那么就等于 cosine x 加 cosine x， 加上 cosine 四分之派和 cosine 四分之派是二分之根号二，提出来 a 平方。然后呢就是 sine x 加 q 三 x， 这里也是三 x 口加 q 三 x， 那 么我们可以得到一加二分之根号二 a 平方 q 三 x 加三 x， 这一个我们可以画一下，也就是 这样画，画成一个角的三角函数，就等于一加三个二分的根号二 a 平方，这里呢是乘一个什么呢？乘一个 cosine x 乘以二分之根号二，加上 cosine x 乘以二分之根号二，那么这里还乘一个根号二，就是一把一乘进去了， 这个相当于四十五度，那么我们就可以写成根号二，乘到这里面去就是根号二加 a 平方，这里呢可以写成 sin x cosine 四十五度，加上个 cosine x， cosine 四十五度， 然后就等于根号二加 a 平方， cosine x 加四十五度，因为这个的最大值是一，而整个函数的最大值呢，是根号二加三， 那么这个函数的最大值就是根号二加 a 平方，它的最大值是根号二加三，也就是 a 平方等于三， a 呢，就等于正负根号三。 我们利用三角函数的化简，得到一个这样的式子，然后呢，把它化成一个三角函数三，以 x 加四十五度，那么三角函数的最大值是一， 所以它的最大值就是根号二加 a 平方，就等于根号二加三，这样的话我们就可以得到这个 a 的 值。
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04:35查看AI文稿AI文稿都说三角作为亚洲难起来，没有其他题啥事，看一下重庆八中这一次的月考题，条件少的可怜。两个条件， a 加 b 等于三 a 等于二分之 c 减 b。 很多的同学被难抠，看一下我如何去破局。我们先分析一下本题的话要利用的是正弦定力加三角函数的知识。 首先在这里的话， c 比上三 a 等于 a 比上三 a 等于 b 比上三 a， 利用合比的性质， a 加 b 除以 三 a 加三 a， 然后我们把这个带进去，所以 c 边就可以写成三倍三 a 除以三 a 加三 a， 我 们得到这个是指 再利用它，这儿有效的条件只有 a 等于二分之 c 减 b， 再加上隐含条件， a 加 b 加 c 等于 pi 这个结论再和它结合，二分之 c 减 b 加 b 加 c 等于 pi， 两边同时乘以二，得到三 c 加 b 等于二 pi， 所以 b 等于二 pi 减去三 c， 我 们得到了 b 角的一个大小， 但是在这里的话， b 是 大于零的，所以我们得到二 pi 减三 c 是 大于零，可以得到 c 的 一个曲值范围， c 角一定是小于三分之二 pi， 我 们得到这一个范围。 接着我们还有 a， 也可以利用 b 的 一个范围来解决， a 等于二分之 c 减 b， 将 b 等于二派减三 c 代入，所以这儿是二分之 c 减去二派加三 c， 整理之后，这儿是二 c 减去派。 由于 a 也是大于零的，所以二 c 减去 pi 大 于零，所以 c 大 于二分之 pi， 由这两个条件可以得到 c 的 一个取值范围。大于二分之 pi 小于三分之二 pi， 我 们得到了 c 角的取值范围，然后将上式这个式子代入，所以上边是三倍三 a c， 下边三 a 二 c 减去 pi， 再加三 b， 用这个式代替三阴二派，减去三 c， 这儿代替，再继续化减，利用诱导公式化减。上边是三阴 c， 下边这一个式子是负的三阴二 c， 减去三阴三 c 二倍角。三倍角这儿展开，所以这儿展开之后，这里是三倍三阴 c， 下边这个式子是负二倍三阴 c q 三一 c 再减去，将这个处理成 c 加二 c， 所以 这里是三一 c q 三一二 c， 再减去 q 三一 c 乘以三一二 c， 再继续化简。将下边这一个式子再用二倍角整理一下，这里是三倍三一 c， 这里可以写成负二倍三因 c 乘以 q 三因 c 可以 减去三因 c 乘以括号二倍 q 三因 c 的 平方减一，再减去 二倍三因 c 乘以 q 三因 c 的 平方。我们画成这样的一个式子，约掉分子、分母都有，所以最终的一个结果，上边是三，下边这个式子负四倍 q 三因 c 的 平方 减去两倍 q 三 c 再加一这个式子 q 三 c， 我 们可以找出它的范围，由 q 三 c 的 一个取值范围，它是小于零，大于负二分之一， 这个范围内我们是可以找到的。但是在这里的话，是一个开口朝下的一个二次函数，所以 当分母有最大，整个分数就有最小，所以大于等于对称轴，我们看做一个对称轴等于负四分之一，所以这里是三除以负四乘以十六分之一，再减去二乘以负四分之一， 再加上一分母是四分之五，分子是三五分之一十二，答案就选四 d。
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07:53查看AI文稿AI文稿同学们好，我是数学王老师，上一期的视频讲解了二零一八年的这道三角这个压轴题的两种解法啊，有兴趣同学可以去看一下上一期的视频，那么我们今天接着去讲它的另外两种解法。 那么三角函数的这个导数题之所以复杂啊，就是因为这个三角函数，它的这个公式非常多啊，它的变形比较多样啊，所以很多同学不知道怎么变。那我们今天从这个三角函数啊，它的这个公式变形上啊，给大家讲讲啊一些分析方法。 这三角函数的变形啊，要抓住两个原则，第一个原则是同角啊，因为这里面如果说有一倍角和二倍角，要么都变成一倍角，要么都变成二倍角。第二个呢，就是 同名啊，就是这里面要么都变成正弦函数啊，要么都变成余弦函数，那我们就从这个两个角度来分析这个函数啊，以这个函数，我们上来不不先求导，其实这个函数进行同角同名的一个分析，那么 前面这个两倍的三 x 保留不变，后面这个二倍角，我们用二倍角公式给它展开来，展开成两倍的 sine x， 产生一个 cosine x， 我 们提一个二倍的 cosine x 出来， 那变成了一加上一个 cosine x。 好， 那这个式子啊，下一步怎么变啊？这个同角我们已经完成了啊，都是一倍角，那么这个两个函数也是不一样的，是吧，所以这里面怎么变啊？那我们知道同角的这个关系啊，就是 sine 啊， x 方加上一个 cosine x 方是等于一的，所以我可以根据这个式子啊，进行统一的一个变形。好，这里面比如说我们以这个 cosine x 作为主元啊，上一次视频我们讲了，我们这个函数啊，只要研究 x 在 零到 pi 曲线上的这个函数值就行了啊，所以这个题目啊，我们这个 t 等于一个 cosine x， 这样的话，它的范围就是在负一到一之间，那这样呢，我们的这个函数啊，就可以变成了一个以 t 为变量的一个式子，就是两倍的，是吧，一减 t 方的开方啊，这是我们的三 x， 然后这个 q 三 x 就是 一加上一个 t 啊，当然这个根号啊，我们可以放在一起啊，使得这个式子更加的简化一点，那就是一减 t 啊，平方，然后成了一加 t， 嗯，那这个一减 t 的 平方可以进行一个因式分解啊，分解成这个一减 t 和一加 t， 那 这个式子还可以进一步的变行为一减 t 乘上一个一加 t 的 啊，三次方。好，那这个式子怎么去处理，那么就两种分支了啊，那，那我们的这个 法三啊啊，前面两种解法，大家可以看上一期的啊视频，我们令这个被开方数啊，等于一个新的函数啊，它是以 t 作为变量的啊，一个一减 t 啊，乘上一个一加 t 的 三次方，那么我们这个原函数就变成了一个 二倍的根号 t， 你 要想求的这个 f x 的 最值，等价于求这个 g t 的 最值啊，因为这个 g t 啊，经过换元之后，它就变成一个我们普通的一个啊，这个密函数形式了啊，就不是三角函数形式了，那么对它的研究啊，我们同学们可能比较熟悉一点，好吧，那么我们对于这个 g t 函数啊，进行一个求导 啊，他是一个乘法法则啊，是吧？对这个一减 t 求导，就是负的啊，负一，然后后面不变，一加 t 的 三次方，然后啊，前不倒后倒，是吧，一减 t 不 变，然后对这个一加 t 的 三次方进求导，就成了一个三倍的啊一加 t 的 啊平方，然后我们再给他合并同类项啊，嗯，提个一加 t 方出来 啊，后面这个变成了负的，然后我们的这个一加 t， 然后后面这个就是啊三倍的啊一减 t， 然后你再给他，嗯，整理一下啊，又变成了一个 二减四 t。 好， 我们对于导函数啊，只是看正负啊，你看这个式子啊，他肯定是啊非负的，那么这个式子刚才我们讲的这个 t 的 范围是在负一到一之间啊，所以我们画一个负一到一之间啊，这个是一次函数的这个图像啊，他定的那个零点应该是二分之一，是吧？是二分之一， 呃，所以我们这个在 t 属于啊负一到二分之一上啊，我们这个 g t 啊，它是啊大于零的，那么这个 g t 是 一个增区间啊， t 在 二分之一到啊，我们这个一上，是吧？啊，这个倒数是小零的啊，它是一个减去减，那么函数先增后减，是吧？也就说这个 t 的 这个取我们的这个二分之一的时候，它是取它这个式子的最大值 来算一下，带到这个数字里面去啊，那就是多少啊，我们代入一下，就是二分之一乘上一个二分之三的啊三次方，这个答案应该是十六分之二十七，是吧？嗯，因为这个 t 啊，取 二分之一的时候定这个 x 四啊，应该是取多少取三分之派吧。所以我们这个 g 啊， f x 的 这个最大值啊，应该是在对应的这个 x 取三分之 pi 啊，是吧？它其实就是我们刚才说的这个两倍的根号的这个 g 二分之一 啊，那就是两倍的根号的，是六分之二十七啊，答案就是二分之三倍根号三。当然我们也讲了，这个函数是求最小值啊，所以它这个 g， 这个函数是个 g 函数啊， f x 它是一个 g 函数啊，这个我们上一次视频讲解过了啊，所以它的最小值是在 负的三分之八一处去到，那就是负的二分之三倍根号三，这个空要填负的二分之三倍根号三，这是我们的第三种解法，第四种解法啊，我们啊再用不等式去做啊， 那我们前面学基本不等式，学的是二元不等式啊，就 ab 小 于等于一个二分之 a 加 b 的 平方，这个可以拓展为多元不等式啊，比如说你是四元的，那应该是小于等于一个四分之 a 加 b 加 c 加 d 的， 然后这个四次方，是吧？好，那我们这个题目啊，对这个 g x 分 析，最迟可以使用我们的这个啊，多远不等式去分析啊。看到这个 g t 啊，我们把它改写一下。怎么改写？把它抄过来啊，就是它是一减 t 啊，乘上一个一加 t 的 啊，三次方，那么怎么改写啊？嗯，前面这个我们搞一个系数出来，三分之一，这个括号里面有一个三节啊，三 t， 后面这个三次方给它逐项啊写出来。 那我们把这个四个括号啊，对应的是啊，我们这个 a、 b、 c、 d 啊，那么它是不是可以使用我们讲的这个四元不等式啊，它应该是小于等于三分之一的啊，那个三加啊，三减三 t， 然后加上一个啊，一加 t， 一加 t， 一 加 t， 对 吧？然后除上一个四的这个四次方啊，四次方，这个经过化简啊，这个式子括号里面这个式子你可以化简，应该是二分之三吧，应该是二分之三啊，对，这个四次方啊，这个答案是我们的十六分之啊，二十七。 好，这个注意这个取等条件啊，应该是当前仅当是吧，那个 a、 b、 c、 d 相等的时候取等号嘛。啊，那就是这里面的这个，呃，三减三 t 等于一个一加 t 是 吧？ g， 这个 t 等于啊，二分之一时啊， 取得等于号，是不是？所以我们这个 g t 啊，它的这个最大值就是在二分之一处取的，这个对应值是十六分之根号二十七，是吧？那么你 t 取的是 二分之一，这个 x 就 应该取三分之 pi， 是 不是这个时候我们这个 f x 的 这个最大值啊，是在三分之 pi 处的啊，它应该等于两倍的根号，是吧？记二分之一，这个是最大值，是二分之三倍根号三，这样它最小值也是负的二分之三倍根号三。 好吧，那么关于这道题目，我们就分享到这款，那么结合上一个视频，我们一共讲解了四种方法，那么希望同学们对于这种纯三角的啊，需要求导的这个题目啊，有一些心得体会，后面再处理的时候就不是迷茫的了。好吧，今天的课就分享到这款，关注王老师数学不迷茫，同学们再见！
55全国卷数学王老师
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一比根号三比二。其实对于等腰直角啊，我不担心同学们会出错，那斜边肯定比直角边大，所以一一根号二是不会写错的，斜边是直角边的根号二倍，直角边是斜边的二分之根号二倍。 但是这个三十度六十度的直角三角形，有很多同学容易搞混， 哪条直角边是哪条直角边的根号三倍，这个一旦错了，那后面就全部都会错啊。二，肯定大家都知道最长的斜边是两份，这个一和根号三。那同学们记住三十度的零边， 你就去找三十度三十度的这个临边，这个直角边是对边这个直角边的根号三倍， 一定要记住谁是谁的根号三倍。那已知对边求三十度临边这个直角边就乘以根号三，已知三十度临边这条直角边，要求他对的那条直角边，你就得除以根号三 啊。所以这个是一个知识储备啊，这个是两个特殊的直角三角形的一个三边的比例关系。就咱们做了这么多题，这两个是考的特别多的 啊，如果没有这两个三角形，你想办法做辅助线构造，也要构造出来这两个直角三角形，然后利用三边的比例呢去解决问题。好，这是我们的第一个知识储备啊。那第二个啊，其实不不算知识储备吧，就是要点满哪些技能。 第二的一个呢，是我们做这个题啊， 一定要学会构造直角三角形，如果题目没有直角三角形，你就想办法去构造直角三角形， 也也就是添辅助线，这个辅助线他添法就比较灵活了 啊，因为我们这个解三角形啊，初中阶段他主要就是解直角三角形，如果这个题目连直角三角形都没有，你肯定需要去做辅助线的，就去构造。但是这个构造呢，大体来讲啊，黄老师把它分成了两种， 第一种呢，就是叫我把它取名叫向内突破 一种。是呢 啊，名字不重要，重要的是这个思想的核心。一种是围魏救赵， 也就是外围从外围突破，一个是由内向外突破，一个是从外面去构建这个辅助线向内突破的意思呢？我举几个常见的例子啊，那比如说咱要是这个地方有一个一百零五度， 哎，或许我们那条线呢，就可以啊， 就旁边如果还有一个什么四十五度，那咱们就可以这么去分，那这样子的话，这个地方就是四十五度，这个地方呢就是六十度，旁边就是三十度这样子。一个特殊的啊，本来是一个普通的钝角， 那现在就变成了一个特殊的两个特殊的直角三角形，对不对？这个就是向内突破了，那除了有一百零五度这种的话呢， 那还有比如说这个七十五度，七十五度，哎，有可能你这条线是这么做出来，做一条垂线，那做条垂线下来呢啊，这个旁边当然也是四十五啊，那这个地方就是四十五，那旁边就变成了三十，你又把它变成了两个 特殊的直角三角形，对吧？这只是简单的举一下例子啊，同学们都懂，那甚至说有的比如说这个地方是个钝角 一百二十度，哎，你说没出来六十啊，也没出来四十五啊，那你把这条线延长，这样做条垂线下来，旁边不就有这种三十六十的直角三角形了吗？所以这个是特别灵活的。 你再比如说这个角一百三十五度，你咋办呢？哎，你这么做旁边是不是就四十五度了，就有等腰直角了？所以只要涉及到做辅助线的，他肯定都是特别灵活的啊，那就是向内突破了，就是从内部向内突破，就是指的意思就是把一个角 分成呢两份，这个就是我觉得是向内突破的意思。而围魏救赵呢，其实就是从外面去突破，就是可能你把它围成一个，把延长相应的 牵垂线啊，围成一个直角三角形，这他这个辅助线全部是贴在外面的，就不是从那个图形的内部去做的。你比如说本题的话， 待会咱们就可以看到什么叫围魏救赵。所以大体来说，我认为这个题的辅助线大致就这两种思路。大致就这两种思路，一种是去把一个角分成两份，一个呢是去把它补成一个直角三角形，从外部啊，你说补成直角三角形或者补成矩形，它都是 ok 的， 这是第二的一个知识储备啊。那么第三的一个呢？最近那个中考的那个研讨会也说了，这个题他是一定要有方程思想的。 什么叫方程思想呢？你就是要去列一个勾股方程，在第二的一个基础上 去构建一个直角三角形，然后呢去列勾股方程，在直角三角形里面你能列什么方程？只能列勾股方程， 所以这个就是这个题第二小问他一定会考的东西，他不会像以前去年、前年就是问谁走的更快，谁先到达，那个本质也就是在求线段的长度。 但是现在呢，他这个线段的长度就不是那么硬求直接求出来的，他必须得带方程啊，带未知数的方程，你才能够把这个题给做出来，必须建立方程，而不是直接就一个，就有一个三角形，你去解出来啊，长度是多少多少，那是求不出来的。 好，这个就是本题，我觉得大概需要掌握的一些知识储备吧。接下来我们就来看到这个题，就以一个具体的题目来分析。 这个题的题目前面咱们就不读了啊，他是一个比例尺上的东西啊，但这个题不需要去把它放大，这个是个干扰条件，没用。然后我们就可以看到，你看什么正南方，南偏东， 呃，数据有两个十厘米和五厘米啊，很好标啊。 c d 是 五， bc 呢？是，是十啊？是十。 嗯，然后呢？又是东南方向，对吧？打卡点 e 在 地的正北方又是什么？北偏东，七十五。你看这个角度的信息给了相当多，其实我就很喜欢这种 角，给的信息多，就是边给的信息多。在我眼里学了三角函数过后，角在我眼里它就是边。 好，然后我们就看一下第一个问吧，这个角呢？还好都给我们标出来了，如果没有标注的话，自己第一件事就去标角，懂了吗？第一件事就是标角，做这个题的话，第一件事就是标角， 第二件事就考虑辅助线的做法啊。那这个题要求 ad， 你 看一下咱们这个 ad 在 哪里啊？ ad 隔的这么远，给的边是十和五， ad 呢？ ad 在 这个地方，那你就想这个 ad 它在三角形里面吗？是的，有一个 ad， 有一个一 a d， 那 你说那他在一 a d 这个三角形里面，那难道我应该去这么做辅助线吗？ 你想一下应该是不会的，为什么？因为没有这两条边任何的信息，你确实是有一些角度的信息啊，咱们还可以求一些角出来，比如说这个角是六十度，对不对？这还挺重要的，这个角是六十度 啊，包括咱们这么做过来的话，其实这个角是多少度呢？ 是七十五度吧，对不对？内错角那七十五、六十，然后一百八去减，这个角呢，也是可以求出来的， 四十五是四十五，对的是四十五，哎，所以你说咱这么去做辅助线，确实好像是把它分成了两个特殊的直角， 一个等腰直角，一个三十六十。但是呢，你编的信息现在是属于一条都没有，咱们仅有的编的信息是在 a、 d 的 左下部分的区域，所以 咱们要去做辅助线，咱们就不能盯着三角形一 a、 d， 咱们现在的得把目光放在这个，呃，所谓的什么 a、 b、 c、 d 这个四边形里面，那放在 a、 b、 c、 d 这个四边形里面，我看到有的同学啊，他喜欢他这么去做，哎，他说这有个等腰直角 啊，然后不知道他咋做的啊，反正就是去去去，这么弄，那这么弄没用，你这两条不平行，他这种就是一个典型的在向内突破。那这个题的话，很明显他就是应该 具备向外面去做辅助线的一个思路。比如说咱们把 ab 延长， 把 dc 延长，这个地方如果是 m 点，哎，咱们看一下啊，这个地方特殊角三十度， 哎，这个地方呢，四十五度，那不就出来了吗？对不对？那三十度所对的直角边等于斜边的一半啊，零边呢？根号三倍，哎，所以 md 呢， 就是五加五倍根号三，然后在这个大的等腰直角三角形里面， a、 d 的 长度就是 md 的 根号二倍，就等于五倍根号二加五倍根号六。那么第一个题就做完了，他让我们保留根号 啊，单位的话应该是厘米啊，是厘米，因为是沙盘啊。这个题我们就我就不去细写步骤了，我主要是教同学们分析这个题啊，这个题的步骤挺难写的，需要写详细一点。你看第一个题就是一个围魏救赵，围魏救赵， 那我们再看第二个问，第二个问他就是必须要建立方程了，现在有的时候第一个问他都需要建立方程可能才能做啊。第二个问的话是必须会建立方程的。 第一个问我把答案写在旁边啊，步骤同学们自己去思考。第二个问就是说小艾从沙盘上的地点出发啊，我擦一下上面的数据，有点 小爱从打卡点 d 出发，写个爱匀速移动。小 e 呢，从 e 点出发， 沿某方向，你看某方向，咱们也不知道是哪个方向 啊，咱们也不知道是哪个方向，这个地方是吧？只是说某方向，那么两人同时出发，呃，他们的速度之比呢？是四比三。这个时候呢，我通常看到这个比例问题啊，咱们就要去设未知数了， 因为他们是同时出发的，然后一般呢也是同时去相遇，所以他们身上具有等时性，就他们所用的时间一定是相等的， 那么时间就相等的情况下，速度之比，他其实就是路程之比。那在本题这个图形里面，路程之比就是对应的线段长度之比，所以往往四比三，他对应的就是他们所走走的那个线段的长度 是四比三，所以我们就可以开始设呢未知数。那比如说小艾他走到假设啊，咱们假设他走到这个地方来了，哎，咱们小艾的那个速度是四分，我们就可以设这一段是四 x， 也就是 d q， 那么这个小一啊，他肯定就走的是三 x， 但是他们又相遇了啊，他们又相遇了，那我们要知道是哪部分是三 x 啊，就是 e q， 因为他们是相遇嘛，相遇啊，相遇的时候才是时间结束的时候。呃，那问小爱的棋子移动了多少厘米？那就是在问 d q 啊， 是不是就是在求 d q？ 那 这个时候我们就想一下，我们应该怎么来列这道题的一个 勾股方程啊？我们第一问是求出来 ad 的 ad 是 五倍根号二加五倍根号六，所以现在这个 a q 就是 五倍根号二加五倍根号六呢，减去四 x 啊。但是现在我们发现一个很严重的问题，没有直角三角形，这是最恐怖的啊。我们第二个问，很明显就是应该把目光集中在 a d 的 右上方这个三角形里面，但现在呢，他没有直角三角形， 所以我们应该自己去构造啊，去构造直角三角形，那我们应该怎么构造呢？那你看咱们刚刚第一小问的时候，其实就分析出来，这个三角形 a d、 e 啊，它其实也是一个，嗯， 其实还算特殊了啊，是一个六十度、四十五度和七十五度的一个组合，咱们看到这种七十五度有七十五度的组合，我们就应该想到是不是过一点做一 p 垂直 a d 这样子的话，这两个三角形呢？三角形 a p e 和三角形，一个是等腰直角，一个是 三十六十度的一个直角三角形。那又因为我们知道第一个问 a d 是 五倍根号二加五倍根号六，就很容易求出一 p 的 长度，咱们来求一下，好吧，咱们来求一下。呃，比如说啊，比如说 我们设设 ap 等于 m， 那么在这个直角三角形 a p e 里面， p e 呢？就应该是根号三 m 啊，记住，这个根号三倍，不要搞混了啊，谁是谁的根号三倍， 那 p d 的 话呢，就是五倍根号二减五倍根号六 减去 m， 那 p d 是 这么长的话呢，那一 p 呢？也等于 p d 等于五倍根号二。说错了，是加啊，加五倍根号六减 m， 那 这个时候我们就发现这里有一个 p e， 这里也有一个 p e， 嘿，所以啊， 根号三 m， 他 就等于五倍根号二加五倍根号六减 m， 那 这个 m 就 会等于根号三加一分之五倍根号二加五倍根号六，那我们就可以求出来 啊，上面提个五倍根号二出来，那下面就是根号三加一就约掉， 所以 m 等于五倍根号二。什么意思呢？就是我过一点做这个垂线下来啊， ap 它是等于五倍根号二的，那 ap 是 五倍根号二，那 pd 呢？就肯定是五倍根号六啊。 哎，求出来 a p 呢，其实是五倍根号二，这个 p 点很重要。下面是五倍根号六，那下面是五倍根号六，这个 p q 就是 五倍根号六减四 x， 对 吧？五倍根号六减四 x 啊，当然也有可能这个 q 点它可能长在了，呃，它也有可能啊，这个 q 点 也有可能到时候会长在这种地方啊，长在这种地方，他是一样的啊，一样的。那那个时候的话，这个 p q 的 长度表达出来就是 四 x 减五倍根号六，他都是不影响结果的啊，不会影响结果的，那现在我们看一下，而而且这个一 p 呢，也求出来了，一 p 呢，他就是五倍根号六，那现在这个直角三角形有了， 咱们就在这个直角三角形里面去建立勾股方程，那就是 在 r t 三角形 e、 p、 q 中， 五倍根号六的平方加上四 x 减五倍根号六的平方， 会等于呢三 x 的 平方，你看这个方程思想就是最重要的一步，就是这一步列出来过后呢，计算量是有点大的啊，我直接给同学们写一下，七分之二十倍根号六加减十倍根号三， 要舍掉加号的那个部分，所以呢，他是最后的答案呢，他是四 x， 四 x 的 话，就会约等于十八点一厘米， 十八点一厘米为什么要舍掉加呢？这个加的部分太大了啊，二十倍根号六加十倍根号三，除以七的话，你如果最后再去乘以四的话，他应该比 a、 d 的 都还要大， 所以我们要舍掉加号的部分，保留呢减号的部分。那么这个题呢，就就其实主要就是分析到这里，那么不管后面遇到的咱们是哪种题，他的核心都差不多。第一问一般同学们都能做，第二问呢， 把比例式先设成相应的线段的长度，然后再在这个图形里面去寻求一些突破。没直角我们就必须要构造直角， 构造完直角过后，因为你这里设了未知数，你看他用相应的未知数去把其他的一些边表示出来，最后一定要能够在一个直角三角形里面用同一个未知数去表达 相应的线短长度，最后就列一个勾股方程式，建立了勾股方程式过后呢，这个题就完成出来了 啊，那这个题就考的比较好，第一问考察了向外做辅助线，第二个问呢，还考察了向内做辅助线，该考的呢，就都考到了，同时计算量呢，也还是比较大啊，所以这个题就以这个题为一个典型的例题啊，给同学们讲 解决这个题的一个思路啊。解决这个题的思路好，同学们就讲到这里了啊，同学们再。
06:20查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享中考题里边有关三角函数的计算问题， 那么这个题可以用两种方式来解答，咱们先来看第一种方式，已知题。已知条件就是一架这个无人机，从点 e 处起飞，飞到点 b 处看建筑物 d 是 四十五度，看建筑物 a 俯角是五十九度，那么还知道 b e 等于 c e 这个建筑物的高度是五十米，这个建筑物的高度是三十米。 就让我们来求一求 b、 c 的 长度是多少， b， c 的 长度是多少？那么我们知道涉及到三角函数问题，首先得把它提供的角度放到直角三角形中去， 那么在这里构造直角三角形就有两种方式，同学们啊，第一种方式就是延长 c、 d。 建筑物永远都是和地面垂直的，这个垂直是可以直接使用的。同学们啊， m n 就是 一条水平线，它和地面是平行的。延长 c d 交 m a 于点 q 吧，那么这个时候 p q 和 d q 它就相等了。出等腰直角三角形，我们就可以设这个是 x 米，这个也是 x 米，那显然 q c 的 长度就是 x 加五十米了， 那么显然这里五十九度也没有。在直角三角形中，我们同样也可以延长 b a 交 m n 于点这个 a， b f 吧， 点 f， 那 么这是 x， 这是五十，这里是三十，那么显然 fa 的 长度我们就可以用五十加 x 减三十来表示了。 五十加 x 是 这条边，这是一个大大的矩形，把 ab 的 高度三十给它减出去，就是 m， 就是 fa 的 长度了， 也就是二十加 x。 那 么接下来这个矩形 p q， c e 也是一个矩形，他是 x， 那 么他也是 x， 他 俩又相等，所以这个还是 x， 那 么这也是一个矩形，所以 p f 也是一个 x， 那么这里图上所有的线段都可以用含 x 的 数字字母或者是已知的数字来表示了。那么怎么来求这个 x 呢？ 显然这个四十五度角我们已经用过了 x， x 这个五十九度角我们还没有用到，那请你们看一看，在这个五十度五十九度角所在的这个直角三角形中，我们标注数据的是五十五十九度角的什么边呢？ 显然这个是啊，五十九度角的对边，这个 x 是 五十九度角的邻边，所以要解决这个问题就要用到三角函数了。那么用五十九度角的对边邻边的关系式，那肯定就是啊，摊着他五十九度了， 哎，攀着他五十九度，他就等于二十加 x， 再比上一个 x， 约等于一点六六，解这个方程去分母就可以了。二十加 x 就 约等于一点六六， x 一下就是零点六六， x 等于二十了， x 就 等于二十，除以零点六六，这个要约分同学们啊，约分之后化解这个题目有要求，最后小数点后边保留一位约等于就可以了， 这是通过这种方式，那么算到这里，算出这个数来，约等于他之后答上他，对不对呢？同学们，再乘上二，当然就是 bc 了， bc 等于两个 x， 切记，同学们，如果你这样列方程的话，看有没有发现分子上出未知数了，所以这个时候一定要检验， 经检验， x 等于谁是方程的解，且符合题，两句话，一句话他都会给你减分。 所以说如果用三角函数解决问题的时候，分母上出未知数，一定要记着检验，而且要出两句话，是方程的解，且符合题意，这是通过三角函数来解决问题， 这是一种方法的一个，就是咱们这样来构造这个直角三角形。你看一下这里还有一种方法的一个还可以这样来构造，咱们不是这个，咱们不用这个二十减 x， 咱们知道这是 x， 这是 x 了，对不对啊？那么接下来你看一看啊，这是 x 了，这是五十九度了。我怎么用含 x 的 代数式去表示 am 呢？ 那你就借用啊，摊着它五十九度，我们要表示它对边啊，以未知的是设为数，来的是它的邻边啊。那咱们这样做也可以摊着它五十九度就等于 am 比上一个 x， 显然 a m 就 等于贪婪的五十九度啊。乘上一个 x， 也就是约等于贪婪的五十九度，是一点六六，一点六六啊 x， 哎，这就是啊，一点六六啊 x 了。 那么根据这个矩形对边相等，我们仍然可以列方程一点六六， x 加三十，就等于这边的 x 加五十了，这样来解这个方程也可以， 这里也要进行检验，因为 x 也出现在分母上了，同学们，这是要注意的一点，一定要检验。再一种是方式不同，那么 答案是一样的，还要注意一点呢，就是四边形哎， f， p， e， b， 还有 p q， c， e， 还有最外边这个最大的这个四边形都要去进行举行的证明， 要不然的话，你不能用对边相等，必须要证明他们是矩形，这是中考题必须要注意的，你不正的话，他肯定要给你减分的，一个是要检验，一个是要正矩形，再一个是你要学会转化线段。同学们啊，千万别忘了检验，希望这个题目能够帮到大家。
20初中数学柳老师
24:33查看AI文稿AI文稿好，接下来我们一起看一下。呃，也是昨天九龙坡区指标到校考试的另外一道专题，是关于三角函数的应用。 好，那么这个三角函数是我们初三的时候学的，那么这个三角函数也是我们中考的一道必考题哈。好，下面我们就根据这个这个题目哈，再回顾一下这个三角函数的一些知识点的应用 啊，下面我们看一下这个题目，这个题目的话他比较长啊，左边这个所有的都是题目的信息， 那当然后面的话相应的有一个图，那，所以我们在分析题义的时候，我们就结合这个图一起来看啊， 啊，那一般的话，我们要求的是边读题，就可以把题目上面的一些信息在图上给标注出来，那么也方便我们后面在解题的时候，呃，直接去看这个，直接去看这个图就可以了， 那就不用反复的去读题，因为图呃，读题的话还是比较浪费时间。好，那下面我们就来看一下题目的信息。首先如图，呃，某运动范围有跑到 abc 和自行车的 a、 d， c。 好， 这里图上我们看一下哈，这上面 abc 它是一个跑道，而下面的这是一个自行车道。 嗯， c 在 a 的 正东方向， c 在 a 的 正东方向，也就是 a c， 它是在同一条水平线上， b 在 a 的 北偏东六十度的方向六百米处。好，那么这句话在图上体现出来就是这个地方哈， 这个地方 b 在 a 的 北偏东六十度方向六百米处。好，这两个都是信息都是标上了的，在 c 的 北偏西六十度方向上，在 c 的 北偏西六十度方向，当然这的这个度数也是标注了的， 哎，后面 b 在 a 的 南偏东三十度的方向，好，这这标了的，然后在 c 的 南偏西六十度方向， 这六十度。好，所以这里的，呃上面的题目当中，我们会发现哈，它有四个角度， 还有就是一个 a、 d 的 长度，这是上面题目上面的主要信息，下面我们就来看一下问题。好，首先第一个问题，第一个问题是要求 b、 d 的 长，我们再图上来看一下哈，要求这个 b、 d 的 长，也就是这一个长度。 好，下面我们通过题通过这个图来分析一下，要求这个 b、 d 的 长， 要求 b、 d 的 长。好，那这我们看一下，根据这个呃题目上面的信息可以发现， 嗯，当然给的这几个角度，我们其实可以求出另外的一些角度，比如说这里六十度，三十度，那当然这的角度我们可以马上求出来，它其实就是九十度，其实就是九十度， 所以说，呃，要求这个 b、 d， 其实我们可以发现哈，如果说我们放在这个直角三角形当中， 也就说知道这条直角边，如果说我们把能够把下面这个 a、 d 这条直角边求出来，那么也就可以把这个斜边根据勾股定律求出来了。好了，下面现在我们来看一下这个这条线段的长度， 也就是 a、 d 的 长度能不能求出来了，接着再往下看哈，好，这儿六十度，这儿六十度，我们再观察一下这两个六十度，那放，呃，那我们可以就是推出来， 呃，这，这里这一个角度，也就是角 b a c 和角 b c a， 它其实都是三十度，所以马上就可以推出来，那这个 bc 其实也就是多少了，其实也就是六百了， 其实也就是六百了，也就是这里其实就是一个等腰三角形。好。呃，还有就是什么呢？我们把这个三十度也标上，三十度也标上。 好，那接下来我们观察一下哈，这个三角形 b、 a、 c， 其实它是我们，呃比较熟悉的一种模型，哈，比较熟悉的一种模型。就什么呢？就如果说我们在这儿做一条垂线，垂线段下来，我们来做一下。 好，如果我们这样做一条垂线段下来，会发现它分成了左右两边也是两个直角三角形，而且它是两个比较特殊的三角形。 呃，怎么样特殊呢？就是因为它是一个三十度，那这里就六十度、九十度，这边同样的哈，也是三十度、六十度、九十度。那，那这个的话就是，呃，太熟悉不过了。因为这个三十度、六十度的三角形，我们知道它的三边比 三分比是什么呢？就是一比根号三比二，一比根号三比二。好，那也就说这里是一份，这个是根号三份，这里是两份，所以可以推出来。其实，呃，通过这个推算，我们先把 这一条线呢推出来，然后再呃乘以二啊，也就是这个是六百，这个是多少，这这一条边就是多少啦，就是三百，那这个就是三百倍杠三。那么再乘个二，其实就是多少啦，其实就是三百倍的 啊，再乘个二哈，就是六百倍的，六百倍的根号三。好，六百倍的根号三， 好。也就是说如果说我们碰到选择题，其实可以直接出答案，也就是它上面比是一比一比根号三的关系。好，那接下来下面我们再来继续看哈 下面这一个三角形，观察一下哈，下面这个三角形，它其实也是一个特殊的三角形。好，我们观察一下，这是三十度，那同样的这里是六十度， 这也是三十多，也就说这个地方还是直角，所以他还是我们刚刚所说的什么啦，你就是一比根号三比二的这一个。呃，三角形，所以当这是三百六百倍根号三的时候，其实我们的 a、 d 他 其实就是 ac 的 一半， ac 的 二分之一，所以他就是多少啦，用六百倍根号三。 好，所以接下来我们要求这个 b、 d 的 长，那我们就直接用勾股定力就是，呃，我就直接写这个答案哈， b、 d 它是等于根号下多少？ a b 的 平方加上 a、 d 的 平方，也就等于根号下六百的平方加上 三百倍根号三的平方。好，最后我们直接写答案哈，最后是等于三百倍的根号七米。 好，这就是我们的，这就是我们的第一个问的答案哈，这就是我们的第一个问的答案。好了，当然第一个问的话，嗯， 比较简单，我们可以把这个过程自己去完善一下哈，我就只是提供一个思路。呃，接下来我们重点来看一下第二个小问，因为很多同学其实，呃问题主要就出现在第二个小问。好，下面我们来看一下第二个小问。 小明和小刚两位小朋友，两位两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有来相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最大距离是两百倍到七米。好，那这出现了一个重要信息哈， 这是通话的最大距离，小明从 a 处沿 a、 b、 c 的 方向以四米为秒的速度匀速跑，匀速跑，跑向 c， 我 们可以把它标出来。 好，这个是四米每秒。好，那下面同时小刚也从 a 出发，骑自行车沿 a、 d、 c、 a、 d、 c 骑行。呃，然后 a、 d 段的速度为二倍加上三米每秒， 二倍加上三米米每秒， d、 c 段的速度为六米每秒。 小明与小刚在运动过程中，因两人距离的原因，因两人距离的原因，对讲机可从可相互通话到无法通话，再到恢复通话，从出发开始计时，经过多长时间，它们刚好恢复正常通话。 好了。什么意思？就是，呃，我们可以观察发现，嗯，从出发开始，他们的距离首先是越来越大的， 越来越大，嗯，就是开头他是可以通话的，那么到后面，因为我们第一个问求出来了， b、 d 是 三百倍杠七，他是大于两百倍杠七的，所以肯定是到后面他是无法通话的。那到再接着，后来他们距离又越来越近， 所以到后面他是可以正常通话的。所以到哪个地方能够刚好能够恢复通话了，那就是我们要找到一个临界点。好，我们可以在这上面标注一下哈。位置到在哪个地方，我们自己先标注一下。比如说这个小明， 小明是在上面，那在某一个地方，比如说我们可以标出来为 m。 啊，比如说为 m， 那 么小刚，小刚在下面的话，我们可以把它标注为 n， 把它标注为 n。 好，那也就说这儿你看，我们可以刚好构成一个三角形的形状， c， m， n 可以 刚好构成一个三角形的形状。好，那下面我们再看一下， m n 就 相当于它是什么？它就是刚好恢复通话的位置，那这个就是两百倍的 根号七米。好，所以后面问的是这个什么，问的是经过多少时间，经过多少时间啊？也就是说小明和小刚分别走了多长时间？好，我们看一下怎么来解决这个问题啦。 好，刚刚我们看了 m n， 它是二百倍根号七，那下面，嗯，右边它是一个三角形哈，右边它是一个三角形， 那下面我们可以把右边这一个三角形把它单独的独立出来，独立出来，然后我们再去研究一下这个三角形，看看能不能得到什么。一呃得到哪些信息啦？好，下面我们我刚刚把这个图，已经把这个 c m n 这个图已经画出来了， 我们往这边看一下。 好，我们把这个图画出来，接下来的话，这个，嗯， m c n 这个角度它是六十度，标上，哈，六十度。好，当然 m n 是 两百倍到七。 好，我把它倒过来是更更方便我们去观察，所以我把它倒过来画的，把 c 画在上面的。好，那下面我们来再看一下哈，这个三角形当中我们会发现它有一个特殊的地方，在哪里呢？它有一个特殊地方，就是这有一个六十度， 这有一个六十度。所以，呃，遇到这种，我们说了遇到这种特殊角，比如说四十五度呀，六十度呀，三十度，他这些特殊角的话，我们就想办法什么把它保留在这里，那也就说这个地方 我们保留在这个地方。好，保留在这个地方。呃，然后我们接下来看能不能通过构造什么， 构造一些什么，构造一些辅助线来解决这个问题啦？好，那一般的话，我们遇到这种特殊角是相当于是要把它构成一个直角三角形哈，所以这个地方我们可以尝试一下从 n 点到哪里来向 c a 这一条边做一条垂线段。 好，我们先把这个辅助线先做起。好，辅助线做起过后，辅助线做起过后，比如说我随便标一个字母哈，比如说标一个 g。 好， 辅助线做起过后，那当然这里只我们的已知的只有这一个 m n 的 长度，那其他的边是不知道的。好，那不知道不是说他就不能求哈，因为，呃，我们刚刚知道了什么呢？知道了这个， 呃，就是知道它的速度和时间，也就说我们其实是可以用速度和时间的方式把这些线段是可以表示出来的。所以接下来我们可以把这个它们运动的时间，比如说我就把它设为多少运动时间，我就设为 t， 设它们运动的时间为 t。 还会听淼，好，那下面我们来看一下这些线段分别怎么表示哈。首先这个我们在表示的是对着这个图来看，对着这个图来看，首先这一个 c n， 我 们来看一下 c n， c n 是 这一段 c n 怎么表示啦？ c n 怎么表示啦？还有一个 c m， 它其实都是可以表示的。我们先来看一下 c n 嘛， c n 代表的是小刚还没有走的路。好， c 跟 c n 代表是小刚还没有走的路，所以 c n 我 们可以用什么？我们其实是可以用它这个，它以 a d 加上 d c 这个总路程去减去小刚已经走了的路。所以，呃，接下来我们看一下哈，或者是或者是怎么样呢？你可以用这个 c， d， c， d 这一段减去 d， n， 也可以，我们就用 c， d 减去 d， n 嘛， 这样要方更方便一些。好，小刚走的路，我们 c n。 好， 我在这写一下哈， c， n 等于 cd 减去 d n， c， n 等于 cd 减去 d n， 那 cd 是 多少啦？ cd 我 们刚刚这边的 ad 求出来是三百倍根号三，那么 cd 其实是这个三百倍根号三的 多少？根号三倍根据一比，根号三比二是一个，呃，比例关系，所以 cd 其实是 三百倍根号三乘根号三其实就是九百减去 d， n， d， n， 我 们看一下它表示哈 d， n， 它可以用速度，因为在这上面它是速度是六 乘以时间。好，时间。注意哈，时间的话，很多同学会把它当成是 t， 其实它的时间不能用 t 来表示。时间应该用什么来表示啦？ 就是 t， 它是表表示的， t 表示的是从 a 出发到 n 的 时间，但是我们要表，我们要减的是 d， n 这一段，所以我我们这要用 t 减去这一段。这一段花了多少时间啊？ 我们看一下哈，这一段花了多少时间了？这一段总路程是三百倍根号三，速度是二倍根号三，所以我们可以减去三百倍的根号三，除以二倍根号三。 好，这是就是，呃这边花的时间，所以 t 减去 a， d 段花的时间，那接下来就是 d， n 这一段花的时间，所以用速度去乘以时间就等于 d， n 这一段的路程。好，接下来我们把这个 c， n 这一段，呃，接下来我们把这个式子划一下，减哈， 九百减六 t， 嗯，然后这个地方是多少啦？嗯，这两个相处的话是一百五十，所以就是加上一百五十乘六 一千八百，所以等于一千八百减去 减去六 t， 好， 一千八百减去六 t， 好， 对，这个就是一千八减六 t， 我 们标在这儿哈， 减去六 t， 好， 那下面我们继续哈。这里是一千八百减六 t， 那 同样的 c g， c g 就 等于二分之一倍的 c i， 那 么它就等于九百减去六 t， 就等于九百减去六 t， 我 也标在这哦，九百减去三 t， 九百减去三 t， 好， 这是 c g。 这一段，同样的，这个 g n 我 们也可以表示出来了， g n 就 等于根号三倍的 c g， 也就是九百倍的根号三减去三倍，根号三 t， 好， 这是 g n 的 表示哈。 九百倍根号三减去三倍，根号三 t， 好， 下面我们来看一下哈。呃，这三段都已经表示出来了，这段已经表示出来，那么 g m， g m 能不能表示出来了？ g m 能不能表示出来了？ g m， 我 们观察一下 g m， 它其实是等于 c m 减去 c g。 好 了， c m 是 多少啦？ c m 是 多少啦？我们来看一下 c m 在 哪个地方？ c m 在 这个地方， 好，那 c m。 我 们在这个图上可以发现，它代表的就是小明还没有走的路，那，所以我们可以用它的这个总路程，因为它速度是四米每秒，没有发生变化，所以我们可以用这个总路程 一千二百减去它已经走的路哈，所以 c m， 它等于这边六百，这边六百，这是一千二百减去已经走的就是四 t， 好， 一千二百减去四 t 好， 这是 c m 好， 我们要表示的是 ag 哈，所以 ag 就 等于 c m 减去 c g 好，也就等于一千二百减四 t， 减去九百减三 t 的 差。 好，我们看一下化简过后是多少啦？就是三百一千二百减九百，然后减去减四 t， 这加加三 t， 其实就是减 t 好， 也就是 a g 比划出来就是三百减 t 好，下面我们看一下这个图当中所有的线段都表示出来了，好，那也就是说这儿 g m 三减三百减 t， 然后 g n 九百倍跟上三倍跟上三 t， 然后 m n 两百倍跟上七。好，那下面思考一下，我们表示出来这些是为了干什么呢？我们表示出来这些线段的长度，你看只有一个位置数。 好，那么在这个三角形当中，其实我们就可以来构造一个方程，那么如果你把方程构造出来，就是根据勾股定律把方程构造出来，那是不是就可以把我们要求的 t 把它求出来了， 好，下面我们就来看一下方程的怎么构造哈，那当然你把这些线段都表示出来过后，那么方程的构造其实就很简单了，好，下面， 好，下面我们写一下哈，在直角三角形 m g n 中， 好，我们直接就写哈，三百减 t 的 平方加上九百倍根号三，减去三倍根号三 t 的 平方等于两百倍根号七的平方。 好，这是我们构造的这个方程，这是我们构造方程好，但是，呃，到这的时候，很多同学会出现，就是 他把方程列出来，但是不会解，那很多人他是怎么解的啦？他是直接把这个括号打开， 括号打开，当然你你们可以去尝试一下哈，如果把括号打开，会发现它的数字很大，那当然计算的时候就很复杂，就很复杂，所以这里我们看有没有更简单的方式去做啊？那当然这个肯定它是一个一元二次方程哈，我们看一下有没有更简单的方式啊？ 好，通过观察可以发现，其实这一部分我们看一下哈，其实这一部分它是可以提供音式的，它是可以提供音式的。可以提多少出来了？我们来试一下哈， 它其实是可以提一个三倍根号三，三倍根号三出来的，我们试一下吧。三倍根号三倍的多少？三百减 t， 好，三百减七，当然这个地方你要把它也是要把它扩起来，整体的平方，好，那为了方便，我们直接这可以把它单独平方，等于， 哎，两百倍根号七，其实是直接可以把它算出来哈，两倍根号七平方过后，其实是 二十八万。二十八万，好，那下面我们看一下。三倍，那这三百减 t 的 平方，其实这三百减 t 的 平方它就可以直接提出来，就这两部分的话，它可以提出来，那么三倍加上三个平方算出来是二十七，好，也就说我们变形成 三百减 t 的 平方乘以多少了，这是二十七，加上其最前面其实还有个一哈，它就是二十八倍的 三百减去 t 的 平方等于二十八万，好，那现在能看出来了吗？现在其实就很简单了，三百减 t 的 完全平方，它其实等于一万的好，那么也就是三百减 t， 它就等于正负一百 好，他就等于正负一百。好，那也就是说我们的 t 他 就有两种情况，一种是什么？一种是两百秒。好，还有一种是多少？还有一种是还有一种情况是四百秒， 还有一种情况是四百秒。好，那当然我们可以我们看一下哈，两个指的是正数，那两个的博还是要舍去一个啦。那接下来的话我们就可以根据题目当中的信息去验证一下，我们来试一下哈。 啊？我根据什么来验证呢？比如说我们跟小明，小明这是六百六百，他一共是一千二百，一千二百，他速度是四米每秒，所以 你用这个一千二百除以四百每秒，他才，咱们他，他走完的话都才多少米秒了？他走完都才呃，三百秒，所以这你看算出来的四百秒他其实是不合题的， 其实不符合题的，所以这一个就得舍去，就得舍去。 好，也就说我们最终的话就只能取 t 等于两百秒这个答案。好，好，所以这就是这一道题的。 呃，完整的一个思路哈，当然我没有写具体的过程。嗯，整个思路是这样，那么同学们可以根据我这个思路去把过程自己完善一下。好，今天就在这。
04:31查看AI文稿AI文稿好，来看下这个题啊，这个第一个，哎， a 和这个欧欧欧米伽应该不是很难，因为刚才我们都讲过一道类似的，对不对？这个关键是 five 怎么求了是不是？好，我们看一下这个题啊，解，第一问，那这个格式跟我们刚刚讲这个第十二这个题几乎一模一样了，对不对？因为 f x 等于 a 倍的三 e， 我 们一个 x 加 five 的 最大值 为，对吧？ a 的 绝对值，你写加 k 加 k 这个都没问题，因为这个 k 等于零的，对不对？好，又因为 a 大 于零，好，那所以就得到 a 等于几等于三，是吧？好，第二个， 因为 f x 等于 a 倍的平方 omega x 加 five 的 最小正周期 t 等于二 pi 除以这个 omega 的 绝对值，对吧？又因为这个 omega 大 于零，那所以就直接得到 二 pi 除以欧米伽等于 pi， 所以 欧米伽等于几？二啊，所以这个第一问 的 a 和欧米伽是很简单的，那就关键，但，但是这里还要注意，还有个否没算出来，对吧？那因为还有一个条件没用吗？对不对？告诉我们了，图像经过零三，我们刚给大家讲过了，图像经过它什么就说明 x 等于零的时候， y 等于三，对不对？好，又因为 f x 经过 零三好，所以带进去，把 x 等于零带进去，对不对？那就是因为这个 a 我 们有了，对吧？就是三倍的 sine x 等于零的时候，这个等于零了，就 sine five 等于三，所以得到 sine five 等于几？等于一， 那 sine five 等于一，所以 five 等于一，所以 five 指的是多少度？三，多少度等于 这个二分之等等于这个一啊三多少等等于一三九十度等于一，对不对，所以，所以负二就是九十度啊。那所以得到 f x 等于多少呢？三倍的三， 二 x 加二分之派，好，又来了，这里有出现二分之派的，我们就知道肯定要用到已知导公式，对不对？所以等于三倍的三 啊，不是变 size 了，对吧？ g 变 o 不 变就是肯定变了，对不对？就三倍的 cosine 二 x 了，对吧？三倍的 cosine 二 x 好， 就是这个它的，它是一个公式啊，我们不讲了，上节课我们讲过了好吧， 什么？ alpha 为什么是零？哪来的零啊？没有零啊，这不是 x 等于零吗？你 x 等于零乘以这个 omega 以后零乘以任何，它的不就是零了吗？它没说是零啊。 five 为什么 five 不 等于零？ five 这不是求了等于二分之 pi 的 吗？九十度吗？它也不是零啊。 哇，你自己看一下，是不是看错了啊。不等于零，这是 five 大 于零，小于 pi 啊，这是题目给的这个条件啊，在这里是吧？好，第二问是吧？由一得 这个 f x 等于三倍的 cos 二 x 好， 因为 f 二分之 r 二等于五分之九啊。带进去二分之二，带进去三倍的 二分之二乘以二，就是三倍的 q 三 e r 等于五分之九，所以得到 q 三 e r 三除过来就是五分之三，对吧？那求三也就之一求二了，对不对？对吧，因为 r r 为锐角 好，所以得到三分之二。三分之二等于一，减去扣三分之二的平方开根号。大家都知道了，一个五分之三，另外一个就是五分之四了，对吧？五分之四，好，这是第二问啊。第二问 就是图像和性质啊。考图像和性质，一般第一小问都是求解析式相关的，都是关于这里边的这些参数啊参数。第二问题一般都是跟和角公式或者一角公式或者二角角公式呢？会有一些关联的东西在里边。好，这是第十三题。
52高职新课堂🌷
12:36查看AI文稿AI文稿好的，包子们，今天我们来看两道题目，第一个是一个减三角形的问题，第二个是一个三角函数那种三倍角。好的，那我们先来看一个第一小题啊，巴拉巴拉说这么多，感觉这个很有年代感，什么陀罗密啊，那其实就是说两条对角线的乘积， a， c 乘一个 b， d， 那么小于等于 ab 乘以 c， d， 再加上一个 a， 得乘以 bc， 就 这么一个东西。然后他说若 ab 啊，他是个垂直的垂直 bc， 然后呢， b 得等于二，求两倍的 a 加 c 的 一个最小值。那么用公式啊， ac 乘以 b、 d， 你看，哎，这是一，这是二，那么 a， c 是 根号五，那么就是根号五倍的 b， d， b、 d 是 几啊？二呗。那么小于等于 ab 乘 cd， 那 就 cd， 再加上 a 的 乘 bc， 那 就两倍的 a， 得吗？好嘞，它这样就是两倍根号五，当前仅当 abc 的 四点共圆的时候，这个是等号乘 b 的。 然后再来看第二个，若三角形 a、 c、 d 为一个正三角形，当线段彼此的长不一起最大值，这有点像初中题目啊，因为我初中时候也做过这种最大值，他说正正三角形，那我这变长是 a 吗？再用个陀罗密啊， a、 c 乘比得那么 a 倍的 b， d 小于等于 ab 乘 c 的 a， 再加上 a 的 乘 b c 二 a， 那 好了呀， ab 的 b 的 小于等于三 a， 那 么 b、 d 小 于等于三，当前仅当 abcd 它四点共圆的时候 啊。任南画，那就这样子画吧。好了，他四点公园的时候就角 a、 b、 d 啊，角 a、 b、 d， 所谓的弧是，所谓的弧，是弧 a 得弧 a 得的话，那所谓的圆周角是角 a、 c、 d， 那 么角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 d 等于六十度啊，那不就没了吗？啊？所以你看这 d、 e、 d 啊，其实还挺简单的。然后来看个第三问，呃，当角 a， 当三角形 a、 c、 d 为一个正三角形的时候，让你求个 ab 的 面积的最大值啊。可能有点，就是，你 刚看到这东西，怎么也没思路啊。你看啊，这是一个三分之派，我是他边上都是 a、 a、 a， 那 我是不是可以他面积的是二分之一的 ab 乘以 ad， ad 乘一个三角 b， a、 d， 角 b、 a、 d 是 不是三角 b， a、 c 再加一个三分之派？那么我其实就要先求个角 b、 a、 c， 对 吧？ 那我怎么写角 b、 a、 c， 我 再用匀减，这里扩散角 b、 a、 c 三角形 abc 里面等于 ab 方是一 ac 方，我说是 a 吗？减去 bc 方四除以二， a 等于二， a 分 之 a 方减三。哦，扩散角 b、 a、 c， 我 算出来了，那么我这个 a 四三角形，嗯， a、 b、 d， 它的面积会表示二分之 a， b 乘以 a 得乘以三角 b、 a、 d， 那 就是二分之 a 乘以三角 b， a、 d 是 角 b、 a、 c 再加一个三分之 pi， 那 不好了吗？那等于四分之一倍的 a 乘以三角 b， a、 c 加上四分之根号三乘以二分之 a 方去三啊，我看着又有角 bc， 又有 a 方，看着好难受啊，我找找他们有没有什么关系。 abc 里面有个等面积方，二分之一等于 ab 乘以 ac， 那 不就是二分之 a 吗？二分之 a 乘以 abc 乘以三角 abc， 那 其实就是三角 abc。 好，我发现什么二分之一 a， 三角 bc 等于三角 abc， 那 我把它带进去了，那我等于二分之一的三角 abc。 好， 再加上这个东西，那我找找角 abc 和 a 方的关系。 扩散角 abc， 那 我这样写吧。嗯，这条边 a 方 a， b 方一，再加 b、 c 方四减去二乘一乘以二减去四倍的扩散角 abc， 那 么也就是说 a 方等于五减四倍的扩散角 abc， 那不就是你带进去啊。加上四分之根号三乘以二分之 a 方，是等于五减四倍扩散一角 a、 b、 c 再减二减四倍，二减四倍扩散角 a、 b、 c， 那 二二约掉一减两倍的，那我乘， 那不就等于二分之一倍的三角 a、 b、 c 减去二分之根号三， 扩散一角 abc 再加一个四分之根号三吗？那这里面辅助角公式等于三角 abc 减去三分之派， 再加四分之根号三，那么就是小于等于一加四分之根号三。当前紧当什么时候去的里面三角 abc 减去三分之派等于一个二分之派的时候去的，对吧？那就说 角 abc 减三分之派等于二分之派，即角 abc 等于六分之五派的时候，他这个能够取到等号。好，那我们第一题又讲完，那我们来看看第二题啊，把它移上去， 第二天讲讲一个正东西，给你一个信息，然后告诉你个，呃，叫什么？切，比雪夫多少事啊？你其实不用看他让你求 t 三 x， 其实就是问你，让你求一个 cosine 三 c 塔三倍角公式嘛。那等于 cosine 二十一趟再加十一趟呀。嗯，扩散二十一趟乘以扩散一十一趟减去三以二十一趟三以十一趟 扩散二十一趟二，扩散三方减一乘以一个扩散一十一趟减去两倍三十一趟三，四方减去扩散一十一趟。啊，这句话，两倍扩散一十一趟，三四方减去，扩散一十一趟， 减去二块一，减扩散 x 它方乘以扩散 x 它。哎呀我的妈呀，就是硬着头皮往上算就可以了。减去两倍的扩散 x 它，再加两倍扩散 x 它。三次方， ok， 我 的妈终于算出来了， 三次方减去三倍扩散 c， 好， 就说扩散以三 c， 它等于四，扩散 c 它的三次方减三扩散 c 它。其实我建议你记一下，那么 t 我 直接擦掉了， 那么 t 三 x 等于四 x 的 三次方减去三 x， 然后扩散以三 c 塔等于四倍扩散以 c 塔三次方减去三倍扩散以 c 塔， ok？ 好 的，然后来看第二问，让你求了三以十八度值，但你第一问只知道扩散以三 c 塔呀。那其实我想一下啊， 扩散以三乘以十八度就。扩散以五十四度等于四倍扩散以十八的三次方减去三倍扩散以十八度， 可算以五十四度，是不是等于三以三十六度啊？三以三十六度是什么？十八的两倍啊，那就是等于两倍的三以十八乘以可算以十八。然后呢，等于右边这东西，你看有没有约掉的。可算十八。哎，可算十八约掉的呀， 那不就相当于两倍的三十八度等于四倍扩散十八的平方等于四倍一，减三十八的平方减去三。那咱们把它化简整理一下，四倍三十八度的平方加两倍三十八度 再减去一吧。嗯，应该是减去一。那求根公式二，一分之负 b 加减根号下 b 方四加十六，二十二倍根号五。那我们要取正的值啊，四分之根号五减一。那么三一十八度就是等于四分之根号五减一， ok， 结束是一个点啊， 三十八度的四分之根号减一，然后来看第三，问，他告诉我，这东西让你正一个它方成的根。嗯，怎么说呢，我急个奥出来， 是不是很熟悉啊？四 x 三次方减三 x， 所以 说这肯定要用一个三倍角度数了。那怎么用呢？嗯，怎么用呢？我想一下，这样的 扩散以正负三分之派加二 k 派是不？这个角的三倍呀，那三倍我就可以写了呀，等于四倍扩散 这个角的三次方，减去三倍扩散这个角，对吧？那它等于什么呀？等于一个二分之一，我的妈呀，说明这个东西等于二分之一，我把它带进去啊， 那不一样的吗？那他这一项就等于二分之一啊。二乘以二分之一减一，那不等于零了吗？所以说他就是他的根啊，对吧？他就是他的根啊，这个就这样子做的呀。然后 这个东西扩散以九分之派三次方。嗯，那 k 等于零的时候，那 x 等于扩散九分之派， 说明扩散九分之派是这个方的一根。九分之五派是什么？扩散负九分之派，再加上一个三分之二派。好，说明扩散九分之五派也是他的一个根，然后扩散九分之七派，等于扩散 九分之 pi 加上三分之二 pi。 哦，括号九分之七 pi 也是这个方乘的根，说明了什么？这三样东西都是它方乘的根，并且它是三次方，那我来写下八 x 三次方等于六 x 再 加一，说明了什么呢？ x 三次方等于八分之六， x 加一八，那么带进去啊， 八分之六 s 加一六倍的扩展九分之派再加一，我们加一起，到后面这三样都要加一，直接加三好了，再加上扩展九分之五派，再加上扩展九分之七派。好，那其实我就要求的是一个 这三个东西想加怎么求？和和差化积。扩散以九分之派，再加上扩散以九分之五派， 等于两倍的扩散以三分之派，再乘以扩散以九分之二派，三分之二派，扩散以九分之二派，我们扩散派减九分之七派， 那么等于负的扩散九分之七百。好的呀，那说明说扩散九分之八，加上扩散九分之八，等于负的扩散九分之七百。刚好红队约掉了，所以剩下是零啊， 那还剩下什么八分之三啊？所以说这个值就是八分之三。好了，那我们做过来看一下这个， 所以这三个，这两道题目，我觉得这一道题目考你一个错了你，我感觉这个东西你初中肯定就了解过的。然后一个结论，你是第一个了解，就一个，第三个你 可能比较难想到，其实就是斯凯文的这个就一个文本阅读的一个难题，对吧？就是那种 给你个材料，让你理解一下题目的意思，你不要被他这么这个东西给吓到了，你看他这么多，看也看不懂，其实你只要看了一个三倍角公式就可以，他不给你，这个事情照样也能做出来，就这样。
106草莓涵涵酱
06:59查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的填空题的压轴题， 观察题目。朋友们，已知一个矩形， a、 b、 c、 d， 矩形的长是十二，宽是八，还知道 e 是 b、 c 的 中点，它俩是相等的， 然后他把这个矩形这一部分， a、 b、 e 这个三角形沿着 a、 e 给他折到了 a、 f、 e 的 位置上来， 这是折叠过来的。把这俩三角形折叠过来的，然后连接 c、 f， 就 让我们来找一找这个角的正弦值是多少， 一个八，一个十二，那么 b、 c 等于的是十二， e 又是中点，显然这个就是六了，这个也是啊，六了， 那么有六有八。同学们，显然 a、 e， 我 们就应该想到是十了， a、 e 是 十，那折叠之后，这个六折到哪去了，去哪去了呢？同学们，显然 b、 e 折到了 f、 e 上，所以这一段也是啊六， 求这个角的正弦值。那么要解决三角函数的问题，咱们得首先把这个角放到直角三角形中去。 那么同学们观察观察，我们怎么办才能把这个角放到直角三角形中去？之前咱们分享过第一种方法，就是简单粗暴法做垂直，把它放到直角三角形中去。第二种方法最常用的就是转化， 把它找一个和它相等的角，找那个角的三角函数值，从而找到这个角的三角函数值。那咱们观察一下这个题还是不是这种方法呢？仔细观察一下， 有没有发现这个图上我标了三个六啊？同学们，看到这三个六，你有什么想法吗？看到这三个六有什么想法？ 这是六，这也是六，这还是啊六。那么 b 沿着 a、 e 折叠之后，落到了 f 上去了， 那么看到这三个六，再看到这个折叠问题，如果我把 b、 f 连起来的话给你们，那么这个时候六六六，这三个六恰恰就是 b、 f、 c 里边的三条线段，那么看到这三个六，你有什么想法？三角形 c f b， 猜一下它是个什么三角形， 光看形状也能看出来，很显然是个直角三角形，那么这就是斜中定律的逆定律，我之前的视频上有分享过，同学们啊，这就是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，这个定律的逆定律， 那么我们知道了 e f 是 bc 这个边上的中线的一半，那么这个角肯定也是直角，怎么推的进呢？就是咱们正切线那个垂直产生的第五种方法，显然六和六相等，那这个角一和这个角二是相等的， 这个六和六也相等，显然这个角三和这个角四它也是啊相等的，而角一、角二、角三角四加起来是一百八十度， 一百八十度它俩相等，它俩相等，所以它俩加起来就是九十度了。所以说我们没必要做垂直，也没必要转化，只需要连接 b、 f 这个角四所在的这个三角形恰恰就是一个直角三角形，那么三它就等于 b f 比十二了呗， b f 比十二。所以接下来的问题，我们就是要如何去求 b、 f 的 长度， 显然 b f 同学们，这是 b 沿着 a、 e 折过去之后落到 f 上了，所以说这个折痕 a、 e 在 遇到折叠问题的时候一定要注意啊，折叠问题里边，折痕就是一个对称轴， 对称轴就是对应点之间连起来的这个线段的垂直平分线，所以 a e 把 b f 给它垂直平分了。这是折叠的性质，轴对称的性质。那么这里是垂直的， 我编了一个字母 m 吧。那显然这个 b m 和 fm 它是相等的，它是折过去的呀。 a c 把 m f 给垂直平分了。所以说我们要想求 b f， 只需要求 b m 求出一半来就可以了。那么 b m 又是谁呢？你看， b m 显然是这个六八十为成的直角三角形斜边上的高线。 那么怎么求直角三角形斜边上的高线？这就叫用到了等面积法，同学们，等面积法， 等面积法，也就是说 s 三角形 a b e， 它的面积既等于六乘以八除以二，还等于十乘以 b m 除以二。 显然这个 b m 咱们就可以求出来了，左右两边都乘以二六八，四十八除以十，那就是四点八了。 bm 是 四点八，那 mf 就是 根据这个等式求出来的。 bm 等于四点八，对吗？所以两边都乘以二十倍的 bm 就 等于四十八了，所以 bm 等于四点八。那 bf 就是 啊，九点六了呗，九点六比十二就等于一百二十分之九百六十，再约分就 ok 了。这个题的答案就出来了， 也就是说，这里用到了斜中定律的逆定律去判定他是直角，这个在切线的判定里边也会用到的，你们啊，斜中定律的逆定律会经常用到，哎，知道他们三个相等怎么推？这个地方是直角，就是两组等角， 四个角的和是一百八，那么这俩项呢？这俩项呢？所以这俩加起来就是九十了。而且这里还用到了折叠问题，里边的折痕就是对称轴，对称轴就是对称点之间连下来的那个线段的垂直平分线。 三角函数要么做垂直，要么转化角度，把它放到直角三角形里去，这里不用转化，连了一条线就出来了。 另外还要注意等面积法。求直角三角形斜边上的高线，这些都是经常用到的知识点，同学们啊，经常用到的知识点一个是斜中定律的逆定律， 再个就是等面积法，这个就是折痕，就是对称轴，对称轴就是对称点直接连起来那个线段的垂直平分线。希望这个题能够帮到大家。
84初中数学柳老师
05:32查看AI文稿AI文稿解三角形大题该如何化简呢？下面通过一道经典的高考真题来讲解，学长将重点讲解思考的过程和通用的化简方法，让你做一题通百题。题目已知角的关系，让我们求一个分式的最小值，观察这个分式包含的元素都是三角形的边， 看到全部是边的分式或等式，我们自然会想到正弦定力，这样就可以将边的关系转化为角的关系。 同理，下次你如果看到一个分式或等式全部是三角形角的正弦，你也要想到正弦定理，将角化成边。这个反应在脑海里用一秒钟就要有个思路，现在就是想办法化解这个条件。分子分母都有二倍角， 首先想到的是被角化单角，在解三角形的题目中，如果都要把被角化为单角，因为三角形中的角和边是有关系的， 但是如果是二倍角或者是半角，它的意义就比较特别，需要在特殊的条件下才有用处。这里出现正弦二倍角，使用公式展开。余弦二倍角有三个公式， 因为分母还有常数一，为了消掉常数，所以我们自然会选择第三个公式， 这样我们就可以对右边的分式进行化简，月分得到塞 nb， 比上口塞 b。 接着一般会想到将分式化为整式，交叉相成。 观察这两项应该是两角和的组成部分，通过一项将它们放在一起，这时就很清晰了，可以使用余弦两角和公式。 接着怎么思考呢？看到这种式子，我们一般要想到进行两种处理，分别是多角化、独角、异名化、同名， 怎么理解呢？也就是说，如果出现多个角，尽量化成一个角，角的元素个数越少越好。如果出现多个函数名，尽量化成同一个函数名。在三角形中有一个隐含的条件，那就是 a 加 b 加 c 等于 pi， 所以 a 加 b 可以 写成 pi 减 c 等式的左边使用诱导公式进行化简，得到负的口塞西等于塞 n b。 在 解三角形中，我们始终要留意一下角的取值范围，因为这决定了三角形的形状，三角形的内角和等于 pi。 不管角 b 的 角度如何，正弦值始终是大于零的，所以我们可以得出角夕的余弦值小于零。角夕的取值是二分之派到派开区间，也就是说角夕是一个钝角，因此角 b 一定是锐角，在零到二分之派开区间。 听说当年很多同学看到这个等式，大脑突然没有思路，那要如何思考呢？其实就是一名画同名 使用的工具就是诱导公式，有两种做法，全部化成正弦，或者全部化成于弦三 b 就 等于口塞二分之派减 b， 而复口塞 c 就 等于口塞派减 c。 带入 这样两个括号的角都在零到二分之派区间，所以两个角可以直接相等，这样就可以得到角 c 和角 b 的 关系。接着我们很自然会想到把角 a 也计算出来， 这样我们就有办法实现多角化独角。接着我们继续回到题目，要让我们求的表达式，我们一开始的思路没有错，可以使用正弦定理，将边化成角，出现多个角，我们可以用角 b 表示角 a 和角 c。 多角化独角， 使用诱导公式，分子出现二倍角。刚才已经讲过了，使用方法就是被角化单角。 整个分式既有余弦，也有正弦。我们的思路就是一名化同名，将正弦转化为余弦。有的同学说，那我如果将余弦统一成正弦可以吗？ 当然可以，只不过我们在化简的时候要遵循一个原则，那就是化简的过程要尽量简单，化简的结果要尽量简化。比如这里的分母如果化成正弦，就得到一减塞 n b 平方，分母就变复杂了，你自己可以尝试一下带入， 现在就是变成关于口塞平方的分式函数。为了更加直观，我们令口塞平方等于 t， 这里的 t 大 于零，对原式进行换元处理，将分子展开并合并同类 项，拆成三项。这时我们就很熟悉了，因为 t 大 于零可以使用基本不等式写出取等条件 带入，验证答案正确。这道题目其实不叫难题，但一定是一道好题，对基础扎实的同学十分友好，考察的都是基本功。如果你平时解三角形时都像无头苍蝇一样乱撞， 那你就先记住下面四句话，被角化、单角多角化、独角一名化，同名一次化。其次，当你没有思路的时候，这四句话可能可以让你找到一条通往答案的路。希望这个视频可以给你一点启发，记得点赞与推荐。
4562青衿学长
18:53查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们这一节课把昨天留下的这一道课后习题给他讲一下。那么我们昨天的课程啊，是通过四道，通过四道高考真题，把这个利用极值点和零点之间的关系来求解 omega 的 范围，这类题目，还有最直的题目，最直的题目，以及这个单调性，单调性都把它理了一遍啊，都理了一遍，但还有这个 d 选项，这个 d 选项在昨天是算比较特殊的，一个是结合了一下这个切线方程的问题。 好，我们今天今天把这个昨天留下的科普题给他讲了啊。首先我们看一下，看一下这个第一问他先，他让我们求这个 f x 的 解析式，并且求其在零到二分之派上的单调递减区间。那么我们先看原函数长什么样吧， 这样一个正弦函数告诉我们， omega 是 大于零的，斐是小于二分之派啊，斐的绝对值小于二分之派。 这个图像它相邻两条对称轴之间的距离为二分之二。好，我们昨天是怎么讲的？是不是令这个为一个整体 t 啊，对吧？我们为它整体 t 的 话，接下来我们画一下这个这个三一 t 的 图像啊，三一 t 的 图像，这个二可以先不去考虑它二可以先不去考虑它，因为它二决定的是什么？ 它二只是决定了你这个 y， y 的 值吧，对不对？它只是决定你这个高度啊，最高和最低的这个点比原来比原来扩大了两倍，而它不影响我们 x 的 啊，它不影响我们 x 轴上的分布，不影响我们 x 轴上的分布。好，什么意思呢？画个图啊， 它应该是这样子啊，我们先把这个 sin t 给它画出来， sin t 就是 这样子啊，这样子，这样子好，然后左边也是往上走。 那把三 a t 的 图像画出来之后，你怎么表示这个二呢？那就是想说明它的最大值为二吗？最小值为负二吗？因为你原来的最大值是一，最小值是负一吗？啊？那这这个这个二不影响我们做题啊。接下来我们看下第一问 啊，看下这个条件，它相邻两条对称轴之间的距离为二分之派。那我们怎么翻译这句话？相邻两条对称轴，那我画一下， 这是不是一条对称轴，对吧？这个对称轴是二分之派吧，对不对？这是不是另外一条对称轴啊？这两条对称轴是不是相邻的？相邻的它？是啊，它是几不重要？它是几不重要？来，我们看这一段是什么？ 这一段是不是周期的一半呢？同学们，因为你看你这个是不是从最高点掉到了最低点了？你再再往上升到最高点的话，这就是一个周期了，而你从最高点掉到最低点的话，这是半个周期吧。 所以你这个距离，这个距离是二分之派，也就说我们的二分之 t， 它是等于二分之派的，那么我们可以得到 t 是 等于派的， 那 t 等于派，不就可以得到 omega 了吗？ omega 会等于二派比上 t 也就是等于二。好，我们把 omega 算出来之后，这个元函数啊，元函数解析式就可以得到 它还告诉我们这个且图像是经过这个点三分之派二的嘛？那我们把这个三分之二派啥？三分之派二带入到这个函数解析式里面，我们就可以得到 f 三分之派，它会等于两倍的 sine 欧米伽是二吧，二乘三分之 pi 变成了三分之二 pi， 再加上 pi， 好， 这个值，它等于几啊？ 等于二等于二，说明什么呢？等于二就说明它这里面这个值啊，它是处在一个最大值的地方，对不对？最大值的地方，也就说要么处在这里，要么处在这里。来，我们看，如果你处在第一个最大值，你是几啊？ 二分之派吧，你第一个最大值和第二个最大值间隔多少？间隔一个周期吧，所以你在距离第三个最大值是不间隔了两个周期啊，一个周期，两个周期。所以你最大值的通式应该是写成二分之派加上二 k 派吧， 对吧？而二分之派加上二 k 派，在这个时候它会等于谁？等于这一串吧，三分之二派加上派，因为你等于三分之二派加派的时候，它它的结果是二吗？是二，就说明它是处在一个最大值的最大值的地方吗？ 好，我们这么写之后，这么写完之后来看这样子去解的话，我们令 k 等于谁呢？试一下令 k 等于零能不能解吧？ k 等于零的话，等号左边变成二分之派，右边是三分之二派加派，那么我们的派是不等于二分之派？减掉三分之二派啊， 那会等于六分之三，减六分之四等于负六分之派。哎，同学们，我们看一下他符不符合题。我们前面要求了，是派绝对只要小于小于二分之派，我们现在是负六分之派，他是不是绝对只等于六分之派啊？是不是满足小于二分之派？ 所以你这个 f， 它的曲值是符合提议的，那么我们就可以这么用 f x， 它就会等于两倍的 sin omega 是 二，然后 f 是 减六分之派。好，这就是我们解析式，你要求它在零到二分之派上的单调递减区间。 同样的，什么叫做在这个区间，在这个区间上的单调递减区间呢？那你看它在这个上，这个是什么？谁的范围？ x 的 范围吧。 x 属于零到二分之派，而我们现在，我们现在是令这个整体为 t 了，所以 t 的 范围应该是等于二。 x 减掉六分之派， 那它会属于哪里呢？这个区间的左边就是你乘个二减六分之派嘛，变成了负六分之派，右边呢？乘个二是派，派减六分之派，也就是六分之五派。好，区间写出来之后来看， 我们拿这个红笔来写一下，那负六分之派肯定是在这里了吧，对不对？然后六分之五派呢？六分之五派，它很明显是大于二分之派啊。六分之五派，它明显是大于二分之派，小于派的，所以二分之派在这里， 派在这里，那我的六分之五派应该就是在这里吧，对不对？所以我们这个这个区间啊，他应该是我画红色的这条线，那他既然是我画红色的这一条线，不就可以得到他的单单地点区间？应该是 t 要属于这个二分之派 到这个六分之五派嘛，对不对？你有了 t 的 范围，你再去逆推这个 x 的 范围嘛，那这个 d 和 x 的 关系就是 t 加上六分之派，再除一个二就是 x 了，所以我们 x 应该是属于。 呃，二分之派先，那我们还是给它写详细一点吧，写详细点，就这样子啊，二、 x 减六分之派啊，不是，它是小于， 小于等于这个六分之五派，然后大于等于这个二分之派。那我们怎么求 x 呢？先右边右边加上一个六分之派，再除以一个二，是不是变成了二分之派啊？左边先加上一个六分之派，变成了六分之四派，你再乘个二分之一，是不是变成了六分之二派，也就是 三分之派吧。啊，讲的是比较详细的啊，所以讲到这里，同学们应该都是听得懂的。那么我们第一问，第一问啊，求这个单调点区间，就求出来了，就求出来了，他求的是我们 x 嘛。 他问你这个区间，他不管是问你这个区间，还是说他给了你这个区间，他给的和他问的都是 x 的 取值范围，同学们要记住啊，都是 x 的 取值范围。好，现在我们答案题目这个答案就是三分之派到二分之派，那我们第一问就结束啊。第一问，我们查一下， 呃，我们把解析式保留，解析式保留一下，那解析式。好，这些查了， 接下来我们来看一下第二问。第二问是说，把这个图像啊，先向右平移六分之派单位，再压缩它的横坐标为原来的 omega 分 之一。好，我们先平移。同学们要记住啊，你左平移还是右平移？你平移的是谁？ 平移的是 x 啊，平移的是 x， 所以 我们怎么办？我们先写一下，先翻译一下这句话，那圆函数就会变成了 sign， 这个二不变里面是。注意啊，你平移的是 x， 说明你只改变 x， 然后左加右减，在这里是向右平移，那就是减 x 减六分之派。好，我写到这里，写到这里只是翻译了这个平移这句话，然后二二照抄，减六分之派，减六分之派，照抄好，同学们能看懂吗？ 这一个啊，这一个是翻译了这个向右平移六分之派的单位啊。好，然后我们化简一下，化简一下，里面应该是变成了这个二 x， 这里是减了六分之二派吧，再减一个六分之派，变成了减六分之三派，也就是减掉二分之派。 好，我们写这个形式，你会发现你直接一个哦，这应该是小括号啊，不是中括号， 你会发现，这是不可以用一下诱导公式啊，令这二 x 为一个整体吧，把它看做一个整体，这个函数它就变成了负两倍的口商隐二 x 吧。 好，我们这里这个第一步，翻译完之后，再来再将所有点的横坐标。如果同学们，你这个诱导公式啊，这个减二分之派你不会用的话，你把它翻译一下，换一下，你让你把它理解为是二 x 加二分之派，减派 好，加文字派，再减派。把这个整体来看，你这一个的话，是不是去掉文字派后，他变了一下函数名呢？变了一下函数名，你再减掉一个派，不就得在前面再打一个符号吗？所以答案就是变成这个形式啊，这个形式。 好，然后我们讲到这里，再来再来看，什么叫做把横坐标压缩为原来的 omega 分 之一呢？ omega 分 之一倍呢？这个到这个时间啊，如果同学们还是不清楚的话，你直接死记就好了。他让你把横坐标压缩为原来的 omega 分 之一，你就要怎么办？ 你就要在 x 前面的系数去乘 omega， 去乘 omega 啊，而我们 omega 刚刚是不是等于二啊？那也就是说它会变成了二乘，以二 x 吧， 它压缩为 omega 分 之一，你就要乘 omega， 如果说它变成了原来的 omega 倍 omega 倍，你就要乘一个 omega 分 之一，同学们能听懂吗？你要乘的数和它变化的数是一个倒，而是一个倒数的关系。倒数的关系好，所以我们这里就变成了负二口三 x， 这就是我们 g x 解析式。 g x 啊， g x 好， g x 的 解析式。那写到这里之后来看，他又说了，他在零到 m 上恰有三个零点和两个最大值点。我们翻译一下，你先把图像画出来吧， 要注意了啊，我们昨天还有刚刚的第一问，讲的都是正弦函数图像，而这里变成了。这里变成了什么呀？余弦函数的图像。那你要改变一下画法，改变一下画法， 我们画一下。正常来说，我们的余弦函数是不是 x 等于零的时候，它是最大的呀？ 它长这样吧，长这样吧。我为什么要说正常来说呢？我在这里不是正常的，它在前面打了一个符号呀，打了一个符号，说明你的最大值要变为最小值了吧，最小值又变为最大值了吧？同学们，也就是这个函数图像，它上下颠倒一下， 好，上下颠倒一下。来，我们看一下，他应该是长这个形式吧。 好画，画到哪里为止呢？画到哪里？我们先就这样子简单画一下啊。先就这样子简单画一下。看一下题目要求。什么？题目要求了，要有三个零点和两个最大值点，那三个零点的话，你肯定要画到第四个零点的位置吧？两个最大值点，你肯定要画到第三个最大值点的位置吧？ 好，我们画到这里，画到这里啊。行，接下来看一下题目怎么做？题目怎么做？ 他说 g x 在 这个区间。哈，又来了，这个是谁的？谁的范围？是我四 x 的 范围吗？ 肯定不是啊，你这个这个要理解为它是 x 的 范围啊，那我们就是 x 属于零到 m， 然后令这个为整体 t 等于四 x， 它就会属于零到四 m。 好， 它属于零到四 m。 来，我们接着来看恰有三个零点，我们怎么去想？ 三个零点的话，一个，两个三个，这是第三个零点吧，那第四个零点是不是这里啊？ 说明这个不能取吧，对不对？因为你恰好有三个吗？那你只能到三个为止，也就说来，你要这个第，你这个四 m 啊，你这个四 m 必须要在这个第四个零点的左侧，同学们能听懂吗？你必须要在第四个零点的左侧。好，再来。 什么叫做有两个最大指点呢？两个啊，刚刚还没讲完，你不仅要在这个 第四个零点的左侧，你还得在这个第三个零点的右侧，对不对？因为你如果在第三个零点的左侧的话，你就只能够取两个零点了，两个零点了。 好，来，我们再翻译一下这个两个最大值点。两个最大值点怎么理解呢？你找一下啊，我们先找一下第一个最大值点，这里，第二个，这里说明你这两个最大值点，说明你第三个点能不能取。 不能，那也就说我们要满足在这个点的右侧和在这个点的左侧吧。好，现在我们一个个来看一下，你要求它在这里，对吧？又要求它在这里，那我们怎么选呢？你肯定这个，这个四 m 啊？我们这个四 m 的 范围，给它写一下 四 m 的 范围，它右侧肯定是要取小的那个吧，对不对？取小的那个，因为它要求是两个都满足嘛？这个和这个谁小啊？ 这个和这个谁小，绿色的小吧，绿色的这个点对应的是几啊？我们给他写一下，这个是二分之派，这个是派，这个是派，这个就是这个就多少三派吧？ 三派啊，那这个就是二分之七派。好，二分之七派。来，我们要写这个绿色的点出来了，所以你这个 c m 它要小于这个二分之七派。用不用等于？我们先把所有的所有的这个左右两边的这个上线和下线都给他写完之后再考虑用不用等于。 好，再看左侧，左侧这个下线，我们要要求他在这个的右边。那同学们觉得我要娶谁啊？ 是不？只能取这个呀？取大的这个吧，下上线你要取小的，下线你要取大的。好，来，我们看一下取大的，大的是三派，所以四 m 要小于三派。 好，同学们，我先讲到这里啊，我接着往下面写，等我把这一套写完之后，我再帮助大家分析一下，为什么这个，为什么要取这两个点啊？为什么取这两个点？同学们先往下面听。好，来，我们把这个看一下，那到底左边和右边能不能 b 区间呢？ 能不能 b 取决于你这个四 m 啊？它这个是是 b 区间还是开区间？我们在这里是开区间来看，这里是开区间的话，如果你选了这个二分之七派，二分之七派，哎，为什么老是会出现这个东西啊？好，你选了这个二分之七派的话，它能等于吗？ 同学们看，他不能等于啊，他不能等于，因为你这个是 b 区间，如果说你这里等于了，你这里等于了，那么你这个零点就能取到了，能听懂吗？这个零点他二分之七派，他就能取到了，所以不能等于， 不能等于，那左边这个区间能不能等呢？来看左边这个区间在在哪？左边这个区间在这里，左边这个区间能不能等也是一样的，取决于你这个四 m， 如果说这个等于的话，如果说它等于的话， c m 它大于等于三派，也就说我这个值它等于三派了吧。那同学们看一下，它等于三派能不能成立 等于三派，它这个点啊，它这个点说明这个点能取到，是不是同样的，它是满足提议啊？它是有一个最大值，两个最大值，一个零点，两个零点，三个零点，所以说明等于的话，它符不符合提议？ 符合吧，所以他可以等啊，右面不能等，左边可以等，那么我们现在就得到了这个 m 的 取值范围， m 他 就要小于八分之七派，然后大于等于这个四分之三派。好，这道题解完之后，我们再详细的讲一讲啊，详细的讲一讲，为什么我们刚刚说 上线要取小的那个，下线要取大的那一个？来看，我们现在先写下蓝色的，蓝色的区间是不是 x 要小于这个啊？小于这个，然后大于这个，左边这个是三派，右边呢？右边肯定是五派了吧。 好，再来绿色的区间啊，绿色的应该是 x， 它要小于和大于，它要小于。左边这个是多少？左边这个应该是二分之五派吧。好，左边是二分之五，右边就是二分之七派啊，二分七派。好，来看一下。 如果说啊，我们刚说了，你上线要取大的，这个是不是这个上线要取它？好，上线要取它啊？不对，上线要取小的，上线要取小的。来，我们讲下为什么？如果说你取了大的这一个，你看你大的这一个，我们刚说了，你既要满足他在这条线的左边，也要满足在这条线的左边吧。 如果说你只满足了你只取上限，我这个点在这里，我这个点在这里。成立吗？题目成立吗？不成立。你不就有一个、两个、三个、四个、五个零点了吗？对不对？所以你想满足他只能有三个零点，就只能在这个绿色的线的左侧啊，绿色的线的左侧。 然后如果说来看下这个这个下线，下线，下线是在三分之派的右侧和这个啊？不是，是在这二分之五派的右侧和这个三派的右侧。我们，我们刚说了你下线要取大的，取大的，为什么？ 如果说我下线取小的，我只在他的右侧，我点一个点，我点这个点，这是不是满足在他的右侧，但是不满足在他的右侧吧。那我们来看你这个时候，这个时候他有几个最大值啊？一个没了吧，这个不能取吧？因为你这个线他就只到这个绿色的点了， 对不对？所以同学们啊，灵活的去分析，你也可以死啊。其实我不太建议死记，你最好是能够这个画图，画图来找出他的区间范围，也就是我们写一下上线 取小，下线取大啊，上线取小，下线取大啊。同学们在画画这个图，再多琢磨一下啊，多琢磨一下。行，那我们这道题就讲到这里，就讲到这里，好。
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04:22查看AI文稿AI文稿指标到校呢，已经结束了，对于这次指标到校的题目难度，许多同学和家长都表示超过平时直属校考题难度。 那么我们光说难是没有意义的，看透它背后的逻辑，指导我们的调整方向，才是接下来我们要该做的事情。接下来呢，我将从三个方面去解读一下题目难度升级，给到我们平时学习的调整方向。 第一个调整方向呢，就是要拒绝假，努力将题型吃透。刷题呢，不能只看量，更要看质。做一道题，就要把这类题的考点、知识点、辨识陷阱 都给他总结出来，这才叫有效刷题。只有总结出这个题目的底层逻辑和考点，他换个马甲，换个提问方式，你才能做到游刃有余。这个调整呢，调整方向呢，对一百二十五分到一百三十分之间的这些学生来说尤为重要。为什么呢？这个分数段，我们其实是把它叫做一个舒适区， 因为他的分数不算低，学生做起来呢，不费力，所以很舒适。但是因为太舒适了，所以学生们呢，不再愿意下功夫继续再往上走。也正是因为太舒适了，也不愿意去总结一百三十分上下的那些题，他们觉得我会做大，差不多我看到会做，偶尔一道题不会做。 所以考题一旦出现部分变化，最容易踩坑的就是这个分数段的学生。比如说本次指标的三角函数大题，只不过是把平时练习的路程转换成了一个角度，而且还是一个特殊角度，是一个七十五度的角度， 做题方法上也并没有太大的区别，那些平时刷题不总结的学生就掉坑里了，二问就没做起，导致分数不太过管。第二个调整方向呢，就是要回归到课本，把基础知识呢掌握扎实。其实这是一个非常老套的一个方向， 所有人都在说抓基础知识，那到底怎么去抓呢？并不是刷一下基础题，那些基础全对了就可以了。其实归根结底去看现在的考卷呢，它还是要讲究一个， 嗯，基础扎实，掌握灵活这样一个方向。你比如说二五年考试出突然出现的十四题绝对值类问题，那很多同学呢，在初一的时候，这个绝对值就没有搞清楚，那随着后面内容的推进呢，把绝对值就给落下了。 到后期复习的时候，也没有怎么见过这个题，就把这个知识点给忽略了。那对于绝对值呢？嗯，它书本上的原话是，一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数。 好，那么由绝对值的问题，归根结底，我们就是要考虑绝对值符号里面的正负型对不对？那么考察到一个相反数的问题，我们又要衍生到什么是相反数？比如说 m 减 n 的 相反数和 m 加 n 的 相反数，有些同学就会搞不清楚，那相反数之后呢，我们还会引申出一个互为相反数的两个数相加为零这样一个知识点， 那既然相加为零这样一个知识点衍生出来了，又会衍生到初一、初二一个重要的考点，那就是零加零型，需要学生这样去串起来，这才叫做把基础知识掌握扎实了。 掌握扎实，从来不是把平时的考卷那些题能做对，而是在自己的脑海中有一幅思维导图，一个知识点能串联出哪些知识点自己能串起来，这个才叫做掌握扎实了。那么比较有效的方法呢，就是你看到一道题目 啊，下这一周老师已经讲了，你下一周在回顾的时候，你能否把这些知识点全串联出来，自己去锻炼这样子一个学习能力，逐渐的他才能够建出完整的知识体系，无论这个题怎么去考，他都不会把你考倒。 最后一个需要调整的方向呢，就是自己的一个心态问题，嗯，题目会有一点难度，但是它归根结底都会是你学过的知识点，而且难也是针对所有人，都难，不是针对你一个人。很多人 题目做不上，不是因为那个题便是不会，而是看到那个有点陌生的提问方式之后，心里面有点慌。那些题目都是万变不离其宗，顶多是做题方法上稍微有点变化，不代表整体会由原来的七成难度突然给你生成，九成难度，十成难度不会有这样的，所以，嗯，平时 在自己主动学习的前提下，一定要锻炼自己的一个心理素质，心态上要稳，那就能稳一大半了。 考题难度上升呢，并不是今年才突然难的，从二四年开始，其实就已经上升难度了，只不过大家没有去认真研究出来的考题而已。具体有时间呢，会再录一期视频，具体讲一下为什么从二四年、二五年到现在，考题会逐渐变难，所以考生及家长们一定要注意我之前说的三点，尤其是第一点， 学会灵活的运用知识点，从现在开始调整自己的学习方法和脚步，这样子呢，后期的那个考试就不会再把你难倒了。
28:47查看AI文稿AI文稿高中大题值三角函数解三角大题，别再瞎刷了，就这七类模板，边角范围、面积、内外中线、高线、正明，一网打尽，吃透他们，考场直接秒杀，满分轻松到手！ 好！在显示其他题型之前，我们先解决第一个常识问题，就是我们在知道扩散 c 它等于定值的时候，怎么快速判断它的角为多少度？比如说我们扩散 c， 它等于二分之一的时候，那我们 c 它等于三分之二或者三分之二。那么扩散 c 它等于负二分之一的时候呢？那我们是 c， 它等于哪两个度数？或者 c 等于一个， 呃，二分之高三的时候，我们 c 它又等于哪两个度数？好，今天一个视频来解决它。好，课本上给的解释是， 嗯，这里是一个坐标轴，然后这里是一个单位圆，单位圆就是半径为一的圆，然后以 o p 为 o a 为起点， a 是 一动零，然后逆时针为正方向旋转，然后一直转到 o p， 然后 o a 和 o p 的 夹角即为 r 法。 嗯，所以你看，假如这个阿尔法是一个一百三十五度。对，一百三十五度的时候，呃，好，无论是塞还是扩散，它是不是都要在直角三角形进行比试，对吧？这个直角三角形怎么形成的呢？永远都是 o p 与 x 轴的夹角， 比如说二分之一百三十五的时候，那么，呃，因为你看他是一个单位人嘛，所以他半乘为一，所以那这里是二分之根号二，这里是二分之根号二，那至一百三十五呢？这四十五度嘛，二分之高二，所以我 p 点坐标呢？就是一个， 呃，负二分之根号二到二分之根号二，所以我这边的 sine 阿尔法就等于个对边比。 sine 是 对比斜吗？对边是二分之根号二，对吧？那就是二分之根号二，比上它的零边，零边就是它半径就一，等于二分之根号二， 然后它扩散，而法呢？扩散而法就等于个斜。呃，斜，邻边比斜边，邻边？是啊，邻边是 x， x 负二分之二，负二分之二比一就等于个负二分之二二。 所以如果 p 点是 x 勾 y 的 话，那其实我们的塞而法就是一个呃 对边，对边就是 y， 什么？那是 y 比上一个一就等于 y 扩散，而法就等于个 x 比一就等于个 x 好。 有的时候就会问，那如果呃 o p 运到这个点，运到这边来了呢？比如说 o p 运到这里来，对吧？ 那它所形成的夹角是这个角，若 p e 在 这里的话，好，那它还是对边比斜边嘛，对吧？对边就是这里比上一个斜边，还是它的半径 e 是 一模一样的 好，那这个有什么用呢？比如说我们回到刚才的问题，刚才不是呃说 cosine 负二分之一等于多少？ cosine 平方等于二分之二分之一的时候，那我平方等于多少？好看，这个单位圆负二。你看 cosine， 它对应的是 x 轴，那其实就是 x 等于负二分之一的时候， x 等于负二分之一。在这个地方，所以它有这两个焦点，这两个， 那它第一个角角是这个角，第二个角角是这个角，所以它 r 法一是等于这个 r 法二是等于这个。好，那这等于多少呢？我们知道负二分之一的时候，那么 c t 可以 等于个呃 三分之二 pi， 对 吧？三分之二 pi， 然后还可以等于这个是多少呢？你看这是一百八十度，那这里就是六十度嘛。一百八十度加六十度是 pi， 加上三分之三就三分之四 pi， 对 吧？所以 theta 就 等于三分之二 pi 或三分之四 pi。 那 比如说 sin theta 如果等于个呃二分之根号三的话， sin theta 等于二分之根号三，那其实对应的是 y 轴，那就 y 等于二分之根号三， y 等于二分之根号三，它就长这个样子， 这是 y 等于二分之到三，所以它应该有这两个值。一个假角是 p， 运到这里来的是 r 法一，然后另一个假角是这个假角运到是 r 法二，这个角是 r 法二，所以那我们 r 法一就等于个呃 六分之派， r 法二就等于个六分之五派。 然后呢，我们可以看它，它确实满足我们的那个呃， 诱导公式，对吧？因为你看 sin theta 等于 sin pi 减 sin theta， 对 吧？就是那个基变 o b， f o， 看相似的那个。 好，我们看了我们第一类题型，第一类题型是我们用正弦电笔球三角形中的边与角答题模板啊。 呃，第一个知识点是正弦定力和余弦定，第二个知识点是余弦定力，然后还有思想是面积公式，这几个知识点大家已经很熟了，对吧？那就不是，那不说了。好，直接看到我们新高考真题好，第一问。 呃，因为我们观察到它这个，它给我们两个调整，一个是三 a， c 等于根二倍的扩散 b， 第二个是 a 方加平方减 c 方等于根二倍的 ab， 我 们很容易找到我们的余弦定力，对吧？两边同时除以一个二 a b 除以一个二 a b 的 话，那它也除以一个二 a b， 那 这里就是扩散 c 了，对吧？这一坨就扩散 c 等于一个二分之根号二 啊。我们，呃，前面说过，就是说，呃，在单位圆里面 cosine 它代表的是 x 轴，那就是 x 轴等于二分之根号二， x 等于八分之根号二的时候与它有两个焦点，第一个焦点是在这里，第二个焦点，那它 r f m 等于这个地方， r r 或者等于这个地方，对吧？ r f m 等于四分之派，或者等于个四分之七派，但是因为我们 c 是 属于一个零到派之间的，零到派之间的话，那它 c 只能就等于个四分之派了。 那再回到第一个条件， sin 呢？ sin 四分之二还是等于二分之二？二分之二等于一个根号二被扩散 b， 所以 我们扩散 b 就 等于二分之一 啊。扩散 b， 那 x 等于还是扩散吗？那还是 x， x 等于二分之一的时候还是有两个值，对吧？那这个， 呃，那 b 就 等于个要么等于个三分之派，或者等于个三分之五派嘛。但是因为 b 它也属于一个零到派之间，因为 c 角是一百八十度，所以 b 就 只能等于三分之派，好， 因为就出来了，好，那我们会发现这个两个角我们都知道了，对吧？两个角知道，那 a 也出来了，对吧？好看。第二， 他告诉我面积，然后三个角也我们也知道了。在三角形里面，我们知道有一个有句话叫做知三求三，对吧？但是如果知道三个角的话，是求不出来三个边的，但是他给我面积，面积就可以。 呃，求了啊，面积公式是三角形。 abc 等于个二分之一倍的 ab 乘一个 c 乘一个二分之一倍的 bc 乘一个 a， 再等于二分之一倍的 a， c 乘以 c 乘以 b， 其中哪个都可以啊，对吧？那我们就用第二个吧。二分之一 b， c 乘一个 c， a 就 等于个三加上一个括号三。 呃，我们知道七十五度呢，它就等于一个四十五度加上一个三十度的，那 sine 七十五度，两个 to 求 sine， 那 sine 四十五度加上一个三十度，那就等于 sine 坡加 cosine 就等于个二分之根号二乘一个二分之根号三加上一个二分之根号二乘一个二分之一，就等于四分之根号六加上一个根号二。那么二分之一倍的 bc 乘一个 四分之根号六，加根号二，等于个三加上一个根号三。好，这是双变的问题。双变问题，我们要先，我要把它，想把它变成一个单变量问题，对吧？那怎么变呢？那很明显只用的一些定正弦定律了，对吧？ 我们用 a 比上一个三 a 等于个 b 比上三 b 等于 c 比上三 c。 嗯， no， a 比上一个四分之根号六加根号啊，就等于个 b， b 比上一个三 b 是 三 b 六十度三十度等于二分之根号三，就等于 c 比上一个三 c 二分之根号二。那我就有 b 等于个 二分之根号三倍的再乘一个 c， 除以个二分之根号二吧，对吧？ 那它就等于一个把它移过去嘛。呃，乘一个根号二分之二分之二三乘一个根号二分之二乘 a， c 就 等于个二分之根号六 c， 所以二分之一乘一个二分之根号六， c 方就等于个，再乘一个四倍的根号六，加根号二，就等于个三，加上根号三，所以呢， c 方就等于 c 方。乘，化解一下， 十六倍的六，加上一个两倍根号三就等于三，加上根号三，可以约一个约一个二，就约个二出来了，对吧？那 c 方就等于个八了，那 c 就 等于两倍根号二。 因为 c 只能是正的嘛，所以它只能等于二分之二了。呃，这个题他说三角形 a、 b、 c 面积为根号三， d 为 b、 c 中点 a、 d 等于一， 是一个中点的题目。中点题目，我们可以用等面积法，也可以用向量法，但是它这个调整点是面积，所以我们只能用等面积法，就是 s， 三角形 abc， 它等于一个三角形 a、 c、 d 加上一个三角形 abd， 那 我因为他告诉我 a、 d、 c 的 一个呃六十度，那 adb 就 等于一百二十度，所以那我就有 呃二分之一 a、 c、 d 就是 二分之一乘一个 a、 d， 再乘一个 c、 d， 再乘一个三百六十度，加上一个二分之一倍的 a、 d 乘一个 b、 d， 再乘一个三，一百二十度，等于它整个面积是高三。 然后因为它的点是中点嘛，我是它为 m， 是 它也为 m， 所以 我就有 二分之一乘一个一，再乘一个 m， 再乘三百六十度。二分之根号三，加上一个二分之一乘一个一，再乘一个 m， 再乘一个根号三，就等于根号三， 那二，那就是四分之二，这个根号三 m 等于个根号三，所以 m 等于二呢？就说明呃 b、 d 等于 c、 d 等于个二。 然后我们发现在三角形 a、 b、 d 中，我们知道 a、 d， 还知道 b、 d 也知道这个角，所以我们有知三求三嘛，就可以把 ab 给求出来， ab 求出来之后，就可以把扩散 b 给求出来。扩散 b 有 了，那我 b 的 角都知道了，那我看一下 b 是 不是就出来了，对吧？ 所以我们先算一下。呃 a、 b 在 三角形 a、 b、 d 中， a、 b、 d 中有 呃扩散一百二十度等于个呃四的加一减 ab 方，对吧？因为 b、 d 的 平方加上一个 a、 d 的 平方减去 ab 的 平方去二乘一个 d， 再乘个一，就等于负二分之一。因为扩散一百二十等于负二分之一， 所以我说有呃五减 ab 方就等于个 负二， ab 方就等于个七， ab 就 等于个根号七， ab 等于根号七。之后就可以用扩散 b 来表示出来。扩散 b 就 等于个四加七减一除以个二乘一，个二乘一个根号七嘛，对吧？ 然后呢？它就等于个算一算四加七十一十四倍根号七就是二分之五倍根号七乘一个七， 这个十四分之五倍的根号七。嗯， 然后我们看着 b， 它等于一个三，三笔括，对吧？是不是？那我可以把三笔给算一下，三笔等于一减它的平方，那是一减去十四乘一个十四乘一个二十五乘一个七，就等于个， 它就等于个一百九十六分之二十一。所以，呃，还要开个根号， 呃，我开的根号就是十四分之根号二十一了。那我的 time b 就 等一个三比括嘛？三比括的话，那就是 呃十四分之根号二十一，比上一个十四分之五倍根号七，所以那 time b 就 等一个五分之根号三，就它比上一个它三比括 好。然后再看第二题，第二题跟第一题没什么关系。 呃，这个第二问呢？它有两种方法来做，第一个方法是我们的双鱼弦，双鱼弦，然后第二个方法是，嗯，我们的向量法反一双鱼弦反二向量， 非常经典。一道题，我们先看第一个方法，双鱼弦打一好，打一呃，双鱼弦就是你看，我们知道 cd， 它是位置的 b、 d 位置的 a、 d 是 一，然后， 然后我们可以在这个角面，因为它是。又是关于 b 方加 c 方嘛，对吧？跟 b、 c 有 关系，所以我不妨把它设为 c 塔，那我就有。呃，在三角形 a、 b、 d 中，在三角形 a、 b、 d 中有扩散 c 塔等一个。 嗯， n 方加一减， c 方出一个二 n， 然后在三角形 a、 d、 c 中，它有 cosine 派减 c 塔 等一个 n 方加一减， b 方出一个二 n。 因为 cosine pi 减 c， 它既变偶变 f 方向线，它是二分之 pi 的 偶数倍， pi 是 二分之 pi 的 偶数倍，所以它还是变成 cosine。 然后它在第二项链第二项链的 cosine， 它是负的， 因为 s 轴是负的，对不对？扩散就代表 x 轴，所以它就等于个负扩散 c 塔，所以你会发现我这两个相加等于零，对吧？是不是？所以我就有把它记为一，是，把这一图记为二十，那我一是加二十，它是等于零的。 因为扩散 c 塔加上负扩散 c 塔等于零，所以我就有二 n 分 之 n 方加一减， c 方加上个 n 方加一减一方等于零， 然后就有二 n 方加二减。括号， b 方加 c 方等于零， b 方加 c 方等于八，所以二 n 方加二等于个八， n 方加一等于个四， n 方等于个三，所以 n 就 等于根号三了。 n 等于根号三，它这是根号三，这也是根号三， 然后它让求 b 和 c 的 值，然后我发现这个三角十里面就刚好三，刚好三一， 然后他发现好像做不动了，对吧？是不是啊？这是我们看还有什么可以用可以用的条件。这样是 abc 的 面积为高二、三， 然后它是中点，那你看那底乘以高，底都是相同的，高也相同，所以那它的面积就是 a、 c、 d 的 面积肯定等于 a、 d、 b 的 面积，对吧？那说明，呃，三角形 a、 d、 b 的 面积是 a、 d、 b 的 面积是二分之高二、三， 然后我发现，呃，那底乘以高喽，对吧？那我底乘以高，做一条高吧。 底乘以根号三，乘以它的高啊。根号三乘以它的高除以二，就等于个二分之根号三，然后发现它的高就是一。对不对，高就是一，然后它 a、 d 也刚好等于一，那说明什么呢？说明是不是 a、 d 垂直于 c、 d 啊，对吧？ a、 d 垂直于 bc， 那 所以，那我 b 就。 那这是一个 呃，等腰的三角形，对吧？是不是这个等腰三角形，然后这是垂直的，那这是根号三，这是一，那所以 b 等于 c 等于二了。 这第一种方法，所以 b 就 等于个 b 就 等于个根号三，三加上一个一就等于个二。三角形 a、 d、 c 为 a， c、 d 为直角三角形，直角三角形 b 等于二，所以 c 等于个 b 等于个二。好，这我们第一种方法， 正常来说，我们用中点的算法，一般是这样子做的，就是 a、 b 加上一个 a、 c 等于个两倍的 a、 d， 然后两边同时开平方，对吧？是不是？但是呢，这题它稍微有点不一样， 就是你开平方算不动，所以这个时候的话，我可以把向量 b 把这个 b 和 c 看成一个基底，然后把 a、 d 和 b、 c 给表示出来。 为什么要这样子做呢？因为你我观察它是 b 方加 c 方的一个八，它这种形式可以写成一个 b 加 c 的 平方，加上一个 b 减 c 的 平方，它就是等一个 b 方加 c 方。所以我只需要， 如果把 a、 c 看成上了 b， 把 a、 b 看成上了 c 的 话，那我把 b 加 c 表示出来就行了。 b 加 c， 其实就是二分之一倍的 a、 d， 对 吧？ b 减 c 呢？ b 减 c， 那 就 b、 c 喽，对不对？ 好，我们现在表示了 a、 d， 对 吧？ a、 d 有 了，就 a、 b 加 a、 c， 那 再表示下 c、 b 吧。 c、 b 就 等于个 a、 b 减 a， c 减 a、 c， 于是我两边头开平方，比如说我把这个开平方这边开平方，对吧？那它就是有。呃， a、 b 方加上一个两倍的 a、 b 乘一个 a、 c， 就再加上一个 a、 c 方，就等于个四 a、 d 方，然后这两边也同样开平方，那它就有 c， b 方，就等于个 a、 b 方减二 ab 乘一个 a、 c 加上一个 a、 c 方，你看 no， 把它看成一式，把是二式，两式相加，是不是就刚好等于一个？那就是 c、 b 方加上一个呃，四 a、 d 方，它就等于个刚好，就是我们的呃 a、 b 方 加上一个 a、 c 方，对吧？然后它就刚好等于什么呢？刚好等于我们的这个两倍的 b 方加 c 方啊。 呃， bc 方，它其实就是 a 的 平方嘛，对吧？因为 bc 它就是 a 这条边，它是 a 的 平方，加上 ad 是 一，那 ad 平方也是一，再加上一个四，就等于个两倍的 b 方加 c 方了啊。然后呢？最后四加 a 方就等于个十六， 所以我 a 方就等于个十二，所以 a 就 等于个两倍。根号三 a 出来了，那后面的 步骤就跟我们第一个方法一的也是一样的， a 是 两个高，那这也是高三，这也是高三。呃，然后在面积嘛，对吧？按面积，然后发现这是一个九十度，这一个九十度的话，那它九十度的话，那 b 就 等于 c 等于个二，对吧？ 再看这个变式二，也就是第三题，三角形内角 a b c 对 应为 a b c， 然后散 c 散 a 减 b 等于散 b 散 c 减 a。 好， 第一问多， a 等于二 b 求 c 的 度数。 我们看这观察这个式子，它是有三个变量，对吧？然后你看 a 等于二 b， 如果把 a 等于二 b 带到前面这个式子来，那就变成一个三 b 了，三 b 可以 约掉，对吧？所以我们就有，呃， sin c sin 二 b 减 b 等于个 sin c 减 a， 二 b 减 b 就 等于 b 嘛。 sin c， sin b， 就等一个 sin b， 再乘一个 sin c 减 b， c 减 a， 那 就可以约掉了。所以 sin c 等于个 sin c 减 a， c 减 a。 我 们知道，然后根据我们前面讲过 sin c c， 对 啊， sin 对 的是 y 轴嘛，对吧？ sin 对 的， y 轴的话，你看这是一个坐标轴， y 轴的话，那就 y 等于多少多少，对不对？就说 y 等于个度多少，那它要么等于个，它自身，对不对？假如这 alpha 或者等于这里来，或者等于这个度数， 你看这 r 法一和 r 法有什么关系呢？假如这是 r 法一，是 r 法二，那要么 r 法一加上一个 r 法二，它是不是等于一个 pi 啊？对不对？它等于 pi 的。 所以，呃，假如 c 等于个 c 等于一个四十五度的话，那我 sine c 就 等于一个 sine 四十五度， 或者如果 c 等于四，呃，要满足这种情况的话，要么 c 等于一个 c 减 a， 要么就满足 c 加上一个 c 减 a 等于一个 pi， 或者因为 sin c 还可以等于个 sin， 就是 pi 减四十五度嘛，就一百八十度减四十五度等于一百三十五度 sin， 呃，它都有二分之二，对吧？ 一样的。那，所以我们可以看下第一种情况，那，那岂不是 a 等于零了，对吧？所以它要舍掉，那再来看这个。呃，二 c 减，那是二 c 减 a 就 等于一个 pi 了，对吧？好，然后我们知道 a 加 b 加 c 的 一个 pi， 然后 a 等于个二 b， 那 b 就 等于个二分之一 a 嘛，对吧？那就二分之三 a 加上一个 c 等于个 pi， 然后把它看成一式，把它看成二式，然后把一二式进行连立，对吧？ 然后就可以把它解出来。呃，那就三 a 加上一个二 c 等于个二 pi， 然后二 c 减 a 就 等于个 pi， 那 我这里的 a 就 等于个 四 a 等于个 pi 四分之 pi， 那 c 就 等于个 a 等于个四分之 pi， 那 二 c 减四分之 pi 就 等于个 pi 了，所以二 c 就 等于个四分之五 pi， 那 c 就 等于个八分之五 pi 了。这就是第一问，然后再看第二问， 这样让我们证明，二 a 方等于一个 b 方加 c 方，它只告诉我这一个式子，所以这个式子我们好像没办法吧，它就是性不化简了，它没有的问调整法，那我们怎么把它打开喽，对吧？那 sin c 乘一个 sin 扩 减 cosine 就 等于 cosine 小 于 cosine， 小 于 cosine 减 cosine， 然后发现好像做不动了，对不对？做不动的话，然后我们就想到遇事不决，要么余弦定力，也或者用正弦定力，然后很明显这应该用正弦定力，因为它这里都有角， 只有角。我们知道 a 比上一个 sin a 等于一个 b 比上 sin b 等于 c 比上 sin c 等于二 r， 对 吧？等于个二 r， 所以 我的 sin b 就 等于一个 三 b 就 等于一个 b 除以二二，同理可得三 a 也等于 a 除以二二嘛，对吧？三 c 就 等于 c 除以二二， c 除以二二，所以可以直接把它带进去。嗯，当然这个代换过程不用写就可以写，直接写由正弦定理可得， 然后对称定理有，对吧？然后可以直接写成一个 c 倍的呃，塞 a 啊，扩散 b 减扩散 a， 塞 b， 就 等于个 b 乘一个塞 c 扩散 a 减，扩散 c 塞 a， 然后我发现它这里每个每一项 每项都有，又有一个塞，对吧？是不是？到这题你再变一下，那就是把这 a 看，把这 c 乘进来吧，那就 a c 倍的扩散 b 减去一个 a， b 倍的扩散 a 就 等于个 bc 倍的扩散 a 减去一个 ab 倍的扩散 c， 然后发现它是不是跟我余弦定力好像有点像？哦，对吧？因为你看我扩散 b 的 一个呃， a 方加 c 方减 b 方除以个二 a c， 那 这样的话，我可以把 a c， a， b， b， c， a， b 都给约掉了，对吧？ 那它就等于个那二，我也可以约掉，对吧？然后因为我两边同时可以乘一个二嘛，所以就有 a 方加 c 方减 b 方，就再减去括号，那就是扩散 a 等于 a 方加扩散 a 等于个 b 方加 c 方，是 a 方， 那 b 方加 c 方减 a 方，就等于个呃，扩散 a 还是 b 方加 c 方减 a 方减去，那就 a 方加 b 方减 c 方， 嗯，然后句号减咯。 a 方加 c 方减 b 方就减 b 方减 c 方加 a 方，就等于个 b 方加 c 方减 a 方减 a 方减 b 方加 c 方， 呃加 c 方减 c 方约，那是二 a 方减二 b 方就等于个 b 方， b 方约 二 c 方减二 a 方，然后就有四 a 方就等于个二 c 方加上有二 b 方，那就有二 a 方，就等于一个 b 方加 c 方了。所以证明完毕。 然后可以把这几题呃，这是他的练习题，这张练习题这三题可以做一下。然后呢，可以去群里面要答案，就是去呃置顶的那个主页，里面有 qq 群， 然后可以自己去要答案，对一下，也可以私信我，我拉你进群。
21青瑶高考数学
06:17查看AI文稿AI文稿是一道是不典型的已知函数图像确定函数解析式问题。我们这种题的一个思路是什么？第一步是应该是求大 a， 大 a 怎么求二分之最大值与最小值做减法。 第二个求小 b， 他 是应该是等于二分之最大值与最小值做加法。 第三步求什么？是应该是 omega， omega 对 于 sin 和 cosine 而言是应该是二派，除以 x 线系数。第四个就是怎么样求范，那么求范一般是怎么样带点？求范 带的点是随便带吗？不是的。为什么我们要利用什么单调性？而你做错的原因只有一个，就是你没有利用单调性，你直接定 sin 等于零为 k 派了，那就错了。 懂我意思吧？因为图像的这个单调性是很重要的，就我们来一起一步一步去解一下。正常有图像可以知道我的大 a， 他 一定是等于二的，然后从这个负三分之派到这个十二分之五派，占了几个周期？ 如果补全的话，出现在这里，一个、两个，三个、四个，这相当于的是四分之三个周期，它等于十二分之五派与我的负三分之派做减法，所以进而出现就是四分之三派， 那周期就出来了。那如果你知道周期，就相当于你知道了 omega， omega 是 减二，那目前这个函数 f x， 它就应该变成的是二倍的 sin， 二 x 就 加上罚， 只有 five 是 不知道了。带点那非常好，你带的是我们的特殊点负三分之派，它是不是应该是等于二倍的数？三音负的是三分之二派，就加上一个 five， 它等于多少零？ 那紧接着我问你啊，正常如果 sign 值等于零，他是可以等于零派，你都能取吗？不能。为什么？他在递减的这段里，而对于我的 sign 而言，他如果想要递减，就只能取这个零点和这个 对不对？所以我们应该怎么写？就应该是令我的负的三分之二派就加派，他等于的是派，就加上一个二 k 派， k 是 属于什么整数 z 的？ 所以派是不应该是等于三分之五派就加上一个二 k 派， k 属于整数 z？ 右斐的绝对值是应该是小于二分之派的，所以对 k 负值 k 是 多少？负一的时候，斐是刚好就是负三分之派在数这个范围里面。 那进而呢？第一问，我们是就做出来了， f x 等于二倍的数，除以二 x 减去一个三分之派。 紧接着看第二问，考的是什么？图像的是伸缩平行变换，说将 f x 上每个点的横坐标缩短为原来的二分之一，横坐标缩短为原来的二分之一 x， 且系数应该是什么？乘上一个它的 倒数吧。所以应该乘上的是二分之一的倒数为二，那二乘二就是减四。所以 g x 它是不是应该是二倍的三，以四 x 减去一个我们的三分之派？ 下一步，他让我们求在零到二分之派上的一个单调 d 增区间 怎么办？我是不可以正常去求递增区间，然后去截取零到二分之派上的这一部分是不就可以了？所以正常 sine 的 单调递增区间应该是什么？ 是不应该是大于等于负二分之派就加上一个二 k 派？小于等于二分之派就加上一个二 k 派？所以进而呢，我们就可以求出 x 它的一个范围给你了啊。 x 是 大于等于负二十四分之派加上一个二分之 k 派，它是小于等于二十四分之五派加上一个二分之 k 派。 那在这里 k 是 属于整数 z 的， 完事了吗？没有吧？为什么？因为我们要截取的是零的二分之派，上的是不是在 t 中区间，所以我们对 k 负值。当 k 等于零时，你发现中区间为什么？ 是不应该就是 k 等于零，套进去是负二十四分之派是到二十四分之五派， 所以你需要套 k 等于负一吗？不需要啊，它一定比零小啊，对吧？再套谁是 k 等于一？因为没有超过二分之派呢。你发现 k 等于一的时候，中区间 为我的二十四分之十一派到二十四分之十七派。 故总结， g， x 在 零到二分之派，单调区间为零到二十四分之五派，去他的什么节，交个几吧。然后我问你，这两个区间能够写成这个病急或者说是 获字吗？不是，你能写成病吗？病，病号吗？不能。为什么？因为它不是严格的单调递增，它是说单调递增区间，对不对？那这道题就过了，它也是考试的一个重点啊，这个题整体难度偏低。
06:48查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道中考题中三角函数的运用的问题啊，三角函数的运用问题，那么首先观察这个题目，同学们啊，已知这是有一个遮阳棚， c d， 这是一堵墙， c b 墙是和地面垂直的， 这个遮阳棚太阳光线从这里照射下来的时候，照到这个墙的底部的时候，夹角是二十九点五度。中午的时候，太阳光线这样照射下来的时候，和地面的夹角是七十六点五度，知道落在地面上的这个影子的长度是六点五六点五。 接着我们来求一下这个遮阳棚到地面的这个距离是多少？那显然遮阳棚到地面的距离，你就过点地向地面做垂直就可以了。 但是现实中有的同学这样做垂直过点 a 往上做垂直，你要过点 a 往上做垂直的话，同学们也可以就麻烦了，因为七十六点五你得转化到这里来，内错角，这是一个 二十九点五，你得转换到这里来，显然你得又又又要用了这个垂直，这里这个长度，你还得证明这个四边形是一个矩形。所以说这种方法不可取，而我们不点 d 做个垂直呢，你看看把七十六点五和二十九点五同时放到了直角啊三角形中去了，这就非常可取的一种方法了。 再看几个条件，你们啊，知道 ab 是 六点五，让我们求的是 cd 啊 dm 的 长度，还知道一些三角函数，三角函数刚才也有三亿七十六点五，也有扣三亿七十六点五，这个也是啊，二十九点五度的正弦与弦正切都是一致的，你自己选择就行。朋友们啊，自己选择。 那么接下来咱们看一看如何去求这个 dm 的 长度 x 米呢？那么我设这个是 x 选项，显然你看七十六点五所在的这个直角三角形里边就一个 x， 还有一个 m a 他 也不知道，当然 a d 也不知道 a d 他 旋转半空中一个斜面更没用，而且这个 m a m 他 最起码在地面上，对不对啊？他最起码在地面上，而且这个 m a 和六点五加起来恰恰是二十九点五的邻边。 所以说这里的这个问题涉及到的就是对边和邻边的问题。对边和邻边的问题，斜边咱们是不需要求也用不到的， 所以说这里我提供的是正切值。有的同学选择困难症，不知道用哪个三角函数，你就看我们要求的边和已知的边组成的是那个角的什么三角函数就可以了。显然这里是对边和邻边的关系，这就是一个正切值的问题啊。 所以咱们先来看这个 tangent， 七十六点五度，那么这个 x 我 们设成了 am 未知，但是 am 很 显然和它有关系，和这个 呃 ab 的 六点五也有关系。因为这个 m a 和六点五加一块正好是二十九点五的邻边，所以说我们就有必要再把 am 再给它设一个未知数。为什么提供了两个角度啊？就是让你来设两个未知数列两个方程的那个啊。 贪婪的七十六点五度，显然他等于的就是 x 比啊 y 了。贪婪的七十六点五度等于是二十一比啊五。再来看贪婪的二十九点五度，他又等于谁啊？他等于的是 x 比上一个 y 加六点五， x 比上一个 y 加六点五，它约等于的是十四比二十五。哎，这就组成了一个关于 x y 的 分式方程组， 可能有的老师讲的解这个分式方程组就可以了，求出 x 就 完了，实际上后边重中之重就在后边这个解方程组上，同学们，好多的同学 会列方程组，也知道设两个未知数也会列，但是就是不会解，解起来特别特别的困难，现实中这样的学生很多的，你们啊，接下来要注意听老师给你讲解一下这个方程组怎么解。 那么交叉相乘这个解完了，这个方程组你就解得，列完了，这个方程组你就解得就可以了，对吗？ x 等于什么， y 等于什么就 ok 了，解得就可以了啊。 那么交叉相乘下边就是草纸上进行的，咱们就来看这个八乘除怎么解。交叉相乘，第一个就是五 x 就 等于二十一外了，第二个也交叉相乘是二十五， x 等于十四倍的 y 加六点五了， 变成这个样子了。那么变成这个样子之后，有的同学就 x 等于五分之二十一外，我带进去也可以，可以吗？啊， 这样做也可以，实际上更简单的话，你把他们俩没有发现吗？ x 的 系数是倍数关系，我把第一个换成乘以五，那就变成二十五， x 等于一百零五 y 了， 直接等量再换就可以了。那么一百零五 y 就 等于十四 y 加上一个十四乘以六点五，也就是二分之十三。我把十四乘进去了。同学们啊，展开了那么 一项，一百零五位减十四位，那就是九十一位就等于十四，乘以二分之十三，不要盲目的给它乘出来。同学们啊，不要盲目的给它乘出来，不到最后不要给它乘出来， 然后 y 就 等于十四，乘以二分之十三，再除以九十一，就是乘以九十一分之一了。哎，这个时候你在一月份里呢，非常简单啊，十三和九十一能看出来他俩是七倍的关系吗？十三乘以七正好是九十一， 他俩月份这里剩的就是个七了，七和十四在月份剩的就是个二了，二和二在月份，最后 y 等于的是个一，所以说，不要盲目的把那个数字给它乘出来，他是有原因的。同学们啊，他是有原因的。这样算起来更简单， y 等于一，你再再到这里来， y 等于一， y 等于，那 x 肯定就等于约，等于五分之二十一啊。最后结果要约等于等于二，如果这是草纸上进行，它就没有写解得 x 约等于什么，约等于就是五分之二十一了，而 y 约等于的是一啊， 就出来了，最后约等于到这里还不算难题。还有第三个关键点，你要注意的就是，这是分式方程，一定要检验，经检验， x y 是 方程组的解，且符合题，两句话一句都不能少。 第一步，一定要注意，出现两个三角函数角度的时候，一定要记着设两个未知数，因为咱离了这个 am 办不了这个事。虽然咱不需要最后结论，不要求 am， 但是你不借助 am， 你 解决不了这个问题。所以说 am 也要设出来两个角度，设两个未知数，列两个方程非常的容易接受， 接触起来非常简单，计算的时候，同学不到最后不要盲目的把数据给它算出来，最后一定要检验答上它，希望这个题目能够帮到大家。
26柳老师讲初中数学
07:24查看AI文稿AI文稿最近很多同学私信我说，林老师，我第九题和第十五题这种压轴题还是不会做，但是我很想把这个分点拿下来，有没有很好的办法能够快速的学会这几种题？林老师在这告诉你，有，当然有！ 今天呢，我们就针对第九题，第十五题以及后面的二次函数，再给你们一个奥利解法，那就是正切值探解题，它的效果真的是杠杠的，绝对能够解决你当下的刚需问题。首先你要记住两个核心结论， 就是当两个角互余的时候，也就是 x 加 y 等于九十度时，那么它们的正切值也就是探解题 x 乘探解题 y 等于一， 当这两个角互补时，就是 x 加 y 等于一百八十度的时候，那么 tangent x 加 tangent y 就 等于零，它们互为相反数。只要用好上面这两组正确结论，直接套用，能快速的抓住关键条件，一步带你解决关键卡点。 好，接下来林老师先带你吃透这个解法的原理和用法，搭配一道经典题，一步一步的手把手的告诉你怎么把这个结论用到题目里面去。首先林老师讲一下这个基础知识点， 就是两个角如果互余，也就是 x 加 y 等于九十度的时候，那么他的贪婪 t x 乘以贪婪 t y 一定是等于一的，就是互为导数。记住了，两个角互余，那么他们的贪婪值互为导数。推导的结论很简单啊，其中一个， 它的底 x 是 b， c 比上 a c， 它的底 y 呢，是 a， c 比上 b c， 两个相乘就等于一了。好，举个简单例子，一个是三分之根号三，一个是根号三，乘起来等于一。好，记住了，两个角互为互为导数。 好，我们再来继续看。两个角互补的时候，你就这样，当他互补的时候，他们两个角加减等于一百八十度，这个时候探间梯 x 和探间梯 y 互为相反数，记住了这个结论，因为这个推导是高中的知识推导了，但是在初中他绝对好用，这个东西有点超纲，但是你直接用就行了。好， 还讲一个东西，就是一二三四五模型的一个原理解法，就是探见题二 x， 它可以理解为探见题 x 加 x 就 这两个角，那么它的一个公式是什么呢？是二倍探见题 x 除以一减探见题 x 的 平方。具体怎么用呢？ 比如这里探见题 x 等于二分之一，那么我们用这个公式就可以直接进行代值，探见题二 x 就等于二倍贪婪体 x 除以一减，贪婪体平方 x， 那 么这个时候呢？你把这个值带进去，哎，二乘二分之一除以一减二分之一的平方就得到了三分之四， 明白吗？好，这个就是一个二倍角的应用。那么这三个公式具体有什么用处呢？我们把它放到题目中来看一下。 ok， 我 们来看一个题。好，今天我们来学习一个南开切莫题。第十七题啊，你先自己看一下这个题目，让我们开始讲 好，题目中这提到一句，将 a、 e、 d 翻折到这个地方来。 ok， 翻折之后这边做一个延长。好，其他的没有什么说的，他唯一得到的信息就是这个边是十二，这个边是九， 其他没有任何信息了，只是一个翻折。那么我们怎么来做这个题？我们结合之前所学的间隙法，再配合今天的新知识，可以秒杀这个题。首先我们观察一下这个三角形翻折的，也就是 a， d， e 翻折到 a， e、 f， 那 么我们可以理解为这个角是 x， 这个角也是 x。 好， 这个 y， y 这个角是跟他成互余状态的，也就是说二 x 加上 y 是 等于九十度的， 这是我们的一个互易信息，我们先把它放到这里，我们一会要用到它，好观察这个地方。探间题 x， 因为一点是中点，所以探间题 x 是 六比九，六比九，那也就是三分之二，三分之二。好，刚才我们所学的第一个二倍角的探间题， 这个角的面积值是多少？我们可以用二倍角公式来进行替换，进去，把三分之二带进去之后，这里变三分之四，这里变九分之四，然后一解得到五分之十二， 意思就说探点梯二， x 是 五分之十二，那么这个就非常有用了。因为今天我们学了一个新的知识，叫做如果两个角互余，那么他们的探点梯值乘导数，刚才这个探点梯二 x 是 等于五分之十二， 那么这个贪间题 y 一定就是十二分之五。还记得刚才我们说 ab 边长是多少吗？ ab 的 边长是十二，对吧？ ab 的 边长是十二，那么 d g 的 长度就一定是五，所以我们给他坐标五到零，这里九到零，九到十二。 ok， 那 么得到了 g 点是五到零之后， a 点坐标是多少还记得不？它是零到十二。好，你观察 a g 直线方程，有了斜率也有了 he 有 一个点，然后有斜率，斜率跟它乘起来是负一，我们在之前的课程已经讲到过，那么你会得到一个什么？得到 e h 直线方程， ok， 那 么 e h 的 直线方程很明显一看它的一个斜率是十二分之五，跟这个东西是乘起来等于负一的，然后过点九到六，直接可以出这个直线方程。直线方程出来之后，我们就可以得到哪些值呢？首先 k 点， k 点是零到四分之九 是可以出来的，然后 f 点呢？是两条直线相交得到它的方程是十三分之四十五到十三分之 四十八。具体解这个方程我不教了，你自己去解。好，你观察一下，我们是不是要求 k f， 要求 k f 两点间具体公式长度就出来了，当然这是一个纯想的方法，纯算的方法有没有直接简单一点方法？刚才我们不是知道了 y 的 探点值是十二分之五吗？那么你知道了这个坐标，你也可以用三角函数直接把 k f 给比出来，不用计算这个点， ok， 用直接用正切值去把它比出来。好，那么第一个问就搞定了，第一个问的话就是 k f 是 等于四分之十五，明白了吧？再说一次啊，给你巩固一下这两个点坐标，算出来了直线方程就可以出来。简单一点呢，就是探点体，他这段比，这段是五比十三，这段是五比十三， 我已知道这段的长度，去求 k f 的 长度，通过这个比值也能直接算出来。两种方法都可以 好搞定了。接下来我们说后面这个 f h 比上 c f， 还记得吗？刚才这个直线方程是不是已经出来了的？既然这个直线方程已经出来了，那么我 h 点的坐标可以马上给它秒出来，是负的五分之二十七抖零。那么我现在要求这个 f h 是不是直接两点间距离公式 f h 就 出来了，然后 c f 呢？两点间距离公式是马上就出来了，就直接你可以把 f h 和 c f 给算出来，算出来了直接比就行了。当然我还是说那句话啊，间隙法加这这种黑科技办法，它好处就是想的不用那么复杂。 是不是思路非常简单吧？你一琢磨，哦，这算出来，这算出来，这算出来，那直接硬算就行了，快处是什么也就劣势是什么，就是难算。你看这些两点间距离公式去算的还是挺麻烦的。当然这个仅仅针对于你在考场上确实想不出来方法。哎，你能想到林老师教给你的两角互余， 他们的正确值互为导数，下次课我们就讲两角互补，他们的正确值互为相反数的一个例题来讲。好，今天我们就说到这个题，你下去再看一看。好，再见。
766你好林老师
