首先今天讲函数图像,第一个函数是反比例,反比例函数呢?它的形式是 y 等于 s 分 之 k。 当 k 大 于零时,这边它在第一第三项线是 g 函数, 那那当 k 小 于零时,它是在第二第四项线,那第二个是一元二次函数,一元二次函数,它开口 a 大 于零时,开口向上时,它长这样子。 当 a 小 于零时,开口就要向下往下啊,这样子,它是偶函数,那再往下就是指数函数。指数函数呢?当它是形式是 n 等于 a 分 之 b 的, 当这个 a 是 大于零小于一时,它是这样子。 当 a 大 于一时,它是增函数。它这个没有奇偶性,只有增减性,那这个是减函数,那这个是增函数。最后一个就是对数函数,对数函数 log 的 a, n 等于 b, 这里不够严谨啊,这里是 a 大 于零,然后 a 不 能等于一这个形式,那这里呢?它这个形式是 n 要大于零,因为这个增数是到大于零,对吧?那 a 也要大于零。 那首先这边这个也是跟上面这个指数一样,因为它两个是反函数嘛,所以 a 要大于零,小于一的时候,它是长这样子,当 a 大 于一的时候,它是长这样子。好了。
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函数概念里边的函数图像判断题呢,其实并不难,但是非常容易错啊,掌握我们这样一个方法呢,那么所有的这种题都可以了解了,那么我们来看一下这个啊,他说下列各图像中表示 y 是 x 的 函数的事啊,这几个长的其实都有点怪,对吧? 那我们怎么来判断这里边哪一个能够是 y 是 关于 x 的 函数呢?方法是这样的啊,我们去做一组平行于 y 轴的直线,或者说是垂直于 x 轴的直线,它如果跟我们这个图像啊,只有 一个焦点啊,每一个的都只有一个焦点的时候,它就是 y 关于 x 图像,它如果出现了有多个焦点的情况,就不是 外关于 x 图像。你比如说第一个,我们在这如果做一个啊,这样的平行 y 轴之间,有没有发现跟我们这个图像是不是产生了三个焦点,所以 a 选项就不对了啊? 然后我们这个 b 选项,你去做这种平行 y 轴之间有没有发现产生了两个焦点,所以 b 选项也不对了。 对于我们的 c 选项,我们也可以去做平行于外轴的直线,有没有发现又产生了两个焦点,所以 c 选项不对,而我们的 d 选项,你无论怎么做啊,你在这做是吧?你在这做, 你在这做,你在这做,你无论做多少条平行外轴的直线,有没有发现跟我们这个都只有一个焦点, 对吧?都只有一个焦点意味着什么呢啊?当我们这做出了一堆啊,他的焦点的个数都只有一个的时候, 它就是外关于 x 图像,而其他的不是,原因是什么呢?因为我们的函数的定义,我们的函数里边说的是对于自变量 x 的 每一个取值 都有唯一的函数 y 与之对应,这样的呢就是外关于 x 函数,那我们在这其实有没有发现,对于一个 x, 我 们能算出三个 y, 对于这样的一个 x, 我 们能算出两个 y, 这也是一个 x 算出了两个 y, 只有这是一个 x 算一个 y, 一个 x 算一个 y, 一个 x 算一个 y, 所以 它是符合要求的,最后选 d 了,每次做这种题就这样去处理,直接秒掉,同学们学会了吗?我们就讲到这里。

掌握函数图像变换背后的原理后,绘制图像有多方便,现在为师就砂指开屁股露给你们一手。 利用函数图像的变换原理,绘制 y 等于根号下 x, 再减去二, y 等于根号下 x, y 等于负的根号下 x, y 等于二倍。根号下 x 和 y 等于根号下负的 x 的 图像。 已知,在坐标系当中,平方根函数 y 等于根号下 x 的 图像是这样一只。现在将这个图像向下平移两个单位,就得到 y 等于根号下 x, 再减去二的图像。 将这个图像向右平移两个单位,就得到 y 等于根号下 x 减二的图像。将这个图像关于 x 轴做对称变换, 就得到 y 等于负的根号下 x 的 图像。将这个图像在垂直方向上拉伸两倍,就得到 y 等于二倍根号下 x 的 图像。将这个图像关于 y 轴作对称变换,就得到 y 等于根号下负的 x 的 图像。简单吧,这个 下一个在直角坐标系中会知函数 f x 等于 x 的 平方加六, x 加十的图像。我们通过初中学过的配方法, 我们将方程 y 等于 x 的 平方加六, x 加十,改写为 x 加三的平方加一。这意味着我们可以从抛物线 y 等于 x 出发,向左平移三个单位,得到 y 等于 x 加三的平方的图像,再向上平移一个单位,得到目标图像。 这个函数图像的顶点是负三一,从这里我们也很容易看出顶点坐标是负三一, 简单吧!这个下一个会制下列函数的图像, a y 等于三以二 x b y 等于一减三, x 对 于 y 等于三以二 x 与之类似的 在上个视频里也会制过。我们可以从周期为二派的三 x 的 图像出发,在水平方向上压缩为原来的二分之一,得到 y 等于三以二。 x 的 图像 周期由原来的二派变成了派,通过它的表达式,我们也可以得到 y 等于三以二。 x 的 周期是二派除以 x 的 系数,也就是二派比欧米伽等于派。为了得到 y 等于一减三以 x 的 图像,我们同样从 y 等于三以 x 出发, 先将图像关于 x 轴做对称变换,得到 y 等于负的三 x, 再向上平移一个单位,得到 y 等于一减三 x 的 图像。简单吧?这个 你可能会问,我们学这个能干什么?能干什么?能数学建模,我给你露一手。如图展示了不同纬度下一年中日照时长随时间变化的图像。已知沸点位于约北纬四十度, 请建立一个函数来模拟费成的日照时长。这个简单,注意到每条曲线都类似于经过平移和伸缩的正弦函数。三 ex 观察代表北纬四十度的蓝色曲线,可知,六月二十一日日照约十四点八小时,十二月二十一日约九点二小时。因此曲线的正负正弦曲线垂直拉伸的倍数 a 为 十四点八,减去九点二,再乘以二分之一等于二点八。若以天数 t 为时间单位, 一年约三百六十五天,因此模型的周期为三百六十五,而 y 等于三以 t 的 周期为二 pi, 所以 水平伸缩因子为二 pi 除以三百六十五。现在我们得到 l t 等于二点八,三以三百六十五分之二 pi。 t 曲线在三月二十一日一年中的第八十天开始一个周期,因此需要将曲线向右平移八十个单位,得到 l t 等于二点八三,以三百六十五分之二派 t 减八十,再向上平移十二个单位。 因此,我们用以下函数来模拟一年中 d t 天费成的日照时长, l t 等于十二,加二点八三,以二 pi 除以三百六十五乘以 t 减八十。 简单吧,这个另一个具有研究价值的变换是求函数的绝对值。若 y 等于 f x 的 绝对值,根据初中绝对值的定义, 当 f x 大 于等于零时, y 等于 f x。 当 f x 小 于零时, y 等于负的 f x。 这告诉我们,在绝对值函数的图像变换过程中,从 y 等于 f x 的 图像得到 y 等于 f x 套绝对值的图像时, x 上方的部分保持不变, x 下方的部分关于 x 轴作对称变换,从 x 轴的下方翻到 x 轴的上方。 比如,在坐标系中,需要会制函数 y 等于 x 的 平方减一套绝对值的图像。我们先会制抛物线 y 等于 x 的 平方减一,将 y 等于 x 的 平方向下平移一个单位,得到 y 等于 x 的 平方减一的图像。 可以看到,当 x 大 于负一小于一时,图像位于 x 轴下方。因此,将这部分关于 x 轴作对称变换,从 x 轴的下方翻到 x 轴的上方,即可得到 y 等于 x 的 平方减一套绝对值的图像。 简单吧,这些。

今天说一下怎样去记忆高中必会的八个函数图像。第一个 y 等于一的 x 幂加一的负 x 幂。我们知道一的 x 幂的函数图像长这个样子,这是一的 x 幂, 这是一的负 x 幂。一的负 x 幂。二者相加,相当于两个函数图像,分别向上拉一拉,这是二,这是一,就是这个样子。我们卡掉 记忆的时候是这样记忆,哎。最终的函数图像就是长这个样子,这是二,那么 y 等于一的 x 幂减去一的负 x 幂,一的 x 幂单调递增, 前面加一符号,单调递增,那么 y 单调递增,只要记住它是单调递增就可以了。就是长这个样子, 那么 y 等于一的 x 幂加一的负 x 幂比上一的 x 幂减一的负 x 幂分子比分母大,可以简单地记为大于一, 说明一就是它的渐近线。就长这个样子,好像双曲线,那么同理,分子比分母小,它小于一,小于一, 你看一眼哈。同样一也是它的渐近线,它是长这个样子, 那么第五个 y 等于 x, 乘以零, x 可以 根据串根法,一个根是零,一个根是一, 领取不到,这是一,从上往下传,就是长这个样子。老易与易有关,这是一,那么他就是一分之一,他对应的一分之一就是负的一分之一。 他上头大,下头小,好像鸭的头,我们简单的记为鸭嘴函数, 这是一,这就是一分之一。那么它怎样去记忆?就是根据定义域, x 大 于零,小 x 不 等于一。 x 不 等于一,说明 x 等于一,是它的渐近线。 x 大 于零,说明 x 可以 无限接近于零。长这个样子, 那么它怎样去记忆?我们知道 l e x 小 于等于 x 减一,那么 l e x 减 x 小 于等于一,它小于等于 小于等于负一,哈,小于等于负一,所以它的函数图像 就是这个样子,这是一,这就是负一。最后打个广告,高中必刷题,这本书相当好哈, 既有参考答案,又有视频讲解,家长学生买回去。咱不希望孩子每道题每一页都去看,只希望孩子在闲暇的时间打开某一页,掌握了其中一个知识点,这本书的价值就已经体现了啊。

函数图像真是怪,变来变去啊,像妖怪,实际只有一句话,横条 x, 竖条 y。 函数图像有三变,伸缩、平移和翻转身,缩用乘除,平移用加减编号啊,就反转。那今天呢,咱们就来实战,我们看啊,函数图像有基本的三种变形, 那每一种变形呢,实际上都又分成了两种情况,一种情况呢是沿着 x 轴方向的变形,一种呢是沿着外轴方向的变形, 如果是上面这种情况,那么就属于我们讲的横调,那横调的话就是调 x, 而下面这种情况呢,就是要竖调,那就要调外,也就是你水平变形的时候,只需要对 x 动手脚,不要打里外, 你数值变形的时候只需要调外,对 x 你 就别搭理他好。了解了这个总的原则之后啊,我们来看一下这三种变形,以及每一种变形的两个方向的变形啊,分别如何去处理好。第一个呢,我们看伸缩, 伸缩呢他有一个小口诀,叫做图像伸缩两锯抓,系数变大往里压,系数变小往外拉。所以我们看这个图啊,大家注意, 我这个图画的是一个半圆,大家在看视频的过程当中啊,最好自己也画一个函数图像,但是你不要跟我画一样的,为什么这么说呢?因为我画出来之后啊,你要照葫芦画瓢,把你自己画的那个跟我不一样的图像啊,也操作一下, 这样你要是搞懂了,那就说明你真的搞懂了,这是对自己的一个检验。好,那么你六张图都搞清楚了之后啊,你把它拍一个照片发到评论区啊,大家可以互相检查一下子啊,看咱们这个教学质量如何是吧?学习质量如何? 好,那么言归正传,我们看第一个伸缩,假如说现在这个图像啊,我把它写成 y, 等于 f x, 注意了啊,我特意把它写成一个抽象函数的样子,因为啊,你们每一个人画的图啊,他的图像解析式都是不一样的,所以我用抽象函数就能代表一切。 好,接下来我的六种变形啊,都是依据这个抽象函数的解析式来进行讲解的。好,如果现在我让你把这个函数 在 x 轴方向拉伸两倍,那这个时候我们这个解析式会变成什么样子的呢? 横调 x 竖调呗,所以它是横着调的,我们只需要对 x 动手脚就行了,对不对?好,然后呢,伸缩是用乘除的, 如果我让你变成两倍,那就说明怎么样?哎,系数变小,往外拉的,对不对?所以系数变什么?哎,变小,所以它就变成什么样子呢? 它就变成了 y, 等于 f 二分之一 x, ok, 所以 这个逻辑很清晰,对吧?那么, 但是我告诉你啊,这个变形啊,它都是双向的,什么叫双向的?就是我可以让你根据变化了的图像来改变解析式,也可以让你根据变化了的解析式去改变图像。 所以如果我让你根据变化来的解析式去改变图像,这个时候很多人就傻眼了,我就傻了,我不知道怎么搞了,对不对?因为我让你变成二分之一 x 了,你知道系数变小往外拉,但是你往外拉的时候, 你拉出问题来了,你怎么拉呢?因为你要知道你这个拉伸的时候,或者压缩的时候,他必须有一个什么东西, 哎,必须有一个基点,就是你到底以谁为基点来进行拉伸或者是压缩。你记住啊,一定要以 y 轴为基准,不管这个函数图像有没有跟 y 轴有交点, 都要以 y 轴为基准。比如说这个点,那么他的一个横坐标就是零,对不对?那么零变成两倍还是零啊?所以 外轴上的点就保持不动,只要这个函数图像跟外周有交点,那么你就拿一个钉子把它钉死了,这个不能动啊,你再怎么拉伸,这个不能动,如果我要把它变成原来的两倍,以这个点为例,原来在这么长,那么现在变成两倍,变成这了。 以这个点为例,原来在这变成两倍,变这了,所以这个点五变,哎,原来是一个圆,那么我拉伸成两倍,实际上就变成了一个什么,哎,椭圆的一半,好,我们画一下子, 对吧?好,那么反过来,我现在让你把这个图像啊往里压缩,也就是相当于我让你把它呀变成 f 二 x, 那 这个时候我们又该如何去变化呢? 同样道理的,还是要先找到那个所谓的极准点,就是那个不动的点,还是什么这个外轴上的点好。这个时候如果要开始压缩,那么他就要把这个图像上面的所有的横坐标都变成原来的二分之一,这个点对应到哪? 这个点,那这个点呢?对应到他的一半的位置,这个点呢?还是不变,对吧?所以这个时候他就变成了什么样子呢? 哎,变成这个样子了,对不对?所以如果原来是一个半圆,那么这个时候经过拉伸,他就变成了一个拉长的椭圆的一半,如果经过压缩,他就变成了一个经过压扁的椭圆的一半。好,这是第一种情况。好,那么接下来我们看第二种情况, 如果现在我让你把 y 等于 f x 变成了二分之一, y 等于 f x, 那 你又该如何变化呢?这个时候啊,我们看要横调 x, 竖调 y, 所以 我们要对外调节,那就是要竖着调,而且系数变小,它乘二分之一数变小了,所以要往外拉。好,那么往外拉,它同样是需要有基点的,那么它的基点又是多少呢? 好,这个时候注意了,要以 x 轴作为极点,也就是 x 轴上面的所有的点都是不能动的。好,那么这个地方你会发现有两个点, 这两个点你拿钉子给我钉死他,一点都不能动,你压缩也好,拉伸也好,你都需要干嘛?在这两个点的基础上往外拉或者往里压,所以你这个外的系数变成二分之一了,我们就需要把这个图像沿着外轴的方向给他,干嘛 拉伸两倍,所以原来在这个点呢,那么就变成了他的两倍。哎,他也就变成了这样一个椭圆的一半了,对不对?如果现在我要让你变成二, y 等于 f x, 那 这个时候又会怎么变呢?把它压缩一半就行了吗?那么画一个椭圆的一半就可以了。好,讲完这个伸缩,咱们讲第二种情形叫平移,这个就简单了,如果现在 y 等于 f x, 我现在直接告诉你, y 等于 f x 加一,你会变吗?平移的口诀八个字叫什么来着?图像平移八字管上减下加左加右减, x 要加一就说明什么 是往左调啊?所以这个图像啊,要往左平移一个单位,对吧?比如说这一点是一,那么我就要平移到这个位置,对不对?然后这边平移到这个位置,好 画一个半圆,对吧?好,如果现在让你变成 y 等于 f x 减一,那又该怎么办呢?左加右减嘛,对不对?所以往右平移一个单位,那就变成了什么样子的呢? 对不对?哎,非常的简单。好,说完 x 轴方向的变形,咱们接下来说 y 轴方向的变形。如果我现在告诉你,它这个图像啊,变形之后长这样, 而且告诉你,这是一个单位啊,就是这一节,这一节是一,那么这个时候他变成什么样子了呢? 上减下加,左加右减,所以他往上走了,所以要减,对不对?减的时候要横调 x, 竖调外,只对外动手脚,不要管 x 的 事,所以上减就是外减一,等于 f x, 那 么往下走呢?就是下加, 对不对?如果变成这样了,那么就需要把这个图像怎么样?往下移动一个单位,因为上减下加嘛,所以就要变成这个样子 啊,这就是平移的两种情形。好,最后我们看一下翻转,那么比如说现在我们要沿着 x 轴进行翻转,也就是说我们是水平翻转,以 y 轴作为对称轴,把这个图像啊,给它对折一下子,那这个时候呢?这个图像就变成什么样子呢? 哎,变成这样了好,变成这样之后,它的函数解析式会变成什么样子?好?如果原来是 y 等于 f x, 由于你是水平翻转的,所以我们横条 x, 竖条 y 需要调 x, y 就 不需要动,因此只需要对 x 进行什么操作,哎,编号操作,所以它就变成了 y 等于 f 负 x。 好,那么说完这个水平翻转,咱们说数值翻转,如果现在我把它变成这个样子了, 那请问下面这部分它的函数解析式应该如何去书写呢?很简单啊,因为我们横调 x, 竖调 y 嘛,所以只需要调 y 就 行了,而调 y 怎么调呢?变号就可以了嘛,所以这就变成了负 y 等于 f x。 搞定好,那么这个地方补充一下, 这个所谓的翻转啊,它其实是对称的一种特例,因为我现在翻转只是沿着 y 轴或者沿着 x 轴来进行了一个对称,或者进行了一个翻折,对吧?那么如果我让你沿着 比如说 x 等于 a 这条竖线,或者 y 等于 b 这条横线,那来进行翻转,它会变成什么样子呢? 好,第一种情况啊,如果是沿着 x 等于 a 这条竖线来进行翻转,那么对 x 只需要做一个操作,叫做什么?二倍的对称轴减去 x, 也就是 y 等于 f 二 a 减 x, 那 么它的图像也就会变成什么样, 原来是这个半圆,对吧?那么现在对称过来之后,他就变成了什么,哎,这取同样的距离,对不对?到这,哎,他就变成了一个这样的半圆,对吧?所以这个的解析式就是 y 等于 f 二 a 减 x, 下边这种情况,照葫芦画瓢也是一样的啊,直接写就行了,比如说这个是 y 等于 b 这个横线啊, 那么这个时候呢,我们对它进行翻转,原来是这样的一个上半圆,现在翻转之后,他就变成了什么呢?哎, 这一点距离下来,对吧?哎,就变成了一个大概是这样的一个东西,这个屏幕上已经看不见了啊,都无所谓,大家知道这个意思就行了啊,翻转之后,哎,你要对谁做手脚?对外做手脚对不对?所以要变成二 b 减去 y 是 吧?等于什么? f x, 哎,这就是他们的一系列的操作。好在视频的最后啊,还要补充一句,就是这个函数图像的三种变形,以及每一种下边的两种系数。实际上不只是针对函数, 只要你是一个图形,他都是可以用这样的口诀来进行操作的,比如说圆的方程,椭圆的方程,双曲线,抛物线啊,这些个解析几何,其实虽然他们不是函数啊,但是仍然可以用这样的方法来进行一个操作,来进行一个变形。 那么这套口诀呢?对待所有的平面上的图形的变换,以及他们相应的方程的改变都是适用的,你学会了吗?我是杜明老师,关注我,你真棒。



函数图像的变换,上个视频我们知道了上加下减,左加右减,但是上个视频我们是通过具体的函数带入一些特殊值后得到的原理。而我们需要掌握的是给你一个抽象的函数表达式,知道它变换背后的原理。 比如在坐标系当中,我现在随便给你一条曲线,它的函数表达式是 y 等于 f x。 我 们首先来考虑图像的平移变化,它分为上下左右平移。垂直平移,也叫上下平移。若 c 大 于零, 我给这个表达式后面加上 c, 则 y 等于 f x 的 图像将会向上平移。 c 各单位 得到 y 等于 f x 加 c, 每个 y 坐标都增加了相同的 c。 反过来,我给这个表达式后面减去 c, 则 y 等于 f x 的 图像将会下下平移。 c 个单位得到 y 等于 f x 减 c, 每个 y 坐标都减少了相同的 c。 同理,水平平移也叫左右平移。若 c 大 于零,我给括号里的 x 单独加上一个 c, 则 y 等于 f x 的 图像将会向左平移。 c 个单位得到 y 等于 f x 加 c, 每个 x 坐标都向左平移了相同的 c。 反过来,我给括号里的 x 单独减去一个 c, 则 y 等于 f x 的 图像将会向右平移。 c 个单位得到 y 等于 f x 减 c, 每个 x 坐标都向右平移了相同的 c。 这样一来,我们得到记忆口诀,上加下减,左加右减。下面我们来看函数图像的伸缩变化,它包括垂直伸缩和水平伸缩。 在我们的坐标系当中,我现在随便给你一条曲线,它的表达式是 y 等于 f x。 若 c 大 于一,我给它乘以一个 c, 则 y 等于 f x 的 图像将会被垂直拉升为原来的 c 倍,得到 y 等于 c 乘以 f x。 现在我给它乘以一个 c 分 子,一, 则 y 等于 f x 的 图像将会被垂直压缩为原来的 c 分 子一,得到 y 等于 c 分 子一 f x。 为了方便把这两个图像挪到上方 同理,水平伸缩,我给这个表达式里的 x 单独乘以一个 c, 则 y 等于 f x 的 图像将会被压缩为原来的 c 分 之一,得到 y 等于 f c x。 我给这个表达式里的 x 单独乘以一个 c 分 子,一,则 y 等于 f x 的 图像将会被水平拉升为原来的 c 倍,得到 y 等于 f c 分 子一 x 方折变换,我给它前面乘以负一, 它的图像就会翻到 x 轴的下方,得到 y 等于负的 f x。 关于 x 轴方折,我给单独的 x 前面乘以负一,它的图像就会翻到 y 轴的左边,得到 y 等于 f 负 x。 关于 y 轴方折 总结一,垂直于水平平移,设 c 大 于零,要得到 y 等于 f x 加 c 的 图像,将 y 等于 f x 的 图像向上平移 c 个单位。要得到 y 等于 f x 的 图像,下下平移 c 个单位。要得到 y 等于 f x 加 c 的 图像,将 y 等于 f x 的 图像向左平移 c 个单位。 要得到 y 等于 f x。 减 c 的 图像,将 y 等于 f x 的 图像向右平移 c 个单位。口诀上加下减,左加右减。 垂直方向直接在函数整体加减, c 符号与平移方向一致,水平方向在自变量 x 上加减, c 符号与平移方向相反。 总结二,垂直于水平伸缩及方折,设 c 大 于一,要得到 y 等于 c f x 的 图像,将 y 等于 f x 的 图像垂直方向拉伸为原来的 c 倍,要得到 y 等于 c 分 子 e f x 的 图像。 将 y 等于 f x 的 图像垂直方向压缩为原来的 c 分 子一要得到 y 等于 f c x 的 图像,将 y 等于 f x 的 图像水平方向压缩为原来的 c 分 子一 要得到 y 等于 c 分 子 x 的 图像,将 y 等于 f x 的 图像水平方向拉升为原来的 c 倍, 要得到 y 等于负 f x 的 图像。将 y 等于 f, x 的 图像关于 x 轴方折,要得到 y 等于 f 负 x 的 图像。将 y 等于 f, x 的 图像,关于 y 轴方折。 垂直伸缩作用于函数整体。 f x 乘以大于一的数拉伸 乘以小于一的数压缩。水平伸缩作用于自变量 x 乘以大于一的数压缩,乘以小于一的数拉伸。翻折。负 f x 沿 x 轴上下翻转。 f 负 x 沿 y 轴左右翻转。

函数图像真是坏,变来变去啊,像妖怪,实际只有一句话,横条 x, 竖条 y。 也就是说啊,只要咱们是水平变形的,不管你咋变,你只需要动 x 就 行了, y 你 是不用管它的。 而如果你是竖着变形的,那么你只需要动 y 就 行了, x 呢,是不用管它的,这就是所谓的横条 x 竖条 y。 但是具体怎么调呢?那老杜的口诀又说了,叫函数图像有三变,伸缩、平移和翻转。身缩用乘除,平移用加减,变了符号,它就翻转。那我们看啊,如果 f x 要进行水平的拉伸或者是水平的压缩, 我们只需要对 x 除以二乘以二就行了,我们只需要对外直进行除以二乘以二就行了, 这就是所谓的伸缩又乘除,那啥时候乘,啥时候除呢?那老杜的口诀又说了,叫图像伸缩。两具抓,系数变大往里压,系数变小往外拉,那么拉的时候或压的时候呢,都是有基准的。如果你是水平拉伸,那么是以外轴为基准, 而如果你是数值拉伸,就是以 x 轴为基准。所以你看啊,圆函数是 f x, 那 么如果让你水平拉伸两倍,就从它变成了它, 所以 x 就 要除以二,因为系数变小往外拉嘛。而如果你要压缩呢,系数变大往里压, f x 就 变成了 f 二 x, y 是 不用动的好,那么平移的时候啥时候加,啥时候减呢?那老杜的口诀又说了,叫图像平移。八字拐,上减下加,左加右减。 所以你看,如果把 y 等于 f x 往左平移 a 个单位,那么你只需要用 x 来去加 a 就 行了,这就是所谓的左加右减。 而如果你要把它往下移动 a 个单位,那么你只需要把 y 加上 a 就 行了,这就是所谓的上减下加,那变了符号就翻转呢?好,我数值翻转只需要变 y 的 符号,我水平翻转只需要变 x 的 符号。好,以上呢就是函数图像变形口诀的详细图解。 但是很多人呢想让我讲原理啊,说你讲的这个东西啊,我们都知道,是吧?我就想知道这到底是怎么回事啊?这个怎么跟我的理解完全是相反的呢?如果要听原理的话,大家在评论区打个六六六,我可以给大家发一期视频去讲这个原理。好吧,那我是杜明老师,关注我,你真棒。

各位老师大家好,我们继续来看几何画本技术操作的最后一讲。第十讲,绘制函数图像。绘制函数图像有两种方法,我们先来看第一种,找到数据栏,打开新建函数, 找到方程第一个符号 y 等于,我们首先来画一个已知函数性 y 等于二 x 加上六吧,确定,然后找到自定义工具, 长按,找到第九个经典坐标系里面的蚂蚁坐标系里的无参版,因为这个呢,我是经常用,比较熟练,也是我比较喜欢的一个坐标系, 然后点击系统初步隐藏刻度线,隐藏刻度值,然后再次点击自定义工具,找到经典坐标系中的 函数 y 等于 f x, 图像生成工具点击,然后大家看在左下角有一个第一个匹配路径对象的 x 轴,所以呢,下面我们先点击 x 轴,再点击 y 轴, 然后再点击我们刚才新建函数减一四,这样 y 等于二 x 加六的函数图像,我们就画出来了 函数图像的这个它的端点是随着坐标轴的范围来确定的,所以我们把 x 轴外轴呢把它拉长一些,这样以便能把它的团图像呢显出来的更多一些。 这是 y 等于二 x 加六,我们再建一个二次函数,还是找到数据栏, 找到新建函数,还是找到方程里面的 y 等于,比方说是三 x 的 平方 加上六 x, 然后减二 点确定,让我们新建了一个二次函数,和刚才一样,找到自定义工具,经典坐标系中函数 y 等于 f x 图像的生成工具,还是先点击 x 轴,再点击 y 轴, 最后点击 r 减一四,这样这个二次函数图像呢,我们就会制完了,我们把外移的,负外移的往下拉一些,这样把二次函数图像顶点啊,然后把它显示出来, 这样我们就画出了这两个函数图像,这是第一种方法,我们再来看第二种方法,找到绘图栏,打开绘制新函数。这一次呢我们会制一个反比例函数,找到方程里面的 y 等于 x, 分 之六的六除以 x, 点击确定,这样我们就直接复制出了坐标系以及函数图像,它比第一种方法的优点在于不用单独再去建坐标系。其次这种方法我们还可以去 改变函数图像的曲值范围, x 的 曲值范围,你比方说我们把 x 的 范围确定在大一等于负十,小一等于十,大家看一下, 这是我们已知函数解析式如何去构造函数图像,那么下面我再讲一下如何去会制含有参数的函数的解析式, 来画一个有关参数的依次函数图像。那么既然有函数,我们首先打开数据栏,找到新建参数,我们把名称改为 k, 确定第二个,打开数据栏,新建函数第二参数,我们把它命名为 b, 确定。再打开数据栏,新建函数 方程符号 y 等于 k, x, 点击我们刚才新建的参数 k 乘以 x, 加上我们新建的第二个参数 b, 点击确定。然后找到制定工具, 经典坐标系中的蚂蚁无参版构造坐标系, 点击系统抽象隐藏刻度线,隐藏刻度值,找到自定义工具, 经典坐标系中找到函数 y 等于 f x。 图像生成工具, 点击 x 轴,点击 y 轴,点击 a。 四,这样我们就构造了这个含有参数的一次函数图像, 那么我们根据改变参数的值,我们来看一下按 shift 加加号,随着 k 的 增加,这个一次函数图像呢 的斜率就在改变,我们也可以改变参数 b 的 值,把函数呢向上平移或者上下平移。我们来看一下按 shift 加号, 这样随着 b 的 增加,函数图像向上平移,那么按减号,随着 b 的 减小,那么函数图像向下平移。 大家看到我的介绍的两种画函数图像的方法,以及如何去绘制含有参数的函数的图像。 好了各位老师有关几何画板去操作部分呢,我就给大家讲这里好,再见。

重新复习一下,怎样巧妙记忆?是一个函数的函数图像。第一个 y 等于 x, 乘以一的 x 密, x 是 一条斜线,一的 x 密,它增长的快,是这个样子,相当于一的 x 密。把 x 这条斜线向上拉一拉,就是这个样子。一的 x 密与一有关, 那么基值点这是负一,这就是负的一分之一。第二个 y 等于一的 x 密。分之 x 相当于一的 x 密。把 x 这条斜线向下拉一拉,就是这个样子。 e 的 x 密,基值点与 e 有 关,把 e 带入,这就是一分之一。第三个 y 等于 x 分 之一的 x 密。从定义域来看, x 不 等于零的全体实数,就是一边一个,就是这个样子。 第四个 y 等于 x, 乘以 lone x 就是。 根据传根法,一个根是零,一个根是一,领取不到,那么从上往下传,即传偶不传。 lone x 与 e 有 关,那么 这是 e, 显然与 e 有 关,就是一分之一。把一分之一带入,这就是负的一分之一。 第五个 y 等于 log, x 分 之 x。 从定义域来看, x 大 于零, x 不 等于一, x 大 于零,说明 x 可以 无限接近于零。 x 不 等于一,说明一是它的见异线,就是这个样子。 第六个 y 等于 x 分 之 log x 上大下小,可以形象的比喻为押韵函数,就是这个样子。 loine x 与 e 有 关,那么把 e 代入,就是一分之一。第七个 y 等于一的 x 幂,加一的负 x 幂,这是一个偶函数,最小值是二,所以是这个样子。 第八个,从单调性来记忆,它单调递增,它减,它单调递增,所以 y 单调递增,像一个 x 的 三次密的函数图像,并且要记住 过这个点的,它的切线就是 y 等于二 x。 第九个 y 等于一的 x 米加一的负 x 米比上一的 x 米减一的负 x 米 上大下小,可以形相的比为它的绝对值大于一,绝对值大于一就是这个样子。一和负一就是它的渐近线, 就是这个样子。第十个同第九个是同理,上小下大,可以形象的比喻为绝对值小于一,那么一和负一就是它的间隙线,就是这个样子。 第十一个 y 等于 long x 减 x, 就是 根据切线放松 long x 小 于 x 减一,得到 long x 减 x 小 于等于负一, 它小于等于负一,那么最大值就是负一。对应的这个点的横坐标是一,在下边自己多想一想,画一画就会牢牢的记住哈。


那三元函数口三元函数呢?三元口三元五点法,首先第一点零零,第二点二分拍,第三点拍,第四点二分三拍,第五点就是二拍这样子。那我们只需要记住这个三元,它是奇函数,我们从零开始,零,这里是, 这是一,然后这是负一,这里到这这个一的位置,然后再往下 负一。好,这就是三元函数的图像。那 cosine 函数呢? cosine 函数它是偶函数,这里是负的,负的二分拍。我们需要多一个负的二分拍,因为它是偶函数嘛,两边是要对称的,那这是二分拍,这是拍,这是 off 三拍,这是二拍。 上面一就是就是一和负一,因为它三元和 cosine 函数,它的最值,最大值就是一,最小值就是负一 就是长这样子。那上一条视频我还少少讲了一个一次函数, y 等于 y 等于 k, x, k 要大,当 k 大 于零的时候,它是在第一三象限, k 小 于零的时候,它是在二四象限,它是,它们两个都是奇函数。那还有其他题目可能会考你哪个是奇函数,哪个是偶函数或者什么的。那有一些常考的图像要记得, 可能画的有点不太标准,这个是 y 等于根号 x, 也可以写成 s 二分之一。那这个呢?是 y 等于 s 的 三次方,这是 y, 等于根号 x 三立方。

欢迎来到中考数学路路通,今天我们来搞定一次函数图像。 一次函数 y 等于 k, x 加 b 的 图像是一条直线,这是最基本的性质。画一次函数图像最简单的方法就是两点法,找两个点连起来就是直线。 一般取 x 等于零,算出 y 等于 b, 得到点。零到 b 的 开区间,再取 y 等于零,算出 x 等于负, b 除以 k 得到点,负 b 除以 k, 零。 比如, y 等于二, x 减四,取 x 等于零,得点零。负四取 y 等于零,得 x 等于二点二到零的开区间。 k 的 正负决定了直线的走向。 k 大 于零,直线从左下往右上走, y 随 x 增大而增大。 k 小 于零,直线从左上往右下走, y 随 x 增大而减小。 k 的 绝对值越大,直线越陡。比如 y 等于三, x 比 y 等于零点五, x 要陡得多。 b 就是 直线与 y 轴的交点,叫 y 轴拮据。 b 大 于零,直线交 y 轴正半轴, b 小 于零,直线交 y 轴负半轴, b 等于零,直线过原点就是正比例函数。两条直线, y 等于 k 一, x 加 b 一 和 y 等于 k 二, x 加 b 二的位置关系。 k 一 等于 k, 二十两直线平行, k 一 不等于 k, 二十两直线相交,平行的时候, b 一 不等于 b 二两直线不会重合。图像与 x 轴的交点令 y 等于零,就能求出来。 图像与 y 轴的交点令 x 等于零,就能求出来。一次函数图像是中考的热门考点,看图说话的题目特别多,中考必考,给我背下!


咱都知道一次函数的解析式,也就是 y 等于 k, x 加 b, 那 这里的 k 和 b 会对它的图像产生啥样的影响啊?比如咱就先来看看 k 大 于零时, y 等于 x, y 等于 x 加一, y 等于 x 减一这三函数的图像 列个表,把这三函数在 x 等于负二、负一零一二时对应的 y 值求出来。显然,由于 y 等于 x, 那 这一行竟然就和上面的 x 一 模一样,而这里是 y 等于 x 加一,也就是说它的每个数字都比上面的大了个一,分别是负一零一二三, 而这一行当然就比这一行的都少了个一,也就分别是负三、负二、负一、零一。表搞定了,接下来画出坐标系, 把这三条直线对应的点都标上,也就是这样,接下来用三条平滑的线连接起来,也就得到了他们三的图像了。之后咱再把 k 小 于零时, y 等于负 x, y 等于负 x 加一和 y 等于负 x 减一这三图像画出来, 和刚才一样,列个表,把这三函数在 x 等于负二、负一零一二时对应的 y 值求出来。也就是这样, 接下来把它们对应的点都标在坐标系中,用三条平滑的线连接起来,就得到它们三的图像了。现在咱把依次函数总共的六种图像都搞定了,那咱就接着来分析分析它们的特点。首先不能发现这六个图像都是直线, 上面这组是 k 大 于零的图像,都从左下上升到右上, y 就 随着 x 增大而增大。而下面这组是 k 小 于零的 图像,都是从左上下降到右下, y 就 随着 x 的 增大而减小。可见 k 的 正负决定了一次函数图像的增减性,而这点和 b 的 大小完全没有关系。那反过来,你也可以通过图像所展示的增减性来判断相应 k 的 正负。递增时 k 就 大于零, 而递减时 k 就 小于零。到此, k 的 事咱就搞定了。那 b 又决定了啥呢?来围观一下这俩。当 b 大 于零时,直线与 y 轴交于正半轴,而当 b 等于零时,就过了原点。 当 b 小 于零时,就与 y 轴交于负半轴。可见, b 的 正负决定了意思函数与 y 轴的交点位置。其实回到解析式里,当 x 等于零时, y 就 等于 b, 这说明意思函数与 y 轴的交点就是零 b, 所以 你也可以通过图像与 y 轴的交点来判断 b 的 正负。 到此, k 和 b 的 事情咱就都搞清楚了。小节一下, k 大 于零时,直线都是斜向上的, k 小 于零时,直线都是斜向下的。 而当 b 大 于零时,直线与 y 轴交于正半轴, b 等于零时,直线与 y 轴交于原点, b 小 于零时,直线与 y 轴交于负半轴。反过来,你也可以通过图像来判断 k 和 b 的 正负。比如告诉你一次,函数 y 等于 k, x 加 b, 经过了第二、三、四项线,让你求 k 和 b 的 曲折向量, 经过二、三、四象限,把它画出来。也就大概是这个样子,从左上到右下,所以 k 是 小于零的,而图像与 y 轴交于负半轴,那 b 就 也小于零,这就是最后的结果了。搞定! ok, 总结一下。 因此,函数 y 等于 k, x 加 b 的 图像总共有这六种情况。知道了 k 和 b 的 正负,你就可以大致画出图像。反过来,通过给出的图像,你也可以判断相应 k 和 b 的 正负,而判断的关键就在于 k 决定了函数的增减性, b 决定了函数与 y 轴的交点位置。听懂了吧?可可。
