八年级下册数学折纸平行四边形教程
每天一个学校不教但考试必考的知识点，同学们，你们是不是还在被四边形折叠问题虐到崩溃？折叠一次找不到对应边，再折叠一次讲究乱套，其实折叠问题根本不是考空间想象力，它其实就考一个技巧。 今天这条视频把四边形折叠的核心套路一次性讲透，看完你再遇到折叠问题直接秒杀。好了，我们来看一下这个问题。首先我跟大家讲结论吧，就是但凡你看到四边形的方折问题，你只要抓住这一个技巧就行了，第一个抓不变量， 第二个我们往往要配套使用勾股定律。 好， ok， 那 我们来看这个题目，他说在矩形 a、 b、 c、 d 中啊，这个 a、 b 呢等于六， b、 c 呢等于十， 然后还说什么将矩形沿着 a、 e 折叠，然后得点落在了 f 点，它让你求这个什么，它让你求 c 的 长， ok， 第一个我们抓不变量翻折问题，其实它本质是一个什么呢？是一个轴对称加全等啊。朋友们，你看一下， 他把这个 a、 b、 c、 d 沿着 a、 e 翻折，那么也就说 a、 d、 e 啊，沿着 a、 e 翻折过来之后， a、 d、 e 变成 af 一 了， 对不对？那这里面就有很多的不变量，这个不变量体现两个方面，一个是什么边不变，一个呢是角不变，所以你看一下哪些边不变，哪些角不变呢？来，你看，比如说这个 d、 e 和这个什么 af 呢？是相等的，对吧？然后呢，这个 a 一 公边，那不用讲了， 这里面还有角不变，比如说这个角和这个角相等，这个角和这个角相等，对吧？然后还有什么，这个是九十度，这个也应该是什么九十度，所以翻折问题啊，其实它的本质你要抓不变量，它其实是一个什么是一个轴对称加全等啊？不 变体现两个方面，一个是边不变，一个呢是角不变啊。 ok， 那 第二个，我，如果这种题目稍微出的难一点的话，我们往往还要使用勾股定力来看这个题，你看啊， 他用求的是 c 一 吧。那同学们，你看一下这个题目，你还能求出哪些旋转长度吗？好像不可以了，对不对？那所以这个地方呢，我们就可以考虑去设个位数，比如说我设 c 一 是 x， 那 么 c 一 是 x 的 话，那么得一是多少？得一是应该是六减 x， 那 么得一六减 x 的 话，那么 e、 f 是 不是也就变成了六减 x， 对 吧？好， ok， 再来，同学们，你看这个 b、 c 等于十，那么 a 的 是不是也等于十呀？ a 的 一翻过来，实际上就变成了 a、 f， 所以 a、 f 呢？也等于十，对吧？那么再把目光放到 a、 b、 f 这个三角形来看，这条边是六，这条边是十，那么很明显这条边就应该什么是八六八十吗？ 那么所以这里边是八的话，总共是十，所以它就应该是等于二，对吧？那么所以就可以在 e、 f、 c 这里面使用什么勾股定义来构造一个关于 x 的 方程吧。 那么就出现了二的平方加上 x 平方等于六减 x 的 平方嘛。那么所以就四加上 x 平方，等于 x 平方减去了 一十二 x， 再加上呢三十六，把 x 方给它约掉一十二 x 挪过去就是一十二 x， 等于呢三十六减四，就应该是三十二，所以 x 就 应该等于什么？一十二分之呢？三十二分子母约个几啊？约个四，那么底下就应该等于三，上面呢？呃，四八三十二，所以最后求出来四一就应该多少 欸，等于三分之八搞定啊！好了，四面形方格问题的核心规律和解题技巧就给大家讲完了，是不是觉得这类题目特别简单呀， 赶紧把抓不变量加勾股定律这句话打在评论区，加深印象。觉得这些内容有用的同学一定要点赞和收藏，不然刷着刷着就找不到了。下期咱们继续攻克初中高频考点模型，关注我，初中数学轻松拿高分！
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13:19查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级上册。呃，下册数学啊，第六十五页练习。 嗯，这页练习呢，主要学的是三角形中位线。那么三角什么叫做三角形中位线呢？就是连接三角形两边中点的线段，叫做三角形中位线。 那你说 d 是 a、 b 中点， e 是 a、 c 中点，那么 d， e 就是 三角形 a、 b、 c 的 中位线。那中位线有什么性质呢？这里了，他说啊，中位线定里啊， 三角形的中微线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，那什么叫第三边呢？你比如说我的三角形 a、 b、 c， d 呢？是 ab 终点， e 是 ac 终点，那么 第三边在哪？第三边就是这啊，你看 d 是 它边中点， e 是 a、 c 中点，那这个就是第三边啊。所以呢， d、 e 有 一个位置关系，是平行于 b、 c 的， 然后还有一个数量关系，就是 d、 e 等于二分之一 b、 c， 这就是一个位置关系，一个数量关系。那我们看一下这个题型啊。第一小题说如图，在三角形 a、 b、 c 中， d 还有 e、 f 分 别为 abbc 和 ca 的 中点，然后以这些点 为顶点，在途中你能画出多少个平行四边形？那么为什么他们是平行四边形？来，咱们来写那个连一下线啊，连接 d， f， e， f 还有 d、 e。 那么图中的平行四边形都有谁呢？一个是 a， d， e、 f 啊，我们在这写第一题，能画出几个？能画出 三个平行四边形， 那他们都是哪些呢？第一个，平行四边形 a， d、 e、 f， 第二个这啊，在这呢， d， b， e、 f， d， b， e、 f， 然后还有一个平行四边形是 d、 e、 c、 f， 那为什么他们是平行四边形？来我呢，给证明过程写一下啊。嗯，理由， 这个理由用什么？用中位线啊？因为这个三角形里有中点，所以呢，我们要考虑到中位线，那我们就可以说，因为你的 d， 嗯， f 分别是 a、 b、 a、 c 的 中点，然后所以 d、 f 会平行于 bc， 然后又因为你的 e、 f 分 别为 a、 c， 呃， e 是 bc 得按顺序啊。 a、 c 的 中点， 所以呢， e、 f 会平行于 ab， 那 你看啊，这和这平行，这和这平行，你是不能得出啊，一组一个平行四边形了 啊。所以你的四边形 d， b、 e、 f 是 平行四边形 啊，然后你看啊，这和这平行，这和这平行，对吧？那么我们再说，因为，呃，这是 d、 f， 这是 e、 f， 那 就是 d 和 e 呗。 d， e 啊，分别是 a、 b 和 b、 c 中点，所以呢， d、 e 会平行于 a、 c， 然后因为你的 d、 f 会平行于 b、 c， 然后你的 d、 f 会平行于 b、 c。 啊，不对，写过了这个啊，这和这平行 还有一个 d、 e 平行于 a、 c， 这和这平行 d、 e 平行于 a、 c， 再加 d f 平行于它，那把这个先划掉啊。所以呢，我的 d、 e、 c、 f 是 平行四边形， 然后又因为 d、 e 平行于 a、 c， 然后 e、 f 会平行于 ab， 所以 四边形 a， d、 e、 f 呀，不加顿点啊，是平行四边形。 用到的都是什么呢？用到的是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 啊，那这里面其实呢，你也可以用 e 组对边平行且相等啊。你看 df 平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半，那你说 df 跟跟 b、 e 是 不是相等， 同时也会跟 ec 相等？那我就一招啊，一起就能证明这两个三四边形是平行四边形，对吧？然后这边也是同理啊， 可以用一组对边平行且相等，我这里用到的都是一两呃，两组对边分别平行啊。那么我们来看第二题， 说如图，三角形 a， abc 的 中线，中线啊，什么叫中线呢？就是一边中点与相对的顶点所连线段啊，叫中线， 那他呢？啊，得到的是 a， d 等于 c， d 啊，那 c， e 呢，也是终点，他俩呢，交于点 o 啊，说 f 和 g 啊，分别是 ob 和 oc 的 终点， ob 和 oc 的 终点。然后让我们求证 这个 d， e， f， g， 它是一个平行四边形，那这个里边呢，我们可以用什么方法来证呢？那你想平行四边形的判定定律啊，有五条 啊啊，叫两组对边分别平行，两组对边分别相等，那一组对边平行且相等，两组对角分别相等，还有对角线互相平分，是吧？那么这个题呢，在我们学的这个新知识点中，微线的这个课时里，所以我们尽量用什么 用到中位线，尽量要用到中位线啊，运用新知识点来解决。那么下面呢，我来写一下过程啊，可以怎么写呢？首先你看，因为你的 b， d 和 c， e 是 中线，所以呢，你的 d 和 e 不 中点吗？ 那你的 d， e 呢，就是三角形 abc 的 中位线，那它呢，平行于 bc， 并且等于 bc 的 一半 啊，平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。然后你的 f 和 g 呢，又是 ob 和 oc 的 中点，所以呢，你的 f， g 是 ob 的 中位线， 那么也就是 f g 能平行于 bc， 并且等于 bc 一 半。那你看，两条直线都与第三条直线平行，那这两直线是不是也互相平行？ 那还有呢？就是啊，这两直线都等于 bc 的 一半，所以呢，这两直线是不是也平行啊，也相等，这两个线段也相等，所以我可以用到一组对边平行且相等的四边形。是平行四边形啊，嗯，那他还可以用什么呢？你比如说我连成这 连接这之后呢，我可以得到你的 d g 平行且相等于 a f a o 的 一半，平行于 a o， 并且等于 a o 一 半。那 e f 呢，也是平行于 a o， 并且等于 a o 的 一半。那我可以用这组对边平行且相等 啊，也能够判定它是平行四边形。所以说我之前说的第一种方法呢，是不需要做辅助线的啊，这个辅助线可以先去掉，那我们来写一下过程啊，写在这边。第二题证明， 因为你的 b、 d 和 c， e 是 三角形 a， b、 c 的 中微线的中线， 所以呢，你的 e 还有 d 分 别是 e 是 ab 中点， d 是 ac 中点，然后所以你的 d e 平行于 bc， 然后 d e 又等于二分之一 bc 啊，然后又因为你的 f 和 g 分 别是 ob 和 oc 的 中点， 所以呢，你的 f g， 那 么平行于 b c， 然后 f g 又等于二分之一 b c， 所以 你的 d e 会平行于 f g， 你 的 d e 会等于 f g， 那这样一组对边平行且相等，所以呢，你的四边形 d e， f g 是 平行四边形 啊，这就是啊，不做辅助线的方法啊。然后你的第三题，他说 如图， a 和 b 啊，两点被池塘给隔开了，说在 a b 外啊，选一点 c 连接 a c 和 b c， 然后怎样利用中微三角形中微线段里来测出 a、 b 两点间的距离， 那你说这题在中卫线这一课时里，那肯定是用中卫线，对不对啊？你看人家说利用中卫线定律是不是？那我们的方法就是那取两边中点呗，对不对？来第三题。方法啊， 取 a， c 和 b， c 的 中点 d 和 e 啊，取中点 d 和 e， 这个是 d， 这个边的是 e， 然后连接 d， e 连接 d， e。 根据三角形中位线定里， 三角形中位线平行于 三角形的第三边，并且等于 第三边的一半。嗯，所以我就可以知道了，你的 d、 e 会平行于 a、 b， 然后呢，并且 d， e 会等于二分之一 ab 啊，因此可以啊，测出 d， e 的 长再乘二， 求 ab 两点间的距离 啊。这就是第三题。
118讲数学晓红老师
10:23查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第五十九页练习。 第一题，如图，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 d、 c 等于七十度， a， b、 c、 d 是 平行四边形，角 a、 b、 c 等于七十度， b、 e 平分， a、 b、 c 也说这跟这是相等的，与 a、 d 呢，交于点 e， 说 d， f 平行于 e、 b， 这两条边是平行的，交 b、 c 于点 f， 让我们求角 e。 那么这道题呢？嗯，因为他这一课时呢，刚学的是这个平行四边形的性质啊，所以呢，这里面用到的就是平行四边形的性质。那平行四边形都有什么性质啊？ 那边的性质对边平行且相等啊，角的性质是对角相等，邻角互补，然后呢，对角线呢？是互相平分，那么这里边用到的是什么呢？你看啊， 他要求的是角，肯定往角上琢磨，对吧？那么给你了， a、 b、 c 等于七十，然后，那这 是不是也应该得七十对角相等，对吗？然后呢，平行四边形，对边平行且相等，那我们用平行来，这叫角平分，线与平行线 必有等腰出现，也说这个小叉跟下面小叉相等，那么等量代换啊，不用等量代换，也说这个叉在这，然后因为你的 b、 e 平行于 df， 所以 这个叉和这个叉相等， 那这的七十减去叉是不是就角一啊？所以用到的就是角的性质啊，还有，嗯，对边平行，所以来咱们来写一下过程啊。第一题，嗯，角， 因为四边形 abcd 是 平行四边形， 那么根据平行四边形的性质，咱们用哪两个性质来着？第一，对边平行， a、 d 平行于 b、 c， 第二，对角相等 到底多少度？七十度吧，是不是？然后我们再用角平分线，把你这个一半的角求出来，用的是哪个？用的是下面这个角，叉到这来，对不对？那我们写，因为 b、 e 平分角 a、 b、 c， 所以 角 e、 b、 c 等于二分之一，角 a、 b、 c 等于二分之一，乘以七十度，等于多少度？ 三十五度。然后你再写，因为 a、 d 平行于谁？ bc， 所以呢？ 嗯，你的内错角会相等，角 a、 e、 b， 它等于角 e、 b、 c 等于多少度？三十五度。然后又因为另一个平行 df 平行于 b、 e， 所以呢，这叫两直线平行，同一角相等，也就是角 a、 d、 f 会等于角 a、 e、 b 等于三十五度。 嗯，所以角一呢，就等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 f 等于七十度，减三十五度等于三十五度啊，这是第一题， 那我们来看一下第二题，他说如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 周长是十六。那么你读到这啊，你你，你想一想，平行四边形啊，这个周长肯定是跟边有关，对吧？那么平行四边形的边呢？是对边平行且相等，也就是 a、 d 等于 b、 c， a、 b 等于 cd， 那 也就是说我的周长是这四条边的和，而对边是相等的啊，所以我能求出一组邻边的和 啊， a、 d 加 c、 d， 或者是 ab 加 bc， 是 不都能求出来？这你脑袋里要有思路啊，有想法。然后说对角线 a、 c 和 b、 d 交一点 o， 那 你看平行四面有对角线了，那对角线的性质是什么？ 对角线互相平分，对吧？也就是 a、 o 等于 o， c、 o， b 等于 o、 d， 那 用哪个呢？咱不知道啊，一会咱们看题，说点 e 啊，在 a d 上，在这说 o e 垂直于 a c。 来，这句话就有讲究了啊， 你看啊，这有垂直，然后垂足这个点 o 呢，恰好又是 a c 的 什么点 中点，所以这不叫垂直加平分吗？所以 o e 应该是 a c 的 垂直平分线，那你想垂直平分线有什么性质呀？垂直平分线的性质是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离怎么的 相等啊？ a e 等于 e c， 然后让我们求的是 c d e 的 周长，那你看 c d e， 那 你说 c d e 这三条边，一个 c d 一个 e d 一个 c e， 而 c e 又跟 a e 相等，那你看，这不就是平行四边形周长的一半吗？ 是吧，那我们来，嗯，边读边分析，是不已经分析明白了，来，那我们来写一下啊。嗯，首先呢，我们说，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形， 都是由它的性质起的啊，平行四边形，要不然你看，我写垂直平分线，你没有终点，他也写不了垂直平分线，是吧？所以呢，你的 a、 d 会等于 b c， 你 的 ab 会等于 cd， 这是两组对边分别相等，这一会啊，要倒一组邻边啊，的和要用着啊。还有一个就是 a o 等于谁？ o c， 那 你 a o 等于 o c 之后对角线互相平分，然后你加上垂直 e o 垂直于 a c 啊，所以你的 e o 是 是 a c 的 垂直平分线， 所以呢，你的 a e 会等于 e c， 看懂吗？然后因为你的这个平行四边形 a b c、 d 的 周长 为谁呀？ ab 加 bc 加 cd 加 ad 等于多少？等于十六，所以我会求出一组邻边啊。这上面这个 换进来是不是应该是二倍的 a、 d 加上二倍的 c、 d 就 会等于十六，所以 a、 d 加 c， d 就 等于几等于八吧，对不对？那么你写，因为三角形 c、 d、 e 的 周长 为谁加谁啊？ c、 d 加 d， e 加谁 e， c， 然后它就等于 c， d 加 e， d 加谁呀？加 a， e 就等于 cd 加 ad 等于几啊？等于八，那这地方就写所以就行了啊。这是第二小题，那么第三小题 写到这吧，他说如图，在梯形 a、 b， c、 d 中， a， b， c、 d 中啊，看图，然后呢？说 ad 啊，能平行于 bc， 那梯形是不是有只有一组对边平行，所以上下两个平行的啊？然后角 c 呢？是九十度，说明是等腰直的，叫直角梯形啊。说 a、 d 等于三， ab 等于四，然后 b、 c 这它等于五， 然后 e 在 bc 上说 ab 又平行于 d、 e， 哎，你看这不就叫两组对边分别平行， 那我们平行四边形的定义不就说了吗？两组对边分别平行的四边形是什么啊？不对，两组对边分别平行的四边形是什么形？ 是平行四边形，那你看，不就正出它是平行四边形了，那这个四就上这来了，那这个三就上这来了，那这就是二，对不对？然后让我们求的是 a、 d 和 b、 c 之间的距离，那 a、 d 之间的距离不就是垂线段的长吗？那也就是求 cd 的 长 是吧？那你看这勾股定律不就求了吗？啊，来，第三题写到这里啊，解， 首先由这个两组对边分别平行啊，来求平行四边形 a、 d 平行于 b、 c， 然后 a、 b 平行于谁？ d、 e， 所以呢，四边形 a、 b、 e、 d 是 平行四边形， 然后我们就会得到 a 呃， b， e 等于 a， d 等于三， d， e 等于 ab 等于四啊，这叫对边 相等，对吧？对边相等。然后呢？你写，所以 e， c 就 会等于 b， c 减 b， e 就 等于五，减三等于几等于二。然后在 r t 三角形 e， d， c 中 角 c 等于九十度。所以 d， c 等于根号下四方减二方等于 二倍，根号三啊。这就是第三题。
88讲数学晓红老师
02:42查看AI文稿AI文稿我们再看一下菱形的折叠问题，第十一题如图所示，已知菱形 a、 b、 c 的 边长啊，是三，你标一下角， a 等于一个六十度，然后 e 和 f 分 别在对应的边上，然后沿着 e、 f 做了一个折叠，哎，又折叠使得这个点 a 落在 d、 c 的 中点这处，哎，这两块相等多长呢？三的一半二分之三，然后让他去求 a、 f 的 长度是多少，哎，然后我们看啊，这个角它是六十度，根据菱形平行，我们能够得到这个角，它是一百 二十度啊，我要是想去求这个 a、 f 的 这个长度，我的想法把 d、 f 的 长度给它用三 e 减就可以了。怎么样去求 b、 f 的 长度？怎么样去求啊？利用一百二十度，我们给他做垂直。勾到什么呀？直角三角形，哎，这样呢？利用勾股定律我们去解这个题， 过点 f 做 f m 垂直这力的延长线与点 m， 我 这样做完之后看好了，他是一百二，这是九十，根据外角，这是三十度。 直角三角形出现三十度了，是我们比较喜欢的一种情况，那么接下来我们得设未知数了，我设谁呢？我设这个 md 为 x， 这样呢，他不容易出现分数的形式，所以他是 x 三十度，所以这边是斜着一半，那么 df 对 应的就得是一个二 x， 那 么根据勾股定律， m、 f 这条线段得到就是根号三 x， 哎，这样我们给它弄完之后啊，下一波我们就得再去利用购物定律，怎么去利用呢？ df 是 二 x 了，那么 af 它对应的应该就是三，减去一个二 x， 因为翻折之后， af 和 f g 是 怎么着相等的？ f g 呢？和这个 af 是 一样，表示出来以后是三减二 x， 那 么这样我们放大看一下，在这个大的直角三角形当中， 他又可以用一次勾股定律建立有关 x 的 一个等式啊。我们列一下 m f 的 平方，也就是根号三 x 的 平方，加上加上谁呀？ g m g m 怎么表示啊？就是二分之三加上谁呀？ x， 二分之三加上 x 过来的平方，然后等于 等于谁啊？这个 f g 也就是三减二 x， 快 来的平方啊。那么接下来就是直接去解这个式子了啊，咱要不一块解一下吧，给它弄完之后是三 x 方，然后加上一个四分之九，再加上一个三 x， 加上一个 x 方，这边是九减去十二 x， 加上一个四 x 方，哎，那这样的话，三 x 方加 x 方，哎，这边四 x 方都消掉了啊。消完之后， 这边是剩下一个四分之九加三 x， 这边是一个九减十二 x， 我 把减十二 x 给它挪过来，那就变成了十五 x， 这边是九，九减去四分之九，应该是四分之二十七，那这样我们就能够把 x 给它求出来了， x 等于多少呢？嗯，四分之二十七除以它，它乘以十五分之一一，约它剩一个五，它剩一个三，得到的是一个多少？ 二十分之三呢啊，除以三，他这应该是一个，是一个九啊，二十分之九啊，二十分之九，哎，这样呢，我们把这个 x 求出来了，是二十分之九，然后 af 是 谁呀？三减去二 x， 所以 说 af 应该就是三减去二乘以二十分之九，也就是三减去一个多少？约完之后，十分之九等于十分之二十一啊，所以说它的值十分之二十一。
19沧州独立数学老师
03:39查看AI文稿AI文稿我们来看一道关于折叠等腰 这样一个分类讨论的问题，这个题目呢，经常在考试中，数学上处在十五题的位置，属于整个试卷最难的一道题目了，所以同学们在做的时候呢，可以放到后边再写，我们来看一下它的思路。第一，折叠呢，只要有定点的折叠的话， 我们想到它的折叠方式，其实是这个动点，是以定点为圆心，以定长为半径的一个圆上运动。那这个折叠我们看一下， d a 的 长始终不变，直到 d m， 这也是不变的，所以 m 的 落点呢，它就是以 d 为圆心，以 d a 长为半径的这么一个圆上，大家可以拿圆规呢，把这个运动轨迹给它画出来， 这是 m 的 位置。第二个是等腰分析，等腰分析呢，大家一定要分三种情况来分析，因为对于这个梯状形 bcm 呢，我们知道它有三边，分别是 bcm 和 cm， 三种情况，分别是任意挑两边相等，我们再逐一去观察排除就可以了， 这样能做到不重不漏。那下面是分类讨论，也就是对这个等腰进行分类的。再看第二个要求， bcm， 如果是等腰三角形的话，我们看到等腰三角形，其实也要想到的是分析这个动点 m， 它满足的条件叫两圆一线， 两圆一线找等腰， bc 是 固定点，当 bc 等于 bm 的 时候，其实是以 b 为圆心， bc 成为半径，就这么一个圆 啊，你可以让圆规把它画好，做成一个圆。我们发现这个圆呢，和刚才咱们做的以 d 为圆心， d 成为半径的圆呢，没有交点，所以 b c 等于 b， m 在 此题中是不成立的，又舍弃了 第二个， b c 等于 c m， 我 们是以 c 为圆心，以 b c 成为半径去做这么一个圆，根据数据我们可以知道这是六，这是三，恰好在这里是相交了，所以这个是成立的。但是呢，这个 m 只能在 d c 的 终点的位置， 那我们找到 m 的 位置，去找折痕 p 的 时候啊，折点 p 的 时候，我们发现可以做这个角， d a d m 的 角平分线，也就是一个九十度，一半四十五度，所以它得到的是四边形 d a p m 此时是一个正方形 p， 在 这里 类似我们平时折折正方形的这样一个方式，所以此时的 a p 呢，它就等于边长三，那 b p 呢，也就是三了。好，这是一个答案， b p 长等于三， 那看第二种情况，已经搞定了。第三种， b m 等于 c m， 那 说明 m 呢，是在 bc 的 垂直平分线上，这就是刚才我说的两元一线，两元指的是以定点为圆心的两个圆，分别是 bc 是 吧？以 bc 上我赶紧作圆找两目情况，一线呢，指的是 bc 的 垂直平分线， 那既然是垂直平分线，大家想一想啊，它垂直平分 bc 肯定也垂直平分 da 了。那么回到这里，那就分析此时 这个 am 就 在这个位置， am 和 dm 肯定是相等的了，因为垂直平分线的点到两端的距离相等，它等于 d a， 因为 dm 和 d a 呢，是反折过去的，所以能得到一个等边三角形， a， dm 是 等边，那接着推出来角 a dm， 它是等于六十度啊， 有三十度我们就知道了，角 adm， 它就是三十度啊，有三十度，我们再求 a p 的 长， 初二同学呢，可以设 a p 是 x， 这里是二 x 勾股定律列出方程求出 a p 的 长是根号三，那 a p 的 长是根号三，那 p b 的 长呢？就是六减根号三 啊。整个题目呢，我们看一下分析还是需要大家储备更多的知识的折叠，咱们要注意它是定点定长的，一个圆分析的当幺注意分三种情况来讨论，然后讨论时呢，利用了两元一线的思想来确定了各个点的位置。
54乐其数学
03:03查看AI文稿AI文稿同学们好，是不是当你看到翻折问题的时候就头发懵，当你看到十字架问题的时候就感觉无从下手，那么今天这个题目他是把翻折问题和十字架模型综合一块来考，那么这个题目是不是难上加难呢？其实并不是的，你只要把这两种模型掌握到位，那种题目很简单啊。 我们来先回顾一下我们讲的翻折问题和十字架模型，在我们之前的视频里面其实有讲过的，不记得同学可以翻看一下前面的视频，我们来看一下这个翻折问题。 我们说翻折问题关键是要干嘛？关键是抓不变量，对不对啊？关键是抓不变量， 这个不变量呢，提了两个方面，一个是什么？一个是边不变，一个呢？一个是角度的不变，对不对？那，那为什么会这种不变呢？其实呀，这个翻折问题它其实是一个什么？它其实是一个对称性的问题， 什么意思呢？你看一下他把这个来，我们先读下题目啊，他这个正方形 a、 b、 c、 d， 他 说这条边等于三 cm 呢？这条边等于二，那这条边就等于一，对吧？他沿着 e、 f 翻折，翻折之后，他要求这个 e、 f 的 长度， 那么说这个翻折问题其实它是个对称问题，对吧？他把这个 a、 e、 f、 b 相的相当于沿着 e、 f 翻折， a 点落在 m 点， b 点落在 n 点，对吧？啊？好， 那么这里面就有很多角不变和边不变，对吧？当然这个题目里面它是求线段长度，那我们就关注线段是哪些不变的，对吧？比如说有 e a 和 m e 相等的， 这个 f、 b 和 fn 相等的，然后这个 ab 和这个什么和 mn 相等的，对吧？好， ok， 其次，这个地方还考了什么？有的同学还没想到这边考实值模型啊，来我们复习一下实值模型， 我们说十字架模型的话，如果这个地方有什么，如果他有垂直的话啊，大家这边一定得，但这个地方得是正方形十字架啊，我们说长方形有十字架啊，我们现在讲的是正方形十字架，正方形十字架，如果他有十字架，他有垂直的话，就必然会得到什么，就必然会得到相等。 同学们，还记得吗？来我们再复习一下看看啊。比如说这个地方是一个正方形啊，我们横着的一根棍棍，竖着的一根棍棍，如果这根棍棍呢？这两个棍棍互相垂直的话，立马就会有什么东西呢？那立马就会有，哎，这两个棍棍的长度会 相等吗？这个长度和这个长度会怎么样？会相等对不对啊？ ok， 那 有这两个知识点了，这种题目直接就秒杀了。同学们，你们看一下这个 e f 是 不是相对竖着的公共啊？那你看，如果我们连接这个什么，如果我连接这个 am， 同学们，这个 e f 是 不是相当 am 的 垂直平分线啊？对不对？那么所以这个时候这个 e f 和 a m 是 不是就垂直了呀？同学们，那他们垂直的话，那么这个时候你要求的 e f， 那 么是不是等于这个什么 a m 呀？那这样一转换，那题目就解决了，你看一下，那这个时候我们正方形的边长，这个是三，那这个是一，立马得到它就得好多根号十，那所以求出来了，它就等于什么根号十，哎， e f 就 搞定了，哎。这个题目我们就讲到这里，记得点赞关注哦！
45刘云龙讲数学
01:29查看AI文稿AI文稿我们来看一下啊，正方形的折叠问题，看一下这个第十二题啊，每个题都是有一定难度的啊， a b 等于一个六啊，正方形六六，然后点 e， 它是在 c d 的 边上，并且满足 c e 等于二倍的 d e， 这样的话呢，我们就能够知道 d e 对 应的长度是二， c e 对 应的长度是四。将三角形 a d e， 它沿着 a e 进行折叠，折到它折叠之后，它俩是怎么着全等的？我们把知道的给他该标的标啊，以至于拓展咱们解析的思路。 二二，而且这是垂直啊，对，过来之后呢，他也是垂直啊，所以说能够得到这个角 a f g 啊，也是一个九十度，嗯，翻折之后， a d 和这个 a f 也是怎么着相等的，那么 a f 长度呢？也是边长六，这样的话呢，我们就特别容易看出来。什么呀，这两个三角形是不是通过什么呀？ a 是 l 也能挣出全等来啊，哎，这是我们知道的一些个条件， 然后下边啊一大堆操作，最后让他求的是谁啊？ b j 求他的长度，求谁，我们就怎么着射谁，射 b j 为 x， 那 么对应的 c j 呢？是不是六减 x 呀？因为刚才说了他俩 h r 全等，所以说 g f 也是谁呀？ x， 那 这样的话，在这个直角三角形当中，我们把所有的长度啊，是不是都表示出来了？那么下一步是不是就直接列式了？那练一下呗， c e 的 平方，也就是四的平方加上一个 c g 的 平方，六减 x 的 平方等于等于谁呀？等于 e g 的 平方，也就是二加 x， 快 来的平方，解这个式子啊，你解一下吧，十六加上一个三，十六减去十二 x 加上一个 x 方，等于这边是四，加上四 x 加上 x 方，消消 消没了啊？这边的话是五十二减去十二 x 等于一个四，加上四 x， 然后给它弄一下 x， 弄到一起是十六 x， 五十二减四四十八 x 等于三啊， c 出来了。
31沧州独立数学老师
03:36查看AI文稿AI文稿同学们，矩形折叠问题是特殊平行四边形章节的必考题型，今天用一道例题带你吃透。首先，记牢折叠的核心性 质，即折叠前后对应边相等，对应角相等。简单来说就是折叠产生的图形与折叠前全等，这是咱们解析的重点突破口。来看例题，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于六， b、 c 等于八。 将矩形沿 a、 e 进行折叠，点 b 恰好落在对角线 a、 c 上的点 f 处，求 b、 e 的 长度。 第一步，叫标已知条件，矩形 a、 b 等于六， b、 c 等于八，角 b 等于九十度。那么根据折叠的性质， a、 f 就 会等于折叠前的 a、 b 也等于六， b、 e 与 f、 e 相等，角 a、 f、 e 等于角， b 等于九十度，所以角 e、 f、 c 也等于九十度。 第二步，逆向理清逻辑链条，由折叠可知我们 b、 e 与 f、 e 等长， 那 f、 e 呢？又是直角三角形 e、 f、 c 的 一边，那么我们的思路就是在直角三角形 e、 f、 c 中求出 f、 e 的 长度，进而就会得到 b、 e 的 长度。 第三步，算出目标直角三角形的一边之长。先在 r、 t 三角形 abc 中求出 ac， 我们有六、八，根据我们勾股数三、四、五，那么 a、 c 长为十，所以 f、 c 的 长度就等于 a、 c 减去 a f 十减六等于四。 第四步，设未知数，用勾股定律求解，我们设所求 b， e 为 x， 则 f、 e 与它相等也等于 x， 那 我们的 c e 等于 bc 减 b e， 即八减 x。 在直角三角形 e、 f、 c 中则有 f、 e 方，加上 f、 c 方等于 c， e 方代入即得 x 方加四方等于八，减 x。 括号的平方 展开计算，两边同时消掉 x 方，再进行一项，我们能得得到 x 等于三，所以 b e 等于三。最后总结万能的四步法，第一步，标全已知条件。 第二步，理清思路，确定我们的目标三角形。 第三步，求出目标三角形的一条边。第四步，用未知数来表示其余的边长，再用勾股定律求解。学会的同学点赞关注我，数理化抓分更精准！
34初中数理化子墨
00:30查看AI文稿AI文稿芭蕉数学最难的就这九个模型，全部吃透，稳进班级前三初二数学平面四边形，翻来覆去就这八大模型， 芭蕉数学平行四边形九个模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型，模型三是自架模型，模型四，对角互补模型。模型五，矩形折叠 模型七，中点四边形模型八，一线三垂直模型，模型九，手拉手模型正方形。完整可分享！
112苒苒（姿疗👉公开裙）
01:27查看AI文稿AI文稿正方形中非常经典的一个模型叫做绊脚模型， 今天呢我们通过这个视频呢，给大家说一下绊脚模型的三个常见结论。第一个就是我们的等题要用到的是 a， e 加上 c， f 等于 e， f 证明的过程呢，需要延长 e， a 截取 a， g 等于 c， f 连接 b， g 证明两次全等， 一次是三角形 g， a， b 全等于三角形 f， c， b 这个全等之后，加上它的结论可以成第二个全等， g， e， b 全等于三角形 f， e， b 啊，那就是我们第一个结论。 第二个在它的极上衍生的，也就是三角形 e， f， d 的 周长是等于二倍的整个正方形边长的 ab 或者 ad。 第三个结论 连接 a， c 与 b， e 呢，交于点 m 与 c， b， f 交于点 n， 最后得到 m， n 的 平方是等于 am 平方加上 c， n 的 平方的。这个结论呢，也是构造一个直角三角形证明的 构定义啊。三个结论要记清楚的话，这种题就了解了，看到四十五度半角是吧，边长是二，那它的周长就等于四就可以了。
125乐其数学
00:29查看AI文稿AI文稿八下数学最难的九个四边形解法全部吃透，稳进班级前三！八下数学平行四边形九个长考模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型 三，十字架模型四，对角互补模型五，矩形折叠模型。玩着玩，分享！
66Yxx
01:51查看AI文稿AI文稿八阶下侧平行四边形的知识点在 d 阶的中考中是一个必考题型。今天给大家分享矩形的四种折叠模型。第一种是对角线翻折，如图 a、 b、 c、 d 沿着对角线 b、 d 进行翻折，点 c 和点 e 重合。这个模型中它会产生两个结论，第一个结论是三角形这个黄色阴影部分，三角形 b、 d、 f， 它是一个等腰三角形。 我们定这个角 d、 b、 c 为阿勒法，由这个反折可知的话，这个角也是阿勒法 a、 d 又平行 bc 平行，它会产生一个内错角相等，这个角也是阿勒法，这个角和这个角是内错角，所以说我们得到了角 f、 b、 d、 d 和角 f、 d、 b 相等，等角对等边，所以 b、 f 等于 d、 f。 除了这个等腰三角形，我们这里还得到了一对全等三角形。这个红色的三角形和这个红色的三角形全等，它们都是直角三角形，这个角是直角，不用我说，它是矩形，里面的 这个角也是直角。由反折可知，角 c 是 等于角 e 的， 那这个角 e 也是直角。 刚才我们已经证明了 b、 f 等于 d、 f， 一个直斜边相等，然后我们这里有一个 这个红边 a、 b， 它是等于这个红边 d、 c 的。 由翻折可知， d、 c 又等于 d、 e， 所以 ab 等于 d， e、 f 等于 d、 f。 我 们用 h、 l 证明直角三角形全等 n、 d。 愿你的学习不迷路！
03:33查看AI文稿AI文稿大家好啊，我们今天一起学习一道这个八下平行四边形部分。一道选择题 已知给的四边形 a、 b、 e、 d 和四边形 a、 f、 c、 d 是 平行四边形 a、 f、 d、 e 相交成直角， a、 g 得三， d、 g 得四，然后告诉你，平行四边形 a、 b、 e 的 面积是三十六， 求四边形 a、 b、 c、 d 的 周长。那既然求周长，我们知道这个四边形周长是不是等于 a、 d 加 ab 加 bc 加 dc 这个四边的和？那我们的任务先把这四边求出来，这个题就解了吧。那我根据已知，因为我们第一步根据因为 a、 g 等于三， d、 g 的 四， 那么所以 a、 d 得五，我们把第一个边是不是求出来 a、 d 得五了？嗯，又因为平行四边形 a、 b、 e、 d 的 面积是等于三十六啊，那我知道它面积等于谁？等不等于底乘高 d g， d， e 乘 a g 啊？ 所以就是 d e 乘 a g 等于三十六，对吧？那么 a g 得三，所以 d， e 是 不是等于十二啊？因为平行四边形吗？ d， e 和 ab 怎么呢？相等，所以 ab 也就等于十二。呃，又因为 d g 得四， 那么 eg 的 啥呀？所以 eg 是 不就等于 d， e 减 d g 啊？就等于十二减四是不等于八呀？ 那我因为平行四边形 abed 和 afcd 面积相等，所以我同理 我就能求出什么？求出 a， f 等于三十六，除以四等于九，也就是 c、 d 等于九，那么 f、 g 呢？是就等于九减三等于六啊， 那么我们在 r、 t 三角形 e、 g、 f 中， 我们是不能求出 e、 f 就 等于根号下八的平方，加六的平方是不等于十啊？ 那我 b、 c 得啥？那么所以说 b、 c 是 不等于 be 加 e f 加 c f 啊？因为是平行四边形嘛，所以 a、 d 和 b、 e 是 相等， b、 e 就 得五， e、 f 得十， a、 d 和 f、 c 也相等，它也等于十。所以 b、 c 我 们是不是等于二十啊？ b、 c 就 等于二十。 那我们看求四边形这个周长的话，我们这几个边都找没找到啊。我们来看一下啊，我们 a、 d 得五是不求出来了， ab 得多少啊？是不得十二啊？ 嗯， bc 求不出来得二十啊， cd 求不出来，得九啊。所以我这个四边形的周长是不是等于啥？是不是等于， 嗯，五加上十二加上二十再加九啊？所以是不等于 十七加九，二六是不是四十六？所以这道题答案就是四十六啊，同学们听懂了吗？听懂了，帮刘老师点点赞啊，点点关注，谢谢大家！
16数学刘老师
04:58查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家继续分享一道普通的中考题，呃，非常的普通，但是却非常的有技巧。呃，因为他难住了好多同学，其实非常的有技巧。同学们啊，看他解析的技巧在什么地方。 已知一个平行四边形 a、 b、 c、 d 知道角 c 是 阿尔法，出现平行四边形的角 c 是 阿尔法了，然后这个折叠把这个平行四边形进行了两次折叠， 三角形 a、 d、 b 撇折到了啊，三角形 a、 d 啊，对 b 撇是啥哈？三角形 a、 d、 b 撇折到了，三角形 a、 d 撇， b 撇上来了， d 和 d 撇重合， b 撇呢，是 b 折过去的三角形 a、 b、 e 沿着 b、 e 折过去，折到 b 撇上去了， b 和 b 撇重合， d 和 d 撇重合，进行了两次折叠。 知道这个角 c 是 阿尔法，就用含阿尔法的代数式去表示一下这个角四的度数，也就是角 c、 b 撇 e、 c、 b 撇 e 的 度数，用含阿尔法的代数式来表示它就可以。 那么显然在这里折叠了三次，折叠了两次。同学们，角一折叠到角二上来了，然后角三呢，又折叠到角二上去了，所以这里就产生了三个相等的角，角一，角二，角三，他们三个是相等的。 那么接下来你们看这个角 c 是 阿尔法，那这个阿尔法和这里的一、二、三又是什么关系呢？ 那肯定就要想平行四边形的对角他的性质了。平行四边形的对角是相等的，所以这个是阿尔法，那一、二、三加起来也是阿尔法， 而且一、二、三他是重合的，所以角一就等于角三，就等于三分之一倍的角阿尔法了。 那么平行四边形的对角相等菱角又是什么关系呢？同学们，平行四边形的菱角是什么关系？也就是角 c 和角 b， 或者角 c 和角 d 又是什么关系呢？ 显然对角相等，菱角互补，那角 b 我 们也可以推出来，根据两直线平行同旁内角互补，那角 b 就 等于一百八十度啊，减二十分了。 那既然涉及到角度的问题，平行四边形的角度的问题，那我们就要把平行四边形里边的所有的有关角的现在都想一个遍啊，对角相等，邻角互补，这都是我们要想到的。那么接下来他让我们求这个角四， 一个角四悬在这里，要求他的度数，显然你就要来这边做文章了，这个角，这个角，还有这个角，甚至这个大角，哎，你要把这些角用含阿尔法的代数式表示出来了，那角四就等于一百八十度，减掉他们不就可以了吗？ 接下来咱们就观察我们描出来的这几个角，它们跟我们刚才描述描出来的，推出来的一二、三，还有角 b 是 什么样的关系？ 显然角 b 经过折叠折到哪去了？同学们折叠前后重合的边和边相等，重合的角和角相等，所以角 b 就 折到了这个角 a b 撇 e 上去了，那角 a 呀 b 撇一也等于一百八十度减二十分了，也就是这个角就出来了一百八十度，减二十分。那同学们再来观察剩下的这个角五，这个角五和我们推的一二、三又有什么关系？ 显然两直线平行内错角相等。朋友，观察角五是几个这里的三分之一。阿尔法，两直线平行内错角相等，显然角五等于的是角二加角三，也就是三分之二个角阿尔法。 所以角四的度数就出来了，一百八十度减角五，再减掉角 ab 撇一， 而角 a、 d 乘以等于它，角五等于它。所以这个答案就出来了，一百八十度减三分之二角二十法，再减掉一百八十度减二十法，也就是减一百八十度啊加二十法了。所以最终的结果，二十法减三分之二，二十法等于三分之一的二十法了， 三分之一的角阿尔法，哎，所以说角四就等于三分之一角阿尔法了。其实这个思路很清晰，朋友们就怕你想不到，角 b 折到 b 平上去了，这三个角重合，他们三个是相等的， 这里考察的就是平行四边形的对角相等，邻角互补，折叠之后，显然他们都聚到这个角四的顶点处了，所以说我们就要想办法把角四的顶点处的这些其他的角用这个阿尔法来表示， 一个是啊折叠之后的，一个是啊内错角就 ok 了。希望这个题目能够帮到大家。
42初中数学柳老师
01:30查看AI文稿AI文稿各位同学，我们一起来看这道题。 如图，将平行四边形 a、 b、 c、 d 沿对角线 b、 d 折叠，使得点 a 落在点 e 处， 若角一等于五十六度，角二等于四十二度，让我们求角 a 的 度数。 那么在这里面呢，我们要用到平行四边形的相关性质以及折叠的相关性质。我们知道平行四边形它的对边是互相平行的，所以呢，这个角一啊，是五十六度的话，那么很显然这个角它也是五十六度， 是吧？那么既然这个角是五十六度，他又是折叠的，所以我们这个角不就出来了吗？那不就是二十八度吗？同学们能听懂吧？ 那么这个是二十八度，这个呢是四十二度，加在一起七十度，所以他不就一百一十度吗？所以最终结果呢，就是一百一十度啊。这道题呢，就是一个很简单的平行四边形的一个应用，希望同学们呢能听懂。好的，谢谢大家。
26汪栐数学讲堂
00:31查看AI文稿AI文稿八下数学最难的平行四边形，三天吃透逆袭班级前三。八下数学平行四边形九个常考模型模型一，垂美四边形模型介绍，对角线互相垂直的四边行为垂美四边形模型二，正方形半角模型模型介绍， 模型六，梯子模型模型七，中点四边形模型模型八，一线三垂直模型模型九，手拉手模型以上均有完整电子版。
45黄冈柚子老师
00:56查看AI文稿AI文稿平行四边形折叠问题，我们看下第一题，如图所示，将平行四边形 a、 b、 c、 d 沿着对角线 a、 c 给它做一个折叠点， d 落在了 e 处，而且说的是 a， e 恰好经过 b、 c 的 中点，哎，这个点是中点，那说明这两边是相等的， 然后 ab 等于三， bc 等于一个六，哎，中点，那就说明，哎，这一块和这一块都是三。让咱去 求角 b 的 大小是多少，怎么去做这个题？出现折叠，我们马上就要想角平分线，所以能够得到的是这个小角和这个小角相等，我们可以都标为角一角一，然后本身是平行四边形，那我就得想平行当中 比较常见的内错角相等，这样我们就能够得到，哎，这个小角和这个角内错角相等也是角一发现两个底角对应相等，那么两条腰也相等，所以这一条线段的长度也是三，哎，三个三等边， c 出来了。
22沧州独立数学老师
01:40查看AI文稿AI文稿正方形的性质和判定虽然非常多，但是呢，考试中单纯的考它的判定和性质的时候呢，就是藏的比较深一点，它只给咱们一个背景板，是一个正方形。那今天我们来介绍一下正方形里边一个特殊的常考模型，我们课本上也讲有， 就是正方形中的十字模型，什么意思呢？就是正方形里我们先画一个互相垂直的线段啊，如果过顶点的话，大概就这个样子， a、 b、 c、 d， 这里只要是互相垂直的，比如说 b、 q， 那 b、 p 垂直 a、 q， 我 们就能够得到， a、 q 呢是等于 b、 p 的， 它俩相等的，这个想得到它也非常简单，只要证明三角形 a、 b、 q 呢，是全等于三角形 b、 c、 p 的 就可以了， 用的是角夹角相等，然后直角，然后还有一个是 ab 和 bc 两边相等，这里就有垂直，一定能得到相等，这就是它是怎么想它的变化呢？是往中间去靠的话， 也就是只要是你在这画一个互相垂直的线，互相垂直的线，比如说这个是 ef 和 m n， 外面是个正方形，这里 ef 一定是等于 m n 的。 如果想证明起来稍微简单一点啊，两种方法，第一种是平移法，把它平移到边上啊，构成两个平四边形证明就可以了。第二种是做垂直的方法啊，做垂直以后也能构造一个全等，也就是这是十字模型，他的核心思维方式呢，就是见垂直 思相等，也就是我们如果看到垂直了，就思考这个相等的线段。
43乐其数学
