八年级下册数学一次函数对称轴
上个视频咱们说的是有关一次函数的概念，这个视频咱们来过一下，有关一次函数的图像和性质。为了更好的借助函数认识运动变化的现象，咱们就需要研究函数的性质， 研究函数的性质，我们就可以更好的刻画运动变化现象的变化规律。那咱们这节课主要就是来看一看怎么来画一次函数的图像和性质。我们从特殊的一次函数正比例函数开始研究图像和性质。咱们首先就看一下第一吧，它出下列正比例函数的图像 像，第一问有两个，第二问也有两个。咱们先画第一问的说， y 等于二 x 的 自变量， x 可以 为任意实数，先把 x 的 取之范围画出来， 然后再找出 y 与 x 的 几组对应值，你看这里找到了五个。咱们刚开始的时候说，我们一般是找五到七个，找五到七个量，描着五到七个点，用平滑的曲线一连就搞定了。 那么往后再来看，在平面直角坐标系中描出我们刚才这个表中的值为坐标的点，再把这些点连接出来，就可以得到一条过圆点。第三，第一象限的直线，那就是函数 y 等于二 x 的 图像。 同样的道理，我们也可以得到函数 y 等于三分之一 x 的 图像，看就是这个样，其实就是由上面那个表格开始连点画图找出来的这样的图像。这个图像之后再来研究啊， 画 y 等于负的一点五 x 的 图像，找出了这五个点，然后得到了一条经过原点和第二、四相近的图像，它就是 y 等于负一点五 x 图像。同样的道理，我们也可以得到 y 等于负四， x 的 图像是这样两个， 我们仔细研究研究这两个图像的共同点是什么啊？首先来看上面这个图像是 y 等于二 x 和 y 等于三分之一 x， 我们会发现这两个函数它都是一次函数中的正比例函数，两个函数的区别就是这个 k 不 同，一个 k 是 二，一个 k 是 三分之一。首先来看看 k 等于二， k 等于二等于，说他这个曲线他的是上涨速度非常快，比 k 等于三分之一上涨速度快，而且他们都是从左往右 y 随 x 的 增大而增大的。这是我们关于 y 等于二， x 和 y 等于三分之一 x 这两个图像的这两个图像， 这两个函数图像的观察。而且也可以看到这两个图像它都是经过原点第三和第一象限的直线。 我们再看看刚才说的这个 y 等于负四， x 和 y 等于负一点五 x 这两个函数呢，我们会发现它的 k 全部都是负的，也就是说 y 随 x 的 增大而不断减小，他们在减小的过程中啊，我们会发现 k 是 负四的时候， 他减小的速度更快。你看他从负一开始往下减，减到正一的时候，就已经远比这个负一点五减的要快了。负一点五减到这个点的时候，他得得二的时候才能减下来。 所以说呀，这个 k 越小，所以说我们就知道 k 越小，他减的速度就越快。再结合起来，这个 y 等于二， x 和 y 等于三分之一 x， 就 可以发现， k 越大， 它增的速度就越快。这两个前面还要加一个前提， k 越小，减的速度越快的前提是它 k 得小于零啊。后面 k 越大，增的速度就越快，它的前提是 k 得在大于零的时候。这是我们观察到的啊！ 往后看书上的分析，以上四个函数的图像都是我们经过 y 等于二， x 和 y 等于三分之一 x 的 图像，它是经过第三项线和第一项线的，从左向右上升， y 等于负一点五， x 和 y 等于负四， x 图像是经过第二、四象限的，从左往上下降。这和我们刚才观察到的是一样的啊。 往后说，一般的正比例函数 y 等于 k x， 其中 k 是 常数，且 k 不 等于零，它的函数图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线， y 等于 k， x。 当 k x 大 于零的时候，也就是说从这里开始就需要你记住了， y 等于 k， x 经过第三象限。第一象限从左往右是上升的，即 y 随 x 的 增大而增大， 这是第一句话。第二句话，当 k 小 于零时，直线 y 等于 k， x 经过第二、四象限，从左往右是下降的，即 y 随 x 的 增大而减小。 一定要结合图像去理解，硬背是背不下来的啊！在这里可能有的同学会忘记，哪个象限是二，哪个象限是三，哪个象限是四，在这里说一下啊， 这个象限，也就是说，在这一块，他是第一象限，在这一块是第二象限，在这一块，这是第三象限。最后这一块，这是第四象限啊。记住就好，解决黄框中的问题， 由正比例函数的解集式可以说明他的函数 y 随自变量的增大而增大，或者随着 x 增大而减小的道理吗？其实道理就是我们通过这个图啊，道理就是这句话，这句话就回答了这个黄框中的问题啊， 也就是从这个函数图像的图像中直接观察就可以观察到了。我们往后看啊，看后面关于思考 由正比例函数的图像是一条直线，可以想到画正比例函数图像的简单方法吗？这是一个好问题。我们已知我们现在画这个函数都是找五到七个点描点，画图用平滑的曲线嘎达，一连是这么连的，那有没有更好的方法呢？ 其实是有的，因为我们知道正比例的函数图像永远都是一条直线，我们刚才已经画了四个正比例的函数图像了，他们都是一条直线。 那么我怎么样可以用更少的点确定一条直线呢？是两点确定一条直线，而正比例函数 y 等于 k， x， 其中 k 不 等于零的图像又是经过原点的直线， 所以说只要确定我们正比例函数图像上的一点，就可以画出正比例函数图像。一般的我们取一 k 这个特殊点，那另外一个点呢？看看哪个好取就取哪个，咱们就着这个例子啊，一块来找一找， 看一看练习题啊，取一 k 这个点，另一个点取什么？一般咱们取零零，取这两个点，咱们来试一试啊。 首先 y 等于二分之三， x， 咱们取两个点，分别是零零，还有把 x 等于一带进去， x 等于一了，一乘以二分之三，那不就等于 y 了吗？ y 就 等于二分之三了， 所以说他必过两个点，一个是零零，另一个是一到二分之三。那接下来的任务就是画一条平面直角坐标系，把横中坐标画出来，横是 x， 纵是 y， 找到这两个点，零零这个点搁这呢， 一二分之三这个点，我们假设这个点是一啊，这个点是二分之三点。好了，这两条直线一连两点，确定一条直线吗？一连延长搞定。这就是我们第一问的函数图像。 第二个我们还是找两个点，一个是零零，另外一个点让 x 取一，一乘以负六， y 就 等于负六了。 所以说另一个点就是一到负六，咱们还是画一个平面直角坐标系横纵坐标，找好 x 和 y， 一个零零在这里，还有一个是一负六，一在这，负六呢，随便找一个点 在这里，两个点一连一延长，这就搞定了。一般找这两个点，直接两两点，一连直接延长，一画图就行了。 第二题是这个，给我们两个特殊的点，说在这个函数图像之上，是比较 m 和 n 的 大小，那咱们一块来研究吧。我们刚才说了，总结出它的规律，当 k 小 于零的时候啊， k 小 于零，说明这个函数一定是减小数，怎么说 y 随着 x 的 增大而减小，那 x 越大， y 反而就越小，有 m。 我 们这两个式子有 x， x 一个是二，一个是负三，我们知道二肯定是大于负三的， x 大， y 反而越小。 x 为二的时候，它所对应的 y 的 值不就是 m 吗？ 为负三的时候，他所对应的 y 的 值就是 n 了， x 越大， y 反而越小，所以说填小于号，这么说就可以了，这是我们的练习题。接下来我们来看看这个例二啊，得画这个一次函数的图像和性质， 给出我们要画的这两个函数图像，一个是给出我们要画的这两个函数，一个是 y 等于负三 x， 还有一个是 y 等于负三 x 加一画图就可以了。 在画图的时候，我们看这个题，还是让我们先用画图的方式描点就可，我还是让我们用描点画图的方式去解析。 x 等于负一，分别带入这两个式子里啊，带这里面，那不就等于三吗？这里面就是在三的基础上再加一个一就行了。三加一是四，负，负零点五呢？那就是负三乘以负零点五，得数是二分之三，底下把二分之三加一就行了。是二分之五， 这面 x 是 零点五，零点五乘以负三，那就是负的二分之三，底下再加个一，那就是负二分之一。搞定，我们瞄点用平滑的曲线相连画出来是这个样的，剩下我们就得观察呀，这俩图像我能观察出什么东西呢？记住这个图像，我观察一下底下的这个探求的内容。 首先这两个函数的图像形状都是什么？往上看是两条直线，所以说都是直线就行了，并且倾斜程度是相同的。这不嘛，两个都这么写， 所以说倾斜程度是相同的。其中的函数 y 等于负三， x 图像，它是经过原点的。另一个函数图像与 y 轴交于哪个点呢？看看 一个函数图像，这是 y 等于负三 x， 它交于原点。另一个函数图像与 y 交哪个点？交这个点，这个点是什么？是零一。那么我们由这两个点的平移，是不是可以推广到这两条直线的平移啊？ 我们这个 y 等于负三， x 加一这条直线是不是就是把 y 等于负三 x， 这条直线每个点都往上平移一个，这样就可以变出来了。 所以说呢， y 等于负三 x 加一，可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移一个单位长度得到的。 后面得出了他们的这个道理，其实就是描述一下就行了。我在这里可以这样描述啊，将横坐标相同的点，其中直线 y 等于负三 x 加一， 比 y 等于负三 x 的 纵坐标都大，同样的数都大一，所以说我们就可以认为，将 y 等于负三 x 的 图像向上平移一个单位，就可以得到 y 等于负三 x 加一的图像了。是，这样就可以描述好他们的道理了。 接下来我们联系一下上面的结果可不可以通，可不可以从我们这个特殊的直线，一个是 y 等于负三 x， 一个是 y 等于负三 x 加一，这两个特殊的图像能不能推广到任意的一个意思函数 y 等于 k x 加 b 的 图像和 y 等于 k x 这两个图像之间的关系呢？ 其实按照我们刚才的这个话术再说一遍就行了。也就是说， y 等于 k x 加 b 的 图像是一条经过零 b 的 直线， 这个零 b 是 好说的啊，就是把 x 取零， y 呢，直接就等于 b 了，因为 k x 这项直接不就没有了吗？ 且和直线 y 等于 k x， 其中 k 不 等于零是平行的。这样就找出来了啊，一个是 y 等于 k x 加 b， 它横过零 b 还是直线， 而且呢，它和这个直线因为这个 k 相同，所以说这些程度相同，那么就和这两条，那么就和 y 等于 k x 这条直线就平行了。接下来我们往后看啊，比较这个一次函数和这个正比例函数的解析式， 这句话非常重要啊，一定要记住，这是这两个解析式的关系。意思还是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，它的图像可以由 y 等于 k， x 平移 b 的 绝对值和长度单位。 为什么说 b 得加绝对值啊？因为我们不知道这个 b 是 大于零还是小于零。这不就说了吗？如果 b 大 于零的时候，那它就是往上平移， b 小 于零的时候，它就是往下平移，而往上平移、往下平移，我们可以用平移多少个单位长度，也就是 b 的 绝对值和单位长度就行了。 假设有一个直线， y 等于二， x 向向哪平移？没说，我就说他平移了两个单位长度。你可能会想向上平移，向下平移，向左平移，向右平移，但都说不好，我们不知道是向左还是向右，向上还是向下， 向左向右我们暂时不研究，我们先研究向上向下。所以说我在这里写一个横向平移，就像这个问题， y 等于二， x 横向平移两个单位长度，所以说你肯定能写出两个，一个是 y 等于二， x 加二， 这是往上平移，还可能是 y 等于二， x 减二。不要忘记分类讨论啊，注意，横向平移有可能是加二，向下平移就是减二，是这个意思。 往后看啊，一次函数 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，它的图像也是一条直线，我们管它称作 y 等于 k， x 加 b。 好， 我们学会了这个道理之后，再来看看。例三，一个是二 x 减一，一个是负零点五， x 加一，我们可以观察到这两个函数图像都是一次函数，已知一次函数的图像，它都是直线，所以说只要能确定两个点就能画出来了。 我们还是取 x 等于零， x 等于一，这两个函数的对应值找到了，找到之后我们就一画就可以了，画出这样的两个， 这是一种画法，就我们取一个函数的两个点吧。第二种画法还可以这么画，因为我们刚才说了，函数是可以平移的，我们发现我们要画的这两个直线，一个是 y 等于二， x 加一，还有一个直线是 y 等于负零点五， x 加一， 他都是由最基础的两个直线平移而得到的。一个是 y 等于二 x， 一个是 y 等于负零点五， x 将 y 等于二 x 向上平一个单位长度，不就是我们要画的 y 等于二， x 加一了吗？那，那往后推， y 等于负零点五， x 加一，就是 y 等于负零点五， x 往上平移一个就可以得到，也可以用平移的画法啊， 也可以用这个取两个点的画法好。画完直线之后，我们再研究啊，画出这样的四个函数图像， 观察这些直线，总结它们从左到右上升或者下降的规律。从这里再去联想依次函数解析式中 k 的 正负对函数图像的影响，进而归纳出依次函数的性质。 咱们先画个图，先把 x 轴和 y 轴画好，先画 y 等于 x 加一。我们知道啊，他肯定过一个点， 让 x 取零， y 就 取一，还过哪个点？我们让这个 y 取零，也就是说零等于 x 加一嘛，那 x 就 等于负一了，也不是负一都是零，负一零在这了，零一在这了。相连一画，这是 y 等于 x 加一， 再画 y 等于负， x 减一，他肯定过哪个点呢？我们把 x 等于零带进去， x 等于零，那零加一， y 就 得一了。 把那个 y 等于零带进去，零等于负， x 加一，那 x 肯定是等于一了呀。所以说一都是零，零一这个点是这咱就不再取了。一零这个点在这，就说两点之间连一条直线一画，这就是 y 等于负， x 加一。 往后继续研究，这个 y 等于二， x 加一，咱们再换个颜色，取哪个点呢？还是 x 取零， y 取零啊？ x 取零，那二乘零加一， y 就 得一了，那这个 y 取零呢？ y 取零，零等于二， x 加一， 那么这个 x 就 一定等于负的二分之一啊。负二分之一，负二分之一，零在这中间这个点找到 还有一个零一在这，这么一连就行了。连好之后，标这个绿色的是 y 等于二， x 加一。最后一个咱们拿黄色来说，是 y 等于负二， x 加一，还是 x 取零， y 取什么？ y 还是得一。还有一个点是 x 取一， 还有一个点是 y 去零， x 去几， y 等于零，零等于负二， x 加一，那么 x 就 等于二分之一。所以说过二分之一，零 在这个点找二分之一，零还是这个点，你得标出来它的函数。图像是 y 等于负二， x 加一。咱们仔细再来研究啊，这几个图像，他们由左到右上升或者下降的规律，咱们可以发现啊， 这个红色和绿色都是从左到右越来越升高的。而这两个直线有一个共同的特征， 就是说他的 k 是 一，这个 k 是 二， k 大 于零的时候，从左到右还是图像是上升的， 那看看这个蓝色图像和这个黄色图像，一个 k 是 负二，一个 k 是 负一，那么就可以说，他这甭管是负二还是负一，他不就是 k 小 于零吗？ k 如果小于零的话，那他就是从左到右下降。观察前面依次函数的图像，可以发现规律，如果 k 是 大于零的，那么 y 等于 k， x 加 b， 这个图像一定从左到右往上走的，当 k 小 于零的时候，那他一定从左往右往下走的。 得到的这样两个关键的性背下来啊，当 k 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。当 k 小 于零时， y 随 x 的 增大而减小。这个黄筱路的内容就告诉我们了， 先通过观察发现图像或者图形的规律，再根据这些规律得到关于变化数值大小的性质。这种数形结合的研究方法在数学学习中是很重要的。好，我们接下来往后看啊，这个练习的内容说了， 直线 y 等于二， x 减三与 x 轴的焦点坐标是多少？这个研究呗，焦点坐标我们知道啊， 函数是有 x 轴和 y 轴的啊，这是 x 轴一个，还有一个轴是 y 轴。说了与 x 轴的焦点坐标，我们知道整个 x 轴上的所有点都有一个共同特征，就是这个轴上的所有点 y 都为零。 那这道题问我们与 x 轴的交点，互而言之，就是让我们把 y 等于零带入到这个直线方程中，然后求出来的 x 就是 我们的 x 轴交点坐标的横坐标、纵坐标不都是零吗？直接一写就好了，然后求解这个方程， y 等于零等于二， x 减三，那么二 x 就 等于三了， x 等于二分之三，所以说第一个得数是二分之三。与 y 轴的交点，我们还是观察这个函数图像啊。与 y， 我 们还是观察这个平面直角坐标系与 y 轴交点坐标 y 轴所有点都有一个共同特征，就是 x 等于零，那把 x 等于零带入方程就行了。 x 等于零，那 y 就 等于二乘零减三，那就等于负三，所以说与 y 轴的交点坐标、横坐标都是零，纵坐标一个负三就搞定了。 经过第几象限，这个我们就得考虑一下呗。我们现在已经知道了，这是一个一次函数， 一次函数是一条直线，而两点确定一条直线，把这俩点标出来，与 x 的 向量坐标，一个是二分之三，零，就这个点与 y 的 向量坐标就是零。负三在这了。两点一连看看呗，他是过第几项线呢？这是第一项线，这是第二项线， 第三项线，第四项线，他就过一、三、四这三个象限啊。再看 y 随 x 增大，而怎么着？ x 从左到右越来越大， y 呢？也越来越大，不从下往上走的嘛。所以说 y 随 x 的 增大而增大。这是我们练习题的第一问，第二问分别在同一平面，第二问分别在同一平面直角坐标系中 画出来一、二。这个小球中三个函数图像有什么关系？就是说我们得把这三个函数图像画出来。这三个函数图像 可以观察到他们有一个共同的特征，他们都是在 y 等于 x 这个函数图像的基础上。这是向下平移的一个单位，这是向上平移的一个单位，所以说我们一画就可以了， 先画出 y 等于 x 这个函数图像，我们取啊，这个点它是横过的，还有一个点呢，是 x 取一， y 还是得一取一，一就可以了， 取好点之后连点呗，零零。还有一个点是在这一连，这就是 y 等于 x 开始平移电话，这个 y 等于 x 加一吧，这是往上平移的，原先过零零，那现在不就过零一了吗？ 另一个点 x 取一，另一个点 y 取零吧， y 取零， x 去几啊？ y 等于零， x 就 得得负一了，因为负一加一才等于零吗？还过零一这个点一连就好了，零一，这是负一零一连线， 这个就是 y 等于 x 加一，底下这个 y 等于 x 减一，这么一画，他肯定过这个点，这个点是一零还过这个零负一。这个点要画好之后，找一下他们图像的关系啊，他们都是由 y 等于 x， 可能是向上， 也有可能是向下进行平移来得出来的。来看看第二个这个图像有什么特征啊？ 依次发现他们都是一个一次函数，如果他是一次函数的话，那么我们知道他的函数肯定都是一个直线。还是取两个点，分别是 x 取零和 y 取零。去找第一个函数，当 x 取零的时候， y 不 就等于零减一吗？所以说零负一， y 去零的时候， y 等于零，零等于负二分之一， x 减一，挪过来负二分之一， x 就 等于一等式，两边同时乘二，负 x 等于一，乘二等于二，然后再把前面的这个符号挪过去， x 等于负二， 所以说过的点是负二零，这个也是一样。我们先把他们的点依次求出来， x 取零， y 等于零减一，不就是负一吗？当 y 取零的时候，零等于负 x 减一，那把这个负 x 挪到等式的左边来， 负 x， x 等于负一，所以说他的点坐标就是负一，零，最后一个 x 取零，那 y 不 就是负二乘零还是零，零减一，得负一， 然后外去零，外去零就是零等于二， x 减一啊，等于负二， x 减一， 然后把这个负二 x 挪到等式的左边来，二 x 等于负一，那 x 就 好说了，等于负二分之一，所以说他必过的点是负二分之一，都是零。我们还是画这个图，依次找，一个是零负一，一个是负二，零 零负一在这了，负二零在哪？在这一连，这个函数就是 y 等于负二分之一， x 减一。来看下一个函数啊， 这个负 x 减一，它 b 过哪个点？ b 过零，负一就是这个点，还过哪个点？负一零这个点，我们取的是负二，那负一肯定就在这 两点之间。一连线搞定，这是 y 等于负 x 减一，继续是这个 y 等于负二， x 减一，咱们再换个颜色，过零，负一，还过负二分之一，零，那接着接着负二分之一， 例，这个直线是 y 等于负二， x 减一。画完了这三条直线之后，我们可以观察一下这三个图像有什么关系。其实很简单，我们发现这三个图像都过这一个点，所以说写出来就行了啊。 y 等于负二分之一， x 减一， y 等于负 x 减 y 等于负二， x 减一，均相交于点，这个点是零负一。画好之后，我们就搞定了这个第二题，接下来来看第三题啊。 已知一次，函数 y 等于四， x 加七，当这个 x 大 于二的时候，利用函数的性质求函数值 y 的 取值范围。这上面说了，我们函数的性质是什么？ 函数的性质就是当自变量变的时候，函数值也随着它的变化而变化。所以说问我们 x 的 值变化的时候， y 的 值的变化，我们也一定可以通过 x 的 变化而求出来。 那怎么求呢？我们看看啊，他不说了吗？ x 大 于二，但是我们这道题得求四 x 加七啊。四 x 加七，我先把四 x 凑出来， x 大 于二，那四 x 肯定就是大于八，因为二四得八嘛。那四 x 加七呢？四 x 加七大于十五， 然后把四 x 加七用 y 替换出来， y 大 于十五，这是我们第三题啊，接下来我们来看第四题， 难度又升级了。已知一个一次函数图像过这两个点，你刚刚才我们不说了吗？两个点就可以确定一次函数图像，那现在我们就给你两个点，能不能反求一次函数的解析式呢？ 当然可以看黄黄中啊，因为这个图像过这两个点，所以说这两个点一定是满足解析式的， 这样我们不就数形结合了吗？由图像来反推解析式，既然说这两点坐标必然满足解析式， 所以说我们只要把解析式设出来，这不说了吗？要求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式，关键就是求出 k 和 b 的 值，然后我们根据已知条件，列出关于 k 和 b 的 二元一次方程组，求解出 k 和 b 就 行了。 但是问题来了，我现在还不知道这个解析式长嘛样啊。所以说我们第一步得先设出来，设 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，这个条件非常重要，一定要写，因为如果你不写，那么就会得到一个神奇的事情， 当 k 等于零的时候， k x 这一项永远为零啊。那 y 等于 b， b 是 什么数？ b 是 一个常数，我们假设这个 b 等于一， 那就是 y 等于一，那这个函数他并不是一个一次函数。首先他只有一个函数值，没有一个自变量。其次，你看他画完之后， y 得一， y 得一， x 值，不管为什么时候他都得一，你画出来的是一条这样的直线。 所以说他不满足于我们一次函数啊，他就压根就不是一次函数。好，我们回到这道题，我们把解析式设出来之后，再把这两个点带入二带 x， 负四带 y， 这个也是啊，负三带 x， 十一带 y， 带完之后就得这个样，这不吗？第一个式子二和负四， y 带负四，这个二呢，带 x， x 就是 二。二 k 加 b， 后面也是一样的去解这个方程组， 这个方程组解的时候呢，可以关注这样的这个方程解的时候可以这么解。第一个先看看啊。首先两个未知数，我们看看有哪两个未知数，它的系数是一样的， 像这个 k， 它的系数是二，这个 k， 它的系数是负三。后面的我，我们会发现它的系数 b 的 系数是一个是一，另一个还是一， 前面还都是正的。所以说我们假设第一个式子为一式，第二个式子为二式，你只要两个式子一减就行了。我们拿二式减一式，等式的右边咱先减，那不十一减四吗？他不是十一减去，不是十一减四，是十一减去负四， 这是等式的右面，等式的左面也得减二是前面是负三 k 加 b， 后面的减去，我们得加括号。二 k 加 b 处理一下，负三 k 加 b 减去二 k， 然后是减 b 等于十一减去负四，那就十一加四得十五。 处理一下，负三 k 和负二 k 摞一块，那就是负五， k 加 b 没了，得十五。等式两面同时乘以负五分之一，记得加括号啊， 这两项摞一块，他不得一吗？所以说 k 就 等于十五，乘以负五分之一，五和五消了，这还剩下一个三，前面还有个符号，所以说 k 等于负三，把 k 等于负三呢，再代入到一式也行，代入到二式也行。我们先把 k 等于负三代入一式吧。 如果 k 等于负三的话，那这个二 k 就是 负六。负六加 b 等于负四，那 b 呢？一定等于负四。负六挪到等式的右面去，那就是加六，那就等于二，所以说 k 等于负三， b 等于二，这是这么解出来的啊。 像例四这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数， 从而得出函数解析式的方法。我们管它叫做待定系数法。什么叫待定呢？不就是不知道这两个系数吗？所以说我给他就随便设一个，再通过我们已知的 x 和 y 来求出我们之前定的这个系数啊。 由于一次函数 y 等于 k， x 加 b 中有 k 和 b 两个待定系数，因此用待定系数法需要根据两个条件列出二元一次方程组，其中呢，我们把 k 和 b 看作未知数， 解方程组之后，就可以确切的写出一次函数的解析式。我们来看一下啊，由例三例四这两个题推一下思路。首先先把函数解析式给列出来，长这个样， 选取满足条件的两个定点，画出这个一次函数的直线，这是由函数解析式去推图像，可以这么推， 那怎么由图像来返回这个解析式呢？我们先把这个图像找出来，找出图像之后，我们还是选出两个定点，有可能是如果在做题中，有可能是你自己选的选的比较好算的，也有可能是题目中直接给你的两个点， 再把这两个点带入到这个函数解析式之中，就可以求解出我们这个函数解析式了。这个思路就体现了我们数形结合，像这个函数解析式，这个就是数，这个就是行，数形结合就可以更好的去解决问题。接下来我们来看一下例五啊， 一位记者坐一辆汽车往三百六十千米外的乡村进行采访，其中呢，前一部分为高速公路，后一部分为普通公路。汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速直线行驶，分别以某一速度匀速行驶。 这个图呢，是我们汽车行驶的路程和时间的关系。那我们来看第一问啊，求这个汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的 函数解析式， 通过看这个图我们就会发现，它好像走高速公路和走普通公路速度是不一样的， 为什么能看出的速度不一样？因为前面就这个零到两小时之间和二到三小时之间，我们可以看到这两条直线他的倾斜程度是不一样的。 所以说这就是我们说的问题中，汽车行驶的速度并不是固定不变的，他和行驶的时间范围有关，当 x 在 零到二之间的时候，汽车的行驶速度较快，因为他走的是高速公路， 当 x 大 于二的时候，他的行驶速度较慢，因为他走的普通公路。那所以说我们去求解这个函数解析式的时候，应该在这两个自变量的取值范围之内进行讨论求解。 我们先来看啊，当 x 是 属于零到二之间的时候，函数图像过两个点，过哪两过哪两个点呢？分别是圆点，也就是零，零还过哪个点？过 a 这个点， a 这个点的坐标横坐标是二， 纵坐标是一百八。我们来求解，因为我们发现啊，这个第一问中行驶的路程外，关于时间 x 的 函数解析式， 他是有两部分，所以说两部分的方程一定是不一样的，所以说我们在设直线方程的时候有有研究， 就是说设函数的解析式，哎， y 等于 k 一， x 加 b。 看看啊，我应该不用加 b 了，因为他是过原点的一个意思函数，所以说他是一个正比例函数，正比例函数我们这个 b 永远为零，所以说不用写加 b 了， 直接设成 y 等于 k， e x 就 行了啊，颜色我再换回来啊，我们把这两个点带进去就行了啊，分别是带零、零， 那 x 等于零的时候， y 得零啊，零等于零，直接一写就行了。还有一个是 y 是 一百八十， x 是 二，那就是二， k 一 就可以解出来 k 一 等于多少，把一百八十除以二， k 一 就等于九十了，搞定，如果 k 一 是九十的话，那这个方程就是 y 等于九十 x。 注意此时的这个自变量有取之范围就是 x 小 于等于二， 大于等于零，在零到二的范围内，我们就把它函数的解析式求解出来了。那后面这部分我就得求当 x 大 于二的时候，他的解析式是什么样的？我在这里写吧。 x 大 于二 还是图像过哪个点呢？过这个点还过这个 a 点是二到一百八十，还过哪个点还过这个点？这个 b b 的 横坐标是三点五，纵坐标是二百七，就是三点五到二百七十。 我们还是把这个方程说出来，我们会发现此时我好像不能判断这个新的函数到底过不过原点，如果不知道过不过原点，那我在设几级数的时候，就将它设成正常的一次函数，就不把它设成正比例函数了。 和刚才这个 k 一 x 要区分掉， y 等于 k 二， x 加上 b 二就可以了，然后把这两个点带进去就行了。一个 y 取一百八十， x 带二，那就是二倍的 k 二加上 b 二，后面这个 y 带二百七十， x 就是 三点五倍的 k 二加上 b 二去解这个方程就行了。 呃，我把底下这块涂掉，把底下这块写写到这里，我们把第一个式子写作一式，第二个式子写作二式。我们还是按照我们刚才的先看这两个未知数，谁的未知数前面的系数是一样的， 我们会发现这个 b 二前面的系数都是一，所以说咱们就以 b 二为基础进行减就行了。咱们拿二式去减一式，先减等式的左边，左边是二百七十，减去一百八十，右面呢？拿这个二式，这个三点五 k 二加上 b 二， 减去上面的这个二 k 二加 b 二大括号左边二百七十减去一百八十，还剩下九十。右面呢？ 三点五， k 二减去二 k 二，那就是一点五 k 二，这个 b 二减去 b 二，那没了。所以说 k 二就等于九十除以一点五，这个九十除以一点五，我们可以这么算，一点五我们写成二分之三就等于九十乘以三 十，三十乘二等于六十，所以说 k 二就算出来了，等于六十，我们再把 k 二带到任意一个方程就行了。 k 二等于六十，如果我们假设我们往一式里带吧，那就是一百八十等于二乘以 k 二，二乘以六十，再加上 b 二，那 b 二一定就等于一百八十，我再减去这个二乘六十，减去一百二十，也等于六十，写出结果就行了。 结果是这么写的啊，在考试的时候过程写这样就可以了啊，解这个方程组得得数，所以说就可以写出，当 x 大 于二的时候，函数的解析式是 y 等于六十， x 加六十， 还要综上一下，因为说是分段函数吗？前一部分是这个样的，后一部分是这个样，说明白就可以了啊。后面说了，记者出发后多长时间才能到采访地啊？ 那咱们就想想多长时间才能到三百六十千米，这个从图中就可以看到，我取三百六十的时候，这不就到了吗？那具体得数是多少不知道，我得通过带入我们的方程去求解。带入到哪个方程呢？ 肯定是我们后面那个方程啊，因为我们这个方程的前后两边是不一样的，一个是 x 在 零到二区间内，一个是 x 大 于二的区间内，在刚才这个图中，我们明显的看出，当 y 等于三百六十的时候，所对应的 x 值肯定远大于二，所以说看过程怎么写啊？ 由图像可知，当 y 等于三百六十的时候， x 大 于。先把图像说出来，因为说出这个之后，你就知道我们得把，我们得把这个 y 带哪个函数， 所以说把 y 带到第二个函数， y 等于六十， x 加六十，所以说求解就行了，把六十挪过去，那就是三百等于六十， x x 就 得五了。 那么再写一个答话答，记者在出发五小时后到达采访地就搞定了。这个啊，有二中的解答。可以确定一中自变量的取值范围吗？当然可以，因为我们发现 x 是 自变量，他是大于等于零的，这个没问题。后面说 x 大 于二， 那大于二，我总是大于二，肯定不能无限的往后大，因为我到了一个地，我到目的地之后我就停了，所以说最长时间走多长时间就是五个小时，所以说 x 大 于等于零，小于等于五，这是最终 x 的 取值范围。 好，我们接下来来看练习题啊，改了这个一次函数的两个点，一个是负一，一让求解析式， 还是啊，先把这个函数解析式设出来，注意啊，把 k 不 等于零一定写到旁边啊，因为如果 k 等于零的话，它就不是个一次函数了，因该函数过这两个点，一五和负一一，所以说我就可以代入一个 y 取五， x 就 等于一， 一 k 加 b， 后面呢， y 取一 x 就是 负一，那就是负 k 加 b， 这个是二十。咱们再来算， 我们发现啊，这两个式子中当然可以相减，也可以相加，因为这个 k 前面是一，这个 k 前面是负一，只要把其中一个未知数消掉，这是我们的目的，所以说一式加二式就行了。 这个等式的左边是五，五加一等于六啊，两个 k， 一个加 k， 一个减， k 不 就没了吗？等于二 b， 那 b 就 等于三。 将 b 等于三，带入任意一个方程带入一吧，那五等于 k 加三，那 k 就 等于二。所以说最后解出答案，解得方程， b 等于三， k 等于二。 那么这个一次函数的解析式就是 y 等于二， x 加三。第二题也是一样的啊，我在前面这些过程就不说了，就是说设这个函数的解析式为 y 等于 k， x 加 b， 其中呢， k 不 等于零， 因为这个函数啊，过两个点，一个是九零，还有一个是二十四到二十，所以说代入分别是零等于九， k 加 b， 还有一个就是二十，是等于二十四， k 加 b 的 去求解这个方程，这是二十，然后我们拿二十减去一十，就可以得到二十是等于十五 k 的， 算出 k 是 等于三分之四的。 咱们还是老样子啊，将这个 k 等于三分之四，再带入这个一式中，缩减到 b 等于负十二， 最后结果 y 等于三分之四， x 减十二。这是我们第二题具体计算过程，大家可以根据我这个过程自己再去尝试计算一下啊。第三题，这是应用题了啊， 一个乘客乘坐某航空公司飞机的时候，购买了经济舱机票，这个图呢，是他所托运的行李的费用， y 与行李的质量 x 的 关系，问这个乘客可以免费托运行李的最大质量是多少？那想一想吧， 我们要想求这个免费托运行李的最大质量，就得找这个 y 为零的时候 x 为多少， 那 y 等于零的时候 x 为多少。这个点我不知道，我看不出来，图像中没给，那么我们就得把这个函数，我们就得把这个函数的解析式求出来就行了。 怎么求呢？先给他设出来，设行李费用 y 与质量 x 的 函数解析式。 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零， 正常写，因为这个函数我们过两个点，我们可以看出来，分别是这个二十五、九十，还有这个点是三十，一百八十，我们代入，代入到这个函数解析式之中，那就是二十五， k 加 b 等于九十， 再带一个三十一百八，那就是三十 k 加上 b 等于一百八十，多解就可以了 解得得数， k 等于十八， b 呢等于负三百六十。解析过程还是和刚才一样啊，我们用加减相减法， 把这两个未知数只要消掉一个，另一个就出来了，再把算出来的那一个的得数再带入到这个式子也行，这个式子也行，再带入到任一个式子中，就可以把第二个未知数求出来。是这么做的啊， 那有了这两个式子，我们就可以把函数解析式给表达出来， y 等于十八， x 减去三百六十。问什么问？我可以免费托运的最大质量，那也就是说 就是让我们求当 y 等于零的时候， x 等于多少，再把 y 等于零带入零等于十八， x 减三百六十， 那十八 x 就 等于三百六十， x 等于二十。所以说写答话，所以免费托运的行李最大质量为二十千克。好，往后走啊，这个题题二十三点二，首先来看复习巩固啊。 一辆列车以九十千米每小时的速度匀速前进，它的行驶路程 s。 关于这个行驶时间 t 的 函数解析式，并且画出这个函数图像看一看啊， 咱先把解析式画出来，然后再画函数图像，找到自变量和函数值，自变量是行驶时间 t， 函数值是这个路程 s， 接下来用自变量表示出这个函数值就可以了。自变量是 t， 那 s 就 等于多少 t 呢？ 速度乘以时间才等于路程了，速度是九十，这个时间是 t 啊，这么写出来就可以了，但是咱们要注意啊，我们在这里自变量它的取出范围时间 t 永远是比零大的，大于等于零就可以了。 接下来我们把函数图像画出来，但是我们发现这是一个函数正比例函数，我们取两个点，当 t 等于零的时候， s 就 等于零， 当 s 等于零的时候，不是我们得取两个点，我们一般取这个自变量为零和自变量为一的时候，当 t 等于零和 t 等于一的时候， s 等于零， t 等于一的时候，那 s 等于九十。这两个点分别是零、零和一到九十。画平面直角坐标系，在上面找点就可以了，这是 x， 这是 y， 零，零是原点。还有一个是一九十，一连就可以了。注意，我们要连 t 大 于等于零的部分，也就是说只能连这一部分， 不能往下延长，因为往下延长 t 就 小于零了，就不在这个范围区间里了啊，我们继续往下看看这个第二题啊， 这个 y 等于负五， x 的 图像经过第几象限，经过哪个点和哪个点？ y 算 x 增还是怎么着？咱把这个函数图像画出来，根据这个图像来去说就可以了，比之前咱们说的那个 g 要强很多啊。 y 等于负 x， 就是 让 x 等于零和 x 等于一，找 y 的 值就行了。找到这两个点， x 等于零的时候， y 等于零， x 等于一的时候， y 等于负五，所以说它过两个点，分别是零零和一对负五， 零零在这了，负五在哪了呢？负五在这一负五，所以说点在这。画完图像就这个样了， 说这个图像经过第几项线，一二三四经过的是第二项线和第四项线，经过哪两个点呢？分别是零零， x 取零吗？还有哪个点？ x 取一的时候， y 等于负五，一负五和零零吗？ y 随 x 的 增大， x 增大， y 是 减小的。接下来我们来看第三题，第三题分别画出下列函数的图像。首先来看第一个， y 等于四， x， 它是一个一次函数图像，一次函数图像取两个点就行了，一个是 x 等于零，一个是 x 等于一， x 等于零， x 等于一的时候， y 等于四。过两个点分别是零零和一四，把这两个点画出来就可以了。一四，这是 y 等于四， x 加一，你当然也可以通过将 y 等于四 x 进行平移也可以得到。还有一个也是取两个点吧， x 等于零， x 等于一， x 等于零的时候，他过哪个点是 y 等于一， x 等于一的时候， y 就 等于五了，他必过的两个点是零一，还有一五，零一在这了，一五在这了，一连就行了。 也是可以发现这个红色的 y 等于四， x 加一，他就是这个蓝色往上拼一个单位吗？ 后面这个 y 等于负四， x 加一和 y 等于负四， x 减一，其实这个负四 x 加一，就是把这个负四 x 减一，向上拼两个单位嘛。 但是我们还是说咱们把取点可能更好画一点， x 等于零和 x 等于一的这两种情况， x 等于零， y 等于一， x 等于一的时候， y 等于负三，第一个他必过零一，还有必过零负三啊，找这两个点，一个是零一，一个是一，负三， 零一在这了。还有一个一负三，这是一底下，这个是负三在这了，这两个点一连，这就是 y 等于负四， x 加一，咱们再找这个 y 等于负四， x 减一，还是 x 等于零， x 等于一，这两个情况， x 等 x 等于零的时候， y 等于负一， x 等于一的时候， y 等于负五。过两个点，一个是零，一个是负一，还有一个是一，一个是负五，零负一在这了，一负五在这了，连这两个点就可以了啊。 这是 y 等于负四， x 减一，这样就把图像画出来了啊。我们看第四题，如图，求图中直线所对应的函数解析式。还是我们可以发现这个函数图像过了两个点，我能看出来，一个是这个点，这个点是零六， 还过这个点，这个点是负三零。把这个函数解析式设出来就可以了。设函数解析式为 y 等于 k， x 加 b， 其中这个 k 不 为零。一定要写啊，因为这两个函数过这两个点，过零六，还有负三零，我们把这两个点代入就行了， y 带六， x 带零，那那六直接就等于 b 了，因为 k x 这一项就没了。负三零， y 带零， x 带负三，那就是负三 k 加 b， 这样我们直接对第二个式子求解就行了，因为 b 等于六嘛，零等于负，三 k 加六， 然后把负三 k 挪到等式的左边来，那就是三 k 等于六 k， 它得等于二 k 等于二， b 等于六，那 y 就 等于二， x 加六啊。当然，我们在这里顺手写一下，写一下方乘最后结果吧，点个解得解得 b 等于六， k 等于二，直接写方程解析式就是 y 等于二， x 加六就可以了。 是我们的第五题。已知这个一次函数图像经过这两个点，前面这些套话就不说了，得把这个解歧式设出来，设 y 等于 k， x 加 b 啊， k 不 等于零。 后面呢，咱们继续写这个函数的解歧式，因为过两个点吧，把两个点代入就行了，九等于负，四 k 加 b， 还有一个是四等于六， k 加 b， 然后代入求解就行了。指这个是二式，我们拿这个二式去减去这个一式就行了。先减等式的左边，四减九等于四减九等于负五， 这面是六 k 加 b， 减去括号，负四 k 加 b， 那 负五就等于六 k 加 b 减去负四 k， 那 就是加上四 k 减 b 减 b 减 b 就 没了。六 k 加四 k 就是 十 k， 它等于负五，那么 k 呢？就等于负的二分之一，然后把 k 等于负二分之一，再带入上面任意一个式子就行，算出来 b 等于七。最后解析式是 y 等于负二分之一， x 加七， 然后再画函数图像就可以了。还是啊，这是一个一次函数，一次函数，我们只取两个点就行了， x 取零和 x 取一， x 取零的时候， y 等于七， x 取一的时候， y 是 等于负二分之一加七的。将七行通分，七是二分之十四，减去二分之一，等于二分之十三，过这两个点一画图就行了。零七在这了，一，二分之十三在这了， 二分之十三一定是比这个七小的啊，在这一连一画就可以了啊。看第三问，判断二五是否在这个一次函数图像之上。如果说二五在这个一次图像之上，那么二五一定是满足于这个一次函数的解析式的。 所以说我们把这个 x 等于二代入，看看代入之后，这个 y 是 不是得五就行了。解析式长这个样， y 等于负二分之一， x 加七，那 y 呢？就等于负二分之一乘以二加上七，负二分之一 乘二，那就等于负一。负一加七等于六六，跟这个五它并不相等，不等于五，所以说不在这一次函数图像之上，这样就搞定了啊。 接下来我们来看这个第六题。第六题将一次函数图像向上平移两个单位长度，那不就是 y 等于负二， x 加一，往上平移就是加加，那就是负二， x 加三，这是往上平移啊， 往下平移呢，那就是 y 等于负二， x 加一，在它的基础上减三嘛，那就等于负二， x 减二。好，这是我们的第六题，找到了第七题，说了有三个点，都是这个直线上的点， 比较外一、外二、外三。我们可以观察到啊，这个直线是一个一次函数，一次函数中这个 k 是 等于负十三，负十三小于零， y 随 x 的 增大而减小，这道题跟 b 一 点关系都没有，所以说不用考虑 b 啊， 只要通过 y 和 x 的 关系就行了。 y 随 x 增大而减小，那我只要比较这几个哪个 x 大， 哪个 x 小 就行了。看这个啊，负三是最小的， 小于负一点三小于二，负三所对应的负三所对应的函数值是 y。 二、负一点三所对应的函数值是 y。 三， y 随 x 增大而减小，也就是说 x 越大， y 反而越小。所以说咱们应该是这样的， 这样就找到了 y 一 y 二 y 三的大小关系啊。咱们来看看第八题啊，这个题怎么做？当 b 大 于零的时候，这个函数图像经过哪几个象限？ b 大 于零，就是将 y 等于 x 这个函数图像往上平移。想一想啊， y 等于 x 这个函数图像长这个样，如果将它往上平移，那平移完之后就长这个样了。肯定过第几项线？一、二、三，过第四，一、二、三项线。看啊。第二个，当 b 小 于零的时候， y 等于负 x 加 b 经过哪几个图， 经过哪几个象来看第二个，当 b 小 于零时， y 等于负 x 加 b 经过哪几个象限？还是啊，画一个平面直角坐标系，因为 b 小 于零，所以而前面这个负是 k 是 小于零的。 k 小 于零的时候， y 随 x 的 增大而减小，所以说是减的。长这个样就是 y 等于负 x 将他的基础上往下平移，平移完之后不得长这个样吗？或第几象限呢？二三四，这三个象限。第三个，我们发现这个 k 是 第三个，我们发现他，此时 b 确定了，要求我们找这个 k， 如果 k 是 大于零的，那 y 随 x 增大而增大， 在外随 x 增大而增大的前提下，还往上平移，那不就得长这个样吗？那他就是过一二三项线。最后一个，当 k 小 a 零的时候，首先我们知道啊，他是往上平移，因为是加一嘛， 而且他还是外随 x 的 增大而减小的，减小还加一长这个样。过第几项线？一二四，过这几个项线。这是我们的第八题，接下来我们来看第九题。 第九题，某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，居民每月应缴水费外是用水量 x 的 函数，如图所示， 分别求出当 x 在 零到十五和 x 大 于十五的这两个范围内。关于 x 的 函数解析式。首先来看第一个啊， 当这个 x 小 于等于十五，大于等于零的时候，我们会发现这个函数他过这两个点。咱们先把函数解析式设出来， y 等于 k 一 x， 因为他是过原点的，过原点的他就是正比例函数啊，所以说不用写 b 了， y 等于 k， x， k 不 等于零就行了。 过哪两个点呢？因为这个直线过零，零因为原点吗？零零还过这个十五六十，所以说满足两个解析式，分别是零等于零，还有一个就是六十等于十五， k 一 求解出来 k 一 的值是四，那么他就满足解析式， y 等于四 x。 第二个解析式还是啊， 先把范围写出来， x 大 于十五，把这个解析式设出来， y 等于 k 二， x 加上 b 二，其中 k 二不等于零。过哪两个点呢？过这个点和这个点，第一个点是十五六十，第二个点是二十九十，所以说代入就行了， 六十等于十五， k 二加上 b 二，九十等于二十， k 二加上 求减方程，这个方程是一号方程，这个方程是二号方程。我们拿这个二式减去一式就行了。先解等式的左边九十减六十得三十，等式的右面二十减去十五，那就是五倍的 k 二， b 二都减没了，所以说 k 二就等于六， 把 k 二等于六带入到一式之中，那六十等于十五乘以 k 二是六，再加上 b 二， 那么 b 二一定就等于六十。减去十五乘六十五乘六是九十，所以说 b 二就等于负三十，那这个方程长啥样？ y 等于六， x 减三十，因为我们算出来， k 二是六， b 二是负三十。 搞定了，后面当然还要写一个综上所述啊， 我写到这里吧。综上，当 x 小 于等于十五，大于等于零的时候， 它满足于这样的解析式， y 等于四 x， 当 x 大 于十五的时候，它满足于哪样的解析式呢？六 x 减三十。好，这是我们的第一问，接下来我们来看第二个啊，说了月用水吨数是九吨，应缴纳多少元的水费，我们可以观察到啊， 当他的月入水量，我们可以观察到，他的月用水量是九吨，九吨在这一块里了， x 在 零到十五之间，所以说咱们得带第一个方程， y 等于四乘九，等于三十六啊，所以说应缴纳水费三十六元，说某月缴纳水费一百零二元，一百零二元，看 y， y 的 一百零二肯定是 x 在 大于十五的时候，所以说咱们得带第二个式子啊。 那么一百零二，因为 y 所对应的就是水费嘛，等于六， x 减三十，把三十挪过去，六 x 等于一百三十二，那么 x 等于多少呢？一百三十二除以六，得数是二十二， 这个月用水的吨数就是二十二吨。后面再补答话就可以了。第十题，已知 y 与 x 加 b 成正比例之 y 与 x 加 b 正比例关系，给出了我们过的两个点，让我们求外关于 x 函数解析式， 因为 y 与 x 加 b 成正比例关系，那么 y 一定就等于 k 倍的 x 加 b， 因为与谁成正比例关系，谁前面加个 k 就 满足于这样的式子。但是后面我们别忘了， k 不 等于零， 过哪两个点呢？因为啊，函数过负三零啊，这不 x 等于负三， y 等于零吗？还过二负十这两个点。所以说我们可以代入，一个是负三零， 那就是零等于 k 倍的负三加 b。 另一个式子，负十和二 k 倍的二加 b， 看看我们此时应该怎么做啊。 这两个式子，我们先将它拆开吧。第一个式子是零等于负三 k 加上 kb。 第二个式子是负十等于二 k 加上 kb， 这是一式，这是二式。我们看这面啊，这是二式， 我们拿这个二式减去一式吧，等式的左边就是，剩什么呀，负十减零还得负十。 等式的右边就是二 k 加上 kb 减去，因为减负三嘛，那就是加三 k 加上 kb 就是 减 kb 啊，减完了负十等于五 k 呢，很容易就可以算出来， k 等于负二， k 等于负二，把 k 等于负二带入到任意一个市里。我们假设啊，带入到一市里面， k 等于负二，那么 b 就 等于三，因为不管 k 得什么值，要想让这个式子它得零，那负三加 b 一定得等于零，那么满足 y， 关于 x 解，其式就是 y 等于负二倍的 x 加三，将它化简，等于负二 x 减六， 这是 y 关于 x 的 解析式是负二 x 减六。接下来我们来看第二问，若 y 这个函数值的取值范围是这么多，求 x 的 取值范围， 那么 y 是 小于二大于负四的，它还等于负二 x 减六，所以说负二 x 减六，它是小于二大于负四的。 此时啊，咱们就来解这个不等式组，把这个不等式分成两部分，一个是负四小于负二 x 减六，还有一个是负二 x 减六，是小于二， 依次来解啊。第一个负二 x 减六，它是大于负四的，那把这个负六挪过去，那他就得是大于负四加六，大于二 x 负 x 等式的不等号不用发生改变， 两边同时除以二，负 x 大 于一，那此时我们得两边除以负一了。除以负一等式的不等式的，这个不等号就得发生改变。 x 小 于负一。 第二个式子也是一样的，负二 x 小 于，把负六挪过去小于八，那么再除以二，负 x 小 于四， x 就是 大于负四。所以说 x 取之范围就是 x 小 于负一，大于负四。 后面这个信息技术与应用还是老样子，大家可以自己去探索。下个视频我们来讲解一下第二十三章第三节依次函数与方程组和不等式之间的关系。
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03:53查看AI文稿AI文稿好，各位家长同学，今天我们继续讲解一次函数的相关内容啊，帮助大家在这个五一假期呢，能够对学校将要学习到的难度更大的一些内容进行一个整理。 我们今天要讲的是一次函数的一个对称啊，就是这个直线在平面直角坐标系统发生的对称啊，我们只需要了解三种不同的对称就可以啊，举个例子啊，这是 y 等于二 x 加一啊，就以这个函数图像为例，随便画的啊， 求焦点坐标啊，要熟练啊，比如这个与 y 的 交点，就是以 x 为零啊，就是零一，是不是与 x 的 交点，那就是以 y 为零，是不是负二分之一啊？零啊，对不对？好，我们现在题目就这么来问啊，说这个 y 等于二 x 加一这个图像啊， 它关于 x 轴和对称之后的一个图像提示，它关于 x 轴对称，对称之后的一个图像提示是怎么样的？好，我们来画一下它关于 x 轴对称应该是怎么来画，是不是这么来的？ 对，这就是对称轴的一个图像啊，我们用虚线表示啊，我们怎么去画这个图像呢？很简单，你就在原来的图像上面任取两个点，对不对？做这个点关于 x 轴的对称点吧，然后再去想点， 是不是就是对称之后的图像啊，这不就理解了这个图像啊，就这个直线的对称，其实本质上就是点的对称。好，我们联想一下，点的对称是怎么样的啊？比如这里有一个 p 点 a b， 它如果关于 x 的 对称，它变成了什么样？ 是不是变成了次 p a 负幺横坐标是不变的，中轴表变成相反数了，或者这里面有 a b 表示，我用 x 来对不对啊？那这就是 x 负幺是不是？好？所以我们就想到了， 既然你这个点的对称点关于 x 轴对称，是横坐标不变，中轴变成上半处，那么图像是不是也是一样的？那我所以它对称之后的一个图像解释，我们怎么写？直接 x 不要去动它， y 呢，变成负 y 啊，所以对称之后就是 x 不 变啊， y 变为负 y 是 不是？好，我们来试一下，就是负 y 等于二， x 加一啊，再整理成我们想要的形式啊， y 等于负二， x 减 e 啊，所以你看这个 y 等于二， x 加一，它关于 x 轴对称就变成了 y 等于负二， x 减 e 啊。由此我们就得到一个结论， y 等于 k， x 加 b 啊，这个一函数，它如果关于 x 轴对称， 那对称之后的一个解析式呢？我们直接把 k 和 b 都变成相等数就可以了啊，那就是 y 等于负 k， x 减 b 对 吧？啊，这个结论还比较重要，大家可以稍微记一下啊，或者就直接记住这个原理啊，但是横坐标不变，纵则变，减去， 那同样的，到底如果是关于 y 轴对称呢啊，我们就不画图了啊，大家看 y 等于二， x 加一这个函数啊。图像，如果关于 y 轴对称， 那是什么样的情况？我们点关于 y 轴对称，是不是纵坐标不变，横坐标变小，所以你这个也是一样的，关于 y 轴对称，我们就 y 不 动不变是吧？ x 呢？变为负 x 是 不是好来 就是 y 等于负二， x 加一了啊，这就是关于 y 的 对称的函数。好，还有一个，如果关于圆点对称呢？我们再看一个关于圆点对称， 我们知道关于圆点对称的话，这个点的横坐标和纵坐标都要变成相反数啊，所以这也是一样的，我把 y 变成负 y， x 也变成负 x， 是 不是啊？ 那就变成了负 y 等于负二 x 加一啊，整理一下就是 y 等于二 x 减一，是不是？好，整个关于具体的一个内容我们就讲完了啊，希望对大家能有所帮助。好，我们下期再见。
04:07查看AI文稿AI文稿这种意思，函数与等腰三角形存在性结合的问题，一定会在我们期末当中出一道压轴大题，那其实这种存在性问题咱们解析是有技巧的，今天依依老师教大家三步轻松搞定。 那有关于我们一次函数这里常考的题型，老师给大家做了一个系统的总结，一共有十大类，如果咱们孩子对于这种复杂的函数压轴题还经常没有思路，不知道该从何入手的话，家长们一定要先带着孩子学方法，然后同源精练 学透一类题，就相当于让我们的孩子少刷一千题啊。下面咱们就来一起看一看这道题目。 在平面直角坐标系当中， ab 的 解析式告诉你了，与 x 轴交于点 b。 好 了，现在啊，第一个让你求 ab 的 表达式和 a 点与 y 轴交点的坐标白给你分了，因为点有了坐标，这个解析式有了，直接代入就可以求出解析式了， 所以这里 ab 的 解析式我们直接就可以求了，直接咱们对答案是负的三分之一， x 再加一， 那直接令我们对应的啊， x 等于零，就可以求出它与 y 轴的交点了，哎，与 y 轴的交点不就是哎对应零逗号一吗？对不对？ 那 a 点和 b 点对应的坐标咱们都已知了，咱们主要看第二个问，当 a p b 为等腰直角三角形的时候，哎，直接写出点 p 的 坐标，那他是等腰值，他说没说，谁是那个直角， 他没说。所以你必须讨论当 a 为直角， b 为直角， p 为直角的三种情况，那根据我们讨论出的三种情况，可以分别画图，哎，这个是 p 为直角， a 为直角，同样在这里 b 为直角的情况，如果是 a 为直角，因为它是等腰值，等腰值一定出什么一线三垂直啊，对不对？所以有了对应的等腰值在这咱们就可以找到左右两侧的三垂直全等， 对不对？ a 点是零逗号一，这是一，这是三，所以这就是三，这是一，这个屁点的坐标画出图直接就可以求答案，是多少啊？ 一四，对不对？同样这里也比较容易，因为这还是一个三垂直模型，这是一，那这就是一，这是三，这就是三，那屁点的坐标不就是四逗号三了吗？ 主要是第一种情况，这个时候他是怎么来的啊？咱们这两种情况都可以根据两垂直来去 去做那个直角的顶点，但这种情况直角怎么来的？他其实是应用了我们圆的性质，叫做直径所对的角为直角啊，直径所对角为直角， 所以在这里面，咱们把 p 点画出来之后，求 p 点的坐标就容易了。还是一样，我们可以构造三垂直，向 p 点左右两边 x 轴、 y 轴做垂线。由于我们在这个图当中啊，三垂直在哪呢？ 是不在底下呀，对不对？所以我完全啊就可以把这一段的长度给设出来，假设它是 a， 可不可以？那由于这一段的长度是三，所以这一小段的长度咱们就可以做出来啊，是多少呢？是三减 a， 看没看见 好了，那这是 a， 这是三减 a， 这是三垂直，对应边相等，这两边相等，这是不是就是 a 呀，对不对？所以你会发现，哎，这段的长度咱们就可以表示出来了，因为这是三减 a， 这也是三减 a， 这是一呀。 所以你会发现这道题的等量关系就出来了，我们想要求 a 的 值，是不是可以利用？嗯，对应这两边相等去求啊。左边这一边它的长度就是三减 a， 再加一嘛， 对吧？右边这一边的长度不就是 a 嘛，所以求 a 的 值就行了。二， a 等于四， a 的 值不就等于二了嘛。 a 等于二，那屁点的坐标就有了，不就是二了嘛。 所以像这种题目咱们一定要注意啊，分情况讨论之后，遇到我们对应的等腰值出三，垂直构造全等，利用边角关系相等，就可以快速的求出答案。
498依依老师da数学
00:53查看AI文稿AI文稿我们一起来认识一下一次函数，好，一般的形如 y 等于 k， x 加 b， 其中 k， b 是 常数， k 等于零的函数叫做一次函数。其中 x 是 自变量，在特殊的情况下就是 b 等零时，它可以写成 y 等于 k， x 这种形式的函数呢，叫做， 叫做正比例函数。其中 k 呢，叫做比例系数。这是我们对一次函数的一个定义。那么举些例子帮助大家来区分， 像第一个可以满足外等于 k x， 它是一次函数，也是正比例函数。第二个对于这个 x 呢，是在分母上，它不能叫一次函数啊。第三个，这个属于一次函数， 也属于正比例函数，因为二 pi 呢，相当于它的这个比例系数是 k。 然后第四个，这里有平方，所以它不是一次函数。最后这个经过化解，我们可以得到二 x 减八，它属于一次函数，但是不属于正比例函数。
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12:49查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百二十四页习题二十三点二的六、七八九十题。 第六题，将一次函数 y 等于负二， x 加一的图像向上平移两个单位，能得到哪个函数图像？那向下平移三个单位长度呢？这个，嗯，平移啊， 上下平移，他就是在这个 b 这个位置加减，向上为加，向下为减，所以他第一次呢，是向上平移两个单位，那也是你的正一要加二，那么你的函数解一式就应该是负二 x 加三， 那么第二个呢，他是向下平移，那就在正一这减三。所以呢，他得到的解一式应该是 y 等于负二， x 减二 啊，这个是平移，记得上下平移是那个 b 上加减啊， b 上加减，因为 b 决定了与 y 轴的交点位置 啊。那么第七小题说，已知负一点三，负 y 一 负三，负 y 二二负 y 三是直线， y 等于负十三， x 加 b， b 为常数的三个点 啊，是比较 y 一 y 二 y 三的大小。那这道题考察什么呢？考察的是增减性啊，也就判断你的 y 的 值是谁大谁小。 那么你的增减性由谁决定？由你的 k 决定啊。所以说呢，因为你的 k 等于负十三，它是小于零的，那我们可以判断出你的 y 是 随 x 的 增大而怎么的而减小， 是这意思吧。然后呢，又因为你的这个，呃，这三个 x 值看啊，是负三小于负一点三，又小于二， 那你看 y 随 x 的 增大而减小，你 x 越大， y 反而越小，你的 y 越小， x 反而越，怎么样 越大。所以你负三对应的 y 二应该是最大的啊，越小的越大，他应该大于 y 一， 然后大于 y 三 啊，这就是你的第七题。那么第八题说，当 b 大 于零时，函数 y 等于 x 加 b 的 图像应该经过哪几个象限？哎，这个经过象限呢？咱们说了，他一共有这么两个点，第一，你的 k， 你的这里的 k 是 一，一是不大于零。一大于零的话，他就应该是经过一、三相线， 那你的 b 也大于零，那么你想他得往上平移，在 y 等于 x 基础上往上平移，平移他往上，那你想上面除了一，是不还有二，所以他经过 一、二、三。或者你用我们的顺口溜，这个是正的，他大于零，这也是正的。大于零，大于零是正的吧，那叫大，大不过四，所以经过一、二、三。 那我们看第二个，他说 b 小 于零时， y 等于负， x 加 b 的 图像经过几，那我们可以用顺口溜啊，这个 k 是 小于零的， 小于零，这是小，那 b 也是小于零的啊，他，呃， b 不 小于零的吗？也是小于零的，他也叫小，那叫小，小不过几啊。小，小不过一，不过一就过几啊， 二三四啊，你看顺口溜对不对？那么你这个 k 小 于零， k 小 于零的正比例是 k 小 于零数二、四，然后你 b 小 于零往下走， 那么下面除了四，还有三，所以是过二、三、四。那我们看第三个，当 k 大 于零时， y 等于 k， x 加一的函数图像经过哪几个象限？那你想 k 如果大于零，那就经过一、三了，这个也大于零，那你想上面除了一，还有几啊？ 还有二，所以它经过一、二、三，那么也可以用顺口溜，这叫大，大不过四。哎，那小于零的，这个是经过二、四，正的往上， b 大 于零是往上，上面除了二还有一，所以应该经过一、二四。 那用顺口溜也行啊，小大不过三啊。这个是第八题， 然后第九题，某自来水公司啊，为了鼓励市民节约用水，采取了分段收费的标准，居民每月应缴 缴水费 y 与用水量 x 的 函数，其图像如图所示。哎，你看这里边分段计费，你看见没？前面啊，零到十五这段是一个，然后比十五大的又是一段，所以这叫分段计费。 那么第一个叫分别求出当 x 大 于等于零，小于等于十五时和 x 大 于十五时， y 关于 x 的 函数解一式， 那咱们都知道它是经过，它是有两段的，对不对？所以我们在设解一式的时候啊，一定要分两段来设，那我们观察第一段，零到十五这段，它是经过原点的，所以它应该是一个正比例函数。 那么第二段呢，它不经过原点，你看到吗？所以呢，它应该是一个一次函数。所以说这个地方呢，你设的时候要注意啊， 来，咱们在这写啊，第一个，嗯，我们来设一下啊，当 x 大 于等于零，小于等于十五时，设函数解析式为 y 等于 k 一 x， 那 么为啥写 k 一， 因为这里头有两个 k， k 是 不相等的啊，所以呢，设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零。然后呢，我们找一组点的坐标，你看这里就一个系数 k 一， 所以只需要一个点的坐标往里带就可啊，那你的这个端点是不是十五到六十，对吧？那么我们就可以说，嗯 嗯，当 x 等于十五时， y 等于六十，代入得， 那么也就是十五， k 一 等于六十，所以 k 一 应该等于四啊。所以你的这个函数 曲折范围跟上，当 x 大 于等于零，小于等于十五时，函数 解析式为， y 等于四， x 啊， y 等于四 x， 这是第一段。那么第二段，当 x 大 于十五时，我们来设这个函数 解析式为， y 等于 k 二， x 加 b， 其中 k 二不等于零。那这时候呢，我们得选两个点的坐标往里带了，因为它是要两个系数，一个 k 二，一个 b， 所以 两组点的坐标往里带啊。那我们可以说，因为图像经过 这个十五到六十，还有二十到九十啊，所以你的十五 k 二加 b 等于六十二十， k 二加 b 等于九十，皆得 k 二等于 b 等于二是减一是五， k 二等于三十， k 二等于六， k 二等于六，这个是九十，所以它是负三十啊，负三十，嗯，所以我们最后 那个，当 x 大 于十五时，这个函数解析式为， y 等于六， x 减三十啊。这是第一小题。那么第二小题说，若某用户某月用水九吨，应该缴纳多少钱？九吨是不是 x？ 所以呢，你就写，当你的 x 等于九十，你的 y 应该等于的是， 嗯，九是不应该在零到十五之内，所以代入到你的 y 等于四， x 也是四乘九等于三十六啊。那么第二个呢，说当某月的缴纳水费一百零二元时，那不就是当你的 y 等于一百零二十吗？ 那你的 y 等于一百零二呢，就是六， x 减三十等于一百零二，所以呢，你的 x 应该等于，嗯，加三十一百三十二，那就是二十二呗，二十二吨。然后你就可以答了，答啊，应缴水费 三十六元，然后用水二十二吨啊，这个是第九题，那我们看第十， 第十题他说已知 y 等于 x 啊，不是 y 与 x 加 b 成正比例关系，然后并且呢，你的 x 等于负三十， y 的 零， 你的这个 x 等于二十， y 等于负十，然后让我们求 y 与 x 的 函数解一式，那么这里边他已经说了他与 y 与 x 加 b 是 正比例，对不对？所以我们设就应该设正比例函数解一式来，我们写括号一解， 设这个函数解析 式为 y 等于它与谁呀？与 x 加 b 成正比例对吗？那么我得代比例系数，这个 x 加 b 属于自变量啊，其中 k 是 不等于零的， 然后将你的 x 等于负三， y 等于零， x 等于二， y 等于负十，代入得两组啊， 负三，那就是，嗯， k 括号负三加 b， 然后等于零，然后那就是 k 二加 b 扩回等于负十，然后解得 k 等于 b 等于。那我们来求一下啊，拿个验钞纸纸呢？ 乘法分配率负三， k 加 kb 等于零，二， k 加 kb 等于负十，然后用一四减二是负五， k 等于十， k 应该等于负二， k 等于负二的话，那么你的二加 b 就 等于五，所以 b 应该等于三啊，所以呢，你的函数 解析式为 y 等于负二，括号 x 加三啊，即 y 等于负二， x 减六啊， y 等于负二， x 减六，这是最后的那个函数解一式啊 啊，第二问，他说若负四啊， y 大 于负四小于二，求 x 的 曲值范围， 求 x 垂直范围，那么我就那你想这个是 y， y 是 不等于负二 x 减六啊？那我把直接把它带进去呗，是不是因为 y 是 大于负四小于二的，所以呢？你的负二 x 减六大于负四小于二会解不等式。不 啊，左右两边同时加六负二， x 大 于二小于八，然后三面同时除以负二，那就是 x 这头过来大于负四小于负一，所以最后你的自变量 x 取出范围就是它。
82讲数学晓红老师
01:53查看AI文稿AI文稿欢迎来到动物城车管所，今天可是个大日子，看看咱们的树懒兄弟闪电为了不拖后腿，这家伙竟然加班到了凌晨！功夫不负有心人，九点钟准点打卡时，他的桌子上已经躺着整整两百四十份盖好章的文件了。 再看看刚来帮忙的朱迪警官，活力满满。不过呢，他的业绩目前还是个大光头。零分起步， 九点一到，较量正式开始！闪电依然保持着他那令人窒息的稳定节奏，以极度平稳的慢动作，每分钟只能盖好一份文件。而咱们的奋斗兔朱迪呢，简直是开启了狂暴模式， 这手速快的离谱，他每分钟能神速处理完四份文件！一个是加班盖了两百四十份的闪电，一个是零分起步但每分钟能狂刷四份的朱迪同学们， 如果他们俩一直保持这种速度工作下去，你们猜猜到底需要多少分钟，朱迪桌上的文件总数才能精准地追平闪电呢？ 一般的形容 y 等于 k x 加 b 的 函数叫做以此函数，其中 k 和 b 是 常数，且 k 不 等于零。 特别的，当 b 等于零时， y 等于 k x 加 b 既 y 等于 k， x 形容 y 等于 k x， 其中 k 是 常数， k 不 等于零的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。
08:59查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百一十六页习题二十三点一。 嗯，第一题，下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？那我们看第一个 y 等于负的零点二 x， 那 么它应该是形如 y 等于什么？ k， x， 对 吗？啊？一共两项，然后自变量和函数都是一次。所以呢，它应该是既是正比例函数， 也是一次函数。因为正比例函数属于特殊的一次函数啊，它是正比例的，就一定是一次。那么第二题，我们可以把它整理一下， y 应该等于负三， x 减三，那么你看一二三三项， x， y 都是一次，所以呢，它应该是一次函数，那它是正比例吗？它不是啊，它是一次函数，不是正比例函数。 第三个， s 等于派 r 方，那 s 和 r 是 变量，然后呢，你的 r 是 自变量，那但是呢，你的 r 是 什么二次方，那就不行了，所以它既不是 正比例函数， 也不是一次函数。 那么第四个 y 等于二分之 x， 我 可以给它变一下，变成二分之一 x 啊。所以这个呢，应该是形容 y 等于 k， x， 你 看，这是姊妹俩，这是它的 k， 是 吧？所以呢，它既是 正比例函数， 也是一次函数 啊。然后第二题，用函数解析式来表示下列问题中的 y 与 x 的 关系。 第一个，一个长方体的长是两厘米，宽是一点五厘米，高是 x 厘米。问，他的体积啊，那他的体积 y 是 不是应该等于长乘宽乘高，二乘一点五乘 x， 所以呢，你给他整理一下，就是 y 等于三 x 啊， y 等于三 x， 这是第一个。那么第二个，他说某水箱里有水十升，以零点五每分的速度开始往外放水，看啊，说放水时间为 x 分 钟，那么剩余水两 y， 那 你说原来有十升，那么越放是不是越少？ 所以呢，你的 y 应该等于十减去零点五 x 啊，十减去零点五 x， 这是第二题。 那么第三题说，若 y 与 x 成正比例，且 x 等于二， y 等于八，写出 y 关于 x 的 函数解析式，并求 x 为和值时， y 等于 负四。那实际上这道题呢，就是已知了 y 和 x 为正比例关系，而让我们求它的函数解析式。所以这个呢，我们有一个名称叫做待定系数法。 所以说呢，他题里如果给你这个解析式了，让你求代定系数，就是求你的 k 啊，那你就直接把你的 x y 带进去就可以，但是这里面呢，你连函数解析式也没有。所以第一步我们得先设 设啊，你的 y 与 x 的 函数解析式 为 y 等于 k， x， 它不是正比例吗？然后 k 不 为零。强调一下啊，它不是正比例吗？ y 等于 k， x， 然后 k 不 为零，然后将你的 x 等于二， y 等于八代入， 将 x 等于二， y 等于八代入得，那么你的二 k 应该等于八，所以 k 应该等于四。所以呢，你的函数解析式啊， y 关于 x 的 函数解析式 为 y 等于把你的 k 给我带回到你。在这个解一设的解一式里，那就是 y 等于四 x， 这是第一个小问解决了。那当 x 为和值时， y 等于负四，那也是当 y 等于负四时， 那你的四 x 应该等于负四， x 应该等于多少， x 应该等于负一啊，所以这个题就解决完了。那么第四题说某银行一年期存款利率为百分之一点五， 嗯，既存入的本金为 x， 一 年到期时的本息和为 y 啊，注意，这个词叫本息和，就是本金加利息。那我的写出 y 与 x 的 函数关系式，那么 y 应该等于 本是 x 加 c 是 本金乘利率再乘以存期一年。所以呢，你可以整理为 y 等于 x， 加上 零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 所以 最后的解式应该是这个 啊，这些都是我计算过程啊。那么第二个，存入一万元一年七十的一年到期时的本息和多少？那你存入的本金为 x 吗？所以令你的 x 等于多少？一万呗。写，当第二问啊，当 x 等于一万时， 你的 y 应该等于一零一五零。 咱迈一步也行，一点乘一个一万等于一零一五零啊。这么写，然后答，本息和为 一零一五零元啊，这慢一点。然后第五题说学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包呢，六十元。张华现有积攒的零花钱是四百八十元，即他用零花钱捐献的书包 数为 x 个，剩余的钱为 y。 第一个呢，是要求我们写出 y 关于 x 的 函数解析式，以及自变量 x 的 区域范围。 那你想往外捐，是不是你剩的钱就越来越少？所以 y 应该等于从你的总钱数里边减去你书包的钱，那就是六十 x 啊， 这个呢，就是你的函数解析，那你的自变量 x 呢？你想我剩的啊，我这个 y 是 不是剩的钱？我剩的钱能为负吗？不能吧啊，因为 y 得大于零，所以你的四百八十减六十， x 得大于零，所以呢？捷德，你的 x 应该小于等于八 啊。然后你的 x 是 书包的数量，又因为 x 得大于等于零，所以最后你的 x 取出范围是大于等于零。小于等于几啊？ 小于等于八啊。然后你的书包数他不可能为分数，就是二分之一个，三分之一个数都都不可能。那我们强调一下， x 为什么数 为整数啊？这就是括号一。那么括号二是说至他至少要留一百八十元购买课外书，问你他最多能捐献多少个书包？那我剩下这个一百八不就是剩下的钱吗？ 是不是？那意思就是我要 y 得大于等于一百八，至少为一百八。那我 y 是 不是就等于四百八 减六十 x 啊？那么解，这个不等四十五呗，不等四呗。所以是负六十。 x 大 于等于负三百，所以 x 小 于等于几？小于等于五。所以答 啊，这块再写一个啊。不用啊，因为他已经在这个范围当中了哈。所以呢，他最多 能捐献五个书包 啊，小于等于五，最多就是五个。
99讲数学晓红老师
06:36查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到八下及中考依次函数小综合专题视频，本期内容分为上下两部分，大家可以按需观看。 大家好，依次函数是八年级下册的核心考点，也是北京中考数学的必考题型。今天我们聚焦小函数这道综合题，疏理解析式、图像性质、方程不等式，结合 实际应用等高频考法，用典型例题带你吃透思路，稳拿分数。那么在做一次函数小函数这道综合题之前呢，我们要清楚啊，那么这一类题型它主要到底是考察我们什么？那么实际上它就是考察我们一次函数图像的核心性质。 那么在此之前啊，我们就要先重点梳理一次有关于一次函数图像的核心性质的相关知识点， 尤其是 k 和 b 对 图像的影响。好，首先，我们明确，依次函数的基本表达是 y 等于 k， x 加 b， 其中 kb 为常数且 k 不 为零， 它的图像是一条直线，而且这条直线的位置走向完全由 k 和 b 两个参数来决定，二者分工明确，我们逐一进行一下拆解啊！好，首先我们来看 k 的 作用， k 决定了直线的走向和倾斜程度，也就是我们常说的斜率。第一呢，当 k 大 于零时， 直线从左到右呈上升趋势，此时呢， y 随 x 的 增大而增大。 而当 k 小 于零时，直线从左到右呈下降趋势，此时 y 随 x 增大而减小。第二呢， k 的 绝对值越大，直线越陡峭，函数图像越靠近 y 轴。而 k 的 绝对值越小，直线越平缓，函数图像越靠近 x 轴。这一点在中考图像辨析题中也是经常考察的， 下面我们再看 b 的 作用， b 决定了直线与 y 轴的交点位置，我们把这个交点叫做零 b。 当 b 大 于零时，直线与 y 轴交于正半轴，也就是 x 轴的上方。而当 b 等于零时呢，直线经过圆点，此时一次函数就变成了正比例，函数 y 等于 k x， 当 b 小 于零时， 直线与 y 轴交于负半轴，也就是 x 轴的下方。这里我们要注意， k 和 b 共同决定直线经过的象限，比如 当 k 大 于零，且 b 也大于零时，直线经过一、二、三象限，也就是中考常考的基础判断。所以大家有没有发现，我们可以根据一次函数中 k 的 相关性质，可以把 k 的 变化 和函数图像的旋转联系起来，又可以将函数解析式中 b 的 变化和函数图像的平移联系起来。比如，当 k 的 绝对值变大的时候，函数图像向 y 轴的方向 进行旋转，而当 k 的 绝对值变小的时候，函数图像向 x 轴的方向进行旋转。而当 b b 的 值 增大时，函数图像向上平移，而当 b 的 值变小时，函数图像向下平移。那么接下来呢，我们将重点梳理函数图像与二元一次方程组不等式之间的关系，这是一次函数小综合题的核心考点，也是解析的关键突破口。 第一呢，函数图像与二元一次方程组之间的关系。我们知道啊，一个二元一次方程可以转化成一次函数的形式， 比如说方程组 y 等于 k 一， x 加 b 一， y 等于 k 二， x 加 b 二，那么它对应的就是两条一次函数的直线，那么这两条直线的焦点坐标 xy， 它就是 这个二元一次方程组的解。反过来呢，如果两个一次函数的直线平行， 即 k 一 等于 k 二， b 一 不等于 b 二的情况下，那么这两条直线是没有交点的，对应的二元一次方程组也就无解。 而如果两条直线重合，即 k 一 和 k 二相等， b 一 和 b 二也相等，那么它们就会有无数个交点，对应的方程组就会有无数组解。北京中考中常结合图像求方程组的解，或者根据方程组的解来判断图像的位置关系。 第二呢，函数图像与一元一次不等式的关系。对于一次函数 y 等于 k x 加 b， 我 们可以把它和不等式结合起来， 当 k x 加 b 大 于零时，是不是就是 y 大 于零时啊？那么对应的就是函数图像在 x 轴上方的部分，那么此时呢， x 的 取之范围就是不等式 k x 加 b 大 于零的解集。 当 k x 加 b 小 于零时，是不是就是 y 小 于零的时候呀？那么对应的呢，就是函数图像在 x 轴下方的部分，此时呢， x 的 取值范围就是不等于 k x 加 b 小 于零的解集。 那么如果是两个依次函数图像的比较的时候呢？比如说啊， k 一 x 加 b 一 大于 k 二 x 加 b 二，那么对应的就是第一条直线在第二条直线上方时， x 的 取值范围。 注意啊，谁大谁就在上方。那么这也是中考综合题中常考的题型，比如结合图像求不等式的解析，或者根据解析判断图像的位置。 最后我们来总结一下 k 定走向和陡峭程度， b 呢，定与 y 轴的交点，二者共同决定直线的位置。函数图像的交点对应方程组的解 图像在 x 轴上下方的部分对应不等式的解集。掌握这些核心关联，我们就能轻松应对八下及中考中的依次函数图像的综合题。接下来我们结合具体题型实际实战演练一下。
34海老师数研堂
04:33查看AI文稿AI文稿今天我们来分享一次函数的一个区间问题啊，我们来读一下题，平，在平面直角坐标系当中有一个点 p 的 坐标，横坐标 m 加一，重坐标 m 减一， 让我们判断这个点 p 是 否在直线啊。一次函数 y 等于 x 减二上，第一问非常简单，只需要我们把横坐标带入进来，也就是 y 等于 m 加一，减二啊，最后等于 m 减一啊，和我们的中轴标相等了，所以点 p 在 我们的这个 y 等于 x 减二的直线上。 那主要我们来看这个第二问啊，给了我们一个图像，依次函数 y 等于负二分之一， x 加三，这个图像和 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 两点。 点 p 如果在这个三角形内部求 m 的 曲值范围，那我们来看啊，点 p， 如果在这个 三角形内部，那点 p 就 应该满足它的横坐标，横坐标在这么一个区间，它的纵坐标一定要小于这个直线，也就在这直线下方啊，同时大于，大于这个大于零， 那 x 它的横坐标横坐标是 m 加一啊，也就是横坐标 m 加一 啊。我们拿到点 a 呀，先把 a 点的坐标拿到 a 点，也就是 y 等于零， y 等于零， x 等于六，所以点 a 的 坐标六度零，也就是第一个要我们要满足 m 加一，要小于六， 大于零，也就是横坐标要在这个区间内啊，要在这个区间内，那重坐标要在这个直线以下，在这个 x 轴以上，那重坐标重坐标，也就是 m 减一啊， m 减一， m 减一，一样的要大于零， 大一点要小于谁呢啊？小于重坐标一定要小于这个直线以下，那这个直线又是什么表达？这个直线 y 啊，是等于负的，也就等于负负的二分之一 x 加三 啊，要小于这一部分，所以通过一个不等式组，我们可以确定 m 的 范围啊，我来解一下，第一个就是 m 应该小于五，大于负一， 呃，第二个啊，我们把这个同时乘以二，消掉一个二，二分之一啊，也就是二 m 减二小于， 呃，负 x 加六啊，大于零，这里的 x， 我 们还是可以用这个 m 加一换掉的啊。 m 加一也就是负的 m 减一加六啊，小于二 m 减二大于零， 我们在左右两边再加二，消掉一个二加二。哎，到这写啊，也就是二小于二 m 啊，小于加二负 m 啊，八加七啊，所以 m 大 于这个就是一 啊，小于这个 m。 呃，等式的，这边我们可以拆拆过来看啊，它应该小于三分之七，三分之七啊，综合一下 啊，我们 m 的 区间在三分之七和一，这个在五和啊，综合一下，所以我们取到的值取到 m 的 范围就是一到三分之七啊。希望这个题对你有帮助。
36那些年
13:42查看AI文稿AI文稿好，再来看到函数概念的复习题，先看复习巩固第一题，它这个第一题呢，复习的还是比较全面的，这里说 a、 b 两地相距十千米，李明从 a、 d 出发，骑自行车，以每小时二十千米的速度前往 b、 d， 用 x 表示骑行时间，时间的单位是小时，用 y 表示李明与 b、 d 的 距离，这个距离呢，单位是千米， 叫我们指出其中的常量与变量，自变量与函数，并且写出函数解析式以及自变量的曲子范围，你看学过的他这里都叫我们表示出来，对不对？好，这里先看常量与变量， 在这个过程当中， a、 b 两地相距的距离不会随着时间的变化而变化，所以这个十千米就是常量。然后呢，李明从 a、 d 骑自行车，以每小时二十千米的速度 前往 b、 d， 那 这个速度呢，也是不变的，这里是匀速的对不对？所以这个常量就有这两个。 那么变量呢，就是骑行时间和李明与 b、 d 的 距离，他们都会随着时间的变化而变化，时间本身他就会变化，对不对？而李明与 b、 d 的 距离，随着时间的增加，他和 b、 d 的 距离就会越来越近，对吧？所以他们两个就是变量。好，我们把它写出来， 长量有两个， 其中一个长量是 a、 b 两地的距离 十千米，对吧？以及李明的骑行速度 二十千米每小时，对吧？这是长量。那么再说变量，变量就是骑行时间 x 小 时， 然后以及里幺与 b、 d 的 距离 是什么呢？ y， 铅笔，好，这个是长量和变量，对吧？好，那么什么是自变量呢？ 谁又是函数呢？啊？自变量就是主动发生变化的那个，那么也就是这个时间，那么函数呢？就是这个距离，也就是说这个 y 是 x 的 函数，对吧？好，我们就写啊，函数， 这里是 y 是 x 的 函数。 好，最后教我们写出解析式以及自变量的曲子范围，你看总共才十千米，它的速度是二十千米每小时，对不对？所以李明想要从 a d 到 b、 d 需要多久呢？啊？那应该就是半个小时就到了，对吧？怎么算的呢？ 李明，我们算一下，李明从 a 到 b 需要多少时间呢？我们算一下，就是十千米除以二十千米，每小时的速度等于零点五小时， 所以它需要零点五小时，所以这个 x 它就不可能超过零点五小时，对不对？好， 那么这个时间是零点五小时，那么随着时间的增加，它的距离越来越少，所以这个李明怎么样？李明与 b、 d 的 距离就等于 a、 b 两 d 的 距离，减去李明骑行的路程，对吧？好，这就是 函数表解析式啊，推导的一个证明啊。我们写一下，就是李明 与 b、 d 的 距离， 它等于 a、 b 两 d 的 距离， 减去离明骑行的距离就可以了。 或者骑行的路程，路程等于速度乘时间对不对？等于路的路程等于速度乘上时间。啊，说错了，李明骑行的路程等于它的速度，哎，乘上它的时间，然后呢， a、 b 两地相距的距离就是这个十千米啊，十千米。 好，李明与 b、 d 的 距离呢？就是这个 y， 所以 我们就可以写出来 y 等于什么？十，减去二十 x， 那他的速度是二十千米每小时，对不对？时间是 x 小 时，然后呢，总共的距离是十千米，对吧？随着时间的增加，那么这个李明与 b、 d 的 距离就越来越小，说明他越来越靠近了，对吧？好，然后再把他的曲值范围写出来， 它最多也就骑行零点五小时就到了，对不对？所以这个 x 的 曲子范围怎么样？小于等于零点五，大于等于零。好，这个就是它自变量的曲子范围。那解析式写出来了，自变量，曲子范围写出来了，自变量与函数。啊，这个也写出来了，这里我们要写一下自变量啊，自变量没写， 写在后面， 自变量就是骑行时间 x 小 时。再看第二题，某水库的水位高度与对应的蓄水量，如下表所示。先看它的水位高度，单位四米， 从九十五到一百零四到一百二十一到一百二十五到一百二十八，逐渐增高，对不对？好，再看它的蓄水量， 从一点零五乘十的七次方，到二点四一乘十的七次方，到七点一二乘十的七次方，再到九点五三乘十的七次方，最后再到一点零三乘十的八次方。注意，它从七次方变成八次方了，所以它是变大了。 所以无论是水位高度还是蓄水量，它们都在怎么样？增加吧，对不对？好，第一个设水位，这个水库的水位高度为 x 米。好，这个设为 x， 蓄水量设为 y 立方米，这个设为 y。 那 么 y 是 x 的 函数吗？为什么呢？那肯定是你看， x 给出来了， y 就 有唯一对应的值，对吧？然后呢，再看这个是不是也只有一个答案， x 给出来了， y 就 有一个答案， x 给出一个确定的值， y 就 有一个确定的值与之对应，那么这个就是函数的评判标准，对吧？所以我们就可以直接说怎么样是，是的啊， y 是 x 的 函数， 为什么呢？因为对于 x 对 一个，每一个确定的水位高度 x 蓄水量 都有唯一确定的值， 与之对应啊，所以 y 是 x 函数，对吧？好，再看第二个观察表格当中的数据，随着水位高度的变化，蓄水量的变化是怎样的？它们俩是不是都在增加， 所以 y 随 x 的 增大而增大，知道吗？好，我们这里写一下，随着 x 水位高度 x， 随着水位高度 x 的 增大， 蓄水量 y 也逐渐增大 就可以了。再看第三题，判断下列各点是否在函数 y 等于 x 加一分之一的图像上，这里给了四个点， 问，这四个点是否都在这个函数的图像上，那么怎么判断呢？你只需要把它的横坐标，也就是 x 带进去替换掉， 算一下它的 y 能不能得到它的重作标的值，如果可以得到，那么就在这个图像上，如果得不到就不行，知道吧？好，所以我们这里先看第一个，第一个呢，你就当 x 等于负二的时候，对吧？这个 y 等于一除以负二加一， 那么它就等于一除以负一等于负一。你看，当 x 等于负二的时候， y 等于负一，是不是正好对应第一个点的横中坐标，对不对？每一个点的横中坐标我们都对应 x， y 值 对应 x y 值，你看一下它带入函数解析式里面去算能不能得到对应的结果，那么得到了这个，对吧？啊，我们就说，则 y 等于 x 加一啊的图像 经过负二负一，这个点 经过点负二负一，所以怎么样？负二负一，在函数 y 等于 x 加一分之一的 x 加一分之一的图像上 就可以了，这是第一个点。再看第二个点，第二个点呢？横坐标是负一，对不对？好，你就当 x 等于负一的时候， 这个 y 等于负一加一分之一，它的分母是零，对不对？那分母是零，那还有什么好算的？没什么好算的，这个分式就没有意义，对不对？无意义， 无意义。所以它得不到零的啊，是得不到零的。所以呢，我们就说，所以一负，这个负一，零不在 函数 y 等于 x 加一分之一的图像上。 再看第三个，当 x 等于它的横坐标零的时候，当 x 等于零的时候， 你看下这个 y 带进去，等于一，除以一加一，把它的 x 换，哦，不对，零啊， 换成零加一，对吧？把它的 x 换成零，对吧？好，那么它就等于一，除以一等于一。哎，你看横坐标是零的时候，纵坐标是一，是不是对应了，对吧？好，则 这个函数图像经过点零一，所以呢， 这个点零一就在函数图像上。好，这第三个，再看第四个，第四个横坐标，把它换成一啊， x 换成一，所以当 x 等于一的时候， 它这个函数解析式 y 等于一加一分之一等于二分之一，它是等于二吗？那它不等于二，对不对？它并不等于二，所以我们就说 这个函数图像误经过啊，经过的点是什么？一二分之一 是一二分之一，所以呢， 这个一二，所以这个点一二 就不在函数，就不在函数图像上就可以了。好吧，你想要验证一个点是否在某个函数解析式的图像上， 那么你就把它的横纵坐标分别换成 x 和 y， 你 看一下是指是否仍然成立，如果成立的话，那么就在 或者是你把这个 x 带进去算，你算出来的 y 可以 等于它的重坐标，那么就说明这个点是在函数图像的，如果不是的话，那么说明这个点就不在函数图像上就可以了。
41毕老师细讲数学
01:12查看AI文稿AI文稿八年级开始呢，就要学习函数了。八年级呢，一共学习两个函数，一个是依次函数，一个是反比例函数。我们先学习依次函数。 依次函数的定义很简单啊，形容 y 等于 k， x 加 b， kb 是 常数，且 k 不 等于零。当 b 等于零的时候， y 就 等于 k， x， 我 们把这个式子呢，就叫做正比例函数。下面三个式子中，哪一个是依次函数？ 来第一个很明显是吧啊，这里的 k 呢，是等于负二， b 是 等于三， 式子二也是吧， k 等于一， b 等于负一。把符号写下来啊。第三个式子没有 x 项，它不是一次函数啊，是因为这里的 k 呢，等于零啊， k 乘以 x 也等于零，没有了。 那么 b 呢，是等于五， k 等于零，不符合一次函数的定义，所以它不是一次函数。再总结一下，一次函数是 y 等于 k， x 加 b， k 不 能等于零。那么一次函数的图像是什么样子的，要怎么画出来呢？这个问题我下次再给大家讲。
13海口数学蔡老师
11:40查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学一百二十四页啊，习题，二十三点二的一二三四五题啊。 第一小题，一列货车以九十千米每时的速度匀速前进，求它的行驶路程 s， 关于行驶时间 t 的 函数解析式，并画出函数图像。那么 这里边呢，你观察啊，它是路程与时间之间的管函数关系式，那么路程等于什么呀？速度乘以时间，而速度是九十，所以它是一个正比例函数啊。第一小题，那么函数关系式应该是 s 等于九十 t 啊，那取取值范围呢？你的 t 应该是大于零的啊，大于等于零，那么函数图像来，那个函数图像 如图，然后再画一个啊， 哎，不对，这是 s， 这是 t 啊，这是圆点，然后呢，他说了这个啊， t 是 大于等于零的，那你说当 t 等于零时，他应该在这，那么第二个咱取，再取一个点，是不是就能确定直线了？当 x 等于一十， y 得九十， 一十 y 得九十，它只能在第一项线里啊，它不可能为负值，所以这就是它的图像。这是第一小题，那么第二小题说函数 y 等于负五， x 的 图像经过了几项线，那么你看，它是一个正比例， k 呢，决定了它经过的象限和增减性。所以当 k 小 于零时，经过二四象限 啊，然后经过了零度几啊？零，当 x 等于零时， y 等于零，零度零与当 x 等于一时， y 得负五，那么 y 随 x 增大，而什么那个 k 小 于零时，增大而减小 啊。那么第三题是分别画出下列函数的图像，呃，这个图像咱们给他画到这里啊，因为两点就能确定一条直线嘛， 一条直线，所以咱们就不用那个在纸上了啊。小点画着， x 零，当 x 等于零时， y 等于四。 看看啊，取二点五个单位，这是一，然后一厘米代表四个格 在这，所以这条直线就是 y 等于四， x 啊，这是第一个，那么第二个 x， 嗯，这是四， x 也是咱们二点五个单位取一，然后。 哎呀妈呀，有点取巧了，好像当 x 等于零时， y 得零，当 x 等于一时， y 得五， x 等于一时， y 得五，这样的，这 当 x 等于零时， y 得一啊，取，取反了这边。这，所以两点确定一条直线， 这个就是 y 等于四， x 加一啊，这是第二个来第三个就搁这。哎呀妈呀，画不下了又。 y x 原点，当 x 等于零时， y 得一， 二点五个单位在这，当 y 等于零时。哎呀，我这个画错了，没有当 x 等于一时， y 得负三啊，对，吓死我了， 一是 y 的 负三负三是负的七点五，这 来两点确定一条直线，这就是 y 等于负四， x 加一，这是第三个，那么第四个画在这吧， y x 原点，当 x 等于零时， y 的 负一，负的二点五在这儿，然后当 x 等于正一时， y 的 负五， 正一是 y 的 负，负的二点五在这，然后两点确定一条直线，所以这个是 y 等于负四， x 减一，这是第四个啊，然后我们第四题， 第四题他说如图啊，求图中直线所对应的函数解析式，那这个呢，就应该是待定系数法 啊，他不就是让我们求函数解析式吗？从图像上来看呢，咱们知道他没过原点，那么应该是一个一次函数啊，然后经过了两个点，一个是 y 轴的零到六，一个是 x 轴的负三到零，那我们就将这两个点代入函数解析式，是不就可以来第四题解 设啊？这个一次函数解析式为， 这个 y 等于 k， x 加 b， 然后 k 不 等于零，然后我们可以说，因为图像 经过零逗六，还有一个负三逗零 啊，所以代入这个解式就是，呃， x 等于零时， b 等于六，然后 x 等于负三是负三加 b 等于零，解得 b 等于六， k 应该等于正二。所以呢，你的一次函数 解析式为， y 等于二， x 加六 啊，二 x 加六，那你看这个，当 x 等于零时， y 等于六时候就这样了，当 y 等于零时， x 等于负三，这个可以，是不是你可以检验一下啊？这是第四小题。那我们看第五 说一个一次函数的图像经过了负四度九和六到四，让我们求这个一次函数解一式，那你说这个一次函数解一式是不是也得用待定系数啊？那我们来求一下待定系数，哎呀妈，这个空好像有点小啊。 来解设，这个一次函数 解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零啊， k 不 等于零，放大一点，然后呢，因为图像 经过负四逗九和六逗四，所以代入啊，负四， k 加九，呃，加 b 等于九， 然后六 k 加 b 等于四，然后解得 k 等于 b 等于啊，用一式减二式，二式减一式啊， 二是减一是，那就是十， k 等于负五，那 k 应该等于十 k 负二分之一，然后 b 呢？这是三，然后三负三，然后的七啊，所以 这个一次函数解析式为 啊， y 等于负二分之一， x 加七啊，这是第一问，第二问是要求我们画出这个函数图像来，咱们搁这个空里画一下啊。 x 零，那么当 x 等于零时， y 的 七 二七一十四，搁这两个小格，一小一个单位啊。然后当 y， 当 x 等于二十， x 等于二十， y 得六， x 等于二十，那就是四， 然后他得六二六一十二搁这啊，哎呦，我的妈呀，这有点画不下了，这也这样的， 这个，哎呀妈呀， x 啊。当 x 零时， y 得七，当 y 等于零时， x 等于正十四，这个焦点应该是十四，这应该是七啊， 所以这个就是函数图像。那么第三个是当 x， 当那个二，判断点二到五，是否在这函数图像上说明理由来。第三个，当 x 等于二十，你把这二带进去呗，是不是？那就是负二分之一乘以二，再加七，它等于 六啊，它等于六啊，不等于几五。所以你的二逗五不在 这个函数图像上 啊，不在这个函数图像上。
146讲数学晓红老师
01:56查看AI文稿AI文稿同学们，大家好，很开心今天能够和你们一起闯关。我们现在新手村，在出发探险之前，我们再检查一下我们的知识储备是否完毕吧。 看来同学们的都做好了充足的准备，我们离开新手村出发吧， 看那里有一个洞穴，我们走进去看看，前面有一道石门，应该破解这些问题就能打开石门。 终于把这些问题破解，石门要打开了。 我们来到了迷雾森林，这里的雾气会使人回想起曾经的错误，我们只要一。
265西冯柿
09:10查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百一十九页练习， 这页的练习呢，主要是学习一次函数它的图像和性质。那这里的函数图像和性质呢？我给你规划出这样几点啊。第一呢，你的正比例函数啊，在这在这写啊， 这个里边画的是正比例，是不是啊，下一课时才叫一次函数，所以呢，这一课时呢，主要选的是正比例函数啊，正比例函数它的性质啊，首先说正比例函数的图像啊，正比例 函数图像 是一条纸经过圆点 的直线 啊，这是第一条，就是你必须会的。第二条呢，就是它的性质。性质一共有两句啊，第一小句呢，是当 k 大 于零时啊，图像 经过一三象限， 然后 y 随 x 的 增大而增大， 然后第二小句是 k 小 于零时啊，图像经过 二四象限， 然后 y 随 x 的 增大而减小。 第三小句就是当你 k 的 绝对值越大时 啊，直线离 y 轴越近 啊，反之就是离你的 x 轴越远啊，也就是说你的图像记，记住这四个啊，就是正比例还是图像性质，就记住这四条 啊，记住这四条，让我们看一下。第一个啊，就是你的图像经过一三象线，不是不是经过原点的一条直线啊，那你看他的例题当中，这都是正比例，那你看 都是经过原点的一条直线，看这是不是经过原点啊，都是经过原点的一条直线，你看这个也是啊，然后你第三条呢， k 的 绝对是越大，你看这个 负四的绝对值是不大于负一点五的绝对值，那么你的绝对值越大，离 y 轴就越近啊，那你看这个也是二 x 和你的三分之一，你看二的绝对值越大，离 y 轴越近啊，所以这一条也是非常重要的。然后再就是呢，你中间这个性质，这块啊， k 大 于零，经过象限和增减项，这三句啊，必须得是知一得二。什么叫知一得二？当你知道 k 大 于零时，图像就经过一三象限来，你看这这两个 他都是经过一三相减的， k 都是大于零的，然后呢，图像从左往右是 y 随 x 的， 你看 x 越大，那 y 的 值就越大，看见吗？那你看这，当 x 在 增大时，你的 y 是 不是也在增大， 对吗？所以说叫从左往右啊， y 随 x 的 增大是什么？那反过来呢，你的 k 小 于零 也是三条，必须得是知一得三，那知一，知一得二啊，也就是说你的 k 如果小于零，经过二十四相减，然后呢，图像从左往右看，是 x 越往右取，你的 y 的 值越低，看见了吗？ y 的 值越往下，所以呢，这叫 y 随 x 的 增大而显现， 那也算我这三条。我知道增减项，我就能说出 k 是 小于零的，图像是经过二四象限的，我要是给你图像经过一三象限，你就得知道它是 k 大 于零，增减项是增大，而增大就是这三个啊，你必须得是啊，知一得二。 然后再说一下这个图像，第一小题，他说认为你，你认为最简单的方法来画这个图像，那么我们知道了这个正比例函数图像呢，是一定经过原点的，并且它是一条直线，那我们知道两点，是不就能确定一条直线？ 所以说这道题就是画正比例函数的图像，你只需要再取一个点的坐标即可，那你就随便取呗，是不是？那咱们立表格来第一题 列表，那这时候列表还用不用取一大串的数了？不用了啊，不用，你就取两个点的坐标，然后呢？并且有一个点的坐标是谁？是零？逗，零 特殊吗？经过原点吗？然后你这个，你看二分之三 x， 我 取个二，那 x y 不 就得三了吗？是不是？那来秒点 连线两点是不是就能确定一条直线？ 二斗三这样的一二三一二二斗三， 两点确定一条直线， 嗯，这就是 y 等于二分之三 x 啊，那么第二个呢？是啊， y 等于负六， x 来，咱取。呃，列表来 也只列几个就行，两个对不对？一个是零对零 x y， 然后第二个呢？咱取点特殊的，比如说 x 等于二分之一， y 等于负三啊， x 等于二分之一， y 等于负三，那得这样的，那你看你的 k 是 小于零的，所以图像一定是经过二四相线的， y x 零，当 x 等于二分之一时来， 这是哪二分之一，然后 y 等于负三，一二三 搁这，然后两点是不是确定一条直线？好嘞，这是 y 等于负六 x 啊，来秒点 连线啊，这是第一题，那我们看第二题，说若点二动 m 和点负三动 n 都在函数 y 等于 k x k 小 于零的图像上，是来比较 m 和 n 的 大小。 那么这道题实际上让我们考察了我们的就是正点性啊，再回答两个 y 的 值啊，你看这不重坐标吗？重坐标不对应的是 y 吗？那比较这两个值的大小的时候啊，首先第一步，我们看你的 k 增减性，不就 k 决定吗？ k 大 于零是 y 随 x 增大而增大， k 小 于零，是 y 随 x 的 增大而减小，那这里的 k 是 小于零的，所以你的自变量的系数范围不是，就是你的那个增减性，应该是 y 随 x 的 增大而减小， 也就是说，什么你的 x 越大， y 就 对应的越小， x 越小，对应的 y 就 越大，这个能当能懂吧？所以呢，你的 m 应该是小于 n 的 啊， m 应该是小圆的，这就是利用这个增减性啊来回答的啊。你记得，增大而减小，就是你越大， x 越大， y 就 对应越小， x 越小， y 对 应的越大啊，这就是用增减性来答的。那我要是想代入呢？可不可以？可以啊，当 x 等于二十， 你的 y 应该等于二 k， 当 x 等于负三时，你的 y 应该等于负三 k， 因为你的 k 是 小于零的，所以你的二 k 是 小于三 k 负三 k 的。 所以呢，你的啊，不对不对，这不应该是那个 y， 这应该是你的 n m， 这 y 不 应该等 m 吗？这个是 y 等于 n 吗？所以你的 m 是 小于 n 的， 这就是你的代入的方法。做这个就是直接用增减性来判断。
52讲数学晓红老师
