今天咱们来讲解一下二零二六年大连市数学一模的第二十三题这道几何题。首先框一，让你求的是三角形的全等已知条件已经在图上标好了，是两条红色的线段和两条蓝色的线段相等，已经有一个边相等和一个角相等的 角 b 等于角 c， 它就是通过等腰三角形来证出来的，现在还差一条就是 b， e 等于 c、 d， 那 么已知蓝色的线段相等两条蓝色的线段，再分别加上 d、 e， 是 不是就可以求出第三条边的等了？ 所以最后我们证明全等的方法是 s、 a、 s 边角边证明的。下面我们来看一下第二题，它已知条件是给了你两组角的数量关系。 一般这种情况下，咱们要设一个位置量，方便在图上做表示，那么老师设的是 a、 c、 f 为阿尔法，我们就可以用阿尔法来表示这个 a、 b、 a、 d 和 a、 e、 d， 这个时候我们应该去做辅助线了，那么由括号一，是不是可以得出 a、 d 等于 a、 e， 我们可以去做一个高，因为看到等腰三角形，我们就想到了三线合一，有点 a 往下引了一个垂直交 b、 c 与点 h， 通过这个垂直证明上面这个 d， a、 h 和 e， a、 h 都是九十度减二 r 法。 那么等腰三角形三线合一是不是还适用于外面这个大的 a、 b、 c 这个三角形？我们就可以由此证明出 b、 a、 d， 它是跟 c、 a、 e 相等的，也是阿尔法减四十五度，让你求 b、 a、 c 的 角度，把这个 b、 a、 c， 我 们把它加起来，最后我们发现阿尔法它已经消掉了，得出这个 b， a、 c 等于九十度。 现在我们来讲一下圈二这一问，他给你加了个条件，这个这是终点，那我们再来往下看这道题用什么方法来去求？让你求 a j 和 a、 c 的 比值？用浅蓝色的线在图上已经做了标注了，上一问做的辅助线是不是做了个垂啊？ 等腰三角形，三线合一，那么这个 h 点是不是也是中点？那么两个中点出现了，我们是自然而然就考虑这个中位线的问题对不对？所以这个 j h 是 三角形 b f c 的 中位线，所以 j h 是 平行于 c f 的。 我们上一问是不是还求了个九十度没用啊？九十度放到这个图里我们能得出什么？这个 abc 是 不是等腰直角三角形？ 那么等腰直角三角形，这个 h a、 c 就是 上面这个角，它是不是等于四十五度出现等腰直角三角形了？ a、 c 是 不是 a h c 这个三角形的 斜边是，它的斜边有一个四十五度，那么我们是不是想办法可以找一找 a、 j 和的数量关系，就是这个左边的浅蓝色的线段 和中间的这个 a h 这个高，可以找找他俩的数量关系，通过导角试一试能不能导出来。这上面这个 h a、 c 等于四十五度，下面的这个 a、 c h 也是四十五度，在下面特别小的这个小锐角就是四十五减 r 法， 那么它等于四十五减 r 法。我们刚才是不是求了一个平行出来，是不连带的这个 g h d 也是四十五减 r 法，那么 a h g 它上面的这一个角 a、 h j 是 不是就等于九十度？减去这个四十五减二法，等于四十五加二法度。我们再看左边的这个角， 它是不是等于 j d h 这个角加上这个角三角形的外角，所以它也等于四十五加二法。最后我们发现 a j h 这个三角形，它是一个等腰三角形， a j 等于这个比例就变成了 a a h 比，这个比上这个 a c， 它就是 cos 角 h a c cos 四十五度等于二分之根号二，所以我们 a j 比 a c 的 比值就是二分之根号二。接下来就是最难的圈三了， 那么圈三老师也把已知条件都标上去了，就是 b f 等于 f c 等于二，那么这个这点是不是中点呀？老师把它拆成了两个一标注上了， 咱们再看他让求什么，让你求 a c 的 长度。我们看这个 a c 是 不是我们上一位用到这个特殊的四十五度了， 那么我们这一问，依旧要用到这个四十五度上面，这个 h a c 是 不是等于四十五度？看到特殊角就去想着构建直角三角形，从点 f 做 a c 的 垂直线，交 a c 于点 m， 这就是我们的辅助线。这时候我们再观察，把这个 a c 把它拆成了 am， 加上 am 是 不是跟 m f 是 相等的？它跟 m f 相等的情况下， 我们发现要取的另一个 m c 在 r t 三角形 f m c 中，那么我们这个 f c 是 已知的 fm， 不知道我们的重点是把这个 af 求出来， 只要我们把 af 求出来，是不是后续的这个 ac 都好求了呀？首先我们想求 af， 我 们得观察一下已知条件，我们右侧这个 bf 等于二是不是还没有用上， 那我们就观察一下这个 f h 等于二分之一的 b f b f 等于一，这个已知条件也标上去了， 我们发现框一框二是不是还有一个相等这个条件，这时候我们是不是就找到了这个 a j h 和 j f h。 最后老师对咱们今年一模的最后一道几何题做一个总结。首先去括号一属于是特别基础的内容，这三分属于是大家都应该拿，那么括号二圈一也是一个简单的倒角问题，都是应该拿到，不应该错的。 像圈二他就提升难度了，考的是这个中卫线，像圈三这一问他复杂在哪？通过相似和勾股定律进行一个等式的这一个转换来得出这个线段的长度， 他属于是稍微有一些难度，想要冲刺重点高中的学生应该了解掌握一下。总体来说这道题拿个九分是没有问题的。 接下来还有不到两个月的时间，咱们好好把几何内容复习一下，到中考这个几何问题应该也不会很大。我是数学华南董老师，大家如果想了解更多中考相关的知识，可以关注我私信。
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02:38查看AI文稿AI文稿大连一模数学试卷的填空压轴题，话他在这里边考察到的尺规做图，那这里边话他这个尺规做图不是说让学生自己去做图，而是说我把尺规做图给你做出来的，你要知道他做的是什么。其实结合近几年的这个辽宁中考题去看一下，你会发现基本上的话，这个尺规做图的话，他都是有涉及到的。在 目前阶段的话，他这个尺规做图最爱考的就两个，一个是间断垂直平分线的尺规做图，一个是角平分线的尺规做图，那所以说的话，咱们同学一定要把这两个 角平分线跟线段垂直平分线的尺规作图痕迹给他记下来，然后在考试当中的话，你要能够认出来他做的是什么。这个咱们大连这个一模试卷这个填空压轴题出的真的是非常非常的 简单，基本上的话就是通过一个相似直接就解出来这道题的答案了。那好，那我们一起来看一下这道题，他说这个在矩形 abc 当中给的长根宽是二根三，他还连接出了一条对角线，那所以说我们的第一反应是不是就是先根据勾股定律把这个对角线的长度给他求一下？ 不是？然后接下来话后边这句话就是它的尺规作图结合它的文字序号，还有它这个图上边的这个尺规作图痕迹，那么我们知道它做的是这个 b c 的 中垂线，有这 b c 的 间断垂直平分线，然后这里边的话，它让我们去求这个 b f 的 长是多少，那你会发现那么 b f 所在的这个三角形 b f 正好形成了一个啥呀？八字相似，所以说的话，根据相似三角形对应边乘比例，那你会发 发现这个相似比是一比二，那所以就意味着是对 f 跟 b f 的 比是一比二，然后它俩的这个长度之合还是整个对角线 b 对 的长，而 b 对 的长，我们刚才已经求出来了，那所以说的话，直接利用这个 相似比的关系，然后结合 b 对 的长度，直接就可以计算出来这个 b f 的 长度是多少啊。那所以说的话，通过这个大连一模这个填空压轴体化， 也是想告诉大家，就是现在的话，咱们这个填空压轴题的话，真的是不像以前出的那个难度非常的大，所以说的话，咱们不要再一看到填空压轴题连题读都不读，就直接给他跳过去了。如果说像这次这个大连 e 模式这样，如果有同 同学连读都没读题，直接就给他跳过去的话，我会觉得非常的吃亏啊，因为这道题通过刚才的讲解，大家也发现这个难度真的是非常的小，所以说好在中考的这个考场上，咱们确实是有舍有得，该放弃得放弃，但是你放弃的前提条件是什么？是你这道题你真的读了前 思考了，然后没有思路了，那么我们该放弃放弃，而不是说连读都没读，思考都没思考就选择直接放弃，那么这种行为话并不是非常明智的啊。所以说的话，咱们在考场上时候一定是经过思考之后再决定是否要放弃这道题啊。关注莫老师数学满分不迷路！
13:36查看AI文稿AI文稿咱们大连市的一模考试哈，刚刚结束，然后数学卷也是先出炉哈，这个抛物线相对来说比较简单哈，所以放在了二十二题的位置。二十三题呢，很多同学都反映说卡在了括号二的圈二和圈三哈，那咱今天重点就看一看这个圈二和圈三到底是什么情况啊？ 那通过这个咱们平时的讲解，能不能在考场上顺利的把这个科二和科三给拿下来啊？好，咱们来看一下题， 那主题看给了我们 ab 和 ac 是 相等的，别忘了标呼呼呼相等。这个咱们在平时做题过程当中经常提示大家啊，就是等腰三角形的等边对等角啊，这个等角千万不要忽略了啊， 然后还给了个 b、 d 等于的是 c、 e 啊，第一问，你也正全等了，就是大的等式上边套个小的等式，你看这个三角形是等幺，这里边这个也是等幺吗？啊，就这个事。 然后咱们来看空二，空二的题上给了啥呢？给了两个角度的信息，那么这里边你看都是跟 acf 相关，所以我们在倒角的时候，你就直接设 acf 是 alpha 就 可以了啊，设它是 alpha， 那所以角 b、 a、 d 就 应该等于的是二 f 减四十五度，所以这是二 f 减四十五度，那你看两边是一样的，所以它也是二 f 减四十五度， 那给了我们 a、 e、 d 等于二倍的 acf， 所以 a、 e、 d 应该等于二 alpha 里边是三角形，这也是二 alpha， 三角内角和这是一百八十度，再减去四 alpha， 妥了，三个角向下得九十度，那么圈一顺利拿下啊。 所以说这道题啊，括号一就一次，简单的全等直接证就行了，括号二倒个角，轻轻松松拿下，我觉得也没问题啊。咱们来看一下圈 圈怎么说的呢？圈是在这个基础上加了一个新的条件。什么条件？ g 是 b f 的 终点啊，蓝色的单品，蓝色单品终点呢？这个东西啊，咱们老生常谈了哈，从初二下开始，因为初二下一结束，咱们初中三年的四个终点模型都都整完了。 然后咱们在复习过程当中呢，也经常跟大家说中点这个事啊，那你看中点都有几个内容，第一个被长中线， 第二个中位线，第三个直角三角形斜边，中线的斜边棒， 这是直角，如果这是中点的双撇，双撇双撇，第四个等腰三角形底边如果有中点的话，怎么呢？四个字，三心合一，那就这玩意呗。啊？然后他让我们求的是啥？他让我们求的是 aj 比上 ac， 对 吧？你要有一个直观上的感受，一看 aj 等于 ac， 他 肯定不能相等的，他也好像不是整数倍的那种感觉， 那么既然不是整的，被他求比值的话，那就肯定是数，那到底是什么数呢？咱们一直都在强调说几何题，所有的几何题他一定是前面的疑问，对后续的疑问是有影响的， 对吧？所有的出题都不是说扣一或者圈一，随随便便给你的内容，然后让你正好正吧，给你两分得了，就为了给你给分？不是，他一定是对后续的题有引导和指引作用的。那你说这个 b、 a、 c 等于九十度有啥用？ 那不就是告诉你三角形 abc 是 一个等腰直角三角形的，那你想到等腰直角三角形两个事，第一个等腰直角三角形跟边跟直相关的，一比一，比根号二。那你还不知道往根号二上扣吗？ 对吧？一看 a c 和 aj 好 像吗？好像，真是高二倍的感觉。那你猜是不也能猜出来这个答案，对吧？这是第一个，第二个是。那你说等腰三角形，那常规辅助线是啥？不就是做啥三线合一吗？ 是吧？那怎么做三千合一呢？你就正常做垂呗，做完垂以后，你看原本有一个中点，我做完以后又来一个中点，俩中点能干嘛？俩中点一连必出中心， 我就连上，这是我们常规的操作。好，那么咱们来看看哈。那我知道这个想正， a c 比上 aj 等于根号 比一。在图里边我知道 a c 比上这来个 h， h 等于根号二比一。那这句话不就是让我们证 aj 等于 h 吗？ 想证 aj 等于 h， 你 看蓝色的三角形，明显它应该是个等腰三角形，从路遥可见，它也应该是等腰。那怎么办？就倒角呗。那你别忘刚有中位线，中位线的性质是两条线互相平行， 切数量上是二分之一，那么我们要倒角肯定用平行了，所以这个小角是原本这是四十五度，四十五度再减去阿尔法，所以他也是。啥四十五度减阿尔法，整个这做垂了吗？对吧？三线合一九十吗？所以上面角四十五度加上阿尔法，你看这是一个 一百八减四 r 都没擦呢，对吧？里边的三角形说了是一个等腰三角形，一做垂三线合一，所以它是啥？它是九十度再减去二 r， 那 三角形内角你看一百八 减九十度减二， r 减四十五度加 r 剩啥？四十五度再加上 r， ok， 那 么这个三角等不等腰，等腰全都挣出来了 啊，就这么一个思路啊，那终点呢？你看哈，一定要往这个咱们平时引导这个方向上想哈，那有人就想偏了，说背长中线，你说往这面背，往那边背，你背长中线，不行的话，你得赶紧转换思路哈，这考试时候一定要灵活。 好，接着咱们来看一看圈三哈，那么圈三啊，这个每年的这个几个题啊，其实方法是特别多的哈，那有些方法比较优秀，有些方法就比较麻烦哈，咱们今天简单的剪两个哈， 他首先说在圈的条件下，是 b f 等于 c， f 等于二的时候呢，咱们画个图哈，那么 b f 等于 c f 就 意味着里边的三角形 b f， c 也是一个等腰三角形，所以这道题新的图就是啥三个等腰三角套在一起啊， 这个 f 应该落在了刚刚的 a h 上，然后这面是终点吗？在二的条件下吗？随这啥呀？ d， 那 这么连这面应该也是啥也是终点，这啥呀？ e， 因为你看我画的大三角形 abc， 等腰， 中间的这个瘦的这个 a， d 一 等腰，矮胖的这个 b， f， c 也是啥，也是等腰，三个点在套在一起，两边一定是嘎嘎对称的啊，然后给啥了呢？给 b f 等于 c， f 等于二，那么这是一，这是一，这也是一， 那咱看这道题怎么处理？那先讲我觉得是最优秀的一个方法啊，这是个终点， 中间怎么想呢？中间我还是想，哎呀，这个中间怎么用？变成中线应该是不行，只要三角形斜面中线，哎，这把应该是有可以连这一次哈。但这道题暂时还没用到这个啊，下一个方法讲，那我如果用继续中线呢？我直接向 fh 做垂，这样的话可以构造出一个 a 形。相似 啊，我画的这两个三角形相似啊，三角形 f、 g 就 来个 p 啊。 p 是 相似于三角形 f、 b、 h 的 两个三角形，既然相似的话，这是一份，这就几分 两份。因为大三角形是等于正三角形，所以 h 和 b h 都相等，所以 h 有 几分两份。上一问，正的 aj 和 h 相等，你看哈，环环相扣，它也是啥？两份？ ok 了，你看两份， 一份还九十，谁不知道通过三角函数反推，这是三十。这啥？这六十度，那你看上面的图，三十度在这呢，他对应的是啥？对应的是九十度减二，阿尔法等于三十度，所以阿尔法等于三十度呗。谁是阿尔法？ acf 是 阿尔法三十度， 这是四十五度，这还是二。那么你想求它的话，这不就是我们在讲求线段长的推移方法里边的很重要的方法叫啥？解三角形，你看三角形 a、 f、 c 拿出来， 它的特征是三十四十五，还有个二，那么它支两个角和一个边，这个三角形直接可解， 对吧？啊，或者说织两个边，一个角，这个三角也可解，叫解三角形。那么怎么办呢？把这个特殊角放到这样三角当中，所以我做垂三十度，所以这边是斜边。一半一一钩骨，一比刚好，三比二刚好。三。这面一比一比刚好，这也是一。所以答案是啊，根号三加一。 这个方法是我自认为哈是最优秀的一个方法哈，非常好。但是呢，有的时候这个辅助线呢，你会说，老师，这个辅助线我确实想不到啊。那确实，这个考试的时候，因为电光火石之间呢，你可能想不到这个辅助线，那么咱们看看下一个方法，你是否能想到哈，我觉得这个你应该能想到， 好，咱们把它擦一擦啊。 那么这个方法为什么能想到呢？因为这个方法和上一个方法是环环相扣的哈，是扣在一起的哈。各位，你看哈，你会不会这么想，考试的时候 上一问，这个 aj 和 jh 肯定是连了 h， 然后这连上了，那么这是一，这是一，这是没有问题的，对吧？因为这里用到了一个中点的直角三角形，斜面中线的斜面一半， 然后呢，一和一，你看这个三角形，它也是啥呢？它也是一个等腰三角形，并且底角怎么的相等，所以三角形 a， 哎，这这这是这啊， a j h 就 相似于三角形 j h f， 你 看其实都弧线没变， 只不过是把 f 落到了 a h 上，一就是就这么一点小变化图格都没变啊，所以这个只要三两个三角形相似，是特别容易能看到的哈。那么 a j 大 三角幺比上小三角形 j h 就 等于小大三角形底 j h 比上小三点 h f。 我 们设 a j 为 x 的 话， x 比一等于一比一 h f， 那 交叉相乘，我得到 h f 的 啥？ h f 的 x 分 之一，所以这啥 x 分 之一， 那么 a j 上一位已经证了 a j 等于 h h 等于 b h， 所以 b h 等于啥？ x， 那 妥了， r t 三角形 b h f， 这不就是直角三角形，它就三边都有了，一个是 x 分 之一，一个是 x， 一个是二， 这时候就不管那套了，直接勾股就完事了呗。 x 分 之一的平方加上 x 平方等于二的平方，所以 x 方分之一加上 x 方等于四。 那这时候有人就麻了，说，哎呦我的妈呀，麻爪了啊，蒙了，说，老师麻了，这 s 方这玩意我不会处理。不会处理？咋不会处理啊？你不会整体代换吗？这直接就变成了 y 分 之一加上 y 等于四啊。 去分母乘以 y， 所以 得到的是一，加上 y 的 平方等于四， y， 所以 y 的 平方减二，整体的平方等于的是三，所以 y 减二等于正负，根号三， 对吧？那 y 等于啥呢？根号三再加上二，为啥等于根号三加二就正常取吗？是吧？好，那么 y 等于根号三加二，那 y 是 啥？ x 方等于啥？根号三加二。那么我要求的 x 等于啥？就等于根号下根号三加上二，根号里边投根号， 然后你要求的是 a c， a c 是 x 吗？不是，是根号二 x， 所以 你再乘个根号二，对吧？等于的是根号下二倍，根号三再加上四，你不会就扔，这就完事了， 对吧？根号里边套根号，他已经做到最极限了，对吧？那你最后结果分给我扣两分，给我扣三分，我认了，但是大部分分我都能拿出来，对吧？我都能拿下。这个我觉得是大伙啊，在这个考试的过程当中，这个电温火石之间啊，是可以做到的程度啊。那么根号里边套根号，不是说我们处理不了，我们可以处理， 对吧？无非就是把根号里边这个整体变成一个完全平方公式呗。那你看完全平方公式是首平方加尾平方加上二倍的首尾， 对吧？那么也就意味着首平方加尾平方等于几啊？二，二倍的首尾等于二，等于根号三。那我就变成二倍的根号下四分之三呗。这不正好吗？ 那你就知道了，首乘尾等于根号下四分之三，首平方加尾平方等于二，那就是相当于肯定是一个根号乘以一个根号， 然后里边的数相乘得四分之三。相加得啥呀？二，那你说是几啊？那我就可以想啊，那相加得二，我就一个二分之三，一个二分之一行不行？咱们算一下哈，他俩相乘的根号下四分之三， 他俩的平方相等 r ok 了。所以 x 实际上等于的是根号下二分之三整体的。呃，加上 根号下二分之一整体的平方，对吧？那他不是最减的那个二次根式，你得化减是不是？那相当于二分之根号六，再加上二分之根号二，整体的平方再开根号， 这是 x 啊，那 x 就 算出来了呗。 x 等于啥？二分之根号六，加上二分之根号二。那么我们要求的 a c 根号二， x 再算一下等于啥？等于根号三，再加上一啊。 我觉得到这步的话啊，是通过你的思路是可以处理的了的。那后面就得是有一点这个计算能力和做题经验在这了啊。
35满分数学高老师
10:01查看AI文稿AI文稿刚结束的辽宁所有考生最期待的大连一模已经结束了，在这套试卷当中，这道几何压轴题是难倒了不少的学霸，那么这道题他考察了终点， 那么终点会涉及到哪些辅助线呢？他是北京非常热门的一种考点，在终点之后又出现了大连的一些常见的共幺双等幺的几何基本图形，那么这道题我们应该如何利用终点和共幺双等幺快速解决他呢？这个视频老李告诉你， 首先当我们看到终点的时候，你会先想到什么呢？那么这个优先级是非常非常重要的，如果你说的是被长中线，那么你就有点不接地气了。首先当你看到终点的时候，我们要先想的一定是三线合一， 然后才是背长中线，背长中线因为我们在初二上学期就已经遇到了，那除此之外，我们会想到的就是中位线，中位线之后我们会想到斜边中线等于斜边一半，那么当然还有最后一条就是我们看到终点之后，我们要想到的是小棋子图，那么所以说我们先要了解一下 终点的基本构造，当然三线合一和非常中线我们大家每一个同学都了解，那么我们先要知道第一个就是小棋子这幅图，如果说你在考试的时候，并且这道题是一道 极其难的终点的压轴题，那么我们很有可能会用到小棋子来解决问题。那么首先你看到一条线，那么形成这样的一个小棋子的图，并且点 b 呢？它又是一个 中点，那么这个时候我们把它叫做小棋子，我们的方法也很简单，我们可以把它补成一个 a 字形，也就是说我们只需要延长这里的 a c 到达一个点屁，我们使这里的 c p 等于这里的 a c， 这样的话 bc 就是 中点，中点中位线，那么刚好此时我们就可以把 bc 这条边转移到了 dp 身上，对吧？扩大了二倍，同时呢也会出现平行，平行可以帮助我们倒角，这就是小棋子图。 当然我们看到终点的时候，也可以找终点进行中内线，比如说我们看到这样的一幅图，很明显就是要找终点， 这里的角 a、 d c 是 一个九十度角，那么你会发现此时此刻点 e 是 一个终点，并且这个九十度角他没有对着这个终点，那么我们要去找一个终点，那么如果找一个终点，我们要优先去考虑直角对的这条边，我们找这条边的终点就可以出现 斜边，中线等于斜边的一半，这个时候的 d h 应该等于 a c 的 一半，并且同时呢中点中点中内线，点 e 是 中点，点 h 是 中点，所以连接 e h， 那 么他就刚好又是个中内线，满足一箭双雕，这是就是中点的一个基本思路。 我们接下来再认识一下大连的一个老几何图形，那么这个三角形，如果 abc 是 个等腰值，这里的 ab 等于 bc， 如果这个角又是九十度，我再给你图当中这里 ab 是 等于这里 ad 的。 同学们，那这个时候你会发现 图当中出现了两个等腰三角形，并且他们是腰与腰是重合的，这种叫做特殊的共腰双等腰，共腰双等腰的这幅图，那么倒角是一定能导出二倍角的， 也就是说，如果我设这个角为 alpha， 那 这个角就应该是九十减 alpha， 那 么根据等腰三角形，那么这个角就是二 alpha， 图当中一定有二倍角。反过来，如果我给你这个二倍角，你也能证出这个 a、 b、 d 是 个等腰三角形， 那么当你看到二倍角之后，那么图当中也一定就会出现一边一二倍角，它属于一边一角当中的一种。为什么呢？因为这里的 ab 和 bc 相等，他们俩又挨着一个二倍角和一倍角，那么这个时候我们可以通过把二倍角减半，或者把一倍角加倍，构造全等 对角减倍是最容易的，因为等腰三角形三线合一啊，对吧？如果我做个垂直的话，那自然就可以发现这个角也就一定是 r， 二倍角就减半了，减半之后，那么这个 r 就 等于这个 r， 这个题就变成了一边一角了。 所以说我只需要再过点 c 做一个垂直，此时此刻这两个三角形就一定是全等的关系。当然这幅图你也可以把它理解为一线三角，但是记住一边一二倍角的思路， 解决共幺双等幺，它是通法。如果我再给你多加一个条件，这里的 d b 如果等于这里的 d c 的 话，那么此图将会再出现一个特殊的条件。为什么呢？如果延续刚才的方法，我们仍然可以得到这个全等，那么全等之后，这个边是 x， 这个边一定它也是 x， 那自然根据 d b 等于 dc， 那 这个边就是二 x， 那 么根据这个全等，我们又可以知道这个也是 x， 从而你会发现在这个直角三角形当中，这个边应该是这个边的一半，那什么样的直角三角形会出现一个直角边是斜边的一半呢？那么我们就能猜到这个角一定是三十度， 这个是三十度，我们就可以确定这个角就是十五度。所以图当中就会出现特殊的角，也不一定非要用一边一二倍角去解决问题，比如说等腰三角形，我们可以构造一个三线合一，对吧？那你会发现这条边是 x， 这条边一定也是 x， 那 这条边就是二 x。 如果我再过点 d 往这做一个垂直的话，那么此时此刻这条边一定也是 x， 并且这里的 ab 和 ad 他 俩都相等，都是二 x， 你 也仍然能得到一个直角边刚好是斜边的一半。所以说这道题里面一定会出现特殊角这个关系，那自然这个角 七十五度，那这个角还是可以确定是十五度，所以这就是一个大连的过去的老几何。图来看这次试一模的最后一问应该如何解决？首先这道题已经被我把条件简化过了，题当中首先有一个特殊的关系，就是这两个角的关系，这个角是 r， 那 么这个角就应该是 r， r 减去四十五度，并且你所看到的这个三角形，它是一个等腰直角三角形， f 在 内部 点 j 是 b f 的 一个终点，那么首先映入我们眼前的是一个终点，那么看到终点你会想到什么呢？ 首先我们已经知道有终点，并且有九十度那一个终点解决不了问题，我们要知道九十度它所对着的这条边，我们可以找一个终点，那这个终点也很好找，我们只需要往下面做一个垂直三线合一， h 就是 终点， 那么 h 是 终点，那么这里的 g 是 终点， h 是 终点，同时又形成了一个中点，中点中位线， 所以此时此刻我们也就可以一箭双雕出现一个中位线了。中位线以后，你会发现这个角它是四十五减 r， 那 么根据中位线的这个平行的条件，我们自然就可以确定这个角它一定也是四十五减 r， 而且我们三线合一，这个角是四十五度， 所以我们倒一下角，我们会发现这个角就是九十减二。算法，你会发现我们所看到的这幅图出现了一个二倍角， 对不对？也就出现了刚才我说的那幅图，那说明这两个角是二倍角。你简单的倒一下角，那么此时此刻这个三角形一定就是一个等腰三角形，那他既然是个等腰三角形，那就说明这个边是 x， 这个边也是 x， 那 这里的 b h 也就一定是 x， 那 这条 ab 这条边也就是根号二 x 了，同样 ac 也就是根号二 x， 所以 这道题我们想要求的是 aj 比上 ac， 也就是 x 比上根号二 x， 也就是二分之根号二了。 当然我们也可以选择用小棋子的方法来解决问题。比如说现在我们看到的这幅图，刚好这两个是中位线， 我们会发现我们只需要构造一个 b a 等于 ap， 这样的话，此时此刻这一条线就是中位线，我们相当于把这条边放大了二倍，转移到了这个位置，对吧？ 同样我们还知道这个三角形是一个等腰直角三角形，所以我构造这两个边相等，这个时候我如果连接这里的 c p， 我 相信每一个同学都知道怎么回事，这一定就是一个大大的等腰直角三角形。那接下来你会发现这个是 r r 减四十五，那这个角平行，这也是 r r 减四十五， 那么根据这个角它是四十五度，那这个角也就是九十减去二 f， 并且这个是 f 呀，这个又是四十五减 f 呀，你会发现这幅图又出现了我们刚才所说的那幅图共幺双等幺的这幅图，对吧？ 刚好他俩是二倍角，那也就说明什么呀？也就说明这个三角形在我们的眼中，导角就一定能导出是一个等腰三角形，所以自然这条边就是二 x， 那 么根据等腰直角三角形的一个特点，那这个是二 x， 那 么这条边也就应该是根号二 x。 所以这道题我们 a j 和 a c 的 比值仍然可以求到了最后一问，那也就变得简单了。如果说这里的 b f 等于这里的 f c 的 话，那么说明什么呢？说明我们刚才所说的这幅图，恰好这个 a h 是 经过点 f 的， 所以说咱们可以按照刚才的思路继续走。 我们如果连接这里的 j h， 那 么也就是说刚才的这个等腰三角形仍然是存在的关系，对不对？并且又同时出现了一件事情， 就是这个点 j， 它既然是中点的话，那么此时此刻又出现了一个斜边，中线等于斜边的一半，也就是说这个时候的图当中 b j 和 j h 又是相等的， 那这幅图又是刚才我们所说的共腰双等腰，并且又多了一个条件，就是这两个边又相等，那就说明什么呢？说明这个角一定等于十五度， 那么这个是十五度，那这个角一定还是十五度，所以说我们所看到的这个角也就一定是三十度了，而且图当中我们还知道这个角是四十五，并且这条边的长度还等于二啊，那么这个时候这个图叫做两角一边， 两角一边解三角形，中间做一个垂直，那么这条边是一，这条边就是根号三，这条边也是一，所以 ab 的 长度根号三加一，那自然这里的 a c 也就是根号三加一。这道几何压轴题就结束了，你学会了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！
738老李数学（初中）
08:01查看AI文稿AI文稿再来看一下二十三题，二十三题呢，他是放了一个几何的纯正压轴题。其实这道题我们来先来看一下分值，第一问占三分，第二问的圈一两分，第二问的圈二四分，圈三四分。 那我们简单看一下，其实整个题目最重要的内容还是考察了倒角问题，所以大连 的考试题型和考试范围都喜欢偏向于倒角，那么倒角也会在后来的中考里面也是重点考察的一个方向趋势。所以在后续一模到中考的这一段时间里面，大家一定要重视起来在几何压轴题这部分的倒角内容。 我们先来看一下第一问是非常简单的啊，去证明这个等腰三角形的这两个小三角形全等，这个就不重点进行讲解了。我们来看一下第二问，第二问呢，其实是圈二圈三卡住了大部分的同学，那简单看一下圈一圈一其实就是给了我们两个角度的条件，也就是 都跟角 a、 c、 f 相关，对不对？所以我们来看一下这道题。我把角 a、 c、 f 作为角 a， 那么我这些角啊，都可以用角 alpha， 那 我这些角 b、 a、 d 和角 a、 e、 d 是 不都可以用 alpha 表示出来再进行倒角？所以第一问就不进行系统的讲解了啊。我们来看一下第二圈二圈二呢，这里出现了 g 是 b、 f 的 中点好，中点问题，其实是寒假我们在进行中点问题进行复习的时候，它是分为了四种做题方法，第一种是等腰三角，等腰三角形的三线合一， 第三个是背长中线，第四个是中位线，所以一看到中点就要往这四个方向去想， 这四个方向也就是我们在上课的时候疯狂去提问，看到一个知识点，我们要想哪些做题方法，只有做这些做题方法想的特别熟练，那你在做题的时候才有抓手，才有思路，不容易漏情况啊， 不容易漏你的思路这种。那我们来看一下，这是中点，这是 b f 的 中点。首先我们来看 b f， 在 这里， b f 它不是直角三角形的斜边， 对不对？然后你说老师不我们刚刚正出来一个直角吗？但是 b f 这里不构成直角三角形，所以斜中这个事情我们不考虑。我们再来看等腰三角形三线合一的这个小思想， b f 它好像不作为等腰三角形的底边，对不对？好，那这个方向我也不去思考， 那么背长中线呢？背长中线在这里作图的话，可能会比较复杂，所以这个我们先放一放，但是我们先看后面这个中位线，中位线的话也就是两个中点 去连接构造一个平行且等于二分之一第三条边的这么一个啊，线段对不对？那这道题我们先来看啊， 这个 a b c 它首先是一个大的等腰三角形，所以它的底边中点它是非常有特点的，那我们这里取 m， 也就连接下 g m 之后，我们发现啊，这里构造了一个中位线，我们来看，在 b c f 这个三角形里， g m 是 不应该等于二分之一 c f 对 不对？那我现在是要把 a j 转化一下。 好来，我取了这个等腰三角形底边中点之后啊，千万不要停，我连接一下这里，我们是不是就构造了一个直角三角形，对不对？好，因为第一问啊，证明出来这个圈一，证明出来 b a c 是 一个直角等腰直角三角形， 所以我们可以把更多的角用阿尔法表示出来。来，跟着老师的思路，我们一起来标一下， 那么角 f c b 这里是不就是四十五减 alpha 没问题吧？很好啊，那你说老师这个角也是四十五减 alpha， 这可不是啊，因为你这个圈二的时候， f 还不在 a m 这条线上，所以这个 f b c 和 f c b 这两个角是不一样的啊。 然后再来看，我们来把已知的角都标注一下，因为这两条线平行，对不对？中位线嘛，所以这个角它也是四十五减 alpha， 那 上面这个 a m g 它是不就是四十五加 alpha 跟上了吗？很好啊，然后 这个大角是不是都可以表示出来，哎，对，所以这一部分他就等于他的一半九十度减二。阿尔法，哎，我们能够发现这两个是什么绝配角吧？对不对啊？他俩只要一出现的话，是不是就出现在一个等腰三角形里？也就是说我们能够证明 a g m 是 一个等腰三角形， 所以我们看到从圈一开始其实就有一点点倒角的小迹象显现了，那么圈二它是很明显的一个倒角问题，也就是通过中点引出中位线， 再通过中位线的平行以及倒角内容构造出一个绝配角，这样的话就会显现出一个等腰三角形。那么 a j 这条线段我自然而然的是不是就转换到了 am， 也就是让我们的 am 和 ac 进行比较，那是不是就是根二分之一 再进行互化一下就行了，对吧？好，来，我们来再看第三问，第三问它其实是在第二问的基础上添加了一点儿，那我们先把第二问先给它补全啊，把第二问的一些小条件补全，还是中位线， 对不对？只不过这个 f 现在是在 a m 上，是不是我们轻而易举的就可以得到 b f c 其实也是一个等腰三角形， 对不对？那这个时候看啊，刚刚这个角是不是四十五减 alpha， 这是 alpha， 那 么刚刚我们得到的这个不是定角的 fbc 就 定下来了，就是四十五减 alpha， 这也是四十五减 alpha。 哎，我发现更多的等腰三角形解线了，对不对？ 现在我要求的是 a c 的 长度，那通过上一问求 a c 的 话，等腰直角三角形，我是不可以求 am am 好 像是在这个三角形刚刚得到了 a g m 是 等腰三角形吧，对不对啊？很好啊，我们来看，我们先把一些角能用到的角写一下， 这是九十度减二阿尔法，那这个呢？是四十五加阿尔法，这里跟上了啊。来，再看这个角， f g m， 这里是不是一个外角，放大一下，它是不是应该等于 g b m 加上 g m b， 你 发现没有？是不是？九十度减二 r 法，这里是不是出现了一个子母形相似，也就是三角形 a g m 相似于三角形 g m f， 现在出现子母形相似，我们是不是通过我们的式子可以写出来 g m 的 平方， g m 是 作为我们的公共边吧， 对不对？ g m 的 平方其实等于 m f 乘上 aj， aj， 这里是不是就相当于 am？ 好， 来，我们来看一下，那么 m f 是 不是就可以用 aj 表示出来？那我们这里设一个未知数吧，我要求 a c， 那 我就设 b m 为 x， 所以 a m 为 x， 那 mc 为 x， a c 为根二 x， 也就是最后我算出来的 x 乘根二，也就是我的 ac 的 长度，对不对？很好啊，那我这时候 a m a j 都为 x， 题目已知 b f 为二， c f 也为二，那么我这个 g m 就 已知了，就是一。我现在代题一方等于 m f， 不知道放这放着乘上 am， 也就是 x， 所以 我 m f 就 可以用 x 表示出来，也就是 x 分 之一。那我现在的主要问题是不是要求 x 了？那我现在是不是就可以放到 b f m 这个直角三角形 b f m 中解得 x？ 好， 来，我们再来回顾一下这个二十三题。二十三题呢，重点考察内容就是倒角。我们发现其实在后来的话，中考的命题模式里面，它的去模型化是比较呃明显的，我们不是要一定的去背一些什么模型，而是更多的要去分析 这个几何。当出现了这种中点、中位线等腰三角形，我们如何去发掘它的一些做题方法和思路，这才是最主要的，尤其是倒角，在后续的练习中，一定要引起大家的重视啊。
73初中数学小宋老师
06:02查看AI文稿AI文稿学习一百道压轴题，今天学习的是大连一模几何压轴题，大家好，我们来看一下大连一模的几何压轴题。 ab 等于 ac 的 话，那么等边对等角，我的角 b 和角 c 也会是相等的， b 对 等于 c、 e， 那 么他们都加上这个对 e 的 话，就会是 b， e 等于 c 对， 所以不难发现，想证明这两个三角形全等，我们利用的是边角边， 所以括号一非常简单，我们来看一下括号二，那括号二呢？题目当中给了我们两个角之间的数量关系，那我们把这两个角分别表示出来，一个是阿尔法，另一个是比特，所以写下已知条件，应该是阿尔法等于二比特减四十五度，角 a、 e、 d 应该等于二比特。 角 a、 e 对 有没有什么特殊的位置呢？它应该是三角形 a、 c、 e 的 外角，而我们发现呢，由于我们第一位证的全等，那这个角 b， a、 e 应该等于的是角 c， a 对， 他们都减去这个对 a、 e 的 话，那么剩下来的 b， a 对 和 c， a、 e 就 会是相等的关系，所以这个角度也会是 r 法， 那么外角的话，就可以把它写成 r 法加上角 a、 c、 e 了，所以不难表示出来，角 a、 c、 e 应该是二倍，它减 r 法，而 r 法是二倍，它减四十五度啊，所以带入进去，应该角 a、 c、 e 就是 四十五度，底角是四十五度，不难得到顶角就会是九十度了。 然后我们再来看一下去二，那去二呢？说 g 是 b、 f 的 中点，对于中点的运用呢，我们有很多种的形式，那这里面我们挑一个最直接最好用的方法。 由于这个三角形 bcf 呢，是给我们画出来的，这个三角形不需要我们再去做额外的事情了，所以我们去找这个 bcf 的 中位线会很快一些，为什么说它很快呢？因为这个 b c 的 终点我们很好找，等腰直角三角形，我过 a 去做 b c 垂线，由于三线合一的话，这个 h 就 会是 b c 的 终点呢， 所以这时候我们连接 g h 就 会是这个三角形 b、 c、 f 的 中位线了，那么这两个点角就会是相等的关系，而点角和 b 它还能产生联系啊。我的这个角 b、 c、 f 应该是四十五度 减 b 它，那么自然这个角 b、 h、 g 也会是四十五度减 b 它了。 a h b 我 做的垂直嘛，所以它是九十度，所以我的角 a、 h、 g 就会是四十五度加贝特。那我们为什么要去这么找呢？因为题目当中让我们求的是 ag 和 ac 之间的比值，而 ac 呢，还是 a h 的 根号二倍，所以我们尝试着找一找 ag 和 a h 之间有没有什么数量关系。 所以除了这个角 a、 h、 g 我 可以用贝特表示以外，我的上面的这个角 h a、 g 也可以用 bea 表示啊。因为这个是三线合一嘛，所以 b a h 和 c a h 都是四十五度，所以我的角就可以表示成四十五度减 r f， 而 r f 也可以用 bea 表示啊，所以我们用 bea 表示之后，应该是九十度减二 bea。 那么在这个三角形 h a、 g 当中，我就可以利用三角形内角盒把这个角 a、 g、 h 表述出来，那表示完之后也是四十五度加倍它，所以它和角 a、 h、 g 是 相等的关系，那么自然底角相等，那么它的两个 ag 和 ah 就 会是相等的关系了。而刚才的 ac 是 ac 的 根号二倍，所以现在 ac 也会是 ag 的 根号二倍，那我们求的 ag 比 ac 的 值就会是二分之根号二了。 我们最后再来看一下圈三，圈三呢，是在圈二的条件下，又多了一个 bf 等于 cf 的 条件，所以此时我们像刚才一样过 a 去做 bf 的 垂线的话，是正好会经过我们的点 f 的， 然后再把我们的 g h 给连接起来，这是我们上一位所做的辅助线，那现在想要求 a c 的 长度，我其实就可以把它转换成求 ag 的 长度了，所以我尝试着去求一下 ag， 那 由于我的这个 b f 等于 c f， 所以 我又多了一个，这些都是我们刚才所表述出来的点角， 那么我们可以再过 g 做一个中位线，那描述方法就会是过 g 做 g k 垂直 a h， 所以 我的 g k 应该是 b h 的 一半。 而由于这个 b a c 是 一个等腰直角三角形嘛，所以我的 a h 和 b h 是 相等的，自然它就是二分之一 a h 了。而去二我们刚刚证明过 ag 和 a h 还相等，所以它是二分之一 ag 那 九十度，这条直角边是斜边的一半，所以我们不难发现这角是三十度，那其实是需要证明的啊，那这角是三十度。之后，我们来观察一下这个两个底角，也就是 a h g 和 ag h 就 都会是七十五度了， 那么自然这两个点角就会是十五度，所以我的 fgh 就 会是二倍的点角三十度， 那么自然我的 agf 就 会是 agh， 减去 fgh 就 会是四十五度了。 而由于告诉我们 b f 是 二，所以 g 是 终点的话，这两条边都是一，那么在这个 a g f 当中三十度，四十五度一，那么它是一个可解三角形，我们过 f 去做 a g 的 垂线， 这样的话我这个 g m f 就是 一个小的等腰直角三角形，我的 g m 等于 fm 就 会是二分之根号二，那所以三十度。而 af 是 另一个直角边，所以它应该是根号三倍的 m f， 所以 应该是二分之根号六，所以整个 ag 的 长度应该是 g m 加上 am， 也就是 二分之根号二加二分之根号六而去二。我们已经知道了 a c 是 a g 的 根号二倍，所以只需要把它扩大根号二倍就可以，所以最终的答案 a c 应该是一加根号三。啊。那这道题我们就讲解到这。
100【辽宁】智囊团初阶数学
13:29查看AI文稿AI文稿今天刚刚考完的大连市一模数学，我带大家分析一下这张卷，这张卷的话有几个特点。第一个特点是什么？二次函数和这个几何题，它的位置改变了，二十二题是二次函数，二十三题是这几何，还有圆圆没有在二十一题，而是在这个二十题。 二十一题是一个反比例函数应用的问题，应该也没有出三角函数，这是这个主要的变化，整体的难度我觉得是稍微稍微简单了一点点，可能跟中考比。我们把这个题重点讲一讲， 这上面这个从第十题开始。第十题这里边他说什么？他说给了个正方形对不对？这些边长都是 x， x， x 给了你个图，你要去给你个图，你要去看它横坐标和纵坐标分别代表什么含义哈，它的横坐标代表的是 x， 纵坐标代表的是这个 四边形，它的面积。当 x 等于零的时候，它是一，就说明重合，重合，重合就说明正方形的边长是一。哦， 里边这四个三角形肯定是全等的，就能得到这四个边相等，这个角和这个角相等，他俩加一起是九十能得到，他是九十度能得到，他是正方形。看这个图像，是不是当他有最小的时候是零点五，所以说最小，支持他四 d 是 错的，他让你求错误的吗？ 这个你去看它正常应该是什么？这是 x， 总长是一，这是不是一减 x， 它方加它方就是 e f 方， e f 方不就是这个四边形正方形它的面积吗？所以说就是它哈。第十题选四 d 哈， 然后第十一题的第十五题，我们来看下第十五题哈，十五题，他说在矩形它中 ab 等于二， bc 等于三， 这是二，这是三，这个是不是应该是刚好十三吧？然后做了一个什么垂直平分线啊？他的垂直平分线，那这个肯定是终点，这是一份，这是两份，这是不是有个八字相似？那他比，他是不是就是一比二？ 一比二，那这个是不是应该占三分之二的 d、 b 乘，也就是三分之二的刚好十三，这是十五题。 十七题。这个题哈，我觉得有点意思的，第一个问，正常算就行了。第二个问，他说一个消费者在购买手机时获得了五百元的补贴，他这个有要求的，你必须得是按照销商品销售价格的百分之十五进行一次性立减补贴， 你大于等于百分之十五是可以的。你设这个最低价是 y 元，你这百分之十五 y 是 不是应该是大于等于五百，你才能补贴， 对不对？才能获得这个五百块钱的补贴？你解出来 y 是 大于等于三三三三点，三三三循环。这个有的人就纠结了，我到底是取三三千三百三十三，还是取三千三百三十四，因为你得能获得五百元的 补贴。如果你是三千三百三十三，你算完之后，他没有对不对？没到没到没够，没够就还没够这个补贴，你只有超过他才能获得这个五百块钱的补贴。 所以说应该取的是什么？三千三百三十四元。这个题是一个比较小的点啊，很多人同学做错了，十八题，正常算就行了，十九题正常算，二十题，这个圆也比较简单啊，正常给的这个 a、 d 弧等于的是什么？ c、 d 弧弧等，然后这个圆周角就相等，但是圆周角相等，推不出弧等，你得通过推圆心角，然后再推弧等。 第一个让你证明这个，那你就正弦等呗，这两三角形全等就行了，对不对？就正弧等了。第二个问给了 c， e 等于 c b 这俩角相等，这俩角也相等，你就能导出来这个角是多少度，是三十度，三十度。他说 ab 弧和那个 bc 弧不相等吗？那 bc 弧这个角是一百二十度，那是不是直接就一百二十度了？ l 等于一百八十分之 n， p r 算就可以了。二十一题，这个题一看是考一个什么？考了一个反比例函数，考了一个反比例函数的图像反比例函数，那你就正常设呗，你看横坐标，这是 l， 这是 f， 那 肯定是 f 等于 l， 分 之 k 带两个点，带两个好算的点，把 k 解出来， 千万不要少零。算完之后你验证带带其他点，再验证一下。第一个，他说当吸管长度为八十毫米时， 让你求对应的振动频率，那你就让谁让你这 l 等于八十带过去等于幺零八零和值，和值括号三。他说啦，差没啦，你去找啦。是什么？是四百四，这四百四是谁？是不是指 f？ 所以 说就是 f 等于四百四的时候，往里一带就约等于幺九六， 要保留整数，那就是幺九六啊。我们来看一下二十二题，二十二题，我们从后面看看这个二十二题，他说 o a 等于 c， 点与 x 等于零的时候， y 等于 c 吧， 然后 o b 长等于几， o b 长等于二啊，对不对？那 b 点坐标就是二斗零，这个就是负三斗零把两个点带进去，这个小 a 小 b 可以 解出来，抛物线解式可以解出来，他说 d 点的横坐标是一，你把 d 点的横坐标一带进去，纵标就等于二，那 b d 长两点坐标都知道，你就往下做垂线，购物钉里是不是能得出它？应该是刚好五 科二一结束了哈，然后往下，他让你正点 a 在 直线 d e 上，要想证明点 a 在 直线 d e 上，你得把 d e 这条直线解式给我解出来，对不对？咋去解 d， e 点知道 e 点坐标呗，那跟 e 有 关系的，他是不是给了个 d e 等于二分之一？ b d 这个题其实我觉得出的挺好的哈， 因为 b d 长，第一个让你求了你，第二问你是不是可以利用它的长？你这个 d e 是 不是应该是二分之根号五，这个是刚好五，这是不是二分之根号五，那一点在 y 轴上，你就设一点坐标是零度 t 呗，你是不是就可以把它俩之间的距离 表示出来，往这边做垂线或者往下做垂线一的平方加上二减 t 的 平方，让它等于什么？二分之根号五就可以把 t 解出来。 t 有 两个，他给了 o， e 是 不是小于 o b 的？ 所以说我这个 e t 点是不是要二分之三解出来？这个 d 点的坐标， e 点的坐标是什么？ e 点坐标就应该是零到二分之三， e 点坐标就是零到二分之三。解完之后你可以把 d 这条直线写出来， d 这条直线写出来之后的话，那你就把这个 x 等于负三带回来，你看它的 y 等不等于零等于零，那是不是说明他在这上，所以说框二 也做出来了哈。然后来看一眼这个括号三，我觉得这个括号三看着很简单，但是你这个 x 一 的范围还是有点考究在里边，因为第一遍算的时候就算的是不太对的少，情况没有那么严谨。他说这个看着题很复杂，这么多点，但是你就按照他的要求一个一个写就行了， 把它这些特殊的都给它标记上来，它说 m、 n 分 别在线段、线段上，对不对？那你随便标一个点，假设 m 点就在这， n 点就在这，对不对？它们分别是横坐标是 x、 e、 x， 且 x e 不 等于 x， 很 重要，它 p q 在 抛物线上，且 pm 平行于 q n， 然后平行于 y 轴，它仨都平行，平行重合肯定不能是平行，对不对？所以你这个 l， 你 这个 x 二、 x 二， 还有这个 x 一， 是不是都不能等于零吗？如果等于零，是不是都重合了？也不能等于这个一，如果等于一的 q n 是 不是就在就就不叫就是重合了，对不对？ 然后他说直线 q n 与 b e 相交于点， g g 点在这呢，对不对？他给了 pm 等于这个。看着图哈，我把 p e 点 m 点标注出来，因为你这个 d e 这条直线，因为 e 点坐标知道， b 点坐标知道，那这条直线的解析式是不是就可求了？然后 x 一 x 一 横坐标都相同，你把 p 点和 m 点的横坐标都写出来，你给它做个叉，是不就能把 pm 的 关系式给它表示出来了？ 可以的， pm 的 长度就含 x 一 的给它表示出来。同理你把 q n 也给它表示出来，一定要看准这个点。为什么说这道题出的比较好一点？这个题其实很像我们高中圆锥曲线里边的计算，我我们上高中会学圆锥曲线大计算， 就是带点做茶，用罗密达法，用那个根据习俗的关系，各种超超超复杂的计算。哈，所以说这个在提前演练吧，给你们一点点这个提示，我觉得还挺好的，别看错了，一定要严谨， 很容易看错。 pm 表出来了， q 人也表出来，现在就差 e g 了，你看 e g 在 这，你这 e g 怎么知道一点？知不知道？但这一点你不知道，你可以用两点之间距离公式，但是这题你也可以用相似，因为这个长是二分之三，这个长是二，是不是说明这个应该是一个三四五的三角形， 那这个里边是不应该也是三四五的三角形？所以你知道这个长是 x 二，你除以四乘以五，是不就是 e g 长？ 所以说 e g 长就是四分之五 x 二，然后你根据这个关系式去倒倒倒倒倒往里写，这里边有个数据的处理，到这到这之后我可以怎么办？我可以把这个长得一样的给他移过来，给他乘四乘四，然后变成这了， 你可不可以给他平方差公式， x 一 加 x 二乘以 x 一 减 x 二，他俩不相等，是不是可以直接约掉？然后呢？ x 一 加 x 二是不是应该等于多少？ 等于的就是二分之一， x 一 就等于二分之一减 x 二，他让你写 x 一 的取值范围对不对？那我 x 二肯定是在零到一里边，那负 x 二是这个范围内，它就是在这个范围内，但是不要忘了，我这 x 一 是不是还不能等于零？它俩还不能相等？它俩相等的时候是不是应该是 x 一 等于 x 二等于四分之一？所以说我要把零和四分之一都扣掉，两边还取不了等啊？这个有点意思，我们来看最后一个二十三题， 二十三题的话，第一个问，哎，边角边全等就可以了，第二个问正常倒角就行了，你可以把它算出来。这个题括号一和括号的圈一还是蛮友好的，让该得分的同学还是得分的，你就不能你这个一点不得吧，对不对？还是给人一点希望的。括号二的圈二和圈三是有一定难度的。 这里边他说 b、 f 与 a、 d 相交于点， g 看见中点，我们看见中点，我们要想到什么？要想到四点四个方向，对不对？看见中点，第一个我可能会想到背长，背长中线， 第二个我会想到什么？第二我会想到，比如说三线合一，三线合一，我还会想到什么？斜边中线斜中，第四个我还会想到中位线，对不对？我上来我不可能直接就 知道辅助线正确的是怎么样，我肯定是要通过试错才能把它那个做出来，看它哪个是对的。那所以这里边我看 这个说让你求 a g 比上 a c 的 值是多少，那我有两种方法，因为我看见了终点对不对？那我这个是等腰直角三角形对不对？我可以第一种方法，比如说我取这个 bc 的 终点，这不斜中吗？我取的终点，我把它连上， 这是终点，我把它一连上之后，我们来看一下，这有啥？你这个是不是应该是九十度，对不对？这不是中位线吗？中位线是不是平行于第三边，并且等于第三边的一半？这是而法，这就是四十五度减，而法这个是不是也是四十五度减？而法，那这个是不是就是四十五度加？而法 上面这个角哈是四十五度，那这个是阿尔法减四十五度，你一倒角是不能得到。用四十五度减去，他是不能得到九十度减阿尔法，他要是九十度减阿尔法，这是四十五度加阿尔法，这是不是也是四十五度加阿尔法。所以你就能得到我的 ag 和 ah， 他 俩是相等的了。他俩如果要是相等的情况下，那你会发现什么？ 你会发现我这个俩 a g 和我这个 a h， 他 俩是不是应该相等了？ a g 和 a h 相等了，那我来看我的 a h 是 什么样子的？我的 a h 是 不是应该等于二分之杠二的 a c？ 所以 我的 a g 是 不是应该等于二分之杠二的 a c？ 这是第一种方法。这么做中线， 那我还可以怎么的？我可以 b 长，我把 b a 延长，对不对？延长至点 p 时，它俩相等，然后我连接它，那实际上是不是就这三边相等？这是不是还是个等腰直角三角形？它如果是等腰值，这是四十五度，这是不是也是四十五度？可以的中位线，它是不等于二分之一的它，我用同样的方法去倒它俩等腰呗。 那你去看这个角是 r 发，这是四十五度。四十五度加 r 发，这是四十五度，这个是同一角，这个刚才算出来是二 r 发减四十五度，对不对？这个是不是也是二 r 发减四十五度，那你看这个用四十五减它，这就是九十度减二 r 发，那这个是 r 发加四十五，这是不是也是 r 发加四十五，我就能得到我的 p f 和 p c 是 不是应该等于刚好二倍的 a c， 那 是不就正出来了？ 那这道题其实，嗯，还可以哈，看见终点还能想到，那我们来看一下这个圈三圈三，他说在圈二的条件下，圈二有啥条件就说明他还是终点，对不对？他说当 b f 等于 c， f 等于二的时候， 你圈二这个 b f、 c f 长不一定谁大谁小，但是圈三的话，它俩如果要相等的话，这是不是相当于一个对称图形？对称图形它就有很多特殊的情况哈，你可以把这个 a f 给它连上， 这个是 g 对 不对？你就可以得到 g， 其实告诉你是终点了，这一块左右两边都是对称的，那你这个 q 也是终点，这其实就是一个中微线了，如果它是中微线，你会发现你这个 g q 是 等于二分之一的 bc 的， 而你这个 bc 是 不是等于刚二倍的 ac， 所以你的 g q 就 等于二分之二的 ac？ 那 我刚才第一个问，圈二是不是得到 a g 等于二分之二 ac， 你 就能得到这三个边是相等的了？这个三个边相等，这是不是应该是一个等边三角形？ 如果它是等边三角形，那这个角就是六十度，六十度，六十度，它是六十度，那旁边这俩角加一起是不应该是三十？这是二 r 减四十五，二 r 减四十五，加在一起是不是四 r 减九十等于三十，我就能解出来 r 等于三十， 如果 r 法等于三十度，这就解三角形就简单了。这个是几？这是二啊。你往这边做垂线，三十边随便随便一半，这是不是一，这是不是刚好三？这块是等腰值，这是不是一？所以我的 ab 乘数应该是刚好三加一吧。 这个正常，去倒角哈，你能看出关系好正。但是可能说这个点是终点还是需要一点点？那个 整全等啊，或者整什么就稍微不太好说一点点。这个就是我们今天考的大连市的一模的数学卷。整体来说我觉得出的还是可以的，不会让你得到很高很高的分，还是有一定的难度在里边的，拜拜。
143大连倍多分刘丹数学
03:43查看AI文稿AI文稿今天来看一下这一份答题卡，我们看到了这位同学，那我们主要来看一下答题过程，那咱们先来看第一道解答题，我们比较好的点在哪？就是容易错的点，像竖列的问题， 我们要证明一个竖列是等比竖列，第一个关键的点就是首项是一，这道题这个同学已经写出来了，首项不为零。第二个我们会追到了公比，非常清晰的说明了这个竖列是等比竖列，这是第一步。 第二步我们要求通向公式和前向和，那我们的前向和正常给出来的是分组求和的， 前面是等比数列，后面是等差数列，所以我们分开两部分，前部分是等比数列求和，后部分是等差数列求和。那我们这道题的完完整整的答题过程就有了，那立体几何这道题我们这位同学也是算对的。 在这里边要提醒同学们有一个点就在于我们来看一下第二个问，第一个证明你看我们写的非常清晰的。第二个问，我们看一下第一个就提醒同学们，我们出现了 勾抹的情况，那我们肯定在考场上也会出现写错的情况的，如果出现写错的情况，我们一定要用一条斜线去划掉就可以了，不要出现这种 大量的勾抹，包括我们的后面这一部分的答题过程。还有一个点就提示同学们我们出格了，看我们正常的答题卡是要在格内来答的，那我们看后面这个咱们在扫描的过程中都是扫不到的， 我们这是正面的。前面的三道解答题的包括我们给的概率统计的这道题，第一个我们写出了概率，第二个对应的分母列也给出来了，这里再提醒一下我们这里面要有一个必要的原文字序号， 这是前面的三道大题，那我们再来看后面两道大题，咱们看一下后面两道大题，我们的圆锥曲线和导数的大题，那我们看这位同学的圆锥曲线，我们打的非常清晰的就是已知条件，第一个问咱们看到了求方程，那我们的方程解出来了， 第二个问根据已知条件去求直线过定点问题，那我们的定点也有了。第三个我们要出现的是求面积的最值问题， 所以先把面积公式写上看，比较好的点就在于这我们看到了先把公式写上，再把我们每一步求的东西带进来看我们的 d 在 这我们再带进来就可以了，这样我们就可以利用均值不等式，或者我们利用函数去求它的最值问题。 那在这里再提醒同学们一点，解析几何这道答题，我们的第二个问和第三个问是没有关联的，所以大家在审题的过程中要注意的点就是第一个问答完了，第二个问和第三个问之间如果没有关联的情况下，你第二个问没有做出来，可以先做第三个问， 往往第三个问是没有第二个问难的，所以这里边要注意一下我们考试的时候的一个策略，应试的一个策略 好最后一道答题的我们看导数，这道题我们正常给的过程也是第一个问，他是求极值点，我们看到了第一步是求导数，我们正常给出来了两个极值点，单调区间，要写上谁是极大值点，谁是极小值点， 这个一定要非常明确的，不能我们导数的零俩数解出来，没有写单调性，直接写 s 一 s 二是两个极值点，这是不可以的，也会被扣分。 第二个问，这里面会是到一个问题点，就是新定义的证明。我们在高考中会有一道答题是叫信息体和实际生活、生产科技等等有关的这个问题，所以这里面他会给出了一个新定义， 通过这个定义我们去解决问题的。那这道题里面的第一个问咱就先给出来定义了，我们第一个小问要证明它的震荡性是什么，第二个我们要证明它的衰减性是什么，所以咱们在证明的过程中就一定要根据它的定义去写这个过程，这就是我们板板整整的答题过程。
12胡艳华高中数学
02:44查看AI文稿AI文稿如何一分钟破解压轴？今天下午我们刚刚考了大连市一模，这道二次函数是我个人非常喜欢的一道问题，因为它极好地考察了同学们的代数推理能力，但如果按照常规性做法，它的计算量非常大，想得满分也不容易， 但如果你能合理转化，可能几分钟就可以破解一道压轴问题。话不多说，我们直接来看问题。 前几个问比较简单，我们直接来看第三问。由前面我们可以得到，有些点是确定的， a、 b、 c、 d、 e， 包括这条直线 f、 b 我 们都是能求出来的，都是定点和定线。 题中让我求 pm 等于 q， n 加 e、 j。 观察一下这三条线段，如果按照常规性做法， m 点坐标 x 一 动抛物线， pm 可用 x 一 表示， n 点， q 点这两个点的横坐标都是 x 一， 分别代入已知直线 e、 d 和抛物线里， q、 n 也可求好剩下 e、 j， 因为这一点的横坐标在已知直线 f、 b 上，所以这点坐标也可用 x 二来表示。 e 的 坐标又是确定的，所以根据勾股定律也不难求出 e、 c 的 长度用 x 二来表示，这样一来列出等量关系，它等于它，加它，你就能求出 x 一 加 x 二等于二分之一了，这是常规性做法。下面老师教大家一种转化的思想。 如果你对图中的点了解的比较清晰的话，你会发现这两条绿线段是相等的，所以都能求出它们等于四分之五， 这就意味着这里有等腰三角形，所以 n g 和 e g 也能求出相等，这样就进行了第一次转化，把它等于它加它的问题就转化成 pm 等于 q g 了，那这两条线段相等，我们如何来解决？我们可以 过 p 点，我们来做一条线平行于 f b， 大家想一下，这样一来这条直线跟抛物线平行于 f b， 大家想一下，这样一定会满足 pm 等于 q g， 所以接下来我只需要设这条直线解式，因为它和 f b 平行，所以可以设它的直线解式为 y 等于负四分之三 x， 比如说加 n 让它和抛物线进行连力，连力后我们让 x 一 加 x 二，请问得到的 x 一 加 x 二是不是就是我们要的 x 一 加 x 二直接等于二分之一了？ 大家可以自己动手算一下。所以你看，很多时候在解决压手问题的时候，其实选择比努力更重要，选择合理的转化好的方法比大家计算更会节省时间并提高准确度。
97唐萌老师讲数学
06:04查看AI文稿AI文稿大连市一模的二十二题啊，他告诉我们一个解析式，然后又告诉我们 o a 等于 o c， 我 们知道 c 点坐标是一个零豆三，所以说 o c 得三，那么 o a 呢，也是一个三，他就是负三豆零， 然后 b 点坐标又是得二豆零，我们把 a 和 b 往里一带，就能解出小 a， 小 b 啊，想让我们求 b 得的长度，那告诉我们得点坐标了，我们把得点的横坐标带进去，然后得点坐标能解出是一个一到二， 那根据得点和 b 点，然后再用两点距离公式，就能把得 b 算出是等于根号五，那么得 e， 这个也得一个啊，得他的一半是二分之根号五。 接下来呀，老师把一点坐标设成一个零逗 b， 这个点坐标是一逗二，然后根据两点距离公式，二分之根号五应该等于根号下， 嗯，一减零的平方，再加上一个二减 b 括号的平方，然后就能把这个 b 算出是两个值，一个是二分之五，还有一个是二分之三， 但是呢，二分之五比这个 o b 大 了，所以说要舍掉。那最后啊，也就是说解出 e 点的坐标就是零度啊，二分之三就能把 d e 的 解析式给它算出来啊， y 就 等于二分之一 x 加上一个二分之三，然后我们再把 a 点带进去，发现它在这个上面。 好，再来看一下括号三，给了我们两个动点，一个 m， 还有一个 n， 然后这里头有一个很重要的信息，就是 pm 平行于 q， n 平行于 y， 这样的话呢，就说明它们都不能跟 y 轴重合。呃，然后我们先把啊 b e 的 解析式算出来，然后就能把 f 点的横坐标算出来， 那接下来啊，我们把 p 点坐标用 x 一 勾负的二分之一 x 一 的平方，然后再减去二分之一 x 一 加上一个三， 那 m 坐标呢？就是 x 一 逗，负的四分之三 x 一 加上二分之三，这样的话我们就能把 pm 给它解出来，因为它只要在这个线段 f b 上面， p 点始终在上边， m m 点在下边， 所以说应该用 y p 减去 y m。 好， 减完之后就是负的二分之一 x 一 的平方加上四分之一 x 一， 加上一个二分之三。好，接下来再把 n 和 q 啊给它表示出来， 那 n 点坐标它是 x 二逗，二分之一 x 二加上一个二分之三， 那 q 点坐标是 x 二到负的二分之一 x 二的平方，然后减去二分之一 x 二，再加上一个三， 那 n n q 啊就可以减出来，是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，加上一个二分之三。那接下来我们需要去给它解决 e g， 把这个往下延长，这个点就是一个 g， 然后呢， e g 就是 这个长度。好，我们刚才算出来了，这个边是得二，然后这个边是二分之三啊，那你说弹进它这个值就能算出来， 对吧？然后我们过这点往这边做一个垂直啊，然后根据这个点的横坐标啊，就是 x 二，所以说就能把这个 e g 给他求出来，等于四分之五倍的 x 二。 那接下来，因为啊， pm 它是等于 q n 加上一个 e g， 那 所以把这个 pm 负的二分之一 x 一 的平方加上四分之一 x 加上一个二分之三，好，等于 q n 是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，加上一个二分之三，然后再加上一个四分之五倍的 x 二， 这个化简完之后啊，就会得到二倍的 x 一， 减 x 二乘以 x 一， 加上 x 二，然后等于 x 一 减去 x 二。 我们知道 x 一 和 x 二不相等，那这个可以约调，对吧？最后解出 x 一 加上 x 二，等于一个二分之一， 对不对？接下来还有一个，它让我们求 x 一 的一个范围，我们知道啊，啊， x 一 它是不等于 x 二，然后呢？ x 二它又大于这边一个零，然后小于这个一个一， 对吧？不能等于零，因为等于零就和刚才说他跟 y 轴就不平行了，是重合了，对吧？然后跟这个的如也不能等于一，等于一的话，那个 n 和 q 他 俩就重合在一起了，对不对？那这样的话，我们就能解出 x 一 它是大于一个负的二分之一，然后小于一个一。但是这里啊，还有一个特殊点，就是这个 x 一 它不能啊，等于一个零， 因为 x 要等于零的话，他也跟 y 轴重合了，对吧？那所以这里头啊，还要刨除掉一个 x 一 不等于零，然后 x 一 不等于 x 二。我们让他俩相等，发现 x 一 和 x 二都等于四分之一，那所以这里头还要刨除掉一个不等于四分之一。
07:29查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天老江给大家带来一个大连市是一模二十二题二次函数的一个简单的拓展分析。 那首先咱们先来说二十二题的一问二问主要考察大家一个基础计算能力。给了点答的横坐标是一，那怎么样？ b 点横坐标给了，这边有一个点 c， c 点 坐标给了 a， 点坐标给了。求出来二三数解一式，你们可以用两点间距离公式，但两点间距离公式用出来，写出来公式就给你们扣分了。那怎么样？我们简单的做一个勾股定律方程，则能求出来一点坐标。好，整个一问二问，我们结束那整个二三数的第三问，我们考察的点在于哪呢？有两个知识点， 第一个知识点有关于边长比例的运用，我们在整个图形当中，这实际上是一个几何的知识小点了。比如说我们现在在这出现了一个直角三角形 abc， 我 们拥有 abc 是 一个三四五的关系。我突然间这给了你一个答 e， 那 我说答 c 等于 t， 那我想问一下答 e 等于多少呢？能不能口算一下？此时我们可以说 abc 是 一个三比四比五的图形， c 答 e 也是一个三比四比五的图形，则我们可以用相似，也可以口算。我们知道 c 答是 t， 那 答 e 等于什么？等于四分之三 t， 因为 t 占一份四分之一，答 e 四分之三 t， c， e 四分之五 t。 好，所以第一块我们在整个题中需要这样一个快速运算，找到比例的手段，如果你不知道比例就不太好了，整个我们这有一个 b， f， m 是 什么？一个三比四比五的图形。第二块就是咱们今天要说的重点了，关于二次函数的 上减下。在我的压轴题班组中，上减下作为第一要务，也是我们整个题目讲的第一个大体演。我们预言今年有可能在中考当中还是要出上减下的， 只不过对上减下进行一羞羞的变形。什么意思呢？上减下有几种形式，第一种形式，我们基础求线段的 最直，有很多同学说了，老师，线段什么叫最直，我们只能求最小，或者只能求最大，都不对上减下，我们是可以既求最大又求最小的。比如说什么情况？我现在这有一个抛物线，如果抛物线内部产生一个 e 四 i 数， 这个图形面积的最大值，我就能求上减下，得到一个最大。如果告诉我说我现在的直线跑出了二三十外，比如说我随便给你设立一种 极限情况，那怎么样？直线与二三十之间这两个方程连立，我们可以做出来一个三角形，那这个图形的最什么值？我们可以求最小值，我可以求第二块上减下，涉及一个事，叫水平底 和铅垂高。我们正规的水平底铅垂高叫什么？你可以注意这是不是有一个三角形，三角形是 a、 b、 c， 我 们之前学的什么叫阉割吧，我们所有人都在拿哪个当水平底？ bc 两角间的水平距离作为水平底 a 到 bc 的 什么垂直距离叫铅垂高？黄颜色画的是铅垂高，红颜色画的是水平底，黄颜色的比乘以左边 h 一 加上等于左边三角形面积，黄颜色的比右边 h 二 除以二等右边三角形面积，所以整个图形的面积就可以写成黄颜色的比乘以什么红颜色的比除以二，我们简写为 a n 乘以 p c 除以二，就是整个三角形的面积了。那完整版长什么样？完整版还包括两个小事，第一件事是以 a、 c 的 水平距离为底，我们就会发现，那我此时以 a、 c 的 水平距离为底，我们要记住以 b 做一个垂直于水平底 交 a、 c 的 延长线与点 p 此时的图形面积等于二分之一， b p 乘以 a、 n 怎么算的？还是一个？来，咱们一起来画一下，看看这个图形咱们怎么算？我们能得到 p b、 c 的 面积 等于 pb 乘以左侧 h 一 除以二，乘以整个 h 二除以二。我们用 s 三角形 pbc 减去 s 三角形 pba， 就应该等于 s 三角形 a、 b、 c， 那 p b、 c 等于 p b 乘以 h 二除以二，所以就是 p b 乘以 h 二减 h 一 除以二，换句话说就是 p b 乘以 a、 n 除以二。那给大家留一个小小的思考， 想不明白还可以私信问一问我。那 a、 b、 c 我 们刚才说了，如果我以 a、 c 的 水平长度为水平底，也可以以 p、 b、 c 的 水平长度为水平底，那如果我现在以 a、 b 的 水平长为水平底，那我问你高应该是哪一条？ 比如说题目里就给我了 a 点横坐标跟 c 点横坐标，那我们图形的表达式应该怎么办？我们给的是不同的横坐标的不一样，怎么样？水平底铅垂高和面积的表达式一致在变。那这道题我们上减下考察的第三点叫什么？叫斜长 转乘纵长？那仔细看一下，我们在整个题型当中，什么叫写转做？大家可以注意到我们经常用的一个一二三的二三数， y 等于负 x， 方加二， x 加三，我们随便给你一个点，比如说在这边过点 c 给了你一条直线，这边给你个 p， 这边给你个 q， 我 们题目里会问什么？比如说 s 三角形 a p q 比上 s 三角形 a c q， 我 问这两个面积比值的最大值， 那我们就会产生一个新的思路，我们都知道这两个三角形的面积，因为你们两个是不叫同高，那所以我说你们两个的面积比就可以等于 p q 比上 c q。 我们第一步把面积比转成线段比，那线段比现在是不是一个斜着的长度？斜向线段长度比值我们不会求，怎么办？我把它转成纵向线段，长度过 c 做个垂铅垂线，过 p 做个铅垂线。 c m 比 p n， 所以我说你现在 p q 比 c q， 就 到 p n 比上 cm， 既然 p n 比上 cm 了， cm 的 长是个定值， c 点定 ab 减一式定 cm 的 值是个定值，所以现在在求什么？求 p n 的 最大值。 以上就是对今年一模一个紧要性的改变，那我们在做一套题的时候做的是什么？并不是这道题的原题，而是什么？我们对这道题类型的一个拓展，一个分析， 我们在对整个题的上，这道题能改出来什么题？它象征着一种什么类型？同样的出法都有哪些？通过这种方式去分析析题，希望能带给同学更多的灵感，更好的分数。 如果对以上三种问题有什么问题的，随时可以来黑石桥校区找我，今天是对整个一模二十二题上减下的一个拓展性的小规模分析，谢谢各位。
63初高数学姜沛雨
04:27查看AI文稿AI文稿今天是大连一模考试的第二天，我们先来浏览一下整个试卷的试题难易程度，以及呃，部分大题后面两个压轴题的分值分布情况。先简单浏览一下试卷，我看了一下啊， 呃，一到十呢，考的还是比较简单的。那第七题，这里出现了方差，他没有在后面的概率题中出现，而是一个简单的选择题的形式出现，所以说对大家来说挺友好的，挺简单。那第十题呢，出现了一个几何动点，这也是大连常考的一种动态分析问题。嗯，是需要根据 图二这个二次函数的图像去分析正方形 a、 b， c， d 这个边长的长度，对吧？好，那根据图像呢，我们就能得到， 呃， a e 是 x， 那 么 ab 是 一，因为 x 等于零的时候，这个面积为零嘛，对不对？那就是一减 x， 根据这些条件再去进行做题即可，还是挺简单的。 再来看一下十五题，十五题考得也相对来说比较简单。第一，他没有涉及到动情况分析问题分情况讨论，而是求一个固定长度的线段的问题，对不对？所以在这里给大家列举一下，他是使规作图和相似进行了相结合，进行了考察。 那么十六题的计算也相对来说比较简单。十七题也还不错，考到了二次函数的增长率问题啊，一元二次方程的增长率。看一下第十九题。第十九题呢，这里可能会出现部分细节扣分问题，也就是第二问 出现的函数表达式。注意，一定是 s 与 t 的 表达式，就不会得分了啊，这个一定要注意。 那二十题呢，考察的第一问和第二问其实都是考察了一个圆周角相等，那他们对应的同乎也是相等的，其实这一个圆周角的考察在鞍山一模也会涉及到，在第一问倒角的时候， 后续呢，我们会把这个图给贴出来。鞍山一模也是考察了圆周角相等，嗯，很多同学就是卡在了圆周角，不知道去没看出来，所以导致那道题二十 一题的这个圆的题就卡住了。然后我们再来看一下二十一题，二十一题是反比例函数的实际应用啊，的一个相结合，那这里呢，也是存在一点扣分的点，也就是第一问 注意一定写的是小 f 与 l 之间的表达式，而不是 x 与 y， 所以 简单的来看这张试卷的一到二十一题的基础，但是细节点部分扣分的点也是挺多的，有很多的坑，比如 s 与 t 的 这个关系式， f 与 l 的 函数表达式，一定要注意 看清题目所求，那我们再来看一下后面的二十二十三题。二十二十三题，尽管是大连的一模考试，给他调换了位置，二十二题考察的这个二次函数的计算，二十三题考察的几何，但是无伤大雅。我们先来看二十二题， 二十二题呢，首先我们打眼一看，其实没有涉及到新定义，也没有分情况讨论问题，只是第一问还是很简单，涉及到计算。第二问呢，那么就是要把 d e 这个解析式表达出来，通过这个题目所给条件， d e 等于二分之一 b， d 啊，那这样去把这个 d e 的 这个解析式求出来，再去判断 a 是 否在这个直线上，一定要注意写清，当 x 等于负三时，哎，代入 y， 哎， y 等于通过计算啊，把你这个 d e 的 这个解析式算出来之后，把负三带进去看看 y 是 否等于零，然后再去说明啊， a 点这个点的纵坐标和算出来的这个纵坐标是不是相等，所以点 a 在 直线 d， e 上。第三题呢，这里占五分的分值， 这个也是比较简单的一个横平竖直的线段嘛，对吧？好，那我们在这简单标一下， m 其实是在这， p 点是在这，这是 q n g m p 和 q n g， 它其实是两条平行于 y 轴的线段，所以就是把它们的横坐标，纵坐标表示出来，嗯， pm 就是 它们的横纵坐标之差， q， n 这条线段其实就是它们的纵坐标之差。 e g 这条小线段呢，我们是通过勾股定律去把它表示出来， 所以对于大部分同学来说，嗯，计算情况较好的，那我们能够得到的是 x 一 与 x 二的这个数量关系是完全没有问题的，可能会在这个十二分里面会扣一到两分，嗯，就也就是关于这个 x 一 的取值范围。
68初中数学小宋老师
01:18查看AI文稿AI文稿大连数学一模考完了，先说结论，和中考可以说半点都不挨着，也就是以本套卷子来作为复习的方向，就是完全错误的，只能说当做一次练兵。 二十二题呢，考的是二次函数，前两问没有问题，第三问呢，用点坐标来描述线段，计算量会稍微大一点， 求他的范围呢，需要采用声东击西的方法，因为 x 二的范围是确定的，所以根据 x 二的范围呢，可以求出 x 一 的范围，这个叫声东击西。那么二十三题几何呢？这个终点是唯一的一个条件，那么怕就怕大家在背长中线上下太多的功夫， 那就会导致你的辅助线非常复杂，那么你只要先怀疑他是根号二倍，然后呢，想办法去证明 a j 和这个底边中线相等，想办法去倒角正等腰，利用中位线就可以了，选对方向这道题就没有几分钟。 那么最后一问的做法呢，可能见仁见智，那么如果大家采用母子线相似呢，最终会产生四四方方程，那么解出来以后会出现根号套根号的情况。 呃，那么如果采用辅助线的做法呢，那就相对比较复杂了，所以最后一问，考察大家个号套个号，能否再把它开出来。
317齐元慧赢数学创始人
22:38查看AI文稿AI文稿初中几何理，只要看到共腰双等腰，角度关系基本就被锁死了，抓住这条公共腰，快速推倒角、秒正全等难题瞬间变简单，记得点赞、关注、收藏，反复观看。今天讲的这道题呢，可以说是人见人爱，花见花开的一道题了， 它在各大平台以及各大重点书籍里频频出现，它是去年大连的一模题压轴几何，也是今年辽阳的一模压轴几何。那我们今天来看一下这道题，那这道题呢，网络上有不同的各种讲法以及解法，那我们今天来选一种方法来讲解一下这 道题呢，它总共有三大问，第一问呢，比较简单，它主要属于倒角问题，但第二问呢，也比较简单，这个老师给它删除了。 那么在讲这个圈二的时候呢，市面上的很多老师用过很多种不同的方法，其中比较常用的第一个就是我们经常听到的旋转六法， 也就是以不同的点为旋转中心，将已知图形的各个边和角进行一定的旋转，重新组合来解出这道题。那我们这里不多说第二种方法呢，很多老师用了可解三角形， 而第三种方法呢，很多老师以及同学应用了我们答案当中经常给的一种方法叫想到了相似。 那么今天老师要讲的方法呢，是关于等幺三的一些应用。那么等幺三的应用呢？尤其在我们的大连地区，是频频出现，也是深入了解最多的一个地区。那等幺三的，比如说对称性 共幺双等幺、共底双等幺或共顶三等幺，是大连地区比较常考的题型。那比如说我们二零二五年辽宁省中考几何压轴，其实如果说大连的孩子来做的话，其实有点如鱼得水了， 它看似好像是一个关于几何的旋转思想的题，但实则题中暗藏玄机。那如果说对于共底双等幺学的比较好的孩子，那其实很快就能得到图中的 a n 是 等于 a c 的。 因此呢，很多同学和老师不谋而合，认为这肯定是大连老师出的题。那我们来今天来看一下这道题的解法。我们采用了共腰双等腰的性质。 首先呢，我们先来读一下这道题，先把前面的两问来做一下。如图，在三角形 a、 b、 c 中， c a b c 大 于 a b c 在 ab 上方做一个角 ab 的， 使 ab 的 它是等于一百八十度，减去一个角，再减去一个角。那么通过题中的第一个有效信息关于角的传递的话，我们可以去看一下图中有关的三个角的位置关系。我们来看一下是直接能得到一些角的关系，还是需要我们常用的射弦倒角法。 首先 ab 的 呢，它是这个角， a、 c、 b 是 这个角， abc 是 这个角，很明显，这三个角当中呢，有两个角，它是在一个三角形里面的。那 其实来说我们三角形内角和就是一百八，那所以说我们把这个式子变一下形式的话，其实就是这三个角的和为一百八。那所以说谁加叉和圈等于一百八呢？当然是我们的角 a， 那所以说这道题其实读完第一个有效条件之后，我们就已经非常明确，我们的角 a 呢，就与我们题中的角 a、 b、 d 是 相等的， 所以说我们的第一问就解答完毕了，角 c a、 b， 也就是我们的角 a 等于角 a b、 d 这个角，所以第一题非常简单，只需要倒角，连射圆都不需要，那我们继续读一下， 且 b、 d 等于 bc 是 等于 b、 d 的， 那我们来再看一下第二问给的条件，如图二，也就是我黑板当中的第二个图，它又增加了一些辅助条件，也就是我们的 a、 c、 b 已经是一个已知角，也就是 a、 c b 是 等于 一百二十度。而且有一个关于线段的已知条件，就是我们的 b、 c 是 等于二倍的 a、 c 的。 那在原体的皮干当中呢，并没有出现具体的线段长度，那这里呢？关于线段的比呢，我们就射圆倒边，那所以说我们就可以假设短的 a、 c 为 小 a， 那 长的 b、 c 就是 二 a， 又因为皮干中给的 b、 d 等于 b c， 所以 说我们的 b、 d 也是 二 a。 而我们都知道，我们数学当中只要出现一百二十度角，那当然就是取它的补角，那所以我们在做题的时候，我们不看问题，其实我们都应该知道，我们的一百二十度的作用就是应该向外延伸，找它的邻补角。那老师这个时候呢，先延长 a、 c， 因为它的已知条件呢，都在我们的右半部分，按理来说我可以向右做延长，延长 a、 c， 我 也可以向左延长，延长 b、 c， 同样的都可以得到六十度。但是我们的任何一条辅助线都是为了我们之后的证明步骤而做准备做辅助的，那所以说我的辅助线的方向就应该向已知条件靠近，所以说我们这块肯定是延长 a c 得到一个角，五角是六十度， 那这个时候呢？老师看到六十度肯定是做大垂，所以过点 b 做一个 a c 延长线的垂线， 我可以假设这个点为点 m， 这是垂直的，老师做的就是垂直。那么这个时候呢？我们发现当 bc 为二 a 的 时候，由于六十度、三十度、九度角的直角三角形，我们知道 c m 它就等于 a， 那这个时候我们发现题中很明显出现了 am， 它是等于 bc 等于 b 的， 而且都等于二 a， 而且在我们的第一问当中，也就是题干给的条件当中呢，已经很明确的指出，我们的第一个证明，也就是我们的角 c、 a、 b 是 等于我们的 ab 的。 那这个时候我们再回过头来看我们的圈一，它让你正的是角 a 得 b 的 度数，我们看一下这个角在哪， 也就是我们的角 a 得 b。 那 对几何比较敏感的孩子，其实当我们标出这些有效条件之后，其实就能猜测出来，我们的角 a 得 b 应该跟老师辅助线当中做的角 m 是 相等的，那我们这个图其实看起来是非常的对称的， 那也就是说我们可以证明两个三角形是全等的，哪两个三角形全等呢？我们来看一下三角形 a、 d， b 和三角形 b m a 当中，这两个三角形当中，很明显第一个三角形的 a、 b、 d， 它已经等于第二个三角形中的 m a、 b， 也就是有一组角对应相等。而根据第一个我们的等式发现第一个三角形中的 b 的 和第二个三角形的 am， 它也是相等的，那所以这又有一组边，而这两个三角形非常巧，它正好又有一组公共边，也就是我们的 ab 和 b a 又是相等的， 所以说这三组条件放一起就得到了两个三角形是全等的，也就是三角形的 a b 全等于三角形 m b a。 那 所以说第一个就得证了，我们的角 a 的 b 和我们的角 m b a 是 一组对应角，那所以说 a 的 b 它也等于九十度，它是等于我们的角 m 的。 所以说括号的第一问呢，也比较简单，我们再看一下第二问。第二问呢，很多老师和同学其实当时都被难住了， 那我们刚才老师说了，我们网络上呢，有很多各种版本的讲法，我们可以去查询一下，网络有的用旋转六法，有的用可解三角形，有的用相似，这三种方法呢是比较常用的，会的同学和老师呢可以在评论区当中把它给它发出来。那我们今天呢，主要讲咱们的重要讲法，也就是共幺、双等幺。 那我们来看一下第二个给了哪些辅助条件，他只给了一个 a c 的 长度是根号十四，也就是我们图中所标注的所有的 a 都是根号十四，那二 a 呢？当然就是二倍根号十四，那我们来标注一下， 顺便呢我们就可以把三十六度角的直角三角形中的 bm 给它求出来，采用勾股定律或三角函数都可以。那我们口算一下，他其实就是根号四十二， 也就是二倍根号十四和根号十四之后勾股定底得出。那根据我们圈一时候所证明出来的三角形全等，那我们可以对应一下， b m 是 跟 a、 d 相等的，所以 a、 d 它也等于根号四十二， 那也就是三角形 a、 m、 b 以及三角形 a、 d、 b， 其实它们的所有边都可以求出来，那因为直角边 b m 等于根号四十二， 直角边 am 是 等于二倍根号十四，那斜边 ab 我 们仍然可以用勾股定米，这里面可以大家自己来算一下，它其实等于二倍根号七，也就是什么呢？根号下 根号四十二的平方，加上二倍根号十四的平方得出来的啊，这个大家口算一下就行。 那我们再来看一下这道题上求的是什么？求的是 c 的， 那这道题呢，其实很明显已经出现了共腰、双等腰，不知道同学们看没看出来，那我们看一下这道题的根基。 我们的第一问虽然简单，同学们都知道没有无缘无故的第一问，我们的第一问的根基就是两个底角相等，也就是我们的 c a、 b 这个图中也一样，角 c a， b 和角 的 b a 这两个黄色的角是相等的。而如果老师把 am 和 b 的 交点设为点 o 的 话，那我们的三角形 o， a、 b 就是 一个等腰三角形。其实这是这道题的根基， 那由于原题当中我们已经很明确给过一个等腰三角形，那它的作用到底是什么呢？那我们的 b、 c 和 b、 c 的 它也是一个等腰三角形。题中出现了两个等腰三角形，除了我们以前常规的一些数学模型，比如说手拉手， 脚拉脚，或者说手拉脚，或者说摩洛莫基多等等等等，考察的也是我们一些关于等腰三角形的常用模型。而等腰三角形呢，还有一些其他的常用技巧，或者说是模型，也就是视频开头老师说的那几个。那今天的这个呢？我们来观察一下它的形态，也就是说三角形 o、 a、 b 和三角形的 b、 c 这两个等腰三角形呢？它们的两个腰是在同一条直线上的，那我们来先说一下什么叫做共腰双等腰。那比如说现在如图所示，我们的三角形 a、 b， 如果等于 a、 c， 这是一个等腰三角形，那如果说 b 的 等于 b、 e， 它也是一个等腰三角形，而且它的一条腰 b 的 和它的一条腰 ab， 居然这两个腰是共线的， 我们就称之为这两个等腰赛，名叫共腰双等腰。那它有哪些常见的结论呢？最常用的有两个，第一个我们不共线的两个腰，也就是 b、 e 和我们的 a、 c 是 不共线的两个腰，那这两个腰的夹角 等于什么呢？等于我们两个等腰四角形底边夹角的二倍底边是谁呢？这个三角形底边是 b 的， 而这个三角形底边是 bc， 它俩现在没相交，我们进行一下延长， 假设这个焦点为 m， 那 也就是我们底边的交角，其实就是角 e、 m、 b 这个角， 这两个角有什么关系呢？刚才老师说了是二倍的关系，也就是角 b、 e、 c， 第一个结论等于二倍的角 m， 这是第一个常用结论。那如何证明这个结论呢？我们都知道关于角度的证明呢？我们可以采用设圆角角，那如果题中出现了等腰三角形，我们可以设等腰三角形 a、 b、 c 的 顶角是 二阿尔法。等腰三角形的 b、 e 的 顶角为二倍，它通过外角定义，我们很快就能求出我们的角 b、 e、 c 是 等于二阿尔法加二倍它， 那如何表示角 m 呢？我们来导推导一下角，那我们的等腰三角形的 b、 e 顶角为二倍，它，那当然它的底角就是一个九十度减倍，它因为互为绝配口算能算出来，那我们的顶角 a 是 二 r 法，那所以底角 a、 b、 c 就是 等于 九十度减 r 法跟二 r 法也互为绝配角，那我们底边的 e、 b、 c 的 这个角， 就可以用整个的九十度减 r 法去减去这个二倍，它，那也就表示成九十度减 r 法减 二倍，它，那。所以说在三角形 e、 b、 m 当中，我们的角的 e、 b 又是一个外角，它等于角 e、 b、 m 加上角 m， 所以 说这两个角都知道了，角 m 就 求出来了，它是等于九十度 减倍，它这个外角减去其中一个内角，也就是九十度减 r 法减二倍，那我把它化减一下，就等于 r 法加倍， 那所以说我们刚才知道角 bc 是 等于二 r 法加二倍，而我们的角 m 呢，就等于 r 法加倍，那所以说我们不难推出角 bc 就 等于二倍的角 m， 这是它的第一个结论， 那我们的第二个结论是什么呢？第二个结论就是，如果当我们不共线的两个腰的夹角为九十度，也就是如果 b、 e 是 垂直于 a、 c 的 夹角为九十度，那我们这里面就会出现一个经常用的一个数学小模型，叫一边一户余构造全等。老师可以在这再画一个简图， 那就是下面老师画了一个图，如果 b、 e 是 垂直 a、 c 的， 那当然我们的两个底边的夹角就是它的一半，也就是变成了四十五度， 而且这里面会出现一边一户余，哪一个一边一户余呢？因为角 abc 等于角 a、 c b， 所以 这两个角是相等的。又因为我们题中出现了 九十度，所以说角 e c b 加上角 e b、 c 是 等于九十度，而且我们的 b 凳是等于 b、 e 的， 那所以说我们出现了一组边，对应相等 b 的是等于 b、 e 的， 而且 b 的 所邻的角的 bc 与我们的 b e 所邻的角 e、 bc 是 互余的。那碰到这个模型呢？我们就知道需要做双垂，所以说我们过点的做一个 b、 c 的 垂线，过点 e 也做一个垂线，所得到的两个直角三角形。假设这个为 p， 这个为 q， 三角形的 p b 就 一定会全等于三角形 b q、 e， 也就是这个结论呢，叫一边一互余，做双垂得全等。 我们言归正传，来看一下我们今天的这道题。那么今天这道题刚才老师说了，首先 o a、 b 是 一个等腰三角形，我们细细地观察一下三角形的 bc， 它也是一个等腰三角形，而且它的腰 b 的 和刚才的第一个三角形的腰 o、 b 是 在同一条直线的，所以说我们肯定符合我们的共腰双等腰。那我们的第一个结论就是他们的 不共线的两个腰的夹角。那我们来找一下不共线的，也就是我们的第一个等腰三的另外一条腰 o a 和我们的另外一个等腰三的另外一条腰 b、 c， 它们两个的夹角叫不共线的两个腰的夹角。皮龙刚好告诉你，它是一个一百二十度， 它等于什么呢？等于底边加角的二倍，那第一个等腰三角的底边就是 a、 b， 而第二个等腰三角的底边就是得 c， 那 这两个边呢？现在不共线，所以说需要进行一下延长，延长得 c， 假设交 a、 b 这条底边为点 p， 那 我们这个时候就可以根据第一个结论得出，由于角 a、 c、 b 等于一百二十度，那所以说我们的角的 p b 是 肯定是等于六十度， 那这个呢，我们可以通过我们刚才讲解的第一个结论的证明方法，射圆倒角来求一下，这里面老师就不再进行讲解了。那我们通过已知它是六十度之后，我们该如何求我们的 c 得呢？ 那我们来看一下，由于整个题当中，其实我们是有出现了直角三角形，三角形 a 得 b 的 三条边全部一直，所以说我可以过点得向底边做一条垂线， 你可以由射影定律，也可以由等积法，我们都可以去求出的 q 的 长，那我们可以用等积法来快速的求解一下我们的的 q 得 q， 它就等于直角三角的两条直角边的乘积，除以斜边根号四十二，乘以我们的二倍根号十四，比上我们的 a、 b、 a、 b 啊，这块有个比物，它应该是等于七倍根号二， 那除以七倍根号二，最后化简结果它等于二倍根号六。这样的话呢，我们就可以通过刚才老师推导出这个六十度的塞盈值，可以求出我们的得 p 的 长。得 p 呢，它就等于我们的得 q 除以塞盈六十度 得 q， 刚才求完是等于二倍根号六， 除以我们的塞六度，也就等于二分之根号三，最后化简完等于四倍根号二。那我们的得 p 求出来了之后，我如果能将 c p 求出来，是不是一相减就能得到我们的 c 得了？那所以说我过点 c， 再做一个垂线， 假设这个点为点 n， 那 这条弧线有什么作用呢？我们不但把六十度放到了一个直角三角形里，我们不要忘了圆体条件，我们的括弧角， 也就是角 c a n， 它也在一个直角三角形里了。而在圆体当中，我们的 d、 b、 a， 它本来就在一个直角三角形里。所以说我们可以通过相等的两个角的三角函数值相等或者相似， 来利用一下我们的条件来求解一下我们的 c n， 也就是我们这两个角的 sin 值。 c a n， 它是等于角 sin 得 b a， 这样的话我们就知道，也就是 c n 比 c a， 它就等于我们的得 a， 比 ab 进行一下代入， c n 是 我们要求的比上 c a 是 几呢？ c a 就是 原始中的那个 a， 也就是根号十四，等于的 a， 谁呢？的 a 是 根号四十二， 比上我们的 a b， 也就是七倍根号二，那我们可以求出 c n， 它就等于根号六， 那这里面我们来标注一下刚才的得 q 呢？我们求完是等于二倍根号六，而我们的 c n 呢？求完是等于根号六， 所以说这里面眼尖的孩子就发现了它其实 c n 就是 三角形得 p q 的 中位线， 那所以说其实点 c 就是 我们得儿 p 的 中点，所以说 c p 和 c d 它们两个是相等的，都等于二分之一的 d p， 那 所以说 c d 它等于二分之一的 d p， 也就等于二分之一乘以 d p。 刚才求完等于四倍根号二， 也就等于二倍根号二，那所以这道题就求出来了。当然也可以通过我们求完的 c n 是 等于根号六， 以及我们的六十度，先求出 c p， 然后用 d p 减去 c p 也是可以的。那么整个这道题呢，那会这个模型的孩子呢，很快就能发现这个六十度的所在，但是不会的孩子呢，肯定就发现不了，这里面其实延长出来是有一个六十度的， 那很多的答案呢，他可能是连接了的 m， 而这个的 m c 这个三角形和 a c b 这两个三角形是相似的，也就是刚才老师说的这个第三种方法相似，但是这个相似其实也是很少有同学能看出来的， 那所以说我们这种题呢，可以通过多种方法来求解。那如果说对这种题有兴趣的孩子呢，可以通过以上的旋转六法， 可减三角形以及相似这三种角度把方法发到评论区。我们今天主要这里面讲了一个思想，叫做共腰双等腰的思想， 也就是两个三角形的一组腰，如果在同一条直线上，那么他们是有两个常用的结论，第一个结论呢，就是不共线的两个腰的夹角是等于底边夹角的二倍。 而第二个呢，就是如果说不共线的两个腰的这个夹角是九十度的时候，除了他的底边夹角是四十五度之外，这里面又蕴涵了一个一边一户余的够全等的思想，这里面也是需要了解的。
224杨杨数学
05:47查看AI文稿AI文稿二、 b 选项，我们求的是弧长，是以 b q 为直径的球面，被平面 e、 f、 d e 和 b e 所截得的这个弧长 球心是 b q 的 中点，我设这个点是 o 二，它是中点，刚才知道了这是中点，整个长度 s c 是 四，所以这个长是一 底面边长， bc 也是四，这是个等边三角形，因为咱们刚才求得了是正四棱锥，所以这个角是六十度。我们先解决的就是直径，也就是 b q 的 长就应该等于四，所以是十三。 这个球的半径我们解完了是二分之，根号十三，这个直径是十三，开出来是刚好十三，所以我们除以二。 好，那我们要想求动点轨迹，我们来看一下正常球心的位置，比如说这个点，我们刚才设 o 二了球的直径，知道了，我需要知道的是这个球心到哪个面，咱们看刚才画的是 d e、 d e、 f 这个面的距离 到底坐在哪了？ o 一 这个点我们做它在底面上的投影，因为这个 q 点是中点，所以我们先把它画在底面上的投影，这个投影我们做平行线，它是一个四分之一的那个点，这个点是 z 轴的四分之一，也就是说如果我们坚信它是谁的四分之一，是 s o 一 的四分之一。 因为我们刚才给了这个点是四等分点，看这段是一，整个这个长是四，所以我们这块应该是一个四等分点。 再来看在这个方向上的这段长，按着刚才给的这个点，这个是一个四等分点，那下来之后，这个长我们刚才给了它的长度是二倍，根号二，上面这个一半是根号二，所以这个点咱们做出来往这个方向做垂线，也就是这段的长， 对应的是它的四分之三的这一个点。我们写出来 o、 e 和 c 取中点的情况下是四分之三这个点。然后我们过这个点线做这个面的垂线，你就能知道了，我们给他画出来 来看这的这个画出来，我们做的这是平行线，所以这个点的位置投影下来是在这的，我们要过它做这个面的垂线， s、 a、 c 这个面和底面 a、 b、 c、 d 是 垂直的， 这里面咱做个平行线，做出来这个垂直在这了。也就是说我们能知道 o 二做这个面的垂线垂足正好是在 b 一 这个点上的， 那么这个时候我就可以求出来了， o 二 b 一 的长长度求出来了。刚才我们知道的是大 r， 也就相当于说我们过他做底面的垂线，这个垂足是 b 一， 那这个长我们能求出来，那也就是底面上的投影， 这个是 d， 这是小 r， 大 r 是 二分之八十三，通过计算，咱们能求出来 d 的 值应该是四分之二分之三，所以我们的小 r 是 一 o 二在 e、 f、 b 一 d 一 内的投影在哪？在 b 一 这个点我以它为圆心，画一个小圆的半径是一， 我们看一下这个是 e、 f 是 b 一， 这个是 d， 刚才我们画了它是小圆的圆心 b 一 d 的 长是二，所以它是二倍根号二，这个长我们以一为半径画弧， 这段是一，所以我们看 p 点的运动轨迹咱们就能知道了，那对应的就是二分之怕，所以我们看这道题的答案二 b 就是 对的了。接下来我们再来看一下 c 选项和四 d 选项，那么 p c 最长， 那 p 在 哪动呢？咱们画平面图形的时候，我们看到了是在这个矩形的以 b 一 为圆心，以一为半径的这个弧上动的，要求的是 p c 的 最大值和最小值， 可以求出 c 在 这个面上投影，也就是过点 c 做这个面的垂线到底在哪？这还是一样的，咱把面是无限延长的，那我们给他投影过来看，刚才咱们说这个面是垂直的，所以我们给他延长出来，其实就像是什么样的，咱们还是画一个平面图形，我们看就像是这样的， 底下这条线我们画的是 a， c 看到了，然后呢这个交点，比如说我们说这个点是 h， 这个点是 h， 这是他的一个四等分点，我们画了一个洁面，上来是这条线， 然后我需要做的是过 c 做这个面的这个垂线，这是一个四等分点，那对应的这个长度关系我们刚才求出来了，所以我们做垂直的时候，这个角是四十五度，那这个是三，这个是三，所以这个就是 c 到这个面的距离是多少， 那我要求的是 p c 的 长，那么把它画在这个平面内，虽然说我们取的是中点这个 e d 一 的长，我们这个长是二，这个长是二，然后我们正常这个长是多少呢？是 c 点的投影这个点，比如说我们设成是 c 二的话， c 到这个面的距离知道了，要求 p c 的 长， c 和 c 二的长，咱们看 p c 的 平方，就可以写成 p c 二的平方，再加上 cc 二，而这个长我们是知道的最大值，咱们就能指这个长是定的，求 pc 的 最大值，就是要求 pc 二的最大值，把空间问题转化到平面内来。其实就相当于说 p 在 这段弧上动，使得这上的点到它的距离最大和最小，那最大咱们知道了，正好在这最小，就在这的。 回到题干中来，咱们看它是蓝的被的 d 一 b 一 蓝的就是一这条线，那 d e 的 长 是二，这是一，正好是中点，所以我们的 c 选项就是对的四 d 选项呢，他说最小，显然他不是四分之三和四分之根号二了，因为这个位置看这是一，这段长是二倍，根号二减一。所以呢，我们就直接能排出来四 d 是 错的。
47胡艳华高中数学
06:40查看AI文稿AI文稿接下来我们来看一道概率的答题。第十七题第一个问，我们说在和 a 中有三个红球，两个白球，然后 b 和中是三个白球，这八个球除颜色以外完全相同。 第一个是从 a 核中任取一个球，观察颜色，然后放回 a 核中，一共取球取了三次，恰好有两次取出的球颜色是相同的，概率是什么？那对于这道题来说，我们先来设事件，我们可以设事件， a 表示的是取出来的是红球， 是件 b， 我 们取出来的是白球。咱们一共取了三次球，每次取到红球的概率，因为我们是取后放回的，所以每次取到红球的概率都是五分之三，那我们取了两次球，取出的颜色 恰好是相同的，那我们两个都是红球，那 c 取了三次， c 三二红球的概率是五分之三，两次平方有一次取的是白球， 这是 p a 这件事情发生的概率。我们再来求第二个，两次我们取的都是白球，所以 p b 这个事件就是 c 三二两个球，两次取的是白球，其中一次取的是红球， 那这件事情他说恰好两次是颜色相同，所以我们算的就是和事件，那最后我们要算的这个概率 p 就 等于 p a 再加上 p b。 第二个问，这是我们讲的比较典型的这个问题，是后一次的操作，和前一次是有关的，是互相影响的。那咱们先来看一下第二个问， 每次从盒 a 中任取两个球，将取出的红球用 b 盒中的白球换，那我们看啊，白球是三个，取的是红球，就换进去取出的，如果白球就不进行替换， 不管你换还是不换，都把这两个球放回 a 盒中，这是第一次操作。好，我们看这样的操作进行了两次。问两次操作结束之后， a 盒中红球的个数， 咱先观察一下，我们第一次操作 a 盒中任取两个球，所以我们分为三种情况。第一种情况，我们设事件 a 一， 它表示的是第一次操作取出这两个球，两个都是红球。 a 二，这件事情我们可以设的是一个红球取出两个中有一个 a 三这个视角，我们设出来取的是零个红球， 所以我们先来算 a 一、 a 二、 a 三这三件事情发生的概率。 p a 一， 从五个球中我们取了两个球出来，两个球都是红球，三个红球中取两个。 a 二，这件事情是五个球取两个，三个红球取一个，两个白球取一个 a 三，我们是五个球取两个，两个球都是白球。 好，第一步操作我们完事了，咱们看第二个，是在这个基础上，我们看如果取出的两个都是红球，那我们是需要用 b 盒中的两个红球便被换成了白球， 所以我们现在 a 和中的五个球就剩了一个红球，四个白球。第一种操作之后，第二个操作，我们看 a 和中的一个红球被换掉了，那么现在就变成了两个红球，三个白球， 第三个操作是零个红球，就没取出红球，所以我们没有替换三个红球，两个白球。 好，我第二次操作是在这个基础上去做操作的，那我可能取到的球的个数，最后结束之后可能出现的红球的个数，那我们看 x 所有可能的取值就是零个红球，一个红球、两个红球和三个红球， 那我们一个一个来算概率，第一个零个红球，也就是说我们第二次操作之后没有红球了，那咱先看可能是什么样的情况下没有红球了。第一种情况的看到了，就是一个红球，因为我要取出两个球去嘛，没有红球了， 那在这个条件下，咱们是一个红球，那第二个也可以，他是两个红球，我们取走了两个红球，这下没有红球了，那咱们看第三个，是三个红球，我一次只能取走两个，所以不可能是零的这种情况， 所以我们先来看第一个，如果是零个红球，可能出现的情况就是在一发生的条件下，所以我们看是在一发生的条件下。刚才咱们算了这个式子，咱们可以把这个数算一下，五分， c 五二， c 三一，所以我们算 c 三二啊，是十分之三， 这个我们算完是十分之六，这个我们算完是十分之一。如果是在这种情况下的一个红球，那我们现在取走是十分之三，再乘以身一个红球，那我们取走了五个球中取两个球红球取走了四个，白球取一个， 或者是说在这个情况下两个红球十分之六，这个概率乘以他一共是两个红球，五个球里面取两个红球都取走了，不可能是三个红球，咱们一次不可能取走三个。好了，那这个概率咱们就算完了。 再来看 x 等于一的时候，就是我们经过一次操作之后换成的情况，可能是一个红球，两个红球，三个红球变成一个了，那这三种情况都可能，那咱们先来看第一个情况，就是十分之三乘以一个红球，他没动，那也就是说我取走的是两个白球， 所以 c 五二、 c 四二或者两个红球的情况下，我们取走了一个红球，所以是 c 五二上面是 c， 五个球里面选两个，三个红球中我们看剩的是一个，我要取走了两个，这是 x 等于一的情况。 接着我们再来看 x 等于二的情况，二的情况一次操作之后已经剩一个红球了，那我不可能剩二的情况，所以只能是第一个情况不满足，只能是第二个和第三个情况。那咱们看是十分之六乘以， 一共是两个红球，所以我们五个球里面取两个，三个白球里取两个，这个是三个红球，我们正常给的十分之一。 现在咱们看是三个红球中取走了一个，那就是 c 五二、 c 三一、 c 五二，两个白球取走了，红球没动， 这就是我们算的分布列，那我们把它分布列算完了之后，再算它的期望值是零乘以，这个概率没有了，这个是一乘以 x 等于一，加上二乘以 x 等于二，再加上三， x 等于三的概率。最后我们算完这个数就可以解出来。
36胡艳华高中数学
01:56查看AI文稿AI文稿我认为这套卷中评是没有什么参考性，今天挺好玩的一点啊， 我先带大家简单的分析一下，二零二六年大连一模，我当时拿到这套卷的时候挺惊讶的，为什么呢？这套卷当时我看完之后，我觉得起码就我个人而言，这套卷给我一种印象叫做我无从下手。为什么呢？因为这套卷两级分化非常严重 啊，大家都应该已经听到孩子们回家跟您说的印象了，什么意思？基础题，如果一个好一点的孩子，我给大家举个例子，我手头可能理数的学生比较多，如果一个理数的孩子，基础题四十分钟之内答完，我感觉这个孩子做慢了，三十五分钟 连写步骤带答题，一点问题没有，后边一个半小时他都能砸在那，二十三题最后一问他不一定能算出来数， 所以他就会导致一个很有意思的现象。是什么呢？孩子们会告诉你说，这套卷简单跟难有两个分化，情况特别特别的严重。 如果咱们家孩子平常情况下考试分数大概在一百零五分上下或者一百分上下，他会告诉你说，今年的一模卷极其简单，没意思，我感觉前面技术太简单老， ok， 我 能做。 如果咱们家孩子平常是一百一、一百一十二，他会告诉你说这套卷挺难的。 如果说这个孩子平常我是奔满分冲刺的，那怎么样？他拼运气，有一部分考到一百一十八，一百一十九的孩子告诉你，这套卷特别难，后面我不会，我想了足足四十分钟，我就是想不出来怎整啊， 所以这套卷老师很无从下手，但是大家不要太担心这个问题，因为这套卷在我看来，如果让我给他一个评价，我认为这套卷中评是没有什么参考性，我们可以快快乐乐的去等沈阳了，因为这套卷跟我们平常做的卷不太相符啊。
296初高数学姜沛雨
01:35查看AI文稿AI文稿大连的中考数学一模已经考完了啊，和老师来聊两句，初三的家长们，点赞收藏慢慢看！这张卷最难的地方是什么呢？是计算啊，我们的后面两个压轴题， 二次函数还有几何，它的计算量都是比较大的，如果说我们想把步骤按照得分标准写好的话，没有三十分钟写不完， 所以说我们在做题的时间安排上，一定要给后面两大题留到充足的时间，最低是一个小时，最好呢是八十分钟。再一个就是呢，数学卷计算量大其实还是比较正常的，等我们上了高中之后呢，依然会面临到这个问题。 初三的家长们一定要让孩子多练习计算，特别是南数，特别是勾股的计算，呃，相似的比值，带着根号的加减乘除，以及有理化的计算，这些比较重要，因为在我们的几何问题中经常就会遇到。 而二次函数题型还有一个点要注意，就是里面的一些直线的解析式是需要你自己去求出来的，这样你才能够去表示这条直线上的点的坐标的特点。 所以二次函数呢，一个是待几综合，就是在二次函数中用一些几何的方法，比如说像四，比如说三角函数啊。第二个就是一定要注意函数解析式的一个灵活运用。 直线的解析呢，我们初中的方法就是通过上面的两个点的坐标来求，那么还有的时候会遇到直线跟抛物线的焦点问题，那你就需要将直线跟抛物线进行连力，去表示它的焦点坐标。临近中考了，还是要关注下郝老师，多了解一下我们的最新动向。
48郝老师数学思维
