武忠祥27讲义在哪看
各位二七考研的同学们，大家晚上好，从今天开始，我们就开始了我们的高等数学强化班的课程， 那么在讲这个课程之前呢，首先我们吴老师要强调几点，第一就是我们考研数学复习啊，我们一般分为基础，那就是前面大家这段时间强化还有什么冲刺？主要是三个阶段， 那么实际上呢，这三个阶段里面最最关键的是强化阶段，而强化阶段的复习呢，大家注意在基础阶段，你看我们高等数学基础篇一共是十二张， 那么就是按照我们大学教材的顺序，然后做了一个系统的复习，那么这个时候呢，主要是为了大家跟大学内容衔接起来比较方便，所以大学呢，十二章，我们也就十二章， 但是第一遍复习呢，我们只是把一些最基本的东西捡起来，你考研呢这个要求还有一段距离，或者讲的通俗一点，基础阶段是把书油薄读厚， 但是呢这个内容太多啊，我们怎么能抓住要点，怎么又能达到考研的要求。 那所以这个强化阶段呢，那就是要把这个对这个内容呢，要做归音塔梳理，就是要把握整体形成体系。 那很多同学在接触阶段复习了以后，我觉得内容特别多，复习了后面就忘掉了，前面内容确实很多，所以复习一遍不行。 那么强化阶段呢，就是要在第一阶段的基础上对内容做规划总结，那么这样子呢，我们才能抓住要点。那么所以呢，我们强化阶段复习的主要策略就是把握整体形成体系， 就是这个内容要形成体系，不是零散，那么要形成体系，那么又要把书由厚读薄。那么这个时候呢，一定是要做归类总结， 那么一个呢，是这个归类总结内容，一个是要归类总结题型和方法，所以这个归类总结主要是两个方面。 所以强化阶段，你看，不管是吴老师讲课还是写教材，实际上都是带领大家在基础阶段这样一个前提下，对内容做规范总结提升，对题型方法做系统的规范总结。 那么所以呢，这个强化阶段应该是我们整个三个阶段里边最最关键的一个， 那但是不管哪个阶段，对数学来讲，那复习的核心仍然是三七，就是基本概念、基本理论、基本方法。 那么这个呢，我们说过，就基本概念、基本理论差不多占百分之三十，而基本方法整卷子变差不多是占百分之七十，所以重点仍然是基本方法，就是计算题。 但是这个百分之三十呢，往往就是考的概念理论，在这个地方也有四十五分左右。那么我们第一遍复习的时候，也复习了基本概念、基本理论、基本方法，但是那个时候是了解会用，要求很低。 但强化阶段呢，那就是理解掌握，所以这个要求就不一样了啊，对概念理论，我们要求要理解，不是简单背 对于方法，我们叫做掌握，所谓掌握，就是不得不太要知道这个方法，而且会用，而且要会灵活使用，那才叫掌握， 所以这个要求是比较高的。那么并且呢，既然要做归类总结，那所以我们在这个地方呢，归类总结的时候，这个内容就不受章节的限制，我们会把相关的内容归类到一起， 那么这样子才有利于把握整体，形成体系，这样才有利于把书由厚读薄， 所以这就是我们强化阶段复习的一个主要的策略啊。那我们下面呢，就是不管讲课还是写教材，都是按照这个思路，所以你就抓住两点，一个呢就是规范总结，常考题型常用的方法， 好，这就是强化阶段复习的主要的策略。那么在讲课之前呢，我们做几点说明。第一点就是我们强化阶段用教材，就是金宝图书出版的胡老师的高等数学辅导讲义， 大家注意，这个高等数学辅导讲义就是专门为强化阶段高等数学复习而编写， 对吴老师的书呢，应该不厚，这个不两百多页，不到三百页，这是数学一，那么数学二，数学三要求内容就更少，这就是我们强项阶段用的教材。 那么另外一个呢，就是关于教学计划啊，那这个我们注意，基础篇一共是有十二章， 那么高岛中学辅导讲义呢，就为了这个规范总结方便，我们这个章就变大了，那么这个地方呢，我们一共只有九章的内容， 那么这个章的编辑呢，是按照大纲编写，那么这个呢，章少了以后，就有利于我们规范总结，抓住要点。 那么九章内容呢？我们这个计划学时是这样的，第一章函数极限连续十个学时，那每次课是两学时，所以第一章就是五次课， 然后第二章呢，就叫一元函数潍坊学啊，这个是八到十个学时四次课，那么第三章就一元函数七分学，也是八学时，四次课，再下来就潍坊成两个学时，就一次课，然后多元函数潍坊学五个学时，两次半课， 然后二重积分我们放到前面，因为多元积分里边数二数三呢，只要求二重积分，二重积分是三个学时，那就是一次半课， 然后呢再下面呢就是无穷极数五个学时，然后空间几何及其应用一个学时。第九章多元积分学及其应用六个学时， 那么大家肯定关心说数学一二三要求不是不一样吗？那我们怎么知道哪个是我要求，哪个是我不要求？所以吴老师在编的时候，编书的时候就把大家共同要求的内容编在前面， 那这个呢，一共加起来，大家注意强化班的课程，吴老师只有四十八个学时，就一共是二十四次课，那么你注意这个内容，我们在大学学的时候要学一年时间，差不多至少一百五十个学时， 那么大学里边一百五十个学生，吴老师用三分之一的时间，他还要复习完，还要达到考研的要求，所以这个要求还是蛮高的。在我们这个强化班，这个课程强化强化，那这个强度还是蛮蛮大的， 那在这呢，大家注意，数学一二三要求是不一样的，数二是要求最少，所以我们考数学二的同学，实际上只要求前面六张的 啊，就是到二重积分，数学二只要求到这个内容，后面内容都是数二被要求，那么所以数学二的同学一共只有三十六个小时，也就是十八次课，我们就把数学二所要求内容就全部复习完， 那么数学三呢，就多一个无穷级数啊，对，数三的同学多一个无穷级数，当然无穷级数这个五学时里边，其中有一个学时是复列级数，那是数三不要求的， 那么所以呢，这个数学三呢，只要复习前七章，这个一共是四十个学时，那就是二十次课。 那么后面呢，这些内容啊，后面剩下这些内容都应该是数学一的内容。数学一是全部要求啊，那么一共是九张的内容，数学一就需要四十八个学时，也就是二十四次课， 这就是整个我们那个教学计划。当然每次课我们也有个教学安排，那个叫教学日历啊， 那个大家可能在你们这个学习那个这个安排里边，这个大家会见到啊，吴老师这个已经告诉我们助教老师了，当然吴老师今天也把它放在 ppt 里边啊， 那就是每一共我们是二十四次课，每次课从哪一页讲到哪一页，这个都有具体的安排。 那么希望大家关注一下这个，因为我们每次课希望大家预习，看一下这个我们就知道下一次课吴老师讲哪些内容，我预习应该从哪里预习到哪里，这叫教学日历，就是我们二十四次课，每次课从哪讲到哪啊， 这个也便于大家这个预习。那么另外呢，在讲这个具体课程内容之前呢，我们谈一下我们的几个教学环节啊，我们用的教材是高等数学辅导讲义， 那么跟讲义配套的练习题，这个呢，我们把它叫做高等数学辅导讲义的严选题。 我们这个教学环节呢，应该说主要有四个，第一个环节，因为今天是第一次课，可能很多朋友不知道，那么以后大家要有这个环节叫做课前预习。 那我们这个上写了十页就差不多，每次和吴老师讲的可能就是十页左右，但是具体从哪讲到哪，刚才那个表里边很清楚。 那这个强旺班的课程呢？因为内容要求比较高，我们这个进度也比较快，所以呢我们要求每个同学都要预习，那么预习以后呢，这个听课的效果会来的更好 啊，预习一下花多长时间？一般是半个小时到一个小时啊，讲义很快，浏览一遍， 看看明天主要要讲什么内容，哪些东西呢？我可能是熟悉的能看懂，有些东西我可能不看，看不懂，看不懂我也知道，我明天听课的时候，我重点要听哪里， 那么这个预习会提高我们听课的效率，所以一定要预习，特别是对基础比较弱，听课感觉有点跟不上，或者比较吃力的同学，更要预习，要变被动为主动。 那么对基础比较弱，听课有困难的同学，不但要预习，预习应该要多花一点时间， 那么这样做的话，我们会从被动变主动，提高我们的听课的效果，所以这个预习一定要有再从下一次开课开始。 那么希望大家在听课之前呢，一定要对下一次要讲的内容做一个预习，以提高听课的效率。 那么在下面呢，就是我们叫听课，就像我们今天这个大课啊，听课这个环节，那这个时候呢，大家注意听课的时候要适当做一些笔记啊，那这个笔记坐在哪里呢？因为吴老师的这个高数辅导讲义，每道例题都有详细的解答， 那么所以笔记需要记的并不多，那所以一般呢，也可以记在书上啊，那这是关于这个听课， 那么再下来听完课以后干什么？有的同学听完课就急急忙忙去做题目啊，写作业，或者写后面的这个严命题， 这很多同学是这样的习惯，但是后来发现呢，一些题有困难，然后回过了再来看书。那大家注意啊，听完课显然不应该就马上去做题啊，听完课做什么？就是叫课后复习， 那就是把今天老师讲课的这个内容要再复习一遍，那就是我听课的时候，可能有个别几个地方没听懂， 没听懂那个地方是不是应该因为我们这个视频有回放，那你可以利用回放把没听懂的地方呢，再听一遍或者两遍，争取把它听懂，或者如果还没听懂，那这个时候可能需要去翻一下你基础阶段，这个地方是不是哪个基础没 忘掉了，或者大学教材。那么把这个内容呢，先得把它搞懂，然后呢例题，大家注意啊，例题不是光是要再看一遍，例题一定要亲手做一遍， 这就是课后复习，那么这个课后复习完了以后再来做题，因为这个时候你有了这个课后复习，那么你做题就有了基础 啊，那么所以这个时候呢，第四个环节就做题，那么大家注意，这个所谓的作业题，就是我们叫 这个定制班，我们是按照大家每个同学的基础，以及每个同学要达到的目标，那么给大家定制的练习题呢？这个作业题就是量身定制的，所以必须要做， 那么做完以后呢？那还有我们这个书后面的严选题，当然这个作业题就这个定制的题目里面也包含了一部分严选， 那么有时间的话，其他的严选题也应该认真做。那这个严选题呢？吴老师建议大家按章做，因为我们是按章配的题目，所以一章完了以后，把这一张后面的那个严选题应该系统的把它做一遍， 这就是我们这个高等数学课程的四个教学环节，希望大家按照这样的要求来努力做好每一个环节。好，这就是关于我们这个课程的几个教学环节啊， 那么下面我们就开始我们的正式内容，今天是我们强化班的第一次课，那么今天要讲的内容是在一到九页啊， 那么这个内容呢，主要实际上是两个部分，一个就是函数概念，常见函数，第二就是函数的四大基本静态，那就是函数的单调性，就性、周期性、有界性。 好，下面我们就开始我们的内容。第一章函数极限连续，那么大家知道高等数学里边就是这个函数打的打交道，所以函数是我们高等数学研究的主要对象， 但是研究函数，我们主要用什么东西来研究呢？极限，极限是我们用来研究函数的工具，因为高等数这些重要的概念，你看都是用极限定， 第一个概念连续，第二个概念导数，包括基定积分，包括无穷极数等等，都是用极限定， 所以极限是我们用来研究函数的工具，这个是对象，这是工具。有了对象，有了工具，我们研究的第一个基本形态就是连续性， 所以整个第一章的内容就三大块，那么这一块三大块里面重点显然是极限，难点也是极限。咱们考卷里面真正要考第一章的话，那个极限是考的最多的，所以第一章三块内容里边的重点的重点是极限，难点也是。 那么所以我们把内容分为三个部分，我们叫做三节啊，第一节函数，这是我们研究对象，第二节极限，这是我们以后要使用的主要的核心工具。那么第三节呢，就是连续性， 那我们今天要讲的是函数，就是第一节的内容，我们要对这本内容这个主要的内容长考题型、常用方法做一个系统的规划。 那么首先呢，我们是对基本内容要做一个规划总结，我们把它叫做内容的要点，然后就是考试内容的要点精讲， 那么大家注意，在讲这个内容之前，我们先给这部分做一个概括的介绍。这部分呢，考试内容的要点实际上主要是两个，一个呢就是函数的概念和常见的函数。 那么第二个呢，就是函数的形态，那就是函数的单调性、基性、周期性、有界性。 大家注意这两块内容里边的重点的重点是谁，那就是函数的四大心态。在我们考研卷子里面，基本上每年都会考到关于函数心态的问题，直接或者间接的考， 那作为这个地方抄考的题型呢，实际上主要也就是两类题，一类就是关于复合函数，一类就是关于函数心态，而这个的抄考，这两类题里边的重点的重点就是谁他跟这个内容是对应的，那就是函数的心态， 这是对我们今天要讲内容的一个概括的介绍，所以你看我们复习的时候就两个方面，一个是对内容做规范总结，第二是对这一部分的长号的题型方法做规范总结。 好，下面我们继续来看，那第一个呢，对内容做规范总结，那么这个第一块内容就是函数的概念及常见的函数。 那么函数概念呢？这个大家都比较熟悉，我们多做详细的说明。那么这个地方呢，我们主要是强调一下这个函数的话，那它的核心是两个东西，一个就是定义域，一个就是对应法则。 那么虽然说我们这个地方也也有另外一个概念叫做直域，但是大家想一个函数定义域也给定，对应法则也给定， 值域就是确定的，所以呢，定域和对应法则是确定这个函数的两要素，这两个要素一旦一给定，这个函数就唯一确定的。 好，这是关于函数的概念。那么接下来呢，就常见的函数函数里边呢，一种用算，叫复合用算，所以关于复合函数，当然是我们经常要会跟他打交道。 那么关于这种概念呢，在强化阶段的时候，大家注意我们一定要抓住这个概念的一些要点，实际上呢，大家注意这个复合函数这个概念的要点是什么？注意不是任何两个函数都可以复合， 那么什么条件下两个函数可以复合呢？这也是这个定义的要点，实际上就这个，这个就是复合函数的要点。这个要点是什么？通常我们把这个叫外层函数，这个叫内层函数， 那么大家注意 d、 f 就是 外层函数的定义域，那么 r、 g 呢？就是内层函数的值域，就两个函数能不能符合，那主要是看外层的这个定义域和内层的值域，这个交非空， 它就能符合。如果这两个交是个空集，那函数就不能符合，这就是复合函数这个概念的要点。 那么另外一种常见的函数就是反函数啊，这个呢，当然也有严格的数学定义，但是这个定义的核心或者说它的要点又是什么呢？那吴老师认为这条要点就是两个字，那就是这个地方呢？唯一。 那我们知道函数 f 呢？它实际上是它的定义域到谁啊？ 到直语的一种应试，那么他要求说对任意给定的一个 x 按照某个确定的法则，那么这个确定的法则呢？我们数学上用谁来表示？用 f 来表示？有唯一的一个 y 和它对应， 就说一个 x， 那 么这个时候呢，再对应为一的一个 y， 但是呢，它也可以把不同的 x 映射到谁啊？对应到同一个 y， 那 你比如说我们 y 等于 x 平方， 一个 x 是 一个 y， 但是它也可以把不同的 x 正负一都对应到一，这是允许的， 但是呢，这地方要有反函数的话，你看他是这样讲的啊，那么直域是，他如果对直域里边任意一个 y， 那 当然在定义域里边肯定应该有谁对应的 x 是 映射到他，但是注意他要求是唯一的啊，就是说我们直域里边任意取一个 y， 在 电域里边有，并且只有一个 x， 那么映射过来刚好是他，那就不能出现两个 x 同时映射到这里。所以这个要求呢，就是要唯一啊，一个函数值在定义里边能找到，并且只能找到一个 x 映射过来，过来刚好是这个 y， 那么这个时候呢，我们就唱他有反函数，反函数记作 x 等于 f 一 y， 那 这就是这个反函数这个概念的要 好。下面呢，我们再来看出等函数，就是函数类非常大，但是我们打交道比较多的应该是出等函数和基本出等函数。 那么首先呢，我们在这方了解这个基本出等函数，什么是基本出等函数呢？那我们通常就是把这五类函数称为基本出等函数，逆函数、指数，函数、对数三角，反三角。我们在中学就跟他们打交道， 那么这五类函数呢，我们统称为基本性质，那么知道它的图形， 但实际上我们打交道更多的应该是出等函数啊，那些基本出等函数叫密函数，指数、对数三角，反三角。但是我们打交道更多的是出等函数， 什么叫做出等函数呢啊？这个定义要点是两个，第一是讲这个函数的构成，它是由常数和基本出等函数经过什么，经过加减乘除，这就叫有的用算，还有的用算是复合。 首先是这个函数是由五类基本出等函数经过两种用算得到的，就是和差积商复合所得到。
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102吃点薯条🍟
00:54查看AI文稿AI文稿我觉得大家在现今在做的复习上要相信自己，不能够急躁，大家认真来准备，我觉得是完完全全可以的。到六月份期末考试，所以大家作为基础就能复习，这不只有一个多月的时间，所以如果有些同学行动的比较慢的话，是不要抓紧 一点，你们大家不要错过什么，不要错过暑假啊，不要错过暑假，因为暑假所有同学都在进行强化的复习， 大家那个时候别掉队说大家前面这个阶段是不是要抓紧了，让大家基础阶段不要去 k 什么难题，不要去 k 什么怪题，那就要把基本概念回忆起来，把地理公式回忆起来，让大家动手做题，做一张课本里面的题目，大家原来上课用的哪个教材，让课本里面的例题做一做，练习题可以做一做，大家也可以做做，比如六百六里面的题目 就是大家这个阶段啊，五月这个时间段，希望大家在基础知识上一定要加把利器，要把它复习好，这样呢，大家到后面到强化阶段到暑假是会少很多麻烦，我想这点啊，是不是给大家打这么个招呼？
02:56查看AI文稿AI文稿这种题你不会做，不影响你考一百四十分，因为这种题一般出卷子最难的。我相信大家在基础阶段的时候，很多同学做这种题做的不好，看到就头大，但是这个也不要怕，这种题在我们考卷里边不一定考，即使考， 那每年也就最多一道题，因为他出的是难题啊，所以压力不要那么大啊，或者讲的通俗一点，就这种题你不会做，不影响你考一百四十分， 因为这种题一般出就是鉴别最难的题啊，最难的题我就不要它，我照样可以考到一百四十分，你说对不对啊？但是呢，我们还是从训练角度那对，特别是对基础好的同学，我们这个要做训练，那么这种题呢，我们当然要总结常用到底有哪些方法， 那么大家注意第一个方法我们大学就学过，那么拿到以后呢？先正收敛。为什么要正收敛？因为你两段取极限，必须在收敛前提下才能取极限，或者极限存在这个前提下，你两边才能取极限，这就是为什么要正收敛，你不正收敛，就算你两边取极限，几个代数能解出来，他不一定。对呀，所以这个必须要正收敛。 实际上呢，这个第二步很简单，这两步的难点就在第一步正收敛。那正收敛一般用谁呢？用单调有界准则。 那么难在什么地方呢？难在第一我是正单调增还是单调减？第二就是正单调，单调怎么增，有界线怎么增，因为单调性的证明，有界线的证明，这都是正不等式，那这个时候不等式证明同学也是个难点，所以这个地方呢，也需要总结， 但是还有没有别的方法呢？这不是做的时候，第一步就是难点，单调有界，这个证明就是难点。哎，我们会给大家总结另外一种方法， 刚好两步倒过来，第一步就令这个等于 a 等式，两边取极限，这个就解出来了。那位同学说，你这个解出来了，你没有正极限存在，解出来不一定对呀，所以光有第一步不行。那第二步呢？就是要正，你解出这个确实是它的极限，那么这个解法的难点 就在第二步。当然要证明这个东西我们一会会讲，我们也会总结，那怎么证明这个呢？他的一般思路是什么？我们一会通过例子来讲，所以这个地方就有两种方法，但是两种方法呢，本质的区别在于就这个正收敛和两边取极限这个步骤到了一下。 那么自然既然有两种方法，大家肯定要问了，那老师什么时候用第一种方法，什么时候用第二种方法？我说你现在就可以看出来，如果一个竖列的单调有界好正， 那就用方法一啊。这就是我们大学学的方法，也是考研卷子最常用的方法。但是如果你的单调有节不好正，或者有的竖列根本就不单调， 那方法一当然不好用，当然是用方法二，那这个时候就牵扯到那这个竖列到底单调有节好不好正，那么这个它有没有单调性好不好正，它到底单调不单调，那是不能够，能不能很快做出判定呢？ 那这个就是关键，所以这个地方就得总结什么东西啊。那注意这两种方法，第一个方法实际上说穿了就是用的带调剂准则，第二方法在证明这个极限等于 a 的 时候，是用的加 b 准则。所以这两种方法 本质上就是我们这个极限的从两个存在准则，就是这个地核高安系列的处理极限。在处理这两种方法，它的核心的理论依据是什么？一个是带调剂准则，一个是用加 b 准则，就是证明 x n 也有界，实际上用的是加 b。
330跟武忠祥老师学高数
00:27查看AI文稿AI文稿进入考研数学强化阶段，一定要用武忠祥高等数学辅导讲义附赠研试卷，这个阶段就是要实现能力跃迁， 从会做单个题目到熟练拆解综合题，全书九章结构完整，每章都有考点总结、方法、技巧和高分研题，通过例题讲解，帮你理顺解析步骤。书中还附有大纲与数一二三区别，排版清晰。扫码获取配套课程正版书在左下角。
01:09查看AI文稿AI文稿呃，我就想告诉辅导讲义这个严选举，然后第一张啊，第一张这个有五十道题，然后 我，我做下来的话就是正确率还可以，我算了一下应该是，呃，百分之七十二这样子。对，然后对的还是比较多的，就是错的有几道不太会，就是求击，就是单调有节准则这里。 啊，这不是啊，对，这个求极限的方法，那个用加逼还有定积分定义那里，然后包括后面这个单调有一些准则，这里有一些不是很会，然后可能过程也有一些问题。对，其他的这两道证明题我就觉得 还算比较简单。其他的我觉得这个这张演习题还可以，就是学完强化课之后还是蛮对应的。然后五十道题的话我大概写了三个多小时吧。嗯， 对，第一张就这样，然后我的正确率是差不多百分之七十二，因为有的是一半一半的题目，所以大概统计了一下。嗯。
241underwood
01:51查看AI文稿AI文稿红开已进到强化的同学，这期给你们讲一下辅导讲义的究极用法，学会考一百三十分，手拿把掐，先修结论，就是以辅导讲义为基础做题型总结，并且后期可以在你总结的基础上一级往下补充，这样就可以形成一套你自己的专题讲义， ok， 直接像干货。首先是什么时候做主播的？建议是二刷辅导讲义的时候做，并且二刷的时候建议把例题全部刷一遍，这位书香的例题真的真的出的非常好，刷完一章就去做一章的题型总结。然后是怎么做辅导讲义的？每一章都会把相同的题型的几个 题放在一起，这几个题往往都是用不同的解法的。同一种题型你要做的就是绞张 a 四纸或者用平板笔记，如果用 a 四纸写，建议每种题型后面留点空白，方便后续补充。然后把题型和做题方法和做题思路写到一起。 注意这里不用抄题目，也不用默写，只需要写清楚题型，再标注一下这种题型在辅导讲义第几页，这样既方便查阅，又不需要花费很长时间。最后是怎么补充，当你刷别的试卷或者套卷的时候， 碰到那种这个题型你总结过，但是这个方法和做题思路你没见过的题，这个时候就把这个方法和思路补充到你的笔记上，并且标注一下在哪里碰到的这个题。 例如八八零第三枪基础第四题或减二十五超越一第十题，方便以后复习。最后的最后补充一下 这个题型总结做完之后一定一定要经常翻翻看，熟悉每一种题型的做题方法和思路，把框架直接印在脑子里面，形成条件反射。看到这种题，脑子里直接就出现你总结的几种方法。考研数学能做到熟练加穷复就能考高分。还有一件事，加纳。
5358上岸的刘
03:26查看AI文稿AI文稿有同学说，老师我拿道题就没想法，那题的想法在哪里？当然，首先看题目给的条件是什么，给了 f， 给了 g， 问他们在零点有没有极值，有没有拐点。 那我知道哦，这是一个可导函数，要看某一点有没有极值，首先看必要条件，那就是看一阶是不等于零，但是一阶等于零只是极值的必要条件，但这点有没有对极值，要么要看这两侧一阶是否变号，要么看二阶是否不等零，一阶是否变号，不是很容易看，我们就直接求它的二阶。 哎，一节等于零，二节不等于零，这就够了呀。你得知道这个题呢，一节不等于零，二节一节等于零，二节不等于零，那肯定就是极值点啊。 那么所以呢，我们就知道啊，这个 f 在 内点取了极值，既呢，零点，一节等于零，这是必要条件，二节也等于零， 那这个时候呢，不能断定极值，也不能断定拐点。再求啊，三节不等于零，二节等于零，三节不等于零，那一定是拐点，这是拐点的创造条件啊。 所以结论就有了，零点是 f 的 极值点，零零点是曲线， y 等于 g， x 的 拐点，所以你看， x 等于零，是 f 的 极值点，零零是曲线，这个的拐点，这个就做出来了。这就做这种题的常规的做法。 但是大家注意，这个做法比较复杂，复杂在哪里？一个呢？是求这的二阶，一个是求这的二阶，这的三阶。更麻烦的是这个地方，三阶 这个工作量很大，也很容易算错。有同学说，那我看那个二阶是否变号，那个也不容易看，所以这是个基础的方法，但这个呢，就比较慢，还很容易错，因为他比较复杂，还有没有其他的方法呢？ 实际上大家看这个问题呢，麻烦是在哪里？麻烦就在求零点的二阶、三阶，二阶以上就叫高阶，求零点高阶导数，除了这样求导数带进去，还有没有别的方法呢？ 当然有啊，那就是谁，那就是泰勒公式呀，用泰勒公式求高阶导数。那么有同学说了，那老师这个泰勒公式，那我怎么用呢？这个泰勒公式啊，你看这就是刚才我们那个地方的思想啊， 那这个时候呢，注意，实际上呢，在这个地方呢，我们只要这个写泰勒公式的时候，你看我们把这个两个，因为这两个泰勒公式都知道，我们只要把它的最低次项写出来就行了，你看这个 e 展开最低次项是 t， 那么这样的它俩一乘以 t， t 在 零， x 等于积分就十二分之 x 平方再加小 o。 好 了，那你注意它的零点，它的展开式最低次项是二次项，这就说明谁说明 f 一 撇零等于零， f 零也等于零，两撇零不等于零， 那立马就知道是基值点，所以我们从这里往就可以知道，这是利用泰勒公式，可以知道啊，利用泰勒公式这个系数，我可以知道这两个。 然后呢，这个一样的道理，首先写他的泰勒，那么他的泰勒呢？最低次项是谁啊？他就是一，然后注意写这个的泰勒，因为赛用泰勒首项是 x， 这是平方，所以只要写他最低次项就够了，这个里边一积分，这是 x 加小 x 跟上一乘，最低次项就是立方。 那好了，这个零点它的公式写出来以后马上就知道哦，三次项以前的系数都为零，那这一撇零等于零，这两撇零等于零，这三撇零就等于六。 好了，那这样的话立马也就知道这个是对的，但是注意这个就比上面简单多了，这个就是要求出 g x 的 零点，一节、二节、三节导数，他是利用泰勒公式比那个一节节求求来的方便啊，还有什么办法？
