八下数学折叠问题 仿生教程
啊，主题读一遍， 以折叠为桥感相似之美。再来以折叠为桥感相似之美。 以折叠为桥感受相似之美。那问题的背景是折叠，对吧？那么本质 讲的是相似，对不对？我们用相似来解决问题，请看第一题。 蟹桥横桥 v 正方点 f 在 a， b 上点 g。 在 推车上当正方点 a， b， c 等于 d， c 上点 f， 在 d， c 上点 b。 在这个题目的字里行间当中描述了一个重要的词汇叫折叠。图形的变换，对吧？图形变换 之一， 折叠。那么请问折叠有哪些细节？ 后面的 对应线段相对，折叠前后对应线段相对， 还有补充的吗？比如说图形当中折叠前是 a f g 的， 对吧？折横是 f g 折过了以后，那么 e f 等于 a f f e p e 等于 a d， p g 等于 d h d g， 对 吧？这是 绳子这一端等于这一端对应性端，是吧？还有其他的补充吗？对，对应的。 甚至有人在下面嘀咕，两个图形是吧？全的 还有补充的， 还有补充的吗？ 折叠前后，它不仅仅传人，它的位置上也相当之特 殊。折叠前后重叠的那两部分，它们的关系呈呈对称， 因此根据轴对称的性质，它里面有特殊的性质。如果轴对称的话，对应面相等，对应角也相等，对吧？但是它里面还有特殊的性质。 后面 你没有抬头看我，是躲逼我吗？那你试想一下还有什么意思？骆驼所是 当折叠后， a 点的堆点落在 e 点，其实也同时跟告诉我们 e 和 a 关于折痕成什么 走对称，因此这两点的连线和 f g 成什么样的位置关系， 所以这里边的长的就是 对应点连线 背折痕垂直且平分，我们是不是忽略了折叠当中最重要的细节 啊，这个性质往往是隐藏在里面。好，各位同学，那么下面我们能不能解决我们这样的问题呢？ a e 和 g f 的 数量关系？ 后面的同学你是在闭目思考对吧？ 有什么办法来解释这两条线段之间的数量关系？ 造， 你来造， 你想造什么？姑娘你想造什么？哦，你想造两个全等三角形 是不是巧了，不过现在点子巧了对吧，那也是易老师画巧了 对不对？这个地方标一个 f 一 可以不？ 什么一照他也看出来了吧，他做什么的？做全等？做全等 对不对？做了全等然后找关系吗？什么关系啊？ 什么关系啊？啊，不是这两个什么关系啊？想走是不是？安全在哪安全在哪？正方形这条红线跟这条线什么？ 哎，也就是说全等式三角形 a b e 全等于三角形 f f e g。 有 人说，老师你不就是这个和这个等这个直角等于这个角吗？还不还缺条件吗？ 为了自己，为了帮助一部分孩子，请个学生来请自己。 除了 a p 等于 f f 一 以外还有这个脚像的以外还有一个条件请你来处理一下，别往好 后面，你来吧。不行啊， 哎，看看人家怎么解释的啊，不难就难的，你嘛。 啊 哦哦，我配合你一下啊，这个角加这个角等于九十度 啊，这个加这个九这个加这个九十度的啊，太小了，换个地方吧，挤死人了这。哎呦，换个地方吧，这个加这个九十对吧。然后呢？ 这是？老师，你还以为我有点歪呢，还不如啊这笔吧。 这个这个加这个九十对吧，还有呢老师吗？我这不是看不出的话 哦还是还是人家小眼睛看得到。小眼睛小眼聚光。这个加这个九十对吧，因为这个是这个是垂直的吗？这个垂直你们知道了吧。哎你从哪里来的？ 他加他九十他加他九十，所以这个等于这个对吧。哎，就这个道理 啊，小姑娘又不说话会。哎呦喂，这个东西折腾死我了。我看看这样能不能这样行不行哈这样行不行看看哪里哈。嗯 你看出来了还有没有孩子能帮我们解释一下。 我这样解释吧。啊我总感觉到好像应该大一点看着舒服点对吧小朋友这个地方不是说垂直了吗对不对？折叠的杏子吗？这个跟这个垂直这个也垂直这个角两个都是九十对吧。 那么他这个四边形当中四边从这里啊，这是我标 o 吧。这个四边形当中这两个和是多少啊一百八一百八吗？这两和一百八这两相等吗？这不一层吗看起来大方吗？大方一点的是不是。 当然对，是不是你咋俩小朋友好好修行啊。坐下来了不要闭目养神蹲大红领般的眼睛看着我。好嘞， 那么这个实现了是吧。哎，通过添加这么一个赵全能找到关系，那么现在我把这个正方形啊我给换了， 我换成了矩形，基本吉他是差不多的，不过矩形嘛那两条边就不一定等了是吧哎。 b c 比 a b 是 二比三， 那这个场呢？比这个场是二比三，那么同样的点 g f 则是点 l 的 d c 的 因素是探救 g f 还是这根线和 a e 的 数量关系？ 聪明的小孩嘛，你要一顺就过来是吧。那看出来呦，老师不类似的嘛。所以他做了一个不，你要做了一个， 哎，你要做了个内景， 这个和这个是一类的，对吧？这个方法是不是解决问题的方法是不是一类的呢？对不对？他这样一想得到了启发，有人有办法了吧。来， 你们请到哈。来， 这不行吗？ 刚才你们的王亚琴同学上来做了相似，找到了，抓了全等，找到了关系对吧？那个是正方形一抓到一个全等对不对？ 哎，他是做好了以后挣来钱的。那么现在能不能有类似的方法哦，你近水楼台，人家听懂 不？白吃好了吗？你看就这么吃这个我们来变个字母啊。来了啊，姑娘，小伙来啊， f f e 那 么类似的，刚才是全等，那现在还全等吗？相似相似， 正好 a 一 和 f 七是这两个相似三角形的斜边对不对？那么斜边之比就应该等于对应的直角边之比，对吧？那么直角边一个是 a b， 一个是 f f 一 啊， f f 一 等于这个呢？ 那么他谁比谁啊？如果是 a 一 比上 f f 一 啊， a 一 比上 f g 的 话，那么就是 a 一 比上 f f 一， 结果是多少？三比二懂吗？ 嗯，怎么了？是不是老板可以怎么挣啊？这是直角对吧？这是直角，再找一个角会挣吗？哎，就是用折叠的一个重要的隐藏性是吧？ 折叠里面一个重要的隐藏的性质，红的对不对？就是这个垂直吧，对不对？你要发现这个条件呢？这是隐藏的性质， 一旦发现了，那么我们就能够证明这个角等于什么？这个角是不是当然也可以得到陈锦斌的方法？得到这个小脚等于这个小脚是不是陈锦斌是吧，好了，再坐下。 可以了，学会了吗？我怎么没有像打鸡血一样的心血呢？什么鸡血？证明一下 这里一下吗？还等着我看。一直看不讨厌吗？揍他， 他没意思，放手呢。下次把你取消了。我去。哎， 腹肌是吧，不断提升。 一般啊， 好不好啊。刚才呢？ 第一第二小问，一个是折叠正方形，一个是折叠矩形， 都用到了一个折叠的隐藏的性质就是一组对应点的连线与对称，与折痕是垂直的关系，对吧？垂直的关系， 那么用了这个垂直关系，然后结识了相似或者全的这个三角形里面一组一组角对应相等，对吧。好，那么下面呢，我们换一个方式，现在是折等边三角形了， 关机啊，多一点好，五以内。呃，本边的三角形 a， b， c， d， m 在 a b 上，点 n 在 a c 上， a， m 分 之 a， n 等于三分之四，等于三比四。 呃，将三角形 a， m， n 用 e， m， n 折平，使点 a 勾在 b c 上，减去数，求 b 的 比的积。 那么各位小朋友，本边三角形有哪些性质？ 三边相等，还有什么？三个角都是六十度，说的很好，还有什么意思 耶。嗯， 等边三角形也是等腰三角形嘛，还有什么三线归一，我们来了。 既然如此，在这个图形当中你能看出来什么模型存在？ 来，还是上那边把那个模型做一个标记给我们看。一线三等角，我们要看到那个三个等角。 好孩子，我们数数。哎，我来再数一下哈， 小朋友，等边三角形，这个多了吧？六十，这个也是吗？六十这个呢？六十折过来到这里六十，所以一线三等角， 一线三等角形，那就有相似对不对？相似好，哪两个三角形相似呢？ 张欣雅， d c a m b d d c a， 那 么已经有一个角对应相等，还有一个角对应相等是如何来解释的呢？ 这还有个角对应相等，你是如何来解释给其他同学听的？ 好好提醒人家怎么想的。 各位，这个加这个，这个加这个，就是这个三角形的外角，对吧？这个加这个，就等于这个加 这个外角的性质嘛，这两个相等，所以这两个也相等，你看他们用外角的性质去增角 对不对？外角等于不相邻的两个内角直角嘛，这解释得更清楚， 那因此相似 a a 相似， 相似以后对应边乘比例对不对啊？那么问题来了，这个我这个还是得不出来，这怎么办呢？今天我就讲到了，我知道相似，但我也不知道怎么用，那有没有人可以启发我一下， 已知的笔在这块能否用一用见笔 啊？四 k 四 a m 等于三 k， a n 等于四 k， 咱们一标，那么狗熊标三 k 四 k， 这个可以吧？这个没有问题的， 那么这个也就是三 k 对 不对耶？不是人家炒龙哥说的嘛，对于你来讲的话， 好同学说的对应边相对，那么现在这两个相似六十对的三 k 等角对到四 k， 那 么说明这一组是对应边对不对？因此相 似比相似比对应边之比啊， 那就是 m 的 比上 n 的 就是三比四，对吧？是不是？那么另外两组对应的关系就可以结识了？ 这个对应是谁啊？ 当 c， 他 们指笔是多少啊？三米四，这个对应边谁啊？是这个对吧？他们指笔是多少啊？ 具体不知道对不对，只知道笔，那么用这个笔来表示线段，那怎么写？ 在此这一哈儿射，他是 a 呀，那个他比他三比四啊， 三 k， k 呢？可以用着了。三 a， 这个是四比四 a， 这个 三 b， 这个就是四 b， 那 b 的 b 是 三 b 比四 a， 那 就是四分之三倍 b b a， 对 吧？我们只要算出 b b a 就 成了嘛？计算的功夫， 对吧？计算的公式，你看您能不能捋清楚 k、 a、 b 三者关系，然后消掉 k， 得到 a、 b 关系。能理解这个小程序吗？对，按照这个程序下来， 还有小朋友捋出来的， 那我们先把这先把这个这个等等量关系给先给找出来来，这个等，这个等，对吧？等，这个等，对吧？来说吧， 说呢，等量关系本式，三 k 加三 a 等于四 k 加四 b 等于三 b 加四 a。 反光。我们所有从这里面得到 a 和 b 的 关系， 得到 a 和 b 的 关系。我们上一次说过了，得到 a 和 b 的 关系，那就消除 a 嘛，消除 k 嘛，对不对？ 看就愁眉苦脸的样子。那先从这一把 k 搞出来的 k 等于 k 等于三 a 减四 b 嘛，对不对？然后再用这个设置，直接用这个设置把 k 去掉，这就是 四 k 等于四 a 减 b， 对 吧？ k 再进去 就是十二 a 减去十六 b 等于四 a 减 b， 我 们是不是这样啊？好，你看我不知道把 k 弄没了吗？ 然后就得到八 a 等于十五 b， 说明 b 比 a 等于多少？ 八比十五，这个地方的掉一个五，这个是比例的基本性质吧，不行的话你交叉一相乘 对不对？验证一下。交叉相乘验证了对不对？你爸同学告诉你的，王雅琪告诉你是吧？那最后答案多少？ 六比八，六比十五。我觉得六比五 赶紧去算一下呗。乘以四分之三，乘以十五分之八，是吧？五分之二，五分之二啦。五分之二，二比五。你看这个题目竟然被破解了， 我们厉害的话好好学嘛。是吧，但此题三遍一个也不知道对不对？哎，我们用的是 k 法啊。不是，是餐法，不仅是了 k， 他 是了 a 还是了 b， 但是最后要解释关系的时候要知道要消餐了，是吧？消什么？ 好了？那最后来最后一个题目，我们要来做一个提升了。来，快点说一遍来。三角形 a， b， c， d 中 e 是 c， d 上一点 将三角形 a， c， e 是点， e 落在 b、 c、 n 上和 f 处， a， d 等于 b， c， e 比和 e 等于 c， 其实这个地方就是二和三，对吧？嗯， 那孩子关键的问题是，这个跟这个是等的对吧？这个折过来跟他也等的，对吧？ 流星雨是不是？哎，流星雨标过来，这个角等于这个角好像缺一个人啊， 如果有了就是一线三等角，对不对？不是吗？ 如果有了就是一线三等角，现在这个模型一比好像缺了个什么，是吧？是不是？ 人家是有，我们没有怎么办？对，造，而且还知道造什么？造一线三流对不对？那就不说，完了，你们 就好好休息， 生猪。
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01:54查看AI文稿AI文稿一起来看看这道七下考试中的易错题，也是重难点，他考察了图形的折叠与平行线模型，孩子如果对这方面的知识掌握不足呢？这道题很有可能丢分。那认真看完这个视频，再配合相关的专项练习， 轻松攻克这类难题，回复折叠分享给你。好，我们来看如图，将一个长方形的纸片 a、 b、 c、 d， 它是长方形，沿着 b、 e 折叠，那么使 c、 d 两点分别落在 c、 e、 d、 e 处， 那么若角 c、 e、 b、 a 等于五十六度，这个是 c、 e、 b、 a 已经标出来了，是五十六度，则角 a、 b、 e 的 度数。让我们求的是这个角的度数是多少。其实这道题它本质上不难，你只要看清楚折叠前后这两个图形，哪两个图形呢？ b、 c、 d、 e 就是 这个图形折叠之后变成了什么？是不是 d、 e 这两块他俩是全等的，那么既然他俩是全等的，那你应该知道是不是哪两个这个角，什么 c、 e、 b、 e 应该等于这个角， c、 b、 e 这两个角是相等的。那么比如说我们所求的这几个角设为 x， 既然他俩相等，那这个角是五十六度加 x， 那 这个角也是五十六度加 x， 而 a、 b、 c、 d 是 一个长方形，那 abc 它是角， abc， 它应该是九十度，但是它等于 x， 加什么？加五十六度，再加一个 x， 那 么等于 九十度。所以我们的二 x 一 项九十减五十六，不要算错了，那么是不是等于三十四度，所以咱们的 x 就 等于十七度？轻松搞定。
226许仙讲数学
08:09查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家分享一道今年的中考题，这是二零二六年四川省绵阳市的一道中考题，一个粉丝小朋友发给我的 那个。这个题目难度看上去应该是属于压轴题的范畴，它是这个十二题。我也不知道这是不是压轴题，反正这个难度看上去是有有深度的。同学们啊，拿出来跟大家分享一下。已知一个矩形 a， b， c， d 三角形 a， b， e 折叠到了三角形啊， b， f， e， a 和 f 啊重合，这个圆 o 是 四边形 e， b 啊， c， d 的 内切圆，而且 d 和 f 连起来之后恰好和 e， b 啊平行。 根据这些条件，没有数据，就让我们求一下摊着它角 a， e， b 的 正切值，求这个角 e 的 正切值， 那显然要求这个角一的正切值，我们就要去求 ab 和 ae 啊之比了。同学们， 我设这个是 x， 那 这个就是啊 y， 你 只要能求出 x， 以 y 的 比值，这个问题就能解决。肯定你求 x 等于几， y 等于几，肯定是求不出来，那肯定就要求的就是它们俩的比值。那么接下来咱们分析一下这个内切圆是突破这个问题的一个重要的观点。同学们啊， 既然它是内切圆，朋友们，好多的这个四边形出现在了这个，这个，这个四边形的四条边和这个圆是啊相切的，那就出现了好多的切线。那么根据切线长定力，朋友们，你观察一下这个 e， m 和谁相等， e， m 和 e， n 相等，我设他俩都是 a 吧。再来看，再来看朋友们， d， n 又和谁相等？和 d， p 相等。切线长定里，从圆外一点引圆的切线，那么这个切线长，是啊，相等的 d， n 等于 d p， 我 设为 b， 那再来观察同学们， b， m 又等于谁？根据切线长定里，这里相切，这里也相切 b， m 等于的是啊 b q， 那 我设为它，是啊，这个 m 吧，设为它是 m， 那 c， q 等于的，就是啊， c p 了，我设为 n， 那 同学们，观察这个四边形的四条边之间有什么样的数量关系？实际上，这也是之前课本上的一个呃，定力，一个定力，同学们，只不过现在都删掉了。 圆的外切四边形圆的外切四边形，对边之和是相等的对边之和是相等的，也就是说，这里的 d， e 加上一个 bc， 它是等于啊 b e， 啊，加上一个 c， d 的 同学们，它等于 b， e 加上一个 c， d， 那 你观察 d， e， d， e 显然就是这个 d， e， 这个 e， n 等于的，是啊，这是 a， 这也是 a， 这是 b， 这也是 b， 这个是 n， 这个也是 n， 这是 m， 这也是 m， 那 同学们，观察你，光看这些数字，你就能发现， 这里 e， d 等于的是啊 e， d 等于的是 a 加 b， 而 bc 等于的是 m 加 n， m 加 a， 再看 b， e 等于的是 m 加 a， 而 c， d 等于的是 b 加 n， 哎， b 加 n， 那 这个你就能发现，这边是 a 加 b 加 m 加 a， 这边也是 a 加 b 加 m 加 a， 这其实就是给你切线长定里啊推出来的。你们啊，哎，这就是切线长定里的内容。这个 圆的外切四边形对边之和，是啊，相等的，也就是他加他跟他加他，是啊，相等的，哎，就是给你切线长定力一倒就出来啊。所以说，解决这个问题的关键点就是要用到，用到这个圆的外切四边形的对边相等的这个性质。这是第一点， 圆的外切四边形对边之合适啊，相等的啊，这是一点啊。再来看第二点，那么在这个折叠问题里面，老师之前也分享过这个视频，就是折叠问题。折痕，它是一个对称轴，谁的对称轴啊？是对称点之间连起来的这条线段的对称轴。 那如果我把 a 和 f 连起来之后，这个 b、 e， 它会把 a、 f 垂直啊平分，所以这里是啊垂直的，因为这是对称轴，对称轴一定垂直平分。对称点之间连起来的那条线段，这是轴对称的性质。同学们啊， 既然这里垂直，那么这里又啊平行，所以这里也是啊垂直的，那么这里垂直之后，同学们，三角形 a、 d、 f， 显然这就成了一个直角啊，三角形，而且 a、 e 还和 e、 f 是 啊，相等的，这个角二和角三是相等的。 那角三加角四是多少度多少度等于的？是啊，九十度。再看角二加这个角五是多少度，等于吗？ 角二加这个角五也是啊，九十度，哎，角二加角五也是啊，九十度。那角二和角三相等，因为 a、 e 和 e、 f 相等，它是折叠过来的。同学们， a、 e 折叠到 e、 f 上来了，角二和角三是啊，相等的， 角二又等于角三，所以角四就和角五相等了，这就叫等。角的与角相等。角四等于角五，我们可以得什么？同学，角四等于角五，我们就可以得 e、 f 又等于 e d 了， 而 e、 f 又等于的是 a e， 所以 这就足以说明，点 e 是 a d 的 中点，点 e 是 a d 的 中点。我设的这个 a e 是 y， 那 么 ed 肯定也是 y 了，所以 bc 等于的就是二 y 了。 a d 是 二 y， 这个也是二 y， 这是 x， 这边也是啊 x。 那 么接下来咱们就直接套用这个等式，这个答案就啊出来了。朋友们啊，直接套用这个等式，我把这边擦掉， 这是一个 x， 那 这个圆的外切四边形的对边之和是相等的，那这个是啊 y。 朋友们啊，这个是 y， 对面的这个是二 y， y 加二 y 就 等于这边的这个 x 加上这边的这个 e b， 而 e b 又等于什么呢？ e b 又等于根号下的 x 方加 y 方。 哎，解这个方程，咱们就能找到 x y 的 数量关系了。同学们啊，今天咱们咱们解一下。这就是三 y 减 x 就 等于根号下的 x 方加 y 方，然后左右两边都给它平方，左右两边都给它平方， 那这边就是三 y 减 x 的 平方了，这边就成 x 方加 y 方了。 展开整理，九 y 方减六 x， y 加 x 方就等于 x 方加 y 方， 左右两边都减掉一个 x 方。在一向九 y 方减 y 方，那就是八 y 方减六 x， y 就 等于零了。提取共音式，那就是二 y 倍的括号里啊，四 y 减三 x 等于零了， 二 y 是 不可能等于零的，这是线段对吗？那肯定就是四 y 减三 x 等于零了，所以四 x 等于的就是啊四 y， 四 y 等于的就是三 x 了，那 x 啊比 y 就 等于四比啊三了。哎，我们要找的摊着它角， a e b 就 等于 x 啊比啊， y 等于四比啊三就 ok 了。哎，这个题其实考察的一个圆的外切四边形对边之和相等， 同时还考察了折叠的性质，折叠前后折痕会把对称点之间的那个线段给它垂直啊，平分哎，然后根据这个圆的外切四边形对边之和相等列方程解这个方程就 ok 了。希望这个题目能够帮到大家。
54初中数学柳老师
01:05查看AI文稿AI文稿一分钟学会一个几何模型，将正方形沿 p q 折叠，使得点 a 刚好落在 b c 边上，让我们求折痕 p q 的 长度。如果这道题你完全没有思路，那你一定不知道，十字架模型 给出一个正方形，这两条绿色线段相互垂直，则他们一定相等。证明这个结论的方法有很多，这里我们分别做两条垂线， 此时两个白色对顶角相等，这里又都是直角，所以能得到角一等于角二。在这两个大三角形中，有直角，又有一组相等的边和一组相等的角，所以他俩必定全等，于是能得到这两条绿色线段相等。证明完毕。 回到题中，因为 p q 是 折痕，所以我们能得到一号和二号图形，是关于 p q 的 轴对称图形，他俩全等。我们只需连接 a e， 根据轴对称图形性质，能得到 p q 垂直于 a e。 此时这道题就会变得非常简单了，你让我求 p q 的 长度，根据十字架模型的性质，我只需求出 a e 即可。在蓝色三角形中，两条直角边已知，根据勾股定律， a e 的 长度不就算出来了吗？同学们，你学会了吗？
121正能亮数学
04:50查看AI文稿AI文稿公主王子提笔看，我现在呢，他说这是一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 他 将这个点 b 啊落在了这个 a d 上面，然后取这个点的名字叫做 e 点。这句话的意思呢，是代表说这个 e 点呢，在这个 a d 上运动，它的折痕呢为 p q 折点，这个 p 呢在 a b 上，所以说这个 p 点呢在 a b 上动。哦，现在分析一下，好像这个 p 点 e 点两个都动了哈。 他说，若 a b 呢，等于四，哎，这个边等于四，我的角 b 又等于六十度。现在如果当我的 eq 取得最小值的时候，那我们现在先来思考一下这个 eq。 刚才说了， e 点呢，它是在 a d 上运动的，所以我们的 e 点是一个动点。 再来这一个 q 点呢，它是根据 p 点这样折过来的，所以我的 q 点，你折的时候，你的 q 点是不是也会跟着动？ 所以我的 q 点也是一个东点。诶，媛媛，这两个都是东点，我怎么求啊？好，再回来。你知道这是一个平行四边形 e 点呢？在 a d 上，这个 q 点在 b、 c 上， 那两条线之间是不是线断最短呐？也就是说，当我们这个是高的时候，最短，也就说 p q 如果变成了高，那么就是最短的，那变成高之后，这道题要求 a e p， 其实这道题难点难在怎么去求，所以圆圆给大家重新准备了一个图，然后我们重新画，就是它现在已经是我们折过来就是最小的了。好，我画的是一个垂直， 我画完垂直之后，这个点是 e， 这个点是 q， 现在有一个 p 点我们折过来，那大概是这样子的。好，这个点是 p， 这是我们的虚线啊。好，你这样翻折过来，就是把这个线这个面这样翻折过来，现在求 a p， 那 么我们知道这是九十度，所以这一个角应该是等于四十五度的，对吧？这个角是不是也应该是四十五度？ 而且已知条件说过这个角是六十度，那么这个角是不是也是六十度？哎，我先把这些相关的标一下哈，你知道这个是九十度，那这个角是不是就是三十度？再来， 哎，我知道四十五、六十，哎，我知道这个四边形内角和三百六，当然你算一个一百八也行啊，你算出来之后，这个六十、四十五是不是一百零五，那么这个就是七十五。我们把这个标一下， 这个角呢是七十五，这个角是七十五，那么这个角是不是三十？当我们把所有的角一标，哎，我们发现三角形 a p、 e 是 一个，哎，是一个等腰三角形，对不对？所以呢，我们标角这个步骤远远就不写了，直接写上我们的三角形 a、 p、 e 为一个等腰三角形， 而我们还知道这个 a、 b 是 等于四的。现在我把这一个设成 x， 我 们要求的 ap 是 x， 如果 ap 是 x 的 话，那么我的 b p 这一段是不是四减 x， 这一段是四减 x， 那 它翻折过去的，那这一段也是四减 x， 没问题吧？然后你看我这 x 是 四减 x， 等腰三角形，等腰三角形有一个非常牛的性质，叫什么三线合一，对不对？所以我在这里做一个垂直啊，我用绿色吧，我就做一个垂直，我把这个叫做 h， 那 么我问你，三十度所对的直角边是不等于斜边的一半，所以我的 a h 应该是二分之一 x 吧。好，那我们来表示一下， a h 是 二分之一 x， a p 是 x， 那 p h 呢？刚才我们知道 b p 是 四减 x， 那 么 p e 肯定也是四减 x， 而等腰三角形由于三线合一，所以我的 p h 是 不是四减 x 的 一半，所以是二分之四减 x。 当你把一个直角三角形的三个边都表示出来了，你这个时候就可以用勾股定律了，对吗？所以我们可以列一个勾股定律，因为 a h 的 平方加上 p h 的 平方，等于 ap 的 平方，加上 p h 是 二分之四减 x 的 平方， 等于 ap x 的 平方，然后我们整理得 x 的 平方 加上四 x 减八等于零。哎，这是一个一元二次方程，那么这个方程呢？我们需要用到求根公式，这个点你没有学到，没关系，你整体知道思路就好。那么这个解答呢，就交给媛媛。最后呢，我们会算出来两个答案，但是呢，有一个是负的，咱不要， 所以我们的答案是二倍根号三减二，如果你要自己算的话，学完一元二次方程的求根公式很简单，你直接带进去套就可以了。做到这里之后，我们的 a p 就 做完了这道题，答案是选 a。 那 这道题呢，我们用了三个知识点，第一个知识点 就是两点之间线段是最短的，对吧？好，这是第一个。第二个知识点，咱们用了等腰三角形，牛牛的性质，三线合一。第三个知识点，我们还用了一个勾股定律，你看就 c 三个点，我们就把这道最小值做完了。那么这个题你听明白的话，可以低头自己再做一遍。
05:33查看AI文稿AI文稿同学们好，今天继续给大家分享一道中考题里边的选择题的压轴题里面啊，有选项的啊，这个我只不过是我们，我没写那个选项，我把选项给它去掉了，改成了填空题。 那么这是一个正方形里边的折叠问题，对吗？它里边套用了相似三角形的性质， 大家观察一个条件，已知一个正方形 abcd， 他的边长是四，然后将三角形 abe 沿着 ae 折叠，折叠之后， ab 这条边落到了对角线 ac 上， b 落到了对角线上的 b 撇处， b 和 b 撇是重合的，那么连接点地和点 e 和对角线 ac 产生一个交 点 p， 就让我们来求一下 cp 的长度，显然这个 ab 是四，这个 cb 也是四，那 ac 的长度我们就可以求出来。是啊，四倍的根号二等腰直角三角形，斜边是直角边的根，二倍 a、 c 的长度是一致的，那我们要求这个 p、 c 的长度，你还得去求 ap 的长度，你求出 ap 的长度了，然后用四倍的根号二一减，就是 pc 的长度了。所以说，我们要想求 pc 或者是 ap， 那你就得知道他俩之比是几比几，如果知道他俩之比是几比几的话，那整个的线段的长度又知道是四倍的根号二，那你就可以去求 pc 或者是 ap 了。那同学们再来观察这里，一连接这个得意，连接这个地意， 它和 a c 产生一个交点 p 这里，你立即就会发现这里是一个相似啊，八字形， 也就是说这个 cp 比上一个 pa， 恰恰就是这个相似八字形的相似比，因为正方形的对边平行不对吗？哎，正方形的对边他是平行的呀，他跟他平行，所以这就产生了一个相似啊，八字形啊。 那么这个相似八字形的相似笔恰恰就是我们需要的这个 cpa 和 pa 之笔。直接找肯定找不着转化，看一下这一组对应边支笔，我们应该是转化成 ep 比 dp 啊，还是转化成转化成 ceb 啊 da 呀？朋友们， 显然应该转换成 c e 比 d a， 因为 d a 是啊，已知的它是四啊，那就等于啊， c e 比上一个四了。所以说， 要想求他俩之比，你还得去求 c e 的长度，那么最终咱们就转化成求 c e 的长度了，对吗？如果是 c e 是 x， 那 b e 就是啊，四减 x 了， 这个四减 x 折叠之后，折到了 b 撇 e 上去了，所以这也是四减 x。 再来观察这个角一和角二是多少度？同学们，正方形的对角线，七分的角，这是四十五度， 所以这里是一个等腰直角啊，三角形哎，因为这个角必是直角，折过来之后落在这，他还是一个直角，他落到了对角线上， 所以这里形成的是一个小的等腰直角啊，三角形。那这个也是啊，四件 x 了。你可以勾股定理去求 x 方，等于他的平方加他的平方，你也可以直接用三角函数，斜边是直角边的 根二倍，那么也就说这个 x 就等于四减 x 的根二倍等于。解这个方程，我们就能求出 x 数值， x 的数值有了，那么 c 一比四的比值，也就是 c p 比 p a 的比值就出现了， 他们的比值是多少，那 cp 和 ap 的长度就可以求出来了，因为他们的比，知道了整个的线段 ca 的长度是四倍的根号二，解这个方程他们有的人不会解， x 就等于四倍的根号二减根号二。 x 一项，那就是 x 加根号二， x 就等于四倍的根号二。合并同类项就是一加根二， x 就等于四倍的根号二，所以 x 等于的就是四倍的根号二。除上一个一加根号二，也就 根号二加一，分子分母都乘上一个根号二减一，给他分母啊，有理化，根号二减一，那下边根号二的平方，减一的平方，那就成一了，上面就是八减四倍的根号二，也就是说 c 一比四， 那就是八减四倍的根号二比四就等于啊 cpb 啊 pa 了，约分 cpbpa 就等于的。是啊，四减根号二了，八跟四约是二，四倍的根号二跟四约是根号二， 所以 c p 就等于四减根号二倍的 p a 了。哎，那么你可以列这个方程里面啊，接下来 c p， c p 等于啊四减根号二倍的 p a， 四减根号二倍的 p a， 这是 c ap， 而 pa 呢？还是 pa， 他俩加起来正好等于的是啊，四倍的根号二。哎，解这个方程也可以， pa 和 ap 是一个位置数，对吗？这就是一个一元一次啊方程，解这个一元一次方程就可以求出 ap 的长度， ap 的长度有了，那 cp 的长度也就有了。所以 cp 这个啊，我们最终求的就是啊 c p 的长度。这就是一个正方形里边折叠之后套用相似八字形来解决问题的一道题目，希望这个题目能够啊，帮到大家。
87初中数学柳老师
10:44查看AI文稿AI文稿本期视频我们一起来看一下金文元初二期末仿真自测第三套试卷的第二十三题，也就是几何压轴题啊，这道题目呢，考察的呢就是我们举行当中的折叠问题啊，也是一道非常经典的问题，其中呢涉及到的考点都是我们同学们在期末考试之前务必要进行掌握的内容。接下来我们一起来看一下这道题。 首先我们一起来读题，题目中说如图，在矩形纸片 a、 b、 c、 d 当中， a、 b 的 长度等于三， b， c 的 长度等于四，然后呢点 e 是 射线 b， c 上的一个动点，连接 a， e， 将三角形 a， b， e 沿着 a、 e 翻折，折到了 a、 b 撇， e 啊，也就是我们图中的这个三角形， 然后呢点 b 的 对应点呢叫做 b 撇。接下来呢我们来看一下第一问，第一问，他说如图二，当 b 撇落在 a、 d 边上的时候，让我们去判断这个四边形 a、 b、 e、 b 撇的形状啊，那么这个图形，那么这个图形呢，我们其实非常熟悉了，在我们大同一中期中考试的第二十三题，第一问呢，考察的也是这个问题啊，那么首先呢，我们来看一下这个图形，这是一个什么图形呢？这是一个 正方形，那么正方形如何证明呢？基本上呢，我们是两种思路，第一种思路呢，是我们要先证明它是一个矩形，然后呢再加上一个菱形的特征，或者呢我们呢可以证明呢，它是一个菱形，然后呢我们再加上一个矩形的特征 啊，基本上呢就是这两种思路，那么每一种思路呢，都有两种具体的方法，比如说呢，我们知道了它是矩形，那么我们可以加上菱形的特征，菱形有什么特征呢？一组菱边相等，或者呢是对角线互相垂直， 然后如果我知道了它是菱形，那么矩形又有什么特征呢？矩形最典型的特征呢，就是有一个角是直角，或者呢是对角线是相等的，那么这个题呢，我讲两种方法，第一种方法呢，就是我们先证明它是矩形，然后呢再加一个菱形的特征啊，首先我们来看一下，怎么证明它是矩形呢？我们来看，因为呢 abcd 它是一个 矩形，所以说呢，我们这个角 a 和角 b 呢，它都是直角，然后因为角 b 呢，折叠之后得到了角 b 片，那么所以说角 b 片也是直角， 那么在这个图形当中呢，就已经有出现了三个直角，那么三个直角呢，我就知道 a b， e、 b 撇这个图形呢，它是一个矩形了，那么再加一个菱形的特征，菱形有什么特征呢？一组菱边相等啊，哪一组菱边相等呢？我们通过折叠，我们可以知道 a b 和 a b 撇这两组边呢是相等的。接下来呢，再来看一下第二种方法， 第二种方法呢，我们先去证明这是一个菱形，然后呢再加上一个矩形的特征，那么怎么证明它是一个菱形呢？那就用到了我们非常常见的一个考点，就是角平分线加平行线等幺三角 b 成线，我们一起来看一下。因为折叠，所以说呢，我们这里的这两个角呢，它是相等的，角一和角二相等， 然后呢因为平行，我们角一和角三呢也相等，那么这样的话呢，我们角二和角三哎，这两条边呢，就相等了，那么它们两个相等之后，我们一起来看，因为折叠我们的 b e 和我们的 b e 片 e 是 相等的，因为折叠呢，我们的 a b 和我们的 a b 片是相等的， 那么这样的话呢，绿色和绿色相等，蓝色和蓝色相等，然后呢，又因为我们这两条边是相等的，所以说绿色和蓝色他们都是相等的，那么这样的话呢，四条边相等，我就得到了，它是菱形，接下来呢，再加一个矩形的特征，矩形什么特征呢？这里有一个直角啊，所以说呢，这道题目呢，就证明完毕了，这是一个非常典型的题，而且呢在我们期中考试呢，进行过考察，所以说同学们务必要掌握。 接下来我们一起来看一下第二问啊，第二问当中呢，他说了，当点 e 是 b c 中点的时候，延长 a e 交 dc 延长线于点 f， 然后延长 a b 片与 c d 交于点 m， 然后呢让我们去求 f m 的 长。第二问，这道题目，它的图形呢，已经给我们展示出来了，那么我们一起来看一下， 题目中说呢，点 e 呢是一个中点，然后呢连接 a e 把它延长，并且呢和我们 c d 的 延长线呢，产生了一个焦点，叫做点 f， 那 么这个辅助线做完之后呢，就产生了一组全等的三角形，全等三角形在哪里呢？就是我们的 a b e 和我们的 e c f 这两个三角形全等，全等的理由是什么呢？因为点 e 是 中点，所以 b e 和 c e 相等啊，然后呢，这里呢，又有一组对顶角 啊，然后我们来看，因为 ab 和我们 cd 是 平行的关系啊，所以说呢，我们就能够得到 ab 和我们的 d f 也平行，那么这样的话呢，就会产生内错角啊，我们角 a 和角 f 就是 相等的角，那么这样的话呢，有两组角相等，然后再加上两条边对应相等，那么角角边就能正全等了， 那么可以正全等之后呢，我们就知道了， ab 的 长度等于三，那么 c f 的 长度呢，一定也是三， b e 和我们 c e 的 长度呢，应该都是二，这道题呢，他让我们去求谁啊？ f m 的 长，这道题呢，还引含了一个知识点，就是我们第一问曾经用过的叫做角平分线加上平行线等幺三角 b 成线，我们一起来看，因为折叠呢，我们的角一和角二是相等的， 因为 ab 和我们 d f 平行，所以角一和角三相等，那么这样的话呢，我们角二和角三就相等了，那么也就意味着我们 am 这条边和我们 m f 这两条边呢，他们长度是相等的。题目中让我们去求 m f 的 长，那么我也可以呢去求 am 的 长度， 那么 am 的 长度如何去进行计算呢？我们可以看到这里呢，产生了一个直角三角形，那么在这个直角三角形当中呢，我知道了 a d 的 长度应该是三，那么我们想求 am 的 话呢，我们可以考虑呢使用勾股定律啊， 但是用勾股定律的话呢，大家会发现，我们这条边，也就是我们 b 撇 m 和我们的 dm 这两条边，我们的长度是不知道的，那么这两条边不知道，那么我们怎么办呢？我们可以把它们的长度呢去转化一下，怎么转化呢？我们来看一下，这里的 b 撇 m 和我们的 c m 长度实际上是相等的，那 他们两个为什么长度相等呢？我们一起来看啊，还是我们这道题呢，最关键的就是矩形的折叠，那么 b e 呢？所以 b e 和我们的 b e 长度相等都为二，然后呢，我们可以呢连接一下 em， 连接 em 之后呢，我们来看， 在这个三角形 b 撇 e m c 当中呢，这两个三角形，它们是全等的，全等的理由是什么呢？首先 b 撇 e 和我们 c e 的 长度相等，然后呢， e m 呢，是一条公共边，另外的话呢，我们这里会有两个直角，那么这两个直角怎么产生的呢？我们 m c e， 这是矩形 abc 当中的一个角，所以它是九十度， 然后呢，因为折叠，我们角 b 变成了角 a， b 撇 e， 那 么角 b 相等都是九十度，那么我们 ab 撇的延长线也就得到了 e， b 撇 m， 那 么这个角呢，也是九十，那么这样的话呢，他们两个就全等了。 等之后我们就知道了， b 撇 m 和我们 c m 的 长度是相等的，那么这个时候我就可以使用勾股定律去列方程了。怎么去列呢？我们设 c m 的 长度为 x， 那 么 b 撇 m 长度也为 x， 因为我们整个 c d 的 长度呢，它是三，所以说呢，我们 dm 的 长度应该是三减去 x 啊，那么这样的话呢，我们去列一个方程，那么四的平方加上三减 x 的 平方等于谁呢？等于三加 x 的 平方，最后 x 等于三分之四， x 等于三分之四了，那么我们就能知道 am 的 长度了，那么 am 呢，就是三加上的 x， 也就是三分之四，加起来之后呢等于三分之十三， 那么 am 我 们刚才说了，它呢和我们的 m f 长度是相等的啊，这个是怎么得到的呢？角平分线加上平行线，从而产生等腰三角形，所以说呢，我们就求出了 m f 的 长度， 那么这道题呢，总共呢涉及到三大考点，第一个呢，就是大家呢对于矩形的折叠，他所能得到的一些结论，大家一定要熟悉，我们折叠前后的对应边是相等的，折叠之后呢，一定会出角平分线，那么第二个呢，就是我们非常常见的角平分线加上平行线，一定会产生等腰三角形啊，因为折叠角一和角二相等，因为平行角一和角三相等， 那么这样的话，角二和角三也相等，从而呢我们把 f m 转化成了 am。 然后第三个考点呢，就是我们在矩形的折叠这类题目当中呢，一般涉及到求线段长度的问题，大概率会使用到我们勾股定律去列方程啊，这就是我们第二问他所涉及到的考点， 接下来呢，我们一起来看一下第三问啊，第三问呢，是比较有难度的一道题啊，学有余力的同学呢，大家呢可以来挑战一下啊。这道题呢，他说了，在翻折的过程当中，当我们 e b 撇 d 这三个点在一条直线上的时候，让我们直接写出 b e 的 值啊，那么第三问呢，没有给我们画图，那么我们来看一下第二问的图能不能用呢？第二问当中，我们 e b 撇 d 这三个点很明显不在同一条直线上啊， 那么所以说呢，第二问的图我们是没有办法去使用的啊，那么大家呢，就需要自己去构图了，那么这个图怎么去画呢？它的需要分情况进行讨论吗？那么我们一起来读一下题，题目当中呢啊，说了，在矩形纸片当中， a b 等于三， b c 等于四， e 是 射线 b c 上的一个动点啊，那么这句话呢，就是我们的关键， e 在 哪里啊？ e 在 射线 b c 上，什么叫射线 b c 呢？也就是我们点 e 可能在 b c 中间，也有可能呢，在我们 b c 的 另外一侧，也就是在我们点 c 的 右侧， 那么这个题他一定会涉及到分类讨论，所以说呢，两种情况大家呢都要考虑到啊，那么接下来呢，我们一起来画下图啊，那么这些图呢，因为我们并不知道这个图长什么样子，所以说呢，大家呢，呃，这个画个差不多的草图就可以了啊。那么首先我们先来考虑第一种情况，比如说我们的点 e 出现在了 bc 上啊，那么假设点 e 在 这里， 那么他要求我们 e 片 d 三点在同一条直线上，那么我们就连接 e， 那 么然后呢，连接 a e 呢？我们管他呢，叫做 b 片， 现在这幅图呢，大家可以看到啊，呃，那么 e b 撇 d 三点共线，那么我们来看一下 b e 的 长度是多少啊？那么 b e 的 长度该如何去进行计算呢？我们 b e 和我们的 b 撇 e， 它俩长度是相等的， 我们再来结合一下题目中给我们的条件，我们可以知道 ab 的 长度等于三啊，然后呢， bc 的 长度呢，应该等于四，因为折叠呢， ab 和 ab 撇长度相等都为三， ab 的 长度和 bc 的 长度相等都为四啊，那么这样的话呢，大家一起来看一下，我们要求 b e 的 长度怎么办呢？还是勾股定律去列方程？这个方程怎么列呢？我们可以设 b e 为 x， b e 如果为 x 的 话，那么我们 e b 片长度也为 x， c d 的 长度呢？等于三啊，那么我们来看一下 d b 片，也就是我们途中这一段，它的长度等于多少？这段的长度怎么去进行计算呢？我们得到了 a e b 片 d， 这个也是一个直角三角形， 它为什么是直角三角形呢？我们角 b 折叠之后变到了这里，那么这个角它的补角啊，那么也就是这个角它一定也是九十，所以说呢，我们用勾股定律去进行计算，四的平方减去三的平方，最后呢等于我们 d b 片的平方， 那么 d b 撇的平方等于多少呢？等于七啊，那么然后呢，我们来看一下那 d b 撇应该等于多少根号七啊，那么 d b 撇的长度就知道了，是根号七，那么 c e 的 长度怎么表示呢？我们 b c 总长是四，那么 c e 的 长度就用四减去 x 去进行表示，那么 这样的话，勾股定律就可以列方程了，四减 x 的 平方加上三的平方，等于 x 加上根号七的平方， 那么经过计算呢，我们可以得到 x 呢？最终呢等于四减去根号七啊。那么这个题呢，涉及到了分母有理化这个知识点的考察，接下来呢，我们再来看一下第二种情况，那么第二种情况呢，那就是我们的点 e 呢，出现在了我们 bc 的 右侧啊，那么假设呢，我们点 e 在 这里，那么题目中呢，要求我们 e， b 片 d 要三点共线，那么我们来连接一下 d e， 然后呢并且把它延长，然后我们来看折痕在哪里呢？折痕是我们的 a e， 那 么再连接 a e， 然后呢，在这里呢，去做个垂直，那么我们的 b 片应该出现在这里，那么我们来看一下，那么在这道题目当中，我们 b e 和 b 片 e 长度依然是相等的，那么我们该如何计算呢？我们一起来看， 题目中告诉我， ab 等于三，所以说呢，我们 c d 的 长度呢，也是三， ab 片的长度也是三， bc 的 长度等于四啊，那么这些呢，我们都可以计算出来， 根据勾股定律呢，我们可以得到 b 撇 d， 它的长度呢应该等于七啊，因为呢，这里是个直角三角形，一条边是三，一条边是四，那么另外一条边 b 撇 d 一定是根号七，那么接下来呢，我们再来看一下 d e 的 长度，因为我们 b e 和 b 撇 e 这两条边的长度相等，所以说呢，我们把 b e 设为 x， b e 如果为 x 的 话，那么我们 c e 呢，应该就是 x 减四，那么 d e 的 长度呢，依然是三，那么我们三的平方加上 x 减四的平方等于 x 减去根号七的平方， 经过计算呢，我们可以得到这道题呢，最终的答案应该是个四加上根号七啊，那么也考察到了，我们在学二次根式这个单元当中，一个叫做分母有理化的这个知识点啊，所以说呢，同学们最终一定要把答案化简。 以上呢，就是我们这道题目的讲解啊，那么第三问呢，有一定的难度，需要同学们呢自己去构造图形啊，分类讨论。这道题目呢，整体所涉及到的考点呢，都是我们在期末考试之前同学们务必要掌握的，所以说呢，大家呢，对于这道题一定要反复观看，一定要把这道题目的考点去吃透。
125可乐带你学数学
09:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学徐老师，这次初二月考最后一道压轴题，是一道关于折叠对称动点的曲值范围，有同学考完之后跟我说卡住了，但其实这道题的同类型题，甚至是原题，我在之前的加餐题里面给他们布置过，当时还发了详细的解析，今天我们一起来把它拆解开，看看这一类题目到底怎么去思考。 首先一起来读题，在矩形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b、 c 是 等于三， a、 d 是 等于五点， e 在 b、 c、 d 是 一个定点，点 p 是 从点 e 出发，沿折线 e， b， a， a， d 这个好多同学看到这个就很懵了啊， e， b， b， a， a、 d 就 这么个路径走的，每秒一个单位运动，那这边我就去标一下，这个就是 t 做 peq 等于九十度，那题目中，当 p 在 上面动的时候，做 peq 等于九十度， 交 a、 d 或者 dc 于点 q 啊，那其实你读这句话，你要想更深的理解它的时候，因为我们点 p， 它完全是在这个上面动，那你可以，如果 p 在 这里，我做 peq 等于九十度，怎么画呢？是不是会这样子画？九十度，如果我点 p 在 这个地方，那我做九十度，是不是这样画？你要把这个题目先读懂了， 然后第一个他说点 q 和点 d 重合的时候求 t。 这题关键在于先画图，点 q 和点 d 重合，那点 q 就 在这个位置，点 e 是 一个，定，点是二，那这个点 p 是 怎么确定的呢？我们画的是 peq 是 等于九十度， e 在 这里， q 在 这里， peq 等于九十度，那是不就应该是这个样子去画？所以你得先把草图画出来， e 在 这边，那我去画一个九十度，此刻点 p 就 在这里，我需要去求 t 是 多少，那我就去找关于 t 的 等式就可以，那我们来标一标 b， e 等于二，这个是九十度。九十度往往在初三的时候我们会想到，哦，左右两边是相似，但是咱们现在是初二的学生，九十度我们用的更多的是勾股定律， a 方加 b 方等于 c 方，那这个角是多少呢？我们 p 是 从这出发再到这，它的速度是 t， 那 我整整个这边走了二，那这边是不是应该走了 t 减二呀？ 那勾股定律怎么用？那这边的长度是不就等于三？这边的长度是不也等于三？那 p、 e、 q 的 长度是不就等于三？根号二，我们用勾股定律，那这里有九十度的时候，是不？我可以去表示出这段整个的长度是等于三，这个是等于 t 减二，那这个长度是不就等于三？减 t 减二，那就等于五减 t， 那 这个长度就等于五。所以第一个那由图可知，我们是不就可以得到 t 地方是不就等于 t 一 方，再加上 e 地方，那 p 地方咱们就等于五的平方，加上五减 t 的 平方 就等于 t 减二的平方，再加上二的平方，再加上三根号二的平方，就是这个地方，这个边的平方等于他方加他方，这个边的平方等于他方加他方，那这个边的平方就等于他方加他方。 所以我们就可以把这个 t 解出来了，一起来解一解，那就是二十五加上二十五减十， t， 再加上 t 的 平方减四， t 再加上四，再加上四，再加上十八，那 t 方跟 t 方约调负十， t 负四， t 一 过来就剩六， t， 这边是五十，这边是二十六，五十减去 二十六，那是不是还剩二十四？那我们 t 的 长度就等于四，所以第一个答案是 t 等于四。好，那第二题做 点 e 关于 p、 q 的 对称点，其实这题它就是折叠，折叠它有两种序数方式，一种它会告诉你，我将三角形 p、 e、 q 绕着 p q 折叠，那这就是折叠的说法。一种的说法就是我做点 e 关于 p、 q 的 对称点就是这样子 连接 p、 q、 p、 q、 f， 其实它是两种说法是一样的。它说当四边形 e、 p、 f、 q 与矩形 a、 b、 c、 d 重合的部分为一个轴对称四边形，什么叫轴对称四边形啊？这是关于某条线对称的意思。比方说我们常见的这个 平行四边形，它就不是一个轴对称图形，但如果我把它变成矩形，那它的对称轴就是这个或者这个。而我们本身这个四边形 e、 p、 q、 f、 e、 p、 q、 f， 它本身是不是沿着 p、 q 折叠，它自身就是一个对称的四边形，那要和 a、 b、 c、 d 重叠部分为一个轴对称四边形，它的意思是不是指这个四边形完全 在矩形 a、 b、 c、 d 当中？那如果你画一个图，比方说我这屁画短一点，我关于它对称，我的图是这样子的，哎，这个四边形是不就是它在 a、 b、 c、 d 里面就是一个轴对称图形啊？它的对称轴就是 p q 吧。所以我们在做这种题的时候，本身你就要先理解题目， 就是我折叠完的四边形要完全都是在矩形当中，下面我就是在找零界值本身这个动点的轨迹就是在这三条线段上，所以你肯定是得分三类，分哪三类？点 p 在 b、 e 上， 点 p 在 a、 b 上和点 p 在 a、 d 上，这三类是咱们需要拥有的最基础的三类。因为点 p 是 一个动点嘛。好，那点 p 在 b、 e 上，像这种图直接给我画，那肯定就不对了呀。因为这一块出去了，所以它跟它重叠部分就变成了这样的一个四边形，那 这样的一个四边形，显然它不是一个轴对称，所以我要想它是都在里面，它的临界值在里面的，临界值就是在上， 就是在边上。所以你看，当我这个点 p 非常小的时候，我画一个对称就是这样子画的，那此刻这个四边形就是我这个要求的 e p、 q， f f q， 那 它都在这个里面，那它肯定是符合题的。轴对称四边形它一直都在，但是肯定会存在某个邻界值，使它正好在点 q 吧。那此刻咱们就把这个图画一下， 点 e 是 一个定点，那我们的临界值在哪里？是不是当点 p 在 这个位置的时候，而我正好沿着它做垂直，这个点点 q 怎么画的呀？点 q 就是 做这边垂直，这就是点 q 这样的一个临界点。让我去求点 t 是 多少？ 当点 p 是 不是从这运动到，从这个点 e 处一直运动到这个地方，那我折叠是不是都在这个矩形内部？我求出此刻的 t， 那 这个 t 怎么去求呢？我们标一下数据长度，这个长度依旧是等于三，这个长度是等于五，那这个长度是等于三，这个长度是等于二，这边的长度是等于 t， 这边的长度是不就应该折过去，它也等于 t， 它是二减 t， 那 这个是三折叠过去。还有对应边这个长度是二， 这这个也是三，这边也是三，所以这边勾五定九减四，是不是等于根号五，这边就等于三减根号五。所以我们在三角形，这个是 f， 对 应点是 f， 是 不是在 r t 三角形 f b q 中， f b p 中，那我们就有 b p 的 平方加上 b f 的 平方就等于 f、 q 的 平方，那 b、 p 的 平方就是二减 t 括号的平方加上 b、 f 的 平方， b， f 的 平方，是不是三减根号五，括号的平方？三减根号五，哪来的啊？咱们折叠过来，这个长度等于三，这个长度等于二，那这个长度就等于根号五。一共是等于三，所以这边自然就等于三减根号五， 那我们 f、 q 的 长度就等于 f， p 的 长度就等于 t 的 平方。我们一起来求一下，就是四减去四， t 加上 t 的 平方，加上九减去六根号五，再加上五，就等于 t 的 平方。 t 跟 t 约掉，这其实是一个一元一次方程。四 t 就 等于十八减去六根号五，那 t 就 等于 两边同时除以二，是不是二分之九减三根号五。所以在这部分 t 的 范围就是 t 大 于零，小于等于二分之九减三根号五。当它很短的时候，我们这边折叠它一定都是在三角形内部，当它超过这个值，那我们显然看这个折就折出去了，那这个点就不符合题了。 好，第二个点 p 在 a b 上的时候，那我们来画一个草图去模拟，模拟一定是这种折叠题分类的时候，你，你脑子里分三类之后，我就去画图，你可以用铅笔、用直尺自己多画几个。这个点 e 是 固定点，那我点 p 跑到哪里？点 p 在 这个位置，我做一个这个点 q， 点 q 是 在这里，那我按照这个题目来说，这个一折是不是要保证它这边是九十度，是不就折出去了？ 是不是折出去了？那当这个点 p 很 高的时候，就更不用讨论这个是不是也是做做这个折叠是不是折出去了？那他有什么临界值？他的临界值是不是也是刚好落在边上？刚好落在边上，咱们这个图怎么画？那点 p 的 位置就在这个位置，那么画一下刚好落在边上， 这不就这样画，那这个点就是点 q， 那 这个点就是点 f， 那 咱们看看这样的一个四边形，是不是它依旧在矩形当中，它本身是不是还是一个轴对称图形？除此之外，你看 p 再高一点， p 高一点， q 往那边挪一下，那我这个做对称做出来的这个形，它就跑出去了。 如果 p 短一点，那 p 短一点，那我们做这个四边形，它是不是也是出去了？所以这里面就是一个固定的值，那这个固定的值咱们怎么求？依旧这个还是二，这个是 t 减二，那这个就是五减 t， 我 们直角还是一样的去用勾股定力，这个是五减 t， 你 是完全折上去的呀，那这边是不是也是五减 t， 所以 勾股定力，咱们就有 p b 的 平方加上 b， e 的 平方就等于 p e 的 平方， 所以 t 减二，括号的平方再加上二的平方，是不就等于五减 t 括号的平方， t 平方减四， t 加四再加四就等于二十五减去十 t， 再加上 t 的 平方， t 平方跟 t 平方约掉了，咱们这边就还剩六 t， 二十五减去八，还剩多少？是不是还剩十三？ t 是 不就等于六分之十三？这是第二个答案，那我们看第三个六分，呃，这个是二十五减八，这边是十七，写错了，写十七。 好，第三个。当 p 在 a、 d 上的时候，一样的，你去画一个草图，因为这里面动点，它会在三个路径上，所以你分类肯定也是要分三个了， a、 b、 c、 d， 那 我们点 e 在 这个位置，这个长度就等于二，那点 p 你 自己去比拟一下。当点 p 在 这边的时候，我做一个直角，这个就是点 q， 它是不是就跑出去了？你这个做对称做出去是不是就跑出去了？那它是不是也应该有个零件正好在上面？你看，当这个点 p 在 这里，我做一个垂直都下去了，对不对？那它的这个零件只要能把图画出来就简单多了，是不？我这个 p 可以 在这个位置， 那我点 q 的 位置是不是就在这边？那他在这里的时候，这是不是一个矩形啊？是不是矩形？因为这边长度正好等于三，这边长度等于三，这是一个正方形，倘若他不是正方形，你这个就会折出去，但是他是正方形。点 e， 关于他的折叠就是点 f 就 在这边，那我们点 t 走了多少？这长度是二，这长度是二，三，这个长度是二， t 的 长度就等于三加二加二就等于七， 所以我们综上所述啊，你首先脑子里要有个三类的意识，那三类就是点 p 会在这上面动，这上面动，所以我分类就分在这上面，在这上面和在这上面，然后一一去做啊，一去做。所以综上所述， t 的 范围应该是 t 大 于零，小于等于二分之九，减根三根号五，或者 t 等于六分之十七，或者 t 等于七。 好，关于这个折叠的专项的问题。呃，我们之前其实也练过不少，如果有需要的话可以跟我联系咱们这个折叠的题目。初一折叠题重点是关注角度相等问题， 初二折叠是关注有九十度用勾股定律问题。初三折叠关注角和边，并且同时会有很多的相似。这是我们在不同的年级段学习折叠需要注重的重点啊。好，今天就先分享到这里。
20徐老师教数学
06:07查看AI文稿AI文稿ok， 大家好，我们今天来看一下我们的初中难点四元形的第十八讲啊，正方形与翻折问题啊，以及呢我们的十字架模型其中的应用啊，那我们来看题，如图，在一个正方形，对吧？下面是一个正方形啊， e、 f、 m 分 别是 a， d， b， c 和 ab， 上面那一点找到我们的 e、 f 以及呢？好， m， 好， 我们都找到了，然后呢， a e， a e 是 二， a e 是 二。好，那我们再往后看，我们的这个 b f， b f 是 六， b f 是 六，然后 b m 它是一啊，那将我们的 e f 啊进行折叠好，那折叠完了过以后呢，我们同步的我们也要去标注一下，对吧？那他这个 b p、 f 呢，就是六，对吧？那 e e 呢？ 啊，好，这个时候你看啊， m 的 对应点，注意啊， m 的 对应点恰好与点 n 重合来，那他为什么要告诉你这个 m 的 对应点是他呢？ 啊？让我们求什么？让我们求 c n 啊，求 c n， c n 的 这样的一个长度啊。那么在这解决这个题目的时候，我们首先我们回想一下，在翻折的过程当中，我们说了哪些条件呢？啊？您比如说四圆形，四圆形是我们的什么是我们的背景条件啊， 是我们的背景条件啊，以及呢，我们的翻折翻折是到底什么是全等，对吧？好，那么咱们来看啊，在标记完了这些东西过以后呢？啊，你能不能把我们这个呃 c n 然后求出来呢？ 好，很明显在这里面要求不出来，求不出来，这时候我们怎么思考是不是要考虑辅助线怎么画啊？那对于翻折问题的辅助线啊，我们有两点，第一点，什么对应点对应点什么直连，对吧？对应点直接连接好。第二点呢，就是在我们的垂直平分线啊，也就是我们的对准轴 对准轴上面，然后就直接找啊，找一个点啊，去连接对应点啊，连接对应点，好，那么此时我们来看啊， 恰恰是因为我们 m 啊和 n 他 是一个什么对应点？那这句话都怼到你脸上了，那这时候干嘛？你不连一下，是不是有点不太好意思啊？然后连接到的话，你会发现什么呢？啊？你会发现，那咱们这个角应该是一个直角，对吧？好， 那我们来看啊，此时这个 m 是 一个直角，那再过来，对吧？它也是个直角。好，那我们来看，那 m 到我们的 b， 那 是不是就是 n 到 a 撇 b 撇，那所以呢，它是不是也是 e， 对 吧？那我们找到它的对应关系了，好，那你看，此时好像还不能也把我们的这个 c n 然后求出来，这时候我们怎么办呢？ 这时候来，我们想想啊，想想看还有没有什么其他条件，其他的条件啊，我们来用。好，这个时候呢，来，咱们来看啊，在我们的看什么呢？看这个 m n， m n 与 e f。 来，大家还记不记得我们之前在讲一个模型的时候啊？讲到什么呢？在正方形，正方形当中，如果说出现这种十字架的模型，好，它有 m n， 它是不是要垂直 f m n， 然后是不是要等于 f 啊？好，这个是怎么演变来的呢？我们有什么？我们的三垂直演变下来，好，来给大家再复习一下 啊，首先呢，它是有一个什么呢？有一个直角啊？好，那这个时候呢，我把它演变一下啊，这是我们传统的三垂直，是吧？垂直，垂直，这这个地方也垂直。好， ok， 那 这样的话，来，咱们来思考啊，假设再复制一份啊，我把它干嘛呢？我把它往里面，往里面去推，往里面推，推到这，推到这， 推到这的情况下来，那我们来思考，那假设啊，把它边全部都补齐的话，你看它像什么？它是不是就形成了这样的一个形状？那它依然也是直角吧？好，那我们说三垂直啊，我们在这里面呢，不仅有全等，全等还有什么？第一个叫全等， 第二是什么？第二是倒角啊，我们可以利用什么呢？它的这个角度关系相加，比如说这是阿法，好，阿法跟白塔 相加，他等于多少？他等于九十度啊，他等于九十度。以此，然后我们去进行角度的转变，那么来，那演变成了十字架模型过以后，那么这个题在这里面，好，他告诉我们是什么？是一个直角，对吧？我们连接的对应点过以后 啊，得到了，得到过以后，这是干嘛呢？啊？我们把它补全呗，是吧？好，从这点，然后我们来看，我们可以从过他去做相应的垂线，再过他去做下来垂线。好，那么此时 我们发现没有，它也直角，它也直角，我们有很多众多的三角形，以及呢？啊，这个时候矩形也出来了，对吧？那它是二的话呢？它是不是也是二？ 它也是二的话，那么假设这个点叫 g， 那 么 g f 的 话，它就应该等于四，那 g f 等于四了，那你看那个 e g f 跟我们这个 n m 啊，这个假设叫 h 吧。好， 他是不是也应该是一个全等的关系，对吧？那所以呢，在这个地方啊，他就会死，好，那我们再看，在我们的矩形 b c n h 当中啊，此时呢，我们的 c n 是 不是就等于我们的 b h， 他 是不是就是我？好，那你看这个 c n 的 这个问题，那我们是不是就解决了？ 好，其实这个问题呢？嗯，到这其实就结束了啊，但是这个题目还可以出的，再难一点，再难一点，他会怎么出呢？ 好，我们来思考啊，把这个位如果说转化成 f c， 让你求 f c 的 话，你会不会求？好，如果你求出来了，对吧？你可以把这个写在评论区啊，那求 c f 的 话，好，那么 n n c， 那 注意啊， c f 它在哪呢？它在我们这个三角形当中，它也是直角三角形，对吧？那么此时呢？好，这个时候我们可以干嘛？ 联想一下我要求这个边的话，对吧？那无非就是放了三角形，或者说啊，还有其他的令它相等，但是呢，它没有。现在，那我这时候我可以连接一下我的对应点，你看那在哪里？在我们的这个轴对称上面是不是有相应的？对 啊，对应点，然后可以去连接，那么此时呢，我再连接什么呢？ m f， 好， 那这是不就构成了一个直角三角形， 那我们通过左边的这个六， b f 等于六，那我们就能求出来 m f， 求出 m f 过以后，这两条蓝色的线相等，对吧？那他又应该等于根号下三十七，那么 c f 是 不自然而然就可以求出来啊。好，这是我们整体的这样一个思路啊。好，关注我带你了解更多有用知识啊。好，我们今天就先这样。
198Rex (数学老师)
08:04查看AI文稿AI文稿咱们来看一下苏州八年级春天四月份的这一道期中考试，填空亚洲题，咱们就朝花夕死，考试考完了，结束了吗？不， 咱们把亚洲题再走一走，看一看，过一遍是吧？期中还有期末呢，还有那个后面的九年级还有中考了，对不对啊？那这是一个矩形折叠的问题， 你认真看，会做的话就不用听了，不会做的话认真听上一听。第二，这道题，他考察的是矩形中的一个折叠问题，乍一看好像是有点难度，但其实呢，我们仔细看题目，你把它 画完了，你看它从题目告诉我们说，折叠之后有一条边与矩形的一边垂直，你只要把它画出图来，那这样的题目我们就能够很很快的做出来来，同学们，我们一起看题目吧， 他说，如图所示，在矩形 a、 b、 c、 d 当中啊， ab 的 长度是等于六的哦，一个是六哦，长和宽都给我们了，一个是六，一个是十。 题目又告诉我们， b、 d 长度是二啊，这个就是八。那么点 e 呢？是我们线段 bc 上，注意是线段 bc 上，它不在设线上。这个细节啊，我们讲过很多遍了，只要考试你看到动点的时候，你一定要把它画出来，这个动点到底是在线段上，射线上，还是我们的直线上？一定要看清楚， 不与端点重合的一个动点。那么连接 b p， 我 把 b p 一 连，连完了之后呢，将将这个 e p， b p、 e p 连起来之后，将三角形 b p e 沿着 p e 进行翻折，翻折过来之后呢？哦，翻折完之后，这个 p f 与矩形的一条边是垂直的，而矩形有四条边，两组分别平行的边， 所以它与矩形的边平行，它要么就是垂直于这个哦，垂直于这个，要么就是垂直于我们的 d c， 但它永远都是经过 p 的， 所以它垂直于 d c 的 时候，永远和我们的 p d 是 重合的吧。好了，那么既然如此，两种情况已经分析，分析出来之后，那你 我们既然题目告诉我们 p f 是 垂直于 b c， 我 是不是就先把 p f 画出来，然后你再去画 pe， 好 理解吧。好了，那么我们根据题目先把这个图画一下，我们把这个矩形给大家画出来啊，这个矩形对于我们而言，这个矩形先画出来，把它，哎，把矩形拿过来啊， 一个矩形，那我复制一下吧， 好放在这边。那么第一种情况，当我们的 p f 垂直于 bc 的 时候，来画一个图， p f 垂直于 bc， 这是个六，那么二大概在哪里？四等分点二在这里，这是 p p f 如果垂直于 bc 啊，这是 abcd。 注意， p f 的 长度永远都等于八吧，都等于 a p， 对 不对？因为这个 p f 是 我们哦，是等于十啊，说错了，是等于十，它是跟它翻折过来的，所以这段长度是等于十，这个 p f 也等于十。来，画一画图，把它延长一下 好了，那么在这个图当中，是不是 p f 垂直于我们的 b c 啊？那 p e 在 哪里呢？它最终是为了求出我们的 b e， 好， 我把 p e 画出来，画完了之后，是不是相当于长这个哦， e 在 这里， 那么最终题目是为了求这个哦，也就把这一下子翻折过来，这时候我们要求这段长度来，怎么求呢？来，我们看看。如果有黑魔法的同学，那这题就是送分题啊，对啊对吧，同学们看一下，因为这个三角形是不是相当于是六八十的三角形，也就是三四五嘛？ 这是三四五的大角的一半是一二根号五的小角，由此可见，这个三角形是一比二比根号五，那么从一二根一二根号五，没错，一比二比根号五， 那么这段长度是不等于六？两 k 是 等于六，两份是等于六，那一份是不是就三个哦，两一份是三，对不对？那么题目让我们求这个哦，这是八减三等于五，口算一下就可以得到答案。 如果没有黑墨发的同学，我们该怎么做呢？那我们说了用在折叠问题中，用这个非重叠部分的勾股定律，你看利用这个三角形的勾股定律能不能解决问题？ 因为最终求的这条线跟这条线一样，所以我不妨设这个为 x， 这个是 x， 对 不对？好，那此时此刻，根据题目，我们知道这段长度就是八减 x 吧，这个长度是六，而整个我们的 p f 是 等于 p b 等于十的，所以这段长度是四。根据勾股定律， 八减 x 平方加四的平方是不是等于 x 平方，从而解方程 x 也能算出来等于五两种方法吧。哎，法二，这是法二勾股定律，法二用的是勾股定律， 那法一的话，这这法一，但是你要黑魔法，你要记得熟啊，因为有些同学黑魔法到现在还没记住，我们已经讲了很多遍了。法一， 这就是黑魔法可以十秒钟出答案的方法，因为它是填空题吗？所以你完全可以用这个黑魔法去解啊，无所谓的。 好了，那么同学们看一下，他说 p f 垂直于 bc， 那 p f 有 没有可能垂直于 d c 和 ab 呢？啊？其实垂直于它跟垂直它是一样的。好了，那如果 p f 垂直于 d c 的 话，那么这个 p f 在 哪里？同样的，我们也把它画出来， abcd， 这个 p 大 概在这个位置， p f 如果它是垂直于我们的 d c 的 话，它应该是长这个样子吧，它的长度等于十。这条线段啊， 这个长度等于十，哎，画的有点长了，大概大概到这吧，也就是说保证你这段长度等于十就可以了，这是 f。 好了，那在这个图中 e 在 哪里？ e 是 不是在这个角的平分线上啊？这个角的平分线，哦，这就是个我们的 e 点，这是角平分线，这个跟这个相等吗？因为你是翻折吗？你翻折之后，这一块跟这一块肯定是属于什么重叠部分啊。好了，那我们同样把这 e f 连起来， 那么这时候的 b e 我 们要如何去求它呢？哦，把已知数据在图中标，这是六，这是八，这是十，所以这个是二，这个也是八吧，因为整个这段长度跟这段长度相等，是十，对不对？好了，那么题目告诉这是小明，哎，同学，你感受一下，这个跟这个什么关系？ 这个是什么关系啊？这跟这个什么关系？这个角跟这个角是不是相等啊？两直线平行，内错角相等，哎，这个跟这个相等，而这个是翻折，这两个角又相等，角平行，所以立刻就有个等腰三角形。所以在题目中，我们的 b e 一定等于我们 b p 等于十， 那么 b e 等于，如果等于十，此时的 e 点是跟谁重合的？是跟 c 重合的吧，因为 b c 的 长度也等于十哦， e 就 跟 c 重合了，对不对？所以这个地方 我们看看。虽然说我们的 b e 能算出来等于十，那么注意这个题目中有没有说它能不能重合？看清楚点， e 是 线段 b c 上不与端点重合的动点哦，它不能与端点重合，此时与什么？此时与 c 重合， 此时 e 与 c 重合，故要舍去啊，重合，舍去。所以这个题目答案只有一个，那就是五。 最后我来总结一下，对于像这样的矩形的折叠问题中，我们一定要记住一点啊，就是在矩形的折叠问题中，他有一些相等的角啊，这个相等的角是由于折叠产生的，那么同时他还会产生什么东西呢？哦，产生一个等腰，这个等腰是由什么产生的？平行产生的， 也就是你折叠之后，这个边只要你出现了跟他平行，那么一定会出现等腰。就像这种情况，他这个折叠之后，你看这个这个角，这条边跟这条边，他是没有等腰，但这个里面他是 折叠完这条线跟这条线是不是平行的呀？你看被平分的这个角的两边有没有发现？也就是说这个折叠前跟折叠后的这两个边， 如果但凡只要出现与 b p 或者 p f 平行的线，那么一定会出现等腰。你看这个 b p 跟 p f 平行的，它有没有两谁跟它平行 啊？这里面没有谁跟他平行吧？所以这个时候就产生不了等腰，对吧？有人说老师有跟他平行，跟他平行的，确实你在这里，但是你不是说过这上面你如果说平行，你把它噔噔噔延长一下，对吧？你把这个延长一下，哎，这也是等腰，其实，但这个途中他并没有延长出来，是这个道理吧？
05:58查看AI文稿AI文稿来，就这个吧，十四题，嗯，他说这个，嗯，角 o a b 是 九十度角。来，第一问，正平四，这个你知道吧？嗯，他怎么正的了？ 正通过，通过两组对边，嗯，平行，分别平行就是倒角，是不是？嗯，其实就是倒角，来两组对边分别平行就行了。这第一问不用说，你就说这个第二问吧。求 o 锥的长，怎么求？通过折叠？求 o， 这折叠是中考的非常重要的考点啊，你赶紧把这个折叠给弄得清清楚楚的，折叠会出什么呢？ 折叠一定会出来调等，等边等角是吧？嗯，等边等角，那现在要是求线段长的话，主要是要让你出等边的啊。来，嗯，它是折叠了，所以 c g， 嗯，等于 a g， 然后这个， 嗯，所以设这个 o g 是 x， 嗯，然后这个 c o b 是 八，那这个 o b c 是 一个等边三角形哈。嗯， o b c 是 一个等边三角形，所以这个 o b 就 等于 c o， 然后这个，所以这个 a g 就 等于 c g 等于八减 x， 对， 然后 a o 是 a o 怎么求的了？你说 a o 上一问知道是四倍根号三。啥啊？那你就说吧，上一问，为什么那是四倍根号三呢？ 哎，你现在不是知道这个 o a b 是 九十， o a b 就 那边是一个直角哈。呃，然后的话，你还知道 a o b a o b 是 三十，是吧？那其实就是一个三十、六十、九十的三角形吗？嗯，你现在知道了 o b 是 八， o b 是 八的话，我问你 a b 是 几 四？斜边是八四，短直角就是四，那长直角是短直角的多少倍？嗯，根号三，哎，对，长直角边就是根号根，四倍根号三吧。啊，四倍根号三，所以你在那个三角形 o o a g 是 吧？嗯，那个点是 g o a g 里边用啊， 勾股定律 i o j 就 求出来了哈。你现在学到的求线段长，只有用勾股定律，所以你要把这个线段放到直角三角形里边，这和这道题一样，不一样，这道题你把这个来这个第三问哈。最后一问。这个第三问是挺有价值的，你把这个最后一问讲一讲吧。 嗯，就是我看一下第三问在哪呢？求那个 e f 的 叉哈。首先是在这个菱形知道了 a b， c， d 是 一个菱形， 菱形里边告了你一个一百二十度，就是在菱形里边只要看到一百二十度和六十度，你要做什么？辅助线？嗯，连接对角线，对了，连接对角线马上会出来什么？等变三角形？对，等变三角形。哎，这你要求的就可以解了啊。嗯，这个题对，连接起来以后怎么求这个 e f 呢？你说， 嗯，国点 f 作 f h 垂直于 e c， 就是 要把 e f 放到直角三角形里边，用勾股定律是吧？嗯，那你现在就要求出什么 e h 和 f f h 是 吧？那这个怎么求？ 嗯，它，这个首先你连起来辅助线以后就有什么了。等边三角形。哦，是了，那你自己说吧，有等边三角形你要咋办？ 这个 b 一 是 b， 一 是这个二，嗯，然后，呃，这个是菱形，嗯，对，正边三角形 a b 等于 a c， 嗯，然后你就是，是不是你现在是要证那两个阴影的 a b e 连起来以后你要证 a b e 和 a c f 全全等，是吧？然后 b e 就 等于 c， 这两为什么全等呢？你说一下 边角边 ab 等于 ab 等于什么？ ab 等于 ac 啊，还有什么角？ b a e 等于，还有一个六十度，是不是？ 嗯，说了吧，因为这个角是菱形，这是大的，是一百二菱角腹部这个角 b 是 零一百六十角， b 是 菱形，又因为这个 ab， 嗯， acb 是 六十，这是六十的话，那这边也是六十。嗯，哎，就两个角相等了。 呃，一个角相等了一，一个角一条边，那再找什么条件角哪个角？ b a 一 跟角 c a b a e 为什么等于 c f 呢？嗯，叫 b a e 加角在中间那个空白，那个角是六十，是吧？右边那个加起来也是六十，因为这个题目上说了， e a f 是 六十，嗯，所以就是等量减等量，就这两个小角相等，嗯，就全等了。全等以后， b e 不是 二吗？ b e 是 二的话， b e f 等于二。哎，对，然后怎么剩下的再怎么办？ 嗯， c 啊，因为这个是九十度，然后那个 c f h 是 三十，所以这个 c h 等 c f h 为什么是三十呢？那么你的意思是说这的这个角是三十，是吧？嗯，这个角为什么是三十？ 因为你是菱形吗？这个角不是菱角，对角相等角 a 是 一百二，所以他的那个对角是不是一百二？嗯，他要是一百二的话，你这个辅助线你不是延长 b e 吗？延长 b e 的 话，这个角是不是六十？哎，对，这角是六十，那上边那个小角就是三十，三十的话，你知道了，对，你知道了。这个斜边是二，那，那，那这个就是一， 这是一的话，这，这的这个呢？ f h 就是 根号三，所以这个三角形用勾五就可以了啊。这个题最主要是要明白什么，就是只要有那个一百二十度和六十度的菱形，你要把对角线连起来，这就是这个题的结果，基本上就得出来了啊，再做点别的。
05:19查看AI文稿AI文稿翻折系列第二弹，今天我们继续来讲一道翻折的问题。今天这道题相对来说难度会增加一些，因为它不仅仅翻折，而且还是一个存在性的问题。 首先我们来读题，如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于二，我们就给标上 ab 等于二，那就 bc 等于二， cd 等于二， ab 等于二。减一是 ab 上的一节将正方形沿 c、 e 折叠，正方形沿 c、 e 折叠， 也就是三角形 b、 c、 e 给折叠到三角形 b 一 撇 c、 e 这个位置。折叠之后呢，我们就会知道 bc 是 等于 b 一 撇 c 就是 等于二，那这个角也等于这个角，这个角也等于这个角。然后我们继续读题，点 b 落在正方形内一点 b 一 撇出， ok， 这个点要落在正方形内。若 ab 一 撇 d 为等腰三角形，则 b、 e 的 长度要求 b、 e 的 长度。 然后条件是 a、 b 一 撇 d 是 一个等腰三角形，那如果这个 a、 b 一 撇 d 要是等腰三角形，我们就要想它有几种情况，一种是像我们图中显示的可能是 a、 d 等于 b 一 撇 d， 这是等腰三角形。还有一种情况是 a、 b 一 撇等于 b 一 撇 d， 那还有种情况是 ab 一 撇等于 ad， 我 们要逐个的分析。首先我图画这种情况应该是更接近于 ad 等于 b 一 撇 d， 那 如果 ad 等于 b 一 撇 d， 我 们已知 ad 是 等于二，那 b 一 撇 d 也等于二。 如果我们把这个标上之后，我们是不是立马能发现 b 一 撇 d、 c， 这是个等边三角形，等边三角形就意味着 b 一 撇其实是在 c、 d 的 中垂线上，对吧？所以我们可以把这条线画出来。怎么画呢？ 我们过 b 一 撇做 a、 d 的 平行线，做完这条平行线之后，我们就会知道这个角应该是三十度，然后 e、 b 撇是九十度，所以我们知道这个角是六十度，那我们要求 b e， 我 们假设 b 是 x， 那 b 一 撇一是 x， 那 这个点我们标上 h， 那 我现在能不能标出 h 一， 我们来写一下，当 a、 d 等于 b 一 撇 d 的 情况下，我们就会知道 h b 是 等于一，那 h b 是 什么呢？ h b 是 等于 x， 加上二分之根号三 x， 所以 我们会得出来 x， 这应该是第一个结。 那第二种情况下，我们来求一下，当 ab 一 撇等于 b 一 撇 d 的 时候，那么这个要画图怎么画呢？如果 ab 一 撇等于 b 一 撇 d， 我 们就知道那 b 一 撇一定是在 a、 d 的 中垂线上，所以 b 一 撇应该大概在这个位置。 而且因为 bc 等于 b 一 撇 c， 所以 我们就知道我们只需要画它的中垂线，加上以 c 为圆心，以笔画一个圆的交点即可。那我们来画一下这个图，我们图形画完了，大概是这样子，因为这两个三角形是反折的关系，所以我们还是要把这些 关系包括正方形 abcd 的 边位标上。首先我们标边，我们知道 ab 是 二， bc 是 二， cd 是 二， ad 是 二， ok， 然后这两个三角是反折关系，那么这个角再用这个角，这个角再用这个角，然后这个是九十度，这个是九十度。 然后因为 b 一 撇 c 是 有等于 bc， 我 们把这个也标上二，然后明知道 a、 b 一 撇是等于 b 一 撇 d， 所以 说明什么？说明 b 这个点是在 a、 d 的 中垂线上，所以 b 一 撇，这个点也在 bc 的 中垂线上。 所以如果我们连接 b 一， b 一 撇，这个线应该等于 b 一 撇， c 也等于二，也就说也等于 bc， 所以 这又是一个怎么变三角形？所以我们把它连起来。还有两个，一个是 b， b 一 撇应该等于二，另外这个地方是垂直，这是分折过去的。那现在我们来看这个三角形，这是怎么变三角形， 然后这又是他的高，所以三线合一的话，我们也知道这两个角是相等，那我们来看一下这个是怎么变三角形，然后这两个角又相等，所以我们知道这个角应该是三十度。所以在三角形 abc 中，我们知道 bc 是 二，所以要求 ab 是 多少，这是不是直接就可以写出来， 所以是不是 x 直接就可以写出来？是等于加上三分之二，也就是三分之二加上三。还有这种情况就是我们刚才说了 ab 一 撇等于 ad， 如果这种情况下存在的话，那也就是 ab 一 撇等于 ab 等于二，也就是说 a 是 在 b b 一 撇的中垂线上， 我们知道点 e 是 在 b b 一 撇的正垂线上，如果 a 在 上面，那就说明 a 和 e 也是成和，也就是说当 e a 是 这样的时候，这个时候翻折，我们会发现 b 其实是跑到这来了，和 d 成和，所以这个是不满足的。 所以最终这个题的答案是有两个结，一个是这个，一个是这。我们简单的总结一下这种翻折加存在性的问题，难度会稍微增加一些，但是只要我们 把所有的情况都考虑到，并且逐个分析，我们也不难求出所有的解，这里面关键是要利用好翻折之后的边角对等关系，而且不断的把所有已知的条件都会标注在图形上，这样这个图形更能提醒我们 接近我们的答案。怎么样对翻折问题，您开窍了吗？我爱数学，数学使我快乐！
53优霸·开窍啦
14:30查看AI文稿AI文稿当天津中考二十四题考平移时搞定了，考折叠时 啊杀！今天咱们来讲解一下这个让同学们非常头疼的今年要中考也要考的这个折叠问题。 这个也是一个比较难的一道题吧，比较应该计算量比较大，咱们来分析下这道题吧，这是和平二模的二十四题，我觉得难度非常适中，这个折叠，嗯，基本上就是中考难度。好吧，咱们来看一下。 先来读一下题，呃，这个梯形纸片 o， a， c， b， o， a， b， c 放在这个纸片纸平面直角坐标系里，然后点 c 五零，所以说 o， c 等于五，然后 ab 都在第一象限， ab 平行于 o， c， o a 等于 b， c 等于二。 ok， 然后看一下他又说，角 b， o， b， c， o 等于九六十度， 哎，咱是不是很容易得到，这也是六十度啊，对吧？然后咱来看一下他第一问，第一问很简单， a 的 坐标还有 b 的 坐标，那 a 的 坐标对吧？咱往这做个垂线，一根号三解决了，对吧？ b 的 坐标也不难，也往这做垂线，一根号三也解决了，对吧？ 然后 a 呢，就是一根号三， 点 b 呢？点 b 是 五减一是四，四根号三， ok， 这第一问就解决了。然后看第二问，第二问，他就开始折叠了， 他说这个点 p 在 o c 上，然后过点 p 做直线， l 平行于 bc， 然后过点 l 折叠，然后这个点 o 的 对应点是 o 撇，设 o p 等于 t， 这等于 t。 然后我看第一小问，如图二说这个有一个点 q， 然后点 a 的 对应点为 a 撇，然后重叠部分为四边形， 然后相当于点 e， 然后让咱用 t 表示 o 撇 e， 写出 t 的 取值范围。我给大家分析一下，这个 o 撇 e 呢，很明显，它不在一个特别明显的几何图形里，那咱只能用线段的和和叉来解决，对吧？那和肯定不行了，咱用叉吧。 o 撇 p 减去 e p 是 不等于 o 撇 e 啊？这是咱的初步的一个思路，对吧？咱就要用这个 o 撇 p 减去这个 pe， 因为为啥呢？咱一看，哎，这折叠过来肯定全等，这 o 撇 p 不 就等于 o p， 它不就是 t 吗？ 但是 pe 呢？哎，这 pe 在 这个三角形里头，这三角形一看就挺规整，对吧？然后，为啥规整呢？其实是个等边三角形，哎，这是六十度，然后咱前面说了，这有平行，这平行，对吧？那同位角这也是六十度， 然后折叠呢？折叠它不全等吗？这不也是六十度，然后呢，这不也是六十度，所以这是个等边三角形啊。那 p e 不 就等于 p c？ p c 是 啥？ p c 不 就是 o c 减去 o p 不 就五减 t 吗？ p e 不 也是五减 t 吗？哎，那是不是就可以求了，没问题吧？ ok， 咱把过程写一下， 先来说这个 o 撇 p 由折叠之， o 撇 p 等于 o p 等于 t 啊，可以把角也先写一下，角 o p q 等于角 q， p o 撇， ok， 然后， 然后又因为刚说的平行，对吧？ l 平行于 b c， 所以 角 o p q 等于 角 c 等于六十度，没问题吧？所以呢，角 e p c 等于一百八十度，减去二倍的角 o p q 就 等于六十度，对吧？现在咱说了，这是六十度，这是六十度，所以呢，三角形 e p c 是 等边三角形， 所以这个 p e 就 等于 p c 等于 o c 减， o p 等于五减 t， 没问题吧？然后呢， 所以这个，呃， e o 撇就等于 o 撇， p 减 p， e 等于 t 减去五减 t 等于二， t 减五， ok， 这个 e o 撇咱就求完了， 然后呢，他让咱写出 t 的 取值范围，那这个 t 他的条条件是什么呢？就这句话，这中间部分为四边形式， 对吧？咱就来一步一步分析吧，点 p， 从这出发，咱一路分析到这，行吧，正好为咱最后一问打基础。点 p， 刚开始 咱这咱就可以把这个面积大概的给表示出来，对吧？因为咱第三问肯定要用， 也是表示一下这个变化的趋势，好吧，刚开始肯定 t 为零的时候，面积就是零，然后在想这个点 p， 假如说在这移动了一段距离，它充电面积是不是个等边三角形？ 就折过来一个等边三角形，对吧？为啥呢？这是六十度，哎，这也是六十度，因为平行，对吧？那么这不就是等边三角形，那折过来，他也是个等边三角形，对吧？ 然后呢，再折，哎，在这，哎，还是个等边三角形，直到什么时候啊？只要这个点 p 在 这，它折过来，哎，这就是基本上就是最大的那个等边三角形，对不对？这会这个等边三角形边长就是二了， 那这会他刚好是重叠的，就是刚好完全是重叠的，那么这会咱记为一个转折点，好不好？因为你明显的你再往右折，哎，他就要出去了，对吧？他就出去了一部分，就说这是一个转折点， 那么这会呢， t 等于多少呢？在前面说了，这是个等边，这是二，那 o p 就是 二，那 t 就 等于二，对吧？那么在 t 等于二之前，它这个等边三角形是不是慢慢变大？所以说面积的变化趋势，咱也可以表示的就是慢慢的变大， 变达到二，这，对吧？ ok， 咱接着分析，那可以把这个二，这的这个面积求一下，对吧？ 这是二，那这个等边三角形面积四分之根号三 a 方，这个这个同时知道吧？好吧，乘四就是根号三， 好，然后咱接着看 当点 p 越过这个点，越过这个二这个点啊，在这的时候，假如说 再看它是一个怎样的一个图形，是不是大概是这样的，对吧？折过来之后，那你看这会，哎，这重叠部分面积，哎，好像还是个等边三角形，对吧？怎么正呢？这是六十度，这是六十度，平行上来这也是六十度。 边长还是这个 a p， 呃，还是这个 q p， 这 q p 等于什么呢？ q p， 因为平行于这个 bc， 这也平行，那它横等于 bc 吧， bc 不 就是二吗？哎，这面积还是这个等面就边长为二的等边三角形，对吧？ 哎，那咱们再想点 p 在 这的时候再往右移， 再往右移， 哎，那还是二，对吧？那什么时候他不是二，对呢？这会他就刚刚好好背啊，是吧？ 这也是一个临界点，为啥呢？咱明显的咱再往右移，就变成他题目里给的这种情况，那这会他 t 等于多少呢？这会他这个乘以二的等边三角形，他这会 t 等于多少呢？ 咱们肯定得看这个三角形 b p c， 对 吧？这会这个 p o 撇，它是刚好经过点 b 的， 对吧？ 那么这会它的这个 bc 是 二，这是六十度啊，这也是六十度，那这不也是二吗？这会 t 等于三，对吧？那 t 等于三，二到三这段时间，它的面积是不变的，咱刚分析的都是这个等边三角形， 对吧？然后呢，再过了三呢？过了三咱就不用画图了，对吧？过了三就是他题目里给这种情况，那咱来分析一下，这会是四边形，刚三的等于三的时候，它还是一个这个三三角形，等边三角形，这会它是个四边形，那它的面积怎么变呢？ 咱们把不妨把刚刚那个二给编成为二的等边三角形给画出来，是不是这样？这是二，对吧？六十度，六十度没问题啊，那你看，这会，哎，它缺了一块， 那它面积肯定变小了，对吧？然后所以咱要抛弃那个那种想当然就是说这个边数越长，它的面积就越大，是不是有这种说法，肯定这道题就颠覆了，对吧？那么咱再看点 p， 再往这边走，哎，走到这的时候， 走到这的时候，你看，哎，咱还可以用那个方法，这是二补出这个等边三角形，发现他少的面积更大，所以说他越往右，他过了三，越往右，这个面积就越小， 而且这会还是四边形，对吧？那什么时候他不是四边形了？很明显就说点 p， 再点 c， 这的时候他俩重合了，压根就没有重合的这个面积了，对吧？那这会 t 等于多少？ t 就 等于五了，对吧？那 t 等于五的时候， 哎，他又回到这，他面积又变为零了，哎，那咱这图像不就画出来了？具体他什么时候是四边形，咱刚分析了，三，这里取不了，五，这里取不了，对吧？ t 的 面， t 的 范围就有了，这个 t 他 就大于三，小于五，对吧？ 大于三，小于五，这会他又是一个四元系， ok， 这第一问咱就解决了。那第一问如果你像这样分析的话，第二问就特别特别简单， 你看啊，第二个，他让你求当 s 在 这个范围，呃，当 t 在 这个范围里头让你求 s 的 取值分，咱标一下吧。这是，呃，这是一点五，这是四点五，一点五， 四点五， 我用蓝色的标一下，是不是这一段他让你求 s 的 取值范围，那最大值一眼就看出来了，对吧？最大值就是小于等于根号三嘛， 最大也就根号三了，对吧？最小值呢？你会发现这是二啊，这也是二，哎，那这个图形是不是关于这个？ 关于这个 t 等于二分之，呃，这应该是二分之五，是不关于 t 等于二分之五，它是一个一个对称的呀，对不对？是不是一个对称的？ 那咱要是根据对称来看的话，很明显，那就这个点比较低，对不对？这个点低，它对应的 s 的 最小值也就低，那咱就只用求这个点就行了。这个点就是当 t 等于四分之五的时候，哎，对吧？咱可以用这个图来看，这个图好看一点。 t 等于四分之五，那总体是五，这是一，咱们就取这是终点，对吧？现在这个 p 就 在这，大概在这作一下， 一定要画图，通过画图来理解这种题，对吧？然后这会儿充电面积，咱刚说了用这个补全这个等边三角形的方法来思考， 哎，他补全了三角形之后，他的总体的面积就是根号二，根号三，对吧？这个大的等边三角形的面积是根号三，那减去这个小的不就完事？小的是多少呢？知道边长就行了。 这是二分之一，对吧？咱刚说了四点五吗？还差二分之一到五，那你看这是不是平行四边形，哎，这也是二分之一，那总体是二，这不就二分之三吗？然后呢？边长为二分之三的等边三角形， 是不是就这么算一下？最后算完这个东西应该是十六分之九倍根号三，然后用根号三减去这个，那就是十六分之七倍根号三，对吧？这个就是咱的最小值，也就特别简单的就求出来了， 那么如果说你说不确定他到底是不是一个对称的，对吧？ 那么你就可以怎么着？你就可以去再算一下这个，这边的最小值吗？这边是等于二分之三的时候， t， 哎， t 等于二分之三，这是 t 等于二分之三的时候折过来，对吧？然后呢？那这会这个重叠面积，哎，不就是二分之三为边长的一个等边三角形吗？ 四分之根号三乘二分之三的平方，哎，这是不刚算过呀，对不对？就是十六分之九倍根号三嘛，那明显一比是大于这个十六分之七倍根号三的，对不对？ 就是这个，对吧？很严谨的，也很巧妙的，很快速的就把这道题解了，对吧？ 这道题就是非常比较简单的一道折叠，但是很贴近中考，我感觉。
463云天😀
01:19查看AI文稿AI文稿中考前一定要记住折痕公式，为什么？因为折叠问题，中考必考一道题，不再选择就在填空。那什么是折痕公式？ 好，首先比如说一个长方形，哎，我一折叠 e、 f， 是 不是我的折痕，哎，折痕它的长度等于啥呢？等于宽比上长乘以对角线，哦，长方形的宽除以长方形的长，再乘以对角线的长度。那能不能直接用？不可以，有前提条件，什么条件？ 翻折后，哦，对角顶点要重合，那不重合能不能用？可以用，但是不得分。我们来看看，比如说这道题，矩形 a， b， c， d， 哦， a d 等于九，长等于九， dc 等于三，宽等于三，折叠之后，哎，找关键点有没有重合两个字， 有重合才能用，不重合千万不能用，求 e f 的 长度好，直接往里带。折痕的长度等于它宽比长三比上九乘以对角线的长度。九九八十一， 九个平方加上三个平方，八十一加九九十，九十是三倍的根十三乘三九九九一约，哎，好像答案就等于根十，哎， 快不快？别人三到五分钟完成的问题，你一分钟可以解决，但是，但是一定要记得前提条件，不能乱用！好，学会了没？
1.2万韩老师的数学课
05:13查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看到中考模拟题啊，是关于矩形折叠问题啊，我们先来读题啊，如图，将矩形纸片 a， b， c、 d 折叠，折痕呢，是 m、 n 点 m、 n 分 别在边 a、 d 和 b， c 上点 c、 d 的 对应点分别是 e 和 f， 且点 f 呢，是在矩形的内部， m f 的 延长线呢，交 b， c 于 g 啊， e， f 交边 b， c 于 h， 并且呢， e， n 等于二， ab 等于八，当 g h 等于两倍的 h， n 的 时候，那 md 的 长度是多少 好呢？这道线是一个矩形的折叠问题啊，那折叠呢，有很多的一些特点啊，比如说折叠前后边不变啊，还有呢，折叠啊，这个对应的角相等等等这样的一些性质 啊，那这咱们看一下数据啊，先看一下这个二八，以及这个两倍关系，咱们先把这个数标一下，那 e、 n 是 等于二，那所以说 n， c 呢，也等于二啊，因为这个地方 ab 等于八，那因为是矩形，所以说 c、 d 啊也是八，那当然这个 e、 f 呢，也是八啊，因为折过来的， 那再看一下这个 g， h 等于两倍的 h， n 啊，它比它是一个两倍的关系， 那想到了倍数关系，那咱们当然要想到相测，那这有没有相测呢？这个角等于这个角 啊，就是目测他们俩相测啊，他们俩相不相测，哎，肯定相测，为什么呢？因为啊，这呢折过来这个角呢，肯定是直角啊，这个 d 啊，折到 f、 d 的 地方啊，直角，这呢是延长的，所以这样呢，是垂直的，另外呢，角 c 是 直角，折过来以后呢，这个 e 啊，也是直角，哎，有了直角了，再加一个对角， 所以说三角形 g、 f、 h 啊，就相似于三角形 n e h 啊，就是这个，它这个大的和这个小的相似，那又告诉你这样一个啊，倍数关系，那其实呢，就是说他们俩的这个相似比啊， 是二啊，就这个比，这个是二，所以说得到了这个 g h， 本来是 g h 等于两倍 h n， 那 就说 f h， 它等于两倍的 h e， 然后呢，还有这个 g f 呀，等于两倍的 e n， 而 e n 呢是二，那所以说呢，这个 g f 就是 四，好，那我们继续往下看 啊，有了这个地方是四了，那如果说我们能求得 g m 的 长度，哎，我们减掉这个四，就可以得到 m f 了，而 m f 呢，就是 m d， 所以 这个问题啊，就解决了，那关键是求下这个 g m， 那 这呢，有一个啊，就是 那矩形折叠呢，有一个比较常见的结论，之前呢，也讲过很多次啊，就是平行加平分出等幺，就这样呢，折叠呢，肯定这是个平分了，角一等于角二， 另外呢，因为矩形，所以说平行，那角一呢，是等于角三的啊，这样呢，是内错，所以说得到了角二等于角三，那都得到了 m g n 呢，是一个等式形，而且呢是 g m 等于 g n 啊，所以说接下来我们如果说能求得 啊， g n 的 长度，那么 g m 就 出来了。好， g n 怎么求呢啊，这是二啊，这个 e n 呢是二，另外呢，这个边是四啊，还有一个别的关系，咱们看一下 啊， ab 是 八，那其实这个 fe 啊，是八，另外呢， f h 和 he 也是一个两倍的关系啊，因为这个地方呢，他们俩相测，所以说 f h 和和这个 he 是 两倍关系呢， f h 呢，就应该等于这个三分之二倍的啊， fe， 好，把这个问题找到，这个题就找到这个啊突破口了，那所以说呢，它应该等于三分之二，再乘以八，已知三分之十六。好，这个 f h 长度是三分之十六， 那这样的话呢，咱们这个 g h 就 能求了啊，因为 g f 是 四，这个 f h 是 三分之六，根据勾股顶点啊，可以得到 g h 的 长度。那当然这样呢，咱们还是根据之前讲过的这个方法，就是说，呃，咱们也未必就全部用勾股顶点，其实完全可以用相似数， 就是说放大倍数，那这个四呢，可以看作是三分之十二啊，就三分之二，那这样呢是三分之十六， 那显然这个三分之二，三分之十二是三分之四乘以三，然后三分之十六呢，是三分之四乘以四， 那所以说这个 g h 一定是三分之四乘以五啊，这样一个方法呢，就避免一些这个比较复杂计算，那这样的话呢，就得到了，它是三分之二十，所以说这个 g h 它是等于两倍的 h n， 那 所以说 h n 啊， 就是 g a 的 一半，也就是三分之十，所以说整个 g a 呢，就是三分之三十。好， g a 呢是十啊，三分之三十呢，就是十，所以说 g m 呢也等于 十，而嗯，这个 g f 呢是等于四，所以说呢，这个 f m 就 等于十减四等于六，那 md 呢？是等于 m f 的 啊，所以说呢，这个 md 啊，对应常数一样也是六，那么这个题啊就得出了解决。好，感谢大家收看，再见。
54老马数学空间
05:53查看AI文稿AI文稿这里 f 减 b 一 是一，这减的话明显搞一个矩形出来嘛，那这就是一，这就是二。然后整体长是四的话，然后这是根号五标一下，对吧？就会得到这个角是定角，那往刮刀的方向去，想去找谁的轨迹呢？ b 撇的轨迹，然后这边你等于点一点， 这边你给它反向延长一下，角相等 q e f 加 b e m 是 九十度，是不是？所以他相应的这个角等于这个角，也就是相应的三角函数值是 确定的，角确定，然后这又是 x 和 x 等幺，所以大致就能推出他应该是啥了。听角定比了吧，比如说他应该是根号五比一比二，是不是？你这是等于的话，这就是也是两分。所以 b e b b 撇应该是一个根号五比四的关系， 这就定比了。定角定比，所以刮豆嘛，然后刮豆怎么动呢？ e 怎么动， b 撇就怎么动， 因为 b 是 一个定点嘛，对吧？它俩 b 撇和 e 一个满足刮豆，那把 b 撇在哪的时候呢？ e 怎么动？ e 和 b 重合的时候， b 片也和 b 重合，所以其实位置在这图又给了一个位置，你这样一连就是咱们要的一个啥了轨迹了吧？所以 b 片的轨迹就是这一个，现在想要 b 片 d 的 一个最小值做垂线就可以了，那你想求这个，肯定要把 b、 d 连一下， 对吧？然后去分析就行，然后你分析着发现这个 b、 c、 d 两个直角边是相应的一比二的关系， 是不是？而这个三角形也是一个一比二的关系，就是 b e m， 所以 这角是等角，等角的话，辅助线给它反向延长 就会得到，这是二二，这是二倍根号五， b d 是 二倍根号五，这边也是二倍的根号五，所以现在就求它斜边上一个勾，这东西不就好处理吗？把这个图抽象出来， 这是二，这是二，这是二倍的根号五，这是四，这是二倍根号五。现在想求的是这个勾，对吧？把这个勾取出来就行了，不就最小了吗？用等面积吧，二分之一四乘四， 二分之一乘高，等于个二分之一二倍根号五乘 h， 嗯，约掉二倍根号五分之十， 五分之八倍根号五，按去就给他算出来了。所以这题就是先敏瑞的发现有一个定角和定比，然后开始往 b 片这个方向推，通过相应的导角，搞到一个 b 片定比定角上，然后再找两个关 注这是 b， 然后 c 和 d 的 话，不就是今天课上讲那个折痕过定点吗？你如果发现折痕过定点，然后相应的去处理就行了。这里相应的是二 x， 这是 x， 那 你反向延长之后， 他俩必然是过第一个点，也就是说你别管怎么动，他是不是都有一个相似，对吧？ e f 和这个肯定过点， o， 这是二，然后根据相似比，这也是二，所以相应的就会知道这横过定点，那也就是说，你别管怎么动， i o 和 i 撇 o 都干嘛？ 长度相等确定的是不是？所以他轨迹就是一个圆，两句话就可以了，是四的话，嗯，应该刚好过过这过，这 是一个四分之一元，然后现在想要的是 a 撇 d 的 一个最小值， a 撇 d 在 这个圆上， a 撇 d 最小值，就把 o d 一 算，给它减去一个半径就可以了。 这个上一连的话，这是四，这是四，所以 o d 等于一个四倍，根号二 a 撇 d 就 等于四倍。根号二，再减二二十几二十四，是吧。所以 c 也是对的， d 的 话就是 b， e 等于一个 d f 这俩相等。这不跟那个题基本一样吗？你这样一连两个三角形就干嘛 全等，是不是？全等之后，这个点必然是相因的一比一的关系吧。 b o 比 o d， 所以 相因的 o 就是 对角线的中点，还是一样折痕固定点，所以会有隐玄。要的还是 b 撇 d 的 一个最小值，所以把 b 撇的位置找出来， 就是到点 o 的 距离是相等的，也是一个小圆，这样一画画的跟个椭圆一样，一画。 行吧，就这个意思。然后现在想求的是 b 撇 d 的 最小值， b 撇 d 最小值还是一样， o d 减去一个 r 就 可以了。这个 o 是 相应的矩形的中心嘛。嗯，这是二之一，这就根号五， 尔呢？尔是相因的一个半径，半径就是 o b 的 一个距离。嗯嗯， o b 的 距离。 o b 距离。好像这图画准一点的话，应该矩形的中心，所以应该刚好也是过点 d 的， 对吧？既过 b 又过 d， 可以画一下。应该是这样的，刚好勾矩形的四个点，那相因的 b 撇 d 的 最小值应该是零了。 b 撇 d 给它翻到相因的这里就可以了。行吧，看着不能翻，其实应该是可以翻过去的。 嗯，折痕咋翻呢？就这样垂过去可以吧。就是你找一个和对角线换一下，找一个对角线垂直的线，对不对？你这样一翻， b 就 跑烂了，是不是低着了？所以 b 片低最小的时候就是零，这就完了。
110范例数学
