八下数学名师测控甘肃专版函数卷子
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13:12查看AI文稿AI文稿同学们好，我们今天寒假课的复习来到了我们的函数图像问题。那最近的学习中发现大家对函数图像那种应用类的问题还是不明白，他每条线段，每个阶段到底代表是什么样的动作，所以导致解题的时候会出现问题。 咱们这个来重点讲一下如何去分析函数图像。那首先来看到这一题，这题下面说了，彤彤先去看音乐会对吧？他要去看音乐会，所以他第一个先匀速步行到车站， 等了一会，等了说明什么？是不是他停下了对不对？所以应该先匀速再停下，那所以很明显哪张图就已经错，这张图是不是已经错，对不对？然后这个呢？这个怎么可能？ y 代表什么？ y 是 离家的距离，然后呢？ x 是 x 代表是时间对不对？那现在你要想想，他是从家里到车站，那所以从家里的距离你要从远开始吗？肯定不对吧，对不对？所以 d 肯定也是错误的，那所以在我们看下阶段， 他现在说演出结束之后又搭了车顺利的回家。那如果不清楚的话，你你可以大概看一下这张图插在哪里， 是不是？这个倾斜程度对不对？你觉得你搭车和你走路倾斜程度应该会差不多吗？ 很明显不可能吗？对不对？所以你刚开始应该是比较慢的，所以这种函数图像问题一定要注意细节问题。结合我们的实际情况，因为你走路比较慢，所以你第一段的斜率应该是比较低的，所以这道题选择 a 选项，虽然 a 和 b 看起来好像整个的大致的都是一样的， 然后来看下一个，下一下说小张的爷爷，他每天坚持锻炼，对吧？然后从家里跑步到了公园， 打了一下太极拳，又原宿又那个沿原路走一下，是走吧，对不对？所以走后面速度肯定会更慢一点。然后现在说走的路程和时间的关系，那你看一下路程可能 肯定不能往下降吗？对不对？因为他说是你走的路程，所以这 a 肯定错了，那往下但路程可能降低吗？也不行吧，对不对？所以肯定是递增的，那递增怎么增？你肯定是跑的时候比较干嘛？ 第一段会比较快，就比较斜一点，后面这段比较慢一点，所以 d 是 错的，要先斜后缓，所以选择我们的 c 选项。因此你做图像一定要抓字眼，看他是跑还是走，那跑的话肯定是更斜，对吧？增长速度会更快一点。 然后包括这也是妈妈要送张浩到少年宫，然后用了二十分钟， 然后到了之后妈妈又自己回去了，还是用了我们的二十分钟，然后现在说张浩在少年宫玩了二十分钟，之后跑个步回家用了十五分钟，叭叭叭一堆的。然后现在说正确描述离家时间和离家距离关系的是哪一个？ 那肯定第一段距离肯定干嘛递增嘛，对不对？大家都长得一样，没什么差。重点中间这一段，中间这一段你说要平稳，对不对？因为你停留在那了，所以 b 和 d 肯定错了。 然后最后一段，最后一段是跑步回家，用了十五分钟，那数比去的时候用时更短，对不对？那所以速度会干嘛？更快一点，也就更斜，所以选择我们的 c 选项，对吗？那往下 来看到我们的变式一，变式一像说龟兔赛跑之，这讲的是一个龟兔赛跑，对不对？然后注意一下，这个比较细的线代表是乌龟，然后比较实的线代表是我们的兔子，好吧？ 然后现在它表示是路程和时间的关系。那问我们，第一问兔子比乌龟晚了几分钟，那很明显乌龟一开始就走了吧，兔子呢？到四十才开始有动作，所以应该是晚了我们的四十分钟出发， 然后现在说乌龟跑了几米以后，那是不是这个点，对吧？这个点开始他的高，他的距离是不变的，所以他开始休息了，因此跑了我们的六百米之后，休息了二十到三十，也就休息了十分钟。那我们速兔子速度是几米？那我们可以发现兔子总共就用了十分钟吗？ 对不对？然后几千米走了一千千米，所以应该是我们的路程除以我们的时间，所以应该是我们的一百米每分钟 啊。第四个休息之后，乌龟的速度比前面慢了多少？第一段可以算吗？第一段应该是我们的六百，除以我们的三十，除以我们的二十，所以第一段的速度应该是我们的三十。后面这一段呢？三十到六十走了我们的三十分钟，然后只走了我们的四百，所以应该是我们的四百除以我们的三十， 那应该会等于我们的三分之四十，对吧？这就是我们的乌龟后半段的那所以问我们满了多少，你就干嘛三十减去三分之四十就可以了，对吧？ 那往下变设也是一样的，这样说，甲骑摩托，骑摩托，乙呢开汽车，所以这种题他不会很明确的直接告诉你说，哦，到底哪一段是甲， 哪一段是乙，你要自己根据实际情况去判断，那我们知道汽车肯定会比摩托车更快吧，对不对？按理论来说，那所以很明显哪段 应该谁先到达？应该是我们的乙先到吧，对不对？那这题为什么分三段？首先第一段它表示的是首先观察我们的横轴和纵轴，那表示的是我们的相距，两者之间的距离和我们时间的关系，那所以第一段肯定是相向而行，对不对？那到这里 距离为零，说明什么？他们相遇的，对吧？那后面又开始增了，说明什么？擦肩而过了，对不对？那到点 n 发现你的距离变缓了，说明什么？ 点 n 一定是已到达了，点 p 呢？是假到达终点了，对不对？那所以这个如果你会分析的话，第一位就很简单了，很明显应该是我们的 n 代表是已到达终点。 好，第二问，求速度，那求速度怎么求呢？你就要看它的变化吧，对不对？那很明显 n p 这一段只有谁在走？是不是只有假在走 n p 这一段？所以你可以根据 n p 直接来算， n p 这一段 路程是我们的一百二十千米，时间呢，是三小时，所以假的应该是四十千米每小时， 那以的怎么算？直接算共同速度不就好了吗？对不对？第一段很明显是他们合力走了吧，就零到二之间，零到二小时是他们合力走的，所以他们总的速度应该是两百四，除以二十，应该是等于我们的一百 二十千米每小时，对吧？这他们一起努力去走的，那所以应该是以呢，应该就是我们的一百二，减去我们的四十，应该就会等于我们的八十千米每小时， 这就好了。那第三问已到达终点时，我们两人的距离是多少？那直接算是不也可以，对不对？已到达终点， 那其实就是问这一小时，因为这里是不是相遇了，对不对？那所以他们又各自走了一小时，所以你直接算一小时他们走多远就好了，那一小时已走多远也应该会走了，我们的一 一乘上八十，所以乙会走了八十千米，那甲呢？甲还是我们的一乘四十，所以甲是走了四十千米。那擦肩而过之后，他们各自走了八十和四十，所以加在一起应该八十加四十，他们距离应该是我们的一百二十千米就完成了。 那往下动点问题也很关键，动点问题最爱靠三角形面积，那三角形面积一定要记住啊，底边不变情况下，决定面积是不是就是高，对不对？所以直接观察它高就可以了。那么看一下，长方形 给了我们的 ab 是 等于十二的， ab 等于二十，然后宽是等于我们的十二的。然后现在说点 p 要从 a 开始绕一圈走到 d 停止，然后说的速度是一厘米每秒， 从 d a 秒开始，速度变成每秒 b 厘米，然后图二是它整个面积和秒数的关系，那我们可以看一下，首先第一段零到 a 这个时间对不对？它是不是平缓的，而且平缓递增，那说明什么？ 说明你的高度，说明你的面积是随你的 p 的 走动而干嘛而增大，对不对？那么看一下 a、 p、 d， 所以第一段的时候你会发现你的 a p 在 增，你的 a、 d 是 不变的吧，对不对？ a p、 d 的 面积应该是 a d 为底边，所以 a d 是 定的，那只跟谁有关，只跟你 p 点所在的对角有关，对不对？这决定它的高，那所以来 他直接写出 a、 b、 c、 d 的 值，那我们可以发现转面积的呢？到四十八的时候对不对？那底边是十二，面积是四十八，这时候你是不可以计算，对吧？我们可以直接假设我们的 s 三角形，第一阶段我们的 s 三角形 a、 p、 d 应该会等我们的二分之一的 a、 d 乘上我们的 a p， 那 为什么我一定我能保证它是在 a b 上呢？因为你要发现，如果你点 p 在 这上面的话，你整个三角形的面积还会变吗？ 这一段是不变的吧，对不对？点 p 在 bc 上的时候，因为干嘛？你点 p 到 a、 d 的 高度整个都是不变，那说明什么？说明这一段平的才代表什么？代表我们的 bc， 对不对？那所以你前面这一段一定都是在我们的 ab 上面运动的，所以第一段我们这些求就好了，乘 ab， 那 ad 代这样应该是我们的六，所以六倍的 ap， ap 会等于我们的四十八，这是我们面积。那一次我们 ap 是 等于八的， 他加 a p 等于八，他现在说了每秒一厘米，所以你的时间就几应该就是我们的 x 吧， x 应该就是我们的八秒吧，对不对？所以点 a 就是 我们的八，因此破案了，点 a 是 八，那往下他的问我们 b， b 在 哪里？ 那我们 a b c d 对 不对？这里这题 b 怎么丢了？这题 b 不 见了？那没关系，不管他，我们先看下我们已经有了 c， 是 不是有对不对 c 的 呢？哦， b 他 是要要问你变速哦，在这里老师也会粗心，他现在说 a 秒时速度变为每秒 b 厘米，那所以就研究这段时候就好了，对不对？你可以发现这一段你整个面积是怎么变的？你，呃，你的斜率是不是有的，对不对？你的面积会和你的时间怎么变？每秒钟变多少？ 这里面积差了我们一百二减四十八，面积是差了我们的七十二，然后时间呢？距离时间应该是差了我们的六，对吧？十四减八，那所以可以发现你的 面积是每秒钟变化了我们的十二厘米，对吧？每秒钟变化我们的十二厘米，那所以很明显你整个速度怎么变？ 本来你的面积是怎么变？本来每面积是每秒钟变六厘米，那现在变了我们的十二平方厘米是不是几倍？是不是两倍，对不对？那因此你速度肯定是是两倍，也就是 两厘米每秒，这就是我们的 b， 那 c 一 样的 c， 就 问你这段时间能走多少，对不对？你速度是两厘米每秒，那 bc 整段是十二，所以应该是我们的十二除以我们的二，应该会得走了我们的六秒钟，因此这一段 c 应该是十四加六，应该等于我们的二十。 最后一段什么时候停呢？到停时候走到点 d， 对 不对？你也一样的去算一下就好了。 c d 这样再递减，那我们的二十除以二，你的 d c 这一段一定要走我们的十秒钟，所以二十加十点 d， 应该就是我们的三十就完成了。 那这个都有的话，整道题比较简单了。首先 y 与 x 的 函数表达是一定要干嘛？一定要分段吧，对不对？你的零到八是不是不一样？然后呢，你的八到十四是不也不一样？ 其次呢，你的十四到二十是不是还是不一样？最后还有一段，谁？你的二十到你的三十是不是还是不一样，对不对？那如果这个会的话，你整道题其实非常好求，只要记得你要分段就好了。 分段也好分嘛，对吧？每个函数表达一下，带进系数法，你头尾已经全部算完了，所以带进去我们就有这个二了。 然后下来我来看。第三问，几秒之后，以 c、 d、 p 为顶点的三角形是等腰三角形，那第一阶段肯定在哪？是不是在这中间，对不对？也就走这一半的时候，这时候你会发现整个就是我们的等腰三角形， 没问题吧，对吧？那所以整个等腰也比较好算吧，应该就是走一半的时候，那这里二十，呃，八秒的时候，还是以一厘米每秒的速度，所以你是要变速，对吧？前八秒， 前八秒你是走了八厘米，所以你还缺几厘米？你中间一定要十厘米嘛，对不对？一定要是终点位置，所以剩下的两厘米你是需要一秒，那所以应该是八加一，应该是需要九秒钟的时间，那它就是我们的等腰三角形。那好，今天就到。
02:11查看AI文稿AI文稿好，今天咱们看一下，求八下一次函数解析式的问题，已知一次函数的图像经过负四十五，六负五这两点，求一次函数的解析式，一般求这种解析式的时候，我们可以用什么代定系数法？我们先解， 哎，这个函数它的解析是什么？ y 等于 k， x 加 b， 因为它经过这两点，我是不是把这两点的横纵坐标带进来，然后形成一个什么呀？二元一次方程组，来我们一起看哈。 如果说当 y 等于十五的时候，我们的 k 应该 x 应该是多少？负四，比如说负四 k 加 e， 当 x 等于六的时候， y 等于负五，这是不是组成了一个二元一次方程组啊？ 我们简单的解一下哈，我用哪一个？用二吧，减去一对吧，我可以得到六 k 减负四 k， 是 不是十 k 啊， 就等于多少呢？负五减十五是负二十，我们的 k 就 等于负二，我们再将 k 等于负二呢？代入第一个，我们可以得到什么？十五等于 负二，放进去是不是八加 b， 那 我们的 b 就 等于七，看看 k 和 b 都求出来了，所以 y 应该等于什么呀？就是带回我们这一个求的这个解析式哈， y 应该等于负二， x 加七， 这是咱们求一次函数解析式的步骤，利用的是什么待定系数法？我先设出他的解析式来，然后呢，因为他图像经过这两个点，我把横纵坐标带进去， 组成了一个什么呀？二元一次方程组，我再解这个方程组，是不是咱们期下刚学了，我们可以利用什么呀？加减消元， 或者是带入消元，对吧？这里我们用的是加减消元，求出一个系数的值，然后呢？我们再回带回来求。
11:08查看AI文稿AI文稿咱们看一下这道题，给了一个反比例函数，这个是 y 等于 x 四分之四，这个属于是贺行仿自己的题，第一次是五十二，贺行在二四年， 在二四年考了这么一道，今年他改吧，他又考了这么一道，他又考了这么一道，路子都差不多。 看它这条线，它是过 a 点做 y 轴的垂线。 a 的 这个坐标是啥？ a 的 这个坐标，横坐标是 m， 横坐标是 m， 那 因为它在这个上边，所以它的纵坐标就是 m 分 之四，它说是 b 点到 y 轴的距离， b 点到 x 轴的距离，等于 a 点到 y 轴的距离， a 点到 y 轴的距离，那它这个是它的纵坐标，这个是它的横坐标，所以说 b 点的坐标就是负的 m 分 之四， 逗号负 m， 这条直线是 y 等于 m， 给它写近点，是不是这条直线是 y 等于 m？ 第一问，他让求 k 的 值，但 k 的 值不用带 m， k 的 值带 m 就 费劲了。那直接咱们就设 a 点，坐标是 a， 逗号 b， 那 b 点坐标就是负 b， 逗号负 a， 它们俩都在这个上边，在相乘都得 k， 相乘都得 k， 是 不是还都在这个上边？那就是 y 等于 k， s 加 b， 那 把它们俩都带入 y 等于这条线， y 等于 k， x 加 b， 把 a 点 b 点都带进来， 那就先把 a 带进来，是不是他就等于不用 b 了？这块有个 b， 那 块有个 b， 字母就重复了，是不是？那直接就 x y 得了，对不对？那这个就是负 y， 负 x 往里带第一个，那就是 y 等于 k， x 加 b， 第二个是负 x 等于负 y， k 加 b， 它们两个做差，那这边是 x 加 y， 这边是 x 加 y， 括号 k 对 一， 第一问就完事了。第一问 k 得一好，再来第二问，第二问。他说的是这条线用上了过点 a， 在 这做了一个垂线， 使他部分把这个上方的 l 上方的，那也就是这一段给他翻折下来，又不像了，是不是？重新画一个给他翻折下来 y 等于八。 好一样的。这根蓝的，上边的不看，就看下边的这一段就行，就看的下边的这一段，就看下边这一段。瞄一下，好，别的不用管了。是不是别的不用管了 啊？看着有点乱，是不是给他藏一下？好，就是这根红的显示就是这根，行，就在这上放着，对不对？他说当 m 等于一的时候，求 g 图像，这个 g 是 啥？包括这个和他这是构成了图像 g 与 x 轴的交点坐标，那实际上就是求这个求 m 等于一，那一 a 点的坐标 就是一逗号四，他到这边是四，是不是他到这边也是四？他到这边是四，他到这边也是四，那他到这边他到哪，他就到八， 实际上这边别这么来，实际上就是求它纵坐标是八的时候，这个横坐标是几？纵坐标是八的时候，这个横坐标是几。那就直接来呗，对不对？直接把八带进去就行了。 那就是第二问，八等于 x 分 之四，推出 x 等于二分之一， x 等于二分之一，那这个点就是二分之一，交点就是二分之一。 第二问的圈一也完事了，第二问，圈二，他说了过点 b 做 y 轴的垂线，然后与 g 交于 n、 c 两点， nc 两点。这块我觉得它是个错，为啥？看它体例描述，它是过点 b 做了个垂线，垂直于 y 轴的垂线，它垂到这是不是？那它垂到这，它说的是和 g， 也就是和这一撇，或者是这一撇相交于那个 n c 两点，那这里边和这只有一点，那这点是 c n， 没有 n， 没有 n， 除非是和 b 点重合，但是他要和 b 点重合，那他不符合题，那他就得零了，那 c n， c n 或者说 bc 怎么能得零？是不是？所以说我觉得他这个点是啥？他 n 应该是在这，为啥？因为二四年他个型考的，他说的是一个 e f， e f 和 y 轴的交点是个 n， 所以说它这块我觉得它是个比物题出错了，但是咱们给这按照 n 在 这算，那么这时候圈二是啥？是 b n 等于二倍的 c n， 也就是 n 点不是和它这个 g 的 交点，它是和这个 y 轴的交点， n 在 这，那咱们就分别表示出来这个 b n 和 c n 就 ok 了。咋表示？那就来呗。还是那个套路。 a 点的这个纵坐标是 m 分 之四， c 点，那这条它过的是 b， b 是 多少？它是 y， 等于负 m， 那从 m 分 之四到负 m， 这个距离是多少？这个距离是多少？是 m 分 之四减 m， 那 也就是减 加减，负 m 就是 加 m， 那 也就是这个点的从这到这的距离。什么距离？这个距离？ 那在这边也得找这个距离，是不是好？能找着他的纵坐标，也能找着这个距离，那这个距离还得加上一个几，还得加上一个 m 分 之四， 那也就是在这边这个点的距离。在这点他对应的这个纵坐标，那就应该是他后边再加上一个 m 分 之四，那这边这个纵坐标是 m， 他的纵坐标 把他的纵坐标进他的解析式里，带到这里，那就是 m 分 之八加上 m 等于 x 分 之四，整理一下这块是多少？ m 分 之八加 m 方 等于 x 分 之四，交叉相乘的，不用了，直接给四乘过去就行了。那 x 等于啥？ m 方加八分之 四 m 算的这个东西，它是 c 点的横坐标， c 点的横坐标等于 m 方加八分之四 m， c 点的横坐标， c 点的横坐标。弄出来了，那 c n 是 多少？ b n 是 多少就 ok 了， 咱继续，咱继续。那 c n 是 多少？来，直接咱就用这个等式了，那就是这个 b n 等于二倍的 c n， b n 从 n 到这，从 n 到这，也就是 b 点的这个横坐标的绝对值，那就是 m 分 之四 c n 这一堆对不对？他在正的没啥说的，那他就等于 m 方 加八分之四 m， 但是他还得乘个二，对不对？他等于二倍的，他 那就弄一下呗，是不是？弄一下在这是不是直接就可以掉个四？先约掉个四， 那就是 m 分 之一等于 m 方加上八分之二 m 交叉相乘二， m 方等于 m 方加八， m 方等于八 m 等于二倍根号二， m 等于二倍根号二。算出一个是不是括号，这一问，他就是问 m 得几？那 m 的 值 m 等于二倍根号二，圈圈三圈三。还有一个他是想问咱们从 a 从 a 到 bc 的 最小值是多少？也就是说这个意思， a 到 bc 的 最小值是多少？ 那么这个 bc 所在的那个直线， bc 所在的直线就是 y 等于负 m， y 等于负 m， 那 这块我就直接就给做了个垂直，那就来呗，是不是？ 来呗，那它的垂直了之后，那咱直接就是纵坐标减负 m， m 分 之四减负 m 等于 m 分 之四加上 m。 如果要是会基本不等式，这个就是高中必修一了，那就直接出答案了，是不是 基本不等式？是啥？是 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a b， 那 在这他加他，那就大于等于二倍的根号 m 分 之四加上 m， 中间这乘一约分等于几？等于四，那也就是他的这个最小值就是等于四，最小值就是等于四。那咱没学过这个，那咋整？没学过这个，那就直接给他化解化解。咋弄 通？分 m 分 之四加 m 方，这第一种方法直接用不基本不等式，第二种方法， 那么他等于了之后给上边配方，那我就配了一个加减二 m 减四 m， 那 就是 m 分 之四减四 m 加上 m 方，再加四 m 前面一个完全平方， m 分 之二减 m， 括号的平方再加四 m， 然后等于 m 分 之二减 m 括号的平方再加四。 想要让它最小，那得零，前面这一堆得零，那就是当 m 等于二的时候，它最小最小值是几？是四。
29孙悟能
04:38查看AI文稿AI文稿八、下函数压轴王依次函数的动态问题读题这道题目给到你点 m 呢，是一个动点，并且 a q 平行于 c m， 其中 a 点三斗零， c 点负一斗零是给到你的 m 点呢，它的运动轨迹其实也是可以分析的，你现在不认识它，没关系，我们到了初三好好的了解一下啊， 给你这些条件之后，人家让你求的是 p q 的 长度。来，我们先来做一个简单的分析，由于 m 点是一个动点，那整个 a m 直线应该也在动，那直线与我们 y 轴产生的这个焦点 p 点应该是在不断变化到，所以 p 点应该是一个动点。 同理， a q 平行于 c m， m 在 动的话， c m 的 倾斜程度也就是它的斜率应该也在动，那我 a q 的 斜率是不是也随之运动？所以对应的 q 点的坐标也是不能确定的。 两个点都在动，却让你求这两点之间形成的线段长度是多少？我大胆猜测一下出题老师的想法，这两个点虽然都在动，但是它们所夹的这条线段长大概率是一个固定的值，不然不可能让你去求它呀。 但很多同学分析到这里，已经被整道题目的动点个数给吓跑了，完全不知道应该从何下手。没关系，曾曾老师带你一起来拆解一下这种题目到底应该怎么做，再配合曾曾老师为你贴心整理的一次函数十三大题型解密，手把手的带你从一次函数求解析式的问题，到信息提取问题、 求面积问题、动点最值问题，以及依次函数与方程不等式的联系，带你一次通关依次函数所涉及到的所有高频考题，刷完这套资料，期末还能再提十分来回到这道题目吧。 这道题目最明显的是给到你 m 点的坐标，虽然它在动，但这个信息我是可以用起来的。由于我涉及到的第一个点 p， 它应该是 a m 这条直线与 y 轴的交点，那这条直线的解析式你能不能求呢？当然可以， m 点对应的坐标是给到你的，如果你把这里对应的小写字母 m 当成一个具体的数字来用的话，待定系数法两点求坐标一定是能解的。 当然，如果你看过村村老师之前教你的快速求 k 法，你也会知道，纵比横为 k， 所以 纵坐标做差得到 m 方减二， m 减三，横坐标做差得到 m 减三。 中共都有这里的 m 减三，所以我只需要把这里因式分解成 m 加一乘 m 减三，最后 k 其实就是一个 m 加一了。当然这里再把 a 点的坐标带回去，我的 b 应该也知道了，所以这边减去一个三倍的 m 加一。 注意这里的计算过程我直接省略掉了。如果你觉得这里很吃力的话，记得撕一下孙孙老师我细细的给你讲来，它到底是怎么来的哦。在做这一步计算的时候，你发现啊， m 减三这个整体呢，作为我的分母，所以我的分母不为零， m 是 不能为三的。先把这个前提条件写在这里，我继续往下看。 p 点不是知道直线与 y 轴的交点吗？令横坐标为零，所以纵坐标得到一个负的三 m 减三，我把 p 点就已经找出来了。接下来呢，我应该不遗余力的去把 q 也给表示出来，那 q 怎么表示呢？注意，题目给到了 a， q 是 平行于 c m 的， 这说明什么呀？ 平行嘛，倾斜程度应该是相等的，也就是我的斜率，也就是我的 k 值应该是一样的。那么 c m 的 k 我 能不能求出来？ 大胆动手操作一下？非典坐标是负一到零，根据纵比横为 k， 我 没开二度。我要算的应该是这么一个式子，所以再次英式分解成 m 加一乘 m 减三，约掉之后， m 减三也是一个很好算的数，当然这里 m 加一变成了的分母，所以 m 又有一个范围，它是不能等于负 一的。由此呢， a q 直线所对应的 k 值呢，应该也是 m 减三。那有了它，我的 a q 解析式不就能大胆地写了吗？所以 k 为它加上一个 b， 把 a 点的三勾零带进去，就可以把这个 b 给算出来了，算出这里的 b 值得到一个九减三 m 这个呢，其实也就是我 q 点的纵坐标，因为 q 点呢，也是这条直线与 y 轴的交点嘛，所以截距带进去，零到九减三 m， 这是 q 的 坐标， p q 都用含有 m 的 式子表示出来了， 所以整个 p q 的 长度用它们纵坐标的叉就可以做出来。你也有负的三 m， 你 也有负的三 m 减一，减减没了，那得到就是负三减九，负的十二加上绝对值就是最后的结果，所以 p q 的 长度为十二。注意，大前提， m 不 能等于三， m 不 能等于负一。 这道题目我们反复采用了一个技巧，就是快速求 k 值。当然，如果你对这个技巧不够熟练的话，你也可以用待定性算法从头到尾去计算一遍，算完这道题，依次来数相应的压轴题，你应该也就开窍啦！重数选李家强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！
524初中数学杨村村老师
01:17查看AI文稿AI文稿好，我们来看一道用待定系数法求 e x x 解析式的题。这是一道根数平梁的题，在平面直角坐标系中， e x x y 等于 k， x 加 b 的 图像经过 a 点一逗号二和 b 点负一逗号四两点，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 函数解析式。 我们首先是不是把 a 点和 b 点带进去啊？ a 点 一逗号二， b 点是不是负一逗号四，它的解析式是不是 k 加上 b 等于二，负 k 加上 b 等于四？我们解一下这个是不是二元依次放成组求出来这个 b 等于三， k 等于负一，所以说它的解一式是多少？是不是 y 等于 负 x 加上三？这里缺了一个什么？是不是缺了一个解呀？把这个解写上理解了吗？
01:40查看AI文稿AI文稿函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。
425依依老师da数学
02:19查看AI文稿AI文稿八、下期末必考的一函数的三大几何变换，分别是平移变换、对称变换和旋转变换。今天梁老师用一个视频教会你平移变换怎么做。来，咱们看题说将这个一函数的图像向右平移一个单位，再向上平移两个单位后， 所得的图像对应的解式是， y 等于 x 加三。那么求 k 等于多少， b 等于多少。 好了，各位，其实这类题目很好解决，你只要记住平移的口诀就行，就是左加右减自变量，上加下减常数项。那具体怎么做呢？我们来看，它说给这个图像向右平移一个单位， 那么向右怎么办？向右是不是要给这个自变量去减？那你看是不是给这个 k x 减一呢？ 不是。这里边的自变量是谁？这里边的自变量是 x， 所以 只给 x 减一，也就是 k 倍的 x 减一， 然后呢，它又向上平移两个单位，那向上平移上加给谁加？给常数项加，那这里边的常数项是谁？常数项是 b， 所以 给 b 加个二， 对吧？好，那我现在把它整理一下，就是 k， x 减 k 加 b 加二。好，那我把它写成这个样子，就是加 b 加二， 再减 k， 这是平移之后的解析式。那么他又说了平移后的解析式是谁？是 y 等于 x 加三。 好，他们俩都是平移后的形式，那么这两个是不是应该相等啊？相等的话，那么一次项和一次项相等，长竖项和长竖项相等，所以 k 等于多少？ k 等于一，对吧？那么 b 加二减 k 是 不是等于三？所以 b 是 多少？ b 是 二吗？ k 等于一， b 等二。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的依次函数的必刷题拿去练习，轻松应对期末考。
453梁老师讲初中数学
03:08查看AI文稿AI文稿八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？
1449初中数学林老师
05:27查看AI文稿AI文稿最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？
812初中数学林老师
02:47查看AI文稿AI文稿初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？
589初中数学林老师
02:52查看AI文稿AI文稿八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？
608初中数学林老师
04:20查看AI文稿AI文稿好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型，依次函数与几何综合。好，我们直接来看题目，菱形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a， a、 d 在 直线， y 等于负三， x 减六，点 a 在 x 轴上，点 c 的 坐标是二四，让我们求 b 点的坐标 好，看到菱形，我们马上要想到菱形特殊的性质，四条边相等，对角线互相垂直， 要想求点 b 的 坐标，那么我们目前已知的坐标只有点 c 是 二四 啊，点 a 的 坐标咱们也可以求出来，因为它是这条直线与 x 轴的交点啊，那么我们确定 y 等于零，可以得到 x 等于负二的啊，就是求出 a 的 坐标是负二零， 那么现在是四个点，只有 a、 c 的 坐标知道，那么求点 b 的 坐标，我们可以借助四边菱形的性质， a、 d 平行 bc 啊，求出 bc 的 解析式。接着再去设点 b 的 坐标，利用 a、 b 等于 b、 c 这个性质去建立等量关系。好，解出来点 b 的 坐标即可，这是第一种方式。第二种方式我们也可以利用 a、 d 等于 c、 e、 d 这个等量关系去建立解析式。求，先求出点 d 的 坐标，把点 d 的 坐标求出之后啊，那整个菱形 四个点，点 a， 点 c， 点 d 三个点都知道了，那么求第四个点的坐标肯定非常好求，直接利用平移的性质就可以了。好，那我们 直接设点 d 的 坐标啊，设它的横坐标是 m， 那 么由于它在这个直线上，所以纵坐标就是负三， m 减六，同学们一定要学会去大胆的设未知数啊，尤其是在一次函数中啊，我们去设点的坐标，这种方法非常的常见啊。 好，那么接着利用等量关系， a、 d 等于 c， d 好， a， d 等于 c， d。 好， 这个它们之间的长度怎么去求呢？我们可以直接利用两点间距离公式，直接代入就行。好，有些同学如果不知道这个公式，那么其实它就是根据勾股定律推导出来的啊。好，也就把这两条线段放到一个直角三角形中 好，把它们看作直角三角形中其中的一条斜边啊，所以 a、 d 的 长度就等于，那我们两边加平方 就不用带根号了啊，横坐标相减啊啊， m 减二， m 减负二，也就是 m 加二的平方，加上啊，纵坐标相减 做差再平方啊，就等于 c、 e、 d， 那 我们用 d 点的横坐标 m 减二， 再用纵坐标相减负三， m 减六减四的平方啊，接下来去解这个方程就可以了。那很多同学看到这个方程啊，还是先去展开又去解的啊，现在老师教你一种比较简易的方法啊，可以去 利用平方差公式，我们去移项，那么就变成左右两边都变成两个式子的平方差啊，接着利用因式分解啊啊，是不是很快的就转化出来了啊，比展开的话要简单得多。好，那么具体的过程老师就不再讲解了，求出 m 是 等于负四， 那么点 d 的 坐标，横坐标是负四，重坐标就是六。好，那我们来看平移方式，由 d 点到 c 点，相当于横坐标加六，也就是向右平移了六个单位，长度好，纵坐标由六到四向下平移了两个单位，长度 好，所以那么点 a 到点 b 的 平移方式和 d 和 c 的 平方式是不一样，也是向右平移六个单位长度横坐标负二加六，也就是四重坐标向下平移两个单位长度 零加是负二，所以选 b 啊，左右平移，左减右加，上下平移是上加下减啊。好，这里面一个距离公式，也希望同学们能够尽量把它记住，这样我们在做小题的时候会非常的方便啊。好，各位同学听明白了吗？可以给老师点关注我们。
69初中数学西柚老师
