八年级下册数学102页函数
大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百零二页练习。 嗯，这页练习呢是，嗯，函数的表示啊，这个表示方法呢？这一个课时练的是这个图像法啊，那这个画函数图像的方法呢？ 一共有三个步骤啊，用秒点法来画函数图像的一般步骤看见没？第一步，列表表中给出一些自变量的值，以及对应的函数值。第二步，秒点，在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标 相对应的函数值为重坐标，描出表格中数值对应的各点。第三步呢，是连线，按照横坐标从小到大的顺序，把所有的点，所所描述的各点用平滑的曲线连起来。 那我们看这个练习当中的第一小题啊，说第一个呢，画出函数 y 等于二， x 减一的图像。那我们说按照步骤，第一步我们要干什么呀？要列表，是不是我把它呢画在这上面啊？ 第一步，列表，那列表格呢？我们取一些啊，取一些自变量的值啊，和一些对应的函数值啊，你听好了，叫对应的函数值，啥意思呀？ 来，那这啊。第一步，列表， 这个是自变量，这个是函数，那我们取一些值啊，可以对称的取。也说先取 x 等于零时 y 啊，这 y 等于零呢？ y 得负一，当 x 等于一时 y 呢？你算一下，一二得二，减一是不得一， 那 x 等于负一时二乘负一等于负二，再减一等于负三，然后呢，你再取正二十 y 等于正三，然后得负二十 y 等于负五，然后呢，它有许多，我们去取一部分啊。第二步，这个描点， 那我们要求在平面直角坐标系中啊，以自变量的值为横坐标，也说这是横坐标 啊，你的相对应的函数值为重坐标，那你这个点，这一对啊，这一对相对应的实际上就是负二负五这个坐标，这是负一负三，这就是零负一，这就是一逗一，这是二逗三啊，就是这么个意思。所以说你把你的自变量 啊，自变量和嗯相对应的函数值作为横中坐标啊，咱们先画一个平面直角坐标系， 这个是那个对应的函数值，这是自变量啊，他在横轴，他在中轴，那我们看，嗯，第一个负二都负五，左边负二都负五，负一，负二，负三，负四负五在这 啊，这个点就是你的第一个点。第二个点是负一到负三啊，负一到负三，那负一来负一，负二，负三在这里，然后零到负一啊，在这里，然后一到一在这，二到三在这里， 然后第三步，怎么的，连线，对吧？啊？连线不模糊，来用平滑的曲线啊，光滑的曲线把它们给它连在一起， 那这条直线就是 y 等于二 x 减一的图像啊，这是第一题。那么第二题，判断 abc 是 否在函数图像上，那这个题你可以去怎么样呢？你可以去计算啊，那你像 第一个啊， a 点负二点五都负四，那也就是当 x 等于负的二点五时，那你算算你的 y， y 是 二乘以负的二点五，然后减一。哎呀，不要，这个等于， 这个是负五，然后得负六，那你看负六得负四吗？说不得。所以呢， a 不 在 啊，那我第二个 b， 那 当你的 x 等于一时，你的 y 就是 二乘一减二，乘一减一是不得一，那么它不等于重坐标，谁三，所以啊， b 不 在 啊。那第三个，当你的二点五到四，是不是 x 等于正二点五时，你的 y 等于二？乘以二点五，减一等于四，那你看它的重做标是不是也是四？它等于四，所以点 c 在。 好，这就是第一题。那么同样的道理，我们来看第二题，说哈，画出函数图像啊， y 等于 x 方加一的图像，那我们第一步干什么呢？列表对不对？ 来，表格啊，搁手不搁个尺了啊。 来，这是自变量 x， 这是函数 y， 那 我们取一些对应的值啊， 再勒出一个来，当 x 等于零时， y 得一，当 x 等于一时， y 得二，当 x 等于负一时， y 也得二。当 x 等于二时， y 也得五。来，其余省略 啊，那我们画出函数啊，第二步干什么呢？描点对吧？来画一个平面直角坐标系啊， y x 零，那么来取一下啊，当 x 等于负二时，负二在这，正五一二三四五在这， 然后负一时，他得正二，然后零时他得一，然后一时他得二，二时他得五。来，第三步，连线 要要平滑的曲线，是不是来给他连上？呦， 好，这就是它的图像啊。这个第一问就做完了，来第二问，说，观察函数 y 等于 x 方加一的图像，当 x 小 于零时， y 随 x 增大，还是 y 随 x 增大而减小？那 x 大 于零时呢？ 什么叫增大而增大，增大而减小呢？你看啊，它说的是 x 小 于零，那小于零就是在这个 x 轴的负半轴这边边， 对吧？ x 小 于零，你观察，这是负一、负二，负三，负四、负五，那我们从左往右看啊， 从左往右看，那你看你的横，最开始我取的是不是负二？那这是负二到五，这是负一到二。也就是说，当你的 x 的 值再向右变大时，你的对应的函数啊， y 的 值看见没？由低，由高到低， 对吧？由高到低。所以呢，你的 x 小 于零这一边啊，这半 y 轴左侧这边，应该是 y 会随 x 的 增大，而怎么样看，越来越低， x 往右越来越大，可是 y 的 值却由高到低了。 那也是当 x 小 于零时，你的 y 会随 x 的 什么增大而减小。 那么 x 大 于零这边呢？你看一二三四， x 啊，取一的时候他得正二， x 二的时候他得正五，那 x 三的时候是不是又往上了？所以呢，当你的 x 比值的变大的时候，你的 y 的 值是不是也跟着变大？所以叫 y 随 x 的 什么增大而增大？这个呢，实际上就是叫做增减性。等我们后面学一次函数啊，它还会用到。
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28:48查看AI文稿AI文稿好，来看到第二十二章函数。啥是函数呢？其实简单一点来讲，就是研究两个变量之间的关系啊。你来看， 万物皆变，行星在宇宙的位置随着时间的变化而变化，我国天宫空间站与北京航天飞行控制中心的距离也随着时间的变化而变化，气温会随着海拔的变化而变化， 树高会随着树龄的变化而变化。在现实世界当中，这种一个量随着另外一个量变化而变化的现象大量存在。 为了研究变化，研究运动变化现象当中的变量之间的关系，数学当中就逐渐形成了函数的概念，知道吧，他找的是变量之间的关系。 人们通过研究函数及其性质，可以更深入的认识现实世界当中事物变化的规律啊。实际上函数就是去找他们两个之间的变化规律，找变量之间的关系。 那在本章当中，我们就可以通过一些实际的例子，认识什么是常量，什么是变量，学习函数的概念和表达方式。在此基础之上，用函数描述一些简单问题当中的变量之间的关系，感受函数 在刻画变量关系和变化规律当中的作用。这个章节我们主要的是了解函数和知道函数的作用。 咱们先来看几个具体的例子，再去理解函数的概念。那这里思考有写四个。第一个他说汽车以六十千米每小时的速度匀速行驶， 当它行驶的时间 t 分 别为一小时、两小时和五小时的时候，行驶路程 s 分 别为多少？ s 随着 t 的 值的变化而变化嘛，那肯定的，对不对？这里问的是什么？这里问的是路程。路程等于什么？路程 等于速度乘上时间， 而它的速度这里是不是没变化？是不没变化啊？六十千米每小时匀速行驶，所以当这个是一小时的时候，一小时的时候就是六十千米每小时，乘上一小时，它就等于六十千米。 好，当他是两小时的时候，两小时，那六十千米每小时乘上两小时等于一百二十千米，对吧？好，五小时的时候呢？五小时就是六十千米， 乘上五小时等于多少啊？等于三百千米。 好，你看时间，它的值越大，时间的值越大，那么路程是不就随着增加了，对不对？好，这里用字母来表示的话，就是这个路程 s 等于速度 v 乘上时间 t， 这里的 v 速度就六十千每小时，所以它等于六十 t， 就 这个意思啊，这六十 t 那 么分别为多少？我们已经答了，对不对？那 s 随着 t 的 值的变化而变化嘛？肯定的，对吧？啊？是的，这里回答是的， 它是随着它的变化而变化的。那这第一个例子，第二个例子，电影票的售价是四十元一张，第一场售出了八十张，第二场售出了一百零五张，第三场售出了一百八十张。 三场电影的这个票房收入各是多少元？设，一场电影售出 x 张，票房收入为 y 元， y 随 x 的 值的变化而变化吗？啊，肯定也是的，对吧？你票卖的越多，你收入的账就金额就越大，就这个意思，那四十块钱一张对不对？好，那么这里呢？我们表示出来的关系是什么？票房收入？这里我放大一点写啊， 这个票房 收入它等于什么呀？它就等于这个票的单价乘上票的数量，对不对啊？ 售价乘上售价数。好，第一场是八十张，那第一场 就是八十乘上四啊，也可以理解为是四十元一张乘八十就等于三千两百元。第二场 是四十乘上一百零五张，它等于四千两百元。第三场 第三场是卖了一百八十张，那四十元一张乘一百八十张，它就等于七千两百七千两百元。 好，那么他问，我们这个摄一场电影，售票为 x 张，票房收入为 y， 那 票房收入为 y， 售价是四十，是固定的售这个售票数啊，这个是售票数，不是售价数啊，写错了， 那么这个 y 等于什么呢？ y 就 等于四十乘上 x， 那 单价是四十，对不对？ x 是 张数，对吧？ y 呢，是票房收入，那么就这样去表示它， 那么 y 随 x 的 变的值的变化而变化吗？是的，也是随着它的变化而变化的。 第三个例子是，你见过水中的涟漪吗？如图所示，圆形的水波慢慢地怎么样扩大？在这个过程当中，当圆的半径 r 分 别为十厘米、二十厘米、三十厘米的时候，那么圆的面积 s 分 别为多少？ 面积会随着半径的值的变化而变化吧？那肯定的，对吧？半径越大，面积越大，对吧？因为扇形的面积公式等于 pi r 平方嘛，对不对？好，我们这里表示一下，我们就不直接算出来了，我们就把它的 这个 s 全这个面积表示出来，用 pi 表示出来，对吧？好，那么圆的面积 s 等于 pi r 平方，对不对？当它是十厘米的时候，十厘米，那么这个 s 就 等于 pi 乘上十的平方就等于一百 pi 平方厘米。我这里呢，就直接用派表示，这是十厘米的，那如果是二十厘米的，就是派乘上二十的平方等于四百平，四百派 平方厘米，那如果是三十厘米呢？那么就是派乘上三十的平方等于九百派平方厘米。 好，那么这三个时刻的面积就表示出来了，那么因为这个 s 它是等于 pi r 平方的，所以它肯定会跟着它变化的。 s 等于 pi r 平方，它会跟着它变化而变化吗？肯定是的，对不对？肯定是会跟着它的变化而变化的， 圆的面积由它的半径决定，对吧？好，再来看第四个。第四个说长方体的体积为一千立方厘米，当长方体的底面积 s 分 别为五十 平方厘米、一百平方厘米和一百二十五平方厘米的时候，它的高是多少？那么我们要知道长方体它的体积， 长方体的体积等于什么？等于长乘宽乘高，而它的底面积呢？ 底面积它就等于长乘宽，所以我们就可以通过这个信息得到长方体的体积， 长方体的体积它可以等于底面积乘上高，那反过来，如果你要去求高的话，哎，你会怎么做？你是不是就让长方体的体积除以底面积，所以它的高就可以表示为长方体的体积去除以底面积。 而体积是不是告诉我们了，它固定等于一千立方厘米，所以它就等于一千除以底面积， 它就等于一千除以底面积。然后呢，它这个底面积是五十厘米、五十平方厘米、一百平方厘米和一百二十五平方厘米的时候，我们就分别算一下， 那么这个高等于一千，除以五十的时候，对吧？那除以五十，它就等于二十，那这个时候高是二十厘米，那如果它底面积是一百，那么这个高就等于它的高就等于十厘米。 如果它的底面积是一百二十五，那么这个高就等于一千，除以一百二十五平方厘米，它就等于八厘米， 那么它的高啊，对应的就是二十厘米，十厘米和八厘米，对不对？那你看一下，这个高是不是也会随着它的底面积的变化而变化呀？是的，所以我们就回答是的，那你会发现上面的这四个例子，这四个例子 它反映了不同的事物变化过程当中啊，不同的变化过程。第一个问题反映的是这个路程， 汽车行驶的路程随着行驶的时间 t 的 变化而变化，这个过程当中行驶的速度始终不变，对吧？都是六十千米呐，一直是六十千米每小时嘛，对不对？速度是不变的， 然后时行驶时间 t 和行驶时间行驶路程 s 的 值是变化的。问题二当中反映的是票，电影票票房收入 y 和这个票数的出票数的变化和变化。这个过程当中， 电影票的售价始终不变，它的售价始终是四十块钱一张，对不对？始终是四十块钱一张。 然后呢，这个售出的票数 x 和票房收入 y 的 值是不断的在发生变化的，对吧？你售出的越多，你收入的这个票房收入就越高，对吧？好， 那我们来看到你看到没有，他不管是在第刚才指出的第一个问题还是第二个问题，他是不是始终都有一个不变的东西？看到没有啊？ 指出来第一个是行驶速度始终不变，第二个呢是电影票的售价始终不变，对吧？好，那么我们就说一般的在这个变化过程当中，我们称数值始终不变的就叫 常量，数值会经常发生的，哎，就是变量。 比如说第一个问题和第二个问题当中，汽车行驶的速度是不变的，所以它的速度就是常量啊。然后电影票的售价是四十块钱一张， 它也是不变的，它就是常量，而随着某样东西的变化而变化，比如说它会随着时间的变化路程会发生变化，那这两个它就属于变量，它这两个就属于变量。 而售出的这个电影票的数量和票房的总额，它这个也是变量，看到没有，其中一个变，另外一个就会跟着变，对吧？这种呢就属于变量。 所以我们要知道什么叫场量，什么叫变量，你先不要着急学后面的，先把这两个东西搞清楚。 它旁边还问到问题三和问题四当中反映了什么样的变化过程？其中的常量和变量又分别是什么？对不对？好，问题三这里反映的是什么？ 问题三反映的是圆的面积会随着半径的变化而变化的过程，对吧？好，我们写一下啊，这里我们写在这里吧，写在这个位置 反映的是圆的面积随半径的变化而变化的过程。好，那么问题三当中的长量和变量分别是什么呢？我们来看到 圆的面积 s 等于 pi， r 平方半径会变，面积也会变，谁不变？ pi 不 变对不对？所以我们这里的长量就是 pi， 写在前面， s 等于 pi， r 平方常量就是 pi， 它是固定不变的。啊，变量是谁呢？ 变量就是圆的面积和半径，圆的半径二和圆的面积 s， 这个是问题三，然后它问题四也同样问了，对不对？问题四怎么样？ 问题四它反映的是一个什么样的变化过程呢？它反映的是长方体的这个高，长方体的这个高会随着什么？会随着底面积的变化。你看它的底面积是不断的在发生变化，会随着底面积的变化而变化的一个过程。好， 我们就写，也是写在这里，问题四 反应的是长方体的高 随底面积 变化而变化的过程。 好，再来讲一下它这里的长量和变量，那我们前面已经看了，看到没有？这个高等于体积除以底面积， 它这里的高是等于体积除以底面积的，对不对？好，然后这个体积呢，是等于一千固定不变的，我们把这个写在旁边， h 等于一千除以底面积啊， 除以底面积，所以这个一千是固定不变的，知道吧？也就是说长方体的体积是长量，长方体的体积 为长量， 那么变量呢？哎，变量就是这个高和底面积了， 底面积 s 高 h， 那 这两个都是变量，知道吧？啊？那么这样的话，我们就把问题三和问题四里面的问题找出来了 来看例题一，指出下列问题当中的常量和变量。第一个，某市居民生活用水的价格为五元一吨，即某户的月用水量为 x 吨， 月应缴水费为 y 元。那么在这个过程当中有三个量，对吧？价格、用水量和总费用，对不对？那么他们的关系是什么呢？是这个应缴水费，这个水费啊， 它等于什么？它等于这个单价，也就是五元一吨，去乘上什么？去乘上这个用水量 x 吨，乘上 x 吨，这里乘的话写个点， 乘 x 吨，对吧？好，你用的水越多，你缴的水费就越多，对吧？好，水费这里是 y 元， 那在在这个变化过程当中，五元一吨单价，他是不变的，对不对？所以呢，我们就说他这里的单价，这个是场量，而这两个呢，都是变量，知道吧？这两个都是变量，大家可以看一下，那 生活用水的价格是敞亮，那这个价格是敞亮，用水量 x 和月薪缴水费 y 都是变量，就 ok 了。再看第二个，在某地乘坐公交车刷公交卡，每次收费一元。李明在公交卡当中存了三十元， 即此后他乘坐公交 n 次，那公交卡中的余额就为 w 元，这个是余额，对吧？他现在存了三十元，他刷两次减两块，那就还剩二十八，所以他这里的关系应该是余额 等于什么？等于他充的三十块钱，减去他乘坐公交车的费用吧，对不对？ 减去这个费用，而这个费用呢，它是一元一次啊，一次就是一元，那 n 次的话就是 n 元，对吧？所以它这个关系式我们就可以写成余额 w 等于三十，减去 n 乘一，也就是 n， 因为一元一次， n 乘上一还是 n， 对 吧？它就可以表示成这样，而三十元是不变的，对吧？这个费用乘车费用和余额都是在发生变化的，所以呢，这个三十元就是常量，费用和余额就是变量，那大家可以看一下，书上也有写，对不对？ 刷公交卡每次的费用和存入的钱的这个钱数是敞亮，对了，这里还有收费，收费一元，对不对？这个乘上一，咱们也写出来乘上一，这个乘车费用，咱们写详细一点， 乘车费用啊，就是 n 次乘上一元，这个一和三十都是常量，存入的钱以及每次的收费都是常量。乘坐公交车的次数， n 和公交卡中的余额是变量，它们都在发生变化，对吧？好，再来看第三个， 用二十米长的绳子围成一个矩形，既矩形的一边长为 x 米，矩形的面积为 s 平方米。首先你要知道，矩形它其实就是长方形嘛，对不对？好，那么一个长方形， 它现在把其中的一边设为 x， 那 假如说这边就是 x， 它的宽是 x， 那 么它的长怎么表示呢？那么它的长就要用什么呀？就用周长减去宽再除以二，减去宽再除以二，所以它就等于周长 减去宽乘上二，再除以二，那你用二十周长减去两个宽，就是两个长，所以再除以二就是一条长，那么它的长就可以表示为二十减去二 x 除以二， 写出来二十减二 x 除以二，就等于十减 x， 所以 它的长就是十减 x， 这里也是十减 x， 那 么这个面积呢？面积它就等于长乘宽， 那么这里的 s 就 等于长是十减 x， 乘上宽 s， 它就可以写成十 s 减 x 平方。以后我们写成函数形式，会习惯性的写成负 x 平方，加上十 x， 会把高次的项写在前面，低次项写在后面，会这样去写。那不管怎么样啊，我们还是先来看到在这里不变的是什么？不变的是不是就是这个周长， 对不对啊？也就是说这个绳子的长度它是不变的啊。然后呢，另外一条边，也就是它的长会跟着这个 x 会变化，跟这个宽变化，对吧？它的面积也会跟着这个宽变化，所以在这个过程当中， 绳子的长度是长量啊，就是不变的，矩形的一条边的长和它的面积都是变量，这个 x 就是 其中一条边长面积 s， 它会随着这个长宽的变化而变化，所以它也是变量，就 ok 了。 来看到练习第一题，指出下列问题当中的常量和变量。第一个像一个水池注水，注水的速度为零点一立方米每分钟， 即注水时间为 x 分 钟，注水量为 y 立方米，对吧？好，我们先可以把它的关系表示出来，总共注入的量注水量， 它是等于注水速度乘上注水时间的，等于注水速度乘上注水时间， 那么也就是 y 等于零点一 x， 那 这个零点一是不变的，对不对？所以它这里的常量就是注水速度， 常量是注水速度， 变量呢？变量就是注水量和注水时间啊，注水时间 x 和注水量 y。 再看第二个，我国十三五期间，每年国内产生的种植，如下表所示，年份二零一六二零一七二零一八二零一九二零二零。 国内生产种植 y 是 单元，是亿元啊，单位，单位是亿元，你看年份在变， 生产种子在变，都在变，没有不变的，是不是没有一个不变的？所以这里我们怎么说啊？那么没有长量，对吧？没有长量，所以我们就写长量。无 解释一下。它的年份和国内生产种植 都在变化， 再看它的变量，那变量就是这个年份和国内生产种植，对不对？它都在变，是不是？所以我们就说变量 年份 x 和国内生产种植 y， 每年 数字都不同，好，就 ok， 再看第三个，第三个是什么呢？ 一个平行四边形的底边长为五，高 h， 可以 任意改变，它的面积为 s。 平行四边形，对吧？平行四边形，底边为五，它的高会任意改变，那么高会发生变化，对吧？那么高一变， 它这个面积也会变，因为底是固定为五的，对不对啊？平行四边形的面积，我写上面一点，平行四边形的面积等于底层高， 那么用字母表示就是 s， 等于底是五，高是 h， 那 你看在这里，这个五也就是底边的边长，它是不变的，所以它就是长量，而高和面积都在发生变化，所以它就是变量， 所以我们就说长量 是什么？是底边长， 五是不变的，变量呢？变量就它的面积和高啊，写错了，是变量， 变量高 h 和面积 s。 第二题叫我们举两个运动变化的例子，并且分别指出其中的长量和变量，那么我们就越简单越好，对不对？就跑步嘛，游泳嘛，对不对？好，那我们就说第一个啊，小明跑步， 然后呢？它的速度五米每秒，对吧？跑步时间咱们设为 t， 跑步时间 七秒，好，然后跑的过的路程，跑过的路程 为 s 米， ok， 好， 那么在这个过程中，它的速度就是常量，时间和路程都是变量，我们再把它的常量和变量指出来，它的常量就是速度， 变量 就是跑步时间和跑步路程。布置下来完事了啊的第一个例子，第二个例子，运动的话就游泳嘛，对不对？小钢游泳 啊。小钢游泳，然后呢？它的速度是两米每秒啊，都有点快了，一点五米每秒吧啊，然后咱们就说游泳的时间 七秒游过的路程 y 米吧，我们换一下啊，换一下时间，这里把它设为 x 啊，跟上面有点区分啊。一样的。那剩下的就是把它的长量指出来，把它的变量指出来， 它的长量是速度不变，对吧？啊？把速度复制过来，那变量呢？游泳的时间和游泳的路程 ok 了啊。
2667毕老师细讲数学
24:04查看AI文稿AI文稿好，咱们再来看到函数图像的信息问题，如果这个题目它给了一个函数图像，叫我们从中读取信息，应该怎么做呢？来看到这里的思考，它说这个图是自动测温仪记录的图像，它反映了北京的春季某天的温度 t 如何随着时间 t 的 变化而变化？你从图像当中得到了哪些信息？这个 t 呢？大 t 是 温度， 横轴 t 是 时间，比如说这个就表示四点，这个表示十四点，这个表示二十四点，对吧？ 好，那么我们可以通过这个图像可以看到这个气温 t 随着时间小 t 的 变化而变化。对于时间 t 的 每一个确定的值，气温 t 都有唯一确定的值与之对应。那在这个图像怎么显示呢？就是你看 你 x 轴只要给了值啊，横轴只要给了值， y 轴就有一个值对应，对不对？给一个值就有一个点，给一个就有一个，给一个就有一个，这个就是函数的图像，那如果它的图像哎长这样，那就不行了，那你看给了一个时间点，它有三个温度， 那他就不是函数了，知道吧？好，那么我们可以通过图像看出，对于时间 t 的 每一个确定的值，气温 t 都有唯一确定的值与之对应，因此这个气温 t 是 时间 t 的 函数，这个就是它的函数图像。那么我们看一下可以得到哪些呢？你看 这里，这一天的凌晨四时的气温是最低的，你看这个曲线对不对？在这个点四点的时候，气温最低是零下三摄氏度，对吧？好，下午十四点的时候气温最高，气温最高的时候是八摄氏度，这个是最高气温，这是最低气温，就可以通过图像看出来了。 然后从零时至四时，气温呈下降状下降状态，那看到没有？他从这个温度这里没有告诉我们是多少，但是你可以看到他是逐步逐步的 下降了，他的温度在逐渐的降低啊，也就是说这个气温随着时间的增长而下降。然后你再看，从凌晨四点到下午十四点的时候，他的气温在波动式的上升，对吧？这个时候 啊，是气温上升的一个状态，然后你再看，从下午两点，也就是十四点到二十四点，午夜的时候，这个气温又呈下降状态，你看从这里到这里，他又是 温度下降的一个状态，知道了吧？然后第三个，我们可以从图像当中看出这一天当中任意一个时间，任意时刻的气温大约是多少，这个是没有问题的。比如说我想要看到啊，晚上八点，那么你往前倒， 这个八点到四个小时，那么它大概对应这里，那么你往这里划一下，大概就是三四度的样子，三摄氏度到四摄氏度之间，对不对？好，就可以知道了，这个就是什么，这个就是图像的信息。 咱们再来看一个例题二，如图所示，李明家食堂、图书馆在同一条直线上，那 李明到食堂再到图书馆，对吧？在同一条直线上，李明从家里去食堂吃早餐，然后接着去图书馆查资料，然后直接回家， 那么这个图反映了这个过程当中，李明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系，对吧？好，那么他说 第一个问题就是教我们求食堂离李明家有多远？李明从家到食堂用了多少时间？他第一件事是不是先去食堂吃早点，对不对？先从家里去食堂吃早点，那么这个远点代表什么？代表他在家里的时候， 他在家里的时候，然后你看他八分钟离家零点六千米，他八分钟 就距离家里有零点六千米，对吧？然后有一段时间一直保持零点六千米，说明什么？说明食堂就离李明家相差零点六千米，就相差零点六千米， 他出发用了八分钟，哎，你看这里用了八分钟就到达了食堂，然后坐在食堂吃早点，你看这一段就是这个意思，看懂了吗？啊？李明 从家到食堂用了八分钟，为什么用八分钟？你看这个点对应的是八零点六，他八分钟的时候距离家里的距离是零点六千米，对吧？所以我们可以知道食堂离李明家有多远， 零点六千米啊。然后李明家，李明从家到食堂用了多少时间？你看八分钟就到了，对不对？用了八分钟， 这个就是通过函数图像可以得到的信息。然后接着来看，他在说李明吃早点用了多长时间？他到了早餐店停了一段时间，他从八分钟待到了二十五分钟， 从第八分钟待到了第二十五分钟，中间的时间是不是都用来吃早点了，对不对？因为他中间没有移动过， 一直距离家里都是零点六千米，所以我们这里他吃早点的时间咱们要用二十五分钟，减去前面他走路用了八分钟，那么他就多少分钟？ 他这里就是吃早点用了十七分钟，那他吃早点用了十七分钟，看到没有？接下来再看食堂离图书馆有多远，那他吃完早点是不是继续向图书馆 出发？那你看一下，二十五分的时候吃完了早点，二十八分的时候他又停了很长一段时间，对不对？好，说明什么意思呢？说明这个点，这个点是八零六，这个点表示的是 到食堂， 然后你再看这个点，这个点是二十五到零六，从这个点开始改变了，说明他从这个点的时候，说明是离开食堂， 离开食堂多久之后又没动了，二十八分的时候又没动了，说明这个点 就是到图书馆的时候是二十八零八啊，说明这个点是什么？到了图书馆， 他到了图书馆，然后再继续，他在图书馆待了一段时间，待到了五第五十八分钟，也就是说从第二十八分钟待到了第二十五分钟啊？五十八分钟，中间的这段时间都是在图书馆的， 所以这个点就是离开图书馆的时候。五十八，逗号，零点八， 这个是离开图书馆。 好，这个点就是他离开的时候最后一路到家，到最后一个点的时候，他离家里的距离为零，说明是不是到家了，对吧？所以这个点表示到家。 好，那么他说离食堂，食堂离图书馆有多远？他从零点六千米的地方走到了离家零点八千米的地方，你可以理解为他到这里零点六千米， 他到这里零点八千米，那么中间是不是隔了一个零点二千米，对不对？说明这个中间就隔了零点二千米。这个零点二千米怎么算出来的呢？就是 零点八千米，减去零点二等啊，减去零点六等于零点二千米。 好，再看李明从食堂到图书馆用了多长时间？从食堂离开到图书馆是第二十五分钟到第二十八分钟，所以我们减一个时间，得到这个时间差 二十八分钟，减去二十五分钟，说明中间用了三分钟，他用了三分钟就到了图书馆，是从食堂到了图书馆，然后 第四个李明查阅资料用了多长时间？他到图书馆的时候是二十八分钟，他离开图书馆的时候是第五十八分钟，所以中间停留了三十分钟，那么这个时间就是他查阅资料的时间。五十八减去二十八 等于三十分钟，说明他查阅资料用了三十分钟。然后再看第五个 图书馆离李明家有多远？你看他从这里走回去，从零点相距零点八千米的地方回到了家，你看距离是不是变成了零，说明图书馆离小明家就是零点八千米，对不对？好，就是零点八千米。 那最后再问李明从图书馆回家的平均速度是多少？那么你看一下他从图书馆离开到他到家用了多久？用了十分钟，对不对？这六啊， 这里写一下用时是什么？是第六十八分钟，减去五十八分钟，用了十分钟。 而我们前面又知道了，他离这个图书馆离家是零点八千米，你从这里也可以看得出来，对吧？从零点八千米的地方回到了零这个位置。好，所以他就是等于零点八千米， 除以十，所以他每分钟是走零点零八千米， 这个就它的时间，那这个就它的速度啊，这第四问的啊，好，那么这个就是书上的一个例题，那通过函数图像 从中获取到我们想要的信息。好，那么这道题呢？书上也有完整的答案，大家可以自己看一下。 这个探求里面给了我们两个图，它叫我们构建合适的问题情景，使其中的变量之间的函数关系，可以分别用这两个图来表示。 我们来看一下这个图，这里有一个九百米，这个是二十分钟，然后这里是四十分钟，那我们就拿刚才去图书馆这个事情来说，好吧，像这个呢，比如说啊，我们就说小明去图书馆， 对不对啊？去图书馆走了多少分钟？出发二十分钟之后发现什么？发现自己没有带借书卡，对吧？然后他就回头拿，对不对？好，就这样就可以了啊，去图书馆出发 二十分钟时，离家九百米，发现没带借书卡， 没带借书卡，然后就回家拿， 那这个速度不变 好，就适合这个图像了啊。再来看这个，这个是二十分钟， 离家九百米，然后中途待了十分钟，然后再回家，对不对？然后回来的时候呢？怎么样？速度发生了变化，看到没有？他出发九百米的时候，前面用了二十分钟，后面回家的时候他只用了什么？十五分钟，对吧？那我们就这样写啊，小明去图书馆 出发二十分钟时，到图书馆， 走了 九百米啊，然后呢？在图书 馆选书花了十分钟， 最后就回来了啊，回家时加快了速度， 用了十五分钟到家 就可以了，那这个就符合这里的图像，对吧？去的时候花了二十分钟，停留了十分钟，就花了十五分钟，回家就 ok 了。 再来看到练习，第一个园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间， 已知绿化面积 s 与工作时间 t 的 函数关系如图所示，那它这里中间休息了一段时间，就是这一段，你看它绿化的面积没有增长过，说明停工了，对不对？那这个时候就对应他们休息了一段时间， 那么也就说一开始先工作了一个小时，中间休息了一个小时到两个小时了，然后继续工作到第四个小时，那么也就说中间又工作了两个小时，对不对？好，他说休息前 园林队工作了多长时间？那你看一下，这里就是他工作的时间，对吧？前面就这个是休息的时候一到两小时之间，这段时间是休息的， 这段时间是休息的，所以他说休息前工作了多少时间，你空你就可以从图上可以看出来，零到一个小时之间，他是在工作的，所以我们就说这个休息前工作了一小时， 那绿化面积是多少？那么这一个小时绿化面积是六十，对应的就是六十平方米，对吧？ 那中间休息了多长时间中？从第一个小时结束后到第二个小时，中间是休息的，所以他休息的时间对应的是二减一等于一小时，所以他中间休息了一个小时。这就第二问啊，这是第二问，第三问，休息之后， 园林对每小时完成的绿化面积是多少？休息之后啊，他不是休息之前，休息之，就是休息之后， 他是从两小时干到了四小时，中间干了两个小时，对不对？然后呢，他的园林面积从绿化面积从六十平方米增长到了一百六十平方米，说明这里增加了一百平方米，对不对？好，那我们这里写一下啊，休息后 工作时间从两小时干到四小时，就是四减二，中间说明干了两个小时。 然后呢，这个休息后的绿化面积 从六十平方米增长到了一百六十，说明它是增加了一百平方米，那么它每小时完成的绿化面积就是它的效率， 这效率就是一百除以二等于五十平方米每小时。 ok 了，好，第一问就搞定了。再看第二题，如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的一个图像，它这个蓝色的曲线 表示的是上海的气温，这个红色的曲线表示的是北京的气温。第一个，这一天内北京与上海何时气温相同？那么你就要找他们的焦点 啊，当他们在某一个时刻他的气温相等的时候，你看就会有焦点。那这里两个图像有一个焦点，看到没有？ 这里说明七点的时候，北京和上海的气温都是零摄氏度，然后十二点的时候，北京和上海的气温都大概在七摄氏度左右。啊，但是是相等的，对吧？只不过这里没有标出来而已。所以我们这里就说啊， 这个两条曲线 的交点 对应时间 大约为七点和十二点，此时北京与上海 气温相同。 好，再看第二问。第二问说，这一天内上海的哪个时间段比北京气温高，哪个时间段比北京气温低？那你就看哪条直线在上面， 对吧？好，你看从零点到七点的时候，是不是上海都？上海这条曲线是不是都在北京这条曲线的上面？是不是说明这个时候是比它气温高的啊？所以我们这里分三段来回答，就是零点零零， 零点零零到七点零零的时候啊，上海的气温 比北京高。 好，再看七点零零到十二点零零，那这个时候呢？上海的这条曲线很明显是在北京这条曲线的下面，我们就说上海气温 以北京气温比北京低，好，最后就是这个十二点到二十四点，十二点到二十四点的时候，这个时候是上海气温比北京高， 好，再看第三，问，他说你还能从函数图像当中得到哪些信息？那么这个就是开放性了，那你可以说，对吧？呃，比如说上海的最高气温比北京高， 这个北京的最低气温比上海低，对吧？好，那你就写就可以了啊。上海的最高气温，那这个是它的最高气温，它是比北京高的，对不对啊？上海的最高气温 比北京高， 然后呢，北京的最低气温 比上海低 就 ok 了。当然你如果发现了其他信息，你也可以写上去，只要对就可以了。 那看第三题，如图构建问题，仅仅是其中变量之间的函数关系，可以用图中的图像来表示，那么一开始是一千米，然后呢？用了六分钟走完了这一千米， 然后六分钟之后又重新返回这段路，对吧？用了十八分钟，那么中途就用了十二分钟，就这个意思，那我们设计一个问题出来，让它符合这个图像就可以了。那比如说小明起床去海边看日出，对吧？好，小明起床 去海边看日出， 看日出，然后他距离从家或者是家到他家里到海边 有一千米，对吧？好，那么现在呢？他就比如说一千米，他跑步去吧，或者是他骑自行车去啊，或者是骑自行车啊？从家骑自行车 出发，出发匀速行驶 六分钟到了海边，六分钟到海边， 然后他的他没有做停留，对吧？他没有做停留，他在海边拍了个照就回来了啊啊，然后立刻返回， 好，返回的时候速度降低啊，速度略微 降低， 然后用时十二分钟，回到家里 就可以了，对吧？好，去的时候用了六分钟，回来的时候用了十二分钟，对吧？回来的时候用了十二分钟，那么加在一起就用了十八分钟， 到了家里之后呢？他距离这个什么距离？海边又相距一千米就 ok 了 啊？你设计的问题，只要是符合他这个一千的距离，先降低，再就是慢慢变，又变回一千米的这个实际过程就可以了。
150毕老师细讲数学
02:37查看AI文稿AI文稿一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y， 并且对于 x 的 每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是 自变量， y 是 x 的 函数，这就是函数的定义， 如果他读起来呢，感觉不到他在说什么，我们可以举个例子，比如说 y 等于二， x， 对于每一个 x， 我 们来看一下是否 y 都能为一确定。假如说 x 是 负一， y 呢？我们可以代入算出是负二， x 是 零， y 呢也是零， x 是 一， y 是 二等等。当我们发现，每当我们取一个确定的 x 值， y 都有唯一确定的值与之对应， 那如果反过来决定呢？就是 y 方如果等于 x， 那 这还是不是 y 是 x 的 函数呢？我们来看一下 x 如果等一的时候， y 呢，既可以等一，也可以等于负一， x 等零的时候呢？ y 呢，是 可以等于零， x 等负一的时候呢？我们找不到，在实数范围里找不到 y 的 取值啊。这个我们就不能说 y 是 x 的 函数，因为对于每一个确定的 x， 有 的时候是有两个 y 与之对应，有的时候一个，甚至有的时候呢，找不到与之对应的 y， 所以 这个 不能叫 y 是 x 的 函数。但是呢，这个我们再给它反过来思考一下，因为它还是两个变量， 那 y 每取一个数，是否我们能找到对应的 x 值呢？当 y 假如说等负一时， x 是 等一的， y 等零时， x 等于 y 等一时， x 等于 y 等二，是 x 等四，我们发现对于每一个 y 都有唯一确定的 x 与之对应，所以我们这个时候可以说这个关系式表达的是 x 是 y 的 函数。 好，通过这个例子呢，大家可以感知一下这个函数的定义。我们的课本上还写到当 y， 当 y 是 x 的 函数时， x 等 a， y 等 b， 那 么叫做 b， 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。注意，提到函数值的时候，都是在一个固定的曲值上来分析的，所以我们通过课本上给到的定义，大家要深入的理解函数的定义。
22乐其数学
23:30查看AI文稿AI文稿好，咱们再来看到函数的表示，函数的表示呢有三种，哪三种呢？就是我们前面讲过的解析式图像以及表格，就这三种 啊，那么我们后面用的比较多的呢，就是解析式和图像有些问题，它的函数关系很难用解析式来表示，那我们就直接画图像来直观反映，如果你知道了它的解析式，那么你就可以直接画图了，这样的话会更直观。 我们来看到一个实际案例，正方形的边长，正方形的边长是 x， 面积是 s， 它的函数解析式是 s， 等于 x 平方，因为什么呀？因为正方形的边，正方形的面积 它是等于正方形的边长乘边长的，所以面积等于 x 的 平方， 边长他不可能是负数，并且不可能是零，他一定是正数，所以自变量 x 的 取值范围是 x 大 于零。下面给了一个表格，给出了 x 等于零点五等于一等于一点五等于二等于二点五等于三等于三点五和四，叫我们把它的面积算出来，如果正方形的边长是零点五， 那么零点五的平方就等于零点二五，面积就算出来了。边长是一的话，它的面积就是一乘一也是一，那如果它的边长是一点二五的话，它的面积就是二点二五，边长是二的话，那么就是二乘二得四， 边长是三，这个二点五的话，那么就是二点五乘二点五等于六点二五，三乘三得九，三点五乘三点五等于十，二点七五，四乘四等于十六，后面就不用填了，那么你把这个表格画出来之后，好了， 通过这个表格里面给出来的数据，对，那你比如说这里有一个一一对不对？有一个二四，有一个三九，有一个四十六，他这里，他在这里的话呢，就把这几个点描出来了，就是一一 二四、三九以及四十六，那把这几个点描在图像上，最后再给它连起来，这里还有一个什么零点五、零点二五、 零点五、零点二五、零点五，横坐标表示为边长，零点二五表示为面积啊， 好了，那么把这一二三四这几个点全部描出来，然后最后再用连线的方式把它连起来，记住用平滑的线， 用平滑的曲线连接画出来的点，然后他这里如果你这里带入的是零计算的话，零会等于零的，但是我们这里呢 边长是大于零的，那么这个零和零它是取不到的。取不到的用什么呢？就用空心圆圈来表示，不在曲线上的点看到没有，它这个圆点 就是用空心圆圈来表示的，就是用空心点来表示的，知道吗？好，旁边有提问，它是自变量 x 的 一个确定的值，与它对应的唯一函数值 s 是 否定了一个点， 是的，没有问题啊，是的，你看它这里， x 作为边长作为横坐标，面积， s 作为纵坐标，我们就把这个点给确定下来了，把这几个点确定下来，连起来就是函数图像， 表示 x 与 s 的 对应关系的点有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象其他点的位置，所以我们描点的话，我们只能画出一部分来。因为 函数图像是用线表示的，而无论是直线还是曲线，线上的点都是有无数个的，所以我们是通过点找到线，然后通过线看出规律，这个就是函数的作用，知道吧？好， 再来看，一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像啊，直接画画起来。 对于一个函数，把它的自变量和函数分别作为一个点的横纵坐标，那么你把这些点组成的图像连起来，那么它就是函数图像。当然了，其实也不用连，我们如果画的比较少，你就连，如果你画出来了无数个， 那就不用连了，那它本身就这个图像，知道吗？好，这就是函数的图像。再来看例题一，例题一里面有两个解析式，他叫我们把这个解析式的图像画出来，并且观察函数与自变量的关系。好，那么 我这里就直接拿书上的过程来看了，好吧，因为这个过程比较多，你看第一个解析式是 y 等于 x 加零点五啊， y 等于 x 加零点五， 这个式子呢，对 x 是 没有要求的啊，也就是说 x 可以 取任意值，全体实数都可以取，所以 x 可以 取任意实数啊， 都可以保证这个式子呢，是有意义的，所以 x 的 取值范围是全体实数。然后呢，我们从 x 里面的取值范围挑一些数值算出 y 的 对应值，那列表格就是画一个表格，你看，这就给我们画了，对不对啊？你看他把负一带进去， 这个负一加上零点五，对吧？它就等于负零点五，对不对？没问题吧？你把零带进去算，它就是零点五。好，剩下还有三个点，我们自己算一下，你把负二带进去。 好，我就写上面， y 等于负二加零点五，它就等于几啊？它就等于负一点五，然后把一带进去， y 等于一加零点五，它就会等于一点五，所以这里写一点五， 把二带进去， y 就 等于二加零点五，它就等于二点五，所以这里是二点五就可以了。那这个表格咱们就填完了，填完之后你再通过这些表格能得到几个点呢？这里能得到五个点。哪五个点呢？看第一个点负二 负一点五，第二个点负一负零点五，第三个点零零点五， 第四个点一一点五，第五个点二二点五。你看这里可以画出，这里可以找出五个点来，你再把这五个点怎么样？一个一个的给他画在图像上，负二负一点五在这里，负一负零点五在这里啊，一零点五在这里 啊，这个零零点五在这里，一一点五在这里，二二点五在这里。你把这五个点连起来啊，这里说用平滑的曲线连接这些点，但是这里连起来是一个直线呢，哪有曲线呢？哎，你这里要记住了， 直线是一种特殊的平滑曲线啊，我这里写一下，直线是一种特殊的 平滑曲线。 记住了啊，所以呢，这里画的直线也不影响它，这里说平滑曲线，知道吧？好，那么这个函数图像咱们就怎么样给它画出来了。你 这里，它这里还叫我们找到什么？找到函数与这个量的关系，你看它这个 x 越来越大，它这个 y 的 值是不是也越来越大？你看这个表格就可以了， x 由负数变成正数，然后越来越大，他这个 y 怎么样？是不是也跟着变大，对不对？所以呢， 他这里就说，从图像当中可以看出，直线从左到右是上升的，也就是当这个 x 由小变大的时候， y 随之增大，那么我们以后把这句话叫做 y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 增大而增大。 好，那么这个是第一个呐，这个例题一里面第一个解析式啊，做出来的内容啊，是不是比较多，是吧？好，再看第二个。第二个解析式是 y 等于 x 分 之三，并且这个 x 大 于零， x 分 之三又是没见过的，他是一个分式吧，对不对？这个分式他要保证分母不能为零，但是这里他说了 x 是 大于零的，那肯定就不等于零了，那我们就不需要再另外说明了啊，他本身的取值范围里面就不包括零， 那么其中 x 取范围是全体正实数啊， x 大 于零嘛，所以正数它都可以取到。从 x 的 取值范围当中挑选一些数值，算出 y 的 对应值，然后列表，那你看这个表格里面， x 取了零点五，一二三四五六，对吧？我们把它一个一个带进去算啊。先算零点五， y 等于三除以零点五， y 等于三除以零点五就等于六，所以第一个空填六。然后面呢，这个五和六，那就是 y 等于三除以五，三除以五的话就等于零点六，因为它这里写的是小数，我们就统一一下。再来看这个六， y 等于三除以六的话，它就等于零点五，所以这里咱们填零点五就 ok 了，表格咱们就算完了啊，这些取值呢，你们自己做题的时候可以算一些好算的，取一些有利于自己做题的，好吧， 然后从这里呢看出有几对点呢？一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个点，我们把这七个点写一下，零点五六一三 二，一点五三一四，零点七五五，零点六 六零点五，你看是不是有七个点？咱们把这七个点全部画在直角坐标系当中，哎，用平滑的曲线连接起来，你看他这个就属于平滑的曲线。有些同学不会画，比如说我教你一下啊，你就这样画， 这样一笔一笔带过去，这样一笔一笔带过去，你就不会画错了，知道吧？啊？你可能线画的稍微粗一点，然后你把多余的部分再用橡皮擦掉就可以了啊，这个是我上学的时候经常用的方法。 好，那么图像就画出来了，然后再观察这个 x 和函数图像当中函数的关系，你看它这个 x 越大， 从左到右，它这个图像是不是向下画，它这个 y 值是不是越来越小了呀？你通过表格也可以也可以看出来， x 越来越大，它的 y 值是不是越来越小了，但是是不是无限接近零不等于零，也不会等于负数，对不对？好，所以呢， 我们从图像当中可以看出，曲线从左向右下降，当 x 由小变大的时候， y 随之变小。这句话我们以后呢 就把它转换成 y 随 x 的 增大而减小啊，这里有前提条件是 x 大 于零的时候，对吧？ x 大 于零的时候，当 x 大 于零的时候，因为它这个曲子范围就是 x 大 于零，对吧？好，我们这里写 y 随 x 的 增大而减小， 等到了高中之后，我们就把这个叫什么呢？哎，就叫单调递减，这高中的叫法啊，单调递减， 如果你家里有哥哥姐姐是学到了，高中他教你函数的时候，他说这个是单调递减，你要知道它是什么意思啊？是 y 随 x 增大而减小，上面这个呢，就是 y 随 x 增大而增大的话，这个就叫单调递增 啊，这是高中的教法啊，大家知道一下就可以了。好吧， 好，再来归纳一下。用描点法画函数图像的一般步骤，第一步，先列表表中给出一些自变量的值，其对应的函数值 就是画表格，在它的取值范围之内取到一些合适的数，然后你把这些 x 带到解析式里面，把它的 y 算出来，再写上那么一个 x， 一个 y， 一个 x， 一个 y， 就 可以凑出一对一对的点来，对不对？好，咱们再把点画在什么 平面直角坐标系当中，所以第二步就是描点，以自变量的值为横坐标，以对应的函数值为重坐标，描出表格当中数值对应的各点，把这些点都画出来，你看这里画出来一个，两个、三个、四个、五个， 对吧？一个一个画出来，然后最后连线，按照横坐标从小到大的顺序，把所有描出来的各点用平滑的曲线连接起来，那么你就把函数图像画出来了。 再来看到练习，第一个画出图像 y 等于 r x 减一的图像，那么第一步先干嘛呀？先画表格对不对？ y 等于 r x 减一，咱们先画一个表格对吧？ 啊？找到几个点出来，把几个点找出来，我们就画四个点好了，其他的咱们就不画了，好不好啊？ x 值， y 值，这里的 x， 它的取值范围是全体实数，那么我们就找到一些好算的，方便自己计算的，比如说我这里就找找五个点吧，这样好对称，对吧？ 找五个点，中间是零，然后左右两边是负一、负二和一二，那么就从负二负一、零一二，那由小到大写过去，那代入算负二带进去二乘负二再减一，它是不是就等于负五啊？对不对啊？然后把负一带进去， 这里我们算一下啊，算了，直接口算出来吧，那么就是二乘负一再减一，它就等于负三，零乘二再减一，它就等于负一，这里一乘二再减一，它就会等于一，然后把二带进去，变成二乘二减一，它就等于四，减一等于三。那 这样的话，我们就找出来了点哪些点呢？点的话有负二、负五、负一、负三、零负一、一一以及二三，我们再把这些点画在图像上。好，咱们把这个图像给它画出来， 大概画一下啊，你们自己画的，用尺子画啊，用尺子画焦点呢？我们把它当做圆点，它的最大的值是不是就是五啊？就是负五啊，绝对值最大的就是这个负五啊，所以我们画五格就够了啊，这里就标上一啊， 一二三，这里标上负一、负二、负三，然后这里标上一二三四 五，这里是五啊，下面就是负一、负二，负三，负四，再往画，再往下画一点 负五，好瞄点了。第一个是二负五，负二负五，那么这个点大概就在这个位置瞄出来，然后负一负三，大概就在这个位置， 大概就在这个位置，然后零负一在这个位置，一一在这个位置，然后是二三， 这里有五个点，那么你把它连接起来，你会发现它正好是一条直线啊，它正好就是一条直线， 那这条直线呢？就是 y 等于 r x 减一这条图像它的图像了。好，那么现在他说判断点 a 点 b 点 c 是 否在函数 y 等于 r x 减一的图像上，那么我们只需要干嘛呢？判断点是否在直线上， 你只需要看他给出来的横坐标当做什么，当做咱们的自变量 x 带入解析式，算出来的结果，看一下它的函数值是否和它的重坐标的值相等就行了，知道吧？啊，因为这里每一个点既然在这条直线上，它就会符合什么？符合这个函数解析式，那我们就算一下。好，先把思路写一下， 它是令点的横坐标为自变量 x 带入到解析式，然后再判断判断出这个函数值是否与该点的重坐标相等就可以了。比如说你把这个负二点五带进去算，算出来的结果如果是负四，那么这个点就在函数图像上， 如果算出来的结果它不等于负四，那说明 a 点就不在图像上，那我们来算一下，好吧。啊，来算一下这里，当这个 x 等于负二点五的时候，它的 y 值就等于二乘负二点五，然后再减去一等于几啊？ 等于负五减一就是负六，负六的话等不等于负四啊？有没有等于负四，它不等于负四，对不对？所以点 a 不 在图像，不在函数图像上。 好，再看第二个，第二个是 b 点，当 x 等于一的时候，它这个 y 就 等于二乘一再减一，二乘一再减一，它就等于一，对不对。而这个点 b 的 坐标重坐标是不是三呢？ 很明显，一并不等于三，所以咱们就说点 b 不 在函数图像上。 再看最后一个点 c 啊，咱们当这个 x 等于二点五的时候，它这个 y 等于二乘二减一，二乘不对，二乘二点五， 它就等于五减一，五减一就等于四，你看和四四不是相等的，对不对？它就正好等于四，所以我们就说点 c 在 函数图像上 就 ok 了。再看第二题，画出函数 y 等于 x 平方加一的图像，再观察这个函数图像，当 x 小 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，还是 y 随 x 增大而减小？那 x 大 于零呢？哎， 我们先把它的图像画出来，先画图，画图像的话，咱们先画表格，对不对？先画表格，咱们就画五个点，跟刚才一样啊，这个是 x， 这个是 y， 从负二开始，负一零一二， 代入算啊，代入算，这个 y 等于负二的平方好，加上一，它就等于四，加一就等于五，所以这里填五。 y 等于负一的平方，加上一就等于一，加一等于二，这里写二。 y 等于零的平方，加上一等于一，这里写一。 y 等于一的平方，加上一 等于二，这里写二。 y 等于二的平方，加上一就等于四，加一等于五，所以这里就是五，对吧？好，那么现在呢，咱们再把图像画出来，你会发现他的重坐标是不是都是正数啊？ 对吧？好，所以我们下面就不用画了啊。这里是零，这里是负一，这里是负二，这里是一，这里是二。来上往上走，一二三 四，哎，这个要往下画一点点，位置不太够， 这里是五，然后呢？找到点啊，第一个是负二五，负二五大概在这个位置 这个位置，然后负一二， 在这个位置，然后零一一二，然后二五， 然后再把这些点描起来，我就不用工具了，手动给大家画一下这种图像， 这样画，这样啊，就能够把它的大字图像画出来了。然后有一些不匀称的地方，你再描一描， 把它尽可能描匀称一点就 ok 了。好了，再看第二问，第二问他说当 x 小 于零的时候， x 小 于零这边的时候，这个是不是图像逐渐下降啊？对不对？那这个时候就叫什么？ y 随 x 增大而减小， 那在这边 x 越来越大，它的 y 越来越小，对吧？所以当 x 小 于零的时候， y 随 x 的 增大 而减小， 然后再写当 x 大 于零的时候， 当 x 大 于零的时候，就在这个 y 轴的右边，它是不是 x 越大它就越上升呢？对不对？所以这个时候就是 y 随 x 增大而增大， 这个就是第二位。
507毕老师细讲数学
02:58查看AI文稿AI文稿清晨的马路上，汽车保持匀速向前行驶，时间在悄悄流逝，车子开过的路程也在不断增加，这两个变化的量之间藏着一种固定的对应关系。 上节课我们已经发现，路程和时间的关系可以用式子 s 等于六十 t 来表达，只要给出一个行驶时间 t 就 能唯一确定对应的行驶路程。 yes！ 我们还可以把这些一一对应的数值整理成一张表格，用罗列数据的方式呈现，直观又清楚。不用计算，一眼就能看出不同时间分别行驶了多远。如果把这些对应的数值放到平面直角坐标系里，描出一个个点，再把点连起来，就会形成一条完整的线条。 这条线条又能告诉我们哪些隐藏规律？接下来我们一起探求其中的奥秘。 同学们，路程和时间的关系能用式子表格和图像表示，很多函数难以用式子清晰表达，但图像能一眼看懂，即便有式子，配上图像，变化规律也更直观。今天我们就来学习如何画出函数，通过图像读懂函数的变化规律。
41阿峰
04:07查看AI文稿AI文稿这种意思，函数与等腰三角形存在性结合的问题，一定会在我们期末当中出一道压轴大题，那其实这种存在性问题咱们解析是有技巧的，今天依依老师教大家三步轻松搞定。 那有关于我们一次函数这里常考的题型，老师给大家做了一个系统的总结，一共有十大类，如果咱们孩子对于这种复杂的函数压轴题还经常没有思路，不知道该从何入手的话，家长们一定要先带着孩子学方法，然后同源精练 学透一类题，就相当于让我们的孩子少刷一千题啊。下面咱们就来一起看一看这道题目。 在平面直角坐标系当中， ab 的 解析式告诉你了，与 x 轴交于点 b。 好 了，现在啊，第一个让你求 ab 的 表达式和 a 点与 y 轴交点的坐标白给你分了，因为点有了坐标，这个解析式有了，直接代入就可以求出解析式了， 所以这里 ab 的 解析式我们直接就可以求了，直接咱们对答案是负的三分之一， x 再加一， 那直接令我们对应的啊， x 等于零，就可以求出它与 y 轴的交点了，哎，与 y 轴的交点不就是哎对应零逗号一吗？对不对？ 那 a 点和 b 点对应的坐标咱们都已知了，咱们主要看第二个问，当 a p b 为等腰直角三角形的时候，哎，直接写出点 p 的 坐标，那他是等腰值，他说没说，谁是那个直角， 他没说。所以你必须讨论当 a 为直角， b 为直角， p 为直角的三种情况，那根据我们讨论出的三种情况，可以分别画图，哎，这个是 p 为直角， a 为直角，同样在这里 b 为直角的情况，如果是 a 为直角，因为它是等腰值，等腰值一定出什么一线三垂直啊，对不对？所以有了对应的等腰值在这咱们就可以找到左右两侧的三垂直全等， 对不对？ a 点是零逗号一，这是一，这是三，所以这就是三，这是一，这个屁点的坐标画出图直接就可以求答案，是多少啊？ 一四，对不对？同样这里也比较容易，因为这还是一个三垂直模型，这是一，那这就是一，这是三，这就是三，那屁点的坐标不就是四逗号三了吗？ 主要是第一种情况，这个时候他是怎么来的啊？咱们这两种情况都可以根据两垂直来去 去做那个直角的顶点，但这种情况直角怎么来的？他其实是应用了我们圆的性质，叫做直径所对的角为直角啊，直径所对角为直角， 所以在这里面，咱们把 p 点画出来之后，求 p 点的坐标就容易了。还是一样，我们可以构造三垂直，向 p 点左右两边 x 轴、 y 轴做垂线。由于我们在这个图当中啊，三垂直在哪呢？ 是不在底下呀，对不对？所以我完全啊就可以把这一段的长度给设出来，假设它是 a， 可不可以？那由于这一段的长度是三，所以这一小段的长度咱们就可以做出来啊，是多少呢？是三减 a， 看没看见 好了，那这是 a， 这是三减 a， 这是三垂直，对应边相等，这两边相等，这是不是就是 a 呀，对不对？所以你会发现，哎，这段的长度咱们就可以表示出来了，因为这是三减 a， 这也是三减 a， 这是一呀。 所以你会发现这道题的等量关系就出来了，我们想要求 a 的 值，是不是可以利用？嗯，对应这两边相等去求啊。左边这一边它的长度就是三减 a， 再加一嘛， 对吧？右边这一边的长度不就是 a 嘛，所以求 a 的 值就行了。二， a 等于四， a 的 值不就等于二了嘛。 a 等于二，那屁点的坐标就有了，不就是二了嘛。 所以像这种题目咱们一定要注意啊，分情况讨论之后，遇到我们对应的等腰值出三，垂直构造全等，利用边角关系相等，就可以快速的求出答案。
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03:23查看AI文稿AI文稿表格中分别画出两个函数图像，并利用两个图像回答下列问题。嗯，问的问题有两个，一个是 x 取什么值？ x 比 x 分 之一大，也就是 第一个函数的函数值大于第二个函数的函数值。那第二个问题跟它是重复的。呃，小的话 x 取什么值？那么先画图，画图的话，我们针对于 y 等于 x 和 y 等于 x 分 之一这两个图像呢，我们进行一个列表，列表的时候，我们可以选择 x 取相同的值，对应的 y 值我们给它区分开就可以了。那 x 这个是 x， 就是 y 的 x 和 x 分 之一这三个值，这个 x 指的是 y 的 x 啊。第一个函数值。 好，当然我们之前给大家讲列表的话说过一个原则，是吧？如果是没有取值范围的话，我们把它给省略号标清楚。然后呢，这个第二个函数呢？其实有一个 x 是 不能等零的，因此我们在取值的时候注意一下， 可以取一些复数啊，比如说这个负三，负二，负一，然后一二三，我们可取一些啊， 然后算出对应的这个值，这里是抽下来就可以了啊， 这里呢，注意一下，它是负三分之一，负二分之一，负一，一二分之一，三分之一，对吧？注意，在同一只角坐标系，我们做图的话需要把它给做清楚。 第一个咱们先做 y， x 的 图像，我发现它是过一一二二这些，这些点比较简单啊， 这是 y x， 我 们做出它的图像大概是这个样子，是一条直线，过圆点的直线，这是 y x。 那换到 x 分 之一呢？我们先把负半轴的给描一下，是负三，负三分之一应该是在它下方一点，负二，负二分之一比它更深一点，负一呢，它也是负一，所以它的图像呢，大概是这样子，但 咱们可以再多画几个点的话更清晰一点。那这边呢，有一个一二二分之一，三三分之一，它的图像是这个样子啊啊，这里有点问题啊，这里再往下画 更贴近 x 轴，因为随着 x 越大的话， y 是 越小的啊，它这个是 y 等于 x 分 之一的图像。 那第一问问 x 取什么值， x 比 x 的 一大，那我们发现就是找这个函数图像， x 在 x 分 之一上方的部分，分别是这个一的 右边， x 和一的右边，就 x 大 于一的这部分和这个负一和零之间，也就是 x 大 于负一小于零。所以第一问的答案呢，就是 x 大 于负一小于零或呢 x 大 于一。 第二个分 x 比较小的，就是这个直线，是在曲线下方的部分，那就是 x 大 于零小于一或呢是 x 小 于负一小于负一这一段啊，就是 x 小 于负一这一段 啊。这是一个利用函数图像比较函数值大小的一个方法，大家可以认真思考一下。
32乐其数学
02:14查看AI文稿AI文稿我们今天来看一道中考题考到的关于函数图像的分析的，这函数呢，也很有特征， y 等于 x， 平方减二倍的绝对是 s， 那 这个时候我们可以看到它写到了自变量 x 取的范围是全体实数，对应一些值，让咱们求 m 的 值，这个时候同学们不要担心，那你直接代入就可以了，负二代入是四，减去这个代入它也是四等于零，所以 m 就 等于零就可以了。 第二个根据数据呢，我们可以把这个平面坐标坐标中的点描出来，并画出函数图像的一部分， 这就涉及到朋友们需要知道描点啊，列表描点连线了，我们看到的啊，描点这一步，并画出图像的一部分。那么看到这个这些图像呢，它其实在这里已经描的点差不多了，是吧，那我们就把它给连起来就行了 啊，他已经画出一部分了，然后另一部分我们把它给从 x 轴的小的竖到大的过程把它描出来。注意是沿着横坐标的从大到小的顺序把它给描出来啊，他用平滑曲线连接，会发现他就跟这个他的 左边是对称的啊。第二步就结束了，观察图像写出两条函数性质，注意两条我们可以从它的对称性来回答，可以说这个函数是关于外轴对称。 然后另一个我们可以从增减性来回答，增减性呢，我们发现它增减性比较多，是吧，分好几段写成其中一段就可以了， x 大 于一是 y 随 x 增大而增大。 好注意，按理说这个 x 小 于负一时，小于负一时，外在增大减小大于负一小于零和大于零小于一啊，分别都有增减性，但是答题时呢，要写两条的时候，不能全部打增减性啊，我们要打出增减性和增减性之外的一条性质。像这个性质呢，我们还可以答函数的最小值为负一，也可以也是性质。 那与 x 中呢？发现有三个交点啊，分别在这个 x 等于负二、零和二，那这个方程呢？有三个实数根， 那等二的时候，等二的时候，我们可以把这个等二的线给画出来看一下啊。外等二，那有两交点，所以有两个实数根，那如果他问有四个实数根，那就是有一条外，所外等一个数值的时候， 他与这个图像有四个交点，那我们发现他是 a 的 取值范围是在大于负一小于零之间的这段区域，所以这一条取值范围我们看出完成就可以了。
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18:19查看AI文稿AI文稿好，咱们继续来看到函数的实际问题，从前面的学习我们知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型， 许多问题当中的变量之间的关系，它都可以用函数来表达。函数有几种表达方式啊？第一种就是表格，第二种是图像，第三种就是它的表达式，对不对？那后面我们会改个名字叫做解析式。来看这个例题二， 汽车当中的油箱里面有汽油五十升，如果不再加油，那么油箱当中剩余的油量 y 会随着行驶路程 x 的 增加而减少，这个是没有问题的对不对？这个油是消耗品对吧？你每开出去一公里都会对应的消耗一定的油量，这里对应消耗的是零点一升，也就是说你每开 一公里，也就是这里的一千米就会消耗零点一升汽油，那么这个汽油就会越来越少，所以你行驶的路程越多，那么你剩下的这个油量就会越少，就这个意思， 第一个叫我们写出表示 y 与 x 的 函数关系的式子，那么就是我们前面讲的表达式，以后呢，咱们叫解析式， 那么我们来看一下这个表达式应该怎么去写呢？首先我们这里要分析谁是自变量，谁是函数，你看这里剩余的油量 y 是 不是随着路行驶路程 x 的 变化而变化，所以主动变化的是不是就这个行程对吧？行程不断地增加，油量就会不断地减少，所以呢， 我们这里先分析一下它的自变量和函数行驶的路程 x 是 自变量， 油箱当中剩余的油量 y 是 x 的 函数，那先搞清楚它们的关系好，那么它叫我们写出它们的函数关系式，那我们这里先写一下它这里在实际问题当中的计算是怎么计算的？首先剩余的油量， 油箱当中剩余的油量是等于一开始就有的，五十升减去消耗的油量，对不对？好，所以我们写出来油箱剩余的油量，剩余油量 就等于一开始有的啊，五十升 减去什么？减去消耗的油量， 那么这里剩余的油量呢？它是用 y 来表示的，对不对？那消耗的油量呢？每行行驶平均每千米消耗零点一升，那行驶了多少千米呢？ x 千米对不对？所以它消耗的油量就是零点一，乘上它的公里数也就是零点一 x， 所以 y 就 等于五十减去零点一， 这个就是它的表达式。再看第二问，叫我们指出自变量 x 的 取值范围，什么意思呢？这是一个实际问题，你如果光看式子的话，这个 x 取任何一个数都可以，正数，负数，对不对？是不是都可以？但是实际生活当中 你行驶的路程有没有可能是负数呢？不可能，你哪怕是倒车，他也算是正向的，知道吗？他也是增加了行驶路程，也不是减少了行驶路程，他不可能减少行驶路程，知道吗？除非你调表了啊。所以呢，我们去看一下 这个五十升油最多能让这辆车跑多远，反正它这个 x 至少是从零开始的，然后它不能超过多少，我们就看一下五十升油最多 能行驶 多少千米呢？你就拿五十去除以零点一， 因为他每千米消耗零点一升油，那么你就拿这个油去除以零点一，看一下能跑多少千米，那他最多能跑五百千米， 也就是说他最多是能行驶五百千米的，所以在不加油的情况下，看到没有不再加油的情况下，他最多能跑五百公里。也就是说这个 x 的 曲子范围 要大于等于零，小于等于五百啊！小于等于五百，那最多能跑五百公里，跑到五百公里，油就耗尽了，它就开不了了。 这里我们也根据实际问题啊，它的实际问题说明一下，它这个 x 必须是正数啊。这里由于自变量 x 为什么为行驶的路程，为行驶路程， 所以这个 x 必须大于等于零，所以 x 必须大于等于零，而它最多能跑五百公里，所以它又不能超过五百公里，所以它的自变量 x 就 指大于等于零，小于等于五百的，知道吧？好，再来看第二问啊！第三问， 他说指出这个汽车行驶两百千米的时候，油箱还剩多少油，那么也就是 x 等于两百的时候，对不对？也就是说，当 x 等于两百的时候，你把它剩余的油量的关系式写出来， y 等于五十，减去零点一 x， 你 就把这个 x 换成两百， y 就 等于五十。减去零点一乘两百，这个 y 就 等于五十。减二十， y 就 等于三十， y 就 等于三十，所以行驶两百千米的时候，油箱当中还剩三十升油，知道吧？啊， 这里我就不答了，还剩三十升油啊，记得带上单位就 ok 了。 这道题书上也有完整的过程，大家可以自己看一下，就是九十四页的这道题呐。这个例题二， 第一问，第二问，第三问，它这里都有写，对吧？在这个过程当中，我们列出来了 y 等于五十，减去零点一 x 这样的式子，那这种式子呢，就叫做函数的解析式， 它是用关于自变量的数学式来表示函数与自变量之间的关系， 是表示函数的常用方法，它是表示函数的其中一种方法啊，这个用法呢是比较多的，我们用主要学也是学这个式子，然后通过这个式子去画图，去列表格，知道吧？ 那么这种式子就叫做函数的解析式，我们前面叫表达式，对不对？关系式，那么以后统一叫做解析式。 再来看到练习第一题，判断下列问题当中两个变量之间是不是函数关系。如果是指出其中的自变量与函数，并且写出函数解析式，那么其实我们做这种题目 更快的方法是先求出它的解析式，然后再判断它是不是函数关系，当然这个顺序是反的，不过做题会更方便啊，你看第一个 水箱当中，原有水十升，漏水的速度为每小时漏零点零五升，那么水箱当中剩余的水量 v 会随着时间 t 的 变化而变化啊。先写第一个， 那么在这里的话，我们可以很快的把它的解析式求出来，为什么呢？你看剩余的水量等于一开始原有的水量减去漏的漏，漏掉的水，对不对啊？我们这里写一下它的关系，剩余水量 它等于原有水，原有水量减去 low 水量。好，那么我们就可以直接把它写出来，剩余水量是 v， 原油水量是十升， low 水量每小时 low 零点零五升，现在时间是 t， 所以 就零 零点零五 t 就 ok 了，所以他写出来的就是 v， 等于十，减去零点零五 t， 好， 那么这个就是它的解析式，那么它是不是函数呢？是不是函数？你就看你每给出一个 t， 给出一个 t 的 值，它这个 v 是 不是只有一个答案，是不是唯一确定啊？你可能说，哎，我做的题目都是唯一确定的，我给你举个例子，比如说我这里有个 y 的 平方，等于 x， 当你的自变量给出四之后， 请问 y 为一吗？ y 这里的结果是不是可以等于正负二，有两个结果，那它是不是就不为一？那这个它就不是函数，它就不是函数，知道吗？啊，那这个它就是函数啊，因为我们现在他设计出来的题目啊，差不多都是函数的，所以呢， 有些同学就觉得，哎，好像所有关系式都是函数，并不是这样，并不是这样，知道吗？好，我们写一下啊，写一下它的判断，对于它这里的时间， 也就是自变量啊，的每一个确定的值，每一个 确定的值剩余水量， 都有唯一确定的值与值对应， 所以是函数。 我们判断是不是函数关系就靠这句话，那当然了，这里的时间自变量和剩余水量函数，它都是基于这道题来说的，对不对？下一道题可能就换一个啊，但是唯一标准就是自变量，每一个确定的值，它的函数 y 都会有唯一确定的值与值对应啊， 就看这句话，那么如果成立，那它就是函数关系。你看，你给出一个一，它会有一个结果，而且有唯一一个结果，它不会有两个结果，对不对？好，所以就可以了，这就它的函数关系。我们再说它的自变量， 它的自变量就是时间 t。 好， 它的函数 就剩余水量 v 就 ok 了啊。这第一个，再看第二个， 绿水村的耕地面积是十的六次方平方米，这个村的人均耕地面积 y 单位是平方米，会随着人数 n 的 变化而变化 啊。那注意，他这里是人均，也就是把这么多地分给 n 个人，你分的人越多，对吧？那么你每个人分到的地就越少。举个例子，比如说你这里， 比如说我们这里有一百个苹果，对不对？你分给十个人，那每个人就十个，你分给二十个人，每个人就是五个，对不对？你分给五十个人，那每个人就是两个，对吧？你分的人越多，那每个人分到的就越少，这就是他的关系，对吧？好，所以呢， 他的这个解析式很好算啊，我们这里可以写一下他的人均啊，先把他的关系写出来，人均耕地面积， 这里是人均啊，人均耕地面积，他会等于什么？他会等于总面积，除以总人数， 这里的总人数就是 n， 所以 我们就可以把这个四字写出来，人均耕地面积是 y， y 就 等于总面积等于十的六次方，所以等于十的六次方除以总人数 n， 所以 这个 y 写成分数形式就是 n 分 之 六十，这个十分十的六次方啊，十的六次方， y 等于 n 分 之十的六次方就 ok 了。好，这个就是他的解析式。那么至于他是不是函数关系呢？你看你给出了一个 n y， 会有其他结果吗？ 不会，假如说他这里等于这个十的四十方啊，也就一万个人，那么十的六十方，除以十的四方还剩一百，那么每个人就分到的耕地就是一百平方米，对吧？那假如说有一百个人，那每个人就分到 十四次方，那么就是每个人就分到一万平方米的耕地，对吧？好，你看 y 是 不是都有唯一确定的值，所以我们这里的平方这个评判标准就是什么呢？它对于人数 n 的 每一个确定的值，准确来讲是正整数， 正整数，正整数值、人均耕地 面积 y 都有唯一确定的值， 与之对应，所以四函数， 所以它四函数关系。再指出它的自变量，它这里的自变量就是人数嘛，对不对？自变量 就是人数 n， 然后它这里的函数 就是人均跟地面积 y 啊，就可以了。解析式我们一开始就写出来了，那就不用写了啊，这里要说一下啊，这里自变量的取值范围也要写一下， n 为正整数， 人不可能是小数，也不可能是负数，对不对？好，然后呢，这里的曲子范围咱们也歇一下，咱们也写一下，他最多能给他消耗多少时间，我们就用十升除以零点零五，也就是说最多他只能消耗两百个小时，那么这个时间 就要大于等于 t， 小 于等于两百啊，也就是说它漏。再看第二题，梯形的上底长为两厘米，高为三厘米，下底长 x， 单位是厘米 大于上底长，但是不超过五厘米，写出梯形面积 s。 关于 x 的 函数解析式，并且指出自变量 x 的 曲值范围，咱们先画一个梯形出来， 先大概画一个梯形出来，上底为两厘米，它的高为三厘米，底呢是 x 厘米，但是它的底呢， 大于上底长，上底是两厘米，所以 x 大 于二不超过五厘米，那么不超过五厘米要注意了，就是小于等于五厘米， 它可以等于五厘米，但是不能大于五厘米就叫不超过，所以我们要小于等于五，这个就是自变量 x 的 取值范围，我们可以先写出来，然后我们再想一下梯形的面积怎么怎么算？梯形的面积等于上底加下底的和层高除以二，我们写一下， 梯形面积等于上底加下底的和乘上高再除以二。那么这个除以二呢？你也可以直接写在分母上 算了，除以二，它就等于上底加下底的和乘高除以二的话，也可以写在分母上这样去写啊。那么现在倾斜面积等于 s 了， 它的上底是二，下底是 s， 高是三，对吧？所以是二加 x 乘上高三，再除以二。 咱们在分子上乘开二乘三等于六，加上三， x 除以二，然后把它拆开，六除以二，加上三， x 除以二，它就等于三加二分之三 x， 那 么这个 s 就 等于三加二分之三 x。 注意，我们再把这个自变量取的范围写一下，就是 x 小 于等于五，大于二，写出来就 ok 了。
312毕老师细讲数学
01:47查看AI文稿AI文稿三十分钟内把这份围缴军令送到三十里外的西风黑风中，这是在开玩笑吗？三十里路，三十分钟，只要一分钟飞一里路就能到？喂，等等，小猪腰，帮我把这二十斤柴火带给大王！ 小猪腰略显艰难，速度降至零点七零每分钟，小猪腰，大王的密信必须送到！欺人太甚，把俺当日本人整是吧？果不其然，小猪腰，迟到了，罚你去刷锅去！这么完美的方案，怎么翻车了？ 同学们，小猪腰用了最熟练的路程公式，算出来的方案天衣无缝，为什么还是超时了？到底哪里？ 小猪腰骑着扫帚匀速飞行。在这个过程中，有哪些量在变化？又有哪些量不变呢？ 小猪腰路过湖边时，将石头投入湖中，一阵阵连衣饭起，并不断扩大。这个过程中，有哪些量在变？又有那些？小猪腰即将离开浪浪山，临走之前，他想爬上浪浪山最高的山峰，看看自己从小长到大的 浪浪山的海拔每提高十米，气温就下降一摄氏度。这个过程中，有哪些量在变？又有那些量？
108墨里知数
01:53查看AI文稿AI文稿同学们，上节课我们认识了函数，谁能说说什么是函数？ 一辆车正在路上行驶，随着车轮转动，里程数在一点点增加，而仪表盘上的油量却在一点点减少， 这里面藏着两个在电话的量，谁能快速找出来？没错，一个是行驶的路程，一个是油箱里剩下的油量。那问题来了，这两个量之间是不是我们上节课学过的函数关系？ 如果我想知道这辆车开了任意一段路程后，油箱里还剩多少油，能不能用一个数学式子一次性把这种变化规律写出来？这就是我们今天要解决的问题，用解析式表示函数关系。
39阿峰
13:42查看AI文稿AI文稿好，再来看到函数概念的复习题，先看复习巩固第一题，它这个第一题呢，复习的还是比较全面的，这里说 a、 b 两地相距十千米，李明从 a、 d 出发，骑自行车，以每小时二十千米的速度前往 b、 d， 用 x 表示骑行时间，时间的单位是小时，用 y 表示李明与 b、 d 的 距离，这个距离呢，单位是千米， 叫我们指出其中的常量与变量，自变量与函数，并且写出函数解析式以及自变量的曲子范围，你看学过的他这里都叫我们表示出来，对不对？好，这里先看常量与变量， 在这个过程当中， a、 b 两地相距的距离不会随着时间的变化而变化，所以这个十千米就是常量。然后呢，李明从 a、 d 骑自行车，以每小时二十千米的速度 前往 b、 d， 那 这个速度呢，也是不变的，这里是匀速的对不对？所以这个常量就有这两个。 那么变量呢，就是骑行时间和李明与 b、 d 的 距离，他们都会随着时间的变化而变化，时间本身他就会变化，对不对？而李明与 b、 d 的 距离，随着时间的增加，他和 b、 d 的 距离就会越来越近，对吧？所以他们两个就是变量。好，我们把它写出来， 长量有两个， 其中一个长量是 a、 b 两地的距离 十千米，对吧？以及李明的骑行速度 二十千米每小时，对吧？这是长量。那么再说变量，变量就是骑行时间 x 小 时， 然后以及里幺与 b、 d 的 距离 是什么呢？ y， 铅笔，好，这个是长量和变量，对吧？好，那么什么是自变量呢？ 谁又是函数呢？啊？自变量就是主动发生变化的那个，那么也就是这个时间，那么函数呢？就是这个距离，也就是说这个 y 是 x 的 函数，对吧？好，我们就写啊，函数， 这里是 y 是 x 的 函数。 好，最后教我们写出解析式以及自变量的曲子范围，你看总共才十千米，它的速度是二十千米每小时，对不对？所以李明想要从 a d 到 b、 d 需要多久呢？啊？那应该就是半个小时就到了，对吧？怎么算的呢？ 李明，我们算一下，李明从 a 到 b 需要多少时间呢？我们算一下，就是十千米除以二十千米，每小时的速度等于零点五小时， 所以它需要零点五小时，所以这个 x 它就不可能超过零点五小时，对不对？好， 那么这个时间是零点五小时，那么随着时间的增加，它的距离越来越少，所以这个李明怎么样？李明与 b、 d 的 距离就等于 a、 b 两 d 的 距离，减去李明骑行的路程，对吧？好，这就是 函数表解析式啊，推导的一个证明啊。我们写一下，就是李明 与 b、 d 的 距离， 它等于 a、 b 两 d 的 距离， 减去离明骑行的距离就可以了。 或者骑行的路程，路程等于速度乘时间对不对？等于路的路程等于速度乘上时间。啊，说错了，李明骑行的路程等于它的速度，哎，乘上它的时间，然后呢， a、 b 两地相距的距离就是这个十千米啊，十千米。 好，李明与 b、 d 的 距离呢？就是这个 y， 所以 我们就可以写出来 y 等于什么？十，减去二十 x， 那他的速度是二十千米每小时，对不对？时间是 x 小 时，然后呢，总共的距离是十千米，对吧？随着时间的增加，那么这个李明与 b、 d 的 距离就越来越小，说明他越来越靠近了，对吧？好，然后再把他的曲值范围写出来， 它最多也就骑行零点五小时就到了，对不对？所以这个 x 的 曲子范围怎么样？小于等于零点五，大于等于零。好，这个就是它自变量的曲子范围。那解析式写出来了，自变量，曲子范围写出来了，自变量与函数。啊，这个也写出来了，这里我们要写一下自变量啊，自变量没写， 写在后面， 自变量就是骑行时间 x 小 时。再看第二题，某水库的水位高度与对应的蓄水量，如下表所示。先看它的水位高度，单位四米， 从九十五到一百零四到一百二十一到一百二十五到一百二十八，逐渐增高，对不对？好，再看它的蓄水量， 从一点零五乘十的七次方，到二点四一乘十的七次方，到七点一二乘十的七次方，再到九点五三乘十的七次方，最后再到一点零三乘十的八次方。注意，它从七次方变成八次方了，所以它是变大了。 所以无论是水位高度还是蓄水量，它们都在怎么样？增加吧，对不对？好，第一个设水位，这个水库的水位高度为 x 米。好，这个设为 x， 蓄水量设为 y 立方米，这个设为 y。 那 么 y 是 x 的 函数吗？为什么呢？那肯定是你看， x 给出来了， y 就 有唯一对应的值，对吧？然后呢，再看这个是不是也只有一个答案， x 给出来了， y 就 有一个答案， x 给出一个确定的值， y 就 有一个确定的值与之对应，那么这个就是函数的评判标准，对吧？所以我们就可以直接说怎么样是，是的啊， y 是 x 的 函数， 为什么呢？因为对于 x 对 一个，每一个确定的水位高度 x 蓄水量 都有唯一确定的值， 与之对应啊，所以 y 是 x 函数，对吧？好，再看第二个观察表格当中的数据，随着水位高度的变化，蓄水量的变化是怎样的？它们俩是不是都在增加， 所以 y 随 x 的 增大而增大，知道吗？好，我们这里写一下，随着 x 水位高度 x， 随着水位高度 x 的 增大， 蓄水量 y 也逐渐增大 就可以了。再看第三题，判断下列各点是否在函数 y 等于 x 加一分之一的图像上，这里给了四个点， 问，这四个点是否都在这个函数的图像上，那么怎么判断呢？你只需要把它的横坐标，也就是 x 带进去替换掉， 算一下它的 y 能不能得到它的重作标的值，如果可以得到，那么就在这个图像上，如果得不到就不行，知道吧？好，所以我们这里先看第一个，第一个呢，你就当 x 等于负二的时候，对吧？这个 y 等于一除以负二加一， 那么它就等于一除以负一等于负一。你看，当 x 等于负二的时候， y 等于负一，是不是正好对应第一个点的横中坐标，对不对？每一个点的横中坐标我们都对应 x， y 值 对应 x y 值，你看一下它带入函数解析式里面去算能不能得到对应的结果，那么得到了这个，对吧？啊，我们就说，则 y 等于 x 加一啊的图像 经过负二负一，这个点 经过点负二负一，所以怎么样？负二负一，在函数 y 等于 x 加一分之一的 x 加一分之一的图像上 就可以了，这是第一个点。再看第二个点，第二个点呢？横坐标是负一，对不对？好，你就当 x 等于负一的时候， 这个 y 等于负一加一分之一，它的分母是零，对不对？那分母是零，那还有什么好算的？没什么好算的，这个分式就没有意义，对不对？无意义， 无意义。所以它得不到零的啊，是得不到零的。所以呢，我们就说，所以一负，这个负一，零不在 函数 y 等于 x 加一分之一的图像上。 再看第三个，当 x 等于它的横坐标零的时候，当 x 等于零的时候， 你看下这个 y 带进去，等于一，除以一加一，把它的 x 换，哦，不对，零啊， 换成零加一，对吧？把它的 x 换成零，对吧？好，那么它就等于一，除以一等于一。哎，你看横坐标是零的时候，纵坐标是一，是不是对应了，对吧？好，则 这个函数图像经过点零一，所以呢， 这个点零一就在函数图像上。好，这第三个，再看第四个，第四个横坐标，把它换成一啊， x 换成一，所以当 x 等于一的时候， 它这个函数解析式 y 等于一加一分之一等于二分之一，它是等于二吗？那它不等于二，对不对？它并不等于二，所以我们就说 这个函数图像误经过啊，经过的点是什么？一二分之一 是一二分之一，所以呢， 这个一二，所以这个点一二 就不在函数，就不在函数图像上就可以了。好吧，你想要验证一个点是否在某个函数解析式的图像上， 那么你就把它的横纵坐标分别换成 x 和 y， 你 看一下是指是否仍然成立，如果成立的话，那么就在 或者是你把这个 x 带进去算，你算出来的 y 可以 等于它的重坐标，那么就说明这个点是在函数图像的，如果不是的话，那么说明这个点就不在函数图像上就可以了。
50毕老师细讲数学
00:53查看AI文稿AI文稿通过观察一次函数的图像，我们得出的关于一次函数的一个性质啊，首先我们来看一下正比例函数的性质，正比例函数呢，是一条直线，它的过原点零的正比函数，也就 y k x 这个图像。 那其中当 k 大 于零时，我们发现这里是 y 等于二 x， y 三分之 x 过一三象限，且 y x y 增大增大，也就是它的一个增函数从左到右是上升的， k 小 于零是过二次象限， k 小 于零是过二次象限。 y x y 增大减小，从左到右是下降的。这里呢， 还有一个很有意思的结果，就是当 k 的 绝对值越大时，这个函数的图像呢，它与 y 轴的夹角越小，大家看一下，是不是这样 啊，也就是这个角度，这个 k 的 绝对值是二，它与 y 的 夹角这样子啊，它是比这个 y 等于三分之 x， 这个 k 值是三分之一，它更小，也就是这个函数呢，图像越陡峭，这边也同样的啊，跟绝对值 k 的 绝对值有关系。
52乐其数学
21:32查看AI文稿AI文稿好，再来看到函数概念的综合运用。先看第四题。某水果批发市场，每次批发苹果不少于一百千克的时候，它的批发价为每千克四点五元，小王携带九千元到这家市场批发苹果， 并且以批发价买金设购买的苹果为 x 千克，小王付款之后还剩 y 元，那么写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且指出自变量 x 的 取值范围，对不对？好，我们这里第一个就可以先把它的取值范围求出来， 总共九千块钱，对吧？每千克是四点五元，那么我们就可以算一下他最多能买多少千克，对不对？好，我们写一下，最多能买， 我把这九千块钱全买了啊，用九千去除以四点五，对吧？好，它就等于两千千克，所以最多能买两千千克，所以呢，这里的 x 的 取值范围 就要小于等于两千，但是同时它这里说要不少于一百千克才能算批发价，所以这个 x 要大于等于一百， 这个就是自变量 x 的 取值范围。然后我们再来看他总共有九千块钱，对不对？好，我们只需要拿他手上那么剩余的钱， 手上剩余的钱就等于什么呢？就等于他手上有的钱就是他携带的， 携带的金额，减去什么呢？减去它花费的钱， 那么这里就买苹果是花费，对不对？所以减去买苹果的钱就可以了，那么它剩余的钱呢？是 y 携带的金额呢？是九千元，然后减去这个花费的钱， 每千克是四点五元，那么这里是 x 千克， x 千克，那么就是四点五 x。 好， 这个就是它的解析式， 这是它的解析式，然后它的自变量呢，咱们再写一遍，就可以写在它的后面就 ok 了。 再看第五题，已知等腰三角形的周长为二十，写出底边长 y。 关于腰长 x 的 函数解析式，我们先把等腰三角形大概画一下啊，大概画一下， 画一个等腰三角形出来，这两个是腰，这两个是相等的，对不对？假如说 a、 b、 c， 对 吧？好，那么它这个腰长呢？是 x， 它的底边长呢是 y， 它的底边长是 y。 好， 那么也就是说把这三条边加起来等于周长二十，他叫我们写出这个函数解析式以及函数解析，当解析式当中的字变量的曲子范围，也就是 x 的 曲子范围， 并且在平面坐标系当中画出它的图像，好，那么这里呢，首先你能够找到的关系就是三边之合等于二十，对不对？它的周长 我们写一下，三角形的周长等于 a、 b 加上 a， c 加上 b、 c， 对 吧？好，它的周长是这么多，所以呢，我们这个二十呢啊，周长是二十， 二十就等于 x 加 x 再加 y， 所以 二十就等于二 x 加 y， 再反过来写， 也就是 y 加二 x 等于二十。因为我们要把它写成函数的形式，所以 y 放在左边，那么剩下的全部放在右边，所以 y 就 等于二十减二 x 就 可以了，这个就是它的函数解析式啊。然后呢，我们还要求出什么呢？我们还要求出 这个解析式当中 x 的 取之范围，那么就根据什么来呢？根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可以了。根据这个去算， 因为它这里的 y 算出来已经是二十减二 x 了，对不对？所以呢，我们把这个也标上二十减二 x， 根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边啊，这里写一下，是三角形当中啊，三角形中 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 而这个第三边是谁呢？第三边咱们就把它当做什么？把它当做二十减二 x， 好 吧，这里的第三边， 我们把它当做 b c 啊，就等于二十减二 y， 那 么也就是说 b c 怎么样？ b c 啊，写反了两边之和，比如说 a b 加上 a c 会大于第三边大于 b c， 然后呢，两边之差就是 a b 减 a c 要小于 bc。 好， 现在咱们再还原， ab 加 ac， 就是 x 加 x 大 于二十减二 x 移过来，四 x 大 于二十， x 就 大于二十除以四， x 就 大于五。然后这里呢，就是 x 减 x 小 于 b c 二十减二十，二十减二 x， 再把这个减二 x 移过来，就变成了二 x 小 于二十， x 小 于二十除以二， x 就 小于十。所以综合来看， 这个 x 的 取值范围是小于十大于五的，然后我们把它的取值范围写到这个解析式旁边 就 ok 了啊。然后接下来呢，他叫我们画什么？画这个函数图像对不对？画函数图像的话，那你得画几个表吧，在这个取值范围之内五十，那我们就取两个点，差不多了啊，就取两个点， 那么这里呢，因为不能取等号，不能取等号，所以我们等会写出这两个点的时候，一定要干嘛呀？啊？一定要画空心点，知道吧？好，所以我们这里写，当 这个 x 等于五的时候，这个 y 就 等于二十，减去二乘五，它就等于十，所以过哪个点呢？过五十这个点，然后当，啊，不对，应该不能过啊，不能过， 因为不能经过，因为这里是不取等号的，所以我们这里不能写过。当 x 等于十的时候，这个 y 等于二十，减去二乘十就等于零，那么这个点就是十零。好，那么现在我们把它的函数图像画一下， 画两个点就够了，因为这个函数解析式它是一条直线来的，这个是 x， x 轴 y 轴零，然后写这里是十五一。 好，我放大一点画啊，一二三四五六七八九十啊，然后这里呢，也最多放到十 一二三四五六七八九十就可以了。 好，那么在这里的话，我们先找到五十这个点，但是千万不要怎么样画实心点，这是十，然后对齐这个五。好，注意，这里画的点必须是空心点， 空心点，然后再找到十零，那就是这里了。十零，就在 x 轴上也画空心点，我们把这个擦掉啊， 好，你把这两个点连起来，这个就是它的函数解析式啊， 这里我单独写一下啊，不过啊， 因为 x 的 取值范围 取不到啊，取不到五和十，所以五十与十零是空心点 就可以了，那么这道题的要求咱们就完成了。好，再看第六题， 第一个，这里叫我们画出函数 y 等于 x 减一绝对值的五项，那么这里带一个绝对值，那是不是不好算呢？对不对？所以呢，我们要先把绝对值化解出来，那怎么化解呢？你就看里面是正数还是负数， 如果这里面的数大于等于零，那么这个绝对值可以直接去掉，如果这里的数小于零，那么你把它拆开，就要在前面加一个符号，这个是拆绝对值的技巧，对不对？好，所以呢，我们要根据两种情况来，就是要分类讨论 好。第一种情况，当 x 减一大于等于零的时候，这个函数解析式 y 就 等于 x 减一，可以直接拆。第二种情况，当这个 x 减一小于零的时候，那么你拆开绝对值，你去掉绝对值，你要在什么？你要在这个 前面加一个负号，然后这个函数解析式就变成了负 x 加一，拆括号再编号，那么它就变成了啊，就直接写成这样就可以了，好吧，然后我们把这两个图像挂在同一个坐标系当中就可以了，好不好？好， 那当然了，这里的取值范围我们要写一下啊，当这个 x 减一大于等于零的时候，那么这个 x 呢？就大于等于一，当这个 x 减一小于零的时候呢， x 就 小于一，好吧，所以我们取值的时候，你这里可以从什么呢？你可以这里可以从一开始取啊， 这里当 x 等于一的时候，那么这个解析式 y 就 等于 x， 就是 一减一 等于零，所以它经过的点呢，就是一零，对吧？然后呢，当 x 等于二的时候， 这个 y 就 等于二减一等于一，所以它就会过二一这个点，然后当 x 等于三的时候， 这个 y 就 等于三减一等于二，所以它就是三二这个点。好了，那么画三个点够了，那么这里呢，我们取什么点呢？它小于一，对不对？好，那我们想要衔接上的话，那么这里你也可以让它等于一等，会画的时候画空心点就可以了，知道吧？好，那么这里呢，咱们就 当 x 等于一的时候，这个 y 等于负一加一等于零，这里也是一零，但是呢，不经过这个点 啊，它不过这个点，等会的时候画空心点，知道吧？然后再画，当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于负零，加一就等于一，所以它会过零一这个点， 然后这里是 y 啊，当 x 等于负一的时候， 这个 y 呢，它就等于负负一，负负一，再加一，负负一，那就等于几啊，它就等于一了，对不对？一加一等于二，所以它会经过的点是负一二，好了，我们现在再把这个图像啊，再把这个画出来， 我把这个过程移到这里来了啊，然后呢画图像， x 轴， y 轴，零啊，一二 三，然后这里呢，也是一样的，画三个一二三，然后这里是负一负二，好，把这几个点描上去，先画这个一零二一，对吧？三二好， 在这，然后一个 在这， 在这，好，连起来，它是一条直线的，如果你连起来不是一条直线的话，很有可能就是画 y， 知道吧？好，再看，那么这里呢，一零啊，也有一零，不过呢，你这里要画空心点啊，这里画个空心点， 这样去画，然后呢，零一零一，就这个点，然后是负一二， 好，把它连起来， 好，那么它的图像就画出来了啊，这个就是加了绝对值的。其实呢，从另外一层面去讲的话，如果你直接把它猜出来是 x 减一啊， x 减一，它图像就这么画的，你加了绝对值之后，就相当于是把 x 轴下方的图像 往上进行翻折，就变成了对称了啊，就把下面的关于 x 轴对称上去就可以了啊，如果你知道这个规律的话，以后画图会简单很多。 再看第二问，设点 p x 零是 x 轴上的一个动点，它与 x 轴上表示负三的点的距离为 y， 叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式，并且画出这个函数解析式。好，那么这里咱们知道 这个点 p 是 在 x 轴上的，然后呢，与 x 轴上表示负三的点，那是哪个点呢？那在 x 轴上表示负三，那不就是负三零吗？对不对？那就是负三零，假设这个点就是 a 点，对吧？好，我先说一下这个题目什么意思啊？我这里先画一个 x 轴， 假如说这里是零，这里是负三，那么假设这个点就是 a 点， a 点的坐标就是负三零。好， p 点在哪里呢？不知道，因为 p 点是一个动点，那么就分两种情况，一个在它左边，一个在它右边，对不对？好，假如说这个点 p 在 它的右边，这个时候是 x 零， 好， p 在 a 的 右边，那么是不是右边减左边，对吧？拿他们的横坐标之差就表示他们的距离，那么他们的距离这个 a p 的 长度 就等于 x 减负三， x 减负三就等于 x 加三，所以它的长度为 x 加三啊。那如果 p 在 a 的 什么左边呢？ 好，我们假如说 p 在 这里，这个是 x 零，好，那这个时候你看这个 a 点和 p 点的距离是不是负三减 x， 是 不是反过来了，这个时候 a p 的 长度就是什么负三减 x。 ok， 好， 那么其实呢，我们是可以把它化成什么？化成同一个函数解析式的，这个也是我们为什么要先把第一问做了的原因，因为加绝对值啊，所以呢， 任意两个点在 x 轴上，它们之间的距离就等于它们的横坐标之差的绝对值，对不对？好，我们写一下啊，这个是关键信息， x 轴上两点的距离 为横坐标之差的绝对值，为横坐标之差的绝对值， 所以这个距离 y 呢？啊，它就是等于什么？它这个距离 y 就 会等于 x 减去负三的绝对值，那么函数解析式 y 就 等于 x 加三的绝对值好了，那么它分两种情况啊，分两种情况就什么呢？就这个 x 大 于等于负三，那分两种情况也是一样的，跟我们前面一样的，你看这个绝对值里面是正数还是负数，对吧？当 分两种情况，当 x 加三大于等于零的时候，那么这个 y 就 等于 x 加三。那这个是我们的分析过程，你可以不写啊，你可以不写，只是写出来之后呢，会更好理解一点啊。那么这个时候 x 呢，是大于等于负三的，那第二种情况呢？是什么呢？第二种情况是，当这个 x 加三小于零的时候，那么你拆开绝对值， y 就 等，就在前面加一个负号， 那么把它拆开， y 就 等于负 x 减三，你看和这个负三减 x， 是 不是只是交换了一下顺序，对不对？好，这里算出来的话，是 x 小 于负三的时候。好，那么接下来我们就描点了，我们就画两个点就差不多了。好吧，我们也不画多啊。 这里当 x 等于负三的时候，那么 y 就 等于负三加三等于零， 然后当这个 x 等于等于等于零的时候吧。好吧，等于零的时候，这个 y 就 等于零加三等于三，所以它这里会过哪个点呢？会过负三零这个点，然后这里呢会过零啊，这里是三，哈，写错了， 这里会过零三这个点。好，那下面呢？一样的啊，当 x 等于负三的时候，这里要画空心点了啊， y 就 等于负负三减三，那就三减三就等于零，所以但是他注意这里，不过这个点 不过负三零啊，不复是负三零，这里不能取等号的啊。然后第二种情况，当这个 x 你 小一点，再小一点的时候，比如说负六，对吧？啊？负六的时候， 这个 y 就 等于负负六减三，负负六就是六，六减三就等于三，所以它会过哪个点呢？过负六三这个点。好，那么这个图像呢，咱们就放在这里来画，好吧？放在这边来画 x 轴啊，这个最多是负六，那么就到六， 然后最高是三，这里三格零一二三，这里是 y 轴，然后这里是负一，负二，负三，负四，负五，负六。好，第一个负三零，负三零，那就是这里 实心点，然后零三，这里好，两个点连接一下，好，它图像长这样，然后用紫色的笔画下面这种情况，它不过负三零，所以我们这里负三零画一个空心点， 它是可以衔接起来的，然后负六三三，搁这负六在这，这个就是负六三连起来。 好，那么咱们的话就把这个图像画出来了，好吧？好，再整体看一下答案。
60毕老师细讲数学
