七下冀教版数学尺规作图怎么画
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07:43查看AI文稿AI文稿好，同学们，大家好，我们今天来给大家操作一下这个尺规作图该怎么来详细的去操作啊，因为大家每次看视频的时候没有实际的圆规，去做一下的话，就是总是感觉这个模棱两可的是不是？那常见的有哪些类型啊？第一种呢，就是垂直平分线，当然还有角平分线，这两个是最基础的， 那除此以外，我们会些拓展啊，比如说，哎，我们做一个角等于一直角呀，哎，那么它的相关拓展呢，就是有可能还要做平行线呀，是不是？哎，然后这块做垂垂直平分线的拓展呢？就是做垂线，它有两大类，是不是？以及将军一马的吃亏作图该怎么做？其实我们还有类啊，这个过河拆桥 都是要做的，是不是？好，我们挨个来看一下，去给大家模拟一下啊，当然是拿出圆规是不是好，第一种呢？先来复习一下，比较简单，是不是？我们取一个差不多的半径，但是不要太小，也不要太大啊，我们分别扎在 a 和 b 所在的位置，是不是？哎，取好这个半径之后呢，哎，咱们来画这个弧啊，画这个弧 对不对？好，画这个弧的时候呢，不要整个圆都画出来，只要在这个上下呢，等会呢确认大概焦点在什么位置就可以了， 是不是啊？然后这个半径不要动，然后扎在 a 的 位置呢，我们去画这个这个弧，是不是？哎，然后这边呢也会有个焦点，是不是？好，这个画完之后呢，有两个焦点，咱们把这个尺子呢，哎，这两个焦点处画出来这条线，这个就是咱们所谓的这个垂直平面线就画出来了， 这是第一个，那么第二个做角平分线呢？哎，咱们圆规呢，哎，把它扎在这个位置对不对？取稍微差不多的半径是不是？哎，我们取一个画一个弧，哎，画一个弧，哎，画个弧之后呢，会有创造出两个新的交点，所以呢，这时候半径呢，你可以随便选一个都行啊，比如说再扎在这两个点处，你看我们在这再画一个弧， 是不是这个，这时候半截就不要动了啊？哎，然后呢，这个点呢，再扎在这个位置，看到了，哎，我们再去画这个弧，是不是就会有一个新的交点，然后呢，我们这个线就可以被画出来了啊？这个就是角平分线， 懂了吧？这两个是基础啊。好，那么接下来有一种题呢，比如说这块呢，有个 r 发的角，我们让让你过，再做一个跟他一样的角，那怎么办呢？第一步，我们首先先选好一个射线，因为画角的话是两条射线嘛，对不对？所以先随机的选一条线 啊，那么端点，比如定在这，哎，我们的做法就是呢，哎，这块不是有个角吗？好，拿出你的圆规在这呢，随机的画一条弧， 画一条弧之后呢，哎，我们在这不要动它，我们在这呢也画一个跟它一样的弧，知道吗？也画一个一样的弧啊，然后拿出你的圆规去量一下这段，哎，大概你看去动一下它，是不是量一下这段长多长，是不是？哎，然后你扎在这看吧，也是这样的，一个相同的长度，这时候是不是就形成了一个焦点？ 看到，哎，就形成一个焦点，考试的时候不太清楚，你稍微瞄一下就可以了，那么这个焦点被创造出来之后呢？这么一连，这就画的角就跟他一样，懂了吧？ 好，那么接下来跟他相关的我们会有种提醒，比如有条线让你过这个点去画他的这个平行线，那么有画平行线当然有画垂线的，是不是？他的做法就是你在这上面的随机找一个点，你随机拉一条线， 是不是会形成一个角，那么就跟刚的一样的，你过这个点，你想想看，如果你画出来是平行线的话，你这个角等会是不是跟这个角相等，是不是？哎，所以跟刚的操作呢？一模一样，哎，再来一遍就可以了，你看圆规扎在这，是不是？哎？随机的去画一个弧，是不是随机的画一个弧， 哎，画一个弧是不是？然后呢？半径不要动他，然后呢我们再去画一个弧，就相当于画一个角等于一只角了，是不是？哎，然后这个时候因为你刚不是画了一个弧吗？量一下这段，看他，量一下这段长，是不是？然后呢？哎，量一下这段长之后呢？圆规把它扎在这个位置，因为这是个定点吗？是不是然后去画你这个 弧，跟刚才做法一模一样，懂吗？一模一样啊，哎，然后呢就创造出这个点了，所以我们把它连起来就可以了。 看到，哎，这个平行线就画出来了，嗯，刚拌了一下啊，看到，其实本质上他是不是就在于，其实就是做一个角等于一只角就可以了， 那么紧接着垂线该怎么做呢？如果这个点他在这个线上，一样的圆规他有扎的地方，是不是？哎，所以取个半径，随机取一个半径，是不是扎在这个点处，是不是？哎？然后画一个弧， 哎。这边画一个，这边是不是也会有一个焦点？两个焦点创造出两个焦点之后呢？继续这两个焦点画在上面，画下面都可以啊，比如说我们画在上面取一个差不多的半径，看到，哎，在上面画一个弧，这个半径不要动它，再扎在这个位置，看到，再扎到这， 哎，然后我们是不是会有一个焦点，这个焦点跟这个点的进行连接，那这个就是垂线了，听懂了吗？所以他接下来方法一模一样，我们还是扎在这个位置，看到了，哎，然后你可以创造，哎，我们随机的画一个弧， 是吧？哎，这个有点跑啊，看他是不是，哎。也就是说这块呢，两个焦点是不被创造出来了，接下来呢？再以这两个焦点是不是被创造出来了？接下来呢？再以这两个焦点是不是被创造出来了？接下来呢？再以这画在下面 看，随便选，对吧？哎，在这，然后你再扎在这个位置，还是这个板筋不要动他，是不是？哎？就会有个焦点，然后我们这个垂线呢？就画出来这么一连，这块一定垂直， 是不是？那将军马其实跟他将军马的尺规作图差不多，知道吧？他是差不多的，怎么做呢？你想我如果真的去做，肯定是对称点，但是这个对称点怎么呈现？你想一下做对称点是不是首先得做垂直，然后延长，对不对？那你做垂线吗？对吧？ 好，我们以这个点跟这个方法一模一样，是不是啊？然后呢？哎，我们把这个线稍微画长一点啊，把这个线稍微画长一点，是不是？哎？然后随机的取一个半径，对吧？哎，但这个半径要适可啊，你不能说连焦点都没有，那不行，是不是？哎，咱们这边那创造出两个焦点之后，继续是不是画半径？ 哎？画，然后半斤不要动，扎在这画是不是？好，那这样子，这个垂线是不是先给它呈现出来？垂线呈现完了之后，你什么叫做对称点呢？你这两段是不得相等，所以拿出你的圆规扎一下这段长有多长，是不是？哎？去量一下这段长是不是去截取，然后拿出圆规去截， 哎，一结不就代表这上面这段跟下面这段相等，所以你的对称点不就出现了吗？是不是那对称点都有了？你这么一连，你这道题不就出来了吗？看到了，是不是？哎？焦点不就是我们要的这个 p 的 位置，所以就是这不就出来了吗？ 但是我们这个学霸，我们也讲了一个东西，还有过河拆桥，他什么叫过河拆桥呢？你看啊，比如说，哎，这块有条河，这里有个 a， 这里有个 b， 是不是？哎，那么这个人呢？要先走到这，然后再过来，然后再这样走，问整总的路程他应该怎么走？是最小的 那一样的方法，这是平移的一个思路，对不对？我们讲过这个问题了啊，这原理就不再跟大家解释，就是往下平移几个单位，是不是这么个思路，是不是？或者这个点往上平移，对不对？哎，因为你想，哎这样子走，再过来，再这样走， 相当于本质上我在这做一个平行四边形，我直接这样走，是不就是最小的时候了，所以它本质就有一个平移的一个过程了，那你想假如我们选择 b 点，那平移多长呢？平移这段长，你要平移四边形，这两段不是一样吗？那所以你得知道我过点 b 是 不是得先做垂线？ 那我这个就不再详细尺规做的，我指点一下思路做垂线，因为刚讲过了，是不是你自己去画刚才模拟的过程，画稍微长一点，是不是？哎？这个垂线把它画出来画一下，让这段是不是也等于它？ 我们把 b 撇是不就找到了？那 b 撇有了之后，相当于我平移好了，连接这个相应的 a b 撇，所以上面这个点是不是就先找到了？是不是然后过这个点再往下面去做垂直？ 听懂了啊，再往下面去做垂直就可以了，或者有同学说我做这个平移线行不行？可以啊，对不对？哎，做垂直，那下面这个 q 是 不就找到了？做垂直不用多说了吧，因为跟刚刚的方法是一致，我这个就指点思路了， 懂了吧？他整个走的路程就是这样子走，再走到这就行了。这个东西呢叫过河拆桥，问题就是我过河，但是我不能先看这个桥，我桥要拆掉去看待这个问题，懂了吧？一共就这么多种这个坐腿的思路啊，来，大家再整理一下，好吧。
1271扬州梁欢数学
10:02查看AI文稿AI文稿好，第一个视频我一定要非常认真的给大家解释一下，啥子叫尺规作图，括号七项。 你别看我这只放六个字啊，它分为三个部分，第一，什么叫尺规？第二，做图是做什么图？在哪做图？第三， 七下要做什么？先介绍尺规，在七下这个阶段，我们就用了一个工具，叫 无刻度尺尺。这个规是啥？是圆规，等到八年级和九年级会用到啊，所以七下就是一个东西。那无刻度尺尺，这是我们第一次碰到这个说法啊，你一定要明白 无刻度是啥意思，直尺是啥意思啊？他们都有潜台词的，无刻度的潜台词是无长度， 你再也不能像小学的时候一样，你画一个长五厘米的线段了，没有了，你也不能用你的尺子去量一根线，然后告诉别人他有多长。不行，我们是借助网格的数量来去算他的长度了啊，所以尺子 画不出来长度，也量不出来长度了啊。第二个，直尺，明明我们买了一套，里面除了有直尺，还有三角板呢，为什么只让你用直尺？他的潜台词是 无角度，你不能再用三角板做出一个三十度，六十度或者是四十五度了啊，当然你更不能画九十度了啊，因为有些同学很激贼啊！老师，直尺我太擅长了呀，虽然无刻度，但是我自己买的尺子上面有刻度啊， 我拿那刻度一对齐，这边一竖，不就是画了垂直吗？不行，你画的那个是你假想的，我们不认可。 那这无刻度尺尺又量不了长度，又给不了角度，那它到底能干什么呢？ 他就干一件事，画直线。有人心里肯定笑了，画直线还用你来说？不是的，画直线也分两种，你有没有注意到这个事情？你去查你的题目里边，他会有两种线，实线和虚线。那什么时候画实线，什么时候画虚线？我们只有一个原则， 对于结果用实线表示，所有你辅助得到结果的过程，用虚线表示啊。 当然，实际做的过程中我已经发现了啊，由于大家刚开始接触尺规，做图东西又很杂，往往很多老师在过程中并没有严格要求说必须画实线，必须画虚线啊。 所以稍后我们在具体讲题的过程中在解释啊，怎么去判断画哪种线啊？好，我们知道了无刻度支持，不能干什么，能干什么。但这些话并不能劝服大家，因为实际答题过程中出现了大量的伪证， 这是在其他类型知识里边很少出现的，计算题也没法伪证。当然选择题会有人会猜了，几何证明题大家限阶段要么算不出来，要么也做不出辅助线啊。简单题也不需要你伪证了。但是在此规作图里边大量存在， 我称他为马良派神笔。马良嘛，你画什么就成什么啊。这其实都叫伪正，伪正就两个特点，第一，无作图痕迹。举个例子，这是一个边长为一的最小的正方形方格。 哎，真的会有人突然点一个点，他说，老师，这就是我找的终点，上面是零点五，下面也是零点五，请问 你都没有刻度，量不出长度来了，你凭啥说这就是终点啊，所以没有做出痕迹。第二，无几何逻辑。举一个例子，以这一条线段让你过 p 做 ab 的 垂线，哎呀，你偷偷的拿出你的那个有刻度直尺， 非常像模像样的，感觉上是个垂直，而且你还非常贴心的标了一个直角符号，告诉老师，你可一定要相信我哦，这是个垂直。 不行，你没有证明你这个垂直是怎么得到的呀，所以这些 伪证都会导致你的分全扣了。刚才第一个关键词是尺规，第二个关键词叫做图，我有把它分为两部分，第一，在哪做图？ 第二，做什么图？我给了一个典型的图啊，这种图我们称它叫网格图啊，当然你会发现我这里边没有给什么 坐标系，当然加一个坐标系很简单， x y 轴一画就变成坐标系了。网格图里边有两个重要的词汇，你得明白啊。第一， 这些虚线叫什么呢？它叫隔线，网格里边的线叫隔线，然后两条隔线的这些焦点，它的名称叫隔点啊。 而且绝大部分时候它是用单位长度为一的小正方形组合起来的，所以我能够自带它的横竖方向的长度，你只用去数格子就 ok 了。 同时由于它是正方形，你确实能得到这里边的九十度啊。这是隔线和隔点的介绍等等。差点忘了，一种天才型，马良选手，他嫌题目给的网格图不够大， 自己手动人工扩大了，真是个天才。第二个， 做什么图？这我们就主要说七下了啊，因为尺规做图会从七下开始，伴随你到八上八下，九上九下一直到中考，所以它是一个非常庞杂的一个知识体系啊， 在这我会把知识结构做个介绍啊。第一种最简单的能做平移，它也是我们在坐标系里边学了点和线段的平移的知识过来的。 而平移是有两个考察方式，第一，平移扫过的面积，不管是线段扫过还是很容易错的一个三角形扫过的面积啊，还有一个小小的坑。平移的线段之间到底是什么样的关系啊？这是第一个，第二个， 有平移就能够做平行啊，因为平移就能产生平行，而平行又分为两种难度，最简单的大家最擅长就是做格点线段的平移，比如说 我的线段 ab， 两个点都在格点上过， c 做 ab 的 平行线就非常简单。但是还有一种很怪的叫非格点线段，比如说 图中给了我 a 和 b 这条线段过这一个 p 做 ab 的 平行线，此时你会感觉到很麻烦，因为这个 p 不 在隔点上，它在隔线上。 如果说平行和平行是比较基础的东西，那么到垂直这块就有一点超纲了啊，严格来说，它属于八年级上学期的一个东西，因为它用到了全等三角形的背后逻辑啊。 但是在期下确实有些题目超纲让你去做某一条线段的垂线啊，我稍后会详细解释这背后的逻辑啊。 还有做角度，做角度其实是从平行延伸出来的，因为我们说过，你的指尺你画不出来度数，你只能靠什么？靠平行能得到那三线八角的关系啊？ 所以一看到角度，我们就要想到利用平行关系。同时麻烦的是，很多同学看到刚才的网格图之后，他把平行里边两个最重要的东西忘了啥呢？ 拐点和射参就是单独让你去正平行或做平行的推理的时候，你都会一旦放到尺规做图里边，这两个东西你就感觉失忆了一样。 最后的最后是尺规作图里边最难的一类做面积，它又分为两类，第一类叫平行等积，让你去找一个特殊的点，满足 s 一 等于我的已知三角形的面积到底有多少个这样的点，你应该见过这样的题。第二类 是让你补一个点，满足特定的值，比如 s 三角形等于四点五啊，这里边的花样非常多， 好简单做个总结。后面的视频我会用各种经典题型把这五种知识讲透，同时在讲题过程中把各种马良派的风格错误案例做一个展示， 来解释为什么会扣掉你的分啊。关注梳理黑板，现在下课！
501数理黑板
07:13查看AI文稿AI文稿孙老师一讲，豁然开了做斜线段的垂线诀窍，其实藏在斜线段下方的直角三角形， 好尺规作图的第三种作图知识，做垂直啊，我分别给了两个要求，第一，过 b 做一个，过 d 做一个啊。已知线段 a、 b 都是隔点，那最简单，这种就是竖着的。过 b 做 a、 b 的 垂直太简单了， 横着就来了，因为我就是利用我网格中本身有的属性，那过地仍然是一样啊，过地做垂直还是这根横着的线，而且这个 d、 e 和 bc 还是平行的啊，因为他和他平行， 那它垂直，这个也是垂直，很好正啊。当然考试不会考这样的垂直，因为太简单了，但是它结实了一个本质，我们所有的作图是依据网格线自带的属性以及条件 a、 b 所自带的属性啊。 同样，你看第二个图，有人就开始犹豫了啊，还是现在 a b， a b 都在格点上哎。过 b 做 b c 垂直 a b， 这个时候这个 a、 b 就 跟它相比就歪了。这个倾斜的嘛，但是这个倾斜是属于倾斜里边最板正的。为啥？你看它下方 的直角三角形，你这是二，这是二。前面我们讲过倾斜的线段，它最重要的特征，它下方藏着直角三角形。那你这不就是四十五度吗？这是一个等腰直角三角形大横角板吗？过 b 做 a、 b 的 垂线，你是对角线，我也画对角线呢， 这是很像啊，没得问题啊。这你看这边也是二，这也是二，这个角也是四十五，四十五，这不就剩下一个九十吗？ 所以也很好做。如果是过点 d 再做 a、 b 的 垂线呢？我按照刚才属性，哎，我可以做垂，如果看不出来，我可以做平行。 我跟 c b 平行，那不也是垂直吗？ c b 平行， c 到地往左走一个， b 也往左走一个，所以我连接这个点。哎，这还是垂直的啊，平行平行，垂直同样也倒过去。 而且你发现 d 的 地方，它也是个对角线，这儿也是个二，这儿也是一个二，也就是说，我还是抓它下方藏着这个直角三角形 啊，当然这个是对角线型的，很简单。第三种就有一点点怪了啊，线段 a b 都在格点上，但是这个倾斜程度啊，比这个更陡，哎，这时候你咋过？ b 做 a b 的 垂线， 你用尺子靠，只能得个大概方向啊，不准确，一定要把理由想清楚。此时你一定要想起来，对于倾斜线段，它一定含有特殊的属性，要抓它下方 藏着的直角三角形，这是二，哎，这是一下面的做法就有一点超纲啊，因为它其实属于八年级上学期的全等三角形。我先说结论啊，在这边找一个点格点 a 一 连接 这个点就是我要的 c， 为什么？因为 bc 下方，我也是通过另外一个直角三角形找到了 c， 这是二和一， 哎，你会发现二一这边也是二一，这两个三角形是完全一样的啊，我们称它叫全等三角形，这个符号全等八年级的知识。 那既然完全一样，哎，我设它是 alpha， 那 这个角就是九十减 alpha 嘛，因为三角形内角和它是和为九十度，这个角呢，也是 alpha， 这时候你发现了 九十点， r 法， r 法，这不就九十度吗？这是一条直线，所以他就是九十度啊。所以这个证明过程有一点点超纲，那他的策略在于，你是横一竖二，我跟你反着来，我横竖互换，我横二竖一，刚好造成一种旋转的感觉， 组成了九十度，这就是他的核心策略。那你如果想过 d 做 ab 的 垂线，其实没区别，为啥 所有和 ab 相垂的线，它本质上都是下方藏这个横二竖一？你看我画一个啊，第一跟 ab 像不像垂直呢？ 像也很好正。为啥第一和 bc 是 一个平行关系，那 bc 和 ab 垂直，第一和 ab 也垂直，当然如果是过 d 画 ab 的 垂线，这个图就没画完。为啥 垂直？它是相交的一种特殊场景，所以这时候你应该把 ab 给延长了啊。现在你再看就很像了啊，因为 ab 和 bc 是 垂直，没问题，我们正过了这边平行平移下来的嘛，九十度，这也是九十度。 明白了这个方法，你可以给我任意的格点做 ab 的 垂线，你只要保证横二竖一都行。你比如说我，随便搞一个，搞到远点过 m， 哎， m n 一定也是垂直 ab 的。 为啥你看 m n 和 bc， 这不就是平移过去吗？右一上三，右一上三， m n 和 bc 平行，那 bc 垂直， m n 也垂直， ab ok， 当然由于垂直需要相交，所以你延长一下，你看也很像， ok， 最后一个用来练个手，你可以自己先画一下怎么过 b 做 ab 的 垂线还是一样， 他看起来更抖了，但是我找他下方的直角三角形，这是三一，你看啊，你是横一竖三，我就跟你反过来，我横三竖一，从这找个三上一，哎，这个点找到一连接， 这就是我要的 c， 你 看像不像垂直？非常像了，这个角是 r 法，这也是 r 法，因为它是完全一样的直角三角形，然后这个角是九十减 r 法，因为你就是一个直角三角形，内角一百八，那 r 法九十减 r 法，这就是九十度就出来了。 那你既然可以过 c 座，你可以过任意的格点，比如说咱们选一个吧，比如说 m 做 ab 的 垂线，没区别，仍然是一个横三竖一的，这刚好就到 a 了，你看这更像了，对吧？九十度非常像， 而且 am 和 bc 也是平行的嘛，右一上三，右一上三，平行，它垂直，它也垂直。当然这是我为了方便大家看，我做了很多额外的标记， 考试中这些多余的线要擦掉的，现在你看整个图就清爽多了啊，痕迹可以擦掉，但是什么不要擦呢？这些关键的格点，你在考试中为了更清楚的表达，你可以专门在这涂一下啊，以告诉老师你确实是过了这些关键格点， 改卷的时候也就是抓你是否过了这些关键的格点。好，最后我们总结一下如何做垂直 横竖，现在就不说了，不会这么考，太简单了。任意的斜线段的本质在于你要找斜线段下方的直角三角形，比如说 ab 下方横一竖二， 然后你跟他横竖反着画，你是横一竖二，我就是横二竖一。关注梳理黑板，现在下课。
267数理黑板
03:43查看AI文稿AI文稿尺规做图是中考的必考题型，特别是我们徐州中考每年都要考，而且的分值还不低，那很多孩子拿到这个做图很容易蒙，不知道从哪下手。首先他们要知道，所有的尺规做图在中学阶段其实就是五种基本的类型。 第一种就是做一条线段等于已知线段。第二个做一个角等于已知角。第三个做已知线段的垂直平行线。第四个做一个角的角平行线。第五个过一点做已知直线的垂线。这个点呢，可能在这条这个直线上，也可能在直线外， 就这五种基本类型没有了。所有的中考尺规做图题，不管多复杂，都是由这五个基本操作组合过来的， 他就像一个什么很复杂的机器，但你拆开之后，你会发现他其实就这几个螺丝和几个螺母。所以第一步你们一定要把这五种作图法练到肌肉记忆，不用想就能画出来。题目当然不会考这么简单，题目是怎么考？是把这五种基本的做题法给他组合在一起。 所以说孩子们你不是不会画，而是不知道从哪开里开始画，画哪一条，画哪个线段，还是画哪个角。先把这个图假设给他画出来， 你不知道这个图的精确，怎么画，但是我可以画一个大概的模糊的样子，把这个图形大概的样子给他画出来之后，然后再去反过来，再逆向去推。哎，我想把这个图画出来，我需要画哪个线段，我需要画哪个角，平线我是画哪个角， 这就逆向推力。给大家举个例子，比如说我们在一个等边三角形里面画一个正方形，这个正方形的四个顶点都要在这个 三角形的边上，那么先大概画出来，它大概应该这个样子，我们不难够发现这个四边形的四个点，其中这两个点一定是和这个中间的这个对称轴是对称的， 对吧？然后呢会自己观察，哎，这个角等于六十度，然后呢这个边和这个边相等， 所以说我们发现这最后啊来总结，发现这个是六十度，这是九十度，这是一百五十度，所以这个角和这个角，这个边和这个边也相等，因为它是个等边三角形，所以这个边等于这个边，这个边也等于这个边，所以这个三角形它是一个等腰三角形，等腰三角形之后，那这个就是十五度， 哎，我发现这个角是六十度，六十度到画一个十五度就可以了，所以我只要把这个角做出一个十五度的角连在一起，那这个点 就出来了，这个顶点就找出来了。所以说我现在就开始把这个题变成什么，就变成哎，先去把这个角给他平分，画一条角平分线，得出一个三十度的角，然后再把这个三十度角再给他进行一次平分，得出一个十五度角，这个 正方形就画出来了。所以尺规作图这个逆向思维很，就是说我们不要先去想那个过程，你先把那个结果画出来，把那个目标图形先画在你的脑子里，或者用铅笔画个草图，然后问自己这个目标图形和已知条件之间差了什么， 对吧？然后根据我们的目标去找他的已知条件，找出来之后你会发现这些关系无非就是平行、垂直、等距，而平行、垂直、等距这些就是你前面练的那五种基本的作图法能够解决的。 所以说整个思路就是说假设画出来，然后去找关系，再用基本的作图法实现这些关系，这个就是逆向拆解。好，加油吧。
174阿迪数学
07:16查看AI文稿AI文稿老师一讲，豁然开了，做特殊的角度关系，你可别失忆哦。靠什么呢？好尺规对照的第四个知识，做角度相等啊。我们以这个题为例， 先将 a 向右平移四个在上，一得到 a 的 对应点 d， 啊，我直接就画出来了， 没了。然后第二个，在第四象限里面找一个点 e 连接 b， e 还有 ad。 好， 我先把 ad 连出来，因为 e 还不知道在哪嘛， 哎，使得 e， b， c。 好， 我先大概画个草图，比如说这是 e e， b， c， 这个角等于 d， a， c， 这非常奇怪，因为隔这么远， ok， 所以 这时候我们回来想一件事情啊，我不可能用量角器把角度给量出来，因为你只有一根尺子。那这个做角度靠什么东西？ 我们整个七下就是靠平行倒角度，所以我一定要去分析在图中有什么是平行的。那他们都没有公共边，没有三线八角，没有平行线， 所以我先不管他，我先把他给搞出来，因为这是我已经有的呀，对吧？从已知条件出发嘛。而且我给他标个阿尔法，方便我看这个阿尔法有没有平行呢？ 刚好 a、 c 当公共边。你去看一下 bc， bc 和 ad 是 不是平行的？ b 到 a 又一上三， c 到 d 也是又一上三的，所以我得到 bc 平行于 ad， 这是通过这个平移得到的。那这个角不也是 r 法吗？ 哎，我就换了个角，换了个角之后，你再看 e， b， c， 哎，我再画个草图， e， b， c 如果等于这个角，那它也等于它呢？它也是阿尔法，它们俩相等，就变成了要求啥？ b 一 和 a、 c 不 也是平行了吗？所以推导出第二个平行， b 一 平行 a c， 那 b 一 平行 a、 c 就 相当于过 b 做 a、 c 的 平行线。那不就回到我们前面讲了，做平行，做平行靠啥？靠平移吗？那不就简单， a 到 b 下三 左一， c 到一下三左一，刚好就在这个点标了一哎，一连接 b 一 b 一 和 a、 c 也平行，那这个角也是 r 法，所以它等于它，它也等于它两次平行， 得到了特殊的角。当然最后结果上你可以把这个 r 擦掉，因为这是我们自己辅助标注的啊， 所以总结在尺规作图里边做角度，或者去推导角度关系，你没有别的路可以走，你就是去依靠平行的，而这些平行藏在哪， 就藏在平移里边了。 ok 啊，我们前面的知识点一二三全都做个铺垫，所以它是层层递进的。好，再看一道角度的题啊，这个题角度一多，会让不少人蒙圈的啊。 先将 a、 b 向左五个单位，再向下四个单位，我直接画了，得到线段 e、 f， 再将 a、 b 平移到 c、 d 啊，其中 c 和 b 是 对应点，此时你一定要注意啊，这句话你别看漏了啊，真有人怎么画啊， 他想当然嘛， ab 到 c、 d， 他 把 a 移到了 c， 而题目要求是 b 和 c 是 对应点，所以这儿不要漏了。好，平移也很简单啊。所以 e、 f 和 c、 d 我 就直接划 在一二的条件下连接 o a o， 在 这个地方 o a 连让我们找 f e o， 此时我把 e、 o 也连一下啊，这个小小角和 o a c， 这又来个角， a、 c， d， 这又来一个角，还有一个超大角， a o e 啊， 你看，养成好习惯，让我找这角的关系，我先把弧线标一下，而且他让我直接写，也就意味着过程会相对复杂啊。好，再来看这四个角，不少同学到这来头皮都麻了，他这么多角，我又不知道度数， 他仿佛完全失忆了一样。我们要回到一个核心，此规作图里边画角度，你到底靠的是什么 平行啊？因为你这个学期重要的几何就是平行，那平行又靠什么得到呢？在尺规作图里边就是靠平移啊。你再回来看这个题，他先让我们干了啥？ ab 平移到 e f 平移就有平行啊， ab 又平移到 c、 d， 所以 abcdef 这三条线是互相平行， 那都互相平行的，让你倒角不就是平行倒角？而且这个题你再细看，有没有想到一个，我们天天练，天天提，嘴皮子都磨烂了。什么知识？你盯着这个 o， 告诉我两个字，拐点啊。因为 o 不 在这三条平行线上，所以此题需要过 o 做 平行线和已知的平行线平行了啊。当然，由于这个题是啊我们直接写，所以我可以画个大概，你比如说就是平行，但这个图也能做很精准的平行线。你看 e 和 f 是 过这个点的哎， e 它到 o 是 往上移的一格，所以 e 也往上走一格，是能做出精准的平行的啊。当你意思一下也可以啊，不影响结果 好，平行线一做，剩下要干嘛？这么多不知道的角。第二个词，你要想起来射餐呢？去把这些未知的角标出来，射小不射大。我先标，他是 r 法，那平行，这也是 r 法， 然后注意接着标小角这边背他这个角也不知道，我就标嘎嘛呢， 然后平行倒这个伽玛，这儿也是伽玛， f e o 出来是阿尔法， o， a c 是 我的贝塔， a c， d 是 伽玛，就差 a o e 了， a o e 就 差这个大角，一看平行倒过来内错角，它就是贝塔加伽玛， 所以 a o e 就是 阿尔法加贝塔加伽马。那你说这四个角出来没？出来了呀？就是角， a o e 等于他们三个相加，结论直接写了。当然最后由于他是直接写，你最好把你这个辅助的东西给擦掉，要不然看图的时候很困难。好，现在你看 我擦干净了啊，只留下两个平移啊。当然本质上你再回头看这个 o， 它是个非常明显的拐点射参啊。 所以再次总结尺规，做图里边的做角度并不是横空出世，他是从我们已经学过之过来的，而平行就是我们推角度的利器。而在网格图里边，平行又是靠平移得到了。 所以题目的每一步都在告诉你，有平移得平行哦，有平行可以倒角度哦，这么多平行，还有个 o 拐点 o 射餐哦！关注梳理黑板，现在下课！
207数理黑板
02:31查看AI文稿AI文稿这些还认识吗？直尺和圆规啊，就用它们。你能画正六边形吗？这不简单吗？我小时候可是数学课代表。中心点，先画个圆，直径两个点，在这两个点，以半径为半径， 半径一样。每个三角形都是等边三角形，这角度六十度，这两个角加起来一百二十度，所以这是个正六边形。那等边三角形呢？这个就相当于正六边形圆心的两个点，这就是正三角形，当然也可以这样， 这个非常容易证明。正方形呢，有点难度，不过难不倒我。中心点一样，先画个圆直线，然后画一条它的垂线，用大于半径的，然后连接四个点， 这也非常容易证明这条线垂线，这是直角，等腰三角形四十五度角，同样这边四十五度角，然后这个角是九十度。这两条线，这两条线都相等，这两条线也相等，所以这是个正方形。 试试这五边形呗，这五边形是奇数个边和角。呃，这玩意能用尺规画出来吗？就这还数学课代表了，我来给你画中心点， 以 a 点为圆心，原来圆的半径为半径， b 点为圆心， b、 c 长为半径。以 c 点为圆心， c、 d 长为半径。连接 c、 e、 c、 e 就是 五边形的一个边，把刚才的四个点连接起来， 这就是正五边形。证明稍微有些麻烦，这里就不证明了，其实就是通过构造黄金等腰三角形。黄金等腰三角形的角度是七十二度，两个七十二度就一百四十四度，就是正五边形内角的角度。厉害，还有更厉害的，能用尺规画正十七边形，谁呀？这是 高斯，高斯在一八零一年就证明用尺规可以画出正十七边形，解决这道两千多年的难题。 尺规作图可以做加减乘除和开根号，这样就证明了正十七边形是我平常很少见的图形，居然是可以用尺规画出来 的。这个关键问题的解决就是把三角函数的东西变成了熟悉的代数计算，开创了用代数方法解决复杂几何问题的先和。同时也可以知道正七边形这样简单的图形反而无法用尺规做图，而正二百五十七边形和六万五千五百三七边形反而可以用尺规做出来。
229童趣知识星球
07:54查看AI文稿AI文稿好，我们从尺规做图里边最简单的一个运动平移开始啊，要求将 a b 平移啊，这我简写了啊，右四上二表示向右走四格，向上走四格线段， a b 呢，是格点啊， a 和 b 都在这个格点上。 那很简单呢，往右走四格，一二三四，再往上走二 a 跑这来了， b 呢，也是一二三四，一二在这， 那对应的点就是 c 和 d， 然后连接 cd。 这肯定是要用实线啊，因为 ab 你 是实线，我这个结果也是实线，所以不要用虚线。 好，当然有人会纠结，老师要不要把那个右四那个过程画出来？不需要的啊，因为老师要不要把这个画出来，对吧？这是两部分嘛，先往右四，再往上二，这个不需要啊，你直接平移到最终的结果 cd 就 够了啊。第一小问，求 ab 和 cd 的 关系是什么？ 我猜你大概想写 ab 等于 cd。 确实啊，因为 ab 和 cd 是 一样的东西啊，我把它平移过去，它还是它嘛， 这样的话，你这一题就扣掉一半的分。因为我们有一个误区啊，关于关系，什么叫关系？我举一个例子，你和你的妈妈之间是什么关系呢？有母子关系，母女关系，还有啊，哺乳动物的关系啊，大家都是人 哎，我们还有中国人之间的关系都没问题，所以关系有很多种，在这，你是两条线段，他们的关系就两类， 一个叫数量关系，也就是 ab 等于 cd， 还有一种叫位置关系，你比如说我们旗下，那不就学了一个 ab 和 cd 平行这样的一个位置关系吗？ 所以这儿你只写这一种，就漏掉了别人问的关系，也没说是数量还是位置啊？你要把它所有可能的关系全部解释出来，所以它们俩具备相等，而且是平行嘛，你确实是平移过去的。那这两个关系怎么写在一起呢？你可以写汉字 a、 b 等于 cd 或者 ab 平行 cd， 但太麻烦了，写一个综合的 ab 平行且等于 cd 啊，这个符号你看你见过没有啊？可以合起来写的。所以总结，关系不止一种啊，数量，也就是大小，关系位置到底是平行还是垂直？我们在思考的时候， 两种都有，两种你都得写上啊。第二问， ab 扫过的面积是多少？那 ab 你 把它想成是一个刷子， 它在从 a、 b 移到 c、 d 的 过程中，它发出什么形状？从结果上来说，它就是一个平行四边形呐。哎，所以我可以去求这个 a、 b、 c、 d 的 面积。 那怎么求它的面积呢？方法非常多哎，你可以直接补一个大的长方形，减去这四周四个三角形 没问题。如果你胆子够大，你还可以发现这是一个格点，这也是一个格点。哎，我可以切割一下，也就是我们算面积的两种方向，我可以切，也可以补，你看两个三角形加中间，这也是一个平行四边形，所以可以去算， 但是错了。为啥呢？我们又陷到一个思维的误区， a、 b 是 移到了 c、 d， 但是 a、 b 是 直接这样斜着扫过去的吗？不是的呀， 它是右四上二这样扫过去的。所以如果你这样只看了起点和终点，你相当于忽略了它的平移过程， 按照平移过程才是他真实扫过的面积，所以我们把他的平移过程还原一下，他先是向右移了四格，这一节是四，然后再向上移了二 啊。所以这个毛刷子整个刷过的是第一个平行四边形，再加第二个平行四边形， 所以它的面积应该是这两个面积相加，那这个面积很好算啊，四高是一平四边形，四乘一，再加第二个， 这个底是二，高是三，二乘三刚好是十，所以这个空应该是十。当然这是我为了方便大家看，我画了很多线，包括涂了这个阴影。 实际在考试中答题卡，你不能这么画啊。如果你真的想表示他平移两个方向，中间做个过渡，你可以在右次这个地方画什么线呢？ 虚线。这就回到我第一个视频说的中间过程用虚线，结果用实线啊。 所以再做一次总结，尤其要注意啊。 a、 b 平移到 c、 d。 问，你扫过的面积，并不是它直接这么斜着过去的，而是按照真实的过程，它是右四，商二是分了两节去走，所以你应该算的是它真实扫过的面积，而不是从起点一口气直接平移到 中点啊。好，刚才我们学了线段的平移，再来看三角形的平移，将三角形 a、 b、 c 向下移四格。那图很简单呢，因为平移的形状，我还是去找它的三个点啊，我把三个点移明白了，一连起来不就是三角形吗？ b 往下移四格到这来， c 到这来， a 在 这一连接，就能出现平移之后的三角形了。然后他问我们，在平移过程中，三角形 abc 扫过的面积是多少？从图上一看，你这个 bc 往下一刮，这刮出来什么形状？ 哎，这是个四，这边也是个四，这不刚好是一个大大的正方形吗？所以它的面积就是四乘四，那不就十六吗？对不对呢？错的， 为么事嘞？和上一题不一样地方，你此时是一个三角形，整体平移。如果你只考虑了这个正方形，那只有这个 b、 c 在 刷，而 a b 和 a c 没刷呀。 你可以把 a、 b、 a、 c 想象成沾了这个老干妈那个辣椒油，它一旦往下一刮，你这一段全刮上了呀。你把 a、 c 往下一刮，这部分也刮上的， 所以整个扫过的面积应该分为两部分，正方形没问题，还有它自己内部的区域啊，这个 a、 b、 c 的 面积也很好算底是四，这边高是二， 所以它的面积应该是四乘四，再加三角形二分之四乘二，等于二十了啊。所以总结， 不同于一条线段去平移一个整体的形状，它在平移过程中，不仅是最外侧这个会直接刷出来，它内部的空间也会被刷上啊。一定小心！这作为一个基础知识，有的时候会出现在填空题或者选择题里边，给你挖个坑。 比如我随手画了个图啊，将三角形 abc 平移到 a 撇 b 撇、 c 撇， 还告诉你三角形 abc 扫过的面积 s 是 等于三十，让你去进行相关计算。此时你非常容易误认为扫过的面积只有右边这个平行四边形。其实不是， 这个平行四边形只是线段 a、 c 扫过的，而 ab 和 bc， 尤其是 ab， 他 在往右平移的过程中，他把这边也刷到了啊。 所以整个扫过的面积不是只有一个平行四边形，而包括原来这个字体的三角形。所以这个一定要小心。关注梳理黑板，现在下课！
244数理黑板
01:18查看AI文稿AI文稿同学们好，一起来学习一下尺规作全等三角形。话说现在有一个三角形 a、 b、 c， 咱们要画一个与它全等的三角形 d、 e、 f。 第一步，咱们先画一条射线，射线的端点即为点 e。 拿圆规的两端测量一下 b、 c 保持不动，以点 e 为圆心画弧，与刚刚的射线产生的焦点，咱们记为点 f。 继续，咱们再测量一下 a、 b， 然后以点 e 为圆心，刚刚测量出来 a、 b 的 长度为半径，继续画弧，再来测量 a、 c， 然后以点 f 为圆心画弧，两个弧交点即为点 d。 然后拿直尺连接 d， e、 d、 f。 那 么三角形 d、 e、 f 全等于三角形 a、 b、 c。 并且记得写结论。有一道太原市往年的期末题，同学们可以练习一下。
16李亮老师
00:40查看AI文稿AI文稿如何用尺规作图做已知圆的圆心？圆上任意找两点 ab 连接 ab 做 ab 线段的钟垂线。 圆上再任意找一点 c 连接 bc 做 bc 线段的钟垂线。 两条钟垂线的焦点就是圆心。 what？
54数学猫课堂
07:28查看AI文稿AI文稿中考必考最全的六种指标，作图，让孩子好好看一看，跟着画一遍，中考能多得五分好！第一种，做一个角等于已知角。首先第一步我们需要做一个射线， 那这个射线我们跟它对应的来标，人家是 o、 b， 我 们就标为 o 片， b 片好，第一步。第二步是以 o 为圆心，以适当的长为半径做弧好， 交于与 o、 a 交于点 c， 与 o b 交于点 d， 不要改变长度，再以 o 撇为圆心，以刚刚的长度为半径画弧好，与这个 b 撇交于点 d、 d 撇跟它对应着来，然后再以 d 撇为圆心，以 c、 d 的 长好，我们用这个圆规量出 c、 d 的 长， 量出 c、 d 的 长好，然后以 d 片为圆心，以 c、 d 的 长为半径画弧，两个弧交一点，这个点就是 c 片，然后连接 o 片， c 片 好，那么这个就是我们所求的角好，这是详细的过程和它的原理，大家可以看一下。 好，再来看第二个啊，做一个角的角平分线好，做角 a、 o、 b 的 角平分线。那么第一步是以 o 为圆心，以适当的长为半径画弧啊，不要太长，也不要太短。 然后这个时候与 o、 a 交于点 c， 以 o、 b 交于点 d， 再分别以 c、 d 为半径画弧，因为如果小于二分之一， c、 d 为半径画弧，这个时候两弧就不会相交， 咱刚刚这个弧取得好的话，第二步就不需要改变半径，我直接划就行了。好，以四为圆心画一个弧，再以 d 为圆心，再画一个弧，然后两个弧的交点我们记作 m， 那 么这个时候只要连接 o、 m， 这个 o、 m 就是 所求的角平分线啊，我们把它连起来就可以了。 好，这个就角平分线，这是具体的步骤，这是原理。好，做一个角的角平分线。第三个做线段的垂直平分线。 好，那我们第一步是以分别以 ab 为圆心，以大于二分之一 ab 的 长为半径画弧，仍然要求大于二分之一 ab 的 长，不然的话两个弧就不会相交，我们还是取稍微长一点点。哎，这样就可以了，我们画弧从上面划一下， 下面滑一下，然后不用改变长度，再以 b 为圆心，上面滑一下，下面滑一下。哎，上面这个交点我们标为 m， 下面这个交点我们标为 n， 然后这个时候连接两个交点就可以了， 那么这个就是 ab 的 垂直平分线。好，这是过程，这是它的原理。 好，第三个垂直平分线做完了。第四个过直线上一点，做这个直线的垂线。好，这个直线这个点在 m， m 在 a、 b 上，那这个时候过 m 做 a、 b 的 垂线应该怎么做呢？好，第一步是以 m 为圆心啊，以适当的长为半径画弧。 哎，那这个时候先找到两个点，这两个点我们记作 c、 d、 c 点和 d 点。 好，这个时候我们就相当于再去做 c、 d 的 垂直平行线就可以了。好，那这个时候我们以 c、 d 为圆心，以适当的长为半径，不能再用刚刚的长为半径了，因为如果用刚刚的长为半径画弧的时候，这两弧就不会相交了，我们把它稍微放长一点。 好，那这个时候我们在一样的在上面划一个，在下面划一个，再以 d 为圆心， 上面划一个，下面划一个，这两个交点我们记作。这个交点呢，我们记作 p， 这个交点呢，我们记作 q， 然后这个时候连接 p q 就 就可以了， 那么这时候 p q 就是 过点 m 的 ab 的 垂线。好，这是具体的过程，这个是原理。 好。第四个，第五个，过直线外一点，做直线的垂线啊，这个，这个时候点 p 在 直线 ab 外边了，我们要做它的垂线，应该怎么做呢？第一步是以点 p 为圆心，以适当的场为半径画弧，这个时候这适当的场一定要比 p 到 ab 的 距离要大一些，不然的话就不会相交了。 好，那这个手我们稍微取大点。哎，那这个手，呃，再小一点。好，这个手我们，哎， 这个手这边划一下，这边划一下。哎，仍然是先找到这两个点，这两个点我们记作 c、 d。 好，那这个时候就跟之前一样了啊，我们以分别以 c、 d 为圆心，以大于二分之一 c、 d 的 长为半径画弧。 a 以大于二分之一 c、 d 的 长正面划一下， 这边也划一下，再以 d 为圆心，不改变半径，上面划一下，下面划一下。那么这个时候我们这两个记作 m 和 n 仍然是连接 m n 就 可以了 啊，那这个时候 m n 就是 过点 p 的 ab 的 垂线。好，这是详细的过程，这是原理，大家看一下。 好，最后一种是过直线外一点，做已知直线的平行线啊，这个直线我们记作 l， 直线外一点，我们记作点 p。 好，那么过点 p 做 l 的 平行线应该怎么做呢？第一步，先在 l 上取点，我们这个点记作点 a， 最好取在左边啊，取在点 p 的 左边，这个时候我们画锐角啊，好，第一步，在直线 l 上取点点 a 连接 a、 p 并延长至 q。 好， 我们把 a、 p 连起来并延长。 哎，这个时候我们这里标为 q。 这第一步，第二步，我们再以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧。这么一划，这个时候我们这个与 a、 p 的 交点记作点 c 与 l 的 交点，我们记作点 d。 好，然后不要改变半径，再以点 p 为圆心，以刚刚的半径画弧。哎，这个时候画一个弧，这个时候与 p、 q 这个段交于点 e。 好， 那么接着我们以 e 为圆心，以 c、 d 的 长为半径画弧。我们要，我们要用这个圆规把这个 c、 d 给量出来啊。 好，量出来，量起来，量出来之后以 e 为圆心，以以这个 c、 d 的 长为半径划弧。哎，这么一划，这个时候这个弧跟刚刚那个弧交一点 f， 那 这个时候我们只要连接 e、 f 就 可以了， 那么这个就是就是 l 的 平行线啊。好，这是过程这个原理啊，我们本质上是构造的同一角相等得到两直线平行。好，大家一定要跟着划一划啊，自己划一遍，中考就会做了。
5593梁景
00:24查看AI文稿AI文稿第二个垂直平分线都用实线，这个画这条线的垂直平分线啊，以它为圆心，比这一半的孩子们要大，画上一个，下一个， 以它为圆心，同样长上一个，下一个画这个，这就是垂直平分线，这个是咱们大家都会画的，这个我不用说了。
50嘉宾数学
