看一道一次函数的压轴题，这道题给出条件是，直线 y 等于负二 x 减六 与 x 轴 y 轴分别交于 ab， 两点就是 ab。 这条直线以 a 为顶点，在第三项线内做等腰直角三角形 abc。 第一问是求点 c 的 坐标， 在平面直角坐标系下出现了等腰直角三角形。我们通常都是构造一个一线三等角的全等结构， 这里面三角形 abc 为等腰直角三角形，其中 ab 和 ac 是 相等的。然后我们过点 c 向 x 轴做一个垂线， 这垂足为点 d。 正三角形 a o、 b 和三角形 c d a。 有 一个条件是角 a o b。 九十度，角 c d a。 九十度 a b。 等于 a c。 等腰直角三角形。这个条件可以转化角角一加角二等于九十度。
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02:02查看AI文稿AI文稿b 等于 a、 c 等腰直角三角形最后一个条件可以转化角， 角一加角二等于九十度，角二加角三也等于九十度，所以角一等于角三， 直角等于直角，角一等于角三。斜边等于斜边，所以三角形 aob 全等于三角形， cda 全等之后，它们的对应边就相等， o a 就 等于 c d， o、 b 就 等于 a d。 在 三角形 a、 o、 b 中， o、 a 的 长就是点 a 横坐标的绝对值， o、 b 的 长就是点 b 纵坐标的绝对值。所以我们只需要利用已知给出的直线解析式 y 等于负二， x 减六 来求解，就可以令 x 等于零，能够解出点 b 的 坐标为零到负六， 令 y 等于零，可以解出点 a 的 坐标为负三，负零。所以 o a 的 长是三个单位， o、 b 的 长是六个单位， 那么 c、 d 等于 a， o c、 d 就是 三个单位， a d 等于 o b， a、 d 就是 六个单位， 所以 o、 d 的 长就是三加六九个单位。那么点 c 在 第三象限，他的横坐标应该是负九，重坐标是负三，所以第一问 c 点的坐标为负九，等于负三。
3慕荷🍀
01:33查看AI文稿AI文稿中考数学复习帮助我持续更新韩数内蒙古呼伦贝尔的中考专题。点 p 四， y 在 直线， y 等于负四分之三， x 加四上坐标 x， y 是 二元一次方程，五 x 减六， y 等于三十三的解，则点 p 的 位置在解 p 在 直线上，所以满足这样一个直线方程，又满足这样一个二元一次方程的解。所以我们可以把两式联结成连律就有 y 等于负的四分之三， x 加四 五， s 四减六五还等于三十三。解得 h 四等于六， y 等于负的二分之一， 就应该在第四项题答案选 b 哦。广东中考正题 已知不等式 k x 加 b 小 于你的解集是 x 小 于二，则依次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像大致设好，尤其 k x 加 b 小 于你的解集是 x 小 于二。既函数值小于你的，对解集是 x 小 于二。好，我们看一下 a 选项 函数之小一零解极，并不是 x 小 一二，看 b 函数之小一零解极式写，所以选择 b 答 c 答小一零也不对， d 答小一零是 n， 四大一二。
19哨子老师
04:56查看AI文稿AI文稿这道一次函数与反比例函数的综合题是中考常考题型，尤其是第二问和第三问，全班百分之八十的同学都会在这里栽跟头。今天我只讲一遍，帮你把分稳稳拿到手。题目给到这样一个函数图像，一次函数和反比例函数的图像相当于 ab 两点， 点 a 的 坐标是负一斗二，点 b 的 坐标是 n 斗负一。第一问让我们求两个函数的表达是，这一问是基础分，必须拿满，不能丢分。因为点 a 在 反比例函数上， 所以我们把点 a 的 坐标代入反比例函数的表达式，代入之后得到二等于 m， 除以负一，算出 m 等于负二， 所以反比例函数的表达式就是 y 等于负的 x 分 之二。再把点 b 的 纵坐标负一代入反比例函数，得到负一等于负二比 n 解得 n 等于二， 所以点 b 的 坐标就是二等负一。有了 a、 b 两个点的坐标，代入一次函数的表达式，这个方程组就能轻松解得一次函数的表达式为 y 等于负的 x。 加一到这里，第一问的分就全部到手。接下来我们看第二问，当 y 小 于 y 二时，求 x 的 取值范围。 这一问特别考验对函数图像的理解。我们可以画一条垂直于 x 轴的两个函数值， y 一 和 y 二。 很明显，谁的图像在上方，谁的 y 值就更大。不管你怎么左移右移，这条直线规律都是一样的。那题目说 y 一 小于 y 二，翻译过来就是依次函数的图像在反比例函数图像的下方时， x 的 取值范围是多少？ 我们只需要找到临界点，也就是两个焦点 a 和 b， 你 拿出笔在图上这样一放，立刻就能看出来。在焦点 a 的 右侧， y 轴左侧，这一段依次函数图像在反比例函数图像的下方， 一过 y 轴过后，上下位置发生了改变，一直到 b 点的右侧一次函数的图像才能跑到反比例函数图像的下方。所以当 y 小 于 y 二时， x 的 取值范围要分为两段。因为点 a 的 横坐标是负一，点 b 的 横坐标是二， 所以 x 的 取值范围就是负一小于 x 小 于零或 x 大 于二。第二问，它是不需要你写过程的，直接写答案就能拿分。我们来看第三问，题目问，我们在 x 轴上是否存在一点 h， 使得三角形 a、 c、 h 与三角形 c、 o、 d 相似。若存在，写出点 h 的 坐标，若不存在，说明理由。 做这种存在性问题，记住一个核心，按照它存在的情况，先把图画出来，再来思考。我们先来看三角形 c、 o、 d， 它是一个很标准的直角三角形，这个很明显，那三角形 a、 c、 h 要和它相似， 也必须是直角三角形。第一种情况，过点 a 做平行于 o、 d 的 直线，交 x 轴与点 h、 e 一 平行，就会出现相似三角形，这是最常规的一种情况。第二种情况，这里有一个公共角， 我们只需要过点 a 做垂直于 a、 c 的 线段，造出一个直角，有公共角，又都有直角，两个角对应相等，两个三角形必然相似。所以这道题一共有两种相似情况。 图一画出来，思路就完全清晰了，绝对不会漏解。接下来我们分别计算这两个点。先算第一个点 h 一， 这个非常简单，因为 a、 h 一 垂直于 x 轴， 所以它的横坐标和 a 点相同，是负一，又在 x 轴上纵坐标为零，所以 h 一 的坐标直接就是负一斗零。接下来我们求第二个点 h 二，先跟大家讲清楚思路， 要求 h 二的坐标，实际上就是要求 o、 h 二的长度。那 o、 h 二怎么求？其实就是先求出 c、 h 二的长度，再减去 o、 c 的 长度就可以了。 既然有相似关系，我们就可以考虑把小三角形 c、 o、 d 的 三边长度求出来，只要把它的边长算出来，再利用相似就能得到大三角形的边长关系。我们已经在第一问求出了一次函数的表达式， 所以可以直接算出它与 x 轴、 y 轴的交点。点 c 的 坐标是一斗零，点 d 的 坐标是零斗一。这样我们就很轻松知道 o、 c 等于一， o、 d 等于一。 到这里我们才确定三角形 c、 o、 d 不 仅是直角三角形，还是一个等腰直角三角形角， o、 c、 d 等于四十五度。 之前我们求这些边长，本来是想利用相似比去求线段的长度，现在我们又知道这里有四十五度角，那我们可以把问题变得更简单一些了。因为这里是四十五度，所以三角形 a、 c、 h 二是一个等腰直角三角形，我们只需要一条边就能求出另外两条边。 我们是知道点 a 和点 c 的 两点坐标的，所以很容易想到用两点间距离公式就能求出 ac 的 长度。我们把 ac 的 坐标带入公式，很容易求得 ac 等于二倍根号二 求出来了之后，我们再利用勾股定律或者三角函数都可以求出 c h 二的长度，那我们这里就用三角函数来解，因为 cos 四十五度等于二分之根号二，所以 cos 角 ac， h 二等于 ac， 比上 c， h 二 等于二分之根号二。把 a， c 等于二倍根号二带进去，可以直接解出 c， h 二等于四，然后 o， c 等于一， 所以 o， h 二就等于四，减一等于三。这里一定要注意， h 二在 x 轴的负半轴，所以坐标要加负号，横坐标就是负三，所以 h 二的坐标就是负三到零。两种情况全部找齐，这道题的分你就稳稳拿到手。
533胡萝卜初中数学🥕
00:39查看AI文稿AI文稿初中数学拉开差距的就是函数，如果你能让孩子每天练习一页函数题，到了考试你就知道他有多优秀。这本书把初中三年要考的函数题型都给你整理好了，你 比如常考的一次函数、反比例函数、二次函数等等，考试必考的九十八个函数题型，这本书全都覆盖了每种函数。先给你梳理基础概念， 然后通过例题教你解析思路，学会以后再去做后面的专项训练。全都是历年的中考真题，不会的扫码就有录制视频讲解，后面还有答案解析，每一步都有详细的解析步骤，孩子自己在家就能学一套书，可以用三年，赶紧给孩子准备上吧！
01:58查看AI文稿AI文稿欢迎来到中考数学路路通，今天我们来搞定一次函数图像。 一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像是一条直线，这是最基本的性质。画一次函数图像最简单的方法就是两点法，找两个点连起来就是直线。 一般取 x 等于零，算出 y 等于 b， 得到点。零到 b 的 开区间，再取 y 等于零，算出 x 等于负， b 除以 k 得到点，负 b 除以 k， 零。 比如， y 等于二， x 减四，取 x 等于零，得点零。负四取 y 等于零，得 x 等于二点二到零的开区间。 k 的 正负决定了直线的走向。 k 大 于零，直线从左下往右上走， y 随 x 增大而增大。 k 小 于零，直线从左上往右下走， y 随 x 增大而减小。 k 的 绝对值越大，直线越陡。比如 y 等于三， x 比 y 等于零点五， x 要陡得多。 b 就是 直线与 y 轴的交点，叫 y 轴拮据。 b 大 于零，直线交 y 轴正半轴， b 小 于零，直线交 y 轴负半轴， b 等于零，直线过原点就是正比例函数。两条直线， y 等于 k 一， x 加 b 一 和 y 等于 k 二， x 加 b 二的位置关系。 k 一 等于 k， 二十两直线平行， k 一 不等于 k， 二十两直线相交，平行的时候， b 一 不等于 b 二两直线不会重合。图像与 x 轴的交点令 y 等于零，就能求出来。 图像与 y 轴的交点令 x 等于零，就能求出来。一次函数图像是中考的热门考点，看图说话的题目特别多，中考必考，给我背下！
19HaipBot
04:00查看AI文稿AI文稿来，今天咱们来看一道一次函数的题，来，在探求 y 等于 k， x 加 b 中 k 和 b 的 图像关系式的时候，已知点 a 三三点 p， m， n 在 第一项线内，且满足 m 加 n 等于三。若一次函数 y 等于 k， x 加 b 的图像经过 a 和 p， 给出下面四个结论，来，咱们一起看一下。当 k 小 于零的时候， y 小 于 b， 当 k 小 于二的时候， y 小 于二， k 加 b， 当 k 大 于等于三的时候， b 大 于等于负六。当 b 大 于 等于八的时候， k 小 于等于负的三分之五。上述结论正确的是由来，咱们一起来分析一下。这道题还是有难度的。首先我们需要明确一点， m 加 n 是 等于三，且 p 点 m， n 在 第一项线， 那此时我们就可以知道这个 p 的 轨迹， p 是 在这个线段上， 且不能取到这个三，那这个时候我们就有就可以知道直线的斜率了， 因为它这个直线，它 ap， 它极限的情况下是平行于 x 轴，极限的情况下平行于 y 轴。在这两者之间我们就可以知道 k 是 大于零的，那就是增函数 y 等于 k， x 加 b， 当 x 等于零的时候， y 是 等于 b， 那 现在 x 小 于零， y 自然小于 b 了。第一个是对的，来看一下第二个，当 x 等于二的时候， 那 y 呢？就等于我们的二， k 加 b， 那 x 小 于二时候， y 自然小于二， k 加 b， 这都没问题，来看一下第三个，当 k 大 于三的时候， b 大 于等于负六。来，咱们可以直接通过图上来看一下吧。 来看一下这里，当 k 等于负三的时候，按照这个情况来说的话，咱们是可以知道它的一个焦点应该是负六，对不对？ 那如果说 k 大 于三，那 k 大 于三，那是这样，那它越来越小，那只能说第三个，当 k 大 于等于三的时候，我们的 b 是 小于 等于负六了，所以第三个是错误的。来看一下第四个，第四个 b 大 于等于八，那这个就不可能存在的，因为图像交于 y 等于 k， x 加 b， 它的图像交予的就是零 b， 因为咱们已经明确了是在一三下线，因为一旦 是在一三下线，那此时咱们的 b 是 小于三的，那就不可能出现 这个 b 大 于等于 r 的， 所以第四个根本就不成立。所以这题的答案是一和二，你学会了吗？ 有记得点个赞，加个关注，有需要也可以转发一下，我每天都会更新的答案，有问题可以评论区随时互动，感谢您的支持！
07:28查看AI文稿AI文稿大家好，我是问老师，今天我们来看这样一道题目，为更新树木品种，某植物园计划购进甲乙两个品种的树苗栽育，若计划购进这两种树苗共四十一颗，其中甲的单价是六块钱一颗，购买乙的所需费用 y 与购买数量 x 之间的关系如图所示。 第一问，让我们去求出 y 与 x 的 关系式，那其实就是以的总费用与购买的数量 x 之间的关系。结合图像能够看出来，这是一个分段函数。对于分段函数，我们要分这么几步去进行，首先结合图像， 对应的 x 的 范围应该是介于零和二十之间，以及二十以上，注意它在四十这里出头了，所以呢，它是大于二十，并不是介于二十和四十之间。 分成两部分去求函数关系式。最后呢，要总结性的写一下 y 与 x 的 关系式，咱们来看一下过程如何去写。首先咱们可以用 x 的 取值范围去分成两部分去求， 一个是 x 大 于等于零，小于等于二十时。另外一个呢，就是当 x 大 于二十时，然后求函数解析式的方法永远是待定系数法。所以在这里呢，我们依然是先设函数解析式，那对于第一段，显然它是过原点的，所以是一个正比例函数。那咱们在设的时候呢，就设函数关系式，是 y 等于 k x。 第二步呢，就是带点了，那在这一段正比例函数图向上的点，显然就是这个拐点二十一百六了， 从而我们能直接得到 k 的 值，应该是等于八的，因此这一段的关系式就是 y 等于八 x。 接下来第二部分，当 x 大 于二十的时候，显然它这一次是一个一次函数，所以我们在设的时候要设成一次函数的关系式。 那要注意的是，上面我们设了 y 等于 k x， 那 么第二段 k 和第一段的 k 是 不一样的，所以我们最好把字母区分开，可以换一个字母，也可以给 k 带一个角标，比如说 k 撇 x， 同样将点带入，那这一次的点呢？一个是四十二百八十八，还有一个依然是这个拐点，拐点既属于第一段，也属于第二段，所以将二十一百六、四十、二百八十八带入，这次得到的就是一个方程组，最终求出的 k 值应该是六点四， b 值呢，等于三十二， 所以这一段的函数关系式应该是 y 等于六点四， x 加三十二。注意还没有结束，最终我们要总结性的写一下，所以 y 与 x 的 关系式为 y 等于，用大括号括起来。第一段呢是八 x， 它对应的 x 取值范围应该是介于零和二十之间。 第二段 y 等于六点四， x 加三十二，它的范围呢是 x 大 于二十。好，这是第一问，我们再来看一下第二问，若在购买计划中，乙的数量不超过三十五颗， 但又不少于甲的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用。第二问，出现了这样一个字，最字，也就是我们依次函数里面特别爱考的一类问题，最值问题。那在这类题目中，最值问题一定是用函数的增减性去解决的， 要求最值。我们首先要解决这么两件事，第一，函数关系式。第二，自变量的取值范围。那谁和谁的关系式呢？我们只需要看问题要谁的最值就可以了，显然题目要的是总费用的最值， 那总费用是什么呢？注意，第一问，咱们的 y 是 购买乙数描的费用，不是总费用，总费用应该包括甲和乙的费用， 所以我们需要先设一个因变量，我们就设总费用为 w， 那 自变量是谁呢？回到总题目中，又出现了这样一个条件，计划购进这两种树苗，共四十一颗。在上个视频中老师已经提到， 一旦出现这种两种产品的总数的话，那么自变量基本上就是他们中的某一个了，也就是说，甲多少颗，乙多少颗，就是我们这道题的自变量。 那到底设谁呢？因为在第一问中已经得出，以不同范围的数量对应的收费方式不同，所以这道题设乙的数量更为合适。乙的数量是 m 科，因为一共是四十一科，那么甲呢？就是四十一减 m 科， 设出自变量和阴变量以后呢？我们先来求一下自变量的取值范围。题目明确告诉我们，乙的数量不超过三十五颗，但又不少于甲的数量，所以由题可得， 我们能够列出一个不等式组，乙的数量 m 不 超过，那就是小于等于三十五，还是乙的数量不少于，那就是大于等于甲的数量，那就是四十一减 m。 从而我们能够得出 m 的 范围应该是大于等于二十点五， 小于等于三十五的。那又由题目可得， m 肯定是一个整数，所以 m 的 范围就可以再改造一下，应该是大于等于二十一，小于等于三十五了。这是我们求最值的第一件事，先把自变量的取值范围求出来。 第二件事呢，就是要求出因变量和自变量之间的函数关系式，因变量总费用 w 就 应该等于甲和乙的总费用之和。 那甲的单价题目告诉我们是六块钱一颗，甲的数量我们设出来是四十一减 m， 所以 甲的总费用呢，就是单价六乘以数量四十一减 m。 再来看乙的费用，我们刚才已经求出乙的数量的范围是介于二十一和三十五之间， 显然它属于第二段图像，所以应该代入第二段的解析式，也就是 y 等于六点四， x 加三十二，那现在 e 的 数量是 m， 所以 我们把自变量 x 换成 m， 那 么 e 的 费用呢，就是六点四， m 加上三十二。 整理以后呢，应该是等于零点四， m 加上二百七十八的。老师再来强调一遍，依次函数解答题。这道题一旦涉及到求最值问题，同学们一定要先把这两件事搞清楚。第一个呢，就是自变量的取值范围，那我们已经求出来 m 大 于等于二十一，小于等于三十五。 第二件事呢，就是因变量和自变量的函数关系式，那我们也已经求出来 w 等于零点四， m 加二百七十八。只要解决了这两件事，接下来的过程，同学们可以当成一个模板去背诵，我们来看一下，首先由函数解析式可以得出得到的是什么呢？注意， 主要是这个函数关系式中的依次项的系数，也就是我们正常的 k 值，在这里是零点四， 重点得出它是大于零还是小于零，那显然零点四是大于零的，所以呢，因变量 w 就 随着自变量 m 的 增大而增大，所以我们现在需要的是总费用最低，也就是 w 的 最小值， 因此呢，自变量也就需要最小值，所以当 m 自变量取最小值，结合我们求出的范围，它的最小值应该是二十一的时候，那么因变量 w 呢，就有了最小值，我们可以代入一下， w 就 等于零点四，乘以对应的 m， 也就是二十一，再加上二百七十八， 最终能够求出来 w 是 等于二百八十六点四的，那么此时甲的数量四十一减 m， 我 们可以带入去计算一下，就等于二十了。最后回答就可以了，同学们重点要注意的就是老师用蓝色的笔写的这一部分。 首先把函数解析式和自变量的取值范围确定以后呢，由解析式得出 k 值的正负。所以因变量随自变量的增大而如何变化？ 那么此时自变量取最大还是最小值时，就有了我们需要的因变量的最值。最后再回答问题就可以了。好，这是今天这道题目，谢谢大家点个关注，不迷路！
02:13查看AI文稿AI文稿包头市一模数学卷在中考备考的关键阶段，给广大考生带来了深刻的启示。整体来看，这份试卷有着鲜明的特点。 从基础题方面来说，其难度处于一个比较合理的区间，对于那些基础知识掌握较为扎实的同学而言，解答起来不会有太大的困难。然而，这份试卷与以往一些试卷有着显著的不同，几乎不存在那种可以靠特定技巧就能迅速秒杀的题目， 在涉及角和线段之间的数量关系这类问题时，无法依靠某些固定的套路去直接得出答案，只能通过一步一步严谨的推导来求解。这就要求考生具备强大的逻辑拆解能力，对每一个条件进行细致分析，逐步梳理出解析的思路。 以往那种简单刷题、死记硬背数学模型的学习方式，在这次的一模考试中完全行不通了。试卷中的题目条件设置的更加隐蔽，不再是一目了然就能看出答题方向。 题目的综合性被直接拉满，一道题目可能会融合多个知识点，需要考生将所学的知识进行灵活运用和整合。 他不再考察那些花里胡哨、华而不实的秒杀技巧，而是实实在在的考察考生对知识点的理解程度、推理能力以及几何基本功。这次 一模考试就像是一个响亮的警钟，提醒着所有中考生在数学学习上不能再依赖小聪明。 数学比拼的不仅仅是一时的灵感和投机取巧，更重要的是稳扎稳打的基本功。只有把每一个知识点都学透、学扎实，才能在面对各种复杂的题目时游刃有余， 同时严谨的推导思路也是必不可少的。在答题过程中，要做到条理清晰、逻辑严密， 而且还需要具备灵活的变通能力，能够根据不同的题目情境迅速调整答题策略。 对于广大中考生来说，必须抛开侥幸心理，戒掉依靠套路解析的习惯，要踏踏实实地去吃透每一个知识点，只有这样，才能在后续的冲刺阶段稳住阵脚，取得理想的成绩。
04:43查看AI文稿AI文稿hello 同学们，欢迎来到中考数学二轮复习的第三讲，我们今天讲依次函数与几何的综合，很多同学一看到这种题呢，就头大，函数和几何混在一起，坐标算半天，图形呢也画不明白，考试就直接放弃了。 但是这类题呢，在中考里占的分值非常高，少则十分，多则十五分，而且呢，它有固定的解析套路。今天呢，我们就用一道题来把这类题的底层逻辑彻底讲透，做到一题吃透，一类题全对。 来，我们先花两分钟的时间把这类题必须要掌握的三个核心知识点过一遍，听不懂的同学呢，可以截图保存。 第一个知识点呢，就是一次函数和三角形的面积，我们知道一次函数它是一条直线，那它的面积，三角形面积就是与 x 轴垂直， 或者说与 y 轴垂直，让我们去求它的面积，这样我们知道一个点的坐标，然后再来求面积就可以了。另外就是焦点的问题， 如果说它是这样的，那 x 轴、 y 轴的焦点又是多少呢？我们就令 x 等于零，那么 y 轴的焦点就求出来了。令 y 等于零，那么 x 轴的焦点是不是就出来了？还有就是让我们求的一些最值问题， 最值问题就是它会给定一个定义域，在定义域内，我们要找到最大值或者最小值。对于依次函数， y 等于 k， x 加 b 这种，当 k 大 于零的时候， x 越大， y 就 越大，当 k 小 于零时， x 越大， y 越小，它的增减性大家要熟记 好。接下来呢，我们来讲一道经典的例题，说当 x 大 于等于二，小于等于五时，依次函数它有最大值为六，让我们求 m 的 值。在考场上看到这种题，大家怎么做呢？首先我们来观察选项， 选项都是有两个值，所以我们这里 m 加一大于零，或者说 m 加一小于零。 当第一种情况 m 加一大于零时，我们的 m 是 大于负一的，这个时候一次函数它是递增的，递增的时候，那当当 x 等于五的时候，它就取得了最大值， 那令 x 等于五，我们就求出来了五。 m 加上 m 方加一， 它是有一个最大值，最大值是多少，最大值是六，这样我们求出来 m 是 等于零或者 m 等于负五。负五，我们是要舍去的，为什么要舍去？因为 m 加一大于零， m 大 于负一，所以 m 等于负五，我们需要舍去。第二种情况呢，就是 m 加一小于零， m 加一小于零，依次函数的图像是递减的，那就是当 m， 当 x 等于二的时候，取最大值，那把 x 等于二代入进去，我们就能得到一个 二， m 加二加 m 方加一等于个六，最终呢，我们解出来 m 等于负三， 或者 m 等于一，一是要舍去的。为啥？因为 m 加一小于零， m 是 小于负一的，所以我们最终求出来的 m 等于零和 m 等于负三，答案选择 a。 这道题咱们就讲完了这道题大家有没有发现，这类题的解析套路其实都是特别固定的。首先我们有依次函数的表达式，我们就需要把几何问题来转化为代数方程，比如说我们这里求出来的最大值， 然后我们再给他分类讨论，遇到这种有参数的函数，大家一定要记得分类讨论解方程这道题听懂了吗？如果哪里有不明白的评论区告诉我。 最后呢，我还给大家留了一道例题，这也是一道相当典型的例题了，大家做出来之后，把你的答案发在评论区，看一看大家的解析思路是不是一样的， 看看是谁的解析思路最清晰，答案最明了。好，今天的课大家就到这里了，再见！
54小初爱学习
04:17查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家继续分享中考题里边的一次函数的问题。这是一道一列的题目， 首先看一个条件，已知一次函数 y 等于 k， x 加 b， 还知道 k 是 大于零的， 那么看到 k 大 于零，你们有什么想法？这个直线一次函数这个图像向哪个象限倾斜这个方向？或者说它是增而增还是增而减？这个必须要有熟练的概念了啊。当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大， 他的图像是向一三向线那个方向倾斜的啊，那 k 小 于零的时候就反过来了。你知这个一次函数图像经过点一二，经过点一二，那么问你这个图像还有可能经过下边的哪一个点？这是一个选择题， 知道这个一次函数图像经过一二这个点呢？那你再选择一下下边这提供的这四个点，他还有可能经过哪一个？那么读到这个题里面有什么感觉？ 只知道 k 大 于零， y 随 x 的 增大而增大，向一三向下这个方向倾斜，经过一二这个点。那么怎么去判断下边这四个点当中的哪一个呢？ 这是一个中考题，其实很简单。同学们啊，可能一头雾水了，我就把一二给他带进去，我再把 a 选项的负二二也给他带进去，我把 kb 求出来不就行了吗？ 实际这也是一种方法。同学们啊，只不过这个方法太麻烦了，你一个一个再理解四次方程组，把一二带进去，组成 kb 的 方程组，再把负二二带进去，组成 kb 的 方程组，求出 kb 来 看一看。那个 k 是 大于零的吗？符合提议吗？哎，要是 k 小 于零，那就不对，要是 k 大 于零，那就对，这种思路也是正确的。同学们啊，哎，二一也给他带进去，都可以， a、 b、 c、 d 这四个点都可以给他带进去。和一二组合求 k、 d 的 值， 如果求了那个 k 大 于零，那就是是符合题的。如果 k 求了小于零，那就是不符合题的，那他就有可能不经过他。那么这种方法太繁琐了，有没有更简单的方法呢？哎，这个题其实最简单的方法就是画图，像画草图。 知道 k 大 于零了，那么知道过点一二了， 这是一，这是二，假设说这里就是一二这个点，而且他是 k 大 于零，向一三下线这个方向倾斜。那咱们先看 a 选项。朋友们，负二二在什么地方？那负二二不在这边吗？ 这是二啊，这是一，那负二二就在这里啊。那你看一看，这它俩连起来显然是和 x 轴平行的呀，这叫直线啊。 x， y 等于二，根本就不叫 y 等于 k， x 加 b 了。所以这个显然不行啊，它根本不是向一三方向倾斜呀。 再看第二个二一，二一在哪呢？二一在这呢。朋友们，这是二，这是二，这是一 大题，就这个方向。那你再看，我要这样一连的话，它经过的是二四向下这个方向倾斜，显然是 k 小 于零的，也不符合题意。再看 c 选项负一三，再看 c 选项负一三，咱再找一找负一三在哪？负一 三往这边找。负一三，你再和这个二一连起来，它还是向二四方向这个倾斜，所以说这个也是不可能的，这三个都不可能，那可能的肯定是 d 啊。 三四这个点，三四那个，那你跑这边来了，哎，三四在这边，那么和这个二一正好向一三向下这个方向倾斜，所以这个题就是让你看草图的题目啊，也就是说这个点和这个点连起来，草图上看一看，他是不是向一三向下那个方向倾斜， 如果是向一三向下倾斜的，那就对，那就有可能经过，如果不是，那就不可能经过。所以说这是一道非常简单的题目，你要把它带进去计算也行，就是太麻烦了。就是一个看草图的问题， 我们已知的是这个点，然后你把其他那三个点给它描出来，一连就能看出来了，希望这个题能够帮到大家。
39初中数学柳老师
02:52查看AI文稿AI文稿每天一道压轴题，今天讲解一道，求依次函数中 k 的 取值范围。我们先来看已知直线 y 等于 k， x 加二，与 y 轴交于点 a， 将点 a 向右平移两个单位，再向上平移一个单位，得到点 b， 让我们求 a 点和 b 点的坐标。第一问非常的简单，直线与 y 轴交于点 a， 也就是当 x 等于零时，求 y 的 值，我们把 x 等于零，代入解析式，解得 y 等于二，所以 a 点的坐标为零。二，我们在图像上标注出来， 将 a 点坐标向右平移两个单位，再向上平移两个单位。将点的坐标向右平移，就是加向右平移两个单位，也就是加二，零加二得二，向上平移一个单位，加一 也就是三，所以 b 点的坐标标注出来。 第二问，点 b， 关于 x 轴的对称点为点 c， 若直线 y 等于 k， x 加二于线段， bc 有 公共点，让我们求 k 的 曲值范围，点 b， 关于 x 轴的对称点 c 在 这里， 所以 c 点的坐标为二负三。若直线 k， x 加二，与 bc 有 公共点，我们先连接 bc， 我 们就需要找到 k 值的临界点，在这里 bc 就是 临界点，也就是直线为这样， 或者是直线为这样时，我们就可以找到配置的范围。将 b 点坐标带入 y 等于 k， x 加二三等于 二， k 加上二，解得 k 等于二分之一。将 c 点二三带入 y 等于 k， x 加上二，负三等于二， k 加上二，截得 k 等于负的二分之五， 所以 k 的 取值范围为 k 大 于等于负的二分之五，小于等于二分之一。
71机智的魔法熊猫
04:15查看AI文稿AI文稿四分钟带你看一道一次函数和反比例函数综合大题。我们再来看一道这样的一个一次函数和反比例函数结合的一个大题。 我们看题干信息，他说一次函数外一呢，等于 x 减一，对吧？它的图像和 x 轴和外轴分别交于点 m 和点 n， 然后反比例函数它的图像呢的一个焦点是 p， 哎，它这说是与反比例函数，所以这个焦点既在这个一字函数上面，也在这个反比例函数上面。而我们看一下第一问， 第一问让你来求这个反比例函数的解析是，是不是此时只有一个 k 是未知数，对吧？而我一个未知数只需要一组数据就可以了，而我们观察其他的信息，这组数据是不是只能是点 p， 对 不对？点 p 的 横纵坐标，而我点 p， 它只告诉你了横坐标的具体的数值，纵坐标是不是需要我们去计算，对不对？而怎么去计算呢？ 此时这个焦点 p 是 不是也在一字函数上面？所以我把 p 点二 n 带入到一次函数 y 一 中，是不是就可以求出 n 了？所以是 n 就 其实是直接等于 y 一 等于二，减一等于一，所以 p 点的坐标不就是二一了吗？对吧？再把 p 点的坐标带入 y 二， 是不是能够得到的是一等于 k 除以二，所以 k 是 不是就等于二了，对不对？所以第一问，这个反比例函数的解析式不就直接是 y 二等于 x 分 之二吗？对吧？这是第一问。 然后我们再来看一下这里的第二问。第二问呢，是让你求点 n 到这个直线 o p 的 一个距离，我们看一下点 n 在 这里直线 o p， 对 吧？既然是直线，那么其实这个是可以无限延伸的，嗯，那么此时你看是这样， 对吧？是不是可以？嗯，那么这个第二问呢，就可以先提前给你拓展一个信息，就是点到直线的距离，它其实是有距离公式的，那么我现在把这个距离公式写一下，我现在设设这个直线，设某直线， 一般的表达式 是 a x 加 b， y 加 c 等于零，那么这个定点呢 是 p， 然后呢是 m， n 的 话，那么现在要九点 p 到这个直线的距离， 我们是可以直接利用距离公式 d， 然后呢把点 p 坐标往这个方程里面代，这个是作为分子，就是 a 乘以 m 加上 b 乘以 n 的 绝对值，再除以什么呢？那么现在分母是什么东西？分母就直接是 a 的 平方加 b 的 平方，再开一个根号， 这个公式就是我点到直线的一个距离公式，这个公式呢应该限阶段，初中阶段还没有学到， 那么但是你可以提前指导一下，提前记一记，对你解这种题目会有很大的帮助的。嗯，那么这个题呢，我们就可以直接利用这个公式，那么这个直线 o p， 我们现在是不是需要把那个直线 o p 表示一下，对不对？我们可以看到直线 o p 其实是一个正比例函数，所以我可以直接，对吧？在这里设一下直线 o p 的 一般函数表达是 y 等于 k x， 然后把 p 点这个二一往里面带，是不是解到解出来的是 y 等于二分之一 x， 对 吧？那么点 n 的 坐标，点 n 是 这个一字函数与 y 轴的交点，所以是不是点 n 的 坐标其实就直接是零 负一，对吧？嗯，那么并且坐标知道了，函数表达式知道了，但是我们需要把这个函数表达式给它换成一般的表达式，就换成了二分之一 x 减 y 等于零，对吧？此时你看二分之一 x 减 y 等于零的话，那么对应这个函数表达式是不是 a 是 等于二分之一， b 是 等于负一的，对不对？那我直接代入公式， d 等于，对吧？二分之一乘以零，然后加上负一乘以负一的绝对值， 再除以二分之一的平方四分之一 b 负一的平方一。再来开个根号，是不是分子是等于一，而分母是等于二倍二分之根号五，对吧？那我最后一个化解，是不是最后结果应该是五分之二倍根号五？所以这个第二问点 n 到直线 o p 的 距离就可以直接就是五分之二倍根号五，对不对？嗯， 像这个第二问，你如果不用这个距离公式的话，你利用几何的方法也是可以做出来的。然后你们可以去试一试利用几何的方法，看看能不能做出来。
115解个题儿
47:32查看AI文稿AI文稿一口气看完二零二六年包头初三一模卷，同学们，我们上一次看了呼市的初三一模卷，今天我们来看一下包头的一模卷，它的难度到底怎么样？这里我们先说结论，它的整体难度会比呼市的难一点，那么只有一点吗？ 从选择题和填空题的整体难度上来说，他的一些秒杀问题就很少了，基本都是要通过计算并且运用角之间的关系得到的。大题的话， 圆的第二小问比较难，函数整体应用题跟忽视一样，都不是很难，他反而有可能会比忽视简单一些。但是几何的最后一小问还是有点难。好，下面我们来看一下选择题 第一题。泰山是五月中的冬月，有五月之首，天下第一山之称。三月的泰山山脚的平均气温为零上九度。好，零上九度，我们去做 正九度，山顶的平均气温记为零下三度就是负三度。山角的气温比山顶高多少来？山角是正九，山顶是负三，高的话，正三减去负三。答案是九加三为十二度。选 c。 在音乐的创作过程当中，数学元素无处不在，下列音乐符号中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是什么？是中心对称图形， 围绕一个点旋转一百八十度的图形能与原来图形重合，那就是中心对称图形。那么轴对称还有对称轴左右两侧的图形能完全重合。 来看 a 选项，它是什么？它是轴对称和中心对称。那么排除 b 的 话，它是一个轴对称图形和对称轴呢？在这里好排除 c 的 话，它是一个中心对称图形，它不是轴对称， d 的 话，它是一个轴对称图形，所以选的是 c 选项。 第三题如图一，某长方体形状的容器，长十厘米，宽八厘米，高十六厘米，容器内原有水的高度为六厘米，剩余的这些空白部分的高是不就是十厘米？ 那现准备向它继续注水，用 v 表示新注入水的体积，则 v 的 范围是 b 的， 范围肯定得大于零，这都不需要考虑，它还要小于等于空白部分的体积，它装满是不是就不能装了？空白部分的体积就是考的长方体的体积，长乘宽乘高，高是十，宽是八，高是 十，所以应该是八百，那么取值范围就是零到八百。选 b。 四，随着人工智能时代的到来，某学校开设了包含人工智能技术的四门兴趣课程，分别为 ar、 音乐创作啊，你是一、 三、 d， 打印与虚拟仿真，你是二，机器人编程与应用三、非遗文化 数字画四。你们四门课程分别用一、二、三、四来代替，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，那甲乙两名同学选择同一门的课程概率啊，比较简单的方法不会出错，那你就去画图，这是甲，这是乙，甲有 四种选择所对应的，在一的选择下，乙又有四种。好，分别把这个图画好了以后，咱就能知道一共有什么。十六种情况。 都选择同一门的课程的情况有，每一类里面是不是就一种？一共有四种，所以是十六分之四等于四分之一。选 d 选项。有的同学不画图也能做，因为 甲有四种选择，乙有四种选择，那我的分母的总情况是四乘以四，如果甲选择乙，是不是就只能选择乙？甲选择二的话，乙也只能选择二，所以这样的情况一共有四种。答案也是四分之一 好，也比较简单。第五题，在点光源 o 的 照射下，一块面积为五厘米的三角板硬质，硬质板即为 a、 b、 c 平行于投影面时形成的投影是三角形 d、 e、 f。 若 a、 d 和 a、 o 的 比是一比二， a、 d 和 a、 o， 那 么 a、 d 边太短了，应该比的是谁？应该是 o、 a 比上 o、 d 啊， o、 a 比 o、 d 是 二比三。所以三角形 b、 a、 c 和 d、 e、 f 的 相似比也是二比三，它们的面积比是相似比的平方，也就是四比九。所以 s 三角形 abc 的 面积比上 s 三角形 d、 e、 f 的 面积应该是四比九。三角形 abc 的 面积为五，要求 s 三角形 d、 e、 f 的 面积，那就交叉相乘就是 五九四十五除以四，选择 b 选项好。第六题，公园里有一个对角线相互垂直的四边形景观水池，对角线相互垂直画一下，工作人员打算在水池中央的终点位置安置景观灯， 并将这些灯用灯带连接，形成一个新的四边形灯带。四边形灯带的形状一定是来终点考的是中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，比如说上面的这条线 就是下面这条边的一半，同时这条标也是它的一半。所以对边平行且相等图形，它首先应该是个平行四边形。 只有平行四边形这么简单吗？那肯定是不对的，肯定不止，你俩也平行。这个角是九十度来平行，内错角同旁内角都有相应的结论，我用同位角，你俩都是九十度，上下两边平行，那么同旁内角互补，所以这个角也是九十度。好，这个角也是九十度。 在一个四边形当中，三个角为九十度，图形就是矩形，所以它其实应该是矩形。选 b 选项， 当然，菱形是不是菱形得需要什么四边相等明显他不知道外面这个对角线是否相等，如果外面这个图形的对角线相等，他就是菱形。但是这里没有告诉我这个条件。 第七题，小明和爸爸从家出发，前往离家四千米的图书馆。为响应绿色出行的号召，小明骑自行车先处罚，十分钟后爸爸骑电动车处罚。就说小明骑的时间长呗，那小明的时间减去爸爸的时间 就等于十分钟。好，两人同时到达图书馆，已知电车的速度是自行车速度两倍，射自行车的速度是 x 千米每小时。对了，我们前面是分钟，所以这里有单位的转换。十分钟也可以表示为 六十分之十小时，时间等于路程除以速度。小明的时间是四千米，除以他的速度就是 x 来减去爸爸的时间四除以二， x 就 等于六十分之十。 来看一下选项， a、 b 没有进行单位的转化， c、 d 来看一下谁的数值更大。选的是 d 选项。最后一个，如图三，在 r、 t 三角形 abc 当中，角 abc 是 九十度， ab 等于三， bc 等于四，所以 ac 就是 五、三、四五个股数。 以 c 为圆心，适当长为半径，画弧分别交 b、 c、 a、 c 于 m 和 n， 再分别以 m 和 n 为圆心，大于二分之一 m， n 长度为半径，画弧交于点。记 好，这里为止。这图作图问题在我们以前的考试问题当中是会有大体出现的，但是后来我们因为这个试卷的题量减少以后，作图题就不再出现了，他会融入到选择和填空题当中。我们在中考阶段选择两个作图，一个是角平分线， 一个是垂直平分线。这道题他考的就是角平分线的做法，你得知道前面做的是什么？到这个红线为止，前面的描述就是做的角平分线，所以在这里这两个角就相等， 并且等于大角的二分之一。继续做射线 c、 g 交边， a、 b 于点 d 过 b 点做 b、 f 垂直于 c， d 好， 你又是垂直，你又是角平分线。三线合一的逆定律就可以说明 b、 c、 h 是 一个等腰三角形，所以这里的 c、 h 就 等于 bc， 等于四， a、 h 就 等于五减四，等于一。 好的 b、 f 的 延长线交 a、 c 于点 h 或 a 做平行于 b， c 的 直线为 e 好， 平行所得的三角形相似，这里面三角形 a、 e、 h 就 相似于三角形 c、 b、 h。 最后要求的是 e、 h 的 长，那我们就设长为 x， 问什么设什么？ 那么设长为 x 了。以后我如果用三角形的相似，是不是也要求出 b、 h 的 长，那么 b、 h 的 长，它是 b e 减去 e、 h， 所以 我需要用到 r t 三角形 a、 b、 e， 因为 b、 a、 e 是 九十度，所以 b、 e 的 平方就等于 a、 e 的 平方，加上 a、 b 的 平方就等于根号下九加一等于根号十，所以 b、 e 的 平方就是十，当然 b、 e 的 话就是根号十， b、 h 的 话就是根号十减 x 好。三角形的相似，我来写出对应边乘比例， a h 比上 h c 就 应该等于 e h 比上 b h， a h 是 一 h， c 是 四， e h 是 x， b h 是 根号十减 x 来分式方程，我就直接交叉相乘了，大体你得先去分母等等。四 x 就 等于根号十减 x 来移项五， x 等于根号十，所以 x 就 等于五分之根号十， e h 的 值就是五分之根号十选 a 这个包头的小题，他还是有一定计算量的，还是需要进行计算或者是仔细思考的，他的整体难度比忽视的难度高一些。下面我们来看一下填空第九题，某类简单化合物中，前四种化合物的分子结构模型，如图四， 其中灰球代表的是碳原子，白球代表是氢原子。按照这一个规律，第 n 种化合物分子结构模型当中的氢原子个数考的是氢原子，那么白球好来，第一张图是四个，第二张图是六个， 第三张图是八个，第四张图是十个，它的个数就用 n 来表示，代数式它就是二 n 加二啊，这就比较简单了。 第十题，某社区有一块锐角三角形草坪，视野图如图所示， b c 是 六十，且 a b 和 b c 夹角是六十度。为了方便居民出行，设计从点 c 修一条小路，那么要使得步道最短。 什么是最短？就是点到直线的距离，也就是最短，所以我通过 c 去做 ab 的 垂线，这条垂直的距离也就是最短的。这不就考的是 直角三角形的特殊三角函数吗？三十度的角所对应的直角边是斜边的一半，所以你 bc 是 六十，那么它所对应的另外一条直角边就是 三十，它的高就是三十倍。根号三一比二比根号三，这个小三角形大家一定要会背。它的三边比三十度的角所对应的直角边是最短的，是一， 斜边是它的两倍二。另外一条直角边就是根号三，所以一比二比根号三就一定要背好。十一题，如图六，在矩形 a、 b、 c、 d 中，点 e 在 边 a、 d 上 连接 b、 e、 c、 e。 若角 e、 c、 b 是 四十五度，好来先标角四十五度，矩形垂直，这个角也是四十五度，这个 d 又是九十度，所以它也是四十五度。那么 e、 d、 c 就是 一个等腰直角三角形。角 c、 e、 d、 c、 e、 d 就是 四十五度，等于两倍的角 a、 b、 e， 那 么 a、 b、 e 就是 二十二点五度， 是吧？好，那么这个角就可以用九十减去二十二点五度，它就是六十七点五度。这个三角形当中还剩一个角角 b、 e、 c 也可以用三角形的角和来表示，它就等于一百八十度，减去四十五度，减去六十七点五度， 就等于六十七点五度哦，所以 e、 c、 b 是 一个等腰三角形， e、 c 就 等于 b、 c。 原来如此， ab 等于五，对边相等 dc 也就等于五，所以 e、 d 也等于五，那么 c、 e 就是 它的斜边，就是五倍根号二也行，所以 bc 就是 五倍根号二。 最后要求 a、 e 的 长，那么 a， e 就是 a， d 减去 e、 d 就是 五倍根号二。减五 比较简单来，最后一题，十二题如图七，点 p a， 逗号二和点 a 在 反比例函数图像上连接 o p 和 o a， 若 o， a 和 o p 相等角 o、 p、 a 又是九十度，则求 k 的 值。 在反比例函数和函数当中，如果图像上有垂直的角，并且两边还相等的，我肯定是构造三角形的。全等。怎么构造？通过点去做垂线，我通过 p 去做 y 轴的垂线， 通过 p 做 x 轴的垂线，再通过 a 去做这条垂线的 垂线。我设这个，你是 b 点，你是 c 点，那么三角形 o、 p、 b 就 和三角形 a， p、 c 全等。通过 p 点的坐标，我就可以求出 a 点的坐标。 a 也在反比例图像上，所以横纵坐标的乘积就是 k， 通过列方程就可以求出 a， k 的 值。好，那么下面我们来书写一下。因为 p 点在反比例图像上，这里的 a 比较多余，我把它用 k 来表示，所以 p 点的坐标纵坐标是二，横坐标就是二分之 k， 当然 k 小 于零，所以二分之 k 也小于零。 o b 的 横坐标这段长度就是负二分之 k， 因为 k 是 个负数， a， 三角形 a， c， p 全等于三角形 o b p， 所以 a c 就 等于 o， b 就 等于二，所以 a c 就 等于二。好，来， p 点的坐标呢？是 二分之 k。 逗号二， a 点的坐标，我们来看一下，横坐标应该是两点的，和在取相反数，所以 a 点的横坐标应该是二分之 k 减二纵坐标就是 这一段的长度，这段长度应该是 p d 减去 p c， p d 的 话，是 p 点的纵坐标二， p c 就是 p b 的 长度， p b 的 长度是负二分之 k， 所以 它就是二。加上二分之 k 好， a 点的坐标用 k 表示出来以后，因为 a 点也在反比例的图像上，所以横纵坐标的乘积等于 k， 二分之 k 减二的差乘以二分之 k 加二的和就等于 k， 这个就是一个平方差公式， a 平方减去 b， b 方等于 k 就是 二分之 k 的 平方减去二的平方等于 k， 四分之 k 方减四等于 k， 这个时候就去解关于 k 的 一元二次方程。先 去分母吧， k 方减去四， k 减十六等于零。这道题没有办法通过英式分解来解决，那我就可以用配方法、公式法都可以，我们用配方法， k 方减四， k 加四就等于 二十，所以 k 减二的平方就等于二十。 k 减二就等于正负根号二十，根号二十的话就是二倍根号五， 所以 k 就 等于正负二倍根号五加二，当然 k 只能小于零，所以最后 k 就 只能等于负二倍根号五加二，它就等于二，减去二倍更好。 填空题的整体难度呢，我个人认为也不是很难，但是呢，它涉及到一些三角形的运算，同学在三角形的全等相似，包括三角函数部分有一些漏洞或缺陷的话，他也会觉得很难 啊。其实选择和填空的这个整体难度呢，是大于忽视的。解答题十三题计算，大家自己去算，我就不说了，十四题 他跟忽视有一些区别，忽视需要计算，他一般不太需要，但是第二小题可能要一点点。让我们看一下。甲乙两人是某甜品店的烘培师，以下是他们在季度技能考核中的甜品制作得分 及当地近五年烘培行业甜品制作技能大赛的相关信息。信息一，这个是甲乙两人季度技能考核的得分表， 甲的考核次数是这么多，乙的考核次数乙的分数是这么多，其中甲乙的得分的平均数是都帮我算好了，方差是就都算出来了。信息二，当地五年的烘培行业甜品制作技能大赛获奖分数线如下表所示， 根据以上信息及你所学的统计知识，解决以下问题。第一题，根据平均数与方差要讨论两个内容，第一个是平均数，第二个是方差。综合评价加一两人的季度技能考核表现。 所以有些十四题的同学，他有可能会扣相对应的分数，就是他没有根据题目要求少写了一类，所以当然会扣分了。来看平均数， 甲的平均数是八十八点七五，乙的平均数是八十九点五，很明显，乙的平均数大于甲的平均数。考试的时候能写什么？能把相应的数据写下来，他也能得一些分数。 甲的平均数呢是八十八点七五，乙的平均数呢是八十九点五，那么甲的平均数小于乙的平均数，所以说明甲的平均成绩比乙高，大家自己补充，这是平均数，那么方差呢？ 同理，甲的方差是十七点九三七五，乙的方差是一点二五零零，甲的方差 明显大于乙的方差。方差来看，甲的成绩不稳定，乙的成绩更稳定，那么方差体现的是这一组数据的稳定情况， 所以乙的成绩更稳定。综合以上情况，乙的平均成绩比甲高，乙的成绩又比甲稳定，所以乙的表现更好。哒哒哒哒哒， 这两类都要说明乙的表现更好。好，这里没有空白地方，我就捡起来，但是大家一定要写完整好。第二，小问，结合当地近五年的烘培行业甜品制作技能大赛获奖分数的 平均数，有同学没有看清楚题目要求平均数，那么平均数哪来需要我通过这个表格计算？ 为确保获奖，请推荐一人参赛，并说明理由。首先，我得把这几年的平均数算出来，就是八十七加九十一加八十八加八十九加九十的和除以五 来总成绩，平均分是八十九分，那么甲的平均数是八十 八点七五，小于八十九，乙的平均分是八十九点五，大于八十九，所以 是不就推荐 e 会更好一些，而且 e 的 方差更小，他的这个成绩更稳定，所以获奖的可能性呢就更大。假的话，他的这个成绩不稳定，所以他有可能成绩波动大，风险也就较高。综上，推荐 e 去参加。 那第三题，若要从中选择一人进行高级甜品制作培训，从发展潜能的角度分析，你认为谁更合适？ 发展潜能，什么是发展潜能？就是潜在能力。我会选择讲为什么，因为从发展潜能的角度看，你的成绩虽然波动大，但是他的最高分是不是就达到过九十五分？ 但是乙的话，他虽然成绩比较稳定，他最高分是不是只有九十一分？从发展的空间上来说，甲的夸展空间更大，乙的提升空间相对小， 所以从上限来看，选甲更合适，因为甲的成绩上限更高，那么经过培训之后呢，他的潜能就更大， 所以这个三个小问都是要去说明理由啊。六十四题，那么忽视的十四题还是需要进行计算的，那么包头的十四题大家只需要经过分析就可以了。 来十五题。某农资店为了满足春耕的需求，购进甲乙两种化肥。二零二三年，甲乙两种化肥每件的进价均为一百元，甲合乙都是一百。 随着生产技术的优化，到二零二五年，甲种化肥每件的进价年均下降二十，年均下降二十是啥意思？ 每年都下降二十元，那么一年下降二十元，二三年到二五年有几年？有两年，所以他一共下降了是四十元。很多同学在这里都会出现错误，我就觉得他下降了二十块，后面的计算肯定是有问题的， 降了四十元以后，他的现在的每件进价是多少？就是六十元，乙种化肥每件进价降至六十，他已经把 钱告诉我了。第一问，经过两年的调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降了多少？百分比？ 那第一问号的是一元二次方程设一种化肥每年平均下降的是百分率为 x， 那 我就不写完整了，大家写的时候注意了，根据方 提议，我可以列方程，那么以前是一百块，每年就是一年下降 x， 它就乘以一减 x， 如果是两年的话，我就给他加上平方，就等于六十四元。 所以解这个一元二次方程就可以得出 x 的 值，那么 x 一 就等于零点二， x 二就等于一点八，下降的百分比能大于一吗？肯定不行，所以最后的结果就是零点二，乙种化肥每件的进价平均每年下降 百分之二十来答，写完整。第二想问，二零二五年，该农资店一次性构建甲乙两种化肥共一百件，肯定是问的是一分一次不等式了，总资产不超过六千两百元，则至少构建甲种化肥多少件？ 前面设过 x 了。我第二小问，就设 y， 购进 y 件，甲乙的话就是一百减 y 件，好来。那甲的件数是 y， 那 么它的价格是六十，就是六十。 y 加上 e 的 数量乘以它的价格，它的价格是六十四，数量是一百减百，总体的金额要小于等于六千两百元，所以减这个不等式， y 就 大于等于五十元， 至少购进甲种化肥五十件。十五题，我个人认为他的难度比忽视的应用题简单很多，因为他的计算量并不是很大，考的是一个一元二次方程和一元一次不等式的难度呢，就比较小，计算量也比较小。 好来。十六题。十六题，圆它第二小问可能有一些难，大家这个需要注意好，我们来看如图八、 a、 b 是 圆 o 的 切线， e 为切点，我就连接切点和圆心，你就是垂直，以 o 为顶点作角 c、 o、 d 交圆 o 于 c 点就是这个角交 a、 b 于点 d 连接 c， e 交 o、 d 于点 f。 第一小问，角 o、 c、 f 和角 c、 e、 d 的 关系，请说明理由。 那么角 o、 c、 f 等价转换角 o、 e、 c， 因为 o、 c 和 o、 e 相等都是半径，所以 等边对等，角角 o、 c、 f 就 等于角 o、 e、 c， 你 俩相加是九十度，所以你俩相加也是九十度。好，我们来书写一下，因为 o、 c 等于 o e， 所以 角 o、 c、 e 就等于角 o、 e、 c。 因为角 o、 e、 c 加上角 c、 e、 d 等于九十度，所以角 o、 c、 f 加上角 c、 e、 d 也等于九十度。 这第一小问非常简单，数量关系来第二小问，若圆 o 的 半径为二，角 c、 o、 d 是 九十度，你是九十度， 那 cosine c 是 五分之二倍，根号五求 o、 d 的 长，那么 o d 的 长肯定是想放在 o、 e、 d 这个三角形当中去求的。这里面主要有一个信息点，就是 cosine c 等于五分之二倍，根号五。 根据三角函数的性质，我得把角 c 放在直角三角形里面去求。 cosine 的 值是 叫零边比斜边。 cosine c 的 零边和斜边分别是 o， c 和 c f， 但是我求这个 c、 f 对 于我来说其实没有什么太大的作用，可是如果我能知道对边比斜边的长， 或者是它的比值，我就能求出 o、 f 的 长度。所以在这里面三角函数的一个运算，大家需要掌握一下。我们常见的方法呢是画一个小的角三角形， 设你为 c， 那 么 cosine c 是 邻边比斜边，你是二倍，根号五，斜边就是五，它的对边勾股定律就是根号五，所以在这里 sine c 就是 根号五，比五， tangent c 就是 根号五，比上二倍，根号五就是二分之一。好，这些数值我先备用，因为下面我不清楚用哪个三角函数会更好。来接着看 要求 o、 d 的 值这一个这道题突破点就是第一小问，为什么要让我找他俩的关系， 角 c、 e、 d 又有什么样的作用呢？我就可以从第一问得到一些启示。大家注意了，有些问题当中他有可能比较隐晦， c e、 d 这个角有什么样的作用呢？ 如果在这里这个 c、 e、 d 能和这个 e、 f、 d 相等，那么下面这个三角形就是一个等腰三角形，它到底相不相等呢？我们可以来看一看，因为刚刚第一问说的是角 o， c， e 加上角 c， e， d 是 九十度， 在这个角三角形里面， o， c， e 加上角 o， f c 也是九十度。 o， f， c 和 e， f， d 是 对顶角，对顶角相等，所以正好 e， f， d 就 跟 e d 是 相等的，所以它确实是一个等腰三角形， 那 e， d 就 和 f d 相等了。如果我能求出 o， f 的 长的话，整个三角形 o， e， d 的 三边，我就可以用勾股定律去设 x 的 方法来解决。所以这道题我们来从头书写一下。因为角 o， c， f 加上角 c， e， d 等于九十度， c， o， d 也是九十度，所以角 o， c， f 加上角 c， f o 也等于九十度。这个的话，可以这个前面再加一个，就是在三角形 c， o， f 当中，角 c， o， f 是 九十度， 所以才得到了这个老师因为节约时间，可能会有些简写或者是跳步骤，大家有不会的或者是不懂的可以再问。那么你俩相差是九十度了以后，所以角 o， f， c 就 等于 角 f， e， d。 因为角 o， f， c 等于角 e， f， d 对 顶角，所以角 f， e， d 就 等于角 e， f， d， 所以 e， d 就 等于 f d。 好， 我就开始设设边长，我就设 e， d 等于 f， d 等于 x， o， f 的 长度。怎么求？我用 cosine c 这个三角函数来求，但是 cosine c 呢？不涉及 o， f 的 边，那我尽量是使用一下子就能得到结果的 tension c， 因为 tangent c 是 二分之一，等于 o f 比上 o， c， 因为 o， c 等于二，所以 o， f 就 等于一， o， d 就 等于一，加上 x。 在 r t 三角形 o， e， d 中， o， e 的 平方加上 e， d 的 平方等于 o d 的 平方，二的平方加上 x 的 平方，就等于一加 x 的 和的平方。好，所以就是解方程了。 四加 x 平方等于一加二， x 加 x 平方， x 平方， x 平方，约掉二 x 就 等于三， x 就 等于二分之三，所以 x 的 值就是二分之三，那么 o d 的 长就是一加 x， o d 就是 二分之五。好，这道圆的第二题还是有一些难度，大家有可能有很多同学想不到，那如果没有想到的话，有一些 角的关系和线段关系，我们还可以罗列一下，尽量是能得一分得一分嘛。 来十七题还是一道这个二次函数与实际问题结合的，它本身难度就不会特别大，如 图九一、小球从斜坡 o 处抛出，球的抛出线路可以用二次函数来刻画，斜坡 o c 呢，可以用一次函数来刻画。其中 x 为小球抛出的水平距离， y 呢为小球抛出的高度。 小球上升过程当中，当高度为六米时，小球的水平距离为二， 这个说明小球的曲线经过的是二逗六。第一小问求这个二次函数的表达式以及小球能达到的最高高度。表达式的话，我就把二逗号六代入到二次函数里面，求出二次函数的 一般是最大高度，就是求最大点，也就是顶点的纵坐标。好，我们现在第一小问将二勾六代入 y 等于四 x 减去 a x 的 平方当中解得， 大家参考这上面完成， a 就 等于二分之一，所以函数解析式 y 就是 四 x 减去二分之一 x 的 平方。 那么想求顶点的坐标，我可以通过配方法，也可以通过公式法都可以，下面呢，老师用配方法给大家演示一下。把负二分之一提取出来，括号里面就是 x 平方减去八， x， 想要给它凑一个完全平方，我得加上一个十六，再减去一个十六，所以它最后的结果就是负二分之一 x 减去四的平方加八，所以它的最大高度就是八了。当然知道它是抛物线，开口是向下的嘛，它一定有最大值， 大家可以写的完整一些。第二小问，小球的落点是 a， 求 a 点的坐标，那么大家从图上面很明显的能发现， a 是 一次函数和二次函数的交点，所以在这里我可以把这个抛物线和斜坡的解析式连立，得到方程组， 第一个 y 等于四， x 减去二分之一 x 的 平方，第二个 y 等于二分之一 x， 通过连力就可以消元消掉 y。 四 x 减去二分之一 x 平方就等于二分之一 x。 整理这个方程， x 平方减七， x 等于零，提取共因式，所以 x 一 等于零， x 二等于七，那么 x 等于零就是圆点， a 点坐标，横坐标就是七，将七再代入圆式， a 点坐标就是七，逗号二分之七。 前两个小问还是非常简单，跟我们忽视的考试卷是一样的好。第三小问，他的问题比较短，若在斜坡 o c 上距离 o 点的水平距离为六米的位置，设置一个高 两米的数值挡板，判断，想求能否越过该挡板，他要是在斜坡上去画挡板，他其实问的就是我。当横坐标为六的时候，带入抛物线的解析式，看看它的长度，它的高度能否大于这个 两米，再加上我下面所对应的这个斜坡的高度，所以这时候不是直接是抛物线的距离大于挡板的高度就行了，我后面还得再加上一个斜坡的长度。那么我们先来把 抛物线的高度算一算，将 x 等于六，代入 y 等于四， x 减二分之一 x 的 平方当中，我们能发现它的 y 就 等于六， 斜坡的高度是多少呢？再将它带入到一次函数里面，将 x 等于六，带入 y 等于二分之一， x 就 等于三，说明这个时候斜坡的高度就为三，三加上二就等于五米嘛， 说明我总体的高度是五米，但是抛物线的最高高度是六米，因为六大于五，所以小球能过挡板，能过挡板 好。那么十七题，我个人觉得第三小问比忽视的第三小问简单一些，不需要再去设点的坐标来。十八题，最后一道题，几何问题放在最后，就说明它还是有一些难度的。 从特殊到一般式研究数学问题的一般思路综合实践小组以菱形为背景，对旋转中的线段的数量关系开展研究，如图示，菱形 a、 b、 c、 d 与菱形 e、 f、 c、 g、 b、 c 大 于 f、 c 角 b、 c、 d 等于一百二十度点 e、 f 分 别在边、 bc 和 cd 上，如图一， 菱形 e、 f、 c、 g 绕 c 点顺时针旋转，点 f 在 菱形 a、 b、 c、 d 的 内部连接 b、 f、 f、 g、 d、 g。 当 f、 b、 g 三点共线时， 第一小问问三角形 b、 c、 f 是 否与三角形 d、 c、 g 全等，为什么？大家问全等，那么一定是全等的了，为什么？那我就证明三角形全等呗。这一道题主要还是什么？考的是旋转，旋转那旋转多少度还没有说清楚， 但是我估计肯定是跟这个一百二十度有关的，要不就是一百二，要不就是六十。那如果有的题目出现了四十五度的，九十度的这样的这个角的话，一般旋转就是跟他俩有关了。但是这道题呢，他第一小问还是没说具体旋转多少度的，那我就先不考虑， 只是来证明全等的话，那我个人觉得还是比较简单的。证明全等来，我们找条件，首先 b、 c 和 c、 d 相等，因为你是菱形嘛，四边相等，其次里面还有个小菱形 c、 f 和 c、 g 相等。那么最后旋转 两个角相等，好来说明理由。第一小问，因为 a、 b、 c、 d、 e、 f、 c、 g 都是菱形，所以 b、 c 就 等于 d， c、 c、 f 都等于 c、 g。 因为角 b、 c、 d 是 一百二十度，角 f、 c、 g 也是一百二十度， 所以角 b、 c、 f 就 等于角 b、 c、 d 减去角 f、 c、 d 就 等于一百二十度，减去角 f、 c、 d。 同理，角 d、 c、 g 也是，它是等于 f、 c、 g 减去 角 f、 c、 d， 也就是一百二十度，减去角 f、 c、 d， 所以 这两个角就相等。那么在三角形 b、 c、 f 和三角形 d、 c、 g 中， bc 就 等于 dc， 角 b、 c、 f 就 等于角 d、 c、 g、 c、 f 就 等于角 c、 g， 所以 角 b、 c、 f 就 全等于三角形 d、 c、 g 那 是 s、 a、 s。 好， 第一问，证明全等我相信大家都能做来。第二问， 请写出 b、 g、 c、 g 和 d、 g 之间的关系。其实第二问也不难，但是我相信有数量关系的时候，很多同学就都懵了。来，我们先找线段， b、 g、 b、 g 是 最长的这条线段，那么还有 c、 g、 c、 g 和 c、 f 相等， d g 和 b f 相等，这里我们简单书写一下， b g 应该是 b f 加上 f g 的， 因为第一问全等嘛，所以 b f 就 等于 d g， 那 么 d g 加上 f g 就是 b g， 还有 c g 这条边，那我 f g 和 c g 有 怎样的关系？这两条边有怎样的关系？那就是本道题的重点了，去找它俩的关系。 f g 是 这个三角形的最长的一条边， c g 是 菱形的一边，这个角是一百二十度， 它是歪的，那么如果把它正过来的话，不就是在看的是一个一百二十度的顶角的等腰三角形，它的腰和底边的关系吗？我把它正过来，这是 c， 这是 g， 这是 f， 通过 c 去做垂线， 你是 h 的 话，这里面等腰三角形三心合一嘛，每个角就是六十度了，这个小角也就是三十度了，你就是三十度六十度的特殊的三角形。 所。所以这里 g h 比上 c g 就 等于六十度， 等于二分之根号三。那 g f 等于两倍的 g h， g f 比上 c g 就是 两倍的 g h 比上 c g 就是 根号三。所以 g f 就 等于根号三倍的 c g， b g 就 等于 d g 加上根号三倍的 c g。 好，中间有一些过程老师没有写，省略了，大家可以这个再补充一下，因为全等的话，你得书写第一小问带来的结果。第一小问全等之后才能得到 b f 和 d g 相等，最重要的还是找的是 f g 和 c g 的 关系好。 那么第一小问的两个小问都是没有那么难的，大家可以通过三角形的两个小问都是没有那么难的，大家可以通过三角形角之间的关系去得到， 在这里一般同学的话就都没有时间做了，那么他就会把第二小问给省略那，但是第二小问其实如果你要上到九十多分的话，你还是得看一看，但是第二小问呢，确实是有一些难度，我们来分析分析。 如图十杠二、菱形 e， f， c， g， 绕 c 点，顺时针旋转点 f 在 菱形 a， b， c， d 的 内部连接 b， f， d， g， 延长 b， f， 将 d g 与 h 点连接 c h， 请写出 b h， c h， d， h 的 数量关系，并说明理由，找的是 b h 这条线段就更长了。其实第二小问的话，它就是一个类比的推理。首先整道题通过旋转得到的，所以我们其实在做题的过程当中也要运用旋转的性质， 或者呢将三角形进行旋转得到，这是第一个。第二个的话，通过第一问的第二小问我们知道的是，我需要找到一个特殊三角形，它们之间边和腰的关系， 所以其实第三小问或者是第二小问啊，它暗含了内容，就是我需要去通过旋转，并且运用第一问的第二小问的一个这个方法去计算第三小问的结果。这道题哦，涉及的是 bhd h 和 c 之间就有一个小三角形，就是 c d h， 我 需要通过这个三角形将它的边长转化到另外一个三角形当中， 所以这道题我就需要去构造跟它全等的三角形，那么我可以将这个三角形通过旋转得到。怎么旋转？从哪旋转？看图十杠一，它是以 c 点为旋转中心的， 这道题我也可以通过 c 点去旋转 c、 d 这条边始终跟 b c 相等，所以其实最好我可以通过旋转将 c、 d 边旋转到 c b 边， 这个角是一百二十度啊，旋转的位置和这个角度就有了。以 c 为旋转中心，逆时针旋转一百二十度，得到三角形 c d h 撇，那么其实就表示为 c b h 撇。好，我来画一画这个图，应该是这样吧，将三角形 c、 d h 绕 c 点旋转一百二十度，得到三角形 c b h m 这个点吧，我把这个三角形旋转过来以后，旋转之后的三角形就跟原来的三角形全等， b h 就 等于 b m 加上 m h。 因为 c b m 三角形和 c h d 三角形全等，所以 b m 就 应该等于 d h。 题目问我的是 b h 有 了， d h 也有了，还剩一个 c h。 这道题的重心就是找 c h 和 m h 的 关系，那么来看， c h c h 是 这条边， m h 是 这条边。哦，这又是以 一百二十度为顶角的等腰三角形之间，它腰和底边的关系就是根号三倍。上道题我们不是算出来了吗？根号三倍。 所以其实第三小问我再通过前一小问的书写方式再写一遍， m h 就 等于根号三倍的 c h， b h 就 等于 d h 加上根号三倍的 c h。 其实这就是最后的结论和解析的答案啊。解析的过程第三小问我老师就书写了，第二小问的话，其实就都有了，你把它正过来看的时候呢，就比较方便和比较简单了。这一小问总体来说它的难度还是有一些的，跟 忽视的最后一小问难度来相比的话，可能会难一点点，但是呢，我们还是能尽量的把第一小问都做出来，第二小问有没有时间做，能不能做，有没有思路就是另外一个问题了。 好的，那么这张试卷我们讲完了，总体来说它的难度我个人认为还是跟忽视相当，但是比忽视更难一点点。这是老师的一张自作卷，如果有问题或者是有错误的，大家可以指出来，我们可以一起讨论。 好，那么这张试卷我们就分析到这，如果有问题，同学也可以私信老师或者是在评论区评论，关注老师我们会分享更多的初高中知识点，我们下次再见。
251呼市杜老师（初升高版)
47:28查看AI文稿AI文稿同学们，我们上一次看了呼市的初三异模卷，今天我们来看一下包头的异模卷，它的难度到底怎么样？这里我们先说结论，它的整体难度会比呼市的难一点，那么只有一点吗？ 从选择题和填空题的整体难度上来说，他的一些秒杀问题就很少了，基本都是要通过计算并且运用角之间的关系得到的。大题的话， 圆的第二小问比较难，函数整体应用题跟忽视一样，都不是很难，他反而有可能会比忽视简单一些。但是几何的最后一小问还是有点难。好，下面我们来看一下选择题。 第一题，泰山是五月中的冬月，有五月之首，天下第一山之称。三月的泰山，山脚的平均气温为零上九度。好，零上九度我们去做 正九度，山顶的平均气温记为零，下三度就是负三度。山角的气温比山顶高多少来？山角是正九，山顶是负三，高的话，正三减去负三。答案是九加三为十二度。选 c。 在音乐的创作过程当中，数学元素无处不在，下列音乐符号中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是什么？是中心对称图形， 围绕一个点旋转一百八十度的图形能与原来图形重合，那就是中心对称图形。那么轴对称它有对称轴，左右两侧的图形能完全重合。 来看 a 选项，它是什么？它是轴对称和中心对称。那么排除 b 的 话，它是一个轴对称图形和对称轴呢？在这里好，排除 c 的 话，它是一个中心对称图形，它不是轴对称。 d 的 话，它是一个轴对称图形，所以选的是 c 选项。 第三题如图一，某长方体形状的容器，长十厘米，宽八厘米，高十六厘米，容器内原有水的高度为六厘米，剩余的这些空白部分的高是不就是十厘米？ 那现准备向它继续注水，用 v 表示新注入水的体积，则 v 的 范围是 b 的， 范围肯定得大于零，这都不需要考虑，它还要小于等于空白部分的体积，它装满是不是就不能装了？空白部分的体积就是考的长方体的体积，长乘宽乘高，高是十，宽是八，高是 十，所以应该是八百，那么取值范围就是零到八百。选 b 四，随着人工智能时代的到来，某学校开设了包含人工智能技术的四门兴趣课程，分别为 ar、 音乐创作啊，你是一、 三、 d， 打印与虚拟仿真，你是二，机器人编程与应用三、非遗文化 数字画四。你们四门课程分别用一、二、三、四来代替，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，那甲乙两名同学选择同一门的课程概率啊？比较简单的方法不会出错，那你就去画图。这是甲，这是乙，甲有 四种选择所对应的，在一的选择下，乙又有四种，好，分别把这个图画好了以后，咱就能知道一共有什么。十六种情况。 都选择同一门的课程的情况有，每一类里面是不是就一种？一共有四种，所以是十六分之四等于四分之一。选 d 选项，有的同学不画图也能做，因为 甲有四种选择，乙有四种选择，那我的分母的总情况是四乘以四，如果甲选择乙，乙是不是就只能选择乙？甲选择二的话，乙也只能选择二，所以这样的情况一共有四种。答案也是四分之一 好，也比较简单。第五题，在点光源 o 的 照射下，一块面积为五厘米的三角板硬质，硬质板即为 a、 b、 c 平行于投影面时形成的投影是三角形 d、 e、 f。 若 a、 d 和 a、 o 的 比是一比二， a、 d 和 a、 o， 那 么 a、 d 边太短了，应该比的是谁？应该是 o、 a 比上 o、 d 啊， o、 a 比 o、 d 是 二比三，所以三角形 b、 a、 c 和 d、 e、 f 的 相似比也是二比三，它们的面积比是相似比的平方，也就是四比九。所以 s 三角形 abc 的 面积比上 s 三角形 d、 e、 f 的 面积应该是四比九。三角形 abc 的 面积为五，要求 s 三角形 d、 e、 f 的 面积，那就交叉相乘就是 五、九四十五除以四选择 b 选项好。第六题，公园里有一个对角线相互垂直的四边形景观水池，对角线相互垂直来画一下。工作人员打算在水池中央的终点位置安置景观灯， 并将这些灯用灯带连接，形成一个新的四边形灯带。四边形灯带的形状一定是来终点考的是中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，比如说上面的这条线 就是下面这条边的一半，同时这条标也是它的一半。所以对边平行且相等图形，它首先应该是个平行四边形。 只有平行四边形这么简单吗？那肯定是不对的，肯定不止你俩也平行，这个角是九十度来平行，内错角同旁内角都有相应的结论。我用同位角，你俩都是九十度上下两边平行，那么同旁内角互补，所以这个角也是九十度。好，这个角也是九十度。 在一个四边形当中，三个角为九十度，图形就是矩形，所以它其实应该是矩形。选 b 选项， 当然，菱形是不是菱形得需要什么四边相等，明显他不知道外面这个对角线是否相等，如果外面这个图形的对角线相等，他就是菱形。但是这里没有告诉我这个条件。 第七题，小明和爸爸从家出发，前往离家四千米的图书馆。为响应绿色出行的号召，小明骑自行车，先处罚，十分钟后爸爸骑电动车处罚。就说小明骑的时间长呗，那小明的时间减去爸爸的时间 就等于十分钟。好，两人同时到达图书馆，已知电车的速度是自行车速度两倍，射自行车的速度是 x 千米每小时。对了，我们前面是分钟，所以这里有单位的转换，十分钟也可以表示为 六十分之十小时，时间等于路程除以速度。小明的时间是四千米，除以他的速度就是 x 来减去爸爸的时间，四除以二， x 就 等于六十分之十。 来看一下选项， a、 b 没有进行单位的转化， c、 d 来看一下谁的数值更大。选的是 d 选项。最后一个如图三，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 b、 c 是 九十度， a、 b 等于三， b、 c 等于四，所以 a、 c 就是 五、三四五个股数。 以 c 为圆心，适当长为半径，画弧，分别交 b、 c、 a、 c 于 m 和 n， 再分别以 m 和 n 为圆心，大于二分之一 m， n 长度为半径，画弧，交于点。记 好，这里为止。这图作图问题在我们以前的考试问题当中是会有大体出现的，但是后来我们因为这个试卷的题量减少以后，作图题就不再出现了，他会融入到选择和填空题当中。我们在中考阶段选择两个作图，一个是角平分线， 一个是垂直平分线。这道题他考的就是角平分线的做法，你得知道前面做的是什么？到这个红线为止，前面的描述就是做的角平分线，所以在这里这两个角就相等， 并且等于大角的二分之一。继续做射线， c、 g 交边， a， b 于点， d 过 b 点做 b、 f 垂直于 cd 好， 你又是垂直，你又是角平分线。三线合一的逆定律就可以说明 b、 c、 h 是 一个等腰三角形，所以这里的 c、 h 就 等于 bc， 等于四， a、 h 就 等于五减四，等于一 好的 b、 f 的 延长线交 a， c 于点 h 或 a 做平行于 b， c 的 直线为 e 好， 平行所得的三角形相似，这里面三角形 a、 e、 h 就 相似于三角形 c、 b、 h。 最后要求的是 e、 h 的 长，那我们就设长为 x， 问什么设什么？ 那么设长为 x 了。以后我如果用三角形的相似，是不是也要求出 b、 h 的 长，那么 b h 的 长，它是 b e 减去 e、 h， 所以 我需要用到 r t 三角形 a b、 e。 因为 b、 a、 e 是 九十度，所以 b、 e 的 平方就等于 a、 e 的 平方，加上 a、 b 的 平方就等于根号下九加一等于根号十，所以 b、 e 的 平方就是十，当然 b、 e 的 话就是根号十， b、 h 的 话就是根号十。减 x 好。三角形的相似，我来写出对应边乘比例， a、 h 比上 h， c 就 应该等于 e h 比上 b， h， a h 是 一 h， c 是 四， e h 是 x， b h 是 根号十减 x 来分式方程我就直接交叉相乘了，大体你得先去分母等等。四 x 就 等于根号十，减 x 来移项五， x 等于根号十，所以 x 就 等于五分之根号十， e h 的 值就是五分之根号十选 a 来这个包头的小题，它还是有一定计算量的，还是需要进行计算或者是仔细思考的，它的整体难度比忽视的难度高一些。下面我们来看一下填空第九题，某类简单化合物中，前四种化合物的分子结构模型，如图四， 其中灰球代表的是碳原子，白球代表是氢原子。按照这一个规律，第 n 种化合物分子结构模型当中的氢原子个数考的是氢原子，那么白球好来，第一张图是四个，第二张图是六个， 第三张图是八个，第四张图是十个，它的个数就用 n 来表示，它就是二， n 加二，这就比较简单了。 第十题，某社区有一块锐角三角形草坪，视野图如图所示， bc 是 六十，且 ab 和 bc 夹角是六十度。为了方便居民出行，设计从点 c 修一条小路，那么要使得步道最短。 什么是最短？就是点到直线的距离，也就是最短，所以我通过 c 去做 ab 的 垂线，这一条垂直的距离也就是最短的。这不就考的是 直角三角形的特殊三角函数吗？三十度的角所对应的直角边是斜边的一半，所以你 bc 是 六十，那么它所对应的另外一条直角边就是 三十，它的高就是三十倍。根号三一比二比根号三，这个小三角形大家一定要会背，它的三边比三十度的角所对应的直角边是最短的，是一 斜边时它的两倍二。另外一条直角边就是根号三，所以一比二比根号三就一定要背好。十一题，如图六，在矩形 a、 b、 c、 d 中点 e 在 边 a、 d 上 连接 b、 e、 c、 e。 若角 e、 c、 b 是 四十五度，好来先标角四十五度，矩形垂直，这个角也是四十五度，这个 d 又是九十度，所以它也是四十五。那么 e、 d、 c 就是 一个等腰直角三角形角 c、 e、 d、 c、 e、 d 就是 四十五度，等于两倍的角 a、 b、 e， 那 么 a、 b、 e 就是 二十二点五度， 是吧？好，那么这个角就可以用九十减去二十二点五度，它就是六十七点五度。 这个三角形当中还剩一个角角 b、 e、 c 也可以用三角形的角和来表示，它就等于一百八十度，减去四十五度，减去六十七点五度， 就等于六十七点五度哦，所以 e、 c、 b 是 一个等腰三角形， e、 c 就 等于 b、 c。 原来如此， a、 b 等于五，对边相等 d、 c 也就等于五，所以 e、 d 也等于五，那么 c、 e 就是 它的斜边，就是五倍。根号二也行，所以 b、 c 就是 五倍。根号二。 最后要求 a、 e 的 长，那么 a， e 就是 a， d 减去 e、 d 就是 五倍。根号二减五 比较简单来，最后一题，十二题，如图七，点 p a， 逗号二和点 a 在 反比例函数图像上连接 o p 和 o a， 若 o a 和 o p 相等，角 o p、 a 又是九十度，则求 k 的 值。 在反比例函数和函数当中，如果图像上有垂直的角，并且两边还相等呢，我肯定是构造三角形的。全等怎么构造？通过点去做垂线，我通过 p 去做 y 轴的垂线， 通过 p 做 x 轴的垂线，再通过 a 去做这条垂线的 垂线。我设这个，你是 b 点，你是 c 点，那么三角形 o、 p、 b 就 和三角形 a， p、 c 全等。通过 p 点的坐标，我就可以求出 a 点的坐标。 a 也在反比例图像上，所以横纵坐标的乘积就是 k， 通过列方程就可以求出 a， k 的 值。好，那么下面我们来书写一下。因为 p 点在反比例图像上，这里的 a 比较多余，我把它用 k 来表示，所以 p 点的坐标纵坐标是二，横坐标就是二分之 k， 当然 k 小 于零，所以二分之 k 也小于零。 o b 的 横坐标这段长度就是负二分之 k， 因为 k 是 个负数， a， 三角形 a， c， p 全等于三角形 o， b， p， 所以 a， c 就 等于 o， b 就 等于二，所以 a、 c 就 等于二。好，来， p 点的坐标呢？是 二分之 k。 逗号二， a 点的坐标，我们来看一下。横坐标应该是两点的，和在取相反数，所以 a 点的横坐标应该是二分之 k 减二，纵坐标就是 这一段的长度，这段长度应该是 p d 减去 p c， p d 的 话是 p 点的纵坐标二， p c 就是 p b 的 长度， p b 的 长度是负二分之 k， 所以 它就是二。加上二分之 k， 好， a 点的坐标用 k 表示出来以后，因为 a 点也在反比例的图像上，所以横纵坐标的乘积等于 k， 二分之 k 减二的差乘以二分之 k， 加二的和就等于 k， 这个就是一个平方差公式， a 平方减去 b， b 方等于 k 就是 二分之 k 的 平方减去二的平方等于 k， 四分之 k 方减四等于 k， 这个时候就去解关于 k 的 一元二次方程。先去分母吧， k 方减去四， k 减十六等于零。这道题没有办法通过因式分解来解决，那我就可以用配方法，公式法都可以，我们用配方法， k 方减四， k 加四就等于 二十，所以 k 减二的平方就等于二十， k 减二就等于正负根号二十的话就是二倍根号五， 所以 k 就 等于正负二倍根号五加二，当然 k 只能小于零，所以最后 k 就 只能等于负二倍根号五加二，它就等于二，减去二倍更好。 填空题的整体难度呢，我个人认为也不是很难，但是呢，它涉及到一些三角形的运算，同学在三角形的全等相似，包括在函数部分有一些漏洞或缺陷的话，他也会觉得很难 啊。其实选择和填空的这个整体难度呢，是大于忽视的。解答题十三题计算，大家自己去算，我就不说了，十四题 他跟忽视有一些区别，忽视需要计算，他一般不太需要，但是第二小题可能要一点点。让我们看一下。甲乙两人是某甜品店的烘培师，以下是他们在季度技能考核中的甜品制作得分 及当地近五年烘培行业甜品制作技能大赛的相关信息。信息一，这个是甲乙两人季度技能考核的得分表， 甲的考核次数这么多，乙的考核次数乙的分数是这么多，其中甲乙的得分的平均数是都帮我算好了，方差是就都算出来了。星期二，当地五年的烘培行业甜品制作技能大赛获奖分数线如下表所示， 根据以上信息及你所学的统计知识，解决以下问题。第一题，根据平均数与方差要讨论两个内容，第一个是平均数，第二个是方差。综合评价加一两人的季度技能考核表现。 所以有些十四题的同学还有可能会扣相对应的分数，就是他没有根据题目要求少写了一类，所以当然会扣分了。来看平均数， 甲的平均数是八十八点七五，乙的平均数是八十九点五，很明显，乙的平均数大于甲的平均数。 考试的时候能写什么？能把相应的数据写下来，他也能得一些分数来。甲的平均数呢是八十八点七五啊， 乙的平均数呢是八十九点五，那么甲的平均数小于乙的平均数，所以说明甲的平均成绩比乙高，大家自己补充，这是平均数，那么方差呢？ 同理，甲的方差是十七点九三七五，乙的方差是一点二五零零，甲的方差 明显大于乙的方差。方差来看，甲的成绩不稳定，乙的成绩更稳定，那么方差体现的是这组数据的稳定情况， 所以乙的成绩更稳定。综合以上情况，乙的平均成绩比甲高，乙的成绩又比甲稳定，所以乙的表现更好。哒哒哒哒哒， 这两类都要说明你的表现更好。好，这里没有空白地方，我就捡起来，但是大家一定要写完整好。第二小问，结合当地近五年的烘培行业甜品制作技能大赛获奖分数的 平均数，同学没有看清楚题目要求平均数，那么平均数哪来需要我通过这个表格计算？ 为确保获奖，请推荐一人参赛，并说明理由。首先，我得把这几年的平均数算出来，就是八十七加九十一加八十八加八十九加九十的和除以五 来总成绩平均分是八十九分，那么甲的平均数是八十 八点七五，小于八十九， e 的 平均分是八十九点五大于八十九，所以 是不就推荐 e 会更好一些，而且 e 的 方差更小，他的这个成绩更稳定，所以获奖的可能性呢就更大。假的话，他的这个成绩不稳定，所以他有可能成绩波动大，风险也就较高。综上，推荐 e 去参加。 第三题，若要从中选择一人进行高级甜品制作培训，从发展潜能的角度分析，你认为谁更合适 发展潜能？什么是发展潜能？就是潜在能力。我会选择讲为什么，因为从发展潜能的角度看，你的成绩虽然波动大，但是他的最高分是不是就达到过九十五分？ 但是乙的话，他虽然成绩比较稳定，他最高分是不是只有九十一分？从发展的空间上来说，甲的夸展空间更大，乙的提升空间相对小， 所以从上限来看，选甲更合适，因为甲的成绩上限更高，那么经过培训之后呢，他的潜能就更大， 所以这个三个小问都是要去说明理由啊。就是十四题。那么忽视的十四题还是需要进行计算的，那么包头的十四题大家只需要经过分析就可以了。 来十五题。某农资店为了满足春耕的需求，购进甲乙两种化肥，二零二三年，甲乙两种化肥每件的进价均为一百元，甲合乙都是一百。 随着生产技术的优化，到二零二五年，甲种化肥每件的进价年均下降二十，年均下降二十是啥意思？ 每年都下降二十元，那么一年下降二十元，二三年到二五年有几年？有两年，所以他一共下降了是四十元。很多同学在这里都会出现错误，我就觉得他下降了二十块，后面的计算肯定是有问题的， 降了四十元以后，他的现在的每件进价是多少？就是六十元。乙种化肥每件进价降至六十，他已经把 钱告诉我了。第一问，经过两年的调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降了多少百分比？ 那第一问号的是一元二次方程设一种化肥每年平均下降的是百分率为 x， 那 我就不写完整了，大家写的时候注意了，根据方 提议，我可以列方程，那么以前是一百块，每年就是一年下降 x， 它就乘以一减 x， 如果是两年的话，我就给他加上平方，就等于六十四元。 所以解这个一元二次方程就可以得出 x 的 值，那么 x 一 就等于零点二， x 二就等于一点八，下降的百分比能大于一吗？肯定不行，所以最后的结果就是零点二。乙种化肥每件的进价平均每年下降 百分之二十。来答，写完整。第二想问，二零二五年，该农资店一次性构建甲乙两种化肥共一百件，肯定是问的是一分一次不等式了，总资产不超过六千两百元，则至少构建甲种化肥多少件。 前面设过 x 了，我第二小问，就设 y， 购进 y 件，假乙的话，就是一百减 y 件，好来，那甲的件数是 y， 那 么它的价格是六十，就是六十， y 加上 e 的 数量乘以它的价格，它的价格是六十四，数量是一百减百，总体的金额要小于等于六千两百元，所以解这个不等式， y 就 大于等于五十元， 至少够进加重化肥五十件。十五题，我个人认为他的难度比忽视的应用题简单很多，因为他的计算量并不是很大，考的是一个一元二次方程和一元一次不等式的难度呢，就比较小，计算量也比较小。 好来十六题。十六题圆它第二小问可能有一些难，大家这个需要注意好，我们来看如图八、 a、 b 是 圆 o 的 切线， e 为切点，我就连接切点和圆心，你就是垂直，以 o 为顶点作角 c、 o、 d 交圆 o 于 c 点，就是这个角交 a、 b 于点 d 连接 c， e 交 o， d 于点 f。 第一小问，角 o、 c、 f 和角 c、 e、 d 的 关系，请说明理由。 那么角 o、 c、 f 等价转换角 o、 e、 c。 因为 o c 和 o e 相等都是半径，所以 等边对等，角，角 o、 c、 f 就 等于角 o、 e、 c， 你 俩相加是九十度，所以你俩相加也是九十度。好，我们来书写一下。因为 o、 c 等于 o e， 所以 角 o、 c、 e 就等于角 o e、 c。 因为角 o e、 c 加上角 c、 e、 d 等于九十度，所以角 o、 c、 f 加上角 c、 e、 d 也等于九十度。 这第一小问非常简单，数量关系来第二小问，若圆 o 的 半径为二，角 c、 o、 d 是 九十度，你是九十度， 那 cosine c 是 五分之二倍，根号五，求 o d 的 长，那么 o d 的 长肯定是想放在 o e、 d 这个三角形当中去求的，这里面主要有一个信息点，就是 cosine c 等于五分之二倍，根号五。 根据三角函数的性质，我得把角 c 放在直角三角形里面去求。 cosine 的 值是 角菱边比斜边， cosine c 的 菱边和斜边分别是 o， c 和 c f， 但是我求这个 c f 对 于我来说其实没有什么太大的作用，可是如果我能知道对边比斜边的长， 或者是它的比值，我就能求出 o f 的 长度。所以在这里面三角函数的一个运算大家需要掌握一下。我们常见的方法呢是画一个小的角三角形， 设你为 c， 那 么 cosine c 是 邻边比斜边，你是二倍，根号五，斜边就是五，它的对边勾股定律就是根号五，所以在这里 sine c 就是 根号五，比五， tangent c 就是 根号五，比上二倍根号五就是二分之一。好，这些数值我先备用，因为下面我不清楚用哪个三角函数会更好。来接着看 要求 o、 d 的 值。这一个这道题突破点就是第一小问，为什么要让我找他俩的关系， 角 c， e、 d 又有什么样的作用呢？我就可以从第一问得到一些启示。大家注意了，有些问题当中他有可能比较隐晦， c， e、 d 这个角有什么样的作用呢？ 如果在这里这个 c， e、 d 能和这个 e、 f、 d 相等，那么下面这个三角形就是一个等腰三角形，它到底相不相等呢？我们可以来看一看，因为刚刚第一问说的是角 o， c、 e 加上角 c， e、 d 是 九十度， 在这个角三角形里面， o c e 加上角 o f c 也是九十度。 o， f， c 和 e f， d 是 对顶角，对顶角相等，所以正好 e， f， d 就 跟 e d 是 相等的，所以它确实是一个等腰三角形， 那 e， d 就 和 f d 相等了。如果我能求出 o f 的 长的话，整个三角形 o， e， d 的 三边，我就可以用勾股定律去设 x 的 方法来解决。所以这道题我们来从头书写一下。因为角 o， c， f 加上角 c， e， d 等于九十度， c， o， d 也是九十度，所以角 o， c， f 加上角 c f o 也等于九十度。这个的话，可以这个前面再加一个，就是在三角形 c， o， f 当中，角 c， o， f 是 九十度， 所以才得到了这个老师因为节约时间，可能会有些简写或者是跳步骤，大家有不会的或者是不懂的可以再问。那么你俩相差是九十度了以后，所以角 o， f， c 就 等于 角 f， e， d。 因为角 o， f， c 等于角 e， f， d 对 顶角，所以角 f， e， d 就 等于角 e， f， d， 所以 e， d 就 等于 f d。 好， 我就开始设设边长，我就设 e， d 等于 f， d 等于 x， o， f 的 长度怎么求？我用 cosine c 这个三角函数来求，但是 cosine c 呢？不涉及 o， f 的 边，那我尽量是使用一下子就能得到结果的 tangency， 因为 tangent c 是 二分之一，等于 o f 比上 o c， 因为 o， c 等于二，所以 o， f 就 等于一， o， d 就 等于一，加上 x。 在 r t 三角形 o， e， d 中， o， e 的 平方加上 e， d 的 平方等于 o， d 的 平方，二的平方加上 x 的 平方，就等于一加 x 的 和的平方。好，所以就是解方程了。 四加 x 平方等于一加二 x 加 x 平方 x 平方 x 平方。约掉二 x 就 等于三 x 就 等于二分之三，所以 x 的 值就是二分之三，那么 o d 的 长就是一加 x， o d 就是 二分之五。好，这道圆的第二题还是有一些难度，大家有可能有很多同学想不到，那如果没有想到的话，有一些 角的关系和线段关系，我们还可以罗列一下，尽量是能得一分得一分嘛。 来十七题还是一道这个二次函数与实际问题结合的，它本身难度就不会特别大。 图九一，小球从斜坡 o 处抛出，球的抛出线路可以用二次函数来刻画，斜坡 o c 呢，可以用一次函数来刻画。其中 x 为小球抛出的水平距离， y 呢为小球抛出的高度。 小球上升过程当中，当高度为六米时，小球的水平距离为二， 这个说明小球的曲线经过的是二逗六。第一小问，求这个二次函数的表达式以及小球能达到的最高高度。表达式的话，我就把二逗号六代入到二次函数里面。求出二次函数的 一般是最大高度，就是求最大点，也就是顶点的纵坐标。好，我们现在第一小问将二勾六代入 y 等于四 x 减去 a x 的 平方当中解得， 大家参考这上面完成， a 就 等于二分之一，所以函数解析式， y 就是 四 x 减去二分之一 x 的 平方。 那么想求顶点的坐标，我可以通过配方法，也可以通过公式法都可以。下面呢，老师用配方法给大家演示一下，把负二分之一提取出来，括号里面就是 x 平方减去八， x 想要给它凑一个完全平方，我得加上一个十六，再减去一个十六，所以它最后的结果就是负二分之一 x 减去四的平方加八，所以它的最大高度就是八了。当然知道它是抛物线，开口是向下的嘛，它一定有最大值， 大家可以写的完整一些。第二小问，小球的落点是 a， 求 a 点的坐标，那么大家从图上面很明显的能发现， a 是 一次函数和二次函数的交点，所以在这里我可以把这个抛物线和斜坡的解析式连立，得到方程组。 第一个 y 等于四， x 减去二分之一 x 的 平方。第二个 y 等于二分之一 x， 通过点力就可以消圆消掉 y。 四， x 减去二分之一 x 平方就等于二分之一 x。 整理这个方程， x 平方减七， x 等于零，提取共因式，所以 x 一 等于零， x 二等于七，那么 x 等于零就是圆点， a 点坐标，横坐标就是七，将七再代入圆式， a 点坐标就是七，逗号二分之七。 前两个小问还是非常简单，跟我们忽视的考试卷是一样的好。第三小问，他的问题比较短，若在斜坡 o c 上距离 o 点的水平距离为六米的位置，设置一个高 两米的数值挡板，判断，想求能否越过该挡板，他要是在斜坡上去画挡板，他其实问的就是我。当横坐标为六的时候，带入抛物线的解析式，看看它的长度，它的高度能否大于这个 两米，再加上我下面所对应的这个斜坡的高度，所以这时候不是直接是抛物线的距离大于挡板的高度就行了，我后面还得再加上一个斜坡的长度。那么我们先来把 抛物线的高度算一算，将 x 等于六，代入 y 等于四， x 减二分之一 x 的 平方当中，我们能发现它的 y 就 等于六， 斜坡的高度是多少呢？再将它带入到一次函数里面，将 x 等于六，带入 y 等于二分之一， x 就 等于三，说明这个时候斜坡的高度就为三，三加上二就等于五米嘛， 说明我总体的高度是五米，但是抛物线的最高高度是六米，因为六大于五，所以小球能过挡板，能过挡板 好。那么十七题，我个人觉得第三小问比忽视的第三小问简单一些，不需要再去设点的坐标来。十八题，最后一道题，几何问题放在最后，就说明它还是有一些难度的。 从特殊到一般式研究数学问题的一般思路综合实践小组以菱形为背景，对旋转中的线段的数量关系开展研究，如图示，菱形 a、 b、 c、 d 与菱形 e、 f、 c、 g、 b、 c 大 于 f、 c 角 b、 c、 d 等于一百二十度点 e、 f 分 别在边、 bc 和 cd 上。如图一， 菱形 e、 f、 c、 g 绕 c 点顺时针旋转点 f 在 菱形 a、 b、 c、 d 的 内部连接 b、 f、 f、 g、 d、 g。 当 f、 b、 g 三点共线时， 第一小问问三角形 b、 c、 f 是 否与三角形 d、 c、 g 全等，为什么？大家问全等，那么一定是全等的了，为什么？那我就去证明三角形全等呗。这一道题主要还是什么？考的是旋转，旋转那旋转多少度还没有说清楚， 但是我估计肯定是跟这个一百二十度有关的，要不就是一百二，要不就是六十。那如果有的题目出现了四十五度的，九十度的这样的这个角的话，一般旋转就是跟他俩有关了。但是这道题呢？他第一小问还是没说具体旋转多少度的，那我就先不考虑， 只是来证明全等的话，那我个人觉得还是比较简单的。证明全等来我们找条件，首先 b、 c 和 c、 d 相等，因为你是菱形嘛，四边相等，其次里面还有个小菱形 c、 f 和 c、 g 相等，那么最后旋转 两个角相等，好来说明理由。第一小问，因为 a、 b、 c、 d、 e、 f、 c、 g 都是菱形，所以 b、 c 就 等于 d， c、 c、 f 都等于 c、 g。 因为角 b、 c、 d 是 一百二十度，角 f、 c、 g 也是一百二十度， 所以角 b、 c、 f 就 等于角 b、 c、 d 减去角 f、 c、 d 就 等于一百二十度。减去角 f、 c、 d。 同理，角 d、 c、 g 也是，它是等于 f、 c、 g 减去 角 f、 c、 d 也就是一百二十度，减去角 f、 c、 d， 所以 这两个角就相等。那么在三角形 b、 c、 f 和三角形 d、 c、 g 中， bc 就 等于 dc。 角 b、 c、 f 就 等于角 d、 c、 g、 c、 f 就 等于角 c、 g， 所以 角 b、 c、 f 就 全等于三角形 d、 c、 g。 那 是 s、 a、 s 啊。第一问，证明全等我相信大家都能做来。第二问， 请写出 b、 g、 c、 g 和 d、 g 之间的关系。其实第二问也不难，但是我相信有数量关系的时候，很多同学就都懵了。来，我们先找线段， b、 g、 b、 g 是 最长的这条线段，那么还有 c、 g、 c、 g 和 c、 f 相等， d、 g 和 b、 f 相等。这里我们简单书写一下， b g 应该是 b f 加上 f g 的， 因为第一问全等嘛，所以 b f 就 等于 d g， 那 么 d g 加上 f g 就是 b g， 还有 c g 这条边，那我 f g 和 c g 有 怎样的关系？这两条边有怎样的关系？那就是本道题的重点了，去找它俩的关系。 f g 是 这个三角形的最长的一条边， c g 是 菱形的一边，这个角是一百二十度， 它是歪的，那么如果把它正过来的话，不就是在看的是一个一百二十度的顶角的等腰三角形，它的腰和底边的关系吗？我把它正过来，这是 c， 这是 g， 这是 f， 通过 c 去做垂线， 你是 h 的 话，这里面等腰三角形三心合一嘛，每个角就是六十度了，这个小角也就是三十度了，你就是三十度六十度的特殊的三角形。 所。所以这里 g h 比上 c g 就 等于六十度， 等于二分之根号三，那 g f 等于两倍的 g h g f 比上 c g 就是 两倍的 g h 比上 c g 就是 根号三，所以 g f 就 等于根号三倍的 c g， b g 就 等于 d g 加上根号三倍的 c g。 好，中间有一些过程老师没有写，省略了，大家可以这个再补充一下，因为全等的话，你得书写第一小问带来的结果。第一小问全等之后才能得到 b f 和 d g 相等，最重要的还是找的是 f g 和 c g 的 关系好。 那么第一小问的两个小问都是没有那么难的，大家可以通过三角形的。两个小问都是没有那么难的，大家可以通过三角形角之间的关系去得到。 在这里一般同学的话就都没有时间做了，那么他就会把第二小问给省略那。但是第二小问其实如果你要上到九十多分的话，你还是得看一看，但第二小问呢，确实是有一些难度，我们来分析分析。 如图十杠二、菱形 e、 f， c， g， 绕 c 点，顺时针旋转点 f 在 菱形 a， b， c， d 的 内部连接 b， f， d， g 延长 b， f， 将 d、 g 与 h 点连接 c、 h， 请写出 b h， c h， d h 的 数量关系，并说明理由。找的是 b h， 这条线段就更长了。其实第二小问的话，它就是一个类比的推理。首先整道题通过旋转得到的，所以我们其实在做题的过程当中，也要运用旋转的性质， 或者呢将三角形进行旋转得到，这是第一个。第二个的话，通过第一问的第二小问我们知道的是，我需要找到一个特殊三角形，它们之间边和腰的关系， 所以其实第三小问或者是第二小问啊，它暗含了内容，就是我需要去通过旋转，并且运用第一问的第二小问的一个这个方法去计算第三小问的结果。这道题哦，涉及的是 bhd h 和 c 之间就有一个小三角形，就是 c d， h， 我 需要通过这个三角形将它的边长转化到另外一个三角形当中， 所以这道题我就需要去构造跟它全等的三角形，那么我可以将这个三角形通过旋转得到。怎么旋转？从哪旋转？看图十杠一，它是以 c 点为旋转中心的， 这道题我也可以通过 c 点去旋转 c、 d 这条边始终跟 b c 相等，所以其实最好我可以通过旋转将 c、 d 边旋转到 c、 b 边， 这个角是一百二十度啊，旋转的位置和这个角度就有了。以 c 为旋转中心，逆时针旋转一百二十度，得到三角形 c、 d h 撇，那么其实就表示为 c b h 撇。好，我来画一画这个图，应该是这样吧，将三角形 c、 d h 绕 c 点旋转一百二十度，得到三角形 c b h m 这个点吧。我把这个三角形旋转过来以后，旋转之后的三角形就跟原来的三角形全等， b h 就 等于 b m 加上 m h。 因为 c b m 三角形和 c h、 d 三角形全等，所以 b m 就 应该等于 d h。 题目问我的是 b h 有 了， d h 也有了，还剩一个 c h。 这道题的重心就是找 c h 和 m h 的 关系，那么来看， c h c h 是 这条边， m h 是 这条边。哦，这又是以 一百二十度为顶角的等腰，三角形之间，它腰和底边的关系就是根号三倍。上道题我们不是算出来了吗？根号三倍。 所以其实第三小问我再通过前引小问的书写方式再写一遍， m h 就 等于根号三倍的 c h， b h 就 等于 d h 加上根号三倍的 c h。 其实这就是最后的结论和解析的答案啊。解析的过程第三小问我老师就书写了，第二小问的话，其实就都有了，你把它正过来看的时候呢，就比较方便和比较简单了。这一小问总体来说它的难度还是有一些的，跟 忽视的最后一小问难度来相比的话，可能会难一点点，但是呢，我们还是能尽量的把第一小问都做出来，第二小问有没有时间做，能不能做，有没有思路就是另外一个问题了。 好的，那么这张试卷我们讲完了，总体来说他的难度我个人认为还是跟忽视相当，但是比忽视更难一点点。这是老师的一张自作卷，如果有问题或者是有错误的，大家可以指出来，我们可以一起讨论。 好，那么这张试卷我们就分析到这，如果有问题，同学也可以私信老师或者是在评论区评论，关注老师我们会分享更多的初高中知识点，我们下次再见。
705呼市数学吴老师
07:32查看AI文稿AI文稿其实就变成了 y 等于 k， 函数不能是含有 x 的。 在分母上示范比例函数淘汰第三题， x 的 次数是二，这是二次函数淘汰第四题， y 等于负零点五， x 减 e， k 和 b 都是常数，写 k 不 为零，是一次函数。正 确第五题遇到有括号的鲜花间展开得到 y 等于二， x 加六，完全符合定义，是一次函数。结论就是一次函数有一和四和五，正比例函数只有一。最后看一道高频考点，函数求解题一之外等 n 平方四方再加三十一次函数，求 n 的 值 描出来。第三步，拿出尺子 过来的我们在画面上准备了一根白色 零点，经过二四象限，小于零点下经过二三四象限，脑子里有着 不带进去算算出来 y 等于零点五一。 我题目说的是正比例还数，那就只有一个未知 数，用加减消元法两个四字上下。
6274数学rap思维
01:41查看AI文稿AI文稿好消息！六月份中考数学大题考察范围出来了！就从这八道题中出题！刚刚接到两个新通知， 第一个就是中考出题人已经开始封卷出题了，进小黑屋了，时间定在六月十三、十四、十五这三天进行。第二个好消息就是六月份中考数学压轴题！就从这八道题，从现在开始，每天吃透一道， 中考直接躺赢了！现在全网都在说，这届初三生才是最幸运的一届，抓紧记！第一个，二次函数的最值问题。第二个，取值范围问题。第三个，二次函数与相似三角形。第四个，最值问题、第五个，二次函数的图像与几何综合题。第六个，公共点问题。第七个，二次函数与一次函数的焦点问题、 第八个，存在性问题。以上这些考点不用再去乱找资料了，这套新华书店的中考数学压轴题全部给你总结好了，选择、填空解答新题型四合一， 包含了中考数学能考到的所有压轴题，你像二次函数与相似三角形，它考察你多个知识点的综合运用。很多孩子一看题脑袋就蒙了， 直接把答题方法、答题步骤涉及到了考点，在原卷上给你标注的清清楚楚，一步一步教咱的孩子踩准得分点。中考必考的新情景、新考法也整理好了，你像传统文化的题目啊，跨学科融合题目啊等等，中考怎么考咱就怎么练，把考点和题型提前吃透，上了考场就跟回家一样熟悉。 另外，扫码有三十套中考真题，提前适应考试强度，认识考试规律，考前用好这张卷子，等到考数学的时候，你就知道自己有多牛了！
27班主任范老师
00:41查看AI文稿AI文稿真正的学霸一定会早早吃透函数，因为他清楚的知道，函数题就是拉开分数的关键。就用作业帮的这本函数题型大全家长再也不用到处给孩子找题做了。 他把初中三年要考的函数题型都给你整理好了。你比如常考的一次函数、反比例函数、二次函数等等考试必考的八十八个函数题型，这本书全都覆盖了 每一种函数。先给你梳理基础知识，然后通过例题教你解析思路，学会以后再去做后面的专项训练。全都是近三年的中考真题，不会的扫码就有名师视频讲解，答案解析，单独一本，每一步都有详细的解析步骤，孩子自己在家就能学一套书，可以用三年，赶紧给孩子准备吧！
13小天数理世界
02:37查看AI文稿AI文稿道题是郑州市今年的中考模考题，很多同学读完题就蒙圈了，不知道该从何下手。今天上一个视频呢，我用图像法讲了，给大家讲了这道题， 那这个视频呢？我用另，我再用另外一种方法，就是连力方程组，看有没有实数解来解答这个问题，大家可以比较一下，哪一种方法更简练好，还是先看题啊。 在平面直角坐标系统，横坐标和纵坐标之和为零的点称为零和点，这是一个新定义，什么意思呢？就是横坐标 x 和纵标纵坐标 y， 它们加起来等于零，加起来等于零，那这样呢？一个点呢？就叫做零和点，那 下面的几个要求的是下面几个有，有没有零和点，那有没有零和点，我们就看 他们连理起来看有没有解，如果有实数解，那么就有零和点，否则的话就没有零和点。好，我们来看一下他们连理，那这个 y 是 不是等于 x 加一啊？我把这个 y 换成 x 加一， x 加一，大家不用解，一看就知道 x 是 有解的，所以这个它有零和点。再看这个，那 x 加上负二， x 减一，负二 x 减一，它等于零，这个有解没有啊？很显然也是有解的啊， 有解了，所以这个也存在零和点，那这个呢？ x 加上 x 平方减二等于零，那这个算一下， x 平方加 x 减二等于零，那 d 呢？等于 等于九，那所以这个也是有解的啊，有两个解，那所以这个它也是有零和点。最后一个我们来看一下，那应该是它的 x 加上 x 分 之二等于零， 两边同时乘 x， 那 就是 x 的 平方加二等于零。大家看看这个 x 有 没有解？ 显然这个 x 是 没有解的啊，你求代数，也可以求判定式啊，判定式它这个小于零的， 所以这个呢就是要要填的答案，因此这个答案就是 d。 好， 大家比较一下，给上一个视频的两种解法，你认为哪一种比较简练？
24数学薛老师