湘教版必修二数学平面向量公式
高一的同学刚开学就会遇到一个坑，教材给你设置的大坑，这个视频速通平面向量，帮你避坑，省点脑细胞，把该拿的分拿了。有体系步步为营，没体 系，寸步难行。由王老师知识树给大家带来的必修二数学开整喽！这个地怎么着叫体系呢？你看，如果这棵知识树从 从头到尾包含所有的知识点和考点的话，那么落实到每一个章章结结，就好比说平面向量这一张吧，这地不要听别人说简单，或者是你自己手感做起来不是特别难就掉以轻心，因为在这棵枝树当中，他把各种的坑都给咱埋好了， 而这些坑倒也不是知识数的锅，而是教材他一开始就耍了小心机，所以在我们今天的这个视频当中，主要就是学习各种避坑攻略，一个视频把向量前期从概念角度埋的各种的坑，咱们都给它跃过去。 好。第一个，在素颜教材最开篇，我们还是要先定一个小目标，关于向量，一共是有四节内容，由于当前咱学的这玩意吧，叫做平面向量。对比之下，等到高二的上学期，就要学空间向量了， 顾名思义，空间向量那是在三维立体的世界，所以说平面向量就是对未来内容打基础呢。这个基础一共有以下的几个要点，第一个，概念相关，我刚刚说各种坑点就是在这。第二个你得会预算呀， 再复杂的预算也是由基本预算法则组合而来的，所以说咱现在呢，趁着这预算法则不难，给他吃透透的，未来的难题顶多就是增加点工作量而已。 好，第三个叫做平面向量基本定律。哎，这是什么理？重点来喽，等未来视频就会更到以及坐标表示，有些同学可能已经预感到了未来会学立体几何吗？那立体几何除了用几何的方式进行证明之外，用向量的方法来进行解答， 那也是咱基本操作之一，所以这坐标表示就在为那个时候的操作埋下伏笔。而最后个叫做平面向量的应用，什么海伦琴、酒勺都会在这分别出现，那么这个应用就叫做解三角形，什么正弦定力 于显定律，当年三角函数那些过去的记忆是不是又杀回来了？所以我会把这个地跟以前相关的内容用好像复习，但也没在之前的内容上练战，而是本着朝前看 向前行进的目标，给他稍带角的弄一弄。好，那我们就来从这一张的前沿开始喽。为什么素颜教材每每到这我还会给大家来看前沿？因为它是一个很好的引入过程， 咱学它是有啥用？我为啥要学它，就都在这块教材上暗示了。你看我们之前呢，研究一个量，更多的就是在意它的大大小小，多多少少，但你会发现这件事情来到了，比如说物理当中，就有点整不清楚了，好比说 小右和小倩这俩人拉个木块，一个的力量是三牛，另外一个力量是五牛，咱就是说合理是多少，你觉得是三加五等于八吗？ 还真不一定，如果这俩力的方向完完全全相同，那就相加，但是如果这俩力的方向哎，相反，一个三一个五，那抵消完事之后你会发现应该是五减三等于两牛，但更复杂的是，那如果它俩成一个角度呢？ 所以我们终于迎来了除了大小还有方向，这样数据的相关运算，咱得研究研究，而这个也会为未来的限性代数啊，高等数学的时候，大家才会学到为矩阵等等埋下基础。而咱此时一切的故事先从有向线段说起， 可是教材在这块坑也就来了，他说具有方向的线段叫做有向线段，没毛病，毕竟有向线段，这有向不就是有方向的意思吗？然后他就说，从 a 点到 b 点， a 为起点， b 为终点，你这有向线段，像这儿就是这样一个箭头，然后是 ab， 那他又紧接着说，向量可以用有向线段这个箭头，然后 a b 来表示。所以很多宝的是不是就把向量和有向线段画成等号了？那么王老师的问题来了，向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量，这个做法对不对？三 二一，哼哼，错的，但凡这地没试出个反常，我都不会问对不对。所以正所谓试出反常必有妖，他还真心是错的。为什么呢？因为我们一定要搞搞清楚，在概念上，项链他虽有大小有方向，但是 他不是钉死在某一个具体的位置的，而是他的这个大小和这个方向好比如说是朝东两长度，那么他的大小方向锁定之后，他可以移动， 只要我保证长度是二，然后我的指向是朝东，你管我在哪呢？对不对？我可以到处乱窜，我的长度，我的方向，我没有擅自更改，那你就挑不出我的理。 那为什么说它不是有象线段呢？宝子们，你们想什么叫做线段？就是它是由两点来确定的一个固定长度。那你想这个两个点在平面上，就像你钉在木板子上的两颗钉子一样，能移动吗？不能， 不准抬杠。那如果这两个钉子不能移动，那么这个线段能移动吗？那必须也不能。所以我们就明白了，如果说向量可移动是一个小精灵，那么这 钉在木板上的两个钉子所确定，这条线段他现在就毫无自由可言，他被钉死在这里了。所以你绝不能说向量就是有向线段，那这个地儿什么关系呢？要不然我怎么说这是教材埋的锅呢？ 他说向量可以用有向线段来表示，这纯纯粹粹是我们在表示上面寻求的一种方便手段。 所以欢老师给大家关于重点一做了一个详细的总结，有三大部分，第一部分，到底啥是项链？项链概念？第二个，啥是有项？前段有项，先段概念。第二个， 基于以上的理解，项链有两个重要的特性，请一定要记牢，是解析的时候，有了它你就不容易掉坑，是这样的，救命稻草。好，那么一个也来看，刚刚说了，项链是既有大小又有方向，那 提醒有向线段是固定的，而向量是自由的，所以他俩人不是一回事。好，那我们进一步看有向线段，具有方向的线段就叫做有向线段。 通常在有向线段的终点处会画一个箭头，代表他的方向，比如说在一个点是起点，在一个点是终点，那么这个箭头一画，哎，这个呢，就是有向线段了，而他起点 方向还有长度，就是传说中的属于它的三要素。所以学物理的宝子还记得我们在力的图式那个地儿，是也有过三要素吗？力的作用点、大小和方向， 那跟这完全匹配。当然话说回来，当时关于立还要学立的式意图，那地儿它就不像图式了，式意图就是意思，意思就不会要求那么严苛。可是立的图式，它在长度表示大小这件事情上都有对应的比例的 好，所以我们再拉回来，毕竟现在是数学的视频，有的宝子并不选物理，所以我们回归到数学。总而言之， 我这有向线段，如果一个为起，一个为中，那么由起点指向中点，有向线段就长成这个样子。而有向线段它当然是有长度的，你加一个长得像绝对值的这样的符号，我们一会也会讲，它表示的是这有向线段或者是向量的模长，那么这就专指它的大小了，不看方向喽。 再来说下面提醒向量的两个重要特性。第一个叫做平移不变性，虽然这个小精灵可以到处旅游，到处乱窜，但是它的大小方向不曾有一丝一毫的改变。第二，起点无关性， 既然它是可以到处乱窜的，所以它并没有一个固定的起点，当然也没有一个固定的终点。这就好比是像物理当中的力，你跟我说是水平向右，大小是五牛，那无论这个力作用在物体的左端还是右端，我们通常呢都 都是来进行这样的描述。那关于向量，第一个重点，完事再来看第二个重点，咱们节奏可以拉起一丢丢，几何表示就是这是起点，这是终点，这个有效间断代表的就是当前的向量。你也可以用小写字母就一个 a 来表示，只是宝子们，咱要注意，手写和印刷题有区别。你想， 如果是手写体的话，你加不加粗，黑不黑体这件事没有办法准确表示。每一个人的书写习惯不一样，比如说欢老师下笔特重，我内不加粗可能都比你加粗之后还要粗，所以这事闹不清楚。因此我们针对于手写是这么规定的，就 所有的手写体，你必须加箭头，甭管你是用大写俩字母还是小写一个字母，都加箭头。可是如果你是印刷体的话， 就可以用加粗的形式来代表这是一个项链了。你像这种小写字母 a， 但明显他有一个加粗的痕迹，那他表示就是项链。总而言之，表示项链不能出现歧义，这事很重要。 那我们来看第二个题型了，一共就仨，已经过四三分之一喽。好，第二个，项链的膜和特殊项链子话怎讲？啥叫膜？还记得我刚才说这个符号长得像绝对值似的不？所以如果你在一个项链两边住起小栅栏， 专指这个项链的大小，那么这就叫做项链的膜。而另外，在这个概念下面延伸出来的两个特殊的项链， 为啥是它来延伸呢？那我在这个地方给大家会划一个箭头，请注意来思考。你说，明明你在跟我讲项链的大小，然后你说这玩意产生了两个特殊的项链，凭什么？咱以后来说，因为欢老师要给大家加餐一道哦。请问如图， a 项链比 b 项链大，同不同意？ 那必须同意啊，你看这不是更长吗？所以说对对吗？对吗？哈哈哈，答案是错的， 所以又可能坑到了一些宝子。咋回事？你想哈，确实这里边有 a 向量， b 向量取自于教材， a 向量看着更长，但是大家都知道向量这个小精灵，他自始至终除了大小还有方向。那请问大小好像是能比？说你大一点，我小一点，可是方向能比吗？ 一个朝东，一个朝西方向，这东西不具可比性，所以说我们就一不做二不修针对于项链就是不能比它小，所以所有建构在这俩玩意要比比谁大谁小，这样的问题就大错特错了，咱就不用搭理他。那这个说完之后，我们再回归刚刚说项链的膜，你想这个膜有没有可能 是长度为零？哎，可以的呀，作为长度，固然长度不能是负的，对吧？我大不了就是没长度是零，我不可能是负的，还欠你的。那如果它的长度是零的话，你会发现这个时候方向不重要，因为在长度为零的基础上，它朝东南西北上下左右根本就没差别，而这种项链就叫零项链。 好，第二个你再来说现在它朝的方向呢，咱们不做约束，什么东南西北上下左右都可以，但是我们要求它的大小呢？固定叫做单位长度，或者叫做长度为一，也就是说我们要求它的大小固定下来了是一，但是我们不要求它的方向。那么这种项链叫什么呢？这种项链叫做单位项链。 问题来了，请问单位向量四个字一出，它是具体指某一个向量吗？完全不是，单位向量从来都不是特指某一个，而是在任何方向上都应该有这个方向上所对应的一个单位向量。比如说东方 选定这个方向，然后长度是一，那么这就是东方对应的单位向量。请问东方有两个不同的单位向量吗？那倒也没有，所有的咚咚咚都是一样的，就不要把它当成是两个三个了。所以这句话留给大家。再次说，单位向量不特指某一个，任何方向都有一个对应的单位向量。 好，我们就来到今天最后一个了，也算是难点之所在。因此他的母题我特意找了一些高考真题，而且他还暂时不杂揉其他板块的知识点。然后我们就一起来看一看喽。贡献向量和平行向量。何老师在这是给教材填坑来了，他在这总标题当中说相等相等和贡献相等， 那我就会有感觉，相等和共线，这应该是两个概念。结果我上来第一个概念，这个蓝色体部分啊，它是平行向量，哎，既不是一，也不是二。然后我读啊读啊读，那后来又出现相等向量。我再读啊读啊读，后来又出现共线向量。可是宝子们，你们知道吗？事实的真相就是， 平行相量和贡献相量其实是一码事，你可以理解成是一个人的两个名字，比如说一个是中文名，一个是英文名，就它指的完全是一回事，平行相量和贡献相量是一回事， 所以说在标题当中就只出现了贡献。但你说他为啥就没写一个斜杠贡献，斜杠平行嘞？结果弄得很多宝子关于贡献和平行傻傻分不清楚。另外，相等相等是另外一码子事，咱一起都给他梳理梳理。 我刚刚说了，贡献项链和平形项链是一回事。当然换位思考来请问宝子们，那你说你是一回事，你为啥要起两个名字？主要是因为项链呀，它是一个到处可以乱窜，拥有自由之身的小精灵，它是具有平移性的。 所以在这个事情上，如果我们专注从方向这个角度上进行问题的研究，那么你会发现，这方向呀，两个项链方向可以相同，也可以相反，那不管同向 还是反向，都是看起来平行的关系，所以说我们把它称之为平行向量。而从位置的角度， 由于这个向量可以自由移动，那么它们可以很巧合移动到同一条直线上，也可以是没那么大的缘分错开了，是平行向量。所以从位置的角度上，它们可以贡献，也可以不贡献。所以贡献 这件事是从位置进行研究，平行则是从方向进行研究，两个是并行不背的研究准则。所以得出两个名字。就像我刚刚说了，如果要用中文给你起个名，那就中文名。如果我们现在说特别用德文给你起个名，那你可能还有一个德文名呢？ so， 在 这里边， 共线向量，平行向量就叫做平行，或者是共向量，记作 a 向量，平行于 b 向量。 那么这里边有宝子看出特意强调了非零两个字，所以呢，那零向量你不管它了吗？那倒也不是零向量，它可以与任意的向量平行。所以我们就明白了一件事，零向量在很多的情况下，都是单独特数情况，特殊讨论，特殊分析的。 好，那在乘胜追击说一说由他所衍生出来的一种进阶情况。相等或相反向量，你想 贡献或者是平行，这不一回事吗？那么不管是贡献还是平行，这样子没差别。如果说刚好他们在方向上相同的同时，大小相等，是不就叫做相等相等。反过来，在大小相同的前提下，方向刚好相反，那就叫做相反相等。在这我必须要强调， 如果大小不同，是不能称之为相反相量的。为啥？因为那种就叫做反向相量啊，你朝东我朝西，咱俩是反向，但是如果你要聊你朝东我朝西，咱俩是兄反相量，那大小是要一致的。这个你会发现概念扣子就很细了。 好，接着到此时此刻，惠老师所有关于相量第一 part 的 内容就完事了。随后呢，我们拿点高考题来练一练，而这也是我要引出下文的，所以 这个地儿它用到的实话讲，不全都是刚刚的这些文字知识，还会涉及到未来的下个视频。下下个视频的内容，我们就当一个开胃小菜了。你看北京这道三星难度的高，有真提问，这是 o a， 这是 o b， 这是 o c， 如果 a b 平行于 o c， 我们来看这时 o c 不 用处理，但是 a b 是 怎么个事儿，好像就得通过这儿来重新进行推导了。所以你会发现，这 a b 咱得怎么样得出来呢？特别简单，就是用中点坐标减去起点坐标，所以它涉及到向量的坐标运算，所以中点是六，减去起点的三，那就是横坐标是三， 中点是负三，减去起点的负四，减负四不就加四吗？所以它就是一，而向量 a b 平行于向量 o c， 向量 o c， 它是横坐标二 m， 纵坐标 m 加一。那么向量和向量平行，从坐标角度 会呈现出怎样的特点呢？叫做对应成比例。我们后边呢，也会结合，比如说直线和圆的方程内容进行对应这个地方的推导，因为你可以把它看成是像跟斜率有关的内容。但是吧，咱们知识树视频还没更到那，所以我们就收回来，这可以用 平面向量的坐标表示来得出。然后咱现在先不展开说，等回头那个视频说到之后，大家再详细进行分析。也不巧，咱先用起来。那既然对应成比例，就是 三比上二 m 等于一比上 m 加一，交叉相乘三 m 加三等于二 m， 所以 m 就 等于把三移过去变成负三。答案选择四号 d 结束战斗。 好，那我们再来一道新课标二卷的题目，他说 ab 是 不平行的哦，但是这俩平行，哎，又来了，平行相量到底能得出什么呢？最主要的是，这俩人如果是平行相量到底能得出什么呢？最主要的是，这俩人如果是平行相量到底能得出什么呢？最主要的是，这俩人如果是平行的话，就证明他们俩之间呈现现象关系。所以 翻译过来就是前边你照抄，后边你也照抄的前提下，它们俩之间呢？既然是呈现现象关系，比如说这个是缪，那么这个等式是要成立的。 那可是你又搞进来一个字母，我只想求阿拉伯，你还想来给我搞进来一个字母，我怎么来算呢？我们现在先合并同类项，所有跟 a 向量有关的，比如说咱们都放在左侧去，那么它就是阿拉伯呢？减缪的 a 向量等于 b 向量，咱就放到右边来，就是二倍的 real 减去一。然后我们来思考一个事，这题干当中咋说来 a b 向量不平行是吗？所以有没有可能左侧是 a 向量带个系数，右侧是 b 向量带个系数，然后这个等式实线相等，有这可能性吗？ 你会发现完全没有。为啥？因为两个项链但凡不平行，它就不可能是什么共线关系，那方向不相同，你单纯对于系数进行调节，永远无法造就该市成立，因为体干约束了它俩不能平行。 可是这个等式我非得让它成立。围巾之际好像只有一个折，是啥呢？就是让这左侧系数，右侧系数分别等于零。为啥这么说呢？你想左侧等于零，右侧等于零，对于前面而言，零乘以某一个向量，它是不是就是零向量？而对于右侧而言， 零乘以某个向量，是不是也是零向量？那零向量和零向量倒是相等了，所以让左右两边向量的系数等于零，看来是围巾唯一的法子。 所以这地儿前面儿我就会进一步得出，阿拉伯是等于缪的，而后侧就会得出来，缪等于二分之一。那本题是让我求阿拉伯吗？所以说，显然阿拉伯就应该等于二分之一。搞定了， 不难的是不是？好了，那我们最后用一个题呢，来复习一下关于命题。真真假假的知识点儿就发生在高一的向量，给了个 p 命题和 q 命题，问我以下说法哪个正确的是 停停停啊，我如果能够判断选项，那首先我得去判断题干当中这命题 p 和命题 q 分 别是真是假。这样咱先看这个命题 p， 它的意思是说，如果 a 和 b 向量相乘等于零， b 和 c 向量相乘等于零，则 a 和 c 向量相乘等于零， 好像它把这项量相乘等于零当成是数字匀算了，那这事成不成立呢？我们后面会进一步的来学向量的向量的点乘， 那换老师提前给大家句后的一点就是，向量的点乘是等于 a 向量的模乘以 b 向量的模，再乘以二者夹角的 cosine 值。 那如果这两个都是非零向量， a 向量的模， b 向量的模都不可能等于零的情况下，它还最终能够等于零，就证明这个 cosine 斜的角，二者夹角的余弦值等于零，而 cosine 多少等于零， 是不是二分之派九十度呀？所以这是我们未来在讲两向量如果垂直的时候得到了一个结论，所以其实翻译过来就是 a 和 b 垂直， b 和 c 垂直。那你想你能推出来 a 和 c 垂直吗？那显然不呀，比如说这种情况， a 和 b 是 垂直， b 和 c 是 垂直，显然这个 a 和这个 c 它俩是平行，根本就不是垂直，所以说 p 是 一个假命题。而后面这叫平行的传递性。此话怎讲？你看 a 向量和 b 向量平行， b 向量和 c 向量平行，那么平行的传递性用这个 b 当桥梁，是不是 a 向量和 c 向量也只能平行？ 所以后边这个命题它是真的。那我们再来说回选项，选项呢？这里边涉及到两种符号，一个是这个， 嗯，特别像剪刀手威，他和这个其实对应的是我们当年的交集病集来的，只不过我们不把它叫做什么交集的交病集的病，而是把它叫做或 且，非当中的或和且。那什么叫做或呢？你品宝子们请看啊，这个是当时我们学过的交集符号，那这交集符号指的是这个元素既在前者又在后者体内，所以它体现的就是一个且的关系，而这个 在集合当中是并集，那么它在这里边逻辑用于体现出来的就是货，或者在你，或者在我，当然有可能或者是同时成立的，所以呢，这个货跟我们日常生活当中语言习惯不太相同，比如说我今天吃 大米、米饭或馒头，我大概率不可能米饭和馒头都吃，而是二选一，但是在集合于简易逻辑这一章，这个地儿的病，或者是现在正在说的这个或，它都代表的是二者可以单独你单独我，也有一种可能是你和我都有。 那么复习完这个点之后，我们再来说，对于本题而言，如果是到命题角度，且是指如果你要跟我聊谁是真命题，那么你得是这两个人全都得是真，你才能是真命题。可是对于或就不一样了，如果是对于或的话，他只要有一个人为真， 那么他最终的结论就是真了。好，那我们再落实到。比如说这道题在四个选项当中有涉及到第一个 p， 它是刚刚提干，我们在这分析是假的，我们用一个叉来代替，你看啊， p 是 假的， p 是 假的，那像 c 选项这个非 p 就是 真的啊， d 选项这个 p 是 假的。好，然后我们先来看这里向上或的这个符号， a 选项是向上的或， 四号 d 选项也是向上的或，那向上的这个或呢叫做有一个真就为真。所以我们看一下 a 选项，后者，你看它是不就是真的，所以一真为真，它的确就是真的。所以这道题也就选择了 a 选项。 而对于四号 d 选项，前者是假的，那后者是非 q 非 q 也是假的，我俩人都是假的，那这个命题只能是假的，所以说选 a 不 选 d。 而至于说 b 和 c 也是一样的，对于 b， 前者是假的，后者是真的，而二者之间是 交的关系，或者叫做且的关系。全真才是真，有一假则为假，包括 c， 前者是真的，但后者是假的呀，所以说刚刚讲了， 全真才是真，有一假他就是假，所以说 b 和 c 都是假的，也都不能选。还是那句话，这道题综上所述，选择 a。 所以 宝宝们你会发现，数学的学习呢，是，只要咱现在想往前赶，那后边总有机会，机会来了咱抓住就是。就像我们趁这道题 复习了一下有关于命题的真真假假如何判断，而我们在之后呢，也会把很多之前的旧内容融汇贯通，融入进来升级，当前学习的内容就是我们的主线，所以根据欢老师的知识数，下面我们就要挑战平面向量的运算这么多内容了，也是一个视频搞定，那我们就下个视频见喽。
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03:07查看AI文稿AI文稿利用向量之间的运算呢，我们很容易的可以判断三角形的形状，那么这道题呢，是我们的一道高考原题，我们来看一下，他说若 o 是 三角形 abc 所在平面内的一点， 那么且满足 o b 减 o c 的 膜，等于 o b 加 o c 减二倍的 o a 的 膜，问这个三角形 abc 的 形状是多少？ 那么呃，来，同学们，咱们来看到这样的一个式子，其实我们的第一个想法是什么呢？哎，那你看啊，你这个三角形 a b c， 其实和这个 o 是 没有关系的，对不对？那我们就把这个 o b 减 o c 的 模等于什么呢？你看啊，这个是 o b 加 o c 减二倍的 o a， 那 么你这个减二倍的 o a， 我 可以可以让它减去一个 o a， 再加上一个 o c 减一个 o a， 我 为什么这么写？那么这么写的话呢，我们就可以利用向量的减法，把这个点 o 给它消掉，那你看 o b 减 o c， 那 就是向量 c b， 那 就是向量 ab 加 o c 减 o a， 那 就是向量 ac， 向量的减法咱不再赘述，对不对？ 那么这个又能判断出它是什么图形呢？首先你这个 ab 加 ac， 是 这个三角形的两条边相加，那么你看啊，这个 bc， 其实我们还可以看成谁呢啊？还可以看成这个， 这是 c b 啊，那就是 ab 减 ac， 说白了，哎，利用限量的减法啊，就可以了，那么它等于 ab 的 加 ac 的 膜 这个式子，那么你看到它，你应该两眼放光，那啥意思呢？那你看啊，就是比如说对于这个三角形，比如说我给你画一下，你就明白了啊， abac， 那 么 ab 加 ac， 那么就是做一个平行四边形对角线，就是 ab 加 ac 的 膜这个长度，然后呢， ab 减 ac 呢？ ab 减 ac 就是 c， b 就是 这个对角线，那么对于一个平行四边形来说，它的对角线 相等了，那么你说这个平行四边形，它是一个图形，所以说这个平行四边形，那么它就是一个矩形，明白吧？ 你对角线相等吗？你看我们，呃，矩形的判定定律是不是？那么对角线相等的平行四边形就是矩形，不知道，九年级学的你忘了没有啊？呃，然后呢，你看，既然它是矩形，那么有一个角就是直角，就是这个角 c、 a、 b， 它肯定就是直角，那么但是呢，我们不能判断 a、 c 和 ab 是 相等的，对不对？我们只能判断这两条对角线相等， 所以我们能得到的只是直角三角形，哎，你并不能得到它是等腰直角三角形啊。所以咱们这道题选 d， 也就是最后一个，关注老师学习更多数学知识。
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01:52查看AI文稿AI文稿其中 a、 d 是 b、 c 边上的中线，对不对？然后 e 的 话是不是 a、 d 的 中点啊？嗯，中点的话则求 e、 d 嘛，我们求的是这个 e、 d 的 长， e、 d 的 长，发现没有？这个题目要用 a、 b 跟 a、 c 来表示吧，我们看一下啊，来，那么 e、 d 的 话 就等于什么 e、 d？ 就 比如这个图 e、 d 是， 那么是不是等于这个 e 首尾相连， e a 加上 ab 吧，对不对？首尾相连啊，你看 这一个和这一个是不是就等于 e a 加上 ab， 那 么 e a 的 话，是不是因为 e 点说了 e 点是 ab 的 中点，对不对？中点的话，那么 e a 是 不是等于二分之一的？那个向量的话就是方向相同的，是不是？那么 e a 是 不是等于 b a 二分之一的 d a 对 不对？然后这里 ab 的 话是不变， 后面都是涉及到 a、 b、 a、 t 嘛，是不变的嘛？这个是 a、 b 的 话好， d a 的 话怎么样？ d a d a 跟 a b 呢？是不是大小相同，方向相反，所以它是不是等于这个负二分之一的 a b 是 吧？再加上一个 a b， 我 们看一下 a、 b 的 话，我们这里又是不是一个中线的话，中线我们可以用什么平行四边形法则？是不是像这个的话是把它 延长这边，把它延长到这里的话，那么 a、 d 的 话是它的一半，就是这个的一半，那是不是等于这个负二分之一？ a、 d 的 话就等于这个的一半吧，是不是等于二分之一？然后这边是 ab 向量加上 ac 向量，是不是平行四边去打折，再加上这个 ab 啦， 这的话乘进去是不是负四分之一的？是负四分之一 ab 向量，然后这的话是减四分之一的 ab 向量，再加上 ab 向量， 把它这个和这个合并吧，合并同类项，那就等于四分之三减去四分之一的 a、 g、 d 的 答案就是 a 喽，是不是这个理解了吗？嗯。
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04:04查看AI文稿AI文稿一般情况下，这种题我习惯画一个长得特别像等边三角形的一个玩意，对吧？这个给个 abc 随便画，然后好看点就得了，不然的话，有的时候你画个钝角，画个特别锐的锐角啥的，很容易很容易就就跑偏了。那个 b、 d 等于三 d、 c， 对 不对？那，那其实是不是就想解释是他们三点共线，且 d 是 一个四分之一点处啊？三份一份，对吧？所以它是四分之一点处，那给了这个 d 之后，接下来看 a d， a d 拆成 ab 加 a c 的 一个形式，这个可以咱们好好的推一下吧， 拿它，拿它做出一个平行来，对吧？然后这块是 d e， 这是 f， 所以 我现在是不是就正正经经推一次？刚刚咱们讲那个三点攻陷的时候直接给了结论，怎么着这个系数和得一就行了，对吧？这块呢，咱现在这么想啊，本身 b、 d 比上 dc 是 不是一个三比一的情况？这相当于是一个已知条件了，对吧？那我现在 d e 做的是平行于 ac 的， 那我现在就可以知道他满足那个叫什么来着？ 我忘了初中讲了，就是平行线什么定力吧。啊？好像不对，就叫平行线什么定力？那 b、 d 的 长度比上 dc 的 长度，是不是应该等于 d、 e 的 长度比上 ac 的 一个长度， 对吧？ b d 比 b、 c 是 不是就应该是一个三比四的一个形式？所以这个时候的话，我单看的长度啊，单看长度的话，我从这就可以推出来，这个 d、 e 的 长度就应该等于四分之三个 a、 c 吧？ 那所以呢， d e 和 a、 f 是 不是应该是一样的，我就进而就可以知道了， a f 向量是不是就应该等于四分之三个 a c 向量 共线长度上面有一个比例关系，是不是直接就可以写的出来了，对吧？这是看这一侧，再来看 df 平行，那 df 平行的话，我是不是就可以知道 df 比 ab 应该是等于一个 cd 的 长，比上一个 bc 的 长，应该是一个一比四的， 对吧？所以呢，我就可以推出来 df 是 不是就应该等于四分之一的 ab 这么长，那有了这么长之后， df 在 哪呢？ d f 和 a e 的 长度是不一样，所以 a e 的 话就应该等于一个四分之一个 ab 的， 对吧？那么本身这块我之所以做俩平行，是不是就为了做出一个平行四边形来？所以我做出一个平行四边形之后的话，这个 a d 我 是不是就可以写成叫做 a e 加 af 了？ 对应着来找这和这，所以这题应该是一个选 a 的， 对，就三点公线定，你的话可以直接用吗？他还有一个说法是什么呢？我在在底下写了，换个色吧。 这个，嗯，我随便标的啊，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 o， 那 么如果说明说这个 a b c 三点共线的话，我们就可以知道 o a 是 等于一个 x 倍的 o b， 然后加上一个 y 倍的 o c 的， 而且这个时候 x 加 y 是 等于一的， x 加 y 是 等于一的。为什么可以就着上面这个来解？上面这块我现在是不是固定的给的是三比一的一个形式，那假定我们现在不是三，呃，对，就三比一的一个形式，假定这块我的数不给你， 对吧？我随便给一个 lamb 的 值，随便给一个 lamb 的 值的话，然后就会发现这块是得 lamb 的， 这边是得一减 lamb 的， 所以它们两个加起来是得一具体再推，我不不再细推了啊？没没，没有什么意义了，直接就是这一个，因为我知道固定的点了， 然后先从通过初三讲那个相似，然后找到长度的关系，我就可以找到一个向量的关系，对吧？然后找到两个向量的分解，可以知道这个三点功线常用结论就行。这个，但是说实话三点功线这个这个这个结论 很多时候我也忘了用，很多时候我也忘了用，我觉得就比着比着就出来了呗。啊？就没没啥特别重要的一个东西。
47高中数学刘阳
03:08查看AI文稿AI文稿投影向量，投影数量这东西吧，就是刚刚说了投影数量是指那个长，就相当于投下这个模长，投影向量它是个向量，对吧？你就可以理解为它是投影数量乘以这个方向上的一个单位向量就可以了。来 a a， b， a c 就 随便随便这个这个这个 a 在 这呢， 然后 ab 在 ac 上投影， c 在 这， b 在 这。我是不是说刚才说这么着投下来着，那投下来的话，你是不是可以理解为投到了一个地点？那投到地点的话，本身 ab 点乘 ac， 我 是不是就是要了一个 ac 的 一个 魔长乘以？后面那个刚刚咱们说的叫什么来着？投影数量对不对？我写的不严谨啊，但是想给大家展示一下它的关系， 这是一个，我是不是就要了你这个投影数量？你这个投影数量待会求出来之后再去乘以这个方向上的一个单位向量就可以了。 那所以呢，这个投影数量的话，应该是不是就变成一个 ab 点乘 ac， 再除以一个 ac 的 模长了，然后干啥？然后乘以这个方向上的单位向量，怎么表示？是不是表示为 ac 向量除以 ac 的 模长？ 这就是我们要求的要求的这个东西吧。我突然发现我漏了。漏在哪了？光看点了，没有把坐标写出来。那给他补一下呗， ab 应该是谁？ b 减 a 的 负一一还要谁啊？就还要 ac 啊， ac 的 话下来对吧？一五的一个玩意， 他俩点成是谁负一五，他是个四，四完了呢？四完了之后 ac 底下是个 二十六，对不对？就刚刚咱说一和二十五加完了之后二十六开方，然后两个东西乘，乘完之后的话再乘个 a， c 是 不就行了？ 那他现在这块是多少？十三分之二， a， c 向量是多少来着？是不是一个一五？所以给他乘进去坐标就是十三分之二，然后十三分之十，所以这题应该是选 c 的 啊， 就是投影数量和投影向量，大家就把这个式子想清楚就行，它就是点乘了。定义式，两种说法，俩魔长乘以加角 cosine 值，或者说一个魔长乘以另外一个东西在他身上的一个投影数，呃，对，投影数量就行了， 对吧？投影数量再乘，就是这块有一个需要注意，就是为什么前面这一角我没有变，底下的话我会变成了这个东西，是不是那个 a c 模长的平方啊？这个东西的话就是因为点乘，我们没有结合率，也没有交换率啥的，为啥呢？因为你如果要是 咱，咱随便写一个 a 点乘 b 点乘 c， 顺序乘的话，这个东西 a， a 点乘 b 出来是个数， 那你这个数再乘个 c 的 话，我是不是可以看成是一个 number 倍的 c 向量？它是和 c 方共线的一个向量得到的。那如果我要是这么着写呢？ a 点乘 b 点乘 c， 后面先乘， 这个乘完之后它是不是一个数？那它是一个数的话，这东西出来就是一个 miu 倍的 a， 方向都不一样了，对不对？所以这个东西没有结合率这个事。
192高中数学刘阳
01:41查看AI文稿AI文稿hello， 同学们下午好啊。这里是徐老师，然后我今天讲到怎么判断向量是否贡献的问题。 好，如果他给了两个向量，又给了坐标，我们直接用坐标判断公式啊。像这里的话就是这是 s e y e s 一 y 一 s 二 y 二，我们直接把它带进去就好了，不用想太多，直接带进去。 s 一 是一乘四，减去二乘二等于零 贡献。好吧，很简单，像这种坐标判断是否贡献的，直接带进去就好了。 它给出那个向量的坐标以后，把带去带进这个向量共线的判断公式就好了。你就这样想啊，这两个相乘，减去外面这两个 中间两个的 g， 减去外面两个数字的 g， 只要为零，那么它就是共线的。 好，有点讲，讲的有点多，这道很简单。好，同学们，晚安。拜拜拜拜拜拜拜拜拜哦。同学们不要忘了点个关注呀。同学们，拜拜。
19术学术学
07:23查看AI文稿AI文稿期末考完了，我不管你们给我考多少分，放假回去，这个寒假所有人必须给我预科。 预科什么？就是我们必修二的这本书，趁放假之前讲一讲这本书核心要抓持吗？行不行？行，胡老师，一千书科，十二年了，我带了上万名差生跟着我逆袭。 所以呢，每个章节，每一个小节里面，你要抓哪些重点对吧？哪些坑爱踩？我们根据教材一节一节带着大家提前过一下，这样的话你寒假才能不走弯路，行不行？行，好，来，认真听。我们先来说平面向量，六点一 这节学的是什么？平面向量的概念主要是概念，所以只需要大家知道什么叫做向量，以及四种常见的特殊向量，你能够区分就可以了。考试这一节主要考的是一些 辨析类的，什么题，小题过关就可以，如果你概念区分不清楚，就来十道题训练一下就够了，行不行？行，好，再来看第二节，真正的较量是从六点二的运算开始的。 运算六点二的运算里面需要大家掌握什么？第一个叫做加法运算，第二个叫做减法运算，第三个叫数乘。比较简单，我围绕加减法来说一下加法运算核心， 你得知道什么时候用加法，比如说你在学的过程中，你是不得关注首尾相接，我加法的规则是什么？ 如果是共起点，我加法的规则是什么？就游戏规则怎么去加的问题吗？对不对？对。然后再来说减法，减法的规则是共起点 什么？起点消失后之前，首先这是最基本的，你把这些搞会，你都不至于考五十分，三十分 明白没有？明白，所以加减法的考法考什么？主要考的是让你把一个未知的向量能够用已知的向量通过加减法给他表示出来，所以这是基本功。 不管是大家开学之后的月考、期中还是高考，这都是大题的第一步，你这步如果跨不出去，后面全丢分。所以这个是寒假大量的题型需要去训练的综合题目，没有问题吧？没有？好，接下来我们再来看六点三。第三节叫 基本定例及其坐标表示，坐标写到这， 这是整个平面向量的灵魂，他把几何问题用坐标表示叫什么化了？代数化了。所以大家在预习的过程中，你要抓什么核心题型呢？抓 第一个就是我加减法在表示的过程中，我不一定硬是给他上加减法呀，我什么时候能用坐标，就啥时候 我可以转化为坐标运算，一定得具备这个能力很重要，直接影响你立体几何以及圆锥曲线的学习， ok 吗？ ok。 第二个很重要的点，在这里大家会学到数量积的问题， 对吧？没有坐标数量机怎么做？有坐标数量机怎么做？更重要的是数量机的多样化的求结，这才是你们拉开差距的地方，因为除了课本上的定义，数量机你还必须得额外掌握的。我写到这大招，思路 即划横等式，对吧？高大考特别爱考的投影法， 很多题目用这些方法，这两个方法可以直接做到秒解的。但是很可惜啊，咱很多同学寒假预习预习不到这个点上，开学之后老师不讲，他也不干，结果别人学霸全是用这些题目去快速解题的， 考卷上你只要想拉开差距，这两个方法是必须得会的，行不行？行来剩最后相当于一节，六点四节。哎呀，六点四节写的是应用， 大家千万不要被应用这两个词给迷惑了，给骗了，觉得呀，应用好像不怎么重要。其实你知道这节在学什么吗？ 在学一个非常重要的点叫做解三角形，以前老高大考里面把它作为一个单独的章节出现，现在把它融入到平面向量里面去了，你们是不是以为它不重要？ 这就是新教材难的地方，以前作为一个章节单独去学，现在我给他融进去，作为一个小结，是不是变得更难了？需要你自己挖的东西更多了，该考的题型一个都没变。解直角形，这里大家需要抓注意 五个核心题型，五个核心考法，记下来，就按照这些去训练行不行？ 只有这样子才不会走弯路，你的时间才不会被浪费掉，不做无用功是不是？第一个叫什么？第一个叫做正余弦的选择问题，笔记记好， 你会学正弦，学余弦，什么时候用正弦，什么时候用余弦，你不要预科了半天连这个问题都搞不清楚，白搭。第二个叫什么边角互化问题，这就是小题大题都爱考的问题， 什么时候边画角，什么时候角画边？唇边怎么画成唇角，唇角怎么画成平唇边，要非常清楚明白没有。第三个叫做面积问题， 以及面积拓展出来的一些海伦公式去做拓展。第四个叫最值，经常把最值和面积结合在一块去考，你这里也有二级结论去总结，还有第五个叫什么 叫多三角形问题，这考大题的啊，多三角形高大考这里直接会出大题的， 所以必修二的向量和最后一节的减三角形 基础教材上都有，但是你能拿分的模型全部都在数外，你需要教材上吗？ 是不是？是啊，大家如果不知道每个模块抓哪些核心重点，不知道对应哪些方法，你就不要自己瞎弄了，浪费时间。胡老师把这些全部给大家总结成了作战地图， 包括我们刚刚所说什么集划横等式啊，解散我行里面的二级结论你要掌握哪些？全在上面给大家标记清楚了， 把这个地图打印下来挂你家墙上。我们寒假就一个一个对着往过坐，明年开学你现在考七十分，照样刷到一百二十分以上去行不行？行，找我给你安排。
394老胡模型数学思维提升
02:06查看AI文稿AI文稿想要轻松解决平面向量的相关题目，我们需要有这些知识储备。鸡爪定律，鸡爪公式是三点共线时按比例拆分向量的万能公式，专门解决三点共线加向量表示加线段比例问题。四边形中位向量公式， 四边形中点连线形成的向量等于上下两底边，对应向量和的一半。这个公式适用于所有四边形空间，也通用。等和线定理，基底向量线性表示，解决 共起点向量系数和范围，即最值问题。三角形四心用向量表示三角形四心满足的条件，适用于平面向量判断边或角的关系问题。奔驰定律适用于平面向量中求解面积相关问题，其划横等式 求解共起点向量数量积的一种解变方法。知道了这些相关的二级结论，我们再补充一些解析方法。 我们要知道求解向量的数量积有基底法、坐标法、投影法和极化恒等式这四种方法。采用基底法，要选定基底，选用模和夹角都已知的向量。坐标法呢，适用于容易间隙的题目。 逃运法呢，则是在运用数量机的几何意义解析，采用即化恒等式求解数量机，适用于共起点的两个向量。我们还要知道向量与几何图形转换的常规情况， 我们要学会构造常见的三角形、四边形和圆这些几何图形要知道加减造三角共起点平行四等魔变菱形垂直造直角动点膜固定，直接构造圆。 我们要熟练掌握这些知识，这样当我们遇到平面向量的相关题目时，就能够根据问题去拆解条件，去看条件和问题之间的联系。平面向量的招数你知道都有哪些了吗？
328解负数维
05:13查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我们今天来看平面向量的基本定律。平面向量的基本定律其实就是一句话，就是如果有两个平面内不共线的两个向量 e 一 和 e 二， 然后那么对于平面内的任意一个向量 a 来说，都可以由，尤其只有一对拉姆达时，这个 a 用 e 一 和 e 二表示出来，什么意思呢？比如说它有两个向量 e 一， 然后这有一个 e 二， 因为我们的项链是不是可以平移的，对吧？所以说不管这个平面内我是有一个这样的项链，还是有一个这样的项链，我是不是你看这样这个项链我就可以把它用几倍的一一和几倍的一二，然后这样表示出来。如果是这样子的，那我先把一二变成负的，然后和一一和一二是不是也是可以把它表示出来的？ 所以只要是平面内两个不共线的项链，都可以把平面内的任意一个项链表示出来，这个就叫做平面项链的基本定律。那一一和一二不共线，我们就把这个这一组一一和一二叫做这个平面内的一个肌底，这个肌底呢，他的要求就是不共线，他也没有其他的别的要求了。 然后这个定义就告诉我们，只要是平面内任意两个不贡献的项链都可以作为一个基底，只要选选定了一组基底，这个平面内的任意一个项链都可以用这个基底表示，但是这个基底是不同是是不是唯一的就是你选择不同的基底，那那个项链分解出来的分解式是不一样的。 然后我们来看一道题，已知项链一一二不贡献，那它也就是一组基底的，就是 那各位作为一组记忆，就说明他们两个之间不可以有什么倍数关系，如果有倍数关系，说明他们贡献了，对吧？大家现在看第一个一一减一二和一二减一一，那我一二，我们对第二个可以，那个变换一下，我们提个符号出来，是不是负的一二 加一一，那就等于负的一一减一二，这个和这个有没有倍数关系？对啊，负一的关系，所以 a 错的，他们有倍数关系，说明他俩贡献，那看第二个，第二个， 那我们把这个提一个二出来，是不是二倍的 e 一 减去二分之三倍的 e 二，它好像第二个和第二个也有，也有倍数关系。二倍的，那所以 b 选项也是错的，那就来看 c 选项了， c 选项两个都是都好像都要动一下，那我们先动第一个，如果是第一个的话，我们提个符号出来， e 一 加上二倍的 e 二， 然后呢？我对第二个提个二出来，二倍的 e 一 加上二倍的 e 二啊，他们两个也是有倍数关系，负二倍的，对吧？那所以 c 也是错的，那就来看 d 了。 d 你 不管是怎么变化，他们两个都不会有倍数关系，所以能作为他们两个不共线，那所以只有 d 他 们这一组才能作为一组基底。 让我们来看一下它的有关结论啊，就是如果我现在有一个向量 a 有， 已经用 e 一 和 e 二来表示出来了，当拉姆达一为零的时候，那这个是不是没有了？那我的 a 就 等于拉姆达二倍的 e 二，这是不是我就是我们的贡献定律啊，那就说明 a 和 e 二贡献，那反过来，如果 e 二等于零，那我的 a 和 e 一 就贡献。 然后第二点就是当 a 一 和 a， 当 a 和 b 是 两个不共线的向量，然后当我们两个两组基底不同的表示出来的时候，就比如说 a x 一 乘以 a 一 加 y 乘以 b 一 等于 x， 二乘以 a 一 加 y， 二乘以 b 一， 这两两组向量其实相同的，对吧？那我的 a 一 a 和 a 前面的系数肯定相同的， b 和 b 前面系数也是相等的。然后我们来看一道例题啊，告诉我，这三角形 abc 点 d 是 三等分点，靠的靠近 a 的 三等分点， e 是 c， d 的 中点。让我来判断 a， b， c， d 呢，也是对的， a、 b， c、 d 都是来判断 a、 e 的 一个表示，那我们来看 a， e 等于啥？ 其实这个就用到了我的，每我的这个里面的向量都可以用两个相两个不共线的向量表示，对吧？那我的 a、 e 是 这样子的，那我们正常把它分解一下，它可以等于什么？就等于嗯， a， d 加上 d， e 是 加法对吧？然后呢，我的 a、 d 呢，是在 a、 b 上，那 a、 d 是 等于三分之一倍的 a， b， 再加上 d， e， d， e 其实又等于啥？又在 d、 c 上等于二分之一的 d， c。 你看题目里是用 a、 b 和 a、 c 来表示，那我的 a、 b 就 可以放这就不动了，那我们接着接着看那个来看 dc， dc 可以 怎么表示？ dc 就 可以等于等于 d， a 加上一个 a， c， 对 啊，那就等于三分之一的 a， b 加上二分之一的 d， a， d， a 等于啥？ d， a 等于三分之一背的什么？ b， a 对， 等于三分之一背的 b a， 然后就再加上二分，然后再加上 ac， 就 不用管它了，再加上 ac， 那 这个我们把它拆开，就等于三分之一的 ab 加上六分之一的 b a， 再加上二分之一的 a c， 所以 这就等于三分之一的 ab 减去六分之一的 ab， 加上二分之一的 ac， 那 么合并它，就等于它减它，就等于六分之一的 ab 加上二分之一的 ac。 好， 那我们这个就选第四个。那今天关于这个平面天象的基本定律我们就讲到这里，我们下次再见。
39小李老师gre
03:00查看AI文稿AI文稿来看一下 o 是 不是三角形内一点，是吧？啊？ o 为三角形内一点啊，然后 a o 是 等于二分之 o b 加上 o c 吧， a b 等于这个 b o d 三点公式啊，现在是不是要求最终估计是把这个 t 给求出来嘛？这个 t 给求出来，我们发现这里的话，我们可以用用什么法则， 不是平行四边形或是三角形法则，我们来看一下，先画个图理解一下啊，这是一个 a b c 吧。 a b c， 因为 o 的 话是二分之 o b 加上 o c 嘛？来， 我们是不是可以把 o 点延长啊？我延长到这是 o 点延长到一点啊，然后把这个图给画出来，我是不是从 o 点延长到一点了？看一下 a o 的 话，弧 c 还要连一下，嗯，哪个弧 c 要连一下？对， o c 连一下，可以 来。好吧，这样子给你连上了是不是？你是不是看到这里 o a o b o c 是 不是？嗯，好，来看啊，那么 a o 就是 等于这个二分之一的 o b o c 加上这个 o c 嘛， 对吧？ o b 加上 o c 的 话就等于就是这个二分之一，因为我是把它这里这里延长的嘛。那这个点的话，那么 o c 怎么表示？ o c 就 等于 o c 就 等于怎么样？ o c o c 加 o c 就 等于二呗。是不是等于这个 o b 加上 o c 的 话就等于两倍的 o e 嘛？是不是等于两倍的 o e 的 话，那是不是等于相乘的话等于 o e 啦？所以我是不是可以证明 a o 就 等于 o e 的， 所以我可以证明 o 是 它的终点，对不对？ o 是 它的终点的时候，那么 a e 的 话，现在我要证明就是我求的是这个 a d 嘛， 是不是我瞅的是这个 a b， 那 么 a b 呢？怎么表示呢？ a b 是 等七的这个 a c 吗？是的啊，那么 a e 我 们看一下啊， a e 的 话啊，对啊， a e 的 话就等于什么样子？等于因为 e 是 终点的时候，那这个呢？是终点啊， e 的 话不是终点吗？ e 的 话是 b c 的 终点吗？是的，嗯， 先走最终的目的是要来表示一下，因为它 b o d 是 三点过线的嘛。那么 a e 的 话， o 是 它的中点， a e 呢？是不是等于等于两倍的 a e a e a e 的 话是等于二分之一的 a b 加上就是括号 a b 加上 a c 嘛，对吧？那么 a o 来看一下啊， a o 是 不是等于二分之一的这个 a e 的？是的，是吧，那么 a e 的 话是等于二分之一的 ab 向量，再加上这个 ab 向量吧， 是不是？那么的话，好，这个乘积是四分之一的 ab 向量，然后 ac 向量呢？ ac 向量， ac 向量，这就是移过去对，等于 t 分 之一的 ab 向量的，是不是？那么再加上这个 t 分 之一的 ab 向量嘛，是吧，然后就等于这个四分之一的 ab 向量，然后加上这是 t 啊， 加上四七分之一的 a d 上面啊，对吧，又因为什么？因为它对，因为 b o d 三点共线共线，所以呢，所以这个加上它是等于一的，这是公式吧， 四分之一加上四七分之一就等于一了哈，等于一了之后，我们就可以得出 t 等于三分之一啦，所以答案就是 d 啦。同学们还有哪一步读太清楚吗？不理解了吗？
05:58查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我们今天把向量的这几个坐标表示比较简单的这个分到一块讲啊。首先是一个向量的正交分解，向量的正交分解其实就和我们 学的那个力的分解是差不多的。对于某一个向量来说，它肯定你看，比如这一个向量来说，它肯定分成 x 和 y， 但是就是比如说对于任意一个向量 a 来说，我都可以把它分成在 x 上的一个 i 和一个在 y 上的一个 g， 这个 i 呢，我们还规定是等于一零， g 是 零一，那所以说对于任意一个 a 来说，它的坐标其实就是 x 和 y， 就 比，就比如说我这个向量在这个平面直角坐标系里面，它是长这个样子的， 对吧？那我的横坐标我这里一共占了三个，中坐标这里一共占了两个，那我的坐标一定是三二，就是这样就是这个意思。然后，然后我怎么去算在平面直角坐标系中算一个坐标呢？其实很简单，比如说我它有个坐标 a b， 向下 a 和向下 b， 我 们是不是这样写 ab， 如果点 b， 它的坐标是三三点 a， 它的坐标是一一，那我要算向下 a b， 那 其实就是用末尾用这个中点坐标中点的点的坐标减去七 k 点的坐标其实就等于三三， 减去一一就等于二二，这个二二其实就是它们的横坐标的占的长度和纵坐标占的长度，对吧？这就是我的平面向量的正交分解。然后加减呢？ 平面向量坐标的加减其实和我们正常的加减是没有什么任何区别的，加就是 x 加 x， y 加 y 减就是 x 减 x， y 减 y， 然后这个就是我们刚刚说的这个向量的坐标就等于它的终点坐标，它的起点坐标，这个知道就可以了。平面向量的数乘坐标的表示其实就是 我现在有个向量 a， 它的坐标是 x y， 那 我前面乘以一个数，但我们每个坐标其实对应也乘以这个数。然后 这个比较比较重点就是有两个公式，一个是平面向量的平面向量贡献的坐标公式，我证我要证明两个向量贡献其实比较好用的方法。第一个就是我的跟我们说，那个是跟我们之前讲贡献，这里是一样的，只要我的两个坐标 他发生有倍数关系。我是不是就说 a 向量等于拉姆大倍的 b 向量，那其实他们就是共线，那其实在坐标上也是一样的。如果我的 a 向量和 b 向量的坐标也是有乘的倍数关系，那他们就是共线的，那如果用式子来表示，就是他们对应相乘相减等于零，这不就是有倍数关系吗？ 对应相乘相减等于零，就说明他们贡献。然后终点坐标公式其实跟我们之前学的终点坐标公式是一模一样的，如果 p 一 和 p 二的坐标是 x 一， y 一 和 x 二 y 二，那他们的终点就是二分之 x 一 加 x 二和 y 分 之二分之 y 一 加 y 二， 然后然后我们这个坐标最关键的地方是在这里啊，是数量积，我们都知道。嗯， 向量 a 乘向量 b， 如果不是用坐标表示，是用 a 的 模乘 b 的 模，再乘以 cosine theta， 对 吧？那放到坐标表示上，如果我的向量 a， 它的坐标是 x 一 y 一 向量 b， 它的坐标是 x 二 y 二，那我要算向量 a 乘向量 b 呢？这个口诀就是 对应相乘相加。什么叫对应？ x 一 和 x 二是对应的， y 一 和 y 二是对应的，对应相乘相加，这就是我们向量的数量积的表示。然后我们刚我们之前也说过，如果是垂直的话，它们它这个是等于零的，放到坐标上也是一样的， 如果 a 相加，垂直于 b 相加，说明数量积等于零，那他们这个式子也就等于零。平行。我们刚刚上上次刚刚说过了，交叉相乘相减等于零，这是平行和垂直。然后如果是膜的话，对于一个相加 a 来说，对于一个相加 a 来说，它的坐标是 对于一个向量 a 来说的。比如它的坐标是二三，那我它的模对于它来，它的模就是根号下二的平方加三的平方，任意一个向量，它的长度就是根号下 x 方加 y 方。然后两点间的距离公式。 比如说对于向量 ab 来说，对于 a 和 b 来说，我要算它们两个的距离公式，其实就等于什么？对，先把 ab 算出来用， 用 x 二减 x 一， y 二减 y， 算出来 ab 向量，然后求模，根号下 x 二减 x 一 括号平方加上 y 二减 y 一 括号平方，其实就是向量 ab 的 模就等于向量 ab 两点间的距离公式。 然后同样的，我们这个这个是我们那个夹角的公式的代换嘛，然后再带到我们坐标仪，这这都不是新的东西，都是我们之前学习过的一些公式的一些变换。然后我们可以来直接看一道例题啊，然后我们来看第一题，求 a 乘 a， a 乘 b 和 a 乘 c， 那 就很好求了。 a 乘 a 就 等于什么呢？ 对应相乘相加就等于一乘一加上二乘二，对吧？那就等于五，那 a 乘 b 呢？还是一样的，对应相乘相加， x 和 x 相乘，一乘三加上二乘二和加上二乘负二就等于一。 a 乘 c， a 和 c 的 数项积对应相乘相加，对应一乘负二，加上二乘一就等于零。 然后我们来看第二问，第二问可能相对来说稍微难一点点啊。然后现在有两个向量， a 和 b， 然后又告诉我了， a 和这个 a 减二， b 是 垂直的，这个垂直其实我是可以得到哪一个信息的？我是不是可以得到 a 向量乘以 a 减二， b 这个向量是等于零的， 然后让我求 m 的 值，那我先来找出来它，它们两个相乘等于零，是不是列出来一个式子？那首先第一步，我找 a 减二， b 的 坐标， a 想要减二， b 的 坐标就是一 m 减去二， b 是 零二，所以就等于一 m 减二，这是它的坐标。然后它们两个它和 a 相乘，它们两个相乘，那就所以对应相乘一乘一，再加上 m 乘以 m 减二是等于零的， 那所以我们可以拆开一下啊，所以 m 方减二， m 加一是等于零的，那这个看起来好像是 m 减一和平方完全平方是等于零，那所以我们的 m 就 等于一。这就是非常好解的，大家可以选 a。 基本上所有关于这个坐标的，就向量坐标的这个关系，我们都已经讲完了这节课。好，我们下次课再见。
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06:58查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我们从今天开始，我们开启高中数学第二本书必修二的讲解，中间呢我们也会去穿插着发一些高中数学秒杀技巧的一些视频， 大家如果有一些想听的或者没有太搞懂的一些数学的知识，可以私信我或者发到评论区哦。好，接下来我们来看今天要讲的东西，今天我们讲六点一平面向量的概念。讲这个向量之前，我们先来复习一下我们物理学到的一些，学到了一个概念叫做湿量 和标量的时候，那个时候我们是讲到的是谓一， 然后我们说谓仪是一个有方向还有大小的一个量，所以我们把它叫做湿量。然后这种标量呢，就是只有数字的，就比如说这个重量之类的，这种东西叫做标量， 这是我们物理上对于这种湿量和标量的一个定义。那放到我们数学上来说，这个湿量其实对应我们数学的什么向量，对，这个湿量对应的就是我们的数量。 让我们来看今天的概念啊，向量我们就叫把既有大小又有方向的量叫做向量。向量因为它有大小又有方向，所以它是不能比较大小的啊，向量之间是不可以比较大小的，只有数量之间是可以比较大小。像之前学到的那些什么身高啊，体重啊，长度啊，都是 都是些数量，数量是可以比较大小的。那我们来看一下向量用几何表示，我们是怎么表示的呢？我们如果在图上画出来一个向量，那我们就用有象线段来画， 有方向的线段，就叫有向线段，然后我们有起点有终点，从起点指向中点，我们就把这一个这个有向有向线段，就记作向量 ab 来。向量 ab 一定是要画个箭头的，这是起点，意思就是从 a 指向 b， 向量 ab， 然后这个这个是什么意思？加了一个 ab 的 膜，这是什么意思啊？这个就是 ab 向量 ab 的 长度， 加了这个绝对值的符号，也就是加了这个模，它就变成了一个什么，对，变成了一个数量，它就不再是向量了，变成一个数量，因为它只有长度嘛，长度就只是数量。然后注意的点就是我们写这种向量的时候，前面上面一定要加这种箭头， 然后我们我们除了用这种大写的字母起点和终点来表示向量之外，我们也可以用这种小写字母来表示。比如说我画了一个向量是这样子的，我可以说这个向量是向量 a， 也可以说这个向量是向量，这是点 a， 这是点 b， 向量 ab 表示方法的不同啊，都是一样的。 然后我们来看两个特殊的向量，一个是零向量，一个是单位向量。零向量就是长度为零的向量，叫做零向量。单位长单单位向量就是长度等于一的向量，叫做单位向量。 然后我们注意的点就是零向量和零的区别就是一个是向量，上面一定是要加箭头的，零是我们的数，它它只是一个数，它并不需要加什么箭头。 然后我们可以来看一道例题啊，说一艘军舰从 a 出发，向东航行了二百海里，到了 b， 然后又改变航线，向东偏北六十度，航行了四百海里，到了 c， 然后又改变航线，向西航行了二百航里，到了 d 道，让我做出 a， 向量 ab， 向量 bc， 向量 c、 d， 那 我们就来看啊，这是 a， 往往东上北下南左西往东走了二百海里，哎，这这这这这，到这打射这么长，是二百，那就是 b， 到这了，这一段就是向量 ab， 对 吧？我们画个箭头向量 ab， 然后它从 b 点开始改变了，向量东偏北， 大家如果不太清，不太好画的话，就可以先先搁这画了，一画一个十字架啊，上东上北，下南左西东偏北六十度，那就是大概是这样子的，往这个方向走了四百，还在他的二倍差不多这么长，这是二百，这是四百， 这是六十度。到达了 c 道是 c， 最后又改变航向，向西行，航行了二百海里，往西走了二百，那就是，哎，我往我往这走了这走了二百，走了这么多，这是二百。到了 d， 好 了，我就把我的三根弦画出来了， 向量 ab， 向量 bc， 向量 c， d。 啊，我们来看第二问，第二问说让我求 a、 d 的 膜，那我先来画一下向量 a、 d， 啊，那我把向量 a、 d 连接一下，它是不是从 a 到 d 是 这样子的？ 哦，对，它让 a、 d 这样连接一下之后，你会发现这个四边形 abcd 七是个什么四边形？我画的可能不太标准啊，它是二百，它也是二百，平行且相等，说明这个四边形是不是就是向量 a、 d 的 长度跟向量 bc 的 长度是不是相同？ 那这个是四百，那所以我现在 a 的 长度也是，什么四百对四百还里啊？然后，然后我们最后我们学两个，学三个概念吧，算是三个。然后首先第一个是平行向量，这个很好很好理解啊，两条线如果是平行的，那这两条线它代表的向量也是平行的，那他们 有可能是方向相同，也有可能是方向相反，对吧？所以我们说方向相同或相反的，这一定要注意是非零向量啊， 一定是非零向量啊，因为零向量它是和任何向量都是平行的，所以说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，但我们记得还是用我们这个平行的符号啊。 然后第二个就是条件更加苛刻了，叫做相等向量。我怎么判断两个向量相等呢？他们两个不仅要方向相同，而且长度也要相同。你看，一般我们说两个数相等，那就说明他们两个长度一定相同。然后对于向量来说，方向也要相同，长度相等，方向相同的向量就叫做相等向量。 然后共向量其实就是一个总结，平，任意一个平行向量都可以，平行向量就叫做共向量。就比如说两条线， 两个项链啊，他在一同一条线上，不管是相同还是相反，他都叫共线项链。但是如果两个两条线是平行项链，我是不是可以把这个线平移一下，因为项链是可以任意平移的啊，平移到这来，那他们也叫做共线项链，所以说所有的平行项链都叫做共线项链。 向量一定是可以平移的，因为在接下来我们学其他的东西的时候，平移向量是一个非常常用的东西啊。我们可以来看一道题目，他说，呃，现在有一个正六边形，然后让我找与 b、 c 相等的向量， b、 c 向量是这个向量 与它相等的向量就是方向相同，长度相等，因为是正六边形，所以它每条边的长度都是相等的，所以我们只需要来看与它方向相同的向量就可以了。首先 和它正对的就是 f 一 项链，它们两个肯定是相同相等项链，还有呢，对 a、 o 项链它也是平行的。还有 o、 d 项链，好了，没有了，那我们来看题目里哪一个是好，只有这个 o、 d 项链，其实非常好理解的这个项链啊，这个关于平面的项链呢？我们今天讲到这里，我们下次再见。
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23:35查看AI文稿AI文稿欢迎大家收看二三四五六的第三期平面向量篇。好，在这一篇我们会介绍平面向量的概念运算 及基本定律和坐标表示，不涉及到平面向量的应用，我们会单独讲解三角形。 ok， 首先看平面向量的概念三个问题，什么是向量？几何表示是什么？贡献向量是什么意思？如果你能马上回答出来，证明你对平面向量的概念理解的还行，如果你回答不上来， 那就一起看一看。首先什么是向量？大家注意两个关键点，第一个向代表着方向，而量代表着大小，所以有方向 也有大小的量，我们称它为向量。在物理当中，它有另外一个名称叫做矢量，它是一种矢量，胃液式， 还包括我们的速度，这些都是既有大小也有方向的量，它都称为矢量。在数学当中，我们就可以称它为都是向量。可它对应的是什么？是标量？ 标量是什么？它是只有大小没有方向的量。比如说我们的质量，我们的密度及这个肉，还包括我们体积 v， 这些 它都是标量，没有方向就大小，那么有对比。你再去认识项链，你就特别要注意，它是既有大小也有方向的量。好，那我们再看第二个小点， 向量的几何表示怎么表示的？那我们常见最常用的一种方法就是利用有象线段来表示我们的向量。 为什么有象线段有象？比如说我们举个例子，这里往右方向方向定了，你画的这个线段，他一定是会有长度的，所以既有方向也有大小，长度就表示了大小， 所以一般用有象线段来描述项链。好，那么对于我们有几个比较特殊的项链需要了解一下。第一个就是 零向量，了解这个特殊的，那么零向量是什么呢？零代表什么？大小为零，一般用这个来描述它啊，零上面打一个箭头，但这样子也行，这个代表零向量，它是怎么定义的？就是定义它的大小为零，那方向怎么说？ 我们说它的方向，记住啊，这个方向不是没有方向，而是方向任意，这是我们规定的方向任意。 ok， 好， 还有另外一个比较重要的项链，就是单位项链。什么是单位项链？大家要记住是大小为 单位一，单位一就是一个单位长度，这是它的大小，那么方向当然是会固定到某一个方向的，它也可以是任意一个方向，但是 他只能是任意一个。就比如说我们定义往右方向上的一个单位向量，那么他的方向就只能代表着往右方向， 但这个零向量的大小为零方向任意。这个任意是指我既可以是吧，画不出来是吧？我既可以说他往右，也可以说他往左，也可以说他往上或者是往下都行啊，就是他们两个点共线向量 啊。因为在项链里头有一个非常非常重要的特征，什么项链是可以进行任意平移的平移 为什么会有这样子的一个特征？任意平移是什么意思？我们要这样去想，比如说我们说往右方向上的一个单位项链，就这样子画出来一个，他和我们另外一个，我也画一个往右方向上单位长度，一个单位长度的这两项链 他怎么样？一模一样对不对？他的两个因素，一个方向都是往右，一个长度都是一个单位长度，那么他们两个是代表了一个向量，那我从这个地方平移到这个地方来不影响，所以我们表示向量基于他是有方向和大小， 但是在一个平面内，我们是可以进行任意平移的。好，这个时候我们就能理解贡献的意义了。贡献，什么叫贡献相当？也就是说我们通过平移，通过平移可以，是 啊，两个项链在同一条直线上，那么这两个项链我们就可以称它为共线项链。比如说你一个在这，我一个在这边， 你一个向左，一个向右，那么我们通过平移是可以平移到同一条直线上的，像这种就称它为 贡献量。那么贡献量它分哪些？它的主要特征又是什么？我们刚说了可以通过平移，那我们如果定义它的方向和大小，它具备什么什么什么什么关系，那我们就可以这样子讲，方向相同或相反的 项链，我们都可以称它为公心项链，方向相同或相反都行。好，然后再来一个特殊的就是零项链，零项链我们刚说了，它的方向是任意的对不对？所以它和任意非零项链是共线的， 这是零向量，它是和任意的非零向量，比如说这个 a， 但是要规定 a 不 等于零向量。好，这是我们规定的好，共向量。说完了，接下来我们就来看第二个小点平面向量的运算。谁说第一个向量的加减加减？ 我们先看加法，只需要记住一个，虽然我们介绍了是有两个，一个三角形法则，三角形法则，一个呢是平行四边形法则，但他俩其实是一个道理，只是表现的形式不一样。 好，什么叫三角形法则？我们就记住四个字，首尾相连。什么意思？比如说这里有个 a 向量，这样子我加上一个 b 向量，这个 b 向量有个特征是什么？就是我们的 a 的 中点和 b 的 起点，他在同一个点上。像这种首尾相连的时候， 我们直接利用三角形法则，那么 a 加 b 就 等于什么？由最开始的起点 a 的 起点到 b 最后的总点，这个就是我们的 a 加 b 三角形法则。就这样我们任意的两个向量都可以通过这种方法相加，所以它就会导致什么所有的向量的加法。大家只要只要记住一个点，首尾相连，那么你就可以把所有的向量的和都求出来。比如说举个例子，我们有一个向量， 这样子，再来一个向量这样子，再这样子，继续不断的多增加，增加， 不管你有多少个，我们只要平，以一层首尾相连的形式，那么最后的结果等于什么？最开始起点在这，最后的终点在这，那就直接由起点指向最终的终点，加起来就等于这个了，这就是我们三角形法则。再来看平行四边形法则， 那么平行四边形法则，它和我们三角形法则的区别是什么？三个字共起点，我们要共起点的就是如果两个项链，比如这个项链和这个项链， 他们俩的起点是同一个点，这个时候我们一般都用平行四边形法则，这两个相向相加会等于我们对角线，他就是我们的 a 加 b， 但是这个也可以用我们的向量形法则来解释，对不对？我们把这一个平移上来，刚好是不是 a 加 b， 就是 这个对角线。 ok， 好， 说到了说完加法，我们再说这个减法。减法呢，就要介绍一个向量，什么向量？我们先介绍一个相反向量，好。什么是相反向量？ 大小相等，我们先说相等的，再说方向，相反的向量，我们称为相反向量。如果我们说 a 减 b 减法，完全可以把它当做什么？等于 a 去加上 负 b， 那 么这个负 b 和 b 就是 一个相反向量，所以他其实还是一个加法，只是去加了一个向量的相反向量而已。对，减法不存在，只有加法。 ok， 好，再看第二点向量的数乘数，乘是什么意思？比如说有一个向量 a， 我 们把它干嘛？把它去乘了一个 number， 当然是一个常数，如果一个常数去乘向量，它会得到什么东西？你要记住 他依然得到的是一个向量，只是这个常数会影响我们最终得这个向量，他的特征不一样。举个例子，比如说我们这里有一个举个例子，当他是一往右方向上的一个单位向量，这假设是一个单位的 单位向量。如果我们现在干嘛？我们先 a 等于他现在把它干什么？把它乘了一个二。好，二， a 会等于什么？ 会等于两个单位长度，对吧？就乘它方向变了，没有？没变对不对？来看我们干了什么事？相当于这是一个单位长度，两个啊，变成这样子，大家看 这看干什么？把我们这个项链拉长了，变成了两倍长度变成两倍，方向不变，对不对？就这样子，你看乘了一个，可以发现乘正数。好，那我们如果乘一个负数，比如说乘个负三，负三 a 会等于什么？当然是负三， e 往左边， 原来是往右边，相反吗？负代表相反，相反就往左边来，只是这个时候变成什么？三个单位长度， ok， 变成这个。 所以我们可以由他去总结一个规律出来，这个拉姆达会影响我们最后的值。好，那我们就稍微总结一下，拉姆达去乘 a， 他 相对于我们原来的 a 向量来说，他进行了怎么变化呢？我们总结了这个点， 如果拉姆达大于零，记住同向，拉姆达 a 和 a 是 同向的，如果拉姆达小于零呢？那肯定就反向了吗？对不对？还有拉姆达绝对值如果大于一，那什么 变大了？我们说一下扩大，如果绝对值小于一，我们就把原来的这个长度缩小了，扩大，缩小，记住这个数乘的概念好。再来看向量的数量级，大家就记住一个公式就好了。先记住一个公式， a 点乘 b， 记住是点乘 等于什么？等于 a 向量的模乘以 b 向量的模乘以扩散，这个是 ab 的 夹角，好，由它推导出来。第一个，如果是 a 向量乘以 a 向量，我们观察一下 a 向量和 a 向量，它的什么方向相同意味着什么？夹角 是等于零的，等于零意味着什么？意味着他的阔值是什么？等于一的也就得到什么，得到了 a。 点乘 a， 也就是 a 方是等于什么？ a 魔方，这个在我们后面经常会使用到，包括他们的逆向使用也都是很常见的，因为由他就会出来，出来什么，就是 a 加 b 的 方，他其实等于 a 魔方加二 a， b 这里有点乘，加上 b 魔方的这个在我们后面经常会使用到，如果看到题目里头告诉了魔长放心大胆的去使用完全平方公式，就这个公式 好吧，好。第二个非常重要的就是如果 a 和 b 是 垂直的，垂直怎么样， 他的夹角就怎么样，就等于九十度，九十度扩九十度是等于什么的？等于零。所以如果两个向量垂直，那么就意味着什么？我们的数量级是等于零的，就在后面有经常经常使用到的。好，这是他的第二点， 平面向量的计算。再来看第三个点，平面向量的基本定义。首先基本定义是什么？这个地方我们也快速的来过一下，首先基本定义是什么？ 当然是平面向量的基本定义，在一个平面内，大家来想象一下，如果我们有两个不共线的向量 a 和 b， 那 么在这个平面里的任意一个向量都可以用 a b 表示出来。举个例子，比如说我们想表示，哎，这样这个项链，这个项链，这跟这没有关系。好，没关系，来，你先把它平移过来，给它套上 家属，这个是 a， 这个是 b， 对 不对？那么我们自然而然我们用平行四边形法则来给他做一个，当我们的对角线来给他套一下方向，大概一下是不是这样子，这样子套到一个平行四边形里面，那么这个向量就可以等于这里是多少，我们就比如说那么大 a， 这里是多少呢？没有 b 对吧？这个向量假设是一个任意的 c 向量， c 向量就可以等于拉姆的 a 向量加上 m 倍的 b， 这就是平面向量的定义，就是在这个平面内，任意两个不共线的向量，是可以表示这个平面内的任意一个向量， ok， 再来看由他出来的，就是嘛正交分解，我们刚才说是任意两个不共线的向量，如果我们把它特殊化一下，把它变成什么？变成两个垂直的向量，那么我们这个平面内的向量是不是也可以用这两个垂直的来描述？一个用 i 代表 向右为正方向上的一个单位向量，一个 j 表示向上为正方向的一个单位向量，那么记住啊，我们还是用单位向量任意一个向量，比如说这个 还是这个，那我完全是吧，来这样子对垂作垂一下，好，那么这个地方是吧，你不管是多少，我们拉的 i 没有被的 j， 所以 我们任意一个向量， 假设这个 a 向量，它可以等于那么的 i 加上 m 倍的 g， 而且这个时候我们是垂直的，好，由垂直就又引发了坐标表示，哎，所有的都可以用坐标来描述了，对不对？好，比如说，举个例子，我们还是拿这个来说，比如说这个头，这个时候的，那么的如果等于 四 m， 假设等于三，那么这个 a 向量，它就可以等于什么？等于四倍的 i 加上三倍的 j， 我 们又可以给我们的 i 当做它是向右方向的东西来，是吧？所以 i 其实可以等于什么？坐标表示一零，而 j 零一，所以它又变成 a， 四倍的一零 加上三倍的零，一用速成就会有四四零，加上 零三也得到四三，这是一个很常规的形式。怎么来描述？我们的项链就任意一个，在平面坐标游戏里面，任意一个项链，任意一个项链，你首先把这个是吧？中点和起点的坐标都有都有，那么我们最后的项链坐标一定记住了，是中点，这是 起点，中点减起点，比如说你是 x 二 y 二，我是 x 一 y 一， 那么这是 a 点，这是 b 点， 那么这个 ab 向量就等于什么呢？横坐标的中点减起点， x 二减 x 一， 中坐标也是 y 二减 y 一， ok， 这就是我们坐标表示。好，再来看 坐标运算，坐标运算就啊啊更直白一些，有，前面你看慢慢的 转过来了，加减数乘。我们先来两个项链，假设有 a 项链是 x 一 y 一， b 项链呢？是 x 二 y， 大家记住这个关系就好了，非常简单。好，第一个加加法， a 加 b 就 等于横加横 重加重减，那么一样的横减，横重减重好，竖乘，我们拿一个来说， lamb 的 乘 a 就 等于 lamb 的 x e， 就 乘进来就行了，啊啊， lamb 的 y e， ok， 好。 再来看数量级和摩的运算的数量级， a 点乘 b， 它就等于。这个公式更简单， x 一 x 二加 y 一 y 二，什么意思？这个地方什么东西？横坐标乘横坐标加重坐标乘重坐标得到的，这会是什么？它会是一个竖 啊，竖，这个时候就不是一个向量了，对不对啊？所以就是横乘横加纵乘纵。魔的运算也非常简单，来魔就等于 x 一 方加 y 一 方开方，这个地方求魔，其实非常好理解，你任意一个向量，这是你的 x 一， 这是你的 y 一， 我们魔的长度，哎哎哎哎，我们魔长会等于什么？肯定用勾股定你对不对。 x 一 方很很坐标，这个直角边 y 一 方，这个直角边平方和开方就得魔长，由他就会有一个我们的 假角公式，由它引发出来。一个假角公式，你还记得我们前面速算级公式是什么？是 a 点乘 b 等于 a 的 模乘以 b 的 模乘以 cosine， 它的一样的适用，这肯定是适用的，所以我们这里你看 a 点乘 b 就 等于这个 a 的 模呢，就等于，那 b 的 模就是 x r y， 所以 扩散 c 它 ok。 加角公式啊，就是我们要不还是慢一点。加角公式等于什么呢？就等于上面是点乘除以魔乘，上面就是 x 一 x r 加 y 一 y 二，下面呢就是 x 一 方 加 y 一 方乘以 x r 方 y 二方，这是加角公式，也经常会使用到的，就是在我们求法向量 那些的，就是空间向量，是一个意思，只是多了一个轴而已。好，然后我们再考，我们最再讲我们最常考的两个，一个是平行， 一个垂直，如果任意两个向量平行，我们刚说了 a 和 b， 如果平行，大家记住这个时候得到的是什么？你要用这个公式描述，你可以用两个方法，第一个说交叉相乘相等，交叉相乘相等 啊，什么意思呢？给你表摆摆一下， x y 一 和 x 二， y 二平行交叉相的相等，那么 x 一 就去乘 y 二，它会等于 y 一 乘以 x 二，也就是平行会得 x y 二等于 x y 一， 这样记会方便一点。好，垂直呢，那记住，垂直就是 数量积为零，对吧？我们刚说过数量积为零，数量积为零，也就是 x 一 y 一， sorry， 也就是 x 一 x 二加上 y 一 y 二等于零。 这个数量级垂直的时候是横乘，横加重乘重等于零，而前面平行的时候，是啊，我的横度表去乘以你的重值表，等于我的重值表乘以你的横值表。 ok， 继续我们就来看例题了。好，我们首先看二三年的全国一卷的题来。已知向量 a 是一， b 呢？是一负一，若 a 加上那么的 b， 垂直于 a 加上没有 b， 则它们的关系是什么？首先我们来看 a 加那么的 b， 我 们先把那么的 b 表示一下，那么的 b 是 等于那么的去乘它，所以 乘进来一乘那么大就是那么大。负一乘那么大就是负那么大，表示好，它好，那么 a 去加它 a 是 一，一对不对？好，一一。我们把这个坐标描述在这，加上它，那么横加它的横就得到一加那么大，然后重加它的重，一减那么大， 这是我们的 a 加那么的 b， 好， 同样的道理， a 加 miu b， 对 吧？只是把我们的 miu b 换成 miu 了，同理，我们就得到 这个一加 a 加缪， b 会得到一加缪，一减缪。现在说他们怎么样垂直垂直意味着什么？它乘它是不等于加上它乘它等于零，就是一加那么的乘以一加缪加上一减那么的乘以一减缪要等于零。 我们化简一下就好了。来乘一乘，一乘一加上阿拉伯加上阿拉伯，这不一样的加一减阿拉伯减缪， 然后再加上阿拉伯缪等于零。肖像肖像二加上二，阿拉伯缪等于零，所以阿拉伯缪等于负一，这不就 ok 了吗？对吧？非常简单。好，再看 下一个二四年的全国一卷哦，来看一看它已知向量， a 是 零一， b 是 二 x， 若 b 垂直于 b 减四 a， 则 x 的 值一样的 是二 x， 我 们先放在这，而 b 减四 a 来，先把减四 a 表示一下，负四乘以零还是零？负四乘以一等于负四，这是负 c 就是 b 加上负 c 得到的二加零得到二 x 减四就是 x 减四， ok， 垂直对不对？垂直横成红，横成横，二乘二加上 x 乘以 x 减四要等于零， ok， 乘一下四，二得四加上 x， 平方减四 x 等于零，刚好是一个完全平方， x 减二的平方等于零，解得 x 等于二， ok， 也非常的 简单，知识点的确都非常简单。好，继续看二五年的，二五年的题稍微长一点点，但是没有关系，我们一起看。 这个运动员可借助风力、风速大小和方向测出。这个大家可以自己读一读。 先要问真风为什么？你看答案，清风、微风和风，劲风，清风就是大小为一点一到三点三，微是这个，和是这个，劲是这个。 ok， 其实这个题也非常 简单，直接考了一个知识点，什么知识点？向量的加法对不对？来，你看他给你画出来了这一段，加上他，这是不是首尾相连，是不是三要素法则？所以我们的最后 怎么样？答案是这个相加得这个啊，这个是什么？他问的是什么？问的是他的风数，我们主要看风数来定义他的清还是微还是和还是净，就看他的长度喽。这里他说的长度二倍根号，根号是一点四一四，知道了吧？乘以一个二，二点八，二八来 就是秒杀了，所以大家自己去看一看这个题其实都不难，但是你一定要理解他，加油。
43李小夫子
02:08查看AI文稿AI文稿好，咱们一起来看一道比较简单的题，它充分体现了利用间隙法去求向量加角的好处。已知这个矩形 a， b c d a b 等于二倍的 a， d 等于二。画一个图， e 是 中点， b， f 等于二 f c， 所以 f 是 bc 三等分点。然后我在图上把所有已知的长度都标上，现在 d e 和 a f 交于 q， 要求 cosine 角 e， q f， 那么这个角它是一个斜角，不太好算啊，想辅助线的话可能也不太好想。咱们最直接的方法就是因为 a， b， c， d 是 矩形，是一个横平竖直的图形，所以想到利用多条线段的长度去建立坐标系，进而求出几个特殊点的坐标，然后利用 向量的坐标表示去求两个向量加角的余弦值，对吧？所以我这里一般以左下角为圆点，所以这里以 d 为圆点，建立 x 轴， y 轴。然后呢，这几个点的坐标就知道了， a 点坐标是零到一， f 点坐标是二到三分之一，那么向量 a， f 坐标就是二到负三分之二，那同理，这个 d 就是 原点零到零， e 呢？是一斗一，所以向量 d， e 的 坐标就是一斗一。呃，我求完 a f 和 d e 这两个向量，就是为了找到它们的夹角是谁啊？ 就是角 e， q f 吧，对吧？所以求 cosine 角 e， q， f 就是 要把 a， f 和 d， e 做数量积， 那么进而变形得到 cosine 加角， cosine eqf 就 等于它们的数量积除以模长的积。 然后现在利用坐标表示分子，就是横坐标乘横坐标加纵坐标乘纵坐标分母就是各自的模，各自的模就根号下横坐标的平方加纵坐标的平方，然后模相乘作为分母化简，到最后就是五分之根号五 大家就出来了。这是通过间隙法巧妙的将比较难求的角的余弦值转化为通过以这个夹角作为两项量夹角的这个向量数量机去除以各自的魔长进而求解的方法，大家理解了吗？
19张老师数学思维
04:06查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我们今天来看向量的数量积。这一节在向量中相对来说是比较重要的，因为后面有很多东西是会用到的。我们讲向量之前，我们先来看一下夹角，我们向量之间的夹角是 是什么呢？就是我们现在有两个向量，一个向量 a， 一个向量 b， 然后它们有个共同的起点 o， 然后我们就把它们两个中间这个夹角角 a o b 叫做角 c t， 它的角 c t 的 区 范围就是零到派，它只能在零到一百八十度，然后特殊情况，如果这个 c 它等于零，那我的 a 向量和 b 向量是不是这样子的？它们是同向的，如果它们是九十度，它们两个向量就是垂直的符号，跟我们的那个那个平常的符号是一样的，如果是一百八十度，它们两个是相反的。 好，那下面我们来看收敛机了，我，我的收敛机是怎么算的呢？就是向量 a 乘向量 b 的 摩乘，向量 b 的 摩乘以 cosine theta， cosine theta 就 它们两个中间夹到的余弦值嘛， 这就是我们的摄像机的公式，所以一定要注意点，就是我的 a 乘 b， a 相加 a 相加 b， 中间这个点是摄像机的运算符号，不能省略，不写，但也不能写成这种成的符号都是不可以的，只能写成点。摄像机的结果，它是一个数量，而不是向量。前面我们学的加减和数乘都是 乘环，都是一个向量，但是这个乘环是个数量了。然后摄像机的正负是由加角决定的。因为我们前面学的向量函数的时候，你就知道 cta cosine， cta 在 第一向前为正，第二向前为负，所以 cta 为锐角的时候它是正的，为钝角的时候它是负的，为九十度的时候它就是零。所以数量积是由角 cta 来决定的。 好，我们来看这个投影，就是有，现在有一个像这样有有一条线 c、 d， 我 们把这个这个这个 c、 d 叫做像像 b a， b 就 像像 a， 那 我做像像 a 往像像 b 上的投影，那我就过点 a 做垂线，这是 a 一 过点 b 的 垂线 b 一， 那 a 一 b 一， 是不是就是向量 a 在 像像 b 上的投影啊？ a 一 b 一 啊，我们可以我们。然后我们就直接来看题目了，已知三角形 abc， 然后这个是向量的符号啊，它这里有，有点乱码了。 b a 乘 b， c 小 于零。让我找三角形的那个那个啥，我们可以看一下啊，如果这是个三角形 abc， 那我的 b a 乘 bc 数乘是不是等于 b a 的 模乘 bc 的 模乘以一个 cosine 角 b 就 说了这两个肯定是正的，那我来看 cosine 角 b 小 于零， cosine 角 b 小 于零，说明角 b 肯定在第几项线？第二项线说明它是个什么角？钝角？对啊，这个就是判断我们三角形的这个题目。然后， 然后我们来看一下平面向量摄像机的性质，一共是有七个性质啊，我们可以一个个来看一下。这样 a 向量 b 都是非零向量，它们加角是 c， 它 e 是 与 b 方向相同的单位向量。所以第一个 a 向量和 b 向量相乘的时候，就等于，这是交换率嘛。 a 向量乘 e 向量等于， e 向量等于 e 向量乘 a 向量等于本身。拆开应该是 e 的 模乘 a 的 模乘 cosine theta， 当两个向量垂直的时候，它们两个的收敛基等于零，因为当它们垂直的时候， cosine 二分之 pi 是 等于零的，所以它们的收敛基是等于零了。 cosine 等于零，所以 cosine theta 是 等于一的，所以这里就等于 a， a 的 模乘 b 的 模，反向的时候也是一样的， theta 等于 pi， cosine pi 呢，就等于负一，所以是等于负的。然后 a， a 的 向下 a 乘向下 a 等于向下 a 的 平方，就等于向下 a 的 模的平方，然后最后一个就是 cosine theta 等于，这是我们数量积的那个公式的变化啊，向下 a 乘向下 b， b 上向下 a 的 模乘向下 b 的 模， 然后运算率，基本上数量机的运算率和我们数的运算是差不多的，交换率，然后结合率，分配率都是可以正常用的。然后这两个是重点啊，就是我们的平方完全平方公式和平方差公式在对于我们的箱箱来说也是可以正常用的啊。我们今天关于数量机的就讲到这里，我们下次再。
60小李老师gre
11:46查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们天赋不够，努力来凑。今天我们要进入到平面向量的基本定律以及它的正交分解了， 那如果这个视频对大家有启发的话，请留下个免费的关注，谢谢！我们先回顾一下什么叫平面向量的基本定律，以及什么叫平面向量的正交分解呢？那么它们用坐标表示又是什么样子的呢？我们先一起来回顾一下， a， a 向量， b， b 向量，那我们要得到一个 c 向量， 那我们把 a 移到这里来，那这个时候 b 就 到这里来了，那 c 向量是不是这一条， 所以这一条是 c 向量，对吧？所以任何平面内两个不共线的向量都可以用来表示另外一条向量， 那如果是 d 向量呢？随便给一条 d 向量，这个是 d 向量，那我们怎么样用不共线的 ab 来表示呢？是不一样的，我们沿着 d 的 中点去做 a 的 平行线，对不对？然后再做 b 的 平行线， 对不对？所以这一段是那么大倍的 b， 这一这一段是 m 倍的 a， 所以我们会发现，任何平面类的任何一个向量，比如说嗯 d， 任何平面向量，它都可以用两个不共线的不共线的两个向量，比如说那么大的 b 加上 m 倍的 a 来表示， 那这个时候我们就叫平面向量的基本定义， a 与 b 不 共线，所以这个叫做基本定义。 那这个时候我们就会发现，当我们把 lama 和 miu 为一确定之后，把它们两个点确定， 确定后，那 d 向量是不是唯一确定了，那什么时候才确定的呢？所以它特别像一组什么东西，有序数对， 有序数对，还记得吗？就是我们学坐标的时候，那我们就想，我们能不能通过有序数对或者坐标来类似的来确定一个向量呢？那这个时候我们就引进了一个角正交分解， 我们把 a 向量与 b 向量作为两个垂直的向量，比如说 a 向量， b 向量， b 向量。 当 a 与 b 垂直的时候，那么 number 和 mu 我 们就可以唯一确定了。那这时候我们说，诶，当基底 不共线的两个向量叫基底，当基底垂直时， d d 向量可以分为 number 倍的 b 向量加 m 倍的 a 向量。 将一个向量分解成两个垂直的向量， 叫正交分解 好，所以当 a 与 b 垂直，那 c 在 哪里呢？哎，连接它，所以这个叫做 c 向量，对不对？那这个时候当我们把 lamb 的 和 mu 为一确定的时候，那么这个时候 我们的 d 向量就确定了，我们的 d 向量就确定了，对吧？好，那既然 lamb 的 和 mu 可以 确定，我们怎么样去确定呢？第三个坐标表示， 我们把 b、 b 向量当做 y 轴 的单位向量， a 向量当做 x 轴的单位向量， 哪个单位向量呢？正方向上的， 那也就是说现在我们可以画一个直角坐标细，画一个直角坐标细，那这个是 x 轴，这个是 y 轴，这是圆点。那么 a 项链，我们把 x 的 正方向作为一个单位向量，一单位向量一二，那任何平面内的其他向量由这两个垂直的基底来表示。比如说 c 向量 给它取个名字 b 给它取名字 a， 所以 比如说这个东西，那我们这时候 o c 向量，它是不等于 o a 加上 o b 啊，那 o v 又等于多少倍的一一呢？那么大倍的一一加上 miu 倍的一二， 那一一，它的摩擦是不是一？所以这个时候我们 o c o c， 它的横坐标是多少？ 嗯，这是一吗？所以我们的 o c， 我 们用坐标来表示的话，是不是就是那么的 mua？ 这能理解吗？好，所以我们说任何一个项链，它用坐标来去分解的时候，那么我们把它的基底当做单位向量的时候，当做垂直的单位向量的时候，那么它对应的坐标我们就可以唯一确定了。具体的题目吧。 第一题，平行四边形， a b c d b c d 中点，这是中点， a k 等于一一， a l 等于一二，是用一一一二来表示 bc 和 cd， 那 其实就是说，嗯，一一一二来当做基底呗。那我们来看， 他说 ak 等于一一， a l 等于一二，然后用 bc 和 cd 也用一一二来表示，那我就要找关系呗。那我们先看一下 ak， ak 是 等于多少？ ak 是 等于三角形法则找三角形啊， ak 是 等于 ab 加上 bk 的， 对不对？好，然后我看 ab 是 多少？ ab 不 就等于 dc 吗？所以 dc 呢？ dc 等于二分之一， dc 它是等于一一的。那 al 呢？ al 它是等于 ad 加 dl 的 吧，又等于 bc， dl， dl 又等于二分之一， dc 吧，它是等于一二的， dc 加二分之一， dc 等于一一， b， c 加二分之一， d， c 等于一二。哎，都只有 d c， b c 了，那这个时候我们可以求出来吧，把两边，嗯， 先把一乘以二，再减去二吧，把它一二，对吧？那就会得到 d c 乘以二，加上 b c 等于两倍的一， b， c 加二分之一， dc 等于一二，把它一减，所以就变成了二分之 三倍的 dc 等于两倍的一减一二，所以 dc 就 等于两倍的一减一二乘以三分之二，也就等于三分之四倍的一减三分之二倍的一二， 对吧？又因为人家让我们求的是什么？求的是 c d， 所以 c d 等于三分之二倍的一二减三分之一倍的 三分之四倍的一一。同理，同理，我们把，嗯，用 用一减去二乘以二，得到 bc， 那 就等于三分之四倍的一二减去三分之二倍的一一。好，我们来看下第二道题目，人家告诉我们 o p 一 和 o p 二， 然后 pp 一 和 pp 二，那这个时候我们应该怎么去做呢？求 o p。 其实我们会发现，这两个东西是不其实就是这三个东西来组成的。 p p e p 是 不是由 o p 和 o p e 来组成的？ p p 二是不是由 o p 二和 o p 来组成的，对不对？那我们来写一下 p e p 是 不等于 o p 减 o p e 啊，对吧？首尾手手相连，由减数指向被减数吧，就等于那么的背的 o p 二减 o p， 对 吧？好，那么它就 o p。 要我们求 o p， o p 减去 a 向上等于那么大倍的 o p 二， b 减去那么大倍的 b 减去 o p 吧，所以 o p 减 a 等于那么大倍的 b 向量减那么大倍的 o p 吧，所以 o p 就 等于那么大倍的 b 向量加上 a 向量除以一加那么大， 所以这一题应该选 e 加那么大分之那么大倍的 b 加 a， 所以 应该是选 d 吧。好，来看一下第三道题目。第三道题目这有一个最老实的方法，叫求谁射谁，他既然让我们去求 a 点坐标，那我们就射 a 点的坐标为 x y， 那这个时候 a 向量它是等于 ab 的， 那就是用 b 向量减去 a 向量的坐标喽，对吧？ b 向量是负九减 x， 十二减 y， 那 ab 又等于什么？ a 又等于 b 减 c， 所以 b 负九减 二，那就是加二了，然后十二减二，那就是负七十。所以这个时候我们就会得到一个方程组，负九减 s 等于负七十二减 y 等于十，这时候九出来， s 等于八， y 等于负十。好，那这是第一个求坐标的方式。那如果不求坐标呢？是不是一样的？因为 a 等于 ab， 那 其实我们其实就是 x， b 的 坐标减去 x， a 的 坐标 y， b 的 坐标减 y， a 的 坐标，对不对？那它又等于什么呢？ a 又等于 b 减 c， 那 就是 x， b 减 x c， y， b 减 y c 吧，那这个不就是对应相等完事了吗？也很快啊，看你自己适用于哪一种好。第四题， 第四题，我们看一下 a， b， a， c， 好， 我们再抄，再写下 a， b， a， c 其实本身就是 o， b 减 o a 吧，对不对？所以是用 b 的 坐标减去 a 的 坐标， x， b 减 x a， y， b 减 y a， 再加上一个什么， x， c 减 x a， y， c 减 y a， 是 不是这个样子？好，那我们来算， b 点的横坐标减 a 点坐标，那就是负二负七，加上 c， 一 一减。哦，二减三负一，一减五负四，那一加就变成了横坐标加横坐标，重坐标就重坐标，那就等于负三负十一。所以这一题选 b。 那 今天视频就到这里，再见。
54派大星星星💫
