大连一模数学最后一道大题公式
今天来看一下这一份答题卡，我们看到了这位同学，那我们主要来看一下答题过程，那咱们先来看第一道解答题，我们比较好的点在哪？就是容易错的点，像竖列的问题， 我们要证明一个竖列是等比竖列，第一个关键的点就是首项是一，这道题这个同学已经写出来了，首项不为零。第二个我们会追到了公比，非常清晰的说明了这个竖列是等比竖列，这是第一步。 第二步我们要求通向公式和前向和，那我们的前向和正常给出来的是分组求和的， 前面是等比数列，后面是等差数列，所以我们分开两部分，前部分是等比数列求和，后部分是等差数列求和。那我们这道题的完完整整的答题过程就有了，那立体几何这道题我们这位同学也是算对的。 在这里边要提醒同学们有一个点就在于我们来看一下第二个问，第一个证明你看我们写的非常清晰的。第二个问，我们看一下第一个就提醒同学们，我们出现了 勾抹的情况，那我们肯定在考场上也会出现写错的情况的，如果出现写错的情况，我们一定要用一条斜线去划掉就可以了，不要出现这种 大量的勾抹，包括我们的后面这一部分的答题过程。还有一个点就提示同学们我们出格了，看我们正常的答题卡是要在格内来答的，那我们看后面这个咱们在扫描的过程中都是扫不到的， 我们这是正面的。前面的三道解答题的包括我们给的概率统计的这道题，第一个我们写出了概率，第二个对应的分母列也给出来了，这里再提醒一下我们这里面要有一个必要的原文字序号， 这是前面的三道大题，那我们再来看后面两道大题，咱们看一下后面两道大题，我们的圆锥曲线和导数的大题，那我们看这位同学的圆锥曲线，我们打的非常清晰的就是已知条件，第一个问咱们看到了求方程，那我们的方程解出来了， 第二个问根据已知条件去求直线过定点问题，那我们的定点也有了。第三个我们要出现的是求面积的最值问题， 所以先把面积公式写上看，比较好的点就在于这我们看到了先把公式写上，再把我们每一步求的东西带进来看我们的 d 在 这我们再带进来就可以了，这样我们就可以利用均值不等式，或者我们利用函数去求它的最值问题。 那在这里再提醒同学们一点，解析几何这道答题，我们的第二个问和第三个问是没有关联的，所以大家在审题的过程中要注意的点就是第一个问答完了，第二个问和第三个问之间如果没有关联的情况下，你第二个问没有做出来，可以先做第三个问， 往往第三个问是没有第二个问难的，所以这里边要注意一下我们考试的时候的一个策略，应试的一个策略 好最后一道答题的我们看导数，这道题我们正常给的过程也是第一个问，他是求极值点，我们看到了第一步是求导数，我们正常给出来了两个极值点，单调区间，要写上谁是极大值点，谁是极小值点， 这个一定要非常明确的，不能我们导数的零俩数解出来，没有写单调性，直接写 s 一 s 二是两个极值点，这是不可以的，也会被扣分。 第二个问，这里面会是到一个问题点，就是新定义的证明。我们在高考中会有一道答题是叫信息体和实际生活、生产科技等等有关的这个问题，所以这里面他会给出了一个新定义， 通过这个定义我们去解决问题的。那这道题里面的第一个问咱就先给出来定义了，我们第一个小问要证明它的震荡性是什么，第二个我们要证明它的衰减性是什么，所以咱们在证明的过程中就一定要根据它的定义去写这个过程，这就是我们板板整整的答题过程。
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02:38查看AI文稿AI文稿大连一模数学试卷的填空压轴题，话他在这里边考察到的尺规做图，那这里边话他这个尺规做图不是说让学生自己去做图，而是说我把尺规做图给你做出来的，你要知道他做的是什么。其实结合近几年的这个辽宁中考题去看一下，你会发现基本上的话，这个尺规做图的话，他都是有涉及到的。在 目前阶段的话，他这个尺规做图最爱考的就两个，一个是间断垂直平分线的尺规做图，一个是角平分线的尺规做图，那所以说的话，咱们同学一定要把这两个 角平分线跟线段垂直平分线的尺规作图痕迹给他记下来，然后在考试当中的话，你要能够认出来他做的是什么。这个咱们大连这个一模试卷这个填空压轴题出的真的是非常非常的 简单，基本上的话就是通过一个相似直接就解出来这道题的答案了。那好，那我们一起来看一下这道题，他说这个在矩形 abc 当中给的长根宽是二根三，他还连接出了一条对角线，那所以说我们的第一反应是不是就是先根据勾股定律把这个对角线的长度给他求一下？ 不是？然后接下来话后边这句话就是它的尺规作图结合它的文字序号，还有它这个图上边的这个尺规作图痕迹，那么我们知道它做的是这个 b c 的 中垂线，有这 b c 的 间断垂直平分线，然后这里边的话，它让我们去求这个 b f 的 长是多少，那你会发现那么 b f 所在的这个三角形 b f 正好形成了一个啥呀？八字相似，所以说的话，根据相似三角形对应边乘比例，那你会发 发现这个相似比是一比二，那所以就意味着是对 f 跟 b f 的 比是一比二，然后它俩的这个长度之合还是整个对角线 b 对 的长，而 b 对 的长，我们刚才已经求出来了，那所以说的话，直接利用这个 相似比的关系，然后结合 b 对 的长度，直接就可以计算出来这个 b f 的 长度是多少啊。那所以说的话，通过这个大连一模这个填空压轴体化， 也是想告诉大家，就是现在的话，咱们这个填空压轴题的话，真的是不像以前出的那个难度非常的大，所以说的话，咱们不要再一看到填空压轴题连题读都不读，就直接给他跳过去了。如果说像这次这个大连 e 模式这样，如果有同 同学连读都没读题，直接就给他跳过去的话，我会觉得非常的吃亏啊，因为这道题通过刚才的讲解，大家也发现这个难度真的是非常的小，所以说好在中考的这个考场上，咱们确实是有舍有得，该放弃得放弃，但是你放弃的前提条件是什么？是你这道题你真的读了前 思考了，然后没有思路了，那么我们该放弃放弃，而不是说连读都没读，思考都没思考就选择直接放弃，那么这种行为话并不是非常明智的啊。所以说的话，咱们在考场上时候一定是经过思考之后再决定是否要放弃这道题啊。关注莫老师数学满分不迷路！
06:04查看AI文稿AI文稿大连市一模的二十二题啊，他告诉我们一个解析式，然后又告诉我们 o a 等于 o c， 我 们知道 c 点坐标是一个零豆三，所以说 o c 得三，那么 o a 呢，也是一个三，他就是负三豆零， 然后 b 点坐标又是得二豆零，我们把 a 和 b 往里一带，就能解出小 a， 小 b 啊，想让我们求 b 得的长度，那告诉我们得点坐标了，我们把得点的横坐标带进去，然后得点坐标能解出是一个一到二， 那根据得点和 b 点，然后再用两点距离公式，就能把得 b 算出是等于根号五，那么得 e， 这个也得一个啊，得他的一半是二分之根号五。 接下来呀，老师把一点坐标设成一个零逗 b， 这个点坐标是一逗二，然后根据两点距离公式，二分之根号五应该等于根号下， 嗯，一减零的平方，再加上一个二减 b 括号的平方，然后就能把这个 b 算出是两个值，一个是二分之五，还有一个是二分之三， 但是呢，二分之五比这个 o b 大 了，所以说要舍掉。那最后啊，也就是说解出 e 点的坐标就是零度啊，二分之三就能把 d e 的 解析式给它算出来啊， y 就 等于二分之一 x 加上一个二分之三，然后我们再把 a 点带进去，发现它在这个上面。 好，再来看一下括号三，给了我们两个动点，一个 m， 还有一个 n， 然后这里头有一个很重要的信息，就是 pm 平行于 q， n 平行于 y， 这样的话呢，就说明它们都不能跟 y 轴重合。呃，然后我们先把啊 b e 的 解析式算出来，然后就能把 f 点的横坐标算出来， 那接下来啊，我们把 p 点坐标用 x 一 勾负的二分之一 x 一 的平方，然后再减去二分之一 x 一 加上一个三， 那 m 坐标呢？就是 x 一 逗，负的四分之三 x 一 加上二分之三，这样的话我们就能把 pm 给它解出来，因为它只要在这个线段 f b 上面， p 点始终在上边， m m 点在下边， 所以说应该用 y p 减去 y m。 好， 减完之后就是负的二分之一 x 一 的平方加上四分之一 x 一， 加上一个二分之三。好，接下来再把 n 和 q 啊给它表示出来， 那 n 点坐标它是 x 二逗，二分之一 x 二加上一个二分之三， 那 q 点坐标是 x 二到负的二分之一 x 二的平方，然后减去二分之一 x 二，再加上一个三， 那 n n q 啊就可以减出来，是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，加上一个二分之三。那接下来我们需要去给它解决 e g， 把这个往下延长，这个点就是一个 g， 然后呢， e g 就是 这个长度。好，我们刚才算出来了，这个边是得二，然后这个边是二分之三啊，那你说弹进它这个值就能算出来， 对吧？然后我们过这点往这边做一个垂直啊，然后根据这个点的横坐标啊，就是 x 二，所以说就能把这个 e g 给他求出来，等于四分之五倍的 x 二。 那接下来，因为啊， pm 它是等于 q n 加上一个 e g， 那 所以把这个 pm 负的二分之一 x 一 的平方加上四分之一 x 加上一个二分之三，好，等于 q n 是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，加上一个二分之三，然后再加上一个四分之五倍的 x 二， 这个化简完之后啊，就会得到二倍的 x 一， 减 x 二乘以 x 一， 加上 x 二，然后等于 x 一 减去 x 二。 我们知道 x 一 和 x 二不相等，那这个可以约调，对吧？最后解出 x 一 加上 x 二，等于一个二分之一， 对不对？接下来还有一个，它让我们求 x 一 的一个范围，我们知道啊，啊， x 一 它是不等于 x 二，然后呢？ x 二它又大于这边一个零，然后小于这个一个一， 对吧？不能等于零，因为等于零就和刚才说他跟 y 轴就不平行了，是重合了，对吧？然后跟这个的如也不能等于一，等于一的话，那个 n 和 q 他 俩就重合在一起了，对不对？那这样的话，我们就能解出 x 一 它是大于一个负的二分之一，然后小于一个一。但是这里啊，还有一个特殊点，就是这个 x 一 它不能啊，等于一个零， 因为 x 要等于零的话，他也跟 y 轴重合了，对吧？那所以这里头啊，还要刨除掉一个 x 一 不等于零，然后 x 一 不等于 x 二。我们让他俩相等，发现 x 一 和 x 二都等于四分之一，那所以这里头还要刨除掉一个不等于四分之一。
04:45查看AI文稿AI文稿好，大连市初三一模的数学二十三题啊，我们来分享一下这道题的主要思路和逻辑在哪里啊？ 呃，题目中给了一个等腰三角形 a、 b、 c 啊，然后 b、 d 和 c、 e 相等。我们知道 b、 d 和 c、 e 相等呢，它就是左右两边对称的，所以第一问号就可以轻松地搞定啊。第二问号 f 点是三角形内部一个点给了两个角的关系，所以这道题肯定是倒角，肯定是很重要的一点，是吧？ 好，然后这个 b、 e、 d 呢，等于二倍的 a、 c、 f 减四十五度，所以我会设 a、 c、 f 为阿尔法，所以 b、 e、 d 呢，就是四十。呃，二倍的阿尔法，减四十五， 对吧？右边 a、 e、 d 呢，是等于二倍的阿尔法。 ok， 所以 a、 e、 d 这个角是二倍的阿尔法，那这个角也是二倍的阿尔法。而告诉我，这个角，是吧？这个角叫二倍的阿尔法，减去四十五，好，根据外角是吧？这个角叫二倍的阿尔法。减去四十五，好，根据外角是个九十度啊，轻松搞定。 好，那可能这个圈二呢，不见得所有的同学都能做的很顺畅啊。题目中给了一个终点，但不需要你背长中线，为什么？因为 b、 f 的 终点是 j， 对 不对？那已经有了这个终点，这个这个，这个也已经已经已经是终点了，对不对？所以我们没有必要去背长中线啊， 我们需要怎么做呢？那我上课一直在跟孩子们强调，我说等腰直角三角形，它那个斜边中线是无比重要的，对吧？所以如果你把这条斜边中线给做出来的话，那这道题无比简单啊， h 连起来，这和 h 就 会变成两个中点， 是一个中位线的关系，对吧？是一个中位线的关系啊，那我们刚刚第一问，挣了，这个角叫二倍的阿尔法减去，呃，四十五度，对吧？那这个角不四十五吗？所以呢，推出来这个角， 应该是一个九十度减去二倍的 r 法，用四十五再减它，对吧？九十度减二倍的 r 法啊。然后呢，我们知道的是这个角是 r 法，所以这个小角叫四十五度减去 r 法，所以根据中位线，这个角四十五度减去 r 法，我们能推出来这个角， 是吧？好，也就说这个角 a h j 啊，应该是等于九十度再减它，是吧？九度再减它，那就是四十五度加 r。 好，那我们知道九十度减二倍的阿尔法和四十五度加阿尔法叫绝配角，是不是？所以这个角呢？根据内角和也是四十五度啊，加阿尔法，那 a j 和 a h 就 相等了啊，那 a h 和 ac 的 关系就是 a j 和 ac 的 关系啊，等于 a h 比上一个 a c 就 等于一比根号二嘛，对吧？二分之根号二。 ok， 好， 这个圈二搞定啊，圈三，在二的条件下，当 b f 和 c f 相等的时候，当 b f 和 c f 相等的时候，那这个 f 点就一定在我的对称轴上，那这条线我肯定还是要做出来的，对吧？好，我把它连起来 啊，跟第二位的这个弧线是一样的啊， b f 和 c f 长度都是一，那这个 b j 和 j f 都是一，根据斜边中线，这个 j h 长度也是个一，对吧？好，我们说啊，这个 j f h 啊， j f h 是 个等腰三角形，这个底角是不是就这个角， 对吧？然后 agh 也是个这个等腰三角形啊，底角也是这个角啊，底角也是这个角，算是吧。所以这两个等腰三角形呢，很明显形成一个共边反义字相似，共边反义字相似的基本结论基本结论， h g 的 平方等于 h， f 乘上一个 h a， 是 不是？好，所以我就可以设一个 f h 等于 x 啊，那我就能推出来，因为这个 gh 等于一的，是吧？这个 a h 呢，是应该等于 x 分 之一， h 等于 x 分 之一啊，我只需要再解一个三角形就好了啊。在 b f h 这个三角形 b f h 里面是吧？那 x 的 平方加上 b h 和 h 相等， x 分 之一的平方应该是等于啊，等于四是吧？ 好，把 x 平方看成一个整体啊。这个 x 平方呢，你就可以解出来啊。用求根公式， x 平方应该是等于二分之 二分之四，加减二倍，根号三啊。呃，四加减二倍根号三，我这个没有化解啊，但是这个 x 呢，很明显是小的那个是吧？所以你，你这个 x 一定是把这个正的给舍掉，是不是好，舍掉？舍掉正， 那 x 呢？再再开平方就可以了啊。那 x 的 x 我 就先可以先不开平方了啊。为什么？因为 a c 是 不是应该是取倒数了，对不对啊？ a c 应该是等于根号二，乘上一个 a h 啊，乘上一个 x 分 之一，所以把这个取倒数再开平方就可以了啊，就等于根号二，乘上这个家伙的倒数就是四，减去二倍根号三分之二，再开一个根号， 是不是这样？ ok， 好， 分子呢？根号二乘根号二，应该是二分母四减二位，根号三开出来应该是根号三减一。好，再分母右移化变成根号三加一。这个题我们就做完了啊，整体还是一道相对来说难度不大的题目。 ok。
77初老师数学
04:27查看AI文稿AI文稿今天是大连一模考试的第二天，我们先来浏览一下整个试卷的试题难易程度，以及呃，部分大题后面两个压轴题的分值分布情况。先简单浏览一下试卷，我看了一下啊， 呃，一到十呢，考的还是比较简单的。那第七题，这里出现了方差，他没有在后面的概率题中出现，而是一个简单的选择题的形式出现，所以说对大家来说挺友好的，挺简单。那第十题呢，出现了一个几何动点，这也是大连常考的一种动态分析问题。嗯，是需要根据 图二这个二次函数的图像去分析正方形 a、 b， c， d 这个边长的长度，对吧？好，那根据图像呢，我们就能得到， 呃， a e 是 x， 那 么 ab 是 一，因为 x 等于零的时候，这个面积为零嘛，对不对？那就是一减 x， 根据这些条件再去进行做题即可，还是挺简单的。 再来看一下十五题，十五题考得也相对来说比较简单。第一，他没有涉及到动情况分析问题分情况讨论，而是求一个固定长度的线段的问题，对不对？所以在这里给大家列举一下，他是使规作图和相似进行了相结合，进行了考察。 那么十六题的计算也相对来说比较简单。十七题也还不错，考到了二次函数的增长率问题啊，一元二次方程的增长率。看一下第十九题。第十九题呢，这里可能会出现部分细节扣分问题，也就是第二问 出现的函数表达式。注意，一定是 s 与 t 的 表达式，就不会得分了啊，这个一定要注意。 那二十题呢，考察的第一问和第二问其实都是考察了一个圆周角相等，那他们对应的同乎也是相等的，其实这一个圆周角的考察在鞍山一模也会涉及到，在第一问倒角的时候， 后续呢，我们会把这个图给贴出来。鞍山一模也是考察了圆周角相等，嗯，很多同学就是卡在了圆周角，不知道去没看出来，所以导致那道题二十 一题的这个圆的题就卡住了。然后我们再来看一下二十一题，二十一题是反比例函数的实际应用啊，的一个相结合，那这里呢，也是存在一点扣分的点，也就是第一问 注意一定写的是小 f 与 l 之间的表达式，而不是 x 与 y， 所以 简单的来看这张试卷的一到二十一题的基础，但是细节点部分扣分的点也是挺多的，有很多的坑，比如 s 与 t 的 这个关系式， f 与 l 的 函数表达式，一定要注意 看清题目所求，那我们再来看一下后面的二十二十三题。二十二十三题，尽管是大连的一模考试，给他调换了位置，二十二题考察的这个二次函数的计算，二十三题考察的几何，但是无伤大雅。我们先来看二十二题， 二十二题呢，首先我们打眼一看，其实没有涉及到新定义，也没有分情况讨论问题，只是第一问还是很简单，涉及到计算。第二问呢，那么就是要把 d e 这个解析式表达出来，通过这个题目所给条件， d e 等于二分之一 b， d 啊，那这样去把这个 d e 的 这个解析式求出来，再去判断 a 是 否在这个直线上，一定要注意写清，当 x 等于负三时，哎，代入 y， 哎， y 等于通过计算啊，把你这个 d e 的 这个解析式算出来之后，把负三带进去看看 y 是 否等于零，然后再去说明啊， a 点这个点的纵坐标和算出来的这个纵坐标是不是相等，所以点 a 在 直线 d， e 上。第三题呢，这里占五分的分值， 这个也是比较简单的一个横平竖直的线段嘛，对吧？好，那我们在这简单标一下， m 其实是在这， p 点是在这，这是 q n g m p 和 q n g， 它其实是两条平行于 y 轴的线段，所以就是把它们的横坐标，纵坐标表示出来，嗯， pm 就是 它们的横纵坐标之差， q， n 这条线段其实就是它们的纵坐标之差。 e g 这条小线段呢，我们是通过勾股定律去把它表示出来， 所以对于大部分同学来说，嗯，计算情况较好的，那我们能够得到的是 x 一 与 x 二的这个数量关系是完全没有问题的，可能会在这个十二分里面会扣一到两分，嗯，就也就是关于这个 x 一 的取值范围。
06:59查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，大家好，接下来我们来看一下二零二六年大连一模的代数压轴题。首先我们来看括号一，括号一，他给出这样一个抛线， 然后他说啊，这个 o a 是 等于 o c 的， o b 他 是等于二的，那 c 点坐标呢？我们是可以求的，他是零，逗号三，所以说 a 点坐标他应该是负三，逗号零，那 b 点坐标呢？他应该是二，逗号零。那已知三点。求解式啊，我们可以把这个抛线求出来， 抛物线是 y 等于负的二分之一， x 方减去二分之一， x 再加上三。然后呢，我们去求这个 b 的 长度啊， b 的， 它说 b 点啊的横坐标是一，所以说把这个横标为一啊，带入到我们的抛物线解释里面来，可以求得对点的标呢，它是一等号二， 所以说啊，我们过这个 b 点向下做一个垂线，这是一，这是二，这就也是一。那 b 的 长度呢？这是一比二比根号五，所以说 b 的 等于根号五， 那 a 和 b 的 值啊， a 等于 b 等于的应该是负二分之一。接下来我们来看括号二，括号让我们证明点 a 啊，在直线对 e 上，那对点我们求完了，接下来我们求下一点，然后再求一下我们的对 e 解式，他说这个对 e 啊，等于二分之一， b 对 b 对， 是根号五，所以说这个对 e 等于的应该是二分之根号五。 然后呢，我们过了个对点啊，向 y 轴做垂线，比如说相交于这个点 h 吧，那这个 h 对 呢，它就是一，这个 e 对 呢，它是二分之，根号五，所以这个 e h 啊，它等的应该是二分之一， 那这个 e 点坐标啊，我们也是可求的，它应该是零的，号二分之三，那 d 点都知道了，我们连累去求解式，这个 y 点 e， 它等的是二分之一 x 再加上二分之三。然后呢，我们把这个 a 点坐标往里面带，发现它确实是零，所以说这个 a 点啊，它是在这个直线对以上的。接下来我们来看括号三， 那括号三啊，还是这样一个抛物线，它说这个 m 和 n 点啊，它分别在线段 b f 上和线段对以上。那咱们随便啊，先标一个 m， 标一个 n， 这两个点啊，就可能是我们的 m 和 n， 然后他说啊，他们的红标分别是 x 一 和 x 二，那这是 x 一， 这是 x 二。然后呢，这个 p q 两个点啊，他在抛物线上解 pm 平行于 q n 平行于 y 轴，所以说我们过这个 m 点啊，和这个 n 点去做 y 轴平行线，这个点就是我的 p， 这个点呢，就是我的 q。 然后前面也说了啊，这个 x 一， 它是不等 x 二的，所以说我们这个 m n 啊，它是不能重合的。再往下来啊，他说直线 q n 与线段 b e 相交于点 g e， 那 把这个直线 q n 画一下， 它与线段 b e 啊相交于点 g， 这个位置呢，就是我们的一个 g 点了。然后他说啊，若 pm 等于 q n 加上 e g， 让我们求的是 x 一 和 x 二的数值范围，那这个题我们应该怎么做啊？我觉得这个题的思路呢，大家应该是很清晰的，他给出了 三个线段之间的一个数量关系，我们只需要去表示一下这三条线段，然后呢把它倒到这样一个等式里面就可以了。那咱在求之前啊，你会发现这个 m 点和 n 点分别在这个 b f 和这个 d e 上，所以说我们需要先求一下 b f 和 d e 它俩的一个解式，那时间问题啊，我们也不在这里面带同学们去求了啊， 这几个点它都是已知的，所以说这个啊，指数啊，都是可以求的。第一个是我们抛物线下面是 b e， 还有我们的 e 对， 接下来我们直接来去表示这个点，好吧，那这个 m 点啊，它的坐标 横坐标是 x 一， 把它往这个直线里面带，纵坐标应该是负的四分之三 x 一 再加上二分之三，那 p 点坐标应该是 x 一 逗号负的二分之一 x 平方，再减去二分之一 x 一 再加三，这是我的 p 点坐标。那 因为这个 pm 啊，和这个 q n 它都是数值的，对不对？所以说求两点之间距离的话，我们只用他们的坐标之差上减下就可以了。所以这个 pm 啊，减完之后， 它等于的是负的二分之一 x 一 平方，再加上四分之一 x 一， 然后再加上二分之三，这就是我的 pm。 那 一会啊，求这个 q n 的 方式也是一样的，你就把这个 x 二啊，往这个直线里面带，再把 x 二往抛线带分别去表示这个 q 点和 n 点就可以了。 在这啊，我们也不浪费时间了， q n 它等于的应该是负的二分之一 x 二的平方减去 x 二，再加上二分之三，那两个数值的线段啊，咱们都表示完了，还剩一个斜向的这个 e g， 这个 e g 啊，我们应该怎么来求？我们会用到用到一个改邪归正，也就是斜划直的这样一个方法，所以说我们过这个 g 点啊，向外边做垂线， 比如说啊，相交一个我们的 h 点，那因为啊，它是垂直的，这个三角形肯定与下面三角形 a、 e、 o 它是相似的，那这个三角形 a、 e、 o 啊，它这个 e 点 b 点、 o 点，咱们全知道，对不对？所以说这里面的三角函数啊，它都是可求的，比如说这个角，它的 cosine 值啊，等于应该是五分之四，所以说这个角的 cosine 值啊，也是五分之四。 那 h g 它是什么东西啊？它与这个 n 点啊，在一条线上，所以说这个 g 的 长度呢，就是我们的 x 二的这样一个长度，那这个 e g 它等于就应该是四分之五的 x 二。那现在啊，三个线段长度咱们都表示完了，我们只需要把它们啊，往这个式子里面进行一个代入，就可以求得这个 x 二和这个 x 一， 它们俩是那个数点关系的。那连立完之后啊，它我们会得到这样一个式子， x 二减去 x 一， 再乘上 x 二加 x 一 减去二分之一， 它等的是零啊，我们只需要进行一个简单的因式分解就可以了。然后呢，他说啊，这个 x 一 它是不等于 x 二的，那就意味着 x 二借 x 一， 它肯定是不等于零的，那只能它等的是零。所以说 x 二加上 x 一， 它等的应该是二分之一。这个呢，就是 x 一 和 x 二它们之间的一个抽象关系了。 接下来啊，我们还要求一下这个 x 一 它的一个取值范围啊，那 x 一 是什么？它是 m 点的横坐标，那 m 点啊，它是在线段 f 上的，对吧？而且一会还需要向上去做平行线的，所以这个 m 点啊，它一定夹在这个 f 点和这个 b 点啊两个点之间。那 x 一 它的横坐标有一个范围，它应该是大于负的二分之三，小于二的，这是 x 的 范围，那 x 二呢，它是在线段对应上的，所以说这个 x 二啊，它也有一个范围，它应该是大于零小于一的。 那 x 一 和 x 二啊，还有这样的一个数量关系，所以说它们的一个趋值范围啊，也是有一个联动的。那这个 x 二啊，咱们可以用这个 x 一 来表示一下， x 二它就等于二分之一，减去 x 一， 他也需要大于零小于一啊，那解完这个不等式之后啊，和上面 x 一 本身有的范围取一个交集，我们可以得到这个 x 一， 他应该是大于负的二分之一，小于二分之一的。 但是啊，到这就完事了吗？首先他说了啊，这个 x 一 他是不等于 x 二的，那 x 一 加 x 二，他等的是二分之一。如果说 x 一 等于 x 二的话，那他俩是不是都是四分之一，四分之一啊，他在这个范围里面，所以说我们需要把四分之一给它刨掉，且 这个 x 一 它是不等于四分之一的，那到这就完事了吗？我们要想一想啊，我们这个 q 点啊和这个 n 点是怎么得到的？我们是过 m 点，过 n 点去做 y 轴的平行线，那如果啊，这个 m 点它正好就在 y 轴上的话， 那这不就跟 y 轴重合了吗？所以说我们这个 m 点和 n 点，它都不能都在 y 轴上，也就是 x 一 和 x 二，它都不能是零，那这个零也在范围内，所以说这个 x 一 他也是不能等于零的，那这个呢，才是我们本道题目的答案。那相信啊，这个数量关系我觉得大家应该都能做出来，就是这个最后的取舍范围啊，可能同学们会漏解，那希望大家下次注意。好了，那我们本题的讲解就到这了，我们下次视频再见。拜拜。
07:29查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天老江给大家带来一个大连市是一模二十二题二次函数的一个简单的拓展分析。 那首先咱们先来说二十二题的一问二问主要考察大家一个基础计算能力。给了点答的横坐标是一，那怎么样？ b 点横坐标给了，这边有一个点 c， c 点 坐标给了 a， 点坐标给了。求出来二三数解一式，你们可以用两点间距离公式，但两点间距离公式用出来，写出来公式就给你们扣分了。那怎么样？我们简单的做一个勾股定律方程，则能求出来一点坐标。好，整个一问二问，我们结束那整个二三数的第三问，我们考察的点在于哪呢？有两个知识点， 第一个知识点有关于边长比例的运用，我们在整个图形当中，这实际上是一个几何的知识小点了。比如说我们现在在这出现了一个直角三角形 abc， 我 们拥有 abc 是 一个三四五的关系。我突然间这给了你一个答 e， 那 我说答 c 等于 t， 那我想问一下答 e 等于多少呢？能不能口算一下？此时我们可以说 abc 是 一个三比四比五的图形， c 答 e 也是一个三比四比五的图形，则我们可以用相似，也可以口算。我们知道 c 答是 t， 那 答 e 等于什么？等于四分之三 t， 因为 t 占一份四分之一，答 e 四分之三 t， c， e 四分之五 t。 好，所以第一块我们在整个题中需要这样一个快速运算，找到比例的手段，如果你不知道比例就不太好了，整个我们这有一个 b， f， m 是 什么？一个三比四比五的图形。第二块就是咱们今天要说的重点了，关于二次函数的 上减下。在我的压轴题班组中，上减下作为第一要务，也是我们整个题目讲的第一个大体演。我们预言今年有可能在中考当中还是要出上减下的， 只不过对上减下进行一羞羞的变形。什么意思呢？上减下有几种形式，第一种形式，我们基础求线段的 最直，有很多同学说了，老师，线段什么叫最直，我们只能求最小，或者只能求最大，都不对上减下，我们是可以既求最大又求最小的。比如说什么情况？我现在这有一个抛物线，如果抛物线内部产生一个 e 四 i 数， 这个图形面积的最大值，我就能求上减下，得到一个最大。如果告诉我说我现在的直线跑出了二三十外，比如说我随便给你设立一种 极限情况，那怎么样？直线与二三十之间这两个方程连立，我们可以做出来一个三角形，那这个图形的最什么值？我们可以求最小值，我可以求第二块上减下，涉及一个事，叫水平底 和铅垂高。我们正规的水平底铅垂高叫什么？你可以注意这是不是有一个三角形，三角形是 a、 b、 c， 我 们之前学的什么叫阉割吧，我们所有人都在拿哪个当水平底？ bc 两角间的水平距离作为水平底 a 到 bc 的 什么垂直距离叫铅垂高？黄颜色画的是铅垂高，红颜色画的是水平底，黄颜色的比乘以左边 h 一 加上等于左边三角形面积，黄颜色的比右边 h 二 除以二等右边三角形面积，所以整个图形的面积就可以写成黄颜色的比乘以什么红颜色的比除以二，我们简写为 a n 乘以 p c 除以二，就是整个三角形的面积了。那完整版长什么样？完整版还包括两个小事，第一件事是以 a、 c 的 水平距离为底，我们就会发现，那我此时以 a、 c 的 水平距离为底，我们要记住以 b 做一个垂直于水平底 交 a、 c 的 延长线与点 p 此时的图形面积等于二分之一， b p 乘以 a、 n 怎么算的？还是一个？来，咱们一起来画一下，看看这个图形咱们怎么算？我们能得到 p b、 c 的 面积 等于 pb 乘以左侧 h 一 除以二，乘以整个 h 二除以二。我们用 s 三角形 pbc 减去 s 三角形 pba， 就应该等于 s 三角形 a、 b、 c， 那 p b、 c 等于 p b 乘以 h 二除以二，所以就是 p b 乘以 h 二减 h 一 除以二，换句话说就是 p b 乘以 a、 n 除以二。那给大家留一个小小的思考， 想不明白还可以私信问一问我。那 a、 b、 c 我 们刚才说了，如果我以 a、 c 的 水平长度为水平底，也可以以 p、 b、 c 的 水平长度为水平底，那如果我现在以 a、 b 的 水平长为水平底，那我问你高应该是哪一条？ 比如说题目里就给我了 a 点横坐标跟 c 点横坐标，那我们图形的表达式应该怎么办？我们给的是不同的横坐标的不一样，怎么样？水平底铅垂高和面积的表达式一致在变。那这道题我们上减下考察的第三点叫什么？叫斜长 转乘纵长？那仔细看一下，我们在整个题型当中，什么叫写转做？大家可以注意到我们经常用的一个一二三的二三数， y 等于负 x， 方加二， x 加三，我们随便给你一个点，比如说在这边过点 c 给了你一条直线，这边给你个 p， 这边给你个 q， 我 们题目里会问什么？比如说 s 三角形 a p q 比上 s 三角形 a c q， 我 问这两个面积比值的最大值， 那我们就会产生一个新的思路，我们都知道这两个三角形的面积，因为你们两个是不叫同高，那所以我说你们两个的面积比就可以等于 p q 比上 c q。 我们第一步把面积比转成线段比，那线段比现在是不是一个斜着的长度？斜向线段长度比值我们不会求，怎么办？我把它转成纵向线段，长度过 c 做个垂铅垂线，过 p 做个铅垂线。 c m 比 p n， 所以我说你现在 p q 比 c q， 就 到 p n 比上 cm， 既然 p n 比上 cm 了， cm 的 长是个定值， c 点定 ab 减一式定 cm 的 值是个定值，所以现在在求什么？求 p n 的 最大值。 以上就是对今年一模一个紧要性的改变，那我们在做一套题的时候做的是什么？并不是这道题的原题，而是什么？我们对这道题类型的一个拓展，一个分析， 我们在对整个题的上，这道题能改出来什么题？它象征着一种什么类型？同样的出法都有哪些？通过这种方式去分析析题，希望能带给同学更多的灵感，更好的分数。 如果对以上三种问题有什么问题的，随时可以来黑石桥校区找我，今天是对整个一模二十二题上减下的一个拓展性的小规模分析，谢谢各位。
03:54查看AI文稿AI文稿大家好啊，初三的同学们好啊，今到今天正好你们这个一门考完了啊，考完了也可以简单的放松一下啊，如果你这次的二十三题倒数第二问没有做上来，倒数第一问 做不上来，一点关系没有啊，重考辽宁重考达不到这个难度啊，咱就说倒数第二问，我要觉得这道题把倒数第二问当做最后一问 就完美了，这个难度当中最后一问就可以啊，倒数第二问，那肯定也是大部分人做不上来，绝大部分。 那么如果你是一个平时呃，就是压二十二题压轴题，最后一问是能做上来的人啊，是有有有一个比较大概率能算的人，你这次没有做上来，就这个中位线你没有勾出来，那么下一步怎么办？ 我这两天也也在考虑这个问题啊，那么我这个人的一个特点是什么呢？就是没有什么太多的理论， 就是出现问题，解决问题必须想出来切实可行的办法能去解决这个问题。这个办法我想出来了啊，我想出来了，咱怎么解决这个问题啊？下一步，初三同学们，这样，这个重点没有做出来啊， 是因为你对于终点这个条件所能使用的方法记的不全。当 几何亚洲题出现重点，你有几方面考虑几个方法？初三是不是有四个啊？直角三角形斜边中线， b 长中线，也就是够八次全等啊，中位线啊，三线合一啊，出现终点， 那么这道二十二题的二十三题，倒数第二问，这四种方法你全考虑到了吗？ 你全都给他就是试了吗？如果你没试，那么这个中卫线你没整出来，你就是中卫线。这个方法没考虑到没试，那么下一步怎么办？就是再遇到这样题，首先你得知道有四种方法。第二，强迫自己， 再不像那天你也不得把这个方法给他画出来啊，画出来不对你就你就踏实安心了， 一旦觉得他不对，画出来，发现他对了，那就一下子就解决问题了。所以我们下一步怎么办呢？ 就是把所有的这种常用的一致条件，他都有什么方法全给他归答总结一遍啊，我可以录视频带着大家归答总结刚才重点的四种方法全给他记住了吧，是不是记住了，再有这条件就轮着试。 记着，我前几天做了一个是鞍山一模的那道盘锦的没整上来，我是老好顿反思啊， 就是各种这个这个做垂都都做了，就这个点的垂没做，出现同样的这个这个这个，再下次出现这样的类型题怎么办？方法我也总结完了，盘锦的这个角两条边， 两条边上所有的断点都做垂去试，就地毯式覆盖，地毯式覆盖方法 你看能不能给他干出来，地毯式搜索一个也不落啊，就这么干啊。那么在集合今天呢，就是这个条件，能用什么方法？地毯式的给他干肯定就干出来了啊。 下下一个视频我再总结另一个常用的一致条件都能有什么方法，以后最后一问，就站地毯式的干，只要你时间够用。 第四，咱们一抹时间是够用的，就是你地毯式干没干完啊。地毯式干的时候，有时候其实对你脑力有要求，对你的这个心态有要求，有时候干两三种容易激惹，闹心啊、着急啊，或者脑力耗光，第四种弄不了，所以耐力这方面也得来也得练啊，朋友们加油干。
270大连数学滕老师
06:11查看AI文稿AI文稿好，这是今天下午刚考完的大连市初三一模的数学考试啊，二十二题的函数亚洲题，我们来看一下这道题的解析逻辑啊，然后这个题目中给的抛物线呢啊， c 点坐标零到三， o a 和 o c 相等， a 点坐标负三零， o b 长度为二， b 点坐标二到零啊，然后这个呢，我们就能把这个函数表达式给写出来了啊，这函数表达式应该是 y 等于负二分之一， x 的 平方减去二分之一 x 再加上一个三， 所以呢，这个小 a 呢，是等于负二分之一的啊，小 b 也是等于负二分之一的。然后这个 d 点的横坐标呢？ 为一是吧，所以 d 点带到抛物线里面应该是一到二啊，所以 b、 d 的 长度应该是等于根号五。题目中告诉我们叫 d， e 等于二分之一的 b， d 是 吧，那 b、 d 的 长度是根号五，那 d、 e 的 长度呢？二分之根号五，我们通过距离是吧，很容易求得一点坐标啊，一点坐标应该是零到二分之三， 然后呢，这个 e 点坐标已知， d 点坐标已知，是吧，所以证明 a 点在直线 d 上，我只需要把 d 的 方程写出来就好了啊， d 的 方程啊，也很简单，应该是二分之一 x 加上一个二分之三， ok， 这是再把 a 点带进去成立啊，这 a 点在直线上，我们重点来讲一讲括号三， 括号三呢，说射线 b、 e 交一个 f 点是吧， m、 n 分 别在 b、 f 和呃 d e 上线段，然后横坐标是 x x 二， x x 二是不相等啊，然后 p， m、 q、 n 都平行于 y 轴啊，所以我做一条竖线啊，好，这个点呢，就是 m 点，这个点就是 p 点，再做一条竖线 啊，这个点是 n 点，这个点是 q 点，而且上下的位置关系都是确定的啊，然后再跟下面交一个 g 点，是吧？呃，给了我们一个线段长度叫 pm 等于 q n 加 e j 啊，所以这道题 逻辑上是特别简单的，我们只需要把 pm、 q、 n、 j 这五个点的坐标写出来就可以了啊。好，首先呢，我们需要知道 b f 的 直线方程是吧？ b f 这个方程就是 y 等于 y 等于负四分之三， x 加上一个二分之三，好，这就是 b f 的 方程啊。所以呢， m 点的坐标横坐标为 x 一， 纵坐标应该是负四分之三 x 一 加上一个二分之三， 好。 p 点的坐标 x 一 带到抛物线里面，负二分之一 x 一 的平方减二分之一 x 一， 再加上三，好。所以 pm 的 长度因为 p 和 m 的 位置关系确定啊， pm 的 长度就应该是 p 的 纵坐标减 m 的 纵坐标负二分之一 x 一 的平方 加上四分之一 x 一， 再加上一个二分之三，好，右边 n 点的坐标呢？那 n 点的坐标横坐标为 x 二啊， d d e 的 方程应该是在这里啊，二分之一 x 加二分之三，是吧？那就二分之一 x 二加上一个二分之三，好，然后 q 点依然带到抛物线里面， 负二分之一 x 二减去二分之一 x 二，再加上一个三，好，然后这个这点的横坐标 x 二，纵坐标应该带到 b f 里面，是吧？负四分之三 x 二加上一个二分之三，好。那么 q n 的 q n 的 这个距离呢？也很简单是吧？啊，用 q 的 纵坐标减 n 的 纵坐标啊，应该是负二分之一 x 二的平方减去一个 x 二，加上一个二分之三，好，唯一一个就是 e g 的 距离是吧？好， e g 的 距离我们用勾股定律就可以了啊，叫根号下， 根号下这个横坐标的差，是吧？ x 二的平方加上纵坐标的差，应该是负四分之三 x 二的平方就是四分之三 啊， x 二的平方， ok， 根据比例关系，三四五啊，叫四分之五倍的 x 二， ok， 然后接下来就是列方程了啊，这个方程呢，就是负二分之一 x 一 的平方，加上四分之一 x 一， 再加上二分之三，应该是等于右边这两个相加，右边这两个相加就变成负二分之一 x 二的平方。 啊，加上四分之一的 x 二啊，再加上二分之三，对吧？ ok， 好，这个方程二分之三，我们约掉之后呢，它就会变成我全都移到，全部移到 e 右侧。啊，负二，正二分之一， 正二分之一 x 一 的平方减去一个 x 二的平方，再减去一个四分之一的 x 一， 减去一个 x 二，移到右侧。啊，应该是等于零的，因为 x 一 和 x 二不相等，直接约掉啊，就会变成叫 x 一 加上 x 二，应该是等于啊二分之一的，是吧？ 然后呢，这道题最后还有一个写 x 一 的取值范围，那 x 二的取值范围是特别简单的， x 二是不是应该是大于零小于一的，所以 x 一 呢，是等于一减二分之一， 减去一个 x 二，是吧？啊，这个 x 一 的取值范围应该是大于负的二分之一，小于二分之一，但是这里面有细节是吧？ 就是这个 x 一 呢，首先是不可以等于 x 二的，所以当 x 一 和 x 二相等的时候，它等于四分之一，这个点是要舍掉的，对不对？所以叫且 x 一 不等于四分之一。那还有一个点呢，就是这个 m 点是不能在一点的， 在一点的话 pm 平行 y 轴，它俩是重合的，平行 y 轴是不成立的，对不对？所以这个 m 还 x 一 还是不能等于零啊，且 x 一 不等于零， ok， 或者我们这么写啊， x 一 的范围叫 x 一 大于负的二分之一小于零，或者 x 一 大于零小于四分之一，或者 x 一 大于四分之一， x 一 大于四分之一小于二分之一啊， x 一 大于四分之一小于二分之一啊，这么写也可以，我们上面这么写也是可以去掉两个啊，特殊的指数啊。不等于啊，上面是不等号， x 一 不等于四分之一和 x 一 不等于零，是吧？把这两个点去掉就可以了啊，好，整体来说，这道二次函数的题目呢？呃，难度不大， 难度不大啊，大家只要知道啊，就是像这种线线满足线段的一个方程，对不对？我们把点的坐标写出来，正常列，列这个距离的一个一个表达式，对不对啊？列方程，解方程就可以了啊，注意这里面的细节。 ok， 好， 这是二次函数的压轴题。
101初老师数学
13:29查看AI文稿AI文稿今天刚刚考完的大连市一模数学，我带大家分析一下这张卷，这张卷的话有几个特点。第一个特点是什么？二次函数和这个几何题，它的位置改变了，二十二题是二次函数，二十三题是这几何，还有圆圆没有在二十一题，而是在这个二十题。 二十一题是一个反比例函数应用的问题，应该也没有出三角函数，这是这个主要的变化，整体的难度我觉得是稍微稍微简单了一点点，可能跟中考比。我们把这个题重点讲一讲， 这上面这个从第十题开始。第十题这里边他说什么？他说给了个正方形对不对？这些边长都是 x， x， x 给了你个图，你要去给你个图，你要去看它横坐标和纵坐标分别代表什么含义哈，它的横坐标代表的是 x， 纵坐标代表的是这个 四边形，它的面积。当 x 等于零的时候，它是一，就说明重合，重合，重合就说明正方形的边长是一。哦， 里边这四个三角形肯定是全等的，就能得到这四个边相等，这个角和这个角相等，他俩加一起是九十能得到，他是九十度能得到，他是正方形。看这个图像，是不是当他有最小的时候是零点五，所以说最小，支持他四 d 是 错的，他让你求错误的吗？ 这个你去看它正常应该是什么？这是 x， 总长是一，这是不是一减 x， 它方加它方就是 e f 方， e f 方不就是这个四边形正方形它的面积吗？所以说就是它哈。第十题选四 d 哈， 然后第十一题的第十五题，我们来看下第十五题哈，十五题，他说在矩形它中 ab 等于二， bc 等于三， 这是二，这是三，这个是不是应该是刚好十三吧？然后做了一个什么垂直平分线啊？他的垂直平分线，那这个肯定是终点，这是一份，这是两份，这是不是有个八字相似？那他比，他是不是就是一比二？ 一比二，那这个是不是应该占三分之二的 d、 b 乘，也就是三分之二的刚好十三，这是十五题。 十七题。这个题哈，我觉得有点意思的，第一个问，正常算就行了。第二个问，他说一个消费者在购买手机时获得了五百元的补贴，他这个有要求的，你必须得是按照销商品销售价格的百分之十五进行一次性立减补贴， 你大于等于百分之十五是可以的。你设这个最低价是 y 元，你这百分之十五 y 是 不是应该是大于等于五百，你才能补贴， 对不对？才能获得这个五百块钱的补贴？你解出来 y 是 大于等于三三三三点，三三三循环。这个有的人就纠结了，我到底是取三三千三百三十三，还是取三千三百三十四，因为你得能获得五百元的 补贴。如果你是三千三百三十三，你算完之后，他没有对不对？没到没到没够，没够就还没够这个补贴，你只有超过他才能获得这个五百块钱的补贴。 所以说应该取的是什么？三千三百三十四元。这个题是一个比较小的点啊，很多人同学做错了，十八题，正常算就行了，十九题正常算，二十题，这个圆也比较简单啊，正常给的这个 a、 d 弧等于的是什么？ c、 d 弧弧等，然后这个圆周角就相等，但是圆周角相等，推不出弧等，你得通过推圆心角，然后再推弧等。 第一个让你证明这个，那你就正弦等呗，这两三角形全等就行了，对不对？就正弧等了。第二个问给了 c， e 等于 c b 这俩角相等，这俩角也相等，你就能导出来这个角是多少度，是三十度，三十度。他说 ab 弧和那个 bc 弧不相等吗？那 bc 弧这个角是一百二十度，那是不是直接就一百二十度了？ l 等于一百八十分之 n， p r 算就可以了。二十一题，这个题一看是考一个什么？考了一个反比例函数，考了一个反比例函数的图像反比例函数，那你就正常设呗，你看横坐标，这是 l， 这是 f， 那 肯定是 f 等于 l， 分 之 k 带两个点，带两个好算的点，把 k 解出来， 千万不要少零。算完之后你验证带带其他点，再验证一下。第一个，他说当吸管长度为八十毫米时， 让你求对应的振动频率，那你就让谁让你这 l 等于八十带过去等于幺零八零和值，和值括号三。他说啦，差没啦，你去找啦。是什么？是四百四，这四百四是谁？是不是指 f？ 所以 说就是 f 等于四百四的时候，往里一带就约等于幺九六， 要保留整数，那就是幺九六啊。我们来看一下二十二题，二十二题，我们从后面看看这个二十二题，他说 o a 等于 c， 点与 x 等于零的时候， y 等于 c 吧， 然后 o b 长等于几， o b 长等于二啊，对不对？那 b 点坐标就是二斗零，这个就是负三斗零把两个点带进去，这个小 a 小 b 可以 解出来，抛物线解式可以解出来，他说 d 点的横坐标是一，你把 d 点的横坐标一带进去，纵标就等于二，那 b d 长两点坐标都知道，你就往下做垂线，购物钉里是不是能得出它？应该是刚好五 科二一结束了哈，然后往下，他让你正点 a 在 直线 d e 上，要想证明点 a 在 直线 d e 上，你得把 d e 这条直线解式给我解出来，对不对？咋去解 d， e 点知道 e 点坐标呗，那跟 e 有 关系的，他是不是给了个 d e 等于二分之一？ b d 这个题其实我觉得出的挺好的哈， 因为 b d 长，第一个让你求了你，第二问你是不是可以利用它的长？你这个 d e 是 不是应该是二分之根号五，这个是刚好五，这是不是二分之根号五，那一点在 y 轴上，你就设一点坐标是零度 t 呗，你是不是就可以把它俩之间的距离 表示出来，往这边做垂线或者往下做垂线一的平方加上二减 t 的 平方，让它等于什么？二分之根号五就可以把 t 解出来。 t 有 两个，他给了 o， e 是 不是小于 o b 的？ 所以说我这个 e t 点是不是要二分之三解出来？这个 d 点的坐标， e 点的坐标是什么？ e 点坐标就应该是零到二分之三， e 点坐标就是零到二分之三。解完之后你可以把 d 这条直线写出来， d 这条直线写出来之后的话，那你就把这个 x 等于负三带回来，你看它的 y 等不等于零等于零，那是不是说明他在这上，所以说框二 也做出来了哈。然后来看一眼这个括号三，我觉得这个括号三看着很简单，但是你这个 x 一 的范围还是有点考究在里边，因为第一遍算的时候就算的是不太对的少，情况没有那么严谨。他说这个看着题很复杂，这么多点，但是你就按照他的要求一个一个写就行了， 把它这些特殊的都给它标记上来，它说 m、 n 分 别在线段、线段上，对不对？那你随便标一个点，假设 m 点就在这， n 点就在这，对不对？它们分别是横坐标是 x、 e、 x， 且 x e 不 等于 x， 很 重要，它 p q 在 抛物线上，且 pm 平行于 q n， 然后平行于 y 轴，它仨都平行，平行重合肯定不能是平行，对不对？所以你这个 l， 你 这个 x 二、 x 二， 还有这个 x 一， 是不是都不能等于零吗？如果等于零，是不是都重合了？也不能等于这个一，如果等于一的 q n 是 不是就在就就不叫就是重合了，对不对？ 然后他说直线 q n 与 b e 相交于点， g g 点在这呢，对不对？他给了 pm 等于这个。看着图哈，我把 p e 点 m 点标注出来，因为你这个 d e 这条直线，因为 e 点坐标知道， b 点坐标知道，那这条直线的解析式是不是就可求了？然后 x 一 x 一 横坐标都相同，你把 p 点和 m 点的横坐标都写出来，你给它做个叉，是不就能把 pm 的 关系式给它表示出来了？ 可以的， pm 的 长度就含 x 一 的给它表示出来。同理你把 q n 也给它表示出来，一定要看准这个点。为什么说这道题出的比较好一点？这个题其实很像我们高中圆锥曲线里边的计算，我我们上高中会学圆锥曲线大计算， 就是带点做茶，用罗密达法，用那个根据习俗的关系，各种超超超复杂的计算。哈，所以说这个在提前演练吧，给你们一点点这个提示，我觉得还挺好的，别看错了，一定要严谨， 很容易看错。 pm 表出来了， q 人也表出来，现在就差 e g 了，你看 e g 在 这，你这 e g 怎么知道一点？知不知道？但这一点你不知道，你可以用两点之间距离公式，但是这题你也可以用相似，因为这个长是二分之三，这个长是二，是不是说明这个应该是一个三四五的三角形， 那这个里边是不应该也是三四五的三角形？所以你知道这个长是 x 二，你除以四乘以五，是不就是 e g 长？ 所以说 e g 长就是四分之五 x 二，然后你根据这个关系式去倒倒倒倒倒往里写，这里边有个数据的处理，到这到这之后我可以怎么办？我可以把这个长得一样的给他移过来，给他乘四乘四，然后变成这了， 你可不可以给他平方差公式， x 一 加 x 二乘以 x 一 减 x 二，他俩不相等，是不是可以直接约掉？然后呢？ x 一 加 x 二是不是应该等于多少？ 等于的就是二分之一， x 一 就等于二分之一减 x 二，他让你写 x 一 的取值范围对不对？那我 x 二肯定是在零到一里边，那负 x 二是这个范围内，它就是在这个范围内，但是不要忘了，我这 x 一 是不是还不能等于零？它俩还不能相等？它俩相等的时候是不是应该是 x 一 等于 x 二等于四分之一？所以说我要把零和四分之一都扣掉，两边还取不了等啊？这个有点意思，我们来看最后一个二十三题， 二十三题的话，第一个问，哎，边角边全等就可以了，第二个问正常倒角就行了，你可以把它算出来。这个题括号一和括号的圈一还是蛮友好的，让该得分的同学还是得分的，你就不能你这个一点不得吧，对不对？还是给人一点希望的。括号二的圈二和圈三是有一定难度的。 这里边他说 b、 f 与 a、 d 相交于点， g 看见中点，我们看见中点，我们要想到什么？要想到四点四个方向，对不对？看见中点，第一个我可能会想到背长，背长中线， 第二个我会想到什么？第二我会想到，比如说三线合一，三线合一，我还会想到什么？斜边中线斜中，第四个我还会想到中位线，对不对？我上来我不可能直接就 知道辅助线正确的是怎么样，我肯定是要通过试错才能把它那个做出来，看它哪个是对的。那所以这里边我看 这个说让你求 a g 比上 a c 的 值是多少，那我有两种方法，因为我看见了终点对不对？那我这个是等腰直角三角形对不对？我可以第一种方法，比如说我取这个 bc 的 终点，这不斜中吗？我取的终点，我把它连上， 这是终点，我把它一连上之后，我们来看一下，这有啥？你这个是不是应该是九十度，对不对？这不是中位线吗？中位线是不是平行于第三边，并且等于第三边的一半？这是而法，这就是四十五度减，而法这个是不是也是四十五度减？而法，那这个是不是就是四十五度加？而法 上面这个角哈是四十五度，那这个是阿尔法减四十五度，你一倒角是不能得到。用四十五度减去，他是不能得到九十度减阿尔法，他要是九十度减阿尔法，这是四十五度加阿尔法，这是不是也是四十五度加阿尔法。所以你就能得到我的 ag 和 ah， 他 俩是相等的了。他俩如果要是相等的情况下，那你会发现什么？ 你会发现我这个俩 a g 和我这个 a h， 他 俩是不是应该相等了？ a g 和 a h 相等了，那我来看我的 a h 是 什么样子的？我的 a h 是 不是应该等于二分之杠二的 a c？ 所以 我的 a g 是 不是应该等于二分之杠二的 a c？ 这是第一种方法。这么做中线， 那我还可以怎么的？我可以 b 长，我把 b a 延长，对不对？延长至点 p 时，它俩相等，然后我连接它，那实际上是不是就这三边相等？这是不是还是个等腰直角三角形？它如果是等腰值，这是四十五度，这是不是也是四十五度？可以的中位线，它是不等于二分之一的它，我用同样的方法去倒它俩等腰呗。 那你去看这个角是 r 发，这是四十五度。四十五度加 r 发，这是四十五度，这个是同一角，这个刚才算出来是二 r 发减四十五度，对不对？这个是不是也是二 r 发减四十五度，那你看这个用四十五减它，这就是九十度减二 r 发，那这个是 r 发加四十五，这是不是也是 r 发加四十五，我就能得到我的 p f 和 p c 是 不是应该等于刚好二倍的 a c， 那 是不就正出来了？ 那这道题其实，嗯，还可以哈，看见终点还能想到，那我们来看一下这个圈三圈三，他说在圈二的条件下，圈二有啥条件就说明他还是终点，对不对？他说当 b f 等于 c， f 等于二的时候， 你圈二这个 b f、 c f 长不一定谁大谁小，但是圈三的话，它俩如果要相等的话，这是不是相当于一个对称图形？对称图形它就有很多特殊的情况哈，你可以把这个 a f 给它连上， 这个是 g 对 不对？你就可以得到 g， 其实告诉你是终点了，这一块左右两边都是对称的，那你这个 q 也是终点，这其实就是一个中微线了，如果它是中微线，你会发现你这个 g q 是 等于二分之一的 bc 的， 而你这个 bc 是 不是等于刚二倍的 ac， 所以你的 g q 就 等于二分之二的 ac？ 那 我刚才第一个问，圈二是不是得到 a g 等于二分之二 ac， 你 就能得到这三个边是相等的了？这个三个边相等，这是不是应该是一个等边三角形？ 如果它是等边三角形，那这个角就是六十度，六十度，六十度，它是六十度，那旁边这俩角加一起是不应该是三十？这是二 r 减四十五，二 r 减四十五，加在一起是不是四 r 减九十等于三十，我就能解出来 r 等于三十， 如果 r 法等于三十度，这就解三角形就简单了。这个是几？这是二啊。你往这边做垂线，三十边随便随便一半，这是不是一，这是不是刚好三？这块是等腰值，这是不是一？所以我的 ab 乘数应该是刚好三加一吧。 这个正常，去倒角哈，你能看出关系好正。但是可能说这个点是终点还是需要一点点？那个 整全等啊，或者整什么就稍微不太好说一点点。这个就是我们今天考的大连市的一模的数学卷。整体来说我觉得出的还是可以的，不会让你得到很高很高的分，还是有一定的难度在里边的，拜拜。
142大连倍多分刘丹数学
01:35查看AI文稿AI文稿大连的中考数学一模已经考完了啊，和老师来聊两句，初三的家长们，点赞收藏慢慢看！这张卷最难的地方是什么呢？是计算啊，我们的后面两个压轴题， 二次函数还有几何，它的计算量都是比较大的，如果说我们想把步骤按照得分标准写好的话，没有三十分钟写不完， 所以说我们在做题的时间安排上，一定要给后面两大题留到充足的时间，最低是一个小时，最好呢是八十分钟。再一个就是呢，数学卷计算量大其实还是比较正常的，等我们上了高中之后呢，依然会面临到这个问题。 初三的家长们一定要让孩子多练习计算，特别是南数，特别是勾股的计算，呃，相似的比值，带着根号的加减乘除，以及有理化的计算，这些比较重要，因为在我们的几何问题中经常就会遇到。 而二次函数题型还有一个点要注意，就是里面的一些直线的解析式是需要你自己去求出来的，这样你才能够去表示这条直线上的点的坐标的特点。 所以二次函数呢，一个是待几综合，就是在二次函数中用一些几何的方法，比如说像四，比如说三角函数啊。第二个就是一定要注意函数解析式的一个灵活运用。 直线的解析呢，我们初中的方法就是通过上面的两个点的坐标来求，那么还有的时候会遇到直线跟抛物线的焦点问题，那你就需要将直线跟抛物线进行连力，去表示它的焦点坐标。临近中考了，还是要关注下郝老师，多了解一下我们的最新动向。
47郝老师数学思维
05:55查看AI文稿AI文稿昨天啊，咱们二零二六年大连中考数学一模已经结束了，咱们今天呢，简单做一下分析哈，这张试卷呢，主要的特点就是基础为主，分层比较明显，其中啊，基础题约占啊百分之八十啊，中等题的比重呢，是增加了的 题型啊，更注重与实际问题结合的综合思维。但是啊，前二十一题啊，难度不是说特别的大啊，最后两道的几何和函数啊，属于是分层题，本次考试啊，将几何函数压轴的位置啊调整了一下啊， 几何压轴，最后啊，两问啊，会有一些吃力啊。但是题目的难度和中考的难度哈，基本上是吻合的啊， 整体啊，两道压轴题的难度啊，是比去年一模的时候要略难一些的，但是整张试卷一百零八分这样的成绩还是比较正常的啊，要是想取得一百一十五分以上这个成绩呢，是稍微有一些难的啊。如果有的家长是想要这张试卷的， 或者说是想要答案的，还有有问题的家长啊，可以在下方留言，我看到了呢，会一一回答的。那么接下来啊，咱们就就着这张试卷哈，咱们来做一个详细的分析。咱们先来说一下第一个部分，选择题。第一题比较容易啊， 考察内容是正负数意义，考察生活中的正负表示纯属是基础题啊，粗心的话就会丢分。第二题呢，考察的是立体几何图形的三式图，考察的思维空间的想象能力啊，中考必出的简单几何式图题。第三题，科学技术法， 考察大数改写。中考啊，必出的基础计算，熟练就能得满分。第四题，整式运算，考察合并同类项密运算 积的乘方代数基本功啊，这道题比较容易。第五题，图形性质判断几何的入门必考题，比较容易。第六题，平行线加上三角形内角几何基础推理送分题啊，考察步骤啊，严谨性。这道题比较容易啊！第七题，方差比较 统计核心看数据波动，不用算，直接判大小。这道题也是比较容易的啊！第八题，追及问题列方程，考察一元一次方程应用，认真审题啊，找等量关系。这道题也比较容易啊！第九题， 解直角三角形，三角函数实际应用，中考几何计算高频考点啊，这道题需要注意一下啊！第十题，考察的呢是正方形加上二次函数最值几何加上函数综合选择题的一个压轴题啊，数形结合这道题属于是中下等的一个难度。 咱们再来说一下第二个部分，填空题。先来看一下第十一题啊，考察内容是二次根式的性质，代数式取值范围。 这道题属于是基础的细节题啊，比较容易啊！第十二题，考察的内容是概率计算，两步随机选择。中考概率题必考简单模型。第十三题啊，考察内容是坐标轴对称 平面直角坐标系的基础啊，这道题必须拿分。第十四题啊，比较容易啊，考察的内容是新定义运算，考理解加上转化能力，近年啊，中考热门的题型。第十五题啊，难度中上等，考察的内容是矩形垂直平分线相似 几何小从何填空题的一个压轴题啊，考辅助线与相似。咱们再来说一下第三个部分，解答题。第十六题啊，这道题比较容易啊，主要考察的是实数的混合运算，加上分式化简考计算的一个基本功啊。 这道题十分是必须要拿的啊，一定要注意的是计算的习惯，基础概念，千万不要哈眼高手低的，要不然这道题啊，一定会失分的。第十七题呢，主要考察的是增长率问题。不等式应用考察一元二次方程加上不等式。中考应用题必考的模板 考建模能力筛选啊，粗心和不会列方程的考生。这道题属于是中等难度。第十八题呢，就属于是中下等的一个难度，主要考察的是统计图表的分析， 考察频数，中位数，用样本估总体统计呢，全都是送分题啊，看清图表不丢分，不要看错题， 本题呢，几乎哈就是需要全员都是满分的啊。第十六题，难度属于是中等题啊，主要考察的呢是函数的图像工程问题，考察一次函数实际应用考察呢，学生的读图列式。中考高频应用题。 这道题啊，其实就是会了，这整个题型都不太难啊。第二是题呢，这道题呢，主要是考察圆的综合中考几何压轴必考的某块圆中角切线证明 弧长计算步骤分啊，一定要抢，是中等生和优等生的一个分水岭。咱们再来说一下二十一题啊，二十一题呢，反比例函数实际应用，函数建模，还有呢，考的是代入计算，考察知识的一个迁移能力啊，更贴近于生活计算。如果粗心，审题不清，不看单位，格式不规范，步骤啊， 又跳步的话，这个学生很容易丢分。第二十二题啊，他的难度啊，属于是一中难，然后主要考察的呢，是二次函数的综合中考数学的压轴题啊，考察呢是函数几何，代数大综合顶尖的学生啊，一般生啊，直接就是拉开了一个距离啊。 括号二的这个问题啊，转化能力弱，倒角倒边不严谨，模型不熟，计算卡壳的学生啊，这个括号二啊，很容易就丢分了。咱们再来说一下第二十三题啊， 难易程度呢，就是易和中啊。考察内容呢就是等腰三角形，加上全等，加上角度推倒，加上线段比值，几何综合压轴 需要多辅助线啊，构造思想，连续三条垂线的构造。主要呢考察构图的直觉，不是说刷题啊，咱就能刷出来这种破题的能力的啊，主要呢还是考察一下孩子的精准度和逻辑闭环的一个能力啊， 如果说这个孩子树形结合能力差，辅助线直觉弱等等啊，这个方面哈，不太足的这种学生啊，这道题他得分很难得满分。
66大连升学叨叨王
08:01查看AI文稿AI文稿再来看一下二十三题，二十三题呢，他是放了一个几何的纯正压轴题。其实这道题我们来先来看一下分值，第一问占三分，第二问的圈一两分，第二问的圈二四分，圈三四分。 那我们简单看一下，其实整个题目最重要的内容还是考察了倒角问题，所以大连 的考试题型和考试范围都喜欢偏向于倒角，那么倒角也会在后来的中考里面也是重点考察的一个方向趋势。所以在后续一模到中考的这一段时间里面，大家一定要重视起来在几何压轴题这部分的倒角内容。 我们先来看一下第一问是非常简单的啊，去证明这个等腰三角形的这两个小三角形全等，这个就不重点进行讲解了。我们来看一下第二问，第二问呢，其实是圈二圈三卡住了大部分的同学，那简单看一下圈一圈一其实就是给了我们两个角度的条件，也就是 都跟角 a、 c、 f 相关，对不对？所以我们来看一下这道题。我把角 a、 c、 f 作为角 a， 那么我这些角啊，都可以用角 alpha， 那 我这些角 b、 a、 d 和角 a、 e、 d 是 不都可以用 alpha 表示出来再进行倒角？所以第一问就不进行系统的讲解了啊。我们来看一下第二圈二圈二呢，这里出现了 g 是 b、 f 的 中点好，中点问题，其实是寒假我们在进行中点问题进行复习的时候，它是分为了四种做题方法，第一种是等腰三角，等腰三角形的三线合一， 第三个是背长中线，第四个是中位线，所以一看到中点就要往这四个方向去想， 这四个方向也就是我们在上课的时候疯狂去提问，看到一个知识点，我们要想哪些做题方法，只有做这些做题方法想的特别熟练，那你在做题的时候才有抓手，才有思路，不容易漏情况啊， 不容易漏你的思路这种。那我们来看一下，这是中点，这是 b f 的 中点。首先我们来看 b f， 在 这里， b f 它不是直角三角形的斜边， 对不对？然后你说老师不我们刚刚正出来一个直角吗？但是 b f 这里不构成直角三角形，所以斜中这个事情我们不考虑。我们再来看等腰三角形三线合一的这个小思想， b f 它好像不作为等腰三角形的底边，对不对？好，那这个方向我也不去思考， 那么背长中线呢？背长中线在这里作图的话，可能会比较复杂，所以这个我们先放一放，但是我们先看后面这个中位线，中位线的话也就是两个中点 去连接构造一个平行且等于二分之一第三条边的这么一个啊，线段对不对？那这道题我们先来看啊， 这个 a b c 它首先是一个大的等腰三角形，所以它的底边中点它是非常有特点的，那我们这里取 m， 也就连接下 g m 之后，我们发现啊，这里构造了一个中位线，我们来看，在 b c f 这个三角形里， g m 是 不应该等于二分之一 c f 对 不对？那我现在是要把 a j 转化一下。 好来，我取了这个等腰三角形底边中点之后啊，千万不要停，我连接一下这里，我们是不是就构造了一个直角三角形，对不对？好，因为第一问啊，证明出来这个圈一，证明出来 b a c 是 一个直角等腰直角三角形， 所以我们可以把更多的角用阿尔法表示出来。来，跟着老师的思路，我们一起来标一下， 那么角 f c b 这里是不就是四十五减 alpha 没问题吧？很好啊，那你说老师这个角也是四十五减 alpha， 这可不是啊，因为你这个圈二的时候， f 还不在 a m 这条线上，所以这个 f b c 和 f c b 这两个角是不一样的啊。 然后再来看，我们来把已知的角都标注一下，因为这两条线平行，对不对？中位线嘛，所以这个角它也是四十五减 alpha， 那 上面这个 a m g 它是不就是四十五加 alpha 跟上了吗？很好啊，然后 这个大角是不是都可以表示出来，哎，对，所以这一部分他就等于他的一半九十度减二。阿尔法，哎，我们能够发现这两个是什么绝配角吧？对不对啊？他俩只要一出现的话，是不是就出现在一个等腰三角形里？也就是说我们能够证明 a g m 是 一个等腰三角形， 所以我们看到从圈一开始其实就有一点点倒角的小迹象显现了，那么圈二它是很明显的一个倒角问题，也就是通过中点引出中位线， 再通过中位线的平行以及倒角内容构造出一个绝配角，这样的话就会显现出一个等腰三角形。那么 a j 这条线段我自然而然的是不是就转换到了 am， 也就是让我们的 am 和 ac 进行比较，那是不是就是根二分之一 再进行互化一下就行了，对吧？好，来，我们来再看第三问，第三问它其实是在第二问的基础上添加了一点儿，那我们先把第二问先给它补全啊，把第二问的一些小条件补全，还是中位线， 对不对？只不过这个 f 现在是在 a m 上，是不是我们轻而易举的就可以得到 b f c 其实也是一个等腰三角形， 对不对？那这个时候看啊，刚刚这个角是不是四十五减 alpha， 这是 alpha， 那 么刚刚我们得到的这个不是定角的 fbc 就 定下来了，就是四十五减 alpha， 这也是四十五减 alpha。 哎，我发现更多的等腰三角形解线了，对不对？ 现在我要求的是 a c 的 长度，那通过上一问求 a c 的 话，等腰直角三角形，我是不可以求 am am 好 像是在这个三角形刚刚得到了 a g m 是 等腰三角形吧，对不对啊？很好啊，我们来看，我们先把一些角能用到的角写一下， 这是九十度减二阿尔法，那这个呢？是四十五加阿尔法，这里跟上了啊。来，再看这个角， f g m， 这里是不是一个外角，放大一下，它是不是应该等于 g b m 加上 g m b， 你 发现没有？是不是？九十度减二 r 法，这里是不是出现了一个子母形相似，也就是三角形 a g m 相似于三角形 g m f， 现在出现子母形相似，我们是不是通过我们的式子可以写出来 g m 的 平方， g m 是 作为我们的公共边吧， 对不对？ g m 的 平方其实等于 m f 乘上 aj， aj， 这里是不是就相当于 am？ 好， 来，我们来看一下，那么 m f 是 不是就可以用 aj 表示出来？那我们这里设一个未知数吧，我要求 a c， 那 我就设 b m 为 x， 所以 a m 为 x， 那 mc 为 x， a c 为根二 x， 也就是最后我算出来的 x 乘根二，也就是我的 ac 的 长度，对不对？很好啊，那我这时候 a m a j 都为 x， 题目已知 b f 为二， c f 也为二，那么我这个 g m 就 已知了，就是一。我现在代题一方等于 m f， 不知道放这放着乘上 am， 也就是 x， 所以 我 m f 就 可以用 x 表示出来，也就是 x 分 之一。那我现在的主要问题是不是要求 x 了？那我现在是不是就可以放到 b f m 这个直角三角形 b f m 中解得 x？ 好， 来，我们再来回顾一下这个二十三题。二十三题呢，重点考察内容就是倒角。我们发现其实在后来的话，中考的命题模式里面，它的去模型化是比较呃明显的，我们不是要一定的去背一些什么模型，而是更多的要去分析 这个几何。当出现了这种中点、中位线等腰三角形，我们如何去发掘它的一些做题方法和思路，这才是最主要的，尤其是倒角，在后续的练习中，一定要引起大家的重视啊。
06:48查看AI文稿AI文稿今天咱们来讲解一下二零二六年大连市数学一模的第二十三题这道几何题。首先框一，让你求的是三角形的全等已知条件已经在图上标好了，是两条红色的线段和两条蓝色的线段相等，已经有一个边相等和一个角相等的 角 b 等于角 c， 它就是通过等腰三角形来证出来的，现在还差一条就是 b， e 等于 c、 d， 那 么已知蓝色的线段相等两条蓝色的线段，再分别加上 d、 e， 是 不是就可以求出第三条边的等了？ 所以最后我们证明全等的方法是 s、 a、 s 边角边证明的。下面我们来看一下第二题，它已知条件是给了你两组角的数量关系。 一般这种情况下，咱们要设一个位置量，方便在图上做表示，那么老师设的是 a、 c、 f 为阿尔法，我们就可以用阿尔法来表示这个 a、 b、 a、 d 和 a、 e、 d， 这个时候我们应该去做辅助线了，那么由括号一，是不是可以得出 a、 d 等于 a、 e， 我们可以去做一个高，因为看到等腰三角形，我们就想到了三线合一，有点 a 往下引了一个垂直交 b、 c 与点 h， 通过这个垂直证明上面这个 d， a、 h 和 e， a、 h 都是九十度减二 r 法。 那么等腰三角形三线合一是不是还适用于外面这个大的 a、 b、 c 这个三角形？我们就可以由此证明出 b、 a、 d， 它是跟 c、 a、 e 相等的，也是阿尔法减四十五度，让你求 b、 a、 c 的 角度，把这个 b、 a、 c， 我 们把它加起来，最后我们发现阿尔法它已经消掉了，得出这个 b， a、 c 等于九十度。 现在我们来讲一下圈二这一问，他给你加了个条件，这个这是终点，那我们再来往下看这道题用什么方法来去求？让你求 a j 和 a、 c 的 比值？用浅蓝色的线在图上已经做了标注了，上一问做的辅助线是不是做了个垂啊？ 等腰三角形，三线合一，那么这个 h 点是不是也是中点？那么两个中点出现了，我们是自然而然就考虑这个中位线的问题对不对？所以这个 j h 是 三角形 b f c 的 中位线，所以 j h 是 平行于 c f 的。 我们上一问是不是还求了个九十度没用啊？九十度放到这个图里我们能得出什么？这个 abc 是 不是等腰直角三角形？ 那么等腰直角三角形，这个 h a、 c 就是 上面这个角，它是不是等于四十五度出现等腰直角三角形了？ a、 c 是 不是 a h c 这个三角形的 斜边是，它的斜边有一个四十五度，那么我们是不是想办法可以找一找 a、 j 和的数量关系，就是这个左边的浅蓝色的线段 和中间的这个 a h 这个高，可以找找他俩的数量关系，通过导角试一试能不能导出来。这上面这个 h a、 c 等于四十五度，下面的这个 a、 c h 也是四十五度，在下面特别小的这个小锐角就是四十五减 r 法， 那么它等于四十五减 r 法。我们刚才是不是求了一个平行出来，是不连带的这个 g h d 也是四十五减 r 法，那么 a h g 它上面的这一个角 a、 h j 是 不是就等于九十度？减去这个四十五减二法，等于四十五加二法度。我们再看左边的这个角， 它是不是等于 j d h 这个角加上这个角三角形的外角，所以它也等于四十五加二法。最后我们发现 a j h 这个三角形，它是一个等腰三角形， a j 等于这个比例就变成了 a a h 比，这个比上这个 a c， 它就是 cos 角 h a c cos 四十五度等于二分之根号二，所以我们 a j 比 a c 的 比值就是二分之根号二。接下来就是最难的圈三了， 那么圈三老师也把已知条件都标上去了，就是 b f 等于 f c 等于二，那么这个这点是不是中点呀？老师把它拆成了两个一标注上了， 咱们再看他让求什么，让你求 a c 的 长度。我们看这个 a c 是 不是我们上一位用到这个特殊的四十五度了， 那么我们这一问，依旧要用到这个四十五度上面，这个 h a c 是 不是等于四十五度？看到特殊角就去想着构建直角三角形，从点 f 做 a c 的 垂直线，交 a c 于点 m， 这就是我们的辅助线。这时候我们再观察，把这个 a c 把它拆成了 am， 加上 am 是 不是跟 m f 是 相等的？它跟 m f 相等的情况下， 我们发现要取的另一个 m c 在 r t 三角形 f m c 中，那么我们这个 f c 是 已知的 fm， 不知道我们的重点是把这个 af 求出来， 只要我们把 af 求出来，是不是后续的这个 ac 都好求了呀？首先我们想求 af， 我 们得观察一下已知条件，我们右侧这个 bf 等于二是不是还没有用上， 那我们就观察一下这个 f h 等于二分之一的 b f b f 等于一，这个已知条件也标上去了， 我们发现框一框二是不是还有一个相等这个条件，这时候我们是不是就找到了这个 a j h 和 j f h。 最后老师对咱们今年一模的最后一道几何题做一个总结。首先去括号一属于是特别基础的内容，这三分属于是大家都应该拿，那么括号二圈一也是一个简单的倒角问题，都是应该拿到，不应该错的。 像圈二他就提升难度了，考的是这个中卫线，像圈三这一问他复杂在哪？通过相似和勾股定律进行一个等式的这一个转换来得出这个线段的长度， 他属于是稍微有一些难度，想要冲刺重点高中的学生应该了解掌握一下。总体来说这道题拿个九分是没有问题的。 接下来还有不到两个月的时间，咱们好好把几何内容复习一下，到中考这个几何问题应该也不会很大。我是数学华南董老师，大家如果想了解更多中考相关的知识，可以关注我私信。
04:16查看AI文稿AI文稿来大家好啊初三一模昨天的这道卷做完了。我是昨天晚上做的前二十一题。我昨天晚上有点疲惫。呃二十一题做完之后我在我自己的群里我就说了我说前二十一题的难度啊没有难度 不需要动脑没有任何难度就是简单的有点。就是没有这么简单过啊 就是他就是太直接了。这个二这九十五分就全给你了啊就全给你了。你你你就白马虎就行了。全给你了啊这九十五分我一点障碍都不给你设置没有障碍哪道题有扣分的点呢啊你越往后做就越有点吃惊啊 做完这个我我就按亚洲体我感觉就是也不能难了可能也白给了今天早上我六点起的做到现在亚洲体有难度 二十二题二次函数第一问第二问也白给了也是特别简单也是没有这么简单过第三问也简单啊小有点计算啊最后面这一个取舍范围 我认为很容易错。嗯就是审题这一块。呃前后带不带等中间那个四分之一你能不能给扣掉 容易错啊这块容易错啊。没事错了一到两分啊。二十三题几何费劲前两问很白给第一个全等给你两分第二个倒角负值大概是两三分给你了也不要就肯定这个基本就是。嗯全都会做啊 最后两问很有难度倒数第二问他这个垂 很容易上去就给 pass 掉很容易上来就 pass 掉。为什么。因为他那个重点那条线段你垂穿线段了按照正常那种规律垂穿线段这种感觉就是错的你不能把我一直一个呃被平分的线段上来给串串了吗。但是这个一串完之后是个中立线啊 很容易被 pass 掉。就你就要 pass 掉了。按照我的这个猜猜测他俩这是关系啊然后无论他怎么变他俩都能是。呃 呃是重点。然后呢这还成比例大概是勾个相似。我就在勾相似弄老长时间了各种平行勾相似倒角倒角是找两组等角还是还是说什么两边成比例夹角勾了老长时间没勾出来勾的特别闹心啊。然后最后一问 整不出来最后一问这个方式绝对想不到是这么整啊。嗯最后一问这个相似一个是相似来日方长然后不无定力来日方长然后笑两个圆把他把那个那个数给求出来啊把这谁求出来把这个 af 杠二的求出来求出来之后在这边斜上方坐着垂四十五度角直角三角形的解出来。这个弄不了这个弄不了整体这套卷呢是怎么着评价呢就是说优秀极其容易。 优秀极其容易啊。这套卷优秀的弄不了你真的你就你就没学习啊。一百一十分以上呃那么二十二十三的最后两分大概能领领几分呢？六分？七八分 七八分吧。七八分呃，二十二题的最后一个范围还不得值两分啊啊。一百一十分以上 就很难了。我估摸着哈二十三题的最后两问大批人是做不上来的。嗯，二十二题的最后一问的这个范围 错误率也是会极其高啊。那么这套卷对于我们的一个方向性是什么呢啊就是 优秀我觉得是不是也出题的也是揣测这个咱们现在国家以后的这个意图啊，就是对于优秀这个胆，我不难不难为任何人任何学生，你只要学学了，我都让你优秀一百零八分，极其简单，极其容易优秀以上 啊，拔高那个啊，我给你设置点大的障碍，你有多大能耐你就使多大能耐吧。啊，这是这套卷我理解的就是出题人的想法啊，加油干吧。
581大连数学滕老师
10:29查看AI文稿AI文稿大连今天刚刚考完一模的数学，我看到这个卷的时候，第一反应我都笑了，前面的一到二十一题就费，就前面一到二十一题就很简单很基础，也是白给分的。 然后二十二题做了一个微调整，把二十二题这个二次函数放到这个二十二题位置上。然后二十二题也不难，也没有什么公共点啊，也没有什么特级分，特殊的分析方式，基本上计算不错的吧，这个至少十二分，你能拿到个十一分或者十分，有可能取值范围会取错，但这个问题都不大的。 然后重点来了，到二十三题，二十三题的后两问直接把学生们干废了， 我一个学生直接出考场就跟我哭了。这个孩子平时的分数正常，他是在一百一十五左右的，那基本就代表着这个几何压轴，平时在一百一十五以下的，你想都不用想，根本就做不出来，就后两问根本就做不出来啊， 只有前两问大概能占个四分左右吧，四五分能做出来，也就是说平时一百一十五以下的你甚至再高点一百一十六七的你，这个最后两问都不能做出来，最后两问大概能占个八分九分这样。 所以基本上这个卷的满分就直接给绝大部分百分之九十九以上的孩子，直接满分限制在了一百一十二左右。 所以这个卷子你考不好没有关系啊，你只要能前面基础不错，就是计算不错，你能达到一百零八分就已经很高了，你能达到一百零八，相当于你比如说沈阳的各区的市模，各区的区模或其他地方的，你基本上相当于其他地方的一百一十三到一百一十五分，差不多是这个水平的。 那这里面我们接下来看一下这个到底考了个什么东西。我们直接看这个第二问啊，你看这里的第二问， 他给的这些条件不用想就不用看后面问啥，肯定是涉及到导角的。那导角的话，咱是不是就通常设这个小角 a c f， 我 设这个 a c f 是 alpha， 所以 这里的 b a d 这个角是不就变成了二 alpha 减四十五。 那后面还有一个 a e 得是等于二倍的 a c f， 所以 a e 得这个角是不是二阿尔法？那咱们第一问的话，是能证明出来，前面这个 a b 得和 a、 c、 e 它们俩是全等，这个很好证，就不说了，它俩全等之后，所以这个 e a c 这个角是不是也是二阿尔法减四十五， 那么我们就能推出来在三角形 a 得 e 也是二阿尔法，所以这个顶角 a e 是 不就是一百八减四阿尔法， 它是一百八减四阿尔法。那所以角 bc 是 不就是二阿尔法减四十五，再加上一个二阿尔法减四十五，再加上一个一百八十减四阿尔法，阿尔法越掉就剩下一百八减九十，所以是等于九十五。那第一问，咱们直接正常导角就行，到这都没问题， 从圈二开始难度飙升，基本上就同学们就直接导出来了。那我们看啊，咱导角是不是要把其他的角都导出来？ 对于难题里面倒角的话，很少是有直接就能用上给你的这些一定是咱们自己去倒角。那通过现在这里面你是不是还能导出这个角 bca？ 我 导一下角 bca 是 不就是二 alpha 减去这个顶角 eac， eac 是 二 alpha 减四十五，那就变成加四十五，所以是不是变成 bca 是 等于四十五，就说明 abc 是 个等效值的向量，对吧？或者你直接通过刚才全等也能得到这个 acb 的 等效值， 那得到这个 b、 c、 a 是 四十五度之后，那他的这个小底角是不是就变成了四十五减 r 法？那我们现在这里来看，其他角导不出来了，然后他这里面圈二里给 g 是 终点，那就涉及到一个终点的问题，终点咱们往哪个方向想？ 对于初三来说，终点的话常用的是四个方向，第一个直角三角形斜面中线，那这里 g 也不是等腰的 中点，所以也不考虑怎样算三点合一。第三个就是中线背长，你这里中线背长，他没有任何意义，对吧？所以肯定不考虑中线背长。第四个就是在相似里面经常出现的出现终点构造中卫线，所以这里面咱们通过这个中点想到，哎，我要去构造中卫线，那没有问题啊，咱们构造中卫线，那这里该怎么构造中卫线呢？ 你看咱现在是不是要再去构造一个中点，而且 a、 b、 c 是 个等腰三角形，等腰三角形你要再去构造中点，怎么构造？是不，通常取的是等腰的底边的中点，这样连上之后还能有一个垂直，所以这里面咱们就取 b、 c 的 中点 m 取完 b、 c 中点之后，所以这个 g、 m 是 不就相当于三角形 b、 f、 c 的 中位线，它是平行线，等于二分之一 f c 的 那等腰三角形 a b c 咱们有曲底边中点了，是不还要把 am 连上？是不还能得到一个 am 垂直？ bc 得到之后我们再继续导角，那既然有平行，咱是不能导出角，角 b m g 是 不就等于角 b c f 等于四十五减二法，所以推出来这个角是四十五减二法，得到这四十五减二法又能推啥？咱们刚推完 am 和 bc 垂直， 所以现在这个角 a m g 是 不就知道了，就变成了四十五加上 alpha， 同时咱们连完之后，这个 a m 是 不也平分？ b a c 那 b a c 我 们现在是不也知道了角 b a c 等于四十五度，所以角的 a m 是 不就变成了四十五减去边上那个 b a d 就 减去二 alpha 再加上次数， 所以这个得 a m 是 不是就变成了九十减去阿尔法？那我们看九十减阿尔法和四十五加阿尔法是不是组成一组绝配角，那说明它们俩同时在一个三角形里的时候，一定是出来等腰三角形了。 所以这里面咱是不是就能推出角 a g m 用内角和去导它也变成了四十五加上阿尔法， 是不就说明这里的 ag 是 等于 am？ 那 得到推了一圈角之后才发现 ag 的 am， 所以 ac 那 amc 是 个等效值， ac 是 不是等于根号二倍的 am 就 等于根号二倍的 ag？ 所以 这个第二遍就完事了，大家看就是你只要倒角，你倒完一堆之后才能推出这里边， 这里的核心就是倒角，一定记着今年中考的话，他的很大的概率是有可能会出现倒角以及倒边的问题的，因为大连这边的习惯性出题的方式就是就是喜欢倒角和倒边，那对于现在数学出题很大一部分是以大连这边为主的， 所以大家一定要注意导交导角和导边这个方法的练习。然后我们再来看这里的第三问，第三问说现在在二的条件下，给了一个 b， f 等于 c， f 等于二，那 b f 等于二，说明 b g 和 g f 是 不是都是一？那在二的条件下，那咱们把第二问的那个辅线也画出来， 还是那个 g m 是 个中位线，所以咱们都给他连上现在这样的，那此时因为现在是不是有 f b 等于 f c， 所以 这个 f 是 不是也是在这个 am 上呢？对吧？那怎那这里的辅助线你就可以说做 就是连接 a f， 然后延长 a f 与 b c 交汇 m， 然后去证明一下 m 中点，然后我们看现在这里我们刚才前面是不是导出了 ag 等于 am， 并且设的那些角，我标一下， acf 是 r 法， 底下这是四十五减 r 法，上面这个 b a d 是 二 r 法减四十五，中间这是九十减去 r 法，还有这里的 am g 这个角是不是四十五加 r 法？ 那我们再看啊，现在我们又能得到什么？那在现在这种情况下， g 这个点 f 是 不是在 am 上？我们是不是还能导出其他角？ 那现在既然有 f b 等于 f c， 说明它的两个底角 f b c 这个角是不是等于 f c b 也是四十五减二法，那它是四十五减二法，所以咱们就能推出谁呢？咱们上一问是不是也推出这个 b m g 了，这个小角，这个小角是不是也是四十五减二法？ 所以此时你是不是就发现有这个 g b 等于 g m 是 等于一的？或者你根据直角三角形斜边中线也能得到 g b 等于 g m， 那 我们导完它是一之后，那这个外角角 f g m 是 不是就变成了九十减去二二法？哎，那此时你看得到什么了？ 你在这个三角形 f g m 和三角形 g a m 里面，你发现它们俩是不是都是由九十减阿尔法和四十五加阿尔法组成三角形？所以它俩是不是组成了一个子母形的相似？ 那子母型相似的结论是不就是 g m 方等于 m f 乘以 m a， 那 我们这里面因为有 am 等于 ag， 我 们是不是可以设这个 am 是 x， 那 ac 是 不是根号？二，那我们把这里的 b m 和 m c 是 不是都是 x？ 那 通过这个结论我们是不就能发现，一是等于 x 乘以 f m， 所以 f m 是 不就变成了 x 分 之一？ 那我们想求 a c 是 不是要求这里 x 的 值？那此时你发现在给的这个三角形在三角形 b f m 里面，咱是不是能有一组这个勾股定力方程啊？所以是不是就能在这里列勾股定力方程？二方等于 x 分 之一的 平方，再加上 x 方，那这里面这个式子的话，他比较考验你的那个计算技巧，咱们给他化简一起算一下，化简之后他是 x 四次方减去四， x 方加一等于零。首先能解出 x 方是等于二加根三， x 方等于二加根三，咱是不是要把这个 x 开根号，所以 x 是 不等于根号下二加上根三， 那对于这种根号里面套根号的，咱是不要把这个里面这个根号当成一个完全平方，要把这个根号三变成看成二 a b 的 关系，那看成二 a b 是 不是就需要给它变成二倍根号几？所以这块咱们给它这样变形变成二倍的根号，下四加二倍根三， 那现在上面这个是不就能给它变成一加根三的平方了？下面是二，然后给它发减 x 是 不就等于二分之一加根三，再乘以个根号， 所以这里 x 是 不就是二分之根号二加根号六， x 是 二分之根号加根号二加根号六，所以这里的 ac 是 不就是根号二 x， 那 接下来就正常算就行了。 ac 这个根号二 x， 最后化简完就是一加根三。 这题的难度真是爆表啊，但是这个题做不出来，你不用慌，就考试肯定不会出这个难度的，那这题你反映出来一个东西，就是第一个中考什么都有可能考第二个大连出题以倒角倒边为主，大家一定要注意倒角的这个练习。
1066喜欢数学的张张张张
02:44查看AI文稿AI文稿如何一分钟破解压轴？今天下午我们刚刚考了大连市一模，这道二次函数是我个人非常喜欢的一道问题，因为它极好地考察了同学们的代数推理能力，但如果按照常规性做法，它的计算量非常大，想得满分也不容易， 但如果你能合理转化，可能几分钟就可以破解一道压轴问题。话不多说，我们直接来看问题。 前几个问比较简单，我们直接来看第三问。由前面我们可以得到，有些点是确定的， a、 b、 c、 d、 e， 包括这条直线 f、 b 我 们都是能求出来的，都是定点和定线。 题中让我求 pm 等于 q， n 加 e、 j。 观察一下这三条线段，如果按照常规性做法， m 点坐标 x 一 动抛物线， pm 可用 x 一 表示， n 点， q 点这两个点的横坐标都是 x 一， 分别代入已知直线 e、 d 和抛物线里， q、 n 也可求好剩下 e、 j， 因为这一点的横坐标在已知直线 f、 b 上，所以这点坐标也可用 x 二来表示。 e 的 坐标又是确定的，所以根据勾股定律也不难求出 e、 c 的 长度用 x 二来表示，这样一来列出等量关系，它等于它，加它，你就能求出 x 一 加 x 二等于二分之一了，这是常规性做法。下面老师教大家一种转化的思想。 如果你对图中的点了解的比较清晰的话，你会发现这两条绿线段是相等的，所以都能求出它们等于四分之五， 这就意味着这里有等腰三角形，所以 n g 和 e g 也能求出相等，这样就进行了第一次转化，把它等于它加它的问题就转化成 pm 等于 q g 了，那这两条线段相等，我们如何来解决？我们可以 过 p 点，我们来做一条线平行于 f b， 大家想一下，这样一来这条直线跟抛物线平行于 f b， 大家想一下，这样一定会满足 pm 等于 q g， 所以接下来我只需要设这条直线解式，因为它和 f b 平行，所以可以设它的直线解式为 y 等于负四分之三 x， 比如说加 n 让它和抛物线进行连力，连力后我们让 x 一 加 x 二，请问得到的 x 一 加 x 二是不是就是我们要的 x 一 加 x 二直接等于二分之一了？ 大家可以自己动手算一下。所以你看，很多时候在解决压手问题的时候，其实选择比努力更重要，选择合理的转化好的方法比大家计算更会节省时间并提高准确度。
98唐萌老师讲数学
04:36查看AI文稿AI文稿大连市的一模的数学卷是辽宁省的各个城市的老师和学生都非常关注的一套数学卷。那么二六年的大连市一模的数学卷，我们要关注哪些点呢？我做完这套试卷之后啊，我的感觉呢，就是我们要关注这里的变化， 这个变化呢，主要是体现在两个方面啊。第一个方面，从试题的顺序来看，后四道题呢，在大连市一模的这个数学卷上是有变化的，原呢是放在了倒数第四题， 函数的实际问题放在了倒数第三题，二次函数呢，放在了倒数第二题，几何放在了倒数第一题。往年的大连市的模拟考试啊，也曾经出现过不止一次的这样的顺序的变化的情况， 那么中考时这些题的位置是否也会像模拟考试这样呢？以往都不是，今年是什么样呢？不好说， 我大胆的猜测一下啊，可能还是和往年的顺序一样的，概率是比较大的。第二个变化就是重点的体现在二次函数和几何这两道题上，它和辽宁省的很多地方的模拟考试是不一样的。 我想啊，这也是出题人的想要追求的一种变化。二次函数这道题呢，和辽宁省的很多地方的二次函数的内容焦点及值问题呢，是不一样的。我个人呢，觉得这种变化是比较好的， 因为函数本身呢，他就应该是变化的，而不应该是不变的。真正学明白的同学呢，应该是在这些变化当中来寻找那些不变的关系，而不应该是固定题型的。 所以呢，我们在中考的备考时呢，我们应该把自己的视野放的更宽广，不要局限于某几种类型的问题，而是要锻炼自己透过现象看本质的能力， 锻炼自己在变化中寻找和确定不变的关系的能力。其实二次函数这道题呢，我们在解的过程当中啊，我觉得第一问第二问难度还是比较小的。 第三问的找 x 一 和 x 二的关系呢，大家正常应该也会做的不错，就是在求 x 一 的取值范围的时候，大家可能就会直接写出 x 一 本身它自己的取值范围，而没有考虑到 x 二的取值范围对 x 一 取值范围的影响， 这个地方呢，大家可能会有错误。好，我们再来看几何题，几何题的第一问和第二问的圈一呢，还是比较简单，几何题的第二问的圈二， j 是 b f 的 终点，我相信很多同学呢，做这道题的时候可能都会进行中线背场，但是这道题呢，它有一个特殊性， 就是 b f 这条线啊，它有一个终点 j， 那 么它有一个邻边是 bc， bc 这条线呢，它是比较特殊的， 他是等腰直角三角形的斜边，所以呢，我们如果取这个斜边中点呢，既能够实现周围线的构造，还能够实现等腰直角三角形对称轴的构造，他是一箭双雕的一个辅助线，这个地方呢，我觉得有一些辅助线掌握的不到位的同学啊，可能会存在问题， 几何题的第三问呢，他还是难度比较大的，就是我们在圈二的基础上啊，能够发现连接 a f 并延长下来那条线，就是这个等腰直角三角形的对称轴。 那么把这条线延长下来之后呢，比较容易的能够发现有一个斜中，然后呢再把斜中连上之后呢， 又比较容易的能够发现一个子母型。但是这道题做到这，会有很多同学就卡住了，我记得大连市应该是在很多年前曾经出现过啊，在几何题中设两个未知数来求线的比值的这样的问题。 其实我们做了辽宁省那么多城市的模拟考试啊，我们现在呢，在做几何题的时候，大家往往是有一种思维定势，就是找一个可解三角形，但是这道题呢，你直接找一个可解三角形呢，实际上是出不来的，他的难度就在于他既有一个子母形的相似，又有一个勾股， 而且他俩还是同时出现的，不是先后出现的，只有他俩同时出现，我们才能够求出这个现场， 通过我们大连市的这个模拟考试呢，我觉得大家还是要把目光放的更宽广，不要让自己有思维定势， 在中考的冲刺阶段啊，以更宽广的胸襟来总结提炼方法，提升自己的数学素养，同学们加油！
783沸点老师讲数学
06:40查看AI文稿AI文稿接下来我们来看一道概率的答题。第十七题第一个问，我们说在和 a 中有三个红球，两个白球，然后 b 和中是三个白球，这八个球除颜色以外完全相同。 第一个是从 a 核中任取一个球，观察颜色，然后放回 a 核中，一共取球取了三次，恰好有两次取出的球颜色是相同的，概率是什么？那对于这道题来说，我们先来设事件，我们可以设事件， a 表示的是取出来的是红球， 是件 b， 我 们取出来的是白球。咱们一共取了三次球，每次取到红球的概率，因为我们是取后放回的，所以每次取到红球的概率都是五分之三，那我们取了两次球，取出的颜色 恰好是相同的，那我们两个都是红球，那 c 取了三次， c 三二红球的概率是五分之三，两次平方有一次取的是白球， 这是 p a 这件事情发生的概率。我们再来求第二个，两次我们取的都是白球，所以 p b 这个事件就是 c 三二两个球，两次取的是白球，其中一次取的是红球， 那这件事情他说恰好两次是颜色相同，所以我们算的就是和事件，那最后我们要算的这个概率 p 就 等于 p a 再加上 p b。 第二个问，这是我们讲的比较典型的这个问题，是后一次的操作，和前一次是有关的，是互相影响的。那咱们先来看一下第二个问， 每次从盒 a 中任取两个球，将取出的红球用 b 盒中的白球换，那我们看啊，白球是三个，取的是红球，就换进去取出的，如果白球就不进行替换， 不管你换还是不换，都把这两个球放回 a 盒中，这是第一次操作。好，我们看这样的操作进行了两次。问两次操作结束之后， a 盒中红球的个数， 咱先观察一下，我们第一次操作 a 盒中任取两个球，所以我们分为三种情况。第一种情况，我们设事件 a 一， 它表示的是第一次操作取出这两个球，两个都是红球。 a 二，这件事情我们可以设的是一个红球取出两个中有一个 a 三这个视角，我们设出来取的是零个红球， 所以我们先来算 a 一、 a 二、 a 三这三件事情发生的概率。 p a 一， 从五个球中我们取了两个球出来，两个球都是红球，三个红球中取两个。 a 二，这件事情是五个球取两个，三个红球取一个，两个白球取一个 a 三，我们是五个球取两个，两个球都是白球。 好，第一步操作我们完事了，咱们看第二个，是在这个基础上，我们看如果取出的两个都是红球，那我们是需要用 b 盒中的两个红球便被换成了白球， 所以我们现在 a 和中的五个球就剩了一个红球，四个白球。第一种操作之后，第二个操作，我们看 a 和中的一个红球被换掉了，那么现在就变成了两个红球，三个白球， 第三个操作是零个红球，就没取出红球，所以我们没有替换三个红球，两个白球。 好，我第二次操作是在这个基础上去做操作的，那我可能取到的球的个数，最后结束之后可能出现的红球的个数，那我们看 x 所有可能的取值就是零个红球，一个红球、两个红球和三个红球， 那我们一个一个来算概率，第一个零个红球，也就是说我们第二次操作之后没有红球了，那咱先看可能是什么样的情况下没有红球了。第一种情况的看到了，就是一个红球，因为我要取出两个球去嘛，没有红球了， 那在这个条件下，咱们是一个红球，那第二个也可以，他是两个红球，我们取走了两个红球，这下没有红球了，那咱们看第三个，是三个红球，我一次只能取走两个，所以不可能是零的这种情况， 所以我们先来看第一个，如果是零个红球，可能出现的情况就是在一发生的条件下，所以我们看是在一发生的条件下。刚才咱们算了这个式子，咱们可以把这个数算一下，五分， c 五二， c 三一，所以我们算 c 三二啊，是十分之三， 这个我们算完是十分之六，这个我们算完是十分之一。如果是在这种情况下的一个红球，那我们现在取走是十分之三，再乘以身一个红球，那我们取走了五个球中取两个球红球取走了四个，白球取一个， 或者是说在这个情况下两个红球十分之六，这个概率乘以他一共是两个红球，五个球里面取两个红球都取走了，不可能是三个红球，咱们一次不可能取走三个。好了，那这个概率咱们就算完了。 再来看 x 等于一的时候，就是我们经过一次操作之后换成的情况，可能是一个红球，两个红球，三个红球变成一个了，那这三种情况都可能，那咱们先来看第一个情况，就是十分之三乘以一个红球，他没动，那也就是说我取走的是两个白球， 所以 c 五二、 c 四二或者两个红球的情况下，我们取走了一个红球，所以是 c 五二上面是 c， 五个球里面选两个，三个红球中我们看剩的是一个，我要取走了两个，这是 x 等于一的情况。 接着我们再来看 x 等于二的情况，二的情况一次操作之后已经剩一个红球了，那我不可能剩二的情况，所以只能是第一个情况不满足，只能是第二个和第三个情况。那咱们看是十分之六乘以， 一共是两个红球，所以我们五个球里面取两个，三个白球里取两个，这个是三个红球，我们正常给的十分之一。 现在咱们看是三个红球中取走了一个，那就是 c 五二、 c 三一、 c 五二，两个白球取走了，红球没动， 这就是我们算的分布列，那我们把它分布列算完了之后，再算它的期望值是零乘以，这个概率没有了，这个是一乘以 x 等于一，加上二乘以 x 等于二，再加上三， x 等于三的概率。最后我们算完这个数就可以解出来。