极历是什么
距离二零二六数学高考还有最后四十二天，今天我们学的是 polarization identity。 战战战我莎莎莎。来来来，我们来看这道第十一题。看题目需要我们知道这道题目是多选题的最后一题，对吧？那我们就来看多选题最后一题的最后一选项，四 d 选项。 四 d 选项是 pa 乘以 pb 向量的数量积大于等于一。那我们看题目，题目告诉我们一条抛物线， p 是 动点，点 d 呢是圆心，圆的方程是 x 平方加 y 点三的平方等于一。 好，那么题目就能抽象成为，点 p 是 动点， ab 呢是圆的直径。但是还有个隐藏条件，点 d 是 ab 的 中点，不知道这点条件你有没有发现呢？那这个具体的四 d 选项， pa 乘 pb 的 数量积，我们怎么去计算？这里我就告诉你个小妙招，叫做极化很等式。 那我们先给结论，什么是极化等式呢？极化横等式就是 a 向量和 b 向量的数量积就等于四分之一。哎，中括号里面 a 向量和 b 向量和的平方，减去的 a 向量和 b 向量差的平方， 哎，是不是很抽象？熟悉向量运算的宝宝知道，这个式子一定是很成立的，但这个式子背后有什么意义呢？我们放到三角形中去讨论，哎，我画三角形 abc， 其中点 d 是 bc 的 中点，那么向量 ab 和向量 ac 的 数量积就等于四分之一。根据几何等式， 那么 ab 和 ac 向量的数量积就等于四分之一，哎， ab 和 ac 向量和的平方，减去的 ab 和 ac 向量差的平方，对吧？那化减下等于四分之一哎， ab 加 ac 不 就是两倍的 ad 吗？所以前面是两倍 ad 的 平方减去的 ab 减 ac 不 就是 cd 吗？所以是减去的两倍的 cd 的 平方。好在化简就等于哎， a、 d 的 平方减去 c、 d 的 平方，所以在三角形中，极化等式 ab 和 ac 数相机就等于中线 a、 d 的 平方减去 d， 三边一半的平方就是 c、 d 的 平方。 那我们再来看选项，点 d 是 ab 中点，所以，哎，我把 pa 三点放到三角形当中，点 d 是 ab 中点，所以 pa 和 pb 向量积就等于根据几何等式 pd 的 平方减去 bd 的 平方。 又因为 bd 的 平方是一吧，对不对？因为直径是二吗？半径是一，所以它就等于 pd 的 平方减去一。对于线段 pd， d， e 是 一个动点，是零。逗号三点 p 呢，是个动点，所以，哎，我就要知道点 p 的 坐标，我们就是点 p 点 p， 因为在抛物线上，我设它的纵坐标为 t， 所以 横坐标呢，就为四分之 t 方， 所以 p d 的 平方就等于哎。十六分之 t 的 四次加 t 方减六， t 加九。那我就是求这个式子的什么最小值。 设一个新的函数为 f t， 哎，令 f t 等于它，所以进行求导。 f 一 撇 t 等于四分之一 t 的 三次，加上二 t 减六。这个函数特别简单啊，它是个递增函数，看得出来吧。并且当 t 等于二的时候，我们发现导数为零， 也就是小于二的时候导数为负，大于二的时候导数为正。我们说了，导数只看正负，所以原函数 f t 在 负无穷大到二上是递减的，再凹到正无穷上是递增的。 f t 的 最小值呢，就大于等于 f 二。宝宝 f 二算一下应该带进去等于二，对不对？等于二？ 所以这道题目 p 地方减去的一就大于等于二，减一就等于一。所以 d 选项是正确的。宝宝你学会了吗？
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36乾坤
