高一数学必修二几何三点共面
哈喽同学们，想学好地理几何，必须先搞定三点攻陷和四点攻面，他们是连接平面向量和空间向量的桥梁，是空间向量体系里最基础、最核心考试必出现的内容。 今天一个视频带你彻底理清思路，学会直接稳拿基础分。这里也为大家准备了对应练习，需要个加微或私信。接下来正篇开始。 哈喽同学们，今天呢，我们重点来讲一下平面向量当中的三点共线，以及空间向量当中的四点共面问题啊，我们对比着来稍微梳理一下。 首先呢，我们先来回顾一下我们在高一所学的平面向量当中，重点去强调的三点共线问题。要讲三点共线问题，就必然逃不开我们的呃，这个共线定律啊， 我们简单回忆一下，贡献定律指的是什么？这个贡献定律其实本质上就是和我们的这个平行的创造条件啊，它其实本质上是一样的， 我们说在平面向量当中，向量的平行或者贡献啊，它是不作区分的，所以我们说 a 向量平行， b 向量或者说贡献啊，它是一个道理。此时我一定能推出 a 向量等于 number 倍的 b 向量，这个是我们的贡献定律。 基于共线定律，我们衍生出来了三点共线的证明问题，比如说让我们先去证明 abc 三点共线，那这个时候，假如说啊，它们在同一条直线上，我们来画一个草图，好，此时呢，这个是 a 向 a 点， b 点 c 点。 好，那此时第一种证明方法就是结合我们的贡献定律，我们可以去证明 a、 b 向量等于 number 倍的 b c 向量，当然你也可以证 a b 的 number 倍的 a c 啊，这个没有任何的影响。 好，那我们要去证明这个式子，那它本质上是个贡献定律，怎么去衍生出来我们的三点贡献呢？那这个时候，我们通过贡献定律已知 a b b c 平行或贡献，同时又有一个公共点，所以我就可以确定它们三点一定贡献。所以这个时候我们第一种证明啊，利用贡献定律来进行 推导。那第二种证明呢，是我们说从直线外哎找一个点 o， 此时呢，连接 o a o b o c， 那此时这三个向量当中，任意一个向量可以用另外两个向量去表示，比如说 o b 向量就等于纳姆塔倍的 o a 加上缪倍的 o c， 但此时呢，我们说纳姆塔缪要满足特殊要求，纳姆塔加缪等于一，对吧？那它的推导证明怎么去证呢？也比较简单，你直接根据一式来即可，通过一式把 ab 向量转换成 o b 减 o a， 同时呢，再把这个 b c 向量转换成 o c 减 o b， 所以 此时我们把 o b 向量移到一侧，变成纳姆塔加一倍的 o b， 等于 o a， 加上纳姆塔倍的 o c， 此时啊，你最后呢，再把这个纳姆塔加一除过来即可。所以 o b 向量呢，就应该等于纳姆塔加一分之一倍的 o a， 再加上纳姆塔加一分之一呃，纳姆塔倍的 o c， 所以这个就是我们的一个推导证明，此时你就会发现，哎，这样部分，这样加起来等于 e， 对 吧？而这个式子本质上啊，它其实还和我们在三点共线当中特别去提的一个知识点息息相关，也就是我们的鸡爪定律。 鸡爪定律主要是如何去应用呢？只要当我们知道啊，这个任意两个线段之间的比例关系，比如说 ab 向量等于 number 倍的 bc 向量， 要注意啊，这个时候我们的条件呢，是比较呃严苛的，就是有限制要求，如果首先两三辆必须要有公共点，其次他的公共点啊，一定要保证一个在起点，一个在终点的位置上写成这种形式，我们才可以套用鸡爪定里。那鸡爪定里的公式是什么呢？对应的就是公共点 所对应的 o b 向量啊，等于南木塔加一分之一倍的 o， a， 再加上南木塔加一分之南木塔倍的 o， c， 跟上面其实推导出来是很像的。 这里我们重点来讲一下这个公式你怎么去记。首先，分母好记，都是南木塔加一，最主要的就是分子，怎么区分分子的话，你只需要结合前半 部分题目给这个条件你对应着去记就可以了。 ab 向量其中对应 a 的 系数是一对吧， bc 向量对应的字母是 c， 那 前面系数是 number， 正好和它前面分子啊，这个分母上的分子啊，一 c， c 对 应，而 e 对 应。所以这就是我们涉及到平面向量当中的三点共线问题。 接下来我们来看一个例题，这道题呢是告诉我们，在如图的凸四边形 a， b， c， d 当中，对边 b， c， a， d 延长线延长线交于点 e。 对 边 a， b， d， c 延长线交于点 f。 给了我们三段的这个共线定律的一个表达式啊，其实也就相等的比例关系。 此时让我们判断下列选项正确的是，首先 a 选项 e， b 向量， e， f 向量， e， a 向量恰好符合我们前面所讲的需要，涉及到直线外一点和直线上的三点，对吧？这里涉及到 b， f， a， 通过图像我们能判断 b， f， a 正好是在一条直线上，所以 a 选项上来其实就在考察三点共线。那这个时候，由于 b， f， ba 啊 ab 向量它们的比例关系是已知的，所以直接套用鸡爪定理即可，此时正好可以满足公共点，一个在起点，一个在中点，所以就像 number 等于三，所以 a 选项我们直接套公式， e b 向量也就直线外一点， e， b 向量呢，等于 number 加一，也就是四分之一倍的 e， a 向量，再加上四分之三倍的 e， f 向量。 所以 a 选项啊，只要你能知道鸡爪电影 a 选项，很快就可以判断出来它是正确的。好，然后接下来 b 选项 number 等于四分之一，那这个要结合什么来呢？这个就涉及到我们在做这类三点共线问题，它往往都会涉及到两组三点共线， 此时我们是不是可以把 e b 用 e f， e a 去表示，所以一定会涉及到一个 b 点，那此时 b 点又和谁有关呢？ 准确来讲，或者说 e b 向量又和谁有关，那此时我发现还有一个 c， 对 吧？此时我还知道 f c 这个是 d 点， f c， d 也满足三点共线，所以此时呢，我可以去给他进行一步转换。在这个第一个式子的基础上啊，我们稍微去处理一下。 好像这的话，我们首先 e、 b 向量可以去转换成用 e、 c 向量进行表示，结合题目条件， bc 向量等于 number 倍的 c e， 所以 我们可以标一下比例关系，就相当于 c e 呢？是这个，比如说 c e 是 一啊，那 bc 就 应该是 number， 所以 这个时候 ec 向量我们怎么去用 e b 向量去进行一个表示？它就相当于应该是 number 加一分之一倍的 ec 向量，啊，不对啊，应该是它的倍数关系啊， 因为我们 e b 向量是更长的，所以此时它可以变成是纳姆塔加一倍的 e c， 好， 同样的道理，接下来 e a 向量， e a 向量呢？结合这一段关系来，对吧？此时我们可以把 d a 标成一， 这一段是 miu， 所以 这个此时呢，我们就要把 e a 向量用 e d 向量去进行一个表示，那这个时候你可以不确定的话，你就写一个比例关系， e a 比 e d 就 应该等于 miu 加一，再比上 miu， 所以 e d 呢，就应该是。呃，这个 e a 向量啊，就应该是四分之一乘上六分之六，加一倍的 e d 向量， 好，然后 ef 向量的话呢，它本身我们需要用到 f 点，所以不用换得到这么一个式子，那接下来我们给它稍微处理一下，也就可以得到 e c 向量应该等于，这也是四分之一，括号里面是一加六分之一倍的 e d， 再加上四分之三，乘上纳木塔加一分之一倍的 e f， 得到这么一个式子，再结合 c d f 三点共线，所以此时我可以得到它的系数和必须要满足等于一，所以我这用白笔写一下，就是四分之一，一加六分之一， 再乘上 number 加一分之一，再加上四分之三，乘 number 加一分之一，所以都有一个 number 加一分之一，我同乘 number 加一即可，所以就等于 number 加一，此时在同乘啊，也不用同乘四了。这个时候我们直接拆括号得到一加四，六分之一 等于纳木塔加一，所以我们就可以直接推出四缪分之一等于纳木塔，也就是纳木塔缪应该等于四分之一，所以啊，这个时候 b 选项也就证明出来了， b 选项也是正确的。接下来再来看 c 选项， c 选项 和 d 选和这个刚才解决 b 选项放一起就能想到它应该是涉及到一个基本不等式，那这个时候 c 选项我们直接去解就可以了。 纳姆塔分之一加 m 分 之一，已知乘积求和，所以直接用基本不等式。 a 加 b 大 于等于二倍根号下 a b， 所以 这也就大于等于二倍根号下纳姆塔 m 分 之一， 纳木塔没有带入，是四分之一，三分之一分之，也就是四，对吧，所以它最小值呢，应该是四，而不是所谓的一，所以先选错误，但当然这里的话我们要验证一下何时取等，那何时取等呢？应该是纳木塔的分之一和没有分之一相等的时候，那此时你解除看对应的纳木塔没有，能不能取值即可。 好，这 c 选项，然后接下来 d 选项， d 选项让我们判断的是这个数量机的比值最小值，那此时呢，我们只需要去把它尽可能的分子分母上进行一个 呃，把向量的这个数向量机啊数量机给它约掉即可。那此时我们结合前面所学啊，前面所处理的，我们可以把分母呢去进行一个转换， 分母上 e b 向量，我们可以用 e c 向量去表示，因为 e b c 它在一条直线上，对吧？那 e b 向量等啊， e b 向量等于多少倍？ e c 呢？我们刚才前面这个转换过了，对吧？它应该是 number 加一倍的 e c 向量，同理 ad 向量也可以去用。 哎啊， e a 向量， e a 向量也可以用 ad 向量去表示。首先 e a 和 ad 方向是相反的，所以一定会带上一个符号， 然后长度上来讲的话，此时，呃，这个 e a 向量应该是 a d 向量的缪加一倍啊，所以是负的缪加一倍的 a d 向量。 好带上这么一个值，那接下来大家进行化简即可， e d 向量乘 a c 向量可以约掉，所以最后剩下的值应该是负的。分母上呢，是 number 加一， 乘上缪加一啊，那我们此时已知的是 number 乘缪等于四分之一，所以我们可以直接代入即可啊。首先分母上先给它展开，展开的话就是 number， 缪也就四分之一，所以是四分之一，再加长竖向一，再加 number， 它再加缪 分之一，那 number 加缪和我们就很好判断了，对吧？此时它大于等于二倍，根号下 number 乘缪，所以也就是应该是大于等于一。 好，四分之一加一，这个时候再加一，所以分母上呢，对应的正好应该是四分之九，所以整体呢，应该是负的九分之四，但到底是大于等于还是小于等于？ 由于分母上是大于等于，所以整体分整个分数应该小于等于，再加个符号，所以最后还是大于等于负的九分之四，所以最小值为负九分之四。所以 d 选项正确，答案选 abd。 好，我们是借这道题呢，稍微来巩固一下我们刚所学的三点共线，接下来呢，我们来重点讲一下立体几何当中的四点共面问题。四点共面呢，我们需要去 证明啊，这个四点共面，我们就需要先联想到在平啊，在空间向量当中涉及到的共面定律。 共面定理我们是怎么去判断的呢？我们只是说我们说的是平面内任意一个向量，其实和我们这个平面向量当中的基本定律非常相似啊，就任意一个向量，可以用另外两个向量去进行一个表示，那我们打 b 向量， m、 c 向量， 那此时我就可以说 a 向量、 b 向量、 c 向量，它必然是共面的。这个地方其实就是我们前面讲的平面向量当中的基本定理， 此时啊，必然共面，那此时三个向量必然共面，那向量上的点必然也是共面的，所以我们就可以衍生出来四点共面，比如说啊，此时我们去证明 a、 b、 c、 d 四点共面。 好，那此时我们借助前面讲的公变定律，我们就可以去进行一个转换，我们可以去证明，首先第一步， ab 向量等于 number 倍的 a、 c 向量，加上 m 倍的 ad 向量， 那此时我就可以说明它们首先共起点，对吧？那 ab 向量可以用 a、 c、 a、 d 去表示，意味着它们三个向量必然共面，所以我就可以推 abcd 四点共面。那此时我对 number 和 mu 有 没有特殊要求呢？没有 number， mu 的 值任取， 但当然啊，一般来说呢，我们是不取零的。好，这是第一种证明啊。第二种证明呢，我们是从这个平面外去找一点，比如说这是 a 啊，这是 b， 这是 c， 这是 d。 从平面外找一点，比如说 p 点连接 pa， pbpcpd， 好，那此时我们还是在圈一的基础上，我们可以进行一个转换， ab 向量我们可以转换成 pb 减 pa， 然后 ac 向量可以转换成 pc 减 pa， 同理 a、 d 向量可以转换成 pd 减 pa， 好，那此时比如说我们把 pb 向量单独的留在左侧，所以此时可以得到 pb 向量呢，就应该等于 number 倍的 pc 加上 m 倍的 pd， 再加上一减 number 减妙倍的 p a， 那 此时你就会发现 number 妙一减， number 减妙加起来正好等于。所以这就涉及到我们第二种证明，如果证明四点共妙，可以证明平面外一点到这四个点所对应的向量， 其中任意一个向量可以用另外三个向量去进行一个表示，只不过说这个时候表示的时候，我们对于它的这个系数有特殊要求， 它的系数必然要满足 x y 加 z 等于，所以你会发现啊，我们证明四点共面和三点共线，很多程度上它其实是非常相似的，只不过说对于向量的个数上啊，有一个区别。 好，这是我们证明啊，四点共面。除此之外呢，这里我们也是有一种特殊的表达方法，特殊表达方法是什么呢？就是我们在 可以给他去进行一个转换，比如说我们现在已知，假如说我还是以这个图为例啊，在这个图内，此时我任意一个点，比如说 c 点连接啊， a， b， d， 好，这个时候虽然 c 点在外面啊，但是呢，这个时候啊，假如说我们这个时候是不是可以形成三个三角形的面积？这个地方其实和这个平面几何当中的奔驰定律比较像啊，假如说我们的 c 点，假如在内部的，我这把这个图稍微重新画一下吧。 比如说啊，我们底面是这么一个情况，这是 a、 b， d， 然后呢？ c 在 中间，此时我有一个 p 点， 咦，稍微有点重合了，给它稍微挪一下。 好，那此时呢，平面内的话是 a、 b、 c、 d 四点共面，对吧？那我连接 a、 c、 b、 c、 d， 此时我会有三个三角形的面积，这是 s 一， 这是 s 二，这是 s 三。 那此时我的 pc 向量就可以直接用 s 一 倍的 p a， 再加上 s 二倍的 p b， 再加上 s 三倍的 pd。 只不过说这个时候对应的每一个都要除以总面积， s 总 s 总 s 总啊，这也是一道一个比例问题，那你要想去证明它呢，其实也非常好证，你只需要利用奔驰电影去进行个证明就可以了。 奔驰定律虽然不是说我们特别要求，呃，要求一定要去掌握的，但它其实是我们非常喜欢去考的一个考点，所以还是要做一个了解。奔驰定律指的是什么呢？就是我们在平面当中，此时 s 一 乘上 c， a 向量，再加上 s， 二乘上 c， b 向量，再加上 s， 三乘上 c， d 向量，应该等于零向量。那此时我们进行一个代换， c， a 向量我可以转换成 pa 减 pc， 同时 c、 b 向量也可以转换成 p b 减 pc， c， d 转换成 p d 减 pc。 那 接下来只需要一项你就可以得到啊，和上面是一样的这个表达式， 但这个式子呢，目前呢，我们仅做一个了解啊，你知道有这么一个式子，我可以结合奔驰电影去进行一个证明即可。好，然后接下来呢，我们来看对应的题型。首先在四棱锥 p， 杠 a、 b， c、 d 当中，底面 a， b， c， d 是 平行边形过点 a 的 平面，阿法与棱啊交于这几个点，已知 p、 b 等于两倍的 b， e， 然后 p， d 呢，等于三倍的 p、 g， 让我们去证明这个式子。好，那此时我们和前面两组三点共线是一样的 解题思路。这的话我们需要用到的是四组啊，不，不是四组啊，两组四点共面。此时我可以看到的，首先 a、 e、 f、 g 四点共面，其次 a、 b， c、 d 也是四点共面，其中 a、 b、 c、 d 四点共面，你要注意它是可以转换的，它是可以把具体的比例关系写出来的。 利用什么来写呢？这个比较简单，你直接根据 a、 d 向量等于 b、 c 向量哦，就可以进行一个转换了。此时 a、 d 我 可以转换成 p、 d 减 pa， 同时呢，我的 pbc 可以 转换成 pc 减 pb， 所以 我们就可以把 pa 用 bcd 去进行一个表示。为什么一定要选择 a 单独放在一侧？因为我们 aefg 和 abcd 它的有一个公共点是 a， 对 吧？所以我们 a 一定是一个突破口，此时我们可以写得 pa 向量应该是等于 pa 加 pd 再减去 pc。 好，这个是我们利用的 a、 b， c， d 四点共面，那接下来我们再利用 a、 e， f、 g 四点共面，那这个时候我们就涉及到比例关系的一个转换即可。此时 p、 a 向量啊，是共有的，不用管 p、 b 向量结合等于两倍的 pe， 所以 我们代换它等于两倍的 pe 向量， 再加上 p d， p d 是 三倍的 p g。 好， 那 p c 是 多少？ p c 是 多少？不确定，我可以设这个地方为纳曼塔，所以此时我就可以推出来 p c 应该 p c 向量其实也就等于纳曼塔分之一倍的 p f， 所以 我们代入即可再减去纳曼塔分之一 p f。 又因为 a， e， g， f 四点共面，所以代元音的系数和 b 虚为一，所以我可以得到二加三，再减去纳木塔分之一一定等于一，所以也就解得纳木塔分之一应该等于四，所以纳木塔等于四分之一，答案就解出来，所以答案应该选 a。 这个就是我们三点共性和四点共面的一些基础知识点。这里的话呢，我们仅仅只是简单的找两道题作为例题进行一个讲解，还需要在视频结束后啊，自己私下的去做一些大量的练习，去进行一个巩固。
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15:12查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点四点二，空间点，直线平面之间的位置关系。那么这节课呢，是后续我们研究整个空间问题的一个理论的很重要的基础， 就是说我们的整一个空间当中，最基本的就是有点线面来组成的，那么他们之间有什么样的位置关系，就是我们这节课要总结的。首先第一点呢，就是我们上节课已经总结过的就是关于他们的从属关系， 我们会知道呢，我们在空间当中点是最基本的单位，它就是一个元素，而我们的直线和平面都是 无数的点的集合，所以他们呢，其实是一个集合，所以这个时候呢，他们的符号语言，其实我们只要想通了这个逻辑关系，我们这些东西是不用记的哈，就是给大家告诉大家去做个罗列 说，哎，我们的这个是一个元素，所以呢，元素与集合之间我们使用的是什么符号用的是属于，然后呢，这个直线与平面是集合与集合的关系，所以用的是包含于，就这样子， 所以呢，我们以后是不再需要啊，这个点 a 在 直线上，点 a 不 在直线上，所以我们的那个，呃，我们的文字在解答题当中是不用写这么多废话的哈，直接点在直线上， a 属于 l， 非常的清晰啊，全世界都能看懂，不管你说的是中文还是英文，所以这个就是符号语言的简洁、精准和通用性的这种魅力哈，我们来看一下。接着呢，我们来看 空间当中，首先看线线，直线与直线的位置关系，首先呢，我们说如果两条直线 l、 m 共面，共面我们就很熟悉了吧，我们从小学就很熟悉了哈，就是两条直线共面的情况，那么我们知道它们有三种位置关系，分别是相交、平行与重合。 而我们相交当中呢，我们又区分了一个特殊的一个 special 的， 就是垂直，对吧？重合呢？这个地方呢，这个符号是课本没有讲的，大家直接写重合吧，重合的情况其实也很少哈，直接写就好了。然后呢， 这个地方呢，首先我们先关注到这里哈，此外，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做一面直线，关注这个定义哈，不在任何一个平面内。打个比方说哈，比方说我画一个什么，我画一个长方体哈， 比方说这个是 a、 b， 这个是 c 撇 d 撇。好，那 a、 b 和 c 撇 d 撇，我们看到它不同在哪里啊？不同在 a、 b、 b 撇 a 撇的这个平面内，那么我们能说它们是异面直线吗？不能，因为它们同在这个平面内啊，对吧？ 就是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个平面，打斜的这个平面。所以我们一定要搞清楚什么是异面直线，不同在任何的一个平面内，也就说 当我们在这个世界上，我们找不到任何一个平面，能够包包容掉他们两个直线，包含了他们两个直线都在里面， 那么这个我们才叫做意面直线啊，我们一定要搞清楚这个概念。接着我们来看到，呃，平行线的概念， 在空间当中，在同一个平面内，永不相交的两条直线叫平行线。那么这句话的定义在我们的小学、初中当中呢，有不同的教材有不同的表述，首先基本上都这样表述，那这句话呢，有的教材就严谨一点，有写出来，有的教材呢，就觉得写出来还省的就是要跟大家去做解释，对吧？ 所以呢，我们现在知道永不相交的两条直线是平行线吗？我们知道意面直线它也是永不相交的，所以它一定是 一比一，一方面他得是共面，在共面的情况下，永不相交才叫做平行。那所以现在呢，我们要严谨的去表达是不是平行，对吧？然后呢，为了区别相交直线和意面直线的作图通常要用一个平面啊，一个平面 来衬托，就什么呢？我们看到这个东西，我们觉得，哎，这个意面和这个相交直线完全不同，他的两个意面直线， 我们要知道我们看到的屏幕纸张，试卷他都是平面的，对吧？那如果没有这个平面阿法，那这个直接划过来，那么就会发现，哎，其实意面直线和相交直线没有区别， 所以我们会知道我们是怎么画的，我们说你可以不画，被平面遮挡的这个部分我们可以不画，或者画成虚线都可以，这样子就会显得有立体感，所以呢，是要这样子去做的，好吧，接着我们来看直线与平面的位置关系有三种，分别是相交、 平行，还有直线在面内。当然从大的分就是，首先是直线在面内和直线在面外。首先我们来看，如果直线与平面有无数个公共点， 那么称直线在平面内。同样的，我们来看一下这个直线在平面内的定义，有无数个公共点，或者我们应该说直线上的任意的一个点，所有的点都会在这个平面上，才叫做直线在平面内，所以我们要知道不是说，哎，这种情况，平行啊，他不在平面内啊，这种呢？他在啊，不是的， 这个所有都统称是在面外，无论是他有零个焦点，还是有一个焦点，都是在面外，所以这个是有一个焦点，对吧？一个焦点，零个焦点，那么这个呢？他的焦点的个数是无穷啊，对吧？有无限个，这个才是指现在面内好不好。 那么当直线与平面相交或者平行的时候，直线不在平面内，也称为直线在平面外，好吧，在面内面外，不在平面内哈，相关的一些这样的一些表述。那么平行，我们知道平行，直线、线面平行和线面垂直，我们先通过一个非常感性 啊，课本也用了这个词，非常感性，我之前跟大家说，是吧？我们既要有非常严谨的，我们后面的六节课 就要非常严谨的去证明，那么我们也要有感性的这种空间思维，对吧？我们说了空间思维非常的重要，也是现在考察的点，所以呢，我先罗列出来，也是给大家干嘛呢？还没有做严谨定义的时候， 我们其实就能去理解了，像比如说像垂直这样的东西，我们其实生活当中很常见，像我们的旗杆插在这个地面上等等，对吧？所以呢，我们先了解，先做个初步的了解，后续的课程会严格的去定义它，好吧，去定义它，并且要看如何去做判定性质等等的一些研究。 接着呢就是平面与平面之间的位置关系有两种相交和平形，同样的相交当中特殊的是垂直，对吧？平行这样子的，像我们的天花板 和我们的地面之之间这样的关系，是吧？然后呢，我们的垂直就好像我们的墙面和我们的天花或者说地面这样的关系啊，对吧？那么这个呢，就是相关的关系，我们首先要关注的点是哦，我们要知道他们有这样的位置关系。第二个，哎，我们来看一下他的语言表述好不好，嗯，就这样子， ok， 我 们来看第一道例题，已知长方体这个当中判断下列直线之间的位置关系， e b 和 h c， 嗯，这两个是不是平行的？ a b 和 f c， f c 是 不是感觉它是一面的，对吧？嗨，我们这个地方不需要严格证明，只需要大家凭感觉去做就可以了，严格证明是后面的事情，好吧， h d 和 h c， h d 和 h c 啊，这个典型是相交嘛，是吧？ a b 和 f c， a b 和 f c， 哎，我们是不是也看到它也是异面的，它也是异面的， ok， 那 第二道题，若平面阿法外有两个点， a 和 b， 它们到平面的距离都是 a， 则直线 ab 和平面阿法的关系式。这道题目呢，就是没有同学们停下来想一想，想清楚一点啊，它的答案应该是什么？ 我们其实有两种情况哈，第一种呢，基本上很多同学都能想到，对吧？哎，他不就是平行的吗？对吧？有两个点，他们到这个平面的距离他都是 a， 对 吧？连起来他都就是平行的，但是我们要知道，他其实有另外一种情况，在这个平面上方和下方， 或者说我们说两侧，因为它不一定是打平的平面，对吧？我们说是在两侧，那么在两侧的情况下，它也是满足，此时它是相交的直线，所以它是什么？它是平行或相交。 第三课本的一道例题，用符号表示下列图形中直线平面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素面和面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素平面之间的位置关系，我们来看一下。首先这个地方呢，就比较少元素是干嘛相交的？ 那么相交它最终相交的结果，两个平面相交出一条直线，是哪条直线？这条直线幺，所以 a 加阿法加贝塔等于幺。然后呢，我们来看直线与平面直线，它标注出了什么？ 标注出了幺和 a 幺呢，它属于平面阿法，它也属于平面贝塔。那然后呢，这个 a 呢？哦，这条 a 的 直线是跟平面阿法相交于 点 a， 它跟平面贝塔相交于点 b， 所以 是这样子的，相关的一些位置关系好不好？ 那这个地方呢，我们来看阿法和贝塔，它相交于点啊，那个直线 l 跟刚才是一样的，跟这个是一样的。然后我们来看直线与平面，直线与平面之间呢？是什么呢？就是我们的 a， 它会属于阿法。嗯，好吧，直线 a 与平面贝塔会相交于点 p， 然后呢， b 会属于贝塔， b 呢，跟阿法呢，又会相交于点 p， 对 吧？那这是线面的关系，然后呢， l 当然也一样， l 呢，也是属于这个平面阿法和平面贝塔，对吧？然后接着呢，就是他们的线线关系，线线关系， a 交 b 等于 p， a 交 l 也等于 p， b 交 l 也等于 p， 对 吧？三个都是相交的关系好不好？相关的一些关系，我们的例式如图， a， b 交阿法为 b 点，然后呢？ a 不 属于阿法，哎，你看同学们就要慢慢的去熟悉，看这样的语言， 在试卷当中就不会再跟大家讲点 a 不 在平面阿法上，不会讲这么啰嗦的话了， a 不 属于阿法，嗯， a 不 在阿法上， 然后呢？直线 a， 它包含于阿法，就是直线 a 是 在阿法面内的，然后点 b 呢？不属于 a 啊，是直线 a y 的 一点，那么直线 a b 与 a 具有怎样的位置关系？为什么呢？ 好，这道题，首先我们从啊感性的空间思维的感觉，是不是觉得它应该是意面的，对不对？它应该是意面的， 那么现在我们就要去证明他，我们要知道一个点哈，就是我们后续包括前面也是反正法，我们前面也已经是了，对吧？反正法使用的非常的多，反正法是一个非常重要的一个东西，它用来什么东西呢？我们要知道，呃，正无，很多时候啊，正 无是会比证有要难很多的啊，这个在我们的法律层面啊，我们的一些，呃，嗯，推理悬疑上面我们也会知道。这个点，就是我那天晚上我去了那家酒吧， 那这个时候我要证明我去了，那简单很多，我要找到相关见过的人给我作证，我要看监控，对吧？我证明没有去，这就很难了，对吧？我在家里没人见过我， 我怎么证明我没有区呢？所以正无在绝大部分情情况下都难度要远远大于正有，所以我们要知道，就是说，哎，我们要知道它意面，就说那个直线，这个这条直线跟这个直线 a 啊，这个 a b 和这个直线 a 没有交点， 怎么证明它没有焦点呢？这个是很难的一件事情，所以我们通常来说这个呢，就是用反证法。我们来看一下，假设直线 ab 与直线 a 不是 异面直线，我们假设它不是，那么不是异面呢？就是共面喽，对吧？那是共面的话，则它们相交或者平行， 对吧？它们要是共面的直线呢？要么就相交，要么平行，我们不用管相交里面有特立垂直，因为这里我们看焦点不影响，对吧？ 此时我们两条相交的直线，或者说平行的直线，能够唯一确定一个平面，那这个是我们上节课的结论，对吧？设该确定的平面为 b 塔，我们画不出来。我们假设有这样的一个平面，因为它们唯一确定了，那此时 这些元素直线 a b、 点 a、 点 b， 还有直线 a 全部都属于这个平面 b 塔，因为它是唯一确定的嘛。那么我们又知道这个 b 点它不属于这个直线 a， 那么我们是不是知道经过点 b 与直线 a 有 且只有一个平面阿法，就说它三者，这个直线 a 和点 b， 它能够唯一确定一个平面阿法，那此时它又确定了一个贝塔，所以阿法它只能等于贝塔， 那只能等于贝塔的时候呢，我们就能推出。那既然是这样子的话，那整一条直线 a、 b 也都在上面， a 也会属于在上面，那很显然 题目的条件 a 就 不属于这个算法，大家能理解这个逻辑条件吧？就是我们从一个基点出发去进行推理，推理出一个矛盾的一个结果，对吧？这与 a 不 属于算法矛盾，所以直线 ab 与 a 是 一面。直线 反证法呢？我一直都在讲，它很关键，并且几乎没有人不可能在你们的这个年龄是没有用过反证法。不可能的哈，我觉得是不可能的，我之前我就讲过，只要你在你的生命当中讲过一句话，就是照理这么说或者相关的意思，对吧？ 照你这么说，那么你就用过反证法，对吧？我说哈，我跟你们讲啊，无论你有钱没钱，无论你怎么样，其他全都不用看，只要一个人身体健康，他一定非常开心，只要其他全都不用管， 呃，照你这么说我们的，呃，所有的流浪汉，对吧？只要他身体健康的，家破人亡在路边，对吧？也没有钱，他也很幸福，是吗？对吧？照你这么讲，按你这么说是不是 每个人都用过啊？就是说他干嘛呢？就是在数学当中，我们在反正法假设了之后，我们要用一个后续的一个证明过程，对吧？但是我们要知道反正法本身它是一个极度基础的，甚至基础到不需要去刻意去学习的一个东西 啊，就是这样子的东西。但大家不知不觉当中也不知道哦，我原来使用的这个东西，它就是叫反正法就这样子的东西。然后这道题呢，告诉我们一个很重要的事情，就是 告诉我们一种判断意面直线的方法，所以课本的例题哈，其实真的是非常，就是它是有很有目的性的啊，我们在这个地方会得到一个结论，与一个平面相交的直线 啊，我们这里的直线 ab 和这个直线啊，那个平面阿法相交于点 b， 那 么这条直线和这个平面内不经过交点的直线全都是意面直线，这个结论相当的重要， 好，同学们要看清楚，这个结论相当的重要，这个会帮助我们未来判断这个意面直线的，我们要形成这种空间的感觉。好吧，他跟这个直线这个平面相交于这个点，那么在这个平面内，只要这条直线有两个点，第一 他在这个平面内，第二他不经过这个点，那么一定是跟这条直线是意面的，我们也要记得这个模型来判断这个意面直线啊，这个就是我们的课本的这道例题要告诉我们的这个点。好，那么这节课呢？就到这里，那么下节课再见，同学们，拜。拜拜。
748肖数说
25:33查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二第八章立体几何初步八点六点三，平面与平面垂直。好，来到了我们的本章的最后的一节课哈，也是我们的这个垂直的最后的一节课哈，面面垂直的关系 好，我们通过呢。跟之前一样，我们说除了线面垂直是一个特例，他得单独定义之外，别的都是先定义角。我们这里看一下哈，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。同学们说，哎，没看懂什么意思？ 从一条直线出发两个半平面，什么叫半平面？我这个地方这条直线截了这一边，你就不要去延伸了，平面是往四周 无限延伸的，对吧？那这边不要延伸了，往这边延伸一半的平面叫半平面，这个东西哈，半平面和平面不要觉得它很复杂，我们只需要去类比半平面是什么射线， 那么平面呢？就是直线好不好？那么我们的这个另外一个呢？你看这边被塔这个整体所形成的图形，它就叫做二面角， 那么平面呢，会有两个角，也跟我们的直线是一样的，直线我们会有什么？平面角？它实质上是两条什么两条射线组成的角，它是有 零度到一百八十度的，对吧？那么另外一个呢？我们两边延伸，它又变成了什么？变成了直线，它的范围就是零到九十度，这个叫直线与直线所成角。所以其实我们的直线也有两个，我们就可以完全类比。 说很多时候哈，我们在画图的时候，我们都可以这样画啊，这个是非常重要的一个技巧好吧，比如说我们画这个角度的一个侧面，他就是什么，如果是平面，我们就画成什么，画成直线，如果是二面角就是半平面，我们就画成这个射线啊，就这样子。 好，这个叫二面角，那么这条直线呢？叫做二面角的棱，那两个半平面呢？叫做二面角的面哈，整体的整个东西叫做二面角。好，棱为 a、 b， 面，分别为阿法和贝塔。棱是什么？ a 和 b， 记作什么呢？记作阿法 a， b， b， 就是 说 我用这边的一个面，然后呢这个 a、 b 这条棱再加上另外一个面来做命名啊，这是一个命名的规则。那么有时为了方便，也可以在阿法和贝塔里面 棱以外的半平面的部分分别取点 p 和 q， 然后将这个二面角记作二面角 p， a， b， q， 那 同学们说为了方便它不方便呢？我，原来阿法 a、 b 那 个贝塔不挺好的，我还得找两个点，找两个点之后，这两个东西有啥区别吗？对吧？那么这里问题来了哈， 我们为什么要这么做呢？我们要有背景的，比方说我们看一下我们的正方体，那么比方说我们要去形容这个二面角，绿色的两个组成的一个二面角，好吧，那假如我们要使用平面的方式，我们就要写成这样子，对吧？ a， e， d， e， d， a， 一 杠 a， d， c， d， 然后呢，我们如果取点的话呢，就 a， e， a， d， b。 所以我们会发现什么问题啊？我们是要看上下文的，刚才我们要找这个点 p、 q， 我 们当然不去找了，对吧？对吧？而且刚才呢，我们有个面，这个阿法、贝塔现在没有嘛， 所以呢，当我们有这个点，然后这个面也没有做一个命名阿法、贝塔干嘛的时候，我们使用这样的方式是会方便简洁很多的，这个呢就是关于二面角的这个命名的法则的问题，对吧？ ok， 接着呢，我们来看刚才我们是定义了什么东西是二面角，我们还没有讲这个二面角多大，接下来我们看生活当中我们常说把门 开大一点，那这个是什么大呢？我们会知道哈，刚才定义了之后，会知道这个门跟我们的这个平面可以形成一个，比如说这里截住半平面，那这个就能形成什么？门面和墙面的一半就能形成一个二面角，那么这个二面角多大呢？就会涉及到这里的问题。我们来看一下 在二面角阿法 l 贝塔当中的棱上面任取一点，又哪任取一点，哪个都不重要， o 以点 o 为垂足，在半平面阿法和贝塔内分别做垂直于棱 l 的 这个射线 o a、 o b 好 垂直于这个垂直哈，不是 o a 跟 o b 垂直啊，这个不一定，我是 o a 和这个 l 垂直， o b 和这个 l 垂直啊，对吧？那么则射线 o a 和 o b 构成的这个角 a、 o b 就 叫做二面角的平面角，这个东西是不是就 跟我们的什么跟我们的这个平面角很像，呃，一样的，对吧？这样子二面角的大小呢？可以用它的平面角来做度量，好吧，所以呢，我们的这个平面角就是来量这个二面角的 二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角，你看我们先花很长的时间来定义什么是面面所成角，然后呢九十度就是 直二面角呗，就这样子，二面角的平面角的取直范围是零到一百八十度，零可以取，就是他们闭起来啊，像嘴巴闭起来这样子，一百八十度像，像我说的，其实就跟我们的这个平面角一样的，如果我们从侧面图去看，就是一样的东西啊，对吧？好， 接着我们说平面与平面所成角，这个呢，课本在我们的下一本书选 b 一 那里才定义呢？很多同这很多老师，包括很多教材编辑教材的人都表示不理解，那我其实我就直接在这个地方讲了，因为其实关联度很大，我觉得没必要 平面阿法和贝塔相交，我们刚才是干嘛？半平面就这里是没有的，这里是没有的，那现在我们形成了四个二面角，如果是平面的就形成了四个二面角，我们把这四个二面角当中不大于九十度的二面角 称为平面阿法和平面贝塔的夹角，所以我们说干嘛用直线去类比就可以了，一模一样。那么这个地方呢，我就先做一个我们现在所接触到的所有所成角的定义， 因为呢，我们并不需要通过背这个角度的定义来记住以下五种，其实一共是六种，但是呢，我们的六种在我们的选 b 一 那里呢，我们做一个定义，因为还缺了一个。好吧，那么这个地方为什么在这个地方我们先讲一次，后面又总结一次呢？因为就真的太多同学在记这个东西了，这个鬼东西了， 永远选举所成角当中的叫小指，我今天提一个点哈，就无论你们学数学也好，学英语也好，你一定要相信别人是有规则的， 对吧？不要认为数学家闲着没事干，是不是他是正常人，而且科学家最喜欢偷懒啊。数学，科学，学科。直线与直线所成角范围是零到九十度，为什么呀？因为我们说一条直线，一条直线 会形成一个角，两个角，那我肯定是不要这个大的角，我贪麻烦吗？是吧？所以我要所成的角是小的，所以是零到九十度，这个不用记。 接着，如果，如果是向量与向量呢？向量是有这个点的，就是不是两边延伸的，他们的定义是拖到同一个起点，那此时是不是也可以这样子，所以他是可以零到一百八十度，那同样的，其实他也有一个大于一百八十度的，肯定不要大的，就这样子。 然后呢？直线与平面直线与平面，我们怎么定义的？我们的上一节课直线，我们的有一个摄影，对吧？投影，然后接着呢，这次也形成两个度，那我为什么，对吧？又是小的那个角度吗？简单的那个，然后就到了我们的这节课的半平面，对吧？半平面，我们说什么呢？我们就通过我们的平面角来做理解，对吧？ 射线，射线啊，这个是 o 啊，这个射线是一样的，这个就是半平面，而我们的平平面的整一个平面呢，就是直线啊，两个是可以完全对照的啊，这个地方呢，也是一个小的角，一个大的角， 平面一个小的角，一个大的角，所以这个东西呢，我从来一个都不可能背的哈，但我看到有些同学背的很辛苦啊，这个锁上角，这个锁上角背完之后呢，还会错啊，太夸张了，这个东西背来干什么呢？对吧？不，不要浪费这么多时间在这些东西上面所找到它的规律 啊，对吧？就是你们一定要知道，找不到规律是一定是你的问题。就像以前我们工作的时候就是在大公司，你如果觉得大公司的流程全都是很麻烦，很繁琐，都是有问题的，那一定是你的问题， 对吧？你一定要有这样的精神。很多同学看我的课，像我说的，如果我的课一百个人里面有五十个，有六十个没看懂，那么一定是我的问题。但如果有九十九个没看懂，有一个没看懂，那你就要知道，那一定是你的问题啊，对吧？这个是一个很简单的一个东西，我们一定要去理解对方啊，不要去这样死背， 所以这些东西节省很多的一些功夫，不要浪费时间在这些上面，这样子， ok， 我 们看一下利益。下列命题当中是真命题的，有两个相交平面组成的图形叫二面角呢，这个当然是错的， 一面直线 a、 b 分 别和一个二面角的两个半平面垂直，你看我们怎么画？这样的问题，我们要处理的时候怎么画两个半平面，还要去画平面，太难画了，对吧？太耗费时间了，用射线来表明就是这样子的，对吧？这个阿法， 这个贝塔，那我们会换另外一个颜色的笔，或者说画粗一点来表达，然后一面直线 a、 b 呢？分别跟它们垂直，这个是，哎，这个画细一点，对吧？这个是 b 啊，这个是直线，好吧，这个就清晰了，这个垂直，这个垂直则 a b 所成的角与这个二面角的平面角相等或者互补， 我们来看一下是不是的他们相等的相乘的角是这样子，这个，那这个是什么关系？互补，那有没有可能是那个什么？有没有可能是相等啊？有，比方说这个情况下小的，对吧？那这个时候，这个这个， 那这个时候呢？这个角和这个角就是相等的关系，所以我们怎么找他关系？怎么画，这样用剪图来画就可以了，明白吗？然后呢？所以这个是对的，这个是错的。 二面角的平面角呢？是从棱上的一点出发，分别在两个半平面内做射线所成角的 啊？半平面内所做射线，刚说做射线所成角的最小的角啊，那当然不是啊，这棱上出发干嘛要垂直，对吧？不是所成角的最小角是一定是垂直，那个是确定的，对不对？垂直，所以这个是错错的。二面角的大小与其平面角的顶点 在棱上的位置没有关系啊，这个是对的，对吧？我们说这个顶点是可以任意取的，哪里都可以，所以这题选二和四。然后接着呢，就是我们面面垂直的判定，那其实这个就是我们说的，我们定义了二面角，我们只要是九十度就可以了。那我们这个地方说一下有些什么样的情景呢？比方说 教室里面的墙面，墙面所在的这个平面与地面所在的平面相交，他们所成的这个二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上，那么一般的两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 啊，记作 r 法垂直于北塔，对吧？那么这个地方同学们说啊，半平面，半平面已经不重要了，因为它如果是垂直的状态呢，形成的两个半平面它都是九十度，对吧？那么画两个互相垂直的平面的时候呢？通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。我们来看一下 什么意思啊？画两个互相垂直的平面的时候，这个就会比较有立体感，对吧？这个是我们的画法。 ok， 然后接着我们看建筑工人呢，在砌墙的时候，常用铅锤来检测锁器的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的系绳紧贴墙面，什么意思啊？就说如果我们的这个，呃，木工师傅，我们要检测这个墙面 是否垂直于地面，他怎么做的？他垂下来一个这样子的，如果我们说右边的这个面，如果这条红色的绳子贴紧了这个墙， 那么我们就能认为这个墙面是什么是垂直的哈，这个方法我们说明了什么样的问题？因为我们刚才说我们定义了二面角，是啊，那个垂直是二面角，当二面角为九十度的时候，但是如果我每个场景都要去计算二面角等于九十度，就太麻烦了，所以我们有一个特别的判定方式， 那么这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，因为铅垂下来，这一个红色的线一定是垂线， 那么如果墙面经过他的垂线，如果他紧贴的时候，就说明他经过，那么墙面就可以判定与地面垂直，这个是这样子的一个应用，类似的结论呢，在长方体当中可以发现，比方说在右图的长方体当中， 我们的平面 a d、 d e、 a e 啊，也就是说我们左手边紫色的这个经过了平面下面的这个绿色的垂线 a a、 e， 对 吧？这个 a a、 e 是 底面的垂线，而左边的这个面经过了它，我们就已经可以判定它垂直啊这样子的东西。所以 一般的我们有下面判定两个平面互相垂直的定律，如果一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言表示为，对吧？这个就比较简单直接写出来。好，我们看。第二，在正方体当中求证 我们的平面 a 撇 b d a 撇 b d， 紫色的这个和平面绿色框的这个是垂直的关系，所以我们要很灵敏的看到哪些直线，我们是最好找的，应该能看到什么 b d， 我 们只需要去证明 b、 d 是垂直于什么？垂直于我的这个面 a c c 撇 a 撇的，而我的 b、 d 是 在这个平面 a 撇 b d 上的，那么这两个条件就足以让我去证明这两个平面是垂直的关系，所以这里其实只有两个，两个条件就能推反，而这个地方要五个，对吧？ 它垂直于两条相交的，而这个垂直这个 a a 一 撇呢？又垂直于它， a a 一 撇垂直于它呢？又要多一个步骤，我们要说明， a a 一 撇垂直于底面，它是底面的一圆，对吧？然后呢？这两条相交于点 a， 然后都属于这个平面，对吧？好，那这个地方在正方体当中， 然后呢，所以这个在正方体的对角线的关系， a、 c、 b、 d， 又因为 a、 a 撇和这个 a、 c 相交于 a， 而这两个呢，都在这个平面上五个条件，所以 b、 d 垂直于这个绿色的这个平面，而又因为又因 b、 d， 它在这个面 a 撇， b、 d 上面，所以这两个平面 垂直。看一下我们的表述哈，基本上这个表述是没有问题的，那么这个表述的语言它是精简的，怎么样去减少我们的书写？这个很关键，不要密密麻麻写一堆文章，然后还有一些点去是遗漏的，没有用的哈，数学不要嫌字多，一定要去精准、严谨、简洁就 ok 了，好吧， 然后看第三，如图，已知 p、 d 垂直于正方形 a、 b、 c、 d 所在的这个平面连接这些啊， p、 d 是 垂直的，它是一个 则一定垂互相垂直的平面。有几对？这里面就很考察我们有没有掌握到我们刚才的这个定律，我们怎么去找，我们怎么去找？我们一定要去有这个条理的去找。怎么样有条理去找呢？我们通过什么？因为 b、 d 垂直于这个里面，我们先通过线面，你看，我们通过线垂直于面， 然后呢，我们去找所有过 p、 d 的 平面来垂直于这个面， a、 b、 c、 d， 这样子我们就能做到不重不漏，对吧？过 p d 有 什么？有 p a， d， 有 p b d， 有 p c、 d， 所以 这个地方呢，我们找到了三个面的垂直关系，接着我们来看，同理 我们的 c、 d 和 ab， 它都会垂直于 p a、 d， 所以 那我们的 c、 d 和 a b， c、 d 和 a b 啊，这两条对吧？是平行的，它都会垂直于旁边的这个 p a、 d， 那 这里具体我们就不做证明了，对吧？这个也比较简单的证明，这个是直角，这个是直角，那么这个呢，我们就通过这组作为第二组 来找经过 c d 和 a、 b 的 都行，有什么有 p a、 b c， 有 a b、 c、 d 重复的，我们最后再排除掉它，我们最后再排除掉它。 第三组我们的什么呢？ a d 和 b c 啊， a d 和 b c 平行的两，这两个它会垂直于这个 p d、 c 的 这个面，那么这个时候呢，我们又找过 a d 和 b c 的 面，有三个，最后呢我们看 a c 垂直于 p d， b 啊，这个是很多同学可能会遗漏掉的啊，这个 p d、 b 和这个 a c， 那 么这个时候呢，过 a、 c 的 面会有两个，对吧？底面以及 p a c， 那 么所以这个地方怎么一共七对呢？三三三二，一共十一，那我们看一下重复的 p a， 这里出现了一个重复， 是吧？然后接着呢，这里出现了这三个都是重复的，然后我们来看一下还有什么啊？ pdc 啊，这个 pdc 和 a p d， 那 么和这个 p c、 d 这两个是重复的，所以 一二三四是重复的，所以十一减四等于七，我们就找出重复的部分就可以了。 所以这道题呢，关键要看我们是怎么样去把它分成四组的。如果我们要做穷举，我之前我说穷举也是有技巧的，同学们穷举也是有技巧的，所以我们要知道这个东西，我们在选 b 三就会特地的去讲这个点啊。 ok， 我 们的例四继续是课本的立体，如图， a b 呢是我们圆 o 的 直径， pa 呢？垂直于圆 o 所在的这个平面 啊？ pa 又是一个 pa， 是 垂直的 c 呢？是圆圆周上不同于 a b 的 任意一个点哈，随便的一个点，没有规则求证。我们的平面就是绿色的这个平面， 垂直于平面， b c p b c 啊，红色的这个平面，我们来想，当然，我们很容易能想到一定是跟什么相关，既然它任意，一定是跟我们初中所学的，我们直径所对的圆周角是九十度， 这个是相关的，对吧？那接着呢，肯定又跟 pa 平行于这个平面，那我们可以干嘛啊？ p 垂直于 pa， 垂直于这个平面，它就会垂直于 bc， 所以呢，我们就会知道这个是垂直的，就 bc， 它会垂直于 ac， 而 bc 呢，也会垂直于 pa， 那 这个地方呢？要去单独说明啊，在这个这个地方要有个证明，在这个地方，对吧？然后我们这两个相交 于点 a， 对 吧？然后这个和 pa 都在我们的 p a， c 上， 对吧？所有的这些，我们就能推动五个条件哈，这里两个哈，我们就能推出来 b c 垂直于这个面， p a c， 然后再加多一个什么，再加多一个 p c， 它包含于这个平面 p b c， 所以 得到 p a c， p b c。 平行 整个思维的脉络。你看，先这里拿整个思维导图，先从这里推出我们的这个这个结合这四个条件，我们得到了平行于平面，平行平面，再加多一个 b c， 得到了最终的，你看这个层级要很清晰，好吧，所以是这样子的一个东西，我们看一下， 直径所对圆珠角为直角，所以又因为，然后相交于 a， 所以 b c 垂直，平行垂直于这个平面 b b a c 又因为 p c 包含于这个面， p b c， 所以 这个很清晰很简洁的这个表达的过程，对吧？ 面面垂直的性质定律，面面垂直，我们来看它有什么样的性质定律。我们有以下平面与平面垂直的性质定律。第一， 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另外一个平面垂直，两个平面是垂直的关系。如果有一条直线 l 它垂直于谁？垂直于交线， 那么这条线呢，就会跟另外一个平面垂直。好吧，符号语言表达为这四个条件啊，同学们啊，再次提醒，不要被这些会发现，好多好多，是吧？我们说理解就可以了， ok， 面面垂直呢，还有以下的这个性质定律，我们去拓通一下。第一个呢，垂直于同一个直线的两个平面平行， 如果一条直线垂直于一个平面，那么其所有平行线也都垂直于这个平面。我们来看一下模型。首先我们来看一下第二个结论，如果一条直线垂直于个平面啊，这个是跟这个平面是垂直的关系，其所有的平行线，所有的平行线都垂直于这个平面， 好吧。第二个呢，是垂直于同一条直线的两个平面垂直于同一条直线，这个或者这个都一样，两个平面是平行的， 那么所以这两个结论呢，告诉我们很重要很重要的一个东西就是什么呢？这些性质，我们会发现一个一些一件事， 相对比线和面的平行关系，我这样也行，这样也行，这样也行，对吧？我的课桌我拿着一支笔，这样子也是平行，这样子也行，这样转都可以，所以没有办法，去干嘛呢？去锁定 啊，用了一个很通俗的词语，虽然一个平面的平行线和垂直线两者都是无数条的，但是垂直线的方向是确定的， 这个很多时候像我们玩的套圈圈，对，套圈圈啊，或者那些积木啊，对吧？一根棍子，然后套进去，我这根棍子我可以放在这里，可以放在这里，可以放在其他地方，但是只要是这样放它上面套的圈圈的这个方向就是 固定的，所以这个呢，我们有锁定的意义。这个给到后续我们解决平面的问题提供了重要的思路， 就是我们在后续的呃，那个选 b 一 的第一章，我们就会知道怎么去做平面的问题呢？我们要用法向量，就是不是用它平行的向量，而是用一条法向量，到时候就会讲这个问题，所以这些呢，都是我们一些理论的基础，好吧， 接着我们看例五，如图，已知平面 alpha 垂直于平面 beta， 直线 a 呢，也会垂直于 beta， 那 这个 a 呢，是不在平面 alpha 上的，判断 a 与 alpha 的 位置关系，当然我们从感官上面来说，从空间感来说，就知道它是平行的关系，那么我们怎么证明呢？我们来看一下，设 ar 加贝塔等于 m 啊，我们这个地方，因为在题目当中上面没有讲在阿法当中呢，做直线 b 垂直于 m 啊，我们做一个 b 垂直于 m， 那 此时因为阿法垂直于贝塔，而且呢 b 包含于阿法，我们哪里的结论就是前面我们说一个平面内垂直于它们相交的棱 的这条直线啊，它会垂直于另外一个平面呢？前提是两个平面垂直，所以我们就会得到 b 会跟 beta 垂直，而我们知道 a 跟 beta 也垂直。那前面又有结论，垂直于同一平面的两条直线相互平行， a 平行于 b， 然后接着我们就知道了 b 在 阿法里面，然后呢， a 不 在阿法里面，是吧？那么我们就能得到 a 会平行于阿法，简单的一个证明，对吧？我们会知道这个结论，然后是我们的例六，如图，已知 p a 呢，垂直于平面 abc， 底面 平面 a p a b， 就 绿色的这个面垂直于平面 p b c。 求证 b， c 垂直于平面 p a b。 当然我们这个条件，两个条件，这个条件应该一眼就知道 p a 垂直于 b， c 是 这样去使用这个条件的，那这个呢？我们要想一想。 那么从感官上来讲，我们是很希望能找到 a b 和 bc 垂直的，我们非常希望找这个，对吧？但事实上，我们没有条件能做到这样子的事情，我们就要用什么样的心智。我们就要过 a 做一条垂线， 那么这条垂线就会垂直于这个，能，这个时候我们就能运用这个条件，那么比方说这个是 d， 那 么 a， d 就 会垂直于这个平面 p b c， 那么进而 a d 就 会垂直于 bc， 那 么我们 bc 用哪两条直线来证明这个垂直的关系？用 a d 和 ap 啊，这两个相交的直线，对吧？我们要搞清楚。所以呢，过点 a 做 a， d 垂直于 p b， 垂足为 d 啊，这应该要加多一个垂足为 d， 对 吧？因为平面 p a b 加平面 p b c 等于 pp 啊，这是它们相交的一条能，然后呢？ a d 呢？又在这个平面 p a b 上面，所以 a d 呢？呃，会 垂直于我们的 p a p b c， p b c 啊，那接着呢？我们的 b c 在 这个里面，所以 ad 会垂直于它， 好吧，那这个就很好使用了。 pa 和 pc 的 关系，所以这里一个条件，两个条件，加多三个条件，三个条件，四个条件，五个条件，一共五个条件，我们就能证明，对吧？这个 b c 和这个平面的垂直关系。 好，这个就是我们的这节课，我们做一个总结，我们前面说了，我们的线线垂直，线面垂直，对吧？然后呢？面面垂直，两个平面所成角为直，二面角， 然后呢，如果一个平面过另外一个平面的垂线，这个是判定的方式，对吧？我们通过线面垂直来判定面面垂直，这本身 特殊，这本身也是一个判定方式，我们可以通过求得他们所称的角是指二面角，但这个东西呢，它更麻烦，比起这个要麻烦的多啊，对吧？所以我们一般用这个， 然后它的性质会有什么呢？线面垂直，两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，就他们的能，那么这条直线与另外一个平面垂直，我们会得到这个性质是关于什么？线面垂直，所以这是不是又有一个路径？ 我们想要知道线面垂直的时候不一定要通过线线垂直，我们这个路径他也走得通，对吧？像我们之前的立体，所以这个网络也是要慢慢去搭建，去搭建起来哈，这个就是我们的这节课，也是结束了我们的第八章的一个学习啊，我们下节课再见，同学们，拜拜。
548肖数说
24:00查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，来到了 b q 二，第八张立体几何初步八点五点三，平面与平面的平行来到了我们的平行的第三个，对吧？面面平行，好，我们来看一下。首先同样的第一道立体，如图，我们会看到 直线 l 和直线 m， 它们都平行于平面贝塔，而 l 和 m 呢，是属于这个平面阿法的，而 l 和 m 呢，它相交于一个点 a， 这两条直线它是相交的关系，然后呢，去证明平面阿法平行于平面贝塔。 同样的，我们上节课开头的时候就跟大家讲了，我们说平行，对吧？我们第一次接触平面与平面平行的这个概念，但是只要是平行，它的核心就是什么没有焦点， 那么没有焦点正无的问题，我们用反正法假设它不平行，那么我们尝试一下，会得到什么样的结论呢？我的平面阿法跟平面贝塔不平行的啊，比方说平面阿法这样子啊， 那么我们就会知道哈，阿法和贝塔它会相交，假设这条交线为 n， 那 么我们上节课的线面平行，告诉我们什么东西啊？ 这条直线幺，它位于阿法上面，而直线 n 呢，位于贝塔上面，是它们两个平面的交线，对吧？那这个时候呢，由这三个条件我们就能得到什么过 平行于平面的这条直线的这个平面和这个的交线跟这个平面，是啊，跟这条线是平行的关系，是吧？跟这条直线是平行的关系，所以呢，我们通过这样子的方式呢，就能得到这条直线幺和 n 是 平行的，那么后面呢，我们同理 m 和 n 也是可以证明平行的，同样的，相同的道理，我们过 m 的 这个平面和贝塔相交，那么这两条线也都是平行的，那根据平行线的传递性，那么就会有 l 平行于 m， 对 吧？那么 l 就 会跟 m 平行， 那 l 跟 m 平行，很明显就跟这个条件，就是它们是一个相交的直线，是矛盾的， 是矛盾的，所以与这个矛盾，所以假设不成立。所以呢，这里五个条件，这个就是我们面面平行的判定定律。如果一个平面内的两条相交的直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行符号表达语言表达如下， 来试一下，我们看一下，如果一个平面内，那现在这个平面是谁？阿法，那两条相交的直线谁啊？幺和 m， 那 么 ok， 这个是阿法上的两条直线，那幺包含于阿法， m 包含于 阿法，好与啊相交直线。第三个条件啊， a o 和 a， m 呢？是相交的，相交于谁啊？点 a 与另外一个平面平行，谁跟谁平行啊？直线，两条直线分别，所以 a o 呢，也平行于贝塔， m 呢也平行于贝塔，哈，把它写出来。所以这个地方有多少个条件来证明出这个面面平行？五个条件哈，所以有五个条件证明出来，判定出两个平面是平行的关系。那么这个地方呢，给一个应用实力，继续我们的木工师傅， 木工师傅呢？把水平仪，首先这个水平仪啊，他只能去证明一个方向上他是水平的，那么怎怎么证明这个桌面上他是水平的呢？他往一个方向坐， 另外一个方向也做，哎，不重要，具体什么方向不重要，关键是他们不能是平行的，他们得是相交的，对吧？他们相交的，那么只要是相交的方向不同的，两个不同的角度，那么两个都平行，那么就说明整个桌面他就是水平的，这个是一个，也是一个非常日常的常规的应用。 ok， 然后呢，我们来看一下课本的一道例题，如图，已知正方体，然后呢，求证这两个平面平行，那么我们会知道呢，我们要去证明两条直线跟某一个平面，嗯，比方说我们找其中的一个吧，比方说我们去证明 绿色的这个平面上面有两条直线，我们来看一下，比方说 dc 一 撇，因为都行哈，三条线都很好证明，比方说 dc 一 撇， 我们很容易能想到他跟谁平行，他跟 a b 一 撇平行，对吧？我们通过证明这个东西，那这个东西又怎么证明的呀？我们通过什么呀？ b 撇 c 撇 b 撇 c 撇， 跟 a、 d 跟 a、 d 干嘛？平行且相等，对吧？能够证明出来平行四边形， b 撇 c 撇 d、 a， 是 吧？那么根据平行四边形，我们再来证明出这个东西，证明出了，然后呢，通过三个条件结合另外两个条件，对吧？然后就能推出我们的这个什么 d、 c 一 撇是平行于这个平面， a、 d 撇 b 撇的，那么走两次这样的方式啊，这里是我们证明了 d、 c 一 撇，大家也可以去证明 b、 c 一 撇 去平行于这个平面， b、 c、 b 撇这条边就跟谁啊？跟我们的 a、 d 一 撇， b、 d 呢？跟我们的 b、 d 一 撇啊，是吧？通过线线平行，通过线线平行，你看我们的思路哈，线线平行来证明出我们的什么线面平行， 再通过我们的线面平行进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们的线面平行，进一步得到我们想要的面面平行，所以大家会发现哈，包括我们后续所学的这个 啊，那个线面垂直，面面垂直接新的概念，它其实最核心最基础的都是，首先回归到我们最熟悉的线线垂直和线线平行，它都是一个基础，它都是一个基础，从从一个到第二个到第三个，你们发现这样的规律，所以我们来看一下， 在正方体当中，我们这个地方用了什么呢？首先我们第一条用的是 a、 b、 a、 b 平行于 c、 d 啊，我们用的是 a、 b、 c 撇 d 撇的这个，我们去证明这个是一个平行四边形，进一步呢，我们证明出 这两条边是平行的，那么又因为啊，我们走程序，对吧？我们又因为一个条件，两个条件， 三个条件啊，我们千叮嘱万叮嘱的这三个条件，五个条件，那一定一个都不能漏，对吧？又因为这里集合集齐了三个条件，然后接着呢，我们才能证明 a、 d 撇平行于这个平面，对吧？啊？然后接着呢，我们有了这个 东西之后呢，我们再正下一条边啊，同理，因为它的逻辑是相同的，同理我们可以证明这一个平行于这个。看在这个答案当中，就反过来，我们在红色的里面找找两条线啊，去跟绿色的这个面平行啊，都是一样，对吧？找了这条边和这条边 跟它平行，然后最后呢再加三个条件，你看右音，你看一个条件，两个条件，是吧？然后呢，这里可以是三四个条件， 因为逗号隔开了两个表并列，逗号表并列，然后呢，相当于说 a d 一 撇属于啊，那个包含于这个平面， b 撇 c 呃， d 撇呢，也包含于这个平面，然后呢，所以这里算两个条件。这个地方五 同学们考试呢，就最好不要这么写啊，考试最好不要这么写好不好？然后呢，这个地方可以分开来写，两个条件会清晰一点，一二三四五个条件，所以我们证明出两个平面是平行的关系，严格的去按照这种严谨的逻辑思路去进行证明，然后我们来看它的性质， 面面平行之后，他有什么样的性质呢？第一个呢，就是跟直线平行的传递性是一样的，平面平行也有传递性质，对吧？就是说如果阿法平行于贝塔，而伽马又平行于贝塔，那么他可以传递过去，阿法就会平行于伽马。好，除了传递性呢，我们还有另外两个性质， 性质，一两个平面平行还在这个地方，阿法平行于贝塔，如果一条直线在其中的一个平面上啊，这里画出了一条直线幺，他在这个平面阿法上，那么该直线与另外一个平面平行， 这一条直线就会平行于另外那个平面啊，对吧？我们会得到这样子的一个结论，这个其实也很好证明， 因为直线幺我们说平面是没有交点的，那当然我们的 alpha 和贝塔都没有交点的，而这个直线幺是在 alpha 上面的，它当然是没有交点的，对吧？所以呢，这个是很好去理解的一个点。 那么第二个性质呢，就是如果两平面平行，同样的 alpha 平行于贝塔，那么分别属于两个平面的两条直线必然没有交点，对吧？我们会知道，因为 分别分别属于两个平面的两条直线 l 和 m， 它一定没有交点，因为它是分别属于两个平面，两个平面平行，它没有交点，对吧？那么没有交点，我们说有两种情况，是不是 要么平行像这种情况，要么就是像这种情况是意面的，对吧？它一没有交点，其实有两种情况， 那么当直线平行的时候呢？我们说如果一面直线不能确定一个平面，但是如果两条平行的直线能够唯一的确定一个不与该两平面平行的平面，没问题吧？伽马。那么所以呢，我们就猜想如下的结论，什么结论呢？两个平面平行啊，阿法平行于贝塔， 如果另外一个平面就是伽马，就是另外一个平面与这两个平面都相交啊，伽马交阿法会等于 l， 伽马交上悲惨会等于 m， 那 么这两条交线就会平行，那么三个条件就能推出 l 平行于 m， 理解它，然后说出来，对吧？这个符号语言，那么这个时候呢，我们去证明一下这个结论。我们来看一下 两个平面平行，如果它相交，那么两条交线平行，我们来看这个就比较简单了，因为我们直接我们都不用反证法了，因为我们说两 个平面平行没有交点，而分属于两个平面的两条线一定没有交点，而如果他们是在同一个平面上的，没有交点就没有交点，他分两种情况嘛？第一种情况就是不属同一个平面，那么就是异面，对吧？ 那么属于同一个平面，又没有交点，那么就是平行，那么他都说有第三个平面跟他们相交，那么就说明 l 和 m 是 干嘛？是共面的， 就相当于说共面的没有交点的这个直线直接我们顺着推，我们就能推得出来，他们两个相交一定是没有交点的共面啊，因为他们没有交点， 且你看我们有没有说专门给我们的两直线平行说这个符号语言呢？没有吧？没有说 l 和 a m 平行，是 l 和 a m 相交等于空，然后呢？干嘛？ 然后呢？就是他们两个不属于，呃呃，要属于同一个平面，有没有？ l， 呃，那个和 am 它都属于同一个平面，对吧？这里其实是三个，三个条件，对吧？三个条件推一个。我们有没有在当时直线与直线的八点五点一单独说这个东西？没有，所以说我们的这个东西是整理不进的。这个就再一次提醒同学们不要去背， 不要去背啊，像我们说要锻炼自己的符号语言的这种表达能力，对吧？我们想到什么就说什么就可以了。所以这两个条件说明了他们相交，且他们没有交点，且在同一个平面内，所以他是什么？所以他是平行的。好，这个就是我们的性质。二，刚才有三个性质，对吧？第一个 平面的平行是可以具备传递性的啊，好吧？比如说我们的一楼的天花跟二楼的天花和五楼的天花，对吧？一楼的天花平行于二楼的天花，二楼的天花平行于五楼的天花，那么就传递性，对吧？一层一层的楼板， 同样的道理啊，对吧？然后呢，另外的两个性质啊，第一个性质就是我们啊这个，然后还有刚才的那个性质一和性质二，好吧，这两个归类一下有多少个性质？ 然后呢，我们继续来完善这个思维导图。我们上节课呢就说，哎，我们第一节课八点五点一线线平行，八点五点二线面平行，我们这节课呢讲的是面面平行，对吧？面面平行呢？平面与平面没有交点，好吧， 那么我们通过什么样去证明面面平行呢？通过线线平行，对吧？你们发现我们都是从哪里啊？你看线面平行怎么判定线线平行啊？平行线者不用讲。然后呢，线线平行去判定面面平行，所有的基点都是来源于线线平行， 为什么在每一句结论的时候呢，都给大家一个这样子的一个标题啊，对吧？那么他呢？有两个结论，我们不说那个传递性哈， 第一个呢，就是两个平面平行，如果另外一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，所以呢，他的第一个性质是推出谁啊？我们先看清楚他推出了线线平行，第二个推出了什么？两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面上，那么该直线与另外一个平面平行，他推出了一个线面平行， 然后我们来看一下他的关系，线面平行是不是能推断出什么呀？看到没有，我们如果想要推断线面平行，当大家的脑袋永远都想着啊，线面平行，我要证明啊，什么东西？这根这条直线跟平面上的一条直线平行，那他不一定在现实的条件当中他好去证，那么我们就会有另外的一条道路， 是吧？有另外的一条道路，大家能理解吗？这个就是整理的原因啊，这个是面面平行的关，同样的，谢谢。平行哎，这个也是证明平行线的一种方式，所以我们会看到一个点哈，比方说这道题目，我们来看一下 正方形 a， b c d， a b c， d 是 个正方形和正方形 a b e f a b e f 侧面的也是个正方形，所在的平面呢？相交于 ab， 那么在 a e， b， d 当上面呢？会有一点 p 和有一点 q， 是 吧？两点且 a p 等于 d q。 同学们先好好想一下这道题目哈，去求证 b q 呢？平行于里面的这个 b， e， c， 我们想一下，然后停下来想一下，我们来思考一下，我们想到线面平行，我们说什么？我们去证明什么？通常来说它的最核心，最简单、最基础的一个判定定律就是这条直线平行于上边的一条直线，对吧？ 那么这条直线它不好找，大家会发现大家会发现它不好找啊，那么这个情况下，我们就说我们怎么样去证明呢？我们怎么样去证明呢？同学们先看一下这个方向有没有办法能够找到， 那没有办法找到的话，我们是不是叫思考有没有可能是另外一条路径，这条路径，这条路径就是我们干嘛呢？我们先证明一个平面平行， 对吧？我们来看一下这个路径，先从面面平行一直证明正到他的一个先面平行，那么这个路径我们看一下怎么找找哈。首先他过点 p 做 pm 平行于 e b 啊，我做一个这样的平行过来的，然后呢，连接 m a m q， 哈，连接 m q 这个表述同学们一定要说清楚，千万千万不要说我做一个 p m 平行于 e b， 然后做一个 q m 平行于什么 b c 啊？这是不对的哈，你怎么知道做了两个平行线，它会相交于一点呢？所以不能这么讲啊，我是做了一条平行线，当然也可以从 q m 做过来，然后连接啊，对吧？我们这个地方只是做连接，所以要搞清楚，在我们的设定当中， p m 是 平行于这个 e b 的， 但是 m q 没有说平行于 bc， 哈，我们要看清楚这个点，然后呢，连接完之后呢，我们很容易证明说什么我们的 a e 等于 d b， 这个就不用说了吧，一个相同边长的正方形的对角线相等，就 a e 和 d b 相等，这个不用讲了吧？那这个时候呢，我们会有什么样的结论呢？首先第一个 a p m 的 三角形，因为它是平行于底边的，会和这个三角形 a e b， 它是干嘛相似的？那么它们相似呢？当然我们就能得到三边成比例，对吧？ 那么我们究竟要干一件什么样的事情呢？我们想，如果我们也能证明这个 m q 平行于 a d a d 平行于 b c， 那 么我们这个两个平面的平行问题就能得正了。 那这个时候，如果他们是，哎，像我说的，用题目嘛，用结论来推过程，对吧？这个不是搞科研题目，用结论可以推过程，因为他们这两个平面一定是平行的，那么所以这个平行于这个也一定会平行于 m q， 那 么所以我们会知道什么？ 我们用这个 d p 等于 d q 来做一个媒界看一下哈。我们首先 am 比上 ab 等于 ap 比上 a e， 这一部分是我们的相似三角形的结论，对吧？而后面的一部分呢，就不是哈，我们要看清楚这个式子啊，这一个部分呢，好， 我的 part 一， 这个是 part two， 那 么第二个部分呢？这个部分呢，是 a p 比上 a e 会等于 d q 比上 d b， 这是题目给的条件。首先 a p 等于 d q， 所以 这个等于这个 a e 和 d b 的 a e 和 d b， 刚才我们说了，它是正方形的， 呃，相等边长的正方形的一个对角线，它们相等，所以这个会等于这个，所以我们以这个作为一个什么？作为一个媒界， 以这个作为媒界，调节起了这两个的比值，那么有了这两个的比值呢，我们就会知道什么东西呢，就会知道它们是 相似的，就是我们的 b m q 和 b a d 两个三角形是相似的，再加上它们有一个公共的一个角嘛，对吧？那这个时候呢，我们就能证明了， m q 平行于 a d 又平行于 bc， 那 这个时候是不是就是，哎，五个条件，对吧？五个条件， p m 又平行于，呃，下面啊，我们要，还要，还得先证明啊，线面啊。对，我们还得先证明线面啊。又，因为 m q 呢，不属于不，不包含于这个面 b e c b e c 底面，而 b c 呢，是底面 b e c 上面的一条线，所以三个条件哈，这个地方一个条件， 两个条件，三个条件，所以 m q 平行于底面。同样的，我们相同的推理过程，是不是就能干嘛就能同理了？同学们一定要去多使用这样的，不然到时候呢，我们做题的时候就要写很多很多，对吧？因为它们的相同步骤，我们就没必要再写一次了，对吧？啊？同理， 异正 p m 又平行于这个底面，那这个时候呢？一个条件，两个条件，我们是不是又因三个条件，一个两条件，两个条件，三个条件，一二三总共五个条件，它们两个属于包含于这个平面，然后呢相交，对吧？于点 m 啊，一共三个条件，一共五个条件， 然后呢去证明出两个面平行，然后我们知道 p q 是 这个面上的其中的一条线， 所以 p q 看到没有？如果同学们没有刚才我们做的这个什么东西啊？那个思维导图，同学们就会出现一个问题，就是疯狂的在没有这个的时候，疯狂的在底面找一条线，会找得很辛苦 啊，会找得很辛苦，而这条线呢，它会变，关键是这条线它是会变，它不是一个固定的线。有没有发现，你比方说我的 q 在 这个位置对下来，我先不管，大大概是这样子的吧， 那我的 q 如果在这个位置，因为他给了 a p 等于 d q 嘛，他有可能长这个样子， q 有 可能在这里啊， d q 比较长呢， a p 也会比较长，那这此时对下来是这样子的， 那么我们当然就会发现，这两条线是不是是不一样的两条线，因为 b p q 也在变，这个的角度也在变，我们是很难证明的，除非我们要用动线啊，这个现在来说应该是解决不了的这个问题， 对吧？那所以呢，我们怎么办呢？这个东西我们就通过另外的一条路径，先证明他过这条线的其中一个平面，那这个就是我们刚才的思维导图， 当我们在大脑当中的时候，我们就会在这个图里面去搜寻有什么样的方法，我们想到有没有可能先证明一个平面平行于另外一个平面，不然你们就会干想没有其他的办法，所以呢，这个就是我们大脑当中要有一个清晰的思维导图的重要性。好， 接着我们来看一下例五，继续是课本的一道例题，夹在两个平行平面之间的平行线段哈，这两个平行线段阿法和贝塔呢，是平行的 两条直线呢，它是平行的，那么夹在中间的这个线段 a、 b 和 c、 d， 我 们要证明它相等，我相信这个应该也不难想到吧，很容易能够想到，它们连起来呢，这个是一个平行四边形，那么它的对边就会相等， 那么现在呢，我们来看一下怎么证明。首先 a、 b 平行于 c、 d 是 题目给的条件啊，已经有一个了，那么我们能不能证明 a、 c 也平行于 b、 d 啊？这个也很简单吧，最基础的我们的一个平面平面， a、 b、 d、 c 啊，这个平面是吧？那这个平面它会哎，首先我们要确定它是一个平面，对吧？为什么它是一个平面？因为 a、 b 平行于 c、 d， 所以 两条平行线唯一确定一个平面，所以这个是一个什么？这是一个平面。 我们如果要严谨的去证明，要先说明一下这件事啊，它是一个平面，不然 a、 b、 c、 d， 它不一定是一个平面啊，如果严谨的证明，那么这个平面跟两个平面阿法和贝塔相交于线， a、 c 和 b、 d， 它就会干嘛？ 就会平行，那么我们就会得到两组对边平行，就能证明到 a、 b、 d、 c 是 一个平行四边形，进而就能证明，所以这个不难证明哈，来看一下， 这个并不是很难证明，通过证明平行四边形，好吧，好，那么这个呢，就是我们的下一个结论。面面平行之间的线段长度，我们会知道它们是相等的。阿法，如果两个平面呢，是平行的，而 a、 c 在 阿法上面， b、 d 在 贝塔上面， 那么此时我们就能这两个条件说明它是一个线段，说明这个和这个是一个夹在中间的线段，而此时 ab 平行于 cd 啊，四个条件，我们就能说明夹在两个平行平面来看，两个平行平面 夹在线段是这两个平行线，这个四个条件我们就能推断出 a、 b 等于 c、 d， 对 吧？这个就是我们的这个性质新增的一个性质来看。第六，如图，已知 e、 f 是 正方体的棱的中点， e、 f 是终点，求证这个 b、 e、 d 撇 f 是 平行四边形啊，对吧？我们来看一下，那这个呢，我们可以怎么去证呢？我们可以啊，通过通过这个，比如说这个拉过来， 这个平行于这个且相等，对吧？相等长度就很好说明了，这个勾股定律就能证明了，是吧？ 平行我们要证明什么？拉过来之后，这个跟这个平行且向下且相等，我们就能证明这个打斜的 e、 b、 c， 比方说这是 m， 这是一个平行四边形，那么我们就能证明这个和这个平行且相等，进而这个 m、 c 和 d、 p、 f 平行且相等啊，这个不难证吧？所以我们这样子取这个中点 g， 然后我们这样连接， 然后证明 e、 g、 c、 b 是 个平行四边形，然后呢我们就能证明平行的传递性， 而且呢这个长度相等，对吧？我就简化了，因为这个很简单，考试也不会出这么简单的，我们就捋清一下思路，所以它是平行四边形。好，这个地方呢，同学们可能就想， 不用这么复杂，对吧？我直接干嘛？我直接这个平面 e、 b、 f、 d， 他 跟我们的左右两边和前后两边的两个平面相交，那么这个对边平行，这个平行不就得了吗？所以这里呢，就给同学们一个经典的一个错解， 也是刚才我们一直在提的一个点，我们在做任何一道空间题目，如果有四个点，务必要确定他是否共面。 像在这道题目当中，你如果用这样的方法，那有一个前提，你得先证明 e、 b、 f、 d 撇这四个点是共面的。我们题目的条件有说这个东西吗？没有说这个东西，你得先证明它是共面的，然后接着走这套流程， 那这个才是正确的。同学们一定要在以后做所有的空间几何的题目当中，都要注重注意 四点，他是否共灭的问题啊，是否共灭的一个问题，这个很重要哈，这个是非常的关键。好吧，那这个呢，就是我们的这节课的内容。好，我们下节课再见，同学们，拜拜。
321肖数说
03:22查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天来看一下怎么通过公里去证明三线共点和三点共线。第一题，它让我们证明 d、 a、 m 三点共线，其中 m 为 d， e、 f 与 c e 的 交点，那么我们只需要考虑清楚 d、 e、 f 这个线是不是在 侧面这个面 a， d， d e a e 中， c e 这个这条线是不是在底面 a、 b、 c、 d 中？ 而且侧面这个面与底面这个面是不是一定会有一条交线，它们这个交线是不是就应该是我们的 a、 d？ 然后题目中又说了，哎，这个 d、 e、 f 与 c e 它们能交交于点 m， 那就只能证明 m 点在 a、 d 直线上，所以得证，这就是三点共线的证明方式。下一个我们要证明三线共点怎么弄？其实原理很简单，也是一样，但是我们要额外多证明一个东西，就是要去证明 m、 n、 p、 q 这四点共面。 因为只有四点共面的时候，我们所说的这个 m、 n 和 p q 才能相交，所以我们要先证明共面。 那么证明方式我们来读题目，题目中有很重要的信息就是终点出现了， n p 是 终点，那我们首先先看 n 是 b e c e 终点， p 是 c c e 终点，哎，首先想都不用想，我们应该连接的是 c e、 b 这条直线， 连接完 c、 e、 b 以后，我们是不是可以得到 np 平行 c b e np 平行 c b e。 然后再来观察，我们现在只需要证明 m q 也平行于 c b e， 就 可以去利用平行的传递性得到 np 平行 m q。 那么考虑一下 m q 能不能平行呢？ m 明显也是终点， q 也是终点哎，所以 m b 一 就会平行，且相等于 c q， 所以 可以得到这是个平行四边形， 那就得证了 m p m q 平行于 cb 一， 所以我们利用平行传递性可以得到 m q 平行于 np， 两个平行线能够确定唯一一个平面，所以 m n p q 四点共面。好，那我们下一步又是常规的思路，我们 要去看的东西。是啊，我们假设这个 m n 与 p q 交于点射吧，射一下射 m n 交 p q 等于点，点 h 吧，等于点 h。 那 么是不是 老套路去写，哎，这个点 h， 因为 m n 在 a e， b， e， c， e， d e 中，所以，所以 h 在 a e， b， e， c， e， d e， 又因为 p q 在 后面那个面 d e， c， e cd， 所以 点 h 也在 d e， c， e cd。 然后他又说我们写到上面去，哎，又因为上面这个面 我们直接写成上面，又因为上面交后面等于 d 一 c 一， 所以，哎，就证明出来了 h 这个点肯定是在 d 一 c 一 上，那所以就证明出来了，这三条直线他们会交于同一点。
87函数魔导师
09:25查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来学习关于平面向量基本定律的一个应用。三点共线定律在课本第二十六页逆一的练习，我们得到了这样一个结论， o p 向量，它可以表示成一减 t 倍的 o a 向量加上 t 倍的 o b 向量， 这一个表达式等价于 a p 向量等于 t 倍的 a b 向量，也就是说 a d p 三点共线。但如果我将这个表示形式换一种写法，我假设 o p 向量等于朗大倍的 o a 向量加上 u 倍的 o b 向量，并且朗大加 u 等于一， 那么是否跟上面一样，我们也可以将它等价成 a b p 三点共线呀？这个就是我们所说的三点共线定律。 好，我们一起来看一个一组特殊情况。假设呀， a p 点，它是 a b 的 一个三点共线，并且是靠近 p 的。 那我们根据上面的这一项课程，我们可以知道 o p， 它可以写成 三分之二倍的 o b 加上 o b， 下面加上三分之一倍的 o a 向量。那观察我们发现三分之二是比三分之一大的，比如说越靠近哪一个点，它所占的一个权重就会越大。好，这个就是我们关于三点公式定义的一个介绍，接下来我们对它进行一个简单的应用，同学们一起来看。点一三， 在三角形 a b， c 中，我们知道了 m 点是 b c 的 中点，然后 n 点是一个三角分点。二，比一直线 a m 与 b n 相交于点 p。 题目让我们求 a p 比 b p 以及 b p 比 p m 的 值。好，同学们思考一下这个点 p， 它首先是在 a m 这条直线上的那点，在直线上我们用向量进行的转化是可以怎么样射呀？ 对，我们先讲第一种方法。我们很自然的就想到我们可以设 a p 向量，它等于 t 倍的 am 向量，将点在直线上进行这个调成平的转化。那设完之后，自然呢，我们就想到，呃， am 向量，我们学了平面向量基本定律，它该它可以用一组肌底来表示。那在这里我们选择哪一组肌底更为合适呢？ 考虑到 m 是 b 的 中点，我们可以选择 a b 和 a c 向量作为 b d。 我 们记这个为 m， 记这个为 n， 那 a m 的 向量呢？就表示成了 b 倍的二分之一 m 加二分之一 n。 好， 我们化解一下形式，接着还有没有条件可以用上呢？ p 点是如何产生的？它是直线 a m 和 b n 相交所产生的。那自然 p 点也在直线 b n 上，点在直线上， 它可以转化成 b p， n 三点共线吧。哎，想到了由 b p， n 三点共线，我们是不是就可以借助上面的三点共线定律，我们设 用另一个形式表示一下 a p 向量。设，它等于 p 倍的 a b 向量加上 e 减 p 倍的 a n 向量。 接着我们再把这些 a b 向量， a m 向量用我们的基底表示出来，就是 p 倍的 m 向量加上 e 减 p 倍的三分之一 n 向量。好了，现在 a p 向量 我们有两种表示形式。根据平面向量的一个唯一分解，我们利用系数统一就可以得到二分之 t， 它是等于 p 的 二分之 t 还等于 n 向量的系数 e 减 p 倍的乘三分之一。 好，由此就可以解得两个方程，两个未知数， p 等于五分之四， p 等于五分之二，也就是说 a p 比上 p n 就 等于四分之四比一。同理啊，由上面这个表达是 a p 向量，它可以写成五分之二倍的 a b 向量， 加上五分之三倍的 a m 向 a n 向量，那越靠近谁占比权重就越大，也就是说这个 p 点是更靠近这个 m n n 点的，那么 e p 比上 p n 应该就是三比二，这样这个问题我们就解决了。方法一，我们是利用了一次 共向量 a p 向量的这一个表示形式， 同时我们还利用了一次三点共向量的一个表示形式，同时我们还利用了一次三点共向量。 好，那还有没有别的方法可以做点逆三呢？我们灵活运用一下三点共线，刚才我们经过分析知道 p 点它就是两条直线所交和交点，那也就是说 a p、 m 三点共线，并且 b p、 n 也是三点共线的。 我们要是想利用三点共线定律，是不是得找一个它除了这四个点外的另外一个点呀？哎，自然就想到了 c 点。那我们连接一下 cp， 根据三点共线定律，我们是不是可以设 c p 这个向量？ 用 ab a p m 三点共线，它就会放到这个橙色的三角形里面，它可以设为朗朗达倍的 c m 向量， 加上 e 减 l 倍的 c a 向量。同理，还可以设为 u 倍的 c， b 向量，加上 e 减 u 倍的 d， n 向量。 好，这下面这一个事情呢，是相当于放到这个蓝色的三角形里面去用这个三角形定义吧。那表示完之后，还要关键一步是用平面向量定义一个基底来把这些向量统一表示一下，那么同学们觉得选哪一个基底现在会更方便一点呢？ 哎，我们不妨就令 c a 向量是 a 向量， c b 向量是 b 向量，用这一个基底将就行。其余的向量表示一下， 可以得到 c p 向量，它是等于 l d 倍二分之一 b 向量， b 减 l d 倍 a 向量以及 u 倍的 b 向量，加上 e 减 u 倍的三分之一倍的 a 向量。接下来就清晰了嘛。我们就发现，再利用一个系数相等二分之一小于 un 等于 u， 一 减 un 等于三分之一的 e 减 u 解得 long 等于五分之四， u 等于五分之二。也就是说， c p 向量，它可以表示成五分之四倍的 c m 向量，加上五分之一倍的 c， a 向量，那越靠近谁的权重占比就越大。由此就可以得出， a p 比上 p， m 等于四比一。同理 可以得到 b p 比上 p， n 等于三比八。利用两次三点共线这个思路，我们也非常直接快速就可以把答案分解出来。 那同学们回顾一下这道题的这两种解法，它有没有什么统一的地方呢？ 我们发现，法一它是不是用在一个基底上表示了两次 a p 向量？诶？法二呢，是在同一个基底上表示了两次 c p 向量。 比如说，同学们要注意了，我们利用三点共线定律进行一个解决的精髓就是将同一个向量，比如 cp， 它分解两次。在同一个基底层，你分解完两次以后，再利用唯一分解性质，这样我们就可以把要所求的一些系数或者参数求出来。 同学们接下来来完成一下这个变式练习。在三角形 a、 b、 c 中啊， e 是 b， c 的 一个中点， e 呢是靠近 a 的 一个三角中点，也就是说这是二比一。好，我们延长 d， e 到点 f 连接 f， 使之满足 a， f 向量可以等于四分之三倍的 a， b 向量加 round 倍的 a、 b 向量。 题目让我们求 e， f 比上 d， e 的 长度，那同学们看完题之后，自然而然想到我们现在要利用三点公式来解题， f 点，它是以 d、 e 三点共线的 d、 e、 f 三点共线， 那我们自然的应该是把哪一个向量表示出来啊？可这连接一下 a、 e， 那 么就由 a、 e 向量可设为朗大倍的 a， d 向量加上 e 点朗大倍的 a、 f 向量。 表示完之后呢，我们还要再思考一下，接下来是用基底选择什么样的基底，哎，因为 e 是 b、 c 的 中点，我们自然的应该是选择 a、 b 向量和 a、 b 向量作为我们的基底吧。 并且呀，我们表示了一遍 a、 e 向量之后，刚好又有 e 是 b、 c 的 中点，我们是可以表示。再表示一遍 a， e 向量，它就等于二分之一倍的 a 向量加 b 向量。 然后接着我们把 a、 b 和 a、 f 用 a， b 和 a、 c 向量这个基底来统一表示一下。这一页，这个也与我们题目给我们一个提示对应上了。题目表示 a、 f 向量的时候，刚好就是用 a、 b 向量和 a、 c 向量，那我们化简就非常的迅速了， 代入 化简得到的结果是，负十二分之五等于加上四分之三 a 向量， 然后利用系数统一得到方程组， 最后解得， 那么 a， e 就 可以， a， e 向量就可以表示成五分之三倍的 a， d 向量加上五分之二倍的 a、 f 向量，再根据越靠近谁，谁重的权重就越大。我们发现一点，应该是越靠近 d 点的，所以 e f 比上 d， e 应该是等于三比二。答案就出来了。这道题目我们也是利用三点共线定律将同一个向量 a 一 在同一个基底下分解了两次，最后得到了一个计算结果。这个就是我们关于三点共线的一个简单的应用，感谢同学们的聆听！
10一笑很超人
01:27查看AI文稿AI文稿高一数学必修二，这本书是你最容易拿分的一本书了，这本书到底该怎么学？有哪些重难点？罗老师带大家来看一看。那么第一章呢，是平面向量，非常重要，这一章里边有一个正弦定律和余弦定律， 需要结合我们前面所学的三角函数考察，高考大题里边必出一道，而且这一道大题是我们必须要得分的。除此之外，后面我们在选修里边会学到空间向量， 平面向量可以说是空间向量的基础。那么第二章呢，是复数，也是高考的一个必考点，但是非常简单，都是送分题，只在选择题当中考察，要么是第二题，要么是第三题。那么第三章呢，叫做立体几何初步，是整本书的第二个重难点，也是非常重要的高考大题里边必考一道， 所以这本书呢就占了两道大题了。那么例题几何初步除了他的主流考法，也就是我们经常做的平行啊，垂直啊，他的一个各种证明，还有两个比较难的考法， 一个就是外接球和内切球的各种问题，另外一个就是空间角的各种运算，所以这是两个难点， 想要冲高分的同学，这两个难点必须要掌握，必须要会。那么最后两张呢，就是统计和概率，如果考简单了，大家都会，如果考难了，谁也做不出来，那特别是概率，也基本上是每年都考， 正常的分值是在十分左右。所以大家要知道这一本书它的重难点在哪里，那么我们学起来呢，才会有方向。
107数学罗老师
02:04查看AI文稿AI文稿立体几何当中啊，空间距离，最主要的还是这个点面具，也就是垂线段的长度，而垂线段通常考试题里面不太好做。那么这个视频呢，我们讲三个思路，一定要点赞收藏起来。思路一，直接法，也叫垂面法，我们过屁去做一个平面北毯 垂直啊法，若两面的交线是 l p 像 l 引垂线 po， 就是点面具了。那实际考试题呢，往往是底面上有一条线 ac 啊垂直，这个垂面就如上一个视频讲的一样。那么第二个思路呢，是间接法，也叫等体积法。那怎么等体积呢？第一， 轮换顶点，同一个三龙锥，可以把 p 当顶点，也可以把 c 当顶点。 pabc 的体积跟 cpab 的体积是相当的，选谁为顶点，主要是依据这个点到面的距离好算啊。那比如说 p ac 和 pab 是垂直的，第二个呢，是替换顶点，假如说有一条直线是平行于底面 abc 的，而且 p 在这条线上，那么我们把 p 点挪到 q 点位置，这个体积是一样的， 那么 q 到底面的距离也是 p 到底面的距离，所以 p abc 的体积跟 qabc 的体积相当。 第三是背缩，因为椎体的体积是三分之一倍的，底面就乘以高，所以所谓的背缩，也就是我们改变它的高，或者改变它的底面。比如说 ap 的重点是 m， 那么 pabc 的体积就是 mabc 体积的二倍。 再比如说，原来题目问的是一个四龙锥的膏，那么把四龙锥体积写成一个三龙锥体积的多少倍，这是改变了一个底面，只要你能算体积，接下来就可以用等体积法去算这个三龙锥的高，也就是点名。 第三个思路就是空间向量法，只要能间隙写坐标，那么我们套用这个公式就可以算点面具，这个公式呢实际上就是 ap 项量 在发现的方向上的一个投影的绝对值，这就是我们求点面具的三个思路。这些思路也可以用在线面距面面距一面之间的距离以及线面角，有不懂的地方我们评论区见。
1862河北石家庄高中数学刘老师
03:59查看AI文稿AI文稿好，咱们今天来看一下点线面的一些证明题目。第一种类型题，就是让我们证明四点共面或者三点共面。来这道题，他说在空间四面体 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为它们的中点 j、 h 也为它们 b、 c 和 c、 d 上的点。但是他告诉我们一个问题， c、 j 等于三分之一 b， c、 c、 h 等于三分之一 dc， 让我们证明 e、 f、 g、 h 四点共面。那么我们在空间几何中的一些常见的条件就是中点或者同是三等分点，或者同是四等分点，这种同样的等分点，我们就可以构造一种相似，那么有相似它就必然有平行。 所以我们这种题常见的思路，第一步， ef 都为终点，我们应该要连接 ef， 构造出来三角形 a、 b、 d 的 中位线。好，咱们再构造出来中位线以后，是不是就一定会有 ef 平行于 b、 d， 而且它会等于它的二分之一，那么这个题目中二分之一它不用，所以我们就不写了。第二个地方，它说 c j 是 三分之一 bc， ch 是 三分之一 dc， 我 们来观察一下这两个点， c、 j 三分之一 bc， c、 h 三分之一 dc。 哎，那我们发现如果连接了这个 h j 以后， 这个 c、 h、 j 是 不是立马会相似于 c、 b、 d， 所以 h j 是 不是也会平行于 b、 d？ 好， 所以我们来连接第二条辅助线，那么我们根据平行的传递性就可以得到 e f 平行于 h j， e f。 如果平行于 f j 以后，那么我们是不是清楚我们的基本定律，两个平行线 可以确定唯一一个平面，所以是不是证明这平行线上的点一定会共面，咱们继续来看下一种类型题，也就是让我们去证明一些三点共线的题目要怎么证？以这个题为例， 他说在空间四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为 a、 b、 a、 d 的 中点，那我们前面讲过了，哎，看到中点，首先应该要考虑中位线的平行，我们知道 e、 f 一定会平行于 b、 d， 然后又告诉我们了， b、 j 比 j、 c 等于 d， h 比 h， c 等于一比二，哎，依然是我们的三等分点， 所以可以得到 e、 f 平行于 b、 d， 而且 j、 h 平行于 b、 d。 那 么第一问就结束了， e、 f 平行 j、 h 很 简单。第二问他说 e、 j 和 f、 h 相交于点 p， 让我们证明三点共线。我们先来观察一下这个 a、 c 有 没有什么特殊的， a、 c 是 不是可以看成我们 abc 与 adc 两个平面的交线？那为什么要看到这两个平面呢？因为我们点 p 是 eg 和 fh 的 交点，咱把这图给它补全，假设这样过，就假设这样过来吧，交于点 p 吧。那么我们 是不是发现 eg 这条线肯定是在 abc 上， fh 这条线肯定是在 abc 上，那所以我们就要想到 ac 这条线 肯定是 abc 与 adc 的 交线。我们要证明三点共线，是不是只需要证明这个点也在他们的交线上就可以了，那这个点是不是在他们的交线上呢？我们就只需要证明这个点是不是这两个平面的交点就可以了。 那么我们来看一下，点 p 是 在直线 e、 j 上，所以点 p， 所以 可以推出来，点 p 肯定是在平面 abc 内，那么点 p 又在 f、 h 上，所以点 p 肯定是在平面 a、 d， c 内，那么所以是不是可以得出来点？ p 为 两个平面的交点，它既在 a， b， c 上，又在 a， d， c 上，只有一个可能性，就是交点嘛。那么所以是不证明出来了。又因为 a， c 是 交线，所以证明点 p 在 直线 a， c 上，所以 p， a， c 三点共线，那就证明结束。
28函数魔导师
03:00查看AI文稿AI文稿来看一下 o 是 不是三角形内一点，是吧？啊？ o 为三角形内一点啊，然后 a o 是 等于二分之 o b 加上 o c 吧， a b 等于这个 b o d 三点公式啊，现在是不是要求最终估计是把这个 t 给求出来嘛？这个 t 给求出来，我们发现这里的话，我们可以用用什么法则， 不是平行四边形或是三角形法则，我们来看一下，先画个图理解一下啊，这是一个 a b c 吧。 a b c， 因为 o 的 话是二分之 o b 加上 o c 嘛？来， 我们是不是可以把 o 点延长啊？我延长到这是 o 点延长到一点啊，然后把这个图给画出来，我是不是从 o 点延长到一点了？看一下 a o 的 话，弧 c 还要连一下，嗯，哪个弧 c 要连一下？对， o c 连一下，可以 来。好吧，这样子给你连上了是不是？你是不是看到这里 o a o b o c 是 不是？嗯，好，来看啊，那么 a o 就是 等于这个二分之一的 o b o c 加上这个 o c 嘛， 对吧？ o b 加上 o c 的 话就等于就是这个二分之一，因为我是把它这里这里延长的嘛。那这个点的话，那么 o c 怎么表示？ o c 就 等于 o c 就 等于怎么样？ o c o c 加 o c 就 等于二呗。是不是等于这个 o b 加上 o c 的 话就等于两倍的 o e 嘛？是不是等于两倍的 o e 的 话，那是不是等于相乘的话等于 o e 啦？所以我是不是可以证明 a o 就 等于 o e 的， 所以我可以证明 o 是 它的终点，对不对？ o 是 它的终点的时候，那么 a e 的 话，现在我要证明就是我求的是这个 a d 嘛， 是不是我瞅的是这个 a b， 那 么 a b 呢？怎么表示呢？ a b 是 等七的这个 a c 吗？是的啊，那么 a e 我 们看一下啊， a e 的 话啊，对啊， a e 的 话就等于什么样子？等于因为 e 是 终点的时候，那这个呢？是终点啊， e 的 话不是终点吗？ e 的 话是 b c 的 终点吗？是的，嗯， 先走最终的目的是要来表示一下，因为它 b o d 是 三点过线的嘛。那么 a e 的 话， o 是 它的中点， a e 呢？是不是等于等于两倍的 a e a e a e 的 话是等于二分之一的 a b 加上就是括号 a b 加上 a c 嘛，对吧？那么 a o 来看一下啊， a o 是 不是等于二分之一的这个 a e 的？是的，是吧，那么 a e 的 话是等于二分之一的 ab 向量，再加上这个 ab 向量吧， 是不是？那么的话，好，这个乘积是四分之一的 ab 向量，然后 ac 向量呢？ ac 向量， ac 向量，这就是移过去对，等于 t 分 之一的 ab 向量的，是不是？那么再加上这个 t 分 之一的 ab 向量嘛，是吧，然后就等于这个四分之一的 ab 向量，然后加上这是 t 啊， 加上四七分之一的 a d 上面啊，对吧，又因为什么？因为它对，因为 b o d 三点共线共线，所以呢，所以这个加上它是等于一的，这是公式吧， 四分之一加上四七分之一就等于一了哈，等于一了之后，我们就可以得出 t 等于三分之一啦，所以答案就是 d 啦。同学们还有哪一步读太清楚吗？不理解了吗？
03:59查看AI文稿AI文稿好，咱们今天来看一下点线面的一些证明题目。第一种类型题，就是让我们证明四点共面或者三点共面。来这道题，他说在空间四面体 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为它们的中点 j、 h 也为它们 b、 c 和 c、 d 上的点。但是他告诉我们一个问题， c、 j 等于三分之一 b， c、 c、 h 等于三分之一 dc， 让我们证明 e、 f、 g、 h 四点共面。那么我们在空间几何中的一些常见的条件就是中点或者同是三等分点，或者同是四等分点，这种同样的等分点，我们就可以构造一种相似，那么有相似它就必然有平行。 所以我们这种题常见的思路，第一步， ef 都为终点，我们应该要连接 ef， 构造出来三角形 a、 b、 d 的 中位线。好，咱们再构造出来中位线以后，是不是就一定会有 ef 平行于 b、 d， 而且它会等于它的二分之一，那么这个题目中二分之一它不用，所以我们就不写了。第二个地方，它说 c j 是 三分之一 bc， ch 是 三分之一 dc， 我 们来观察一下这两个点， c、 j 三分之一 bc， c、 h 三分之一 dc。 哎，那我们发现如果连接了这个 h j 以后， 这个 c、 h、 j 是 不是立马会相似于 c、 b、 d， 所以 h j 是 不是也会平行于 b、 d？ 好， 所以我们来连接第二条辅助线，那么我们根据平行的传递性就可以得到 e f 平行于 h j， e f。 如果平行于 f j 以后，那么我们是不是清楚我们的基本定律，两个平行线 可以确定唯一一个平面，所以是不是证明这平行线上的点一定会共面，咱们继续来看下一种类型题，也就是让我们去证明一些三点共线的题目要怎么证？以这个题为例， 他说在空间四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为 a、 b、 a、 d 的 中点，那我们前面讲过了，哎，看到中点，首先应该要考虑中位线的平行，我们知道 e、 f 一定会平行于 b、 d， 然后又告诉我们了， b、 j 比 j、 c 等于 d， h 比 h， c 等于一比二，哎，依然是我们的三等分点， 所以可以得到 e、 f 平行于 b、 d， 而且 j、 h 平行于 b、 d。 那 么第一问就结束了， e、 f 平行 j、 h 很 简单。第二问他说 e、 j 和 f、 h 相交于点 p， 让我们证明三点共线。我们先来观察一下这个 a、 c 有 没有什么特殊的， a、 c 是 不是可以看成我们 abc 与 adc 两个平面的交线？那为什么要看到这两个平面呢？因为我们点 p 是 eg 和 fh 的 交点，咱把这图给它补全，假设这样过，就假设这样过来吧，交于点 p 吧。那么我们 是不是发现 eg 这条线肯定是在 abc 上， fh 这条线肯定是在 abc 上，那所以我们就要想到 ac 这条线 肯定是 abc 与 adc 的 交线。我们要证明三点共线，是不是只需要证明这个点也在他们的交线上就可以了，那这个点是不是在他们的交线上呢？我们就只需要证明这个点是不是这两个平面的交点就可以了。 那么我们来看一下，点 p 是 在直线 e、 j 上，所以点 p， 所以 可以推出来，点 p 肯定是在平面 abc 内，那么点 p 又在 f、 h 上，所以点 p 肯定是在平面 a、 d， c 内，那么所以是不是可以得出来点？ p 为 两个平面的交点，它既在 a， b， c 上，又在 a， d， c 上，只有一个可能性，就是交点嘛。那么所以是不证明出来了。又因为 a， c 是 交线，所以证明点 p 在 直线 a， c 上，所以 p， a， c 三点共线，那就证明结束。
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24:08查看AI文稿AI文稿同学们好，本节知识精讲课，我们继续学习平面向量的运算。上节课我们学习了向量的加法和减法，以及三角不等式。那这节课我们来学习向量的数乘以及由数乘衍生出来的共线定律。 向量 a 既有大小又有方向，那向量 a 乘以二就是二倍向量 a 是 什么意思呢？它表示有一个向量，它的方向和向量 a 是 一样的，它的长度是把向量 a 的 长度延伸成原来的两倍。 那负二倍向量 a 和二倍向量 a 是 大小相等，方向相反的向量。 也就是说啊，负二倍向量 a 是 把向量 a 沿着与向量 a 相反的方向延伸。那零点五倍向量 a 呢？ 就是保持向量 a 的 方向不变，长度变成向量 a 的 长度的零点五倍，就是向量 a， 就表示实数纳米和向量 a 的 乘积，这个乘积是一个向量。那既然是向量，我们就要关注它的大小和方向。 纳米它被向量 a， 它的长度等于纳米它的绝对值乘以向量 a 的 长度。所以，当纳米它的绝对值大于一的时候，纳米它被向量 a 的 长度，就是把向量 a 的 长度拉伸。绝对值向量 a 倍。 那向量的绝对值小于一的时候，就是把向量 a 的 长度压缩。绝对值向量 a 倍， 那它的方向呢？纳米塔大于零的时候，纳米塔被向量 a， 它的方向与向量 a 的 方向一致 啊。纳米塔小于零的时候，纳米塔被向量 a， 它的方向与向量 a 的 方向相反。特别的，当纳米塔等于零的时候，纳米塔乘以向量 a 就是 零向量。 注意啊，这里一定是零向量，不是数字零。 那接下来我们来探究一下向量 a 除以向量 a 的 模等于什么。我们以一个具体的数字为例，假设向量 a 的 长度是三方向向右， 那向量 a 除以向量 a 的 模，此时就是向量 a 除以三，也就是向量 a 的 方向不变，长度变成一， 那就得到了蓝色这个向量，那长度是一的向量，就是单位向量，所以向量 a 除以向量 a 的 模，就等于向量 a 方向的单位向量。 单位向量，我们通常用字母 e 来表示。接下来我们看向量数乘的运算率。 假设 ab 都是向量 n m t， m u 为实数，那么第一条 n m t 乘以括号 m u 倍的向量 a 等于括号 n m t， m u 乘以向量 a。 我 们来看这一条的几何意义，也是一个简要的证明。 如果向量 a 等于零向量的话，那等式的左边和右边都等于零向量， 那如果向量 a 不是 零向量，我先把向量 a 延伸或者压缩 miu 倍，得到了 miu 倍向量 a， 再把 miu 倍向量 a 看作一个整体， 把这个整体拉伸或者压缩纳米它倍，我就得到了纳米它倍乘以 milli 倍向量 a， 那 我总共是把向量 a 拉伸或者压缩多少倍啊？就是纳米乘以 milli 倍，那就是纳米乘以 milli 乘以向量 a。 所以等式左边和等式右边两个向量长度是相等的，那等式左边和等式右边向量 a 前面的系数都是 nanometer 乘以 mu， nanometer 乘以 mu， 它的正负是确定的， 所以等式左边右边两个向量，它的方向也是相同的，那大小相等，方向相同，证明完成第二个括号，纳米加 miu 乘以向量 a， 等于纳米乘以向量 a， 加上 miu 乘以向量 a， 那 如果向量 a 是 零向量的话，那等式左边右边显然是相等的，都等于零向量， 那如果向量 a 不是 零向量，我们看等式右边。第一个向量是把向量 a 延伸或者压缩纳米倍，得到纳米倍向量 a 啊。第二个向量是把向量 a 延伸或者压缩 mil 倍，得到 mil 倍向量 a。 那如果 nambit 和 mu 同号，我把这两个向量加在一起，那是对向量 a 拉伸或者压缩多少倍啊？就是 nambit 加上 mu 倍， 那就是纳米加 miu。 括号乘以向量 a， 那 如果纳米和 miu 异号，我不妨假设纳米大于零， miu 小 于零，那把纳米笔写成 a 和 m u b 向量 a 加在一起，实际上也就是相当于把向量 a 延伸或者压缩了 n m t 加上 m u b， 得到了 nanometer 加 mill 乘以向量 a， 那 为什么是 nanometer 加 mill 呢？因为 mill 此时是小于零的。 那第三个 nanometer 乘以括号，向量 a 加上向量 b， 等于 nanometer 乘以向量 a， 加上 nanometer 乘以向量 b， 那如果向量 a 和向量 b 有 一个是零向量，或者两个都是零向量，那这个等式显然是成立的。那如果向量 a 和向量 b 都不是零向量的话，我们假设这是向量 a， 假设这是向量 b。 根据平行四边形法则，对角线就是向量 a 加向量 b， 那如果我把向量 a 延伸或者压缩，得到纳米倍向量 a， 我 把向量 b 延伸或者压缩，得到纳米倍向量 b， 那 此时纳米倍向量 a 和纳米倍向量 b 所构成的新的平行边形， 它的对角线向量就是 nanometer 倍向量 a 加上 nanometer 倍向量 b。 而因为我是把原来的向量 a 和向量 b 的 小平行四边形给等比例放大或者缩小向量倍得到的这个大平行四边形， 所以原来的对角线也会等比例地拉伸或者压缩南米塔倍，所以对角线向量也等于南米塔倍括号向量 a 加上向量 b， 那 它俩是相等的。好，第三条也证明完成了， 接下来我们看向量共线定律，如果向量 a 平行向量 b， 且向量 a 不 等于向量，那么它等价于存在唯一的实数纳米塔满足向量 b 等于纳米塔倍向量 a。 首先我们来看为什么向量 a 不 能等于向量？如果向量 a 等于向量， 而且向量 b 也等于零向量，那此时啊，向量 a 和向量 b 是 平行的，但此时 向量 a 等于向量，但向量 b 不 等于向量。虽然此时向量 a 和向量 b 是 平行的，但是此时向量 a 和向量 b 是 不存在的。 这两种情况都不能满足共线定律的存在唯一输入纳比特这个条件，所以我们就要求向量 a 不 等于零向量。 那接下来我们来证明贡献定律。先证重要性，我们这里就是从右边往左边证。假设存在唯一的实数纳米塔，满足向量 b 等于纳米倍向量 a， 证明向量 a 和向量 b 贡献 向量 a 不 等于零啊，那假设这是向量 a， 那 当纳米它大于零的时候，向量 b 等于纳米，它被向量 a。 根据向量数值的定义，那向量 b 和向量 a 方向是相同的， 向量 b 的 长度是向量 a 长度拉伸或者压缩纳米倍，所以向量 a 和向量 b 共线，那当向量小于零的时候，向量 b 等于纳米倍。向量 a。 根据向量数成的定义，向量 b 和向量 a 方向是相反的，那向量 b 的 长度是向量 a 的 长度拉伸或者压缩纳米它倍，所以向量 a 和向量 b 也是共线的， 那当南米塔等于零的时候，此时向量 b 是 等于零向量的，所以向量 a 和向量 b 共线。再正充分性， 我们这里就从左往右正假设向量 a 和向量 b 共线，向量 a 不是 零向量，那么存在唯一的时数，南米塔满足，向量 b 等于南米塔倍向量 a。 同样假设这是向量 a， 那 向量 b 和向量 a 共。向量 b 和向量 a 有 可能是同向共线，也有可能是反向共线，那向量 b 也有可能是零向量， 那当向量 b 和向量 a 是 同向共线的时候，那向量 b 的 长度是确定的，向量 a 的 长度也是确定的，所以向量 b 的 长度比上向量 a 的 长度就是一个唯一确定的值。 我们假设纳米比亚等于向量 b 的 长度比上向量 a 的 长度，那由此我们就能得到向量 b 等于纳米比亚向量 a， 那 当向量 b 和向量 a 是 反向共线的时候，那向量 b 的 长度比上向量 a 的 长度，这时候也是一个唯一确定的值。 此时啊，我们就假设纳米它等于负的，向量 b 的 长度比上向量 a 的 长度，因为向量 b 和向量 a 是 方向相反的，所以纳米它是负值， 所以向量 b 就 等于南米塔被向量 a， 那 当向量 b 是 向量的时候，那南米塔此时就等于零。数字零是唯一确定的， 好证明完成。那接下来我们看一下共线定理的一个推论，非零向量 a、 b 不 共线，且纳米碳被向量 a 等于 mu 被向量 b， 那 么纳米碳等于 mu 等于零。 向量 a 和向量 b 都不能是零向量，因为只要有一个是零向量，它们就共现了。那对于非向量 a 和非向量 b， 我 们用反证法来证明，这个推论 题目给的结论是，向量等于 mu 等于零，也就是向量 mu 全是零，那我们就假设向量 mu 不 全为零， 那就有两种情况，第一种情况就是南米塔和 miu 有 一个不是零，我们不妨假设南米塔不等于零啊， miu 等于零， 此时由南米塔被向量 a 等于 miu 被向量 b， 我 们能得到南米塔被向量 a 等于零向量， 那纳米塔是不等于零的，所以向量 a 就是 零向量，那此时向量 a 和向量 b 是 共线的，与题目条件向量 a、 b 不 共线矛盾。 那第二种情况就是，纳米塔和 mu 都不等于零， 那此时由南米塔被向量 a 等于 miu 被向量 b， 我 们就能得到向量 a 等于 miu 比上南米塔乘以向量 b， 那 由共线定米可知，向量 a 和向量 b 是 共线的， 与题目条件向量 a、 b 不 共线矛盾。所以我们的假设是错误的，也就是说，非零向量 a 和非零向量 b 不 共线，且纳米塔被向量 a 等于 mu 被向量 b， 那 么纳米塔等于 mu 等于零。 接下来我们看贡献定律的另一个推论，若存在不全为零的时数， nanometer miu 满足， nanometer 被向量 a 加 miu 被向量 b 等于零向量，则向量 a 与向量 b 共线。 题目条件是， nanometer mu 不 全为零，那就有两种情况，第一种情况， nanometer mu 只有一个是零。不妨假设 nanometer 等于零，而 mu 不 等于零， 那么此时由纳米梯向量 a 加 mu， 向量 b 等于零向量，我们能得到 mu， 向量 b 等于零向量，那 mu 是 不等于零的，所以向量 b 肯定是零向量，那向量 a 此时和向量 b 是 共线的。 那第二种情况就是纳米它不等于零， mu 也不等于零，那我们由纳米它被向量 a 加 mu 被向量 b 等于向量，我们能得到 向量 a 等于负的 mu 比上纳米它被向量 b， 那 当向量 b 是 向量的时候，那向量 a 和向量 b 是 共线的， 那如果向量 b 不是 零向量的话，因为负的 miu 比上 lamit 是 唯一确定的。有共线定律，我们就可以得到向量 a 和向量 b 是 共线的 好证明完成。那这个推论并不要求向量 a 和向量 b 不是 向量，因为这个推论它强调的是存在向量和 mu， 只要有就行了。 而贡献定律强调的是唯一的实数南米塔，所以贡献定律会要求向量 a 不 等于零向量。这个我们刚刚已经分析过了， 接下来我们看贡献定律。另一个非常重要的推论叫三点贡献。先来看三点贡献的判定，对于平面内任意三点， abc o 为不同于 a、 b、 c 的 任意一点，如果向量 o、 c 能表达成纳米它被向量 o， a 加 miu 被向量 o b， 而且纳米它 miu 满足，纳米它加 miu 等于一 则 a、 b、 c 三点共线，那与判定定律相对应的就是三点共线的性质。 对于平面内任意三点 a、 b、 c 三点共线 o 为不同于 a、 b、 c 的 任意一点。如果向量 o、 c 能表达成南米塔被向量 o a 加 miu 被向量 o、 b 的 形式，那么南米塔和 miu 就 满足南米塔加 miu 等于一。 我们来证明一下三点共线的判定定理，向量 o c 等于纳米碳倍向量 o a 加上锰碳倍向量 o b， 那纳米加 miui 等于一，所以这个纳米是等于一减 miui 的， 也就是向量 o c 等于一减 miui 倍。向量 o a 加上 miui 倍向量 o b， 那么向量 o c 就 等于向量 o a。 减掉 m u b， 向量 o a 加上 m u b。 向量 o c 减掉向量 o a 等于 m u b。 向量 o b。 减掉向量 o a， 那向量 o c。 减掉向量 o a 就是 向量 a c 等于 m 倍，向量 o b。 减向量 o a 就是 向量 a、 b， 那这就说明向量 a、 c 和向量 ab 是 共向量，那向量 a、 c 和向量 ab 又有公共点 a， 所以 abc 三点共线。 那把这个判定定理的证明过程倒着写回去，就能得到三点共线性质定理的证明，此处不再赘述了。三点共线定理的证明过程特别重要，同学们一定要掌握。 我这里提个问题啊，我们这里描述的是向量 o c 等于向量 o a 加上 mu， 向量 o b， 那如果向量 o a 等于纳米倍向量 o b 加上 miu 倍向量 oc， 纳米加 miu 等于一，我们能不能得到 abc 三点共线呢？ 我们也可以得到 abc 三点共线啊，为什么？因为 abc 三点是任意的， 你用 o a 和 o b 表示 oc， 或者用 o b 和 o c 来表示 o a， 这个都是可以的。 那我们把这个判定定例和性质定例简要总结一下，就是由三点共线我们能得到系数和为一，那由系数和为一，我们能得到三点共线。 好，我们来看一道例题，设 d 为三角形 a、 b、 c 所在平面内的一点，且向量 b、 c。 等于三倍的向量 c、 d。 那 向量 b、 c。 等于三倍的向量 c、 d。 而向量 b、 c 和向量 c、 d 有 公共点 c， 所以 b、 c、 d 是 三点共线的。 那我们再来看四个选项，四个选项都是让我们用向量 ab 和向量 ac 来表示向量 ad， 那 我们把 ad 连起来。 好，那这就是考察我们三点共线定律。那我们先背下结论，三点共线系数和为一， a 选项系数和是一， b 选项系数和不是一， c 选项系数和不是一，那 d 选项系数和也是一。 哎，这个时候我们就会发现，只背结论是做不出这道题的，因为 a 选项和 d 选项系数和都是一。那此时啊，懂得三点共线这个定律，证明过程就非常重要了。 我们来看向量 b、 c 是 等于三倍的向量 c、 d 的， 那向量 b、 c。 就是 向量 a、 c。 减向量 ab， 那 等于三倍的向量 c、 d。 就是 向量 a、 d。 减向量 a、 c。 那向量 a、 c。 减向量 a、 b。 就 等于三倍向量 a、 d。 减三倍向量 a、 c。 那 么三倍向量 a、 d。 就 等于四倍向量 a、 c。 减向量 ab， 那所以向量 a、 d。 就 等于三分之四倍向量 a、 c。 减三分之一倍向量 a、 b。 所以 这道题答案选 a。 那 上节课我们讲了向量的加减，这节课我们讲了向量的数值，向量的加减和向量的数值统称为向量的。 用一句话总结一下，就是对于任意的向量 a 和向量 b 以及任意的实数 nanometer mu 一 mu 二很有 nanometer 乘以括号 mu 一 倍的向量 a 加减 mu 二倍的向量 b 等于 nanometer mu 一 乘以向量 a 加减 nanometer mu 二乘以向量 b。 好，今天这节课我们就讲到这里，下节课我们来学习向量的数量级。好，同学们再见。
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02:31查看AI文稿AI文稿一分钟拆解一道福州高一立体几何的压轴题，这道题看着复杂，其实就是考两个核心大招，基本事实三和洁面画法第一问， 三点贡献证明题目任务证明 ceo 三点在一条直线上。解题大招，找公共点、正交线思路拆解一， 找主角要正三点贡献，只需证明这三个点都同时躺在两个固定的平面里。二、定平面，同学们看图，第一个平面是面 a， a、 c， c， 也就是对角面。第二个平面是面 b， d， c， 也就是那个正三角形所在的面。三、找焦点， 因为 c 是 这两个面的公共点， o 也是这两个面的公共点。根据公里三，两个平面相交，而且只有一条交线，所以 c 和 o 确定的那条线 就是两个面的交线。同理点 e 也在 a、 c 上，所以 e 也同时在这两个平面里。既然 e、 c、 o 都在同一条交线上，那这三点自然就共线了。第一小问，共点与截面画法第一小问，三线共点题目任务 证明， a、 p、 dc、 d、 q 三线交于同一点。解题大招，延长，找焦点，回归正方体思路拆解一，化繁为简证明三线共点核心就是找焦点二、找焦点，先看 a、 p 和 dc， 把 dc 延长，让 a、 p 和它们交于一点二三作验证。接着证明这个焦点二也在 d、 q 这条线上，因为 p、 c 是 bc 的 三等分点， 利用相似比就能推出 r 在 d、 c 的 三等分点，也就是 q 的 连线上。四、结论，既然三条线都经过同一个点二，那三线共点就挣完了。第二小问化洁面题目任务， 过 m、 n、 q 三点做结面解析大招，找焦点，连线成面思路拆解一、找焦点，利用面面相交的性质，把结面的边延长，找到它和正方体棱的焦点。二、连边线，把这些焦点按顺序连起来，形成一个封闭的多边形。三、 得图形，最后画出的这个六边形就是满足条件的结面。总结一下，这道题的核心口诀就是，正共线找公共交线，正共点 延长找焦点，画结面，连线找焦点。掌握了这个逻辑立体几何的证明题就能轻松拿下。我是阿陆老师，每天进步一点，记得关注点赞哦！
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