东城区中考2026数学几何压轴
哈喽，朋友们好，我是栗子老师。那么最后呢，我们给同学们再来解析一下今天下午刚刚结束的东城区初三一模的新定义压轴题。先下一个结论啊，这道题目呢，同样是一个点类的新定义，核心呢还是我们说的 老的话题，就是你能不能搞定所有的点在哪里？当然，这道题目我觉得还是比较有意思的，就是他绝对难度不算特别大，但是呢，特别考察同学们细心细致啊，而且其实最后一问反而不是 最困难的，或者说最后一问，我们一开始就能够给题目的解完了。来，我们先来看一下这个题目的定义，非常的简单啊，他说圆啊 o， 它的弦 a， b 和一个点 c， 给出如下的定义，第一，三角形必须是锐角三角形， 当然三个角都必须小于九十度啊，并且有一条 c a， c， b 是 切线啊，只有一条是切线，那么我们就称点 c 呢，是它的锐切点好了啊， 这个经常做出来新定义的同学们都知道是吧，你又是什么点类的新定义？所以还是在问同学们，任意一条弦给你了，那么它的锐切点在哪呢？ 那你还得想清楚这个问题是吧，所有的锐切点在哪啊？好，咱们呢，又得作图了， 好，那么注意啊，我们都没有看下面的问题啊，是不是不不管他啊，爱谁谁啊，你不用，你不用在意这个问题是什么，你就想我随便给你一条弦，你能不能画出他的锐切点？ 那么锐切点的要求两个大的部分，第一，每个角必须是锐角啊，三角形啊，那么第二，只有一条线是切线啊，当然大家其实也很容易联想到圆当中应该是一个什么对称图形，对吧？ 好，所以呢，我在这呢来，同学们可以拿出自己的直尺圆规两角器，咱们手动做图啊，把这图做出来，这道题目就很好解了。 好，我在这呢给同学们呢啊，直接用一个图来演示一下啊，当然大家看的呢，眼花缭乱的是吧，特繁琐啊， 注意随便画一个圆绿色的圆圆 o， 随便画一条，选 a b。 看好了，随便画的啊，我也不知道他多少，反正就随意啊，随意随意啊，随便画一条，选 a b。 好，那么我们知道他说了， a c 就是 这个点， c 啊，这个弦切点呐，啊，这个锐切点呐，这个 c 点满足什么要求呢？ 首先，他可能他必须要满足有一条线， c a、 c b 是 切线。好，那我们干脆先做出 o a 的 这个垂线，那么这条线就应该是 o a 的 切线，当然了， 你也有可能 c b 是 切线，对吧？所以你过 o b 点做 o b 的 啊，做 o b 的 这个切线，那就是垂线。 好，所以你会知道，所有的锐切点应该是在两条切线上面的，当然，这只是初步的啊，不是严格的初步的 所有的切线啊，那个锐切点应该是在两条切线上面的，就是对于任意的情况啊，所以同学们动手作图啊，来，咱们跟着一起做。好， 现在你知道了，所有的切锐切点应该在这两条呃，切线上，但是是都满足要求吗？并不是他要满足 c a b 啊，必须是锐角三角形。好，那我们选定一条线，比如说以这一条线为例， 垂直于 o a 的 为例。好，那么同学们也知道，如果我要保证 c、 a、 b 是 锐角的话，必须要满足三个条件，第一，满足角 c、 a、 b 小 于九十度。 第二，满足角 c、 b 小 于九十度。第三，满足角 a、 c、 b 小 于九十度。好，那我问同学们，你要是满足 c、 a、 b 小 于九十度，你怎么做 好？那你是不是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线，这条线，那么假定交另外一条线与点，呃，就是这个垂直的线与点 d 啊，就是你要满足这一条线， 因为这条线呢，跟 ab 形成的角呢，刚好是满足 c， 如果点 c 在 这个上面啊， c、 a、 b 要小于九十等于九十度，对吧？但是不能等啊， 好，你要保证 c、 b、 a 是 九十度，你怎么画好？当然同样道理，就是过点 b 做 ab 的 垂线，对吧？过点 b 做 ab 的 垂线，再来，这条线上所有的点呢？满足 c、 b、 a 是 九十度，当然不能取到九十啊，要小于九十。 好，那么然后呢，你要保证 a、 c、 b 小 于九十度怎么办啊？就是以 a、 b 为直径画一个圆，圆上所有的点都可以保证啊，这个 a、 c、 b 等于九十度，对吧？圆上任意的点都可以保证 a、 c、 b 等于九十度。好，那么就是圆周角嘛，等于九十度， 好，现在我要满足的是，呃，这个角，呃，这个 c、 a、 b 啊， c、 b、 a、 a、 c、 b 全都小于九十度。那么你看一下，我们刚刚呢，通过做垂线，做垂线，做一个 ab 为直径的圆，与我们初使的两条切线 啊，这两条虚线切线，那么就形成了一个共同的区域，同学们看得出来吧，是吧，你看，我要保证都要为九十度哦，小于九十度哦，所以 ab 为直径做了一个圆， 那么过 a 做 ab 的 垂线，过 b 做 ab 的 垂线， ok， 全都搞定了，那么这个时候同学们会发现，所有的也就都出来了，对吧？ 啊，因为你要保证所有的点还要在两条这个线上面吗？对吧？好了，那你想一下，看看他既要满足，呃，在这一条线的什么？就是在这一条线就是 ab 垂线的过，以 a 为直角顶点他的内部。因为这样一来的话呢， 因为你会发现他九十度吗？对吧？所以，呃，你要保证小于九十度，你，你做的这个是九十度，那么你要小于九十度，应该在这条虚线就是点 d 的 啊，往下走，往下移，对吧？你比方说啊，这个点在这个位置啊，呃，假定啊，这个就叫点 c 吧。好吧，我们把它标一下，这个就点 c， 所以 同学们看一下，所有的点 c 必须要在两条虚线，这两条虚线呢，就是指切线上，当然一条就可以了啊。第二呢， 我们刚刚讲，如果你在点 d 位置的时候呢，刚好满足 c， a、 b 等于九十度，如果你越过它，这个时候 c， a、 b 大 于九十度了啊，不满足，所以你必须在 d 点的下方。 好，当然，如你能够跑到 e 点的下方来吗？ c 点能跑到 e 点下方吗？也不可以。为什么呢？因为如果你再跑到 e 点下方， a、 c、 b 就 大于九十度了，也不满足，因为 a、 e、 b 等于九十度，所以你会发现，哎，点 c 就 应该在 d、 e 这个线段上面 啊， d， e 这个线段上。再强调一下， d 点是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线与点 b 为切点啊，形成的切线的焦点， 那么当然这个点 e 是 什么？就是以 ab 为圆心做了圆啊， ab 为直径做了圆，是吧？与切线的焦点，当然另外一侧呢，逻辑呢，其实是一样的。 所以同学们，看你通过准确作图，我说了，虽然我在这用工具了，我在这用工具主要就是为了方便同学们直观去看， 但是同学们其实要知道，你在考场上是可以相对准确的。严格作图的。圆规有吧， 两角器有吧？那么，呃，这个直尺有吧，铅笔有吧，你就都肯定能够做出来，因为你随便做一条弦， 你做切线，你会做吧，做垂线，你做切线会做吧，做垂线。第二，你要保证三角都小于九十度，照到零界九十度，你会做吧，直角顶点做垂线，直角顶点做垂线，以它为直径做一个圆。 好，你要满足所有的锐切点，要在两条虚线上，同时还要满足小于九十度，那么这个形成的焦点的区域就是这两条紫色的线，一个是 d e， 一个是 f g， 当然，注意，端点不能取点 d， 点 e， 点 f 和点 g 都不能取。 当然，事实上，同学们也能发现，就是任意一条弦，它所产生的这个锐切点，应该是两段不包含端点的线段。我再重复一下， 所有的锐切点是两段不包含端点的线段，当然了，这两段线段长度肯定 一样，是吧，那肯定一样好。那么因此，如果同学们能 get 到这个点，那这道题目我们先来说最简单的啊，第三问，有时候老师啊，是不是说错了，对不对？没说错啊， 我把这个问题给大家解释完了之后，第三问，反而是相对比较简单的，同学们看，他说，如果 t 是 t， 零圆， o 经过点 t， 就是 以一个， 咱们刚刚讲了，对吧？就是以 o 为圆心， t 为半径画一个圆，那么他说存在一条长为二倍根号七的线段，使得线段上任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦。切点好了，就得问同学们了， 请问长度为 t 的 弦，那有无数个？对，咱们先画一个， 是吧？我随便画一个，长度为 t， 注意半径也为 t， 也就是说它其实是个什么三角形，等边三角形，就假定这个叫 a， 这叫 b， 这是一个任意的长度为 t， 这个是 t， 这个也是 t， 这个也是 t， 长度为 t 的 任意的啊。我画了一个 ab 的 弦，长啊，长度就为 t。 好， 那我们刚刚讲了，所有的锐切点在哪里？在两条没有端点的线段上，那线段还会画的吧， 是吧？会画吧。哦，以他做切线，以他做切线，然后，呃，垂直于 ab 啊，垂直于他，以他为直径，画圆，一定形成一个点，两个点，三个点，四个点，这一段跟这一段 对吧？这段跟这一段，两段不含端点的线段。但是注意了，这道题目说的是长度为 t 的 线，那你也知道，长度为 t 的 线就等价于将 ab 进行什么旋转 好，那么也就意味着我们刚刚所产生的两条长度为啊，这个没有端点的线段怎么样啊？进行旋转，当然线段长是一样的啊，线段长是一样的 好，所以我们是不是能够找出长为 t 的 弦的所有的锐切点，应该是一个不包含边界的圆环。好，我们再重复一下，应该是一个不包含边界的圆环，这个能想得通吧， 是吧？因为你有两个两段线段吗？是吧？所有的锐切点，因为我只是划出了一条长度为 t 的 弦，但是长度为 t 的 弦有无数个，也就是说等价于。假如说 a 跟 d， a 跟 b 的 长度是定的，等价于将 ab 旋转吗？你没有一个 ab 的 位置，就会产生一段，对不对？一段锐切点，两段锐切点啊，那么你转一圈呢，它就是圆环。好了，所以 同学们来看，我们在这所有的锐切点在哪里呢？就是以 o 为圆心哦， o e 的 长为半径，画一个圆。好，这个圆我就假定把颜色标成一个紫色的哈， 那么再以 o 为圆，哎呀，再以 o 为圆心，呃，这个 d 为半径，再来画一个圆，好，所以我们说所有的长度，我假定稍微差多一点啊，就是所有的这个衔接点在哪里呢？就是在这两个圆环上， 哎，问你，两个圆环，两个圆之间形成的圆环的区域，当然不包含边界啊，我们再讲一下，不包含边界啊，因为在这里面他是，嗯，这个端点不满足，对吧？因为端点是九十度啊， 好，不满足。当然，这道题目我们刚刚讲了， o a 是 t， o b 是 t， ab 是 t， 那 么所有的都是 t， 那这个角多少度啊？六十度，六十度，六十度。所以你想一下，看看我们所有的弦切点，是不是啊？锐切点是不是就找出来了？在这个圆环，那你就要想清楚，这个圆环呢，内径跟半径是多少，外径是多少呢？也就说 o e 多长啊。 哎呦，我说 o e 不知道多长啊，你别忘了啊，这里有老多的直角跟特殊角了，看一下，因为你这个点， e 就是 在什么垂直于 o b 的 这条线上啊，因为我说了，对称的长度也一样随便啊， o b 的 长是 t， 那 么 b e 的 长是多少？注意， ab 的 长也是 t， 然后呢，你别忘了这个角，哎呦，呃，这个，这个角 啊，也是，对吧？好，我把它描一下啊，哪个角的？ aeb， 这个角他也是九十度啊，而且这个六十度， aeb 呢？三十度，所以 ae 如果是 t， aeb 是 三十度，那 ae 呢？二分之一个 t， b e 呢？啊，就 b 点跟 e 点呢？二分之根号三个 t， 那 么 ae 是 t， d e 呢？同样的道理，就是二分之一个 t， 再除以根号三，对吧？六分之根号三个 t， 所以 注意 a， d， b 加 e 就是 一个非常典型的啊，这个特殊角的垂直模型，看得出来吧，是吧？啊，每个角有三十度角，有六十度角，并且 a b 长是 t， 所以 你就能够算得出来啊。 d， e 是 六分之，根号三个 t， 那么 b， e 是 三分之，呃，这个，呃， t 二分之根号三个 t， 对 吧？这个是六分之 d， e 是 六分之根号三个 t， b e 是 二分之根号三个 t， 当然加起来这个 b d 嘛，就是三分之二个三分之二倍根号三个 t， 因为 a、 d 的 长就是三分之 啊，根号三个 t， 对 吧？好，但是我要的是内径啊，内径就是谁啊？ o e 好， 记牢了吗？ o b 是 t， b， e 是 二分之，根号三个 t。 好，所以 o e 的 长也就出来了，那么然后呢？ o d 的 长有没有啊？那当然也就有了，是吧，你这个长吧， o b 是 t， 然后 b d 呢？是三分之二，被根号三个 t， 所以 o d 的 长也就有了。 好，我们在这呢，先不着急啊，我们先给同学们把这个画一下啊，就是在最后这一问当中，咱们给他画一画啊， 最终所有的在哪里呢？在一个圆环上，当然我说了，这个应该是虚线啊，不能包含这个边界，所以所有的锐切点是在以 o 为圆心。 那好，呃，一段长，这一段长是多少呢？刚刚已经说了，是吧？就是，呃， t 根二分之根号三个 t， 我 算一下内径啊，就是根号下 t 方加上四分之三个 t 方， 就是二分之根号七个 t 了，对吧？二分之根号七个 t， 对， 那么外径大耳呢？应该就是根号下 t 方加上三分之二倍根号三，就是九分之呃，十二三分之四个 t 方 啊，然后呢？等于三分之七，呃，看一下三啊，三分之二倍根号三，是九分之四乘三，对吧？三分之四个题房，对着啊，所以他就是三分之七个题房，那就是三分之七根号二十一个题， 是吧？这个咱们刚刚已经说过了啊，所以同学们可以算一下。好，现在呢，我们知道，呃，就是所有的锐切点应该是圆环啊，这个内部啊，当然不含边界啊， 但他说现在这条线段上面的任意一点都是锐切点，就是你要把这条线段怎么样啊？直接给他放进去就行了，对不对？当然我们知道 你这个 t 越大，也就是说这个半径越大，这个小儿大儿也就跟着越大，所以这个圆环越大，你肯定能够放进二倍根号七， 对不对？你肯定能放进去。现在最核心的就是什么？极限，极限就这个 t 不 能特别小，他肯定要特别大。那极限？极限是什么？极限直线就是刚好把这条线段怎么样啊？能塞进去，同学们可以想一下，你塞一条线段进去，你怎么塞？是最长的呀？在两个圆环之间， 毫无疑问只有长成。什么情形？就是跟内圆相切， 对吧？跟内圆相切，因为如果你一旦越过这个位置，同学们可以想象一下看看。如果你一旦越过这个位置，他摆放的长度其实就不够了，你，你把它稍微偏一点点。同学们想一下，偏一点点， 那这个时候假定我们这个 t 是 特最小的情形啊，你偏一点点，这个线段就怎么样啊？跑出去了是吧？端点跑出去了，那肯定不行啊。 好，所以只要满足这种临界情形啊。当然这种临界情形呢，我们也说了是吧，这段就是根号七，当然这个临界情形肯定不能取啊， 因为临界是指线段的端点刚好在圆上了，但是我们说这个圆是不满足要求的啊。好，所以最终呢，你找出这个临界值就成了啊。所以他就是大儿方减去小儿方等于根号七的平方，也就是， 呃，三分之七个 t 方减去四分之七个 t 方，十二分之七个 t 方，十二分之七个 t 方等于七啊，所以 t 的 零界值应该等于十二，呃， t 方十二，二倍根三。所以呢，只要保证这个 t 大 于二倍根三就行了。那当然，这就是最后这一问的答案 啊， t 的 大于二倍。刚才，好，我们再次跟大家捋一下啊，这道题目如何解出来的？它的核心逻辑是，我们首先做出任意长度为 t 的 这个弦的锐切点。 那么在最后一问当中，因为我们知道长度为呃，任意一种固定情形下，它能够产生两个没有端点的线段，那么如果长度为 t 的 弦的所有的锐切点就应该是个圆环， 那么好，你要保证二倍根号七的这个线段上任意一点都是它的锐切点，那么你就只要保证把这条线段能够塞到这个圆环里面去，那么当然最极限的情形就是我们所画的情形，对吧？当然同学们可以做一些尝试。 好，那么这个时候呢，你就能够算出 t 的 零界值二倍根三，但注意一下，因为在这里面圆环边界都不能取啊，所以它一定要严格大于二倍根三。好，所以这个呢，相对我们就可以把它处理完了，当然这个处理完了，我想第一题的第一小问，不用多说了吧， 是吧？你怎么做？会做吧？哦，做过 a 做他的垂线，过 b 做他的垂线，然后以 ab 为直径啊，做这个垂线，做这个垂线， ab 为直径的焦点就在这，所以这一段跟这一段 都是满足的啊，就是用相同的方法，所以这个我就不多讲了， c 二 c 三都是满足要求的啊，你就跟刚刚做法一样啊。那么最后这个呢，我们要稍微多说一下，就是第一问的第二小问。第二小问呢，实际上的逻辑是一样，就是说他给定了点 c 是 一个锐切点， 那么同学们注意，因为圆他本身是个对称图形， oc 等于二，同学们都知道，就是以 o 为圆心，然后呢，二为半径的一个圆，对吧？就是这个 c 点呢，应该在以 o 为圆心，二为半径的一个圆上。 好，但是呢，现在呢，相当于给定了 c， ab 呢，不知道，但他求的是 ab 的 弦长， 这个时候呢，大家一定要注意，因为 c 其实是在整个圆上，而圆是对称的，而 ab 呢，也是在整个圆上，圆也是一个对称图形。所以在这里面呢，我们干脆就是前面说的那个方法，叫做以静，呃，以动为静是吧？ 就是你既然 ab 只是考虑弦长，我就令 a 是 定的，只让 b 来动，这样不就让 ab 的 长度发生变化了吗？ 对吧？当然，你说我说我让 b 定 a 动呢，也一样啊，因为你只是考虑 ab 的 长度，对吧？而且这个时候我们通过呃最后一问的解释呢，大家也明白，就是它所有的锐切点应该是两段没有端点的这个线段，但是呢， 我们其实只要考虑一段就行了，因为它本身长度也一样，是吧？好，所以在这里面，我们就假定 a 是 定的，那 b 呢在动， 所以 c 呢，这个时候呢，也是确定的。好，我们只需要明确，假如说我们就令啊，比方说 c， a 啊是切线， c b 呢，那当然就不是切线，对吧？或者是啊， c b 是 切线， c a 就 不是切线，因为它本身是个对称图形，所以你只需要确认啊，一种 啊特殊的临界情形就好了啊。当然，这道题目最核心的点是什么呢？其实就是确保角度呢，都是小于九十度的啊。好，所以我在这呢也给同学们呢，把这个稍微看一下啊，大家感受一下啊。 好，大家看，我在这假定是令， a 是 定的啊， b 就是 动的，是吧？当然， c 呢， c 是 在这个以 o 为圆，心二为半径的圆上。 好，注意，我就令 b， c 是 切线就是 c， b 是 切线，当然 c a 呢？它就啊不一定是切线，对吧？就是我令 c， b 是 切线。我说了，你让谁定其实不重要啊。好，还是那个逻辑，现在的要求就是， 其实你只需要去确保，或者说你只需要去判断。当 ab 这条就是假定 a 点是定点啊， 就是 ab 这个长度发生变化的时候呢？这个，因为你 ab 有 a 是 定的，只要 b 确定一个位置，这个时候是个单动态问题啊，因为你 b 确定， c 就 确定，能理解吧？ b 确定， c 就 确定， 呃，就相当于是 b 确定 ab 的 长，确定此时点 c 的 位置也唯一确定啊。也就是说，此时的点 c， 它其实只取决于点 b 的 位置， 而点 b 的 位置又决定了弦 a b 的 长。所以大家呢，就可以找一些临界情形来看，对吧？而且你也能想得出来最极限应该是什么， 最极限的肯定就是什么九十度角的情形。因为我们前面已经解释过了，你其实难点不是相切，难点是什么？难点是九十度是吧？你得把这个九十度明确好了。好，所以同学们可以想象一下看看。当 b 特别靠近 a 的 时候，大家一想就知道他肯定不成立。 为什么呢？ b 靠特别靠近 a 就是 弦特别短，而 ac 的 长度呢，也相对是比较短的。但注意， bc 是 固定值， bc 等于多少？根号三， 这一点非常重要。 bc 是 个固定值根号三，为什么？同学们看啊？因为我是默认，或者说我是假设令 bc 为切线。我说了，令谁为切线不重要啊，就是假定我们就是 bc 为切线， 那么 bc 为缺线，同学们注意， ob 的 长是多少一， o c 的 长是多少？ o c 的 长是二 啊， o c 的 长是二，那么 bc 的 长呢？根号三？也就是说，在我们这种定的情况下，你会发现 bc 的 长不管你怎么变，它都是根号三， 都是根号三。并且我令 b c 为切线，同学们如果知道圆当中的结论的话，就知道弦切角等于弦所对的圆心角的一半，所以同学们也会发现我在这做了一个角，所以呢，就是 取弦的中点 d 啊，弦的中点 d， 那 么 b o d 这个角跟 abc 这个角一定是什么相等的啊，理由也很简单，对吧？因为垂径定律嘛，这个 d o b 加上角 obd 等于九十度啊，这边切线呢，相加也九十，也就是说 a b c 这个角跟 b o d 这个角相等啊，这个有很大作用啊， 因为后面你要算临界值，临界值是什么？就你要保证 a b c 每个角都是小于九十度的。当然同学们也知道，就是如果 ab 特别靠近 a 的 时候，大家能感受的出来，对吧？你自己画图也知道，就是 ab 特短 啊， ac 的 长度呢？反正因为你 b 特别靠近 a 的 时候呢，其实这个 ac 的 长度呢，也不会特别的长，而你 bc 的 长是定的，也就是说此时 bc 相当于最长边。好家伙，那如果你 ab 特别短，那不就保证 bc 是 钝角了吗？所以第一临界情形，你一定能够找得到在哪里， 就是在这种情形，哎呦，当时我就随手画一个这种情形下，也就是说 a c， 呃，当 b 点离 a 点有一段距离的时候，稍微远一点的时候，此时产生一个直角，这个时候呢，肯定是要满足要求的，对吧？肯定满足要求 好，那么当然同学们可以算一下，这个时候用什么来算？相似就行了啊，相似就行了，你看 b、 o、 d 这个直角三角形跟 b、 a、 c 这个直角三角形，怎么知道相似，对吧？相似。假如 b、 d 设为 x， 那么 o、 b 就是 一，那么 a、 c 呢？跟 b、 c 呢？ b、 c 是 根号三，所以 b、 c 比上 o、 b 是 根号三倍，所以 a、 c 比上 b、 d 也是根号三倍。如果你设 b、 d 为 x， a、 c 就是 根号三个 x， 那么 ab 就是 两个 x， 所以 根号三个 x， 两个 x， 呃， b、 c 的 长是根号三，能够算得出来，对吧？能够算得出来啊，所以也就是根号三个 x， 我 就把这个极限情形先算一下吧。好吧，把这个极限情形算一下， 也就是确保根号三个 x 的 平方加上两个 x 的 平方，等于呃，根号三的平方七 x 方等于三， x 方等于七分之三， x 等于七分之，根号二十一， 七分之，根号二十一。当然 ab 的 长肯定就呃大于七分之二倍，根号二十一，对吧，因为它是二 x ab 的 长，是吧？那么注意这个零件情况，那肯定是不能取的，是吧？肯定不能取啊，因为零件情况是九十度啊，九十度。 那么肯定呢？ a、 b 呢？最长最长，最长是什么呢？你 a、 b。 可以， 我们刚刚讲，如果 a、 b 特别短的时候，大家直观做一下图，会发现它肯定会产生钝角，这个时候不满足，对不对？所以你要保证 a、 b 呢稍微长一点，当你 a、 b 最长最长最长最长到几啊？到二 啊，到二，你会发现到二的时候呢，又特别巧，又特别巧，为啥？因为此时刚好就是直角三角形 啊，因为你 ab 最大，最大就是二嘛，对吧？当然到二的时候，刚好就直角，也就是说小于二的时候呢，那肯定就是锐角了，对不对？就是锐角了，当然同学们有人说，我说，那这个 a c b 呢？其实 a c b， 同学们观察一下啊，在我们如图的这个 啊长度情况下呢，大家可以去感知一下，或者说去做一下看看，它肯定是一个锐角啊，好，所以你会发现它最长最长就是 a b 取了二， a b 取了二的时候呢，大家找出这个极限情形，你会发现它呢？还是多少呢？还是这个，呃，这个，这个 啊，临界情形啊，当然这个临界情形呢，很好算，对吧？嗯，就是二，那么等于二的时候呢，大家注意一下，就是这个长度呢， o c 等于二，所以 bc 等于多少呢？根号三是吧？ bc 就 等于根号三 啊，好，然后这个 a c 的 长呢，也有了，是吧？此刚好就怎么样呢？是一个直角三角形啊，因为它本身就是直角嘛，对吧？本身就是直角啊， 好，所以，呃，另外一种极限情形呢，肯定就是二，当然能不能取到二呢？那肯定是不能取到二啊，肯定是不能取到二，所以在这里面呢，就是他要小于二啊，他小于二， 好，所以我们在这呢啊，还是给大家把这个呃图呢，给大家去看一下，大家感受一下啊，就是刚刚已经找了一个极限情形，就是九十度，对吧？就是 ab， 因为你假定 b 点是动的， a 是 定的啊，第一零件嘛，就是 b i c 等于九十度啊， b i c 等于九十度， 好，然后第二零件呢，就是极限，情形呢，就是 a， b、 c 等于九十度，就在这儿啊，就在这里是吧？好，所以，呃，这是一个零件，这是一个零件，当然有人说，我说呢，有没有可能角 c 是 九十九十度啊，这个时候肯定不满足啊， 肯定不满足，为什么呢？因为你随便是以 d 为圆心，就是 ab 的 中点， d 为圆心， ab 的 长为半径，画圆你画出来都没有办法，于，呃，都是相当于在圆的内部的。这个点呢，就是前面我们作图，我们也可以跟大家解释一下，为什么啊， 你看啊， d， b 的 这个长啊， d， b 的 这个长啊，你以 d 为圆心， b 为半径，呃， d， b 为半径，你，你重新画一个圆，你无论怎么画啊，你无论怎么画， 你会发现呢，这个，呃，画出来的圆呢，与这个半径为二的圆都没有交点，也就是说 b、 c 点呢，一定是在这个圆的外侧 啊，所以呢， b、 c， a 一定是一个锐角啊，所以你只需要考虑两种极限，一种极限呢是 b， a、 c 是 九十度，一种极限呢是 abc 是 九十度， 对吧？找到这两个极限就行了，只是 b、 a、 c 是 九十度，这个地方的计算呢，同学们稍微注意一下是吧，利用啊，一组相似啊，我们也就能够算得出来了啊，好，另外一种极限呢，很好理解是吧？二，很好理解啊， ok， 好， 所以这个问题呢，我们最终呢也就给大家解析完了啊，最终的答案呢，就是七分之二倍根号二十一到二之间啊，最后呢是大于二倍根号三。 所以这道题目我觉得还是比较有意思啊，就是说他其实，嗯在整个分析的过程当中还是有自己的这个特点存在的，虽然是一个点类的这个逻辑啊，同学们还是要仔细的去体会一下啊。好，所以这道题目呢，就给大家解析到这里啊。
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07:46查看AI文稿AI文稿几何快带竖纹，心灵易，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，给大家讲一下东城一模的几何压轴题，然后这个视频呢，彩虹老师主要就从命题嗅觉上给大家讲两个方法， 这里呢，命题嗅觉就是上一问是对下一问温暖而善意的提醒，如果你有这个命题嗅觉，你看到上一问，特意提醒你的边等，你就能想到全等， 然后再加上我们双题独创的主角三角形，就能找到方法，并且呢，思路不止一个。好，我们来一起来看一下他怎么提醒的啊？首先他给我们一个角度六十度，然后呢，又转了一个一百二十度，那看到六十度和一百二先，然后补，所以他在提醒我们倒角， 来，我们倒一下，这是叉，这是六十，那用内角和就可以得到，这是一百二。减叉， 然后因为 b a d 是 一百二，那减掉这个角就得到它，也是差，所以这是角等 完了呢，它这个是 ab 转到 ad 的， 所以还有边等，那角等，边等就在提醒全等，大家看看角等边等就在提醒全等，已经有一个角一个边了，所以大概率你再补个边，或者你再来个角就有全等。 好，接着呢，继续。他说，哎，来个平行，平行就倒角，这是六十，这是一百二，所以这也是一百二。然后又来个终点，看到终点就想到八中斜三 啊，在这里呢，这个终点咱也不知道用啥工具，那就放这看结论来，第一个结论，哎，脚等，你看，这就是赤裸裸的在提醒你， 同学们，暂停两秒钟啊，这个脚等再提醒全等，哎，旁边还有绿边，铁定全等，所以下一问呢，你，如果你没有思路，或者如果你想速度快，你千万别忘了找主页太阳星造全等，因为北京中考及压轴就考全等， 所以造全等是没有错的。好，然后呢，造全等的时候别忘了你的结论，结论是啥呢？是 a f 和 bc 的 关系，他说的是判断啊，所以先写出来结论，二倍的 a f 等于 bc， 这就给一分了， 然后并证明。怎么证呢？这命题老师提醒的太明显了，我就从上文的提醒出发，给标角等边等，提醒全等我就找主角三角形找全等，主角三角形就是含结论边和工具边的三角形，或者是钱多的三角形。 来，我们看结论边就是要求的 bc 和 af， 工具边就是这两个相等的边， 然后这还有特意提醒的角，所以显然三角形 abc 它就可以做主角三角形，对吧？它价值三毛钱呢，对吧？这个工具边当一毛钱， 这个叉角当一毛钱，这 bc 结论边当一毛钱，三毛钱。哎，那我们把它当主角三角形。接下来就是照猫画猫，做它的全等， 说白了就是模仿他去造全等。咱们照猫画猫，给大家讲了三步，对吧？第一步，看猫啊，不是，第一步，找猫找着了，找到之后看他，看他有什么边，什么角，和谁相等，哎，这有绿边，这也有，这有叉角，这也有，这有个 bc， 这没有，那我就延长 a e 到点 q， 使 a q 等于 bc， 这样的话，只要我们连接一下，哎， d q 是 不是直接就出全等了？朋友们， 对吧？我们直接就可以出来三角形 a b c 全等三角形 d a q， 哎，边角边的全等。好，全等之后马上倒角倒边，这个六十度，赶紧倒过来，哎，这个 a c 赶紧倒过来，等于它， 然后同学们，别忘看到六十度到这儿，你想到啥了，对吧？哎，等边呀，因为这个也是六十度，所以这是一个等边三角形，那就是这个 e d 等于这个 q， d 还等于 e， q 还等于这个边。 好，然后也别忘了，结论，始终围绕结论转。哎，现在我要证明 a f 的 二倍等于 bc， 也就是等于 a q， 那 就是证明 f 是 a q 的 终点，大家看出来了没？ 是不是已经出来了？哎， f 是 a q 的 出点，终点已经出来了，对吧？因为条件说 f 是 c e 的 终点 就是这两边相等，现在 a c 又等于 q， d 又等于 eq， 也就是这两个边也相等了，所以 f 就是 a q 的 中点，那二倍的 a f 就是 a q， 而 a q 咱们做的就是 bc， 所以 就搞定了。 好，那同样的方法呢？咱们再来。哎，我们呢，因为上一问提醒的角等是这个角等，边等是这个边等，所以咱们找主角三角形，还可以找这个三角形， 因为他也是价值两毛钱，对吧？一个一个边，一个角，价值两毛钱的三角形啊，好，把他当主角三角形造全能怎么做呢？来，我们观察，成边等于成边，叉角等于叉角，这边有一个 a e， 所以 咱们在哪来个 a e， 对吧？咱们在叉这个地方也来个 a e 嘛，我们就做一个 b h 啊，在 b c 上截取 b h 等于 a e， 好， 这个时候只要我们连接一下 a h， 大家看是不是就造出来全等了。 哎，边角边的全等全等式工具，工具，马上倒角倒边，我们就可以得到这个一百二，就等于这个， 这个 e d 呢？等于这个。哎，然后注意别忘了啊，这个六十得标条件给的 a c b 是 六十也要标，这样的话就发现这是一个等边三角形，所以 a h 和 a c 和 c h 都是相等的，是不是？ 好，那接下来我们的目的就是要证 b c 等于二倍的 a f， 那 这个看不出来，它不像，这个直接能看出来是吧？ f 是 c e 终点，然后 a c 等于 e q， 他这个看不出来，怎么办呢？当我们导边或者导角不好导的时候，我们就设字母，所以我们可以设个字母，哎，我们设谁呢？先从小的开始设啊，这样好算。比如说这个我们就设 x， 因为 f 是 c e， 终点设它是 x， 这个不知道就设个 y， 那这也是 y， 这也是 y， 然后 b h 我 们做的它等于 a e， a e 就是 一个 y， 再加两个 x， 所以 这是两个 x， 加个 y， 好， 此时 bc 就是 b h 加上 h， c 就是 两个 x， 加个 y， 再加个 y， 就 两个 x， 加 y， 对 不对？ 而 af 呢，等于 ac 加 cf， 也就是 y 和 x， 所以 b c 就是 两个 af 了。 好，那这个题目我们总结一下提速技术啊，就是只要你看到上一问，特意提醒你边等角等了，那么你就一定要去想到它在提醒你全等，这个时候你只要找到主角三角形，然后照猫画猫，就可以画出来全等了。 那关于照猫画猫呢？我们在几何压轴的专题课上啊，咱们的第四讲就会讲到，如果想学习这个方法的话，可以找彩虹老师来专门学习几何压轴的系列专项课程。
01:52查看AI文稿AI文稿冬虫一模的几何综合有点太简单了，各位同学如果要是需要其他的资料，可以在评论区敲六六六，这些资料都会打包给大家，我们一起来看一下冬虫一模的这个几何体。第一题，角度问题，对于大家来说我觉得应该比较简单，我们在这里面呢可以给 b 设一个阿尔法，因为这个角是六十度，所以根据三角形的内角和你就能得到这个角是一百二十度减去一个阿尔法， 它告诉我们 ab 绕点 a 旋转一百二十度，所以说这一个角应该是一百二，这边一百二十度减阿尔法，所以这个边就是一个阿尔法，所以第一问对他来说没有任何的压力。 我们来看一下第二个，让我们去求 a i、 a、 f 和 bc 之间的一个关系，大家猜可能首先也会猜二倍，那这个二倍关系咱们到底该怎么去证？各位，我们会发现你第一问已经证明这两个角是相等的，条件里又告诉我们这两个边是相等， 那此时你会发现一边一角，这个就和西充的思路是一样的，那我们构造全能怎么构造？还有一个非常特殊的条件是咱们几何当中比较重要的，那就是特殊角度，这里面有一个六度，我们会发现这一个三角形，他旁边有一个角是一百二十度， 那这个六度能干嘛？我们能想到构造等边，所以你在这个地方如果构造等边，那大家就会发现这个角度就是一百二十度，就和这边的这个角度也相等了，所以你会发现这道题的全等构造起来是非常的清晰，也非常的简单， 那这两个全等出来了之后呢？我们就直接设边三就好，这里边是一个等边三角形，这边是 a， 这边是 a， 好， 那这个就是一个中点，这边是 b， 这边也是 b， 那 所以我们就能得到 a， e 就 等于 b， m 就 等于 a 加二 b， 那 这样的 bc 就 等于二倍的 a 加二倍的 b， 那 我们会发现 af 就是 a 加 b， 所以 这道题就是 bc 等于二倍的 af， 总体上来说难度是非常小的。对于我们全等当中没有考察，我们所谓的 叫做手拉手模型，或者这些前模型考察的是和西中一样的边和角的构造。东重在去年模考当中也考察了这些的内容，但是总体难度不大，大家在考试的时候我觉得还是要拿到满分。
34小程老师讲数学
10:21查看AI文稿AI文稿各位同学和家长，我们一起来看一下刚刚考完的二六年东城一模这道几宗压轴题。那其实纵观整个东城的一模卷，整体来说还是比较简单的，原因在于你可以看这三道压轴题，原宗、代宗和几宗整体是没有出什么难点。 那我们一起来看一下，为什么说几宗会比较简单。在题盖里面，他提示了旋转，所以我知道这道题的主旋律依然是旋转。 另外呢，我们在做其他程序的几宗压轴题，往往是通过两步或三步全等才能证明出来我们想要的结论。 但这道题的话，我们只需要一步构造全等，就能证明出来我们想要的结论了。另外他还考察了我们在初二常练习的一种题型，截长不短，与等边三角形相结合。好，那我们一起来看一下，这道题我们能通过几种方法去解决。首先我们还是先来认真的读一遍题干。 他说在三角形 a、 b、 c 当中呢，角 a、 c、 b 等于六十度，那六十度当然是一个非常特殊的角，你给它标好 a、 b 是 大于 a、 c 的。 现在我们将 a、 b 就 绕着点 a 进行旋转，旋转一百二十度，所以角 b、 a、 d 就是 一个一百二十度的角， 然后过点 d 做了一个 d， e 平行于 b、 c 的。 那我知道两直线平行一定是用于倒角的，那现在我就可以把 b、 c、 e 和角 e 都标上一百二十度的角点 f 为 c 的 终点。那这个终点啊，其实是一个迷惑点，因为我们在以往看到终点的时候，你肯定会考虑到的是被上中线或者是中卫线， 但是今年一模好几个城区已经出现了，说终点啊，它就是用于导边的，比如说西城卷或者是石景山都用到了这一点。 好，那现在你先把终点放到这，我们一起来看一下这道题到底终点我们应该如何去用。首先我们来看第一问，补全图形之后，让你求证的是角 b 等于角 d、 a、 e， 那 我知道角 a、 c、 b 等于的是六十度，所以角 b 这个对勾加上一个角 b、 a、 c 的 这个分叉，应该等于的就是一百二十度。根据三角形的内角和 另外角 b、 a、 d 也是一百二十度，所以角 b、 a、 c 加上角 d、 a、 e 反勾等于的也是一百二十度。那这样的话我就得出来角 b 应该等于角 d、 a、 e。 那 第一问的结论我们就在第二问里面可以作为已知条件来用了。我们来看第二问，它让我们找什么样的数量关系？它让你求的是两边 a、 f 和 b、 c 之间的数量关系。 那当然第一步的话，你一定是拿尺子去量一下，那量完之后，你发现这道题非常善良，直接我们能得出来结论，那就是 bc 应该等于的是二倍的 a、 f， 所以 现在你就去构造全等三角形，那构造全等三角形你第一个想的是肯定是旋转啊，手拉手对不对？ 那这里边已经提示了 a、 b 是 等于 a、 d 的， 所以你要找的一定是含有结论边 bc 的 三角形，那就是 a、 b、 c 或者是含有结论边 af 的 三角形，那你发现 af 是 三角形 a、 d、 e 的 一段，所以要不然你就找一下三角形 a、 d、 e 的 全等三角形， 那这样的话，我们先通过第一步旋转来看，那 ab 和 ad 相等，所以现在我就旋转 a， 一 旋转一百二十度，让它就是 am， 那 这样的话 am 和 ae 就 应该是相等的，然后再连接一下 bm， 我 知道旋转之后啊，那这个角角 bam 也应该是一个缝勾，那这样的话我就得到了三角形 abm 应该是全等于三角形 ade 的 全等之后，对应边相等，对应角相等，那这里边 b m 和 d e 就 应该相等的。又因为角 e、 m， 它是一个一百二十度的角，所以 am 和 bc 它应该是两条平行线。 因为 am 等于 a e， 所以 现在我可以设一下边，假如说我令 c f 和 e f 分 别是角 a， a， c 是 角 b， 所以 af 等于 a 加 b， 那 a e 等于的是二 a 加 b， 那 am 和 a e 是 相等的，所以 am 就是 二 a 加 b。 那 现在我们就把 bc 给它分割一下。怎么去做分割呢？我们在 bc 上截取一段， 截个 b n， 让它等于 a m， 那 这样的话，这一段就应该也是一个二 a 加 b， 截取完之后，四边形 a m、 b n 就 应该是一个平行四边形。因为什么？原因在于 a m 和 b n 的 话是截的相等，又因为 a m 是 平行于 bc 的， 有一组对边平行且相等，就是一个平行四边形了。 那平行四边形对角就应该相等的。角 m 等于一百二十度，那角 a、 n、 b 就 应该也等于的是一百二十度，它的邻补角就应该是六十度，那这样的话，有两个角是六十度的三角形，就应该是一个等边三角形，所以 a、 c、 m 就 变成了一个等边三角形， 那这样 ac 就 等于 c n， 我 们也可以用小 b 来表示，所以此时呢，这个 bc 等于的就是二 a， 再加上一个二 b， 反观我们的 af 等于的是 a 加 b， 所以 bc 就 等于的是二倍的 af。 好， 那现在我们再来看一下图二，那我们依照这个方法，我们旋转做一个三角形 abc 的 全等三角形，这时候 ab 已经等于 ad 了，所以现在呢，我就需要旋转的是 ac， 将它旋转一百二十度，得到 am， 然后再连接一下 dm， 那 我们依然把这个图里面的角都用特殊的符号给他表示一下，角 b 用勾，角 b， a， c 用叉角 d， a， e 用的是一个勾， 那我们现在旋转完之后，其实我们是能得到三角形 abc 是 全等于三角形 a， d， m 的， 根据的是 s， a， s， 那 我们可以把这个条件稍微的罗列一下。首先 ab 是 等于 ad 的 旋转一百二十度， b， a， d 和 c， a， m 都是一百二十度，所以角 b， a， c 就 等于角 d， a、 m。 那 另外还有 a， c 等于 a m， 所以 s， a、 s 这两个三角形全等全等完之后，对应边对应角相等，所以现在这个角 a、 d、 m 我 也可以用一个反勾来表示，那这样我就能知道了，两直线应该平行的，也就是 a， e 应该是平行于 d， m 的， 那平行完之后，依然现在我把 b， c 就 导到了 d， m 的 位置。然后我们还是根据刚才这个图，我们如何做的呀？做的是一个平行四边形，那现在我可以过点 a 做一个 a， n 是 平行于 d、 e 的， 那两组对边分别平行，也就变成了一个平行四边形， 平行四边形依然对角相等，所以角 e 如果是一百二十度，角 a、 n、 d 就 依然是一个一百二十度的角，那这样它的邻补角就应该是六十度。另外呢，我们刚才第一步在证明全等的时候，角 c 是 六十度，所以角 m 也是一个六十度。 现在有两个角都是六十度了，所以三角形 a、 m、 n 又变成了一个等边三角形。那这样我们就可以知道 bc 它等于的是 dm， dm 又变成了一个等边三角形，那这样我们就可以知道 bc 它等于的是 d， m 再加上一个 m， n， 我们依然用小写字母来表示。用 c， f 和 e， f 等于小 a， a， c 等于小 b， 所以 am， a， n 还有 b， n 它都是小 b， a， e 等于 d， n 等于的是二 a 再加上一个 b， 所以 d， n 等于二 a 加 b， 再加上 m， n 呢，就是二 a 再加上一个二 b， af 依然是小 a 加小 b， 所以 我们还是能通过同样的方法证明出来它是二倍的关系。只不过我们做的全等三角形不一样。第一个我们做的是三角形 a、 e、 d 的 全等三角形。第二个我们做的是三角形 abc 的 全等三角形 都是通过旋转得到全等，然后做平四去结边，然后于等边三角形构造。那我们再来看一下下面这两个图，如果单纯，我就通过倒角能不能找出来全等三角形？我们先来看一下第三个图。 当然你要去构造全等三角形，一定是根据这里面有对应相等的边，也有对应相等的角，所以 ab 等于 ab 等于角 d， a、 e 那有一组边和一个角了，我们需要再截取一个边，用截长补短就可以。依然其实你要构造的还是三角形 a、 d、 e， 或者是三角形 a、 b、 c 的 全等三角形。那图三我们依然构造 a、 d、 e， 我 们就可以在 b、 c 上去截取 e， d、 m， 使 b、 m 等于 a、 e， 再连接 a、 m， 那 现在三角形 a、 b、 m 就 应该全等于三角形 b、 e。 当然根据的还是 s a、 s， 我 们可以将条件在后面罗列一下。首先第一个 a、 b 等于 a、 d， 角呢？角勾等于角勾， 然后 b、 m 是 我截取的，让它等于 a、 e。 两个三角形全等之后，我们知道你可以导边 a、 m 等于 d、 e， 你 也可以导角角 a、 m， b 等于的是一百二十度，等于角 e， 那 它的邻补角就是六十度。所以我们还是导到了一个等边三角形 a、 c、 m。 下一步我们还是用小写字母来标边 a， a 和 b， 那 现在 c、 m 就是 b， a， e 就是 二 a， 再加上一个 b， 那 这样的话我们依然能知道 bc 等于的是二 a 加二 b， af 等于的就是 a 加 b。 好， 那刚才是截长，现在的话我们就来补短，我们来补一个三角形 abc 的 全等三角形。 那这时候我们还是把已知对应边 a、 b 等于 a、 d， 然后角 b 等于角 d， a、 e 给它标出来。如果你想构造三角形 a、 b、 c 的 全等三角形，我就应该延长 a、 e， 使它等于 bc， 那 现在我们来做一个延长， 延长到一点 m， 使 am 等于 bc， 然后再连接 dm， 那 是不是我还是能知道三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d， a、 m， 那当然通过的还是 s a、 s， 那 此时的条件变成什么？ a、 b 等于 a、 d， 然后角勾等于角勾，然后 b、 c 等于 am 是 我们做的， 那全等之后，我们能推出什么样的结论呢？你可以看一下图三，因为图三和图四它们的方法其实是一致的。你是不是用到了三角形 a、 e、 d 里面的一个一百二十度的角 e， 然后让它对应到三角形 a、 b、 m 当中，那在图四这个方法里面，我们应该把六十度给它倒过来，那角 m 应该等于的就是六十度， 那角 a、 e、 d 的 一百二十度的邻补角依然是六十度，所以现在三角形 d、 e、 m 依然是一个等边三角形。最后一步，我们进行标边， c， f 是 小 a， e， f 是 小 a， a， c 是 小 b， 所以 d、 m、 e、 m 还有 d、 e 都是小 b， 那 此时 bc 它应该等于的就是 a、 m 等于的是二 a， 再加上一个二 b， 那 a、 f 呢？依然是小 a 加小 b， 所以 我们还是找到了它们之间有一个二倍的关系。那以上四种方法是我想到的，如果你有更好的方法，也可以补充一下。
10:30查看AI文稿AI文稿今天我们来看一下黑卷当中的最后一题压轴题哈，这是一个几何综合题，嗯，难度一般，主要还是相似哈，比较信号也比较明显，因为第一个就给出了这个角相等和对应边成比例，是吧？ 嗯，大家可以暂停一下视频，先看一下题目哈，看一下跟你们那边的对比一下难度怎么样哈，一般黑圈更简单啊，白圈就更难一点点啊。 那么第一个是给出了刚刚说的这两个关系哈，然后第一个是给了阿法，第一问哈，是给了阿法等于六十度，好，那我们就可以得到这个三角形 a， b、 c 就是 什么等边三角形啊，等边三角形， 那 m 等于一，比如说 a d 等于 a e， a c 等于 ab， 所以 这个角 a、 c、 d 的 度数，那就是六十哈。第二问是高数等于九十度，然后 m 还是等于一，那也就可以得到 a b 等于谁啊？ a c， a d 等于 啊， a d 等于 a e 好 吗？然后要求这个角度，这个角度就不用研究。是不是就等于四十五度？ 好啊，为什么？嗯，首先我们来看一下啊，因为 a b 等于 a、 c 的， 那这里是个九十度，那这两个角 b 就 会等于四十五度啊，角 b 等于四十五度，然后正这两个三角形全等，没问题吧？ 就是这个角加这个角等于九十度，这个角加这个角也等于九十度，好， s a s 哈，然后刚刚说的 ab 等于 ac， a e 等于 ad 哈，正这两个三角，所以角 b 就 会等于这个好，所以角 acd 就 等于四十五度。好吧，这是 第一小问，第二小问叫正这个矩形啊，那我们再想到矩形的判定啊，我们想到矩形的判定，这里我们是用什么用九十度啊？有时有一个直角加上 平行四边形啊，一个角是直角的平行四边形是矩形啊，这是这一个。好，那九十度，这里是大把的啊，大把的，你看这里就有个九十，是吧？好，都很好。正，那我怎么正它是平行四边形呢？啊，怎么正它是平行四边形呢？ 那啊，刚刚说了，这里我们看一下哈。过 e 啊， c e 垂直 bc 啊，所以这里也是九十度的，是不是这也是九十度，那我们就可以得到什么？嗯， 还有一个条件，四十五度啊，这里也是垂直是吧，这里也是垂直，那我们就可以得到这个 g e 等于 d c 啊，然后呢，又可以得到 g e 平行 d c 啊。 g e 平行 d c g e 等于 d c 是 因为刚刚这个 d c 等于 b e 又等于啊，然后 b e 又等于这个 g e 的， 因为都等于四十五度吗？啊，平行式，它俩都是垂直哈，不管用同一角还同一角，都可以说明啊，所以它这个就是平行变形，再加九十度就是矩形，这样子讲， 大家可以听得懂吧啊，嗯，第三问啊，就稍微更有一点点意思哈，给出的是这个图三，然后还是角 abc 等于四十五度啊，等于四十五度，然后 a e 垂直 bc 啊，这也是垂直啊，等下有用哈，要得到这个等量关系。这个等量关系现在看可能没思路，大家等下讲完就有思路哈。首先由这一个啊， 这一个我们可以得到第三问，我们写在这里，好吧，三角形 a b c 会相似于 a b c。 三角形 a e d 好， a e d， 那 我们就可以得到一些四十五度，等一下去，有用啊，等下去有用啊，比如说这个 角 a、 e 啊，角 a、 e， 这里等于四十五度，是不是？这个等于四十五度，然后我们再怎么正， 嗯， a、 b、 c 等于四十五度，那我们得到这里也是四十五度， 其他没有了，好， 然后这个角 d， a、 c 也会等于谁啊？四十五度的，是不是？那么我们就可以得到什么？你看我们再有这个等量关系，我们可以得到这个三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 c、 d 好， 还是这两个角相等，然后对应边乘比例得到哈，那这个得到有什么用啊？那我们来看一下，我们就可以得到这个角，写一下吧，角 b 会等于角 a、 c、 d 啊， 会等于四十五度，角 b 等于角 a、 c、 d 等于四十五度，那我们就可以得到这个 a、 d 三角形 a、 d、 c 是 等腰 直角哈，等腰直角三角形，好吧，那我们就是 a、 d 等于 c、 d， 等一下有用哈，等下有用，我们去转换一下哈，我们去转换一下 啊，那接下来怎么办？接下来我们就去正这个三角形啊， a， d， h 啊， a， d， h， a， d， h 或许相似于这个三角形 b、 c， a， 哈，我们来捋一下条件哈， b， c、 a 直接用这个就会更快哈，会更快，嗯，那我们来看一下哈， 啊，这个角刚刚说到这个是四十五度啊，然后那这个角是不是也是四十五度？那所以这个角啊，然后这两个是对顶角的，是不是？所以我们就可以得到这个角 a、 d， h 啊，会等于这个角啊？ a、 c、 e 啊，这两个角没问题吧？就说这个角会等于这一个角哈，就是可以啊，是反过来哈，反过来 就得到这两个，然后这里还有两个四十五度的哈，啊，我自己写一下吧，角 b 会等于这个角 b， a、 c， 哈，是由这两个条件哈， 去正出来这个三角形相似。好吧，那这两个三角形相似，我们就把它的比例写一下，所以我们可以得到 a、 b 哈， 比上 a， c 就 会等于啊， a， d 比啊， ab 比 a c 哈， ab 比 a c 啊，那就是得到 a h 哈，写错了， a h 比上 h、 d 哈，字母要对应好了。然后 a、 c 又会等于谁啊？ a c 会等于这个根号二 b、 c 的， 因为刚刚正的它是等腰直角三角形啊，是不是？所以我们就把它换过来哈，那你看， ab 乘 h d 就是 a h 乘以根号二 b， c 啊，嗯， a h 就会 就可以得到这个等量关系了哈，我们写一下吧。啊，写在这一句， a、 b 比上 a、 c 就是 根号二 b， c， 哈，等于 a h 比上 h、 d， 哈，那么交叉相乘一下，就可以得到这个等量关系。好吧， 第三步我们再来说一下吧，就是第一步，我们由这个正到这个三角形 a， b， c 啊，相似于三角形 a， e， d 啊， a， e、 d， 然后 得到这个角等于四十五度，等一下，这个角也会等于四十五度。又有用，好吧，有用。然后呢，又因为这个角加这个角会等于这一个角加这个角好，所以得到这个角 等于这个角，然后等于四十五度，等下也有用，就是证这个三角形 a、 d、 c 有 用啊， a、 d， c 有 用。嗯， 就再加上这个比例哈，可以去证这个三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 c， d， 然后就可以得到这个 a a d， c 是 等腰直角三角形，然后就 ad 等于 cd 啊，就是得到这个等量关系， 好吧，就写的有点乱。然后再由这两个角得到这个三角形 a d， h 相似于三角形 b c a 啊，然后就可以得到这个等量关系啊，就可以求出来。
48长得像教书的
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07:48查看AI文稿AI文稿几何快带竖纹，心灵易，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，给大家讲一下东城一模的几何压轴题。然后这个视频呢，彩虹老师主要就从命题嗅觉上给大家讲两个方法， 这里呢，命题嗅觉就是上一问是对下一问温暖而善意的提醒，如果你有这个命题嗅觉，你看到上一问，特意提醒你个角等，再加上提醒你的边等，你就能想到全等， 然后再加上我们双题独创的主角三角形，就能找到方法，并且呢，思路不止一个。好，我们来一起来看一下他怎么提醒的啊。首先他给我们一个角度六十度，然后呢，又转了一个一百二十度，那看到六十度和一百二显然互补，所以他在提醒我们倒角， 来，我们倒一下，这是叉，这是六十，那用内角和就可以得到，这是一百二。减叉， 然后因为 b a d 是 一百二，那减掉这个角就得到它，也是差，所以这是角等 完了呢，它这个是 ab 转到 ad 的， 所以还有边等，那角等，边等就在提醒全等，大家看看角等，边等就在提醒全等，已经有一个角一个边了，所以大概率你再补个边，或者你再来个角就有全等。 好，接着呢，继续。他说，哎，来个平行，平行就倒角，这是六十，这是一百二，所以这也是一百二。然后又来个终点，看到终点就想到八中斜三 啊，在这里呢，这个终点咱也不知道用啥工具，那就放这看结论来，第一个结论，哎，脚等，你看，这就是赤裸裸的在提醒你， 同学们，暂停两秒钟啊，这个脚等再提醒全等，哎，旁边还有绿边，铁定全等，所以下一问呢，你，如果你没有思路，或者如果你想速度快，你千万别忘了找主页太阳星造全等，因为北京中考及压轴就考全等， 所以造全等是没有错的。好，然后呢，造全等的时候别忘了你的结论，结论是啥呢？是 a f 和 bc 的 关系，他说的是判断啊，所以先写出来结论，二倍的 a f 等于 bc， 这就给一分了， 然后并证明。怎么证呢？这命题老师提醒的太明显了，我就从上文的提醒出发，给标角等边等，提醒全等，我就找主角三角形找全等，主角三角形就是含结论边和工具边的三角形，或者是钱多的三角形。 来我们看结论边就是要求的 bc 和 af， 工具边就是这两个相等的边， 然后这还有特意提醒的角，所以显然三角形 abc 它就可以做主角三角形，对吧？它价值三毛钱呢，对吧？这个工具边当一毛钱， 这个叉角当一毛钱，这 bc 结论边当一毛钱，三毛钱，哎，那我们把它当主角三角形。接下来就是照猫画猫，做它的全等， 说白了就是模仿他去造全等。咱们照猫画猫，给大家讲了三步，对吧？第一步，看猫啊，不是，第一步，找猫，找着了，找到之后看他，看他有什么边，什么角和谁相等，哎，这有绿边，这也有，这有叉角，这也有，这有个 bc， 这没有，那我就延长 a e 到点 q， 使 a q 等于 bc， 这样的话，只要我们连接一下，哎， d q 是 不是直接就出全等了，朋友们， 对吧？我们直接就可以出来三角形 a b c 全等三角形 d a q， 哎，边角边的全等。好，全等之后马上倒角，倒边，这个六十度赶紧倒过来，哎，这个 a c 赶紧倒过来，等于它， 然后同学们，别忘看到六十度，到这你想到啥了，对吧？哎，等边呀，因为这个也是六十度，所以这是一个等边三角形，那就是这个 e d 等于这个 q， d 还等于 e q 还等于这个边。 好，然后也别忘了，结论，始终围绕结论转。哎，现在我要证明 a f 的 二倍等于 bc， 也就是等于 a q， 那 就是证明 f 是 a q 的 终点，大家看出来了没？ 是不是已经出来了？哎， f 是 a q 的 出点，终点已经出来了，对吧？因为条件说 f 是 c e 的 终点， 就是这两边相等，现在 a c 又等于 q， d 又等于 eq， 也就是这两个边也相等了，所以 f 就是 a q 的 中点，那二倍的 a f 就是 a q， 而 a q 咱们做的就是 bc， 所以 就搞定了。 好，那同样的方法呢？咱们再来。哎，我们呢，因为上一问提醒的角等是这个角等，边等是这个边等，所以咱们找主角三角形，还可以找这个三角形， 因为他也是价值两毛钱，对吧？一个一个边，一个角，价值两毛钱的三角形啊，好，把他当主角三角形造全能怎么做呢？来，我们观察，成边等于成边，叉角等于叉角，这边有一个 a e， 所以 咱们在哪来个 a e， 对吧？咱们在叉这个地方也来个 a e 嘛，我们就做一个 b h 啊，在 b c 上截取 b h 等于 a e。 好， 这个时候只要我们连接一下 a h， 大家看是不是就造出来全等了。 哎，边角边的全等全等式工具，工具马上得交到边，我们就可以得到，这个一百二就等于这个， 这个 e、 d 呢？等于这个。哎，然后注意别忘了啊，这个六十得标条件给的 a c， b 是 六十也要标，这样的话就发现这是一个等边三角形，所以 a h 和 a c 和 c h 都是相等的，是不是？ 好，那接下来我们的目的就是要证 b c 等于二倍的 a f， 那 这个看不出来，它不像，这个直接能看出来是吧？ f 是 c e 终点，然后 a c 等于 e q， 他这个看不出来，怎么办呢？当我们导边或者导角不好导的时候，我们就设字母，所以我们可以设个字母，哎，我们设谁呢？先从小的开始设啊，这样好算。比如说这个我们就设 x， 因为 f 是 c， e， 终点设它是 x， 这个不知道就设个 y， 那这也是 y， 这也是 y， 然后 b h 我 们做的它等于 a e， a e 就是 一个 y， 再加两个 x， 所以 这是两个 x， 加个 y， 好， 此时 bc 就是 b， h 加上 h， c 就是 两个 x， 加个 y， 再加个 y， 就 两个 x， 加 y， 对 不对？ 而 af 呢，等于 ac 加 cf， 也就是 y 和 x， 所以 b c 就是 两个 af 了。 好，那这个题目我们总结一下提速技术啊，就是只要你看到上一问，特意提醒你边等角等了，那么你就一定要去想到它在提醒你全等，这个时候你只要找到主角三角形，然后照猫画猫，就可以画出来全等了。 那关于照猫画猫呢？我们在几何压轴的专题课上啊，咱们的第四讲就会讲到，如果想学习这个方法的话，可以找彩虹老师来专门学习几何压轴的系列专项课程。
