hermite三次插值法基函数

三次伟达定律堪称三次函数的破题利器，课本只讲基础的公式，老师课上呢，也没有去深挖规律，可是学霸早就把它练成了三次函数压轴题的抢分武器。就像这道题， 很多同学呢，压根不知道怎么样用三次伟达定律去关联条件，不要慌，老师今天呢，就用核心的变形技巧，带你彻底学透三次伟达定律，考场遇到直接秒杀！好，我们来看题， 已知函数 f x 就是 一个三次函数啊，而且 f 负一， f 负二， f 负三，这三的函数值相等都大于零，相等于三，问我们什么呢？哎，问我们这个 c 常数项它的取值范围。好，同学们想想怎么做？ 首先呢，我不难想到常规方法啊，就是把负一，负二，负三带进去，然后得到关于 abc 的 方程组，接下来就是消元，然后 解除 c 的 范围啊，但是可以想象，计算量非常大，一不小心呢，是不是就会出错？那接下来同学们注意了， 凡是涉及到三次函数的这种和根零点相关的问题，那三次表达定律就是我们解体的一个非常好用的工具啊。来说一下什么叫三次表达定律，我们考虑一个一元三次方程啊， 好，它的一般形式长这个样子， ok， 那 假设它有三个根， x 一， x 二， x 三， 来，我们类比二次的伟大定律，对于三次方程也会有类似的结论啊，比如说这三个根之合好是啥呢？就是负的 a 分 之 b， 然后接下来我们看这个式子啊， 关于三个根呢，哎，轮换对称啊，就 x x 二加 x x 三，再加上 x x 一， 两两相乘再相加。好，这个就应该等于什么呢？ a 分 之 c， 那 最后我们再考虑三个根的乘积，这三的乘积好就应该是负的 a 分 之 d， 这就是三次函数的伟大定律，它也可以直接建立三个根与系数之间的关系。好，一定有同学想知道为什么？其实道理很简单， 所有的不管是二次、三次，还是一般的 n 次的伟大定律，我们的正法啊，都是一样的。来，我们看一下，我把这个三次方程啊 给写成这个形式，我们知道二次方程可以写成双根式，对吧？把二次项式提出来，它一定可以分解成 x 减 x 一， 乘 x 减 x 二，那三次的一样的道理啊，它一定可以分解成这个样子， 对不对啊？也就是说左右两边是横相等的。好了，那接下来咱们把这一边给展开，去看一下，他的二次项的系数，是不是就应该是等于 b？ ok， 一 次项系数就是 c， 常数项就 d。 好， 对照一下两边各项的系数，就可以把伟大定律给推出来。 好了，那我们来看一下这道题。现在我们还不能直接用伟大定律啊，因为我们发现这个并不是 f x 等于零的根，那怎么办？是不是首先要把它和方程的根去建立联系，所以我们做这样的一步变形啊？ 来，我把这些函数值呢，因为它都相等啊，所以把它给记为 t 好 了，记为 t 啊，那我就构造新的这个函数， g x 啊，也就 f x 减 t 好了，那现在呢？这仨是不是就变成了 g x 的 根了？当然这个 g x 呢，它就会长这个样子， x 三次方加 a x 方加 b， x 加上 c， 然后再减 t， 好 的啊，它的三个根 x 一 就是负一， x 二就是负二 x 三就是负三 好了。其实利用伟大定义，咱们立刻就可以把 a 和 b 是 不给求出来，对吧？啊，如果要去求 a b 的 话，我们看三个根之合就应该是负六好，是不就等于负的，哎，就是负 a 嘛，对吧？利用伟大定义就是负 a 啊，所以 a 等于六， 然后三个根两两相同时再相加啊，那就应该是二加三加六好，等于什么呢？哎，等于正的 b 好， 所以得到 b 呢，就应该等于十一好。最后我们来看一下这个 c 的 范围啊， 三个根的乘积啊，就应该是负六好了，它要等于什么呢？等于一分之 c 减 t 啊，所以它就要等于 c 减 t 好， 那我们是不是可以把 c 给表示出来了？ c 啊，就应该等于这个 t 减六啊， 啊，这个地方应该是 t 减 c 啊，注意符号一定要特别的小心啊，应该是负的 c 减 t， 对 吧？所以 t 减 c 好， 那我们来看一下啊， c 呢，就应该是等于 t 加六， t 的 范围，咱们知道的呀，对吧？大于零，小于等于三啊，所以再加六，它的范围呢，就是大于六，小于等于九好，所以利用三次解答定律啊，来解决这种类型的问题，非常的简易，同学你学会了吗？

同学们，这视频我们接下来给大家讲二五年的这个太原的题啊。首先 f x 是 等于 x 立方加它这个在二分之三到三上单调递增的话，我们肯定要先对 f x 进行求导， f x 导函数就等于三 x 平方加上 二 a x 减去 a， 然后它要在二分之三到三上单调递增的话，也就导函数大于等于零，在二分之一到三上横乘立，横乘立，那我们求参数取值范围，首选 分离参数，首选分离参数，首选分离参数的话，我们会发现三 x 平方加上 a 倍二 x 减一要大于等于零，那分离参数又为了好计算的话，尽量让 x 的 系数为正，所以我们把 a 移过去等于负 a 倍二 x 减一。 又因为 x 是 在二分之一到三，所以我们的二 x 减一的话，应该是在零到五，就我们可以同时除以一个二 x 减一，所以我们就得到了应该是负 a 要小于等于二 x 减一分之三 x 的 平方要横乘以的话，只需要找出这边的最小值，那要找这边的最小值，这个是一个分式形， 它比较难看的话，我们可以换元啊。令 t 等于二 x 减一，它是属于零到五的，所以我们的 x 是 等于二分之 t 加一的，那左边右边这个式子，它二 x 减一分之三 x 平方，它就等价于 t 分 之三乘以二分之 t 加一的平方，也就是四 t 分 之三倍 t 平方加一加二 t， 让我们进一步化简的话，就是四分之三倍 t 加 t 分 之一加二。那既然我们要求最小值是不是这边，因为它在零到五可以用基本的式大于等于四分之三乘以二加二，也就是等于三。当前仅当 七等于一的时候，等号成立，所以负 a 它是小于等于三的， a 就 大于等于负三，所以 a 的 取次范围是负三到正无穷。关注我，后面更新更多的解题技巧。

这个是苏北七市三模的导数题，十七题的导数题啊。题一问比较简单，我们就直接说第二问， 第二问它还是对于一个三次函数的一个常规考察啊。我们可以来做一下这道题，它说它存在两个极值点，那也就是导数存在两个变号零点，那么我们就对它进行一个求导， f e， p x 就 等于 x 的 平方再减去一个二 a， x 再加上一个 e， 他想要有两个编号零点是不是应该要？第二，他要大于零，所以我们就可以得到 b 平方减去一个四 a， c 要大于零，所以我们可以解到 a 要大于一，或者 a 要小于负一， 这道题目到这里还是比较松分的。然后我们来看他最后一个设问，这个设问其实有一点那个拉格朗日中值定律的意思啊，但是其实也不需要我们来看一下，他说设 a 点和 b 点啊，然后他说存在 x 三和 x 四，在 x 一 到 x 二之间，可以使得这个切线和割线是互相平行的， 那么我们可以画一下它的图像，它的导数是一个开口向上的一个二次函数啊，较小的根是 x 一， 较大的根是 x 二，然后呢，它的原图像是不是就应该是长这样，对不对？ 好，然后我们就可以得到你 x 一 是不是应该是在这个位置， x 二是不是应该是在这个位置？ 我们要在 x 一 x 二之间找两个点，能够让它的斜率正好等于这个割线斜率，那么这个问题其实也不复杂，对吧？好，那么我们先求一下这个割线斜率，我们割线斜率就是 k a b， 那 么 k a b 它就等于 f x 一 减去一个 f x 二，再除以一个 x 一 减 x 二， 接下来我们就把它带入就可以了，所以上面就应该是三分之一个 x 一 的三次方，减去一个 x 二的三次方，所以就是 x 一 减 x 二， x 一 的平方加上一个 x 二的平方，再加上一个 x 一 x 二，然后再减去一个 a， 括号 x 一 加 x 二， x 一 减 x 二， 好，最后再加上一个 x 一 减 x 二，好，底下除以 x 一 减 x 二， 这里我们就会发现它就约掉了，那么约完之后啊，我们会发现它已经全部变成伟大的形式了，而我们知道 x 一 x 二是你导出的两个根，所以我们可以得到 x 一 加上一个 x 二是等于二， a 的 x 一 乘一个 x 二是等于一的， 接下来我们就把它带入，所以它就等于三分之一个四。 a 的 平方减一，再减去一个啊， a 乘以它的话，就二 a 的 平方再加上一个一，把它稍微整理一下，就等于负的三分之二个 a 平方再减去三分之一，再加一就加上一个三分之二， 好，然后我们现在要让导数等于它是不是要产生两个结，并且这两个结要在 x 一 到 x 二之间， 这个事情其实并不复杂，是吧？因为我们只要拿横直线去跟这个导数一交，对吧？那我只需要这个横直线大于这个最低点，并且我们也能很明显的看得出来这条横直线是负值，对吧？它肯定是会交于它的，然后这里会出现 x 三，这里会出现 x 四。但是问题是你要把这个过程去写好， 我们先证明它存在两个零点八，那么我们就令 f x 等于这个负三分之 f 三分之二 a 平方， 再加上一个三分之二，我们看一下它是否存在两个解，所以它就变成 x 的 平方减去一个二 a x， 然后呃，把它移向移过来的话，就加上一个三分之二个 a 平方，再加上一个三分之一等于零。 好，我们来看一下它的第二趟，第二趟等于 b 平方四， a 方减去一个四 a c， 那 就减去一个三分之八 a 平方，再减去，再减去一个三分之四。 我们看一下它是否是一个大于零的状态，它整理一下就应该是等于三分之四个 a 平方，减去一个三分之四。由于我们求的 a 的 范围是大于一或者是小于负一，所以我们显然可以得到它大于零。首先我们先证明了它存在这样的 x 三和 x 四，那么这时候你要去验证它确实是落在 x 一 和 x 二之间的。 这个事情也不复杂，因为 x 三 x 四是不是实际上是它的两个根，所以我们是不是可以得到 f 一 撇 x 三是小于零的， f 一 撇 x 四是小于零的，那么我们知道它这个是一个开口向上的一个二次函数啊，所以我们是不是就可以验证到你这个 x 三 和 x 四是不是都应该是属于这个 x 一 到 x 二之间的？我们再稍微交代一下就结束了。

hello， 同学们，大家好，今天给大家讲解三次函数的零点问题，包括两大题型 知识点。我们知道三次函数是 y 等于 a， x 的 立方加 b， x 的 平方加 c， x 加 d， 那 三次函数的导数等于三 a x 方加上二 b， x 加 c， 是 一个二次函数， 那导数是二次函数。由于二次函数的图像可能是与 x 有 交点，没交点，也可能与 x 有 交点，那导致。如果是导数，这种情况下，那导数恒大于零，证明三次函数恒增。那么如果是这种情况，在这一块 导数大于零，证明三次函数是增的。在这里三次函数是增的， 所以对应这种图像，三次函数的图像应该是一直是增的状态，对不对？那对应这种图像，那三次函数先是增，再是减，再是增， 好，所以三次函数的图像是由导数所决定的，对吧？因为导数的判别式是四 b 方减十二， a， c 等于四倍的 b 方减三 a c， 也就说导数 由 b 方减三 a c 来进行决定。好，我们了解这个出不知之后我们再看。如果这个 等于零，也就是这个三次函数的零点只有一个十根的重要条件是，这个函数以 x 是 怎么的？交于一点，只相交于次，对不对？ g 在 r 上是单调函数， 对不对？那单调函数一定是怎么的？判别式等， b 方减三 a， c 一定小于零，对不对？那么一定是什么图像呢？一定是这样的图像，或者是这样图像对不对？当然这样也可以，这样也可以，对不对？ 这个是一种情况啊，单调同时呢，或 b 方减三 a， c 大 于零，那么也就是说这个函数图像可以是这样的 增减增，但是呢，这个极小值应该是大于零的，对不对？你看极大值是不也大于零，对吧？所以 b 方减三 a、 c 大 于零的情况下，虽然有两个极值点，但是它的相乘需要大于零 啊，这都是与 x 轴只有一个交点，也就是说在做图像，对不对？那第二种情况，那我们把这擦了。 好， f x 等于零，有两个相依十根的乘方，条件是 y 的 f s 与 x 有 两个公共切点，且其为什么呢？为切点，所以必须有两个极值，判别是怎么的？大于零且它俩相乘等于零，就这种情况， 对吧？非常好理解。第三种情况，有三个不相等的实数根，那一定是增减增且什么的极大值和极小值一定要一号，对不对？所以 b 方减三，一定要大于零，且相乘小于零就是一号， 对不对？理解这个图像之后，我们进行题目。好，函数 y a 等于 f， x 等于 x， x 的 立方减十， x 加十六的零点个数是几？第一步，先求到 三， x 方减十二，对不对？那导数的判别式是，不等于 b 方是零， 对不对？减四， a、 c 是 不？加上十二乘以十二是不大于零，对吧？那令 f、 s 倒数等于零是不？三 x 方等于十二， x 等于正负二，对不对？所以导数的图像是这样的， 对不对？所以原函数的图像应该是啥样的？先是增减增，对不对？问你的零点个数，也就是说，让你判断这两个极值点的什么 符号，是不是一个是负二，一个是二，那好， f 负二等于几啊？说那负八加二十四加十六啊，是不大于零？ f 二呢？是不等于八减十二 乘以二加十六等于八减二十四加十六是不等于零？所以这个图像应该是啥样的？是不是？增减增对不对？是不是正好 f x 一 乘以 f x 二，怎么的？等于零？ 所以有两个小点自己想，我们继续第二题。已知零点个数，求参数。若函数这一堆有三个零点，则 a 的 趋势范围，我们还需要看判别式以及极值点，对不对？ 那已知它有三个零点，一定是这样的，或者什么样的，或者先减增减，对不对？或者是这样的或者这样的， 对吧？那都是判别式需要大一点，同时极值点是不？ f x 一 乘以 f x 二，需要怎么的？是不需要小一点对不对？好，那判有 f x 倒数， f x 倒数是不等于三 x 方加 a 对 不对？判别式等于一减十二， a 是 不是？ 是不应该是大于等于零是不一？大于等于十二 a 是 不？ a 应该小于零，对不对？这是第一个条件。同时呢，极值点、极值点就是三 x 方向，导数加 a 等于零的点也是三 x 方等于 a 等于负 a， x 方等于三分之负 a， x 是 不等于正负，根号下三分之负 a 对不对？所以 x 一 等于负，根号下三分之负一， x 二是不等于根号下三分之负一，那也就是说 这是 x 一， 这是 x 二，对不对？或者这是 x 一， 这是 x 二，因为它的导数的开口是不向上啊，导数开口向上，所以一定是先增后减再增，一定是这种图像，对不对？先增后减后增，所以 f x 一 是要怎么的？ 大于零 f x 二不应该小于零，对不对？ x x 还在这呢， 对吧？所以我们把这擦了。好，所以 f x e 等于多少呢？往圆式里带，对吧？是负根号下三分之负 a 的 立方， 对不对？是不是减去 a 乘以根号下三分之 f， 是 不是加一？需要怎么的？需要大于零，是不是？这是第一个式子，那第二个式子 f x 二是不是三分之 f 刚好加三分之 f， 哎，它的立方是不是加上 a 乘以根号下三分之 f 加一，是不是应该小一点，对不对？我们就需要解这个式子。好，我们把这句擦掉。 好，我们先解第一个，第一个我们可以把这个画一下，这大家看啊，是不是负根号下三分之负 a 乘以三分之负 a， 对 不对？减去 a 乘以根号下三分之负 a 加一，是不是大于零，对不对？那这俩符号约掉了，再减去 a 是 不是三分之二？ a 乘以根号下三分之负 a 加一，是不是大于零？哎，对不对 啊？三分之 five， 对 吧？三分之 five， 那 三分之 five， 我 们知道 a 是 怎么的？ a 是 不？最开始求 a 是 不是小于零的数？ a 是 小于零的数， 哎，那负二也是大于零的数，乘以这一定是大于零的数，所以它是横成列的，对不对？所以不用解，所以重点解这块。 好，继续看。我们依旧采用刚才这块的解法，继续解，是不是三分之负 a 乘以三分之 a 负 a， 括号下对不对？可以换成这个完，再乘以 a 一 倍的括号下三分之负 a 加一，是不是小一点，对不对？好，我们继续看， 这是加上，对吧？这是加好，所以 a 减去三分之二， 等于根号下三分之负 a， 是 不是小于负一，对不对？这里我们可以换个圆令， 根号下三分之负 a 等于 t， 两边平方是不是三分之负 a 等于梯方， a 是 不等于负三梯方， 对不对？哎，往这里边带，我们可以得出，哎，是不是二乘以负三分之三，三提方 除以三，对不对？乘以 t 是 不是小于负一，对不对？这约掉了， 所以负二梯方乘以梯小于负一，是不是负二？梯的立方小于负一，是吧？梯的立方是不是大于二分之一，对不对啊？梯的立方大于二分之一， 也就是说啊，在这 t 是 不是大于二分之一的三分之一次方，对不对？完，再往回看，是不是？这一堆是不是根号下三分之负尾 大于二分之一的三分之一次方？两边同时平方换个颜色，是不是三分之 f？ a 大 于二分之一的三分之二次方，是不是？ a 是 不是小于三乘以 负的三乘以二分之一的三分之二次方，对吧？ 那我们看，那答案是哪个呢？哎，其实是 a 项，我们可以看 a 等于啥呢？ a 一 是不是小于负二分之三乘以是不二的三分之一次方， 二的三分之一次方除以二，也就是三乘以二的是负三分之二次方，是不是三乘以二的三分之二次方？分之一 是不是？是不是它等于三乘以二分之一的三分之二次方，是不是和这一样？ 好，所以这题选 a。 好， 我们下期再见。

本视频耗时十小时制作，一口气带你通关高考新贵！三次函数 f x 等于 a， x 的 三次方加 b， x 的 平方加 c， x 加 d， 既然它要是一元三次函数，所以需要满足 a 不 等于零， a 不 等于零，那么我要来研究这个函数的图像及性质， x 属于 r， 那 么我们来求导看一下。 好，所以我们求导过后得到 f 导 x 等于的是三 a， x 的 平方加二， b， x 再加 c， 完了，对不对？ 好，然后我求导过后，因为还是一样的，再来重复一遍，这个 a 是 不等于零的，对不对？所以我得到的这一个导函数，它就是我们比较熟悉的什么东西， 它是一个一元二次函数对不对？好，那么我们要通过来研究这个一元二次函数的性质，也就是导函数的性质，来研究我们这一个元函数 f x 一 元三次函数的性质。好了，那么我们来看一下，我要来研究这个一元二次函数的性质，其实无非就是研究什么呢？ 研究他的开口，研究他的他与 x 轴的交点对不对？好了，那么我们来看一下，就分情况来讨论吧。第一种情况，因为刚刚我们说 a 是 不得零的，对不对？所以 a 的 情况应该分成几种 两种，一种是大于零，一种是小于零，能理解吗？好，那么我们先来先来，接下来分析一个，我先来研究 a 大 于零，并且然后我要来看这个与 x 的 交点对不对？那么就是要研究什么东西，得它， 导航数的得它对不对？导航数得它，那也是有两种情况吧，对不对？一种是大于零，一种是小于等于零对不对？好，我们先来看当 a a 这一个大于零，然后并且得它怎样呢？小于等于零的时候，我们来画一下导航数的草图，导航数的话，这个时候应该是开口向上，然后与 x 轴有两个交点。 啊，不对，这个时候是开口向上，得它小于等于零，所以说与 x 轴怎样呢？至多有一个交点， x 轴成这种样子，对不对？ 好，总而言之，这是 f 到 x 的 图像，总而言之，我们可以得到，这个时候是 f 到 x 应该大于等于零，且不恒等于零。好，所以我们可以得到 啊，对，折下来它的原函数，因为 f x 都大于零了，所以原函数应该怎样呢？单调递增，然后单调递增，它也是有讲究的，它有讲究的，那它怎样增呢？那你来看，它是这样增 富无穷到零上，这样增上来，好，然后零到正无穷上，这样增上去，可以吧？是这样增的好了，那么所以我就得到了这个啊，这个时候， 所以得到 f x 这个时候是在 r 上怎样单调递增？然后它还有一个性质，它有一个性质，你来看现在我的这条白颜色的虚线，就是我的导航数 r 函数的对称轴吧。然后对称轴方程是多少？ x 等于对称轴方程， x 等于的是负的哦，看他对不对。二倍六 a 分 之二 b， 也就是负的三 a 分 之 b， 对 不对？然后对折下来，与我的原函数在这个位置有一个交点， 这一个焦点的话，就是就是原函数 f x 的 对称中心好，所以 f x 在 r 上单调递增，然后关于关于这个点中心对称，这个点的坐标横坐标是负 r a n 负的三 a 分 之 b， 然后它的纵坐标，那么我就表示成 f 负三 a 分 之 b， 可以 吧？好，它，关于这这一个点，中心对称，可以吧？它关于这个点中心对称。 好，中心对称好，这是第一种情况，然后接着我们再来看第二种情况。好，你先听着啊。 好，第二种情况的话是跟这一个有点类似，我来考，我们又来看 a 小 于零，然后的塔怎样呢？小于等于零的时候，我们来看一下这个时候导函数的图像，开口向下，然后与 x 轴之多右 是多有一个教练，对不对？好，那么这个时候我们又来分析。好，所以我可以得到的是 f 到 x 是 小于等于零，且不横等于零，那么对，折下来我就可以得到我的圆函数。圆函数它应该在 r 上是单调的减， 对不对啊？上单调怎样减呢？这样减下来，然后到一个点，再这样减下来。好，所以跟刚刚的我们分析的一样，在这个点处好，在这个点处关于它中心对称，所以我们得到了 f x， 首先是在 r 上单调 递减，然后关于还是一样的，这个时候呢？虚线他照样是我的这一个导航数。二次函数的一个 对称轴吗？对称轴是 x 等于负的三 a 分 之 b， 所以 圆函数的对称中心横坐标是负三 a 分 之 b， 纵坐标是 f， 负三 a 分 之 b， 关于这个点怎样呢？中心对称第三种应该是 a 大 于零，然后得它怎样呢？大于零的时候，然后我们还是一样的来看一下圆这个导函数的图像， 导航数的草图，这个时候二次函数开口向上都塔大于零了，与 x 左右两个交点好，两个交点啊，分别标一下，一个是 x 一， 另外一个是 x 二，然后也是一样的，它关于这条对称轴对称，对不对？ 好，那么我们有了导航数的草图，就可以来画圆函数的草图，把这两条虚线画下来一下，可以得到圆函数在负无穷到 x 一 上单调递增，然后接着减增，对不对？ 是不是？是好，然后那么还是一样的，我们现在再来分析一个，所以我们就得到，当 x 属于负无穷到 x 一 和不要用 b， 对 不对？我们说过了，和 x 二到正无穷 正无穷上的时候，我们可以得到 f 到 x 是 大于零的，对不对？然后 f x 在 这一个两段区间上单调递增，然后当 x 属于好这一个 x 一 到 x 二上的时候， f 到 x 又是小于零，所以我们可以得到 f x 在 这个区间段上是单调递减，是不是？这是它的单调性好，单调性完了过后，然后也是一样的，跟我们刚刚讲的一样， 照样我的这一个三次函数，它照样有一个对称中心，好，所以就是 f x 关于关于，那你看横坐标，照样是我的二次函数的对称轴还是多少， 还是负的三 a 分 之 b， 所以 它关于负三 a 分 之 b 的 f， 负三 a 分 之 b 这一个点中心对称 中心对称好，这是好，这一种图像好了，那么有了第三种过后，我们再来看一下第四种情况，第四种跟他是也类似， 也类似，就是当 a 小 于零的塔大于零的时候，这个时候我们又来画一下它的图像，开口向下与 x 轴有两个焦点， x 一 跟 x 二有一条对称轴，对不对？ 好了，那么我们对对应着，再来画一下圆函数的图像。圆函数来，我们又来了，在负乘到 x 一 上，先减后增再减 有一个对称中心。然后我们再来描述一下它的单调性，就是当 x 属于负无穷到 x 一 和 x 二到正无穷上的时候， f 倒 x， f 打 x 小 于零，对不对？ f 打 x 小 于零，然后 f x 是 单调递减，然后又来，当 x 属于 x 一 到 x 二的时候，是 f 打 x 大 于零，然后 f x 单调递增，对不对？好？还是一样的可以得到它的对称中心，是照样是前面的这一个好，所以我复制过来就可以了。 那么我们讲了这个啊，三一元三次函数图像，它总共是有四类，一类是，一类是在 r 上单调递增，另外一类是在 r 上单调递减。那么你看这两种情况有没有极值 函数？有没有极值？没有对不对？没有吧，没有它，你看它满足什么呢？它是倒是可以取得到 f 到 x 等于零的吗？嗯， 可以得到 f 到零等于零，但是他不满足我们极值的第二个条件在，在 x 等于零的左右两边单调性是不是一致？对， 对，单调性一致，或者导航数的正负是不是一致，所以他不满足第二个条件，有没有极值点呢？没有。然后接着再来看一下下面的两种啊，就当德塔大于零的时候，德塔大于零的时候，这两种情况又有没有极值点？ 有，有的。第一种情况，当 a 大 于零的时候啊，这一个极值点， x 一 处是几 大值？ x r 处及小值，这边 x e 处是及小值， x r 处是及大值，对不对？好，那么我们再往下看，既然有了极值的思想过后，第二点 好，要看零点个数，那么我们也来看一下三三次函数存在极值的时候，那么图像有两种样子，有两种样子，一种是增减增，对不对？ 然后另外一种是减增减，是不是这两种情况才有积分？好，那么这两种情况来我们一种一种的来看，这种的话是是还记得吗？是 a 怎样大于零的塔大于零，对不对？ a 大 于零了，开口向上吧，开口向上，所以说先是先是为正负正吧，导航数，导航数正负正余函数增减增，然后这种情况又是 a 小 于零的，它大于零的情况，对不对？ 好了，那么我们现在要来看的是 x 轴的位置， x 轴，那你看如果长成这种样子， x 轴，那么这个时候有几个零点？ 三个圆函数有几个零点？三个三个零点，然后如果这边也是一样的 x 轴，长成这种样子，也是有三个零点吗？对不对？那么我们关键要来看的是需要满足什么条件， 要让它有三个零点的情况，总的是不是有这样的两种，那么我们来观察一下需要满足什么条件？ 第一个条件，我的图像要长成这种样子吗？要长成这种样子，需要满足的塔要大于零，对不对？只有的塔大于零的时候，是不是才有极值点？对的，塔小于等于零，没有极值点，所以第一个的塔要大于零。第二个条件，我们来观察一下，刚刚我们说他是不是有两个极值点， 一个是 x 一， 一个是 x 二，那么你来观察一下两个图像当中 x 一 x 二有怎样的关系？ 这一个的值大值就是值小值，他两个怎样？一个为正，一个为负，他一个为负，一个为正。所以总结起来就是 f x 一 与 f x 二怎样？一号一号乘起来小于零，只要满足这两个条件就可以了吗？能理解吗？好，那我们类比着这种情况再来看，还可能会出现有几个焦点呢？你来思考一下， 再往下我要看 x 轴的位置吗？还可能会出现有几个焦点，两个两个焦点长成什么样子呢？好，我再画上去一点， x 轴在这个位置对不对？然后还可以怎样呢？比如说这边 x 轴在这个位置可以吧？那么这个时候有几个焦点， 两个两个焦点来，我们又来分析一下需要满足哪一些条件？第一个当然还是的塔大于零，只有的塔大于零了才有极值图像是才长成这种样子。 好，那么其次，既然刚刚我是用极值来判断他零点个数个数的情况啊，现在第二种情况，我们来看一下能不能用零点来判断 啊？他也是一样的，有两个零点，对不对啊？极值点啊，一个是 x 一， 一个是 x 二，这两个极值点，你来看他的极值 f x 一 怎样呢？等于零，然后这个 f x 二是小于零这一个，那么对应者是 x 一， 它对应的是 x 二， f x 一 是等于零， f x 二呢？大于零对不对？然后你来看，其实除了这种之外，我的 x 轴呢？它也可以长成什么样子呢？我再重新画一下，它也可以是在下面吗？这种能理解吗？ 如果我的 x 轴长成这种样子的时候，是也是有两个零点，包括这边我的 x 轴是不是也可以长成这种样子？对， 这种样子在前面有一个焦点，焦点零点后面又有一个零点。总而言之，这几种情况总结下来就是，我的 f x 一 乘以 f x 二，要怎样等于零？就其中有一个值等于零吗？对不对？能理解了吗？ 好，这是这种情况。好了，那么接着我们再移动 x 轴的位置，然后还可能会存在几个零点，一个还可能会有一个零点啊，如果是一个零点的情况，那么我们来画一下 x 轴，比如说，哦，长成这种样子， x 轴它是不是只有一个零点？又比如说，好，在下面画吧， 下面画，又比如说 x 轴在这一个位置，那么我们来看一下，第一个得它大于零没有问题了。第二个条件是还是来看它的极值对不对？ 这一个极值 x 一， 这个极值 f x 二， f x 一 跟 f x 二都怎样？小于零。然后这边又是 f x 一 跟 f x 二都大于零，所以总结一下就是怎样呢？ f x 一 乘以 f x 二大于零，它两个同号。第三 是三次函数，三次函数 f x 等于 a x 三次方加 b， x 的 平方加 c， x 加 d 的 伟大定律。 好，那么我们在讲伟达定律之前，我们就应该先思考一个问题，前面我们讲二次函数的时候，二次函数它有求根公式，也有伟达定律，对不对？然后其实三次函数的话，同样的它也有求根公式， 只不过说三次函数的求根公式相对比较复杂，所以说我们也不研究，也不记。但是三次函数我令 f x 等于零，得到一个三次方程，对不对？这个三次方程我们之前是如何解的？ 第一步是先拆根，对不对？我们说拆根基本上就是一二三四五这些来拆嘛？或者负一、负二、负三，对不对？ 第一步先拆根，第二步拆完根过后用短除，短除是除得另外一个音是，另外一个音是，就是一个一元二次的一个音，是吧？ 然后一般情况下这个一元二次因式它可是也可以十次相乘，所以最终我用这样的方法，第一步拆根，第二步短除得到一个三个因式相乘的是什么？那么我就可以解得 f x 等于零的三个解 x 一、 x 二跟 x 三能理解吧？我们解这一个一元三次方程的方法是这样的， 然后那么我们还是要了解一下，有了求根的方法过后，再来了解一下根的伟大定律。伟大定律的话，那么我们其实 非常长得像二函数的伟大定律。第一个是 x 一 加 x 二加 x 三，它等于的是负的 a 分 之 b， 是 不是长得一样 好？然后第二个是 x 一 乘以 x 二加 x 一 乘以 x 三加上 x 二乘以 x 三，这一个是 a 分 之 c， 对不对？目前为止讲的跟我们前面讲过二次函数的这一个是都都一样，一个负的 a 分 之 b， 一个是 a 分 之 c， 好， 它还有第三个好。第三个是 x 一 乘以 x 二乘以 x 三，三个乘起来，它等于的是负的 a 分 之 d， 负的 a 分 之几。那么你来看一下，就这一个跟我们前面的不一样了，对不对？好，这个你需要单独的记一下负的 a 分 之 d， 然后接着有了第三个过，后来我们有第四个。第四个是什么呢？第四个。那你看， 我用第二个式子， x 一 x 二，加上 x 一 x 三，加上 x 二 x 三，再除以上面 x 一 x 二 x 三。那么你来看一下这一个除了过后，等于的是我要分开，对不对？ 第一个是 x 三分之一，第二个 x 二分之一，这一个 x 一 分之一。所以整理一下， x 一 分之一加 x 二分之一加 x 三分之一，等于多少呢？ a 分 之 c 除以。 呃，除以负的 a 分 之 d 等于负的 d 分 之 c， 可以 吧？所以你来看一下其实这四个伟大定律，我只需要记中间的这一个，对不对？只需要记中间这一个，第一个跟第二个跟我们前面的是一样的，是类似的。

各位同学大家好，今天和大家分享一个非常重要的技巧，就是我们如何去秒求三次函数的对称中心。 三次函数在我们的考试中频繁出现，尤其是三次函数的对称中心，百考不厌，那么如何掌握快速且准确的技巧，去求三次函数对称中心显得尤为的关键。今天通过一道例题，跟大家分享一个快速求三次函数对称中心的技巧。 题目是这么说的，已知函数 f x 等于 x 的 三次方，加上 a， x 加 b， 那 么这个函数的对称中心是什么呢？ a 选项显然考察的就是对称中心的定义对不对。 这个函数的对称中心，我们根据题目中分析，我们知道对称中心就是质变量 f 加 f 等于一个函数，那么对称中心是不是两个质变量相加除以二， 那就是二 x 加上哦，二 x 减去 a 加上 a 减去二 x 除以二， 这个点就是对称中心的横坐标 x 对 不对？我们计算一下，刚刚好就等于零。对称中心的纵坐标 y 就是 等于这个二， b 除以二 等于 b。 所以 说这道题 a 选项，它就是让我们判断这个函数的对称中心， 对称中心是否为零，逗号 b 对 不对？那么这是个三次函数，如何去判断这函数的对称中心？接下来同学们请竖起耳朵听好了， 我们如何去求这三次函数的对称中心？很简单，第一步， 我们对这个函数求一次导， f 一 撇 x 等于三倍的 x 平方，加上 a， 对 不对？第二步，我们再求一次导， 就等于六倍的 x， 好， 那到了这里我们停止。接下来对称中心如何求呢？就是令 二阶导等于零，令二阶导等于零，我们立马得出六 x 等于零，此时解出来这个 x 等于零，这个 x 等于零，就是对称中心的横坐标，这个 x 等于零， 那对称中心的重坐标 y 怎么求呢？就是把这个解出来这个零带入到原来的表达式 f， 零进去，带进去 f， 零就等于 b， 那 这个 b 就是 对称中心的重坐标。所以说这样的话，我们就把对称中心的坐标求出来了，就是 零。逗号 b， 那 和我们 a 选项显然是正确的，所以说这个 a 选项我们一定要去选上去。 那关于对称中心的求法，我们再尝试一遍，就是对这个函数进行连续求两次导，求完两次导之后，令其导函数为零，解出对应的 x 值，解出来的 x 值即为对称中心的横坐标。将解出来的 这个值带入到原来的表达式进去，求出来这个函数值就是我们对称中心的重坐标。 那么这里求来的对称中心是零 b 和题目中给的这个抽象表达式的对称中心代表的含义是一模一样的，所以说这道题 a 选项显然正确，同学们，你听懂了吗？听懂之后赶紧去实施吧！

大家好，我是 orwell， 这是我第一个讲解题目的视频，希望大家多多包涵。 今天我们来讲解一下在高考当中常考的三次函数，近五年以来有九次都考到了三次函数的考点，它分别从三次函数的一个对称性、单调性、极值与最值的求减数范围以及切线方程等多个方面去考察三次函数。 今天我们从三次函数的单调性、奇偶性，以对称性和拓展一个原函数和导函数性质之间的联系去讲解三次函数。 首先我们一起来看三次函数的单调性。 我们研究一个 f x 等于 a 的 x 的 立方加 b， x 平方加 c， x 加 d 的 形式，为了让它加三次函数，所以说我们的力方向不等于零。 我们来研究一下这个 f x 在 什么情况下，它的单调性又是如何的呢？好，既然我们要研究单调性，单调性与什么有联系，是不是？当然是和我们导函数的正负型有联系，对不对 f x 一 撇儿的正负有关系。因此我们要对这个函数的单调性进行讨论，必定要对函数进行求导， f x 一 撇儿就等于三， a x 平方加二， b x 加 c， 显然这是一个二次函数，所以说对于这个二次函数而言，我们要去讨论这个二次函数一个根的存在性和根的分布的情况，对吧？好，我们对于这个二次函数而言，第一个 情况，如果说这个的它呀它是小于等于零，那么这个二次函数是不是与我们的 x 是 没有交点的？意思是说我们的 x 是 不存在解的， 那么它存在了哪两种情况呢？第一种情况， a 大 于零的情况，它大小于等于零，与 x 没有交点。你看，此时我们的导函数是在 x 的 上方，因此我们的导函数是很大于等于零的。 所以说我们的原函数是不是单增的好？第二种情况， a 小 于零的情况，开口向上与 x o 没有交点，那么我们的导函数是不是很小于零好，因此我们的导元函数就是 单调递减的。第二种情况，当我们的单调不再是小于等于零，而是大于零的情况下，此时你的这个二次函数与 x o 有 交点。我们仍然分成两种情况去进行讨论。 第一个 a 大 于零的情况，它与我们的坐标轴相交于两个点。这里我们不再去求解这个 x 一 和 x 二，我们先表示出来 x 一 和 x 二，我们可以看到 f x 在 哪个范围内是正的呢？是不是从负无穷到 x 一 和 x 二到正无穷，它是一个恒正的？所以说我们可以下结论， f x 要在 是负无穷到 x 一 和 x 二到正无穷是单增的 好，是不是在我们的 x 一 到 x 二之间是单减的？同样的道理，当 a 小 于零的时候，此时二次函数开口向下，仍让我们设两个焦点是 x 一 和 x 二。由上面得知，我们是不是直接就能够同理得到我们的这个函数的一个单调性， 当 f x 属于负无穷到 x 一 和 x 二到正无穷时，此时我们的三次函数是不是应该是递减的？相反，在 x 一 到 x 二处，是不是应该是单增的 好，这是单调性。第二个，我们来看三次函数的基数性， f x 仍然设为 ax 立方加 b， x 平方加 cx 加 d 的 形式。由于我们可以知道我们要使得一个函数， 我们这里 a 不 等于零，那么这个函数是由四项构成，是由四项构成。因此我们知道以第一项，由于 a 不 等于零，第一项必定是奇函数，第二项它是一个偶函数， 第三项是一个奇函数，第四项是一个常数。所以说我们要满足 f x， 它是不是仅有可能存在是奇函数的情况了，对吧？因为你的 a 不 等于零， a 不 等于零，第一项必定有奇函数项的存在， 所以说你要满足它是奇函数，是不是要使得偶数向由偶函数组成存在为零？除了 b 要等于零，同时你要保证是奇函数，是不是要保证 f 零等于零，这个推出我们的 d 也要等于零。好，这是函数的一个奇偶性。来，我们再看一个函数的对称性， f x 等于 a， x 立方加 b， x 平方加 c， x 加 d。 刚刚我们由第一个在讨论它单调性的时候，知道它的这个导函数是不是一个二次函数。说三， a x 平方加二， b x 加 c 的 形式，对吧？这个二次函数，二次函数而言，它是不是一个对称函数啊？ 它的对称轴为多少呢？是不？ x 零等于负二 a 分 之 b， 你 看是不是负的六 a 分 之二， b 是 不等于负的三 a 分 之 b 啊？ 好，对于这个二次函数而言，它有这个对称轴，所以说我如果从对称轴两边出发，离对称轴相同的距离，它的这个导函数值是不是就相同的？每一个点数都是相同？ 好，我们就做一个比喻啊，比如说这里是我们的 x 零处。好，对于这个 f x 而言，就是从 x 零左向左边出发和向右边出发，由于每一个点处到函数值相等，因此你的函数值的增加是不相同的。所以说我们这个 f x 是 不是要关于我们这个 x 零 f x 零中心对称？所以说 f x 呀，关于我们这个负的三 a 分 之 b 和 f 负的三 a 分 之 b 中心对称。好，这是我们三次函数的对称性。 接下来我们来讲原函数和导函数的性质的联系。 第一种情况，如果说我们的原函数是一个周期函数，原函数是一个周期函数，例如我们让原函数的最小增周期 f x 的 最小增周期是 t， f x 加 t 好， 那么我们这个函数是不是就存在 f x 等于 f x 加 t？ 我 们要去求导函数的性质，是不是要去找 f x 一 撇儿性质啊？怎么处理呢？是不是对于这个等式，右边求的是不是 f x 一 撇儿？ 好，等于和等式坐标求导，是不是 f x 加 t 一 撇乘以 x 加 t 一 撇啊？ x 加 t 一 撇就是一，所以说它就等于 f x 加 t 一 撇，所以说 f x 一 撇的最小正周期变不变啊？是不变仍然是 t 人为 t， 好， 这是我们的周期性。第二个，再看我们的这个对称性 好，函数的对称我们可以从两个方面去出发，第一个方面是不是关于点对称，第二个方面是不关于轴对称呢？好，第一个我们先来看点对称，如果说我们的原函数 f x 关于 a 轴和 b 对 称， 那么有一怎么样一个等式呢？是不是 f x 加 a 加上 f， 负 x 加 a 是 不是等于二 b？ 通过上面的启发，我们要去找导函数的性质，是不是仍然是对这个式子两边同时进行求导？我们来求一下导 好。对于这个式子左边求导，是不是 f x 加 a 一 撇， x 加 a 一 撇乘以一，是不是再加上 f 负 x 加 a 一 撇乘以多少呢？是不是这里是 x 减 a 的 导数是不是负一啊？所以说我们这里乘个负一 等于零二二， b 的 导数是不是零，所以就得到什么呢？说 f x 加 a 一 撇二，是不是等于把这个移过去？是不等于 f 负 x 加 a 一 撇二？所以说我们可以下结论， f x 一 撇二是，关于是不是 x 等于 a 对 称 好，这是点对称。我们再来看轴对称的情况， f x 关于 x 等于 a 对 称， 那么是不是有 f x 加 a 是 不是要等于 f 负 x 加 a？ 同样的，我们对等式两边同时进行求导，看准式左边求导，是不是 f x 加 a 一 撇儿，是不是要等于 f 负 x 加 a 一 撇儿，就乘以负一来移过去，得到什么条件呢？ 就是 f x 加 a 一 撇二，加上 f 负 x 加 a 一 撇等于零，所以说 f x 一 撇二。说关于 a 逗号零对称 好，这是我们的对称性。再来看周期性啊，基偶性，基偶性的话，这里实际上我们就看，如果原函数是一个奇函数，那么 a 是 不是等于零？那么此时你的导函数是什么呢？说 x 等于 a 对 称，所以说我们有一个结论叫什么呀？ 我们推导一下，一个结论叫做元函数为基函数，那么导函数就为偶函数。好，元函数为偶函数，导函数就为基函数。 ok， 这是我们的基本知识储备， ok， 接下来我们以杭州耳膜和温州耳膜的题目来具体进行讲解，大家暂停用几分钟的时间来做一下这个杭州耳膜 later， ok， 我 们一起来讲解一下。很多人问这个题，它放在了第十级的问题位置上，说明这个题我们是有能力去完全解决的。我们来看 a 选项，它要让你去查存在 a 属于 r 的 f x 为增函数。好，要使它是增函数，是不是就去查它的单调 行，它单调性是与我们的导函数的正负有关，所以说我们要对这个函数进行求导。 f x 一 撇儿就等于六， x 平方加十二 x 加 a， 图所完全平方形式是六倍 x 加一的平方就是加 a 减六啊。 好，我们可以知道这个平方向一定是大于零的，那么如果我们说这个长竖向也大于零，这个是不是一定大于零？所以说当你的 a 减六十大于等于零时，你的 f x 一 撇是不是横正 f x 是 不是正函数啊？ 所以说是存在这个 a 属于二的 a 属于什么范围啊？ a 是 不是属于零六到正无穷的范围的时候， f x 就 为正函数。 b 选项。大家好，我们去看所有的 a 属于二式的 f x 为奇函数。来，刚我们讨论了 f x 为奇函数， 你这个是奇数项，奇函数项，这个是奇函数项，但是你这里是不是存在一个偶函数项啊？所以这个函数是不是一定不能为奇函数， 对吧？由于你这个六倍的 x 平方的影响，所以说呢，一定不是奇函数。好， c 选项。我们来看，他说 f x 存在三个零点， x 一， x 二， x 三，这样你去求 x 一 加 x 二加 x 三的形式来，我们看到 f x 的 每一项都有 x， 所以 说你的 f 零 是不等于零 x， 其中它的零点有一个就是零，对吧？所以说我们把 f x 写出来写成提一个 x 写出来形式说 x 呗。二 x 平方加六， x 加 a。 好，那么这三个零点是由什么组成的？是不是由 x 等于零的时候，它函数就可以为零，所以这个二次函数为零的时候是不是也为零？好，去去找这个二次函数等于零时，它的根的情况，是根的关系。要去找 x 二加 x 三是多少，是用我们的伟大定律， 是不是就可以去找 x 二加 x 三的关系啊？ x 二加 x 三就等于负的 a 分 之 b 就 等于负三，所以说你的 x 一 加 x 二加 x 三就等于零，减三等于负三，所以 说 c 选项正确的。我们再来看多个选项，多个选项是整道题当中稍微难那么一点点的选项，你看我们应该如何去处理？首先拿到切线问题，我们首先要去看给的这个点是否在切点上， 那我们来看刚我们知道 f 零等于零，但这里是零，逗号 m m 不 一定为零啊，所以说我们以这个点不在节点上的情况为主，不在节点上我们第一位要干嘛呢？刚我们说第一步要去看点是否在线上， 如果不在曲线上，我们要去设切点，比如我们说是 p a p 是 x 零， f x 零， f x 零是不是就是二倍 x 零的三次方加六 x 零的平方加 ax 零， 好，由于你这个点是切点，那么你这条切线的斜率可以怎么表示啊？第三步 表示斜率， k 说可以等于 f x 零，一撇儿等于多少呢？把函数刚才我们求了导了，这里六倍 x 零的平方加十二 x 零加 a， 是 不还可以等于你设的这个切点和原本给的这两个点去找斜率啊？是不等于 y 二减 y 一 比上 x 二减 x， 一 来表示出来说也等于我们这里 二 x 零的立方加六 x 零的平方再加 a， x 零是不是减 m 除以 x 零减零 来这里我们是不是可以去分离出 m 来呀？好，分离出 m 就 等于我们的负四 x 零的三次方减六 x 零的平方。 提高当中要求我们要存在有三条切线，那么你这个点定了要存在三条切线。哦，你这个点定了要存在有三条线，一、二三不存在的三个 x 零的解。所以说你要使得 m 等于这个函数有是三个交点， 对了，是 g x 等于负四 x 零的立方减六 x 平方与 m 有 三个交点。 好，这个时候我们去研究 g x 的 这个性质，对它进行求导。 g x 一 撇二又等于负十二倍， x 平方减十二倍， x 又等于十二倍的 x 乘以 x 加一负的啊。对了，所以说你这里有两个奇值点，分别是零和一， 零和一。来这个导函数是开口向下的函数，所以说圆函数是先减，减到零，这里零到一针一到针无穷。是不是又是减，要使得它有三个焦点，要使得它有三个焦点，你看这是 m 这条直线， m 这条直线来又是有三个焦点，是不是来向上滑是最大到极大之点，向下滑是不是最小到极小之点？所以说你要去求这个极大极小之看 f， 哦，对， 既零等于多少？是不零啊，既一呢，就不等于负 哦，这里是负一啊，这里是负一，这里是负一。不好意思，划错了，这负一和零是不是既负一带进去是不是四减六，是不是应该等于负二？所以说你的 m 啊，就属于零，负二到零 能不能取等呢？我们来看，如果要去取等，此时有几个焦点，是不是有一个两个焦点不满足三个焦点情况，所以说这里不能够求取等啊。所以说众牲所述 m 的 范围就是负二到零，所以说这个题选 a c dog。 好，这是我们的杭州耳膜，看上去也不是那么的蓝。 ok， 接下来我们来讲一下温州耳膜的第十题，大家暂停视频，先做一下。 好的，我们一起来看到一个题，这个 f x 等于 x 立方减三 a 方 x， 它的极大值点和极小值点分别是 m 和 n。 然后呢，分别做 x o 的 平行线，交 f x 于 c a 两点，然后构造 m n 的 矩形， a b c d。 好， 这个是 四平行，是一个矩形，垂直的，垂直的，由于对称性。上下是不是要相等？上下是不是要相等？左右是不是要相等？左右要相等。好， 来第一个 a 选项，它让我们去找 x 一 减 x 二， x 一 和 x 二是它的什么呀？是不是它的极值点的坐标？所以说你要去找极值，是不是先去求导 f x 一 撇儿 就等于三 x 平方是不是减三 a 方好得出来，是不是三倍的 x 方减 a 的 平方。所以说你 f 另 f x 一 撇等于零， x 是 不等于正负 a 好，你的 n 点在 x 得正方向，所以说你的 x 二是不等于 a， x 一 等于负 a 和 x 二减 x 一， 是不是就等于 a 减负 a 是 不是应该等于二 a 正确吧？好， b 选项，他让你看 m 点和 cd 点，他的一个等分关系。等分关系好，你要去找他的等分关系。刚刚说了，这四条边是相等的， 那么你是不是只需要去求的 d 点的横坐标，或者是 a、 b、 c、 d 四个点的任意一个点的横坐标，是不是可以跟通过你的坐标的关系，这样去求的它的一个得分关系好，你看 d 点的坐标值是不是等于 a 点的坐标值？ 嗯，横坐标是不是相同的，但是你的这个函数值是不相反的，所以说你 d 点的函数值又等于 m 点的函数值。所以说我们假设 a 点是 x 一 y 二，所以说你的这个 f x 一 不等于我们的 x 一 的立方减三 a 方 x 一， 所以应该等于负的，这个 m 点数的函数值是负的 f 负 a 等于负的 负， a 的 立方是加三 a 的 立方，意思是什么呢？ x 一 的立方减三 a 的 平方 x， 然后是不是减？ 我看啊，减我们的二 a 立方是二， a 立方等于零， 嗯，加不对啊，是，这里是加二， a 的 立方等于零，你看与 a 点函数值相同点，还有哪个点呀？说 n 点， n 点的函数值是不是我们的 a 横坐标值是不是等于 a？ 所以 说这个方程其中有一个根呢，就是 x 一 等于 a， 所以 这个时候我们要去对这个三次函数进行因式分解， 进行因式分解。对于三次函数的因式分解，我们分为两步，第一步叫做拆根， 你把 x 等于零啊，正负一啊，这种正负二啊，这种带进去看能不能得到一个根。第二个拆出来根之后，我们去凑根。 刚我们知道我们 x 等于 a 是 它的一个减，所以说这个时候我们去凑呢，依次三项分别去凑来。第一项 x 一 的平方，你要提个 x 减 a 出来，是不是要去凑负 a x 一 的平方，减了一个 a x 一 的平方是不是要加一个 a x 一 的平方？ a x 一 平方是不是除以一个 a 的 平方？ x 一 来原本是负三 a x 一 的平方， 负三 a 方 x 是 不是还剩负二 a 方 x 一 好，最后再加上二 a 的 立方，是不是等于零？好，提，一个 x 减 a 出来，还剩下什么？递一下，是不是还剩下 x 一 的平方，然后 x 一 的平方是不，然后加 a x 一， 然后减二 a 方，这里这个 我们来看，这里是不是就拆成了一个二次函数啊？我们看这个二次函数能不能因式分解一，一负 a 是 不二 a 因式分解是不加起来是 a， 所以 这个时候又可以因式分解成 x 减 a 乘以 x 加二 a， 所以 说这个式子就应该是分解成 x 减 a 的 平方是不是加乘以 x 加二 a 等于零，所以说要满足 a 点次数 a 点的这个横坐标值是不是就是负二 a 这个长度是不是就是二 a 好， 这边就是二 a 二 a 二 a 好，你看，所以说总长是四 a， 你 这里占 a， 所以 说应该是四的分点好。再看 c d 选项 c， d 选项 a 等于一是，我们来看 a 点和 d 点 m 点，它的坐标值的大小是不相同的，看 m 点的坐标值的大小是不就是 fa？ fa 是 不是我们的 二 a 方？ f a 是 不是我们的二 a 方？这里是不是等于我们的负二 a 方？二 a 方。所以说这条边长是不就是四？ a 的 平方到 a 等于一的时候，所以说你的四条边都是四四四，所以说它是一个正方形。其实 c 选项也是正确的，多个选项到 a 等于一的时候了。刚我们是不是画了一个正方形？ 好，他每条边长都是四，看这个是不是我们的菱形呢？这个是我们菱形呢，是四等分点。好，这么一个四四边形，看这个四边形而言， 由于你是四等分点，所以说你上下两条边边长是不还剩四分之三，所以说三三 好。这条边是一，这条边是四，这条边是根号下时期好菱形，要什么四条边相等，这四条边是不相等，所以说它不是菱形，所以说这个题选我们的 a c， 这题选我们的 a c， ok， 这是两个例题的讲解，后面我还放了放了两个对点练习，大家截图做，然后答案我放在评论区。

十分钟速通三次函数超高频考点，看完本期视频，三次函数轻松拿捏！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，追根我的高考百日百课 三次函数做我们的超高频考点有两类题型我们一定要掌握，第一类，图像结合单调性的题型。第二类， 对称性结合我们的零点问题。那么在讲题目之前，我们先来熟悉一下我们三次函数一些常用的性质，三次函数求导之后，他一定是一个二次函数，那么作为二次函数，我们是不是要看他的得塔大于零，小于零的时候， 才能够去确定它有没有零点，它有没有零点呢？就会影响我们 f x 的 单调性，对不对？我们这里只看到我们的 a 大 于零， a 小 于零，同学们可以自己去分析一下，如果我们的得它小于零，那我的 f 一 撇 x 图像它应该怎么样？与我们的 x 轴是没有交点的吧？这里就是我们的 f 一 撇 x， 此时呢，我们的三次函数它应该怎么样呢？直接就是单调立正的就可以了，我们画的稍微的标准一点啊， 单调递增的，那么第二种德塔，它等于零的话，那此时我们的 f 一 撇的图像，它是不是与 x 轴有一个交点，对吧？那么既然有一个交点呢？我们的 f 一 撇 x 它也是单调递增的，但是它在我们的 这个什么处，与 x 轴相交的那个地方，它会怎么样？它会有一个比较平缓的时候，就是这个点，我们把这个点叫做注点。 好，那么看到第三种情况，第三个得它大于零，那么此时呢，我们的 f、 e、 p、 x 啊，它与 x 轴一定会有两个根，对不对？就是我们的 f e、 p、 x， 所以 此时我们想一想看，我们这里的 a， 它是大于零的嘛？ 那么我们这里应该就是这样画的，没问题吧？所以它是先增后减再增，那么所以它的图像呢，我们就能够大概画一下先增后减再增这样一个图像的模型，这里呢就是我们的第一个焦点 x 一， 这里呢是我们 f e、 p x， 第二个焦点 x 二， 这里画出来的呢，就是我们的三次函数的图像，以及它的导数的一些情况。好，我们看到第二个题型，第二个知识点，我们的对称性以及零点，那么它有什么对称性？我们来看一下。 首先我们看到它的导数肯定是关于某一条轴对称的，对不对？那么看到三次函数，它这里呢，是不是关于这个点对称， 你会发现呐，我们这个导函数的这个对称轴，它其实就这个对称点的。什么呀？横坐标，如果 f x， 关于 a、 b 这个点对称，那我们的 f、 e、 p、 x 呢？它一定是关于我们的 x 等于 a 对 称，那么这边其实也是一样的，在这里对应下来，如果这里是 a、 b 这个点，那么这对称轴呢？ x 等于 a， 包括第三个也是一样的，它这里对应的是这个点 a b， 那 么它关于 x 等于 a 对 称，我们会发现还有个什么问题，如果我们去让它与 x 轴相交，那我们前面两种情况，一定是说最多就一个零点吧。那么第三种情况，我们看看它有几个零点呢？如果它的定域是无穷的，是 r 的， 那我们此时是不是可以有一个焦点 x 轴在这里的时候，是不是也可以有两个焦点 x 轴在这里的时候，然后呢，再上来是几个？三个，三个，三个，再上去呢？又是两个，对不对？ 再到最上面怎么样？它又变成了一个吧，所以这种情况它一定是最喜欢考我们的。好，我们来看到第一类题型，图像和单调性的结合是 a b 不 等于零，说明 a 跟 b 一个都不能为零喽。 若 x 等于 a 为函数 f x 的 极大之点，问我们下面哪个是正确的？首先这里的 f x 是 什么呀？它是一个三次函数吧，我们来求一下导 f 一 撇 x， 好， 这里是一个 g 的 形式，我们把它这里看成一项，这里看成一项吧，所以我们第一个求导 a 抄下来啊， 两倍的 x 减 a， 然后呢，后面的是不变的，再加上后面求导出多少就是一吧。然后前面不变 x 减 a， 方整理一下，等于 a 倍的 x 减 a 乘以三 x 减 a 减二 b， 所以 我们练它等于零的时候，是不是能求出两个根，第一个 x 等于 a， 第二个呢？ x 等于三分之 a 加二 b。 好，那么这里我们看看，我们需要去标根对不对？这里首先你的 a 的 大小于零都不能确定呐，所以呢，我这个 f、 e、 p、 x 向上画还是向下画，我都不能确定吧，所以我们这里需要去讨论。那么第一种情况，如果 a 大 于零的时候，那我们的 f、 e、 p、 x 它是不是这样的？它有两个根嘛？ 但是有一个问题啊，你这里的 a 和三分之 a 加二 b 哪个在左边呢？看到题目，他说 x 等于 a， 是 他的一个什么呀？极大之点。极大之点意味着左边是真函数，右边是减函数才是极大之点吧。 所以我们第一个左边，这里呢？ x 一， 我们把它不叫 x 一 吧，这个点它其实就是 a， 对 不对？那么另外一个点呢？当然就是三分之 a 加二 b， 我 们现在确定了他们的范围，然后你能够得到什么呀？我们的 a， 它一定是小于三分之 a 加二 b 的 吧。我们整理一下， 三倍的 a 减 a， 就是 二倍的 a 小 于二 b， 我 们能得到的是 a 小 于 b， 当然前提条件是 a 怎么样大于零的。第二种情况，我们再来看一下我们的 a 小 于零，既然 a 是 小于零，那我们的 f x f 一 撇 x 呢？它是向下划的，同样我们说了 x 等于 a 是 极大之点，所以它先增后减，所以呢，这个点是不是就是 a 啊？然后这个点是多少？就是我们的三分之 a 加二 b。 好， 那我们知道 a 它是大于三分之 a 加二 b 的， 当然它也小于零，我们这两个整理一下，你也能得到什么呀？ 是不是？这里呃，三 a， 然后减过来二 a 大 于二 b， 所以 a 它是大于 b， 当然它们都是小于零的。 到这里你会发现一个什么问题？这里是 b 大 于 a 大 于零，这里呢，是 b 小 于 a 小 于零，你看他问的是什么样？首先，我们 a 跟 b 的 关系能够确定吗？不能吧，这里是大。呃， b 大 于 a， 这里呢， a 大 于 b， 所以 ab 的 关系我们确定不了。这两个不知道怎么选啊？看到下面的 ab 和什么呀？ b 方他们两个来比较大小，观察一下，我们分两种情况得到的这样一个不等式，首先 b 大 于 a 大 于零，他们两个怎么样？同号同大于零， 那么第二种情况呢？它们同小于零，所以也就是说我们的 a 乘以 b， a 跟 b 的 g， 它一定是大于零的吧，因为它们两个永远是同号，那么 b 方呢？它是不是也是永远大于零呢？所以我要 比 a 乘以 b 与 b 方的大小关系，那我们可不可以把它加上绝对值？为什么要加绝对值啊？如果你不加绝对值，你这样假设它是小于号的话，你能不能直接约掉一个 b 啊？不能，因为你 b 的 符号不能够确定对不对？ 你既然这两个都是同号，那么它们的积是正数，我可不可以把它写成绝对值 a 乘以绝对值 b， 它们两个肯定是等价的，相等的，那么 b 方我是不是可以写成绝对值 b 乘以绝对值 b？ 这样写有什么好处呢？我们 左右两边呢？可以怎么样？可以直接约掉一个 b， 对 吧？约掉一个绝对值 b， 那 么就变成了绝对值 a 以及绝对值 b， 我 们是不是只需要比较这两个大小就可以了？我们从这两个大小变成了比它们绝对值的大小，再变成比绝对值 a 以及绝对值 b 的 大小。我们来看到 绝对值是什么样的？你离零越近，你的绝对值就越小了。你看看这两个式子，我们的 a 是 不是都离零近一点呢？所以我们的绝对值 a 一定是小于我们的绝对值 b， 那 么往上推呢？这里就是小于号，这边也是小于号，所以选到 c 选项， 看到第二个题型对称性以及零点的问题。设函数 f x 给了我们一个三次函数，那么第一步我们肯定要求导啊， f 一 撇 x 就 等于六倍的 x 方减去六 a， x 提取一个六 x 就 变成了六 x 倍的 x 减去 a， 所以 它有两个根，对吧？第一个根是 x 一 等于零，那么第二个呢？ x 二等于 a， 如果 a 不 等于零的时候，那它就有两个零点，如果 a 等于零，那么它就是一个了。我们来看到下面的选项，因为我们这里 a 呀，它跟零的大小关系是不能确定的，对不对？我们来看到选项，第一个，如果 a 大 于一的时候，它说 f 一 f x 有 三个零点， 那么 a 大 于一，我们是不是能够去标根呢？ f 一 p x， 那 么它应该就是，我们说这里是零呐，这里是 a， 因为 a 都比一大了，对吧？所以它是这样的， 所以我们的 f x 怎么样？他是先增后减再增。我们去画一下 f x 的 图像，先增再减再增，那么这个点对应的呢？就是我们的零，这个点呢，就是我们的 a， 没问题吧？这么来看到他既然要有三个零点，说明什么呀？我们这条 x 轴应该是在他的 这个极大值和极小值之间吧，我们来算它的极大值，也就是我们的 f 零，我们把零直接带进去， f 零带进来不就等于一了吗？好，我们再算一下 fa， fa 带进来两倍的 a 的 三次方，减去三倍的啊，也就是等于一减去 a 的 三次方，因为我们的 a 是 大于一，对不对？所以这里呢，它一定是小于零的，所以它是不是有三个零点没问题吧？那我们的 x 轴确确实实在它的中间，因为你这里比零大呀，所以 x 轴呢？它等于零，不就在中间嘛， 就它是有三个零点的。 a 选项是对的。那看到第二个，他说如果 a 小 于零的时候，那么我们两个零点，一个是零，还有一个呢？比零小。那我们重新标一下根， 第一个，它这里是左边是 a， 右边是零，对吧？它是这样一个 f、 e、 p、 x。 好， 我们来看到，既然它是这种形式，它说 f、 x 等于零的时候是极大值点，我们看到零的时候，它左边是怎么样？它是单调递减，再单调递增，那么先减后增呢？很明显是一个极小之点吧，所以 b 选项呢？错了。再看到 c 选项，存在 a 和 b， 使得 x 等于 b 为曲线的对称轴。你想想看，我们的三只函数，它不可能是轴对称图形吧，它明显顶多是一个什么呀？中心对称喽。再看到第四个，那么这是个多选择题，你当然知道，就选到了 a、 d， 对 吧？我们来看一下第四个，存在 a 使得点 e、 f、 e 为曲线的对称中心。我们刚刚讲过它的性质，我们三次函数的对称中心，它的横坐标是不是就是我们 f 一 撇 x 的 对称轴啊？也就是说，它存在 a， 使得 x 等于一为它的对称轴，那它的对称轴是多少？负二 a 分 之 b， 对 不对？ x 等于负的二， a 二乘以六负二， a 分 之 b， b 是 多少啊？负六 a 没问题吧？所以这个六跟六约掉符号呢？约掉二分之 a 等于一，所以 a 呢？等于二，是不是存在 a？ 所以 d 选项当然是对的。 以上呢，就是我们三次函数经常考的一些考点，希望同学们能够掌握。那么本期视频我们到此结束，我三阳，我们下期视频再见。

在十七世纪以前，人类已经学会了利用对应关系来理解世界，以及已经捕捉到了函数的灵魂。数量之间的对应关系 十七世纪由运动的研究引出一个基本的数学概念，函数。用函数表示几何量就是函数概念的几何起源。那么函数是什么？ 世界是一本以数学语言写成的书，用数学可以探秘自由落体运动、抛物体描回出的路径。动点。做曲线运动时，它的横坐标和纵坐标相互依赖，并同时发生变化，即用方程来表示变量之间的关系。 可以用函数表示随着曲线上的点变动的量，比如点的横纵坐标、切线的长度等。一个变量的函数应该是由该变量和常数组合而成的。算式加利律的运动数学化开启了函数的探索之路。 迪卡尔用方程来表示变量之间的关系是函数的映射。莱布尼兹认为函数是描述一格量随另一格量变化的规律。伯努利强调的是，函数必须是一个解析表达式。十八世纪对于一个概念发展中产生的局限性和模糊用语， 数学家是不能忍受的。认同这种解析式解释的数学家很多。于是，函数是由一个解析表达式所给出的，成为了十八世纪占据主位的函数概念。 如果某些量依赖于另一些量，当前者改变时，后者也随之改变，则称之为后者的函数。 即使一个简单函数，也可能有不同的解析式。如果某些变量间存在一定关系，当给定其中某一变量的值，其他变量也随之确定，那么其他变量就可称为函数。函数究竟是什么？ 是一条曲线，还是一个解析式？十九世纪，数学飞速发展，出现了各种各样的函数。狄利克雷是这样说的，有的函数很难用图像或解析式表示，比如下面的函数，当 x 为有理数时， y 等于一。 当 x 为无理数时， y 等于零。怎么办？于是，在原由解释已经捉襟见肘的时候，尼曼说，假定 z 是 一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每一个值都有不定量， w 的 唯一值与之相对应， 则称 w 为 z 的 函数。同学们，数学其实是人类写下的抽象世界的语言。正如爱因斯坦所说，宇宙最不可理解之处是它居然可以被理解，而数学正是这种理解的钥匙。

好，同学们，继续往下，我们来看一下第十题，这是一道三次函数的图像与性质的综合分析问题，那么前三项都比较简单，我们来快速过一遍。第一项，已知 f x 是 一个奇函数，那奇函数我们只要让它这个偶数像消失就可以了，所以 b 等于零是对的。 好，第二项，他说如果 f x 是 一个增函数，我们知道如果这个三次项系数是一个正数，他这个三次函数有可能是这种增减增的构图，也有可能是这种恒增的构图， 那么恒增的构图它会产生一个注点，产生注点的这个等价条件是什么呢？就是这个函数没有极值点，没有极值点的这个等价条件就是他的这个导数要没有编号零点。所以第一步我们先对这个 f x 来求个导 好。三 x 平方加上二 b x 啊，加上一个 c， 你 要让这个图像没有编号零点，那我们就画一下它的这个视域图， 它这个没有编号零点，有可能是全部都在 a 轴的上方，也有可能刚好顶点是出现在这个 a 轴上。这两种情况都属于没有编号零点，那么所以我们可以看出，要么是这个的它小于零，所以合在一起就是的它小于零，然后我们把的它转化成一个不等式，就是四 b 方 好，减去四 a c， 就是 减去一个十二 c 好， 要小于等于零，然后化简这个方程，我们可以得到的结果是 b 方啊，减三 c 小 于等于零，这个跟题目给我们的信息是违背的，说明这个 横增的等价条件是 b 方减三 c 小 于等于零，那这里有一个隐藏信息，说明这个 b 方减三 c 大 于零，它的等价信息就是此时它这个图像应该是一个这种增减增的构图啊，应该会出现两个极值点。 好，第三项，他说 f x 的 零点之合要等于 b 方减三 c， 那 么我们现在就令啊，我们对这个 c 选项就令这个 f x 等于零。 那么很明显啊，第一个节就是 i 等于零，我们把 x 提出来，剩下部分是一个 f 方加 b x 加 c， 前面这部分他的第一个零点，我们把它记作是 s 三吧，后面的记作 a l， 这个 s 三就是一个零， 那么后面的这个部分 a 一 a 二，现在要求他的这个平方之和，那我们就先来一个伟大定律，两根之和等于负的 b 啊，两根之积等于一个正的 c， 所以 现在如果我们要求 a 一 方加 a 二方，我们这个地方就给他来一个完全平方公式，等于 a 一 加 a 二的和的平方好，减去二倍相好，那么代入数据再做一下化简，这个就是一个 b 方 好， b 方减二 c， 那 么再加上 s 三的平方， s 三是零，平方也是零，所以这个三个平方加在一起，应该就是一个 b 方减二 c， 所以 这个第三项啊，它也是不对的。 那么最后一项啊，它说当 b 方减三 c 大 于零时，存在两条相互垂直的直线与 f x 相切，这句话说的有点绕口，换一句话就是说它这个曲线在不同处存在两条垂直的切线， 那么我们知道他这个图像已经是长这个样子的增减增，你如果要出现两条互相垂直的切线，而且他没有要求是在同一点处的切线，那这个取值范围就很宽放了。比如说这边有一条长这样，这边有一条长这样，那么怎么验证他是否有可能垂直呢？我们把它转化成代数形式，我们假设在这个地方 的切点加 i e， 那 么这条切线它的这个斜率，它对应的就是 f 导 i e。 假设在这个地方啊，存在一个切点，我们给它叫做 x o， 它产生的这个切线斜率就是 f 导 x o。 你 如果要两条切线垂直，它的等价信息就是要让 f 导 i e 跟 f 导 i o 的这个乘积等于个负一相乘等于负一，就说明这两个数它肯定是什么呢？肯定是一负一正的关系。所以下一步我只要去找到这个导数的值域，如果在导数的值域当中，我们通过验证发现有可能使得两个数值相乘等于负一，那就有可能存在这样两条相互垂直的切线， 那么导数我们刚刚已经算过了。三 a 平方加二 b， x 加 c， 这是一条开口向上的抛物线，所以我们不难看出，当 x 对 称轴是负的二 a 就是 负六，负六分之二， b 就是 负三分之 b 时， 当 a 等于负三分 b 时，那么我们把它带入进去，可以求出这个 f 倒的一个最小值 啊。把它带入去做一个计算，可以求出这个 f 倒的最小值啊。这个地方我们把负三分之 b 带进去，就是一个三乘以一个九分之 b 方啊，加上一个二 b 乘以一个负三分之 b 啊，然后再加上一个 c， 对 它做一个化简，这里是一个正的三分之 b 方，这里是一个负的三分之 b 方，所以它就是一个 c 减三分之 b 方， 好，这个是导数的一个最小值，而这个 c 减三分之 b 方跟题目给到我们的这个前提范围，它刚好是可以判断正负关系的。我们对这个式子做一个移项，就可以得到 b 方大于三， c 除以三，就可以得到三分之 b 方，要比 c 来得大， 所以前面这个 c 小， 后面这个三分之 b 方大小减大，说明这个结果是一个负数，那就说明什么呢？就说明这个导数啊，它的这个最低点现在肯定是要在 a 轴的下方，最小值肯定是一个负数，那么从我们就可以判断出这个 f 导 它的这个取值范围是属于一个什么呢？我就这样给大家表示，属于一个负数，一直增长到正无穷， 那么在这个范围当中，我们在负的这边取一个数值，在正的这边取一个数值，肯定有办法让它相乘，等于负一。我打一个比方，比如说在这个 b c 明确的情况下，假设我这个负值的起点是负一，那么我在负的这边取一个负的零点五 啊，负的二分之一，那么正的这边我只要取一个正二，就可以让这个两条切线斜率乘积等于负一是一定有办法实现的。无论负的这边他的边界是多少，因为我正的这边能取到正无穷，最终在正的这边一定能够取到他的负倒数，所以最终一共 一定是能够找到这样的两条啊，这个垂直的切线的，所以这个 d 选项也是正确的。

在数学的浩瀚宇宙中，叉值法就像一座桥梁，连接着离散的数据点与连续的平滑曲线。拉格朗日叉值公式就是其中极具代表性的一种，早在十八世纪就由法国数学家约瑟夫路易拉格朗日提出。 想象一下，在平面直角坐标系中，我们已经记录了若干个数据点，比如不同时间点上记录的温度测量值。如果想知道两个已知点之间某个位置的未知数值该如何预测，这时差值法就发挥了关键作用。 差值的核心目标就是通过已知数据点构造一个连续函数，从而计算出点与点之间甚至点外的数值。而拉格朗日差值的魅力就在于他给出了一个精确的表达式， 能够通过多个已知点直接构建出一个经过所有点的多项式。具体来看，拉格朗日差值的设计思路， 平面上有 n 个互不相同的点，横坐标依次为 x 一、 x 二，一直到 x n。 纵坐标对应 y 一， y 二一直到 y n。 我 们的任务就是找到一条平滑曲线，或者说一个多项式函数，让它恰好经过所有这些点。 如果用传统解方程组的方法求解，计算量会随着点的数量增多而迅速变大，过程非常繁琐。而拉格朗日提出了一种十分巧妙的拼图式思路，把复杂问题拆成了更小的、更容易处理的部分。他的核心思想是不直接构造整条曲线， 而是先给每一个点设计一个基函数，也可以理解成一个专属的开关公式。这个开关需要满足两个条件， 第一代入这个点本身时值为一，相当于开关打开。第二代入其他任意点，时值为零，相当于开关关闭。这个开关公式怎么构造呢？非常直观。 为了让其他点代入后结果为零，分子可以写成 x， 减去其他所有点的横坐标。比如说要为 x 一 设计开关公式，分子就如图所示。 这样一来，除了当前点，其他点带进去分子都会出现一个零因子，整个式子自然为零。为了满足第二个条件，也就是将 x 一 带入后，结果等于一，只需要把 x 一 带入后，看分子的值是多少， 然后再把整个分子除以这个值，就能得到标准的奇函数，这就是开关公式。说到这，还有一个问题，这个专属开关做好之后，怎么去给它调整高度，再把它们拼接在一起，从而得到最终的差值多项式呢？ 已经有了第一个点的专属开关，它在 x 一 处的值等于一，要让它在这个点的高度是 y 一 的话，只需要把这个开关乘以 y 一 就可以了。 同理，可以为每一个点都这样做，将专属开关乘以它对应的纵坐标，最后再把这些项全部相加，就能得到最终的差值多项式。它会完美经过所有这些已知数据点。 在天文学中，他可以预测天体运行轨迹。在计算机图形学中，用于图像渲染与曲线拟合。在医学领域，用来分析健康数据，预测病情变化。在气象学中，更是通过历史气象数据预测未来天气，为天气预报提供重要支持。 尽管拉格朗日差值在众多领域中展现出强大的能力，但也有其局限性。随着数据点增多，差值多项式测速急剧升高，计算量大幅增加，差值曲线可能出现不必要的波动， 这就是著名的龙格现象，导致结果不仅变得不准确，而且还失去原本应有的平滑性。因此，在实际工程中，传统采用分段差值、样调差值等方法 在一定程度上缓解叉值曲线波动的现象，表现更加稳定。总体来说，拉格朗日叉值法非常适合数据点较少、需要局局多项式拟合的场景， 它结构清晰、形式优美，能保证在每个已知点上精确拟合，同时形成一条连贯平滑的叉值曲线。

乍一看，这是一道普通的三次函数横成立问题。本来我以为它很难，做好了打一场硬仗的准备，但当我定睛一看，我笑了，这个条件居然可以分解。事情变得不能说索然无味，只能说趣味不足。我们把左边分解成它俩乘积， 这时候很多同学会想到它失共零点问题。我们引入函数 y 一 y 二，结合各自单调性和图像性质，我们只要让它俩零点重合就行，且 a 小 于零，从而得到 a 与 b 的 关系式。 至此，解题过程已过大半。可以说，自从发现条件左边可以分解，一路走来还是比较顺利的。那我要问了，要是条件左边不能分解呢？阁下将如何应对？接下来交给基本不等式就行了，最小值是四。你对本题有什么看法？

是不是讲过的？讲过我们再来讲一遍哈，好像这样的怎么去处理？首先第一步还是干嘛？球打 f 撇 x 等于三减三 x 的 平方，然后因此分解吧，等于三一减 x 一 加 x， 对 不对？对，好，那这个开口向哪？ 我先不管这个哈，我先把它我原本的求一下哈，开口向下，一个根负一，一个根负正负，所以 f x 在 负无穷到负一单调递减，然后负一到一单调递增，一到正无穷单调递减，对不对？所以他是先减后增再减，是不是这样的？然后这个点是多少？ 负一，这个点是一。好，那他说上有什么值最小值，我们再来读这是什么区间？开区间，所以他不可能在哪里取到最值的最小值，他是不可能在端点取到的吧？ 那只能在哪里举到极值处，那是不是极小值？那极小值，那这里是多少？ a 减五什么星空心，对不对？然后这边知道二 a 加一也是什么星空心，当你发现他还可以跳跳跳，跳到哪里来？ 这里行不行？你发现这个最小值你只能干嘛？平的，那你只能到这里为止，是不是只能到这里为止啊？那你再过来行不行？不行，那只能在这上面吧。那我们来看有几个条件，第一个条件， 我假设这个是 m， 可以 吧？肯定 a 减五肯定要干嘛？小于负一能不能去等， 能不能不能取了？等他就取不到这个最小值了，对不对？然后二 a 加一要干嘛？大于大于负一也不能取等，但是这边二 a 加一要干嘛？小于等于 m， 这个 m 可不可以去的？这个 m 是 可以去等的，是不是？那现在的问题是这个 m 怎么求啊？直接算，哎，负一求出来，然后算出来是不是要算 f 负一， f 负一等于多少？ 那就等于三 x 减 x 的 立方吧，然后把它根给求出来吧，是不是减这个方程呢？那这个方程是负 x 的 立方 加三， x 加二，等于零吧，是不是啊？那怎么算？这是几只方？ 三字三字函数吧？对，还用猜吗？有个现成的 x 等于负一，肯定是成立的了。对啊， 那已经出了一个根，说明他一定可以写成 x 加一， a x 平方加 b， x 加 c 的 形式吧。 然后这种方法叫做待定系数法，那这个待定系数法直接 展开，然后对应相等，就可以求出来吧，但这样很慢，所以我们一般用什么方法？短足法来。这里是什么？ 负 x 的 立方加三， x 加二，这是 x 加一，首先填个负 x 吧， 负 x 平方，这里就三只方减 x 平方，这里就是 x 的 平方加三， x 加二，然后加 x， x 的 平方加 x， 然后二 x 加二，然后加二，二 x 加二，是不是等于零啊？对，说明他就可以化成什么 x 加一，这个好像又可以提一下吧。 那这个可以一负一，然后一二一， 是不是这样？负 x 加二， x 加一，是不是等于零啊？对，那说明有几个根，两个 x 等于负一或 x 等于二， 是不是？那这个是不是负一？那这个是几二，所以 m 等于几二，所以这个要小于等于几二，这就小于等于二了啊。所以我们就可以解得， a 小 于等于 二分之一大于，这是小于四，这个是大于负一负一，是不是这道题就求完了吧，是不是？

今天咱们来讲一个这个关于周期函数和以及它的变现积分的问题啊。首先咱们都知道是这样的， f x 如果以 t 为周期的话，那么零到 x f t 以 t 这个积分，它以 t 为周期的冲要条件是 在一个周期上这个积分等于零，那么呃，咱们就可以判断第一个了，第一个他是错的，他少这个，他少这个在他少这个条件，对吧？ 那么咱们再来看第二个，你看第二个这个东西它是不是以 t 为周期呢？那么假如说我们把它设为 f x， 那么咱们用最简单的周期函数的定义，这个等于什么呢？零到 x 加 t， ft 抵 t， 减去 x 加 t 比上 t， 零到 t， ft 抵 t， 是 吧？ 那么前面这个就等于零到 x， f t 抵 t， 加上 x 到 x 加 t， 那 么你 x 到 x 加 t， 也就是说一个积分上的它这个积分的值， 那么也就等于零到 t 上 f t d t， 对 吧？ 那么再减去 x 比 t， 乘以零到 t 上的 f t 比 t， 再减去零到 t， f t 比 t， 那 么这两个 就消掉了，它就等于原来的大 f x， 所以 说大 f x 是 以 t 为周期的，这是第二个。那么下面咱们再来看第三个。 首先 f x 是 奇函数，那么这个东西它是不是以 t 为周期？那你看哦，这个时候咱们从这个角度来看，零到 t， f t 抵 t， 它这个积分是不是就等于说是一个周期上的 积分，那也就等于 f x， 它是奇函数，所以这个积分就等于零， 满足那个重要条件，所以说这个变现积分他是以 t 为周期的，可以吧？ 那么这第三个的话，我觉得可以当结论来记一下，说 f x 如果是奇函数的话，那么而且是以 t 为周期的，那么他的变现积分也是为以 t 为周期的，可以吧？ 那么第四个就很好证明了，看 f t 减 f 负 t， 这是一个非常经典的奇函数，对吧？那么它就满足第三条，所以第四个也是对的。 那么咱们来看第五个， 第五个他说零到正无穷，这个积分是收敛的，那么你看啊，零到正无穷的积分，咱们要注意他是一个周期函数，所以咱们就要用周期函数的这个 特点来研究这个反常积分，他是不是就等于这个 n 趋于无穷时，零到 n t， f x， d x， 这个，这个是不是就等于这个？ 那么也就等于说 limit n 趋于无穷， n 乘以什么呢？ n 乘以零到 t f x， d x， 那 么这个东西它是收敛的，那么你就肯定是因为 一个周期上的积分值等于零，对吧？所以说又满足那个重要条件，所以说他这个变现积分是以 t 为周期的，所以这道题选四号 d， 那 么这道题你看啊，首先二二咱们是通过周期函数的定义来证明的。那么 三是通过什么来证明的呢？是通过说我们周期函数这个积分的特性， 如果只要你的积分线的长度是一个周期，那么不管你这个积分线是在哪个周期上，它都是相等的，可以吧？这是第三个， 然后第四个是转成第三个的，可以吧？那么第五个的话，第五个的话，咱们是根据 也是根据周期函数积分的特性来证明的。首先是零到正无穷，那就可以是零到 n t n 趋无穷的时候，也是通过它区间长度、 周期函数积分区间的长度来转化的，这就是今天的每日一题。

今天我们来看一下这个二四年全国驾照的高考真题，给了一个函数 f x， 让我们求它的单调区间，那求一个函数的单调区间，我们只需要看它的导数的情况，导数大于零呢？这个函数是单调递增的， 那导数小于零呢？这个函数是单调递减的，所以说我们看一下它导数的，嗯， 与零的大小关系。那我们先求一下它的导数等于啥？它的是不是等于 a s 减 a 减绕 s 加一啊？就去一个括号，那它的导数 ax 的 导数是不是就是 a 呀？减去常数项， 它的导数是零，对吧？那绕 s 导数是 s 分 之一，那我们给它约下分，就是 s 分 之 ax 减一， 对吧？这个时候呢， s 是 属于零到正无穷的，因为绕 x 吗？让它存在的前提条件，它肯定是零到正无穷的。嗯，因为 s 属于零到正无穷，那它的分母 s 肯定大于零，我们只需要看 ax 减一 的范围就行，因为 a 是 一个参数嘛。所以说我们得讨论看 a 大 于零和小于零时的情况。那当 a 小 于等于零时呢？把 f p x x 是 正数，对吧？ a 小 于 a 是 负数，一个负数乘以一个正数，它也是一个负数，负数减去一个负数，但它肯定是小于零的，对吧？那所以 f x 是 小于零的，所以 f x 在 零到正无穷上肯定是单调递减的，对吧？ 那我们看一下第二种情况，那当 a 大 于零时， a 大 于零时，我们想要 f p x 大 于零的话，那么是不是就让 a x 减一大于零啊？那 a x 大 于一，对吧？ x 就 大于 a 分 之一，那 s 大 于 a 分 之一的时候， f p f p x 是 大于零的，那让 fa 大 于零，是 f p s 小 于零呢？是不是 ax 减一得小于零，它这个导数才能小于零啊？那 ax 就 小于一，那 x 就 小于 a 分 之一，对吧？ 那 x 等于还是零到中无穷的，所以说 x 得大于零，小于 a 分 之一，那它的导数才能小于零，对吧？所以说 a a 大 于零时， 克斯属于零，到 a 分 之一时， f x 才能小于零。那 f x 是 单调递减的，对吧？ x 属于 a 分 之一到正无穷时，这呢吗？ s 大 于分之一， f p x 才能大于零， f x 呢？是单调递增的， 所以综上所述，我给它总结一下就可以了，对吧？ 当 a 小 于等于零时， f x 的 让，因为它让求单调区间嘛？它的单调递减区间 是不是零到正无穷啊？是这个，对吧？那当 a 大 于零时，这块 f x 的 单调递减区间 是不是就是零 a 分 之一啊？ 然后单调递增区间字太多了，老是省略了，就是 a 分 之一到中午秋。那第一本呢？我们就看一下第二本。 说 a 小 于等于二，是证明 s 大 于一， f s 小 于它横成力，那证明它横成力的时候，我们是不是证明 e 的 s 减一减去 f x 让它大于零横成力，那它是不是就大于它呀？那它大于零 同乘以，那我们看一下，当 a 小 于等于二七， x 大 于一时，那 e x 减一减去 f x， 我 们给它代入，是不是 e 的 x 减一减去 a 被 x 减一，加上绕 x 减一，它是不是因为 a 小 于等于二吗？那 a 的 最大值是二，对吧？那减去一个最大值，那它肯定是不是大于等于等 a 等于二的时候啊， 这个 a 它是小于等于二的，然后这块呢，就相当于 a 等于二，对吧？ 那 a 是 一个小于二的数，那减去一个小于二的数和减去一个二的数，那肯定是不是减去一个小于二的数大呀？ 比如说 a 等于一，那他减，就假如说这是减一，那这是一个式子， x 减一，这是一 s 减二，那谁大？是不是 s 减一大呀？所以这块是大于等于，那我们只需要证， 那他我们已经知道了， a 小 于等于二，是他大于等于他，那我们要证明他大于零乘以，那我们只需要证明他大于零就可以了，对吧？那我们得对他进行求导。那我们利用 g x 等于 e 的 s 减一，减去二， x 加一，加上绕 x， 这个时候呢， x 呢，是属于一到正无穷的，因为 e 的 x 减一嘛， x 减一肯定大于零的， 那我们对它进行求导。 gps 是 不是等于一的 s 减一，减去二，加上 x 分 之一啊？ 那我们看它大于零小于零，我们是不是得看它这是单调递增的还是递减的？那它对它求导吧，还是一个函数，那我们是不是得它对行二次求导啊？那这撇 p x 是不是就等于 e 的 x 减一，减去 x 方分之一啊？就是它的导数是 s 方分之一，对吧？然后这个时候呢，还是 s 属于一到正无穷的， 那我们看一下 e 的 x 的 图像是不是经过 s 的 零， y 等于一，是不是经过？这点是这样的呀？那 e 的 x 减一呢？是不是向右平一个单位啊？是不是就横横过定点一呀？那它这个图像是不是这样的？ 这是一的 x 减一，对吧？那在 s 等于一，一到正无穷的时候，它肯定是不是它是一个大于一的数，那 x 方 x 是 一个大于一的数，那 x 方分之一，它肯定小于一，那一个大于一减小于一，那它肯定是 大于零的，对吧？那这撇撇 x 它的 值是大于零的，所以 g x 在 一到正无穷上是不是单调递增的呀？那单调递增的话，那它的 g x 是 不是一定大于 g 撇一啊？ 一个函数，它在一到正无穷一直是增，一直是增的，那， 那这是一，那任何一个数是不是任何一个数的值是不是都都比这个一的函数值大呀？所以说这撇 x 大 于这撇一，那这撇一等于多少呢？我们把它换成一，那一的零次密 是不是等于一呀？减二，然后加上一，它是不是等于零啊？所以说这撇 x 我 们能求出来它大于零，那这撇 x 大 于零的话，所以说 g x 它在一道正无穷上，因为导数大于零嘛，所以说这个函数在一道正无穷上是单调递增的，对吧？那同理，它也是单调递增的，那是不是任何一个数都比 g 一 大呀？所以 g x 肯定大于 g 一 的，那 g 一 等于多少呢？我们给它代入，这是 g x， 对 吧？我们给它把 s 换成一， 那它就等于一零减二，加一，加上绕 n 一 又等于零，对吧？所以说我们求出 g x， 它是大于零的，那 g x 等于它，那是不是说明它大于零了？那它大于零，是不是就是 e x 减一减去 f x， 那 大于零了，那所以 f x 肯定要是小于 e s 减一横乘以。嗯，第二问呢，我们就做完了 这块呢，就是对它求了两次导，先对，先让它大于零，我们看它的导数，我们 对它求导呢，发现还是含参数没有，没法判断它是大于零或者是小于零，这个时候没法判断的时候，我们对它就再次求导，再次求导的话，我们发现它是一个大于零的，那它大于零，那 gps 是 不是增函数啊？就是如果说 f x 判断它是增的或者是减的，就看 fpx， 对 吧？它大于零就是增，它小于零呢，就是减， 那这也同理，那 gpx 它是大于零，所以说 gpx 是 增的，那 gpx 增的，那 gpx 任意一个值都比这个短点值大，对吧？因为它是增函数嘛。 然后这个端点值呢，正好是等于零，所以说 g p s 大 于零，同理， g p x 大 于零呢，所以说 g x 呢，也是增的， g x 也是增的，那任何一个数它都比它的端点值大，所以说我们又能求出 g x 大 于零， 那 g x 呢？就是它，所以说就它大于零，它大于零呢，就是证明它大于它就是恒成立了。

哈喽呀，小宝们，一起来跟着小王学姐复习咱们高中数学选修三的成对数计的统计分析。 那这一章呢，其实本来想并着和咱们随机变量进行分布一起来讲的啊，但是没办法呀，上一章的内容太多了，那这一章呢，我们就今天专门出一个视频，来给大家详详细细的去讲一讲他的基本的概念以及相关的考题。 首先啊，咱们成对数据的数据的统计相关性啊，这个相关性到底是啥啊？那我们相关性呢，其实是啊，咱们两个变量之间的一个关系啊，比如说像函数，咱们有 x、 y 自变量和应变量，对不对？那他们对应的呢，就是函数关系， 那相关关系呢？它对于函数关系来说，它是非确定性的，因为函数关系咱们是已知它的表达式的，对不对？那它是确定性的。 谁说相关关系啊？他就是非确定性的啊，比如说我的身高和体重啊，有一定关系，但也可能没有关系， 对不对啊？那我们的一元限性回归模型呢？哎，就像我们下面现在这样啊，我们的这个一般来说啊，这个变量啊，他可能分为这个限性相关和非限性相关。那我们的 左下到右上，如果这个点都是从左上左下到右上，像上面这张图一样啊，他就是一个正相关的，那如果说是右上到左下呢，这样的一个趋势呢，那他就是负相关。如果说这些点啊，都是乱七八糟的， 那他就是不相关，哎，就是不相关。这里大家需要注意一下啊，咱们现行相关和非现行相关，其实都是有关系的，但是不相关呢，就是没有关系的，哎，这个大家要清楚啊， 那对应的呢，我们这里也出现了一个相关系数啊，小 r， 那 小 r 的 公式呢？我放到这了，这个一般来说啊，考证上会有，如果没有的话呢，哎，就是大家该记还是得记，好吧，我还是建议大家记一下，万一没有呢，对不 啊？那我们的这个限性啊，这个这个相关系数啊，它是属于负一到一的啊，那我的绝对值 r 呢，如果说越接近一，它的限性相关性越强， 如果说 r 的 绝对值越接近零，他的线性相关性越弱啊，注意听我的说的这个重音啊，线性相关性越强和线性相关性越弱。那有些题目啊，他可能就跟你说，他说 r 啊，就是越接近零啊，基本上 趋近于零，所以说它这个没有相关性，这个就不对了，对不对？它只是没有现行相关，但它可能有其他的相关，那如果说 r 大 于零呢，就是正相关， r 小 于零呢，就是负相关，这个就是咱们的这个，呃， 相关系数啊，这个是一定一定会考的，哎，一定一定会考的。好，接下来讲一下一元的回归模型啊，一元回归模型啊，其实就是我上面画的那张图，那我们这个一元回归模型，它都是有一个回归直线的，那这个回归直线呢，是通过咱们上面的这些点来拟合形成的， 那 y 等于 b， x 加 a， 它的 b 呢，也是有公式可以去算的啊，可以用咱们的样本点与咱们的平均值来计算。这个公式啊，大家也是最好记一下啊，最好记一下， 然后我们的 a 呢，它就是可以利用 b 已知 b 码去求一个 a 的 值了，那这里要注意的啊，一定会考的，就是咱们的回归直线 b 过样本的中心点，啥意思呢？就是咱们的 x 八， y 八是咱们的样本的中心点，对不对？那这个呢，一定是符合咱们的回归直线的好， 那这里呢，还有个残差，残差 e i， 它代表的是 y i 减去 y i 一 八啊， 这个 e i 呢，如果说越靠近零，它的你和效果呢就越好，也就是说啊，就是，呃，我你和的这条线啊，这些点都在它的附近啊，离它越来越近，越来越近啊，所以说它们减的这个值才会越来越等于零，那既然是这样子，那它的你和效果是不是就更加好了， 对吧？那还有个决定系数，大二方啊，注意，这里是大二方啊，如果说大二方越接近一呢，你和效果也是越好的，反正就就是记住啊，啊，越接近一的啊，他的这个什么什么性就越强啊，这个越好就行了。 然后咱们的独立性检验啊，独立性检验一般是考一个二乘二的连表，比如说像我这样啊， y 一 啊，这里是 y 啊，写错了，这里 x 等于零啊，这里 x 等于零和 y 等于零 啊， y 等于一，对不对？那这里呢啊，它就是两个情况啊，反正就两个变量，那就存在 a， b， c， d， 哎，四个基数对不对？那我们的咖方呢，其实有就是由这四个基数来 计算的啊，那咖方的公式呢？我放在右边啊，这个也要记啊，咖方呢，其实就可以去检验咱们两两组数据的一个独立性，比如说啊，我这里变成熬夜啊，变成长胖啊，另一个那个是熬夜 啊，这里也是长胖，这里也是熬夜。那我这个表是不是就在研究熬夜和长胖之间的一个关系啊， 对不对？那我的咖方呢，就可以研究他们俩这个东西的独立性，如果说我的咖方啊，大于我的这个显著水平 r 法情况下的一个临界值，咖方 r 法 那大于他的话呢？我的原假设就说明他们这个不独立了，对不对？我原假设是要去验证他们之间是独立的，这叫独立性检验吗？ 如果说这个是大于的呢，他就原价说有问题了，我们的这个熬夜和长胖他就是有关联的，如果说小于这个临界值呢？哎，他就是没有充分证据证明他们是有关联的。所以说啊，你可以得出结论就是他们可能是没有关联的， 对不对啊？这个就是咱们这个独立性的一个检验啊，这里大家一定要注意啊，你独立性哎，和咱们的有没有关联，他是相反的啊，你注意题目中问的是啥？好，我们来看看这里考啥啊？ 已知变量 x y 满足现象相关， x 八等于二， y 八等于三，那回归直线啊，它的一个斜率 b 等于一点五，那我们的 y 是 不是等于 b x 加 a 呀？那现在 b 知道了啊，然后呢？考的是啥？考的是咱们的这个样本的中心点，是一定过这个回归直线的，对不对？它满足这条直线，那我直接带进去算就行了呀，对不？这个就很简单啊，算出来 a 八等于零， 所以说选 a。 我 们再来看道题啊，关于相关系数 r 法，说法正确的是 a r 大 于零是负相关。哎，很明显是错的啊，我们 r 大 于零是正相关，那 r 的 绝对值越小，线圈相关性越强。错了啊，是越大啊，因为 r 要越越接近于 e， 它的线圈相关性才越强， 对不对？所以说 a b 就 错， r 属于负一到一，哎，这个就对了，对不？ r 等于零，无任何关系。哎，注意我刚刚讲的这个信息，相关这个相关系数的时候，是不是有有给大家讲过啊？我们 r 等于零只是说它没有限性相关性啊，不代表它没有其他相关性， 对不对啊？所以说这种不任何关系啊，直接验错。好，接下来我们再看一下啊，一个求独立性的啊，给了咱们一个列联表啊，考虑这个什么患病不患和吸烟不吸烟之间的一个关系吧，对不对？看患病和吸烟之间啊，它到底是不是有关联的。 好，那第一问，求咖方啊，咖方我就不不那个了啊，大家自己去算，这个就是根据表格的数据去算，考你的计算能力了， 那我直接给大家算出来，咖方等于九点五二四。好，第二问，他说是否有百分之九十九的把握认为吸烟与患病有关，哎，是否有关？是否有关？要验证什么？验证我的这个 咖方要大于咱们的咖方 r 法的一个临界值，对不对？那现在他这个 r 法是多少呢？哎，他说了要有百分之九十九的把握啊，那我们百分之九十九就是零点九九，对不对？所以说呢，我的 r 法他应该是零点零一，所以说要有零点零一。哎，在这个临界值这这个 对应的临界值下啊，我的咖方要大于他才能证明他们之间是没有独立性的，对不对？哎，才能证明不是说没有独立下，就是原假设是这个是拒绝的，然后他们俩是有关联的，对不对？那么看零点零一这里对应的是多少啊？是六点六三五。 那我们的咖方九点五二四是不是很明显大于六点六三五？也就是说咱们算出来的咖方他大于咖方 r 法等于大于咖方零点零一的，所以我们就是有百分之九十九的把握证明这个患病和不患病他们俩之间有关联， 对不对？这里呢是有一点点绕的啊，所以说大家看的时候一定要注意了。好了，那这一张的考题其实都不难，对不对啊？你只要把上面我说的这些概念性的东西都记住了，那你这块的分就拿掉了。好了，那这期的视频呢，就到这里结束啦，我们下期再见，拜拜。

四十五分钟学完三角函数前三节的内容，我们来到第五章的内容，三角函数 五点一，任意角的三角函数。首先我们来看一下三角函数的定义是什么，那么三角函数呢？它其实啊就是在一个直角三角形里面， 这一个是直角，那么呢，这里有一个角，这个角叫做阿尔法，那么 sine 阿尔法就是等于对边 比斜边，那对边是什么？就是这个角所对的那一条边，那这条就是对边，斜边就是最长的那一条边，这一条打斜的就是斜边。 cosi 等于邻边比斜边，邻边又是什么？邻边就是这个角旁边的那条边，那么旁边它有两条边嘛，一条是斜边，那么另一条只能是邻边了， 那还有一个 t 准 t 准算法，等于对边比邻边，那么这个呢，就是三角函数了，是初中的，那么到了高中之后，三角函数它通常都是发生在 平面直角坐标系中。好了，这里是圆点，我们从圆点出发，它经过一个点， 好跟它相连，跟这个点相连，在这个点上做一条垂线，与 x 轴垂直，那么这里形成了一个角，那这个角呢，就是角 r 法，那么同样的道理， side r 法也是等于对边比斜边，那么现在来看，对边指的是这一条打竖的边，我们来看，在坐标系中打竖的是不是指 y 轴， y 轴的值。好，所以它就是等于 y 比斜边，那么斜边的这一条，我们通常用半径 r 来表示， y 比 r， 哎，所以沙眼的正弦值等于 y 比 r， r 分 之 y 就是 这样子出来的。好，我们再来看一下口上，口上 r 法等于邻边比斜边，那么这个角的邻边是不是打横的这一条啊？ 打横的这条，那么这时候它是 x 轴还是 y 轴？它是指的是 x 轴的值啊，所以就是 x 比 r。 添准， r 法 等于对边比邻边，对边为 y， 邻边为 x， 所以 就是 y 比 x， x 分 之 y。 好了，那么这三条式子呢，就是这样子得来的。这三条式子非常重要吗？我们一定要狠狠地记住了，下面还有一条， r 等于根号 x 的 平方加 y 方，其实就是勾股定律吧， 其实就是勾股定律吧， x 平方加 y 方，这样子吧，所以 r 呢，就是等于根号 x 的 平方加 y 方。不过要注意的一点呢，这个 r 永远都是一个正数的，它永远都是一个正数来的， 这个是注意的好。我们来看第二点，三角函数值的符号，因为我们在平面直角坐标系中，所以呢，我们的三角函数它是有正负性的。我为什么我举一个例子啊？在这里画一个图吧，我举一个例子，比如说这个角， 那刚刚呢，我的这条边呢，是在第一项线吗？那如果我现在到了第二项线，那怎么办呢？第二项线 ok， 连过来，好，在这个点做一条垂线，与 x 轴垂直。那么这个时候 我们来看呢，在这个三角形里面，好，这个是阿尔法，那么塞耳阿尔法是不是等于对边比斜边 y 比 r 啊？这个时候呢，这个 y 它是一个正数的，到了口上阿尔法， 我们来看啦，口上 r 法对 x 比 r， 这个时候 x， 你 会发现它在哪里，它在负半轴啊，所以这个时候的口上呀，它是一个负数来的。 好，我们再来看一下添准，添准 r 法等于 y 比 x 来看， y 是 正数， x 为负数，所以添准也是一个负数来的。 所以呢，我们第二点呢，它就是说三角函数的符号，它是有正负之分的。这里呢，我有一个口诀啊，叫做全 s t c， 那 就是来快速的判断在哪一个象限，哪些是正的，哪些是负的啊？我们来看一下， 第一项线全，就是在第一项线中全部为正，第二项线 s， 也就是在第二项线中只有三眼是正的，那么其他就是负的。第三项线 t 只有天准是正的，其他都是负的。那同样的道理啊，第四象限 c， 口上，只有口上是正的，其他都是负的。我们直接来记这个口诀，全 s t c 啊，也能这样，也是这个口诀，有一个说法叫做全是天才， 全是天才，一定要记住啊，非常重要，这个非常重要。到了第三点，三角函数的特殊值，我们到了这一部分呢，看表格，他有很多东西，我们重中之重，记这几个就行了，我把它宽出来啊， 好，一个是三十四十五、六十度，然后记这几个，另一个呢，是一百二、一百三十五、一百五 这几个。这三个一共呢，记六个就行了，记六个，通常这个表比较重要，我们最好在考试的时候再测试啊，在考试啊，拿到草稿纸就把这个表的这六个默出来好了，我下面来带大家看一下这 怎么默写好，一个是三眼，一个是口三眼，一个是 tanger， 对 吧？好，这里是三十度， 四十五度，六十度，然后这个是一百二十度，一百三十五度，哎，这个是好看一点，一百三十五度，还有一百五十度。好，首先呢，我们先默三十、四十五、六十，这个还是很好默的，上眼呢，就是二分之一， 然后二分之根号二，二分之根号三，就是一二三，你会发现一二三，那口上眼呢，就是反过来三二一， 二分之根号二，二分之一，一二三三二一。那么天准呢？我们只需要记住天准四十五度对一就行了。那么六十度呢，就是一乘以根号三，那就是根号三， 三十度呢就是一除以根号三，那就是三分之根号三。好了，磨完这个我们再来磨右边的这部分了，我们在这里做一条，做一个镜子，画一个镜面，那么其实呢，这些呢，就是他的镜像， 就这些一百二，一百三十五，一百五，就是左边这一个数的这些数的镜像，那这就是二分之 根号三，二分之根号二，二分之一。镜像嘛，再来对过来嘛，二分之一，二分之根号二，二分之根号三。好，先写下来，先利用镜像的原理先写下来好了， 接下来它有正负性的之分，因为刚刚说了，在第二项线有一些是正的，有一些是负的，我们就根据刚刚的那个全 s t c 啊，全 s t c， 对 吧？ 第二项线的 s， 那 这些角都是第二项线角啊，第二项线只有三也是正的，其他都是负的，那么只有三也是正的，其他都是负的，加一个负号就行了。 说到我们这个表呢，就这样默写就 ok 了，非常简单，一定要记住他是如何默写的啊？ ok， 我 们来到了题型，题型一，任意角的三角函数题型一的第一题是非常重要的题目， 在考试中经常以这种形式来考，就比如说考试中选择题，已知角阿尔法过过中边这个点，然后求某一个的值，那我们现在呢，是求三个，那高考呢，它会求其中的一个。好了，这种题目怎么做？那首先呢， 我们先来标一下五呢，就是 x 轴的坐标，十二呢，就是 y 轴的坐标，对吧？标完之后，我们再把公式写下来， sine alpha 等于 y 比 r， 口上 alpha 等于 x 比 r， 天准 r 法等于 y 比 x。 公式写完之后，是不是有一个半径 r 要求啊？我们呢就先用勾股定力把它的半径求出来， r 等于根号， x 的 平方加 y 方 等于根号五的平方加十二的平方，这个勾股数啊，五十二，十三，所以 r 直接等于十三。写完之后呢，求三眼，对吧？那么三眼 r 法就是等于 套公式就行了，这里纯套公式就行了。 y 比 r， y 为十二，那就是十三分之十二。 口上 r 法等于 x 比 r， x 为五，那就是十三分之五。 填准 r 法等于 y 比 x， y 是 多少， y 是 十二， x 为五，五分之十二。这就做完了，非常简单，在高值高考里面，这题通常作为送分题啊，一定要做对。再来看第二种类型，出的比较少啊，也相当是一个，相当于是一个拓展的内容。已知角二法的中边过点这个， 那刚刚呢，我们的点呢，是明确给了你的，现在呢，用 x 的 字母来， x 的 字母来表示啊，他说 x 大 于零，求这三个的值。这里有一个比较快的方法，就是负值法， 就是他说 x 大 于零嘛，我随便让 x 取一个数把它带进去，就比如说我令 x 等于一，对吧，令它为一之后，此时此刻 p 的 坐标是什么？所以点 p 的 坐标就是为一动 根号三了，对不对？那么 e 是 什么？ e 就是 x 轴的坐标值，根号三就是 y 轴的坐标值。我们还是用刚刚的那个方法，先把半径求出来。 r 等于根号， x 的 平方加 y 方 等于根号，那一的平方就是一啊，根号三的平方就是三，到这里，一加三等于四，根号四等于二。好，已经做完了，做到这里已经差不多做完了。 side 等于 y 比 r 等于 根号三比二，那就二分之。根号三口算。 r 法等于 x 比 r 等于 x 为一， r 为二了，二分之一 添准。 r 法等于 y 比 x， y 是 根号三， x 为一，所以就是等于根号三。那这个呢，就是这些答案呢，非常简单。赋值法，那通常呢，我们在选填的时候采用这个赋值法那，不过这个也不会考大题了，所以放心使用就 ok 了。 好了，来到了题型二，判断三角函数值的正负号的题型二，它不会单独考的，它通常是一个知识点，为后面的一些内容做铺垫的， 我们直接来看啦。呃，这三个分别是正的还是负的？我们直接用这个全 s t c 的 这个图像做的时候，我们可以画个图啊，全 s t c。 好 了，我们再来看。换图之后再来看呢，这个二百五在第几象限呢？这个是零度，这里是九十度，这里是二百七啊，这里是一百八， 这里是一百八十度，这里是二百七十度啊，这里又变成了三百六十度。所以呢，二百五呢？他是在第三象限的，但第三象限只有天准是正的，其他都是负的，他现在说口上了吗？所以他是负的 o 不 ok。 然后再来看这个第二题，四分之拍，负四分之拍，四分之拍就四十五度啊，这个要快速的，快速的记起来，这个是负四十五度。好，我们再来看呢，也是 全 s t c， 那 负四十五度在第几项线呢？我们刚刚呢，是这样子顺时针的搞，所以呢，就是零九十度，一百八、二百七嘛，这个顺时针，那么它还有一种说法呢，就是逆时针这样子的，那逆时针呢， 这里这就是零度，这里就是负九十度，这里就负一百八十度，这里就负二百七十度。一样的啊，负逆时针达到它现在是负四十五度，是不是在零到负九十度啊？负九十度到零的之间呢？ 所以呢，它在第四象限，第四象限只有口上是正的，其他都是负的，所以呢，它现在是 side， 它还是一个负的 好。第三题稍微有一点困难了。第三题，这个三分之十一拍很大，我们第一步先把它变小，三分之十一拍，把它变小了就减一个三百六十度，那就是减三分之六拍，等于 三分之五拍，到了三分之五拍就差不多了，我们来算一下它的角度，三分之五拍拍呢是一百八十度乘以一百八十度，一百八十度跟呃，除以三，那就是六十度五乘以六十度，五六三是三百 三百度，所以呢，这个就相当于天准的三百度。可以了，我们再来画一个竖轴吧，全 stc， 那也是零九十度，一百八十度，二百七十度， 三百六十度，那三百度那就是在二百七到三百六之间了，也是也就在第四象限。第四象限只有口上是正的，其他都是负的，他要求的是天准，所以也是负的。 ok 了，我们来看第二问吧。 他说撒，眼大于零，扣上小于零，哎，反过来问你， r 反是第几项线？没关系，我们还是来全 stc 全 s t c 来啦。他说三眼大于零，我们来看图啊，大于零就是一个正数，那正数第一项线全都是正的，那第二项线三也是正的。所以说，那此时此刻我从这个条件我是不是可以得出 r 法在第一 或者第二项线？好了，我们再来看口上这个条件，再来重新画一个 全 s t c。 他 说口上小于零在第几象限呢？二法在第几象限？你看第一象限全都是正的，排除第四象限，口上是正的，排除， 所以它小于零只能在第二和第三象限。所以呢，标一个二三象限。那么中上所述，你看一二二三，他只能在第二象限了，所以二法在第二象限，那为第二象限。角选 b。 到了三角函数第二节的内容，同角三角函数的关系式，这节内容非常重要，很多题目都是出在这里的，包括后面还有很多拓展的题目，都是需要用到这两条关系式的。 好了，我们来看一下这两条式子吧。第一条就是平方的关系，那就是三眼平方加 cosine 平方等于一，就这么简单了，写一下三眼平方 r 加 cosine 平方 r 等于一， 它也可以写成三眼平方贝塔加 cosine 平方贝塔等于一都没问题。好，第二条式子 三的关系，也就是 ten 准 r 法等于 sine r 法除以 cosine r 法，就这两条式子。那么有一点要注意的是 题，我们的标题叫做同角，三角函数同角，那么说明只要里面的这两个角是相同的，那么这两条公式就成立。 比如说 sine 平方，我现在是 r 法，那我变成两倍 r 法这样子，口上平方二 r 法，它也是等于一，也是成立的。 ten 准三 r 法等于 sine 三 r 法除以口上三 r 法，这样也是成立的。记住啊，不只是局限于 r 法，只要角度相同，它就成立 好了。带着这两条公式，我们来看题型一，题型一是已知已知一个三角函数的值，求另外两个。 好了，已知 side 西塔等于负五分之四，然后给了一个西塔角度的范围，让我们求其余两个三角函数的值。 那这里我们先求 cosine， 因为 cosine 和 cosine 是 有关系的，也就是 cosine 平方 cta 加 cosine 平方 cta 等于一，就是刚刚第一条公式， 那么用这条公式就能直接求 cosine。 来，我们来求一下吧，直接把数带进去就 ok 啦。负五分之四的平方加 cosine 平方 c 等于一，这里是二十五分之十六，加 cosine 平方 c 等于一， 得出 cosine 平方西塔等于二十五分之九， cosine 西塔等于正负五分之三，那么它是正的还是负的？题目给了西塔一个范围， 这里是一百八，这里是二百七。来看一下这里呢，要用到那个全 stc 的 图了，画一个全 stc， 全 s t c， 他 说一百八到两百七，那就是第三象限，第三象限只有 ten 准是正的，其他都是负的。所以啊，因为 pi 小 于 c， 塔小于二分之三 pi， 所以 口上 c 塔等于负 五分之三，那这就是他的答案了，负五分之三，那么我们再来求一下天准吧，那求天准呢，就很简单了，因为知道三眼，又知道口三眼，那么我们就用第二条是指天准的那一条， 那天准西塔就是等于三眼西塔除以口三眼西塔，对吧？那么三眼西塔呢，是负五分之四 除以。我们这里写除啊，就不写分数了，写分数会不好看，那么除以口上西塔是除以负五分之三，除以一个数，等于乘它的倒数，乘以 三分之五。哦，这里是五分之四啊，写错了，五分之四，所以填准西塔等于 三分之四。那么这种题目非常关键的，大家一定要学会这种题目必考的题目。再来看一下第二题，那第二题有点不一样了，刚刚这题呢，是已知三人求口，三人再求添准，那么这题呢，是已知添准， 求三人。好了，第二题他在考试的时候他出的很少，但是呢，我们也要学会这个，那么这题呢，有两个方法，我们先来讲方法一， 方法一，我们首先使用添准的那条公式，添准 r 法等于三眼 r 法，除以口上 r 法，对吧？ 等于负的二分之一。那这里呢，我们重点就来观察后面的这个了，我们把口上这分母的口上移到右边，它就变成三眼 r 法，等于负二分之一，乘以口上 r 法 好了，然后方程两边再乘以一个负二，那就变成负二三样算法，等于口算算法好了。现在呢，我们就得出这样的两条式子啊， 后面可能会用到其中的一条，先放一放好，我们先看求什么，求三样算法，现在我们知道三样和口算的关系，我们就可以直接使用 这条式子来求了，就是三眼平方 r 加口三眼平方 r 等于一，用这条来求了。好，现在求三眼平方 r 保留 加，把这个口三转换为三眼，那就用到上面的这条式子了，因为刚刚我们已经算出来，口三眼 r 等于负二三眼 r 法，那直接把它变成负二三眼 r 法就可以了，它是有平方的，那么再平方等于一，得出三眼平方 r 法 加四倍三眼平方 r 法等于一，得出五倍三眼平方 r 法等于一，对吧？三眼平方 r 法等于五分之一， sin alpha 等于正负五分之根号五，它是正还是负呢？题目告诉了我们它是第四象限，我们呢，是不是可以再利用全 s t c 这个图啊？全 s t c， 它是在第四象限，第四象限 只有口上是正的，其他都是负的。因为阿尔法属于第四象限角，所以呢，塞眼阿尔法就是等于负的五分之根号五了，负五分之根号五。 接下来我们来看方法二，那么方法二对比于方法一的是简单很多的， 他说添准 r 法等于负二分之一。好了，添准 r 法在第一节的时候，添准 r 法是不是等于 y 除以 x， 然后再等于负二分之一？我们来看一下 第四象限角有什么特点。第四象限好，这个角 r 法看一下有什么特点。它的 对应的这个 y， 它是一个负的，是一个负数， 它对应的这个 x 是 一个正数。那么我们是不是可以把这条式子可以写成这样， y 除以 x 等于负一除以二，对吧？因为 y 轴为负， x 轴为正，那么这个时候我们是是不是可以得出哎？ y 可以 把它看成是负一， x 可以 看成是二，有没有问题？所以 y 看成是负一， x 看成是二。那么 sin r 法， sin 的 公式是什么？ sin r 法在第一节的时候，它的公式是什么？等于 y 比 r 嘛？是不是我们把 r 求出来就行了？ r 是 什么 勾股定律嘛？根号 x 的 平方加 y 的 平方等于根号五嘛。所以 sin r 法等于 y 比 r 等于 y 是 多少？ y 是 负一，负一除以根号啊，负一比根号五等于负的五分之根号五。那么这就第二个方法，第二个方法相对来说快很多。 接着我们来看题型二同角三角函数关系式的应用。题型二是重中之重，非常重要。解题型二的方法有很多，起码有三种方法，但是我在这里呢，就只教最简单的一种方法，就是斜修法。 那么使用斜修法呢？它是有一个前提的啊，我先把这个前提的条件先写出来。好，第一点，斜修法前提，第一点它我们要求的这个式子， 它是要一个分子，它要为分子才行。第二个，分子之后，确定了分子之后，每项 是指的每项都必须含有 sire 或者 co sire。 第三个，每项的次数 都要一致，那就是每项次数要一样。我们来看一下题目的这个符不符合这个前提条件啊？好，第一个分式没毛病了。第二个，每项含有 sign 和口 sign， 你 看 sign， 口 sign， sign， 口 sign 每项都含有了 次数，一不一样，这个为一次，一次，一次都是一次，所以可以使用斜修法。那么斜修法怎么做呢？来看啦。 ten 准 r 法等于 sine， r 法除以口上 r 法，这条式子有没有问题？等于二是吧？这个二我们可以把它写成一分之二，那这个时候相对应， sine 可以 看成是二， 口上可以看成是一。注意了，这里我们是要看成把它看成啊，它不是等于二，也不是等于一，只是我们方便计算把它看成二和看成一，那么所以上二法呢，就是看成是二， 口上二法呢，就是看成是一，那么这条四值呢？我们就可以直接来求了。等于来看呢，三眼减口上，那就是 二减一，三减加三倍的口算，那就是二加三乘以一，那就是三。最终答案等于五分之一，所以正确答案呢，就是五分之一，简不简单？ ok， 再来第二问 好，用邪修法之前，先看一下符不符合这三个前提，第一个份式符合了，第二个，每项含有三眼和口，或者口三眼三眼口三眼含有了，但是这个一 不含有。所以呢，我们第一步呢，要把这个一把它操作一下。还记不记得三角函数的关系是三点平方二法加口三平方二法等于一。这条四子嘛？那么这条四子呢？在做这题呢，非常常用啊， 很常见的，下面就照抄就 ok 了。三眼平分阿尔法加两倍口三眼平分阿尔法。好了，我们呢就把这整条四指变成这样子，现在就是要求这一条，我们继续写求法吧。 ten 准阿尔法等于 sin， 二法除以 cos 二法等于负二除以一。好了，同样的道理啊， sin 看成负二， cos 二看成一，那这个符号呢？大家不用纠结啊，这个符号可以给二，也可以给下面的一，都可以的。好了， side 看成是负二， cosi 看成是一，那这里呢？直接代数进去就行了。 side 是 负，那就是负二的平方加一的平方，然后下面就是负二的平方，加二乘以一的平方，那就是二啦， 等于四加一，这里是四加二，等于六分之五，所以第二题的答案为六分之五。 到了最后一题，第三题更难了，每题都变难，第三题更难啊。学修法之前，还是要看一下符不符合那三个条件，第一个为分式。 那现在我们要求的这个式子呢？连第一个条件都不符合了，他不是分式，不是分式怎么办？还记不记得一个知识点，所有数的分母都为一，我现在的这个数为两倍三眼平方二法加三倍口三眼平方二法，他的分母 为一。这个一定要知道啊，所有任何数的分母，它都为一，因为任何数除以一都等于它本身嘛。那我这一大坨数除以一也是等于它本身，所以这个是成立的。 那搞出来一个一之后，我们再用同小三角函数的关系式，把这个一再进行变化一下， 那就是上面照抄，平方二法加三倍口三眼平方二法，这个一就变成三眼平方二法加口三眼平方二法。运用了同角三角函数的关系式。啊，变成这样子，再来看一下， 第一点，份式符合第二点，每项都含有沙眼或者口沙眼也符合。第三点，次数是否一致？二次，二次，二次，二次都是二次，所以可以使用斜修法。好了，斜修法 tanger r 法等于 sine r 法除以口五上 r 法等于二分之一。那这个时候呢，我们就不不要再让分母为一了，因为这个已经是一个分式来的，它直接可以相对应的是不是？所以呢， sine 就是看成是一，口塞看成是二，这就 ok 了，再把这个数值带进去，写在这里吧，写在右边这里吧，等于来二乘以 一加三乘以口塞是二，那就二的平方为四分母 一的平方加二的平方等于这里是二加十二等于十四分母为一加四为五，五分之十四。所以第三题五分之十直接秒了。 好了，这就是同角三角函数的几个题型，这五道例题都非常关键，大家一定要学会反复的去复习。 我们来到第三部分的内容，诱导公式，诱导公式他不会单独出题来考，他会和我们之前学到的同角三角函数关系式，还有后面即将学到的和角差角公式，二倍角公式结合一起来考。好了，我们来看一下诱导公式是怎么回事。 那么来看题目中出现形容 sine alpha 加减拍，或者 sine alpha 加减二分之拍，如果题目出现后面的这个角度哎， 这一个是二分之拍的倍数，那么我们就可以利用诱导公式来进行化简。那么所以说呢，诱导公式呢，就是我们对于一个比较复杂的三角函数进行一个化简的过程。当然了，这里有一个很关键的地方，它的这个角度 一定要是二分之拍的倍数才行，那如果他说什么三分之拍， alpha 加减三分之拍， alpha 加减六分之拍，这种是不行的，诱导公式一定是二分之拍的倍数， 那么利用诱导公式化简的口诀来在这里既变偶不变，符号看象限，这里的既和偶指的就是括号里面的这一个数。那么如果是二分之拍二分之三拍这种分式的， 那就是 g 了，他要变化。那么如果是拍二拍三拍四拍这种横式的，那就是 o 了，他是不用变的。好了，我们直接来看题型吧，我们通过三道例题教会大家这种诱导公式他要怎么去化解，他是怎么变的。然后题型一的第一题， 萨尔阿尔法加三分之拍，我们的口诀即变偶变。先判断它是要变化还是不用变化的， 这个为拍，它是偶，偶是不变的，不变怎么写呢？我们直接这个萨尔不用变化，直接写一个萨尔。那么里面呢？化简嘛，我们以把这一个角直接化简为阿尔法， 这个第一步已经操作完了，是不是很简单，既变偶不变，已经操作完了，他是不变的。那么符号看象限，我们之后还要判断这一个的正负性，他到底是正的还是负的 怎么办？那么那我们就要看这一个角，括号里面的这个角，它在第几项线，我们先来画一个全 s t c 的 图，全 s t c 来又出现这个图了，这个图非常重要啊，那么在诱导公式里面，算法 这一个角，我们把它看成第一项线角，为了方便大家后面 判断这个这一坨是多少度，所以呢，我们可以直接设阿尔法的这个角 为三十度，我们以后遇到诱导公式的，我们都设这个阿尔法的角度为三十度，这就 ok 了。好了，那这里呢，是三十度，对吧？加一百八十度等于二百一，二百一，它在第三象限。 看图，第三项线只有填准是正的，其他都是负的。那这个时候呢，我们要判断第三项线的 side， 它是负的，所以呢，我们就写个负上去就行了，所以化简之后呢，它就变成负上 r 法。好了，我们再来看第二题。先来看它是变 还是不变，既变偶不变，变还是不变。二分之三拍，他是一个分式，所以他是要变化的。那么变化呢，就是把这个口塞人 变成塞人，他这样子变的啊，好了，变成塞人里面怎么写？写个 r 法就行了，都是写 r 的。 好了，接下来我们再来判断他的正负性，他是正的还是负的。 r 法。刚刚说了，假设为三十度， 这个二分之三拍，它是二百。来看一下这个一百八除以二九十三九二十七，二百七十度。好，再画一个全 s t c 的 这个图， 全 s t c。 二啊，这里，哦，这个加起来是三百度啊，兄弟们，三百度，我们来看它在第几项线，它在第四项线， 第四下线的口三眼是正的。那这个时候有一个很关键的细节，我们判断正负性，要判断他变化之前的这个 不要判断变化之后的三眼，要判断变化之前的那变化之前他是口三眼。哎，刚好第四下线的口三是正的，所以就不用写了。那就正的三眼法正正号可以省略吗？好了，到了第三题，同样的道理，先看变还是不变。 二分之拍它要变沙眼变的话，那就变成口上，这样子的沙眼和口上互相变化的，那就变成口上 r 法好了，再判断它是正的还是负的。二分之拍是九十度， r 法，我们默认假设为三十度，所以九十度减三十度等于六十度。在第几象限选 stc 这个图 六十度，他在第一项线，那么第一项线全部都是正的，所以说正的口算 r 法，那正号了，就可以省略不写了。 接下来我们来看题型二，诱导公式加同角三角函数关系式的应用，就是两个知识点结合起来考了，在考试里面也是很常考的这种题型。 好了，我们来看第一题，第一题他说已知啊，这个呵给了个范围，那么求 sine 阿尔法加拍我们第一步啊，首先要用诱导公式进行化简，就把这个进行化简，看一下它是什么来啊，这个既变偶变变还是不变呢？拍 它是不用变的，它是偶拍是偶不变，所以呢，还是 sine alpha。 然后符号看象限，我在右边这里画一个全 s t c 好 了，这个 alpha 是 三十度，拍呢是一百八十度，二百一，它在第三象限，第三象限只有天准是正的，其他都是负的，所以呢， 第三项链是第三项链的三眼，它是负的，那就变成负三 r 法已经化解完了，那么所以现在我们要求呢，就是负三 r 法的值。 那么题目给了 q 三 r 法，我们还记不记得同角三角函数关系是三眼 r 占平方 r 法加 q 三眼平方 r 法等于一的这条我们直接带数字进去，三眼平方 r 法加负二分之一的平方，那就是四分之一。我再写快一点呢，等于一 得出三眼平方 r 法等于四分之三，得出三眼 r 法等于正负二分之根号三，他取正的还是负的？哎，题目给了一个范围，九十小于 r 法小于一百八十度，他在第二项线。再来看全 s t c 这个图， 第二象限的三眼是正的，所以来先写一下。因为二分之拍小于 alpha， 小 于拍第二象限，所以三眼 alpha， 它是一个正数 等于正的二分之根号三。好了，有的同学写到这里呢，直接把答案就写成二分之根号三了，这个是错误的，因为我们要求什么？我们要求负的上岸法嘛，所以呢，就是等于负的二分之根号三，所以这些答案呢，是负二分之根号三。 我们来到了第二问，第二问稍微更加复杂了一点了，因为他同时出现了两个，都是需要用到诱导公式来化解的。 我们不慌了，我们先来化简第一个吧。第一个，他说 cosine 二分之拍减 r 法，对吧？鸡变偶不变。第一步，鸡变偶不变，二分之拍，它是鸡要变的，所以呢，它就变成 sine r 法了。然后第二步，符号看象限 r 法默认的三十度九十度减三十度等于六十度，所以呢，这个角它在第一象限 第一象限判断口三眼。来吧，继续来画一个全 s t c 吧，我们养成习惯，这个图很关键，非常重要。第一象限 的口上，它是正的，所以呢，它就变成正的三眼 alpha。 这里整理一下，它就变成正的三眼 alpha。 那 么所以呢，题目这个呢，我们就可以转化成三眼 alpha 等于三分之一这样子了。 好了，再来化解一下后面的这个，后面的这个奇变偶变拍，他是偶，不用变的，所以他还是口无遮耳法。 符号看象限是正的还是负的，拍是一百八十度， r 法看成三十度，一百八减三十等于一百五，一百五。在第二象限 第二项线，只有三眼是正的，口三眼为负的，所以它呢，就变成了负的口上 r 法。所以我们现在就是要求负口上 r 法的值， 把这个写在上面吧，没什么位置了。负口上 r 法。好了，又用到同角三角函数那条关系式了，就是 si 平方 r 法加 cosine 平方 r 法等于一的这条带数字进去 sine r 法这三分之一，所以这个就是九分之一，加 cosine 平方 r 法等于一， 得出 cosine 平方 r 法等于九分之八。 cosine r 法等于正负三分之二倍根号二， 正，它是负的，它说 r 法为第二象限角。又来了，第二象限只有沙眼是正的，其他都是负的， 因为 r 法。为什么什么第二象限角，所以扣上 r 法，那只有上也是正的，扣上也是负的，等于负的三分之二倍根号二。 ok， 来到这里，不要忘记了现在我们要求什么？求负的扣上 r 法，因为扣上 r 法是负的 三分之二倍根号二，所以负空上二法写在这里吧，等于负的负三分之二倍根号二，负负得正，所以等于三分之二倍根号二。这个就是答案了。注意了， 求到这里还不是结果，我们要看求的这一坨东西是什么？注意了，很多同学在这里出错了，好吧，到了第三题第三节又复杂一点，那这个呢，连续出现三个需要用到诱导公式来化解的，一个个来吧，口三眼 二分之拍减阿尔法。好了，这里快一点了哦，他要变的变成三眼阿尔法。 然后这一个是九十度减三十度为六十度，六十度在第一象限，它是正的，所以等于正的上 r 法，正号可以省略到了。第二个 side 拍加 r 法， 它是不用变的，这个还是变成还是上 r 法？不用变。好了，这个拍是一百八十度， r 法是三十度，一百八加三十。来看一下啊，画一个全 stc 的 图， 它在第三象限，第三象限只有天准是正的，其他都是负的，所以呢，它就是等于负的上 r。 把这个拆掉。 最后一个 cosine 拍加 r， 既变偶不变，它是偶的，不用变，所以还是 cosine r。 然后符号看象限一百八 加三十，二百一，也是还是第三下线。天准是正的，且都是负的，所以等于负的 q 上 r。 那 么做到这里呢？把这个差价版没有用了。做到这里呢，这一整条式子，它就变成了分子为 sin r 法， 分母为负。 sin r 法减负 q 上 r 法。那这里这里就负负得正呢？我直接写加了加 q 上 r 法， 加口上 r 法。好了，又回归到了我们同角上角函数关系式的第二个支点，斜修法。斜修法的前提复习一下， 第一个要求的是分式，第二个每一项出现三或者口上符合了，并且它们的次数相同，次数都为一，也符合了，那吧，斜修法， tendr 法等于 三眼 r 法，除以口上 r 法，对吧？等于二，这个二来，我们可以看成一分之二，那么三眼 r 法就可以看成是二了。口上 r 法就可以看成是一了。直接代数进去等于 二，然后负二加一等于，这里是负一，分子为二，答案为负二，所以第三题负二。 以上是诱导公式的内容，特别是这个诱导公式。第一点，诱导公式的化简非常关键，我们一定要熟练诱导公式它怎么化简，准确运用 g 变 o 变符号看象限的这个口诀，不懂得把这一部分多看几遍。

华大联盟的高三大连考这道题呢，是一道天空的压轴题，咱们一起来看看。他考的是函数的对称中心问题，他说这个函数在 m 小 于零的时候，他有对称中心，然后问对称中心的坐标是多少， 那既然它有对称中心，咱们就给它设成 a b 的 形式，假设它的对称中心就是 a b， 按照对称中心的基本概念，对应的函数就应该有这样的联系，叫做 f x 加上 f， 二 a 减 x 就 等于二 b。 所以我们给他整理 e 的 x 次方加上 e 的 x 次方分之 m， 再加上 e 的 二 a 减 x 次方，加上 m 比上 e 的 二 a 减 x 次方等于二 b。 然后咱们对前面这四项做一个整理和因式分解。把一三两项组合， e 的 x 次密加上 e 的 二 a 减 x 次密， 加上剩下的这两项，在整理的时候，先提一个 m， 然后再通分 e 的 x 次密乘以 e 的 二 a 减 x 次密， 上面对应的就是 e 的 x 次密，加上 e 的 二 a 减 x 次密等于二 b。 然后这两项就又有共音式， e 的 x 次密再加上 e 的 二 a 减 x 次密， 咱给它提走剩下了一加上 m 比上这两个，乘完以后呢，就是 e 的 二 a 次幂等于二 b。 然后我们来理解一下这个式子的意思，它说的就是不论 x 取什么数，这个式子都成立，那前面这个数值很明显在变化，它不论怎么变，最后乘在一起的结果都是二 b， 那 只能说明后面的这个常数等于零，就不会有影响了。 所以这一部分等于零得到的就是 e 的 二 a 次幂等于负 m， 所以 二 a 等于小于 负 m， 解得 a 等于二分之一倍的小于负 m， 此时二 b 就 一定是零， b 也等于零，所以对称中心的坐标就直接是这个结构。 然后还有一种做法，我给大家说一下，大家来判断啊，他说这个函数对称中心找什么呢？大家看出来没有？当 m 小 于零的时候，我们可以把它当成一个内飘带函数， 那很明显，这个函数的值域是全体实数，所以 y 属于 r， 那 对称中心对应的纵坐标就应该是零， 所以对称中心的纵坐标是零，把它带入 e 的 x 次方，加上 e 的 x 次方，分之 m 等于零，解出的 x 恰好也是二分之一的滥引负 m， 所以 对称中心也能得到。所以这道题目是求对称中心。对于对称中心的定义法求解，我希望大家都会，而这种方法，欢迎大家在评论区表达出你的定义法求解，我希望大家都会，而这种思路到底对不对？