牛顿-吉拉德公式
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03:27查看AI文稿AI文稿有这样一个问题啊，我们如果没有微积分，没有牛顿莱伯尼斯发明的公式，我们求在底下的面积，只能怎么求？比如说外等于一的 x 次方，我们想要求这个底下从零到一，这底下这块面积大家觉得可以怎么求？ 从零到一是不是外等一点一四方？那怎么求呢？切割完了之后，是不是假如说把它，我们就把它切了 n 份，那每一份的这个这个宽度是不是一除以 n 啊？没错吧？那高度是多少？ 高度是不是不同啊？从短到长，是不是左边短右边长？那我们给他们编个号， 从第一号、 第二号一直到第 n 号，那么他们的宽度始终都是 n 分之一，对不对？ n 分之一， n 分之一 n 分之一，那他的高度呢？ 第一份的时候是不是在最左边啊？他对的高是多少？ e 的 n 分之一次方，对不对？是吧？ x 是 n 分之一啊， e 的 n 分之一次方，第二个呢？ e 的 n 分之二了吧？因为 x 来到了 n 分之二这个地方，对不对？ e 的 n 分之二， 意思到最后一条是多少？ n 分之 n 没错吧？宽乘高加宽乘高加宽乘高，对不对？就得到了这么一个数列求和吧，无限向求和，对不对？ n 分之一，什么 一的 n 分之一加一的 n 分之二，一直加到一的 n 分之，没错吧？是不是这样的？这个你会求吗？ 他是一个什么数列？等比数列吧，每一都公比是多少？亿的 n 分之一，此方是不是？所以说结果这是多少啊？不对不对， 是不是一一减一啊？因为他是负的人，分之一对不对？好，所以得到了他是不是很麻烦？等比数学求和对不对？有些时候我们碰到了一些，比如说三角函数四 x 考三 x， 就更没有办法用等比数来求和了吧？所以，那怎么办？ 所以牛顿和莱维尼斯公示他最主要的工作是什么？他改变了这种求和的方式，知道吧？他最本质的微积分的思想早就有了，但是最本质的在于他改变了这种求和的方式，他怎么求？这和他发现了一个神奇的规律，就是我不需要求这些树立，我不 不想求这个数理，怎么求？求他的什么？求他的原函数对不对？原函数就构造出一个关系来，就是说我外得 fx， 那么就外 fx 就有一个对应的大 fx， 怕什么关系？大 fx 求倒是他吧， 那大 fx 叫小 fx 的什么啊？原函数，或者叫他的不定积分，对不对？原函数好，那所以我们为什么要写出这个东西来呢？因为它底下的面积就等于什么， 这块面就等于啥了，大 fb 减掉大 fa， 哎，这就是微积分唯一的一个公式， 整个微积分都不要这个公式出来的，懂了吗？他做的就这么一个工作。好，那接下来包，包括我们之前所所有的极限，那都是辅助的东西，核心的就是这个公式，球车圆含出来，两端做叉，就是他的面积。
5.9万李天意
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05:33查看AI文稿AI文稿来讲一下牛顿莱布尼兹公式，若 f 在 b 区间上连续且存在原函数，其实连续肯定是会存在原函数的，这在我们学过原函数存在定律之后就可以不用。 即大 f 的 导数是小 f， 则小 f 可积，且 a 到 b 上的定积分为大 f b 减大 f a， 也可以说是代入 b 减 a 作差。对于一个定积分值等于确定常数值，我们应该怎么证明呢？其实现在就学过一个工具是定积分的定义， 定义出分割 x i 和 delta x i。 我 们来画个竖轴解释一下， 这里是 a b， cos i 应该是在 x i 减一和 x i 中间，所以 x 一 到 x 二中间的应该是 cos i 几呢？ cos i 二 delta x i 是 这两个相减，所以这应该是 delta x 一 写完了定积分的套化，再写出极限的套化，是每一个 epsilon 大 于零都不存在相应的单调，大于零使得 t 的 模小于单调时，就会有积分和的极限。减大 f b， 再减去大 f b 减大 f b 是 加括号的整体绝对值是小于 epsilon 的， 要证明它。 对于这种式子，左边和右边好像完全不像呀，函数也不一样，字母也不一样，就连符号也不一样。这里有 sigma， 这里没有，我们先来处理。看起来比较重要的是，这里有 sigma， 但这里没有左边的 sigma 显然不容易脱掉，我们让右边加上 sigma， 右边怎么加呢？ f b 减 f a， 右端点减去左端点，我们可以把它拆成 f x n 减去 f x n 减一， f x n 减一，再加上 f x n 减一，减去 f x n 减二，最后一直这么加，加到 f x 一 减 f x 零， 最后就会发现中间的全部都消掉，应该只有 f b 减 f a。 现在左右两边都有 sigma 符号，但是里面的形式依然不一样，函数还有字母都是不一样的，我们应该怎么处理让左右两边变成一样的呢？ 左边右边函数中间具有导数关系，而这里的 delta x i 是 它们两个相减，这很明显代表什么？拉格朗日中指定理，再把它们俩合并。 这里我想一想又应该怎么做呢？发现它是不是外面有绝对值，如果把它放到里面去的话，正好是我们想要的放大， 而且如果这么放大，里面 f 克萨 i 减去 f e t i 的 绝对值，这是我们经常见到的形式，两个函数值相减的绝对值为一致连续性定义中的式子。 这两个相减的绝对值应该是可以小于 epsilon， 但是右边这里相加之后是 b 减 a， 我 们想要最后乘完是 epsilon， 前面就给除以 b 减 a， 那 整个计算过程就算完了。我们再来解释一下这里的拉格朗日终止定律和一致连续性的应用。 首先它满足条件， b 区间连续，开区间可导， b 区间连续。很显然因为小 f 连续嘛，大 f 应该也是连续的。可导呢，导数就是小 f x， 说明它存在导函数就是可导的。 我们这时候其实可以发现啊，可导它不需要两个端点处，这就说明如果在端点处，它不需要两个端点处满足， 而端点处那是不只有有限格，所以如果在有限格点处不满足，大 f 撇等于小 f 没有关系，我们把那有限格点取为分点就可以，这样就不用管端点处， 这就可以代换一致，连续性就更不用说了，小 f b 区间上连续推出一致连续，而一致连续再把已知的是 epsilon 变成 epsilon， 比 b 减 a 就 完事。 这就能看出我们其实第一行对这两个字母的定义是不够的，需要把这两个写到第一行对字母的构造上去。再来想一想，函数连续其实可以变为可积， 还有什么呢？还有一个广义的牛来公式，如果大 f a 和大 f b 不 存在， b 和 a 处的函数值不存在，那么就可以用极限值代替，这里的极限指的是正常的那种有限，极限无穷不算，所以如果他们不存在，依然可以用极限值，再用牛顿莱布尼次公式，这就拓展了牛来公式的使用范围 啊。这基本上也就讲完了整个证明还有一些拓展，大家回去好好看一看，并且想一想这些证明中怎么推出来的。这些拓展就是证明需要什么条件，如果条件过跃联科就可以拓展。感谢大家的收看！
105小阿文数学
00:37查看AI文稿AI文稿在微积分学习中，某函数 f x 图像下， a 到 b 区间包含的面积就是定积分值，当前演示的就是微积分中的牛顿莱布尼茨公式推导过程和基本原理。
513小c知识库
02:09查看AI文稿AI文稿好，我们今天来讲一期牛顿莱布尼兹公式的一个推倒，那么牛莱公式呢？是大家非常非常熟悉的一个公式，基本拿起来就用，但是没有人去正面过他，那其实同学们也不用太管说他到底是怎么来的，为什么呀？ 那我今天为什么去推倒呢？我主要的目的就是想让大家理解和掌握这种套路或者说思想方法，那么这个就是牛顿莱姆尼斯公式，没有人不知道，对吧？这个很简单，那么怎么去证明呢？你再设一个大范 x 是一个变现积分，那么显然这个大 fx 和这个大 fx 他都是这个小 fx 的一个原函数，那么既然是原函数，那他们之间是不是只是差了长数 c， 那也就是说大 fx 减下去大 fx 会横等于这个长数 c， 那我们再带 a b 进去，那带 a 进去大 f a 减去大 fea 会等于长寿 c， 那大 f b 减下去大 five b 是不是也会等于常熟 c？ 那大 f a 到底是谁啊？大 f a 不就相当于把这个 x 换成 a， 那换成 a 以后是不？积分上下限是一模一样的，那所以这个积分会等于零，那么也就是说这个等于零，那我们整理一下，是不就等于他？ 那在一项一项是不是就得到了他？那大 fyb 是谁啊？那大 fyb 是不是就相当于把这个 x 换成 b， 那不就是他吗？ 那么字母与积分值无关，那我再把它换回 x， 是不是变成了他？那大快币又等于他，又等于他，那整个这个东西不就挣出来了吗？这不就是牛顿莱布尼兹公式吗？那通过这个 证明过程，我们同学应该体会到就是将已知的定积分转化为变现积分这种证明的套路。比如说我举的这个例子，那你要这么射出来了以后，那会有什么好处呢？就是说已知积分 就是这个变线积分带点进去，比如说这个大 fei b。 啊，这块写错了，大 fei b 他是不是就是 a 到 b 的积分？那大 f a， 那就是把 a 带进去，那上下线都变成了 a， 他他就是零了。好，那我们下期再见。
253研新生教育
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07:22查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是刚老师，咱们本节课来学习一下微积分基本定理，那么它又叫做牛顿来不宁次公式。 在咱们之前啊，已经学了导函数以及定积分的相关概念，我们发现有些函数的定积分用概念来求还是可以求的出来， 但是呢，部分函数啊，再用他的概念来求的话，是比较难求的，甚至呢，还有求不出来的情况。那么这个时候啊，我们就得考虑有没有更方便更快捷的方法来求一个函数的定积分呢？咱们今天所说这个内容啊，就是为了求一个函数的定积分的，所以啊，在这之前，我们务必要学习到 导函数的概念以及定积分的相关概念。那么有关导函数以及定积分的概念啊，在之前的视频里面已经有做过讲解，那么有不懂的同学可以翻看我之前做的视频。好，我们来看一下这个定理。 我们有个函数，大 fx 提完岛之后呢，变成了小 fx， 所以呢，小 fx 就是大 fx 的导函数，那么反过来呢，大 fx 是小 fx 的原函数， 并且呢，小 fx 一定要在 ab 这个圈上连续才可以。那么我们假定啊，我们知道小 fx， 但是呢，我们要求个东西，要求大 fb 减去个大 f a， 这个时候应该怎么求呢？好，我们先来画个图。好，我们结合图像来看一下大 f 和秀 f 之间的一些联系。我们假定 fx 图像如图，那么求的东西， f b 减肥不就是 b 点处的纵坐标，减去个 a 点处的纵坐标，那也就是说这个长就是咱们所求的东西，我们把它继承德尔塔外，那么我们用另一种方式把这个德尔塔外给他求出来， 那么这个方法呀，跟咱们求定积分的这个方法有点类似，也是分的是四步，但是呢具体的过程啊，跟咱们求定积分的过程还是有所不同的，注意观察好，我们来看一下有哪几步。第一步， 第一步我们用 n 减一个点，将这个 ab 区间给他等分， 分成 n 范，那么每一范的距离不就是 n 分之 b 减 a 吗？那么第一点就是 x 零，第二点就是 x 一，第三个点呢就是 x 二，那么最后一点就是 x n， 那么等分完之后啊，我们还是过这些点做一下 x 图的垂线。 那么做完抽烟之后啊，我们看一下第 xi 区间，也就是说从 xi 进一到 xl 这个区间，那么在这个小区间上外的变化量怎么体现呢？小区间上呀，这点长就是他的外的变化量，那么这个图案有点小，我们把它局部放大一下。 好，我们来观察一下在 dx 区域上它的外的变化量 多少，那么在这里啊，也就是他的动作标减去一个他的动作标，那么不就是这点长度吗？我把它记成第二他外癌，那么把他局部放大之后啊，就是 这点高度，然后呢，我们过这个点做一个曲线的切线，那我们得到一个三角形，我们看这个长，我们把这个长啊继承是第二套 y i 片，那么现在来看啊，他俩的这个值啊，还是不相等，但是呢，当咱们把这个区间无 线的等分，也就是等分成无群大范之后啊，也就说这个距离要无穷的缩小，当他缩小到一定程度的时候，他们两者的这个值啊，几乎就是相等的。那么这就是咱们的第二步，叫做进四替代。 我们先让这个德尔塔 y i 啊进四等于德尔塔 y i p， 那目前他是不相等的，我们看一下德尔塔 y i p 又怎么求？我们发现他是一个三角形的一条直角边，这点长啊， 不就是德尔塔 x 吗？他是德尔塔 x， 那么他们之间有一个比例，这个比例不就恰好是啊这个角的正切直吗？哎，我发现这个角的正切啊，不就是这条切线的斜律吗？ 所以他们之一个关系是，那么德尔特外片就等于 k 成一个德尔塔 x， 他们怎么来的呢？我们发现对边比零边等于角的正切就等于 k， 那么对边就等于 k 成一个零边， 然而这个 k 啊，又是啊，这个点处的切线的斜率，也就是说这个点处的倒函数，那么他就等于 f x i 减 一片德尔塔 x。 第三步求和，我们把每个区间上的这个德尔塔 y i。 片给他求和。我们继承人士啊，德尔塔外片， 那么这个德尔塔外撇就等于德尔塔外一加德尔塔外二，一直加到德尔塔外。恩，我们给他用求和符号表示，那么他又可以写成， 那么他就可以写成他，因为德尔投外挨片就等于他，我们给他求和。好，紧接着是第四步，叫做求极限，那么我们所求这个德 外，本来一个是静思等于德尔特外片，那么如何让他们相等呢？我们只需要给这个德尔特外片啊曲极线，让这个区间的距离无限的缩小成零 的时候，那么第二头外挨撇就等于了第二头外挨，那么他的和也就是上等了。这个时候我们再看一下这个东西又是什么，那么这个时候啊，第二头外就等于了给这个式子曲奇线 让这个德尔塔 x 啊无限的接近于零。哎，我发现这是 f p r， 那么大 f 的导航数不就恰好等于小 f 吗？所以大 f p x i 仅一，就是啊，小 fx i 减一啊，把它换掉。 好，我们换完之后就变成他了。哎，我发现这个东西啊，不就是一个函数的定积分吗？他不就是需要 fx 在一个区间上的定积分吗？我们根据定义 知这个东西就是小 fx 在 a b 区间上的定积分，那么他又等于 doty， doty 不就是 fb 减 f a 吗？哎，所以我们正出大 fb 减大 f a 就是小 fx 在 a b 区间上的定积分， 那么这个式子啊，就叫做微积分的基本定理，我们又叫做牛顿莱布尼子公式，为了方便表示啊，我们把大 fb 减去个大 f a， 可以写成，我们可以写成这个形式， 他就等于 fb。 简爱妃，好，以上啊，就是咱们这节课的所有的内容。
4619阿甘数学
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04:38查看AI文稿AI文稿这个公式在普通人眼中，他不过是一堆杂乱拼凑的字母，但在物理学家眼中，这是上帝留给人类的亲笔信。他用一种近乎神迹的方式，把宇宙中最基础的五大陈述连接在了一起。 零象征虚无的终点，亦代表统一的起点。泰显示了圆周的几何本质，亦描绘了万物增长的规律。而虚数单位 a 则构建了现实之外的代数体系， 这些数字本该老死不相往来，增长与圆周和干，虚数与算数怎能共存？但这套公式不仅证明了他们互通，更证明了他们命定合一。想要理解这个公式，自然常数意义这个关键角色，我们必须要认识。 他叫雅克布伯，努力一六八三年。他思考过一个问题，假设我有一美元，不把它存入年利率百分之一百的银行中，那么我怎么存才能使我的收益最大化？首先，我们可以得出收益表达式。 这里不难看出，存一年再取，我们可以得到两元，存半年后取出来，再把本金和利息继续存，我们可以得到二点二五元。再往后分为每个月存取，每天存取等等， 我们的钱会越来越多。凭直觉来看，若无限拆分，连续复利几息，财富难道不会无限暴涨，趋于无穷吗？我努力就此问题发现，无论时间拆的多么细致，增长始终无法突破一个固定数值，这个数就是 e， 它不只是一个数字，更是宇宙万物增长的一个极限。这里请记住， e 代表了永不停歇的向前生长。 接下来，我们要迎接那个曾经被视为败类的存在，虚数哀，他叫吉卡尔，解析几何之父，虚数，哀的创作者。他创造哀史，打心眼里看不起他，认为对负一开平方毫无意义， 所以才给他起名虚数，意为虚幻之数，形同糟迫。此后几百年，数学家们甚至觉得用虚数解方程是一种尴尬，算出结果后都要刻意把它藏起来，直到欧拉出现，他用一种前所未有的几何视角重新解读了哀。你看，在数轴上， 一个数乘以负一，相当于在数轴上旋转了一百八十度。那么，什么数字连续相乘两次，结果等于负一呢？没错，就是 i。 从几何上看， i 根本不是虚无缥缈的幻影，它代表的是逆时针旋转九十度。至此，我们手里已经拿到了两块终极拼图，代表增长的 e 和代表旋转的 i。 现在屏住呼吸，让增长与旋转融合。当 e 的 x 四方遇爱，会发生什么？根据牛顿的泰勒极数，任何函数都能拆解为无穷项的累加。 当我们将 x 带入 e 的 x 四方的泰勒展开式时，奇迹发生了。每乘以一次， i 就 旋转九十度乘一次，向左转乘两次，变负数乘三次，向下转乘四次，回到原点。这套负负正正的无限循环，强行将无穷极数重新排列。实数部分变成了余弦函数的泰勒展开， 虚数部分变成了正弦函数的泰勒展开。这一刻，增长法则融入了虚数维度的跃迁化，做了完美的圆周运动。 从微积分层面来看， e 的 x 次方的导数就是它自己乘以 i。 别忘了， i 代表旋转九十度， 这意味着他的运动方向永远垂直于他的位仪方向。当你向前行驶时，始终有一股力量把你向左推，迫使你的轨迹变成一个完美的圆。如果此时我们加入时间的维度，画二维为三维，你会发现这个运动轨迹是一条贯穿宇宙时空的螺旋线。 从侧面看，他是鱼弦波，从顶端看，他是正弦波。这其实也能反映我们在自然界中看到的所有的光波、声波、音律。那些起伏的正弦曲线，其实都不过是高维旋转运动在二维平面上的投影。 世间万物的起伏，本质上都是宇宙在更高维度的螺旋运转时间再往后推一百五十年。当人类探索微观世界量子粒子学的核心方程薛定谔方程开篇赫然立折叙述单位，哀，世间万物，包括你我，皆有波粒二象性， 而描述物质波的核心，正是欧拉公式。现在让我们回到最初的起点，在那个螺旋轨迹中，如果我们让它转过半个圆，也就是带入圆周率派，虚数部分瞬间消失，螺旋线精准地坐落在时数轴的负一处，将负一移向等是另一侧。欧拉公式就此浮线、 几何学、概率学、代数学、虚无与本源宇宙的一切，在这一刻达到了完美的平衡，这便是上帝的公式。 最后，在这个视频中，你记不记得公式怎么推导？理不理解虚数为什么要转圈都不重要，重要的是你在某个下午晒着太阳，听着这些符号背后的故事，心里忽然觉得世界好像没那么乱，数学也没那么远，这就够了， 所以去晒晒太阳吧，把视频关掉，去感受一下这个真实的世界。这些才是欧拉公式想告诉你的最后一件事，美不需要被证明。
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