武汉七年级下册几何题
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17:15查看AI文稿AI文稿大家好，我是博罗培训学校的数学王老师，今天我分享的题目是二零二五年春季红山区期下期中考试数学卷第二十三题，如图一、 ab 平行 c、 d 角 c、 a、 d 等于角 c、 d、 a 角 b、 a、 c 的 平分线与角 a、 c、 b 的 平分线交于点 e 延长 c、 e 与 d a 的 延长线交于点 f， 角 f 等于五十度。第一问，求证角 e、 a、 d 等于九十度。 根据题目的已知条件，有很多角度的等量关系，所以呢，我们首先选择设参数，我们设角 c、 d、 a 等于 x， 那 么角 c、 a、 d 等于 x。 有两直线平行同位角相的可得角 b、 a、 f 也等于 x， 因为点 a 在 直线 d、 f 上，所以角 d、 a、 f 等于一百八十度， 所以角 b、 a、 c 等于一百八十度。减二、 x， 因为 a、 e 平分角 b、 a、 c， 所以 角 e、 a、 c 等于二分之一倍的角 b、 a、 c 等于九十度。减 x， 所以 角 e、 a、 d 等于角 e、 a、 c 加上角 c、 a、 d 就 等于九十度。减 x 加 x 等于九十度。 第二问，求角 a、 b、 c 的 度数。初一看这个问题，我还不知道怎么去求这个角，但是呢，我发现题目还有很多条件没有使用， 比如 a、 e 平分角 b、 a、 c、 c、 e 平分角 a、 c、 b 平分设等角，所以我设角 b、 a、 e 等于阿尔法则角 c、 a、 e 也等于阿尔法。这角 b、 c、 e 等于贝特，则角 a、 c、 e 也等于贝特。 还有我们第一问得到的角 e、 a、 d 等于九十度，以及题目给的角 f 等于五十度。有这两个条件，我们发现我们可以求出这个角的度数。 首先，我们可以过点 f 作 f， h 平行 a、 e 两直线平行同位角相等，所以角 d、 f、 h 等于角 d， a、 e 等于九十度。所以剩下的这个角 h、 f、 c 等于九十度，减五十度等于四十度。 两直线平行内错角相等，所以角 a、 e、 f 等于角 h、 f、 c 等于四十。 而我发现这个角 a、 e、 f 与 alpha、 beta 可以 建立起联系，我们只需要过点 e 作 eg 平行 a、 c 由两直线平行内错角相等就可以得到角 a、 eg 等于 r 法。 两直线平行同位角相等，可以得到角 f、 e、 g 等于角 e、 c、 a 等于贝塔，那所以阿尔法加贝塔就等于角 a、 e、 f 等于四十度。因此呢， r、 alpha 加 r beta 也就等于 八十度，以及是角 b、 a、 c 加上角 b、 c、 a 等于八十度。 而题目要我们求的角 a、 b、 c 就 可以与角 b、 a、 c 以及角 b、 c、 a 建立联系， 我们只需要过点 b 做 m、 n 平行 a、 c 有 两直线平行内错角相等，可以得到角 a、 b、 m 等于角 b， a、 c 等于二 r 法。 角 c、 b、 n 等于角 b、 c、 a 等于二倍。它因此角 abc 等于一百八十度，减去 r， alpha 减去二倍，它也就等于一百八十度，减八十度等于一百度。 这个第二问，同学们发现我做了很多的平行线来转化角度， 那有的同学可能提前知道一些三角形内角和定力，或者是三角形的外角定力。发现呢，我这个地方不需要通过平行线，利用刚刚两个定力就可以解决问题。但是 由于三角形的外角定例及内角和定例在七年级还没有正式开始学，所以这两个定例不能直接使用。我们通常都是通过平行线来将这些角度关系建立起来的。 我们继续看第三问。当角 d 等于六十五度， 若直线 c、 f 下方存在点记满足，角 e、 a、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 a、 c。 角 e、 c、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 c、 a， 则角 a、 g、 c 的 度数是多少？用含 n 的 式子直接写出答案。 由我们第二问的平分设等角，我们设了角 e、 a、 c 等于 alpha， 角 e、 c、 a 等于 beta， 所以 这个地方的角 e、 a、 g 我 可以把它写成 n 分 之一 alpha， 角 e、 c、 g 可以写成 n 分 之一的 beta。 好 在结合题目给的条件，角 d 等于六十五度，角 f 等于五十度。 那我们看看这里的 alpha 和 beta 与题目提供的几个角度能不能建立起联系。由题干之，角 c、 a、 d 是 等于角 d 等于六十五度。 哎，那这样一来，我们发现 beta 的 度数我可以求得出来，只需要过点 a 做 a， k 平行 f， c 有两直线平行同位角相等，可得角 k a、 d 等于五十度， 所以角 c、 a、 k 等于六十五度，减五十度等于十五度。两直线平行内错角相等，所以背它就等于十五度。 再由我们第二问的结论可知， alpha 加 beta 是 等于四十度，那所以呢，可以算出 alpha 等于二十五度。 这样一来，我们就得到了角 e、 a、 c 等于阿尔法等于二十五度。角 e、 c， a 等于贝塔等于十五度。 题目要我们求角 a、 g、 c 的 度数，那首先我要知道点记的位置，再画出对应的矢图。 根据条件，角 e、 a、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 a、 c。 那 么点 g 有 可能在射线 a、 e 上方， 也有可能在射线 a、 e 和 a、 c 之间，还有可能在直线 a、 c 的 下方。 再根据条件，角 e、 c、 g 等于 n 分 之一倍的角 e、 c、 a， 且点 g 在 直线 c、 f 的 下方， 那么点 g 可能在射线 c、 f 和 c a 之间，也有可能在直线 a、 c 的 下方。 综合来看，点击的位置有三种可能的情况。情况一，在射线 a、 e 的 上方，直线 c、 f 的 下方，也就是大概在这个区域。情况二，在三角形 a、 e、 c 的 内部。 情况三，在直线 a、 c 的 下方。下面我们再分情况讨论。 首先我们看情况一，当点记在 a、 e 上方 c、 f 下方时， 要求角 a、 g、 c 的 度数和第二问类似，我首先过点记作 s t 平行于 a、 c， 此时角 a、 g、 c 是 等于一百八十度。减去角 a、 g s， 减去角 c、 g、 t。 有 两直线平行，内错角相等，可知角 a、 g、 s 是 等于角 g、 a、 c、 g 那因此角 a、 g、 c 就 等于一百八十度。减去角 g、 a、 c， 减去角 a、 c、 g， 其中 角 g、 a、 c 是 等于角 e、 a、 g。 加上角 e、 a、 c， 也就是 n 分 之一阿尔法加上阿尔法， 其中角 a、 c、 g 是 等于角 e、 c、 a。 减去角 e、 c、 g， 也就等于 beta， 减去 n 分 之一 beta， 所以 它就等于一百八十度。减去 n 分 之一 alpha， 减 beta， 加上 n 分 之一 beta， 其中阿尔法等于二十五度。贝塔等于十五度。我们带进去，那就是一百八十度，减去 n 分 之二十五度，减二十五度，减十五度，加上 n 分 之十五度， 也就等于一百四十度，减去 n 分 之十度。我们再看情况二， 当点记在三角形 a、 c、 e 的 内部时， 辅助线同情况音，此时的角 a、 g、 c 同样等于一百八十度减去角 g、 a、 c。 减去角 g、 c、 a。 只不过此时角 g、 a、 c。 是 等于角 e、 a、 c。 减去角 e、 a、 g， 也就是 alpha 减去 n 分 之一 alpha， 此时的角 g、 c、 a。 是 等于角 e、 c、 a。 减去角 e、 c、 g。 也就等于 beta 减 n 分 之一 beta， 也就等于一百八十度。减阿尔法加上 n 分 之一阿尔法减贝塔加上 n 分 之一贝塔也就等于一百八十度。减二十五度。加上 n 分 之二十五度 减十五度。加上 n 分 之十五度，也就等于一百四十度加上 n 分 之四十度。我们继续看情况三， 当点 g 在 直线 a、 c 下方时，还是同样的辅助线， 那么角 a、 g、 c 依然等于一百八十度。减去角 g、 a、 c。 再减去角 g、 c、 a。 指示此时角 g、 a、 c。 等于角 e、 a、 g。 减去角 e、 a、 c， 也即是 n 分 之一 alpha 减 alpha， 角 g、 c、 a。 等于角 e、 c、 g。 减去角 e、 c， a。 也就等于 n 分 之一 beta 减 beta， 也就等于一百八十度。减 n 分 之一阿尔法加阿尔法 减 n 分 之一贝塔加贝塔，也就等于一百八十度。减 n 分 之二十五度。加二十五度。减 n 分 之十五度。加上十五度， 等于两百二十度减去 n 分 之四十度。 这里同学们要注意一下第三种情况，有的同学会问，角 e、 a、 g。 等于 n 分 之一倍的角 e、 a、 c， 那 它比角 e、 a、 c 要小啊？为什么这里的角 e、 a、 g 反而比角 e、 a、 c 大 呢？ 那是因为题目并没有交代 n 的 取值范围，也就是说，这里的 n 可以 大于零小于一， n 也可以等于一。 当 n 大 于零小于一时， n 分 之一就是大于一的，那么此时角 e a g 就 大于角 e a c。 角 e c g 就 大于角 e c a， 也就对应着我们这里的情况。三、 这个第三问主要考察的是分类讨论的数学思想，我们要学会找到合适的分类标准，然后再正确的进行分类讨论。
3BLPX
02:58查看AI文稿AI文稿今天我们来给大家讲一下七年级下学期期中考试一个必考题型，飞镖模型，看一下这类模型题大家会不会做。我们来看一下这道题， b、 f 平分角 a、 b、 d、 c、 e 平分角 a、 c、 d 则角 a 等于多少度？ 好，读完题目的话，我们来看一下，题目中还告诉我们两个关键信息，一个是角 b、 g、 c， 这角它是一百二十度，还有一个就是角 b、 d、 c 等于一百五十度，那关键就在于我们要如何利用上这两个关键信 息。那这个的话，我们就来给大家说一个我们平行线的模型题，那就是飞镖模型， 那这个样子的话，就是我们飞镖模型的一个基础的样子。好，那飞镖模型的一个结论就是角一加角二加角三等于角四，这三个角的和是等于这个角的，那我们是怎么得到这结论的呢？其实很简单，我们这里连接一下 ac， 然后连接 ac， 再延长一下的话，我们就会发现说这里角一是被分割成了左右两部分，角四也被分割成了左右两部分， 那接下来角四的左边这一部分就等于角一的左边这一部分加角二。因为我们知道三角形的外角是等于它和它不相邻的两个内角的和的， 所以说左边的这一部分，角四左边这一部分是等于角二，加上角一的左边这一部分，那同理可得角四的右边这一部分就是等于角一的右边这一部分和角三的和，所以说在合并在一起就是角一加角二加角三等于角四。那这里就是我们推论结论的一个推理过程。 好，那接下来我们来看一下，再利用这个结论来做本道题目。本道题目当中 v f 平分角 abd， 那 我们可以设这个角和这个角都为阿尔法，那同时可以得到 c 平分角 acd， 这个角和这个角我们都命名为贝塔， 那我们现在来用微标模型的结论的话，就可以得到两个方程，也就是可以构成一个方程组， 那分别是角 a 加尔法加贝塔等于一百二十度，还有就是角 a 加阿尔法加二贝塔等于一百五十度，那我们分别命名为 一式和二式，那我们现在题目中让我们求出这角的度数，那其实就很好求了，我们这边可以用角 a 一 式，给它乘上两倍，就可以得到两倍的角 a 加阿尔法加二贝塔是等于二百四十度， 那我们把这式子命名为三式，再用三式减去二式的话，那这边两边角 a 减角 a 是 就算一个角 a， 然后阿尔法阿尔法抵消掉，二贝塔和二贝塔抵消掉，那就是角 a 等于右边的二百四十度，减去一百五十度等于九十度， 所以我们就可以求得角 a 度数就是九十度。那这一道飞镖模型题我们就解决到，怎么样这类飞镖模型题你学会了吗？
165轩宝做题家
08:39查看AI文稿AI文稿第二小题，呃，难度稍微大一点了。等腰三角形 a， b， c 边相等 角 a， b， c 是 九十点， dog 是 a b 上的一个点，以 c dog 为腰，然后做等腰直角三角形 c dog e， 那 就是 c dog 是 会跟 c e 又会相等的，这里呢，又有一个直角， 然后接下来叫 dog， c， e 是 九十度啊，这个不用说都知道了，对不对？那如果说刷题比较多的同学，这时候应该是能够非常敏睿地看出来，他考的是不是 有点是那个一线三垂直啊，对吧？ bc 这条直线上是不是有一个直角，两个直角，三个直角，对不对？好，那我们就会得到啊。这个我用角一表示，也就是角一加上这个角二 是不是等于九十度？角二加上这个角三是不是等于九十度？所以我们是会推出来这个角一是会等于这个角三的。 就因为角得个 b， c 等于角， c， f， e 都等于九十度，然后 c， d 是 会等于这个 c， e， 所以 三角形得个 b c 跟三角形 c， f， e 是 全等的，是通过 a a、 s 来证全等的啊，就结束了。 好，第二小题，他说在图一中连接这个 a b 跟这个 b c 相交于这个点 m， 然后让我们去求证这个 a dog 跟 b m 之间的一个值是多少？ 这个肉眼看过去是不是很像？两倍的关系，对不对？那我们现在看一下是不是啊？那由第一题，我们是不是得到了三角形到个 b， c 是 跟三角形 c， f， e 是 相等的，那你 b 到个这条边，那我换个颜色吧，换个 哪个比较出众一点呢？紫紫色。这个 b 到个这条边 是会跟 c、 f 这条边是会相等的，对不对？好，还有哪条边是相等的？是不是 e f 这条边，它是会跟 ab 这条边是会相等的？那你看我们是不是就能推出来 a d 这条边，它就是等于 b f 了， 对不对？因为你的 ab 呢，是会等于这个 c f， 所以我们会得到 a b 减去 b dog， 是 不是会等于 b c 减去这个 c f， 那 就会推出来 a dog 呢？是会等于这个 b f 的？ 好，现在再看啊， 你的 ab 是 不是又会等于这个 ef？ 因为它两个三角形全等，对不对？那 ab 等于 ef， 这个角是九十，这是九十。然后这个呢，是对顶角，是不能推出来这个三角形 abm 是 会全等于三角形 efm 啊， 对吧？它是通过 aas 这两个三角形全等全等就会推出来，你的这个 bm 是 不是就会等于这个 mf 了？ 也就是 b m 这条边呢，是会等于二分之一的 b f， 你 的 b f 是 不是跟 a dog 是 相等的啊？也就是等于二分之一的 a dog， 所以 a dog 比上这个 b m 是 不是就是等于二了？好，第二题就结束了。 好，第三小题的话，难度稍微有一点点大，需要你去添加辅助线了。让我们来看一下已知条件有哪些。第一个是 e h 是 垂直于这个 c e 的， 这个角是九十，然后 dog 锥呢？又是垂直于这个 dog， c 的， 这个角是九十。 嗯，点 dog 是 在 a b 上运动。让我们去求证这个 h e 减去 g dog 比上 g h 的 值是否会发生变化？ 那我们看一下。哦，它是跟 h e 这条边有关，然后 h e 又是垂直 c e 的， 那 c e 这条边呢？又是跟这个 c d 是 这条边是相等的，对不对？那么已知条件里面是不是 h e c 证据链已经非常的完整了，对不对？你做这个证明题就跟你破案一模一样，对不对？那你现在就是要想办法去做一个辅助线，得到一个三角形，会跟这个 h c e 是 会怎样？ 是会相等的，全等，不能说相等全等啊，你看又跟这个最道格这条边是有关的，对不对？好，然后我们现在看一下啊， 这个角是九十 c 道格是九十 c 道格不等于 c e 吗？那我要去全等的话，应该会跟 c e 道格这条边是有关系的，对不对？那你就要延长这个德克坠了，延长这个德克坠 啊，再过 c 点去做这个垂线。为什么做垂线呢？因为你的这个角得个 c e 是 不是九十度？我做完垂线之后，我的 m c h 是 不是也是九十度？就会产生什么模型的角度关系啊？是不是？一二三角，对不对？我们是不是能得到这个角 m c d 啊？跟这个角 h c e 就 会相等的了，对吧？ 这两个角度是会相等的啊， m c dog 啊，跟这个角 h c e 是 会相等的，就是一二三角，就是他加他是九十，他加他也是九十，所以这两个角是相等的。那又因为你的 c dog 这条边是不是会等于 c e 这条边 这个九十度，这又是九十度，所以 a s a 两个三角形是全等的。所以第一步啊，三角形 c 得个 m， 它是会全等于这个三角形 c h e 的，是 a s a 两个三角形全等全等完之后呢，我们就会得到 h e 这条边是不是就跟得个 m 这条边就相等了？ 然后你再看 h e 等于 dogm， 那 我的 h e 减去这个追 dog， 是 不是就相当于是 dogm 减去追 dog 了？那就是什么？是不是就是最 m 这条边了， 对吧？你的 h e 减去最道格，就相当于是德个 m 减去最道格，那你的德个 m 减去最道格呢？就是等于 m 这条边了。那现在就变成 m 这条边跟 j h 这条边有什么关系呢？一看是不是相等，能不能证出来？相等它是可以的，就是我们可以去证这个三角形 j c h 跟这个写 j c m 是 全等的。 呃，怎么去证全等呢？就是前面我们是不是已经得到这两个三角形全等？全等的话，是不是会得到这个 c h 这条边？ 就是这条边，是不是跟 c m 这条边是相等的？然后 c g 呢？又是公共边，那现在你只要能够证明这个 m c g 呢？是会等于 g c h 是 不是就可以了？ m c g 会不会等于 g c h 啊？它是会的，它俩都等于什么呀？都等于四十五度，因为你的这个角 a c b 是 不是四十五度啊？ 角 a c b 是 四十五度，然后你的角 m c h 刚刚是九十度，对吧？它是做垂线，所以我们会得到这个角 m c 锥是不是也是四十五度，所以会得到三角形 g c h 是 会全等于三角形。 g c m 的 s a s 两个三角形全等，我们就会得到 g m 这条边呢？是会等于 g h 这条边，那最后它们的比值就等于什么啊？是不是就等于一了就好了？ 嗯，这道题还有另外一种做辅助线的方式，就是，呃，可以做这个 c m 垂直于这个 c a， 就是 往这一座垂线， 就是这个角是九十，也是一样的，证明过程是一样的，有兴趣的同学可以去做一下，好吧？
06:53查看AI文稿AI文稿hello， 同学们好，今天我们接着前几个视频，继续讲这一套七年级下册的期中考试卷。由于后面的解答题是越来越难， 所以从今天这个视频开始，我们一个视频就讲解一道题，今天讲的是二十题。先来看一下题目，如图，三角形 a、 b、 c 在 直角坐标系中，一、请写出三角形 a、 b、 c 的 坐标。二、 若把三角形的 a、 b、 c 向上平移两个单位，再向右平移两个单位，得到三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇。在图中画出三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇三。 求三角形 a、 b、 c 的 面积。这一道题考察的知识点主要有这几个，第一，平面直角坐标系中点的坐标确定。 第二，弧形的平移。第三，用割补法求网格中的三角形的面积。先来看第一问，通过看图我们知道 圆点在这里，所以 a 点所对应的坐标是负一负一， b 点对应的横坐标是一、二、三、四重坐标对应的是二，所以 b 点的坐标是四、二。所以第一问解， a 是 负一， 逗号负一， b 点四，四逗号二。 c 点四，一逗号三。再来看第二问，三角形 abc 向上移两个单位，向右移两个单位弧形的平移，我们可以把它转换成点的平移， 我们可以把它看作 abc。 三个点分别移动，所以 a 点原来的坐标是负一撇。负一平移后， a 一 撇的坐标就变为负一加二，重坐标也变为负一加二， 所以横坐标变为一，重坐标也变为一，所以 a 一 撇的坐标是一， 逗号一。 b 点原来的坐标是四，逗号二。平移后， b 一 撇的坐标就是四加二，六重坐标是二加二、 四，所以 b 一 撇的坐标是六，逗号四。 c 点的坐标原来是一 三，平移后， c 一 撇的坐标就变为一加二等于三，重坐标是三加二等于五， 所以 c 一 撇的坐标是三，逗号五。我们在平面直角坐标系中分别把 a 一 撇、 b 一 撇、 c 一 撇标出来， a 一 撇的坐标是一，逗号一。 在这里的话，我们我想分享一个技巧，就是我们可以在图上直接平移，然后平移完标好之后，跟我们算出来的这个坐标，看一下是否一两个单元格 一二，再向上移两个单元格一、二， a 一 撇就在这里，他所对应的坐标是一一跟我们算出来的是对的。再来看 b 点 向右移两个单元格，一二，再向上移两个单元格，一、二就在这里。 b 一 撇，他所对应的横坐标是 一、二、三、四五六中坐标是一、二、三、四，跟我们算出来的也是对得上的。再来看 c 点向右移两个单位一二，再向上移两个单位，一、二就在这里，他所对应的横坐标就是 一、二、三中坐标是一、二、三、四、五，跟我们算出来的也是一样的，所以我们算的跟移的是对的，上的。那接着我们用尺子把它三个点连起来， 而且我们作图需要用铅笔，以防我们画错。再来看第三问，求三角形 abc 的 面积。首先三角形 abc 的 任何一条边都没有在 x 轴或是 y 轴上，所以我们这一道题需要用 割补法来求，根据 abc 三点，我们补全一个长方形。为了图能够清新的看出来，我用一个红笔把它这个长方形描出来， 这样子我们就可以得到一个长为五，宽为四的矩形，然后我们可以用这个矩形减去周边的三个直角三角形的面积就是这个三角形 a、 c 这条边画出来的一个直角三角形，那它的底就是二，高是 四，所以它的面积就是二分之一，乘以二，乘以四。而下面这个三角形，我们叫二号三角形，它的底是 五，高是三，所以它的面积就是二分之一，乘以五，乘以三。三号三角形的底是一，高是三，所以它的面积 就是二分之一，乘以一，乘以三，所以我们就可以得到三角形 a、 b、 c 的 面积就等于矩形面积。五乘以四，减去一号三角形二分之一，乘以 二，乘以四，减二号三角形的面积二分之一乘以五，乘以三，减去三号三角形的面积减二分之一，乘以一，乘以三。通过计算我们可以得到二十减四， 减二分之八，减二分之三，这里是减二分之十，十五，这个是二分之三，对，就等于二，十减四，减后面这个是二分之十八，就等于九， 所以最终答案是七，三角形 a、 b、 c 的 面积为七。这就是这一道题的整个解析思路，大家听明白了吗？如果觉得这个视频有用的话，点赞、收藏视频， 关注小朱老师，老师每天都会为大家讲解初中的题目，我们下期视频再见！
11小猪讲数学
02:04查看AI文稿AI文稿好注意啊，各位家长，初一下册呢，不管是我们人教版还是北师大版，都进入到了几何的学习。这时候呢，孩子可能会遇到一些问题啊，但他这个时候的核心关键一定不是练大量的几何题，而是在这个时候养好规矩，养好习惯。 你这个阶段呢，把规矩和习惯养好之后呢，他后面再学就非常顺利。如果这个阶段没有养成好规矩和好习惯，那么到初二初三全都是扣分点啊。所以记住以下几件事情。第一件事情就是我们从平行线开始，孩子写的每一个过程和步骤， 他都要要求能说出这一步的定力和依据啊。这个定力依据呢，可以不用写在后面，很多老师会要求你刚开始学的写在后面啊，有的老师会要求写，但是呢，在我课堂上，我不会要求每个孩子每一步都写，但要求每个题做完之后呢，我都会让孩子说一下这部的原理 啊，定力啊，一定要挨个说出来，你如果说能够说出来，说明这个题逻辑顺的也说不出来，说明这个题过程写的不行啊，重新写啊。他其实是什么解决了一个定力记忆的问题，就他的逻辑比较清晰对不对？每个步骤他为什么能够得到，他就是顺的这样呢？他其实解决个什么问题啊，给他将来大量扣分的地方就是跳步的态度， 孩子很爱跳步啊，我举几个例子，比如说我们常见的错误，两之间相等对不对啊？内测相等，或者说什么内的互补，这是两个脚的事情。 但很多孩子会说些什么，比如说两直线平行啊，大家看这个是角 b 对 不对？他直接得到角 b 等于角一加角二，你觉得可行吗？肯定不行啊，这是错的啊，我们两直线只能得到什么角 b 等于角 b、 c、 d， 而不能等于角一加角二啊，因为它是两个角的事情。 我们辅助线呢，也是一次只做一件事，比如说这个题，我这个地方只做了过点 e 对 吧？做 e、 f 平行 a、 b， 但不能直接说平行 c、 d 对 不对？因为我们还需要去证明啊，所以说一次只能做一件事啊。最后呢，就说明了，在一个证明的过程中，我们题干中出现了原始条件啊，一定要体现在你的证明过程里面，他这是写过程啊，题干没有这个， 他直接把题干里面的这个条件得到的结论，直接拿来当条件用啊，那肯定是要扣分的啊，你把题干这个条件呢，你要证明出来了， 到了他结论才有用。所以以上问题啊，都是每一个过程和步骤啊，一定要让孩子说出他的这个依据和原理啊，这一步是哪个定律产生的啊？这个就能说出来，那么这个步骤是 ok 的， 如果说不出来，那说明这个过程不行重写。
08:58查看AI文稿AI文稿全等三角形一定是我们出一下最难压轴板块，没有之一，这题的难点之处呢，就是他需要通过构造辅助线去构造全等，从而去倒边倒角。来。同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透背长中线的构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样做的， 首先， a、 d 呢，为三角形 a、 b、 c 的 中线，所以 d 点就是我们的中点啊，这个中点就是我们的突破口啊。然后呢，告诉 b、 e 边等于 a、 c 边。最后，题目求的是 b、 e、 d 这个角等于角 c、 a、 d 啊，这个角， 徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行归类总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成了全等经典一百题，刷完直接提升几何思维。需要的家长我发你一份。 好来，同学们，哎呦，一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察我们全等三角形当中最基本的一类辅助线，叫做被藏中线。来，我们先来简单回顾一下被藏中线的构造方法和技巧。好吧，来看第二道图， 它是这样做的，三角形 a、 b、 c 当中 d 点呢，是 b、 c 边上的中点，那很明显，那 a、 d 就是 三角形的中线，对吧，来背长中线，我们背长的就应该是 a、 d 这条线段，对吧？所以呢，什么斜腹直线，我应该是延长 a、 d， 哎，延长 a、 d 是 t 啊，我们因为我们要倍长，所以呢，使我们的 d、 t 和 a、 d 这两个边是相等的啊，就是倍长中线。好，倍长。最后的目的呢，是为了构造全等， 所以呢，接下来我还要去连接，那连谁呢？我可以连 b、 t， 也可以连 ct， 对 吧？都有全等啊，如何？有全等你就连接谁，好吧。来连接 b、 t 之后，你看，这个时候我们全等就出来了， 三角形 a、 d、 c 和三角形，我们 t、 d、 b， 它们俩就是全等的，很简单来，对，顶角相等好， b， d 等于 c， d， t， d 等于 a、 d， 对 吧？两个边，一个加角边角边，所以呢，它是全等的好。所以第一个结论， 倍长中线，我们可以构造一组边角边的全等就是 a、 d、 c， 哎，全等于三角形 t、 d、 b 一定是边角边的全等好吧，那么构造全等不是我们最终目的，最终目的呢，是为了去导边和导角，来，它们俩全等以后，所以这两个边 a、 c 和 b、 t 就 应该是相等的，对吧？所以第二个结论，我们的 a、 c 就等于 bt， 哎，我们叫倒边倒角，哎，什么叫倒边倒角呢？叫转移边或者是转移角，对吧？好。第三个结论来，除了边相等，我们还有一组买一送一的平行线，谁是平行的？同样 a、 c 和 bt 也是平行的来， a、 c 平行于 b、 t， 为什么呢？来，因为这个角和这个角，它们俩是对应角，对应角相等，而且这两个对应角呢，正好是我们的内错角，内错角相等，两直线 形形，对吧？好。这三个呢，就是被藏中线当中最常见的三个。结论。好，有了这个铺垫之后呢，来，我们看这道题，那就非常简单了，他说，如果 a、 d 为我们的三角形 abc 的 中线，所以 d 点就是我们的中点好， b 一 边呢， 告诉我们等 ac， 对 吧？好。题目最后求证的是，这两个角应该是相等的， 如何去证明呢？对吧？来，抓住哈。题目当中有一组边相等，那这两个边相等，但是呢，这两个边不在同一个三角形当中，如果我能够把这两边放到同一个三角形当中，你看，没有，哎，我们就可以什么形成一个 等腰三角形就有两个相等的角，哎，不就有角相等了吗？大家看到没有？所以呢，怎么办呢？我应该通过转移把这两个 边转移到同一个三角形当中，如何去转移边呢？哎，我们说构造全等，可以转移边，对吧？来这里面如何构造全等？抓住这个关键点，地点是 终点，但是这里的终点过了两条线段，一个是 e， d， 一个是 a， d。 来，我到底应该背长谁呢？大家思考一下。来，第一个方法，如果背长 e d， 倍长 e d 啊，就延长 e d， 哎，致我们的系列，好吧，使 d t 和 e d 是 相等的，好连接，哎，延长之后呢，还需要去连接构造全等吗？ 大家思考一下，到底连 b t 还是连 tc 啊？如何连接？会有全等，你就连接谁，好吧，那很明显，这里面连哪个连接 tc 有 全等吗？对吧？连接 tc 之后，哎，这两个三角形 不就是全等了吗？ ok， 你 看，所以 b d 等于 c， d， e 组边好对，顶角相等， e， d 等于 dt， 是 你自己做的，所以边角边，哎，是被长中线的全等，对吧？好，写下，所以这个时候三角形 e， d， b 全等于三角形 c， d， c， 哎，边角边的全等好，全等以后，所以 b， e 就等于 t， c， 哎，这个边我们就拽到这个地方来了，哎，刚才我说目的什么呢？需要把这两个边转移到同一个三角形当中，看 b， e 等于 t， c， 哎， b e 又等于 a， c， 哎，又因为 b、 e 等于 a c， 所以 t c 就 等于 a c， 哎，看 t c， a、 c， 这个时候呢，正好在同一个三角形当中，看到没有？等腰三角形不就出来了吗？所以这两个角就应该是 相等的，对吧？来，所以角 c， a， t 等于角 t， 它们俩相等好，又因为角 b， e、 d 等于角器，对吧？他等于他这个角也是而法，所以又出来了啊，角 b， e、 d 就 等于角 d， a、 c， 所以呢，这个结论我们就正确了啊，用的是倍长中线。好，第一个方法，我们是倍长的 e、 d。 好， 第二个方法来，我还可以倍长 a、 d， 因为过这个中点的线段有两个，一个是 e、 d， 一个是 a， d， 我们这道题都可以背长好来，第二个方法，我们来说一下，如果背长 a、 d 的 话，那就延长 a、 d 啊，使 到 t， 使我们的 d t 等于 a， d， 最好刚才是这个边等于这个边，你背长的 e、 d， 现在是使 d t 等于 a、 d， 好 吧，好，接下来一样的连接，连接谁会有全等呢？ 大家思考一下。好，这里面我连 bt 也有全等，对吧？他们俩全等啊，连接 tc 也有全等，那是不是都可以呢？ 大家思考一下。连接 tc， 你 看他们俩确实全等的，这个边等这个边，这个边等于这个边对顶角相等，对吧？没有问题，有全等，但是你看有没有用，他们俩全等以后，我的 ab 边就等于 tc， 哎，我把这个边转移过来了， 大家看一下有没有用？没有用，为什么呢？我们最终目的是要转移 b、 e 和 a、 c 这两个相等的边到同一个三角形当中，所以你转移 ab 没有用，你虽然能构造全等， 但是呢，你转的边对我们题目的解答是没有用的，对吧？所以呢，你不能连 tc 啊，不能连 tc， 因为我们最终不是为了构造全等，最终目的是为了转移边和转移角，对吧？那你就连那个连 bt 来连 b t 时候，你看，那么它们俩是全等的啊。来，三角形 a d c 全等于三角形 t d b， 哎，也是边角边的全等，全等以后，你看，就把 ac 转移到 b t， 所以 来 ac 等于我们的，那就是 b t， 对 吧？等于 b t。 好， 那所以这个角角一和这个角二也是相等的，哎，角一也是等于角二的，那么最后你看， 把这两个相等的边转移到同一个三角形当中，对吧？那所以我的 b e 就是 等于 b t 是 不出来了，好，它是一个等腰三角形，那这个角呢？ 角三嘛，那所以角二就等于角三来，角一等于角二，角二等于角三，所以角 b e d， 哎，就等于角 c a d， 大家听懂了吗？哎，这道我们非常典型的背长中线，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！
611攀攀讲思维
09:11查看AI文稿AI文稿将军一马求坠子可以说是初一下半期考试当中考平最高但得分极低的以内压轴问题，尤其这种三动点问题，可以说是将军一马问题当中的天花板都存在。来，同学们，今天徐老师带你用一个视频 彻底通透三动点问题的所有方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，首先告诉三角形 abc 当中啊，角 b 这个角呢，等于三十度，然后呢告诉我们 ac 边等于二，三角形 abc 的 面积呢，正好又等于五好。接下来 m 点、 n 点和 p 点分别是三个边上的动点。好题目最后求的是三个动点所围成的三角形 m、 n、 p， 它的周长最小值应该等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题， 优中选优，讲练结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。好，来，同学们一起来分析下这道题啊。 这道题呢，主要考察了我们将军一马所有模型当中最难的一个问题，叫做三动点问题，来，我们一起来分析一下哈。首先的题目告诉我们 m 点、 n 点和 p 点这三个点呢，分别是三条边上的三个动点，那题目最后求的是什么呢？求的是这三个动点所围成的三角形的周长最小值 该为多少，对吧？对于这种三动点问题，我们如何去突破呢？其实方法很简单啊，第一步，首先我们先去假设其中一个动点为我们的定点，那到底假设谁呢？来，方法和技巧就是假设特殊角 所对的动点为我们的定点，来，我们先去找一下啊，比如说来角 b 对 应的点是我们的 n 点，角 c 所对应的点呢，是我们的 m 点来，回到题目当中的已知条件，题目告诉我们角 b 这个角等于 三十度来，所以特殊角所对的点为我们的定点，那么角 b 是 特殊角三十度，那么这里的什么？他对应的点是我们的 p 点，所以很简单来，第一步，我们先去假设 p 点这个动点呢，为我们的定点好来，这个时候呢，他是我们的 定点好， m 点是动点， n 点呢也是动点来，接下来就把它转变成了我们非常常规的相均一码的两动一定模型，对吧？对于这个模型的核心思想呢，我们就是通过做轴对称， 把三角形的三条边呢？哎，通过做轴对称呢，转移成这样的首尾相连的 折线段是和求最小，对吧？好，根据两点之间线段最短呢，去找到我们的最小值。 方法很简单来，所以呢，我们应该是过定点向定直线做对称点来定点，这个时候呢，是我们的 p 点 定直线呢，一个是 ab， 一个是我们的 bc， 所以呢，接下来我应该过定点 p 分 别向 ab 和 bc 做两次对称点，对吧？来，先我们做对称，第一个，先过 p 向我们的 bc 边 来做一次对称点，这个是我们的 s， 好， 第二次呢，再过 p 点向定直线，我们的 ab 边来也做一次 对称点，那么这个点呢，就是我们的 q 点，对吧？好，做了对称以后呢，第二步，我们就可以转一边了，你看 p 和 q 是 关于 ab 对 称的，所以呢，我们的 pm 就 把它等量的 转移到了 m q， 对 吧？好，同样 p 和 s 呢，关于 b c 是 对称的，所以呢，我们的 n p 就 把它等量的转移到了 n s， 你 看没有？好，这个边等于这个边，这个边等于这个边，本来是要求中间这三条线段之合的最小值，接下来就把它转移成了这样的 首尾顺次连接的折线段之和最小，看，我们的目的就达到了，对吧？好，最后一步，两点之间线段最短，那么所以最后一步我直接连接 q s 是 不是可以了？好，这个就是我们的 m 点，这个呢就是我们的 n 点，那么这个时候呢，我们 q m n s 四点是共线的，那么最小值呢？就变成求一个，求 q s 应该等于多少，对吧？那什么 q s 该怎么求呢？我们说只要求边长，我们初中阶段一定是把这个边放到我们的特殊三角形当中， 利用特殊角度去求解，对吧？来，回到我们的已知条件哈，题目告诉我们，角 b 等于三十度，对吧？好，来，这个时候呢，这个角是三十度。来，我要把这个边放到特殊三角形当中，那只有一个方法，我把 q 点和 s 点分别连接我们的 b 点，对吧？来，我们来算一下哈，来， q 点连接 b 点，好，我们的 s 点呢？再连接 b 点，你看没有，那么这个时候， 哎，我们的 q s 就 把它放到我们的 q b s 这个大的三角形当中。男生们大家可以猜测一下，这个三角形应该是一个什么特殊的三角形呢？那其实非常直观哈，他应该是一个等边三角形， 对吧？我们可以去证明一下来，如何去证明呢？很简单，男生们，哎，很简单哈，我们去连接这个，连接我们的 b p， 连接 b p， 你 看，这个角是我们的三十度，对吧？我把这个角呢分成两个角，一个是阿尔法，一个是贝塔来看，我们知道这里的阿尔法加贝塔很明显是等于三十度的，对吧？好，因为 p 和 q 是 对称的，所以这个角跟这个角 应该是对称相等的，也是阿尔法好， p 和 s 也是对称的，所以这个角呢，也是为我们的 贝塔，你看，没有出来了。好，所以这个大角就出来了，这个大角来，我们的 q b s 就 应该等于二倍，阿尔法加二倍，贝塔就应该是这个的两倍啊，应该等于等于六十度，对吧？好，六十度出来了，要证明是等边，接下来 我们还需要去证明它是一个等腰，加六十度才是等边，对吧？来，这里面有没有等腰呢？当然有，看，同样通过轴对称去转一边， p 和 q 是 对称的，那么所以我们的 b q 等于我们的 b p， 对 吧？好，再来，因为 p 和 s 是 对称的，那所以呢，我们的 b p 呢，也是等于我们的 b s 的， 所以呢，这两个边 都等于 b p， 所以 就得到 b q， 就 等于我们的 b s。 同学们出来了。好，它是一个等腰三角形，这两个边相等，再加中间这个角呢，是六十度， 所以得到三角形 q b s 来，它应该为一个正三角形，不就出来了吗？好，那最后求哪个？求的是 q s， q s 正好又是正三角形的一条边，对吧？所以呢，哎，我就可以什么呀？求 q s 的 最小值， 把它转移成求 b q 的 最小值，对吧？因为这两个边相等好， b q 呢，又等于 b p， 哎，所以呢，又转移成求 b p 的 最小值，所以接下来 最后答案就是求 b p 这两个点之间的最小值。那如何求呢？来，我们再来观察一下，这个时候 b 点呢，它是一个 定点，好， p 点呢，它是个动点，对吧？它本质上是个动点，在 a c 上动，哎，它是一个动点，它是一个定点，一个定点到一个动点，我们要求什么？它的最小值该怎么求呢？哎，这个动点轨迹又正好是一个 线段，那就很简单了，看就变成了什么，一个定点到一条直线的最小值，应该是垂线段，应该是最短的，没问题吧？好，所以接下来我应该过 b 点这个定点来向我们的定直线 a c 做一个 垂线，对吧？这个就是我们 p 一 点来，所以得到我们的 b p 的 最小值， 哎，就等于我们的 b p 一 来， b p 一 该怎么算呢？我们再看已知条件，题目告诉我们， a c 这个边来，这个边等于二。好， a b c 的 面积呢，又等于五，哎，我要求 b p 正好是以 a c 为底， 这个三角形啊，高，哎，面积知道，底知道，我们可以根据我们的面积法，哎，把我们什么高速算出来，很简单啊，来，所以 b p 一 就等于面积是五，五乘以二，再去除以底，所以 b p 的 高呢，就应该等于五来，所以呢， b p 的 最小值就正好等于 b p 应该等于五。所以这道题最终答案，三角形 p m n 周长的最小值就应该等于 五。这道将军一马的三动点问题，你听懂了吗？来关注薛老师，数学满分不迷路！
782攀攀讲思维
06:45查看AI文稿AI文稿好，我们看到这一题啊，点 a、 b 都在 x 的 轴上，其中 a b 满足这一个式子 啊，这个式子呢，很常见的啊，因为是两个非负数根号是算数平方根啊，是非负的，非负的加起来等于零，则 a b 就 应该同这两个式子同时为零，所以 a b 呢，就可以算出来， 然后呢， ab 呢？整体都往上，然后呢都往右，我们看一下位置啊，先往上，再往右，先往上再往右，那么得到新的位置是 c 和 d， 那 c 的 坐标呢？其实我们说了应该应该是什么？往上是纵坐标加，往右是横坐标加，这样我们就根根据这个 a 的 坐标 得到 c 的 坐标。好，第二位，然后把 a 的 和连起来了，和 c 的 坐标。好，第二位，然后把 ab 和连起来了。 c 的 位置有多长？ 呃，这个 c e 呢？它可以刚好切割，这个切割的是左边和右边这两个三角形。好，所以我们把这个呃总三角形呢，给它切割成两块 啊，这个 a、 c， d 啊，分成了 a， c， e 和 d c e 啊，其中 a、 c、 d 呢，我们看一下它的有一个底啊，这这个地方是底啊，这个是底，然后它的高呢，是做这个垂直上来的，也就是我们刚刚平移的这个高数值方向的这个平移的距离。好，这样我们就可以找到二分之一底层高， 呃，好，也可以看成这个是高 o c。 好， 呃，那我们刚刚切割出两块儿面积啊，就是左右各一块儿面积，所以呢，我们把左边这个写成二分之一，是底层高，高在呃，这个外面。 呃， c、 d， e 呢，也是二分之一底层高啊，这样我们就可以得到一个面积的这个分割方案，其中呢啊，这个 c d 啊，是一致的 啊， co 是 一致的啊， c e， 虽然暂时不知道啊，但他俩是同类项，我们，呃其他的两个是已知的，所以呢，把 c e 合并同类项啊，最终我们可以得到 c e 的 值 啊，这是前两问啊，我们看最后一问，如图， m 从 o 点出发，好，我们画一下它的位置啊，一个往上走 啊，他的速度是一啊，同时 n 点往左走，速度是二啊，大家看到这个速度是两倍啊，也就是他这个地方和这个地方是一比二的，我们标一下 t 和二 t 啊，这是他已经走的速度和时间。 好，那现在呢？假设时间是 t 的 话，呃，这个射线 d n 呢？他延长之后呢？碰到了外轴 f 点，好，那我们看这两个面积作差， f m d 啊，就是应该是这个总的面积三角形，然后减掉 o f n， 减掉下面这个小三角啊，减完之后，剩下的应该是个不规则的四边形，对吧？这个不规则四边形呢，我们可以考虑沿着 o d 把它切开啊，这样就可以得到一个左边一个底层高，然后右边一个底层高。 好，那最后呢，就可以把它加起来了。呃，左边这个底呢是 t 啊，那个高呢？应该是这个 c d 的 长度，呃，切开之后这边还有个 o n 呢啊，我们把这个切割的方案写一下 啊，它是等于切，呃，这两个做叉之后得到一个四边形，而这个四边形不规则，我们可以把它切割成两块 啊，但是，呃，是分别计算之后加起来呢，还是说将这一块啊？呃，整体平移到这个位置相等啊，把这两块面积啊相等的啊，都可以啊，大家都可以算出来， 我们就直接把这两个面积相等说出来吧。为什么呢？因为他们的底啊，可以看出来是差两倍的，他们的高呢，也是差两，也是差两倍的，做一个小的底乘一个大的底乘一个小的高啊，其实这两块面积应该是一样的， 那我们把它这个呃，简单正一下啊，这个小底乘大高，大底乘小高，所以其实这两块面积是一样的。你就说这个四边形呢，本来我是想切成两块分别算，但我后来发现呢，因为这个面积刚好可以移到这里来，所以我只需要算这个 obd。 好，那既然是 obd 的 话，我就直接拿底层这个高就 ok 了啊，这样我们就求出了啊，第一问，但不是第一问，就是第一种情况啊，因为它这个时间呢，还会继续增大，比如说这个位置呢，还会继续移动。我看下面一种情况，比如说 啊，这个 d f 啊，把 d n 在 这了，那它这个射线上呢，碰到的 c e 点啊，它其实就是 f 点在这。 好，那这种情况下呢？呃，一个点往上走，一个点往左走的情况下，现在在做叉，看一下位置啊， f m d 啊，也就是这一块 减去 o f n 下面这一块，他俩不再有包含关系了，所以这次减呢，就不像上次了，上次我们减的时候是有一点包含关系，所以减完之后还剩下一部分不重叠的部分 啊，但那这次怎么办呢？我们看一下，他们俩一个在这啊，一个在这，不过他们都同时啊，跟有一块是接壤的，那这一块呢，我们既可以把它俩啊同时加上再做差， 那我们把 f m d 啊，整体加上这一小条虚线的这一部分啊， o f n 呢，也加上这一部分，他俩同时增大啊，其实做差还是不变的， 对吧？所以我们把它俩同时都增加一块，然后还是以做差的形式来算啊，那加完之后呢，其实就得到了这个 m o d 啊，减去这个 n o d， 是 吧？ 好，那现现在再看啊，因为我们刚刚已经说过了啊，这个 m o d 呢，其实可以看成另外一个，呃，跟它一个类似，等底等高啊，其实是底和高各自乘一定的倍数。 好，那就可以换成 dbn。 好， 这次我们观察一下，也仍然是成立的，所以还可以换换成 dbn， 那 么这一次作差呢？观察一下，这就有包含关系了，我们的 dbn 特别大，然后呢，这个 o n d 呢？非常小，但是是包含的， 那我们把这个去掉之后呢，就剩下这个，就剩下这个 obd 了。好，那它的面积等于 obd 啊，其实和我们上面这个阶段也是类似的。好，所以这个题呢，大家其实尽量是按照这个什么往简单的那个 那一问上去。靠啊，之前用过什么结论的，我们尽量的去发现有没有同样的规律啊？有的变了就就不用了，但是有些还是保持不变的，比如说这个在包含的作差当中啊，会出现这个一个固定的面积。 好，另外这边他俩是等底，呃，这个类似等底等高的一个概念啊，所以我们可以把它使用这个面积这个替换。
13:50查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到知识点小卖铺，这节课我们将继续深入探索几何与方程的世界，学习相交线、三角形、二元一次方程组等重要知识。让我们一起开始吧！我们直接进入正题， 聚焦七年级下册的核心内容。这一阶段的数学几何开始引入严谨的证明，代数 则扩展到处理多个变量和不等关系，同时初步接触数据统计，这些知识点环环相扣，是后续学习的重要基石。好，我们先来看第五张，相交线与平行线。这部分 可以说是整个平面几何大厦的地基。为什么这么说？因为很多复杂的几何证明最终都要落脚到判断或利用平行线的性质上。这里有个非常关键的概念区分，也是大家容易混淆的地方。判定和性质简单说，判定就是我们知道了某些角的关系， 从而推断出两条直线平行，而性质则是反过来，知道了两条直线平行，就能得出它们之间特定的角的关系。比如看到同位角相等，就能判定两直线平行。反过来，如果已知两直线平行，那么它们的同位角必然相等。搞清楚这个方向性 是学好这一章的前提。别忘了基础概念，相对顶角相等、邻补角互补，还有垂线段最短的原理，这些都是后续分析问题的基础工具。我们具体看看平行线的判定方法。平行线的定义很简单， 同一平面内不相交的两条直线，但怎么判断两条直线是不是平行呢？主要靠观察它们被第三条直线所截时形成的角。这里有四种常用判定方法， 第一种，同位角相等，两直线平行。想象一下交通路口的斑马线，如果两条斑马线被一条横向的路切割形成的对应角相等，那这两条斑马线就是平行的。第二种，内错角相等，两直线平行。 这就像 z 字形的两条边，如果中间的两个角相等，那么这两条边就是平行的。第 三种，同旁内角互补，两直线平行，还记得零补角吗？同旁内角就是位于结线同侧两条被结线之间的两个角，如果他们加起来等于一百八十度，那么两直线平行。最后一种， 平行于同一直线的两条直线互相平行，这个比较直观，如果两条路都跟第三条路平行，那他们自己肯定也平行。理解这些角的位置，关系是关键。 说完了判定，我们再来看平行线的性质，这部分内容和判定正好是反向操作。判定是通过角的关系来证明线平行，而性质则是从已知线平行出发 去推导角之间的关系。记住，这个逻辑顺序非常重要，否则很容易张冠李戴。具体来说，有三条核心性质， 第一，两直线平行，同位角相等。既然它们平行了，那之前判定用过的同位角自然就相等了。第二，两直线平行，内错角相等。同样平行状态下，内错角也必须相等。第三，两直线平行，同旁内角互补。 平行状态下，同旁内角之合必然是一百八十度。很多同学在这里会犯迷糊，把判定条件当性质用，或者反过来，一定要反复强调这个方向性，确保理解透彻。 接下来是平移，平移是一种非常直观的图形变换，你可以把它想象成把一个物体在桌面上滑动了一下，没有旋转，没有翻转，只是位置变了。它的核心特征是什么？ 首先，平移不改变图形的形状和大小，只是位置发生了变化。其次，平移前后的图形是全等的。更具体的， 平移后，原图形上的每个点和它对应的新位置的点连接起来的线段都是平行的，并且长度相等。同样，对应线段、对应角也都完全相等。比如，你把一个三角形向右移动五厘米， 得到的新三角形和原来的那个一模一样，只是整体向右挪了五厘米。理解平移的这些不变性和对应关系，对于解决一些几何问题很有帮助。 第六张，平面直角坐标系。这可是个里程碑式的章节，他把代数和几何紧密的联系在了一起，为我们打开了数形结合的大门。想象一下， 在一张纸上画两条互相垂直的竖轴，水平的叫 x 轴，竖直的叫 y 轴，它们的焦点就是圆点。这样，平面上任何一个点 都可以用一对有序实数 x y 来精确表示了。这里的 x 叫做横坐标，代表点到 y 轴的水平距离。 y 叫做纵坐标，代表点到 x 轴的垂直距离。比如点三二，它就在 x 轴正方向三个单位， y 轴正方向两个单位的位置。整个平面被这两条轴分成了四个区域，称为象限。第一象限是右上方 x 和 y 都为正。第二象限是左上方 x 负 y 正。第三象限是左下方 x 负 y 负。 第四项线是右下方 x 正 y 负。特别注意坐标轴上的点，要么 x 坐标为零，要么 y 坐标为零，或者两者都是零既原点。掌握了坐标系下面我们研究点的运动。首先是平移点的平移。 在坐标系里有非常明确的规律，左右平移只影响横坐标 x， x 向右移动 a 个单位 x， 轴加 a 向左移动 a 个单位， x 就 减 a。 上下平移只影响纵坐标 y 向上移动 b 个单位 y 就 加 b， 向下移动 b 个单位 y 就 减 b。 所以 一个点 x， y 向右平移 a 向上平移 b， 新坐标就是 x 加 a， y 加 b。 这个规律非常实用，可以快速计算平移后的坐标。 然后是关于对称点，关于坐标轴或圆点的对称，也有固定的坐标变化规律。关于 x 都对称，横坐标不变，纵坐标取相反数变成 x， 负 y。 关于 y， 轴对称，纵坐标不变， 横坐标取相反数变成负 x y。 关于原点对称，横纵坐标都取相反数变成负 x y。 这些规律不仅在几何中有用，后面学习函数图像变换时，也会频繁用到。第七张三角形， 这是初中几何中绝对的核心图形之一，可以说是几何世界的主角。首先要知道三角形的基本构成和稳定性，任意三条线段能否组成三角形，有一个黄金法则，任意两边之合大于第三边， 任意两边之差小于第三边。判断时最高效的方法是看较短的两条边之合是否大于最长的那条边。三角形还有一个非常重要的特性就是稳定性，这也是为什么桥梁、塔吊、自行车架等结构大量使用三角形。 相比之下，四边形就不稳定，容易变形。除了边，我们还要关注三角形的高中线和角平分线。高是从顶点到底边的垂线段，中线是连接顶点和对边中点的线段，三条中线交于一点 叫做重心，角平分线则是内角平分线与对边的交点连线。特别要注意，在钝角三角形中，两条高会在三角形外部，而在直角三角形中，两条直角边本身就是高。 三角形的角度特性同样重要，最核心的就是内角和定力。无论是什么样的三角形，锐角、直角还是钝角，它的三个内角加起来总是一百八十度。这个结论非常有用。我们还可以讨论 外角。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于任何一个与它不相邻的内角。这个性质在很多角度计算和证明中非常关键，比如已知一个三角形的两个内角，就能快速求出第三个内角， 或者利用外角性质简化复杂图形的角度计算。这个知识点还会延伸到多边形。 n 边形的内角和公式是 n 减二乘以一百八十度。而所有凸薄边形的外角和无论边数多少，永远都是三百六十度。这个横定的外角和也是一个非常有趣的结论。 第八张，二元一次商城组这是我们从一元世界迈向多元世界的一步。顾名思义，它包含两个微之数，而且每个微之数的次数都是一，比如二 x 加 y 等于五 和 x 减三 v 等于一组成的方程组。解这种方程组的核心思想是什么？就是消元，想办法把两个未知数变成一个，然后再解。主要有两种方法，代入消元法和加减消元法。代入法适合其中一个未知数的系数是一或者负一的情况， 比如 y 等于二， x 加一，可以直接把 y 带入另一个方程。加减法则是和某个未知数的系数相同或者互为相反数的情况，比如二 x 加 y 等于五和三 x 减 y 等于十，这里的 y 系数是一和负一，可以直接把两个方程相加， 消掉 y。 如果系数不一样，我们可以通过给方程两边乘以同一个数，创造出可以消去的象。解完方程组后，一定要带回原方程检验， 确保答案正确。特别是实际问题中，还要考虑解是否符合实际意义，比如人数不能是负数。具体来看，两种方法代入消元法适合某个未知数系数是一或负一的情况， 加减消元法是和同一个未知数系数相同或相反的情况，大家要根据方程组的特点灵活选择方法。 第九章不等式与不等式组如果说方程是寻找精确的解，那么不等式就是在划定一个范围，核心是理解不等式的性质，尤其是那个特别容易出错的。第三条，两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。 比如三大于二，两边乘以负一，就变成了负三小于负二， 方向反过来了解一元一次不等式的过程和解方程类似，但每一步都要小心这个符号变化，尤其是在最后一步把未知数系数化为一的时候。对于不等式组，就是先分别解出每个不等式的解集，然后找到他们的公共部分， 也就是所有不等式同时满足的范围。这通常用数轴来表示，只会更清晰。实际应用中， 题目里的至少最多不超过等词语，就是建立不等关系的信号。解出来之后，如果题目问的是人数、物品数量这类，必须是整数的情况，还要特别留意取整数解。最后一章 解不等式组的关键是找到各个不等式解集的公共部分，我们可以借助数轴来直观的判断。这里有一个非常实用的口诀，同大取大，同小取小，大小小大，中间找大，大小小找不到，帮助大家快速确定解集。 第十张，数据的收集、整理与描述，这是统计学的入门。我们怎么获取数据，有两种主要方式，普查和抽样调查。普查就是把所有对象都查一遍，结果准确但成本高，耗时长。比如人口普查。抽样调查 是从总体中抽取一部分样本进行调查，效率高，但结果会有一定的误差。比如质检部门 不可能把所有灯泡都用坏来测寿命，只能抽样。这里涉及到几个基本概念，总体是研究对象的全体，个体是总体中的每一个成员。样本是从总体中抽取的部分，样本容量是样本中个体的数量。拿到数据后怎么展示呢？ 常用的统计图有三种，条形图，一眼看出哪个项目数量最多。折现图特别擅长显示数据随时间的变化趋势。 扇形图也叫饼图，能清楚地表示各部分占总体的比例。还有一种直方图，专门用来展示连续型数据的分布情况，比如身高、体重等。它用小矩形的面积了来表示频数或频率。 今天我们系统梳理了七年级下册的主要内容，从几何角度看，重点是相交线、平行线的判定与性质，以及三角形的基本概念和性质，这些都是后续学习全等三角形、四边形 乃至更复杂几何图形的基础。代数方面，我们学习了如何解二元一次方程组，核心是消元思想以及如何处理不等式和不等式组理解范围的概念。最后我们初步接触了数据的收集与统计图表的解读， 这些知识点相互关联，共同构成了初中数学的重要框架。希望大家课后能针对平行线的判定与性质、方程组的解法以及各种统计图表的特点进行重点复习和巩固。 好了七年级下次的内容就梳理到这里，我们回顾了几何、代数和统计三大部分的核心知识，请大家课后重点复习平行线的判定与性质、不等式的编号规则以及统计图的选择，我们下节课再见！
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12:01查看AI文稿AI文稿如图， g h 和 m n 平行，上下平行一副三角板，一个是六十度的啊，一个是四十五度的啊，这是我们比较常见的三角板。 呃，那第一个三角板呢，它是如图一摆放啊，大家看到这个摆放的位置啊，大概是有一个六十度在下面啊，三十度在上面 啊，然后呢边 a c 和 g h 啊，碰到 o 点啊， b 呢，落在下面 m n 上，当 bc 平分 a b m 啊，我们看这个 b c 平分的是 a b m， 那 这个平分呢？其实因为已经有一个六十度啊，所以我们说这边应该还有一个六十度啊，我可以把它标出来。好，现在问的是直接写出 g o c 啊，我们看 g o c 的 位置啊，这个位置呢，其实和下面可以形成一个猪蹄模型，而且这边有个九十度啊，所以我们可以算出上面是个三十 度。好，第二问啊，将一幅三角板如图二摆放 啊，看一下啊，它是既有这个四十五度的，还有这个，呃，六十度的好，其中呢三角板 a、 b、 c 的 啊， 呃，和 g h 碰到了 r 点啊，应该是这个位置 d e f 呢？它的顶点 d 落在最下面 啊，还有两个角度是六十度啊，我们看一下位置啊， h r e 这边是一个六十度啊， e d n 啊，也是个六十度啊，这两个角度我们都标过了啊，然后呢， d e 和 ab 刚好在这一条线上，一条直线上， 并且 b e 是 重合的位置，这个重合呢，其实是两个那个三角板的顶点，一个是四十五度的，还有一个是六十度的。好，那这是我们的一个摆放的位置啊， 啊，我们分别做出两条平行线，一个叫 gre， 看一下位置啊， gre 啊，他做的是这个，我们用红色标一下啊，这两个角是一样的。咦，那这个大家应该能算出来的，对吧？啊，这次平分呢，应该平分的是两个六十度， 还有 cf 的 平分线， cf 啊，这个位置对吧？好，这个位置我们标的是这个绿色的啊。呃，当然其实也可以算出来 啊，因为我们这个上面的三角板呢，还有一个六十度啊，我们下面这个三角板呢有个四十五度。那所以这个这两个人平分的也可以算出来啊，但我们可以把它算出来啊。好，我们算出的是这个 r e f。 好， 算好了之后呢，我们就可以把这个平分的啊大小也算出来， 就叫 r e t r e t 啊，这样我们就得到了这个绿色的啊，还有这个上面有一个蓝色的六十度，那现在其实就是一个角 t 啊，可以形成一个啊，内角和的关系啊，我们把内角和呢用总共一百八啊，减去两次啊，一个是六十，一个是这个三十七点五 啊，这个第二问啊，大家把根据这个平分线的位置和大小可以计算好，第三问，是两幅三角板还是他们两个啊？但是呢，摆放的位置是图三，一个在天花板，一个在地板。嗯，他们一个是以绕着 a 点旋转 啊，绕着这个点旋转，它是按照顺时针的这个速度旋转啊，同时三角板绕着 d 点去旋转啊，是也是顺时针啊，那这样就会形成两个三角板同时旋转啊， 时间是一百八十以内，那么写出所有满足边 b c 和另外一个三角边的某一条边平行的这个时间。 好，我们看一下啊， b c 呢？呃，跟它的某一条，这个可能有三条啊，比如 d e 啊， e f 呀，或者 d f 啊，都有可能啊，所以我们分三种情况去讨论啊。 哎，第一种啊，假如说 b c 平行的是它的 d e， 或者是平行它的 d f， 或者是平行它的 e f 三种可能。好，我们先看第一个位置啊， b c 呢，它是绕着这个点 a 旋转的，所以它会啊，一开始在这个位置啊，然后在这，在这，在这在这啊，它会绕一圈啊， 啊，那你想跟 d e 平行，而 d e 呢，他一开始就在这个地，然后呢？在这啊，在这。好，所以我们大概估算一下啊，因为他们的这个旋转速度啊，以及他们这个大概位置啊，我们可以画出他们的啊，平行的大概这一个位置啊，比如说我们现在啊，假如说旋转到这个位置啊， d e 呢？也旋转到这个位置。 好，那大概平行的位置呢，我们就要去计算啊，一个准确的计算时间。好，那我们如何表示他们这个位的角度嘞？ 啊？注意他们有旋转速度的啊，对吧？我们标出，首先是这个叫 a b 啊，他经过速度乘时间啊，旋转了 t。 好， 那这边呢？呃，虽然说是 d e 在 旋转， 呃，但是 d f 也是相当于是离开啊，离开他最开始的位置，所以呢，我们把这个旋转的标识在这边啊，叫二乘 t， 好， 那我根据这两个角度能不能求出什么时候他们平行呢？ 他观察这个平行的位置啊，应该会找到一个叫同位角，对吧？所以我们只要把这两个同位角表示出来啊，然后就可以形成等式。好，那关键是这个怎么表示呢？大家注意到这边好像是有一个叫猪蹄模型的特征 啊，那关键是这个中间有一个已知的角是六十度，所以我们这个角 t 呢？啊，和这边就可以算出，算出中间六十度啊，加起来的这个结果，那我们这边就标识成六十减 t 啊，对吧？好，我们找到了一个，那如果再找到这个就形成同位角相等啊，能不能找到呢 啊？因为已经有二 t 了，有，还有九十度了，所以这边是个互余的啊，九十度减啊，九十度减二 t 好了，就可以得到这个什么同一件了啊，那我们经经过计算，发现时间是三十秒。好，这样我们就找到了他和 d e 平行的这种情况。好，那因为他们还会继续旋转啊，这个时间还很多啊，那如果继续旋转呢？这个 bc 还要往下，还要 bc， 还要往这边走 啊，那么他下一步有就有可能和这个叫 df 的 平行了啊，因为 df 他 转的更快， 它可以快速的这个放平放平，那么和这个 bc 呢？大概在啊下一个位置啊，比如说大概在这个附近啊。好，那假如说这一次我们得到的一个新的平行位置啊，那我如何去列出一个等式？ 有人说，那我们还是找这个内错角啊，同位角啊。呃，有可能，对吧，当然也有可能是发现啊 啊，这两个角是互余的啊。好，大家找一下，这个关系挺多啊，我们还是第一步啊，先标出他已经旋转的角度一乘 t， 这个是二乘 t 啊，我们标的其实还是 d f， 他 最开始在这， 那么经过二 t 的 旋转，他来到这啊，好，那，但是这个角太大了，那我们如何去表示成这两个稍微小一点的角度呢？啊，这个时候我们可以考虑啊，把它啊减掉幺八零啊，就能得到这了 啊，同样的，左边这边我们可以考虑啊，得到这两个角度啊，用的也是还这个猪蹄模型 啊，当然有些人用这个叫铅笔头模型啊，也可以啊，这个铅笔头呢，总共是三百六啊，去掉，我们看一下啊，这三个角度啊，一二三都是总共是三百六啊，我们去掉这个中间的地方是一百二，再去掉 t 就 得到下面这个角度。 好，这是我们得到的这个位置啊，我们还可以得到这个 d t s 啊，这个跟它互补的位置啊，比如下面 是拿幺八零跟上面做叉。好，那得到这个 d t s 之后呢，我们还可以得到这个 n d f 的 位置的，跟它同位的位置啊，是另外一个表达式啊，这个表达式我们刚开始说过了， 它是拿二 t 啊去掉幺八零之后剩下的位置。好了，这样我们再次得到一个这个同位角啊，那这两个角相等之后呢，我们可以再次计算一下，这个时间呢，仍然没超过题目给的范围。好，那我们想一下，下一步如果继续旋转的话，对吧？那么 bc 还有可能和谁平行 啊？有没有可能和这个最后这个 e f 啊，因为它转的快啊，所以 e f 呢，最终也是可以达到跟它一样的位置啊，平行的位置。好，那我们画出最后一种可能性。 好，假如说啊，呃，这个边已经转了这么多了，呃呃，应该是从这个开始转的啊，好，然后呢，这个 啊，这个 d f 呢，也转的比较多了啊，好，那现在呢， e f 呢？跟 a b c 平行啊，这个平行呢？我们还是啊，我们可以稍微延长一下啊，它其实是可以和这边垂直的。 好，那我们现在还是标一下已经有的角度啊，比如说啊，这个地方 a b 已经旋转了 t 啊，呃，这边本来是应该 啊，本来这个 d f 是 从这开始转的，它应该转了，已经转了有个二 t 了啊，还差一点点。那差的这一点呢，我们可以标识成三六零，减去二 t。 好， 那根据这两个角度啊，能不能得到一些同位角或者一些其他的角度啊，比如说这边是个 t 啊，那么我们可以根据这边有一个 啊，柱体模型啊，得到这个地方。是，哦，这个地方是因为是啊，我跟 b c 平行的情况下呢啊，当然是跟 a c 垂直的啊。好，那这边有一个九十度啊，所以我们考虑把这个角度形成一个柱体模型，就得到这 啊，因为这个角度可以标一下啊，它是总共是 t， 然后要减去这个角度。 好，我们第一个啊，先得到 h a k 的 表达式啊，那还是用这个 t 呢，减掉这个角是多少度嘞？注意，它旁边是个三十度的角度，所以你要减一百五十度 啊，这样就得到了 h a k。 刚刚我们说过这个猪蹄模型呢，它有一个九十度在这儿啊，所以这边应该有个 k e q 啊，好，那而 k e q 呢，注意，它其实也是和这个叫四十五度啊，有个互补的一个位置啊， 而这个绿色的角呢，其实和这是一个叫内错角的位置，那绿色角呢和这个蓝色的角呢，它其实也有一个互余的关系。好，所以我们将这个最下面的角先通过互余转到这个绿色的位置啊，再通过内错角到这来 啊，最后这因为这有个四十五度啊，我们可以用幺三五去掉这个绿色得到这，而这个位置呢可以和上面形成一个主体模型，形成一个等式 啊。嗯，当然有同学说你我还是去找这种同位角之类的啊啊，你们也可以通过辅助线去找一些同位角相等的这些等式啊，我们目前就用一个猪蹄模型吧。好吧好，那我们先把这个叫 e d m 啊，给它算出来，是拿这个九十度左叉啊，这个也可以先化解的，紧接着就是把它变成内错角啊，叫 d e q 了啊， d e q 呢？其实我们还是要往继续往上找，因为它这边有个四十五度，所以这边是幺三五减 好，减完之后呢就终于上来了，上来了之后呢，我们把这个角度和它形成柱体模型，凑一个九十度啊 啊，终于呢我们得到一个方程等式，我们呃计算之后呢，发现是幺六五幺六五呢，其实还是在题目要求的范围之内啊， 因为题目说了啊，不超过一百八。好，这样的话我们最终发现三个位置啊，也就是三条边平行呃，当然呃后续也有继续的这种 平行位置啊，但只是说已经时间不够用了啊，不再不再具有平行的可能性了啊，所以我们最终下答案啊，他其实有三个位置，也就是三个时间形成平行位置了。
59:10查看AI文稿AI文稿注意，七年级下册数学相交线与平行线，本视频耗时八百分钟，一口气带你学完整个章节。本视频以知识点讲解加题型讲解为核心，耗费大量精力，时长太长，请先关注、点赞、收藏再观看。 各位同学你们好，我是你们熟悉的钱老师，今天这一堂课呀，由我来带领同学们对我们相交线和平形线这个章节的知识点呢进行一个讲解。 那么我们在前面的学习过程中，我们学过一个章节，叫做几何图形初步认识， 我们几何图形初步认识里面，哎，我们同学们知道，我们初中阶段我们重点研究平面几何图形，那么点动成线，线动成面，面动成体， 我们在几何图形初步认识这个章节，还认识了线段以及我们角度。那么我们知道我们数学学习的最终目的是拿来应用的， 而我们应用的过程中，我们的计算是我们必不可少的一个环节， 所以有关线段的计算，有关角度的计算，这在我们几何部分几乎是非常重要的，非常核心的考核方式。 那么小伙伴们，我们相交线与平行线这一个章节啊，他和我们几何图形从不认识是一样的，他是我们基础几何非常重要的构成部分。 那我们再说通俗一点，我们再说直接一点，我们相交线与平行线所学习的内容，在我们后期学习三角形系列的时候， 在我们后期学习四边形系列以及圆的时候，都占有非常重要的部分，它是我们学习后面一切几何部分的根基。 那在这里钱老师就要给同学们多唠叨一句了，我们在学习这个章节的时候，啊 啊，我们一定要去多画图对不对？数学想学好就是四个字叫写写，画画 是不是写写就是针对代数部分的计计算对不对？我们要动笔画画，主要就是针对我们几何部分， 那么我们在讲这一堂课之前，我们同学们先来回忆一下我们整个几何图形它的构造，它的底层逻辑是什么？哎，所有的几何图形它都是由点线面 体来构成的对不对？那么无数个点构成一条线，我们把它称为点动成线， 那么线在滑动的过程中就可以构成一个面，我们把它叫做线动成面，而面在旋转的过程中，是不是就可以构成一个体了呀？ 那么我们通过静态关系来研究我们几何图形的初步构造的时候，我们知道一个体，一个立方体，它是由很多个面来维成的， 而每一个面跟每一个面它们相交的部分，我们就说它是一条什么呀？直线对不对？或者是一条什么呀？曲线，那么线与线相交的，那么就形成一个 点呢？那么我们在任何时候学习几何的时候，点线面体他的最基本的底层逻辑关系，那么我们小伙伴们一定要把它牢记。 那同学们回想一下我们在几何图形初步认识的时候，重点研究的点的问题对不对？那么点研究完了，我们紧接着是不是要来研究线的问题了呀？ 这里有一个小问题，如果在一个平面内，他有两条直线的话，那么这两条直线他存在着一种什么样的 位置关系，那么位置关系，小伙伴们，我们在整个数学里面我们讲关系，我们一般讲两种关系， 一种叫什么呀？一种叫做等量关系，对不对？那你比如说直角三角形，它的两个锐角，它就存在一个等量关系，叫两个锐角相加等于九十度，我们说它是 互余的。那你比如说两个角加起来等于一百八十度，它存在这种等量关系的时候，我们就说这两个角是什么呀？是互补的对不对？ 那么我们直线有着什么样的位置上面的关系呢？那么我相信小伙伴们在我们实际生活中的接触对不对？在我们实际生活中碰到的各种各样的物体事物案例，我们可以非常轻松的想象出来。 哎，第一种情况就是两条直线他是没有交点的， 比如说我们防盗网上面的竖着的，垂直的，每一根，每一根条子是不是都是平行的呀？比如说我们的铁轨是不是也是平行的呀？ 比如说我们的教室左边的墙上面的，右边的墙和地面夹角的这两条线是不是也是平行的呀？ 所以两条直线在同一个平面的位置关系。那么第一种就是互相平行，他们最为典型的特征就是什么呀？小伙伴们 没有交点对不对？那么除了平行还有没有其他的呢？小伙伴们，那你看这两条直线也好，这两条直线也好， 他们都是什么呀？相交的，他们都是相交的，他们有一个共同的特点是什么呀？他们都有一个焦点， 其中我们在相交的时候有一种比较特殊的相交，就是互相垂直的对不对？也就是说这个角等于多少度啊？九十度对不对？ 所以说我们在同一个平面内，两条直线的位置关系，他只有两种，小伙伴们要么是相交，要么是平行，我们把它称为非相交即平行。 那这里又有一个隐藏的小细节，假如我两条直线互相重合了，那么小伙伴们两条直线互相重合了，我们从感官上看，他是不是仍然只算是一条直线呢？ 所以两条直线的位置关系，他只有相交或者是平行。如果两条直线重合了，那么我们在处理问题的时候，我们只能算他为 一条直线。那么小伙伴们想一下，我们在七年级学数轴的时候，我们在学数轴的时候，我们说重合的点他也只能算几个点呢？ 一个点对不对？重合的点只能算一个点，重合的直线他也只能算一条直线。 那么小伙伴们，当我们知道了两条直线的位置关系，非相交即平行的话， 我们先来研究一下相交线。为什么我们要先研究相交线啊？因为一旦两条直线相交了以后，我们小伙伴们肉眼可见的它会产生几个角啊？它会产生四个角对不对？ 而我们几何图形的应用，它就是要一托于角度和线段的长度计算来进行应用的，对不对？ 那么小伙伴们，在这四个角里面，他现在问我的是角一和角二有着什么样的位置关系？ 那还是老规矩啊，当我们在讲两个角的关系的时候，第一个叫做等量关系，第二个叫什么呀？叫位置关系， 我 cd 它是一条直线， o 是 这一条直线上的一个点，那么这个时候我肉眼可见的角一和角二，从 等量关系上面来说，它们相加是不是等于一百八十度啊？哎，它们相加为一百八十度，我们把它称为什么呀？互为 补角对不对？那么这个时候让我们来找位置关系，我们来观察一下小伙伴们， a o d 这个角， a o c 这个角，那么一个角是用两条射线，是用有一个端点引发的两条射线来组成的几何图形，那么角一这个几何图形和角二这个几何图形， 我们观察的第一个特征就是什么呀？ o d o c 是 不是在同一条直线上面呀？哎，同一条直线上面，我们再说通俗一点就是 o c o d， 它是互为 反向延长线的，对不对？那小伙伴们，这是我们观察出来的第一个特征，第二个特征是什么呀？来 a o d 这个角， a o c 的 一个角，它是有着一种公共线的对不对？公共边的对不对？那么小伙伴们，我们是不是可以想象出来，这个角一和角二实际上就是住在隔壁的邻居对不对？ 他们两个相加等于一百八十度，是互为补角的，他们仅仅只是一墙之隔，哎，仅仅只是一墙之隔，互为邻居， 所以这个时候我们就可以对他命名叫什么呀？零补角对不对？ 互为邻居的补角，哎，小伙伴们要注意好这个零字呀，他就非常清晰的点出来了，我们角一和角二的什么呀？位置关系， 当然我们角一和角二它本身存在的等量关系，是不是角一加角二等于一百八十度啊？ 所以说小伙伴们，当我看到零补角这三个字了以后，当我看到零补角这三个字了以后，我脑子里面就有一个非常清晰的概念，它不单包含了一个 等量关系，还因为它多了一个零字，还包含了一个位置关系。那么这里我们零补角是不是补角呢？ 补角他只包含等量关系，只要两个角相加等于一百八十度，不管他们在哪里，哪怕一个角在南京，一个角在北京，对不对？只要他们相加一百八，他们一定是互为 补角的，但是零补角是不是加了一个限制性条件呢？他们不单相加等于一百八，而且他们还是什么呀？相邻的。 所以说小伙伴们，零补角我们可以简单的通俗的理解成零补角，他是补角的一种特殊情况，对不对？ 当然小伙伴们跟角一他互为零补角的角，除了这个角二，还有没有其他的呢？ 我们知道一个角它是由一个顶点引发的两条射线组成的几何图形，那么角一 a o d， 这个角它有两条射线，一个是 o a， 一个是谁啊？一个是 o d， 那这个时候如果我以 o d 作为相邻的墙，相邻的公共边，那么这个时候角 e 的 邻补角还有谁啊？小伙伴们，是不是还有角四啊？ 那么这个 o a o b 是 不是会反向延长线的？ 所以说两条直线相交，他会形成四个角，每一个角我是不是都可以找出来两个零补角啊？ 那么小伙伴们，我们零补角，我们在两条直线相交的时候，我们来找，那如果你想一下， 如果你是出题老师，你会如何把这个考试的难度加大呢？那我是不是两条直线形成四个角太容易找了？那我就三条直线嘛，三条直线我就四条直线嘛。 当我们几何图形越复杂，我们眼睛看的是不是就越花呀？所以当我看到比较复杂的几何图形的时候，小伙伴们仍然要牢牢记住，抓住它的核心点， 对不对？打个比方，比如说要我找这个角的零步角，那么首先以它为相邻的边，那么这个边的反向延长线，这一个角是不是它的零步角啊？ 那么如果我以它为相邻的边的话，那么这一条边的反向延长线出来了，这一个角是不是为它的零补角了呀？ 我们小伙伴们要记住啊，零补角它除了是等量关系，它还包含着有位置关系，它们两个是邻居，能够出现邻居才能出现零补角，对不对？所以第一个是不是它们没有相邻， 第二个是不是他们也没有公共边，第三个来有公共边相邻的，而且另外一条边会反向延长线。 我们很多小伙伴在理解零部件的时候，他只是单纯的说，老师这个零部件的概念我很简单，那么如果我两条直线我来找零部件熟悉了，我就应该把三条直线，把四条直线都加进去， 对不对？多找几种情况，那么我们才能把这个零补缴。在找的过程中，我们这种多种情况，我们的眼睛毒不毒辣， 我们才能把它念出来，对不对？数学从来不是你听懂了就完事的科目对不对？他是熟能生巧的科目，他是见多识广的一个科目，我们初中学的东西 都是站在巨人的肩膀上学的啊，我们不是去做研发的这一块我们同学们一定自己也有一个认知， 那么小伙伴们还是一样的道理，当两条直线相交的时候，角一和角二是零角，角一和角四是零角，那么现在让我找角一和角三，他有怎样的位置关系？ 那么在找位置关系之前，我们还是要回到哪里啊？小伙伴们回到我们几个图形初步认识的时候，我们先来找一下他的什么关系， 胆量关系，我们刚才确定了角一和角二他不单是补角，而且他还是零补角，那么角一加上这个角二是不是等于一百八十度啊？ 角二和角三的小伙伴们，他不单是来，你看 a b 是 不是一条直线呢？ 角二和角三他不单是补角，而且从位置关系上面来看，他还是零补角，那么补角的定义，角二加角三是不是等于一百八十度啊？ 那么小伙伴们我们通过几何图形可以看得非常清楚，因为角一加角二等于一百八十度，角二加角三等于一百八十度，所以我是不是就可以确定出来角一 等于角三了呀？那么这在我们几何图形初步认识我们角度的加减运算里面，这称为非常经典的 等量代换，对不对？于此同时我们在讲几何图形初步认识，在讲角度的运算的时候，也跟小伙伴们强调的，我们角度的等量代换是我们做任何几何图形的最基本的运算法程。 那么小伙伴们我还没有开始找位置关系，我是不是已经把角一和角三的等量关系给确定下来了呀？角一和角三的等量关系就是什么关系啊？是不是相等的呀？ 那么这个时候我们来找位置关系的时候，我们还是要回到我们角度的核心定义啊，一个顶点引发的两条射线，一个顶点引发的两条射线所组成的几何图形就叫做角，对不对？ 那么小伙伴们会发现这个 o c 的 反向延长线是不是 o a 啊？ 那么从位置关系上面来说，第一个角一和角三他们有公共的顶点对不对？ 他们不单有公共的顶点，而且小伙伴们他们的两条边分别互为反向延长线， 那我们再来观察一下角二和角四，角二和角四来，小伙伴们是不是也有公共的短点呐？这个 o a o c， o b o d 是 不是也是回反向延长线的呀？ 所以当我把它的特征位置特征我们了解清楚了，我们再来看一下它的定义叫什么呀？叫对顶角 对不对？他的顶点都是相同的，这两个角是绕着顶点对着的对不对？对顶点的位置特征是什么呀？有公共的短点，两条边分别互为反向延长线， 他们的等量关系是不是相等的呀？ 那么小伙伴们我们一样的老规矩啊，我们刚才说了，哎，两条直线相交，让我来找零补角，那么小伙伴们两条直线相交，找对顶角是不是很好找啊？那么 三条直线相交呢？这里四条直线相交呢？他是不是会产生 非常非常多的对顶角啊？那么这个时候我来找对顶角，哪些角是互为对顶角的？我们怎么找啊？ o a 反向过来， oc 反向过来，一定要把它的边反向过去来找他的 对顶角对不对？那么小伙伴们来看一下有哪些角是对顶角？对顶角的两大核心特征，第一个特征是有公共的端点，公共的顶点。第二个特征是角的两边互为反向 延长线，所以小伙伴们，第一个很明显他不是互为反向延长线的。第二个他是互为 反向延长线的。第三个他是没有公共的短点，公共的顶点。第四个脚的两边不是互为反向延长线的。第五个来小伙伴们，复杂的图是不是也是互为反向延长线的呀？ 那么钱老师上课的时候在给小伙伴们一直强调一个点对不对？我们初中数学，我们是属于九年义务教育类的东西， 我们重点在于理解，但是理解只是我们数学学好的。万里长征的第一步，把东西落实到笔尖上面，把东西落实到图纸上面才是最关键的。 那么在这里给小伙伴们提供两个信息，单纯从这一个题而言，单纯从这一个题而言， a o e 的 对顶角来， a o e 的 对顶角，我是不是 o a 反过来， o b o e 反过来 off， 那 么对顶角是不是可以非常轻松的确定出来呀？ 那么 e o d 的 零步角， e o d 是 这一个角，对不对？小伙伴们， e o d 是 这一个角，如果它是相邻的边，那么 o d 的 反向延长线是 o c 是 不是这个角啊？ 如果他是相邻的边，那么 o 一 的反向延长线是不是这条线，那是不是就是这个角了呀？所以我们在找零步角的时候，我们小伙伴们一定要把它写全，一定要把它写完整， 那么这个题他还告诉我们一个信息，是什么信息呢？小伙伴们，两条直线可以找几组对顶角啊？小伙伴们，两条直线可以找几组对顶角啊？来一组对顶角，对不对？ 我们说了，我们初中阶段研究的角度，他都是小于一百八十度的角，所以我们不会去找平角的，对顶角 对不对？那么小伙伴们，这一个角，这个角是不是一组对顶角啊？那么这一个角和这一个角是不是一组对顶角啊？我们怎么来研究的呀？ o a， o b 是 不是在一条直线上啊？ 先以 o a 为边，往这边来找角度对不对？那么能找小于一百八十度的角，是不是只能找一个呀？ 再以 o c 为边来找小于一百八十度的角，是不是也只能找一个呀？所以两条直线相交，小伙伴们，两条直线相交，他能找出几组对顶角啊？两组对顶角。 那么小伙伴们，我们再把这个题思路延长一下的话，如果是三条直线相交的话， 他能找出几组对顶角嘞？来，小伙伴们，我们说了，我们再找对顶角， 这个角他必须是要小于多少度啊？是不是？必须是要小于一百八十度的对不对？那么小伙伴们，还是以 o a 为基准， 我刚才找到 oc 来了，我还找 ob 吗？如果我找 ob， 那 么你看跟我之前找的角是不是就重复了呀？哎，是不是就出现重复性了呀？那么小伙伴们，我们来看三角之间能找几个角 来？小伙伴们，还是以 o a 为计算，找一个角吧，找两个角吧，小于一百八十度的角是不是只能找两个？那么 如果我 o e 找完了，再来找哪个？再来找 oc， 以 oc 为边，找一个角吧，找两个角吧！小于一百八十度的角是不是只能找两个呀？ 那么小伙伴们，再以 o e 为边的话，再来找对顶角，找一个角的对顶角，找两个角的对顶角。小于一百八十度的角，他才会存在什么呀？对顶角对不对？ 那么小伙伴们，我们来观察一下，两条直线找了几条边？找了两条边，一条边找几个呀？一个角，那二怎么出来的呀？二乘以一，是不是两条直线相交所有的对顶角的个数啊？ 那么三条直线相交来，小伙伴们，我找了几条线作为起始边，找了几条线作为出始边， o a， o c， o e 是 不是找了三条射线呢？对不对？那么三条直线相交，找三条射线，你可能去找四条吗？不可能， 因为你第四条射线 o b 和 o a 是 不是就会重复了呀？ 那么一条线可以找几个角啊？两个角，一条线可以找两个角，一条线可以找两个角，三条线，那么是不是就三乘以二？那么三条直线相交一共可以找几个呀？六组对顶角。 我们说了呀，小伙伴们，初中数学也好，高中数学也好，我们所有的数学学习他都是通过什么呀？找规律、规律总结得出来的，我们所有的性质、概念、 定义、公式都是通过找规律规律总结得出来的。那么小伙伴们，如果在我找，再让我找一共有多少对零角？ 我们如果有四条直线呢？还是以它为一条边？小伙伴们，一个、两个、三个， 只有小于一百八十度的角，我们才能找对顶角啊，对不对？那么过这一条边我可以找几个呀？三个角过这一条边，一个两个三个过这一条边，一个两个三个 几条边？四条边一条边可以找几个呀？找三个。那么他一共可以找多少组对顶角呢？是不是可以找十二组对顶角啊？我找对顶角的时候，我找一个角出来，那么另外一个角是不是自然而然的就对出来了呀？ 那么我们在找规律的时候，我们说过，三个可以找大致规律，五个可以找非常详细的规律来。小伙伴们，假如 n 条直线相交于一点，所产生的对顶角有多少组呢？两条直线是二乘以一，三条直线是三，四条直线是四，所以 n 条直线一定是 n， 对 不对？ 那么一条边可以找一个，一条边可以找两个，一条边可以找三个，那么 n 条是不是 n 乘以 n 减一啊？ 这就是我们对顶角里面非常重要的找规律类型，那么 我们从知识点难度上面来说，他是拓展内容啊，小伙伴们，但是从本质上来说，还是看我们对顶角的概念，我们小伙伴们有没有把它彻底的吃透，对不对？ 所以我们任何时候学习数学，不要胡能腾早啊，不要自认为自己明白了，一定要把它吃透，一定要把它所有可能出现的情况都考虑到位，考虑全面，对不对？ 那么小伙伴们，我们数学学习角度也好，学习线段也好，我们最终目的都是为了帮助辅助我们来解决我们实际生活中碰到的几何问题，对不对？那么怎么样辅助帮助解决呢？就是通过运算， 对不对？就是通过运算，所以我们角度的运算，线段的运算，在我们几何图形处理过程中占有非常非常重要的角色， 那么我们一定要熟悉各种各样的运用情况。来吧小伙伴们，当他给了我角一等于四十度的时候，那么根据对顶角相等，角三是不是就等于四十度了？ 那么角一的零步角，角二一百八减去四十，角二是不是就等于一百四十度了？那么角四作为对顶角是不是也是等于一百四十度了？ 这是比较简单的应用。那么小伙伴们，我们在做几何图形初步认识的时候，我们说了几何的解答题，它的格式要求非常高，来 解析思路，带入数据，最终结果对不对？对顶角相等怎么书写的？我们一定要把它书写好，而不能随随便便的书写，你的书写代表着你要给老师展现出来的 逻辑思维，最简单的题你数学都不愿意去执行的话，那么我们在做综合题，我们在做拓展题的时候，你会发现你的思路，你的过程写不开了，写不了了，写不动了。 那么小伙伴们我们再来看下面这一种情况，角一加角三等于八十度，他给了我角一和角三的一个等量关系，同时根据图形我们也可以看得出来，角一和角三它还存在着一种 位置关系，叫做对顶角，对顶角里面也隐含了一种等量关系，那是不是角一等于角三的呀？ 那么角一加角三又等于八十度，角一又等于角三呢？那么这个时候我角一角三是不是可以非常轻松的确定出来呀？那么我角二角四是不是也可以通过零补角的定义把它确定出来呀？ 那么我们再来看一下他的预算有如何的变换，他这个时候给我角二是角一的三点五倍，那么小伙伴们角二是不是等于三点五倍的 角一啊？是不是给了我等量关系式？所以我们同样的一个几何图形，那么小伙伴们你会发现他给你的条件会各种各样的变换对不对？那么 条件各种各样的变化，在我们做综合几何运用的时候，他会随机来抽取的，所以小伙伴们一定要把题目里面的数据信息转换成什么？转换成 文字等量关系式对不对？我们把等量关系式确定出来了以后，那么这些题是不是就简单了，零步角二可以得到角一加角二一百八十度，角一等于三点五倍的角二等于三点五倍的角一，来个等量再换角一，一旦确定出来了角二 角三是不是就可以确定出来了呀？那么小伙伴们，我们在做求值问题的时候，他还会怎么变形呢？来 二比七，我们在做线段的匀算，我们在做角度的匀算的时候，一直反复给同学们强调，任何时候看到比例问题，我们脑子里面第一件事就是要设参数对不对？要设辅助字母，利用方程的思维来解决我们的 几何图形问题对不对？小伙伴们，设它为二 x， 设它为七 x， 它们两个相加一百八 x 出来了，那么这些度数是不是都可以出来了呀？ 那么小伙伴们，我相信到现在为止我们的对顶角的概念，我们的零步角的概念，包括我们对顶角怎么去运用，我们零步角怎么去运用， 我们小伙伴们应该看的比较熟悉了，对不对？我们通过一些题来彻底的把它掌握下来。 当我在找对顶角的时候，小伙伴们对顶角有公共的端点，公共的顶点角的两条边互为反向延长线，很明显一和二 都不能满足条件。而零补角，第一个他们有公共的端点，第二个他们有一条公共的零边，第三个他的另外一条边互为反向延长线，肉眼可见的应该选的是哪个，选的是 d 选项， 所以不要看我们的题简单还是难，关键问题是我们在平时训练的时候，我们在做这种题的时候， 我们有没有把对顶角的概念在脑子里面滚一遍？把零不角的概念在脑子里面滚一遍，把对顶角的特征，零不角的特征在脑子里面滚一遍。那么在滚动的过程中延伸出来的知识点有没有滚一遍？比如说 n 条直线相交于一点，所产生的对顶角的指数应该是 n 乘以 n 减一，对不对？ 那么小伙伴们来看一下这个题，做几何题，在几何图形初步认识的时候，钱老师挂在嘴边上讲的最多的一句话叫什么呀？得图 得一切对不对？我们几何题最核心的思想就是数形结合，就是我们要把题目里面的数据信息转换到几何图形里面去，对不对？那么小伙伴们， aoc 给了我七十多 对顶角相等，他的对顶角 o c 延长过来， o a 反向延长过来，那么这个表底 是不是七十度了？那么这个角二等于四十度，七十减四十，简单的角度的加减，我这个时候角一的度数是不是就很轻松的确定出来了呀？ 男的不怕，这里小伙伴们，男的怕什么呢？男的怕他给了我三条线，然后还给了我一个角平分线，对，你看我这个几何图形是不是就变得比较复杂了呀？这个时候再随机给我一些角度，让我来求值对不对？ 核心本质还是我们要对零角，对菱角这些基本的特征角平分线得到的哦，小角等于小角等于大角的一半对不对？这些基本的特征我们要熟悉对不对？那么小伙伴们来看一下这个题， 他们两个的和等于两百三十六度，我们是不是要把题目里面的数据信息转换到几何图形里面去啊？哦，他们两个相加等于两百三十六， 它们两个肉眼可见是对顶角对不对？对顶角相等的，所以它们两个相等加起来两百三十六，两百三十六除以二一百一十八度，那是不是就可以非常轻松的把这两个角度确定出来了？ 再来一个零角相加一百八十度，这个时候小伙伴们，那么 a o c 也好， b o d 也好， 他的度数是不是都可以非常轻松的确定出来了呀？所以我们说学袋鼠，他怎么加深难度的呢？先玩数字对不对？数字的预算玩完了以后再玩什么？再玩字母的预算对不对？字母的预算玩完了以后再玩什么？再玩袋鼠四的预算， 他是层层递进加难度的。所以我们在代数里面，我们经常讲碰到代数式，当整体，因为代数式所表达的最终结果仍然是一个数字，对不对？ 那么小伙伴们，你告诉我如果是几何怎么玩难度啊？先来最简单的两条线，你会不会？你会不要紧？我再加一条线，你会不会？你还会不要紧？我还加一条线， 单纯的从相交线这个角度，小伙伴们你会发现我这个角度的运算求值是不是就可以变得非常复杂呀？如果我加多了，你还玩着转不要紧，他们两个的和等于一百八或者角一等于两倍的角二 对不对？等等等等，给了我其他的等量关系，再把它套到几何图形里面去。所以说任何时候我们学习几何问题也好，初中问题也好，我们在 袋鼠和几何部分，我们初中阶段最重要的是要培养我们的思维习惯，我们的学习习惯，培养我们的学习能力，这个才是最关键的，知识点的角度而言，他的难度是不大的。小伙伴们， 学习能力，思维能力，习惯培养，这才是最为重要的。那么小伙伴们，我们来看一下这个题，你看是不是加难度了呀？ a o d 的 对顶角 a， o d 在 这里，反向延长线， o a 反向到这里来了， o d 反向到这里来了。那么 这个就是数命题嘛，很简单嘛，一个解答题，一般第一问都是非常简单的，对不对？ boc 的 零补角，我可以找 o b 作为零边，我也可以找 o c 作为零边， o c 作为反向延长线是不可以找一个？ 找 o c 作为零边 o b 的 反向延长线是不是也可以找一个呀？那么零补角是不是可以非常轻松的确定出来呀？关键问题是什么呢？当我的零补角， 当我的对顶角和比值问题，和比值问题和什么和角平分线结合在一起，那么我这个角度的运算和求值，他的计算量 是不是变大了呀？他的繁琐程度是不是也增加了呀？我们来看一下这个小伙伴们， ld 等于二十度，得图得一切，我们一定要把数据信息转换到几何图形里面去，对不对？ 那么 d o f 比上 b o f， 这个比这个一比七，那我设它为 x， 设它为七 x， 那 么这三个角加起来是不是就构成了一个平角了呀？ 那么小伙伴们，这个时候我第一件事是不是可以把 x 求出来了？以后我所有的角度是不是都可以求出来了呀？ 那么小伙伴们角平分线的定义哎？首先小伙伴们要注意好角平分线的书写格式，因为平分，所以小的等于小的等于二分之一，大的我也可以写成大的等于两倍的，小的等于两倍的， 小的，对不对？这个时候再来利用对顶角和零补角，我们是不是可以非常轻松的把，不要说求 e o c， 是 不是所有的角度都可以求出来呀？ 那么我们说呀，数学的学习，它的知识点是什么？是链条式的对不对？它的前后 都是相通的。小伙伴们，回想一下，我们当时在做角度的计算的时候，我们曾经找出来一组规律的哎， ab， 它是一条直线，在 ab 上面取一个点，取一个 o 点，然后做一条射线， 以前我们只知道他们两个是平角相加等于一百八十度，现在我是不是知道他们这两个角叫什么角啊？叫零补角对不对？ 那么小伙伴们，我们当时做的规律总结是什么呀？把 a、 o、 c 的 角平分线做出来是 o、 d， 把 b、 o、 c 的 角平分线做出来是 o 一， 我想请问一下，你这个 d、 o、 e 它是多少度啊？ 那么这个大的加这个大的一百八，大的一半，大的一半加起来是不是就等于九十度了呀？这个 d、 o、 e 是 不是就是直角了呀？ 我们当时在做几何图形，初步认识角度一算的时候，我们说了，哎，假如这个 b、 o、 c 为 r 法， 那么角平分线做出来这个角等于九十度，那么这个阿尔法为任何度数，跟我这个九十度有影响吗？没有影响，只要是零补角，只要是角平分线，他一定是可以构成多少度啊？九十度的。 那么小伙伴们，你们会发现，我们这个时候学的知识是不是就可以形成一个小闭环了呀？ 所以说学数学，我们任何时候，不管是在初中阶段还是在高中阶段，小伙伴们不要单一的去看这个知识点， 一定要通过整体的思想啊，一定要站在最高的位置，是不是？我们为什么叫一览众山小呢？对不对？你站山底看山上， 你永远看不清，看不全，你站山顶看山下，那你看的东西就很全了，你每座山之间的关联是不是就可以看的非常清晰了呀？ 所以在这里钱老师有两个要求，第一个要求是什么呀？第一个要求是我们除了要把我上课讲的内容吃透，第二个点就是课后的训练是必不可少的， 数学的学习理解只是我们万里长征的第一步，落实到笔尖上面才是后面的九千九百九十九步。那么我们今天这一堂课就给同学们讲到这里了，同学们再见！ 各位同学你们好，我是你们熟悉的钱老师，今天这堂课呀，接着由我来带领同学们对我们相交线与平行线的知识点进行一个讲解。 我们在上一堂课，带领同学们学习和掌握了我们在同一个平面内两条直线的位置关系，哎，只有两种非相交， 即平行对不对？那么在最简单的相交线里面，带领同学们认识了我们零补角和对顶角， 找出了我们零补角它的位置特征，哎，有公共的顶点，有一条边是相邻的，另外一条边会反向延长线， 我们还得到了零补角，他的等量关系是相加为一百八十度， 那么我们知道对顶角他也有位置关系和等量关系，那么小伙伴们，位置关系是有公共的顶点有公共的端点，并且角的两条边互为反向延长线， 那么我们通过等量代换得到了对顶角是相等的，对不对？ 与此同时，我们还找出了一个非常重要的找规律，就是有 n 条直线，如果相交于一点的话，那么 他所产生的对顶角的数应该是 n 乘于 n 减一。 那么我们还一直反复不断的在给同学们强调，我们学习数学，不要去忽略我们最基础的概念， 我们所有的拓展，我们所有的拔高，都是围绕着我们基础的概念来进行延伸的，包括于我们的应用也是围绕着我们的概念来进行拓展的。 那么小伙伴们，我们研究了直线的最简单的位置关系，我们再来想一下，小伙伴们， 如果我两条直线相交的话，哎，我取两根木条，一根木条是 a， 一 根木条是 b， 我 现在用一个钉子把它们钉在一起，当我把这个 a 固定了，我在旋转这个 b 的 时候，小伙伴们，那么这个时候是不是就会产生了对顶角啊？这个时候是不是也产生了零补角了呀？ 那么当 a 和 b 所剩的锐角 r 反为三十五度的时候，那么其他的角度三十五度，一百四十五度，一百四十五度，我们是不是可以非常轻松地通过零补角的性质和对顶角的性质来把它计算 求出来呀？那么我们有学数学，我们经常学数学思维叫什么呀？我们由一般到什么到特殊，我们也可以由特殊到什么到一般。 当我在旋转的过程中，如果我旋转出来九十度了，那么小伙伴们对零角九十度，零补角是不是都为九十度啊？ 这个时候是不是就形成了我两条直线非常特殊的一种位置关系啊？在相交的情况下比较特殊的一种 位置关系对不对？那么我们就把它称为互相垂直。 那么很多小伙伴一听说，老师，哎，两个角他们所形成的夹角有一个九十度，那么其他的都会九十度，这很简单呢。那么我们在接触垂直的时候，我们要注意好两个信息， 第一个信息就是我们数学，我们学习，我们在最后考试的时候，我们在最后考核你的时候，我们是要用数学语言 来把它描述出来的，而不是跟语文一样去写文字的，对不对？所以我垂直的数学语言我们一定要熟悉，因为 ab 垂直 cd， 所以 可以把我所用到的角等于九十度写出来，对不对？小伙伴们，当我写九十度的时候，我用到谁，我是不是就写谁呀？ 反过来，当我知道四个角里面任意一个角为九十度，那我是不是就可以确定出来两条直线是互相垂直的呀？ 那么这是我们垂直的概念所隐藏的，所要告诉我们的第一个细节信息就是我们的表达方式，我们的数学语言的表达方式。 那么第二个细节是什么呀？小伙伴们，既然我垂直是九十度对不对？那么他肯定会引申出来一个东西，我如何去判断两条直线互相垂直？ 那么小伙伴们，我们有很多种方式来描述我们最简单粗暴的，最简单粗暴的就是直接通过概念，我只要有一个角等于九十度，那么这两条直线是不是互相垂直的呀？ 那么这个概念他还有没有其他的表达方式呢？数学嘛，数学学习就是 直路一条然后绕弯吗？对不对？把你绕晕了为止对不对？你没有被绕晕，那就说明你数学学好了。那你比如说小伙伴们，他说，哎，我对顶角相加等于多少度啊？八十度啊，等于多少度啊？一百八十度。 那么小伙伴们，对顶角是不是相等的呀？对顶角相加等于一百八十度，我通过计算，是不是可以确定出来这些角都等于九十度啊？哎，定出来了九十度， 我们学的对顶角的概念，我们还学的什么零补角，他还可以怎么来问你啊？哎，如果两个零补角是什么呀？是相等的，能不能确定出来这两条直线 是互相垂直的呢？哎，两个零补角是相等的，而我们零补角的性质可以得到这两个零补角相加等于一百八十度，对不对？又是相等的，又是相加一百八十度，是不是也可以 确定出来等于九十度啊？是不是也可以确定出来两条直线是互相垂直的呀？ 所以说我们小伙伴们要牢记一点啊，我们学数学，不要只看字面上的意思，我们除了字面上的意思，我们还要把它的图形拿出来研究和分析去思考，如果你是出题老师， 角色互换，他应该会以哪些方式来考核你的知识点概念性问题？那我们学同学们如果把这种思维方式，把这种学习能力掌握了，我告诉你小伙伴们， 初中、高中、大学了，包括我们以后参加工作了，我们接触新生事物的时候，我们学习起来，他就比别人事半功倍一些。 那么小伙伴们垂直的概念出来了，我们现在就有一个小思考了，哎，我这里有一条直线， 我这里有一条直线，我现在要画这一条直线的垂线，那么这样的垂线能够画出来多少条呢？ 我们知道点动呈现点是构成我们几何图形的基本元素，那么这一条直线是不是也有无数个点构成的呀，小伙伴们， 当我把这条直线上面的任何一个点都把它当做当做什么呀？当做垂足的话， 那么这个时候我是不是可以画无数条直线出来呀？因为我在一条直线上面每一个点来当做垂足，我是不是都可以画一条直线出来呀？ 那么又回归到我们最基本概念里面，小伙伴们，两条直线互相垂直，那么这个焦点我是不是把它称为垂足啊？ 那么同学们要牢记一点啊，如果我想做一条直线的垂线，我是可以做无数条的， 那么这是一般情况下，那我现在给你特定了，我如果让你通过一个点 来做这一条直线的垂线，我能做多少条呢？小伙伴们来比如说我过这个点是不是绕着这个点是不是可以做无数条直线呢？ 那么只有一条直线可以和已知直线是垂直的，那小伙伴们可以观察出来规律了哦，原我这个点是不是在直线的外面呢？ 那我们再来找一下，如果我这个点在直线的上面的话，小伙伴们过这个点是不是仍然可以做无数条直线呢？ 因为两点才确定一条直线呢，一个点他是确定不了直线的，但是我过这个点想做这条直线的垂线，我是不是就只能做一条出来了呀？ 所以我们这里就衍生出来了我们垂线的第一个非常非常重要的性质，在这一个平面内，我想过一个点做一条直线的垂线应该是什么？有且 只有，我是不是只能做一条直线和已知直线是互相垂直的呀？而且小伙伴们也会发现，哎，不管这个点是在直线上面，还是在直线的外面，那这些细节小伙伴们都要注意好。 那么经过一点，怎么去做一条直线的垂线？同学们知道了，那如何去做一条射线或者是做一条线段的垂线呢？ 那你比如说我过点 p 做这一条射线的垂线，实际上本质上是不是做这条射线所在的直线的垂线呢？ 那么小伙伴们，如果我过这一个点做这条线段的垂线，那我第一件事是不是要先延长，然后再来做垂线，对不对？ 所以像我们要牢记啊，做射线或者是线段的垂线，本质上是做射线 或者是线段所在的这条这条直线上的垂线。哎，这个细节我们同学们一定要把它理清，当我们理清了任何时候，我们来做垂线是不是就显得非常轻松了呀？ 因为我们的小学就学过，三角形的面积是不是底乘以高除以二啊？锐角三角形的三条高是不是都在三角形里面？而钝角三角形的三条高有一条有一条高在里面，有两条高是不是在外面呢？ 那么如何做射线或线段的垂线？本质上它就可以和我们三角形的高形成一个简单的闭环，对不对？ 那么又回归到本质了，我们学习我们几何图形的基本概念，最终的目的还是要去应用啊，那我如何去应用呢？就是通过求值计算来应用，对不对？我们在 实际学习的过程中，通过求值计算来应用，我们在实际生活中通过角度可以把图形做的更加完美，是不是的？ 那么小伙伴们看到垂直没有啊？我们任何时候看到垂直了，我们第一件事是先把直角标号打上去，就跟什么呀？就跟我们在讲角平分线的时候，任何时候看到角平分线，先打上角一角二再说， 用不用得上是一回事，你打不打是你的习惯问题对不对？任何时候看到垂直，先把直角标号标上去，直角标号就意味着九十度出来了吗？ 那么小伙伴们，角一等于五十六度，那这两个角相加等于九十度，九十减五十六，这个角是不是就等于三十四度了呀？ 那么和我们前面的对顶角的知识点是不是就形成了一个闭环了呀？哦，原来他们是对顶角，所以我这个角二的度数是不是就可以非常轻松的确定下来呀？ 那么小伙伴们，我们这里又有一个小思考啊，这里有一条河流，假如他是一条直线的话，现在我要把河里面。由于视频制作精良，超出视频上传内存要求，所以请私信钱老师领取学习资料。
135初中数学20年提分教练
00:36查看AI文稿AI文稿七、下几何天花板三角形十七大体型，吃透这些三角形再也不丢分。七、下数学三角形十七大体型。题型一，三角形的三边关系的应用。题型二，与等腰三角形的边长有关的问题。题型三，三角形的高有关的问题。题型四，利用中线解决三角形的面积问题。 题型五，利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题。题型六，利用三角形的内角和定力解决折叠的角度计算。 棋形七，直角三角形的性质的应用。棋形八，三角形的稳定性。棋形九，利用全等三角形的性质求角满等满可分享。
22奕揽星河
06:45查看AI文稿AI文稿同学们，这节课咱们共同研究一道期中考试的压轴题，请看题问题情境。 在综合于实线课上，同学们以一个含有三十度角的直角三角形和两条平行线为背景开展数学活动。如图一，已知两直线 a 和 b， 且 a 平行于 b 于直角三角形 a、 b、 c 角 b、 c， a 等于九十度角， b、 a、 c 等于三十度 角 a、 b、 c 等于六十度。操作发现，第一，在图一中，角一等于四十六度，求角二的度数。 同学们看角一角一，这是九十度， 这个度角的度数咱们可以利用平角来计算，大家不要忘了这个平角啊，平角去掉这个九十度，再去掉角一，就是这个角， 那么 a 平行于 b， 这是平行线，这个角和这个角相等，它就等于角二。那么角二的度数呢？就是等于九十度，减去四十六度就等于四十四度。 第二，小题如图二，创新小组的同学把直线 a 向上平移，并且把角二的位置发生了改变，发现角二减角一等于一百二十度。说明理由。 大家看到这样图形，就要想到平行线中的拐点问题，咱们把 b 叫做它的拐点，那么过 b 点做 a 和 b 的 平行线，马上就要想到。好，现在咱们把这个图放大 做 b， d 平行于 a， 那 么 a 又平行于 b， 所以 这三条直线是平行的。平行线的传递性， 那马上就要想到这个角二和这个角，他是他俩平行同旁，内角互补，他俩相加等于一百八十度。 这个角和角一如果有关系的话，那就好说了，那这个角和这个角是有关系的，因为这个角等于六十度，六十度减去这个角等于这个角， 哎，再看 b、 d 平行于 b， 这个和角一是相等的，所以这个角就等于六十度。减去角一，这个角等于六十度。减角一，那么角二加上这个角六十度减角一的和就等于一百八十度， 这样就能找见角二和角一的关系。同学们请看一下解题过程。 第三小题缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图二中的图形继续变化，得到图三 a、 c、 a、 c 是 平分角 b、 a、 m， 此时发现角一和角二又存在新的数量关系，请写出你的发现并说明理由。 咱们把图放大，同样的道理，在这个咱们要想到平行线中的拐点问题，这个 c 就是 一个拐点，咱们过 c 点做 c n 平行于 a， 那 么这个 a 又平行于 b， 所以 这三条直线是平行的。 那根据这两个平行，咱们可以得到角二等于角四， 那么根据这两个平行，咱们可以得到角三等于角 c、 a、 m， 又知道这是这个角的平分线，所以这个角和这个角相等。 大家不要忘了，咱们已知条件是这个角等于三十度，那么这个角啊，也等于三十度，这三十度，三十度，这个角角三也等于三十度，这个是两只线平行内错角相等。 大家可别忘了，这个三角形是个直角三角形，这个角等于九十度，所以角三等于三十度的话，那么角四就等于六十度。这两条直线平行，角二和角四相等，所以角二也是六十度。 那因为 a 平行于 b， 所以 角一呢，和这个角相等啊，这是三十度，三十度合起来是六十度，所以角一也等于六十度，所以角一等于角二。大家看一下做题过程， 当然这道题不止一种方法，也不是一条结论。那咱们大家还可以怎么做呢啊？也可以把 b c 延长，交 b 这条直线于 d， 那这是直角，这就是直角，大家看这个三角形，这就是一个直角三角形，对吧？直角三角形，这是角二，这和这个角相等。内错角，两只线平行，内错角相等，那这个这个角 就是角二，这个角呢，就是和角一有什么关系啊？角一等于这个，这是一个角平分线，所以这个角就等于二分之一的角一。 那大致角二和角一的关系就是角二加上二分之一的角一等于九十度。当然还有其他的结论啊，做出来就可以了，大家看一下过程。 嗯，其他的结论有，角一加角二等于一百二十度啊，角一加上二倍的角二等于一百八啊，角一等于九十度，减二分之一角二，或者是角一加上二分之一，角二等于九十度等等 都是正确的。好，同学们，这节课咱们就讲到这里，再见。
13师老师数学小课堂
07:17查看AI文稿AI文稿好，来看今天题目啊，从这个开始呢，我们后边多说点这个方程和不等式的，因为期中考试其实要么上上周，上上周对吧？或者是这周就考完了，所以我们后边就说说后面的啊，现在同步的以及后边期末要用的。 这题他是实际应用啊，就是我们原来小学的应用题。来看他咋说了，他说这个牡丹文化节啊，甲乙两个公司，甲公司的收费方式是每套按定价五元的九折 收费啊，那我们可以直接写出来，是吧？他的收收费那就是定价五块九折，九折是多少？是零点九呗。那就是五乘以零点九，这是 呃假公司的单价对吧？另收一千五百元的服务费啊，那就是除了你这个那个呃宣传册的钱，你还有一千五百元的固定费用啊。服务费， 然后已公司呢，每套是按定价五块收费啊，他定价高是吧？不打折。然后呢？但是服务费打折是这意思吧啊？服务费一千五，呃，六折，那是多少？那是一千五 乘以零点六，对吧？所以这个一个是宣传册本身打折，一个是服务费打折是吧？好呃，一次印刷数量不少于千册。都是啊，都是不少于千册。那第一问他说，呃，印刷 x 套 x 大 于等于一千呢啊？ 假广告公司收费多少？那我们看没上面我们写出来单价了，单价是多少？是五乘以零点九对吧？这是一套的钱，一共多少套？ x 套对吧？再加上一个，谁再加上一个服务费就是一千五百元， 所以这就是嗯，假的收费啊，但是最好呢把它化简一下，这是多少？五九？四点五嘛，四点五 x 加一千五百元，对吧？所以这是这个假的收费啊，乙的收费， 哎，乙的收费，这应该有个空啊，这在这后边有个空。乙的收费多少钱呢？一套是多少钱？一套是五元啊，定价不变， 然后那 x 套，那就是五 x 加上多少？加上你的服务费打折，那就是一千五百乘以零点六，对吧？那所以这个是多少？这个求出来着， 是不是九百，这个也要化解啊，那就是五 x 加九百元，哎，这是第二个空呢啊，这是第二个空呢？以的。那 第二问他说，那选用哪个广告？广告公司啊，所需的费用较少。什么叫较少？是不就是小的意思，对不对？所以那这种题怎么办呢？这种题其实后面我们的八年级下 有一种专门的题目，叫做方案设计问题，包括河南中考咱们经常有的这种题目啊，实际应用是方案依次函数的方案设计，我们现在是他的雏形啊，他的雏形来，那怎么办？这个思路一致的啊，从现在到中考是统一的，看怎么办呢？ 假的，他不是这个数吗？乙的是这个数，对不对？那所以哪个方案叫哪个？哪种方案较小，是不就是小于那个大的？那所以第一种情况看啊，令 四点五 x 加一千五，大于五 x 加九百。 老师为啥这样列呢？因为我们也不知道哪个叫小嘛，对吧？哪个叫小，所以分类讨论啊，两种情况讨论，那这种会解吧，这个解出来多少？四点五呢？或者是零点五，那就是零点五 x 小 于号啊，我我我同时编号加一项了啊， 然后小于多少呢？小于，这个是挪过去是六百，是吧？所以 x 是 小于一千两百的，对吧？一千两百的，那所以这个时候这是第一种假设的情况吗？那我就答一下就行了。 那所以呢，当你的 x 啊，大于等于一千，这上面说了吗？就大于等于一千呢，对不对？小于一千两百套的时候，选谁呢？选择的是肯定是这个嘛，因为这个小，对不对？这是谁？这是一广告公司，我简单写啊， 这就是第一种情况。第二种情况，那就是令啊，这个四点五， x 这是假的，加一千五等于 乙的啊，加九百，所以这个算出来， x 应该等于千二，那意思就是说这俩费用相等的时候， x 怎么样呢？ x 是 等于一千二的，对不对？ 所以当啊，当这个 x 等于一千两百套的时候，选择甲，选择乙，他是一样的，对吧？选择甲，选择乙是一样的， 然后呢？第三种什么呢？那第三种该小于了吧？啊？令四点五， x 加一千五百，小于五， x 加九百，哎，所以这个解出来应该是 x 大 于一千二，对吧？ 大于一千，所以那我们答的时候呢，就是当 x 大 于一千二的时候，所以当 x 大 于一千两百套的时候，选谁呢？因为他小嘛，哎，他小，所以选择甲就行了，对不对？所以这是三种 情况啊，三种情况，这个就是我们不等式的实际应用啊，这个就是不等式的实际应用。呃，这个题到这就结束了，你直接令它大于它，它等于它，它小于它就可以了啊， 谁写的前，谁写的后，没有关系，就是你答的时候，你得看看哦，选这个，这个 x 在 这个范围内的时候是他小，那就选他这个意思啊，然后这是这道题就完了。然后但是有的同学会说，老师他咋会根据这个数量不一样他，他为什么一会选甲，一会选乙嘞？他是这个意思，你看啊， 呃，一个假公司，他是不是每套都打折啊？服务费固定的，对不对？每套都打打折，服务费固定的， 然后乙是什么呢？是每套都是固定的啊，固定五块钱，不打折，但是服务费这个固定值打了个折，对吧？所以说如果套数越多，我假设我弄上一万套， 对吧？弄上一万套，那是不是每套打折的那个肯定更划算，对不对？是这个意思吧，有越多单套打折的 会越划算啊，因为这个服务费就是一千五固定的嘛。你打个打个打个六折，那是只有一部分钱，他固定不变。但是假是每套都打啊，你套数越多他越便宜啊，就是这个意思啊。好，这是实际应用。
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00:25查看AI文稿AI文稿区下数学最难的三十道压轴题全部练会，逆袭班级前三二零二六七年级下册数学压轴题考点与答案，第一道、第二道、第三道、第四道、第五道、第六道、第七道、第八道、第九道、第十 一道、第十二道、第十三道、第十四道、第十五道完整版评论区六六六。
05:05查看AI文稿AI文稿ok， 今天的两个题目都是坐标系里面的这个题目啊，这，这几天没有做，我们稍微复习一下，那他说点屁是 在外轴上，那好，这个是坐标系里面的点的特征，对吧？如果在外轴上，那我们知道坐标系是这个样子的啊，如果在外轴上，外轴上所有点都有一个共同的特点，什么特点呢？他的横坐标为零，对不对？就是他既没有左，相对于原点来说， 他既没有往左，也没有往右，对吧？那所以他的横坐标是零，横坐标是零呢，就是二 a 减二等于零，对吧？那 a 等于一， a 等于一，这样求出来之后呢，这坐标就有了， a 等于一啊，这是六，对吧？所以 p 点的坐标就是零六啊， p 点的坐标是零六，现在问的是啥呢？问的是，你看，假设在这啊，零六，他问的是 p 到 x 轴距离，这是 x 轴，对吧？到 x 轴距离是不是就这个长度？那就是 六百，对吧？所以这是第一个题目啊，比较简单。重点啊，复习这个坐标特征，那我们多说两句，那在外轴上呢，是 x 等于零，对吧？外轴上呢，是 x 等于零，那 x 轴上呢？ x 轴上呢？那是不是就是 y 等于零横线呢，对吧？ 呃，然后包括在一三象限角平分线上的啊。一三象限角平分线上的，是不是就是 x 等于 y 啊？ x 等于 y， 在 二四象限的就是 x 加 y 等于零，为啥呢？因为它们是互为相反数的关系，对吧？ 所以这个我们前面更多啊，记的内容更多，要拿出来详细的笔记看一下。好，第二问，你说坐标系中对一点？屁把， 你看啊，怎么变的啊？把 y 减一啊，就是纵坐标减去一，横坐标呢？变成相反数啊，这个时候叫做点屁的油耗点，就是怎么变换坐标，变换这种题目，对吧？怎么变换呢？就是把纵坐标减一，横坐标变相反，就叫油耗点了。好， a 一 的油耗点 a 二， a 二的油耗点 a 三， a 三的油耗点 a 四， ok， 一 四的这样点，若 a 一 的坐标好，最初的那个点给了啊，最初的那个点， a 一 是负三二， 所以 a 二是它的油耗点，那 a 二怎么办呢？我刚才说了，纵坐标减一，当横坐标，横坐标变相反啊，当纵坐标，是吧？所以把它的 y， 这是，这是 x， 这是 y， 把它 y 减一，那就是一 横的标点，相反就是正三，对吧？好， a 三呢，是 a 二的油耗点，那就是纵的标减一，三减一二，然后横的标也相反，负一好， a 三， a 四，纵的标 减一负二，横的变相反，负二，对吧？然后 a 五，因为他是找规律吗？最后让我们算的 a 二零二三呢，肯定是找规律，那找规律就多算两个啊，你说老师，你在这一直算上来算几个，肯定是有规律的啊。 然后，呃，纵的边减一是负三，对吧？横的边变成相反数，是正二，好， ok， 算到这就不用再往下算了。为啥呢？ 哎，他不是跟他重合了吗？对吧？所以又出现了一个重合的，那么截止到 这个 a 五之前，是不就是一个循环了，对吧？所以下一个又是这样一个循环，所以四个点一循环，四个点一循环，哎，明白了吧？所以 a 五再往下算， a 六就跟 a 二相等了，是吧？ a 七和 a 三相等，这样的， 所以四个一循环，那么 a 二零二三，二零二三，是不是就用二零二三除以一个四？因为四个一循环嘛，就行了，对不对？五二十零四五二十，是吧？ 所以他应该是，呃，余个几，余个三，是不是啊？余个三，那余个三， 呃，余个三应该是几了，到 a 三了，对吧？ a 三，那就是二负一啊，因为他这个正好是从 a 一 开始的，所以正好余几就是到几就行了啊。余一，那就是 a 一 余二， a 二余三， a 三就行了，所以这就是他的坐标啊， a 二是负一就行了。 当然这个时候，比如说今年是二零二六吗？这是二零二三年的这题啊。二零二六，那二零二六是不是除以四就行了啊？除以四四六，二十四，是吧？余二是吧？余二，那余二的话，那就是到 a 二了呗，是吧？所以哪个都行。 一旦我们会发现，一旦我们发现这个，比如踢里边球，什么 a 二零二五啊， a 二零二六啊，像这样的点 p 的 也行，是吧？那这个就是典型的找规律的问题啊，我们先算几个值，看看它的规律是什么样的，找循环就行了啊。
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