东城一模几何综合多种解法
呃，大家好，今天我们一起来继续来看一下东城一模的这个融合，这是老师展示三种中的解法啊， 然后呢，这个题呢，整个题意比较长啊，没有做。同学呢，可以在暂停一下，把这个题先做一遍，五分钟左右做一下，然后咱们接下来看一下， 跟老师讲一下。第一问啊，简单把题意说一下啊，说在 x 三角形中，直角，三角形九十度，然后有共鸣的一段等腰直角啊， 这是什么三和一啊，什么线对吧？第一始终等于这个斜边的一半啊。条件，当第一问，当点地与点臂重合时，会与 d、 a、 f 与 b、 a、 c 的关系，此时的 b、 a、 m 多少度呢？我们可以看出来，这就是四十五度啊，然后 b、 a、 c 呢，九十度 绝对是一个两倍的关系，所以呢，简单比较简单，第一问啊，你看第二，当点进与点力不再重合时，那个人是否成立呢？如果成立，换句话说，要证明那个角度，角度呢？而且角度四十五度，而且呢，四十五度的核心就是什么，证明两条边相等，然后两条边相等，什么三角全等。 那怎么传统呢？根据题目的始终条件，始终满足第一式的一半，而第一是什么？斜位的一半，所以我们想到斜位中线过点 a 做垂线，那 a 式的一半啊， 这个证明，两个人看到，看完之后发现我们的 d a 等于 d f， 应而得到右边啊，这个 d h， f 是一个等于 o q 反向性都要找出多少而四十五度啊，所以第一个问题就是成立啊，这个就还好啊，不是特别难啊。第三分钟，当点 d 与点 b 不再碰合啊，换一条 说，此时是在第二阶段起起延伸的，而这种情况下呢，这个角是四十五度，那么这个顶大角是九度，这属于什么角函半角啊，我们知道角函半角模型，我们在共点零二中产生数把手 还有个结论，什么结论呢？中间这个 dj 平方等于左边 b 立方加二 c， d 方就是等腰这边产生的一个模型哈，他正好你在里面，还不太一样啊。 然后呢，看你觉得怎么证明，那么除了咱们要找手拉手，首先找主角三角形，首先确定第一个主角就是咱们的 abd 啊，我们相当于只要过点 d 啊啊，将上面 a b， d 绕点 a 做一个咱们逆时针旋转，就如得到这个，你看可以这样旋转，旋转完之后呢，二次证明 a、 d， g 与这个 a g， b 是全等，通过一次证明发， 发现咱们的左边的 ad 等于右边的 cp， 通过二次你发现左边的 dd 等于右边的 gp 啊，然后呢，这是一个直角的造型啊，所以你满足啊，中间的 c 的方等于左边 a 方等于 b 方啊，就结束了， 当去年听到主角之后，但是还可以去什么呢？确定咱们 a c、 d， 如果 c、 d 的话，我们就把顺时针旋转走路啊，得到这个呢， 同样道理，以此类推，发现这是 a， 这是 b， 这是 c， 全中州 b 就在这里啊， c 跑这来了，所以依然满足这个不要相信，满足什么啊， d 地方等于 b 地方加三分之六位 c 这口。 而这两种方法呢，都是采取的，相当于用一个鼓的思想把它原来鼓在一起，两个角鼓在一起，除了鼓来干嘛？那个歌啊？这个歌通过歌呢，我们看一下， 就是把做一个对称，对称把这两个传导，传导完之后呢，发现这个角是四十五度，过来啊，同时发现 a b 一撇对 a b 啊， a b 撇 a b 等于 a c， 所以呢我们进行了二次传导啊，就这个传导，这两个传导呢，发现这两个四十五度角出来了，这角有四十五， 两个四十五一空，这叫多少度啊？下面是一个九十度啊，这是个九十度啊，这下面九十度，当九十一突然之后出现以后，五厘米啊，什么呢？这个是 a， 这是 a， 就是 b b b m c 依然满足 a 加 b 加 c， 所以不光有补，还有割，所以割补的思想要利用我们来学会啊。然后最后呢，老师一样在这里面呢，展示了十四个区的一个一模式题，有需要的同学呢可以在评论区回复老师，可以免费免费发送，谢谢。
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01:52查看AI文稿AI文稿冬虫一模的几何综合有点太简单了，各位同学如果要是需要其他的资料，可以在评论区敲六六六，这些资料都会打包给大家，我们一起来看一下冬虫一模的这个几何体。第一题，角度问题，对于大家来说我觉得应该比较简单，我们在这里面呢可以给 b 设一个阿尔法，因为这个角是六十度，所以根据三角形的内角和你就能得到这个角是一百二十度减去一个阿尔法， 它告诉我们 ab 绕点 a 旋转一百二十度，所以说这一个角应该是一百二，这边一百二十度减阿尔法，所以这个边就是一个阿尔法，所以第一问对他来说没有任何的压力。 我们来看一下第二个，让我们去求 a i、 a、 f 和 bc 之间的一个关系，大家猜可能首先也会猜二倍，那这个二倍关系咱们到底该怎么去证？各位，我们会发现你第一问已经证明这两个角是相等的，条件里又告诉我们这两个边是相等， 那此时你会发现一边一角，这个就和西充的思路是一样的，那我们构造全能怎么构造？还有一个非常特殊的条件是咱们几何当中比较重要的，那就是特殊角度，这里面有一个六度，我们会发现这一个三角形，他旁边有一个角是一百二十度， 那这个六度能干嘛？我们能想到构造等边，所以你在这个地方如果构造等边，那大家就会发现这个角度就是一百二十度，就和这边的这个角度也相等了，所以你会发现这道题的全等构造起来是非常的清晰，也非常的简单， 那这两个全等出来了之后呢？我们就直接设边三就好，这里边是一个等边三角形，这边是 a， 这边是 a， 好， 那这个就是一个中点，这边是 b， 这边也是 b， 那 所以我们就能得到 a， e 就 等于 b， m 就 等于 a 加二 b， 那 这样的 bc 就 等于二倍的 a 加二倍的 b， 那 我们会发现 af 就是 a 加 b， 所以 这道题就是 bc 等于二倍的 af， 总体上来说难度是非常小的。对于我们全等当中没有考察，我们所谓的 叫做手拉手模型，或者这些前模型考察的是和西中一样的边和角的构造。东重在去年模考当中也考察了这些的内容，但是总体难度不大，大家在考试的时候我觉得还是要拿到满分。
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01:57查看AI文稿AI文稿刚考完的东城一模的这道代宗题是非常标准的三步走，求解析。如果你对三步走还不太熟悉，可以拿这个题我们一起梳理一遍前面的两小问啊，非常简单，你自己可以写完对一下答案。那我们就来梳理最后一小问的三步走。首先 先把这个替代入，把这两个函数表达式写出来，然后做差。本题我们无法得出 m 和 n 谁是在上，谁是在下的，所以做完差之后加一个绝对值，这就是我们所说的第一步叫做差得绝对值函数。 第二步，把这个绝对值函数的图像画出来，其实就是把函数图像完整的画出来之后，再把 x 轴下方的部分给它翻折上去，就是一个绝对值函数了。那我们还要把这个图像中间的关键值给它标出来，常见的就是与 x 轴的两焦点以及对称轴。 第三步，找出符合提议的范围。本题给的范围是 t 大 于二小于四时， m、 n 的 长度会随着 t 的 变化而增长，那因此我们就可以去找图像中 哪一段范围是一直在增长的，很容易可以看到就是两块，一块是我标的蓝色范围，一块是我标的黑色范围，因此二到四，也就是 t。 二到四这个范围必须完整的被包含在蓝色，或 完整的被包含在黑色，所以中间是一个或的关系。我们先来讲我怎么才能让二到四一定被完整的包含在蓝色呢？首先零有了二一定 在零的右侧，所以是符合 t 的 啊，那个四呢，是不能超过对称轴的，四最多到对称轴，所以对称轴一定要大于等于四，才能确保把二到四的范围给他包进去。 因此，我们第一个范围是大于等于四，或者整个范围落到黑色的上，是后者的关系啊。千万别在同一个题中去思考他俩的范围，他是后者的关系。那怎么才能确保二到四一定被落在这里面呢？ 其实整个范围是无限大的，只要确保二是能够落在这个黑色范围内就可以了。怎么才能确保二呢？如果这个点 它是小于等于二的，也就是二 a 就 能确保二一定在右侧，因此 a 小 于等于一。注意，在本题中，这个 a 啊，它还是一个什么，还是一个有着自身范围的值，它是大于零的，因此，我们还要把这个大于零给他写上，这就是本题的最终答案了。
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10:21查看AI文稿AI文稿各位同学和家长，我们一起来看一下刚刚考完的二六年东城一模这道几宗压轴题。那其实纵观整个东城的一模卷，整体来说还是比较简单的，原因在于你可以看这三道压轴题，原宗、代宗和几宗整体是没有出什么难点。 那我们一起来看一下，为什么说几宗会比较简单。在题盖里面，他提示了旋转，所以我知道这道题的主旋律依然是旋转。 另外呢，我们在做其他程序的几宗压轴题，往往是通过两步或三步全等才能证明出来我们想要的结论。 但这道题的话，我们只需要一步构造全等，就能证明出来我们想要的结论了。另外他还考察了我们在初二常练习的一种题型，截长不短，与等边三角形相结合。好，那我们一起来看一下，这道题我们能通过几种方法去解决。首先我们还是先来认真的读一遍题干。 他说在三角形 a、 b、 c 当中呢，角 a、 c、 b 等于六十度，那六十度当然是一个非常特殊的角，你给它标好 a、 b 是 大于 a、 c 的。 现在我们将 a、 b 就 绕着点 a 进行旋转，旋转一百二十度，所以角 b、 a、 d 就是 一个一百二十度的角， 然后过点 d 做了一个 d， e 平行于 b、 c 的。 那我知道两直线平行一定是用于倒角的，那现在我就可以把 b、 c、 e 和角 e 都标上一百二十度的角点 f 为 c 的 终点。那这个终点啊，其实是一个迷惑点，因为我们在以往看到终点的时候，你肯定会考虑到的是被上中线或者是中卫线， 但是今年一模好几个城区已经出现了，说终点啊，它就是用于导边的，比如说西城卷或者是石景山都用到了这一点。 好，那现在你先把终点放到这，我们一起来看一下这道题到底终点我们应该如何去用。首先我们来看第一问，补全图形之后，让你求证的是角 b 等于角 d、 a、 e， 那 我知道角 a、 c、 b 等于的是六十度，所以角 b 这个对勾加上一个角 b、 a、 c 的 这个分叉，应该等于的就是一百二十度。根据三角形的内角和 另外角 b、 a、 d 也是一百二十度，所以角 b、 a、 c 加上角 d、 a、 e 反勾等于的也是一百二十度。那这样的话我就得出来角 b 应该等于角 d、 a、 e。 那 第一问的结论我们就在第二问里面可以作为已知条件来用了。我们来看第二问，它让我们找什么样的数量关系？它让你求的是两边 a、 f 和 b、 c 之间的数量关系。 那当然第一步的话，你一定是拿尺子去量一下，那量完之后，你发现这道题非常善良，直接我们能得出来结论，那就是 bc 应该等于的是二倍的 a、 f， 所以 现在你就去构造全等三角形，那构造全等三角形你第一个想的是肯定是旋转啊，手拉手对不对？ 那这里边已经提示了 a、 b 是 等于 a、 d 的， 所以你要找的一定是含有结论边 bc 的 三角形，那就是 a、 b、 c 或者是含有结论边 af 的 三角形，那你发现 af 是 三角形 a、 d、 e 的 一段，所以要不然你就找一下三角形 a、 d、 e 的 全等三角形， 那这样的话，我们先通过第一步旋转来看，那 ab 和 ad 相等，所以现在我就旋转 a， 一 旋转一百二十度，让它就是 am， 那 这样的话 am 和 ae 就 应该是相等的，然后再连接一下 bm， 我 知道旋转之后啊，那这个角角 bam 也应该是一个缝勾，那这样的话我就得到了三角形 abm 应该是全等于三角形 ade 的 全等之后，对应边相等，对应角相等，那这里边 b m 和 d e 就 应该相等的。又因为角 e、 m， 它是一个一百二十度的角，所以 am 和 bc 它应该是两条平行线。 因为 am 等于 a e， 所以 现在我可以设一下边，假如说我令 c f 和 e f 分 别是角 a， a， c 是 角 b， 所以 af 等于 a 加 b， 那 a e 等于的是二 a 加 b， 那 am 和 a e 是 相等的，所以 am 就是 二 a 加 b。 那 现在我们就把 bc 给它分割一下。怎么去做分割呢？我们在 bc 上截取一段， 截个 b n， 让它等于 a m， 那 这样的话，这一段就应该也是一个二 a 加 b， 截取完之后，四边形 a m、 b n 就 应该是一个平行四边形。因为什么？原因在于 a m 和 b n 的 话是截的相等，又因为 a m 是 平行于 bc 的， 有一组对边平行且相等，就是一个平行四边形了。 那平行四边形对角就应该相等的。角 m 等于一百二十度，那角 a、 n、 b 就 应该也等于的是一百二十度，它的邻补角就应该是六十度，那这样的话，有两个角是六十度的三角形，就应该是一个等边三角形，所以 a、 c、 m 就 变成了一个等边三角形， 那这样 ac 就 等于 c n， 我 们也可以用小 b 来表示，所以此时呢，这个 bc 等于的就是二 a， 再加上一个二 b， 反观我们的 af 等于的是 a 加 b， 所以 bc 就 等于的是二倍的 af。 好， 那现在我们再来看一下图二，那我们依照这个方法，我们旋转做一个三角形 abc 的 全等三角形，这时候 ab 已经等于 ad 了，所以现在呢，我就需要旋转的是 ac， 将它旋转一百二十度，得到 am， 然后再连接一下 dm， 那 我们依然把这个图里面的角都用特殊的符号给他表示一下，角 b 用勾，角 b， a， c 用叉角 d， a， e 用的是一个勾， 那我们现在旋转完之后，其实我们是能得到三角形 abc 是 全等于三角形 a， d， m 的， 根据的是 s， a， s， 那 我们可以把这个条件稍微的罗列一下。首先 ab 是 等于 ad 的 旋转一百二十度， b， a， d 和 c， a， m 都是一百二十度，所以角 b， a， c 就 等于角 d， a、 m。 那 另外还有 a， c 等于 a m， 所以 s， a、 s 这两个三角形全等全等完之后，对应边对应角相等，所以现在这个角 a、 d、 m 我 也可以用一个反勾来表示，那这样我就能知道了，两直线应该平行的，也就是 a， e 应该是平行于 d， m 的， 那平行完之后，依然现在我把 b， c 就 导到了 d， m 的 位置。然后我们还是根据刚才这个图，我们如何做的呀？做的是一个平行四边形，那现在我可以过点 a 做一个 a， n 是 平行于 d、 e 的， 那两组对边分别平行，也就变成了一个平行四边形， 平行四边形依然对角相等，所以角 e 如果是一百二十度，角 a、 n、 d 就 依然是一个一百二十度的角，那这样它的邻补角就应该是六十度。另外呢，我们刚才第一步在证明全等的时候，角 c 是 六十度，所以角 m 也是一个六十度。 现在有两个角都是六十度了，所以三角形 a、 m、 n 又变成了一个等边三角形。那这样我们就可以知道 bc 它等于的是 dm， dm 又变成了一个等边三角形，那这样我们就可以知道 bc 它等于的是 d， m 再加上一个 m， n， 我们依然用小写字母来表示。用 c， f 和 e， f 等于小 a， a， c 等于小 b， 所以 am， a， n 还有 b， n 它都是小 b， a， e 等于 d， n 等于的是二 a 再加上一个 b， 所以 d， n 等于二 a 加 b， 再加上 m， n 呢，就是二 a 再加上一个二 b， af 依然是小 a 加小 b， 所以 我们还是能通过同样的方法证明出来它是二倍的关系。只不过我们做的全等三角形不一样。第一个我们做的是三角形 a、 e、 d 的 全等三角形。第二个我们做的是三角形 abc 的 全等三角形 都是通过旋转得到全等，然后做平四去结边，然后于等边三角形构造。那我们再来看一下下面这两个图，如果单纯，我就通过倒角能不能找出来全等三角形？我们先来看一下第三个图。 当然你要去构造全等三角形，一定是根据这里面有对应相等的边，也有对应相等的角，所以 ab 等于 ab 等于角 d， a、 e 那有一组边和一个角了，我们需要再截取一个边，用截长补短就可以。依然其实你要构造的还是三角形 a、 d、 e， 或者是三角形 a、 b、 c 的 全等三角形。那图三我们依然构造 a、 d、 e， 我 们就可以在 b、 c 上去截取 e， d、 m， 使 b、 m 等于 a、 e， 再连接 a、 m， 那 现在三角形 a、 b、 m 就 应该全等于三角形 b、 e。 当然根据的还是 s a、 s， 我 们可以将条件在后面罗列一下。首先第一个 a、 b 等于 a、 d， 角呢？角勾等于角勾， 然后 b、 m 是 我截取的，让它等于 a、 e。 两个三角形全等之后，我们知道你可以导边 a、 m 等于 d、 e， 你 也可以导角角 a、 m， b 等于的是一百二十度，等于角 e， 那 它的邻补角就是六十度。所以我们还是导到了一个等边三角形 a、 c、 m。 下一步我们还是用小写字母来标边 a， a 和 b， 那 现在 c、 m 就是 b， a， e 就是 二 a， 再加上一个 b， 那 这样的话我们依然能知道 bc 等于的是二 a 加二 b， af 等于的就是 a 加 b。 好， 那刚才是截长，现在的话我们就来补短，我们来补一个三角形 abc 的 全等三角形。 那这时候我们还是把已知对应边 a、 b 等于 a、 d， 然后角 b 等于角 d， a、 e 给它标出来。如果你想构造三角形 a、 b、 c 的 全等三角形，我就应该延长 a、 e， 使它等于 bc， 那 现在我们来做一个延长， 延长到一点 m， 使 am 等于 bc， 然后再连接 dm， 那 是不是我还是能知道三角形 a、 b、 c 全等于三角形 d， a、 m， 那当然通过的还是 s a、 s， 那 此时的条件变成什么？ a、 b 等于 a、 d， 然后角勾等于角勾，然后 b、 c 等于 am 是 我们做的， 那全等之后，我们能推出什么样的结论呢？你可以看一下图三，因为图三和图四它们的方法其实是一致的。你是不是用到了三角形 a、 e、 d 里面的一个一百二十度的角 e， 然后让它对应到三角形 a、 b、 m 当中，那在图四这个方法里面，我们应该把六十度给它倒过来，那角 m 应该等于的就是六十度， 那角 a、 e、 d 的 一百二十度的邻补角依然是六十度，所以现在三角形 d、 e、 m 依然是一个等边三角形。最后一步，我们进行标边， c， f 是 小 a， e， f 是 小 a， a， c 是 小 b， 所以 d、 m、 e、 m 还有 d、 e 都是小 b， 那 此时 bc 它应该等于的就是 a、 m 等于的是二 a， 再加上一个二 b， 那 a、 f 呢？依然是小 a 加小 b， 所以 我们还是找到了它们之间有一个二倍的关系。那以上四种方法是我想到的，如果你有更好的方法，也可以补充一下。
07:48查看AI文稿AI文稿几何快带竖纹，心灵易，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，给大家讲一下东城一模的几何压轴题。然后这个视频呢，彩虹老师主要就从命题嗅觉上给大家讲两个方法， 这里呢，命题嗅觉就是上一问是对下一问温暖而善意的提醒，如果你有这个命题嗅觉，你看到上一问，特意提醒你个角等，再加上提醒你的边等，你就能想到全等， 然后再加上我们双题独创的主角三角形，就能找到方法，并且呢，思路不止一个。好，我们来一起来看一下他怎么提醒的啊。首先他给我们一个角度六十度，然后呢，又转了一个一百二十度，那看到六十度和一百二显然互补，所以他在提醒我们倒角， 来，我们倒一下，这是叉，这是六十，那用内角和就可以得到，这是一百二。减叉， 然后因为 b a d 是 一百二，那减掉这个角就得到它，也是差，所以这是角等 完了呢，它这个是 ab 转到 ad 的， 所以还有边等，那角等，边等就在提醒全等，大家看看角等，边等就在提醒全等，已经有一个角一个边了，所以大概率你再补个边，或者你再来个角就有全等。 好，接着呢，继续。他说，哎，来个平行，平行就倒角，这是六十，这是一百二，所以这也是一百二。然后又来个终点，看到终点就想到八中斜三 啊，在这里呢，这个终点咱也不知道用啥工具，那就放这看结论来，第一个结论，哎，脚等，你看，这就是赤裸裸的在提醒你， 同学们，暂停两秒钟啊，这个脚等再提醒全等，哎，旁边还有绿边，铁定全等，所以下一问呢，你，如果你没有思路，或者如果你想速度快，你千万别忘了找主页太阳星造全等，因为北京中考及压轴就考全等， 所以造全等是没有错的。好，然后呢，造全等的时候别忘了你的结论，结论是啥呢？是 a f 和 bc 的 关系，他说的是判断啊，所以先写出来结论，二倍的 a f 等于 bc， 这就给一分了， 然后并证明。怎么证呢？这命题老师提醒的太明显了，我就从上文的提醒出发，给标角等边等，提醒全等，我就找主角三角形找全等，主角三角形就是含结论边和工具边的三角形，或者是钱多的三角形。 来我们看结论边就是要求的 bc 和 af， 工具边就是这两个相等的边， 然后这还有特意提醒的角，所以显然三角形 abc 它就可以做主角三角形，对吧？它价值三毛钱呢，对吧？这个工具边当一毛钱， 这个叉角当一毛钱，这 bc 结论边当一毛钱，三毛钱，哎，那我们把它当主角三角形。接下来就是照猫画猫，做它的全等， 说白了就是模仿他去造全等。咱们照猫画猫，给大家讲了三步，对吧？第一步，看猫啊，不是，第一步，找猫，找着了，找到之后看他，看他有什么边，什么角和谁相等，哎，这有绿边，这也有，这有叉角，这也有，这有个 bc， 这没有，那我就延长 a e 到点 q， 使 a q 等于 bc， 这样的话，只要我们连接一下，哎， d q 是 不是直接就出全等了，朋友们， 对吧？我们直接就可以出来三角形 a b c 全等三角形 d a q， 哎，边角边的全等。好，全等之后马上倒角，倒边，这个六十度赶紧倒过来，哎，这个 a c 赶紧倒过来，等于它， 然后同学们，别忘看到六十度，到这你想到啥了，对吧？哎，等边呀，因为这个也是六十度，所以这是一个等边三角形，那就是这个 e d 等于这个 q， d 还等于 e q 还等于这个边。 好，然后也别忘了，结论，始终围绕结论转。哎，现在我要证明 a f 的 二倍等于 bc， 也就是等于 a q， 那 就是证明 f 是 a q 的 终点，大家看出来了没？ 是不是已经出来了？哎， f 是 a q 的 出点，终点已经出来了，对吧？因为条件说 f 是 c e 的 终点， 就是这两边相等，现在 a c 又等于 q， d 又等于 eq， 也就是这两个边也相等了，所以 f 就是 a q 的 中点，那二倍的 a f 就是 a q， 而 a q 咱们做的就是 bc， 所以 就搞定了。 好，那同样的方法呢？咱们再来。哎，我们呢，因为上一问提醒的角等是这个角等，边等是这个边等，所以咱们找主角三角形，还可以找这个三角形， 因为他也是价值两毛钱，对吧？一个一个边，一个角，价值两毛钱的三角形啊，好，把他当主角三角形造全能怎么做呢？来，我们观察，成边等于成边，叉角等于叉角，这边有一个 a e， 所以 咱们在哪来个 a e， 对吧？咱们在叉这个地方也来个 a e 嘛，我们就做一个 b h 啊，在 b c 上截取 b h 等于 a e。 好， 这个时候只要我们连接一下 a h， 大家看是不是就造出来全等了。 哎，边角边的全等全等式工具，工具马上得交到边，我们就可以得到，这个一百二就等于这个， 这个 e、 d 呢？等于这个。哎，然后注意别忘了啊，这个六十得标条件给的 a c， b 是 六十也要标，这样的话就发现这是一个等边三角形，所以 a h 和 a c 和 c h 都是相等的，是不是？ 好，那接下来我们的目的就是要证 b c 等于二倍的 a f， 那 这个看不出来，它不像，这个直接能看出来是吧？ f 是 c e 终点，然后 a c 等于 e q， 他这个看不出来，怎么办呢？当我们导边或者导角不好导的时候，我们就设字母，所以我们可以设个字母，哎，我们设谁呢？先从小的开始设啊，这样好算。比如说这个我们就设 x， 因为 f 是 c， e， 终点设它是 x， 这个不知道就设个 y， 那这也是 y， 这也是 y， 然后 b h 我 们做的它等于 a e， a e 就是 一个 y， 再加两个 x， 所以 这是两个 x， 加个 y， 好， 此时 bc 就是 b， h 加上 h， c 就是 两个 x， 加个 y， 再加个 y， 就 两个 x， 加 y， 对 不对？ 而 af 呢，等于 ac 加 cf， 也就是 y 和 x， 所以 b c 就是 两个 af 了。 好，那这个题目我们总结一下提速技术啊，就是只要你看到上一问，特意提醒你边等角等了，那么你就一定要去想到它在提醒你全等，这个时候你只要找到主角三角形，然后照猫画猫，就可以画出来全等了。 那关于照猫画猫呢？我们在几何压轴的专题课上啊，咱们的第四讲就会讲到，如果想学习这个方法的话，可以找彩虹老师来专门学习几何压轴的系列专项课程。
07:46查看AI文稿AI文稿几何快带竖纹，心灵易，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，给大家讲一下东城一模的几何压轴题，然后这个视频呢，彩虹老师主要就从命题嗅觉上给大家讲两个方法， 这里呢，命题嗅觉就是上一问是对下一问温暖而善意的提醒，如果你有这个命题嗅觉，你看到上一问，特意提醒你的边等，你就能想到全等， 然后再加上我们双题独创的主角三角形，就能找到方法，并且呢，思路不止一个。好，我们来一起来看一下他怎么提醒的啊？首先他给我们一个角度六十度，然后呢，又转了一个一百二十度，那看到六十度和一百二先，然后补，所以他在提醒我们倒角， 来，我们倒一下，这是叉，这是六十，那用内角和就可以得到，这是一百二。减叉， 然后因为 b a d 是 一百二，那减掉这个角就得到它，也是差，所以这是角等 完了呢，它这个是 ab 转到 ad 的， 所以还有边等，那角等，边等就在提醒全等，大家看看角等边等就在提醒全等，已经有一个角一个边了，所以大概率你再补个边，或者你再来个角就有全等。 好，接着呢，继续。他说，哎，来个平行，平行就倒角，这是六十，这是一百二，所以这也是一百二。然后又来个终点，看到终点就想到八中斜三 啊，在这里呢，这个终点咱也不知道用啥工具，那就放这看结论来，第一个结论，哎，脚等，你看，这就是赤裸裸的在提醒你， 同学们，暂停两秒钟啊，这个脚等再提醒全等，哎，旁边还有绿边，铁定全等，所以下一问呢，你，如果你没有思路，或者如果你想速度快，你千万别忘了找主页太阳星造全等，因为北京中考及压轴就考全等， 所以造全等是没有错的。好，然后呢，造全等的时候别忘了你的结论，结论是啥呢？是 a f 和 bc 的 关系，他说的是判断啊，所以先写出来结论，二倍的 a f 等于 bc， 这就给一分了， 然后并证明。怎么证呢？这命题老师提醒的太明显了，我就从上文的提醒出发，给标角等边等，提醒全等我就找主角三角形找全等，主角三角形就是含结论边和工具边的三角形，或者是钱多的三角形。 来，我们看结论边就是要求的 bc 和 af， 工具边就是这两个相等的边， 然后这还有特意提醒的角，所以显然三角形 abc 它就可以做主角三角形，对吧？它价值三毛钱呢，对吧？这个工具边当一毛钱， 这个叉角当一毛钱，这 bc 结论边当一毛钱，三毛钱。哎，那我们把它当主角三角形。接下来就是照猫画猫，做它的全等， 说白了就是模仿他去造全等。咱们照猫画猫，给大家讲了三步，对吧？第一步，看猫啊，不是，第一步，找猫找着了，找到之后看他，看他有什么边，什么角，和谁相等，哎，这有绿边，这也有，这有叉角，这也有，这有个 bc， 这没有，那我就延长 a e 到点 q， 使 a q 等于 bc， 这样的话，只要我们连接一下，哎， d q 是 不是直接就出全等了？朋友们， 对吧？我们直接就可以出来三角形 a b c 全等三角形 d a q， 哎，边角边的全等。好，全等之后马上倒角倒边，这个六十度，赶紧倒过来，哎，这个 a c 赶紧倒过来，等于它， 然后同学们，别忘看到六十度到这儿，你想到啥了，对吧？哎，等边呀，因为这个也是六十度，所以这是一个等边三角形，那就是这个 e d 等于这个 q， d 还等于 e， q 还等于这个边。 好，然后也别忘了，结论，始终围绕结论转。哎，现在我要证明 a f 的 二倍等于 bc， 也就是等于 a q， 那 就是证明 f 是 a q 的 终点，大家看出来了没？ 是不是已经出来了？哎， f 是 a q 的 出点，终点已经出来了，对吧？因为条件说 f 是 c e 的 终点 就是这两边相等，现在 a c 又等于 q， d 又等于 eq， 也就是这两个边也相等了，所以 f 就是 a q 的 中点，那二倍的 a f 就是 a q， 而 a q 咱们做的就是 bc， 所以 就搞定了。 好，那同样的方法呢？咱们再来。哎，我们呢，因为上一问提醒的角等是这个角等，边等是这个边等，所以咱们找主角三角形，还可以找这个三角形， 因为他也是价值两毛钱，对吧？一个一个边，一个角，价值两毛钱的三角形啊，好，把他当主角三角形造全能怎么做呢？来，我们观察，成边等于成边，叉角等于叉角，这边有一个 a e， 所以 咱们在哪来个 a e， 对吧？咱们在叉这个地方也来个 a e 嘛，我们就做一个 b h 啊，在 b c 上截取 b h 等于 a e， 好， 这个时候只要我们连接一下 a h， 大家看是不是就造出来全等了。 哎，边角边的全等全等式工具，工具，马上倒角倒边，我们就可以得到这个一百二，就等于这个， 这个 e d 呢？等于这个。哎，然后注意别忘了啊，这个六十得标条件给的 a c b 是 六十也要标，这样的话就发现这是一个等边三角形，所以 a h 和 a c 和 c h 都是相等的，是不是？ 好，那接下来我们的目的就是要证 b c 等于二倍的 a f， 那 这个看不出来，它不像，这个直接能看出来是吧？ f 是 c e 终点，然后 a c 等于 e q， 他这个看不出来，怎么办呢？当我们导边或者导角不好导的时候，我们就设字母，所以我们可以设个字母，哎，我们设谁呢？先从小的开始设啊，这样好算。比如说这个我们就设 x， 因为 f 是 c e， 终点设它是 x， 这个不知道就设个 y， 那这也是 y， 这也是 y， 然后 b h 我 们做的它等于 a e， a e 就是 一个 y， 再加两个 x， 所以 这是两个 x， 加个 y， 好， 此时 bc 就是 b h 加上 h， c 就是 两个 x， 加个 y， 再加个 y， 就 两个 x， 加 y， 对 不对？ 而 af 呢，等于 ac 加 cf， 也就是 y 和 x， 所以 b c 就是 两个 af 了。 好，那这个题目我们总结一下提速技术啊，就是只要你看到上一问，特意提醒你边等角等了，那么你就一定要去想到它在提醒你全等，这个时候你只要找到主角三角形，然后照猫画猫，就可以画出来全等了。 那关于照猫画猫呢？我们在几何压轴的专题课上啊，咱们的第四讲就会讲到，如果想学习这个方法的话，可以找彩虹老师来专门学习几何压轴的系列专项课程。
30:15查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师。那么最后呢，我们给同学们再来解析一下今天下午刚刚结束的东城区初三一模的新定义压轴题。先下一个结论啊，这道题目呢，同样是一个点类的新定义，核心呢还是我们说的 老的话题，就是你能不能搞定所有的点在哪里？当然，这道题目我觉得还是比较有意思的，就是他绝对难度不算特别大，但是呢，特别考察同学们细心细致啊，而且其实最后一问反而不是 最困难的，或者说最后一问，我们一开始就能够给题目的解完了。来，我们先来看一下这个题目的定义，非常的简单啊，他说圆啊 o， 它的弦 a， b 和一个点 c， 给出如下的定义，第一，三角形必须是锐角三角形， 当然三个角都必须小于九十度啊，并且有一条 c a， c， b 是 切线啊，只有一条是切线，那么我们就称点 c 呢，是它的锐切点好了啊， 这个经常做出来新定义的同学们都知道是吧，你又是什么点类的新定义？所以还是在问同学们，任意一条弦给你了，那么它的锐切点在哪呢？ 那你还得想清楚这个问题是吧，所有的锐切点在哪啊？好，咱们呢，又得作图了， 好，那么注意啊，我们都没有看下面的问题啊，是不是不不管他啊，爱谁谁啊，你不用，你不用在意这个问题是什么，你就想我随便给你一条弦，你能不能画出他的锐切点？ 那么锐切点的要求两个大的部分，第一，每个角必须是锐角啊，三角形啊，那么第二，只有一条线是切线啊，当然大家其实也很容易联想到圆当中应该是一个什么对称图形，对吧？ 好，所以呢，我在这呢来，同学们可以拿出自己的直尺圆规两角器，咱们手动做图啊，把这图做出来，这道题目就很好解了。 好，我在这呢给同学们呢啊，直接用一个图来演示一下啊，当然大家看的呢，眼花缭乱的是吧，特繁琐啊， 注意随便画一个圆绿色的圆圆 o， 随便画一条，选 a b。 看好了，随便画的啊，我也不知道他多少，反正就随意啊，随意随意啊，随便画一条，选 a b。 好，那么我们知道他说了， a c 就是 这个点， c 啊，这个弦切点呐，啊，这个锐切点呐，这个 c 点满足什么要求呢？ 首先，他可能他必须要满足有一条线， c a、 c b 是 切线。好，那我们干脆先做出 o a 的 这个垂线，那么这条线就应该是 o a 的 切线，当然了， 你也有可能 c b 是 切线，对吧？所以你过 o b 点做 o b 的 啊，做 o b 的 这个切线，那就是垂线。 好，所以你会知道，所有的锐切点应该是在两条切线上面的，当然，这只是初步的啊，不是严格的初步的 所有的切线啊，那个锐切点应该是在两条切线上面的，就是对于任意的情况啊，所以同学们动手作图啊，来，咱们跟着一起做。好， 现在你知道了，所有的切锐切点应该在这两条呃，切线上，但是是都满足要求吗？并不是他要满足 c a b 啊，必须是锐角三角形。好，那我们选定一条线，比如说以这一条线为例， 垂直于 o a 的 为例。好，那么同学们也知道，如果我要保证 c、 a、 b 是 锐角的话，必须要满足三个条件，第一，满足角 c、 a、 b 小 于九十度。 第二，满足角 c、 b 小 于九十度。第三，满足角 a、 c、 b 小 于九十度。好，那我问同学们，你要是满足 c、 a、 b 小 于九十度，你怎么做 好？那你是不是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线，这条线，那么假定交另外一条线与点，呃，就是这个垂直的线与点 d 啊，就是你要满足这一条线， 因为这条线呢，跟 ab 形成的角呢，刚好是满足 c， 如果点 c 在 这个上面啊， c、 a、 b 要小于九十等于九十度，对吧？但是不能等啊， 好，你要保证 c、 b、 a 是 九十度，你怎么画好？当然同样道理，就是过点 b 做 ab 的 垂线，对吧？过点 b 做 ab 的 垂线，再来，这条线上所有的点呢？满足 c、 b、 a 是 九十度，当然不能取到九十啊，要小于九十。 好，那么然后呢，你要保证 a、 c、 b 小 于九十度怎么办啊？就是以 a、 b 为直径画一个圆，圆上所有的点都可以保证啊，这个 a、 c、 b 等于九十度，对吧？圆上任意的点都可以保证 a、 c、 b 等于九十度。好，那么就是圆周角嘛，等于九十度， 好，现在我要满足的是，呃，这个角，呃，这个 c、 a、 b 啊， c、 b、 a、 a、 c、 b 全都小于九十度。那么你看一下，我们刚刚呢，通过做垂线，做垂线，做一个 ab 为直径的圆，与我们初使的两条切线 啊，这两条虚线切线，那么就形成了一个共同的区域，同学们看得出来吧，是吧，你看，我要保证都要为九十度哦，小于九十度哦，所以 ab 为直径做了一个圆， 那么过 a 做 ab 的 垂线，过 b 做 ab 的 垂线， ok， 全都搞定了，那么这个时候同学们会发现，所有的也就都出来了，对吧？ 啊，因为你要保证所有的点还要在两条这个线上面吗？对吧？好了，那你想一下，看看他既要满足，呃，在这一条线的什么？就是在这一条线就是 ab 垂线的过，以 a 为直角顶点他的内部。因为这样一来的话呢， 因为你会发现他九十度吗？对吧？所以，呃，你要保证小于九十度，你，你做的这个是九十度，那么你要小于九十度，应该在这条虚线就是点 d 的 啊，往下走，往下移，对吧？你比方说啊，这个点在这个位置啊，呃，假定啊，这个就叫点 c 吧。好吧，我们把它标一下，这个就点 c， 所以 同学们看一下，所有的点 c 必须要在两条虚线，这两条虚线呢，就是指切线上，当然一条就可以了啊。第二呢， 我们刚刚讲，如果你在点 d 位置的时候呢，刚好满足 c， a、 b 等于九十度，如果你越过它，这个时候 c， a、 b 大 于九十度了啊，不满足，所以你必须在 d 点的下方。 好，当然，如你能够跑到 e 点的下方来吗？ c 点能跑到 e 点下方吗？也不可以。为什么呢？因为如果你再跑到 e 点下方， a、 c、 b 就 大于九十度了，也不满足，因为 a、 e、 b 等于九十度，所以你会发现，哎，点 c 就 应该在 d、 e 这个线段上面 啊， d， e 这个线段上。再强调一下， d 点是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线与点 b 为切点啊，形成的切线的焦点， 那么当然这个点 e 是 什么？就是以 ab 为圆心做了圆啊， ab 为直径做了圆，是吧？与切线的焦点，当然另外一侧呢，逻辑呢，其实是一样的。 所以同学们，看你通过准确作图，我说了，虽然我在这用工具了，我在这用工具主要就是为了方便同学们直观去看， 但是同学们其实要知道，你在考场上是可以相对准确的。严格作图的。圆规有吧， 两角器有吧？那么，呃，这个直尺有吧，铅笔有吧，你就都肯定能够做出来，因为你随便做一条弦， 你做切线，你会做吧，做垂线，你做切线会做吧，做垂线。第二，你要保证三角都小于九十度，照到零界九十度，你会做吧，直角顶点做垂线，直角顶点做垂线，以它为直径做一个圆。 好，你要满足所有的锐切点，要在两条虚线上，同时还要满足小于九十度，那么这个形成的焦点的区域就是这两条紫色的线，一个是 d e， 一个是 f g， 当然，注意，端点不能取点 d， 点 e， 点 f 和点 g 都不能取。 当然，事实上，同学们也能发现，就是任意一条弦，它所产生的这个锐切点，应该是两段不包含端点的线段。我再重复一下， 所有的锐切点是两段不包含端点的线段，当然了，这两段线段长度肯定 一样，是吧，那肯定一样好。那么因此，如果同学们能 get 到这个点，那这道题目我们先来说最简单的啊，第三问，有时候老师啊，是不是说错了，对不对？没说错啊， 我把这个问题给大家解释完了之后，第三问，反而是相对比较简单的，同学们看，他说，如果 t 是 t， 零圆， o 经过点 t， 就是 以一个， 咱们刚刚讲了，对吧？就是以 o 为圆心， t 为半径画一个圆，那么他说存在一条长为二倍根号七的线段，使得线段上任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦。切点好了，就得问同学们了， 请问长度为 t 的 弦，那有无数个？对，咱们先画一个， 是吧？我随便画一个，长度为 t， 注意半径也为 t， 也就是说它其实是个什么三角形，等边三角形，就假定这个叫 a， 这叫 b， 这是一个任意的长度为 t， 这个是 t， 这个也是 t， 这个也是 t， 长度为 t 的 任意的啊。我画了一个 ab 的 弦，长啊，长度就为 t。 好， 那我们刚刚讲了，所有的锐切点在哪里？在两条没有端点的线段上，那线段还会画的吧， 是吧？会画吧。哦，以他做切线，以他做切线，然后，呃，垂直于 ab 啊，垂直于他，以他为直径，画圆，一定形成一个点，两个点，三个点，四个点，这一段跟这一段 对吧？这段跟这一段，两段不含端点的线段。但是注意了，这道题目说的是长度为 t 的 线，那你也知道，长度为 t 的 线就等价于将 ab 进行什么旋转 好，那么也就意味着我们刚刚所产生的两条长度为啊，这个没有端点的线段怎么样啊？进行旋转，当然线段长是一样的啊，线段长是一样的 好，所以我们是不是能够找出长为 t 的 弦的所有的锐切点，应该是一个不包含边界的圆环。好，我们再重复一下，应该是一个不包含边界的圆环，这个能想得通吧， 是吧？因为你有两个两段线段吗？是吧？所有的锐切点，因为我只是划出了一条长度为 t 的 弦，但是长度为 t 的 弦有无数个，也就是说等价于。假如说 a 跟 d， a 跟 b 的 长度是定的，等价于将 ab 旋转吗？你没有一个 ab 的 位置，就会产生一段，对不对？一段锐切点，两段锐切点啊，那么你转一圈呢，它就是圆环。好了，所以 同学们来看，我们在这所有的锐切点在哪里呢？就是以 o 为圆心哦， o e 的 长为半径，画一个圆。好，这个圆我就假定把颜色标成一个紫色的哈， 那么再以 o 为圆，哎呀，再以 o 为圆心，呃，这个 d 为半径，再来画一个圆，好，所以我们说所有的长度，我假定稍微差多一点啊，就是所有的这个衔接点在哪里呢？就是在这两个圆环上， 哎，问你，两个圆环，两个圆之间形成的圆环的区域，当然不包含边界啊，我们再讲一下，不包含边界啊，因为在这里面他是，嗯，这个端点不满足，对吧？因为端点是九十度啊， 好，不满足。当然，这道题目我们刚刚讲了， o a 是 t， o b 是 t， ab 是 t， 那 么所有的都是 t， 那这个角多少度啊？六十度，六十度，六十度。所以你想一下，看看我们所有的弦切点，是不是啊？锐切点是不是就找出来了？在这个圆环，那你就要想清楚，这个圆环呢，内径跟半径是多少，外径是多少呢？也就说 o e 多长啊。 哎呦，我说 o e 不知道多长啊，你别忘了啊，这里有老多的直角跟特殊角了，看一下，因为你这个点， e 就是 在什么垂直于 o b 的 这条线上啊，因为我说了，对称的长度也一样随便啊， o b 的 长是 t， 那 么 b e 的 长是多少？注意， ab 的 长也是 t， 然后呢，你别忘了这个角，哎呦，呃，这个，这个角 啊，也是，对吧？好，我把它描一下啊，哪个角的？ aeb， 这个角他也是九十度啊，而且这个六十度， aeb 呢？三十度，所以 ae 如果是 t， aeb 是 三十度，那 ae 呢？二分之一个 t， b e 呢？啊，就 b 点跟 e 点呢？二分之根号三个 t， 那 么 ae 是 t， d e 呢？同样的道理，就是二分之一个 t， 再除以根号三，对吧？六分之根号三个 t， 所以 注意 a， d， b 加 e 就是 一个非常典型的啊，这个特殊角的垂直模型，看得出来吧，是吧？啊，每个角有三十度角，有六十度角，并且 a b 长是 t， 所以 你就能够算得出来啊。 d， e 是 六分之，根号三个 t， 那么 b， e 是 三分之，呃，这个，呃， t 二分之根号三个 t， 对 吧？这个是六分之 d， e 是 六分之根号三个 t， b e 是 二分之根号三个 t， 当然加起来这个 b d 嘛，就是三分之二个三分之二倍根号三个 t， 因为 a、 d 的 长就是三分之 啊，根号三个 t， 对 吧？好，但是我要的是内径啊，内径就是谁啊？ o e 好， 记牢了吗？ o b 是 t， b， e 是 二分之，根号三个 t。 好，所以 o e 的 长也就出来了，那么然后呢？ o d 的 长有没有啊？那当然也就有了，是吧，你这个长吧， o b 是 t， 然后 b d 呢？是三分之二，被根号三个 t， 所以 o d 的 长也就有了。 好，我们在这呢，先不着急啊，我们先给同学们把这个画一下啊，就是在最后这一问当中，咱们给他画一画啊， 最终所有的在哪里呢？在一个圆环上，当然我说了，这个应该是虚线啊，不能包含这个边界，所以所有的锐切点是在以 o 为圆心。 那好，呃，一段长，这一段长是多少呢？刚刚已经说了，是吧？就是，呃， t 根二分之根号三个 t， 我 算一下内径啊，就是根号下 t 方加上四分之三个 t 方， 就是二分之根号七个 t 了，对吧？二分之根号七个 t， 对， 那么外径大耳呢？应该就是根号下 t 方加上三分之二倍根号三，就是九分之呃，十二三分之四个 t 方 啊，然后呢？等于三分之七，呃，看一下三啊，三分之二倍根号三，是九分之四乘三，对吧？三分之四个题房，对着啊，所以他就是三分之七个题房，那就是三分之七根号二十一个题， 是吧？这个咱们刚刚已经说过了啊，所以同学们可以算一下。好，现在呢，我们知道，呃，就是所有的锐切点应该是圆环啊，这个内部啊，当然不含边界啊， 但他说现在这条线段上面的任意一点都是锐切点，就是你要把这条线段怎么样啊？直接给他放进去就行了，对不对？当然我们知道 你这个 t 越大，也就是说这个半径越大，这个小儿大儿也就跟着越大，所以这个圆环越大，你肯定能够放进二倍根号七， 对不对？你肯定能放进去。现在最核心的就是什么？极限，极限就这个 t 不 能特别小，他肯定要特别大。那极限？极限是什么？极限直线就是刚好把这条线段怎么样啊？能塞进去，同学们可以想一下，你塞一条线段进去，你怎么塞？是最长的呀？在两个圆环之间， 毫无疑问只有长成。什么情形？就是跟内圆相切， 对吧？跟内圆相切，因为如果你一旦越过这个位置，同学们可以想象一下看看。如果你一旦越过这个位置，他摆放的长度其实就不够了，你，你把它稍微偏一点点。同学们想一下，偏一点点， 那这个时候假定我们这个 t 是 特最小的情形啊，你偏一点点，这个线段就怎么样啊？跑出去了是吧？端点跑出去了，那肯定不行啊。 好，所以只要满足这种临界情形啊。当然这种临界情形呢，我们也说了是吧，这段就是根号七，当然这个临界情形肯定不能取啊， 因为临界是指线段的端点刚好在圆上了，但是我们说这个圆是不满足要求的啊。好，所以最终呢，你找出这个临界值就成了啊。所以他就是大儿方减去小儿方等于根号七的平方，也就是， 呃，三分之七个 t 方减去四分之七个 t 方，十二分之七个 t 方，十二分之七个 t 方等于七啊，所以 t 的 零界值应该等于十二，呃， t 方十二，二倍根三。所以呢，只要保证这个 t 大 于二倍根三就行了。那当然，这就是最后这一问的答案 啊， t 的 大于二倍。刚才，好，我们再次跟大家捋一下啊，这道题目如何解出来的？它的核心逻辑是，我们首先做出任意长度为 t 的 这个弦的锐切点。 那么在最后一问当中，因为我们知道长度为呃，任意一种固定情形下，它能够产生两个没有端点的线段，那么如果长度为 t 的 弦的所有的锐切点就应该是个圆环， 那么好，你要保证二倍根号七的这个线段上任意一点都是它的锐切点，那么你就只要保证把这条线段能够塞到这个圆环里面去，那么当然最极限的情形就是我们所画的情形，对吧？当然同学们可以做一些尝试。 好，那么这个时候呢，你就能够算出 t 的 零界值二倍根三，但注意一下，因为在这里面圆环边界都不能取啊，所以它一定要严格大于二倍根三。好，所以这个呢，相对我们就可以把它处理完了，当然这个处理完了，我想第一题的第一小问，不用多说了吧， 是吧？你怎么做？会做吧？哦，做过 a 做他的垂线，过 b 做他的垂线，然后以 ab 为直径啊，做这个垂线，做这个垂线， ab 为直径的焦点就在这，所以这一段跟这一段 都是满足的啊，就是用相同的方法，所以这个我就不多讲了， c 二 c 三都是满足要求的啊，你就跟刚刚做法一样啊。那么最后这个呢，我们要稍微多说一下，就是第一问的第二小问。第二小问呢，实际上的逻辑是一样，就是说他给定了点 c 是 一个锐切点， 那么同学们注意，因为圆他本身是个对称图形， oc 等于二，同学们都知道，就是以 o 为圆心，然后呢，二为半径的一个圆，对吧？就是这个 c 点呢，应该在以 o 为圆心，二为半径的一个圆上。 好，但是呢，现在呢，相当于给定了 c， ab 呢，不知道，但他求的是 ab 的 弦长， 这个时候呢，大家一定要注意，因为 c 其实是在整个圆上，而圆是对称的，而 ab 呢，也是在整个圆上，圆也是一个对称图形。所以在这里面呢，我们干脆就是前面说的那个方法，叫做以静，呃，以动为静是吧？ 就是你既然 ab 只是考虑弦长，我就令 a 是 定的，只让 b 来动，这样不就让 ab 的 长度发生变化了吗？ 对吧？当然，你说我说我让 b 定 a 动呢，也一样啊，因为你只是考虑 ab 的 长度，对吧？而且这个时候我们通过呃最后一问的解释呢，大家也明白，就是它所有的锐切点应该是两段没有端点的这个线段，但是呢， 我们其实只要考虑一段就行了，因为它本身长度也一样，是吧？好，所以在这里面，我们就假定 a 是 定的，那 b 呢在动， 所以 c 呢，这个时候呢，也是确定的。好，我们只需要明确，假如说我们就令啊，比方说 c， a 啊是切线， c b 呢，那当然就不是切线，对吧？或者是啊， c b 是 切线， c a 就 不是切线，因为它本身是个对称图形，所以你只需要确认啊，一种 啊特殊的临界情形就好了啊。当然，这道题目最核心的点是什么呢？其实就是确保角度呢，都是小于九十度的啊。好，所以我在这呢也给同学们呢，把这个稍微看一下啊，大家感受一下啊。 好，大家看，我在这假定是令， a 是 定的啊， b 就是 动的，是吧？当然， c 呢， c 是 在这个以 o 为圆，心二为半径的圆上。 好，注意，我就令 b， c 是 切线就是 c， b 是 切线，当然 c a 呢？它就啊不一定是切线，对吧？就是我令 c， b 是 切线。我说了，你让谁定其实不重要啊。好，还是那个逻辑，现在的要求就是， 其实你只需要去确保，或者说你只需要去判断。当 ab 这条就是假定 a 点是定点啊， 就是 ab 这个长度发生变化的时候呢？这个，因为你 ab 有 a 是 定的，只要 b 确定一个位置，这个时候是个单动态问题啊，因为你 b 确定， c 就 确定，能理解吧？ b 确定， c 就 确定， 呃，就相当于是 b 确定 ab 的 长，确定此时点 c 的 位置也唯一确定啊。也就是说，此时的点 c， 它其实只取决于点 b 的 位置， 而点 b 的 位置又决定了弦 a b 的 长。所以大家呢，就可以找一些临界情形来看，对吧？而且你也能想得出来最极限应该是什么， 最极限的肯定就是什么九十度角的情形。因为我们前面已经解释过了，你其实难点不是相切，难点是什么？难点是九十度是吧？你得把这个九十度明确好了。好，所以同学们可以想象一下看看。当 b 特别靠近 a 的 时候，大家一想就知道他肯定不成立。 为什么呢？ b 靠特别靠近 a 就是 弦特别短，而 ac 的 长度呢，也相对是比较短的。但注意， bc 是 固定值， bc 等于多少？根号三， 这一点非常重要。 bc 是 个固定值根号三，为什么？同学们看啊？因为我是默认，或者说我是假设令 bc 为切线。我说了，令谁为切线不重要啊，就是假定我们就是 bc 为切线， 那么 bc 为缺线，同学们注意， ob 的 长是多少一， o c 的 长是多少？ o c 的 长是二 啊， o c 的 长是二，那么 bc 的 长呢？根号三？也就是说，在我们这种定的情况下，你会发现 bc 的 长不管你怎么变，它都是根号三， 都是根号三。并且我令 b c 为切线，同学们如果知道圆当中的结论的话，就知道弦切角等于弦所对的圆心角的一半，所以同学们也会发现我在这做了一个角，所以呢，就是 取弦的中点 d 啊，弦的中点 d， 那 么 b o d 这个角跟 abc 这个角一定是什么相等的啊，理由也很简单，对吧？因为垂径定律嘛，这个 d o b 加上角 obd 等于九十度啊，这边切线呢，相加也九十，也就是说 a b c 这个角跟 b o d 这个角相等啊，这个有很大作用啊， 因为后面你要算临界值，临界值是什么？就你要保证 a b c 每个角都是小于九十度的。当然同学们也知道，就是如果 ab 特别靠近 a 的 时候，大家能感受的出来，对吧？你自己画图也知道，就是 ab 特短 啊， ac 的 长度呢？反正因为你 b 特别靠近 a 的 时候呢，其实这个 ac 的 长度呢，也不会特别的长，而你 bc 的 长是定的，也就是说此时 bc 相当于最长边。好家伙，那如果你 ab 特别短，那不就保证 bc 是 钝角了吗？所以第一临界情形，你一定能够找得到在哪里， 就是在这种情形，哎呦，当时我就随手画一个这种情形下，也就是说 a c， 呃，当 b 点离 a 点有一段距离的时候，稍微远一点的时候，此时产生一个直角，这个时候呢，肯定是要满足要求的，对吧？肯定满足要求 好，那么当然同学们可以算一下，这个时候用什么来算？相似就行了啊，相似就行了，你看 b、 o、 d 这个直角三角形跟 b、 a、 c 这个直角三角形，怎么知道相似，对吧？相似。假如 b、 d 设为 x， 那么 o、 b 就是 一，那么 a、 c 呢？跟 b、 c 呢？ b、 c 是 根号三，所以 b、 c 比上 o、 b 是 根号三倍，所以 a、 c 比上 b、 d 也是根号三倍。如果你设 b、 d 为 x， a、 c 就是 根号三个 x， 那么 ab 就是 两个 x， 所以 根号三个 x， 两个 x， 呃， b、 c 的 长是根号三，能够算得出来，对吧？能够算得出来啊，所以也就是根号三个 x， 我 就把这个极限情形先算一下吧。好吧，把这个极限情形算一下， 也就是确保根号三个 x 的 平方加上两个 x 的 平方，等于呃，根号三的平方七 x 方等于三， x 方等于七分之三， x 等于七分之，根号二十一， 七分之，根号二十一。当然 ab 的 长肯定就呃大于七分之二倍，根号二十一，对吧，因为它是二 x ab 的 长，是吧？那么注意这个零件情况，那肯定是不能取的，是吧？肯定不能取啊，因为零件情况是九十度啊，九十度。 那么肯定呢？ a、 b 呢？最长最长，最长是什么呢？你 a、 b。 可以， 我们刚刚讲，如果 a、 b 特别短的时候，大家直观做一下图，会发现它肯定会产生钝角，这个时候不满足，对不对？所以你要保证 a、 b 呢稍微长一点，当你 a、 b 最长最长最长最长到几啊？到二 啊，到二，你会发现到二的时候呢，又特别巧，又特别巧，为啥？因为此时刚好就是直角三角形 啊，因为你 ab 最大，最大就是二嘛，对吧？当然到二的时候，刚好就直角，也就是说小于二的时候呢，那肯定就是锐角了，对不对？就是锐角了，当然同学们有人说，我说，那这个 a c b 呢？其实 a c b， 同学们观察一下啊，在我们如图的这个 啊长度情况下呢，大家可以去感知一下，或者说去做一下看看，它肯定是一个锐角啊，好，所以你会发现它最长最长就是 a b 取了二， a b 取了二的时候呢，大家找出这个极限情形，你会发现它呢？还是多少呢？还是这个，呃，这个，这个 啊，临界情形啊，当然这个临界情形呢，很好算，对吧？嗯，就是二，那么等于二的时候呢，大家注意一下，就是这个长度呢， o c 等于二，所以 bc 等于多少呢？根号三是吧？ bc 就 等于根号三 啊，好，然后这个 a c 的 长呢，也有了，是吧？此刚好就怎么样呢？是一个直角三角形啊，因为它本身就是直角嘛，对吧？本身就是直角啊， 好，所以，呃，另外一种极限情形呢，肯定就是二，当然能不能取到二呢？那肯定是不能取到二啊，肯定是不能取到二，所以在这里面呢，就是他要小于二啊，他小于二， 好，所以我们在这呢啊，还是给大家把这个呃图呢，给大家去看一下，大家感受一下啊，就是刚刚已经找了一个极限情形，就是九十度，对吧？就是 ab， 因为你假定 b 点是动的， a 是 定的啊，第一零件嘛，就是 b i c 等于九十度啊， b i c 等于九十度， 好，然后第二零件呢，就是极限，情形呢，就是 a， b、 c 等于九十度，就在这儿啊，就在这里是吧？好，所以，呃，这是一个零件，这是一个零件，当然有人说，我说呢，有没有可能角 c 是 九十九十度啊，这个时候肯定不满足啊， 肯定不满足，为什么呢？因为你随便是以 d 为圆心，就是 ab 的 中点， d 为圆心， ab 的 长为半径，画圆你画出来都没有办法，于，呃，都是相当于在圆的内部的。这个点呢，就是前面我们作图，我们也可以跟大家解释一下，为什么啊， 你看啊， d， b 的 这个长啊， d， b 的 这个长啊，你以 d 为圆心， b 为半径，呃， d， b 为半径，你，你重新画一个圆，你无论怎么画啊，你无论怎么画， 你会发现呢，这个，呃，画出来的圆呢，与这个半径为二的圆都没有交点，也就是说 b、 c 点呢，一定是在这个圆的外侧 啊，所以呢， b、 c， a 一定是一个锐角啊，所以你只需要考虑两种极限，一种极限呢是 b， a、 c 是 九十度，一种极限呢是 abc 是 九十度， 对吧？找到这两个极限就行了，只是 b、 a、 c 是 九十度，这个地方的计算呢，同学们稍微注意一下是吧，利用啊，一组相似啊，我们也就能够算得出来了啊，好，另外一种极限呢，很好理解是吧？二，很好理解啊， ok， 好， 所以这个问题呢，我们最终呢也就给大家解析完了啊，最终的答案呢，就是七分之二倍根号二十一到二之间啊，最后呢是大于二倍根号三。 所以这道题目我觉得还是比较有意思啊，就是说他其实，嗯在整个分析的过程当中还是有自己的这个特点存在的，虽然是一个点类的这个逻辑啊，同学们还是要仔细的去体会一下啊。好，所以这道题目呢，就给大家解析到这里啊。
23栗子老师教数学
03:45查看AI文稿AI文稿东城初三这次一模，可以说从头到尾的所有试题都是为了给孩子们的中考增加信心的啊，因为试题的难度真的不高。然后我们拿原宗来去说，原宗这道题拿满分的应该不下少数，几乎可以说是百分之七十以上的同学，你都应该能够拿到满分才对的。为什么说百分之七十？因为总有些同学会在某一些细节点上出问题啊。好， 那因为他难度不难，所以今天这个视频可以把他当做一个教学视频来去说。通过这个题目，我可以教大家一下，对于原宗的题目，我们该如何去进行？ 角含金量比较高啊，还认真听他说。如图，点 c， 在 以 a b 为直径的圆上弧 a c 等于弧 bc， 当你看到弧等的时候，你就必须要立刻反应出来，它所对应的角也是相等的，无论是圆周角还是圆心角，所以我们会发现弧 a c 和弧 bc， 它们两个如果相等，那么点 c 就是 中点。 所以我们可以知道，当我连上 oc 之后， aoc 就 等于 boc， 而 ab 是 直径，所以 aoc 等于 boc 等于九十，所以根据这一个条件得来的啊。那接下来他又告诉我过点 c 做了一个切线，那如果是切线的话，辅助线就更简单了，对不对？连 oc， 连上 oc 之后， ocf， 这就是九十。刚刚我们分析过， oc 是 九十，而 ocf 也是九十，所以它们平行。第一步结束 来看第二问啊，第二问的话，他告诉我们说，若 e f 等于八散， e 等于五分之三，求 c g 的 长。这个时候我没有先去进行计算，那我做什么？我来去倒角了，为什么这样说？ 因为第一问，我挣出来了，他们平行，一旦挣出来了平行就会有很多个条件，也有很多个结论。所以接下来我用这个空白的图来，手把手带你来做一下刚刚我们说的辅线是不是这样的？ ok， 这是九十。好，接下来我开始标角了啊，因为 ab 和 e、 f 平行，所以角 f 等于角， d， o 角 d， o、 a 等于角 e 同时有对顶角，这相等 啊，然后接下来还干嘛呢？哎，这个时候他又告诉我，让我去做什么？连上 bc， 那 我就把 bc 连上好，连完 bc 之后，接下来我们又可以知道，因为我们的 o b 等于 oc， 所以 那是不是这个里面就会有个等腰值，然后这就是四十五度，这也是四十五度，而我们又可以知道 oc、 e 是 九十， 四十五被分开之后，这也就是四十五。好，那现在我把我所有能标的角都先标上了，标完了角之后，那接下来我又可以去找他对应的边等，比如说 o a 这条边是半径等于 o， d 等于 o， b 等于 o c， 这是四条边，是相等的。除此之外，我们能找到的两个相似三角形， d、 a、 o 和 d、 f、 e 是 相似的，这两个三角形相似。而同时又根据倒角，我们又可以找到一个 o、 g、 b 和我们的三角形 eg、 c， 这两个三角形也是相似的，为什么他们是相似？我们刚刚把所有的角都标完，是不是答案就出来了？ 那这个时候，其实你看我这辅助线，还有整个我的思路，包括我的相似三角形就全有了。那有了之后，接下来我就只需要按照他给我的三 e 等于五分之三 题目当中标对应的线段长就好了。所以这是三 x， 这是三 x， 这是三 x， 这是三 x， 这是五 x， 那 这个四 x 有 没有用呢？其实没什么大用，我们先放在这， 那这个时候我们又根据相似知道，这是三 x， 这是八 x， 这也就是三 x， 这也就是八 x， 而 e f 本身就等于八，所以八 x 等于八 x 等于一，这个就是一分拿到手。好，然后接下来那如果这个一出来了，是不是就都出来了？半径是三三三三对吧？好， o e 的 长等于五，然后因为 o g 和 g e 他们又是相似的对应线段，那他们的比值应该是三比四，找到对应的这样一个三比四的关系啊。好，那如果是三比四的话，那 o g 和 g e 的 长也就有。同时因为 o c、 o b 等于三， 三倍根号二就是 bc， 那 这个时候 g 点分开之后， b g 比 c g 也应该是三比四，所以就可以得知 c g 的 长，最后求出来是七分之十二倍，根号二。 所以呢，这道题目你会发现它难度系数并不高。而我为什么要去讲这道题？其实第一个确实是，呃，想给大家去说一说关于原宗的一些思想，第二个就把它当做一个教学视频来，去教一教大家怎么去进行倒角。也就是说你在做原宗题目的时候，你先别想别的，先把所有能标的角都先标出来，标完之后其实就有结论了，比如说相似， ok 吧？好，那我们今天就先说到这，拜拜。
83绝对值老师
08:27查看AI文稿AI文稿刚考完的东城区一模，可能是由于前面的题比较简单，所以新定义的难度比较大，从第二小问开始就明显加大了难度。我接下来将会用超清晰的图形分析方法给大家把这个题梳理一遍，并且在过程中给大家讲两个非常重要的考试技巧。读完整个题干之后，定义本身并不难理解，核心就是那个 锐角三角形。第一小问也指向了这个锐角的问题，我们排除 c 一 就是因为它形成的直角。到了第二小问题目中给了明确的 o c 长为二， 让我们去求弦 a b 的 曲值范围。我一再强调，当我们遇到较难的题的时候，这个图形的大小很关键，本题就应该把图画大一点，否则接下来你会发现你很难在图中很清楚的去分析。第二个很关键的点就是要对对称性有充分的理解，我们找到一个满足提议的形态， 就是我图中画的这个 abc。 接下来我讲的对称性，结合这个点来看，就是 a c 和 b c 关于整个 o c 是 对称的，所以我如果能够通过单独的左边的 a c 就 能够分析清楚本题， 那我就没必要两侧都去分析。这是第一个对称性，也是我们比较熟悉的轴对称，第二个对称叫做中心对称，你可以想象一下，整个点 c 可以 绕着外面那个大圆旋转，是不是？如果我现在的这个状态是符合 t 的， 假设 c 点落在这个位置，形成了一个对称感的，这个图形还是符合 t 的， 也就说 c 点落在什么位置都不影响 ab 长度的取值。那我满足了以上来说的两种对称，我就会把这个问题给它简化成什么呢？分析这样的一种特殊情况， 一个点 c 刚好落在零二这个位置，然后找到其中的一个切点，去想 b 点在跑的过程中，什么情况下是符合题的，什么情况下是不符合题的？找那个临界值好了。有了这样的一个分析方法，我们就会找到第一个临界值， ab 一 刚好不符合题，如果 b 点再往上跑一点点，他就符合题了。此时连接 a、 b、 c 所形成三角形就是锐角三角形，所以 a、 b、 e 是 一个零件，且不可取。 那我们继续让这个线往上跑，跑到这个位置依然符合题一，还是锐角三角形。继续走，大概到这个位置，依然是满足题一的，此时会形成一个新的直角，它就是刚好不满足锐角三角形的概念了。所以我又找到了 a、 b 二这样的一个临界位置，因此 a、 b 的 长度就在 a b 一 和 a b 二之间， a b 一 好办，一定是二，可是 a b 二怎么求呢？哎，它就变成了一道几何题。这个几何题我们简单梳理，就变成如图所示的这个状态了。并且我们根据 c 点的坐标零二，且题中给的这个半径是一，可知这个直角三角形， 它是一个一比二比根号三的一个直角三角形，这是根号三，这条线是二，我要求的是什么呢？是 a、 b 二的长， 它就变成了一道几何题。如果考试中啊，我强烈建议大家把这道题拿出来，但这个前提是你稍作计算，发现它确实不好求解。那怎么办呢？我就把它给拿出来，变成一个清晰的几何体，去求解它 变成这样，并且我在画图的时候，我会刻意的把它的这种对称感给它展示出来， 这是根号三，这是一，这是一，这是垂直，这是垂直。如果我们中间连这条线还可以得到这地方有个二。看到了没有？我是不是特意错了一点角度？我接下来要的目标就是要求这个 a b 摆脱原来图中比较复杂的直角坐标系呀、圆呀那些东西，变成了一个纯几何体， 你一定要把所有的条件给它列全了，然后接下来计算。这个小几何题的计算还是有一定难度的，我怎么才能够把这个 a b c 是 个直角三角形这个条件给它很好的用上呢？很关键。好， 这道题最后的解法是根据对称性找到这个中点 m 连结 o m， 在 这个直角三角形中，我可以求得 o m 的 长，经过计算， o m 的 长是根号七，那由于垂直对称，所以垂直，那我就可以去算整个四边形的面积， s a o b m， 它的面积可以等于左右这两个直角三角形的面积之和刚好是什么呢？ 根号三啊，就是左右这两支和，所以是根号三，同时这个面积还等于四边形的对角线之积除以二。因为它是一个特殊的直角三角形，所以就会得出它的面积是等于根号三。而 a b 乘以 o m， 根号七除以二，刚好等于这个根号三。所以最后算出来 ab 的 长是七分之二倍，根号二十一。综上所述， ab 的 范围就是大于七分之二倍，根号二十一小于二，这是最终答案。再来看第三小问， 第三小问，他说存在一条长为二倍根七的线段，线段上的任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦的锐切点， 直接写出 t 的 曲值范围。经过读题，我们会发现，圆的半径长就是 t， 而这个弦长呢，也是 t， 因此这条弦会和半径组成一个等边三角形。我先不去管那个二倍根七长的线段是什么回事，我先去想这个等边三角形， 这条弦它自身，它的衔接点在哪里？然后回到我们前面说到的，它具有中心对称，那我们就先去研究这个根据。我们刚刚找锐角三角形，我们可以得知啊，找到临界值，就如果 a、 b 在 这，你想让 a、 b、 c 是 一个锐角三角形，那第一个临界点就是点 c， 刚好形成直角，不符合题。第二个临界点呢，就是点 d 刚好在这个位置形成一个直角，也不符合题。因此，如果你在 c 和 d 中间选一个点 p， 你 连接 ab， 那 你会发现它一定是一个锐角三角形。 所以我们对于任意一个符合题的弦 ab， 它满足题的点一定是在这条 c、 d 线段上。 根据我们前面讲的中心对称性，我这个 a、 b 如果绕着圆 o 转一转呢？哎，如下图所示， 那就又会产生一小段符合题的线段，我们不妨给它设成 c 二、 d 二。那如果我这个 a、 b 它一直转呢？它绕着圆转一整圈呢？那其实会产生无数个这样的 c、 d， 这无数个 c、 d， 它会怎么样呢？它会铺满这样的整个圆。是不是不难理解？很多这样的符合题的 c、 d， 他会铺满整个圆，因此最终符合题意的点，他一定要落在这两圆之间，对不对？ 哎？而我们题目中不是要去找哪个点他符合题，而是说有一段二倍根号期长的线段，这个线段上的所有点都符合题，那是不是就意味着二倍根号期这么长的一条线段，他要能够完整的落在我画的这个阴影部分范围内？那如果这个二倍根号期， 它代表的这个长度啊，它比较轻松的就放到这个原理了。假如这段长刚好是二倍根号七，符不符合题呢？符合这上面的所有点， 都能够找到满足题的弦 a b 是 不是好？可是如果这个二倍根号七啊，它很长，对吧？你无法把它全部塞到我找刚刚画的那个阴影部分中，是不是就不符合题？因此我们就可以找到这个临界范围，就是它刚好能塞进去，那大体上是不是就这样 就变成这样一个临界状态？而这个临界状态很显然就是去找这个什么黄色的圆和红色的圆的直径就可以了，只要能够找到直径，利用这个直角三角形或者说半径 啊，这是小 r， 这是大 r， 两个半径一找到，就可以利用勾股定律，根据这地方是根号七去算，而这个小 r 和大 r 怎么着呢，都应该和本题要求的 t 有 关系。哎，那我们再回过头来，再具体的去看一看，它是怎么和 t 产生关系的呢？在这个图中，那个黄色圆， 它的直径就是这条线啊，根据题目的意思，这段长就是 t 啊，然后把这个 a c 的 长给它表示出来，因为这段长是 t 嘛，所以这是一个特殊的直角三角形，对吧？所以我们就可以求出 a、 c 的 长是多少多少 t， 然后就可以求出 o c 的 长是多少多少 t。 好， 同理，再根据另外这样的一个大的直角三角形去求出 o d 的 长是多少多少 t。 那由此我们就可以求出本题最终的答案了。具体的计算过程其实比上一小问还要简单，我就不再算了，大家自己去算一下。最后算出来的答案是 p 要大于二倍根号三、慢读题。以上就是本题最清晰的图解了。
54北京初数程老板
13:58查看AI文稿AI文稿好，咱们来看一下东城初三一模的这个新定义啊，这个新定义的难度哦，稍微的就是比的其他程序的可能要简单一些啊。 好，我们来看一下题，题目当中对于圆 o 的 弦 a、 b 和点 c， 就是 有一个弦和一个点吧，先给他画起来啊，给做出下定义，说三角形 a、 b、 c 为锐角三角形，而且直线 c 和 c b 上有一条圆 o 的 切线， 这是点 c 为它的一个什么锐切点？这呢，有一个信息是锐角三角形，还有一个呢，有一个切线，对吧？我们称为它称为点 c， 是 圆 o 弦的一个锐切点。好，什么意思啊？我们现在画一个草图，比如做这个圆 o， 然后呢，随便来一个弦 ab， 比如说在这吧啊，这是个 a， 这是个 b， 他 现在说的是三角形 a、 b， c 为一个锐角三角形，而且呢有一个是切线，所以我们先找圆心 o， 先来个切线在这个地方，对吧？可能画的有点不太标准啊，往这边连接，也就说这是个什么？这是个切线的话，也就说点 c 的 轨迹是在哪？点 c 的 轨迹是在这个线上，但是他要满足什么？满足的是 c a、 b 是 一个锐角三角形，那锐角三角形的话，我们需要干嘛？需要找临界情况，对吧？怎么找临界？找直角三角形为临界 对吧？怎么找临界？过点 b 做垂直放到这，这是个点 c， 但是你会发现这个时候不行，如果他他都在这的话，这是个九十度，如果点 c 在 外边的话更不行，这是个对角，所以这是个临界点，那另外一个在哪呢？是过点 b 向他做垂直， 在这，对吧？你会发现往里边走不行，往里边走的话，这个角 a c b 是 钝角的，所以说咱们点 c 的 轨迹是在这一部分，而且它是个空心的，就是不能取两端， 对吧？那同样的道理，大家想想这个，这个切线可以切哪个点？可以切点 b？ 比如说我在这画一条切线， 随便划一条切线啊，比如跑到这，因为他两个相当于是一个对称的嘛，然后呢，我也向他做垂直，那么我们就得出，你按照第一问的，咱们画这个草图，是不是有一个什么？有一个数值的吗？垂直，还有个什么？往这做垂， 对吧？所以说点 c 的 话是在什么？是在这个线段上啊？ 是在这，它两个是一个对称的啊，是个对称的。题目当中说的就这个意思啊，我们只要找出点 c 的 轨迹，那么下面做题的话，就相对来说比较简单一些啊。 好，那么我们来看题，题目当中 y 的 半径的是个一，然后 a 和 b 两个点，告诉你了哪个点是圆 o 的 弦， a b 的 锐锐切点吧。所以说我们先画切线吧，有一个是什么？有一个是 y， 等于一 往这做垂，对吧？往这做垂，这就是咱们点 c 的 轨迹， 同样的我们还怎么了？有一个切线是竖直的啊，放到这往这做，垂到一二，对吧？到一二啊，往这做垂，所以说咱们这个点 c 是 在中间这一块， 对吧？那也就说，当然这是个什么？这个空心啊，这也是个空心，这也是个空心，只要哪个他这个锐切点呢？零一不行，对吧？一零行吗？啊？不是不是， c 一 的话是负一，负一的话不行，一根二三行不行？可以， 还有个是根号二多少一可以，因为根号二多少一大概是在这个地方，所以第一个的话应该选 c 二 c 三啊。好，那么我们来看第二文，第二文他说如果 o c 等于二， c 的 话是圆的一个锐切点，求 a b 长的一个范围。好，我们先画一个草图啊， o c 是 等于二的啊，放到这，对吧？点 c 都在上面啊，但还有一个什么，还有个圆， 这个圆的半径是一，其实这个点 c 的 话，画不画无所谓啊，对吧？画不画无所谓，我们只需要找一个特殊的位置就行，什么意思呢？也就是说，嗯，比如说啊，我找一个特殊的情况，假设这是一个 a b， 对吧？然后呢点 c 在 哪个位置？你看啊，这量是有一个切线吗？我先把这个图给它补一下啊。垂直，这是个 c， 这是个 a， 这是个 b， 对 吧？当然呢，我们是有一个什么，有一个临界情况，你想想这个点 b 可能不能在这吗？如果在这的话，就一个对准三角形了，所以它有一个临界情况，就是 c b 垂直于它的时候，这是个临界情况啊， 对吧？如果是这样子的话，大家想想，我们现在是不是要求 a b， 对 吧？这是 a b 的 最小值，它不能再小了，如果再小的话，这就是一个什么，这就是一个对角函数了啊，所以这是个临界情况，不能去倒好。那么人家说的是什么？说的是 o c 等于二，我先把它给连接起来， 这是个二，这是个一，这是根号三，他这个根号三啊。而且我们说我们找到这个特殊情况什么的，是这地方是有一个纯金定律的，对吧？他是按照一个纯金定律，这样的话比较好算一点啊， 好算一点，所以我们知道这是什么，这里我来一个地点， a d 的 话是等于个二分之根号三， 对吧？ a d 是 等于二分之三，然后呢，这次来一个 o d， 这个 o d 的 话是等于根号下二分之三的平方加一的平方 二分之根号七，所以我中间来一个什么？来一个 h 吧，就这个点是一个 h 啊。 ab 是 等于两倍的 a h， a h 等于什么？是等于根号下， 根号下什么也不用根号下啊，是不等于两个直角边的乘积除以斜边，不就等于它的高吗？这，这应该是等于二倍的，两个直角边的乘积除以斜边 二乘一个根号七分之，根号三等于七分之二倍，根号二十一，这是 ab 的 个最小值，也就说我们的 ab 呢，是要大于七分之二倍根号二十一， 对吧？然后要小于谁？大家想一个问题，你这个弦槽对吧？你继续往下的时候可以，往下的时候可以，但有一个临界情况是在这，对吧？如果在这的话， 这个时候是这个角是九十度，所以他要小圆，这叫小圆的哈，对吧？这咱们圈二的一个思路， 对吧？只要把那个直角上移给他画出来的话，这个题就变得就简单一些啊。好，然后我们来看第三个，我把这图往下面挪一下啊，放到这，放到这啊， 好，第三个我们来看一下。首先这个第二个的话，就是我们需要断句啊，题目当中圆 o 经过点 t， 说明什么呢？说明它的半径是一个 t 啊，它的半径是一个 t， 画一个草图 放到这，随便画一个半径，对吧？反正它的半径是一个 t 啊， 放到这，好，然后呢？我假设这个 t 的 话，是在这存在一条长为二倍根号切的线段，线段上任意点都是圆。 o 长为 t 的 一个弦的一个锐切点， 对吧？存在一个这么长的一个线段，任意点都是它长为 t 的 一个锐切点，长为 t 的 弦，这个弦不知道， 不知道的话我们就要想他可能会转一圈，对吧？想什么的？想圆环，因为你这个弦可以在这，可以在这，可以在这，可以在这，所以他都转一圈了。那么我们可以找一个特殊情况吧，先把它给画起来，对吧？ 因为它给的这个数还是比较巧妙的啊，因为它有特殊三角形，往这边画一下，画完了之后，比如说这地方是来一个 a 嘛？这个 t 的 话就是一个 b， 可以 吧？我觉得这个 t 就 没有什么用了啊，它就告诉你这个半径为 t 的 一个圆嘛， r 等于 t 的 一个圆。 好，然后我们画完了之后，大家想我们要找什么？要找一个锐切点，对吧？而且长的为 t 的 弦，那个锐切点怎么画？按照刚刚的思路嘛，往这做一个什么？做一个垂直， 对吧？往这做一个垂直啊，然后呢？大家想 abc 是 个直角三角形，对吧？它要往这做一个直角三角形， 还有一个在哪？还有一个是不是应该是在 abc 等于九十度在这个地方，也就说我在这画一个直角，在这画一个直角，我们确定点 c 点， c 的 轨迹是在这一部分， 而且它是空心的啊，这张是个空心的，取不到，所以我们只需要计算什么，大家想，你随着这个 a b， 对 吧？你绕着圆转，那我们这个东西它也绕着圆转，它是出来个什么？出来是个圆环吗？出来是个圆环，那还有一部分在哪呢？是在这一部分，对吧？它俩之间是个对称的，这边就可以不用算了， 对吧？它是个对称的好，我们只需要算出这一段距离圆心 o 的 一个最大和最小就行了，因为它的轨距是个圆环，对吧？而且呢，我们说这是六十度，这是三十度，这是 t， 这是 t， 对 吧？这个地方也是 t， 这是二分之 t， 这是一个二分之根号三 t， 这里来个 c 一， 来个 c 二。 o c 一 应该等于根号下替方加四分之三替方二分之根号七 t， 对 吧？然后再来算 o c 二的，把它给连进去了， 然后连接起来之后，因为这个地方是 t， 这辆是 t， 出一根三，这辆是 t， 出一根三乘以二。 a c 二是等于 t 出一根三乘以二，是等于三分之二倍根号三 t， 对 吧？这是 a c 二的啊， a c 二的，知道之后，这辆是个 t， 再算 o c 二， o c 二是等于根号下替方加上一个三分之二倍根号三 t 的 一个平方，对吧？等于根号下替方 加上一个三分之四提方，是吧？三分之三提方，三分之一三分之一乘以四等于三分之 七提方。开根号，三分之根号二是一提方三分之一。三分之根号是一体啊，所以我们知道这个圆环，对吧？它这个圆环啊，因为我们刚刚说它是转一圈的，在这 只要是在这个环里边，它就大圆和小圆里边的都是属于我们的什么锐切点啊？就在这一部分，把这个图再稍微的往上拉一点啊， 对吧？也就是说这里面有个什么？有一个大圆，有个小圆嘛？大圆的半径 和什么和小圆的半径，这里来一个 r 一， 这里来个 r， 也就说这个 r 一 呢是等于二分之根号七 t， r 呢？是等于个三分之根号二十一 t， 对 吧？等于它啊，好，而且我们说这个地方其实是相当于是一个什么相当于是一个空一点的，对吧？ 相当于这个空一点的，其实这个地方应该是取不到的，为什么？因为我们这个点是一个九十度吗？啊？不对，在这是一个九十度啊，他取不到的。好，那么大家再来看，人家说存在一条线段是两倍根七，任一点都是他的一个锐切点，我们只需要把这个两倍根七放进去就行了，对吧？在这 比如说这来个 a， 这来个 b， 对 吧？我们用什么？用垂心定力不就行了吗？垂心定力啊，你在这做一个垂， 比如说来一个什么？来一个 c， 也就是 ab 的 话，是等于两倍的 bc 等于两倍的根号下，而一方减二方等于二倍的根号下，四分之七 t 方减去个九分之一 三分之七 t， 二倍根号七，比上两倍根三 t 等于根号七， 除以根三 t， 这是咱们 ab 的 长，对吧？大家想想，我们只需要让这个人家说的是存在什么？存在一个两倍根七嘛？只需要这个 ab 的 长怎么了？ ab 的 长要怎么了？大于两倍根七不就行了吗？也就说你随着这个圆环逐渐变大，它这个阴影部分逐渐变大，阴影部分逐渐变大，然后我们只需要这两个长比二倍根七大就行。 所以说这是根号七比上根号三 t 大 于一个两倍根七，那么 t 的 话是大于两倍根三。 重新再写一下啊，比如我们只需要 ab 是 大于个两倍根号七，也就是根号七比上根号三 t 大 于一个两倍根七 t 的 话就大于两根三就行了。不能取倒啊，因为它上面是吧？它上面这地方是取不到的，这都是虚线啊。好，这这个 t 的 一个思路啊，就是不算，不算，不算，难啊。
43数学张老师
08:04查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是大伟老师，今天呢，跟各位同学分享一下刚刚结束东城区的高三一模试卷，因为很多同学说啊，这份试卷特别难， 这个大伟老师觉得吧，确实这份卷没有难度，但是呢，今天想跟同学们分享一个什么事呢？就是在一份难度比较高的试卷中，咱们看看哪些个知识，哪些个分数是咱们应该并且可以得到的。 好，咱们先来看选择题，选择题这十个题呢，在这个第一页上，一二三四五这五道题，同学们是肯定能拿到分数的，因为他们考察的都是基础题，第一集合，第二题是虚数，第三题是双曲线，第四题是余弦定规律， 咱们复习到位的话，肯定是没有问题的。第五题呢，考察的是不等式，这不等式同学们可以采用特殊指法， 因为同学们看这个地方有一个大于等于零，所以咱们可以采取 a 和 b 互为相反数的这么一种特殊执法。 第五题就能够找到正确答案。第六题考察的是二分之一，这个同学们如果你们复习到位的话，也是能够得到分数的， 七八九题确实比较难。第七题呢，如果同学们有这样题的复习经验的话，咱们就知道一条弦绕着一个点旋转扫过的区域，它是一个圆环。 说有的同学说，老师我没复习过这个知识点，能不能做这个题也可以。同学们看啊，问的是 ab 就是 弦的范围，那同学们知道，在这个圆中最长的弦就是直径， 那么这个圆比如说紧，其实它的直径长度为四，所以咱们看选项中有四这个部分，那也就是说这时候弦就是直径，那么弦作为直径扫过的区域，那就是整个圆， 那既然说这个点一个号一，它属于这个范围，那它肯定点在圆内，所以四个选项一定是有的，那么就从 c 和 d 一 选，那么咱们再在特殊值的话，这个如果四 d 选项弦长为二倍多二的情况下，那么弦长一半为根号二， 最后就形成了一个等角直角三角形，正好这个点一个角的 x 上顶端的倾斜角也是四十五度， 跟等腰直角三角形是同一个，所以咱们用特殊指法咱们能得到。第七题是可以选四 d 的 这个特殊指法在我的教学过程中经常会跟我的学生去分享。 第八题，这个题它是存在性问题，立体结合中咱们可以采取间隙的方法，而且给出了 a b 等于二 b 的 这样一个位置关系。 进气之后，咱们就可以把让咱们分析的 p d 等于 p d 转化成过程， p d 垂直， p d 转化成向量，点成为零，接着进行计算。第九题，这种抽象函数的问题， 我一般跟我的学生会说两个字叫画图啊，分析会比较困难，但是不画图的话，咱们就能发现第九题最后选择了比较不充分的条件。好，那咱们来看填空题， 前六题的十一、十二、十三都是基础部分，十一题考察高线，十二题考察六大公式，十三题考察向量。 有的同学觉得第十三题的第二问觉得不好做，你实话说，确实计算量有点大，但是既然已经到了一模一样的位置，同学们，你们的计算能力就一定要跟得上， 如果计算出现了问题，课下就需要做更多的练习。第十四题，这第一问题的同学们可以做了，有的同学可能都被这个七次根号加二分之三唬住了，说，老师，这是个什么东西？同学们，这其实考察的迁移能力，同学们看啊， 在以前咱们学习根号二的平方，他应该等于二，那么根号二是什么意思呢？他就给二次答案。 那同学，这道题对于等比数列，咱们可以把 a 八写成 a q 七字方，那么 a 八撇 a， 最后就得到了，实际上这个地方就是 a 的 七字方，那么他就是借由 二次根号加二个平方等于二。他质前疑问，咱们七次根号加二分之根号三的七字方是怎么样？一个表示，同学们对这一个基础知识的迁移能够把握到位的话，第一个空是可以做的。 第二个空确实有艰难，但是也不是没有微可循，一都采用的是看的最小。咱们还学特殊值临界方法，咱们可以用 a s 比 a t， 让它就等于三分之四，进而进行化简。考察的是函数解决问题，为它给出一个对数答案， 越是值，那么对于大题来讲，第一道题也就十六题，三者划分，十七题立体几何，还有第十八题概率。这三道题其实严格一点来说也是基础题， 那么对于说严格意义上说呢，有每一道题它都涉及到一点小小的困难。第二个困难在于什么呢？咱们做过题的同学们知道这个条件二是一定要选的，那对于最小正周期来讲， t 等于 二派比上欧米伽的绝对值，那这道题根点就在于这个欧米伽的绝对值上， 这个换下来之后得到的是在 r 类 omega x， 所以 这道题的 omega 是 r 类的 omega， 这个考察的是 omega 的 定义，属于几何概念。这十七题 对第一问来讲，有的同学觉得没有掌握这个消遣，从第二问确实没这消遣，但是同学们一定要对现已很深情的信任与你做到表白于心，那么没有消遣其实 就不影响做题了。至于第二问一定要算出这个答案，确实是有一点小小的奇怪，但是也在口中挂念之念。那么第十八题第二问，有的同学说没有读懂， 那么大卫老师在这里说，这个就需要同学们结合一点，语文阅读理解的能力就在语文上，可能阅读理解需要大家更多的去注意，因为概率题是整个整数学试卷里面阅读量最大的问题。 第十九题解析几何题，还有第二十题倒数题都具有一定的难度，尤其是第二十题的第三本，这个相切直线条数确实是比较困难，但是十九题的解析几何，在伟大定义之前， 以及第二十题前两题，同学们如果你们做到了，复习到位的话，可以拿到分数中。呃，仅仅几格，在这里不做不同的分数，除以计算能力的一个综合体现。那么第二十题我们同学可能会被第一问 去看一遍奇观吧，其实他考察的也是一个基础知识，也就是 f x 这个题每一个数具体的还有几十，而是通过解方程对应的技术定义去考察同学们是否理解到处真正的含义？ 所以整张卷子分析完之后，同学们会发现，在一模这个维度，咱们需要具备三个特别重要的能力， 第一个审题能力，第二个计算能力，第三个技术知识能力。这三个能力缺一不可。如果同学们在这三个能力上都有所把握，掌握到位的话，这样一张难度系数比较大的 试卷，其实同学们也是能够达到理想的分数的。好，今天的分享就到这里，同学们再见！
10:55查看AI文稿AI文稿几何快代数，稳心定力，还能提智商。 hello， 大家好，我是雨荷老师，我们一起来看一下这道东城一模的圆综合。这道题呢，如果大家在考场上或者自己做的时候啊，如果卡住了，要么咱们对圆综合的条件反射掌握的还不到位， 要么就是你的传染标图传染的基本功还掌握的不太好，不太熟练。要么咱们最后一个就是大家可能卡住的点就在于传染不动的时候，你没有射餐的意识。 原综合的无敌模式，咱们经常说疯狂传染，疯狂传染，当你传染不动的时候就射餐列方程， 这是咱们圆综合的无敌模式。那么这道题雨荷老师带大家一起啊，给大家示范一下如何用我们圆综的无敌模式去快速的秒杀这道题。好来如图，点 c， 在 以 ab 为直径的圆 o 上，看到直径 这么长，出现的条件就想直径，它自带终点，人家的圆心就是人家的终点。第二，直径所对的圆周角是九十度， 这个条件反正大家是要有的啊。第二个条件，弧 a、 c 等于弧 bc， 看到弧 我们马上就得意识到弧、弦角。三个亲密无间的三兄弟，看见弧就想弦，看见弧就想角，它所对应的圆周角和圆心角。所以既然弧 a、 c 和弧 bc 相等，那么连 oc 它们 所形成的两个圆心角一定是相等的，因为 a、 b 是 直径，是个平角一百八，所以被平分了，那不就只能是九十度吗？所以九十度，九十度 这个条件反射大家有没有掌握？看到弧等马上就想对应的圆周角，圆心角相等对应的弦等，这个题没划弦，咱们就先不多此一举啊。点 d 为弧， a b 上一点过，点 c 做了个切线 键，切线连半径标垂直。哎，半径 o c 连上了，那么垂直呢？自然而然 o c 垂直于 e、 f 好， 垂直，垂直两，这个平行自然就出现了，所以我们的第一问，直接秒杀 正平行。只要大家在做圆综合的时候，条件反射做到位，标图给我做好，那么第一问往往直接就能够标出来，都不用你动脑子直接标， 这就是我们天然形成的条件反射非常快。好！第二问连接 b、 c 交 d、 e 于点记好，交于点记 来，先把图补全，补全咱们再看啊！标图传染，疯狂传染。 这个题的第二问，这个题的第二问，在连的上它的那一刻，哎，我们就得想到哦！首先， o c 等于 o b， 人家都是半径，这个题里边半径特别多，最起码半径所有的半径等长，我们给它标出来啊！ o c 等于 o b 等于我们的 o d 还等于谁呢？ o a 还等于谁呢？这还有一个半径啊！假设这是 p 吧， o p 这个题中原中处处是等腰啊，大家在看到特别多的半径存在的时候，脑子里一定也意识到哦，半径相等，半径相等，所以 o、 b、 c 是 个特别标准的等腰直角三角形， 四十五度，四十五度有特殊角标出来，加上我们上一问的平行标出这个是四十五度。还有呢？ 还有大家能想想到什么平行？关于上一问的这个结论，大家经常听到，上一问是对下一问温暖而善意的提醒，看到平行，一想到角，二想相似，尤其在圆综合中，相似是我们求线断长特别 高频的考试的工具。那么一导角导角现在是导完了吗？大家想想，导完了吗？ 没导完呢，还能导出其他的吗？比如说点一，如果它是点角，那么它是叉角。好，这个是点角，这个也是点角，我们的点叉九十度啊，点加叉等于九十度，这个标图法好， 那么因为我们的 d a o。 哎，人家这个角因为平行也等于这个角啊， d a o 肯定等于角 f 好， 因为 d a o 是 圆中处处出等腰的一个等腰，所以说我们的整个大三角形 d f e 一定是个等腰三角形。也就是说这道题 e f 等于八，是可以通过标图传染出去的， 它等于八，那么我们的 d e 自然就等于八。相信有一部相当一部分同学卡点卡在这，你的原因就是因为你的标图传染不到位， 甚至可以说你或者说你对于第一问的平行，你一点这个想法都没有，倒角也没倒，相似也没找， 所以我们 ef 的 八就完全可以传染到我们的 d e 上去。 好，那么平行出相似，那么大家可以看到啊，这道题最后求 c g 的 长 c g。 所，我们都知道求线断长，要放到三角形中去，求线断长，那么 c g 所在的三角形要么呢？ c o g 要么呢？ c e g。 那 么平行我们的第二个特别高频用到的场景就是什么呢？相似，谁跟谁相似？ 大家可以看到，结合我们的最后要求的 c g 的 长，谁和谁相似？ o b g 和我们的 c e g。 相似。哎，做到这块，大家其实整个题读下来，你现在思路差不多已经有了，我只要找到 o b g 和 c e g， 找到它们的相似比，再找到 a b g 的 长，或者是 bc 的 长，那 c g 的 长我就出来了呀， 这是不是你的思路？好，那么咱们现在来根据我们的结论，哎，研究我们的结论，边放在三角形中，哎，结合我们的平行工具，我们推出了一个特别完美的这个思路。那好，咱们的条件还没用完呢啊，三角函数。 最后一个条件，三角函数，三角函数一定要放到直角三角形中去用，这是毋庸置疑的。那么角 e 作为点角，刚刚在老师的传染之下，哎，这个角也是点角，这个角也是点角，首先角 e， 天然所在的直角三角形有谁呢？ 只有我们的 o、 c、 e， 我 都不用我造，只有 o c e 是 一个角， e 本来就在的直角三角形中，也就是说 o c 和 o e 的 比一定是三比五， 但是你和这个八，但是我们的这个三角函数和我们具体的线段长度能够放在一起吗？你看这两个八，他在我们这样三角形中吗？不在，所以传染不动了。哎，现在可能遇到了咱们这道题的第二个困境啊，你传染不动了， 传染不动就干嘛射餐，射餐秒杀一切，那么射谁呢？在三角形 oce 中，我们就研究你这个三角函数，因为你三角函数用不上，你现在咋用你都用不上，所以你就死命的盯着它，我一定得把它用上。在直角三角形 o、 c、 e 中，你说 o c 是 什么？是半径，同学们，它是半径，那我假设人家设半径是 r， 那 么图中特别多，特别多特别多的 r、 o p， o c， o a， o d， o b， 人家都是 r。 好，那么你现在告诉老师， o c， o e 的 长呢？ o e 的 长呢？等于 d e 减 o d， 它就是八减 r 啊。所以在直角三角形 o c e 中， o e 比上我们的 o c， 反过来写吧， o c 比上 o e 就是 r 比上八减 r 是 谁？三， e 是 谁？三比五， 看传染不动就射参列方程，列什么方程？三角函数方程也行，勾股方程也可以相似方程还可以 勾股。相似和三角都是咱们求线段长的工具，也都可以把它拿来去列方程，一定要有射参列方程的意思，所以 r 就 等于三，也就是说这个圆，它的半径是三。老师把所有的三都给大家标出来啊， 三三三三，那么 o e 的 长就是五，那么勾股一下，咱们 c e 的 长三四五，这个勾股数， c e 是 四， c f 呢？人家也是四。 好了，现在还能继续传染吗？你现在都把半径求出来，还能继续传染吗？当然可以， b c 的 长多少？ b c 作为等腰直角三角形的斜边，人家一定是三倍根号二。 好，最后咱们的目的求 c g 的 长， c g 的 长，刚刚我们已经探讨过了，在平行出的相似里， 现在我们看一看，在这两个绿色阴影的相似三角形中， o b 比上我们的 c e 一定等于 b g 比上我们的 c g， o b 是 多少？三， c e 呢？是四， b g 呢？ b g 不知道， 但是它可以用我们的 c g 表示。我们刚刚才求出来 bc 的 长是三倍，根号二啊，所以三倍根号二减 c g 比上 c g， 这个方程就这么出来了，所以大家直接解方程就能解出来 c g 的 长应该是七分之十二倍的根号二， 所以这道题讲到这里大家就明白了。首先第一点，我们做任何原综合任何几何题，标图传染一定是我们的基本功，标图传染做到位，加上我们特别敏感的条件反射，能够快速的秒杀我们原综合的第一问，甚至有的时候第二问， 那么第二问在不在飙毒？传染不够用了，我疯狂传染都传染不动了怎么办？传染不动就射餐，咱们原宗的无敌模式一定要有射餐的这个意识和操作，那么这个原宗题就瞬间的就秒杀掉了。
11全民数学通关
03:31查看AI文稿AI文稿我们一起来看一下二六年东城区一模这道原综合，那今年各个城区对于原综合这道题的考点，基本上都在平行线分线段成比例所形成的 a 字形或者是八字形的相似里面去展开的。当然东城区这道题也是围绕这个考点。 那我们先来看一下体盖进行标图。如图，点 c 是 以 a、 b 为直径的圆上，且弧 a、 c 等于的是弧 bc， 我 们连接 o、 c 之后，它们所对的圆心角就应该相等，那这样角 a、 o、 c 和角 b、 o、 c 等于都是九十度 点 d 呢，为弧 a、 b 上的一个点，过点 c 做圆 o 的 切线，既然是切线，那证明 e、 f 和 o、 c 也是互相垂直的， 交 d、 o 的 延长线于点 e， 交 d a 的 延长线于点 f， 那 整个题干所描述的就如图所示。第一个，让你求证一下 ab 是 平行于 e、 f 的， 那如果你要把题干的内容给它捋清楚了，第一问的话迎刃而解。因为 o、 c 既垂直于 ab， 也垂直于 e、 f， 垂直于同一条直线的两直线是互相平行的，那这样 ab 是 平行于 e、 f。 第二个连接 bc， 交 d 于点 g。 若 e、 f 等于的是八，再 e 等于的是五分之三，那我们知道看到三角函数值，我们就要进行设边，我们就可以设 o、 c 等于的是三 k， 则 o、 e 等于的就应该是五 k， 那 此时 c、 e 应该等于的就是四 k。 如果 o、 c 是 三 k， 它作为半径，那这里面的 o、 b 也是三 k， o、 a 的 话也应该是三 k， o、 d 仍然是三 k。 好，让我们求一下线段 c、 g 的 长，你会发现第一问里面他已经给了你一个结论的提示，说 ab 是 平行于 e、 f 的， 那只要平行，这里面就有三角形 obg 是 相似于三角形 ecg 的， 对吗？让你求 c g， 你 会发现 c g 的 话就是 bc 的 一部分，也就是说我们知道 ob 比上 c e 等于的是三比四，三 k 比四 k， 那 意味着 b g 比上一个 c g 应该等于的也是三比四。 那在线段 bc 上，我们就知道 bc， 它应该占整个 bc 的 七分之四份，对吧？它乘以 bc， 只需要现在把 bc 给求出来到底是多少就行了。好，那现在我们去求 bc， 那 我们想求一个具体的线段的长度，这里面给的已知的只有一个 e、 f 等于的是八。 我们说需要把这个唯一的已知线段要不然放在相似三角形当中，要不然放到直角三角形当中，用勾股定律，那很显然 e、 f 目前没有在哪个直角三角形当中，所以我就把它放到相似三角形当中。 因为第一问里面的 ab 是 平行于 e、 f 的， 所以 a 字型的相似就会得到三角形 d， a、 o 是 相似于三角形 d、 f、 e 的， 这样的话，这个 f、 e 的 八我就用到了。通过相似对应线段成比例， o， a 比上 e、 f 应该等于的是 d， o 比上 d e， d、 o 是 三 k， 那 d e 的 话应该是三 k 加五 k 等于的是八 k。 并且我还知道 e、 f 它等于的就是三， 那三 k 等于的是三，所以 k 应该等于的就是一，如果 k 等于一，那这样 b、 c 的 话，我们就知道了，它应该是三倍根号二。因为三角形 o、 b、 c 是 一个等腰直角三角形， 所以最后要求的 c、 g 呢，就应该是七分之四，再乘以个三倍根号二，等于是七分之十二倍的根号二，那这个就是我们最终的一个答案了。
09:32查看AI文稿AI文稿东城新定义非常的妖，非常的奇怪，第二问最难，第三问吉易错几何，快待熟稳。新定义还能提智商。大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的啊，东城一木的这个新定义， 这个心里特别有意思啊，慢慢看啊。首先，从定义上锐角三角形，有的同学可能就会懵，可能就光关注角 a、 c、 b 这个角，锐角三角形，一定是每个角都是锐角，你关注了吗？所以你要把角 a 是 锐角，角 b 是 锐角，角 c 是 锐角，这三种情况都得分拆着分别考虑 啊。然后呢，同时他还要求 c、 a、 c、 b 是 一条切线，如果咱们随便确定了一个，哎，弦 ab， 以后 我们过 a 做一条切线，我们不难发现啊，各位，你可以体为我给你自己留，给大家留一个思考题啊， a、 b 是 直径行不行？你们可以思考思考，我在这不讲了。如果 a、 b 不是 直径，大家会发现，那么如果是点 a 的 左边这一部分切线 这个角，也就是点 c， 如果在左边这个切线上，这个 c、 a、 b 这个角是不是一定是钝角，所以它就不是锐角三角形，对不对？所以你会发现，哎，这个角 c 啊，当过点 a 的 切线画出来以后，当过点 b 的 切线画出来以后，你只需要研究这个切线，在 a、 b 裂弧部分，就是这个右上方的那一部分射线，也就是点 c， 首先有可能在这里啊，否则的话，角 a 或者角 b 本身就是钝角了，各位能理解吗？这第一个，第二个、第二个呢？ 咱们还得保证角 c 也得是锐角，咱们先把角 c 是 直角的情况画出来啊，你比如说咱们就研究这个点过点 b 的 这条切线上啊，因为点 a 和点 b 他 俩的切线都是一回事， 然后咱们先过了这个，你会发现点 c 在 c 一 上边的时候，他才能保证是锐角对不对？在下边就一定是钝角， ok， 所以 从 c 一 这 往上走往上走就行了吗？首先大家知道这个角是锐角是一定的了啊，那么咱们还得保证这个角是锐角，所以它的临界情况就是这个角是直角的时候，也就是过点 a 做 ab 的 垂线， 这个 c 二不能再往上，再往上。你看啊，如果在 c 二的上方，这个角又是钝角了，所以说锐角三角形就这一个条件，你就得好好的分析。 那么这样的话，我们就知道，要想保证是锐角三角形，那么点 c 就 在 c 一 和 c 二之间， 当然过 a 的 这个切线也一样， ok， 所以 我们要找这样的锐切点的话，一个是要做切线，二是要做垂线，做俩垂线对不对？一个是过 a 往 b 的 这个切线上做垂线，一个是过 a 做 ab 的 垂线，另外要注意空心点 啊。 ok， 这是定义的解读，定义的解读明白以后，第一问就非常简单了啊，大会发现这两个红色的线段上就可以。是啊，所以 c 二和 c 三应该是啊，你们确认一下，我没仔细看第二问就有点难了。 第二个，如果按照常规方法，我告诉大家，有同学可能会设 a、 b 的 长为 t， 然后呢去跟 o、 c 等于二去比较，我告诉大家那个方法不太好做，我给大家分享一个相对简单的方法。各位啊，通过刚才定义的解读，咱们随便研究一个切线啊，比如过 a 的 这个切线， 那么我们就知道这是垂直的，这是垂直的，是吧，这是垂直的。然后呢，点 c 就 在 c 一 和 c 二之间，并且我们知道点 c 和 c 一 到 c 二之间，你会发现，那么 o c 一定是小于 o c 二大于 o c， 而 o c 呢，等于二。各位同学不难发现 o c 二，你会发现啊，各位， ac 二是永远小于等一的， 因为你会发现 a c 二等于这个垂线段的长度，而这个垂线段的长度是小于等于 o b 半径的长度，所以 a c 二小于等于一， o a 呢，等于一。各位同学不难理解， o c 一 呢， 一定是小于等于根号二的，所以你放心，二一定大于它。不用管了，你只要确定一下子，看什么情况 o c 小 于 o c 二就行。这个时候我们基于哎极端性原理，我们先把 o c 二等于二的情况算出来 啊。因为如果你不把 o c 二等于二算出来的话啊，你不先不让 o c 二，如果不让它等于二，你会发现很难算。 ok， 怎么算呢？各位同学建议，没做的同学建议暂停一下啊，你得算一算啊，这个找对了，特别巧找不对啊，难死你。好，我接下来了啊 各位，如果你听过老谢讲过这样一个观点，什么叫高智商，就永远知道有何要？因为我教数学主要是用来提高大家智商的，不光是新定义啊，但是新定义特别提高智商。各位，这道题，我们先让 o c 二等于二找这种临界情况，因为 o a 等于一，这是九十度，所以 a c 二等于根号三， a c 二等于根号三，这个条件我们不太好用。各位，然后呢，我们如果你永远知道有何要高智商的话，你就知道有直角，还有给了一个斜边的长，我们就要想到斜边的斜边一本，这时候呢，我们点一下 a、 c 二的终点 d， 那么你会发现 b、 d 作为斜边上的中线，它的长度就等于 a、 c、 r 的 一半，就是二分之根号三， a、 d 也是二分之根号三。对，你不难发现， obd 和 o、 a、 d， 它是一个轴对称图形 啊，就是说如果连上 o、 d 三角形， obd 和 o、 a、 d 是 轴对称，全等，这个角就是九十度，咱们设它为 e， 各位，你可以利用勾股定律求出来 o、 d， 再利用等面积法， o、 a、 d 的 面积等于它自己。然后两种算法可以算出来， ab 啊，等于七分之根号二十一，那么 ab 呢，就等于七分之二倍的根号二十一， 这个时候是算出来 o、 c 二正好等于二的时候，但是呢， o、 c 二必须得大于二，这个时候我们 i 有 序动，你不难发现，如果你让点 b 靠近 a， 各位，你做一个 水点啊，我们做一个 b 靠近 a， 然后过 b， 做一个垂线段， 你会发现 c 二一定会往下走。反过来，如果你让 b 哎远离一下，然后呢，再做一个过 a、 b 的 垂线段，你会发现 c 二一定往上走，也就 o、 c 二一定大。 所以只要是 b 远离 a， 在 这个基础上远离 a， 这个就行啊。然后这时候我们就知道 ab 的 长，它就要大于七分之二倍的根号二十一。 注意，还有一个前提，确认它是个弦，并且不能等于直径。我一开始让你思考了，我不知道你思考明白呦，所以它也得小于二 啊，因为这个圆的半径是一。 ok， 这是第二个，这个第二个还真挺难。各位同学，我不知道你们能不能想到，如果在考点上想在三四分钟之内把第二个做出来，你得具备我总结的那些天才高智商的一些基本能力，就永远知道有什么要什么，否则你不一定在挨这想到 找到 ac 二的终点。 ok， 这是第二位啊，好好琢磨琢磨，咱们再看第三位。第三位，我告诉大家啊，这容易有一个误区，也就是说， 如果你看到存在啊，一个长度为二倍的根号七的线段，并且你刚才还研究了半天 c 一 c 二了，你可能就会错误的认为 c 一 c 二要大于二倍的根号二十七啊，根号七。 各位，这样的话理解可能就错了，因为他说线段上任意点都是圆 o 的 长为 t 的 弦的锐切点是长为 t 的 锐切点，不是说某一条弦长为 t 的 弦的锐切点。 也就是说这个二倍的根号七这个长度线段啊，它上面所有的点不一定全被这个紫色的线段给承包了。各位，咱们要画出来所有的弦长为 t 的 所有的锐切点的轨迹 啊，你要思考思考这点， ok， 在 这种情况下呢，咱们先用 a 内元大法算出来一种情况下的 o c 一 和 o c 二 啊，各位，你能理解这一点吗？所有的，如果你算完以后，你就知道它这个轨迹应该是个圆环，当然还要注意空心点，因为它不能等 o c 一 o c 二，各位，你能理解，也就是说咱们有这样一个圆环， 各位你们体会体会，就是说只要这个二倍的根号七，在这个橙色的圆环内，蓝色的圆外啊，橙色的圆外，蓝色的圆内就行了。各位能理解这点吗？所以咱们接下来要算出来这个，哎，内径和外径。 好，各位啊，这个呢，说实话比第二个呢计算简单多了，因为 ab 是， 如果是长度为 t 的 话，这个角就是六十度，因为半径是 t o a b 是 个等边三角形，所以这是三十度。各位，你们现在可以暂停看一下啊，不难算出来刚才那个啊，圆环的内径外径算出来，算完以后，它就变成了一道含难度中等的圆综合的题了啊，我们要保证 这个二倍的根号七的这样一个弦能够完全在圆环里边，我们可以找出来临界情况 啊，零线情况，算完以后是 t 等于二倍的根号三，你知道这个圆环要越大，他越能装得下二倍根号 t 的 这个弦，所以呢，答案是 t 大 于二倍的根号三，越大越好。 ok， 这道题就做好了。好啦，各位啊，新定义真的能提高智商啊，我希望通过我每道新定义都能帮你提智商。
34谢全民双提数学
