2026海淀高三二模数学导函数
各位同学大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂，搞会，快速提分。今天我们来看的是二零二六年海淀二模关于三角函数的一道题目， 他说 f x 等于三 x， 加上 cos x， 加上 f 的 值域是这个，然后我们 f 是 多少？ 首先我们看到它先变形，对吧？ f x 等于三 x， 那 这里是一个它的和差公式，那就是 cos x， cos phi 减去带 x sine phi， 那 我们对它进行合并，是变成了 e 减去 sine phi 背的 sine x， 再加上 o x。 好， 我们发现，哎，这还能画辅助角公式吗？一般来说，我们对于这种三角函数，哎，我把它移化成这个辅助角公式，对吧？变成 a 倍的三 omega x 加上 five， 我 就可以知道他的值域了。但是这道题 他这画出来是一个这么抽象的公式，那我还怎么判断呢？其实是一样的效果啊， 这个一减去三 and five， 因为这个 five 呢，是我们具体的值啊，它是一个参数，你可以认为这这个是 a， 这个是 b， 它只不过用一个三 and five 把你迷惑了，让你感觉，哎，它也是三角函数，它是不是也变量？但是我们知道变量只有 x， 这个 sin phi， 它就是一个参数，因此我们就可以把这里当成 a， 这里当成 b， 对 吧？我可以设异径 phi 为 a， 设 cos phi 为 b， 对 吧？那我是不是就变成了 a 倍的 sine x 加上 b 倍的 cos x 呀？ 此时，那我再进行辅助角公式，我是不是就可以变了？那就等于啥呀？ 是不是根号下一减去三分之五的平方加上 cos 方 five， 是 不是就等于三 x 加上，后面是这再加一个值啊？我们这里就用 t 表示吧，它已经不重要了，因为它这无论取什么值，影响我值域的 是不是就前面这个呀？前面这个决定了我的值域，好，那他现在跟我说 他的值域为负，一到一，那我是不是就可以知道？所以根号下我可以把它先算一步啊？那就是一减去二倍的三倍，再加上三倍方法加 cos 方法是不是就等于一啊？我是不是可以得到这样的结果， 那我继续算，所以按方法加 cos， 方法等于一，那就是二减去二倍的 cos 等于一。 所以再引返，是不是就应该把它移过来？把它移过去，那就是二百零三返等于一，三返就应该等于二分之一啊，因此我就可以求出返，所以返就应该等于六分之派加上二 k 派或六分之五派加上二 k 派。 我们一定要有具备这种把它的通式写出来的能力啊，因为对于正弦函数来说，它等于二分之一的时候，所有情况的点就是这么多。好，那我是不是就可以写出来呢？这道题我就可以知道 a 选 a， 对 吧？ 那么在考场上，如果说老师我后面这很难想啊，我根本没想到，哎，他这还可以这样换元，那我还有没有什么方法可以做呢？当然可以，那你是不是我可以直接把值带入进去啊？ 我在考场这毕竟是个选择题，我把它带入进去，我只要能把答案选对就好了，是吧？你可以说带入值，哎，我对第一步验证，也可以说我直接去做去。 首先我们来看我分析题目中 a 派二分之派，那我是不是可以直接把这个带进去，那不就是诱导公式了吗？ 对吧？我可以直接带。 f x 等于就是三 x 加上 cos x 加反，当 b 选项的时候， b 是 什么？ b 是 二分之派，是吧？所以 f x 等于三 x 右的公式， cos x 加上二分之 pi， 即变五不变。符号看象限呢？变成了三 x， 然后二分之 pi 加 x， 它变到了第二象限， cos x 为负值，所以，那这就是减去三 x， 它就等于零了，所以 不复题。 c 选项是 pi， 所以 f x 应该等于的是三 x 加上 c x 加上 pi， 这个等于的是三 x x 加 pi， pi 那 是 o， 那 就即便 o 不 变，那就还是 cosine x 加 pi， 它属于第三项线，它是负值，所以 cosine 减去 cosine 四十，它的辅助角公式是啥呀？是不是应该是根号二倍的三 x 减去 t 啊？ 此时值域是不是应该是根号二负根号二到根号二呀，所以不符合题。四 d 是 啥？四 d 是 三分之四派，对吧？ f x 等于了三 x 加上 cos x 加上三分之四派，此时这个应该怎么得呀？ 我是不是可以把这个 cos 拆开，那就是三 x 加上 cos 三分之四派时，是不是还是负值啊？它应该是二分之一减去三 x 占三分之四派，占三分之四派，也是负值，应该是二分之根号三， 它是不是等于一减去二分之根号三倍的三 x 加上二分之一倍的 cos。 显然根号下 二分之一的平方加上一减二分之刚好三的平方是不是也不等于一呀？好， a 六分之，我是不是可以带进去？ f x 等于三 x 加上 cos x 加上六分之 pi， 就 应该等于三 x 加上 cos x cos x 六分之 pi 二分之刚好三 cos x 减去二分之 一倍的三 x， 这个是不是等于二分之一三 x 加上二分之根号三扣三 x 呀？ 它是不是就可以等于 a 一 倍的？因为根号线二分之一的平方加二分之根号三的平方是不是就一了？等于三 x 加上 t， 是 不是满足题好，我们就可以发现，哎，这道题正常情况下来说，我应该还是把它变形完之后，我可以发现，哎，这是一个整体，这是一个整体。 继续利用辅助角公式得到我的这个我们所说的这个 a 啊，三 x 前面这个 a 用它来判断，因为我的值域等于负一到一，因此我就认为这个值需要等于一， 它需要等于一。由此来求出了斐的所有情况，得出答案。第二种，如果我说考场上我没有判断出来，那我就代入值啊。其实这道题你如果上来就代入 a， 发现它就对了，但是你都已经用代入值了，我觉得可以把这个你可以再验算一下啊， 速度也很快，主要是考察你这个诱导公式用的熟不熟和差公式用的熟不熟就可以了。
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08:49查看AI文稿AI文稿这个二十题我也说一下导函数这道题。导函数道题有点难度的啊，我觉得难度就主要集中在于二十题了，前面的题型基本上没什么难度。呃，第一题就有坑啊，他其实就有坑。 很多学生会觉得第一题很好算的，非常简单，非常快速就能算出来，但凡在这里需要多计算的很同学，他就懒得算，或者说他减算，那么你就错了啊，这就是他的坑。 好，一定要脚踏实地的去计算。比如说 a 等于零，那我们带进去，那算就是他，我们不知道，他说这个经过不是在啊，不是在点， 而是过点，注意一下在点和过点的区别。同志们，那这道题我们不知道切线，我就把切线先设出来，然后求完一阶导，是不是，然后带进去这个直线方程，我们是不是就有了切线方程， 那这个奇异方程有了，它说它过零，零，那我们把零零带进去，横坐标等于零，纵坐标等于零，带进去消元计算得到了，这个式子等于零，那这个式子等于零，那就是两个乘积等于零，自然就是左边等于零，或者说右边等于 零，那只有一条线，就是 y 等于二分之 x， 大家可以带进去算啊。那么右边等于零，这个 x 确实是无数个， 是，你要注意啊，你要回代的，你把 cosine x 零只有一个值 x 零是无数个，那这道题问的是 x 吗？不是的，你得把它带回去。 cosine x 零等于零的情况下，也就是说我们的 x 就是， 要不就是一个是负二分之派加 k 派 二 kpi， 一个是二分之 pi 加二 kpi， 把它们分别带进去，对应的我们的上一值分别一个是上一值是零一，上一值是负一，然后把它们带进去，一个是 y 等于三分之一 x， 一个是 y 等于 x， 就 带到这个式子里去算就好了， 你会发现其实答案不是无数条，很多学生可能到这老师无数条就错了，也有很多学生没有看见这个过点，直接是再点又错了， 对吧？好，行，这就是有大概两个坑，这两个坑要注意一下，我们的答案是三条 切线。好，行，那我们来看一下第二问。第二问其实也不难啊，中规中矩吧啊，他说当 a 是 正数，且在大于二分之派小于等于二的情况下，对于定域也给到你了，求这个函数小于它，你就求这个函数的对值就可以了， 是不是？那我们要求最值，按照步骤来呗。首先求一阶导，然后分析一下这里面的信息，因为他给了我们定域了，我们可以把三 x 范围算出来， cos x 的 范围算出来， g x 加 a 的 范围算出来。 然后呢，我们发现我们没有办法因式分解，也没有办法进行通分，也没有办法用加减法则，那你只能去求二阶导了， 你求二阶导，然后再把它的分子专门拿出来，然后求一个二阶导，然后化简和变。是这样的，我们会发现刚才的 x 加 a， 虽然它不确定，但是它一定是个正数。 所以呢，我们只要画三 x 的 图像就可以了，它是一个单调递增的，在哪里？在负二分之 pi 到二分之 pi 上单调递增的一个图像，那我们就可以画 g x 图像了，那整个就是先减后增，对不对？ 然后我们求一下极小值，极小值是 g 零， g 零是二减 a， 因为 a 是 小于二的，二减 a 自然是大于等于零的， 那它是大于等于零的，那我们这个 f x 自然就在图像上单调递增了嘛。那他问的是小于号，那就小于它的最大值 f 二分之 pi， 对 不对？ f 二分之 pi 带进去是这个式子，那人家求的是什么？ 二三分之二 a， 他 是什么？这是二 a， 二分之派加 a， 那 题目中不是给了你二分派小 a 了吗？那二分之派左右两边同时给他加一个 a， 对 不对？这边就是二分派加 a， 这边是二 a， 所以 答案就正出来了，也很简单，对吧？就求到二阶导，没什么啊， 来看下第三问，第三问这道题，其实我们是需要用到第二问的思路的。其实我觉得第一句话你分析清楚这道题就比较简单了，就主要看你有没有给他分析明白了什么意思呢？他题目中说什么？他说一阶导等于一的情况下，在这个区间上只有一个解，尤其只有一个解。 一般情况下，像这种情况，我们可以考虑一下他有没有特殊值，那我们能不能把这个结给找到，是不是？你比如说他这里面没有 a， 他 刚好等于一，那我就想要有这个 a 的 部分，我让他等于零，也就是说我让 cos x 等于零， 我让 cos x 等于零，在这个范围的时候，那只能有两个值，是吧？一个是负二分之 pi， 一个是二分之 pi， 那 你都在那里去吧， 对不对？比如说，呃，我算出来的这个负二 f 多少？ f 撇负二分之 pi 是 等于一的，而 f 撇正的二分之 pi 是 等于三分之一的，那说明你已经得到了吧？就是这个值，对不对？ 也就是说你这个解就是负的二分之派呀，你找到一就是什么意思？他在这个范围内只有一个解，说明什么单调的啊？你可以理解他是单调的，他整个人单调的，那只有这么一个解，或者这样的就这么一个解。 好，那你既然他得到它单调的这个 f p x 的 图上单调，你画它的图像不就好了，对吧？比如说还是刚按照刚才的步骤，我们刚才按照第二问的， 呃，做法，我就直接使用了啊，我们得到了这个式子，刚才说这里一定是正的，是吧？但是现在不一定了，因为我不知道 a 的 范围，所以我们就求一下零点，一个零点是零，一个零点是分 a 根据题目中给了 a 大 一等于零，所以这肯定是个负数，它小。所以我们画出来 e 界的图像就这个样子的。 那么一阶导图像这个样子的，现在就不太确定到底是什么情况。比如说你能确定二分之 pi 在 这，但是你不能确定负二分之 pi 在 哪里，是在这里呢？还是在这里呢？我们不是很清楚对不对？所以你就分类讨论吧。比如说负的二分之 pi 在 这，负 a 在 这，那你就写一下它的前提， 然后呢再去画它一呃圆环图像， g x 图像，那 g x 图像画出来之后，整个人是从这是先怎么样先减，对不对？这是先减，然后再怎么样再增，对不对？再增没问题啊，特别求一下这两个值，一个是一，一个是四啊，那这个位置是二减 a， 二减 a 正的负的，我们是不是也不是很清楚啊？ 那不是很清楚，你又要分类讨论了，对不对？如果二减 a 大 于等于零的，我们是不是也不是很清楚？你又要分类讨论了，对不对？如果二减 a 大 于零的 啊？啊，那所以说这个 a 小 于等于二的前提，还要大于等于二分之派，我们就可以用了，对不对？好，那么如果二减 a 小 于零，什么意思？ a 是 不是大于二的？你这个情况下，好像你不用算，它符合题，它的最小值也是二分之派，那不符合题，它的最小值是不是也是二分之派， 对不对？所以说，其实你这样算不算都行啊，无所谓的，不影响你的最小值嘛，也不要你写过程，注意是直接哦。 所以说，其实你不用讨论这里，假如说他符合题，那你的答案是不是就是 a 加一点二分之派最小值是不是也是二分之派？ 那是啊，如果他不符合题，那他就是二分之派，到二之间，那最小值是不是也是二分派？所以说，其实你不用讨论这个情况啊。好，那么再来，我们还有一种情况，就是二分负二分之派，在这的时候， 那负二分之 pi 在 转的时候呢？我们图像，也就说我们的 g p x 图像是这样的，那 g x 图像是不就这个样子的？因为这个 g 负二分之 pi 等于一嘛？啊，差等于四嘛，那它呢？又是负的？刚才我们说了， a 是 比二分之 pi 还小的，那自然 这个位置应该是几写错了，是吧？啊，那它肯定是怎么样的？肯定是正的吧，同志们理解吗？那肯定是个正数。那既然是一个正数，那整个图像都是怎么样的？是不是这个样子的？那整个人函数是不就是。呃， f x 有 吗？ 不符合吧？啊？不符合，因为它好像不止一个啊。这里是一，这个是四，这个是正的。不一定它只有一个，有可能有两个，有可能有三个，对不对？作上所述，我们的 a 的 最小值就是在二分叉上了。 好，行。那这个题呢？我觉得其实也还行啊，就是我写的稍微有点多，详细一些，但是难度呢？不是很大。注意一下，我们第一想问这个易错点，不是说 x 零是无数个，它就有无数条切线，你要回代的，你如果不回代，这道题你就写错了。
03:27查看AI文稿AI文稿哎，二零二六届海淀高三二模选择压轴题，这道题不是会不会做的问题，而是三分钟、五分钟，还是五分钟以上解决的问题。 一个含餐的分段函数，北京高考几乎每年必考，当然分段讨论。 第一段函数抛物线对称轴 x 等于一，在分界点的左侧，当然先减后增。第二段，指数函数上下翻折，再纵向移动，始终是一个单减的， 这是一个基本条件函数的等值点，如果存在等值点，相应的函数值最大值和最小值的差不超过三，这当然要画出函数图像，竖形结合 求参数的取值范围，显然差一点排除，这都是最基本的解题思路，要行云流水。好，我们先看差一点四个选项，划出这四个区间， 负三到正无穷，负二到正无穷以及这一段。这一段正无穷就是一个差一点，它是一个极限点。 如果 t 是 正无穷，我们来看第一段函数，它就跑到天上这样的一段。而第二个函数呢？当然从二这个点开始往下走， 显然它要想有等值点，只有这个抛物线这一段，它的最大值和最小值之间不超过一，显然满足这个条件。 所以正无穷这个点可以把 b、 d 排除。接下来我们再看 a 和 c 的 差一点， c 显然是 a 的 真子集。负二当然不是差一点，负三才是。我们把负三带进来，画出这两段函数这个图像，这是有等值点， 最多到这里，这边最多到这里。哎，这里呢，是负一，这里是负四，这是开的，这是可以取到的，最大至最小之间小于三， 所以答案是 a。 好！ 北京高考的选择题都是单选择题，很多时候我们通过排除法寻找选项之间的差异点， 有时通过极限点来进行排除，比如正无穷，负无穷，比如正无穷小，比如负无穷小。极限点在判断时有时更加快速高效。 这是我们高考考前视频更新计划，欢迎关注分享。二零二六高考，我们创造辉煌！
298北京高考数学吴老师
06:10查看AI文稿AI文稿大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂搞会，今天我们来看的是二零二六年这个最新的奥尔摩、昌平和西城的题目，这两道题都是关于函数性质的题目啊，它都是让你先判断基数性，然后再判断增减性。 对于这类题，它其实套路也很固定啊。判断奇偶性，我们前面讲过，只需要掌握它关键的一点，那就是首先一定域对称， 如果他让我们判断的话，一般来说他肯定都对称的，不然他就非极非偶了。第二点，如果说我是不是都把负 x 带进去，如果它等于 f x， 那 它就是偶函数，如果它等于负的 f x， 它就是奇函数。 就是这两点，你只要把这两点掌握了，任何题目你只要把它带进去，你都可以判别出来。我们可以 判别一下，首先认为这个 f x 一， 对吧，那就是 f 负 x， 应该等于一减去一的负 x， 再加上一加上一的负 x， 哎，这是我怎么判断呢？我知道，对于指数函数来说，它是不是一减去一 x 分 之一啊？对于这个来说，它就是一加上一的 x 分 之一。 好，我分子分母同时乘以一 x， 我 是不是就可以变化了？一 x 减一，这里是一 x 加一。 哎，这不是，我原先的函数，是一减一 x， 下面是一加 x 分， 分母不变，分子变成了负的，对吧？那我是不是就变成了， 哎，一的 x 加一，一减去一的 x， 让我发现这不就是我的原函数吗？ f x， 因此我就可以直接等于负的 f x， 我 是不是就得出来这是 g 函数呀？好，对于 这个细长的题目， f x 二，它的 f 负 x 应该等于啥呀？它的 f 负 x， 它这都没有用啊。那这就是 g x， g 负 x 应该等于 f x 减去 f 负 x。 哎，这是不是很简单？都不需要我进行变换了，它不就直接等于负的 f 负 x 减去 f x 吗？此时这个东西变成了我的原函数 f x， 呃， g x 是 吧？所以它就等于负的 g x， 因此它也是 g 函数。那我是不是就把这个 a c、 b、 d 都排除了，是吧？ 好，下一步判断增减性判断增减性有哪些方法呢？我们可以稍微总结来一下。第一个定义法，我是不是任取 x 一小于 x 二，则若 g x 一 小于 g x 二，那它是不是单调递增啊？若 g x 一 大于 g x 二，它就是单调递减，对吧？第二个， 那就是我们的导数法，我们学了导数，那是不就是 g p x 大 于零就单增， g p x 小 于零，我就单减，对吧？第三个，我是不是还有可以 运算法？运算是什么样呢？我可以记下，增一个增函数，加上一个增函数，那么他一定还是增函数，一个减函数加减函数，减函数， 一个减函数。如果减去一个增函数，其实也就是把这个增变成减了，对吧？所以他还是减函数。一个增， 减去一个减函数，那相当于这个减负负得正，对吧？减，那就变成了增函数。减去一个减，那就变成了增，对吧？增就变成了，其实就变成增加增， 这就是我们判断这个增减性基本的一个逻辑。我们来看一下，对于第五题来说， f x 唱第一。第一个第五题啊，这俩都是第五题， f x， 我 是不是可以对它进行一些变形啊？ f x 等于一减一 x， 一 加一 x， 它可以等于啥呀？我是不是尽可能的要把这个 e 的 x 给先提出来一下？ e 加上，我不想让分子分母都有 e x， 不 想让它都有自变量，我就可以把它换一下， 这就变成负一减去 e x， 那 我这成了负一，我要想和这个等式能够成立，我是不是就得再加上二把它补齐啊，这样他才能够成为我的等式，不然的话，你这从左到右不就等于不了了？为什么要这样变呢？我们可以看一下，是不是，哎，这一点 就直接变成了我的一个常数了呀，是不是就变成负一了，再加上一加上一的 x 分 之二，好，哎，我的柿子是不是又变成了这个样子？ 负一加上一加一 x 分 之二，那这个 e 的 x， 它是个增函数，但是由于它在分母上，所以整体这是不是一个减函数啊？所以，尤由于这是一个常数，它不影响单角底单调性，最终结果就是减函数。 这道题也可以用导数做，但是，嗯，不要一下子就给他上来，直接去求导去也能做，但是要尽可能的提高我们的做题效率， 因此这道题就选四 d。 那 我们看下面这道题，下面这道题它是一个抽象函数啊，对，这个抽象函数怎么办呢？我们发现这里是 g x， 应该等于 f 负 x 减去 f x， 哎，他是不是告诉我们一个条件啊，因为 f x 在 r 上，它是一个单调递增的函数，那么 f x 是 咋样啊？ f 负 x， 它会与 f x 是 不就关于 y 轴对正的呀，因此 f 负 x 它是一个减函数，那就利用到了我们的这个性质了，对吧？减，减去一个增函数，其实你也可以再得一步减，负的增，那就是负的，对吧？ 它其实就可以是减加减函数，所以最终还是减函数，对吧？所以我们把 a 排除掉，题选 c。
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01:00查看AI文稿AI文稿江城子海淀教委出题咋这么阴？现代抽象的 potato 海淀母考卷开张思路致意彷徨 三角函数宗介静深藏冥思苦想意茫茫，提会色费思量。 倒数压轴岁登场。三角线算千张， 满卷难题无解自神伤。朝夕苦练又何妨，空惆怅，泪汪汪。
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02:06查看AI文稿AI文稿十二项联考二模总结，既是一坨屎，算是满天星。和平二模的计算量，和平一模的思维，河西二模的创新度，河东一模二模的诡异程度以及超标的零点倒三，构成了 今年到目前为止最难的一套卷。虽然单拎出来很多题都是比较值得训练的，但放到一起就成了一坨。以下为陕系部分， t 一 到 t 二正常，白给 t 三好题，但略综合 d 选项。 海菲斯函数，注意求导后三角函数的值域在正负一之间，所以单增高考考的概率不大，因为和导数撞分了。 t 四略难，注意数形结合。 t 五正常。没什么好说的， t 六好提，注意三角函数的对称性，注意平移周期，对称翻折等基本操作。我预测今年很可能考就是放在 t 六，计算量大了。 t 七正常，披着狼皮的羊， 大家要打消对数列的恐惧，不要因为垃圾模拟试卷出的难就放弃挣扎，这道题就是很好的证明。 t 八正常，注意真题中的双曲线从不需要连力。 t 九略难，容斥问题注意找焦点，连焦线就能看出来公共部分的轮廓了。 注意内切球半径应用等体积法计算，记住公式， r 内三 v 除以 s 表。当然此题有些偏技巧，高考考的概率不大。 t 一 零正常。 t 十一略难，高考百分之九十九点九九不会这么出的， 除非命题人想念警犬与银手镯了。基础差的同学别慌。 t 十二正常，考察基本功。 t 十三正常，第一问分类讨论，第二问条件概率，或者上周末讲过的，直接画图表秒杀 t 一 四正常，间隙就可以了，注意要让题目中出现的多的点作为原点，便于计算。 t 十六，正常什么位置干什么事，别装，别像河东一样搞学生心态，那就是好题。 t 十七，好题割补法， a e a b d 的 面积 h a、 b、 d 的 面积即为所求。注意，长得丑的几何体一定用，割补程度好的同学可以考虑相似。 t 十八，勾屎直接扔墓前看，除了暴蒜没什么好方法。 猜想是双曲线与准线模型。 t 十九，十二，笑的狰狞，一如既往的啰嗦。第二问是极好的新定义，推荐训练，但第三问就是阅读理解了，非常的不简洁。 t 二十，比较创新的第二问，考察连力带入求解。注意，极值的题一定有坑，带回去检验二阶导大于零。
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02:26查看AI文稿AI文稿这道题很多人连什么是三重根都没整明白，你让他怎么做？三重根就指的是有三个相等式的，你比如 x 减 a 的 平方等于零，那他就有两个相等式跟 a， x 减 a 的 三次方等于零呢？就有三个相等式跟 a 好，题干说了， f x 减一等于零，零是他的一个三重根，那就说明他是可以因式分解，可以写成 x 的 三次方乘上一个函数。同样道理， f x 加一等于零，哎，一也是他的一个三重根，那就说明他也可以写成 x 减一的三次方，乘上一个函数，对不对 啊？那接下来该怎么去处理呢？我觉得这个地方就该揣摩一下出题人的心思了。你想，这最后一道填空题，他纯考函数，似乎不太符合出题人的一个想法，他多半是跟导数是有关系吗？ 所以你就两边对他进行求导。哎，第一个式子你发现没有啊，说明 f x 的 导函数，你看零是不是他就是他的一个二重分？那第二个式子也是 f x 的 导函数，一就是他的一个二重分。好了，另外， f x 的 导函数又是一个关于 x 的 四次函数， 所以你就可以把它写成 a， x 方乘上 x 减一的平方，因为只有这样，你展开以后才是个四次函数。同时零是它的二重根，一也是它的二重根。好，然后反推，是不是就能写出原函数？ 然后再根据题干的意思啊， f x 减一等于零， x 等于零是它的一个根，说明 f 零等于一啊，就求出 f 等于一。同样道理， f x 加一等于零，一是它的一个根，说明 f 一 等于负一，你就把 a 求出来了吧，再带到元函数里面好了，这个函数表达式就出来了。 不过话又说过来了，虽然出戏人的想法是要考导数，但是能不能不用导数呢？完全可以，我就只用函数也能把它解决了。你看 f x 减一，它是个五次函数吧。哎，所以 g x 肯定是个二次函数。同样道理， h x 它也是二次函数啊。 另外，再根据一式，这个 f x 加一，是不是就等于一式加上一个二，然后你再观察这个二式和三式，这个 e 啊，是不是必须等于负二，因为只有它等于负二，你展开以后，这个常数才是二嘛。 啊。所以就这样把二式展开，得到四式。那显然三式和四式肯定是同一个式子，所以系数对应相等也一个方程，就把 a、 b、 c 求出来了。哎，这个函数还是它。
588数学高分老曹
16:14查看AI文稿AI文稿哎呦宝贝们，高阶导数导不出来怎么办？别慌，叫学姐来助你导出重围，零基础的导子也能逆袭国服导神！话不多说，我们直接 开导。欢迎来到抖音高考百日百课，我已加入抖音抖音精选高考音乐联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考音乐联盟，追更高考过来人一百招。 好，我们首先来看一下同构常见的变形，那同构呢，其实就是把函数的结构变成相同的 形式，那它是在哪个基础上而变的呢？我们来看一下最基础的两个公式，一个是 a 的 log， 以 a 为底， n 的 对数等于 n。 一个是 log， 以 a 为底， a 的 n 次方的对数是等于 n 的。 这两个公式呢，其实是指对数的 固化。然后我们看同构常见的变形。首先第一个，第一个的话，我们看这边是不是一个 x 乘 e x， 那 么我们要做的是变逆函数，因为 x 的 话它是逆函数嘛？ e x 它是指数，那么一般 般情况下都不变，指数和对数变的都是逆函数哈，我们看 x 的 话等于什么呢？根据公式， x 是 不等于一的 non x 次方，那么我再乘一的 x 次方。最后我们是不可以整合一下变成一的 non x 加上 x 次方，这是第一个边形乘法。第二个边形呢，它是除法，除法的话，它就可以根据和上面一 一样的式子给它变成什么，把 x 依旧是变成一的 non x 次方，那除法的话是不是就变成减法了？那后面对数呢？ x 加 non x， non x 是 不是对数啊？所以说我们 non 还是不变的，那我们 x 怎么变成对数呢？ x 的 话是不等于 non 一 x， 然后再加上 non x， 根据对数的计算，我们把加法变成正数相乘的一个形式。哈，那么同理，我们减法就变成什么了， 相处的一个形式，这就是四种常见的边形，这个大家一定要熟练运用，并且背下来的。那我们再来看啊，它其实考试中呢，题目中经常会出现三种类型，第一种是梯形， 二种商型，第三种和差型。我们看一下，首先第一个基型，它是 a 乘一的 a 次方，也就是说 a 相当于是 x 嘛？嗯，它相当于是一个变量，自变量， 所以说 a 它就是一个密函数，然后 e x 呢是指数， b 也是密函数， n b 是 对数。所以说当我们出现啊，密函数，指数密 逆函数对数的形式的话，我们要做的是变其中的一个逆函数。那我们看，根据刚刚讲过的四种变形，我们是需要怎么变呢？我们把左边抄下来是不动的，那我们来看一下右边啊，这个逆函数怎么变呢？我们把 m 函数变成指数，那么 m 函数这个 b 等于一的 non b 次方，对不对？然后我再把这个 non b 乘到前面去，相当于一个圈，圈里面是 non b， 然后这里是一圈，所以它们的结构是不是相同了？我们的 f x 其实就是 x 乘一的 x 次方的形式对不对？那商形呢？也是一样的，我们看这个是个指数比上密函数，这是密函数比 对数，那么还是三种形式都有的对不对？三种只对幂都有的话，我们肯定是要变一个幂函数的，那我们来看他的话怎么变呢？左边还是给他抄下来，右边把 b 变成一 e 的 lo n b 次方，比上 lo n b， 那 我们的函数 f x 的 形式是不就是 e x 比上 x 啊？那同理的话，和差大加会不会啦？我们依旧是变一个 m 函数是不就可以啦？把这个 b 变成什么 e 的 lo n b 次 方。所以说呢，那就是 e x 加 x 是 f x 嘛，我来给它写在右边。所以我们这三种形状，我们把密函数都给变了之后，我们就把不等式的两边 都变成结构相同的式子了，那么我们就可以用一个相同的函数来判断比较它们。大家如果还想听更详细的讲解的话，可以看我往期这期视频，里面有多种模型讲解和立体讲解。 好，那我们学了这么多，我们来看一下如何运用吧。那我们看第一个模型对称化构造。对称化构造的话呢？我们来看这道题，已知 f x 给了 我们看啊，这个 f x 里面有 a 有 x 哦，是有参数的，然后对任意的正数 x 一和 s 二，它们两个不相等，都有这个不等式横成列，那我们看这个是不是也是横成列问题？然后我们求的是参数的取值范围，实数 a 的 取值范围。我们首先要把这个不等式变成什么？结构 相同的函数，对不对？那怎么变成结构相同的呢？我们看我们比较喜欢解的，而且熟练解的不等式是什么类型？ 是不是比如说什么 f x？ 左边其实无所谓嘛，大于零或者大于等于零，小于零，小于等于零的这种形式啊，但是他这里是大于二哦，大于二的话，我们怎么办？怎么给他大于零啊？是不可以把 二给他画到前面来，这样子不就可以画吗？那么我们看他这个式子的话，应该怎么变？我们首先可以把二移到左边来， 它是不是大于零了？但是这个二可以怎么变呢？我们如果给它变成分母相同的话，是不是就变成这样的形式了？然后我们看，我们把 x 一 放在一起， x 二也放在一起，它就变成什么了？变成这种形式了，对不对？那我们看啊，左 左边两个相减的结构是不是相同的？所以说我们的新函数设 g x 等于什么？ f x 减去二 x， 然后呢，我们就可以把 f x 带进去，变成 a 倍的幺 x 加二分之一， s 方减二 x。 然后我们看啊，左边的这个式子是不是就是 g x 一 减去 g x， 二比上 x， e 减 s 二大于零啊？它可以说明 g x 是 增函数，这个判断函数单调性是一定要会的。然后我们继续下一步给 g 进行求导，它就等于 x 分 之 a 加 x 减二，并且给它们变成同一个分式，那它是增函数的话，它导一定是大于等于零的，因为 x 是 大于零的，所以说呢，我们的 x 方减二， x 加 a 是 不是就大于零的？所以我们分离参数， a 就是 大于等于负 x 方加二 x 的。 那我们是不是求它的最大值，它在哪里取的最大值啊？在对称轴上取得最大值，对称轴呢，是 x 等于一，所以说我们把一带进去，负一加二的话还 是一，那 a 就是 大于等于一的，所以说这道题选择 c 选项。所以这种呢，我们一定要把含参的式子给它整理成统一的函数结构，借助函数的，比如说最值啊，单调性啊，避开繁琐的分类讨论，就可以锁定参数的取值范围啦。然后 我们来看第二个也是函数的取值范围啦，然后我们来看第二个也是函数的取值范围啦！然后我们来看第二个也是函数的取值范围啦。 我们看啊，比如说我们这 f x 等于它 g x 呢，也给了，然后一些 f 和 g 的 不等式，对不对？我们看里面有指数，有 对数啊，还有 m 函数，非常复杂，那很多同学做这类题型的时候特别老实，题目给什么就硬算什么，这样出门 买东西呀，明明可以打包拎走，非要一样一样捧着，累呢，还容易错。那么我们给他转化成对称式的这种构造的模型，把式子 打包分类，那化简的话，肯定计算量会变少很多啊，对不对？所以说我们采用这类的解题方式，那我们看这道题啊， 给了这个不等式的，我们肯定是要把它列出来，所以我们来看它的话，就是什么呢？首先一乘 f x 的 话，左边是 a 乘 e x， 减去 e null x， 加上一乘，论 a 大 于等于一减一倍的 x， 然后我们给分一分吧，比如说这是不是 a 乘 e x 啊？ a 乘 e x 的 话，肯定是要给它变的哦，那怎么给它变？我们把 a 变成什么一的论 a 次方程一 x， 对 不对？所以说它的指数就变成什么了，一的洛恩 a 加 x， 那 么我们后面不管是加还是减一个东西，我们一定要给它化成和它的 指数相同的一个结构，那我们看这里有一个洛恩 a， 这里有一个 x， 所以 说呢，把一乘洛恩 a 加上 e x 写在左边，然后我们就可以提出来一个一，它变成洛恩 a 加 x 的 这种形式。那么大于等于什么呢？右边的话变成什么了？一乘洛 x 加 x， 那 它的话是不是也要变的呀？我们把 x 给变了， 肯定是要变逆函数的嘛， x 给它变成一的洛 x 次方，然后再加上一乘洛 x， 那 么我们看左右是自 结构是不是相同了？这里是个圈，这里也是一乘圈，这里是圈，这里也是一乘圈，对不对？所以说我们就可以构造出新的函数， f x 等于一 x 加一 x， 那 我们的这个不等式其实就是什么 x 加 lo n a 大 于 f， 二 lo n x， 我 们只需要判断它的单调性即可，那我们判断单调性的话就要干嘛？是不是求导啊？求 导的话，它等于 e x 加 e， 那 大于零是不是横乘以，所以说 f x 是 单调递增的，所以说我们就能导出来 x 加 low a 是 大于等于 low x 的， 那我们是不是要求 a 的 取值范围呀？那我们肯定是要分离参数的，对不对？我把 low a 放在左边，把还有 x 的 数字放在右边，然后我们就可以用分差正常来解步骤啦。那我接着 写一下接下来的步骤，球倒了之后，我们说就知道它增减了，所以说在零到一上， h x 是 要递增的，在一到正无穷上， h x 是 递减的，这里我就减写，因为没有位置了。所以呢，它的最大 大值的时候是在哪里取的？是不是在一处取的？那么我们看 h 一 的话是最大值，我们把一带进去是等于负一的，所以说我们的 n a 是 大于等于负一的，那么 a 就 大于等于一分之一。所以说这道题选择 b 选项。 然后我们再看第三类题型，双变量问题啊，千万不要再绕弯路啦， 双变量的这种同构呢，最容易来犯错了，因为他给了是 s 一 s 二嘛，就是把两个变量混在一起乱算，就好比两个人站队，给他们挤在一起分不清楚，那聪明的做法呢，就是左右分家，各自站队啊， 造出相同的函数，我们把 x 一 放在左边，把 x 二放在右边，管它是等式还是不等式，构造出相同的函数，就可以看出解析思路啦。那我们来看一下这道题，他说的是什么？ f 和 g 给了存在两个正数啊， 使得这个 f x 一 等于 g s 二，那最重要的就是这个式子呗，我们就把 s 一 和 s 二带进去，然后连立一下，不就知道怎么解了吗？那我们来看，首先把 x 一 带进去减去浪， x 一 等于一， s 二分之一减去 s 二，这是什么密度？ 位密值对吧？指数对数，密数又全了，又全了的话怎么办？看可以变哪个，变的话，一定是变密函数的，对不对？所以说我们把这个 s 二给变了吧， s 二怎么变啊？还记得吧，变成 low 一 的 s 二次方对不对？所以说我们看啊，现在它们的结构是不就相同了，相当于我们是同一个原函数嘛。那么就是 f x 一 等于 f 一 x 二。然后我们看这个 f 到底是单增还是单减的呢？首先 x 分 之一的话，它是一个减函数，反比例嘛，减函数论 x 是 增的，但负论 x 就是 减的，那减函数加上减函数肯定 还是减的，对不对？所以说 f x 它就是一个在零到中轴内单调递减的函数，那单调递减的话，想要让它们的 y 值相等，那只有它们两个的 x 值相等啊，这个非常重要。所以 x 一 是等于一根 x 二次方的，那么我们看我们要求什么？是不要求 x 一 比上 x 二啊？那么 s 一 等于一的 s 二次 比上 s 二，对不对？所以我们求 s 一 比 s 二的最小值，就是求后面这个式子的最小值，是一样的，对不对？那我们要求后面式子最小值的话，我们就另一个新函数等于 s 分 之一 s， 然后 求导判断单调性来取得最小值。好，我们求导了之后，我们看 s 方正的 e， x 呢？ 也是正的，那 s 减去一，这里就可以讨论了一下了，对不对？所以说我们知道 h x 在 零到一上它是递 减的，在一到正无穷上是递增的，所以说它的最小值的话，是在哪里取啊？在一 一取，所以我们把一带进去，一的一四方比一就是一，所以说他的最小值就是一。这道题选择 b 选项，让我们看，我们学习同构的话，熟练度增加，做题就会越来越快了。 那最后来总结一下本节课导数同构的三大核心模型。第一个对称化构造需要抓结构凑同款，利用单调性比大小适配不等式或者求值类的小题 同成立。同构呢？我们需要先构造再求值，避开复杂参量分离，专治导数大体横乘，力求参数双变量同构。我们要记住左右要分家，两两要分组，统一函数结构，解决双变量极致点偏与大小比较类型， 同构的类型模型套路都是非常固定的，所以我们不用死刷题，把这三个构造的逻辑给吃透，不管考题 它怎么包装，怎么辨识，我们一眼就可以看出出题套路了。想做更多的硬核解题技巧，记得点赞推荐加关注，下期才能刷得到哦！
8870北师碎碎
06:18查看AI文稿AI文稿你今天来看这道朝阳区的二模，呃，首先第一位还是求这个椭圆的方程，给了一个长轴长，短轴长的距离之和，然后又给了一个焦距二倍根号三。 ok， 这样的话呢，我们直接可以由题一得二， a 加二， b 等于六，然后二倍的 c 是 等于二倍根号三的啊，然后我们直接瞪眼睛就能看出来它这个 b 是 等于二的， b 是 等于一的，所以这个椭圆的方程可以直接写出 x 方比上四加上 y 方 等于一啊。然后第一问非常简单，第二问里边，呃，给了一个点 a 一 a 二，然后分别为椭圆第一象限，第二象限的就是它们的 y 值一定都是正的，有一个点的坐标是 x 也是正的，呃，且这个 x 一 等于二倍 y 二啊，满足 点点 m， 满足 o m 等于这个东西的时候，求证 m 在 椭圆 e 上啊。证明的方法其实也非常非常简单啊，这是一个纯纯的数学问题，就是没有几何的事，所以我们在证明的过程中可以直接怎么着了，把这个 o a 的 坐标给写出来，所以向量 o m， 我 们就直接算一下 o m 等于二分之一， o a 是 多少，那就是 x 一 到 y 一 呗， 加上二分之根号三倍的，呃， o b 是 多少？ s 二 y 二， 这样的话呢， o m 就 等于二分之一 x 一， 加上二分之根号三 x 二，然后再加上这个二分之一 y 一 的，加上二分之根号三 y 二。所以其实 m 点的坐标就是这个东西啊，那我们采用直接把这个 m 点 m 点坐标给它写成这个样子， 嗯，好，然后 m 点坐标，如果是这个样子的话，那么他让朕这个 m 在 椭圆上面，怎么？朕就是把他带入到这个椭圆方程是吧？带入， 带入椭圆方程能得到这个，呃， x 方加上四 y 方等于四。带入之后呢，咱们能得到这个四分之一 x 一 方加上四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，然后再加上这个四位的括号四分之一 y 一 方加上四分之三 y 二方，再 加上个二分之根号三 y 一 y 二或起来是等于四的，只要证明这个等式成立就可以啊。然后可以大家把括号给去一下啊。合并完了之后得到结果是，四分之一 x 一 方加上这个四分之 四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，再加上个 y 一 方，再加上三倍的 y 二方， 再加上这个二倍根号三的 y 一 y 二是等于四啊。这个时候我们需要用到题里边给到这个条件啊， x 一 等于二倍的 y 一， 那 x 一 的平方加上四倍的 y 一 的平方等于四，这个问题也没有啊。 x 二的平方加上四倍的 y 二的平方是等于四，这也没有什么问题，因为 ab 都在椭圆上，是吧？ ok， 这个时候 x 一 的平方就能等于四倍的 y 二的平方，提着条件告诉我们了。 呃，我们把这个带入进去就是四倍的 y 二的平方加上四倍的 y 一 的平方是等于四的。所以大家得到一个比较重要的结论，结论一是什么东西？就是 y 一 方加上 y 一 方加上 y 二方 等于一啊，这是第一个比较重要的结论，然后第二个呢？呃，我这里边需要知道的就是，这个 x 一 是等于四倍的 y 二方，在这写了，是吧？这是第二个，然后我们把它带入进来之后，呃，我们直接让它等于 四倍的四分之一 x 一 就等于多少呀？四分之一乘以四倍的这个 y 二的平方就直接等于 y 二方，加上四分之三倍的这个 x 二的平方。我们也需要知道一下，四分之三倍的 x 二的平方它等于多少呀？嗯， x 二的平方等于四，减去四倍的 y 二的平方。 ok， 那 给它乘以四分之三倍的 x 二的平方就等于三减去三倍的 y 二的平方，没啥问题啊，加上三减去三倍的 y 二方。 呃，这个别动，这也别动，然后把它们加起来，加上 y 一 方，加上三倍的 y 二方， 然后再加上二分之根号三倍的 x 一 x 二，再加上二倍根号三的 y 一 y 二等于四，证明这个成立就可以啊。然后这里边你看，呃，这些啊，就是越调了， y 一 方加上 y 二方，根据题里边知道炸知道他是等于一的，所以最后得到的就是什么东西， 得到就是四，加上二倍。摁，二分之根号三 x 一 x 二，再加上二倍根号三 y 一 y 二，过起来怎么着了？ 等于四说明这一坨等于零呗。二分之根号三 x 一 x 二，加上二倍根号三 y 一 y 二等于零，乘以几个？ 然后两个人同时除以根号三乘以二的话，就得到 x 一 x 二加上四倍的 y 一 y 二等于零。怎么去用这个东西呢？哦，因为上面咱们都是跟平方相关的，所以咱们直接 x 一 x 二等于四倍的负四倍的 y 一 y 二， 然后左右两边同时平方 x 一 方 x 二方等于十六倍的 y 一 方 y 二方啊， 然后继续代入这个 x 一 方不是等于四倍的？呃， y 二方？四倍的 y 二方乘以 x 二方 等于十六倍的 y 一 方 y 二方，然后约掉那 x 二方， x 二方等于四倍的 y 一 方 x 二等于什么东西呢？呃， x 二和 x 一 x 二就等于四，减去四倍的 y 二方，那 y 一 呢？ y 一 不是也是一样吗？四倍的时候一减去 y 二的平方不假， a 这个是相等的。所以所证成立啊。 成立，所以 re m 在 椭圆上。
65曲老师
25:48查看AI文稿AI文稿北京西城区高三二模数学试卷呃，今天用一个长一点的视频，把它的选择填空题放在一个视频里面讲完 第一小题集合，这个注意，这个集合，我们看这是一三五七 b， 而这个是多少呢？四 k 加一，四 k 加一，是 是多少？我们写一下。呃，当 k 等于一的时候，它是五，当等于二的时候，它是九，呃，等于零的时候，它就是一。我们看，显然 a 是 b 的 子集， 他是 a 是 b 的 子集，那么这个是错误的。哎，这个也是错误的。哎，他两个相交等于 a 才对，这也是错误的。这个呢，你看这两个相， b 不 等于 a， a 是 子集，所以这个是对的。 我们第二个，第二个呢，是求 z， 这就像解一元一次方程只是一个含有虚数的，我们看，先把二移过去写一下吧。 i z 等于二减三减二 二 i， 然后两边都乘以负 i， 为什么乘负 i 呢？因为 i 方等于负一，这样的左边就只有 z 了，那么乘以负 i 之后，我们看二负 i， 哎，就是负一负二， 这个负 i 就 等于负三 i， 哎，这个正确。第三题，双曲线，他的右顶点到准线的距离，右顶点是什么呢？哎，右顶点就是这个是一， 就是顶点，是吧？一到零，这是右顶点。那么间接线，我们把间接线写出来，间接线呢，就是 y 等于，我们写其中的一条就行了，根号三 x， 那 么我们可以用点到直线的距离， d 等于根号下 a 方加 b 方， a 等于根三， b 等于一，这样的话呢，就是二。那么到顶点的距离上面是 ax 零， ax 零，那就等于根三， 所以二分之根三，这个是正确的。第四题，在平面坐标系中，阿尔法以 o x 为矢边， 哎，其中 p 负一的逗二在中点上，则它的 r 法，因为我们知道它的 r 法等于什么呢？它的 r 法就等于 y 比 x， 那 么 y 比 x 就 等于负二，我们用对角公式把它写出来。呃，它的二 r 法 就等于二倍的 tangent 阿尔法，哎，一减 tangent 阿尔法的平方，那么就等于什么呢？二倍的平方就负四负四，下面一减二，二得四， 哎，应该等于三分之四，三分之四， a 是 正确的。第五题， f x 单调递增。呃， g x 函数是一个单调性，一个极偶性，我们首先看极偶性，极偶性呢？呃， g 负 x， g 负 x 等于什么呢？哎，就等于 f x， 这个呢？减去 f 负 x， 那 么它等于什么？就等于负的 g x， 这个呢，是一个 g 函数， g 函数啊，这两个就错了。那么再去看单调性，单调性，我们知道啊， f x 单调递增， f x 是 单增的，那么 f 负的 f x， 那显然是单调递减的。那么 f 负 x 是 怎么样呢？当 x， 这是一个复合函数， 复合函数呢？同增异减，那么这个是减函数。同增异减，那么它也减函数，两个减函数相加，是减函数，所以呃， c 是 正确的，那么这个呢？就错误了。 呃，在长方形 a， b， c， d 中， a， d 等于四， a， b 等于一， e 是 b， c 边上一点，则 e， a 加 e， d 的 最小值。这是一个像这样题，我们看画一下。 好，那我们看大概意思啊，呃， a， b 等于一，那么这个是 a b c d 这个 e， e 在 b c， d 边上， e 在 b c 边上。呃， b， a 加 b d， b， a 加 b d， 我 们看它这个向呃上的分量，这两个不变化，不管一一点怎么移动，向上的分量不会变化。然后呢？呃，这个 x 轴上它会有变化， 要想最小，那中点这两个 x 轴呢？就是呃消掉了，那这样呢？呃，只有在 y 轴上，两个一加起来是二，绝对只就是二， b 正确。 第七题，第七题不等式小于零，这是两个函数相乘，两个函数相乘小于零，那就这两个呢？要一正一负，要一正一负。 呃，就是啊，小于零是结，是为空，那就要大于零，这个是要大于等于零，这要大于等于零， 那么大于等于零呢？就是同为正或同为负，或者，那当然有一个什么呢？呃，同为零点，哎，这个很重要，就是同时等于零，这个非常重要。 为什么？如果不同时为零的话，呃，他不可以同为正，同为负，那同为零，那得到一个什么呢？ x 等于 a 和这个是 对数，是 x 加 b 等于一， x 加 b， x 加 b 等于，就 x 等于什么呢？一减 b， 那 么我们在这里得到一个什么，得到 a 加 b 等于一， a 加 b 等于一，那么这两个都去掉了，都不可以，那这两个有了这个之后，别的不需要了，这个够了。我们看，呃，在基本不等式当中，有个 a 加 b， 二分之 a 加 b， 它是大于等于根号 ab， 这个没有用，那么我们说这是基本不等式，在他的拓展中，那么这里边还有一个什么呢？有一个，呃，根号向 a 方加 b 方的一半， 他是大于他的，那么现在呢？我们看，呃，求出 a 方加 b 方，我们这两边两边平方，把 a 加 b 等于一代入，那么就得到 a 方加 b 方，是大于等于二分之一，所以这个是正确的。 第八题，已知正方体 w 和平面阿尔法则正方体 w 的 八个顶点中存在六个平面。到平面阿尔法的距离相等，是平面阿尔法将正方体 w 分 成体积相等的两部分，我们看，要将 平面分成相等的两部分，只要这个阿尔法平面经过正方体的体中心就可以了。 经过体中心，要想存在有六个点距离相等，那么它应该怎么样呢？它应该是做一个与 对角线垂直平分的平面，呃，就可以了。我们画一下，我们看这个正六边形是经过 d、 b 一 撇这条直线的垂直平分平面，它经过 o 点，经过 d、 b 一 撇，中点 o， 那 么这样的平面呢？呃， 它是可以呃平分正方体的呢，并且呢，它与哪个平面是平行的呢？与 b、 c 一 撇， a 一 撇这个平面平行的。所以呢， b、 c 一 撇， a 一 撇到平面距离相等，同样的，对面的另一面的三个点， a、 c、 d 一 撇，它与距离也相等， 呃， d、 b 一 撇是另外的，那么这样的话呢，呃，他就做到了 正方体八个顶点中六个平面的二角距离相等，并且呢，呃将体积分成两部分，那么反过来说，呃，这就说充分性没有问题。如果这个平面就这个红色的 正六边形，平面还是经过 o 点，他只要是倾斜一点， 那么倾斜一点嘞，呃，就是不与刚才这个平面平行了，那么呃， b、 c 一 撇， a 一 撇，到平面距离就不相等了，他照样可以平分，所以这个题是充分，不必要， a 是 正确的。我们看第九题，那么第九题呢，次数有点多，我们仔细读一下，就是说二零二三，他有个十年规划，十年规划呢，每年平均增长这么多，呃，十年，这是十年， 呃，翻四倍，如果是 a， 翻四倍就是四 a， 由于超预期增长， 二零零五年的产值恰好是二零零六年的计划，那么我们看，那么这个增长值不再是 x 了，应该我们叫它叫百分之五 i， 增长值就是实现的。 呃，具体增长超出预期，我们假设它等于百分之五 i， 从二零零六年， 未来八年含二六年，那么他的年平均增长率是前两年实际平转相同，所以就这十年中他有相同的增长率都是百分之百。好，我们看第一个条件，第一个条件呢，就是二零二三 到二零零二零二六，二零零五到二，工厂恰好达到了这个二零零六，二零零三到二零五，两年，两年就是一加 百分之尾的二次方，就等于原计划一加 x 的 三次方。好，这是一个好，我们先放这里，那么实际上怎么样呢？实际上呢，就是让我们求的是 十年之后生产的值为多少，也就是一加 y 百分之 y 的 十年，它等于原来的多少倍， 那么我们这里都加上一个 a 吧，在 a 的 基础上，它要实现多少？实际上这个就是很好算了，把这个这个等于它只是把指数呃不断的调整，把十算出来， a 在 这里四倍转变成十，呃，这个再算进去，就变成一加 x， 百分之 x 的， 呃，十倍， 十倍呢，就把五乘以再乘二，把三拿出来，把三拿出来 二， 而这个呢，就等于这块等于四，这块等于四就等于多少呢？ a 四的二分之三，那么就等于八 a 八 a 是 哪一个呢？八 a 就是 b， b 是 正确的。这个转化有点绕啊，本身没有很难，有点绕，我们看第十题， 第十题，呃，我们后面再讲，单独讲第十题有点难看。第十一题， 呃 a， b， c 三个角，最大角的余弦值大边对大角，大边 对应的是大角，这个我们大家都知道哎，这个就求出余弦定角就等于 c 方 啊， c 方在后面写一遍吧。 a 方加 b 方减 c 方除以二， a， b 被个公式代入数据，等于 a 方二十五，呃， b 方呃六六三十六，减去一个八八六十四，呃，除以二 乘五乘以六，这个等于多少？大家算一下啊。二十五，六十一，六十一，负三，呃负三，呃，约掉个三二 二十等于负的二十分之一。第十二题，展开式，这个只要会公式就可以了，这个呢，就是 t， r 加一等于 c， 对 本题来说，四 r 呃 x 的 三，四减二， 然后呢，负二的 r 呃 x 负四，这边再来个 x 的 负，这个三四十二减四， r， r 等于三， r 等于三，把 r 等于三带进去。那么最后呢，就是一个呃 c， 四一负二的 三次方，那就负的啊，四八三十二，这个负的三十二。 第十三题，已知向量 a 等于这个向量， e 是 单位向量，向量 b 满足 b 减 a 等于一，则 b 一 的一个取值为多少？我们把它画出来， 我们看，哎，首先， a 等于负一跟三，我们画一个坐标轴， 负一跟三，负一跟二，三在这里， 这是 a， 这是 a。 然后呢，呃 b 减 a 等于一，那么就是以 a 为圆心，以 e 为半径的一个圆， b 在 这个，一个在一个单位上，圆上 啊，画的有点不太好啊，哎，这就是 b， 这就是 b， 然后呢，哎，这是 o o b， 那 么 b 乘以 e， b 乘以，也就是说，呃， b 在 e 上的投影， 这是一 b 在 一上投影， b 在 一上投影，是是在哪里呢？这对应的是零，这边呢，对应的是负二负二，所以呢，它是负二到零在这个范围，这是包括的，包含的， 包含的，那么取一个值，取一个值，我们取负一吧。呃，都可以，都可以啊，这里面的，这是答案不为一 二零二六西乘二模式卷第十四题，这是一个分段函数， 我们看这是对数，这是一个直线。呃，这个主要是什么呢？集合 m 是 什么呢？是 x， x 又是什么呢？是 f， x 等于 m 的 中的符合条件的 x。 按说若 m 中有三个元素，则 m 的 取值范围。若集合 m 中共有四个元素，则这四个元素乘积的最小值是多少？ 首先我们分段函数一般都要画个图像比较好解决问题，利用数形结合方法来解决。 哎，对数函数绝对值翻上来是直线，打 x 等于六的时候，它是零点，也翻上去。 那么这样的话，我们看，打 x 等于二的时候，对应的是一减一等于零，打 x 等于四的时候，这是二减一，这个等于一。 然后呢，打 x 等于六的时候，这个等于零啊，这个图像我们看完了，这个时候我们看画了两条线，那么打 x， m 等于三，三个焦点，三个焦点呢？是这个范围内是有三个焦点的，这个范围内是三个焦点， 也就是说 m 是 一到二之间就是可以的。那这样的 m 有 三个焦点，就是一到二，呃，一是可以取得到的，因为一在哪里呢？呃，在就是 x 等于四，是可以取到的，这一点是能取到，那么 x 等于二呢？ 这一点怎么取到呢？哎，这一点应该取不到，也就是说，呃， x 等于四，在这里面是取不到的，这个是空的。 那这样的 m 呢？就是一到二，一到二，一是可以的，二是不可以的。 我们再看这四个元素，首先我们看画了这条直线之后，那么我们说这个焦点，这个角 x 一， 这个角 x 二，这个角 x 三，这个是 x 四， 我们首先看 x 一 x 二，那么 x 一 x 二，我们知道。呃， log x 一 加 log x 二，它是等于零的，这个我们就不再细分，那么关键它现在是这样的，它有个减一， 我们把它并到一起去，并到一起去是什么呢？就是 log 以二为底，呃，二分之 x 一 加上劳格以二为底，二分之 x 二，他就等于两个对数相加去真数相乘，劳格以二为底，四分之 x 一 乘以 x 二，那么它等于零，是正好等于一，这个等于零，也就是说 x 一 乘以 x 二等于四，这个是固定不变的，这个横成立的。 好，下面我们看一下 x 三与 x 四，那么 x 三与 x 四呢？它是这样的，它关于 x 等于六对称， 也就是说 x 三加 x 四，它是等于呃，二倍的这个六，也就是说十二，这个 这两个相加等于它是不变的。那么问相乘相乘，我们用均值不等式，我们知道 a 加 b 二分之一，它是大于等于根号下 ab 的， 这是均值不等式的式子。我们稍微给他变一下看看。 x 一 乘 x， x 三乘 x 四，那么这里面就是 x 三乘 x 四，它是小于等于二分之一 x 三加 x 四的平方，那么这两个等于十二，就是等于三十六，那么这是它的小于等于， 应该它是最大值。那么什么是最小呢？在这里是最大，那反过来在这里就最小，这边是最小 啊，四个值，四个值在这里，在这里的时候只能去到这里，那么这个值对应的是五，这个值六，这个是七，对应的是七，那么也就是说，呃， x 三乘 x 四，它的最大，呃，最小值 它等于什么呢？哎，等于五乘以七等于三十五。好，那么 这样的话就四个根相乘 x， 一 乘 x， 二乘 x 三， x 四，它是最小值， 我们说它是这样的最小值，就是等于四乘 三十五，四乘三十五等于一百四，这个就是一百四十。
59王老师7825
09:38查看AI文稿AI文稿好，接下来我们看到第八题，若函数 y 等于 x 平方减四， x 加二，绝对值在区间零到 t 两 b 上的最大值为 a。 在 区间 t 到二 t 两 b 上的最大值为 b， 若 a 大 于等于二 b， 则 t 的 取值范围为。好，那么这里呢，有两个最大值， 那么最大值的关系是这样的，这里头还有一个函数，但是里头呢，是一个一元二次的， 外面打的绝对值，那么打的绝对值，那就相当于把 x 轴下方的图像复制到上方即可哈，我们这里呢，可以先画图对这个函数呢进行一个研究， 二次的二次函数，那么先看一下逗号吧，看它有没有两根。 b 平方减四 a c 好， 它等于八啊，等于零，有两根开口呢，朝上啊，对准走这一个特征，我们可以写下来，二 a 分 之负的，所以呢，它是，这里是二 x 等于二，开口朝下有两根，那是这样的， 好，我们看一下这个点呢，是零二哈，把零加进去，这里是二了，行，把下方部分翻折上来， 这两根，嗯，不知道有会不会有用哈，我们就先标一下大家，我们可以尝试，可以求一下，如果要用，我们大家再求。 好，这里顶点特征，我们看一下顶点，当它等于二的时候，把二二带进去的话，四负八二，所以是六减八，大家觉得值的话是二二呢， 二二，好，哎，这里也是二号，好，那接下来怎么做呢？有，这要去求这个区间上号， 零到 t 的 区间上的最大值是 a， t 到二 t 最大值，那是 b， 关系呢， a 要大于大于，大于等于两倍的二 b， 那 我们简单看一下， 那我们认识到零到 t 和二 t 的 这， 那么这一段是 t， 这一段呢？也是 t， 这两段都是 t， 这个 t 是 终点号。好， 那我们先找找 t 可能在的位置吧，这里是二号，嗯，这里也是二，我们可以把这个哎，把这个二划过来， 那么由对称性呢？这里是四了啊，二嘛，对称过来是四号。好，那你想想哎，我的 t， 我 这个 t 这个范围 t 可以 大于等于四呢，你想想， t 大 于等于四啊， t 就 在这的话，那么二 t 在 后面，二 t 在 后面，这个最大值呢？很明显 b 会更大吧， b 底这里的 a 前面这个最大值是二啊，他可能是很大的哈，所以这个是不可以的。那意思就是说，我们尽可能让 t 呢往小方面去取哈。往小方面去取，怎么取呢？ 我们再看一下，嗯，取一半可以吗？你看你 t 在 这，那么二， t 就 在这了，那你再想想，二 t 在 这，它的最 大值也是二，乘以二的话，很明显它会大于大于 a 啊， 好，所以我们还要更小，还要更小，还要更小，那咋办呢？他竟然还要更小， 好，那你想想吧，他都说了 t 还要更小喽，对吧？ 那 t 要更小的话，你发现 t 比这个二还要更小，那这里头的零到 t 的 最大值，那肯定是就是在 a， 那 可能就是在零处取得了，所以说 a 他 应当取二了， a 的 最大值嘛，就是二了， 所以我们应该要明白了哈，二大于等于二， b 呢，就应该小于等于一了， 应该要满足这个 b 竟然要小一点一，那我们来找一找，如何保证 b 小 一点一呢？就是 t 到二 t 的 最大值要小一点一啊，那我们先找一下一在哪吧。 好，一在这，你把它看成个函数的话，这里是 y 等于一。什么意思啊？我取到的这个一呢，应当比这个一还更小，那它应该在这一段 画出一点和这一段。嗯，好，接下来我们把把这个边界， 边界我们可以先算一下，就是说 x 平方减四， x 加二等于一的这个边界，我们把它给算一下。 好，那我们想一下，你去掉绝对值的话，无非两种嘛，它等于一和它等于负一嘛，我们先看它等于一的情况。 嗯，两根我们可以求一下。 好，现在这里是二加减根号下，好，这里呢是十二了，十二开出来再除以二号，所以是他，所以这里啊，当他取一的时候就是 还没有翻折的地方。那么这里啊，我们划重一点吧，一个是二减根号三，一个是 二加根号三，好，行，那么再算另外一个，另外一个 x 平方减四， x 加二等于负一， 挪过来的话啊，三号，所以我们音符分解一下啊，那么这两个呢，就明白了，一个是一，它是取倒的数， 一个是三，那就行了， 你看看你这个区间范围，有零，有 t， 有 二 t， 而我还要满足他这个东西呢，要比一还更小，所以我们应该明白了，就是说我 t 在 这， t 只 t 只能在这，而且二 t 还要比一更小哈，所以范围我们就找出来了， t 呢，应当大于等于，嗯，这个二减根号三， 嗯，还要保证二 t 小 一点一，还要保证二 t 小 一点一。 好，还要保证二 d 小 一点一，那这个范围内它型号，但是在这里的话，我们说了，这不行，我们还要去，还要保证这个 t 比二还要更小，尽可能让它小，所以我们最终呢 得到了 t， 在 这里。哦，好，这个问题我们就二分之一号我们就解决了，我们选 a。
03:17查看AI文稿AI文稿这道题是我们郑州市二零二六年二模的题，是第三题，按理说我们第三题应该是送分题，但这个题无论是计算量还是它的难度都比较大，以至于很多学生在这个题翻了车。我们现在来看这个题究竟应该怎么做？ 那么已知八的 x 等于五，则 x 的 值所在的区间，那显然是一个方程，是一个什么方程呢？是一个指数方程，你也可以理解为是一个对数方程。那现在你比如说你要是按对数的形式来，八的 x 等于五， x 等于 log 以 八位的五，那这个以八位的五到底是多少？但是我们很多同学这个是直接做不出来的，所以说这个题我们不妨怎么样呢？我们不妨来分析这个答案来， 比如说你看这个答案，它是零到二分之一，二分之一到三分之二，三分之二到四分之三，四分之三到五分之四。那么我们要看一下，假定当 s 等于二分之一的时候，它这个八的二分之一到底是比五大还是比五小？如果说 比五小了，也就说八的二分之一是小于五了，那么五就可以在这里边，它比五大了，是不是必定在这里边？ 所以说我们验证两个值，你比如说二分之一、三分之二和四分之三这三个值就可以了。那来我们看一下，那当 x 等于二分之一的时候，那八的二分之一就等于什么样啊？ 八的二分之一就等于二次根号下的八就等于二倍的根号二，而这个都是我们大家耳熟能详的根号二是多少？一点四一四，一点四就等于二点八， 是不是二点八？明显的这个值是小于五的，它是不到五的，那么这个五五是比这个值大的，那肯定是不会选 a 的， 那我就要往后边再来看了。那么我们再看一下这个，当 x 等于三分之二的时候， 那么三分之二，八的三分之二，那八是二的几次密呢？是二的三次密，它是再乘以三分之二，那就等于二的平方，是不是等于四？哦，我们知道，当这个 s 等于三分之二的时候，这个八的三分之二，它等于四也是小于五的，那么就有可能 要么在这里边，要么在这里边。是不是？那有的同学说，老师，我能不能我最熟悉三分之二，我能不能先算三分之二？那么你就省的在前边这步来算了。好，那么我们再看一下，当 x 等于四分之三的时候，那八的四分之三，这个又等于多少呢？ 八的四分之三，那你看一下，这是二的三次幂，这是四分之三，等于四倍根靠下，二的九次幂，它是五百一十二，也等于四次根靠下，五的四次幂，给它放到同一个根靠下，是不是来比较大小？那五的平方 是多少？二十五，二十五的平方就出来了，是不是六百二十五？那么显然五百一十二是不是小于六百一十五呢？他是不是仍然是小于五的？那么你看一下，八个四分之三都是小于五的，他这个是小于五的，那是不是一定在 d 这个区间里边？ 所以说这个题呢，就是你要通过试根看看哪一个题最大，一般情况下啊，我们把它放到同一个根号下，比较大小，就一定可以做出来这个题。
286爱丽讲数学
05:43查看AI文稿AI文稿一口气学完引零点问题，只需要默写三步解题程序就可以三十秒快速拿下导数答题十七分。 很多人问我引零点应该怎么做题哈，我就来三步走，带你做一下。第一步，首先你要去求导，判断这个导函数的单调性。 其次第二步，你要去判断这个导函数的零点到底在哪个区间里边，还有他对应的待换条件是怎么样的？ 最后第三步来，你把这个代换条件呢？给他带回到原函数里面去，然后形成一个可以求值域的新函数，并且根据你在第二步里边求到哪个区间，然后最后呢，求出这个新函数的值域型问题哈，这就是三步走。 那么我们再来说一下引名点指的是什么？指的是，哎，咱们隐藏起来喽，我是你大舅， 但是呢，你问我身份证号码，你问我名字，我不知道，所以说我只有我是你大舅这一个信息，这一个待换条件来做题。那么我们直接来看到题目哈，首先第一个已知 f x 为这么多。第二问说当 a 等于一时，请你去证明这样一个东西， 首先哈，我们把 a 带进去， f x 就 为这么多。其次呢，我们去把这一个式子给它带进去整理一下，就会得到，我们真正要证明的是这样一个式子， 所以说我们再去另一个新函数哈，另一个 g x 为这么大一坨东西。好，现在我们摩拳擦掌的来试一下新程序哈。首先 step one 就是 我们要去求导，看一下导函数的单调性哈， 那么此时求导为这么多，你来观察一下，我这一个函数为单调增，这个函数为单调减，那么此时增减减，那么它整体上就是单调递增的。 你再来想一想哈，我有没有零点嘞？你看，当 x 趋近于零正时，此时 g、 p、 u x 趋近于多少，它就是趋近于一嘛，对吧？它呢，趋近于咱们的正无穷，减去一个正无穷，那就是负无穷呗，所以它是趋近于负无穷的。 而如果说 x， 它是呃，等于一时，直接算一下哈， g 撇一嘞，它是等于多少？呃， e 减一，它是大于零的， ok， 那 你就知道我往后面走，它是大于零的，对不对？所以我们就知道了哈，此时一定存在 x s 零哈，它是属于零到一之间的。 然后呢，它可以使得咱们的 g 撇 x 啊，它是等于零的。而且你还知道，如果说当 x 它是属于零到 x 零的情况下， 此时呢，咱们的导函数是不是小于零啊？而 x 属于 x 零到正无穷的情况下， g 撇 x 是 不是大于零啊？所以说，你返回上一层，咱们的 g x 呢，它应该是在零到 x 零上单调递减， x 零到正无穷上单调递增的。那么你想一下哈，我们要去证明 g x 大 于零，其实就是在证明什么？ 极正，咱们的 g x 的 最小值要大于零啊，对吧？而 g x 的 最小值我们已经知道了，极正，咱们的 g x 零是大于零的，因为它的函数图像是先减后增，所以最小值在 x 零处取得。 那么接下来我们就是要去看 g x 零，它到底为什么东西了，对不对？也就进入咱们的第二步。 第二步，刚才我们是不是得到了一个代换式，对不对？也就是咱们的 g x 零，它是等于零的，也就是说咱们 e x 零减 x 零分之一，它是等于零的。哎，别慌哈， 我们把这一坨写到右边，所以说我们得到了第一个待换式。那么其次第二步，你一定要想哈，我左边边如果同时取对数的话， 那么我会得到什么东西嘞？左边其实就会得到一个 x 零嘛，而右边也同时取一个对数哈， l n x 零分之一，这里取过来就是负 l n x 零的，所以呢，我们又会得到第二个待换的式子哈，也就是这么多的。 那么接下来嘞，我们还有它的什么？我们还有它的一个取值范围， x 零，它是属于零到一之间的，我们先粗略的放在这，我们看第三，问它需不需要我们再去细划哈？好，第三步的时候嘞，我们再去代入一下 g x 零， 此时呢，就等于 e 的 x 零减洛 x 零减二。好，现在开始摩拳擦掌的去代换了。咱们 e 的 x 零呢，它是等于 x 零分之一的，而负洛 x 零呢，它刚好一整体就等于左边的 x 零了。 所以你看这两个式子，我是不是可以直接用基本不等式啊，对吧？它是大于等于二倍，根号下 x 零乘上 x 零分之一减二的，也就是大于等于二减二，这里就是一哈二减二等于零的。 但是它的取等条件是什么？是不是当 x 零等于 x 零分之一时取等，也就是当 x 零等于一，所以说只能取 x 零等于一。 但是呢，我们刚才已经说明了， x 零它是属于零到一之间的，那么此时我们就是不可以取等的，所以在这呢，直接就是大于这一坨，而这一坨是等于零的，所以我们就得到了 g x 零，它就直接是大于零的。那你看这道题是不是已经得证了呀？ 那么我也整理好了我从第一期到第 n 期所有的导数讲义，非常的精华，包括了说端点效应，端点效应失效、即时演偏移浪博同构引零点都被它法则泰勒展开式切割线放松哈，非常的精华，大家一定要及时下载打印，点击我的主页，这里群聊就可以免费领取。 我还给前三十名每天添加到我的同学赠送一个一 v 一 的深度提分分析，看看你的数学到底是哪一环节出了问题。我认为数学从来都不是天赋，而是执行程序。我是北亚桃，我们下期再见！
1.4万北大糖的魔法数学
09:20查看AI文稿AI文稿大家好，我是南京数学陈老师。今天我们看一道南京二模的导数真题，认真看完这三分钟，零基础的你也能学会导数大题的通用方法。我们先来看一下题，已知函数是这个样子的，嗯，现在要讨论这个函数的单调性， 不管是什么函数题，第一步我们都要看他的定义域，在这道题中，他没有规定定义域，那我们需要自己来看一下，这是一个分式的形式，首先分子要不等于零， 这是一个指数，他肯定就不会等于零，其他就没有什么限制了。所以定义域是 x 除以二单调区间一定是要在定义域范围内的零基础的同学，我们先来看一下右边的求导的相关公式，首先它是一个分式的形式，那我们就先看这个分式形式的求导公式。 好，我们一步一步来看分母应该是什么？底下是原来分母的平方，那在我们这，原来的分母是 e， x， 现在就变成了 e 的 x 的 平方，是 e 的 二 x 字方分子。分子有两项，第一项是上倒乘下 上倒，上面是一个一次函数，他求倒之后应该就是一次下的斜数， a 乘以下，上倒乘下减去，注意符号中间是减去 下倒乘上下倒是 e 的 x。 看这里 e 的 x 次方，倒数就是 e 的 x 次方。上面照抄 a， x 加 a 减一，我们来化简一下， 上下同除以 x。 这个化简是非常简单的。求出了导函数，那我们现在就要想，它是大于零的时候就是增函数，小于零的时候就是减函数，等于零的时候可能就是极值了。 那这个导函数我们分析它大于零还是小于零，先看分母，分母它是指数，是一个大于零的形式，那我们只需要看分子的正负即可。 想一下啊，这是一个一次函数，一次函数第一步先考虑它的一次项的系数是一个字母，那我们肯定要分析， 当一次项系数为零的时候，这个导函数是恒大于零的，所以这个 f x 是 在 r 上是增函数。 现在我们来分析不是零的时候，那一次函数的单调性。大家应该都知道，一次项系数大于零的时候，他就是增的。好，那我们就是当小于零时，这个一次函数是一个增函数。我们先来看 当 a 小 于零时， f 倒 x 的 正，那这是一个单调递增的一次函数，我们来分析一下它的正负。什么时候这个导函数等于零呢？是负 a x 加 e 等于零，是 x 等于 a 分 之一时， f 到 x 是 等于零的好，想一下， x 小 于 a 分 之一的时候，负负 a， x 加一是小于零的，这个导函数就是小于零的。 x 大 于 a 分 之一的时候，负 a， x 加一是大于零的， f 到 x 是 大于零的。好，如果你现在还弄不清楚，稍微列一个表， x 中间的这个分界是 a 分 之一，小于 a 分 之一 是大于 a 分 之一。那导函数的情况是，小于 a 分 之一的时候，它是负的，等于 a 分 之一是零，这是正的，那对应的 f x 情况是对应的 f x 情况是减， 然后增，中间是一个极小值。当 a 大 于零时，同样，我们先看导函数等于零的情况，好，和上面是一样的。 再看 x 小 于 a 分 之一时，这里就不一样了，负 a x 加一就变成了大于零，那导函数就变成了大于零 x 小 x 大 于 a 分 之一时，导函数小于零。把表再列一遍啊， x 负无穷到 a 分 之一， a 分 之一， a 分 之一到正无穷。 f 倒 x 是 负零，正 f x 是 f 倒 x 是 正零，负 f x 是 增极大且啊。然后你要综上所述，把这三种情况都总结一下。 第二问，当 a 大 于零时，证明 f x 要小于二分之一 a 的 平方。 第一问的时候，我们就分析了 a 大 于零时候的单调性，我们要这个函数都小于二分之一 a 的 平方，其实也就是一个函数的最大值，要比二分之一 a 的 平方小。 那第一问求出来， a 大 于零时，这个函数是一个先增后减的一个情况，那中间这个极大值其实就是它的最大值， 那我们就把它变成了它的极大值。是 x 等于 a 分 之一的时候，那就是 f a 分 之一，它是要小于这个二分之一的平方。好，我们把它带进去选一下，那就是分母是 e 的 a 分 之一次方，分子是一，加 a 减一， 化解一下，这个是小于二分之一 a 的 平方，因为 a 大 于零，那我们可以把这个根据不等式的心值，我们把它化解一下，变成了 一的 a 分 之一小于二分之一 a。 因为指数这边是大于零的， a 也是大于零的，所以我们再把它移向一下，变成一的 a 分 之一次方，变成 a 乘以一的 a 分 之一次方要大于二。 你写的时候就要写，即正啊，我们只要证明 a 乘以 a， 现在我们就要证明 a 乘以 e 的 a 分 之一次方是要大于二。通常情况下，我们就是构造函数，分析它的单调性，求出它的最大最小值即可。 我们写到上面来，我们构造一个 g， x 是 等于 x 乘以 e 的 x 分 之一次方，因为在这里 a 是 大于零的，所以我们构造的这个函数的定义域也是大于零的， 那同样我们再对它进行求导，这是一个什么函数呢？首先它是一个乘积的形式，我们看这里乘积的形式在这里 是左导乘右加右导乘左，左导是一，左导乘右加上右导乘左右导。我们来看 e 的 x 分 之一次方求导，这是一个复合函数求导对不对？我们看这个，这什么是离导？ 好，先先算离导，里面的是 x 分 之一的导数， x 分 之一的导数是 负 x 平方，分之一乘以里导成外导，外导是 e 的 x 分 之一次方，把这个当成一个整体求导，那是 e 的 x 分 之 一次方。右导，写上啊，再乘以一个左，我们把它化简一下，变成了，变成这样啊，注意把定义域跟着写一下， x 是 大于零， 那我们来分析它的单调性，这个指数这一块是大于零的，所以我们只需要看前面是大于零还是小于零就可以了。 那是当 x 等于一的时候，这个导函数是等于零的，当 x 小 于。哦，注意，这里是大于零， 小于一的时候，导函数是小于零的。 x 大 于一的时候，导函数是大于零的。那我们还是也要画一个表，是零到一， x 是 零到一，一 一道正无穷倒函数是零，这原函数是减极小增，也就是说原函数的最小值是在哪里啊？你想想减再增最小值是不是就在极小之处？在 f 一 这个地方，那原函数的最小值就是在 x 等于一的地方，它的值是等于一的， 一次方程就等于一，要证的是这个东西它大于二，也就是证的是这个东西的最小值是大于二。现在我们知道最小值是一，一 是一是二点七左右，那它是大于二的啊，就得证了。整个这道题难度不大，零基础的同学应该自己完整的做一遍，保证其中的 求导的方法、分析，单调性的方法自己都能独立的完成。我是南京数学陈老师，关注我，每日更新零基础也能听懂的中高考数学题。
76北大状元陈老师
