成都七中八下数学压轴题五星几何兔
这道题的考法有种让人意想不到的感觉，这是来自最近成都期中一场初二班级考试 b 卷的一道几何压轴题，我们来看看它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于四， b、 c 等于三， d 和 e 分 别是 a、 b 和 b， c 上的两个点满足角 c、 d、 b 这里等于三十度，并且满足 c、 d 和 a、 e 这两条交叉的线段，它它是相等的，并且它交于一个 f 点。 我们的问题是来求 c、 f 减去 a、 f 这两条线段，它的差是等于多少？那么这个题通过读完条件之后，当然它的条件也是不少的。你读完条件之后，结合图的结构其实也是一头雾水，不知道从哪个地方哪个条件再来进行一个展开思考对不对？ 那么这个地方我们如何来进行一个联想到这些条件之间，它最终要进行一个关联起来，并且要把这个 c、 f 减去， a、 f 也要给它转化出来呢？ 这个地方我们考虑到这个 a、 b 和 bc， 它告诉我们它的长度是四和三，并且这里有一个夹角，特殊角三十度，也就是角 c、 d、 b， 它是等于三十度的，对不对？ 所以这个地方而且条件里面还有一个 a、 e 等于 c、 d 这两个交叉的线段，它是一个相等的关系， 当然相等的交叉线段可以通过平移来构造一个等腰三角形，它是可以平移的，对不对？然而我们这个地方可以站在这样一个角度的条件来进行一个判断，这个三和这个四这两个线段，并且这里有一个角 c、 d、 b 等于三十度。我如果要把这些条件发挥出来的话，我们这地方可以移， 可以把这个 a、 b 啊往 b、 c 这个方向上进行一个平行，也就是把 a、 b 沿着 bc 啊平移 平移到这个位置，然后左边我们再连接起来，那么这样的话就可以以 a、 b 和 b、 c 啊为边构造一个平行四边形这个焦点，这里我们标一个 h 点， 那么这样呢？构造有什么作用？第一个作用它就把这个三和四的范围使用范围就扩大了，这个 a、 h 它就是一个三， 然后 c、 h 它就是一个四，并且你通过构造的这个平行平移的平行线对不对？我们就可以发现这个三十度内错角，它就等于这个角 h、 c、 d 这个角它也是一个啊三十度， 那这样的话其实就有个好处，刚说了他把那个三和四这两个数据的使用范围就扩大了，并且把那个三十度也给他转移了，对不对？由于现在 a、 b、 c、 h 这个四边形，它是一个平行四边形，在平行四边形来转化， 我们剩余的这个条件就是 a、 e 等于 c、 d， 它就比较容易了。然而这样的一个转化这两条线段也是 啊比较不常见的一种啊，解法或者考法对不对？如果没有见过或者接触过这种考法的话，这这个题的这个地方其实是很难想到它接下来往哪个地方走的，对不对？所以接下来我们要采用一种面积法来转化这里的 a、 e 和 c、 d 这两条交叉的 相等线段。那么要使用面积法，我们要利用这个平行四边形的性质，它的面积来进行一个转化啊， a、 e 和 c、 d 这两个线段有关的三角形的面积，我们这个地方可以连接 h、 e 和连接 h、 d 这两个线段， 我们把这两个线段连起来，这两个线段连起来之后，我们可以发现与 a、 e 与 c、 d 有 关的，也就是面积有关的这两个三角形，我们可以看得出来，那就是三角形 啊 s 三角形，这里的 a、 h、 e 啊， a、 h、 e， 它是与 a、 e 有 关的一个三角形，对不对？它的面积应该刚好就是平行四边形面积的一半啊。然后另一个三角形就是与 c、 d 有 关的这个三角形的面积啊，也就是三角形 啊 h、 d， c 也就是 c d， h c d， h 的 面积也是平行四边的一半，所以这两个三角的面积它应该是相等的，它都等于平行四边形面积的一半， 那么根据这两个三角形的面积又相等，但而且这两个三角形有一个公共的点，就是这个 h 的 这个顶点，它是公共的一个顶点， 对不对？所以面积相等，这个 h 的 这个顶点所对的这个 a、 e 和 c、 d 这两个边也相等，对不对？所以过 h 点向 a、 e 和 c、 d 做两条垂线的话，那么根据面积相等，那么这两条垂线自然也是相等的。这个地方的这两条垂线， 我们分别标一个 m 和一个点，所以通过这个面积相等，我们就可以直接来转化出来。根据条件里面的 a、 e 等于 c、 d， 以及根据这个面相等，我们就转化出来这个 h、 m、 n， 它就等于这里的 h、 n， 所以 这个地方使用的这个面积来转化啊，这个 a、 e 等于 c、 d 这个条件确实有点让人意想不到，对不对啊？如果底子不好的人，这个地方是很难想到这个操作的，他肯定会想到去利用这个边相等来构造全等三角形，对不对？ 如果走那样的一条路的话，肯定是不好走的，因为不好能不能很好的关联到这个数据条件对不对？好。现在你转换到这一步之后，其实后面的操作就比较容易了，因为 h m 和 h a 相等，它就是两条垂线，我们直接连接 h f 左右就是一个 啊，全等三角形三角形 h m f 和三角形 h n f 这两个三角形肯定是全等的，你直接根据 h l 就 可以证明他的全等对不对？那么这里 就可以进一步判断出这个 m f 它应该是等于 n f 的， 对不对？所以我们最终的问题，问题是这个 c f 减去这个 af， 那 么 cf 当中有一个 n f， af 当中有一个 m f， 它们两个是相等的，它们的叉就可以把这两个相等的小线段给它抵消，到它最终就可以转换为这个 c n 减去这个 am， 对不对？那么 c n 减 a m， 我 们怎么来求它的一个叉？ y， 也就是能不能够把 c n 和 a m 这两个线段分别求出来了，当然这个地方是很容易观察出来的，你看一下我们最初 啊把这个构造成一个平行四边之后，这个三和四的使用范围它扩大之后，而且三十度也可以转移到上方 c 点这里来，对不对？我们就可以根据三十度所对的直角边是斜边的一半，马上可以判断出这个 h n 它应该就是一个二 啊， h m 它也是一个二，对不对？ c 根的长马上就判断出来它是一个二根三，对不对？左边这里的 a h m 当中使用勾股定律也可以直接算出 a m 的 长应该是一个根号五， 对不对？所以这里就可以进一步的求出，把这个 c n 减去 a m n 直接可以通过特殊角以及这个三和四两次勾股定律就可以把这个 x 算出来，它应该就是二倍啊，二倍根号三减一个啊，根号。 好，只要你把这个前期的这个辅助线以及思路往这个方向想的话，其实后面的计算啊，顺带的也是比较容易的说，这个地方特别要说明一下的就是前面的这个辅助线，也就是你构造成了这个平行四边之后， 要用这个平行四边的性质来关，用面积法来关联到这个 a e 和 c d 这两条相等的交叉线段， 不然的话你很难关联到这两个线段，对不对？如果你想用这两个去构造全的三角形，这个地方我估计的话是不太好去操作的，对不对？大家也可以想一想这个题有没有其他或者别的思路来解，这个题我们可以在评论区讨论一下。好的，这个的方法就是这样，大家呢也可以参考参考。
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04:37查看AI文稿AI文稿好，我们来看题，在三角形 a、 b、 c 中， ab 的 长度是四， bc 的 长度是三， d 点在 ab 边上， e 点在 bc 边上，若角 c、 d、 b 等于三十度， 并且 a、 e 和 c、 d 相等，然后让我们求 c、 f 减 a、 f 的 值是多少？ 好，首先来说，如果你想直接从这个结果下手的话，那我想可能绝大部分同学想的都是在 c、 f 上截取出一段长度等于 af， 但之后你就会发现上面这一段的长度你很难去处理它，所以说想要从结果着手可能有些困难了，那我们就只能从条件着手了。 先来看第一个条件，也就是这两条线段的长度了。由于 d 点和 e 点的位置都不是确定的，所以我们要尽量保持 ab 和 bc 长度的完整性。 酷哥，那该如何保持它们的完整性呢？哎，这个问题问的好，我们的一般方法是把 d 点和 e 点移到两端去，通常是用的平移法，比如我们可以把 a 一 向上平移， 把 c、 d 向左平移，这样就得到了两个平行四边形。好，我们再来看第二个条件，他说这个角 c、 d、 b 是 三十度的，那说到三十度这个特殊角，我想大家的第一想法应该都是做垂直，构造直角三角形。 但是如果你是直接过 b 点这样做垂直的话，或者是过 c 点向下做垂直的话，那这两种情况显然是不是都用处不大呀？ 这个时候你就要注意到， h、 a 和 c、 d 是 平行的，这个是我们刚做出来的，所以角 h、 a、 d 也是三十度的。由于 ab 的 长度是知道的，所以我们可以过 b 点向 a、 h 做一个垂线， 那这样一来， b m 的 长度就是二， a m 的 长度就是二倍根三了。好，我们再来看第三个条件，他说 a、 e 和 c、 d 是 相等的。那说到相等线段，对于咱们八年级的同学来说，是不是第一想法都是去构造全等三角形啊？ 我相信大家肯定都做过那种两条交叉线段相等，然后通过构造旋转、手拉手全等来解决的题。 但是那种情况，一般这两条交叉线段的夹角会是一个特殊值，比如是四十度或者是六十度这种。 所以说今天这道题想这样做可能是不太行的。兔哥，那相等线段还有别的处理方法吗？哎，这个问题问的好，其实它有一个很容易被忽视的点，那就是等面积法。 注意看了啊，如果我们连接 b、 g 和 b h 的 话，不难发现，三角形 b、 g、 c 和三角形 b、 a、 h， 它俩的面积是相等的，这个应该能看明白吧？它就是一个拉窗帘的知识。 所以说，如果我们过 b 点向 c、 g 做一个垂线的话，因为 c、 g 和 a、 h 是 相等的，现在它们俩的面积又相等了，所以它们的高自然也是相等的，也就是 b n 和 b m 相等。 好，那走到了这一步之后，答案是不是已经呼之欲出了呀？我们令中间这个焦点为 o， 然后再连接 o b。 显而易见，三角形 b、 o m 和三角形 b、 o、 n 是 全等的，所以 o m 和 o n 相等。 因为四边形 o a、 f、 c 是 平行四边形，所以 o a 和 c f 相等， o c 和 af 相等，那这个时候 c f 减 af 就 等于 o a 减 o c 了， 而其中 o a 是 等于 am 加 o m 的， o c 又是等于 c n 加 o n 的， 之后我们代入化简一下，这就等于 a m 减 c n 了。又因为三角形 b c n 是 一个直角三角形，所以 c n 的 长度是等于根号五的，所以 a m 减 c n 就 等于二倍根三减根五了。你学会了吗？
5190五星几何兔
02:46查看AI文稿AI文稿好，我们来看题，在矩形 a、 b、 c、 d 中一点，在 b、 c 边上，现在把三角形 c、 d、 e 剪下来，然后把它拼到矩形的上面。 题目问，若角 c、 d、 e 的 正切值是二分之一，让我们求 f、 g 和 c、 e 的 比值是多少？ 好，其实这道题的解法还是比较多的，最快的一种还是要数一二三四五模型了，因为可以直接秒杀，连辅助线都不需要。 首先显而易见，这个角 c 撇一撇 f 是 等于四十五度减二法的，所以它的正切值应该是三分之一，所以 c 撇 f 的 长度就是三分之一，那一撇 f 的 长度就是三分之杠十了。 又因为一撇 d 的 长度等于刚好五，所以一撇一的长度就是刚好十，那 e、 f 的 长度就等于三分之二倍，刚好十了。 由于这一组八字相似的相似比是一比三，所以 f、 g 的 长度就出来了，那 f、 g 比 c、 e 就 等于六分之根十，你们看，这是不是直接就口算出来了呀？ 好，这个时候肯定有同学会问了，兔哥没学过一二三四五模型，该怎么办呢？哎，这个问题问的好， 由于我们的解析关键是确定 c 撇 f 的 长度，因为只有这样，我们才能够知道这个八字相似的相似比。那由于 c 撇 d 的 长度是已知的，所以我们求出 f、 d 的 长度也是可以的。 而在三角形第一撇 f 中，这里有一个四十五度角，而法的正切值也是知道的，所以 f、 d 的 长度是很好求的，我们只需要过 f 点向第一撇做一个垂线就行了。显然 h 点是第一撇的三等分点， 所以 f h 的 长度就等于三分之根五，那 d、 f 的 长度就等于三分之五了，所以 c 撇 f 的 长度就等于三分之一。怎么样，这样做是不是也挺快的呀？只加了一条辅助线，当然了，肯定还有别的解法， 比如你可以过一点向上做一个垂线，这样也是轻轻松松的好。如果你也想在做压轴题的时候解的这么丝滑的话，那这一本初中数学压轴题你一定要带回家。 他精编了近几年中考的几何压轴题和函数压轴题，而且所有的题型都配有视频讲解，让你恋有所思，思有所用，切实提高你解决压轴题的能力。
601五星几何兔
04:46查看AI文稿AI文稿快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题也是最近才出的模考填空压轴题。 先看第一问，说在等腰直角三角形 abc 中，腰长 ab 是 二， p 点在 bc 边上， q 点在 ac 边上，并且 b p 和 c q 相等，然后让我们求 ap 加 b q 的 最小值， 怎么样？这第一问是不是很简单啊？送分的吧，因为这就是一个非常标准的逆等线模型，所以直接套模型就行了。 我们过 c 点往上做一个垂线，并且截取出一段 c、 d 的 长度等于二，然后再连接 d q， 那这样一来，三角形 d、 c q 和三角形 ab p 就 全等了，所以 d q 和 ap 相等，这个时候 ap 加 b q 就 等于 d q 加 b q， 那 如果我们连接 b d 的 话，显然 d q 加 b q 是 大于等于 b d 的， 所以我们求出 b d 的 长度就行了。 因为 ab 的 长度是二，所以 bc 的 长度是二倍根二，那 b、 d 的 长度就是二倍根三了，所以 ap 加 b q 的 最小值应该是二倍根三。 好，我们来看第二问，同样的还是在一个等腰直角三角形 a、 b c 中，只是现在 b p 是 c q 的 根号二倍，然后当 q p 比 ap 取到最小值的时候，让我们求线段 b p 的 长度是多少， 怎么样？题目读完之后，是不是又下不了手了？常规的逆等线变成了加权逆等线，这就让很多同学一下子就不知道该怎么办了。今天大家记住兔哥一句话， 就是既然你会做常规逆等线问题，那么就去把加权逆等线的系数消掉。 注意到角 a、 b p 是 四十五度的，所以我们可以过 p 点向 ab 做一个垂线，那三角形 b d p 就是 一个等腰直角三角形了， 所以 b p 等于 b d 的 根号二倍，那这个时候 b d 和 z q 就 相等了，你们看现在加权系数是不是就变成了一了吧？ 好，又，因为三角形 abc 是 一个等腰直角三角形，所以显然 a d 和 a q 也是相等的。 现在请大家回想一下，前面我们是怎么处理常规逆等线的呀？是不是通过全等三角形的方式把这组逆等线拼接到一起去的？所以接下来的做法也是一样的， 我们过 a 点做一条线，和 a p 垂直，并且截取出一段 a 一 和 a p 相等，然后再连接 eq， 那这样一来，三角形 q a 一 和三角形 d a p 就 手拉手全等了，所以角 a q 一 等于角 ad p 等于九十度。接着我们取出 a 一 的中点 o， 然后再连接 o q 和 op， 这个时候 o q 等于二分之一， a 一 也就等于二分之一 a p 了，而 o p 等于二分之根号五倍的 a p。 而又由于 o p 减 o q 是 小于等于 q p 的， 也就是二分之根号五， a p 减二分之一， a p 小 于等于 q p， 所以 q p 比 a p 是 大于等于二分之根五减一的。当前仅当 o q p 三点共线的时候能取到最小值。 好，现在这个比值的最小值算是求出来了，那 b p 的 长度又该怎么求呢？这个就需要你把共线时的图画出来了。 可以看到，这个时候角 c q p 和角 o q a 对 顶相等，而角 o q a 和角 o a q 是 相等的，而这个角 o q 它又和角 b a p 是 相等的，所以发现问题了没有？ 这个时候三角形 c q p 和三角形 b a p 是 不是相似啊？所以 c p 比 b p 等于 q p 比 a p 也就等于二分之根五减一。 因为 bc 的 长度是二倍根二，所以 b p 的 长度也就可以算出来了。它应该是等于根十减根二的，你学会了吗？
3395五星几何兔
04:17查看AI文稿AI文稿为什么你只会看着题目发呆，而有的同学却能想出三五种解法呢？好，今天我们来看一道成都的模考填空压轴题。 题目说，在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 是 六十度的， bc 的 长度是刚好七 d 点在 bc 边上，并且角 adc 是 三十度的。 题目问，若 b、 d 的 长度是一，然后让我们求线段 a、 d 的 长度是多少？ 好，今天我就不跟你们多废话了啊，我直接说我是怎么想的。首先，当我看到这个三十度的时候，我的脑子里产生了两个想法，第一个是过 a 点向下做一个垂线来构造出含特殊角度的直角三角形。 然后很显然，角 c、 a 一 和角 b、 a、 d 是 相等的。如果我们令 a 一 的长度是 a 的 话，那 a、 d 的 长度就是二 a、 d 一 的长度就是高三 a 了。 因为 c、 d 的 长度我们是知道的，所以 c、 e 的 长度也就出来了，等于说是现在三角形 a、 c、 e 中有两条边都表示出来了。所以我紧接着就想到了利用这两个 r 发酵来造一组手拉手相似。 因为这底下有一个三十度角，所以很好想到去延长 a、 d， 然后再做垂直的，这样 b、 f 的 长度就是二分之一， d、 f 的 长度就是二分之杠三。 因为三角形 a、 b、 f 和三角形 a、 c、 e 显然是相似的，所以我们就能列出来一个关于 a 的 方程了。 好到这里，我发现我好像有点上当了，因为虽然前面的辅助线并不难想，但是这个式子压根就不用看这一眼就知道很难去化解求解。不过呢，考虑到这也算是一种方法吧，所以我就硬着头皮算下去了， 最后我是用配方法硬算的，解出来， a 是 等于六分之根号二十一加根号三的，所以 a、 d 的 长度就是三分之根号二十一加根号三。 好，刚才我为什么说我上当了呢？因为我的直觉告诉我，这个方法并不是出题人的本意，应该还有更简易的方法。 所以呢，我就想到了我看到三十度角的另一种想法，那就是翻折。最开始我想的是把三角形 a、 c、 d 翻折上去，结果发现这里的六十度好像起不了作用， 后来我又想着把三角形 a、 b、 c 翻折上去，哎，结果又发现下面的三十度起不了作用了，这个时候我就想，有没有一个两全其美的方法呢？哎，我突然就想到了上个视频刚跟大家讲过的对角互补模型中的题型三， 如果我们在这里做一个三十度的角，然后在上面做出一个六十度的角，那这里是不是就有了一个对角互补模型呢？ 这个时候根据模型的推论，我们是不是就能得到 a 一 和 a、 c 相等啊？如果我们再连接 b 一 的话，很显然三角形 a、 b 一 和三角形 abc 是 全等的，所以 b 一 的长度就出来了。 那接下来 d 一 的长度是不是也能求了呀？不管你是直接过 e 点向下做垂线，还是延长 e、 d， 然后再做垂线都行，总之算出来 d 一 的长度是二。由于 c、 d 的 长度我们是知道的，那现在要求 a、 d 的 长度怎么求啊？ 是不是直接套模型的结论呐？也就是 c、 d 加 d 等于 a、 d 的 根号三倍，最后代入数值去计算就行了，算出来 a、 d 是 等于三分之根号二十一加根号三的。 怎么样，这个方法是不是就比第一种方法要便捷很多呀？所以说呀，还是那句话，多学一点东西总归是好的，毕竟你马上就要参加中考了呀，你学会了吗？
4793五星几何兔
04:42查看AI文稿AI文稿我有多久没有讲过八年级的题了？那好，今天我们就来看一道八下期末的几何压轴 题。题目说，正方形 a、 b、 c， d 的 边长是六， e 点在 c、 d 边上，并且 d 一 的长度是二， f 点在 ab 边上，连接 df 和 a 一 相交于几点？ 题目问，若角 a、 g、 f 是 四十五度的，让我们求线段 b、 f 的 长度是多少？ 好？读完题目之后，我相信学过一二三四五模型的同学，肯定一秒钟都不要就瞪眼出答案了。 不过呢，对于咱们八年级的同学来说，现在学这个模型还为时尚早呢，因为它里面涉及到了九年级的三角函数。所以话又说回来了，他既然是八年级的题，就肯定有八年级的解法。 可以看到本题的条件并不多，而关键点也就只有一个，就是这个四十五度角。那提到四十五度的时候，大家的第一想法是啥呢？是不是就是去做等腰直角三角形啊？所以我们可以过地点向 a 一 做一个垂线， 因为 a 一 的长度我们是可以算出来的，那然后就能用等面积法求出 d、 h 的 长度了， 所以 g h 的 长度也是五分之三倍根十，那 d g 的 长度就是五分之六倍根五了。又因为 e、 h 的 长度是五分之根十，所以 a， g 的 长度就是五分之六倍根十。 这个时候如果你眼尖的话，你应该能看出来 a g 刚好是 d， g 的 根号二倍。那如果我们过 a 点向 f g 做一个垂线的话， a， n 和 g n 也都是五分之六倍根五了。 所以这个时候 g 点刚好是 n、 d 的 中点，那如果我们也取出 a、 d 边的中点的话，然后再连接 m g， 那根据中位线的性质， m g 和 n d 就 也是垂直的了。现在请大家注意看三角形 a， n， f 和三角形 d g m。 角 a， n， f 和角 d， g， m 都是九十度的， a， n 和 d g 长度相等， 而角 n， a， f 和角 g d m 显然也是相等的，所以说它们俩是全等的，所以 a f 的 长度就出来了，那 b， f 的 长度就是三了。 好，这是其中的一种解法，可能有点不太好想，而且呢，计算量也不算小，因为一直在用勾股定律。那接下来我们再来看第二种解法。 在我们学了正方形之后，有两个模型是一定要掌握的，一个是十字架模型，一个是半角模型，接下来就要用到这两个模型，解题的出发点还是这个四十五度角，我们过 a 点做出 d， f 的 垂线。 首先根据十字架模型，我们可以知道三角形 a、 b、 h 和三角形 d， a、 f 是 全等的， 所以 b h 和 af 相等，于是 c h 和 b f 也就相等了。因为角 e， a h 是 四十五度的，所以角 d a 一 加角 b， a h 是 四十五度的。那接下来是不是就可以用半角模型了呀？ 我们先连接 e h， 然后再延长 c b， 并且令 b， n 的 长度等于二。接着再连接 an， 先证明三角形 a， b， n 和三角形 a， d， e 全等，于是就得到了 a， n 和 a e 相等，角 b， a， n 和角 d， a e 相等， 所以角 n a h 也等于四十五度。那接下来就又可以证明三角形 n、 a、 h 和三角形 e h 全等，从而就得到了 n h 和 e h 相等。 然后我们设 c h 的 长度等于 a， 所以 b、 h 的 长度就是六减 a， 那 e、 h 的 长度就是八减 a 了。而又因为 c 一 的长度是四，所以用勾股定律就能把 a 解出来了，所以 b、 f 的 长度是等于三的，你学会了吗？
6782五星几何兔
02:49查看AI文稿AI文稿这道题你不能秒杀，那你的基本功可就太差了。好的，今天我们再来看一道八下期末的填空压轴题。 题目说在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 和 ad 相等， ac 的 长度是六，然后角 acb 和角 acd 都是四十五度的，条件就是这么几个，非常的简洁。 先看第一个空，让我们求这个四边形的面积是多少，就这么说吧，如果你没有做到秒杀这道题，那就说明你可能不知道什么是对角互补模型。 这个模型我之前也专门出视频讲过，在他的这三个条件中知道任意两个都是能推导出第三个的。 那么在本题中，他给了我们零边相等和角平分线这两个条件。 所以根据模型的结论，我们可以知道这个角 b、 a、 d 其实是九十度的，证明起来也是非常的简单。我们在 b、 c 上取一段 c、 e 和 c、 d 相等就行了。 先证三角形 a、 c、 e 和三角形 a、 c、 d 全等，从而得到 a、 e 和 a、 d 相等， 然后再通过这个等腰三角形来倒角，从而得到角 a、 b、 c 和角 a、 d、 c 对 角互补，所以也就得到了角 b、 a、 d 等于九十度。那之后再想求这个四边形的面积，就非常简单了。这里给大家提供两个思路。 方法一是构造一线三垂直线，直接把两边的高做出来，这样全等之后就得到了 b、 f 加 d g 等于 a、 c， 所以 四边形的面积就等于二分之一，乘 a、 c 乘 b f 加 d g， 也就等于十八。 然后方法二就是延长 c、 d 再做一个等腰直角三角形，通过手拉手全等，将四边形 a、 b、 c、 d 的 面积转换成三角形 a、 c、 h 的 面积。 以上这两条路都是可行的，不过呢，考虑到这第二个问题，用第二个方法还是好一些的，因为它的辅助线我们可以接着用。 由于前面我们已经证明了三角形 a、 b、 d 是 等腰直角三角形，所以要求 b、 d 的 最小值，也就是求 a、 d 的 最小值了。而又因为三角形 a、 c、 h 是 一个腰长固定的等腰直角三角形， 所以说 d 点它就在线段 c、 h 上运动，那自然是当 a、 d 和 c、 h 垂直的时候才能取到最小值了。最后算出来 b、 d 的 最小值应该是六，你学会了吗？
3463五星几何兔
02:04查看AI文稿AI文稿前两天讲武汉四钓第十五题的时候，有些同学说想不到去做等腰三角形，那这个就是你对二倍角模型了解的不够了。其实当我们在遇到二倍角的时候，构造等腰三角形算得上是核心的解析思路了。 那今天我们就再来看一道与二倍角有关的模考几何压轴题。已知，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 点是 ab 边的中点， f 点在 b、 c 边上，并且 b、 f 是 f c 的 n 倍， 条件就是这么简洁。题目问，若角 d， a、 f 是 角 a、 d、 e 的 两倍，然后让我们求 n 的 值是多少 好，还是那句话，关于二倍角的辅助线，思路根本没那么复杂，要么把大角对半开，要么把小角加倍，哪怕你挨个去试都可以。这里我是这样做的， 首先因为 a、 d 和 b、 c 是 平行的，所以角 a、 f、 b 也等于二 r 法。 然后我们延长 f c， 并且令 g f 和 a f 相等，然后再连接 a g， 那 这样一来，角 f、 a、 g 和角 f g a 就 都是 alpha 了。 因为 e 点是 ab 的 中点，所以很显然阿尔法的正切值是二分之一，那这个时候 b 极的长度就是 ab 的 两倍了吧。所以到这里答案就出来了吧。我们设 f、 c 的 长度是 e， 那 b、 f 的 长度就是 n， 所以 c、 g 的 长度就是 n 加一，然后 a、 f 的 长度就是 n 加二了。又因为 ab 的 长度是 n 加一，所以我们就能用勾股定律列出一个关于 n 的 方程了。最后解出来， n 是 等于三的，你学会了吗？
1227五星几何兔
02:38查看AI文稿AI文稿好的，也是很久没有测试大家的思维能力了，今天这道题绝对能让你费点功夫。 题目说，三角形 a、 b、 c 是 等腰直角，三角形 d 点在 b、 c 的 延长线上， e 点在 a、 d 边上，并且角 a、 e、 b 的 正切值是三分之四。题目问， 若 a、 d 的 长度是 b、 f 长度的两倍，然后让我们求线段 f、 c 的 长度是多少？ 好，废话不多说，直接上才艺。首先在 b、 c 上取一段 b、 g 的 长度为六，然后再连接 a、 g， 这样一来角 a、 g、 b 的 正切值也是三分之四，所以角 a、 g、 b 和角 a、 e、 b 是 相等的，然后我们就能用圆周角定律来判定 a、 b、 g、 e 四点共圆了，所以角 e、 a、 g 和角 e、 b、 g 是 相等的。这个信息非常的重要， 接下来我们把这里的二比一构造成相似比，这也是面对这种条件的常规处理方法了。 因为 a、 g 的 长度是十，所以我们在 b、 c 上取一段 b、 h 的 长度等于五，然后再连接 f、 h， 因为 a、 g 比 b、 h 等于 a、 d 比 b、 f 等于二，再加上有一对相等的夹角，所以很显然三角形 d、 a、 g 和三角形 f、 b、 h 是 相似的， 所以角 b、 h、 f 和角 a、 g、 d 就 相等了，那这个时候角 f、 h、 c 也等于二发了。现在请大家注意看 f、 h、 c 这个三角形， 它的左边角 f、 h、 c 的 正切值我们是知道的，它的右边角 f、 c、 h 又是四十五度的，再加上底边 h、 c 的 长度也是一致的，所以 f、 c 的 长度现在是不是能求了呀？我们只需要过 f 点向下做一个垂线就行了。 然后我们设 h、 n 的 长度就是四 a 了，所以 c、 n 的 长度也等于四 a， 于是三 a 加四 a 等于三，所以 a 是 等于七分之三的，最后 f c 的 长度就等于七分之十二倍的根二，你学会了吗？
1181五星几何兔
07:39查看AI文稿AI文稿关于对角互补模型，你知道多少？今天这个视频，兔哥就跟大家好好聊聊对角互补这个模型。 一般情况下，在任意的一个图四边形中，如果仅仅只有对角互补这一个条件，那么这个图形还不能称之为对角互补模型， 因为我们也只能用它来导角。比如我们可以根据四边形内角和是三百六十度来得到角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d 也是互补的。 或者我们可以根据对角互补来判定 a、 b、 c、 d 四点共圆，然后再利用圆周角定例来导角。比如我们可以得到角 b、 a、 c 和角 b、 d、 c 相等， 那么要想让它成为一个模型，我们就需要加入别的条件，比如我们让 ab 和 ad 相等， 那这个时候这个图就变得有意思了，因为如果我们连接 ac 的 话，那么 ca 一定是角 b、 c、 d 的 平分线。 如何证明呢？非常简单，我们可以延长 c、 d， 并且令 d、 e 和 bc 相等就行了。然后再连接 a 一， 因为角 a、 d、 c 和角 abc 对 角互补，所以角 a、 d、 e 和角 abc 是 相等的，那这样三角形 a、 d、 e 和三角形 abc 就 全等了， 所以角 a、 e、 d 和角 a、 c、 b 相等， a 一 和 a、 c 相等，这个时候三角形 a、 c、 e 就是 一个等腰三角形，所以角 a、 c、 e 也等于 c， 它你们看，这不就证明了 c、 a 是 角平分线了吗？ 好，接下来我们来看第二种情况。如果我们在对角互补的基础上，先令 c、 a 平分角 b、 c、 d， 那 么能不能反过来推出 ab 和 ad 相等呢？ 答案当然是可以的，我们只需要在 bc 上截取一段 c 一 和 cd 相等就行了，然后再连接 a 一。 显而易见，三角形 a、 c、 e 和三角形 a、 c、 d 全等，所以 a、 e 和 a、 d 相等， 角 a、 e、 c 也等于贝塔。又因为阿尔法和贝塔是互补的，所以角 a、 e、 b 也应该等于阿尔法。这个时候三角形 a、 b、 e 就是 一个等腰三角形， 所以 ab 和 a 一 是相等的。你们看，这不就证明了邻边相等了吗？ 好，我们继续来看第三种情况。现在我们令 ab 和 ad 相等，再令 c、 a 是 角 b、 c、 d 的 平分线，并且 bc 和 cd 不 相等， 那么能不能推出角 a、 b、 c 和角 a、 d、 c 对 角互补呢？我相信大家也都能猜到。答案当然是可以的， 它辅助线的做法和前一种情况是一样的，也是在 b、 c 上截取一段 c、 e 和 c、 d 相等，然后再连接 a、 e。 还是先证明三角形 a、 c、 e 和三角形 a、 c、 d 全等，从而得到角 a、 e、 c 和角 a、 d、 c 相等，还有 a、 e 和 a、 d 相等。 那这个时候三角形 a、 b、 e 刚好是等腰三角形，所以角 a、 b、 e 和角 a、 e、 b 相等。你们看，这是不是就证明了角 a、 b、 c 和角 a、 d、 c 对 角互补了呀？ 好，经过以上三种情况的讲解，我相信大家肯定都能很快做出总结，也就是在对角互补模型中，他的三个条件，一、对角互补，二、零边相等 三角平分线。如果我们知道任意两个都是可以推出第三个的。好，那接下来我们就来看一看对角互补模型在特殊情况下的应用。 先来看第一种题型，当对角互补模型遇上等边三角形的时候，若三角形 a、 b、 d 是 等边三角形，角 b、 c、 d 是 一百二十度的， 那么我们除了能推导出角 a、 c、 b 和角 a、 c、 d 都是六十度的之外，还能得到一个新的结论，那就是 a、 c 等于 bc 加 cd。 证明方法和前面第一种情况是一样的，我们延长 c、 d， 并且令 d 一 和 b、 c 相等，然后再连接 a 一， 接着就可以证明三角形 a、 d 一 和三角形 a、 b、 c 全等了，这样就能得出三角形 a、 c、 e 是 等边三角形了，所以也就能得到 a、 c 等于 c、 d 加 bc 了，像这种题型八上考的是比较多的。 好，我们再来看第二种题型，当对角互补模型遇上等腰直角三角形的时候， 若三角形 a、 b、 d 是 等腰直角三角形，并且角 b、 c、 d 是 九十度的， 那么同样的，我们除了能得到角 a、 c、 b 和角 a、 c、 d 都是四十五度的之外，也会得到一个新的结论，那就是 b、 c 加 cd 等于 a、 c 的 根号二倍。这种情况的证明方法也是一样的， 我们延长 cd， 并且令 d 一 和 bc 相等就行了，然后再连接 a 一， 还是先证明三角形 a、 d 一 和三角形 a、 b、 c 全等，然后就能得到三角形 a、 c 一 也是一个等腰直角三角形， 所以也就得到了 bc 加 cd 等于 a、 c 的 根号二倍。像这种题型，八下和九上考的是比较多的。 好，最后我们再来看第三种题型，那就是当对角互补模型遇上顶角为一百二十度的等腰三角形的时候， 若三角形 a、 b、 d 是 一个顶角为一百二十度的等腰三角形，并且角 b、 c、 d 是 六十度的，那么同样的，我们除了能推导出角 a、 c、 d 和角 a、 c、 d 都是三十度的之外，还能推导出什么呢？ 那就是 bc 加 cd 等于 ac 的 格号三倍。这种情况的辅助线依旧是一样的，我们延长 cd， 并且令 d 一 和 bc 相等，然后再连接 a 一， 还是先证明三角形 a、 d 一 和三角形 a、 b、 c 全等，然后就得到了三角形 a、 c 一， 也是一个顶角为一百二十度的等腰三角形， 所以也就得到了 bc 加 cd 等于 a、 c 的 杠三倍。那像这种题型，常规考试中就不太会出现了，算是我给大家做的一个补充吧， 不过呢，咱也说不准是吧，万一哪天考试真遇到了呢？哎，你不就捡便宜了吗，对吧？所以说呀，多学一点东西总归是好的，你学会了吗？
3359五星几何兔
03:41查看AI文稿AI文稿快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是二零二三年成都中考几何压轴题的第三问，他的前两问也没啥好讲的，而且呢，跟这第三问的关系好像并不大，所以这里我就直接跳过了。 好，题目给了我们一个等腰直角三角形 abc， 腰长 ab 等于二，地点在 bc 边上，并且 cd 等于 n 倍的 b d， 这里的 n 它是一个正整数啊，我好像写漏了。 然后 e 点在线段 a、 b 上， f 点在直线 a、 c 上，并且 d 一 垂直 d f。 题目问，若 o 点是 e、 f 的 中点，让我们求 e 点从 a 点运动到 b 点的这个过程中， o 点经过的路径长度。 好，首先我们要知道，既然要求经过的路径长，那是不是得把 o 点的运动轨迹找出来吧。 可以看到三角形 aef 和三角形 def 都是直角三角形，所以我相信大家应该都能想到去连接 oa 和 od。 然后根据斜边中线定律，我们可以知道 o a 和 o、 d 是 相等的，那这个三角形 a、 o、 d 是 不是就是一个等腰三角形了？所以很明显， o 点它就在 a、 d 的 垂直平分线上，这个应该没什么问题吧？ 好，那接下来就是去找 o 点的起点和终点了。当 e 点位于起点 a 处的时候， d 一 就和 a、 d 重合了，所以我们过 d 点做出 a、 d 的 垂线， 然后再延长 a、 c， 接着再取出 a、 g 的 终点，那这个 m 点就是 o 点的起点了。 好，当 e 点运动到终点 b 处的时候， d 一 就和 b、 d 重合了，所以我们过 d 点做出 b、 d 的 垂线， 然后再延长 c a， 并且连接 b、 h， 接着再取出它的终点，那它就是 o 点的终点了。所以说接下来我们只要求出 m n 的 长度就行了。 我们过 n 点向 a h 做一个垂线，那根据中位线定律，我们可以知道 n q 的 长度是等于一的。 好，接下来如果你想的是先求出 m q 的 长度，然后再用勾股定律来求 m n 的 话，那可能会稍微有一丢丢的麻烦。 但是如果你能注意到这个角 q m， n 和角 b， h、 d 相等的话，可能相对来说会简单一点，这个简单导个角就有了。 首先根据 a、 h、 b、 d 这四点共圆，我们可以知道角 b， h、 d 和角 b， a， d 是 相等的。然后再根据互余关系就能得到角 b， a， d 等于角 q m， n 了。 由于 b， d 和 c， d 的 长度，我们都可以用 n 来表示，又因为三角形 h、 d， c 是 一个等腰直角三角形，所以 h， d 也就等于 c， d 了。那这样一来， b h 的 长度也能用 n 来表示了， 这个时候阿尔法的正弦值就出来了。最后 m， n 的 长度是等于 n q 除以三阿尔法的，也就等于根号下 n 方加一了，你学会了吗？
1138五星几何兔
03:00查看AI文稿AI文稿快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是一道八下的填空压轴题，不瞒大家说，这道题在我的题库里已经躺了两年半了，今天也是终于决定把它拿出来讲了。 题目说，三角形 abc 是 一个等边三角形 o 点是它 bc 边的中点，然后向上做一个直角三角形 b、 c、 d 以点在 o、 d 上，接着连接 a 一， 并且再把它背长。题目问，若角 a、 b、 d 等于角 f b d、 o 一 的长度等于二， f、 c 的 长度等于五，让我们求 b、 f 的 长度是多少 好？读完题目之后，你会发现最显眼的条件可能就是这两个终点了。那说到终点，我跟你们也讲过很多次了，考的最多的也就是背长中线和中位线了。 这里如果我们连接 c 一， 并且把它背长的话，然后再连接 a 几和 b 几，那先由全等我们可以得到 a 几的长度等于五，接着再由中位线定里，我们可以得到 b 几的长度等于四。 好，那之后再怎么办呢？题目条件中的这个角度该怎么来利用呢？是不是就只能倒角了呀？大家别忘了，角 b、 d、 c 这个九十度我们还没用呢。 如果我们令角 obd 等于 r 法的话，那么根据斜边中线定理，角 odb 也等于 r 法， 而又因为 b g 和 o d 是 平行的，那这个角 d、 b、 g 是 不是就等于 r 法了呀？这个时候你会发现这个角 f、 b、 g 它刚好等于六十度。 好！看到六十度角你会干什么呢？是不是去做等边三角形呢？如果我们在 b、 f 上取一点 h， 并且令 b、 h 的 长度等于四的话，然后再连接 c、 h， 那是不是很容易证明三角形 c， b、 h 和三角形 ab g 手拉手全等啊？ 全等之后， c h 的 长度就是五了。由于我们要求的是 b f 的 长度，所以现在还需要把 h f 的 长度求出来，那这个时候就需要一点小小的个人经验了，也就是直线 a g 和直线 c h 的 夹角其实是六十度的， 这个就是手拉手全等的一个隐藏结论了，只需要简单倒个角就能证明了，大家可以自己去研究一下。 好，那由于 a g 和 f c 是 平行的，所以说这个角 f c h 其实是六十度的，那这个时候三角形 f c h 就是 一个等边三角形了，所以 h f 就 等于五了。那 b f 的 长度是不是就等于九了呀？你学会了吗？
4163五星几何兔
