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16:38查看AI文稿AI文稿首先我们来看一幅图，这是一幅公园的施工图。好，我们看一下图中的这个工人在刷漆。 好，这个工人在圆柱形的水池装水。好，那么这些工人需要知道哪些有关图形测量的数据呢？先来说一说，好，问，这件图的是圆柱的侧面积 好，还有没有看完？喷水是喷的，圆柱的体积需要求圆柱的体积好，谁来再说一说，那你看这个在干嘛？ 围篱笆对不对？那需要什么？需要知道它的周长长度对不对？好，那么这些工人在施工的时候，他需要测量的这些数据都跟我们今天复习的图形有关系。 好，那么在我们测量的时候，一般都要有有单位，第一个测量的是长度，第二个测量的需要面体单位好，第三个测量需要体单位好，第四个是我们的两角对不对？好，那为什么要统一的单位呢？ 谁来说一说单位为什么好？谢敏婷，单位不等于就计算不了。好，我们来看一下单位的产生。在生产与生活中，人们经常要量物体的长度，测量土地的面积， 计算物体的体积等，这些量不能直接数出来，我们除了数据还要单位对不对？ 必须要用一定的量做单位来计量长度，有长度的单位面积，有面积的单位面积，能不能用长度的单位？不能，他们是不同概念的。好，所以我们就会产生了长度，单位面积，单位体积单位角度单位等等。 好，我来继续来看一下相邻的长度，单位面积，单位体积，单位之间的净率，我们已经学习过了。好，昨天也布置大家去整理一下。好，那我们来找一找啊。好，郭康亮，你可以说一说，上来动作快一点啊，好，看一下郭康亮的整理，就你的整理跟大家说一说。 毫米的距离是一千米和分米的距离是十，分米和厘米的距离是十，后面还有一个是毫米的，毫米的距离也是厘米到毫米是十。好，第二个是面积单位来 平方千米和公顷的净率是一百，公顷和平方米的净率是一万，平方米和平方分米的净率是一百，平方分米和平方厘米的净率是一百。那到体积立方米和立方分米的净率是一千，立方分米和粒 立方厘米的净率是一千，升和毫升的净率是一千。好，掌声送给他，好，回到位置上去。好，我们接下来那么我们展示一下啊。 好，长度单位，面积单位，体积单位是我们今天要研究的比较重要的一个单位测量。好，那么接下来 你还记得这些平面图形的周长和面积公式吗？比如说第一个长方形，还记得不？长方形，我们当时是通过找一个一平方厘米大小的正方形的格子， 然后去铺在上面数小正方形的个数，想起来没有。好，那如果是小正方形的个数有多少个，就代表长方形的面积就会有多少平方厘米。好，所以在过程中我们观察到 每排的个数就是长方形的长排数就是宽。 好，所以我们得到长方形的面积，它就是等于长乘以宽。我们的正方形也是如此，通过一平方厘米的格子来平铺它，所以我们当时是有数格子的，还记得不？ 通过数格子来的也得到正方形的面积是边长乘以边长。好，那么接下去我们又学了平行四边形， 那它面积是怎么推打的？来？切割法是不是好？切割法，我们展示一下啊。切割法怎么切左 边，左边的三角形剪下来形成长方形，也就是说这个平行四边形的面积可以转换成一个长方形。好，那么长方形的长就是平行四边形的长， 长方形的长是平行四边形的底，长方形的框是平行四边形的高，那长方形的刚才面积是长乘以宽，所以我可以得到平行四边形的面积是 高。好，我们底喜欢用什么表示？底？ a 好 高，用 h 来表示，所以可以得到 s 等于 a 乘以 h。 好， 那么我们长方形它是等于长乘以宽，这个 a 表示长，这个 a 表示在平行四边形里面，表示底。好，正方形是 边长乘以边长，就可以写成 a 的 平方， a 的 平方。 ok， 好， 我展示了一个平行四边形的。啊，那接下来三角形我让其他同学来说好，谁来说一说三角形 面积又是怎么推打出来的？好，张莹，三角形的面积是由两个同样的三角形，然后把它拼成一个平行四边形，之后再把那个平行四边形转化为长方形，再用长方形的面积去除以二留出来的。也就是说， 平三角形的面积是通过把用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形， 是两个拼成一个平行四边形，那一个平行四边形的面积 s 等于 a， 那 一个三角形是多少？ s 等于除以二，除以二。 好，那我们来看一下刚才张颖所说的，我们用动画来展示一遍，两个完全一样的，这是我们的关键词啊，要完全一样。好，可以吗？ 可以，我们把知识回顾一遍啊。接下来梯形呢？好问，这些，我两个完全一样的梯形拼在一起就变成，又把梯形转化成平行四边形。好，你做这个方式跟我这个课间上所做的方式是一样的。我们来看一下动画， 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的面积是底乘以高，那这时候这个 平行四边形的底是原来梯形中的下底加上底，所以它就变成上底加下底乘以高。但是有几个梯形？ 两个，所以还有一个除以二。所以我们的梯形依然是通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形， 所以我们这两个的面积可以通过平行四边形得到。好， s 等于上底加下底乘以高，除以二， 除以二就是二分之一，可以接受吗？可以。好，刚才也找了一些同学的思维导图啊，我们来展示一下。陈青桐，来，你来说一说。好，你的当时做的时候你是怎么想的？这样的一个分支，首先是把它们分成每个图形，再把它们的面积还有周长 的公式列出来，我看到上面还有个母的意义，字母的意义，我们这个是已经公式化了，每一个字母 a 在 不同的图形中所代表的是不一样的。好，我还看到了他加上了图形分支。 好，这个是正方形，字可能比较小啊，这个正方形平行四边形，他加上了图形就显得更形象了。因为有些同学的这个思维导图依然都是以文字，纯文字的公式都很少，或者是文字太多了，那这样看起来的思维导图清晰不？ 不够清晰，我们做思维导图就是拎出关键的好。我们的平面图形除了前面所学的 东中段学所学的，我们到六年级的时候还加入了一个圆圆，它是一个曲线的图形。好，那谁还记得圆当时面积是怎么推导出来的嘞？ 想想相对来说还是一个难点。圆的面积，当时我们也是通过转化的思想转化成什么图形了？好，来牛掌中是把圆形转化为长方形，转化成再说的标准是径是长方形。是不是我们用到了一个 极限思想，用到了一个极限思想，也就说我们是近视，他是一个长方形，如果分到无限小的时候，把它分成无限小的时候，再拼起来，他就更接近一个长方形。好，但是有一个难度，当这个图形把它拼成一个长方形之后， 长方形的长、长方形的框分别代表什么？这是我们当时解决的一个难点，还记得吗？我们把每一块可以拼起来，拼的过程中不难。那现在拼完之后， 要通过长方形的面积公式推导出平圆的面积公式，那长方形的面积公式就是跟边长和宽有关系，那我得观察他的长和宽，还原到圆当中是哪些部分。长方形的长是 这句话有毛病，半圆的周长还是圆周长的一半，圆周长的一半。我们当时半圆的周长是包括直径，包括下面一条直径，所以应该是圆周长的一半。好，刘展聪，请坐 好，我们来看一下这一条长方形转化之后，长方形的长是圆的，周长的一半，要说清楚啊。好，那么长方形的宽呢？长方形的宽是圆的半径，可以吗？可以。 好，那这样子的话，通过长方形的面积，它是等于长乘以宽，那就是派二乘以二， 两个 r 相乘，我们可以改写成二的平方， pi r 平方，所以圆的面积公式是 s 等于 pi r 平方 r 是 它的半径。 好，那这样的一个过程可以接受不？可以。好，那我们复习到这的时候，把平面图形的面积讲完了，那我们看一下立体图形 从平面上升到例题，他们之间有没有联系和区别呢？首先，立体图形他绝对不止一个面，对不对？ 好，那立体图形他涉及到的不再是面积，他涉及到的应该是体积，是一个。还有呢？表面化，长方形的表面积应该计算哪些地方？他的六个面， 六个面的面积之合。好，那六个面面积之合可不可以求出来？ 可以。好，写一遍，打开单行本，六个面的面积之合，那就要把六个面面积分别求出来，写清楚。圆柱的表面积， 那圆柱的表面积包括哪些？表面和两个面，上下两个底面加中间一个是侧面，侧面是一个曲面，要怎么处理？展开展开，变成一个长方形，那就涉及到这个长方形的面积就是它的侧面积，那长方形的面积跟长有关，跟宽有关啊， 那它的长是底面周长？ ok， 那 它的长是它的高。好，继续接。好同学，请举手啊， c h。 没错，那 c h c 呢？ c 周长是等于什么？圆的周长？对，那你把它改的更细一点。好，写。好同学请举手！对的，如果有忘记的，可以互相沟通一下， 或者帮助一下同学，好的同学可以交换看一下，看找一找。我们这个公式表达过程中是不是有些是不够完美的？比如说数字和字母在一起的时候，比如说两个完成完全一样的字母相乘的时候，有没有更简洁的表达方式？ 我们已经复习了字母表示数啊， a 乘 a 乘六，怎么那么繁琐呢？六 a 平方不就搞定了，是不是？可不可以改写成六 a 平方好表面积。我们刚才看到了，大部分同学刚开始写的时候会有停顿，但是写完长方题后面就写的很顺， 是不是？所以这个还需要大家回去用思维导图去理一理，让自己的思维更清晰一点啊。好，我们刚才在看的过程中基本上都能够写的出来，但是又看到几个答案依然是如此的答案，大家一起看一下 好，比如说乘正方体的表面积， a 乘 a 乘六，你觉得哪个答案？嗯，这个答案够完美吗？就是这个，就是 a 的 平方，再乘以六，数字和字母相乘的时候，就可以写成六 a 平方， 那这就是正方体的表面积。好，正方体好，那么长方体的表面积公式是， a， b 加上 h， b 加上 b 乘，括号乘以二，为什么乘以二？ 上下面是一样的，前后面是一样的，左右面是一样的？好，那圆柱的表面积是 二派二连雪茄二派二平方是表示什么？两个底面是圆形，完全一样的圆，所以是二派二平方，再加上侧面， 侧面展开是一个长方形，好，侧面的面积等于二，二派二 h， 其中二派二是圆底面，圆的周长。好，那什么叫体积？我们立体图形才涉及到体积。 什么叫体积？物体所占空间的大小。好，这是一个立体图形，在这个空间里面，他所占的物质的大小就是他的体积。好，那这样子接，接下去写，把他们的体积公式都写出来。 体积，我们用字母什么来表示？ v， v 好， 谁来说说体积？三种图形，图形的体积长方形的体积等于 a， b， a 乘 b 乘 h， 好， 正方体的体积 a 的 一层， a 的 a 的 地方就是 a 乘 a 乘 a， a 的 地方好，长方体的体积是 abh， 好， 还有一个圆柱的体积太二平方， h， 好， 这三个 立体图形之间体积有没有个联系？都是可以表示成底面积乘高， a 乘 b 的 时候就是一个底面积， a 乘 a 的 时候有一个是底面积，再乘以高，因为它每一条棱长都一样。好，派，二平方就是我们的底面积，所以他们的公式都可以归结成 v 等于 s， h 好，刚才也寻找了一些同学的昨天晚上关于立体图形的一个思维导图的运行。啊，有几张图片非常漂亮，我们也来欣赏一下。好，这个是张宁同学的作品，给你们看起来感觉是简洁舒服。好，能不能看清楚？ 你看立体图形，他分成正方，正方体和长方体他放在一块，而且有句话，正方体是特殊的长方体，这个我们都复习过了啊。好，那么也说出他们之间的区别和图形的一个特征。
26:58查看AI文稿AI文稿好的，那么我们直接来看题，从这个填空题的第一题开始来看，这种问题他考察的一个，首先我们把每一个问题的他的一个什么考点找到，对不对？这种题目他考的啊，用专业术语来讲，就是考察你的空间立体 几何感，你要有这样的空间立体几何感知道吧，不然的话，你对立体图形的一些基本变化是很难判断出来的，稍微复杂一些你就不会判断。这个笔在电脑上不太好写，大家能看懂也就行啊。这里有一个旋转的箭头，也就说 这个长方形啊，或者正方形绕着以他为轴，对不对？这个叫做轴，以他旋转会形成一个什么？是不肯定会形成一个圆珠的，所以他跟他不就是对应的吗？我们他也是一个圆柱，没问题吧？但是这个圆珠呢？很明显，他的这个什么啊， 宽跟这个长啊，差距很明显，所以他形成的是第一个。你像三角形的话，他肯定是会形成一个圆锥，但是这两个圆锥啊，都是圆锥，他的高不一样 没问题吧？他的高不一样，那么问题也就来了。有一类问题不知道大家可记得，比如讲这样一个直角三 角形，也是三跟四，现在题目改一下，他是怎么改的？他讲 以一条直角边为轴进行旋转，它是不是就有两种情况？这是第一种情况，这第二种情况叫你去判断旋转之后形成的立体图形谁的体积， 叫你去判断它旋转之后形成的两个立体图形它的体积 v 一 跟 v 二，随大随小，要会做啊。第二个就纯粹的一个计算了，就比例，比例，我们利用比例的叫什么基本 性质去做就行了。十比上这个十二，他要等于十五，比上多少？或者说十二分之十没问题吧？他约分之后是等于几？ 约个二是不是也就等于六分之五啊？你现在十五跟他对应的话，是不是相反的？是不是扩大三倍？他扩大三倍是不也就十八？ 那三分之一比上四是不是也就三分之一？这个比就相当于一个除啊？三分之一除以四等于乘上一个数，导数是不是三分之四？所以他是不是也就是四比上三？这个 同分论来是不是扩大两倍，他是不是也要扩大两倍？是不也就十八？十八分之十啊？十八分之四这个五比上多少等于多少？比上十二 这个题目怎么做呢？我们之前是不是做过很多的这类问题啊？这个题目首先我们肯定来讲，他的答案 不止一个，只要你能够写出比的前项和后项是一个具体比值跟后面的也相等就行了。那么这个问题我不用别的方法，我就用分数来做，是不是就是多少分之五等于一个十二分之多少啊？ 没问题吧？因为十二呢，根据我们刚才讲的，分子分母同时扩大，它整体的分式值不变六，我扩大两倍是不是变成十二？那么他扩大两倍是不是变成十二？所以第一个不就是五比上六等于多少？十比上十二吗？或者说你扩大三倍的话，你这个地方是不是叫四 四变成十二，是不是乘到三，他也要乘到三，是不是十五都可以的啊？第三题他的一个考点叫什么？单位换算， 单位换算这类问题啊，其实没有口诀去记的，知道吧？没必要去记口诀，我们只知道一些基本的单位，你比如讲一米他是不是等于十分米？那么立方的话，一个数的立方是不是等于 a 乘上 a 再乘上 a 啊？那么 一立方米不就等于十乘上十再乘上十立方分米吗？他的净率不就是一千吗？由大单位到小单位乘上他的净率小数点就向右移三位，是不是也就是七百五十啊？他就应该等于七百五十啊？那毫升跟升一升 是不是等于一千毫升？那么他们俩之间的判断，小单位到大单位小数点是不是等于一千毫升？那么他们俩之间的判断，小单位到大单位小数点等于八等于多少 立方厘米？等于多少立方分米？那么他是不是也是等于八千立方厘米啊？因为一立方厘米是不得一毫升。 一立方厘米等于一毫升呢？等于多少立方分米？是不是等于八立方分米啊？因为一升他是写在这，一升是得一立方分米，对不对？一立方分米又等于一千立方厘米。 第四个长方形的宽等于多少厘米？长等于多少厘米？第二个圆柱的底面周长等于多少厘米？侧面积侧面积一个圆柱。首先我们要清楚一个圆柱的侧面展开图，它可以是一个长方形，也可以是一个正方形， 对不对？它取决于它这个底面半径。但是呢，正方形它又是一类特殊的长方形，四个边都相等的长方形吗？长和宽都相等的长方形。所以我们笼统的来讲，一个圆柱 它的侧面展开就是一个长方形，那么这类问题我们要去判断，也就是个圆柱，它的一个底面直径二啊，是不是等于二？那么底面周长，这个圆柱的底面周长是不是也就是这个长方形的？什么 长啊？是不是也就是二派尔？二派尔等于多少？是不等于四派尔等于二吗？四派派是等于三点一四，常见的一派、二派、三派派，我们都知道等于三点一四了，一直到十六派，最好要去记住一个具体的数值，这个考试的时候经常会遇到 三点一四乘到是四四一六，一四得四加进的一位，对吧？三四一十二是不得十二点五六，他是等于十二点五六，四派等于十二点五六。给我记住，后面会经常用到。宽是等于多少？这个是不是也就他的宽呢？ 对不对？圆柱的高也就他的宽，也就十厘米。第二个，圆柱的底面周长，我们刚才是不算了，是不是也就是这个长，是不是就十二点五六？测面积 乘面积也就长，乘上这个什么长，乘上这个宽吗？是不也就十二点五六？乘上十是不得一百二十五点六。 第五个，在横线上填上正比例或反比例。购买同种商品，比的数量和总价，单价是一定，同一种比它就说明它的单价 是不变的，是一定的，我们这个地方用一定去表示对不对？比如讲是三块钱，你买一支笔是不付三块，买两只笔是不二乘三是不越来越多，所以笔的购买数量和他的总价肯定是成一个正比例啊。第二个，用同样的钱购买不同的笔， 同样的钱购买不同的笔，笔的单价和数量，单价和数量同样的钱也就总价一定， 总价一定，那么比的单价和数量是不肯定就成一个。什么反比例啊？我写个反字，大家自己写出来补充完整。同一种钢材的质量和体积，钢材的质量，质量和体积肯定成什么正比例了？他前面已经给了一个条件，就同一种钢材。第四个 相同体积的圆柱底面积和高体积 v 是 等于 s 乘上 h， 那 这个相同体积，也就是说这个 v 是 不变的，我们用不变去理解，还不好理解，把这个不变变成一定，好吧，就这个体积一定他不会产生任何的变化，就是个具体的数值。什么叫做反比例？比如讲这个体积是十六，十六是不等于一乘上十六是不等于 二乘上八是不等于四乘上四，你会发现，比如讲这个是他的啊，底面积的话，这个是他的，高的话，你底面积越来越大，越来越大，你的 高是不是越来越小是不相反的，所以他就叫做反比例，知道吧。第六个，如图中线段 o a 表示骑车行驶的路程和时间 啊，现在问李老师骑行了多少小时？我们这种图的问题，我们一定要会看，他考察我们一个叫做塑形结合的数学思想啊，叫做塑形结合，要会看图，从图当中提取有效信息。像这种图我们 叫做横跟纵，一个横，一个纵，那三十的时候他是不是就是三十？我们这个十指的是小时的，算三十的时候，他是不是就是 行驶了六十千米，所以总的啊，就这个地方他行驶了多少个小时？是不是三个小时，总共行驶了六十千米？骑车两点五小时，你找到对应的呢？两点五是不是对应在这？他对应的是不是五十？也就行驶了五十千米，骑行十五千米，从图上来看， 十五千米在哪？是不是在这十五千米，你找不到他的一个什么啊？找不到他对应的一个具体值，那么我们就要去算，那么我们根据比例去做的话，是不也就六十？比上一个几，比上一个三，等于十五，是不比上一个 x？ 前面的话，他这个比值啊，比值是等于多少？是不等于二十？ 等于二十，也就 x 四分之十五要等于二十，是不是等于二十分之十五？二十分之十五是不是也就四分之三？四分之三十？或者你填零点七五也是可以的，因为四分之一等于零点二五嘛。那么四分之三是不是等于零点七五？ 李老师骑车的一个速度是多少千米？每小时？是不六十，去除一个三是不等于二十千米每小时啊？所以他应该是二十千米每小时啊。这个题目出的不好，这个题目不好的点在哪？他前面一定要讲是匀速， 是匀速行驶，这个题目整体才成立，可能这是在小学阶段对不对？他给了具体的图给你，你按照这个图去求解就行了。但是到了高年级，特别是你学了物理之后， 学了物理之后，这个题目基本就不成立的，因为他没有讲匀速行驶，知道吧？你不可能在整个行驶的过程中保持他的一个速度都是一样的。 第二个判断题，长方体的橡皮泥捏成一个圆柱，体积是没有变化的，这是肯定的啊，体积是不会变化的，对不对？不管你捏成一个什么图形圆柱啊，圆锥或者不规则叫做不规则图形，它的一个体积都是不变的。第二个， 第二个，图形按比例缩小的时候，要使前后图形所有线段的比，要使前后图形所有线段的比都是相等的。这句话看着好像是对的，对不对？但是他很有一个明显的错误，就是嘛， 图形按比例放大或者缩小的时候，要使放大或缩小前后他的一个长度对应的一个比相等就行。比如讲这样一个长方形， 我并不一定要求它所有，比如讲这是 a、 b、 c、 d， 我 们知道 a 是 等于 c 的 了， b 是 等于 d 的 了，对不对？我现在等比例放大或者缩小之后，我并不要求它的 a 与 b 成比例，知道吧？它的 a 与 b 成比例。只能说我这样放大之后 形成这样一个 a 一 b 一 c 一 d， 它对应的 a 和 a 一 要成比例， b 和 b 一 要成比例，这样才对清楚吧。 第九个， a 比 b 等于一比三，也就三分之一，所以 a 比上 a 加 b 等于一个一比三。像这问题，你找一个具体值叫做负值， 叫做赋予他一个值叫做负值的方法去求解就行。比如讲，我就是 a 等于一， b 等于三，行吧。那么你现在来看， a 等于 b 等于三的话， a 加 b 是 不等于四，你现在一比四等于一比三，这不很明显也是一个错误的，对不对？ 第十个，在比例当中，两内向之积一定等于两个外向之积。 第三个，判断选择题下面哪组两个比不能成比例，这是一个非常基本的问题了。我们直接看比值，这三分之二，这是不是也三分之二，那这是，嗯，四分之三，这多少？ 这个就不行，你乘上十八的话，是不是六分之十八呀？三六十八是等于三吧，所以第一个选择题就应该选哪个是不 b。 第三个，在比利时是一比一百的地图上，一个长方形的面积是二十平方厘米，这个长方形的实际面积是多少平方厘米？是不也就二十？乘上 是乘一百还乘多少？肯定乘上一万嘛，对不对？是不也就等于等于二，后面一二三四五 是不也就五个零呢？哪个选项对了？一二三四五是不也就这个 c 选项，它是 c 选项，首先我们把它进行转换，然后有一个单位换算，对吧？有一个最基本的单位换算。 第十三题，瓶子的容积是五百七十毫升，也就总体是五百七十毫升啊，涂在这里，这个题目其实经常做，瓶子内的液体有多少毫升，下列列是正确的，是，我们要清楚， 我们要记住你正确的列式是不是就是五百七十乘上一个十二，加上十分之几，是不是加上十二分之啊？加上十二，加上十分之十二。这个题目我们做过很多啊，如果你不会做的话，你把我讲的那个单元卷看一下，你就会了。这个题目就不过多去讲啊，他应该选哪个，应该选 a 啊，在 a 选项 常非常常规的一类问题。第十四题，假容器注满水，现在再全部倒入已容器里面，这有什么好看的？这个题目有什么好看？你一眼就能看出答案。首先我们看到他是一个圆锥，你认识吧？他是一个圆柱，你认识吧？ 那这两个认识不就行了吗？接下来再来看，那底底是不是相等高，是不是相等，也就是同底 等高就同底等高的一个模型嘛，对不对？因为同底等高的圆锥和圆柱，圆柱的体积是等于三倍圆锥的体积，那么也就说明一个问题，说明一个什么问题？ 说明一个问题，也就说呢，如果我把这个圆锥给他补一下，给他补一下，你看一下是不是恰好， 是不是恰好就是他们两个圆柱是一样大小。所以说明这一部分 s 一 跟 s 二啊， v 一 跟 v 二是不也就等于 v 一 加上 v 二是不也就等于三分之二，也就三分之一乘上二？我写的再清楚一点，三分之一乘上二倍的一个圆柱啊， 没问题吧？我现在以容器的水面高度是多少？这个地方讲的是高度啊，你倒下来是不是只能倒十二的三分之一，是不也就等于三？四是不等于四， 没问题吧？以容器水面高度就应该是什么？是四，应该选 c， 四厘米。这个题目如果改一下，就有很多同学做错，他会怎么改呢？他像这样改，他讲这时以容器的水面水面高度，以容器的水面高度距离。 呃，瓶口距离容器口，我们这个地方叫瓶口，是多少厘米？很多同学写个四厘米，这对的还错了，这就错了，这就八厘米，现在就八厘米，知道吧？ 第四个计算题，计算题，像这种试卷里面的计算我不会过多去讲的，计算交给你们自己完成。如果 你希望通过老师把这十五、十六这两个计算题讲完，你就以为你的计算能够保证百分百正确率的话，这是不可能的。计算一定要靠平时的积累，知道吧？计算他是数学的功底啊，一朝一夕之间是练不成的，平时一定要去练。 接下来我们看第五个操作问题，操作问题交给大家自己去完成啊。我们看十八题，十八题讲的是什么？ 一百张圆形纸片叠在一起，你会形成一个什么？是不肯定形成一个圆柱啊？一百张长方形纸片叠在一起，是不？形成一个长方体三角形纸片叠在一起，这个地方叫做三棱柱，三棱柱清楚吧？第二个，这个题目非常好，这三种 形状的体积之间有什么关系？现在说明理由，说明一个理由，说明一个什么理由？ 大家要清楚这个。第二题是基于第一题，知道吧？一百张是不都是一百张？三角形纸片是不都是一百张？哦，都是一百张呢？这里也是一百张，对不对？但是题目前面讲了，用三百张相同的 a 四纸， 分别剪出面积相等的面积相等的圆形、长方形、三角形各一百张，这就非常好做了。面积相等是不是也就是一张纸的面积是相等，也就说这个这个这张纸放在最底下，是不是也就底面积相等？题目是不是就告诉你底面积相等 对不对？底面积相等都是一百张是不告诉你高也相等，高也相等，是不？又回到了我们刚才讲的一个同底等高的模型 是不是？那么我们是不是就可以答啊？体积之间有什么关系？体积是不是都等于底层高？他的高是不都相同？写这样一段话是不就行了？这个，嗯，叫做同底 等高模型啊，在小学几何里面经常出现。你比如讲我给大家画个图， 画个图，这是一个长方形，这个这个在电脑上不太好画，画一个长方形我就用这个画吧，算了算了，节省时间，就不用那个画了。呐，这个地方重新画一个长方形啊，把这个擦掉，稍微画像一点，画一个长方形在这里。 现在这个里面有几个三角形呐？这样一个三角形。还有这里也有个三角形，换成黑颜色的， 这里也有个三角形，黑色的三角形面积记住 s 一， 红色的记住 s 二。 s 一 跟 s 二是什么关系？是不是肯定相等？为什么？因为我们知道它的底是不是底相同， 底同高是不是也相同， h 是 不是也相同？这就叫同底等高。也就是说这个点呢，你在这条直线上面运动，对不对？在长方形的边长上面运动，你不管走到哪里， 你不管走到哪里来，走到这里形成一个三角形，走到这里形成一个三角形，它所有三角形的面积都是相同的，对不对？这种题目就非常好玩， 现在我给大家，嗯，假设一下，比如讲有一个小蚂蚁在这个地方，对不对？在 a 点运动，这是 b 点，这 c 点小蚂蚁的位置和 abc 和 bc 形成一个三角形。现在问在这个上面运动，什么时候形成的？面积最大？ 有面积最大的时候吗？没有啊，他的所有面积都是相等的，对不对？题目是不可以这样改一下，这就非常好了。第六个，嗯，探寻探索，发啊，发现规律。第十九题， 把你发现的规律用含有字母的四字表示出来。这个题目也经常考，特别是在小升初里面，这种题目基本就必考，叫做找规律，找规律，或者说他真正解这类题目的一个数学思想叫做归纳 总结，叫做归纳总结啊，这个数学思想叫做归纳总结，就是我们通过一般的规律啊，一般的 一般的规律吧，可以这么来说对不对？我通过像这个题目，我通过一个三角形，两个三角形，三个三角形，去找出他的一个什么普遍规律，叫做普遍规律， 这个过程就叫做归纳，然后去总结他的一般规律，清楚吧，这个你在至少要在高中数学才会接触到，这个数学思想叫做归纳总结， 高中数学数列里面会有给大家先讲，只讲这么多啊，因为我们现在距离学后面的数学还早，那么我们来看这类问题，现在摆八十个三角形需要多少个小棒对不对？是不是就通过一二三个三角形，然后找出它的一般规律？就 n 个三角形 是吧？需要用多少个？那一对应的是三，二对应的是五，三对应的是七，那么我们知道也就是每一个都加一了，又因为 又因为他第一个对应的是三，你用 m 的 四字表示出来之后，所以你第一个数要尽可能的大， 自然就会想到二。 n 加一，那 n 等于一的时候是不等于二，加一是不等于三， n 等于二的时候，那是不等于二乘二等于四加一是不等于五？ n 等于三的时候是不？二乘三加一，六加一是不等于七。那现在 n 等于八十的时候， n 等于八十是不二乘上八十一百六，再加一是不就一百六十一？那题目再问你一下，再问你一下，第一万个， 第一万个三角形需要多少个木棒？是不是直接就用 n 四子二乘上一万，再加上一啊？两万零一啊，对不对？这就叫做什么？我们总结出来这样的一个规律，对不对？第七个， 第七题，这种问题就不过多去讲了，列比例这个试卷后面都有讲解，像这种基础的问题啊，他只单一的考察某一个知识点，讲的意义不大。接下来看第二十一题， 将图假图中圆形，假图中圆内小正方形如何旋转得到乙？ 如何旋转得到乙？第二个，如果圆内小正方形的面积是二十二平方厘米，那么圆外大正方形的面积是多少平方厘米？这个地方又涉及到一个数学思想，叫做整体 代换，叫做整体代换的数学思想，叫整体代换。什么叫做整体代换？我们就来仔细的来寻找一下这种思想到底是怎么用的。你现在啊，我们先来解决疑问， 假图中原内小正方形旋转是怎么得到乙的？那么我们不如给他构建那把它对角线连接起来好吧？ 对啊，现在连接起来这个角是多少度？总的角是不三百六十度，这个中间三百六十度吧，那么每一个是不也就九十度？ 那你到这里这个点，这个 a， 点到这个 a， 撇点一半的话，是不也就四十五度？是不也就绕着 o 点旋转了？四十五度啊？顺时针啊，要指明方向，也就顺时针旋转 四十五度。旋转问题我们不用看整个图形，只用去看一个单一的点，你像这个点呢？ a 点，我们刚记住这是 a 一 点对不对？那他不旋转到这来吗？这不 a 一 点吗？看两个点，这个 他对应的这个角叫圆形，角是原来九十的一半，是不也就四十五度，也就顺时针旋转四十五度也就行了。 那么接下来我们看第二题，把这个就给它擦掉，把它擦掉。其实这个第二题也是一样的，我给他把对角线连接起来，就非常简单了，那这是不是他的半径？他是不是他的半径，对不对？就他的半径吗？圆内，因为我们知道这个长是不是等于二啊？ 是不也就圆那个直线？我们接下来是不是只算算出 r 等于多少是不就行了？又因为我最后算这个大正方形的面积，是吧？边长乘到边长， r 乘到 r 是 不是等于四 r 的 平方啊？ r 的 平方哪个里面有啊？是不是圆里面有啊？接下来就用整体代换就行了嘛。 我们不没有必要把 r 的 平方等于多少，比如讲 r 的 平方等于 b， 那 么 r 等于多少，你目前是算不出来的，就不要算，这就是 r 的 平方，然后再整体带入到四 r 方里面去，就可以算出它的面积。这个过程 这种解析的思路就叫做整体代换，知道吧？这个 r 方交给你们自己去算。不要说有同学算到这一步，比如 r 方等于六十四，这个 r 等于多少？算不出来怎么办？这个题目解不出来吗？ 那就没必要解，我直接就耳方，因为我最后算面积的时候，我是要 r 乘上 r 要等于个四耳方吗？这个里面不就有耳方吗？直接带入到里面去不就行了吗？对不对？不就四乘上六十四啊？这个六十四是我假设的啊。 第二十二题，如果从圆柱当中去掉一个圆，追求剩余部分的体积，这个二十二题没什么好讲。其实我在讲这个，讲这个十四题呢，讲这个十四题的时候就已经讲过了，对不对？ 并且这个题目又跟我们刚才讲的同底等高也是一个模型，清楚吧？你不管怎么去取掉一个圆锥，只要是他是他的一个，比如讲这上底，上上底啊，到他的一个下顶点，只要在这个底下，这个圆锥上， 他截去的一个圆锥都是等于三分之一圆柱的一个体积，可清楚。第二、三题， 二三，甲乙两人同时从 a、 b 两的相向出发，甲行驶全程要六六十，两人相遇的时候，路程比十三比二，这时甲乙多行驶十八千米，多行驶十八千米，现在问求乙的速度。画一个线段图， 画个线段图，这个题目一分钟之内就能解出来，记住吧，就能解出来， 这是笔嘛？所以我把一个看成三份，一个看成两份，总的是不是也就是一个五分之三跟一个五分之二呀，对不对？把它的效率一减 就可以了，然后就可以略去算了。这个题目留给你们自己思考一下，每套试卷也要留一点空间给大家自己思考，画个线段图，画个线段图，题目立马就能解了，那么这段试卷我们就讲到这里啊！
32数学试卷通杨老师
05:54查看AI文稿AI文稿大家好，这里是一道六年级的求组合图形表面积与体积的题目，我们一起来看一下，要求求下面组合图形的表面积和体积，那我们稍微观察一下这两个立体图形，会发现上面是一个 圆柱体，下面是一个正方体啊，有两部分组成，那我们就来回顾一下圆柱体与正方体它们的表面积和体积公式吧，大家必须要熟练的去掌握啊。首先我们先来说一下圆柱体，圆柱体的表面积应该怎么算呢？ 应该用它的侧面几加上它上下的两个底面积，那么圆柱的体积呢？ 你是否能够快速的说出圆柱的体积应该是 pi r 方 h， 也就是底面积乘以高，底面积用 pi r 方来求高就是 h 啊，那下面我们再来回顾一下正方体的表面积， 正方体的表面积，其实我们要知道正方体的六个面是完全相同的嘛，那它的表面积指的就是它六个面的总和，也就是棱长乘以棱长是它的一个面的面积， 因为像这样的面它有六个，而且六个是完全相同的啊，棱长乘棱长再乘以六就可以了。那我们再来说一下正方体的体积呢，正方体的体积公式是棱长乘棱长再乘以棱长，三个棱长相乘，我们就用棱长的立方来进行表示 好了，那这个是我们回顾一下圆柱体以及正方体的表面积和它的体积公式，那下面的时间咱们来开始分析这个图， 我们可以优先来计算一下它的表面积啊，看一下这个表面积可以怎么求。首先我们观察一下，会发现圆柱的表面积呢，下下面的这个圆啊底面积，这个底被正方体的上面这个面给盖住了， 所以稍后我们在计算它的表面积的时候，这个底面是不要算的。然后在计算正方题的表面积的时候呢，同样的需要特殊注意一个地方，就是这里 它顶上的这个面啊，最上面的这个面有一部分被圆柱体的底面给盖住了，所以这个部分一会我们在求的时候需要稍微注意一下，那下面的时间咱们就一步一步来算它的表面积，应该先用圆柱的表面积 加上正方体的表面积，刚才我们已经说过了，我们只需要用它的 底面积一个底面积去加上它的侧面积就可以了，那么它的底面积呢是 pi r 方，然后它的侧面积呢就是底面周长乘以高 二 pi r h 啊就可以了，然后再加上正方体，我们能够看到的完整的是五个面， 一个面呢用棱长乘棱长，也就是八乘八，像这样的面呢一共有五个，所以我们再乘以五就可以了。那么现在最重要的就是老师刚才打阴影的这个部分，这个部分应该怎么求呢？应该用最上面的这一个正方体的这个面，也就是棱长乘以棱长八乘八， 减掉这个圆柱的底面，那最后我们要加上八乘以八减去 派二方他的一个底面，那在这里我们就会发现一个问题了，前面这里有一个派二方，后面这里有一个减派二方，那他们两个相减是不是就没有了呀？ 哎，就互相抵消掉了，所以在真正计算的过程当中，哎，其实这个派二方你就不用算了，就这个圆珠的底面积，然后剩余的部分我们正常进行代入就可以了。 二派派我们取三点一四啊，乘以三点一四 r 呢，就是呃，圆柱的底面的半径，这里面标注了直径啊，是六厘米，那半径就是三厘米喽，乘以三，再乘以高，高就是这里啊，也就是三厘米， 然后再正常的去加这个后面的这个部分了啊，八乘八乘五，再加上八乘八，实际上就是这个正方体完整的这个表面积了，那我们口算一下，它的答案是三百八十四， 最后把两部分合起来就可以了，两部分合起来的答案是四百四十点五二，单位是平方厘米，这样呢，我们就求完了它的表面积，那么下面的时间我们再来求一下它的体积， 它的体积呢，其实也是由两部分组成，一个就是圆柱的体积， 一个就是正方体的体积。那这个还是比较容易求的啊，直接代入公式就可以了。圆柱的体积公式是 pi r 方 h， 然后正方体的体积是棱长乘棱长乘棱长，也是棱长的立方， 所以呢， pi 我 们取三点一四 r 呢，就是它的半径，就是三的平方，高呢，也是三乘以三加上棱长的立方，棱长呢就是八，那也就是八乘八，再乘以八， 那这个地方大家可以在草稿纸上进行计算，它们最终啊相加的结果是五百九十六点七八立方厘米。 这道题目就结束了，那对于大家来说，它考察的公式就是圆柱体以及正方体的表面积和它体积的公式应用，同时需要注意我们上面这个部分，它的表面积应该怎么做？你学会了吗？
13小新老师教数学
02:36查看AI文稿AI文稿别人的视频平平无奇，博轩视频带你学习，今天博轩来给大家分享一道六下数学期末复习图形，允许和。首先咱们读题，一根铁丝可以围成一个半径是三厘米的半圆，这根铁丝有多长？ 它所围成的半径的面积有多大？首先咱们来画下关键词，第一个是三厘米， 很多同学做这种题都会出错，今天同学来呃给大家讲解一下，他们都会出错，呃，在求半圆的周长。 首先同学们，我们半圆，我们圆的周长是什么呢？是不是 r 配 r， 那 我们求半圆是不是配 r， 配 r 是 哪部分呢？配 r 就是 这到这同学们都会漏算这里的直径， 因为它是一个封闭图形，所以我们要把这个直径加上，然后我们来算一下这个呃面那个它周长是多少？周长， 呃，三点一四乘以三， 加上我们这里的直径，直径是直径，也就是三乘以二， 也就是十五点四二。 然后我们再求面积，面积的话他就没有那么弯弯绕绕的面积就是用我们呃圆的面积再除以二就可以了。圆的面积是什么呢？是不是派压方，也就是用派压方除以二。然后我们现在来求下面积， 面积是用三角一四乘以三个平方再除以二，就等于十四点一三 平方厘米。呃，所以这道题我们需要答一下，它的周长是十五点四二厘米，面积是十四点一三平方。呃，厘米，同学们，你们听懂了吗？
28博轩小课堂
04:29查看AI文稿AI文稿跟着李老师走，思维不迷路，今天我们来看一道易考易错的应用题。 张师傅在铺地板时发现用八块大小一样的长方形瓷砖，恰好可以拼成一个长方形，如图一。 然后他用这八块瓷砖又拼出一个正方形，如图二， 中间恰好空出了一个边长为十二厘米的正方形 阴影部分。求长方形瓷砖的长为 a， 宽为 b。 好，我们来看第一个图，他用八块一样的瓷砖铺成了一个大的长方形，这个长方形的两个长是相等的，这一个长他应该是由 五个 b 组成，这一个长他应该是三个 a 组成，那对边相等。从第一个图我们可以看出， 小长方形的三个长应该相当于五个 宽，或者是我们得到长和宽的比，应该是五比三。 好，我们来看第二个图中间的阴影部分，它的边长为十二。好，我们看这一段的长应该是由两个 b 组成，那这一段的长是由一个 a 组成， 那从这里我们可以看出，两个 b 应该比一个 a 多十二厘米。 从这两个图里面我们得到了这两个关系式，那我们能不能把里面的 a 和 b 求出来呢？ 好，我们先看这个条件， a、 b、 b 等于五比三，那这里的 a 我 可以看到是五份， b 可以 看到是三份，那两个 b 减去一个 a， 那 就相当于是 二乘三份，那应该是六份，去掉 a 是 五份，去掉五正好是一份，那一份就应该是十二厘米， 那这里的 a 正好是五份。所以 a 的 长度我们就可以得到解决， 当然它的 b 的 长度，那就是三十六厘米。好，我们研究出了第一种方法，那这道题还有没有其他的方法来解决呢？ 好，大家看这个关系式三， a 等于五 b， 那 一个 a 等于几个 b 呢？ 等式的两边同时除以三，应该是三分之五个 b， 我 们把这一个 a 和 b 的 关系式代入这个式子，减 a， 用三分之五 b 换下来， 这样我们就得到了一个关于 b 的 一个方程， b 等于三十六，那 a 等于三分之五 b， 我 们就可以求出这个长方形的长来。 好，同学们，老师讲的这两种方法，你理解哪一种方法呢？你的想法和李老师一样吗？如果不一样，可以在评论区中畅谈你的方法好吗？如果你听懂了李老师讲的， 千万不要忘了把这颗红心点亮哦！点赞收藏加关注，不迷路，李老师帮你学！
49李老师讲小学数学
05:34查看AI文稿AI文稿各位，我们今天来学立体几何，我们的立体几何是我们几何中非常重要的一块，它是平面几何的一个进阶，那么立体几何呢，需要我们要有很强的空间想象能力，这是其难点之一。 我们来看题，如图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型，沿虚线折，沿实线连，这个多面体的面数，顶点数和棱数之和是多少？ 我们看到的是一个立体图形的展开状态，那么怎么样在我们脑海中想象出来它合成之后的那个状态呢？有什么样的好方法可以帮助我们呢？我们来看好我们把它标上颜色， 标上颜色之后啊，我们看到了这样的一个情况，下面呢因为对称，所以老师就不标了，中间呢，我们知道中间这六个面其实就是简单的卷起来就好了，是吧啊，卷成一个圈圈就好了啊，关键点在于怎么处理第一层和第二层， 然后呢我们发现哦，在第一层中，也就是说这个红颜色的三角形中，这里呢会出现一个点，那我们这个点会与哪些点重合在一起呢？ 包括这个点会与哪些点重合在一起呢？然后这个点会与哪些点重合在一起呢？ 那我们用找点的方法来帮助我们，我们来看好老师给他标上数 啊，我们发现哦，原来老师标为一的这个点可以跟这个点和这个点，大家啊折一下看看啊，折完之后可以重合成 一个点，对吧？然后呢我们来看好这个二，老师标为数字二的三个点呢，也是可以啊，合成一个点，然后呢老师标为数字三的这四个点， 对吧？这四个点也可以啊，重合在一起，对吧？那为什么数字三会有四个点呢？啊？ 啊，大家可以自己思考一下好吗？因为它是展开情况好，那么接下来有了这样的标上点之后呢，那我们脑海里面呢，就大致的可以形成一个啊，由这个平面图 啊折成立体图的这样的一个过程，对吧？啊，大家只要看，我们想象一下， 折完之后呢，我们发现它非常难画啊，那么我们可以用老师教大家的一种一个三式图的方法，对吧？啊，我们画一画，看他的 俯视图是什么样子的，我们以俯视图来举例就可以了，因为从上面看和从下面看啊，观察到这个图形是一模一样的，对吧？啊，那么好，我们把这个俯视图画出来。哦，原来是这个样子的呀， 这就是我们的俯视图，那么老师呢，再把相对应的颜色标上去，大家就能看到了，那么从下面观察它也是一样的，然后从正面观察它呢，大家想象一下就可以了，应该就可以想象出来，对吧？ 好，接下来我们就可以解他的面数，顶点数和棱数分别是多少，那么第一个，第一个呢是我们的面面数呢，非常简单啊，这里中间的三排呢，是每排六三六十八，再加上两个边上的啊，所以说面数是等于二十，接下来顶点数， 顶点数，顶点数呢，我们来观察观察这个俯视图就可以了，我们发现在这个俯视图中呢，我们数一下，一二三四五六七八九，从上面看可以看到九个顶点，那么从下面看 啊，同时也能看到这九个顶点，而且这九个顶点呢，它们不重合，对吧？那么但是呢，我们从正面去看它，或者从左视图啊，从左边去看它，我们发现啊点已经重合了，我们看到的点呢，已经在俯视和仰视中全部看到了，对吧？我们去观察就可以了，所以顶点数呢，就是 九乘二等于十八，那么接下来呢，就是我们的棱数，棱数是多少呢？我们发现也一样，去看俯视图就可以了，我们在这个俯视图中看到了一二三 啊，每个点呢沿着去两条，那么啊，六三加六九，再加上边上一个六边形，对吧？九加六十五，也就说俯视图能看到十五个人，那么仰视的时候我们也可以看到十五个人， 然后呢四周去观察，我们发现从四周去观察的话呢，那么还有几条人呢？在我们仰视和俯视中没有观察到哪几条人呢？我们看这里一二三四五六七，哎， 为什么会有七条？这七算吗？啊，七不算，因为七这一条卷过去啊，跟一重合了，所以说我们人数是多少呢？从上看，从下看啊，从上看从下看各十五条，所以是二乘十五，再加上六等于七十四，这就是我们这道题的一个解法， 那么很多的方法呢，老师讲过的，大家可以去参考啊，比如说这里呢标点法， 同样的点呢，可以合成同一个点的，这样的点呢，我们标上数字对不对？这样标完之后啊， 突然我们就打开了宁都二脉，好像我们的空间想象能力突然就啊变得非常厉害了，对吧？啊，所以说好的方法呀，可以帮助我们。
33张硕讲数学
03:06查看AI文稿AI文稿我们看这道题，大家一定都得学会重重难点比。例如图，把梯形 a、 b、 c、 d 分 割成一个平行四边形和一个三角形。已知平行四边形 a、 b、 e、 d 的 面积是四十平方零 b。 一 比一， c 等于二比三 b。 一 比一， c 等于二比三。三角形 d、 e、 c 的 面积是多少？ 我们先连接 b、 e， 它是四十，因为是平行四边形，它就是二十。过 d， 点做 bc， 垂直于 bc 做它的高，交于点 f 首先连接 b、 d、 d、 f 垂直于 bc。 三角形 b、 e、 d 等于二分之一 s、 a、 b、 e、 d 等于二十。 三角形 b、 e、 d 与三角形 e、 c、 d 为等高三角形，它们的高是一样的 解， s， 三角形 b、 e、 d 就 等于二分之一 b、 e 乘以 d、 f 等于二十 s， 三角形 e、 d、 c 等于二分之一 ec 乘以 d、 f， 所以 s， 三角形 b、 e、 d 比 s 三角形 e、 d、 c。 所以 它们的面积比就等于 b、 e 比 e、 c、 e、 d、 c 等于二比三。 把它俩交换位置二倍的 s， 三角形 e、 d、 c 就 等于二十乘以三 s 三角形 e、 d、 c 就 等于三十平方厘米。大家学会了吗？点个赞吧，每天给大家更新，一起学习数学吧！
03:20查看AI文稿AI文稿大家好，今天让我们一起来学习这道几何中的特殊点问题，如图，角一加角二加角三加角四减角五等于多少度呢？ 我们先来看一下这个式子，前面角一、角二、角三、角四呢，都要加在一起，最后再将角五减去， 那看来角一、角二、角三、角四可以放在一起去看，角五呢就是比较特殊的一个角了。那我们现在再来看图， 图中既没有什么直角一类的有标志性的角，也没有标清哪一个角有多少度，这就难办了，他让，因为他让我们呀算出这个具体的度数， 怎么办呢？正因为呀，他没有给出每一个角的度数，所以说我们可以在这个图片上给他动一动，让这些角呢就是做出一些调整来，调到一个特殊点上，方便我们去做题。 没有给出度数，也没有给出高，所以说这个高我们是可以调整的。那么如果我们让角二和角三并在一起，图片会发生什么样的变化呢？我们可以试着来画一画， 画完之后，角一呢，在这里角二和角三并在了一起，由于题目中没有给出高和固定的角数，所以说角的度数，所以说我们可以把这些角的度数和高呀，随便的调整，就可以调整成如图这个红色的图，这个样子， 角二和角三并在一起，角四在这里，而角五呢，已经变成了一条线，就是角五的这两条边已经并到了一起，角五已经没有度数了。 然后啊，我们知道三角形的内角和呢，它是一百八十度，所以角一、角二，角三角四相加这一部分就得一百八十度， 而角五呢，现在因为没有度数，也就是零度，一百八十度减零度还是一百八十度，所以这道题最后就能写成一百八十度。 如何去找这个几何图形中的特殊点呢？是一个非常非常重要的一个知识点，我们怎样去找呢？我们可以提就是找一找规律，提供一些办法。 在题目中并没有给出任何具体的数的，具体的数的这个条件的时候啊，我们就可以让这种角可以让它并在一起，就比如说这样方便呢，把这个图形变得更规整一点，方便我们去整体查看。 为什么我们一想就可以想到将这四个角和变成一个三角形呢？因为看题目中的式子，这四个角呢，它是一个部分的，因为它们都加在了一起。 本期的内容到这里就已经结束了，如果你还有什么想和我一起学习交流的问题，请在评论区里告诉我吧。
10千顺说
04:20查看AI文稿AI文稿我是环球教育刘老师，今天呢，孩子们讲一道六年级下册第三单元几何图形一道奥数题。先来看题，如下图，在长是三十厘米，宽是二十厘米，高是十五厘米的长方体中挖去一个半径为五厘米的半圆柱， 求剩余几何图形的表面积是多少？这个图呢，其实很清晰啊，我们首先呢来分析一下这个表面积图的表面积，它是由多少部分组成的？首先我们来讲下面是不是有一个底面， 下面是不是有一个底面，然后左右是不是有两个侧面？那前后呢，是不是也有两个面？但是这两个面你看这挖去了一个半圆，后面挖去了一个半圆，也就是前后面还要再减去两个半圆，是不是可以堵成一个圆？那最后再看上面，上面是不是这有一个 长方形，这也有一个长方形，最关键的是中间是不是还有一个侧面？记的一半？ 好多呀，我们一步一步来分析啊，首先来算左右，那你看他的长是三十，他的高呢？十五，所以来写一下算式啊，三十乘以十五，这是算出一个面， 我把这个面先打上对号啊，如果我要再乘以二来，是不是？哎，左右都算了，这个是左右，那继续再加上加上底面，底面长是三十，所以三十 乘以二十，是不是就是底面了？那我乖乖写一下啊，这个是左右两面，这个呢是一个底面，好，继续再加上，你看前面和后面，原本在没有挖去这个半圆柱的时候，他是不是也是一个长方形， 但是中间挖这一个，那我们就用两个长方形减去一个圆就 ok 了啊，好，前后它的长是二十，宽呢？宽是不是十五？所以二十乘以十五，再乘以二，这个呢，是前面和后面， 那前面和后面，但是咱说了，他挖了一个半圆，对，两头的半圆，这头一个，这头一个，所以两头就组成了一个圆，我们还要再减去一个圆，给出半径是五圆的面积，公式是派 r 的 平方， 派取三点一四乘以 r 是 五，也就是五的平方，那也就是再减去一个圆的面积。 好，那还有吗？是不是还有啊？上面是不是还有两个小的？所以我们再继续加啊，就算是有点长，乖乖，我直接在下面继续啊，加上上面两个长方形，他的长是不是三十？那我们来看一下，中间的半径是五，一共是二十，哎，说明他两个 是几啊，不就是十啊，所以我们来写一写啊，三十是长乘以它的宽呢，共是二十，减去，哎，这是不是有一个半径，半径是五，那直径呢？就是五乘以二了，能明白吗？ 所以这个就哎，上面的两个长方形。好，那还有嘞，还有最重要的就是这个半圆柱的一个侧面啊，是这个侧面是半圆柱嘛，所以是圆柱侧面的一半，对吧？继续加上 三点一四乘以用派 d h， 那 d 呢，就是五乘以二， 泰地再乘以高，高呢，高是不是就是三十？哎，关键的是还要再除以二啊，这一块呢，就是栏柱的面积的 一半哎，这个算式很长，从上面到下面，这是我们分析，然后给它列出来。那具体等于多少？这道题留给孩子们自己来算一下等于多少啊。这个题其实他难，倒不是说特别难，主要是 它的表面积检测到的面有点多，所以孩子们一定要认真先分析，看看哪个面你算过了，哪个面没有算。其实这个题你列综合算式是可以列出来的，当然有些同学呢，喜欢列分布算式都是 ok 的 哈。
03:30查看AI文稿AI文稿想让孩子初中数学不掉队，想学立体几何，一定要学扎实，全是衔接考点。我们来看一道校内爱考的立体几何题，题目说如图所示，有一个棱长为两厘米的正方体，从正方体的上面正中向下挖一个棱长为一厘米的正方体小洞， 接着在小洞的底面正中再向下挖一个冷场为二分之一厘米的小洞，第三个小洞与前面的挖法相同，冷场为四分之一。问最后得到立体图形的表面积是多少？那我们先来看一下， 挖之前呢，它是一个冷场为二的正方体，那挖之后呢，对于这个正方体来说，只有哪个面受影响了呢？只有上面这个面受影响，那从表面看过去一次，好像少了一个， 这个面少了，对不对？那我们先来看一下，如果说从上往下看呢，他的会看到什么呢？会看到底下呢？还有一个 一个棱长为边长为一厘米的正方形，但是中间呢，少了，又被挖走了一个二分之一的正方形，那就还有一个四分之一的正方形。所以啊， 其实虽然说他中间挖空了，但是对于这个面来说，这个面有减少吗？没有的，其实就是相当于说把最底下这个四分之一的长方形我们移上去啊，把这个补上，再把这个二分之一的正方形我们往上移上去，把这一块补上， 那最后再把这块边长为一的正方形往上补上，刚好啊，把这个空的地方给他补齐了，所以说从上面来看呢，这个面是没有减少的。好，那我们再来看一下，他有没有增加呢？ 有。那把中间挖空之后，哪些面多出来了呢？哎，是这个，第一个是这个正方体的四个侧面多出来了，本来是没有的，那底下这个边长为二分之一的也是四个侧面多出来了。那 最下面这个四分之一的正方体呢？也是多了四个侧面。所以呀，我们分析完之后，就可以发现，这个长方体在挖完之后，这这个正方体在挖完之后，它的表面积是没有减少的，反而增加了。增加了什么部分呢？增加了 棱长为一，棱长为二分之一，棱长为四分之一这三个正方体的四个侧面，所以 式子我们可以怎么计算呢？我们先求出本来的能长为二的正方体的面积是边长乘边长乘以六，算出来呀，是二十四，再来算出增加的部分，增加的部分是 每一个挖空的正方体的四个侧面。好，一乘一乘以四，加第二个边长二分之一，乘二分之一，乘以四，加第三个 四分之一，乘四分之一，再乘以四。最后算出来的是五又四分之一平方厘米。再把两个部分原有的加上新增的五又四分之一，就可以算出来。现在立体图形的表面积呀，是二十九有四分之一平方厘米了。
44火火全网奥数带练
02:15查看AI文稿AI文稿啊，对齐了，对齐，咱们就是平行四边形 a、 b、 c、 d、 e 为 a、 b 的 中点， a、 f 等于二 f、 c。 三角形 a、 b、 c 的 面积比婴儿的面积大三十，让咱们数婴儿的面积。因为 a、 c 是 平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线，所以三角形 a、 b、 c 的 面积等于三角形 a、 d、 c 的 面积。三角形 a、 d、 c， 它是由阴影和四边形 e、 f、 c、 d 这两部分组成。因为三角形 a、 b、 c。 的 面积比阴影的面积大三十，所以四边形 e、 f、 c、 d 的 面积就等于三十。咱们来看阴影和三角形 e、 f、 c， 它们两个有什么关系？你看它们两个的高，都是点一到 a、 c 的 距离，所以它两个高的长度就是相等的。咱们再来看它们两个的点，因为 a、 f 等于二 f、 c， 所以 阴暗的面积就等于两倍的 s。 三角形 e、 f、 c。 咱们要是设三角形 e、 f、 c 的 面积为 x， 则阴影的面积就等于二 x。 咱们大家看三角形 c、 a、 e 和三角形 c、 e、 d， 它们俩都有什么关系？你看它们两个高都是相等的。咱们再看它们两个的底， 因为 e 是 a、 d 的 中间，所以 a、 e 就 等于 e、 d， 所以 它们两个的面积就相等的。因为等底等高，所以三角形 c、 e、 d。 的 面积就等于三 x。 四边形 e、 f、 c、 d。 的 面积等于三十，等于四 x， 所以 x 就 等于三十。除以四等于七点五， 阴影面积等于二 x， 所以 阴影的面积就等于七点五乘二等于十五。这样咱们就求出了阴影的面积，是不是非常简单啊？
05:18查看AI文稿AI文稿大家好，我是妈帮六年级老师。严老师，今天说一下六年级下数学，嗯，核心的要点， 一、圆柱和圆锥也是图形与几何一、圆柱，嗯，有两个完全相同的圆形，底面及侧面组成，有无数条相等的高，侧面沿高展开之后是长方形，这个长方形的长就等于底面的周长宽等于高。 那我们来说一下公式，测面积就等于底面周长乘以高，嗯，也就等于半径乘以二，乘以派乘以高。也等于直径乘以派乘以高。那我们的表面积其实就是测面积加两个底面积，嗯，写成公式的话，就是二派， r 的 二派 r 乘以高，加二 r 的 平方乘派乘以二， 那体积的话，嗯，是底面积乘以高，也就是半径的平方乘以 pi 乘以高。我们在做题中会遇到的情况，比如屋盖的水桶需要一，需要一个侧面加一个底面， 比如烟囱，嗯，只需要算它的侧面积，那我们在做题当中也会遇到，嗯，就是知道体积要求表面积，或知道表面积要求体积的公式转化。 第二个，几何图形圆锥，他的特点是由一个圆形的底面，侧面是曲面，只有一条高是顶点到底面圆心侧面展开图是一个扇形，他的体积公式是三分之一乘以底，面积乘以高，嗯，那 我们也可以在等底等高时，圆柱和圆锥在等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。那易错点呢？在计算圆锥体积时，容易漏掉去乘三分之一已知体积的高度啊。球体面积是忘记乘以三， 嗯，第二点，比例，嗯，数与代数，嗯，第一个就是比例的意义和性质，我们的比例表示两个相等比的式子，比如说 a 比 b 就 等于 c 比 d， 那 基本性质就是内向肌等于外向肌。 那解比例的时候，我们要利用比的基本性质转化成方程去求解。比例尺呢？嗯，是图上距离比，实际距离就等于比例尺。首先我们要单位统一，常用的是厘米，嗯，线段的比例尺 可相互转换。图形的放大与缩小，按相同比例放大缩小，形状不变，大小改变，对应边成比例。 那接下来第三个要点就是正比例和反比例。正比例的特点就是两种相关联的量，嗯，比值商一定， 那他们两个就成为正比例，那按照图形来画的话，从原点成为一条直线，嗯，比如说速度一定是路程与时间成正比例， 接下来反比例的特点，两个相关联的量乘积一定是，嗯，图形是曲线，嗯，比如说是路程一定是速度与时间成反比。判断方法，首先看是否关联，然后看比值或乘积是否一定。 如果是笔直一定的时候，那就是成正比，成极一定的时候，那就是成反比。第四个要点，图形的运动，那我们的图形运动呢，分为平移，旋转，嗯，还有就是，嗯，轴对称。 平移图形，嗯，各对应点，平移方向距离相同，大小不变。旋转三要素，旋转中心方向方向是逆时针旋转呢？还是顺时针旋转角度，常见的是九十度和一百八十度， 在方格纸上按要求作图。还有就是轴对称，图形沿对称轴折叠后，两边完全符合，找对称点画对称轴，那接下来我们经常六年级下册见到的是平移旋转轴对称是一个综合应用的。 我们的第五项重点就是总复习，也就是要把我们的小学段的各个知识都要在六年级复习一遍。 你像数以代数，那就是要分清楚整数、小数、分数、百分数、负数的意义及其运用，嗯，计算率，嗯，与剪变计算，嗯，下来就是我们的几何图形，几何图形又有平面图形要求它的周长和面积， 立体图形要求表面积、体积图形的运用与位置。然后还有就是我们的统计与概率，嗯，数据，数据的收集、整理、分析，嗯，可能性的大小。 接下来就是解决问题的策略，比如说画图，列表，嗯，假设还有转化等。那我们的六年级的核心易错点有哪些呢？一个就是圆，追求圆锥体积时，容易忘记漏掉乘以三分之一 元素的表面积区分，要区分有盖、无盖或者是通风管道，它两边都是无盖。接下来就是比例尺，在算比例尺时为统一单位， 就直接进行计算，图形的放大和缩小按边去计算，而不是按它的面积或体积去计算。嗯，正比例和反比例的判断容易混淆， 一般我们正比例判断是比值一定，反比例判断是乘积一定，那负数的比较绝对值越大，数值就越小，比如说负八小于负五。 那今天我就给大家整理到这里，后期，嗯，还有一些核心要点，我也会陆陆续续的在我们的马拉帮平台上发出来，谢谢大家。
5乐不思蜀
02:31查看AI文稿AI文稿好，做题了，这道题咱们已知，正方形 a、 b、 c、 f 中 e、 c、 m、 b 相交于点， n， 三角形 m、 n、 c 的 面积等于十五，三角形 e、 n、 b 的 面积等于四十五， f、 m 等于五。让咱们求阴影的面积。咱们要是连接 f、 b 两点的话，咱们来看三角形 f、 b、 c 和三角形 e、 b、 c， 它们两个有什么关系？你看它们两个底都是 b、 c， 高都是这两条平行线间的距离，所以它们两个面积就是相等的，因为同底等高。三角形 f、 b、 c， 它是由 阴影和三角形 mnc、 三角形 fbm 这三部分组成，所以它的面积又等于阴影的面积加三角形 mnc 的 面积加三角形 fbm 的 面积。 然后三角形 e、 b、 c， 它是由阴影和三角形 e、 n、 b 这两部分组成，所以它的面积又等于阴影的面积。 因为上边是相等的，所以它下边也是相等的。在等式两边需要相同的部分，乘差的部分仍然相等。等式两边都有阴影这一部分，咱们改括号就可以得出。三角形 m、 n、 c 的 面积 加上三角形 fbm 的 面积等于三角形 e、 n、 b 的 面积，所以三角形 fbm 的 面积就等于四十五减十五等于三十。 三角形 fbm 的 面积等于三十，等于二，所以 b、 c 就 等于三十乘二 除以五等于十二，所以 m、 c 就 等于十二减五等于七。 三角形 m、 b、 c， 它的底是 b、 c， 也就是十二，它的高是 m、 c， 也就是七，它的面积就等于十二乘七除以二 等于四十二，所以阴影的面积就等于四十二减十五等于二十七。这样咱们就求出了阴影的面积是不是非常简单。
