八下几何动点求周长
三角形周长最值问题可是初二几何考试的压轴考点，得分率不足百分之十。别担心，这个视频老师教给你利用轴对称和将军一码的方法求解，再搭配老师整理的几何最值讲解视频，轻松攻克这类题目，回复几何分享给你。好，我们来看题， 如图， o p 等于三角 a， o b 等于三十度，求 p， m， n。 三角形周长最小值是多少？首先我们来看一下啊， p 点呢，在此时此刻是定点， m 和 n 呢，是在 o a 和 o b 这两个射线上的动点。那这类型题是非常典型的什么问题？ 对，叫一定两动，那么一定两动作为将军一马的第二类拓展题型，我们要简单的复习一下啊，就是在一个这样的角当中出现了一个定点 p， 对吧？求在射线上找一个 m， 射线上找一个 n， 使得 pmn 周长最小。怎么做呢？它的方法很简单，叫做对称两次，也就是说 p 点关于这条射线先对称，第一次 找到 p 撇， p 点关于这条射线再对称，第二次找到 p 两撇，然后呢，把这两个点一连 好，那么此时此刻这个地方就是我们要找的 n 点，这个地方就是我们要找的 m 点，那么我们把它用实线相连，你会发现 p， m， n 就是我们所找的 周长最小的三角形。为什么呢？因为你会发现啊，根据轴对称的知识，你会发现这个边是不是倒在这里了，因为这里是轴对称的，然后这个边是不是倒在这里，因为这里是轴对称， 对吧？中间是一条动着的三根线。好，你发现单线三线双线相加和最小，很明显是这个定点对称两次，那这两个定点之间什么？两点之间线段最短，所以确定了 m 和 n 点？ 好，你一旦复习完这个知识点，那再看这个题，那就太 easy 了，怎么做呢？来对称两次，先对称，第一次找到一个撇撇，再对称，第二次找到撇，两撇把它俩一连， 那么这个时候就是我们真正的 n 点，这个时候就是我们真正的 m 点。那么你这个时候一画，那么此时此刻这个三角形就是我们 a 周长最小的三角形。那接下来的问题又转化成了什么呢？他说求最小 值是多少？那就是求这个黄色的周长最小值是多少？来，咱们看啊，我把它转移到了这里，把它转移到了这里。那你所求的实际上就是各位，是不是绿色的这个线段的长度。 好，还有一个信息没有用三十度和三。那咱们看啊，因为你做的是对称对不对？所以我这里相连。各位请看这个 x 和 x 是不是因为轴对称的关系全等，所以角相等。好，再来这个地方， y 和对称后的这个角是不是也是 y， 对吧？那我们已知题干的信息啥？ x 加 y 等于三十度，那么所以二 x 加二 y 口算多少度？对，答案是六十，而且都是 op 对称出去的， 所以这个线段和这个线段就是我们的 op， 撇和 op 撇和 op 都是相等的等腰三角形有六十度，它是什么图形？非常好等边三角形，所以你现在看到的整个这个图形 就是一个等边，而且它的边长就是 o， p 就是这里的三，所以 p 撇 p 两撇就等于三，那最后的答案也是三。各位，这个题很经典，你学会了吗？
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02:48查看AI文稿AI文稿两分钟讲明白将军银马之一点两线一定点。两射线角内部两动点 m n 求周长最小值作 p 点对称点。定点对称点也为定点。 p m 等于 p 撇 m， p n 等于 p 两撇 n， 所以 p m 加 m n 加 p n 就 等于 p 撇 n 加 m n 加 p 两撇 n。 当四点共线， 就是等于 p 撇 p 两撇线段长。看题。三角形，四十五度，内部一点 b， p 无 ab 上一点 b， c 上一点是动点。方法一定两动，将军银马一点两线做对称， p 撇做另一条 线的对称点。 p 两撇连接 p 撇， p 两撇交 ab 记为 m 点，交 bc 记为 n 点。此时四点共线，周长有最小值记。 p 撇 p 两撇线段长，由对称得。 b p 就 等 b p 撇， b， p 又等 p 两撇对应角相等，对应角相等点加叉四十五，两个点，两个叉九十度。 b p 五 b 撇， p 五 b 两撇 p 五 等腰直角三角形，所以 p 撇 p 两撇线段长。五根号二、解决看题。 b a， d 一 百一九十 九十 a， b 等 a， d 动点动点，当 a， e、 f 周长最小，求这两角度数和定点，再交 内部一定一点两线，将军银马做对称， a 撇做对称。 a 两撇连两对称点交两线，一点为 f， 另一点为一，此时 a、 e、 f 周长有最小值。 a， e、 f 这个角加这个角度数为多少？等腰外角等于两角，等于不相邻两内角和， 所以这个是两个叉，所以这两角就和。是两个点加两个叉，这里是一个点加一个叉乘二就是这里一百一， 所以剩下两角和七十度乘二就是一百四十度，所以结果算 c。 将军赢吗？一点两线就讲到这里，有不明白的打在评论区。
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05:41查看AI文稿AI文稿将军一马模型跟周长类问题的结合考试当中就考这种类型哦，他不会考你最基础款的那个将军一马的。来，看到如图，先看上面这个图， 点屁是角 aob 内任意一点啊，任意一个点，也就是说什么他是一个动点哦，但是呢，又告诉你，角 aob 等于三十度，这个角等于三十度， ope 等于八， ope 等于八 点 m n 分 别是射线 o a 和 o b 上的动点点 m 点 n 在 动哦，动点问题，那么问你，三角形 p m n 周长的最小值是多少？哎，这怎么求啊， 很多孩子啊，拿到这个题目啊，就蒙了，哎呀，这求周成了，这也不是将军一马呀，这怎么求啊，哎，所以啊，我们讲，首先你要能够看出来这个题目是将军一马来，怎么看出来呢？注意听啊，朋友们， 你看看左下角这个图，我过点 p 过点 p 做 o b 的 对称点 p 一 撇点，哎，那你看，根据我们刚才讲的对称性，那么你这个 p n 这条线段是不是就等于 p 一 撇 n 这条线段呀？ 根据对称信号，那么同理，我再做点 p 关于 o a 的 对称点 p 两撇这个点，那你再看根据对称性，是不是有 p n 这条线段，就等于 p 两撇 m 这个线段呀？ 哎，这是根据对称性，我一定能够知道哦。而你看三角形 p m n 的 周长，我可以怎么表示啊？这个周长，这个周长是不是就等于 p m 加 p n 加上 m n 啊？哎，这就是周长的表示形式。而你看，根据作对称，注意看啊， pm 是 不是被我换成了谁啊？根据对称写 pm 是 等于，是不是等于 p 两撇 m 等于 p 两撇 m， 而我的 pm 是 不是等于 p 一 撇 m 啊？ 哎，那么我要求的线段之和周长最小不就变成了三条线段和的最小吗？ 注意看，我用绿色的笔给你描出来，是不是就等于求 p 撇 n 加 m n 再加 p 两撇 m 这三条浅绿色线段之和呀，最小值。 哦，原来周长被我转化成了三条折线段的最小值，他们的和。哎，那怎么求呢？方法很简单啊， p 点 p 撇点， p 两撇点。在这里我要求他们之间线段和的最小，是不是什么呀？化折为直。什么呀？直接去连接谁 p 撇 p 两撇 来，注意看，直接连接就是最小值，就是最小值。好，那么现在问题他的最小值是不是就等于谁啊？ 是不是就等于 p 一 撇 p 两撇啊？哎，那我怎么样来求 p 一 撇 p 两撇的最小值呢？ 哎，坐到这里又把一部分孩子卡住了，在考试当中，哎呀，没有思路呀，这 p 一 撇 p 两撇最小值怎么求啊？题目告诉我的条件，我还没用上呢，角 a o b 三十度没用， o p 等于八，没用， 哎，注意听哦，怎么来把它用上？根据对称性要看右下角的这个图，右下角的这个图， 你根据对称性 o p 是 不等于 o p 撇啊，那么 o p 是 不也等于 o p 两撇？这是根据对称性做过来的哦，做过来的。所以呢，所以我去看什么呀？三角形 p 一 撇 o p 两撇，这个三角形是一个什么呀？是一个等腰三角形。 哎，首先你要能看出来这个三角形是一个等腰三角形。为什么呀？我给你写一下，是不是因为 o p 撇等于 o p 等于 o p 两撇，这不就是等腰三角形吗？来三十度还没用呢，朋友们注意看啊， 这个角是不是三十度？这个角是三十度，而我们知道，如果这个角折叠过来，是不是这个角，角一是不是等于角二？ 来，再看这个角，角三折叠过来是不是等于角四？哎，那你发现整个这个大角是不等于角一加角二加角三加角四，那整个这个大角等于多少度？朋友们，角一加角三，这等于多少度？这是三十度？ 角二加角四就等于角一加角三，那整个这个大角是多少度啊？是不是六十度啊？哦，原来你发现什么样？你发现什么样？ 这是一个什么三角形？朋友们把很多孩子困扰住的题目， 等腰三角形，有一个角是六十度，他是不是等边三角形啊？哎，这是非常关键的核心啊！我是不是得到了等边三角形 o p 一 撇， p 两撇，在这个等边三角形里 面， o p 等于八，那么 o p 撇是不是也等于八呀？ o p 两撇是不也等于八？那么 p 一 撇， p 两撇等于几？是不等于八？所以最小值是几？不就是八吗？
60数学散修余老师
01:15查看AI文稿AI文稿学会解析模型，难题也能迎刃而解。如图所示，四边形 a、 b、 m 位于坐标系中， m 横分别是 x， o 和 y， 轴上动点 a、 b 两点为定点坐标已知，求四边形的最短周长。先自己思考下，五秒钟后公布答案 时间到。首先 a、 b 都是顶点，因此这条边的长度是固定的。通过勾股定律就能求出三角形，直角边分别是四和二，那么斜边就是二十。另外三条边长度不固定，这种球最短长度问题 可以用将军引马模型解析。将两定点分别 y， x， y 轴对称连接， a p n 和 b p m 轴对称，两点到轴上任意一点距离相同，因此可得 a n 与 a p n， a n 和 b p m 相等。不论 m n 两点如何再轴上移动，等式始终成立。 因此四边形另外三边的长度就等于 pi and bpi 的 长度。这四点的首尾固定，两点之间线段最短。当 m 移动到线段上时，三条边长度和最短这条边的长度同样可以用刚才的方法求出。 两点的坐标就是对应轴成负一，可得长度为十，最短周长就是十，加根二十，你学会了吗？
03:30查看AI文稿AI文稿打好基础，你也可以变得优秀。八项期末必过的压轴题，勾股定底的方程思想，然后看下这个题目啊，今天通过两步轻松解决它。 首先呢，它是在这个三角形 a、 b、 c 当中，这个角呢是九十度垂直，然后 a、 c 呢的垂直平分线交 a、 b 啊于点 d。 好，然后这个时候垂直平行线的话，我们立马得出一个结论啊，垂直平行线 c 一 等于 a 一， 同时呢， c、 d 又等于 a、 d。 好， 继续看，他说我们的三角形这个 a、 b、 c 啊的周长是十二，就 a、 b、 c， 我 们可以先写一下啊， a、 b、 c 的 话，就是 a、 b 加上 bc 啊，加上 ac， 它是等于十二的。 其次呢， bc 又等于三啊， bc 等于三，现在要求什么东西呢？求 bcd 的 周长。 bcd 在 哪里呢？是在这个地方，那 bcd 的 周长我们可以展开啊，它等于多少呢？等于 bc 加上我们的 bd 啊，再加上我们的 cd， 那 bc 嘛，它是等于三的，所以我们可以写出来三加上 bd， 哎，再加上 cd。 好了，这个时候你要注意看啊。呃，如果我要算它的这个周长的话，必须要知道 b、 d 等于多少， c、 d 等于多少。哎，但是呢，要去算这两条还是很难的。那我们可以转换一下啊，转换一下， 你看， c、 d。 刚不说了，等于 a、 d， 那 意味着什么东西呢？我这个 c、 d 啊，可以变成什么？把这个 c、 d 变成 a、 d， 那 这个时候我这个周长就变成了什么东西呢？变成了三加，你看 b、 d 加 a、 d 不 就是 ab 的 值吗？ 啊，你看，所以我们只需要算出 ab 的 长度就可以了，那 ab 的 长度从哪里来呢？啊，你看啊， 在这个地方，我 b c 等于三，我们也可以看一下啊， a b 加上 a c 啊，这是三嘛？是不是十二减去三啊？就等于九，那所以这两条也就说我们的 a c 加 a b 是 等于九的。 那你会发现在这个直角三角形里面啊，我有一条是已知的，另外两条呢，是未知的，但它们的和，或者或者说有的时候是叉，是固定的值，那就好办了，那我们就可以进行设未知数来表示它，那我要求 ab， 我 就可以设 ab 为 x 啊，设 ab 为 x 的 话，我们看一下啊， ab 等于 x， 那 ac 等于多少呢？因为两条相加等于九嘛，所以 ac 就 等于九减 x。 那现在我们来看一下啊，这是 x， 这一条是九减 x， 在 这个大的这二三以内，我们是有一个勾股关系的。就什么样呢？斜边 a b 的 平方等于两条直角边的平方和。 好，那现在 ab 方呢？是等于 x 的 方，然后 bc 方是等于三的平方，加上九减 x 的 平方，你看就建立了一个方程， 那所以用勾股定律呢？这是我们的第二步，建立方程去求解就可以了。那接下来我们通过这个求解的话，这过程啊，呃，我们打开等于九加上八十一减十八， x 加上 x 平方，那 x 平方已经消掉了啊， x 最终算出来是等于多少呢？是等于五的。 好，这个等于五的话，那我们的周长不就可以了吗？就等于多少？三加五就等于八。在这里选择我们的 c 答案。
53粤数
05:22查看AI文稿AI文稿今天这道题是一个平行四边形的题，我们把题目读一下，如图，在菱形 a、 b、 c、 d、 a、 b、 c、 d 是 菱形。我们知道菱形有什么特点，第一个四条边上的四条边 相等，第二个相等，第二个对角线互相垂直，对角线剪线了，对角线垂直。 第三个，菱形的对角线比平行四边形的对角线多了一个特点，就是它不仅平分，并且还平分对角 对角线平分对角好，这是题目中这个菱形的特点。我们再继续看 四条边相等，就是 a、 b、 b、 c、 c、 d、 d、 a 是 相等的，对角线垂直 a、 c 和 b、 d 垂直 b、 d 没有连接我们先不说。 还有一个就是对角线是平分对角的，那这个就是角 b、 a、 c 等于角 c、 a、 d。 角 a、 c、 b 等于角 a、 c、 d。 我 们继续看 过点屁是对角线， a、 c 上一动点屁是动，点屁是动，点过屁做屁， e 垂直于 b、 c、 p、 f 垂直于 ab。 说菱形四边菱形 a、 b、 c、 d 的 周长为二十，那它的边长我们知道了，就是二十除以四等于五， 面积为二十四面积，菱形的面积是底乘以高，它的底是五，所以它的高。我们如果过点 a 做 bc 的 垂线，那它的高是不是就是 二十四除以五啊？好，我们看一下。题目要求的是 p e 加 p f， p e， p e 加 p f， 这个 p f 是 垂直于 ab 的， p e 是 垂直于 bc 的， 那如果我们连接 b、 p 的 话， 这个三角形 a、 b、 c 的 面积我们可以算出来，那三角形 a、 b、 c 的 面积是不是也等于 ab 乘以 p、 f 的 一半，加上 pc 乘以 p 的 一半， 可以理解吧？这是我们这道题的其中一个的解题思路，我们把过程写一下，第一个我们是，嗯，不写几了，我们直接写过程。连接连接， 连接 b p 连接 b p， 我 们有三角形 s， 三角形 a， b c 就 等于二分之一， a b 乘以一个 p f 乘以 p f a b， 我 们知道是五， bc 是 五，所以我们把二分之五提出来，就是二分之五， p e 加 p f s。 三角形面积我们是知道的吧，菱形的面积是二十四，所以 p e 加，所以这个 s 三角形 abc 的 面积是不是就是二十四的一半？是十二？所以我们可以求出 pe 加 p f 是 不是就等于 pe 加 p f 等于五分之二十四，这个呢，就是用的面积法。 还有一种做法，我们看一下这道题，我们如我们看一下 p f 是 垂直于 ab 的， pe 是 垂直于 bc， 那 pe 加 p f， 我 们如果按共顶点的话，我们以这个 p， 我 们做 p g， 我 们做 p g， p g 垂直 ad 的 话，那我们 p g 是 不是跟 p f 是 相等的？因为 a c 平分角 b a d， 所以 ac 是 角， b a d 的 角平分线，角平分线上的点到角的两边距离相等，所以我们有 p f 等于 p g， p f 是 等啊。第二种做法啊，这是第一种做法， p f 等于 p g， 并且呢， p g 垂直于 a d， p e 垂直于 b c， a d 和 b c 又是平行的，所以这个 g， p e 是 不是三点共线？三点共线的话，那 p g 跟 p f 又相等？我们求 p e 加 p f 是 不是就是 p g 加 p e， 那 就是 g e 这条直线吧，这条线段啊，说错了， g e 这条线段是不是就是 b c 边上的高，所以还是五分之二十四？这道题有两种做法啊？
33一起学数学
05:57查看AI文稿AI文稿中考经常考的最小值，八年级数学下册第三章的第十三题，在平面直角坐标题中，矩形 o、 a、 c、 b 的 顶点 o 在 作边，圆点 顶点 a、 b 分 别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， o， a 等于三， o， b 等于四， d 为 o， b 的 中点。 好，我们看到这个图呢，这个 o， a 等于三，所以 a 点的坐标是三零， o， b 等于四点， b 的 坐标是零四，并且 d 是 o、 b 的 中点，所以点 d 的 坐标就是零二 好， o， d 等于 b， d 等于二， o， a 等于三，对吧？ a， c 等于四， b， c 等于三。这是一个长方形，也就是矩形。好，这里的第一小题说 e 是 边 o a 边 o， a 上的一点啊，边 o， a 就 在这一部分上。 这是第一小题，当三角形 c、 d、 e 的 周长最小的时候，求点 e 的 坐标，他不是问这个周长的最小值等于几，那么周长的最小值呢？我们就可以知道，这个 c、 d 呢，是等于这个等于二，这个等于三， 二得四，三三得九，根号一至三，对吧？九是一至三根号之三。然后那个 e、 d 加 e、 c 的 最小值呢？ 很显然，我们就是要做这个 d 关于 x 的 对称点。第一撇，对吧？第一撇，那么这个 e、 d 的 e、 d 撇，当这个 c、 c、 e 这个第一撇的这个三点共线的时候， c， e、 d 第一撇，三点共线的时候， 那么这样的这个 e， d 加 e， c 就 应该等于啊 e 在 这就是 e、 d 撇加 e、 c， 那 么这个时候呢？它的最短，呃，就等于这个是三， 呃，这个就是等于六，对吧？那这个就等于三，根号五。但这道题他没有叫我们求这个周长的最小值等于几，只是叫我们把这个点 e 的 坐标给它求出来， 哎，那么这样呢，我们就把这个直线 c、 d 一 撇给它求出来，对吧？直线 c、 d 一 撇，我们设 y 等于 k， x 减二啊， d 一 撇，坐标是零，发， 我们代入点 c 的 坐标是三四，对吧？四等于三， k 减二，三 k 等于六，呃， k 就 等于二，所以 y 就 等于二， x 减二， y 等于二， x 减二，当 y 等于零时， 那么二 x 减二等于二， x 等于一，所以点 e 的 坐标，那就是一零 啊。当然了，如果是要把这个 c、 d 的 周长，最小的周长就是这只根号一三加上这个，这个叫做三，这是六，对吧？一二根号五，所以这个 c、 d 一 撇呢，是三根号五，也就是最小的周长是根号一三加三，根号五啊。 好，我们看到第二小题，第二小题题目说 e、 f 是 o、 a 边上的两个动点，但是呢，虽然是两个动点，但是两个动点之间的距离一等二。 e、 f 等于二，当四边形 c、 d， e、 f 的 周长最小时，求 e、 f 两点的坐标，那么同样这个 d 呢，是零二，对吧？ b 是 零四， c 呢是三四， a 呢是三零， 对吧？这个长的等根号，这个三三的九二的四几根号一十三，这个长的等啊。所以要是这个四边形的周长最小，我们在前面讲过了这道题吗？我们就是把这个 c、 f 和 d e 啊，咱们把它放在一起， 哎，您看到同样像刚才一样的，我们做这个第一啊，一，第一撇，呃， d 关 x 的 对称点 d 叫做 e， d 一 撇， e， d 一 撇，然后我们让这个 f、 c 啊，我们也给他平移，平移到哪里来了？平移到这里来， p 到这里叫做叫做 e c 撇，当 c 撇， e， d 撇三点共线的时候，那么这个长度等于二，这个长度等于二，那么 c 撇的坐标，那就是，呃，就是一四 啊， c 撇 d 撇，咱们是 y 等于 k， x 等于一，因为这个长度等于二嘛， 啊，大于一四，我们就四等于 k 减二，呃， k 就 等于六，嗯，所以 y 就 等于六， x 减二，当 y 等于零时，六 x 减二等于零，六 x 等于二， x 等于三分之一， 所以那么这样呢，我们就知道 e 点的坐标是三分之一零，这个 f 点的坐标呢，就是三分之一，加一就是三分之啊，三分之一加二就三分之一，加三分之七，零， 好，那么这两个点的坐标我们就求完了，因为题目上没有叫我们求这个周长的最小值是等于几 好。第十三题，这点 e 的 坐标是一零，这里的点 e 的 坐标呢是三分之一零点， l 的 坐标是三分之七零，我们就把这个 当三点共线的时候，当三点共线的时候，把直线的解析式求出来，然后如 x 的 焦点坐标，我们知道了 x 等于几，记得点赞关注哦！
08:52查看AI文稿AI文稿今天讲的是一个定点，两个动点问题，就属于动点问题这名较难的一个问题。那后期呢？随着数学问题的这个改变了，他有可能出现的问题，比我们现在学的这个还要难一点。我接下来给他给上一，给上一道题型， 大家自己去琢磨琢磨，看一看，就这种题怎样去做。那么这种类型问题呢？俗称啥？三重点问题。所以呢，我我在讲的时候呢，大家也用心怎么样听一下啊？ 用心听一下，我把这道题呢称之为啥？第二啊，称之为第二。 嗯，比如说在正方形中，它的面积是二，那我们进行一次彻底的分析，正方形面积是二，我们可以得到 ab 等于 bc 等于根二就是它的边长是根二。第二个问题说 e、 p、 f 分 别是三条边上的啥动点， 分别是三条边上的动点，求 p e 和 p f 的 啥最小值为。那我们现在发现一个问题，这三个点呢， 都是啥三动点？那有的同学说，老师三动点问题怎么去考？我在这里给大家再讲一遍，考的还是垂线段最短，只不过这个垂线段最短的和刚才那个垂线段最短的 有一定的区别。所以呢，我们第一步呢，我们应该去怎么分析这个问题？我们首先去分析，就是啊， a c 就是 平分 角 bc 的， 这是一部分。第二个呢，就是 b 点和的点呢？关于啥？关于 ac 对 称。但是在这里面我们先不管，我们直接 把这个 ac 当做啥和 p 为啥动点，所以我们第一步过和做对称点，过点 f， 做个对称点， 嗯，过点 f， 做个对称点。老同学说，老师过点 f 做对称点行不行？我在这里说一下，完全可以啊，你比如说这个时候呢，这就是 f 撇啊，这是垂直的，咱们这条线呢，也画出来这它的对角线 p c 啊，那画出来之后呢？那这个交这个点呢？这个 p 点呢？就在这出现了， p 点就在这出现了，然后 我们只需要做出比较即可。这个时候大家会发现一个问题，什么问题？就是题目中原有的 p e 和 p f 这线发生了改变，确实 确实发现发生了改，那这个时候，呃， p f 就 等于 p p f， p e 呢？位置也发生了改变，那么 p e 画出来， 那我们是不是就能够得到作点 f 关于 a c 对 称 的对称点， 点 f 撇，然后呢？交 a c 与点 p， 交 a c 与 p 点，这个时候我们连接 p f 啊，连接 p e 啊， 我们是不是就能得到一一种关系？就是 p f 等于啊， p f 平，这是我们特有的，然后 f 的 位置确定之后，我们直接做一条垂线啊， 大家看黑板， 我们做一条垂线，这是 m， 这是 n， 我 们再做 过点 p， 做 m n 平行 b c 交 c 得 bb 雨 雨点 m n， 这个时候我们会会发现，则 p m 垂直 c 得， 然后呢， p n 垂直 ab， p n 垂直 ab， 所以 我们是不是就能够得到我们现在想要的数学问题？是不是就能得到 p f 撇大于等于这个 pm， 然后 p e 大 于等于 p n 啊？ p e 呢？大于等于啥？ p n 因为斜边肯定大于直角边，所以我们是不是就能够得到 这个 p e 加 p f 的 最小值？问题啊，我们也可以写，就是给这加一个 p e 加 p f 是 不等于 p e 撇， p f 撇加 p e， 那 么它肯定大于等于啥？ pm 加 pm， 我 们推出了这个之后呢，我们就能够得到它的最小值，就等于啥？ pm 加 pm， 那 么这个时候我们是不是就能得到 m n 啊？ m n 呢，就等于 bc， bc 呢，就等于它的边长等于根二，所以这道题的答案就是根号二。那么为啥给大家说，你没必要就是去归类归纳问题， 然后具体问题具体分析了，因为题目中给你问题变化的时候呢，你看到了三动点问题，就在一瞬间有可能你就说老师没讲过，我不会，所以从根本上去否定自己。那我在这里我就想说一下， 三动点问题其实也简单，在这道题里面，我们相当于啥？相当于把 e 点和 f 点当做了啥？定点，把 a c 呢？当做了，当做了啥？ 当做和啊，然后我们过的和，做的是对称点，把动点呢当做 p 点。所以遇到三动点问题呢，我个人先具体问题具体分析，还有一种三动点问题呢， 属于费马点问题，当然现在不属于我们研究的范畴，我今天呢就不讲了。讲到这呢，我就给各位同学说，学动点问题想突飞猛进可以， 但是只是归类，不去深化的去思考，他在讲什么，肯定是学不明白的。我就讲到这，谢谢同学们的观看，希望学会这两道题， 能够让你们的动点问题有所进步。我就讲到这，下课。
12风中之客
05:29查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天呢，我们就来复习记忆和重点问题，这个问题啊，让大家又爱又恨，恨之多，你们不用说我都知道你们最讨厌这个问题， 其实老师呢，也不是很愿意讲这个，讲起来又麻烦，大家还听不懂。今天呢，我们就讲一道例题，稍微的再讲一些知识点。另外就是提一嘴我们的五月十号万维的黑白卷， 它的含金量就不用我说了吧，卖的又贵，而且卷题数张数也都少，虽然它的题含金量很高，但是它卖的太贵， 大家如果不想买的话，就五月十号准时来我这里听课就行了，我会把它的卷子拆解，然后发给大家，就就以这样 ppt 的 形式。 好，我们来进行一个知识点讲解，什么是几何动点？化动为静，以静制动。 听起来文绉绉的什么是几何动点呢？在几何图形的边上，线上或者区域内，点的位置随时间或者参数的变化而变化，这类问题就叫做几何动点的问题。它变的是什么？变的是位置， 变的是图形的形状。什么不变呢？定点？定点，它定在哪呢？它都会存在一个不变的量， 或者说是一个关系式，这个关系式是不变的，然后他就会去问，什么存在啦，什么最值啦，什么定值啦，一堆，反正就听讨人厌。那我们怎么去解这类题呢？ 口诀就是多点联动找关系，临界位置 定范围。 这两句话什么意思？题做多了就知道它是什么问题了啊，就知道它是什么意思了。我们之前常见的那种什么将军引马了，名字起的文绉绉的啊，它就是最值问题，最值问题就是动点问题，还有一些轴对称， 甚至还有一些相似三角形， 说白了它都是动点问题。来，我们拿一道题目来练练手， 在平面直角坐标系中给出来一个抛物线，经过了点 o 和点 a， 求 c 的 值，那你就把 o 带进来。 代入 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， x 等于零，零等于 c， c 等于零。用含 a 的 式子表示 b， 那 把 a 三三 a 代入 y 等 a， x 方，加上 b x， c 等于零，没了三三得九九， a 加三 b 等三， a 推出来 b 就 等于个负二 a。 第一问，把分儿拿住啊。 来第二问的第一小问，说 a 等于一， t 等于四，求 m n 的 长。他又给出来了一致条件，过点 p， t 零做 x 轴的垂线，交抛物线于点 m 来 m 点的坐标是不是 t 一个数？交直线 y 等于 ax 于 n， n 的 坐标是不是 t 一个数？ 那让求 m n 的 长，你把它两个 y 都求出来不就好了吗？来求 y 怎么求？把它往里面带。第一问，我们求出来的是个啥？ y 等于 a， x 方加 b x b x b 等于啥？ b 等于负二， a 负二 a x， 然后把 a 等于 x 方减二 x， 然后 t 又等于四，把 x 等四，带入 y 等 x 方减二 x 四四于十六，十六减八， y 就 等于八，这里就是八了。然后呢？再把 x 等四，带入 y 等 x， y 等 x 哪来的？这儿 a 等于一 tim 给的，然后 y 就 等于四，这儿就是四，让求 m n 的 长， 八减四，等四出来了。第二问，第二问，难啊！ 大家做出来之后，把你的解题过程发到我们的评论区，大家共同商议啊！老师，这道题讲起来可费劲，得两页 ppt， 又得画辅助线，又得分类讨论。 好，这节课就到这结束了。记得五月十号黑白卷 这是给你们白嫖的啊，它的含金量杠杠的， 我们到时候把黑白卷里面的每一题涉及到的知识点以及它的考法全都给大家揉碎讲透！好，五月十号，不见不散！
72小初爱学习
01:45查看AI文稿AI文稿一题几何年年考，而正方题却是常考，但本题扣点是一个动点，在正方题的表面上运动，只带一个垂直条件，瞬间将送分题变成劝退题。 大家看到这类题型好的方法才可以帮你节约时间，只需要三十秒搞定。这一个题的一个突破点就在这里，线垂直于线，转换为线垂直于面即可。 b， e， m 是 个固定的一条线， 想象一下，这一条线垂直于一个面，我们就把带有 q 点还有 a 点的转换到一个面上即可。 通过这里会发现，我们通过平移把这个移到这边来之后你会发现这是终点的时候，他俩一定是一个平行的关系，所以我们将它转换到 同一个面上去， a， a， e， d， e， d， e， d 上去即可。所以我们在这里画出正方体，然后在这找到 终点，这儿是 a 点，这儿是 a。 一 只有找终点对应的找终点才可以解决问题，所以我们只需要找到它的终点，你看一下，自然的就有垂直线垂直于面，所以我们取这儿的终点和这儿的终点， 然后再和连上，就变成一个长方体。不妨这里是记一个 e 点，这儿是 f， 那 也就是 e， f， a， b 就是 它所走的轨迹， 根据边长为二，这儿是二，这儿是一，所以这儿是根号五，这儿也是二，这儿也是根号五，所以说它的周长就是它所走的轨迹就是四，加上二倍根号五。
118成9讲数学
04:47查看AI文稿AI文稿今天这道题就厉害了，为什么他厉害？因为他是一道连学霸都做不出来的题，那如果说你能够做出来意味着什么，那你可能就是一个学神了，所以我们来看一下，你们是否有学神的潜质呢？如图，在这个矩形 a、 b、 c、 d 里面，首先告诉我们的是 dc 的 长度等于二， 然后告诉我们 d、 a、 c 等于三十度，那没有出现矩形，矩形就有九十度，这个时候就出现了很多的特殊的三角形了。 接下来他说了， p 是 整个 a、 d 上的一个动点， p 是 动点，同时过 p 点做了一个 p g 垂直 a， c， 把这个垂直符号呢，咱们给它标上去， 并且要连接 b p， 同时取了一个 b p 的 终点 e， 说明 e 是 b p 的 终点，那终点就会想到哪些性质，大脑里面飞速的去运转 好。接下来连接 e、 g 要求的是线段 e g 的 最小值，那这个时候为什么说它难呢？因为你压根找不到思路， 我们来看一下，比如我们看一下，因为这个 p 是 个动点，所以就会导致其实你做的这个 p g， 这个 g 其实也是会跟着运动的， 甚至说 e 是 b p 的 终点，尽管 b 是 不动的，但是因为你说 p 是 动的，所以 e 也会跟着动，那么你整个点都在动，相当于是 p 点， e 点和 g 点都在动，你如何去求 e g 的 最小值呢？所以这个时候该怎么去思考呢？我们要想到一个问题， 全是动点问题的时候，求最值通常会跟什么联系起来呢？一定是跟动点轨迹联系起来，那如何去找动点轨迹？这个时候要注意的是，咱们要求的是 e g 的 最小值， 那 e 和 g 都是这样的一个动点怎么去找？是把 e 点的动点位找出来，还是把 g 点找出来？你去思考之后，你会发现什么都找不出来，所以到底怎么去解决？接下来我们还是回归题目条件，我们来观察一下，这个时候 p g 是 垂直的， 所以我们说这边已经有一个垂直了，垂直之后我们就会想到前面我们之前讲过用到三线合一，那在这里面是否有这个可能性？用到三线合一去尝试一下。我们的做法是延长 p g 到我们的 h， 使得我们的 h g 要等于我们的 p g， 那 么这个有什么作用？哎，我构造的就是使得这个 g 为 p h 的 中点， 那既然 g 是 ph 中点，同时我们的 a g 又垂直于 ph， 说明什么？是不是就可以说明 a g 为我们的 ph 的 中垂线了？ 那么这个时候想到了中垂线有什么性质？中垂线上任何一点到线段，两段点距离相等，于是我们就连接了 a h， 这时候发现一个问题，那么 a h 和我们的 a p 是 相等的，它是等腰三角形，又出现了中点和垂线三线合一，这个时候这个角是三十度，是不是这个角一定也是三十度？那而且我们会发现很重要的特征，只要这个角是三十度不变， 那么这个角它就永远不会变。意味着什么？意味着这个 h 点一定只能在这条直线上。好，接下来就有点意思了，我们看一下， 我们要求的是 e g 的 最小值，现在 g 是 p h 的 终点， 而我们的 e 是 p b 的 终点，是不是就想到中位线了？于是我们连接 b h， 我 们会发现，原来你要求的这个我们的 e g 的 长度，它就转化成为二分之一的 b h 了。 那么也就说如何把 b h 长度求出来是不是就可以了？ b h 怎么求？ b 点是固定的，它不可能去动，所以动的只有 h 在 动。刚才我已经说过了， 我说 a h 这条直线，它的这个角度是永远不会变的，所以 h 你 不管怎么动，它一定得在这条线上动，那么这条线其实就是我们要找的动点轨迹。 所以接下来这个题目就变得非常的简单了，要求 b h 的 最小值。我们说既然 h 是 在这个上面动，什么时候最小呢？相信你们都猜出来了，过 b 点做这条射线的垂线，假设我们的垂足为 h 一 撇， 此时 b h 一 撇就是最小值，那么我们说这个是三十，这也是三十，那当然这个角自然也是三十啦。 o a b 的 长度也等于二，那么 b h 一 撇的长度正好是等于 a b 长度的一半，所以它的长度是一。那么最终我们要求的长度是二分之一， b h 其实是一撇，答案是二分之一。
153江阴初中数学王校
