2026枣庄高三三调数学立体几何
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17:11查看AI文稿AI文稿二零二六高三数学每日一题第五十三天高考题预测专题，立体几何最值问题 啊，同学们好，今天呢，我们来做这个立体几何这个预测问题当中的最后一讲啊，每周呢，我们都会进行一个这个模块的一个预测， 那今天呢，我给大家呢分享的呢，是郑州一摸的这个最值的问题啊。首先来看一下他出现的位置呢，是在十七题，是在咱们这几天讲解当中的稍稍微体号偏靠后一些的。那我们来看一下这道题啊，这道题呢，主要是说到是最值的问题 啊，他说如图，在矩形 a， b， c， d， a 啊， c， d， e、 f 当中告诉你 c、 d 的 长度它是等于一的。之后呢， d、 e 的 长度 啊，这个是 d、 e 的 长度，它是等于二 ab 呢，分别是中点，所以这都是一，它就变成了就是两个全等的正方形了点 p、 q 分 别是 a、 c 还有 b、 d 上的动点，它不包括端点， 不包括断点，而且 c、 p 等于 b， q 就是 这个长度，它俩是相等的，它都等于 a， 都等于 a， a 呢，这里面是介于零和根号二之间的。 之后呢，将这个四边形 a、 b， c、 d 啊，沿着 a、 b、 c、 d 进行翻折，使得这个平面 a、 b， c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 它俩是垂直的关系，就说折成了这个。第二个，这图 第一问呢，是让你证明的是 b、 d 呃， b、 d 的 这条直线， b、 d 的 这条直线，它是垂直于 a、 e、 c 这个平面的， b、 d 在 这里垂直于 a、 e、 c 这个平面的啊，那我们知道这个直线跟平面垂直，它应该是和平面内的两条相交直线垂直 啊，那我在这块写啊，第一问，两条相交直线垂直，那这个呢？其实我们，呃，这里边的 b、 d 呢，已经跟 a、 c 是 垂直的了啊，这条直线是 a、 c 垂直，为啥呢？因为你在这个原来的图形当中，你连接 b、 d 的 时候， b、 d 和 a、 c 都是对角线，对不对？所以它跟应该跟 a、 c 是 垂直的，那这块因为，嗯，四边形已知条件，四边形 a、 b、 c、 d， 它呢，是应该是为正方形 啊，所以我们就可以知道这个 b、 d 是 垂直 a、 c 的， 那第一个呢，我们就是证明出来了。第二个呢？你看啊，在折叠的过程当中，这个平面 a、 b、 c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 是 垂直的，而这个 a、 e 是 不是还还得垂直？这 a、 b 啊，它垂直于平面 a、 b、 c、 d， 它是垂直于平面 a、 b、 f、 e 啊，垂直于平面 f、 a、 b、 f、 e， 而这个 a、 e 它还垂直 ab， 它垂直于交线，是不垂直于平面呢，所以这个 a、 e 就 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 它垂直于这个平面，那垂直于平面内所有直线，那又因为这里边的 b、 d、 b、 d， 它在平面 a、 b、 c、 d 内， 那所以啊，这里边的 b、 d 就 垂直于这个 a、 e 了，就是 a、 e 是 垂直于这个 b、 d 的， 那现在有 b、 d 垂直 ac， b、 d 还垂直于 a、 e， 所以 说这个啊， a、 c 和 b、 d 都在这平面内，对不对？完整写的话，又因为 a、 c 和啊，和 a、 e， 它包含于平面 a、 e、 c， 它包含于平面 a、 c， 而且这个 a、 c 交上 a、 e 于 a 点 啊，它两三个强调，所以说这个 b、 d 就 垂直于平面 a、 e、 c 了， 那也就说，呃，我们在证明的过程当中呢，就是啊，线和面垂直一定要强调两个证明，三个强调。 两个证明是要证明这条直线和这个平面内两条相交直线垂直。三个强调呢，要强调两条直线在这平面内，这是两个强调了，还有强调他俩应该是相交的关系啊。这是第一问， 我们来看一下这个第二问。第二问呢，他说这个求线段 p、 q 的 长，因为在折叠的过程当中， p 和 q 它俩的位置关系就不再是原来的 p、 q 的 位置关系了。所以说让你现在让你求这个 p、 q 的 这个长度，那我们，嗯， 当然说这道题用存几何的方法也可以来证啊，但是呢，间隙呢，可能是更简单一些，那间隙很明了啊，因为这个 a、 b、 c、 d 和平面 a、 b、 f、 e 它俩是垂直的， 而且这个 b、 a 和这个 b、 f 还垂直，那这里边呢，这是 b、 c， 它就是 z 轴儿呗。嗯，所以这是 x 轴儿，这是 y 轴儿，这个是 z 轴儿。建立如图所示的空间质量坐标 c， 那这里边呢，需要强调一下，以 b、 a 为 x 轴， b、 f 为 y 轴， b、 c 为 z 轴。而且你在考试的时候，打底卡的时候一定要把它写上，哎，建立这个坐标系，那你 b 点的坐标就可以知道了，是零零零， a 点的坐标是一零零 啊， a 点坐标这个长度是一，完了之后呢？ e 点的坐标， e 点坐标在这里，它应该是幺幺零，你看它长度都是一啊啊， e 点的坐标是幺幺零，之后 f 点的坐标应该是零一零啊， f 点的坐标啊，零一零， c 点的坐标 c 点坐标是应该是零零一啊，它是从 b 点向上迁移过来的之后， d 点的坐标应该是一零一。哎，一零一。 那这里边呢？我要求的是 p q 的 长度啊， p q 的 长度。那 p q 怎么来求呢？我们得用坐标来表示啊。啊，向量 p q， 把它放变放在啊图形当中的话，向量 p q 它是不是应该是等于这个？呃， p q 看啊， p q 应该是等于放在 p c 再加上啊 cd 再加上 b q。 可以， 要不然的话，你这个 p q 的 话，对，它是从封闭图形当中就可以啊，它等于 p c， 再加上 c b， 再加上 b q 啊，这样来，这样他就是 b q 了，所以说我得把 p c c b b q 都表出来。嗯，这里边的 p c 呢？ p c 等于什么呢？呃， p c 等于。看啊，这里边的 p c 向量 p c， 它应该等于什么呢？你看啊，这个 p c 啊，和这个 p c， p c 和 a c 之间，它的位置关系没有变，它俩还是在一条直线上。嗯， 这个长度等于多少呢？啊？设这个 c p 的 长度，它是等于 a 了，它是等于 a 了。整个的 a c 的 长度是不等于根号二啊，所以说它应该是等于啊，二分之根号二 a 倍的 a c， 这是 p c， 它等于二分之根号二倍的 a， 再乘以 a c， 因为这个原来的这个 a c 的 长度是等于根号二的。 嗯，这个有同学不理解的话，其实你可以就是用个公式来表示啊，我在这边给大家写一下 这个 c p 的 长度，先看长度，再看方向。比上 c a 的 长度是不等于 a， 比上这个 c a 的 长度不等于根号二吗？嗯，所以说你能够求出这个 c p 啊， c p 是 不等于根号二 a 倍的 c a 呀啊，所以说 p c 就 等于二分之根号二倍的 a c 啊，这个 p c 二分之根号 a c。 对 完了之后呢？那咱们就把 b q 也表示一下吧。 b q 像那 b q 一 样啊。向量 b q 是 不是等于二分之根号二倍的二分之根号二 a 倍的 b e 啊？ 一样啊， b q 的 二分之根号二倍的 b e。 所以 说你这里边的 p q 就 能表出来了啊。 pc pc 就 求一下吧。 pc 再加上。呃 啊，这是 p q p c 的 话啊， p c 的 话整理一下啊，这个 p q 就 等于 p c p c 等于二分之根号二 a 倍的 a c 再加上 c b 呢？ c b 我是 能够求出来了。 c b 应该是等于用用 b 点减去 c 点就是等于零零负一，再加上这个 b q b q 等于二分之根号二 a 倍的。呃， 这个是 b q 是 b e 啊 b e 那 这里面的 a c 和 b e 是 不是也能求出来？我在这块写啊，向量 a c 应该是等于用 c 点减去 a 点呗，等于负一零一啊。向量 b e 呢，也能够求出来 啊 b e 等于一一零啊。所以往进一带能够算出 p q p q 呢，算完之后呢，它是等于坐标的话，应该是零。二分之根号二 a 之后二分之根号二 a 减一啊，这个式子。所以说 p q 的 模长就能够求出来，它不求长度吗？所以 p q 的 模长就等于啊，根号下零的平方 再加上二分之根号二 a 的 平方，再加上啊，二分之根号二 a 减一的平方啊，算出它来了。虽然这个式子呢，整理完之后是等于根号下啊 a 减去二分之根号二。 嗯，括号的平方再加上一个二分之一，哎，再加上二分之一等于它 p q， 所以 说第二问我们就求完了。之后我们再来看下第三问， 第三问，他说当 p q 长最小的时候，就落下来负比，这个 p q 啊，什么时候最小呢？它的模长什么时候最小呢？ 是不是当七减，因为它是一个，我这块再给大家再重新写一下，有点看不清，挂着写啊，它等于根号下，嗯，这块是 a 减去 二分之根号二括号的平方，再加上二分之一开口方向上的一个抛线，所以 a 等于根号二的二分之。根号取的最值对不对？取的最值的时候呢？它的最小值是不是应该是等于啊？根号二分之一， 根号二分之一等于二分之根号二啊，二分之根号二，那此时呢？也是当 啊，当这个 a 等于二分之一根号二时，取得这个最小值，这等号啊，那也说实际上你这个 a 知道了， a 知道了，那其实你的坐标就求出来了。 完，现在让你求的是这个 p q a， 这个 p q a， 这个平面和这个平面 a e c 和平面 a e c 所组成的这两个平面的夹角，那还是这个平面 a e c， 它的法向量，我们根据第一位已经求，是不是就 b d 啊？啊，等于向量 b d， b， d 呢？啊，求出来应该是一零一， 所以说我们就是紧接下来呢，我们要求的就是这个啊，平面 p q a， p q a 的 话，你就是一个是 p q 呗。啊，对啊，设这个平面 啊，设平面 p q a， 它的法向量为向量 n n 呢？我设为是 x y z 啊， 这是 p q a 的 法向量，法向量的话，那跟这个向量乘积等于零呗，先算 p q， p q 呢？已经算出来了对不对？此时 a 数的二分之根号二啊，所以说 p q 就是 零，它乘二分之根号二的话，等于四分之二，二分之一， 它是乘二分之根号二，四分之二分之一减一等于负二分之一 p q 就 求出来了。完了之后呢，你再算一个向量， p a pa q a 我 看 q a 和 pa， 嗯，算一个，我看啊，算一个 a q 吧。 q a q a q 可以 啊啊，那 a q 呢？其实我们也是能够算出来， a q 是 不等于 ap 加上 p q ap， ap 是 等于等于这个 ac 是 不是用 ac ap 就 知道了，对不对啊？完了之后呢，就能够把 a q 就 取出来，这里边 a q 给大家表示一下吧啊， a q 等于 ap 再加上 p q 啊，等于它完了之后呢？ ap 这里面的 ap 等于什么呢？ 看啊，呃， ap ap 的 话是不是应该是因为你算出 a 等于 a 等于这个二分之根号二了，所以说 ap 的 长度你也能知道了，整个长度是不得根号二啊，所以说实际上 p 点就是终点啊，所以 ap 就 能求出来 a p 求出来，说 p q 是 不也知道了，所以 a q 就 知道 a q 呢？算出这个向量是负二分之一，二分之一零啊，所以法向量跟它乘积的零就是啊，二分之一 y 减二分之一 z 等于零， 之后负二分之一 x 加上二分之一 y 等于零，从而求出 x y z 的 值 啊， x 算出设设等一的话， y 等于 y 等于 z 等于，所以说这个发向量是不是等于幺幺幺啊？发向量求出来了，发向量求出来的话，那么你现在是不是要求匀减值啊？就是口塞音，你要求这个是 b d 和向量 n 的 乘积啊，就不往年代了，算出结果等于三分之根号六啊，三分之根号六，所以说像要下结论，他的余弦值为三分之根号六啊。那这道题呢，实际上 啊，除了说最值之外，因为最值呢，他也是，呃，基于这个立体几何当中这个图形啊，其实跟平面图形的那个最值呢是一回事啊，他这道题呢，是呃利用了二次型啊，二次型这个函数求最值的问题。 嗯，在求解的过程当中呢，主要是这个我还要说一下这个动点，这个动点 p 和 q 都是动点，怎么来表示它？ 那当你直接表示不出来的话，比如说这个 a q 你 表示不出来的话，你就给它拆解成为两个比较容易的来，因为你 a 点和 q 点你不知道的话，是不是直接拆解一下？当然这道题其实这个 q 点也是终点，那这 a q 其实还比较好求的，假如不好求，你就可以像老师一样拆分来对其求解。嗯， 你要是可以求的话，其实这个 q 点是终点，它就二二分之一负二分之一，完了之后就能够求出来了，二分之一，二分之一零，对吧？嗯， 那通过这道题呢，就是说你要学会啊，线面的证明完了之后呢，未知数的表示，以及面面的面面乘角的余弦值啊。 那么，呃，截止到今天呢，我们的例题几何的呢？预测题呢，我们就暂时呢告一段落，因为还有其他的模块。下一周呢，开始呢，我们就开始讲这个，嗯，统计和概率的那部分了。 呃，所以说大家呢，就是关注老师完了之后呢？呃，多练习题，争取在高考当中能够取得自己满意的成绩，同学们，再见！
35大熊老师讲数学
15:45查看AI文稿AI文稿垂直证明就是四大题型，线面垂直、看点和性质面面垂直综合应用。听完我这节课，卷子上的垂直题全都是元喽，欢迎来到立体几何垂直的全现场，在这里呢，我会给你讲清楚线面垂直，面面垂直所有的题型哈，保证一个不漏， 而且记忆方式也非常简单，没有一个会让你彻底忘记哈。那么首先来我们来看到第一类题型，就是我们要去证明线面垂直，哎，大家注意哈，我们线来知道，线就是线，而面它其实是模子，它其实是由一组相交直线所构成的， 一组相交直线就可以唯一确定一个平面，所以说你知道一个平面的 logo， 也就叫做这一组相交直线哈，就是它的标志。那 此时呢，如果你要去证明线面垂直的话，其实就是在证明我的这个线和这一组相交直线垂直，也就是在证明，哎，我跟他垂直，哎，我也跟他垂直，所以我们要正线面垂直，只需要去正两组 线线垂直就可以了哈。那么我们常见的线线垂直有什么呢？我给大家讲一讲， 比方说第一个 number one 就是 非常常考的，只要你看到菱形，我们菱形的对角线连起来，它就是垂直的哈。那么其次， number two 如果说有一些矩形或者正方形的， 那么它的角是不是为九十度的，对吧？然后其次第三个，如果题目在第一问之前，它就告诉你了很多的数字，那么跟数字有关的一定是跟谁有关？同学们，勾股定律， 你们要思考一个逻辑，如果说我在第一问之前我用不上勾股定律的，我为什么不在第二问的题干再告诉你说，哎，我现在定了 哪一条边长为多少，哪一条边长为多少，我为什么不在第二问告诉你，非要在第一问之前告诉你，也就是因为他一定是会用上勾股定律的哈，那么他就可以证明垂直。然后第四个是什么嘞？如果说题目告诉了你线面垂直或者面面垂直，我告诉你哈， 线面垂直是世界上宇宙间最强的条件，他给你线面垂直不是为了给你线面垂直，而是给给为了给你其他的线线垂直的哈， 所以此时来一共是有这四步的。那么我们来看到这一道题目，他说有一个平行六面体了，底面是一个菱形好菱形的对角线相互垂直，已经有了一个垂直了。 其次呢，他说 b a d b a d 为六十度哈， b a d， 那 这里是一个六十度，而 a e 是 一个根号六哈，他不知道为什么给你数字好，数字来了，那就是什么就是勾股定律了。然后此时呢， a e a b 等于 a e a d a e a b， 哎， a e b， 也就是说这一个角度等于 a e a d， 哎，等于这个角度。 然后呢，咱们的 a e a o 等于四十五度， a e a o 哎，也就是说这一个角度哈，它是为四十五度的。那么此时第一问，他让你去证明，哎，咱们的 a e o， 它是垂直于咱们的底面的。 那么我们来看一下这道题目哈。首先呢，你看我们的 a e o 看起来就跟谁是垂直的，我们先来用一下咱们的勾股定律哈， 呃，一定是用谁呢？ a e o 垂直于咱们的 o a 的， 我们放在三角形 a e a o 这个三角形中来哈，我们来看一下它的长度，里面呢是边长为二的菱形，这里是二，这里就是一哈，因为这一个角是六十度，那么这个角就是三十度，所以说这一段是为根号三的， 所以此时你就会知道咱们的 a e a 嘞， a e a 它又是等于根号六的，而咱们角度 a e、 a o 又是等于四十五度的，所以呢，这里你可以由一个余弦定会得到咱们 a e、 o 的 平方，它是等于根号六方，也是六，再加上一个根号三方就是三，然后呢，再减去二倍，根号六乘根号三，再乘上扩散四十五度哈，也是为二分之二的， 对呢，最后你可以算出来，咱们的 a、 e、 o 为模子啊，他是刚好为根号三的，所以你会发现根号三方加上根号三方，他是等于根号六方的，所以马上可以推得咱们的 a o， 他 就垂直于 a e o 了。所以当题目给了你数字的时候，一定是暗示你，他就一定绝对可以用勾不定的，那 那么我们就推走了第一条哈， a o 垂直于 a o 的， 那么其次第二条我们来看菱形可以怎么用哈，你会发现不行，这里用不了菱形对角线，因为菱形对角线就是说这条垂直于这条嘛，但是我们要证的是 a e、 o 垂直于底边， 那就不行了，那我们再怎么来看呢，你会发现哈，我可以去证明 a e o 垂直于咱们的 b d 的 正， a e o 垂直于咱们的 b d 的。 那么你就想一想，我为什么有一个垂直来，你会发现啊， o 为 b d 的 中点 哎，它是中点的情况下哈，如果说咱们的 a、 e、 d b， 它是一个什么，它是一个等腰三角形，那么我们就可以证明这个线线垂直哈，所以呢，我们的下一步是去证明咱们的三角形 d， b， b， a、 e， 它是为等腰三角形的。然后呢，我要怎么说明它是等腰三角形的？其实就是说明我怎么去说明 a、 e、 d 它是等于 a、 e、 b 的 嘞？你就会发现哈， 就是我的 a、 d， 它是等于 ab 的， 对不对？然后呢， a、 e 等于 a 的 题目还告诉你说，哎，我的这一个角是等于这个角的，所以说你就会得到一个三角形，它是全等的三角形。然后呢， a、 d， a、 e， 它是全等于咱们的三角形 a、 b， a、 e 的。 所以呢，它是由一个 s a s 证明全等的哈， 那么此时呢，我们一层一层往上面推，我们就可以推得这一个垂直了。然后你再去说明咱们的 a o 啊，交 b d 于 o 点， 就因为呢，他们这一组啊，他都是在咱们的平面 a、 b、 c、 d 上的，所以你最后就可以说明咱们的 a、 e、 o 就是 垂直于这一整个平面的哈。所以第一题就结束了，这几个的讲义和扣细节我全都整理好了，点击我的主页这里去聊。 我们再来看到第二个题型哈，就是它还是证明线面垂直，但是呢，它会用上咱们的面面垂直，用上咱们的线面垂直哈。 如图，在一个四棱锥当中，咱们平面垂直平面，宝贝们，平面垂直，平面，他不是为了给你这个条件的，是为了让你继续往下面推倒的，就是只要你在这两个平面上找到有一个线，他垂直于这两个平面的交线的话， 所以说你就可以发现什么咱们的 l 他 就垂直于另外一个平面的，你就会得到宇宙最强的一个线面垂直的条件。 那么你来看一下哈， p a b p a b， 就是 说咱们的下平面嘛，垂直于 a、 b、 c、 d， 也就是咱们的后平面嘛，然后呢，它们俩的交线就是为咱们的 ab 嘛？然后此时呢， p a 垂直于 ab， 也就是说我的 p a 垂直于咱们的交线之后，你就可以推得马上 p a， 它就垂直于咱们的后平面儿的，对不对？ 也就是垂直于咱们的 a、 b、 c、 d 的。 然后呢，你得到线面垂直一定是为了推得下一个线线垂直的，这才是它最终的一个目的地。而最后呢，它问的是 b、 c 垂直于咱们平面， p a、 c， 那 肯定跟 b、 c 没跑了。所以说你又去取 b， c 是 包含于这个平面的，你就可以推得 pa 啊，它是垂直于 bc 的， 对吧？ bc 包含于后平面，那么此时我们就推得了第一组垂直哈，这是跟咱们的面面垂直，一层一层往下面垒的。 然后我们继续来看后面呢，他说底面 a、 b、 c、 d 为一个等腰梯形， a、 b 平行于 c、 d， 然后此时嘞，咱们的 a、 b 等于二， c、 d 来等于一的，然后你就会发现哈，你就会发现模子嘞，就是这里出现了数字，那么数字肯定是跟谁有关的，肯定是跟勾股定律有关的。所以说第二步就是说我们要去用一个勾股定律，哎，我们要证明的是 b、 c 呀，它是垂直于谁？ p a、 c 一 日垂直于这一个 面，我们刚才已经证明了它和它垂直，那么我们只需要证明它和它垂直就行了，所以这时候嘞，只要我们来证明三角形 a b c， 它是为一个直角三角形就可以了哈， 那么这时候怎么搞嘞？我们先要去得到咱们 a c 的 长度，对不对？ a c 长度其实外号求哈，你去过 c， 你 做一个垂直下来 作 c m 垂直于 ab， 那 么此时你会发现我这是一个等腰梯形，对不对？所以说这个一一平移下来，那么我这应该是二分之一，这应该是二分之一的，所以呢，我这一段是为母子，是不是为一个二分之三的？ 然后你们继续来看哈，我这为二分之一的情况下，那么此时呢，我这个角肯定就是为三十度的，对吧？他为三十度的情况下来，我们就知道了，这条边他就应该是为二分之根号三的，哎，他为二分之根号三，他为二分之三，你就可以推得这条边为多少，是不是为根号三的。 所以此时哈，你由计算，你可以得到咱们的 a c 呀，它是等于根号三的。那么我们再放到这一个三角形里面来，我们是不是有根号三的平方，再加上一的平方，等于底边 ab 也是二的平方， 所以呢，你就可以推得了，这里确实是一个直角的，所以你就得到了 a c， 它是垂直于 b c 的， 那你看，我现在又有两个垂直了，然后你就可以说咱们的 pa 啊，交 a c 于哪一个点呢？于 a 点，又因为 pa 和 ac 都是包含有平面 pa c 的， 所以最后得到 b c 垂直于平面 p a c 就 结束了，那么我们来看到第三个题型哈，证明面面垂直，那么大家要注意这里跟平行不太一样的一点是什么嘞？就是在垂直的世界里边是线面垂直，他是老大，他是王中王的， 所以说只要你有线面垂直，很多东西都能推导出来，你看哈，如果说在这幅图里边，你能够推导出来咱们的 a， 它是垂直于下面这个平面的，那么 但凡是包含 a 这一条直线的平面，他都垂直于下面这个平面的，所以说你只要有线面垂直，那么包含这个线的所有平面，他都是垂直于另一个平面的， 大家理解吧哈。而我们要去证明线面垂直，刚才已经讲过了，只需要去证明哎，这一个线和下面这个平面的那一组相交直线都垂直就可以了，所以本质上还是线线垂直的问题。 那么我们来看到这道题，他说在一个四面体当中， ab 等于 ac， 等于 ad， 等于 bc， 等于 b、 d 等于二，哈，好多的东西，好多的二，那么此时你就会发现有很多的等腰三角形和等边三角形， 那么等腰三角形和等边三角形有一个很大的特征是什么？就是你只要连接了中点中线之后嘞，那么此时你只要连接了中线，它也是垂线的哈，所以说这就会出现一个垂直了。 那么无论这道题他问没问这个条件，只要他让你证明垂直，你就马上去连接这一个中点， ok， 那 么第一问，他让你去证明 a、 c、 d， 他 是垂直于 b、 c、 d 的 a、 c、 d。 来，我们来画一下哈，就是右边这个平面，他是要垂直于咱们的啊， b b c d 的 b c d 就是 说下面这个平面，所以我们真正要证明的是右平面垂直于下平面。首先同学们，我们先去取一下哈，取 c d 中点 m， 然后嘞，我们去连接 b m， 连接 am， 那 么此时我就会得到两个垂直，对不对？首先 number one b m 是 垂直于 c d 的， 其次咱们的 number two am 是 垂直于 c d 的， 那么得到两个垂直的情况下，我们再来看要用什么哈，这就是有两个垂直了。我们再来看，还可以用一个勾股定律，因为题目涉及到了很多数字，那肯定是跟勾股定律有关的哈。 然后大家来看一下，我在这说了一个什么，我说咱们的 bc 是 垂直于 b 的， 哎，感情好，咱们在底面上这还是有个垂直的，又因为底面我是不是一个等腰只有三角形啊， 所以说我这条边长它就出来了哈，它是为啊，根号二的，这里也是为根号二的，那么这又是为一个二，这里也是一个垂直的，所以这也是为根号二的。 所以呢，你就可以推得俺们的 a m 也是等于根号二的，而咱们的 b m 也是等于根号二的。 你就会发现，在三角形 b m a 中是不是有根号二的平方，加上根号二平方等于二的平方，马上快就很推得咱们的 b m， 它也是垂直于 a m 的。 那么你就来看哈，咱们同时出现了两个大的垂直，一个是 b m 垂直于 c d， 另外一个是 b m 垂直于 am， 你 就可以说咱们的 am 啊和 cd 啊，它是交于 m 点， 因为呢，咱们的 a m 和 c d 都是包含于右边这个平面 a、 c、 d 的， 所以可以快准很推的。咱们的 b、 m 是 垂直于右边这个平面的。然后你再去说明，又因为 b、 m 它是包含于咱们的平面 b、 c、 d 的， 所以咱们两个平面是垂直的。所以说你就是要先证明线面垂直，就可以得到面面 垂直了。我们再来看到最后一道拔高难度的垂直的综合应用，如图，在一个四棱锥当中， pa 垂直于平面 abcd 的， 此时线面垂直移过来，马上可以得到所有的线材垂直。最后你看它要证明的是 a、 b 垂直于咱们的 p、 c 的。 那么我们这时候可以先说明咱们的 p、 a 它是垂直于 a、 b 的 哈。然后我们继续来看说 a、 d 呢是平行于 bc 的， 而咱们 a、 d 呢，它是垂直于 c、 d 的。 哎，就是说我们的底面是一个 的直角梯形，而且此时 p、 c 等于 b， c 等于二倍根号二， p c 等于 b， c 啊，二倍根号二，然后呢， a、 d 等于 c， d 等于根号二，呃，这里根号二，根号二等。 然后我们继续来看， pa 是 等于二的。然后此时哈，我们如果要去证明 a、 b 它是垂直于咱们的 pc 的， 你会发现这两个东西它是隔得很远的，你是意面直线，你是看不出来它到底是不是垂直的。那可以怎么做嘞？我就直接证明咱们的 a、 b 是 垂直于这一整个平面嘛，对吧？ 所以说上一步是要去证明咱们的 a、 b 它是垂直于平面 p、 a、 c 的， 而我怎么去证明它是垂直于这个平面嘞？我就去找到说它的一组相交直线嘛。 所以呢，我们如果能找到 a、 b， 它是垂直于 a， 我 们已经有了垂直于 p a 哈，有了。然后呢，我们再来找一个 a b， 它是垂直于谁？ a c 嘛，就可以了。而 a b 垂直于 a c 呢？那肯定是要跟勾股定律有关了，对不对？因为 题目出现了非常多的数字，所以这时候来我们要去证明的，就是说 a b 垂直于 a c， 就是 要证明它是一个直角，所以我们在三角形 a b c 中，我们要去把每一个边长都给它写出来哈，而 这时候我们的 a c 等于多少来？这里是根号二，这里是根号二，又是直角，所以说它是为二的哈。然后我们继续来看，呃，这里是为多少来 a b？ 你 确实是不知道的哈，但是呢，我们可以过 a 点，我做一个垂直下来， 用了，一个垂直下来，这段是为根号二的，这段是为根号二的，那么他也是为根号二，然后这段和这段又是平行的，他是为根号二，所以说 ab 又出来了，是为二的。 所以此时哈，你会发现，在咱们三角形当中，二方加上二方又等于二倍根号二的平方，所以呢，你就可以得到咱们的 ab 又是垂直于 ac 的， 所以这一个条件也可以得到了。那么我们就可以推到上一层，他是垂直于这个平面。那 你又需说明，因为 pc 它是包含平面 pac 的， 所以可以得到咱们 ab 是 垂直于 pc 的。 那么如果你听完我这一课，你就会在证明垂直的所有题型中如鱼得水。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大解析一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 接下来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这边群聊数学想要考年级第一从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见。
2.0万北大糖的魔法数学
26:41查看AI文稿AI文稿立体几何最值问题，间隙算不清楚的宝子有救了！无论是线段最值问题，还是线段和差最值，又或是各种角度问题，但凡你用的是几何法，基本没有什么计算量，还等什么，快点开始学习吧， 同学们好啊，本期视频我们来讲解一下立体几何中的最值问题。很多同学在遇到立体几何的最值问题，他的第一个想法就是来间隙，间隙的确是一个比较好的思路，但是他的计算量往往会非常大，所以能不能用几何的方法来处理立体几何的最值问题呢？ 答案当然是可以的了，我们这期视频将会教大家如何用几何法来处理立体几何的最值问题。 先来看考试考的比较多的叫做线段的最值问题，这里给出一个直三楞柱，这是一个直三楞柱角， a、 c、 b 等于九十度，把九十度给标出来，那么还给了一些线段的长度啊，给了 a， c 等于 bc 等于 a 一， 这些线段的长度都是二啊， 并且还告诉你了 p 点是中点啊， e 点是 a 一， p 上的动点 f 是 c， c 一 上动点。问运动过程中这个线段 e、 f 长的最小值为多少？那么遇到这种最值问题啊，呃，当然这个题目可以间隙，它的标答也是用间隙的方法的， 但是呢，我们如果想要用几何方法，你就需要研究一下这两个动点的轨迹是什么呢？一个呢？是不是啊，这个这个线段，一个是这个线段，这两个线段啊，它所在的直线是处于一个什么样的位置关系呢？你会发现它是处于意面直线的位置关系， 那么意面直线位置关系，你可以画一个草图来研究下何时这两个意面直线上面的点之间的距离是最短的，来跟着我一起来找。首先啊，做下面这根线的平行线，跟上面这根线相交， 哎，这个蓝线画出来，然后再做上面这个线平行线跟下面这个线相交，那么一组相交的直线，那他可以确定一个唯一的平面，所以这里确定了一个红色的平面， 然后底下确定了一个紫色的平面，这两平面是什么样的位置关系呢？他们是相互平行的，为什么相互平行呢？因为他平行于他啊，然后呢他就平行于这个面，同理啊，这个蓝色线也平行于这个面， 那么一组相交线啊，分别平行于这个面，那么这组相交线所形成这个面就会有面面平行，那么面面平行跟我们要求的这两个意面直线之间的 两个点之间距离的最小值有什么样关系呢？来我们一起回到最初啊，最初的是两根绿色的意面直线，那我在这里任取两个点啊，比方说 我这里取个点，这里取个点来，你们有没有发现这个点一定在红色的这个面上，这个点一定在这个紫色面上，那么这两点之间的距离一定是大于这两个面之间的距离的， 那什么时候啊，我取一些这个意面直线的点，能够使得这两点之间的距离等于这两个面之间的距离呢？你自己感受一下啊， 这是一个绿色的线，这个这是另外一个绿色线，那么这个绿色线有一个点在上面不断的运动，是不是总有一刻时刻啊？比方说在这个时刻，这个时刻这个点恰好在这个绿色线的正上方，所以只要我取的是这个点和这个点， 那么这两点之间的距离，其实就是两面之间距离，也是这个一面直线的两点之间距离的最小值。 所以这样我们就可以把线段 e、 f 的 长度转化成了什么两面之间的距离。两面之间距离由于是平行关系啊，所以我完全可以选择什么，选择上面的任意一个点到这个面的距离。比方说红色这个面到紫色这个面的距离，我可以把它看成是什么， 看成是这个绿色线上的任意一点到这个紫色面的距离，我求出这个距离就结束了。具体到这道题目怎么样来做呢？啊？跟着我一起来第一步啊，我们先标出 之前对应的这个意面直线啊，是不是这两个意面直线 e、 f 分 别在这两个线段上面动吧。好，接下来怎么办呢？接下来我们把这个紫色的面给画出来。怎么画呢？是不是做了上面这个绿色的一个平行线呢？所以我这边也是一样的， 我做 p q 平行于 c c e 这个点是 q 点，然后连接 a e q。 好，那么这个面啊，其实就是这个紫色的面，看得出来吧，此时他跟他是平行的，对应的是他跟这个紫色面是平行的。好，我现在想要求， 呃，这上面任意一点啊，到紫色这个面的距离，我就可以选上绿色线上面的任意一个点，我可以选 c， 我 可以选 c， 所以 这个 ef 长的最小值最终就可以转化成什么呢？转化成比方说，我可以求 c 一 到面 a e q p 的 距离，变成了一个这样的问题， 那我怎么样来求这里的 c 一 到这个面的距离呢？最简单的方法是不是做垂呀？我过这个 c 一 这个点啊，做 a e q 的 垂线垂足为 m 来，你看它垂直于它， 然后呢，它垂直于上底面吧，然后这里做的是平行，所以它也垂直于上底面，所以它垂直于 cm， 所以 cm 既垂直于它，也垂直于这个面，所以 cm 其实就是 c e 这个点到 a e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距 离。好，接下来我们专注求 c e p q 这个面的距离。好，接下来我们专注求 cm 就 行了。我从上往下看啊，画一个俯视图， 这是个俯视图啊，好注意啊， a e c e q 由于 c e q 的 长度啊，是这个长度是整个的一半啊，整个是二嘛，所以说它的长度是一， 这里的 a e c e， 它跟它的长度是一样的啊，那它的长度等于二，所以它等于二，并且呢，这个是垂直的啊，所以上面也是垂直的， 这是垂直的，那不就是求一个直角三角形斜边上的高吗？用等面积法就能求吧，可以算出斜边长度。勾定，你算出来是根号五， 所以二分之一的这个底乘这个高。等于二分之一的这个底乘这个高，那么算出来这个 c m 就 等于二乘一，除以根号五，等于五分之二倍的根号五。这题答案就是它。 接下来我们一起看一道双动点加上线段和的对折问题啊，这里给出了一个长方体，然后给出了长方高的有关信息啊，还告诉你，这个一点是中点 f 在 这个上面动啊， p 点在体对角先动，问这个 p 一 加上 p f， 它的最小值为多少？ 那么遇到这种线段和或者线段差的问题啊，我建议是把它放在同样一个平面中进行分析，如果它本身不在同一样一个平面内，我们还可以进行一个翻折的操作， 我们来分析一下。首先 p 点在这个线上动， f 在 这个线上动，这两个线构成的平面是哪个平面呢？ 是不是这个这个对角面呢？这个对角面经不经过一点呢？你会发现他恰好经过一点，所以你所关心的 p 点、 e 点、 f 点都在这样一个平面内，我们把这个平面给标注出来，并且把它画出来。显然啊，这个平面啊，他肯定是一个矩形，然后长宽高相关的信息啊，我们需要从这里开始出发。题目告诉我这个长度是根号二，这个长度是根号二， 所以自然这个长度就是二吧。然后还告诉我 ab 的 长度是二，所以它跟它还相等。一组邻边相等的矩形肯定是正方形，这足够特殊了。我们把这个正方形给画出来， 这是 a 点， b 点 c 和多一。呃，一点是中点 p 点啊，在这根线上动， f 在 这根线上动，哦，这又变成了一个双动点问题，双动点问题怎么样来处理呢？虽然 p 点和 f 都在动，但是我可以先让 p 点固定下来，我先让 f 动一动来，我要想 p 加 p， f 最小 f 应该怎么样？ 你想想，这是定点啊，这是定点，然后只让 f 动起来，是不是应该是垂直的时候才能使得 p 一 加 p， f 尽可能的小？ 所以我这个 f 它应该始终运动到跟 p 点啊相连的，这个连线垂直于 c 一 多一的时候才有可能使得它最小。 那么现在我再让 p 点动起来，那么 p 点动怎么怎么动呢？你看这两个线段合了，出现线段合，我是不是应该要把它转换到 异侧，而且正方形它是存在天然的对称性的，所以我在这个地方应该是取它的中点啊，这里有个中点 a， b 的 中点 m， 这样我就可以把 pe 这条线转化到 pm， 这个时候它和它就处于 b 多的异侧了。 来，我多画几个 p 啊，比方说 p 点在这里， p 点在这里啊，这样做个垂直在这里啊，在这里这样做个垂直。我问你何时最短的？是不是我直接 过 m 做这个边的垂线，这应该对应的是 f 最小值，此时对应的 p 的 最小值吧。比方说我们对比一下， 刚才有一个这样的折线和这样一个直线啊，你觉得哪个的线段更短？肯定是我直接这样做垂对你的线段最短，所以这题已经做完了， 最短的这个距离之合，其实就是这个的长度。这个长度是什么？是这个正方形的边长，刚才已经研究了这个正方形的边长，它就等于二吧，所以这题最小值就是二。 接下来我们一起看一道角度的最值问题啊，这里给出了底面是菱形的一个四棱锥， a、 b、 c 多为菱形，还给了 abc， 这个角度是六十度吧，所以遇到菱形加六十度，你会联想到什么呢？一个菱形，这个角是六十度， 这两个相等，这不是等边三角形吗？这边也是等边三角形吗？所以你会想到两个等边三角形。题目这里给了个 p， a 等于 a， c 等于 a， 把它标在图上，这是 a， a， c 等于 a， 这不就是那个刚才那个等边三角形的其中一个边长为 a 吗？所以这也是 a， 这也是 a， 那 另外的 这些都是 a 吧？还给了 p， b 是 根号二倍的 a， p 多是根号二倍的 a。 那 写到这里有没有什么想法？你看到 a， a 根号二一倍的 a， 没什么想法吗？ 它的平方加它的平方等于它的平方，它的平方加它的平方等于它的平方。立马能反映出来，这个 pa 就 垂直于 a 多，它也垂直于 ab， 所以 垂直于一个面内的两个相交直线，这根线它其实就垂直于整个底面吧。我们写在旁边， pa 垂直于面 a， b、 c 多好，再往下读啊，这里说点一在 p 多上啊，并且 p 一 比一，多是二比一啊，所以这是个靠近多点的三等分点。 f 是 棱 p c 上的动点啊， f 在 这里动啊，在这里动。问的是什么？问的是直线 b f 与面 p a、 c 所成角的正切的最大值。首先我们先一起回顾一下线面角的求法。这里有一个平面， 然后呢，有一个斜线啊，斜线，这是 p 点，这是 a 点。好，我过 p 点做这个面的垂线 p o， 然后连接这里的 a o， 那 么 a o 和 pa 所呈的这个角啊，其实就是这根斜线 pa 跟皮面 alpha 所呈的线面角。那我也就是要经过什么？经过 f 在 这里， b 点在这里，我要经过 b f 上面的一点啊，做什么？做这个 p a c 的 一个垂线，那我怎么样来做的？ 我肯定是过 b 点，对不对啊？肯定不是过 f 点， f 就 在这个面上过 b 点做这个面的垂线。是不是刚才得出了 pa 垂直于这个底面， 所以我是不是只需要过 b 点做 a c 的 一个垂线，或者我直接把 b 多一连，因为菱形的对角线是相互垂直的，那么连完之后呢，交这个对角线啊，于 o 点， 你就会发现 b o 垂直于 a c。 刚才说了 pa 垂直于底面，所以 pa 是 不是也垂直于这个 bo 啊？ bo 既垂直于 a c， 又又垂直于 pa， 所以 bo 是 不是就垂直于这个面？那么这样我就做出了那个垂线， 那么线面角在哪里呢？把这个 o f 一 零， o f 一 零，这个角就是线面角，这是斜线。然后呢，做垂线的时候呢，把它投影下来啊，这个是摄影，这个是摄影，这两个所呈的这个角就是线面角，那么 我们刚才说了，它垂直于这个面，所以垂直于自然会垂直 o f， 所以 这是垂足，那么这就是一个直角三角形。我要求 tanning， 这个角不就是 bo 比上 off 吗？也就是说我们要求的目标 tanning alpha 是 等于 bo 比上 off， 我 要求它的最大值， bo 是 不是固定的？ bo 是 不是固定的？是的吧，是这个的一半，这是一个一百二十度的等腰三角形啊，一百二十度，所以一比一比根号三，这是根号三倍的 a， 这是二分之根号三倍的 a， 二分之根号三倍的 a， 除以 o f， 我 要求它正切的最大值是不是 o f 要尽可能的小， o f 是 随着 f 的 运动，它在不断的变化的，那么无论怎么样 移动啊，它都是在这个 p a c 这个平面内的，所以我们把 p a c 这个平面给画出来。 好 p a c， 这是垂直的，这是 a 啊，这好像是 a 吧，是 a， a c 的 长度是 a， 所以 它应该是一个等腰直角三角形，过什么？过它的终点， 这点 o 点，然后呢，这是 f o f 长度在不断发生变化。那什么时候 o f 最短呢？是不是我做垂直的时候最短呢？ 过 o 点，做这个垂线垂直的时候最短。那我会发现 o f 的 最小值， 它实际上就等于什么？等于这个长度是二分之 a， 这是四十五度吧，所以二分之 a 除以根号二，也就是 a 除以二倍根号二。直接把这两者一比， tanning 的 最大值 等于它比上它，把 a 约掉了之后，得到就是二分之根号三，除以二倍根号二分之一，再把二约掉，把根号二翻上去，结果就是根号六，所以正切值最大就为根号六。 最后我们再来看一道立体几何的综合性问题，这道题目难度是比较大的，先跟着我一起读一下题目，给出一个正方题啊，一点是棱的一个中点啊，这是中点。 动点 m 是 从 a 一 开始啊，顺着这里啊，不断地走，一直走到这个一点。问，下列三个结论中，哪些是正确的，哪些是错误的？好，先来看圈一啊，不存在点 m， 使得 b 一 多垂垂直于面 m a c b 一 多是一个固定的。然后呢， mac 这个面是随着 m 的 点不断运动而不断发生改变，它们不存在这样的点 m 使得这一面有个线面垂直，那么这底就是考你的基本功了。 你知不知道正方体中 b 多垂直于哪个面啊？ b 多垂直于哪个面啊？答案是，这个体对角线垂直于这个面，还有一个面也垂直于这三个点形成的面。这里我们要用的就是 a 多、 e、 c 这个面呢？来，跟着我一起来啊。首先 c 多一垂直于 c 多啊，因为这个叫做正方形的对角线是相互垂直的。另外还有什么呢？还有你看啊，这个 b、 e、 c， 它是垂直于后面这个面的，所以 b、 e、 c 垂直于什么？垂直于 c 多一，所以 c 多一，他既垂直于他，又垂直于这个一连，那么他就垂直于这个面。你有没有发现这个面是包含那个什么紫色的线的，所以紫色的线跟这个红色的线是垂直的。 同理啊，这个紫色线跟这个红色的线他也是垂直的，为什么？因为他垂直于他，然后这个线又垂直于这个线啊？因为有个线面垂直，所以他就垂直于这个面，就垂直于紫色这个线。 所以紫色这个线既垂直于这个红色面，红色线啊，又垂这个红色线，那么它就垂直于整个红色的面。来，你观察一下，既然现在有一个已知的 跟这个线是垂直，那么我在在这个基础上面往前偏一点点，你看看 m 在 哪里？ m， 你 感受一下，它们是共享了一个公共边，但是呢，这个多一啊，从这个地方往这个地方移了，移到外侧了，所以它肯定不是原来那个面。 那么无论你 m 在 怎么样一个运动啊，它都不可能跟这个什么 a c 多一啊，这个红色面重合，那么也就说不存在这样的 m 使得它成立，那么结论一自然就是正确的。考你的基本功，正方题里面常见的线面垂直。 再来看第二个，第二个给出一个四面体啊， b e m a c 的 体积是逐渐增大的， b e m a c 啊，涉及到这四个点，这四个点中有三个是定的吧，看得出来吧， a 点是定的， c 点是定的， b 是 定的。那么我为什么不能把这三个点当成一个底面，所以它底面的面积就保持不变了。那么高是什么呢？高是 m 到这个面的距离，那么这个问题就变成了， m 到面， a c， b e 是 否 越来越圆？因为你越来越圆，它的高就越来越大，而底面的面积又是恒定的，它对应的这个，呃，四面体的体积自然是在增大。好来分析一下啊， m 到哪个面的距离呢？ 是不是 m 到 a c， b e 的 距离？我们把它连一下啊，这个一连，这个一连， 你只管感受一下啊，就 m 从这里运动一下，往这个方向运动，是不是越来越远了啊？你感觉像，好像是越来越远，但是呢，不太严谨你的感觉， 所以我们可以找一个临界的情况，就是我比方说啊，按照某一个方向运动之后呢，发现，发现啊，这个距离不变， 那，那不就是平行吗？线面平行吗？自然会想到我们把 a e c e 一 连来， 他跟他是平行的，他是不是就平行这个子面？然后呢，这个 a 一 啊，也就是 m 运动的方向是不是往上翘一点点？简单来说是这样一个情况啊，我跟你画一个面， 这是刚才研究的那个固定的平面，然后这是 a 一 c 一。 好，如果说你是沿着这个 a 一 c 一 运动的话呢， 这个体积是保持不变的，但是呢，你偏偏是啊，你偏偏是看到没，这个地方离他更远了，这根线离这个会更远一些，那么就是从 a 一 这个地方往上一点点， 那么随着 m 点的运动啊，这是 a 一 一 m 点的运动， m 从这里到这里，他到他的距离就会越来越远，那么对应的这个体积就会越来越大，所以全二也是对的。 那圈三呢？圈三研究的是 b c e 与 a m 所成角， b c e 在 哪里？ b c e 在 这里吧？ a m 在 哪里？ a m 在 这里吧？来，这两个意面，直线所成角，我，我不能把 b c e 直接挪到 a 多 e 吗？这个时候他们就公共了一个顶点吧。所以其实就是在问， m 在 运动过程中，这个角多 e a m 啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ 这个角是由固定的一个边 a 多 e 以及随着 m 在 不断运动而发生变化的一个 a m 这两个边共同所决定的。但是你 a a e e 无论怎么样运动，是不是都在 a a e e 这个面上进行运动？ 好，我给你抽象出来，到底是什么样一个情况啊？这是一个面，然后呢？呃，这是 a 点啊，这是 a 点，这是多 e？ a。 好， m 在 这个面上的一根线上面进行运动，比方说就这根线吧。好，他现在想问， m 运动过程中 啊，运动到哪里？这个角，这个角啊，这个角是在怎么样发生一个变化？ m 顺着这个方向运动 来，你有没有什么感觉啊？因为感觉就是当 m 啊运动到这个位置时候，也就是他投影下来，恰好经过他的投影，经过 m 的 时候，这个角度应该是最小的。为什么这个红色角是最小角呢？可以带你稍加证明一下啊， 不就是这样一个平面吗？然后这里有个斜线，这个斜线啊，我做这个面的垂线得到的这个红色的角，我想证明他比这个面上其他一根线， 然后呢，所形成的这个绿色的角要比他更小吗？不就是要证明这样一件事情，我只需要过这个点，做这根线的垂足，然后呢，再把 这个一列好，就正完了。怎么正的？你看啊，首先他垂直于这个面，就垂直于他， 然后我刚才做的，他和他垂直，所以他和这个面就垂直，那么他自然就垂直于他，所以这个角他也是垂直的， 也是垂直来看啊，我要算 sin 这个角， sin 这个角是不等于它比它，它比它。然后呢， sin 这个绿色的角是不等于它比它， 它比它，然后它们的分母是相同的分子，红色角对应分子是这个长度，绿色这个角对应的分子是红色，这个长度明显它比它长吧 啊，因为这个是点到面的距离，它是最短的，所以红色的这个角对应的 side 值是最小的， side 值是最小的，那么它对应的这个角度就最小。 那么也就是说你 m 在 运动过程中，你可能是大小变成一个小角，然后再变成一个大角，先变小，再变大，那么就思考一下。呃，如果把这个 a 多一啊， 往这个上面投，说白了就是过多一做 a 一 一的一个垂线，这个是垂足，那么所形成的这个角应该是什么角呢？应该是最小角。 哎，我们只需要分析一下过多一做 a 一 一的垂线，这个垂足是不是在 a 一 一这个线段上，而不在它的延长线上？你发现是的，所以 从 a 一 一直到这个垂足的时候呢，对应的这个角是在逐渐减小，一旦过了这个垂足又逐渐增大，所以你不能说他逐渐减小，你只能说先减小后增大。全三是错的， 这题的正确答案就是 b 选项。本期的内容啊，相对来说难度比较高，但是呢， 如果你能掌握我们今天所讲的一些几何方面处理技巧，而不是单纯的去圈系啊，在那里设设点的坐标算半天，那你就能够大幅的提高你的做题速度。希望本期视频对大家有所帮助。
258高中理科郑老师
09:25查看AI文稿AI文稿今天我们来看这样一个题，嗯，首先第一步呢，就是把这个 e 的 三分之 x 次方把它移过来，移过来之后呢，剩下怎么去操作？ 嗯，当然很多同学都能看出来，我们考虑的应该是同构问题，那么这边呢，它是 x 的 m 值，那在整个式子里面既出现了对数，又出现了指数，那么其实我们同构的方向就有两个， 只是在后面哪一个更简单而已啊？呃，首先呢，我们先把这个 二的 m 零 x， 如果把它写成按照这个这种形式进行通过的话，我们要处理这个三分之二 x， 所以呢，这里就应该把它写成， 嗯，减去二倍的零 e 的 三分之 x 值吧， 那刚好这个他移过来之后刚好是三分之二 x， 那 这个是没问题的啊，再加上一小于等于这个一的三分之 x 长 x x， 那 当然这个题除了这种同步之外呢 啊，我也尝试了一下这种做法啊，其实也可以把它写成二的 m， 换一种颜色， 可以把它写成二 m 洛 x 减去三分之二 x 加一小于 e 的 m 洛 x 减三分之 x， 那 么我们刚才这个呢，可以把它写成二的 on， 这里是 x 的 m 次方比上 e 的 三分之 x 加上一。 实际上到这一步之后呢，在这里我们啊把它同步成这种形式，在这里呢，同步成这种形式，实际上两个方向应该都能做的出来，那么我们就以下面这种方法继续往下看。 首先我们就直接就令这个 t 等于 x 的 m 次方比上 e 的 三分之 x 次方，因为 x 大 于零， m 也大于零，所以这个 t 一定是大于零的，那么我们接着就令这个 f t 加上 e 小 于等于 t 啊，我们转化成大约等于零，横乘以的话，应该就是 t 减二，零 t 减一大约等于零，那我们就令 f t 就 等于 t 减二，零 t 减一，所以我们求导就是 等于一减 t 分 之二，那这个呢，就很显然 t 分 之 t 减二 啊，因为 t 是 大于零的，所以我们就考虑这个二作为一个临界点，所以呢，就得出了什么呢？ 得出了这个 f t， 它在零到二区间内啊，是单调减的，在这个二到正无穷， 它是单调增的啊，并且呢，我们很容易能看出来。这个看出来什么呢？这个 f 一 它等于零的，也就是说对于这个 f t 这个这个函数来说，它有一个零点是一，那么大概率是什么呢？我们先画一个草图来看一下， 因为这个 t 是 大于零的，所以当然他取不到零，大概就在这个位置，然后呢，他是有一个一这样一个零点，然后还一直去减减函数，然后上升 在最小的时候，这里 t 取二，然后这里还有一个零点，我们就设这个零点为 t 零， 那所以这里呢， f 一 它是等于零的啊，再加上这个 t 减一，所以我们很容易就能判断出来。什么呢啊，这个 f 三， 也就是说当 t 等于三的时候，三减一是二，然后因为 lo n t lo n 三它是大于一的，所以它是小于零的 啊。同理，我们可以得出来 f 四它是大于零的，当然我们也可以可以算出来，因为对这个罗恩四大家还是比较熟悉的，大概是一点一点三八六啊，所以我们下一步就要看什么呢？ 这个 t 零，它就属于三到四，也就是说我们在找这个 t 减，比如说这个图像上大约等于零的方向，它有两块啊，两块是哪两块呢？一个是， 一个是零到一，零到一， 还有一个呢？是 t 零到正无穷。 呃，实际上如果想解出来这个 t 零，就比较复杂了啊。呃，我们去对于这样一个 f t 这样一个函数，解 t 零比较麻烦，但在这里有一个情况，我们可以把它排除掉，因为 x 是 零到正无穷， m 又是大于零， 当 x 趋近于正无穷的时候，我们去研究这个式子，研究这个 t t， 懂了什么呢？它 t 本身等于 x 的 m 次方，比上 e 的 三分之 x 次方，也就是说当 x 它趋近于正无穷时， 那么这个 t 它是趋近于零的。 趋近于零的话，那就和这个 t 在 这个取这个 t 零，也就说当 t 大 于 t， 零也就大于三点几这样一个 啊，区间它就相互矛盾了啊，它矛盾了。所以对这个零到正无穷这一个项啊，它是不能取的，因为它不能取，所以我们就只能取这个 t， 它一定是大于零，小于等于一的 啊。这一步比较关键，大家需要注意一下啊，那它大于零，小于等于一，也就是说我们就得出来了，这个 x 的 m 次方比上 e 的 三分之 x 次方，它是大于零，小于等于一的， 那么我们就把它化简之后，也就说 x 的 m 次方小于等于 e 的 三分之 x 次方，那也就是说，呃，得出了 m 零 x 减去三分之 x， 它是小于等于零的。 那么在下一步呢，我们就可以再令这个 g x 就等于 m 零 x 减去三分之 x， 那 么 g 对 g x 进行求导呢？它就等于，呃，这个 x 分 之 m 减三分之一，它就等于三 x 分 之三 m 减 x。 这里需要注意一下，因为 x 大 于零， m 也大于零， 所以我们很容易就能得出了一个什么内容呢？这个这个 g x 啊，它在这个零到三 m， 在 这个区间内，它是增的，然后在这个三 m 到正无穷， 它是减的。呃，换句话说，这个 g x 它一定小于等于 g 三 m， 这样我们把它带进去之后呢？ g 三 m 等于什么呢？它就等于把三 m 带进去，就是 m 小 于三 m 减 m， m 小 于三 m 减 一，它是小于多少零？又因为 m 大 于零，所以小于三 m 减一小于零，也就说小于三 m 小 于等于一。呃，换句话说就是 m 大 于， 就最后就得出来了啊，这里解出来， m 是 小于等于三分之一啊，结合着 m 大 于零，所以 m 最终它的取值范围就是大于零小于三分之一。 那所以这里这个最终的答案呢？ m 的 最大值就是三分之一。好，这个题我们就讲到这里。
66螺丝钉
01:43查看AI文稿AI文稿首先恭喜二零二六年六月丰富高考考场的你们！说到这条视频，那真是找到了数学逆袭的捷径。今天给大家分享的都是学校老师绝对不会透露的偷分技巧，哪怕你数学基础差， 啥都不会，也能轻松白拿。二三十分的内容很可能被平台限流，建议你赶紧收藏，千万别让同桌看到悄悄偷分逆袭。 去年我带过一位河南的艺考生，上高中三年基本没怎么学过数学，完全是零基础起步。跟着我系统学习后，高考数学直接考到了一百一十八分。今天我只给大家筛选过去五年高三大考中 选择题最常用最实用的五十五条秒选绝招，每一条都是网接落榜生用经验和泪水总结的精华。为了防止你们认为我在吹牛，咱们直接上整体实操验证。第一，外界求求体积。这类题目根本不用看题干，主要题目要求求 外界球体积。我们直接令每个选项等于三分之四， pi r 的 三次方，返回后半径需要开三次方的选项直接排除，直接选 a 够不够快？ 第二，圆椭圆双曲线的切线方程，学长教大家五秒钟秒减，去掉 x、 y 的 平方，把 p 点数字二和三写在前面，切线方程就是二， x 加三， y 等于五。我们再来一道题，去掉 x、 y 的 平方，把 p 点、数字一和三写在前面，化简得到切线方程 x、 y 等于四。第三秒求法向量。记住这个口诀，向量横着写两遍， 叉头去尾曲，中间交叉相乘纳结撇。学生以这道题为例，手把手教大家怎么用每个向量写两遍，九八五九八五二幺幺二幺幺，叉头去尾曲，中间交叉相乘，纳结撇得三，纳结撇得一纳结撇得负七，轻松搞定。这样其实比我们连力方程快的太多太多。最后，学生深入研究了近十 十年的高考数学正题卷，提炼出五十多种核心模型和四百多道典型题目。需要的同学不要犹豫，后台告诉我你的年纪。例如高三加数学，你累计帮助上万名高中生逆袭九八五二幺幺。但凡你想数学逆袭，必须要好好背一下。
197南大学长
01:36查看AI文稿AI文稿今天是枣庄高三删掉的第二天，距离二零二六年高考呢，仅剩了二十八天的时间，下面这段话是送给从事高考的高三学子，同时也提醒高一高二同学，要好好的珍惜余下的高中时光。 进入到高中以后，我们要认清了一个现实，高中重在筛选，而非呢刻意培养，他不会等你慢慢的开窍，更不会专门为你察觉不漏， 只是在布置布置当中完成一轮又一轮的分层淘汰。首先是数学，如果说数学跟不上节奏，首先会被拉开差距，其次就是英语，如果说英语成绩守不住的话，就会慢慢的掉队。 由于近两年来学科物理和化学的人数呢暴增，竞争家具扛不住物理和化学压力，突破不了平静的同学也会被悄然的筛选出去，从来没有突如其来的落后，所有的差距都是一次次的松懈， 一次次的懒惰，一次次的抱有侥幸心理积累出来的。如果说不想被淘汰，就要收起侥幸心理，踏实努力。 二零二六年高考就近在眼前，愿我们的高三学生能够珍惜最后的冲刺时光，全力以赴不放弃。就算高考结果不尽人意，也没必要气馁，无论是本科还是专科， 他只是你人生成长道路上一个跳板，人生没有白走的路，只要肯努力，任何时间逆袭都不算晚，谢大家！
31:43查看AI文稿AI文稿挑战一个视频，让你高考数学成绩提高十五分！主播，高三数学常年一百四十加，曾执教过顶级高中清北班。无论你现在的数学是零基础还是中等水平，本期内容都会为你梳理清晰， 总有高考重难点以及易错点。哎！大家好，欢迎来到非平凡数学高考最后时刻，今天我要讲的是立体几何篇。 首先，这节课你只要花费大概二十多分钟的时间，你就能确保在高考中拿到满分。好一点不夸张。好，那么第一个我会教你满分模板，就说白了，我会把所有的情况都告诉你。 好，其次，我会站在阅卷老师的视角，我告诉你哪些分干嘛，他是容易扣的，就帮你避免这个扣分， ok， 然后会讲平行的证明跟垂直的证明，每个地方都有大招，技巧，好，非常的好。好，首先，我们先来到第一点，我们先来看到速算法向量，比如说我拿二零二二年新高考一卷来举例子， 对吧？我相信大家这个都司空见惯了，对不对？比如说，你看，我们先把项链横着写两遍。好，横着写两遍看，这是第一遍，这是第二遍，横着写两遍。然后干嘛？你把头跟尾这个给去掉 对不对？只留下中间的，那中间我该怎么做呢？叫做交叉相乘再相减。那到底怎么怎么搞呢？就是二乘一减去一乘零，如果你同学你经常忘记怎么减，那你标个箭头 ok 吗？这个箭头就代表减号的意思，提醒你自己明白不？那我们最终算出来结果是二零负二。最后一句话叫做求得向量再化减，注意，你要化减好，因为我要化到最减是为了我自己方便去计算，能懂吗？所以你给他化到最减，是不是相当于是一零负一？ 因为所有的法向量都平行好，所以这个就是法向量，能听懂吗？好，那么主播，主播你看这个 a b a d， 这个，哇，这个好恶心啊，怎么办？所以主播要教你一个超级厉害的分诀，这东西我基本是不外传的哈，那看大家高考了，对吧，毕竟也是主播第一年，我直接教你 非常厉害这个东西说白了我可以刚开始就化简，看好了，零一负一，所以带根号的你没必要这样去算。你刚开始直接化简就可以了，能听懂吗？非常的夸张啊。你先把它化成这样子，然后干嘛？再用技巧？一样的用技巧向量横着写两遍， 零一负一，然后是零一负一，然后是一零负一，然后是一零负一，把头跟尾去掉，把它跟它去掉，对不对？交叉相乘，再相减一，一乘负一，是不是负一？负一减零，对吧？你看这边是不是相当于也是负一减零， 是不是？那他呢？他是不是零减一？那是不是负一？对不？你画这样子，然后呢？你看你给他再约分一下，是不是就变成了一一一画到最减，为了好算，能听懂吗？这是二零二三年新高考二卷的这个东西， 对不对？你可以看到，对吧？真正的分卷啊， ok 吗？好，我们再来看到大题，最常见的三类题型，比如说在这，你看，主播都给你总结好了， 第一个叫做意面直线所成的角，好，意面直线所成的角，那么我们直接把干嘛？直接算出他们的数量机，然后再除以他们的的膜就可以了，你分别算出这两个项链，然后数量机除以膜。好，你看二零二五年新高考一证就考了，它， ok 吗？这是最简单的。好，特别，你要注意，你一定要加绝对值， 能听懂吗？因为我们意面之角范围只有零到二分之派，听懂了吧？好，那么第二个叫做线面角，这个比较经常考题目会问你什么呢？叫做线面角的正弦值怎么求？ 比如说问他，那很多同学就不会了，老师问正弦值还是线面角，你这个正弦值根本求不出来啊，对不对？为什么？因为这条横线未知，所以你就要用到一个技巧了，三个函数的技巧，因为他们俩是互余的， 所以线面角的正，你看三十，三十是不是等于 cosine 六十？所以线面角的正弦值是不是应该等于一个这个角的余弦值？能听懂吗？也就说本质上我们算线面角，算的是法向量跟这个已知的这条直线的 cosine 二法。 ok， 这是很多同学容易错的。好，那第三个最常见的叫做二面角，比如他长这个样子 对不对？长这个样子他就二面角了，对不对？那说吧，你先算出两个法项来， m 跟 n 嘛，然后你写这个就完事了，能听懂吗？这很简单。好，那二面角的正弦值，这个尽量考， 大家不要混了，不要搞混了哈，二面角的正弦值，我就是一减 q 三方，对不对？上面这个可千万不是一减 q 三方啊，我再提醒你啊，同学，不要错了。 ok， 好， 那么最后再判断正负，然后这啥意思呢？ 你肯定听过口诀，什么叫做什么法？向量一进一出对不对？然后，呃，他是锐角还是钝角， 对吧？好，那我想告诉你，高考考试中，你一般都是可以直接看出来的，能听懂吗？所以你不用再去记什么额外的技巧。我说的是高考哈，我说的是高考好， ok， 那 么这三个就是高考最常考的，没有之一，考了十年了， 同学们，你只要把这一页笔记好好做好，高考不会有太大问题的。 ok， 我 带你们来看例题来，比如说我们来看到第一题，二零二五年全国新高考一卷，那么这道题主要难度设置在是第二本上面，那第二本你能反应过来 o 在 这个平面上什么意思？ 不就是每个点到这个平面 a、 b、 c、 d 的 距离都是半径吗？对不对？你看，这样你就可以直接做出来这一份了。 ok， 我 们今天主要讲这个，你看，那也就说 这个东西你可以干嘛？当然啊，你这句话必须得写，同学们，就你必须得间隙，你写坐标，你必须要间隙。好，你们学校老师可能教的都这么详细的，对不对？所以你要写，你不写这个会扣一分啊，在高考里是扣一分的， 能听懂吗？好，你建完系之后，你看他是不是问线线角的余弦值，那是不是就是我考我们第一个意面直线所成角的值吗？没问题吧？那你就把这个表示出来，把这个表示出来，列公是不就完了， 对不对？公式不要记错，公式不要记错哈，两个法，向量成绩注意，有绝对值，听懂了吗？再除以他们的模，完事了。好，当然，最后这个总结你是必须写的哈，如果这次试卷很简单，那么他就扣一分，你不写就扣一分。如果啊， 如果试卷很简单，不写扣两分，试卷很难，不写扣一分，听懂了吗？不要让自己扣分，我们一定要拿到十五分， 能听懂，我用所有的例子给你讲。好，这是新高考一卷的，我们再来看看今年新高考二卷的，那这个也出的非常的好，那么新高考二卷考的什么？是不是考的是面面角的正弦值， 对不对？那同理，第一个还是你要把这个写好，听懂了吗？第二个就是你要干嘛？你要把每个，你看我我们怎么写的，就说白了，你要把每个你需要的东西表示出来，然后这句话必须也就这个过程，你是不能省的。 好，你唯一能省的就是你把这个展开的，能听懂吗？比如说我法向量格式，老师，我格式怎么办？我速算法向量格式怎么办？很简单，你把这个写完，然后你在草稿纸上速算， 听懂了吗？草稿纸上速算，你速算完结果是不是他，对不对？比如说我速算出 m 的 结果是他吗？一定要这样写哈， m 结果是他，那么你就令 s 等于根号三，那么你就得到 m 向量等于他， 这能不能听懂？可以吧，没问题吧？好，那么接下来再来下一个，比如说他的法向量是 n， 对 不对？好，那么这边有个点要注意，你算出来的法向量是不是长这样的，对不对？那很多同学利用 s 的 一个零，你知道你为什么扣分吗？ 因为你这个很明显，告诉乐队老师干嘛？大哥，你是速算的，我们这道题因为你，你把它展开，它一定是没有 x 这一项，你才能得到 s 等于零，能听懂吗？ 所以你不能这样写，你要随便另一个，比如说另 z 等于一，你再这样写，能听懂吗？你在你写 s 等于零是错的啊，会扣分的， ok， 这就是细节。好吧，那我们是不是省略了一个东西，比如说把它那个展开吗？对不对？所以标准的格式就这样写，这样写是不会扣的， ok 吗？好，那么你看我们是不是要求正弦值，你先把 cos 值求出来， cos 值求出来之后，你再干嘛一减去 cos 方是不是就正弦值了？最后总结 我再说一遍，一定要总结， ok， 这就满分模板了呀，对不对？你看新高考一卷跟二卷我都给你讲了吧，并且都是二五年最新的， ok， 好， 我们再来一个另类的， 比如说老师，高考大改的第一年对不对？二零二四年全国新高考一卷，这题是考的有点特殊了，但是实际上也没有区别。我们高考大题是一定可以见戏的，注意，一定可以见戏好，只是好见与不好见。那我们见完戏之后，我们就设 这个我们需要的量就可以了。那比如说他告诉我正弦值，你就蒙了，不要蒙，大哥，我问你，他告诉你正弦值一减去一个三的平方，不就相当于告诉你余弦值吗？ 对不对？我知道了，余弦值，我是不是立马求两个面的法向量，二面角法向量求出来不就完事了？你能不能听懂？ 没问题吧？好，你求出来之后，你是不是就能得到你想要的量了？所以就这么简单，没有什么难的，就高考这类题目，他都是简单题。 ok， 送分的哈。送分的来，我们再来看下面，比如说我们来看二零零三年新高考，那这题要讲的原因是什么呢？就它了，我刚已经给你讲过了， 就我们求出来这两个东西，我们是可以提前化简去，为了方便我们计算法向量的。你不要说老师这个干嘛？向量横着写两遍，那个太难了。对，我也觉得太难，所以说我教你分距了，能听懂吗？ 另外有的时候向量的坐标不是那么好写，比如这一题，它告诉你 e f 等于个 d a， 对 不对？那么这道题它的 a f 这个向量好， 这道题他的 a f 这个向量他是不好写的。那么怎么办呢？题目绝对给你提示，比如说这题 e f 的 一点，我问你这叫什么？是不是叫相等向量？说明 e f 在 哪里？ e f 在 这 好， d a 在 这是不说明这两条边相等向量什么意思？向量是不是有大小方向它矢量吗？对不对？你是不是大小跟啊？你是不是方向跟那个大小都相等？说白了我们是不是平行且相等？ 那我问你，这个三，这个是不是平行四边形？那我问你，你写他的 a f 的 坐标是不是就相当于你写 d e 的 坐标，能听懂吗？你看这个就是变式的考法， 大家能明白不？所以你只要掌握这个变式的考法，那么你基本是高考大题，是绝对没有问题的。 ok， 那 么预祝大家高考大题拿到满分。好，那么比如说我们还有天津卷，比较喜欢考的叫做点到平面的距离， 那老师我这该怎么办呢？那第二问，第二问我就不多说了哈。第二问，这个就比较简单了，点到平面的距离很简单，你看是 b， 这个点到谁？嗯，平面是不是这个平面？ 记住，他们都会给你提示，绝对都给提示哈，什么意思呢？就说白了，我随便找一个点 到这个面内的任意一条，任意一个点都可以。就题目说了，是不是 b 点，对吧？ b 点到这个平面内任意一个点都可以，比如说我到 c， 点到 b， e 到 m， 都可以，随便你。好，你到这里面任何一，比如说我找 b c， 好 写找 b c， 你 找到这个 啊，你找到这个向量，然后你乘以这个平面的法向量，他的法向量是 n， 比如说长这样子，乘他的法向量，再除以法向量的模，你就可以算出来了， ok 吗？好，那这个公式我希望大家记一记。好，那么基本这四类就是高考大题最常考的，没有之一。 ok， 我 们高考大题近十年几乎考的都是这样子。好，所以说你掌握好它，你就能拿到满分了。那很多同学说，老师，我第一问不会，对不对？那么你接着玩，把视频往下看，对不对？比如说平行垂直，那些主播都给你总结了非常非常优质的技巧， 对不对？比如说什么移花接木法啊，对不对？各种各样的方法啊，明白不？好？那么接着往下看。哎，大家好，今天我要讲的是例题，结合大题之平行的证明。 那再证证明平行这个板块最困扰大家的问题一定是干嘛如何构造辅助线，对不对？你会发现，很多时候你们班的学霸，他都会卡住，没有思路。那么好，这期视频我将以命替人的视角，带你用逆向思维去构造辅助线， 不管你当下你是什么样的一个水平，你看完这期视频，你在考场上做这类问题的时候都会干嘛？如鱼得水，运筹帷幄。那首先就是第一个点，你在考试里，如果你看到题目中出现终点这个字样，你就要联想到他可能在考中位线， 对吧？然后其次就是你要构造一个平行四边形，干嘛？去证明平行吗？对不对？那好，那最厉害的当然还是数第一个方法 叫做移花接木法。那这个东西怎么来的呢？就是我跟全中国最顶尖高中老师在研讨学习的时候，以我们多年的一个出题的一个经验，那给你们总结出来的一个方法，那稍后我会在大体里详细的介绍这个方法。我们来看题，这四人追，然后底边是个正方形， 然后点意是终点，对吧？好，你做过那么多例题结合题，你有没有想过一个问题，就是我这个图形是怎么被精确的设计出来去证明平行的， 对吧？你看题目是不是说证明线平行于面，线平行于面，那线平行于面，是不是要转化为线平行于线，也就是我们现在的思路是不是变成从这个平面内找一条线跟它去平行， 对不对？那问题的关键在于，这我要怎么找啊？那非常的简单，你干嘛？你拿一把尺子，拿一把尺子干嘛？平移？ 平移，谁平移？ pb， 看好了，你看这是 pb， 这是 pb。 咦咦， 移，直到移到什么时候？移到 p b 这条线在这个面内的时候，也就是干嘛我标圈圈的这这条线好，这条线就一定是你做出来的辅助线， 能明白吗？就一定是你做出来辅助线，因为你看平移，是不是说明他们俩平行，对吧？所以你现在的思路就正，他们俩平行就好了。那怎么正？因为这是中点，你看底边是不是正方形？所以我连接对角线，这是不是也是中点？ 那他是不是就中位线？那中位线是不是就平行了？那你看线平行于线，线不在面内，那是不是线平行于面，对吧？就证明出来了，就这么简单。好，这就是辅助线的构造思路，是我们要把这个拿去平移，把这条线拿去平移，明白吧？好，你再来看。 所以实际上我们在出卷的时候，这个是我们最先干嘛构造出来的原图，说白了它是原图，但是我们会用消除笔把这两条线给它消掉， 然后去考你这个东西，懂吗？所以你要逆推啊，你要怎么构造出这两条线？那你是不是要在想把它干嘛？你直接平移到平面去，不就构造出来了吗？ 对吧？这就很简单。 ok， 那 你无论是高考题还是模考题，这个思路是百分之一百能用的， 而且非常的快就构造出来辅助线了。 ok， 好， 那这是我给你写的思路。来，这句话一定要写，不管是我阅卷，还是你们学校老师阅卷，还是高考老师阅卷，这句话不写一定扣一分。那我们来看到这一题，二零二二年新高考二卷子是不是特别难啊？对不对？那你来看这一题，题是干嘛？ 真的很简单，跟我之前讲的思路没有任何的区别。首先它是不让让你正 o e 平行于它， 平行于这个面，对吧？那你干嘛还是一样拿出你的尺子，把 o e 干嘛？一步步平移，平移，平移，平移到这个面内去，明白吗？那你不用多想，这条线一定就是你构造出来的辅助线， 能明白我的意思不？然后你又看到 e 是 终点，那你自然联想到是不是要干嘛？连接它是不是要想到中位线啊？对不对？那现在问题的关键是不是 go 在， 我们是不是在想 o 是 终点就完了，那 o 是 怎么是终点呢？好，我们来看到。看到这边 因为 pa 等于个 pb， 所以 d 是 不是应该终点？你看等幺三角形是不是考三线合一，你再把 o d 连起来， o d 连起来，你可以通过一系列的证明证明出来， ab 是 平行于啊，垂直于这个面的，那 ab 这个角是直角，因为题目告诉你了，这个角是直角，所以这两条线是平行的， 那这两条线是平行的，因为地点是中点，所以推出 o 点，它也是中点，那你看，那是不是就是中位线？ 没问题吧？那整题是不就正完了呀，对不？所以说一定要干嘛？注意细节，反正就这么简单， ok， 好， 那你看这句话，不写一定扣一分，我再学一遍这句话，不写一定扣一分。还有这这个东西你也必须写，不写都是扣一分哈。高考的改卷标准就是这样子， ok， 好， 自己看一下这个过程。哎，我们来看到二零二四年天津卷，他说这是四人柱，对吧？然后他说这是终点，这是终点，这是最重要的一句话，对吧？他说这个线平行于这个面画出来，这个线平行于这个面， 你画出来是为了让自己更清晰的知道，好吧，那现在是不是干嘛？是不是把这条线根据我的方法，是不是把它平移到这个平面内？那是不是它， 对吧？那你这时候发现老师，这好像不是你说的中位线啊，这两条线好像看起来是不是相等的？对啊，看起来相等，那怎么办？是不是有第三种方法，是不是叫做构造平行四边形啊？对不对？所以你把它给接起来，你干嘛？你令它是终点吗？对不对？那它是不是就相当于是中位线 等于他的二分之一吗？那因为他是终点，那他是不是也等于他的二分之一？那他们俩是不是平行且三的？所以这个四边形是不是干嘛？是不是叫平行四边形啊？ 对不对？你就构造完了呀，对吧？好，那完整的过程在这，你看连接起来这点是一点，对吧？然后他们都分别等于他的二分之一，那是不是他平行？这句话必须要写，我再学一遍，不写扣一分啊？ 必须写啊，一个过程必须写的哈，然后这句话也必须写，还是强调不写扣一分， ok， 平行四边形是不是就能说明它平行于它？那它是不是平行于这个平面内的一条线？那是不是线面平行没问题吧？ 我们再来看到高考改革之后的第一道例题，结合题， 对吧？你看，首先他让我们证明 a d 平行于这个平面，对不对？首先把这个平面给我标出来， p b、 c， 然后这是 a d， 对 吧？那你看了，用我看一下方法，是不是你用一把尺子把 a d 平移，平移，平移过去，你发现干嘛？是不是刚好跟什么 bc 是 重合的呀？ 对不对？所以说明这个时候干嘛，你就不用画辅助线了，懂吗？你现在的证明思路应该去证明的是 a d 平行于 bc， 你看跟我刚才讲的有区别吗？没区别，它的出题逻辑在这。 ok， 好， 那怎么证呢？首先题目是不告诉你了，你看这是不是二，这是不是跟三，这是一，所以这个角是直角，对吧？你通过一系列的证明，你能证明出来 a d 是 平行于后面这一整个面的，所以这个角也是直角。 那垂直于一条线的两条直线是不是应该是平行的呀？对不对？好，那你别忘了，对吧？那你接下来干嘛？是不是就是线平行于面了，对吧？那你别忘了，还是那句话， 这个不写一定扣一分哈，这个不写也扣一分，一定要写，一定要写。好吧，所以你就按照我这个思路去做平行的题目， 你会发现构造辅助线根本不是一个难事。好，希望今天的视频对你有所收获。那上一期我讲平行的时候，大家的反响非常的好，要一直催更出第二期，那么第二期他来了，那好，很多时候你做垂直问题的时候，你会发现什么呢？ 很多时候你会没有思路，但其实我想告诉你，这不是你的原因，是因为你们校内老师干嘛？你们的校内老师，他的总结的东西实在是太少了，就会导致你根本没有结论，你根本不知道你看到这题干，你该干嘛。 好，那无论你是刚刷到我，还是之前刷到我，我现在我都要用一个视频帮你把垂直板块所有的小结论 都给你，干嘛都毫无保留的交给你啊，并且我还要教你怎么在高考题里应用它。好，那我们开始。 首先我们先看题干中如果出现了等边三角形跟等腰三角形，你不要犹豫，直接干嘛做辅助线，三线合一，什么意思？三角形等边等腰 做中点，这是 o 三线合一， ok， 好。 再来看第二点，三角形斜边上的中线等于斜边一半，这初中学的吧，这东西是可以互推的。 ok， 那 就这样子，这是中点，互推。好。第三个，如果说题干中他出现了面垂直于面，记住，一定要先干嘛？找交线， ok， 找完交线之后，看我这句话，从一个面内找一条线垂直于交线，则该线垂直另一个平面，那这个考的非常非常的多，好，一定要会非常非常多，几乎是题题必考好。第四点，他说题干中如果出现了三角形的三边的长度， 或者说可以求出第三边，那都考勾股定律，够详细。好， 那这个可求第三边。我想告诉大家，我做了这么多题目，我们一般都是用余弦定理，所以你做笔记的时候加上余弦定理，求第三边， ok， 好。 过了哈，也就说编的长度我们就要联想到勾股定理，只要题目中给你编的长度 来看。第五点，第五点说它有正方形跟菱形的时候，我们一定是考对角线垂直来，这个也是非常经常考的，一定要记住它。第六点，就是它衍生出来的菱形加六十一百二两个等边三线合一， 好，也就是说你看到正方形跟菱形的时候，你干嘛直接连对角线，直接连对角线，不要犹豫， ok， 好， 那再来看第七点，小题间用大题去证明三垂线定比 bc 的 bc 为 ab 的 投影，只要是我投影跟这条线垂直，那么我被投影的这条线也一定跟它垂直， ok， 那 具体证明如下，就是说， 首先 ac 是 垂直于底面的 ac， 它就会垂直于 l， 好， 那 bc 垂直于 l， 这题目中都会给你说，所以你立马能反应过来， ab 它干嘛？它就垂直于 l， 为什么？证明过程在这， ok， 好， 那三垂线定律的逆定律大家也要会，也就说我 ab 要垂直 l， 我 的干嘛？ 我的投影也会垂直 l， ok， 那 我建议，如果你想考一百二以上的，我建议这个干嘛？一定要掌握难题，绝对会考它哈，难题一定在考它。好，我们再来看下一点， 那这一点，再来看这几个图形哈，这几个图形我建议你都好好画一下，首先他说正方形，正方形两个中点，对吧？就能说明中间这个是垂直， ok， 然后是长宽比为一比二的矩形，一是中点，对角线跟这个点跟这个 也是垂直。再来看第四个，这最重要，最超级重要。我来给你推一遍，这是一，这是一，这是相当于是根号二，对吧？你做一条垂线下来 干嘛？他一定是终点，这是一，这是一，这是一，那这也是根号二，那根据勾股定底说明求出这个角是直角， ok， 这一定会考啊，高三你标一下，这一定会考，我建议大家一定要记住，好，再来看这个 矩形，好，下一个，那下一个点干嘛？就是直径所对应的圆周角，他是九十度，那这个很容易被人遗忘，真的，一般说难题他都会结合求题来考。 好，那我给你讲的这些，如果你都能干嘛？背下来，去记忆下来，我相信你做大题一定没有问题。那接下来我带你来实践一下。好，我们来看到这道高三的模考题，如果你已经认真听完前面的结论了，并且你已经记忆了，对吧？我现在就带你干嘛？带你来实践一下。 好，我们来实践出真知。首先它说什么？平面面面垂直对不对？面面垂直的要领是什么？ 是不是第一步先找交线对吧？交线是谁？交线是不是就是 a d 了？没问题吧？找完交线然后呢？ 然后找一条线会垂直于交线，那这条线是谁？我不知道，慢慢来。他说三角形 p a d 是 等边三角形，什么意思啊？是不是考四个大字？三线合一，对吧？你都不要犹豫，你说它等于它干嘛？我这边取个中点是 o 来垂直下来， 你看它是不是垂直交线，它是不是就垂直下面这一个面了，对不对？你就完美用上了两个条件啊。所以说等边三角形，你就直接想三线和一做辅助线就完了，懂吗？哪怕这个辅助线没用，你也要做好。那第三个考什么 来看它是不是等于个八出现了长度，哦，这是不是二？这是不是二？这是四根五，对吧？我问你，出现三角形三边 啊？做着做着都笑了啊？出现三角形三边你想干嘛？你是不是想到能不能干嘛？用勾股定力来验算一下他是不是垂直啊，对不对？你发现四的平方加八的平方是不是等于一个四根号下五的平方？ 十六加六十四是不是等于个八十，对吧？就这么简单，所以你做着做着就笑了，好，所以这个角是直角对不对？那你看， 那这道题要我们证什么？是不是证面面垂直？那是不是转化为线？垂直面那两条线我不知道啊，我现在知道是什么？我现在知道是 b d 这条线是不会垂直于 po， 对 吧？因为 po 是 垂直于底面的嘛？然后 b d 是 不是又垂直于 ad， 是 不是垂直于 ad？ 那 你看 b d 是 不是就垂直于后面这一整个面？哦，你发现 b d 是 不是刚好属于它？ 它它内的一条线垂直于谁？是不是垂直于它内的两条相交直线？所以说 b d 是 不是就垂直于这个面了？那不就正完了， 是吧？所以就这么简单呀。你看所有的东西都不是，干嘛都不是说你在考场临时想到的都是源于你干嘛你考场前的结论的总结。 ok， 好， 我们一起来看看格式是怎么写的。 来，首先第一步他说做终点对吧？好，等边得到这个垂直，然后交线， 然后我们就能得到它是垂直于底面的，它垂直底面之后是不是垂直于 b d， 对 吧？勾股定律对吧？ 勾股定律又垂直于它，然后这句话一定要写啊，垂直板块这句话不写啊，还是那句话，无论是你高考还是我改卷都会扣你分，还是你们老师都会扣。 好，这句话一定要写。这句话一分你不写就扣一分，然后下面啊，你再写他垂直于他，然后面面垂直，对吧？其实过程是非常简单的，最关键就是前面的每个条件会不会分析。好，那我们再来看下一题。哎，好，我们来看到二零二四年新高考二卷， 那这一题的话来看题，首先 a b 是 等于八，然后这是五根三，这是二根三，这是三根三，对吧？然后这是三十度， 对吧？好，那他将他对折，什么叫是不是就翻折问题啊？那翻折问题是不是意味着他跟谁，是不是跟这个三角形应该是全等的关系啊？对不对？好，那接下来他问你，线线垂直，那你是不是要转换成线面垂直啊， 对吧？很简单。那思路很简单啊，那关键是怎么正垂直？老师，这题干没有说任何关于垂直的信息啊，所以你就要想到我刚才给你总结的结论了，对不对？我一个三角形已知两边， 对吧？你是不是要用余弦定力去求出第三边，然后再来个勾股定，这个就出来了，对吧？所以说他提示的很明显了，你看这是二根三，这是四，然后这是三十，那你可以用余弦定力求出来这段长度是二，那是不是证明出来这个角是直角， 一个垂直了？再来你翻折啊，什么叫翻折？翻折是不是全等全等过来？你看这个角是不是也是直角？ 是不是说明 e f 是 垂直于后面这一一个面的，那 e f 不 就垂直于 p d 了，对不？所以最关键的是什么？最关键的是你看到这个三角形有没有反应？好，你看我是不是给你总结在这了，对不？所以好好做笔记。 好，我们来看具体怎么写的？来看，具体就这样写于前定力，求出来它，然后勾股定力，然后全等。因为全等，所以这个角也是直角， 然后干嘛相交于一？这个不写扣一分啊，这只一分。好吧，最终写出来。那你，所以你干嘛？所以高考源自于什么？源自于平常，只要你有总结，那高考真的随便做。 这已经是倒数第三题了，哎，我们再来看一道高三某考题，那我主要给大家翻译一下这个条件是什么意思？好，那首先先看题，他说底边是矩形，矩形是不是有天然的垂直啊？对不对？然后是不是线垂直于底面，垂直下面这一整个面吗？那是不是线就垂直下面的所有的线， 对吧？好，然后再干嘛呢？来，我们来看这个条件，他说 a c 是 直径，然后这是球心，对不对？然后他说与球交于 m 点跟 n 点，就球与这个图形交于这个点， 那我我我想问你一下，你要干嘛？你先想象一下有一个球，对吧？这一定不是那个。呃，空间想象的题，你放心想象有一个球，然后呢？我给他截个面，就我就沿这个面来截，我问你，球的截面一定是什么图形？ 好，你回家拿个球截一下，知道他一定是个圆，对不对？那 ac 又是直径， ac 他 又是直径，什么意思？那是不是意味着这个角就是圆周角呀？ 对吧？所以这是不是应该就是九十度啊？对吧？所以这就是直径所对的圆周角是九十度，只不过它一般都结合球体来考，能明白我的意思不啊？这都算是比较有一点点难度的题。 好，那我们再看剩下的条件，也就说我们已经翻译出来一个条件了，对吧？也就说是 am 干嘛？ am 是 不是垂直于这个这条线，对吧？题目说什么？它垂直于这个面， 是吧？两面面垂直，那我们找这一条，还有没有一条？有啊，来看吧。首先 pa 是 不是垂直底面，所以 pa 是 不是垂直 cd？ 因为这是个矩形， cd 是 不是垂直它，所以 cd 是 不是垂直后面这一整个面，对不对？没问题吧？ 所以 c d 干嘛？是不是相当于是垂直也垂直于 a m？ 因为 a m 在 那个面内嘛，所以 a m 是 不是垂直于两条相交的直线？那 a m 干嘛？是不是就垂直于这一整个面了？那 a m 又属于这里面，那这里是不是就正完了呀？对吧？就这么简单嘛。好，我们来看看具体怎么写的。 好，首先是，呃，我前面先占了什么？ c d 垂直于 a m， 对 吧？ c d 垂直于这一整面。好，那这句话要这样写，你就写以它为直径的求过这个点就好了，不用过多的解释，不用说结面，你就说这句话。好吧，这句话很重要，这句话有一分。 好，然后你就知道了什么，再看下面的条件就知道。 am 干嘛是垂直这个面的吗？因为你知道这个角是圆周角，然后 am 垂直这个面，然后剩下干嘛？面面垂直就完，凡事了。 ok， 就 这么简单。好，那如果说你把前面的所有结论都记住了，那你做垂直问题绝对不会有问题。好，那希望今天的这个视频对你的帮助很大。
1.9万非平凡解_数学提分版
11:26查看AI文稿AI文稿大家好，我是葛军，本期邀请的是佳树老师为大家带来高中立体结合中的内切球的专题讲解， 相信会给你的复习增添助力。咱们开始吧，上抖音精选看葛老师和数学天团。哈喽，我佳树！今天这些内容难度会有一点大， 这期内容我们从大家最最喜欢的立体几何板块挑选出了您一定会感兴趣，并且本身也倍有价值的内切球专题。无论是切体里边的公式法、洁面法，还是球球相切问题，这里通通呈现，并且最后用一道高考压轴题检验成果，咱们开始吧！ 看第一个专题，选项复杂，不必理会，因为体积本就难看，几何体中放入内切球，那么球心到任意表面距离一定都是半径 r， 稍作切割，黄色部分可以直接分离再做切割，下方四棱锥也可以拿出。同样道理，左边分割，后面也拿开。 哎，我一看，这不五个棱锥吗，顶点都是内切球的距离，全部都是半径 r。 底面面积标记一下，随便拿一个，这块棱锥的体积，它就等于三分之一倍的黄色底板面积乘上红色的半径高，而且并非个例，每一块都是这样的， 五个棱锥体积一拼就是圆出完整的四棱锥。数据复杂没有关系，五个相加，左边完整的棱锥体积，右边完整的表面积。这样一个万能公式就是这么来的， 只要体表不弯曲，公式哪哪都能用。当然，这种体表不弯曲的几何体，我们统一称为切体。这题选择第二项 b， 大家可以自行检验正确与否。 接着看到第二题，又是一个三棱锥，两个切点 m n 求长度？折拐了，涉及到球面上的具体点位了，光球半径根本不够， 啷个办嘞？咱们要把两点所在的洁面缘给标注出来，有缘就有心有求，同样道理，并且呀，棱锥、底面等边三角， 三条侧棱还完全相同，这是一个正三棱锥，那么它的高线就穿过 o 撇，穿过 o。 现在掌握以上信息要求 m n 就 一定得知道洁面圆的红色半径吧。 但是呀，我们仔细一看，这个内切球上的洁面圆半径不知道角度，不晓得 m n 的 球解就有了阻碍， 怎么办呀？当我们需要去分析具体的数据时，就一定要落实到平面当中了。那么取哪个平面？好嘞，思考一下， 我取这样一个截平面， a p q 完美经过内切球的球心，现在彻底降为二 d 模式。 哎，好奇怪啊，不是内切球吗？怎么 a p 没有相切嘞？换回人类视角 哦， a p 是 一条棱，内切球切的是面，那 p q 又为啥可以嘞？因为啊，它是切面内包含切点的截线。 现在晓得了，再切回蚂蚁视角，这个红色的 o 撇 n 的 长度求解就简单一些了，红色比黄色等于红色比黄色，这个原理不知道你晓不晓得， 两条黄色线段都特别的好，求再结合圆的切线特点， t q n q 蓝色线段长度还是一模一样的， 所以红色的 p n 一 减，也能够得到我们需要的 o 撇 n， 也就算出来了。 而且呀，在几何关系上，红色的 o 撇 n 和黄色的 t q 还是平行关系，这里有大用处。再切回三 d 视角，我发现呀，这个 o 撇 m 的 分析方法一模一样， 它的长度和 o 撇 n 完全相同，都是同一洁面圆的半径，而且 o p m 还平行于底面的 k t， 和刚才同样的道理。 那么这一下我晓得了。两条圆中的红线分别平行于两条底板的绿线， 所以绿线夹角是多少，红线夹角就是多少。咱们透视一下，光看底板平面等边三角形， abc 高线相交，顶角六十，黄色 c 塔一百二十，再摆回来还原视角大小相同，他也是一百二十度。 m n 连接一下，这是一个典型的一百二十度等腰三角形，已知腰长，底边就是腰的根号三倍，最后可以计算得到 m n 的 具体长度。 是不是感觉难度好像不太够用，不够满意啊？没得关系，我们多加几个球，现在有一个碗，里边放三小球，彼此相切，和碗相切，和碗的顶板还相切， 那么这种球和球相切的问题应该怎么下手呢？各位可以思考一下。这里啊，咱们放心的记住，球球相切，天要塌下来，也先把球心标好， 来都来了，那肯定得连接一下吧，这个连线的终点，它就是切点，那光 a 和 b 连接不行呢？另外标注好两个切点， m 和 q， 又因为三个小球完全相同，所以球心相连，最终呈现为一个边长为两倍半径的等边三角形， 而三个球心的几何中心到任意一点的距离自然也是边长。除掉根号三， 再回到碗中。三个球心的几何中心肯定在整个半边碗的球心的正下方吧。 o n 垂直 a n。 这个时候就又到了经典环节，咱们切换一下观察的视角，把半球形的碗完全放平， 这下好办了， a n 两点到顶板距离都是 r， 最关键一步延长 o， a 刚好触碰到内切点 t， a t 也是 r， 那 a o 呢？勾股定律，根号三分之，根号七倍的 r， 剔除容易部分，碗的半径是大 r， 那 么最后一步也就搞定了。算出答案， 小 r 等于四分之，根号二十一减三倍的大 r， 好 像不是特别美观，但是方法足够适用。哎，这时候有的同学他就要问了，三个球感觉也不够用， 没关系，我们再加一个。但是单纯以方法与思维的角度来讲，您认为多一个或者少一个球有没有质的区别呢？可以思考一下， 不管有没有还是一样的。凡是有多个小球，多个内切球，一定一定要标注好球心的位置，球心相连，终点就是切点，彼此全部连接。 标注红色切点之后，我发现呀，这是一个边长为二 r 的 正方形几何中心，与端点相距根号二倍的 r。 再放回原图中，四个小球的球心的几何中心 k 就 在大的半球腕的球心 o 的 正下方。 我们还是只保留一个小球，因为其他完全对称切换洁面视角，把碗彻底放平， a k 到顶板距离都是小 r。 圆形连线贯穿内切点，根据勾股定律标注好斜线长度，作为唯一的保留部分， 大 r 也就等于一加根号三倍的小 r。 算出最后的答案，那么到这里，相信你已经是一个巨大的好状态。咱们最后来看一道高考真题中的填空押轴，二五年的全国二卷，二六年的，不用着急，不到两个月就可以看到了。 题目说呀，在一个厚度不计的封闭圆柱内，放两个完全相同的小球。问，小球半径的最大值， 那怎么才算最大呢？思考一下，您看这样行不？上切中，切下也切完全居中，数值方向被塞满了， 但是嘞，周围空唠唠的好像浪费体积了。咱们不妨把两个小球左右方向稍微错开一下耶，好像又可以扩大了。那什么情况下能够让空间得到最大化的利用呀？ 是不是两个铁球错开来，在斜线方向上把圆柱完全塞满呢？不仅上下底面相切，球与球之间相切，侧面也是相切的。 当然，有球就得有球心，球心相连过切点。接着又到了最经典环节，观察横截面切换为非人类视角， 圆心与切点相连，标出所有半径，竖九横八。到了这一步，能够算出半径了吗？ 咱们聚焦一下，画出九宫格。竖着的九有哪些组分呢？两边都是 r 中间九减二， r 横着的八，两边 r 中间一减。 下一步咋搞嘞？相信你已经想到了，中间天然构成一个黄色的直角三角形。使用勾股定律，直角边平方和等于斜边平方。整理一下因式分解，算出两个答案。 显然，选择更小的 r 等于二分之五，被大值为二分之五 哦，记得补上厘米。我是佳树，我们在抖音精选为大家应援，期待与你再会！
9.5万葛军
06:48查看AI文稿AI文稿家人们，本次小视频我重点跟大家分享二零二六自治区三模解答题十七题。那么这是一道关于理题几何的经典的大题。本次小视频我们不仅把这道题做对，更要把背后的逻辑给大家讲透。好，我们先审一下题， 如图， a、 b、 c、 d 是 边长为二的正方形，以 m 为圆心的半圆面 m a、 b、 c、 d、 e 是 半圆弧 a、 b 弧上的动点。 第一个小问题呢，是证明平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e。 那 么怎么正这个平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e 呢？好，那么它的核心的思路是，先证明先面垂直，从而推倒面面垂直。 那么我们第一个步骤呢，锁定这个目标直线，在其中一个平面 i、 d、 e 或者平面 b、 c、 e 内寻找一条看起来与另一个平面关系最密切的直线。 第二个呢，是正明线面垂直啊。第三个呢，推到这个面面垂直。那么在本题的立体几何图形当中，哪条直线最有可能成为连接两个平面，实现线面垂直的关键？先生呢？好，那么我们一步一步把这道题做一下。 好，因为这个已知平面 a、 b、 e 它是垂直于平面 a、 b、 c、 d 交于 a、 b、 a、 b、 c、 d 呢，它是正方形，那么正方形的两边邻边是互相垂直的，所以 b、 c 垂直于 a、 b， 所以 b、 c 垂直于平面 a、 b、 e。 那 么 b、 c 和 a、 e 它是互相垂直的。 好，那么因为 a、 b 是 直径，那么角 a、 e、 b 它是什么？圆周角？那圆周角是啊，直径所对的圆周角是直角，这是在初中的时候学过。所以啊， a、 e 和 b、 e 它是互相垂直的，那么 a、 e 垂直平面 b、 c、 e， 那 么平面 a、 d、 e 呢？它是包含 a、 e 啊，那么平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c。 那 么第一个小问题，我们做出来的这个积分已经拿到手了，你学会了吗？ 好，我们再看一下第二小问啊，那么第二小问说，若平面 b、 c、 e 和平面 c、 d、 e 所成的锐二面角的余弦值是十一分之，根号三十三，求自冷锥 e、 a、 b、 c、 d 的 体积 好，那么这道题的核心思路是体积，那它是等于三分之一底面积乘高，它的底面是什么来着？是的，十二个正方形边长，你还记得吗？十二，所以底面的面积是等于四。 那么第二个步骤，我们要求高，那么也就是体积计算的关键就是转化为求结点 e 到平面 a、 b、 c、 d 的一个垂直的距离，那么我们要去寻找它的这个突破口，也就是利用题目给出的平面 b、 c 一 与平面 c、 d 一 所成的锐二面角的这个余弦，指这一个几何条件建立方程。求解。 好，那么第一个步骤我们要干嘛呢？啊？肯定要进行，那么这是一个万能的钥匙。好，那么我们沿 a、 b 的 方向画一个 x 九好，那么平行于 a、 d， 以 m 为圆心，画这个 y 九 好，那么垂直于平面 a、 b、 c、 d 的 这个方向上，我们画这个 z 九 好，那么我们把这些点表示出来，那么因为这个 m 是 圆点，所以它的坐标是零都零都零 好，那么 a 点呢？它是在这个圆点的左方，是在 x 轴上啊，整个 a、 b 的 长度是二啊，边长是二嘛， m 是 中点，所以 a 点的这个坐标是负一都零都零啊，那么 b 点是一都二都零， d 点呢？是负一二都零， 那么 e 点它是个动点，所以它是 cosine theta 零， cosine theta， 好， 那么在这的这个 theta 呢？是在零到 pi 中间。 好，那么我们把这些向量给它表示一下。第一个平面 bce 的 这个法向量啊，那么这个 c b 向量呢？它是零负二到零， 从这个末点减去它的初点嘛， b 的 坐标减去 c 的 坐标，能得到 c b 向量，那么 c e 向量是 pythagore theta 减一到负二到萨因 c theta， 那 么它的这个 n 二向量啊，也就是等于负二倍的萨因 c theta 负零，负这个二倍的一点 cosine theta， 同理，那么我们可以写出这个平面 cd 一 的发向量 dc 向量是二到零到零，第一向量是 cosine theta 加一啊，负负二负 sine theta， 那 么我们能得到 cd 一 的这个发向量，那么它是零负二 sine theta 负四。 好，那么利用这个二面角的公式来列方程，那么二面角的公式是锐二面角的余弦值等于两个发向量的夹角的余弦值的绝对值。那么库萨尼塞，它等于 n 二乘 n 三， 它的膜比上 n 二的膜乘 n 三的膜，也就是十一分子根号三。那么我们单独把这个 n 二向量乘 n 三向量是什么？ 那它是等于负八倍的这个 e 减 cosine theta， 那 么 n 二向量乘 n 三向量的这个模是多少？八倍的 e 减 cosine theta n 二的模， n 三的模分别是多少？把它们算出来，算完之后代入化简，那能得到这个 cosine theta 是 等于三分之一， 而 cosine theta 算出来，那现在要求高啊，那么高 h 呢？它是既点是一到平面 a， b， c 的 垂直的距离，等同于一点在 z 的 一个坐标值。所以刚才我们得到这个 cosine theta 吗？那能得到这个 sine theta？ 好，那么能得到这个 h 是 一减三分之一的平方，也就是三分之二倍的根号二，那么代入到刚才的这个体积公式，那么我们得到它的这个体积是九分之这个八倍的根号二， 那么第二小问我们就把它算出来了。好，那家人们啊，那这道题呢，核心就是先间隙法向量，再加一个二面角，掌握了这个套路呢，立体几何直接拿捏。 那么第一个问题呢，我们用了几何方法证明了线面垂直。第二问呢，啊，从线面垂直推导出了这个面面垂直。 第二问呢，用空间向量算二面角，然后双管齐下呢？再也不怕这个立体几何。觉得有用的家人们点个关注，下次带你刷更多的立体几何的经典的题，那么咱们一起重高分儿！
22拉波士|金泉数研
09:54查看AI文稿AI文稿带参数的法向量很难求五秒求法向量分角来了，不要再为立体几何头大了，跟着数学嗨课，了解底层逻辑，一起进入求法向量分角的学习吧。 这个视频我们来教一下，五秒钟就能求出法向量的分角啊。为什么要学这个方法？其实它分两种，第一种就是正常的嘛，就是我们题目里面全是数字的，就是我的第一种类型，那第二种就是我们题目中有参数的类型，等一下都会讲到的啊。在后面的题目里面，那谈参数的 项链，你去求法项链是不是很麻烦？我去解都要解半天，那么你学会了这个方法，你五秒钟就能出来。这种方法其实就很简单，比如说第一种题型，我就把两个项链横着先写两遍， 就九八五九八五，二幺幺二幺幺，我写两遍之后一定要记住首尾我不要，首尾不要之后用这样交叉的形式，比如说这样的，比如说那么撇和，那么我们在中文里面 用捺相乘就是八，减掉撇相乘就是减掉五，就会得到第一个数。就像同理，后面二乘五就是十，减掉一乘九，十减九一嘛，就一。 那后面也是一样，九乘一减掉二八，一十六就九，减掉一十六就负七。所以我的法向量 就会等于他是不是很快啊？这种题目他的一个优点在哪里？就是只要带参数，比如说我这个题目带参数，我一样的横着先写两遍， 然后下面就那么的加一二三减，那么的，那么的加一二三减，那么的，然后首尾不要，你不一定需要用那减掉撇，你反过来其实是一样的啊，比如说我这里我还是按照定义啊，本身他的定义就是那减掉撇，只是你自己算的时候，你可以 撇减掉那啊，那么这里就是一加那么的乘以三减那么的得到第一个数，同理后面的 二减那么的乘以那么的加一，然后再减掉一个一乘以三减那么的得到第二个数，后面也是同理一乘以二减掉一加那么的，然后那么的加乘以那么的加一嘛，就会得到第三个数，这个我就不去算了，反正最后反正都是含有 那么的减一，然后逗，下面的就是负，那么的方加二，那么的 减一，下面就是负，那么打方减二，那么打加一。你看你这种方法肯定比你列几个式子，嗯，来的快啊。然后这种方法一定要记住，我只能在草稿纸上写， 那书写怎么去写呢？我们先来看一下第一道题，第一道题就对应的刚刚的第一种形式，而这种形式他就很明显的特征就是我接完戏之后，我发现我这这个点，如果你去正常算的话，他带根号，对吧？可能算起来很麻烦，但是你用我教你的方法其实很简单， 只是老是这里啊，这是建的左手系，但是高考一定一定就更加建议你们建右手系啊。好吧，这里只是给你们做一个对比，所以我就特意建了一个左手系，其实算出来答案是一样的，那么我正常去书写，呃，他要求的其实就是二面角， 一个面是 e c o， 一个面是 c o b， 那 么我先求 e c o， 那 e c o， 我 就把 o c 和 o e 表示出来呗，对吧？那表示出来之后，然后我就可以正常去写。正常写是不是要设一个法向量，比如说等于 x e y e 这一，然后就有了 o c 乘以 n 一 等于零，然后 o e 乘以 n 一， 它也等于零，然后我就可以得到一个什么等于零的数字，什么等于零的数字，这个我就不去写了，那么我在草稿纸上再去算就可以了， 因为你这样绝对会比你正常算要快很多的啊。那我就把两个相等，一个是负的一十五分之七倍，根号一十五。逗就不要逗号了，就把它横着写两遍先， 然后把下面这个也横着写两遍。呃。二十分之根号一十五，然后五分之两倍，根号一十五零，二十分之根号一十五。 首尾不要用他相乘减掉他相乘刚好就是二十分之根号一十五，那他相乘减掉他相乘应该就是零，减去他就零加上他嘛。两个相乘 应该就是化简一下二十二十分之七吧，上面有两个根号是五相乘嘛？你看这种口算一般都能出来，那后面这个是不是就减零减去他，所以就负的，对吧？ 快吧。然后你在数学上面我就说令 x 等于二十分之根号一十五，解得 y 等于二十分之七， z 等于负五分之两倍，根号一十五，快不快？然后你假如后面这个向量，你就同理呗，这样去算。但是这里 c o b 其实我们有， 对吧？ c o b 我 们是不是就直接可以随便找一个向上的向量？他都可以，所以 n 二他应该就是零零一啊，有简单的我们就用简单的方法， 对吧？所以你看我再去用余弦就是 n 一 n 二不就可以了，对吧？所以只是你们算的时候，这里有个要点，就是你们一定要记住我要把外面都加个绝对值啊。 我有我算的这个只是算的他是正的，然后我要再根据根据图或者就题目可知他是钝角还是锐角啊？ 或者锐角钝角你就加一个符号，这里你就要加个符号啊，一定要记得是这么去写的啊。所以啊，这方法真的能帮助你快很多好吧， 然后就第二种题型，第二种题型他其实就是考的什么存在啊？问你存不存在嘛？然后说白了其实就是动点，那动点怎么去设？这里我没设，一般情况下他说 pc 上面存在一个点 m， 那 么我去设的时候我应该就是设的 pm 等于那么大倍的 pc 就 可以了，因为我这样子去做，因为我 pc 有 嘛， pc 向量 就会等于那么 w 的 p c 应该就是用 c 减，就负二根号三，负根号三，所以它就会等于负二那么大，根号三那么大，负根号三 那么大， ok， 这是 pm， 其实你要算坐标的话啊，那 pm 是 不是 m 的 坐标减到 p 的 坐标，所以我就自然而然的我就知道这个点 m 的 坐标应该怎么去测了， 对不对？那 m 的 坐标减到 p 的 坐标要等于后面的？那是不是第一个我填的应该就负二那么大，第二个填的就是根号三那么大，然后第三个 我填的就是他要减根号三，能等到他应该就是负根号三那么大，加根号三，看到没有？动点啊？一，一定要知道怎么去设。所以我这题其实，呃，二面角这里有个 m b o， ok， 把它先单拎出来， 这里啊，我就去找呗。 o m o m 有 了吧， m 点和 o 点就都有了，所以他就是负二那么大，根号三那么大，负根号三那么大，加上根号三，还要找一个。 呃，比如说找 o b， o b， 我 们都有。呃，应该就是零根号三，零。 ok， 那 么我就射 法向量设它的法向量，比如说是 x 一 y 一 这一，所以我就说 o m 乘以 n 一 等于零， o b 乘以 n 一 等于零。 ok， 数字不去写了，怎么等于零？怎么等于零？ ok， 抄歌词来了，这个时候又到了抄歌词上了， 因为你正常算肯定很麻烦，因为这个题目里面他含有这么多那么大，我，我想着都烦，对不对？ ok， 你 看，所以这里就是负二那么大，然后根号三那么大，负根号三那么大，加根号三。 嗯，等一下，我写左边一点吧。所以他为什么要再长个整数进行呢？太长了啊，你要因为要写横着写两遍这种带参数的。负根号三那么大， 加上根号三就负二那么大，根号三那么大，负根号三那么大，加根号三，然后下面就是零根号三，零，零根号三，零首尾不要。 ok， 他 说他就零，零减掉，他就是，呃，变成正的了，这里应该就变成了 三倍那么大，然后减掉一个三，这是我第一个零减零，零，快吧？然后这里就是负两倍，根号三那么大，减零嘛，快不快？所以我这里就说，呃，我解得 ok， 这个我都不要了啊。 我就说另， x 等于，比如说三，那么减三就解得， 呃， y 等于零， z 等于负，它可以吧。所以我的发向量就有了，三那么大，减三零负二倍，杠三那么大， 你们就自己去对比一下，我这种方法是不是绝对会很快？那么这里是不是还有个面 boc 面 boc， 那 面 boc 其实它也是一个特殊的面，它 boc 不 就是底面吗？ 对吧？所以他的一个项链我还是可以把它设成零零一嘛。然后他说等于六十度，那我就去解呗，我就列个式子， n 一 n 二，不就会按照刚刚一样自己填令，他等于 口塞以六十度呗，然后去解出来，那么 不就出来了？所以啊，这种只是一个技巧，他不能写到数学卷上面去，一定要记住了。但是他应对这种动点或者这种存在性问题的时候，真的会非常的快的啊。好的，这个视频我们就讲到这里。
548数学骇客
20:02查看AI文稿AI文稿二十分钟掌握空间角几何法，看完本期视频，你就是空间角的神！我已加入抖音精选应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，对我的高考百日百课。 空间角作为我们立体几何中的老大哥题型，我们除了要会间隙法，一些简单的几何法我们应该也要去掌握，不可能每道题都去用间隙对不对？特别是出现在一些小题里面的时候。那么今天呢，我们就来讲一讲线线角，线面角以及二面角 他们一些常见的几何法该怎么去解决。在平面中，我们知道两条直线的夹角，我们在一起的话，那么取这个锐角零到二分之派的时候，这个呢就是我们两条直线的夹角对不对？ 那么如果在空间中怎么办？我们需要把它移到一起，有交点的时候，那么此时呢，他这个角就是我们两条异面直线的夹角。下面我们来看到一个具体的例题， 这种方法往往是最简单的，正方体中 p、 q 分 别是 a、 d、 e、 b、 d 的 中点，这里呢我图已经画好了，他问的是 p、 q 以及 b、 c、 e 这两条意面直线所成的角的大小。好，我们来看一下， 我们说了，我们是需要通过平移让他们两条直线有一个交点，对不对？那么我们的 p、 q 也可以去移动， b、 c、 e 呢？也可以去移动，这个题目比较简单，我们直接把 b、 c、 e 去移动会比较容易吧？移到哪里？ 移到我们的 a、 d、 e 这里，他们两个是平行的，所以我直接移过去，你发现 p 点呢，就是他们的交点，那么这两条异面直线所成的角呢？ 不就是我们的 a p q 这个角吗？我们这样一连把 a、 q 连起来，那么这个三角形的三边我们能不能求？来看一下各边长的关系？我们假设正方体的边长为二好了，那么这条线怎么求啊？我这样做一个垂直过来， 那这里就是一，这里呢也是一，这里是根号二，没问题吧？那么这条边呢，我们这样垂直下来，他这里也是根号二吧，这里是一，然后呢这边也是一，根号二，同样 这条长度怎么去求？我们只需要这样做一个垂直下来，然后这里垂过来，这里是一，这里是一，这里也是根二。所以你会发现这个脚踏其实就是六十度，对不对？这种平移当然比较简单，还有没有别的平移方法？有，只不过是比较麻烦嘛，你可以平移到终点，我们再讲一个， 把它平移到这条线上来，然后你会发现，此时呢他们没有终点，对不对？因为有些题目他可能不可以这样直接平移过去就能有焦点，然后你平移到这里之后，然后怎么办？与这条线没有焦点，那我怎么样才有焦点呢？我是不是得往 外面呢？呃，这个应该叫前面吧，得往前面去移，移成这个样子才有焦点，对不对？那么此时呢，我们连接 q 与我们底面，就我们的 d c c e d 这个面，它的中心，哎，是不是此时呢它们就有焦点了呀？当然这样平移需要那么一点点的空间想象能力，那么此时呢，我们去把这两个连起来，你会发现呢， 这条边的长度，我们这样做垂直过来，垂直过来他也是根二，没问题吧？那这条边呢？这里过去过去他也是根二吧，同样都是根二，那么这个角度呢，也是六十度，同样会得到 c 选项。第二种，线面角，如果我们要去求直线 a c 与我们这个平面 r 的 夹角， 那么最简单的方法就是过 a 点去做我们 r 法的垂线垂直呢？我们这个 r 法这个平面，然后去连接我们的 c b， 那 么此时这个 c 塔就是我们所需要的线面角，对不对？ 但是这里有一个什么问题，我这个垂足啊，往往不会去，很容易找到，你不知道它垂在哪个地方，哎，你说这个 b 点在这呢，这样子垂直的是不是也有可能呢？那此时我说这个角才是它的线面角， 所以我们这里的难点是什么呀？没有办法去确定垂直，如果题目里能够看出来的，当然简单了，什么情况？比如这是个等腰三角形，对不对？那我这样做过去，他当然就垂直了。 然后呢，如果此时我们有一个平面呢，你会发现他与我们的 r 法是垂直的，那我经过这个北塔这个面，我去做一条直线垂直交线，那么我们这条直线是不是就垂直我们的底面？ r 法能理解吧？ 那么，呃，既然他垂直我们的 r 法，那他当然就垂直我们的 bc 了。所以呢，此时，哎，这个角就是我们的线面角，所以我们往往会一拖，什么呀？面面垂直去找到这条 直线，从而呢，垂直这个 r 法，从而去找到他的线面角。当然这里都是比较常规的方法。那再难一点点怎么办？我们还要等体 积法吗？对不对？等体积法呢，我们是不需要知道它这个垂直在哪里，我们只要知道 a 点，它是垂直这个平面的，所以这条长度，哎，不就是这个我们的什么呀？ 高，对不对？那么通过等体积法是能够把这条高求出来，它的计数量可能会大一点点啊。这里我们不讲这个方法，我们只讲一下我们常规的一些方法。 看到题目在长方题 a b c d a e b c d e 中，他给了我们 ab 等于 bc 等于二，那么说明这个是正方形吧， a a 等于一，他问的是 bc 以及我们这个平面所形成的角的正弦值。好，这里图呢，我已经画好了，我们来看一下 你要求这条线与这个面的线面角，那我们刚刚讲过，我想过 c 点去做这个面的垂线，对不对？那么这个垂足在哪里，我们是不能够去确定的吧？那怎么办？ 我需要去找到一个面与我们这个红色的平面垂直，然后呢，在那个平面上，我们再去做一条与他交线垂直的，那么他必然就垂直我们这个红色的面吧。我们来看一下这里有哪个是垂直的面， 很明显我们的上下底面呢，都会与我们这个红色的平面垂直，没问题吧？这个应该，哎，不难看出来吧。然后再来看到这条直线 b c e， 你 会发现 c e 怎么样？他是不是在这个平面里面呢？ 所以我过 c e 呢，去做这条交线的垂线，好，这样垂直过来。那我想问一下 c 这个点我们取为 m 好 了， c e m， 他 是不是垂直这个红色的平面呢？是不是没有任何问题？好，那么既然他垂直这个红色的平面， 所以这个 m 点就是什么呀？我们做垂直的垂足嘛，我们只要连接 m b， 那 么我们这里的线面角不就是这个角吗？ c t 没问题吧？那么此时呢，我们的线面角就做出来了，然后我再来看一下它的各个长度就可以，这里是 二，这里呢是一，所以这个长度它不就是根号五吗？然后再看一下这一篇啊，这边如果同学们看不出来的话，我们可以把这个正方形呢拿到平面上来，它是个正方形，那么另外一条是对角线，那么要垂直，它当然就是对角线了， 所以这里它是一半的对角线的长度吧，这里是二，这里是二倍根号二，所以这条长度是根号二。再来看到这条线的长度，我们这里图画的没有那么标准，它应该是在这个地方没问题吧？ 啊，我们把它画标准一点吧，这样大家看起来可能会舒服一点啊。我们再来看到这条线的长度，那么这里呢，他是一，没问题吧，这里是根号二，所以这里你看他是多少 根号二加一，他不就是根号三吗？那我们去求这个角度的什么值？正弦值，所以这条边我们是不用求的吧，他就是根号二，比上我们的根号五好，所以最后等于五分之根号十，选到 d 选项。 接下来呢，我们来看看大家最喜欢的二面角的问题，那么什么是二面角啊？如果有两个半平面，他们所形成的角度呢？就叫做二面角。最简单的生活中的例子就是，我们把书本打开好，打开到某一个角度，那这个角呢？就是我们的二面角，对不对？他记住我们的 r、 f、 l 倍特，那么我们这个二面角怎么去求呢？我们肯定是以平面角来求它吧，如果我在阿尔法内某一点好，比如这里呢，我画的是 a 点，过这个 a 点，做一条垂直于他们交线的一条直线，垂直为 m， 然后呢，我再过倍特上一个点 b 点，他也去垂直我们的交线 l， 他 也的垂直呢？为 m， 那 么此时我们的 a、 m、 b 就为我们二面角所在的平面角。能不能理解，那么我们要做的是什么呢？两条垂直于他们交线的线，对不对？然后他们所形成的角， 他这个 c 塔就是我们二面角所在的平面角，但是啊，这里是定义，对吧？我们在题目中，往往你会发现，哎，我过这个 a 点，你去做，哎，你会发现做到 m 点，但是我过这个 b 点呢，他不一定做到 m 点呢，他可能做到旁边这里是垂直的，做到 n 点，怎么办？ 那么此时我们就没有办法去说它这个角是二面角吧，因为它已经没有形成一个角了，对吗？下面我们来看到可以用定义法直接找到的二面角。看到题目正方体中 二面角，第一好与我们的 a、 c、 d 这两个面的二面角，这里呢，图案已经画好了，就这个红色的与这个绿色的，对吧？那我们第一步干嘛 在某一个平面上，比如我们下面这个绿色的平面找到点 d， 然后呢去做我们 a、 c 的 垂线，这里很明显它是个正方体，所以 a d 等于 d c， 那 我过点 d 做垂线的话，它一定是交于我们 a、 c 的 中点，这里是垂直的， 然后呢，我需要在另外一个平面哎，也去做 a、 c 的 垂线，比如我过点 d 一， 那么我们这里看到 a、 d、 e， 它与 c、 d、 e 是 不是也是相等的呀？它都是正方形的，什么呀？面对角线嘛， 所以这里呢，它也是相等的，所以它也是一个等腰三角形。那么过点 d、 e 去做 a、 c 的 垂线，当然也是会垂直它的中点了，比如我们记中点为 m， 那 么此时呢，我们这里它明显的就是我们的二面角所在的平面角吧，他们求的是什么呀？ 它的正切值，那么这里是不是就是垂直的？没问题吧？那么正切值的话，我们只要用这条边比上这条边就可以了， 不会有些同学不知道为什么这里是垂直的吧？因为我们这个 d、 d、 e， 它是垂直底面的呀，所以它一定是垂直我们的 d、 m， 所以呢，这里它就是个直角三角形，能理解吗？ 那么这条边它的长度，我们假设正方体的边长为一好了，那它这条长度不就是一吗？然后这条长度呢，这里是一，这里是一，那么这里的对角线就是根号二，那么这里是一半的对角线，所以它是二分之根号，用一比上二分之根号二， 所以呢，就等于根号二分之二，也就是等于根号二。选到 d 选项。我们刚刚讲过用定义法呢，不一定能够做的出二面角，那怎么办呢？还有没有别的方法？肯定是有的，我们还有一个什么三垂线定律，什么意思？ 如果我们现在要去做出这两个半平面的二面角，首先我过点 a 做我下面这个面的什么呀？垂线，假设呢，这个垂足为点 b 好 了，然后你这里有两个方法，第一个，我过点 a 去做这条交线的垂线，好，假设这里我们垂到 m， 然后呢，我这里直接去连接 mb， 这里不再是做了直接连接就可以了。那么一定我们这个角 a mb 就是 我们二面角所在的平面角。为什么我们来证明一下，首先呢，我的 ab 是 垂直底面的，我这里写一下好了， a b， 它是垂直，我们上面记为阿尔法，下面记为贝塔，垂直贝塔，所以我们能推到什么呀？所以我们的 a b 这条直线一定是垂直 l 的 吧？那然后呢，我们的 a m， 你 不是真的是做的垂直 l 吗？ 然后我们又有 a m 垂直 l， 所以 你会发现这个 l 啊，它既垂直 a m， 还垂直 ab， 所以呢，我们能推到 l， 它是垂直我们的平面 a b m， 那 么当然 l 它还垂直什么呀？我们的 mb， 你 看看 l， 它既垂直 a m， 这是我们做的，然后呢，又垂直我们的 mb， 这是我们正的，所以我们这个 a mb 这个角，它不就是我们二面角所在的平面角吗？这里我们是过点 a 做 l 的 垂线， 那么同样我过点 b 去做它的垂线，然后连接 a m， 它是不是也是一样的呀？如果我们过点 b 去做 l 的 垂线，同样也交于点 m， 那 我们现在知道 ab， 它是垂直 l 的， 然后呢， bm 也是垂直 l 的， 所以我们的 l 同样垂直这个平面，那么它当然就垂直 a m 了。根据我们的定义法，那么两条直线同时垂直这个交线啊，并且在同一点，那么他们所形成的角呢？就是我们二面角所在的平面角吧。下面我们来看到具体的例题， 这是一道二四年的高考题，我们看一下题目，如图，四人追 p， a， b， c， d 中 pa 它是垂直底面的，我们知道它就垂直底面的任何一条线吗？看到每句题目一定要翻译一下， 然后呢，他给了我们 pa 等于 ac 等于二，好，我们就把它标上去，意味着这里是一个什么呀？等腰直角三角形，能不能理解？所以 pc 呢，我们顺手就把它算出来，这里就是二倍杠二， 然后他还告诉了我们 ab 等于根号三，那么 ab 等于根号三， bc 又是一，然后 ac 又是二，所以你会发现这里呢，它也是个直角吧，并且这里是三十度，六十度有没有用？不管我们先把它算出来对不对？ 然后再往下看，这里第一问，我们就不看了，我们直接看到第二问，若 a、 d 它垂直 dc 的， 那么这里呢？它说也是垂直的，我这里 标记已经打好了，那我们求二面角 a， p、 c， d 这个二面角，哎，不是让我们求二面角，它说这个二面角的正弦值为七分之，刚好四十二，那我们去求 a、 d 的 长度， 这里题目给了我们二面角的正弦值，那我肯定先得去做出二面角啊，那怎么做？我们说了最简单的就是做两条垂直它的交线嘛。我们先来看到 p a、 c 这个三角形， 哎，我们有 pa 等于 ac 吧，所以我过 a 点去做 pc 的 垂线，那么它一定在哪里？在它的中点，假设这里是 m 点，那它肯定是垂直，对不对？然后你再看到下面这个， 那我过 d 点做它的垂线会不会在 m 点呢？我们得去算一下吧。那什么情况下我们过点 d 也会垂直的话，交于点 m 呢？只有我们的 pd 等于 dc 的 时候，它也是个等腰三角形才可以吧，对吧？那我们来看一下 pd 它到底等不等于 dc， 我们来算一下 pd， dc 就 可以了，但是你会发现这个 pd 跟 dc 它算不出来，对不对？那我们这里要求的是 ad 吧，我们设 ad 为 x， 那 你设了它为 x 之后，那我的 pd 不 就可以求了吗？这里是一个直角三角形， 这里是二，这里是 x， 所以 p d 的 长度呢？根号四加 x 方。好，我们 dc 的 长度怎么算？题目里告诉了我们 ad 它是垂直， dc 的 长度怎么算？题目里告诉我们 ad 它是直角三角形，这里是 x， 斜边是二，所以 dc 的 长度呢？ 根号四减去 x 方，所以你会发现它这两条边怎么样不相等的，除非我的 x 为零，那我 a、 d 肯定不可以为零呢？ 然后所以它这里过点 d 去做 p、 c 的 垂线，不会交于点 m。 那 怎么办？那我们考虑三垂线定律，在某一个平面找一个点做另外一个平面的垂线。那我们这里是找点 d 做 p a， c 的 垂线，还是找点 a 做 p c， d 的 垂线呢？我肯定找这个 a 点吧，好画也好画一点，对不对？所以我这里过点 a 做我们 p、 c、 d 的 垂线，假设垂足为这，我们既为 h， 然后连接 h m， 那 么此时这个角就是我们的二面角所在的平面角 c， 它。注意哈，这里你要证明一下它为什么是二面角了，你要怎么去写啊？因为 a m， 它是垂直平面 p c d， 所以呢，我们知道 a h， 它一定是垂直，我们的 p c， p c 又垂直 a m 又垂直 a h， 所以 我能得到 p c 垂直平面，哪个平面呢？我们这个平面吧， a h m， 所以呢，我最后能得到 p c， 它是垂直 h m 的。 那我们的二面角的定义法就是这样的嘛，这条直线呢？它垂直交线，这条直线呢，它也垂直交线，那么它们形成的角度就是二面角。 好，那现在告诉我们，正弦值为七分之，刚好四十二，对边比斜边，那么就是 a h 比上我们的 a m， 所以 a h 比上 am 等于七分之，根号四十二。那么这里有没有已知的呀？我们的 a h 没有办法去算对不对？我们的 am 是 不是能算？这里是一个等腰直角吧，这里又是中点，这里呢是二倍，根号二，所以它的长度就是根号二，所以我们可以写成 a h 比上根号二，等于根号四十二，比上七。所以最后呢，是不是能把 a h 算出来？我们算一下 a h 啊， a h 呢？我们这里算出来应该等于 七分之二倍，根号二十一。但是这个题目让我们算的是 a d， 对 不对？那我这里只能求出 a h， 我 的 a d 怎么去算？同学们想想看， 你这个 a h 是 什么东西啊？是不是 a 点到这个面的距离，我们有点到面的距离，并且很明显 a p d c， 它是一个四面体，对不对？这个顶点到底面的距离，那我不就可以考虑到用等体积法吗？所以我这里有 va a 当顶点啊，然后呢， p d， c 当底面，它就等于三分之一的 s 三角形， p， d， c 乘以我们这里的 a， h， 没问题吧？我们把数据带进去了，那我们就是三分之一 pdc 的 面积，怎么求啊？你看看它这个是什么三角形，好像看不出来， 想想看，这里是不是有一个垂直的，然后呢， pa 是 垂直底面，所以它自然也是垂直 dc 的 了，所以 dc 你 又垂直 ad， 又垂直 pa， 所以 dc 垂直 平面 p a， d， 那 么 d， c 呢？它当然是垂直 p d 了，这里同学们自己在写的时候要写上去，这里是个直角三角形，所以它的面积能不能写了？就等于二分之一，根号 四减 x 方，乘以根号四加 x 方，然后再乘以我们的 a h 七分之二倍，根号二十一。好，那我们再来把它表示成另一个，那你觉得另一个拿什么当零点比较合适啊？ 很明显，把 a 啊，把 p 当顶点比较合适吧。这里都已经是垂直里面了，所以 pa 呢，就是它的高，没问题吧？那么就是 p， 然后注意是 a， d， c 啊，不要写成 a， b， c， d， 我 们这里是什么呀？一个四面体，所以呢，它等于三分之一的 s 三角形 a， d， c 乘以我们的 pa， 好， 同样带进去三分之一，那么就是 x 乘以根号四减 x 方了。 二分之一 x， 根号四减 x 方，最后呢，再乘以我们 p a 的 长度，是不是等于二号？ 那么他们两个是不是相等的令他们相等把能约的呢？约一下三分之一，约到了二分之一约下来，然后呢，根号下四减 x 方也约掉了吧，那这个二还约掉了，所以剩下的呢？他剩下了这么多，他剩下了这一项，我们把它写到上面去，所以最后就变成了 七分之根号，二十一倍的根号，四加 x 方等于 x， 把七乘过去，两边同时平方二十一倍的 四加 x 方等于四十九倍的 x 方，同学们这里自己整理一下，那么最后得到了二十八 x 方等于八十四，那么 x 方呢就等于三，那么 x 呢，就等于根号三，当然负的不能取，我们 a d 是 个长度吧，所以最后呢，我们 a d 求出来就是等于根号三， 这里呢就利用到我们的什么呀，三垂线定律以及等体积法去求助我们此题的答案。以上呢就是我们几何法去求空间角的一些常规手段，比较基础的一些东西啊，同学们一定要掌握，如果碰到更难的怎么办，那就去见戏吧。 以上呢就是我们本期视频全部内容，我想一想，我们下期视频再见。
3906杨杨杨讲数学
10:49查看AI文稿AI文稿欢迎来到抖音高考百日百课这期视频，咱们从零开始，一口气吃透立体几何四大技术题型，带你邪修拿分！我已加入抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追根我的高考百日百课来看题型一习二策画法及其应用来看。例一， 如图，正方形 o、 a、 b、 c 的 边长为一厘米，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是多少？我们来复习一下什么是斜二测画法。第一步，是不是 x 轴与 y 轴，它们的夹角由九十度变成了四十五度或者一百三十五度呀？ 只不过呢，我们通常习惯啊，都是用四十五度。第二件事，是不是平行于 x 轴的长度不变啊？那么平行于 y 轴的呢？长度是不是变为原来的二分之一？ 好，知道这三点，咱们就可以来做题了。它给了一个水平放置的平面图形的直观图，是斜二侧的图，是不是我们第一步要把它变成正常的 x、 o、 y 的 平面直角坐标系中的图 x、 o y 好， 那好，平行于 x 轴的不变，所以 o a 长度是不是不变啊？题中说是多少是一，所以 o a 还是一，那 c、 b 是 不是也平行于 x 轴不变？好，那这段长度也是一不变，长度是一。接着 在这个正方形里， o a 是 一， a b 是 一， o b 是 不是根号二啊？所以这里的 o b 变成啥了？是不是原来的二倍，也就是二倍根号二？那这个图形咱们是不是做出来了，连接 b a， 再连接 c o 啊？ 他要求的是什么？周长？ o、 a、 b 是 一个角，有三角形吧。所以 ab 等于什么？是不等于根号下一的平方加上二倍根号二的平方等于多少？等于三吧，这个图形是一个对称图形，所以它周长是多少啊？一加三四四乘二吧，所以周长是八。这就是第一道题。 接着我们来看题型二，几何题展开图的最短距离问题。例二，如图所示，圆柱高为二，底面半径为一，则在圆柱的侧面上从 a 出发好，从 a 出发，经过母线 b b 一， 达到 a 一 的最短距离是多少？对于这类题，咱们是不是要先画出它的侧面展开图啊？ 好，我们来画一下。那对于圆柱来说，侧面展开图应该是一个长方形，这个点呢？是 a 点，这个是 a 一， 由于展开了这个点还是 a 点，这个点还是 a 一 点 b b 呢？相当于是他们各取一个中点，这是 b， 这是 b 一， 因为他要过母线 b b 一， 所以由 a 点出发，经过母线 b b 一， 达到 a 一 的最短距离，是不就是这样的一个连线啊？ 那就是在三角形 a a a 一 里，求它的最长的一条边 a a 一 吧，怎么算 a a 下面的这个怎么算啊？它是不是原来几何体的下面的周长啊？ 所以 s 等于什么？二 pi r 也就等于二 pi 乘一等于二 pi。 好， 这段是二 pi a a 呢？高是二，所以最短距离 l 等于什么？根号下二 pi 的 平方再加上二平方等于二倍根号下 派方加一。所以这道题答案为二倍根号下派方加一。接着我们来看题型三，几何体表面结合体积的计算，已知圆锥轴结面为正三角形，母线长为二，则该圆锥的体积是多少？我们先来画一下它的轴结面啊，是一个正三角形， 也就是等边三角形。母线长为二，是不意味着这段长是二啊？我设这个点为 a 点，这个点为 b 点，这个点为 c 点，则问你圆锥的体积，我们先来算一下底面半径是多少？ bc 也等于二吧，所以这和这都是等于一，所以底面的面积是多少啊？ s 下是不等于 pi r 方啊，也就是 pi 乘一的平方等于 pi 高是多少？ 连接 a o 这个角是六十度吧，是不是有一比二比根号三，所以高 h， 咱现在算出来了，等于根号三。那圆锥的体积 v 是 什么呀？三分之一 s h， 所以 它就等于三分之一乘 pi， 再乘根号三，等于三分之根号三 pi， 所以这道题我们答案选 a。 我 们再来看一道题型三的例题例四，已知圆台的轴结面如图所示，其上下底面半径分别为 r 上为一， r 下 为二，那么 c 得也是二， e 为 ab， 终点说明 a， e 等于 b， e 等于一。则 a 选项圆台的体积我们来补充个体积公式啊。 v 台它等于的是三分之一 h 乘 s 上上表面积加上 s 下下表面积，再加上根号下 s 上乘 s 下括号。完了，那对于这道题三分之一 h 是 多少 h， 我 们来算一下过特点做一个垂线，比方说设为 o 点，我们知道这个咱设为 o 一， 这个设为 o 二。 o 一 得等于一，说明 o 二得也等于一，那么 o 二 c 等于二，这段长是一，一比二，还有一个直角一定是根号三，这个角是六十度， 所以应该是三分之一乘高是根号三。 s 呢？上面是 pi 二方，也就是 pi 乘一的平方加下面是 pi 乘二的平方，加一个根号下一派再乘一个四派 等于多少？恰好是三分之七倍，根号三派。所以 a 选项没问题， b 选项侧面积为多少？这里呢，咱们再来表示一个 s 侧。 这里呢，咱们再来补充一个棱台的侧面积的公式， s 侧， 它等于的是 pi 乘 r 上再加上 r 下再乘上母线的长度。那这道题是不是 pi 乘 r 上是一，再加上 r 下是二，再乘母线乘二等于多少？六 pi 啊， 所以 b 是 二， pi 错了。 c 选项，圆台母线 ab 与底面所成的角，咱们是不是已经算出来了？相当于 abbc 的 角，就是 c 对 bc 的 角六十度，所以没问题。 最后来看的选项，在圆台的侧面上，从点 c 到点 e 的 最短路径长为四。那么首先我们是不是要把圆台的侧面就画出来啊？侧面怎么画？我们要第一步要确定圆心角，正常一个圆台展开是不是这样一个图形啊？我们将其用虚线补全。 那么这段是多长？是不是圆台上表面的周长？我们来算一下， l 一， 我记为 l 一 等于二派二，二派乘一等于二派，好，这是二派，那么下面多长啊？ l 二啊， 是不是下表面的周长，也就是二派乘二等于四派？好，这段 l 一 还可以用什么表示？是不可以用？比方说我设这段长度为小二， 这个角呢？为 r 法是不还可以用小 r 乘 r 法等于 l 一 啊？弧长的公式。那接着下面我设整体长度为大 r， 就 可以变为大 r 乘 r 等于四派吧。我设上面为一式，下面为二式， 二式比一式变成什么了？左边只剩了二，而右边呢？是不是大 r 比小 r 啊？所以我们发现大 r 是 等于二倍的小 r 了。 换句话来说，这段长度多长是不是二？那么大 r 等于二倍的小 r 是， 不说明大 r 减小 r 等于 r 啊，而这里 r 的 几等于二，好，说明小 r 是 不是的 r， 小 r 的 r 带入到这个式子里， r 发到几了的 pi， 所以 这个图形是不是不准确了？我们重新来画一个圆台的侧面积，是这样的吧。 好，现在呢？问点， c 到 e 的 最短距离， c 点是不是在这里，而 e 点呢？是 ab 的 中点在这里啊， ab， 那 我们连接一下 c e 现在多长？ a e 是 一，刚才说这个半径是二，所以这个点设为 o 点来说， o e 现在是等于三吧， o c 等于四呀， 是二加二等于四。那么 c e 的 多少？勾股定力是不是三四五啊？直接等于五，所以点 c 到一点的最短路径是多少？是五吧，所以最短路径长为五米，他说的是错的。 我们来看最后一个题型，阻更原理，从关键点出发，密是既同则既不容易，指的什么意思呢？其中密他说了是结面积是是几何体的高， 也就是说如果两个几何体在这里，一个体就设为 v 一， 一个设为 v 二，如果说呢，他们说这个结面积相等，高也相等，就是在比如说这个高我设为 h 一， 在高为 h 一 的时刻，这两个几何体我用一个面来结，它们结面积相等，也就是高为每一刻的时候， 也就是阿尔法和比特之间，我加一个平面，在某时某刻，在每时每刻这个高定的时候，它们的结面积都相等，我们就可以说明 v 一 等于 v 二，这就是阻抗原理。它干嘛呢？主要来解决这种不规则的几何体与规则的几何体的体积转换。 像这道题中，我们如果求 v 二的体积，是不是就转化成 v 一 的体积了？那 v 一 体积怎么算呀？它是不是还是一个棱台？ 体积？公式是，三分之一乘 s 上，再加上 s 下，再加上根号下。 s 上乘 s 下，再乘一个 h 吧。来，上面的表面积是什么呀？它是一个正六棱台吧？正六棱台怎么办？我们是不是可以拆成六个完全相等的 等边三就行啊？那 s 上就等于什么了？六倍的每一个的面积咋算呀？公式是不是四分之根号三 a 方，它的边长是多少？他说了，上面的边长为一，也就乘一的平方等于二分之三倍三。那同理， s 下等于什么？ 六乘四倍根号三，下面的边长为二，这段长为二，这是一。再乘一个二的平方，也就等于六倍根号三。那所以 v 一 等于啥了？ v 二现在是不等于 v 一， 等于三分之一倍的二分之三倍根号三，再加上六倍根号三，再加上根号下，它俩相乘，也就是 三倍根号三。括号完了，再乘一个高，高呢，也给了十二倍根号三。咱们计算一下啊，会发现答案就是二十一，所以这道题几何题的体积为对选项二十一。
1806阿数
03:08查看AI文稿AI文稿大家好，我今天讲的题目是关于利息计算中的证明及计算问题的基本考题和命题趋势探析。首先呢，我们看第一个问题， 空间几何体的表面积和体积的计算问题， 我们看到这个近几年呢考试或者历届高考中，历届高考中，呃，你看这个二五年啊，这个援助内两球这个面积的计算啊， 啊，这个还有二四年啊，北京卷这个四轮锥的高考的计算啊，还有二三年啊，二二年等不同年份呢，这空间结合体，表面结合体积计算呢，都有不同的体现啊。 呃，这块内容的命题趋势呢？第一，围绕空间几何体的结构特征，结合线面垂直、面面垂直等关系 啊，考察几何量计算。二、以常见几何体，圆锥啊，棱锥、圆锥、圆柱等为整体，即折叠展开啊， 内切球、外切球等问题是重点。表面积和体积计算及各类几何体及组合体常与球的内切位接相结合。 体积的最值问题，体积比问题以及实际场景是命题的热点啊，需熟练掌握公式及转化方法。 那么第二个问题呢，是空间度的平行问题啊，它包括线面平行和面面平行。 平行问题呢，我们知道高考每年考啊，每年考啊，线面啊，面面平行啊，这个我就不细说了啊，你看二五年，二四年，二三年等啊，都有，那么这款呢？命题趋势， 平行关系证明常与中位线平行四边形性质结合，涉及线面平行、面面平行判定定力和性质定力的应用， 证明线面平行，面面平行是重点，证明时需要找到线线平行的关系。 第三个问题呢，空间中的垂直关系，垂直关系呢也是一个重要的高频考点， 每年呢都要出现垂直关系的证明，有线线垂直、线面垂直和面面垂直命题。
00:13查看AI文稿AI文稿立体几何共面问题今年会成为考点吗？洁面去解体形成的焦点问题。反一，利用肌底向量共面可以解，反而采用间隙把三维转化为二维解方程组。
146H高考数学郝老师
18:49查看AI文稿AI文稿哈喽哈喽，大家好，欢迎来到抖音高考百日百科，我是数学老师景克颖，我加入了抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追跟我的高考百日百科。 是不是总是搞混三大空间角的公式，分不清正弦与弦正负符号，今天一次性带你讲透所有的求角解析技巧。那我们看到空间当中的角度，其实我们主要的应用方法都是在间隙法当中去求解的。 那所谓的间隙法其实就分为三步骤，第一步，我们间隙，第二步找不到我们想要的点，第三步，根据这些点把向量写出来，然后就可以去应用他到底想要的这个东西，解决他对应的公式就 ok 了。 那只不过有的很多同学啊，咱们再去解决空间夹角的时候，总是搞不清楚线线角，线面角面面角，甚至还有二面角的公式。那今天老师带领大家做一个全面的梳理。 首先所谓的线线角呢，其实本质上就是你去求两个方向向量的夹角，比如说这有两条直线，我想要求它的夹角，怎么办呢？找到这条直线的方向向量，再找到这条直线的方向向量，那 直线的夹角就是向量的夹角。所以你会看到我们这里的公式啊， cosine theta 就 等于 v 一 v 二这俩向量之间的夹角，那向量的夹角公式咱都会算，对吧？ v 一 乘 v 二，比上 v 一 的魔长，再乘上一个 v 二的魔长，它的绝对值就 ok 了。 注意，在这里，为什么我们要取绝对值呢？那是根据我们线线角的定义来相关的，因为线线角啊，我们两条直线最大最大也就是九十度，所以咱一直是个锐角，那 cos 值必定是横大于零的，所以这里要记得取一个绝对值。 那进一步的，在线面角当中，我们计算起来就没有那么舒坦了，因为线面角线，你可以去用它的方向向量来表示， 那面呢，咱们往往是用法向量来表示的，也就是说啊，对于这个面而言，我们会用这样的一条法向量来表示，那你会发现，如果我们直接去求这个向量的夹角，那大概是在这个位置的这个夹角， 那这个夹角肯定不是咱线跟面的夹角，而是线面夹角的余角。那所以说，我们求两个向量的夹角的余弦值，求完了之后，还要再转化成它的散值，那它对应的应该是咱线面角的散值。 同样的，咱这里也要加上绝对值，因为线面角也是在零到二分之派之间的，这是咱们线面角的公式。那第三个面面角，那面面角啊，我们依然是用向量来表示两个面，但是在这里你会发现，哎，咱们又回过去了，因为你用 这个向量表示面的时候，它跟它垂直，它跟它垂直，那在这样的情况下，这两个向量的夹角刚刚好就跟咱这俩面的夹角哎，保持一致了，那而且它俩呢，其实是互为 补角的，那补角没关系啊，咱 cos 值这个绝对值是一样的，对吧？所以在这里呢，我们依然是求出法向量的余弦的这个 余弦直，然后他就直接对应我们面面角他的一个绝对值了。那在这里呢，之所以要取绝对值，又是跟咱范围有关的面面角依然是最大是九十度，咱是锐角，那必然得是正的，所以面面角直接取绝对值。 那至于啊，同学们非常容易搞混的，在我们的题目当中还会出现的二面角又是个什么东西呢？注意，他不是面面角， 这面角是两个平面所成的夹角，而二面角对应的应该是两个半平面所成的夹角，有点像咱笔记本电脑打开的那个样子，他是两个半平面，过了这个轴之后，这个这条相交直线之后，后半边是没有图像的， 所以咱二面角就有一个非常明显的变化，就是他的夹角范围可以扩大到九十度之后，比九十度还要大，那人家的 cos 值不就有可能会变成负的了吗？所以在这里啊，大家注意到我们二面角跟面面角的公式，这里会多加一个绝对值， 也就是说，咱们通过法向量求出来的这个夹角，只能说跟我们原来二面角夹角的绝对值是相同的。但到底咱这二面角的余弦值是正还是负呢？这个就取决于咱们图像当中，你看到的这个二面角是一个锐角还是一个钝角来决定了。 所以也就是说，在这四个角当中，除了二面角，其他三个角的正弦或者余弦都一定是一个正数，而二面角有可能是负数。 那很多同学在这里啊，还经常会把这些公式记混，因为有的时候你看到这里，哎呀，一会是散，一会是敲散，那啥时候是散，啥时候是敲散呢？很简单四个字的小口诀叫做同同异异， 什么意思啊？同，前面这个同表示的是咱这个求的到底是谁俩的角，如果是线跟线， 咱俩都是一样的东西，对吧？那咱就相同。如果你求的是线跟面是两个不同的东西，那就不同。那如果又回来是二面角，或者是面，面角又是相同元素的夹角，那又相同了 所有相同元素的夹角，那它的求出来的角，那跟我们向量的这个夹角是一样的。也就是说向量求来是于弦，向量求来是于弦，你就是于弦。 那后面的意义大家应该就了解了。如果说你求的是两个不同元素的夹角，那对应咱们这个函数名就得改变了，原本是 cos， 你 得换成 cos， 这样子的话，大家就能够清晰地把咱们这几个角度的公式给它记忆清楚了。那我们记忆清楚了之后，在具体的题目当中， a c 和 b c 相等等于一。简单标一下， a c 等于一， b c 也等于一， a、 a、 e 是 等于二的。也就是说咱这个值三棱柱的高是二， a、 c 垂直于 b c， 这有一个垂直，那 d 是 a、 a、 e 的 中点，那说明这两条便是相等的。 现在他要你去求 cd 和平面 b、 c、 e、 d 所成角的正弦值，你压根啊都不用去看 cd 在 哪， b、 c、 e、 d 在 哪。咱们遇到了这种求加角的问题，直接间隙法， 那第一步去间隙非常容易了。在这道题目当中，条件给你给的已经不能再明显了吧？很明显，这 c a、 c b 垂直，那同样的 c、 c、 e 跟底面又垂直。因为咱是直三楞柱，所以三垂只有了咱这个间隙，直接来 c a、 c b 和一个 c c e， ok， 以这个 c 顶点 c 为圆点，然后我们去建立这样的一个直角坐标系 x、 y、 z。 建好系了之后，第二步咱们要去写点的坐标，那在这里就要去看我们要哪些点就写哪些点的。比如说在这里 c、 d、 b、 c、 e、 d 这几个点的坐标得写简单来写一下，比如说 c 点，那不用说，一定是零零零，它是圆点。那再来一个地点， 地点呢？是在这个位置，那也很明确了，他在 x 轴上走了一个单位，长度 在我们的 y 轴上没走零，在 z 轴上走了二的一半，那就是一，所以 d 点坐标一零一，那对应呢？我们也可以把 b、 c、 e、 d 的 坐标都给它写上， b 点坐标，那应该是零一，零 c 一 的坐标 应该是零零二。 ok， 咱们第二步找点就写完了，点找完了，那下一步我们要去计算这个角的正弦值，那咱肯定得把直线的方向向量，平面的法向量给他表示出来。那直线的方向向量很简单，就是 c、 d、 c、 d 直接是一零一。 那求平面的法向量的时候，我们首先需要写出这个平面当中的两条直线，那个方向向量随便找两个，比如说 bc 一， 那他就应该等于是零负一二，再写一个 b、 d 吧，那他就应该是一 负一一。 ok， 有 了这两个之后，咱们下一步去求法向量。我们的满分写法应该要注意，首先先设平面的法向量为 n、 b、 c、 e、 d 的 法向量，它的坐标分别是 x、 y、 z。 好 嘞，那接下来我们就可以去写法向量，有啥要求啊？它要跟我们平面当中的所有向量都垂直，也就是说 n 和我们刚刚的 b、 c、 e 数量积等于零， n 和咱们刚刚的 b、 d 数量积等于零。注意，写到这里之后呢，大家不用费劲巴拉的去计算这个小方程，咱有一个大招方法，可以直接去秒杀，叫做直接把它写两遍，零负一二，零负一二。另外一个是 一负一，一负一一。好嘞，掐头去尾，在中间打叉叉，那接下来我们就可以得到对应的结果了， 怎么得到的呢？嗨，我们就第一个叉叉，左上乘右下负一，再减去它俩的乘积，那就负一减去负二，得到的是一， 第二个也是一样的，二减零二，第三个零减负一一。哎，这样子就得到了咱们这个法向量的三个坐标。这个大招方法如果大家想要了解的话，也欢迎在评论区告诉我，我会给大家后续再出一个视频。好嘞，那我们来再往下看， 有了法向量了之后，那接下来咱们就直接去求向量的夹角就 ok 了呀。所以咱们这两个向量，一个是 c、 d， 一个是 n， 那 它俩的向量的余弦值非常简单，直接去呃，求它俩的数量积一，零加一，比上一个根号二， 再乘上一个根号下一加一，加四，根号六，最终结果二比它应该是三分之根号三。 咱们现在求出来的是两个向量的夹角，那要你看到我们要的是线跟面所成的正弦值，那咱再写一步，你要的 sin theta 应该就等于它等于三分之根号三。注意，这块老师分两步写，是为了避免我的同学可能这里稍微一粗心，直接把 sin theta 写成什么正的或者是负的有不同的区别。那这个时候呢，我们写成这样子，防止大家在这个粗心的情况下多丢分啊，这是我们去解决这道题的一个基本思路。 好嘞，那我们有了这道题的思路之后呢，那其实我们在更复杂的题目当中，大家也应该能够轻松解决了，比如说我们再来看到更综合的题目，这道题呢分为两问，第一问呢是一个几何法的证明问题，简单来看一下， 四棱锥 p a、 b、 c、 d 当中底面 a， b， c， d 是 菱形， a、 b 等于二倍根号三，我简单标下这个已知条件，然 后呢， p b 这条边是等于二倍根号六的， p c 啊，是等于六的角， b， a、 d 等于六十度的。那一般来说呢，我们在立体几何当中看到给了你一堆长度，你就想到我们一定会涉及到用勾股定律证明垂直，那咱一会来看看有没有用到哈。它要去证明的是 p a 等于 p d 这件事还挺小众的，咱在立体几何当中很少见到证明两条边是相等的情况，那我们简单来看一下它要正的这两条边，一条在这一条在这，那这两条边要平等，说明啥呢？ 说明我们可以把它进行一个转换，这是一个等腰三角形，在等腰三角形当中最最重要的一个条件，那就是我们三线合一过屁点，做出它的一个 中线，比如说找到 a、 d 的 中点 e， 为什么要找中线呢？其实啊，在这里呢，我们最好的是证明垂直，所以画出它的中点，咱证明垂直更简单啊，那所以我们在这里取 a、 d 中点连接 p e， 这样子我们可以就做一个转化，把原本要去证明的 pa 等于 p d 这件事情，直接转化为 p e 垂直于 a、 d。 你只要证明这个点啊，既是中点，又既是它的中线，又是它的高线，那自然而然就有 p a 等于 p d 了。所以我们想要正门的这个东西，又回到了咱的老本行，正垂直。 那要证明线线垂直。咱刚刚说过了，线线垂直，一定得要去找线面垂直，那也就是说咱得去看 pe 垂直于哪个过 a、 d 的 面，或者说 a、 d 垂直于哪个过 p e 的 面， 那 p e 是 你刚做出来的，找它相关的条件肯定不好找。所以咱们优选应该是先看 a、 d 垂直于哪个过 p e 的 面， 那 a、 d 垂直于哪个过 p e 的 面呀？那一看大概就能够知道了。咱们稍微连接一下这个 e、 b， 这样子一连接，那就会得到一个面，叫做 p e、 b 哦。我能不能去证明一下 a、 d 垂直这个面呀？那就得看这个面里有没有哪个直线跟 a、 d 垂直。那再看一下 p e、 b 当中，谁跟我这个 a、 d 垂直呢？ 就 p e、 e b、 p b 三条线， p e 还是我想正的，那你没得选。咱呀，肯定是要去正 a、 d 和 d b 垂直，以及 a d 和 p b 垂直。 那 a、 d 垂直于 d、 b 怎么去证明啊？放到这个平面当中，咱这是一个菱形，而且这个角还是六十度，那不用说三角形， a、 d、 b 必然是个等 边三角形，所以你这是终点了，那不就一定有垂直吗？这个轻轻松松，咱们利用一个三线合一搞定。那再来看下面这个 a、 d 垂直于 p b、 a d 和 p b。 很 明显，人家俩异面，那异面直线的垂直，咱还得再来一个线面垂直，那这个时候要证哪个线跟哪个面垂直啊？ 你本来要证的是 a、 d 和某一个过 p b 的 面垂直，那咱肯定得这个时候不能再用这个条件了，得看 p b 跟哪个过 a、 d 的 面垂直， p b 和哪个过 a d 的 面垂直，好像过 a、 d 没有面了，那这个时候咋办呢？咱也不能自己造面，咱可以再转化一下。哎，我发现呀，这个 a、 d 很 特殊， 因为它跟 b、 c 是 平行的，而 b c 跟 p b 又连着，那我是不是可以不用证明线面垂直，咱直接用一个什么呢？ p b 垂直于 b c 也可以取线救国一下，把这个 a、 d 和它垂直正出来， 那 p b 垂直于 b、 c 放到一个三角形当中了， p b 你 知道， p c 你 知道，而 b c 也可以知道菱形，咱这条边也是二倍根号三。 哎，发现啥了？二倍根号三，二倍根号六和六，那不就是妥妥的啊，这个 直角三角形吗？所以咱们利用一个勾股定律啊，也可以搞定好了，那现在咱们不就有了他俩垂直线面垂直，线面垂直，得到线线垂直，线线垂直，从而得到我们这是一个 这个平分线。那，那所以 p a 等于 p d 第一问，咱们就先搞定了，那有了第一问的这个铺垫了之后，再去解决第二问啊，咱们就容易一些了。我们来看到第二问，他在说什么？他说二面角 p a、 d b 的 余弦值是负的三分之一， 求直线 b、 c 与平面 p a、 b 所成角的正弦值。哎，它虽然还是求线面角，但是它前面的已知条件给了一个二面角，那这个二面角你知道怎么去处理吗？来看一下，在这里 p a d b 的 二面角， 咱甚至可以直接找到，对不对？因为刚刚啊，我们已经做了一个辅助线，叫做 p e， 它一定是垂直于咱 a d 的， 而刚刚我们又证明出来了， e d 和 a d 也是垂直的，那咱这这两条边都垂直于它俩的交点，那不用说，咱们这个二面角的平面角是啥呀？ 那不就是角 p e b 吗？那它的 cos 值就是负的三分之一了。那现在咱们想要去解决这个余弦值，咱直接去利用一个余弦定理就可以解决了。放到三角形当中，我们利用 p e 的 平方 加上 e b 的 平方，再去减去 p b 的 平方，比上二倍的 p e e b， 它等于一个负的三分之一。那这里面的这些长度大家都已经知道了， p b 我 知道哎， b e 我 也知道，咱就可以把这个 p e 给它求出来，我这里就不再写了，直接写答案，最终解出来。 p e 等于三，那 p e 等于三了之后呢？那我们其实就可以把它标在这，而且更进一步的，咱们一会要去解决线面角，那要间隙的时候，你就知道哦，在这里呀，咱这个 p e 稍微往外歪了一点的，咱这是个钝角，那一定是往外歪的，那咱们间隙的时候呢，要找的是直角，所以在这里啊，没有那么好的条件，三个直角，那咱有一个直角也行，比如说咱们这个以 e 为圆点， e a 和 e b 必然是垂直的，那竖直的这个 z 轴，咱们就勉强这样子画一下吧，那一定不能过咱的点 p 的 哈， 那有了这个之后，咱们进一步的按照咱们常规的方法啊，间隙写点，写向量去求解就可以了。那在这里呢，咱们可以简单标一标这几个点的坐标，比如说我们的 b 点， b 点在这个位置啊，我们刚刚知道这是二倍，根号三，然后这是根号三，这是一个六十度，所以咱这块一定是一个三，所以 b 的 点应该是零，三零， 同样的对应 c 点， c 点在这个位置，那要看清楚了，咱们是沿着 x 轴往后走了，所以应该是负的二倍，根号三，横作呃，纵坐标应该就是三， 纵坐标是零，再来一个 p 点，那 p 点的坐标，咱们光知道这块是三，那对应的，我们利用一个这个勾股定律啊，或者说是用它的余弦值啊，这个余弦值是负的三分之一，那咱们这个对应的高也就知道了。应该是，呃，横坐标是 一，横坐标应该是零，纵坐标是负一啊， y 轴应该是一个二倍，根号二，然后 a 点，那就是根号三零零。好了，点有了，咱们对应的向量也就有了，比如说 b c， 咱就可以写出来应该是负的二倍，根号三 零零，然后对应的我们 p a， p b， p a， p b， 给它写出来，去求一下法向量就 ok 了。那咱这里呢，就不再继续去求了，大家一定要注意，知道，我们求出来对应的这个法向量了之后，咱要求的是它的正弦值，那三 c， 它 应该等于的是绝对值，谁的绝对值啊？ b c 和法向量的 鱼弦直的直对直，这个千万不能忘。好嘞，那这就是我们一个基本的求解思路了，过程希望同学们自己去把它补齐吧！那这就是我们今天关于垂直的内容，大家还想要听什么样的知识点，欢迎在评论区下方留言告诉我。
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10:27查看AI文稿AI文稿哈喽哈喽，大家好，欢迎来到抖音高考百日百科，我是数学老师景鹤颖，我加入了抖音精选高考应援联盟，大家可以去抖音精选追更我的高考百日百科。高考必考的立体几何。距离问题是不是总是搞不清，不会找垂线，也不会算长度？今天老师带着大家一次性讲透所有距理解题套路， 做题再也不丢分。首先啊，我们要知道，我们遇到了空间当中的距离问题，一般来说就用间隙法就可以轻松解决，那么间隙法无非就是三个步骤，第一间隙，第二找点，第三写出向量。 那一般来说呢，我们写出了向量啊，同学们可能对于这些求距离的公式还不够熟练，那我们来一起来回顾一下。 首先第一个点到平面的距离，它的距离公式呢？长成这个样子，这是咋来的呢？我们一起来看一下右边的图。那首先我们要求的是点 p 到这个平面的距离，我们之前都是会用向量来表示平面，比如说找到法向量 n， 但是咱没有办法用向量表示点呢，那怎么办呢？ 那其实啊，我们想要求的点到这个平面的距离，无非就是我画的这条竖线 d 的 长度，那这个长度是啥呢？连接点 p 和这个平面上的任意一点，比如说点 m， 你 会得到一条这个向量 pm， 那 你会发现哦， pm 投影到咱这个法向量的方向上，这段长度就是我们想要的距离了。 那投影这事，大家在空间向量当中应该接触过非常多了吧，怎么算呢？拿咱这个向量 pm 和这个法向量去做数量积 乘，完了之后，不要忘记还要去除以咱法向量的模长，这样子得到的这个值，加上绝对值就是我们的距离了。所以说我们所谓的距离无非就是求投影，哎，找到这个点和平面当中的任意一点就 ok， pm 到它的投影长度， 这是点到平面的距离。那有的时候呢，也会遇到点到直线的距离，这个时候就会更麻烦一些，因为你看到右边的图像，比如说咱们依然是啊找这个点 p 到这个直线上，任意点 p a， 他 往这个这个直线的哪个方向去投影啊？如果我直接投影到方向向量上，你会发现我得到的其实是，哎，这一段， 这一段可不是我想要的距离，我想要的距离是右边的这个红色的线段是这段，那也不用担心，你知道了 p a， 知道了这段，再求个小弟，不就直接用勾股定律就可以了吗？ 所以啊，咱们点到直线的距离得分两步，第一步，先利用投影方法把我们的这个小 h 求出来，也就是 p a 在 这条直线上的投影的长度，那就是 v 去乘上咱们的 a p， 再比上 v 的 魔长，那有了这个之后，进一步的再利用勾股定律 根号下的 a p 平方比上 h 的 平方，就是咱们的这个距离的长度了。所以说啊，我们利用投影的这个方式就可以轻松得到距离了。那咱们在具体的题目当中来应用一下，比如说这道小题， 他说啊，在以 a、 b、 c、 d， e、 f 这为顶点的五面体当中，四边形 a、 b， c、 d 和四边形 a， d， e， f 都是等腰梯形，那也就是说左边这个边和右边这个边相等， a、 b 也跟 c、 d 相等呗。 然后呢，他又说 e、 f 平行于 a， d 也 bc 平行于 a、 d， 那 知道这个里题型当中谁谁平行了。接下来又告诉我， a d 是 等于四的，这条长边等于四， ab 等于 bc 等于二， abc 是 二， bc 是 二， e f 也是二。那其实我也知道 cd 也是二，因为咱等腰题型呗，我自己补了一下。那再来， e d 等于根号时， e d， 哦，这段等于根号十，那不用说，咱左边这个 a、 f 肯定也是根号十，咱等腰梯形啊。然后再往后看， f b 等于二倍，根号三 f b。 哎，斜着这条边我也知道了，又给了我一条一堆边，那同学们应该要有这个警惕。哎，在立体几何当中，给了我一堆的边长，那一会肯定要用勾股定律了。那我们先等等看， m 啊，是 a、 d 的 终点哦，这是终点。所以其实呢， a、 m 和 m、 d 也都是二，这点咱要知道，接下来它要求的是啥呢？是 m 到平面 f a b 的 距离， 你看，要求距离了，那咱要求距离肯定得要用间隙的方法来做。首先先来看怎么间隙，要间隙我得找直角啊。那这有直角吗？给了这一堆梯形，好像没啥直角， 但没关系，咱自己来创造一下。比如说啊，我们来看，这既然是二，二二二全是二，那就说明 a b m 这个三角形得是等边吧。 那等边三角形出个直角可太容易了。我直接啊过我们的这个点 b 做 a m 的 中线， ok， 找到这样一条线，那这样子不用说咱这个中点，比如说，我记为一个 o 点吧， 那 ob 一定是垂直于 am 的， 这件事总没错吧？好了，我有一个垂直了，那我不禁要想了，我如果再连一个，比如说我连接的是 o f o f， 哎，那这个 o f 会不会也跟咱这个 b o 或者说是 am 垂直呢？那这件事咱得稍微研究研究了哈。那这块怎么垂直啊？ 那肯定得用勾股定律来，不用说， b f 我 已经知道是二倍根号三了， b o 我 也知道了，因为在等边三角形当中，这是二，这是一，这一定是根号三，我把它写到这儿， b o 是 根号三，那我当然非常希望这个 f o 一定得等于根号三乘根号三是三，那它是不是这么相等呢？咱得来计算计算了。在这块啊，我们直接利用 r t 三角形，谁呢？ a o f， 哎，这里我们去找，因为在这里啊，大家会发现，哎，我们这是个中点的话，那既根据对称，我们这块一定得是一个直角，那这块是直角了，这是根号十，这是一，那这条边是不就直接知道了，我们就可以得到 o f 的 长度应该是等于一个三的，那 o f 知道了，咱这个角不就妥妥的知道了吗？所以 o b 也垂直于 o f， 哎，这一堆垂直啊，咱们轻轻松松就挣出来了，那挣出来了垂直，我们就可以去见细了。接下来，我们以这个 o 点为圆心 为圆点，去建立这样的一个直角坐标系。好嘞，这是我们的 x 轴、 y 轴和 z 轴。 建立完了坐标系，那咱下一步就找点，咱现在要的是 m f、 a b 这几个点的坐标啊，去写一写就 ok 了。这个点的坐标也不难吧，我们刚刚各个长度都已经知道了，比如说这个 m 点在 y 轴上，所以应该是零，长度为一零。 然后呢，再来看一下 f 点， f 点在这个位置，在 z 轴上，那应该是零啊，零。然后它的高度刚刚算过是三。再来 a 点， a 点呢，在这个 y 轴上的这个负半轴，所以它应该是零，负一零。还有一个 b 点，那就应该是在 x 轴上，它的长度是根号三 零零。 ok， 好 了，那我们写完了这些点的坐标，不要忘记咱们要算点到面的距离，得找到点和平面当中的任意一条直线啊。这个向量，那我们随便找一个 m 和 a 吧，那我们可以得到的是，呃， am 等于零二零。再来，我们还需要找到平面 f a b 的 这个法向量，那我们去写一下 f a 或者 f b 啊，把它写出来，比如说 f a， 那 应该等于的是零负一负三，那再写一个 f b， 那应该等于的是根号三零负三。接下来运用一下我们的这个大招方法，快速计算一下发向量，零负一，负三，零负一负三， 写两遍，下面也是根号三零负三，根号三零负三，哎，把它写两遍，掐头去尾，中间交叉就 ok 了，那我们可以得到最终的发向量， 这里交叉，那就是三减零是三，这里交叉应该是负三倍的根号三减零，那就是负三倍的根号三，这里零减去负的根号三，剩下一个根号三。在这块大家会发现都有根号三，咱们甚至还可以同时给他约掉一个根号三，写的更简易，那就是根号三负三 和一。这样子找到了法向量，那进一步我们就可以去利用我们刚刚说的那个公式来去做计算了，我们可以看到最终的距离 应该是等于我们的这个向量 m a 或者说 a m 吧，和法向量的乘积绝对值，再比上这个法向量的模长， 可以看到上面我们直接去进行数量积，那就是负六。哎，去绝对值下面求它的魔长应该是根号下的三加九加一，那是根号十三，最终应该是十三分之六倍，根号十三，这个结果确实有点丑，但是不用怀疑，它确实是正确答案。 这就是我们经常啊去出的啊，点到面的距离，会有这种答案，不用害怕。好嘞，那这道题目我们轻松解决了。那其实大家在平时做题的过程当中，还有可能会遇到他求的不是点到什么的距离，而是 陷到什么的距离。比如这道题目啊，他问的是 c c e 到平面 a e a b 的 距离。那这道题目呢，大家也不用慌张，因为他只要是能够求陷到面的距离，那一定会说明一件事儿， 什么事啊？这条线 c c 一 必然是平行于这个面 a e a b 的， 这件事你不用怀疑，百分之一百的对，所以说既然这条线跟这个面平行，那你这个线上是不是所有的点到这个面的距离都相等啊？ 那也就是说，咱们想求线跟面的距离也就相当于是什么呢？ c 到我们这个面的距离， 或者说是 c 一 都可以哈，咱们在这个线上面随便取一点就 ok 了，那不是又转化成了咱们前面所说的 点到面的距离了吗？那这种情况下，咱们直接间隙找点写向量，根据咱们刚刚的这个公式去计算就可以了，那这道题的过程我就不需写完了，留给屏幕前的你那同学们还想要听什么样的知识点，也可以在评论区下方告诉我。
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