唐山二模2026数学第14题怎么解
本期课呢，咱们说下这个河北圈二模这个数学题，那么它给这个新定义呢？其实是并没有什么难解的，咱们只需要把它这个系数啊往里一塞就可以了。咱们首先求一下这个 a n 通项吧，系数呢，往里一塞，一二负一，对吧？ 那咱们过道数学就可以了，咱们把这 a n 剪过来一个， 一直等下去，对吧？因为这是个长出来的，对吧？咱们等下去应该等到 a 二减 a 一， 对吧？那大家提一个，不是给了 a 二 a 一 吗？就是一，对吧，也说明这个 a n 的 公差是不是一啊，对吧？ 那 a n a 一， 它又是一，所以说 a n 就 可以了。然后那看 b n 的 话，他说这个一二零，对吧？一二零，所以说呢，就是 b n 加一，两边 b n 共比为二，那 b 的 话又是一 b n 就是 二的减一次方，对吧？ 第二个呢，他说这个，呃，先求 y 吧， 然后再把它放进来，咱们比如说叫后面这个数学叫成 d， 哎，不能叫 d， 叫 p n 吧？ p n 就是 负一 n 次方， 二分之一加 n 乘 n， 然后再减 n 就 可以了，对吧？呃，这样的话怎么求和呢？咱们可以， 咱们把这负一乘进来，咱们分开求不就好了，对吧？或者说咱们可以尝试一下变向，对不对？因为你前面在负一 n 字方，对吧？啊？咱们先把这个括号里面再整理一下吧，这里面是二分之 n 方减二分之 n， 对 吧？咱们尝试下变向吧。那比如说你现在变向呢， 就是 p 二 k 减一，加上 p k， 对 吧？咱们，呃， p 二 k， 咱们尝试把前后两项基数两项并在一起，就是负的二 k 减一的平方减上二 k 减一， 然后呢再加上二分之二 k 的 平方减上二分之二 k， 那这个化简完呢？应该是得一个二 k 减一的，对吧？那就说它前后两项并在一起呢，形式非常简单的，所以咱们常设变相就可以了，对不对？常设变相的话，就说它求和前二 n 项的话，咱们求和 n 项的这个值不可以了，对吧？所以说呢，咱们这个最后是 t 二 n 的 话， 那就是你的 p 一 加 p 二加上 p 三加 p 四，往后到 p 的 二 n 减一，哎呀，二 n 减一， 加上 p r n， 对 吧？所以的话呢，总共来说的话，这一共是 n 个并相，对吧，所以的话呢，就是一加三一到二 n 减一， 是吧？那所以说那就是一加二 n 减一，然后除二再乘 n 就 可以了，所以说应该是一个 n 方，好吧。啊，那看第三问，他说这个 c n 呢，是一个倒序错位相减，对吧？这是个倒序错位相减的形式，那就说你的这个 c n 呢，是一个 i 等于一，然后 n i 乘二的 n x 方，那这倒数求一下呢？我就不说了，咱们自己求和就可以了啊。最后呢，应该是二的 n x 方减 n 再减二， 然后他说这个这个 c n 加阿拉伯能不能成为一个这种型的数列，那说明他能不能找到上面这个一组解，对吧？能不能找到一个阿拉伯能成为上面的一组解，同时呢，这个 m s t 也是存在的就行，对吧？所以说，首先来说，咱们先把这 c n c n 加阿拉伯先写上吧， 然后的话，他说想要这个，呃，有存在，存在存在一个 m s t 的 一个系数，咱们照他写上啊，照着他写就是上这个左边的 m 二的 n 加二减 n 减三，加 lamb 的 等于 s 二 n 加一次方减 n 减二，再加 lamb 的 再加 t。 啊，这个一点减二啊，加 t a 的 二的 n 次方减 n 减一加 lamb 的， 对吧？ 那么咱们统计一下自己任意存在是哪些存在，哪些任意，对吧？呃，这个首先存在是 lamb 的， 然后呢？ m i c 也是可以存在的，对吧？那这个然后任意 n， 对 不对？是任意 n， 所以 说呢，总共来说就是任意 n， 然后存在 m， s， t， 然后还有 lamb 的， 对吧？所以说这个是个任意性存在性问题，对不对？那咱们看， 嗯，咱们想找到一下这个的解的话，咱们要不都移到一边去再说吧，对吧？咱们都移到右边来，那咱们整理一下的话，这二项系数的话，应该是 盯紧这个二的，呃，都换成二根次方吧，可以吧？那盯紧这个系数啊，这是二 s， 这是 t， 这是负四 m 的 吧？移过来的，所以说 二 s 加 t 减四 m， 然后再加 n n 次 n 次，这个系数就自己数吧。啊？自己数，这是个 m 减 s 减 t， 再加上三 m 减二， s 减 t， 还有一个加 lamb 的 系数，对吧？ lamb 的 一个， 那就是让右边这个式子得零，对吧？右边式子得零，对吧？那你想我呢？能不能找到一个一组解，能不能使得这个等式成立，对不对？任意 n， 然后存在 m s t， 那 首先来说的话，这毕竟是任意 n， 对 吧？我尝尝试一下能不能用一下这个任意 n， 比如说我让 n 趋于中国穷， n 趋正无穷的话，或者说 n 趋无穷都可以，对吧？呃， n 要是趋无穷的话，这些个系数，对吧？ 就哪怕因为他说你是对任意 n 都得有这个能等于零这个系数存在，对不对？所以说我 n 趋无穷的话，这是无穷，这是无穷，那后面的话，这个常数期根本就不管，不用管它了，对吧？所以说我只关注这两个系数，必须得，必须得是零啊，对吧？所以说 n 趋无穷的时候，必须得是保证二 s 加 t 减四 m， 然后这个要等于零，对吧？还有个什么，你的这个系数也得等零，对不对？所以说，那现在总共应该有两个啊， 等于零， m 减 s 减 t 也要等于零，还有谁呢？刚我不说这块 n 趋正无穷的时候，这两块要得零吗？对吗？所以说， 呃，你的这个地方得零，这地方是不是也得零了，对吧？那还差这个地方要得零，对不对？现在是这三个地方都得零，还差他了，所以说他也得零，对吧？所以说三 m 减二 s 减 t 等于零，所以的话，你这个三个系数都得得零，那解出来这个系数呢？应该是他们三个都得得零，对吧？ 那你发现，呃，咱们存在这个系数只能是这个 m s t 得零，都得零，那这样的话，你看 m s t 能得零吗？你看注意啊，这块是不是写了 m s t 为非零常数，对吧？所以说那就是不对啊， 错了啊，所以就没有这样的系数，没有这样的拉的，好吧？
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07:16查看AI文稿AI文稿同学们大家好啊，说一下昨天最后一套试卷啊，也是最后一套完成的。河北的二模， 河北区这套卷子吧，它跟河东区有时毛病挺像的，就是没有编分寸感。他们理解的难，就是刁难， 在不该麻烦的地方瞎折腾，让你写不下去，然后最后分低，那你出了难题有嘛用都写不到，那 就总这个毛病。这套卷子也有点这个意思啊。本身他一模，其实那套卷子就是计算题，十二题，十七题，还有一个，每个题计算挺值得诟病，这次还这样， 然后前面选择填空啊，都没什么特别怪异的啊，激素屠龙屠龙都出来了。 然后这个十一题旋转看起来哎，挺有特点的，但是其实一做起来并不难， 旋转角也给了，然后本身矩形的边角关系也是特殊角，所以很容易选到合适的图形去做计算，算完之后就出来了， 然后十二题这个比一模难简单太多了。没，没问题对吧？涨价降价，这个太容易了一写，只不过唯一的难点是什么呢？咱们喜欢拿涨价降价当未知数，他是拿售价，你切换一下， 然后也把式子一写，还是一上来出焦点式，但你能出顶点式，然后最计算。但是吧，烂土豆不经夸，最后他这个最大值这个数还是挺恶心的，由于他最后还要求你的自变量取整数，其实呢，顶点式那个值并不是他真正的最值， 但是这不影响后续啊，只影响第二问一个判断，然后第三问计算了。最好还是拿顶点是解方程，这比较好算，不过这题的范围已经基本就忽略不计了，所以他的幺零零八比那二分之二零二五小，他取点焦点应该问题不大了。 说这题就是连蒙带虎，也不是特别刁难，人就过来了。然后填空题里边十七题河北区在一模尝到甜头了对吧？就你眼睛看到的一下就能看明白了，并不是好用的办法。 这道题也是啊，如果你拿过地做垂直或者过一做垂直，差一算，你后面那个一万二的方程是纯一万二的方程根号套根号还特别不好解，所以这题要有技巧了。由于这么多特殊角，又有等腰值，不做旋转太可惜了。 所以你把等腰值建立完之后，后边计算就比较轻松出来了。这题用陀螺摩定律也行，但是也有涉及到边，不太好算，因为它计算量摆在这，用这个旋转是比较方便的啊，当然可能还有其他好的方法啊。 现在啊，就很多孩子，你现在把心放肚里了，别死抱着奸细了。由于去年中考那七十五度一出来就打死一片奸细党，你今天还死抱着奸细啊，到时候真的后悔药都没地方买去。 所以几何题尽量去找几何办法，丰富你的知识储备。十八题的语言找这个关系就直接利用对称就行。我觉得十九二十还比较正常啊。 然后他这圆别看画的乱，但是他的特殊角给的很直白，你拿那角做就行了。这题倒还行，不难做啊。然后这个解直也是挺传统的，一个背靠背模型，带个台，把台剪去就可以了。 二十三题也行。二十三题这块问的比较传统的，还问离开家的时间，没问路程， 大家把时间写清楚就行啊，上面有点全，等 g r 四。 g r 四拿到之后啊，就会就一撮牙花子。 就是就学，好不容易学坏一出溜对吧？你可以有些变化，像虹桥那个，人家变得特别好，就是那个体量，让学生来又有深度又有难度，而且还不会特别刁难，就让你写下去。河北这个 完全仿河西杰克对吧？而且人家河西杰克最后一问点到为止，把这种情况弄出来了再去算他不？他让你去分类讨论去。 虽然这个情况最后算出来是情况比较简单，两个三角形就能搞定了，但如果这面变一下这数，这题就费死劲了。 本身他的背景是三四五，而且他的 t 给的方向跟他边长还不一致，所以这题转换边特别特别麻烦，就你第二问就是写半天，你最后再去算那个面积， 挺麻烦人的。所以这题啊，是个好的方向，但这样出题值得商榷。 就不是特别，就是让让学生有锻炼的，一个一个劲头进去就写，也可能不想写了，麻烦死这导编太麻烦。三四五对吧，你换一个，人家河西考三四五，你改成三六九 对不对？这样话你其实你你的那个变化了，一个方向性还更强，你弄个三四五给他一卡了。这题太啰嗦了，我都不知道他们穿你自己写不写 上二十五题啊。这题是怎么说呢？就第二问，把二倍角混进去了啊。第二问，把二倍角混进去了，最后一问吧，然后前面的关系。 最后问了什么事呢？一个最值也是一个挺有意思的一个结合跟那个动轴动曲圆结合这事反正也挺有意思的。所以首先前期那个最值，你算明白之后啊，要明白咱们这个对称轴自变量各方向的一个位置， 这里边 b 的 坐标啊，通过对称轴是能要算出来了，一定要算，不算后不好做了。然后算完之后你就可以讨论几种情况。这个题其实不太好写步骤啊，就是对称轴跟那最值，你是一算就出来，正好八分之九，所以后边来说，你只要那个点 比那个对称轴远就行，你比对称轴近，你最小的是这个点，取的不是对称轴，取的就不够百分之九了。然后呢，出圈时候不能再慢过 m 那 个高度， 就纵轴标不能比 m 的 点高，所以他的范围很好写。就这题是个填空题的水准，以前老十二题爱这样考，所以他这个结合是个好的事，但写的东西来说体量欠缺一些。 总体上河北区吧，就天上一角地上一角，难题是真麻烦，我说难题是真麻烦，不是难，是真麻烦，然后解难题真简单。所以这套卷子啊，就你考完之后那个程度来说，比较两极分化会好了，是真好。 然后呢，比较不错的可能也不太好，就是不找不到一个好的定位这套卷子。行，说到这。
03:17查看AI文稿AI文稿这道题的话，是一个碳酸钠跟碳酸氢钠的混合物，然后与盐团恰好完全反应，问你原混合物中碳酸钠的质量，那么这种题的话，你可以选择去列方程，这肯定是没问题的。 列方程去解方程，因为呃，碳酸钠，如果你认为是 x， 它的质量是 x， 碳酸氢钠认为是 y， 你 碳酸钠能消耗岩酸， 碳酸氢钠也能消耗岩酸，两部分消耗的岩酸加在一块，那么就是一百乘以百分之七点三，那么 x 加 y 就是 十三点七。这个题解方程绝对是能做的 啊，解方程绝对是能做的，但是我们今天不讲解方程，讲什么呢？讲一个更好的方法，这种方法呢，就类似于我们学这个数学的奇兔同笼，类似于这种形式，什么意思呢？就是说我认为啊，碳酸钠跟碳酸氢钠它都可以和酸反应，对吧？但是你产生的东西是一样的， 碳酸钠和盐，碳反应也产生氧化钠、水和二氧化碳，碳酸氢钠和盐碳反应也产生氧化钠、水和二氧化碳，所以像这种两种物质和这一种物质都反应，而且产生的物质相同啊，产生的物质相同。 我们这种就考虑先做极限法，然后再做叉量法，就类似于鸡兔同笼，鸡兔同笼，让这个兔子也抬起来两只脚啊，类似于这种形式，所以在这呢，我认为这个 都是由碳酸钠消耗的岩酸，所以我可以求出在极限条件下的 碳酸钠的质量，也就是说岩酸一共消耗七点三克啊，这个氧化氢一共消耗七点三克，所以呢，消耗碳酸钠多少呢？ 如果都是碳酸钠消耗的岩酸，那么应该消耗碳酸钠十点六克，但实际上是不是他俩都存在，所以这个时候就出现差值了？为什么会 说十三点七和十点六？为什么会多出来？就是因为碳酸氢钠消耗的岩酸比较少， 所以原因是什么？原因就是碳酸氢钠跟碳酸钠的关系，当然这里边你可以写反应，也可以不写反应，总之就是找到碳酸氢钠跟碳酸钠的差值，找到他俩相对质量的差值。相对质量的差值是多少呢？就是六十二。实际质量的差值呢，就是三点一克， 十三点七减去十点六。那么我们用碳酸钠做的极限能求谁呢？能求碳酸氢钠，注意不能求碳酸钠，因为你用碳酸钠做了极限，这，所以你求出碳酸钠是多少呢？是八点四克， 求出碳酸钠是八点四克，原来的混合物是十三点七克，所以你原来的混合物中碳酸钠的质量就是五点三克。所以这种题呢， 两种物质和这一种物质反应产生的物质相同，我们这种就考虑做极限。如果你用碳酸钠做极限，你就去求碳酸氢钠。如果你用碳酸氢钠做极限，去求谁呢？去求碳酸钠， 一个物质做极限，去求另一个物质，这就是这种题的解法。先极限法，然后再查量法，它很像初中数学的这个，小学数学的这个极速读法。
100化学与生活
02:11查看AI文稿AI文稿大家好，唐僧二魔已经结束了啊。呃，这回这个卷子呢，我觉得他的这个 呃十一题的大选项，包括这个十四题啊，出的都非常好，然后我看十一题大选项，然后有一些那个网上老师，呃，还没有发表自己的想法啊，然后我简单说一下我的想法啊， 呃，我觉得他这前三个选项出都比较简单，就主要是看这个第四个选项，呃，就是他给了这个比特减 r 法，他想求他这个绝对值，因为我们知道，呃，比特减 r 法他的意义不就是这个呃， p a b 是吧？减去这个 pa 乘以 pb 嘛，对吧？那我们的目的肯定是为了啥呀？统一变量，统一变量的话，因为我们知道这个 pa 是 吧，它正常应该是大于等于 pa 的， 所以说啊，它应该大于等于 pa， 大 于等于 pa， 它就我的目的就为了统一成变量 pa 它嘛，对吧？然后 pb 呢？我们也知道它是不是大于等于什么呀？ pa b 是不是也是大于等于 b 它，对吧？所以说这回我的什么我的目的就实现了。那么 b 它减去嘎嘛，是吧？那它就等于啊，因为 p a b 的 b 它是不是 b 它减去啊？ b 它方， 听懂了吧？啊？小于等于，因为它们都大于等于嘛，所以这块是小于等于，对吧？小于等于，然后我们知道因为 b 它的取值范围啊， b 它的取值范围应该是零到，因为它是概率嘛， 所以说它去完绝对值之后就是被它减去被它方，那么根据一个良好的数学素养，先把二次项写在前面，负被它方加被它， 对吧？那很明显啊，它的这个当被它得几的时候啊？是不是二次函数？是不是当被它等于二分之一的时候，它是不是取最啥呀？取最大呀？是不是二分之一的时候？那我们结果我们算一下是不是它的最大值就应该是多少， 最大值是不就应该是四分之一，对吧？那么四 d 选项就出来了啊？我认为我这个想法应该是非常简单的啊。
185侯哈哈老师
13:08查看AI文稿AI文稿本节课呢，咱们说一下这个部分区二模的缩写体。那首先咱们先看一下这个元素中的这个 a j 减 a i 是 什么意思？ a j 减 a i 呢？它首先是个两个变量，对吧？ 两个变量的话，说明他应该是，呃，可以写成一个矩阵的形式，对吧？因为咱们 j 可以 有一个什么范围啊？ j 他 可以取 e 到 n， 对 不对？ i 可以 取什么范围啊？但他也可以取 e 到 n， 对 吧？ 比如说他俩呢，分别都是 n 种情况，那就是 n 乘 n 的 话，一个是 n 方种情况，对吧？所以说你可以固定一下 j， 然后走一遍这个 i， i 的 一到 n， 对 吧？然后再把 i 固定住，再走一遍这个 j 的 一到 n， 对 吧？这样形成一个矩阵，就是 n 乘 n， 对 吧？ 呃，那么咱们并其实并不关心这个矩阵里面是什么样子的。呃，咱们其实可以关注一下他这俩就是一种什么情况，就是一个都是随机抽取的过程，对吧？随机抽取的一个一个想法。所以说呢，咱们想，呃，我是不是可以从 一到 n 中选两个数， 对吧？选两个数使他怎么样？呃，后减前是不是可以了？一定要注意这脚标啊，不是说我这个让他俩后减前 的数值啊，是不是说让它们数值相减，是让它们角标相减啊？那就是说咱们在这里随机抽取的话，让它作为 i 和 i j 两个变量， 对吧？然后呢，让后减钱就可以了，为什么一定要后减钱呢？因为他一定得要什么呀？ i 小 于 j， 对 吧？所以说你随机抽取的话，你可以是 a 四， a a 一， a 减 a 四，然后也可以是 a 四减 a 一， 但是咱们只要这种情况，对吧？所以说，那为什么就是后减钱呢？因为一在 a， 因为四在一的后面，对吧？所以说你就是，呃， 这样的话会更好理解一些啊。那咱们回到这个第一第一题上，咱们看啊，啊，现在给了这个一三一二三五，说明，这就是 a 一， 这就是 a 二，这就是 a 三，这就是 a 四，对吧？所以你看咱们随机抽取两下，然后从 这个后减前就可以了，对吧？比如说所谓的这个角标大的减小标小的，对吧？我先补上吧，角标大减角标 小，对吧？九，不要大点小不要小，那，所以那所以说这个就是首先第一个咱们固定，比如说五，对吧？然后五减一，那就是四，五减二呢？三，五减三呢？二，对吧？然后 挨个固定一下，第一位是四，对吧？四减一，哎哎，没有四，对吧？没有四，这是一个三减一二，然后三减二，一，对吧？ 嗯，没有三减五，对不对？没有三减五，对吧？因为这是什么呀？一定要角标后面减前面，对吧？你这不前减后了吗？对不对？所以说呢，还有个谁啊？二减一对吧？一啊，没了，总共所有不同的元素呢，一二三四，对吧？ 就好了。所以说咱们看第二个，他说这个 a 三呢，是他的等差中项， 这是个等比税，对吧？咱们直接把它拆开就可以了。二 a 一 q 方等于六， a 一 q 加上八 a 一 跃掉二 a 一， 那就是 q 方减三， q 减四，对吧？一一四一符号搁在上面， q 等于四，然后刚刚告诉你，这个第一问呢，是 a 得 e 的， 对吧？然后的话呢，就是 a n 得四 n 次方嘛， a n 的 四次方的话，咱们再看，他说找一下这个 t n 中的元素个数，对吧？那就还是去讨论这个 a j 减 ai 的 事情， 那现在呢？ a j 减 ai 呢？就变成什么了？四代 j 次方减上四代 i 次方，对吧？那这一看就是什么呀？四进制减法，对吧？ 四进制减法的话，咱们首先要知道就是咱们每个进制啊，不管是一二三四五六七八九是哪个进制？ p 进制有唯一性， 比如说它各个数呢，都是具有唯一性的，你不可能找到，呃，比如说一百零一，你找到两个二进制数可以对应它，对吧？ 你就你就有可能找到一个，什么找到一个，你把它拆成一个二进数，然后用那个二进数表达一零一，对不对？一百零一的实心值啊？那就， 那就是说他这个每个进制中他都有唯一性，对吧？那就是他两个位相减是不是也必有唯一性，对吧？所以说，呃，据根据这个 p 进制有唯一性的话，那就是任意两个 不同位，呃，不同位进至，呃，四进至吧，咱们说这个题吧，不同位四进至相减 b 为一，对吧？所以的话呢，咱们，呃只需要从 n 位四进之中 选两位相减就可以了，对吧？那就是你的这个 p t 的 就是这个个数，对吧？元素个数呢？所以它比如是 n 位中选两位嘛， c n 二，那就是二分之 n 乘 n 减一就可以了，对吧？ 当然呢，这是咱们这个不严谨的写法，那咱们严谨的话得说一下这个，呃，为什么他就唯就只有唯一性了，对不对？为什么就唯一性了？所以的话，那，呃唯一性的话，咱们可以这么说， 那咱们今年不考了很多题吗？对吧？那个和平的和平一模，对吧？还有那个新华的， 新华那个统练也考了，新华统练也考了那，呃，好像目前来说就这就是这两个卷子考了，那咱们严谨的话怎么写呢？ 咱们说每个 a j 减 a i， 它都是唯一的 bug 了，对吧？那就说明这个 a j 减 a i 呢？不可能再写成另外一个 am 减 an 了，对不对？ 就是另外两个角标相减，对吧？不可能是找到另外一个减，所以说那就是，呃，改变一下变量吧，那就是 n 小 于 m， 那 这样的话，咱们把这四 n 次方再来就好了，对吧？那就是四的这一次方减上四，那一次方不等于四的 n 次方减上四的 n 次方。那这样的话，咱们一会要说他们俩余数不相等，对吧？我说他们这个 呃，基欧有问题，咱们肯定得先把它这个余数给它出来，对吧？那余数怎么出来呢？你呢？肯定注意到这两边得出四才出来余数，对吧？那就是 或者与与四去讨论，对吧？那就是你提谁啊？肯定把提小小的提了，对吧？你提大的有啥用呢？这不一减四的 i 减 j 四方吗？这个有啥用？这就都不是余数，对吧？这就是小数了，所以说咱们一定要提这个最小的啊，所以说那就是四的 j 减 i 减一不等于四的 n 次方， 四的 m 减 n 减一就可以了，对吧？然后呢，咱们看这两边呢，都是四的指数，对吧？咱们都给他移到一边去，或者把它移过来，都一样啊，主要是为了说这个余数的问题，把它移过来，四的 n 减 i， 四的 m 减 n 减一，不等于四的 j 减一，对吧？ 咱们看这边这个式子，这边是除四于三的一个式子吧？呃，就是说他这边是这个与四不能整除，对不对？但是他本身是一个整数的吧？本身是 是整数， 本身是整数，但它除四于三，对吧？所以的话，那这边呢？这边也同理，对吧？它也是本身是整数，那你属于 z 吧，对吧？然后呢？除四 于三，那现在问题不就是在这个指数上了吗？对吧？ 那就问题在这呗，对吧？就他，那咱们就再讨论一下就可以了，那就他可以是什么呀？呃，可以是个分数，对吧？也可以是个整数，对吧？ 为什么可以分数呢？因为你想 n 减 i 的 嘛。 n 减 i 的 话，刚没有规定这个 n i 谁大谁小，对吧？所以说可以是个分数，也可以是个整数，对不对？你爱大一点，那就是分数，你爱小一点，那就是整数呗。那就想要是分数的话，你看左是 属于整数，那右是右，是呢？它是个分数，对吧？ 因为你想你这边除四除不尽，对吧？因为你这除四于三嘛，所以说你这边是一定带一个四分之上面一个整数，对吧？那这边是一个整数，那怎么可能相等呢，对不对？所以说那不相等啊。 那这个呢？它要是整数的话怎么办？它整数要说明你左是这个除四于三，右是可于四整除， 那这当然矛盾了，对不对？一个能整除，一个不能整出，那是矛盾了，所以说两个情况都不对啊。所以说，那就是矛盾了，对不对？所以说，那你就这个，你的每一个 a j 减 a i 都是互易的，对吧？他不可能找到另外一个解了，对不对？所以说，那就 严谨的证明了，那就是直接 c n 二就可以了，对吧？那然后，呃，最后一个呢？就直接把这个代入求和就可以了， 那这样的话，这个刚刚咱们算的这个 p t 就是 一个二分之 n 乘 n 减一嘛，对吧？然后呢，你这 b n 的 话，带来这是一个 呃， n 乘 n 减一，然后五 n 减四，然后四的 n 字方，对吧？所以说那你就求回一个负的 n 字方乘 b n 吧。那咱们先给这边起一个新名字，叫 e n， 那他呢？咱们给他列列个项吧，你看列项形式，对吧？ n n 减一，然后五 n 减四，负四的 n 次方，那就是，呃，先把小的放前面看试一下吧。 n 减一，负四的 n 次方，减上 n 的 四， n 加一次方，看行不行啊？负的啊，所以咱们通过一下，这是 n 乘 n 减一啊，这边是 n， 对 吧？这边是 n 啊， 减上 n 减一的负四， n 加一，分子上，这是什么呀？分子上，这是 n。 这块我要提一个负四的 n 次方，是不是还留一个这个负四了，对吧？就是他跟前面符号相乘的话，那变成这个四倍了，对吧？四倍，所以呢，就是加四减四， n 减四，对吧？那就是 n n 减一，负四 n 次方，五 n 减四嘛， 对吧？那就和这个是一样的，对吧？所以的话，那就是求和，这列项是不是可以了，对吧？那就是，呃，从二开始求和， 那就咱们把它叫成 s n 的 话， s n 呢？就是一分之负四的平方， 减二分之负四的三次方，加上二分之负四的三次方，一直往后到 n 减一，负四的 n 次方，减上 n 分 之负四的 n 加一次方就可以了。所以说呢，这个咱们约一下，就是 剩一个十六减 n 分 之负四的 n 加一次方就可以了，对吧？已经算完了啊？
01:55查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，跟着马哥跑数学没烦恼，咱们今天看一下二零二六年高三唐山二模数学试卷讲解。 咱首先来说看一下第一题，第一题，这个题啊，都有手都行， 为啥有手都行呢？首先看这个 t， 分 母是一减矮，分母不能带矮，所以说上下同时乘以分母的公个负数，那就是一减矮。 上下同乘之后，分母都变成了二，可以利用这个平方差公式，然后二二一消，都剩一减矮了。剩一减矮之后， 这个他问的是虚部，虚部是啥呀？是矮前面那个数，矮前面那个数是多呢？一瞪眼，矮前面那数是负一。 那有的学生都瞪眼一瞪，啪，是负矮，都完米了，都掉壳了， 完蛋了。所以说这里边有一个易错点，易错点就是这个徐步肯定不太矮，他就得负一。 再跟我嚷嚷一遍，跟着马哥跑，下一句是数学没烦恼。
15马哥巅峰数学
25:48查看AI文稿AI文稿北京西城区高三二模数学试卷呃，今天用一个长一点的视频，把它的选择填空题放在一个视频里面讲完 第一小题集合，这个注意，这个集合，我们看这是一三五七 b， 而这个是多少呢？四 k 加一，四 k 加一，是 是多少？我们写一下。呃，当 k 等于一的时候，它是五，当等于二的时候，它是九，呃，等于零的时候，它就是一。我们看，显然 a 是 b 的 子集， 他是 a 是 b 的 子集，那么这个是错误的。哎，这个也是错误的。哎，他两个相交等于 a 才对，这也是错误的。这个呢，你看这两个相， b 不 等于 a， a 是 子集，所以这个是对的。 我们第二个，第二个呢，是求 z， 这就像解一元一次方程只是一个含有虚数的，我们看，先把二移过去写一下吧。 i z 等于二减三减二 二 i， 然后两边都乘以负 i， 为什么乘负 i 呢？因为 i 方等于负一，这样的左边就只有 z 了，那么乘以负 i 之后，我们看二负 i， 哎，就是负一负二， 这个负 i 就 等于负三 i， 哎，这个正确。第三题，双曲线，他的右顶点到准线的距离，右顶点是什么呢？哎，右顶点就是这个是一， 就是顶点，是吧？一到零，这是右顶点。那么间接线，我们把间接线写出来，间接线呢，就是 y 等于，我们写其中的一条就行了，根号三 x， 那 么我们可以用点到直线的距离， d 等于根号下 a 方加 b 方， a 等于根三， b 等于一，这样的话呢，就是二。那么到顶点的距离上面是 ax 零， ax 零，那就等于根三， 所以二分之根三，这个是正确的。第四题，在平面坐标系中，阿尔法以 o x 为矢边， 哎，其中 p 负一的逗二在中点上，则它的 r 法，因为我们知道它的 r 法等于什么呢？它的 r 法就等于 y 比 x， 那 么 y 比 x 就 等于负二，我们用对角公式把它写出来。呃，它的二 r 法 就等于二倍的 tangent 阿尔法，哎，一减 tangent 阿尔法的平方，那么就等于什么呢？二倍的平方就负四负四，下面一减二，二得四， 哎，应该等于三分之四，三分之四， a 是 正确的。第五题， f x 单调递增。呃， g x 函数是一个单调性，一个极偶性，我们首先看极偶性，极偶性呢？呃， g 负 x， g 负 x 等于什么呢？哎，就等于 f x， 这个呢？减去 f 负 x， 那 么它等于什么？就等于负的 g x， 这个呢，是一个 g 函数， g 函数啊，这两个就错了。那么再去看单调性，单调性，我们知道啊， f x 单调递增， f x 是 单增的，那么 f 负的 f x， 那显然是单调递减的。那么 f 负 x 是 怎么样呢？当 x， 这是一个复合函数， 复合函数呢？同增异减，那么这个是减函数。同增异减，那么它也减函数，两个减函数相加，是减函数，所以呃， c 是 正确的，那么这个呢？就错误了。 呃，在长方形 a， b， c， d 中， a， d 等于四， a， b 等于一， e 是 b， c 边上一点，则 e， a 加 e， d 的 最小值。这是一个像这样题，我们看画一下。 好，那我们看大概意思啊，呃， a， b 等于一，那么这个是 a b c d 这个 e， e 在 b c， d 边上， e 在 b c 边上。呃， b， a 加 b d， b， a 加 b d， 我 们看它这个向呃上的分量，这两个不变化，不管一一点怎么移动，向上的分量不会变化。然后呢？呃，这个 x 轴上它会有变化， 要想最小，那中点这两个 x 轴呢？就是呃消掉了，那这样呢？呃，只有在 y 轴上，两个一加起来是二，绝对只就是二， b 正确。 第七题，第七题不等式小于零，这是两个函数相乘，两个函数相乘小于零，那就这两个呢？要一正一负，要一正一负。 呃，就是啊，小于零是结，是为空，那就要大于零，这个是要大于等于零，这要大于等于零， 那么大于等于零呢？就是同为正或同为负，或者，那当然有一个什么呢？呃，同为零点，哎，这个很重要，就是同时等于零，这个非常重要。 为什么？如果不同时为零的话，呃，他不可以同为正，同为负，那同为零，那得到一个什么呢？ x 等于 a 和这个是 对数，是 x 加 b 等于一， x 加 b， x 加 b 等于，就 x 等于什么呢？一减 b， 那 么我们在这里得到一个什么，得到 a 加 b 等于一， a 加 b 等于一，那么这两个都去掉了，都不可以，那这两个有了这个之后，别的不需要了，这个够了。我们看，呃，在基本不等式当中，有个 a 加 b， 二分之 a 加 b， 它是大于等于根号 ab， 这个没有用，那么我们说这是基本不等式，在他的拓展中，那么这里边还有一个什么呢？有一个，呃，根号向 a 方加 b 方的一半， 他是大于他的，那么现在呢？我们看，呃，求出 a 方加 b 方，我们这两边两边平方，把 a 加 b 等于一代入，那么就得到 a 方加 b 方，是大于等于二分之一，所以这个是正确的。 第八题，已知正方体 w 和平面阿尔法则正方体 w 的 八个顶点中存在六个平面。到平面阿尔法的距离相等，是平面阿尔法将正方体 w 分 成体积相等的两部分，我们看，要将 平面分成相等的两部分，只要这个阿尔法平面经过正方体的体中心就可以了。 经过体中心，要想存在有六个点距离相等，那么它应该怎么样呢？它应该是做一个与 对角线垂直平分的平面，呃，就可以了。我们画一下，我们看这个正六边形是经过 d、 b 一 撇这条直线的垂直平分平面，它经过 o 点，经过 d、 b 一 撇，中点 o， 那 么这样的平面呢？呃， 它是可以呃平分正方体的呢，并且呢，它与哪个平面是平行的呢？与 b、 c 一 撇， a 一 撇这个平面平行的。所以呢， b、 c 一 撇， a 一 撇到平面距离相等，同样的，对面的另一面的三个点， a、 c、 d 一 撇，它与距离也相等， 呃， d、 b 一 撇是另外的，那么这样的话呢，呃，他就做到了 正方体八个顶点中六个平面的二角距离相等，并且呢，呃将体积分成两部分，那么反过来说，呃，这就说充分性没有问题。如果这个平面就这个红色的 正六边形，平面还是经过 o 点，他只要是倾斜一点， 那么倾斜一点嘞，呃，就是不与刚才这个平面平行了，那么呃， b、 c 一 撇， a 一 撇，到平面距离就不相等了，他照样可以平分，所以这个题是充分，不必要， a 是 正确的。我们看第九题，那么第九题呢，次数有点多，我们仔细读一下，就是说二零二三，他有个十年规划，十年规划呢，每年平均增长这么多，呃，十年，这是十年， 呃，翻四倍，如果是 a， 翻四倍就是四 a， 由于超预期增长， 二零零五年的产值恰好是二零零六年的计划，那么我们看，那么这个增长值不再是 x 了，应该我们叫它叫百分之五 i， 增长值就是实现的。 呃，具体增长超出预期，我们假设它等于百分之五 i， 从二零零六年， 未来八年含二六年，那么他的年平均增长率是前两年实际平转相同，所以就这十年中他有相同的增长率都是百分之百。好，我们看第一个条件，第一个条件呢，就是二零二三 到二零零二零二六，二零零五到二，工厂恰好达到了这个二零零六，二零零三到二零五，两年，两年就是一加 百分之尾的二次方，就等于原计划一加 x 的 三次方。好，这是一个好，我们先放这里，那么实际上怎么样呢？实际上呢，就是让我们求的是 十年之后生产的值为多少，也就是一加 y 百分之 y 的 十年，它等于原来的多少倍， 那么我们这里都加上一个 a 吧，在 a 的 基础上，它要实现多少？实际上这个就是很好算了，把这个这个等于它只是把指数呃不断的调整，把十算出来， a 在 这里四倍转变成十，呃，这个再算进去，就变成一加 x， 百分之 x 的， 呃，十倍， 十倍呢，就把五乘以再乘二，把三拿出来，把三拿出来 二， 而这个呢，就等于这块等于四，这块等于四就等于多少呢？ a 四的二分之三，那么就等于八 a 八 a 是 哪一个呢？八 a 就是 b， b 是 正确的。这个转化有点绕啊，本身没有很难，有点绕，我们看第十题， 第十题，呃，我们后面再讲，单独讲第十题有点难看。第十一题， 呃 a， b， c 三个角，最大角的余弦值大边对大角，大边 对应的是大角，这个我们大家都知道哎，这个就求出余弦定角就等于 c 方 啊， c 方在后面写一遍吧。 a 方加 b 方减 c 方除以二， a， b 被个公式代入数据，等于 a 方二十五，呃， b 方呃六六三十六，减去一个八八六十四，呃，除以二 乘五乘以六，这个等于多少？大家算一下啊。二十五，六十一，六十一，负三，呃负三，呃，约掉个三二 二十等于负的二十分之一。第十二题，展开式，这个只要会公式就可以了，这个呢，就是 t， r 加一等于 c， 对 本题来说，四 r 呃 x 的 三，四减二， 然后呢，负二的 r 呃 x 负四，这边再来个 x 的 负，这个三四十二减四， r， r 等于三， r 等于三，把 r 等于三带进去。那么最后呢，就是一个呃 c， 四一负二的 三次方，那就负的啊，四八三十二，这个负的三十二。 第十三题，已知向量 a 等于这个向量， e 是 单位向量，向量 b 满足 b 减 a 等于一，则 b 一 的一个取值为多少？我们把它画出来， 我们看，哎，首先， a 等于负一跟三，我们画一个坐标轴， 负一跟三，负一跟二，三在这里， 这是 a， 这是 a。 然后呢，呃 b 减 a 等于一，那么就是以 a 为圆心，以 e 为半径的一个圆， b 在 这个，一个在一个单位上，圆上 啊，画的有点不太好啊，哎，这就是 b， 这就是 b， 然后呢，哎，这是 o o b， 那 么 b 乘以 e， b 乘以，也就是说，呃， b 在 e 上的投影， 这是一 b 在 一上投影， b 在 一上投影，是是在哪里呢？这对应的是零，这边呢，对应的是负二负二，所以呢，它是负二到零在这个范围，这是包括的，包含的， 包含的，那么取一个值，取一个值，我们取负一吧。呃，都可以，都可以啊，这里面的，这是答案不为一 二零二六西乘二模式卷第十四题，这是一个分段函数， 我们看这是对数，这是一个直线。呃，这个主要是什么呢？集合 m 是 什么呢？是 x， x 又是什么呢？是 f， x 等于 m 的 中的符合条件的 x。 按说若 m 中有三个元素，则 m 的 取值范围。若集合 m 中共有四个元素，则这四个元素乘积的最小值是多少？ 首先我们分段函数一般都要画个图像比较好解决问题，利用数形结合方法来解决。 哎，对数函数绝对值翻上来是直线，打 x 等于六的时候，它是零点，也翻上去。 那么这样的话，我们看，打 x 等于二的时候，对应的是一减一等于零，打 x 等于四的时候，这是二减一，这个等于一。 然后呢，打 x 等于六的时候，这个等于零啊，这个图像我们看完了，这个时候我们看画了两条线，那么打 x， m 等于三，三个焦点，三个焦点呢？是这个范围内是有三个焦点的，这个范围内是三个焦点， 也就是说 m 是 一到二之间就是可以的。那这样的 m 有 三个焦点，就是一到二，呃，一是可以取得到的，因为一在哪里呢？呃，在就是 x 等于四，是可以取到的，这一点是能取到，那么 x 等于二呢？ 这一点怎么取到呢？哎，这一点应该取不到，也就是说，呃， x 等于四，在这里面是取不到的，这个是空的。 那这样的 m 呢？就是一到二，一到二，一是可以的，二是不可以的。 我们再看这四个元素，首先我们看画了这条直线之后，那么我们说这个焦点，这个角 x 一， 这个角 x 二，这个角 x 三，这个是 x 四， 我们首先看 x 一 x 二，那么 x 一 x 二，我们知道。呃， log x 一 加 log x 二，它是等于零的，这个我们就不再细分，那么关键它现在是这样的，它有个减一， 我们把它并到一起去，并到一起去是什么呢？就是 log 以二为底，呃，二分之 x 一 加上劳格以二为底，二分之 x 二，他就等于两个对数相加去真数相乘，劳格以二为底，四分之 x 一 乘以 x 二，那么它等于零，是正好等于一，这个等于零，也就是说 x 一 乘以 x 二等于四，这个是固定不变的，这个横成立的。 好，下面我们看一下 x 三与 x 四，那么 x 三与 x 四呢？它是这样的，它关于 x 等于六对称， 也就是说 x 三加 x 四，它是等于呃，二倍的这个六，也就是说十二，这个 这两个相加等于它是不变的。那么问相乘相乘，我们用均值不等式，我们知道 a 加 b 二分之一，它是大于等于根号下 ab 的， 这是均值不等式的式子。我们稍微给他变一下看看。 x 一 乘 x， x 三乘 x 四，那么这里面就是 x 三乘 x 四，它是小于等于二分之一 x 三加 x 四的平方，那么这两个等于十二，就是等于三十六，那么这是它的小于等于， 应该它是最大值。那么什么是最小呢？在这里是最大，那反过来在这里就最小，这边是最小 啊，四个值，四个值在这里，在这里的时候只能去到这里，那么这个值对应的是五，这个值六，这个是七，对应的是七，那么也就是说，呃， x 三乘 x 四，它的最大，呃，最小值 它等于什么呢？哎，等于五乘以七等于三十五。好，那么 这样的话就四个根相乘 x， 一 乘 x， 二乘 x 三， x 四，它是最小值， 我们说它是这样的最小值，就是等于四乘 三十五，四乘三十五等于一百四，这个就是一百四十。
59王老师7825
03:12查看AI文稿AI文稿这是一道多解题，怎么才能把所有的可能性都考虑清楚，然后不会有遗漏呢？我们来分析下图形，直角三角形 abc， 他的长度是四，他的长度是六，在这条边上有个可以移动的点，点 d 连接 id， 然后顺时针旋转九十度旋转到这里。题目问题是，当这个蓝色是等腰三角形的时候，橙色的长度等于多少？我们移动下图形，你看 蓝色的形状始终在发生变化，我们需要把所有的可能性都考虑一下。先来看第一种情况，如果 dc 等于 de， 现在蓝色就是一个等腰三角形，这时能发现 dc 的 长度等于这条边的长度六减去 x。 再来看 d e 的 长度， d e 等于 id， id 的 长度等于根号下的四的平方加上 x 的 平方，然后根据这个只有 x 的 等式，可以算出 x 等于三分之五，这就是第一种情况。我们再来看第二种情况， 当点 d 来到这里，这个时候 c d 等于 c e。 求下现在 c e 的 长度都可以表示出来， 等于六，减去 x。 其次，他是一个直角，可以为了这个角构建全等三角形出来，可以过这个点给这条延长线做垂线垂直数点 f， 因为这条边等于这条边，他是直角，所以这个三角形和这个三角形就是全等三角形，他的长度是 x， 他的长度是四， 所以 ef 的 长度是 x， df 的 长度等于四。知道了 df 的 长度，再减去 dc 的 长度， 那么 cf 长度也能表示出来，等于 x， 减去二。然后在这个直角三角形中，根据勾股定律，可以列一个只有 x 的 等式，最后算出 x 等于四倍的根号，三减去四， 这是第二个答案，也是图形的第二种情况。我们再来看下第三种情况，如果这条边等于这条边， 比如说现在他们俩长度相等，根据等边三角形三线合一就能知道 c、 f 的 长度等于 d， f 的 长度，我们就知道 c、 d 的 长度等于六减 x， 那么 df 的 长度就是二分之六减 x， 同时这个图形也有全等三角形， 这个蓝色的三角形和这个三角形是全等的，所以 df 的 长度 等于 ib 的 长度，这不就是一个新的等式吗？二分之六减 x 等于四，可以算出 x 等于负二， x 是 线段长度，不能等于负数，所以说负二可以舍去，这样就能知道 b、 d 的 长度。有两种可能，如果这样分析的话，我们就能非常肯定的说，这个题我们是不可能有任何遗漏的，谢谢大家的关注。
130赵胖讲数学方法
12:09查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是初中数学崔老师，我们一起来看一下学情调研的第二、三题。首先他说有一个矩形 a、 b、 c、 d， 那 你去得我们的 边相等，边平行以及四个角都等于九十度。然后接下来告诉你， e 是 a、 b 边上的一点 a， b 大 于 bc 大 于 b， e 现在的长度关系， 长度大小关系有了。然后说沿过点 c 的 动直线折叠三角形 b、 c、 e， 得到了三角形 f、 c、 g， 所以 这两个三角形是全等的， 那全等自然而然会产生边相等和角相等。那我们先把对应的角相等标出来， 再把我们对应边相等标出来。标出来了以后说 延长 f g 交射线 b a 于点 h。 第一小问问你，当 f g 都落在矩形 a、 b、 c、 d 内部时，判断线段 h g 和 he 的 数量关系，并说明理由。所以第一小问让你先判断，你就去看 我们的 h g 与 he 是 不是很明显是相等的关系啊，所以你去写 h g 等于 he， 理由如下， 我们来观察一下啊。让证的 h g 跟 h e 很 明显，它挨着的也有一组相等的线段，所以如果你能证出 f h 等于 b h 的 话，那这道题也就解决了。 如果你去证 f h 等于 b h， 你 发现了没有，这两条相等，要证的相等线段也是挨着两条相等的线段，所以四边形 c、 f、 h、 b 它就是一个真形。 那解决真形问题，我们常规的就是去连接对角线，去正三角形全等，所以我们的辅助线是连接 c、 h， 连接完了以后去正这俩三角形 c、 h、 f 和我们的 c、 h、 b 是 全等的。 判定方法就是我们的 h l 直角边 c f 等于 c b， 然后斜边 c、 h 是 公共边，以及我们的直角， 那证出这两三角形全等了以后，我们去得什么？去得我们要的 f h 等于 b、 h， 然后这两条相等的线段再同时解去我们相等的线段，一边解 f g， 一 边解 我们的 b、 e， 那 依然得到相等。也就是在说我们的 g h 等于 h e， 这是我们第一小问的证明思路。那我们再来看第二小问。 首先第二小问说在矩形当中过点 e 做 c e 的 垂线，所以做了一个九十度的角出来，那我们矩形是不是也有九十度的角？所以你把这些九十度的角标一下，因为做出来的这个九十度的角可能跟我们现有的九十度的角要产生联系呢？ 以及我们三角形全等角 f， 这是不是也是一个九十度的角？那你发现题目当中这么多九十度的角，我们看起来就应该去得什么？就应该去得 m、 f、 c、 e， 它就应该是一个矩形。那我们来看 现在是不是已经有了两个直角了？含有的角度是不是本身在角 e， 这是有一个直角的？那我们来看折叠，是不是又告诉你两个小角相等， 所以小角加上公共角是不等于九十度，那你自然而然就能得到什么。得到我们的角 f、 c、 e 也是九十度，所以你的这三个九十度的角就帮助你得到了四边形 f、 m、 e、 c 是 矩形， 我们得到了这个四边形是矩形，有什么用呢？矩形既然用角度相等去得到的，说明你要用对应的线段长度呀，或者说线段的平行。 我们来看一眼问题吧，问题是在问你 g m， b e 以及 c g 的 数量关系，我们找一下啊， g m b e， 那 你全等 b e， 是 不是立马学会转化到 f g 以及我们 c g？ 很 明显是两条短线段和一条长线段，常规的就是这两条短线段的和加起来等于我们的长线段。 以及你发现了没有，你把 b e 转成了 f g 了以后，你就能得到我们这两条短线段的和，就是 f m。 那 矩形我们的 f m 是 不能转到 c e， 然后再用刚才的 全等得到 c e 还等于我们的 c g， 所以 是不就找到我们的数量关系了？所以通过矩形我们去 得到我们的 f g 加上 g m 就是 我们的 f m f m 这条线是可以转成 c g 的 这条线的，当然它是先转成我们 c e 的 这条线，当然 f m 加上 g m 其实就是我们的 f m 加上我们的 b e。 写步骤的时候，你把需要转化的相等线段写一下，然后把我们的长度关系表示出来就可以了。这是我们第二题的第一小问，那我们来看第二题的第二小问， 他说如图三，已知 a d 长度等于二， b e 的 长度等于一。我们来标一下能求出来的线段长啊。 首先勾股定律一二，根号五，以及我们的这个直角是不是能帮助你去得到三角形 a， d e 和三角形 b， c e 是 相似的，那你通过相似比就能得到 a e 的 长度是四，以及我们 d e 的 长度是二倍，根号五。 有了这些线段长了以后，它说当点 n 与点 d 重合时，连接 c h 交线段 d e 于点 p， 当以 d g、 p 为顶点的三角形是直角三角形时，让你直接写出 g、 p 两点之间的距离，也就是在求 g p 线段的长度。 找一下我们要的点啊，说的是点 d， g、 p 这三个点为顶点的直角三角形， 那我们先来看一下。首先你要去考虑这三个点当中，点 d 是 固定的点，也就说它是一个定点，但是我们的点 g 和点 p 都在动， 那就对于你去思考这个图形到底是什么样子的，产生了一定的难度。那我们该怎么进行思考呢？要记住所有的动点问题，先考虑到底有什么固定的地方，也就说定点不变的有哪些？定点或者定线段 或者定角度。先把这些固定的东西确定下来，我们来看啊，定点的话，是不是 a、 b， c， d 以及点 e 都不会发生变化了， 那我们线段的长度，除了这些由定点构成的线段长度以外，这道题的图形构成方式主要是我们的折叠， 那由折叠你是不是去得我们的角相等以及边相等，以及这条折线是我们的角平分线， 所以这个 c、 h 是 我们 f、 c、 b 的 角平分线，当然它也是我们 g、 c、 e 的 角平分线。 那你发现了没有，这个定点这个动点到我们角的一条边上头一直有一个直角，而且点 e 跟点 g 是 对应点， 所以如果你连接 gp 的 话，那其实我们的 p、 g、 c 永远也都是一个直角， 那当你有了这一点以后，它说的是什么？它说的是 dgp， 三点为顶点的三角形是直角三角形，你自然而然考虑什么考虑如果我们的角 d， 也就说点 d 这儿的顶点是九十度的时候是什么情况？ 然后我们点 p 这的这个顶点是九十度的时候是什么情况？还有我们点 c 点 g 是 九十度的时候是什么情况？我们一个一个来想，首先点 d 是 九十度，因为 d p 这条线虽然点 p 在 动，但是 d p 这条线是固定的，所以九十度是不是这个样子去做的？ 那我们说题目当中刚开始告诉过你， ab 是 大于 bc， 并且大于 be 的， 所以 我们 c 点 g 的 这个点是到不了我们想要的这条垂线上的，所以第一个角 d 等于九十度，这种情况让我们排除掉了，那排除掉以后，就剩角 p 等于九十度，以及角 g 等于九十度了。我们一个一个来看， 我们来分析一下角屁如果等于九十度的话，你看角屁等于九十度，是不是你可以标这有一个九十度的角，你发现什么？你发现 一个九十度的角，两个九十度的角，三个九十度的角，那三个九十度的角放在一起，说明你最后形成的这个，也就是说它这形成的是一个什么图形？ 它这形成的是一个矩形，因为它已经有了三个九十度的角，那当它有了矩形了以后， 我们的 c g 是 不还永远都等于 c e， 所以 它不只是矩形，它还是一个正方形，那正方形就是 c e p g c e p g 是 我们的正方形，它让你求的是 g， p 的 长度自然而然就等于我们 c e 的 长度就等于根号五，所以角 p 等于九十度的时候，我们 p g 的 长就等于根号五。这就是我们 第二小题第二小问的第一个答案。那我们再来考虑另外一种情况，是不是角 g 旁边的这个 p， g、 c 一 直都等于九十度，然后我们再要求 p、 g、 d 也等于九十度的时候，那是不是说明 d， g、 c 这三点就贡献了？所以它找到的情况应该是什么样子的？应该是我们这个样子的， 就是我的 p、 g、 c 也是九十度， 那你这些度数都有了以后，让我们求的是不是 p、 g 的 长度？我们来看我们能知道的线段长度都有谁？是我们的 be 等于一，然后 bc 等于二，所以 c、 e 等于我们 c， g 的 长等于根号五， 那你整个 cd 的 总长是不是就是刚才的四加一？也就说五，那我们 d， g 的 长度是不是就是我们的五？减去根号五， 然后求 g、 p 的 线段长度，自然而然把它放在直角三角形中。放在直角三角形中，你会发现我们的三角形 d， p、 g 这个角 d 的 度数是不是知道这个角的 tangent 指，因为我们平行线 是不是到了这了，这是不是跟这个角相等？也就说这些角的 tangent 值都是一比二比一比二，所以我们这一条 g、 p 的 长度就应该等于什么？等于二分之五减根号五， 这就是我们二十三题第二小问的两个解题思路。
09:07查看AI文稿AI文稿好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天来说一说这个二零二六年河北区九年级二模数学第二十四题的相关解例思路啊。这个题我觉得对于二十四题来说还是相对比较容易一些的啊。 那么看这题啊，说是这个矩形当中点 a， 点 b， 点 d 告诉我的，然后 d 问问我点 c 的 坐标， 因为是个矩形，所以他从 a 怎么挪到的？ b 用同样的平移方式就能把 d 挪到 c， 对 吧？所以 a 是 十二到零， b 是 零到负九，那就是 a 向左挪十二，向下挪九，那同样的平移 d 向左挪十二，向下挪九就是 c， 所以 d 点是零到十六，那么向左挪十二，向下挪九，点 c 坐标就知道。 然后求 a d 的 长，那这更好办了，对吧？这个边是十二，这个边是十六，不建议大伙这个勾五定，你算了，这数有点大，给他稍微的比例一下，十二比十六，是三比四，那么这个边一定是比五，对吧？三四五吗？ 对吧？那这个边是五的话，那么我是十二除以的四变成了三，对吧？所以呢，五再乘以四，这个边就是二二十，这样会比较快一些啊。 好，这是第一个来，第二个说是直线 l 经过点 c， 且这个 l 平行于外周，就是 呃，过点 c 做一个平行线，对吧？然后将这条线方就是平移， d 是 零到二十四，为什么是二十四？我们看 c 点横坐标是负十二， a 点横坐标是十二，也就是这条线是从这个矩形最左边挪到最右边啊，这是一个整体的曲值范围， 然后说把这个 l 十左侧的部分向右侧翻折，然后又矩形的右侧部分重叠，面积记为 s。 来看圈一 都是在这个外周左侧的时候重叠，图形为三角形的时候。呃，这个用 t 的 式的表示 m n 的 长，也就是这段的长，对吧？好，然后直接写出 t 的 取值范围， 这个事我们怎么干？呃，熟悉我的这个家长们都知道，咱又开始了啊。第一步，先求 t 的 取值范围。首先如图二这个样子，他明显就是一个三角形，对吧？好，他什么时候？不是， 不是说当这个 c 在 外头，这不是你过去之后，他还是和这个剩下的这个右半部分重叠，还是一个三角形，什么时候？不是的，当这个 c 挪到了叠过来，是在 a d 上的时候， 这个时候他就不是。所以我只要求出来，当 c 叠过来正好落在 a d 上的时候，这个时候他对应的这个横坐标是多少就可以了，我只需要取这个 c 和这个点的中点，这就是我翻折的这个一个临界的位置就可以。所以 t 应该是大于零， 小于某一个位置，那这个位置怎么求这个位置？因为你是 d l 来的，他和这个 a d 的， 哎呀，和 a 和 c 的 这个纵的标是一样的， c 是 负十二到七，所以这块是七。那我现在要求谁？注意求的是这段， 那这段等于啥？ o a 减这段呢？对吧？为什么这么算？因为这段很好求这个角。刚才我算第一问的时候是知道他这是 对边邻边斜边是四比三比五，所以我知道对边求邻边，我只需要用七乘以四分之三就可以，这是四分之二十一，所以剩下这段呢？是二，减去四分之二十一等于四分之二十七。 好，这个点的横格标是四分之二十七，我知道，那这个点的横横格标是负十二，拿它们俩加一块除以二，就是中间的这个数啊，但是我，我要知道我是奴的距离，所以我不能拿它加负十二，我得是四分之二十七加上十二，然后除以二。 啊，那这个是四分之二十七，加上四分之四十八，二十七加上四十八，这是七十五，再除以二，那这个是小于八分之七十五。 好，考虑完这个范围之后，看看两边能不能去等号 g 等于零的时候，这个显然不合适，对吧？等于零的时候，这个图图都没有，那这个能不能小于等于八分之七十五？就是当 c d l 来正好在 a d 上的时候行不行？当然可以，他没有出去的话，这位置还是一个点，所以他依旧是一个三角形， 哎，于是这个这个题取之范围就是大于零，小于八分之七十五就完事了。 好，接下来我这个 m n 怎么表示，我先看这 t 在 哪，题目说是将直线 l 沿水平方向向右平移 t 的 单位长度，也就是说这块长是 t。 哎，我要知道，这块长的题等于我知道这块求这段长，那这个事我怎么办？我们不用打理那么麻烦。没，没有，这个题没有那么费费劲，其实挺挺容易个事，就是我在这个三角形这个直角三角形当中， 我相当于知道这个斜边上的高求斜边，就这么个事了，对吧？而这个三角形呢，他的这个三边的这个比例是确定的，因为我刚才求过这个角， 对吧？你，你可以自己倒一遍，这个角和这个角相等，因为平行这个角和这个角相等，也叫他的对比斜边的关系，因为他是个三四五嘛，谁稍微长一点那个直角边，谁就是那个四，就完事了。 所以这个 t 是 在这个小的三角形里边，它是四的那个边。所以，嗯，我上这个 c m， 它就可以表示成 t 乘以四分之五，这就是 c m 的 长。那 m n 呢？是在这个三角形里边，它是那个五份，而在这里面的 c m 呢，这是三份，对吧？所以这个 m n 它可以写成， 他可以写上 c m 乘以三分之五，就是他。于是这数字出来了， t 乘以四分之五，乘以三分之五，这就是十二分之二十五， t 完成任务， 而这个过程你只需要去证明相似，或者用锐角、三角函数导角相等就可以解决问题。那他不困的，他不困 啊。好，这是这个第圈一啊。来看圈问我， s 等于二十五分之二十四时候求 t 等于多少？各位，呃，这是我们今年第三个看到给 s 求 t 的 t 的 这种题啊。我建议啊，这个如果给的是 t 的 取值范围，咱就直接绕过吧，太不好求了。但是给一个数据还好，尤其是这么小的数， 各位一定要注意啊。这个题为什么我说咱可以算，因为它这个点感觉都特别特别大，这个是十二到零，这个是零到负九，零到十六，也就是说这个边长是实际是十六的，这个是十二，很长，但是他给我的数还不到一，也就是这个面积相当小，特别特别小的一块面积， 但它有可能是二十五分之二十四，对吧？而这小块面积怎么算？我刚算过的一个 m n， 对 吗？ 那么这可以当底，我这个 t 就 可以是高，所以这个面积其实表示起来不困难，这个面积可以写成二分之一，底就是十二分之二十五， t 就是 m n， 高就是 t 往上扔，哎，这个简单算一下，这是 二十四分之二十五， t 方八等于啥？八等于这个二十五分之二十四，所以这个 t 方呢？它就应该等于二十五分之二十四的平方，所以 t 是 多少就是二十五分之二十四， 哎，一个数有了，好，那另外一个可能在哪？可能是叠的快叠，叠出去了， 还剩这么一个小角的时候，整个图形叠完重叠的就剩这一小块了，对吧？这是二十五分之二十四的时候，哎，同志们，看这两个像啊， 这两个特别像吧？这两个弧弧形，就是我要把这块看成 t 的 话，它的算法基本上都是一样的，对吧？所以我们没有必要再算一遍，也就是说，我从零到二十四正的推过来的时候，有一个这么个点能让它面积是这样，那如果，如果我反着推，我从 a 算过去呢？是不是从 从 a 开始再推二十五分之二十四的，也也能变成这个面积，对吗？那也就是说，我这个位置只需要拿二十四减去这个数， 他就能让这个面积等于二十五分之二十四，对吧？所以这是二十三要二十五分之一完成 啊。所以这个题我觉得就是你，你，你稍微的想一想，再计算，可能比直接计算这个要更好一些啊。 好了，那这就是我们对于二十四题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。好了，那这个二十四题下课，大伙说到这。
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15:27查看AI文稿AI文稿红桥二模的试卷出的很不错啊，尤其是二十四题啊，双折叠问题，考察了几何知识的灵活运用的能力， 二十五题呢，比一模啊要简单一点，十二题，十七题呢，稍有难度，涉及到分类讨论的思想。整体来讲呢，这套试卷出的比较不错啊，难度贴合中考创新题呢，开阔眼界。呃，选拔数学能力啊。好，咱们先来看一下这个二十四题啊， 二十四题呢，这个动图啊，大家现在也已经看到了，对吧？哎，呃，第一问呢，比较简单啊，但是我们第一问呢，我们也来说一下，好，动图我们先让他停一下啊， 呃，在这里头呢，因为 o c 的 长度是确定的，对吧，大家也能够看到这里边有很多的三六九的三角形，换句话说呢，这里边出现的，呃，三角形几乎都是三六九的三角形，对吧？折叠过来，这个折叠过来，那么这样的话，这就比较容易了，这是六，那么这是二倍根号三， 哎，那么同时呢，这段的长度我们也可以知道是四倍根号三啊，同时呢，这段的长度是也是六，对吧，如果你往下做一个垂线的话，这段的长度就是三，于是这段的长度呢，就是三倍根号三啊， 所以这样的话呢，点 d 的 坐标就是二倍根号三到六，点 c 撇的坐标呢，就是三倍根号三到三， 对吧？哎，这样的话呢，第一问，这就完成了啊，好，下面我们来看这个第二问啊，第二问，他说这个 b 撇啊，他呢，要求满足啊，两个条件啊，哪两个条件呢？第一个 必须在 dc 撇的延长线上啊，就是平着走，哎，得往下走啊，然后呢，第二个还得干什么呢？哎，得在 o a 的 上方，也就是说他的两个边界点，一个是这个，还有一个是这个，对吧？哎，那我们现在来看一下啊，如果他 b 撇点正好在 c 撇点的时候，这个时候这个它等于多少呢？哎， 这不相当于这个时候正好 b 撇点和 c 撇点是重合的，对吧？那刚才我们看完了，这个是六，这个是二倍，刚好三啊，这个是四倍，刚好三，注意这个时候这是几？哎，这也是六，对吧？这也是六啊，那么我们非常容易能够证明这段的长度，对吧？哎，这段长度是多少？换句话说的，你也可以证明你把这个如果哎走 哎连起来的话，那么这个线你延长，一定过这个点啊，一定过这个点啊，也就是说这个时候这个 它的长度是多长呢？也是哎，四倍根号三，因为这个都在一块啊，对吧？这个点，这个点，这个点啊，它共线的时候，对吧？我们非常容易能够把它算出来啊，所以这样的话，这是四倍根号三，对吧？哎， 这里边很多的全等，我就不给大家一一这个证明了，对吧？你用其中的任何一对全等都可以求出此时这个 o a 的 长度是四倍根号三啊。好，下面我们来看接下去啊，嗯，把它拖动到这个地方 啊，那么如果他在这个地方的话，我们进一步又看到这个 o b 撇 d 这个等边三角形还是存在的，对不对？所以这阵的长度呢？还是四倍根号三 啊，现在关键求的是这块，对吧？那如果这个是四倍根号三的话，那么现在我们来看，那这块的长度，那我应该怎么算呢？因为这个是二倍根号三，对不对？哎，那么剩下的这个条件我们应该怎么给他找出来呢？哎，这块的长度我们应该我们看看啊， 这应该怎么算呢？此时这块的长度是多长呢？也是四倍根号三，对吧？哎，如果他也是四倍根号三的话呢，从而这段的长度也是四倍 根号三，对吧？哎，那这样的话，你算这边也行，你不算这边呢，你直接把这两个干什么呀？加起来， 这就有了，对吧？这加起来的话等于六倍根号三，当然了，你从这边绕一圈算出来这个，再算出来这个，再把这个加上，那也一样，最后结果是相同的啊，所以这个时候呢，它的边界点就是六倍根号三，所以呢，此时这个 t 啊，应该范围是 大于啊，四倍根号三，小于六倍根号三，那我们再看一下有没有取等呢啊？因为他要求这个 b 撇点得在什么呢？得在这个 d c 撇的延长线上，所以这个地方没有取等，同时呢，又得在 o a 的 上方，所以六倍根号三这个地方也没有取等号啊，所以这个呢就是 t 的 取出范围 啊。下面我们来看这个点 b 撇的坐标啊，那么我们不妨就用这个解析的方法来就可以了，对吧？ 我们呢，把这个两条直线的解析式呢都给它求出来，一个呢是 b 撇 e 的 解析式啊，还有一个是这个，呃， dc 撇的解析式啊，这个 dc 撇的解析式呢？当然它比较容易了，对吧？哎，因为呢，呃，这个角 这是六十度，对不对？所以呢，它里边这个斜率如果是 y 等于 k x 加 b 的 话，这个 k 一定等于什么东西呢？负的根号三，对吧？哎， 然后呢，它与 y 轴的交点，你想一下你也能知道了，因为这段长是六，对不对？所以我如果延长上去，让它与 y 轴相交的话，它与 y 轴的交点一定是零到十二，对吧？哎，这个我们可以很快速的算出来，所以呢，这个 d， b， d， c 撇的解析式求出来之后，它就应该是 y 等于负根号三 x 加上十二，对吧？哎，接下来呢，哎，我们来算一下这个点 e 的 坐标，当然了，是用小 t 来表示出来，那么点 e 的 横坐标呢？ 他肯定是 o a 的 长度就是 t， 现在关键算出点 e 的 什么呢？算出点 e 的 纵坐标，那么现在这段由于是六，这段是二倍，根号三，而 o a 的 长度呢，是 t， 也就是 bc 的 长度是 t， 所以呢， b， d 的 长度我们可以算出来是 t 减二倍，根号三， 对吧？从而我们又可以表示出谁呢？表示出 b e 的 长度， b， e 的 长度就是拿 b、 d 的 长度除以根号三，对吧？所以呢，除完的结果是啊，三分之根号三 t， 哎， 减二，对吧？哎，得到了这个之后呢，我们再从这个六里边减去，哎，这个 b， e 的 长度就得谁呢？ a， e 的 长度对吧？那么 a， e 的 长度减完了是八，减三分之啊，根号三 t。 于是这样的话呢，我们就可以知道啊，这个点 e 的 坐标了啊，点 e 的 坐标写在这了，它的坐标呢是 t 啊，逗， 八减去三分之根号三 t 啊，哎，这个呢，就是点 e 的 坐标，那么有了点 e 的 坐标之后呢，我们就可以来求这个呃 b 撇 e 的 解析式，对吧？那么这个 b 撇 e 的 解析式呢？我们 把它带把它设成这样的一个式子啊，这是 y 等于 k x 加 b， 但是这个 k 我 们明显可以看到它一定等于三分之根号三，因为这个地方是什么呀？是三十度，对吧？哎， y 等于三分之根号三 x 呢？哎，加上 b 啊，那么当然这个 b 和刚才我们算这个这条直线里边的 b 不是 一个 b 啊，但是因为我们很快就算出来了，所以我们就也用 b 来表示，因为 b 在 这里到最后并不会出现，不影响我们的计算啊。 我们把这个横坐标 t 带到这个地方，把纵坐标八减三分之，刚好三 t 带到这个地方，我们就能够算出来 b 的 值，对吧？那么这个小 b 的 值呢？算出来之后啊，计算过程我就不给大家赘述了，它等于八减去三分之二倍，刚好三 t 啊， 所以这样的话呢，我们最后算出来这个呃 b 撇 e 的 解析式啊，呃 b 撇 e 啊，哎，这样的话呢，它的解析式就是 y 等于三分之根号三 x， 呃，加上八减去三分之二倍，根号三 啊。然后我们把这两，我们把这两个式子干什么呢？哎，我们需要把它给连立一下啊，连立一下之后呢，我们就能够求出来这个我们的 b 撇点的坐标了，对吧？这个 b 撇点上面的焦点啊，好，把这擦一下，然后呢， 你再连立呢，就是把这个 y 消去，对吧？所以呢，他求出来的这个焦点的坐标呢？这个横坐标呢？是呃，二分之一的 t 加上根号三， 纵坐标呢？是呃九减去二分之根号三 t 啊，就是把 t 当做一个已知数，把这个方程组呢，你给解一下啊，这个呢，就是 b 撇点的坐标啊，当然了，这个里边我刚刚跳过去的那些个计算过程，对于咱们同学在考场上来说，还是有一些个小的挑战的啊， 这个计算过程呢，虽然不是说极端的复杂，但是呢，你要想把它算对的话，也得有一定的计算功底，并且呢，还要仔细啊。好，下面我们来看这个第二大问的第二小问，也就是整个这个题的最后一问啊，他让我们来求什么呢？求这个面积啊， 好，那么刚才我们已经知道了啊，就是说呀，哎，呃，这个时候是 t 等于四倍杠上三的时候，对吧？哎， 呃，这个时候呢，是 t 等于呃六倍根号三的时候，而且呢，我们明显也可以看到，哎， 在这个过程当中， t 从四倍根号三增加到六倍根号三的时候，这个时候它的呃重叠部分面积，重叠部分形状是一个三六九的等等幺三直角三角形，对吧？那么在这过程当中呢，它的面积显然是逐步在增大的， 对吧？而他现在这个题目里边说的呢，是这个 t 等于从要从五倍根号三开始啊，五倍根号三开始， 那么显然在这一段范围里边啊，也就是从这个五倍根号三，五倍根号三啊，到六倍根号三，在这个范围里边啊，它面积的最大值是什么呀？哎，是六倍根号三，那它的最小值就得是谁呢？哎，就得是这个五倍根号三的时候，对吧？哎， 但是无论哪样呢，我们这个直角三角形啊，等幺，这个这个三六九的直角三角形 d b 撇 e， 它的面积啊，如何用 这个 t 来表示？我们还是要把它算出来，为什么呢？因为即使到下一个阶段，就是 b 撇点跑到 o a 的 这个下边来的话，我们也得从这个三角形里边减掉这个小的白色的三角形 g f b， 对 不对？所以 d b 撇 e 啊，它一定要用小 t 给它表示出来啊， 那么它如何用小 t 给它表示出来呢？哎，我们来看一下啊，哎，如果呢，我们想用它呢，把这个小 t 表示出来的话呢？我们把它，哎关键的这个边长我们给算一下就可以了，对吧？因，因为在这里头呢，这块是 t 减二倍根号三， 而这块的长度呢，我们也表示完了， b e 的 长度是三分之根号三， t 减二，对吧？所以呢， 它乘以它再除以二，就是这个红色的面积了啊，为什么呢？因为这两块是全等的，对不对？所以在此时此刻，在这个范围里，那么 s 应该等于什么呢？它应该等于 t 减去二倍根号三 啊，乘以三分之根号三， t 减二后，再乘以一个二分之一，对吧？哎，那么我们把这个式子整理一下，整理完了之后呢，是六分之根号三，然后这是 t 减二倍根号三啊，哎，括号的平方，对吧？哎，呃， 好，我把这个我们先擦一下啊，哎，这个呢是在什么呀？哎，是在相当于呢上一段范围之内，就是说 t 呢，在四倍根号三到六倍根号三这个范围里的时候，哎，这个 s 的 表示范围，那么由于呢，哎， 它的对称轴我明显看出来，其实我不看对称，我们也能想得到，对不对？但对称轴是二倍根号三，那么在五倍根号三到六倍根号三的时候，它是在对称轴的右侧，而且它是一个开口向上的二次函数，对不对？所以呢，这个时候我们能够求得 m 的 s 的 什么呢？ s 的 最小值就是什么呀？就是 t 等于五倍， 哎，根号三的时候，对吧？哎，那么这个时候呢，这个 s 最小值，我们可以把它求出来，把五倍根号三代入，我们就能够得到，是什么呢？哎，二分之九倍根号三，哎，二分之九倍根号三，对吧？哎， 好，那么这个二分之九倍根号三，我们再核对一下，能不能取等呢？它是可以取等的，对不对？所以呢，我们把这个哎放在这，哎， s 的 最小值 等于啊，呃，二分之九倍根号三，这个是 t 等于五倍根号三的时候啊，哎， 那么可能有同学会问了，老师，你怎么知道哎，这是他的最小值呢？啊？那么他接下来再往这走，他难道不会再继续变小，变得更小吗？那当然不会了，对吧？也就是说，根据你解二十四题的这个经验，他再往下， 它变成了一个三角形。 d b 撇 e， 减去谁呢？减去这块白的，那你可能说减去这个白，减去这个白的，那不应该变小了吗？这怎么可能呢？被减数和减数同时都变大了，它的这个差， 你怎么可能据此就判断一定变小呢，对不对？而且根据我们的解析情形，它肯定是变大的，而且这块面积还是一个关于 t 的 二次函数，只不过是换了一个解析式而已，对吧？ 那么现在我们来看啊，这个时候啊， d b 撇 e， 它的面积是什么呢？哎，如果我要用小 t 来表示的话，它还是我们刚才这个六分之根号三乘以 t 减二倍根号三，对吧？哎，的平方啊， 还是这个，现在我们只不过要把干什么呀？哎，我们要把这段给它算出来啊，我们要把这段给它算出来，那么我们要想算出来这段的话呢，我们来看一下啊，哎，这个 a g 的 长度啊，这个 a g 的 长度我们是不难表示的啊，为什么呢？哎，这个 a g 的 长度 等于什么呢？等于这个 t 就是 个 o a 啊，减去 og， 对 不对？那么这样的话，这个 a g 呢，就等于 t 减 四倍根号三，对吧？因为 og 就 四倍根号三呢，对吧？刚才就 o d 的 长度嘛，因为这一个等边三角形，对吧？哎，然后呢，这样的话呢， f g 的 长度我们就可以给它，怎么样？哎，我们就可以给它表示出来了啊， f g 的 长度等于什么东西呢？等于。哎，这个我拿 ag 再减去谁呢？ af， 对 吧？那 af 的 长度有可能可能不知道，我再给你说一句啊，哎， af 的 长度，那应该，呃，怎么表示出来呢？ af 的 长度那不应该是八倍根号三减 t 吗？对吧？哎，这个是 af 的 长度，对吧？哎，然后这个 f g 的 长度我们就可以有了，它最后是十二倍的根号三减去 二 t， 对 吧？哎，减去二 t 啊，对吧？哎，然后这样的话呢？呃， f g 的 长度，根据我们之前的这个面积公式，他知道斜边三六九的三角形，知道斜边的长度是八分之根号三乘以斜边的平方，对不对？所以呢，这块小的啊，这个面积就是 八分之根号三乘以十二倍的根号三减二， t 啊，括号的平方啊，那么我们现在要给他呢整理一下啊，我们现在给他整理一下，哎， 呃，整理完了之后呢，就是这个，呃，把这个四，把这个八呀拆成一个四给他塞到里边去，这不里边这个系数就能变小一点吗？对吧？哎，里边系数就能变小一点，哎，好，那么这样的话呢，最后这个面积等于什么呢？面积 等于就这块，哎，就是这块啊，然后呢减去这个，对吧？减去这个，哎，好，那么这样的话呢，我们得到它的这个面积就是六分之根号三， t 减二倍根号三，括号的平方减去八分之根号三，六倍根号三减 t， 哎， 这个平方对吧？哎，这个的平方，对吧？哎，然后这样的话呢，呃，我们就可以知道把这个式子我们需要干什么呢？等于给他整理啊，这个地方是二分之啊， 因为我把这八给放到里边去了，对吧？拆出一个四来放到这里边去了已经啊，所以这个里边就不是十二也不是二，是六倍根号三，然后减去 t， 对 吧？然后这个式子我们整理一下之后最后等于什么东西呢？负的三分之根号三， t 减八倍，八倍根号三的平方加上十二倍的根号三， 对吧？那么这样的话呢，我们看它的对称轴是八倍根号三，所以明显能够看出来 t 等于七倍根号三的时候得到这个最大值，这个最大值啊，我们是多少呢？哎，最后算出来呢是，呃，是十一倍的根号三，哎，这个呢就是 s 的 取值范围，最小值是二分之九倍根号三，最大值呢？是十一倍根号三啊。好，就讲到这里。
108天津数学王天元
04:32查看AI文稿AI文稿好 lucky 同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年河北区九年级二模数学第十八题的相关解题思路。这道题它这个点还是不太难想，但是有点不太好找啊， 那我们看这题啊，数字在变成为一的这个正方形的网格当中，点 a b， c 是 格点， a， d 是 直径， c 在 a d 上就是 a c 的 延长线，这是这个圆的一个直径， 然后射线 a b 交于点 p， 这个是交于点 p， 然后点 m n 是 这个格线的这个焦点， 那第一个问我 bc 的 距离，那这个好办，对吧？ b 是 这个横一竖着一二三四，然后横一竖四的话，根号是七，这个不会解，对吧？那我们看下面数值中无刻度指示，在 a n 弧上，在这边找一个点 q， 使得 a q 等于 pm， pm 它都没连上，就是这条线，我们应该找这个和它相等的一条线，大概 大概这样，对吧？然后让我找这个 q 点的位置，然后说这个所画的这个线不能超于十条，嗯，那我们来看看这个吧，这个大概是一个什么样情况呢？既然他没给我连，其实我就不应该去奔着这个线段 mp 去下手，对吧？因为题目当中图都没告诉我， 那我现在奔的这个方向应该是弧， m p 等于弧 a q 哎，弧等就可以。而如果想到弧等的话，两个方向，一个是奔角，一个就是奔我的这个 am 这块，因为 am 是 在格格线上的，那么 am 就是 一个水平的一条线，那其实我如果能过点 p 做一个水平的一条线， 做一个平行的话，那么直接就有 m p 弧等于 a q 弧就完事了，对吧？那这个方向的话，就是过点 p 做 am 的 平行线就可以，对吧？好，那平行线做法的话，在我们这个原理里面算是相对比较基础的一个做法了，对吗？我们看这平行线怎么怎么做啊？这个 既然 a d 是 一个直径，那么点 a 在 这个格点上，那么 a 这个方向再画大点，因为这个 m 不是 在这边，是在这边格格线的交点，连接这个和点 n， 它就能有圆心。对，我找到圆心之后，我说我能过这个做 am 的 一个垂线，是不是就能解决这个问题， 对吧？好，那我这样的话，我其实做 am 的 垂线就相当过点 o 做 a n 的 一个平行线就可以了，对吧？那么这个平行线呢？就就比这个过点 p 要容易的多，因为这个 m、 a、 n 这三都在 格格上，对吧？那我现在这个从 m 开始，一二三四五六六个多一点，这个是 n 的 位置，那么这个终点我知道的是 o， 那么我再找一个终点，勾到终点线不就能有平行，对吧？所以我从这开始数一二三四，这个点和 m 一 连接， 这样的话它和隔着这个焦点，这个点就是这条线的一个终点，那么连接圆心和这个终点自然和 a n 是 平行，那我把它延长过去，和这个 am 能有一个焦点，那这条线就是一个 am 的 一个垂直， 好了，有了这个垂直，我其实就是把 p 关于这条线做个对称过来就可以，对吧？那这个对称就换好版了。我连接 ap 和它有一个焦点，我连接 m 和这个焦点过来， 那这个点就是我要的点 q 解决问题啊，就是这个， 呃，这个就是因为 n m 的 一个特殊的位置，我觉得这个方法还是不太容易想到啊，因为这个 am 是 一个水平的位置，过 p 做它的一个平行线，找这个垂直的在对对称的确有点不太好讲。 好了，那这有我们对于十八题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个十八题先和大伙说到这了。
23叫兽
05:00查看AI文稿AI文稿上海中考数学又出新定义这道浦东二模第二十四题最后一问角度陷阱， 百分之九十的同学连题目都读不懂。大家好，我是苏老师，今天我把这道冠轴抛物线压轴题，从基础到角度陷阱， 一步一步讲解透，让你考试不丢分。下面我们来分析第一小题。因为一次函数 y 等于负， x 加三经过 c 点， 所以这个 c 点坐标就出来了。零三，我们可以把这个抛物线经过 c 点，先设出 a 点坐标计算出来。三、零，把它带入，就可以把 b 求出来。二次函数的解析式 迎刃而解。第二小题是平行四边形的存在性问题，我们先来求 a 点， c 点的坐标，把二次函数设出来，因为它经过 a 点，所以我们就有了关于 m， n 的 方程。把 m 解出来，带入 二次函数的解析式，把这个解析式整理一下，写成交点式，这样我们就得到了 b 点的坐标是负一零， 看这个二次函数的解析式，我们就可以把顶点的坐标写出来，横坐标负的二， a 分 之 b， 重坐标四， a 分 之四 a， c 减 b 方整理一下。因为四边形 b、 c， d， e 是 一个平行四边形，我们可以对 e 点进行调整， 让它是平行四边形，这里可以用向量来做，也可以考虑到对角线互相平分，所以对角线的焦点一定在 y 轴上。因为我们有 b 点坐标， d 点坐标，用中点坐标构造方程， 现在我们只要把这个 n 解出来就可以了， n 等于三。第三小问，角度陷阱的核心重点来了， 我们先来求 y 一， 这条直线和坐标轴的焦点求出来，再求 y 二，它和坐标轴的焦点也求出来，这样有了 p 点 q 点， 而抛物线呢，是惯轴抛物线经过 p 点和 q 点，我们就可以把抛物线的解析式设出来，又因为它经过它们俩的交点点 m 带路进行计算，就把 a 求出来了。看一下二 k 加一分子，二 k 加一 k 等于负一，抛物线的解析式就写好了。总结一下， p 点坐标， q 点坐标， m 点坐标，现在我们都用含 k 的 式子把它表示出来。这道题目告诉我， 点 n 在 第四项弦，并且角 p m n 等于七十五度。思考一下， n 在 第四项弦， p m q 在 它的上方，是不是我们所部分的量要小于全量，所以角 p m q 一定要大于七十五度。 在三角形 p m q 当中，上面这个大的三角形当中， p m q 这个角要大于七十五度，而角 o m q 已经是四十五度的角了，所以角 m p q 就 应该要小于六十度。 在三角形 p m o 当中， m o 两 k 加一，它是大于一的，加一大于一的，因为 o p 等于一啊， 所以它又等于 o p， 所以 我们说角 m p q， 它应该大于四十五度。 好了，现在我们出来了一个范围，角 m p q 这一个角，他应该大于四十五度，小于六十度。 把数据带入二 k 加一，这个 o m 就 应该大于一，小于根号三。 好，这个角三十，他要大于根号三。我们来解这个方程就可以了解的， k 大 于零，小于二分之根号三。 总结一下，核心就是新定义的理解加平行四边形性质加角度的临界点的分析， 前两问是基础，最后一问是拉开差距的关键。想要本题完整的解析？微信公众号收挑战压轴题轻松入门篇 持续更新上海各区二模中考数学压轴题的精讲，帮孩子们稳不得分！
122挑战数学压轴题
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05:04查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，跟着马哥跑数学没烦恼， 今天咱看一下唐山二模第二题，告诉你这俩项链，还告诉你这俩项链平行，然后让你修这个 m， 这点修 有公式，平行公式叫内积得外积， 所以说平行都可以得出啥呀，都是二乘四之内积，里边相乘等于外侧相乘，外侧都是一乘 m， 然后都可以得出 m 得八，所以选答这题也是有手都中。然后再看第三题， 第三题是个集合题，这个集合题咋做呢？首先看这个 m， 这集合 x 方减四， x 小 于零，解这个不等式大伙都没问题吧， 那都是 x 乘以 x 减四小于零，然后有俩指，一个零，一个四，开口向上，然后他要小于零的，哪是小于零的， 周下边的周下边的那都是零到四，这都是 m 出来了， ok 不 ok 吧啊？然后这个 d， 这个 n， 这个集合 n 这个集合好啊，是 y 等于 lo n s 减二。 首先观察研究的是杠前面那个，这个杠前面那是谁呀？是 x， 所以说研究的对象是 x， 这研究对象别整叉逼了，整叉逼了，完了又掉壳了。然后那研究 x 范围了，那都是 lo， 那 有 x lo 减二， 那让这个右上角这个 x 减二等于零，推出来 x 就 大于二。 然后呢，又说了，后边 m 加 n 得啥，画一个这个图中必会内容啊，这小玩意一画要俩杠的， 那都是二到四，所以说选 b j t 又拿下了，又五分，这小球做着都上瘾呐。 然后接着看第四题又来了，第四题是咋回事呢？先读边题吧， sine， sine 等于负的 sine 二 sine。 后边先甭管它，都把这个设置展开，一下子散养二 c 的 都是二倍的，散养 c 的 扣三 c 的， 然后两侧都有三 c 的。 啪一笑，扣三 c 的 有了 q 三 c 得负二分之一， q 三 c 得负二分之一。你 c 特得二分之 pi 到 pi 都是九十度到一百八呀。那你的这个可以得出 c 特得一百二十度来了， 这已经成功四分之三了啊。然后他又又求这个弹 t c 的， 把这个一百二十度带带住的零弹击一百二等于负根二三。哎，第四期也结束了，选 c， 这都二十分了，你数学不好得分 做前四道题，二十分拿到手。这不有手都行。 再跟我读一遍吧。叫啥子跟着马哥跑。 下一句是数学没烦恼。
14马哥巅峰数学
