画幂、指、对、三、反三的函数图
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05:39查看AI文稿AI文稿私信里很多高一的小朋友已经学到了必修一的密函数板块，发现这个密函数的图像都画不到一块，所以今天小白给大家借一个 自己编的四句画图口诀。四句画图口诀给大家说一下必修一中低大函数密函数图像绘制的原则。这个口诀一共有四句， 屏幕这个上方啊，这个位置呢，我给大家用字幕打出来。记住，第一句叫画图先标双一，简称叫画图标双一什么意思啊？就是你要画一个命函数的图像，咱呢，先在第一象限内把这个一一点标出，这点标忘了啊，叫画图标双一。接下来呢，第一象限内的图像要怎么画？大家记住这的一个基本原则啊， 对于这个指数 a 啊，你只能把它分成三种情况，叫 a 要比一大，我就翘着增， a 要零一肩我就趴着增， a 要刚好等于一呢，直着增啊，不趴也不翘直着增。那如果 a 是个负数呢？ 那你在第一象线就是类反比例函数的减。还有最后一种容易被大家忽略的情况就是 a 如果等于零， a 如果等于零的话，他在第一象限内是一条水平的线。但注意，由于 我 a 二等于零， x 底数是不能等于零啊，初中知识啊，所以这个点必须是空心点啊。我给大家用醒目的红色标出好，大家回顾一下，这些人都有什么特点呢？这叫 a 等于一的时候，这叫 a 比一还大的时候，这叫 a。 介于零幺之间的时候，这叫做 a 等于零的时候，这叫 a 小于零的时候， 太难记了，怎么办呢？看这里给大家写了个什么蜂蜜函数呢？大家不要偷懒，将指数 a 先写成分数形式，比如说二就是一分之二，三就是一分之三。当我将 a 写成分数形式之后，你只需要研究这样一件事情，叫做， 如果 m n 同号，我就得增，如果 m n 一号，我就得减， n 大于 m 五翘着 增， n 小于 m 趴着增， n 等于 m 直着增。如果 n 等于零呢？ n 等于零呢？是不是就是光说的指数等于零的情形啊？所以 第一象限内的图像呢，记忆方法呢？很简单，你就记住叫做，我按 a 的值的界定方法来记，叫做三种增一种减一种水平。重复一遍，三种单调，增一种单调减一种水平。第一项先预定完了好口诀的第二句叫同期函为基， 意思是说，如果咱们 m 和 n 同为基数，则逆函数的图像是基函数，大家可别忘了，基函数是关于原点对称的，是不是有第一就不愁没第三，对称一下就行了？那第三句口诀叫上偶函为偶，我不管 m 的值如何，只要嗯黄颜色，黄颜色的，嗯， 他是偶数，我的函数就是偶函数，则我的图像需要根据左右进行对置，有一不愁没二，只要对称就能对称的出来吗？ 最后一句是啥？最后一句是其他只有一，意思是说，如果我既不是上下同为基数，也不是上边为偶数，则我的函数图像就仅有第一象限部分，没有其余象限的部分，就这么简单，对不对？就这么简单。所以我们今天来给大家实践一下，比如说蜜函数的图像，我随便写一个啊， 来整一个 fx 等于，因为现在是九月份吗？对不对？ x 的九字方，不要画他的图像，第一步别忘了，干嘛我要把九写成分数形式。一分之九，一分之九。那按照咱刚说的啊，我现在要画蜜函数的图像，要 画图标双一，我先把一点标出，接下来穿一。一点的第一象限图像咋定？同志们啊，一分之九是不是属于我刚想的比一还大的情形？比一还大，我得增，而且我得翘着增。第一象限搞定，接下来呢，同期函为基上，偶函为偶中他属于九为基，一也为级。同期 韩就是极函数，极函数。关于原点，对手，我有第一，我就直接可以画出第三。哎，这还过负一负一点 没错吧。来，再来一个啊，再来一个啊，黄颜色的，那 fx 等于 x 的，呃。啊，二分之二分之呃，一次方，对吧？对，瞄一个 二分之一次方，他也得穿一点，而且二分之一大家注意哦，是不是属于叫做虽然是正数，可是没比一大啊。没有达到一，那在第一象限增的方式就要按照咱刚讲的叫趴着单调底增啊。他不能翘起来，因为他的指数虽然是正数，可是没有超过一。那一分二分之一属于什么呢？ 同机吗？ no， 上偶吗？ no， 那他就属于口诀的最后一句，叫其他仅有一，所以命函数 y 等于 x。 二分第一次方，只有第一项线的图像，没有其余部分，这不完了吗？对不对？最后一个咱来画一个红颜色的啊， 再画一个红颜色的。那我们来画一个 fx 等于 x 的这个，呃，二分之呃，四次方，这注意一下啊，蜜函数，你所写成的指数可千万千万不要约分，你不要把二分之四给我约成一分之二啊，不要把二分之四约成一分之二， 比如说啊，六分之六分之三啊，六分之三你要约成三分之一，他概念上会发生改变啊。不要约分，就直接画 x 到二分之四。四方。同学们，二分之四好像比一大， 可是二分之四没有达到刚九那么夸张，所以虽然他翘着增，没有人家九这个人啊翘的高，所以第一项线翘着增的时候，画的时候悠着点来啊。好，接下来呢，二分之四是不是属于咱们刚讲的上偶函为偶的形象？既然是上偶含为偶的形形， 那是不是意味着他是一个偶函入，对不对？那他就得关于外轴左右对称，你看他很像一条跑步线啊，但他不是 线啊，只是很像一条抛物线，对不对？所以大家切记，切记，切记！我们在画觅函数图像的过程当中，口诀执行时，指数部分不要随意进行约分啊，重要的事情多说几遍啊，不要随意进行约分，该是指数几呢，就是指数几，直接进行图像的绘制即可。把咱们刚给大家说的秘函数绘制的口诀呢，务必记清楚，叫做 画图先标双一啊，同积函为基，上偶函为偶，其他只有一。给大家留个小任务，请画出蜜函数 fx 等于 x 的二零二一分之二零二二次方的。哎，二零二二次方的函数图像用那个口诀来执行？
2311教数学的照夜白
02:41查看AI文稿AI文稿上一个视频啊，我们研究了艾斯大于零的时候，密孩子图像怎么画的。那么接下来我们研究艾斯小于零的时候，他的图像。这么一句话，我们把阿尔法还是分成三种情况讨论。第一种，阿尔法大于零，他其实可以写成这种四字 pq 有要求，就是互字的正整数啊。你比如说三分之二啊，二分之三呢，对吧？三分之一啊 三，你说三呢？三给他写成三除一。我们分成三种情况讨论。第一种，你的分母是奥数，分子是 基数。因为分母是个偶数，所以说 x 小零，这部分是没有的。也就是说我们只有 s 大于等于零的图像，没有小零的图像。比如说 y 等于 s 的二分的一字方。 这个时候你发现这个二分之一，他的分母是偶数，所以说他只有大于等于零的图像，左边是没有的。我们再看一个 y 等于 s 的二分之三的方，他的分母是偶数，那 左边是没有的，只有右边。因为这个阿尔法大于一，他是这样古度上去的。第二 二种，如果你的分母 q 是个基数，这个时候他就有了基偶性，那这基偶性取决于人呢？取决于你的分子。如果你的分子是基数，那就是基函数， 他的图像就会关于原点对称，我们已经画出来了爱大人的图像，那就可以把俺小人的图像给他补出来。比如说我们要想画这个行的图像，你发现分母是个技术分子，也 是个技术行了，他就是一个基函数。大一零的图像是这个样子的，那小一零的图像就得这个样子。关于原点对称， 我们再看一个 y 等于 s 的三分之五的方，你发现分子分母都是技术，那就是一个金函数。大于零的图像是这样子的，那么小于零的图像就得这个样子。 第三种，如果你的分母是个基数，这个时候他有救星，然后你的分子是个偶数，那就是一个偶函数。他的图像就会关于外轴对阵。 比如说 y 等于 x 的三分之二次方，他的分母是基数，分子造数，那就是一个偶函数。我们先把哎大量图像给他画出来，因为他是偶函数，他的图像关于外周对阵。我们再看一个 y 等于 x 的三分之四次方， 这个很明显就是一个欧函数，大一零的图像这个样子，那小一的图像就是这个样子。
406laohuoshuxue
02:45查看AI文稿AI文稿那么 a 函数它反过来就是 x 的， a 是 幂，对于 f， x 和 a 都没有要求，然后只要会画图就可以了。那这里面分几种情况呢？分两种情况，第一种情况就是 a 大 于零的时候，第二种情况是 a 小 于零的时候，如果 a 大 于零，它一定单到 b， 如果 a 小 于零，它图像一定单到 b 减。我说的全是第一象限，你能明白吗？画 a 图像，先画第一象限，再画其他象限，其他象限怎么画？通过奇偶进行画，明白啥意思吗？好，如果大于零，还分两部分，如果 a 在 零之间， 它就是 a 比 e 还大，如果 a 在 离 e 之间，它会增长的比较缓慢。所以它大致趋势是什么样的呢？是这么增的，懂不懂啥意思吧？越增越慢啊？如果 a 比大，它增长的越来越快，所以它是这么增的。 把这个趋势给搞清楚没问题吧？如果 a 比零大，他一定过两个点，一个叫零到零，一个叫一到一。如果 a 小， 被人单独递减，那这个单调递减他只过谁？一到一，他不过零到零，为什么不过零？零？举个例子， x 负一次等于 x 分 之一，他能过零到零吗？不能，因为分母不能为零。同理，你就 说负二分之一，他是不是叫什么根号 x 等于 x， 如果同样也不能取零，能这样吗？那为啥过一到一呢？因为 x 是 x 密， 这什么 e 的 e 的 a 次幂， e 的 任何次幂就等于就这个意思，所以肯定过一就一。好的，现在我们可以来画图了啊。画图的话是这样的， y 等 x， 我 们先画一个，这是 x 的 一次幂，对不对？那么平方怎么画？平方这么画这个 x 的 平方是不是意思一个偶函数？这两个是因为我们以前就比较熟知，所以我们正常画了，这个焦点叫谁？ 一到一，这个点就是零到零。好，然后我们如果不熟知的图像，我为什么说先画第一象限？比如随便举个例子啊，比如说 x 的 一个五分之六随便写的，那么先看它正还是负的，是正的，所以首先它递增，那再看它比你大还是比你小，就比你大，所以增长的肯定快，所以什么意思呢？他一个怎么增这么增 那？因为五分之六可能在一二之间，所以这个线就在这，所以这个是五分之六，能懂啥意思吧？第一项线画完之后，我们来看看是 g 还是 o， 但是这个 x 六次密开五次方的，那么 x 当取负 x 时候，六次密跟原本一样吗？一样。所以什么函数？偶函数这边长这样，这边就长这样， 能明白啥意思不？跟它对称，关于白轴对称就直接画，就好像不太对，就长这样，就长这样，好。然后比如我再画一个，你说 x 的 四分之三吧，是不是他说比一小，但是比零大，所以它增长的比较缓慢，所以它怎么能这么整？ 看懂啥意思吧？就先这么凹凹过来啊，这是四分之三，那四分之三他是？高老师问你，他是一方开四次方根，那你说他七还是五呢？既不是七也不是偶，啥意思？为啥叫既不是七也不是偶？因为我只要开偶数，三四方根里面必须大于等于零，那么立方大于等于零，就相当于本身就得大于等于零， 能明白啥意思吧？所以 x 能取负数吗？不能。那不能取负数，他只有第一项线有图像，别的象限有吗？没有了，所以就画好了。跟根号 x 是 同底，能听懂啥意思吧？
12海风数学
12:06查看AI文稿AI文稿好，我们来看第二小节 m 函数啊，由于它的性质比较多，所以支点有三页，我们一点点来说啊，都很重要。 首先说一下 m 函数的定义，一般的形容 y 等于 x 的 alpha 次方，这样的函数称为 m 函数，其中 x 自变量 alpha 常数这个大家知道就行了。 然后下面这个图标我们指重点，讲前两行这五个解释看到了吧？然后他们对的函数图像大家可以观察一下，有没有什么异同点呢？ 相同的地方在于第一项线看见了吗？都是有图像的，然后相同的地方还有第四项线都是没有图像的， 第二项线和第三项线可有可无，这个就是密函数图像的一个非常重要的性质。也有右边这句话， 由上面的五个图像可知，密函数在第一项线一定有图像，在第四项线一定没有图像。至于在第二第三项线到底有还是没有呢？我们需要根据它的对称性来画，所以我提到了第二第三项线可有可无。我们在画图像的时候呢，应该画出第一项线 的图像，然后再根据轴对称或者是中对称，再补齐另外一半，那至于另外一半是在第二项下，第三项线的话无所谓，根据题目的要求就行了。然后继续看他的定域值，域基有性， 然后单调性，这个大家截图自行看一下，熟悉就行了。我提一下，公共点是一斗一，这个很重要啊，之后我们会把这些图像全部画在一个坐标系里边，他们有共同点是一斗一。 好吧，第一页就说这么多，大家记住啊，第一项线永远有图像，第四项线永远没有图像，第二第三项线可有可无。好，来看下一页。 好，我们来看第三点，二次函数的图像与性质，我们之所以把它单拎出来，就是因为太重要了，我们高中范围内求一些最值和范围，除了导数不等式， 还有三角函数中的辅料公式之外，就剩二次函数了，所以特别重要，从我们初中开始就是一个特别呃核心的内容吧。 然后之前我们也花大的精力讲了二次还是五大定律，所以说到这里的话，图表大家自行暂停截图或者看讲意都行啊，我就不带你详细讲了，相当于把之前的式子用函数的字母啥的全部表示出来了。 好，接下来看后右边的至零与点拨啊。解决二次函数图像与性质的问题需要注意。第一点，抛物线的开口方向到底是朝上的还是朝下的呢？也就是意味着 a 是 大于零还是 a 小 于零。 注意，已经是二次函数了，所以 a 不 能为零了，已经默认是二次函数了啊， a 不 能为零，然后对称轴的位置负二一分之， b 到底大于零，小于零还在哪边呢？定义区间，这三者要相互之约，分类讨论。那第二点我们要再看一下，数形结合。 在画图的时候，最好是我们先定性，画个草图，比方说开口朝上，大概这样画吧，与 x 轴有两个交点，哎呀，这样子画，然后具体再标数啊，再定量，看图标数求解就行了。第三点也是比较难的地方，二次函数在 b 区间上的最值有三种类型， 轴定区间、动区间定，也就是两定嘛，定加定或者是动加定，就这两种情况， 动加动这个好像讨论不出来，我们说两定的话，就是轴也是定的，区间也是定的，我们要求对值，这个往往比较简单，但是如果是动加定的呢，有时候是轴动区间定， 有时候是轴定区间动，所以啊，这个类型就比较多。但是我们要注意，无论哪种类型，我们讨论的话，都必须按照一定的次序，或者说是逻辑来讨论，这样子不重不漏， 那我们最终就一定能讨论出来，剩下的就是计算问题了。好吧，我们第三点就是这么多，下面我们继续讲下一页。好，我们来看第四点，一般密函数的图像特征，我先画个图，然后截个图像，把这些文字全部给它讲清楚。讲明白啊，你就知道是什么意思了。 画一个十字坐标系吧，然后找一个最常见的密函数， y 等于 x， 也就是 y 等于 x 的 一次方，对吧？然后接下来标出一个定点，一斗一， 再画几个 y 等于 x 的 二分之一次方，这个图像，这样画标一下， y 等于 x 的 二分之一次方， y 等于 x 的 平方。我再拿红色笔标一下啊，这个阿尔法是等二的，阿尔法等于一，阿尔法等于二分之一。好，来看一下啊。它的第一点， 所有的密函数在零到中全都有定义，说白了，那就是第一向下一定有图像呗，符合我刚才我所说的啊，图像都经过一到一，好已经知道了。第二点， 分为三个小点啊，当阿尔法大于零时，密函数图像都经过原点，并且他在零到中全都是增函数，也就是现在，你看阿尔法是不是都大于零？一个二分之一，一个一，一个是二，然后呃，第二点，特别的，当 a 阿尔法大于一的时候，密函数图像是下图。 什么叫下图呢？你看，就这个图像，他把这个尖尖是往下凸的。我们一般不说凸函数，凹函数啊，因为有些教材并不一样，我简单提一下吧。简单提到了课外补充了，有人这样说，哎，这是什么函数呢？ 然后大家按照生活常识来，他不就是凹函数吗？往下凹对不对？但是有些定义的他会这样想，他的延伸方向是往上延伸的，所以如果通过延伸方向来看的话，他是个凸函数啊， 对不对？图，它是个凸函数，如果通过这个图形呃形式来看的话，那它是个凹函数，所以众说纷纭。那么为了避免这种呃歧义的话，就直接说上凸和下凸了，很明显它是个下图函数，它是往下凸吗？尖尖吗？所以它是个下图？ 好，所以 a 阿尔法大于一的时候呢？ main 图像是下图的，很明显这个交叉往下读，刚才讲过了啊。然后当阿尔法大于零小于一的时候，上图你可以看，就这个地方交叉朝上，属于上图。 然后接下来阿尔法小于零时，第三点，阿尔法小于零时，它不经过圆点，相当于现在是一个什么呢？呃，这样子画了， 此时阿尔法小于零，最简单的例就是 y 等于 x 的 负一次方，也就是 x 分 之一嘛，此时你的阿尔法是等于负一的，小于零，不经过原点，并且它是在零到中间减函数。 这个联系在哪呢？联系到第一点吧，这个第一小点的时候我们给它说清楚了啊。然后第四点， 密指数互为倒数的密函数。在第一象限的图像，关于 y 等于 x 对 称这个图像能看出来啊， y 等于 x 的 二分之一次方， y 等于 x 平方，他们俩的那个，呃，互那个指数互为倒数吧，一个是二，一个是二分之一，它相当于一互为倒数，所以很明显他俩图像你看， 确实是关于 y 等于 x 这个图像对称的，看出来了吧。好，我们继继续啊，继续。第五点，在第一项线做直线， x 等于 a， 这个是 a 啊，我随便画吧，比方说，呃，就这样子画，这样子 他与各个密函数图像相交，从下到上，他的密指数由二分之一变为了一，再变为了二，所以是从小到大排列的，也就符合他这个顺序了哈。 好，我们第四点就说这么多，看第五点，分数指数密，这个的话你暂停自己看一下就好了，就是一些运算的一些东西，自己要会用。我就提第三点啊，零的二分之一次方 可以吧，因为根号下非负吗？零是可以的。然后零的负分数密没有意义，因为零的话它不能做分母啊。你零的负二分之一次方， 那你很明显它要变成零分之一的二分之一次方，肯定是没有意义的呀。好吧，我就提了一点，本账就是零不能做分母， 我们再增加一页，非常重要的性质啊。第六点，有理数指出密的运算性质，其中 a 大 于零， b 大 于零，二号 s 属于实数啊。第一点， a 的 r 次方乘 a 的 s 方等于 a 的 r 加 s， 相当于同底数密相乘，底数不变，指数相加。第二个，同底数密相处，指数底数不变，指数相减。第三点的话，是特别容易错的啊。我举个例子， a 的 二次方，再三次方，有人就迷糊了，哎呀，到底是 a 的 八次方还是多少呢？他这样想， 这个三字方到底是给二的，给谁呢？不要多想啊，直接 a 的 六字方得了，就是二乘三，同时这个式子的话，再往后边来，它还可以等于 a 的 s， 括起来再二次方都是一样的。第三点是特别容易错的，因为在慢慢的做题长横当中， 第三个式子用的并不多，所以大家容易忘，也容易错啊。第四个， a 的 a 乘 b， 它们整体的 r 次方等于 a 的 r 次方， b 的 次方比较简单过了啊，接下来看这点拨密函数的形式是 y 等于 x 的 阿尔法次方，阿尔法呢，是属于实数 r 的， 但是啊，要注意求它。解析式当中很很容易就只有一个函数，所以相当于是一个未知数，只需要一个方程就可以确定该解析式了， 懂我意思吧，我们之前提到过几个未知数需要几个方程去求解，所以密函数的求解比较简单， 比一次函数都简单。来看第二个啊，在区间零一上，密函数的指数越大，函数图像越接近于 y 轴，简称只大图低，特别容易理解啊。这个图像我们再画一遍，相当于复习了一个坐标系，画一个 y 等于 x 吧， 就是 x 的 一次方，然后找出零一这个点，哎，找出一这个点啊，说完之后的话，我们再画两个图像，一个 y 等于 x 的 平方，一个 y 等于 x 的 二分之一次方， 所以啊，指数越大，你看 x 平方是大于 x 的 一次方，对不对？所以它在零一区间上的时候，你会发现它 越来越低，是特别靠近 x 轴的。然后相反，如果说是你的指数，也就是这个密指数越小的话，这个是 x 的 二分之一次方， 密指数越小的话，他反而会越往上，但是仅限于在这个方框内啊，零一这个区间上，如果超过这个 x 等于这个这个点的话，往后那人家肯定要反败为胜了，对吧？相当于龟兔赛跑，反败为胜啊。 然后第三点我们一定要掌握一下，在第一象限内，其实三条线把它分割成六个区域的哪三条线呢？我拿一个粗一点的笔给你画啊， 第一条线是这个，第二条线是这个，第三条线就是中间劈开了 y 等于 x， 这是六个区域的一二三四五六，所以这六个区域的话，大家可以根据所需 找找一些性质吧，好，就是这么多啊。然后第四点也是我们后边一些比较大小的题目当中比较难的地方吧，我们通常要么是选择同底，要么是同指数，找中间量来比较大小，反正就是核心点，就是多练习， 找一些适当的函数去能够进行性质比较就可以了，所以我们讲的比较笼统。最后的话还要结合题目来说，这是我们后边的东西了。好吧，密函数的知识点就讲那么多，接下来我们直接看题了。
08:26查看AI文稿AI文稿整个考研考试里边大多数的题，绝大多数题都是在围绕着五类基本函数来学习的。哪五类啊？我先把这五类都给你说一下，它叫 me， 指对三反五类基本函数，非常非常的常用啊。密指对三反，密函数，指数函数、对数函数，三角函数，反三角函数啊，我们来好好的学习一下这五类基本函数，因为你在学他的过程中，实际上你的这个，整个这个说你将来会非常非常常用的就是这个东西。 我在书上写的其实并不多啊，就是书外我没有给大家标注很多东西，为什么就说这些东西，如果你记住了，我书上面写那么没用啊，我浪费浪费纸，浪费墨，你说对吧？多多写出两三篇东西来，你天天背那本书还沉呢，没有必要。如果你说这些东西你没记住，我把它放在书上对你来说还是没有用，你不，我接下来讲这些知识点，你不可能说，哎，我我我这没没记住啊，我我我用来翻一下看一下，那肯定， 所以如果我讲的过程中你记住了， ok， 你就记住，如果你没记住，你得把它记到笔记上啊，你记好记性不如烂笔头吗？对吧？好，首先来看第一个最简单，我们最喜欢的函数，它叫密函数， y 等于 s， m， a 次方啊，来举几个例子， y 等于最常见的 y 的 x， 对吧？ y 等于 s 方，哎，你 y 等于根号 x， 哎， y 等于 s 立方， y 等于 s 负一次方，这都是你再举例子，你真会偷懒，直接照下面对吧？没错，我为什么要照下面呢？从这开始给大家讲一个事情，就说这个 数学发展到今天数学史上的各位大牛人物，其实他们挺不容易的啊，如果大家对数学史有些了解啊，大多数的数学家其实过的并不是说特别好啊， 虽然他们为我们整个人类的这个发展做了很大的贡献，过的并不是特别好，尤其是在他们发明了很多东西啊，就发现了很多东西之后，他过得更不好。为什么天天打喷嚏让你们骂呀？你说这数学学到后边，我到时候我给你提几个名字， 牛顿、泰勒、拉个朗日、迈克劳林、莱布尼斯。我跟你说，你听着这五个人的名字，你听着你当年班主任的名字，你还害怕，对吧？哎，你你，你说，你说有的当，当年有句话叫什么？有的人活着是为了让其他人更好的活，有的人活着他就是不让人活，对吧？比如说， 但是也有些数学家，他对我们那就是大家还是很念他好的，譬如说这个人叫啥呢？迪卡尔，迪卡尔为什么非常受大家的爱戴呢？就是因为迪卡尔发明了一个东西，叫啥呢？就这个东西， 这啥坐标系，第二 fm 的坐标系之后，给我们提供了一个非常非常强大的解题的东西，它就叫树形结合， 所以我们在学习这些函数的时候，一定要把它们的图像也搞清楚，比如说来最简单的， y 等于 x， 一条直线，对吧？ y 等于 s 的平方， 这样一条抛物线过远点，以这个 y 轴为对称轴，然后 y 等于根号 x， 因为你是带着根号的，对吧？所以你定义有要求了，你不可能有负数，然后 y 等于 x 的立方，哎，那你就行了， 像这样我们也很常用的图像啊， y 等于 s 分之一，这将来我们都会经常用。考研爱考，你考研爱考哈，你应该非常开心吧，你考个这图像，不比你考个什么？这个这个，一堆一大堆复格来的函数图像，你，你舒服呀，对吧？好，这是这块，那么竖形结合，不止这么简单，我给大家举个例子啊，来， 我让你在一个坐标系内 画出 y 等于 x 的平方与 y 等于 x 四次方的图像，不是画一个啊， 就如果你把他那两个图像里画的，我知道你会咋画，画俩这玩意呗，对吧？过远点，对吧？那不是，我不是要这样，你要在一个图里画，因为这个东西非常的重要，将来我不管是求个什么面积啊，求宣传媒体，他都会给你留。这就告诉你，他们两个围成了区域，你说我不会画图，我围不出来，对吧？他也不围成区域啊，对吧？他俩他俩就交个零点，为什么没成呢？对吧？那你来看有没有画一下， 假设这条是 y 等于 s 平方，你在这里边补上 y 等于 s， 你要知道他们两个除了都是这样的，一个抛物线都过原点，都以外围对线轴以外，他俩的这个弧度还是很不一样，对吧？你要知道他们两个除了在这交一点以外，还要交这两个点，因为在里，在负一到一这里边，他俩谁大？ 我随便给你举个例子，零点一他的平方和零点一他的四次方谁大？零点零一和零点零零一，你说你不知道，你肯定知道，肯定是这个大，对吧？你说在负一到一里边是不是都是平方令大，所以在负一到一里边，你这个 y 等于 s 四次方是不是得在他底下呀？ 但是你要超出了这个范围，我给你举个例子，二的平方二的四次方谁大？这个四，这个十六谁大，你肯定四次方大，对吧？所以超出去之后，他的上面你知道大的图像是不是在小图像上面？哎，所以你仔细看，他俩是会围成一个区域，虽然画的不太好看， 只有这样一个机会，所以这也是我们将来描绘图像描绘的内容，这是我们关于啊啊，除了除了这，还有几个给大家总结的内容，大家可以看一下啊。这个 a 为正整数是定律，是这样的，这个值于 a 为基数啊， a 为偶数，大家都可以看一下。 然后这这里边这些我们都我都不多说了，我主要来看这第三个。前面没什么要说，看这第三个，就按 a 为有理， a 正， a 为正，有理数时， a 为正有理数 n 分之一时，它的定义 n 为 g， n 为偶，不一样啊，就 n 为基数时，服务情况之后从 n 为偶数时，是零到正数，对吧？好了，来，我让你再接下来再给你补一个例题，你再来练一下，画出在同一座标系内 这两个图像， 画一下，就这里面你画完，你要知道它跟刚才是有不一样的，我并不只是单单哎，你先画个 y 等于 s， r、 b、 d 就加等于二 x 嘛， 这是它，那你画 y 等于 s 三分之一次方图像的时候，你首先要知道在这个零到一里边，这个一，那这里边是谁呢？是 y 等于 s 三分之一次方，但超过了这之后是 y 等于 s 二分之一次方，那刚才其实是同理， 那么你除了要知道这件事，你还要知道他俩不同的点并不只在这，还在哪。哎，外面 x 二分之一，因为你正好 x， 你比 x 肯定要大一等于，所以你定于 x 等于只有右半了，但你 x 三分之一多三分之二 x， 你爱爱娶谁娶谁，对吧？你想挣就挣，想付就付呗，所以他还有价值，同时他还是一个几函数还原点对称，这是我们最基本的一些画图上的事，大家记清楚。 好，接下来我们来看第二种难一点了，这只抓住 y 等于 a s 方，举个例子呗，等于二的 s 方，你给我一个 s， 我有一个 y， 哎，你给我个二，这个二，那就是二平方四，你给我个四，二十四次方十六，对吧？哎，我们最常见的是谁？ 注意啊，最常见那是 y 等于 e x e 是谁啊？ 我们最常最喜欢的叫二点七八那个东西，对吧？二点七八吧，好记，二点七一八，老师教我的时候，那老师他确实有点口齿不清，他说一等多少呀？二点七一八，我说这玩意二点七一八是谁呀？真的，我当时真是蒙了 啊，我们最常见的，大家注意啊，考研考试还真考卖的 ax， 他不是不考，他只是考评没有 ex 高啊。大家还要注意，这里边 a 有有，有条件的，首先要大一点 a， 小一点 a， 小一点是没有 e 的，然后 a 且不能等于一的， x 方撵他干啥，对吧，那就是个一，不是什么这个长啊，对吧？好了，因为过点零一，在这里面大家还要注意这个 a 呀，他有很多人说我说他的图像哪呀，很多同学跟我说 植入完之后长啥样啊？他告我长这样，植入完之后他一定长这样，一定长，不一定。大家注意，这里边 a 是有条件的，你如果画成这样呢？ a 一定是大于一的，他长这样。为什么很多人认为指数长这样？因为我们，因为我们天天用一吗？一比一大呀， 实际上我们的指数函数还有一种情况， 那到了这也是指出话术区别在哪呢？这种情况它是 h 大于零，小于一的，它就这种图像，咱俩不一样。呃，当然，我们再考一考这种还没出过这种东西，就是这种东西，为什么没出？你觉得能出吗？能出吗？能出有意义吗？没什么意思，就我们考试他要有个编辑，对吧？你说你啥玩意都考，那你这考试太没劲了，对吧？那你是高数学专业的，其实我们并不是这个目的，我们平常用的最多的就是 e， 那你就都考 e 就得了， 对吧？所以大家不用太在意别人啊。当然大家知道这 a r e 的时候这种情况，哎，我们最常用的指数单是哪？单调递增， 这个时候它是单调递减。 除此之外，我们发现啊，定义域出服务的正无穷值域，不管你 a 是大零小一还是 a 大一，你的值欲都是零到正无穷。这里边要给我注一个点，我们平常用的最多的是这个，你就记这一个就得什么呢？就是如果你 x 往正无穷走的时候， 这个 y 往哪走？中球，对吧？没错， ok， 记好了，如果你的 x 往负球再往这边走的时候， y 虚啥？你别看我这画的不太好，画出个勾来，他应他没有这个勾，他是不是就这样一直上去？所以他应该往哪走？零，对吧？哎，这个要记住有用。除此之外，我们还要记住一些运算， 指出了运算法则 比较简单。大家应该还有印象啊，就假设 a 的 x 次方乘以 a 的 y 次方，它应该等啥？它应该等于 a 的 x 加 y 次方，那如果是 a 的 x 方比上 a 的 y 次方，它应该等于 a x 减 y 次方，对吧？然后呢，怎么变成相乘啊？怎么变成相乘来着？ 那是 a 的 x 方，括弧外边的外侧方，这就是 a 的啊，这是指数函数。这个难度不高。我们其实啊，就你越往以后学，你越喜欢指数，尤其是初一 x， 你老爱了。为什么？因为这东西求导、求基文都是自己啊，这是指数函数。接着来看下一个，叫对数函数。啥叫对数函数？
10新东方考研课代表
07:48查看AI文稿AI文稿很多同学呢，不会画密函数的图像，也可以说是只认识书上的那五个密函数的图像，其他的多的就不会画了。但是呢，我们在考试的时候，冷不防就会让你画一个密函数，那今天谷老师呢，三分钟， 不对，两分钟带你学会画所有的密函数图像。那书上先给我们给的密函数是不是 y 等于 x 的 一次，二次，三次 和负一次，以及 x 的 二分之一次，那我们可以把它呢分别的画一下， x 的 一次，我们知道是不是我们小的时候学的一函数二次呢，是开口向上的二函数 三次呢？哎，我们画下来是不是长这样了？好， x 的 负一次反比例再一三向下， 好，最后一个 x 二分，这一次，哎，我们的图是这样画的，当时呢，我们总结了它的相关性质，同学们还记不记得？那总结了性质之后啊，往下就没了。那你说，老师，我考试的时候，我可不是碰到这几个，我碰到的都是一些匪夷所思的数字，很奇怪的。那么那种图怎么画呢？ 我给你写几个，你看看你碰到的是不是我写的啊？好，同学们，看到我写了这些是不是你碰到的平常让你头疼的密函数，那这些图该咋画呢？这个就是书上和考点分离啊，所以说不怪同学们，有的时候不会解题，不会做作业，上面的有些题呢，书上并没有说。 那么在这呢，我们就要学会总结，当我们碰到要画类似于像这样的密函数的图像的时候，那也就是我们的这个密啊，也就是 a， 他 会分两种情况，当大于零以及小于零，那大于零下呢？我们又会分为，哎，比一小 还是比一大？那么老师直接告诉你，结果不让你费脑。如果我们大于零，首先呢，能说明他在第一项线内一定是单调递增的。小于零，那他在第一项线内一定是单调递减的。 如果单调递增，他也会分为凸增和凹增。如果我们大于一呢，他就是在第一项线内凹增。 什么叫凹增？就这样增，如果在零到一，它在第一象限呢，就是凸增。 哎，怎么增？就是这样增，可以接受吧，一个是凹的，一个是凸的，好在其他象限。你说老师，这是第一象限的事，我明白了，其他象限有没有图呢？我们只需要把 x 等于负一代入到这个解析式，如果我们解出来它的 y 是 正一，那它就说明是一个偶函数。 如果解出来 y 是 负一，那它就是一个奇函数。如果你解不出来，它在其他图像，不好意思，它就只有在第一象限内有图，在其他象限，那就没图。那如果是偶函数，你就知道它是关于 y 轴对称的， 如果是奇函数，关于原点对称。好了，这都是我们的经验总结，那现在呢，老师就带你实操啊，我们把这里实操到这里以后呢，你就可以随便画了。首先我们看这里二分之三，二分之三，首先是不是大于零， 所以说它是在第一象限内增，二分之三明显比一大，所以它是 o 增，那么我就先画它在第一象限内的图 o 增，然后再看，把 x 等于负一，我带进去算一下它的 y 等于的是多少。在这里啊， x 等于负一， 我们代入得到负一的二分之三次，你说老师，这我又不会解了。同学们，你想我们曾经是不是学过 x 的 m 分 之 n， 他 就是 m。 根号加 x 的 n， 记不记得哎，指数幂的运算嘛。所以说在这里他其实可以写成二次根号加 x 的 三次，现在你把 x 等于负一给他带入进去， 那这个式子就得到了。是 y 等于二次。二次根我就不写了啊。是根号下负一的三次，负一的三次是负一。哎，你发现没有？负一有没有解？没有啊，根号负一不存在，所以它没有， 他无解，说明他在第一项线内，他只有在第一项线内有图。那这个图呢？我们就算画完了，简单吧。感觉还有点不够，我们再来画剩下的。你最好呢，可以跟我一起拿一个纸片，可以跟着我一起画一下来看。第二个三分之四是比一大的， 所以说它在第一象限内还是凹增，它在其他象限有没有图？我们把 x 等于负一带入进去。首先这个可以写成三次根号下 x 的 四次，把 x 等于负一带入，那就是三次根号下负一的四次。 哎，负一的四次他不就是一吗？三次根号下一，他就是一，他算出来，如果是一的话，在这里他就是偶函数。关于 y 轴对称，那你把这边对称过来，图就画完了，简单吧。同学们，我们再画一个三分之五，一样的三分之五是比一大的，在第一项线内是凹增的。 allen 把 x 等于负一呢带进去，它首先可以写成三次根号下 x 的 五次，把 x 等于负一带入，就是三次根号下负一的五次是负一。哎，那么三次根号负一，它结果就是负一，如果出来是负一， 我们出来就是接函数。关于原点对称，那关于原点对称，我们画下来，关于原点对称一下就好了，简单吧，那我们再看下一个啊，三分之二，三分之二是不是在零到一，在第一项线内是凸增，哎，出现了一个凸增，我们就这样画， 然后呢，它是三次根号下 x 的 二次，把 x 等于负一代入，负一的二次就是一，所以它就是三次根号下一还是一，当我们算出来是一的时候，它是个偶函数，偶函数。关于 y 轴对称，那这边对称过来，这样画好了， 继续看。右边，四分之三，零到一，所以它在第一项线内是凸增， 然后呢，把 x 等于负一代入，那这个值。首先它是四次根号下 x 的 三次，我们把 x 等于负一代入，就是四次根号下负一的三次还是负一。这个是不是无解？无解说明它只在第一项线内有图，其他项线内没图，所以这个图就画完了。再看下一个，五分之三 还是零到一，在第一项线内是凸增，这个可以写成的是五次根号下 x 的 三次，把 x 换成负一， 那五次根号下负一的三次是负一，结果是负一，结果是负一的时候，它是奇函数，奇函数呢？关于原点对称，那对称过来就可以了。 好了，再下一个负的如果是负数，他在第一项线内就递减。哎，那我们就画一个，在第一项线内递减了，好，递减了之后，把 x 等于负一代入。首先呢，它你可以写成的是二次根号下 x 的 负三次， 我们把负一代入，那就是二次根号下负一的负三次， 那就是二次根号下负一的负三次，就是负一的三次分之一。它是不是负一？负一不存在啊？不存在，所以它只在第一项线内有图，好了就结束了，再来下一个 负数。负数呢，所以它在第一项线内递减，把 x 等于负一代入。首先呢，它可以写成三次根号下 x 的 负四次，把负一代入，就是三次根号下负一的负四次。是不是正一？那三次根号正一是一，一是一个。 哎。哦哦的话，关于 y 轴对称，那这样对称过来对称。关于 y 轴，那你图呢？就画完了，来学会了吧，画迷函数的图像，希望这个视频呢对同学们有所帮助。关注谷老师数学不迷路，记得点赞关注呦！
03:05查看AI文稿AI文稿好，我们正式开启指数函数的讲解，来看这个图表吧，形如 y 等于 a 的 x 自方，它是指数函数，因为这个自变量 x 呢，位于指数的位置嘛，那就很形象了。除得之外，我们要求这个 a 啊，它是有范围取值的， 比如说 a 不 能等于一。先这样写吧， a 大 于零，且 a 不 能等于一。我来解释一下，为什么要求 a 大 于零，因为 x 目前的话没有任何限制，它应该是属于全等式数的。假如你 x 取二分之一，那就 y 等于根号 a 了， x 等于二分之一十啊。然后我们知道偶次根号下肯定要求非负，对不对？所以为了整体这个式子更具有通用性，我们要求 a 大 于零才行。 好吧。然后除的之外， a 为什么不能等一呢？如果 a 为一的话，那一的任何次方都是等于一的，所以这个长函数也没有多大意义啊。我们就按照这样的标准分成两类啊。第一类， a 大 于零，他的图像这样画单调递增的，横经过的点是零一啊， 横经过点零一，然后 a 大 于零，小于的话，它要递减的，它横经过点也是零一。所以我们就说指数函数横经过点就是零一。但是啊，只能针对于这样标准的指数函数， 其他的比方说加个二，那就经过零三了啊，那就经过零三了。好，我们就先这么说，然后定域的话来看，属于整体时，数值域是零到无穷， 他们可以在这样无限延伸，无限逼近于 i， y 等于零，但是永远取不到，所以零到真无穷，都是开区间啊性质。刚才说过了，横经过定点零一，然后除此之外，我们看这个图像对应的什么呢？当 x 大 于零时， y 大 于一，也就是这个地方我们画了一个横线， 大于 x 大 于零的时候，那这个 y 值都在一的上面，所以大于一嘛，当 x 小 于零的时候， y 是 大于零小于一的好吧。然后除的之外，它的一个增减性也告诉我们了，负无穷到正无穷是增函数， 然后这个 x 大 于零时，你看图像就行了，那还是以它为分界，一个大于零小于零嘛，然后增减性是减函数。就说这么多，这个图标的话比较容易啊，一看就明白了。然后我们点拨一下啊，点拨一下， 利用指数函数的函数性质比较大小或解方程解不等式的时候，最重要的是同底原则。 同底其实还可以借助一些同指数的，但是我们再说同底原则，比方说二的 x 次方与二的 y 次方，他们都是同为底数的，对不对？ 那我们最重要的记住这个原则啊。好，我们等会就题论题啊。第二问啊，第二个求解，与指数函数有关的复合函数问题，你一定要明确负函数的构成是怎么样的，尤其涉及定域值域单调区间的时候，我们要借助同增异减这个性质来判断，其实特别简单，他就是负函数性质， 只不过里边有一个函数特别特殊，是指数函数还是随大流的同增异减，能判断就行了啊。好吧，我们就简单说这么多，接下来我们直接看第一百道题。
