数学建模老哥的讲义复变函数
复变函数，当数学长出想象的翅膀，你还记得第一次遇见虚数单位 a 的 情景吗？ 大概是这样的，老师告诉你， a 的 平方等于负一。你皱着眉头心想，一个数的平方怎么会是负数？这不合逻辑。 于是你把它当做一个抽象的游戏符号，考完试就忘掉了。但如果我告诉你，正是这个看似不存在的数，撑起了现代工程的半壁江山呢？ 复变函数简单来说就是研究自变量和因变量都是负数的函数，而负数就是 a 加 b a 这种形式的数。 他把实数轴扩展到了一个平面，一个实数只能在一维的直线上来回移动，像一列困在轨道上的火车。而一个复数可以在二维平面上自由行走，他既有大小，又有方向。这就是复变函数的第一个秘密， 他让数学从线进入了面。复变函数真正迷人的地方在于他的解析性。 一个函数如果是解析的，那么它只用一个表达式，就能同时描述平面上无数条路径的行为，更神奇的是，它天然的满足。柯西离曼方程实部和虚部之间有一种近乎完美的和谐关系。这种和谐带来了什么？ 带来了科西积分定律。沿着封闭曲线积分，结果竟然只取决于曲线内部发生了什么，而与具体路径无关， 带来了流数定律。那些看似无法计算的定积分，在负平面上绕一个圈打 就水落石出。初学复变函数的人，通常会经历三个阶段，第一周，头晕目眩，什么是区域？什么是起点？ 为什么多值函数要割破平面？第一个月豁然开朗，原来时变函数中那些奇怪的现象在复平面上都找到了解释。 比如这个欧拉公式，在复变函数的视野下，不再是天降公式，而是水到渠成的结果。 一学期后深深着迷，你会发现整个信号处理、流体力学、电磁学、量子力学的背后都站着复变函数这位沉默的巨人。 那些改变世界的应用，你可能每天都在使用，复变函数却浑然不知。 当你用手机通话，声音被编码成电磁波发射出去，负离子变换的核心就是复变函数，它把复杂的声音信号分解成一个个简斜波的叠加。当飞机在空中飞行，机翼周围的空气流动， 势流理论的核心也是复变函数。褶角变换可以把复杂的异形映射成简单的圆柱，然后计算出升力。当工程师分析电路交流电的阻抗项位，功率向量法的核心还是复变函数， 它把三角函数运算变成了简单的代数运算。甚至量子力学中那个著名的薛定络方程波函数本身就是负值的。 没有复变函数就没有现代通信，没有航空，没有电力系统，没有量子理论。时变函数告诉我们世界是连续的、可测的、 有序。而复变函数告诉我们世界也是共行的、保守的、美丽的。 复变函数教会我们的不仅仅是一套数学工具，更是一种思维方式。有时候要理解一条直线上的问题，你需要退到二维平面上去看。当你无法前进时，换个维度试试。 就像虚数单位 a 一 样，它一开始只是一个不可能的符号，但当我们接受它，拥抱它，它却为我们打开了一个崭新的世界。
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02:00查看AI文稿AI文稿那今天我们来拉平一下复变函数吧，欢迎你们吐槽分享。很多数学专业的学生，他不是被数学分析劝退的，也不是被高等代数吓趴的，他是倒在了复变函数这门课上。因为负面这门课吧，真正有用的东西吧，其实非常的集中，比如说像解解函数啊，科系积分公式啊，或者是留数定律这些，这些东西呢， 是真的憨爆了，考研要，科研要，建模要，物理工程也要。但是当老师开始讲什么椭圆积分， 椭圆函数、模函数模群，超级和函数的时候，问题就来了，公式越来越长，结构越来越复杂，但是应用越来越抽象。 你如果说以后要做什么，数论就是纯数学方向啊，数论大数据和纯数学研究的话，那椭圆的函数确实是很重要的，但现实就是，百分之九十的数学专业生根本不会走到纯数学方向，大部分都走应用。所以我们会发现，大部分的数学系的学生在用未来五年都用不到的一些知识，提前消耗自己 学数学的那种自信心嘛。这就是我又说到了原来的那个话题，数学经常会让我质疑自己，所以最后的结果就是呢，我学了，我学不会，我觉得自己不行。于是呢，我开始对这个数学专业自己所学的这些东西产生怀疑，然后开始自我否定，这就是为什么啊，大家学复变函数的时候， 开始自信心崩塌。那还有一个更残酷的点就是等到你毕业找工作的时候，你会发现你不会椭圆函数，没人问你，你不会超级函数也没人关心。但是你要是什么留数定理啊啊，或者概率统计啊，或者现行代数学的不行的话，那真的你你就没有任何的竞争力了，因为这些就是 在你实际熟知的过程中应用性偏强的一些知识了。所以我个人的观点从来都是后面还说他不是一门说要完整学完才有价值的课程。他是一门我可能学了前百分之三十就决定了，哎，我能够靠它去上岸找工作，而后面的百分之七十是决定了 要不要劝退你继续学数学的。所以这门课的话，嗯，不与之平吧。我觉得就以求职来说的话，我们把一些对求职的正相关的知识能够学明白就差不多了。嗯，不要因为这个丧失掉自己的信心。
762拆拆拆不拆
23:01查看AI文稿AI文稿好，他的定义和性质好，什么样的函数是可测函数呢啊？首先，如果我们假设 f， 它是可测极上的一个函数，如果对于任意的 a， 注意这里的 a 啊，他还是取广义实数，也就是可以取到无穷的这种。 我都有 e， f 大 于 a 可测啊，这个几何是什么意思？其实它取的就是使得 f x 大 于 a 的 这些 x 啊，取的是使得这个式子成立的原像，它和 e 的 交集。 好，换句话说就是我的这些 x 除了要满足之外，还得有 x， 它来自于 e 啊，这些集合，这些点组成的集合就是 f 大 于 a， e 啊，这个集合的含义好，那么如果这个集合它可测 啊，我们就可以称 f 是 e 上的可测函数了。好，当然这个定义不完全就是它只是其中一条啊，我们的这个 f 可测，我们是可以引申出五条等价定义的。好，那么除了严格大于之外，我大于等于也成立， 小于成立，小于等于也成立啊，只要这些集合都可测，对于任意的 a 属于广义实数 r， 那 么我们的 f 就是 e 上的可测函数。 好，那么这里大家要注意一个东西啊，就是你发现了，就是我们单看一组吗？大于和大于等于之间的区别就是加上了等号吗？好，那么这里我们给出一个推论啊，就是我 f， 他 如果在 e 上可测， 我们是能够推出 f 等于 a 这个集合可测。当然还是 对任意的 a 属于 r， 但是反过来，对于任意的 a 属于 r， 我 的这个集合 f 等于 a 可测，就推不出 f 在 e 上可测了。 所以你看，我们给出的第一个定义其实是比较严格的，大于二等的时候，我只能从可测函数推到集合可测，但是不能从集合可测推出函数可测二，大家注意一下。 好，这里的等号，他不重要的原因是因为他没有反过来推导的这个结论好，那么哪一些会是可测函数呢？常见的可测函数有哪些？首先零级上零级，记得吗？是什么啊？测度为零的集合，它上面的任意函数都是可测函数。 好，这个是为什么啊？其实我们可以快速的证明啊，假设 f 它在 e 上，它是一个函数，那么下面我要证明它是可测函数，就只用证明哈。对于任意的 a 属于我的广义实数 r， 我 的 f 大 于 a， 这个集合可测就行了嘛。 好，那么对于零级来说啊，测读为零的集合来说，那么任意的 任意的 a 属于 r， 我 的这个集合，它肯定是 e 的 子集，而我的这个 e， 它测度又为零，有我这个测度，它的这个单调性，它就会小于等于我这个集合 e f 大 于 a， 所以 我的 m e f 大 于 a， 这个集合，它也是一个测度为零的集合，也是一个零测集，所以它就可测 好，那么这是第一类可测函数啊，在零级上的任何函数，它都可测。第二类可测函数，简单函数它都可测。那么什么样的函数才能被叫做简单函数呢？就是首先我的这个集合啊，我定义在上面的这个集合，它可以拆成有限个 两两不交的可测即知。并。好，那么在每一个这个 e 上，我都取长值 c， 那 么我的 f 就 称之为是 e 上的简单函数。这里我们举一个最常见的简单函数的粒子克雷函数，如果 x 是 有理数， 那么它就取。一，如果 x 是 无理数，它就取零。好，那么我们的的粒子是无理数，它就取零。好，那么这里我把零到一 b 区间加上， 好，那我的零到一 b 区间就是我的 e， 对 不对？我的 e 就 被拆成了两个互不相交，但是又都可测的集合之 b， 而且在每一个集合上，我的狄克类函数取的都是长值，要么是一，要么是零，所以它就可测。二，这个函数就是个简单函数，它自然就可测。 好，那么这里我们还来还可以得到它的测度啊，好，那么它的这个测度啊，这个 啊，当然更进一步，如果我这里这个有线啊，我就取一个好，比如说我的这个 f， 它就是在 e 上的长值函数， 那么我的 f 一定是在 e 上可测的函数， 因为它就是简单函数了啊。那么为什么？如果我们要让证明这个结论，我们怎么证明呢？要证明 f 在 e 上可测，又来证明它的定义了。 那么我的 f， 首先假设它恒等于 c 吧，那么对于任意的 a 属于 r， 我 的这个 f 大 于 a 这个集合，那么无非两种情况，要么就是全体，要么就是 e。 因为如果我的 c 它大于， 如果我的 c 它小于 a， 那 我的 f 大 于 a， 就 没有点。如果我的 c 它大于 a， 因为如果我的 c 它小于等于 a， 那 么我的 f 要大于 a， 就 不可能有这样的点，所以是空集。如果我的 c 严格大于 a， 那 么它大于 a 就是 我的全体 e， 那 么不管是哪一个空集还是 e， 它都是可测结合，所以我的 f 就 会在 e 上可测 好，那么我们通过这个长值函数可测，自然就可以推出简单函数可测啦。因为简单函数也就是在每一段上它都长值嘛，所以它一定也都可测。 第三个，我们还知道可测级上的连续函数也必定可测好。那么首先连续的定义是什么？假设的 f， 它是一个有限值函数二，也就是说它的函数值都是有限时数，那么我们就称它在 x 零处连续。当且仅当 我的这个极限 x 趋近于 x 零时，函数值的极限是 f x 零。换句话说，对任意的 delta 大 于零都会存在对于任意的， 换句话说，对于任意的 epsilon 大 于零，我都会存在 delta， 使得当这个小于 delta 时，有函数值的绝对值小于 epsilon。 如果我用集合来表示，也就是我这个 x 零的 delta 领域内的函数值 f， 它都会是我 x 零的 epsilon 领域里的数 好，那么这里我们就用这个连续的定义来证明一下我们给出的这个结论。 我们来证明好，那么又要来证明函数一定是可测函数啦，那么证明的又是这个 f 大 于 a， 这个集合可测 啊，我任取这个 f 大 于 a 的 这个集合上的任意和一个点，那么首先我的 f x 会大于 a， 那 么由连续性假设我就知道，对于 euclidean 啊，我取得这个任意的 euclidean， 我 们不妨就取 f x 减 a 吗？我都存在一个这个 delta x 大 于零，使得啊，我的这个领域会在 f x 的 delta c 个 delta c 领域里会使得 我的这个领域它都在 f x 的 e、 p、 c 笼领域当中，而这个领域它一定是会在零到 a 到正无穷这个集合当中的。 好，我把所有这个 x 的 dota 领域去并集，那么首先它一定是个开集，而且也一定可测。 好，我的这个要证明的这个 f 大 于 a 的 这个集合，它就一定是 g 和 e 的 交集。好，那么 g 是 个可测集， e 是 个可测集，它们的交集也可测，所以我就证明了，我要证明的这个 f 大 于 a， 它是个可测集合， 它可测， f 就是 可测函数，所以在可测级上连续的函数一定是可测函数。最后，在可测级上，单调的函数也必定是可测函数。好，那么我们要证明 f 它是可测函数。仍然一样啊，我们找的是这样一个集合。 好，我们不妨假设这个 f 是 单增的吧。好，我们的这个集合就可以拆成这样两个集合的交集，那么这是一个 区间，它可测，这是一个可测级，所以它们的并级也可测，所以我们的这个 f 大 于 a， 它是一个可测级，所以我们的函数可测。好，那么到这里我们整理一下，大家回忆一下我们现在讲到的可测函数有哪些？首先，零级 上面的任意函数。其次，简单函数好，简单函数里有一类特殊的叫做长值函数。 好，第三，连续，第四单调，当然它们都必须在可测级上啊。 好，我们这些函数它都是可测的。我知道了哪些会是可测函数之后，它有怎样的性质呢？首先，它关于子集和有限病封闭什么意思？假设 e 是 可测函数， e 一 是它的子集， e 一 也可测，那么 f 就是 e 一 上的可测函数。此外，如果我的 e 可以 看作是一列 e 一 的有限病， 那么 f 是 e 一 上的啊，或者是 e n 上的可测函数，那么它就可以变成在 e 上的可测二，所以对于子集和有限病封闭。 其次，可测函数它还有关于四则预算封闭。什么意思？假设 f 和 g 它是可测函数，那么它的加减乘除全部都可测，还有这里更有甚者，我的绝对值也是封闭的。什么意思？ f 可测 f 的 绝对值就可测 g， 可测 g 的 绝对值就可测 f 绝对值的 p 次方 g 绝对值的 p 次方 p 大 于等于零也可测。好，那么如果考试的时候让你证明啊，那么又来，只要证明函数是可测函数，就是证明这样一个集合 啊。比如说，我们以 f 加 g 为例啊，那么 f 加 g 大 于 a 这样一个集合，是可测集合，那么对于这个题而言，我们讲一下思路就行了啊，我们把它移过来啊，这个集合和 f 大 于 a 减 g 是 同一个集合，我就证明右边这个可测就行了。 好，那么具体怎么证明？我们的这个解析上写的很清楚啊，大家可以下来看一下。好，当然乘积是怎么样的啊，我们也可以类似去证明。好，那么除了四则运算和绝对值运算封闭之外，我们关于确介的运算和极限运算也封闭。什么意思？假设我有一列 可测函数，那么对于他们取上确介得到的缪 x 和取下确介得到的缪 x， 它一定也是易上的可测函数。 好，这里大家不用管啊，暂时不用管好，这是对于确切运算。其次，对于极限运算几，什么意思呢？假设我的大 f x 是 这一列函数 f n x 的 下极限。 好，那么它的下极限大 f x 也一定是可测好。如果它的上极限我们用 g x 表示，那么它的上极限也一定是可测的。 如果它的上下极限都存在，我们就称啊，我的 f x 就是 我的极限啦。 好，那么这个极限它也一定是在一上的可测函数 啊，为什么？其实就是这个部分了啊？我们的上极限定义是它，我们的下极限定义是它，所以其实我们的上下极限本质上也是在做确结匀算，那么确结匀算封闭，自然我的极限匀算就也封闭好。最后， 我们可测函数的正部和腹部也可测好。首先，我们给出正部、腹部的定义啊，正部指的是什么呢啊？最大值 f x 和零的。 也就是说，如果我的 f x 大 于等于零，那我就取 f x， 如果我的 f x 小 于零，那我就取零好，这样一个集合，这样一个函数就是我 f 的 正部好，负部是什么？负的最小值 什么意思？如果我的 f x 大 于等于零，那我的最小值就是零，它去负还是零？如果我的 f x 小 于零，那么它的最小值就是 f x， 我 就去负的 f x。 好，这是我的上，这是我的正部和腹部。那么给出了这两个的定义。首先，我们可以迅速的得到一些关系好，我的正部和腹部相减是我的 f， 正部和腹部相加是我 f 的 绝对值 好，那么有了它们是绝对值，那么我正负正负，它一定会小于等于绝对值，我的腹部也一定会小于等于绝对值，这是第二个性质。 第三个性质，如果我将负的 f 看作一个函数，那么它的正负就是我的 f 正 啊！换一句话说啊，我的 f x 和负的 f x， 它有点互逆的这种感觉啊。 好，那么我的正部和腹部，如果我的 f 是 e 上的可测，那我的正部和腹部，它也一定是 e 上的可测。好，这是我们的最后一个啊。好，那么在这里我们再总结一下我们可测函数的性质，首先，它对于子集有限并封闭。 其次，对于四则运算和绝对值运算封闭。 第三，关于确切确界和极限运算封闭。 最后，它的上，它的正部副部也关于它封闭。 好，这是我们这个可测函数的性质。最后，我们给出最后一个可测函数和简单函数之间的关系啊，因为去到第五章我们要研究积分的时候，是从简单非负简单来推导的啊。这里有两个关系， 第一个，如果 f x， 它是 e 上的非负可测。 如果它只只是一个非复的可测集合，那我一定会存在 five k x。 啊，这个 five k x 是 简单 函数，那存在这样一个简单函数列，使得对任意的 x 属于 e， 我 的 five k x 都会小于等于 five k x 加一 five k 加一 x 小 于等于 f， 而且 我的 k 趋近无穷时， five k 它会等于 f x。 什么意思呢？只要我的 f， 它是 e 上的非负可测函数，那我一定可以找得到一列简单函数列，使得首先它们递增几次收敛于 f。 好， 那么如果我的这个可测函数它不非负呢？那就是一个一般的 可测啊，它没有非复性啦，那我也能找到 five k x， 只是说它就不单调了，我仍然能够找到这一列简单函数，它的极限 仍然是我的 f x。 所以 不管是非复还是一般的啊，我总能找到一个一列 简单函数，使得他成为我这个简单函数列的极限。我的可算函数总可以表示成简单函数的极限，如果他非负，可以是递增的，如果他是一般的，那就没有这个递增性啊。 但是注意啊，虽然他们没有严格的单调性，但是我 f i k， 他的绝对值也一定不会超过 f 的 这个函数值啊。好，这是我们的。嗯，第一章啊，这里最后我们再介绍最后一个关系，叫做几乎处处成立。 好，最后我们来介绍几乎处处成立啊，它是一个什么样的定义呢？我们来看好， 比如说啊，我要 g f x 等于 g x， 几乎处处成立于 e， 那 么就是它的定义是什么？就是使得它不成立的，也就是 f 不 等于 g， 这个集合的测度为零。 好，那么几乎处处成立的定义就是使得它不成立的那个集合测度为零啊，这就叫几乎处处成立。我们举个例子啊，比如说，如果 f x 还是这个啊，比如说 f x 等于 g x 几乎处处成立于 e， 也就是说， 那么我 f 不 等于 g， 这样的测度，这个集合的测度要为零。 好，那么对于这样一个条件啊，假设我的 f， 它几乎处处呃，等于 e， 那 么 f 在 e 上可测也可以得出，则 f 在 e 上可测， 我能够推出 g 在 e 上可测。 为什么呢？啊，其实这里我们来快速看一下啊，我们的 f 是 个可测集合，那我只要 f 能够，就是我的 g， 只要能够找到与 f 的 关系呢？最好啦。好，那么它因为它相等，是几乎处处成立的，换言之，不等的集合。我取出来假设是 e 一， 它一定是个零测集， 那么只要是邻测集，上面的任意函数都是可测的，所以 g 它会在 e 一 上可测，而 e 二是使得 f 和 g 相等的集合，那么 f 和 g 在 e 二上相等， f 在 e 二上可测， g 自然也在 e 二上可测，因为它们是相等的嘛。 进一步， f g 就 会在一，这个就是 e 一 并上 e 二这个集合上可测啦。那所以我们就证明了什么是几乎处处成立啊？ 几乎处处成立就是使得它不成立的这个集合测度为零啊。我们再举两个例子给大家感受一下啊。比如说，我说 f， 它在 e 上几乎处处有限， 那么它的定义就是使得 f 无限的这样子的集合， e， 它的测度为零。好，我们再来看 假设我的 fn， 它收敛于 f x 几乎处处成立于一，那么就等价于不成立，也就是 f x， 它不收敛于 f x 啊，这样子的集合， e， 它的测度为零。 那大家体会一下什么是几乎处处成立？那比如说，如果我要让你证明零到一上狄克雷它等于零， 几乎处处成立于零到一这个区间上。好，那么如果我要让你证明的是几乎处处成立，其实只要证明它不成立的集合是一个零子零策集就可以了。那么那么下面我就要证明，使得它唯一的这些 x 构成的集合，假设为 e， 我 要证明 m e 为零。显然呀，那么使得它为一的这些集合其实就是我零到一和有理数集的交，而这个集合它的测度显然为零， 这个之前我们是推过的啊，所以它就几乎处处成立于零到一啦。好，那么我们再来举个例子， 如果我的 f 等于 g， 几乎处处成立于 e， g 等于 h， 几乎处处成立于 e， 那 我就可以推出 f 等于 h， 几乎处处成立于 e。 好， 那么我要证明这个就是证明它不成立的集合是个邻测集。 好，那么首先有条件我们可以得到 f 不 等于 g 这样的集合， e， 它的测度为零。同理， g 不 等于 h 这样一些集合，它的测度为零。下面我要证明的是 f 不 等于 g， 下面我要证明的是 f 不 等于 h 这样一些点的集合，它的侧度为零。好，那么由它出发， f 不 等于 h， 它其实可以看作是 f 不 等于 g， 或者 g 不 等于 h 这样两个集合的并集， 因为我的 g h， 因为我的 f， g、 g、 h 是 互相相等的吗？那么 f 不 等于 h， 要么就说明 f 不 等于 g， 要么就是 g 不 等于 h， 只有这两种情况，所以是他们的并集，那么现在我要求的测度其实就会小于等于他们两个测度的和，而他们两个测度都是零， 所以我的测度就会小于等于零，而我的测度又是非负的，所以我的测度只能为零。好，好，那么这里我们给出几乎处处成立的性质啊，就是如果派一 好，我们几乎处处成立于一，同理，派二也几乎处处成立于一，派一并派二，也就是派一或派二几乎处处成立于一 好，这是我们几乎处处成立的性质。好，往下这是我们的第一小节。
57:46查看AI文稿AI文稿别说了，就在这睡吧。 ok， 好， 来，我们开始啊。好，我们上课的方式和传统的方式不太一样啊。 好，我们来看这个书课本的名字，把这个字几个字学会，这本书百分之五十读完了。啊。复变啥？复变函数？复变函数还有很多名称叫什么？还有叫，叫这个 复什么复分析啊？复分析 好，复复分析啊叫，还有叫复变函数论。 好，复变函数论是吧？论论什么啊？论复变函数啊。呃，如果是这样写的话复分析啊，那你就会看到这两个字嘞。 你看他分析两个字，你看他分析两个字的时候你就你就笑一笑。哎呦，他讲的是同样一个故事，他讲的是同样一个故事。这个故事讲什么嘞？好，分析我们学的哪个课？现在就找一个保本啊，分析我们学的什么？ 数学分析是吧？哎，你们马上将来还要学这个什么十什么 十十遍，什么十遍函数。你这一看就知道。哇，这个玩意跟这玩意呢？啥关系啊？十遍函数还有个名称叫什么？ 十分析好，你就会发现他们这个课程都输入这么一个范畴的。分析的范畴是吧？那分析分析什么？ 那就问你这个问题，数学分析学什么？那么数学分析学成的这个书呢？基本上怎么样？好，开始做一件事。做什么事啊？抄过去就完了， 这个书就读完了。快不快？很快，所以你真正读书的话大概就两三个星期就完了，所以你上多少课时也不重要。 如果真正读书的话，呃，他的他的整个节奏和感觉是很快的，只要你把这个字读明白就完了啊。因为因为我们强调的一个观点就是什么 真正要学的是读字。那么我现在问一个问题，你们知道什么叫社会分析吗？ 好，什么是数学分析？你把这个问题你学完了，你回答了没？ 什么是数学分析，数学分析刚刚学完，是不是学了一二三呢？是吧？学了三个学期，哎，你花这样式学生，什么叫数学分析？知道不好？如果不知道白读了。 这个跟你考多少分是不是有一点关系？没有？所以我刚才说了，你考分这个东西其实为了骗，骗那个什么骗主流的那些垃圾是吧？哎，除了骗那些人之外，剩下一无是处 是吧？一无是处没有用。那么什么叫分？什么叫数学的？数学的宿命啊。那么这个地方就涉及到一个非常重要的数学的宿命啊。 数学是什么叫数学？数学强调一个非常重要的一个核心结构，它是一个结构的这个结构，这个结构就导致了一个一个概念的形成，叫什么叫科学？ 科学显然是一种组织结构。科学是一种组织结构啊，我们学的叫什么名字？ 武汉科技大学。武汉的科技大学。科是什么意思？科学技是什么？ 科技是技书啊，哎。科学与技术，科学是吧？科技，哎，是吧？在武汉科技大学不学科技，这到底哪个大学 就到了武汉大学啊？好好好，他是一种结构，看到没？哎，这个送去的结构是什么呢？他他是强调两点的，第一个是什么？是对象， 好来开始，第二个是什么？第二个是职责， 所谓四则就是这个。就这么弱智啊？有四则和对象融合起来形成一种什么一种组织，什么一种组织结构，从而完成他的什么化， 完成他的什么化？科学化，所以就成了一个名字，叫什么？叫学科，是吧？ 学科。哎，你看这个概念怎么形成的啊？我们看的这字的时候，我们心中要有一个谱，就是说一个什么事情，他是什么脉络，构成一个什么的结构。 ok， 你 知道这个之后，其实你的宏观概念形成的，当你宏观概念形成之后，你再去看这个翻译。哇，原来如此简单，其实就这么回事，不要被假象所迷惑啊。啊？我现在问一个问题呢，你现在来看啊， 那么现在我们就要回到这个地方来。那个数学分析的对象是谁？ 他授分的对象是什么东西，知道不？数学分析对象是谁？你把授分打开的第一章是什么？ 好了，你们换了什么东西啊？函数，这个函数有特点 啊， y 等于 f x， 是 吧？或者它的隐变，或者 z 等于什么？ f x， y， 这是都是函数啊，这是什么式？ 显示，你再把这个显示，把它隐藏一下，就是 y 加 f x， 它如果等于零，这叫什么式？ 这隐士是吧？隐士，他就讲了一个函数看到没？这个，这个对象是什么？是函数看到没？嗯，是函数啊，因此你的第一章就学什么？学哪个东西啊？ 五大类。什么函数？五大类基本函数，拿五大类伸出五个手指， 所以公式只背全部背完了，五个手指一伸，公式全部背完了。你应该这么背。密，只对三角和啥和反三角。 有的，这个中发现了有一个字，那个很聪明的孩子在这里发现了学习的奥妙，其实很多奥妙都藏在自身，不是藏在我的想象力，也不是藏在别人。跟你说啊，同学们，这是个技巧， 没有这种说法，你这里哪个同学发现了这里有个技巧？哎，哪个同学发现了他设的一个结构？发现了这里有个字，这里有个字很重要，哪个字？ very good？ 有 人刚才说的是这个字，反，你跟他这个，他跟他什么关系？反，他跟他什么关系？反，那么为什么五个他的反是谁？ 他的反是谁？ x 平方的反是什么？是不是 x？ 二分之一次方还是什么？ 还是密，看到没？是不是？因此你在这之中发现一个很有意思的问题，这个反字，这个反字将作为一个数学中重要的什么，重要的工具和啥和思维。 那么你当我看到一个概念的时候，从这边过来，我就很快从这边返回去，那你从 x 到了 y， 我 会一定就会想到从 y 会到 x。 你现在发现一个问题，说大部分出题是这样出过来还是这样出过去？你自己看看，你现在明白不好了，这就是思维， 这就是啊，但是我们讲的另外话回来啊，所以很多很多思维结构，包括你认知问题的方法，他都来自一个固有的结构，固有的方式不是你创造的啊，这是，这是他在科学化的过程中采用的策略， 你抓住一个策略之后，你隐隐看穿了嘛？对不对？好，五大类基本函数五大类基本函数，这个，这是对象啊，对象这么简单？好，简单。然后学什么法？学加减乘除 那一头说那么简单，加法，那不是平方加上三眼 x， 这不是加法吗？ 好，但这个加法进入了一个层次，它叫什么层次啊？它是一个粗等的加法， 所以这个是什么范畴呢？是粗等数学的范畴，叫粗等数学。 这个加法是一个什么加法？是一个，是一个简单的加法，他这个加法，我们形成的加法不是这种加法， ok， 是 另外的加法。这个加法 为什么不是我们研究的范畴？因为这个加法在初等数学里面就把它进行研究了，而我们这个数学，数学分析，他是一个什么？他是按有的书起这个名字，还记得吧？叫高等，什么 高等？啥高等数学？ ok， 那 么这个高等你就会明一个问题，高在何处？高在哪里呢？那么这他还是学什么？ 还是学加减乘除，那么他高，他是一个，他不是这种粗等的加法，而是另外一种高等的加法，那么这个高等的加法高在什么地方？ ok， 故事就开始了， 明白不？这就他的逻辑结构而教你，是吧？我们换了一个名称，就是啥 数学？啥分析，那么就形成了这两个字典，把这两个概念，这个这个概念，这个概念其实啥都没说，相当于，但是这个说法就把他说的很清楚，是吧？分析，那么形成一个，形成这个家伙，这个家伙就有两个很重要的特色， 我们这个特色就两个很壮的特色，第一个特色是什么？这个字微。 第二个特色是什么？无穷次的加法，无穷次的运算，无穷次的什么运算？ 这个这个时候你会发现这个 v 字啥意思啊？ v， v 是 什么意思啊？好 v， 很多词是小 v， 当然有小的意思，但是 v 的 这个地方的含义不是小，而是哪个字， 而近。好，你现在有了近这个字之后，那么微近是近不近？那你感觉这个字应该近，应该是什么？应该是什么？是很近 很近，什么很近？叫什么？叫微？是不是？是不是？哎，那么很近 这个字一到到这个头上来了之后，他就会形成一个概念，你看了啊，你的书就打开了，你的书自动就打开了，那么这个书打开了之后，我们这个书也打开了， 完了，然后把所有的故事抄过去，游戏结束百分之五十就读完了，剩下我只背一个简单的概念，几个公式就完了。哦，书就读完了，就这么简单， 你以为我读书那难吗？所以我就上几堂课，我就把自己干掉了，这是我一向上课的风格，我只要上几堂课，我就不需要再给你上课了，你就自己可以学了。 而大学，大学生有一个非常重要的潜在价值，就是培养自己高度的自学能力。 ok， 这很重要啊，这非常重要。好，你要注意啊，你的能力和价值在哪里啊？ 这个唯一需要近，近就要一个什么近，要有一个刻画。哎，近的刻画是什么的呀？我怎么说你跟我很近的， 那么当然就会想到一个很重要的概念叫啥距离？是距离啊，这个距离就会有好多种，如果这个距离是一个什么？是一个欧式距离， 欧式距离来自哪里？来自什么？概念？来自几何，那就会出现这个人在在轴上的距离，就是他什么的呀，这叫啥？ 绝对值？是绝对值啊，在平面上的距离就是这两个点之间的一个什么是不是长度啊？就是欧式上的这个直角，那个同学你解释一下 原因何在？你是个什么？作怪系？你是个直角作怪系，当然就是直角喽， 他是按照把这个直角概念再往延伸一下，就是啥？就是 p、 r o j 投影，他就形成了很多概念，所以很多很多书的产生都是从一点进突破的， 他都一点突破的，而这个东西才是我们读书的价值，我们要容易关心这里你听没有？你读书一定要想办法去关心某一个小点，在一个小点上去找到自己的突破，如果突破了之后你就是一个大家，真的 这是非常重要，所以要要善于去思考一些问题。但是思考的时候他有一个内在逻辑结构，就像我刚才说的，这个逻辑结构要把它理顺，如果逻辑结构不顺的话，这个书其实没读的。 听懂意思不？其实是没读的啊，这点搞清楚。好，那你有了这个距离之后，你就会刻画二者的什么？二者的境，而这个微字是什么境？ 我也是很近很近很近。那么很近很近，说出来就是这个东西叫啥？叫做这个东西 无限接近永不到达。这话什么意思？ 好好好，一个东西出来了，啥玩意？极限？ 所以即兴讲的是什么意思？就八个字，无限接近，永不到达。永不到达是什么意思啊？就是两个之间还是两个？是不是两个他不会融为几个？ 他不会融为一个。 ok？ 你 听懂我意思没有？他们之间，但是怎么样看上去你只看到几个 你只看到几个？你只看到一个，是不是一个？看旁边有没有个？旁边有一个，但是这一个和这个之间怎么样 无形怎样接近，像个影子一样的如影相随，但是始终看不到，就像你的灵魂一样的始终附在你的身上，但是灵魂和你的肉身是始终不是重合的。 ok， 你听懂我这意思吧？你的灵魂和你的肉身始终不是重合的，但是别人看到的是谁 看不看到的？你的灵魂看不到，看到你的肉身无限接近永不到达， 所以你中间始终在做极限，你的身体和你的心灵在始终在两个之间拉扯。 ok， 就 这感觉。什么 有优性接近永不到达。 ok， 讲的激性，激性就出来，就是就叫秘密。这个就形成了一个啥？强大的啥工具？这个工具呢？处理什么东西？处理两个字，处理微和什么刺， 无穷次。好，有了这个微和无穷次就形成了啥？形成了分析。 ok， 好 了，分什么叫分析？搞明白不？那因此我们下一章学什么？ 我们第一章学对象，第二章学什么？你还记得数分不？数学极限工具新学到手啊， 工具学完了之后开始干什么？做什么运算？学什么？ 学四则呀，四则读完了，课文游戏结束啊，书就读完了。有的人说我不是学四则，好，我来给你看看是不是学四则。你你，你知道这个，所以你，你不用把书翻开的， 你根本就不需要任何书，你就抓着这个速度下去之后你自己把书打开了， 你可能不知道中间有一些某些某些现象，但是总体的框架是绝对熟悉的。那开始你看了啊，来，有了工具之后我们就开始学什么？学四则，那么首先第一个学的什么法？还记得不？ 加减乘除，首先学的这个减法好看清楚。第二，他这是什么法？ f x 什么意思？是函数 f x 在 它是什么变量？自变量在自变量， 它是都是从自变量开始，自变量 x 处的。一个啥？什么法？一个减法嘞，这是减法，因此它就等于谁。第二，它 f x 就 等于谁， 等于这个东西等于 f f x 在 这个头像出来，很快头像出来，在这个地方有一个 x， 这个点呢？这边上这个点， 这个点旁边还有一个点，旁边这个点是左边还右边？不知道，反正旁边有个点，有个点叫什么的名字？叫 x 加带 x， 这是一个点， ok， 在这个点呢？这个呢？一个函数值叫什么？叫 f x， 这个呢？一个函数值叫什么？叫 f x， 加上第二条 x， 这个点是如影相随的点，这个点是你看得到的，是目标点，看到吗？两个点做什么法？ f x 加上第二条 x， 就是 它 只记住这个符号， ok， 这是看，这是一个叉，看到吗？所以它是一个什么意思啊？什么法？减法？那有的时候，那我具体怎么做？具体其实很简单，比如第二个平方等于谁， 那就在哪个地方发生，在 x 发生，那这个 x x 平方旁边有一个顶，叫什么？叫 x， 加上第二条 x 平方做减法就是它了， 就是这样很简单的，不要把数学学的很神秘啊，真的很简单的，这是减法，但这个减法有个特点，这个减法不具备这个字， 他是个什么？他是个距差，我把他起名叫距差，这个距不是不是大的问题是什么？是看得啥？看得见？看得见谁看得见他？ 看得见他？不是看得见他，他是永远看得见的。听到没？ 目标点，如果看不见我在哪里做刑罚？那不是胡胡，那不是说胡话，是旁边的这个点，明白不？ 看得见？明白意思不？那怎么看不见呢？好，工具上来了，看着啊。这，这书是这么读的？书应该这么读，但是所有书都不这么讲，所以讲复杂了啊。那么干啥？爬上了 leave it the， 它 f x 它，它，那就是 f x， 加上旁边的一个点，看得见，目前现在是看得见的状态，减去 f x 这个点，这是目标点对不对？ 在目标点发生了一个叉，但这个，这个，这个地方是目前是看得见的，我怎么看让他看不见呢？等于厘米乘第二条 x 取九零。 好，来，看清楚。来，你再看。这个地方发生了什么？发生了什么变化？这个 x 在 这个地方看到这旁边一个 x 在 哪里趋近零，在哪里趋近零的话，那么在哪里，那么这个点就怎样，是不是向这个点跑啊？ 是不是？而这个极限是啥意思啊？什么接近永不？什么永不到达，对不对？那就说这个 data x 将无限的期就是几啊？ 当到达了微距距离的时候，这个点就慢慢的看，看得见就看不见了，但是他有没有？有，为什么？有永不？什么到达？他不会重叠，明白意思不？ 这就相当你的肉体，这就相当你灵魂，听懂意思吗？这个时候你叫做什么？叫表里如一， ok？ 什么叫表里如一？知道不？表里如一，是不是表里真的重合了？没有， 没有重合的那一天，但是如一是啥意思啊？无心之心， ok？ 哎哎，听得懂啥意思吧？来，那么这个是谁啊？这个起个名字。 起个名字等于谁啊？这是什么意思啊？看得懂吧？什么法？就是减法。 这个减法怎么读啊？在 x 这个地方和旁边的一个看不见的顶， 二者之间发生了一个啥？什么运散？什么运散？减法，明白不？ 明白不？那么这个，这个，这个运散应该叫什么名字啊？应该起名叫啥？叫这个字。它是个减法，是个叉，但是这个字具有什么特性？ 微微，所以叫什么叉？叫微叉，但是你没有这么叫，你发现没好，为啥不这么叫？你就知道啊，中间肯定有文化特点啊，应该叫微叉就对了 啊，那么就会得到一个自然法则。什么自然法则？这个答案谁啊？ 这个答案是谁？看清了吗？嗯，这是一个自然法则，知道 limit 第二 x 趋近零， 第二 f x x 这个地方发生了一个看着硬的差，在这个极限无限靠近的时候，二者充分接近，对不对？但这个差消失没？ 没有这个叉既。为啥 d f x 在 x 上发生了一个叉？什么叉？ 微叉，这是什么叉？距叉？距叉通过极星之后变成微叉。 ok， 现在理解不？这个叉存不存在？这个叉是存在的。 那么有同事说这个不对啊，我们老师不是这么讲吗？ limit 第二它 x 去就是零，第二它 f x， 它等于零呗，是不是啊？ 这对不对啊？这对不对？这也对，这个也对，但是你没看到这个，你没有看到这个，你看到它 这个啥意思？我给你解释一下啊。这个符号要读懂了，因为把书读名字不读懂啊。这个符号，这是一个，这实际上是一个数学中叫什么？叫一个记号，它讲的是这个意思，当第二它 x 趋近零时， 第二它 f x 趋近于零，这是两个靠近， 那么这个等号是个假的，这个等号和他这个字合在一起表示的这个靠近。 ok， 这个等号不是真的哈， 他不是真的等于零，他是他说明他靠近零。 ok， 这不能瞎读的啊。那你他说有没有真的等于零，那如果常数呢？当然真等于零的，真等于零，你不也不能说把特例当一般化，明白不？ 这是两个不同的概念啊，只读书不能读的稀里糊涂，读假的，乱读书啊，这代表靠近您，他靠近您，就是讲一个靠近，这个符号讲的是什么？是靠近，那么这个强调的是一个啥？是他的啥，他的什么呢？他的结果。 而这个强调的是这个等号，强调的是他的什么，他的啥？他的表达明白不？ 因为这个叉是不还存在，是不存在，那表达为这个东西，这是两码事，不矛盾。听懂意思没？但是表达是一定藏在内心的啊，这，所以这个真正的价值核心在这里，这是什么法？ 乘法，你读书就这么读的？那你说老师我怎么算好了？你看啊，这里就回到另外一个概念，所以你看知识开始引入，那我怎么算呢？我为了算这个事，我又给你讲另外一个故事，你看啊，书怎么打开的呢？所以我们这个书一样打开， 完全完全照抄，完全照抄，抄过去就完了。所以我说不定我把这堂课讲完了，百分之五十就走完了啊， 至少百分之五十，至少啊，听懂没？所以我们的课， 我们的课是我是我。为什么说你听不到嘞？就这原因啊？因为我是，我是把自己所有的东西全部是揉进去给你讲出来啊。 来，这个，这个你学不学？我不管啊。啊？再说一遍，那么这个故事讲什么呢？他这个讲了一个核心的故事，你怎么算呢？其实很好算。对，那么 d x 应该怎么算？应该这样算， 应该在 x 旁边发生一个故事，旁边有个顶，旁边一个顶是谁啊？那 x 加 d x， d x 是 不是一个 v 啊？ 是不是那就是谁？那就 x 加 d x 旁边这个顶的什么的平方和这个顶的啥平方？做什么法？做减法， 这不是乘法吗？乘法看到没？他就应该这么算，就这么算的。那这个怎么算？这是一个普通的加法，那么这个算就是平方公式啊。 所以这是什么法？看到吗？来看一下。这是什么法？乘法。为什么？乘法？它是一个二的距离，看不到的距离啊。这是什么存在？ 存在是不是存在这个平方乘以谁？这是个什么法？看一下，认真看，认真看。匀算啊，数学学匀算，数学学匀算啊，乘法对不对？ 他和他做的乘法呢？你不要把这个，不要把这个和这个分开了，这是一个整体的，现在目前搭上谁是不是他的平方？精确的平方就这么算的，其实算法就这么简单， 不是什么高级玩意，然后这两个一紧不就消失了？单是几？ 二 x 乘以谁 d x 加上谁 d x 平方。哦，但是你看到的故事不是这个好，怎么解释啊？现在又一个解释，看了这个 d x， 它无限趋近于几。 你为什么这样子问一句呢？他是谁你知道吧？这个是带有什么？是带有即兴的是不是？他是个什么叉？ 什么叉？看不见的微叉？是不是微叉是在什么样发生的？微叉。 哎，这样发生了微差，他无限接近零的。那无限接近零，那这个就是什么？起了个概念叫什么的呀？好，无穷小。那么他又是什么？他和无穷小做乘法也是个什么？小？无穷小？无穷小。这是什么？两个无穷小做什么法？ 加法。问一下两个无穷小做加法保留谁啊？ 当两个无穷小做家法的时候保留谁啊？搞是搞，就群里一个概念，什么是结？ 无穷小的结就出来了，明白不？那真正答案应该是他，但事实上你看的不是他，因为这里做了一个。做了一个什么？净思处理。净思处理。那有的人说，老师我不处理怎么办？好？告诉你一个天才出来了， 所以要大胆的问，要大胆的去考，你就说老师我就不不进，他处理我就是傻算，算出多少就是多少。好，另外一门学科出来了，随机分析。 随机分析是不是把所有项都保留了？他也不是，他保留其中另外一部分，多了一项 就形成另外一个学科。所以有的时候大家会发现一个很有意思的问题，如果你不是这样思考问题的话，你就找不到那个点，但是有的人就这么思考他找到那个点。 ok， 好， 来，我们开始啊。 好，我们上课的方式和传统的方式不太一样啊。好，我们来看这个书课本的名字，把这个字几个字学会。这本书百分之五十读完了啊。 复变啥？复变函数？复变函数还有很多名称叫什么？还有叫，叫这个 复变函数叫复什么？复分析啊？复分析 好，复复分析啊， 叫，还有叫复变函数论好，复变函数论是吧？论，论什么啊？论复变函数啊。呃，如果是这样写的话，复分析啊，那你就会看到这两个字嘞， 你看他分析两个字，你看他分析两个字的时候你就你就笑一笑。哎呦，他讲的是同样一个故事，他讲的是同样一个故事，这个故事讲什么嘞？好，分析我们学的哪个课？现在就找一个保本啊。分析我们学的什么？ 数学分析是吧？哎，你们马上将来还要学这个什么十什么 十十遍？什么十遍函数？你这一看就知道哇，这个玩意跟这玩意呢？啥关系啊？十遍函数还有一个名称叫什么？ 十分析好，你就会发现他们这个课程都是这么一个范畴的。分析的范畴是吧？那分析分析什么？ 那就问你这个问题，数学分析学什么？那么数学分析学成的这个书呢？基本上怎么样？好，开始做一件事。做什么事啊？抄过去就完了， 这个书就读完了，快不快？很快，所以你真正读书的话大概就两三个星期就完了，所以你上多少课时也不重要。 如果真正读书的话，呃，他的，他的整个节奏和感觉是很快的，只要你把这个字读明白就完了啊。因为，因为我们强调的一个观点就是什么 真正要学的是读字。那么我现在问一个问题，你们知道什么叫社会分析吗？ 好，什么是数学分析？你把这个问题你学完了，你回答了没？ 什么是数学分析？数学分析刚刚学完，是不是学了一二三呢？是吧？学了三个学期，哎，你花这样式的学生，什么叫数学分析？知道不好？如果不知道白读了。 这个跟你考多少分是不是有一点关系没有？所以我刚才说了，你考分这个东西其实为了骗，骗那个什么骗主楼的那些垃圾是吧？哎，除了骗那些人之外，剩下一无是处 是吧？一无是处没有用。那么什么叫分？什么叫数学的？数学的宿命啊。那么这个地方就涉及到一个非常重要的数学的宿命啊。 数学是什么？叫数学？数学强调一个非常重的一个核心结构，它是一个结构的这个结构，这个结构就导致了一个一个概念的形成，叫什么叫科学？ 科学显然是一种组织结构。科学是一种组织结构啊，我们学校叫什么名字？ 武汉科技大学。武汉的科技大学科是什么意思？科学技是什么？ 科技是技书啊，哎，科学与技术，科学是吧？科技，哎，是吧，在武汉科技大学不学科技，这到底哪个大学 就到了武汉大学啊。好好好好好，他是一种结构，看到没？哎，这个送去的结构是什么呢？他，他是强调两点的，第一个是什么？是对象， 好来开始，第二个是什么？第二个是职责， 所谓四则就是这个。就这么弱智啊？有四则和对象融合起来形成一种什么一种组织，什么一种组织结构，从而完成他的什么化， 完成他的什么化，科学化，所以就成了一个名字，叫什么叫学科是吧？ 学科，哎，你看这个概念怎么形成的啊？我们看的这字的时候，我们心中要有一个谱，就是说一个什么事情，他是什么脉络，构成一个什么的结构。 ok， 你 知道这个之后，其实你的宏观概念形成的，当你宏观概念形成之后，你再去看这个翻译，哇然如此简单，其实就这么回事，不要被假象所迷惑啊。啊？我现在问一个问题呢，你现在来看啊， 那么现在我们就要回到这个地方来。那个数学分析的对象是谁？ 他授分的对象是什么东西知道不？数学分析对象是谁？你把授分打开的第一章是什么？ 好了，你们换了什么东西啊？函数，这个函数有特点 啊， y 等于 f、 x， 是 吧？或者它的隐变，或者 z 等于什么？ f x， y， 这是都是函数啊，这是什么式？ 显示，你再把这个显示，把它隐藏一下，就是 y 加 f x， 它如果等于零，这叫什么式？ 这隐士是吧？隐士，他就讲了一个函数看到没，这个，这个对象是什么？是函数看到没？嗯，是函数啊，因此你的第一章就学什么？学哪个东西啊？ 五大类。什么函数？五大类基本函数，拿五大类伸出五个手指， 所以公式只背全部背完了。五个手指一伸，公式全部背完了。你应该这么背密，只对三角和啥和反三角。 有的，这个中发现了有一个字，那个很聪明的孩子在这里发现了学习的奥妙，其实很多奥妙都藏在自身，不是藏在我的想象力，也不是藏在别人。跟你说啊，同学们，这是个技巧， 没有这种说法，你这里哪个同学发现了这里有个技巧，哎，哪个同学发现了他设的一个结构？发现了，这里有个字，这里有个字很重要，哪个字？ very good？ 有 人刚才说的是这个字，反，你跟他这个，他跟他什么关系？反，他跟他什么关系？反。那么为什么五个他的反是谁？ 他的反是谁？ x 平方的反是什么？是不是 x？ 二分之一次方还是什么？ 还是密？看到没？是不是？因此你在这之中发现一个很有意思的问题，这个反字，这个反字将作为一个数学中重要的什么，重要的工具和啥和思维。 那么你当我看到一个概念的时候，从这边过来，我就很快从这边返回去。那你从 x 到了 y， 我 会一定就会想到从 y 会到 x。 你现在发现一个问题，说大部分出题是这样出过来，还是这样出过去？你自己看看，你现在明白不好了，这就是思维，这就是思维。但是我们讲的另外话回来啊， 所以很多很多思维结构，包括你认知问题的方法，他都来自一个固有的结构，固有的方式不是你创造的啊，这是，这是他在科学化的过程中采用的策略，你抓住一个策略之后，你就隐隐看穿了嘛，对不对啊？五大类基本函数， 五大的基本函数，这个，这是对象啊，对象。这么简单，好简单。然后学什么法？学加减乘除那一头说那么简单，加法，那不是平方加上上引 x， 这不是加法吗？ 好，但这个加法进了一个层次啊，它是一个粗等的加法， 所以这个是什么范畴呢？是粗等数学的范畴，叫粗等数学。 这个加法是一个什么？加法？是一个，是一个简单的加法，它这个加法，我们形容的加法不是这种加法， ok， 是 另外的加法。这个加法 为什么不是我们研究的范畴？因为这个家伙在初等数学里面就把他进行研究了，而我们这个数学数学分析，他是一个什么？他是按有的书起了个名字，还记得吧？叫高等。什么 高等？啥？高等数学？ ok， 那 么这个高等你就会明一个问题，高在何处？高在哪里呢？那么这他还是学什么？ 还是学加减乘除，那么他高，他是一个，他不是这种粗等的加法，而是另外一种高等的加法，那么这个高等的加法高在什么地方？ ok， 故事就开始了， 明白不？这就他的逻辑结构而教你，是吧？我们换了一个名称，就是啥 数学？啥分析，那么就形成了这两个字典，把这两个概念，这个这个概念，这个概念其实啥都没说，相当于，但是这个说法就把他说的很清楚，是吧？分析，那么形成一个，形成这个家伙，这个家伙就有两个很重要的特色， 我们这个特色就两个很壮的特色，第一个特色是什么？这个字微。 第二个特色是什么？无穷次的加法，无穷次的运算，无穷次的什么运算？ 这个这个时候你会发现这个 v 字啥意思啊？ v， v 是 什么意思啊？好， v， 很多词是小， v， 当然有小的意思，但是 v 的 这个地方的含义不是小，而是哪个字。 而近。好，你现在有了近这个字之后，那么微近是近不近，那你感觉这个字应该近，应该是什么？应该是什么？是很近 很近，什么很近？叫什么叫微，是不是？是不是？哎，那么很近 这个字一到到这个头上来了之后，他就会形成一个概念，你看了啊，你的书就打开了，你的书自动就打开了，那么这个书打开了之后，我们这个书也打开了， 完了，然后把所有的故事抄过去，游戏结束百分之五十就读完了，剩下我只背一个简单的概念，几个公式就完了。哦，书就读完了，就这么简单， 你以为我读书慢难吗？所以我就上几堂课，我就把自己干掉了，这是我一向上课的风格，我只要上几堂课，我就不需要再给你上课了，你就自己可以学了。 而大学，大学生有一个非常重要的潜在价值，就是培养自己高度的自学能力。 ok， 这很重要啊，这非常重要。好，你要注意啊，你的能力和价值在哪里啊？ 这个唯一需要近，近就要一个什么近，要有一个刻画。哎，近的刻画是什么的呀？我怎么说你跟我很近的， 那么当然就会想到一个很重要的概念叫啥距离？是距离啊，这个距离就会好多种，如果这个距离是一个什么？是一个欧式距离。 欧式距离来自哪里啊？来自什么概念？来自几何？那就会出现这个人在在轴上的距离，就是他什么的啊，这叫啥？ 绝对值？是绝对值啊，在平面上的距离就是这两个点之间的一个什么是不是长度啊？就是欧式上的这个直角。那个同学，你解释一下 原因何在？你是个什么作怪系？你是个直角作怪系，当然就是直角喽， 他是按照把这个直角概念在我们隐身一下就是啥，就是 p、 r o j 投影，他就形成了很多概念，所以很多很多书的产生都是从一点进突破的， 他都一点突破的，而这个东西才是我们读书的价值，我们要容易关心，这里你听没有？你读书一定要想办法去关心某一个小点，在一个小点上去找到自己的突破，如果突破了，这你就是一个大家，真的 这是非常重要，所以要要善于去思考一些问题，但是思考的时候他有一个内在逻辑结构，就像我刚才说的，这个逻辑结构要把它理顺，如果逻辑结构不顺的话，这个书其实没读的， 听懂意思不？其实是没读的啊，这点搞清楚啊，那你有了这个距离之后，你就会刻画二者的，什么二者的进，二者的进，而这个 v 字是什么？进？ 我也是很近很近很近。那么很近很近，说出来就是这个东西叫啥？叫做这个东西 无限接近永不到达。这话什么意思？ 好好好，一个东西出来了，啥玩意？极限？ 所以即兴讲的是什么意思？就八个字，无限接近，永不到达。永不到达是什么意思啊？就是两个之间还是两个？是不是两个他不会融为几个？ 他不会融为一个。 ok？ 你 听懂我意思没有？他们之间，但是怎么样看上去你只看到几个 你只看到几个？你只看到一个，是不是一个？看旁边有没有个？旁边有一个，但是这一个和这个之间怎么样 无形？怎样接近？像个影子一样的如影相随，但是始终看不到，就像你的灵魂一样的，始终附在你的身上，但是灵魂和你的肉身是始终不是重合的， ok， 你听懂我这意思吧？你的灵魂和你的肉身始终不是重合的，但是别人看到的是谁 看不看到的？你的灵魂看不到，看到你的肉身无限接近永不到达， 所以你中间始终在做极限，你的身体和你的心灵在始终在两个之间拉扯。 ok， 就 这感觉。什么 有优性接近永不到达， ok， 讲的激性，激性就出来，就是就叫秘密，这个就形成了一个啥？强大的啥工具？这个工具呢？处理什么呢？处理两个字，处理微和什么次？ 无穷次。好，有了这个微和无穷次就形成了啥？形成了分析。 ok， 好 了，分什么叫分析？搞明白不？那因此我们下一章学什么？ 我们第一章学对象，第二章学什么？你还记得数分不？数学极限，工具新学到手啊， 工具学完了之后开始干什么？做什么运算？学什么？ 学四则呀？四则读完了，课文游戏结束啊，书就读完了。有的人说我不是学四则，好，我来给你看看是不是学四则。你你，你知道这个，所以你，你不用把书翻开的， 你根本就不需要任何书，你就抓着这个速度下去之后你自己把书打开了， 你可能不知道中间有一些某些某些现象，但是总体的框架是绝对熟悉的。那开始你看了啊？来，有了工具之后我们就开始学什么？学四则。那么首先第一个学的什么法？还记得不？ 加减乘除，首先学的这个减法好看清楚。第二他这是什么法？ f x 什么意思？是函数？ f x 在 它是什么变量？自变量在自变量， 它是都是从自变量开始自变量 x 处的。一个啥？什么法？一个减法嘞？这是减法，因此它就等于谁，第二，它 f x 就 等于谁， 等于这个东西等于 f f x。 在 这个头像出来，很快头像出来，在这个地方有一个 x， 这个点呢？这边上这个点， 这个点旁边还有一个点，旁边这个点是左边还右边？不知道，反正旁边有个点。有个点叫什么的名字叫 x 加带 x， 这是一个点， ok， 在这个点呢，这个呢？一个函数值叫什么？叫 f x， 这个呢？一个函数值叫什么？叫 f x， 加上第二条 x， 这个点是如影相随的点，这个点是你看得到的？是目标点，看到吗？两个点做什么法？ f x 加上第二条 x， 就是 它 只记住这个符号， ok， 这是看，这是一个叉，看到吗？所以它是一个。什么意思啊？什么法？减法？那有的时候，那我具体怎么做？具体其实很简单，比如第二个平方等于谁， 那就在哪个地方发生，在 x 发生，那这个 x， x 平方旁边有一个顶，叫什么？叫 x， 加上第二条 x 平方做减法就是它了， 就是这样，很简单的。不要把数学学的很神秘啊，真的很简单的，这是减法，但这个减法有个特点，这个减法不具备这个字。 他是个什么？他是个距差，我把他起名叫距差，这个距不是不是大的问题是什么？是看得啥？看得见？看得见谁？看得见他？ 看得见他，不是看得见他，他是永远看得见的。听到没？ 目标点。如果看不见我在哪里做减法？那不是，那不是说胡话，是旁边的这个点，明白不？ 看得见，明白意思不？那怎么看不见呢？好，工具上来了，看着啊，这，这书是这么读的，书应该这么读，但是所有书都不这么讲，所以讲复杂了啊。那么干啥？他上了 leave it the， 它 f x， 它，它，那就是 f x， 加上旁边的一个点，看得见，目前现在是看得见的状态，减去 f x 这个点，这是目标点，对不对？ 在目标点发生了一个差，但这个，这个，这个地方是目前是看得见的，我怎么看让它看不进呢？ 等于厘米乘第二台 x 趋近零。 好，来，看清楚了，你再看这个地方发生了什么？发生了什么变化？这个 x 在 这个地方看到这旁边一个 x， 再来一个趋近零，再来一个趋近零的话，那么再来，那么这个点就怎么样？是不是向这个点跑啊？ 是不是？而这个极限是啥意思啊？什么接近永不？什么永不到达，对不对？那就说这个 data x 将无限的期就是几啊？ 当在无形区域里的时候，这个点就慢慢的看，看得见就看不见了，但是他有没有？有，为什么？有永不？什么到达，他不会重叠，明白意思不？ 这就相当你的肉体，这就相当你灵魂，听懂意思吗？这个时候你叫做什么？叫表里如。
158睡前课堂
44:20查看AI文稿AI文稿好，在这一段呢，我们给出了迪美孚公式，然后呢，我们呢是 分 n 为正整数和 n 为负整数的时候呢，我们分别进行讨论的， 这个 n 为正整数的时候呢，那这个公式得到了，我们应该说你只要知道了它的乘法的这个公式，那这个乘以的公式呢，就很顺理成章的就有了。 好，当这个 n 为负整数的时候呢，在这个地方呢，我们只要做这么一个定义，就说 z 的 负一等于 z 分 之一，那我就把这个 z 分 之一看作是一个整体的话呢，你就一样的去用了。 好，你别说在这个地方呢，当 n 等于负一的时候，那么 z 分 之一的模当然就是 r 分 之一， 然后呢这个 z 分 之一的辅角呢？好，那么就看作是一和 z 相处也可以，对不对？那就是说就是阿根一减去阿根 z， 那 就等于负 c， 它，那好，这个时候呢，如果当 n 为负整数的时候呢，那这个底美符公式呢，我就把它写成了这样的形式。 好，有了成密的公式呢，我们又可以得到这个，呃，求这个负数的这个开开封。你比如说当这个这一步等于零的时候呢，我要求这个 g 的 n 次方根，在这个地方啊， 当这一步等于零的时候，我要求 g 的 n 次方根，那就相当于是一点一式给出来的，那也就说呢，我要求这个欧米伽， 欧米伽的 n 次方等于 z， 那 么欧米伽就是 z 的 n 次方根，然后呢，就是这样的，好，怎么去做呢？我这样来做，我呢把这个欧米伽呢用三角形式给出来， 然后呢 z 呢，当然也是用三角形式给出来，这是这是 z， 好， 在这个地方呢，这个 r 呢，是 z 的 这个辅角的主值。好，根据这个等式，我们就有了这样的一个等式。 好了，有了这样一个等式呢，那么既然是等式，我就做一个比较，那我们就知道这个 roa 呢，就应该等于 r 好， 这个 n phi 呢，就应该等于这个 c， 它就应该有了这个，那好了， 那我们实际上在这边做的事情是什么呢？就是要把这个 omega 求出来，要求出 omega， 实际上就是说什么呢？我要知道这个 ro 和 phi 好了，那么根据这个 ro 和否与已知量 r 和 c 它的关系，我就知道 ro 呢，就应该等于什么呢？ ro 就 应该等于 r 的 开 n 次方，这是算数，算数根，对不对？因为呢，摩都是大于 零的，如果非零的负数，它的摩都应该是大于零的，所以 ro 应该是大于零的，它就对这个 r 呢开 n 次算数根， 然后呢，还有这个 five 等于什么呢？就是 n 分 之四，它就到这个地方来了。好，我们记住我们这个呢，欧米伽呢，就是这个 g 的 n 次方根，就是 g 的 n 次方根，那我们再看这个，这个 g 的 n 次方根是不是只有这一个呢？ 是不是只有这一个呢？是不是呢？ 是不是的呢？那我想的，你根据你们以前所学过的知识，你比如说这开平方根，我们是有两个吧，对不对？那在这一段开 n 字方，也 应该是你有一个这种直觉，也不应该是一个好，然后呢，你再细细的再看呢，你看啊，这个地方呢，你看啊， ro n 等于 r， 这个是没有问题，这个 n 斐等于 c 塔，实际上呢，这个 n 斐还不仅仅是值等于 c 塔，他还可以对 c 塔呢，再加上一个 二拍的整数倍，仍然这个等式是成立的，对不对？是不是？所以呢，在这个地方呢，我们说 在这个呢地方呢，这个 n phi， 或者说这个 omega 的 辅角呢，可以和 c 塔呢是相差二拍的整数倍。 因此呢，我们就知道这个呃 n 次 z 的 n 次方根呢，我们呢就可以用呢这么样的一个公式呢来给出，就是用这么样的一个公式来给出好了，那么呢， 在这个地方呢，也就是说我把这个 omega 的 omega 的 这个 five 呢，就是 n five 呢，可以写成 theta 加上二 k pi， 那 么 five 就 可以等于 n 分 之 theta 加二 k pi， 那 好了，我在这张我再问这个 k 是 不是可以取任何一个整数呢？ 当然是可以取任何一个整数的，但是呢，你取任何一个整数，那么呢，实际上呢，我们知道，只有当这个 k 取零一二三 n 减一的时候，这个地方呢，才表示的是不同的值，如果你再将 k 取 n 的 时候， 那么它就应该和 k 取哪一个值的时候是相同的呢？就 和取零的时候呢是相同的，所以呢，我们就没有必要呢再做下去，因为得到的都是重复的值， 那么因此呢，我们说对这个 j k n 次方的话呢，他就可以得到呢 n 个根， k 呢，从零一二三一直到 n 减一，可以得到这个 n 个根，那么这 n 个根呢，就由这样的一个公式呢所给出。 好，那么由这个公式呢，你就可以了算出这个 g 的 n 次方根，那么对 g 开 n 次方，他就得到了 n 个根，那么这 n 个根呢就可以由这个公式给出来，这个公式是怎么样去 使用呢？那么我们知道，你只要知道这个 c 塔和这个 r， 那 么呢这个欧米伽的 n 个值你都可以给出来。好在这个地方的 r 呢是什么呢？ r 是 z 的 摩， c 塔呢是什么呢？ c 塔是 z 的 辅角的主值，那也说呢，你只要知道了 z 的 这个辅角的主值和这个 z 的 摩，那么它的 n 次方根，你就可以由这个公式呢很方便的算出来。 好，由这个公式呢，我们还可以看到，实际上呢，它的这个 n n 个根呢是很有特色的，它的特色在哪里呢？它所有的这 n 个根的是吧？ n 个根的膜都应该是怎么样的？ 这 n 个根的膜都应该是相等的，并且呢是等于它， 那也就说了这个对这一你开 n 次方根吗？那么这个 n 次方根好，这个根呢就应该落在这么样的一个圆周上，什么样的一个圆周上呢？就是圆心在坐标原点，然后呢半径为这个 r 的 n 次方分之一，这么样的一个长度的这样的一个圆上面，而且呢还有这些根呢，就是说落在这个圆周上，而且他们的距离应该是怎么样的呢？ 距离，距离应该是相等的，对不对？那也就是说呢，如果你把这些根的这些根呢，你，你用这两点间呢，你用一个线段把它连起来的话呢，那么实际上呢，我们知道这个 c 的 n 次方根呢，应该是以这个根号 n r 为半径的一个圆周上的顶点，你把它连起来了，它就是园内，园内的一个内接正多边形的顶点， 就是它就是这样的一个特点，对吧？好，这是对，这个，这一开 n 次方根呢，我们得到了这么样一个公式。好，下面呢，我们呢可以呢，呃，对它呢进行应用。你比如说 我现在呢要求，要求这个我，我现在要求这个 一的 n 次方根，求一的 n 次方根呢，按按照刚才的解释呢，也就说要求一个欧米伽，让欧米伽的 n 次方等于一，好，怎么去求这个欧米伽呢？那我们知道了，既然是一的 n 次方根，那我就应该能够求得 n 个欧米伽， 他有 n 个方根。好，那怎么去求呢？你只需要知道一的魔和一的辅角的主值，那么带到这个公式里面去，你就可以得到这个一的 n 次方根。那这个问题呢，就变得很简单了，你比如说在这一段我们看啊， 我们调解一下，首先首先我们看到这个一的，呃，这个一的辅角呢是呃零，然后呢它的模当然是一，好带到这个公式里面去， 带到这个公式一点三这个里面去呢，实际上呢，它就变成了这样的，因为 theta 等于零嘛。好了，它的 n 个根，你比如说当 k 等于零的时候，当 k 等于零的时候，那这个地方是一，这个地方呢是零，那实际上 omega 零就等于一， 欧米亚零就等于一。然后呢你再依次的当 k 等于一，二一直到 n 减一，把它算出来呢，那我们知道这个一的 n 次方根，一的 n 次方根呢，就是这样给出来的， 就是这样给出来的。好了，按照这样的一个给出的话呢，我们知道实际上呢，这个一的 n 次方根呢，它就应该是落在一个单位圆的圆周上，并且呢一肯定是它的一个顶点， 因为一肯定是他的一个根，那也就说呢，这个一的 n 字方根呢，他就应该是一个单位圆的内接正 n 边形的顶点，他的根就是这样的。好，这是我们看到的啊， 好了，那也说他说这些点内接于单位圆，是以一为一个顶点的正 n 边形的顶点。 好，下面我们再看一个例子，再看这么样的一个例子，他呢不是要我们求的这个方根，而要我们求的是什么呢？一个方程求解一个方程，实际上呢，我们也看到 这个方程的求根呢，就是我们刚才所说的就是求一个负数的 n 次方根，是一样的，对吧？好，在这个地方呢，我们也就是说呢，你就是解这个方程，实际上就是要求哪一个负数的多少次方根呢？ 哪一个负数的多少次方根， 那也就说我们要求的是一减根号三 i 这个负数的六次方根，对不对？那也就说这个方程的解呢，应该有六个啊，这个方程的解应该有六个，那好了，怎么去求呢？ 按照刚才给出来的公式，一点三应该怎么去求呢？现在呢，我问你们应该怎么去求， 应该怎么去求呢？实际上呢，也就是说呢，把这个负数的魔求出来，然后再把这个负数的辅角的主值找到就可以了，就套到那个公式里面去就可以了，对不对？好，这个呢，我们都是很容易求的， 那好了，那我们看一下啊，在这个地方，这个一减根号三挨的模，那么就等于它的实部的平方加上虚部的平方开方就是二， 然后呢它的辅角的主值呢？你看啊，这个负数是在第几项线，这个负数在第几项线 在第四象限，对不对？那么也就说它的辅角的主值呢，就等于 octantian， octantian 负根号三 就完了，你再把它的这个呃， octantian 这个啊求出来就完了，那么它就等于负的三分之拍，然后我们再把它的根呢，再把它求出来，好，按照这个求根的 公式，按照这个求根的公式， k 是 可以等于零，一二三一直到五。好，那么呢，我们呢，就可以把它的六个根按照这个公式，把它的六个根呢排列一下，在这个地方。好，这个呢我们就不多说了，这个问题对我们来说呢，应该说是比较简单的问题。 好，这是他的这个方根的计算。好了，那么接下去呢，我们还要介绍什么呢？刚才呢，我们说了，给出了这个负数的这个四则运算， 在这个负数的四则运算里面呢，实际上呢，我们呢应该说能够呢，就是说很快的理解到这一点，因为这个跟时速运算里面是一样的，他是这样说的啊，他说 在负数范围内，在负数范围内，我们所规定的四则运算，除去除法运算外，其他三种运算方法可以说是畅行无阻，没有除法例外。为什么他说事实上 在全部负数中，没有一个数和零相乘，他的极不同于零的，也就说他的极不等于零的，那么也就是说了什么呢？他说不可能存在这样一个数，他是一个负数被零所除的商。 好了，那么呢就是对这个除法的运算呢，有了这样的一个限制以后呢，可能呢跟我们今后讨论问题呢，就带来了一些不方便的地方， 就是为了今后我们讨论问题更方便的话呢，在这个地方呢，我再对这个负平面呢再做进一步的扩充。怎么扩充呢？也就是说他说在这个，他说为了使负数运算更具有普遍性，也为了后面有关问题的研究， 我们有必要将这个负数再做进一步的扩充，也就说了我们在引进一个数，引进一个什么样的数呢？我把这个数呢就称为无穷大， 就是引进这么样的一个数，无穷大，好，当然这个无穷大呢，我们不是说今天才接触到这么样的一个记号， 为什么在这边我说是记号呢？因为我们在微积分课程里面学习呢，这个无穷这个符号呢，的确呢是一个符号，是一个记号。而在我们复数里面呢，我们把它呢作为一个数呢，我们称它为无穷大数。 那么这个无穷大数我们怎么定义呢？我们这样来定义啊，也就说了我们做出来的这样的一种规定，什么样的规定呢？也就说零分之一 就等于无穷大数，当然零分之一呢，在实数范围内呢，我们说这个呢根本就没有意义的。实数范围内，如果不是在扩充的负平面上考虑这个呢，也没有 意义的，我是把负数域呢进行扩充，我引进的这样一个数，引进这样的个数呢，就是纯属于这个为了他的预算更具有普遍性，就是在后面我们讨论问题来给带来一定的方便，我们是这样做的啊， 好，当然呢，既然是一个数，那么他就有一些预算的规则，那他的预算规则呢，我们是这样给出来的，也就说我是这样的规定， 比如说这个 a 呢，是一个有限数，一个无穷大数和一个有限数的和还是一个无穷大数，和它的差也是一个无穷大数，然后呢和有限数的乘 是一个无穷大数，还有呢，就是它的这样这样的一种做法呢，这呢是零，因为它的分母呢很大，当然这整个分数的值就小。如果呢，这个在下面，当然这个 a 是 不能等于零的，那它它还是无穷。 但呢在这个地方呢，既然呢，我沿用了在微积分里面的这个无穷大的这样的一个记号的话呢，当然我们有些东西呢，也不能混响，因为呢， 负数域呢，是实数域的扩充，如果我在负数域呢，进行退化的话呢，他又到了一个实数域，因此呢，像这些这样的一些运算呢，在实数域里面是没有意义的。在复数域里面呢，这些运算呢，仍然是没有意义的。 好，这个呢，我们在微积分课程里面，我们学极限的时候，我们都称这个叫什么呢？叫做不定形，对不对？在也就说这些运算呢没有意义。好在这个地方呢，这样的一些量的运算呢，仍然是没有意义的。 好，在这个地方呢，我们说一开始我们就说了，我们学习复变函数呢，你就要注意和微积分的这个区别，在这一方呢，我们就要去注意这样的一个区别啊，好了，我们说它的区别在哪里呢？他说 这个无穷大呢，在复变函数论里面呢，我们是做一个定值，是一个值，而不是一个记号。但是呢，在微积分里面呢，我们仅仅是把这个呢作为是一个符号，是一种记号，是一种什么样的记号呢？它是表示这个呃 极限为无穷大量的这么样的一个变量，或者说它用来描述这个变量是无穷增大的，也就是说呢，这个 x n 趋向无穷，那么这样的一个变量呢，我就称它是无穷大量，但是呢，在负平面上面呢，我们是把它作为一个定值来给出来的。 好了，如果你在这个负平面上呢，你引进了无穷大树以后呢，那你就又要进行进一步的思考，思考什么呢？我们前面说了，我们说一个负数呢，总是和平面上的一个点呢，相对应的， 或者说负数呢，和平面上的一个点呢，应该是形成了一个一一对应的关系。那么呢，在这个地方，我们就要说 这个无穷大树既然是你引进来的一个定数，那么它一定要和负平面上的某一个点对应，但是呢它只能和一个点对应，对不对一个点呢？对应一个负数，我还是不想把原来我们的这样的一些规则呢破坏掉。 那好了，那我就问这个无穷大树呢，和平面上的一个什么样的点对应起来呢？ 和平面上一个什么样的点对应起来了？在这个地方呢，我们呢就设想平面上呢一定有这么样的一个点，因为呢，我们前面说了一个复数总是和平面上的一个点呢，是一个一一对应的关系，那我就说他和平面上的一个理想的点对应起来了， 那么这个理想的点又是一个什么样的点呢？那我们就要做进一步的讨论了。好了，在这一段呢，我们先解释一下啊， 我们说一个负数和平面上的一个点呢，就形成一个一一对应的关系，也就说平面上的一个点，它只能对应一个负数，是叫一一对应吗？那好了，那么在这个地方呢，我们就不再像微积分课程里面学的还有什么正无穷和负无穷之分呢？我们 无论是正无穷还是富无穷，我都叫做无穷大树，只有一个数啊，只有一个数，不再分正无穷和富无穷，他只有一个数，我们叫做无穷大树。 好了，那么这个无穷大树呢，是和平面上的一个理想的点相对应，我说这个理想的点，我们怎么去 设置他呢？我们再做进一步的讨论啊。好了，他说负平面上，他说负数平面上加上无穷圆点，叫做扩充负平面，或叫做 b 平面，或者叫做全平面， 他说不包含无穷远点的平面呢，我就称为是开平面。平面上的所有直线都看作是通过无穷远点，因为那个直线呢可以无限的人延伸，我就说平面上的所有的直线呢，都看作是通过无穷远点， 他说为了使无穷远点的存在得到直观的解释，也就是说了为了我们把刚才那个理想的点呢给出来，那么黎曼呢，他就特别的的制造了这样的一个表示的方法， 那么表示的什么就叫做黎曼球面好，下面呢我们再介绍一下黎曼球面， 好，这个离曼球面呢，我也叫它做负球面好，在这一段呢，他是这样说的，他说 负数可用平面上的点表示，现在呢我们可以考虑平面呢与一个球面对应的方法，如果我把一个负平面和一个球面呢形成了一一对应的，这样呢我们就都对应起来了。好了， 那么他说这个方法本身就是将一个负平面和一个球面呢形成一个对应的关系，他说这个，呃，这个对应的关系呢，实际上呢是出现在这个负数之前的， 那么出现在哪里呢？实际上呢就在这古希腊，他说古希腊时代的世世界地图制作就知道这一个方法的， 你想一下啊，我们就是拿到的地图是一个平面上的，对不对？那么这个球就是地球是一个球体，怎么和平面对应起来呢？他这个呢，在古希腊的时候呢，就有了这样一种方法，叫做什么呢？叫做测地投影法。 好，具体怎么做呢？你想一下啊，这个地球上面的每一个位置，或者说每一个地域，你都要在这个平面上呢，要反映出来，那你都要形成一个一一对应的，对不对？你不能多对一，你要是一一对应的怎么做呢？你看啊，我们这样来， 那我们呢给出了这样的一个球，这样一个球，然后呢这个球的这个顶点呢？我就称他为北极。 好了，这个测地投影法是怎么样在投影呢？你比如说这个球面上的这么样的一个点，比如说这个点呢，表示的某一个区域，好，这个点怎么在这个地图上把它描出来呢？我们是这样的啊， 就是这个点，然后呢我通过这个北极呢，我就这两点呢做一个连线，一直连下来，他肯定是要穿过这个平面的点 p 一 撇呢，我就称为是 p 在 这个 地图上的一个投影，反过来如给了一个 p 一 撇，然后呢你把这两点连起来，他通过这个地球，那么呢 是不是这两点就形成了一个一一对应的关系？你可以看到那么这个南极呢，它对应的点就在这一级，也就说这个球上面的每一点，我都可以在这个平面上把它对应起来，也就说这个 这是这个直径吧，这个下面的呢就和这个地方的对应起来，这个上面呢就和这个外面的对应起来了，对不对？好，那你再想一下，我们是用哪一点和这个北极这一点对应起来呢？ 我们用哪一点和这个北极这一点对应起来了？我把这个呢就当做是一个负平面，那么负平面上的哪一点和这个北极对应起来了？ 对，就是无穷远点，对不对？好，这样一来的话呢，我们引进了这个离曼球面以后呢，我就消除了无穷远点的这个特殊性，那也说了，那也就是说呢这个， 呃负平面上的无穷远点呢，他就应该和这个球面上的北极点对应起来，那你可以看到这个北极，北极这一点呢只有一点， 那也就说的这四面八方的这些点呢，他我们说在这个副平面上的任何一个直线，我都可以看出是通过这个无穷远点，那么这个无穷远点应该是四面八方都有的， 是不是？然后你再比如说你把这个纸呢包起来，他就包到这一点来了，所以说这个四面八方的这些点通向这个无穷远方的点呢，都叫做无穷远点，只有一点，他和这个北极这一点呢对应起来， 好，这是我们给出来的这个离曼球面啊，离曼球面，好在我们 用文字叙述了，他说因此全体复述可用这个球面上的点表示，同时也消除了在负平面上无穷圆点的特殊性，他这样规定的球面呢，就称为是负球面，或者呢称他为离曼球面。 好，这是我们给出来的这样的好了，那么呢这些呢，我们在这个负数的运算呢，我们前面呢，我们给出了负数的定义，当这个我们以前高中时期来就已经学过了，还有他的一些四则运算，得到了的美福公式，还有开放的公式， 还有呢还引进了这个无穷远点，对这个负平面呢，我们又做了进一步的扩充，就得到了这个扩充的负平面。 那下面呢，我们就要引进什么呢？我们就要引进这个复变函数，也就说这个自变量 可能呢它不是实数，它是一个负数，那么得到的值可能不是一个实数，是负数，那么这个呢，我们叫做负变量函数。那好了，为了引进负变量函数，那我们再想一下，在这之前我们应该先给出一个什么样的解释呢？ 那你就想一下，在这个微积分里面，时变量函数呢？我们是定义在哪里了？ 时变量函数定义在哪里了？应该说是定义在十轴上，对不对？或者说定义在某一个区间上，那么负变量函数呢？是应该定义在一个负平面上， 那么对于这个负平面上呢，它是什么呢？我们对应十轴呢，我们有区间，对应于这个负平面呢，我们有区域，那么区域这样的一个概念呢，我们又怎么产生呢？在这之前呢，我们先介绍一下平面点集的概念， 好，下面呢我们再来做这个工作。 平面点集的一般概念，在这段他说在函数论中，平面点集理论虽然不属于复变函数论的范围， 但在整个数学领域中，集合论占着特别重要的地位，已渗入到数学的每一个分之中。 而且呢我们还知道他说严谨的复变函数呢，是他的整个理论呢，是建立在平面点级的理论基础上的，也正像我们单变量就说单变量的实函数样，他是建立在直线点级理论基础上一样，也就是说 同实变函数样，每一个复变函数呢，他都应该有自己的变化范围。那么 今后呢，我们的我们这个讨论问题呢，我们都应该说是比较简单的，那么我们的这个呃幅变量函数呢，它的变化范围呢？我们总是呢把它限制在一个区域上面的， 所以呢，我们要给出区域的一个解释好，为了给出区域的一个解释呢，我们先对这个平面上的点集呢，它的相关的一些概念呢，我们做一个解释 好，首先呢我们要引进开级和闭级这么样一个概念好，引进开级和闭级这个概念呢，我们先介绍一下领域这个概念， 好，按照这个领域的这样的一个解释呢，对我们在座的来说呢，都不应该是陌生的，因为呢我们呢在 哎一刚开始讲单变量函数的极限的时候呢，我们就接触到领域了，后来再讲这个二元函数的极限的时候，我们又接触到领域这个概念，这个呢是一样去定义的。他说平面上以 z 零为中心， 德塔为半径的圆，我就表示为 z 减 z 零的模小于德塔，称它为 z 零的领域。 好，在领域呢，我们可以这样来记，这样来记来表示 z 零是中心，德尔塔呢是半径，当然德尔塔应该是大于零的啊， 好，而称，由这么样的一个不等式确定的典籍呢，就为 z 零的去心领域，因为呢，这个 z 呢是不能取 z 零的，所以呢，我们叫他叫这样一个不等式呢，叫做 z 零的去心领域。 好，这个呢，我们以前都有了的。那好了，那我们想了解的是什么呢？因为我们在这个地方的 z 零呢，不仅仅是有限数， z 零还可以等于无穷， 还可以等于无穷。那么对于无穷，如果 z 零等于无穷，它的领域该怎么去定义呢？你们可以想象一下啊，该怎么去定义 好，该怎么去定义呢？在这一段呢，我们是这样给出定义， k 为任意的正数，它说满足这个 z 的 模大于 k 的 点，我就称为是无穷远点的领域。那么对于这样的一个定义，你们能不能就是想象到它的合理性呢？ 好，当，这个呢是为无穷远点的领域 好，这个的理性你们就是能否接受呢？ 那今后呢，我们在宝兴印刷的时候呢，我们还要用到这样的一个概念的， 就你想一下啊，在这个平面上面啊，在假如说我就说这个是一个平面好，这个呢是无穷远点，那你看他的这个领域，你怎么定义的？那你肯定就是这样的吧， 就应该是这样的，对不对？好，那你可以看作是某一个定点的某一个定点。好，这个假如说是零的话，那你做一个圆嘛，那么这个圆的外面就应该是它的这个领域， 是不是这样的？是不是这样的啊？好，再说一遍啊？ 那啊，比如说假如说这个是一个负平面，是吧？这是一个负平面，当然他这肯定是无限的，我在这边画成这样的，有限的啊，你看啊，这任意一个有限点的话呢，他的领域呢，实际上呢，就是这样的一个圆，对不对？好，如果是无穷圆点的话，我就设想在这个这这个边上， 但实际上呢，不是这样画的，对不对？在黑板上呢，我们是无法把它画出来的，但你可以想象，就他的领域是什么呢？那按照这样一个解释，那你就说以他为中心，然后呢，这样的一个半径的这样的一个圆，是他的领域吗？对不对？ 但呢像这个这样，我根本就没有办法做的，那我是怎么做的？我就是这样做一个圆，你看啊，这样做一个圆，这个圆的外面就应该是他的领域吧， 是不是这个圆的外面就应该是他的领域？因此呢，我定义这个就当这个 z 零不是有限点，而是一个无穷圆点的话呢？我，所以呢，我定义他的领域呢，我就是说就是存在的某一个正数 k， 当 z 的 模大于 k， 也就说在一个以坐标原点为圆心， k 为半径的一个圆的外面就是无穷原点的领域，我们就是这样定义的。好，这是领域的概念，下面呢，我们再给出这个据点的概念 据点，所谓据点呢，它是这样说的，你都可以顾名思义啊，他说设 我们已经给了一个平面点积积，他说如果对任给的一个单调大于零，任给的一个单调大于零，那么呢你就是做这个 z 零的单调领域和这个平面点积的交，一定有无穷多个点，那么我就说 z 零呢，是这个集合积的一个据点， 一个距点，实际上呢距点呢，也就是极限点，或者说是距点，或者说是它的一个极限点。好，从这个几何直观上来看嘛，那也就是说 你比如说这是一个一个极，一个集合平面点及 g， 他 说呢，如果对任意给的一个 一个 dota 好， z 零在这个地方， z 零在这个地方，就说你不，你不管做它的一个什么样的这个 z 零的这个 dota 半径，那么它和这个集合机的结交里面呢，一定有无穷多个机中的， 那么 z 零当然是它的距点，也就说它都聚集在这个 z 零的附近，那么 z 零当然是它的一个极限点，好，这是典型的距点，或者叫做典型的极限点，好，这是我们给出距点，然后呢还有呢内点 好，所谓内点呢，我们是怎么去定义的呢？我们这样说，我们说如果存在单调大于零， 然后呢使得呢？你对这个 g 零呢？你做出 dota 这样的一个领域，这个领域呢，总是包含在这个典籍里面，那么这个 g 零呢？我就说是一个内点 啊， z 零，我就说他是一个内点好了，那么呢这个内点，他说这个内点肯定是属于这个集合 g 的， 并且呢他是集 g 的 一个据点，内点肯定是据点，内点肯定是据点，据点不一定是内点。 好了，那么呢这个内点啊，我们从几何直观上来解释一下来，他实际上是这样的，你比如说我们有这么样的一个， 我们有这样的一个圆啊，比如说我们有这样的一个圆。好的，那么这个圆呢？是这样的，这个呢是 j 零，然后它的半径呢是 r， 这个圆。好，这个圆里面的任何一个点都是内一点， 是不是这样的？这个圆里面的任何一个点都是内点，因为呢，你不管给出一个什么样的一个点，什么样的一个点，那么你对这个点呢，你总是可以找到它的一个领域，让这个领域呢，总是含在这个圆里面，对不对？是不是这样的？ 好了，如果呢，你再把就这个圆周包进去，那么这个圆周上的点就不再是内点，对不对？是不是这样的？ 因为呢，你在这个圆周上呢，你不管你怎么去做，你都找不到一个德塔大于零，然后呢做一个圆让他包在里面，因为呢这个外面的点他都不会在里面吧，对不对？ 所以呢这样的一个集合，它里面的点呢，就是说圆周上的点不是它的内点，当然除去圆周上的点外，里面的点呢都是内点，所以呢它为什么叫内点呢？也就说里面的点是吧？里面的点，内部的点，我们就叫做内点。 好，哎，好，开极，什么叫开极呢？他说如果集集中的每一个点都是他的内点，那么这样的集合了，我就称为是开极。那好了， 那么按照这个定义，按照这个定义，那我就问这个集合叫不叫一个开集？这个集合是不是开集？是的，因为他的每一个点都是内点，所以叫做开集。好了，那么我再问这个集合叫不叫开集呢？ 不叫，因为呢，这个圆周我们刚才说了，他不是内点，对不对？那你说什么样的集合叫做开集呢？就是他的每一个点都是内点，这样的集合了，我们就叫做一个开集好，什么样的集合叫做一个 b 集呢？那么他说 平面上不属于 g 的 点的全体称为 g 的 余集，那也就说了开集的余集就叫做 b 集。 当然关于这个 b 级呢，我们呃呃，不是说特别的这个强调，有的呢，可能就先定义 b 级，然后再定义开级，因为我们后面呢要讲到这个区域，所以呢，我们要讲开级，我们就先定义开级，然后呢 我们在定义的 b 级，我们的着重的就是重点呢，我们再放在对开级的这个理解上啊，就是开级，就它的每一个点都是内级，我们就叫做开级。还有边界点及边界好， z 零呢，是一个点， 他如果在 z 零的任意领域内，在 z 零的任意一个领域内呢，既有 g 中的点，又有了它的余极中的点，就说既有点是 g 极里面的，又有点不是 g 极里面的，那么这个 z 零呢，我就说是 g 的 一个边界点 好， g 的 边界点的全体呢，我就称为是 g 的 边界。那好了，那我们再看啊，在这一段我们再看， 像这样的一个集合， z 减去 z 零小于等于 r， 那 么呢这个集合呢，我们知道是以 z 零为中心， r 为半径的这样的一个圆，很显然 z 减 z 减去 z 零等于 r 呢，那么呢，就是它的边界，那说这个圆周上的每一个点呢？就是它的边界点，对不对？ 好了，如果是呢，我还有这样的一个集合啊，还有一个什么样的集合呢？还有这样一个集合，这是 r 二，然后大于这个 r 一， 那实际上呢， 那就是这样的一个环，对不对？这样一个环，那我问这个环域是不是开极？ 这个环域是不是开级？是的，因为它的每一个点都是内级。好，那么这个环域的边界是哪个呢？边界是哪个呢？边界呢？就应该是什么呢？应该是 z 减 z 零，还有这个 z 减 z 零等于二二，对不对？ 边界点不一定要属于这个集合里面，是不是这样的？按照这个定义，你看啊，在这个上面呢，你就是 任意的做一个领域，那么在这个领域里面呢，必有这个集中的点，也有不是集中点，因此呢，这个圆周呢，仍然叫做这个环域的边界点，是不是？ 是不是这样的？好，那我们再看啊，如果呢，在这个环域上面啊，在这个环域上，如果我去掉了这一点，去掉了这一点，那我问这个环域是不是还是开级？是不是的？是不是？还是开级？ 是不是的？是的，那我再问这个环域的，我就说这个去掉的这一点，是不是这个环域的边界点呢？是不是这个环域的边界点？是的， 为什么？你就按照定义来嘛，你比如说你以这个点为中心呢？你做一个圆嘛？做一个圆，只要这个圆里面呢，它既有 这个集合里面点，又有不是这个集合里面的点，那么这个点呢，我就叫做边界点，对不对？好，这个点呢，是不属于这个集合里面的，不属于这个环域上的，对不对？那么也就说这个领域里面呢，他就有一点是不属于他的， 他当然也有点呢是属于他的，所以呢，这个环域去掉的这一点，这一点呢仍然 不，这一点呢，我就称为是他的边界点。是这样的吧，学数学呢，你什么都要从定义出发，你从定义出发，你就按照定义呢去去抠他，去理解他，那么呢这些东西呢，你就会很清楚了。好，这是，呃，这个啊， 呃，边界。好，最后呢，我还给出什么呢？孤立点的概念，孤立点呢？他是这样说的，他说 z 零属于 g， 如果在 z 零的某一领域内， 除 z 零外不含 g 的 点，则称 z 零是 g 的 一个孤立点， g 的 孤立点一定是 g 的 边界点。 好，再把这个孤立点的把它体会一下啊， z 零属于这个集合里面的，它如果在 z 零的某一个领域内，除了 z 零外， 就在 z 零的某一个领域内，除了 z 零外不含 j 的 点，那么我就称 j 零呢，是 j 的 一个孤立点，它 j 的 孤立点一定是 j 的 边界点， 这个能够理解吧这个能够理解吧，就是孤立点一定是鸡的边界点，因为什么呢？这个孤立点呢？就是说你对他呢做一个，就是如果你能够做出一个领域，这个领域里面呢，除了他是鸡中的点外，其余的点都不是鸡中的点， 那么这个领域那也就可以当做是这个边界点呢，你给一个领域，他既有集中点，又有不是集中的点好，是集中的点呢，就是他自己嘛，是吧？不是集中的点呢，那就是旁边的了，所以了孤立点呢？一定是边界点好，这是这个孤立点。 然后呢，最后呢，我们再给出有界级与无界级的概念，他说 如果存在一个以点 j 零为中心的圆盘，包含 j， 那 么就称 j 为有界级，否则呢就称为无界级。就算有界，无界的，你要如果能够找到一个圆呢？把这个集合包进去，那他就有界，如果找不到呢？ 它就叫做无界。好，关于平面上的点集了，我们做这样的一个解释，那么接下去了我们就要引进这个区域的概念，那我们就下节课再讲。
1甜甜老师
16:07查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我是来自蚂蚁期末的小周老师，今天给大家带来的是十遍函数的期末突击课。好，下面的一些时间，我们先从整体上认识一下十遍函数的基础内容，然后呢，再具体的来了解。好，那么其实十遍函数它整体 啊，我们只学前六章的内容啊，这六章包括第一个集合。 好，第二个是点击，第三张是测度，第四张是可测函数，第五张是积分， 第六张是微分和不定积分 啊，其实里边的有些基础内容，我们在大一的书分里边就已经学过了啊，只是我们的这个识变函数可能是比书分更进一步的研究。好，我们来先举一些例子啊，我们先来看集合的基本概念。好，那么集合的基本概念，其实不管是哪一个啊， 哪一门课，它都是基础内容啊。集合论是个非常重要的东西，但是呢，你只要知道它大概在描述什么呢？就是我们把具有某种特殊特征的事物的全体 称之为是一个集合，通常呢，我们是用大 a、 大 b、 大 c 来表示，那么这些特征的事物啊，我们叫做元素，用小 a、 小 b， 小 c 来表示。好，那么集合的表示方法最常用的是，呃，三类啊，第一类就是列句， 举个例子，比如说我们的自然数及 n， 它就是零一二三点点点。好，那么列举法通常用在就是这个数具有一定的特征，你可以用啊，就是具有一定的规则，或者它是一个可有限的集合。 好，第二类呢，叫做描述法，我们把比如说举个例子啊， a 啊，它表示成 x， 这个 x 是 满足某一特征的。好，这样的表示方法，我们称之为是 这个描述法。好，那么往下我们还会经常见到一类叫做 fe， 它是什么意思呢？它其实是 f x， 当 x 属于 e 啊，也就是当 x 属于 e 时，这个运算产生的结果， f 的 值域。 嗯，这个我们也是经常用到的符号，大家可以注意一下。好，那么有这个值域，咱也会有原像级啊，我们用 f n 啊，比如说 d， 它指的就是什么呢？啊，我，它指的就是 x 属于 e， 但是 f x 属于 d 啊，也就是 d 的 原像级。 什么是集合啊？他有什么样的表现手法？其次是他之间会有怎样的关系啊？其实就是如果 x 属于 a 时，有 x 属于 b， 我 们就把 a 集合称作 b 集合的子集。 好，那么如果有 a 包含于 b， 且 b 包含于 a， 我 们就称 a 和 b 相等啊，这是几何的关系？当然，这里的包含符号，你可以写作，这个没有一横啊。啊，大学里的是没有一横，我们高中学的时候是带有一横的啊。好，这里注意区分一下。 好，往下我们来看集合的运算，集合的运算有哪些呢？就是集合的交并补。好，那么这里我们要引入一个集合的表示啊，叫做集合族。集合族是什么意思啊？假设我有一个 alpha， 它是一个指标， 它来自于一个 londa 啊，指标集， 我们把 a， 阿尔法，阿尔法属于朗姆达这样一些集合的集合称之为是集合族。 好，那么这里就会有一个叫做并集，并集呢，就是我们将 a 了阿尔法，我们把阿尔法，阿尔法来自于朗姆达的所有，这些阿尔法的所有元素拿出来 组成一个新的集合 好，那么这个新集合就可以看作是原本这组集合的并集，用并集符号表示， 当然这个阿尔法来自于 lama。 好， 那么如果我把它里边的所有元素啊，相同的元素拿出来 组成的这样一个新集合，我们就称之为是集合的交，嗯，他就用交集符号来表示 好，那么这里就有一个非常典型的例题啊，就是比如说让你证明 啊，把 m 把 f x 和 g x 的 最大之大于 c 的 这些 x 取出来，它一定会和把 f x 大 于 c 的 x 和 g x 大 于 c 的 x 取出来的两个结合作并记 好。那么这个我们怎么来证明呢？其实也非常好证嘛，我们要证明两个集合的相等啊，我们依据定义来说，它就应该是把它看作 a， 把它看作 b， 那 么就是 a 包含于 b 且 b 包含于 a 嘛，这就是我们这个证明题的 证明题的基本思路。 好，那么我们下面来看看为什么 a 会包含于 b 啊， 如果我的 x 是 来自于这样一个集合 a 集合的啊， f x g x 大 于 c， 那 么一定会有 f x 大 于 c 或者 g x 大 于 c， 因为或满足并并关系，所以我们就可以推出 x 要么属于 f x 大 于 c 的 这个结合，要么属于 g x c 大 于 g x 大 于 c 的 这样结合啊，其实就是它们的并啊，所以我的这边包含关系证明了，下面我们来证明另外一边，那么如果我的 x 是 来自于 f x 大于 c， 并上 g x 大 于 c， 那 么我的 x 要么是要么 f x 大 于 c， 要么 g x 大 于 c， 自然它的最大值 就会大于 c 啦，所以 x 就 会属于我的 a 集合，那么左边包含右边，右边包含左边，自然就会相等。 好，这是我们的两个例题。 我们来看这样一个例题啊，它是课本上的例题，就是我的区间开区间 a b， 它可以由一组 b 区间 a 加 n 分 之一 b 减 n 分 之一来去并集得到。 好，那么同理，我的 b 区间 a b， 它可有一，可以由一组 a 减 n 分 之一 b 加 n 分 之一啊，取交集得到。 好，那么继续推广。如果我要得到的是 f x 大 于等于 c， 或者 f x 小 于等于 c 啊，只要是 b 的， 我都是由开区间来得到 b 的，是由开区间取交集来得到。 如果我要得到的是 f x 小 于 c 或者 f x 大 于 c， 好，只要是开极，我都是由一组 b 区间取并得到的。 好，那么这边这个 b 区间是什么呢？哎，我们要写，其实很好写啊，如果我要得到的是 b， 那 么下界就应该是减，上界就应该是加，这里大于等于 c， c 是 我的下界，所以是， 嗯，大于 c 减 n 分 之一 n 从一到无穷，好，如果这里是小于等于 c， c 是 我的上界，那么 f x 就 应该小于 c 加 n 分 之一 n 从一到无穷， 好，那么反过来，如果是开区间，就应该是 b 区间的，并，对不对？好，那么这个 b 区间怎么来写呢？如果它是下界，就反过来啊，它就变成加 b 去接好，如果它是上界，就反过来变成界， 好，那么为什么呢？我们来画个图啊，画个图你立马就能知道了啊！比如说，我们以这个为例，我取的是 e 族级和 b 区间的并级啊，我们来看看，比如说 n 取 e 的 时候，我的 a 加二分之一在这里， 好， b 减 n 分 之一在这里 n 去二的时候，他加的就会更小一点，可是就会往这边靠啊，往这边靠， n 去三的时候，往这边靠，往这边靠，他就会逐渐靠近一个 a， 一个 b， 所以 得到的应该是开去减 b。 好， 那么我们再来看，如果是开去减 n 取一的时候啊，在这里 n 取二的时候， a 减二分之一就会变大，他就往中间靠， b 加二分之一就会变小，也往中间靠。那我的 n 不 断取，不断取啊，他就会逐渐靠近，这里有个 a， 这里有个 b 啊， 因为我取的是交集，所以是能够取到的。好，最终最终无限就是可以取到这个 ab 的， 而我取的是他们的交嘛，好，是能够取到的，所以得到的就是 b 区间。好，那你这里到底是加还是减？到底是加还是减，你就画图去看，总之我要把它往中间去靠， 往那个 c 去靠啊，你就能分得清了，自己，大家下去试一下。这几个结论都是我们之后经常用到的，所以大家记下来。 那我的交集合并集运算会有哪一些很好的性质呢？我们来看，比如说啊，很好理解。如果我的 a 啊，就是和数的运算很类似啊，会有交换结合和分配，因为它是两个运算嘛，会有分配率。 交换就是 a 并 b， 一定会等于 b 并 a， 同理， a 交 b， 一定会等于 b 交 a， a 交 b， 一定会等于 b 交 a。 好， 这是交换率。往下结合率是什么意思呢？就是我先算谁不影响我的结果，我先算 ab 的 b， 再来算跟 c 的 和，先算 bc 的 b 再来算和 a 的 结果相同。 同理，我先算 ab 的 交，再来算 c 的 和先算 bc 的 交，再来算 a 的 一样啊，好，那么这两条如果同时成立交换结合满足，那我如果要算 n 个啊，或者说我要算一组集合族特交或者并， 哎，那我就很好算了，我就可以任意打乱里面的位置，任意两两结合，三三结合等等。好，它都是相等的啊。好，往下分配率是什么呢？如果我的 a 并上 b 先来交 c， 你 就按照数的分配式 去做就行了，所以是 a 交上 c 并上 b 交上 c， 好， 如果是先取交再来取并，那么就是先取并 a 并上 c， 再交上 b 并上 c， 好，这就是我们的分配率好，那么如果大家考到证明题，怎么来证明两个集合要相等，那就证明左边包含右边，右边包含左边即可啊，好，这是我们交换结合的性质。往下我们来学 补集和差集好，那么其实差补是一样的东西啊，我们想想看，差集是什么？ a 减 b， 可以 理解为把 a 里的和 b 里的元素抛掉， 换句话说，就是这个里的元素要来自于 a， 但是不来自于 a， 但不来自于 b。 好， 那么补集是什么呢？补集其实就是差集啊，那么 c s a 指的是 s 减 a 啊，把 s 里和 a 相同的元素产生掉好，那么这里就可以很很快速的得到差集和补集啊，通常我们是叫补补集的一个关系， a 减 b 会等于 a 加上 b 的 补 好，那么补集和差集会有什么样的性质呢啊？首先，一个集合和他的补一定可以得到全集好，那么一个集合和他的交一定得到的是空集。 如果一个集合取了两次补，就等于他本身好。全集取补是空，空集取补是全。 如果 a 是 b 的 子集，那么 b 的 补一定是 a 的 补的子集。 如果 a 和 b 相交为空，那么 a 一定会在 b 的 补里， b 也一定会在 a 的 补里 好，如果我算的是 a 减 b 再来减 c， 你 可以看作是 a 减掉， b 加 c， 而在集合里的加，其实和我的并集运算类似啊。所以 a 减 b 减 c， 其实可以看作是 a 减 b 并 c 好， 所以我的差集其实会和我的交并联系起来好，这里就有一个非常著名的工具，阿德摩根公式， 如果我要求一组，那比如说 a 交上 b， a 并上 b 的 补，它一定等于 a 的 补和 b 的 补作交集啊，这里取并，这里就取交。反过来，如果是 a 交上 b 来去补，它一定是 a 的 补和 b 的 补作并。 当然这个你也可以往 n 位去推广啊。比如说我们用集合族来表示，假设我求的是异族病集合，集合族取病再来去补他一定是等于这些集合族先去补，再去交集 好。如果我求的是这个集合族取交得补，他一定是等于这些补得病 好。换句话说就是我的交病运算在补。理会相反，原本取病，后来就去取交，原本取交，后来就会取病啊好，这是我们的德摩根公式。
18:33查看AI文稿AI文稿好，下面我们进入到第二章非赋可测函数的勒贝格积分啊，那么和我们之前所学习的啊，上一节所学的有什么关系呢？我们就来非赋可测函数和我们上一节的非赋简单函数之间会有怎样的关系？ 好，其实这个是在我们讲简单函数那里就讲过的啊，我们的可测函数和简单函数之间的关系啊，就是我们一定可以找到这样一个简单函数列，假设用 five k x 来表示，它首先是个递增的 啊，我的 f i k 会小于等于 f i k 加一啊，这个增意味着就是每一个 x 都成立啊，它是一个这样子递递增，或者我们叫做渐增。它的这个简单函数啊，而且更进一步，还是能使得每一个 f i k x 它都严格的小于等于 f x 啊，我是能够找到这样一组可测函数列的啊，使得什么呢？使得这组可测函数列的极限，当 k 趋近无穷时， f x 是 我的 f x 啊，那么既然我有这样一个规律啊，我就可以借助这个简单的可测函数啊，当然我的这个简单函数还可以大于零啊。 好，那么基于这样一个规律，我就可以根据这一组非负的简单函数的积分来定义非负可测函数的积分。怎么来来定义呢？好，那么这一组每一个简单函数都可以有一个积分啊，我们取这些积分的上缺借。好，所以， 好，我们给出非负可测函数积分的定义啊，我们取这些简单函数，它小于等于 f x， 而且大于等于零使得，当然，这里有要求啊，这组我的 f k x， 它其实是以 这个 f x 为极限啊，的这个啊，简单函数，那我们取这些极限啊，这些简单函数的积分的上缺，接来为非负可测函数的积分啊，可能这么讲比较抽象啊，之后我们来看具体例子你就知道了。 好，那么我们非负可测函数积分，它会有哪些性质呢？首先，第一个非常重要，应用非常广泛，就是在零测级上，它的任意函数勒贝格积分都为零。 好，那么我只要在零测级上，我不管取什么函数，它的积分都是零啊，因为这个积分你不管怎么取，反正我最后的勒贝格的定义，它应该是用我的测度 乘上我的函数值嘛，然后再相加，对不对？那我的都是零级了，测度恒为零，不管它上面的值是多少，它都恒为零， 所以他的勒贝格积分是零。二，这是一个很重要，应用非常广泛的性质。其次，勒贝格积分如果为零，那么我的 f x 等于零，就是几乎处处成立的。好，那我们来简单证明一下，那我要证明他几乎处处成立，证明的是什么？就是 f x， 他 如果不等于零 啊，这样一个使得它成立的 e， 它的侧度 m 为零。好，就是使得我的 m 不 为零的这个条件啊，当然，这里我还可以取大于 好，那么这个我们怎么来取呢？我们来取这样一组集合好，这组集合是使得 f 大 于等于 n 分 之一成立的，原像集记为 a n。 好，然后呢，我们来寻找这样一个简单函数，它在 x 属于 a n 的 时候，函数值为 n 分 之一，在 x 不 属于 a n 的 时候， 在 x 不 属于，在 x 不 属于 a n 的 时候，函数值为零，那其实我们也可以用一个这样子的记号来表示啊，它其实是 n 分 之一乘上 a n 的 这个特征函数 啊，就是如果我的函数来自于 a n 里，我们值就取一，不来自于 a n 里，值就取零啊。好，我们可以简洁为这样一个形式。 好，那么这个函数它就是一个简单函数。那么按照简单函数的逻格积分，我的 f n x 啊， d x， 当然它在 这个 e 上的这个积分，就应该是用函数值 n 分 之一乘上它的测度，也就是 m a n 的 测度，再加上零乘上。嗯，这个 e 减掉 m a n 的 测度啊，当然就是零啊，其实就是它我构造的这个法恩，它其实是小于等于 f x， 而且大于等于零的，所以 我的这个啊，积分，我法恩上的积分也应该小于等于在 f x 上的积分， 而提舍给了这个勒贝格积分是为零的啊，所以这个本身大于等于零，又得，小于等于零的值，就只能等于零啦，而我的 n 分 之一又不可能为零，所以只能它的侧度为零。 所以我们就证明了啊，使得这个大于零成立的这个集合的原像集，他的测度为零，所以就几乎处处成立。好，这是我们的这个形式，当然，反过来你也能得到，如果几乎处处等于零，我的勒贝格积分是零啊，那么反过来又是为什么呢？ 你还可以证明。反过来啊，如果我的 f x 等于零，几乎处处成立于 e， 我 也可以推出我的勒贝格积分啊，在 e 上的勒贝格积分为零啊，为什么呢？好，那么它几乎处处成立于 e， 那 我的 e， 它其实就可以分成两个集合，一个是不等于零的，一个是等于零的， 那么假设意义是不等于零的，那么他就是一个零策集好，那么往下我的这个积分，他其实可以就可以拆成啊，这个之后我们会说啊，这个区间的加哈，他就可以拆成两个区间作加 好，那么，呃，我的意义他是个零策集，其实他就是零。 好，那么在一二上是使得函数值为零的，那其实测度为多少，都不管他的函数值为零，他得到的也是零，所以我就证明了，反过来也成立二，几乎处处为零，也能推出勒贝格积分为零，所以他其实是个冲要条件 好，这是我们的第二个好。第三个，勒贝格积分如果有限，那么他就一定恢复有限。几乎处处成立，什么意思？就是如果我的勒贝格积分 f x e d x， 它是小于无穷的，那么我一定能推出 f x， 它大于等于零，小于无穷， 几乎处处乘以一啊，这就是这个的意思啊。好，那么这里我们强调一下啊，对于这样一个勒贝格积分啊，它的取值范围一定是从零到无穷 b 区间 好，换言之，他有可能取到这个广义的实数无穷。好，那么我们只把小于无穷，也就是有限的这个部分叫做勒贝格可积啊。这个情况，我们称 f 是 勒贝格可积的 啊，也简称是可积的好，如果他等于无穷，我们就不称他可积啊，只称他有勒贝格积分。就是这样一个形式，是一定存在的，他一定是在零到无穷之间的，而我们只把小于无穷的这个部分称之为可积。 好往下，它还有哪些性质呢？啊，就是我们刚刚用到的区间可加性。什么意思？只要 a 和 b 的 交集为空，那么我在 a 并 b， 这个集合下的积分就一定可以拆成，在 a 下先算 加上，在 b 下先算好，这就是我区间的可加性。当然，你的这个还可以任意推广，这里我们是两个集合码，你还可以推广成可数个。什么意思？假设我的集合 e， 它是 e 族 e i 的 可数并， 那么，而且啊，我的 e i 和 e j 还两两不相交，相交为空。好，那么我要求的它在 e 上的积分，我就可以拆成在每个 e 一， 每个 e 二，一直到 e n 上的积分。好，当然，因为它是个可数个，它还继续往下加，所以更进一步，它还可以写作 e i i 从一到无穷 f x 的 积分啊。 啊，换句话说，就是它有箭也成立，可数也成立啊。好往下单调性。单调性是什么意思啊？我们从两个维度来理解。首先是函数的角度，如果我的 f x 小 于等于 g x 啊，而且他们都可记啊，那么我 f 在 e 同一个区间，同一个集合上的积分一定会小于等于 g 在 同一个集合上的积分，这是针对函数的单调。此外，我们还可以针对区间来单调。 什么意思？就是如果我有一个 e 的 子集 e， 那 么同一个函数 f x， 它在 e 一 上的积分一定会小于等于在 e 上的积分。好，这是我们的单调性。 好，那么这里我们更进一步啊，除了小于等于之外，我们还讲，假设 f x 等于 g x， 几乎处处 成立于 e， 就是 在 e 上，他们几乎处处相等，那么我 f x， 它在 e 上的积分就一定会等于 g x， 它在 e 上的积分。这个非常好理解啊，因为其实只要处处相等，就说明他们不相等的集合是个邻测集，那我就可以把这个 e 拆成两个集合，一一和一二 好，他在一一上相等，在一二上不相等，但是没关系，一二他是个零测级，零测级上的任何集合都是啊，任何函数他的这个积分都是零嘛。那我现在对一个 b 区间来去积分，那其实就利用到了我的可加性，我就可以拆成两个区间上的积分和， 因为这两个积分肯定是不交的嘛，一个是等于，一个是不等嘛啊，同理，所以我们就可以证明他们相差的那个部分一定是积分，一定是相等的 好。那么更进一步，假设我的 f x 它就等于零好，就是我的 g x， 它就是零了，它几乎处处成立于 e 啊，其实就是我们刚刚得到的那个结论啊，就是 f x dx， 它就等于零 好。所以如果遇到类似的证明，你要会去做啊，只要看到几乎处处成立了，那么它的含义就是不成立的那个部分测度为零，那么与积分相关，零册集上的积分它一定是零 好，这是我们的单调性，在单调性这里我们还要进行一些补充啊，大家一起来看。首先啊，除了单调性本身它的性质之外，我们还要知道，如果我有 f x 小 于等于大 f x 好， 当然这样的形式出现，就说明是对每个 x 都成立的啊。然后呢，我的大 f x， 它的积分小于无穷，换言之，就是大 f x 它是可积的，那我一定可以推出小 f x 也可积 啊，这个太简单了啊。嗯，就是因为它，首先按照单调性，我 f x 它的积分，它一定会小于等于大 f x 它的积分， 而我大 x 大 f x， 它的积分已经小于无穷了，我小 f x 的 已经小于无穷嘛，所以肯定是可积的好，那么这里也给了我们一个证明可积的方法，就是我可以找一个比它更大的可积函数来把它控制住，所以我们还把这个大 f x 称之为小 f x 的 控制函数 好，这对我们后面要讲一般可测时的一个定力起到非常重要的作用啊。控制函数好，这是其一。其二，如果 f x 有 界， 也就是它的函数值小于无穷，我的 e 可测，而且测度也小于无穷，那么我的 f x 它在 e 上的积分一定会小于无穷。换言之， f x 在 e 上一定可测啊，不是一定可积啊，这个很显然嘛，就是它是一个有界的， 而且是非负的，而且是可测函数，对不对？我一定可以找到一个比它更小的减函数列，使得这个积分又表示成测度和 啊这个值的乘积，那我的测度又是小于无穷的，我的值也是小于无穷的，乘积肯定也小于无穷啦，加起来肯定也小于无穷啦，所以我的这个就是有限数，有限数就证明 f 在 e 上可记好，这是我们单调性的本身和一些衍生的结论。 往下我们还有限性性质。好，这里我们直接记这个最一般的情况啊， f x 加 alpha beta， f x 加 beta beta 的 g x， 好， 我对它来取 e 上的积分。好，那么这里要使用有两个条件，第一个，首先引入的两个时数 alpha beta， 它必须非负。好，其次，我的 f 和 g， 它必须可测。 当这两个条件成立时，我就可以求 alpha f 加 beta g 啊，也就是它的线性组合，它的积分就类似数的展开。 好，那么先进行至讲完，我们再来看，是一个很重要的定例啊，其实算是我们在非赋可测里最重要的一个定例，叫做莱维定例啊，它指的是什么呢？ 就是假设我有一列非赋可测函数。列。好，这列是非赋可测的。 好，那么这列函数再加一个条件， f k 小 于等于 f k。 加一。 好，这个函数。注意啊，它不是递增函数列啊，这里我们给他一个新的名字，叫做渐增函数， 它和递增函数的区别是什么？递增函数列是把递增函数放在一起，渐增函数列是指它的 k 和 k 加一项之间有小于等于的关系啊，我们把它叫做渐增函数列。好，只要有这样一个渐增函数列 存在，而且我当 k 趋于无穷时， f k x， 这个函数列的极限是 f x， 那 我就可以推出 啊，实现一个什么呢？就是积分和极限交换顺序的事情 啊，什么意思呢？就是我先对函数取极限，再求积分，它就会等于先对积分函数取积分，再求极限。 好，它是实现了这样一个事情啊，实现了积分和极限交换位置，它只有一个条件二，就是在一个渐增函数列的基础上加上极限，为 f x 加上有极限啊，这个事情，它只要是一个渐增的函数列，它的极限是 f x 啊，它都可以使得这个成立啊，这个部分其实就是 f x， 也就是说 f x 在 e 上的积分就等于每一个 k 取积分之后，在九极限 好，当然，我们还可以有一个进一步的推论，那么除了递增，递减成不成立啊？也成立，只是说要更递减 渐减啊，渐减渐减，不好意思，说错了，好，它指的就是，它指的就是我的 f k 要大于等于 f k 加一好，渐减好，如果我能有这样一个非复可测的是渐减的啊，我要推出这个积分互换位置，也就是对 这个函数列取极限再求积分，它会等于先取积分再求极限 好，会比渐增多一个条件。什么呢？就是我的首项 f 一 要可记 好，就加上这样一个条件，我的这个渐减的函数列就也成立了啊，好，这是我的来为定力好，那么剩下的一些东西其实都是来为定力的推论啊，比如说我们的趋向积分可以换序啊，假设我的 fn 它非复可测 好，那么我对 fn 先求和， n 从一到无穷再取积分，会等于先对它们取积分再来求和啊。逐项积分定里 好，最后我们给出法图阴历好，法图阴历是什么呢？就是如果我的 fn 它非负可测 好，注意，它没有渐增，也没有渐减性好，那么这样一个非复可测，它一定会有下极限 好，我实现的是下极限交换，当然它不是严格交换啊，我下极限的积分会小于等于积分的下极限 好，这就是我们的法图盈利好，那么法图盈利通常用在哪里呢？就是与下极限有关的，你就可以用法图盈利啊，我某个积分的下极限会小于等于下极限，得什么 好？这个其实在测度里也成立啊，我某个集合啊，就是我某个测度的下极限会小于等于下极限的测度啊，这个好像在测度的时候也是成立的。好，这就是我们的这个非负可测函数的所有性质。
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22:12查看AI文稿AI文稿那么第一节学完了之后，我们来看第二节，第二节讲的是一些特殊的点的定义啊，好，这个点的定义我们分两个类型来讲，首先第一类按照我的这个点和我这个空间的位置关系来刻画，我们分成三类，内点、外点和界点。 好，那么什么是内点呢？就是我只要存在一个德尔塔领域，使得我的这个僻零的德尔塔领域都包含于 e 啊，我就称这个 e 是 个内点啊，比如说我们这个， 我们拿红色的笔来画吧，假设我的这个红色的点好，我一定会存在某一个 dura 领域，不管这个 dura 是 多大还是多小，我的这个整个领域都含于我的意内，我就称这个点批零是我的内点好，那么什么是外点呢？就是我一定会存在一个领域 dura 领域内， 使得我的整个领域都不在意当中啊，相交为空，这样的点我们就称之为是外点好，我们拿绿色的来表示吧， 好，比如说像这样一个点，它的这个领域啊，我一定是找到一个领域，使得它和我的意相交飞空，它整一个领域都在我的意外面，这样的点我们就称之为是外点 好。最后什么是借点呢？借点就是他的任意领域内都有益中的和意外的 啊，这样的点就称之为是借点好。那么我们用数学语言表示，就是对于任意的德塔大于零，都有相交不空和和补极相交不空的地方啊，那就是有在意中的，也有在意外的，这样的点我们就称之为是借点 好。那么这里有一个很重要的东西啊，就是我的内点一定属于意外点一定不属于意 啊，不在意内，我的界点可能属于意，也可能不属于意，他可能在意中，也可能不在意中啊，大家体会一下，这是内点，外点和界点好，那么往下我们来研究句点和孤立点 对应，还有个孤立点啊。好，我们句点的定义各个课本给的是不一样的，所以其实这里是有三个等价定义，我们先看第一个。 好，那么句点好，它指的是对于任意的德尔塔大于零，它的某一个德尔塔领域和我的一刨开屁零的交集不空。好，当然你这么理解，如果抽象的话，你还可以理解为是这个屁零的去心领域 啊，就是我把僻零抛掉的这样一个领域，它和我的 e 交集布空啊。句点的意思就是我这个点， 它的任意一个 dota 领域内，抛掉这个心，还会和 e 相交，这样的点就称之为是句点好，其实句点刻画的是一个连续性啊，这里我们待会儿再说。好，那么什么是孤立点呢？就是我存在一个 dota 使得 就是我的去心领域啊，这里它相交只有屁零，其实指的就是我的去心领域。好，这里打个小圆心，表示去心，他和我的 e 相交为空 啊，其实是对应的一个定义啊，据点就是相交不为空，孤立点就是相交为空。好，那么他们其实刻画的是这个连续性好。为什么呢？我们来举个例子看， 比如说如果我有一个点列啊，他是这样子，我们叫做这个，呃，独立的啊，就是离散的好，那么我们对于任意一个点，比如说这个点批零八， 好，我取他的领域啊，我总能找到一个领域，使得他和我的异相交只有这个点，那么他的去心领域和我的异相交就非为空啦，所以这样的点我们就称之为是孤立点。 那么什么是离，什么是距点呢？啊？就是我必须是连续的，你体会一下。我在连续的点击里取一个点僻零，那么不管我的这个 dara 怎么想啊，即使再想， 我刨开这个点之后，是不是都会和我的 e 交于其他的部分啊，相交都不空，这样的点就称之为是矩点好，大家体会一下啊，矩点孤立点其实刻画的是离散的程度啊， 好，那么矩点和孤立点之间和 e 的 关系啊，矩点不一定属于 e， 但是我的孤立点一定会属于 e 啊。我们一会来说， 嗯，句点会有三个等价的定义啊，有的课本他给的可能不同，但是他都推过啊，这三个定义分别是， 好，我们来看，第一个呢，就是我们刚刚给出的对于任意的倒数大于零，我的去心领域啊，这里我还是比较习惯于说是去心领域，大家自行抉择啊，他的去心领域和 e 相交非空。好，这是我句点的定义。好， 第二个定义是对于它的任意领域，而还是任意的它大于零，我的这个领域批零和 e 相交一定会有， 相交一定是一个无限点集 啊，这也是课本会给的定义好，第三个呢，就是我存在异中异列互异的点列，使得它的极限是霹雳好，我们也称啊，这个句点其实叫做收敛点 好，如果我能找到一个点列互异的点列，使得它收敛于霹雳，我的霹雳一定是句点。 好，那么下面我们来看一下这个定力该如何来证明呢？好，那么如何来证明这个距点的三个等价定义成立呢？我们一起来看啊，如果我存在了互易的点列 p n， 使得它的极限是 p n， 刚刚我们才用领域描述过啊，那么就是对于 任意的德塔大于零，我都会存在一个大 n， 对 于任意的小 n 大 于大 n， 我 的 p n 就会在我的屁零的到他领域内啊，所以，那么我这里任意的小 n 大 于大 n 呢？我就可以找到无穷多个属于就是这个屁零的点啊。 那么换句话说，就是在他的任意领域内，我都能找到大于大 n 的 这么多个屁 n， 使得他易于屁零 啊。所以我的三推二是显然的，同理，二推一也是显然的。那么既然我都有无穷多个异于霹雳的点，那我把霹雳挖掉，香蕉一定飞空，所以二推一也很简单，那么我们下面只需要证明一能够推出三来，这个证明就结束了。 好，我们我们来看，怎么由一得到三呢？既然对于任意的 delta 大 于零，我都去形领域和 e 相交非空，那我就不妨取几个 delta 嘛，比如说我零 delta 等于一，那我的这个 p 零的 e 这个去形领域，它和 e 相交就不为空集。我不妨就假设我的 p 一 和 p 零不相等，但是 p 一 在这个去形领域当中 好，那么往下我来取 sigma 二好，这个 sigma 二的取法就很很有意思了啊，我取的就是这个 p 零和 p 一 之间的距离和二分之一的最小值啊，取这两个的最小值， 好，为什么啊？我们来看，假设这是我的 sigma， 好， 这是我的 delta 唯一的这样的一个领域内，我在里边找了一个点 p 一， 好，那么往下，我要做一个 p 零的下一个领域啊，那我取的这个距离 delta 二，就应该是取 p 零和 p 一 之间的距离或者是二分之一啊，找它们两个的最小值，谁小我就取谁。好，那么这也是我的 delta 领域啊。 好，那么我在这个 p 零的 delta 二领域内也一定会和 e 相交飞空，那我就取这个和 p 一 不同的点， p 二，它自然也要取和 p 零不同的点啊。好，那么我的这个 p 二，它就会也会在我的这个 p 零的 delta 二领域内。 好，那么继续往下，按照一定的规则啊，我的 p n 取的就是这个 p 零和 p n 减一的距离和 n 分 之一的最小值。好，然后我的这个领域 的矩形领域和我的 e 相交，仍然非空，我不妨就取这个 p n， 它会和我的前面的 n 减一， n 减二啊，一直到一零都不相等。那么这组互易的点列，因为我的这个 p n 和 p 零之间的距离啊，我取的这个德塔 n 应该是小于 n 分 之一的，小于或等于都可以，好，那么它自然就会小于我的 e， p c 了。 当我的 n 趋近于无穷的时候，所以我们就得到了 p n 会收敛于 p 零，所以我的一可以推三，所以这三个定力等价好，这三个定义等价。好，那么界点和。 好，那么刚刚我们通过两种分类，把我空间里面的点分成了两类啊，我们分成了内点、界点和外点。 第二类是离散关系啊，我们分成了距点和孤立点 好，当然这里其实外点也算在内啊，那么我们来看，那么这两种分类是根据不同的规则分的啊，他们之间会有什么内在的联系呢？好，首先我的内点一定都是距点 好，我的界点有可能是距点，有可能是孤立点 好，那么反过来， 我的距点有可能是内点，有可能是借点，我的孤立点只能是借点好。我们来画一个图理解一下啊，假设这是我的点击啊，这里有个空间，外面还有一些零散的点好，那么我们先来看内点， 内点其实就是在这个空间内部的点嘛，那么它的任意领域，趋心领域一定会和我的异向交非空，所以它一定是距点好。其次我们来看界点 好，如果这个界点是在我的边界上， 那么我的任意的它领域啊，趋心领域和我的异向交都非空，所以它是距点。但是如果我的这个界点，比如说是像外面这种离散的点， 那么我们说这些离散的点他都是孤立点，所以我的借点也有可能是孤立点好。反过来，我的据点一定是内点或者借点好。嗯， 而我的孤立点一定是借点啊，所以孤立点一定是内部的点，我的孤立点一定是借点 好。那么从这个分类来说，我们就可以得到一些这样的关系啊。首先我的借点，借点里的元素可以有两类啊，一类是句点，一类是孤立点，他不是句点就是孤立点。然后我的句点也会有两类啊， 要么是内点，要么是借点，他不是内点就是借点。大家体会一下，这是我们的分类。好，刚刚我们讲好，刚刚我们讲的是一些特殊的点啊，内点，借点， 内点，外点，界点，距点和孤立点，那么由这些点组成的集合，我们也给他们起几个名字啊，首先开合，开合是内点所组成的集合，其次是导极，导极是距点所组组成的集合， 然后是边界，边界是界点所组成的集合。最后是 b 包， b 包是 e 并上 e 的 导啊， 好，那么内点组成的集合开合，我们打个小圈圈啊，这个圈圈可以打在旁边，也可以打在上面啊，都可以。距点，我们是用导极啊，一撇，和我们这个含导函数求导差不多这个符号，然后边界是有点像这个偏微分的这个方法，这个记号， 这个来表示我们的边界， b 包是用 e 上面打一横啊， b 包，好，那么刚刚我们说刚刚我们得到的啊，大家回忆一下，我的界点不是距点就是孤立点，那如果我要用集合来表示， 那我的边界，这个他就要么是我的导极，要么是我的孤立点啊，所以他可以看作是这两个集合的并好，那么往下我的距点， 他要么是内点，要么是界点， 所以我 e 的 导极还可以看作是 e 的 开合和 e 的 边界的并。 好，下面我们再来理解 b 包啊， e 的 b 包它是等于 e 并上 e 的 倒积，用数学语言来描述，其实指的是 啊，任意的这个 x 的 领域，它和我的 e 相交都非空。好，那么哪些点可以成立呢啊？首先就是内点和界点，所以 e 的内核 e 的 开合并上 e 的 边界可以是 b 棒，除此之外呢，距点和孤立点也可以，所以 e 的 导极并上 e 的 孤立点 也完全 ok， 当然， 当然我还可以用 e 并上 e 的 边界来刻画好，所以这是我们 b 包的四个等价定义啊， e 并上 e 的 导， e 的 开合并上 e 的 边界， e 的 导并上 e 的 孤立点，或者 e 并上它的边界。 好，那么这里给大家几个实例啊，比如说，我们来看，如果我的这个集合 e， 它其实指的是 x y 这样的点， x 的 平方加 y 的 平方等于一，那我们来求它的开合， 我们求他的开合，求他的到极，求他的边界和币包啊，我们一起来算一下。好，那么这个其实等价于的是一个圆心在零到零半径为一的圆啊，他就是一个圆线。好，那么我们来看他的开合， 开合指的是内点啊，内点指的是总会存在一个 derta， 使得我的这个 x 啊，或者是 x y 这个点，它的 derta 领域整一个都包含在我的 e 当中，但是我发现这个题你是找不到的，所以它内核开合为空。 好，然后我们再来看它的导极， 它的导极指的是就是任意的一个 derta， 我 的去心领域 和我的 e 相交不空。好，那么我们发现啊，在这个上面，我任意一个点，它的趋近领域都相交会空啊，所以其实就是我的 e 啊，得到的就是这个 x 方加 y 方为一的点击。好，我们再来看它的边界，边界指的是什么啊？是界点的全体界点，指的是我和 e 相交 不空，且和 e 的 不相交也不空。 那这样子的这个好借点指的是什么？就是对于任意的 d 塔领域，我啊这个点的领域它和 e 相交非空和 e 的 不 橡胶也飞空啊，这样的点的集合，我们就称之为是边界啊，那么这个题的边界是什么呢？我发现，其实其实就是阿奇，其实就是我的一码 x 方加外方为 e。 好， 最后我要求的 b 包， b 包可以看作 e 并上 e 的 边界，也可以看作 e 的 开合并上 e 的 边界，也可以看作是 e 并上 e 的 到极，也可以看作是 e 的 到极并上 e 的 孤立点。 好，那么这个题其实开合啦，导极啦，边界啦，我们都算出来啦，可是我们用它比较好哎，当然你也可以用它比较好，当然你用它也完全 ok， 反正得到的都是我的 e 啊，所以这个题我的 e 是 这个样子的集合啊， x y 好 的， x 方加 y 方要严格小于 e 了。好，它指的是什么呢？如果我们画图来理解，它指的就是这个 圆里边啊，内部不含边界啊，画出来应该是个虚的圆这样子的圆，然后呢，它的点是在里边的。好，我们先来看我们要求的还是开合到极边界和臂包， 然后我们先来看它的开合，它的开合指的是啊，总存在一个的它领域 包含在我的这个 e 当中，找不到找得到这样的点呢啊，显然啊，我这个里边任意一个点都是啊，所以它就等于 e。 好， 就是我的 x y x 方加 y 方小于 e 往下我们来求导极，导极指的是对于任意的 dota， 我 都有去心领域 和 e 相交非空。好，那么首先内部的这些点肯定是成立的啊。好，我们来看边界上啊，如果我取在这个虚的边界上，我能不能对于任意的 d、 r、 t 都有相交非空呢？区间领域相交非空呢？也是有的，所以我们的这个 b 包啊， 所以我们的这个导极啊，指的是 x 方加 y 方小于等于一，大家体会一下。然后是我的边界， 边界指的是对于任意的 d 塔，另一，我既要有相交飞空的部分， 也要有不在里边的部分啊，所以相交于它的补集也要飞空好。那么这样的点的集合，其实就是我这个圆的外面这一圈啊， x 方加 y 方等于一的这一圈。 最后我的 b 包啊， b 包，比如说我用它和它来写，那么就是 x y 满足 x 方加 y 方小于等于一。 好好好 好，我们再来看最后一个例子，假设我给你的 e 啊，它是零到一 b 区间和我的有理数 q 的 交集啊，让你求导极开合 b 包 啊，我们先来求它的开合，开合指的是什么啊？就是我总存在一个单调，使得我的这个领域 他会在我的意义当中好，但是我们要理解啊，即使他是在 b 区间零到一上，那么我也会在任意一个点当中把他的任何一个领域内找到无穷多个五里数吗？因为他是稠密的，而且里边一定有五里数，所以 它就一定不会在我的意义当中了呀，所以它一定是空集。然后我们来看到导指的是什么？对于任意的德塔，我的去心领域和我的 e 相交都非空。 好，那么首先在这个里边的任意一个有理数，它都成立吗？它的去心领域里一定有无穷多个有理数 好，当然如果我取的是无理数，它的趋心领域里依然有无穷多个有理数，所以相交都是非空的，所以它的倒积是在零到一这个 b 区间上的所有实数。 好，往下我们再来看看它的 b 包。 好，那么如果是现在来求 b 包，其实好，我就直接用 e 一 并上， e 一 得到就可以了，所以是零到一 b 区间。好，大家深刻的体会这三个例题啊。
00:37查看AI文稿AI文稿以前的书是真的敢写，今天分享的是，今天分享的是这本复变函数解析指南。他不讲会色理论，而是把全书拆成八个章节，用四个步骤，基本要求，几点要求，典型例题、题型同步解析、自测题，帮你一步步走通 复述、积分、极数留数、共行映射，那些让你头疼的知识点，变成了清晰可操作的训练。题型量大，每题都有思路解析，很多人大呼，看完之后茅塞顿开 的真实价值是不是让你死磕抽象概念，而是用大量带解析的案例训练，帮你在头脑中建立起复变函数的解析思维，拿到任何题都能快速找到解析切入点。电子版现面分享，手慢无！
17老书时间
01:12查看AI文稿AI文稿你有没有在工作中遇到过这种情况？一堆复杂的信号夹杂着噪声，明明知道需要用复拟液变换去处理，但一翻开教科书，看到满屏的复变函数与积分变换推导你头就大了。那种想深入学却死活啃不进去的痛苦，很多工科生和一线工程师都体会过。其实不是这门数学太难，而是传统的讲法真的太枯燥了。 而这本大话工程数学之复变江湖，完全打破了常规。你很难想象，一本讲复变函数的硬核内容，竟然采用了章回体小说的形式。作者岳正军教授是陆军工程大学的博导，长期在一线做通信与信号处理的教学和科研，他太清楚学生和工程师们卡在哪了。 于是他直接模糊了时空概念，构造了一个梦入江湖的荒诞母侠故事，把负数、倒数、积分留数、保行映射，以及工程中最为重要的负一页变换和拉普拉斯变换，全都变成了江湖门派的恩怨和雷台上的刀光剑影。 比如书中枯燥的欧拉公式被写成了暴露天机的绝学，科西定律成了砥砺的内在逻辑，会带着你在不知不觉中就把数学思维方法和知识的发展脉络给理顺了。 如果你翻开数学书就犯困，但又深知复变函数是电气工程自动控制信号分析领域不可或缺的工具，那这本书就是为你量身定做的，带你读好书，看透知识背后的底层逻辑。
7小白🍀
13:54查看AI文稿AI文稿好，下面我们来到第三章第三章第三小节可测级类。好，那么在进入新课之前，我们先了解一下现有的我们哪些集合是可测的。 好，首先，我们的零级，什么是零级啊？有的课本叫零级，有的课本叫零测级啊，其实讲的都是一个东西，什么测度为零，外侧度为零。 好，外侧度为零的集合，它就叫零级啊，它必是有限级。好，零级是有限级，那么由零级产生的一些东西，它只要变成了零级，它就是可测的嘛。 零级是可测级，那么有一些和零级相关的集合，它就应该会与可测有关。比如说，零级的任意子级必为零级，换言之，零级的任何子级都是可测级， 有限或可数个零级的并必定是零级。换言之，有限或可数个零级的并一定是可测级。 好，那么如果我们要来证明零级必为可测级，其实非常简单啊。好，我们就一紧紧抓住可测级的定义啊，他要可测，其实是我们的那个咔式条件成立嘛，也就是对于任意的 t 啊，我都会有 t 的 外侧度，会等于 t 交 e 的 外侧度加上 t 交 e 的 补的外侧度。 好，那么我们来看怎么来证明这个啊？首先， t 它可以看作是 t 交上 e 并上 e 的 补，换言之， t 交 e 并上 t 交 e 的 补， 那么由这个外侧度的次可数可加性，我的外侧度 t 它就会小于等于 t 交 e 的 外侧度加上 t 交 e 的 补的外侧度。也就是说，我们可以证明左边小于等于右边，那么下面我们只要再证明右边小于等于左边就可以啦。那为什么后面这个会小于等于呢？好，首先我的 t 交 e， 它是来自于 e 的， e 是 个零几啊，它的侧度外侧度为零， 所以由我的单调性可知，我 t 交 e 的 外侧度会小于等于 e 的 外侧度自然就会小于等于， 所以它会小于等于零，而它又会大于等于零，因为非负嘛，所以这个部分横为零，而我 t 交 e 的 补，它一定是我 e， 它一定是我 t 的 子集嘛，所以我还可以得到 t 交 e 的 补会小于等于 t 它的外侧度啊，那么我左边加上一个零 t 交易，它是不改变值的大小啊，所以这个等式也成立啊，那么我就证明了，这个等号的左边小于等于，右边小于等于都成立，所以它就相等， 所以零测极，它的外侧度为零，它的它必定是可测极。那么往下只要剩下的这两个，它就都成立了啊。 好，往下我们来看第四个东西啊，第四个东西，其实在之前讲外侧度的时候，我就强调了啊，任意区间 i 它都是可测基，而且因为我们之前说过，任意区间 i， 它的外侧度是等于体积的，所以当它可测时，外侧度和侧度相等，侧度也就都等于体积了。 好，这个的证明，大家有兴趣的去课本上找一下啊，他是课本上的一个立体来的啊，我们主要掌握的是结论啊，你要会用，如果考试的时候让你求他的侧度，你得会求啊。 好，这是我们得到的四个显然的结论。往下我们还要讲三个重要的定义，第一个， c 个马代数。 什么是 c 格码代数呢啊？它是指如果我的 omega， 它是我 r n 中子集一些子集类组成的集合类， 我在 r n 的 子集当中选一些来组成集合啊，这些集合的全体是我的 omega。 好， 如果我的空集包含于 omega， 当 e 属于 omega 时，有 e 的 补也属于 omega， 当 e n 属于 omega 时，有 e n 的 可数，并也属于 omega。 换言之，空包含空集在里边儿，补 可数并 这两个运算封闭，我们就称这个 omega 是 一个 c 格码代数。 好，那么因为取鱼封闭啊，取，取我的补集封闭，取我的这个可数病封闭，那我同时取这个可数病的补集， 得到的就是可数胶喽。所以我的 sigma 马代数对可数胶也封闭， 那么对补集封闭，对于集，也就是差集运算也封闭喽。所以我们的 sigma 马代数，它是一个对可数胶并 以及补运算 封闭的这么一个集合类。 好，那么如果我对这个 omega， 我 对这个 sigma 代数上再取一个非负值集合函数，那我的 miu 大 于等于零。好，我取什么呢？首先， miu 空，它是等于零的。其次，如果 e n 它来自于我的 omega， 那 么我 e n 它的可数 b 的 喵会等于求和。是不是和我们的测读有点像？哎，我就把这个喵叫做 omega 上的政策度，因为它非负二，所以我们叫它政策度，当然也简称测度好。换句话说，我们之前一直在定义的这个非负广义实数 m， 它其实就是我 c 格码代数 上 c 格码代数这个 l 啊，只是我们的这个空间里取的是可测结合而已啊，我们的 m 其实就是一个定义在 c 格码代数上的测度而已。 好，这是我们要了解的第一个东西啊，什么是 sigma 代数，什么是测度啊？我的 m 怎么来理解？好，第二个给大家两类集合，一类叫做 f sigma， 一 类叫做 g delta。 f sigma 呢是 b 集合 fi 的 可数项， g delta 呢是 k 集合 ei 的 可数交， 那我定义的这里啊，它们首先有什么关系呢啊？那么我来看，如果我对这个 sigma f sigma 去补集，那么它的这个首先由得木根公式，我的可数变就会变成可数胶， 我的 fi 就 会变成 fi 的 补，那么 fi 本来是 b 级，它去补就是开级就变成可数胶啦。开级的可数胶就是我的 g d t， 同理，我的 g d t 如果来去补，首先可数胶变成可数 b， e i 变成 e i 的 补， 所以 e i 是 开级，它的补就是 b 级，就变成 b 级的可数变啦。哎，就变成了我的 f sigma， 所以 它们之间的关系是互余的关系啊，互补的关系好，那么这里我们引一个例子让大家来感受一下哈。有理数和无理数 好，那么有理数级 q 和无理数级 q 的 补，它们分别是什么集合呢？我们来看，有理数集好，那么有理数集的每一个元素假设是二一二二一直到二 n。 首先，那当然它们还可以继续往下啊，因为它有可数个。首先我们要明确啊，每一个里边的元素其实都是我的距点， 换句话说，我把每一个二 i 单拎出来构成的单点积一定是一个 b 积 好，那我的这个有理数集 q， 它可以看作是可数个啊，因为我的 q 它是一个可数集合啊，可数个 b 级 r i 它的并集，换言之，它是一个 f c 个码集，那么它取补得到的无理数集就是一个 g d 它集啊，大家记一下，这很有可能考小题。 好，那么我们讲 f sigma 和 g d 塔是为了干嘛呢？是为了解决这样一个问题啊，找到我可测级和 g d 塔 f sigma 级之间的关系。假设我的 e 它是一个可测级，那我一定可以找到一个 g d 塔。注意啊， g d 塔它是 开极的，可数交好，找到一个这样的集合 o， 使得我的 e 包含于 o 里啊。假设这是我的 e， 我 可以找它的，在它的外面找到一个开极，它的可数交 好，使得 e 包含在这个 o 里，而且它们之间的差极测度为零，也就是说它们两个是无限接近的。 好。第二个结论是什么？好，如果一可测，我还可以在它的内部找到一些 b 级的可数 b， 使得它们两个也无限接近啊，它们的差级测度为零。 换句话说啊，我们再说的通俗一点，我的可测极可以看作是 g d 塔极，去掉一个零极，或者是 f c 格玛极，天上一个零极得到的。所以只要我能搞清楚所有的 g d 塔型极，所有的 f c 格玛极极和所有的零极，那么所有的可测极我就可以表示了。 好，这个非常重要啊，大家体会一下我 g d r 塔和 f c 个码引入的原因，是因为我发现我的可测级和它们只相差一个零级啊，几乎五线阶梯只相差一个零级。 好，那么我的 g d r t 星际和啊，它去掉一个零级，就是我的客测级，我的 f sigma 星际加上一个零级，它就是我的客测级。所以我只要搞清楚所有的 g d r t， 所有的 f sigma， 所有的零级，那我所有的客测级都可以表示了。 下面我们要给出最后一个定义，叫做伯雷尔级。 伯雷尔集是什么啊？它其实是全体开集做运算生成的集合。 做了哪些运算呢？可数胶，可数病 补剂， 所以哪一些天然它就是玻尿酸呢？首先，全体开己， 它是我的定义吗？其次，全体 b 己，因为我 b 己可以看作是开己的补。 第三，我的 g d r t 星际，因为它是开启的可数交运算。第四，我的 f c 格玛星际，因为它是 b 级的可数并运算。除此之外还有空级和我的 r n。 好， 这些都是我的伯利尔级。 好，那么讲到这里，我们就可以总结一下目前我们所见过的所有可测级。 首先，我们的零测级外侧度为零的集合一定是可测的。其次， 我们的区间一定是可测的，而且零测级的测度为零，区间的测度就是它的体积，还有吗？好，开级， b 级， 还有吗？啊，我的伯雷尔集，伯雷尔利啊，任意开集，全部开集，全部 b 集，我的 f sigma， g， dota， 空集，全体，这些都是可测集合啊，大家体会一下我们的可测集。
