怎么设计一幅密铺创意图有很多图形

我们小的那么 给我金色的童年。

所有正多边形都可以密铺平面，对吗？当然不对了！密铺或称镶嵌，是指用若干全等的图形，无重叠、无缝隙的覆盖整个平面。 对于正多边形，其内角大小固定，要能密铺正多边形的内角，必须能够整出三百六十度，即存在正整数 k， 使得 k 乘以内角等于三百六十度。 正 n 边形的内角为 n 分 之 n 减二乘以一百八十度，代入条件得 k 乘以 n 分 之 n 减二乘一百八十等于三百六十。推出 k 等于 n 减二分之二 n、 k、 b、 c 为正整数，将 n 代入，可得 k 值。因此，只有正三角形、正方形和正六边形这三种正多边形可以单独密铺平面， 其他如正五边形、正七边形、正八边形等，都无法无缝隙的铺满平面。取一些正五边形的纸片长细，在桌面上拼在一起， 你会发现，无论怎么摆放，五边形的角之间总会留下菱形的缝隙，无法完全覆盖。而在自然界中，蜂窝的正六边形结构就是密铺的完美协力。我的意思是，你曾以为只要两个人都是规规矩矩的正多边形，就能把日子铺的满满当当，不留一丝缝隙， 可就母变形，细了又细，脚对脚拼了又拼，中间永远缺一块，不是不够好，是那角算下来怎么也凑不满那个三百六十度。有些关系就是这样，各自都很完整，放在一起却到处是空。你努力对齐，他努力靠近， 可接缝处总有蜂漏进来。后来你看到蜂窝才明白，能密铺的从来不是最漂亮的形状，而是那个恰好和别人拼的严丝合缝的角度。

多美丽的图案，唐老师随手一拍，就找到了这些图案，想一想，它们分别是由哪些图形铺成的？ 你来，第一个是用六边形铺成，嗯，然后第二个是用长方形铺成的，第三个也是， 有疑问吗？同桌，我觉得第二个应该是正方形的，嗯，你说，呃，我，我觉得第一个，他说六边形不弯的，应该是正六边形，我们今天就一起来研究图形的密铺， 可以跟我一起写一写。 刚才同学们也发现这些图形是没有空隙， 又不重叠， 而且呀，不重叠的铺在同一个平面上。对， 那这样我们就称为逆扑。那咱们来看，刚才呀，有的同学都看到这，把他看成长方形了。唐老师拍的他是正方形，那你只看到他能逆扑了？ 眼睛有时候会欺骗我们呀，看到了你就相信吗？你说怎么办？摆摆，摆一摆，自己验证验证是吧？对哦，那这里是三种图形啊，我们还学过很多图形啊，还有哪些图形？三， 你来三角形，还有圆形，还有正五边形。嗯，各种各样图形，我们是不是都见过了？接着往下看一看，这是你们说的这些图形吧？是，是的，那么到底这些图形能不能单独密铺呢？ 那三幅我们看到了，那下面呢？我没看，我们知道三角形、平行四边形、梯形可以密铺，而这五边形和圆形不能密铺。嗯，还有同学验证了正方形，确定是能密铺的是吧？圆形有展示吗？ 能密铺吗？不能，你验证了圆形是吧？好，大家看看， 你说说他为什么不能逆铺呢？就是因为他，他旁边的边是弯曲的，没有一个角，所以他不能铺中间出现的， 所以圆形不能密敷，你们都不想验证他了，是这样吗？我说，哦，接着说。而且圆形都是往外缩出去的，必须有凹下去的东西来跟他拼在一起，但是圆身上没有凹下去的地方，所以他不能告诉你。好，那正六边形你们看到了，长方形你们有看到了，有验证的吗？ 有验证正六边形的吗？啊？说声说，你说说。老师，他这个圆形虽然可以密敷，但他重叠了，不符合密敷的要求， 是这样吧，如果我是铺地的人，我他这样重叠的铺地合适吗？接着说，就是，那因为每一个那个地板都有厚度，慢慢的那个地板往上翘， 不平整，利于人们行走吗？好，不说了，感谢大家，你们真棒呀！那么这时我们就发现，这个六边形、 正方形、长方形、三角形、菱四边形、梯形是能单独弥补，而我们的圆形和正方形是不能单独弥补的。哎呀，研究到这样， 有没有谁还有疑问的吗？来，接着说。就是两个，只要是两个相相同的形状，大小相同的三角形拼在一起，可以变成一个圆形，四边形，圆形，四边形，可以密封，可以三角形。 而且刚才他还提到一个特殊的，如果是两个完全大小形状相同的三直角三角形，他就能拼成什么样的长方形。长方形我们刚知道能一铺，那这两个三角形呢？也能，那两个完全大小形状相同的等腰直角三角形， 他俩能拼成什么？正方形？正方形是不能单独一块啊，那这两个三角形呢？也可以是吧？而且刚才同学们总觉得很好呀，我们来看一下 这三角形。对对对，好，我拿个三角形继续，形状大小完全相同的继续。 哎，我虽然没有拼成你们所说的平行，但我拼成了一个不规则图形，但是中间我发现什么了？ 密铺了没有？密铺了，符合不重叠又不有没有空隙的空隙的这个特点是吧？密铺了，而且你看是不是那个中间呢？再看 这是哪只三角形啊？平行图形了，刚才好，继续。这什么正方形，正方形了，长方形了， 密铺了吗？密铺了。哦，看来把你们刚才其他的都说到了，而且你们最早还提到了角度，这里密铺完的连接点处怎样？ 那看来我们形状大小完全相同的任意三角形是分细的拼铺在一起，所以他就能密铺了。那刚才你们都是这样铺的，看看到了吗？嗯，那这里就形成了 三百六十度吧。好，好了，那我们验证了形状大小完全相同的四四边形也是能密度的，单独密度的好，而且在验证过程中同学们就发现，哎，我们这所有的图形在连接在一起时，连接点处的角度 就会形成一个。那看来我们图形密铺时的关键 是什么呀？连接点处的角度是三百六十度，并且能够没有空隙又不重叠的铺在一个平面上，这样的单独的图形它就能够单独密铺， 你看一下，再往上继续铺下去是不？还可以？是，如果我再减下去呢？还可以。好了，那我们刚才研究的 任意三角形、任意四边形和正六边形都是能的。那单独密敷的关键是没有空隙，不重叠，还有一个关键是在同一平面它的连接点处形成三百六十度。好， 咱们还有第三个问题，有人说正五边形是不能密敷呀，还有个不能密敷的图形是什么图形呢？圆形。看一下 这俩图形，咱们是发现验证了他是不能单独逆铺的。正五边形不能单独逆铺，那李欣可就疑问了，那普通的五边形能不能像普通的四边形一样能单独逆铺呢？有的 你说说，有的可以有可能是吧。嗯，你说说，我扔了一个什么芯片的，就是正五，一个五边形，嗯，他就可以逆铺， 哎，你们生活中有见过那样芯片的是吧？这好，哎呀，有些科学家呀，确实呀，带着这种疑问去研究数学，研究生活。你们看一下 最早在德国的科学家卡尔兰因哈特，他在一九一八年就发现了五种来密铺的五边形，他就不是用五边形，五种呢？ 接着呀，人们还在继续的追求去发现，到了二零一五年八月十九日的时候，又有人发现新的一种，哎，五边形他也能单独弥补，他这里是三种颜色，三个为一组，弥补下来符合弥补条件吧。那么咱们看一下， 一直距今到三十年的研究过程中，咱们一共发现了十五种，十五种这样的五边形，它都能够单独密谱，哎呀，密谱图形奇妙吧， 奇妙，好，希望大家也像他们一样，自己有疑问，回去还可以继续的研究，是吧？马思博，你可以带着你疑问去研究你其他想研究的图形。好了，同学们看， 哎呀，不能单独逆出的是圆形和他是不是有好几种图形啊？这是咱们市面比较典型的例子，哎，他也可以。哎，七巧板是几种图形？五种五种五种五种，五种。七块。 张文浩应该是有五种，一个一个三角形，一个一个正方形，一个平行四边形。 还，还有个小的，还还有个小的，就是还有，还有两个小的那个三角形，还有一个中等、中等的三角形， 大小虽然不一样，他都是掉三角形。对，只要三角形，那三角形归一类吗？对，几种呀？三种。哎呀，这点问题可难倒你们呀。 我觉得是两种，因为正方形可以归拼成四边形。现在眼睛看到的是几种图形？三种，我们用三种图形密铺了，这个来大的一个，我们的那个七巧板应该拼成一个大的一个正方形，是吧？这里就用三种图形密铺的，它也符合这种密铺特点，看那形成的连线点数的角度是对， 哎呀，生活中像这样的利用还特别广泛呢。开动脑筋想一想，你在哪里见到密铺图案？ 你来平面，它是一个立体的。哎呀，确实呀，用智慧的数学的眼光来看这个数学问题了。确实如此，所以它没有把它围成一个平面上，它是围成一个立体图形。那这和我们密铺的 要求一样吗？不一样。什么样图形能密铺？同学们没有空隙就会叠叠在一个平面上，而且我们的连接点处要形成三百六十度。那今天我们研究的单独密铺的图形有哪几种？ 四年级、三年级、六年级。好，单独密铺的图形今天我们就研究了，其实是三组 有三边形，可以这样说吗？可以，还有四边形，还有正六边形。正六边形， 刚才我们最早呀，马思博有一个疑问，生活中我们还见过其他的图形，他还想研。

昨天做的是一个蜜铺。嗯，我觉得拆的太可惜，他看着像一个乌龟壳，所以我今天准备把它做成一个乌龟。 首先这里有一个缺口，这是头的地方，我们先做腿， 它是一个这个三角形的柱体，我要拿开了拿那个壶， 我是一只张着嘴巴的鬼。 它都是什么图形啊？它都是一些特殊的菱形，菱形转过来还可以变成平行四边形，还有三角形。三角形。 这是一只什么小乌龟啊？这是一只壳很很薄的小乌龟。哦，它是 这也。这是一只龟兔赛跑的乌龟。这是一只小兔子。

哈喽，佳佳来了，今天咱们来当一回地板侦探，破解一个身边的数学魔法！图形密铺，你注意过吗？家里的地板，砖墙上的瓷砖，为什么能拼的天衣无缝，既不留空，也不重叠？这可不是巧合，这就是密铺的魔力。 简单说就是用图形把地面铺满，不重叠，不留白。我亲自做过实验，正方形、长方形、正六边形都能像好朋友一样手拉手，言辞和风的铺满。但正五边形就不行，怎么拼都会留下尴尬的小缝隙。 原来这背后的终极密码是角度。能密铺的图形，几个角拼在一起，必须刚好是三百六十度转满一圈。比如正方形，一个角九十度，四个角一拼， 九十度乘四，等于三百六十度完美闭环。看固然的花妆，你玩的拼图，甚至衣服上的花纹，到处都是密铺的智慧数学是不是就藏在我们眼皮底下？ 你的侦探任务，仔细观察你的周围，还能发现哪里有密铺？是巧克力的格子？还是篮球场的地板？快在评论区告诉我你的发现！每发现一个生活中的数学秘密，我的探索能量就更增加一分，离我的旅行梦想又近一步，明天见！

这砖头来我转镶嵌，又叫做密铺，通俗一点说的话就是铺地砖，那么镶嵌的秘密是什么呢？拼接在同一点的各个角，恰好等于一个周角三百六十度，就可以做到无缝隙，无重叠的进行镶嵌了。 常见的镶嵌类型呢，有单一多边形的镶嵌，以及组合多边形的镶嵌，我们来看几个实力啊，最常见的就是咱们地板砖呢，是这种正方形的 正方形，可以看到这个角一是九十度，这边就是角二是九十度，这个呢角三也是九十度，每个正方形都一样大的这种地砖呢啊，那这四个九十度的角，正好围绕着这边的这个拼接点转了一圈，转成了三百六度，他呢就可以做到无缝隙，无重叠铺出来平整的地砖了。 每一个拼接点都是这样的啊，我们等边三也可以进行密铺，比如说都围绕着这样一个拼接点，这边的这个角一是六十度吧，等边三一，每个的角都是六十度啊，角二六十度，依次类推，这样的六个六十度的角，就围绕着这个拼接点就转成了一周，也就转成了三百六十度，这样就多到了无缝隙啊，无重叠平整的铺。那再比如说这个呢是正六 边形，你随便找一个点，你可以看到这个拼接点，正六边形的每个对角呢都是一百二十度，正好呢围绕着拼接点有三个这样的一百二十度的角就拼成了啊三百六十度， 所以正六边形也可以做密铺，这是我们举了啊，单一的这个呢，就是全是正方形的，这个全是等边三角形的，这个呢全是正六边形的这种单一多边形的镶嵌问题， 还有呢就是组合类的，就是可以允许有多种不同的这种啊正格变形，比如说这个呢，就是一种蜜扑啊这一个八边形，然后呢这边有八边形，这边呢一个正方形， 他们围绕着这样一个拼接点，我们用红点描一下，围绕着这个拼接点呢，就可以拼出来无缝隙的啊这样一个周角。因为呢，正八边形，我们知道八边形的内角和是边数八减去二括起来乘以一百八十度， 这是八边形的内角盒，由于正八边形的每个内角都相等，正八边形有八个内角，你把它除以八就可以得到每一个内角了，每个内角等于一百三十五度。你看这个正八边形，围绕这个拼接点提供了一个一百 三十五度的角，这边又是一个正八边形，又提供了一个一百三十五度的角，这两个一百三十五度呢，就拼成了二百七十度了，正好呢，距离三百六十度还缺一个直角，这边呢就错过了一个小正方形，小正方形呢可以提供一个九十度的角 啊，围绕这个拼接点就组成了一个中角三百六十度。所以呢，密铺或者说镶嵌的秘密就在这里，不管你是单一的多边形的拼镶嵌，还是组合多边形的镶嵌，都是围绕着这里的拼接点，同一个拼接点恰好组成三百六十度的周角就可以了。好，我们操练一下，例一下列多边形中不能铺满地面的是哪一个？ 那对于 a 选项正三角形显然可以，因为呢正三角形呢，每个角都是六十度，只需要围绕着拼接点六个张的角就行了啊，那就可以看这个图，这就是那个正三角形的。 好，我们再看一下正方形，当然更行了，咱们家里的大部分的地砖都是正方形的，那么再看正六边形，正六边形呢啊，我们也看到了，这个就是正六边形，每个内角都是一百二十度，围绕着拼接点呢，只需要三个这样的一百二十度就够了。那对于 d 选项就可以了啊，也就是说呢， d 选项它是一个正 七边形，正七边形的话，他每个内角是多少度呢？七边形的内角和是这个，然后除以他的七，因为呢，正七边形他的每个内角都相等啊，这个可以得到是七分之九百。那你说几个这样的能够凑出来三百六十度呢啊，我们来看一下，两个的话，这边呢七分之九百度，这边呢七分之九百度，然后这个地方呢不是七分之九百度了，你不信你算一算啊， 我们再挤过来一个这样的正七边形的话，你看这地方是不是有缝隙了，他挤不进来，哎，这就是他不能密铺的原因，因为呢，他的每一个内角都是七分之九百度，这一个拼接点的地方呢，如果两个的话，也就是七分之九百乘以 他的还不到三百六十度，如果三个的话呢，又超过三百六十度了啊，你不信算一下，他就超过三百六十度了，又在拼接点，这个地方呢，就挤爆了啊，也就会出现重叠，用他铺地砖的话，我们一不小心就会被他绊倒了，因为呢，他会两层着，因为他这个地方挤不进来吗？所以这道题呢，就应该选择 d 好，我们只要运用 拼接的那个秘密就可以了。第二，先有边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形形状的地砖，如果选择其中的两种铺满成平整的地面，那么选择的两种地砖形状不能是哪个，注意要找不能的，逐下来看。为啥说正三角形与正方形能还是不能？就是看拼接点的地方能不能围成三百六十度，不多也不少。 正三角形呢，可以提供六十度的角，那么正方形的话可以提供九十度的角，现在呢，我们跟他组合组合，看看能不能组合出来三百六十度，那可以试一试，比如说他呢，要是来三个在拼接点那个地方来三个六十度的角，也就是来三个正三角形， 每个三角形呢，拿出来一个六十度的角，这就可以变成一百八十度了。然后正方形呢，在拼接点的地方来出来两个九十度的角，也就是拿过来两个正方形，每个正方形呢，提供一个直角拼到那个拼接点的地方，这样的话加起来正好就是三百六十度，这说明是可以的，也就说在每一个拼接点的地方呢， 来三个正三角形，加上两个正方形好，哪个选项就可以？那别激动啊，不要选它，它是能的，我们要找不能的啊。 b 选项，正三角形与正六边形看一看，正三角形呢，可以提供六十度的角，正六边形呢，可以提供一百二十度的角，因为呢，所有的正六边形每个内角都是相等的， 那现在咱们给它组合一下，这个组合的方式就多，比如说我们来两个啊，正三角形，就可以在拼接点地方提供一百二十度了，那么再来两个正六边形，一个正六边形呢，提供一百二十度，两个那就乘以二为二百四十度，这样的话加在一起呢，正好是三百六十度，也就是说在每个拼接点的地方 来上两个正三角形，再来上两个正六边形，那就可以。甚至呢还有其他的，比如说来四个四六，二百四，来四个正三角形，然后再来一个正六边形，一个正六边形再提供一个一百二十度的角，这样的话加在一起你看也凑成了三百六十度， 一度不多，一度也不少，那这个也是可以进行密铺的。再看 c 选项，正方形与正六边形，正方形可以在拼接点的地方提供九十度的角，正六边形呢，在拼接点地方提供一百二十度的角，这样的话我们给它组合组合， 如果是一个正方形，那个地方提供一个直角的话，还剩下二百七十度，对不对啊？因为呢只提供了一个九十度的角，距离三百六的周角呢，还差二百七，那二百七就用一百二十度的这个角来提供，看能不能提供出来。 一个的话不够两个也不够两个他二百四，三个的话，他就够三百六了，就超过那个二百七了。你如果有三个一百二十度的话，连这个九十度都不要了，对不对？我们这个呢要选两种能够密破的，说明呢？一个正方形 加几个正六边形都不能实现密铺，要么呢有缝隙，要么呢就会重叠挤在一块去了。如果要是两个正方形的话，他可以提供这么一个啊，一百八十度的，相对于一百八十度还缺二百六十度，那么二百六十度，这一百二十度角来几个呢？两个的话不够， 三个的话又爆了，那说明还不行。那再试，如果有三个九十度的角，二百七了，二百七距离三百六十度还差九十度，可是呢，他已经超过九十度了，他啊，正立边形拿过来一个角都挤爆了，说明他不可以。那如果正方形来四个的话， 四九三百六，够了，够了话，那正六边形就用不着了，我们得找人两种，这就不符合两种这个特点了，这说明呢， c 选项无论如何都组合不出来密铺的条件，所以这道题呢，就是 c 选项是哎，无法进行密铺的，我们就要找无法密铺的，选择 c。 好，再来看题选项，正方形和正八边形，正方形呢，提供九十度的这样的拼接的角，正八边形可以提供一百三十五度的拼接角，那现在给他组合一下，比如说来两个啊，正八边形， 那就提供了两个一百三十五度为多少度？二百七，然后剩下的缝隙正好剩下了九十度啊，因为呢，三百六十度减去两个一百三十五，剩下九十正好拼过来一个正方形啊，就无重叠无缝隙的给他拼到一块了。 这个时候是可以的，就是两个正八边形加上一个正方形就可以拼接了。你看我们这个地方呢，就是啊，正八边形跟正方形进行拼接的，找这个拼接点，这边呢是一个一百三十五度的正八边形，这边呢又是一百三十五度的正八边形，然后这个小的地方呢，有一个直角 一周圈在拼接点处，是三百六十度啊，在每个拼接点处呢，你都可以看到有两个啊，左边一个，右边一个这样的正八边形，然后下边空白的地方有一个啊，有三号位置有一个小正方形， 这是可以做到密铺的，这也是一种组合式的密铺，不是单一的多边形的密铺了。好，那 d 选项也是 ok， 也可以进行密铺，只有 c 选项不能够密铺，我们就找 c 选项了。利亚，咱们搞明白的同学，欢迎回复个六六， 好，我们来看预算。利用边上相等的正三角形和正六边形的地砖，然后镶嵌成平整的地面的时候，在每个顶点周围都有 a 块正三角形和 b 块正六边形的地砖。这里的 a 乘以 b 不等于零， a 乘以 b 不等于零，意味着 a 不等于 b， 也不等于零，只要有一个等于零，它的基就必然等于零，相当的基不等于零，就可以逆着退出来了， a b 都不等于零，也就是说正三异形的地砖呢，不能是零块啊，必须得有。然后呢，正六边形的地砖呢，也不是零块也必须得有，那就是一种组合式的密铺，而不是单一的正道变形的密铺了。它让我们求 a 加 b 的值，首先我们把 a 和 b 的值给它推出来， 而这里的正三角形，它可以提供拼接角为六十度，那么正六边形呢，可以提供拼接角的为一百二十度，相当就是六十度于一百二十度，怎么样来组合的问题。 好，那由于有 a 块正三角形，所以在拼接点处呢，就会有提供了 a 个六十度，也就是六十乘以 a， 这是度数，再加上正六边形，在那个哎，拼接点处提供了 b 块，就会有 b 个这样的一百二十度的角， 那他就可以提供出来的度数呢，为一百二十乘以 b， 这两者呢，加在一起必须得等于三百六十度啊，只要满足三百六十度，那就可以进行密铺了。现在呢，我们给他划点，约分一下，两边都除以六十余生呢，变成 a 加上 二 b， 他们就等于六，然后我们向里面带数，试一试就是了，因为呢，对于二元一次方程有无数多个减，但是在这道题当中，他的减的个数呢，非常的有限，比如说 a 等于一的时候，咱们试一下， 那么把 a 等于带进来，你会发现呢， b 等于多少？等于二点五了啊，那个 b 呢，代表的是正立边形的这个地砖的快数，他得是正整数啊啊，那就不可以说明 a 等于一不行，那么 a 等于二，咱们试一下， a 等于二的时候，二一到这把它六减二为四，两边的再除以二，就求他 b 呢正好也等于二，这说明呢，这种是可以的， 那就是说有两块正三角形，加上两块正六边形，就可以进行密铺了。两块正六边形，每块正六边形在拼接点处可以提供一百二十度的角，两块的话就可以提供二百四十度，然后呢，正六边形呢，一块可以提供六十度的拼接角，两块的话就乘以二，我一百二，这样加在一起呢，你看正好是三百六十度，那就可以进行密铺， 比如我们画图看一下，哎，这个正三角形，这个地方有个六十度的角，然后这边呢，还有一个六十度的角，在拼接点的地方呢，这两个六十度就拼成一百二十度了。然后这边呢，有一个一百二十度的， 由正六边形提供的，这边呢又有一个一百二十度的，也是有一个正六边形提供的。那么围绕这个拼接点就围成了三百六十度，不多也不少，正好呢，就可以进行立铺啊，通过这种验证，他是满足密铺秘密的。那 a 等于二， b 等于二，就是符合题的啦。那 a 加 b 的值呢，就是二加二为四， 这种情况是四，是不是还有其他情况呢？我们再去往下试。刚才呢，咱们把 a 等于一等于二都试了啊，一不行，二是可以的。那么 a 要是等于三的话，咱们看一看，等于三，他移到这边来，六减三呢，为三，二， b 等于三， b 呢就等于一点五，不行，合体，对吧？ 那再让 a 变大一点，让 a 呢等于四，就是从 a 的值啊，从一开始往后依次变大，他要是四的话，再入这个方程，是不是就求出来了？ b 等于一啊，好，那这个时候呢， ab 都是正整数，也是符合题意的，此时 a 加 b 的值，也就是四加一为五。好，那这样的话，这道题啊啊，又有一个答案了，那如果 a 要是再大的话， a 要是五的话， 那 b 呢，就成零点五了，不合体。 a 要是六的话呢， b 就成零了。总之呢，你 a 越大， b 就会越小，对吧？ a 越大， b 就越小，那这样的话，就全试完了，一个也没有漏的啊，一个呢，就是 a 加 b 的值为四，一个呢是 a 加 b 的值呢为五，所以这道题呢，选择 b。 至于这一组呢，你也可以再去画画草图去验证一下。比如我们就刚在刚才他的基础上，一个正六边形换成两个这样的等边三角形，是不是也可以啊？哎，围了一圈围成了三百六十度啊，也就把它进行验证了。好，通过这个例三呢，我们这里边都引入了二元一字方程，然后研究他的哎，正整数减的问题了，对不对啊？ 我们对这样的密扑认识的就更加的深入了，如果认识更加深入的，欢迎回复个六六六，我们又长进了一步。好，我们再来看例四，说出图一二三这三个图啊，用一种大小相等的正多边形密扑成一个环，我们称之为环形密扑。但图 四五不是我们所说的环形密铺，这是图四，这是图五，我们看他们为什么不是一二三，为什么是，为什么？是的话他有相同的特征呢啊，观察一下，发现这些正多边形，他们的中心都在一个圆环上，这是一个特征，对不对？你看第二个图，也是 啊，成为了这个环形，这每一个啊正多边形他都有中心的，你像这是一个正啊，正中间啊，这是一个正六边形，他的中心呢，就在正中间。那这边呢？哎，看一看，他也是这样的，这些正中心的这些点呢，都在一个环上， 那虽然四这个他是正方形，也在一个环上，为什么他不是呢？我们就对上前边发现呢，每个相邻的，你像这个正骨边形跟这个正骨边形呢，有一条公共边，看到了吗？就是这条公共边，每一个都会有公共边的，每相邻的， 对于图尔来说呢，也是这样的，只要是相邻的，他们都有公共边，而对于图三，你看也是有公共边的，对吧？那唯独是哪一个没有 啊？第四个他就没有公共边，你像这样一个正方形，然后跟他有相邻的吗？有相邻的就这个，可是有公共边吗？没有公共边，说明呢？只有满足了这个啊，一个圆环还是不够的，还必须保证什么这上边围成了一圈的这些正多边形，围成环状的正多边形，必须呢，有一条公共边相邻的， 哎，你会发现在正中间的你可以看到有一个孔啊，正中间他不围成一个圆环吗？你像对于图三来说，正中间就是一个正方形，对于图二来说呢，正中间的是什么？是一个正六边形， 那么外圈围着他的这个圆环呢，其实就是从每一个里边的这个顶点出发，你看，我给你这样画一画，把他们的哎围成的圆环的公共边给你画一下，就成这种发散状的， 你对于突击来说也是这样的。正中间有这么一个啊，正多边形，你可以数一数这每一个正多边形啊，正中间的这个正多边形的每一个顶点往外呈发射状的， 你看这一个这一个这一条边都是相邻的两个正的边形的公母边，我把这些公母边都给描一下，就形成了非常漂亮的这种辐射状的啊图案。那么对于四来说呢，他正中间的是一个正方形的话，必须从正方形的啊，正中间的这个正的边形的顶点往外呈辐射状画出来才行， 画出来的就是围着他一圈的那样的正多边形的公共边。现在呢，图四你画出来之后发现，显然不是，因为他压根是相邻的两个啊，这样的正多边形，他就没有公共边，对吧？啊，你看这个啊，跟这个他没有公共边，所以他就是称之为 不是我们所说的环形密铺。环形密铺呢，看来就得具有这样的特征，那我们再看一下啊，第五个，为什么不是呢？第五个呢，你会发现他的这些啊，这三个就是这三个正三角形的中心，他是在一个环上，然后呢，我们又发现了呢，你看这一个，这一个，这一个，它里面是三层环。 为什么说三等会呢？这一个环呢，是另外的一组啊，另外的一些正三角形的中心，分别是这一个正三角形，然后这一个正三角形，这一个正三角形，也就说这些圆环的中，这些这个中心呢，并不在同一个圆环上啊，包括这个得在同一个圆环才行， 你看他不但不带头圆，还有一层最外边还有一层圆环，他是三层圆环，最外边这层圆环呢，中心分别是这个， 然后这个中心还有呢，就是这个中心，就是这三个三角形，他们的中心呢，处在最外层的圆环上，那就不符合了，我们这里的环形密铺呢，都是只有一层圆环 啊，并没有出现两层的那种圆环好，也就是说对于第五个呢，他虽然有公共边，就是相邻的这些呢，都有公共边是不差。你看这不有公共边吗？这不有公共边吗？但遗憾的是呢，他们的这个有公共边，但是这些中心，这每一个小正三营的中心并不在同一个圆环上， 所以我们这样归纳一下，他所谓的环形密铺有两个特征，一个就是围着一圈的这些正多边形，必须相邻的有公共边，而且呢他们的中心形成一层环形啊，一个环形，那让我们再写出来啊，进行环形密铺的正多边形再写一个。 那我们发现呢，这个啊，图一当中呢，最中心的这个正多边形边数比较多，第二呢，边数变少了，再往下的话，这个边数变成了四边形了，我们再往下，你看第五个图呢，它变成了正三角形，虽然他是失败的一个环形面铺，我们把它变成功，那咱们就换一个试一试，咱让最中间的那个是一个啊，这样的正三角形， 那外边呢，我们就要给他对称出来啊，哎，往这边来一条边，然后呢往这边来一条公共边，往这边来一条公共边，为什么我这里提到一个对称呢？其实是一个轴对称，在这里具体来说的话，原因就是我往上边画的这条公共边，这条边长呢，跟我们这个等边三形的边长一样长，因为他围着他一圈的， 想一想应该是跟他一样长的。好，那这样的话我们再往下画，至于是几边形呢，我们现在呢，先大致的画这么一个草图啊，几边形我们还是要推算。再比如说呢，这边咱就省略号了啊，因为呢，咱具体现在不知道是几边形，然后在正中心往这边辐射出来的也是啊，往下画 啊，就是画成这么一个正多边形，我们写一写，看看他到底是正几边形，哎，大致是这个样子，这种画法呢，他就既满足了相邻的，你看这个跟这个呢，他有公共边，就是这条边，而且呢，哎，他们的中心形成环形了， 这里我们这边一个，这边一个，这边一个，一共就三个这样的正多边形，这究竟是正几边形，要推算一下。首先给你对称这个角跟这个角是不是两个相等的角呀？好的，你画一下，就是图上的这个角跟这边这个角围绕着这里边这个正三角形的啊，旁边这边一个角，这边一个角，这两个角是对称的两个相等的角， 因为呢，这围着一圈的这些正多边形，他们都是一样大的，边长也是一样的，那角呢，也大概这样，包括这边这个角跟这边这个角也是一样的，也是一样大的啊。那这个角是可以推出来的这个基本角一，这个基本角二，角一跟角二呢，是相等的，那他其实呢，跟里边的这个正三角形提供的这个六十度的角 就形成了一个拼接的，无缝隙，无重叠的，就是一个蜜扑，对不对？那由于正三角形里边的每个内角都是啊六十度，我可以由三百六十度去掉那个六十度， 就是角一跟角二这两个角的和了，那去掉六十度就是三百度，再除以二百，给他除以二的话，可以得到是一百五十度，说明角一角二呢，这两个角都是一百五十度。大家想一想，一个正多边形，他的每个内角都是一百五十度的话，这是正几边形呢？ 有的人说我不知道他有几个这样的一百五十度的角怎么办？那我们就不从内角和入手了，我们就可以从他的外角和入手，外角和呢，他是雷打不动的三百六度。由于这个正多边形，每一个内角呢，他都是一百五十度， 我们就哎研究一个就可以了，那你看这个呢，内角是一百五十度啊，我就只画了一个正多眉形的一个内角，其他那些边呢，我都没给你画啊，因为咱不知道具体有多少条边，所以呢，我在这里就不再给你画了，就大致画一个啊示意图就行了。 下面呢，他的外角你说是多少度，是不是就是三十度呀？因为内角外角的他们是一组零部角。好，三十度的话，而外角和呢是雷打不动的三百六十度，每个顶点处取一个外角组成的角叫做外角和。 那么每一个外角对于正多边形来说，每个外角都是相等的，因为他每个内角都相等，那每个内角都相等，每个内角的零部角，那个外角就相等，我就三百六十度，除以这个三十度，看看有几个这样的一除的话是不是十二个，十二个的话，这就说明他是一个十二边形， 那我们就找到了这个正的边形，这个正的边形，这是三个正十二边形啊，正十二边形是可以的，可以进行环形啊这种密铺，因为呢他满 这样的条件，那我们找这个正十二边形的时候呢，也借助于前面的一图、二图、三图，对吧？这些图的规律呢，就是正中心的这样一个正多边形，他的边数呢越来越少，越来越少，少到正方形的时候，哎，正方形的时候，其实在图三当中已经给出了一个正确的环形密布了，而图四呢，他围绕着一圈的，用正方形是无法做到这一点的。 这里面呢，我们一定要看出来，像这个角一跟角二呢，它是对称的，再比如说这边的这个角跟这边的角，角三跟角四呢，他俩是相等的，再结合着中间的这一个，中间的这个角呢是六十度。 好，也就说在这样一个拼接点的地方围成三百六十度，这还是回归到密批的密铺的秘密上来了。好了，下面总结一下，我们反复的强调这里的这个，哎，他的秘密就是拼接点的地方呢，恰好等于一个周角， 那无论是单一多边形的镶嵌，还是组合多边形的镶嵌，都是要找他的拼接点，围绕着拼接点一周圈是三百六十度，那就是一个成功的密批。好了，这个专题就为大家讲解到这里，再见。

下面我们用特殊的正多边形来密铺图形。右上角，这是由六个完全相同的正三角形密铺的图形， 这是有四个完全相同的正方形密铺的图形。 所谓密铺啊，就是将形状大小相同的图形， 不留缝隙，不重叠，拼摆成较大的图形。那么正五边形能不能密铺呢？我们来摆一摆。 正五边形啊，是不能密铺较大图形的。那么正六边形呢， 可以弥补较大的图形。正八边形呢， 是不可以密铺图形的。为什么有的图形能密不成，有的呢是不能密铺的。原来啊，密铺成的图形就是啊公， 嗯，顶点所构成的角啊，是个圆轴角，三百六十度， 十个九十度的角是三百六十度，而正五边形的每个角是一百零八度， 无论几个脚啊，是构不成三百六十度的，因此不能弥补。 而正六边形呢，每个角是一百二十度，三个角就是三百六十度，是可以米铺的。正八边形，每个内角是一百三十五度， 几个内角是三百六十六十度呢，也是不存在的。因此，单个的 一种形式的正多边形啊，像正五边形，正八边形是不能密铺的，你明白了吗？