几何八年级下册数学第三次月考湖南
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09:09查看AI文稿AI文稿八下几何的压轴题是让很多同学为之头痛，甚至拿不了分的题，今天玉米拿这道正方形的压轴题 带领大家一起去感受一下我们是如何去分析这类几何题的，请大家注意，但一定要多去感受接下来我中间的分析过程。当然这道题本身所蕴涵的小知识点也特别重要，我们来看题，如图，正方形边长为四，养成好习惯， g 点为对角线， b、 d 上的一个洞点，注意这里的线段， b、 d 是 正方形的对角线，这是个非常特殊的一个条件，那所以说像这些角都等于四十五度，你养成好习惯，标记一下嘛， 时刻提醒自己， b、 d 为对角线， ok， 那 么 g、 e 垂直于 c、 d， 养成好习惯， g、 f 垂直于 bc。 哎，这个时候同学们请注意，这个角 c 也等于九十度啊！那所以说这里的四边形 g、 f、 c、 e 应该是个什么形，是不是个矩形啊？ 因为三个角等于九十度的四边形是我们的矩形，这是矩形的判定，是不？各位，也就是说，无论这个记点在 b 大 上的哪一个位置，我都能够去保证 g、 f、 c、 e 这个四边形为矩形， 对吧？特别重要的一个判断， ok， 下面四种情况正确的有我们一个一个看。第一个，若 g 点为 b、 d 的 终点， g 点为 b、 d 的 终点， b、 d 是 对角线啊，那所以说 g 点就变成是对角线的焦点了。我把另外一条对角线标记出来嘛，习惯养好嘛，各位， 那所以说此时此刻这个记点就这了，哎，你看我图中了一下，代表的是它是对角线的焦点，那么我重新去做两条垂线， 现在让我们判断这个四边形， g、 f、 c e 红色的这个四边形，它是不是个正方形？哎，用我们的这个眼睛一瞄，也发现它的确是个正方形，是不是？但是我们得证明呀， 用什么方式证明呢？哎，这里可以用等腰直角三角形这个方向去证明，同时也可以用中位线这个方向去证明。在这里啊，我用中位线的方向给你们证明一下。好吧，简单证明一下，你看啊， g 点是 b、 d 的 中点，那么 g、 e 这条线是不是和 b、 c 平行的？ 我再说一下， g 点是 b、 d 的 中点，也就是说 g 点是三角形 b 大 c 一 边上的中点，而 g、 e 是 平行于 b、 c 这条线的，哎，中点加平行，是不是中位线， 对不对？那所以说这个 g、 e 这条线是三角形大 bc 的 中位线，所以这里就有 g e。 什么？ 是不是就有 g e 等于二分之一的 b c 啊？边长为四，说明这段就为二，对吧？同理可得，我是不是能够得出 g f 也是等于二分之一，大 c 也是等于二的？所以说，你是不是可以推出一个东西叫 g e 是 等于 g f 的， 对不对？各位来，刚刚我们说了，无论 g 点怎么动，我的 g f、 c e 是 不是都是个矩形？现在加上 g e 等于 g f， 看图， g e 等于 g f 是 不是叫邻边相等的矩形叫做正方形啊？是不是？各位，所以第一小问正确是不？各位，好吧，来，我们看第二个， 第一个正确，好，那我就把它抹掉就是了啊， 抹掉，刚刚我做的， ok， 其他条件保留。 g 点为 b 立上任意点，则 a g 等于 e f。 哎，怎么就证明 a g 等于 e f 呢？那我得研究一下这两条线段有什么特殊性啊？ a g， 嗯，没啥用。 e f， 哎， e f。 各位， e f 不 就是下方这个矩形的对角线吗？哎，矩形对角线是什么性质？ 来回忆一下。矩形的对角线是相互平分且相等的，往往有些时候矩形对角线相等是被我们忽略掉的，所以这里面我必须要把它对角线显现出来，连接 g c。 那 所以说，这个题你只需要证明什么，我是不是能够就证明 a g 等于 g c 就 可以了， 是不是与 g c 跟 e f 相等嘛？那么我能不能证明 a g 等于 c g 呢？哎，可以，这是我们正方形当中非常典型的这一类全等三角形，是不是？各位来看一下，你的 a 大 为四，你的大 c 也等于四，你这两个角都等于多少度啊？等于四十五度，中间有个什么边 是不公共边呀？所以你们是？我们是不是可以通过边角边证明三角形 a 搭记与三角形 c 搭记全等全等就带走 a g 等于 c g， 而 c g 等于 e f， 是 不是搞定，对吧？也特别简单啊，我稍微写一下，可正 啊，我指你一些重点的思路啊，可正，三角形 a 搭记全等三角形 c 搭记，判断方法为边角边，那么全等完了过，你就可以推出一个东西叫对应边相等， 是吧？而 g c 又应该和 e f 怎么样相等？这是矩形对角线嘛，是不是？所以第二小问啊，也正确。好吧，第二小问也正确。 ok， 那 么看一下第三小问啊，看一下第三小问。第三小问， 他说，呃， g 点在运动的过程当中， g e 加上我的 g f 的 值 为四，那我们看一下这两条线在哪？ g e 一个在这， ok， g f 一个在这，他俩加起来等于四， 特别简单。你看这个条件，这个第三个能够快速被我们判断出来，是因为前期玉米做的一些好的一些习惯，比如说这里是不是标了个四十五度？那所以说 g e 这个线段我可不可以转换成 d e 是不是产生？答， e， 而 g f 这个线段应该如何处理？是不是用对角？是用矩形的对边相等，对吧？ g f 是 不是就可以转换成我的 e c 啊？ 是不是？那所以说你的 g e 加上 g f 就 等于我的大 e 加上 e c， 而大 e 加 e c 不 就等于边长大 c 为四吗？是不？各位，所以说第三一个也是正确的，好吧，所以说啊，目前一二三都正确的，是不是？讲到这大家还能明白吗？ ok， 来我们看第四一个，他说 g 点在运动过程当中，线段 e f 的 最小值为二倍，根号二。哎，这个肯定是有一定难度的啊，肯定是有一定难度的，这个第四个咋判断呀？ 我们又来看一看啊。 g 在 运动过程当中，线段 e f 又跟 e f 有 关， e f 是 谁啊？各位， e f 是 不是这个右下方矩形的对角线？是不是来又把另外一条对角线显现出来？ 那这个题你要求谁最小？这个题你要求 e f 最小，急求谁最小？各位， 急求谁最小？是不是急求我的另外一条对角线 g c 最小啊？可不可以，对不对？求 e f 最小，是不可以求 c g 最小 啊？为什么要转换成求 c g 最小的玉米？这简单分析一下，你这个 g 点在动，说明几个？你这个 e 点跟 f 点是不是随之也在动？那么你这个 e f 这个线段是不是一条动线段？ 动线段我们怎么能去研究最小值呢？对吧？你反观另外一条线段叫 g c g c 这个线段里面 c 点是不是保持不变的？是不是只有一个 g 点在动？ 哎，你会发现 g c 它也是个动线段，但是在这条动线段里面是不是有一个定点加一个动点，那这一类要比 e f 特殊很多吗？是不？各位，那么请问这个时候 c g 什么时候最小？ 哎，记一点，在 b d 上跑，什么时候 c g 最小？那就是当 c g 怎么样，当 c g 垂直于 b d 的 时候最小。用什么用垂线段最短嘛？是不？各位，是不是用垂线段最短啊？那么怎么去求这条垂线段 c g 呢？ 啊？你别忘了我们正方形的还有个对，还有个性质叫正方形的对角线相互平分且垂直且相等。那所以说，其实你这个祭点，这是我蓝色祭点啊，其实它就是我们正方形对角线的焦点，是不是？各位 回忆一下，正方形的性质是不？各位，对吧？那所以说此时此刻你的 b c g 也是个等腰直角三角形，你这个斜边是等于四的，你要求直角边特别简单，是不是四除以根号二， 是不？各位，是不？各位啊，那么你的 g c 就 应该是等于我的四除以根号二，来分母有你画是不是二倍根号二， 对不对？那么你 g c 最小为二倍根号二，即 e f 最小也就是二倍根号二。好吧，所以说这道题真的不错，把正方形当中的性质啊，真的考的是淋漓尽致的好吧，一道非常典型的正方形来压制题， 希望我的讲解对各位有帮助，加油！
98西昌玉米讲数学
02:08查看AI文稿AI文稿那再来看一道中考考过的一个关于函数图像与动点结合综合分析的，也是 f 是 菱形的顶点， a 出发，然后沿 a、 d， 注意沿 a、 d 啊，第一次是拐弯到到 d 点，然后再拐到 b 点，这个过程 也就是 f， 是 这么一个运动路径，它的运动过程中呢，它的重度表表示的是 s， 三角形 fbc， 注意和 b， c 点线以后构成三角形的面积，随着时间 x 的 变化的图像要求 a 的 值， a 在 这里，那么还是找拐点发现拐点呢，就在这个地方是 d 点啊，它拐弯了，说明呢，到 d 点的时候， 这个它的运动时间，由于速度是一啊，时间是 x， 所以 它运动路程呢，其实对应的也是 x 路程。因此呢，我们发现起点是 a 的 时候啊，它的面积呢，指的是 b， a， c 一 直到 d 的 话， b， d， c 的 面积也是 a， 这个大，注意这个面积是 a， 那 么这个信息呢，我们可以得到，第一个啊，三角形 b， d， c 的 面积是等于 a 的， 第二个，它这个运动的路程也是 a， 说明 a， d 长也是 a， 那 也就是等于 bc， 其实也等于 dc， 等于 ab 啊，等于 a， 我 们标一下，其实这些长度都是 a， 然后再往后走，走到 b 点的时候呢，它它的路程变成 a 加根号五，那说明 b、 d 这个长呢，它就是等于根号五的，因为前面有个 a 了啊， b， d 是 根号五的，有这个数据，我们求 a 的 值，这里面还隐藏了一个信息，面积和底都是 a 的 情况下，我们知道这个高能在这里做高的话，由于面积是 a， 然后 bc 这个底是 a， 所以 通过这两个信息得到 d， e 是 等于面积的二倍除以底的底 bc 的， 那就等于二，所以这个长是二，这是个非常隐蔽的信息， 有这个二的话，这个 b、 d 是 根号五，那 b、 e 是 等于一的勾股定可以求出来。那在这个最后这个 r、 t 三角形 d、 e、 c 中，我们可以列出勾股定的方程，也就是一个直角边是二，另一个直角边呢？是 b c， b、 c 正好是 a 减一，它是 a 减一的平方，等于最后 a 的 平方 啊。这个我们把方程解出来就可以了，也就是四加上 a 方减去二， a 加一等于 a 方，发现 a 方抵消了，对吧？ a 方抵消之后呢，得到的就是二， a 等于五，所以 a 等于二分之五。这题目就选 c 了，非常经典的一个题目啊，大家可以认真自己总结一下。
52乐其数学
07:31查看AI文稿AI文稿这个视频我们讲解一下，八年级下车进门考五步。首先第一个下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的，那么在这里呢，应该选 a、 b 选项呢？那么它是轴对称图形。 c 选项呢，它是中心对称图形。大选项呢，也是中心对称图形，只有 a 选项既是轴对称，又是中心对称。接着第二题，如图，将三角形 abc 绕点 a 旋转四十度，那么我们就可以得到他的旋转角 b a 大， 那么他呢，就要等于四十度， 然后点 b 呢的对应点点大恰好落在 b、 c 上，现在呢，要去求角 b， 这时候根据旋转，我们可以得到旋转前后对应边和对应角是相等的，那么 ab 和 a 大 呢，就要相等，所以三角形 ab 大 就是一个等幺三角形，顶角是四十度，那么底角呢，就等于一百八减四十除以二就是七十度， 所以在这里应该选大。第三题，如图，已知 a、 b 两点的坐标分别是 a 点坐标是负三斗一， b 点的坐标是负一斗三， 将线段 a、 b 平移，得到线段 c 大， 若点 a 对 应的点 c 是 一斗二，这时候呢，我们就发现，那么点 a 到点 c， 首先第一个横坐标从负三变到了一，那么说明向上平移了两个单位， 那么这时候点 b 平移到点大，也应该是同样的，那所以说横坐标负一加四就等于三重坐标三加一就得四，所以平移以后，那么点 b 对 应的点大，他的坐标就应该是三逗号四选 c。 第四题，如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点 b 到点 c 的 方向平移，得到我们的三角形搭一 f 的 位置，并且呢告诉了你， ab 的 长度是等于十二的，搭 o 的 长度是四，那么平移的距离呢，是等于六， 那么平移的距离等于六，也就可以得到我们的这一个 b、 e 的 长度呢，那么也就等于六。现在要去求阴影部分的面积，首先呢，我们可以得到平移以后两个三角形 a， b， c 和三角形搭 e、 f 全等，说明他们两个的面积也要相等， 那么我们假设这个梯形是圈圈一，这个三角形是圈圈二，这个图形呢，那么是圈圈三，这时候呢，我们就可以得到圈圈一加圈圈二的面积呢，就等于圈圈二的面积，加上圈圈三的面积，那也就可以得到圈圈一的面积等于我们的这一个圈圈 三的面积，那也就说明这一个 s 阴影部分的面积，那么它也就等于我们的这一个梯形 a、 b， e、 o 的 面积，而梯形的面积呢，是等于上底加下底的和乘高除以二 上底，那么是 o、 e， 那 么这时候呢，我们可以得到 a、 b 和大 e 相等，都是十二，十二减四，那么 o， e 呢就等于八，所以上底八加下底十二的和乘以高六，再乘以二分之一，所以这时候呢，我们就可以算出它的结果， 二十乘以六就等于一百二，再乘二分之一，也就等于六十，所以在这里应该选 a。 接着下面第五题，如图， e 为正方形， abc 大 了一点，那么角 c， e， b 那 么是一个直角九十度， c， e 呢要等于三， c， b 呢要等于五。根据勾股定律，我们可以得到 b， e 的 长度呢，就等于四，现在呢，要去求三角形搭一 h， 那 么它的这一个面积，那么这时候呢，要去求它的面积，首先第一个呢，我们就要分别去找到它的这个底和高， 首先我们在这里呢可以得到，那么图中呢，是将三角形 c、 b、 e 绕点 e 顺时针方向旋转九十度得到的三角形 c 搭 f， 那 也就说明 b、 e 的 长度和搭 f 的 长度呢，他们两个是相等的，那这时候就可以得到搭 f 的 长度也等于四。 那这时候旋转的九十度，我们可以得到这个角 e、 c、 f 是 九十度， c， e 呢，和 c、 f 是 相等的，也等于九十度， 那这时候呢，角 c、 e、 h 也等于九十度。所以这时候我们就可以得到 c、 e、 h、 f 呢，它应该是一个正方形， c、 e 是 等于三的，那么 h、 f 呢，也叫等于三， e、 h 呢，也叫等于三。而大 h 呢，就等于大 f 减去 h， f 也就等于一，所以那么这个三角形的面积就是二分之一，乘一，再乘以三，算出来就等于二分之三。选 a。 第六题，已知点 p 一 和 pr 呢？关于圆点对称，关于圆点对称呢，说明横中坐标也就是 x、 y 都要互为相反数， 所以这时候呢，我们就可以得到这个 a 减一呢，那么它就要等于负二。第二个呢， b 减一呢，就要等于负一， a 减一等于负二，那么说明 a 呢，就要等于负一， b 减一等于负一，那么说明 b 呢，就要等于零。所以这时候 a 加 b， 也就是负一加零的二零二五次方，也就是负一的二零二五次方，就等于负一。第七题，如图，平面直角坐标系中线段 ab， 那 么他们的坐标呢，分别是负五到零和 零的负三。若将线段 ab 平移至线段 a 一 b 一， a 点对应的点呢，是 a 一， a 一 的坐标呢，现在是负三，逗号 m， b 一 的坐标呢，是 n， 逗号一。那么根据 a 点，我们可以和 a 点的横坐标是负五， a 一 的横坐标是负三，我们可以得到 a 点呢，实际上是往我们的右平移了两个单位，说明 b 点呢，也要往右平移两个单位。 b 点呢，现在横坐标是零，往右平移两个单位，那么 b 一 的横坐标就应该是 二，也就说明 n 点 n 呢就要等于二。然后这时候呢，根据 b 点，重坐标是负三， b 的 重坐标是一，说明他向上平移了四个单位，那说明 a 点也要往上平移四个单位，所以平移四个单位之后， a 一 的重坐标也就是 m 呢，就等于四， 那所以这时候我们就可以得到了， m 是 四， n 是 二， m n 呢就是四，乘以二就等于八。接着下面第八题，如图，在 r、 t 三角形 abc 中，然后这一个角 a、 c、 b 呢是九十度，角， a 呢是三十度， 那我们可以得到三十度，所对的直角边等于斜边的一半， bc 是 二，那么 ab 呢，就要等于四。根据含有三十度的直角三角形三边的这个关系呢，我们可以得到。那么三边的关系呢，是一比二，比根号三，所以 ac 呢，就等于二倍根号三。 然后这时候呢，要去求 a 大 的这一个长度，那么这时候呢，我们就可以得到。那么这时候是将这个三角形 a、 b、 c 绕点 c 旋转的，得到三角形搭 e、 c， 并且呢要当点大，恰好落在射线 ab 上的时候， 那换句话说呢，这时候我们就可以得到这个角 a、 b、 c， 它呢是六十度，并且呢，此时我们的这一个角 c、 b 大， 它呢就要等于一百二十度。 而因为我们的 a、 c 转过去之后呢，就是我们的这个 c 大， 所以 a c 和 c 大， 他们两个的长度呢，是相等的。 根据我们的等边对等角，所以角 a 是 三十度，那么这个角 c 搭 b 也就等于三十度，那么角 c 搭 b 是 三十度，那么我们也就可以得到这个角 bc 大 等于三十度，那么我们就可以通过 等角对等边， b c 和 b 大 相等， b c 是 二，那么 b 大 呢，也就等于二， a， b 是 四，二加四， a 大 的长呢就等于六。关注我，学习更多数学知识！
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01:02查看AI文稿AI文稿大家来一同看一下这个最值分析的问题，这个最值呢，利用的有平行四边形，对角线相等， 那对角线的交点 o 呢？肯定是平分了 o， f， e f 和 cd 的 cd 的 中点，那求 e f 的 最小值。我们知道 e f 是 等于二倍的 e o 的， 那求 e o 的 最小值就行了。 o 点是 cd 中点，它是个固定点。 e 点呢？在直线，在线段 ab 上运动， 那 o e 的 最小值呢？其实就是 o 到 ab 的 距离，垂线段的长，也就是当 o 点垂直于 ab 时， 这个是最小值。那这个最小值呢？其实是两个平行线之间的距离，我们可以放到一个顶点处分析，也就是求 c m 的 长， 这是最小值。再看数据，角 a 一 百二，所以角 b 呢，是六十度，那这里呢，是三十度，知道 b， c 是 四，所以根据直角三角形中三十度角所对的直角面是斜边的一半，得到 b m 到二。 根据勾股定律可以求出 m c 等于二倍根号三。大家注意，我们这个答案选的是 ef 的 长度最小值，那就是四倍根号三。
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05:46查看AI文稿AI文稿高分数吗？跟我一起做期中复习题， 八年级数学下册的小册五十三页纸上的，我们看到其中的第一道题，选择题。下列图形是中心对称图形的，这个是轴对称，三条对称轴，这一条对称轴，这五条对称轴，只轴不中，只轴不中，只轴不中， 对吧？这是旋转对称，所以你看一、二、三、四、五六个分之六个分叉，所以这个呢是轴对称，它其实也是中心对称 啊，所以他那个绕着中心旋转，所以第一个呢选择 b， 这是容易的，我们看到第二个，足球的表面有十二个正五边形 和二十个正六边形组成的，如图，将足球上的一个正五边形和相邻的一个正六边形的，可以把它展开放平放一个平面上，那么这样的角 a、 b、 c 的 度数，那我们说正五边形的每个角是一百零八度， 这六边形的每个角是一百二十度，这些啊，我们平时总结的我们要记住，所以这个角 a、 b、 c， 那 我们可以用过这点的周角减去一百零八度，减去一百二十度， 好，那他就等于，对吧，这个三百六十度减去一百二十八，一百二十八，哎，这一节二哎六介于为五加三一百三十二度。好，那么这样呢？第二题我们就选择的是 c 啊，把这有的东西我们平时讲的结论呢，我们最好把它背下来啊，考试就来的快一点，不然的话，你再根据你看那个正多边形的每个角 n 减二乘以一百八十度， 除以 n 对 六边形的六分之六加二乘一百八十度等于一百二十度，五分之五加二乘一百八十度等于一百零八度，你要慢慢来算，那就没有数的时间了。 第三题， m 大 而言的下列不等式不一定成立的。我们看到这个 m 是 大而言的，两面乘以负一，那变成小符号。对，两面都乘以二分的正数大符号。对，两面都减去三，根据不等式基本性质之一，对，根据不等式基本性质之二，不等式基本性质之一， 对吧？这三都对，那么但这个 a 就 不一定是对的。好，但是 a 不是 一定是对的。我们可以举一个反例来说明。 什么反例呢？你比如说 m 等于二， m 等于负三，对吧？二是大于负三的，但是呢，二的二零二六次方和负三的二零二六次方横形是小于，因为这是奇数次方，对吧？ 所以这个呢？呃，不一定是成立的。我们看到第四题第四题的图形，在这我们先看的文字啊，他说在三的 a、 b、 c、 d 中， 角 b 等于七十度，角 c 等于五十五度，角 b 等于七十度，角 c 等于五十五度。耶，七五，一百二十五度，那这角 a、 a 也是五十五度， 哎，角 a、 a 也是五十五度啊。你看五十五加五十五，一百一十七，一百八十度。好，接着看 e、 f 分 别在 a、 b、 a、 c 上沿着 e、 f 向内折叠三点 a， e、 f 得到三点 d、 e、 f， 则角一加角二的度数是多少？ 角一加角的度数啊，我们不同人有不同的做法，比如说角一加角二，我们可以等什么呢？你看这一百八十度，这三一百八十度，我们可以等两个一百八十度 减去，对吧？这合计一百八，合计一百，减去这两个角，减去这两个角，所以这五十五，这两个加起来就是一百二十五，所以一百二十五乘以二，那就等于三百六十度，减去二百五十度 等于一百一十度。有的人说，老师你这麻烦，但是每个同学用的方法，如果说你要是把 a、 d 连接起来了啊，你这样想就更简单的了，您说这个角一加加的什么呢？角一啊，等于这两角的和，角二呢，等于这两角的和， 对吧？这两个角和就五十五度，这两也是五十五度，所以也就是角一加加二，就是那个五十五度乘以二等于一百一十度。哎呀，这样来的就更简编了 啊，不管是哪种方法，平时多探索一点，总结好的方法，考试的时候咱们就用简单的方法来快一点。那所以平时要多练习，比如说，比如用我这黑笔字写的这个方法就好多了，所以这题答案我们就选择 d 好， d。 五题数值上表示某个不等式组的解集，则该不等式组可能是， 哎呀，他可能是，您看，这里是 x 小 于 r， 你 看，这里是 x 大 于 r， 这个是 x 小 于 r 大 于 x 吧。这有可能啊， 我们看呢， r 小 于 x， x 小 于 r， 也可能啊，这个，这个是肯定不行的，这是肯定不行的。好，这两个我们再来看看，这个， x 大 于等于负一， x 大 于等于负一。呦，这 c 是 新的不？这 x 小 于等于负一。呃，这个不行，这不行。所以，那么这一题啊，第五题我们就选择 c。 第五题选择 c。 好，我们看到第六题，在三角形中，角 a 等于九十度， a， c 等于三， b， c 等于五。看清楚 a， c 等于三， b， c 等于五的话，那 ab 就 等于四啊。 现在角 a b c 角 a c b 的 平行线加入 d f， 那 就是这两个角相等，这两个角相等。 由于这里平行两这个内角将这两个角相呢？所以平行这个角等于它，所以因此 d f 等于 d b e f 等于 e c e， 因此 d e 的 长度就是 b d 加 c e 题目问 a d 的 周长就是 a d a d 加 d f， 对 吧？就是 ab a e 加 e f 就是 a c e， 所以 三加四选择 c e， 它就等于七。记得点赞关注哦。
02:07查看AI文稿AI文稿我们再来看一道比较复杂的关于函数与几何图形相结合的题目啊，这个题目呢，这个是中考原体，也是考的难度相对来说啊，比较大的一个题目。 首先我们观察它是一个动点 p， 从顶点 b 出发，沿 bca 这么一个运动啊，到点 a 停止。图二呢，是 p 运动过程中，它的 bp 的 长度是 y， 注意它的 y 表示的 bp 随时间 x 之间的变化。图像最低点啊， m 是 最低点，然后求三角形 a， b， c 的 面积。 这个时候给大家一个建议，我们发现图二的这个函数图像呢，并不是特征的函数啊，有特征的函数，比如说像咱们后边会学习到的一次函数，二次函数或者反比函数，其实不重要，那我们需要把这个图二呢，给它转化成一些关键数据的提取 啊，就是我们有图了，我们把它的表格给编出来， x y， 我 们发现当 x 等于某一个数的时候，某一个数的时候，就是一个拐点的时候。好到一个拐点的时候，它有一个值是五，到有一个 m 点， m 点这个是最低点的时候啊，它是四，然后最后又到了某一个点的时候，它又是 为啥给大家写这个东西呢？我们观察这两个点，就是我一直刚才说的这个拐点啊，在这个地方他拐了或者结束了，我们看 p 从 b 往 c 运动，没有进行任何的拐弯，是吧？到 c 点的时候拐了一次，所以这个时候也就是他运动到 c 点的时候，他对的 b， p 呢，是五， 当到 m 点的时候呢，他的最小值，这个地方啊，最小值意味着 b 运动到过和 ac 的 距离最小，那就是垂直的位置， 这个位置等于六 m 吧，然后最后又到 a 点的时候，其实结束了，他又是五啊，那我们看一下啊，也就是 bc 他 就是五，也就是 b， a 他 也是五，那 b， m 他 是四，这三个信息， 那这就清晰了。三角形 a、 b， c 的 面积，我们根据这个几何数据，那就是三，他也是三个物理定律。所以 ac 呢，就等于六， b， m 呢，是等于四，底和高都有了相乘，除以二就是三角形面积是十二。 整个题目呢，最关键的啊，大家要识别出这个拐弯的点和这个终点，以及这是终点啊，以及最低点，这个 m 它所代表的图中的实际位置。找到这些数据，题目就解结束了。
30乐其数学
14:48查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天晚上我们所学习的内容是八年级下册专题，勾股定律与折叠和线段计算。那这一部分过程中主要涉及到的就是在折叠问题中勾股定律的应用。那首先我们来看第一道题目， 题目中讲到的是说，如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 a、 c 为六， bc 为八。现在将三角形 a、 b、 c 进行折叠，使得点 b 与点 a 重合，那由折叠我们可以得到图中三角形 a、 e、 d 就 全等于三角形 b、 e， 我们就可以得到对应边相等，对应角相等，也就是所以我们可以得到 a、 d 等于 b、 d。 接下来他想让你去求 a、 d 的 值，那么设 a、 d 为 x， 那 因此我们就可以得到，所以我们的 c、 d 就 等于 bc 减去 b、 d， 也就是八减 x， 那 在这里大家就清楚。我们接着在二 t 三角形 a、 c、 d 中，由勾股定律可知， a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方，就等于 a、 d 的 平方 a、 c 六的平方 c、 d 八减 x 差的平方 a、 d， 也就是 x 平方，所以我们就能得到关于 x 的 一个方程，解得这个方程，我们就能求出 a、 d 的 值。下面题目中给出的是在等腰直角三角形 a、 b、 c 中，那我们不仅能得到角 c 是 直角，我们还能得到 a、 c 等于 bc， 角 c 等于九十度 d 点啊 d 点是 bc 的 中点。将三角形 a、 b、 c 进行折叠，使得点 a 和点 d 重合，那么就能够得到我们的三角形 a、 e、 f 和三角形 全等于三角形 d、 e、 f。 接着题目中告诉你 a、 c 为八， 那我们等腰直角三角形 bc 也是八， ab， 那 就是八位的根号二。 d 点是中点，所以我们的 b、 d 等于 c， d 等于四，那接下来要想去求 d、 f 的 长，我们可以过点 d 做 ab 的 垂线，垂足为点 h， 那因为三角形 a、 b、 c 是 等腰直角三角形，所以角 b 等于四十五度，因此我们也能得到我们的三角形 d、 h、 e 为等腰直角三角形。 既然它为等腰直角三角形，且 b、 d 等于四， 因此我们就可以得到我们的 d、 h 等于 b h 就 等于二倍的根号二。那 d h 等于 b h 等于二倍的根号二，那我们的 d、 f 是 不在直角三角形 d、 f、 h 中，对吧？接着 我们由勾股定律可知， d、 f 的 平方是不是就等于 d、 h 的 平方，加上 f、 h 的 平方，我们令 d f 为 x， 那 它就是 x 平方。 d f 是 x， 那 我们的 a、 f 是 不是也是 x？ 那 所以 f、 h 是 不就等于 ab 减去我们的 a、 f， 再减去我们的 b h a、 b 八倍的根号二。 a、 f， 那 就是 d f 就是 x b、 h 我 们刚刚求出来是二倍的根号二，所以我们就等得到的是六倍的根号二减 x， 这是我们 d、 h 的 长。 接着 f h 啊，这里 d、 h， 我 们刚讲到它是二倍的根号二，我们刚 f h 是 我们的，这里六倍的根号二。减 x， 那 是我二倍的根号二。 所以大家就能发现，我们得到一个关于 x 的 方程，解方程就能求出来 d、 h 的 差。 好，第二个，这个讲到的是说如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度啊，又出现了直角 a、 c 等于四， bc 等于根号二，那在二 t 三角形 b、 c、 i 中，由勾股定律可知，我们的 b、 i 是 不是就等于根号下四的平方加上根号二的平方四的平方十六，二的平方二十八，那十八就是三倍的根号二。 求出 a、 b 的 长之后，接下来题目中又告诉你，他说，嗯，点 d 在 我们的 a、 b 上将三角形 a、 c、 d 沿着 c、 d 进行折叠，使得点 a 落在点 a 一 上，那因此我们是不是得到三角形 a、 c、 d 是 不全等于三角形 a、 c、 d？ 可以 吧，由全等我们是不是得到对应角相等，那就是我们的角 a 等于角 a 一。 因此经过这我们又能够发现，我们题目中是不是又告诉你， a、 e、 d 平行于 bc， 由平行线我们是不可以得到角 a、 e、 d、 b 是 不等于角 b？ 那 角 a、 e。 角 a 加上角 b 等于九十度，那是不说明角 a 一 加上角 a 一， d、 b 也等于九十度。因此我们就可以发现我们的这个角是不是直角，那这个角是个直角啊， 我们就能求出 c、 e 的 长，对吧来。三角形 a、 b、 c 我 们可以看作以 b、 c 为底，乘上 a、 c 乘二分之一，我们是不是也可以看作以 a、 b 为底 啊，对吧？乘上我们的 c、 e 再乘二分之一，因此我们的 c、 e 是 不是就等于 bc 乘 ac 除以 ab bc， 我 们讲到根号二 ac 四， 而我们的 a、 b 是 不是三倍的根号，所以最终结果就是三分之四。可能有同学会说，老师你为什么要去求 c、 e？ 那 大家知道 c、 e 求出来 a、 e 是 不就知道了， 对吧？我们的 a、 e、 e 是 不是就等于我们的 a、 e、 c 减去我们的 c、 e， 而 a、 e、 c 是 不等于我们的 a、 c 减去 c、 e， a、 c 是 减四，减去三分之四，所以大家一定能够知道，就是三分之八。 a、 e、 e 的 长度我们是不是也揪出来了？ 还有最后一道题目，它稍微有一点难度啊，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a、 c、 b， a、 b、 c 啊，等于我们的角 b、 c、 d 啊，直角，对吧？等于九十度，且 dc 等于我们的， 你看又是六十， dc 等于我们的 a、 c， 从这里有一个角是六十度的等腰三角形，我们是否可以判定出来三角形 d、 a、 c 为等边三角形， 那等边三角形的特点就不用我多说，边相等，角相等。题目中又讲到的是啊， a、 b 等于二， a、 b 等于二， 那大家知道我们刚刚在前面的时候是不提到了三角形 a、 c、 d 是 一个等于哦，等边三角形，所以我们的角 a、 c、 d 这个角是不是六十度，这个角是六十？又因为我们角 b、 c、 d 是 九十，所以大家就能知道我们是不是得的 角 d， c、 a 等于六十度，那因此角 a、 c、 b 是 不等于三十度？三十度锁定的直角边等于 斜边的一半，所以 ab 等于四，我们就可以得到 ac 啊。 ab 等于二，二的二位是四，那 bc 我 们得到的就是二位的刚好三，对吧？那既然我们得到的我们的 ac 等于四，那所以 bc， dc 和 ad 是 不都等于四？接下来他想让你去求 ef 的 长 ef 啊，看一下 ef 所在的位置，那么这里我们可以 求出来。你看 ef 由图中目前我们所有的。我们是不是首先发现在二 t 三角形我们的 bcf 中， bf 的 平方加上 cf 的 平方， 对吧？而 b f 你 不要忘记折叠折叠 b f， 它是不是其实又等于我们 d f， 那 大家就知道，对吧？我们此时 d f 和 c f 它俩相加之和，是不等于 c d， 也就是四 对不对？那所以我们可以令 c f 等于 x， 那 d f 是 不就是四减 x cb 刚刚求出来是二倍的根号三的平方，再加上 c f 的 平方 x 平方来解的 十六减去八 x 加上 x 平方，就等于十二加上 x 平方，所以负八 x 等于负四，那 x 就 等于二分之一， x 等于二分之一，所以 df 此时是不就等于我们的 b f 是 就等于四减二分之一，那就等于二分之几？ 继续啊，那么在这里求出来它之后，我们不难发现，题目中是不是还有一个，我们的角 d 等于六十度，我们是不可以投掉推得角 d a b 等于一百二，那 d 二 b 等于一百二，如果我延长我的 c a 过点 b 做我们 d a 的 垂线 垂足微点 h， 那 大家一定知道我想要干什么，对吧？那我们是不就可以求出来， 在二的三角形 b a b h 中，我们的角 h a b 是 不等于六十度，那意味着我们所以角 a b h 是 不等于二，所以我们可以得到 a h 是 不等于一， 我们的 b h e， 大家不要忘记，对吧？那是不就是我们的根号三 b h 等于根号三，那接着在 二 t 三角形 b e h 中，我们是不可以得到 b e 的 平方，是不就等于 b h 的 平方加上 e h 的 平方由折叠，不要忘记 b e 是 不等于 d e b h， 那 题目中我们刚已经求出来它是根号三啊，等于 再加上 e h 的 平方，你看 d e 和 e h 这里面差的是不是一个 a e 零 a e 等于 y， 那 d e 是 不是就是 a d 减 a e 可以吧？就等于根号三的平方加上 e h 是 不是 a e 加上 a h 可以 吧？那 a d 那 就是四减 y x 的 平方就等于三加上 y 加一和的平方。还行吧，那我把上一道题的过程暂时也给它擦了哈。 那我们顺着这个思路继续往下做，我们就可以得到十六减去八 y 加上 y 方就等于三加上 y 方加上二， y 加一 来二， y 挪到那面负十， y 就 等于三加一四，四减十六，那是不是等于负十二？所以 y 等于五分之六， 那 y 等于五分之六，我们是不可以求出来 d e 的 长度，所以此时 d e 那 是不就等于四减五分之六等于五分之十四？ 还行吧，你看大家就应该知道我想干什么了。我都求出来 d e 的 长了，过点 e 做 d e 的 垂线，垂足为点 m 角 d 是 不等于六十度， 对吧？ d e 的 长度我们得到的是五分之十四，那所以在二 t 三角形 e dm 中，角 d 等于六十度，那所以我们的 dm 是 不等于二分之一的 d e 是 不等于五分之七，那我们的 em 是不就等于五分之七倍的根号三 em 求出来了。所以我要想去求 ef 的 长，那么是不在二 t 三角形 e m f 中 ef 它的平方是不就等于 em 的 平方，再加上 m f 的 平方， 那 em 刚我们求出来是不是五分之七倍的根号三，那就等于二十五分之四十九乘三来 m f 啊。 m f m f 它是不等于 dc 减 dm 减去 c f， dc 是 四 dm， 我 们刚求出来 五分之七， c f 我 们求出来是二分之一，那就是等于五分之十三， 减去二分之一，十分之二十六，减去十分之五，那是十分之二十一， 可以吧？那它的平方就等于十分之二十一，它的平方。 所以通过计算我们就可以求出 e f 的 长度。那 e f 的 长度解出来了，这一道题是不就解决了啊？这个里面最后一道题是相对来说比较难的， 还希望答案能够理解，如果不理理解的情况下啊，把答案拿出来再看一看。那么今天就分享到这里了，拜拜。
29数学魔法屋
12:51查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是八年级下册专题，勾股定律与全等三角形的第二个模型，三垂直和一线三等角。 对于全等的证明啊，这一部分的话大家并不陌生，我们还是比较好做的，对吧？但是如果涉及到勾股定律，它又该如何去考你呢？我们一起来看一看。 这类型题目的方法主要围绕的是就是构造三垂直行，然后全等之后我们得到对应边相等，对应角相等，再去利用勾股定律。那么首先来看一下第一道题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于 a、 b， 你 看关键出现了角 a、 c、 b 这个角又是一个直角 角 a、 d、 c， 你 看这个角也是直角，所以大家就应该知道我们要延长 c、 d， 对 吧？ 过点 b 做 c、 d 的 垂线，垂足为点 e， 那 这样的话我们是不是就比较好证明出来三角形 a、 c、 d 是 不全等于三角形 c、 b、 e。 大家来看看，首先 a、 c 是 不是等于我们的 bc， 对吧？然后有两个角是直角对不对？那除此之外，我们还能发现，你看这个角角 bce 加上角 a、 c、 d 是 不等于九十度？而 bce 加上我们的角， cbe 是 不也等于九十度？所以同角的与角相等，我们就可以得到这个角相等。 接下来咱再用角角边就能够证明出来这两三角形全等了。那根据这两个三角形全等，我们就能够得到来对应边相等，对应角相等，所以 b、 e 等于 c、 d 等于二。而我们的 c、 e 呢， 就等于我们的 a、 d 等于四。那所以 d、 e 是 不是就等于 c、 e 减去 c、 d 等于四，减二等于二，所以那我们在二 t 三角形我们的 b、 d、 e 中， 由勾股定律，我们的 b、 d 斜边是不是就等于根号下 b、 e 的 平方加上 d、 e 的 平方，那么就等于根号下二的平方加上二的平方，所以是二倍的根号二。那这一道题我们是不是就解决了？关键就在于我们讲到的是一线三垂直，对吧？第二个，在四边形 a、 b、 c、 d 中角 abc 等于九十度， a、 b 等于三， bc 等于四啊，那我们的 a、 c 有 勾股定律是不可以得到等于五， cd 也等于五啊，且我们的 d、 i 等于五倍的根号二。这道题虽然没有直接的告诉你垂直，但是大家可以看到有勾股定律，我们可以得到，在二 t 三角形 a、 b、 c 中，由勾股定律可知， a、 c， 那 就等于根号下 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方， a 的 根号下三的平方加上四的平方是不等于五， 对吧？那我们可以发现五的平方加上五的平方是不等于五倍的根号二的平方， 所以我们就得到了 a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方，是不是就等于 a、 d 的 平方？那么由勾股定律的逆定律可知，所以我们的 三角形 a、 c、 d 是 不是一个直角三角形，那我们就得到了角 a、 c、 d 等于九十度，那这个角也是直角。除此之外的话，大家还能知道 a、 c 和 d、 c 五五是不是相等，所以一线三直角过点 d 做 bc 的 垂线， 垂足为点 e， 那 e 正三角形 a、 b、 c 就 全等于三角形 c、 e、 d， 所以 有三角形全等我们得到对应边相等，我们可以得到 c、 e 等于 ab 等于三， 那我们的 d、 e 等于 bc 等于四，所以在二 t 三角形 b、 d、 e 中有勾股定律，你可以知道我们的 b、 d， 那 就等于根号下我们 b、 e 的 平方，再加上我们 d、 e 的 平方。 而图中观察可以发现， b、 e 是 不是 bc 加 c、 e， 那 就是四加三的平方，再加上 d、 e， 那 就是四的平方。所以等根号下四十九加十六，根号六十五， 能接受吧？接下来第三个，如图，四边形 a、 b、 c、 d 中，我们的角 a、 d、 c 啊，这个角是个直角， 我们的角 a、 c 啊， a、 c 又垂直 bc 这个角是直角，所以大家就知道了啊，延长，而且你看还是不还告诉你我们的角 abc 啊，这个角等于四十五度，这个角是四十五度，那三角形 abc 是 一个等腰直角三角形，所以 a、 c 是 不等于 bc， 对 吧？所以我们就是延长 c、 d 过点 b 做它的垂线，垂轴为点 f， 对 吧？ a、 c 垂直于 bc 角 a、 b、 c 等于四十五度，那所以我们的 a、 c 就 等于 b、 e， 那 e 正三角形 a、 d、 c 就 全等于三角形 a、 d、 c， 那 就是 c、 f、 b 上面这个字母写错了哈，不是等于 b、 e， 哈，是等于 bc。 好，那这两个三角形全等，我们是不是就得到对应边相等，对应角相等，那我们的 b、 f 就 等于我们的 cd 等于二，对吧？那 ab 等于二倍的根号十，它是不就等于我们 ab 除以根号二，也就是二倍的根号五，它等于二倍的根号五，我们是不是就能得到 在二 t 三角形 a、 c、 d 中，我们的 a、 d， 那 是不就等于根号下 a、 c 的 平方减去 c、 d 的 平方，也就是二倍的根号，五的平方减去二的平方， 二倍的根号，五的平方二十减去四十六、八十五就等于四，那所以由它等于四，我们也能得到我们的 c、 f 就 等于我们的 a、 d 等于四， 那 d、 f 是 不是就等于 c、 d 加上我们的 c、 f 等于六，那既然它是六啊，我们观察就可以发现，这个时候我们让你去求三角形 a、 b、 d 的 面积， a、 b、 d 的 面积，那我们可以过点 b 做 a、 d 的 垂线垂足，假如 v 点 h， 大家此时不难发现，我们此时 b、 h、 d、 f 这个四边形是不是一个 矩形，那所以三角形 a、 b、 d 的 面积，它就等于我们的 a、 d 乘上我们的 b、 h 乘二分之一，那就等于 a、 d 乘上我们的 d、 f 再乘二分之一， a、 d 是 四， d、 f 是 六，再乘二分之一，所以这个结果我们就是十二。好吧，好，下面这道题中讲到，在三角形 abc 中角 abc 这个角是直角啊， ab 等于 bc， 你 看，关键一出，大家就知道做垂线， 做垂线，这是 e， 这是 f。 我 们异正三角形 a、 b、 e 是 不全等于三角形 a、 b、 e、 b、 c、 f， 那 所以 我们的 b、 f 就 等于 a、 e、 a、 e 是 不是 l 二和 l 三之间的距离，那就是三， 那我们的 b、 e 就 等于 c、 f， 那 c、 f 是 不是 l 一 和 l 二之间的距离，再加上 l 二和 l 三之间的距离，那就是二加三等于五。所以题目中让你去求 a、 c 的 长， 对吧？那 a、 c 的 长我们可以借助在二 t 三角形 a、 b、 e 中有个固定，你可知 a、 b 那 是不等于根号下 a、 e 的 平方，再加上 b、 e 的 平方 a、 e 我 们刚刚求出来是 三的 b、 e， 我 们求出来的是五，三的平方是九，五的平方是二十五，那就是根号三十四，那 ab 是 根号三十四，那在二 t 三角形 a、 b、 c 中有勾勾定力可知， a、 c 是 不是就等于根号下 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方？前面求出来 a、 b 是 根号三十四，那么是不是得到三十四，加上三十四等于根号六十八， 那根号六十八，如果同时除以四，那就是十七，那就我们得到的是二倍的根号十七，还算简单，对吧？那最后这一个提到的是在等腰三角形 abc 中 ab 等于 ac 等于五啊， 将 a、 b 绕点 b 顺时针旋转啊，且垂直，那这个角是直角，且 a、 b 等于 b、 d， 如果三角形 b、 c、 d 的 面积等于九，那让求 c、 d 的 长，我相信大家能够观察出来，既然是等腰三角形，那么是不是可以过点 a 做 bc 的 垂线垂直为点 e， 那 这个 e 点 e 出来大家就知道了。哎，我同样还是构造一线三等角， 对吧？我们从这我们就能够得到 a 三角形 a、 b、 e 是 不全等于三角形 a、 b、 e， 那 就是 b、 d、 f， 对 吧？那所以我们可以得到 b、 e 等于 d、 f， 且等于二分之一的 bc 是 不是？那 a、 e 是 不就等于 b、 f， 那我们接下来只知道我们的 a、 c 的 长是五，那面积 abc 啊， b、 c、 d 的 面积是九，所以我们是不是可以令 bc 等于 x， bc 等于 x， 那 d、 f 是 不是等于二分之一 x？ 所以三角形 b、 c、 d 的 面积是不就是 b、 c 乘上 d， f 乘二分之一，那就等于 x 乘上二分之一， x 再乘二分之一等于九，那 x 是 不就等于六？ x 等于六，那所以来让求 c d 的 乘号在 r t 三角形 c d f 中， 由勾股定律可知， c d 是 不是就等于根号下我们的 c f 的 平方加上我们 d f 的 平方 c f 那 是不等于我们的 cb 加 b f cb 我 们刚刚求出来是几六啊？那我们就等于六加，你看还差一点，对吧？那我们在这里还要再用一次直角三角形 a c e 中 有勾股定律可知， a e， 那 是不是就等于根号下 a c 的 平方减去 c e 的 平方 a c 题目中告诉你，是五的平方 c e， 我 们六的一半是三，所以它是不等于四，那 a e 等于四，那所以它是不等于 b f b f 也等于四， 那 c f 就 等于六加四的和，再加上 df 刚求出来是三， 所以等于一百零九的算数平方根。我们这个一线三等角，我觉得总体还是比较好做的哈，希望大家能够理解。那我们今天这节课就分享到这里了，拜拜。
26数学魔法屋
01:10查看AI文稿AI文稿正方形中非常经典的一个结合中位线分析的题目，难度比较大，但是如果你掌握模型，掌握套路的话，也是了解的。 正方形边上二倍根号 e、 f 分 别是中点， g， h 也是中点，中点比较多，我们肯定联想到中位线，求 g， h 的 话，我们先去构造 g， h 是 哪个三角形中的中位线，因为 g 呢是 e c 中点，我们可以连接 c， h 并延长它与正方形的 a、 d 边呢？加入交点 m， 根据题干的信息，我们可以得到 f 是 终点，那这两个地方都是根号二，平行加 h 是 终点，我们可以很容易找出这两个三分之全等，也就是 m， d， h 和 c， f， h 全等， md 呢，也是根号二，那同时还能得到 h 呢是 c， m 终点，那 g， h 就 推导出来了， g 呢是 e， c 终点， h 呢是 m， c 终点，这两个能帮我们解决的是 g， h 是 平行且等于二分之一的 m， e， 也就是中立线勾造成功了。那根据题干信息呢，这里是根号二和根号二，所以等腰直角三角形 e m 的 这个斜边， e m 的 长，它就是二，那 g， h 等于一半等于一就行了。好，只要利用到中立线这样一个缩尾方式。
603乐其数学
09:53查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，今天给同学们分享的是武汉市光谷实验中学八年级下册数学期中试卷的第二十四题，那也是一道压轴题， 已知如图，一、在平面直角坐标系中，直线 ab 交两坐标轴于点， a， a 零 b 零 b 两点满足根号 a 加四加 b 方减八， b 加十六等于零。那看到这个式子，我们可以想到完全平方公式，所以先将它进行化简， 也就是 b 减四，括号的平方等于零，那根号和平方都是具有非负性的，所以这是一道典型的零加零等于菱形，所以可以求得 a 是 等于负四， b 等于四，那这一点 a 我 们的坐标就知道了。 a 点的坐标是负四零。 那第二问， p 为第二象限的一点 pa 垂直 x 轴于 a， 若 ap 等于一，那 p 点的坐标我们是不是也可以求出来是负四一 在坐标轴上啊？注意，这里有个限定的条件，坐标轴，也就是 x 轴和 y 轴上是否存在点 c， 使得 cp 等于 o c， 也就是让我们去找一个等腰三角形，那我们找等腰三角形给大家总结了一个口诀，就是两元一中垂， 那这里很明显 cp 和 o c 是 腰，那 po 就是 底，所以我们只需要考虑中垂线的这种情况就可以了。那么若存在要去求出点 c 的 坐标，若不存在说明理由，那我们先去把这个 po 的 中垂线画出来， 那此时交于这个纵轴的啊，就是我们的 c 一， 交于横轴的就是 c 二，那为什么 c e p 是 等于 ceo 的 呢？为什么它就在中垂线上呀？因为中垂线有一个重要的性质，就是垂直平分线上的点到线段两岸是距离相等的，所以 c e p 等于 ceo， 那 同理 c 二 p 也是等于 ceo 的。 那此时啊，我们要去证这个什么呀？线段相等，还要去求出这个坐标，那我们可以先设 c 一 至零 m， c 二就是 n 零， 那我们可以用两点间的距离公式去表示它，然后去求出 m n n 的 值。那我们假设啊，分类讨论。第一种情况就是 c e p 等于 c e o， 那 c e p 等于 c e o c e p 的 一个距离就是根号下零减减四，就是四方加 m 减一的平方等于 c e o， 也就是 m， 此时有根号，我们要开方，对不对？所以就是四方加 m 减一的平方等于 m 方，我们可以求得 m 等于二分之十七， 所以 c 一 点的坐标就是零，二分之十七。那么第二种情况就是 c 二 p 等于 c 二 o， 那 此时也是先将距离表示出来， c 二 p 就是 负四减 n 的平方，加上一减零，也就是一的平方等于 n。 那 这里要注意是什么呀？负 n 对 不对？那此时我们依旧是将它进行平方，那也就是四加 n 的 平方，加一方等于 n 方，可以求得 n 是 等于八分之十七，所以 所以 c 二点的坐标就是负八分之十七零。好，那第二问啊，主要就是大家一定要记住怎么去找等腰三角形，那要用到这个口诀，两圆一中垂。 好，接下来我们来看到第三问，第三问是比较有难度的，但是啊，如果我们对这个 g o h 的 啊，这个特殊角比较了解，也是很容易去做出来的。 好，我们先来一起读题，点 d m， n 为第四线向上的一点，过点 d 去做 x 轴和 y 轴的垂线交直线， ab 于 g h 两点斜角 g o h 等于一百三十五度，就是这个角为一百三十五度。那刚才我说的这是一个特殊角，为什么特殊呢？我们这个 g o h 可以 去构造两个等腰三角形， 而且这两个等腰三角形的顶角相加的和是一个直角，你说它特不特殊？那我们来一起要验证一下啊。那首先我们是不是得去找到这样的一个等腰三角形啊？那我们去做 t o 的 中垂线，再去做 o h 的 一个中垂线，它们是相交于点 m 的， 那此时我们连接 m h， 连接 m o， 可以 得到 m h 是 等于 m o 的， 因为中垂线上的点到线段两段距离相等，我们再连接 m g， 那 么 m g 也是等于 m o 的， 所以这里我们就构造了两个什么呀？等腰三角形。那刚才我说了啊，我们此时可以去证得这个角下这个角它是一个什么直角，对不对？ 那我们来一起证明一下。我们假设这里这个角是角一，那这个角就是角二。那角 m o g 为角三角， m o h 为角四，角三加角四，是一百三十五度的 角一加角二等于那角一，可以看作一百八十度，减两个什么呀？底角就是二倍的角三，同理角二也是一百八十度，减二倍的角四，那也就是三百六十度减二倍的角三加角四，那角三加角四，也就是我们的角 g o h 是 一百三十五度的，所以就是三百六十度减 二百七十度，等于九十度，那所以这里 g m h 啊，就是一个直角，那我们看到 a 点啊， a 点是负四零， b 点是零四，所以三角形 o a b 是 一个什么三角形呀？三角形 o a b 为等腰直角三角形，那这里啊，我们会出现非常多的等腰直角三角形， 那由于这里 a o 是 平行 g d 的， 所以这个角是不是也是等于角 b a o 都等于四十五度，所以三角形 h g d 也是等腰直角三角形 h g d 啊，也是等腰直角三角形。那由于 m h 是 等于 m g 的， 又这里是一个直角，所以 m g h 是 不是也是一个等腰直角三角形呀？ m g h， 那 此时啊，这些都是什么呀？等腰直角三角形，那我们可以得到 m h d g 是 一个正方形， 此时 m g 是 垂直 x 轴的，所以这里啊，是不是也是一个直角呀？那我们可以假设啊， m g 垂直 x 轴啊，相交于点 n 点，那在这个三角形 m n o 中啊，我们可以用什么呀？勾股定律，但是我们第一问要去证明的是 h a 方 加 g b 方等于 g h 的 平方，那我们是不是得去转换一下呀？那假设啊， h d 啊，与 x 轴的交点为一点，那么 h a 是 在这个等腰直角三角形 h e a 中啊，那我在写啊，在直角三角形 h e a 中， h a 是 等于根号二倍的 h e h e 是 不是又等于 m n， 所以 它是等于根号二倍的 m n， 那 么在直角三角形，我们依旧去找下一条边，就是 g b， 那 g b 是 在直角三角形 g b， 假设这一点为 f g b f 中， 那 g b 是 等于根号二倍的，什么 g f， 那 g f 是 不是又等于 n o 呀？所以是等于根号二倍的 n o， 那 最后一个就是在直角三角形，就是 g h 的 平方，那 g h 的 平方，它是在直角三角形 m h g 中， g h 等于根号二倍的 m h， 那 m h 又等于 m o， 所以 就等于根号二倍的 m o。 那 此时我们在这样的一个直角三角形 m n o 中，是不是已经找到了 m n n o 和 m o？ 那 此时我们要去求的是什么呀？平方，那所以我们要继续转化， h a 的 平方是等于二倍的 m n 的 平方， gb 的 平方等于二倍的 n o 的 平方， g h 的 平方等于二倍的 m o 的 平方。那此时我们在直角三角形 m n o 中， m n 的 平方加上 n o 的 平方等于 m o 的 平方，那也就是二倍的 m n 的 平方加二倍的 n o 的 平方等于二倍的 m o 的 平方， 此时也就是也就是 h a 方加 g b 的 平方等于 g h 的 平方啊，所以我们就转化成功了。那这一问怎么去转化的？首先是我们要知道这个 g o h 是 一个特殊的一个角，我们可以构造两个等腰三角形，那等腰三角形的顶角之合就是九十度。 再然后我们也看到要证明的是 h a 方加 g b 的 平方等于 g h 的 平方，很明显这是什么呀？勾股定律对不对？那由于这三条边啊，并不是在一个直角三角形里的，所以我们需要将它转换到一个直角三角形里的三边，那此时我们就可以用这个勾股定律啊去证明这样的一个式子。 那接下来我们再来看到这个第三问的这个第二小问，他也是根据我们这个第一小问有关系的，也就是 h a 的 平方加 g b 的 平方等于 g h 方， 那此时 m n 是 在这个地址的，那我们要去转换，我们是不是得把这几条线段啊，能用 m n 来表示啊？那此时 h a， 它是在直角三角形 h， 我 们假设这一点还是 e 点，这一点为 f 点 h a 它是在这个等腰直角三角形 h a e 中的，所以 h a 我 们可以转化为根号二倍的 h e 的 平方加 g b 的 平方，那 g b 又是在这样的一个直角三角形 g b f 之中的，那我们也是可以将它转化成根号二倍的 b f 的 平方 等于 g h， 那 么 g h 是 在等腰直角三角形 g h d 中的，那我们可以转化成根号二倍的 d h 的 平方。那关键是现在这个 h e 怎么去求呢？那 h e 在 这里 h e 是 等于 a e 的， 对不对？那么 a e 我 们知道 a 点 a o 是 四， o e 呢是 m， 所以 它可以是二倍的 h e 方加二倍的 b f 的 平方等于二倍的 d h 方，那二就可以约掉。所以 h e 就 就是加四加 m 的 平方，加 b f 的 平方，那 b f 我 们知道 b o 是 四，那 o f 是 嗯负 n， 所以 是四减 n 的 平方等于 d h， 那 d h 在 这里 h e 我 们已经求出来的是四加 m， 那 d 是 负 n， 所以 就是四加 m 减 n 括号的平方，那我们最终可以求得 m n 等于负八，那这个式子啊，需要大家去化解，然后去削圆，最后 m n 等于负八。那这一道题啊，我们首先在这个第二问考察等腰三角形，那等腰三角形要记住一个口诀，就是两圆一中垂。在我们的第三问 特殊的点在于这个角 gh 是 一百三十五度，那以它这个角为底角，我们可以构造两个等腰三角形，它们的顶角相加和是九十度的，那么让我们去证明这样的啊，我们要把它什么呀？放在直角三角形里，用勾股定律，那这道题啊就讲解到这里。
04:35查看AI文稿AI文稿如何综合联系平移与轴对称来解决最小值问题？八年级数学下册第三张的平移到我们这里的第十二题，以至于图 点 a 的 坐标是零一，点 b 的 坐标是零二， a b 的 长度等于一， a 点的坐标叫做零一， b 点的坐标叫做零二。所以 a、 b、 o， a 等于 ab 都等于一点， p 的 坐标是 x， 零点 q 的 坐标是 x 加一零，这就是说 q 在 p 的 右边， p q 也等于一， ab 也等于一啊，这个 p q， ab 都等于一， 这两点在 y 轴上，这两点在 x 轴上。求 pa 加 q b 的 最小值，以及 pa 加 q b 的 值有最小的时候，点 p 点 q 的 坐标，嗯，点 p 点 q 的 坐标，我们这里就是把 x 给它求出来。 呃，在前面我们多次讲过，求这个两条线段和的最小，我们把两条线段呢变出一条线段出来，你比如这个 pa， 对 吧？这个 pa 呢？当然我们有多种方法，我们可以做这个 pa 一 撇 啊， p a 一 撇，关于 x 轴对称的再做 p 关于 x 对 称的 p a 一 撇，那么这个就是点 a 一 撇的坐标就是零负一， 对吧。那么 p a 等于 p a 一 撇，因为这个 a 惯于 x 的 对称点，这是很容易理解的，所以这两个长度相等。好，我们再来看呢，这个 q b， 那 么 q b 可以 怎么呢？我们可以把这个 q b 啊往这里平移。 哎，这个长度不就等于一吗？那我们也就是把 b 往这边也是一一个单位 b 一 撇啊，那么所以 b 一 撇的坐标就是负一二 负一啊。所以求 p b 撇加 pa 一 撇就是 q b 加 pa， 那 么这个时候呢？我们当这个叫做 b 撇 pa 一 撇，三点共线的时候，也就是这个 p 在 这个位置的时候 啊， p b 一 撇，加 p a 一 撇，那么这就是最短的，所以这个最小值多少呢？看这个等一，这个等二，这个等一，所以这个最小值就等于根号一的平方加三的平方等于根号十啊，它的最小值就等于根号十， 现在不仅要求最小值，而且还要求这个 p q 的 坐标，所以我们可以设这个 a 一 撇， b 一 撇， y 等于 k， x 减一。为什么呢？因为点 a 一 撇，坐标零负一，咱们大于 b 点的作 b 撇坐标叫做负一二，有 x 等于负一，负 k 减一等于二，那么 k 就 应该等于多少呢？负，把负 k 移到右边呢， k 就 等于负三，所以 y 等于负三， x 减一。 那么点 p 的 坐标呢？就是当 y 等于零的时候，当 y 等于零时，负三 x 减一等于零，负三 x 等于 x 等于负三分之一， 对吧？所以这个 p 点坐标就是负三分之一，呃，零啊， q 点坐标呢，负三分之一加一就是三分之二零， 这个 p a 加 q b 最小值为根号十啊。这题难度应该是不大的， 那平时呢，这个对于这种不太难的，这个多练一练啊，慢慢的，我们有的题目呢，是非常难的。呃，多做了一些，你看这里有折对称的啊， 就是 p a 等于 p a 一 撇，有平移的就是 q b 等于 p b 一 撇。然后呢，我们说 p 在 这里啊，当 p 在 这里， 那么三点共线的时候，根据两点之间线的最短，这里还要求一函数的解析式，记得点赞关注哦。