山东春考26押题三角函数
hello， hello， 同学们，大家好，我是大家的笑笑老师。那有的同学告诉老师说，老师我的三角函数值记不住，怎么办呢？那我下面的题也就不会做喽， 这个视频大家跟着老师一起默写一下，保证大家一遍就能记住。好，首先我们来回忆一下啊，在你初中的时候，我们一共学过哪些角的三角函数值？首先第一个是不是零度啊？然后是三十度，对吧？然后是四十五度，六十度， 九十度。初中是不是一共就学过这一些呀？啊，那我们没有学过二十七度吧，也没有学过二十六度吧， 到我们高中的时候还要学哪些呢？九十度以后的第一个是谁呀？是不是一百二十度呀？那你要怎么找呢？同学们，记住哎，六十度和它是对称的，也就是说它们之合 为一百八十度，好，它们之合是一百八十度，好，那下一个大家应该知道吧，和四十五是之合是一百八十度，好，三十度对应的是 相加，是一百八的，应该是一百五十度，对不对？那和零互补的是不是一百八十度啊？好，那这些是我们在初中， 在高中时候要用的一些三角函数值啊。那首先我们先看一下三应该怎么记呢？同学们，你只需要记住它的分母啊，它永远都是二就可以了哈，它的分母是二，那我们要怎么写呢？你就从根号零 一直写根，一根二，根三根四， ok， 到九十的时候它是一个分界点，那接下来一百二要怎么写呢？ 就找它的对称点就可以了。就是一百二和六十是不是互补的呀？那它和它的数字是一样的哈，也就根三，对吧。哎，然后 这个和这个是对称的，这是根二，那这个就是根一，这个就是根号零，对吧？啊，那你也可以这样记啊，先从根号零一直写到四，然后从四呢，再一直写到零就可以了。 好，是不是很简单呀？那同学们再看一下符号，那他们前面都是正号还是负号呢？大家要记住这个来源于什么呀？是不是 sign 它等于对边撇斜边吧，这是我们初中学过的。那如果在坐标系里面， 假设这个点是 x 的 y 的 话，那这个角的对边是谁啊？长度是什么？是不是 y 呀？那斜边呢？ 是不是半径 r 呀？单位圆里面斜边是半径 r， 也就是说那 sine 应该等于 y 比 r 吧，对不对？那 sine 等于 y 比 r， 那 我们知道哦， sine 的 正负是不是应该取决于 y 了？所以说前两个象限， 由于 y 轴是正的，那么三也是正，对吧？三四象限，由于 y 轴是负的，那么它的三值也是负的哈，好，那我们看，从零度一直到一百八十度，是不是属于前两个象限啊？ 啊？前两个象限，那它都是正数，对不对？所以前面是不是应该都是正号？正号，正号呀，对吧？好，那 sign 大家应该能记住了吧？好，那下面我们来看一下 cosine 余弦的呢， 那我们先写余弦的分母还是二哈，同学们，你就大胆的写就行了，分母是二，那分子呢？哎，刚才我是不是从根零写到的根四呀？现在呢，就是从根四，根三根二， 根一根零，哎，我倒过来写就行了，对吧？好，数字找对称，这个就是根一，然后这个呢，是不是根二呀？ 然后下一个这是不是根号三？哎，这就是根号四了，对不对？好，那数字我们确定，以后大家想我的正负号怎么办呢？那还是我们要推出来哈， cos 是 不是等于邻边 比斜边呀？对吧？啊，这是我们初中学过的邻边比斜边，那如果在一个坐标系里面的话， 以这个角，然后呢，这个点是 x 的 哦， y， 好， 所以说，哎，这条边是不是就是长度为 y， 这条边是不是长度为 x？ 斜边仍然是单位圆的半径 r， 所以 零比斜是不是应该等于 x 比 r 呀？ 那么 cos 的 正负是不是取决于 x 的 正负呀？那我们看在坐标系里面， 这个第一项线和第四项线，它对应的 x 是 不是都是正的？所以说，哎， q 三是 正的，正的，对吧？一次项线是正的。好，那我们看二三项线，它的 x 是 不是负的呀？所以它的 q 三就是负的，负的啊，所以说，哎， 二三象限 cos 是 负的，那我们从九十度以后，九十度以后哈， 是不是第二象限啊？那我们要给它加上符号，符号，符号符号就 ok 了。好，那我们下面再来记一下 tangent 应该怎么记呢？ tenton， 其实 tenton 非常简单了，因为 tenton 有 一个公式，是不是 tenton 等于 seven 比口 seven 呀？那我就拿第一行的去除以第二行的就不可以就可以了呀，对吧？好，那我们给他化简一下哈，第一个是不是零 除以二分之根号四是不是一啊？所以，哎， tenton 的 结果是零，对吧？好看。第二个第二是二分之一，除以二分之根三，所以结果是 三分之根号三，对吧？好，然后下面呢？四十五度的时候，二分之根号二，二分之根号二消除， 答案是一，对吧？六十度呢，二分之根三除以二分之一，是根号三，结果，对吧？好，那九十度呢？同学们， 正切是没有九十度的三角函数值的，对吧？为什么？因为此时余弦是零啊，我们 tenant 就 应该等于 tenant 九十，是不是就应该等于二分之根号四除以零，零能作分母吗？同学们，不能，所以说 tenant 九十是不存在的，对吧？好，那接下来是不是就对称着来，这就是根三，下一个是 一，下一个是三分，这个号三，然后是零，那由于这是正，这是负，所以前面都要加上负号啊，同学们，现在能记住了吧？是不是很简单啊？大家可以看完视频以后去自己默写一下。
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26数学孙老师
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18:39查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好啊，我是可乐，这两天为什么更更新了？因为我喉咙比较严重啊，所以嗓子一直不好受。但是你们马上就要春季高考了对吧，有同学还经常问我，步骤答题，答题步骤啊，具体怎么去写啊，不是很清楚， 还有具体的逻辑啊，或者你对一些注写上的规范啊，那些不知道，今天我就选了六道题，六道题覆盖了有函数 三角，函数 a 集合，还有解析集合以及数列五大板块啊，为什么我要选六道题呢？因为这函数我多选了一道，一个是这个基有性，第二个是这个单调性，证明对经常会写错或者经常会写的不规范而引起扣分。那今天啊，我就给大家 从头到尾的把这个大体的嗯，写作步骤就成，给大家更新一下，讲一遍啊。先我们看第一题，这函数 f x 等于二， x 方加 mx 加 n， 最小值为二，对吧？然后数函数啊， f x 图像的对称轴为 x 等于一，我们通过这个信息我们就可以捕捉到，这里要写一个减，我们就可以捕捉到 t 得的 t 得 x 等于负二分之 b 都啊， r x 方加 mx 加 n 的 等于二， 过 m 是 等于负四， b 等于 m， 四 m 的 负四为开 x 这个二项 s 函数开口是向上的啊，最小值 带对称轴啊，得到负一等于二，负一等于二，负一等于二，是个最值，是个顶点，对吧？把它带进去 等于四， m 和 n 我 们都知道了，那我们就可以把式子算出来，那这个解析式就等于 f x 等于 x， 方减 x 加四。我们利用了哪几个隐藏知识点呢？一个就是对准住的， 第二个就是这个零点的啊，就这个零点的点，他是只有开口向向上的啊，开口向啊，划错了，只有开口向上才有最小值，对吧？开口向上，所以说大家捕捉的这些，我们看第二个怎么书写啊。 o 呃，这个函数的 g 五项， 呃，他说了 g x 等于 f x 加一，那么就由此而知，那就是什么 g x g x， 那 你可以把 g x 等于它等于什么？ f 的 x 加一啊，加一带你去，就是二的加一放加啊，减， 减四 x 加一，加四等于二 x 加一啊，减四 x 减四，加四等于二 x 放。话讲完之后 就得到这个数啊，那你写这里，我写那个，不对啊，写这个，那么等于这个之后，我先要写啊，它的定义域，两个圆点对称，必须要写这句话啊，不说这个函数它是不关于圆点对称的，就没有几何形，并且它的定义域一定是关于圆点对称的， 我们可以验验证几何形有 g x 负 x 负 x， 负 x 等于二等于二，负 x 方 g x， 你 看什么？ g a 的 负 x g x， 说明 g x 是 o 函数， g x 是 o 函数。大家把这个具体的步骤给捋一下，第一步是我们先化简出来最基本的解析式啊，我们在 根据这句话定义为二，然后语音就行开始判断 g x， 它等于的是 g x 还是负的 g x。 如果说等于负的 g x， 那 就是 g 函数吧，如果说等于 g x， 那 就是偶函数，不说是 非机配偶，对吧？不等于 g 的 负 x， 也不等于负的 g x， 那 就是非机配偶。那我们看第二十点啊，这证明 g 五线的步骤啊，看一下这个二十点，因为这个单根线呢，就跟我们 c 一 样，就是 d 等于 d 九， 我们看第一题啊， x 在 等于零到十五，求其解来说，若 f， 第一个条件啊，若 f 加一大于 f， 这个写下来，把这个对号写差了，就可以。 这边减函数性质减函数啊，你，你可以写，因得知减函数，就说你若 f x 一 大于 f x， 则 x 一 等于 x， 对 吧？ 减数吗？二是越大 x 轴越小， y 的 值数越大，然后 x 的 值数就越小，相反了，再加括号，相反呢？再减数。那根据题目的公式可以得知了啊，是 a 减一， a 加一要小于二啊，题目还给要求了，它是在零到中，求 a 加一在零，对吧？ 二大于零就不用说这三个条件。哎，我就可以解的， a 是 大于负一的，小于一的说写出求出实数 a 的 范围，稍微写一下集合形式，就说 a 的 比较范围写的规范一点啊，写这个也行，你写去也行，没什么太难问题。那，那看第二位，很多同学就是第二位，不太会写，你看 他说 g x 等于负的 x， 怎么怎么证明啊？就是第一啊，是大于 x 大 于 x 大 于 x。 说完之后你问他，因为 f x 在 零到正无穷是减函数，所以 f x 一 大于 f x， 必须先，嗯，先判断啊，他说先判断吧，他跟你说，你先说函数减函数，先去说，你判断一份啊， 说就是你回你这个如果说打一本的话，得就如果说打草纸的话，多的话你就在打草纸演示一下啊，那是分还是减啊？如果减的话，在下定的去减，然后根据减号来去推论啊，然后则 f x 一 回复的 f x 二 g 的 x 一 小于 g 的， 所以 g x 对 到正无穷啊，上按掉正 啊，底增写错了，但是底增底增啊，这是定义法，我们还有个作啥，还有个求差法，就是求单调，我们可以用单调 y 比上单调 x， 如果说单调 y 比上单调 x 大 于零的话，就是增函数，小于零的话就是减函数。 单调 y 什么呢？就是 y 一 减 y 啊，像 x 二 x 一 减对齐啊，一和一对齐，二和二对齐，你说就可以用这种方法也行，用定义法也行，但是如果说定义法合理的话，就用定义， 具体流程就这样啊，说大家如他，如果说这个题目大家先判断的话，一定要啊，一定要说先判断，因为这占一分啊，判断就占一分，如果这题不会做，大家就蒙了一个， 还至少蒙对了，就占一分了。第七题，梳理啊，梳理的步骤首先这个题目呢，说了 a n 大 于零， a 等于一二的 a n 加一次方减， a n 等于零，对吧？由这个题目我们就得知啊，写由这个题目知，是吗？得知， a 二倍的 a n 加一减 a n 等于零，我们移向二倍的 a n 加一减 a n， 那 等于 a n 啊，移向对，那 a n 加一比上 a 不 等于二分之一，对吧？这个呢，是不是求 q 的 就是公比的椭圆公式啊，这个性质公式对吧？算出 q， 那 谁说，因为他说了 a 一 等于一吗？那谁说？那么写啊，一定要写清楚 a a 啊，这个表示的 a， a， a 是 轴向为一用我欠我这么写，轴向为一公比 二分之一的尾数列，那么写一定要写，想完全都没数列，那写通向公式，把通向公式表示出来，公式写出来，嗯， 我们记得 n 减一次方，我们记 n 减一次方。然后再看第二题。若 b n， 大家可以截图保存一下，把这句话一定要写了，把这句话一定要写， ok， 那 看第二题。若 a， b， n 等于 log 二， a， n 的 对手 l， v， d， a， n 的 对手，那怎么算了？那先把 b， n 带进去，把这个我们的 a， n 带进去， n 等于根一二为 d， n 减一， n 减一的对数等于负的 n 减一等于减，为什么这么算？二分之一指什么？是不是二的负一次方呀？二的负一次方乘上 n 减一多少？是不是二的一减 a 减 二的减 a， 二和二约掉剩下的值乘以零。 log a 的 a， b 等于什么？等于 b？ 就 把这个对数的运算法去熟悉一下，我们算出来之后， b， n 等于一减 a， 对 吧？ a 等于减，我们要去辨别一下它到底是等查出来等于谁来用这点方法。就是 b n 加一 b n， 为什么说一加减 n 加一减一加 一减一加，这个 a 没了，减一没了，等于负一，所以说我们求它是一个常数，对吧？等于常数，要求公， 就验证它是等差数来。等比数来。你就这么求啊，求一遍，先求一遍公差，如果说公差求起来是个长数，那就说直接是个等差数连。如果说公差求不起来是个长数，你接着用， 那我写了个 a， n 加 e 比上 a， 求求 q， 如果 q 是 个长数的话，哎，这个是根比数啊，就用这个就还别数列啊。 ok， 我 们求出来了之后， e 我 们也整，是吧？ 你把一写出来，一是多少？你写个 b， b 是 零， b 是 零，把一等于是零，一减一等于零吗？对吧？ log 以二为底，零能怎么等于零？一等于零啊，那这么写啊，像我刚写那样，出了一边是走向为零，公差 d 等于一的等差数。要写名啊，写名 写完之后啊，我们看求的是什么，求的是不是 s 九零， s 九零，那求 s 九零的话就 s 九零，我们要把这个公式写出来，九零减八十九二 四零零五，四零零五， ok， 就是 第二题，其实步骤还是非常好写的，大家只要注意这句话可以公式表达，那就不会扣分了，基本上这个题就不会怎么扣分了，大家只要把公式写清楚啊，那很好做的。 如果说他看他求 ab， ad 的 长，对吧？那根据这个题目，根据题目这些题目来说，看角 b 的 四角表，然后在 b、 c 上 b、 d 等于六，那就根据这些内容啊，去算一下，按 x a、 b、 d 当中角 b 四十五度， 角 b a、 d 还可以说五分之三，对吧？这三那三等于五分之四，所以说 cos 也没有 a、 d 等于五分之四， 根据哪个公式啊？根据三零加勾三，因为这公式把零的二十八写出来之后，就角 a b d， 角 a b a d b 等于一百八十度减四十五度，减掉角 b a d， 角 b a、 d 啊，确实有点感冒，然后 b、 a、 d 之后，所以 三，他就等于就是一百三十五度角平分的公式，我们就算出来，最后是等于十倍的七倍根，是不是七倍根，一步都不要紧，他就根据步骤就可以， 因为所以一定要保证逻辑的紧密啊，这连接的要顺手，不要突然的直接，所以了啊，直接，所以前面没有英文的公式的话，你这题显得很突兀，就大眼容易显得是超了，知道吧？再用正弦定点 d 比上三厘米， b、 d 等于三角 b， a， d， a、 d， 我 们就可以结束之后是五倍的更。这题的计算量还是稍微大，所以大家都注意一下，计算量大的时候，我们该怎么把容长的减化为减短的步骤， 就是重要的公式啊，点啊，因为所以啊，都要不要盲目的去删减。我们看第二步，二 b、 d 等于三， d， c 啊，因为因为二 b、 d， 我 们写英文等于二等于三， d， c 都是之后啊，我们就得到了 b、 d 等于六，这是因为嘛，所以说我们所以啊，然后 d， c 等于四， b， c 等于十。对，那我们在这之后，我们就写 cos 角 a， d， b 所以 固定，对吧？一，减分之七倍的平方，所以这个半角 a， d、 c 等于负的十分之一。 又在三角形 a， 你 怎么想？如果说你要表达在哪三角形的公式当中，你要写你要在哪三角形公式啊，有一线定律，有哪公式来得有一线定律的地方等于 a， d 方加 dc， 方减二乘 a， d， c 乘 q 三的角度，对吧？角 a， d， c 啊，一线定律公式啊，对方等于方加 b， 方减二 ab 的 q 三 c， 对 吧？说我们解出来之后啊，等于七十四啊，说 ac 就等于改好这个题呢，这也不难，也是计算问题啊，大家在写过程之中，每一道步骤，对吧？都踩点上，不要盲目的乱写一些没必要的步骤，做了预算要保存在纸上，不要重新来。这个我们继续下一题，看来吃不住的来了，对，吃不住 就是这个理解和，理解和，理解和呢，它还是非常的这个多的，非常的多的，大家看应该怎么做啊？理解和呢，要求这个 e、 f 垂直 b， d， e、 f 垂直 b， d 垂直 b、 d。 那 就想怎么要让 e、 f 垂直 b、 d 啊，最好要去找空心的点，我找一个平点，它终点吗？对 哎，为什么连线之后他就成一个中线了？平行，那我们知道底面是正方形，对吧？方形的这个对角线是不是垂直啊？垂直，对啊，我要垂直，不用写了，我们要先写，我们要第一步的话啊，是直接取一个焦点就行了。取个焦点啊，先来取一个这里哦， ac 于点点啊，行不行？那之后啊，因为 f 分 别 a、 d 一 d， c、 d、 e 的 中点角 d， e， a、 c 为三角形，说 f 为三角形 e、 c 的 中位线，所以说 e、 f 就 等于二分之一平行且等于二分之一 a、 c 六 d、 b 又 d， b， d， a、 c、 b 为正方形 a、 c 垂直 d， b， e、 f 垂直 d， b， d、 b。 算出来，算出来，算出来之后呢？那个点位啊，它求 a、 d 一 a， d、 e 和 b、 c 的 b、 c 的 啊，那更简单了，你把 b、 c 移过去就行了，共存在一个三角形，这里如果说一面的话，就把它保存在一个一个面里就可以了。这么写， b、 c 平行 a、 d。 你 说要，要不写名号在哪个角啊？就说 a、 d 一 与 b、 c 合成角，与 d 一 再与原形与 a、 d 所成角的合成角， a， d， a， d， e， a、 d。 就 大家一定要，嗯说明一下啊，说明一下，就是 啊，与谁哪个边和哪个边的总成角啊，然后我再写啊，等于谁和谁的总成角，是吧？他去求的是不是这个总成角，那你说他的总成角等于 a， d 一 与 a， d 的 总角可以了，整一下再写就可以。 我用它参与什么很容易，用固定就可以得出了。 d 它是等于三等， d， d， e 它是等于四等。那 tangent 角 d， e， a， d 等于 d， d， e 除以 a， d 的 说，角 d， e， a， d 三朵因为反弹两个时候用计算机算了应该你们没有计算机，他应该顶多让你求到正切值，就可以让你求正切值几何的。这个大体要讲究这个性质和定力，有公式三大要素亦不可缺。 我们看最后押注题，二零二五年押注题来这个题是很简单，那么看点啊，他是在抛线啊，统一上是吧，我们直接带住还是直接带去？ o， a 方加 b 方。四等于一，离心率多少？ e 等于 a， b， c， 对 吧？ a， b， c 啊，呃，等于多少？等于三分之七， 我们可以啊，稍微处理一下，因为 c 就 等于三分之七， a 换呃，移向一下让 a， b， c 关系是吧？等于 a 方等于 b 方加 c 方，对吧？可以得到 b 方等于九位加 a 方。哎，我们都换成了一种的 未知数啊，未知数我们就变成了二十九， a 方加上十八 a 方等于一啊，得到 a 方等于二十七 方等于二十七，那 b 方等于九分之二， a 方就等于二十七，加上 y 方除以六，这我们就可以最基本的把这个方程求出来。在真正的考试时候，大家把 d a 一 共算出来就不错了，就就不说不错啊，就是可以下面题可以可看可不看了， 咱们这三分就不错了。我看既然我们讲了，就把这个题讲下，如果点 b 的 抛线以 a b 为直径内过圆点 o 会出现 a b 的 方程， 我们看点 a， 它在抛物线上，对吧？点 a 在 抛物线上，那二期望我们等于二 p 乘，比如说 p 等于，那么这样 或者抛物线呢？有一个点就可以出来，一个点就可以出。求哪个点我们射哪个点？射点。第一步那题永远是第一步，射点射 b， x 零多少 y 零啊？ 由角 a o b 等于九十度啊，得到 o a o b 等于三 x 零加 二倍的 y 零等于零，那又因为什么？又因为 y 方的零，它等于四三分之四 x 零。那么你可以与这个长方形进行连理，它解，用这个什么。第二步就是连力，连力，连力解的多少？解的 y 零等于 负的九分之八，所以说 x 零零是吧？肯定得到了二十七分之十力。斜率就很好学了， a b 的 斜率就很好学。 b 点，我们有了 a b， 我 们有了斜率等于 ab 的 斜率，就 ab 的 斜率 k 等于 y， 二减 y e x r 减 x， e， 得到了 分子六五分子六之后我们用点斜式啊，点斜式，二减二等于五分之六， x 减三，再化为一般式后，一般式变成六， x 减五。三点啊，就是小于啊，小于 x 也行，小于 y 也行，只保留一个未知数，根据这个另一个未知数的关系旋转，另一未知数 变为一半。考生基本上就按照这四步四步走，基本上你如果说列到连利的话，就能给到你两倍左右，尽量是不变的，也能给你两倍，这点东西也没什么太问题。那今天我给大家先讲到这里，嗯，预祝大家存款成功，马上就要高考了，加油！
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01:10查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每个普通人成才的机会。
60数学孙老师
04:53查看AI文稿AI文稿对象可以没有，高数不能不会。今天要学的是三角函数。三角函数的平方关系你知道的是谁啊？我知道的是三 x 平方加上口三 x 平方，它等于一。 这个的原理是什么？勾股定律啊，是不是这个的原理是勾股定律啊。 哎，说为什么不理你，那就远了，咱不说了啊，你记住这件事，这个应该是人人都知道的一件事。那么知道这个之后平方关系就一个吗？不是三个，这是第一个。第二个是谁呢？第二个是一加贪婪他 x 的 平方。说他等于什么呀？哎，你可以化简一下呀。一加贪婪他 x 是 谁啊？是 z x， 除以口三 x， 他 还带平方了。那就两边都带平方， 这个需要干嘛？通分一通分变成口三 x 平方分之一变成口三 x 方分之口三 x 方再加上 z x 的 平方，上边套用一，它就等于口三 x 平方分之一。 哎，口三 x 的 倒数是谁来着？正格，所以它应该等于三根它 x 的 平方跟它类似的。第三个考的少。哎，来这个 我再打型号，我就不打很多了哈。这个和这个常用。这个呢？不太常用。那他是谁呢？一加口摊正差 x 的 平方跟他类似的，应该写成口塞正差 x 的 平方。推倒的方法跟上边一样。 没人写名字，哎。没人写名字说明什么？说明那三个字母都记住了。这三个字母都记住了，这是第一组平方关系，重点是前两个。第三个考的不多，但是第三个中考你会吧？会，他的好兄弟口谈跟他，他的好兄弟口塞跟他都换成他们的好兄弟。就是另外一个公式来倒数关系。倒数关系刚才我给了， 是吧？三组，一和六，二和五，三和四，一是谁啊？谁的倒数啊？最后一个口塞跟他这个用的少， 口塞根它 x 应该等于上引 x 分 之一，这个用的少，用的多的是谁啊？是口塞，哎，所以排序， 排序是按照多少用到的，考到的可能性的概率排序的，所以倒数关系最常用的应该是哎，塞根它 x， 它应该等于口塞 x 分 之一。那第二个第二个用的其实也不多，那就是贪占它 x 应该等于口贪占它 x 分 之一，这个我们其实还都知道，所以你记这个就 ok 了，记这个就 ok 了， 这是哎，这一组倒数关系这一组倒数关系。倒数关系怎么记啊？正弦余弦正切，余切，正割余割，按照这个顺序，正在前，余在后，写完了之后呢，哎，首尾配对，这就是倒数关系。来，第三组，二倍角公式，哎，二倍角公式这个常用， 你看我画完五个型号之后，平方倒数我都没画，二倍角公式我反倒画了，说明这个用的多。二倍角公式第一个，首先我们看哎三二 x 我 不应该写在这，按照哎，按照使用频率考察频率，我应该把它写在后面， 返回二 x， 它应该等于二倍的返回 x 乘以口三 x， 对 吧？那跟它相对的第一个是谁？这是第二个，第一个是谁啊？第一个是口三 x， 它等于什么呢？它等于口三 x 的 平方减去三 x 的 平方，那我们哎知道返回加口三 x 的 平方，我可以写成把返回 x 方移向，移向，移过去，移向要编号， 对吧？那我把口算 x 方换成它，那这个就变成了一减三 x 的 平方，再减三 x 的 平方，一整理一减两倍的三 x 的 平方。 那如果你这个地方移向的时候，我不是一个三 x， 我 把口算 x 移过来，那就相当于三 x 方，等于一减口算 x 方，所以它就变成口算 x 方，减去三 x 方，写成一减口算 x 方，去括号合并成两倍的口算 x 方减一， 是吧？所以二倍角公式你需要记谁记他，然后剩下的这两个怎么办呢？按照平方关系，第一个推的，推的这三个里边用的最多的是谁啊？口算二 x， 它等于两倍的口算 x 方减一，这个用的更多一些，这个用的更多一些。其次是这个，这个几乎不用，但是你要记， 对吧？因为你记不住后两个的时候，你记住它和哎平方关系，你就能推出来后两个，这是二倍角公式。那说降幂公式实际上就是这两个公式的推导，给你写一下啊。你比如说我们知道口三二 x， 它等于两倍的口三 x 方减一， 那我只需要一项，我把这个负一一项移过来，那你得到的是两倍的口三 x 方，它等于哎一加口三二 x， 这个可以，或者是两边再同时除以二，那就变成口三 x 方，它等于二分之一加口三二 x， 这是平方。后边没有了，这个称为将比公式， 这个就称为降倍公式。那另外一个呢？另外一个口占二 x， 还可以写成一减两倍的占 x 方呀。那所以我把二倍的占 x 方一向移过来，口占二 x 移过来，那所以得到的是两倍的占 x 平方，它等于一减口占二 x， 二代一除，所以你又得到了一个占 x 平方，我还可以写成两倍的一减口占二 x 这两个公式打型号课本上有吧？都有，但是你要注意，我打的哪个型号你就打哪个型号。要求这一组公式都会都得，会写、会默。
17叶子老师
03:17查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天给大家介绍一下这个三角函数的诱导公式。首先我看这句话，既变偶不变，符号看象限是什么意思呢？这里有这这这句话是他的公式来着， 既变偶不变就是看这个 k， 这个 k 可以 是一，也可以是二，也可以是三，也可以四五，然后一三五是奇数嘛，就这个奇，然后二根四就是偶数，偶数就是这一个意思。既变偶不变，符号看象限，符号看象限是什么意思？就在这里。 然后我们会用到这个三角函数的定义，这里三角函数的定义，我们先来讲一下，这是 y 轴，这个 x 轴，然后我们把它构成一个三角形，然后构成一个三角形，这里是他就看一个角，然后他是三，三 n 的 时候，三 n 的 时候，我们不是对边比斜边吗？对边是 y， 然后我们把二，我们把这个定义为二， 所以这是三角函数的含义定义，然后我们看口三口三是什么？是零边比斜边，零边是 x， 斜边是二，然后听准 这是 y 比 x， 对 边比零边，对吧？这里，然后我们可以利用这个记住，我们三人就看他这个 y 就 好了，我们看他这个 y， y 这个是不是正的，所以他这两边都是正的，然后这个 y 是 负的，就只能是负的，然后口三口三，我们不是这个吗？对边比斜边，所以你看这个 s 是 正的时候，他就是正的，负的就是负的。 x 看成看成我们就蛮好记的，我们就交叉记就好了，交叉 这只是我个人的理解方式，我们来我们来引用一下这个公式， ok， 我 们来看一下这道题， 你看 sin pi 加 r， 我 们把这个 pi 等于一百八十度，对吧？然后我们看一下这条公式怎么用？ k， k 多少乘以九十等于一百八十，是不是等于二二乘以九十加 r， 就 这条公式，这条公式就是 k 乘以九十度，然后加或减 a， 就 这条公式。二是偶数，所以偶是不变的，所以我们就把 sin 给抄下来， sin a， sin 把它抄下来，然后我们再符号看象限线， ok， 这是我们的第二步，符号看象限，我们要把这个 r 看成锐角，看成锐角就四十五度等于多少？一百八十加以四十五， 二十二，二百二十五，二百二十五，这里是九十度。一百八十度，一百八十度，这里是两百七十度，这里是三百六十度。那二百二百二十五是不是在这里，对吧？在这里，所以他是负的，所以他就负三 a， 所以 他就等于负三， ok， 我 们来看下第二道题。第二道题还是一样的步骤。第一步，先代入这条公式当中， 等一百八十度，对吧？一百八十度分之二，是不是等于九十度？九十度相当于多少个 k， 一个 k， 对 吧？所以就是 cosine， 九十度加于 alpha， 加你一个一个一，我们随便不写。所以九十度加以四十五度，是不是等于一百三十五度？一百三十五度是不是在这里，所以它是负的， 它是负的。首先我们把它负的， ok， 刚刚说的一，一是奇数奇变，所以它变成三，然后它又是负的，负三啊， ok， 这就是它的答案，很简单，好，我们看一下到底下一道题就有一点点难度，把三 x 抄下来，然后我们先把这个角度给转换一下，是不是相当于三乘以二分之 pi 减啊？法，这里它的一百八十度二，二分之一百八十度是不是等于九十度？那么三乘以九十度是不是等于二百七十度，对吧？所以就等于三，嗯，二百七十度减啊。法，二百七十度相当于第一象限，第三象限，第三象限是负的，对吧？ ok， 我 们现在看一下，这里相当于多少个 k？ k 乘以九十度会等于二百七十度？就是三三乘以九十度减啊。法，哦，其实我们刚才已经算出来了， 等于三，嗯，三是奇数，奇变偶不变，谁是口三口三？啊？法，我们刚算出来是负的符号，所以它答案就等于负口三。啊。法， 好，我们看第二道题，第二道题的派派是不是相当于一百八十度？那么 k 乘九十度 k 是 多少？是不是二？二，是不是偶数积变偶不变偶不变，对吧？所以它还是等于口口三口三啊。 ok， 我 们现在看看正负符号，看象限，然后一百八十度减掉四十五度。我们刚说了，这个阿法要看的是锐角 等于多少，一百八十度减掉四十五，借一乘五，然后这个是七七减四等于三，一百三十五，一百三十五是不是在第二象限三？哦？口三，第二象限是不是等于负口三？ a r 下期想听什么打在评论区。
339苹果学姐
01:08查看AI文稿AI文稿所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。 所以勤奋重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。
18数学孙老师
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224数学孙老师
00:18查看AI文稿AI文稿二零二六山东春考的同学注意了，数学想从高分这套押题卷加核心公式直接背集合，不等式函数列数向量三角解析、几何例题集合、概率统计、考房全覆盖，公式全整理。我还给你们出了一整套完整的押题卷，待答案再解析，直接打印就能刷，考前刷到这套卷，考场直接稳拿分！想要完整版试卷和公式清单的评论区扣数学我直接发给！
283鸿图春考（清华学长）
01:57查看AI文稿AI文稿我粉丝里啊有一千多个数学老师，哎，怎么就没有一个人能做出来？从四月二十号啊开始给高三压题，我压的是三角函数结合数或者是根式结合数。呃，出了一道题啊，发了个视频，哎，评论区就没有任何一个人做出来。 我粉丝里啊有一千多个数学老师，哎，怎么就没有一个人能做出来？我问豆包啊，为什么没有一个数学老师能做出我出的题呢？豆包反问我，那为什么波斯没有大蘑菇？ 话说回来啊，所有人都知道今年高考导数大题啊，会考三角函数结合导数或者是根式结合导数。 那你们这些数学大咖怎么就没趁这个高考倒计时热度拉拉眼球呢？啥时候你们啊再出压轴题艾特我一下，我去你评论区交作业。 好嘞，既然没人做我的题，我自己拍了个视频，昨天发的， 各位考生啊，务必去看看老师用的方法，也许会给你一些新的思路。不明白的评论区可以问 我们今天继续压题啊，今天是第二道三角函数结合导数证明题，是第十八道题的第二问的难度啊，你们可以把这道题给你所有的老师看看他们到底是什么成色 不等式右端证明啊，准准掉坑里会做的发评论区，呃，我会在周六啊，再次公布这道题的截视频，可以对比一下。 我一共压十五道导出大题，每周日下午呢，都给大家出一道。呃，高考还有六周，还能发五道题，有经历提前研究的同学啊，评论区探讨一下。
