25年天津高考一卷数学立体几何
今天我们来看一下这个二五年全国一卷的高考真题，如图，在四棱锥中给了 pa 垂直这个底面，对吧？然后告诉了 ab 垂直于 ad， bc 呢？平行于 ad。 第一问，让我们证明面 p a d 就是 这个面，对吧？ 垂直于底底面面 p a d 垂直于面 p a b 垂直于这个面，对吧？这两个面垂直。 那如果说我们想证明面面垂直，我们是不是得正线面垂直啊？那怎么正线面垂直呢？那是不是平面外有一条直线与平面内的两条相交直线分别垂直？所以说这条线垂直于这个面啊，然后 线和面垂直了，我们再用嗯，这个线所在的这个面就垂直于这个面了，所以面面垂直。那我们先证明一下线面垂直，就能证明面面垂直了。 那线面垂直，是平面外的一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那我们是不是已知知道了，因为 pa 给了我们 pa 垂直于面 abcd 啊， 告诉了我们线面垂直，对吧？然后 ad 呢和 ab 呢，都在面 abcd 中，所以 pa 是 不是垂直于 ad， pa 垂直于 ab 啊？因为一一个线和一个面垂直，那这条线 就垂直这个平面内的所有直线，哎，对吧？因为他俩都在面内，所以说他们垂直。题干又给了 ab 垂直于 ad， 对 吧？看线， ab 垂直于 ad 呢，还垂直于 pi， 那 a d 和 p a 呢？又相交于点 a， 对 吧？那是不是就我们说的平面外的一条直线，就是 ab 与平面内的两条相交直线，那就是 a p 和 a d， 对 吧？相交于点 a a b 和垂垂直于 a p a b 垂直于 a d， 对 吧？那所以说 a b 是 不是和这个面和 p a d 这个面就垂直了，那 a b 和 p a、 d 这个面垂直， a、 b 又在这个面内，所以说这两面是不是垂直啊？然后我们写一下过程，因为 a、 b 垂直于 a d， 对 吧？ 嗯？ a p 呢，又在面 p a d 中， a d 呢，也在面 p a d 中， a p 交 a d 与点 a， 对 吧？平面外的一条直线，就是 ab 与平面内的两条相交直线垂直，所以说我们能得到 ab 垂直于面 p a、 d， 又因为 ab 在 面 p a、 b 中，对吧？所以两个面是不是就垂直？ p a、 b 就 垂直于面 p a d， 所以 第一位呢，我们就整满了。第一位呢，还是比较简单的，证明面面垂直。我们先证明线面垂直，然后这条线所在的平面就与这个面垂直了。 证明线面垂直呢，就用平面外的一条直线与平面内两条相交直线垂直，所以说这个线就和这个面垂直。然后我们看一下第二位。 第二问，给了我们 p a 和 p b 给了长度，对吧？给了所有的长度，然后说点 p b、 c、 d 在 球面上，让我们证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内， 那他给了我们这些线段的长度。第一反应是不是得建立直角坐标系啊？那我们看一下第一问，我们知道了 a p 呢垂直于 ab， a p 呢，还垂直于 ad， 对 吧？然后 ab 呢，还垂直于 ad， 这三个面互相垂直，那我们是不是建立直角坐标系？是不是能以它为 x 轴，它为 y 轴，它为 z 轴啊？ 那我们写一下，因为 ap 垂直于 ab， ap 垂直于 ad， ab 呢 也垂直于 ad， bc 呢还平行于 ad， 然后又给了这些边，对吧？ pa 得 ab 根号二， ad 呢，等于一，加上根号三。所以我们以 a 为圆点，分别以 a、 b、 a、 d、 a、 p、 v、 x、 y、 z 轴建立直角坐标系。那第一问，他让我们证明 o 点在 面 a、 b、 c、 d 内，我们是不是只需要证明 o 点的坐标是不是在这个底面，对吧？在这个底面上有什么特点？是不是它的 z， x， y， z， 它的坐标 o 点是 x、 y、 z 的 话，是不是 z 是 零，它就是在底面 b、 c、 d 上了。那我们根据什么来证明呢？我们是不是还有一个条件它没有用啊？ p、 b， c、 d 在 求 o 的 球面上，对吧？那我们在求 o 的 球面上，我们设一下球心， 设球心 o 呢为 x、 y， z， 呃，球的半径呢？为 r， 那点 p、 b、 c、 d 都在球面上，我们能得到的已知条件是不是 p、 b， c， d 到 o 的 距离为半径， 是不是就为半径 r 啊？因为我们能知道，只能只能得到这一个条件，因为这些点都在球球 o 的 球面上。那球面上所有的点到圆到球心的距离是不是都是半径？那我们就根据它两点间距离公式对吧？那点 p 到 o 的 距离 v， r， c 到 o 的 距离 v， r， d 到 o 的 距离 v， r。 那 我们是不是能列出四个式子呀？我们先写一下他们的坐标， 因为点 a 坐标是零，零零为圆点，对吧？ b 点呢是根号二，零零 c 点呢是根号二，二零 d 点呢是零一加根号三零。 p 点呢是零零，根号二。那我们根据两点间距离公式， p， o， b， o， c， o， d， o 是 不是都等于 r 啊？那 p o 呢？ p， o， 这是 p， 这是 o 吧？两点间距离公式，红坐标减红坐标加上纵坐标减纵坐标加上 z 坐标，再减 z 坐标等于半径 的平方，对吧？那我们写下，那 x 减零是得 x， 对 吧？那就是 s 方加上 y 减零是 y 方，因为两点间距离。公式嘛， 再加上 z 减根号二的平方等于二方，然后以此类推，然后 b、 o， b、 o 也是这样做，那他就是 x 减根号二 的平方加上 y 方加 z 方等于二方，然后 c、 o 呢？也是一样的，那就是 x 减根号二的平方加上 y 减二的平方加上 z 方等于二方， 那这个 d 油也是一样的， s 方加上 y 减去一加刚好三，扩回的平方加上 z 方也等于二方。那我们给这个式四个式子，两两连立，是不是能求出 s、 y、 z 啊？ 这是第一式子，第二式子，第三个式子，第四个式子。那我们看一下，如果说我们让第二个式子减第三个式子，是不是能得到 他减他，因为他俩都是一样的嘛，对吧？就没了，就剩下 y 方减去 y 减二的平方了， y 方减去 y 减二，括号的平方等于零，对吧？然后我们能得到 四， y 等于四，对吧？然后 y 等于一，然后又将 y 的 一带入第三个式子和第四个式子中。 将 y 得一带入三中，那把 y 得一，换一下呗。那就是 s 减根号二的平方加上 z 方就等于二方减一，这是第五个式子。那在 y 得一带入四中呢？ 那就是 x 方加上 z 方等于 r 方减三，这个是第六个式子。那然后第五个式子减第六个式子呢？就能得到负二倍根号二， x 加二等于零，所以我们能得到 s 的 零，对吧？ s 的 零 y 得一，我们能求出来了， 那我们再用一式减去二式，它减它，那就是 x 方减去 x， 减根号二的平方加上 z， 减根号二的平方减去 z 方等于零，对吧？ 那就是 x 方减去 x 方减二倍根号二， x 加上二，加上这方减二倍， 二倍根号二， z 加二减 z 方等于零，那 x 方和 s 方约掉了，这变成加了，对吧？二倍根号二， x， 这就变成减了。减二加上 z 方和 z 方约掉了，那就是减去二倍根号二， z 加二等于零， 那负二和加二又掉了二倍根号二，减二倍根号二， z 等于零，所以说 x 等于 z 等于零，那所以说我们是不是能求出 o 点坐标是 x 是 零， y 是 一， z 是 零，对吧？那所以点 o 就 在 平面 a、 b、 c、 d 内。嗯，第二问的第一问，我们就证明完了。我们看一下第二问，让我们求直线 a c 与 p o 所成角的余弦值，那余弦值我们是不是就用向量极啊？是不是口三极，它 就是 a c 向量和 p o 向量的域线值，是不是等于 a c 向量乘 p o 向量比上 a c 的 膜乘以 p o 的 膜啊？那我们是不是把 a c 向量和 p o 向量给它表示出来呀？那 a c 的 向量是不是就是 根号二二零用 c 减 a 啊？嗯， p o 向量呢？就用 o 的 o 向量减去 p 向量，这呢？ o 向量，这是 p 向量，就等于零一负根号二， 那所以那两条直线扣三 ac 向量于 p o 向量所乘角的余弦值，是不是 a c 向量乘以 p o 向量比上 a c 的 膜乘以 p o 的 膜啊？这是固定公式。 那 a c 向量乘 p o 向量呢？就每个向量分别相乘呗，那就是上面是二，对吧？因为零乘零都没了。比上 a、 c 的 膜是不是根号下根号二的平方就是二，加上二的平方是不是得四？再乘以根号下它方加它方加它方等于一加二，对吧？ 它就等于二。比上根号六，乘根号三，等于根号十八分之二，那也就是二乘九三倍。根号二分之二等于三分之根号二。所以直线 a、 c 与 p、 o 所乘角的余弦值我们是不是就能求出来了？所乘角的余弦值 就是三分之根号。那我们来总结一下这道题。第一问，我们证明两个平面垂直。证明一个平面上的一条直线，就是 ab 与这个平面内两条相交的直线垂直，所以说直线与面垂直，然后又因为 呃直线上直线，直线与面垂直之后，直线所在的面都与这个面垂直。 第一问，我们转完了，第二问，他给了我们这些距离长度，对吧？我们建立直角坐标系，建立直角坐标系之后呢，让我们证明点 o 在 平面 a、 b、 c、 d 内， 只要证明这个 z 坐标是零，那他是不是肯定是在这个平面上啊？无论说是在在哪个象限内，那我们根据已知条件， p、 b、 c、 d 在 球的球面上我们只能得到，因为这些点在球的球面上，所以说这些点到球心的距离是等于半径为 r 的。 所以说我们列出四个式子，然后就是解方程组嘛，之前都是两个方程，三个方程，这是四个，但也都是一样的， 给它代入能求出 s、 y、 z 是 零一零，所以说点 o 呢？在平面内。然后第二问的第二问呢？让我们求它的余弦值，余弦值呢？就是这个公式我们一定要背下来，写出两个向量的坐标，我们就求出来了。
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03:42查看AI文稿AI文稿三分钟速同一面直线及解决方法在同一个平面中，两直线分为互相平行以及相交。相交又分为互相垂直以及不垂直，这些统称为共面直线。 而在立体几何中，这两条直线出现在两个平面内，它们既不平行也不相交，我们称它们为一面直线， 尤其注意任何这两个字。也就是说，即使两条直线出现在两个平面中，也有可能共面。 假设这条直线和对角线平行，那么这两条实线就互相平行， 他们重新构成了一个新的平面，所以这不是意面直线。同样的两条直线，如果有交点，他也会构成一个新的平面，这也不叫意面直线。综合刚刚讲的两种情况， 判断意面的关键就是看他是否平行相交。只要出现平行或相交的情况，就一定不意面。把刚刚所有的重点整理成一个表格， 额外补充一点，一面直线是也有可能相互垂直的，例如正方体重的这条是垂直于底边，它就垂直于底边。所有的直线，它们只要不平行不相交，就是一面的，它可以垂直。 第一个选项很明显， g h 平行于 m n， 它们一定是共面的。 c 选项中连接 g m 和 h n， 虽然 g h 和 m n 不 直接平行，但是这两个线平行，因为它们俩都平行于这条棱，所以这四个点在同一个平面内，它们是共面直线。 同样方法，我们做题就可以秒出答案。第一个选项中照样的做 q r 的 平行线连接对角线。 ps， 因为是中点，所以 ps 就 平行于这条对角线， 那么 a 选项一定是共面的， b 选项连接这条虚线，也可以判断互相平行， c 选项以后面的这条能长为桥梁。最后一个选项中四个点不共面，因为你没有办法找到图形中有任何平行线，也找不到 ps 或 r q， 可以 相交。 通过 b 选项的另一种方法，我们来学一学洁面，先把这几个点连接起来，如果我们把 p q 直接连接起来，那么会发现左侧它是空出了一部分。 这里的洁面需要我们把补充完整，所以我们从最简单的平行线先思考。 r q 的 平行线是连接，这边是中点 找到 ps 的 平行线以及 sr 的 平行线，所以正方体的截面是一个正六边形。那么今天问题来了，这个多选题你能选出正确的答案 吗？评论区告诉老师，今天内容就到这里，我们下一期再见！
280晔子老师 数学方法
11:53查看AI文稿AI文稿一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
2.0万北大糖的魔法数学
05:14查看AI文稿AI文稿高考只剩三十三天了怎么办？别慌，掌握这个知识点，还能接着涨分， ok， 同学们，今天我们来看一下二五年高考真题的第九题， 这是一道考察立体几何的知识点的题目，我们读题已知一个正三楞柱的是 bc 的 终点，为了方便毛老师呢，给大家配了个图，但是在高考里面可没有图，所以咱们首先这个图啊，你要学会画 得是他的终点。然后挨个选项来看，第一， a 得垂直，这个 a c， 这个 a 得和。这个 a e c 呢？很明显是一个意面直线， 那么意面直线的垂直判定有没有什么妙招秒杀的方法呢？哎，王老师，给你这么一个知识点啊， 我们来判断两条异面直线，假如这个是 l， 这个是 m， 我 怎么快速的判断 l 和 m 会不会垂直呢？哎，我只需判断这个 l 在 这个平面 r 反内的投影， 如果 m 和他的投影，如果 m 会垂直，投影 l 一 撇，那么 m 就 会垂直 l， 这是我们讲垂直的一个重要推论。判断两条意面直线是否垂直，我看到投影，如果投影会跟他垂直，哎，那就垂直了， 能明白吗？同志们，所以我们来看这道题目，对吧？这个 a e c 在 这个底面的投影是谁？ a e c a e 的 投影下来不就是 a 吗？所以呢，不就是 a c 吗？ 那么我们观察这个 a c 和咱们这个 a 得会垂直吗？ 很明显，这个正三根柱底面是一个正三角形，这是 a c， 这是 b， 哎，这是得 ac 和 a 得呢，不会垂直，所以你的投影跟它不垂直，那么你这两条异面直线呢？也就不会垂直了，因此， a 选项，哎，给它枪毙了。同样道理，我们再来看一下 b 选项， b 选项说 b 一 c 一 会垂直这个平面 a 一 a 得线面垂直，如何来判断一条线和这个平面会垂直呢？哎，我们还记得吗？ 判断一条线和一个平面垂直，那一定是这条线 l 要垂直平面 r 把内两条相交的直线。 所以的话，你需要判断 b 一 c 一 和这个平面是否垂直。那第一，毫无疑问，咱们这个 b 一 c 一 啊，是会垂直咱们这个 a a 一 的，这是第一条，对吧？那么平面 a 一 a 得，我再看一下，这个 a 得会和 b c 一 垂直不？ 那么又运用我们刚才所学的 bc， 在 这个平面把它移过来，不就是 bc 吗？ bc 和 a 的 会不会垂直？毫无疑问，由于它是一个什么三角形，正三角形，这是 b， 这是 c， 这是 a 正三角形，这个终点是当然是垂直它的， 所以咱们这个 b c e 啊，也会垂直这个 a 得，因此，这个 b 选项呢？ a 是 正确的，线面会垂直，所以 b 选项并勾对角。再来看 第三个 c 选项， c 选项说 a 得会平行咱们这个 a 一 b 一， 哎，那这个平行的话，就比较容易看得出来了吧？你看一下 a 一 b 一 这条线是不是和 a b 是 平行？ 那好家伙，我 a 一 b 一 能不能平行过一个点做两条线跟它平行呢？不可能，对吧？你看我这条线不呃，会平行它，那么过这个点的这条线呢？那肯定不平行嘞， 所以咱们这个 a b 应该是不平行这个 a 得的，应该是说 a b 平行 a b 这是 ok 的。 所以 c 选项又给他枪毙了， a c 都枪毙了，那得呢，都不需要看，那肯定是对的。所以这道题目答案就是 b。 得 啊，那德学堂为什么是正确的呢？我们瞄一眼啊，线面平行。大家还记得线面平行的证明，无非就是在这个 r 法内找一条线，会跟它平行，对吧？ l 平行 m m 在 这个平面 r 内， l 不 在这个平面 r 内， 这样子的话，这个线和这个面就平行了。那我们读题， c c e 是 这条线， c c e 和这个 a a e 是 平行的，因为 c c e 和 a a e 平行，对吧？然后呢，这个 a a e 呢，是在这个平面内的， 所以啊，得选项 bingo， 它就对了。同学们，有关于立体几何的这种小问题啊，我们一定要纳尼。
91江城数学毛老师
10:49查看AI文稿AI文稿你们是不是觉得空间想象能力不好，我立体几何就学不明白？你们的练习册中的很多模拟题，为了追求难度，给你把题目出的很偏，让大家误以为，哎，立体几何就是选学， 但其实真相是，在真正的高考当中，立体几何这个模块考察是非常套路化的。 胡老师教高中数学已经十三年了，我带的学生里面有很多函数真的学的一塌糊涂，但是他立体几何能考到一百三十分以上去， 关键就在于他们掌握了高考的二十五大核心题型的阶梯框架。今天呢，胡老师就把这些方法全部都给大家教给你，所以你认真听，立体几何也能够成为你们的强势模块，行不行？行，好， 那么我们要学好立体几何，咱们必须得过这五大关来。第一关叫什么？七大几何体，你要非常熟悉七大几何体，也就是说你要和我先写下来啊，圆柱， 圆锥还有呢？圆台好，圆台还有啥球球很好，还有棱柱还有啥能台？能锥 还有啥能台？哎呀，能台还有什么球球？对这些人做好朋友呀， 他们怎么画？他们的侧面展开图怎么画？他们拼接到一块基本的图形怎么画，你得清楚，这是空间感的第一步。你像这几年高考特别爱考的圆锥侧面展开图，让你求跟他有关的面积问题， 包括棱台有关的体积问题，是不是要非常熟练？是的好，你把第一关过了，那么基础分咱们稳稳拿下。 答案是，基础分拿下并不代表你能拿高分。所以这就到了我们今天要讲的第二个关，很多同学百分之九十的同学都会进入的同一个拉分陷阱，叫什么 球？哎呀，聪明啊，叫做球的问题，球里面要掌握哪些方法呢？ 大家要掌握的是对的，从两个方向下手，第一个是六大对的外接球的问题，第二个是常见的一些内切球，三大内切球的解法， 六大外接球，大家能不能想起来都有哪些方法？这个我没有讲过长方，比如说什么长方体模型，还有呢？圆锥，对了，圆锥模型并不是说只有圆锥可以用，是不是棱锥也可以用啊，是要注意它的识别条件，还有什么模型， 还有圆柱，还有什么模型？扇子，还有呢？两个终极大沙洲，一考就考你亚洲叫什么？ 双半径，哎，对了，双半径单交线，还有一个是双距离单交线的问题，都会啊， 会这六大模型，你做外接球的问题就是直接秒杀你不会，不好意思，你可能做五分钟你都出不来答案。 好吧，来看第二个内切球的问题，内切球，特别是常见的一些多面体的锥体问题，比如说对应的公式，我们给大家总结过，而等于三 v 除以 s 也很熟练，必须熟练于心，没问题吧？没有， 这些对应在咱们二十五大题型的第十三到三十七题，所以大家把模型吃透，你球类的问题就不在话下了。那么搞定了球之后，很多同学最怕的坎来了， 总觉得，哎呀，我没有空间想象能力，我这个类型结构就学不好，核心在于不会。第三个点叫什么？ 对了，平行垂直的证明问题，这是立体几何最本质的，最底层的东西就是你这个东西学不好，你整个立体几何的这个楼就塌了，明白没有？ 这也是我们二十五大题型里面的重头戏了，足足占了六大题型。来，先说第一个叫平行问题，平行问题需要掌握什么？ 常见的要让你证明吗？对了，让你证明我们给大家讲的是什么法？尺子法去证明，然后还有一些特别爱考的叫动点问题，是不是叫动点有关的探索问题？ 那你是不得我们讲的口诀还有人有印象没有，叫做谁不动平移谁，对了，这是诀窍。好，接下来下一个叫什么问题？垂直问题， 你记住哈，所有立体几何的核心都是垂直的问题，你垂直学不好，你立体几何底层楼是摇晃的，垂直里面一共分为三大需要大家掌握的。第一个叫什么？垂直线线，第一个叫做线线垂直 线线垂直的核心是什么？嗯，我这样写，横着写 线线垂直，核心是找一根线，把这个线放到面对去，那这根线应该怎么去找？是有套路的。除此以外，线面垂直这个好正。还有一个叫面面垂直，那面面垂直的核心是什么？ 先挑一个面，从面中挑一根线，对，这个面怎么挑，面中的线又怎么挑，是不全是有方法的？那可不是你看答案随便去找的哟，所以大家一定要去总结，不断的去用它， 然后考试中更多的是把这些杂揉在一块，综合去考你。然后我们就衍生出来了很多方法，比如说三垂线模型，对吧？矩形模型、勾股模型，你会了这些方法证明是又快又准的。 当然大家要注意哈，我们费了这么大劲搞平行和垂直，不是说只是为了让你做题挣着玩的，所有的工作都是为了给第几关做补点。 第四关叫做夹角问题，高考的大题以及我们平时月考、期中考，只要考到例题，几何大题的第二问非常重要，必考内容重中之重。二十五大题型里面，六道最拉分的题全都在这。 所以说这里一共是三大方向，哪三个方向？来告诉我夹角问题。什么角？ 谁和谁的夹角？线和线的夹角，线和线的夹角有哪些方法？第一个我，我们说的是意面之线，明白没有？我是不是可以通过平移把意面变成共面的？ ok， 我 们还给大家讲了一个大招， 叫空间余弦定力。注意，不是余弦定力，是空间余弦定力，如果你剩两个，你发现你都搞不定，还有个万能的方法，叫什么叫做向量法，可以通过间隙去解决问题。 ok， 三个方法除了线线之外，还有什么？线面线面对大体主要就是考后两个叫线面和面面啊。线面第一个方法拿什么去做？ 对了，所有的就是，哎，我先用定义找到线面对用的夹角。嗯，那如果我定义找不出来那个夹角怎么办呢？向量，我们还有个备胎的方法，忘了吗？ 叫做等微等高啊，求正弦，非常好用，规避了你不会找夹角的问题， 再实在不行，有了一个保底的方法叫向量法，这是核心你要掌握的。 那下面搞定之后，还有一个爱考的叫什么叫做面面夹角的问题，好，面面夹角，哎，对二面角的问题，哪些方法？嗯， 定义方法，第一个特别特别爱考，这几年不管在高考中还是在你平时考试中，而且经常考小题，这两个一旦考小题，其实更多的用的是从定义的角度，你得会 ok 吗？ ok， 好。 还有大题中爱考的是什么方法？ 三锤宪法，我说的是都是高频爱考的啊，你是你必会的，实在前两个搞不定也是一样的。叫什么法？项量法， 很多高三的孩子最后说，胡老师，既然你说项量法比较重要，我就只学项量法，项量法，项量法 只靠空间向量去做题，结果考试一紧张，坐标写错，或者有的题目你发现那个细根本就见不出来。所以，尤其咱们现在高一的孩子，现在在学立体几何，真正能让你跟别人拉开差距的。前面的这些几何的方法，我们要一开始把它学透， 一开始就要去刻意训练，这些结合方法没有问题吧？没有好，前四个关过完，那很多同学觉得，哎呀，理论结合学完这些就没问题了，往往在最后的关头，你发现你们会丢分，因为你忽略了最隐蔽的第五关叫什么。 哎！对了，还有一个问题叫做距离问题，距离在我们老高考中经常考点面具，点面具吗？是吧？点面具说白了其实就是体积的问题吗？转化成体积的问题，我们新高考中还增加了什么 意面？直线的距离，这是最容易被大家忽略掉的，必须重视。 所以呢类题结合就是以上五个大关，考来考去，翻来覆去，永远都是总结完二十五大题型，你把整套体系攻克掉，你的成绩一定是突飞猛进的。 所以大家不管是高一、高二还是高三，现在攻克都完全来得及，那么这二十五大题型每一个类我们怎么快速拿下对应的方法， 胡老师每一个全给你们配套了。同类型的辨识训练，从基础到重点到难，全部都总结好了。你想快速搞定立体几何的，你可以留 立体几何，胡老师全都给你安排，抓紧时间打印起来，跟着胡老师拿下立体几何没有问题吧？没有好下课！
379老胡模型数学思维提升
24:34查看AI文稿AI文稿本期我们学这个学会就是满分 一个视频搞定立体几何垂直证明。我是小树老师，今天我将会用二十四分钟时间带你系统梳理立体几何垂直证明的四大常考题型。首先我们来看一下我们今天要给大家讲的第一种题型，如何证明线面垂直。 那么我们要搞清楚线面垂直的基本方法呢？我们首先需要知道它的基本原理是什么？我在屏幕当中呢已经给大家写出来了，他是这样说的，他说如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直的话，我们就说这条直线呢，与此平面垂直。具体这个原理应该如何使用呢？我们来看看下面这道题啊，他给了你这样一个四棱锥， 然后告诉你 pa 和底面垂直，底面是菱形， e 为 c、 d 中点。最后让你证明 b、 d 和 p、 a、 c 垂直，就让你证明什么呀？让你证明这条直线 b、 d 和这个平面 p、 a、 c 呢？垂直。 根据我们刚刚所讲的线面垂直的基本原理，我们要去证明 b、 d 垂直于面 p、 a、 c 的 话，只用证明什么？只用证明 b、 d 垂直于这个面 d、 a、 c 中两相交直线。那么这时候大家就会有问题了，那么请问应该是哪两条线呢？有没有一些什么样的基本方法？其实是有的啊，就是我们要去关注题干当中已有的垂直关系。 我们回过头来看一下题干啊，他有这样的一个条件，他是这样说的，他说 pa 呢和 abcd 垂直，就是这条数值的直线 pa， 他 和这个平面 abcd 呢是垂直的。这有个知识点大家需要知道啊，就是若 pa 垂直于这个面 a、 b、 c、 d 的 话，那么则这个 p、 a 呢？它就垂直于这个面 a、 b、 c、 d 中所有直线。大家看这个图啊，很明显这个 b、 d 怎么样？它就在这个平面 a、 b、 c、 d 当中， 所以说因为 b、 d 呢，它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的。 哎，所以说我们就可以得到 pa， 怎么样他就和我们的 b、 d 垂直，这不就是大家所找到的第一组垂直关系吗？ b、 d 垂直于 pa， 因为我们刚才讲了过要 b、 d 怎么样垂直于这个平面当中的两条相交直线，一条是不是还不够啊？我们需要再找一条， 那么另外一条在哪呢？你不是还有一个条件没有用吗？他是这样说的，他说底面 a、 b、 c、 d 呢，是菱形。朋友们，你们回顾一下你在初中学到的关于菱形的知识点里面有个什么知识点就是菱形啊， 他的这个对角线呢，是互相垂直的，是这样吧，就这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是个菱形， b、 d 和 ac 呢，刚好是他的两条对角线， 所以说自然它是怎么样是垂直的，所以说已经拥有了我们的第二组垂直关系，就这个 b、 d 呢，怎么样和 ac 也是垂直的，所以说你看这个是不是就符合我们刚刚所讲到的线面垂直的基本定律？就是 b、 d 垂直于 pa， b、 d 垂直于 ac， 这个 pa 呢？和 ac 怎么样还交于我们的 a 点，所以说我们就可以得到 b、 d 呢？它就垂直于我们的这个面 p、 a、 c 就 完事了。 基于刚刚给大家讲到的这个线面垂直证明方法，大家可以趁热答题呢，来做一下下面这道题，他是这样说的，他给了你这样的一个正三能柱， 大家知道什么叫正三能柱吧，我把他的基本性质呢给大家写到这，他有两个性质，第一个就是底面呢是正三角形，第二个特点呢是侧能与底面垂直啊，这次关系后面肯定都用得上啊。然后呢他又说了，第一呢分别是这个两条能的中点， 并且呢告诉你 a、 e、 a 和 a、 e、 b、 e 呢是相等的。最后让你证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直，就是哪条线就这条线 a、 e、 b 和哪个平面垂直，就是和这个红色的平面 c、 e、 d、 e 垂直。我们刚刚是不是讲到过了，你要证明这个 a、 e、 b 和这个平面 c、 e、 d、 e 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明这个 a、 e、 b 垂直于这个面 c 一、 d、 e 中两相交直线。那么这个时候大家同样会有一个问题啊，就是请问是这个平面当中的哪两条相交直线呢？这个找直线的技巧是什么？这确实是有一个统一的解析技巧啊，叫做先找 相交垂直，再找意面垂直。可能有同学不太能够理解这两句话什么意思啊？我们来给大家解释一下。我们回到左边这个图，我们来观察一下，你会发现这个红色平面当中你能够看得见的线条是不是有三条， c、 e、 d， c、 e 还有 d、 e 这一共这三条线吧，那么你会发现这三条线当中有没有哪条线和我们的 a、 e、 b 是 相交的呀？有没有？有吗？哪条线和 a、 e、 b 是 相交的？ d、 e， 你 发现这个 d、 e 呢，和我们的这个 a、 e、 b 呢是相交的， 那么如果他们俩垂直的话，我们就把称之为香蕉垂直。之所以要先找香蕉垂直呢，是因为这种垂直是最好正的。我们回到我们的题干了，他给了你这样的一些条件，首先呢，他说了这是一个正三棱柱，我们都知道棱柱的侧面都是平四吧， 又因为它是一个正三能柱，侧能与底面垂直，所以它不仅是一个平四，它还是个什么形？是个矩形。再加上题干当中还有这么一个条件，叫 a 一 a 和 a 一 b 一 相等，就是这条线和这条线相等，所以它是个什么呀？它是个平四，是个矩形还是一个正方形。 所以说这个四边形 a e a b b e， 它是个什么形啊？是个正方形，那正方形的话，它的对角线肯定是互相垂直的呀，那这个是 a、 e、 b， 这个呢是 a、 b、 e， 然后我们这个 d、 e 呢，它和 a、 b、 e 呢是平行的， 所以说我们就可以得到 a 一 b 垂直于 a、 b 一， 然后这个 d、 e 呢，他又是平行于 a、 b 一 的，所以说我们就可以得到 a 一 b 呢，他就是垂直于我们的 d、 e 的， 这不我们就得到了第一组垂直吗？就是 a 一 b 垂直于 d、 e 就 完事了。那么找完了香蕉垂直之后，你会发现剩下的线条都没有和 a、 e、 b 怎么样相交了，这个时候我们就要怎么样去找意面垂直。这时候大家还是回到我们左边这个图案，你会发现这个红色平面当中，除了 d、 e 之外，还有两条线，一条是 c e d， 一 条是 c e、 e， 那 么这两条线当中很有可能有一条和 a、 e、 b 垂直，那么请问我们是优先选择 c、 e、 d 呢？还是选择我们的 c、 e 啊？ 选择哪一个？大家觉得我们是不是应该选择 cad？ 为什么我们这道题到了这个时候要优先选择去证明 cad 和这个 ab 垂直呢？理由是什么？理由是题干当中所给到你的条件是有利于你用 cad 去找垂直关系的。哪个条件？他不是一个正三能柱吗？我们说到过正三能柱怎么样？底面是一个正三角形啊，正三角形怎么样？三线合一。 所以说我们要优先去证明什么呀？我们要去证明这个 a 一 b 垂直于我们的 c 一 d 就是 我们的第三个图。 但是意面垂直呢？这也有一个技巧，叫做你要怎么正？你直接正，正不了啊，他那没挨着叫做反过来正。哎，这有个同学不太能够理解什么叫反过来正，就是我本来要证明 a 一 b 和 c 一 d 垂直对不对？但是你要反过来证明什么呀？ 你要反过来证明 cad 垂直于 aeb 所在的面，因为如果 cad 和 ab 所在的面都垂直了，那他不就和 ab 垂直吗？ 那么问题来了，我要证明这个 cad 和这个 ab 所在的平面垂直的话，他应该是哪个平面呢？很明显就是这个蓝色的平面，即你要证明什么呀？即你要证明这个 cad 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e。 所以 说你得怎么样？你得再证明一次线面垂直。那么根据我们刚所讲的基本原理，你要证明 c、 e、 d 和这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 垂直的话，只用证明什么呀？只用证 c、 e、 d 垂直于这个面 a、 a、 e、 b、 e、 b 中两相交线，那么请问是哪两条线呢？不又来了吗？第一课就是 c、 e、 d， 它是垂直于 a、 e、 b、 e 的， 为什么这个 c 一 d 和这个 a 一 b 一 垂直呀？是因为这个三角形 a 一 b 一 c 一 是一个正三角形，三线合一嘛，我把这个图给大家画出来，正三角形的特点呢？比如这是 c 一， 这是 a 一， 这是 b 一， 这是 d， 这不就垂直吗？所以第一个垂直关系咱们是不是有了？那么第二个垂直关系是什么呢？就是这个 c 一 d 呢？它就垂直于这个 a、 a 一。 那么为什么 cad 和 a 一 垂直呢？那是因为因为什么呀？是因为它是一个正三楞柱啊，这个侧能 a、 a 一， 它是垂直于这个面 a 一 b 一 c 一 的呀，正三楞柱的性质吧，侧能与底面垂直啊，你看这不就连上了吗？侧能和底面垂直，所以说侧能就和底面所有的直线垂直。 a、 a、 e 和底面垂直，那么 a、 a、 e 就 和底面的 c、 e、 d 垂直。那由此的话，我们 c、 e、 d 是 不是就垂直于这个面当中？两条相交直线，那么 c、 e、 d 呢？它就和 a、 e、 b 垂直，整个逻辑链条呢，就清晰了。 如果大家没有听得很明白的话，我建议大家倒回去再听一遍，这道题背后的方法呢，非常重要。讲完了线面垂直之后呢，紧接着我们来给大家讲第二种题型，就是如何证明线线垂直。同样的，我们先把线线垂直的基本原理告诉大家，就是如果一条直线呢，与一个平面垂直，那么该直线呢？与这个平面当中的所有直线都垂直， 所以说如果我们要证明线线垂直的话，我们最终都需要把它转化成什么呀？转化成线面垂直来证。这个时候大家其实是有两个选择的，第一个选择呢，就是我要去证明 b、 f 垂直于 a、 d 所在的面，或者是呢，我们就要去证明 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面，那么我们具体应该选择哪一个呢？我们先在图当中把这两条直线给大家找着啊，一个呢是我们的 b、 f， 一个呢是我们的 a、 d， 你 看这个图啊朋友们，你觉得是 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面好找呢？还是 b、 f 垂直 a、 d 所在的面好找？很明显是这个 a、 d 垂直于 b、 f 所在的面更好找一些， 就是我们 a、 b、 f 这个面，如果说你实在是无法一下子就判断出来的话，你可以都尝试一下啊，所以这个基本逻辑就很清晰了，就是如果你要去证明这个 b、 f 和 a、 d 垂直，只需要证明什么呀？只用证明 a、 d 垂直于这个面 a、 b、 f。 所以 他又回到了我们刚刚所讲的线面垂直的问题啊，那所以就怎么样只用证明 a、 d 垂直于这个面？ a、 b、 f 中两相交直线 哪两条？第一条 a、 d 和 af 是 垂直的，这是已知的呀，题干里面是不是说了呀，这不用你去证，直接用就好了。那么第二个是什么呢？第二个是这个 a、 d 呢？垂直于我们的 ab， 为什么呀？因为底面这个 a、 b、 c、 d 是 个什么东西？它是个矩形啊，题干当中不是说了吗，矩形的邻边是不是垂直的？所说 a、 d 和 ab 垂直是因为什么呀？是因为这个 a、 b、 c、 d 是 矩形，这不就完事了吗？ 因为 ad 和 af ab 垂直，所以 ad 就 垂直于平面 abf， 而这个 bf 呢，恰巧又在这个平面里头，所以说 ad 和 bf 垂直就完事了。我们再来做一道题，让大家巩固一下，大家可以先自己暂停一下，自己做一做，然后再来听我讲啊， 我来带大家读一下题啊，他是这样说的，他给了你这样的一个多面体，然后呢告诉你 d、 e 和 a、 f 平行，然后又是垂直，并且呢这个四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，最后让你证明 b、 d 和 c、 f 垂直。 根据我们刚刚所讲的原理啊，就是我们要证明 b、 d 和 c、 f 垂直的话，其实你就两个选择，要么你就证明 b、 d 垂直于 c、 f 所在的面， 要么你就去证明 cf 呢垂直于 b、 d 所在的面。那么我们应该是选择上面这个呢还是下面这个呢？我们其实需要看一下 b、 d 和 cf 的 相对位置啊，我们在图当中呢，先把这两条线呢给它找着啊，这是我们的 b、 d， 这是我们的 cf。 初学的同学呢，可能确实不知道应该选择这两个当中哪一个，那么如果说你不知道应该选择哪个的话，你就读读题，他会给你一些提示， 比如说这个地方，他告诉你这个四边形 a、 b、 c、 d 呢是菱形，那你想菱形有什么特点呢？对角线互相垂直啊，那你把这个 b、 d 和 a、 c 呢对过来连起来之后，哎，你把这个图一画，你不大概就能看出来那个面的图形了吗？那不就是我们的 afc 吗？是吧？至少他是你的首选吧， 它有可能是证明别的线和面啊，但是这个一定是第一选择，那所以说我们会考虑啊，证明什么呢？证明 b、 d 垂直于这个面 afc。 那 么根据我们刚刚讲完的线面垂直证明方法，我们要证明 b、 d 和 afc 垂直的话，只用证明什么呀？只用证明 b、 d 垂直于这个面 afc 中 两相交线。那么其实我们刚刚在找面的过程当中，不是已经找着一条了吗？哪一条呢？就是 b、 d 和 a、 c 垂直，那么 b、 d 为什么和 a、 c 垂直？我们刚讲到过这个四边形是个什么形啊？这个四边形 abcd 呢？是个菱形啊，菱形的对角线 是垂直的，所以这组垂直关系呢，是比较好判断的，这是菱形的性质。那么另外一条呢？ b、 d 应该和谁垂直呀？ 那自然和我们的 af 垂直了，那为什么会想到 af 这条线呢？你肯定不能选择 cf 呀，因为 cf 本来就是你要去正的呀，是吧？我们就要去证明 bd 和 af 垂直，我们在图当中把这个 bd 找着，把这个 af 找着， 发现什么问题了吗？这个是不是就是咱们刚刚所讲到的这是什么垂直啊？这是一个意面垂直，就这两条线怎么样不相交啊？意面垂直，咱们刚刚说了，应该怎么正，应该反过来正， 怎么反过来，就是你本来要证明的 b、 d 和 af 垂直，是不是？但是因为它两不相交，你没法直接证，所以你要反过来证明什么呀？证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，反过来证明 af 垂直于 b、 d 所在的面，那么应该是哪个面呢？那 b、 d 在 哪个面上？ b、 d 很 明显在这个底面上啊，所以其实就证明什么呀？就是证明我们的 af 垂直于这个面， a、 b、 c、 d。 那 为什么面 a、 f 和 a、 b、 c、 d 垂直呢？你得读读题，题干当中说了 d、 e 看见了吧？和这个 a、 f 怎么样是平行的， 然后这个 d、 e 呢？它又是和底面垂直的，那如果两条直线平行，其中一条和底面垂直，那么另外一条肯定也垂直呗，所以就两个条件，第一个， 第一垂直于面 abcd， 第二个，第一和 af 平行，有他们俩你就可以得到 af 呢和 abcd 垂直。你看这个逻辑链条呢，就完整了， 也就是我们在思考的时候，肯定是从结论往条件上去推啊，我们在写步骤的时候呢，就倒着写回去不就得了吗？从这种题一定要大家自己去做一做，自己去体会一下，就题不在多，一定在于大家有没有掌握它的基本逻辑，因为发现我们讲的这几道题都是一个基本的规律，都是一个套路。 讲完了线面垂直和线线垂直之后呢，就是我们的第三种题型，面面垂直。这个面面垂直很像他最终都是需要转化成线面垂直来正的， 具体的转化原理是什么呢？我们来看一下。他是这样说的，他说如果一个平面经过另外一个平面的垂线的话，那么这两个平面是垂直的。我再给大家读一下这句话啊， 就是如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面呢？就是垂直的。那所以说我们要去证明两个面垂直应该怎么证明？我们应该证明 其中一个面上一直线垂直于另外一个面。比如说这道题，你要去证明这个 abc 和 pop 垂直的话，这个时候你也有两个选择，要么你就证明这个面 abc 中一直线 垂直于这个面 pop， 你 要么呢就是另一个选择，就是证明面 p o、 b 中一直线垂直于这个面 abc。 那 么同样的问题来了，我应该选那一个呀？具体的话还是一样，你需要先在图当中把这两个面找着，看谁更像一点，谁的垂直关系更多一点，你就选谁。 我们先在图当中把这两面给它画出来吧，一个是 abc， 就 这个底面，一个呢是我们竖着这个 p o b 看了这个图之后呢，如果有经验的同学确实能一眼瞪出来啊。如果是初学的同学呢，也不用着急，如果你实在是不会选了，我们说了，你就看一看题干当中有哪些已经知道的垂直关系呗。 你先把它在图当中给它标记出来，你比如说他说了 p a、 c 这个三角形是个什么三角形？是个等边三角形啊。等边三角形有什么性质呀？三线合一就是角平分线，中线和高是同一条线， 那么这个 p a、 c 是 等边三角形， o 又是 a c 中点，所说哪个角是直角？这个角是直角，没问题吧？这不就是一组垂直关系了吗？然后呢？他这还说了个条件，说个什么条件？ ab 和 bc 相等啊，所以这个三角形它不是一个正三角形，但它是个什么三角形？这个等腰三角形，等腰三角形也满足三线合一的这个性质， 所以这个角也是直角，那么由此我们就可以知道什么呀，我们就可以知道 a c 它和 o p 垂直， a c 呢？它和这个 o b 呢也垂直，又因为这个 o b 和这个 o p 怎么样？它是相交的呀，所以我们就可以知道什么呀，我们就可以知道这个 a c 呢，它就垂直于这个面 p o b， 然后又因为什么呀？又因为 a c， 它在另外一个面 a b c 上，所以这个面 abc 它就垂直于这个面 p o b。 这不就是我们刚刚所说到的 abc 当中的一条直线和 p o b 垂直吗？我们选的是哪条线，选的是 a c 啊？ 那这个 ac 这条线是怎么找出来的？是我们根据题干当中已有的垂直关系给他判定出来的，就如果你有经验，你看到这个图形，你可以快速的给他蹬出来，如果说你没有经验呢，你就可以先把题干当中已有的这些垂直关系怎么样都给他标出来，你一放，你会发现他就一目了然了。 这道题呢，我们就给大家留成练习题，大家可以先自己暂停做一做，然后呢把你的答案呢发到我们的评论区里面，我来帮助大家看一下，如果大家有什么疑问的话，我们欢迎大家随时来讨论。 然后呢我们来看一下今天要讲的最后一种题型，就是面面垂直的性质定律。那么什么叫做面面垂直的性质定律呢？具体的使用场景又是什么呢？就大家在以后做题的时候，你会发现有的时候这个题干当中的条件呢，是两个面垂直， 那么如果遇到两个面垂直这样的条件，我们应该如何翻译？我们先来看一下他的基本原理是什么？他是这样说的，他说如果两个面垂直，其中一个平面内有一条直线垂直于这两个面的交线，我们就说这条直线呢，和另外一个面垂直，是不是乍一读不知道他什么意思啊？我给你画个图，你大概理解一下，你就明白了。 比如说我这有个平面的 alpha， 然后呢，我这还有一个平面 beta， 这个 alpha 和这个 beta 有 什么特点呢？哎，他俩是垂直的，并且呢，这两条直线怎么样？还相交了一条交线 m， 即我们的 alpha 和 beta 相交交于这个直线 m。 现在呢，我有另外这条直线 l， 这个 l 有 什么特点呢？它是包含于这个平面阿尔法的，就是它整个在这个平面阿尔法里头，并且呢，它还和这个直线 m 呢，是怎么样是垂直的？那么如果说同时满足这四个条件的话，我们就可以得到 这个 l 呢，它就是垂直于这个贝塔的。那么进一步呢，这个 l 呢，它就垂直于这个面贝塔中 左右直线。你看这个链条，我们可以把面面垂直转化成线面垂直，进一步转化成线线垂直。那么具体这个原理应该如何使用呢？我们肯定就要就题论题了，我们来看下这道题啊，他跟你说这个正方形 a， b， c， d 和这个正三角形 a d， p 所在的平面呢？怎么样是互相垂直的， 然后呢， q 呢？是 a d 中点，让你去证明 p q 垂直于 b q。 你 这道题首先应该先把条前面这个条件给它翻译一下，就是这个平面 p a、 d， 它和这个底面 a、 b、 c、 d 怎么样是垂直的？根据我们刚刚所讲到的这个原理，我们是不是要去找着它的交线？很明显这个交线是谁啊？是我们的 a、 d 呗， 所以我们照着左边这个原理就可以直接来翻译它了，因为这个面 a、 b、 c、 d 垂直于这个面 a、 d、 p， 然后这个面 a、 b、 c、 d 怎么样？它是不是和我们的这个面 a、 d、 p 相交了？交线刚是不是画出来了，就是我们的 a、 d 呗。 那么是不是应该要找到怎么样一条和交线垂直？直线？那么哪条线和交线是垂直的？你看题干当中他不是说了这是一个什么形？这是一个正三角形啊，正三角形有什么特点？三线合一啊，所说哪条线和交线是垂直的？这条蓝色的线 p q， 因为 q 是 终点吧， 所以很明显这个 p q 呢？它是不是又包含于我们的那个红色的面 p a、 d 的？ 那所以说根据我们刚刚所讲的这个基本性质，我们就可以得到这个 p q 呢？它是垂直于我们的这个面 a、 b、 c、 d 的， 对吧？ 我们不是讲到过，如果这个 p q 垂直这个面的话，它是不是就应该垂直这个面当中所有的直线？所以因为这个 b、 q 它是包含于这个面 a、 b、 c、 d 的， 所以说 p q 他 不就垂直于 b q 了吗？你看就这完了，就这么简单。我们再来看一个是一样的做法，他给了你这样的一个三等锥，然后呢告诉你，三角形 p、 b、 c 呢？是等边三角形，你看等边三角形很有可能就会用到三线合一的那个性质啊，然后 a c 垂直于 p b， 然后这两个面又垂直，就让你证明 a c 和 p b c 垂直。 看着好像各种乱七八糟，条件一大堆吧，你就记住了，你就一步一步来，按部就班的做，你就能做出来。首先应该怎么样？你首先应该先把这个条件翻译一下，因为面面垂直作为条件是没法直接用的 啊。先找着这个平面 pbc 好， 找着它，然后找着这个平面 abc， 通过这个图能看出来这个交线是谁，就是我们的 bc 吧，所以我们来写一下这个基本步骤，你看因为面 pbc 垂直于面 abc， 然后这个面 pbc 是 不是和我们的这个面 abc 怎么样 相交了吧？有一条交线是不是就是 bc？ 那 么紧接着应该怎么样找到一条和 bc 垂直的直线啊？那谁和 bc 垂直？你读读题，这不有一个条件吗？看见没有？ pbc 是 等边三角形， o 又是中点，这不就是我们所说的了，什么东西啊，三线合一啊，说哪是个直角， 这是个直角啊，等边三角形的性质吧。好，所以说我们就可以知道哦，这个 p o 它是垂直于我们的交线 b c 的， 又因为这个 po 呢？它在这个面 p b c 上吧，在那个蓝色面上，所以根据我们刚所讲到的面面垂直的性质，我们就可以得到这个 po 呢，它就垂直于面 abc， 那 它垂直于面 abc 的 话，那么所以说这个 po 它就垂直于这个面 abc 中所有直线，这不就翻译完了吗？这个条件就到此为止了啊。 然后我们再回到我们这道题的结论，你看你要证明的是什么？你不是要证明 a c 垂直面 p b c 吗？跟我们今天所讲的第一种题一样，我们要证明 a c 和 p b c 垂直的话，只用证明 a c 垂直于这个面， p b c 中两相交线，那么哪两条相交线第一条就是 a c 是 垂直于谁的呀？ p b 的 呀？这个是已知的呀，这不用你去证。那么第二个是 a c 垂直于谁呢？ a c 呢？垂直于 po， 这个是因为什么呀？是因为 po 垂直于 abc 这个平面当中所有的直线呗。你看这不就完事了吗？就做完了呀， 因为 ac 垂直于 p o， ac 垂直于 pb， 所以 ac 垂直于这个平面当中。两条相交之前他就和这个平面垂直了，就和我们的今天讲的第一种题型不就连起来了吗？ 所以说大家如果把这几道题放在一块看的话，你会发现其实立体几何的垂直证明呢，并不复杂，关键点在于大家有没有掌握一套基本的解析逻辑和思路，如果纯平感觉肯定不太行。 以上呢，就是我们关于立体结合数学证明的所有知识解读，希望对于大家的学习会有帮助。我是小树老师，关注我带你掌握更多的高中数学知识。
1.5万秒杀小数
09:55查看AI文稿AI文稿你信不信，只要高考出现外接球的问题，咱们班百分之九十的人连球星都找不到。信，哈哈哈，球星都找不到，你还做个啥呀？ 当然不用担心哈，胡老师一线授课十三年了，我带了上万名差生跟胡老师成功逆袭的，那么外接球再难翻来覆去就是这六大模型，一个一个挨着带，大家去找球星， 就怕你们考场认不出模型。然后每个模型我又给你配套了专项的不同难度的训练题目，大家务必一定要亲自做一下好不好？好好，先来看第一个长方体模型，一定要搞清楚每个模型的适用前提哈，只要出现两两垂直， 有两两垂直，三根线两两垂直或说对棱相等啊，一般说是四面体，你都可以把这个体给他放到长方体里面去，借助长方体去求。举个例子，非常经典的墙角模型，你看，比如说出现两两垂直，他可能是个锥体， 我给你画一下，就这个锥体呗，能看清楚吗？这个颜色比较浅，你看 这个锥体是不是就可以通过长方体把他的体给他找出来，没问题吧？没有，在这，那是不是他的外接球就是这个长方体的外接球，是没问题吧？那长方体的外接球怎么去求呢？嗯， 长方体的外接球的球心在于长方体的最中间，为什么呢？因为最中间这个点到长方体每一个点的距离都是一样的，而这每一个点不都在球上吗？是不是到球上的距离都是一样的呀？那不就是半径 r 了吗？对， 对啊，所以这就是球心，明白了没有？明白，那这个球心在哪呢？是不是在长方体的体对角线上？对了，所以长方体的体对角线的一半就是 r， 明白了没有？明白了，那这个 r 你 会求吗？ 会求吗？我写一下 r 等于啥？ r 等于长，不会求 r， 总归就会求二 r 吧。二 r 等于长方体，长宽高的， 把它放到这个直角三角形里面去，是不是根据勾股定律可求？对 c 方加这这个方吗？对这个方是谁呢？ a 方加 b 方，会了吗？会了，所以二等于 a 方加 b 方加 c 方。开个根 没问题吧？没有，这不就可以求半径了。好嘞，这个说完完事了啊。识别特征得搞清楚。第二个叫扇子模型。就什么时候用扇子模型呢？ 出现两个共斜边的直角三角形，你看，这是一个直角三角形，这也是一个直角三角形，你俩共用的斜边 ab 在 这里。为什么叫扇子？它就像那个扇子折页的那两个页吗？对不对？那扇子模型你告诉我它的外接球球心在哪里？ 在哪里？球心嘛，它跟你看这些点是不是都在球上来？球心就在 a b 的 中点。对啊，球心它是不是到每一个点的距离得是一样的呀？知道到球面上每一点距离是一样的吗？你们不都在球面上吗？对不对？对，外接球问题吗？那球心是不是应该在这中间？ o 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， o 在 这，那你是半径 r， 你 是 r 等于一半，这不也是 r 吗？是不跟这边一连连过去，这也还是 r 啊。 所以说 r 等于二分之 a b 有 问题吗？没有。好，这是我们的第二个扇子模型，当然还有我们的第三个特别爱口的圆锥模型， 圆锥模型并不只有圆锥才能用，看这里写的棱锥也可以。那么这个模型的核心第一步关键在于找到这个圆锥的 轴结面。那这个轴结面怎么找呢？顺着这个高给他往下切一刀，那这个圆锥就变成了什么三角形。等腰很好，叫等腰三角形，就这个等腰三角形吧，我给你切一下，把它的轴结面找到，棱锥也可以。为什么棱锥可以啊？因为 你从这个圆锥上取几个点就可以连出棱锥出来吗？一样的，对吧？那他的外接球的球心在哪里？告诉胡老师，有的人是死记公式的，不要记公式啊，一定要理解。嗯，比如说球心 o 在 这里没问题吧？ 没有。球心 o 是 不是一直在，一直在他的高上来？对，关键是这个半径怎么求？连接球心和球面上的任何一个点，这是不是就是半径 r 了？ 核心在于构造，而 t 三角形底面圆所在的半径是 r， 那 这段的长度是谁呢？告诉我，这是直角三角形吗？这段长度是多少？ 锥体的高是 h， 那 这个是不是也还是 r？ 对， 那是不是这一段应该是 h？ 哎呦，减 r 没问题吧？没有，所以勾股定律来了，叫做 r 方，等于 h 减 r 的 平方加上小 r 的 平方， 然后你自己可以把它化解一下，得到一个你们经常在参考书里面看到的二一结论，就这么来的。然后来看第四个模型，叫圆柱模型。 圆柱模型不仅仅说是在圆柱里面能用，只要出现侧棱垂直于底面，我们就可以用 那侧棱垂直于底面，你比如说那圆柱就更不用说了吗？对吧？其实棱柱是不是侧棱垂直于底面也可以用，为什么呢？因为你看你从这里面可以给他画出一个棱柱出来吗？是的，我给你画一个棱柱啊，比如说，你看胡老师给大家画一下， 这是不是一个棱柱？对，来，我画的图可能不是很很标准啊。然后你把这个一连，你看这个棱柱的外接球是不是和这个 圆柱的外接球是一样的？是一模一样的？是的，所以它的适用条件，侧棱垂垂底面的圆柱可以用，没问题吧？没有棱柱可以用，没有问题吧？有棱锥。为什么棱锥可以用？前提条件啊？侧棱垂垂底面， 因为你把从比如说这个点跟这三个点一连，是不可以连出一个锥体出来？是的，是不是你们这些的外接球和这个圆柱的外接球都是同一个外接球？对，发现没有？发现了，你从这里面可以再截一个棱锥出来吗？是的， 没有问题吧？所以不要死记硬背，只要出现侧棱垂直于圆柱，他只要在这个圆柱里面能把他这个图形画出来，都可以。啊。啊？侧棱垂直于底面，只要在这个圆柱当中能把这个体画出来就可以，没问题吧？没有问题吧？好嘞，那这种问题他的圆心在哪里？ 他的圆心，你看这是一个对称图形吗？对这个棱柱而言，是不是是上圆心下圆心？一连是不是高了？对，在你俩圆一连最中间吗？这不是球形 o 吗？ 是不是？对，那这个怎么求呢？是跟上一个方法本质是一样的，叫构造。而 t 三角形球心到 球面上任何一个点，随便连一个点是吧？对，然后这不是刚连下来的吗？这不垂直的吗？这不是底下圆的什么半径？底下外接圆， 可能是一个棱柱吧。棱柱就是外接圆吗？对，那如果是圆柱的话，就算底面圆吗？对不对？就他的半径 r 吗？那这个是大 r， 那 这个是谁呢？高 一半，哎，对了，这个叫二分之 h， 所以 他是二分之 h 的 平方，换个颜色啊，他应该是二分之 h 的 平方，加上小 r 方，等于 r 的 平方， 会了吗？会了，你看到有的人或者你们看了你的教辅资料，里面给你画了一个侧棱垂直于底面的棱锥，给你推这个，有的人他理解不了，把它放到这个里面去，是不是就瞬间很直观了？对，好，直接拿捏列方程就好了。 前四个相对来说都是比较规则的一些题，当然我们如果遇到一些那些体长得不怎么规则，比较流氓的这种题怎么办呢？比如说就像我们的这种题型五和题型六， 这两个题型识别条件都非常经典，但同时都是我们考试中的亚洲题。同时我们也给大家总结出了终极大招。你比如说像第一个叫做只要出现面面垂直， 只要有面面垂直，就是双半径单交线，只要出现夹角。这里我是不是漏写了，只要出现两个面的 两个面的夹角问题，那么我们的方法就是双距离单角线。 那这两个模型，因为这黑板真的是太挤了，我写不下了，而且在黑板上不太好画图，我觉得在我的电子 ipad 上画图会比较明显，所以胡老师把他的整个推导的过程全都给大家整理出来了 好不好？直接套用公式，这种题做亚洲体，你直接三十秒一分钟就做完了，你同桌可能思考十分钟做不出来，所以一定前提是先把模型的本质是什么给他理解透彻， ok 吗？ ok， 不 用画图考试直接带公式， 这六大模型就是我们外接球的六大核心的所有的考法，当然大家光听 你不练肯定是不行的，考场上一变式，你发现你照样蒙。所以呢，胡老师真的是怕大家眼睛会了，你手下不会，我就把这六大模型，每一个模型对应的题型有详细版的步骤讲解，也给大家全部整理好了，包括推导，包括基础中等难的变式训练 全梳理出来了。所以我们放假期间，大家一定要跟着胡老师练起来好不好？如果你外接球有问题，你可以留外接球，胡老师给你安排，抓紧时间打印出来，跟着胡老师外接球练完直接拿满分行不行？行，好，下课！
223老胡模型数学思维提升
11:54查看AI文稿AI文稿一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到逆题结合平行的全体行，在这节课，我会给大家把线面平行，面面平行 所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是问题。那么首先呢，我们来看到线面平行， 你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的，但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边，他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b， c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b、 d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时呢，我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的。而此时呢，咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了。 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e， e 平行于 c， e， e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d， d e， a， e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c、 e 怎么给它平移过去，找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a、 d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这儿看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a、 b 平行于咱们 c、 d 的， 所以 说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c、 d、 e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平行上去 c、 d、 e 也是二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈， 所以呢，我们就来写一下哈，因为咱们的 c、 e、 d， e， 它是平行于 c、 d 的， c， d 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 c、 d、 e 呀，它是平行于 ab 的。 又因为咱们的 a、 e， 它等于 c， d， e 等于 c， d， e， 它是等于二的， 所以立刻马上 c、 d、 e， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e f， a， e， f。 来画一下哈， a， e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于咱们的 b e c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了。你再去证 ab 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写嘞？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点，一个动点。 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的。 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 o f， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这段 o f， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 a p 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？他说，此时 p f 比上 p c， 也就是一比上 p c 就是 四的，所以最后答案来选咱们的 d 选项。 讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在逆梯结合里边平行线来，他是永远追不上的，但是他们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大 北大，从来不是因为追上某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
17:31查看AI文稿AI文稿一个视频给同学们讲清楚立体几何洁面问题，总共分为三个模型，有的同学总觉得找这个洁面是个很困难的问题，今天呢，记住李老师这三个方法，这样的问题就会变得很简单。好，下面咱们从第一个模型开始讲起。 洁面补全之双胶线模型，那有的同学该说了，什么是双胶线模型？大家来看哈，如果在咱们做题或者考试中，对吧？题目给到了我们这个平面与这个结合体 是有两条公共的交线的时候，那咱们可以称为双交线，比如说大家来看看我这个图， a、 e、 d、 e 这个对吧？平面和这个几何体是不有两条对吧？交线的哪两条？ a、 e、 d 对 吧？你看这个线是不是又在这个平面中，是不是又在这个几何体中，对不对？ 那同样的，那然后呢？ d、 e 对 吧？同样的也在这个平面中，也在这个几何体中，咱们就称为双交线的一个模型。 大家记住哈，双交线模型咱们只需要找他的一个平行线就可以了，那为什么这样说呢？咱们机的原理是什么呢？因为咱们知道，对吧？经过两条平行直线，尤其只有一个平面，比如说我这里画一个线，这里画一个线，对吧？两条平行线咱们是可以决定一个平面的，对不对？ 所以呢，对吧，咱们遇到双交线的一个模型，咱们就找他的一个平行，好，那具体该怎么找呢？大家来看哈， a、 e、 d 这根线对不对？那然后呢，那我能不能在这边这个平面内去找一个与 a、 e、 d 平行的直线？那有的同学该说了，对吧？那这个 b、 e、 c 对 吧？是不是和这个 a、 e、 d 是 不是平行的，对不对？ 但是呢，那这个线虽然和 a、 e、 d 平行，但是呢，它不经过这个平面，哪个平面？就是咱们这个给定的 a、 e、 d、 e 这个平面，对不对？那大家来看，那然后如果我先把这个平面这个平线给画出来哈， 那是不在这位置，对不对？那我再去平行这个 b、 e、 c 的 话，与这个平面有交点，大家来看哈，因为这里的 e 点给它是中点哈，首先，那然后呢，我在这个 b、 e、 c 上我取个点，对吧？我取个 f 点， 那我这个 e、 f 是 是不是相当于是平行这个 b、 e、 c 的？ 为什么？ 对吧？因为 f 是 这个 b、 e、 c 的 中间， e 是 c、 e、 c 的 中间，那所以呢， b、 e、 c 对 吧？是不是就平行这个 e、 f 了？那同样的，那 e、 f 是 不是也就相当于是平行这个 a、 e、 d 的， 对不对？对吧？那就相当于我画的这第二个图了， 大家能看得明白吗？那下面你看哈，那然后我 aed 和这个 e、 f 是 不是可以决定一个平面了？因为两条平行线可以决定一个平面，对不对？那大家来看哈，那此时我把这个 aef 去给它连接在一起， 好，那你看哈，那咱们原本的 a、 e、 d、 e 这个平面，然后呢，我是把这个平面给扩大了，对不对？然后呢，就变成了这样的一个 a、 e、 d、 e、 f 这个平面了，也就我画的这个图，大家来看看，就这里的 a、 e、 d、 e、 f 这个平面了，那咱们是不是相当于把这个平面去给他补全了？ 好，那下面咱们反过来去验证一下 f 点在不在这个 a、 e、 d、 e 这个平面点，他肯定在，为什么？因为 a e、 d 是 和 ef 平行的，对不对？ 那然后呢，两个平行线是决定一个平面的，那所以 f 点也在这个平面内了，对不对？那所以呢，咱们不就可以把这个 面去给它补全了？那咱们也能找到，就说这个 a e、 d e 这个平面，它是和这个几何体的上底面，对吧？是交于这个 a、 e、 f 的， 对不对？然后呢与这个侧面交于这个 e、 f， 那 咱们不相当于把这个平面去补全了，那然后下面题目让我们去求它的一个周长了，或者求其他的一个 东西，那是不是就相当于很好求的？好，这我讲的第一个双胶线模型。好，那下面咱们看那有的同学该说了，那考试的时候，那不一定人家给的是双胶线，对不对？那如果是一条胶线呢？好，那下面咱们第二个模型 洁面补全之单胶线模型。好，这个单胶线的一个模型，记住哈，遇到单胶线咱们就去延长，那这个原理什么呢？大家来看哈，这个同学们要自己去理解一下，它不像第一个模型的一个原理很好理解，如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线。好，那这个呢？等会原理我再和大家再去结合这个图像来说，那咱们先看这个图哈，首先咱们看这个平面 a m n 这个平面是不是和这几何体只有一个公共的线？哪个线是不相当于这里的 m n， 对 不对？好，大家都说咱们做延长的时候，同学们该说了，那我这三条线对吧？有的时候会给更多平面，大家都说这个线，那咱们去延长哪一条呢？单交线的话，他哪一个就说是 交线，咱们就延长哪一个，你看哈，那我这里的一个 m n 和这几何体是不相当于是一个公共线，对不对？那咱们就去延长这个 m n 是 不是变成这样的一个形式？ 那同学们来看哈，又因为 m n 是 不在这个上底面里面，我再去延长这个 a 一 d 一 的话，大家来看哈，那这个是不是会有个点哈？就是我这里画的这个 e 点，对不对？你看哈，那咱们按照这个原理来理解，如果两个不重合的平面有一个公点， 你看哈，那就说我这里 a e a d d e 这个平面和这个上底面 a e d e， 然后呢？ b e c e 这两个平面是不是不重合？然后呢？我有一个是不是有个公共点，这个 e 点对不对？ 那然后呢？他们有且只有一条过该点的公共直线，那所以呢，你看哈，那我过该点的公共直线是不？这里的一个 a e 对 不对？所以呢，大家遇到哈单交线模型，咱们就拿这个 就说这个单交线，这里的这个线去延长，然后呢再找到它对应的这个不重合的平面再去延长会有公点，咱们去连接这个 a e 的 话， 然后大家来看哈，我连接这个 a e 过后，当它在这个侧面 a e a， 这个 d e d 这个平面中是不是会有个交线？是，这交点是不是 f 点？那大家来看哈，如果我这里去延，就是说去连接这个 m f 好，再去连接这个 af 的 话，那咱们是不是就相当于把这个平面去给它补全了？朋友们来看哈，那 f 点在不在这个 a m n 这个平面内呢？因为它一定在大家来看，为什么哈？因为你看 a n e， 对 吧？它是构成一个平面，对不对？ 然后呢？ f 点又在这个 a e 这个线上，那所以呢？ f 点肯定是在这个 a n e 这个平面内，对不对？那所以呢，咱们就可以把这个 a m n 这个平面，然后呢去延长变成什么呢？ a f m n 这个平面了，大家能看明白吗？ 那有的同学该，对吧？那有的同学如果不会这种方法的话，那有的同学，对吧？我让他去瞪眼法去看，对吧？那去延长。都说去延长这个 a m n 这个线面的话， 对吧？很多同学他是延长不出来的，比如我这里去延长，那我这里会落到哪里呢？对不对？所以呢就说咱们可以通过这个延长线就去找出他的一个结面问题了， 好，这个呢是一个单交线的一个模型。好，那下面呢？那有的人该说了，那咱们讲了一个双交线，对不对？对吧？那三交线呢？三交线其实跟双交线也是一样的方法，对吧？多调这个交线，咱们只要做平行单条的话，咱们去延长。那有的人该说，那万一我没有这个什么呢？ 胶线，那该怎么办好？那就是咱们第三个模型，第三个模型是什么呢？就说我这个给定的这个平面和这几何体是没有一根胶线的，那该怎么办？零胶线。好，朋友们，就我说的话哈，零胶线问题，咱们做个辅助面，然后呢让他有一条公共， 就说这个线看原理哈，结面的边都不在几何体内部，由于就说延长后不确定位置，所以就不能直接延长，但我可以考虑做一个辅助面，从而转化为之前的 模型处理，就是咱们单交线模型。好，大家来看哈，同样的这个平面， m n q 好， 大家能看到这个平面吗？然后呢？和这几何体是不是相当于没有一条这个公共线，对不对？ m n， 这 q n 和 m n 对 吧？都是单独的， 那我怎么去做他的一个延长呢？有的同学该说了，我直接画，我直接画对吧？那直接画你能画对也行，但有的同学画不对， 那大家来看哈，那我能不能去找到一个平面，找到哪个平面呢？就说让这个极平面有一根线是在他的面中的，大家来看哈，那如果我这里我找这个 q n 这个线能放在一个平面内， 那是不是就转化为单条线模型了？大家来看哈，那我这里首先哈，我先给大家讲 m n 扣都是中点， 然后呢？那我看哈，那我如果我在 a e b 这个 b e， 对 吧？然后呢？这个线取个中点 e， 然后呢？我在 a b 这个中间取个扣点的话，对不对？这原本就是一个扣点，然后呢？你看哈，我去形成一个面，这个平面 好，形成这个平面之后，同学们来看哈，那我这个 q n q n， 那 是不就相当于在哪个平面内了？是不是像在这个 e q c c e 这个平面内了，对不对？ 好，那这个都说能明白的话，那现在是不是相当于咱们转化为单胶线模型了，对吧？刚才按照我刚才说的，对吧，单胶线模型去延长，对吧？哪个是胶线？咱们延长哪一个？好？咱们看这第三个图，然后呢就说，那你看哈，这个在这平面内是胶线，那我去延长他同样的，然后呢我再选另外一个平面去延长， 那他是不是相当于交于这个什么呢？交于这里的所谓的这个 p 点了，对不对？那然后的话， 那然后你看哈，那我这个好，还不是因为就说什么呢？我延长的是这个 q n， 对 不对？然后呢我可以肯定要从这个平面内，对吧？ 然后呢去延长找交线，那这里是应该什么呢？是这里的这个从这个线上去延长的，交于这个 p 点，对不对？好，大家来看哈，那然后呢？我 a 一 d 一， b 一 c 一 这个平面和 e q c c 一 这个平面，对吧？它们是不是会有公点，对不对？那然后的话， 那你看哈，那我去连接，就说这个 m， 对 吧？ m 本定本来就这个点，我去连接这个 m p 的 话， 那你看哈，那我在这个 d e c e 上是不是会有个这个界点，对不对？好，那你看哈，那我再去连接这个线和这个线，那你看咱们这个是不是把这个平面原本的这个 m q n， 然后呢我就能找到这个界点呢？大概就说在这个中间，对不对？然后呢我去延长，然后呢是不是变成这样的一个形式了， 对不对？那所以呢，就是这个点，这个点，这个点，这个点，那肯定会在一个平面内的，对不对？这咱们根据刚才的一个单交线模型来说的，对吧？那有的同学该说了，那我其他的呢，对吧？那我总不能就说找出这一个就可以了，咱们按照其他的方法用这个 集合体，它是比较复杂的，有的时候呢，你看哈，因为这个是一个正集合体，然后呢 m 扣 n 又都是终点，其实你找到一个的话，你就可以类比着把另外几个全部去给它画出来了， 如果你不放心的话，然后呢其他的几个面，你也可以按照同样的方法，你画两个，其他的也都能找到，对吧？咱们最终画出来就是这样的一个形式。 好，其实呢，咱们这个零交线的一个模型，它也是基于什么呢？基于这个单交线模型来的，只不过零交线呢，咱们要先找个辅助面，对吧，让它变成单交线的一个模型。 好，那下面呢，我结合这个题目带大家看一下咱们具体该怎么去应用好。然后呢他说正方体 a 一， 就说 a b c e c e 的 楞长为四，那是不是相当于这个正方体的一个边长为四，对不对？ 然后呢他说点 m， 然后呢在 a 一 b 一 上好， m 点在这个位置线上，他没告诉我们 m 点的具体位置对不对？好，然后呢他又说了平面 这个 a c m a c m 把正方体然后分成两个几何体。好，然后呢其中一个几何体的体积是十四， 则平面 a c m 截正方形所得的截面周长为多少？大家来看哈， 那首先这是个平面对不对？那我肯定要去把它去延长这个面，对不对？然后呢去找到它所谓的把这个正方体截成了哪两个平面，对不对？对吧？哪两个结合体准确的说好，那同学们来看哈，那我这里首先咱们要看哪道题目？要先看它是什么模型？ 你看 a m、 a c 是 不是都和这个几何体都是有这个交线的，对不对？是公共线，那所以它属于双交线模型。双交线模型，那咱们只需要怎么样去找平行，对不对？好，那朋友们来看哈， 那我就找这个 a c， 你 先找 a m 也一样，你找 a c 也一样，那我去找 a c 的 一个平行线的话，那同样的 a c 的 一个平行线，那它在哪位置啊？它是不是相当于就是说我用这个红线来画哈，那它是不是就相当于是在这个啊？是不是相当于就是这个 a 一 c 一， 这是是不是这个平行线，对不对？ 好，那再其次，那应该说了，那这个线也不在这个平面内啊，对不对？那咱们大家来看哈，那我能不能就是说我把这个 a c e 这个线去往下去，给他往这边去平移， 你看哈， m 点，咱们距离不知道什么位置，那我在这边取一个 n 点，取个 n 点，就是说和这个 m 一 是等长的，那我去连接的话，连接 m n， 好， 大家来看哈， 那是不是在这个位置？那我问同学们一个问题，那这个 a c e 和这个 m n 是 不是相当于是平行的？那同样的 m n 和这个 a c e 也是平行的，为什么？因为 a c 和 a e c e 是 平行的，对不对？好，那咱们去找到了这个 平行，就说这个线的话，那咱们直接去给它连接，为什么？因为这两个平行线可以构成一个平面，对不对？那我直接去连接这个 n c， 好， 连接这个 n c 的 话， 好，那然后呢？你看哈，那同学们来看哈，那咱们现在是不是就相当于把这个 a、 c、 m 这个平面去给它延长好了？那咱们此时也能看得出来这个平面 a、 c、 m， 对 吧？这个 平面，然后呢是把这个几何体分成了，对吧？这边是不是相当于一个这个三棱台，对不对？这边是一个什么几何体，咱们就不管了，对不对？因为大家来看哈，这个正方体的这个棱长是四，那它体积肯定是这个六十四，对不对？六十四的话它分成小了，那这边三棱 三棱台的一个体积是不是这里所说的一个十四，对不对？好，那这样的话，那咱们就可以算了，咱们首先先把它的一个体积给它算出来，那首先呢，那我先去设一个，我设什么呢？我设这个 m、 b、 e， 对 吧？的长度等于 x， 好，那咱们下面就把这个三棱台的一个体积给它算出来。位啊，那对吧？三棱台的体积公式同学们还记得吗？是不是相当于就是这个三分之一？我先给写下公式哈，三分之一乘上 h， 再乘上什么呢？上底面的一个面积，我假设 s 一， 加上这个什么呢？下底面的一个 面积 s 二，再加上根号下 s 一， 对吧？乘 s 二，是不是这样的一个形式？好，那咱们给他代入数值三分之一，那这个高是不相当于就这个正方体的一个楞长，楞长的话等于多少？是不等于这个四？ 然后呢，首先来看哈，咱们下底面下底面的这个 abc， 对 吧？这个是多少？这个是四，那所以它的面积是不相当于是八，对不对？那是相当于八， 加上这个上里面这个是 x， 这 x， 那 所以呢，就是这个二分之一 x 的 一个平方，再加上他们两个的根和下面积，然后呢就是八乘上这个二分之一的 x 平方，对不对？好， 那然后咱们表示出来对不对？那它的一个体积是不是相当等于十四，对不对？那这里只有一个未知数， x， 咱们直接可以把 x 给解出来，是等于一的，朋友们可以自己算一下， 那就相当于这个是一，这个是一，对不对？好，那大家来看下面题目，让我们求什么题目？让我们求这个平面 a c m 结得这个结面的周长，那是不相当于让我们求 a c n m， 对 吧？这个平面的一个周长对不对？ 好，那大家来看哈，那我首先 ac ac 是 不是非常好算？这个是四，这个四固定，你可以算 ac， 那 ac 的 话是不是相当于四倍？根号二对不对？咱们一眼可以看出来， 那同样的，那这个什么呢？那这个 m b 同样的方法，对吧？那这个是一，一，那所以就等于这个什么呢？等于根号二对不对？ 好，那下面呢， a m， a m 和这个 c n 是 不是等长的，对不对？好， a m 和 c n 是 等长的，那等于多少呢？对吧？这个呢，咱们需要都说来算一下，其实这个很好算，这个总共是四，对不对？这个是一，那这个是不是相当于是三，对不对？ 然后呢这个是四对不对？三四五勾五零里对不对？咱们直接得出来的是五，那所以呢，咱们直接可以把这个 结面的一个周长算出来， l 就 l， 然后呢是 a c m， 然后呢这个是 n， 对 不对？它的周长那是不是相当于这个十，这是两个对不对？十加上五倍根号二，这个咱们就算出来了，好，同学们要知道哈，我这给大家讲的是一个这个柱体，相当于是一个这个 正方体的一个洁面找的方法，咱们遇到长方体，遇到这个锥体找都是一样的方法，首先要看他有几条公共线，然后呢再用对应的方法就可以。
1005李较瘦.
03:32查看AI文稿AI文稿面面垂直怎么正？分两步走，看完直接拿分！每天一道高考真题，关注我！做题之前，先把证明逻辑给大家讲清楚。要证明面面垂直，需要先正线面垂直，要正线面垂直，需要先正线线垂直。也就是我们从线线推 线面，从线面推面面来看这个图，想要证明 r 法垂直于贝塔，不用瞎想啊，就一个套路，在平面 r 法内找一条直线， l 与贝塔垂直就可以了，也就是 l 在 r 法内， l 垂直于贝塔， 就可以证明出来 r 法垂直于贝塔，也就是线面垂直推面面垂直。那怎么样去证明出来 l 垂直于贝塔呢？继续往底层走，回归线线垂直， 那就是我们只需要 l 垂直于平面贝塔里边的两条相交直线就可以了，也就是只需要 l 垂直于 m， l 垂直于 n， m 和 n 是 相交直线， m 和 n 在 贝塔内。以上这些条件结合的话呢，就能证明出来 l 垂直于贝塔。总结起来就是三句话，从线线到线面，再从面面，所有高考面面垂直的题，全靠这个套路拿分。有了这个思路，我们来看今天的题， 已知 p a 垂直平面 a b c d， 也就是垂直底面内任意一条直线 ab 垂直与 ad。 这道题是垂直证明题，题干里所有的垂直关系，我们都要格外留意。 题目要求我们证明平面 p a b 垂直平面 p a d。 前面我们刚讲过，要证明面面垂直，必须先证线面垂直。他的秒杀逻辑很简单，两个平面随便选一个，在其中一个平面里边揪出一条直线，垂直于另外一个平面就可以了。那这道题我们找的关键直线就是 ab， 结合提射条件 ab， 它是垂直于 ad 的， 又因为 pa 垂直于 abcd， 所以 ab 还垂直于 pa， 也就是只要我们证明出来 pa 啊，证明出来 ab 垂直于平面 p a， d 就 可以证明出来平面 p a， b 垂直于平面 p a， d。 那 想要证明线面垂直，必须凑齐两组线线垂直，那这两组就是 ab 垂直于 ad， a， b 垂直于 p a。 又因为 a， d 和 p a 是 相交直线，所以我们就可以推出来 a， b 是 垂直于平面 p a， d 的， 那它的完整逻辑就是线线垂直，推线面垂直，线面垂直，再推面面垂直。以上就是这道题的完整分析过程，接下来我们看标准书写解析步骤证明， 因为 p a 垂直平面 a， b， c d， a， b 又在平面 a， b， c， d 内，所以 ab 就 垂直于 pa。 那 又因为 ab 垂直于 ad， pa 交 ad 于点， a， pa 和 ad 都在平面 pa 地内，所以 a， b 就 垂直于平面 p a， d。 那 又因为 a， b 在 平面 p a， b 内，所以我们就能证明出来平面 p a， b 垂直于平面 p a， d。 这就是这道题的解析过程。那这道题我们就讲到这了， 立体几何的面面垂直，他全程就是线线到线面到最后的面面。这套固定的逻辑模板通用高考直接套用就能得分。那今天的内容分享完毕，听懂的同学可以点赞收藏，明天我们讲导数，关注我，持续带大家提分，拜拜！
1221序言数学
06:54查看AI文稿AI文稿本视频纯手工打造，耗时五百六十三分钟，总时长八分钟，带你一口气学会各种外接球模型，记住口诀，正棱锥中有限制，就在球心找勾股，先收藏再观看，下次遇到直接秒杀！不废话，我们直接开始 首先提到当中给了一个正三棱锥，也就是大家一旦看见正三棱锥，完全可以往这个模型里面靠。 我们发现，如果说我遇的是个正三棱锥，它有个特点，就是说点屁，它在底面圆， abc 的 外接圆的投影它在哪里呢？这里告诉大家，如果说我想画外接球，那么它的投影一定在外接圆的圆心上面，那我们一会来看一下，我们先回到这个圆体当中，在这个 p a b c 的 三棱锥的里面大概有这么一个心，那接下来我们连接一下 o p， o p 是 什么东西呢？同学们一起分析一下， o p 是 不是球心到我们整个的 球面上的一个距离，这个距离什么？这个距离，其实它就是半径，我们继续再往下看，那 o a 又是什么呢？同学们， o a 是 不是也是半径？那么 这两个半径就给我们提供了个思路，如果我能想办法把球心找到，找到球心之后，我再往底面圆做一个小小的投影， 这个投下来之后，投在底面的外心上面，我们设这个点为 o 一， 那是不是 o o 一 的距离就是 h 减二，那我们有了 h 减二之后，发现这里面是存在一个勾股钉里的，也就是说他在 o a o e 当中，这个外接球的半径呢？应该是满足勾股定律的，我们怎么列呢？一般来说，比如这个题目，我们知道高的，那么高是谁呢？其实不难发现，高应该是 o e p， 对 不对？那我们把这个要列勾股定律的这个小三角形给它画出来，就是这样的一个三角形， 大家可以手动列下勾股定律，那我这里也继续往下讲。我们发现大 r 的 平方，就是说 o a 的 平方，它应该等于小 r 的 平方加上一个 h 减大 r 的 平方， 这个就是我们正棱锥和正棱台、正棱柱他们共同经常使用的一种方案。 那我们把数据带进去，这个题应该就可以求解了。这里有个问题，小 r 怎么求？那么小 r 的 底面是一个正三角形对不对？ 正三角形，那它的边长是多少？它边长是三，那么它的高线是多少？是不是就是三乘二分之二三，那么它的这个 o e a 是 多长？ o e a 是 不是重心的位置？因为它三心合一，它既是外接圆圆心，它又是重心，所以它一定再乘个三分之二就可以了，它的长度呢，应该等于根号三。 那我们接下来的话呢，把这个大 r 的 平方再代入小 r， 代入 h， 我 们再算一下 h， 自然就是五了，我们整理一下， 那这样我就可以算出 r。 整个计算过程大家看似觉得很复杂，但实际上呢，为大家写好，大家感受一下这个运算过程。因为大 r 的 平方之后就会被约掉，所以它并不是一个二次函数，而是一个简单的向量的一次函数，这样的话，你会算出 r 是 等于二点八的。那这里这个模型，沈老师通过这样的一个例题， 通过这个非常直观的图形给大家讲好，希望大家呢一定学好之后要加以练习，大家可以一箭三连，关注我， 进入我的粉丝群，我的粉丝群呢，不定时的会发现练习题，你们有哪里需要的练习题呢？就可以直接在群里提出要求，我会找对应的练习题发给大家，包括这个模型的相关练习。 光说不做假把式，沈老师呢还是带大家去练习一道，看一下这种题到底是怎么做的。那刚才呢，我们发现我们的模型当中是可以解决掉什么问题，是不是可以解掉 棱台，圆锥，圆台只要是正三棱柱，只要是带正字的，或者说它是对称的，对不对？我们是不是都可以解决？那包括这个题的什么？这个题是一个圆锥，那我先给大家把这个图画好了， 那么这里面会涉及到一个知识点，大家对圆锥的理解，如果大家对圆锥的理解有缺失，那么请大家关注我，可以看我后续的作品，我后续的作品一定会推出圆锥的问题的相应的讲解。那我们针对这个题，先针对 我们如何求外接求的体积来出发。首先我们发现侧面为半圆，那么这里就要用到我们圆锥的一些相关内容，就是说它展开的这段的周长，它应该是等于我的底面圆的周长，换句话说就是这一条应该是等于这一条的， 列出相等公式，既我们可以得到 l 和二 r 的 关系是相等的。画好之后呢，我们为了用上这个侧面，也就是说它的轴结面，那么什么是轴结面呢？这里给大家画好轴结面就是这个结面，我们求解一下 它的轴结面的算法，应该是等于二分之一的二 r 乘上 h， 进而它是等于根号三的，我们呢就可以画一下这里面 这个 l， 它我们刚才算出来，它就是等于二 r 的 里面这个边是 r， 它的高是不是就在这个位置上？我们是不是可以通过勾股定律给它表达出来，对不对？我们列于勾股定律，其实我的这个 h 就 等于根号下二 r 括号的平方减去一个 r 方，那整体代入即可，所以我的结果等于根号三的 r 方等于根号三 以上呢，就是我们对圆锥的运算。那下一步是不是我们要通过我们刚才讲的这个方法来快速秒提了？ 我们第一步可以先假设到这个球心的位置，那么球心不妨设在这，还是这句话，这个位置就是 r， 那 么这个位置他也是 r， 那 么这个东西是不是就等于 h 减 r， 那 么这个东西是不是就是 r？ 大家直接列出勾股定律是不就可以了？我们继续， 所以我就会有根号三减去一个 o 一， o 二等于个根号下 o 一 o 二括号的平方， 再加上一个 o b 的 平方，我们展开两边同时平方一下就可以了。具体计算过程呢，大家稍微书写一下，所以整理展开就可以得到。我们发现这种类型问题，它的 o、 e、 o 都是可以快速计算的， 回头我们再把大 r 计算出来就可以了。那么大家可以发现这个题，我在计算的过程，我假设了一下这个变量，我没有用 h 减大 r 来计算这个问题，而是用 o o e 来计算整个的过程，这样是有一个独到的优势， 比如说我整个的球心如果位于面的下面，那我 o 一 算出来就是个负数，这样方便大家对这个题型的理解。 那当然大家如果说老师我就想用你教我的公式记这个 r 方，它就等于 h 减 r 的 平方加上一个 r 方可不可以？其实也是 ok 的。 好，希望大家对这个方法要有一定自己的理解，那我们表达外界球体积就可以了。结束 那以上就是沈老师对这个圆锥这类外接球的一个算法的理解，希望大家在做完题之后呢，一定要反复的去思考，把整个题有缺失的地方告知沈老师。今天的这个知识点我就讲到这里， 大家可以关注我，一键三连，进入粉丝群领取相应的对应的资料。关注我，我是数学沈老师，带大家快速通关数学。
271本质数学沈老师
14:32查看AI文稿AI文稿一个视频给你讲透立体几何洁面问题，很多同学看到三个点连个三角形就以为是洁面了，那是纯纯的丢分。真正的洁面边长必须长在几何体的表面上，教材不会教你怎么补全洁面，今天马老师只教你两招，延长线法和平行线法， 只要掌握这两大底层逻辑，再复杂的洁面问题你都能一眼看穿一笔画。对，建议先点赞收藏，这可能是你考前能救命的洁面全攻略，看黑板！ 今天我们用两种方法来去解决立体几何当中的结面问题。一个结面的话，他通常都会给到我们三个点，这里 c、 e、 f 三个点确实可以确定一个平面，但是这个三个点所形成的三角形他不是结面呢？为啥？因为结面 他所有的边都应该在这个几何体的表面上，所以向右边这个图形 c、 e、 h、 e、 f、 j、 c e 连起来，你看看它所有的边都在这个正方体的表面上，所以这才是真正的结面。那从左边的三个点到右边的五个点，它是多了两个， 这两个点怎么找？也就是我们今天重点去解决的延长线法跟平行线法，它就是为了让你找到这些隐藏的点。 好，它的具体是怎么回事呢？我们先来看延长线，同一个平面上有两个点，这个平面它必须是一个几何体的表面啊， 就像 e、 f 在 前面这个平面上。好，那它就可以延长，延长之后它就可以与其他的面去交于一个点。 那这个点在哪呢？我们注意就是两个线有交点嘛，所以看右边这个图，我们 e、 f 去延长，延长的话，他就会跟 b、 e、 c 交于一个点 i 点，那这时候这个 i 点在哪？在右边的平面上， c、 e 是 不是也在右边这个平面上？好，这两个一连，你就会找到一个新的点， g 点，那这个 g 点它是不是在下表面上， f 点也在下表面上，哎，那我们这样的话就能找到一个新的边， 那同样的这个 fe 就 可以延长，延长到一个 g 点，那这个 g 点它其实应该是跟 b 一、 a 一 的交点嘛？那这时候这个 g 点在上表面上， c 一 也在上表面上，这两个一连，你就找到了这个点是 h 点，那这个 h 是 不是在左边的表面上？ e 也是在左边的表面上？这俩一连你看看又找到这个结面的边，所以我们这样的话结面它就完成了。 那平行线法是咋回事？我们也一起来看一下。首先我们要去找什么与直线所在面平行的平面，然后再去过点去找直线的平行线，也就是说 e、 f， 哎，他在前面这个面上，前面这个面跟谁是平行的呢？跟后面这个 a、 b、 c， e， d， e 这个面是平行的。 然后呢我们就可以过 c、 e 去做 e、 f 的 平行线，你找到了新的线，你就会有新的点。好，那你现在 e、 f， 我们就会过 c 一 去做这样的一条线，那这样的一条线它在后面的表面上，它就会跟左边的表面交于哪呢？去左边的表面上有 a、 d、 e 交于这个 l 点， l 点现在就在左边的表面上，然后 e 点也在左边的表面上，然后这两个点啊一连就会交于这个 h 点啊，这边图形是错了啊，不是交于这个地点，是应该连到这个 e 点上啊，那你看看，如果说这条线 它是不是也可以与下面这个面交于一点，交于哪呢？是应该跟 a、 b 的 延长线交于一点，是 k 点，那这时候这个 k 点就在下表面上， f 点也在下表面上，这两个一连，我们就会找到这个这一点， 然后呢，我们把这样隐藏的两个点给找出来了，把它们连起来就形成了这样的五边形。 所以延长宪法跟相交宪法我们组合起来去应用的话，解决这种洁面的问题会事半功倍啊，所有的这种问题都会迎刃而解，我们通过两个例题把它来实践一下。 我们来看例一，这样的一个正方体当中点 e， 它是 a a e 的 中点，那么过 d e b e， 它的结面图形是什么样的一个形状？所以呢，这两种方式都行，我们可以都来去试一下。 b e 现在在前面的表面上，所以我们可以给他延长啊。延长的话，要想清楚他是跟谁有交点呢？他在前面这个面上，他必须也跟前面这个面上的线有交点，那这个线就是 b e a e 交于一个点 f 吧。好， f 现在就在上表面上，那第一也在上表面上，所以我们就可以连接 f 第一， 但是没有找到一个新的点，对不对？那我们就可以继续延长啊，不是说只延长一次就行的，那就是 f 第一继续延长，它在这个平面上继续往右延长的话，跟谁有交点呢？就会跟 b 一 c 一 是有交点的啊，交到了这个位置是 g 点吧， 那你看点 g 在 右边的表面上，然后我们连接 g、 b， 哎，我们在这 c、 c 一 上就找到了一个点，是 h 点好， h 点跟 d、 e 点都在后边的这个表面上，我们连接起来就行了。 那这样的话，我们现在就形成了一个封闭的 d、 e、 h、 b、 e 这样的四边形， 那这个四边形就是一个完整的结面了，那这个 h 点在哪呢？我们就要通过它的一个比例关系嘛，对不对？好，你看一下，在这样的图形当中， a 一 e 和 b 一 b 是 不是相似比，是啊，一比二的关系，对吧？所以 a 一 呢，就应该是 f、 b 一 的中点，这边是一个一比一的关系。好，那这边我们延长出去之后，这个大的三角形， 那 a 一 是终点， d d 一 a 一 和 c 一 b 一 是平行的， a 是 终点，那 d 就是 终点呢？那这边也是一个一比二的关系，那 c 一 就应该是 b 一 跟 g 的 中点，那么这儿也是一份，这儿也是一份。那相应的，这个小的三角形跟这个大的三角形呢，就是一个一比二的关系，所以 h 点，也就是 c e h 跟 b e、 b 这两条线应该也是一比二的关系，所以 h 啊，它就是一个 中点，所以这个四边形这四个边它的关系就有了呀。 d e 就等于 e， b 就 等于 b， h 就 等于 h d 一 他们的长度，我们可以假设一下，边长是二啊，棱长是二一二，那就是根号五，棱长都是根号五，那首先它就是一个菱形，然后我们再去判断一下这个 d、 e、 e 和 e、 b 它是否是垂直呢？ 那我们就可以去算长度，这边是根号五，这边是根号五。我们假设棱长是二的话，对角线它就是一个二倍根号三， 所以这三边并不呈现勾股定律的情况，所以说它不是直角，所以就只能是菱形。选择 d 选项。好，这是延长取焦点这样的一个想法。那如果我们做平行线是怎么做？我们一起来看一下。 为啥这个也可以去做平行线呢？因为它确实有一个平面上的线，现在是 e、 b， 对 不对？好，那 e、 b 在 前面这个平面，前面这个平面跟哪个面是平行的？那就跟 c、 d、 d、 e、 c、 e 后面这个面是平行的，所以呢，我们就在后面去找一个相同的线呗， 取一个 d、 d、 e 的 终点 f 连接 c、 f， 那 但是 c、 f 呢？跟这个面呢？它并没有交点，所以说它不是一个啊， c、 f 它就不在 d、 e、 b 这个平面上，所以我们就给它平移一下，把 c、 c、 e 的 终点 h 点给它找到，那我们就可以连接 d、 e、 h， a、 h 是 终点，那 b、 h 一 连，哎，这样的四边形跟刚才的是不是一样的？那最后我们算出来，他应该也是一菱形呗，这个是没啥问题的啊。我们再来看例二， 在找到结面的基础上，我们可能会算它的周长，也可能让我们去算它的面积，但是前提都是要把这个结面给补全。我们一起来看这个问题。正方体的棱长是二， e、 f 分别是 a、 b、 b、 c 的 中点过 d、 e、 f 的 平面截，该正方体所得的截面多边形即为欧米伽。求这个欧米伽的周长是多少啊？所以说这个问题你看看他做平行的话，就跟刚才一样，就是出去了，出去了就是 e、 f 在 下面这个 a、 b、 c、 d 上过 d e 去做它的平行线，那这个平行线是不是就出去了？就跟我们刚才讲的平行线法去求交线是一样的，那所以说这个线在哪呢？ 这条线跟谁有交点呢？在上表面上是不是会跟 b e， c， e 的 延长线有交点？ n 点， 你有 m， m 点在哪？在右边的这个表面上， f 是 不是也在右边？我们就可以连接 m f， 然后 n 点呢？它在前面，这个表面上 e 点也在前面，所以这俩一连接，哎，我们就把这个 交点给找到了，交点找到了之后，我们只要连一下就行了，这边是 p 点，这边是 q 点吧？ d e p 一 连， d e q 一 连，哎，这个图形就是 d e p， e f q 这个五边形， 这个就是做平行的方式，那我们也可以延长取交点哈，我们把这个结面两种方式都给讲完之后，最后再去算它的周长。 好，那我们延长是什么呢？在一个平面上有一条线， e， f 现在是不是它在底面 a， b， c， d 上？好，那你 e、 f 就 可以延长了呀？ e f 延长之后到这边， 那它就有一个点 m 吧，然后 e、 ef 反向延长，它就会跟 a、 d 有 个交点，是一个 n 点，你 m 点现在在后边， d， e 也在后面，这俩一连 是不是就是一个点？屁啊？然后 n 点在左边， d， e 也在左边这个面上，这俩一连就能找到这个 q 点， 然后呢，我们把这都连起来，就把这个五边形给他找到了，是不是五边形找到了，那接下来就是计算周长嘛，但是这个点 p 跟这个点 q 在 哪？我们是不是又得想一想了，所以通过这样的延长呢， 我们就会跟刚才一样有这种相似的比例哈，你看啊，这个三角形 e b、 f， 那 你 f 是 终点呢？你延长过去之后 来和这个 fcm 这两三角形是不是全等的？那 cm 就 应该跟 e b 是 一样的，是一比一的关系，所以说 e b 是 一， cm 就是 一啊，你 cm 是 一。好了，那你现在跟这个 m d 一 一连， 那现在有这样的大三角形， d e d m 和 p c m 这俩三角形相似，比是不是就是一比上三呢？一比上三， 所以 p 点它其实就是靠近 c 的 一个三等分点，整个长度是二，那么 p c 就是 三分之二， 然后 pc 一 就是三分之四。同理啊，这边 q 点它也是一个三等分点， q a 就是 三分之二， q a 一 就是三分之四。 所以说我们去延长取焦点也好，或者是平行也好，它都会有这种相似三角形，通过这种相似三角形来去确定比例关系，从而能去确定新的点的位置，这个是一个在后续计算当中很关键的一个问题。 好，有了这些长度之后，它不都是一个直角三角形去求解边长吗？现在第一 p 它等于第一 q 啊，它就等于根号下四，加上九分之十六，那就是九分之三十六，九分之五十二，那就是三分之二倍，根号十三。然后 q e 还有 p f 他 俩也相等啊，那就是根号下三分之二的平方九分之四，再加上 f c， f c 长度是一嘛，加上一，那就是三分之，根号十三，这俩相加呢，就是 根号十三，但是记住有两对，所以乘以二二倍，根号十三，那最后 e、 f 的 长度一比一，比根号二就行了，那就剩下了 c 选项，对不对？
7748马老师陪你学数学（进群一起冲）
06:30查看AI文稿AI文稿高考数学立体几何今天一节课，梳理清楚所有的核心考点，听懂了立体几何，没有所谓的不会断，来拿本记。首先你要有认知，我们高考数学当中立体几何的考察非常的套路和死板化，非常的简单。立体几何一共是五个重点，第一个重点， 常见几何体的概念和基本性质必须熟悉，包括圆柱、棱柱、圆锥、棱台、圆台和球，能够熟练的画出它们图形本身以及各种拼接和展开图， 那你的空间感自然而然就能够建立。高考数学这几年特别爱考察二零二二年新高考一卷跟追题有关的侧面展开图，面积问题，跟台题有关的体积问题，会画图，那你自然而然就能够拿到满分了。接下来第二个重点，六大外接球问题，两大内接球模型。 那第一个你要学习的重点题型叫做外接球，那外接球里面要求大家必须掌握六大外接球模型，那第一个叫做长方体模型，注意，并不是说只有长方体才能够用，往往锥体也能够用它，所以呢，关键在于识别条件，一共有三个。第二个 圆锥模型，还有圆柱模型，同样这些并不是说只有圆锥圆柱才能够用，那棱柱也能够用。我们的圆柱模型呀， 包括咱家神兽头大的扇子模型，切瓜模型，双距离单胶线，还有双半径单胶线模型，这些是我们必须掌握的利达模型。还有一个比较特殊的圆盘问题，这几年高考考的还是比较多的， 那么你把外切球掌握完之后，我们还要掌握第二个跟它相匹配的内切球模型，哎，你得知道我们这个柱体跟它内切是怎么切的呀？我们这个锥体相关的公式 r 等于三 v 除以 s， 你 要对这些非常的熟悉，这就是我们讲的第三个重点， 平行与垂直问题。那很多神兽总以为我没有空间想象能力，我这个是不是平行和垂直就做不了？我拿不下，非常负责任的告诉你，其实还真不是这样子， 只有极少数的立体几何的题目，它的选填压轴对于大家这个空间想象能力要求比较高之外，那对于大部分的题目，它的处理都是非常的套路和死板化。所以呢，在线授课几千个小时之后，带过上千名学生，你看他函数即使学的一塌糊涂， 却能够把立体几何学的游刃有余，不仅仅是因为这个空间能力想象比较好，还是因为他掌握了立体几何里面所有的核心题型和方法。 所以呢，重点来了，我们接下来先说平行。平行问题对应的第一个方法叫做尺子法，那平行四边形、三角形、中位线怎么处理，以及在考试过程当中考的非常多的问题叫做动点探索问题，是否存在一点使得，哎，谁和谁线线平行呀，面面平行呀，我们这里用到的方法就是谁不动平移谁， 你这些常见的方法掌握的足够明白，再配点历年的高考真题，那整个平行问题很快就能够拿下了。那接下来我们再来说第二个垂直问题，垂直问题是整个立体几何的核心，所有立体几何问题到最后都可以归结为我们的垂直问题， 垂直，比如说我们经常去证明线线垂直，要证明线线垂直的核心是什么？是拿一根线放到这个面内去证明这个线面垂直， 所以你重点要攻克的是我这根线我怎么选？我如何快速的把这根线选出来，每次做题的时候，我就去关注这根线我应该怎么去选择，最后发现这根线的选择它是 有套路的，你把这些通信通法总结出来，下次做题的时候，你一眼就能够看出来我该选哪根线了。好，我们还比如说我们的面面垂直问题吧，那我们面面垂直的核心是什么？它的核心是你要从这两个面当中选一个面， 从这个面当中去挑一根线，跟刚才的思路是一样的，我选哪个面，这个面当中的哪根线，我怎么去挑？这里面全都是有套路的。其实不管是线线垂直、线面垂直，还是我们的面面垂直，我们在考察的过程当中，他不会单一的去考察这个条件，会和所有要求的东西砸到一块，揉到一块去 垂直里面。你比如说我们大家必会的三垂线模型呀，真形模型呀、矩形模型呀，勾股模型呀，都是非常好用的方法，你学好这些模型才能够搞定我们的垂直关系吧。 好，对于这一块，我们后面学习夹角问题，也是在做一个铺垫，你搞好了，后面搞夹角间隙才能够游刃有余。第三关过完之后，我们再来说第四关，第四关就是所谓的夹角问题了，它是高考的重点，重中之重考大题。 那夹角里面可以分三个方向，第一个叫做线线夹角，线线夹角里面有三大方法，咱们一个个来说啊，主要是意念直线 之间的一个夹角问题，那第一个方法叫做平移，我通过平移把意面直线给它变成共面的去解这个三角形。第二个叫做空间选定力，注意它不是选定力，它是空间选定力。还有第三个叫向量法，很重要来第二个线面夹角，线面夹角问题，线和面的夹角不仅会考察大家大题，还会考察大家小题， 这个方法注意也是推荐大家三个方法，第一个方法叫做定义法很重要，你像高考这几年考察你们的时候考小题主要考察的就是定义法，所以你得知道什么是定义，当然有些题目你会发现我无法把定义用这个夹角把它找出来，所以呢我们还有第二个方法叫做 点到面的距离问题，我们转化成等体积需求高，以及最后的第三个保体方法，向量法，这是我们线面夹角， 我们再来说我们的面面夹角，哎，面面夹角，那面面夹角的方法也是比较多的，也是重点考察的，你必须得会给大家推荐。一样是三个方法，那第一个方法和线面夹角一样，就是我们的定义法，那 二念夹角定义非常重要，在我们这一个几年的高考当中，考小题考的是非常多的，那第二个方法就是当我这个定义角找不出来的时候怎么办？哎，我要去找个备胎呀，那我们这个方法在考试大题当中用的还是贼多的，叫做三垂线法，我们还有我们第三个方法，保底的方法就是我们的向量方法，所以夹角问题一共是刚刚给大家提到的九大方向， 是大家主要去攻克的一个难题，你只要能够掌握这些核心方法，那么你这一块的基本功就会非常的扎实。虽然呢，我们很多高三的孩子可能会说，老师我这一块只要有空间向量就够了呀，但是 空间向量的计算量非常的大，你考试一紧张，连算都算不出来，正确答案写都写不对，甚至连坐标都会写错。当别人在解析的时候，有的小题你不好解析，你也不会解析，所以说只有几何法才能够让你和别人拉开差距，尤其是高一的宝字，一定要在学立体几何的时候， 特意训练这些几何法，让自己的基本功跟别人拉开差距。好，最后一个重点问题，重点问题就什么呢？距离问题， 重点重视一下这个，我们以前在老高考当中经常考，大家这个点到这个面的距离问题属于必会题型，你看考体积吧。那问题这一块，这个距离问题，包括我们的这个新教材，新高考当中增加的知识，除了这个点面问题之外，还有意面、直线距离，你要好好去研究一下。 那么这个大家按照以上五个知识体系，一层层去梳理清楚，掌握以上五个核心考点，剩余的我们立体几何当中的结面问题，轨迹问题，这种综合问题学的不用特别难，常规的处理手段会就可以了。所以呢，不管你现在是正在高一，还是说马上高三要进行高考了，我不知道立体几何这一块怎么去学习，怎么去复习？按照以上五大知识体系，我们一个个去过。
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