咸阳三模数学立体几何大题讲解
同学们好，今天咱们来看一道有关外接球的题型。首先说四面体 a、 杠、 b、 c、 d 都在这个求 o 的 球面上，而且说了这个平面 abc 垂直于平面， b、 c、 d 其实就是两个面构成的，咱们就可以把图来画画 abc， 它在题中说了是等边三角形， 所以咱把 a、 b、 c， 咱们可以画在侧面，两个面是垂直的，咱们画的时候尽可能的 这么去画。 b、 c 是 公共边 abc， 此时又说垂直于 b、 c、 d 了，咱们看 d 在 哪。咱们可以看到题中说了 b、 c 和 c、 d 垂直，并且 b、 c 和 c、 d 还相等，咱们就这么来画一下。 好， c、 d 在 这好，咱们就大致画出图像来了。而且 b、 c、 d 是 直角， 咱们做外接球的题型，咱们一般是以底面来出发，因为底面它会在球面截一个小圆面出来，它球心肯定在这个小圆面圆心的正上方了，正好底面。 b、 c、 d 是 直角三角形，直角三角形的外接圆的圆心是斜边中点也说在这，这是 o、 p， 那球心自然在哪了？球心就在 o 撇的正上方或者正下方了。咱们把球心往上走一走，走到这，此时咱们就知道这个 o 点，你把 o 点在 o 撇的正上方了， o 撇到 b、 c、 d 三点距离相等的，你把 o 撇往上移了一点，或者往下移了一点， o 到 b、 c、 d 距离肯定相等，只要现在保证 o 到 a 的 距离和 o 到谁，比如说 b 或或者 c 或者 d 的 距离相等就行。 所以此时咱们就知道，现在要列的关系其实很简单了，就是 o、 a， 比如说和这个谁 o、 b 了，或者说和 o、 d 了，说相等的，咱们就 o、 b 吧， 相等就行，但是这个 o 点未知不知道啊。所以在此时咱们就应该来把它来看一看。比如说我把 o 点抬高了 x， 这个时候大家会发现咱们可以如果要算这个 o b 的 话，因为是大 r 嘛， o a 也是大 r， 所以 咱们可以看到，既然我把 o o 点抬高了 x， 咱们假设它是 x， 此时 很容易也知道 b o 撇它是 b d 的 一半吗？ b d 的 一半应该是谁？是不是 二倍的根二？所以咱们就能列出第一个式子来了，第一个式子是谁？二倍的根二的平方加这个 x 方等于 r 方，然后还得保证这个 o 到 a 点距离也是 r， 那 咱们想想 o 到 a 点距离怎么来走？ 此时大家要明白，两个面垂直了 a 点给 b c 做个垂线做下去，假设做到了一点了，这个 a e 肯定垂垂底面来， o o 片也垂垂底面。也就是说你可以现在单独来画一个有关 a e 和这个谁 o p o 的 这么一个图出来了，而 o p e 它是 c d 的 一半是二，此时你向把 o a 表达出来了，这个时候大家可以看到 o a 的 长度很容易去做了， 他是不是可以等于这个折边是二？然后另外一个这一点的长度应该是谁？是整个高度减 o o 片，刚刚把 o o 片设成 x 了，那整个高度是 a e 吗？ a e 的 长度应该很容易算出来是 二倍的根三，所以这一点长度就是二倍的根三减 x。 所以咱们列出勾股定律关系来，就是二的平方加二倍的根三，减 x 的 方 等于 r 方。此时咱们就可以干什么事情了，是不是先减 x， 先减 r 都行？正常来说，这个题先减 x 能简单一些， 八加 x 方等于谁，四加十二加 x 方，减四倍的根三 x， x 方没了，然后咱们看一看，得到了谁四倍的根三 x 等于八， 也就说 x 等于根三分之二。如果 s 是 根三分之二的话，代入第一个式子，把 r 方算出来，因为咱们要的是 r 方八加上三分之四，三分之二十八，而你要求的表面积 四拍 r 方， r 方是三分之二十八，答案就是三分之一百一十二拍就结束了。所以这个题相对说比较简单，也是咱们的一个较为常规的模型。 所以只要把球里面这个东西，就是你如果做某一块的这个模型，你做的比较吃力，你就把它向我下方画的这个模型走出来，这样画的更清晰一些。 然后这个其中最大的就是 a e， 他 是要和 o o 撇是要垂直的，然后他俩而且是这个什么，他俩的这个高度之间是有关系的，把这个搞清楚就行。然后列了两个有关这个什么球体里面的模型的关系，就是这个什么，呃， 两个勾股定力，然后来去解这个大啊。这例题大家可以自己下去琢磨一下，其实难度并并不是很大。好，这道题咱们就先说到这。
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12:24查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来分享一下二零二六咸阳市三模的解析几何压轴题，那么这一道压轴题我觉得质量非常的高，那么第一小问其实考到的是我们轨迹方程里面的直译法，但这个题里面又有一些小细节啊，就是关于抛物线的一些小性质。那我们拿这个题来看，他说 f 点是一零， w 为一个动点，以 w f 为直径的圆，有 y 轴相切。那么有很多同学一看到这就能想到，我们抛物线里面有个姓氏，以交半径为直径的圆，有 y 轴相切，那就立马可以写出来这个抛物线的方程 a， 也就是 y 方等于四 x 啊，就完事了。 那么我们做的时候，那肯定是要给人设点嘛，是吧，找等式关系，然后进行求解。好，所以第一小问我们过多去讲了啊，我们看一下第二小，那么第二小问的话，他说，一，若曲线 c 存在是 m n q 三点，使得角 m q n 的 角平分线是 x 等于四。 好，那你想一下，我们先搞一条 x 等于四，那谁在顶点呢？是不是 q？ 那 q 它有几种情况呢？是不是有可能在上面？ q 是 不是也有可能在下面？是不两种情况？那我们计算的时候，我们可以先考虑一种情况，然后利用对称把另外一种结果给它写上就行。好，那么假设 我们可以把 q 点坐标可以搞出来，那 q 点坐标是不是四四，他说 x 等于四，是他的一个角平分线，那我们现在假设搁这拉一条线，这记为 m。 好， 我们继续再搁这拉一条线， a， 我 们记为 n。 大家观察一下这个 q m 和 q n 斜率之间是不是有关系呢？哎，那么 q q n 等于啥呢？是不是等于零？ 那么他斜率值和如果等于零是不是三点？又在曲线上？我们思考一下这种问题咋处理？是不是其次化？好，请把其次化打到公屏上。好，那既然我们要用其次化，那咱是不得设方程，那我们设 直线 m n 不 过定点 q 啊，那不过定点 q， 我 们就可以写成 m 倍的 x 减四，加上 n 倍的 y 减四这一，这是第一步。第二个，我们把这个抛物线的方程稍微改一下，改成 y 减四加四的平方等于四倍的括号 x 减四加四。 好，稍微整理一下，就变成 y 减四的平方加上八倍的 y 减四加十六等于四倍的 x 减四 加十六。好，那么常数部分我们就可以给它约掉，然后同时给它乘以啊，那么这一坨给它乘一个一，又乘以 m 倍的 x 减四， 加上 n 倍的块 y 减四。这边也是一样，乘以 m 倍的 x 减四，加上 n 倍的 y 减四。好，那么乘了之后，我们再给他同时除以 x 减四的平方，那么接下来我们同时除以 x 减四的平方之后，我们就会得到 k 方加上八 m k 加上八 n， k 方等于四 m 加上四 n k， 然后我们整理一下，就是八 n 加一倍的 k 方加上八 m 减四 n 倍的 k 减四 m 等于零。那我们刚才知道了，它俩的斜率之和等于零啊，那意味着我们直接用尾端啊，就是 k 一 加 k 二就等于负的 a 分 之 b 啊，也就是负的八 n 加一分之八 m 减四等于零，那我们就会得到四 n 是 不应该等于八 m， 那 四 n 等于八 m， 我 们稍微给它处理一下，也就是 n 等于二 m， 那 么我们来看一下直线 m n 它的一个斜率，斜率 k， 它是不是应该等于啥呢？ 就等于负的 b 分 之一，那也就是负的 n 分 之 m， 那 我们放进去负的 n 分 之 m， 意味着我们的斜率得出来是不等于负的二分之一。然后利用对称性， 利用抛物线的对称性啊，对称性可得好，那么 k 应该是等于正负二分之一。好，我们接下来看一下第三小问，他说过 f 的 直线啊，过 f 的 直线与抛物线相交于 ab 两点，然后点 t 是二零啊，那点 f 是 一零点， t 是 二零，他说直线 a t 交曲线另外一个端点为 d 点，直线 d f， 那 我们把直线 d f 给画起来啊， d f 交曲线于 e 点好，若线段 a b， d e 的 终点分别是 ps， 那 么求三角形 t ps 的 面积 的趋势范围。好，那么这个题就是我想到了一个思路啊，分享给大家，就我想着我能不能把这个 p 点的坐标给它表示出来啊？假设啊， x 零 y 零， 哎，然后 s 点的坐标我给他搞出来 s 一 y 一， 好把这些点全部用一个位置量啊，如果我用一个位置量表示的话，好，那这个时候的话，我想，哎，那我把这个三角形 tps 可以 用叉乘法来表示啊，那我们简单的给大家去把这个叉乘啊，说一下，比如说 t 点的坐标是二零，对吧？我先表示一下 t p 向量， 那 t p 向量就是 x 零减二，逗号 y 零，那么 t s 向量它是不是等于 x 一 减二，逗号 y 一， 那么差乘的话，也就是这个三角形的面积，它就等于二分之一 x 零，减二乘以 y 一 减去 x 一 减二乘以 y 零，这就是。哎，这就是我们查成了这个模型。好，那这是我的一个思路啊，现在我有这样这个思路了，接下来的问题是不是就想办法用一个字母，哎，把其他全部表示，那么你会发现他所有的点的产生，像 b 点， d 点， e 点好，这些点的产生都和谁有关系呢？哎，其实都和 a 有 关系，所以我们设未知量的时候，我们可以设 a 点，哦， 那把 a 点的坐标，这个时候我觉得射啊，就是还有点小心机啊，因为他抛线的方程不是 y 方等于四 x， 好， 那么这个时候射点啊，其实也有点小心机啊，你看，我把 a 点先给他搞 y， 我 把 y 如果射成二 m， 那 这个时候 x 是 不是刚好等于 m 方，大家能发现吗？好，因为这样射的话，我们后面好算一点啊。那接下来我们先搞 b 点，那 b 点和 a 点之间联系是不得联系立方，所以我们把直线方程给它射出来啊，比如说射成 x 等于 t， y 加一好，那么抛线方程 y 方等于四 x， 好 进行连立啊，这个式子很重要啊，我们连立了之后，就变成 y 方减四 t， y 减四等于零，那我们也就知道了，用 y 乘以 y b 是 不等于负四？好，那 y a 咱不是刚设出来的，那 y a 是 不等于二 m， 所以我们就会得到 y b 就 等于负四，除以二 m 就是 m 分 之负二，那么 y b 出来了，那 x b 是 不是也有了？好，那么 y b 等于 x 分 之负二，那我们 x b 咱是不是可以直接写好？那 x b 它是不是就等于 m 方分之一？ 那意味着 b 点坐标 a， 咱是不是搞出来了？也就是 m 方分之一。逗号 m 分 之二。好，那么 b 点坐标出来了，那同理我们是不是可以利用 a d 这条直线？因为 a d 这条直线它如果过的是 t 点，所以你想一下它连立了之后的效果啊，我们可以写 a 连立这个 a d 这条直线，我们可以给它设成 x 等于 t 一 y 加二，有 y 方等于四 x 进行连立， 那我们就可以得到 y a 乘以 y d， 他 应该等于多少呢？这边如果是负四的话，那边应该是等于是负八的。 ok， 好， 所以我们也是一样的得出来这个 y d 先搞出来 y d， 然后再搞出来 s d， 好， 那么 y d 我 们给他搞出来负的 m 分 之四，好，那么 yd 我 们给它搞出来啊，那么它等于负的 m 分 之四，那么 xd 它就等于 m 方分之四。哎，那这个 d 点坐标我们也搞出来， 也就是负的 m 分 之四。逗号 m 方分之四，那么 d 点坐标我们搞出来了，那么接下来我们是不是顺着这个方向啊，我们去搞这个 e 点的，那搞 e 点的我们还是一样的，你要 连利和 d 啊，其实我们也可以同理可得，是吧？同理可得。哎，这个搞出来这个 y d 乘以 y e， 它是不等于负四，所以搞出来这个 y e， 然后 x e y e 等于 m， 那 x e 等于四分之 m 方， 好，那意味着一点的坐标我们也搞出来，也就是四分之 四分之 m 方多少 m， 好， 那这些点全搞出来了，那接下来这个 p 点和 s 点，哎，这个坐标是不是我们用中点坐标公式，它就等于二分之。好，我直接把化简结果写一下啊，就是二分之 m 方加上 二 m 方分之一，逗号 m 减去 m 分 之一。好，那么 s 点，也就是八分之 m 方加上 m 方分之二，逗号二分之 m 减 m 分 之二。好，接下来我们用刚才讲的这个面积公式啊，也就是 它等于二分之一，括号 x p 减二 乘以 y s 减去 x s 减二乘以 y p。 啊，稍微整理一下，这个整理过程我就不写了啊，我直接给大家把答案写写啊。二分之 t 加上 就是二分之 m 加上 m 分 之一乘以四分之 m 方加上 m 方分之一减四分之一。 好，那这一块其实解的话，就有些同学觉得反正比较麻烦，是吧？但是你观察一下哦，你把这一坨和这一坨，你观察一下它，其实它俩是有个平方关系的，所以我们可以这样，我们令二分之 m 加上 n 分 m 分 之一， 给大家设一个未知量啊，嗯，我们设上 n 吧，对吧？好，然后我们基本不等式就可以得到，它是大于等于 二倍的根号下 二分之一，那么二倍的根号下二分之一，我们给它去处理啊，也就是第二，对吧？所以 n 的 范围我们搞出来，那就搞一个函数嘛，啊，就是，嗯， f n 等于二分之一，括号 n 乘以这坨，是不是可以写成 n 方 减去 n 方减一啊？然后再减去一个四分之一，就等于二分之一 n 的 三次方减去八分之五 n。 好， 那这咱只能求倒了吗？对吧？那我们求个倒，等于二分之三 n 方减去八分之五。 好，二函数开口向上，然后我们把两个零点啊给它搞出来， 也就是二分之三， n 方等于八分之五，然后 n 方就等于八分之五乘以三分之二。哎，约一下四，嗯，那意味着 n 就 应该等于二倍的根，三分之根， 对吧？好，就是这个咱可以不用画啊，你在草稿纸上完成就行了。那么正的部分也就是六分之根号下十五，负的部分就是负的六分之根号下十五。 好，那么因为我们取的这个值啊， n 是 大于等于根二的，那么六分之根号下十五肯定是比根二 是不是要小，对吧？好，所以我们想想，那意味着我要取它的最小值，那咱是不是直接去带根二就行了啊？ 好，那么把这个根二扔进去，也就是 f， 根二就等于二分之一，乘以二倍的根二，减去八分之五，乘以根二 就变成根二，减去八分之五倍的根二就等于八分之三倍的根二。好，那么这道题我们就搞定了啊。 nice。
142邵哥带你学数学
25:21查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们继续来讲交大附中三模的这套数学卷子的最后一道题。首先我们来看第一本，在锐角三角形 a、 b、 c 中，从整个题来看，它是没有给图形的，所以我们要得自己在草稿纸上去画一个锐角三角形 a、 b、 c， a、 d 垂直 bc， 这里是垂直那点 d 我 们也找出来了， a、 d 等于三， b、 d 等于四， dc 等于二，去求三角形 a、 b、 c 的 周长，那这个题的话，对于大部分学生都是可以求出来的，那就用勾股定，你直接求出 ab， 它等于五，然后 ac 等于根号十，嗯，应该是十三，然后这个最终把这个三边加起来，应该是十， 十一，加上根号十三，这是第一问，那么对于第二问的话，我们得仔细去研究一下，我们先看他给的是，呃，什么意思啊？艺术节开会用的话筒如下，也就是实物图是这个样子，现在他们抽象出了一个 啊，具体的一个模型，你看见模如图一给了这个，那现在是圆形的底盘，抽象为线段 a、 b 整个固定曲轴轴，曲柄抽象为折线 c， d， e、 f， 其中 c 为 a、 f， 嗯， ab 的 中点，那从这一局我们现在能够得到的就是 a， c 是 等于 bc 的， 然后 cd 垂直 ab， 我 们把已知的给它写到边边上，更容易去看。还有一个是角 c， d， e 等于角 d， e、 f 来看一下 c， d， e 是 这个角， d， e、 f 是 这个角，这个角我们能够看出来，首先它是一对内错角，那既然它两相等，那所以我们能够得到 cd， 它是平行 ef 的， 那既然 cd 是 垂直 ab， cd 又平行 ef， 那 所以 ef 肯定也是垂直 ab 就是 读到这我们能够得到的。然后可旋转轴柄抽象为 f g， 嗯， 收音区和控制区抽象为线段 m n， m n 垂直 f g， 这是垂直。垂直的话我在题干中给大家标注一下， 这也是垂直， g 是 m n 的 中点，那我们就得到了 mg， 它是等于 n g 的 n g。 然后现在是轴柄 f g 可绕固定点， f 看它是绕的是 f 点，旋转一百八十度，如图， 旋转一百八十度，如图二呢？连接 a m， b， n。 在 话筒 m n 旋转的过程中，四边形 a， b， n， m 的 面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积最大时， a m 平方减去 b n 平方的值，如果不变化，求出这个面积。然后现在给了一些具体它的长度， ab 等于十，以及 cd 的 长度，给了是一，还有包括 d， e， 这是二倍根号二。 ef 是 七 f g， f g 是 一， m n 给了是十。我在这块标注一下，那我们首先来分析一下， 从给的这些值，包括我们刚刚读题来看，首先 f 点肯定是一个定点， f， 它是一个定点，那哪些点是动点？首先 g 肯定是个动点， m n， 这是动点。 定点我们知道那 f 距离 ab 的 这个高度，我们就是 f 点到 ab 的 距离，我们是不是也是可以是定点？ 那所以它它这个四边形，你看要求的是四边形 a， b， n m， 我 们对于一个不规则的，从题干中我们一看它是不规则，那对于不规则的一个四边形来说，有两种办法，第一个办法就是把它割了，第二个办法就是给它补了。 那这道题我们选用的是给它割开，因为补的话，因为好多现在我们都不知道，包括这个 a、 m 长度，不知道 b、 n 的 长度，我也不知道怎么去给它补，你补完这些角度我也不知道，所以就给它分割，那分割我们该如何分割才是最好的？ 你想一想 am 长度我不知道，我不可能从 m 点去出发，给它分割成两个三角形吧？那哪些长度我是知道的，那我就可以从哪哪个点出发，比如说这个 e、 f 长度我知道，那 f 点到 a、 b 的 距离我是可以去计算的。你看这有一个二倍根号二 e 基， 刚刚这还有一个一百三十五度，一百三十五度它属于一个特殊角，因为它可以给它拆成一个四十五度以及九十度，与这两个 与这两个角是有关系，那它就是一个特殊的，那所以 f 点到 a、 b 的 距离我可以，那我就直接把它从我连接这个 a、 f 连接 a、 f， 就是 以 f 点出发，去把这个四边形给它分割成几部分，分割成我们去可以计算的， 那首先那这个四边形首先就可以给它写成一个三角形 a、 b、 f， 再加一个。我们是不是还知道了这个 m、 n 的 长度以及 f、 g 的 长度，那是不是可以从 f 点出发，把这个 m、 n 去给它相连， 那看再给它分割成，把这个四边形给它分割成四个三角形，也就是 a、 b、 f， 再加一个三角形 m、 n、 g， 这是两个，然后再加一个左右的两边，也就是呃，三角形 a、 m、 f， 再加上一个三角形 b， 嗯， n、 f 这两个。好，我们这会再来分析一下，看哪哪些三角形它的面积是固定的，哪些三角形面积它是不固定的？我们首先来看三角形 a b f a b f， 这个肯定是固定的， 因为什么我们刚刚得出了 e f， 它也是垂直 ab， 然后这个角呢？它是一百三十五度，我给它做一个 这样的垂线，你做过来这个的相当于是一个四十五度的一个等腰直角三角形，那我们根据四十五度的一根二，可以直接把这一块给它求出来，那这个的长度其实它就是二，那这一块也等于二，我直接给它做下一个垂线，比如说这一块是一个 h， 如果这是一个 h 的 话，那我整个的这个 g h 的 f 就是 这个 f h 的 长度是可以算出来就是七加一个，这里我们算出来的二，再加上这个 c 与 cd 长度相等的这个线段的话就是一，然后这个算出来是十， 那既然这个知道的，那就是 ab 边上的高，那所以这个三角形的面积它是定的，我写一个定的，那对这个三角形 m n g 固定不固定？ 大家可以想一下，它一定是一个固定的值，因为 m n 的 值，看 m n 的 值，它是等于长度为十，这个高 f g， 题中也给说了，它是等于一，那所以这个三角形它就是固定的，那不固定的， 那就是这两个了，就是这个 a f m， 嗯， a f m 就是 左侧的这一部分和右侧这一部分， 我们现在只能判断出它不固定，就是它的面积可能会变化，那至于这两个面积加起来，它 他到底变不变化，我们也不太清楚，这会就得研究。我们来看，也就是这边一个一号三角形和二号三角形，我们来看他都不在一侧，那我们这会来想一下，那对于这两个的和是不是最好的办法就是 把它凑到一块，你凑到一个整体的图形，它的面积才更容易去计算吧？我单独去看的话，虽然我这个 a f 以及 b f 我是 能够求出来的，但是它们对应的这个高，我做出来我也不好去求。比如说你这，因为你这个 f， 嗯嗯， n 以及 n 点以及 m 点他在动，那你这个高他肯定一直在变化，那我们不好去算，那所以就得想办法给他凑到一起，那想办法凑到一起，我们从题上还能够得出的一个东西就是 m f 他 肯定是等于 n f 的， 因为 m m g 等于 n g 以及 f 这两个三角形它全等，那所以那这块它一定是怎么样相等的？那既然相等，我是不是就可以默认为这个 f 点它就是一个圆心，然后 m n 呢？它就是绕这个就是圆心上圆周上的一个， 对吧？它们的轨迹就是一个以呃，圆心 f 的 一个圆，那具体这个圆是怎么样的？我给大家稍微画一下 看也清楚，也就大概是这样的一个圆，那 m n 肯定是在这个圆上在这一块运动，你想一想，我要把这两个三角形给它弄到一起，有什么办法？肯定想到了， 我们知道了这两个箱子是不是有可能我去构造全等，但全等的话，我发现它不好去动，因为我一旋转的话，这个角度在动，你看就是这个角以及这个三角形，这个角它在动，我不好去换。我们可不可以换个思路，我既然要全等，那全等有什么办法可以 除了自己去构造，还有呢？我是不是可以把这个图形直接给它旋转过来，我旋转了， 我旋转了，我是不是也就得到了全等的了呀？那我相当于把这个，把这个一号三角形完全给它转过来， 那就可以了。那我们去做一下，那旋转的角度，其实就是这一块吧，也就是 m、 f， 它与 n、 f 重叠了，那这一块给大家画一下，用紫色的部分来画，那旋转过来，比如这里是 a 撇点， 大概图形就是长这个样子。 ok， 好， 那现在这两个图形的面积，我现在给它变化成了 s 四边形， 从这图上看的话，它就变成了 b、 n， 嗯， a 撇 f 是 这个样子。好，下来一步我们再继续观察， 我们来看一下。嗯，这个这个角 是不是固定的？因为 ab 以及 f 它都固定了，那所以角 a、 f、 b 定的，以及哪个三角就是这个的，哪个角也是定的，就是这个 m、 f、 n， 它也是角，这个角它也是定的， 这个大家可以想一下，为什么是定的？首先我刚下面给解释，那上面这一个，上面这一个长度一样了，对吧？长度给定了，那所以他这个角一定是固定的。那既然这两个角固定，我们给他旋转完以后呢，你看一下这个角， 这个角的大小，也就是角 a、 f、 m 加上一个原先的这个角 b、 f、 n， 这两角它是不是等于三百六十度减去我刚刚给出的这两个定定角的这个也就是 a、 f、 b。 然后还有一个是角 m、 f、 n 是 这两个的，既然这两个它是定的，那三百六减去这两个定的，那所以这个角它也是定的了， 大家想一下看，那这个定了哈，我们刚刚不是把这个面积给它归结到这个四边形里面了吗？你看既然这个定了哈，我这一块肯定能想到。我去做一个三角形，就是把这个 a a 撇去给它， 就把这一个连接一下，就是这个，把这个 a 撇 b 给它。连接完以后，那大家说一下，首先我们那会可以得出这个 b f 刚刚没有算啊，但是这个是可以算出来的，就是 b f b f 以及 呃， af 的 长度是可以求出来的，然后 af 我 们是旋转过去的，那所以它就等于 a p f， 那 这些长度都是定的，这个长度定的，你看这个定的，这个定的以及刚刚的这个角是定的。通过这三个 我是不是可以得出 s 三角形就是这个三角形 a 撇，嗯， f b 它的面积是定的。 讲一下，通过这个 b f 我是 可以求出来，因为你看刚刚这 ab 知道是十，我刚刚这一块的长度也求出来了，待会我给大家计算。 那因为这块的值一些长度都知道，勾运用勾股定律， b f 是 定的， a f 我 知道。然后 a p f 是 它旋转过去的，那所以它俩肯定相等，那也是定的。再加上我们刚刚求出来，分析出来这个角度它是定的，那所以这个的面积是定的。然后这个 四边形我就给它可以分成一个 a 撇啊， a 撇 f b， 再加一个 s 三角形，就是三角形 a 撇 n b 的 面积。好了，到这了，这个怎么样定的了？那是不是只有它了？ 我们来看一下它有没有变化，这个该去怎么去看？也就这个 a 撇 n b 这个三角形的变化。首先哪个线段都是固定的了， 我们来看一下啊，这个角度固定， b f 固定， a p f 固定，那第三边这个肯定长度是可以，这个三角形一定是固定的，我们通过那个啊， s a s 三角形全等的那个判定条件， s a s， 那 第三边一定是确定的了，这个长度是确定，那相相当于这个 a b a 撇 b， 对 于这个三角形当中它的一个底边是定的，那只用去看它的高。好了，我们过 n 点去做它的高， 我们换一个颜色，换一个蓝色， 你看我们去做这个的高，比如说这一块是 t 是 t， 那 相当于这个 n t， 我 们看它有没有什么变化？ n t n t 这个长度， n 是 一个动点， 大家别忘了 n 是 一个动点，我们来看 n t 的 长度有没有变化，这个能不能理出来？能不能理出来？ 你想一下 n 在 这个圆上动，好，大家如果判断不出来这个另一个我想大家一定能够弄出来，就是这个 n t 去加一个，嗯， f t， 它一定是等于 n f 的， 对吧？ n f 这个是定的，这个是固定的，然后 f t 呢？ ft 这个是什么？相当于是这个 t 点 t， 它是在 a 撇 b 上在动，也就是 t 点在 a 撇 b 上在动，那动的过程中是不是 如果这个变化的话，它是不是也变化？我们从铁盖中一看的话，这个在什么在变动，那所以牵引着那这个由它变，那我这个 n t 在 变，那它变的话，那这个的面积一定是在变化，那所以我们要找它最大， 因为题刚中说求出面积最大时，最大的时候，那它什么时候最大？那就是这个 tf。 讲一下， 要它最大，那它就是这个是定的，那它就是最小，那它什么时候最小？ f t 什么时候最小？ 那肯定是垂直了一个。你想一下这个 f f 点到 a 撇 n 的 这条，你看这个 f t 连接的这一块线段最短的时候，其实就是一个 f t 垂直， a 撇 b， 那 这块既然垂直的话，那我们自然而然就得到这个 n t， 它肯定也是垂直于 a 撇 b a 撇 b 这个线段，它只要垂直了，那这个就是最短的时候，就是最短，它垂直的时候，那这个它就是最小的时候， 那应该是最大，最大是它小，然后它才大，是这个样子，应该是最大，它是最大。好了，到这了啊，大家不知道该怎么办了，我只知道这个 n t 它要是最大，那 其实人家也没有让你去求这个面积最大，让你去算，对吧？那所以我们就得去看他问的是这个又是什么意思了。这个图上有点多，我把这个图给大家画到下面来吧。画到下面来，也就大概的图形， 我画的不是很标准，那这个就是那个 f 点，这就是 b， 这是那个 n， 这是那个 n 撇，我们还 把这也连了，大概是这个样子。然后我们现在得到的就是怎么样垂直，看由这得到垂直。好，现在我们能够求出来的就是这个 b f， 我 们来求一下这个 b f 吧， 因为这有一个 b f 嘛，对吧？我们先求一下 b f， 那 这整个是十的话，嗯，那 a c， 这是五，然后这块也是二，那这是二，那所以根据这个勾股定律，一勾股定律，先求这个 a p a p f， 嗯，这整个的长度是 刚刚算了，是十，就是 f h， 整个的长度是十，然后这一块是，嗯，总共加起来是七，那也就是一百加一个四十九，那应该就是一百四十九，那所以这个当然是平方，它的平方，那 a 撇 f， 它就是根号下幺四九， 那对于 b f 的 话，整个是十，这是七，那这就是三，然后这也是十，那就是根号下， 嗯，一百去加一个九，那这个最终算出来就是根号幺零九，它等于根号幺零九。 a p r 啊 f 等于根号幺四九，我们在这标注一下，那 a p f， 它就等于根号幺四九，然后这个是根号幺零九。现在题干中 他问的就是这个 am 的 平方减去一个 bn 平方。 好了，我们直接在这来看就行了。 am 平方，我们一看它从这知道的话，它是一个垂直的 am， 不是 我们转化过去了吗？来看一下 am， 它现在从中来看到这两个三角形，这个就这个 a 撇 f n 与三角形 a 呃， f m， 这两个三角形全等的是旋转过去的，那所以这个 am 的 长度现在就转化成了一个是 a 撇 呃， a 撇 n 吧。 a 撇 n， 转换到这，那就是 a 撇 n 的 平方减去 b n 的 平方是转换到这了， 转换到这一块，我们单独来看这个图就行了，那就 a 撇 n 的 平方减去 b n 平方，方向看不看来，我只知道它在一个三角形当中，在这个三角形当中，那我们给它分，我们好不容易弄出这个是垂直的，得出最大的面积最大它是垂直， 垂直的时候，那我们就用这个垂直，那给它放到一个直角三角形来表示一下就行了。那就是我们假设这一为 r， 这块是 r 交点，为啊，这一块刚刚我们设的是 t， 那 这就是 t 点， 你就是 t， 那 就这块就是 a 撇 t 平方，加一个 nt 平方，减去那这个 b n 这一个的平方就可以表示成 nt 的 平方，加上 bt 的 平方， 那现在转化成这个样子了，去把它框给它去掉，那就变成了 a 撇 t 平方，然后直接去 怎么样减去一个 b t 平方，我又发现好像这个 b t 以及 a 撇 t 我 都不知道，但是我能观察一下上一个式子 它是怎么来的，你看这是不是有一个加 n t 平方，这有一个减 n t 平方，那我仿照上一步的例子，我现在只知道 a p f 长度以及 b f 的 长度给它转化到这边来，可不可以？你看一下，我就直接是，呃， a p t 平方，我加一个给它转化到这来， 我给它加一个 t f 的 平方，我再给它减一个，你看一下 它就变成什么了。首先我们来看前面这是不是加了一个，然后后面我又减了一个，那，那余下的其实还是这个式子等式，它是不变的。那后面这会我们再来看一下前面这个代表什么？ a 撇 t 平方， a 撇 t 平方是这个，然后，嗯， tf 平方是这，那是放到这个直角三角形当中，那这个是两直角边，它的斜边就是 a 撇 f 平 a p f 的 平方，算出来，那后面这一个那就是 b f 的 平方，那这就出来了，我们刚刚不是算了，这个 a p f 长度是 平方，它是幺四九，后面这个算出来是幺零九，然后它俩一减就是四十。那这个题就写出来了，连我这写的稍微稍微是有一点乱的啊， 稍微有一点乱给大家，嗯，去画一下它重点的是哪一部分，或者我给大家在这再写一下，就稍微给它整理一下， 嗯，看。首先我们要把四边形给它分割成了四个三角形的面积，然后分析出这两个三角形它是定的，那余下的就是这两个，就是左右两边。这个三角形我现在也不确定它和到底有没有变化，然后我想的是这两个 三角形它又不在一块，那不在一块的话它不好计算，所以我们想办法给它移到一块来，那就通过进一步是通过旋转， 通过旋转然后得到了它俩的面积和，其实就是这个表示成了这个四边形的。然后这个四边形呢？我没办法直接运算，所以我又给它拆成了这两个三角形的。看到没？这两个三角形 通过一些角度以及旋转的一些变化，以及我们的长度， b、 f 是 可以求出来不变， a、 p、 f 长度不变，以及我们分析出这个角它也是定的，那所以这个三角形的面积它也就是定的， 那就关键看最后的这个三角形，这个三角形到底有没有变化，那其中它的一个边我们也是定定的，只能确定它是定的，具体长度我们是无法去计算的，我们只能说这个 a 撇 b， 我 们判断出来它是一个定值，那再去判断它的高，那判断它高，我表示成了 n， 就是 这个 n t， n t 这个长度就是它的高 n t， 我 们来看一下，它一直是在变化的，因为在这来了，给大家拉一个箭头，从这 n t 加上加上一个 tf， 它等于 n f， n f 是 一个定值，这是一个概念中你可以得到的 n f， 它是一个定值， 然后它定了，那我们来判断一下，既然这个三角形就是 a 撇 f b 它也是定的，那 tf 这个 它最小的时候呢？这个就是 tf 在 变化，那这个 nt 在 变化，那影响呢？其实就是这个 nt nt 变的话，那自然这个三角形它也在变，那所以我们判断出了这个四边形的面积，它是在变化的，那在变化过程中什么时候是最大的？ 那就是在这个 f t 小， 最小的时候，这个 n t 就是 最大的， f t 最小就是一个点距，一条线段最短的距离就是垂直，垂直的时候这个是最小，那额外的减余下的这一段部分就是最大，那垂直的时候它这个面积就是最大的。然后我们分析到呢？ 呃，左边的这个图形放到这里面，然后再去分析一下，尤其是这一步啊，可能大家坐到这就，嗯 变化不来了，就到这一步，变化不来了，那我们就用最最基础的就是勾股定律给他表示出来，因为我们现在没有办法，但是看到这个平方我就想到了勾股定律，而且我们好不容易判断出有垂直， 那所以就放到直角三角形中，用勾股定律来去给它表示出来，表示出来最后得到它好像我们也弄不出来，但是我们会发现看上一步它就是放在直角三角形当中，那我下面也去给它放到，但是我把另一个边给它换了，把 n t 给它换成谁了？ tf， 那 tf 一 换上去，我就可以表示成另一个边，那它的长度最终就表示出来，是可以就直接表示出来是 a p f 平方，减去 b f 的 平方，然后得出的是四十。好，这个就是这个的嗯，压轴题吧。其实你会发现不管是嗯 二模还是三模，它把那个面积压轴题，就是就是问的是面积，然后把这个面积基本上都是用的什么方法，都是分割法， 都是一个分割吧，然后去找定的点以及动的点，然后回归到你最基础的一些知识，慢慢一步一步给他写完。但是好多同学可能也不会这道题，这道很复杂，也写不完。那写不完情况下，你就一步一步从题干中得到那些东西，你就能写几步是几步，我不一定非要把思路整理出来， 我写两步是两步的分。好吧？这就是现在要抓分，不是说我要拿全分，就是要就每道题都抓一些分。好，那这个就讲到这，拜拜。
14一棵高大的树
03:58查看AI文稿AI文稿触感在线，逻辑不偏。大家好，今天我们来看一下三中的三模的这个小压轴。这个题呢，大部分同学上来一看可能就知道怎么做了，因为它其实很简单，就考了一个正方形内的一个半角问题， 对吧？遇到半角就旋转，所以呢，我们大概读一下题说 abcd 是 一个正方形， ef 是 bc 和 cd 边上的两个点，并且呢，告诉我说角 ef 的 长度是三， b e 的 长度是个二， 然后让让我们来求 a、 e、 f 的 面积是多少，对吧？好，看到呢，这种正方形内含半角，直接旋转就行了，所以我们把 a、 d、 f 这个三角形给它转到 a、 b 这个地方来啊，直接旋转， ok， 把 a、 d、 f 这个三角形转到 a、 b 啊这个地方，比如说记作 f 撇转到这个地方来，对吧？那么此时呢，我们能得到三角形 a f 撇 e 和 a f e 这两三角形是全得的啊，这个逻辑也很简单哈，这是角一，这是角二，角一加角二是四十五度， 角一呢，转到这来了，所以这个角是四十五度。所以对于 a e、 f 撇和 a e、 f 来说啊，分别有一个顶角，分别有一个 af， 等于 af 撇。其次呢，角 af 撇等于角 e f， 同时呢，还有一个 a e、 f 等于 a e， 对 吧？所以呢，我们能得到三角形 a e、 f 是 全等于 a e、 f 撇的， 对吧？所以呢，这题让我们来求的是 a、 e、 f 的 面积，那么也就是说，我要求的是 a、 e、 f 撇这个三角形的面积，对吧？好，因为 d f 是 三，所以 b f 撇是三，得到呢，它的底边的长度呢， e f 撇 等于一个三加二，也就是五，对吧？核心呢，就是求这个三角形的高，也就是正方形的边长嘛，对吧？那么这个正方形的边长怎么求呢？当然，其实勾股定律学完之后呢，这里就非常简单了哈，设正方形的边长是 x， 那么此时呢，我们能知道啊，因为你 e f 撇是五，那么 e f 是 五，所以它是五，正方形的边长是五的话，那么 d f 是 三，所以 f c 呢是 x 减三，对吧？然后呢， b c 的 长度是三， b e 呢是二，所以 e c 呢是 x 减二，在 r t 三角形 e c f 中直接勾股定律，对吧？ e c 方加上 f， c 方等于 e f 方啊，然后呢， e c 方呢？ x 减二平方加上 x 减三的平方等于五的平方，把这 x 算出来就可以了啊。这个算的过程我就不说了， x 等于六啊， x 等于六，所以最后呢，三角形的面积呢？ s 三角形 a， e f 就应该等于底啊，这个二分之一呃，或者说 s 三角形 a， e f 等于 s 三角形 a， e f 票等于二分之一， e f 票再乘以一个 ab， 对 吧？ ab 呢，算出来等于六，所以说二分之一，五乘五乘六等于十五。好，这题搞定 啊，当然可能对应的这种题目呢啊，这个想简单跟大家说一下，因为前面呢，有个学校的模考题里边其实是考了一个正方形的一个绊脚问题呢 啊，当然我们在这个时候要考虑啊，如果说这两个三角形全等的话，那么他们两个对应的高也是相等的，所以那么这个 a e f 的 高，其实就是 a e f 撇的高啊，也说计算的是 ab 的 长度 结束了，或者说正方形的边长就结束了啊，题目难度不大啊，大部分同学可能这个在初一学完全等三角形之后，这种题其实基本就弄错了，无非就是一个古物理，而很多学生呢，小学的时候就已经接触过古物理了，所以可能对于大部分初一的学生来说，这种题你可能都能解决掉好吧。
49王磊初中压轴题
02:33查看AI文稿AI文稿好，咱们来看一下咸阳三模填空题最后一个，这是一个球外接球的问题，那么很明显，题中出现了一个面面垂直好，那么他应该是一个面面垂直线外接球好，面面垂直线在 公式是什么呢？大 r 应该是根号下 r 一 方加 r 二方减四分之一 l 方，那 r 一 r 二分别是互相垂直的两个面的外接圆的半径，那么 l 是 交线的长度好，那么此时 abbcac 都等于四，很明显， 这是一个等边三角形好，那么 bc 垂直于 cd， 这是一个直角三角形好， cd 也等于四好，那么第二个面应该是一个等腰直角三角形好，那么才知道 r 一 它是一个等边三角形的外径，圆半径应该是三分之根三倍的边长，所以 r 一 应该等于三分之根三，再乘以四，应该是三分之四倍的根三 好。等腰直角三角形，只要是直角三角形，它的外圈半径应该是斜边的一半，那么此时斜边是四倍根号二好，那么 r 二应该等于二倍根二好。交线就是 bc， 也是 bc， 就 等于 l， 它等于多少呢？四 好，咱直接代入公式，那 r 方应该是 r 一 方，应该是三分之十六，加 r 方加八，再减四分之一 l 方乘以十六， 应该等于十六，再加上一个四，应该是三分之二十八好，那么 s 表 球体的表面几何式应该是四派， r 方应该是四派，再乘以三分之二十八，应该是三分之一百一十二派， 好，所以这个题答案应该是三分之一百一十二派。这个题关键是熟记面面垂直线外接球半径的公式及其常见几何图形外接圆公式， 等腰直角三角形，他的外接圆半径是斜边的一半，等边三角形外接圆半径是三分之根三倍的边长。好，关注允哥数学不迷。
107允哥数学思维
02:18查看AI文稿AI文稿我不是呆头鹅，我回家找阿元去。你等着，今天要把这道题目录给亲爱的雨晴同学。这个题目呢，是我们试卷的倒数第二题。倒数第二题的话，其实我觉得这个题目还是比较 容易拿到分的。这个地方是中点，那就说明这个角的正切是等于两分之一，然后第一问都能拿到手。 这个地方求他的场，求他的场的话，其实我觉得我的学生应该知道这个地方是对应三分之一的，但呢，你要是不知道呢？也没关系，你考试的时候这是一道大题目，你也不能直接上来就直接报答案啊。所以你还是得老老实实装模作样的写下去。那怎么装模作样呢？我带你装一下啊。 这不是等于一吗？那这个地方就应该是两倍根号二，下面的是两倍根号二，求 b c 的 长， 那它比它是多少啊？它比它这个是四十五度，对吧？这是一份， 这是一份，这是几份啊？这是三份，所以这个角正确就是三分之一，你不也验证了三分之一吗？嗯，那么这个 b c 就 应该是三分之两。对，根号二。结束了。好，求证这两个角相等，求证这两个角相等的话，那就是这个角。 咦，这个角是相等的，这两个，这个角正切已经知道了，是两分之一，那我要证明这个角的正切两分之一就行了，目标非常的目的性极强，对吧？好， 做完之后我就知道这个边就应该是等于三分之二，它也是等于三分之二，那它等于多少呢？那二减一下，所以我就知道了，它就它就应该，它的角的正切也是等于两分之一，于是我就证明了 他说相等的。好了，这题就这么简单。同学们你们觉得这个题目听的过不过瘾啊？如果大家想让我说什么样的题目呢？希望大家呢在评论区呢告诉我啊。今天我们就到这里结束了，拜拜，给大哥点点关注。
29阿源教你口算压轴
05:15查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，好久不见，这条视频，我们讲一下关于负数的几何意义，那么负数这部分内容的知识点呢？在我们全国二教当中常考的还是关于负数的四个运算，那么这次三门考试当中出现了关于负数的几何意义的多选择题，所以在这里我想带大家再复习一下关于负数的几何意义。已知负数等于 a 加 b i， 那 么它在负平面上对应的点就是 a 到 b 向量 o z， 它的坐标也是 a 到 b， 那 么关于负数的周长 c， 它等于根号下 a 方加 b 方，实际上负数的魔长，它表示的就是负平面内圆点与这个向量中点的距离，也就是 o 点与 c 点 之间的距离。这里我们 o 点的坐标是零零嘛，对吧？那么两点间距离公式你还记得吗？两点间距离公式，已知 a 点坐标是 x 一 y 一， b 点的坐标是 x 二 y 二，所以 ab 两点间的距离就是根号下 x 二减 x 一 的平方，加上 y 二减 y 一 的平方 z 的 膜，就可以把它看作是 o 点到这个向量中点之间距离的长度，所以它又转化成两点之间的距离。现在给定负数 z 等于 a 加 b i， z 二是 c 加的 i， 那 么我想求 z 一 减 z 二，它的膜长，实际上是不是就是 我先计算 z 一 减 z 二，它等于什么？应该是 a 减 c 加 b 减的 i， 求它的魔长，那么它的魔长等于根号下 a 减 c 的 平方加 b 减的平方。那这个公式我们把它如果想象成是两点之间的距离的话，那就是 a 到 b 这一点到 c 到的这一点之间距离，对吧？如果把它想象成 a 点，想象把它想象成 b 点，实际上这段长它表示的就是 a、 b 两点之间的距离，那这就是负数，在负平面内，它可以怎样通过魔长来表示距离？ ok， 我 们往下来说一下关于诡计的问题啊。如果说他给定一个负数，它的魔长为一，负数的魔长为一，我们刚刚可以把它写成什么形式？ 是不是就是根号下 a 方加 b 方等于一，也就是 a 方加 b 方等于一。那么如果我把这个 ab 换成 x 和 y 的 话， x 方加 y 方等于一，这个时候你是不难看出实际上它的轨迹是什么？是一个以零零为圆心，以一为半径的一个圆，对吧？这是它只给了你 z 的 模等于一， 它的轨迹是以零零为圆心，以一为半径的一个圆。那现在假如说我给你 z 减一的模等于二，实际上 z 它表 z 减一的模等于二，它可以写成什么呢？可以写成是 a 减一的平方加上 b 的 平方，开根号等于二 平方之后 a 减一平方加 b 方等于四。现在我再把 a b 换成 x， y， x 减一平方加上 y 方等于四。那么这个时候它的轨迹又是什么？ 以一零为圆心以二为半径的一个圆。 ok， 那 我们来看这道题啊。这道题是我们刚刚考过的三模数学卷多选题的第十题。给定三个负数， z 一 z 二 z 三对应三个点， a b c a b c 可以 构成一个三角形。让我们判断下列说法正确的是， 那么 a 选项它说的是 z 一 z 二，它满足 z 一 减 z 二的摩擦等于 z 二减 z 三的摩擦。那么刚说过 z 一 它对应的点是 a 一 z 二对应的点是 b， z 三对应的点是 c， 那 么它们两个作差指的是几和 e， 表示的是不就是 ab 两点之间距离啊？ 而这两个负数作差，它表示的几和一就是谁 bc 两点之间的距离呗，对吧？那么当 ab 的 距离等于 bc 的 距离的时候，说明三角形 abc 就是 一个等腰三角形，因此 a 选项是正确的。 然后我们再来看 b 选项，接下来我们看 b 选项， b 选项给的是 z 减 z 一 等于二倍的 z 减 z 二，那么这个 z 在 题中没有对应的点，对吧？那我们就假设它对应的点 o， 那 么 z 减 z 一， 它实际表示的就是谁 o a 之间的距离，对吧？它会等于二倍 z 减 z 二是 o b 之间的距离。现在它让你去判断 z 的 这个轨迹，它说是以 ab 为直径的一个圆，那实际上你要满足 o a 等于二倍的 o b 的 话， 我可以把 a 放在靠近 b 三等分点处，我可以以 b 为中点，把 a 放在这，对吧？所以 o 它的运动轨迹是在直线 ab 上，而不是以 ab 为直径的圆。 接着看 c 选项， c 选项满足 z 减 z 一 的模等于 z 减 z 二模等于 z 减 z 三的模。那么我刚刚说了， z 我 可以看作是什么点 o 啊，它对应的点为点 o， 那 么这就是 o a 长等于 o， b 长等于 o c 长，那么此时 o 点到三角形三个顶点的距离相等，那你说 o 代表的是什么？它应该代表的是三角形的外接圆圆心，也就是外心。我们再看倒选项，倒选项说这个负数 z， 它满足 z 等于三分之 z 一 加加二加 z 三， 此时说这个它对应的这个点 o 为三角形的重心，这个是正确的。因为三角形重心它的坐标是什么呀？ 三角形重心的坐标是三分之 x 一 加 x 二加 x 三都三分之一 y 一 加 y 二加 y 三，对吧？啊？我假设 abc 它们三点坐标分别是 s 一， s 二三的话，啊中坐标 y y 一 y 三的话，此时它的重心刚好是等于三分之，它们的和，也就是题中给的这个三分之一 z 一 加 z 二加 z 三。 所以这道题正确选项只有 a 的 通过这次考试呢，可以正好复习一下这部分知识点，大家学会了吗？拜拜。
206数学提车儿妮
08:15查看AI文稿AI文稿嗨，你的高考外挂上线啦，我是博老师，今天我们一起来看一个刚刚考完的咸阳三模第八题方程。 x 乘以 e 的 x 方，等于 a 乘以任意 x 加 x 有 两十根 x 一 x 二，且 x 一 不等于 x 二，则实数 a 的 体积范围是多少？首先我们需要把这个方程做一个变形， 由于右边呢是出现了 long x 加 x， 而左边是 x 乘以 e 的 x 方，那我们可以把这个 x 乘以 e 的 x 方给它运用以下对数恒等式这个公式，把 x 变形成 e 的 longen x 幂。那因此呢，我们整个式子就可以化简成 e 的 longen x 方乘以这个 e 的 x 方，就等于 e 的 longen x 方加上一个 x， 这是左边，那右边的话，我们给它照着抄，就等于 a 乘 e， loine x 加上一个 x。 好， 现在在观察这个方程，左边当中指数这里出现了 loine x 加上一个 x， 而右边的话，小括号当中出现了 loine x 加 x， 所以 如果我们换元，就令 t 等于 loine x 加上一个 x， 那 则 圆方程就变成 e 的 t， 次方等于 a 乘以 t 好， 然后画圆之后是要写出新圆的一个范围的。由于方程当中它只有 lo in x 这个地方有限制，所以说我们 x 就 需要大于零，这里就是 x 大 于零，然后现在来算 t 的 一个范围， 算星元 t 的 范围的话，由于这个函数也不是我们熟悉的，并不能一下子直接看出它的一个区域范围，所以说呢，我们需要给它求导看一下它的一个单调性，因为这个 t x 就 等于 x 分 之一加上一个一，由于 x 在 这里是大于零的，所以 t x 大 于零横乘以， 那也就是说这个 t x 在 零到正无穷上是单调递增的。接下来我们来判断一下，当这个 t 属于，因为定域是开区间，零到正无穷，所以说它从右边趋近于零的时候，就是 t 趋近于零正时， 我们的 t x 它是趋近于谁的呢？由于 log x， 大家想一下它的这个图像， 我把它画在这儿，这个是 y 等于零 x 的 一个图像，当趋 t 趋近于零正的时候，就无限从右边靠近零的时候，整个零 x 在 这里是不是是负无穷的？然后 x 是 零，所以它是负无穷加里，那就是趋近于负无穷。同时咱们就是当这个 t 趋近于正无穷时， 很显然这 t x 此时是趋近于正无穷的，所以 t 的 一个取值范围就是负无穷到正无穷， 也就是说它应该是全体实数。好，那我们写在这里，因为 t 的 话，也就说它属于 r 了，在这它属于 r 之后，那整个式子我们想把这个参数 a 给它分离出来的话，需要把 t 除到这个左边去，那除的时候呢？需要判断它为不为零， 所以我们就先来判断，若这个 t 等于零，则值上式不成零， 所以这种情况就舍掉了。然后若 t 不 等于零，那则上式就可以变成 a 等于 e 的 t 次方，除上一个 t， 然后我们变形成它之后，圆方程有两个实数根，就等价于这个方程有两个实数根， 而这个方程有两个实数根呢，我们就可以把它转化为对应的函数。图像问题，那它就等价于谁呢？等价于 y 等于 a 与这个。我们记个新函数啊， g t 等于 e 的 t 次方，除上一个 t， 再注意它的定义域， t 不 等于零时的图像有两个交点。 好，现在呢，我们来画这个函数的图像，就这个函数，有的同学呢，可能是比较熟悉，就直接能画出它的图像了。这道题的话，因为是一个新的题，所以说呢，我们就具体讲解一下它的图像应该是如何去画的啊。首先我们就给它求导，因为这个这这撇 t 它等于 t 平方分之分子求导一的梯次方，乘以分母不求导是 t， 再减去分子不等， 乘以分母到一。然后呢，给他提个公因式一的 t 字方提出来这里是 t 减一，然后再令这个 g 撇 t 等于零，那我们就可以得到 t 是 等于一的。好，然后一呢，把整个定域分成了两段，但是注意他这里还有一个不等于零，所以说呢，就是当这个 t 是 属于负无穷到零逗号以及零到一时，我们这里 g 撇 t 都是小于零，那 g t 就是 单调递减的，然后当 t 属于一到正无穷时， g t 大 于零，然后 g t 是 单调递增。接下来我们画函数图像，画函数图像的时候呢，这里还是要判断一下它这个区间上的一些值，因为这里我们只能算出 g 一， 所以其他的呢，就是需要 去判断一下它的这个极限值。那我们先来看这个是负无穷到零，也就是说小于零的时候是怎样的，因为当这个 t 小 于零时， 我们 g t 等于 e 的 t 次方除以 t t 小 于零，而 e 的 t 次方这个指数的函数值恒大于零，所以它永远是负的小于零，然后当 t 趋近于负无穷时，我们这个 gt 就 趋近于谁呢？下方他其实就是一个负无穷，负无穷上方的话就是 e 的 负无穷次方，那就是这个地方是零，所以他是就是小于零，无限靠近于零，但他是小于零的，这个只是小于零的这一步，其实可写也可不写啊，因为我已经知道他小于零了，然后单调递减，当 t 趋近于零，负就是从 比零小，但是无限靠近于零时，那我们这个 gt 就 无限趋近于上面是 e 的 零次方，然后下面是零负， e 的 零次方是一一除上一个无限接近于零的负数，那他就趋近于负无穷，所以这里 零负无穷到零的图像咱们已经可以画了。零到一的话，这个地方就是当 t 趋近于零正时， g t 就 趋近于上面其实还是 e 的 零次方，只不过下面变成零正了， e 除上一个零正，那么它无限趋近于正无穷，然后再算一下这个 g 一， 它呢是等于这里是一个极值啊， g 一 的话是带进去就是 e， 然后再 图像就可以画了，那我们直接画一下图像吧。 好，首先呢，就是我们负无穷到零上是单调递减的，并且在这个区间上整个 g t 都是小于零，它在这个 s 轴下方，然后当它趋近于零的时候，呃， 当 t 趋近于零的时候， g t 是 趋近于负无穷的，所以说它图像就是这样子的。然后右边它零到一上面是单调递减，一到正无穷上是单调递增，所以说它在一处取到的是一个极小值。 几小时，那我们把几小时标出来，这里是先减后增，所以这个图像就是这样子的，这是 gt 的 一个图像，然后 因为我们转化成这个形式之后， y 等于 a 与这个 gt 的 函数图像要有两个交点，所以说 gt 的 图像画完之后， y 等于 a 的 图像就应该是这样子的。那我们综合去看一下的话， a 在 这里应该是属于易到正无穷的，那所以说呢，我们整个答案最终的答案就是 a 属于易到正无穷，应该是选择这个 b 的。 好，那我这里讲的就是因为讲了一下这个图像的具体画法，所以说中间过程有些啰嗦啊。大家如果说有什么更好的方法，也可以在评论区分享留言分享哦。那我们今天就到这里啦，下次再见！拜！
02:05查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们来看一下交大附中三膜监控的压轴体。如图，在三角形 a、 b、 c、 中， c、 e 垂直于 a、 b、 e 的 中点或 b、 c 等于四。三角形 a、 b、 d 的 面积是三和三角形 a、 c、 d 的 面积最小值是多少？ 那根据中点呢？我们知道中点是平分线段，并且平分三角形的一个面积，所以我们可以得出来，三角形 a、 e、 d 的 面积和三角形 a、 d、 c 的 面积是相等的。同样的， b、 d、 e 和 b、 c、 d 的 面积是相等的，所以我们就可以得出来，三角形 a、 b、 c 的 面积就是六， 那么三角形 a、 c、 d 的 面积就可以表示为整个的三角形 a、 b、 c 的 面积减去 b、 e、 c 的 面积，然后再除以二。 那么求这个三角形 a、 c、 d 面积的最小值， a、 b、 c 的 面积是固定的，相当于求三角形 b、 e、 c 面积的最大值。那直角三角形 b、 e、 c 中斜边 bc 知道等于四，那么这个面积，这个最大值是多少呢？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 假设这个 bc 边上的中点是 f， 那 么这个 e、 f 就 等于二分之一的一个 bc。 显然我们就很容易得出来，当 e、 f 垂直于 bc 的 时候，三角形 e、 bc 的 面积取最大值，那也就是二分之一乘以 四，乘以二，所以三角形 bc 面积的最大值就是四，那么整个三角形 a、 c、 d 面积的最小值就是一。那上一期我们说交大负重的这个三毛钱共加周期也可以用均值不等式来做。我们就可以设 b、 e 等于 a、 c、 e 等于 b， a 方加 b 方等于四平方，让你求 a 乘 b 的 一个最大值， ab 是 小于等于二分之， a 方加 b 方， a 乘 b 的 一个最大值是等于个八，所以 b、 e、 c 面积的一个最大值就是四。最终我们也能够求出来这个三角形 a、 c、 d 面积的最小值就是一。
38西安数学郭老师
06:48查看AI文稿AI文稿家人们，本次小视频我重点跟大家分享二零二六自治区三模解答题十七题。那么这是一道关于理题几何的经典的大题。本次小视频我们不仅把这道题做对，更要把背后的逻辑给大家讲透。好，我们先审一下题， 如图， a、 b、 c、 d 是 边长为二的正方形，以 m 为圆心的半圆面 m a、 b、 c、 d、 e 是 半圆弧 a、 b 弧上的动点。 第一个小问题呢，是证明平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e。 那 么怎么正这个平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c、 e 呢？好，那么它的核心的思路是，先证明先面垂直，从而推倒面面垂直。 那么我们第一个步骤呢，锁定这个目标直线，在其中一个平面 i、 d、 e 或者平面 b、 c、 e 内寻找一条看起来与另一个平面关系最密切的直线。 第二个呢，是正明线面垂直啊。第三个呢，推到这个面面垂直。那么在本题的立体几何图形当中，哪条直线最有可能成为连接两个平面，实现线面垂直的关键？先生呢？好，那么我们一步一步把这道题做一下。 好，因为这个已知平面 a、 b、 e 它是垂直于平面 a、 b、 c、 d 交于 a、 b、 a、 b、 c、 d 呢，它是正方形，那么正方形的两边邻边是互相垂直的，所以 b、 c 垂直于 a、 b， 所以 b、 c 垂直于平面 a、 b、 e。 那 么 b、 c 和 a、 e 它是互相垂直的。 好，那么因为 a、 b 是 直径，那么角 a、 e、 b 它是什么？圆周角？那圆周角是啊，直径所对的圆周角是直角，这是在初中的时候学过。所以啊， a、 e 和 b、 e 它是互相垂直的，那么 a、 e 垂直平面 b、 c、 e， 那 么平面 a、 d、 e 呢？它是包含 a、 e 啊，那么平面 a、 d、 e 垂直平面 b、 c。 那 么第一个小问题，我们做出来的这个积分已经拿到手了，你学会了吗？ 好，我们再看一下第二小问啊，那么第二小问说，若平面 b、 c、 e 和平面 c、 d、 e 所成的锐二面角的余弦值是十一分之，根号三十三，求自冷锥 e、 a、 b、 c、 d 的 体积 好，那么这道题的核心思路是体积，那它是等于三分之一底面积乘高，它的底面是什么来着？是的，十二个正方形边长，你还记得吗？十二，所以底面的面积是等于四。 那么第二个步骤，我们要求高，那么也就是体积计算的关键就是转化为求结点 e 到平面 a、 b、 c、 d 的一个垂直的距离，那么我们要去寻找它的这个突破口，也就是利用题目给出的平面 b、 c 一 与平面 c、 d 一 所成的锐二面角的这个余弦，指这一个几何条件建立方程。求解。 好，那么第一个步骤我们要干嘛呢？啊？肯定要进行，那么这是一个万能的钥匙。好，那么我们沿 a、 b 的 方向画一个 x 九好，那么平行于 a、 d， 以 m 为圆心，画这个 y 九 好，那么垂直于平面 a、 b、 c、 d 的 这个方向上，我们画这个 z 九 好，那么我们把这些点表示出来，那么因为这个 m 是 圆点，所以它的坐标是零都零都零 好，那么 a 点呢？它是在这个圆点的左方，是在 x 轴上啊，整个 a、 b 的 长度是二啊，边长是二嘛， m 是 中点，所以 a 点的这个坐标是负一都零都零啊，那么 b 点是一都二都零， d 点呢？是负一二都零， 那么 e 点它是个动点，所以它是 cosine theta 零， cosine theta， 好， 那么在这的这个 theta 呢？是在零到 pi 中间。 好，那么我们把这些向量给它表示一下。第一个平面 bce 的 这个法向量啊，那么这个 c b 向量呢？它是零负二到零， 从这个末点减去它的初点嘛， b 的 坐标减去 c 的 坐标，能得到 c b 向量，那么 c e 向量是 pythagore theta 减一到负二到萨因 c theta， 那 么它的这个 n 二向量啊，也就是等于负二倍的萨因 c theta 负零，负这个二倍的一点 cosine theta， 同理，那么我们可以写出这个平面 cd 一 的发向量 dc 向量是二到零到零，第一向量是 cosine theta 加一啊，负负二负 sine theta， 那 么我们能得到 cd 一 的这个发向量，那么它是零负二 sine theta 负四。 好，那么利用这个二面角的公式来列方程，那么二面角的公式是锐二面角的余弦值等于两个发向量的夹角的余弦值的绝对值。那么库萨尼塞，它等于 n 二乘 n 三， 它的膜比上 n 二的膜乘 n 三的膜，也就是十一分子根号三。那么我们单独把这个 n 二向量乘 n 三向量是什么？ 那它是等于负八倍的这个 e 减 cosine theta， 那 么 n 二向量乘 n 三向量的这个模是多少？八倍的 e 减 cosine theta n 二的模， n 三的模分别是多少？把它们算出来，算完之后代入化简，那能得到这个 cosine theta 是 等于三分之一， 而 cosine theta 算出来，那现在要求高啊，那么高 h 呢？它是既点是一到平面 a， b， c 的 垂直的距离，等同于一点在 z 的 一个坐标值。所以刚才我们得到这个 cosine theta 吗？那能得到这个 sine theta？ 好，那么能得到这个 h 是 一减三分之一的平方，也就是三分之二倍的根号二，那么代入到刚才的这个体积公式，那么我们得到它的这个体积是九分之这个八倍的根号二， 那么第二小问我们就把它算出来了。好，那家人们啊，那这道题呢，核心就是先间隙法向量，再加一个二面角，掌握了这个套路呢，立体几何直接拿捏。 那么第一个问题呢，我们用了几何方法证明了线面垂直。第二问呢，啊，从线面垂直推导出了这个面面垂直。 第二问呢，用空间向量算二面角，然后双管齐下呢？再也不怕这个立体几何。觉得有用的家人们点个关注，下次带你刷更多的立体几何的经典的题，那么咱们一起重高分儿！
22拉波士|金泉数研
03:14查看AI文稿AI文稿今天我们来讲一下安阳高三三模数学试卷上的第十六题，这道题是个典型的例题几何大题，第一问是证明，第二问是求二面角。但是很多同学这道题没有得到分的主要原因是， 第一个他借了这个平行六面体，我不知道该怎么办了，看着图好复杂的样子。第二个看到了证明线线相等，我也不知道该怎么办了， 那我们就一起来看一下这道题正确的解法。其实考察这个线线相等，他是参考的是哪一年的高考真题啊？是考察了二三年全国假卷那道例题几何题。那道题的第一问也是让你证明两个线段相等， 但凡让你证明了两个线段相等，你是转化成什么？转化成了是线段垂直，还有哪一种可以转化成线线垂直啊？让你证明一个点是一个线段的终点的时候，那这个时候也是转化成了线线垂直。 那我们一起来看一下具体怎么证啊？你先找到这个，他说 a c 一， 哪个是 a c 一， 是不是这个 a a 一 证明这个，让证明这两个是相等的，那他又说什么呀？ a 一 b 一 c 一 d 一 是个正方形，那是正方形，那我知道正方形的对角线相交了，这个点我给他个字母 m 吧，那这个 m 是 不是就是 a 一 c 一 的中点，它是中点，然后又让证他俩相等的？那想一下，我是不是只要证出来什么 am 和这个线垂直，我是不是又正出来了？我是不是又转化成要正 am 和 a 一 c 一 垂直， am 垂直于 a 一 c 一 就可以了，那正线线垂直我知道正线线垂直，我就要正什么？是不是又要转化成正线面垂直？线线垂直一定是转化成线面垂直，那正哪个线和哪个面垂直啊？ 那你想一下，我是不是只要正出来 a 一、 c 一 和这个面垂直于这个面 a、 b、 e、 d 是不就可以了？那我们来找条件就行了。首先它是个正方形，那 a 一、 c 一 就和谁是垂直的？是不是对角线和 b 一 d 一 是垂直的，这是一个了，那第二个在哪啊？你看题中 其中他说 a、 c、 e 和谁是垂直了？是不是和 c、 e、 d 是 垂直了？看啊，这，那他和这个是垂直了。那我们来看一下 b、 e、 c、 e、 d， a 这个是个什么图形啊？是不是是个平行四边形？他既然他和这个 c、 e、 d 垂直，那他 ab、 e 和 c、 e、 d 又平行，那你说这个 a、 e、 c、 e 和 ab e 垂直不垂直， 他是不是也垂直？所以我挣出来 a、 e、 c、 e 和 ab e 也就垂直，那由这两个条件，我是不是要挣出来 a、 e、 c、 e 和这个面 a、 b、 e、 d、 e 垂直？那这个时候 am 是 不是又在这个 a、 b、 c、 d 上？所以我就直接挣出来了 a、 e、 c、 e 垂直于 am， 那 又因为 m 是 不是 a、 e、 c、 e 的 终点，我就直接挣出来这两个线相等了。其实挣出来第一个之后，那第二个就很好写了，我是不是要间隙了？ 那间隙了，你已经挣出来 a、 m 和这个面是垂直了，那接下来呢？ a、 m 是 不是和底面也就垂直？我直接间隙，我正常的按坐标去找坐标就行了，标出来各个点的坐标，分别再求出来 a、 e、 a、 c、 e 它的法向量，然后再求出来 a、 c， e， d 这个的法向量， 然后求出来求 sine theta。 一定要注意啊，这个求出来的是二面角的余弦值，但是人家让我求正弦值了，不要忘了，最后再把它变成 sine theta 就 可以了。我给大家整理了立体几何这近五年所有的真题，大家可以下载起来，每天两道题，争取立体几何不丢分儿。
23:59查看AI文稿AI文稿好的， ok， 来，我们来一起来看一下这两道题啊。嗯，这两道题的话就是今天的二零二六年的苏北三模的前两道大题啊，今天刚刚考完，这是第十五题， 二零二六年苏北三模第十五题。然后呢，这是我们二零二六年苏北三模第十六题啊，前两道大题非常的基础啊。来，我们来一起来看一下这两题啊。首先求证 m n。 平行于我们平面 p a b， 对 吧？求证 m n。 平行于我们平面 p a b。 那 这个的话是一个非常简单的一个东西啊， 你显而易见。你取个什么啊？平行于我们平面 p a a。 我 这写的有点不太标准啊。平行于我们平面 p a d 啊，取个终点就出来了，对不对？我们干什么？第一问啊，结啊， 不要老是想着间隙啊，有人可能还是间隙，一直都在间隙啊。结啊，连这种平行垂直都也去间隙，那不是很好啊。 好，那我们干什么？姐，取什么啊？取我们的谁？取我们的 p d。 终点，对吧？取我们什么啊？取我们 p d 终点 e 啊，取我们 p d。 终点 e 啊，取我们 p d 终点 e。 好 的， ok， 取我们 p d 终点 e。 连接什么啊？连接我们的 e n 啊。连接我们的 e n。 连接我们的 e n， 对 吧？取我们 p d 中点 e 啊，连接我们的这个 e n。 连接我们的 e n。 好， 然后呢？再连接谁啊？连接我们的 e n。 呃，这个等会再连也行，连接我们 e n。 因为什么啊？因为 e n 为谁啊？为我们什么啊？为我们的 p d e n。 为我们 p d。 然后呢？ p c 的 终点为 p d p c 的 终点，对吧？懂我意思吧， e n 为 p d p c 的 终点啊。啊， 所以什么啊？所以 e n 是 不是为谁？ e n 啊？应该是平行，对吧？平行于 dc 对 不对？中位线吗？对吧？且什么？且 e n 对 不对？很常规的一道题。且 e n 应该是等于谁？等于我们的二分之一倍的 dc， 对 不对？能听懂我意思吧？ 等于二分之一倍的 dc， 对 不对？没问题吧啊？等于二分之一倍的 dc， 这就是图啊，很常规的一个图，等于二分之一倍的 dc。 好， 又因为什么啊？又因为我们的， 又因为我们的四边形？什么啊？我写的是最标准的过程啊，又因为我们四边形 a b c d a b c d 为什么啊？为正方形，又因为我们四边形 a b c d 为正方形，对吧？所以说什么啊？ 所以 m 为什么？ m 为谁？ m 为 ab 的 终点，对吧？ m 为 ab 的 终点， m 为 ab 的 终点，对不对？好， m 为 ab 的 终点， 所以什么？所以 am 平行于 cd， 对 吧？然后呢？且谁？ am 平行于 cd， 且 am 是 等于谁？ am 是 不是等于谁？ am 等于什么？等于我们的二分之一倍的 cd， 对 不对？能听懂我意思吧？ 好哎， e n 平行于 dc， e n 等于二分之一倍 d c 对 不对？能听懂我意思吧？好哎， e n 平行于 dc a， m 等于二分之一倍 d c 所以 什么？所以 am 是 不是谁？ am 是 不是平行等于谁？等于我们的 c d 对 不对？哎，这，哎， e 连接 e n 再连接一个 e a 啊啊， e a 也一块连一下啊，连接 e n 再连接谁？再连接我们的 e a 啊，好， e a 也一块连一下 来。 am 平行等于谁？平行等于我们笔握啊！ am 平行等于谁？平行等于我们的 e n， 对 吧？ 对吧？因为 e n 平行于 dc， e n 等于二分之一被 dc am， 平行于 dc， am 等于二分之一被 cd。 我 们的直线的平行具有一个传递性，对不对？所以 am 平行等于 e n， 对 吧？所以什么？所以四边形？什么四边形？ 四边形？什么四边形？ a m n e 为谁？ 为我们的平行四边形，对不对？四边形 amn e 为平行四边形，对不对？能听懂我意思吧？四边形 amn e 为平行四边形，对不对？ 好的， ok。 所以 说什么？所以说我们的 m n 是 不是平行于谁？平行于我们的 a e， 对 不对？没问题吧？ m n 平行于 a e 好， 又因为什么啊？又因为 a e 属于谁？属于我们的平面谁？ a e 属于我们的平面什么啊？属于我们的平面， p a d 对 吧？ a e 属于平面， p a d。 然后呢？ m n 是 不是不属于什么？ m n 不 属于我们平面， p a d 对 吧？ m n 不 属于平面， p a d。 该有的过程不能少啊！ m n 不 属于平面， p a d 所以 说什么？所以说，哎， m n 平行于水平于平面， p a d 对 不对？好，考场上这么写，就是非常不错的一个标准的一个写法啊。 m n 平行于平面， p a d， 对 吧？能听懂我意思啊，所以说，第一问什么啊？所以说啊， 啊，就没什么了啊！好，来，我们来看第二本。第二本就是一个很基础的一个求余弦值啊！首先， p d 垂直于里面 a b c d， 我 们拿它建，建一个 z 轴，对不对？拿它建一个 z 轴啊。然后呢？因为这下面有正方形吗？两两垂直对不对？ 我们拿它建一个，我换一个颜色笔啊，我们拿它建一个 x 轴拿它建一个 z 轴啊。 拿他建一个 z 轴，然后拿他建一个 c 拿他建一个 x 轴。拿他建一个 z 轴。拿他建一个 x 轴。拿他建一个 y 轴。能听懂我意思吧？拿他建一个 y 轴，好，然后的话，呃， pd 是 等于二，对吧？ pd 等于二，然后呢？我用用蓝笔标一下， pd 等于二，对不对？ ad 干什么？ ad 人家也等于二，对吧？ 求平面 p a、 d 与平面 p b、 c 加角的余弦值平面 p a、 d 与平面 p b、 c 加角的余弦值。哈，开始标标点对不对啊？ p 点的话很轻松，对吧？ p 点是谁？ p 点是不是我们的零零二，对不对？ p 点很轻松对吧？ p 点是不是谁？是不是零 零二？然后，呃， a、 d 是 等于二，对吧？ a、 d 是 谁？ a 点是我们的二零零，对不对？ a 点是二零零，对吧？能懂我意思啊？ a 点是二零零，好，所以说什么 a 点是二零零，那我们 p 点有了， a 点有了，然后 d 点， d 点是正中心，对吧？ d 点是谁？ d 点是我们的零零零，对不对？ d 点是正中心，是我们零零零，对不对？懂我意思吧？ d 点是正中心，是我们零零零 啊，地点是正中心是我们零零零，地点也有了， p 点有了，还缺个 b 点， b 点是在这，对吧？ b 点的话是下下底面是这个样子，对不对？我画的不太标准啊，这里是 d， 这里是 a， 对 吧？这里是 b， 对 不对？ 对应的我们正方形，这里是二，对吧？这里也是二，对不对？因为我们底面是正方形，对不对？ b 点是什么？ b 点是二二零，对不对？ b 点是二二零，对不对？二二零，对吧 啊？ b 点也有了，然后还缺一个 c 点， c 点在上面，对吧？零二零，对不对？ c 点是谁？ c 点是我们什么？ c 点是零二零，对不对？ c 点是零二零，对吧？能懂我意思吧？ c 点是零二零，好，我们先求什么啊？设平面 p a、 d。 我 们先求一下平面 p a、 d 的 法向量，好吧？设平面 p a、 d 的 法向量为来。设平面 平面 p a、 d 啊，设平面 p a、 d 的 法向量。 设平面 p a、 d 的 法向量。法向量为谁啊？法向量为。设平面 p a、 d 的 法向量为。我们的 n 一 等于谁啊？等于我们的 x 一 y 一 z 一 x 一 y 一 z 一， 好，来干什么？然后呢？这个 p a 向量是什么啊？ p a 向量是不是等于谁？是不是等于我们二减？前面是不是二，对不对？零减零是不是零，对吧？然后呢？二减前面二，零减零是不是零？零减二是谁？零减二是不是负二，对不对？能听懂我意思吧？然后 a、 d 向量是谁啊？ a、 d 向量是不是等于谁？ 是不是等于把？零减二是不是负二，对不对？然后零减零是不是零，对吧？零减零是不是零，对不对？所以说什么？所以说我们是不是有 n 一 乘以谁？ n 一 乘以我们的 pa， 对 吧？ n 一 乘以我们 pa， 是 不是等于谁？是不等于零，对不对？ 好， n 一 又乘以谁？ n 一 是不是又乘以我们的 a、 d 是 不是等于零，对不对？能听懂我意思吧？等于 a、 d 是 不是等于零，对不对？所以说我们初步得到了一个什么？初步得到了一个二倍的谁？二倍的一个 x 一， 对吧？减去谁？减去我们二倍的 z 一 是不是等于零，对不对 啊？二倍的 x 一， 减去我们二倍的 z 一， 是不是等于零，对吧？二倍的 x 一 减去 二倍的什么啊？减去我们二倍的 z， 减去我们二倍的 z 一， 对吧？是不是等于零，对不对？然后还有谁？还有我们负二倍的谁？负二倍的 x 一 是不是等于谁？是不等于零，对吧？ 那所以说我干什么？所以说我们这个法向量是不是就出来了，对不对？ x 和 z 是 一样的，对吧？都是零，对不对？那中间是一对吧？我们 a 一 这个法向量是不是就等于谁啊？等于它，对不对？零一零，对不对？能听懂我意思吧？ p a t 这个法向量是不是？是不是谁？是不是我们零一零，对不对？ 好？ p a t 这个法向量是我们零一零啊， 今天有点累啊。 p a t 八项链是我们零一零，来，我们再设一下 p b c 啊，来，该到求谁求 p b c 了，对吧？设平面 p b c 啊。设平面 p b c， 设平面 p b c 的 法向量。设平面 p b c 的 法向量为谁啊？法向量为我们的 n 二。设平面 p b c， 法向量为 n 二。 n 二等于谁啊？ n 二等于我们的 x 二 y 二 z 二 x 二 y 二 z 二。 好。呃，那这里边我们需要的条件是什么？首先需要我们 p b， 对 吧？ p b 相等是等于谁啊？ p b 相等是不是等于二减零是不是二，对不对？二减零是不是二？零减二是谁？零减二是不是负二，对吧？ 然后还需要谁？还需要我们 pc？ pc 向量是谁啊？ pc 向量是不是零减零是不是零，对吧？二减零是不是二？零减二是不是负二，对不对？好，所以说什么？所以说我们 n 乘以谁？ n 向量乘以 n 二向量，对吧？乘以谁？乘以我们 p b 向量是不是等于谁？是不是等于零，对不对？ 还有 n 二向量乘以谁？ n 二向量是不是乘以我们的 pc 向量，是不是也等于零，对不对？能听懂我意思吧？ 啊，所以说我们这边是谁啊？所以说这边是不是二倍的 y 二，对吧？我先列的他啊。二倍的 y 二减去二倍的 z 二，是不是等于零，对不对？上面是二 x 二加上谁，加上什么？加上二 y 二，对吧？二 y 二，然后再减去谁，再减去二 z 二是不是等于零，对不对？ 这个是不是得出来？ y 二等于 z 二，对吧？ y 二等于 z 二，我们让人家都等于一，好吧，都等于一，对不对？ 这里是不是没有了，对吧？那 x 是 不是等于零，对不对？是不是零一一对不对？能听懂我意思吧？好，射什么啊， 人家让你求什么啊？人家让你求夹角的余弦值，对不对？射两平面的夹角为 c 塔，对吧？所以 cos and c 塔等于谁？ cos and c 塔是不是等于下面是不是？这是不是根号二，对吧？乘以谁？这里是 啊，这个是根号二，对吧？根号二的话这里是啊。四加四等于几？等于八，八加四等于十二，十二开始四乘以三是不是二倍根号三，对不对？二倍根号三，他乘他没有了，对吧？他乘他等于几？是不是等于二？他乘他等于几 啊？他乘他是不是等于 a？ 哎，我眼花了，有点累啊，十点多录的啊， 哎，干什么？我们是谁啊？我们是不是这个相等，对吧？和这个相等是不是根号二，对不对？乘以一对吧，这是不是根号二对不对？然后他乘他等于零，对吧？他乘他等于一，他乘他等于零，对不对？根号二分之一，最后是不是等于谁？是不是等于二分之根号二对吧， 加角的余弦值。所以说加角的余弦值是谁？是不是我们的二分之根号二对不对？能听懂我意思吧？加角的余弦值是不是谁？是不是我们二分之根号二对不对？很好理解，对吧？好的， ok， 来，我们来一起来看一下我们的第三期啊。 来，首先啊，证明我们的这个我没抄，那个 abc 就是 边啊，证明我们 abc 为等差数列，对吧？很简单，你只要把上面那个东西给它随便弄一下就行了，对不对？ 交叉相乘对吧？首先啊，因为什么啊？因为啊，这个东西啊，我不抄了啊。所以说什么？所以说我们是不是算 b 对 吧？算 b 乘以谁？乘以我们的这个二减 cosine c， 对 不对？算 b 乘以我们这个二减 cosine c 是 不是应该等于谁？是不是等于我们的 cosine c， 对 吧？ 三 c 乘以谁？乘以我们的一加 cosb， 对 不对？懂我意思吧？乘以我们一加 cosb 啊，所以说什么？所以说我们是不是二倍的三 b 对 吧？ 二倍的三 b 减去谁？减去我们的三 b cosb， 对 不对？三 b cosb 是 不是等于谁？是不是等于我们的三 c？ 三 c 再加上谁，再加上我们的三 c 考三 b， 对 不对？懂我意思吧？算 c 考三 b， 所以 谁？所以什么？所以我们是不是二倍的算 b 是 不是等于谁？是不是把这边这个东西给它加过来？是不是算 b 考三 c 加上考三 b 算 c 是 不是什么？是不是算 b 加 c 对 不对？ 算 b 加 c 对 吧？再加上谁，再加上这边，这个算 c， 对 不对啊？所以说什么？所以说是不是二倍的算 b 等于谁？ 二倍的算 b 是 不是等于什么？是不是等于谁？是不是等于什么？等于我们的这边是不是算 pi 减 a， 对 吧？ pi 减 a 是 不是等于 b 加 c， 对 不对？是不是？几变五变？是不是还是算 a， 对 吧？再加上谁？再加上什么？再加上我们的算 c， 对 不对？ 所以说什么？所以说。由正弦定离可知由正弦定离可知，对吧？二、 b 等于谁？等于我们的 a 加 c 对 吧？ 所以说什么？所以说 abc 乘什么乘我们的谁？ abc 乘什么乘我们的等差数列，对不对？所以说 abc 乘我们什么乘我们的等差数列。没有任何问题，能听懂我意思吧？ 所以说 abc 乘谁乘我们的等差数列，对不对？没有任何问题，能听到吧？好，来，我们来看下面啊，若角 b 等于六十度，延长这个先把这个草图给它画一下啊。 好啊，现在的解三角形啊。嗯，是比较喜欢结合到一些，就是中中。嗯？怎么说？ 哼，我一时间没没想到，怎么描述我刚刚那个意思啊。没事，先把这个题做完吧。啊？若角 b 等于六十度啊，我们随便画一下 好吧，角 b 等于六十度，那这个差不多就是六十度，对不对？这里是 a， 然后这里是谁？这里是 b， 对 吧？这里是 c 啊。 延长 bc 至点 d， 使得 bc 等于两倍的 cd 差，弄这么多差不多了好吧， bc 等于两倍的 cd， 对 不对？求我们的 a d 比 ab 的 值，求我们 a d 比 ab 的 值。首先知道这里是六十度，对不对？ 这里是六十度，然后呢？这里 bc 等于两倍的 cd bc 等于两倍的 cd。 我 们先把这个题干用一用啊，因为谁？因为 b 等于六十度，对不对？ 所以说带入我们的题干，所以说带入，带入题干可得什么？上面是二分之杠三，对吧？除以谁除以一加二分之一是不是等于谁？是不是等于这边的什么？等于我们这边的一个散 c 除以谁除以我们的这个二减靠散 c 对 不对？能懂我意思吧？ 这是谁？这是二分之三，对吧？二分之刚好三除以二分之三是不是乘以三分之二，对不对？约约是不是三分之刚好三，对不对？能听懂我意思吧？是不是三分之刚好三，所以说谁？所以说我们的算 c 是不是等于谁？是不是等于三分之刚好三，对吧？三分之刚好三二减。谁二减？我们的 cosc 对 不对？能听到吧？是不是三分之刚好三二减 cosc 对 吧？好，那我们把东西给他往这边挪一挪啊。所以说 cosc 加上我们的三分之刚好三，对吧？加上我们三分之刚好三 cosc 对 吧？ cosc。 然后是不是等于谁？是不是等于三分之二倍根号三，对不对？能听懂我意思吧？ 是不是等于三分之二倍刚好三，对不对？等于我们三分之二倍刚好三。嗯，三分之二倍刚好三的话，我们能不能给他变变形？ 我们能不能给他变变形啊？三分之二倍刚好三。我们提出来一个谁啊？我们左右同乘一个。什么？同乘一个？ 嗯？乘一个谁啊？乘一个我们的二倍根号三，二倍根号三分之三，好不好？ 乘一个二倍根号三分之三啊，我们左右同乘一个二倍啊，别同乘一个二倍根号三分之三，来我们干什么？现在是不是到这了，对吧？现在是不是到这了？然后我们直接想办法把它合并吧。好吧，先直接把它合并起来 啊。然后我们前面那个是不是根号下什么？根号下？ a 方加 b 方，对不对？ a 方加 b 方是等于谁？是不是等于根号下什么？根号下一加上我们这里是多少？这里是不是九分之三？九分之三？ 平方是不是？这平方是不是九分之三，对吧？是不是三分之一，对不对？三分之一，那我们是等于谁？是不是等于根号下什么？根号下三分之谁？三分之几？三分之四对不对 啊？三分之四对吧？三分之四开出来谁？是不是我们的根号三分之谁？根号三分之二，对不对？前面应该是一个根号三分之二，对吧？好，那我们前面是一个根号三分之二， 里面应该是谁？里面应该是一个三 c， 对 吧？三 c， 这乘以一个谁？乘以一个二分之什么？二分之根号三，对吧？因为我们要凑一个一，对不对？ 哎。二分之根号三，再加上谁，再加上我们的 cosc， 对， cosc 这边应该是乘以一个谁啊？注意啊。嗯，和上面约完还剩一个根号三，那我们上面是不是三，对不对？根号三和它约出来还剩一个三， 二和下面约完还剩一个三，那我们下面是不是一个六，对不对？下面是不是六，对吧？约掉是不是三，对不对？然后这个约掉这里是不是根号三，对不对？是不是二分之一，对不对？能听懂我意思吧？是不是二分之一对不对？ 是不是等于谁？是不是等于什么？等于这边的三分之二倍根号三，对吧？没，没毛病，对吧？好，那我们这边是不是可以把它变成三对吧？我们给它变成一个三分之二倍根号三，对不对？能听懂我意思吧？三分之二倍根号三和这边三分之二倍根号三，我们是不是可以给它擦掉，对不对？ 那最后是不是等于一，对不对？能听懂我意思吧？那所以说我们这个变成什么？是不是变成三？谁三？ c 加谁加六分之派，对吧？ sin c 加六分之派是不是等于谁？是不是等于我们一对不对？我们是不是划到了这对吧？ sin c 加六分之派等于一啊？好，嗯，因为我们 b 是 等于六十度，对不对？ 因为 b 等于六十度，这里你一定要写清楚那个角度范围，不写会扣分，会卡，你分明白吧？就在这里卡分啊。因为 b 等于谁？因为 b 等于六十度，对不对？所以说什么？所以说 c 属于谁？ c 属于一百， c 属于零到一百二， c 属于零到三分之二二派，对不对？能听懂我意思吧？所以说 c 属于零到三分之二派，对不对？所以说什么？ 所以啊，又因为谁？又因为 sin c， 哎，再写一遍，又因为 sin c 加六分之 pi 等于谁？等于一对吧。人家这个时候就知道，哎，你知道去描述一下这个度数。所以说谁？所以说 c 只能等于谁？ c 只能等于我们三分之 pi， 能听懂吗？ c 只能等于三分之派，明白吧？ c 只能等于三分之派，哎。 c 等于三分之派，你这个好多了啊。 c 也是六十度，你这是个什么三角形？你这是个等边三角形，对不对？能听懂我意思吧？你这是不是一个等边三角形，对不对 啊？那我们设一下，我设 ab 等于二 m， 好 吧，我设 ab 等于二 m， 能听懂我意思吧？ ab 等于二 m， 所以 说这边是不是也得是二 m？ bc 等于两倍的 cd， 这边是不是 m， 对 不对？能听懂我意思吧？ 那我们在三角形 a、 c、 d 中啊，我们在三角形 a、 c、 d 中，这边是不是也是二 m， 对 不对？这边是不是也是二 m， 对 吧？我们设设 ab 等于 m 啊。设 ab 等于二 m， 其中 m 大 于零。描述一下，设 ab 等于二 m， 其中 m 大 于零。我这就不写了啊， 我们现在是不是要求 ab 除以什么？除以 ab 的 一个比值，对不对？你现在是不是知道谁？你现在是不是知道这里是什么？这里是不是一百二十度，对不对？一百二十度对吧？你在这里套个余弦定律就行了，对不对？ cos 什么？ cos 三分之二 pi 对 吧？三分之二 pi 是 不是等于谁？是不是等于我们的四 m 方加五 m 方，是不是五 m 方，对不对？五 m 方减去 a、 d 的 平方，对吧？然后是不是除以谁？除以二乘二十等于四四 四 m 方，对不对？四 m 方是不是应该等于谁？等于我们？ cos 三分之二 pi 是 谁？是不是我们的负二分之一，对不对？能听懂我意思吧？ 等于负二分之一，好，我们把这个符号给它放上去。所以说四 m 方分之谁？四 m 方分之 a 地方，对吧？ a 地方减去谁？减去五 m 方，减去五 m 方是不是等于谁？是不是等于二分之一，对不对？所以说二 a、 d 的 平方 减去十 m 方，减去十 m 方是不是等于谁？是不是等于我们四 m 方，对不对？能听懂我意思吧？二 a、 d 的 平方应该是等于谁？是不是等于十四 m 方，对不对？ 十四 m 帮二约掉，这里是七，对吧？所以说 a、 d 应该等于谁？应该等于我们的根号七 m， 对 不对？所以说根号七 m 除以我们的 ab 是 谁？ ab 是 不是二 m， 对 吧？最后约出来结果等于谁？最后约出来结果就等于我们的二分之，根号七。
34睁眼春
01:47查看AI文稿AI文稿同学们好，今天咱们来看一道有关外接球的题型，它是一个圆柱，它的上下两个圆面，它外接了一个球，然后球球到表面积，球球到表面积的话，咱们就是球，球到半径就行，然后图已经在这边画好了。 像这类题的话，首先球形在哪？肯定在 o 一 o 二这个连线上，所以咱们很容易发现，因为它是圆柱吗？很容易发现，它必须在 o 一 二 o 一 二的中点处，只有这样它才能 到上下两个圆面的距离才能相等，所以这个时候咱们就可以做出咱们的模型来了。咱们一直在说所有球体的模型基本上都是谁大 r 小 r o， 这个什么 o o 一 或者 o o 二， 这个时候咱们来看看，他说了圆柱的轴结面是边长为二倍的杠的正方形，这很容易得到， 底下的小 r 就是 根二，然后这个高一是二倍的根二，也就是说欧欧二也是根二，这时候很容易算出来勾股定律，算出大 r 是 二，既然大 r 是 二球的表面积四派 r 方， 他就是十六派，这就结束了。所以咱们以后只要抓住核心，只要把球体模型大 r、 小 r o o 撇给他做出来，小 r 一 般都是底面 外接圆的半径，然后 o o 撇这个东西只要你去给他观察好，列出关系来，这就 ok。 这道题也是一道比较基础题型，大家好好琢磨一下就可以。好，这道题咱们就说到这。
02:34查看AI文稿AI文稿咱们来看一下咸阳三模单选择题的最后一个方程，有两个实数根，求 a 的 取值范围，很明显，这是一个零点问题，对不对？那零点问题，咱优先使用分离参数法，那么咱来判断一下方程两边能不能为零， 那么有 law x， 则 x 一定是大于零的，那 x 大 于零， x 乘以 e 的 x， 它肯定也大于零。 好，那也就是说方程两边都不能为零，那都不能为零的情况下， a 他 肯定也不等于零，所以 d 直接就排除了，对不对？那么那么在分餐的时候，是把左边除到右边来，还是把右边除到左边去？咱们来看一下，现在是只对共存，那只对共存的话 需要同构，那么咱把这个方程变换形式， x 乘以 e 的 x 等于 a， 这是 loin x， 再加上 loin e 的 x 的 对数好，那么就可以改成 a 乘以 loin x， e 的 x 好，那么咱可以把右边这个除到左边去，也可以把左边这个除到右边来。那么常考的函数是 x 分 之零 x， 所以 咱选择把 a 除到左边来。 a 分 之一等于 x 乘以 x 分 之零 x e 的 x 的 对数设 t 等于 x， e 的 x 好， 则 a 分 之一 应该等于 t 分 之零，并且才知道 t 此时是大于零的好，那 t 大 于零，那可以设 f， x 等于 x 分 之零 x 好， 这是常见的六个组合函数之一，那么再画一下它的图像， 它是这样子的好，在 e 这个地方取得最大值一分之一，好，再让方程有两个实数根，所以 a 分 之一这个水平直线跟图像应该有两个公共点，对不对？那么应该在 这款好，那 a 分 之一应该是大于零，小于一分之一，很明显 a 是 个正数。把 a 乘到右边来，那么 a 大 于 e， 所以 这个题选的是 e 到正无穷选 b。 关注颖哥数学不迷路。
149允哥数学思维
03:03查看AI文稿AI文稿三角形 a、 b、 c 为等腰直角，三角形角 a、 c、 b 等于九十度， a、 c 等于 b， c 等于根二，所以我们知道 a、 b 就 等于二点， d 为 a、 b 中点，所以 a、 d 等于一，然后点 e 是 a、 b 上动点，然后 afc 是 a， e、 c。 关于 a、 c 对 称得到的图形，也就是说 a、 c、 f 和 a、 c、 e， 它是 全等过点 f 作 c、 e 的 垂线 f g 连接 d g 和 b g， 所以 我们就可以将根五 d g 加 b g 转换为根五倍的 d， g 加五分之根五 b g。 然后我们发现点 g 是 一个动点， 它是随点 e 的 运动而运动，肯定是要知道动点 g 的 运动轨迹。补全正方形 a， d， c、 o， 我们可以得到 a、 d 等于 c， d 等于一。延长 c、 o， g， f 交于点 k， 角 c， k， g 加角 k， c， g 等于九十度，然后角 e， c， d 加角 k， c， g 也等于九十度，所以角 o， k， f 等于角 e， c， d。 角 k， o， f 等于角 c， d， e 等于九十度， a， f 又等于 a， e， 所以 f、 o 等于 d， e， 所以 三角形 c、 d、 e 全等于三角形 k， o， f， o， k 等于 c， d 等于一， c， k 等于二，然后角 c、 g、 k 等于九十度。定弦对定角，我们可以知道点 g 就是 在这个 o、 c 为半径的圆上运动，所以连接 o g， 然后 o， g 就是 这个圆的半径，也就是 o， g 等于 a， o 等于一， 连接 o， b 做一个 m n 垂直 o c， 且 m n 等于五分之一。 我们知道 a、 o 等于一， ab 等于二，所以三角形 a、 o、 b 的 三边关系是一比二比根五 m n 垂直于 o c， 所以 m n 平行于 a o。 也就是说，三角形 m、 n、 o 相似于三角形 a， b、 o， 它就是一个一比二比根五的关系。 m n 等于五分之一，所以 o n 等于五分之二， o m 等于五分之根号五 m o g 等于角 g o b 连接 m g， o m 比 o g 等于 o， g 比 o b 等于根号五比五啊。所以三角形 o m g 相似于三角形 o g b g b 就是 根号五倍的 g m， 所以这个 d g 加五分之根五的 g b 等于 d g 加 m g。 当 m g d 共线时， d g 加 m g 有 最小值。通过勾股定律我们可以得出 m d 的 长度等于一，所以它的最小值就是根号五。
20惠子
26:58
11:47查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们，今天我们一起来看一下二零二六咸阳市三模的导数压轴题。好，那么对于这样一道导数压轴题，我们对比渭南市二模，包括咸阳市二模，我们会发现这道压轴题啊，相当的难。那为什么呢？主要是在第二小问和第三小问，那么第二小问比较坑的地方就是，如果说你正常采用分析法去处理的话， 嗯，没有问题啊，可以处理。那如果说有些同学考虑餐面分离，那么餐面分离除了考虑范围之外，后面你还得拿洛必达去考虑极限的情况， 所以拿洛必达用的话，就有可能出现被扣分的情况，所以第二小问就不要坑。那么第三小问他直接把渭南市二模的引零点难度上了一个档次，同时的话在替换的过程中还用到了啥呢？还用到了我们的铜购， 所以你想一想啊，他考这些内容来讲的话，我觉得都比较难。哦，好，话不多说，我们直接从第二小问开始，他说函数 f x 大 于等于负一横乘力啊，这是个横乘力问题，那我们一般处理好，直接先把它扔下来，也就是 m 一 减 x 减勒， x 减一大于等于负一，整理一下就是 m 背的一减 x 减零， x 大 于等于零。好，那么如果这个式子要成立我们正常的处理方式啊，分两条路，第一条路，分析法，那分析法就是要研究这一坨，也就是 g x 它的一个单调性。好，那第二种的话就是拆面分离，那么这道题的话，就是我们拿拆面分离做，就会出现你要用洛必达的情况啊，所以我们这个就不讲第二种方法了，我们主要来讲第一个思路啊。好，那么第一个思路， 我们正常设成 g x 之后进行求导，它就变成负 m 减去 x 分 之一。好，那这就变成一个啥了， 是不是依次含餐啊？那么依次含餐我们优先考虑的是啥呢？是不是我们要优先考虑第一种情况，把定域先给他一起啊？是零到中无穷。那么第一个，当 m 大 于等于零时，此时 g x 撇是横小于零， 那 g x 是 不是 d 减的？那如果 g x d 减，刚才我们要求把前面这坨写成 g x， 那 g x 如果大于等于零，那咱目的是研究 g x 的 最小值呢？是最小值，那如果单调 d 减，它范围是零到无穷上，有没有最小值？是无这只最小值， 所以这种情况咱直接舍去。那第二个的话，就是当 m 小 于零，那么当 m 小 于零时，这个 g x 撇它是一个递增的，那么零点是啥呢？是负的 m 分 之一。哎，从这开始， 那意味着 x 在 零到负的 m 分 之一， g x 撇小于零，那 g x 递减的 x 在 负的 m 分 之一到正无穷，那 g x 大 于零，那 g x 是 递增，那么先减后增，是不是有极小值？那此时的极小值也就是我们最小值，那我们带到原函数里面，那么 g 负的 m 分 之一哦，最小 好，扔进去就变成 m 倍的块，一加 m 分 之一，再减，减去零负的 m 分 之一。好，整理一下，就是 m 加一减去零负的 m 分 之一。 好，写到这，我们发现这个最值咱是不是也没有解出来啊？好，那继续啊，那我们就研究这个，那这个函数的话，我们可以设成一个新函数啊，比如说成设成 h m 就 等于 m 加一，减去零或负的 m 分 之一。好，那我们接下来是不是要研究 h m 它是大于零，那对于 h m 是 不是咱还得给它求导啊？因为大小没法分析，是吧？好，继续求导。变成一 里面这一坨，我们稍微可以给它改一下啊，把这个函数稍微改一下。呃，它可以改成负，负得正加上零负 m。 好， 那这就变成负的负 m 分 之一，也就是一加 m 分 之一。 来，大家会发现这个函数，这个函数是递减的，那么零点是负一。哎，所以大家会发现，我这个数是不是先增 后减？那负一的时候是一个极啥值呢？是极大值，我们要研究是最小的呀，你会发现，此时我们最小值是不是确定不出来？但是我们可以确定出来的是 h， 负一是我们的一个最大值。 好，扔进去之后，他刚好等于啥呢？就刚好等于零，那意味着我们如果让这个式子成立啊，他是不是只能等于零，对吧？ 他是不是只能等于零？那只能等于零。你想一下， m 取的是谁呢？取的是负一，所以此时的话， m 等于啥？是不是等于负一？只能取 m 等于负一的数？ 好，那么第三问，首先他说当 m 大 于一，证明这个函数有两个零点。呃，正常处理的话，我们就先把 h x 先给他搞出来啊， h x 等于 m 或一减 x 减零， x 减一加 x 乘以 x 减 m。 嗯，然后我们整理一下，就是负 m x 减勒， x 加 x 乘一 x， 它如果让它 等于零，有两个零点。嗯，我们会发现，如果你去研究这个函数啊，咱很多同学想，那我能不能参面分离一下？那么参面分离了之后，你会发现压根干不动啊，那么另外一个思想的话，就直接去分析，那直接去分析的话，你要求导，呃，那一求导的话，这个 m 这个参数会始终在 那。还有一种思维的话，就是我们可以降低下难度，就是我找一下等效，那我和它同时除以 x， 同时除以 x 了之后，它变成负 m 减去零， x 除 x 减一除以 x 加 e 的 x 呢？哎，它是不是变成让它等于零，那我们不妨把它设成一个新的函数， 比如说把它设成 mx， 然后我们分析它的图像特征啊，分析它图像特征，那我们把 mx 可以 给它求个导。 求导之后你会发现，这样的话，一求导把这个参数是不是消没了？哎，下面 x 平分，然后上到上到 x 分 之一 x 一， 然后加内 x 啊，因为前面有个符号啊，就求到这块，再加上 x 平分， 分之一加一的 x， 我 们整理一下，好，那么整理完之后，这个负一和一是不是没了，对吧？哎，现在我们要研究啥呢？是不是研究这个导函数的特征，那么这个导函数你会发现，哎。另 x 是 增的吗？它是不是也是增的？所以复合起来，这个导函数是增的，那只要增了， 哎，我们可以假设他有个极值点啊，比如 x 零，那如果他有一个极值点 x 零，他是先减后增，那么这个 m x 的 图像我们就可以减一的画成这个样子，那怎么才能会让他有两个零点呢？那首先我们是不是得让 mx 零 小于零，这是一个，第二个，我们在左边，因为他定义是从零开始的，那我们让他接近零的时候大于零， 趋近于正无穷的时候来小一点，这是我们的基础基础思路是不是？好，接下来我们就可以把这个零点啊要设出来，那设零点咱是不是得卡范围？怎么卡呢？嗯，我们先取个简单的，比如说我们取个一，那么取一个一之后，你会发现上面这坨啊，大家看，上面这坨啊， 取一个一之后，这一坨是大于零的，哎，然后我们在这取那，在这取一个，比如说一分之一 e 的 平方分之一，其实都可以啊，比如说我们取个一分之一，那这是负一加上 e 的 负二次方，再乘以一的一分之一次方，对不对？哦？那么你会发现这坨合起来就是一分之一减二吗？它是不是小于零的？那小于零的话，那意味着这坨小于一嘛？所以整体的话应该是小于零啊。那我们就可以确定，当 x 在 一分之一到一存在为一零点 x 零。然后我们分析一下， 当 x 在 一分之一到 x 零的时候， mx 它是小于零的，那么 mx 就是 递减的。如果 x 在 x 零到一的时候， mx 片大于零， 那么 mx 是 单的递增的，那我们就会存在 mx 零就是它的一个极小值。好，那么 mx 零我们给它带进去啊，我们搞一下啊，就是负的 m 把这条抄下来啊，我记不住。好，那么 mx 零我们给它带进去啊，都会得到负 m 减去 x 零分之小于 x 零，减去 x 零分之一，加上 e 的 x 零， 我们想要研究的是它的极小值是不是小于零，但是你现在搞出来这个式子肯定是不行嘛，但是我们引零点是不是还有个等式关系？哎，往这个式子啊，往这个式子呢，带一下，也就会得到 x 零，加上 x 零的平方乘以 e 的 x 零等于零。哎，那这个式子你会发现换起来也不是很好换哦。但是我们要知道，在同勾里面，既然遇到了一个对数，有个指数一定是指逆 对密的结构，那么指密对密指的啥呢？就指数乘一个密函数加等于或者大于一个对数乘以密函数，或者是指数加上一个密函数，或者对数加上或者减去一个密函数啊，它是这样的一个结果，所以你发现 指数部分跟密函数了，但对数部分没有跟啊。那咱可以咋弄呢？咱是不是可以除一个 x 零啊？那除一个 x 零就变成 x 零，乘以 x 的 x 零， 好，等于零，再处理一下，就是 x 零乘一 x 零等于负的零， x 零除以 x 零。哎，这个好像也不行了，因为这边是乘的结构啊，那我们可以再换一下，就是 x 零分之一，是吧？乘以零 x 零分之一， 好，这个结构其实就很合适了啊，就是咪指咪对，是吧？咪指咪对，那咪指咪对，我们可以再进行处理啊，就同过的结构，把它一处理，它可以写成啥呢？它是不是写成 e 的 零 x 零分之一，是吧？ 那如果这样写的话，你会发现我们左右两边结构不是一样的吗？那就会得到 x 零就等于零。 x 零分之一好，整理一下，就是 x 零是不是等于负的零 x 零，我们也可以把它处理成三等，是可以处理成 e 的 x 零四米等于 x 零分之一。好，那么这两个式子放到这，我们就要往哪带呢？往刚才我们求的那个极值那一块带吗？啊，来。哎，是不是往这带？好，那带的时候，那这个 零 x 零。哦，加一个符号，那是零。 x 零，是不是负的 x 零？好，他也一换，换成一的 x 零，那就太爽了，是不是变成负 m， 对 吧？加一减一的 x 零，加一的 x 零。哦，我查一下啊。 哎，那不就等于一减 m 了吗？因为 m 它是大于一的，所以一减 m 它是小于零，那我们想要的效果是不是就有了？好，那么接下来我们只需要给它做一些样子。啊。什么样子呢？这是 x 零，对吧？好，这零好正无穷，给它描述一下。好，那么因为 mx 零小于零， 当 x 趋近于零时， m x 大 于零，当 x 趋近于正无穷时， m x 也大于零，所以 x 在 零到 x 零和 x 在 x 零到正无穷上存在两个零点。好，然后你把前面的东西啊给它一抄就行啊。不知道大家觉得这道题难不难啊？反正我个人觉得还是有点难度啊。
416邵哥带你学数学
00:16查看AI文稿AI文稿告别题海战冲刺数学字颠我是高谦这道难度系数零点七的西安交大附中三模压轴题，重点考察学生的几何直观和模型意识，考察学生面对心情静止，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。考察学生的数学活动经验和对数学思想的应用意识。
11高天
00:20查看AI文稿AI文稿试卷分享，高三全科三模咸阳三模陕西省咸阳市二零二六年借高三年级四月高考模拟检测试卷及答案视频，时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。
13:22查看AI文稿AI文稿来，咱们再看辽宁名校联盟高三五月联考的填空题啊，这个第十二题，这是一个向量，那当然，这道题啊，其实你就直接代公式就行了， 当然呢，我是给大家推荐这个塑形结合啊，就一直在推荐大家画图啊，所有的题呢啊，推荐啊，可以这么做，你也可以不这么做 啊，他说 a 模等于一， b 模等于二，是不相当于 a 是 一个单位圆啊， b 呢，相当于是一个半径为二的单位圆，当然了，由于你这两个的方向都没定，所以说我就可以先定一个向量的方向，另外一个方向是个圆就完了呗。那比如说我设这个 b 啊，假如说这个点就是点 b 啊，对吧，那么这个点呢，就应该是二，这个点是一呗，是吧，那么他既然 a 呢，是个单位圆，咱把这个单位圆画了，这个 a 向量其实就相当于是这样式的呗， 啊，这是一个单位圆，也就是说啊，这个点 a 啊，这个点，是啊，任何一个点都有可能是点 a 啊，点 a 可能搁这，点 a 可能搁这啊，随便啊，不一定搁哪啊，反正就是这样，对吧？ ok， 那 么就随便点一点啊，比如说点 a 就 在这， ok， 这是 a 模，等于以 b 模呢，等于二，然后呢，这个他说 a 垂直于 a 加 b， a 加 b， 那 这是 a， 对吧？这是 a 向量啊，这是 b 向量啊，这是 b 向量，这是 a 向量。那 a 加 b 得啥呀？不就等于一个是那个平行四边形的小法则吗？对不对？他就应该得这个吗？平行四边形，这就是 a 加 b 吗？对吧？ 啊，这个就是 a 向量加上 b 向量，他说 a 向量加 b 向量啊，跟 a 向量是垂直的，这是垂直的， 那这不就完事了吗？对吧？这是模长，是二，这模长是一，这还是垂直的，你是多少度啊？这是三十度，这是三十度，那这也是三十度。所以说他问你 a 与 b 的 夹角，这是 a， 这是 b， 这是九十度，这是三十度，加起一百二，所以说应该等于三分之二，拍 多简单呢，画图非常轻松，是吧？来看这个十三题，他说这是公切线问题，而且还有个特征，什么呀，他们都在同一个点处相切， 就是在该点处的斜率也相等，是吧？无所谓啊，就所有的这种题，就两种题型啊，切线的题就两种题型，第一个是已知切点，一个是不知道切点。 首先问你知不知道切点在哪啊？不知道，不知道怎么办？射，说这种题啊，无脑啊，你就可以把脑子扔下啊，你光剩手算就行了，让脑子歇会是吧？哎，你射它的切点和 y 零都 y 零，因此我就可以把它的两个的切线方程啊，在零到 y 零处的切线方程都写出来， 切出来，它俩切相同不相同吗？所以说 k 等于 k， b 等于 b， 啪一解，啥都没，啥都完事了，对吧？所以说非常简单啊。说这个，先做 l 一 的吧，就是 f x 的， 再该点出的切线方程，那是不应该，应该是 y 减 y 零啊， y 零呢，就是把这个 i 零带进去，那就是减去 log。 i 零减一啊， 就应该等于它的导啊，在该 x 零处的导，那是 i 零分之一，对不对？ x 减去 i 零，就等于它 l 二就是 g x 该点出的导数，那就等于 y 减 y 零，那就把 y 零带上去啊， y 减去 y 零平方，再减 b 啊，等于啊，这个导是二 x 零，对吧？这么多倍的 x 减去 y 零啊。 因此啊，我把它俩都写成 y 等于 k 加 b 的 形式，那就是 y 等于，这是 x 零分之一倍的 x 减个一，是吧？减个一，把那边加过来，相当于是加上绕 x， 再加上一个 a 减一啊，得这个呢？ 切切线方程是 y 等于二 x 零倍的 x 就是 减去了一个二 a 零方，这边加上一个，就相当于减一个，是吧？那就相当于加上 b 再减个 a 零方，这就是 b 啊，这就是 y 等于 k， i 加 b 里边这都是 b 是 吧？这都是 k k 得 kb 得 b 啊，就连立就完事了。第一个肯定有 x 零嘛。 k 得 kb 得 b 啊，就等于等于 啊， b 减去 i 零方啊，就得这个。咱先算这个，对吧？这个的话，那就说明是二 i 零方应该等于以，因此 i 零啊，应该等于正负的 二分之根号二。但是呢，又由于你这个定义域，这个对吧？这 f s 定义域就是大于零的，所以说它不可能等于负。二分之根号二，所以说一定等于正的二分之根号二， 所以说把这个二分之根号二往这式子里带，对吧？那就相当于是这相当于是啊 lo 啊，二分。先写吧。 lo 二分之根号二，加上 a， 再减个一，等于 b 减去二分之一呗。那 这道题让我求 b 减 a， 那 我就把 a 挪过去呗，把 a 挪过去就完了，所以等于 lo 二分之根号二。二分之根号二是啥呀？是二分之一的二分之一就应该等于 b 减 a 啊，就等于 log 二分之一。先把这个二分之一的系数提出来，变成二分之一倍的，然后呢？ log 二分之一是不等于负的 log 二，所以等于这个啊，再减个二分之一啊，它就应该等于 b 减 a 啊，所以说这道题等于啥啊，就等于把这个负二分之一提出来，负二分之一倍的 log 二加一， 这个这个啊，所以说这个十三题啊，非常简单，不用带脑子啊，是吧？来看十四题，这个十四题啊，解三角形，整个十四有点有点意思啊，是吧，一般情况下，十四题给解三角形的概率不大啊。 ok， 咱们看看啊，他说这个 cosine 二 a 加 cosine 二 b 啊，等于二倍的 cosine 二 c， 那 么都是二倍角，说不好玩啊，所以说我们肯定是要把它们统一都变成一倍角的，那么一倍角的话， cosine 二倍角可以变成二 cosine 方减一，也可以变成一减二塞方，那因此我们到底是往 cosine 画还是往塞方画呢？ 哎，那么如果都可以画的话，我们最好往塞方画，因为塞方画我们还得用正弦定离往边上转呢啊，所以说，首先这个呢，我们应该往这个这个塞方上画啊，所以说这个第一个啊，第一个问 啊，第一小问啊，写圈一了啊，那么这是原题是 q 三二 a 加上 q 三二 b 等于二倍的 q 三二 c 啊，所以说打开之后就变成一减二倍的塞方 a 加上一减二倍的塞方 b 啊，等于啊，这是二减四倍的啊，塞方 c 啊，因此这一一二都约掉了 啊，符号也都约掉了，所以说你得到啥呀，哎，塞方 a 加上塞方 b 就 应该等于二倍的塞方 c， 你 说这玩意都是方， 你说你能不往这个 a 方加 b 方等于二 c 方上想吗？哎，因此这圈一啊，我能得到这种啊， a 方加 b 方等于二 c 方，这个是不跟鱼弦很像啊，跟鱼弦有有关系？然后他到底，他看，他问你的是啥，是吧？他问你是这玩意， 那这出现弹进他了，那我们看到弹进他怎么办呢？那肯定是变成塞比扣嘛，是吧？所以说这个呢，换个色哈， 变成 sin c 啊，比上 cosin c 啊，再乘以，这就应该是 cosin a， 对 吧？比上 cosin a， 因为是弹性的分之一嘛，然后这是 cosin b 啊，比上 cosin b， 嗯， ok， 然后呢？继续画呗，那它应该懂个啥呀？这相当于是，哎呀，这 cosin cosin c 的 在前面 啊，扇 c 口扇 c， 然后呢，这肯定得通分呐，这通分底下就变成扇口扇，扇尾，扇 b， 是 吧？那上面是扇口加口扇，那应该是扇 a 加 b， 那 而扇 a 加 b 呢，就等于扇 c， 是 吧？哎，它就等于扇 c 啊， 然后呢，肯定得要跟这个余弦定零往上靠啊，那靠的话，那这个就是 c 方，因为正好是二次多了个口。扇 c 啊，等于啊，比上 ab 口扇 c， 它出现 a， b 口算 c 了，那你不用余弦定理是不是有点对不起，这样对不对？所以说肯定得口算 c 就 开始整呗。口算 c 等于啥呀？等于 a 方加 b 方减 c 方啊，比上二倍的啊， a b， 对 吧？所以说 这个 ab 口算 c 啊，它等于啥？是不是等于二分之 a 方加 b 方减去 c 方，而 a 方加 b 方等于二 c 方，所以说二 c 方减 c 方，就是等于二分之 c 方啊，所以说这个就等于 c 方，比上二分之 c 方就得二呗， 对不对？所以说这个第一问啊，这个第二问呢，的确是有点难， 它让求这三角形面积的取值范围，那么这个三角形啊，那么就是三角形面积公式呗，二分之 a b 三 c a c 三 b b c 三 a， 那 你看用啥，对吧？那你看，刚才我们都用这个 cosine c 了，而且呢，这个 a 方和 b 方是对称的，所以说这个题肯定是用 cosine c， 对 吧？ 这样的话呢，我实在不行，我还可以把这个 cosine c 往 cosine c 上转呐，对不对？所以说，哎， s 应该等于二分之一啊， ab sin c 啊，那么这个 sin c 呢，就是变成这个二分之一倍的 ab， 乘以根号下 e 减 q 方 c 呗，那你说咋办？没有什么别的办法，对吧？然后这个 q 算 c 等于啥呀？哎，刚才我们都算了， 在这呢，对吧？哎，那我带进去，他说 c 等于一啊，是吧？而 a 方加 b 方呢，还正好等于二， c 方那就是二， c 方那就是 e， 对 吧？分子就是啊，分子就是 e， 然后底下呢，是这个二 ab 啊，所以说就等于这二 a b 分 之一，对吧，那么因此带进去呢，就相当于是二分之一 a b 啊，再乘以一个根号下，这是可这通分了，是吧？那这个呢，就是四的 a 方 b 方分之啊， 四倍的 a 方 b 方再减个一啊，得这个，然后呢，把这个底下分母这个二，呃，这个四倍的 a 方 b 方开出去，那就变成二 a b 二 a b 跟这个 a b 约了，这不跟外边的 a b 约了，因此就变成四分之一倍了啊， 因此等于四分之一倍的啊，四 a 方 b 方再减个一，因此要求它的取值范围，只需要怎么的把这个 a 和 b 换，一下子换成同一个。哎，我们知道不知道啊，因为 a 方加 b 方等于二， c 方它等于二， 所以说我就可以把 b 换没，哎，那么就可以得到啥呀？ b 方应该等于二减 a 方呗，是吧，所以说，这个式子就可以变成四分之一倍的根号下，这是四 a 方，再乘以一个，这是二减 a 方啊，再减个一， 所以说它应该等于四分之一倍的根号下，先写 a 的 四次方，是吧，那就是负的四 a 的 四倍的 a 的 四次方，再加上一个八 a 平方，再减个一， ok， 这是一个开口方向向下的二三数。因此，如果我想知道这个他的就是取值范围，他的值域的话，那就得知道 a 的 取值范围，那 a 的 取值范围怎么来？哎，那就得通过他说了，如果锐角三角形啊，锐角三角形，所以说怎么的，一定有啥呀， 哎，三边 a 方加 b 方一定大于 c 方，而且 a 方加 c 方也一定得大于 a 方啊，都得等，都能满足。 而这道题啊， a a 方加 b 方一定等于二 c 方了，所以说它是肯定满足的了，你就不用算了，你就算底下这俩就行了。 因为啥呢？因为啊，这个 c 是 得一的啊，而且呢， b 方呢，还等于二减 a 方，所以这个式子就可以写成啥呀， a 方加一 大于二减 a 方，这第一个，这底下呢，是不就可以写成二减 a 方，再加以大于 a 方？哎，那挨个解。这个式子呢，相当于是二 a 方大于二分之一，因此啊， a 方得大于啊，大于一，所以说它得大于二分之一啊。 然后这边呢，这是二 a 方小于三，因此啊， a 一 方啊，得小于二分之三，因此啊， a 一 方的取出来呢，就是大于二分之一，小于二分之三。 ok 啊，现在我们知道 a 方的值范围，这就是一个 a 方的二次函数开口方向下，所以说看它对伸轴，对伸轴多少啊？对伸轴正好是负二分之 b 正好是一啊，对伸轴是一，而这个 a 方呢，是在二分之一到二分之三之间，所以说一是能取到的一一定是它的最大值， 所以说 s 就 应该等于把一减去啊，把一减去的话，这就是负四加八再减一，那就是这是三呐，四分之根号三是吧，哎，这是它的最大值，最大值能取到不？能啊，所以说这个四分之根号三一定是 哎，小那个中括号。然后咱们再看这个两端，因为一是对旋轴啊，二分之一和二分之三呢，都是距离，这个对旋轴一呢，是二分之一的距离，所以说你带二分之一和带二分之三都一样，所以说把二分之一带进去呗，二分之一带进去就是负四乘以四分之一啊，就是负一，负一呢， 再加上这是二乘，呃，那个八乘以二分之四再减一，这是二，这是根号二。这里边啊，所以说四分之根号二，所以说这个是取不了等的 啊，所以说他才取出来的就是四分之根号二到四分之根号三啊，左开右 b 啊，四分之根号二到四分之根号三啊，这个十四题确实是有一点难度啊。 ok 啊，咱们下个视频讲大题啊，拜拜。
130老林搞数学
