苏教版必修二课本立体几何拓展题答案
好，咱们今天来看一下点线面的一些证明题目。第一种类型题，就是让我们证明四点共面或者三点共面。来这道题，他说在空间四面体 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为它们的中点 j、 h 也为它们 b、 c 和 c、 d 上的点。但是他告诉我们一个问题， c、 j 等于三分之一 b， c、 c、 h 等于三分之一 dc， 让我们证明 e、 f、 g、 h 四点共面。那么我们在空间几何中的一些常见的条件就是中点或者同是三等分点，或者同是四等分点，这种同样的等分点，我们就可以构造一种相似，那么有相似它就必然有平行。 所以我们这种题常见的思路，第一步， ef 都为终点，我们应该要连接 ef， 构造出来三角形 a、 b、 d 的 中位线。好，咱们再构造出来中位线以后，是不是就一定会有 ef 平行于 b、 d， 而且它会等于它的二分之一，那么这个题目中二分之一它不用，所以我们就不写了。第二个地方，它说 c j 是 三分之一 bc， ch 是 三分之一 dc， 我 们来观察一下这两个点， c、 j 三分之一 bc， c、 h 三分之一 dc。 哎，那我们发现如果连接了这个 h j 以后， 这个 c、 h、 j 是 不是立马会相似于 c、 b、 d， 所以 h j 是 不是也会平行于 b、 d？ 好， 所以我们来连接第二条辅助线，那么我们根据平行的传递性就可以得到 e f 平行于 h j， e f。 如果平行于 f j 以后，那么我们是不是清楚我们的基本定律，两个平行线 可以确定唯一一个平面，所以是不是证明这平行线上的点一定会共面，咱们继续来看下一种类型题，也就是让我们去证明一些三点共线的题目要怎么证？以这个题为例， 他说在空间四边形 a、 b、 c、 d 中， e、 f 分 别为 a、 b、 a、 d 的 中点，那我们前面讲过了，哎，看到中点，首先应该要考虑中位线的平行，我们知道 e、 f 一定会平行于 b、 d， 然后又告诉我们了， b、 j 比 j、 c 等于 d， h 比 h， c 等于一比二，哎，依然是我们的三等分点， 所以可以得到 e、 f 平行于 b、 d， 而且 j、 h 平行于 b、 d。 那 么第一问就结束了， e、 f 平行 j、 h 很 简单。第二问他说 e、 j 和 f、 h 相交于点 p， 让我们证明三点共线。我们先来观察一下这个 a、 c 有 没有什么特殊的， a、 c 是 不是可以看成我们 abc 与 adc 两个平面的交线？那为什么要看到这两个平面呢？因为我们点 p 是 eg 和 fh 的 交点，咱把这图给它补全，假设这样过，就假设这样过来吧，交于点 p 吧。那么我们 是不是发现 eg 这条线肯定是在 abc 上， fh 这条线肯定是在 abc 上，那所以我们就要想到 ac 这条线 肯定是 abc 与 adc 的 交线。我们要证明三点共线，是不是只需要证明这个点也在他们的交线上就可以了，那这个点是不是在他们的交线上呢？我们就只需要证明这个点是不是这两个平面的交点就可以了。 那么我们来看一下，点 p 是 在直线 e、 j 上，所以点 p， 所以 可以推出来，点 p 肯定是在平面 abc 内，那么点 p 又在 f、 h 上，所以点 p 肯定是在平面 a、 d， c 内，那么所以是不是可以得出来点？ p 为 两个平面的交点，它既在 a， b， c 上，又在 a， d， c 上，只有一个可能性，就是交点嘛。那么所以是不证明出来了。又因为 a， c 是 交线，所以证明点 p 在 直线 a， c 上，所以 p， a， c 三点共线，那就证明结束。
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02:15查看AI文稿AI文稿假期在预习高一下就是 b 修二这本书的时候，你只需要预习两张就可以了，就是第六张和第八张，因为第七张、第九张、第十张这三张内容和高一其他章节比来说，就是一加一等于二，根本就不值得你花太多时间。首先说第六张向量这一张，它在高考当中一般是出一道小题，这个大题是在正余弦定理，这在 在以前六道大题的时候，他是必考的，一般就是第一题或者第二题，现在六千五有可能去掉了，也就说按照我们原来高考的习惯，这个第六张自己就占了一道大题，一道小题就是十八分打底。那第八张立体几何的一道大题，一道小题，而且这道大题大概是不会去掉的，因为六道大题当中他算比较特别的一个，所以说这一张自己也至少占了十八分， 这两张加起来在高考当中占了三十六分，你说重不重要？第七张复数这个东西，上学你就跟着听一遍就行了，这道题就一道小题五分，不是第一题就第二题一体生成得到，所以根本不需要专门花时间预习。第 九章和第十章往往不单独命题，他是跟高二的统计联合这么命题的，所以他占的篇幅是很小，所以这两张到后面学的时候，你就跟着学校学一遍就差不多了。 重点一定是放在第六章第八章上。那第六章难点就有两个地方，一个是向量的数量机，这向量数量机这图形多方法多运算又比较困难，所以很多人到这块就卡住了，但是这是一个重难点，你一定要花大量时间去突破，再 就是正弦定律的大题要是出的话，他算是几道大题当中最简单的一个，所以比较好拿下。你一定要把大题写的非常熟练，但是因为他结合的知识点比较多，比方说高一上学期的很多三角的公式基本不等式，你要尽可能在假期的时候把这个正弦定律的大题 归类，包括方法给他提取明白了，还有立体几何，考大题的时候，这个几何法非常非常重要，每一次都一定要强调，你不能光等着高二上学。空间向量只会间隙 立体几何这道大题，他一般第一问是证明，第二问是求值，就是求角度或者距离，第二问的这个求值是用空间向量比较简单，但是往往第一问的话就是几何法正比较简单，你几何法几步就出来了，有的人间隙证明的话，他就非常麻烦。 所以在假期时间不太充分的时候，你预习高一下学期只是三个地方比较重要，一个是向量的数量积，一个是正弦定律大题，还有就是立体几何大题， 你把这三个如果假期拿的差不多，下学期学就比较轻松，而且高一下学期这个必修二这本书算是五本书上最简单的一本书，因为真正有难度的只有这么两张内容，所以它属于占的分多，但是难点和重点又比较少，是比较好把握的。
3105小孟哥数学
08:29查看AI文稿AI文稿高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！
748老胡模型数学思维提升
10:13查看AI文稿AI文稿对于高一的学生来说，下学期最重要的内容之一就是例题几何，今天我们给大家分享一个例题几何解答题。 这个题一共有两问，第一问是证明线与面平行，第二问是求四面起，也就是三能锥的起级。那么首先我们来看第一问，要证明线与面平行，就要证明这条线和这个面上的其中一条线平行，就能得到线与面平行。 但是如何证明两条直线平行，我们得知道最精简的有两个方法，第一个就是三角形中微线平行于底边，第二个就是平行四边形对边平行。那我们先考虑一下中微线的方法， 因为题目说了，这个 n 是 b c 的 中点，然后这个 am 是 等于二倍的 m d， 也就是这一段的二倍，说明这个 m 它是 a d 的 三等分点，而不是一个终点， 那么也就说明 m n 的 连线并不是一个中微线，因为 m 不是 中点，那我们就开始考虑第二个方法，就是平行，四边形对边平行，但是我们得先做出这个平行四边形，如果涉及到中点的题目， 我们要做这个平行四边形，我们可以考虑用中微中微线的方式去做啊，用中微线的方式去做，这也是一个高考热门考点，那么关键是一个中点不行，得再取一个中点连起来才是中微线吧。那么另一个中点在哪里取？ 是在这个平面的三条线上去取，对这个器来说，我们直接在这个 p b 这条线上取一个中点 e， 那 么接下来把这条中微线给它连起来，那么再把最后一条边连起来，我们的目标四边形也就出现了，是 a m n e。 好 了，我们来证明一下这个 p b 的 中点 e 完了之后，我们接下来连接的两条线，首先第一条线就是中微线，那么这个地方是不应该就是一个 n e， 还有一条线就是四边形的最后一条线。 然后接下来我们证明四边形的这个方法是这样的，我们首先根据一组对边平行，再根据平行四边形得到另一组对边平行。 这个思路大家要懂啊，我再给大家说一遍，先根据一组对边平行且相等得到它是一个平行四边形，再得到另一组对边平行。所以我们的思路是这样的，我们先根据这个中微线和它的对边 am 平行且相等得平行四边形。来，我们来正一下，首先从中微线出发，因为这个 e 是 我们取得 p b 中点， 那么接下来这个地方 n 是 其目已知的 p、 c 中点，那么这两个中点的连线就是一条中微线，也就得到了这个 e n 为三角形 p b c 的 中微线。 那么中微线是有两个性质的，第一个性质就是中微线平行于底边，它的底边就是这个 b c。 那 么接下来还有一个性质，中微线等于底边的一半，题目是不是已经已知这个 b c 等于四，所以它的一半就是一个二？好了， 然后我们接下来再看，首先是平行的事， e m 平行于 bc， 而题目又告诉我们，这个 ad 也平行于 bc， 但 ad 是 不就是 am， 它两个是同条线， 所以 am 平行于 bc， 根据平行与同一条直线的两条直线。什么平行？好了，那么既然 n e 和 am 都平行于 bc， 它两个就平行了，那么这个时候对边平行已经证明，再证明对边相等， 那我们现在只需要证明这个 am 是 不是也等于二就行。因为题目是这样说的， am 是 等于二倍的 md， 这是一个三等分点，所以我们就得到了 am 是 不应该就等于三分之二倍的 ad。 那么题目也说了， a d 是 应该是等于三的，所以带进去之后他就等于二，那这样一来，我们是不就得到了这个 am， 他 等于这个 n 一？ 再加上我们刚才又证明了 am 平行于 n， 一 根据一组对边平行线相等得到了它是一个平行四边形，这个地方是 a m n e， 那 么再得到另外一组对边平行，也就是 m n 平行于 a e， 那 么这个 a e 就是 这个平面 p e b 上的一条线。那么根据线与面平行的判定，镜里平面外的一条线和平面上的一条线平行，就能得到线与面平行。 好了，这就是平行四边形对边平行的一个手段。根据一组对边平行且相等得到它是平行四边形，再得到另一组对边平行。当然这个四边形的作图方法，我们是根据构造中微线的方式构造出来的，这也是经典考究。接下来我们看一下第二问， 我们接下来要求的是一个三等锥 n 杠 bcm 的 体积，那么首先我们要算高和底面积，因为我们知道体积是三分之一，底面积乘高， 那么这个 bcm 是 在 a b c d 上的 a b c d， 它确实是一条有一条垂线，但是这条垂线它并不过这个上顶点 n， 那 么要想过上顶点 n， 我 们就得让过 n 点做一条 pa 的 皮筋线，因为这里面有一个原理是这样说的， 说线垂直于面，过这条线的平行线也垂直于这个面啊，就是说线垂直于面，这条线的平行线也能垂直于这个面，那我们就做一个平行线呗。那么假如说这个地方是 f， 好 了，这是第二问，我们现在做一个 n f 平行于 p a， 而且交这个 a c 与 f， 这个没问题吧？那么如果是这个样子的话，然后我们接下来就可以做了。首先 p a 是 垂直于这个面 a b c d 的， 那我们这个 n f 平行于 p a， 那 么线垂直于面，那么过这条线的，也就是这条线的平行线是不是也垂直于这个面？这条线的平行线也能垂直于这个面，这是一个重要性质，那么这个时候我们的高已经出现了，那这个高怎么算？ 这个其实是一个中微线的问题。来，我再把这个说一下，你看为什么他说它是一个中微线的问题，因为题目说了这个 n 是 这个 pc 的 中点， 那么我们又做了一个 n f 平行于 pa， 所以 我们就得到了这个 n f 为这个三角形 p a c 的 中微线。 这个利用的性质其实也很简单，就是在一个三角形中过其中一边的中点， 做另一边的平行线，那么所做的这条线就会是一个中微线。再把这个话说一遍，在一个三角形中，过其中一条边的中点，做另一个边的平行线，所做的这条线就是三角形中微线。那么这个既然是中微线的话，他是不是也就等于底边的一半，也就是二分之一 p a， 那么也就算下来之后， p a 是 四，也就二分之一乘以四等于二，这就是高。那么接下来算一下底面积，底面积，当然要是在底下这个面中去算，来，我把这个面再给大家单独画一下，因为题目说了一些信息， 说 ab 等于 ad 等于 ac 是 不等于三， ab 等于 ac， 说明这个地方首先是一个等腰三角形，我把这个等腰三角形给大家画清楚， 这个地方是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 那么这个边是不应该等于三，这个边是不也等于三，这个边是不应该等于四，是不应该是这个样子？那么接下来还有一段是一个 ad， 就 随便画一下吧，这个是一个 ad， 那 么这个地方是一个 m， 那 么接下来我们要的是什么？这个 bcm 这个三角形。 好了，其实你看啊，这里面有一个重要的性质，因为 a d 平行与 b c 两条平行线之间的距离是永远相等， 所以说你现在要求 bcm 的 面积，那么 m 到 bc 的 距离，实际上也就是 a 到 bc 的 距离。 a 到 bc 的 距离，那就简单啊，我们可以做一个三线合一的线，对不对？这个地方假如说是，这也就是说我们现在取一个什么 bc 的 终点，这， 那么接下来就可以连接呗，连接一下这个 ag， 这个 ag 实际上就是两条平行线之间的距离也是 bcm 的 高，那么这个也有好算了，因为它是中点的话，这个占一半。 那么接下来我们先用勾股定律算一下 ag ag 是 不是应该就等于根号下 ab 方减去 b 方， 那也就是一个根号，下三的平方减去二的平方，九减四，是不是等于根号五？好了，那么接下来就可以算这个三角形 bcm 的 面积了，它等于二分之一底乘高， 底 bc 高就是 a j， 也就是二分之一乘以四，再乘以根号五，那么这个算下来之后就是二倍根号五，那么最后我们就可以算起极了 n 杠 bcm 三分之一的体积就是三分之一底面积， b、 c、 m 乘以高，高就是刚才的 n、 f， 也就是三分之一乘以二倍根号五，再乘以二，那就是三分之四倍根号五。好了，这个题整个做完了，你们学会了吗？
03:27查看AI文稿AI文稿圆形的判定及性质这块是相当关键了。直线与平面平行判定。啥叫判定？就是咋正他， 哎，怎么如何去正他呢啊？那平面外一条直线是咋体现的？是 a 不 在二环内，这叫平面外一条直线 b 在 二环内。 平行是咋体现的？ a 平行 b。 所以 说一共是三个条件，能推出来线面平行，这三个条件缺一不可， 这线面平行，哎，接下来性质，啥叫性质呢？就是一条直线一个平行，这叫前提，就你得先平行，咱才能谈性质啊。哎，要直线平行，就 a 平行于阿勒法，文字用符号形式表示 过该直线的平面， a 在 北的里边， a 在 北的里边，就说明北的过他， 这不过开鞋平面就背他吗？过他吗？他在他不就过他吗？与此平安相交，相交就是阿勒把交背他，等于 b， 这平面的平面相相交。这阿勒菲的香蕉，这简直嘎嘎细致，嘎嘎能听明白 完了之后那末咋的？该直线就是这条直线 a， 该直线就是这条直线 a 与交线就是 b， 哎， a 就 平行 b 了，这线边平行的性质， 那你看，一个是前提，这俩是条件，最终得出的是结论， 这是性质。就你这条线和这面平行了好，或这条线任何一平面与此面相交了，那么这个交线和这条直线平行了，这是相平行的。接下来面面平行的 一个平面内，平面内两条相交直线就是 a 在 这一块都是在 点，是属于啊，那这个在相交 a 交 b 等于 p， 是 相交与另一面平行，那就是 a 平行于阿勒法， b 平行于阿勒法， 这是和这平面平行，那么两平面就平行了，五个条件缺一不可。哪五个？一二三四， 这五神缺一不可。这是判定性质是啥呢？就是俩平面平行，这前提阿拉法平行北上了， 另一个平面是蛤蟆，另一个平面相相交了，那就阿拉法交啥了？蛤蟆等于这不直线 a 吗？垂的交线吗？也平行了， 这是一个性质。还有一个啥性质呢？就是你阿拉法和北的平行之后了，这不两面平行了吗？他里边任何一条线和这个面都平行，就你咋画线和这面都平行？
03:09查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天继续来看平行关系的一些转化。以这个题为例，哎，它告诉我们底面是个平行四边形，然后告诉我们 m n 两个中点，以及 p b c 和 p a、 d 两个平面相交的信息。 第一问，他让我们去证明 l 与 bc 是 否平行。我们首先应该观察到 l 是 什么东西出现， l 是 作为我们两个平面的交线出现。 bc 是 谁？ bc 是 正好是任意一个平面上的一条直线， 那么我们在哪里会出现过这种线与交线的平行？毋庸置疑，肯定是我们的线面平行，那么是不是他一定可以推得出来，这个线会平行于 交线，则线交平。那这个什么叫交线呢？就是把这条线放在一个平面内，只要它现在所在的新平面与已知平面有相交，那么它一定会平行于那个交线。 那么我们观察一下，我们现在这个题目是不是就变成了去证明 b c 平行于 p b c， 这都无所谓。 所以第一问很简单，我们只需要去考虑，因为它是一个平行四边形，所以会得到 bc 平行于 a、 d， 又因为 bc 不 在面内，而且 a、 d 在 面内，那么自然而然 bc 就 会平行于面 b a、 d 又因为 bc 在 面 pbc 内，而且面 pbc 和 pad 有 个交线，那么所以就根据我们的性质可以得到 bc 是 平行于交线的。第二问，他问我们 mn 是 否与 pad 平行， 我们怎么去得到线面平行？这个题目中 m 和 n 两个都是中点，我们其实应该考虑的是，如果面面平行，那么是不是就自然而然会得到线面平行， 那么这个 m n 他 没有办法把它放在一个平面内，所以我们就要立马想到利用中点去构造我们的 中位线，找到 d c 边的中点 q 连接 n q 和 m q， 那 这样的话，自然而然就可以把 m n 放在 m n q 这个平面内。 又因为 n q 是 平行于 p a d， 所以 我们可以自然而然得到 m n q 这个平面，平行于 p a d 这个平面。那么 既然两个平面平行，那么平面内的一条线，它一定会平行于另一个平面。所以第二问，我们怎么写呢？找到 d c 中点 q 连接 n q， m q 平行于 a d， 而且 n q 交 m q 于点 q， pd 交 a d 于点 d， 那 么所以 面 m n q 就 会平行于面 p a d， 那 么又因为 m n 在 面内，所以 m n 就 会平行于面 p d a。
32函数魔导师
03:32查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天来看一下这道综合题目，这个题目的 a、 b、 c、 d 四个选项，它分别包含了我们之前学过的四个知识点。第一个 a 选项，它说存在一个 p， 使得 f p 平行于平面， a、 b、 c、 e、 d， e。 好， 那我们先来观察一下这个图，这个图中它说的是点 p， 是 下底面上的一个动点， a、 b、 c、 e、 d， e 是 我们两个侧面对角线以及上下两条棱所构成的一个这样的平面。你这个平面中是否存在一个点 p， 使得 f p 平行它呢？那必然是存在的，我的点 p 如果在 e 这个位置，点 f 是 中点，点 e 也是中点，我在这个位置一动，哎，他就平行了，自然而然就平行了。 b 选项，他说过 b、 e、 f 的 三个点的平面所截的截面是一个梯形，那么我们就利用平行大法先观察 过点 b， 可以 先去做 e、 f 的 一个平行线，那我们平行线平行过去应该是 c 一， 所以我们给它顺次连起来，只要连完以后，它是一个闭合图形，它是不是个梯形呢？它肯定是个梯形，它为什么是梯形？因为 ef 平行 bc， 而且 fc 一 不平行于 eb， 那 他就是个题型，所以 b 对 a 也对 c。 三轮锥 c 一 a 一 b 一 p 的 体积不为定值。那好，我们来看一下，以 c 一 为顶点的话， a 一 b 一 p， 不 管 p 在 哪个位置，哎，好像确实不太好看， 但是我们三轮锥最重要的其实就是可以换个顶点观测，我们可以把它换成 p， a 一 b 一 c 一 去观测。那这样的话，我们就观察一下 a 一 b 一 c 一 是一个 上底面的一半屁，不管动在哪个位置，它都不影响高，就是这个正方体的冷场，所以它的这个体积应该是个定值 d 选项，他让我们求的是 f、 a、 c、 d 的 外接球。好，我们来看一下 f、 a、 c、 d， 它是一个有一条侧轮垂直于底面的三轮锥，我们是不是只需要求出来这个底面 a、 d、 c 外接圆的半径，我们来看一下 a、 d、 c， 它是这样子的， a、 d、 c， 它是个等腰直角三角形，那这个边长都是二， 所以我们外接圆心，也就是三边垂直平分线的交点，它一定是在我这个 斜边的中点处。好，所以我们底面的半径其实就应该是根号二，底面半径是根号二，然后我们来看一下这个高是二， 我们要求的这个体积，圆面球心是 o， 下面地方是 o 一， 然后有个高 f、 d 的 长度，这是一，高是一，那么是不是要满足球心到 f 点距离和到 d 点距离是一样的，那所以我们必须得让 f 出现在 垂直平分线上，那这样的话， o 一 的长度就是二分之一， o 一 的长度是二分之一，底面半径是根号二，所以我们可以求得这个求的半径就应该是四分之一，再加二 开分号就是四分之九，也就是二分之三。那这样的话，我们求的这个面积就是四派二方，四派乘以四分之九等于九派啊，所以这个题的 d 选项也是对的，那么这个题选 abd。
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02:43查看AI文稿AI文稿本期视频来看高一数学立体几何通过结面延展的方法证明垂直的问题。已知直三棱柱这个侧面有一个面是正方形， ab 等于 bc 等于二， ef 分 别为所在棱的中点 b f 垂直于 a 一 b 一， 然后 d 点现在是图中没有标出来，它是在 a 一 b 一 线段上的动点， 现在要证明 b f 是 垂直于 d e 的。 那么现在问题来了，这个 d 既然是动点，为什么要正垂直呢？大家观察一下这个 d， 我 标出来当地位于左、中、右三个位置的时候，这个 d e 连线是什么样的呢？是这样的，那现在要证明无论 d 在 什么位置，这个 d e 始终垂直于 b f 吧。那说明什么呢？什么样的线动起来之后和另外一个线一定垂直， 那就是线面垂直，对吧？如果一条线垂直于一个面，并且这个动线是在面内的，那这个动线始终垂直于这个垂线。所以说下面我要形成一个垂面连接 a e、 e 和 b e e。 嗯，证明 b f 始终垂直于 d e， 也就是要证明这个 b f 是 垂直于平面 a e、 b e 的 吧。好，下面如何证明线面垂直？最常用的方法就是证明这条线和面内两条相交直线都垂直，那线已经有这个 b f 垂直于 a e、 b e 了。 想要证明这个 b f 还垂直于面 a e、 b e、 e， 那 只需要在这个平面 a e、 b e、 e 内再找一条和 a e、 b e 相交的线，并且证明它和 b f 垂直就行了， 对吧？那现在很显然，这个现成的这个面里很难找到一条和 b f 垂直线。那我想到了一个平面延展，我将这个面 a e、 b e e 向右继续延展，所以我过一点做一条 这个 a e、 b e 的 平行线啊，和 b c 有 一个交点，设为 h， 然后再连接 b e h。 原来的平面 a e b e e。 就 延展为了平面 a e b e h e 吧。很显然，在右侧面有一个线 b e h。 我 现在能不能证明 b f 垂直于 b e h 呢？呃，在右侧平面内，我可以利用初衷平面几何的三角形全等正出 三角形 b b、 e、 h。 是 全等于三角形 c、 b f 的 理由很简单，应该是边角边啊，这个加角都是九十度，证明全等以后， 继而可以得到这个 b f 是 垂直于 b e h 的， 那么这个分析的思路就完成了闭合啊。最后咱们写证明过程的时候，就是从后往前写就可以了，大家理解了吗？
38张老师数学思维
36:08查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们大家好，来到了第八张立体几何初步八点一，基本立体图形。好，本节课开始呢，我们这一张进入到了一个新的板块，叫立体几何。立体几何由多少个章节组成呢？第一个呢，就是我们本章，再加上我们的下一本书选 b 一的呃，第一章，从这里开始我们的板块就不是很连续了，因为在过去当中我们会知道我们的必修一就基本上讲函数，然后呢，我们的必修一第必修二的第六章讲这个平面向量减三角形， 那其实减三角形呢，也是我们的一个三角横等变换的一个延续，然后呢，第七章是我们的复数，但是从立体几何初步开始呢，它就是打乱了， 对吧？所以我们要知道成板块的学习是怎样去学习的这两张，然后呢，我们的高考当中，立体几何基本上是百分百会出一道大题，所以很重要， 而这道大题最终端的知识会用到这一张的内容。但是我们的这个第八张，它是基础，我们从平面进入到了立体几何，我们新认识的面和各种形状的一个物体，然后我们有一个定义和概念，我们说出来的时候，大家知道它是什么意思， 对吧？并且呢，怎么去画它，并且呢包括后面我们点线面的位置关系啊，这都是我们本章提供的基础。另外就是本章它也会单独出题啊，所以同学们不要说，哎，本章是不是我们只是作为后面的那个选 b e 的 基础，并不是的，它会单独出题，有两个考点哈，第一个是表面积和体积， 还有一个呢，就是呃，本章他的一些就是空间思维的一些能力哈，所以呢，我们说第一个本节课的任务，很多同学会乱啊，要干嘛？认识不懂几何题的名字和相关概念啊，就是一个文科的课程， 没有太多的题目，但是内容非常的多，这节课就很多的名字，关键是很多的概念，大家要知道，从而在后续的我们的立体几何的题目当中，这节课就是我们的八点。一，要让我们能够辨认出题目所提及的概念，比方说四能柱啊， 正三能追啊，棱啊，母线等等啊，在题目出现的时候什么意思呢？你要知道其背后的意思和蕴藏的条件，比方说这里说的正三能追的正，他 蕴藏了什么样的条件啊？这个就是本节课要讲的。然后呢，认识这节课要先用到一个还没有严谨背严谨定义，但是呢，从我们生活日常出发，不难理解的概念就是线面垂直，因为线面垂直是后几节课的内容，但是本节课就会出现，因为这个很简单呐，他没有说很严谨的东西， 就是我们从生活常识，比方说我们看我们的房子的柱子和地面天花的这个关系，他就对吧，竖起来的这个就是一条线跟一个面垂直的关系，我觉得这个应该我们从常识出发就可以去理解就可以了。 然后呢，就是我刚才提到的目前高考改革的趋势，对空间思维能力的要求极高， 这个从我最近几次去看很多地方的模拟卷，也看出了这个趋势，所以这个思维啊，他是隐藏在我们的这个知识背后的东西，很多老师是没有讲到这个点的，所以大家一定要注意啊，就是不要说只记得他的结论， 你要去不断的去锻炼他，因为学到这里，如果按顺序的同学就只是高一的下学期，你们还有两年多的时间，所以呢，要务必不断的提升和锻炼自己的这种空间思维的能力，不然会有一些题目很难想象的哈，就是尤其是一些啊，我们的多选择题啊，出现在前面的部分啊，不是后面的那道大题， 好吧，那么在我们周围呢？首先什么是立体几何图形？存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他的因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。第一个概念，空间几何体， 我们的学习以前从点线我们增加到了面面组成的体，然后呢，比方说，举个例子，我们经常接触到的球，对吧？足球，篮球，他们都是真实的物体，而如果只考虑他们的形状和大小，他们属于球体。 然后还有其他的几何体，比方说长方体，正方体等等，他们都是一个被抽象的概念。那同学们说，哎，我以前学点线的时候没有这么复杂呀，什么抽象的概念？那事实上没有题而已，大家要知道，点线它就是一个不真实的被数学抽象的概念。那同学说，不是啊，线不是啊，线真实不存在吗？不存在 啊，比方说我们一条头发，头发一根线，他不是一根线，我们生活当中所说的线跟数学的线是不一样的，数学的线是被抽象的，他没有厚度的，我们就算薄到一根头发丝，对吧？头发， 那么这个头发他也是有厚度的，只是他可以测量的，只是很薄很薄，对不对？他的一个直径很小很小，但是不是没有，但是线他就是没有， 然后生活当中的一颗尘埃，他很小，但是他也有空间，但是点他没有空间，对吧？包括后面我们说到的面，在数学当中的面是也是没有厚薄的，同学们要知道这个点，从我们小学一开始学到这个东西，他就是一个抽象的概念，但以前小学不会讲这东西，根本压根听不懂啊，对不对？所以我们要知道这个点。 首先呢第二个概念，我们来看什么叫多面体，一般的由若干个平面多边形围成的这个几何体，你看这个东西 还能看得到吗？我们的这个虚线的部分就是被遮挡的部分，我们画成虚线，对吧？然后这个多面体呢，它是由多个面来组成的，有棱有角的，这个叫多面体。然后这里呢还有几个概念，多面体的面，比如说 a、 b、 c 的 这个面， 这个叫多面体的面，围成多面体的各个多边形，叫做多面体的面，对吧？嗯，像这个面。第二个呢，多面体的棱，两个面的公共边叫做棱，比方说这个 b、 d 多面体的顶点，比方说这个 a 就是 它的一个顶点，它一共有四个顶点，所以我们看在如图的这个多面体当中，它有四个面，然后呢有六条棱，有四个顶点。 我们来看一下面是我们新增的，因为棱就是直线，顶点就是一个点。我们来看一下面的表达方式，看到，哎，这里的面刚才怎么表达的面 a b c， 面 a c d。 但实际上呢，我们表达平面所用的字母不一定是三个， 但一定是大于等于三个，因为我们知道至少至少有三个点才能确定一个平面。比方说右图当中紫色的这个平面，可以表达为 a、 b b 一 撇， 也可以表达为 a、 b b 一 撇， a 一 撇，对吧？都可以。但是当然呢，在某些场景当中，也会有很多人把它表达成 a b 一 撇，因为虽然 a、 b 一 撇这两个点并不能确定，并不能唯一的确定这个平面，但是在 这一道题的这一个图像当中， a b 一 撇，我们只能想象到就是这个面，所以也会有很多的一些，包括题目，包括有一些这么表达，但是不建议哈，不严谨。 然后呢首字母我们可以从任意的点开始，比如说 a b b 撇 a 撇，也可以 a a 一 撇 b， 但是呢，我们的顺序可以逆时针可以，顺时针可以任何一个点开始，但是不要不按顺序，比方说 a b 一 撇， a b 一 撇 b 啊， 这样串着来不好，很难看清楚好不好。这个就是点那个面的一个呃，命名的方式，表达的方式，知识理解的多面体由平面、多边形围成，这里的多面边形包括它内部的平面部分，但不包括里面。 第二多面体至少有四个面，大家去想一下，三个面是不可能围成一个多面体的。刚才我们看到的那个，等一下我们会详细介绍，它的名字叫三棱锥，这个是最少的面，这个地球上 四个面啊，应该说是欧式几何当中，欧式几何当中最少四个面能组成一个平面啊，组成一个多面体好不好？ 那么各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，各个面都是正多边形，比方说我们的正三角形就是等边三角形，对吧？那么这个多面体叫做正多面体， 正多面体，全世界全宇宙的正多面体，有且只有五种，那为什么怎么推导出只有五种？这个不是我们这里能够解决的，知识，我们要了解就可以了。第一，正四面体、 正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，我们有且只有五个，那么在这五个当中，我们要掌握 前面的三个。首先我们看第一个正四面体是由什么？它有四个面，这个不叫做用四边形来组成哈，它有四个面，它是由三角形组成，正六面体就是我们的正方体了，对吧？用正正方形来组成，正八面体呢，它又是三角形来组成的。哦， 那正十十二面体呢？五边形组成，正二十面体又是三角形组成。哎，我们会发现我们的这个正多面体当中有三个都是三角形来组成的，那这两个呢？是不会考到大家的，这两个是不会考到大家，但前面的三个呢？我们得知道就是题目直接告诉我们正八面体， 正八面体是个啥玩意，对吧？正八面体是个什么东西？那这个时候题目啥都不给，图也不给，那怎么办？我们得知道正六面体，说出来正面六面体是什么东西啊？就是正方体，正四面体，应该这个呢是考频是最高最高最高的， 我们得知道这个正四面体，包括等一下在学习棱锥的时候也会介绍它的性质。好吧，那么接着呢，我们学习什么呢？这个组别叫做棱柱，棱锥和棱台，它们都属于我们的多面体。刚才介绍的多面体，首先什么是棱柱呢？看着它的定义哈， 一般的有两个面互相平行，其余的个面都是四边形，并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，大家可以好好的去读多两三遍这个定义，并去理解它。我们来思考一下这个东西， 大家思考一下，按照定义这个东西算不算能住大家思考一下，大家一定要不断的去锻炼刚才我说的，哎，一个是图像的能力，第二个呢要锻炼自己阅读定义的能力。不是，我作为老师，我告诉你们这个算还是不算？这个定义里面你们觉得算不算 有两个面互相平行。好，这个当然有两个面互相平行，有两个面互相平行，平行吗？平行，其余的其他面是不是四边形？是的， 两个面互相平行，是的，并且相邻的两个四边形的公共边，公共边，公共边，公共边都互相平行，是吗？是的，所以按照这个定义，这个多面体叫不叫棱柱，叫的这两个都叫棱柱。 好搞清楚，所以呢，我们在学习这些时候呢，我们第一，我们要我一直讲的那个词叫顾名思义对不对？我们从零名字出发，我们生活当中的柱子 啊，我们觉得柱子的东西就是直的对不对？但是我们在这个地方除了顾名思义去理解，我们也要知道数学当中的严谨定义，或者说在高中数学当中棱柱包括了这个东西，看清楚哈，然后我们来看一下棱柱这个地方呢，有什么样的概念。上下这个粉红色的呢？它叫什么？叫做底面？好注意， 上和下都叫底面啊，好不好？底不一定叫，这个才叫底面，上下都叫底面啊，他们是全等的，对于棱柱来讲，不管是刚才的那个斜的还是这个正的两个底面全等的，这个叫侧面， 侧边的面啊，对吧？顾名思义他们一定是平行四边形，他说了定义里面就告诉大家是平行四边形侧棱啊，对吧？他会有这个也叫棱，侧边的棱，对吧？他们相互平行， 然后呢，这个就测棱哈，这边随便一条，然后呢顶点，嗯，这个叫什么？叫顶点？侧面与底面的公共顶点，这是相关的概念，底面，侧面，侧棱，顶点， 棱柱呢？怎么表达呢？用表示底面的各个顶点的字母来表示，比方说这个就是 a、 b、 c、 d， e、 f， 然后 a 撇， b， c， d， e 撇， e， f， e 撇，中间用一条杠表示，就这样子很简单吧。 ok， 然后呢，棱柱有什么样的分类呢？ 第一个分类方式就是根据底边的多边形的边数来分类，分为三楞柱，有没有二楞柱啊？ 没有吧，最小的那个平面图形就是三角形，对吧？四楞柱、五楞柱，一直到 n 楞柱，这个不难分吧，对不对？底面是 n 边形，那么它就是 n 楞柱，对不对？底边是 n 边形， 那么就说明它是 n 能柱，这个没问题吧？啊？然后接着呢，我们来看一下特别的一个特别的底面，是平行四边形的四棱柱，四棱柱的底面不一定是平行四边形啊，同学们要搞清楚啊，我一个不规则的，我随便 啊，这样子，我一个柱子，这我就是说俯看图啊，俯视图是这样子的图形，我也可以成一个柱子啊，好吧，所以呢， 四能柱不一定是平行四边形，那如果底面是平行四边形呢？它也叫也叫平行六面体，又是一个新的概念哦，考试里面出现平行六面体，不要说话，平行六面体是个啥玩意？不难理解。由于其六个面都是平行四边形，那么问题来了， 那么哪两个面是底面，哪四个面是侧面，其实是有不一样的理解的。比方说我们在看这个图，我们认为红色的，红色的和底下的，好吧，这两个上面的和下面的都是底面，那么我是不是也可以认为这一边的和对着那一边的是底面呢？是不是也可以认为这个和这个是底面呢？ 对吧？我们认为谁是底是有可能因为摆放的不一样的区别的，这个就是我说的什么叫做在这个过程当中，不要觉得我要快点，我要接触更多的东西，而是要不断去感受和去干嘛和去思考， 去想下去培养我们的这个空间能力，因为这个呢，确实就是能力的东西，等到了高三、高二、高三的时候，那其他是很好去提升的，到时候就晚了，知道吧？ ok， 那 么第二个分类是什么呢？刚才说分类一，那第二个分类呢？就是根据侧棱，我们的侧棱跟底面的位置关系来分类，我们以四棱柱为例哈， 如果是长这个样子，就是我们刚才讲的什么东西，就是我们的柱子，生活当中的柱子就一根上去的，对吧？这个柱子呢，把它想象成一根线，它是垂直于这个地面的，对不对啊？一个柱子垂直地面的，但是我们刚才说什么东西啊？ 我这个东西它也叫注子啊，也叫能注啊，对吧？那么这个注呢？叫邪能注，对吧？所以呢，这个叫正能注，那四能注它只是我这里的举例，所以呢，比方说它是五能注，那么就是值五能注，邪五能注啊，对吧？所以叫值四能注，邪四能注， 明白吗？啊？这两个一个是直，一个是斜，又多了两个概念哦，又多了两个概念哈，要注意，一般的我们把侧能垂直于底面的这个能柱叫做直能柱，这个就是我说的，我们还没有完全讲这个线与面垂直的概念，但是这个应该大家不难理解，对吧？ 侧能呢？不垂直于底面呢，叫做斜能柱当中呢？如果我们特别的在直四能柱当中，底面又多增加多一个条件， 就是底面是正多边形，那么它的一个只能柱，这里两个条件呢叫正能柱，这个概念非常的重要，这个在考试当中也出现的非常的多，就说比方说这个直四能柱，首先它是直的，也就是说这个侧能垂直于底面，并且它是四能柱，所以如果考试里面出现了这四个字叫正 四能柱，那么我们阅读到什么样的信息？它的底面是个正方形，对吧？正四边形是不是就正方形？ 好？这个东西在考试当中哈，不会再再跟你说一次哈，我们有正四能柱，什么什么什么东西，它的底面是正方形，没有这么啰嗦，所以我们得吸收到它相关的一个信息，明白吗？所以呢，我们说哈， 我们刚才说分类一 a 能柱和分类二直斜正，它组成了不同能柱的名字，比方说正四能柱、直六能柱、三能柱等等啊，不标注，其实斜这个字啊，很少出现啊，就告诉你三能柱，那 那么三楞柱就告诉你它有可能是斜的，有可能是正的，大家知道，当然我们也都要知道这个概念。那么比比方说，我们以正四楞柱为例， 如果在题目当中出现哈，如图，在正四楞柱 a、 b、 c、 d、 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇当中，怎么什么什么好这四个字，我们刚才说我们要捕捉到有两个信息，第一，它这个是垂直的，第二里面是正方形，它有两个信息，这两个信息不会再跟你说，好吧，这是基础，所以搞清楚这样的概念。 反之，如果说是直思能助，不要说，哎，他题目说是直思能助，所以底边是正方形，那这个就是 错以为的一个新的一个，就是给他编造了一个条件，对吧？所以呢，这些概念就不要模糊不清，一定要清楚，这样的概念，明白吗？然后呢，第二个呢，就是我们讲完能助，就讲能追，把一个能助的其中一个底面汇聚成一个点，就变成了能追，看一下，这是个能助，对吧？ 好，这是一个棱柱，然后把其中的一个底面，比如说这个一个底面吧，把它汇聚成一个点，它就变成了棱锥，对吧？棱锥 啊，接着我们来看一下棱锥的相关的一些术语啊，首先它的定义是，一般的有一个面是多边形，还有一个面是多边形，其余的各个面都是由一个有一个公共顶点，公共顶点的三角形，其余的面都是三角形。刚才的面都是 平行四边形啊，都四边形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥啊，对吧？一个面是多边形，另一边呢，汇聚到一个顶点，共同的公共顶点哈，然后这些面都是什么？都是三角形这个东西，它叫棱锥， 这个叫底面，这个是命名一样的，对不对？ ok， 然后接着呢，侧面，那这些就叫侧面，侧棱，这些应该都好理解吧，顶点好不好，这叫顶点 好吧，一般能追，用顶点底面的这个格式来书写，我们用一个顶点 s， 然后一杠 a， b， c， d， e， f。 啊，这个也好说吧，如果底面是个三角形， a， b， c 呢，那就 s， 一 杠 a、 b， c， 嗯，就这样子，它的命名规律都是有一定的规律的，然后看一下能追的分类，也分两种，第一，根据底边多边形啊，一样三能追，四能追，五能追， n 能追，对吧？ 哎，这个就不用多讲了吧，跟刚才是一模一样的好。然后特别的三能锥呢，它又叫四面体，有一个特殊的，刚才我们说有一个特殊的，就是平行六面体，对吧？平行六面体是特殊的， 然后呢，三能锥呢？它的名啊，它也叫做四面体，因为它有四个面，所以呢，同样的考试给到你，四面体是什么来的？四面体就是三能锥哈，不难理解，由于其四个面都是三角形， 那又来了，哪个面是底面，对应哪个是顶点？这个是顶点还是这个是顶点还是这个是顶点？哪三个面是侧面，哪个面是底面？是有不同的理解的。比方说我们红色的是底面啊，现在这个是底面， 接着呢，这个是底面哈，这一边的右边的是底面，接着呢，那一边我们看不到的那一边是底面，还有呢？左边是底面，哎，他是不是有一共有四个，就四面体，四个面我们都可以认为是底面，如果认为这个是底面，这个就是他的顶点，后面是底面，这个就是顶点，对吧？这个是底面，这个就是顶点，下面是底面，上面就顶点， 对吧？所以顶点和底面是相对的，这个特别的在四面体当中也会出现我们的一个基本理解， 这个分类呢，就是同样的，刚才我们说底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，对吧？底面是正多边形，然后呢且顶点，这个顶点 跟什么呢？啊？比方说我们在这个当中底面的 abc 是 等边三角形，那等边三角形它的底集合中心为 m。 有 没有同学在这个地方说什么是集合中心的？有没有同学说这个什么集合中心 等边三角形的四心合一，对吧？它的重心啊？各方面垂心都是一样的，这个是初中的重点内容，它不是高中内容。那么正方形呢？ 它的相交的这个东西啊，这个中心，对吧？然后呢就是这样子的，这个叫几何中心，那么接着呢，这个顶点在几何中心上面， 对吧？连线，这个连线它垂直于底面，又是刚才我们说的我们还没出现的这个概念，线面垂直，对吧？这个是这样子垂直的，那么这个时候呢，我们就说它是正能追， 说这个时候呢，同学们，我问大家一个问题，正三能追这个对吧？正三能追侧面是不是一定是正三角形啊？是不是一定是正三角形？按照这个定义，底面是正多边形，比如说底面是正三角形，这个没有问题。然后呢顶点与底面的中心的这个连线垂直于底面， 是不是他可以很高很高很高，他只要为为位于这条垂线上面就可以了，这个顶点，所以这里是不一定是什么，他不一定是那个啊？侧面不一定是等边三角形的，但是他是不是一定是等腰三角形的？同学们想想 是不是一定是等幺三角形，他一定是等幺三角形啊？这样的东西都是要靠同学们去阅读了这个定义，然后去理解，基本的理解啊，课本当中不会每一个事情都跟大家去讲的那么透彻好吗？不是每个东西都像背书那样背下来，好好去理解他好不好？然后呢接着楞台，我们说学完了筑学追学台， 对吧？然后这里呢，我们从棱柱到棱锥到棱台，我们看一下这个变化哈，两个棱柱，然后呢如果其中一个棱柱把它汇聚到一个点，这个时候就是我们所说的棱锥，然后呢这个棱锥我们再来看一下，我们再拿出一个棱锥干嘛呢？切一刀， 这个就变成了棱台，好吧，所以呢棱台就是什么呢？一般的用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，我们把底面和界面的那个部分这个东西叫做棱台， 那么这个呢？底面这个时候就不一样了，由于我们跟那个棱柱不一样的，是底面和上底面和下底面不一样，所以我们要做区分，对吧？ 棱柱不用做区分，是因为上底面和下底面它是全等的，那现在不一样，我们叫做区分，对吧？上底面、下底面、侧面，其余的各个面呢？叫做侧面啊，对吧？比如说这个叫侧面、侧棱，这些都一样哈，对吧？顶点都一样 啊，就是我们的底面会有一点区别。接着我们来看一下这个棱台的命名，跟其实跟刚才一样哈，跟刚跟刚才的这个棱柱一样，也都是这样子去命名一个杠，对吧？上下底面把它连起来，所以其实从棱柱到我棱锥到棱台，会发现他们的命名规律其实是一致的。 棱台的分类呢？同样就是三棱台、四棱台、五棱台、 a 棱台，对吧？然后呢，平行于底面的这个平面，截取正能锥所得的棱台叫正能台，对吧？就是我，如果我本来是个正能锥， 背结这个东西叫正能台。不难理解，正能台的上下底面都是正多边形，为什么呀？因为我如果是正能锥，底面是个正多边形，而且我们的上下底面的几何中心的连线，比方说在这个地方上下底面都是正方形，正方形的中心连线它是垂直的， 好吧？是垂直的，好吧，理解吧。然后我们来看一下我们的例一啊，如图所示，下列关于这个几何体的说法正确的有哪些？第一个呢，就是这是一个六面体啊，这个就最简单的直接数出来就行了，如果这个数不出六个面，那就没办法了，那第二个呢？这是一个四棱台， 这个呢，应该很多同学会搞错啊，同学们说这不是四棱台吗？是我们要抛开我们感性的这种感觉，它很像台，我们要干嘛？回到那个定义本身，定义怎么说的？棱台是由棱，什么棱锥结出来的， 所以如果大家认为它是个棱台，那么它理应汇聚到一点，看一下，它汇聚不到同一点，所以它不是棱台。这个地方好好想一下它的定义。第三个呢，这是一个四棱柱， 这个也很容易错，很多同学说，不是，这不是柱子，对吧？这不是柱，他不满足四棱柱的那个定义啊，对吧？但是，但是我们一定要把这个想象成底面吗？我们来想象一下我这一个， 这个直角直角梯形，它是底面，这两个是底面，这个是侧棱，它是不是就是一个棱柱的？是的呀，所以这是对的，所以我们要干嘛？它塌下来了，换一个角度，我们要看的看得到，明白这个意思吧？然后第四个呢，就是此几何体可以由三棱柱截去一个三棱柱得到， 这怎么来的？想一想，我们这里画出来了补全的这个图形，它就是一个三棱柱，对吧？同样的，它是趴着，不是往上的那个柱子，对吧？那么截去紫色的这个部分，那么就是三棱柱，截去一个三棱柱， 此几何体可以由这个那个四棱柱截去一个三棱柱，能不能想象得到？把这里补全了，截去蓝色的部分， 就是啊，好好想象一下，所以我这个就是我们说的现在高考的改革对空间思维的要求很高，我们如果空间几何体摆放角度和方式不同，我们也要去识别，不能说一个柱子我打打横放了，我就看不看不到了，也不能说我的棱台我区分不了，哎，这个就是我们所要讲的东西。 第二，这是课本的一道例题，将下列各类几何体之间的关系用 v n 图表达出来，多面体、长方体、能柱、能锥、能抬直能柱四面体和平行六面体。好，同学们还记不记得 v n 图啊？回忆一下，这个太重要了哈。首先集合里面用到你们即将学完这一张， 你们去学第九张，第十张，概率就要用到 v n 图，一直到选 b 三的概率的问题都要用到大量的 v n 图是来解决啊，所以概率的问题的理解跟集合是一样的啊。想起 v n 图就是画图，多面体包括了他们的所有， 然后里面呢，区分了能助、能追、能抬，对吧？它不是占有所有，助友，它不是只有这三个，它还有很多不规则的，对吧？这三个是很多规则的。 那么我们看一下这里的四面体，四面体它属于能锥，四面体，它就是三能锥，对吧？然后能柱呢？这里有直能柱，有平行六面体，对吧？平行六面体。 所以呢，我们来看六是平行六面体，也可以是则能柱，对吧？平行六个面都是平行四边形，它也可以是直的，然后直的时候呢，它可以是如果长方体，它必须是直能柱， 他也必须是平行六面体。然后这个地方呢，我相信就会有一些同学没有想明白，他们相交不止，如果一个平行六面体，他是个直楞柱，他打直了都不一定是个长方体吗？你要想想，可不可以是底面，是一个平行四边形，然后直着上来，可不可以？ 所以不一定是长方体啊，所以长方体也只是他们相交的其中一部分，理解吧？理解这个点哈。 然后呢，下一个部分呢？我们讲我们的圆柱、圆锥和圆台，继续是柱锥台，那现在呢？我们说是叫旋转体，刚才叫多面体，一条平面的曲线，包括直线都好，绕着它所在平面内的一条定直线旋转，所形成的这个曲面叫做旋转体。 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体的轴，这里好几个概念，大家去看一下。 常见的旋转体有什么呢？首先第一个呢，我们是一个长方形，这个就是我们所说的平面曲线，直线也算哦，什么都算了，包括平面图形也算。绕着一条线转转一圈，我这里就没有办法做出那个效果。转一圈是不是得到了一个这个东西，这个就是圆柱，然后接着一个直角三角形 绕着转一圈，对不对？我们就得到了一个棱锥，然后呢，这个直角梯形绕着这个直角边转一圈，得到了圆台，接着呢一个半圆绕着这个转一圈得到了一个球，所以它们圆柱、圆锥、圆台和球这种跟圆相关的都是旋转体 旋转而来的。首先圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余的三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫圆柱，对吧？旋转一周 轴，我们说这个叫轴，旋转的叫轴底面，同样的有上底面，下底面他们是全等的，所以底面在这个地方只有一个，对吧？侧面啊，我们的 周围的这一圈整一圈他，哎，我们要知道这里有个区别，我们刚才的棱柱的侧面是有多个侧面的，而圆柱的侧面他是一个整体， 他跟我们的多面体的多个侧面是不一样的，他只有一个侧面，说他侧面就只整一个一圈，就像你们用的那个卷纸，对吧？你们用的那个卷纸， 卷纸的那个一圈一圈啊，所以这个那个侧面就是指一个整体母线，什么叫母线呢？外面的任何一条，所以能不能理解母线？一个圆柱的母线有多少条？是不是有无数条？它有无数条母线能理解吧？ 任何的上面下来平行于轴，平行于轴的这个边都叫做，哈，在外面的这个，好吧，然后呢，我们用上下底面的这个圆形 o 来表示， ok， 圆柱的侧面，我们来看一下，如果我们用平行于底面的平面来截圆柱，我们会得到这个叫什么叫横截面，圆柱的横截面呢？是一个圆， 用过轴的平面截圆柱得到轴截面，圆柱的轴截面是一个长方形。同样的，这里继续锻炼我们的这个思维能力啊，对吧？但同时我们过两节课，八点三就开始出现很多 表面积啊，体积啊，相关的一些问题啊，也会用到这些，我们的基本理解，那用一个不平行于底面的平面结圆柱得到这个斜截面，那么这个斜截面是一个椭圆，椭圆的概念呢？就是我们的那个下一本书第三章去讲的东西，但我们生活当中我们也理解椭圆像个鸡蛋一样的，对吧？这样子的个形状， ok， 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，我们刚说了直角三角形，但是注意哦，不是斜边的，不能斜边，一定要是直角边，这一条也可以，这一条也可以，对吧？那旋转这个叫圆锥，这条轴旋转，对吧？然后呢，底面， 侧面，同样的侧面也是一个什么，也是一个整体好不好？它也是一个整体。 接着呢，母线，母线同样的就是我们的顶点跟任意的下面的一个连线都是它的母线，所以所以它的母线同样的也有无数条，对吧？也有无数条母线，它的命名方式，顶点加底面的这个好不好？这样来说明 圆锥的结面，我们这个地方呢，我就打算不不详细去说，因为这个东西圆锥曲线，我们的椭圆抛物线和双曲线，在我们的下一本书会详细的去讲。为什么是圆锥曲线？哈，我们这里要关注就是轴， 这样子是等腰三角形，这样子他也是等腰三角形，我们得知道，接着呢，如果用平行于底面，这是一个圆，这个好理解，不平行这是一个椭圆，所以这个地方呢，我们进一步我们如何截到抛物线和双曲线，我这个地方就不讲了好不好？到时候同学们再看一下， ok， 然后圆台，因为之前我们做了很多的铺垫了，这地方直接给同学们看了上底面，同样的是个整体，也同样的轴， 看一下这样的概念就可以了。所以我们看到柱锥台，我们的楞柱、楞锥楞台，圆柱、圆锥圆台，它们的命名是有规律的，千万不要死记硬背，它是有规律的，对不对？ ok， 然后呢，一般圆台用上下底面圆的圆形来表示，也命名也是有规律的好不好？不要死记硬背。那么我们一样的跟刚才一样，从变化的角度来看，圆柱到圆锥到圆台，对不对？汇聚成一个点，然后呢？ 截他截的一个面就是圆台好不好？然后呢，当然我们还可以有另外一种理解，刚才呢是汇聚一个点的理解，另外一种理解呢，就是我们刚才所说的旋转得来的，绕一条直角边旋转一周所围成的这个所围成的这个 立体图形，对吧？我们说，然后接着呢，我们做一个总结，能助、能追、能抬，一个呢，就是有棱有柱的，所以我们为什么说有棱有角？是不是有个词语叫这个人有棱有角的，就是有锋芒的这个人，对不对？有棱有角他不中庸， 对，有棱有角有脾气，对，有棱有角就是棱柱，所以这个就是棱啊，我一定要跟这些相关的词语跟我们中文的理解去联系在一起，我们就好理解，这个呢，就很圆滑的，对吧？圆柱、圆锥、圆台，它都是，对吧？它上面全部变成了圆，就变成这个东西， 同样呢，我他也可以有这样子的一个变化过程，对吧？我们说把它退缩成一个点，刚才我们是干嘛？我们是先从这个变成这个，然后去截他，我们是不是也可以理解用这个去收缩，但是收缩的过程当中呢，得保证什么这两个字叫什么？相似，他得保证上下底面的相似， 保证相似的前提下去开始收缩，然后慢慢收缩成一个点，就变成了能追，所以会发现有好几种不一样的理解， 有好几种不一样的理解都可以去理解哈，去思考一下他，我们第三种理解了哈，第三种慢慢的缩小，缩小到一个点，对吧？ 先变成点去接他，第三个呢？啊？这个没有旋转，这个第三个就是旋转的概念，三个去理解他，然后最后呢就是我们的球，一般的半圆去旋转，对吧？我们就得到了球，是吧？那外面呢叫球面，中间呢叫球心，半径，直径，对不对？ 然后呢和圆一样，我们只需要用这个球心来表达这些都比较简单的一个概念，对吧？然后呢我们最后讲一个就是叫简单的组合体，我们刚才讲了什么东西？好，我们先做个汇总，我们首先介绍了什么叫多面体， 对吧？然后接着多面体呢？这里有什么？棱柱，是吧？棱锥，大家可以跟着我一起来做一个这个思维导图啊，好不好？这样大家就会更清晰一点。然后呢旋转体， 然后这里呢圆柱、圆锥、 圆台，对吧？它们呢？柱锥台其实还有另外一个分类，就是我说的柱分为一类，锥分为一类，台分为一类。这里我们说另外一个柱，它包含了圆柱、圆锥、圆 台、锥啊，柱包含了这个圆柱啊，圆锥和棱锥台包含了圆台和棱台。 这种分类方式呢，在我们八点三的那个地方会比较重要，因为柱锥台的这个面积公式是这样去分类的啊，体积公式， 体积公式是这样去分类的，第一类，第二类，第三类的，所以会有两个分分类，再加上球，球是一个独立的，球是一个独立的， ok， 好吧，所以我们这里要做好一个分类，什么叫多面体？什么叫旋转体？什么叫求圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱台相关的概念非常多，几十个概念，对吧？但是它是有规律的，不是随便来的，它的中文的那个字取字也不是随便来的，为什么叫棱，对吧？好，就这样子。 然后呢，除了刚才我们很规则的集合体，它还可以干嘛呢？组合对不对？叫简单的组合体，然后比方说，比方说一个四棱柱结合一个三棱柱，对不对？ 拼起来这个组合体就是像一个房屋一样，对吧？然后接着呢，四棱柱，又是一个四棱柱，我们挖取它，因为组合或挖取挖取它，是不是像课桌里面的这个抽抽屉一样，对不对？就这样子，这又是一个组合体。所以呢，我们来看一下例三，以直角梯形 a、 b、 c、 d 的 下底，哎，注意哦， 我们刚才我们的圆台是按照这条直角边，现在不是他按照底作为轴，然后其余三边旋转一周，我来想想一下，嗯，想象一下他会变成什么？他说变成这样子的一个东西啊，像那些存放谷物的那些谷仓一样，对不对？像谷仓 啊，像这样子的一个东西，然后他的结构是什么？底下是一个圆柱，上面是个圆锥，我们也可以这么理解，把这里切一刀，下面的一个长方形旋转出来，圆柱上面的这个直角三角形旋转出来圆锥好不好？所以呢，是这样子，所以这个几何体呢？就这样子去形成的好不好？ 好，这个就是我们的这节课，而我们的例题不是很多，但是呢，很多的概念哦，像我说的，大家要就是有有规律的去记忆它，不要死记硬背去了解每一个东西，千万不要有歧义啊，一定要搞清楚它的概念，这个就是我们的这节课。好，我们下节课再见，同学们。拜拜。
540肖数说
41:51查看AI文稿AI文稿好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。
121汤老师
13:36查看AI文稿AI文稿立体几何作为高中数学里头与其他板块知识点明显格格不入的部分，也许各位亲爱的同学的学校的老师会平静的和你说一声，多动脑，多思考。显然这是一句正确的废话。 所以今天咱们借助八个非常经典的立体模型，同时从这本大家熟悉的不能再熟悉，题目质量可以充分放心的高考必刷题中精选四个专题，十分钟时间一并搞定立体几何中的核心计算内容。 当然嘞，任何计算的前提一定得是看得懂几何体是个啥子样子。首先是这样一个正方体，咱们观察一下它的三 d 立体构造，转动、转动再转动， 但是在试卷上只呈现骨架结构，简单对比一下，不难的发现，哎，这红色的虚线是什么玩意？哦，原来是肉眼无法直接看见，但是真实存在的透视虚线。 接着的一个几何体叫做圆锥，相信屏幕前的你并不陌生，那么大家不妨思考一下，红蓝两条线谁更虚呀？显然是藏在圆锥屁股后边的红线。 当然，立方体和圆锥的理解难度并不算大，我们看一下必刷题的固机提升部分，也就是偏基础的，这本套装非常齐全，翻开来从目录中找到我们研究的立体几何专题， 你看，能住、能追，轮胎几乎每一次考试都跑不脱，就比如这个，能追，他可是结结实实有五条侧能在身上的。那么大家边观察边思考， a、 b、 c、 d 五个选项，哪一个是它正确的试卷平面上的画法呀？显然是这个 b 最外沿的黄色一圈， 咱们眼睛一定能看到，一定是实线，边缘一定没有虚线。那这条红色的又是咋回事嘞？ 哦，他是几何体面向我们靠近我们的这一边，可以直接看见的棱也用实线，而除此之外，一定都是透视虚线。并且无论什么时候，这样的结论他是一定成立的。咱们回到书中， 视线左移看，这个棱柱，确实也是长得不是那么美观。五条侧棱五棱柱， 好的， a、 b、 c、 d， 你 认为哪个是对的呀？聪明的你一定想到了操作方法是一模一样的，黄色边缘 b 为实线，肉眼可以直接看见。 而这三条红色的棱呢？在几何体表面靠近我们的这一边，肉眼可以直接看见，剩下的红色虚线就必须要通过透视权线了。 好的，接下来这个会稍微复杂一点，主要是能的条数会稍微多一点。好的，差不多时间请做出选择。这是一道思考题， 基础的讲义部分没啥问题了，我们就可以用对应的练习册来加以巩固。需要注意顺序是固基部分偏基础项的。 简单来说，分成了六十个小专题，写一页就能够掌握一个小型的知识点。在咱们基础题身上的效率方面，性价比是非常高的。翻开看到里头的体积计算 条件，暂不细看，咱们先在脑海中建立三 d 感知，看看这个镶嵌在正方体框架里边的三棱锥是个什么情况，然后再来求体积。 呃，既然要求体积，先得把公式摆上来，任何能追的体积公式都是三分之一底层高，但是这个底面却没有唯一的答案。 你说 b f、 c 一 可以当底面， b 一 c 一， 那也可以， b f 一 貌似也不错。 f 一 c 一 好像还可以。 那究竟哪个好嘞？首先呀，咱们肯定希望他不难算，那怎么才算不难算嘞？ 哦，就是好算，这个 bfc 一 他就挺好算的。为啥嘞？因为呀，他直接干净利索的贴在正方体前表面上了。这里大家注意观察蓝色与紫色平面， 如果突然告诉你这俩平面中间可以直接用等号连接，你是否同意嘞？ 这个的确是对的，它就好像两条直线只要重合就是同一条直线，两个平面只要重合就是同一个平面。咱们看到的蓝色紫色好像面积形状大小都不相同， 为啥呢？像这一切都只是因为我们在画图的时候截取了同一个平面的不同区域，相当于选择性表达，都不是把完整的平面给画了出来。平面本身的面积是无穷大的，就好像我们常说的直线无限长。 好的，回到题目中来，这个紫色三角底边平面面积非常好，求二分之一底乘高，底一高二全知道。 哎，那这个高 h 嘞，也就是能追顶点 e 到这个紫色平面的距离后表面的 e 到前表面的距离 等于零，长等于二，底面和高。都晓得了这一题选择第二项 b， 就 这会看来，好像是刷了几道题目，但是嘞，这套组建绝对不只是单纯的给大家刷题用的， 你看，固机部分给咱们配套了专门的视频课程，七十一节视频精讲，相当于每个不懂的知识点直接送一节网课。而且书中的六百八十四道题主题精讲， 想看视频讲解，但是又懒得问人的，想保持效率，扫个码就完事了。那么用完了固基部分，我们就可以拿对点上分，简单来说就是拔高部分，这个组合键翻开来找到对应的强化辨识， 还是要求这样一个正方体框架中嵌入的棱锥的体积，大致观察一下它的构造， 其中 e 是 棱中点， o 是 底面中心。求黄色棱锥体积。别的先不管，求体积就得摆公式。接着进入选底面环节， 一号、二号、三号、四号，哪个底面不难算呀？ 都不好算，但也都差不多，那都半斤八两。我们就进一步考虑哪一个底面他对应的高更好算，而且高和底一定是线面垂直的吧。 所以这会咱们就认真想一想，能不能在黄色棱锥里边找出一个线面垂直来， 垂直在哪里嘞？思考一下，哎，你看正方体的这个对角，蓝色结面，他是一个矩形，标注好个别数据，然后请重点盯住他。 我发现呀，这个对角矩形面彻底铺平之后，两条黄色线段的紫色夹角好像有点蹊跷，原来呀，他就是九十度角，这个原因不知道你晓不晓得？ 好的，还是盯住他，慢慢放回正方体的对角面位置。根据紫色的九十度符号，两条红线之间是相互垂直的。 但是嘞，我需要的高和底面线面垂直，得有两组线线垂直来加以证明。 a、 d、 e o 和 e o 是 一组， d、 e o 和 c o 会不会是另一组嘞？咱把洁面补全一下。 这个蓝色的洁面三角形，每一条边都是正方体的对角线，所以这是个等边三角形， 中间的红线， d、 e、 o 垂直，底边 c a 也就垂直， c o， 红色、绿色也相互垂直了。 现在就晓得了，红线 d e o 同时垂直于蓝色的 e o 和 c o， e o， c o 都是平面 ceo 中的线段，两条线还互不平行。 当然我们最好不要这样写，只要不平行就一定会有交点，我们写上 e o 交 c o 等于 o， 就 可以完美且标准的代替 e o 和 co 互相不平行这一串花了。 得出红线垂直蓝色底面，那么对于这个黄色三棱锥，红线做高蓝面当底。最后带回公式，三分之一底乘高选择 a 选项， 这本对点上分色，它也是同样的道理。全面配套视频讲解，不会说好像更难更拔高，就敷衍了事，只给一个文字讲解，这个并不会的视频是一节不会少的。 咱们还可以拿出这个巧学速记小本本，这里边就是给大家整理的答题技巧和奇思妙想了。 模块速记这里推荐大家在考前进行快速补充。再就是这个小册子的后半部分，全是重要技巧。比如咱们看这样一道题， 他给到一个四面体， s a， b， c 是 一个棱长都一样的正四面体， 说 e 和 f 分 别是 s、 c 和 ab 的 棱中点，求 e， f 和 s a 的 线线夹角。嘶，这两个， 首先它是一个正四面体，说明很正。其次，既然是求棱和棱的夹角，咱们看正四面体有六条棱，正六，想到啥了不？ 没错，正六面体，这里请认真观察。直接给正四面体塞进这个正六面体中， 凭啥嘞？哦，正四面体的每一条棱，他都是正六面体的每一个面的对角线。 没错，再以后，看到麻烦的正四面体，直接给他塞在正方体框架里边就没得问题了。这时候再看红黄两线的夹角，聪明的你会做了不？ e、 f 分 别是上下底面的对角线交点，所以数值的红线 e、 f 就 平行于任何一条数值的蓝色棱， 比如 st。 现在红蓝互相平行，红线和黄线的夹角就是蓝线和黄线的夹角，显然前边是一个等腰直角三角形 c， 它等于四十五度。 这个就是小册子里边的补习法，能够放在这个小本子里边的技巧还是相当有含金量的。 哎，这还一个小本子，一目了然。核心干货，整个高中三年的核心知识点，它分成十三个大章节，严格按照教科书来的，不管是以前学了容易忘记的三角函数，还是咱才学完但是结论一堆一堆的复述， 再包括我们这会正在学习的立体几何，以及咱以后会碰到的结论重灾区圆锥曲线， 这些浓缩的知识点，说实话太重要了。在视频的最后还是老样子，我们从巧学速记里边取同专题的第二个题目，大家可以思考一下。
3.0万加数
10:49查看AI文稿AI文稿你们是不是觉得空间想象能力不好，我立体几何就学不明白？你们的练习册中的很多模拟题，为了追求难度，给你把题目出的很偏，让大家误以为，哎，立体几何就是选学， 但其实真相是，在真正的高考当中，立体几何这个模块考察是非常套路化的。 胡老师教高中数学已经十三年了，我带的学生里面有很多函数真的学的一塌糊涂，但是他立体几何能考到一百三十分以上去， 关键就在于他们掌握了高考的二十五大核心题型的阶梯框架。今天呢，胡老师就把这些方法全部都给大家教给你，所以你认真听，立体几何也能够成为你们的强势模块，行不行？行，好， 那么我们要学好立体几何，咱们必须得过这五大关来。第一关叫什么？七大几何体，你要非常熟悉七大几何体，也就是说你要和我先写下来啊，圆柱， 圆锥还有呢？圆台好，圆台还有啥球球很好，还有棱柱还有啥能台？能锥 还有啥能台？哎呀，能台还有什么球球？对这些人做好朋友呀， 他们怎么画？他们的侧面展开图怎么画？他们拼接到一块基本的图形怎么画，你得清楚，这是空间感的第一步。你像这几年高考特别爱考的圆锥侧面展开图，让你求跟他有关的面积问题， 包括棱台有关的体积问题，是不是要非常熟练？是的好，你把第一关过了，那么基础分咱们稳稳拿下。 答案是，基础分拿下并不代表你能拿高分。所以这就到了我们今天要讲的第二个关，很多同学百分之九十的同学都会进入的同一个拉分陷阱，叫什么 球？哎呀，聪明啊，叫做球的问题，球里面要掌握哪些方法呢？ 大家要掌握的是对的，从两个方向下手，第一个是六大对的外接球的问题，第二个是常见的一些内切球，三大内切球的解法， 六大外接球，大家能不能想起来都有哪些方法？这个我没有讲过长方，比如说什么长方体模型，还有呢？圆锥，对了，圆锥模型并不是说只有圆锥可以用，是不是棱锥也可以用啊，是要注意它的识别条件，还有什么模型， 还有圆柱，还有什么模型？扇子，还有呢？两个终极大沙洲，一考就考你亚洲叫什么？ 双半径，哎，对了，双半径单交线，还有一个是双距离单交线的问题，都会啊， 会这六大模型，你做外接球的问题就是直接秒杀你不会，不好意思，你可能做五分钟你都出不来答案。 好吧，来看第二个内切球的问题，内切球，特别是常见的一些多面体的锥体问题，比如说对应的公式，我们给大家总结过，而等于三 v 除以 s 也很熟练，必须熟练于心，没问题吧？没有， 这些对应在咱们二十五大题型的第十三到三十七题，所以大家把模型吃透，你球类的问题就不在话下了。那么搞定了球之后，很多同学最怕的坎来了， 总觉得，哎呀，我没有空间想象能力，我这个类型结构就学不好，核心在于不会。第三个点叫什么？ 对了，平行垂直的证明问题，这是立体几何最本质的，最底层的东西就是你这个东西学不好，你整个立体几何的这个楼就塌了，明白没有？ 这也是我们二十五大题型里面的重头戏了，足足占了六大题型。来，先说第一个叫平行问题，平行问题需要掌握什么？ 常见的要让你证明吗？对了，让你证明我们给大家讲的是什么法？尺子法去证明，然后还有一些特别爱考的叫动点问题，是不是叫动点有关的探索问题？ 那你是不得我们讲的口诀还有人有印象没有，叫做谁不动平移谁，对了，这是诀窍。好，接下来下一个叫什么问题？垂直问题， 你记住哈，所有立体几何的核心都是垂直的问题，你垂直学不好，你立体几何底层楼是摇晃的，垂直里面一共分为三大需要大家掌握的。第一个叫什么？垂直线线，第一个叫做线线垂直 线线垂直的核心是什么？嗯，我这样写，横着写 线线垂直，核心是找一根线，把这个线放到面对去，那这根线应该怎么去找？是有套路的。除此以外，线面垂直这个好正。还有一个叫面面垂直，那面面垂直的核心是什么？ 先挑一个面，从面中挑一根线，对，这个面怎么挑，面中的线又怎么挑，是不全是有方法的？那可不是你看答案随便去找的哟，所以大家一定要去总结，不断的去用它， 然后考试中更多的是把这些杂揉在一块，综合去考你。然后我们就衍生出来了很多方法，比如说三垂线模型，对吧？矩形模型、勾股模型，你会了这些方法证明是又快又准的。 当然大家要注意哈，我们费了这么大劲搞平行和垂直，不是说只是为了让你做题挣着玩的，所有的工作都是为了给第几关做补点。 第四关叫做夹角问题，高考的大题以及我们平时月考、期中考，只要考到例题，几何大题的第二问非常重要，必考内容重中之重。二十五大题型里面，六道最拉分的题全都在这。 所以说这里一共是三大方向，哪三个方向？来告诉我夹角问题。什么角？ 谁和谁的夹角？线和线的夹角，线和线的夹角有哪些方法？第一个我，我们说的是意面之线，明白没有？我是不是可以通过平移把意面变成共面的？ ok， 我 们还给大家讲了一个大招， 叫空间余弦定力。注意，不是余弦定力，是空间余弦定力，如果你剩两个，你发现你都搞不定，还有个万能的方法，叫什么叫做向量法，可以通过间隙去解决问题。 ok， 三个方法除了线线之外，还有什么？线面线面对大体主要就是考后两个叫线面和面面啊。线面第一个方法拿什么去做？ 对了，所有的就是，哎，我先用定义找到线面对用的夹角。嗯，那如果我定义找不出来那个夹角怎么办呢？向量，我们还有个备胎的方法，忘了吗？ 叫做等微等高啊，求正弦，非常好用，规避了你不会找夹角的问题， 再实在不行，有了一个保底的方法叫向量法，这是核心你要掌握的。 那下面搞定之后，还有一个爱考的叫什么叫做面面夹角的问题，好，面面夹角，哎，对二面角的问题，哪些方法？嗯， 定义方法，第一个特别特别爱考，这几年不管在高考中还是在你平时考试中，而且经常考小题，这两个一旦考小题，其实更多的用的是从定义的角度，你得会 ok 吗？ ok， 好。 还有大题中爱考的是什么方法？ 三锤宪法，我说的是都是高频爱考的啊，你是你必会的，实在前两个搞不定也是一样的。叫什么法？项量法， 很多高三的孩子最后说，胡老师，既然你说项量法比较重要，我就只学项量法，项量法，项量法 只靠空间向量去做题，结果考试一紧张，坐标写错，或者有的题目你发现那个细根本就见不出来。所以，尤其咱们现在高一的孩子，现在在学立体几何，真正能让你跟别人拉开差距的。前面的这些几何的方法，我们要一开始把它学透， 一开始就要去刻意训练，这些结合方法没有问题吧？没有好，前四个关过完，那很多同学觉得，哎呀，理论结合学完这些就没问题了，往往在最后的关头，你发现你们会丢分，因为你忽略了最隐蔽的第五关叫什么。 哎！对了，还有一个问题叫做距离问题，距离在我们老高考中经常考点面具，点面具吗？是吧？点面具说白了其实就是体积的问题吗？转化成体积的问题，我们新高考中还增加了什么 意面？直线的距离，这是最容易被大家忽略掉的，必须重视。 所以呢类题结合就是以上五个大关，考来考去，翻来覆去，永远都是总结完二十五大题型，你把整套体系攻克掉，你的成绩一定是突飞猛进的。 所以大家不管是高一、高二还是高三，现在攻克都完全来得及，那么这二十五大题型每一个类我们怎么快速拿下对应的方法， 胡老师每一个全给你们配套了。同类型的辨识训练，从基础到重点到难，全部都总结好了。你想快速搞定立体几何的，你可以留 立体几何，胡老师全都给你安排，抓紧时间打印起来，跟着胡老师拿下立体几何没有问题吧？没有好下课！
378老胡模型数学思维提升
20:47查看AI文稿AI文稿hello 宝宝们，大家好，今天呢，为大家带来一道二零二五年全国二卷的第十七题，这个呢是一道例题几何，我个人认为呢，呃，是比较难的，那我们先来看一下这道题， 如图，四边形 a、 b， c、 d 中 a、 b 平行 c、 d 角 d， a、 b 等于九十度 f 为 c， d 中点 e 在 a、 b 上 ef 平行 a， d， a、 d 等于三倍的 a， d， c、 d 等于二倍的 a、 d。 将四边形 e、 f、 d、 a 沿 e、 f 翻折至四边形 e、 f、 d 撇 a 撇，使得面 e、 f、 d、 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成的角为所成二面角为六十度。第一问 证明 a 撇 b 平行平面 c、 d 撇 f。 那 我们先看第一问呢，他要正的是一个线面平行，他说要咱们正的是呢， a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f。 那 我们这个 a 撇 b 要怎么找到这个在 c、 d 撇 f 面那一条直线呢？去使得这个 平面内这条直线和 a 撇 b 去平行呢？那我们这么一看的话，好像不太好找，而且呢，就是就是这样，我们假设有这么一条直线，他们两个平行的话，但是这点呢，我们不知道它是不是特殊的点， 所以说单纯的简单的线面平行呢，就这么直接去正应该是行不通的。那我们想想能不能用 面面平行去正呢？我们首先想到面面平行的性质，面面平行的性质之一呢，就是如果两个面平行，那么其中一条，那么其中一个面的直线就平行于另外一个平面。那我们想呢，我们的思路就是 去正面面平行，然后利用它的性质。 那我们顺着顺着这个思路想一下，那既然肯定是我们要找 cd cd 撇 f 和哪个面平行呢？和跟 a 撇 b 有 关的一个平面平行， 只要证明这个 a 撇 b 所在的这个平面和 cd 撇 f 它们两个平行了，那么这个 a 撇 b 就 自然平行于 cd 撇 f 了。 那我们可以找到看，观察一下 a 撇 b 所在的这个平面和这个 c、 d 撇和 c d 撇 f 能不能平行呢？我们试着去证明一下。咱们看， 那么这个因为呢，咱们看题干给的信息， ab 平行 cd， ab 平行 cd 的 话，那是不是就是这个 be 平行 c f 了？这是一个 be 平行 c f， 那 么 be 就 顺理成章成章的平行 c、 d 撇 f 了， 这个我们可以用线面平行去认得，而且呢，将这个四边形 e f d a 沿 e f d 撇 a 撇， 那么这个 a e a 撇 e 是 不是平行也是平行 d 撇 f 的？ 因为原来 ab 就 平行 c、 d， 只不过呢，现在给它翻折了一下，那我们能就能得到 a 撇 e 呢？也平行 平行面 c、 d 撇 f， 那 这样呢，我们就可以用利用面面平行的这个判定定律得到了。 呃，这个面 a 撇 e， b 平行于 d 撇，呃，是 c 撇 cd 撇 f， 我 们写一下呢，就是由于 ab 平行 cd， 则呢 b e 平行 c、 f 由于 be 不 包含于面 c d 撇 f， c f 包含于面 c、 d 撇 f， 则呢 be 就 平行面 c、 d 撇 f， 这是 b e 平行 c、 d 撇 f。 接下来我们看，由于由于翻折 折呢，这个 a 撇 e 看，那就是平行 d 撇 f 的。 接下来我们再证明一下，这个线面平行，由于 a 撇 e 不 包含于面 cd 撇 f， d 撇 f 包含于面 cd 撇 f， 则呢 a 撇 e 平行面 c、 d 撇 f 那 这我们两个线面平行证完了，接下来呢，我们我们要去证明面面平行，由于 a 撇 e 包含于面 a 撇 e， b， b， e 包含于面 a 撇 e、 b， 且呢 a 撇 e 交 b、 e， 它们两个还有公共点等于 e， 又同时 a 撇 e 平行面 c， d 撇 f b， e 平行面 c， d 撇 f， 则面 a 撇 e b 就 平行于面 c、 d 撇 f。 那 么我们现在得到面面面平行则呢？利用面面平行性 质，由于 a 撇 b 包含于面 a 撇 e、 b， 则呢，咱们就可以得到 a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f。 这个呢，就是第一问， 接下来呢，我们看第二问，他说求面 b c、 d 撇面 b c、 d 撇是在这与面 e、 f、 e f、 d 撇 a 撇所成二面角的正弦值，那这个呢，我们就要建立空间直角坐标系，那我们要怎么去建立空间直角坐标系呢？ 我们分析一下题干，题干他说呢，是这个面 e、 f、 d 撇 a 撇与面 e、 f、 c、 b 所成二面角为六十度。这个二面角呢，我们需要找一下平面角，因为 a 撇 e 垂直 e、 f 因为翻折过来吗？ 同时同时这个 b、 e 也垂直 ef， 因为角 d a、 b 等于九十度，同时呢， a、 d 还平行 ef， 所以呢，这个就是咱们得到了 b、 e 也垂直 ef。 那 么根据二面角这个平面角的定义，所以呢，角 a 撇 e、 b 就是 这个这两个面所成的二面角，它呢为六十度。那我们可以过点 a 撇呢，去做垂线垂足呢，我们既为 o 过点 a 撇做 a 撇 o 垂直 b， e 于点 o， 那 接下来我们就要去建立直角坐标系，空间直角坐标系，因为呢， a 撇 o 肯定是这个垂直 b e 的 哎，垂直 ab 这条 垂直 ab 这条直线，那我们想以它为 z 轴，它为 y 轴，那么呢，我们就还得再找一条 x 轴，那 x 轴我们应该怎么找呢？ 我们看到了这个 ef 垂直 a 撇 e 了，而且 ef 还垂直 e b， 那 我们就可以通过线面垂直证明 ef 垂直面 a 撇 e b， 那 么呢，而且同，那我们就可以证明，利用下面垂直的性质去证明 e f 垂直于 a p o， 同时呢，那我们就证明了，那我们可以再找一条做一条平行 e f 的 与 e f 相平行的直线， 这个呢，我们就作为 x 轴减一下，就是由于 ef 垂直 a 撇 e， ef 垂直 b e， 同时呢，且这个 a 撇 e 交 b e 等于 e， 则 e f 垂直面 a 撇 b e， 由于 a 撇 o 包含于面 a 撇 e b a 撇 b e 或者 a 撇 e b 都可以，则呢，就有 e f 垂直 a 撇 o 过点 o 做 e f 的 平行线 o m， 则呢，我们就得到了 o m 垂直 a 撇 o， 而且呢， o m 垂直 o b， 因为因为这个 e f 垂直 a， 因为 e f 垂直 o b o m 是 平行 e f 的， 还有 o b 也垂直 a 撇 o， 则呢，建立如图所示的坐标系， 那现在我们要去求它，要求面 b c d 撇与 e f d 撇 a 撇所成二面角的正弦值。那么我们要 根据题干中的条件， ab 等于三倍的 ad， 而且 cd 等于二倍的 ad， f 为 cd 的 中点，那么呢，我们不妨射， 不妨设 a d 等于一，则呢，我们找一下 b c d 撇面 b c d 撇中各个顶点的这个坐标 b 呢，就应该是 我们看一下这个，那首先我们要知道这段的距离，我们知道 d f 等于一， c f 也等于一，那这段距离是多少呢？ d f 等于 a， e 等于 c， f 都等于一。那接下来我们要知道 o e 的 这段长度， o e 的 这段长度，因为呢，这个二面角角， a a 撇 e、 b 就是 二面角，是六十度，而且这又是垂直，所以说这是三十度。 我们还知道这个 a 撇 e 是 由 a、 e 翻折过来的，那它也是一，所以呢， o e 的 值应该是二分之一， o e 是 二分之一， ab 等于三倍的 ad 整体是三，那 b 呢，就应该是三，减去一，再减去二分之一，就是零二分之三。零 c 呢，我们看一下 c、 c 应该是 负一的，它的横坐标是负一，呃，它的 x x 轴坐标是是负一，然后它的这个 y、 y 轴坐标呢，就应该是 负的二分之一，因为这个 m、 f 也是二分之一，它整体呢，还剩了一个二分之一，就是负一，负二分之一，那这正的二分之一， 正的二分之一。零 d 撇，我们看一下 d 撇，因为 应该是他们两个，因为 a 撇 d 撇，他们是由 a、 d， 这个是由原来 a、 d 的 边翻折过来的，所以呢，他们 a 撇、 d 撇应该是在同一条水平线上的，也就是说呢，他的坐标应该是 负一，零二分之根号三。接下来我们再看一下 e、 f d 撇， a 撇各个顶点的各个顶点的坐标， e 的 坐标应该是 零，负二分之一，零 f 的 坐标应该是负一， 负二分之一。零 d 撇，我们已经写完了，接下来我们写 a 撇， a 撇就应该是零零二分之根号三。那现在呢？我们现在， 现在呢，我们去求它的两个这个这两个面的法向量向量 b、 c 等于负一，负一零 向量 b、 d 撇等于 负一，负二分之三，二分之根号三。设面 b、 c、 d 撇的法向量 向量 n 一 等于 x 一， y 一 z 一， 则有 负 x 一 减 y 一 等于零，负 x 一 减二分之三， y 一 加二分之根号三， z 一 等于零。我们呢，可以令 x 一 等于一， x 一 等于一，则 y 一 呢，就等于负一。那咱们代入一下第二个式子，负一，再加二分之三等于 二分之一，再加二分之根号三，这一等于零，那这一就是负的根号三分之一，也就是说负的三分之根号三，这个是向量按一。 接下来呢，我们求这个面 e、 f、 d 撇 a 撇的发向量向量 e、 f 等于负一，零零向量 e、 a 撇等于零二分之一，二分之二三。 设面 e、 f、 d 撇 a 撇的发向量 向量 n 二等于 x 二， y 二 z 二，则有 负 x 二等于零二分之一， y 二，再加二分之根号三， z 二等于零，则那向量 n 二，咱们可以令 x 二直接就等于零， y 二呢，等于 一， z 二呢，等于负的高三分之一，就是负的三分之高三。 所以呢，则二面角 二面角的余弦值， 则 cosine c 的 绝对值等于 向量 n 一 乘向量 n 二的绝对值，比上向量 n 一 的绝对值， 等于向量 n 一 点乘向量 n 二，比上向量 n 一 的膜，乘上向量 n 二的膜，它们整体的绝对值。记住，大家要注意一下，这块一定是正的，因为咱们是带绝对值的，等于呢， 向量 n 一 点成向量 n 二就等于负一，再加上 三分之根号三，加上三分之根号三的平方就加上三分之一。比上向量 n 的 模是根号下二，再加三分之一，乘上根号下一，再加三分之一。我们算一下，这个就等于呢 开，呃，因为带了绝对值，我们可以把绝对值给它打开，就是三分之二，比上根号下根号下，这是三分之七，乘上三分之四就是根号下九分之二十八，就等于 三分之二，比上三分之二倍的根号七。 因为呢，我们最后要求的是这个二面角的正弦值，则 sin c， 它就等于根号下一减 cosine c 方等于根号下一减去 七分之一。呃，一减去对，七分之一就等于 根号七分之，根号六就等于七分之根号四十二。 这个呢，我，这那这个这道题我们就完整的做出来了。这道题呢，平心而论还是比较难的，大家可以多练几遍，多想想他的思路是为什么这么做， 他的关键呢？主要就是第一问就是利用面面平行的性质，第二问如何间隙是关键，也是难点。 好了，那我们今天的分享就到这里了，如果对大家有帮助的话，请帮我点赞关注，那我们下期再见，也祝大家考上理想的大学，成功上岸，拜拜！
90数学超甜
03:18查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天来看下一种类型题，也就是意面直线所成的角。但是我们今天要学习的东西其实是向量法，那么向量法在做这种题目的时候，其实也相对会比较简单。首先我们先要找到这个题目中，它告诉我们的 a、 b、 c 和 b b、 e 这三条边的长度都知道，那么我们就不妨设 b a 项链，它就是 a 项链。再说 b、 c 项链是 b 项链，再设 b b 一 项链是 c 项链。因为方便一点， 那么我们观察一下，我们只需要用我们的这三个向量去表示出来我们的 ab 一 向量，再表示出来我们的 b、 c 一 向量，我们就可以去算他们三个向量的数量积。原因是因为 ab 向量的模知道， bc 的 膜也知道， b、 b 一 的膜也知道，而且这三个向量的夹角，两两之间的夹角我们都知道， 所以我们就可以利用这种方法去做它。我们首先来看一下表示 ab 一 向量， ab 一 向量可以表示为 ab 向量，再加 b b 一 向量，那也就是 c 向量减 a 向量。 b c 一 向量，我们可以表示为 bc 向量，再加 c c 一 向量，那也就是 b 向量加 c 向量。 好了，然后我们要算的余弦值，我们知道了两个角的假角的余弦值，肯定要先算他们的数量积，他就是 c 向量减 a 向量，乘以 b 向量加 c 向量。我们把这个式子化简，变成这个样子。 前面的东西我们可以直接代公式，它就是 a 向量的模，再乘以 b 向量的模，再乘以 cosine c， 它减去 a 向量的模，乘以 c 向量的模，再乘以我们的 cosine r， 再加上 b 向量的模，乘以 c 向量的模乘以 cosine a， 最后再加一个 c 向量的模的平方。好，我们这个时候要观察 a 向量和 b 向量其实是 ab 和 bc 的 夹角，这个夹角是一百二十度，但是我们后边的 a 与 c， b 与 c， 它们夹角都是九十度，所以其实这个地方的 cosine 值其实是零，那么这两坨东西它都是零， 所以我们在做这种题的时候，直接把它省去，变成负 a 项的模式二，再乘以 b 项的模式一，再乘以 cos 一 百二十度，是负二分之一，再加上零，再加上 c 向量的模的平方是一，我算出来这地方应该是二， 他们的数量积为二，那我们要求他的这个余弦值，那就还得知道两个数量两个向量的模啊。 a， b， e 的 模，我们直接套进去，那就是 c 向量减 a 向量的等于根号下 c 魔方 加 a 魔方，然后他因为他们的角角余弦值是零，所以这地方就不加了，加一个零等于根号五。同理我们要算的是 bc 一 的模， bc 的 模应该是根号下 b 向量加 c 向量的平方，根号同理，这地方得出来是 根号二。好了，那现在我们要算的 cosine 值就是二，除以根号二，乘以根号五，也就是五分之根号十。所以这个题目选到 c 选项。
137函数魔导师
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
12.0万加数
